Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.4 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1092780 1089430 2026-06-01T17:41:09Z Ralf Roletschek 2938 /* 2FA */ 1092780 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) gk2ychyf900n7ebx4w4aqb7a1tm05bn 106 10587 1092797 1061646 2026-06-02T00:55:54Z CommonsDelinker 1336 Replacing Atom.svg with [[File:Helium_atom_(not_to_scale).svg]] (by [[:c:User:CommonsDelinker|CommonsDelinker]] because: [[:c:COM:FR|File renamed]]: [[:c:COM:FR#FR2|Criterion 2]] (meaningless or ambiguous name) · Naming according meaning.). 1092797 wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Kurs (Chemie)]] == Das Periodensystem der Elemente (PSE) == === Einleitung === Alles auf der Erde und im Universum besteht aus bestimmten Stoffen. Und jeder Stoff setzt sich wiederum aus "Bausteinen" zusammen. In der Chemie sind Modelle von sehr wichtiger Bedeutung, also auch hierfür ein Modell zur besseren Vorstellung: Man hat einen Sack voller Bauklötze. Jeder einzelne Bauklotz besteht natürlich wiederum aus einzelnen, zusammenliegenden Holzfasern. Die Bauklötze kann man in bestimmter Weise anordnen und sie ergeben ein schönes, tragfähiges "Bauwerk". Baut man mehrere, so ergeben sie gemeinsam eine Art Wohnsiedlung. Wenn man jedoch die Klötze falsch zusammensetzt oder auch falsch platziert, so gibt es Probleme: Das Haus stürzt ein. Ähnlich ist es auch in der Chemie: Es gibt zunächst einmal die Atome ("Bauklötze") bestimmter der über 100 Elemente (Die Bauklötze sind verschiedenfarbig). Die Elemente sind im Periodensystem der Elemente (PSE) angeordnet, in dem jedem Atom ein oder zwei "Kennbuchstaben" (erster davon immer in Großschreibung!) zugeordnet sind, damit die Namen der Stoffe hinterher nicht zu lang werden. Dazu aber auch später noch mehr. Aus den Atomen können sich wiederum Moleküle bilden ("Häuser") und ganz viele dieser Moleküle bilden eine bestimmte Menge eines Stoffes, die "Wohnsiedlung". Man könnte z.B. an Wasser denken. Wasser besteht aus 2 Wasserstoffatomen (Kennbuchstabe H) und einem Sauerstoffatom (Abkürzung O). In der Chemie wird Wasser auch als H₂O bezeichnet, oder mit einem "ganzen" systematischen Namen "Dihydrogenmonooxid". Aus sehr vielen Wassermolekülen setzt sich wiederum ein Glas Wasser zusammen, was man gerne zur Erfrischung trinkt. Zur Veranschaulichung der Größe: Ein Wassermolekül wiegt gerade einmal rund 30,6/1.000.000.000.000.000.000.000.000 g - eine Tafel Schokolade wiegt 100 g, eine Packung Milch 1.000 g. Ein einziges Wassermolekül hat also nur rund 0,000000000000000000306% des Gewichts einer Tafel Schokolade! <gallery> Image:Toyblocks.JPG|Bauklötze Image:Tsumiki.jpg|"Bauwerk" Image:Chocolate.jpg|Schokolade Image:2006-02-13 Drop-impact.jpg|Glas Ohne Wasser </gallery> === Entwicklung des PSE === Die Elemente sind die Grundbausteine aller Stoffe. Zwei Elemente solleten jetzt schon bekannt sein, nämlich Wasserstoff (H) und Sauerstoff (O). Das PSE (Periodensystem) listet nun alle (bekannten) Elemente auf - und zwar nicht irgendwie, sondern in gut überdachter Art und Weise: Anfangs waren nur einige wenige [[w: Chemisches Element|Elemente]], also verschiedene Atome, überhaupt bekannt. Nach und nach wurden immer neue entdeckt und somit musste eine Systematik her, bei der alle (bekannten) Atome - nach deren Eigenschaften geordnet - zu finden sind. In den Jahren 1868 und 1869 entwickelten die Chemiker [[w:Dmitri Iwanowitsch Mendelejew|Mendelejew]] und Meyer unabhängig voneinander ein System, was nach dem selben System noch heutzutage das Periodensystem der Elemente, das PSE bildet. === Aufbau eines Atoms === [[Image:Helium atom (not to scale).svg|left]] Um die Ordnung im Periodensystem besser verstehen zu können, sind jedoch noch einige weitere Infos wichtig. Bei dem "Bauklötzchen-Modell" hatte ich bereits erwähnt, dass die Holzklötze selbstverständlich nicht die kleinste Einheit der "Wohnsiedlung" bilden - jeder Holzklotz setzt sich nämlich wiederum aus einzelnen Holzfasern und aus einer bunten Lackfärbung zusammen. Genauso sieht es auch mit den Atomen aus. Der Begriff "[[w:Atom|Atom]]" kommt ursprünglich aus dem Griechischen von dem Begriff "atomes", zu Deutsch "unteilbar". Doch dass dies nicht stimmt, fand man erst heraus, als der schöne Begriff des Atoms schon geprägt war. Dennoch bilden Atome die kleinsten Einheiten, aus denen sich Stoffe bilden. Nur setzen sich die Atome wiederum aus noch kleineren Teilchen zusammen: den Nukleonen und den Elektronen. Das Atom setzt sich somit aus zwei Teilen zusammen: Die Nukleonen bilden den sogenannten Atomkern, um den [[w:Elektron|Elektronen]] herumschwirren und dort die [[w:Elektronenwolke|Elektronenwolke]] bilden. "Nukleonen" ist ein Sammelbegriff für zwei verschiedenen Arten von Kernteilchen: einerseits die [[w:Proton|Protonen]], deren Anzahl das Element letztenendes ausmacht, und weiterhin die [[w:Neutron|Neutronen]]. Diese verschiedenen "Atombausteine" haben verschiedene Ladungen, die man sich wie bei einem Magneten vorstellen kann: Bei einem Magneten ziehen sich verschiedene Pole (also Pluspol und Minuspol) an, gleiche stoßen sich jedoch ab (2 Pluspole bzw. 2 Minuspole). Die "Minuspole" des Atoms sind die Elektronen, die um den Kern herumschwirren. Protonen dienen als "Pluspole", sie sind somit positiv (+) geladen. Neutronen sind elektrisch neutral, d.h., sie haben keine Ladung und stellen eine Art "Kitt" oder "Klebstoff" dar, damit die positiv geladenen Protonen, die sich alle dicht nebeneinander im Kern aufhalten, nicht gegenseitig abstoßen wie zwei Pluspole eines Magneten. Normalerweise ist die Anzahl der Neutronen festgelegt. Jedoch sind in einem Atomkern manchmal auch mehr oder weniger Neutronen vorhanden. In diesm Fall spricht man von [[w:Isotop|Isotopen]]. Wasserstoff beispielsweise hat 3 Isotope: zuerst die am häufigsten vorkommende Form (99%) ohne Neutronen ("Protium"). Weiterhin gibt es jedoch auch Formen des Wasserstoffs mit einem Neutron ("Deuterium") bzw. zweien ("Tritium"). Dies hat jedoch für das Element keine größere Bedeutung. Damit ein Atom - so wie es sein soll - nach außen hin elektrisch neutral ist, d.h. in seiner Gesamtheit ungeladen, muss in einem Atom die Anzahl Protonen also "Plus-Kernteilchen" und der Elektronen, sozusagen den "Minus-Kernteilchen", die in ungeheurer Geschwindigkeit um die Nukleonen im Kern (also Protonen und Neutronen) umherflitzen, gleich sein. Und genau das ist auch bei allen Elementen, wie wir sie im PSE vorfinden, der Fall. (1 u(sprich: 1 unit[{{IPA|juːnɪt}}]) = 1,66056*10^-27 kg) {| class="prettytable" ! Name ! Formelzeichen ! genaues Gewicht ! zur Vereinfachung meistens verwendet |----- | Neutron | <math>n</math> | 1,008 664 915 79 u | 1 u |----- | Elektron | <math>e^-</math> | 0,000 5485 799 11 u | 0 u |----- | Proton | <math>p^+</math> | 1,007 276 466 88 u | 1 u |----- |} === Der Aufbau des Periodensystems der Elemente === [[Image:Periodic_table_(German).svg|right|500px]] Wie schon gesagt, sind im Periodensystem der Elemente alle bekannten "Grundbausteine" für die Stoffe, der verschiedenen Elemente, nach einer bestimmten Systematik angeordnet. Die Elektronen, also die negativ (-) geladenen Teilchen, die sich fortwährend um den Kern herum bewegen, ordnen sich immer in "Schichten" zu acht um den Atomkern. Im PSE gibt es zunächst einmal eine horizontale Aufteilung in Perioden. Von links nach rechts gelesen nimmt die Anzahl der Elektronen der äußeren Hülle zu, die Anzahl der Schalen/Hüllen steigt von oben nach unten. In der ersten Periode (in der sich ausschließlich Wasserstoff (H) und Helium (He) befinden) ist die sogenannte [[w:Edelgaskonfiguration|Edelgaskonfiguration]] bereits nach 2 Elektronen (Die Abkürzung für Elektron ist "<math>e^-</math>") gefüllt. Somit besteht die erste Elektronenschale aller Elemente aus zwei anstatt acht Elektronen. ((todo: wofür stehen die Zahlen?)) Weiterhin findet eine Aufteilung in Hauptgruppen und Nebengruppen statt. ==== Die acht Hauptgruppen ==== Es gibt 8 Hauptgruppen, die vertikal angeordnet, und mit römischen Ziffern bezeichnet sind. Jede Hauptgruppe (HG) hat einen bestimmten Namen erhalten: * I. HG: Alkalimetalle * II. HG: Erdalkalimetalle * III. HG: Erdmetalle * IV. HG: Kohlenstoff-Silicium-Gruppe * V. HG: Stickstoff-Phosphor-Gruppe * VI. HG: Chalkogene * VII. HG: Halogene * VIII. HG: Edelgase Die Stoffe innerhalb dieser Hauptgruppen haben meist sehr ähnliche/vergleichbare Eigenschaften. Beispielsweise sind alle Alkalimetalle (I. HG) sehr reaktionsfreudig (d.h., sie verbinden sich sehr gerne mit anderen Stoffen), wogegen die Edelgase (VIII. HG) äußerst reaktionsträge sind (sie bleiben am Liebsten "für sich", warum das so ist, wird später geklärt). [[image:calcium_wolke.png|right|150px]] Die Stoffe innerhalb der einzelnen Hauptgruppen haben die Gemeinsamkeit einer gleichen Anzahl an Elektronen in der äußersten Schicht, die jeweils der Hauptgruppennummer entspricht. Nimmt man also beispielsweise das Element Calcium (2. HG, 4. Periode), so stellt man fest, dass Calcium 2 Elektronen auf der äußersten Schale besitzt, wobei die äußere Schale die 4. Hülle bildet. ==== Die Nebengruppen ==== .... == Bindungsarten == Damit sich nun die einzelnen Atome zu Gruppen zusammenschließen können, muss etwas bestimmtes passieren. Jedes Atom möchte zunächst einmal die bereits erwähnte Edelgaskonfiguration erreichen, das heißt eine abgeschlossene Elektronenhülle. Je nachdem, wieviele Elektronen auf der Außenschale liegen, gibt ein Atom entweder Elektronen tendentiell eher ab, oder zieht sie eher stärker zu sich hin. Die "magische Grenze" dafür liegt bei 4 Außenelektronen, wo beides geschehen kann. So sieht man, dass beispielsweise das Alkalimetall Kalium mit nur einem Elektron auf der äußeren Schale dieses leichter abgibt als beispielsweise Bor mit drei Außenelektronen. So lässt sich auch leicht erklären, warum die Edelgase (8. Hauptgruppe) derart reaktionsträge sind: Sie haben praktisch schon alles "was sie wollen", nämlich eine gefüllte äußere Elektronenhülle und gaben so gleichzeitig der Edelgaskonfiguration ihren Namen. Die Fähigkeit der Stärke, Elektronen zu sich hinüber zu ziehen, hat den Namen [[w:Elektronegativität|Elektronegativität]] oder kurz EN. Sie steigt im Periodensystem von unten links (Caesium, Cs hat den niedrigsten Wert innerhalb der Hauptgruppen mit 0,86) nach oben rechts hin (Fluor, F hat den höchsten Elektronegativitätswert mit 4,17) an. Man kann sich also vorstellen, das beispielsweise bei der Verbindung des Wassers (<math>H_2O</math>) alle Elektronen etwas stärker zum Sauerstoff gezogen werden. Sauerstoff (EN-Wert: 3,5) und Wasserstoff (EN-Wert: 2,1) haben somit eine Elektronegativitätsdifferenz von 1,4 (3,5-2,1=1,4). Da Sauerstoff der elektronegativere Bindungspartner (also derjenige mit der höheren Elektronegativität) ist, werden die Elektronen eher zu ihm gezogen. Man denke hier noch einmal an das bereits in der [[Kurs:Einführung in die Chemie|Einführung]] erwähnte Gesetz der Massenerhaltung in chemischen Reaktionen. Hier erscheint es nur logisch, dass keine Masse verloren geht, da schließlich alle Atome erhalten bleiben, vielleicht nur neue Bindungen eingehen und somit neue Stoffe entstehen. Einige Elemente (z.B. Wasserstoff (<math>H_2</math>), Sauerstoff (<math>O_2</math>), Chlor (<math>Cl_2</math>)) kommen ausschließlich in Molekülen, nicht jedoch als einzelne Atome vor (Im Gegensatz zu z.B. Helium, He). Solche Moleküle bezeichnet man als homonuklear, also aus nur einem Element bestehend. Fast alle Moleküle bestehen jedoch aus verschiedenen Atomen und heißen somit heteronuklear. === Atombindung === Zunächst einmal gibt es das Modell der Atombindungen. Hier werden keine Elektronen wirklich abgegeben, die Reaktionspartner teilen sie sich lediglich. Es gibt zwei oft verwendete Schreibweisen für Atome und Moleküle: In der Summenformel wird die Anzahl der jeweiligen Moleküle einfach als Indexzahl neben die jeweilige Elementsbezeichnung geschrieben (z.B. in <math>H_2O</math> oder <math>CO_2</math>). Die Summenformel hat jedoch in der organischen Chemie (dem Teil der Chemie, in dem sich alles um Verbindungen mit Kohlenstoff geht) nur eine geringe Bedeutung. Ein Atom/Molekül schreibt man aber auch oft (v.a. in der organischen Chemie) in sogenannten Strukturformeln. Dort wird die äußere Elektronenhülle um das jeweilige Molekül jeweils mit Punkten (für 1 Elektron) und Strichen (für 2 Elektronen) dargestellt. Kohlenstoffdioxid (als Summenformel <math>CO_2</math>) schreibt man so z.B. folgendermaßen: [[image:Carbon dioxide.svg|80px]] Hier wird ersichtlich, dass sich das Kohlenstoffatom mit jedem Sauerstoffatom (rechts und links) je 4 Elektronen "teilt", 2 von seinen Elektronen und je zwei von den Sauerstoffatomen. Hier spricht man von einer sogenannten Doppelbindung. Somit haben alle Atome (sowohl Kohlenstoff, als auch Sauerstoff) "Anteil" an den Elektronen und eine zumindest scheinbare gefüllte äußere Elektronenhülle. Die häufiger vorkommende Einfachbindung sieht beispielsweise folgendermaßen aus: [[Image:Ammonia structure.svg||80px]] . Eine wichtige elektrochemische Eigenschaft ist die Polarität. Das Vorhandensein von Polarität lässt sich einfach aus der bereits erwähnten Differenz der Elektronegativitäten zweier Stoffe errechnen (in den Naturwissenschaften steht der griechische Großbuchstabe Delta immer für eine Differenz, also schreibt man auch oft Δ EN). Die Grenzen sind hier relativ fließend, jedoch kann man in etwa die Grenzen für Polarität folgendermaßen festlegen: Δ EN < 0,4 : unpolare-schwach polare Bindung 0,4 < Δ EN < 1,7 : stark polare Bindung. Je größer also Δ EN wird, desto stärker polar ist ein Stoff, also zieht somit ein Bindungspartner in vielen Fällen stärker an den Elektronen als ein anderer. (Ist dies nicht der Fall, so nennt man die Verbindung unpolar.) === Ionenbindung === Bei Ionenbindungen werden nun tatsächlich Elektronen an einen anderen Reaktionspartner abgegeben. Ionische Bindungen finden sich ab einer Elektronegativitätsdifferenz (Δ EN) von etwa 1,7. Hier werden die Elektronen so stark zum elektronegativeren Bindungspartner gezogen, dass sich sogenannte Ionen - geladene Teilchen - bilden. Positiv geladenen Ionen (Kationen) fehlen dann jeweils ein oder mehrere Elektronen (die positive Protonen überwiegt somit). Je nach Anzahl der fehlenden Elektronen werden dann als Exponent (Hochzahl hinter dem Elementssymbol) mit der jeweiligen Ladung angezeigt. Ein Chlorion heißt dann beispielsweise als sogenanntes Anion (negativ geladenes Ion, da die negative Ladung der Elektronen überwiegt) <math>Cl^-</math>, denn das Chlor-Ion hat 1 Elektron mehr. Eine positive Ladung tritt beispielsweise bei ionischen Metallen auf, zum Beispiel das Kaliumion (<math>K^+</math>), welches 1 Elektron abgegeben hat. [[image:NaCl-Ionengitter.svg|right|thumb]] Aufgrund der somit entstehenden verschiedenen Ladungen (Plus und Minus), die sich wie auch bei einem Magneten, gegenseitig anziehen, treten bei den Ionenbindungen immer 2 Formen der Ionen auf, nämlich Anionen (negativ geladen) und Kationen (Positive Ladung), die immer gemeinsam vorkommen, da schließlich mit den abgegebenen Elektronen etwas geschehen muss, bzw. die aufgenommen von irgendwoher stammen müssen. Durch diese elektrostatischen Aufladungen der Teilchen (Ionen können übrigens auch bei Molekülen entstehen, wenn z.B. jeweils ein Elektron von gleichartigen Elementen innerhalb des Moleküls abgegeben wird und diese von einem anderen Stoff aufgenommen werden, dem zu einer abgeschlossenen äußeren Elektronenhülle noch dieselbe Anzahl an Elektronen fehlt.) entsteht nun das sogenannte Ionengitter. Die Ionen ordnen sich, weil Plus immer zu Minus "möchte" und anders herum, wie auf einem Schachbrett an, nur in einem dreidimensionalen Raum. Als Beispiel für die Bildung von Ionen noch einmal folgendes: Es liegen die Elemente Natrium (Na) und Chlor (Cl) vor. Natrium steht in der ersten Hauptgruppe und hat somit nur ein Elektron auf der äußeren Schale. Chlor hat auf der Außenschale 7 Elektronen (VII. HG), ihm fehlt somit eines. Da bei den beiden Elementen Δ EN=2,83-1,01=1,82 ist, ziehen die Chloratome stärker an dem einzigen außenschaligen Elektron des Natriums als das Natrium selbst. Und zwar zieht das Chloratom so stark, dass das (in seiner Schale passenderweise fehlende) Elektron des Natriums in seine Elektronenschale "einfließt". Somit haben beide Stoffe eine abgeschlossene äußere Elektronenhülle und es sind die Ionen <math>Na^+</math> und <math>Cl^-</math> entstanden, die nun ein Ionengitter bilden. Das ganze "Konstrukt" findet sich ganz sicher in jeder Küche und nennt sich Kochsalz. === Van-Der-Waals-Bindung === ...... == Innermolekulare Kräfte == Damit es innerhalb und zwischen den einzelnen Molekülen zu Zusammenhalt kommt, sind selbstverständlich bestimmte Kräfte notwendig, die die einzelnen Moleküle beieinander bleiben lassen, bzw. dazu beitragen, dass ein "Molekülgerüst" entsteht. Diese Kräfte haben in der Chemie selbstverständlich auch Namen und sollen nun folgend erläutert werden: === Wasserstoffbrücken === Zunächst einmal gibt es die [[w:Wasserstoffbrückenbindung|Wasserstoffbrückenbindungen]]. Das Wort mag zwar vielleicht kompliziert klingen, jedoch werden damit [[image:WasserHBrück.jpg|right|135px]]lediglich die Kräfte betitelt, die bei polaren Stoffen (zur Erinnerung: 0,4 < Δ EN < 1,7 => die Elektronen verschieben sich etwas zu dem elektronegativeren Bindungspartner hin) auftreten, wenn zwischen δ+ ("delta plus" bedeutet, dass eine positive Teilladung Vorliegt, δ- steht also für negative Teilladung, die bei dem elektronegativeren Bindungspartner auftritt) des einen Moleküls und δ- eines anderen Moleküls aufgrund der Tatsache, dass sich auch hier wieder "Gegensätze anziehen", Verbindungen entstehen. Dieser Effekt tritt oft im Zusammenhang mit Wasserstoff (<math>H_2</math>) auf, daher der Name. Als Beispiel wäre u.a. Wasser zu nennen, bei dem Sauerstoff den elektronegativeren Bindungspartner (=> δ-) darstellt und Brücken zwischen den Wasserstoffatomen und den Sauerstoffatomen verschiedener Wassermoleküle bilden lässt (im Bild als rote Striche dargestellt). === Van-der-Waals-Kräfte === Die nächsten wichtigen Wirkungskräfte sind die sogenannten (nach ihrem Entdecker benannten) [[w:Van-Der-Waals-Kräfte|Van-Der-Waals-Kräfte]]. Zunächst einmal muss festgehalten werden, dass diese Kräfte wesentlich weniger "stark" bzw. fest sind als die bereits erwähnten Wasserstoffbrücken. Jedes Atom besteht aus dem Kern und den Elektronen, die sich in Schalen um den Kern bewegen. Die Gesamtheit der Elektronen nennt sich Elektronenwolke. Wie es in der Natur so ist, sind selbstverständlich nicht alle Elektronen, wie einem ein Lehrbuch manchmal vorzugaukeln versucht, perfekt um den Atomkern verteilt. Mit den schnellen Bewegungen kann es spontan auftretende Verschiebungen geben, sodass sich die Elektronenwolke manchmal etwas weiter links - und manchmal etwas weiter rechts befindet. Und genau das ist die Ursache der Van-Der-Waals-Kräfte: bei eigentlich unpolaren Stoffen (bei denen Δ EN nur sehr klein ist) ergeben sich somit sogenannte "spontane Dipole". - Dipole sind einfach nur Stoffe, die aufgrund einer solchen Verschiebung der Elektronenwolke auf der einen Seite mehr Elektronen haben als auf der anderen und somit auf dieser Seite elektrisch "negativer" geladen sind (, denn Elektronen sind negative Ladungsträger). Durch diese "spontanen Dipole" verschieben sich auch die Elektronen der umliegenden Atome leicht nach rechts bzw. nach links, sodass eine weitere Verschiebung der Tendenz auftritt. Durch die Zufälligkeit der Verteilung ändert sich dieser Zustand wieder sehr schnell und eine ziemlich ausgewogene - oder zur anderen Seite verschobene - Elektronenwolke entsteht. === Disulfidbrücken === ... == Aggregatzustände == Unter Aggregatzustand versteht man die unterschiedlichen Erscheinungsformen von Stoffen, die von Druck und Temperatur abhängig sind. === Fest === Bei Feststoffen sind die einzelnen Teilchen nur sehr wenig in Bewegung und bilden im Verbund meistens Gitterstrukturen aus. Je mehr Energie dem Stoff zugeführt wird (in Form von Wärme) oder je weiter der Druck absinkt, desto stärker bewegen sich die Teilchen. Sobald sich die Teilchen so stark bewegen, dass die zwischenmolekularen Kräfte (=Intermolekulare Kräfte) nicht mehr ausreichen um die Struktur aufrecht zu erhalten, schmilzt der Stoff (->wird flüssig). Umgekehrt wird dieser Vorgang als "erstarren" bezeichnet (flüssig zu fest). Normalerweise liegt zwischen der festen und gasförmigen Phase noch die flüssige. Jedoch gibt es einige Stoffe, die direkt vom festen in den gasförmigen Zustand (Sublimierung) oder direkt vom gasförmigen in den festen Zustand (zu einem Feststoff kondensieren) übergehen können. === Flüssig === Bei flüssigen Stoffen (wie oben genannt, ist dies abhängig von der Energie, die einem Stoff zugeführt wurde) wirken schwächere Kräfte, als bei Feststoffen. Diese sind die sog. Kohäsionskräfte (= Zusammenhaltskräfte). Im Gegensatz zu Feststoffen sind in Flüssigkeiten die Teilchen nicht ortsfest, d.h. sie sind ständig in Bewegung und stoßen ständig zusammen. Je höher die Temperatur, desto schneller bewegen sich die Teilchen. Wenn die Bewegungen zu stark werden, geht der Stoff in den gasförmigen Zustand über (verdunsten/verdampfen). === Gasig === In gasigen Stoffen sind alle Teilchen so schnell in Bewegung und stoßen sich gegeneinander so stark an, dass sie nicht mehr durch die intermolekularen Kräfte zusammengehalten werden können, einen größeren Raum einnehmen, als in der festen oder flüssigen Phase und die meiste Zeit weit entfernt voneinander sind. Durch diese schnellen Bewegungen verteilen sich gasige Stoffe sehr schnell in einem Raum. Physikalische Eigenschaften von Gasen (Gewicht, Molmasse, usw.) lassen sich oft sehr einfach durch Experimente ermitteln, da man durch das Modell eines idealen Gases immer annehmen kann, dass 1 Mol eines Gases bei Normalbedingungen (0°C, 101,325 kPa) ein Volumen von ~22,41 l hat und unter Standardbedingungen (25°C, 101,325 kPa) ein Volumen von ~24,4 l. == Übungen zum Kurs:Periodensystem und Atome == Zur selbstständigen Überprüfung der erworbenen Kenntnisse zum Thema Periodensystem und Atome folgen nun einige Aufgaben (mit Lösungen). # Beschreiben Sie anhand eines weiteren Modells den Aufbau aller Stoffe (Atome, Moleküle, Stoff, Protonen, Neutronen, Elektronen). # Das Element mit der Nummer 14 heißt Silicium(Si). Beschreiben und skizzieren Sie den Aufbau des Moleküls im Bezug auf Nukleonen und Elektronenhülle. ==Siehe auch== * [[b:Tabellensammlung Chemie/ Übersicht über die chemischen Elemente|Wikibooks: Tabellensammlung Chemie: Übersicht über die chemischen Elemente]] * [http://www.uniterra.de/rutherford/pse_001.htm Die Entwicklung des Periodensystems bei uniterra.de] * [[w:Hauptgruppe|Die Hauptgruppen bei Wikipedia]] * [http://www.uni-giessen.de/chemie/vorlesung/einfuehrung_oc/4000main.htm Intermolekulare Kräfte als Thema bei der Universität Giessen] slu8fln84je6ddd16un45vpc2r3a5p7 0 12638 1092571 1052684 2026-06-01T14:08:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092571 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Gitter/Definition|}} Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu {{math|term= \Z^n |SZ=,}} hier interessieren aber auch Eigenschaften der Einbettung in {{math|term= \R^n |SZ=.}} Ein Gitter heißt {{Stichwort|rational|msw=Rationales Gitter|SZ=,}} wenn die erzeugenden Vektoren zu {{math|term= \Q^n |SZ=}} gehören. {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition|}} {{ inputbild |Convex set|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Convex_set |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Convex polygon illustration2|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Non_Convex_set |Autor= Kilom691 |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex{{{refa|}}}. Daher kann man definieren: {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition|}} Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die {{math|term= U |SZ=}} umfassen. {{ inputbild |ConvexHull|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Maksim |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus {{math|term= U |SZ=}} legt und die Schnur dann zusammen zieht. {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition|}} Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |SZ=. }} Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form {{ Math/display|term= r_1v_1 {{plusdots}} r_nv_n \text{ mit } r_i \in [0,1] |SZ= }} Wir werden die Grundmasche häufig mit {{math|term= \mathfrak M |SZ=}} bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt {{math|term= P |SZ=}} nennt man die Menge {{mathl|term= P+ {\mathfrak M} |SZ=}} eine {{Definitionswort/enp|Masche}} des Gitters. Ein beliebiger Punkt {{ Relationskette |Q |\in| \R^n || || || |SZ= }} hat eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette |Q || t_1v_1 {{plusdots|}} t_nv_n || || || |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/display |Q || (\lfloor t_1 \rfloor v_1 {{plusdots|}} \lfloor t_n \rfloor v_n) + ( (t_1 - \lfloor t_1 \rfloor) v_1 {{plusdots|}} (t_n-\lfloor t_n \rfloor) v_n) || || || |SZ=, }} wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam. {{ inputbild |Determinant_parallelepiped|svg| 600px {{!}} {{!}} |Autor=Claudio Rocchini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{inputdefinition|Konvexe Geometrie/Zentralsymmetrisch/Definition|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konvexität (Geometrie) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2kmmm3h0ujaim2towbarua7fw4ftpxs 0 12679 1092387 1019337 2026-06-01T13:38:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092387 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Nicht jeder Teilmenge des {{math|term= \R^n |SZ=}} kann man sinnvollerweise ein Maß zuordnen. In der Maßtheorie werden die sogenannten Borelmengen eingeführt, und diesen Borelmengen kann ein Maß, das sogenannte Borel-Lebesgue Maß {{math|term= \lambda |SZ=}} zugeordnet werden. Die Borelmengen umfassen unter anderem alle offenen Mengen, alle abgeschlossenen Mengen {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere alle kompakten Mengen| |ISZ=|ESZ=. }} Borelmengen sind unter abzählbarer Vereinigung und abzählbaren Durchschnitten abgeschlossen, und mit einer Borelmenge ist auch deren Komplement eine Borelmenge. Das Borel-Lebesgue Maß {{math|term= \lambda |SZ=}} hat seine Werte in {{ Relationskette | \overline{\R}_{\geq 0} || \R_{\geq 0} \cup \{\infty\} || || || |SZ= }} und ist durch folgende Eigenschaften charakterisiert {{ Zusatz/Klammer |text=der Nachweis der Existenz erfordert einigen Aufwand| |ISZ=|ESZ=: }} {{Aufzählung3 |Für einen Quader {{math|term= Q |SZ=}} mit den Seitenlängen {{mathl|term= s_1 {{kommadots|}} s_n |SZ=}} ist {{ Relationskette | \lambda(Q) || s_1 \cdot s_2 \cdots s_n || || || |SZ=. }} |Für eine abzählbare Familie von disjunkten Borelmengen {{ mathbed|term= T_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist {{ Relationskette | \lambda {{makl| \bigcup _{i \in I}T_i |}} || \sum_{i \in I} \lambda {{makl| T_i |}} || || || |SZ=. }} |Das Borel-Lebesgue Maß {{math|term= \lambda |SZ=}} ist translationsinvariant, d.h. für eine Borelmenge {{math|term= T |SZ=}} und einen Vektor {{ Relationskette | v |\in| \R^n || || || |SZ= }} ist auch die um {{math|term= v |SZ=}} verschobene Menge {{math|term= v+T |SZ=}} eine Borelmenge mit {{ Relationskette | \lambda(v+T) || \lambda(T) || || || |SZ=. }} }} Weitere wichtige Eigenschaften sind: {{ Auflistung4 |Für {{ Relationskette | U | \subseteq | T || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | \lambda(U) | \leq | \lambda(T) || || || |SZ=. }} |Teilmengen, die in einem echten linearen Unterraum des {{math|term= \R^n |SZ=}} liegen, haben das Maß {{math|term= 0 |SZ=,}} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Ein einzelner Punkt und damit auch jede abzählbare Ansammlung von Punkten haben das Maß {{math|term= 0 |SZ=.}} |Unter einer linearen Abbildung {{ Abbildung |name=L | \R^n | \R^n || |SZ= }} verhält sich das Borel-Lebesgue Maß so: Zu einer Borelmenge {{math|term= T |SZ=}} ist auch das Bild {{mathl|term= L(T) |SZ=}} eine Borelmenge mit {{ Relationskette | \lambda(L(T)) || {{op:Betrag| \det(L)}} \cdot \lambda(T) || || || |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ=. }}|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbsy8pw26z65ajmrmxq26xs7h6js75e 0 12787 1092506 1000847 2026-06-01T13:58:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092506 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Elemente im Restklassenkörper {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} werden zumeist durch die Zahlen von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= p-1 |SZ= }} repräsentiert. Für das Vorzeichenlemma von Gauß ist es sinnvoll, ein anderes Repräsentantensystem {{ Zusatz/Klammer |text=für die von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Elemente| |ISZ=|ESZ= }} zu fixieren. Wir setzen {{ Relationskette | t || {{op:Bruch|p-1|2}} || || || |SZ= }} und {{ Math/display|term= S = S_{-} \cup S_+ \text{ mit } S_{-} = \{ - t , -t+1 {{kommadots|}} -2,-1\} \text{ und } S_{+} = \{ 1,2 {{kommadots|}} t-1, t\} |SZ=. }} Wir unterteilen also die Einheitengruppe in eine positive und eine negative Hälfte. Dieses Repräsentantensystem ist dadurch ausgezeichnet, dass jedes Element durch das betragmäßig kleinste Element repräsentiert wird. Im folgenden Lemma betrachtet man zu einer zu {{math|term= p |SZ=}} teilerfremden Zahl {{math|term= k |SZ=}} die Menge der Vielfachen {{ mathbed|term= ik ||bedterm1= i {{=|}} 1, \ldots , t ||bedterm2= |SZ=, }} in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und schaut, ob sie in der negativen oder der positiven Hälfte liegen. Man definiert die sogenannten {{Stichwort|Gaußschen Vorzeichen|msw=Gaußsches Vorzeichen|SZ=}} {{ Relationskette/display | \epsilon_i || \epsilon_i (k) || \begin{cases} 1, \text{ falls } ik \in S_+ \, , \\ -1, \text{ falls } ik \in S_- \, . \end{cases} || || |SZ= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie= Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3wvro87rpdk0ni3v3itexy1q33jv12k 0 13222 1092484 1074720 2026-06-01T13:54:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092484 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Eisenstein integer lattice|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene |Autor= |Benutzer=Gunther |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Eisenstein-Zahlen sind der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} des quadratischen Zahlkörpers {{mathl|term= \mathbb{Q} {{makl|\sqrt{-3}|}} |SZ=,}} also der quadratische Zahlbereich zu {{mathl|term= D=-3 |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} haben die Eisenstein-Zahlen die Form {{ Relationskette/display |z ||a + b {{makl|\frac{1}{2} +\frac{ {{imaginäre Einheit|}} }2\sqrt{3}|}} || || || |SZ= }} mit ganzen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Relationskette | \omega || -\frac{1}{2} +\frac{ {{imaginäre Einheit|}} }2\sqrt3 || e^{2\pi{{imaginäre Einheit|}}/3} || || || || |SZ= }} eine Eisenstein-Zahl. Diese Zahl ist zugleich eine {{ Zusatz/Klammer |text=primitive| |ISZ=|ESZ= }} dritte Einheitswurzel, sodass der Ring der Eisenstein-Zahlen zugleich der dritte Kreisteilungsring ist. Es ist also {{ Relationskette | \omega^3 || 1 || || || |SZ= }} und wegen {{ Relationskette | \omega^3-1 ||(\omega -1)(\omega^2+\omega +1) || || || |SZ= }} gilt die Gleichung {{ Relationskette/display | \omega^2 + \omega + 1 || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Ring der Eisenstein-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} febysqoskjulmzambplvbssvfslpmex 0 14025 1092481 1074718 2026-06-01T13:54:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092481 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Pythagoreisches Tripel/Definition|}} {{ inputbild |Pell right triangles|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Pell_right_triangles |Autor=David Eppstein |Benutzer= |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputbemerkung |Pythagoreische Tripel/Bemerkung|}} Ferner sind {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} nicht zugleich ungerade, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Pythagoreische Tripel/Nicht beide ungerade/Aufgabe |SZ=. }} {{ inputbild |Ternas pitagóricas|svg| 300px {{!}} {{!}} |Zusname=Ternas_pitagoricas |Text=Die roten Punkte sind primitive pythagoreische Tripel, die blauen nicht-primitive |Autor=Arkady |Benutzer=Kordas |Domäne=es.wikipedia.org |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir wollen alle {{ Zusatz/Klammer |text=primitiven| |ISZ=|ESZ= }} pythagoreischen Tripel finden. Man kann das Problem umformulieren, indem man durch {{math|term= z^2 |SZ=}} teilt. Dann ist das Problem äquivalent zu: Bestimme alle rationalen Lösungen für die Gleichung {{ Math/display|term= r^2 +s^2=1 \, \, (r,s \in {\Q}) |SZ=. }} Es geht also um alle Punkte auf dem Einheitskreis {{ Zusatz/Klammer |text=in der Ebene mit Mittelpunkt {{math|term= (0,0) |SZ=}} und Radius {{math|term= 1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} deren beide Koordinaten rationale Zahlen sind. Die trivialen Lösungen sind die komplexen Zahlen {{mathl|term= 1, {{Imaginäre Einheit}} , -1, - {{Imaginäre Einheit}} |SZ=.}} {{inputbemerkung |Pythagoreische Tripel/Parametrisierung/Einheitskreis/Bemerkung|}} {{ inputbild |Kreis TdM|png|400px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=M Gausmann |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir fassen zusammen: {{inputfaktbeweisverweis |Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Fakt|Satz|}} {{inputfaktbeweis |Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/Fakt|Korollar|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qxo2ea3o6ruivxddc7ivkw6svdce05g 0 15076 1092366 983080 2026-06-01T13:35:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092366 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt|Satz||ref1={{{ref1.1|}}}|ref2={{{ref1.2|}}}}} Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen {{ Abbildung/display |name= \rho_i |L| {{CC}} || |SZ= }} der gleiche Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit}} ] |SZ=.}} Man hat die beiden Einbettung {{ Abbildung |name=\rho_1, \rho_2 | \Q[{{Imaginäre Einheit}}]|{{CC}} || |SZ=, }} wobei die eine Abbildung {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} auf {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und die andere {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} auf {{math|term= -{{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich. Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Zu einem Element {{ Relationskette |z |\in|L || || || |SZ= }} nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen {{ Math/display|term= z_1=\rho_1(z) {{kommadots|}} z_n= \rho_n(z) |SZ= }} zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms {{math|term= F |SZ=}} mit rationalen Koeffizienten vom Grad {{math|term= n |SZ=.}} {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt|Lemma|}} Wir erwähnen ohne Beweis die folgende Beschreibung von Norm und Spur, die wir aber in der Vorlesung nicht intensiv verwenden werden. {{inputfaktbeweisverweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt|Lemma|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ao2r1vrmakhavokfi74q3yikv6u8ypf 0 16026 1092426 1019447 2026-06-01T13:45:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092426 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{mathl|term= (M, \leq ) |SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise total| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ=. }} Sie heißt {{Stichwort|induktiv geordnet|SZ=,}} wenn sie nicht leer ist und wenn es zu jeder total geordneten Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq M |SZ=}} eine obere Schranke in {{math|term= M |SZ=}} gibt, d.h. ein Element {{mathl|term= s \in M |SZ=}} mit {{mathl|term= t \leq s |SZ=}} für alle {{mathl|term= t \in T |SZ=.}} Das {{Stichwort|Lemma von Zorn|SZ=}} aus der Mengentheorie besagt nun, dass es in {{math|term= M |SZ=}} maximale Elemente gibt. Dabei heißt ein Element {{math|term= x |SZ=}} {{Stichwort|maximal|SZ=,}} wenn es kein Element {{math|term= y |SZ=}} mit {{mathl|term= x < y |SZ=}} gibt. Das Lemma von Zorn ist ein grundlegender mengentheoretischer Sachverhalt, das aus dem Auswahlaxiom folgt {{ Zusatz/Klammer |text=und zu diesem äquivalent ist| |ISZ=|ESZ=. }} Das {{Stichwort|Auswahlaxiom|SZ=}} besagt, dass es für eine beliebige Familie {{math|term= M_i |SZ=,}} {{mathl|term= i \in I |SZ=,}} von nicht leeren Mengen {{math|term= M_i |SZ=}} mit einer beliebigen Indexmenge {{math|term= I |SZ=}} auch ein Element in der Produktmenge {{mathl|term= \prod_{i \in I} M_i |SZ=}} gibt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Lemma von Zorn |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3dh6aepzmzsnau2jk9a5cd6kxqjzkgv 0 18133 1092787 1086769 2026-06-01T17:47:16Z Bocardodarapti 2041 1092787 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Abbildung kann man nach {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Kommutative Monoidringe/R-wertige Punkte/Bemerkung |Nr= |SZ= }} als die natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affine Gerade|K}} {{=|}} {{Mormon|\N|K}} | {{Mormon| M | K}} || |SZ= }} auffassen, die durch die Inklusion von Monoiden {{ Relationskette | M | \subseteq | \N || || || || |SZ= }} induziert ist. Zur Injektivität seien {{ Relationskette | a,b | \in | K || || || |SZ= }} gegeben und sei angenommen, dass für alle {{ Relationskette | {{{m|m}}} | \in | M || || || |SZ= }} gilt: {{ Relationskette | a^{{{{m|m}}}} || b^{{{{m|m}}}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |b || 0 || || || |SZ= }} folgt sofort {{ Relationskette |a || 0 || || || |SZ=, }} sei also {{ Relationskette |b |\neq| 0 || || || |SZ=, }} was {{ Relationskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} nach sich zieht. Da es für {{math|term= M }} ein teilerfremdes Erzeugendensystem gibt, gehören nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt |SZ= }} ab einem gewissen {{math|term= f }} alle natürlichen Zahlen zu {{math|term= M |SZ=.}} Es ist also insbesondere {{ Relationskette | a^f || b^f || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a^{f+1} || b^{f+1} || || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette/display|sep=1 | a || {{op:Bruch|a^{f+1}|a^f }} || {{op:Bruch|b^{f+1}|b^f }} || b |SZ=. }} Zur Surjektivität. Es sei ein Monoidhomomorphismus {{ Abbildung |name= \varphi | M | K || |SZ= }} gegeben, und wir müssen ihn zu einem Monoidhomomorphismus auf ganz {{math|term= \N }} fortsetzen. Es sei {{ Relationskette | \varphi(e_i) || a_i | \in | K || || |SZ=. }} Zwischen diesen Werten gilt die Beziehung {{ Relationskette/display|sep=2 | a_j^{e_i } || \varphi(e_j)^{e_i } || \varphi (e_i e_j) || \varphi(e_i)^{e_j } || a_i^{e_j } |SZ=. }} Wenn eines der {{ Relationskette | a_i || 0 || || || |SZ= }} ist, so müssen alle {{math|term= =0}} sein und die Nullabbildung ist eine Fortsetzung. Wir können also annehmen, dass alle {{math|term= a_i }} Einheiten sind. Wegen der Teilerfremdheit der {{math|term= e_i }} gibt es eine Darstellung der Eins, d.h. es gibt ganze Zahlen {{mathl|term= m_1 {{kommadots|}} m_n }} mit {{ Relationskette | m_1e_1 {{plusdots|}} m_ne_n || 1 || || || |SZ=. }} Wir behaupten, dass durch {{mathl|term= 1 \mapsto a = a_1^{m_1 } \cdots a_n^{m_n } }} eine Fortsetzung auf {{math|term= \N }} gegeben ist. Dazu müssen wir zeigen, dass der durch {{mathl|term= 1 \mapsto a }} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term= k \mapsto a^k }} | |ISZ=|ESZ= }} definierte Monoidhomomorphismus mit {{math|term= \varphi }} übereinstimmt, was man nur für die {{math|term= e_i }} überprüfen muss. Betrachten wir also {{math|term= e_1 |SZ=.}} Dann ist {{Relationskette/align | a^{e_1 } || (a_1^{m_1 } \cdots a_n^{m_n } )^{e_1 } || a_1^{e_1m_1 } \cdot a_2^{e_1m_2 } \cdots a_n^{e_1 m_n } || a_1^{1- \sum_{i {{=}} 2}^n m_ie_i } ( a_2^{e_1m_2 } \cdots a_n^{e_1 m_n } ) || a_1 \cdot (a_1^{-m_2e_2 }a_2^{e_1m_2 }) \cdots (a_1^{-m_ne_n }a_n^{e_1m_n }) || a_1 \cdot (a_1^{-e_2 }a_2^{e_1 })^{m_2 } \cdots (a_1^{-e_n }a_n^{e_1 })^{m_n } || a_1 |SZ=, }} da die Faktoren rechts in der vorletzten Zeile alle gleich {{math|term= 1 }} nach der Vorüberlegung {{ Zusatz/Klammer |text=oberes Display| |ISZ=|ESZ= }} sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sgv24ao54x161m0tnpj1bl3svivun2z 0 18541 1092083 1074519 2026-06-01T12:49:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092083 wikitext text/x-wiki {{Seitenüberschrift|Die Quadratur des Kreises}} Häufig hört man Leute sagen, vor allem wenn sie vor großen Schwierigkeiten stehen, so was wie {{Anführung|hier wird die Quadratur des Kreises versucht}}. Was ist mit dieser Redewendung gemeint? Irgendwie soll man aus einem Kreis ein Quadrat machen, und aus irgendeinem Grund soll das schwierig oder gar unmöglich sein. Nicht gemeint ist jedenfalls sowas wie {{ inputbild |Circumscribed2|png|200px {{!}} {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Maksim |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} das wäre zu einfach. Gemeint ist vielmehr folgendes '''Problem''': Gegeben sei ein Kreis. Aufgabe: Konstruiere dazu ein Quadrat mit dem gleichen {{Stichwort|Flächeninhalt}} wie der Kreis. {{ inputbild |Squaring the circle|svg|230px {{!}} {{!}} |Zusname=Squaring_the_circle |Text= |Autor= |Benutzer=Alexei Kouprianov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Dürer quadratur|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Duerer_quadratur |Text=Auch [[w:Albrecht Dürer|Albrecht Dürer]] hatte Spaß an der Quadratur des Kreises |Autor=Albrecht Dürer |Benutzer=SOP |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Ein Kreis ist bestimmt durch seinen {{Stichwort|Mittelpunkt}} und seinen {{Stichwort|Radius}}, also den Abstand von Mittelpunkt zu einem Punkt des Kreisbogens. Bezeichnen wir den Radius mit {{math|term= r}}. Dann wissen wir aus der Schule oder vom Hörensagen, dass der Flächeninhalt des Kreises gleich {{ Relationskette/display |F || \pi r^2 || || || |SZ= }} ist, wobei {{math|term=\pi}} die {{Stichwort|Kreiszahl}} bezeichnet. Wenn wir im Taschenrechner {{math|term=\pi}} eingeben, erhalten wir {{ Math/display|term= \pi \cong 3,14159265 \ldots |SZ=. }} Wenn wir einen besseren Taschenrechner haben, so erhalten wir mehr Nachkommastellen. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist einfach zu berechnen, er ist einfach das Quadrat einer Seite {{math|term= s}}. Ein flächengleiches Quadrat muss also die Seitenlänge exakt {{ Relationskette/display |s || \sqrt{\pi} r || || || |SZ= }} besitzen. Es ist {{ Relationskette/display | \sqrt{\pi} |\cong | 1,77245384 \ldots || || || |SZ=. }} Da haben wir das zu konstruierende Quadrat also schon gefunden, zumindest wissen wir, wie groß es sein muss. Doch bleiben zwei Fragen offen: Was ist der exakte Wert für {{math|term=\pi}}, und welche Methoden sind in der Konstruktion erlaubt? '''Problem''': Gegeben sei ein Kreis. Aufgabe: Konstruiere dazu nur mit {{Stichwort|Zirkel und Lineal}} ein Quadrat mit dem exakt gleichen Flächeninhalt wie der Kreis. {{ inputbild |Geom compass ruler|jpg|300px {{!}} {{!}} |Zusname=Geom_compass_ruler |Text= |Autor= |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Dieses Problem ist klassisch und wurde bereits im antiken Griechenland betrachtet. Mit Zirkel und Lineal kann man folgende drei Konstruktionen durchführen {{ Auflistung3 |Durch zwei gegebene Punkte darf man mit dem Lineal eine {{ Zusatz/Klammer |text=unendlich lange| |ISZ=|ESZ= }} Gerade ziehen. |Zu zwei gegebenen Punkten kann man den Kreis zeichnen, der den einen Punkt als Mittelpunkt besitzt und durch den anderen Punkt läuft. |Wenn sich zwei Geraden oder zwei Kreise oder eine Gerade und ein Kreis schneiden, so darf man die Schnittpunkte markieren {{ Zusatz/Klammer |text=und weiterverwenden| |ISZ=|ESZ=. }} }} All diese Operationen sind {{Stichwort|idealistisch}} zu verstehen, d.h. man geht davon aus, dass man sie vollkommen {{Stichwort|exakt}} durchführen kann. Wichtig ist von daher nicht die {{anführung|wirkliche zeichnerische Durchführung|SZ=,}} sondern die mathematische Berechnung der Schnittpunkte. Damit kann man schon erstaunlich viele Punkte in der Ebene markieren. Man braucht natürlich mindestens zwei vorgegebene Startpunkte, um überhaupt loslegen zu können. Ein vorgegebener Kreis, gegeben durch den Mittelpunkt und einen Punkt der Peripherie, entspricht genau zwei vorgegebenen Punkten. Wir nennen den Mittelpunkt {{math|term=0}} und den andern Punkt {{math|term=1}} {{ Zusatz/Klammer |text=das ist nur eine Normierung| |ISZ=|ESZ=. }} Wir können dann die Gerade durch {{math|term=0}} und {{math|term=1}} zeichnen und den Kreis mit Mittelpunkt {{math|term=0}} durch {{math|term=1}} und umgekehrt, den Kreis mit Mittelpunkt {{math|term=1}} durch {{math|term=0 |SZ=.}} Diese Gerade nennen wir von nun an die {{math|term= x |SZ=-}}{{Stichwort|Achse|SZ=.}} Es ergeben sich vier neue Schnittpunkte: auf der Gerade ergeben sich die Punkte {{mathl|term=(2,0)}} und {{mathl|term=(-1,0) |SZ=.}} Welche Koordinaten haben die beiden Schnittpunkte der Kreise? Wegen der Symmetrie der Situation ist die {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate gleich {{math|term=\frac{1}{2} |SZ=,}} die {{math|term= y |SZ=-}}Koordinate ergibt sich aus dem {{Stichwort|Satz des Pythagoras}} zu {{ Relationskette/display |y ||\sqrt{1- \left(\frac{1}{2}\right)^2 } ||\frac{\sqrt{3} }{2} || || |SZ=. }} Damit ist der Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|\frac{1}{2} |\frac{\sqrt{3} }{2}|}} }} konstruierbar. Es treten also schon sehr früh Zahlen auf, die {{Stichwort|nicht rational}} sind. Mit den soeben konstruierten Punkten kann man jetzt weitermachen. Unsere Frage können wir jetzt so formulieren: '''Frage''': Treten bei diesem Verfahren irgendwann zwei Punkte auf, die zueinander exakt den Abstand {{math|term=\sqrt{\pi} }} besitzen? Wie gesagt, es geht um eine exakte Darstellung von {{math|term=\sqrt{\pi} |SZ=.}} Es lässt sich nämlich einfach zeigen, dass jede {{Stichwort|beliebige Approximation}} von {{math|term=\sqrt{\pi} }} konstruierbar ist. Betrachten wir etwa unsere Taschenrechnerapproximation {{ Math/display|term= 1,77245384 \ldots |SZ=, }} die sehr nahe an {{math|term=\sqrt{\pi} }} liegt. Wie kann man diesen Abstand mit Zirkel und Lineal realisieren? Ganz einfach: Man konstruiert auf der positiven {{math|term= x}}-Achse einen Kreis nach dem anderen, in dem man den jeweils neuen Schnittpunkt mit der Achse als Mittelpunkt nimmt und den vorhergehenden Punkt als Peripheriepunkt. So kann man alle natürlichen Zahlen konstruieren. Nach {{math|term=177 245 384}} Kreisen hat man dann die Zahl {{math|term=177 245 384}} konstruiert {{ Zusatz/Klammer |text=das kann man abkürzen| |ISZ=!|ESZ=. }} Jetzt konstruiert man mit dem gleichen Verfahren auf der {{math|term= y}}-Achse die Zahl {{math|term=100 000 000 |SZ=,}} und zeichnet die Verbindungsgerade der beiden Punkte. Zu dieser Geraden zeichnet man die parallele Gerade durch den Punkt {{mathl|term=(0,1)}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ=. }} Die Steigung (bzw. das Gefälle) der beiden parallelen Geraden ist gleich, daher ist der Schnittpunkt der zweiten Geraden mit der {{math|term= x |SZ=-}}Achse gleich {{math|term=1,77245384 |SZ=,}} wie gewünscht. Dabei haben wir folgende Konstruktionen verwendet, die in der Tat mit Zirkel und Lineal durchführbar sind: {{ Auflistung2 |Eine Senkrechte zu einem gegebenen Punkt auf einer Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=für die {{math|term= y}}-Achse| |ISZ=|ESZ=. }} |Die parallele Gerade zu einer gegebenen Geraden durch einen gegebenen Punkt. }} Das ist beides möglich. Eine Mittelsenkrechte ergibt sich wie im folgenden Bild {{ Zusatz/Klammer |text=wenn die Senkrechte durch einen vorgegebenen Punkt auf der Geraden gehen soll, so schlägt man zuerst den Kreis durch den Punkt mit einem beliebigen Radius, um die beiden Punkte {{math|term= A}} und {{math|term= B}} zu erhalten| |ISZ=|ESZ=. }} Für die Konstruktion braucht man dann einen Radius, der mindestens so groß wie die Hälfte des Abstandes von {{math|term= A}} nach {{math|term= B}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=am besten nimmt man, nicht wie im Bild, den Abstand von {{math|term= A}} nach {{math|term= B}} direkt als Radius| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Middellooddlijnconstructie|jpg|400px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=SieBot |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Das oben beschriebene Verfahren kann man für jede beliebige Approximation durchführen, man kann also stets Quadrate konstruieren, deren Flächeninhalte beliebig nahe beim Flächeninhalt des Kreises sind. In der {{Stichwort|reinen Mathematik|msw=Reine Mathematik}} wollen wir es aber ganz genau wissen: nicht, ob es eine beliebig gute Approximation gibt (was es gibt und was für alle {{Stichwort|praktischen Zwecke|msw=Praktischer Zweck}} ausreicht), sondern ob es eine exakte Konstruktion gibt, was ein {{Stichwort|theoretisches Problem}} darstellt. Die Frage, ob {{math|term=\pi}} exakt mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, kann grundsätzlich nur auf zwei Arten beantwortet werden. {{ Aufzählung2 |Jemand findet eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die genau {{math|term=\sqrt{\pi} }} ergibt {{ Zusatz/Klammer |text=wobei im Nachweis, dass wirklich {{math|term=\sqrt{\pi} }} vorliegt, alles erlaubt ist; grundsätzlich könnte es auch einen reinen Existenzbeweis geben, ohne dass eine konkrete Konstruktion angegeben wird| |ISZ=|ESZ=. }} Das wurde über 2000 Jahre lang versucht, ohne Erfolg. |Man gelangt irgendwie zu einer {{Stichwort|Übersicht über alle möglichen Konstruktionen|SZ=,}} z.B. eine Eigenschaft, die alle konstruierbaren Koordinaten erfüllen müssen, und zeigt daraus, dass {{math|term=\sqrt{\pi} }} nicht konstruierbar ist. }} In der Tat führte der unter (2) benannte Weg im Laufe des neunzehnten Jahrhunderts zum Erfolg. Wir haben oben gesehen, dass {{math|term=\sqrt{3} }} konstruierbar ist, Quadratwurzeln tauchen also auf. Damit treten auch Quadratwurzeln aus Quadratwurzeln und ähnliche Ausdrücke auf, z. B. {{ Math/display|term= \sqrt{3}, \, \sqrt{\sqrt{3}-1 },\, \sqrt{ 4(\sqrt{\sqrt{3}-1 })+ \frac{2}{3} \sqrt{5} } ,\, \text{ etc. } \, }} Wenn man die erlaubten drei Konstruktionsschritte betrachtet, so sieht man, dass, wenn die beteiligten Koordinaten, die die Geraden und Kreise definieren, gegeben sind, die Koordinaten der Schnittpunkte {{Stichwort|lineare|msw=Lineare Gleichung}} oder {{Stichwort|quadratische Gleichungen|msw=Quadratische Gleichung}} erfüllen, in denen die vorgegebenen Koordinaten als Koeffizienten auftreten. Jeder Punkt, der also ausgehend von {{math|term=0}} und {{math|term=1}} konstruierbar ist, erfüllt demnach eine {{ Zusatz/Klammer |text=ziemlich wild| |ISZ=|ESZ= }} verschachtelte Folge von quadratischen Gleichungen. Insbesondere erfüllt jede konstruierbare Koordinate {{math|term= x}} eine sogenannte {{Stichwort|algebraische Gleichung}} über den ganzen Zahlen, d.h. {{math|term= x}} ist die Nullstelle eines Polynoms mit {{Stichwort|ganzzahligen Koeffizienten|msw=Ganzzahliger Koeffizient|SZ=:}} {{ Mathbed/display|term= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} {{plusdots|}} a_2x^2+a_1x +a_0 = 0 |mit|bedterm1= a_n,a_{n-1} {{kommadots|}} a_2, a_1,a_0 \in \Z ||bedterm2= |SZ=. }} Die Zahlen, für die es eine solche algebraische Gleichung gibt, nennt man auch {{Stichwort|algebraische Zahlen|msw=Algebraische Zahl|SZ=.}} Das Gegenteil, also diejenigen Zahlen, für die es keine derartige Gleichung gibt, nennt man {{Stichwort|transzendent|SZ=.}} {{ inputbild |Carl Louis Ferdinand von Lindemann|jpg|230px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Carl_Louis_Ferdinand_von_Lindemann |Text=[[w:Ferdinand von Lindemann|Ferdinand von Lindemann (1852-1939)]] |Autor=unbekannt |Benutzer=JdH |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die Lösung zu unserem Problem wurde auf diesem Weg 1882 von {{Stichwort/Person|Ferdinand von Lindemann}} entschieden. Er bewies den '''Satz''': Die Kreiszahl {{math|term=\pi}} ist nicht algebraisch. Damit ist auch {{math|term=\sqrt{\pi} }} nicht algebraisch und insbesondere nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Es folgt, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist. Der Beweis dieses Satz ist nicht geometrisch, hat aber die geometrische Konsequenz, dass ein zu einem Kreis flächengleiches Quadrat nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Dennoch versuchen {{anführung|Hobbymathematiker}} bis heute, eine solche Lösung zu finden. === Andere Konstruktionen === Neben der Frage nach der Quadratur des Kreises gibt es noch eine Reihe weiterer Fragen, was man mit Zirkel und Lineal konstruieren kann und was nicht. Es ist zum Beispiel einfach zu zeigen, dass man einen gegebenen Winkel, repräsentiert durch zwei sich schneidende Geraden, stets {{Stichwort|halbieren}} kann. Dagegen kann man einen beliebig vorgegebenen Winkel nicht im allgemeinen {{Stichwort|dreiteilen|SZ=,}} also in drei gleichgroße Winkel zerteilen. Den Winkel {{mathl|term=120^\circ}} kann man konstruieren, d.h. den Gesamtkreis kann man winkeldreiteilen, aber {{mathl|term=120^\circ}} kann man selbst nicht dreiteilen, der Winkel {{mathl|term=40^\circ}} ist nicht konstruierbar. Man kann also einen Kuchen nicht mit Zirkel und Lineal in {{math|term=9}} gleichgroße Stücke unterteilen. In wie viele Stücke ist es möglich? Dafür gibt es eine exakte Charakterisierung, für {{mathl|term= n\leq 20 }} ist die Unterteilung eines Kuchens in {{math|term= n}} gleichgroße Stücke {{ Zusatz/Gs |text=man spricht von der {{Stichwort|Konstruktion des regelmäßigen|msw=Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks}} {{math|term= n |SZ=-}}{{Stichwort|Ecks|msw=Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks}}| |ISZ=|ESZ= }} möglich für {{ Math/display|term= n=1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,16,17,20 |SZ=, }} und nicht möglich für {{ Math/display|term= n= 7,9,11,13,14,18,19 |SZ=. }} Eine Konstruktion des regelmäßigen Fünfecks sieht folgendermaßen aus. {{ inputbild |Pentagon construct|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Pentagon_construct |Text= |Autor=TokyoJunkie |Benutzer=Mosmas |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} [[Medium:Quadratur des Kreises Einführender Vortrag.pdf|Zur Pdf-Version]] [[Kategorie:Die Quadratur des Kreises/Textabschnitte]] ciop353a0hou0tcujssr782nbd7oua0 0 21763 1092084 1018564 2026-06-01T12:49:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092084 wikitext text/x-wiki „Es wird wohl noch mindestens eine Million Jahre vergehen, bevor wir die Primzahlen verstehen“ Paul Erdös Eine wesentliche Rolle in der Zahlentherie spielt der Begriff der Primzahl. Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Bestimmung der Primalität einer Zahl mit Hilfe von Lucas-Test. {{Zwischenüberschrift|'''''Lucas-Test'''''}} {{Zwischenüberschrift|<u>Primzahltests auf Grundlage von Kongruenzen</u>}} [[Datei:Elucas 1.png|mini|Édouard Lucas]] {{inputfaktbeweis|Benutzer:Abrankov/Lucas Test/Fakt|Satz|Lucas Test|}} {{inputbeispiel|Benutzer:Abrankov/Lucas Test/Beispiel| }} Eine direkte Verallgemeinerung des Lucas Test ist der Pocklington Test: {{inputfaktbeweis|Benutzer:Abrankov/Pocklington Test/Fakt|Satz|Pocklington|}} Die anderen berühmten Primzahlen sind die Fermatschen Primzahlen, obwohl man davon nur 5 Stück kennt und vermutet, dass es keine weiteren gibt. Auch für diese Zahlen gibt es einen speziellen Test, den Pepin Test. Er beruht auf dem Lucas Test, der immer anwendbar ist, wenn man die Primteiler von {{math|term= n-1 |SZ=}} kennt. Für die Fermatschen Primzahlen reicht es aus, im Lucas Test die Zahl {{math|term= a=3 |SZ= }} zu überprüfen: {{inputfaktbeweis|Benutzer:Abrankov/Pepin Test|Satz|Pepin Test}} {{inputbeispiel|Benutzer:Abrankov/Pepin Test/Beispiel|}} Bei der Anwendung des Lucas Tests auf eine beliebige Zahl {{math|term= n \in \mathbb{N} |SZ= }} gibt es zwei Probleme: {{ Aufzählung2 | Man muss die Primteiler von {{math|term= n-1 |SZ= }} kennen. Dies ist ein Faktorisierungsproblem und damit im Allgemeinen schwierig. |Man muss alle {{math|term= n-1 |SZ= }} Werte für {{math|term= a |SZ= }} überprüfen. Dies bedeutet einen sehr hohen Rechenaufwand. (Die Anzahl könnte man verkleinern, wenn man berücksichtigt, dass es {{math|term= \varphi (n-1) |SZ= }} Primitivwurzeln modulo {{math|term= n |SZ= }} für {{math|term= n |SZ= }} prim gibt. Man bleibt aber in der gleichen Größenordnung für den Rechenaufwand.) }} Um das erste Problem in den Griff zu bekommen, könnte man hoffen, dass ein {{math|term= n \in \mathbb{N} |SZ= }} bereits prim ist, falls {{math|term= a^{n-1}\equiv 1\mod n |SZ= }} ist für alle zu {{math|term= n |SZ= }} teilerfremden {{math|term= a |SZ= }} im Bereich von {{math|term=1 |SZ= }} bis {{math|term= n-1 |SZ=. }} Das ist aber leider nicht richtig. {{inputfakt|Benutzer:Abrankov/Miller-Rabin Test/Fakt|Satz|Miller-Rabin Test|}} {{inputbeispiel|Benutzer:Abrankov/Miller-Rabin Test/Beispiel|}} {{Zwischenüberschrift|<u>Primzahltests auf Grundlage von Lucas-Folgen</u>}} {{Zwischenüberschrift|<u>Lucas-Folgen</u>}} {{inputdefinition|Benutzer:Tanik/Lucas-Test/Definition|Lucas-Folgen}} {{inputbemerkung|Benutzer:Tanik/Lucas-Test/Bemerkung1|}} {{inputbemerkung|Benutzer:Tanik/Lucas-Test/Berechnung der Folgeglieder/Bemerkung|Eigenschaften der Folgeglieder}} {{Zwischenüberschrift|<u>Teilbarkeitseigenschaften der Folgeglieder {{math|term= U_n\,|SZ=}}</u>}} {{inputdefinition|Benutzer:Tanik/Lucas-Test/Definition2|Quadratischer Zahlenkörper}} Sei {{math|term= P^2-4Q = c^2D |SZ=}} mit {{math|term= c,D \in \N|SZ=}} und {{math|term= D |SZ=}} quadratfrei. Ist {{math|term= D > 1\,|SZ=,}} so sind die Lösungen {{math|term= a,b |SZ=}} der Gleichung {{math|term= X^2-PX+Q=0 \,|SZ=}} irrationale Zahlen aus dem quadratischen Zahlenkörper {{math|term= Q(\sqrt{D}) |SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Benutzer:Tanik/Lucas-Test/Fakt|Satz|}} Falls {{math|term= a (mod \,p)\,|SZ=}} in {{math|term= A_d \,|SZ=}} eine Einheit ist, dann folgt aus dem Satz, dass {{ mathdisplay|term= a^{p-1}\equiv 1\,\,\,(mod \,p) \,, \text{falls} \,\left(\frac{D}{p}\right)=1 \, |SZ= }}oder {{ mathdisplay|term= a^{p+1}\equiv a\overline{a}\,\,\,(mod \,p) \,,\text{falls} \,\left(\frac{D}{p}\right)=-1 \, |SZ=. }} {{inputfaktbeweis|Benutzer:Tanik/Lucas-Test/ggt-Lemma/Fakt|Lemma|}} Aus Identitäten ergeben sich für {{math|term= U_{p-1} \,|SZ=}} und {{math|term= U_{p+1} \,|SZ=}} folgende Berechnungen(beachte {{math|term= b=\overline{a} \,|SZ=:}} {{ mathdisplay|term= U_{p-1} =\frac{a^{p-1}-\overline{a}^{p-1} }{a-\overline{a} }\equiv {a\overline{a}-\overline{a}a} \equiv 0 \,\,(mod \,p)\,,\text{falls} \,\left(\frac{D}{p}\right) = 1 \, |SZ=, }} {{ mathdisplay|term= U_{p+1} =\frac{a^{p+1}-\overline{a}^{p+1} }{a-\overline{a} } \equiv\frac{1-1}{a-\overline{a}a} \equiv 0 \,\,(mod \,p)\,,\text{falls} \,\left(\frac{D}{p}\right) = -1 \, |SZ=. }} {{inputbemerkung|Benutzer:Tanik/Lucas-Test/Bemerkung2|}} {{Zwischenüberschrift|<u>Verhalten Potenzen von {{math|term= a |SZ=}} bzw. {{math|term=\,\,\,\,\, U_n |SZ=}} bezüglich der Teilbarkeit durch {{math|term= p^n |SZ=}} </u>}} Falls {{math|term= \left(\frac{D}{p}\right) = 1 \,|SZ=}} ist {{math|term= a^p=a+kp \,|SZ=}} für ein bestimmtes {{math|term= k\in\N \,|SZ=}} und deshalb gilt {{ mathdisplay|term= a^{p^n} = (a^p)^{p^{n-1}} = (a+kp)^{p^{n-1}} \equiv a^{p^{n-1}}\,\,(mod \,\,p^n)\, |SZ=, }} weil alle Terme abseits des ersten {{math|term= a^{p^{n-1} }\,|SZ=}} stets den Faktor {{math|term= p^n\,|SZ=}} enthalten. Man kann unter der Bedingung, dass {{math|term= a (mod \,p)\,|SZ=}} in {{math|term= A_D \, |SZ=}} eine Einheit ist, durch Division durch {{math|term= a^{p^{n-1} } \, |SZ=}} das Folgende erhalten: {{math|term= a^{p^n} \equiv a^{p^{n-1} } \Rightarrow a^{{p^n}-{p^{n-1}}} \equiv 1 \Rightarrow a^{p^{n-1}(p-1)} \equiv 1 (mod \,\,p^n)\,|SZ=}} Analog erhält man {{math|term= a^{p^n} \equiv \overline{a}^{p^{n-1} } \Rightarrow a^{p^n}a^{p^{n-1} } \equiv (\overline{a}a)^{p^{n-1} } \equiv a^{p^{n-1}(p-1)} \equiv (a\overline{a})^{p^{n+1} } (mod \,\,p^n)\,|SZ=.}} Mit diesen Identitäten können die folgenden Folgeglieder {{math|term= U_i |SZ=}} berechnet werden: {{math|term= U_{p^{n-1}(p-1)} \equiv 0 \,\,\, (mod \,\,p^n) \text{ für } \left(\frac{D}{p}\right)= 1 \,|SZ=}} {{math|term= U_{p^{n-1}(p+1)} \equiv 0 \,\,\, (mod \,\,p^n) \text{ für } \left(\frac{D}{p}\right)=-1 \,|SZ=.}} Das lässt sich wie folgt zusammenfassen: {{math|term= U_{p^{n-1}(p-\left(\frac{D}{p}\right))} \equiv 0 (mod \,\,p^n)\text{ für } \,ggT(2QcD,p)=1 \,|SZ=.}} Die Beschränkung {{math|term= ggT(2QcD,p)=1 \,|SZ=,}} folgt aus dem Lemma und Bemerkung oben. Der Lucas-Lehmer-Test ist ein Verfahren, um Mersenne-Primzahlen zu überprüfen. Entwickelt wurde der Test von Eduardo Luca und Derrick Henry Lehmer, der die Arbeiten von Luca fortsetzte. Als mathematische Grundlagen dienen Lucas-Folgen. Häufigste Verwendung findet der Test beim Suchen von sehr großen Primzahlen. Er ist seit Jahren die effizienteste Methode, um die größten zurzeit bekannten Primzahlen zu entdecken, und wird als Standardtestverfahren beim GIMPS-Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) eingesetzt. Zuerst werden wir der Lucas-Lehmer-Test für beliebige Zahl n zeigen und dann für Mersenne-Primzahlen. {{inputfaktbeweis|Benutzer:Abrankov/Lucas-Lehmer-Test/Lemma/Fakt|Lemma| |}} {{inputfaktbeweis|Benutzer:Abrankov/Lucas-Lehmer-Test|Satz|Lucas-Lehmer-Test}} {{Zwischenüberschrift|<u>Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen</u>}} Im Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen die Schwierigkeit besteht darin, die Primfaktoren von {{math|term= n+1 |SZ=}} und entsprechende Lucas-Folgen zu finden. Die Mersennezahlen {{math|term= M_m=2^m-1, m\ngeqslant1 \,|SZ=}} haben die Eigenschaft, dass {{math|term= n+1 |SZ=}} in diesem Fall eine Potenz von {{math|term=2 |SZ=}} ist und hat nur einen Primfaktor. Deshalb können wir Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen so formulieren: {{inputbemerkung|Benutzer:Tanik/Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen/Bemerkung3|Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen}} {{inputfaktbeweis|Benutzer:Tanik/Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen/Lemma2|Lemma|}} Die Bedingungen {{math|term= U_{n+1}\equiv 0 \,\,\,(mod \, n) |SZ=}} und {{math|term= U_\frac{n+1}{2}\equiv 0 \,\,\,(mod \, n) |SZ=}} können zusammengefasst werden. Es gilt {{math|term= U_{n+1}=\frac{U_{n+1} }{2}\frac{V_{n+1} }{2}\,|SZ=,}} womit {{math|term=\frac{V_{n+1} }{2} \equiv 0 \,\,\, (mod \,\,n) \,|SZ=}} sein muss. Durch allgemeine Bedingung {{math|term=\,ggT(2QcD,p)=1 \,|SZ=,}} an Lucas-Folgen für Primzahltests und Lemma auch klar, dass wenn {{math|term= \frac{V_{n+1} }{2}\,|SZ=}} den Faktor {{math|term= n\,|SZ=}} enthält, {{math|term= \frac{V_{n+1} }{2} \not\equiv 0 \,\,\, (mod \,\,n) \,|SZ=}} sein muss. Es gegügt demnach {{math|term=\frac{V_{n+1} }{2}=V_{2^{m-1} } \equiv 0 \,\,\, (mod \,\,n) \,|SZ=}} zu überprüfen. Es sei {{math|term= V_{2^k}:=v_k \,|SZ=.}} Die Berechnung {{math|term= V_{2^k}=V^2_{2^{k-1} }-2Q^{2^{k-1} } \,|SZ=}} dadurch die Form {{math|term= v_k=v^2_{k-1}-2Q^{2^{k-1} } \,|SZ=.}}Begonnen wird die Rekursion mit {{math|term= v_0=V_1=P \,|SZ=}} und die Frage bezüglich der Primalität von {{math|term= M_m \,|SZ=}} lässt sich wie folgt formulieren: wann ist {{math|term= v_{m-1}\equiv 0\,\,\,(mod\,\,M_m) \,|SZ=?}} Die Werte {{math|term= a=1+\sqrt{3},b=1-\sqrt{3}\,|SZ=}} ergeben eine passende Lucas-Folge, das führt zu {{Einrückung|term={{math|term= P=2, Q=-2, P^2-4Q=12, D=3, C=2\,|SZ=.}}}} Dadurch sieht die Rekursion wie folgt aus: {{math|term= v_k=v^2_{k-1}-22^{2^{k-1} } \,|SZ=}} mit dem Startwert {{math|term= v_1=v^2_0+4=8 \,|SZ=.}} {{inputbemerkung|Benutzer:Tanik/Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen/Bemerkung4|Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen alternativ}} {{Zwischenüberschrift|<u>Verbesserter Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen</u>}} {{inputfaktbeweis|Benutzer:Tanik/Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen/|Satz|Verbesserter Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen|}} Das Verfahren eignet sich durch seinen iterativen Charakter in der Praxis sehr gut. Sämtliche grossen Mersenne-Primzahlen wurden auf diese Weise gefunden. Lucas selbst hat im Jahre 1876 die Primalität von {{math|term= M_{127} |SZ=}} nachgewiesen und hat gezeigt, dass {{math|term= M_{67} |SZ=}} zerlegbar ist. Schliesslich gelang es Lehmer 1927 zu zeigen, dass {{math|term= M_{257} |SZ=}} zerlegbar ist und korrigierte damit Mersennes Aussage. Der Lucas-Lehemer Primzahltest für Mersenne-Zahlen erfordert eine immense Rechenleistung, wenn{{math|term= p |SZ=}} sehr groß ist. Darüber hinaus kommen sehr spezielle Programme zum Einsatz. Eine große Rolle spielt die Multiplikation mit schneller Fourier-Transformation, die 1971 von Schöhage und Strassen entwickelt wurde. Als maßgeblich haben sich die Programme von Crandall und Woltman herausgestellt. {{inputbeispiel|Benutzer:Tanik/Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen/Beispiel1| }} {{inputbeispiel|Benutzer:Tanik/Lucas-Lehmer-Test für Mersennezahlen/Beispiel2| }} == Literatur == * [B] Brenner H.: [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)]] http://de.wikiversity.org/wiki/Zahlentheorie_(Osnabrück_2008)(13.03.09) * Burton, D.M./Dalkowski, H.: ''Handbuch der elementaren Zahlentheorie''.Neldermann Verlag, 2005, ISBN 3-88538-112-5 * Müller-Stach,S./Piontkowski, J.:'' Elementare und algebraische Zahlentheorie''.1. Auflage Wiesbaden : Vieweg, 2006, ISBN 978-3-8348-0211-8 * Ribenboim, P.: ''Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde'', Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006 ISBN 978-3-540-34284-7 * Riesel,H.: '' Prime Numbers and Computer Methods for Factorization''. Birkhäuser, ISBN 0-8176-3291-3 5dz9dysljmc492tdgkdxn7dqo6hg7bb 0 21776 1092085 956819 2026-06-01T12:49:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092085 wikitext text/x-wiki {{inputbild|Seitenhalbierende mit schwerpunkt|svg| 200px {{!}} {{!}} Bildkommentar }} {{ mathdisplay|term= M=\{ a \in \mathbb N \mid a \text{ gerade} \} |SZ= }} {{math|term=\text{ für } \text{ also } |SZ= }} {{Zwischenüberschrift|<u>Lucas-Test</u>}} {{inputfaktbeweis|qetklweth/Fakt| | }} {{inputdefinition| Hier Definitionsname einsetzen /Definition| }} Der Satz von Wilson, der ja eine Charakterisierung der Primzahlen darstellt, scheint zunächst als Primzahltest vielversprechend zu sein.Da die Berechnung der Fakultät jedoch viel zu aufwändig ist, scheideter als praktischer Test aus. Der kleine Satz von Fermat lautet für primes p und eine natürliche Zahl a, die kein Vielfaches von p ist, dass <math>a^{p-1}\equiv 1\mod p </math> erfüllt ist. Allerdings möchten wir an dieser Stelle anmerken, dass die Umkehrung dieses Satzes nicht gilt – es gibt zerlegbare Zahlen N und a ≥ 2 mit <math>a^{N-1}\equiv 1\mod N </math> . Lucas entdeckte im Jahre 1876 eine richtige Umkehrung von Fermats kleinem Satz. Diese besagt: [[Datei:Elucas 1.png|mini|Lucacscsc]] {{inputfakt|Benutzer:Abrankov/1/Fakt|Test 1|( )}} Das Problem dieses zunächst perfekt aussehenden Tests: Er benötigt <math>N-2</math>aufeinander folgende Multiplikationen mit a und das Finden der Reste modulo N – dies sind zuviele Operationen. Lucas gab 1891 den folgenden Test an: {{inputfaktbeweis|/Verbesserter Test/Fakt|Test 2|( )}} {{inputfaktbeweis|/Brillhart/Fakt|Test 3|( )}} {{inputfaktbeweis|Benutzer:Abrankov/Pocklington Test/Fakt|Satz|Pocklington|ref1=( )}} Für die Fermatschen Primzahlen reicht es aus, im Lucas Test die Zahl a = 3 zu überpriifen: {{Zwischenüberschrift|Fermatsche Primzahlen}} [[Datei:Pierre de Fermat.png|mini]] {{inputdefinition|Primzahlen/Fermatsche PrimzahlenDefinition|Fermatsche Primzahlen}} {{inputdefinition|Fermatsche Primzahlen/Exponentenlemma/Fakt|}} {{inputdefinition|Fermat Zahlen/Definition|Fermat-Zahlen}} {{inputfaktbeweis|Benutzer:Abrankov/Pepin Test|Satz|Pepin Test}} {{inputbeispiel|Benutzer:Abrankov/Pepin Test|Beispiel|()}} mptrmbzyvjika23tpr98qv86dii5u9t 0 26663 1092204 1074591 2026-06-01T13:09:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092204 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir besprechen hier verschiedene mögliche Zugänge zu den reellen Zahlen, nämlich den geometrischen Zugang, den Zugang über Ziffernfolgen und den axiomatischen Zugang. In der höheren Mathematik ist der axiomatische Zugang das Maß der Dinge, sodass hier insbesondere ein Bewußtsein für die Schwächen der zuerst genannten Zugänge geschaffen werden soll. {{Zwischenüberschrift|Der geometrische Zugang: reelle Zahlen als Punkte einer markierten Geraden}} {{ inputbild |Real number line|svg| 300px {{!}} {{!}} |Zusname=Real_number_line |Autor= |Benutzer=Phrood |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In diesem Zugang werden die reellen Zahlen als Punkte einer unendlichen {{Anführung|markierten}} Geraden aufgefasst. Dem liegt die Auffassung zugrunde, dass mit den reellen Zahlen alle möglichen Längen ausgedrückt werden sollen, dass Zahlen zum Messen da sind, und mögliche Messwerte repräsentieren. Wenn man sich auf {{Anführung|wirkliche Messwerte|}} beschränken möchte, sollte man eher mit einer Halbgeraden als mit einer ganzen Geraden arbeiten, doch das ist im Folgenden kein wesentlicher Unterschied. Dass Punkte auf der Geraden Messwerte repräsentieren können, setzt voraus, dass ein Punkt auf der Geraden als Ursprungspunkt oder Nullpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} ausgezeichnet wird, sodass dann ein beliebiger Punkt über seinen Abstand zum Nullpunkt eine bestimmte Länge repräsentiert. Die begleitende Vorstellung dabei ist, dass man jeden irgendwo auftauchenden Abstand und jede gemessene Länge von {{math|term= 0 |SZ=}} aus an die Gerade anlegen kann und dann durch den Endpunkt repräsentiert wird {{ Zusatz/Klammer |text=in der technischen Durchführung wird eher die Gerade als Messlatte an den Gegenstand angelegt| |SZ=. }} Beispielsweise kann man eine in der Ebene über eine bestimmte Konstruktion gewonnene Länge, wie beispielsweise die Länge der Diagonalen in einem Quadrat, auf die Zahlengerade übertragen (bei einer {{Anführung|krummen Länge}} wie dem Umfang eines Kreises ist das schon schwieriger). Dieser Übertrag ermöglicht es insbesondere, zwei jeweils gegebene Streckenlängen miteinander zu vergleichen und zu entscheiden, welche von ihnen größer als die andere ist. Auf der Zahlengeraden gibt es eine einfache Interpretation der Größerrelation, die je nach der Orientierung durch {{Anführung|rechts von|}} oder {{Anführung|links von}} gegeben ist. Auch die Addition besitzt eine einfache Interpretation, indem man nämlich zwei Punkte dadurch addiert, dass man die Strecke, die durch den einen Punkt repräsentiert wird {{ Zusatz/Klammer |text=also die Strecke vom Nullpunkt zu diesem Punkt| |SZ=, }} an den anderen Punkt anlegt. Das Negative eines Punktes ist das Spiegelbild am Nullpunkt auf der gegenüberliegenden Halbgeraden. Für die Addition leuchten die Gesetzmäßigkeiten bei dieser geometrischen Beschreibung schnell ein: die Kommutativität beruht darauf, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge ich zwei Strecken aneinander lege, und die Assoziativität beruht darauf, dass es bei drei hintereinanderliegenden Strecken unerheblich ist, ob man zuerst die linke und die mittlere zu einer Zwischenstrecke zusammenfasst und dann noch die rechte hinzunimmt, oder umgekehrt. Die Multiplikation ist auf der Zahlengeraden schon schwieriger zu erklären. Das Produkt von zwei Stecken hat als Flächeninhalt des durch die beiden Strecken definierten Rechtecks eine natürliche Interpretation; diesen Vorgang in sinnvoller Weise auf eine gerade zu zwingen ist aber nicht trivial. Man erreicht dies, indem man eine beliebige Streckenlänge als Einheitsstrecke auszeichnet und zu einem beliebigen Rechteck das flächengleiche Rechteck findet, dessen eine Seitenlänge die Einheitstrecke ist. Die andere Seitenlänge repräsentiert dann den Flächeninhalt und dadurch das Produkt. Lässt sich dieser Übergang auf der Geraden direkt durchführen? {{ inputbild |Regular quadrilateral|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Regular_quadrilateral |Autor= |Benutzer=Gustavb |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geometri rektangel|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geometri_rektangel |Autor= |Benutzer=Anp |Domäne=sv Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Zunächst muss man auf der Geraden einen vom Nullpunkt verschiedenen Punkt als {{math|term= 1 |SZ=}} auszeichnen, um eine Definition der Multiplikation zu ermöglichen. Die Gerade ist also von nun an mit zwei Punkten {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} markiert. Die Markierung der Geraden mit einer {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Vielfachen und Teilern davon| |SZ= }} erleichtert das Messen, da es erlaubt, die Messergebnisse auch durch Zahlen zu repräsentieren {{ Zusatz/Klammer |text=die einfacher zu transportieren sind als die Messlatten| |SZ=. }} Der Zahlenwert eines Punktes hängt von der gewählten {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Einheit| |SZ= }} ab. Das Multiplizieren von Punkten auf der Zahlengeraden wird geometrisch über eine Ebenenkonstruktion definiert, und zwar wird eine Hilfsgerade durch den Nullpunkt gezeichnet, auf der die {{math|term= 1 |SZ=}} und einer der Faktoren, sagen wir {{math|term= y |SZ=}} übertragen werden. Dann verbindet man {{ mathkor|term1= 1' |und|term2= x |SZ= }} durch eine Gerade und zieht dazu die parallele Gerade durch {{math|term= y'|SZ=.}} Deren Schnittpunkt mit der Startgeraden ist dann {{mathl|term= z=xy|SZ=!}} {{ inputbild |Produit constructible|png| 300px {{!}} {{!}} |Zusname=Produit_constructible |Autor=HB |Benutzer= |Domäne=fr Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Dies beruht auf dem {{Stichwort|Strahlensatz|SZ=,}} die Streckenverhältnisse im Dreieck sind nämlich {{mathl|term= \frac{y}{1} = \frac{y'}{1'} = \frac{z}{x} |SZ=,}} woraus {{mathl|term= z=xy|SZ=}} folgt. Bei dieser geometrische Definition der Multiplikation ist es keineswegs sofort klar, dass sie kommutativ, assoziativ ist und dass das Distributivgesetz gilt. Für letztere müsste man zwei recht verschiedene komplizierte Konstruktionen zeichnen und mit elementar-geometrischen Mitteln nachweisen, dass sie zum gleichen Ergebnis führen. Wir halten fest. Vorteile der geometrischen Sichtweise: unmittelbare Anschauung, die Relation {{math|term= \geq|SZ=}} und die Addition haben eine unmittelbare Bedeutung, und auch der Multiplikation liegt eine überschaubare geometrische Konstruktion zugrunde. Nachteile: {{ Auflistung5 |Die Anschauung ist kein Beweismittel. |Die Anschauung beruht auf Vorstellungen, und es ist nie wirklich klar, ob diese bei verschiedenen Menschen deckungsgleich sind. |Multiplikation und Division erfordern den Übergang zur Ebene, und in dieser kann man letztlich nur exakt über Koordinaten argumentieren, was ein arithmetisches Verständnis der reellen Zahlen selbst voraussetzt. |Es ist schwierig, Gesetzmäßigkeiten wie das Distributivgesetz zu begründen. |Ein geometrischer Punkt hat eine geringe Abstraktionskraft; eine geometrische Konstruktion hängt immer stark von der genauen Ausgangskonfiguration ab, und es ist schwierig, mögliche Ausnahmefälle zu erfassen, wenn beispielsweise zwei konstruierte Geraden parallel werden und Ähnliches. }} {{Zwischenüberschrift|Reelle Zahlen als Ziffernfolgen im Dezimalsystem}} Ansatz: Man fasst die reellen Zahlen auf als die Menge aller Ziffernfolgen im Dezimalsystem, wobei vor dem Komma ein Vorzeichen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ mathkor|term1= + |oder|term2= - |SZ= }}| |SZ= }} eine endliche Folge steht und danach eine eventuell unendliche Folge. Zahlen sind dann zum Beispiel {{ Math/display|term= -31{,}025 ,\, \, \, +4{,}787878\dotso, \,\, \, +5{,}28642956628548120955323549862365\dotso |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bei der zweiten Zahl vermutet man eine periodische Ziffernfolge, bei der dritten Zahl ist aber keine Gesetzmäßigkeit erkennbar, sodass sie nicht wirklich exakt bestimmt ist| |SZ=. }} Die Vergleichsrelation und die Rechenoperationen werden dann durch arithmetische Manipulationen an den Ziffernfolgen erklärt, nämlich so, wie man eben schriftlich addiert, multipliziert, dividiert. Vorteile: {{ Auflistung3 |Die einzelnen Zahlen haben stets eine konkrete Benennung. |Es ist einfach, ein Gefühl für die Nachbarschaft von Zahlen und ihre Größenverhältnisse zu entwickeln. |Man kann einfach {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest approximative| |SZ= }} Ergebnisse für die Rechenoperationen ausrechnen. }} Nachteile: {{ Auflistung6 |Man hat zunächst ein grundsätzliches Uneindeutigkeitsproblem, die Ziffernfolge {{mathl|term= 1=1{,}00000\dotso|SZ=}} und die Ziffernfolge {{mathl|term= 0{,}9999\dotso|SZ=}} sind als Ziffernfolgen verschieden, sie sollten aber doch die gleiche reelle Zahl bezeichnen, da ihre Differenz null ist. |Die Rechenregeln sind wieder schwierig nachzuweisen. |Es ist unklar, was {{Anführung|alle}} Ziffernfolgen sein sollen: sind es nur die beschreibbaren, für die es also eine {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig komplizierte| |SZ= }} Vorschrift gibt, wie die Ziffern aussehen, oder sind es überhaupt alle? |Inwiefern muss man die Ziffernfolgen von Zahlen wie {{mathl|term= \sqrt{2}, \pi, e |SZ=}} kennen, um sie als Zahlen anzuerkennen. Ist {{math|term= \sqrt{2} |SZ=}} erst dann eine reelle Zahl, wenn man einen Algorithmus angeben kann, der die zugehörige Ziffernfolge beschreiben kann? |Wie ist bei unterschiedlichen Ziffersystemen der Übergang definiert? |Eine konkret gegebene Zahl ist eine Ziffernfolge und besitzt somit eine unendliche Bezeichnung, damit kann man kaum ökonomisch arbeiten.}} {{Zwischenüberschrift|Der axiomatische Zugang}} {{ inputbild |Bolzano bernard|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Bolzano_bernard |Text=[[w:Bernard Bolzano|Bernard Bolzano (1781 - 1848)]] |Autor= |Benutzer=Pertus |Domäne=cs.wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Augustin Louis Cauchy|JPG| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Augustin_Louis_Cauchy |Text=[[w:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy (1789-1857)]] |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Dedekind|jpeg| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Dedekind |Text=[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind (1831-1916)]] |Autor=unbekannt |Benutzer=Jean-Luc W |Domäne=fr. Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im axiomatischen Zugang werden die Gesetzmäßigkeiten, die die Gesamtheit der reellen Zahlen erfüllen sollen, in den Mittelpunkt gestellt. Wichtig ist weniger die Repräsentierung einer einzelnen reellen Zahl, als vielmehr die Eigenschaften der Gesamtmenge. Als Eigenschaften wählt man dabei vor allem solche Eigenschaften, die einerseits einfach zu formulieren sind und andererseits starke Folgerungen erlauben. Diese Eigenschaften nennt man {{Stichwort|Axiome|msw=Axiom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=es gibt grundsätzlich zwei Arten von Axiomensystemen, die sich nicht logisch oder ontologisch unterscheiden, wohl aber von der Motivation her; es gibt nämlich, wie im Beispiel der reellen Zahlen, solche Axiomensysteme, die ein präaxiomatisch gegebenes mathematisches Objekt axiomatisieren wollen, und solche, die das nicht wollen. Im ersten Fall kann es ein gewisses Spannungsverhältnis zwischen den Axiomen und den intendierten Vorstellungen geben, im zweiten Fall nicht, im ersten Fall können Axiome richtig oder falsch sein, im zweiten Fall nicht. Aus Bequemlichkeit stellt sich die Mathematik meist einfach auf den zweiten Standpunkt, d.h. sie sagt, es ist uns egal, ob unser Axiomensystem der reellen Zahlen etwas mit deiner Vorstellung von reellen Zahlen zu tun hat| |SZ=. }} Vorteile: {{ Auflistung5 |Die reellen Zahlen werden dadurch auf eine mengentheoretisch-logische Grundlage gestellt, man muss sich nicht auf die Anschauung stützen. |Sie werden durch einige wenige Gesetzmäßigkeiten, die für sie typisch sind, charakterisiert. |Man weiß jederzeit, welche Argumentation, um eine Eigenschaft nachzuweisen, erlaubt ist und welche nicht, erlaubt ist nämlich nur das logische Erschließen der Eigenschaft aus den Axiomen heraus. |Viele Aussagen, die man aus Axiomen ableiten kann, benötigen gar nicht das volle Axiomensystem, sondern nur Teile davon. Man kann daher die Axiome gruppieren, und wenn man aus einer bestimmten Axiomengruppe eine Aussage ableiten kann, so gilt diese auch für alle mathematischen Gebilde, die diese Axiomengruppe erfüllen. |Die Vorteile der anderen Zugänge bleiben auf der Modellebene erhalten. Beispielsweise ist es dann ein Satz, dass jede reelle Zahl sich in eine Ziffernfolge entwickeln lässt. }} Nachteile: {{ Auflistung2 |Man braucht einen Existenznachweis, dass es eine solche Menge mit den intendierten Eigenschaften wirklich gibt und dass sie {{Anführung|im Wesentlichen}} eindeutig ist. |Man muss eine Zielvorstellung haben, welche Eigenschaften gelten und ableitbar sein sollen und welche nicht, d.h. man braucht schon eine gewisse Vorstellung von den reellen Zahlen. Es gibt nie eine letzte Sicherheit, ob das axiomatisch fixierte Gebilde dasjenige ist, das wir intendiert haben {{ Zusatz/Klammer |text=zugleich wird bei der Axiomatisierung deutlich, dass unsere Vorstellung weit weniger exakt sind, als zunächst gedacht| |SZ=. }} Die Vorstellung von anschaulicher Kontinuität und einer axiomatischen Fassung dafür sind grundsätzlich nicht deckungsgleich. }} Alles in allem herrscht im Umgang mit den reellen Zahlen der zweite Gesichtspunkt vor, ohne dass genau festgelegt würde, welche Ziffernfolgen erlaubt sind und welche nicht. Dies reicht auch für viele praktische Zwecke aus, wo man Zahlen im Allgemeinen nur hinreichend gut approximieren muss. Der Standpunkt der Mathematik ist aber der axiomatische Zugang, und zwar nicht nur hinsichtlich der reellen Zahlen, sondern hinsichtlich mathematischer Objekte überhaupt. In der Mathematik interessiert man sich also für Axiome und was man aus ihnen beweisen kann. Dadurch kann die gesamte Mathematik auf eine sehr übersichtliche und überzeugende Menge von logischen und mengentheoretischen Prinzipien gestellt werden. Die axiomatische Methode geht auf Euklid zurück und etablierte sich erneut im Laufe des neunzehnten Jahrhunderts, an dessen Ende auch die Mengenlehre von Georg Cantor eingeführt wurde {{ Zusatz/Klammer |text=die selbst nicht ohne Probleme war| |SZ=. }} Die Entwicklung der Axiomatik für die reellen Zahlen war ein schwieriger Prozess, insbesondere war und ist es nicht trivial, eine exakte Formulierung für die Eigenschaft zu finden, die man intuitiv mit {{Anführung|kontinuierlich}} oder {{Anführung|lückenfrei}} fasst, Die Antwort, was eine reelle Zahl ist, wie sie seit dem neunzehnten Jahrhundert gegeben wird, ist auch auf den ersten Blick keineswegs erhellend: {{Einrückung|Eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen von rationalen Zahlen.|SZ=.}} Wenn man den zähen geschichtlichen Prozess betrachtet, der zu diesem letztlich überzeugenden Begriff geführt hat, so überrascht es nicht, wenn Studienanfänger mit diesem Begriff Schwierigkeiten haben. Da hilft aber alles nichts, an diese Abstraktion muss man sich gewöhnen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2uz4c82s4niqr1z61n7hj8ebpjqilds 0 26680 1092131 1074549 2026-06-01T12:57:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092131 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Folgen in einem angeordneten Körper}} Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. {{ inputbeispiel |Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/Angeordneter Körper/Beispiel|ref1=ref1.1| }} Allgemein ergibt sich das folgende Heron-Verfahren. {{ inputbeispiel |Wurzelziehen/Heronverfahren/Angeordneter Körper/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Das eben beschriebene Verfahren liefert also zu jeder natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} ein Element in {{math|term= K |SZ=,}} das eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, sodass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz. {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Folge/Definition|Folge| }} Eine Folge wird zumeist als {{math|term= {{Folge|}} |SZ=,}} oder einfach nur kurz als {{math|term= (x_n)_n |SZ=}} geschrieben. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen {{math|term= \geq N |SZ=.}} Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen. Grundsätzlich gibt es Folgen in jeder Menge {{ Zusatz/Klammer |text=nicht nur in einem angeordneten Körper| |SZ=, }} für die meisten Eigenschaften, für die man sich im Kontext von Folgen interessiert, braucht man aber eine zusätzliche topologische Struktur, wie sie in einem angeordneten Körper existiert. Dies gilt insbesondere für den folgenden Begriff. {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|Konvergenz| }} Man sollte sich dabei das vorgegebene {{math|term= \epsilon|SZ=}} als eine kleine, aber positive Zahl vorstellen, die eine gewünschte {{Stichwort|Zielgenauigkeit|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder erlaubten Fehler| |ISZ=|ESZ= }} ausdrückt. Die natürliche Zahl {{math|term= n_0 |SZ=}} ist dann die {{Stichwort|Aufwandszahl|SZ=,}} die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar stabil zu erreichen, dass alle folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner die Zielgenauigkeit, also je besser die Approximation sein sollen, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand. Zu einem {{mathl|term= \epsilon >0 |SZ=}} und {{mathl|term= x \in K |SZ=}} nennt man das Intervall {{mathl|term= ]x- \epsilon, x + \epsilon[|SZ=}} auch die {{math|term= \epsilon|SZ=-}}{{Stichwort|Umgebung|SZ=}} von {{math|term= x |SZ=.}} Eine Folge, die gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert, heißt {{Stichwort|Nullfolge|SZ=.}} {{ inputbild |Konvergenz|svg| 400px {{!}} {{!}} Bildkommentar |Autor= |Benutzer=Matthias Vogelgesang |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbild |Cauchy sequence - example|png| 300px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Cauchy_sequence_-_example |Autor= |Benutzer=Pred |Domäne=da.wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Archimedisch angeordneter Körper/Konvergente Standardfolgen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kftp41tburkws10afw01sxyvi8t916g 0 27329 1092219 1074598 2026-06-01T13:11:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092219 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Die natürliche Zahl {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} ist dabei nach {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Endliche Menge/Anfangsmengen von N/Bijektiv/Aufgabe |SZ= }} eindeutig bestimmt und heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}} | |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Anzahl|M}} |SZ=}} oder mit {{mathl|term= {{op:Betrag|M}} |SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \}|M || |SZ= }} kann man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=}} nennen. Eine Menge besitzt also {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Abbildung/display |name= |M|N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} für kein {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbild |TooManyPigeons|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=McKay |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die vorstehende Aussage heißt {{Stichwort|Schubfachprinzip|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Taubenschlagprinzip|SZ=}}| |SZ=. }} Es besagt, dass wenn man {{math|term= m |SZ=}} Tauben auf {{math|term= n |SZ=}} Plätze verteilt mit {{ Relationskette |m |>|n || || || |SZ=, }} dass dann in mindestens einem Platz mindestens zwei Tauben landen. {{ inputfaktbeweis{{{opt1|}}} |Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma|| |ref1=|zusatz1=&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text=hier geht auch {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Endliche Menge/Surjektives Bild/Aufgabe |SZ= }} ein| |SZ= }}| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5g0n1yngvp1phiujq0n6p7c4srfn3z5 0 27965 1092569 1019757 2026-06-01T14:08:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092569 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Tupel}} In der Definition einer Abbildung sind die Definitionsmenge und die Wertemenge grundsätzlich gleichwichtig. Dennoch gibt es Situationen, wo mal das Hauptgewicht auf der einen oder der anderen Menge liegt. Der allgemeine Abbildungsbegriff deckt eben auch Situationen ab, bei denen man zunächst gar nicht unbedingt an Abbildungen denkt. Betrachten wir beispielsweise die Potenzmenge einer Menge {{math|term= M |SZ=.}} Jede Teilmenge von {{math|term= M |SZ=}} kann man mit einer Abbildung von {{math|term= M |SZ=}} in die zweielementige Menge {{mathl|term= \{0,1\} |SZ=}} identifizieren, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Potenzmenge/Indikatorfunktion/Bijektion/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Hier ist also die Wertemenge extrem einfach und die Abbildung repräsentiert an jeder Stelle eine Ja/Nein-Entscheidung. Andererseits kann man {{ Zusatz/Klammer |text=geordnete| |SZ= }} Paare {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} also Elemente aus der Produktmenge {{mathl|term= M \times M |SZ=,}} als eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |\{1,2\}|M || |SZ= }} ansehen, mit {{ mathkor|term1= f(1)=x |und|term2= f(2)=y |SZ=. }} Hier identifiziert man also die Abbildung mit der geordneten Aufzählung der Werte. In einer solchen Situation bezeichnet man die Abbildung häufig mit einem Symbol, das sich an den Bezeichnungen für die Elemente aus {{math|term= M |SZ=}} anlehnt. Wenn man beispielsweise die Elemente aus {{math|term= M |SZ=}} mit {{math|term= x |SZ=}} bezeichnet, so schreibt man für ein Paar häufig {{ Relationskette/display | x || (x_1,x_2) || || || |SZ= }} In der Sprache der Abbildungen ist dabei {{math|term= x_i |SZ=}} der Wert der Abbildung {{math|term= x |SZ=}} an der Stelle {{math|term= i |SZ=.}} Die Schreibweise {{math|term= x_i |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{math|term= x(i) |SZ=}} | |SZ= }} suggeriert, dass das Hauptgewicht darauf liegt, was in der Wertemenge {{math|term= M |SZ=}} passiert, und nicht in der Definitionsmenge. {{ inputdefinition |Menge/I-Tupel und n-Tupel/Definition|| }} Die Menge {{math|term= I |SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang auch {{Stichwort|Indexmenge|SZ=,}} ein Element aus der Indexmenge heißt {{Stichwort|Index|SZ=.}} Bei einem {{math|term= I |SZ=-}}Tupel {{math|term= x |SZ=}} sind die Elemente durch die Indices indiziert. Zu {{ Relationskette | i |\in| I || || || |SZ= }} heißt {{math|term= x_i |SZ=}} die {{math|term= i |SZ=-}}te {{Stichwort|Komponente|SZ=}} des Tupels. Ein {{math|term= n |SZ=-}}Tupel schreibt man meist als {{Math/display|term= (x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n) |SZ=.}} Bei einer zweielementigen Indexmenge spricht man von einem {{Stichwort|Paar|SZ=,}} bei einer dreielementigen Menge von einem {{Stichwort|Tripel|SZ=.}} Die Menge aller {{math|term= I |SZ=-}}Tupel wird mit {{ Relationskette/display | M^I || \{f:I \rightarrow M\} || {{op:Abbildungsmenge|I|M}} || || |SZ= }} bezeichnet. Bei {{mathl|term= I=\{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} schreibt man auch {{ Math/display|term= M^n = M^{ \{1 {{kommadots|}} n\} } = \underbrace{M {{timesdots|}} M}_{n\text{-mal} } |SZ=. }} Die reelle Ebene {{math|term= \R^2 |SZ=}} ist also nichts anderes als die Menge der Zweitupel von reellen Zahlen, der reelle Raum {{math|term= \R^3 |SZ=}} besteht aus allen reellen Tripeln. Bei {{mathl|term= I=\N|SZ=}} spricht man von {{Stichwort|Folgen|msw=Folge|SZ=}} in {{math|term= M |SZ=,}} worauf wir in aller Ausführlichkeit noch eingehen werden. Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} ersetzen {{ Zusatz/Klammer |text=diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen| |ESZ=, }} doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge {{mathl|term= I= \{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen {{mathl|term= J \subseteq I |SZ=}} interessiert, so ist es natürlich, die von {{math|term= I |SZ=}} ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt {{math|term= J |SZ=}} mit einer neuen Nummerierung {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} m\} |SZ=}} zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem {{Anführung|natürliche|SZ=}} Indexmengen, die {{ Zusatz/Klammer |text=allein schon mnemotechnisch| |SZ= }} einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln. Eine lineare Abbildung vom {{math|term= \R^n |SZ=}} in den {{math|term= \R^m |SZ=}} wird z.B. durch eine Matrix mit {{math|term= m |SZ=}} Zeilen und {{math|term= n |SZ=}} Spalten beschrieben, also insgesamt mit {{math|term= mn|SZ=}} Einträgen. Diese Matrixeinträge indiziert man am einfachsten mit einem {{Stichwort|Doppelindex|SZ=}} {{ Math/display|term= a_{ij} |SZ=, }} wobei der eine Index für den {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} und der andere für den {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} steht. Durch eine solche natürliche Bezeichnung ist stets der Bezug klar, und dieser würde völlig verloren gehen, wenn man eine neue Indexmenge der Form {{mathl|term= \{1,2 {{kommadots|}} mn\} |SZ=}} einführen würde. {{Zwischenüberschrift|Familien von Mengen}} Es können nicht nur Elemente, sondern auch Mengen durch eine Indexmenge indiziert werden. Dann spricht man von einer Mengenfamilie. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Indizierte Familie von Mengen/Definition|| }} Dabei können die Mengen völlig unabhängig voneinander sein, es kann aber auch sein, dass sie alle Teilmengen einer bestimmten Grundmenge sind. {{ inputdefinition |Mengenfamilien/Durchschnitt und Vereinigung/Definition|| }} Man beachte, dass dabei der Durchschnitt und die Vereinigung auf den All- bzw. den Existenzquantor zurückgeführt wird. {{ inputdefinition |Produktmenge/Beliebig/Definition|| }} Sobald eine der beteiligten Mengen {{math|term= M_i |SZ=}} leer ist, ist auch das Produkt leer, da es dann für die {{math|term= i |SZ=-}}te Komponente keinen möglichen Wert gibt. Wenn aber umgekehrt alle Mengen {{math|term= M_i |SZ=}} nicht leer sind, so ist auch ihr Produkt nicht leer, da man für jeden Index {{math|term= i |SZ=}} dann ein Element {{mathl|term= x_i \in M_i |SZ=}} wählen kann. Bei einem formalen axiomatischen Aufbau der Mengentheorie muss man übrigens fordern, dass dieses Wählen möglich ist. Dies ist der Inhalt des {{Stichwort|Auswahlaxioms|msw=Auswahlaxiom|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Natürliche Zahlen ab n/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Vielfache von n/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Intervallschachtelung/Beispiel|| zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Die reellen Zahlen werden wir später axiomatisch einführen, Intervallschachtelungen repräsentieren ein wichtiges Existenzprinzip für reelle Zahlen.| |SZ= }} }} {{ inputbeispiel |Indizierte Mengenfamilie/Sukzessive Potenzmengen/Beispiel|| zusatz1= {{ Zusatz/Fußnote |text=Es wird also eine Definition unter Bezug auf einen Vorgänger gemacht|ISZ=. |ESZ= }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Mengentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Tupel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} <noinclude><references/></noinclude> pkvup9soc4wvj4d288jfaccyuad2kye 0 30055 1092148 1018737 2026-06-01T13:00:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092148 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man kann diese Aussage auch so auffassen: Zu den beiden Basen gehören die bijektiven linearen Abbildungen {{ Math/display|term= \psi_{ {{basis|v}}} :K^n \longrightarrow V \text{ und } \psi_{ {{basis|u}}} :K^n \longrightarrow V |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die jeweils die Standardvektoren auf die Basisvektoren schicken| |ISZ=|ESZ=. }} Dann ist {{ Abbildung/display |name= ( \psi_{ {{basis|u}}})^{-1} \circ \psi_{ {{basis|v}}} |K^n |K^n || |SZ= }} ebenfalls eine bijektive lineare Abbildung, und diese wird bezüglich der Standardbasis durch {{math|term= {{op:Übergangsmatrix|v|u}} |SZ=}} beschrieben. Die Matrix, die den Basiswechsel beschreibt, nennt man auch die {{Stichwort|Übergangsmatrix|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt|Korollar|| |ref1={{{ref3.1|}}}|| }} Es ist ein wichtiger Aspekt, zu einer gegebenen linearen Abbildung eines Vektorraumes in sich selbst eine Basis zu finden, bezüglich der die beschreibende Matrix {{Anführung|möglichst einfach|}} wird. Dieses Problem ist äquivalent damit, zu einer quadratischen Matrix {{math|term= M |SZ=}} eine invertierbare Matrix {{math|term= A |SZ=}} zu finden derart, dass {{mathl|term= AMA^{-1} |SZ=}} möglichst einfach ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Basen von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ak1kykignmiovsdtjimz6m17f4gbgaq 0 30506 1092175 1074569 2026-06-01T13:04:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092175 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Eine Variable/Definition|| }} Ein Polynom {{ Relationskette/display |P || {{polynomX|n|a|i}} || {{polynomX/dots|n|a}} || || |SZ= }} ist formal gesehen nichts anderes als das Tupel {{mathl|term= (a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n ) |SZ=,}} die die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms heißen. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Der Körper {{math|term= K |SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Grundkörper|SZ=}} des Polynomrings. Aufgrund der komponentenweisen Definition der Addition liegt unmittelbar eine Gruppe vor, mit dem {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei dem alle Koeffizienten {{math|term= 0 |SZ=}} sind| |SZ= }} als neutralem Element. Die Polynome mit {{ Relationskette/display |a_i || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |i |\geq|1 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term= a_0 |SZ=.}} Die für ein einfaches Tupel zunächst ungewöhnliche Schreibweise deutet in suggestiver Weise an, wie die Multiplikation aussehen soll, das Produkt {{mathl|term= X^{n} \cdot X^{m} |SZ=}} ist nämlich durch die Addition der Exponenten gegeben. Dabei nennt man {{math|term= X |SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Für beliebige Polynome ergibt sich die Multiplikation aus dieser einfachen Multiplikationsbedingung durch distributive Fortsetzung gemäß der Vorschrift, {{Anführung|alles mit allem}} zu multiplizieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben: {{ Math/display|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Die Multiplikation ist assoziativ, kommutativ, distributiv und besitzt das konstante Polynom {{math|term= 1 |SZ=}} als neutrales Element, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Polynomring/1/Multiplikationseigenschaften/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputbild |Polynomialdeg5|svg|250px {{!}} thumb {{!}} | |Text=Der Graph einer Polynomfunktion von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R |SZ=}} vom Grad {{math|term= 5 |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In ein Polynom {{ Relationskette |P |\in|K[X] || || || |SZ= }} kann man ein Element {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} {{Stichwort|einsetzen|SZ=,}} indem man die Variable {{math|term= X |SZ=}} an jeder Stelle durch {{math|term= a |SZ=}} ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name= |K|K |a|P(a) |SZ=, }} die die durch das Polynom definierte {{Stichwort|Polynomfunktion|SZ=}} heißt. {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient {{math|term= a_n |SZ=,}} der zum Grad {{math|term= n |SZ=}} des Polynoms gehört, heißt {{Stichwort|Leitkoeffizient|SZ=}} des Polynoms. Der Ausdruck {{mathl|term= a_nX^n |SZ=}} heißt {{Stichwort|Leitterm|SZ=.}} {{{zusatz2|}}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring_über_Körper/Eine_Variable/Division_mit_Rest/Fakt|Satz|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Linearer Faktor/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ju1013tjg8h369q70pqlgkp2ftv5r9p 0 31231 1092557 1074753 2026-06-01T14:06:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092557 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Stetigkeit/R und C/Negation und Invertierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Stetigkeit/R und C/Addition und Multiplikation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Stetigkeit/K/Metrischer Raum/Funktionen und Produktraum/Fakt|Lemma|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Stetigkeit/R und C/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomfunktion/R oder C/Stetig/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbild |RationalDegree2byXedi|gif| 250px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Text=Rationale Funktionen sind auf ihrer Definitionsmenge stetig. |Autor= |Benutzer=Sam Derbyshire |Domäne=en. Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Rationale Funktion/R oder C/Stetig/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Euklidischer Raum/Lineare Abbildung/Stetig/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen zwischen metrischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l4kr2t7jeubiu4urxj9i8vycsle0074 0 32021 1092438 1052380 2026-06-01T13:47:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092438 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Zahl {{math|term= \pi|SZ=}} ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius {{math|term= 1 |SZ=.}} Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Länge von {{Anführung|krummen Kurven}}| |ISZ=|ESZ= }} entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl {{math|term= \pi|SZ=}} über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Einheitskreis/Integral von Wurzel 1-x^2/Beispiel |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Einheitskreis/Als Graph/Bogenlänge/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt|Lemma||opt1={{{opt1|}}} |ref1=|| }} {{ inputbild |Pi pie2|jpg| 230px {{!}} thumb{{!}} |Zusname= |Text=Eine rationale Approximation der Zahl {{math|term= \pi|SZ=}} auf einem {{math|term= \pi|SZ=-}}Pie. |Autor=Pi_pie2 |Benutzer=GJ |Domäne=engl. Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Pi/Reelle Kosinusfunktion/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der Zahl pi |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Zahl pi |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m7ca9cipgwdqear4ut27ajk5qcaz9tb 6 32204 1092784 1081079 2026-06-01T17:45:33Z Ralf Roletschek 2938 LA abgelehnt 1092784 wikitext text/x-wiki Logoentwurf von Ruprecht Ahrens für die B2 Fahrschule. {{LogoSH}} twdpjxhzf0aevckgd6vf6v7tq94347z 6 32206 1092785 1081080 2026-06-01T17:45:53Z Ralf Roletschek 2938 LA abgelehnt 1092785 wikitext text/x-wiki Logoentwurf von Ruprecht Ahrens für die B2 Fahrschule. {{LogoSH}} twdpjxhzf0aevckgd6vf6v7tq94347z 6 32207 1092786 1081081 2026-06-01T17:46:07Z Ralf Roletschek 2938 LA abgelehnt 1092786 wikitext text/x-wiki Logoentwurf von Christian Stol für die B2 Fahrschule. {{LogoSH}} htbgyjo4czsk239yiobt1m9npjigwc0 0 32505 1092341 1074646 2026-06-01T13:30:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092341 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Exponentialreihe/Komplex/Definition|| }} Dies ist also die Reihe {{ Math/display|term= 1+z+ \frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24} + \frac{z^5}{120} + \frac{z^6}{720} + \frac{z^7}{5040} + \cdots |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Exponentialreihe/Komplex/Absolute Konvergenz/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die komplexe Exponentialfunktion definieren. {{ inputbild |Exp|svg| 250px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Text=Der Graph der reellen Exponentialfunktion |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Komplexe Exponentialfunktion/Definition|| }} {{{zusatz2|}}} {{{zusatz4|}}} {{ inputfaktbeweis |Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Exponentialreihe/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt|Korollar||zusatz1={{{zusatz1|}}}|zusatz={{{zusatz3|}}} |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hcr98xsrx9xx87k2dfi26czz7bz4mih 0 33534 1092587 1074765 2026-06-01T14:11:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092587 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Histogram example|svg| 250px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=Histogram_example |Text=Eine Treppenfunktion. Im statistischen Kontext spricht man von Histogrammen oder von Säulendiagrammen. |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Intervall/Reelle Funktion/Treppenfunktion/Definition|| }} Diese Definition stellt also keine Bedingung an den Wert der Funktion an den Unterteilungspunkten. Das Intervall {{mathl|term= ]a_{i-1},a_i[ |SZ=}} nennt man {{math|term= i |SZ=-}}tes Teilintervall, und {{mathl|term= a_i-a_{i-1} |SZ=}} heißt Länge dieses Teilintervalls. Wenn die Länge der Teilintervalle konstant ist, so spricht man von einer {{Stichwort|äquidistanten Unterteilung|msw=Äquidistante Unterteilung|SZ=.}} {{ inputdefinition |Beschränktes Intervall/Treppenfunktion/Treppenintegral/Definition|| }} Das Treppenintegral wird auch mit {{mathl|term= {{op:Integral|a|b|t|x}} |SZ=}} bezeichnet. Bei einer äquidistanten Unterteilung mit der Teilintervalllänge {{mathl|term= \frac{b-a}{n} |SZ=}} ist das Treppenintegral gleich {{mathl|term= \frac{b-a}{n} {{makl| \sum_{i {{=|}} 1}^n t_i |}} |SZ=.}} Das Treppenintegral ist nicht von der gewählten Unterteilung abhängig, bezüglich der eine Treppenfunktion vorliegt {{ Zusatz/Klammer |text=man kann also die Unterteilung verfeinern| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Intervall/Reelle Funktion/Obere und untere Treppenfunktion/Definition||zusatz1={{{zusatz31|}}} }} Eine obere {{ Zusatz/Klammer |text=untere| |ISZ=|ESZ= }} Treppenfunktion zu {{math|term= f |SZ=}} gibt es genau dann, wenn {{math|term= f |SZ=}} nach oben {{ Zusatz/Klammer |text=nach unten| |ISZ=|ESZ= }} beschränkt ist. {{ inputdefinition |Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Obersumme zu oberer Treppenfunktion/Definition|| }} {{ inputdefinition |Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Untersumme zu unterer Treppenfunktion/Definition|| }} Verschiedene obere {{ Zusatz/Klammer |text=untere| |ISZ=|ESZ= }} Treppenfunktionen liefern natürlich verschiedene obere {{ Zusatz/Klammer |text=und untere| |ISZ=|ESZ= }} Treppenintegralge.{{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Oberintegral als Infimum der Obersummen/Definition|| }} {{ inputdefinition |Beschränktes Intervall/Reelle Funktion/Unterintegral als Supremum der Untersummen/Definition|| }} Die Beschränkung nach unten stellt sicher, dass es überhaupt eine untere Treppenfunktion gibt und damit die Menge der unteren Treppenintegrale nicht leer ist. Unter dieser Bedingung allein muss nicht unbedingt die Menge der unteren Treppenintegrale ein Supremum besitzen. Für {{ Zusatz/Klammer |text=beidseitig| |ISZ=|ESZ= }} beschränkte Funktionen existiert hingegen stets das Ober- und das Unterintegral. Bei einer gegebenen Unterteilung gibt es eine kleinste obere {{ Zusatz/Klammer |text=größte untere| |ISZ=|ESZ= }} Treppenfunktion, die durch die Suprema {{ Zusatz/Klammer |text=Infima| |ISZ=|ESZ= }} der Funktion auf den Teilintervallen festgelegt ist. Bei stetigen Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen sind das Maxima bzw. Minima. Für das Integral muss man aber Treppenfunktionen zu sämtlichen Unterteilungen berücksichtigen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h71j2bnls6okz7f50lzuqggu0g77gu2 0 33565 1092293 1074628 2026-06-01T13:22:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092293 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemann integrierbar/Integralfunktion/Definition|| }} Man spricht auch von der {{Stichwort|Flächenfunktion|SZ=}} oder einem {{Stichwort|unbestimmten Integral|msw=Unbestimmtes Integral|SZ=.}} {{ inputbild |HauptsatzDerInfinitesimalrechnung-f grad5|gif| 350px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=HauptsatzDerInfinitesimalrechnung-f_grad5 |Text= Das {{math|term= x |SZ=}} im Satz ist das {{math|term= x_0 |SZ=}} in der Animation, und {{math|term= x+h |SZ=}} im Satz ist das wandernde {{math|term= x |SZ=}} in der Animation. Der wandernde Punkt {{math|term= z |SZ=}} in der Animation ist ein Punkt, wie er im Mittelwertsatz der Integralrechnung auftritt. |Autor=DerMathekernel |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Hauptsatz der Infinitesimalrechnung|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Hauptsatz der Infinitesimalrechnung/Riemann/Fakt|Satz||optkon1={{{optkon1|}}}|zusatz1={{{zusatz1|}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} icthyoscv9oylmy0gkfmv2twb2elkrn 0 33576 1092399 1074680 2026-06-01T13:40:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092399 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |MittelwertsatzDerIntegralrechnung-f grad5|png| 350px {{!}} right {{!}} | |Zusname=MittelwertsatzDerIntegralrechnung-f_grad5 |Autor=Der Mathekernel |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Zu einer {{ Definitionslink |Riemann-integrierbaren| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f |[a,b]|\R || |SZ= }} kann man {{ Math/display|term= {{op:Bruch| {{op:Integral|a|b}} | b-a|}} |SZ= }} als die Durchschnittshöhe der Funktion ansehen, da dieser Wert mit der Länge {{mathl|term= b-a |SZ=}} des Grundintervalls multipliziert den Flächeninhalt unterhalb des Graphen zu {{math|term= f |SZ=}} ergibt. Der {{Stichwort|Mittelwertsatz der Integralrechnung|SZ=}} besagt, dass für eine stetige Funktion dieser {{Stichwort|Durchschnittswert}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Mittelwert}}| |ISZ=|ESZ= }} von der Funktion auch angenommen wird. {{ inputfaktbeweis |Mittelwertsatz der Integralrechnung/Riemann/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Mittelwertsatz der Integralrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 17bas2kcww8teiuq4tvkt2vkss3io5u 0 33588 1092180 1074572 2026-06-01T13:05:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092180 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das uneigentliche Integral {{ Math/display|term= {{op:Integral|0|\infty|Integrand= t^x e^{-t} }} |SZ= }} existiert für {{mathl|term= x \in {{CC}} |SZ=}} mit Realteil {{mathl|term= {{op:Realteil|x|}} > -1 |SZ=.}} Dies ist der Ausgangspunkt der Fakultätsfunktion. {{ inputdefinition |Die Fakultätsfunktion/Komplex/Definition|| }} Die durch {{ Relationskette/display | \Gamma(x) | {{defeq}} | {{op:Fak|x-1|}} || {{op:Integral|0|\infty|Integrand= t^{x-1} e^{-t} }} || || |SZ= }} definierte Funktion heißt {{Stichwort|Gammafunktion|SZ=,}} mit der häufiger gearbeitet wird. Mit der Fakultätsfunktion werden aber die Formeln etwas schöner und insbesondere wird der Zusammenhang zur Fakultät noch deutlicher, der in der folgenden Aussage aufgezeigt wird. {{ inputbild |Factorial plot|png| 500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Factorial_plot |Autor=Mathacw |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Fakultätsfunktion/Komplex/Elementare Eigenschaften/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Fakultätsfunktion |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 308c3znasrfjuf4dy4ck9bonqgn7lwa 0 33615 1092593 1074768 2026-06-01T14:12:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092593 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Uneigentliches Integral/Randpunkt von Intervall/Definition|| }} {{ inputbild |Improper integral|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Improper_integral |Text=Die Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|(x+1) \sqrt{x} }} |SZ=,}} der blaue Flächeninhalt repräsentiert das (beidseitig) uneigentliche Integral. |Autor= |Benutzer=KSmrq |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Existenz dieses uneigentlichen Integrals hängt nicht vom gewählten Intervallpunkt {{ Relationskette |a |\in|I || || || |SZ= }} ab, wohl aber der Wert des uneigentlichen Integrals. Die inhaltliche Interpretation des uneigentlichen Integrals ist wiederum der Flächeninhalt unterhalb des Funktionsgraphen, aber erstreckt über ein nicht notwendigerweise kompaktes Intervall. Wenn für die Funktion {{math|term= f |SZ=}} eine Stammfunktion {{math|term= F |SZ=}} bekannt ist, so geht es um das Bestimmen des Grenzwertes {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes|x|r| {{op:Integral|a|x|f}} }} || {{op:Funktionslimes| x|r |F(x)-F(a)|}} || || || |SZ=. }} Die Frage, ob eine uneigentliches Integral existiert, ist nur relevant, wenn {{math|term= r |SZ=}} ein uneigentlicher Randpunkt {{math|term= + \infty |SZ=}} oder {{math|term= - \infty |SZ=}} ist oder wenn {{math|term= r |SZ=}} der eigentliche Randpunkt eines an dieser Stelle halboffenen Intervalls ist. {{ inputfaktbeweis |Uneigentliche Integrale/Majorantenkriterium für nichtnegative Funktionen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Uneigentliches Integral/0 bis 1/t^c/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/t^c/Beispiel|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Uneigentliches Integral/Beidseitig Randpunkt/Definition|| }} Die Existenz des beidseitig uneigentlichen Integrals hängt nicht von der Wahl des Punktes {{ Relationskette |a |\in|I || || || |SZ= }} ab. Darüber hinaus hängt der Wert dieses Integrals, falls es existiert, ebenso wenig von dem gewählten Punkt ab. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0clkdvicftlskf3h3u6i7pqbzdj4744 0 33651 1092190 1073481 2026-06-01T13:06:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092190 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition|| }} Die Ableitung ist selbst wieder ein Vektor in {{math|term= V |SZ=.}} Statt Ableitung spricht man auch vom {{Stichwort|Differentialquotienten|msw=Differentialquotient|SZ=}} in einem {{ Zusatz/Klammer |text=Zeit| |ISZ=|ESZ=- }}Punkt {{math|term= t |SZ=.}}{{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition|| }} Die Ableitung einer differenzierbaren Kurve ist damit selbst wieder eine Kurve. Wenn die Ableitung stetig ist, so nennt man die Kurve {{Stichwort|stetig differenzierbar|SZ=.}} Wenn die Ableitung selbst differenzierbar ist, so nennt man die Ableitung der Ableitung die zweite Ableitung der Ausgangskurve. Das folgende Lemma zeigt, dass dieser Differenzierbarkeitsbegriff nichts wesentlich neues ist, da er auf die Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen zurückgeführt werden kann. {{ inputfaktbeweis |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt|Lemma|| || }} {{{zusatz2|}}} {{ inputbeispiel |Differenzierbare Kurve/(t^2-t^3,t sin t, e^(-t))/Beispiel|| }} {{{zusatz3|}}} Bei der Formulierung von Rechenregeln für differenzierbare Wege {{ Zusatz/Klammer |text=und allgemeiner differenzierbare Abbildungen in höherer Dimension| |ISZ=|ESZ= }} muss man etwas vorsichtiger sein als in der eindimensionalen Situation und insbesondere sicherstellen, dass die Verknüpfungen zusammenpassen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Man kann natürlich zwei Abbildungen {{ Abbildung |name=f,g |I|V || |SZ= }} nicht miteinander multiplizieren, sodass in der obigen Produktregel eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Funktion auftreten. Ebenso muss die Kettenregel mit Bedacht formuliert werden. Später werden wir noch eine allgemeinere Kettenregel kennenlernen. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Kettenregel/Fakt|Lemma|| || }} In der vorstehenden Situation sollte man sich {{math|term= h |SZ=}} als eine Umparametrisierung der Zeit vorstellen. Die Bahn der Kurve bleibt erhalten, es ändert sich aber die Geschwindigkeit und eventuell die Orientierung, mit der die Bahn durchlaufen wird. Wenn {{ Abbildung |name=h |\R|\R |t|-t |SZ= }} die Negation ist, so wird die Kurve mit umgekehrter Zeit{{drucktrenn}}richtung durchlaufen. Die Aussage besagt in diesem Fall, dass die Ableitung der umgekehrten Kurve negiert werden muss. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Lineare Abbildung/Fakt|Lemma| |zusatz= |tipp= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ome7btdeku5ayklnqkvsagkyprjtig2 0 34037 1092257 982203 2026-06-01T13:17:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092257 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Definition|| }} {{ Zusatz/Klammer |text=Zeitabhängige| |ISZ=|ESZ= }} Vektorfelder und gewöhnliche Differentialgleichungssysteme sind im Wesentlichen äquivalente Objekte. Man spricht auch von einem {{Stichwort|dynamischen System|msw=Dynamisches System|SZ=.}} Von Differentialgleichungen spricht man insbesondere dann, wenn man sich für die Lösungen im Sinne der folgenden Definition interessiert. {{ inputdefinition |Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung/Definition|zusatz1={{{zusatz1|}}}| }} Eine Lösung ist also eine {{ Definitionslink |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. eine {{ Zusatz/Klammer |text=orts| |ISZ=-|ESZ= }}vektorwertige Abbildung {{ Abbildung/display |name=v |J|V |t|v(t) |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette |V || \R^n || || || |SZ= }} ist, so wird eine solche Abbildung durch ihre Komponenten {{ Math/display|term= (v_1(t) {{kommadots|}} v_n(t)) |SZ= }} beschrieben. Ebenso wird das Vektorfeld durch {{math|term= n |SZ=,}} von {{ mathkor|term1= t |und|term2= v=(v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ= }} abhängige Funktionen {{mathl|term= (f_1 {{kommadots|}} f_n) |SZ=}} beschrieben. Die Differentialgleichung lautet dann ausgeschrieben {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|v_1'|\vdots|v_n'|}} || {{op:Spaltenvektor|f_1(t,v_1 {{kommadots|}} v_n)|\vdots|f_n(t,v_1 {{kommadots|}} v_n)| }} || || || || |SZ=. }} Daher spricht man auch von einem {{Stichwort|Differentialgleichungssystem|SZ=.}} Häufig soll eine Kurve nicht nur eine Differentialgleichung erfüllen, sondern sich zusätzlich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort befinden. Dies führt zum Begriff des Anfangswertproblems. {{ inputdefinition |Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Anfangswertproblem/Definition|| }} {{ inputdefinition |Vektorfeld/Gewöhnliche Differentialgleichung/Lösung des Anfangswertproblems/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kqkvjcl2amrpzl9l1ui45o7jpk0dvu7 0 34067 1092371 1019296 2026-06-01T13:35:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092371 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Lineares Differentialgleichungssystem/Homogen/Definition|| }} Es handelt sich also um die Differentialgleichung zum {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |I \times \R^n |\R^n |(t,v)|f(t,v) {{=|}} (M(t))v {{=|}} {{op:Spaltenvektor|a_{11}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{1n}(t)v_n |\vdots|a_{n1}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{nn}(t)v_n }} |SZ=. }} Dieses Vektorfeld ist zu jedem fixierten Zeitpunkt {{ Relationskette |t |\in|I || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |{\R}^n |{\R}^n |v|M(t)v |SZ=. }} Ausgeschrieben liegt das Differentialgleichungssystem {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|v'_1 |\vdots|v'_n}} || {{op:Spaltenvektor|a_{11}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{1n}(t)v_n |\vdots|a_{n1}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{nn}(t)v_n }} || {{op:Matrix33|a_{11}(t) | \cdots | a_{1n}(t) |\vdots| \ddots |\vdots | a_{n1}(t) |\cdots | a_{nn}(t) }} {{op:Spaltenvektor|v_1 |\vdots|v_n}} || || |SZ= }} vor. Es gibt immer die Nulllösung, also die konstante Abbildung mit dem Nullvektor als Wert, diese nennt man auch die triviale Lösung. Für lineare Differentialgleichungssysteme gibt es wieder eine inhomogene Variante. {{ inputdefinition |Lineares Differentialgleichungssystem/Inhomogen/Definition|| }} Insgesamt liegt das Differentialgleichungssystem {{ Relationskette/align | {{op:Spaltenvektor|v'_1 |\vdots|v'_n}} || {{op:Spaltenvektor|a_{11}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{1n}(t)v_n +z_1(t)|\vdots|a_{n1}(t)v_1 {{plusdots|}} a_{nn}(t)v_n +z_n(t) }} || {{op:Matrix33|a_{11}(t) | \cdots | a_{1n}(t) |\vdots| \ddots |\vdots | a_{n1}(t) |\cdots | a_{nn}(t) }} {{op:Spaltenvektor|v_1 |\vdots|v_n}} + {{op:Spaltenvektor|z_1(t)|\vdots|z_n(t)}} || |SZ= }} vor. Die explizite Lösbarkeit eines solchen Systems hängt natürlich von der Kompliziertheit der beteiligten Funktionen {{ mathkor|term1= a_{ij} |und|term2= z_i |SZ= }} ab. In der folgenden Situation kann man das System auf einzelne eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichungen zurückführen und dadurch sukzessive lösen. {{ inputfaktbeweistrivial |Lineares Differentialgleichungssystem/Trigonalgestalt/Sukzessive Lösbarkeit/Fakt|Lemma|| || }} Die Lösungen eines solchen linearen Differentialgleichungssystems in oberer Dreiecksgestalt stehen also in Bijektion zu den Lösungen der {{math|term= n |SZ=}} linearen inhomogenen Differentialgleichungen in einer Ortsvariablen, wobei die Störfunktionen jeweils mit den anderen Lösungen in der beschriebenen Weise zusammenhängen. Insbesondere übertragen sich Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen. Auch wenn man ein homogenes System lösen möchte, so muss man in den Einzelschritten inhomogene Differentialgleichungen lösen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1wxp5y26ni8wf1a2hn188h4jq4wmu8u 0 34071 1092370 1019290 2026-06-01T13:35:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092370 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h. {{ Relationskette/display |v' ||Mv || || || |SZ= }} mit einer konstanten Matrix {{ Math/display|term= M= {{op:Matrixnn|a}} \text{ mit } a_{ij} \in {{KRC|}} |SZ=. }} Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein.{{{zusatz1|}}} Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|v'_1 |\vdots|v'_n}} || {{op:Spaltenvektor|a_{11}v_1 {{plusdots|}} a_{1n}v_n |\vdots|a_{n1}v_1 {{plusdots|}} a_{nn}v_n }} || || || |SZ= }} vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis dadrauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix {{math|term= M |SZ=}} eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen. {{ inputfaktbeweis |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt|Lemma|| || }} {{{zusatz2|}}} Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst. {{ inputfaktbeweis |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz3|}}} || }} {{ inputfaktbeweis |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt|Satz||bv={{{zusatz6|}}} || }} {{{zusatz4|}}} {{ inputfaktbeweis |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/R/Lösbarkeit/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Lösungsraum hat Dimension/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputdefinition |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Fundamentalsystem von Lösungen/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} myudggrvt1cqt7ru0yck13vy361jvoq 0 34153 1092508 1074739 2026-06-01T13:58:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092508 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Integral approximations|svg| 250px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=Integral_approximations |Text=Eine untere und eine obere Treppenfunktion. Der grüne Flächeninhalt ist eine Untersumme und der gelbe Flächeninhalt {{ Zusatz/Klammer |text=teilweise verdeckt| |ISZ=|ESZ= }} ist eine Obersumme. |Autor= |Benutzer=KSmrq |Domäne= |Lizenz=CC-vy-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann-integrierbar über Treppenfunktionen/Definition|| }} Historisch korrekter ist es, von {{Stichwort|Darboux-integrierbar|SZ=}} zu sprechen. {{ inputdefinition |Kompaktes Intervall/Riemann-integrierbar/Bestimmtes Integral/Definition|| }} Das Berechnen von solchen Integralen nennt man {{Stichwort|integrieren|SZ=.}} Man sollte sich keine allzu großen Gedanken über das Symbol {{math|term= dt|SZ=}} machen. Darin wird ausgedrückt, bezüglich welcher Variablen die Funktion zu integrieren ist. Es kommt dabei aber nicht auf den Namen der Variablen an, d.h. es ist {{ Relationskette/display | {{op:Integral|a|b|Integrand=f(t)||t}} || {{op:Integral|a|b|Integrand=f(x)||x}} || || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemann Integral/Treppenfunktionen mit gleichem Limes/Integral/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Riemann Integral/x^2 von 0 bis 1/Explizit über Treppenintegrale/Beispiel||optlink1={{{opt1|}}} }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Intervall/Reelle Funktion/Kompakte Teilintervalle/Riemann-integrierbar/Definition|| }} Aufgrund des obigen Lemmas stimmen für ein kompaktes Intervall {{mathl|term= [a,b] |SZ=}} die beiden Definitionen überein. Die Integrierbarkeit einer Funktion {{ Abbildung |name=f |\R|\R || |SZ= }} bedeutet nicht, dass {{mathl|term= \int_\R f(x) dx|SZ=}} eine Bedeutung hat bzw. existieren muss. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bh82k3zwur1nlvjffs9dnm1dgrez55i 0 34505 1092552 984040 2026-06-01T14:05:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092552 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Partielle Integration/Fakt|Satz| }} Bei der partiellen Integration sind insbesondere zwei Dinge zu beachten. Erstens liegt die zu integrierende Funktion im Allgemeinen nicht in der Form {{mathl|term= fg' |SZ=}} vor, sondern einfach als Produkt {{math|term= uv |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn kein Produkt vorliegt, so kommt man mit dieser Regel sowieso nicht weiter, wobei allerdings die triviale Produktzerlegung {{math|term= 1 u |SZ=}} manchmal helfen kann| |ISZ=|ESZ=. }} Dann muss man einen Faktor integrieren und den anderen differenzieren. Wenn {{math|term= V |SZ=}} eine Stammfunktion von {{math|term= v |SZ=}} ist, so lautet die Formel {{ Relationskette/display | \int uv || uV- \int u' V || || || |SZ=. }} Zweitens führt partielle Integration nur dann zum Ziel, wenn das Integral rechts, also {{mathl|term= {{op:Integral|a|b|Integrand=f'(t)g(t)||t}} |SZ=,}} integriert werden kann. {{ inputbeispiel |Stammfunktion/Logarithmus/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Integral/Potenzen von Sinus/Rekursion/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s382xtxi0tmi09y1oficpu0mqox00w8 0 34508 1092553 1074752 2026-06-01T14:06:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092553 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Stammfunktion/Umkehrfunktion/Fakt|Satz||optlink1={{{opt1|}}}|optlink2={{{opt2|}}} || }} {{ inputbild |FunktionUmkehrIntegralOhne|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text=Funktionsgraph mit Umkehrfunktion und Flächen zur Berechnung eines Integrals der Umkehrfunktion. |Autor=Jonathan Steinbuch |Benutzer=Jonathan.Steinbuch |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Diese Aussage besitzt einen einfachen geometrischen Hintergrund. Wenn {{ Abbildung |name= f | [a,b] | \R_+ || |SZ= }} eine streng wachsende stetige Funktion ist {{ Zusatz/Klammer |text=und daher eine Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= [a,b] |und|term2= [f(a),f(b)] |SZ= }} induziert| |ISZ=|ESZ=, }} so besteht zwischen den beteiligten Flächeninhalten der Zusammenhang {{ Relationskette/display | {{op:Integral|a|b|Integrand=f(s)||s}} + {{op:Integral|f(a)|f(b)|Integrand=f^{-1}(t)||t}} || bf(b)-a f(a) || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{op:Integral|f(a)|f(b)|Integrand=f^{-1}(t)||t}} || bf(b)-a f(a) - {{op:Integral|a|b|Integrand=f(s)||s}} || || || |SZ=. }} Für die Stammfunktion {{math|term= G |SZ=}} von {{mathl|term= f^{-1} |SZ=}} mit dem Startpunkt {{mathl|term= f(a) |SZ=}} gilt daher, wenn {{math|term= F |SZ=}} die Stammfunktion zu {{math|term= f |SZ=}} bezeichnet, die Beziehung {{ Relationskette/align/handlinks |G(y) || {{op:Integral|f(a)|y|Integrand=f^{-1}(t)||t}} || {{op:Integral|f(a)|f(f^{-1}(y))|Integrand=f^{-1}(t)||t}} || f^{-1}(y) f( f^{-1}(y))-a f(a) - {{op:Integral|a| f^{-1}(y)|Integrand=f(s)||s}} || y f^{-1}(y) - a f(a) - F(f^{-1}(y)) + F(a) || y f^{-1}(y) - F(f^{-1}(y)) - a f(a) + F(a) || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= - a f(a) + F(a) |SZ=}} eine Integrationskonstante ist. {{ inputbeispiel |Stammfunktion/Arctan/Über Umkehrfunktion/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m2potcg9l6xuymhcsqrrhy54h2g4gtz 0 36098 1092157 1074556 2026-06-01T13:01:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092157 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Bilinearform/Gramsche Matrix/Definition|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Bilinearform/Symmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinition |Bilinearform/Symmetrisch/Definitheit/Definition|| }} Positiv definite symmetrische Bilinearformen nennt man auch Skalarprodukte. Eine Bilinearform auf {{math|term= V |SZ=}} kann man auf einen Untervektorraum {{mathl|term= U \subseteq V |SZ=}} einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf {{math|term= U |SZ=}} ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition. {{ inputdefinition |Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Definition|| }} {{ inputbild |James Joseph Sylvester|jpg| 200px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=James_Joseph_Sylvester |Text=[[w:James Joseph Sylvester|James Joseph Sylvester (1814-1897)]] |Autor=nicht bekannt |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=Altes Photo }} Bei einem Skalarprodukt auf einem {{math|term= n |SZ=-}}dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ {{mathl|term= (n,0) |SZ=.}} Wie für Skalarprodukte nennt man zwei Vektoren {{mathl|term= v,w \in V |SZ=}} {{Stichwort|orthogonal|SZ=}} bezüglich einer Bilinearform, wenn {{mathl|term= {{op:Bilinearform|v|w}}=0 |SZ=}} ist, und ähnlich wie im Fall eines Skalarproduktes kann man zeigen, dass es Orthogonalbasen gibt. Die folgende Aussage nennt man den {{Stichwort|Trägheitssatz von Sylvester|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2h9rb2gncumgwx49ou8juqvaki0oalu 0 36185 1092507 1019623 2026-06-01T13:58:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092507 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem Vektor {{ Relationskette | {{{x|x}}} || ({{{x|x}}}_1 {{kommadots|}} {{{x|x}}}_n) |\in| \R^n || || || || |SZ= }} und einem Tupel {{ Relationskette | {{{r|r}}} || ({{{r|r}}}_1 {{kommadots|}} {{{r|r}}}_n) || || || || |SZ= }} aus natürlichen Zahlen setzt man abkürzend {{ Relationskette/display | {{{x|x}}}^{{{{r|r}}}} | {{defeq|}}| {{{x|x}}}_1^{ {{{r|r}}}_1} \cdots {{{x|x}}}_n^{ {{{r|r}}}_n} || || || |SZ=. }} Entsprechend schreibt man für eine Polynomfunktion abkürzend {{ Relationskette/display | f({{{x|x}}}_1 {{kommadots|}} {{{x|x}}}_n) || \sum_{( {{{r|r}}}_1 {{kommadots|}} {{{r|r}}}_n ) \in \N^n} a_{( {{{r|r}}}_1 {{kommadots|}} {{{r|r}}}_n )} {{{x|x}}}_1^{ {{{r|r}}}_1} {{{x|x}}}_2^{ {{{r|r}}}_2} \cdots {{{x|x}}}_n^{ {{{r|r}}}_n} || \sum_{ {{{r|r}}} \in \N^n} a_{ {{{r|r}}} } {{{x|x}}}^{ {{{r|r}}} } || || |SZ=. }} Die gleiche Abkürzungsphilosophie übernimmt man für Richtungsableitungen. Wenn {{math|term= V |SZ=}} ein {{math|term= \R |SZ=-}}Vektorraum mit einer Basis {{mathl|term= {{{w|w}}}_1 {{kommadots|}} {{{w|w}}}_n |SZ=}} ist, so setzt man {{ Relationskette | D_i |{{defeq}}| D_{ {{{w|w}}}_i } || || || |SZ=, }} und für {{ Relationskette | {{{r|r}}} || ({{{r|r}}}_1 {{kommadots|}} {{{r|r}}}_n) || || || |SZ= }} setzt man {{ Relationskette/display | D^{ {{{r|r}}} } | {{defeq|}} |D_1^{ {{{r|r}}}_1} \circ D_2^{ {{{r|r}}}_2} {{circdots|}} D_n^{ {{{r|r}}}_n} || || || |SZ=. }} Diese Bezeichnung verwendet man insbesondere im {{math|term= \R^n |SZ=,}} versehen mit der Standardbasis und den partiellen Ableitungen. Man beachte, dass man {{ Faktlink |Präwort=aufgrund des|Satzes von Schwarz|Faktseitenname= Differenzierbarkeit/Satz von Schwarz/Fakt |Nr= |SZ= }} unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen sämtliche Reihenfolgen von Richtungsableitungen in dieser Weise ausdrücken kann. Des weiteren definieren wir für ein Tupel {{ Relationskette | {{{r|r}}} || ({{{r|r}}}_1 {{kommadots|}} {{{r|r}}}_n) || || || |SZ= }} die {{Stichwort|Fakultät|SZ=}} durch {{ Relationskette/display | {{{r|r}}} ! | {{defeq|}}| {{{r|r}}}_1 ! \cdots {{{r|r}}}_n ! || || || || |SZ= }} und bei {{ Relationskette | \sum_{j {{=|}} 1}^n {{{r|r}}}_j || k || || || |SZ= }} die {{Stichwort|Multinomialkoeffizienten|msw=Multinomialkoeffizient|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Polynomialkoeffizienten|msw=Polynomialkoeffizient|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Relationskette/display | \binom{ {{{k|k}}} }{ {{{r|r}}} } | {{defeq|}} | {{op:Bruch| {{{k|k}}}!|{{{r|r}}}!}} || \frac{ {{{{k|k}}}}!}{ {{{r|r}}}_1! {{{r|r}}}_2! \cdots {{{r|r}}}_{{{{n|n}}}}!} || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (R) |Kategorie2=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9jxauwuei4jjku4xtql6ht1ooxmmzgh 0 36260 1092086 1074520 2026-06-01T12:49:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092086 wikitext text/x-wiki {{ inputbild |Hexahedron|svg| 150px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Text=... und ein [[w:Würfel|Würfel]]. Das sind die platonischen Körper. |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} <gallery> Image:Tetrahedron.svg|Ein [[w:Tetraeder|Tetraeder]] (eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten). Image:Octahedron.svg|Ein [[w:Oktaeder|Oktaeder]] (ein Achtflächner). Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|Ein [[w:Dodekaeder|Dodekaeder]], der hat zwölf Seiten. Image:Icosahedron.svg|Ein [[w:Ikosaeder|Ikosaeder]], mit 20 Seiten ... </gallery> {{Seitenüberschrift|Platonische Körper und platonische Liebe - Der Würfel und seine Gruppe}} {{ inputbild |Platon_altes_Museum2|jpg|200px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Text=[[w:Plato|Plato (427-347 v. C.)]] sagte: {{Anführung|die Bedeutung der Geometrie beruht nicht auf ihrem praktischen Nutzen, sondern darauf, daß sie ewige und unwandelbare Gegenstände untersucht und danach strebt, die Seele zur Wahrheit zu erheben}}. |Autor= |Benutzer=GunnarBach |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Fussball|jpg| 200px {{!}} left {{!}} thumb {{!}} | |Text=Ein Fußball ist kein regulärer Polyeder. Die Seiten sind Fünfecke und Sechsecke, jedenfalls, wenn man ihn aus Lederstücken zusammennäht. In Wahrheit ist der Ball {{ Zusatz/Klammer |text=als Kugel| |ISZ=|ESZ= }} natürlich rund {{ Zusatz/Klammer |text=wie schon [[w:Sepp Herberger|Sepp Herberger]] wußte| |ISZ=|ESZ=, }} und überhaupt nicht von ebenen Stücken berandet. |Autor= |Benutzer=Indech |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Schon dem griechischen Philosophen Platon gefielen solche räumliche Figuren, die durch ebene gleichförmige Seitenstücke begrenzt sind, die selbst wieder regelmäßige Vielecke sind. Man nennt diese Figuren {{Stichwort|reguläre Polyeder|msw=Regulärer Polyeder|SZ=}} bzw. {{Stichwort|platonische Körper|msw=Platonischer Körper|SZ=.}} Davon gibt es fünf Stück, die alle von Platon in seinem Dialog [[w:Timaios|Timaios]] beschrieben werden, nämlich den Tetraeder, den Würfel, den Oktaeder, den Dodekaeder und den Ikosaeder. Da Platon ein Philosoph war, kam er auf die etwas merkwürdige Idee, die fünf platonischen Körper mit den Elementen in Beziehung zu setzen, nämlich mit Feuer (Tetraeder), Wasser (Ikosaeder), Luft (Oktaeder), Erde (Würfel); dem Dodekaeder wurde schließlich das Weltall zugeordnet. {{Seitenüberschrift|Platons Ideenlehre}} {{ inputbild |Banquet_cup-bearer_Louvre G467|jpg| 250px {{!}} left {{!}} | thumb {{!}} |Text=Bei einem antiken Symposium lag man, trank, lauschte den Flötenspielerinnen und sprach auch über den ... |Autor= |Benutzer=Jastrow |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Simmler-Deotyma|jpg|200px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Text=Das Konzept der {{Anführung|platonischen Liebe|msw=Platonische Liebe}} wird in Platons Dialog [[W:Symposion (Platon)|Symposion]] von der Philosophin [[w:Diotima|Diotima aus Mantinea]] vorgestellt. |Autor=Jozef Simmler |Benutzer=Ejdzej |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Oinochoe_Shuvalov_Painter_Louvre_CA1289_n2|jpg| 250px {{!}} left {{!}} | thumb {{!}} |Text=... Eros. |Autor=Marie-Lan Nguyen |Benutzer=Jastrow |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Eine bessere Idee von Platon, und zugleich der Grundgedanke seiner Philosophie, war es, dass die sichtbaren Objekte nur unvollkommene Abbilder einer göttlichen Idee sind, die es zu erkennen gilt, um den wesentlichen Kern der Dinge zu erfassen. Dieser Gedanke liegt auch dem Konzept der {{Stichwort|platonischen Liebe|msw=Platonische Liebe|SZ=}} zugrunde, das im [[w:Symposion (Platon)|Symposion]] entwickelt wird. Darin wird von einem Gastmahl erzählt, bei dem die Anwesenden, die alle von der Feier am Abend zuvor einen kräftigen Kater haben, übereinkommen, ihr {{Anführung|Zusammensein nicht auf den Rausch anzulegen, sondern nur so zu trinken zum Vergnügen|SZ=,}} und stattdessen der Reihe nach Lobreden auf den [[w:Eros (Mythologie)|Eros]] vorzutragen, den griechischen Gott der Liebe. Der Höhepunkt dieser Ansprachen bildet die Rede des [[w:Sokrates|Sokrates]], der sich seinerseits auf [[w:Diotima|Diotima aus Mantinea]] beruft, mit der er vor vielen Jahren ein Gespräch über dieses Thema hatte. Ihr zur Folge ist Eros gar kein Gott, sondern ein Dämon, ein Vermittler zwischen Gott und den Menschen. Sie schildert mehrere Stufen der Liebe, die auch in einem menschlichen Leben durchlaufen werden können, von {{Anführung|schönen Gestalten nachzugehen}} über {{Anführung|die Schönheit in den Seelen für weit herrlicher [zu] halten als die in den Leibern}} bis hin zu {{Anführung|jenes Schöne selbst rein, lauter und unvermischt zu sehen, [...], das göttliche Schöne selbst in seiner Einartigkeit zu schauen|SZ=.}} Ziel ist es somit nicht, Abbilder des Guten und Schönen zu berühren, sondern das Wahre selbst, um so Glückseligkeit und damit Anteil an der Unsterblichkeit zu erlangen. Der Gedanke, dass sichtbare Dinge den Anstoß geben sollen, nach tiefer liegenden Wahrheiten zu suchen, von denen diese Dinge nur ein schwaches Abbild sind und durch die sie erst richtig verstanden werden können, ist auch für die {{ Zusatz/Klammer |text=reine| |ISZ=|ESZ= }} Mathematik von zentraler Bedeutung. Mathematisches Denken ist seiner Natur nach abstraktes Denken, das, manchmal ausgehend von konkreten Objekten, nach Strukturen, Gesetzmäßigkeiten, allgemeingültigen Regeln sucht. Es geht dadrum, mathematische Theorien zu entwicklen, um die gemeinsame Struktur verwandter Objekte zu verstehen. Was ist also die zugrunde liegende Idee hinter den platonischen Körpern, wie sieht ihre innere Struktur aus, zu welcher mathematischen Theorie geben sie Anlass? Wir beschränken uns auf den Würfel. {{Seitenüberschrift|Symmetrien}} {{ inputbild |Snijden_kruisen_evenwijdig|png| 300px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MADe |Domäne=nl.wikipedia |Lizenz=cc-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bei den platonischen Körpern fällt natürlich ihre große Regelmäßigkeit auf, die ihre Schönheit und Anziehungskraft ausmachen. Die Regelmäßigkeit beinhaltet, dass in einem platonischen Körper jede Seite in jede andere Seite, jede Kante in jede andere Kante und jeder Eckpunkt in jeden Eckpunkt überführt werden kann. D.h., dass diese Körper eine reichhaltige Symmetrie aufweisen. In der Mathematik ist es gerade die Menge der Symmetrien, und ihre Beziehungen untereinander, für die man sich interessiert. Die körperlichen Objekte sind sozusagen der Anlass für die Theorie. Wenn man die Theorie entwickelt hat, so kann man die konkreten Objekte als eine konkrete Realisierung der Theorie verstehen. Unter einer {{Stichwort|(eigentlichen) Symmetrie|msw=Eigentliche Symmetrie|SZ=}} eines Körpers {{math|term= K |SZ=}} (im Raum) versteht man eine wirklich durchführbare {{Stichwort|Bewegung|SZ=,}} die den Körper in sich überführt, und bei der die innere Struktur des Körpers nicht verändert wird. Bei einer solchen Bewegung wird der Körper als ein starres Ganzes genommen, irgendwie gedreht und verschoben, aber weder zerrissen noch deformiert. Die Endlage des Körpers soll deckungsgleich mit der Ausgangslage sein. Wir interessieren uns bei einer solchen Bewegung lediglich für das Verhältnis von Ausgangslage zu Endlage, nicht für die Zwischenschritte und den realen Bewegungsvorgang. Ein Bewegung ist also dadurch festgelegt, dass für jeden Punkt des Körpers die neue Lage des Punktes bekannt ist. Insofern ist eine Symmetrie einfach eine {{ Definitionslink |Abbildung| |kon=|msw=| |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\varphi |K|K || |SZ= }} mit gewissen zusätzlichen Eigenschaften. Dass die Bewegung wirklich durchführbar sein soll schließt beispielsweise Spiegelungen an einer Ebene aus (sowas nennt man auch eine uneigentliche Bewegung). Dass die innere Struktur nicht verändert wird, kann man so ausdrücken, dass sich bei der Bewegung zu je zwei Punkten der Abstand nicht ändert, dass also für alle {{mathl|term= P,Q\in K |SZ=}} die Abstandsbeziehung {{Math/display|term= d(\varphi(P),\varphi(Q))=d(P,Q) |SZ=}} gilt. Man spricht auch von einer {{Stichwort|Isometrie|SZ=.}} {{Seitenüberschrift|Welche Symmetrien hat ein Würfel?}} Schauen wir uns einen Würfel an. Eine {{Stichwort|Würfelsymmetrie|SZ=}} führt den Würfel durch eine Bewegung in sich selbst über. Bei einer solchen Bewegung verändert der Würfelmittelpunkt seine Lage nicht, und es werden, aufgrund des {{Stichwort|Starrheitsprinzips|msw=Starrheitsprinzip|SZ=,}} Seiten auf Seiten, Kanten auf Kanten und Ecken auf Ecken abgebildet. Ebenso werden Seitenmittelpunkte auf Seitenmittelpunkte abgebildet, und gegenüberliegende Seitenmittelpunkte werden auf gegenüberliegende Seitenmittelpunkte abgebildet. Ferner werden Kantenmittelpunkte auf Kantenmittelpunkte abgebildet, Seitendiagonale auf Seitendiagonale, Raumdiagonale auf Raumdiagonale. Notieren wir einfach mal eine Liste von Würfelsymmetrien, wie sie uns in den Sinn kommen. {{Zwischenüberschrift|Drehungen um eine Seitenmittelpunktsachse}} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.4|JPG| 320px {{!}} thumb {{!|}} right {{!}} |Text=Eine Vierteldrehung um die vertikale Achse. Betont wird die Wirkungsweise auf den Eckpunkten. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Man kann beispielsweise durch den oberen Seitenmittelpunkt und den unteren Seitenmittelpunkt sich eine Achse {{math|term=\alpha|SZ=}} denken, und um diese Achse den Würfel drehen. Damit der Würfel mit seiner Ausgangslage zur Deckung gebracht wird, muss der Drehwinkel ein Vielfaches von neunzig Grad sein, also eine Vierteldrehung, eine Halbdrehung, eine Dreivierteldrehung oder eine Volldrehung. Bei einer Volldrehung, also einer Drehung um diese Achse um 360 Grad, wird jeder Punkt auf sich selbst abgebildet. Man könnte den Würfel genauso gut auch gar nicht drehen. Man spricht von der {{Stichwort|identischen Drehung|msw=Identische Drehung|SZ=,}} der {{Stichwort|Identität|SZ=}} oder der {{Stichwort|trivialen Symmetrie|msw=Triviale Symmetrie|SZ=.}} Wie die {{math|term=0 |SZ=}} eine enorm wichtige Zahl ist, obwohl die Addition mit ihr {{Anführung|nichts}} macht, so ist auch diese triviale Symmetrie enorm wichtig für die Theorie der (Würfel-)Symmetrien. {{Zwischenüberschrift|Drehungen um eine Kantenmittelpunktsachse}} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.6|JPG| 320px {{!}} thumb {{!|}} right {{!}} |Text=Eine Halbdrehung um eine Kantenmittelpunktsachse. Betont wird die Wirkungsweise auf den Eckpunkten. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Zu jeder der zwölf Würfelkanten gibt es einen {{Stichwort|Kantenmittelpunkt|SZ=.}} Ein solcher Kantenmittelpunkt definiert mit dem Mittelpunkt der gegenüber liegenden Kante eine Kantenmittelpunktsachse. Betrachten wir beispielsweise die Kantenmittelpunktsachse {{math|term=\beta|SZ=,}} die durch die Mittelpunkte der durch {{ mathkor|term1= A |und|term2= E |SZ= }} und durch {{ mathkor|term1= C |und|term2= G |SZ= }} gegebenen Kanten definiert ist. Gibt es um diese Achse eine Drehung {{ Zusatz/Klammer |text=abgesehen von der Identität| |ISZ=|ESZ=, }} die den Würfel in sich überführt? Wir haben gesagt, dass bei einer Würfelsymmetrie Eckpunkte auf Eckpunkte abgebildet werden. Die Kante von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= E |SZ=}} steht senkrecht auf der Drehachse, daher kommen als Bildpunkte von {{math|term= A |SZ=}} nur {{math|term= A |SZ=}} selbst oder {{math|term= E |SZ=}} in Frage. Im ersten Fall liegt die Identität vor, im zweiten Fall eine Halbdrehung um die angegebene Achse, die in der Tat den Würfel in sich überführt. Bei dieser Halbdrehung werden {{ mathkor|term1= A |und|term2= E |SZ=, }} {{ mathkor|term1= C |und|term2= G |SZ=, }} {{ mathkor|term1= D |und|term2= F |SZ= }} und schließlich {{ mathkor|term1= B |und|term2= H |SZ= }} vertauscht. {{Zwischenüberschrift|Drehungen um eine Raumdiagonale}} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.8|JPG| 320px {{!}} thumb {{!|}} right {{!}} |Text=Eine Dritteldrehung um eine Raumdiagonale. Betont wird die Wirkungsweise auf den Eckpunkten. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Jeder der acht Eckpunkte des Würfels definiert zusammen mit dem gegenüber liegenden Eckpunkt eine {{Stichwort|Raumdiagonale|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{Stichwort|Eckpunktsachse|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Betrachten wir beispielsweise die durch die Eckpunkte {{ mathkor|term1= E |und|term2= C |SZ= }} gegebene Raumdiagonale {{math|term=\gamma|SZ=.}} Gibt es Drehungen um diese Achse, die den Würfel in sich überführen? Das können wir uns wieder anhand der Eckpunkte klar machen. Die Punkte {{ mathkor|term1= E |und|term2= C |SZ= }} liegen auf der Drehachse und verändern daher nicht ihre Position. Wohin kann beispielsweise der Punkt {{math|term= A |SZ=}} durch eine solche Drehung abgebildet werden? {{math|term= A |SZ=}} ist ein zu {{math|term= E |SZ=}} {{Anführung|benachbarter}} Eckpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h., {{ mathkor|term1= A |und|term2= E |SZ= }} sind durch eine Kante direkt verbunden| |ISZ=|ESZ=, }} und diese Eigenschaft bleibt bei einer Symmetrie erhalten. Die möglichen Bildpunkte müssen also ebenfalls zu {{math|term= E |SZ=}} benachbart sein, und das sind genau die Punkte {{ mathkor|term1= A,H |und|term2= F |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Drehen Sie einen Würfel so hin, dass Sie einen Eckpunkt in der Mitte des Gesichtsfelds haben. Sie sehen dann drei Seiten und drei benachbarte Eckpunkte und drei nicht benachbarte Eckpunkte. Nur den gegenüber liegenden Eckpunkt sehen Sie nicht| |ISZ=|ESZ=. }} In der Tat gibt es drei Drehungen um eine Raumdiagonale, die den Würfel in sich überführen, nämlich die Drehung um {{math|term=0 |SZ=}} Grad {{ Zusatz/Klammer |text=also wieder die Identität| |ISZ=|ESZ=, }} die Drehung um {{math|term=120 |SZ=}} Grad und die Drehung um {{math|term=240 |SZ=}} Grad. Die Identität kann dabei als eine Achsendrehung um jede der drei Achsentypen um den Winkel {{math|term=0 |SZ=}} aufgefasst werden. Gibt es außer den genannten Drehungen noch weitere eigentliche Würfelsymmetrien? Wie kann man sich sicher sein, dass man alle Symmetrien gefunden hat? {{Seitenüberschrift|Verknüpfung von Symmetrien}} Wir haben nun eine Liste von einzelnen Würfelsymmetrien angeführt, doch wie verhalten sie sich zueinander, gibt es eine umfassende Struktur, in der all diese Symmetrien ihren Platz finden? Unser Ausgangspunkt ist, dass man zwei Bewegungen {{ Zusatz/Klammer |text=Abbildungen| |ISZ=|ESZ= }} {{mathkon|\varphi|und|\psi|SZ=}} {{Stichwort|verknüpfen|msw=Verknüpfung|SZ=}} kann, indem man sie {{Stichwort|hintereinander ausführt|msw=Hintereinanderausführung|SZ=,}} also zuerst die erste Würfelsymmetrie und dann die zweite Würfelsymmetrie anwendet. Diese {{Stichwort|Verkettung|SZ=}} erfüllt wieder alle Bedingungen, die wir an eine Symmetrie gestellt haben. Des weiteren gibt es zu einer Bewegung die {{Stichwort|entgegengesetzte Bewegung|SZ=,}} bei der die Bewegung rückläufig durchgeführt wird. Bei einer physikalischen Realisierung der Bewegung würde man einfach die Zeitrichtung umdrehen. Insgesamt erhalten wir, dass die Menge aller Symmetrien an einem Körper folgende drei strukturelle Eigenschaften aufweist. {{ Aufzählung3 |Bewegungen lassen sich hintereinander ausführen, d.h. wenn man zwei Bewegungen {{mathkon|\varphi|und|\psi|SZ=}} hat, so ist auch die {{Stichwort|Hintereinanderausführung|SZ=}} {{mathl|term= \psi \circ \varphi |SZ=,}} die zuerst {{math|term= \varphi |SZ=}} und dann {{math|term=\psi|SZ=}} durchführt, sinnvoll definiert und wieder eine Bewegung. |Die {{Stichwort|identische Bewegung|SZ=,}} die nichts bewegt, ist eine Bewegung. Wenn man zu einer beliebigen Bewegung die identische Bewegung davor oder danach durchführt, so ändert das die Bewegung nicht. |Zu einer Bewegung {{math|term=\varphi|SZ=}} gibt es die {{Stichwort|entgegengesetzte Bewegung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|Rückwärtsbewegung|}}| |SZ= }} {{math|term=\varphi^{-1} |SZ=,}} die die Eigenschaft besitzt, dass die Hintereinanderausführungen {{mathkon|\varphi^{-1} \circ \varphi|und| \varphi \circ \varphi^{-1} }} einfach die Identität sind. |}} Für eine Menge {{ Zusatz/Klammer |text=also beispielsweise die Menge der Bewegungen an einem Körper, nicht der Körper als Menge!| |ISZ=|ESZ=, }} auf der es eine Verknüpfung mit diesen drei Eigenschaften gibt, gibt es innerhalb der Mathematik einen eigenen Namen: man spricht von einer {{Stichwort|Gruppe|SZ=,}} ihre Definition sieht folgendermaßen aus. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition|v=\circ| }} Wie sieht die Gruppe aller Würfelsymmetrien aus? Ist unsere obige Liste aus der Identität und den verschiedenen beschriebenen Achsendrehungen schon diese ganze Gruppe? Schauen wir uns ein Beispiel an, wo zwei solche Drehungen miteinander verknüpft werden. {{ inputbeispiel |Würfelsymmetrien/Einführung/Verknüpfung/Vierteldrehung um zwei Achsen/Beispiel|| }} In diesem Beispiel führte also die Verkettung von zwei Symmetrien wieder zu einer Symmetrie, und zwar zu einer Symmetrie, die schon in unserer Liste steht. Wir wissen noch nicht, ob unsere Liste in dem Sinne vollständig ist, dass mit je zwei Symmetrien auch deren Verknüpfung wieder zu dieser Liste gehört. Das könnten wir mit einigem Aufwand überprüfen, indem wir alle Kombinationen durchspielten. Wir werden aber einen einfacheren Weg gehen. {{Seitenüberschrift|Wie viele Symmetrien hat ein Würfel?}} Wie viele eigentliche Würfelsymmetrien gibt es? Um diese Frage beantworten zu können, ist es wieder hilfreich, die Wirkung der Symmetrien auf der Menge der Eckpunkte zu betrachten. Offenbar kann man den Punkt {{math|term= A |SZ=}} auf jeden anderen Eckpunkt, nennen wir ihn {{math|term= X |SZ=,}} bewegen. Dazu genügt es beispielsweise, einige Vierteldrehungen um verschiedene Seitenmittelpunktsachsen hintereinander durchzuführen. Es gibt dabei allerdings mehrere Bewegungen, die {{math|term= A |SZ=}} auf {{math|term= X |SZ=}} abbilden. Was kann beispielsweise mit {{math|term= B |SZ=}} unter einer solchen Bewegung geschehen? Da {{math|term= B |SZ=}} zu {{math|term= A |SZ=}} benachbart ist, muss auch der Bildpunkt von {{math|term= B |SZ=}} zum Bildpunkt von {{math|term= A |SZ=,}} also zu {{math|term= X |SZ=,}} benachbart sein. Dafür gibt es genau drei Möglichkeiten, da {{math|term= X |SZ=}} eben genau zu drei Eckpunkten benachbart ist. Durch eine Drehung um die Raumdiagonale durch {{math|term= X |SZ=}} kann auch jede dieser Möglichkeiten verwirklicht werden. Es gibt also {{mathl|term=8 \cdot 3 = 24 |SZ=}} verschiedene Möglichkeiten, für die beiden Eckpunkte {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} die Bildpunkte auszuwählen. Wenn für diese beiden Punkte die {{ Zusatz/Klammer |text=benachbarten| |ISZ=|ESZ= }} Bildpunkte {{ mathkor|term1= X |und|term2= Y |SZ= }} ausgewählt sind, gibt es dann immer noch verschiedene Möglichkeiten, eine solche Bewegung zu realisieren? Wir behaupten, dass es dann genau nur eine Möglichkeit gibt, dass also diese Auswahl die Symmetrie eindeutig festlegt. Wir müssen also zeigen, dass wenn {{ mathkor|term1= \varphi_1 |und|term2= \varphi_2 |SZ= }} zwei Würfelsymmetrien sind, die {{ Mathkor/display|term1= \varphi_1(A) = \varphi_2(A)=X |und|term2= \varphi_1(B) = \varphi_2(B)=Y |SZ= }} erfüllen, dass dann überhaupt {{mathl|term=\varphi_1= \varphi_2 |SZ=}} ist. Um dies einzusehen, verwenden wir einen typischen Schluss der Gruppentheorie, der schon die Schlagkraft dieses Konzepts deutlich macht. Wir betrachten die Verknüpfung von {{math|term=\varphi_1 |SZ=}} mit der entgegengesetzten Bewegung zu {{math|term=\varphi_2 |SZ=,}} also {{ Math/display|term= \psi = \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 |SZ=. }} {{ inputbild |Würfel.Tafel.Symmetrieserie.12|JPG| 320px {{!}} left {{!}} | thumb {{!|}} |Text=Wenn eine Symmetrie {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nicht bewegt, so wird auch die Kante dazwischen nicht bewegt. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Wuerfelstarr.6|JPG| 320px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Text=Dann wird auch die ganze Ebene durch diese Kante und den Würfelmittelpunkt nicht bewegt. |Autor=Brenner |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Unter dieser Bewegung {{math|term=\psi|SZ=}} geht zunächst {{math|term= A |SZ=}} auf {{math|term= X |SZ=}} und dann {{math|term= X |SZ=}} wiederum auf {{math|term= A |SZ=,}} ebenso geht insgesamt {{math|term= B |SZ=}} auf {{math|term= B |SZ=.}} Damit ist {{math|term=\psi|SZ=}} eine Bewegung, die die gesamte Kante zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} unverändert lässt. Da bei einer Würfelsymmetrie der Würfelmittelpunkt {{math|term= M |SZ=}} unverändert bleibt, bleibt wegen der Starrheit auch das gesamte Dreieck zu den Punkten {{mathl|term= A,B,M|SZ=}} unverändert und damit auch die gesamte Ebene, in der dieses Dreieck liegt. Die Starrheit erzwingt weiter, dass dann bereits der gesamte Würfel unter {{math|term=\psi|SZ=}} unverändert bleibt {{ Zusatz/Klammer |text=die Spiegelung an dieser Ebene ist eine uneigentliche Symmetrie, die nicht durch eine Bewegung realisiert werden kann| |ISZ=|ESZ=, }} dass also {{ Math/display|term= \psi = \varphi_2^{-1} \circ \varphi_1 = \operatorname{Id} \, |SZ= }} die Identität ist. Durch Anwenden von {{math|term=\varphi_2 |SZ=}} von links auf diese Gleichung ergibt sich daraus {{ Math/display|term= \varphi_1 = \varphi_2 |SZ=. }} Damit haben wir den folgenden Satz bewiesen. {{ inputfakt |Würfel/Eigentliche Symmetrien/24/Fakt|Satz|| || }} {{Seitenüberschrift|Alle Würfelsymmetrien sind Achsendrehungen}} Abschließend zeigen wir, dass unsere eingangs aufgestellte Liste von Würfelsymmetrien vollständig ist. Wir wissen nun, dass es überhaupt nur {{math|term=24 |SZ=}} Würfelsymmetrien gibt. Gehen wir also unsere Liste durch und schauen, wie viele Symmetrien wir dort schon erfasst haben. {{ Aufzählung4 |Es gibt die Identität. |Es gibt sechs Seiten und drei Seitenmittelpunktsachsen, wobei man jeweils um die drei Winkel {{mathl|term=90,180,270 |SZ=}} Grad drehen kann {{ Zusatz/Klammer |text=die Drehung um {{math|term=0 |SZ=}} Grad darf man nicht mitzählen, da dies die Identität ist| |ISZ=|ESZ=. }} Davon gibt es neun Stück. |Es gibt zwölf Kanten und daher sechs Kantenmittelpunktsachsen. Um diese Achsen gibt es jeweils eine Halbdrehung, macht sechs Stück. |Es gibt acht Eckpunkte und daher vier Raumdiagonalen. Um diese Achsen gibt es jeweils die Dritteldrehung und die Zweidritteldrehung, macht acht Stück. }} Wir müssen noch sicherstellen, dass wir dabei keine Bewegung doppelt gezählt haben. Wenn aber eine Bewegung zweimal auftaucht, so hat sie mindestens zwei verschiedene Drehachsen. Diese Drehachsen bleiben bei der Bewegung unverändert, daher bleibt die ganze von diesen Achsen erzeugte Ebene unverändert, und damit sogar der ganze Raum und es liegt die Identität vor. Wegen {{ Math/display|term= 1+9+6+8=24 |SZ= }} folgt der nächste Satz. {{ inputfakt |Würfel/Eigentliche Symmetrien/Achsendrehung/Fakt|Satz|| || }} {{Seitenüberschrift|Alle Fußballspiele sind Achsendrehungen}} Dieser letzte Satz besitzt eine weitgehende Verallgemeinerung, nämlich, dass jede lineare eigentliche Isometrie im Raum eine Drehung um eine Achse ist. Aus Anlass der Fußballweltmeisterschaft erwähnen wir folgende Version dieses Satzes. Denken Sie beim nächsten langweiligen Spiel daran. {{ inputbild |Anstoß_im_Finale_Confed-Cup_2005|JPG| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Florian K |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfakt |Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt|Satz|Satz vom Fußball| || }} [[Medium:Platon und wuerfelsym.pdf|Zur Pdf-Version]] mmonrir47n44yprj6uakp8nce665a47 0 36480 1092558 1019726 2026-06-01T14:06:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092558 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm. {{:Funktion nach K/Supremumsnorm/Definition|K=\R}} Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also {{math|term= T |SZ=}} eine Menge und {{math|term= E |SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |SZ=. }} In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |T|E || |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Norm|f|}} | {{defeq|}} | {{op:Norm|f|}}_T || {{op:sup| {{op:Norm|f(x)|}} |x \in T}} || || |SZ= }} und nennt dies das {{Definitionswort|Supremum|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Definitionswort|Supremumsnorm|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falls das Supremum nicht existiert, ist dies als {{math|term= \infty|SZ=}} zu interpretieren| |ISZ=|ESZ=.}} Wir setzen {{ Relationskette | M || \operatorname{Abb}(T,E) || || || |SZ=; }} dies ist ein {{ Zusatz/Klammer |text=i.A. unendlichdimensionaler| |ISZ=|ESZ= }} reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften {{ Zusatz/Klammer |text=die geeignet zu interpretieren sind, falls {{math|term= \infty |SZ=}} auftritt| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |Es ist {{ Relationskette | {{op:Norm|f|}} | \geq | 0 || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | f |\in| M || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | {{op:Norm|f|}} | | 0 || || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette | f || 0 || || || |SZ= }} ist. |Für {{ Relationskette | \lambda |\in| \R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f |\in| M || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm|\lambda f|}} || {{op:Betrag|\lambda|}} \cdot {{op:Norm|f|}} || || || |SZ=. }} |Für {{ Relationskette | g,f |\in|M || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm|g+f|}} |\leq | {{op:Norm|g|}} + {{op:Norm|f|}} || || || || |SZ=. }} }} Wenn {{math|term= T |SZ=}} ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |SZ= }} ist, so betrachtet man {{ Relationskette/display | C || {{Mengebed|f:T \rightarrow E|f \text{ stetig} }} || || || |SZ=. }} Dieser ist ein reeller Untervektorraum von {{math|term= M |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette | T |\subseteq| \R^k || || || |SZ= }} nichtleer, {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |SZ= }} ist, so ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt |SZ= }} das Supremum von {{ mathbed|term= {{op:Norm|f(x)||}} ||bedterm1= x \in T ||bedterm2= |SZ=, }} gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein {{ Relationskette | x |\in| T || || || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | {{op:Norm|f(x')||}} | \leq | {{op:Norm|f(x)||}} || || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x' |\in| T || || || |SZ= }} gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der {{Stichwort|Maximumsnorm|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt|Satz||opt1={{{opt1|}}} || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungsräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cw64vqfazx32skw589lyovy8gjam5ro 0 36882 1092349 1074647 2026-06-01T13:32:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092349 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Als Paare/Definition|| }} Die Addition ist also einfach die vektorielle Addition im {{math|term= \R^2 |SZ=,}} während die Multiplikation eine neuartige Verknüpfung ist, die zwar numerisch einfach durchführbar ist, an die man sich aber dennoch gewöhnen muss. Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Multiplikation/Fakt |Nr= |SZ= }} noch eine geometrische Interpretation für die komplexe Multiplikation kennenlernen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Zahlen/Körper/Fakt|Lemma|| }} Wir lösen uns von der Paarschreibweise und schreiben {{ Relationskette/display | a+b {{Imaginäre Einheit}} | {{defeq|}} | (a,b) || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Relationskette | {{Imaginäre Einheit}} || (0,1) || || || |SZ=, }} diese Zahl heißt {{Stichwort|imaginäre Einheit|SZ=.}} Diese Zahl hat die wichtige Eigenschaft {{ Relationskette/display | {{Imaginäre Einheit}}^2 || -1 || || || |SZ=. }} Aus dieser Eigenschaft ergeben sich sämtliche algebraischen Eigenschaften der komplexen Zahlen durch die Körpergesetze. So kann man sich auch die obige Multiplikationsregel merken, es ist ja {{ Relationskette/display | (a+b {{Imaginäre Einheit|}} )(c+d {{Imaginäre Einheit|}} ) || ac+ad {{Imaginäre Einheit|}} +b {{Imaginäre Einheit|}} c+b {{Imaginäre Einheit|}} d {{Imaginäre Einheit|}} || ac+bd {{Imaginäre Einheit|}}^2 +(ad+bc) {{Imaginäre Einheit|}} || ac-bd +(ad+bc) {{Imaginäre Einheit|}} || |SZ=. }} Wir fassen eine reelle Zahl {{math|term= a |SZ=}} als die komplexe Zahl {{ Relationskette | a+0 {{Imaginäre Einheit|}} || (a,0) || || || |SZ= }} auf. In diesem Sinne ist {{ Relationskette |\R |\subset| {{CC|}} || || || |SZ=. }} Es ist gleichgültig, ob man zwei reelle Zahlen als reelle Zahlen oder als komplexe Zahlen addiert oder multipliziert. {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition|| }} Man sollte sich allerdings die Menge der komplexen Zahlen nicht als etwas vorstellen, was weniger real als andere Zahlensysteme ist. Die Konstruktion der komplexen Zahlen aus den reellen Zahlen ist bei Weitem einfacher als die Konstruktion der reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen. Allerdings war es historisch ein langer Prozess, bis die komplexen Zahlen als Zahlen anerkannt wurden; das Irreale daran ist, dass sie einen Körper bilden, der nicht angeordnet werden kann, und dass es sich daher scheinbar um keine Größen handelt, mit denen man sinnvollerweise etwas messen kann. {{ inputbild |Complex number illustration|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Complex_number_illustration |Autor= |Benutzer=Wolfkeeper |Domäne=en. Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Man kann sich die komplexen Zahlen als die Punkte in einer Ebene vorstellen; für die additive Struktur gilt ja einfach {{ Relationskette | {{CC}} || \R^2 || || || |SZ=. }} In diesem Zusammenhang spricht man von der {{Stichwort|Gaussschen Zahlenebene|msw=Gausssche Zahlenebene|SZ=.}} Die horizontale Achse nennt man dann die {{Stichwort|reelle Achse|SZ=}} und die vertikale Achse die {{Stichwort|imaginäre Achse|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=||refa= }} {{ inputdefinition |Komplexe Zahl/Komplexe Konjugation/Definition|| }} Zu {{math|term= z |SZ=}} heißt {{math|term= {{op:Komplexe Konjugation|z}} |SZ=}} die {{Stichwort|konjugiert-komplexe Zahl|SZ=}} von {{math|term= z |SZ=.}} Geometrisch betrachtet ist die komplexe Konjugation zu {{ Relationskette |z |\in| {{CC}} || || || |SZ= }} einfach die Achsenspiegelung an der reellen Achse. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Konjugation/Rechenregeln/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Zahlen/Konjugation/Realteil Imaginärteil/Fakt|Lemma|| || }} Das Quadrat {{math|term= d^2 |SZ=}} einer reellen Zahl ist stets nichtnegativ, und die Summe von zwei nichtnegativen reellen Zahlen ist wieder nichtnegativ. Zu einer nichtnegativen reellen Zahl {{math|term= c |SZ=}} gibt es eine eindeutige nichtnegative {{Stichwort|Quadratwurzel|SZ=}} {{math|term= \sqrt{c} |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Reelle Zahlen/Babylonisches Wurzelziehen/Konvergenz/Aufgabe |SZ={{{zusatz1|.}}} }} Daher liefert folgende Definition eine wohldefinierte nichtnegative reelle Zahl. {{ inputdefinition |Komplexe Zahl/Betrag/Definition|| }} Der Betrag einer komplexen Zahl {{math|term= z |SZ=}} ist aufgrund des {{Stichwort|Satzes des Pythagoras|msw=Satz des Pythagoras|SZ=}} der Abstand von {{math|term= z |SZ=}} zum Nullpunkt {{ Relationskette |0 || (0,0) || || || |SZ=. }} Insgesamt ist der Betrag eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{{CC}}|\R_{\geq 0} |z| {{op:Betrag|z}} |SZ=. }} {{ inputbild |Euler's formula|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Eulers_formula |Autor= |Benutzer=Wereon |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Menge aller komplexen Zahlen mit einem bestimmten Betrag bilden einen Kreis mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit dem Betrag als Radius. Insbesondere bilden alle komplexen Zahlen mit dem Betrag {{math|term= 1 |SZ=}} den {{Stichwort|komplexen Einheitskreis|msw=Komplexer Einheitskreis|SZ=.}} {{ Zusatz/{{{zusatz2|+}}} |text=Die Zahlen auf dem komplexen Einheitskreis stehen durch die {{Stichwort|eulersche Formel|SZ=}} in Beziehung zur komplexen Exponentialfunktion und zu den trigonometrischen Funktionen, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Exponentialfunktion/Periodizitätseigenschaften/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es sei hier erwähnt, dass das Produkt von zwei komplexen Zahlen auf dem Einheitskreis sich ergibt, indem man die zugehörigen Winkel, gemessen von der positiven reellen Achse aus gegen den Uhrzeigersinn, addiert.| |ISZ=|ESZ= }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Zahlen/Rechenregeln für Betrag/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2054hnhdoz370j0l7x9k4bwk4lr0rxh 0 36894 1092364 1075103 2026-06-01T13:34:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092364 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term= a\cdot b + c \cdot d |SZ=}} statt {{mathl|term= (a\cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen. Die additiven Körperaxiome kann man so lesen, dass die Menge {{math|term= K |SZ=}} zusammen mit dem ausgezeichneten Element {{math|term= 0 |SZ=}} und der Addition {{math|term= +|SZ=}} als Verknüpfung eine Gruppe bildet, die zusätzlich kommutativ ist. Ebenso bildet die Menge {{mathl|term= K \setminus \{0\} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ganz {{math|term= K |SZ=}} ohne die {{math|term= 0 |SZ=}}| |SZ= }} mit dem neutralen Element {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das wegen der expliziten Voraussetzung der Körperaxiome von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist und daher zu {{mathl|term= K \setminus \{0\} |SZ=}} gehört| |SZ= }} und der Multiplikation {{math|term= \cdot|SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=ebenfalls kommutative| |SZ= }} Gruppe. Wenn ein Körper {{math|term= K |SZ=}} vorliegt, so hat man also zugleich zwei Gruppen vorliegen, es ist aber falsch zu sagen, dass {{math|term= K |SZ=}} auf zweifache Weise eine Gruppe ist, da einerseits {{math|term= K |SZ=}} mit der Addition und andererseits {{mathl|term= K \setminus \{0\} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und eben nicht {{math|term= K |SZ=}} | |SZ= }} eine Gruppe mit der Multiplikation bildet. {{ inputfaktbeweishier |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe. }} Zu einem Element {{mathl|term= a \in K |SZ=}} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term= b |SZ=}} mit {{mathl|term= a+b=0 |SZ=}} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term= -a|SZ=.}} Statt {{mathl|term= b+(-a) |SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term= b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette | ac || 1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term= a^{-1} |SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Relationskette/display | a/b |{{defeq}} | {{op:Bruch|a|b}} |{{defeq}}| ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. In jedem Körper findet man die natürlichen Zahlen und auch die ganzen Zahlen wieder, und zwar wird die natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} als die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= 1_K|SZ=}} mit sich selbst in {{math|term= K |SZ=}} interpretiert. Entsprechend wird die negative Zahl {{math|term= -n|SZ=}} als die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= -1_K|SZ=}} interpretiert, siehe die Aufgaben. Zu einem Körperelement {{mathl|term= a \in K |SZ=}} und {{math|term= n \in \N|SZ=}} wird {{mathl|term= a^n |SZ=}} als das {{math|term= n |SZ=-}}fache Produkt von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst definiert, und bei {{math|term= a\neq0 |SZ=}} wird {{math|term= a^{-n} |SZ=}} als {{math|term= (a^{-1})^n |SZ=}} interpretiert. {{ inputfaktbeweis |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqpsrrl0vuibksn6l3aztt90gj7okce 0 36898 1092090 1018595 2026-06-01T12:50:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092090 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition|| }} Statt {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} schreibt man auch {{ Relationskette |b |\leq|a || || || |SZ=. }} Die Schreibweise {{ Relationskette |a |>|b || || || |SZ= }} bedeutet {{ mathkor|term1= a \geq b |und|term2= a \neq b |SZ=. }} Eine wichtige Beziehung in einem angeordneten Körper ist, dass {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} äquivalent zu {{ Relationskette |a-b |\geq|0 || || || |SZ= }} ist. Diese Äquivalenz ergibt sich durch beidseitiges Addieren von {{ mathkor|term1= -b |bzw.|term2= b |SZ= }} aus dem ersten Axiom. In einem angeordneten Körper nennt man ein Element {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} {{Definitionswort/enp|positiv|SZ=,}} wenn {{ Relationskette |a |>|0 || || || |SZ= }} ist, und {{Definitionswort/enp|negativ|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Man beachte, dass hier negativ in einem neuen Sinn auftritt. In jedem Körper {{math|term= K |SZ=}} gibt zu jedem Element {{ Relationskette |x |\in|K || || || |SZ= }} das negative Element {{math|term= -x |SZ=,}} also das Inverse von {{math|term= x |SZ=}} bezüglich der Addition. Das Element {{math|term= -x |SZ=}} ist aber nicht in einem absoluten Sinn negativ, sondern nur in Bezug auf {{math|term= x |SZ=.}} Dagegen gibt es in einem angeordneten Körper wirklich negative und positive Elemente|ISZ=. |ESZ=, }} wenn {{ Relationskette |a |<|0 || || || |SZ= }} ist. Die {{math|term= 0 |SZ=}} ist demnach weder positiv noch negativ, und jedes Element ist entweder positiv oder negativ oder null. Die Elemente {{ mathbed|term= a |mit|bedterm1= a \geq 0 ||bedterm2= |SZ= }} nennt man dann einfach {{Definitionswort/enp|nichtnegativ|SZ=}} und die Elemente {{ mathbed|term= a |mit|bedterm1= a \leq 0 ||bedterm2= |SZ= }} {{Definitionswort/enp|nichtpositiv|SZ=.}} Für die entsprechenden Mengen schreibt man {{ Math/display|term= K_+,\, K_-,\, K_{\geq 0} =K_+^0,\, K_{\leq 0} = K_-^0 |SZ= }} oder Ähnliches. Die wichtigsten Beispiele für angeordnete Körper sind der Körper der rationalen Zahlen {{math|term= \Q |SZ=}} und der Körper der reellen Zahlen {{math|term= \R |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition|| }} Für das offene Intervall wird häufig auch {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} geschrieben. Die Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} heißen die {{Stichwort|Grenzen des Intervalls|msw=Grenzen eines Intervalls|SZ=,}} genauer spricht man von oberer und unterer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen {{ Zusatz/Klammer |text=die man auch als {{Stichwort|halboffen|msw=Halboffenes Intervall|SZ=}} bezeichnet| |SZ= }} rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Zutreffender {{ Zusatz/Klammer |text=also weniger konventionsverhaftet| |SZ= }} wäre es von {{Anführung|größerseitig offen}} und {{Anführung|kleinerseitig offen}} zu sprechen. Manchmal werden auch Schreibweisen wie {{mathl|term= (a, \infty) |SZ=}} verwendet. Dies bedeutet {{Betonung|nicht|SZ=,}} dass es in {{math|term= K |SZ=}} ein Element {{math|term= \infty|SZ=}} gibt, sondern ist lediglich eine kurze Schreibweise für {{mathl|term= {{Mengebed|x \in K|x >a}} |SZ=.}} {{ inputbemerkunghier |Text=Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des angeordneten Körpers funktioniert so: Man hat einen Körper {{math|term= K |SZ=,}} bei dem eine Teilmenge {{mathl|term= P\subseteq K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|positive Hälfte}}| |SZ= }} ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften {{ Aufzählung3 |Entweder {{mathl|term= x \in P |SZ=}} oder {{mathl|term= -x \in P |SZ=}} oder {{mathl|term= x=0 |SZ=.}} |Aus {{mathl|term= x,y \in P |SZ=}} folgt {{mathl|term= x+y \in P |SZ=.}} |Aus {{mathl|term= x,y \in P |SZ=}} folgt {{mathl|term= x \cdot y \in P |SZ=.}} }} In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man {{ Math/display|term= x \geq y \text{ durch } x=y \text{ oder } x-y \in P |SZ= }} definiert, siehe {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Körper mit positiver Hälfte/Ist angeordnet/Aufgabe |SZ=. }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Fußnoten=x |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aj4n8uj2j7qjn9nws8ajiu9r92vhyv5 1092132 1092090 2026-06-01T12:57:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092132 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition|| }} Statt {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} schreibt man auch {{ Relationskette |b |\leq|a || || || |SZ=. }} Die Schreibweise {{ Relationskette |a |>|b || || || |SZ= }} bedeutet {{ mathkor|term1= a \geq b |und|term2= a \neq b |SZ=. }} Eine wichtige Beziehung in einem angeordneten Körper ist, dass {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} äquivalent zu {{ Relationskette |a-b |\geq|0 || || || |SZ= }} ist. Diese Äquivalenz ergibt sich durch beidseitiges Addieren von {{ mathkor|term1= -b |bzw.|term2= b |SZ= }} aus dem ersten Axiom. In einem angeordneten Körper nennt man ein Element {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} {{Definitionswort/enp|positiv|SZ=,}} wenn {{ Relationskette |a |>|0 || || || |SZ= }} ist, und {{Definitionswort/enp|negativ|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Man beachte, dass hier negativ in einem neuen Sinn auftritt. In jedem Körper {{math|term= K |SZ=}} gibt zu jedem Element {{ Relationskette |x |\in|K || || || |SZ= }} das negative Element {{math|term= -x |SZ=,}} also das Inverse von {{math|term= x |SZ=}} bezüglich der Addition. Das Element {{math|term= -x |SZ=}} ist aber nicht in einem absoluten Sinn negativ, sondern nur in Bezug auf {{math|term= x |SZ=.}} Dagegen gibt es in einem angeordneten Körper wirklich negative und positive Elemente|ISZ=. |ESZ=, }} wenn {{ Relationskette |a |<|0 || || || |SZ= }} ist. Die {{math|term= 0 |SZ=}} ist demnach weder positiv noch negativ, und jedes Element ist entweder positiv oder negativ oder null. Die Elemente {{ mathbed|term= a |mit|bedterm1= a \geq 0 ||bedterm2= |SZ= }} nennt man dann einfach {{Definitionswort/enp|nichtnegativ|SZ=}} und die Elemente {{ mathbed|term= a |mit|bedterm1= a \leq 0 ||bedterm2= |SZ= }} {{Definitionswort/enp|nichtpositiv|SZ=.}} Für die entsprechenden Mengen schreibt man {{ Math/display|term= K_+,\, K_-,\, K_{\geq 0} =K_+^0,\, K_{\leq 0} = K_-^0 |SZ= }} oder Ähnliches. Die wichtigsten Beispiele für angeordnete Körper sind der Körper der rationalen Zahlen {{math|term= \Q |SZ=}} und der Körper der reellen Zahlen {{math|term= \R |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Verschiedene Intervalle/Definition|| }} Für das offene Intervall wird häufig auch {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} geschrieben. Die Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} heißen die {{Stichwort|Grenzen des Intervalls|msw=Grenzen eines Intervalls|SZ=,}} genauer spricht man von oberer und unterer Grenze. Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen {{ Zusatz/Klammer |text=die man auch als {{Stichwort|halboffen|msw=Halboffenes Intervall|SZ=}} bezeichnet| |SZ= }} rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Zutreffender {{ Zusatz/Klammer |text=also weniger konventionsverhaftet| |SZ= }} wäre es von {{Anführung|größerseitig offen}} und {{Anführung|kleinerseitig offen}} zu sprechen. Manchmal werden auch Schreibweisen wie {{mathl|term= (a, \infty) |SZ=}} verwendet. Dies bedeutet {{Betonung|nicht|SZ=,}} dass es in {{math|term= K |SZ=}} ein Element {{math|term= \infty|SZ=}} gibt, sondern ist lediglich eine kurze Schreibweise für {{mathl|term= {{Mengebed|x \in K|x >a}} |SZ=.}} {{ inputbemerkunghier |Text=Ein äquivalenter Zugang zum Begriff des angeordneten Körpers funktioniert so: Man hat einen Körper {{math|term= K |SZ=,}} bei dem eine Teilmenge {{mathl|term= P\subseteq K |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Anführung|positive Hälfte}}| |SZ= }} ausgezeichnet ist mit den folgenden Eigenschaften {{ Aufzählung3 |Entweder {{mathl|term= x \in P |SZ=}} oder {{mathl|term= -x \in P |SZ=}} oder {{mathl|term= x=0 |SZ=.}} |Aus {{mathl|term= x,y \in P |SZ=}} folgt {{mathl|term= x+y \in P |SZ=.}} |Aus {{mathl|term= x,y \in P |SZ=}} folgt {{mathl|term= x \cdot y \in P |SZ=.}} }} In einem angeordneten Körper erfüllen die positiven Elemente diese Bedingungen. Man kann aber umgekehrt aus einem Körper mit einer solchen positiven Teilmenge einen angeordneten Körper machen, indem man {{ Math/display|term= x \geq y \text{ durch } x=y \text{ oder } x-y \in P |SZ= }} definiert, siehe {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Körper mit positiver Hälfte/Ist angeordnet/Aufgabe |SZ=. }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Fußnoten=x |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hbsse1qqbqh08o8ov788m0gymt9957c 0 36978 1092392 1019362 2026-06-01T13:39:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092392 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es ist nicht möglich, für beliebige Teilmengen des {{mathl|term= \R^n |SZ=}} ein sinnvolles Maß zu definieren. Stattdessen sucht man nach einer möglichst großen Auswahl von Teilmengen, für die ein Maß definiert werden kann. Um über solche Mengensysteme und ihre strukturellen Eigenschaften reden zu können, brauchen wir die folgenden Definitionen. {{ inputdefinition |Teilmengensystem/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengenpräring/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengenalgebra/Definition|| }} Statt Mengenalgebra sagt man auch {{Stichwort|Mengenring|SZ=,}} doch ist das missverständlich, da auch die Mengen-Präringe manchmal Mengenringe genannt werden. {{{zusatz1|}}} Für die Maßtheorie ist das folgende Konzept am wichtigsten. {{ inputdefinition |Sigmaalgebra/Definition|| }} Eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra ist also eine Mengenalgebra, die nicht nur unter endlichen Vereinigungen, sondern auch unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. Sie ist im Allgemeinen nicht unter beliebigen Vereinigungen abgeschlossen. Die trivialen Beispiele für eine {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra sind die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} und das Mengensystem {{mathl|term= \{\emptyset, M\} |SZ=.}} Die Elemente aus der {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra, also die Teilmengen von {{math|term= M |SZ=,}} die zu {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} gehören, nennt man auch einfach {{Stichwort|messbare Mengen|msw=Messbare Menge|SZ=.}} Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitstheorie spricht man von {{Stichwort|Ereignissen|msw=Ereignis|SZ=.}} Zu einer Teilmenge {{ Relationskette | A |\subseteq| M || || || |SZ= }} heißt die aus {{mathl|term= \emptyset, A, M \setminus A,M|SZ=}} bestehende {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra die {{Stichwort|Ereignisalgebra|SZ=}} zu {{math|term= A |SZ=.}} {{ inputdefinition |Messraum/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Sigmaalgebra/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Sigmaalgebra/Limes superior und limes inferior/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Sigma-Algebren/Durchschnitt/Fakt|Lemma|| || }} Aufgrund dieses Lemmas gibt es zu jeder Teilmenge {{ Relationskette | {{Mengensystem|E}} |\subseteq| {{op:Potenzmenge|M}} || || || || |SZ= }} eine kleinste {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra, die {{math|term= {{Mengensystem|E}} |SZ=}} umfasst, nämlich der Durchschnitt über alle {{math|term= {{Mengensystem|E}} |SZ=-}}umfassenden {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebren. {{ inputdefinition |Erzeugte Sigmaalgebra/Definition|| }} Eine explizite Beschreibung dieser Mengen ist häufig schwierig. Bei {{ Relationskette | {{Mengensystem|E}} || \{A\} || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= \sigma({{Mengensystem|E}} ) |SZ=}} die oben erwähnte Ereignisalgebra. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} onlmao1asgto96r2xope1xqboo5m562 0 36990 1092572 1074758 2026-06-01T14:08:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092572 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Borel-Menge als erzeugte Sigmaalgebra/Definition|| }} Insbesondere nennt man im {{math|term= \R^n |SZ=}} die durch die Topologie zur euklidischen Metrik definierte {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra die {{Stichwort|Menge der Borel-Mengen|SZ=.}} Dies ist ein extrem reichhaltiger Begriff; es ist nämlich gar nicht einfach, eine Teilmenge des {{math|term= \R^n |SZ=}} anzugeben, die keine Borel-Menge ist. Da es auf jedem endlichdimensionalen Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} zwar keine natürliche Metrik, aber doch nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle endlichdimensionale Vektorräume/Euklidische Struktur/Unabhängigkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} eine natürliche Topologie gibt, gibt es auf diesen Räumen ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen. {{ inputfaktbeweis |R^n/Borel-Mengen/Was gehört dazu/Fakt|Lemma|| || }} Wie gesagt, Borel-Mengen sind ein recht umfassender Begriff. Andererseits wird die {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra der Borel-Mengen bereits durch die Menge aller Quader erzeugt, also durch diejenigen Teilmengen, für die unmittelbar ein sinnvoller Volumenbegriff existiert. {{ inputbild |Ortoedro|png| 300px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Tomruen |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |R^n/Borel-Mengen/Durch Quader erzeugt/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Borel-Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 01m1gpuevi9ky5uvwfg6q08yrj88a1n 0 37001 1092393 871058 2026-06-01T13:39:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092393 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die folgenden Mengensysteme spielen in Beweisen eine wichtige Rolle. {{ inputdefinition |Dynkin-System/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Mengensystem/Durchschnittsstabiles Dynkin-System und Sigmaalgebra/Fakt|Lemma|| || }} Da der Durchschnitt von Dynkin-Systemen wieder ein Dynkin-System ist, gibt es zu jedem Mengensystem ein davon {{Stichwort|erzeugtes Dynkin-System|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Mengensystem/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem/Sigmaalgebra und Dynkin-System/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Dynkin |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fa03l3e3u32o9npdnzhl4dm9ln2m96l 0 37100 1092221 1018897 2026-06-01T13:12:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092221 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Prämaß/Endlich/Definition|| }} Wenn die Gesamtmenge {{math|term= M |SZ=}} zu {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} gehört, so ergibt sich die Endlichkeit des Prämaßes sofort aus der Bedingung {{mathl|term= \mu(M) < \infty|SZ=}} aufgrund der Monotonie. Für die Maßtheorie des euklidischen Raumes ist dieser Begriff zu stark, da ja der {{math|term= \R^n |SZ=}} kein endliches Volumen hat. Aber immerhin kann man den {{math|term= \R^n |SZ=}} durch die abzählbar vielen Kugeln {{ mathbed|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|k}} ||bedterm1= k \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} die selbst endliches Volumen haben, ausschöpfen. Diese Eigenschaft wird durch folgende Definition präzisiert. {{ inputdefinition |Prämaß/Sigma-endlich/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Endlich |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k0ez8ech8ykjj3gjlku64bby9n9cgyb 0 37250 1091990 1016907 2026-06-01T12:33:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1091990 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Messbare numerische Funktion/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Messbare numerische Funktion/Charakterisierung mit Urbilder von halbseitigen Intervallen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Messbare Funktionen/Rechenoperationen/Fakt|Lemma|| || }} Die vorstehende Aussage könnte man auch für {{math|term= {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=}} formulieren, wobei man dann allerdings noch einige Rechenregeln festlegen müsste. Mit den zusätzlichen Symbolen {{ mathkor|term1= +\infty |und|term2= -\infty |SZ= }} lassen sich insbesondere Grenzfunktionen von Funktionenfolgen einfach erfassen. Das {{Stichwort|Supremum einer Funktionenfamilie |SZ=}} ist punktweise durch {{ Relationskette/display | ({{op:sup|f_i |i \in I}}) (x) |{{defeq}}| {{op:sup|f_i(x)|i \in I}} || || || |SZ= }} definiert. Es kann den Wert {{math|term= \infty |SZ=}} annehmen, und zwar auch dann, wenn alle {{math|term= f_i |SZ=}} reellwertig sind. {{ inputfaktbeweis |Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Funktionenfolge/-1 durch n/Beschreibung des Supremums/Abweichung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Messbare numerische Funktion/Betragsfunktion messbar/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputdefinition |Numerische Funktion/Positiver und negativer Teil/Definition|| }} Dieses Konzept ist hilfreich, um Aussagen für beliebige Funktionen auf nichtnegative Funktionen zurückführen zu können. Man beachte, dass beide Teile nichtnegativ sind. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt |SZ= }} ist der positive als auch der negative Teil einer messbaren Funktionen wieder messbar. Es ist {{ Relationskette | f || f_+ -f_- || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Messbare numerische Funktionen/Punktweise konvergent/Grenzfunktion/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der messbaren numerischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2jer5va0xkuudsg985jc1wlj28bghrk 1092394 1091990 2026-06-01T13:39:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092394 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Messbare numerische Funktion/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Messbare numerische Funktion/Charakterisierung mit Urbilder von halbseitigen Intervallen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Messbare Funktionen/Rechenoperationen/Fakt|Lemma|| || }} Die vorstehende Aussage könnte man auch für {{math|term= {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=}} formulieren, wobei man dann allerdings noch einige Rechenregeln festlegen müsste. Mit den zusätzlichen Symbolen {{ mathkor|term1= +\infty |und|term2= -\infty |SZ= }} lassen sich insbesondere Grenzfunktionen von Funktionenfolgen einfach erfassen. Das {{Stichwort|Supremum einer Funktionenfamilie |SZ=}} ist punktweise durch {{ Relationskette/display | ({{op:sup|f_i |i \in I}}) (x) |{{defeq}}| {{op:sup|f_i(x)|i \in I}} || || || |SZ= }} definiert. Es kann den Wert {{math|term= \infty |SZ=}} annehmen, und zwar auch dann, wenn alle {{math|term= f_i |SZ=}} reellwertig sind. {{ inputfaktbeweis |Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Funktionenfolge/-1 durch n/Beschreibung des Supremums/Abweichung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Messbare numerische Funktion/Betragsfunktion messbar/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputdefinition |Numerische Funktion/Positiver und negativer Teil/Definition|| }} Dieses Konzept ist hilfreich, um Aussagen für beliebige Funktionen auf nichtnegative Funktionen zurückführen zu können. Man beachte, dass beide Teile nichtnegativ sind. Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare Funktionen/Abzählbare Indexmenge/Supremum und Infimum/Fakt |SZ= }} ist der positive als auch der negative Teil einer messbaren Funktionen wieder messbar. Es ist {{ Relationskette | f || f_+ -f_- || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Messbare numerische Funktionen/Punktweise konvergent/Grenzfunktion/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der messbaren numerischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 14efddz7fuvd7ntshgxzdtm4lbwfi4l 0 37357 1092430 983466 2026-06-01T13:45:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092430 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{:Maßraum/Metrischer Raum/Funktion/Situation|SZ=.}} Dann gibt es einerseits zu jedem {{ Relationskette | x |\in| M |SZ= }} die Funktion {{ Abbildung/display |name=f(-,x) |E| {{op:abschlussnum|\R|}} |t|f_x(t) {{=|}} f(t,x) |SZ=, }} die man auf Stetigkeit untersuchen kann, und andererseits für jeden {{Anführung|Parameter}} {{ Relationskette | t |\in| E || || || |SZ= }} die Funktion {{ Abbildung/display |name=f(t,-) |M| {{op:abschlussnum|\R|}} |x|f_t(x) {{=|}} f(t,x) |SZ= }} und dazu {{ Zusatz/Klammer |text=im Falle der {{ Definitionslink |Integrierbarkeit| |Kontext=Maß| |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} das {{ Definitionslink |Integral| |Kontext=Maß| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Integralmaß|f_t}} |SZ=.}} Wir interessieren uns für die Abhängigkeit von diesem Integral vom Parameter {{ Relationskette | t |\in| E || || || |SZ=. }} Um deutlich zu machen, dass über {{ Relationskette | x |\in| M |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nicht über {{ Relationskette/k | t |\in| E || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} integriert wird, schreiben wir manchmal {{mathl|term= {{op:Integralmaß|f_t|var=x}} |SZ=}} oder {{mathl|term= {{op:Integralmaß|f(t,x)|var=x}} |SZ=,}} wobei {{math|term= x |SZ=}} die Variable zu {{math|term= M |SZ=}} bezeichnet. {{ inputfaktbeweis |Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Parameterabhängiges Integral/Maßraum und reelles Intervall/Differenzierbarkeit/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Parameterabhängiges Integral/Maßraum und offene Teilmenge/Partielle Differenzierbarkeit/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvhpz8h0xpc577sudoxmuzm1mmwnnuk 0 37457 1092573 1074759 2026-06-01T14:09:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092573 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Topologische Räume/Homöomorph/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Basis/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition|| }} Im {{math|term= \R^n |SZ=}} gibt es {{ Definitionslink |überabzählbar| |Kontext=| |SZ= }} viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r}} |SZ=,}} deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien {{ Definitionslink |rationale Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} sind. {{ inputbild |Cylinder (PSF)|png| 160px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |espname=Cylinder_(PSF) |Text=Eine Zylinderoberfläche ist der Produktraum aus einer Kreislinie und einem Intervall. |Autor= |Benutzer=Pearson Scott Foresman |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nvc5z2d8om19k5dwmgfvuwcz1l18mya 0 37588 1092182 1018808 2026-06-01T13:05:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092182 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Differentialform/Grad p/Definition|| }} Wir bezeichnen die Menge der {{math|term= k |SZ=-}}Formen auf {{math|term= M |SZ=}} mit {{ Math/display|term= {{symbol:Differentialformen|M|k}} |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Mannigfaltigkeit/Differentialform/Interpretationen/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Differentialform/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Zu einer offenen Menge {{ Relationskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} hat man die Koordinatenfunktionen {{ Abbildung/display |name=x_j |V|\R || |SZ= }} zur Verfügung, die sich bei einer gegebenen Karte auf eine offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit übertragen. In jedem Punkt {{ Relationskette | Q |\in| V || || || |SZ= }} bilden die {{ mathbed|term= dx_j ||bedterm1= j=1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} eine Basis des Kotangentialraumes an {{math|term= Q |SZ=.}} Dies ist einfach die {{ Definitionslink |Dualbasis| |Kontext=| |SZ= }} der Standardbasis im umgebenden Raum {{math|term= \R^n |SZ=,}} den man auf ganz {{math|term= V |SZ=}} als Tangentialraum nimmt. Zu einer {{math|term= k |SZ=-}}elementigen Teilmenge {{ Relationskette/display | J || \{j_1 {{kommadots|}} j_k\} | \subseteq | \{1 {{kommadots|}} n\} || || || |SZ= }} setzt man {{ Relationskette/display | dx_J || dx_{j_1} {{wedgedots|}} dx_{j_k} || || || |SZ=, }} dies ist eine besonders einfache {{math|term= k |SZ=-}}Form auf {{math|term= V |SZ=.}} Für jeden Punkt {{ Relationskette | Q |\in| V || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | dx_J(Q) || (dx_{j_1} {{wedgedots|}} dx_{j_k} )(Q) || dx_{j_1}(Q) {{wedgedots|}} dx_{j_k} (Q) || e_{j_1}^* {{wedgedots|}} e_{j_k}^* || |SZ=. }} Die Wirkungsweise von dieser Form auf {{ Relationskette | v_1 {{wedgedots|}} v_k |\in| \bigwedge^k T_QV || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dachprodukt/Natürliche Dualität/Endlichdimensional/Fakt |Nr= |SZ= }} gegeben durch {{ Relationskette/display | {{makl| e_{j_1}^* {{wedgedots|}} e_{j_k}^* |}} (v_1 {{wedgedots|}} v_k) || {{op:Determinante| {{makl| e_{j_i}^*(v_\ell) |}}_{i \ell}|}} || {{op:Determinante| {{makl| (v_\ell)_{j_i} |}}_{i \ell}|}} || || |SZ=. }} Gemäß {{ Faktlink ||Faktseitenname= Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt |SZ= }} bilden die Auswertungen der Differentialformen {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term= j_1 {{smdots|}} j_k |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | dx_J || dx_{j_1} {{wedgedots|}} dx_{j_k} || || || |SZ= }} für jeden Punkt {{math|term= Q |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=lineare Algebra| |SZ= }} von {{mathl|term= \bigwedge^k T_Q^*V |SZ=,}} und daher lässt sich jede auf {{math|term= V |SZ=}} definierte {{math|term= k |SZ=-}}{{ Definitionslink |Differentialform| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |\omega |\in| {{symbol:Differentialformen|V|k}} || || || |SZ= }} eindeutig als {{ Relationskette/display | \omega || \sum_{J,\, {{op:Anzahl|J|}} {{=}} k} f_J dx_J || || || |SZ= }} schreiben mit eindeutig bestimmten Funktionen {{ Abbildung/display |name=f_J |V|\R || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Differentialform/Lokale Beschreibung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Pfaffsche Differentialform zu Funktion/Beschreibung mit partiellen Ableitungen/Fakt|Korollar||zusatz1={{{zusatz1|}}} || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Differentialformen auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4sk0dvpngxhvev98jlttpnlfxar3tl3 0 37683 1092380 1074664 2026-06-01T13:37:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092380 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu jedem Punkt {{ Relationskette | P |\in| M || || || |SZ= }} einer Mannigfaltigkeit gehört der {{ Definitionslink |Tangentialraum| |SZ= }} {{mathl|term= T_PM|SZ=.}} Der Tangentialraum ist ein {{math|term= n |SZ=-}}dimensionaler Vektorraum, wobei {{math|term= n |SZ=}} die Dimension der Mannigfaltigkeit ist. Seine Elemente sind die Tangentenvektoren, das sind {{Anführung|infinitesimale Richtungen}} an diesem Punkt. Solche Tangen{{drucktrenn}}ten-Richtungen an zwei verschiedenen Punkten haben zunächst einmal nichts miteinander zu tun, da ihre präzise Definition jeweils nur von beliebig kleinen offenen Umgebungen der Punkte abhängt, und da diese aufgrund der {{ Definitionslink |Hausdorff-Eigenschaft| |SZ= }} disjunkt gewählt werden können. Dem steht radikal die Vorstellung gegenüber, die sich mit einer offenen Menge {{ Relationskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} verbindet. Dort kann man für jeden Punkt {{ Relationskette | Q |\in| V || || || |SZ= }} den Tangentialraum {{mathl|term= T_QV |SZ=}} mit dem umgebenden Vektorraum {{math|term= \R^n |SZ=}} in natürlicher Weise identifizieren, indem man dem Vektor {{ Relationskette | v |\in| \R^n || || || |SZ= }} den Tangentenvektor zuordnet, der durch die lineare Kurve {{mathl|term= t \mapsto Q+tv |SZ=}} definiert wird. Da diese Identifizierung für jeden Punkt gilt, besteht zwischen den Tangentialräumen zu {{ Relationskette | Q |\in| V |\subseteq| \R^n || || |SZ= }} eine direkte Parallelität. Da eine Mannigfaltigkeit durch offene Mengen überdeckt wird, die diffeomorph zu offenen Mengen in einem euklidischen Raum sind, liegt die Vermutung nahe, dass die verschiedenen Tangentialräume doch nicht völlig isoliert dastehen. Das Konzept des {{Stichwort|Tangentialbündels|msw=Tangentialbündel|SZ=}} vereinigt alle Tangentialräume und ermöglicht es, die lokale Verbundenheit der Tangentialräume wiederzuspiegeln. {{ inputbild |Tangent bundle|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Tangent_bundle |Text=Zwei Visualisierungen des Tangentialbündels einer Kreislinie. Oben wird zu jedem Punkt {{math|term= P |SZ=}} des Kreises der Tangentialraum an den Kreis {{Anführung|tangential}} angelegt und als eindimensionaler affiner Unterraum im umgebenden {{math|term= \R^2 |SZ=}} realisiert. Diese Einbettung führt zu Überschneidungen, die es im Tangentialbündel aber nicht gibt, da der Basispunkt {{math|term= P |SZ=}} mitbedacht werden muss. Unten werden zu jedem Punkt des Kreises die Tangentialräume parallel angeordnet und es ergibt sich ein Zylinder. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Definition|| }} Ein Punkt {{ Relationskette | u |\in| TM || || || |SZ= }} in einem Tangentialbündel besitzt also stets einen {{Stichwort|Basispunkt|SZ=}} {{ Relationskette | P |\in| M || || || |SZ= }} und ist ein Element im Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=.}} Man schreibt einen solchen Punkt zumeist als {{mathl|term= (P,v) |SZ=}} mit {{ Relationskette | P |\in| M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v |\in| T_PM || || || |SZ=. }} Für eine offene Menge {{ Relationskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | TV || V \times \R^n || || || |SZ=, }} also ein Produktraum. Dies gilt im Allgemeinen nicht für eine beliebige Mannigfaltigkeit. Das Tangentialbündel bringt zunächst einmal nur die verschiedenen Tangentialräume disjunkt zusammen, ohne dass verschiedene Tangentialräume miteinander identifiziert würden; allerdings entsteht durch die Topologie, die wir auf dem Tangentialbündel gleich einführen werden, eine zusätzliche {{Anführung|Nachbarschaftsstruktur}} zwischen den Tangentialräumen. {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Tangentialabbildung/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Karte/Tangentialbündel/Naheliegende Topologie/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel/Mit Topologie/Definition|| }} Insbesondere ist für jede offene Menge {{ Relationskette | U |\subseteq| M || || || |SZ= }} das Urbild {{ Relationskette | \pi^{-1}(U) || TU | \subseteq | TM || || || || |SZ= }} offen, d.h. die Projektion {{math|term= \pi |SZ=}} ist stetig. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Abbildung/Tangentialabbildung/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxcy6t1tynf4ajdjvkmcr4kq3lagqw8 0 37686 1092428 1074699 2026-06-01T13:45:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092428 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} zwei zweidimensionale reelle Vektorräume mit den Basen {{ mathkor|term1= v_1,v_2 |bzw.|term2= w_1,w_2 |SZ=. }} Es sei eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |V|W || |SZ= }} gegeben mit {{mathl|term= \varphi(v_1) = aw_1 +bw_2 |SZ=}} und {{mathl|term= \varphi(v_2) = cw_1 + dw_2 |SZ=.}} Die Matrix, die diese lineare Abbildung beschreibt, ergibt sich, indem man die Koordinaten des Bildvektors des {{math|term= i |SZ=-}}ten Basisvektors als {{math|term= i |SZ=-}}te Spalte schreibt. Bei der gegebenen Nummerierung ergibt sich also die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|a|c|b|d}} |SZ=, }} und ihre Determinante ist {{mathl|term= ad-cb|SZ=.}} Wenn man hingegen die Reihenfolge von {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} vertauscht {{ Zusatz/Klammer |text=also mit der Basis {{mathlk|term=u_1=v_2 |SZ=}} und {{mathlk|term= u_2=v_1 |SZ=}} arbeitet| |ISZ=|ESZ=, }} so ist die beschreibende Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|c|a|d|b}} |SZ= }} mit der Determinante {{mathl|term= cb-ad=-(ad-cb) |SZ=.}} Abhängig von der gewählten Basis kann also die Determinante mal positiv, mal negativ sein {{ Zusatz/Klammer |text=bei einem Endomorphismus kann das nicht passieren, wenn man vorne und hinten stets die gleiche Basis nimmt| |ISZ=|ESZ=. }} Im Folgenden ist es wichtig, dass man unter einer Basis nicht die Menge der Basisvektoren {{mathl|term= \{v_1 {{kommadots|}} v_n\} |SZ=,}} sondern das geordnete Tupel {{mathl|term= (v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ=}} der Basisvektoren versteht. {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierungsgleiche Basen/Definition|| }} Diese Relation zwischen Basen ist eine Äquivalenzrelation, und zwar eine, bei der es nur zwei Äquivalenzklassen {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{Stichwort|Orientierungen|msw=Orientierung|SZ=}} oder {{Stichwort|Orientierungsklassen|msw=Orientierungsklasse|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gibt {{ Zusatz/Klammer |text=außer beim Nullraum| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierung als Äquivalenzklasse/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Es ist einfach, zu bestimmen, ob zwei Basen die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung besitzen, es macht aber keinen Sinn, die einzelnen Orientierungen zu benennen. {{ inputbild |Kulifeder|JPG| 250px {{!}} left {{!}} | |Text=Viele Objekte aus Natur und Technik machen deutlich, dass es zwei verschiedene Orientierungen gibt. Es ist einfach, bei gleichartigen Objekten wie Federn die mit der gleichen und die mit der entgegengesetzten Orientierung zu erkennen. |Autor= |Benutzer=Ghinrael |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Ressort de compression|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Ressort_de_compression |Text=Die Benennung der beiden Orientierungen und welchen mathematischen (durch eine Basis repräsentierten) Orientierungen sie entsprechen ist eine Frage der Konvention. |Autor= |Benutzer=Jean-Jacques MILAN |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierter Vektorraum/Definition|| }} Ein Vektorraum wird dadurch orientiert, indem man beispielsweise sagt, dass {{math|term= V |SZ=}} die Orientierung tragen möge, die durch die Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} repräsentiert wird. Der Standardraum {{math|term= \R^n |SZ=}} trägt, wenn nichts anderes gesagt wird, die sogenannte {{Stichwort|Standardorientierung|SZ=,}} die durch die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} repräsentiert wird. {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientiert/Isomorphismus/Orientierungstreu/Definition|| }} Es genügt, diese Eigenschaft für eine einzige, die Orientierung repräsentierende Basis nachzuweisen, siehe {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Linearer Isomorphismus/Orientierungstreu/Test auf einer Basis/Aufgabe |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qygviyhw39zxv6bfnyhxm9ep2q27dn9 0 37786 1092609 1009244 2026-06-01T14:15:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092609 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ=. }} Wir konstruieren das sogenannte {{math|term= n |SZ=-}}te {{Stichwort|Dachprodukt|SZ=}} von {{math|term= V |SZ=}} mit sich selbst, geschrieben {{mathl|term= \bigwedge^n V |SZ=.}} Dazu betrachten wir die Menge {{math|term= S |SZ=}} aller Symbole der Form {{ Math/display|term= { (v_1 {{kommadots|}} v_n)} \text{ mit } v_i \in V |SZ= }} und die zugehörige Menge der {{mathl|term= e_{ (v_1 {{kommadots|}} v_n) } |SZ=.}} Wir betrachten den Vektorraum {{ Relationskette/display | {{{H|H}}} || K^{(S)} || || || |SZ=, }} das ist die Menge aller {{ Zusatz/Klammer |text=endlichen| |ISZ=|ESZ= }} Summen {{ Math/display|term= a_1 e_{s_1} {{plusdots|}} a_ke_{s_k} \text{ mit } a_i \in K \text{ und } s_i \in S |SZ=, }} die {{math|term= e_s |SZ=}} bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes {{mathl|term= {{op:Abbildungsmenge|S|K}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=es handelt sich bei {{math|term= {{{H|H}}} |SZ=}} um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente {{ Relationskette | s |\in| S || || || |SZ= }} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} haben| |ISZ=|ESZ=. }} In {{math|term= {{{H|H}}} |SZ=}} betrachten wir den Untervektorraum {{math|term= U |SZ=,}} der von den folgenden Elementen erzeugt wird {{ Zusatz/Klammer |text=die man die {{Stichwort|Standardrelationen|msw=Standardrelation|SZ=}} des Dachprodukts nennt| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Math/display|term= e_{ (v_1 {{kommadots|}} v_{i-1} , v +w , v_{i+1} {{kommadots|}} v_{n}) } - e_{ (v_1 {{kommadots|}} v_{i-1} , v , v_{i+1} {{kommadots|}} v_{n}) } - e_{ (v_1 {{kommadots|}} v_{i-1} , w , v_{i+1} {{kommadots|}} v_{n}) } |SZ= }} für beliebige {{ Relationskette | v_1 {{kommadots|}} v_{i-1},v_{i+1} {{kommadots|}} v_n,v,w |\in| V || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= e_{(v_1 {{kommadots|}} v_{i-1} , a v , v_{i+1} {{kommadots|}} v_{n})} - a e_{(v_1 {{kommadots|}} v_{i-1} , v , v_{i+1} {{kommadots|}} v_{n})} |SZ= }} für beliebige {{ Relationskette | v_1 {{kommadots|}} v_{i-1},v_{i+1} {{kommadots|}} v_n,v |\in| V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a |\in| K || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= e_{(v_1 {{kommadots|}} v_{i-1} , v , v_{i+1} {{kommadots|}} v_{j-1} , v, v_{j+1} {{kommadots|}} v_{n}) } |SZ= }} für {{ Relationskette | i | < | j || || || |SZ= }} und beliebige {{ Relationskette | v_1 {{kommadots|}} v_{i-1},v_{i+1} {{kommadots|}}, v_{j-1},v_{j+1} {{kommadots|}} v_n,v |\in| V || || || |SZ=. }} Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Terme zu {{math|term= 0 |SZ=}} macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft. Man setzt nun {{ Relationskette/display | \bigwedge^n V | {{defeq|}} | {{{H|H}}}/U || || || |SZ=, }} d.h. man bildet den {{ Definitionslink |Restklassenraum| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= {{{H|H}}} |SZ=}} modulo dem Unterraum {{math|term= U |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bddwhkvg69spwqpmcydhuwvap7glwqd 0 38115 1092395 957254 2026-06-01T13:39:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092395 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Menge/Ausschöpfung/Definition|| }} Der {{math|term= \R^k |SZ=}} wird beispielsweise durch die Bälle {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|0|n}} |SZ=}} oder die Würfel {{mathl|term= [-n,n]^k |SZ=}} ausgeschöpft. {{ inputdefinition |Menge/Schrumpfung/Definition|| }} Beispielsweise ist eine reelle {{ Definitionslink |Intervallschachtelung| |Kontext=| |SZ= }} eine Schrumpfung, bei der der Durchschnitt über alle beteiligten Mengen nur aus einem einzigen Punkt besteht. Bei einer {{math|term= \sigma|SZ=-}}Algebra {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} gehört mit einer jeden solchen auf- oder absteigenden Folge von Teilmengen {{math|term= T_n |SZ=}} auch die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zu {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=.}} Bei einem Prämaß auf einen Präring setzen wir, wenn wir von Ausschöpfung bzw. Schrumpfung sprechen, voraus, dass die Vereinigung bzw. der Durchschnitt zum Präring gehören. Wir fassen einige Rechenregeln für Prämaße zusammen. {{ inputfaktbeweis |Prämaß/Rechenregeln/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}|zusatz2={{{zusatz2|}}}|zusatz3={{{zusatz3|}}}| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Ausschöpfung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 22mpvyosp89n99qnm1h9l4gxz0gqgyh 0 38546 1092309 773733 2026-06-01T13:25:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092309 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Satz über implizite Abbildungen/Globale Diffeomorphismen/Induzierte Diffeomorphismen zwischen Faser und Achsenräumen/Fakt|Satz|| || }} Für die Faser selbst ergibt sich daraus die Struktur einer Mannigfaltigkeit. Der Satz über implizite Abbildungen beschert uns also mit einer riesigen Klasse von Mannigfaltigkeiten. Es handelt sich dabei um sogenannte {{Stichwort|abgeschlossene Untermannigfaltigkeiten|msw=Abgeschlossene Untermannigfaltigkeit|SZ=,}} die wir bald, wenn wir Tangentialräume zur Verfügung haben, systematischer behandeln werden. {{ inputfaktbeweis |Satz über implizite Abbildungen/Faser ist Mannigfaltigkeit/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t56lwil1fldeyh1ib71c3gmlil2ndbs 0 38553 1092192 1018842 2026-06-01T13:07:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092192 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine {{ Definitionslink |Prämath=C^k |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mfk| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |M|\R || |SZ= }} von einer {{ Definitionslink |differenzierbaren Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} in die reellen Zahlen nennt man auch eine {{math|term= C^k |SZ=-}}{{Stichwort|differenzierbare Funktion|SZ=.}} Nach Definition bedeutet das einfach, dass für jede Karte {{ Abbildung/display |name=\alpha |U|V || |SZ= }} die zusammengesetzte Funktion {{ Abbildung/display |name=f \circ \alpha^{-1} |V|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath=C^k |Funktion| |Kontext=differenzierbar R^n | |SZ= }} ist. Die Menge aller {{math|term= C^k |SZ=-}}Funktionen auf {{math|term= M |SZ=}} werden mit {{mathl|term= C^k(M,\R) |SZ=}} bezeichnet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktionen/Strukturelle Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Insbesondere bilden die differenzierbaren Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit einen {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{ Abbildung/display |name=\alpha |U|V || |SZ= }} eine Karte ist mit {{ Relationskette | V | \subseteq| \R^n || || || |SZ= }} offen, so liefert jede Projektion {{math|term= x_i |SZ=}} eine differenzierbare Funktion {{ Abbildung/display |name= x_i \circ \alpha |U|\R || |SZ=, }} die meistens wieder mit {{math|term= x_i |SZ=}} bezeichnet wird. Man sagt dann, dass die Funktionen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} {{Stichwort|differenzierbare Koordinaten|msw=Differenzierbare Koordinate|SZ=}} für {{ Relationskette | U |\subseteq| M || || || |SZ= }} bilden. Für eine stetig differenzierbare Funktion {{ Abbildung/display |name=f |U|\R || |SZ= }} ist nach Definition die Funktion {{ Abbildung/display |name=f \circ \alpha^{-1} |V|\R || |SZ= }} {{ Definitionslink | stetig differenzierbar| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. für jedes {{math|term= i |SZ=}} existieren die {{ Definitionslink | partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung|(f \circ \alpha^{-1})|x_i}} |SZ=, }} die wiederum {{ Zusatz/Klammer |text=stetige| |ISZ=|ESZ= }} Funktionen auf {{math|term= V |SZ=}} sind. Daher sind {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung|(f \circ \alpha^{-1}) |x_i}} \circ \alpha |SZ= }} Funktionen auf {{math|term= U |SZ=.}} Diese werden im Allgemeinen einfach wieder mit {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oraul38ikjrl1cxdqznhvhkcq1gxk23 0 39852 1092125 1018689 2026-06-01T12:56:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092125 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputkonstruktion |Vektorraum/Dachprodukt/Konstruktion/Textabschnitt|| }} Die Elemente {{mathl|term= e_{(v_1 {{kommadots|}} v_n)} |SZ=}} bilden dabei ein Erzeugendensystem von {{math|term= {{{H|H}}} |SZ=.}} Die Restklasse von {{mathl|term= e_{(v_1 {{kommadots|}} v_n)} |SZ=}} modulo {{math|term= {{{U|U}}} |SZ=}} bezeichnen wir mit{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}}|text={{:Dachprodukt/Bedeutung mittels Parallelotopen/Bemerkung|opt=Text}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= v_1 {{wedgedots|}} v_n |SZ=. }} Die Erzeuger von {{math|term= U |SZ=}} werden dann zu den Rechenregeln{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Es gilt die Klammerungskonvention {{Anführung|Dachprodukt vor Punktrechnung|SZ=,}} d.h. der Ausdruck {{mathl|term= a v_1 \wedge \ldots \wedge v_n |SZ=}} ist als {{mathl|term= a (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n) |SZ=}} zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten {{ Relationskette/display | a (v_1 \wedge \ldots \wedge v_n) ||(av_1) \wedge \ldots \wedge v_n ||v_1 \wedge \ldots \wedge (av_n) || || |SZ=. }} |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/drucklinks |v_1 {{wedgedots|}} v_{i-1} \wedge (v +w ) \wedge v_{i+1} {{wedgedots|}} v_{n} |{{=}} {{latexziehziehziehzieh|}} | {{latexziehziehzieh|}} v_1 {{wedgedots|}} v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} {{wedgedots|}} v_{n} \, + \, v_1 {{wedgedots|}} v_{i-1} \wedge w \wedge v_{i+1} {{wedgedots|}} v_{n} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display/handlinks |v_1 {{wedgedots|}} v_{i-1} \wedge av \wedge v_{i+1} {{wedgedots|}} v_{n} ||a \cdot v_1 {{wedgedots|}} v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} {{wedgedots|}} v_{n} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |v_1 {{wedgedots|}} v_{i-1} \wedge v \wedge v_{i+1} {{wedgedots|}} v_{j-1} \wedge v \wedge v_{j+1} {{wedgedots|}} v_{n} || 0 || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Dachprodukt/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Multilineare Algebra (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ej61zsi6ywlmreid9niczdp9oypy1tq 0 39853 1092124 1018683 2026-06-01T12:56:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092124 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Transformation mit Determinante/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis2 |Dachprodukt/Universelle Eigenschaft/Alternierende Formen und Linearformen/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Basis/Fakt|Satz|| }} Bei {{mathl|term= V=K^m |SZ=}} mit der Standardbasis {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_m |SZ=}} nennt man die {{ mathbed|term= e_{i_1} {{wedgedots|}} e_{i_n} |mit|bedterm1= i_1 < \ldots < i_n ||bedterm2= |SZ= }} die {{Stichwort|Standardbasis|SZ=}} von {{mathl|term= \bigwedge^n K^m |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt|Korollar|| || }} Insbesondere ist die äußere Potenz für {{math|term= n=0 |SZ=}} eindimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathl|term= \bigwedge^0 V= K |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und für {{math|term= n=1 |SZ=}} {{math|term= m |SZ=-}}dimensional {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{mathl|term= \bigwedge^1 V= V |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für {{mathl|term= n= m |SZ=}} ist {{math|term= \bigwedge^m V |SZ=}} eindimensional, und die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ= }} induziert {{ Zusatz/Klammer |text=nach einer Identifizierung von {{math|term= V |SZ=}} mit {{math|term= K^m |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} einen {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\bigwedge^m V | K |(v_1 {{kommadots|}} v_m) | {{op:Determinante| (v_1 {{kommadots|}} v_m) |}} |SZ=. }} Für {{mathl|term= n >m|SZ=}} sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension {{math|term= 0 |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Multilineare Algebra (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h0jn1l5w8lo2uo8p4dpn3kjmubhc8es 3 39908 1092773 1078307 2026-06-01T16:53:32Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* This Month in Education: May 2026 */ 1092773 wikitext text/x-wiki == Hinweis == FYI: Du hast Mail. :)--[[Benutzer:Aschmidt|Aschmidt]] ([[Benutzer Diskussion:Aschmidt|Diskussion]]) 13:43, 30. Mär. 2013 (CET) * Hallo, ich stelle meine Inhalte von Moodle gerne zur Verfügung! Was müsste ich denn tun? Und ich habe heute bereits begonnen, mit anderen KollegInnen zu sprechen. --[[Benutzer:Birkenkrahe|msb]] ([[Benutzer Diskussion:Birkenkrahe|Diskussion]]) 17:56, 11. Apr. 2013 (CEST) ::Das einfachste wäre es, Kontakt mit Jan Luca aufzunehmen, dass er aus einer Sicherung eines ersten Moodle-Kurses eine Kopie in der moodle-Sandbox des WMFlabs-Servers implementiert. So habe ich es mit meinem Kurs "Freies Wissen" gemacht. Ich würde mir den Kurs dann ansehn; dann sollten wir eine Strategie entwickeln, welche Inhalte in welcher Form auf Wikiversity kopiert und dann zur Integration in Kurse anderer Nutzer integriert werden können. Aus diesem Beispiel könnten wir dann eine Kurzanleitung für das uploaden von Kursinhalten entwickeln. --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 12:32, 12. Apr. 2013 (CEST) :::Unser plugin in Moodle selbst funktioniert jetzt, d.h. wir können Wikiversity-Inhalte in Moodle anbieten. Das ist eigentlich genau das, was ich brauche. Unsere IT sagt: «das PlugIn funktioniert. Ihr könnt es Euch hier anschauen: (...) Nach Rücksprache mit D würden wir es auf das Produktivsystem übernehmen, sobald das Plugin reviewed und über Moodle.org verfügbar ist. Es handelt sich hier technisch gesehen um einen Filter, der Performanceeinbußen hervorrufen könnte – wir behalten das also im Blick. ;-)»--[[Benutzer:Birkenkrahe|msb]] ([[Benutzer Diskussion:Birkenkrahe|Diskussion]]) 15:07, 24. Apr. 2013 (CEST) == This Month in Education: April 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 4, April 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Survey research and design in psychology - Example of a Wikiversity resource|Survey research and design in psychology - Example of a Wikiversity resource]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2013/Wikimedia Argentina's educational strategic plan|Wikimedia Argentina's educational strategic plan]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Wikiversity and Moodle|Wikiversity and Moodle]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Czech program flourishes|Czech program flourishes]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Egypt program celebrates end of second term|Egypt program celebrates end of second term]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/April 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:35, 15. Apr. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0414 --> =@Löschvorgang= ''Hallo Chi-Vinh, von Dir wurde in 2011 der [[Kurs:Advanced_Corporate_Finance]],[[Kurs:Business_English_1]] angelegt. Die Seite ist allerdings leer. Kann die Seite gelöscht werden? --[[Benutzer:Wvk|Wvk]] ([[Benutzer Diskussion:Wvk|Diskussion]]) 09:30, 13. Mai 2013 (CEST)'' Die Inhalte sind in den Menüpunkten. Können wir es zu meiner Benutzerseite verschieben ? [[Benutzer:Chi-Vinh|Chi-Vinh]] ([[Benutzer Diskussion:Chi-Vinh|Diskussion]]) 01:10, 15. Mai 2013 (CEST) == This Month in Education: May 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 5, May 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/First ever medical school education program pilot begins at UCSF|First ever medical school education program pilot begins at UCSF]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/7th grade Wikipedia project in Geneva|7th grade Wikipedia project in Geneva]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Wiki Education Foundation proposed|Wiki Education Foundation proposed]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Wikiversity-Moodle project is moving on|Wikiversity-Moodle project is moving on]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Principles of radiation astronomy in Wikiversity|Principles of radiation astronomy in Wikiversity]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Trophy Case highlights good student work|Trophy Case highlights good student work]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/May 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 19:00, 15. Mai 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0449 --> == This Month in Education: June 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 6, June 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Growing contributions from wikiArS initiative|Growing contributions from wikiArS initiative]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/German Wikiversity continues its relaunch|German Wikiversity continues its relaunch]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/English Wikipedia program seeks Ambassadors|English Wikipedia program seeks Ambassadors]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Italian nursing students and Wikipedia|Italian nursing students and Wikipedia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/June 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 16:15, 17. Jun. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0492 --> == This Month in Education: July 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 7, July 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013/Students' articles nominated for Featured Article|Students' articles nominated for Featured Article]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/July 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 00:45, 17. Jul. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0526 --> == This Month in Education: August 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 8, August 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/EduWiki Conference 2013 - Call for Proposals|EduWiki Conference 2013 - Call for Proposals]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/The Singapore Management University Constitutional and Administrative Law Wikipedia Project – putting accurate and free information about Singapore law on the Internet|The Singapore Management University Constitutional and Administrative Law Wikipedia Project – putting accurate and free information about Singapore law on the Internet]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Videos from Open Educational Resources conference|Videos from Open Educational Resources conference]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Welcome to Sophie Österberg and Tighe Flanagan|Welcome to Sophie Österberg and Tighe Flanagan]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/August 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 00:00, 21. Aug. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0561 --> == This Month in Education: September 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 9, September 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Wikimania pre-conference draws crowd|Wikimania pre-conference draws crowd]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Student leader achieves Featured Article|Student leader achieves Featured Article]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Spanish-as-a-foreign-language students at ITESM-Mexico City Campus upload photographs on Mexico to Commons|Spanish-as-a-foreign-language students at ITESM-Mexico City Campus upload photographs on Mexico to Commons]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:30, 16. Sep. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0585 --> == This Month in Education: October 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/September 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 10, October 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Students to Uganda, Swedish for Immigrants, university staff and researchers and a group of principals|Students to Uganda, Swedish for Immigrants, university staff and researchers and a group of principals]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Connect with others using Wikipedia in education – invitation to EduWiki Conference 2013|Connect with others using Wikipedia in education – invitation to EduWiki Conference 2013]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Two project starts in October for Tec de Monterrey, Mexico City campus|Two project starts in October for Tec de Monterrey, Mexico City campus]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/WikiProject Open launches on English Wikipedia|WikiProject Open launches on English Wikipedia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Demystifying Wikipedia at Singapore Management University|Demystifying Wikipedia at Singapore Management University]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Provide feedback on Welcome to Wikipedia brochure|Provide feedback on Welcome to Wikipedia brochure]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/October 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 21:10, 15. Okt. 2013 (CEST) </div> <!-- EdwardsBot 0605 --> == This Month in Education: November 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 11, November 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/EduWiki Conference 2013 convenes in Cardiff|EduWiki Conference 2013 convenes in Cardiff]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Notes from Tec de Monterrey-Mexico City Campus|Notes from Tec de Monterrey-Mexico City Campus]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/"Students Write Wikipedia" in the Czech Republic again|"Students Write Wikipedia" in the Czech Republic again]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Plagiarism study results released|Plagiarism study results released]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/More than 50 gather to celebrate third Egypt term|More than 50 gather to celebrate third Egypt term]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Feedback sought on new Welcome to Wikipedia draft|Feedback sought on new Welcome to Wikipedia draft]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Wikimedia Diversity Conference 2013 in Berlin|Wikimedia Diversity Conference 2013 in Berlin]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/November 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]] &middot; Distributed via [[m:Global message delivery|Global message delivery]], 23:35, 18. Nov. 2013 (CET) </div> <!-- EdwardsBot 0655 --> == This Month in Education: December 2013 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 2, Issue 12, December 2013</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/International Seminar Wikipedia and University: Research and Teaching Experiences|International Seminar Wikipedia and University: Research and Teaching Experiences]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Final report on "Silberwissen" available in English|Final report on "Silberwissen" available in English]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Planning the future of course pages|Planning the future of course pages]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Day of the Dead photo contest winners|Day of the Dead photo contest winners]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/December 2013/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]].</div> |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=6449078 --> == This Month in Education: January 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 1, January 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Wikimedia Deutschland starts alliance for Open Educational Resources (OER) Berlin discusses introduction of OER in schools|Wikimedia Deutschland starts alliance for Open Educational Resources (OER); Berlin discusses introduction of OER in schools]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Next EduWiki conference slated for Serbia|Next EduWiki conference slated for Serbia]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Presentation on Wikipedia at the 8th Congress of Innovation and Educational Technology in Monterrey, Mexico|Presentation on Wikipedia at the 8th Congress of Innovation and Educational Technology in Monterrey, Mexico]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Presentation on Wikipedia at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne|Presentation on Wikipedia at the Swiss Federal Institute of Technology in Lausanne]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/January 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. </div> |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=6946416 --> == This Month in Education: February 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 2, February 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wikimania still accepting submissions for Education related presentations|Wikimania still accepting submissions for Education related presentations]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wikimedia Deutschland: Summany of activities in January 2014|Wikimedia Deutschland: Summany of activities in January 2014]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Wiki Borregos begin Spring 2014 projects|Wiki Borregos begin Spring 2014 projects]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Free online course: Writing Wikipedia Articles|Free online course: Writing Wikipedia Articles]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Turning senior Czech citizens into Wikipedians|Turning senior Czech citizens into Wikipedians]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Editing Wikipedia brochure helps newbies learn basics|Editing Wikipedia brochure helps newbies learn basics]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/New features for course pages released|New features for course pages released]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Interactive elements added to editing tutorials|Interactive elements added to editing tutorials]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/February 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Ldavis (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=7433275 --> == This Month in Education: March 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 3, March 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Education Cooperative Kickoff Meeting in Prague|Education Cooperative Kickoff Meeting in Prague]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Frank Schulenburg selected as Wiki Ed executive director|Frank Schulenburg selected as Wiki Ed executive director]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in February 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in February 2014]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Teaching students to use Wikipedia critically as a first source in research|Teaching students to use Wikipedia critically as a first source in research]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Welcome, Floor Koudijs!|Welcome, Floor Koudijs!]] * [[outreach:Education Portal/Newsletter/March 2014/Articles of Interest in other publications|Articles of Interest in other publications]] <div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education Portal/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education Portal/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=7867845 --> == This Month in Education: April 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/April 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 4, April 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Consolidation of Portals and newsletter for the Global Education Program|Consolidation of Portals and newsletter for the Global Education Program]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Remembering Adrianne Wadewitz|Remembering Adrianne Wadewitz]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Remembering Cynthia Ashley-Nelson|Remembering Cynthia Ashley-Nelson]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Engineering students in Panama work on Spanish Wikipedia|Engineering students in Panama work on Spanish Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Jisc/ Wikimedia UK partnership|Jisc/ Wikimedia UK partnership]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Wikimedia Sverige: New resource for Swedish teachers on Wikiversity|Wikimedia Sverige: New resource for Swedish teachers on Wikiversity]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in March 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in March 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Happenings at Tec de Monterrrey, Mexico City Campus|Happenings at Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Educational programming continues on Wikinews|Educational programming continues on Wikinews]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Welcome, Anna Koval!|Welcome, Anna Koval!]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/Exploratory research started for setting up a Wikpedia Education program in the Netherlands|Exploratory research started for setting up a Wikipedia Education program in the Netherlands]] * [[outreach:Education/Newsletter/April 2014/LiAnna Davis joins Wiki Ed as head of communications and external relations|LiAnna Davis joins Wiki Ed as head of communications and external relations]] </div></div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[User:AKoval (WMF)|Anna Koval (WMF)]] ([[user talk:AKoval (WMF)|talk]]) 23:45, 15. Apr. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8163849 --> == This Month in Education: May 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/May 2014|<font color=darkslategray>This Month in Education – Volume 3, Issue 5, May 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 10pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 28em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 28em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 28em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wiki Camp 2014 at Vanadzor|Wiki Camp 2014 at Vanadzor]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/EduWiki Conference in Belgrade 2014|EduWiki Conference in Belgrade 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Participation of "Servicio Social" students in Wikipedia grows at Tec de Monterrey|Participation of "Servicio Social" students in Wikipedia grows at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in April 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in April 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Wikimedia Sverige: Meeting the educators|Wikimedia Sverige: Meeting the educators]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Egyptian students and professors celebrate last term's accomplishments|Egyptian students and professors celebrate last term's accomplishments]] * [[outreach:Education/Newsletter/May 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] </div></div> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 85%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:08, 15. Mai 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8517082 --> == This Month in Education: June 2014 == {| style="width: 100%;" | valign="top" align="center" style="border: 1px gray solid; padding: 1em;" | {| |- | <center></center><br/> <hr/> <div style="font-size: 18pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; ">[[outreach:Education/Newsletter/June 2014|<font color="black">This Month in Education – Volume 3, Issue 6, June 2014</font>]]</div> <hr/><br /> <div style="font-size: 15pt; font-family: Times New Roman; text-align: center; "> |- style="text-align: center;" |<font style="font-size: 15pt; font-family: Times New Roman;"> '''<u>Headlines</u>'''</font> |- style="font-size: 12pt; font-family: Times New Roman; text-align: center;" |<div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikipedia Education Project in Uruguay|Wikipedia Education Project in Uruguay]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Sanothimi Campus celebrates 12 years of Nepali Wikipedia|Sanothimi Campus celebrates 12 years of Nepali Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikipedia Primary School Project|Wikipedia Primary School Project]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Israeli Ministry of Education and Wikipedia collaboration: teachers and students will be trained to write Wikipedia articles|Israeli Ministry of Education and Wikipedia collaboration: teachers and students will be trained to write Wikipedia articles]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Serbia teacher education course accredited by the Republic of Serbia|Wikimedia Serbia teacher education course accredited by the Republic of Serbia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Geneva education department produces two films on Wikipedia editing by students|Geneva education department produces two films on Wikipedia editing by students]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Busy 2014 for Education at Wikimedia UK, so far|Busy 2014 for Education at Wikimedia UK, so far]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Getting ready for WikiCamp 2014 Armenia|Getting ready for WikiCamp 2014 Armenia]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/News from Tec de Monterrey, Mexico City Campus|News from Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in May 2014|Wikimedia Deutschland: Summary of activities in May 2014]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Czech senior citizen program supported by a WMF grant|Czech senior citizen program supported by a WMF grant]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wikimedia Sverige: Classrooms and ambassadors|Wikimedia Sverige: Classrooms and ambassadors]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Wiki Education Foundation attends WikiConference USA|Wiki Education Foundation attends WikiConference USA]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Update on the education portal|Update on the education portal]] * [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] </div></div> |- | style="font-size:12pt; font-family:Times New Roman; text-align:center;" | <center><small>'''[[outreach:Education/Newsletter/June_2014/Highlights|Highlights]] {{·}} [[outreach:Education/Newsletter/June 2014/Single|Single page edition]]'''</small></center> |- | valign="top" colspan="2" style="padding: 0.5em; font-family: Times New Roman; text-align: center; font-size: 90%; " | To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. |- |} |} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 07:12, 16. Jun. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|please update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=8872797 --> == This Month in Education: July 2014 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr/> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2014|<font color="black">This Month in Education – Volume 3, Issue 7, July 2014</font>]]</div> <hr /> <div style="text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July_2014|Headlines]] • [[outreach:Education/Newsletter/July_2014/Highlights|Highlights]] • [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Single|Single page edition]]</div> <hr/> <br> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Macedonian internet marketing students learn about Wikipedia and suggest ways to improve its fundraising|MACEDONIA: Internet marketing students learn about Wikipedia and suggest ways to improve its fundraising]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Haifa University students write Wikipedia articles for academic credit|ISRAEL: Haifa University students write Wikipedia articles for academic credit]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Editing about Literary Theory in UNAM|MEXICO: Editing about Literary Theory in UNAM]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Professor training continues as part of the Wiki Learning program|MEXICO: Professor training continues as part of the Wiki Learning program]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Czech education program presented at BarCamp, a free conference of Czech language|CZECH REPUBLIC: Education program presented at BarCamp]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Wikimedia Deutschland: Summary of activities in June 2014|GERMANY: Wikimedia Deutschland June Activities]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/6th International Integrity and Plagiarism Conference|UK: 6th International Integrity and Plagiarism Conference]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/VLE content reuse at Wikimania|UK: VLE content reuse at Wikimania]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/The Wikipedia Library|TWL: The Wikipedia Library]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Wikimedia Learning & Evaluation will launch a quarterly newsletter|WMF: Learning & Evaluation to publish quarterly newsletter]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Updates from Wikipedia Education Program and the Education Collaborative|WMF: Updates from the Wikipedia Education Program and the Wikipedia Education Collaborative]] * [[outreach:Education/Newsletter/July 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Brazil, South Africa, The Signpost, and more]] </div> <div style="padding: 0.5em; text-align: center; font-size: 0.9em;"><br> To assist with preparing the newsletter, please visit the [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|newsroom]]. Past editions may be viewed [[outreach:Education/Newsletter/Archives|in the archives]]. </div></div></div> 16:07, 15. Jul. 2014 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9198271 --> == ''This Month in Education'': August 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Wikimania: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Education at Wikimania|Education at Wikimania]] * U.S & Canada: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/U.S. and Canada Program Spring 2014 wrap-up|U.S. and Canada Program Spring 2014 wrap-up]] * Taiwan: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Taiwan dreams of Open Knowledge|Wikimedia Taiwan dreams of Open Knowledge]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Vanadzor again welcomes WikiCamp|Vanadzor, Armenia again welcomes WikiCamp]] * Netherlands: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Pilot project by Wikimedia Nederland|Education pilot projects by Wikimedia Nederland]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Sweden creates Open Badges|Wikimedia Sverige creates Open Badges for education program]] * Germany: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Wikimedia Deutschland's July report|Wikimedia Deutschland's July education activities]] * Tech: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/VisualEditor for students|VisualEditor for students and educators]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Israel, India, Armenia, Ukraine]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 23:39, 19. Aug. 2014 (CEST) </div></div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9576931 --> == ''This Month in Education'': September 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Wikipedia Education Collaborative welcomes five new members|Wikipedia Education Collaborative welcomes five new members]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Wikimedia Deutschlands recent activities: events, events and more events|Wikimedia Deutschlands recent activities: events, events and more events]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Working with Wikipedia expands at Tec de Monterrey|Working with Wikipedia expands at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Digital agenda for education and open badges to be tested|Digital agenda for education and open badges to be tested]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Most successful Czech course continues again this year|Most successful Czech course continues again this year]] * [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 17:19, 17. Sep. 2014 (CEST) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=9888493 --> == This Month in Education: October 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Swedish teacher wins national award for teaching with Wikimedia projects|Sweden: Swedish teacher wins national award for teaching with Wikimedia projects]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Greek university giving credit for translation of Wikipedia articles|Greece: Greek university giving credit for translation of Wikipedia articles]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Wikipedia in Secondary and Adult Education: presentation at CIE2014 in Corfu, Greece|Greece: Wikipedia in Secondary and Adult Education: presentation at CIE2014 in Corfu, Greece]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Wikicamp 2014 in Serbia and Hungary brings chapters together|Serbia & Hungary: Wikicamp 2014 in Serbia and Hungary brings chapters together]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Bulgarian students will explore Wikipedia in a new lecture course on "New Media and Participatory Culture"|Bulgaria: Bulgarian college students will explore Wikipedia in a new lecture course on "New Media and Participatory Culture"]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Bulgarian college teachers "became nodes" in the Wikipedia Network|Bulgaria: Bulgarian college teachers "became nodes" in the Wikipedia Network]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/9th grade students in Be'er Sheva, Israel conclude a year-long project on Wikipedia|Israel: 9th grade students in Be'er Sheva, Israel conclude a year-long project on Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/New classes and activities at Tec de Monterrey|Mexico: New classes and activities at Tec de Monterrey]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Catalan Wikipedia|Catalonia: Education Program Extension enabled on Catalan Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Ukrainian Wikipedia|Ukraine: Education Program Extension enabled on Ukrainian Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Education Program Extension enabled on Dutch Wikipedia|Netherlands: Education Program Extension enabled on Dutch Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Data Collection Round II has started: be part|WMF: Data Collection Round II has started: be part]] * [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Poland, Philippines, United States, WikiProject Medicine, Jimmy Wales, and more]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/October_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/October 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:55, 3. Dez. 2014 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10450833 --> == This Month in Education: November 2014 == <div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Wikimedia France obtains an agreement from the French Ministry of Education|France: Wikimedia France obtains an agreement from the French Ministry of Education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Tec de Monterrey wrapping up semester projects|Mexico: Tec de Monterrey wrapping up semester projects]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/A student in Mexico makes the best of her study to edit Wikipedia|Mexico: A student in Mexico makes the best of her study to edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Egyptian Student invites his colleagues at Al-Azhar University to edit Wikipedia|Egypt: Egyptian Student invites his colleagues at Al-Azhar University to edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Successful Wikipedia assignments presented by faculty at national conference in Sweden|Sweden: Successful Wikipedia assignments presented by faculty at national conference in Sweden]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Wikipedia Education Collaborative members meet in Edinburgh|Global: Wikipedia Education Collaborative members meet in Edinburgh]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Iberoconf discusses Wikipedia in education|Global: Iberoconf discusses Wikipedia in education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Welcoming new WMF staff supporting education|Global:Welcoming new WMF staff supporting education]] * [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: MIT, Myanmar, and Jimmy Wales]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/November_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/November 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' &middot; [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:57, 3. Dez. 2014 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:AKoval (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10450833 --> == This Month in Education: December 2014 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Wikipedia Education Program Celebration in Uruguay|Wikipedia Education Program Celebration in Uruguay]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Egyptian students wrap up their 5th term on Wikipedia with great success|Egyptian students wrap up their 5th term on Wikipedia with great success]] * Serbia: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/First Wikipedia Ambassador at the University of Belgrade|First Wikipedia ambassador at the University of Belgrade]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Swedish Wikimini 1 year anniversary|Swedish Wikimini 1 year anniversary]] * UK: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Wikimedia UK processing EduWiki 2014|Wikimedia UK processing EduWiki 2014]] * Regional: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Eastern European education programs presented at regional conference|Eastern European education programs presented at regional conference]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Korea, Australia, the Gender Gap, the Wikipedia Library, WikiProject Medicine, Adrianne Wadewitz, Jimmy Wales, and Wikibombs]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December_2014|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December_2014/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December 2014/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:27, 6. Jan. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=10863442 --> == This Month in Education: [January 2015] == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Young Czech scientists upload pictures at Fluorescent Night|Young Czech scientists upload pictures at Fluorescent Night]] * India: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/100+ Indian college students will contribute to Wikipedia to support national pilgrimage|100+ Indian college students will contribute to Wikipedia to support national pilgrimage]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Master students design prototypes for categorizing images on Wikimedia Commons|Master students design prototypes for categorizing images on Wikimedia Commons]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Wikipedia Education Program expands to new campuses in Cairo|Wikipedia Education Program expands to new campuses in Cairo]] * Syria: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Pilot Wikipedia Education Program in Syria|Pilot Wikipedia Education Program in Syria]] * Wikimania: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Get a scholarship to attend Wikimania 2015 and discuss education with the worldwide movement|Get a scholarship to attend Wikimania 2015 and discuss education with the worldwide movement]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Wiki Learning expands to three campuses at Tec de Monterrey|Wiki Learning expands to three campuses at Tec de Monterrey]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Open Badges in the Education Program in Sweden|Open Badges in the Education Program in Sweden]] * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Senior citizens learn to edit Wikipedia in the Czech Republic|Senior citizens learn to edit Wikipedia in the Czech Republic]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Egypt, India, Armenia, Books, Jimmy Wales, and more]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/January_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/January 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 05:16, 1. Feb. 2015 (CET) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11078510 --> == This Month in Education: [February 201 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Wikimedia Armenia run WikiCamps with great success|Wikimedia Armenia runs WikiCamps with great success]] * Greece: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Greek adult school starts a project on writing articles in Wikipedia|Corfu adult school piloting WikiExpeditions and article writing on Wikipedia]] * Serbia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Serbian high school student advocates for the Education Program|High school student advocates for Education Program]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Education Program in Sweden succeeds with high school students|Education Program succeeds with high school students]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Armenian students contribute more than 300,000 bytes to Armenian Wiktionary in a month|WikiClub contributes more than 300,000 bytes to Armenian Wiktionary in a month]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New campus ambassador serving a new translation class in Egypt's Education Program|New campus ambassador and new Chinese translation class]] * Resources: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New education toolkit to help program leaders develop their programs at all levels|New education toolkit helps program leaders develop their programs]] * Resources: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/New education learning patterns answer many of your questions|New education learning patterns answer many of your questions]] * Communications: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Wikipedia Education Program is now on Facebook|Wikipedia Education Program is now on Facebook]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Australia, Ireland, Black History Month, WikiWomen and Jimmy Wales]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/February_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/February 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> <noinclude>[[Category:This Month in Education]]</noinclude> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:25, 28. Feb. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11318733 --> == This Month in Education: March 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/A new edition of Wikipedia Education Program kicks off in Uruguay|A new edition of Wikipedia Education Program kicks off in Uruguay]] * Czech Republic: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Czech senior citizen program scales up|Czech senior citizen program scales up]] * Egypt: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Cairo University students wrap up their sixth term on Wikipedia|Cairo University students wrap up their sixth term on Wikipedia]] * Israel: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Educator conference successfully concludes teachers' online courses|Education/Newsletter/March 2015/Educator conference successfully concludes teachers' online courses]] * Argentina: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Wikimedia Argentina reinforces gender diversity on Wikipedia with several women targeted events|Wikimedia Argentina reinforces gender diversity on Wikipedia with several women targeted events]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Novel photo projects related to editathon at Tec de Monterrey|Novel photo projects related to editathon at Tec de Monterrey]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Events commemorating WikiWomen History Month, WikiMed and Black History editathons]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:31, 1. Apr. 2015 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=11528793 --> == This Month in Education: April 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * WMF: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Quarterly update from the education team|Quarterly update from the education team]] * Armenia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Teachers and journalists of Armenian community in Lebanon joined Wikipedia and Wikipedia Education program|Teachers and journalists of Armenian community in Lebanon joined Wikipedia and Wikipedia Education program]] * Ukraine: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/First round of WikiStudia wraps up with success|First round of WikiStudia wraps up with success]] * Greece: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Greek Adult school completes wikiexpedition on Greek villages|Greek Adult school completes wikiexpedition on Greek villages]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/New to Wikipedia: A personal perspective|New to Wikipedia: A personal perspective]] * Latvia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Education Program Extension enabled on Latvian Wikipedia|Education Program Extension enabled on Latvian Wikipedia]] * Russia: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Education Program Extension enabled on Russian Wikipedia|Education Program Extension enabled on Russian Wikipedia]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Students nominated for their MOOC on Swedish Wikiversity|Students nominated for their MOOC on Swedish Wikiversity]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Studies and news from Harvard to Cambridge, women events and history editathons]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/April_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/April 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 17:17, 1. Mai 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12056134 --> == This Month in Education: May 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Tunisia: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Rachidia music school celebrates 80 years of love and art by editing Wikipedia|Rachidia music school celebrates 80 years of love and art by editing Wikipedia]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Five new classes begin experimenting with Wikipedia|Five new classes begin experimenting with Wikipedia]] * Arab World: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Arab World Education Program at WikiArabia 2015|Arab World Education Program at WikiArabia 2015]] * China: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Chinese students commemorate deceased philanthropist Run Run Shaw|Chinese students commemorate deceased philanthropist Run Run Shaw]] * Argentina: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Editathon for young students to edit articles about their school|Editathon for young students to edit articles about their school]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Maria enjoys editing Wikipedia as her community service|Maria enjoys editing Wikipedia as her community service]] * Global: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Registration for Wikimania Education Pre-Conference in Mexico City is now open!|Registration for Wikimania Education Pre-Conference in Mexico City is now open!]] * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Wikimedia conference 2015: better understanding for Wikipedia in Education|Wikimedia conference 2015: better understanding for Wikipedia in Education]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: School editathons, medical research, Jimmy wales and new Wiki]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/May_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/May 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> <noinclude>[[Category:This Month in Education]]</noinclude> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:44, 1. Jun. 2015 (CEST) <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter http://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12357013 --> == This Month in Education: June 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Uruguay: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/A Wikipedia project in foreign languages receives a teaching award in Uruguay|A Wikipedia project in foreign languages receives a teaching award]] * Hong Kong: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/The First Wikipedia Education Program in Hong Kong|The First Wikipedia Education Program in Hong Kong]] * Greece: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Greek adult school graduates learn to edit Wikipedia and inspire their peers|Adult school graduates learn to edit Wikipedia and inspire their peers]] * Sweden: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Mid-year Summary from the Wikipedia Education Program in Sweden|Mid-year Summary from the Wikipedia Education Program]] * Mexico: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/New video tutorial for Commons created by students|New video tutorial for Commons created by students]] * Armenia: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Wikimedia Armenia New Office, Annual Conference, and WikiCamp 2015|Wikimedia Armenia New Office, Annual Conference, and WikiCamp 2015]] * Argentina: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Argentina contributes to a massive cross-border course of free knowledge in Spanish-speaking countries|Argentina contributes to a massive cross-border course of free knowledge in Spanish-speaking countries]] * Israel: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Education Program Extension enabled on Hebrew Wiktionary|Education Program Extension enabled on Hebrew Wiktionary]] * Global: [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/New recognition certificates for program students, teachers and leaders|New recognition certificates for program students, teachers and leaders]] * Media [[Outreach:Education/Newsletter/June 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Uk, India, Palestine and more]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:07, 30. Jun. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12525637 --> ==verwaist== [[Kurs:Freies Wissen]] [[Kurs:Freies Wissen/Einführung]] [[Kurs:Software Engineering II]] == This Month in Education: July 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Israel: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikimedia Israel's annual conference helps expanding its education activity|Wikimedia Israel's annual conference helps expanding its education activity]] * Community: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Join the Community Health learning campaign on Meta|Join the Community Health learning campaign on Meta]] * Global: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikimania 2015: education highlights|Wikimania 2015: education highlights]] * Education Collaborative: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Wikipedia Education Collaborative is changing. Be part of the movement!|Wikipedia Education Collaborative is changing. Be part of the movement!]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Wikimania, Wikipedians in residence and public domain value]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/July_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/July 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 01:02, 2. Aug. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=12853406 --> == This Month in Education: August 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * Sweden: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/The benefits of teaching with Wikipedia broadcasted on Swedish National Radio|The benefits of teaching with Wikipedia broadcasted on Swedish National Radio]] * Mexico: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Summer term ends with great success and Fall begins at Tec de Monterrey|Summer term ends with great success and Fall begins at Tec de Monterrey]] * Newsletter: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/On its third birthday, a retrospective of This Month In Education and proposed changes to the publication process|On its third birthday, a retrospective of This Month In Education and proposed changes to the publication process]] * Newsletter: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Call for volunteers - This Month In Education|Call for volunteers - This Month In Education]] * Media: [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Articles of interest in other publications|Articles of interest in other publications: Israel, Mexico and Australia]] </div> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/August 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' </div></div> [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 16:59, 1. Sep. 2015 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Selsharbaty (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=13014597 --> == Wikimedia Education Newsletter: December 2015 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"><div style="font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; margin-top:10px; margin-bottom:10px;">''Updates, reports, news, and stories about how Wikipedia and Wikimedia projects are used in education around the world.'' </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Arab World Education Program at WISE Doha 2015|'''Arab World:''' Arab World Education Program at WISE Doha 2015]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities|'''Argentina:''' Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?|'''Argentina:''' The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Armenian students inspire their teachers to join Wikipedia|'''Armenia:''' Armenian students inspire their teachers to join Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia Education Program participants commemorated the creation/discovery of the Armenian alphabet in Beirut|'''Armenia:''' Wikipedia Education Program participants commemorated the creation/discovery of the Armenian alphabet in Beirut]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Bangladesh's new secondary school education program aims to increase Bangla Wikipedia readers|'''Bangladesh:''' Wikimedia Bangladesh's new secondary school education program aims to increase Bangla Wikipedia readers]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/First Wiki Education Workshop in Bulgaria|'''Bulgaria:''' First Wiki Education Workshop in Bulgaria]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Education Program at Wikimedia CEE Meeting 2015 in Estonia|'''Central and Eastern Europe:''' Education Program at Wikimedia CEE Meeting 2015 in Estonia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Collaboration with Masaryk University turns official|'''Czech Republic:''' Collaboration with Masaryk University turns official]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content|'''Egypt:''' Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/A portal for teachers and education institutions on the French Wikipedia|'''France:''' A portal for teachers and education institutions on the French Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Two Wikimedian adult educators and an adult student present paper on Wikimedia editing at CIE2015 in Greece|'''Greece:''' Two Wikimedian adult educators and an adult student present paper on Wikimedia editing at CIE2015 in Greece]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The very first Wikipedia Education Program of Wikimedia Hong Kong|'''Hong Kong:''' The very first Wikipedia Education Program of Wikimedia Hong Kong]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University|'''Israel:''' Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Israel: Dozens of articles were created by dint of a structured teaching process that incorporates new training tools and involvement of scientists|'''Israel:''' Dozens of articles were created by dint of a structured teaching process that incorporates new training tools and involvement of scientists]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico|'''Mexico:''' Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia|'''Norway:''' Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/What I Learned: Wiki Photo School in Serbia|'''Serbia:''' What I Learned: Wiki Photo School in Serbia]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Teachers in Serbia professionally trained to use Wikipedia in the classroom by Wikimedians|'''Serbia:''' Teachers in Serbia professionally trained to use Wikipedia in the classroom by Wikimedians]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Science Outreach on Wikipedia has impact on the Education Program in Sweden|'''Sweden:''' Science Outreach on Wikipedia has impact on the Education Program in Sweden]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Education students in Uruguay reflect on Wikipedia as a learning tool|'''Uruguay:''' Education students in Uruguay reflect on Wikipedia as a learning tool]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/The Wikipedia Education Program now on Twitter|'''Global:''' The Wikipedia Education Program now on Twitter]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Recent improvements to the Wikipedia Education Collaborative bear fruit|'''Global:''' Recent improvements to the Wikipedia Education Collaborative bear fruit]] * [[Outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2015/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December_2015|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December_2015/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/December 2015/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]''' [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 20:10, 7. Dez. 2015 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=14461758 --> == This Month in Education: [March 2016] == <h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Arab World Education Program at WISE Doha 2015|Arab World Education Program at WISE Doha 2015]]</h2> By [[User:لا روسا|Walaa Abdel Manaem (Wikipedia Education Program Egypt) & (Egypt Wikimedians user group)]] [[File:WISE 2015 00 (3).JPG|thumbnail|Walaa with Mr. Rashid El Telwaty and Ms. Suad Alhalwachi|right]] [[File:WISE 2015 00 (5).JPG|thumbnail|Walaa with Dr. Sherifa Atallah|right]] [[File:WISE 2015 00 (4).JPG|thumbnail|left|Walaa with Mr. Rashid El Telwaty, Ms. Bonnie Chiu, Mr. Jake and Ms. Naadiya Moosajee.]] '''Snippet:''' Education Leaders at WISE Doha 2015 introducing Wikipedia Education Program in Egypt to WISE Conference attendees, as an example of a program in the Arab World, to share their experience to inspire other universities and institutions starting new programs in the area. WISE 2015 Sessions and Plenaries were designed around three main pillars such as the UN Sustainable Development Goals; education and the economy; fostering innovation in education systems. Each pillar examined a variety of key topics including: the linkages between education, employment, and entrepreneurship; education reform and innovation in the MENA region and Qatar; emerging models of education financing, attracting, rewarding and retaining quality teachers; and the importance of investing in early childhood development. Representatives of [[outreach:Education/Countries/Egypt|Wikipedia Education Program]] [[user:لا روسا|Walaa Abdel Manaem]] and [[user:Reem Al-Kashif|Reem Al-Kashif]] participated in [https://www.wise-qatar.org/2015-summit-education-invest-impact WISE Doha 2015] in Qatar, the annual World Innovation Summit for Education is the premier international platform dedicated to innovation and creative action in education where top decision-makers share insights with on-the-ground practitioners and collaborate to rethink education. Also, WISE 2015 was the first global education conference following the ratification of the UN Sustainable Development Goals (SDGs) in September 2015. Contributions ranged from [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Arabic_Brochure_of_Editing_Wikipedia,_WALAA.pdf Arabic Brochure of Editing Wikipedia for students in WEP in Egypt and everybody who would like to edit Wikipedia without ‎problems], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Welcome2WP_Arabic_082310.pdf The Arabic version of Welcome to Wikipedia reference guideline], [https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Wikipedia-in-Arabic-Education-Program.pdf PDF of brochure handed out during Arabic Wikipedia Convening, Doha, Qatar, 2011] and [https://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%D9%84%D9%81:%D9%85%D9%82%D8%AF%D9%85%D8%A9_%D8%B9%D9%86_%D9%88%D9%8A%D9%83%D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%AF%D9%8A%D8%A7.pdf Introduction to Wikipedia]. These contributions are related to show a case study of Wikipedia Education program in Egypt and how it worked since February 2012 till the November 2015, as the seventh edition ended last October. All discussions were about the program's mechanism and what were the motivations keeping it going. The program helped increasing gender diversity and supported the featured content on Arabic Wikipedia. Wikipedia Education Program, like any other initiative, has achievements and dark sides, for that reason, the representatives had to locate both of them and how they influence the Arabic community and how the community interact with this phenomenon. ''[[outreach:Education/Countries/Egypt|Read more about the Wikipedia Education Program in Egypt here.]]'' ''[[:ar:ويكيبيديا:برنامج ويكيبيديا للتعليم|Read more about the Wikipedia Education program in the Arab World here (in Arabic).]]'' {{clear}} <h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University|Wikipedia in Higher Education in Israel: A new for-credit elective course focusing on contributing to Wikipedia at Tel Aviv University]]</h2> By [[User:esh77|Shani Evenstein (WMIL)]] [[File:Amir Aharoni explains about the new translation tool to students.jpg|thumbnail|right|300px|Amir explains about the new translation tool to students]] '''Snippet:''' A first-of-its-kind, for-credit, elective course that focuses on contributing to Wikipedia has opened at Tel Aviv University and is now available to all B.A. students on campus On October 19th a new for-credit elective course called "Wikipedia: Skills for producing and consuming knowledge"<ref>Link to the course page at the TAU website (in Hebrew) - http://www2.tau.ac.il/yedion/syllabus.asp?course=1880180101&year=2015</ref> has opened at Tel Aviv University (TAU). The semester-long course (13 weeks) is available to all B.A. students on campus and this semester about 50 students from various disciplines are taking part in this first-of-its-kind course in Israel. [[File:Working in small groups 3.jpg|thumbnail|right|300px|Working in small groups to correct copyrights and Non-NPOV violations]] The course draws from "flipped classroom" concepts and uses "blended learning" methods, which practically means combining in-class lectures, workshops and small-group activities, as well as online individual learning. Both the Moodle learning management system (LMS) and the Wikipedia Education Extension are used to monitor the students' work and progress throughout the course. The course has 2 main assignments - expanding an existing stub, as well as writing a new article, in the hopes that the content added during the course will assist not only the students themselves, but also future generations of learners as well as the general public. Though the course focuses on adding quality content to Wikipedia, it also aims to help students sharpen their academic skills and their 21st century skills, highlighting collaborative learning, joint online research and interdisciplinary collaborations in the process of constructing knowledge. This course was initiated and is led by Shani Evenstein, an educator, Wikimedian and member of the [[Education/Wikipedia Education Collaborative|Wikipedia Education Collaborative]], in collaboration with the Orange Institute for Internet Studies, as well as the School of Education at TAU. The syllabus for the new course builds on the success of [http://blog.wikimedia.org/2014/02/13/wiki-med-israel-wikipedia-education-course/#cite_note-7 Wiki-Med], a for-credit elective course, which was designed in 2013 and is led by Evenstein at the Sackler school of Medicine for the third consecutive year. While Wiki-med is focused on contributing medical content to Wikipedia and is only available to Medical Students on campus, the new course is designed to accommodate students from different academic disciplines and varying backgrounds. [[File:Wikipedia course for BA students at Tel Aviv University - Course Logo.png|thumbnail|right|75px]] The course was chosen to be part of TAU's cross-discipline elective courses system ("Kelim Shluvim") and was approved by the Vice-Rector, who heads the program. In that, the course marks an important precedent in the collaboration between Academia and the Wikipedia Education Program, as it is the first time a higher institution acknowledges the importance of a course focusing on Wikipedia ''on a university level'', offering it to all students, rather than a faculty level or individual lecturers as mostly practiced. It is our hope that other higher education institutions will follow this example and offer similar courses to students both in Israel and around the world. ''[[outreach:Education/Countries/Israel|Read more about the Wikipedia Education Program in Israel here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?|The collaborative production in open educational environments: Is Wikipedia an answer?]]</h2> By [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta]], Wikimedia Argentina '''Snippet:''' University professors become Wikipedians in an online course during just a week. [[File:MOOC UBA II 2015.jpg|thumb|How to be a Wikipedian in a week ([http://www.escenariostec.citep.rec.uba.ar/2015/ educactional MOOC] for university professors) ]] Educators with different profiles and from different latin america countries, but most of them professors at the [[:en:University_of_Buenos_Aires|University of Buenos Aires]] (UBA) from different faculties, have just participated in the online training and free course "Educational scenarios with technology. Among the real and the possible" organized by the [http://citep.rec.uba.ar/ Center for Innovation in Technology and Pedagogy] (CITEP) of this university. Different educational activities were carried out simultaneously. During the week and under the topic “Open movement”, Wikimedia Argentina participated with three different proposals: starting with an interview of [[:es:Usuario:Patricio.lorente|Patricio Lorente]] accompanied with a short text to know more about the movement. To make an immersive experience we designed " Knowing Wikipedia by first-hand or Wikipedia in the first person" to work directly on the platform translating articles from english to spanish from a list created especially for that purpose. Along with this specific proposal, educators participated in a [https://www.youtube.com/watch?v=uT5u0h2luac&feature=youtu.be videoconference with Galileo Vidoni (available in Spanish)], where participants could talk and learn more about how are the first steps to become a Wikipedian and the importance of the movement at the local and regional level. [[File:MOOC UBA I 2015.jpg|thumb|A professor´s educational experience with Wikipedia explained with a tweet. He said: "I´m translating, enjoying and learning with Wikipedia". Know more experiences on [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba Storify].]] With only seven days and without being mandatory, different educators discovered how to edit on Wikipedia, indeed many of them mentioned that they had it as a pending to learn and participate on the free encyclopedia, but never had the time or the real chance. The enthusiasm was also present on social networks, where they shared the experience with the [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba hashtag #escenariostec]. '''<u>The result</u>''' '''More than 100 educators got involved''' and exchanged their experience in an online forum with '''more of 280 messages''' that reflected their learning process while experiencing with the activity. '''80 of them were new users''', and '''they created 61 new articles''' [[:es:Wikipedia:Wikimedia_Argentina/MOOC_UBA|in spanish]]. An important fact: '''78 of them were women''', which means that working with educators is a key issue '''to continue closing the digital gender gap'''. Finally from CITEP, they shared the following insights regarding the question that ran through all the activities that took place during the week dedicated to the open movement. Some thoughts can be sum up as follows:<blockquote>''The collaborative production in open environments: chaos or construction? (...) For the teacher also means accepting new challenges: encourage students to produce knowledge in an environment of divergent nature, it requires permanent operations and convergence. In a space that fosters interventions unmarked, the teacher needs to frame depending on the purpose of education and teaching purposes. (…) Wikipedia is the best example of the challenges posed by the digital era in the educational field, it forces us to rethink the relationship between technology and the production of knowledge and allows us to confirm that the collaborative work does not lead to chaos, if not to the construction. (. ..) [Authors: Angeles Solectic and Miri Latorre]''</blockquote>We share some of the voices of the protagonists in social networks with [https://storify.com/wikimedia_ar/mooc-uba storify] (available in Spanish). ''[[outreach:Education/Countries/Argentina|Read more about the Wikipedia Education Program in Argentina here.]]''<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Collaboration with Masaryk University turns official|Collaboration with Masaryk University turns official]]</h2> By [[User:Vojtěch Dostál|Vojtěch Dostál (Wikimedia Czech Republic)]] [[File:Seminář pro zaměstnance MU 09.jpg|thumbnail|right|300px|Masaryk University employees are being trained in using and editing Wikipedia]] [[File:Brno-Masarykova-univerzita-ujíždí-na-Wikipedii2015Marek-Blahuš2.jpg|thumb|right|300px|Marek Blahuš, Wikipedian in residence at Masaryk University]] '''Snippet:''' The second largest university in the Czech Republic has employed a Wikipedian in residence, leading to a boom of Wikimedia activities in the city of Brno. Collaboration between Wikipedia and Czech institutions has always been a priority for Wikimedia Czech Republic, but the year 2015 has taken this to another level. First, an official memorandum of collaboration with the [[:cs:Národní památkový ústav|National Heritage Institute]] (NPÚ) was signed in May 2015, to be followed by official collaboration with [[:cs:Masarykova univerzita|Masaryk University]] in Brno (the second largest city and university in the Czech Republic), which was contracted in November 2015. In fact, Wikimedia activities in Brno have been blooming for several years now, mainly as a result of the community's own development, but aided substantially by the external interest in Wikipedia by [http://www.spolek.muni.cz/ Masaryk University alumni society], demonstrated as early as March 2013. In February 2015, the university employed one of the most experienced Czech Wikipedians – Marek Blahuš ([[:cs:User:Blahma|Blahma]]) – who was appointed to become the university's first "[[Wikipedian in Residence|Wikipedian in residence]]". Marek Blahuš has been in the center of the Wikimedia community in Brno for about two years, organizing regular Wikipedia meetups, the 2014 edition of the annual [[:cs:Wikipedie:Wikikonference/2014|WikiConference]] ([{{fullurl:File:WM_CZ_-_Annual_Report_2014.pdf|page=7}} more in English here]) and creating the [[:cs:Wikipedie:WikiProjekt Česko-slovenská Wikipedie|Czech-Slovak Wikipedia translation tool]], which has famously led to the creation of >9000 articles on Czech and Slovak Wikipedias ([{{fullurl:File:WM_CZ_-_Annual_Report_2014.pdf|page=9}} more in English here]). His current work as Wikipedian in residence is funded by Masaryk University and runs under the patronage of Wikimedia Czech Republic as well as Masaryk University's rector [[:cs:Mikuláš Bek|Mikuláš Bek]]. Since February, Wikipedia has taken a prominent role within Masaryk University. Marek Blahuš started a "Masaryk University Wikipedians team", gathering local Wikipedians and facilitating contacts with the university, aided by his status of a graduate and current employee in its language center. Articles about Masaryk University alumni and faculties have been identified and improved after consultations with Masaryk University archives and libraries which provided helpful resources. Wikipedia citation templates can now be directly generated from the university's [http://is.muni.cz/thesis/?lang=en on-line archive of theses]. In September, a public conference called "[[:cs:Wikipedie:Masarykova univerzita/Masarykova univerzita ujíždí na Wikipedii|Masaryk University Is Getting High on Wikipedia]]" took place on university grounds, featuring the experienced Wikipedian [[:en:Jan Sokol (philosopher)|Jan Sokol]] ([[:cs:user:Sokoljan|Sokoljan]]), who is a philosopher, university teacher and a former presidential candidate. The talks focused on the use of Wikipedia in university education, in line with the successful Czech "[https://blog.wikimedia.org/2012/05/22/the-czech-ambassador-program-at-one-year/ Students Write Wikipedia]" program. One of the teachers, Jiří Rambousek, expressed his desire to organize a Wikipedia Club as a regular meetup where articles would be improved in a collaborative effort and new editors introduced to Wikipedia. The program is actively preparing for 2016 when we expect Wikimedia Czech Republic to take a more active role in overseeing the initiatives as well as the creation of a position of a "Wikipedian in Brno" – person officially in charge of the wide array of Wikimedia activities happening in the city. The chapter's annual plan includes initiatives to increase the number of university courses which incorporate Wikipedia into the curriculum, public presentations of Wikipedia at various events, scanning and uploading of images from institutional and personal archives, and much more. Let's wish that our plans come true! ''[[outreach:Education/Countries/Czech Republic|Read more about the Wikipedia Education Program in the Czech Republic here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico|Wiki expeditions, animation clips about alebrijes and more at the Tec de Monterrey in Mexico]]</h2> By [[User:Thelmadatter|Leigh Thelmadatter (Wiki Learning-Tec de Monterrey)]] [[File:StudentsRetoWikimediaSept2015 01.JPG|thumb|Group photo of Reto Wikimedia participants at Tec de Monterrey, Mexico City Campus]] '''Snippet:''' Student participation is more than just text! For the Fall 2015 Wiki Learning-Tec de Monterrey held two wiki expeditions in Mexico City and began a collaboration with the Museo de Arte Popular. We also received our first grant! ===Wiki expeditions=== The 32-campus [[Education/Countries/México/Tec de Monterrey|Tec de Monterrey system]] has each semester an event called "Semana i" (i Week), when students forego normal classes for an entire week to work on challenging projects called "retos." For the [[:en:Monterrey Institute of Technology and Higher Education, Mexico City|Mexico City]] and [[:en:Tecnológico de Monterrey, Campus Santa Fe|Santa Fe]] campuses, one option for students was to work with Wikimedia, with the aptly named projects "[https://commons.wikimedia.org/wiki/Reto_Wikimedia_Semana_i_Fall_2015 Reto Wikimedia]." Both campuses opted to do wiki-expeditions to different parts of Mexico City. The Mexico City campus had the larger group with almost 90 students registered, who covered the two southern boroughs of [[:en:Xochimilco|Xochimilco]] and [[:en:Tlalpan|Tlalpan]]. The Santa Fe group had 35 participants, and covered the [[:en:San Ángel|San Ángel]] neighborhood found not far from this campus. Both campus took photos of landmarks with the Mexico City campus also focusing on photos of everyday life in the south of the city. The Mexico City campus tallied 5264 photos, 8 videos and 36 articles, including articles related to the area into French, Swedish and Danish. The Santa Fe group tallied 605 photos, and ten articles in Spanish on landmarks in San Ángel. In addition, the Mexico City campus had a special speaker the borough chronicler of Xochmilco, Sebastián Flores Farfán. A short montage video of the event is in the works. Some student photos: <gallery> File:Day4RetoWikimediaFall2015 008.JPG File:Building003.JPG File:Nahui ollin.JPG File:Cruce del canal.JPG File:Lagarto "barisia imbricata" criadero Xochimilco.JPG File:Puerta principal de la capilla Santa Cruz, Xochimilco, México.JPG File:Mural 001.JPG File:Oratorio de Amaxalco4.JPG File:Parque ecológico de la ciudad de México 12.jpg File:Santuario Parroquial de nuestra señora de los dolores 3.JPG </gallery> Some video clips of the event: <gallery> File:Clip of Sebastian Flores Farfán.webm File:SaraStudentRetoWikimediaFall2015CCM.webm File:JoelStudentFrenchRetoWikimedia.webm </gallery> ===Animation clips with the Museo de Arte Popular=== [[File:Alebrijes wikilearning.webm|thumb|Animation about alebrijes]] Wikiservicio, students working with Wikimedia for their community service requirement, added a new component. To attract more students and encourage more students to do all of their community service hours with Wikimedia, a collaboration was set up with the Museo de Arte Popular (MAP)... the first of many we hope! Six students from the digital art and animation major (see [https://outreach.wikimedia.org/wiki/Education/Newsletter/August_2015/Summer_term_ends_with_great_success_and_Fall_begins_at_Tec_de_Monterrey last newsletter]) have continued working with Wikimedia, but focusing their efforts in creating short animation clips in relation to the mission of promoting and preserving Mexican folk art. One clip has been completed and can be see to the right of this text. So far, the video has subtitles in English, German, French and Punjabi. A second clip is nearing completion at the time of this writing. ===Classes and Wikimetrics=== Fifteen students completed work with Wikiservicio doing translations, writing new articles and doing photography projects. As of this date, 7 have indicated interest in working with Wikiservicio on campus and another six with MAP. Five university level classes and one high school class on the Mexico City (South) campus have had projects, all in writing and translation, with some video work. Wikimetrics for the semester are: ''According to Wikimetrics tool....'' *'''9,589,918 bytes to Spanish Wikipedia''' *'''3,098 edits to the mainspace of Spanish Wikipedia''' *'''367 pages created in the mainspace of Spanish Wikipedia''' ''Manual count'' *'''302 student and teacher participants''' *'''281 Spanish Wikipedia articles created or expanded''' *'''6,057 photographs''' *'''10 videos''' *'''9 articles in English Wikipedia''' *'''2 articles in French Wikipedia''' *'''1 article in Swedish Wikipedia''' *'''1 article in Danish Wikipedia''' '''First grant''' Wiki Learning received its first grant from the Wikimedia Foundation. The long-term goal of this grant is to establish a system for financing Wiki Learning. The grant, which totals a modest 12,500 Mexican pesos, will be used for swag, such as t shirts, stickers, buttons, etc, especially for Semana i activities and promotion of wiki activities to other campus. The money will also be used for incidental travel expenses, especially for projects needing to move expensive camera equipment. ''[[outreach:Education/Countries/México|Read more about the Wikipedia Education Program in Mexico here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities|Wikimedia Argentina, about the global and local in the digital and academic communities]]</h2> By [[User:Christian Cariño|Christian Cariño (Wikimedia México)]] and [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta (Wikimedia Argentina)]] [[File:Learning to educate digital free magazine.jpg|thumb|[http://issuu.com/cristinavdls/docs/edicion_12 Wikipedia Education Program in Argentina]]] '''Snippet''': Aprender para Educar writes about Wikipedia Education Program in Argentina. The digital free magazine ''Aprender para Educar'' (Learning to educate) of the [[w:es:Universidad Tecnológica Nacional|National Technological University (UTN]]) is recognized in the community of education and technology in Argentina to write about innovation issues in Spanish, which is not common in the academic dissemination and teacher training field. Cristina Velazquez, general editor of the magazine invited Wikimedia Argentina to write an article that generally describes their activities in the Education Program, after reading the proposal she decided to publish it as the [http://issuu.com/cristinavdls/docs/edicion_12 main article] of the 12th edition. To describe the education program, WMAR wrote two notes completing one another, as doing a zoom: from the local to the global and from the global to the local, showing how a movement of this magnitude does not stand alone, it is part of a huge network. [[User:Melina Masnatta (WMAR)|Melina Masnatta]], education manager in WMAR and [[user:Patricio.lorente|Patricio Lorente]], chair of the Wikimedia Foundation Board of Trustees wrote those two notes.The first one focuses on the Education Program, implementation, challenges and obstacles that they had at the beginning, plans to integrate it into the classrooms in Argentina and how different Wikimedia Projects are also relevant in education. The most important thing, Melina adds, is to strengthen the values that inspire them, show how the free culture give meaning to education in general and digital culture in particular. Meanwhile in the second part, Lorente focuses on the global movement, the community pillars, the agenda of today's challenges and the effort of their volunteers as protagonists. It is not easy show the world what drives us and why we work as volunteers in different countries. In education very few people understand the value of building free knowledge. There is still a great prejudice or negative perceptions of Wikipedia in the classroom because teachers ignore how Wikipedia is built. Everybody reads Wikipedia, but few people edit it. We can change this fact by spreading in spaces such as the Journal of the UTN and inviting more people to collaborate and be the protagonist of this huge collective work for humanity. ''[[outreach:Education/Countries/Argentina|Read more about the Wikipedia Education Program in Argentina here.]]''<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content|Online ambassador played a prominent role in helping Egyptian students to nominate their excellent content]]</h2> By [[User:لا روسا|Walaa Abdel Manaem (Wikipedia Education Program Egypt) & (Egypt Wikimedians user group)]] [[File:Wiki Arabia 2015 - Day 1 DSC 9802 (cropped).jpg|250px|thumbnail|right|Bassem Fleifel]] '''Snippet:''' Online ambassador helped spanish students course in Cairo University to nominate their articles, scoring an [[Commons:File:Education_program-_Figures_and_Statistics.pdf|exceptional record of WEP excellent content]]. [[:ar:مستخدم:باسم|Bassem Fleifel]], an online ambassador of [[:ar:برنامج التعليم:جامعة القاهرة - كلية الآداب/ترجمة من الإسبانية (صيف 2015)|Cairo university spanish course]], played a prominent role to help all students to encourage them to nominate their excellent content to be a featured and good articles in Arabic Wikipedia. Those articles are [[:ar:تاريخ الخبز|History of bread]] (Featured article); [[:ar:والت ديزني|Walt Disney]]; [[:ar:دانيال رادكليف|Daniel Radcliffe]]; Al-[[:ar:الأندلس|Andalus]]; [[:ar:شاعر في نيويورك|Poet in New York]]; and [[:ar:بوبول فو|Popol Vuh]]. The seventh term, the program started in Cairo University with promoting posts on Wikipedia and social media websites to help new participants understand the general idea of the program as well as holding meetings with professors from the departments of History, chinese, English language and Spanish language. Walaa Abdel Manaem (program leader in Cairo University) and Bassem Fleifel (online ambassador) have held some workshops in campus and online for the whole students to teach them "How to edit Wikipedia". On the other hand, Prof. Abeer Abdel-Hafiz has exerted great efforts with her students in addition to introducing Walaa to new classes of senior students for whom she has organized general seminars about Wikipedia and the education program. At the same time Walaa was assigning her Spanish department students of the first and second year to edit Wikipedia. This term, Prof. Abeer let the chance to her students to choose any articles they would like to translate from the Spanish Wikipedia to the Arabic Wikipedia or working on articles about history. They already have chosen some articles to translate with the target of nominating them to be a featured and good articles. Most of students worked on articles about different topics like history, writers, actors, history of food and drink, mayan literature, islam and politics, etc. This course itself achieved an exceptional record of [[:ar:ويكيبيديا:برنامج ويكيبيديا للتعليم/لوحة الشرف/محتوى متميز|Wikipedia Education program excellent]] content and the best term ever in the history of [[Education/Countries/Egypt|WEP in Egypt]] in general and in the Faculty of Arts, Cairo University in specific. Walaa has held 2 online webinars to follow up with her students in addition to the workshops held at the campus. Regarding numbers, 38 students joined this course, of which 35 are female and 3 are male students. They worked on 1748 articles adding more than 12,282,943 million bytes to the article namespace on the Arabic Wikipedia, with the help of the online ambassador, who also participated as a student. ''[[:ar:برنامج التعليم:جامعة القاهرة - كلية الآداب/ترجمة من الإسبانية (صيف 2015)|See the course page of this group on the Arabic Wikipedia here.]]'' ''[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Education_program-_Figures_and_Statistics.pdf Full statistics of WEP in Egypt the first term in 2012 till the seventh term in 2015 which include numbers of created articles, featured and good articles, featured portals and lists.]'' ''[[outreach:Education/Countries/Egypt|Read more about the Wikipedia Education Program in Egypt here.]]'' {{clear}}<h2>[[Education/Newsletter/December 2015/Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia|Norwegian Masters students in History and Archeology twists their brains on Wikipedia]]</h2> By [[User:WMNOjorid|Jorid Martinsen]] (Wikimedia Norge) [[File:Jorid Martinsen at the University of Oslo.png|thumbnail|Jorid Martinsen teaching students at the University of Oslo about Wikipedia.]] '''Snippet''': This fall masters students in History and Archeology at the University of Oslo take on the task of Wikipedia editing as one of the main parts in a subject on communication of History. The University of Oslo is Norway’s largest higher education institution, and it is the first time Wikimedia Norway collaborates with this University in forming and using Wikipedia editing as a integrated part of higher education. The collaboration started by Wikimedia Norway contacting assistant professor John McNicol, who already had gotten some media attention on his eagerness to make students skilled in knowledge sharing. Starting off with a two hour lecture on the secret world of Wikipedia and a two hour editing workshop in mid-September, and in October the students will evaluate the life of their articles. Has there been many additional edits on their articles? Discussions? Request to delete everything? For Wikimedia Norge it is fun to see the students both engaging in Wikipedia editing and using the ways of Wikipedia to discuss how knowledge is formed. ''[[outreach:Education/Countries/Norway|Read more about the Wikipedia Education Program in Norway here.]]'' {{clear}}[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 09:26, 1. Mär. 2016 (CET). <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rberchie@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15329308 --> == This Month in Education: [March 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 1, Issue 2, March 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Educational hackathon about digital sources, big data, and Wikipedia|'''Argentina:''' Educational hackathon about digital sources, big data, and Wikipedia]] * [[outreach:Education/Newsletter/March 2016/First mentoring program between the Argentine and Mexican chapters|'''Argentina and Mexico:''' First mentoring program between the Argentine and Mexican chapters]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Czech education program turns professional with a new education manager|'''Czech Republic:''' Czech education program turns professional with a new education manager]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Egyptian Wikimedians celebrate the seventh conference of WEP|'''Egypt:''' Egyptian Wikimedians celebrate the seventh conference of WEP]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Wikipedia workshop for students of Fountain University|'''Nigeria:''' Wikipedia workshop for students of Fountain University]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Teacher celebrated for excellent pedagogy with Wikipedia|'''Sverige:''' Teacher celebrated for excellent pedagogy with Wikipedia]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Taiwanese students use Spoken Wikipedia as their service learning|'''Taiwan:''' Taiwanese students use Spoken Wikipedia as their service learning]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Education Program Historic Data Campaign|'''Global:''' Education Program Historic Data Campaign]] *[[outreach:Education/Newsletter/March 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We apologize for an earlier distribution that mistakenly took on the older content. We hope you enjoy the newest issue of the newsletter we are sharing now.--[[en:User:Saileshpat|Sailesh Patnaik (Distribution leader)]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 19:44, 2. Mär. 2016 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15399206 --> == This Month in Education: [June 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 1, Issue 3, June 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/June 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/A New Online Course in a New Virtual Campus‎|'''Argentina:''' A New Online Course in a New Virtual Campus]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/How to survive the Big Bang in your education program|'''Czech Republic:''' How to survive the Big Bang in your education program]] * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/An online elective course on Wikipedia for high school pupils in Estonia‎|'''Estonia:''' An online elective course on Wikipedia for high school pupils in Estonia‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Argostoli Evening School students and a Wikitherapy participant turn Wiktionary project into Android app|'''Greece:''' Argostoli Evening School students and a Wikitherapy participant turn Wiktionary project into Android app]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/New training materials in Arabic by WMIL‎‎|'''Israel:''' New training materials in Arabic by WMIL‎‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Luz María Silva's students and their adventure editing Spanish Wikipedia|'''Mexico:''' Luz María Silva's students and their adventure editing Spanish Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Spring semester wiki activities end at Tec de Monterrey, Mexico City‎|'''Mexico:''' Spring semester wiki activities end at Tec de Monterrey, Mexico City‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Maastricht University 40 years|'''Netherlands:''' Maastricht University 40 years]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Students in Sweden edit Somali Wikipedia‎|'''Sweden:''' Students in Sweden edit Somali Wikipedia‎]] * [[Outreach: Education/Newsletter/June 2016/Visualizations of relationships among knowledge? Try WikiSeeker!|'''Taiwan:''' Visualizations of relationships among knowledge? Try WikiSeeker!]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Education at Wikimania‎|'''Wikimania 2016:''' Education at Wikimania‎‎]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Education Program surveys are here!|'''Wikimedia Foundation:''' Education Program surveys are here!]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Vahid Masrour joins the education team at the Wikimedia Foundation|'''Wikimedia Foundation:''' Vahid Masrour joins the education team at the Wikimedia Foundation]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Programs and Events Dashboard Update|'''Global:''' Programs and Events Dashboard Update]] * [[Outreach:Education/Newsletter/June 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We hope you enjoy the newest issue of the Education Newsletter.--[[en:User:Saileshpat|Sailesh Patnaik (Distribution leader)]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 18:53, 1. Jun. 2016 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15665751 --> == This Month in Education: [September 2016] == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> <hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2016|<font color="black"> Wikimedia Education Newsletter – Volume 5, Issue 3, September 2016</font>]]</div> <hr /> <center> <div style="margin-top:10px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif; font-size:90%;"> '''[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September_2016|Headlines]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September_2016/Highlights|Highlights]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/September 2016/Single|Single page]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] &middot; [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] &middot; [[m:Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education|Unsubscribe]]'''</div> </center> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Armenian students inspire their parents to join Wikipedia|'''Armenia:''' Armenian students inspire their parents to join Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Brazilian Wikimedians interview editor of academic journal ''Wiki Studies''|'''Brazil:''' Brazilian Wikimedians interview editor of academic journal ''Wiki Studies'']] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Cairo University students wrap up their eighth term and start their ninth term on WEP|'''Egypt:''' Cairo University students wrap up their eighth term and start their ninth term on WEP]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Egyptian Wikimedians celebrate eighth WEP conference|'''Egypt:''' Egyptian Wikimedians celebrate eighth WEP conference]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Online wiki training for educators in Greece|'''Greece:''' Online wiki training for educators in Greece]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Outcomes report on a Wikipedia Course “Skills for Producing and Consuming Knowledge”, Tel Aviv University|'''Israel:''' Outcomes report on a Wikipedia Course “Skills for Producing and Consuming Knowledge”, Tel Aviv University]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Wikipedia as a Teaching and Learning Tool in Medical Education at IAMSE Medical Education Conference|'''Israel:''' Wikipedia as a Teaching and Learning Tool in Medical Education at IAMSE Medical Education Conference]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/"Writing a new article is a special experience that feels new every time"|'''Israel:''' "Writing a new article is a special experience that feels new every time"]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Video projects redefine student Wiki work and student community service|'''Mexico:''' Video projects redefine student Wiki work and student community service]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Wiki Workshop at Saint Petersburg Internet Conference 2016 in Russia|'''Russia:''' Wiki Workshop at Saint Petersburg Internet Conference 2016 in Russia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Swedish National Agency of Education endorses Wikipedia Education Program|'''Sweden:''' Swedish National Agency of Education endorses Wikipedia Education Program]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Psychology students of Uludag University are very proud of contributing Turkish Wikipedia|'''Turkey:''' Psychology students of Uludag University are very proud of contributing Turkish Wikipedia]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/West African schools will test Kiwix, the offline Wikipedia reader|'''West Africa:''' West African schools will test Kiwix, the offline Wikipedia reader]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Programs and Events Dashboard Update|'''Global:''' Programs and Events Dashboard Update]] * [[Outreach:Education/Newsletter/September 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> We hope you enjoy the newest issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 15:00, 1. Sep. 2016 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=15874487 --> == This Month in Education: December 2016 == <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 1px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"><hr /> <div style="font-size: 1.5em; text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016|<font color="black">Wikimedia Education Newsletter – Volume 5, Issue 4, December 2016</font>]]</div> <hr /> <div style="text-align: center; ">[[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016|Headlines]] • [[outreach:Education/Newsletter/December 2016/Highlights|Highlights]] • [[outreach:Education/Newsletter/December 2016/Single|Single page edition]]</div> <hr /> <br /> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Greek_schools_collaborate_to_write_local_history_about_Corfu|'''Greece:''' Greek schools collaborate to write on local history]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/It’s a win win project: An interview with Sivan Lerer, a teacher at the Hebrew University of Jerusalem|'''Israel:''' It’s a win win project: An interview with Sivan Lerer, a teacher at the Hebrew University of Jerusalem]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Open Science Fellows Program launched in Germany|'''Germany:''' Open Science Fellows Program launched in Germany]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Students go wikipedian in the Basque Country|'''Basque Country:''' Students go wikipedian in the Basque Country]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Third term of Wikipedia editing at the University of Oslo|'''Norway:''' Third term of Wikipedia editing at the University of Oslo]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/First Wiki Club in Macedonia|'''Macedonia:''' First Wiki Club in Macedonia]] * [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2016/Articles of interest in other publications|'''Global:''' Articles of interest in other publications]] </div> <div style="padding: 0.5em; text-align: center; font-size: 0.9em;"> <br> To get involved with the newsletter, please visit [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|the newsroom]]. To browse past issues, please visit [[outreach:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/Archives|the archives]]. </div></div><section end="education-newsletter"/> [[outreach:Education/News|Home]] • [[m:Global message delivery/Targets/Wikimedia Education Newsletter|Subscribe]] • [[outreach:Education/Newsletter/Archives|Archives]] • [[outreach:Education/Newsletter/Newsroom|Newsroom]] - The newsletter team 19:51, 22. Dez. 2016 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16170520 --> == This Month in Education: [February 2017] == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|left]] <div style="text-align: left; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:60px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: center; direction: ltr; margin-left"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:20px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 1 | February 2017</span> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/Feb_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> <div style=text-align:center; direction: ltr"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;"> {{anchor|back}} In This Issue </span></div> === === {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |style="width: 60%; font-size:16px; font-family:times new roman"| <!-- Enter the title of the articles for this issue --> [[Outreach:Education/News/Drafts/newsletter_update|Newsletter update]] [[Outreach:Education/News/Drafts/time_is_not_an_unlimited_resource|Common Challenges: Time is not an unlimited resource]] |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/News/Drafts/Medical_students%27_contributions_reach_200_articles_in_an_innovative_elective_course_at_Tel_Aviv_University.| Medical Students' contributions reach 200 articles in innovative elective course at Tel Aviv University]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Wikilesa:_Working_with_university_students_on_human_rights| Wikilesa: working with university students on human rights]] [[Outreach:Education/News/Drafts/An_auspicious_beginning_at_university| An auspicious beginning at university in Basque Country]] [[Outreach:Education/News/Drafts/The_Wikipedia_Education_Program_kicks_off_in_Finland| The Wikipedia Education Program kicks off in Finland]] [[Outreach:Education/News/Drafts/The_Brief_Story_of_Mrgavan_WikiClub| The Brief Story of Mrgavan WikiClub]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Citizen_Science_and_biodiversity_in_school_projects_on_Wikispecies,_Wikidata_and_Wikimedia_Commons| Citizen Science and biodiversity in school projects on Wikispecies, Wikidata and Wikimedia Commons]] </span> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/News/Drafts/ACTC2017| WMF Education Program to be featured at the Asian Conference for Technology in the Classroom]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Opportunities_to_grow_in_Oman|Opportunities to grow in Oman]] [[Outreach:Education/News/Drafts/hundred_words_campaign|An invitation to participate in the "Hundred Words" campaign!]] [[Outreach:Education/News/Drafts/Education_Collab_adopts_new_membership_criteria#The_Education_Collab_adopts_new_membership_criteria|Education Collab updates membership criteria]] </span> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#In the News|In the News]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [http://www.npr.org/sections/ed/2017/02/22/515244025/what-students-can-learn-by-writing-for-wikipedia|What Students Can Learn By Writing For Wikipedia] [http://www.businessinsider.com/career-benefits-sharing-knowledge-2017-2| Online communities are supercharging people's careers] [https://www.linux.com/news/2017/2/using-open-source-empower-students-tanzania| Using open source to empower students in Tanzania] [https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Wikipedia_Signpost/2017-02-27/Recent_research| Signpost Special Issue: Wikipedia in Education] </span> |} We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 22:54, 28. Feb. 2017 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16360344 --> == This Month in Education: [March 2017] == <div> <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|centre]] <div style="text-align: center; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:40px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-centre"> <center> <span style="text-align: center; font-weight: bold; color: #006699; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 2 |March 2017</span> </center> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> <center> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/March_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> </center> <div style="text-align:center; direction: ltr"> <center> <span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:800px;"> {{anchor|back}} In This Issue </center> <hr /> </div> {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |style="width: 60%; font-size:16px; font-family:times new roman"|[[Outreach:Education/News/Drafts/newsletter_update|Newsletter update]] <hr /> [[Outreach: Education/Newsletter/March 2017/Overview on Wikipedia Education Program 2016 in Taiwan|Overview on Wikipedia Education Program 2016 in Taiwan]] <hr /></span> |- <hr /> |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/High School and Collegiate Students Enhance Waray Wikipedia during Edit-a-thons|High School and Collegiate Students Enhance Waray Wikipedia during Edit-a-thons]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Approaching History students as pilot of Education program in Iran|Approaching History students as pilot of Education program in Iran]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/An experience with middle school students in Ankara|An experience with middle school students in Ankara]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Wikishtetl: Commemorating Jewish communities that perished in the Holocaust|Wikishtetl: Commemorating Jewish communities that perished in the Holocaust]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/UCSF Students Visit WMF Office as they start their Wikipedia editing journey|UCSF Students Visit WMF Office as they start their Wikipedia editing journey]] [[Outreach:Education/Newsletter/March 2017/Meet the team|Meet the team]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#In the News|In the News]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [http://lararnastidning.se/fran-dammiga-arkiv-till-artiklar-pa-natet%7C| Från dammiga arkiv till artiklar på nätet] </span> <hr /> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> The new issue of the newsletter is out! Thanks to everyone who submitted stories and helped with the publication. We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[User:Saileshpat|Saileshpat]] ([[User talk:Saileshpat|talk]]) 19:07, 1 April 2017 (UTC) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16517453 --> == This Month in Education: [April 2017] == <div> <section begin="education-newsletter"/><div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|centre]] <div style="text-align: center; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:40px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: left; direction: ltr; margin-centre"> <center> <span style="text-align: center; font-weight: bold; color: #006699; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 3 | April 2017</span> </center> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> <center> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. Be sure to check out the [[outreach:Education/Newsletter/March_2017|full version]], and [[Outreach:Education/Newsletter/Archives|past editions]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[Outreach:Education/News/Team|Join the team!]]</span> </center> <div style="text-align:center; direction: ltr"> <center> <span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:800px;"> {{anchor|back}} In This Issue </center> <hr /> </div> {| style="width: 70%;" |style="width: 40%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman| [[#Featured Topic|Featured Topic]] |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> <hr /> [[Outreach: Education/Newsletter/April 2017/How responsible should teachers be for student contributions?|How responsible should teachers be for student contributions?]] <hr /></span> |- <hr /> |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman"> [[#From the Community|From the Community]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Cairo and Al-Azhar Universities students wrap up their ninth term and start their tenth term on WEP|Cairo and Al-Azhar Universities students wrap up their ninth term and start their tenth term on WEP]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Glimpse of small language Wikipedia incubation partnership in Taiwan|Glimpse of small language Wikipedia incubation partnership in Taiwan]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Key to recruiting seniors as Wikipedians is long-term work|Key to recruiting seniors as Wikipedians is long-term work]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Education at WMCON17|Education at WMCON17]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/OER17|OER17]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Western Armenian WikiCamper promotes Wikiprojects in his school|Western Armenian WikiCamper promotes Wikiprojects in his school]] [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Building a global network for Education|Building a global network for Education]] </span> <hr /> |- |<span style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman">[[#From the Education Team|From the Education Team]]</span> |<span style="font-size:16px; font-family:times new roman"> [[Outreach:Education/Newsletter/April 2017/Mobile Learning Week 2017|Mobile Learning Week 2017]] </span> </span> <hr /> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;"> If this message is not on your home wiki's talk page, [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|update your subscription]]. </div> </div></div> The new issue of the newsletter is out! Thanks to everyone who submitted stories and helped with the publication. We hope you enjoy this issue of the Education Newsletter.-- [[User:Saileshpat|Sailesh Patnaik]] using [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 21:18, 1. Mai 2017 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=16627464 --> == This Month in Education: September 2017 == <div style="border: 0.25px gray solid; padding: 1em; padding-top: 2em; font-family: Times New Roman; font-size:1.15em;"> [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left]] <div style="text-align: left; direction: ltr"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:60px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif">This Month in Education</span></div> <div style="text-align: center; direction: ltr; margin-left"> <span style="font-weight: bold; color: #006699; font-size:20px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px"> Volume 6 | Issue 8 | September 2017</span> </div> <span style="font-weight: regular; text-align:center; font-size:14px; font-family: 'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px"> This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter| subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction: ltr"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;"> In This Issue </span></div> {| style="width: 60%;" | style="width: 50%; font-size:20px; font-family:times new roman;" | Featured Topic | style="width: 50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/September 2017/Wikipedia - Here and Now|"Wikipedia – Here and Now": 40 students in the Summer School "I Can – Here and Now" in Bulgaria heard more about Wikipedia]] |- | colspan="3" | ---- |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Community | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/News/September 2017/Klexikon|Klexikon: the German 'childrens' Wikipedia' in Montréal]] [[outreach:Education/News/September 2017/Wikipedia is now a part of Textbook in Informatics|Wikipedia is now a part of Textbook in Informatics]] |} </div> <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · [[:m:User:Romaine|Romaine]] 04:24, 1. Okt. 2017 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17258722 --> == This Month in Education: October 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 9 | October 2017 </span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; font-size:20px; font-family:times new roman;" | Featured Topic | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 1|Your community should discuss to implement the new P&E Dashboard functionalities]] |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Community | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 2|Wikidata implemented in Wikimedia Serbia Education Programe]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 3|Hundred teachers trained in the Republic of Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 4|Basque Education Program makes a strong start]] |- | style="font-size:20px; font-family:times new roman;" | From the Education Team | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 8|WikiConvention Francophone 2017]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2017#Article 9|CEE Meeting 2017]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:05, 2. Nov. 2017 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17368194 --> == This Month in Education: November 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 10 | November 2017</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 1|Hashemite University continues its strong support of Education program activities]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 2|Wikicontest for high school students]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 3|Exploring Wikiversity to create a MOOC]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 4|Wikidata in the Classroom at the University of Edinburgh]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 5|How we defined what secondary education students need]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 6|Wikipedia Education Program in Bangkok,Thailand]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 7|Shaken but not deterred]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 8|Wikipedia workshop against human trafficking in Serbia]] [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 9|The WikiChallenge Ecoles d'Afrique kicks in 4 francophones African countries]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 10|A Proposal for Education Team endorsement criteria]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/November 2017#Article 11|Student perceptions of writing with Wikipedia in Australian higher education]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:23, 1. Dez. 2017 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17496082 --> == This Month in Education: December 2017 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 6 | Issue 11 | December 2017</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 2|Wikimedia Serbia has established cooperation with three new faculties within the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 3|Updates to Programs & Events Dashboard]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 4|Wiki Camp Berovo 2017]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 5|WM User Group Greece organises Wikipedia e-School for Educators]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 6|Corfupedia records local history and inspires similar projects]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 7|Wikipedia learning lab at TUMO Stepanakert]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 8|Wikimedia CH experiments a Wikipedia's treasure hunt during "Media in Piazza"]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 9|Creating digitally minded educators at BETT 2017]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 10|Things My Professor Never Told Me About Wikipedia]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 11|"Academia and Wikipedia: Critical Perspectives in Education and Research" Conference in Ireland]] [[outreach:Education/Newsletter/December 2017#Article 12|Science is shaped by Wikipedia]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 20:31, 5. Jan. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17597557 --> == This Month in Education: January 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 1 | January 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> {{anchor|back}} <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | <!-- Enter the title of the articles for this issue --> [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 1|Bertsomate: using Basque oral poetry to illustrate math concepts]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 2|Wikimedia Serbia celebrated 10 years from the first article written within the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 3|WikiChallenge Ecoles d'Afrique update]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 4|The first Swedish Master's in Digital Humanities partners with Wikimedia Sverige]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 5|How we use PetScan to improve partnership with lecturers and professors]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 6|The Education Survey Report is out!]] [[outreach:Education/Newsletter/January 2018#Article 7|Education Extension scheduled shutdown]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:42, 1. Feb. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17696217 --> == This Month in Education: February 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 2 | February 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 2|WikiProject Engineering Workshop at IIUC,Chittagong]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 3|What did we learn from Wikibridges MOOC?]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 4|Wikimedia Serbia launched Wiki scholar project]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 5|Wiki Club in Ohrid, Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 6|Karvachar’s WikiClub: When getting knowledge is cool]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 7|More than 30 new courses launched in the University of the Basque Country]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 8|Review meeting on Christ Wikipedia Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 9|The Multidisciplinary Choices of High School Students: The Arabic Education Program; Wikimedia Israel]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 10|The Education Extension is being deprecated (second call)]] [[outreach:Education/Newsletter/February 2018#Article 11|The 2017 survey report live presentation is available for viewing]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:53, 1. Mär. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17757914 --> == This Month in Education: March 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 3 | March 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 1|Education Programs Itinerary]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 2|Animated science educational videos in Basque for secondary school student]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 3|Beirut WikiClub: Wikijourney that has enriched our experiences]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 4|Students of the Faculty of Biology in Belgrade edit Wikipedia for the first time]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 5|The role of Wikipedia in education - Examples from the Wiki Education Foundation]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 6|Multilingual resource for Open education projects]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 7|Wikipedia: examples of curricular integration in Portugal]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 8|Resources and Tips to engage with Educators]] [[outreach:Education/Newsletter/March 2018#Article 9|Education Session at WMCON 2018]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:33, 4. Apr. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17882222 --> == This Month in Education: April 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 7 | Issue 4 | April 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 1|Wikimedia at the Open Educational Resources Conference 2018]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 2|Global perspectives from Western Norway]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 3|Togh's WikiClub: Wikipedia is the 8th wonder of the world!]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 4|Aboriginal Volunteers in Taiwan Shared Experience about Incubating Minority Language Wikipedia in Education Magazine]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 5|Workshops with Wiki Clubs members in the Republic of Macedonia]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 6|Celebrating Book's Day in the University of the Basque Country: is Wikipedia the largest Basque language book?]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 7|Txikipedia is born and you'll love it]] [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 8|Students Write Wiktionary]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/April 2018#Article 9|Presenting the Wikipedia Education Program at the Open Education Global Conference]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:33, 4. Mai 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=17992472 --> == This Month in Education: May 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 5 | May 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 2|Creating and reusing OERs for a Wikiversity science journalism course from Brazil]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 3|Inauguration Ceremony of Sri Jayewardenepura University Wiki Club]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 4|Wiki Education publishes evaluation of Fellows pilot]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 5|The first students of Russia with diplomas of Wikimedia and Petrozavodsk State University]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 6|Selet WikiSchool]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 8|A lofty vision for the Education Team]] [[outreach:Education/Newsletter/May 2018#Article 9|UNESCO Mobile Learning Week 2018, Digital Skills for Life and Work]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 23:44, 4. Jun. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter&oldid=18071070 --> == This Month in Education: June 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 6 | June 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 1|Academia and Wikipedia: the first Irish conference on Wikipedia in education]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 2|Ashesi Wiki Club: Charting the cause for Wikipedia Education Program in West Africa]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 3|Wikimedia Serbia has received a new accreditation for the Accredited seminars for teachers]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 4|Côte d'Ivoire: Wikipedia Classes 2018 are officially up and running]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 5|Basque secondary students have now better coverage for main topics thanks to the Education Program]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 6|What lecturers think about their first experience in the Basque Education Program]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 7|Education Extension scheduled deprecation]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 8|Wikipedia calls for participation to boost content from the continent]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 9|Wikipedia in the History Classroom]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 10|Wikipedia as a Pedagogical Tool Complicating Writing in the Technical Writing Classroom]] [[outreach:Education/Newsletter/June 2018#Article 11|When the World Helps Teach Your Class: Using Wikipedia to Teach Controversial Issues]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:03, 30. Jun. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18158878 --> == This Month in Education: July 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 7 | July 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="width:50%; color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Featured Topic|Featured Topic]] | style="width:50%; font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 1|Wikipedia+Education Conference 2019: Community Engagement Survey]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 2|Young wikipedian: At WikiClub you get knowledge on your own will]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 3|Wikipedia in schools project at the "New Technologies in Education" Conference]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 4|Basque Education Program: 2017-2018 school year report]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#In the News|In the News]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 10|UNESCO ICT in Education Prize call for nominations opens]] [[outreach:Education/Newsletter/July 2018#Article 11|An educator's overview of Wikimedia (in short videos format)]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:32, 2. Aug. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18263925 --> == This Month in Education: August 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 8 | August 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 2|The reconnection of Wikimedia Projects in Brazil]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 3|Christ (DU) students enrolls for 3rd Wikipedia certificate course]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 4|Educational wiki-master-classes at International "Selet" forum]] [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 5|54 students help enrich the digital Arabic content]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/August 2018#Article 6|Mapping education in the Wikimedia Movement]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:12, 2. Sep. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18288215 --> == This Month in Education: September 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 9 | September 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 1|Edu Wiki Camp 2018: New Knowledge for New Generation]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 2|Education loves Monuments: A Brazilian Tale]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 3|“I have always liked literature, now I like it even more thanks to Wikipedia”. Literature is in the air of WikiClubs․]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 4|History of Wikipedia Education programme at Christ (Deemed to be University)]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 5|Preparation for the autumn educational session of Selet WikiSchool is started]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 6|Wiki Camp Doyran 2018]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 7|Wikicamp Czech Republic 2018]] [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 8|Wikipedia offline in rural areas of Colombia]] |- | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#From the Education Team|From the Education Team]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/September 2018#Article 9|Presentation on mapping education in the Wikimedia Movement]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:14, 9. Okt. 2018 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18394865 --> == This Month in Education: November 2018 == [[File:Wikipedia Education Globe 2.pdf|frameless|left|150px|Wikipedia Education globe]] <div style="text-align:left; direction:ltr;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:60px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span></div> <div style="text-align:center; direction:ltr; margin-left;"> <span style="font-weight:bold; color:#006699; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:900px;"> Volume 4 | Issue 10 | October 2018</span> </div> <span style="font-weight:regular; text-align:center; font-size:14px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; display:block; width:1000px;">This monthly newsletter showcases the Wikipedia Education Program. It focuses on sharing: your ideas, stories, success and challenges. You can see past editions [[outreach:Education/Newsletter/Archives|here]]. You can also volunteer to help publish the newsletter. [[outreach:Education/News/Team|Join the team!]] Finally, don't forget to [[m:Global_message_delivery/Targets/Wikimedia_Education_Newsletter|subscribe!]]</span> <div style=text-align:center; direction:ltr;"><span style="color:white; font-size:24px; font-family:times new roman; display:block; background:#339966; width:1000px;">In This Issue</span></div> {| style="width:60%;" | style="color:#990000; font-size:20px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#From the Community|From the Community]] | style="font-size:16px; font-family:times new roman;" | [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 1|A new academic course featuring Wikidata at Tel Aviv University]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 2|How we included Wikipedia edition into a whole University department curriculum]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 3|Meet the first board of the UG Wikipedia & Education]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 4|The education program has kicked off as the new academic year starts]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 5|The education program has kicked off as the new academic year starts in Albania]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 6|The first Wikimedia+Education conference will happen on April 5-7 at Donostia-Saint Sebastian]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 7|Using ORES to assign articles in Basque education program]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 8|What to write for Wikipedia about? Monuments!]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 9|Wikifridays: editing Wikipedia in the university]] [[outreach:Education/Newsletter/October 2018#Article 10|Writing articles on Wikipedia is our way of leaving legacy to the next generations]] |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 06:55, 12. Nov. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18504430 --> == This Month in Education: November 2018 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em; direction:ltr;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 4 &bull; Issue 10 &bull; October 2018</span> ------ <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/November 2018|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/November 2018/Single page|Single page view]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ------- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/November 2018/WikiEducation - Report from Wikimedians of Albanian Language UG |WikiEducation - Report from Wikimedians of Albanian Language UG]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia Education Program in ICETC 2018 , Japan |Wikipedia Education Program in ICETC 2018, Japan]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia has become the inseparable part of my daily life |Wikipedia has become the inseparable part of my daily life]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wikipedia is a world in which anyone of us has his own place |Wikipedia is a world in which anyone of us has his own place]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Wiki conference for teachers in Ohrid |Wiki conference for teachers in Ohrid]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Our baby is 3! |Our baby is 3!]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/highlighting work of Sailesh Patnaik |Highlighting work of Sailesh Patnaik]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Important updates from Wikimedia Education Team |Important updates from Wikimedia Education Team]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/Welcome Melissa to the Education Team |Welcome Melissa to the Education Team]] *[[:outreach:Education/News/November 2018/What has the education team been up to? Year end review and updates! |What has the education team been up to? Year end review and updates! ]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:18, 30. Nov. 2018 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18673623 --> == This Month in Education: January 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &bull; Issue 1 &bull; January 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2019|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/January 2019/Headlines|Headlines]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/January 2019/Registration for Wikimedia+Education Conference is open|Registration for Wikimedia+Education Conference is open]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Collaboration with Yerevan State University of Languages and Social Sciences after V. Brusov|Collaboration with Yerevan State University of Languages and Social Sciences after V. Brusov]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Meet the first Programs & Events Dashboard sysops|Meet the first Programs & Events Dashboard sysops]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/More than a hundred students gathered in Ecuador to edit Wikipedia|More than a hundred students gathered in Ecuador to edit Wikipedia]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Selet WikiSchool continues to teach young Tatar language Wikipedians|Selet WikiSchool continues to teach young Tatar language Wikipedians]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/The WikiClub contributes to the development of our human qualities |The WikiClub contributes to the development of our human qualities]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Third prize for Wikipedia in schools project|Third prize for Wikipedia in schools project]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/We've updated the design of Education space!|We've updated the design of Education space!]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019|The WikiChallenge Ecoles d'Afrique is back]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wiki Advanced Training at VVIT|Wiki Advanced Training at VVIT]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiEducation in Albania from WoALUG|Creating our first WikiClub]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/WikiClubs participate in edit-a-thon of cartoons|WikiClubs participate in edit-a-thon of cartoons]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wikimedia and Education in Portugal: Where are we now|Wikimedia and Education in Portugal: Where are we now]] *[[:outreach:Education/News/January 2019/Wikimedia Israel: “Wikipedia Ambassadors” program for Arabic-speaking schools is launched|Wikimedia Israel: “Wikipedia Ambassadors” program for Arabic-speaking schools is launched]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:41, 29. Jan. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18816770 --> == This Month in Education: February 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 2 &#x2022; February 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/February 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia User Group Nigeria in Collaboration with AfroCrowd Celebrate Black Month History with a 2Day Editathon|Wikimedia User Group Nigeria in Collaboration with AfroCrowd Celebrate Black Month History with a 2Day Editathon]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia+Education Programme announced|Wikimedia+Education Programme announced]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikipedia in Education, Uruguay|Wikipedia in Education, Uruguay]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Oslo Metropolitan University hires “Wikipedia-assistants”|Oslo Metropolitan University hires “Wikipedia-assistants”]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Basque Education Program: 2018 in review|Basque Education Program: 2018 in review]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia Israel introduces Wikidata to Education|Wikimedia Israel introduces Wikidata to Education]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia Serbia made tutorials in Serbian language on editing Wikipedia|Wikimedia Serbia made tutorials in Serbian language on editing Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Seminar on wikis in education|Seminar on wikis in education]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Wikimedia, Tourism and Education: Launching project ISAL|Wikimedia, Tourism and Education: Launching project ISAL]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/The Swiss Lab: Wikipedia as a game|The Swiss Lab: Wikipedia as a game]] * [[:outreach:Education/News/February 2019/Meet Hungary|Meet Hungary]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:52, 27. Feb. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18903920 --> == This Month in Education: March 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 3 &#x2022; March 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/March 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wikimedia at MLW2019|Wikimedia at UNESCO Mobile Learning Week 2019]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wiki Education publishes evaluation on how to get subject matter experts to edit|Wiki Education publishes evaluation on how to get subject matter experts to edit]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/WikiGap brings editors to close WikiGap|WikiGap brings editors to close WikiGap and open Wiki Pathshala]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Education Mapping exercise is open for public review|Education Mapping exercise is open for public review]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Wikimedia movement projects and activities presented at EDU RUSSIA 2019 forum|Wikimedia movement projects and activities presented at EDU RUSSIA 2019 forum]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/“Edit-a-thons give us opportunity to distract from common interests” The club members write articles about New Year|“Edit-a-thons give us opportunity to distract from common interests” The club members write articles about New Year]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/WikiClub as a non-formal educational centre in rural communities|WikiClub as a non-formal educational centre in rural communities]] * [[:outreach:Education/News/March 2019/Mini-MWT at VVIT (Feb 2019)|Mini MediaWiki Training at VVIT]]</div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 07:32, 28. Mär. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18959709 --> == Bring your idea for Wikimedia in Education to life! Launch of the Wikimedia Education Greenhouse == {|border="0" cellspacing="2" cellpadding="10" width="100%" style="background:transparent;font-size:1.0em;line-height:normal" |-valign="top" |style="{{pre style}};width:100%"| '''<center>Apply for Education Greenhouse</center>'''<br><br> [[File:Wikimedia Education Greenhouse logo button.svg|frameless|left|120px]] Are you passionate about open education? Do you have an idea to apply Wikimedia projects to an education initiative but don’t know where to start? Join the the Wikimedia & Education Greenhouse! It is an immersive co-learning experience that lasts 9 months and will equip you with the skills, knowledge and support you need to bring your ideas to life. You can apply as a team or as an individual, by May 12th. Find out more <big> [[:outreach:Education/Greenhouse|Education Greenhouse]].</big> For more information reachout to mguadalupe{{@}}wikimedia.org |} —[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 13:16, 5. Apr. 2019 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Saileshpat@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=18981257 --> == This Month in Education: April 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 4 &#x2022; April 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/April 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/April 2019/Launch of the Wikimedia & Education Greenhouse!|Launch of the Wikimedia & Education Greenhouse!]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikipedia Student Scholar|Wikipedia Student Scholar]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikimedia Commons: a highly hostile place for multimedia students contributions|Wikimedia Commons: a highly hostile place for multimedia students contributions]] * [[:outreach:Education/News/April 2019/Wikimedia+Education Conference highlights|Wikimedia+Education Conference highlights]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:27, 24. Apr. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19034809 --> == This Month in Education: May 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 5 &#x2022; May 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[Outreach:Education/Newsletter/May 2019|Contents]] &#x2022; [[Outreach:Education/Newsletter/May 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Education in Wales|Education in Wales]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia & Education Greenhouse: Applications closed!|Wikimedia & Education Greenhouse: Applications closed!]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Meet Germany|Wiki Camp 'Meet Germany']] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Seniors also count!|Seniors also count!]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Mandatory internship at Wikimedia Armenia|Mandatory internship at Wikimedia Armenia]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia Experience Survey by VVIT WikiConnect|Wikimedia Experience Survey by VVIT WikiConnect]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/OFWA Wikipedia Education Highlights April 2019|OFWA Wikipedia Education Highlights April 2019]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Wikimedia Education at "Wikicamp Chattogram 2019"|Wikimedia Education at "Wikicamp Chattogram 2019"]] *[[:Outreach:Education/News/May 2019/Edit a thon about flora and fauna to celebrate the earth day|Edit a thon about flora and fauna to celebrate the earth day]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 09:16, 29. Mai 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19113682 --> == This Month in Education: June 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 6 &#x2022; June 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/June 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[outreach:Education/News/June 2019/The introduction of the Wikipedia into the educational program has expanded|The introduction of the Wikipedia into the educational program has expanded]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Welcome Vasanthi|Welcome Vasanthi to the Education Team!]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikimedia Education SAARC Conference happening in India|Wikimedia Education SAARC Conference happening in India]] *[[outreach:Education/News/June 2019/"Won't somebody please think of the children?"|"Won't somebody please think of the children?"]] *[[outreach:Education/News/June 2019/The first Annual Report of VVIT WikiConnect|The first Annual Report of VVIT WikiConnect]] *[[outreach:Education/News/June 2019/An effective collaboration of WikiClubs and schools|An effective collaboration of WikiClubs and schools]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikiclassroom: New way for students' inspiration|Wikiclassroom: New way for students' inspiration]] *[[outreach:Education/News/June 2019/Wikipedia as a classroom activity kicks off in Kosovo|Wikipedia as a classroom activity kicks off in Kosovo]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:40, 6. Jul. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19174995 --> == This Month in Education: July 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 7 &#x2022; July 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/July 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/July 2019/First WikiEducation gathering in Mexico|First WikiEducation gathering in Mexico]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/SEABA school in India has hired a Wikimedian to teach Wikimedia project in their school.|SEABA school in India has hired a Wikimedian to teach Wikimedia project in their school.]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Selet WikiSchool: results of first half of 2019|Selet WikiSchool: results of first half of 2019]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Students Use Archival Documents in a Competition, WMIL|Students Use Archival Documents in a Competition, WMIL]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Stepanakert WikiClub: Meeting with the Speaker of the Artsakh Parliament - Ashot Ghoulian|Stepanakert WikiClub: Meeting with the Speaker of the Artsakh Parliament - Ashot Ghoulian]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Collaboration with American University of Armenia|Collaboration with American University of Armenia]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Finalizing the Collaboration with Armenian Education Foundation|Finalizing the Collaboration with Armenian Education Foundation]] *[[:outreach:Education/News/July 2019/Wikimedia Education SAARC Conference Journey|Wikimedia Education SAARC Conference Journey]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 11:53, 30. Jul. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19221452 --> == This Month in Education: August 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 8 &#x2022; August 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/August 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2019/Summer WikiCamp for secondary school students 2019 in Armenia|Summer WikiCamp for secondary school students 2019 in Armenia]] * [[outreach:Education/News/August 2019/Together, we can create an environment that promotes Quality Education|Together, we can create an environment that promotes Quality Education]] * [[outreach:Education/News/August 2019/International Days and pop culture motivate primary and secondary education students to write on Wikipedia and Wikidata|International Days and pop culture motivate primary and secondary education students to write on Wikipedia and Wikidata]] * [[outreach:Education/News/August 2019/Quality learning and recruiting students at Edu Wiki camp|Quality learning and recruiting students at Edu Wiki camp]] * [[outreach:Education/News/August 2019/We spend such wonderful days in WikiCamps that noone wants to return home|We spend such wonderful days in WikiCamps that noone wants to return home]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 03:00, 5. Sep. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19308048 --> == This Month in Education: September 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 9 &#x2022; September 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/September 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/September 2019/Learning history by expanding articles about novels|Learning history by expanding articles about novels]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Organizing the Education space at Wikimania 2019 - A conversation with Shani Evenstein|Organizing the Education space at Wikimania 2019 - A conversation with Shani Evenstein]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wiki Goes to School is back in three cities in Indonesia|Wiki Goes to School is back in three cities in Indonesia]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikipedia workshop at the Summer IT School for Teachers|Wikipedia workshop at the Summer IT School for Teachers]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019 is over|WikiChallenge Ecoles d'Afrique 2019 is over]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikipedia Education Program launched in Bangladesh|Wikipedia Education Program held at Netrokona Government College, Bangladesh]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Stepanakert WikiClub turns 4!|Stepanakert WikiClub turns 4!]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Wikimedia Indonesia trained the trainers through WikiPelatih 2019|Wikimedia Indonesia trained the trainers through WikiPelatih 2019]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/Students learning Wikipedia editing by attending Wikicamp at Nabran|Students learning Wikipedia editing by attending Wikicamp at Nabran]] *[[:outreach:Education/News/September 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:34, 1. Okt. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19418815 --> == This Month in Education: October 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 10 &#x2022; October 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/October 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia Chile launched its new online course for school teachers|Wikimedia Chile launched its new online course for school teachers]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia Norway is developing an education program for Sámi students and universities teaching Sámi subjects|Wikimedia Norway is developing an education program for Sámi students and universities teaching Sámi subjects]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Teachers Association of the Republic of Indonesia (PGRI) Keeps Improving Teachers’ Digital Literacy Through the Use of Wikipedia|Teachers Association of the Republic of Indonesia (PGRI) Keeps Improving Teachers’ Digital Literacy Through the Use of Wikipedia]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Lectures on Wikipedia at the the University of Warsaw|Lectures on Wikipedia at the the University of Warsaw]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikicamp in Armenia through the Eyes of Foreigners| Wikicamp in Armenia through the Eyes of Foreigners]] *[[outreach:Education/News/October 2019/New Wiki Education evaluation report of Wikidata courses published|New Wiki Education evaluation report of Wikidata courses published courses.]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Youth Salon by VVIT WikiConnect along with Wikipedia & Education user group|Wikimedia 2030 Strategoy Youth Salon by VVIT WikiConnect]] *[[outreach:Education/News/October 2019/Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the first unit of the online course|Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the first unit of the online courses.]] *[[outreach:Education/News/September 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 10:30, 25. Okt. 2019 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19436525 --> == This Month in Education: November 2019 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 8 &#x2022; Issue 11 &#x2022; November 2019</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2019|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/October 2019/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> *[[:outreach:Education/News/November 2019/GOES for Ghana|Wikimedians aim to make a difference in the lives of students in Ghana with support from the Wikimedia & Education Greenhouse]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/The Third "Editatón WikiUNAM"|The Third "Editatón WikiUNAM"]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/Spreading Free Knowledge in the Land of Minangkabau|Spreading Free Knowledge in the Land of Minangkabau]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/What can we learn from the Open Education movement about attaining educational SDG in the digital age?|What can we learn from the Open Education movement about attaining educational SDG in the digital age?]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/We are highlighting the work User:Ixocactus for his contributions in Wikimedia & Education‎| We are highlighting the work of User:Ixocactus this month‎]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/“Olympic sports through history” on Serbian Wikipedia|“Olympic sports through history” on Serbian Wikipedia courses.]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/Workshops with Wiki Club members|Workshops with Wiki Club members]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/"Learning about other Culture" SEABA School, Lehragaga|"Learning about other Culture" SEABA School, Lehragaga.]] *[[:outreach:Education/News/November 2019/What is happening at Wikimedia Space?|What is happening at Wikimedia Space?]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 04:15, 29. Nov. 2019 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19589002 --> == This Month in Education: January 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &bull; Issue 1 &bull; January 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2019|Contents]] &bull; [[outreach:Education/Newsletter/January 2019/Headlines|Headlines]] &bull; [[:m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/January 2020/Featured education community member of January 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: User:Parvathisri]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Alva's college collaboration|Alva's college collaboration]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/EtnoWiki strikes again!|EtnoWiki strikes again in Poland!]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Internship program: Engaging New Volunteers to Join the Community|Internship program: Engaging New Volunteers to Join the Community]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Joint translations as language studying tool in Karvachar’s Wikiclub|Joint translations as language studying tool in Karvachar’s Wikiclub]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Selet WikiSchool introduces Wikinews and other Wikimedia projects|Selet WikiSchool introduces Wikinews and other Wikimedia projects]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Training of Trainers for Teachers in South Sulawesi Was Organized For the First Time|Training of Trainers for Teachers in South Sulawesi Was Organized For the First Time]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Twenty video tutorials in Serbian language on editing Wikipedia|Twenty video tutorials in Serbian language on editing Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Updates from Wikimedia Education database edit-a-thon|Updates from Wikimedia Education database edit-a-thon]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wiki Club Ohrid grows|Wiki Club Ohrid grows]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wiki Masuk Sekolah (Wiki Goes to School) Involved the Students in Producing and Sharing Knowledge Through Wikipedia|Wiki Masuk Sekolah (Wiki Goes to School) Involved the Students in Producing and Sharing Knowledge Through Wikipedia]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wikiclassroom as a New Means of Gaining Knowledge|Wikiclassroom as a New Means of Gaining Knowledge]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the second unit of the online course|Wikimedia & Education Greenhouse – Highlights from the second unit of the online course]] * [[:outreach:Education/News/January 2020/WoALUG collaboration with educational institution BONEVET in Prishtina|WoALUG collaboration with educational institution BONEVET in Prishtina]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:26, 3. Feb. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19722205 --> == This Month in Education: February 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 1 &#x2022; February 2020</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/February 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[:outreach:Education/News/February 2020/Featured education community member of February 2020|Featured education community member of February 2020]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Wikipedia in Mayan Language|Wikipedia in Mayan Language]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Open Education Week - events with Wikimedia Poland|Open Education Week - events with Wikimedia Poland]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Youngest wikimedians ever editing Txikipedia|Youngest wikimedians ever editing Txikipedia]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Fashion and digital citizenship at Bath Spa University|Fashion and digital citizenship at Bath Spa University]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/WoALUG and REC Albania continue their collaboration in Wikimedia Education|WoALUG and REC Albania continue their collaboration in Wikimedia Education]] * [[:outreach:Education/News/February 2020/Respati Project|Respati Project]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 23:06, 3. Mär. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19845865 --> == This Month in Education: March 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 3 &#x2022; March 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/March 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/March 2020/An Update on Wikimedia Indonesia’s Education Program|An Update on Wikimedia Indonesia’s Education Program]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Education Program in CUC Sur, Jalisco, México|Education Program in CUC Sur, Jalisco, México]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Featured education community member of March 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Amber Berson]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Enhancing Armenian Wikipedia with professional articles|Enhancing Armenian Wikipedia with professional articles]] * [[outreach:Education/News/March 2020/How collaborations and perseverance contributed to an especially impactful educational project|How collaborations and perseverance contributed to an especially impactful educational project]] * [[outreach:Education/News/March 2020/Wikimedia Argentina carried out the first training program in education and Human Rights for the Wikimedia Movement|Wikimedia Argentina carried out the first training program in education and Human Rights for the Wikimedia Movement]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 17:30, 30. Mär. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=19864438 --> == This Month in Education: April 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" | <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 4 &#x2022; April 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/April 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/April 2020/ Wikipedia Reveals New Sides of Translation|Wikipedia Reveals New Sides of Translation]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Education Webinars organized by Wikimedia México|Education Webinars organized by Wikimedia México]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Fact checking tool with library under cc-license|Fact checking tool with library under cc-license]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Fast help for schools: An interactive platform for Open Educational Resources|Fast help for schools: An interactive platform for Open Educational Resources]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Featured education community member of April 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wiki Club Ashesi Welcomes Onboard a New Patron|Wiki Club Ashesi Welcomes Onboard a New Patron]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wiki-school project with Wikimedia Poland|Wiki-school. A new program for teachers in Poland]] * [[outreach:Education/News/April 2020/Wikimedia Serbia was organized action on improving students assignments on Wikipedia|Wikimedia Serbia was organized action on improving students assignments on Wikipedia]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:45, 5. Mai 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20024483 --> == This Month in Education: May 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 5 &#x2022; May 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/May 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/May 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/May 2020/EduWiki challenge México by Wikimedia México|EduWiki challenge México by Wikimedia México]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Featured education community member of May 2020|Featured education community member of May 2020]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Sharing Wikimedia Education Projects in the Philippines|Sharing Wikimedia Education Projects in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Turkish professors are giving Wikipedia assignments during Covid-19 days|Turkish professors are giving Wikipedia assignments during Covid-19 days]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Wikidata introduced in Faculty of Economics, University of Belgrade|Wikidata introduced in Faculty of Economics, University of Belgrade]] * [[outreach:Education/News/May 2020/Wikipedia as career counseling tool for teenagers|Wikipedia as career counseling tool for teenagers]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:39, 10. Jun. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20130275 --> == This Month in Education: June 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 6 &#x2022; June 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/June 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/June 2020/Understanding Wikimedia Affiliates Evaluation in Education Report|Understanding Wikimedia Affiliates Evaluation in Education Report]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Understanding Wikimedia Community as Research Fellows|Understanding Wikimedia Community as Research Fellows]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Participants of Wiki/Ponder online workshop in Kosovo edit Wikipedia|Participants of Wiki/Ponder online workshop in Kosovo edit Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Wikimedia & Education Greenhouse – Celebrating the final unit of the online course!|Wikimedia & Education Greenhouse – Celebrating the final unit of the online course!]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Wikipedia in schools competing for innovations in teaching award|Wikipedia in schools competing for innovations in teaching award]] * [[outreach:Education/News/June 2020/Featured education community member of June 2020|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Oleh Kushch]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 05:54, 24. Jun. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20166080 --> == This Month in Education: July 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 &#x2022; Issue 7 &#x2022; July 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2020|Contents]] &#x2022; [[outreach:Education/Newsletter/July 2020/Headlines|Headlines]] &#x2022; [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/July 2020/About Education at the Wikimedia Polska Conference|About Education at the Wikimedia Polska Conference]] * [[outreach:Education/News/July 2020/Featured education community member of July 2020|Featured education community member]] * [[outreach:Education/News/July 2020/The importance of having an Education and Human Rights Program|The importance of having an Education and Human Rights Program]] * [[outreach:Education/News/July 2020/The Welsh Wiki-Education project|The Welsh Wiki-Education project]] * [[outreach:Education/News/July 2020/Wikimedia Chile faces the challenge of mandatory virtuality|Wikimedia Chile faces the challenge of mandatory virtuality]] * [[outreach:Education/News/July 2020/WoALUG and Canadian Institute of Technology write about women in tech|WoALUG and Canadian Institute of Technology write about women in tech]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 07:27, 5. Aug. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20337242 --> == This Month in Education: August 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 8 • August 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/August 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2020/Collaboration between Karvachar Armath laboratory and Karvachar’s Wikiclub as a new educational platform for the teenagers|Collaboration between Karvachar Armath laboratory and Karvachar’s Wikiclub as a new educational platform for the teenagers]] * [[outreach:Education/News/August 2020/Education cycle “Wikipedia, the free encyclopedia: an instructional strategy for the teaching practice” organized by the Faculty of Education Sciences of the Universidad Autónoma de Tlaxcala and Wikimedia México.|Education cycle “Wikipedia, the free encyclopedia: an instructional strategy for the teaching practice”]] * [[outreach:Education/News/August 2020/3rd edition of Wikipedia Education Program in Hebron, Palestine. (COVID-19 edition)|3rd edition of Wikipedia Education Program in Hebron, Palestine. (COVID-19 edition)]] * [[outreach:Education/News/August 2020/Introductory Wikipedia Workshop with Future Engineers: First Step of Education Program|Introductory Wikipedia Workshop with Future Engineers: First Step of Education Program]] * [[outreach:Education/News/August 2020/A picture is worth a thousand words: history students research pictures on Commons|A picture is worth a thousand words: history students research pictures on Commons]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 15:33, 23. Aug. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20345269 --> == This Month in Education: September 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 9 • September 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2020/Active autumn in the Polish wiki-education|Active autumn in the Polish wiki-education]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"|Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Featured education community member of September 2020|Featured education community member of September 2020]] * [[outreach:Education/News/September 2020/The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines|The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia|Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 14:49, 23. Sep. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20463283 --> == This Month in Education: September 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 9 • September 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2020/Active autumn in the Polish wiki-education|Active autumn in the Polish wiki-education]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"|Cycle "Caminos y voces de la educación con Wikipedia"]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Featured education community member of September 2020|Featured education community member of September 2020]] * [[outreach:Education/News/September 2020/The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines|The Use of Wikipedia and Wikimedia Commons as tool for Module Development in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia|Wikimedia Indonesia Education Team Launched Their Books About Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2020/Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia is organizing the first online Edu Wiki camp]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 16:46, 23. Sep. 2020 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20463283 --> == This Month in Education: October 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 10 • October 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2020/Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon|Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Digital skills using Wikimedia Art + Feminism|Digital skills using Wikimedia Art + Feminism]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)|Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Education news bytes|Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Featured education community member of October 2020|Featured education community member of October 2020]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament|Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 13:59, 25. Okt. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20514345 --> == This Month in Education: October 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 10 • October 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2020/Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon|Collegiate Students Fight Historical Revisionism Through Online Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Digital skills using Wikimedia Art + Feminism|Digital skills using Wikimedia Art + Feminism]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)|Editathon “¡No se olvida!” (We don’t forget!)]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Education news bytes|Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Featured education community member of October 2020|Featured education community member of October 2020]] * [[outreach:Education/News/October 2020/Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament|Teaching Wikipedia at University of Tromsø with support from the Sámi Parliament]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 18:03, 25. Okt. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20514345 --> == This Month in Education: November 2020 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 9 • Issue 11 • November 2020</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/November 2020|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/November 2020/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/November 2020/Celebrating 10 years of student editing in the United States and Canada|Celebrating 10 years of student editing in the United States and Canada]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Cooperation in digital education – Wikimedia Polska conference|Cooperation in digital education – Wikimedia Polska conference]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Education Team 2020 Year End Review|Education Team 2020 Year End Review]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Featured education community members of 2020|Featured education community members of 2020]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Fifteen years of implementation of the Wikipedia Education Program in Serbia|Fifteen years of implementation of the Wikipedia Education Program in Serbia]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Hablon User Group and UP Internet Freedom Network Wikipedia Edit-a-thon|Hablon User Group and UP Internet Freedom Network Wikipedia Edit-a-thon]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Online trainings on Wikipedia with high school students of Kosova|Online trainings on Wikipedia with high school students of Kosova]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Photographics and free culture training in Cameroon and Switzerland|Photographics and free culture training in Cameroon and Switzerland]] * [[outreach:Education/News/November 2020/The article about Wiki-education in the science magazine|The article about Wiki-education in the science magazine]] * [[outreach:Education/News/November 2020/The first Online EduWiki Camp in Serbia|The first Online EduWiki Camp in Serbia]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Wikimedia Mexico’s Education Program celebrates Open Access Week 2020|Wikimedia Mexico’s Education Program celebrates Open Access Week 2020]] * [[outreach:Education/News/November 2020/Wikipedia as a Tool to Educate and to Be Educated|Wikipedia as a Tool to Educate and to Be Educated]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 08:15, 17. Dez. 2020 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20831200 --> == This Month in Education: January 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 1 • January 2021</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/January 2021/Headlines|Headlines]] • [[metawiki:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/January 2021/Featured education community member of January 2021|Featured education community member of January 2021]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Open Education Global 2020 Conference|Open Education Global 2020 Conference]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Reading Wikipedia in Bolivia|Reading Wikipedia in Bolivia]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert|The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines|The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa|Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:26, 23. Jan. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=20974633 --> == This Month in Education: January 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 1 • January 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/January 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/January 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/January 2021/Featured education community member of January 2021|Featured education community member of January 2021]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Open Education Global 2020 Conference|Open Education Global 2020 Conference]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Reading Wikipedia in Bolivia|Reading Wikipedia in Bolivia]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert|The impact of war on young Wikimedians in Stepanakert]] * [[outreach:Education/News/January 2021/The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines|The Possibility of Open-Access Learning Portals in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/January 2021/Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa|Training Resources about Author’s Rights published by Wiki in Africa]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 16:35, 24. Jan. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21000945 --> == This Month in Education: February 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 2 • February 2021</span> ----<span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/February 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/February 2021/Headlines|Headlines]] • [[metawiki:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ----<span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span><div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/February 2021/Education news bytes|Wikimedia Education news bytes]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Featured education community member of February 2021|Featured education community member of February 2021]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Karvachar Wikiclub continues its activities online|Karvachar Wikiclub continues its activities online]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Over 4,000 references added|Over 4,000 more references added! 1Lib1Ref campaign in Poland]] * [[outreach:Education/News/February 2021/Philippines Climate Change Translate-a-thon|Philippines Climate Change Translate-a-thon]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 08:34, 24. Feb. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21035028 --> == This Month in Education: March 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 3 • March 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/March 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/March 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/March 2021/A Wikipedia Webinar for Indonesian Women Teachers|A Wikipedia Webinar for Indonesian Women Teachers]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Educational program of GLAM Macedonia|Educational program of GLAM Macedonia]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Filling Gaps - the Conference about Education in Poland|Filling the Gaps & Open Education Week]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Featured education community member of March 2021|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Bara'a Zama'reh]] * [[outreach:Education/News/March 2021/Using Wikipedia and Bridging the Gender Gap: In-Service training for Teachers in Philippines|Using Wikipedia and Bridging the Gender Gap: In-Service training for Teachers in Philippines]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 12:46, 26. Mär. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21247888 --> == This Month in Education: April 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 4 • April 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/April 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/April 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issuse</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/April 2021/Collaboration with Brusov State University|Collaboration with Brusov State University]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Editing contest "Meet Russia"|Editing contest "Meet Russia"]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Educational project: Wikipedia at the University with the University Center for Economic-Administrative Sciences|Educational project: Wikipedia at the University with the University Center for Economic-Administrative Sciences (Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas (CUCEA)) of the University of Guadalajara]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Regional Meeting of Latin American Education by the EWOC|Regional Meeting of Latin American Education by the EWOC]] * [[outreach:Education/News/April 2021/Students of the Faculty of Philosophy in Belgrade have started an internship program|Students of the Faculty of Philosophy in Belgrade have started an internship program]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 00:48, 26. Apr. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21372399 --> == This Month in Education: May 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 5 • May 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/May 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/May 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/May 2021/A Multimedia-Rich Wikiversity MOOC from Brazil|A Multimedia-Rich Wikiversity MOOC from Brazil]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Featured education community member of May 2021|Meet this month's featured Wikimedia & Education community member: Maria Weronika Kmoch]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Offline workshop with Nikola Koperniku High School in Albania|Offline workshop with Nikola Koperniku High School in Albania]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wiki Education Program Organized with the University Students for the First time in Bangladesh|Wiki Education Program Organized with the University Students for the First time in Bangladesh]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wikimedia Commons workshop with high school students in Kosovo; Workshop with telecommunication students at University of Prishtina|Wikimedia Commons workshop with high school students in Kosovo]] * [[outreach:Education/News/May 2021/Wikipedia training for the Safeguardians of the Intangible Cultular Heritage|Wikipedia training for the Bearers of Intangible Cultural Heritage in Poland]] * [[outreach:Education/News/May 2021/“Writing a Wikipedia article isn’t as difficult and unimaginable as it seems”: A case for Wikipedia Education Program in Ukraine|“Writing a Wikipedia article isn’t as difficult and unimaginable as it seems”: A case for Wikipedia Education Program in Ukraine]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 19:38, 27. Mai 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21425406 --> == This Month in Education: June 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 6 • June 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/June 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/June 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/June 2021/Children writing for an encyclopedia – is it possible?|Can children write articles for a wiki encyclopedia?]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Editing contest "Biosphere reserves in the world"|Editing contest "Biosphere reserves in the world"]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Training & workshop on Wikidata and Wikimedia Commons with students from Municipal Learning Center, Gurrakoc|Training & workshop on Wikidata and Wikimedia Commons with students from Municipal Learning Center, Gurrakoc]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Wiki for Human Rights Campaign in the Philippines|Wiki for Human Rights Campaign in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Wiki-School program in Poland at the end of school year|Wikipedia makes children and teachers happy!]] * [[outreach:Education/News/June 2021/Workshop with students of Language Faculty of Philology, University of Prishtina "Hasan Prishtina"|Workshop with the students of Language Faculty of Philology, University of Prishtina "Hasan Prishtina"]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:57, 23. Jun. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21553405 --> == This Month in Education: July 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 7 • July 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/July 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/July 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/July 2021/UHI Editathon celebrates 10 years as a university|University celebrates 10th anniversary with an Editathon]] * [[outreach:Education/News/July 2021/A paper on Students' Attitudes Towards the Use of Wikipedia|A paper on Students' Attitudes Towards the Use of Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/July 2021/Announcing the Training of Trainers program for Reading Wikipedia in the Classroom!|Announcing the Training of Trainers program for "Reading Wikipedia in the Classroom"]] * [[outreach:Education/News/July 2021/MOOC Conocimiento Abierto y Software Libre|MOOC Conocimiento Abierto y Software Libre]] * [[outreach:Education/News/July 2021/Leamos Wikipedia en Bolivia|Updates on the Leamos Wikipedia en Bolivia 2021]] * [[outreach:Education/News/July 2021/E-lessons on Wikipedia from Wikimedia Polska|Virtual lessons on Wikipedia from Wikimedia Polska for schools]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:32, 3. Aug. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21829196 --> == This Month in Education: August 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 8 • August 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/August 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/August 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/August 2021/Workshop for the Teachers from Poland|GLAM-wiki Summer in the City: Polish Teachers met in Warsaw]] * [[outreach:Education/News/August 2021/Wikipedia for School – our largest article contest for Ukrainian teachers|Wikipedia for School – our largest article contest for Ukrainian teachers]] * [[outreach:Education/News/August 2021/The importance of Social Service: Modality of educational linkage with ITESM, Querétaro campus and Wikimedia Mexico|The importance of Social Service: Modality of educational linkage with ITESM, Querétaro campus and Wikimedia Mexico]] * [[outreach:Education/News/August 2021/"Searching for the unschooling vibes around Wikipedia" at the Wikimania 2021|Wikimania 2021 and the unschooling vibes around Wikipedia by Wikimedia Polska, Education team]] * [[outreach:Education/News/August 2021/Open Foundation West Africa Introduces KIWIX Offline to the National Association of Graduate Teachers|Open Foundation West Africa Introduces KIWIX Offline to the National Association of Graduate Teachers]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 15:38, 25. Aug. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=21914750 --> == This Month in Education: September 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 9 • September 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/September 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/September 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/September 2021/Cultural history on Wikipedia|Cultural history on Wikipedia]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Education program in Ukraine is finally back to offline|Education program in Ukraine is finally back to offline!]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Reading Wikipedia in the Classroom Module Distribution in the Philippines|Reading Wikipedia in the Classroom Module Distribution in the Philippines]] * [[outreach:Education/News/September 2021/Senior Citizens WikiTown 2021: Týn nad Vltavou|Senior Citizens WikiTown 2021: Týn nad Vltavou]] * [[outreach:Education/News/September 2021/WikiXLaEducación: New contest to include articles about education on Wikipedia|#WikiXLaEducación: New contest to include articles about education on Wikipedia]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:Romaine|Romaine]] 21:43, 26. Sep. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Romaine@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22072998 --> == This Month in Education: October 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 10 • October 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[outreach:Education/Newsletter/October 2021|Contents]] • [[outreach:Education/Newsletter/October 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[outreach:Education/News/October 2021/1st joint contest Wikimedia UG Georgia and the Ministry of Education of Georgia.|1st joint contest Wikimedia UG Georgia and the Ministry of Education of Georgia]] * [[outreach:Education/News/October 2021/Promoting more inclusive and equitable support for the Wikimedia Education community|Promoting more inclusive and equitable support for the Wikimedia Education community]] * [[outreach:Education/News/October 2021/The Second Online EduWiki Camp in Serbia|The Second Online EduWiki Camp in Serbia]] * [[outreach:Education/News/October 2021/University courses in the UK|Higher and further education courses in the UK]] * [[outreach:Education/News/October 2021/Wikipedia on Silesia Cieszyn in Poland|Wikipedia on Silesia Cieszyn in Poland and in Czech Republic]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:41, 26. Okt. 2021 (CEST)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22208730 --> == This Month in Education: November 2021 == {| style="width:70%;" | valign="top" style="text-align:center; border:1px gray solid; padding:1em;" |<span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 10 • Issue 11 • November 2021</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Education/Newsletter/November 2021|Contents]] • [[m:Education/Newsletter/November 2021/Headlines|Headlines]] • [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Education/News/November 2021/We talked about EduWiki Outreach Collaborators and how Wikimedia Serbia played a role being a part of it|We talked about EduWiki Outreach Collaborators and how Wikimedia Serbia played a role being a part of it]] * [[m:Education/News/November 2021/Welcome to Meta!|Welcome to Meta!]] * [[m:Education/News/November 2021/Wikipedia Education Program in Ukraine in 2021|Wikipedia Education Program in Ukraine in 2021]] * [[m:Education/News/November 2021/Wikipedia and Education Mentorship Program-Serbia and Philippines Partnership|Wikipedia and Education Mentorship Program-Serbia and Philippines Partnership]] * [[m:Education/News/November 2021/Launch of the Wikimedia Research Fund!|Launch of the Wikimedia Research Fund!]] * [[m:Education/News/November 2021/Education projects in the Land of Valencia|Education projects in the Land of Valencia]] * [[m:Education/News/November 2021/A Hatch-Tyap-Wikipedia In-person Training Event|A Hatch-Tyap-Wikipedia In-person Training Event]] * [[m:Education/News/November 2021/Celebrating Sq Wikipedia Birthday with the Vasil Kamami High School students|Celebrating Sq Wikipedia Birthday with the Vasil Kamami High School students]] * [[m:Education/News/November 2021/Celebrating Wikidata with the Nikola Koperniku High School students|Celebrating Wikidata with the Nikola Koperniku High School students]] </div> |} <div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:19, 21. Nov. 2021 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22360687 --> == This Month in Education: January 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Dieser Monat im Bildungswesen</span><br/> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Band 11 • Ausgabe 1 • Januar 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In dieser Ausgabe</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/30-h Wikipedia Article Writing Challenge|Wikipedia-Herausforderung: Artikel schreiben innerhalb von 30 Stunden]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Announcing Wiki Workshop 2022|Ankündigung von Wiki Workshop 2022!]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Final exhibition about Cieszyn Silesia region|Abschlussausstellung der Region Cieszyn/Schlesien]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Join us this February for the EduWiki Week|Nimm diesen Februar an der Eduwiki-Woche teil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Offline Education project WikiChallenge closed its third edition|Dritte Ausgabe des offline-Bildungsprojekt WikiChallenge beendet]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Reading Wikipedia in the Classroom ToT Experience of a Filipina Wikimedian|Wikipedia im Klassenzimmer: Technologietransfererfahrungen einer phillipinischen Wikimedian]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Welcoming new trainers of the Reading Wikipedia in the Classroom program|Begrüßung neuer Ausbilder für das Projekt Wikipedia im Klassenzimmer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Wikimedia Israel’s education program: Students enrich Hebrew Wiktionary with Biblical expressions still in use in modern Hebrew|Wikimedia Israels Bildungsprojekt: Studenten bereichern hebräisches Wiktionary mit weiterhin gebräuchlichen biblischen Redewendungungen]] </div></div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:29, 24. Jan. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22669905 --> == This Month in Education: January 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Dieser Monat im Bildungswesen</span><br/> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Band 11 • Ausgabe 1 • Januar 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2022/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In dieser Ausgabe</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/30-h Wikipedia Article Writing Challenge|Wikipedia-Herausforderung: Artikel schreiben innerhalb von 30 Stunden]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Announcing Wiki Workshop 2022|Ankündigung von Wiki Workshop 2022!]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Final exhibition about Cieszyn Silesia region|Abschlussausstellung der Region Cieszyn/Schlesien]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Join us this February for the EduWiki Week|Nimm diesen Februar an der Eduwiki-Woche teil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Offline Education project WikiChallenge closed its third edition|Dritte Ausgabe des offline-Bildungsprojekt WikiChallenge beendet]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Reading Wikipedia in the Classroom ToT Experience of a Filipina Wikimedian|Wikipedia im Klassenzimmer: Technologietransfererfahrungen einer phillipinischen Wikimedian]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Welcoming new trainers of the Reading Wikipedia in the Classroom program|Begrüßung neuer Ausbilder für das Projekt Wikipedia im Klassenzimmer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2022/Wikimedia Israel’s education program: Students enrich Hebrew Wiktionary with Biblical expressions still in use in modern Hebrew|Wikimedia Israels Bildungsprojekt: Studenten bereichern hebräisches Wiktionary mit weiterhin gebräuchlichen biblischen Redewendungungen]] </div></div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 22:14, 24. Jan. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22669905 --> == This Month in Education: February 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English ... {{int:please-translate}} <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 2 • February 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</div> </div> <div style="column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Open Foundation West Africa Expands Open Movement With UHAS|Open Foundation West Africa Expands Open Movement With UHAS]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Celebrating the 18th anniversary of Ukrainian Wikipedia|Celebrating the 18th anniversary of Ukrainian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Integrating Wikipedia in the academic curriculum in a university in Mexico|Integrating Wikipedia in the academic curriculum in a university in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Results of "Reading Wikipedia" workshop in the summer school of Plan Ceibal in Uruguay|Results of "Reading Wikipedia" workshop in the summer school of Plan Ceibal in Uruguay]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/WikiFundi, offline editing plateform : last release notes and how-tos|WikiFundi, offline editing plateform : last release notes and how-tos]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/Writing Wikipedia as an academic assignment in STEM fields|Writing Wikipedia as an academic assignment in STEM fields]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2022/The Learning and Connection – 1Lib1Ref with African Librarians|The Learning and Connection – 1Lib1Ref with African Librarians]] </div> </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:09, 28. Feb. 2022 (CET)</div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=22886200 --> == This Month in Education: March 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English... Please help translate to your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 3 • March 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Arte+Feminismo Pilipinas:Advocacy on Women Empowerment|Arte+Feminismo Pilipinas:Advocacy on Women Empowerment]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/The edit-a-thon on Serbian Wikipedia on the occasion of Edu Wiki Week|The edit-a-thon on Serbian Wikipedia on the occasion of Edu Wiki Week]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Call for Participation: Higher Education Survey|Call for Participation: Higher Education Survey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Collection of Good Practices in Wikipedia Education|Collection of Good Practices in Wikipedia Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Conversation: Open education in the Wikimedia Movement views from Latin America|Conversation: Open education in the Wikimedia Movement views from Latin America]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/EduWiki Week 2022, celebrations and learnings|EduWiki Week 2022, celebrations and learnings]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/EduWiki Week in Armenia|EduWiki Week in Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Open Education Week at the Universidad Autónoma de Nuevo León|Open Education Week at the Universidad Autónoma de Nuevo León]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Wikipedia + Education Talk With Leonard Hagan|Wikipedia + Education Talk With Leonard Hagan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2022/Wikimedia Israel cooperates with Yad Vashem in developing a training course for teachers|Wikimedia Israel cooperates with Yad Vashem in developing a training course for teachers]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:58, 25. Mär. 2022 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23020683 --> == This Month in Education: April 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English... Please help translate to your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 4 • April 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Audio-Educational Seminar of Wikimedia Mexico|Audio-Educational Seminar of Wikimedia Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Dagbani Wikimedians using digital TV broadcast to train Wikipedia contributors in Ghana|Dagbani Wikimedians using digital TV broadcast to train Wikipedia contributors in Ghana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Digital Education & The Open Space With Herbert Acheampong|Digital Education & The Open Space With Herbert Acheampong]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/HerStory walks as a part of edit-a-thons|HerStory walks as a part of edit-a-thons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/Join us for Wiki Workshop 2022|Join us for Wiki Workshop 2022]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2022/The youngest member of Tartu Wikiclub is 15-year-old student|The youngest member of Tartu Wikiclub is 15-year-old student]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 14:52, 24. Apr. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23177152 --> == This Month in Education: May 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 5 • May 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[Education/News/May 2022/Wiki Hackathon in Kwara State|Wiki Hackathon in Kwara State]] * [[Education/News/May 2022/Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete|Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete]] * [[Education/News/May 2022/Education in Kosovo|Education in Kosovo]] * [[Education/News/May 2022/Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes|Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes]] * [[Education/News/May 2022/Tyap Wikipedia Goes Live|Tyap Wikipedia Goes Live]] * [[Education/News/May 2022/Spring 1Lib1Ref edition in Poland|Spring 1Lib1Ref edition in Poland]] * [[Education/News/May 2022/Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop|Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop]] * [[Education/News/May 2022/Wikibooks project in teaching|Wikibooks project in teaching]] * [[Education/News/May 2022/Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković|Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković]] * [[Education/News/May 2022/My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah|My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education| Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:43, 1. Jun. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23282386 --> == This Month in Education: May 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:40px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:20px; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif; width:900px;"> Volume 11 • Issue 5 • May 2022</span> ---- <span style="font-size:larger;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</span> ---- <span style="color:white; font-size:26px; font-family:Montserrat; display:block; background:#92BFB1; width:100%;">In This Issue</span></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em; -moz-column-count: 2; -moz-column-width: 35em; -webkit-column-count: 2; -webkit-column-width: 35em;"> * [[m:Education/News/May 2022/Wiki Hackathon in Kwara State|Wiki Hackathon in Kwara State]] * [[m:Education/News/May 2022/Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete|Introduction of the Wikimedia Fan Club to Kwara State University Malete]] * [[m:Education/News/May 2022/Education in Kosovo|Education in Kosovo]] * [[m:Education/News/May 2022/Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes|Bringing the Wikiprojects to the Island of Catanduanes]] * [[m:Education/News/May 2022/Tyap Wikipedia Goes Live|Tyap Wikipedia Goes Live]] * [[m:Education/News/May 2022/Spring 1Lib1Ref edition in Poland|Spring 1Lib1Ref edition in Poland]] * [[m:Education/News/May 2022/Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop|Tyap Editors Host Maiden Wiktionary In-person Training Workshop]] * [[m:Education/News/May 2022/Wikibooks project in teaching|Wikibooks project in teaching]] * [[m:Education/News/May 2022/Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković|Africa Eduwiki Network Hosted Conversation about Wikimedian in Education with Nebojša Ratković]] * [[m:Education/News/May 2022/My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah|My Journey In The Wiki-Space By Thomas Baah]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education| Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:54, 1. Jun. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23351176 --> == This Month in Education: June 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 6 • June 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Black Lunch Table: Black History Month with Igbo Wikimedians User Group|Black Lunch Table: Black History Month with Igbo Wikimedians User Group]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Bolivian Teachers Welcomed Wikipedia in their Classroom|Bolivian Teachers Welcomed Wikipedia in their Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Educational program & Wikivoyage in Ukrainian University|Educational program & Wikivoyage in Ukrainian University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The Great Learning and Connection: Experience from AFLIA|The Great Learning and Connection: Experience from AFLIA]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/New Mexico Students Join Wikimedia Movement Through WikiForHumanRights Campaign|New Mexico Students Join Wikimedia Movement Through WikiForHumanRights Campaign]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The school wiki-project run by a 15 year old student came to an end|The school wiki-project run by a 15 year old student came to an end]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/The students of Kadir Has University, Istanbul contribute Wikimedia projects in "Civic Responsibility Project" course|The students of Kadir Has University, Istanbul contribute Wikimedia projects in "Civic Responsibility Project" course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wiki Trip with Vasil Kamami Wikiclub to Berat, the town of one thousand windows|Wiki Trip with Vasil Kamami Wikiclub to Berat, the town of one thousand windows]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikiclubs in Albania|Wikiclubs in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikidata in the classroom FGGC Bwari Experience|Wikidata in the classroom FGGC Bwari Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/Wikipedia and Secondary Schools in Aotearoa New Zealand|Wikipedia and Secondary Schools in Aotearoa New Zealand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2022/А large-scale online course for teaching beginners to work in Wikipedia has been developed in Russia|А large-scale online course for teaching beginners to work in Wikipedia has been developed in Russia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:50, 4. Jul. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23406065 --> == This Month in Education: July 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 7 • July 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia Chile launched a teacher guidebook with Wiki tools for Heritage Education|Wikimedia Chile launched a teacher guidebook with Wiki tools for Heritage Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia Serbia received a new accreditation for the professional development program|Wikimedia Serbia received a new accreditation for the professional development program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Wikimedia for Illiterate Persons|Wikimedia for Illiterate Persons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/EtnoWiki edit-a-thon in Poland|Polish Wikipedia is enriched with new EtnoWiki content]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2022/Career Education through Wikipedia|Career Education through Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:39, 3. Aug. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23607963 --> == This Month in Education: August 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 8 • August 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/The Making of a Certified Trainer of Reading Wikipedia in the Classroom|The Making of a Certified Trainer of Reading Wikipedia in the Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wikimania SDGs 2022: The Kwara Experience|Wikimania SDGs 2022: The Kwara Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/An adapted Module teacher’s guide in Yoruba and English about Reading Wikipedia in the Classroom in Nigeria is now available on Commons|An adapted Module teacher’s guide in Yoruba and English about Reading Wikipedia in the Classroom in Nigeria is now available on Commons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Reading Wikipedia in the Classroom Kwara, Nigeria: The Trainers Experience|Reading Wikipedia in the Classroom Kwara, Nigeria: The Trainers Experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Edu Wiki Camp 2022 in Serbia: Together again|Edu Wiki Camp 2022 in Serbia: Together again]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Reading Wikipedia in the Classroom Program Nigeria: The Teacher experience |Reading Wikipedia in the Classroom Program Nigeria: The Teacher experience]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wiki For Senior Citizens|Wiki For Senior Citizens]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/WikiLoves SDGs Nigeria Tours Kwara State University Malete|WikiLoves SDGs Nigeria Tours Kwara State University Malete]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2022/Wikiteka project in Poland - summertime|Wikiteka project in Poland - summertime]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 7. Sep. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23758285 --> == This Month in Education: September 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 9 • September 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/OpenEdu.ch: centralising training documents, a platform for the teachers' community in Switzerland|OpenEdu.ch: centralising training documents, a platform for the teachers' community in Switzerland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Senior Citizens WikiTown 2022: Exploring Olomouc and its heritage|Senior Citizens WikiTown 2022: Exploring Olomouc and its heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikimedia Research Fund|Wikimedia Research Fund]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikimedia Youths Commemorate the International Youth Day 2022 in an exciting way across the globe|Wikimedia Youths Commemorate the International Youth Day 2022 in an exciting way across the globe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2022/Wikipedia, Education, and the Crisis of Information|Wikipedia, Education, and the Crisis of Information]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:55, 3. Okt. 2022 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=23879722 --> == This Month in Education: End of the 2022 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 11 • Issue 10 • October–November 2022</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/End of the 2022|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/End of the 2022/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/2nd Latin American Regional Meeting on Education|2nd Latin American Regional Meeting on Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Adopting Wikipedia for Secondary School Students in Nigeria Classroom|Adopting Wikipedia for Secondary School Students in Nigeria Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Celebrating 2022 Vibrance in Kwara State University Malete|Celebrating 2022 Vibrance in Kwara State University Malete]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Celebrating the Wikipedia and Wikidata Birthday in school|Celebrating the Wikipedia and Wikidata Birthday in school]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Report on school libraries in Poland for the Wikiteka project|Report on school libraries in Poland for the Wikiteka project]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Wiki For Senior Citizens Network|Wiki For Senior Citizens Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/WikiEducation, Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources|WikiEducation, Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2022/Wikimedia & Education Workshops: a Wiki Movimento Brasil initiative|Wikimedia & Education Workshops: a Wiki Movimento Brasil initiative]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/An event at the National History Museum in Tirana|An event at the National History Museum in Tirana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Students 24-hour competition on Wikipedia article writing|Students 24-hour competition on Wikipedia article writing]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wiki-Data a Giant at 10|Wiki-Data a Giant at 10]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/WikiGraphers: Visualizing Open Knowledge|WikiGraphers: Visualizing Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Israel’s Educational Innovation: “Students Write Wikipedia” as a Matriculation-Exam Alternative|Wikimedia Israel’s Educational Innovation: “Students Write Wikipedia” as a Matriculation-Exam Alternative]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Morocco User Group Empowers Moroccan Teachers to Use Wikipedia in the Classroom |Wikimedia Morocco User Group Empowers Moroccan Teachers to Use Wikipedia in the Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Wikimedia Russia has released the "Introduction to Wikipedia" textbook|Wikimedia Russia has released the "Introduction to Wikipedia" textbook]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/“Wikipedia for School” contest was held in Ukraine for the third time|“Wikipedia for School” contest was held in Ukraine for the third time]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2022/Announcing the Wikipedia & Education User Group Election Results|Announcing the Wikipedia & Education User Group Election Results]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:56, 19. Dez. 2022 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24091294 --> == This Month in Education: January 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 1 • January 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Educational Projects 2023-1 in Mexico|Educational Projects 2023-1 in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Integration of Wikipedia in Ukrainian universities – teacher-led and student-led|Integration of Wikipedia in Ukrainian universities – teacher-led and student-led]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Transitional Justice in Kosovo edit-a-thon and Partnership with Faculty of Electrical and Computer Engineering - University of Prishtina|Transitional Justice in Kosovo edit-a-thon and Partnership with Faculty of Electrical and Computer Engineering - University of Prishtina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Wikidata Citation Hunt Program for secondary school students, Dubai|Wikidata Citation Hunt Program for secondary school students, Dubai]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Wikipedia edit-a-thon with students from Art Faculty - University of Prishtina|Wikipedia edit-a-thon with students from Art Faculty - University of Prishtina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2023/Тeacher from Belgrade got a reward for using Wikibooks in teaching|Тeacher from Belgrade got a reward for using Wikibooks in teaching]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:32, 6. Feb. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24472891 --> == This Month in Education: February 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 2 • February 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/A Strategic Direction for a Massive Online Course for Educators in Brazil|A Strategic Direction for a Massive Online Course for Educators in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Alliance Funding for Wikipedia as a school resource in Tāmaki Makaurau Auckland, New Zealand|Alliance Funding for Wikipedia as a school resource in Tāmaki Makaurau Auckland, New Zealand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Call for Submissions to Wiki Workshop 2023|Call for Submissions to Wiki Workshop 2023]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Collaboration with Charles University on the creation of Czech Wikipedia started in January|Collaboration with Charles University on the creation of Czech Wikipedia started in January]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Open Education Week 2023 in the Wikimedia Mexico Education Program|Open Education Week 2023 in the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2023/Wikiclubs with different schools in Albania |Wikiclubs with different schools in Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 22:08, 12. Mär. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24706239 --> == This Month in Education: March 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 3 • March 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Audio-seminar project of the Wikimedia Mexico Education Program|Audio-seminar project of the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Empowering Nigerian Female Artists: Through Art & Feminism Edith-A-Thon at KWASU Fan Club|Empowering Nigerian Female Artists: Through Art & Feminism Edith-A-Thon at KWASU Fan Club]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Exploring How Wikipedia Works|Exploring How Wikipedia Works]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Florida graduate students complete Library History edit-a-thon for credit|Florida graduate students complete Library History edit-a-thon for credit]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Improving hearing health content in Brazil|Improving hearing health content in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Media Literacy Portal to become a key resource for media education in Czech Libraries |Media Literacy Portal to become a key resource for media education in Czech Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikeys in the Albanian language|Wikeys in the Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimarathon is an opportunity to involve students and teachers in creating and editing articles in Wikipedia|Wikimarathon is an opportunity to involve students and teachers in creating and editing articles in Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimedia Polska short report|Wikimedia Polska short report]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2023/Wikimedia Serbia participated in the State Seminar of the The Mathematical Society of Serbia|Wikimedia Serbia participated in the State Seminar of the The Mathematical Society of Serbia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 20:45, 8. Apr. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24824837 --> == This Month in Education: April 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 4 • April 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Auckland Museum Alliance fund project update|Auckland Museum Alliance fund project update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Introducing Wikipedia to Kusaal Language Teachers|Introducing Wikipedia to Kusaal Language Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/KWASU Fan Club Leads the Way in 21st Century Learning with Wiki in School Program|KWASU Fan Club Leads the Way in 21st Century Learning with Wiki in School Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/On-line Courses for Educators in Poland|On-line Courses for Educators in Poland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Online meeting of Ukrainian educators working with Wikipedia – four perspectives|Online meeting of Ukrainian educators working with Wikipedia – four perspectives]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikiclubs Editathon in Elbasan, Albania |Wikiclubs Editathon in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikipedia at the Brazilian Linguistics Olympiad|Wikipedia at the Brazilian Linguistics Olympiad]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2023/Wikipedia at the University of Łódź Information Management Conference|Wikipedia at the University of Łódź Information Management Conference]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:27, 23. Mai 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=24999562 --> == This Month in Education: June 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 5 • June 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Africa Day 2023: Abuja Teachers celebrates|Africa Day 2023: Abuja Teachers celebrates]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/From editing articles to civic power – Wikimedia UK's research on democracy and Wikipedia|From editing articles to civic power – Wikimedia UK's research on democracy and Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Reading Wikipedia in the Classroom Program in Yemen Brings Positive Impact to Yemeni Teachers|Reading Wikipedia in the Classroom Program in Yemen Brings Positive Impact to Yemeni Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/Using Wikipedia in education: students' and teachers' view|Using Wikipedia in education: students' and teachers' view]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/The Journey of Reading Wikipedia in the Classroom Lagos State|The Journey of Reading Wikipedia in the Classroom Lagos State]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/WMB goes to Serbia |WMB goes to Serbia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2023/But we don't want it to end!|But we don't want it to end!]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 10:44, 4. Jul. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25147408 --> == This Month in Education: July 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 7 • July 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia Kaduna Connect Campaign|Wikimedia Kaduna Connect Campaign]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia Serbia published a paper Promoting Equity in Access to Open Knowledge: An Example of the Wikipedia Educational Program|Wikimedia Serbia published a paper Promoting Equity in Access to Open Knowledge: An Example of the Wikipedia Educational Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wikimedia and Education Kailali Multiple campus|Wikimedia and Education Kailali Multiple campus]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/WikiCamp in Istog, Kosovo: Promoting Knowledge and Nature Appreciation|WikiCamp in Istog, Kosovo: Promoting Knowledge and Nature Appreciation]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Wiki at the Brazilian National History Symposium|Wiki at the Brazilian National History Symposium]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/US & Canada program reaches 100M words added |US & Canada program reaches 100M words added]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Renewed Community Wikiconference brought together experienced Wikipedians and newcomers|Renewed Community Wikiconference brought together experienced Wikipedians and newcomers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Kusaal Wikipedia Workshop at Ajumako Campus, University of Education, Winneba|Kusaal Wikipedia Workshop at Ajumako Campus, University of Education, Winneba]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Join us to celebrate the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program Graduation Ceremony|Join us to celebrate the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program Graduation Ceremony]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/Activities that took place during the presentation of the WikiEducation book|Activities that took place during the presentation of the WikiEducation book. Educational practices and experiences in Mexico with Wikipedia and other open resources in Xalala, Veracruz from the Wikimedia Mexico Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/62+ Participants Graduates from the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program|62+ Participants Graduates from the Kiwix4Schools Africa Mentorship Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/“Reading Wikipedia in the Classroom” course launched in Ukraine|“Reading Wikipedia in the Classroom” course launched in Ukraine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2023/OFWA and Goethe Institute Host Wiki Skills For Librarians Workshop-Ghana|OFWA and Goethe Institute Host Wiki Skills For Librarians Workshop-Ghana]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:33, 14. Aug. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25457946 --> == This Month in Education: September 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 7 • September 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Inauguration of the Kent Wiki Club at the Wikimania 2023 Conference|Inauguration of the Kent Wiki Club at the Wikimania 2023 Conference]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Letter Magic: Supercharging Your WikiEducation Programs|Letter Magic: Supercharging Your WikiEducation Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Réseau @pprendre (Learning Network) : The Initiative for Educational Change in Francophone West Africa|Réseau @pprendre (Learning Network) : The Initiative for Educational Change in Francophone West Africa]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/WikiChallenge Ecoles d’Afrique closes its 5th edition with 13 winning schools|WikiChallenge Ecoles d’Afrique closes its 5th edition with 13 winning schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/WikiConecta: connecting Brazilian university professors and Wikimedia|WikiConecta: connecting Brazilian university professors and Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2023/Wikimedia Germany launches interactive event series Open Source AI in Education |Wikimedia Germany launches interactive event series Open Source AI in Education]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:01, 10. Okt. 2023 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25700976 --> == This Month in Education: October 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Volume 12 • Issue 8 • October 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/3 Generations at Wikipedia Education Program in Türkiye|3 Generations at Wikipedia Education Program in Türkiye]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/CBSUA Launches Wiki Education in Partnership with PhilWiki Community and Bikol Wikipedia Community|CBSUA Launches Wiki Education in Partnership with PhilWiki Community and Bikol Wikipedia Community]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Celebrating Wikidata’s Birthday in Elbasan|Celebrating Wikidata’s Birthday in Elbasan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Edu Wiki Camp 2023 - together in Sremski Karlovci|Edu Wiki Camp 2023 - together in Sremski Karlovci]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/PhilWiki Community promotes language preservation and cultural heritage advocacies at ADNU|PhilWiki Community promotes language preservation and cultural heritage advocacies at ADNU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/PunjabWiki Education Program: A Wikipedia Adventure in Punjab|PunjabWiki Education Program: A Wikipedia Adventure in Punjab]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/WikiConference on Education ignites formation of Wikimedia communities|WikiConference on Education ignites formation of Wikimedia communities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikimedia Estonia talked about education at CEE meeting in Tbilisi|Wikimedia Estonia talked about education at CEE meeting in Tbilisi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikimedia in Brazil is going to be a book|Wikimedia in Brazil is going to be a book]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2023/Wikipedian Editor Project: Arabic Sounds Workshop 2023|Wikipedian Editor Project: Arabic Sounds Workshop 2023]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:34, 8. Nov. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25784366 --> == This Month in Education: November 2023 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 12 • Issue 9 • November 2023</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2023|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2023/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/4th WikiUNAM Editathon: Community knowledge strengthens education|4th WikiUNAM Editathon: Community knowledge strengthens education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Edit-a-thon at the Faculty of Medical Sciences of Santa Casa de São Paulo|Edit-a-thon at the Faculty of Medical Sciences of Santa Casa de São Paulo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/EduWiki Nigeria Community: Embracing Digital Learning Through Wikipedia|EduWiki Nigeria Community: Embracing Digital Learning Through Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Evening Wikischool offers Czech seniors further education on Wikipedia|Evening Wikischool offers Czech seniors further education on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Expansion of Wikipedia Education Program through Student Associations at Iranian Universities|Expansion of Wikipedia Education Program through Student Associations at Iranian Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Exploring Wikipedia through Wikiclubs and the Wikeys board game in Albania |Exploring Wikipedia through Wikiclubs and the Wikeys board game in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/First anniversary of the game Wikeys|First anniversary of the game Wikeys]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Involve visiting students in education programs|Involve visiting students in education programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Iranian Students as Wikipedians: Using Wikipedia to Teach Research Methodology and Encyclopedic Writing|Iranian Students as Wikipedians: Using Wikipedia to Teach Research Methodology and Encyclopedic Writing]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Kiwix4Schools Nigeria: Bridging Knowledge Gap through Digital Literacy|Kiwix4Schools Nigeria: Bridging Knowledge Gap through Digital Literacy]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Lire wikipedia en classe à Djougou au Bénin|Lire wikipedia en classe à Djougou au Bénin]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Tyap Wikimedians Zaria Outreach|Tyap Wikimedians Zaria Outreach]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/Art Outreach at Aje Compreshensive Senior High School 1st November 2023, Lagos Mainland|Art Outreach at Aje Comprehensive Senior High School 1st November 2023, Lagos Mainland]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2023/PhilWiki Community holds a meet-up to advocate women empowerment|PhilWiki Community holds a meet-up to advocate women empowerment]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:24, 14. Dez. 2023 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=25919737 --> == This Month in Education: January 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 1 • January 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Cross-Continental Wikimedia Activities: A Dialogue between Malaysia and Estonia|Cross-Continental Wikimedia Activities: A Dialogue between Malaysia and Estonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Czech programme SWW in 2023 – how have we managed to engage students|Czech programme SWW in 2023 – how have we managed to engage students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Extending Updates on Wikipedia in Education – Elbasan, Albania|Extending Updates on Wikipedia in Education – Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Reading Wikipedia in the Classroom Teacher’s guide – now available in Bulgarian language|Reading Wikipedia in the Classroom Teacher’s guide – now available in Bulgarian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Summer students at Auckland Museum|Summer students at Auckland Museum]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/WikiDunong: EduWiki Initiatives in the Philippines Project|WikiDunong: EduWiki Initiatives in the Philippines Project]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Wikimedia Armenia's Educational Workshops|Wikimedia Armenia's Educational Workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2024/Wikimedia Foundation publishes its first Child Rights Impact Assessment|Wikimedia Foundation publishes its first Child Rights Impact Assessment]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 11:02, 10. Feb. 2024 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26091771 --> == This Month in Education: February 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 2 • February 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/2 new courses in Students Write Wikipedia Starting this February|2 new courses in Students Write Wikipedia Starting this February]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/More two wiki-education partnerships|More two wiki-education partnerships]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Open Education Week 2024 in Mexico|Open Education Week 2024 in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Reading Wikipedia in Bolivia, the community grows|Reading Wikipedia in Bolivia, the community grows]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Education Philippines promotes OERs utilization|Wiki Education Philippines promotes OERs utilization]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Loves Librarians, Kaduna|Wiki Loves Librarians, Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2024/Wiki Workshop 2024 CfP - Call for Papers Research track|Wiki Workshop 2024 CfP – Call for Papers Research track]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:38, 20. Mär. 2024 (CET)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26310117 --> == This Month in Education: March 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 3 • March 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Reading Wikipedia in the classroom, Kaduna|Reading Wikipedia in the classroom, Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Reading Wikipedia in Ukraine – the course for educators is now available on demand|Reading Wikipedia in Ukraine – the course for educators is now available on demand]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Wiki Movement Brazil will once again support the Brazilian Linguistics Olympiad|Wiki Movement Brazil will once again support the Brazilian Linguistics Olympiad]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2024/Wikipedia within the Education Setting in Albania|Wikipedia within the Education Setting in Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:28, 28. Apr. 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26659969 --> == This Month in Education: April 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">Diesen Monat im Bildungswesen</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Band 13 • Ausgabe 4 • April 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2024|Inhalte]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2024/Headlines|Schlagzeilen]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In dieser Ausgabe</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/EduWiki Updates From Uganda|Neuigkeiten von EduWiki aus Uganda]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Good news from Bolivia: Reading Wikipedia Program continues in 2024|Gute Nachrichten aus Bolivien: Das Wikipedia-Leseprogramm wird 2024 fortgesetzt]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Hearing Health Project: Impactful partnership with Wiki Movement Brazil|Hörgesundheitsprojekt: Wirkungsvolle Partnerschaft mit Wiki Movement Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2024/Wikimedia Spain, Amical Wikimedia and the University of Valencia develop Wikipedia educational project|Wikimedia Spanien, Amical Wikimedia und die Universität von Valencia entwickeln Wikipedia-Bildungsprojekt]]</div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|Über ''Diesen Monat im Bildungswesen'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Abonnieren/Deabonnieren]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Globale Nachrichtenverteilung]] · Für das Team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 05:20, 14. Mai 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26698909 --> == This Month in Education: May 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 5 • May 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Albania - Georgia Wikimedia Cooperation 2024|Albania - Georgia Wikimedia Cooperation 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Aleksandër Xhuvani University Editathon in Elbasan|Aleksandër Xhuvani University Editathon in Elbasan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Central Bicol State University of Agriculture LitFest features translation and article writing on Wikipedia|Central Bicol State University of Agriculture LitFest features translation and article writing on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Empowering Youth Council in Bulqiza through editathons|Empowering Youth Council in Bulqiza through editathons]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/We left a piece of our hearts at Arhavi|We left a piece of our hearts at Arhavi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Wiki Movimento Brasil at Tech Week and Education Speaker Series |Wiki Movimento Brasil at Tech Week and Education Speaker Series]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2024/Wikimedia MKD trains new users in collaboration with MYLA|Wikimedia MKD trains new users in collaboration with MYLA]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:30, 15. Jun. 2024 (CEST)</div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/This_Month_in_Education&oldid=26854161 --> == This Month in Education: June 2024 == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 6 • June 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/From a Language Teacher to a Library Support Staff: The Wikimedia Effect|From a Language Teacher to a Library Support Staff: The Wikimedia Effect]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/5th WikiEducation 2024 Conference in Mexico|5th WikiEducation 2024 Conference in Mexico]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Lviv hosted a spring wikischool for Ukrainian high school students|Lviv hosted a spring wikischool for Ukrainian high school students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/First class of teachers graduated from Reading Wikipedia in the Classroom 2024|First class of teachers graduated from Reading Wikipedia in the Classroom 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Empowering Digital Citizenship: Unlocking the Power of Open Knowledge with Participants of the LIFE Legacy|Empowering Digital Citizenship: Unlocking the Power of Open Knowledge with Participants of the LIFE Legacy]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Wiki Movimento Brazil supports online and in-person courses and launches material to guide educators in using Wikimedia projects |Wiki Movimento Brazil supports online and in-person courses and launches material to guide educators in using Wikimedia projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Where to find images for free? Webinar for librarians answered many questions|Where to find images for free? Webinar for librarians answered many questions]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2024/Wikimedia MKD and University of Goce Delchev start a mutual collaboration|Wikimedia MKD and University of Goce Delchev start a mutual collaboration]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 08:58, 9. Jul. 2024 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 7 • August 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Cross-Cultural Knowledge Sharing: Wikipedia's New Frontier at University of Tehran|Cross-Cultural Knowledge Sharing: Wikipedia's New Frontier at University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Let's Read Wikipedia in Bolivia reaches teachers in Cochabamba|Let's Read Wikipedia in Bolivia reaches teachers in Cochabamba]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Results of the 2023 “Wikipedia for School” Contest in Ukraine|Results of the 2023 “Wikipedia for School” Contest in Ukraine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Edu Wiki Camp in Serbia, 2024|Edu Wiki Camp in Serbia, 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wikimedia Human Rights Month this year engaged schools in large amount|Wikimedia Human Rights Month this year engaged schools in large amount]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Strengthening Education Programs at Wikimania 2024: A Global Leap in Collaborative Learning|Strengthening Education Programs at Wikimania 2024: A Global Leap in Collaborative Learning]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wiki Education programs are featured in a scientific outreach magazine, and Wiki Movimento Brasil offers training for researchers in the Amazon|Wiki Education programs are featured in a scientific outreach magazine, and Wiki Movimento Brasil offers training for researchers in the Amazon]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2024/Wiki Movimento Brasil aims to adapt a game about Wikipedia, organize an academic event for scientific dissemination, and host the XXXIII Wiki-Education Workshop|Wiki Movimento Brasil aims to adapt a game about Wikipedia, organize an academic event for scientific dissemination, and host the XXXIII Wiki-Education Workshop]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:22, 11. Sep. 2024 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: October 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 8 • October 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/CBSUA Wiki Education turns 1 year|CBSUA Wiki Education turns 1 year]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/7th Senior WikiTown took place in Becov nad Teplou, Czech Republic|7th Senior WikiTown took place in Becov nad Teplou, Czech Republic]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Edit-a-thon about Modern Architecture in Kosovo|Edit-a-thon about Modern Architecture in Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Edu_Wiki_in_South_Sudan:_Creating_a_better_future_in_education|Empowering Digital Literacy through Wikimedia in South Sudan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Many new articles and contributions in September and October for Wikimedia MKD|Many new articles and contributions in September and October for Wikimedia MKD]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/New Record: 5 Events in Municipal Library within a Month |New Record: 5 Events in Municipal Library within a Month]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wiki-Education programs in Brazil are centered around the Wikidata and Wikisource platforms|Wiki-Education programs in Brazil are centered around the Wikidata and Wikisource platforms]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/WikiChallenge African Schools wins the “Open Pedagogy” Award 2024 from OE Global|WikiChallenge African Schools wins the “Open Pedagogy” Award 2024 from OE Global]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wikipedia helps in improving cognitive skills|Wikipedia helps in improving cognitive skills]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/Wikipedia in Graduate Studies: Expanding Research Impact|Wikipedia in Graduate Studies: Expanding Research Impact]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2024/WiLMa PH establishes a Wiki Club|WiLMa PH establishes a Wiki Club]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:57, 12. Nov. 2024 (CET)</div> </div> == This Month in Education: November 2024 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 13 • Issue 9 • November 2024</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2024|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2024/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Auckland Museum Wikipedia Student Programme|Auckland Museum Wikipedia Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Citizenship and free knowledge on Wikipedia in Albanian language|Citizenship and free knowledge on Wikipedia in Albanian language]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Engaging students with Wikipedia and Wikidata at Hasanuddin University’s Wikimedia Week|Engaging students with Wikipedia and Wikidata at Hasanuddin University’s Wikimedia Week]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Minigrant initiative by empowering the Rrëshen community in Albania|Minigrant initiative by empowering the Rrëshen community in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikidata birthday in Albania, 2024|Wikidata birthday in Albania, 2024]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikidata birthday in School |Wikidata birthday in School]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikimedia Education Workshop at Lumbini Technological University|Wikimedia Education Workshop at Lumbini Technological University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Wikimedia MKD's new collaborations and new content|Wikimedia MKD's new collaborations and new content]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2024/Improving Historical Knowledge on Persian Wikipedia through a continuous Wikimedia Education Program: Shahid Beheshti University Wikipedia Education Program|Improving Historical Knowledge on Persian Wikipedia through a continuous Wikimedia Education Program: Shahid Beheshti University Wikipedia Education Program]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:13, 10. Dez. 2024 (CET)</div> </div> == This Month in Education: January 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 1 • January 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey|Advancing Education Pillar in Kosovo: 2024 Journey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress|Auckland Museum Wikipedia Students Making Progress]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Celebrating 10 Years of Wiki Education|Celebrating 10 Years of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran|Empowering Multilingual Students: Expanding Wikipedia Through Collaboration of foreign languages faculty's students of the University of Tehran]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra|Ensuring accurate and authentic information with 1Lib1Ref Campaign in Anambra]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey |Experiences of Wikipedia in the classroom with a gender perspective in Monterrey]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania|Fine Arts University Students exploring Wikipedia in Tirana, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia|Lviv hosted Ukraine’s first student photo walk for Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia|Many new trained volunteers and new articles at the end of the year in Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wikimedia and Scientific Events in Brazil|Wikimedia and Scientific Events in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2025/Wiki Workshop- Call for Contributions|Wiki Workshop- Call for Contributions]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 16:56, 5. Feb. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: February 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 2 • February 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Activities series at the Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute|Wikimedia Brazil has formed a partnership with a public policy research institute]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs|Preserving Heritage: Tuluvas Aati Month Educational Wikimedia Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students|Reflecting on our Past: Farewell to the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen|Successful Conclusion of the Second Phase of "Reading Wikipedia in the Classroom" in Yemen]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wiki Workshop in Mitrovica |Wiki Workshop in Mitrovica]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles|Wikimedia MKD' Education: Lots of new trained users, lots of new articles]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2025/Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar|Wikimedia Serbia receives accreditation from the National Library of Serbia for the Wiki Senior seminar]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 10:04, 12. Mär. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: March 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 3 • March 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia|A Whole New World: Research Findings on New Editor Integration in Serbian Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia|Bolivia: a new round of Leamos Wikipedia begins in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Faculty of Social Sciences Workshop in Albania|Faculty of Social Sciences Workshop in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme|Lots of contributions and trainings as part of Wikimedia MKD's Education Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2025/Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March|Wikimedia organized multiple events of science and education in Brazil during the month of March]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:04, 10. Apr. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: April 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 4 • April 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia|Ceremony of giving certificates and awarding the winners of the edit-a-thon: Meet Slovenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil|The Workshops Wikimedia & Education are back in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools|EduWiki Nigeria: Advancing Digital Literacy in Schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja|Empowering the Next Generation: Wikidata Training at Federal Government Boys College, FGBC Abuja]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania|Final Wikipedia project with Shefit Hekali school in Peqin, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues |Teachers who graduated from the Leamos Wikipedia program in Bolivia become mentors for their colleagues]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage in Has region, Northern Albania|Wikivoyage in Has region, Northern Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2025/Wikivoyage workshop in Bulqiza|Wikivoyage workshop in Bulqiza]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:48, 10. Mai 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: May 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 5 • May 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania|Journalism students at Aleksandër Xhuvani University explore Wikipedia in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania|Reviewing pending articles editathon with high school students in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May|Several educational workshops to promote science on Wiki were held in Brazil in the month of May]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program|Simón Bolívar Teacher Training College joins the Let's Read Wikipedia Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop|Students become Editors: Wikimedia Chile launches Latin America's first Vikidia Workshop]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia |The DemocraTICon competition was held, this year for the first time with a discipline focused on Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2025/Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje|Wikimedia MKD's "Lajka" workshop in Skopje]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 04:58, 28. Mai 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: June 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 6 • June 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/June 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Albanian high school students at the Wikimedia Youth Conference 2025 in Prague|Albanian high school students at the Wikimedia Youth Conference 2025 in Prague]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Bolivia has 20 new teachers graduated from the Let's Read Wikipedia in the Classroom program|Bolivia has 20 new teachers graduated from the Let's Read Wikipedia in the Classroom program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Brazil was present at the EduWiki Conference 2025 in Bogota|Brazil was present at the EduWiki Conference 2025 in Bogota]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Does Wikipedia has future in the times of Chat-GPT|Does Wikipedia has future in the times of Chat-GPT]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/PhilWiki Community promotes accessible multilingual stories for children|PhilWiki Community promotes accessible multilingual stories for children]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Reading and Editing Wikipedia in a Bangladeshi College|Reading and Editing Wikipedia in a Bangladeshi College]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Wikimedia MKD's Workshops in June|Wikimedia MKD's Workshops in June]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/June 2025/Wikipedia meets 2500 Ukrainian educators at the country’s biggest education festival|Wikipedia meets 2500 Ukrainian educators at the country’s biggest education festival]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 09:19, 27. Jun. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: July 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 7 • July 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/July 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Crafting Impactful Education Newsletters: Shared Insights from EduWiki 2025|Crafting Impactful Education Newsletters: Shared Insights from EduWiki 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Educational Outreach with Youth Centers in Albania|Educational Outreach with Youth Centers in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Discussing educational resources at WikiCon Brasil 2025|Discussing educational resources at WikiCon Brasil 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Enhancing Mobile-Friendly Contribution in Wikimedia Education Programs|Enhancing Mobile-Friendly Contribution in Wikimedia Education Programs]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/The second semester of Leamos Wikipedia begins in Bolivia with challenges and learning|The second semester of Leamos Wikipedia begins in Bolivia with challenges and learning]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/When Travel Fails, Learning Continues: A Reflection from EduWiki 2025 |When Travel Fails, Learning Continues: A Reflection from EduWiki 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Wiki club in Kumanovo - the newest Wiki club of Wikimedia MKD|Wiki club in Kumanovo - the newest Wiki club of Wikimedia MKD]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Jaroslav Mašek: How KISK FF MU students used AI to write Wikipedia|Jaroslav Mašek: How KISK FF MU students used AI to write Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/July 2025/Various programmes up and rolling with Charles University Prague|Various programmes up and rolling with Charles University Prague]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 05:01, 1. Aug. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: August 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 8 • August 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/August 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Bootcamp Wikipedia in Classroom|Bootcamp Wikipedia in Classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Brazil launches campaign about Open Science on Wiki|Brazil launches campaign about Open Science on Wiki]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Breaking Barriers: Yoruba Wikipedia Fan Club Offa's Historic Wins|Breaking Barriers: Yoruba Wikipedia Fan Club Offa's Historic Wins]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Emerging Voices in Free Knowledge: The Journey of Wiki Club SATI|Emerging Voices in Free Knowledge: The Journey of Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/From a Curious Student to a Wikimedia Leader|From a Curious Student to a Wikimedia Leader]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/From webinars to conferences: Wikimedia Ukraine’s approach to events for educators|From webinars to conferences: Wikimedia Ukraine’s approach to events for educators]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Higher education with Wikipedia in Spain|Higher education with Wikipedia in Spain]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Scientific Contribution from Serbia: Wikipedia in Education Research Published in a Prestigious Journal|Scientific Contribution from Serbia: Wikipedia in Education Research Published in a Prestigious Journal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Teachers with Wikipedia. What if we create a Spanish-speaking collaboration network|Teachers with Wikipedia. What if we create a Spanish-speaking collaboration network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/The brains behind Wikipedia|The brains behind Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Why EduWiki Should Be Considered by Policymakers|Why EduWiki Should Be Considered by Policymakers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikimedia Chile in Visviri: Free knowledge and education at Chile’s starting point|Wikimedia Chile in Visviri: Free knowledge and education at Chile’s starting point]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikipedia as a tool presented at Media Education Summer School for Teachers|Wikipedia as a tool presented at Media Education Summer School for Teachers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wikipedia vs AI at La Trobe University|Wikipedia vs AI at La Trobe University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/St Aloysius University – Wikipedia training session for newcomers|St Aloysius University – Wikipedia training session for newcomers]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Wiki Loves Academics, WUGN Kaduna|Wiki Loves Academics, WUGN Kaduna]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/In Just 3 Minutes: The Power of Wiki Education|In Just 3 Minutes: The Power of Wiki Education]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/August 2025/Sensing Cebu: Fieldnotes of an Academic as a Wiki Volunteer|Sensing Cebu: Fieldnotes of an Academic as a Wiki Volunteer]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:16, 2. Sep. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: September 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 9 • September 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/September 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Brazil organizes seminar to discuss open science and scientific dissemination|Brazil organizes seminar to discuss open science and scientific dissemination]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/CBSUA Recognizes Wiki Training Completers, Awards Feminism & Folklore 2025 Winners|CBSUA Recognizes Wiki Training Completers, Awards Feminism & Folklore 2025 Winners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/2nd International Conference on Wikimedia, Education, and Digital Cultures Mexico 2025|2nd International Conference on Wikimedia, Education, and Digital Cultures Mexico 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Accredited seminar for teachers in Veliko Gradište|Accredited seminar for teachers in Veliko Gradište]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Breaking Barriers, Why open Knowledge matters|Breaking Barriers, Why open Knowledge matters]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Cross-Continental Knowledge Exchange: Offa Youth Impact Initiative and St Aloysius University in 3D Education Outreach |Cross-Continental Knowledge Exchange: Offa Youth Impact Initiative and St Aloysius University in 3D Education Outreach]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Igbo Language Audio Project in the Igbo Wiki Fan Club IMSU & Alvan|Igbo Language Audio Project in the Igbo Wiki Fan Club IMSU & Alvan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Let's Read Wikipedia reached teachers of the Weenhayek indigenous nation in Bolivia|Let's Read Wikipedia reached teachers of the Weenhayek indigenous nation in Bolivia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Monográfico sobre Wikipedia en el aula, Revista Docere|Monograph on Wikipedia in the classroom, Docere Magazine]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/The Third Training Course of the “Reading Wikipedia in the Classroom” Program in Jordan|The Third Training Course of the “Reading Wikipedia in the Classroom” Program in Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/The Ukrainian Educators’ Wikimedia Conference 2025|The Ukrainian Educators’ Wikimedia Conference 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Wikimedia MKD's edit-a-thon: Lakes|Wikimedia MKD's edit-a-thon: Lakes]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Cultura libre en las aulas|Free culture in the classroom]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/September 2025/Wikimedia Rwanda Wiki clubs|Wikimedia Rwanda Wiki clubs]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 17:10, 2. Okt. 2025 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: October 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 10 • October 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/October 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/"WikiDonne Internship: Wikimedia Platforms for Open Education and Inclusive Culture!" winner at the Open Education Awards 2025|"WikiDonne Internship: Wikimedia Platforms for Open Education and Inclusive Culture!" winner at the Open Education Awards 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/A Proud Chapter in My Wikimedia Journey 🇳🇬: From Editor to Organizer|A Proud Chapter in My Wikimedia Journey 🇳🇬: From Editor to Organizer]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Debating open science and scientific dissemination in Brazil|Debating open science and scientific dissemination in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Enhancing Academic Articles on Wikipedia with the State University of Jakarta|Enhancing Academic Articles on Wikipedia with the State University of Jakarta]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/India’s Students and Educators Lead the Way in the Wiki Science Competition 2025|India’s Students and Educators Lead the Way in the Wiki Science Competition 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/JDACA & Amman Arab University|JDACA & Amman Arab University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/New starting page for Wikipedia users had been launched in September|New starting page for Wikipedia users had been launched in September]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Teaching Evidence Synthesis Automation with the Wikipedia–Kaggle Dataset|Teaching Evidence Synthesis Automation with the Wikipedia–Kaggle Dataset]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikimedia MKD’s Education Program activities for October|Wikimedia MKD’s Education Program activities for October]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikimedia Serbia prepares eight annual Edu Wiki camp|Wikimedia Serbia prepares eight annual Edu Wiki camp]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/October 2025/Wikivoyage editathon in Peshkopia, Albania|Wikivoyage editathon in Peshkopia, Albania]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 07:05, 2. Nov. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: November 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 11 • November 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/November 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Auckland Museum's Wiki Summer Student Programme is back for 2025 & 2026|Auckland Museum's Wiki Summer Student Programme is back for 2025 & 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Edu Wiki camp 2025 in Belgrade, Serbia|Edu Wiki camp 2025 in Belgrade, Serbia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wikidata na Escola: estudantes da zona rural de Minas Gerais contribuem com dados sobre mulheres negras brasileiras|Wikidata na Escola: estudantes da zona rural de Minas Gerais contribuem com dados sobre mulheres negras brasileiras]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/190 students from Oteitza Lizeoa create 48 articles on the history of the Basque Country for Txikipedia in one day|190 students from Oteitza Lizeoa create 48 articles on the history of the Basque Country for Txikipedia in one day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/2nd International Congress Wikimedia, Education, and Digital Cultures – WECUDI|2nd International Congress Wikimedia, Education, and Digital Cultures – WECUDI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Africa and Proud Leads Wiki Classroom Project Across Three Nigerian States|Africa and Proud Leads Wiki Classroom Project Across Three Nigerian States]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/November 2025November 2025/Annual Czech Wiki Conference took place on Saturday, Nov 8th|November 2025November 2025/Annual Czech Wiki Conference took place on Saturday, Nov 8th]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/EduWiki Meetup at GLAM Wiki Conference 2025|EduWiki Meetup at GLAM Wiki Conference 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Highly productive autumn education activities in Macedonia|Highly productive autumn education activities in Macedonia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Kannada Wikipedia Asian Month 2025: Edit-a-thon & Workshop Highlights from Loyola College, Karnataka|Kannada Wikipedia Asian Month 2025: Edit-a-thon & Workshop Highlights from Loyola College, Karnataka]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Kosovo Wikivoyage Editathons in Gjakova and Krusha e Madhe|Kosovo Wikivoyage Editathons in Gjakova and Krusha e Madhe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Ukrainian educators create open lesson plans based on the «Reading Wikipedia in the Classroom» course|Ukrainian educators create open lesson plans based on the «Reading Wikipedia in the Classroom» course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/United Architects of the Philippines Student Auxiliary – University of Nueva Caceres joins Wikisource Training|United Architects of the Philippines Student Auxiliary – University of Nueva Caceres joins Wikisource Training]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Videos on Teaching Experiences with Wikipedia, Wikidata, Commons, and OSM|Videos on Teaching Experiences with Wikipedia, Wikidata, Commons, and OSM]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki as a tool for technological empowerment of indigenous knowledge|Wiki as a tool for technological empowerment of indigenous knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki Science Competition in Albania and Kosovo|Wiki Science Competition in Albania and Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wiki Workshop 2026 Call for Contributions|Wiki Workshop 2026 Call for Contributions]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Wikipedia Contribution with Faculty of Mathematical and Natural Sciences Students in Kosovo|Wikipedia Contribution with Faculty of Mathematical and Natural Sciences Students in Kosovo]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/November 2025/Impact of Wikimedia Rwanda Wiki Clubs in Growth of Wikimedia User Group Rwanda Community|Impact of Wikimedia Rwanda Wiki Clubs in Growth of Wikimedia User Group Rwanda Community]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 14:47, 30. Nov. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: December 2025 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr"> <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 14 • Issue 12 • December 2025</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2025|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/December 2025/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WikiLatih Wiktionary with the Goethe-Institut: Strengthening the Digital Presence of Indonesia’s Local Languages|WikiLatih Wiktionary with the Goethe-Institut: Strengthening the Digital Presence of Indonesia’s Local Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Wiki in schools - Architecture and Open Heritage|Wiki in schools - Architecture and Open Heritage]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/What are the challenges and opportunities in scientific dissemination? Reflecting on the topic in the Brazilian context|What are the challenges and opportunities in scientific dissemination? Reflecting on the topic in the Brazilian context]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WikipediaxAI: Wikipedia, AI, and the future of knowledge|WikipediaxAI: Wikipedia, AI, and the future of knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Wikipedia at University Another year of working alongside higher education institutions in Argentina|Wikipedia at University Another year of working alongside higher education institutions in Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/WAM - Tulu Edit-a-thon & Workshop in St Aloysius University |WAM - Tulu Edit-a-thon & Workshop in St Aloysius University]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Visibilizando memórias negras: estudantes da UFRGS ampliam a Wikipédia com foco na imprensa e no associativismo pós-abolição|Visibilizando memórias negras: estudantes da UFRGS ampliam a Wikipédia com foco na imprensa e no associativismo pós-abolição]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Transforming Education Through Wikimedia in Kosovo: 2025|Transforming Education Through Wikimedia in Kosovo: 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/New WikiClubs and educational partnership in Albania|New WikiClubs and educational partnership in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/New WikiClub with the Dibra Youth Center in Albania|New WikiClub with the Dibra Youth Center in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Landmark Educational Initiatives and Wikimedia Programs Transform Learning in 2025|Landmark Educational Initiatives and Wikimedia Programs Transform Learning in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/December 2025/Knowledge in the Digital Age: A WMUK Collaborative Workshop|Knowledge in the Digital Age: A WMUK Collaborative Workshop]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 15:22, 17. Dez. 2025 (CET)</div> </div> == This Month in Education: January 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 1 • January 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/January 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026|Strengthening Wikimedia Education and Digital Literacy in 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan|Dzongkha Wikipedia Education Program in Bhutan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia Education Program - Train The Trainer in Nepal|Wikipedia Education Program – Train The Trainer in Nepal]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU|Wikipedia 25 celebration in the Igbo Wiki Fan Club Alvan and IMSU]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program|CBSUA boosts Open Knowledge and Local Culture through expanded Wiki Education Program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth|WikiChallenge African Schools: Young voices, real impact, and continued (reasonable) growth]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Updates on Auckland Museum Summer Student Programme|Updates on Auckland Museum Summer Student Programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network|Stronger and bolder Wikiforhumanrights 2025 in Anambra Network]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge|Official Opening of IFAK Secondary School Wiki Club: Engaging Youth in Learning Through Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025|Greetings from the Jeronim de Rada WikiClub in Elbasan, Albania, for Christmas 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme|Great and productive final activities of 2025 Wikimedia MKD education programme]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/Envisioning an Open Future together - WikiForAll|Envisioning an Open Future together – WikiForAll]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025|A look back: reviewing the main education activities in Brazil in 2025]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge|A 147-Year-Old Institution Celebrates 25 Years of Wikipedia: St Aloysius University and the Spirit of Open Knowledge]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/¡Celebrando 25 años de conocimiento libre! El Proyecto "25x25" llega a las aulas de Córdoba, Argentina|Celebrating 25 years of free knowledge! The '25x25' Project reaches the classrooms of Córdoba, Argentina]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/January 2026/A atuação em rede da Universidade Federal de Juiz de Fora para a difusão do conhecimento livre na Wikipédia|The collaborative efforts of the Federal University of Juiz de Fora for the dissemination of free knowledge on Wikipedia]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 19:26, 28. Jan. 2026 (CET)</div> </div> == This Month in Education: February 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 2 • February 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/February 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces|Cairo University Spanish Language Volunteers document Madrid’s Historic and Contemporary Palaces]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan|Celebrating 25 Years of Wikipedia in Uzbekistan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Encontro da Rede Latino Americana de Inteligência Artificial Feminista: construindo futuros possíveis|Meeting of the Latin American Network of Feminist Artificial Intelligence: building possible futures]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Farewelling the Auckland Museum Summer Students|Farewelling the Auckland Museum Summer Students]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi|Inclusive Climate Learning with Wikimedia Reaches Special School in Kumasi]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana |Introducing Wikimedia in Academic curriculum for students of higher education in universities of Telangana]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade|Learning from Finland: Edit-a-thon on Finnish Education set to take place in Belgrade]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics|Library of IME-USP Workshop: Edits in History of Mathematics]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia|LitFest 2026: Room to Dream to amplify local voices across Wikimedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/New online workshops for the German language Wikipedia|New online workshops for the German language Wikipedia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors|Road to Wiki Cohort 1: Building India's Next Generation of Wikimedia Technical Contributors]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects|The history of the Wikimedia movement in a Brazil: a book about stories and projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day|Wiki Club Federal Government Boys College Celebrates Mother Tongue Day]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages|Wiki Club Minalabac joins Freedom to Read 2026: One World, Many Languages]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026|Wiki Love Folklore Photowalk at Khajuraho Dance Festival 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity|Wiki Loves Fish Workshop Empowers Students to Document Coastal Biodiversity]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia|WikiCendekia 2026: Insights from our training of admins in Indonesia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops|Wikimedia MKD's activities- new wiki club and a lots of new training workshops]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/WikiPatrimoine Senghor : Valorisation du patrimoine culturel africain à l'Université Senghor|WikiPatrimoine Senghor : Valuation of African cultural heritage at the University Senghor]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/February 2026/Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future|Wikipedia Turns 25: Young Voices, Big Future]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:56, 3. Mär. 2026 (CET)</div> </div> == This Month in Education: March 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 3 • March 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/March 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona|Advancing 21st-Century Education: Proposal to Establish the Yorùbá Wikipedia Fan Club at Arolu College of Education, Ilemona]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG|Awareness Programme on Language and Culture Protection by KWUG]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources|Teachers from Various Institutions in Rio de Janeiro Explore Wikipedia as a Means of Preserving Memory and Checking Sources]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe|Edu Wiki Nigeria Co-Founder Facilitates Textbook Donation to AHAJAS Integrated School, Gombe]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Inside Wikimedia Ukraine's education program|Inside Wikimedia Ukraine's education program]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026|Karavali Wikimedians at Mangaluru Design Summit 2026]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/One School, One Article Campaign Wrap Up|One School, One Article Campaign Wrap Up]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN|Seeds of Knowledge: A Wiki Project that Sparked a Community at ADUN]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology|Student workshops at Serbian Universities: enriching Wikipedia with topics on culture and technology]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries|The Open Knowledge Alliance: Wikimedia and Libraries]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia CR published updated guide for beginners|Wikimedia CR published updated guide for beginners]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikimedia goes back to the classroom in Brazil|Wikimedia goes back to the classroom in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI|Workshop on Feminism and Folklore 2026 by Wiki Club SATI]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities|“Wikimedia MKD in Action: Teacher Conferences and Education Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/March 2026/Wikipedia & Libraries: Building New Contributors|Wikipedia & Libraries: Building New Contributors]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 12:21, 1. Apr. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: April 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 4 • April 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/April 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update|Empowering Knowledge: Wikimedia MKD Education Update]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh|WikiScholar: A School-Level Initiative to Promote Free Knowledge in Bangladesh]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War|Wikipedia for School 2025–2026: A Competition That Continued Despite Frost, Power Outages, and War]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course|Wikimedia UK and Thoughtful delivery new media literacy teacher training course]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools|Wikimedia CR supporting SDG's in Czech schools]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia|University Students’ Mandatory Internships at Wikimedia Armenia]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania|Third year of collaboration with Aleksandër Xhuvani University in Elbasan, Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan|Students Discover Open Source and Learn Wikipedia and Wikidata Skills for the First Time in Zarqa, Jordan]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria|Leveraging on Wikipedia as a tool for curbing Health Misinformation and Disinformation in Akwa Ibom and Rivers State, Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites|Governance and Public Knowledge: Wikipedia as a Learning Tool in Sustainability Education through UNESCO Designated Sites]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/April 2026/A month full of encounters with students in Brazil|A month full of encounters with students in Brazil]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:01, 27. Apr. 2026 (CEST)</div> </div> == This Month in Education: May 2026 == <div class="plainlinks" lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English. Please help to translate in your language. <div style="text-align: center;"> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:2.9em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;">This Month in Education</span> <span style="font-weight:bold; color:#00A7E2; font-size:1.4em; font-family:'Helvetica Neue', Helvetica, Arial, sans-serif;"> Volume 15 • Issue 5 • May 2026</span> <div style="border-top:1px solid #a2a9b1; border-bottom:1px solid #a2a9b1; padding:0.5em; font-size:larger; margin-bottom:0.2em">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026|Contents]] • [[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/May 2026/Headlines|Headlines]] • [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe]]</div> <div style="color:white; font-size:1.8em; font-family:Montserrat; background:#92BFB1;">In This Issue</div></div> <div style="text-align: left; column-count: 2; column-width: 35em;"> * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities|Teaching innovation with Wikimedia. Shared experiences in Spanish Universities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania|Editing Wikipedia with Viktor Hygo High School in Albania]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Debating free license in Brazil|Debating free license in Brazil]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India|Microclimatic Explainers: A short-form media approach to build micro-level environmental awareness in India]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects|Ukraine publishes the first academic collection of papers on Wikipedia and Wikimedia Projects]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges|Wiki Digital Youth Club Launches in Tanzania: Youth Build Digital Skills Through Competitive Quest Challenges]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem|Wiki Youth Participation in Building Rwanda’s Open Knowledge Ecosystem]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria|Wikimedia Digi-Youth Club in Nigeria]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikimedia MKD's Education News & Activities|Wikimedia MKD's Education News & Activities]] * [[m:Special:MyLanguage/Education/News/May 2026/Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year|Wikipedia Serbia's interns and Wiki Ambassadors provide crucial support towards end of the school year]] </div> <div style="margin-top:10px; text-align: center; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Special:MyLanguage/Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:Special:MyLanguage/MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[:m:User:ZI Jony|ZI Jony]] 18:53, 1. Jun. 2026 (CEST)</div> </div> 0687l2ov6wms86e6tdrmd7sv9b6ewy8 0 42256 1092183 1018812 2026-06-01T13:05:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092183 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Wegintegral/Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Werte in R/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Wegintegral/Kurze physikalische Interpretation/Bemerkung|| }} Häufig werden wir Differentialformen auf einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit {{mathl|term= M \subseteq G |SZ=,}} {{math|term= G |SZ=}} offen in {{math|term= \R^n |SZ=,}} betrachten, die sogar auf {{math|term= G |SZ=}} definiert sind und daher die Gestalt {{mathl|term= \omega = \sum_{i=1}^n g_i d x_i |SZ=}} besitzen, wobei die {{math|term= x_i |SZ=}} die Koordinaten des {{math|term= \R^n |SZ=}} und die {{math|term= g_i |SZ=}} auf {{math|term= G |SZ=}} definierte Funktionen sind. Für einen Weg in {{math|term= M |SZ=}} ist es nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Wegintegral/Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Aufgabe |SZ= }} gleichgültig, ob man das Wegintegral mit Bezug auf {{ mathkor|term1= G |und|term2= \omega |SZ= }} oder mit Bezug auf {{ mathkor|term1= M |und die eingeschränkte Differentialform|term2= \omega {{|}}_M |SZ= }} betrachtet. {{ inputbemerkung |Wegintegral/Berechnung für 1-Form im R^n/Werte in R/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Wegintegral/(xy+z^2)dx+zdy+x^3dz/(1+3t,2,2t)/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvbefgifpeyh0rq36xtafygs0cshy62 0 42371 1092295 982500 2026-06-01T13:23:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092295 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Our approach to the computation of the Hilbert-Kunz multiplicity is by using the presenting sequence {{Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n }} \longrightarrow \bigoplus_{i=1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n}{\longrightarrow} {\mathcal O}_C \longrightarrow 0 |SZ=}} and twists of its {{math|term= e |SZ=-}}th Frobenius pull-backs, that is {{Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Syz| f_1^q {{kommadots|}} f_n^q }} (m) \longrightarrow \bigoplus_{i=1}^n{\mathcal O}_C(m-qd_i) \stackrel{f_1^q {{kommadots|}} f_n^q}{\longrightarrow} {\mathcal O}_C(m) \longrightarrow 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=where {{ Relationskette/k | q || p^e || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} and to relate the asymptotic behavior of {{ Relationskette/display | \operatorname{length} \, (R/ I^{[q]}) || \operatorname{dim}_K \, (R/ I^{[q]}) || \sum_{m {{=|}} 0}^\infty \operatorname{dim}_K \, (R/ I^{[q]})_m || || |SZ= }} to the asymptotic behavior of the global sections of the Frobenius pull-backs {{ Relationskette/display | (F^{e*} ( {{op:Syz| f_1{{kommadots|}} f_n }} )(m) || {{op:Syz| f_1^q {{kommadots|}} f_n^q }} (m) || || || |SZ=. }} What we want to compute is just the cokernel of the complex of global sections of the above sequence, namely {{ Relationskette/display/handlinks |\operatorname{dim}_K \, (R/ I^{[q]})_m ||h^0 (C,{\mathcal O}_C(m)) - \sum_{i {{=|}} 1}^n h^0 (C,{\mathcal O}_C(m-qd_i)) + h^0(C, {{op:Syz| f_1^q {{kommadots|}} f_n^q}} (m)) || || || |SZ=. }} The summation over {{math|term= m |SZ=}} is finite {{ Zusatz/Klammer |text=but the range depends on {{math|term= q |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} and the terms {{ Relationskette/display | h^0 (C,{\mathcal O}_C(m)) || \operatorname{dim}_K \, \Gamma (C,{\mathcal O}_C (m) ) || \operatorname{dim}_K \, R_m || || |SZ= }} are easy to control, so we have to understand the behavior of the global syzygies {{ Math/display|term= H^0(C,{{op:Syz|f_1^q {{kommadots|}} f_n^q}} (m)) |SZ= }} for all {{ mathkor|term1= q |and|term2= m |SZ=, }} at least asymptotically. This is a Frobenius-Riemann-Roch problem {{ Zusatz/Klammer |text=so far this works for all normal standard-graded domains| |ISZ=|ESZ=. }} The strategy for this is to use Riemann-Roch to get a formula for {{mathl|term= H^0 - H^1 |SZ=}} and then use semistability properties to show that {{math|term= H^0 |SZ=}} or {{math|term= H^1 |SZ=}} are {{math|term= 0 |SZ=}} in certain ranges. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbx5v84mea5pmnfvg0ykkm2dxrp6ft9 0 42417 1092294 895268 2026-06-01T13:23:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092294 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= We discuss briefly an approach of Brenner and Fischbacher-Weitz to replace the Frobenius asymptotic {{ Zusatz/Klammer |text=which is only available in positive characteristic and where, in a relative situation, different Frobenius homomorphisms occur| |ISZ=|ESZ= }} by the {{Stichwort/-|symmetric asymptotic|SZ=.}} This means that instead of global sections of Frobenius pull-backs of the syzygy bundle {{mathl|term= \operatorname{Syz} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=on a projective variety| |ISZ=|ESZ= }} we look at the global sections of the symmetric powers {{ Math/display|term= S^k (\operatorname{Syz}) |SZ=. }} This approach works at the moment only in graded ring dimension two, the appropriate generalization to higher dimensions is not clear right now. In dimension two however, this approach gives even a {{Stichwort/-|symmetric Hilbert-Kunz function|SZ=,}} which assigns to every natural number {{math|term= k |SZ=}} a rational number, which is {{Anführung|close|}} to {{mathl|term= {{op:Bruch|\varphi_{I_p}(e)|q^2|}} |SZ=}} if {{math|term= q |SZ=}} is a power of {{math|term= p |SZ=.}} It is defined in the following way. We start again with the presenting sequence {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \operatorname{Syz} \longrightarrow \bigoplus_{i=1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) \longrightarrow {\mathcal O}_C \longrightarrow 0 |SZ=. }} This sequence yields {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow S^q(\operatorname{Syz}) \longrightarrow S^q( \bigoplus_{i=1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) ) \longrightarrow S^{q-1}( \bigoplus_{i=1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) ) \longrightarrow 0 |SZ=. }} The global mapping of suitable twists of this squence is {{ Abbildung/display |name=\psi_{q,m} |H^0 (C,(S^q(\bigoplus_{i {{=|}} 1}^n{\mathcal O}_C(-d_i)) )(m)) | H^0 (C, (S^{q-1}(\bigoplus_{i {{=|}} 1}^n{\mathcal O}_C(-d_i) ))(m)) || |SZ=. }} These mapping can be computed explicitly. We make the following definition. {{ inputdefinition |Symmetrische Hilbert Kunz Theorie/Funktion über Kokern/en/Definition|| }} The ranks of the symmetric powers and hence the global sections grow fast, we have to look at {{ Math/display|term= {{op:Bruch|\sum_{m {{=|}} 0}^\infty \operatorname{dim}_K \,(\operatorname{coker} \, \psi_{q,m} ) | \binom{q+n-1}{n} }} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Symmetrische Hilbert Kunz Theorie/Graduiert zweidimensional/Limes/enFunktion über Kokern/en/Definition|| }} For the computation on the Fermat-Quartic in characteristic zero see [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Fermat-Quartik/x,y,z|here]]. In characteristic zero we have the following theorem. {{ inputfakt |Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Kurve/Gleichheit mit Hilbert-Kunz Multiplizität/en/Fakt|Theorem|Brenner, Fischbacher-Weitz|| || }} This rests upon the fact that from the asymptotic behaviour of the global sections of the symmetric powers of a bundle we can read of the slopes in its Harder-Narasimhan filtration {{ Zusatz/Klammer |text=this is not possible from the tensor powers| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Hilbert-Kunz Theorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cmlr608icy9vx2cxsz3539qym7ylcjx 0 42773 1092135 981152 2026-06-01T12:58:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092135 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Auflösbare Gruppe/Filtration/Definition|| }} Die in dieser Definition auftretende Filtrierung nennt man auch eine {{Stichwort|auflösende Filtrierung|SZ=.}} Eine kommutative Gruppe ist natürlich auflösbar, wie die triviale Filtrierung {{ Relationskette | \{e\} | \subseteq | G || || || |SZ= }} zeigt. Die Permutationsgruppe {{math|term= S_3 |SZ=}} ist auflösbar, wie die Untergruppe {{ Relationskette | {{op:Zmod|3|}} |\cong| A_3 |\subset| S_3 || || || |SZ= }} mit der Restklassengruppe {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} zeigt. {{ inputfaktbeweis |Auflösbare Gruppe/Untergruppe ebenfalls/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Auflösbare Gruppe/Kurze exakte Sequenz/Kriterium/Fakt|Lemma|| || }} Die Definition einer auflösbaren Gruppe legt nicht nahe, wie man eine solche Filtrierung finden könnte. Ein systematischer Weg, eine solche Filtrierung zu finden, falls es denn eine gibt, wird durch iterierte Kommutatorgruppen gegeben. Ein Kommutator ist ein Element der Form {{mathl|term= aba^{-1}b^{-1} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Kommutatorgruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutatorgruppe/Normalteiler/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Iterierte Kommutatorgruppe/Definition|| }} Die erste Kommutatorgruppe ist einfach die Kommutatorgruppe, die zweite Kommutatorgruppe ist die Kommutatorgruppe der Kommutatorgruppe, u.s.w. Dies ergibt insgesamt eine absteigende Filtrierung {{ Relationskette/display |G | \supseteq | K(G) | \supseteq | K^2(G) | \supseteq | K^3(G) | \supseteq \ldots | \, |SZ=. }} Diese Filtrierung kann unendlich absteigend sein oder aber stationär werden, d.h. es kann {{ Relationskette |K^i(G) || K^{i+1}(G) || || || |SZ= }} gelten. Die Auflösbarkeit einer Gruppe kann mit dieser Filtrierung folgendermaßen charakterisiert werden. {{ inputfaktbeweis |Auflösbare Gruppe/Kommutatorkriterium/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der auflösbaren Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4v3yfrn32nbee3z9qi0b4qjwouw1gk2 0 42795 1092444 1019507 2026-06-01T13:48:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092444 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei eine polynomiale Gleichung {{ Relationskette/display | a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} {{plusdots|}} a_2x^2+a_1x+a_0 || 0 || || || |SZ= }} gegeben, wobei die Koeffizienten {{mathl|term= a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} {{ Definitionslink |reelle| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{ Definitionslink |komplexe| |Kontext=Zahl| |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen seien und nach Elementen {{mathl|term= x \in {{CC}} |SZ=}} gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Wie kann man solche Lösungen finden? Die Lösbarkeit hängt dabei natürlich wesentlich vom Grad der Gleichung ab, das ist der maximale Index {{math|term= n |SZ=}} mit {{ Relationskette |a_n |\neq|0 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |n ||1 || || || |SZ= }} liegt eine lineare Gleichung {{ Relationskette | a_1x+a_0 || 0 || || || |SZ= }} vor mit der eindeutigen Lösung {{ Relationskette |x || -{{op:Bruch|a_0 |a_1}} || || || |SZ=. }} Dies kann man bilden, da nach Voraussetzung {{ Relationskette |a_1 |\neq|0 || || || |SZ= }} ist und da die Koeffizienten aus {{math|term= {{CC}} |SZ=}} sind, also aus einem Körper, wo man uneingeschränkt durch von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Zahlen dividieren kann. Bei {{ Relationskette |n ||2 || || || |SZ= }} liegt eine {{Stichwort|quadratische Gleichung|SZ=}} vor, also {{ Relationskette/display | a_2x^2+a_1x+a_0 || 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |a_2 |\neq|0 || || || |SZ=. }} Hier führt man zunächst eine {{Stichwort|Normierung|SZ=}} durch, was man bei jedem Grad machen kann. Das bedeutet, dass man durch den Leitkoeffizienten {{math|term= a_n |SZ=}} dividiert, um diesen zu {{math|term= 1 |SZ=}} zu normieren. Dabei ändern sich die Lösungen der Gleichung offenbar nicht. Im quadratischen Fall gelangt man so zur äquivalenten Gleichung {{ Relationskette/display | x^2 + b_1x+b_0 || 0 || || || |SZ=. }} Diese Gleichung führt man durch {{Stichwort|quadratisches Ergänzen|SZ=}} auf eine reine Gleichung zurück. Man macht den Ansatz {{mathl|term= y=x + {{op:Bruch|b_1 |2}} |SZ=}} und schreibt dann die Gleichung als {{ Relationskette/display | {{makl| x+ {{op:Bruch|b_1 |2}} |}}^2 +b_0 - {{makl| {{op:Bruch|b_1 |2}} |}}^2 || x^2+b_1x+b_0 || 0 || || |SZ= }} bzw. als {{ Relationskette/display | y^2 +c_0 || 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c_0 || b_0- {{makl| {{op:Bruch|b_1 |2}} |}}^2 || || || |SZ=. }} Dieser Koeffizient {{math|term= c_0 |SZ=}} gehört wieder zum Körper. Wenn {{math|term= y_1 |SZ=}} eine Lösung dieser Gleichung ist, so ist {{ Relationskette |x_1 ||y_1 -{{op:Bruch|b_1 |2}} || || || |SZ= }} eine Lösung der quadratischen Ausgangsgleichung. Die neu gewonnene äquivalente Gleichung ist eine sogenannte {{Stichwort|reine Gleichung|SZ=,}} d.h. eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display |y^n ||d || || || |SZ=. }} Um eine solche reine Gleichung lösen zu können muss man {{Anführung|die|}} {{math|term= n |SZ=-}}te Wurzel aus {{math|term= d |SZ=}} ziehen können. Die Schwierigkeit dieser Aufgabe und die Anzahl der Lösungen hängt von der Arithmetik des Körpers ab und ist nicht trivial. Dennoch ist es eine wesentliche Reduktion, wenn man, wie im quadratischen Fall, die Lösung einer polynomialen Gleichung auf die Lösung einer {{ Zusatz/Klammer |text=oder mehrerer| |ISZ=|ESZ= }} reinen Gleichungen zurückführen kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Lösungsverfahren für polynomiale Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9iqn8t87d7mjduda1j79ccxrg9pc9oc 0 42798 1092357 1074655 2026-06-01T13:33:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092357 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten nun eine normierte kubische Gleichung {{ Relationskette/display | x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 || 0 || || || |SZ=, }} wobei die Koeffizienten aus {{math|term= {{CC}} |SZ=}} seien. Mit einem Ergänzungstrick können wir den quadratischen Koeffizienten {{math|term= a_2 |SZ=}} eliminieren. Wir machen den Ansatz {{ Relationskette |y || x+ {{op:Bruch|a_2 |3}} || || || |SZ= }} und schreiben die Gleichung als {{ Relationskette/display | {{makl| x+ {{op:Bruch|a_2 |3}} |}}^3 + {{makl| a_1 - 3 {{makl| {{op:Bruch|a_2 |3}} |}}^2 |}} {{makl| x + {{op:Bruch|a_2 |3}} |}} - {{makl| a_1 - 3{{makl| {{op:Bruch|a_2 |3}} |}}^2 |}} {{op:Bruch|a_2 |3}} - {{makl| {{op:Bruch|a_2 |3}} |}}^3 + a_0 || 0 || || || |SZ= }} bzw. als {{ Relationskette | y^3 +py+q || 0 || || || |SZ= }} mit den neuen Koeffizienten {{ Mathkor/display|term1= p= a_1 - 3 {{makl| {{op:Bruch|a_2 |3}} |}}^2 |und|term2= q= - {{makl| a_1 - 3 {{makl| {{op:Bruch|a_2 |3}} |}}^2 |}} {{op:Bruch|a_2 |3}} - {{makl| {{op:Bruch|a_2 |3}} |}}^3 + a_0 |SZ=. }} Lösungen dieser vereinfachten Gleichung führen direkt zu Lösungen der Ausgangsgleichung. {{ inputbild |Girolamo Cardano|jpg| 160px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Girolamo_Cardano |Text=[[w:Gerolamo Cardano|Gerolamo Cardano (1501-1576)]] |Autor=unbekannt |Benutzer=Yazhang |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die vereinfachte Gleichung kann man über die folgende {{Stichwort|Formel von Cardano|SZ=}} lösen. Wir brauchen dafür ein Lemma über dritte Einheitswurzeln von {{math|term= {{CC}} |SZ=,}} das sind komplexe Zahlen {{math|term= \eta|SZ=}} mit {{ Relationskette |\eta^3 ||1 || || || |SZ=, }} also die Lösungen der reinen kubischen Gleichung {{ Relationskette | x^3 || 1 || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Dritte Einheitswurzeln/C/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Cardanosche Formel/x^3+2x-1/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kubischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 46uz1u2bcnff660u7wk1i4dysxvosbh 0 42849 1092166 1065823 2026-06-01T13:02:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092166 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Monoid/Charakter/Definition|| }} Die Menge der Charaktere von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} bezeichen wir mit {{mathl|term= {{op:Charaktere|G|K}} |SZ=.}} Mit dem {{Stichwort|trivialen Charakter|msw=trivialer Charakter|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also der konstanten Abbildung nach {{math|term= 1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und der Verknüpfung {{ Math/display|term= (\chi_1 \cdot \chi_2)(g):= \chi_1(g) \cdot \chi_2(g) |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Charaktere|G|K}} |SZ=}} selbst ein Monoid, und zwar ein Untermonoid des Abbildungsmonoid von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= K^\times|SZ=.}} Da es zu jedem Charakter den {{ Definitionslink |inversen Charakter| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \chi^{-1} |SZ=}} gibt, der durch {{mathl|term= \chi^{-1}(g)=(\chi(g))^{-1} |SZ=}} definiert ist, bildet {{mathl|term= {{op:Charaktere|G|K}} |SZ=}} sogar eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ=. }} Da Charaktere insbesondere Abbildungen von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} sind, macht es Sinn, von {{ Definitionslink |Linearkombinationen| |Kontext=| |SZ= }} von Charakteren zu sprechen. Diese sind im Allgemeinen keine Charaktere mehr. Es gilt die folgende bemerkenswerte Aussage, das {{Stichwort|Lemma von Dedekind|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Charaktere (Monoid) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n4r2wgnq5bidph366qpcwrrlzyxwzhp 0 43068 1092205 1052330 2026-06-01T13:09:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092205 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Einheitswurzeln/In Körper/Definition|| }} Die {{math|term= 1 |SZ=}} ist für jedes {{math|term= n |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel, und die {{math|term= -1 |SZ=}} ist für jedes gerade {{math|term= n |SZ=}} eine {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel. Es gibt maximal {{math|term= n |SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzeln, da das Polynom {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} maximal {{math|term= n |SZ=}} Nullstellen besitzt. Die Einheitswurzeln bilden also insbesondere eine endliche Untergruppe {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= x^n=1 |SZ=}} und {{math|term= y^n=1 |SZ=}} ist auch {{math|term= (xy)^n=1 |SZ=}}, usw.| |SZ= }} der Einheitengruppe des Körpers. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt |SZ= }} ist diese Gruppe zyklisch mit einer Ordnung, die {{math|term= n |SZ=}} teilt. {{ inputdefinition |Einheitswurzeln/Primitive Einheitswurzel/Definition|| }} Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn {{math|term= \zeta|SZ=}} eine primitive {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel ist, so sind genau die {{ mathbed|term= \zeta^i |mit|bedterm1= i <n ||bedterm2= |SZ= }} und {{math|term= i |SZ=}} teilerfremd zu {{math|term= n |SZ=}} die primitiven Einheitswurzeln. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n}} |SZ=}} primitive Einheitswurzeln, wobei {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion|n|}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |eulersche {{math|term= {{op:Eulersche Phi-Funktion||}} |SZ=-}}Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition |SZ= }} bezeichnet. Die komplexen Einheitswurzeln lassen sich einfach beschreiben. {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbild |3rd roots of unity|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=3rd_roots_of_unity |Autor= |Benutzer=Marek Schmidt und Nandhp |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |8th-root-of-unity|jpg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=8th-root-of-unity |Autor= |Benutzer=Marek Schmidt |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9krp1ki9gn254l84nv7x09bkj6dr2hu 0 43097 1092001 966713 2026-06-01T12:35:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092001 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Ringhomomorphismus/Z nach R/Kanonisch/Fakt|Satz|| || }} Den in dieser Aussage konstruierten und eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus nennt man auch den {{Stichwort|kanonischen Ringhomomorphismus|msw=Kanonischer Ringhomomorphismus|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder den {{Stichwort|charakteristischen Ringhomomorphismus|msw=Charakteristischer Ringhomomorphismus|SZ=}} | |SZ= }} von {{math|term= \Z |SZ=}} nach {{math|term= R |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ringtheorie/Charakteristik/Definition|| }} Wichtige Ringe wie {{math|term= \Z,\Q, \R,{{CC}} |SZ=}} besitzen die Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=,}} die Restklassenringe {{mathl|term= {{{Zmod|d}}} |SZ=}} besitzen die Charakteristik {{math|term= d |SZ=.}} Die Charakteristik ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} des Elementes {{math|term= 1_R |SZ=}} in der additiven Gruppe {{mathl|term= (R,0,+) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=allerdings entspricht die Ordnung {{math|term= \infty |SZ=}} der Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Charakteristik beschreibt genau den Kern des obigen kanonischen {{ Zusatz/Klammer |text=charakteristischen| |ISZ=|ESZ= }} Ringhomomorphismus. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Charakteristik eines Ringes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eeuq66vj99nqezhlsk61ti1kq85lf50 0 43143 1092291 660589 2026-06-01T13:22:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092291 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| ||| }} {{{zusatz1|}}} Die beiden folgenden Aussagen nennt man {{Stichwort|Lemma von Bezout|SZ=}} bzw. {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hauptidealbereiche |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pqq7o8rnb6zk8wvig7rqzew0sstxslf 0 43189 1092287 982469 2026-06-01T13:21:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092287 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition|| }} Dies ist in der Tat eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ=: }} Aus {{ Relationskette | x^{-1}x ||e_G |\in | H || || |SZ= }} folgt, dass diese Relation reflexiv ist. Aus {{ Relationskette | x^{-1}y |\in| H || || || |SZ= }} folgt sofort {{ Relationskette | y^{-1}x || {{makl| x^{-1}y |}}^{-1} |\in| H || || |SZ= }} und aus {{ Relationskette | x^{-1}y |\in| H || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y^{-1}z |\in| H || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | x^{-1}z || {{makl| x^{-1}y |}} {{makl| y^{-1}z |}} |\in| H || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Links und Rechtsnebenklasse/Definition|| }} Die Äquivalenzklassen zu der oben definierten Äquivalenzrelation sind wegen {{ Relationskette/align | {{[}}x{{]}} || {{Mengebed|y \in G|x \sim y}} || {{Mengebed|y \in G|x^{-1} y \in H}} || {{Mengebed|y \in G|\text{es gibt } h \in H \text{ mit } x^{-1 }y {{=|}} h}} || {{Mengebed|y \in G|\text{es gibt } h \in H \text{ mit } y {{=|}} xh}} || xH |SZ= }} genau die Linksnebenklassen. Die Linksnebenklassen bilden somit eine disjunkte Zerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Stichwort|Partition|SZ=}}| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=.}} Dies gilt ebenso für die Rechtsnebenklassen. Im kommutativen Fall muss man nicht zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unterscheiden. {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Nebenklassen/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Nebenklassen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppkstcr8v8ymfaag6oaikcr2eem4mif 0 43195 1092284 957083 2026-06-01T13:21:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092284 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} Die Menge der Gruppenhomomorphismen von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} wird mit {{ Math/display|term= \operatorname{Hom} \, (G,H) |SZ= }} bezeichnet. Aus der linearen Algebra sind vermutlich die linearen Abbildungen zwischen Vektorräume bekannt, welche insbesondere Gruppenhomomorphismen sind, darüber hinaus aber auch noch mit der skalaren Multiplikation verträglich sind. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition. {{ inputfaktbeweis |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweistrivial |Gruppenhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbeispiel |Gruppenisomorphismus/Reelle Exponentialfunktion als Beispiel/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch {{mathl|term= G \cong {{opsyn|Hom|\Z,G|}} |SZ=}} ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= \Z|SZ=}} sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von {{math|term= \Z|SZ=}} nach {{math|term= \Z|SZ=}} sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl {{math|term= a |SZ=,}} also {{ Abbildung/display |name= |\Z|\Z |x|ax |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cpblvyx2o2g0cg5wys7flybcb1eaw06 0 43199 1092286 1019007 2026-06-01T13:21:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092286 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Zusatz/Klammer |text=multiplikativ geschriebene| |ISZ=|ESZ= }} Gruppe und {{ Relationskette | g |\in| G || || || |SZ= }} ein Element. Dann definieren wir zu jeder ganzen Zahl {{ Relationskette | k |\in| \Z || || || |SZ= }} die {{math|term= k |SZ=-}}te {{Stichwort|Potenz|SZ=}} von {{math|term= g |SZ=,}} geschrieben {{math|term= g^k |SZ=,}} durch {{ Relationskette/display | g^k || \begin{cases} e_G, \text{ falls } k {{=|}} 0 \, , \\ g g \cdots g \, \, \, \, \, \, k\text{-mal}, \text{ falls } k \text{ positiv ist} \, , \\ g^{-1} g^{-1} \cdots g^{-1} \, \, \, \, \, \, (-k)\text{-mal}, \text{ falls } k \text{ negativ ist} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Bei additiver Schreibweise schreibt man {{math|term= kg|SZ=}} und spricht vom {{math|term= k |SZ=-}}ten {{Stichwort|Vielfachen|msw=Vielfaches|SZ=}} von {{math|term= g |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Potenzgesetze/Fakt|Lemma|| }} Die vorstehende Aussage werden wir später so formulieren, dass ein Gruppenhomomorphismus von {{math|term= \Z|SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=}} vorliegt, siehe hierzu auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5qpvn8crnnv5cfatezungcfp3xzs95g 0 43281 1092217 1018887 2026-06-01T13:11:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092217 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine endliche Körpererweiterung und {{ Relationskette | x |\in| L |SZ= }} ein Element. Dann sind die Potenzen {{ mathbed|term= x^i ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |linear abhängig| |Kontext=| |SZ=, }} und das bedeutet, dass es Koeffizienten {{ mathbed|term= a_i \in K |mit|bedterm1= a_n \neq 0 ||bedterm2= |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_0+a_1x+a_2x^2 {{plusdots|}} a_nx^n || 0 || || || |SZ= }} gibt. Mit diesen Koeffizienten können wir das {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene| |ISZ=|ESZ= }} Polynom {{ Relationskette/display | P || a_0+a_1X+a_2X^2 {{plusdots|}} a_nX^n |\in| K[X] || || |SZ= }} bilden. Wenn man in dieses Polynom {{math|term= x |SZ=}} einsetzt, d.h. überall die Variable {{math|term= X |SZ=}} durch {{math|term= x |SZ=}} ersetzt, so ergibt sich {{math|term= 0 |SZ=.}} Das Ergebnis dieses Einsetzens bezeichnet man mit {{mathl|term= P(x) |SZ=,}} es ist also {{ Relationskette |P(x) || 0 || || || |SZ=. }} Man sagt, dass {{math|term= P |SZ=}} das Element {{math|term= x |SZ=}} {{Stichwort|annulliert|SZ=.}} Wir betrachten die Menge {{ Relationskette/display |I || {{Mengebed|P \in K[X]|P(x) {{=|}} 0}} | \subseteq| K[X] || || |SZ=, }} also die Menge aller Polynome, die bei Einsetzung von {{math|term= x |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=}} werden.{{{zusatz1|}}} Es ergeben sich dabei folgende Fragen. {{ Aufzählung3 |Welche Struktur besitzt {{math|term= I |SZ=?}} |Gibt es unter den Elementen {{ Relationskette | P |\in| I || || || |SZ= }} besonders einfache Polynome, mit denen man {{math|term= I |SZ=}} einfach beschreiben kann? |Kann man mit Hilfe von {{math|term= I |SZ=}} Eigenschaften von {{ Relationskette | x |\in| L |SZ= }} beschreiben? }} Zu all diesen Fragen gibt es überzeugende Antworten. Zur ersten Frage können wir folgende Beobachtung machen: Das Nullpolynom gehört zu {{math|term= I |SZ=.}} Wenn zwei Polynome {{mathl|term= P_1,P_2 |SZ=}} zu {{math|term= I |SZ=}} gehören, so gehört auch ihre Summe zu {{math|term= I |SZ=,}} es ist ja {{ Relationskette | (P_1+P_2)(x) || P_1(x) + P_2(x) || 0+0 || 0 || |SZ=. }} Für {{ Relationskette | P |\in| I || || || |SZ= }} und ein beliebiges Polynom {{ Relationskette | F |\in| K[X] || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | FP |\in| I || || || |SZ=, }} wegen {{ Relationskette | (FP)(x) || F(x) \cdot P(x) || F(x) \cdot 0 || 0 || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mcbhz37eyssx09qstyczvmuf1yi4r15 0 43559 1092437 1052379 2026-06-01T13:46:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092437 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Permutationsgruppe/Definition|| }} Eine bijektive Selbstabbildung {{ Abbildung |name=\varphi |M|M || |SZ= }} nennt man auch eine {{Stichwort|Permutation|SZ=.}} Für eine endliche Menge {{mathl|term= I=\{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} schreibt man {{mathl|term= S_n=\operatorname{Perm} \,(I) |SZ=.}} {{{zusatz1|}}} Eine endliche Permutation kann man beispielsweise mit einer {{ Zusatz/Klammer |text=vollständigen| |SZ= }} Wertetabelle oder mit einem Pfeildiagramm beschreiben. {{ inputbild |Composicion de permutaciones|svg| 500px {{!}} {{!}} |Zusname=Composicion_de_permutaciones |Autor= |Benutzer=Drini |Domäne= |Lizenz=CC-by-SA 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Menge und Teilmenge/Permutation/Untergruppe/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2yki8uxeu596q3ulr5sgxe4awksv14q 0 44124 1092638 1074791 2026-06-01T14:19:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092638 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Unter der Ebene {{math|term= E |SZ=}} verstehen wir im Folgenden die Anschauungsebene, die wir später mit {{ Relationskette | \R^2 |\cong | {{CC}} || || || |SZ= }} identifizieren. Zunächst sind die Konstruktionen {{Anführung|koordinatenfrei|SZ=.}} An elementargeometrischen Objekten verwenden wir Punkte, Geraden und Kreise. An elementargeometrischen Gesetzmäßigkeiten verwenden wir, dass zwei verschiedene Punkte eine eindeutige Gerade definieren, dass zwei Geraden entweder identisch sind oder parallel und schnittpunktfrei oder genau einen Schnittpunkt haben, u.s.w. {{ inputdefinition |Zirkel und Lineal/Elementare Konstruktion/Gerade und Kreis/Definition|| }} Man kann also an zwei Punkte aus der vorgegebenen Menge {{math|term= M |SZ=}} das {{Stichwort|Lineal anlegen|SZ=}} und die dadurch definierte Gerade zeichnen, und man darf die {{Stichwort|Nadelspitze des Zirkels|SZ=}} in einen Punkt der Menge stechen und die {{Stichwort|Stiftspitze des Zirkels|SZ=}} an einen weiteren Punkt der Menge anlegen und den Kreis ziehen. Wenn ein Koordinatensystem vorliegt, und zwei Punkte {{ mathkor|term1= P=(p_1,p_2) |und|term2= Q=(q_1,q_2) |SZ= }} gegeben sind, so ist die Gleichung der Verbindungsgeraden der beiden Punkte bekanntlich {{ Relationskette/display | (p_1-q_1)y+(q_2-p_2)x+ q_1p_2-q_2p_1 || 0 || || || |SZ=. }} Wenn zwei Punkte {{ mathkor|term1= Z=(z_1,z_2) |und|term2= S=(s_1,s_2) |SZ= }} gegeben sind, so besitzt der Kreis mit dem Mittelpunkt {{math|term= Z |SZ=}} durch den Punkt {{math|term= S |SZ=}} die Kreisgleichung {{ Relationskette/display | (x-z_1)^2 + (y-z_2)^2 - (s_1-z_1)^2-(s_2-z_2)^2 || 0 || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Zirkel und Lineal/Elementare Punktkonstruktion als Schnitt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Zirkel und Lineal/Konstruierbar aus Startmenge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Zirkel und Lineal/Konstruierbare Zahl/Definition|| }} {{ inputbemerkunghier |Text=Man startet also mit zwei beliebig vorgegebenen Punkten, die man {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} nennt und die dann die arithmetische Funktion übernehmen, die mit diesen Symbolen verbunden wird. Als erstes kann man die Gerade durch {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} ziehen, und diese Gerade wird mit den reellen Zahlen {{math|term= \R |SZ=}} identifiziert. Indem man den Kreis um {{math|term= 1 |SZ=}} durch {{math|term= 0 |SZ=}} schlägt, erhält man einen zweiten Schnittpunkt mit dieser Geraden, den man {{math|term= 2 |SZ=}} nennt. In dieser Weise fortfahrend erhält man die ganzen Zahlen {{math|term= \Z |SZ=}} auf dieser Geraden. Wir werden gleich sehen, dass man eine zu {{math|term= \R|SZ=}} senkrechte Gerade durch {{math|term= 0 |SZ=}} konstruieren kann, mit deren Hilfe ein {{Stichwort|kartesisches Koordinatensystem|SZ=}} entsteht und mit dem wir die Ebene mit den komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}} |SZ=}} identifizieren können. }} In den folgenden Konstruktionen verwenden wir einige Begrifflichkeiten aus der euklidischen Geometrie, wie Winkel, senkrecht, parallel, Strecke und elementare Grundtatsachen wie die {{ Definitionslink |Prämath= |Strahlensätze| |Kontext=| |SZ=, }} Symmetriesätze und {{ Faktlink |Präwort=den|Satz des Pythagoras|Faktseitenname= Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbild |Mediatrice compas|gif| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Mediatrice_compas |Autor= |Benutzer=Pdebart |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Zirkel und Lineal/Wichtige Konstruktionen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktionen mit Zirkel und Lineal |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r226p9yy9o5jpuutf3vw5yc9p2ul6vg 0 44688 1092113 1018653 2026-06-01T12:54:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092113 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Algebraische Derivation/Definition|| }} Die dabei verwendete Regel nennt man {{Stichwort|Leibniz-Regel|SZ=.}} Oft ist {{ Relationskette |M ||A || || || |SZ=. }} Für den Polynomring {{ Relationskette |A ||R[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} sind beispielsweise die {{math|term= i |SZ=-}}ten {{ Zusatz/Klammer |text=formalen| |ISZ=|ESZ= }} partiellen Ableitungen {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung||X_i |}} |SZ= }} {{math|term= R |SZ=-}}Derivationen von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= A |SZ=.}} Die Menge der Derivationen von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=}} ist in natürlicher Weise ein {{ Definitionslink |Prämath=A |Modul| |Kontext=| |SZ=. }} Er wird mit {{mathl|term= {{Op:Derivationenziel|A|M|R|}} |SZ=}} bezeichnet. {{ inputdefinition |Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition|| }} Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien {{math|term= A |SZ=-}}Modul {{math|term= F |SZ=}} mit {{ mathbed|term= da ||bedterm1= a\in A ||bedterm2= |SZ= }} als Basis und bildet den {{ Definitionslink |Prämath=A |Restklassenmodul| |Kontext=| |SZ= }} zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen {{ Math/display|term= d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A) |SZ= }} und {{ Math/display|term= d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A ) |SZ= }} erzeugt wird. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name=d |A |{{op:Kählermodul|A|R}} |a|d(a) {{=|}} da |SZ=, }} heißt die {{Stichwort|universelle Derivation|SZ=.}} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |SZ= }} handelt. {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| || }} Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath=A |Modulisomorphie| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |{{Op:Derivationenziel|A|M|R|}} |\cong| {{op:Hom|{{op:Kählermodul|A|R}}|M|A}} || || || |SZ= }} vorliegt. Insbesondere ist {{ Relationskette/display |{{Op:Derivationenziel|A|A|R|}} |\cong| {{op:Hom|{{op:Kählermodul|A|R}}|A|A}} || {{op:Dualraum|{{op:Kählermodul|A|R}}|}} || || |SZ=, }} wobei rechts der Dualmodul genommen wird. {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt|Lemma|| }} Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei. Wenn {{math|term= R |SZ=}} ein Körper und {{math|term= A |SZ=}} der lokale Ring zu einem Punkt auf einer Varietät ist, so charakterisiert die Freiheit des Moduls sogar, dass der Punkt glatt ist, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Konormalensequenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbemerkung |Kähler-Differentiale/Jacobi-Matrix/Kokern-Darstellung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Derivationen und Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jxod3y7w18nmw9xhofmu3e5si552b4v 0 45021 1092223 1018902 2026-06-01T13:12:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092223 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Erzeugte Algebra/Definition|| }} Man kann diese {{math|term= R |SZ=-}}Algebra auch als den kleinsten Unterring von {{math|term= A |SZ=}} charakterisieren, der sowohl {{math|term= R |SZ=}} als auch die {{math|term= f_i |SZ=}} enthält. Wir werden hauptsächlich von erzeugten {{math|term= K |SZ=-}}Algebren in einer Körpererweiterung {{ Relationskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} sprechen, wobei nur ein einziger Erzeuger vorgegeben ist. Man schreibt dafür dann einfach {{mathl|term= K[f] |SZ=,}} und diese {{math|term= K |SZ=-}}Algebra besteht aus allen {{math|term= K |SZ=-}}Linearkombinationen von Potenzen von {{math|term= f |SZ=.}} Dies ist das Bild unter dem durch {{mathl|term= X \mapsto f |SZ=}} gegebenen Einsetzungshomomorphismus. Gelegentlich werden wir auch den kleinsten Unterkörper von {{math|term= L |SZ=}} betrachten, der sowohl {{math|term= K |SZ=}} als auch eine Elementfamilie {{ mathbed|term= f_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} enthält. Dieser wird mit {{mathl|term= K(f_i, i \in I) |SZ=}} bezeichnet, und man sagt, dass die {{math|term= f_i |SZ=}} ein {{Stichwort|Körper-Erzeugendensystem|SZ=}} von diesem Körper bilden. Es ist {{ Relationskette | K[f_i, i \in I] |\subseteq| K(f_i, i \in I) || || || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette | K[f] |\subseteq| K(f) || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pgnvss5d3dawjmqe28hfh3l7cs6sv7p 0 45131 1092224 1018908 2026-06-01T13:12:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092224 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem Schema {{math|term= X |SZ=}} kann man die Kategorie aller endlichen {{acutee}}talen Morphismen {{ Abbildung |name= |Y|X || |SZ= }} betrachten, wobei jeder Morphismus in dieser Kategorie die Basis {{math|term= X |SZ=}} festlässt. Die Idee ist dabei, die {{Anführung|universelle Überlagerung|SZ=,}} die es im algebraischen Kontext nicht gibt, durch das System aller endlichen Überlagerungen anzunähern. Sei {{math|term= X |SZ=}} eine komplexe Mannigfaltigkeit oder allgemeiner ein topologischer Raum. Die universelle Überlagerung {{ Abbildung/display |name=p |\tilde{X}|X || |SZ= }} hat die Eigenschaft, dass die Automorphismengruppe von {{math|term= \tilde{X} |SZ=}} über {{math|term= X |SZ=,}} also die Menge der {{ Definitionslink |Homöomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=Decktransformationen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name= \psi |\tilde{X}|\tilde{X} || |SZ=, }} die mit {{math|term= p |SZ=}} kommutieren, unter schwachen Bedingungen mit der topologischen Fundamentalgruppe von {{math|term= X |SZ=}} übereinstimmt. Dies beruht auf der folgenden Konstruktion: Es sei {{ Abbildung/display |name=p |Y|X || |SZ= }} eine Überlagerung und {{mathl|term= x \in X |SZ=}} ein Punkt. Die Faser von {{math|term= p |SZ=}} über {{math|term= x |SZ=}} sei mit {{math|term= F |SZ=}} bezeichnet. Dann gibt es eine natürliche Operation {{ Zusatz/Klammer |text=die sogenannte {{Stichwort|Monodromie|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der topologischen Fundamentalgruppe {{mathl|term= \pi_1(X,x) |SZ=}} auf {{math|term= F |SZ=.}} Einem stetigen Weg {{ Abbildung/display |name=\gamma |[0,1]|X || |SZ= }} mit {{math|term= x |SZ=}} als Start- und Zielpunkt und einem Punkt {{mathl|term= y \in F |SZ=}} der Faser wird der eindeutig bestimmte Endpunkt des gelifteten Weges {{mathl|term= \tilde{\gamma} |SZ=}} zugeordnet, der im Punkt {{math|term= y |SZ=}} startet {{ Zusatz/Klammer |text= siehe hierzu auch [[Kurs:Topologie (Osnabrück 2008-2009)/Vorlesung 17]]| |ISZ=|ESZ=. }} Dies führt zu einem Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |\pi_1(X,x)| {{opsyn|Aut|F|tief=|hoch=}} |\gamma| (y \mapsto \tilde{\gamma} (1) ) |SZ= }} bzw. einer {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} von {{mathl|term= \pi_1(X,x) |SZ=}} auf {{math|term= F |SZ=.}} Diese Zuordnung ist für {{math|term= X |SZ=}} zusammenhängend injektiv, da generell für einen zusammenhängenden topologischen Raum {{math|term= Z |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. {{math|term= X |SZ=}} selbst, oder {{math|term= Y |SZ=,}} oder das Einheitsintervall| |ISZ=|ESZ= }} und einer stetigen Abbildung {{ Abbildung/display |name=\gamma |Z|X || |SZ= }} zwei Liftungen {{ Abbildung/display |name=f_1,f_2 |Z|Y || |SZ= }} mit {{mathl|term= f_1(z) = f_2(z) |SZ=}} für einen einzelnen Punkt {{mathl|term= z \in Z |SZ=}} schon {{mathl|term= f_1=f_2 |SZ=}} gelten muss. Dieser Gruppenhomomorphismus ist nur in Ausnahmefällen surjektiv. Es muss im Allgemeinen auch keinen Automorphismus geben, der einen Punkt der Faser in einen anderen Punkt der Faser überführt. Diese Eigenschaft führt vielmehr zur folgenden Definition. {{ inputdefinition |Topologie/Normale Überlagerung/Definition|| }} Eine normale Überlagerung ist also dadurch gekennzeichnet, dass die Gruppe der Decktransformationen transitiv auf einer jeden Faser operiert. Jeder Punkt {{mathl|term= y_1 \in F |SZ=}} in einer Faser {{math|term= F |SZ=}} definiert eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{opsyn|Aut|Y|tief=X|hoch=}} |F |\psi| \psi (y_1) |SZ=, }} die stets injektiv und im normalen Fall auch bijektiv ist. Es ist eine wichtige Eigenschaft von Überlagerungen, dass man zu einer normalen Überlagerung übergehen kann. Diese topologische Eigenschaft ist analog dazu, dass man separable Körpererweiterungen in eine Galoiserweiterung {{ Zusatz/Klammer |text={{ Definitionslink |normale Hülle| |Kontext=| |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} einbetten kann. {{Zwischenüberschrift|Liftungseigenschaften von {{acutee|}}talen Abbildungen und Galoiserweiterungen}} Die beiden oben in Erinnerung gerufenen Eigenschaften von topologischen Überlagerungen, nämlich die eindeutige Liftungseigenschaft und die Normalität, kommen auch im Kontext der algebraischen Geometrie vor. {{ inputfakt |Etale/Zusammenhängende Basis/Schnitt ist offene Einbettung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfakt |Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Schnitt/Punkt bestimmt/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfakt |Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Lift durch Punkt bestimmt/Fakt|Satz|| || }} Ein endlicher Morphismus ist affin und insbesondere separiert. Die Gruppe der Decktransformationen wird im algebraisch-geometrischen Kontext folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Schemamorphismus/Automorphismengruppe/Definition|| }} Die Automorphismengruppe {{ Zusatz/Klammer |text=oder Galoisgruppe| |ISZ=|ESZ= }} sollte man sich im Kontext von Fundamentalgruppen als Gruppe von Decktransformationen vorstellen. Besonders wichtig sind die galoisschen Morphismen, das sind die {{acutee}}talen Morphismen mit {{Anführung|großer|}} Automorphismengruppe und entsprechen den normalen Überlagerungen. Die folgende Definition lehnt sich an der der Normalität an. {{ inputdefinition |Galoiserweiterung/Etale und endlich/Zusammenhängend/Über transitiv/Definition|| }} Zu einem endlichen {{acutee}}talen Morphismus {{ Abbildung/display |name=\varphi |Y|X || |SZ= }} kann man i.A. einen Morphismus {{ Abbildung/display |name= |\tilde{Y}|Y || |SZ= }} finden derart, dass {{ Abbildung/display |name= |\tilde{Y}|X || |SZ= }} galoissch ist. Für die Konstruktion der {{acutee||}}talen Fundamentalgruppe kann man sich im Wesentlichen auf galoissche Überlagerungen beschränken. {{Zwischenüberschrift|Definition der {{acutee||}}talen Fundamentalgruppe}} Die Kategorie der endlichen {{Netz oder Druck|é|\'{e}|}}talen Morphismen {{ Abbildung/display |name= |Y|X || |SZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:FEt|X|}} |SZ=}} bezeichnet. Für eine Varietät über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} entspricht das der Kategorie aller Überlagerungen mit endlichen Fasern. Es ist das Ziel, über die Kategorie aller {{acutee}}talen Morphismen bzw. aller dabei auftretenden Automorphismen einen sinnvollen Limes zu bilden. Dazu braucht man eine durch eine Menge indizierte hinreichend feine und reichhaltige Auswahl all dieser Morphismen. Dazu muss man die Morphismen in eine gewisse Ordnung bringen, was man durch ein zusätzliches Datum, eine Punktierung, erreicht. Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein zusammenhängendes Schema und {{math|term= \bar{x} |SZ=}} ein geometrischer Punkt von {{math|term= X |SZ=,}} also ein Punkt {{mathl|term= x \in X |SZ=}} zusammen mit einem Körperhomomorphismus {{ Abbildung |name= |\kappa(x)|{\kappa(x)}^{\rm sep} || |SZ= }} in einen separablen Abschluss {{mathl|term= {\kappa(x)}^{\rm sep} |SZ=}} des Restekörpers {{math|term= \kappa(x) |SZ=.}} Dies ist das Gleiche wie ein Schemamorphismus {{ Abbildung/display |name= |\bar{x} {{=|}} {{op:Spec| {\kappa(x)}^{\rm sep} |}} |X || |SZ= }} und bedeutet die Fixierung eines Basispunktes. Die Faser über {{math|term= x |SZ=}} zu einem endlichen {{acutee}}talen Morphismus {{ Abbildung |name= |Y|X || |SZ= }} ist endlich. Die Basispunktfixierung kann auf verschiedene Arten zu einer Fixierung in {{math|term= Y |SZ=}} geliftet werden. Eine solche Liftung ist einfach ein kommutatives Diagramm {{kommutatives Dreieck/ru|\bar{x}|Y|X|abb23=\varphi|SZ=.}} Wir setzen {{ Relationskette/display | F(Y) || {{op:Mor|\bar{x}|Y|X}} || || || |SZ=. }} Ein Element {{ Relationskette | f |\in| F(Y) || || || |SZ= }} ist also eine Liftung des geometrischen Basispunktes {{math|term= \bar{x} |SZ=,}} und {{mathl|term= F(Y) |SZ=}} ist die geometrische Faser über {{math|term= \bar{x} |SZ=.}} Wir betrachten die Zuordnung {{mathl|term= Y \mapsto F(Y) |SZ=}} als einen Funktor {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht von dem {{Stichwort|Faserfunktor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von der Kategorie der {{acutee}}talen Überdeckungen in die Kategorie der Mengen. Dieser Funktor ist {{ Definitionslink/- |strikt prorepräsentierbar| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. es gibt eine {{ Definitionslink |geordnete Menge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (I, \geq) |SZ=}} und eine durch {{math|term= I |SZ=}} induzierte Familie {{mathl|term= (Y_i,f_i) |SZ=,}} wobei {{math|term= Y_i \in {{op:FEt|X|}} |SZ=}} und {{mathl|term= f_i \in F(Y_i) |SZ=}} ist derart, dass diese Familie die folgenden Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung3 |Zu {{mathl|term= i \geq j |SZ=}} gibt es einen surjektiven {{math|term= X |SZ=-}}Morphismen {{ Abbildung/display |name=\varphi_{ij} |Y_i |Y_j || |SZ= }} |Es ist {{mathl|term= \varphi_i = \varphi_j \circ \varphi_{ij} |SZ=}} und {{mathl|term= f_j = \varphi_{ij} \circ f_i |SZ=.}} |Zu jedem {{mathl|term= Y \in {{op:FEt|X|}} |SZ=}} ist die natürliche Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{{op:Kolimes|{{op:Mor|Y_i |Y|sub=X}}|}} |F(Y) | \psi | \psi \circ f_i |SZ=, }} eine Bijektion. }} Die letzte Bedingung bedeutet dabei insbesondere, dass es zu jedem gegebenen {{mathl|term= Y \in {{op:FEt|X|}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{{h|h}}} \in F(Y) |SZ=}} ein {{mathl|term= Y_i |SZ=}} und einen {{math|term= X |SZ=-}}Morphismus {{ Abbildung/display |name=\psi_i |Y_i |Y || |SZ=, }} der {{math|term= f_i |SZ=}} auf {{math|term= {{{h|h}}} |SZ=}} abbildet. Die Automorphismengruppe {{mathl|term= {{op:Aut|Y|X}} |SZ=}} operiert auf {{mathl|term= F(Y) |SZ=}} durch {{ Abbildung/display |name= | {{op:Aut|Y|X}} \times F(Y) |F(Y) | ( \psi , {{{h|h}}})| \psi \circ {{{h|h}}} |SZ=. }} Diese Operation induziert für jedes {{mathl|term= {{{h|h}}} \in F(Y) |SZ=}} bei zusammenhängendem {{math|term= Y |SZ=}} eine injektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{{op:Aut|Y|X}} |F(Y) | \psi| \psi \circ {{{h|h}}} |SZ=, }} da ein Automorphismus {{ Abbildung |name=\psi |Y|Y || |SZ= }} mit {{mathl|term= \psi \circ {{{h|h}}} = {{op:Identität|Y|}} \circ {{{h|h}}} = {{{h|h}}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Etale und separiert/Zusammenhängende Basis/Lift durch Punkt bestimmt/Fakt |Nr= |SZ= }} die Identität sein muss. Insbesondere haben wir also für die Familie {{mathl|term= (Y_i,f_i) |SZ=}} injektive Abbildungen {{ Abbildung/display |name= | {{op:Aut|Y_i |X}} |F(Y_i) |\psi| \psi \circ f_i |SZ=. }} Nach obiger Definition ist {{math|term= Y |SZ=}} galoissch über {{math|term= X |SZ=,}} wenn diese Abbildung auch {{ Zusatz/Klammer |text=für jedes {{math|term= f_i |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} surjektiv ist. Für ein {{ Abbildung |name= |Y|X || |SZ= }} gibt es einen Morphismus {{ Abbildung |name= |Y'|Y || |SZ= }} derart, dass {{math|term= Y'|SZ=}} galoissch über {{math|term= X |SZ=}} ist. Daher kann man die gegebene Familie durch eine Familie ersetzen, bei der zusätzlich jedes {{math|term= Y_i |SZ=}} galoissch ist {{ Zusatz/Klammer |text=und auch zusammenhängend| |ISZ=|ESZ=. }} Das werden wir im folgenden tun und setzen {{Math/display|term=G_i= {{op:Aut|Y_i |X}} |SZ=}} und nennen diese Automorphismengruppen auch Galoisgruppen. Zu einem surjektiven Morphismus {{ Abbildung/display |name=\psi |Y'|Y || |SZ= }} zwischen galoisschen Überdeckungen gibt es ein kommutatives Diagramm {{kommutatives Quadrat/ru| {{op:Aut|Y'|X}} |F(Y')|{{op:Aut|Y|X}}|F(Y)|abb12=\cong|abb34=\cong |SZ=.}} Dabei geht {{mathl|term= f \in F(Y') |SZ=}} auf {{mathl|term= \psi \circ f \in F(Y) |SZ=}} und dies legt den surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |{{op:Aut|Y'|X}} |{{op:Aut|Y|X}} || |SZ= }} fest. Insgesamt erhalten wir über diese Konstruktion einen Funktor {{ Abbildung/display |name= |I| {\mathcal Gruppe} |i|G_i |SZ=, }} wobei zu {{mathl|term= i \geq j |SZ=}} der soeben definierte Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name=\vartheta_{i j} |G_i |G_j || |SZ= }} gehört. Die surjektiven Gruppenhomomorphismen haben also die gleiche Richtung wie die Morphismen. Statt dem Kolimes betrachtet man aber jetzt den projektiven Limes über dieses System. Man setzt {{ Math/display|term= {{op:Fundamentalgruppeetale|X|\bar{x} }} = {{op:Limes projektiv| G_i |i \in I|}} |SZ= }} und nennt dies die {{Stichwort|{{acutee}}tale Fundamentalgruppe|msw=etale Fundamentalgruppe|SZ=}} von {{math|term= X |SZ=}} im Punkt {{math|term= \bar{x} |SZ=.}} Sie ist also eine Komplettierung von endlichen Gruppen, ihre Elemente bestehen aus Folgen {{ mathbed|term= g_i \in G ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die die Bedingung {{mathl|term= \varphi_{ij}(g_i) =g_j |SZ=}} erfüllen. Zu jedem {{math|term= i |SZ=}} gibt es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Fundamentalgruppeetale|X|\bar{x} }} |G_i || |SZ=. }} Für einen anderen Basispunkt ergibt sich eine isomorphe Gruppe {{ Zusatz/Klammer |text=es gibt aber keinen kanonischen Isomorphismus| |ISZ=|ESZ= }}, wobei die Basispunkte noch nicht einmal abgeschlossen sein müssen. {{ inputbemerkung |Etale Fundamentalgruppe/Galoistheorie/Körper/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Etale Fundamentalgruppe/Integres Schema/Indizierung durch Galoiserweiterungen des Funktionenkörpers/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Etale Fundamentalgruppe/Punktierte affine Gerade/Potenzen/Beispiel|| }} Die beiden folgenden Sätze zeigen, dass die {{acutee|}}tale Fundamentalgruppe wichtige erwünschte Eigenschaften erfüllt. {{ inputfakt |Zusammenhängendes Schema/Geometrischer Punkt/Faserfunktor/Etale Erweiterungen und stetige pi-Mengen/Fakt|Satz|| || }} Die Stetigkeit bedeutet dabei, dass die Operation über eine endliche Restklassengruppe faktorisiert. Aus dem Riemannschen Existenzsatz folgt für {{mathl|term= K={{CC}} |SZ=}} der folgende wichtige Vergleichssatz zwischen {{acutee|}}taler und topologischer Fundamentalgruppe. {{ inputfakt |Etale Fundamentalgruppe/C/Komplettierung/Vergleich/Fakt|Satz|| || }} Insbesondere definiert ein geschlossener Weg {{ Abbildung/display |name=\gamma |[0,1]|X || |SZ= }} ein Element in der {{acutee|}}talen Fundamentalgruppe, das man direkt angeben kann. Zu {{mathl|term= i \in I |SZ=}} und der zugehörigen galoisschen Überdeckung {{ Abbildung/display |name=\varphi_i |Y_i |X || |SZ= }} besitzt die Liftung {{math|term= \tilde{\gamma} |SZ=}} mit dem Startpunkt {{math|term= f_i |SZ=}} einen eindeutig bestimmten Endpunkt {{mathl|term= \tilde{\gamma}(1) \in F(Y) |SZ=,}} dem ein eindeutiger Automorphismus {{mathl|term= g_i \in G_i |SZ=}} entspricht. Die Familie {{ mathbed|term= g_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist verträglich und definiert das zugehörige Element in der {{acutee|}}talen Fundamentalgruppe. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der étalen Morphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ec59m3kl0rq2a953fcdmrp6rjuqdhmz 0 46605 1092424 983454 2026-06-01T13:44:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092424 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= We consider a base scheme {{math|term= B |SZ=}} and a morphism {{ Abbildung/display |name= |Z|B || |SZ= }} together with an open subscheme {{ Relationskette | W |\subseteq| Z || || || |SZ=. }} For every base point {{ Relationskette | b |\in| B || || || |SZ= }} we get the open subset {{ Relationskette/display | W_b |\subseteq| Z_b || || || |SZ= }} inside the fiber {{math|term= Z_b |SZ=.}} It is a natural question to ask how properties of {{math|term= W_b |SZ=}} vary with {{math|term= b |SZ=.}} In particular we may ask how the cohomological dimension of {{math|term= W_b |SZ=}} varies and how the affineness{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=The cohomological dimension of a scheme {{math|term= X |SZ=}} is the maximal number {{math|term= i |SZ=}} such that {{ Relationskette | H^{i}(X, {{garbeF|}}) | \neq | 0 || || || || |SZ= }} for some quasicoherent sheaf {{math|term= {{garbeF|}} |SZ=.}} A noetherian scheme is affine if and only if its cohomological dimension is {{math|term= 0 |SZ=.}} Tight closure can be characterized by the cohomological dimension of torsors| |ISZ=.|ESZ= }} may vary. In the algebraic setting we have a {{math|term= {{{D|D}}} |SZ=-}}algebra {{math|term= {{{S|S}}} |SZ=}} and an ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} |\subseteq | {{{S|S}}} || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=so {{ Relationskette/k | B || {{op:Spec|D|}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/k | Z || {{op:Spec|{{{S|S}}}|}} || || || |SZ= }} and {{ Relationskette/k | W || D( {{ideala|}} ) || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} which defines for every prime ideal {{ Relationskette | {{idealp|}} |\in| {{op:Spec| {{{D|D}}}|}} || || || |SZ= }} the extended ideal {{mathl|term= {{ideala|}}_{ {{idealp|}} } |SZ=}} in {{mathl|term= {{{S|S}}} \otimes_{ {{{D|D}}} } \kappa( {{idealp|}} ) |SZ=.}} This question is already interesting when {{ Relationskette | B || {{op:Spec|D|}} || || || |SZ= }} is an affine one-dimensional integral scheme, in particular in the following two situations. {{ Aufzählung2 |{{ Relationskette | B || {{op:Spec|\Z|}} || || || |SZ=. }} Then we speak of an {{Stichwort/-|arithmetic deformation|SZ=}} and want to know how affineness varies with the characteristic and what the relation is to characteristic zero. |{{ Relationskette | B || {{op:Affine Gerade|K}} || {{op:Spec|K[t]|}} || || || |SZ=, }} where {{math|term= K |SZ=}} is a field. Then we speak of a {{Stichwort/-|geometric deformation|SZ=}} and want to know how affineness varies with the parameter {{math|term= t |SZ=,}} in particular how the behavior over the special points where the residue class field is algebraic over {{math|term= K |SZ=}} is related to the behavior over the generic point. }} It is fairly easy to show that if the open subset in the generic fiber is affine, then also the open subsets are affine for almost all special points. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} esewuf29cdd78u69vkyzp9e8l0r76bg 0 46859 1092136 1018731 2026-06-01T12:58:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092136 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Let {{math|term= R |SZ=}} be a commutative ring and let {{math|term= I |SZ=}} be an ideal generated by finitely many elements {{mathl|term= I=(f_1 {{kommadots|}} f_n) |SZ=.}} The free resolution of the residue class ring {{mathl|term= R/I|SZ=}} is the exact complex {{ Math/display|term= \ldots \longrightarrow R^{n_2} \longrightarrow R^n \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n }{\longrightarrow} R \longrightarrow R/I \longrightarrow 0 |SZ=. }} This resolution goes {{ Zusatz/Klammer |text=unless {{math|term= I |SZ=}} has finite projective dimension| |ISZ=|ESZ= }} on forever, but we can break it up to obtain the exact complex {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow M {{=|}} {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n |}} \longrightarrow R^n \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n }{\longrightarrow} R \longrightarrow R/I \longrightarrow 0 |SZ=, }} where the module {{math|term= M |SZ=}} is just defined to be the kernel of the {{math|term= R |SZ=-}}module-homomorphism {{ Abbildung/display |name= |R^n |R |(s_1 {{kommadots|}} s_n)| \sum_{i {{=|}} 1}^n s_if_i |SZ=. }} This kernel consists exactly of the syzygies for these elements, hence it is called {{ Zusatz/Klammer |text=the first| |ISZ=|ESZ= }} syzygy module. This module can be already quite complicated, however, we can make the following observation. Let us fix one {{math|term= i |SZ=,}} say {{mathl|term= i=1 |SZ=,}} and look at the induced sequence over the localization {{mathl|term= R_{f_1} |SZ=.}} As localization is an exact functor, we still get an exact sequence, and since {{mathl|term= f_1 \in I |SZ=,}} the ideal {{mathl|term= I_{f_1} |SZ=}} contains now a unit and therefore we have {{mathl|term= (R/I)_{f_1} = 0 |SZ=,}} so we can rewrite the induced sequence as {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow M_{f_1} \longrightarrow (R_{f_1})^n \stackrel{f_1 {{kommadots|}} f_n }{\longrightarrow} R_{f_1} \longrightarrow 0 |SZ=. }} We claim that we have an {{mathl|term= R_{f_1} |SZ=-}}module isomorphism {{ Abbildung/display |name= |(R_{f_1})^{n-1}| M_{f_1} \cong ({{op:Syz|f_1 {{kommadots||}} f_n |}})_{f_1} || |SZ= }} by sending the {{math|term= j |SZ=-}}th standard vector {{math|term= e_j |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=j= 2 {{kommadots|}} n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} to {{ Math/display|term= v_j = ( - {{op:Bruch|f_j |f_1}} {{kommadots|}} 0, 1 , 0{{kommadots|}} 0) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=the {{math|term= 1 |SZ=}} stands at the {{math|term= j |SZ=}}th position| |ISZ=|ESZ=. }} This is obviously well-defined, since {{math|term= f_1 |SZ=}} is a unit in {{mathl|term= R_{f_1} |SZ=,}} and evidently the given tuple is a syzygy. If {{mathl|term= s= (s_1 {{kommadots|}} s_n) |SZ=}} is a syzygy, then {{mathl|term= \sum_{j=2}^n s_j e_j |SZ=}} is a preimage, since it is mapped under this homomorphism to {{ Relationskette/display | \sum_{j {{=|}} 2}^n s_ j v_j ||(- \sum_{j {{=|}} 2}^n s_j {{op:Bruch|f_j |f_1}} , s_2 {{kommadots|}} s_n) ||( s_1 , s_2 {{kommadots|}} s_n) || || |SZ=. }} Hence we have a surjection. The injectivity follows immediately by looking at the components {{math|term= 2 |SZ=}} to {{math|term= n |SZ=}} in the syzygy. This means that the syzygy module when restricted to the open subset {{mathl|term= D(f_1) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=viewed as an {{math|term= R_{f_1} |SZ=-}}module| |ISZ=|ESZ= }} is free of rank {{mathl|term= n-1 |SZ=,}} and the same holds for all {{mathl|term= D(f_j) |SZ=.}} Hence the syzygy module restricted to the open subset {{ Math/display|term= U= \bigcup_{j=1}^n D(f_j) |SZ= }} has the property that there exists a covering by open subsets such that the restrictions to these open subsets are free modules. In general, the syzygy module is not free as an {{math|term= R |SZ=-}}module nor as an {{math|term= {{op:Strukturgarbe|}}_U|SZ=-}}module on {{math|term= U |SZ=.}} The above given explicit isomorphism on {{mathl|term= D(f_1) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=such an isomorphism is called a local trivialization of {{math|term= M |SZ=}} on {{mathlk|term=D(f_1) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} uses that {{math|term= f_1 |SZ=}} is a unit, hence this can not be extended to give an isomorphism on {{math|term= U |SZ=.}} On the intersection {{mathl|term= D(f_1) \cap D(f_2) = D(f_1f_2) |SZ=}} {{ mathkor|term1= f_1 |as well as|term2= f_2 |SZ= }} are units, hence the above isomorphisms {{ Zusatz/Klammer |text=let's call them {{math|term= \psi_1 |SZ=}} on {{math|term= D(f_1) |SZ=}} and {{math|term= \psi_2 |SZ=}} on {{math|term= D(f_2) |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} induce two different isomorphisms on {{mathl|term= D(f_1f_2) |SZ=}} between {{ mathkor|term1= (R_{f_1f_2})^{n-1} |and|term2= M_{f_1f_2} |SZ= }} We can connect them to get an isomorphism {{ Abbildung/display |name= \psi_2^{-1} \circ \psi_1 | (R_{f_1f_2})^{n-1} | (R_{f_1f_2})^{n-1} || |SZ= }} which is given by the {{ Zusatz/Klammer |text=over {{mathlk|term= R_{f_1f_2} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} invertible {{mathl|term= (n-1) \times (n-1) |SZ=-}}matrix {{ Math/display|term= {{Op:Matrix55|- {{op:Bruch|f_2 |f_1}} |- {{op:Bruch|f_3 |f_1}}|- {{op:Bruch|f_4|f_1}} | \ldots |- {{op:Bruch|f_n |f_1}} |0|-1|0|\ldots|0|0|0|-1|\ddots|\vdots|\vdots|\vdots|\ddots|\ddots|0|0|\ldots|\ldots|0|-1||}} |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} na175xoy72rfk3u4poed19ur5p1eu4k 0 47369 1092161 1076588 2026-06-01T13:02:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092161 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Binomialkoeffizient/Definition|| }} Diesen Bruch kann man auch als {{ Math/display|term= {{op:Bruch|n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+2)(n-k+1)|k(k-1) (k-2) \cdots 2 \cdot 1}} |SZ= }} schreiben, da die Faktoren aus {{mathl|term= (n-k)! |SZ=}} auch in {{math|term= n!|SZ=}} vorkommen und daher kürzbar sind. In dieser Darstellung stehen im Zähler und im Nenner gleich viele Faktoren. Gelegentlich ist es sinnvoll, auch negative {{math|term= k |SZ=}} oder {{ Relationskette | k |>| n || || || |SZ= }} zuzulassen und in diesen Fällen die Binomialkoeffizienten gleich {{math|term= 0 |SZ=}} zu setzen. Von der Definition her ist es nicht sofort klar, dass es sich bei den Binomialkoeffizienten um natürliche Zahlen handelt. Dies folgt aus der folgenden Beziehung. {{ inputbild |Pascal triangle|svg|220px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Pascal_triangle |Text=Das {{Stichwort|Dreieck der Binomialkoeffizienten|SZ=}} war in Indien und in Persien schon um 1000 bekannt, |Autor= |Benutzer=Kazukiokumura |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Yanghui triangle|gif|220px {{!}} {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Yanghui_triangle |Text=in China heißt es {{Stichwort|Yanghui-Dreieck|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nach [[w:Yang Hui|Yang Hui (um 1238-1298)]]| |SZ=, }} |Autor= |Benutzer=Noe |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |TrianguloPascal|jpg|220px {{!}} thumb {{!}} | |Text=in Europa heißt es das {{Stichwort|Pascalsche Dreieck|msw=Pascalsches Dreieck|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nach [[w:Blaise Pascal|Blaise Pascal (1623-1662)]]| |SZ=. }} |Autor=Pascal |Benutzer=Drini |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}} || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Fußnoten= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hnkk7y5eja54useyervmkh4pdv2yhop 0 47460 1092491 1074727 2026-06-01T13:55:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092491 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Exponentialreihe/Reell/Definition|| }} Dies ist also die Reihe {{ Math/display|term= 1+x+ {{op:Bruch|x^2|2}} +{{op:Bruch|x^3|6}} + {{op:Bruch|x^4|24}} +{{op:Bruch|x^5|120}} + \ldots |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Exponentialreihe/Reell/Absolute Konvergenz/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die reelle Exponentialfunktion definieren. {{ inputbild |Exp|svg| 250px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Text=Der Graph der reellen Exponentialfunktion |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition|| }} Die folgende Aussage heißt die {{Stichwort|Funktionalgleichung der Exponentialfunktion|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt|Korollar||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tvsll5xk80g6mregx231g8jhcigty07 0 47527 1092441 1074707 2026-06-01T13:47:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092441 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Körper/Polynom in einer Variablen/Definition|| }} Dabei heißen die Zahlen {{mathl|term= a_0,a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} die {{Stichwort|Koeffizienten|msw=Koeffizient|SZ=}} des Polynoms. Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn sie in allen ihren Koeffizienten übereinstimmen. Die Polynome mit {{ Relationskette |a_i || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |i |\geq|1 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|konstante Polynome|msw=Konstantes Polynom|SZ=,}} man schreibt sie einfach als {{math|term= a_0 |SZ=.}} Beim {{Stichwort|Nullpolynom|SZ=}} sind überhaupt alle Koeffizienten gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Mit dem Summenzeichen kann man ein Polynom kurz als {{mathl|term= {{polynomein|X|n|a|i|}} |SZ=}} schreiben. {{ inputdefinition |Polynomring/Grad/Definition|| }} Das Nullpolynom bekommt keinen Grad. Der Koeffizient {{math|term= a_n |SZ=,}} der zum Grad {{math|term= n |SZ=}} des Polynoms gehört, heißt {{Stichwort|Leitkoeffizient|SZ=}} des Polynoms. Der Ausdruck {{mathl|term= a_nX^n |SZ=}} heißt {{Stichwort|Leitterm|SZ=}} des Polynoms. Die Gesamtheit aller Polynome über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} heißt {{Stichwort|Polynomring|SZ=}} über {{math|term= K |SZ=,}} er wird mit {{mathl|term= K[X] |SZ=}} bezeichnet. Dabei nennt man {{math|term= X |SZ=}} die {{Stichwort|Variable|SZ=}} des Polynomrings. Zwei Polynome {{ Mathkor/display|term1= P= {{polynomein|X|n|a|i|}} |und|term2= Q={{polynomein|X|m|b|i|}} |SZ= }} werden komponentenweise miteinander addiert, d.h. die Koeffizienten der Summe {{mathl|term= P+Q|SZ=}} sind einfach die Summe der Koeffizienten der beiden Polynome. Bei {{ Relationskette | n |>| m || || || |SZ= }} sind die {{Anführung|fehlenden}} Koeffizienten von {{math|term= Q |SZ=}} als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren. Diese Addition ist offenbar assoziativ und kommutativ, das Nullpolynom ist das neutrale Element und das negative Polynom {{math|term= -P|SZ=}} erhält man, indem man jeden Koeffizienten von {{math|term= P |SZ=}} negiert. Zwei Polynome lassen sich auch miteinander multiplizieren, wobei man {{ Relationskette/display | X^n \cdot X^m |{{Defeq}}| X^{n+m} || || || |SZ= }} setzt und diese Multiplikationsregel {{Anführung|distributiv fortsetzt|SZ=,}} d.h. man multipliziert {{Anführung|alles mit allem}} und muss dann aufaddieren. Die Multiplikation ist also explizit durch folgende Regel gegeben: {{ Math/display|term= {{Polynomring Multiplikation/Formel|}} |SZ=. }} Für den Grad gelten die beiden folgenden Regeln {{ Auflistung2 |{{ Relationskette/display | {{op:Grad Polynom|P+Q}} |\leq| \max \{ {{op:Grad Polynom|P}},\, {{op:Grad Polynom|Q}} \} || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Grad Polynom|P \cdot Q}} || {{op:Grad Polynom|P}} + {{op:Grad Polynom|Q}} || || || |SZ=. }} }} {{ inputbild |Polynomialdeg5|svg|250px {{!}} thumb {{!}} | |Text=Der Graph einer Polynomfunktion von {{math|term= \R|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} vom Grad {{math|term= 5 |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In ein Polynom {{ Relationskette | P |\in| K[X] || || || |SZ= }} kann man ein Element {{ Relationskette | a |\in| K || || || |SZ= }} {{Stichwort|einsetzen|SZ=,}} indem man die Variable {{math|term= X |SZ=}} an jeder Stelle durch {{math|term= a |SZ=}} ersetzt. Dies führt zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name= |K|K |a|P(a) |SZ=, }} die die durch das Polynom definierte {{Stichwort|Polynomfunktion|SZ=}} heißt. Wenn {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} Polynome sind, so kann man die Hintereinanderschaltung {{mathl|term= P \circ Q |SZ=}} einfach beschreiben: man muss in {{math|term= P |SZ=}} überall die Variable {{math|term= X |SZ=}} durch {{math|term= Q |SZ=}} ersetzen {{ Zusatz/Klammer |text=und alles ausmultiplizieren und aufaddieren| |ISZ=|ESZ=. }} Das Ergebnis ist wieder ein Polynom. Man beachte, dass es dabei auf die Reihenfolge ankommt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k3k86nz3junm4zsrfx7kb11668axupp 0 47564 1092091 956828 2026-06-01T12:50:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092091 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Aussagen}} Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde, das {{Stichwort|wahr|SZ=}} oder {{Stichwort|falsch|SZ=}} sein kann{{ Zusatz/Fußnote |text=Statt {{Anführung|wahr}} sagt man auch, dass die Aussage {{Stichwort|gilt|SZ=}} oder dass sie {{Stichwort|richtig|SZ=}} ist, statt {{Anführung|falsch}} auch, dass sie nicht gilt.| |ESZ=. }} Dazu müssen die in der Aussage verwendeten Begriffe in ihrer Bedeutung klar definiert sein, damit Einigkeit darüber besteht, was damit gemeint ist, dass die Aussage wahr {{ Zusatz/Klammer |text=oder eben falsch| |SZ= }} ist. Es ist dabei durchaus erlaubt, dass man nicht entscheiden kann, ob die Aussage wahr oder falsch ist, weil man dazu Zusatzinformationen benötigt. Wichtig ist allein, dass die Prädikate wahr und falsch sinnvolle Prädikate des Gebildes aufgrund seiner syntaktischen und semantischen Gestalt sind. Die Bedingung der Bedeutungsklarheit wird von natürlich-sprachlichen Aussagen selten erfüllt. Nehmen wir z.B. den Satz {{Beispielsatz|Dieses Pferd ist schnell}} Einerseits haben wir keine Information, um welches Pferd es sich handelt, von dem da die Rede ist, und die Gültigkeit der Aussage hängt vermutlich davon ab, welches Pferd gemeint ist. Andererseits ist die Bedeutung von {{Anführung|schnell}} nicht so fest umrissen, dass, selbst wenn es klar wäre, um welches Pferd es sich handelt, vermutlich Uneinigkeit herrscht, ob es als schnell gelten soll oder nicht. In der natürlichen Sprache besteht die Möglichkeit, durch Zusatzinformationen, Kontextbezug, intersubjektive Vereinbarungen und kommunikative Bedeutungsangleichungen eine Gesprächssituation zu erzeugen, in der man über die Gültigkeit von solchen nicht scharf definierten Aussagen weitgehende Einigkeit erzielen kann. In der Logik und in der Mathematik hingegen sind diese praktischen Notlösungen nicht erlaubt, sondern die Bedeutung einer Aussage soll allein aus der Bedeutung der in ihr verwendeten Begriffe erschließbar sein, wobei diese Begriffe zuvor klar und unmissverständlich definiert worden sein müssen. Einige mathematischen Aussagen {{ Zusatz/Klammer |text=egal ob wahr oder falsch| |SZ= }} sind {{Beispielsatz| {{math|term= 5>3 |SZ=}} }} {{Beispielsatz| {{math|term= 5<3 |SZ=}} }} {{Beispielsatz|5 ist eine natürliche Zahl}} {{Beispielsatz|Für jede natürliche Zahl gibt es eine größere Zahl}} {{Beispielsatz|Für jede natürliche Zahl gibt es eine kleinere Zahl}} {{Beispielsatz|Es gibt eine natürliche Zahl, die größer oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist}} {{Beispielsatz|Es gibt eine natürliche Zahl, die kleiner oder gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl ist eine Primzahl}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von drei {{ Zusatz/Klammer |text=natürlichen| |SZ= }} Quadratzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Jede natürliche Zahl lässt sich als Summe von beliebig vielen Quadratzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Es gibt eine natürliche Zahl, die sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen lässt, aber nicht als Summe von drei Quadratzahlen}} {{Beispielsatz|Jede gerade natürliche Zahl lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen}} {{Beispielsatz|Jede gerade natürliche Zahl {{math|term= \geq 4 |SZ=}} lässt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen}} Wenn man diese Aussagen versteht, und insbesondere die in ihnen verwendeten Begriffe und Symbole kennt, so sieht man, dass es sich um Aussagen handelt, die entweder wahr oder falsch sind, und zwar unabhängig davon, ob der Leser weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Es gibt darunter übrigens auch Aussagen, von denen niemand weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Ob ein sprachliches Gebilde eine Aussage ist hängt eben nicht vom Wissen, ob sie wahr oder falsch ist, oder vom Aufwand ab, mit dem man durch zusätzliches Nachforschen, durch Experimente oder durch logisch-mathematisches Überlegen entscheiden könnte, ob sie wahr oder falsch ist. Bei den folgenden Beispielen handelt es sich zwar um mathematische Objekte, aber nicht um Aussagen: {{Beispielsatz|5}} {{Beispielsatz|5+11}} {{Beispielsatz|Die Menge der Primzahlen}} {{Beispielsatz|{{math|term= A \cap B |SZ=}} }} {{Beispielsatz|Eine Summe von fünf Quadraten}} {{Beispielsatz|{{math|term= \int_a^b f(t)dt|SZ=.}} }} Statt uns jetzt mit konkreten Aussagen auseinander zu setzen, nehmen wir im Folgenden den strukturellen Standpunkt ein, dass eine Aussage eine Aussagenvariable {{math|term= p |SZ=}} ist, die einen der beiden {{Stichwort|Wahrheitswerte|msw=Wahrheitswert|SZ=}} wahr oder falsch annehmen kann. Zunächst interessiert uns dann, wie sich diese Wahrheitsbelegungen bei einer Konstruktion von neuen Aussagen aus alten Aussagen verhalten. {{Zwischenüberschrift|Verknüpfungen von Aussagen}} Man kann aus verschiedenen Aussagen neue Aussagen bilden. Aus der Aussage {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen}} kann man die {{Stichwort|negierte Aussage|SZ=}} {{Beispielsatz|Ich fresse {{Betonung|nicht|}} einen Besen{{ Zusatz/Fußnote |text=Die sicherste Art, zur {{Stichwort|Negation|SZ=}} zu kommen, ist eine Konstruktion wie {{Anführung|es ist nicht der Fall, dass ...|}} zu verwenden. Dies ist insbesondere beim anderen Beispielsatz zu bedenken, die Aussage {{Anführung|Marsmenschen sind nicht grün}} kann man so verstehen, dass alle Marsmenschen nicht-grün sind, oder dass eben nicht alle Marsmenschen grün, es also Ausnahmen gibt. Siehe auch den Abschnitt über Quantoren weiter unten| |ISZ=. }} }} machen, und aus den beiden Aussagen {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün}} und {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen}} kann man beispielsweise die folgenden neuen Aussagen basteln {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün {{Betonung|und}} ich fresse einen Besen}} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün {{Betonung|oder}} ich fresse keinen Besen}} {{Beispielsatz|{{Betonung|Wenn}} Marsmenschen grün sind, {{Betonung|dann}} fresse ich einen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich einen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen}} {{Beispielsatz|Wenn nicht gilt, dass Marsmenschen grün sind, dann fresse ich keinen Besen}} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind {{Betonung|genau dann}} grün, {{Betonung|wenn}} ich einen Besen fresse}} Hierbei werden die einzelnen Aussagen für sich genommen nicht verändert {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf gewisse grammatische Anpassungen| |SZ=, }} sondern lediglich in einen logischen Zusammenhang zueinander gebracht. Eine solche logische Verknüpfung ist dadurch gekennzeichnet, dass sich ihr Wahrheitsgehalt allein aus den Wahrheitsgehalten der beteiligten Aussagen und der Bedeutung der {{Stichwort/-|grammatischen Konjunktionen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aussagenlogisch spricht man von {{Stichwort|Junktoren|msw=Junktor|SZ=}}| |SZ= }} ergibt und keine weitere Information dafür erforderlich ist. Die Aussage {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün und ich fresse keinen Besen}} ist beispielsweise genau dann wahr, wenn sowohl Marsmenschen grün sind und ich keinen Besen fresse. Das ist jedenfalls die Bedeutung der logischen {{Stichwort/anf|und|SZ=-}}Verknüpfung. Eine inhaltliche Beziehung zwischen den beiden Teilaussagen ist nicht nötig. Betrachten wir zum Vergleich eine Aussage wie {{Beispielsatz|Die grünen Marsmenschen fressen Besen}} Hier entsteht eine völlig neue Aussage, die lediglich einzelne Vokabeln oder Prädikate der vorgegebenen Aussagen verwendet, ihr Wahrheitsgehalt lässt sich aber keineswegs aus den Wahrheitsgehalten der vorgegebenen Aussagen erschließen. Eine logische Verknüpfung von Aussagen liegt vor, wenn sich der Wahrheitsgehalt der Gesamtaussage aus den Wahrheitsgehalten der Teilaussagen ergibt. Die beteiligten Verknüpfungen legen dabei fest, wie sich die Wahrheitswerte der Gesamtaussage bestimmen lassen. {{Zwischenüberschrift|Aussagenvariablen und Junktoren}} Um diese Abhängigkeit allein von den einzelnen Wahrheitsgehalten und den Junktoren, nicht aber von den konkreten Aussagen und ihren Bedeutungen klarer zu machen, ist es sinnvoll, mit Aussagenvariablen zu arbeiten und die Junktoren durch Symbole zu repräsentieren. Für Aussagen schreiben wir jetzt {{ Math/display|term= p,q, \ldots |SZ=, }} und wir interessieren und also nicht für den Gehalt von {{math|term= p |SZ=,}} sondern lediglich für die möglichen Wahrheitswerte {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Belegungen|msw=Belegung|SZ=}} | |SZ= }} von {{math|term= p |SZ=,}} die wir mit {{math|term= w |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= wahr| |SZ= }} oder {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falsch| |SZ= }} bezeichnen.{{ Zusatz/Fußnote |text=Aussagen und ihre Verknüpfungen werden im Folgenden in einer formalen Sprache behandelt, die aus einer Menge an Aussagensymbolen {{math|term= p,q, \ldots |SZ=,}} dem Negationszeichen {{math|term= \neg|SZ=}} und den Junktoren {{math|term= \wedge, \vee, \rightarrow |SZ=}} besteht. Dazu kommen die Klammern {{math|term= (,) |SZ=,}} die es erlauben, ausgehend von den Aussagensymbolen mittels der Junktoren neue formale Aussagen zu bilden{{ Zusatz/Klammer |text= die beiden Wahrheitswerten {{ mathkor|term1= w |und|term2= f |SZ= }} sind nicht Teil der Sprache, sondern die Wertemenge von Belegungsfunktionen, die auf den Aussagensymbolen erklärt werden können| |SZ=. }} In dieser extrem reduzierten Sprache hat man eine klar definierte Menge von erlaubten formalen Aussagen. Sie dient dazu, aussagenlogische Sachverhalte deutlicher zu machen. Über diese Sprache sprechen wir in unserer gewöhnlichen Sprache, wobei man diese Ebenen stets auseinanderhalten muss. In diesem Zusammenhang nennt man eine formallogische Sprache auch {{Stichwort|Objektsprache|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=weil sie das Objekt der Untersuchung ist| |SZ= }} und die {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche| |SZ= }} Sprache, in der die Untersuchung durchgeführt wird, {{Stichwort|Metasprache|SZ=.}}| |SZ= }} Bei der {{Stichwort|Negation|SZ=}} werden einfach die Wahrheitswerte vertauscht, was man mit einer einfachen {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} ausdrückt: {{Wahrheitstabelle/1|Negation|\neg p |f|w}} Bei einer konkreten Aussage gibt es in der Regel mehrere sprachliche Möglichkeiten, die Negation zu formulieren. Um die Aussage {{Anführung|ich fresse einen Besen}} zu negieren, ist es egal, ob man sagt: {{Beispielsatz|ich fresse nicht einen Besen}} {{Beispielsatz|ich fresse keinen Besen}} {{Beispielsatz|es ist nicht der Fall, dass ich einen Besen fresse}} {{Beispielsatz|es trifft nicht zu, dass ich einen Besen fresse}} Die Negation wirkt auf eine einzige Aussage, man spricht von einem {{Stichwort|einstelligen Operator|msw=Einstelliger Operator|SZ=.}} Kommen wir nun zu {{Stichwort|mehrstelligen Operatoren|msw=Mehrstelliger Operator|SZ=,}} die von mindestens zwei Aussagen abhängen. Bei der Verknüpfung von zwei Aussagen gibt es insgesamt vier mögliche Kombinationen der Wahrheitswerte, sodass jede logische Verknüpfung dadurch festgelegt ist, wie sie diesen vier Kombinationen einen Wahrheitswert zuordnet. Daher gibt es insgesamt {{math|term= 16 |SZ=}} logische Verknüpfungen, die wichtigsten sind die folgenden vier. Die {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} ist die {{Stichwort|Und-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind; sie ist also falsch, sobald nur eine der beteiligten Aussagen falsch ist. Die {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} der Konjunktion sieht so aus. {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion|p \wedge q|w|f|f|f}} Die {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Alternation|SZ=}} | |SZ= }} ist die einschließende {{Stichwort|Oder-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist wahr sobald mindestens eine der Teilaussagen wahr ist, und insbesondere auch dann wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind. Sie ist nur in dem einzigen Fall falsch, dass beide Teilaussagen falsch sind. Offensichtlich sind bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die beteiligten Teilaussagen gleichberechtigt. {{Wahrheitstabelle/2/1|Disjunktion|p \vee q |w|w|w|f}} Die {{Stichwort|Implikation|SZ=}} ist die in der Mathematik wichtigste Verknüpfung. Mathematische Sätze haben fast immer die Gestalt einer {{ Zusatz/Klammer |text=verschachtelten| |SZ= }} Implikation. Der logische Gehalt einer Implikation ist, dass aus der Gültigkeit einer {{Stichwort|Voraussetzung|SZ=}} die Gültigkeit einer {{Stichwort|Konklusion|SZ=}} folgt{{ Zusatz/Fußnote |text=Genauer gesagt haben mathematische Sätze fast immer die Gestalt {{math|term= p_1 \wedge p_2 \wedge \ldots \wedge p_n \rightarrow q |SZ=.}}| |ESZ=. }} Sie wird meistens durch {{Anführung|Wenn {{math|term= p |SZ=}} wahr ist, dann ist auch {{math|term= q |SZ=}} wahr}} ausgedrückt. Ihre Wahrheitsbedingung ist daher, dass wenn {{math|term= p |SZ=}} mit wahr belegt ist, dann muss auch {{math|term= q |SZ=}} mit wahr belegt sein. Dies ist erfüllt, wenn {{math|term= p |SZ=}} falsch ist oder wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist{{ Zusatz/Fußnote |text=An die Wahrheitsbelegung einer Implikation für den Fall, wo der Vordersatz falsch ist, muss man sich etwas gewöhnen. Der Punkt ist, dass wenn man eine Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} beweist, dass man dann {{math|term= p |SZ=}} als wahr annimmt und davon ausgehend zeigen muss, dass auch {{math|term= q |SZ=}} wahr ist. Der Fall, dass {{math|term= p |SZ=}} falsch ist, kommt also in einem Implikationsbeweis gar nicht explizit vor. In diesem Fall gilt die Implikation, obwohl sie keine {{Anführung|Schlusskraft}} besitzt. Nehmen wir als Beispiel die mathematische Aussage, dass wenn eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch vier teilbar ist, dann ist sie gerade. Dies ist eine wahre Aussage für alle natürlichen Zahlen, sie gilt insbesondere auch für alle Zahlen, die {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} durch vier teilbar sind. Es gibt auch jeweils für alle drei Wahrheitsbelegungen, die eine Implikation wahr machen, Beispiele von natürlichen Zahlen, die genau diese Wahrheitsbelegung repräsentieren, nicht aber für die vierte| |ISZ=. |ESZ=. }} Ihre Wahrheitstabelle ist daher {{Wahrheitstabelle/2/1|Implikation|p \rightarrow q|w|f|w|w}} Bei einer Implikation sind die beiden beteiligten Teilaussagen nicht gleichberechtigt, die Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} sind verschiedene Aussagen. Eine Implikation hat also eine {{Stichwort/anf|Richtung|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Bei einer Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} sagt man auch, dass {{math|term= p |SZ=}} eine {{Stichwort|hinreichende Bedingung|SZ=}} für {{math|term= q |SZ=}} und dass {{math|term= q |SZ=}} eine {{Stichwort|notwendige Bedingung|SZ=}} für {{math|term= p |SZ=}} ist. Siehe dazu auch die Wahrheitstabelle zur Kontraposition weiter unten.| |ESZ=. }} Im allgemeinen Gebrauch und auch in der Mathematik werden Implikationen zumeist dann verwendet, wenn der Vordersatz der Grund für die Konklusion ist, wenn die Implikation also einen kausalen Zusammenhang ausdrückt. Diese Interpretation spielt aber im aussagenlogischen Kontext keine Rolle. Wenn die beiden Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} zugleich gelten, so wird das durch {{Anführung|genau dann ist {{math|term= p |SZ=}} wahr, wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist}} ausgedrückt. Man spricht von einer {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} der beiden Aussagen, die Wahrheitstabelle ist {{Wahrheitstabelle/2/1|Äquivalenz|p \leftrightarrow q|w|f|f|w}} Unter Verwendung der Negation kann man jede logische Verknüpfung durch die angeführten Verknüpfungen ausdrücken, wobei man noch nicht mal alle braucht. Z.B. kann man die Konjunktion {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Implikation und die Äquivalenz| |SZ= }} auf die Disjunktion zurückführen, die Wahrheitstabelle{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Folgenden verwenden wir, um Klammern zu sparen, die Konvention, dass die Negation stärker bindet als alle mehrstelligen Junktoren, und dass die Konjunktion stärker bindet als die anderen zweistelligen Junktoren.| |SZ= }} {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion als Disjunktion|\neg ( \neg p \vee \neg q) |w|f|f|f}} zeigt nämlich, dass die Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= \neg ( \neg p \vee \neg q) |SZ=}} mit der Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= p \wedge q |SZ=}} übereinstimmt. Daher sind die beiden Ausdrücke logisch gleichwertig. Bei einem solchen nur leicht verschachtelten Ausdruck kann man die Wahrheitswerte noch einfach berechnen und damit die Wahrheitsgleichheit mit der Konjunktion feststellen. Bei komplizierteren {{ Zusatz/Klammer |text=tiefer verschachtelten| |SZ= }} Ausdrücken ist es sinnvoll, abhängig von den Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen die Wahrheitswerte der Zwischenausdrücke zu berechnen. Im angegebenen Beispiel würde dies zur Tabelle {{Wahrheitstabelle/2/4|Konjunktion als Disjunktion|\neg p | f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg p \vee \neg q | f|w|w|w| \neg ( \neg p \vee \neg q) |w|f|f|f}} führen. Natürlich kann man statt zwei auch beliebig viele Aussagenvariablen verwenden und daraus über die Verknüpfungen neue Aussagen konstruieren. Die Wahrheitsbelegung der zusammengesetzten Aussagen lassen sich dann ebenfalls in entsprechend größeren Wahrheitstabellen darstellen. {{Zwischenüberschrift|Tautologien}} Bei Einzelaussagen und zusammengesetzten Aussagen ist jeder Wahrheitswert erlaubt, und die Wahrheitswerte bei den verknüpften Aussagen ergeben sich aus den Einzelbelegungen über die Wahrheitsregeln, die die Junktoren auszeichnen. Abhängig von den Belegungen können somit alle Aussagen wahr oder falsch sein. Besonders interessant sind aber solche Aussagen, die unabhängig von den Einzelbelegungen stets wahr sind. Solche Aussagen nennt man {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=.}} Sie sind für die Mathematik vor allem deshalb wichtig, weil sie erlaubten Schlussweisen entsprechen, wie sie in Beweisen häufig vorkommen. Wenn man beispielsweise schon die beiden Aussagen {{ mathkor|term1= p |und|term2= p \rightarrow q |SZ= }} bewiesen hat, wobei hier {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} für konkrete Aussagen stehen, so kann man daraus auf die Gültigkeit von {{math|term= q |SZ=}} schließen. Die zugrunde liegende aussagenlogische Tautologie ist {{ Math/display|term= (p \wedge ( p \rightarrow q)) \rightarrow q |SZ=. }} Wie gesagt, eine Tautologie ist durch den konstanten Wahrheitswert wahr gekennzeichnet. Der Nachweis, dass eine gegebene Aussage eine Tautologie ist, verläuft am einfachsten über eine Wahrheitstabelle. {{Wahrheitstabelle/2/3|{{Stichwort|Ableitungsregel|SZ=}}&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Modus ponens|SZ=}}| |SZ= }}| p \rightarrow q | w|f|w|w|p \wedge ( p \rightarrow q) |w|f|f|f| (p \wedge ( p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/3|Doppelnegation| \neg p |f|w | \neg (\neg p) |w|f| p \leftrightarrow \neg ( \neg p) | w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/2|Tertium non datur| \neg p |f|w | p \vee \neg p |w|w|}} Die Regel {{Stichwort|Tertium non datur|SZ=}} geht auf Aristoteles zurück und besagt, dass eine Aussage {{ Zusatz/Klammer |text=entweder| |SZ= }} wahr oder falsch ist und es keine dritte Möglichkeit gibt. Die obige Regel drückt formal gesehen nur aus, dass mindestens ein Wahrheitswert gelten muss, die Regel davor sagt, dass {{math|term= p |SZ=}} wahr zugleich {{math|term= \neg p |SZ=}} wahr ausschließt, was man auch den {{Stichwort|Satz vom Widerspruch|SZ=}} nennt {{ Zusatz/Klammer |text=zusammenfassend spricht man auch vom {{Stichwort|Bivalenzprinzip|SZ=}} | |SZ=. }} Die Gültigkeit dieser Regeln ist bei vielen umgangssprachlichen Aussagen fragwürdig, im Rahmen der Aussagenlogik und der Mathematik haben sie aber uneingeschränkt Gültigkeit, was wiederum damit zusammenhängt, dass in diesen Gebieten nur solche Aussagen erlaubt sind, denen ein eindeutiger Wahrheitswert zukommt. Als Beweisprinzip schlägt sich dieses logische Prinzip als {{Stichwort|Beweis durch Fallunterscheidung|SZ=}} nieder, wobei die folgende Tautologie dieses Beweisprinzip noch deutlicher ausdrückt. {{Wahrheitstabelle/2/5|Fallunterscheidung| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg p \rightarrow q | w|w|w|f |((p \rightarrow q) \wedge ( \neg p \rightarrow q)) | w|f|w|f | ((p \rightarrow q) \wedge ( \neg p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w }} Bei der Fallunterscheidung will man {{math|term= q |SZ=}} beweisen, und man beweist es dann einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 1| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= p |SZ=}} und andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 2| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= \neg p |SZ=.}} Man muss dabei zweimal was machen, der Vorteil ist aber, dass die zusätzlichen Annahmen zusätzliche Methoden und Techniken erlauben. Die {{Stichwort|Kontraposition|SZ=}} wird häufig in Beweisen verwendet, ohne dass dies immer explizit gemacht wird. In einem Beweis nimmt man einen pragmatischen Standpunkt ein, und manchmal ist es einfacher, von {{math|term= \neg q |SZ=}} nach {{math|term= \neg p |SZ=}} zu gelangen als von {{math|term= p |SZ=}} nach {{math|term= q |SZ=.}} {{Wahrheitstabelle/2/5|Kontraposition| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg q \rightarrow \neg p | w|f|w|w | (p \rightarrow q) \leftrightarrow ( \neg q \rightarrow \neg p) | w|w|w|w }} Eine übersichtliche Möglichkeit, um die Wahheitsfunktionen von zusammengesetzten Aussagen darzustellen, bietet die {{Stichwort|disjunktive Normalform|SZ=.}} Bei zwei Aussagenvariablen {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} gibt es vier mögliche Belegungen, wobei man jede von ihnen durch {{ Math/display|term= p \wedge q ,\, p \wedge \neg q , \, \neg p \wedge q, \, \neg p \wedge \neg q |SZ= }} ausdrücken kann, und zwar in dem Sinne, dass die Konjunktion diejenige Belegung repräsentiert, bei der die Konjunktion wahr ist. Die vier elementaren oder atomaren Belegungsmöglichkeiten werden also durch vier Konjunktionen repräsentiert. Eine Aussage wie die Implikation {{mathl|term= p \rightarrow q |SZ=}} ist nur bei der Belegung {{mathl|term= p \wedge \neg q |SZ=}} falsch, bei den drei anderen Belegungen wahr. Daher ist die Implikation gleichwertig mit der Disjunktion der drei erlaubten Konjunktionen, also mit{{ Zusatz/Fußnote |text=Diese Schreibweise beinhaltet implizit, dass die Konjunktion von mehr als drei Aussagen keine Klammerung bedarf, dass also die Aussagen {{math|term= (p \vee q) \vee r |SZ=}} und {{math|term= p \vee ( q \vee r) |SZ=}} äquivalent sind.| |SZ= }}{{ Math/display|term= (p \wedge q) \vee ( \neg p \wedge q) \vee ( \neg p \wedge \neg q) |SZ=. }} Einen solchen Ausdruck nennt man disjunktive Normalform, also eine Disjunktion von Konjunktionen, in denen nur die Aussagenvariablen und ihre Negation vorkommen. Im erwähnten Beispiel der Implikation liegt also eine Tautologie {{ Math/display|term= (p \rightarrow q) \leftrightarrow ((p \wedge q) \vee ( \neg p \wedge q) \vee ( \neg p \wedge \neg q)) |SZ= }} vor, und man kann zu jeder Aussageform einen dazu äquivalenten Ausdruck in disjunktiver Normalform angeben. Die Negation von einer Tautologie{{ Zusatz/Fußnote |text=Das bedeutet nicht, dass jede Aussage, die keine Tautologie ist, eine Kontradiktion sein muss, sondern dass die formale Negation einer formallogischen Tautologie eine Kontradiktion ist. Die Negation findet also innerhalb der Objektsprache statt, nicht auf der Metaebene.| |SZ= }} ist eine {{Stichwort|Kontradiktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Stichwort|widersprüchliche Aussage|SZ=}} | |SZ=. }} Sie ergibt bei jeder Belegung den Wahrheitswert falsch. Man spricht daher auch von unerfüllbaren Aussagen, da es keine Wahrheitsbelegung gibt, bei der eine Kontradiktion wahr wird. {{Zwischenüberschrift|Quantoren}} Betrachten wir nochmal unsere beiden Beispielaussagen {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün}} und {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen|SZ=,}} und schauen uns die innere Struktur genauer an. In der ersten Aussage wird einer gewissen Art von Lebewesen eine Eigenschaft zugesprochen, so wie wenn man sagt, dass Geparden schnell sind oder dass Faultiere faul sind. Damit kann man meinen, dass Marsmenschen {{Anführung|im Normalfall|SZ=}} oder {{Anführung|fast immer}} grün sind, oder aber im strengeren Sinn, dass wirklich alle Marsmenschen grün sind. In der Mathematik interessiert man sich für Aussagen, die ohne Ausnahmen gelten {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man allerdings in einer mathematischen Aussage die Ausnahmen auch explizit machen kann| |SZ=, }} sodass wir die Aussage im strengen Sinn verstehen wollen. Es handelt sich um eine sogenannte {{Stichwort|Allaussage|SZ=.}} In ihr kommen zwei {{Stichwort|Prädikate|msw=Prädikat|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Eigenschaften, Attribute| |SZ= }} vor, nämlich einerseits, ein Marsmensch zu sein, andererseits, grün zu sein. Ein Prädikat {{math|term= P |SZ=}} ist etwas, was einem Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=grammatisch spricht man von einem Subjekt| |SZ=, }} einem Gegenstand, einem Element zukommen oder nicht zukommen kann. Ein Prädikat ist für sich genommen keine Aussage; aus einem Prädikat kann man aber grundsätzlich auf zwei verschiedene Arten eine Aussage machen, indem man nämlich einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{Stichwort|einsetzen|SZ=}}| |SZ= }} für ein konkretes Objekt {{math|term= a |SZ=}} die Aussage {{ Math/display|term= P(a) |SZ= }} bildet, die bedeutet, dass das Objekt {{math|term= a |SZ=}} die Eigenschaft {{math|term= P |SZ=}} besitzt, was wahr sein kann oder eben auch nicht. Andererseits kann man daraus durch {{Stichwort|Quantifizierung|SZ=}} eine Aussage gewinnen. So kann man die Aussage bilden, dass alle Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise aus einer bestimmten Grundmenge| |SZ= }} die Eigenschaft {{math|term= P |SZ=}} haben, was wiederum wahr oder falsch sein kann. Das drückt man formallogisch durch {{ Math/display|term= \forall x P(x) |SZ= }} aus. Das Symbol {{Math/display|term=\forall|SZ=}} ist eine abkürzende Schreibweise für {{Stichwort/anf|für alle|SZ=,}} und besitzt ansonsten keine tiefere Bedeutung. Es wird {{Stichwort|Allquantor|SZ=}} genannt. Die obige Marsmenschenaussage kann man als {{ Math/display|term= \forall x (M(x) \rightarrow G(x)) |SZ= }} schreiben. Das bedeutet, dass für alle Objekte ohne weitere Einschränkung gilt: wenn es sich um einen Marsmenschen handelt {{ Zusatz/Klammer |text=wenn also {{math|term= M |SZ=}} zutrifft| |SZ=, }} dann ist er auch grün. Für jedes {{math|term= x |SZ=}} steht in der großen Klammer eine Aussage in der Form einer Implikation, die eben besagt, dass wenn der Vordersatz wahr ist, dann auch der Nachsatz wahr sein muss. Die zweite Beispielaussage kann bedeuten, dass ich genau einen Besen fresse oder aber mindestens einen Besen. Die Wortbedeutung des unbestimmten Artikels ist nicht eindeutig, in einer Aussage wie {{Anführung|eine Pflanze braucht Wasser}} bedeutet {{Stichwort/anf|eine|SZ=}} sogar {{Stichwort/anf|alle|SZ=.}} In der Mathematik bedeutet es fast immer {{Stichwort/anf|mindestens einen|SZ=.}} Die Besenaussage kann man also paraphrasieren als {{Beispielsatz|Es gibt einen Besen, den ich fresse|SZ=.}} Eine formallogische Repräsentierung ist {{ Math/display|term= \exists x (B(x) \wedge F(x)) |SZ=, }} wobei {{mathl|term= B(x) |SZ=}} bedeutet, dass das Objekt {{math|term= x |SZ=}} ein Besen ist und wobei {{mathl|term= F(x) |SZ=}} bedeutet, dass ich dieses {{math|term= x |SZ=}} fresse. Man könnte genauso gut {{ Math/display|term= \exists x (F(x) \wedge B(x)) |SZ= }} schreiben. Das Zeichen {{Math/display|term=\exists|SZ=}} wird {{Anführung|es gibt|}} oder {{Anführung|es existiert}} gesprochen und wird der {{Stichwort|Existenzquantor|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Existenzoperator|SZ=}} | |SZ= }} genannt. Eine Allaussage behauptet, dass ein gewisses Prädikat allen Objekten {{ Zusatz/Klammer |text=aus einer gewissen Grundmenge| |SZ= }} zukommt. Wie alle Aussagen kann dies wahr oder falsch sein. Eine Allaussage ist genau dann falsch, wenn es mindestens ein Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=aus der Grundmenge| |SZ= }} gibt, dem das Prädikat nicht zukommt. Daher sind die beiden Quantoren, also der Allquantor und der Existenzquantor, über die Negation eng miteinander verknüpft und lassen sich gegenseitig ersetzen, und zwar gelten die Regeln {{ Math/display|term= \neg ( \forall x P(x)) \text{ ist gleichbedeutend mit } \exists x ( \neg P(x)) |SZ=, }} {{ Math/display|term= \neg ( \exists x P(x)) \text{ ist gleichbedeutend mit } \forall x ( \neg P(x)) |SZ=, }} {{ Math/display|term= \forall x P(x) \text{ ist gleichbedeutend mit } \neg ( \exists x ( \neg P(x))) |SZ= }} und {{ Math/display|term= \exists x P(x) \text{ ist gleichbedeutend mit } \neg ( \forall x ( \neg P(x))) |SZ=. }} Neben einstelligen Prädikaten wie {{mathl|term= P(x) |SZ=}} gibt es auch mehrstellige Prädikate der Form {{ Math/display|term= P(x,y) \text{ oder } Q(x,y,z) \text{ etc. } |SZ=, }} die eine Beziehung zwischen mehreren Objekten ausdrücken, wie z.B. {{Anführung|ist verwandt mit|SZ=,}} {{Anführung|ist größer als|SZ=,}} {{Anführung|sind Eltern von|SZ=}} u.s.w. Entsprechend kann dann über die verschiedenen Variablen quantifiziert werden, d.h. man hat mit Ausdrücken der Form {{ Math/display|term= \forall x (\exists y P(x,y)),\, \exists x (\forall y P(x,y)) ,\, \forall x (\exists y (\forall z Q(x,y,z))) \text{ usw. } |SZ= }} zu tun. Statt {{mathl|term= \forall x \forall y \forall z Q(x,y,z) |SZ=}} schreibt man manchmal auch {{mathl|term= \forall x y z Q(x,y,z) |SZ=.}} Die Variablenbezeichnung in einer quantifizierten Aussage ist grundsätzlich unwichtig, d.h. es ist egal, ob man {{mathl|term= \forall a P(a) |SZ=}} oder {{mathl|term= \forall t P(t) |SZ=}} schreibt. Man darf dabei aber nur Variablennamen {{ Zusatz/Klammer |text=also Buchstaben| |SZ= }} verwenden, die im gegenwärtigen Kontext nicht schon anderweitig verwendet sind. Eine Aussage wie {{mathl|term= \forall x (\forall x P(x,x)) |SZ=}} macht keinen Sinn. Auf jede Variable darf maximal nur ein Quantor Bezug nehmen. Die Logik, die sich mit quantifizierten Aussagen auseinandersetzt, heißt {{Stichwort|Prädikatenlogik|SZ=}} oder {{Stichwort|Quantorenlogik|SZ=.}} Wir werden sie nicht systematisch entwickeln, da sie in der Mathematik als Mengentheorie auftritt. Statt {{mathl|term= P(x) |SZ=,}} dass also ein Prädikat einem Objekt zukommt, schreiben wir {{mathl|term= x \in P |SZ=,}} wobei dann {{math|term= P |SZ=}} die Menge aller Objekte bezeichnet, die diese Eigenschaft haben. Die Sprache der Mathematik wird in der Sprache der Mengen formuliert. Mehrstellige Prädikate treten in der Mathematik als Relationen auf. Das nächste mal werden wir die Sprache der Mengen in ihren Grundzügen vorstellen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Logik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Fußnoten=x |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6c62g13cxbyvflvkvzaxs1pq0tu18v8 0 47675 1092588 1069354 2026-06-01T14:11:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092588 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Über obere Dreiecksgestalt/Definition|| }} Diagonalisierbare lineare Abbildungen sind insbesondere trigonalisierbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie {{ Beispiellink{{{optlink|}}} |Beispielseitenname= Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Beispiel |Faktseitenname2=Matrix/2x2/Scherungsmatrizen/Charakteristisches Polynom/Beispiel |Nr= |SZ= }} zeigt. {{ inputfaktbeweishier |Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierung mit charakteristischem Polynom/Fakt|Satz||Beweistext=Wir beweisen nur die Richtung von (1) nach (2). Das charakteristische Polynom von {{math|term= \varphi |SZ=}} ist gleich dem charakteristischen Polynom {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} |SZ=,}} wobei {{math|term= M |SZ=}} eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass {{math|term= M |SZ=}} eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Determinante/Körper/Obere Dreiecksmatrix/Fakt |SZ= }} das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen. Die Rückrichtung ist deutlich aufwändiger. }} {{ inputfaktbeweis |Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt|Satz|| |optlink1=/link2 |optkon1=/kon2 }} {{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Jordanmatrix/Oben/Definition||zusatz1=Fußnote }} Wenn man eine solche Jordanmatrix als lineare Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} des Standardraumes {{math|term= K^n |SZ=}} in sich interpretiert, so ist {{ Math/display|term= \varphi(e_1)= \lambda e_1 \text{ und } \varphi(e_k)= \lambda e_k +e_{k-1} \text{ für alle } k \geq 2 |SZ=. }} Insbesondere ist {{math|term= e_1 |SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= \lambda|SZ=.}} Eine einfache Überlegung zeigt, dass es keine dazu linear unabhängigen Eigenvektoren geben kann {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Jordanmatrix/Eigenvektor/Eindimensional/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Eigenschaft rechts ist äquivalent zur Bedingung{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Kontext der trigonalisierbaren Abbildungen und zum Auffinden der jordanschen Normalform ist es sinnvoll, mit {{mathlk|term=\varphi- \lambda \cdot \operatorname{Id} |SZ=}} anstatt mit {{mathlk|term= \lambda \cdot \operatorname{Id} - \varphi |SZ=}} zu arbeiten| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | e_{k-1} || ( \varphi - \lambda \cdot \operatorname{Id})(e_k) || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | k | \geq | 2 || || || |SZ=. }} Als Eigenvektor ist {{math|term= e_1 |SZ=}} ein erzeugendes Element des Kerns der Abbildung {{ Relationskette | \psi | {{defeq|}} | \varphi - \lambda \operatorname{Id} || || || || |SZ=, }} und die anderen Standardvektoren {{math|term= e_k |SZ=}} ergeben sich sukzessive als Urbild von {{math|term= e_{k-1} |SZ=}} unter {{math|term= \psi |SZ=.}} Diese Beobachtung liefert den Hintergrund für das weiter unten beschriebene Verfahren zum Aufstellen einer Jordanmatrix. {{ inputdefinition |Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalmatrix/Definition|| }} Die dabei auftretenden Jordanmatrizen heißen Jordanblöcke der Matrix. Ihre Eigenwerte können verschieden oder gleich sein. In der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix66|2|1|0|0|0|0|0|2|0|0|0|0|0|0|4|1|0|0|0|0|0|4|1|0|0|0|0|0|4|0|0|0|0|0|0|2|}} |SZ= }} gibt es drei Jordanblöcke, nämlich {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|2|1|0|2}} ,\, {{op:Matrix33|4|1|0|0|4|1|0|0|4}} \text{ und } {{op:Matrix11|2}} |SZ= }} zu den Eigenwerten {{math|term= 2,4 |SZ=}} und nochmal {{math|term= 2 |SZ=.}} {{{zusatz2|}}} {{ inputfaktbeweisverweishier |Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalform/Fakt|Satz||Verweistext=Wir verzichten auf den recht aufwändigen Beweis. || }} Diese Aussage kann man so interpretieren, dass es für eine trigonalisierbare lineare Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} eine Basis gibt derart, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich dieser Basis durch eine Matrix in jordanscher Normalform beschrieben wird. Über den komplexen Zahlen kann man dies also stets erreichen. {{ inputverfahren |Obere Dreiecksmatrix/Auffinden der Jordanschen Normalform/Verfahren|| |a=\lambda |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |221 023 002/Jordanform/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |200 023 002/Jordanform/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der trigonalisierbaren Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Fußnoten=x |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3y7veg9trb1xwizdzqoky2yhssa2epc 0 48310 1092466 1019561 2026-06-01T13:51:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092466 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Gegeben sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe und damit die zugehörige Termmenge und die zugehörige Ausdrucksmenge. Wir möchten die logisch wahren Aussagen einer solchen Sprache syntaktisch charakterisieren. Mathematische Aussagen sind im Allgemeinen {{Anführung|wenn-dann|SZ=-}}Aussagen, d.h. sie behaupten, dass, wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind, dann auch eine gewisse Folgerung erfüllt ist. Wenn man einen Beweis eines Satzes der Gruppentheorie oder der elementaren Arithmetik entwirft, so sind dabei die Axiome der Gruppentheorie bzw. die Peano-Axiome stets präsent. Ebenso, wenn man {{ Zusatz/Klammer |text=in einer Theorie| |ISZ=|ESZ= }} eine Aussage der Form {{Anführung| {{math|term= p |SZ=}} impliziert {{math|term= q |SZ=}} }} beweist, so steht {{math|term= p |SZ=}} als Annahme zur Verfügung. Von daher ist der zu entwickelnde Kalkül so aufgebaut, dass das Grundschema die Form {{ Math/display|term= \varphi_1 \ldots \varphi_n \psi |SZ= }} besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sind {{mathl|term= \varphi_1 {{kommadots|}} \varphi_n |SZ=}} und {{math|term= \psi|SZ=}} Ausdrücke| |ISZ=|ESZ= }} mit der Bedeutung, dass aus den Voraussetzungen {{mathl|term= \varphi_1 {{kommadots|}} \varphi_n |SZ=}} zusammengenommen der Ausdruck {{math|term= \psi|SZ=}} folgt. Eine solches Grundschema heißt eine Sequenz. Anders als bei der Definition der Ausdrücke sind nur logische gültige Sequenzen erlaubt, und es geht eben darum, all diese gültigen Sequenzen zu generieren. Dies geschieht wiederum rekursiv, und man braucht Anfangssequenzen und Schlussregeln, wie man aus bereits etablierten Sequenzen neue Sequenzen erhält. Um weiter Schreibarbeit zu sparen, fasst man die {{math|term= n |SZ=}} Voraussetzungen in einer Sequenz in eine Menge von Aussagen zusammen, die wir mit großen griechischen Buchstaben bezeichnen werden. Das Grundschema hat dann die Gestalt {{ Math/display|term= \Gamma \psi |SZ=. }} Häufig wird eine Grundmenge an Voraussetzungen mit geschleppt, aber einzelne weitere Voraussetzungen spielen in einer bestimmten Regel eine aktive Rolle. Dann verwendet man Schreibweisen wie {{ Math/display|term= \Gamma \varphi \psi |SZ=, }} die besagen, dass die Voraussetzungsmenge {{math|term= \Gamma|SZ=}} zusammen mit der Voraussetzung {{math|term= \varphi|SZ=}} den Ausdruck {{math|term= \psi|SZ=}} impliziert. Der Sequenzenkalkül ist ein rein syntaktischer Kalkül, der allerdings versucht, das natürliche Schließen im Rahmen eines mathematischen Beweises nachzubilden. Von daher trägt auch ein Großteil der folgenden Regeln eine Bezeichnung, die aus der Beweispraxis bekannt ist. Die Sequenz {{math|term= \Gamma q |SZ=}} wird als {{ Math/display|term= \vdash p_1 \land \cdots \land p_n \rightarrow q |SZ= }} interpretiert, wobei die {{math|term= p_i |SZ=}} zu {{math|term= \Gamma |SZ=}} gehören. Antezedenzregel Aus {{ Math/display|term= \vdash p_1 \land \cdots \land p_n \rightarrow q |SZ= }} folgt {{ Math/display|term= \vdash p_1 \land \cdots \land p_n \land p_{n+1} \cdots \land p_{n+m} \rightarrow q |SZ=. }} Dies ergibt sich im Prädikatenkalkül aus der Transitivitätsregel, Modus ponens und der Konjunktionsregel. Voraussetzungsregel Aus Konjunktionsregel. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig |pdf= }} 7mg9aiiwyl6wkd3b1i1lhqiw1azkp2q 0 48414 1092429 1019465 2026-06-01T13:45:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092429 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} lässt sich bekanntlich im Zehnersystem als {{ Relationskette/display |n ||a_0 1 + a_1 10 + a_2 10^2 {{plusdots|}} a_k 10^k || || || |SZ= }} schreiben, wobei die {{math|term= a_i |SZ=}} zwischen {{math|term= 0 |SZ=}} und {{math|term= 9 |SZ=}} liegen. Umgekehrt definiert eine endliche Ziffernfolge {{mathl|term= (a_0, a_1 {{kommadots |}} a_k) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in alltäglicher Schreibweise {{mathlk|term=a_ka_{k-1} \ldots a_1a_0 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine natürliche Zahl. Anstatt der Basis {{math|term= 10 |SZ=}} kann man jede natürliche Zahl {{ Relationskette |p |\geq|2 || || || |SZ= }} als Basis nehmen {{ Zusatz/Klammer |text=für viele Zwecke ist auch die Basis {{math|term= 1 |SZ=}} erlaubt, eine Zahl {{math|term= n |SZ=}} wird dann einfach durch das {{math|term= n |SZ=-}}fache Hintereinanderschreiben der {{math|term= 1 |SZ=}} repräsentiert| |ISZ=|ESZ=. }} Man spricht dann von der {{math|term= p |SZ=-}}adischen Entwicklung {{ Zusatz/Klammer |text=oder Darstellung| |ISZ=|ESZ= }} der Zahl. Die {{math|term= p |SZ=-}}adische Entwicklung einer natürlichen Zahl ist eindeutig. Sei {{ Relationskette |p |\geq|2 || || || |SZ= }} fixiert. Wie berechnet man die Ziffernfolge einer gegebenen Zahl {{math|term= n |SZ=?}} Zuerst betrachten wir die Ziffer {{ Zusatz/Klammer |text=die Einerziffer| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | a_0(n) || a(n,0) || || || |SZ=. }} Es gilt die rekursive Beziehung {{ Relationskette/display | a(n,0) || \begin{cases} n, \text{falls } n < p\, , \\ a(n-p,0) \text{ sonst}\, . \end{cases} || || || |SZ= }} Dies beruht einfach darauf, dass bei {{ Relationskette |n |\geq|p || || || |SZ= }} das Abziehen von {{math|term= p |SZ=}} die Ziffer zu {{math|term= p^0 |SZ=}} nicht ändert. Man beachte, dass sowohl die Abfrage, die die Fallunterscheidung in dieser Definition konstituiert, als auch die Subtraktion im Fall {{math|term= 2 |SZ=}} mit einer Registermaschine durchführbar sind, und dass dadurch eine {{math|term= R |SZ=-}}berechenbare Funktion vorliegt. Auch die Definition der anderen Ziffern geschieht rekursiv. Wenn man von {{math|term= n |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=schon berechnete| |ISZ=|ESZ= }} Ziffer zu {{math|term= p^0 |SZ=}} abzieht, so erhält man eine durch {{math|term= p |SZ=}} teilbare Zahl. Zwischen der Ziffernentwicklung von {{math|term= n |SZ=}} und von {{ Relationskette |m || {{op:Bruch|n - a(n,0)|p}} || || || |SZ= }} besteht ein direkter Zusammenhang, die Ziffer {{mathl|term= a_{i+1} |SZ=}} von {{math|term= n |SZ=}} ist einfach die Ziffer {{math|term= a_{i} |SZ=}} von {{math|term= m |SZ=.}} Daher ist für {{ Relationskette |i |\geq|0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | a(n, i+1) || \begin{cases} 0 , \text{falls } n < p^{i+1} \, , \\ a {{makl| {{op:Bruch|n - a(n,0)|p}} ,i |}} \text{ sonst} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Damit ist die Berechnung der {{mathl|term= (i+1) |SZ=-}}ten Ziffer auf die Berechnung der {{math|term= i |SZ=-}}ten Ziffer einer kleineren Zahl rekursiv zurückgeführt. Die Bedingung in der Abfrage und die Subtraktion und die Division in der Definition sind durch eine Registermaschine durchführbar. Diese Funktionsvorschrift berechnet nicht nur die {{Anführung|benötigten}} Ziffern, sondern auch alle höheren, wobei natürlich für alle unbenötigten {{math|term= 0 |SZ=}} herauskommt. Wir führen nun die {{math|term= \beta|SZ=-}}Funktion ein. Der Hauptzweck dieser Funktion soll sein, endliche Folgen von natürlichen Zahlen unterschiedlicher Länge durch drei Zahlen zu kodieren. Die Grundidee ist, dies über die {{math|term= p |SZ=-}}adische Entwicklung zu tun, wobei die drei Eingabezahlen einen Zahlwert, eine Basis und eine Ziffernstelle repräsentieren, und die Ausgabe die Ziffernfolge ist. Zugleich soll diese Funktion arithmetisch repräsentierbar sein, sodass die folgende Funktion etwas komplizierter aussieht. Wir folgen weitgehend dem Zugang von Ebbinghaus, Flum, Thomas. {{ inputdefinition |Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Definition|| }} Zunächst ist klar, dass diese Funktion arithmetisch repräsentierbar ist. Wenn {{math|term= p |SZ=}} eine Primzahl ist, so bedeutet Teil (5), dass {{math|term= b_1 |SZ=}} eine Primzahlpotenz ist, und Teil (4), dass der Exponent geradzahlig ist. Das folgende Lemma sichert die gewünschte Eigenschaft der {{math|term= \beta|SZ=-}}Funktion, nämlich die Eigenschaft, endliche Folgen zu repräsentieren. {{ inputfaktbeweis |Berechenbarkeit/Beta-Funktion/Folgenrepräsentierung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Berechenbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tsava0cthds2dyg3x3lgtnn44imkw2k 0 48416 1092500 1019599 2026-06-01T13:57:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092500 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Registermaschine/Einzelbefehle/Arithmetische Repräsentierung/Fakt|Lemma|| || }} Zu einem gegebenen Programm bestehend aus den Programmzeilen {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_h|SZ=}} betrachtet man die Konjunktion der soeben eingeführten zugehörigen arithmetischen Repräsentierungen, also {{ Math/display|term= A_P =A_1 {{logund|}} A_2 {{logund|}} \ldots {{logund|}} A_h |SZ=. }} Die Aussage {{mathl|term= A_P |SZ=}} ist somit für eine Variablenbelegung {{ Zusatz/Klammer |text=der Variablen {{mathlk|term=z,z',r_j,r_j'|SZ=}} mit Werten in {{math|term= \N|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} genau dann gültig, wenn {{mathl|term= \ell = z^\N > h |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=da dann keine Bedingung der einzelnen konjugierten Aussage erfüllt ist| |ISZ=|ESZ= }} oder wenn {{mathl|term= \ell \leq h |SZ=}} ist und {{mathl|term= A_\ell|SZ=}} erfüllt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. dass die Konklusion in {{mathlk|term=A_\ell|SZ=}} erfüllt ist| |ISZ=|ESZ= }} ist, und dies ist nach dem Lemma genau dann der Fall, wenn die {{ Zusatz/Klammer |text=Variablen| |ISZ=|ESZ=- }}Belegung von {{math|term= z'|SZ=}} die Programmzeilennummer ist, die durch den aktuellen {{ Zusatz/Klammer |text=durch die Belegung von {{math|term= z |SZ=}} festgelegten| |ISZ=|ESZ= }} Befehl {{math|term= B_\ell|SZ=}} als nächste Programmzeile aufgerufen wird, und wenn die Belegungen der {{math|term= r_i'|SZ=}} die aus diesem Befehl resultierenden Belegungen der {{math|term= r_i |SZ=}} sind. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2=Theorie der Berechenbarkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1417vku7kf7l6xxg6s1i2erxc15ueqb 0 48529 1092467 1019567 2026-06-01T13:51:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092467 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In einem Ausdruck {{ Relationskette | {{logprop|}} |\in|L^S || || || |SZ= }} über einem Symbolalphabet {{math|term= S |SZ=}} nennt man die Variablen, die {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar für jedes Vorkommen| |ISZ=|ESZ= }} innerhalb der Reichweite eines Quantors stehen, {{Stichwort|gebunden|msw=Gebundene Variable|SZ=,}} die anderen {{Stichwort|frei|msw=Freie Variable|SZ=.}} Dies wird streng über den Aufbau der Ausdrücke definiert. {{ Aufzählung6 |{{ Relationskette/display | \operatorname{Frei} \, (t_1 {{=|}} t_2) ||\operatorname{Var} \, (t_1) \cup \operatorname{Var} \, (t_2) || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | \operatorname{Frei} \, (Rt_1 \ldots t_n) ||\operatorname{Var} \, (t_1) \cup \operatorname{Var} \, (t_2) {{cupdots||}} \operatorname{Var} \, (t_n) || || || |SZ= }} für ein {{math|term= n |SZ=-}}stelliges Relationssymbol {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} Terme {{mathl|term= t_1,t_2 {{kommadots|}} t_n |SZ=.}} |{{ Relationskette/display |\operatorname{Frei} \, ( \neg {{logprop|}}) ||\operatorname{Frei} \, ( {{logprop|}}) || || || |SZ= }} für einen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=.}} |{{ Relationskette/display |\operatorname{Frei} \, ({{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}}) ||\operatorname{Frei} \, ({{logprop|}}) \cup \operatorname{Frei} \, ( {{logprop2|}}) || || || |SZ= }} für Ausdrücke {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} und {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=.}} Ebenso für {{mathl|term= \leftrightarrow, {{logund}}, {{logoder}} |SZ=.}} |{{ Relationskette/display | \operatorname{Frei} \, ( \forall x {{logprop|}}) ||\operatorname{Frei} \, ( {{logprop|}}) \setminus \{x\} || || || |SZ= }} für einen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} und eine Variable {{math|term= x |SZ=.}} |{{ Relationskette/display |\operatorname{Frei} \, ( \exists x {{logprop|}}) || \operatorname{Frei} \, ( {{logprop|}}) \setminus \{x\} || || || |SZ= }} für einen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} und eine Variable {{math|term= x |SZ=.}} }} Einen Ausdruck ohne freie Variablen nennt man einen {{Stichwort|Satz|SZ=,}} auch wenn diese Bezeichnung nicht ganz glücklich ist, da {{Anführung|Satz}} die Gültigkeit einer Aussage suggeriert. Die Menge der Sätze wird mit {{mathl|term= L^S_0 |SZ=}} bezeichnet, die Menge der Ausdrücke mit genau einer freien Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=die aber in dem Ausdruck beliebig oft vorkommen darf| |ISZ=|ESZ= }} mit {{mathl|term= L^S_1 |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mathematische Logik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sdadzac8iqqf10is750bjabh2prfi0r 0 49487 1092198 981629 2026-06-01T13:08:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092198 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine Drehung der reellen Ebene {{math|term= \R^2 |SZ=}} um den Nullpunkt um den Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} gegen den Uhrzeigersinn bildet {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:cos|\alpha|}} | {{op:sin|\alpha|}} }} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|1}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin|\alpha|}} | {{op:cos|\alpha|}} }} |SZ=}} ab. Daher werden ebene Drehungen folgendermaßen beschrieben. {{ inputdefinition |R^2/Drehung/Definition| |zusatz1=bezüglich der Standardbasis }} Eine {{Stichwort|Raumdrehung}} ist eine lineare Abbildung des {{math|term= \R^3 |SZ=}} in sich, bei der um eine Drehachse {{ Zusatz/Klammer |text=durch den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} um einen bestimmten Winkel gedreht wird. Wenn der Vektor {{ Relationskette | v_1 |\neq| 0 || || || |SZ= }} die Drehachse definiert und {{math|term= u_2 |SZ=}} und {{math|term= u_3 |SZ=}} auf {{math|term= v_1 |SZ=}} und aufeinander senkrecht stehen und alle die Länge {{math|term= 1 |SZ=}} haben, so wird die Drehung bezüglich der Basis {{mathl|term= v_1,u_2,u_3 |SZ=}} durch die Matrix {{ Math/display|term= {{Drehmatrixdreieins|\alpha}} |SZ= }} beschrieben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen Drehungen |Kategorie2=Theorie der räumlichen Drehungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pmo93zqy29b87phwxly5z67misw0uyw 0 50851 1092109 980927 2026-06-01T12:53:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092109 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition|}} Die offenen Mengen der Zariski-Topologie sind also die Komplemente der affin-algebraischen Mengen. Sie werden zu einem Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | D({{ideala}}) || {{op:Affiner Raum|n|K}} \setminus V({{ideala}}) || || || |SZ= }} bezeichnet. Die Zariski-Topologie weicht sehr stark von anderen Topologien ab, insbesondere von solchen, die durch eine Metrik gegeben sind. Insbesondere ist die Zariski-Topologie nicht {{ Definitionslink |hausdorffsch| |Kontext=| |SZ=. }} Generell kann man sagen, dass die offenen Mengen {{ Zusatz/Klammer |text=außer der leeren Menge| |ISZ=|ESZ= }} in der Zariski-Topologie sehr groß sind {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Zariski-Topologie/Affiner Raum/Offene Mengen sind dicht/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=, }} während die abgeschlossenen {{ Zusatz/Klammer |text=also die affin-algebraischen Mengen| |ISZ=|ESZ= }} sehr dünn sind {{ Zusatz/Klammer |text=außer dem ganzen Raum selbst| |ISZ=|ESZ=. }} {{inputbeispiel|Affine Varietäten/Affine Gerade/Zariski-Topologie/Beispiel|}} {{ inputbild |Lineline|jpg|230px {{!}} {{!}} |Benutzer=Astur1 |Lizenz=PD }} {{inputbeispiel|Zariski-Topologie/Affiner Raum/Punkte sind abgeschlossen/Beispiel||}} {{ inputbild |IntersectingPlanes|png|230px {{!}} {{!}} |Text=Der Schnitt von zwei und |Autor= |Benutzer=Stib |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 }} {{ inputbild |Secretsharing-3-point|png|230px {{!}} {{!}} |Text=von drei Ebenen |Autor= |Benutzer=Stib |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Zariski-Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0bhke9rvd6hf813ewcf8ln6hc6cdgyh 0 50865 1092485 298713 2026-06-01T13:54:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092485 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputbeispiel|Affine Quadriken in zwei Variablen/Reell/Klassifizierung/Beispiel| |}} Die folgenden Bilder zeigen die Drehung und die Verschiebung einer Quadrik. {{ inputbild |Hauptachsentransformation1|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Rdb |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Hauptachsentransformation2|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Rdb |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Hauptachsentransformation3|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Rdb |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputbeispiel|Affine Quadriken in zwei Variablen/Komplex/Klassifizierung/Beispiel| |}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 15z56tt5r4cbllvvr5xzqpdarbeyklq 0 50875 1092314 982644 2026-06-01T13:26:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092314 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Definition|}} Die Elemente in einem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum {{mathl|term= {{op:KSpek|R|}} }} betrachten wir als Punkte und bezeichnen sie üblicherweise mit {{math|term= P |SZ=,}} obwohl es definitionsgemäß Abbildungen sind, nämlich {{math|term= K |SZ=-}}Algebrahomomorphismen von {{math|term= R }} nach {{math|term= K |SZ=.}} Für ein Ringelement {{ Relationskette | f |\in| R || || || |SZ= }} schreiben wir dann auch einfach {{mathl|term= f(P) }} {{ Zusatz/Klammer |text=statt {{mathlk|term= P(f) }}| |ISZ=|ESZ= }} für den Wert von {{math|term= f }} unter dem mit {{math|term= P }} bezeichneten Ringhomomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=es ist nicht unüblich, einen Punkt als eine Auswertung von Funktionen anzusehen, die in einer gewissen Umgebung des Punktes definiert sind| |ISZ=|ESZ=. }} Das {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum wird wieder mit einer {{Stichwort|Zariski-Topologie}} versehen, wobei zu einem Ideal {{ Relationskette | {{ideala}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder zu einer beliebigen Teilmenge aus {{math|term= R}}| |ISZ=|ESZ= }} die Teilmenge {{ Relationskette/display | V( {{ideala}} ) || {{Mengebed| P \in {{op:KSpek|R|}} |f(P) {{=}} 0 \text{ für alle } f \in {{ideala}} }} || || || |SZ= }} als abgeschlossen erklärt wird. In der Tat wird dadurch eine Topologie definiert, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Ist Topologie/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die komplementären offenen Mengen werden mit {{math|term= D( {{ideala|}} ) |SZ=}} bezeichnet. {{inputfaktbeweis |Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt|Lemma| }} {{inputbeispiel |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/von K ist Punkt/Beispiel|}} Entscheidend ist nun der folgende Satz, der eine bijektive Beziehung zwischen dem {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum von {{math|term= R}} und dem Nullstellengebilde stiftet, das von einer Restklassendarstellung von {{math|term= R }} herrührt. {{inputfaktbeweis |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt|Satz| |}} Dieser Satz besagt also, dass man jedes {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum einer endlich erzeugten {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{math|term= R |SZ=}} mit einer Zariski-abgeschlossenen Menge eines {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ= }} identifizieren kann. Man spricht von einer {{Stichwort|abgeschlossenen Einbettung|msw=Abgeschlossene Einbettung|SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Endlich erzeugte K-Algebren/Nullenstellengebilde zu verschiedenen Restklassendarstellungen sind isomorph/über K-Spektrum/Fakt|Korollar| |}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der K-Spektren (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6puz36ixg10z4bqfhhr3g8h78krzsxn 0 50902 1092410 1091945 2026-06-01T13:42:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092410 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Affine Kurven/Monomiale Kurve/Definition|}} Wir werden gleich sehen, dass das Bild einer solchen monomialen Abbildung Zariski-abgeschlossen ist, d.h., dass eine monomiale Kurve wirklich eine algebraische Kurve ist. Eine monomiale Kurve ist insbesondere eine parametrisierte und damit eine {{ Zusatz/Klammer |text=aber im Allgemeinen nicht ebene| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink/- |rationale Kurve| |Kontext=| |SZ=. }} Manchmal bezeichnet man auch die Abbildung selbst als monomiale Kurve. Häufig beschränkt man sich auf den Fall, wo die Exponenten {{math|term= e_i}} insgesamt teilerfremd sind. Dies ist keine wesentliche Einschränkung, da man andernfalls stets {{ Relationskette | e_i || m f_i || || || |SZ= }} mit dem größten gemeinsamen Teiler {{math|term= m}} und teilerfremden Zahlen {{math|term= f_i |SZ=}} schreiben kann. Dann kann man die Gesamtabbildung als Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= {{op:Affine Gerade|K|}} \longrightarrow {{op:Affine Gerade|K|}} \longrightarrow {{op:Affiner Raum|n|K|}} \text{ mit } {{mathbruch}} t \longmapsto t^m =s \text{ und } s \longmapsto (s_1^{f_1} , \ldots, s_n^{f_n}) |SZ= }} auffassen, wobei vorne ein einfaches Potenzieren und hinten eine monomiale Kurvenabbildung mit teilerfremden Exponenten vorliegt. {{inputbemerkung |Monomiale Kurvenabbildung/Monoidhomomorphismus/Bemerkung| }} {{inputbeispiel |Ebene monomiale Kurven/Neilsche Parabel/Beispiel| }} Das Besondere an monomialen Kurven ist, dass sie zwar allein durch das Exponententupel {{mathl|term= (e_1 {{kommadots|}} e_n) |SZ=}} bzw. das davon erzeugte numerische Monoid gegeben sind, also durch einen sehr kleinen Betrag an {{ Zusatz/Klammer |text=kombinatorischer| |ISZ=|ESZ= }} Information, aber zugleich ein reichhaltiges Beispielmaterial an algebraischen Kurven liefern {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt allgemein für Monoidringe und die dadurch definierten algebraischen Varietäten| |ISZ=|ESZ=. }} {{inputfaktbeweis |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt|Lemma| }} Zu einem von teilerfremden Elementen erzeugten Untermonoid gehören also ab einer gewissen Stelle alle natürlichen Zahlen. Diese bekommt sogar einen eigenen Namen. {{inputdefinition |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Führungszahl/Definition|}} Wir geben noch einige weitere Definitionen von numerischen Invarianten von monomialen Kurven, die man diskret, also auf der Ebene des numerischen Monoids berechnen kann. Wir werden später sehen, dass diese Invarianten allgemeiner für beliebige algebraische Kurven definiert werden können, dort aber im allgemeinen schwieriger zu berechnen sind. {{inputdefinition |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Definition|}} {{inputdefinition |Numerische Monoide/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Multiplizität/Definition|}} {{inputdefinition |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Singularitätsgrad/Definition|}} {{inputbeispiel |Numerisches Monoid/5,8,11/Invarianten/Beispiel||}} {{inputfaktbeweis|Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt|Satz||}} {{inputbemerkunghier|Text= Den vorstehenden Satz kann man auch über die universelle Eigenschaft der Differenzengruppe beweisen. Wir skizzieren dies kurz für die Surjektivität. Die Differenzengruppe eines numerischen Monoids mit teilerfremden Erzeugern ist {{math|term= \Z|SZ=.}} Der Fall, dass ein Erzeuger auf {{math|term= 0 |SZ=}} geht, wird wie im Beweis abgehandelt. Dann kann man davon ausgehen, dass ein Monoidhomomorphismus {{ Abbildung |name= \varphi | M | K^\times || |SZ= }} in die Einheitengruppe des Körpers vorliegt. Dann gibt es nach der universellen Eigenschaft der Monoidringe eine {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |ISZ=|ESZ= }} Fortsetzung {{ Abbildung |name= \tilde{\varphi} | \Z | K^\times || |SZ=, }} die das Urbild liefert.|}} Die folgenden beiden Aussagen zeigen, dass es für ein numerisches Monoid ein kanonisches Erzeugendensystem gibt und dass damit die Einbettungsdimension eine neue Interpretation erhält, die sich später auf beliebige noethersche lokale Ringe übertragen lässt {{ Zusatz/Klammer |text=ein Monoidring ist natürlich nicht lokal, wohl aber die Lokalisierung an der Singularität eines numerischen Monoids| |ISZ=|ESZ=. }} {{inputfaktbeweis |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Numerische Einbettungsdimension/Charakterisierung mit M+ ohne M+^2/Fakt|Korollar|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3oetrql1b037kkaovaff80n1xxjo6yr 0 50929 1092116 1074538 2026-06-01T12:54:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092116 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Tangent to a curve|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor=AxelBoldt |Benutzer= |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K }} ein Körper und {{mathbed|term= F \in K[X,Y]|bedterm1=F \neq 0 |SZ=,}} ein Polynom ohne mehrfache Faktoren {{ Zusatz/Klammer |text=da wir uns nur für die zugehörige Kurve interessieren, ist dies bei einem algebraisch abgeschlossenen Körper aufgrund des Hilbertschen Nullstellensatzes keine Einschränkung| |ISZ=|ESZ=. }} Für jeden Punkt {{ Relationskette | (a,b) | \in | {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ=, }} kann man zu den Variablen {{mathkon|X-a|und|Y-b}} übergehen. Das bedeutet, dass man den Punkt in den Ursprung verschiebt. Für das Verhalten eines Polynoms an einem Punkt kann man sich also stets auf den Ursprungspunkt beschränken. Sei also {{ Relationskette | P || (0,0) || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{math|term= F }} mit homogenen Komponenten als {{ Relationskette/display |F || F_d+F_{d-1} {{plusdots}} F_1+F_0 || || || |SZ=. }} Hier sind die {{math|term= F_i }} homogen vom Grad {{math|term= i |SZ=.}} Was kann man an den einzelnen homogenen Komponenten ablesen? Zunächst gilt trivialerweise die Beziehung {{ Math/display|term= P \in V(F) \text{ genau dann, wenn } F_0 = 0 |SZ=. }} Wenn man die Koordinaten von {{math|term= P |SZ=,}} also {{mathl|term= (0,0) |SZ=,}} in {{math|term= F}} einsetzt, so werden ja alle höheren Komponenten zu {{math|term= 0 |SZ=}} gemacht, und lediglich die konstante Komponente {{math|term= F_0}} bleibt übrig. Da wir uns hauptsächlich für das Verhalten der Kurve in einem Kurvenpunkt interessieren, werden wir uns häufig auf die Situation {{ Relationskette | F_0 || 0 || || || |SZ= }} beschränken. Was ist dann die erste homogene Komponente {{math|term= F_i |SZ=,}} die nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist? Welche Rolle spielt dieses {{math|term= i}} und welche Rolle spielen dessen Linearfaktoren? Nehmen wir zunächst an, dass {{mathkon|F_0{{=}}0|und|F_1{{=}}aX+bY}} ist. Diese Linearform {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= 0 |SZ=}} sein kann| |ISZ=|ESZ= }} lässt sich auch mit partiellen Ableitungen charakterisieren, es ist nämlich {{ Math/display|term= \frac{\partial F}{\partial x}(P)=a \text{ und } \frac{\partial F}{\partial y}(P)=b |SZ=. }} Hier und im Folgenden werden Polynome einfach {{Stichwort|formal abgeleitet|SZ=.}} Damit ist auch {{mathkon|F_1{{=}}0|genau dann, wenn|\frac{\partial F}{\partial x}(P) {{=}} \frac{\partial F}{\partial y}(P) {{=}} 0 }} ist. Wenn dies nicht der Fall ist, so ist es naheliegend, die durch die Gleichung {{ Relationskette | F_1(X,Y) || 0 || || || |SZ= }} definierte Gerade als Tangente an die Kurve im Punkt {{math|term= P}} anzusehen. Ein erstes Indiz dafür ist, dass im linearen Fall {{ Relationskette |F ||F_1 || || || |SZ= }} die Gerade mit ihrer Tangente zusammenfallen soll. {{inputdefinition |Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition|}} Die Kurve heißt {{Stichwort|glatt|msw=Glatte Kurve|SZ=,}} wenn sie in jedem ihrer Punkte glatt ist. {{inputdefinition|Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Multiplizität und Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition|}} Der Punkt ist genau dann glatt, wenn die Multiplizität {{math|term= 1 |SZ=}} ist. In diesem Fall gibt es genau eine Tangente durch den Punkt, deren Steigung {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne einer beschreibenden linearen Gleichung| |ISZ=|ESZ= }} man über die partiellen Ableitungen berechnen kann. {{ inputbild |3 equations -5|JPG| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=3_equations_-5 |Text=Geraden, die sich im Punkt {{math|term= (0,1)}} schneiden |Autor=Cronholm144 |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputbeispiel|Ebene algebraische Kurven/Mehrere Geraden durch Ursprung/Gleichung/Beispiel|}} {{inputbemerkung|Ebene algebraische Kurven/Tangente in einem glatten Punkt/Bemerkung| }} {{inputbemerkung|Ebene algebraische Kurven/Tangentialabbildung und Tangente in einem glatten Punkt als Kern/Bemerkung| }} {{ inputbild |Intersect3|png| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Text=Bei einer algebraischen Kurve sind die Schnittpunkte von irreduziblen Komponenten niemals glatt. |Autor=Michael Larsen |Benutzer= |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Die folgenden beiden Ausssagen zeigen, dass ein Kreuzungspunkt zweier irreduzibler Komponenten niemals glatt sein kann. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Ebene algebraische Kurve/Glatte zusammenhängende Kurve/Ist irreduzibel/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7eg5d6li6uqjj1168v6x14lxczl2qvx 0 50931 1092408 983343 2026-06-01T13:42:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092408 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |numerischen Monoid| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |M |\subseteq| \N || || || |SZ=, }} das von teilerfremden natürlichen Zahlen {{ Relationskette | e_1 |<| e_2 |<| \ldots |<| e_r || |SZ= }} erzeugt werde, wird der minimale Erzeuger, also {{math|term= e_1 |SZ=,}} auch als {{Stichwort|Multiplizität}} bezeichnet. Es ist zu zeigen, dass dies die {{Anführung|richtige}} ringtheoretische Multiplizität ergibt. Dazu sei {{ Relationskette/display | M_+ || {{Mengebed|m \in M|m \geq 1}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | n M_+ || {{Mengebed|m \in M| \text{ es gibt eine Darstellung } m {{=}} m_1 {{plusdots|}} m_n \text{ mit } m_i \in M_+}} || || || |SZ=. }} Dies sind offensichtlich {{Anführung|Monoid-Ideale}} von {{math|term= M |SZ=.}} Es folgt, dass die zugehörigen Mengen {{ Relationskette | K[n M_+] || \bigoplus_{m \in nM_+} K \, T^m || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Ideale| |Kontext=| |SZ= }} im {{ Definitionslink |Monoidring| |Kontext=| |SZ= }} sind. Und zwar ist {{ Relationskette |{{idealm}} ||K[M_+] || || || |SZ= }} ein maximales Ideal, und die Potenzen davon sind {{ Relationskette |{{idealm}}^n ||K[n M_+] || || || |SZ=. }} {{inputfaktbeweis|Monomiale Kurven/Multiplizität/Abschätzungen für Anzahl in Differenzmengen/Fakt|Lemma|}} {{ inputfaktbeweis |Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt|Korollar||||| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pcgj568kov0ynyads645a2jewg8ry7a 0 50933 1091994 983568 2026-06-01T12:34:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1091994 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Formale Potenzreihe/Definition|| }} Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man {{ Relationskette/display | F \cdot G || {{makl| {{potreiein|i|a|T}} |}} {{makl| {{potreiein|j|b|T}} |}} || {{potreiein|k|c|T}} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c_k ||\sum_{i {{=}} 0}^k a_i b_{k-i} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Definition|| }} {{{zusatz1|}}} {{inputfaktbeweis |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktbeweis |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt|Korollar|| ||| }} Man kann Potenzreihen nicht nur addieren und multiplizieren, sondern auch, unter gewissen Zusatzbedingungen, Potenzreihen in andere Potenzreihen einsetzen. Diese Operation entspricht der Hintereinanderschaltung von Abbildungen. {{ inputdefinition |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen von Potenzreihen mit Konstante null/Definition|| }} Man beachte in der vorstehenden Definition, dass wegen {{ Relationskette |b_0 || 0 || || || |SZ= }} nur über {{ Relationskette |j |\geq| 1 || || || |SZ= }} summiert wird, sodass alle beteiligten Summen endlich sind. Die Formeln für das Einsetzen sind derart, dass sie bei Polynomen das übliche Einsetzen von Polynomen in Polynome ergeben. Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen liefert wieder einen Einsetzungshomomorphismus der Potenzreihenringe. {{ inputfaktbeweis |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt|Lemma|| ||| }} {{inputfaktbeweis |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt|Lemma|| |}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lgapojxo76iwe0wejoic4fpnllyozvx 0 50935 1092199 1064759 2026-06-01T13:08:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092199 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette | F |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein Polynom, das die ebene algebraische Kurve {{math|term= C }} beschreibe, und sei {{ Relationskette | P || (0,0) |\in| C || || |SZ= }} vorausgesetzt {{ Zusatz/Klammer |text=was keine Einschränkung ist, und durch Verschiebung immer erreicht werden kann| |ISZ=|ESZ=. }} Wie kann man die Kurve im Nullpunkt mittels Potenzreihen beschreiben? Wann gibt es also einen durch nichtkonstante Potenzreihen {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} mit konstantem Term {{math|term= 0 }} definierten Ringhomomorphismen {{ Math/display|term= K[X,Y] \longrightarrow {{op:Potenzreihenring|K|T}} \text{ mit } X \longmapsto G \text{ und } Y \longmapsto H |SZ= }} mit {{ Relationskette | F(G,H) || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also einen Ringhomomorphismus {{ Abbildung |name= |K[X,Y]/(F) | {{op:Potenzreihenring|K|T}} || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=? }} Es geht also um Lösungen der Gleichung {{ Relationskette/display | F(X,Y) || 0 || || || |SZ= }} in Potenzreihen, die das Verhalten der Kurve um die Punktlösung {{math|term= (0,0) }} herum genauer beschreiben. Der grundsätzliche Ansatz ist hier ein {{Stichwort|Potenzreihenansatz|SZ=,}} wie er beispielsweise auch in der Theorie der Differentialgleichungen verwendet wird. Man setzt {{ Math/display|term= G = {{potreiein|k|a|T}} \text{ und } H = {{potreiein|\ell|b|T}} |SZ= }} mit zunächst unbestimmten Koeffizienten {{math|term= a_k}} und {{math|term= b_\ell }} an. Das direkte Einsetzen in die beschreibende Gleichung {{ Relationskette | F || 0 || || || |SZ= }} und Ausmultiplizieren ergibt dann einen prinzipiell unendlichen Ausdruck. Allerdings ist für jedes {{math|term= T^k }} der zugehörige Ausdruck für den Koeffizienten nur durch endlich viele Daten bestimmt, und zwar sind dafür nur die Koeffizenten von {{mathl|term= F,G }} und {{math|term= H }} unterhalb des Grades {{math|term= k }} relevant. Da {{ Relationskette | F(G,H) || 0 || || || |SZ= }} sein soll, müssen die Koeffizienten von {{mathl|term= F,G,H |SZ=}} so sein, dass sich als Koeffizient zu {{math|term= T^k |SZ=}} stets {{math|term= 0 |SZ=}} ergibt. Man sucht dann nach Bedingungen, wann es dafür Lösungen gibt, wie sie aussehen und ob sie eindeutig sind. Die Bedingung {{ Relationskette | a_0 || b_0 || 0 || || |SZ= }} ist dabei eine {{Stichwort|Anfangsbedingung|SZ=,}} die wiedergibt, dass die Potenzreihenlösung durch den Nullpunkt gehen soll. Es ergibt sich schnell eine Bedingung an die linearen Terme der Potenzreihen {{ Zusatz/Klammer |text=also an {{math|term= a_1 |SZ=}} und {{math|term= b_1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die man als eine weitere Rechtfertigung dafür ansehen kann, dass wir die Linearfaktoren des niedrigsten homogenen Bestandteiles {{math|term= F_m }} in der homogenen Zerlegung von {{math|term= F }} als Tangentengleichungen interpretiert haben. {{inputfaktbeweis |Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt|Lemma|}} Man beachte, dass im vorstehenden Lemma die Möglichkeit {{ Relationskette | a_1 || b_1 || 0 || || |SZ= }} nicht ausgeschlossen ist. In der Tat gibt es nur unter zusätzlichen Bedingungen eine Realisierung einer Kurve mittels Potenzreihen entlang einer vorgegebenen Tangente, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt |Nr= |SZ= }} und die Beispiele weiter unten. Der Rechenaufwand zur Bestimmung einer Potenzreihenlösung lässt sich wesentlich verringern, wenn man sich auf {{Anführung|Graphenlösungen}} beschränkt, wo die eine Potenzreihe einfach ein lineares Polynom ist {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar eines, das durch eine Tangente gegeben ist| |ISZ=|ESZ=, }} und die zweite eine zu bestimmende Potenzreihe. Das ist häufig keine wesentliche Einschränkung, wie aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt |SZ= }} folgt. Mit diesem Lemma können wir nämlich die Potenzreihen {{ Relationskette | G,H |\in| {{op:Potenzreihenring|K|T}} || || || |SZ= }} einfach transformieren, wenn nicht beide linearen Terme verschwinden. Sei hierzu {{mathbed|term= G = a_1T+ \ldots |bedterm1= a_1 \neq 0}} angenommen. Mit einer geeigneten Potenzreihe {{mathl|term= U(T)}} ist {{ Relationskette | U(G(T)) || T || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | U(H(T)) || \tilde{H}(T) || || || |SZ=. }} Man schaltet also einen Potenzreihenautomorphismus dahinter, damit die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= K[X,Y] \stackrel{X \mapsto G, Y \mapsto H}{\longrightarrow} {{op:Potenzreihenring|K|T}} \stackrel{T \mapsto U(T) }{ \longrightarrow} {{op:Potenzreihenring|K|T}} |SZ= }} die besonders einfache Gestalt {{mathkon|X \mapsto T|,|Y \mapsto \tilde{H} }} bekommt. Dies bedeutet, dass man die Kurve als Graph zu einer formalen Funktion in einer Variablen realisieren möchte. {{inputfaktbeweis |Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt|Satz| }} {{inputbeispiel |Potenzreihe für ebene Kurven/Graph einer rationalen Funktion/X^3+XY+Y ist 0/Beispiel| }} {{inputbeispiel |Potenzreihe für ebene Kurven/Kartesisches Blatt/Graph/Beispiel|}} {{inputbeispiel |Potenzreihe für ebene Kurven/Neilsche Parabel/Keine tangentiale Potenzreihe/Beispiel|}} {{ inputbemerkung |Satz über implizite Funktionen/Ebene Kurven/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Lösungen in Potenzreihen von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nn11soo0kkifor4amajwakxwnw3ex6e 0 50940 1092458 443240 2026-06-01T13:50:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092458 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition|}} Wir werden den projektiven Raum nach und nach mit zusätzlichen Strukturen versehen. {{inputfaktbeweis|Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt|Satz| }} {{ inputbild |Projektiveline1bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Projektiveline2bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Projektiveline3bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{inputbeispiel|Die projektive Gerade/Einführende Beschreibung/Beispiel||}} {{ inputbild |Projektiveplane1bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Projektiveplane2bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Projektiveplane3bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Projektiveplane4bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{inputbeispiel|Die projektive Ebene/Einführende Beschreibung/Beispiel||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1birr42rv2rqx3ojk6qutsq074n91n9 0 50942 1092300 1065569 2026-06-01T13:24:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092300 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Für ein beliebiges Polynom {{ Relationskette |F |\in| K[X_0 {{kommadots}} X_n] || || || |SZ= }} ergibt es keinen Sinn zu sagen, ob ein Punkt {{ Relationskette |P |\in| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ= }} eine Nullstelle davon ist, da diese Eigenschaft nicht invariant unter der Multiplikation mit einem Skalar ist und daher vom Repräsentanten von {{math|term= P |SZ=}} abhängt. Für {{ Definitionslink |homogene Polynome| |SZ= }} sieht das anders aus. {{ inputfaktbeweis |Der projektive Raum/Homogenes Polynom/Nullsein ist wohldefiniert/Fakt|Lemma|| }} Man beachte, dass es durch diese Aussage zwar wohldefiniert ist, ob ein homogenes Polynom an einem projektiven Punkt verschwindet oder nicht, dass es aber keinen Sinn ergibt, einem homogenen Polynom einen Wert an jedem Punkt des projektiven Raumes zuzuordnen. Ein homogenes Polynom definiert keine Funktion auf dem projektiven Raum. {{inputdefinition |Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom/Definition||}} Wenn man {{ Relationskette | V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ= }} bestimmen möchte, so kann man die disjunkte Zerlegung {{ Relationskette/display | {{op:Projektiver Raum|n|K}} || D_+(X_0) \uplus V_+(X_0) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso für jede andere Variable| |ISZ=|ESZ= }} ausnutzen. Zur Bestimmung von {{mathl|term= V_+(F) \cap D_+(X_0) |SZ=}} setzt man in {{math|term= F |SZ=}} die Variable {{math|term= X_0 |SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} und muss die Lösungen im affinen Raum {{ Relationskette | {{op:Affiner Raum|n|K}} |\cong| D_+(X_0) || || || |SZ= }} von {{ Relationskette | F {{op:Bruch|1|X_0}} || 0 || || || |SZ= }} finden. Dabei wird das Polynom inhomogen, gleichzeitig eliminiert man eine Variable. Die Dimension bleibt gleich, die Situation wird aber affin. Zur Bestimmung von {{mathl|term= V_+(F) \cap V_+(X_0) |SZ=}} setzt man in {{math|term= F |SZ=}} die Variable {{math|term= X_0 |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} und muss die Lösungen im projektiven Raum {{ Relationskette | {{op:Projektiver Raum|n-1|K}} |\cong| V_+(X_0) || || || |SZ= }} von {{ Relationskette | F {{op:Bruch|0|X_0}} || 0 || || || |SZ= }} finden. Hier eliminert man eine Variable, das Polynom bleibt homogen, man bleibt projektiv, die Dimension reduziert sich um {{math|term= 1 |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Der Projektive Raum/Homogenes lineares Polynom/Nullstellenmenge/Beispiel|| }} {{inputdefinition |Polynomring/Homogenes Ideal/Definition||}} {{inputdefinition |Der projektive Raum/Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal/Definition| }} {{inputdefinition |Der projektive Raum/Mit Zariski-Topologie/Definition||}} Die offenen Mengen des projektiven Raumes sind demnach die Mengen der Form {{ Relationskette | D_+({{ideala}}) | {{defeq|}} | {{op:Projektiver Raum|n|K}} \setminus V_+({{ideala}}) || || || |SZ= }} zu einem homogenen Ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} |\subseteq| K[X_0, X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ=. }} Dabei sind die offenen Mengen {{mathl|term= D_+(X_i) |SZ=}} isomorph zu einem affinen Raum der Dimension {{math|term= n |SZ=.}} {{ inputbemerkung |Der projektive Raum/Punkt ist abgeschlossen/Beschreibung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} klsuxikq74j3nsnqr0qmz8mc3qofui0 0 50943 1092457 983609 2026-06-01T13:50:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092457 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Projektive Varietäten/Über Körper/Nullstellengebilde zu homogenen Polynomen/Definition|}} Eine projektive Varietät {{math|term= Y |SZ=}} ist also die Nullstellenmenge im projektiven Raum einer {{ Zusatz/Klammer |text=endlichen| |ISZ=|ESZ= }} Menge von homogenen Polynomen. Über die induzierte Topologie ist eine projektive Varietät wieder mit einer Zariski-Topologie versehen. Die offenen Mengen haben wieder die Form {{mathl|term= D_+({{idealb}}) |SZ=}} zu einem homogenen Ideal {{math|term= {{idealb|}} |SZ=}} aus {{mathl|term= K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} bzw. aus dem Restklassenring {{mathl|term= K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n]/{{ideala}} |SZ=,}} den man auch den {{Stichwort|homogenen Koordinatenring|msw=Homogener Koordinatenring}} zu {{mathl|term= V_+({{ideala}}) |SZ=}} nennt. Insbesondere definiert jedes homogene Element {{ Relationskette | F |\in| K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} eine offene Menge {{ Relationskette | D_+(F) |\subseteq| Y || || || |SZ=. }} {{inputfaktbeweis|Projektive Varietät/Wird überdeckt von affinen Varietäten/Fakt|Lemma|||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der projektiven Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i6ztrsbu2p64pocgjrz3samn25vxijw 0 50948 1092456 1067372 2026-06-01T13:50:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092456 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Ebene projektive Kurve/Graph eines Polynoms in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt|Satz|| }} Dieser Satz ist so zu verstehen, dass bei {{ Relationskette |d |\geq|2 || || || |SZ= }} die {{math|term= y |SZ=-Achse}} {{ Zusatz/Klammer |text=dafür steht der Punkt {{mathlk|term=(0,1,0) |SZ=}}| |SZ= }} {{Anführung|asymptotisch}} zum Graphen gehört {{ Zusatz/Klammer |text=und auch die einzige Asymptote des Graphen ist| |SZ=. }} Die unendlich ferne Gerade {{mathl|term= V_+(Z) |SZ=}} ist die {{ Zusatz/Klammer |text=einzige| |ISZ=|ESZ= }} Tangente an diesem Punkt. Die Normalisierung von {{math|term= C |SZ=}} ist der {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|K}} |SZ=,}} und zwar ist die Normalisierungsabbildung {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt |Nr= |SZ=, }} angewendet auf die affine Parametrisierung des Graphen {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affine Gerade|K|}}| {{op:Affine Gerade|K|}} \times {{op:Affine Gerade|K|}} {{=|}} {{op:Affine Ebene|K|}} \cong D_+(Z) \subset {{op:Projektive Ebene|K|}} |x| (x,F(x)) {{=|}} (x,F(x),1) |SZ=, }} durch {{Abbildung/display |{{op:Projektive Gerade|K}}|C \subset {{op:Projektive Ebene|K}}| (x,t) | {{makl| xt^{d-1}, {{op:Homogenisierung|F|}}(x,t), t^d |}} |SZ= }} gegeben. Dabei geht der unendlich ferne Punkt {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} auf {{ Relationskette | (0,s_d,0) || (0,1,0) || || || |SZ=. }} {{inputfaktbeweis|Ebene projektive Kurve/Graph einer rationalen Funktion in einer Variable/Singularität im Unendlichen/Fakt|Satz|| |}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen rationalen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gggebjj980ld5kn5yc4qctlcv2c6qb0 0 52089 1092618 1019852 2026-06-01T14:16:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092618 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein {{math|term= n |SZ=-}}dimensionaler {{ Zusatz/Klammer |text=achsenparalleler| |ISZ=|ESZ= }} Quader {{ Relationskette/display |Q || [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] {{timesdots|}} [a_n,b_n] |\subseteq| \R^n || || |SZ= }} hat nach Definition das {{math|term= n |SZ=-}}dimensionale Volumen {{ Relationskette/display | \lambda^n(Q) || (b_1-a_1) (b_2-a_2) \cdots (b_n-a_n) || || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |n ||1 || || || |SZ= }} handelt es sich um die Streckenlänge, bei {{ Relationskette |n ||2 || || || |SZ= }} um den Flächeninhalt eines Rechtecks, bei {{ Relationskette |n ||3 || || || |SZ= }} um das Volumen eines Quaders. Im Rahmen der Maßtheorie versucht man {{Anführung|möglichst vielen}} Teilmengen {{ Relationskette |T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} ein sinnvolles Volumen {{ Zusatz/Klammer |text=ein Maß| |ISZ=|ESZ=, }} geschrieben {{Math/display|term=\lambda^n(T) |SZ=,}} zuzuordnen. Dies ist eine recht aufwändige Theorie, von der wir hier nur einige Prinzipien, Ergebnisse und Berechnungsansätze vorstellen können. Wir beschränken uns auf {{ Definitionslink |kompakte| |Kontext=R^n | |SZ=, }} also {{ Definitionslink |abgeschlossene| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkte| |Kontext=Metrik| |SZ= }} Teilmengen des {{math|term= \R^n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=diese stellen wir uns als einen {{Anführung|starren Körper}} vor| |ISZ=|ESZ=. }} Für den Subgraphen zu einer Funktion, also die Menge {{ Zusatz/Klammer |text=die in der Tat beschränkt und abgeschlossen ist| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y)|0 \leq y \leq f(x)|a \leq x \leq b}} |SZ= }} zu einer stetigen Funktion {{ Abbildung/display |name=f |[a,b]|\R_{\geq 0} || |SZ= }} haben wir schon verwendet, dass der Flächeninhalt durch das bestimmte Integral der Funktion berechnet werden kann. Integration ist das wichtigste Hilfsmittel zur numerischen Bestimmung von allgemeinen Volumina. Wir besprechen nun einige wichtige Prinzipien von Volumina. {{Zwischenüberschrift|Überpflasterungseigenschaften}} Integrierbare Funktionen hatten wir über Ober- und Untersummen eingeführt. Für eine beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=kompakte| |ISZ=|ESZ= }} Teilmenge {{math|term= T |SZ=}} kann man das Volumen ebenfalls über Obersummen berechnen, wobei man Überpflasterungen von {{math|term= T |SZ=}} mit einer Familie von {{ Zusatz/Klammer |text=achsenparallelen| |ISZ=|ESZ= }} Quadern {{ mathbed|term= Q_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} betrachtet. {{ inputdefinition |Volumentheorie/Achsenparallele Überpflasterung/Definition|| }} Zu einer endlichen Überpflasterung {{ Zusatz/Klammer |text=bei der also die Indexmenge {{math|term= I |SZ=}} endlich ist| |ISZ=|ESZ= }} nennt man die Summe {{mathl|term= \sum_{i \in I} \lambda^n(Q_i) |SZ=}} die {{Stichwort|Quadersumme|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Quadervolumensumme|SZ=}} oder {{Stichwort|Gesamtvolumensumme|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der Überpflasterung. Eine wichtige Charakterisierung des Volumens einer kompakten Teilmenge ist, dass sie gleich dem {{ Definitionslink |Infimum| |Kontext=R| |SZ= }} über alle Quadersummen von Überpflasterungen ist. {{ inputfakt |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Endliche Überpflasterung/Fakt|Satz|| || }} Man könnte insbesondere die rechte Seite, also das Infimum über die Quadervolumensummen von Überpflasterungen, als Definition des Volumens ansetzen. Die Aussage gilt auch, wenn man mit beliebigen Quadern statt nur mit achsenparallelen Quadern arbeitet. Die Infimumseigenschaft bedeutet insbesondere, dass es zu jedem {{ Relationskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} eine Überpflasterung {{ mathbed|term= Q_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette/display |\sum_{i \in I} \lambda^n(Q_i) - \epsilon |\leq|\lambda^n(T) |\leq| \sum_{i \in I} \lambda^n(Q_i) || || |SZ= }} gibt, das wahre Volumen wird also beliebig genau durch Quadervolumensummen approximiert.{{{zusatz1|}}} Wir erwähnen einige weitere wichtige Eigenschaften des Volumens. Diese Eigenschaften werden natürlich von einer sinnvollen Volumentheorie erwartet, ihr Nachweis kann aber im einzelnen schwierig sein. {{ inputfaktbeweis |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Monotonie und endliche Vereinigung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Disjunkte Vereinigung/Formel aus Überpflasterung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfakt |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Produktmenge/Formel aus Überpflasterung/Fakt|Lemma|| || }} Eine typische Produktmenge ist ein {{Stichwort|Zylinder|SZ=,}} also das Produkt aus einer Grundmenge {{ Relationskette |B |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} und einer Stecke, also einem Intervall {{ Relationskette |I |\subseteq|\R || || || |SZ=. }} Sein Volumen ist das Produkt aus dem Volumen der Grundmenge und der Streckenlänge. {{ inputfakt |R^n/Kompakte Teilmenge/In echtem Unterraum/Null/Fakt|Lemma|| || }} Man beachte, dass dies eine Aussage über das {{math|term= n |SZ=-}}dimensionale Volumen ist, nicht über das {{math|term= k |SZ=-}}dimensionale Volumen als Teilmenge in {{ Relationskette |V |\cong| \R^k || || || |SZ=. }} Insbesondere besitzen einzelne Punkte im {{ mathbed|term= \R^n ||bedterm1= n\geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} das Volumen {{math|term= 0 |SZ=.}} Da sich jede Teilmenge aus seinen Einzelpunkten zusammensetzt, kann die obige Vereinigungsregel nicht für beliebige Vereinigungen gelten, d.h. die Gleichungskette {{ Relationskette/display | \lambda^n (T) || \lambda^n {{makl| \bigcup_{P \in T} \{P\} |}} || \sum_{P \in T} \lambda^n (\{P\}) || \sum_{P \in T} 0 || 0 |SZ= }} ist falsch {{ Zusatz/Klammer |text=andernfalls hätte jede Teilmenge das Volumen {{math|term= 0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Teilmengen, deren Volumen {{math|term= 0 |SZ=}} ist, nennt man {{Stichwort|Nullmenge|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3l67ujqcdqpqqnc5lgvpb8yrvv12z1o 0 52105 1092389 1019343 2026-06-01T13:38:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092389 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette |T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{ Abbildung/display |name=f |T|\R_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=R^n | |SZ=. }} Wir wollen das Integral {{mathl|term= \int_T f d \lambda^n |SZ=}} definieren, wofür man, wenn die Variablen des {{math|term= \R^n |SZ=}} mit {{mathl|term= x_1, x_2 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} bezeichnet werden, auch {{ Math/display|term= \int \int \ldots \int f(x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n) dx_1dx_2 \ldots dx_n |SZ= }} schreibt. Diese Schreibweise wird dann bevorzugt, wenn die jeweiligen Grenzen sinnvoll beschrieben werden können und so die Berechnung des Integrals auf die sukzessive Berechnung non {{math|term= n |SZ=}} Einzelintegralen {{ Zusatz/Klammer |text=in einer Variablen| |ISZ=|ESZ= }} zurückgeführt werden kann. Bei {{ Relationskette |n ||2 || || || |SZ= }} spricht man von einem {{Stichwort|Doppelintegral|SZ=}} und bei {{ Relationskette |n ||3 || || || |SZ= }} von einem {{Stichwort|Dreifachintegral|SZ=.}} Eine wichtige Interpretation des Integrals ist, dass {{math|term= f |SZ=}} eine {{Stichwort|Massenverteilung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Ladungsverteilung oder Temperaturverteilung| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Körper {{math|term= T |SZ=}} beschreibt. In diesem Fall ist das Integral gleich der Gesamtmasse des Körpers {{math|term= T |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |f ||1 || || || |SZ=, }} also bei einer konstanten Massenverteilung, erhält man über ein Integral das Volumen des Grundkörpers. Wir führen das Integral als {{mathl|term= (n+1) |SZ=-}}dimensionales Volumen des Subgraphen ein. {{ inputdefinition |Nichtnegative reellwertige Funktion auf Menge/Subgraph/Definition||M={{{M|T}}} }} {{ inputdefinition |Kompakte Teilmenge/Stetige nichtnegative Funktion/Integral als Volumen/Definition|| }} Damit wird der Integralbegriff auf den Volumenbegriff zurückgeführt. Für eine stetige, aber nicht notwendigerweise nichtnegative Funktion {{math|term= f |SZ=}} zerlegt man den Definitionsbereich in die beiden Teilmengen {{ mathkor|term1= T_{\geq 0} = {{Mengebed|P \in T|f(P) \geq 0}} |und|term2= T_{\leq 0} = {{Mengebed|P \in T|f(P) \leq 0}} |SZ=, }} die ebenfalls kompakt sind, und setzt {{ Relationskette/display | \int_T fd \lambda^n || \int_{T_{\geq 0} } f d \lambda^n - \int_{T_{\leq 0} }(- f) d \lambda^n || || || |SZ=. }} Ebenso kann man die positiven und negativen Funktionen {{ mathkor|term1= f_+ = {{op:min|f|0}} |und|term2= f_- = {{op:min|-f|0}} |SZ= }} einführen und das Integral als {{mathl|term= \int_T f_+ d \lambda^n - \int_T f_- d \lambda^n |SZ=}} ansetzen. Aus allgemeinen Volumenregeln ergeben sich die folgenden Integrationsregeln. {{ inputfakt |Kompakte Teilmenge/Stetige Funktion/Integrationsregeln/Fakt|Lemma|| || }} Die letzte Aussage ist auch ein Ansatz, um das Integral zu einer Funktion zu definieren, die nicht notwendigerweise stetig ist. Wenn es eine Zerlegung {{ Relationskette | T || \bigcup_{i \in I} T_i || || || |SZ= }} in endlich viele kompakte Teilmengen {{math|term= T_i |SZ=}} derart gibt, dass das Volumen der Durchschnitte {{mathl|term= T_i \cap T_j |SZ=}} für {{ Relationskette |i |\neq|j || || || |SZ= }} jeweils {{math|term= 0 |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Durchschnitte müssen also Nullmengen sein| |ISZ=|ESZ= }} und dass die {{ Definitionslink |Einschränkungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | f_i || f{{|}}_{T_i} || || || |SZ= }} stetig sind, so setzt man {{ Relationskette | \int_Tfd \lambda^n || \sum_{i \in I} \int_{T_i} f_i d \lambda^n || || || |SZ=. }} Eine solche Zerlegung ist auch bei stetigen Funktionen häufig sinnvoll. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lf0yonj10744dib52pbia3lhe3p5dgy 0 52111 1092338 773057 2026-06-01T13:30:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092338 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Kompaktes Rechteck/Satz von Fubini/Fakt|Satz|| |zusatz1={{{zusatz1|}}}| }} Zumeist schreibt man in der vorstehenden Situation {{mathl|term= \int_a^b {{makl| \int_c^d f(x,y) d y |}} d x |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Integration über Produktmenge/x^2-xy+2y^3/0 2 mal -2 1/Beispiel||opt1=/kon2|opt2=/link2 }} {{ inputfaktbeweis |Kompaktes Rechteck/Fubini/Integration von Produktfunktion/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Fubini |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jvmdqyovzyry3aoq2t8n7sp6nv5pvvb 0 52121 1092536 1074744 2026-06-01T14:03:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092536 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= T \subseteq \R^2 |SZ=,}} deren Rand {{math|term= R |SZ=}} sich stückweise durch reguläre Kurven parametrisieren lässt. D.h. es gibt {{ Definitionslink |abgeschlossene Intervalle| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathbed|term= I_j ||bedterm1= j=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ Definitionslink |geschlossene| |Kontext=Kurve| |SZ=, }} überschneidungsfreie {{ Zusatz/Klammer |text=also auf dem halboffenen Intervall injektive| |ISZ=|ESZ=, }} stückweise {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=Kurve| |SZ=, }} {{ Definitionslink |reguläre| |Kontext=Kurve| |SZ= }} Kurven {{ Abbildung/display |name=\gamma_j |I_j |\R^2 || |SZ= }} derart, dass ihre Bilder {{mathl|term= R_j = \gamma_j (I_j) |SZ=}} untereinander disjunkt sind und ihre Vereinigung gleich {{math|term= R |SZ=}} ist. Dabei werden die Kurven so durchlaufen werden, dass {{math|term= T |SZ=}} stets {{Anführung|links}} liegt. Eine solche Teilmenge nennen wir hier eine {{Stichwort|regulär berandete, ebene Teilmenge|SZ=.}} Man beachte, dass die einzelnen Intervalle {{math|term= I_j |SZ=}} selbst in endlich viele Intervalle zerlegt sind, auf denen jeweils eine stetig differenzierbare reguläre Kurve definiert ist. Dies ist beispielsweise bei einem Rechteck der Fall, dessen Rand durch einen geschlossenen Weg parametrisiert wird, der durch {{math|term= 4 |SZ=}} lineare Teilstücke gegeben wird. Bei einem einzigen Intervall {{math|term= I |SZ=}} zerlegt die Kurve {{math|term= \gamma|SZ=}} die Ebene in einen inneren Teil {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{math|term= T |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und einen äußeren Teil. Die Eigenschaft, dass {{math|term= T |SZ=}} bei der Randparametrisierung links liegt, bedeutet, dass der Rand gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Eine mathematisch einwandfreie Definition von diesen Begriffen ist nicht trivial. Wenn zwei {{ Zusatz/Klammer |text=oder mehrere| |ISZ=|ESZ= }} geschlossene Wege gegeben sind, so können diese nebeneinander oder ineinander liegen. Im zweiten Fall {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise bei zwei konzentrischen Kreisen| |ISZ=|ESZ= }} ist die äußere Umrandung gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und die innere Umrandung mit dem Uhrzeigersinn. Es sei eine solche regulär berandete, ebene Teilmenge {{math|term= T |SZ=}} und ein stetig differenzierbares Vektorfeld {{math|term= F |SZ=}} gegeben, das auf einer offenen Umgebung von {{math|term= T |SZ=}} definiert sei. Dann gibt es eine Beziehung zwischen dem Integral des Vektorfeldes längs der parametrisierten Randkurven und dem Integral über {{math|term= T |SZ=}} zur Funktion {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|F_2 |x}} - {{op:Partielle Ableitung|F_1 |y}} |SZ=.}} Diesen erstaunlichen Zusammenhang kann man auch zur Berechnung von Flächeninhalten einsetzen. Es gibt auch höherdimensionale Verallgemeinerungen wie den Satz von Stokes. {{ inputbild |Green's-theorem-simple-region|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Eine typische Situation, in der der Satz von Green anwendbar ist. |Autor= |Benutzer=Cronholm144 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt|Satz||zusatz1=| || }} {{ inputbeispiel |Satz von Green/Unter Parabel/(e^x,xy)/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Für Gradientenfeld/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Vektorfeld/Flächenversion/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Versionen für Schwerpunkt/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbeispiel |Sinusbogen/Schwerpunkt/Satz von Green/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Green |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qmyfki7zcyq27t8qyn8zj2uhqdmf2ss 0 52539 1092606 984276 2026-06-01T14:14:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092606 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Entkoppelte Differentialgleichungssysteme kann man lösen, indem man die einzelnen eindimensionalen Komponenten löst. Manchmal kann eine Differentialgleichung erst durch eine lineare Transformation entkoppelt werden. Eine lineare Transformation ist einfach eine bijektive lineare Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} zwischen zwei Vektorräumen {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ=. }} Zu einem Vektorfeld {{math|term= F |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} möchte man ein Vektorfeld {{math|term= G |SZ=}} auf {{math|term= W |SZ=}} definieren derart, dass sich die Lösungen der zugehörigen Differentialgleichungssysteme entsprechen. Dies geschieht durch {{ Relationskette | G(t,y) || \varphi( F(t, \varphi^{-1}(y))) || || || || |SZ=. }} Zu einem Punkt {{ Relationskette |y |\in|W || || || |SZ= }} betrachtet man also den Urbildpunkt {{mathl|term= \varphi^{-1}(y) |SZ=,}} wertet dort {{ Zusatz/Klammer |text=bei unverändertem Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} das Vektorfeld {{math|term= F |SZ=}} aus und transportiert das Ergebnis mittels {{math|term= \varphi|SZ=}} wieder nach {{math|term= W |SZ=.}} Besonders übersichtlich wird die Situation durch das folgende kommutative Diagramm. {{ Kommutatives Quadrat/ru | I \times V |V|I \times W|W|abb12=F|abb34=G|abb13= \operatorname{Id} \times \varphi|abb24=\varphi |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Gewöhnliche Differentialgleichung/Lineare Transformation/Lösung/Fakt|Lemma|| || }} Wenn das Vektorfeld {{math|term= F |SZ=}} nur auf einer offenen Menge {{ Relationskette |U | \subseteq| I \times V || || || |SZ= }} definiert ist, so ist entsprechend das Vektorfeld {{math|term= G |SZ=}} auf {{ Zusatz/Klammer |text=der ebenfalls offenen Menge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | (\operatorname{Id} \times \varphi) (U) | \subseteq | I \times W || || || || |SZ= }} definiert. Das Lemma gilt auch in dieser Situation. {{ inputbeispiel |Vektorfeld/Lineare Transformation/(tu+t^3,v^2)/4 3 -3 -2/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Vektorfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9hf5fts1297plbgy6camv783jpckuds 0 52605 1092432 1019477 2026-06-01T13:46:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092432 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Abbildung |name=f |\R^n |\R || |SZ= }} eine durch {{ Math/display|term= (x_1 {{kommadots|}} x_n) \longmapsto f(x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ= }} gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index {{math|term= i |SZ=}} die übrigen Variablen {{ mathbed|term= x_j ||bedterm1= j \neq i ||bedterm2= |SZ=, }} als Konstanten, so erhält man eine Abbildung {{ Abbildung |name= |\R|\R || |SZ=, }} die nur von {{math|term= x_i |SZ=}} abhängt {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter| |ISZ=|ESZ=. }} Falls diese Funktion, als Funktion in einer Variablen, differenzierbar ist, so sagen wir, dass {{math|term= f |SZ=}} {{Stichwort|partiell differenzierbar|SZ=}} bezüglich {{math|term= x_i |SZ=}} ist und bezeichnen diese Ableitung mit {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}} |SZ=.}} Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von {{ Abbildung |name= |\R^n |\R || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition|| }} Diese Definition führt die {{math|term= i |SZ=-}}te partielle Ableitung einer Funktion {{ Abbildung |name=f | \R^n | \R || |SZ= }} auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen {{Anführung|festgehalten|}} und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der {{math|term= i |SZ=-}}ten partiellen Ableitung von {{math|term= f |SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=}} einfach die Existenz des {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=abb mr| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes|s|0| {{op:Bruch|f(a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}, a_i+s,a_{i+1} {{kommadots|}} a_n) -f(a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}, a_i, a_{i+1} {{kommadots|}} a_n) |s}} }} |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Partielle Ableitung/R/xy^3 durch x^2+y^2/Berechnung und Erläuterung/Beispiel|| }} Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Basisvektoren. Insbesondere machen partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein {{math|term= \R^n |SZ=}} betrachtet wird. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/R/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/R/Partiell differenzierbare Abbildung/Jeder Punkt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Jacobi-Matrix/R/Partielle Ableitungen/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Partielle Ableitung/R/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung mit Jacobimatrix/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} s4kq2t7oohrruy9tod9bnhvfydwuac8 0 52615 1092306 982566 2026-06-01T13:25:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092306 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale {{math|term= \R|SZ=-}}Vektorräume und {{ Relationskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung {{ Abbildung |name= {{{f|f}}} | G | W || |SZ= }} und einen fixierten Vektor {{ Relationskette |v |\in|V || || || |SZ= }} ist die Richtungsableitung in Richtung {{math|term= v |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese existiert| |ISZ=|ESZ= }} selbst eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}}||v}} |G|W |P| {{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}}|P|v}} |SZ=. }} Als solche ist es sinnvoll zu fragen, ob {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}}||v}} |SZ=}} in Richtung {{ Relationskette |u |\in|V || || || |SZ= }} differenzierbar ist. Wir sprechen dann von {{Stichwort|höheren Ableitungen|msw=Höhere Ableitung|SZ=.}} Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition. {{ inputdefinition |Höhere Richtungsableitung/R/Bestimmte Reihenfolge/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Höhere Richtungsableitung/x^2-xy-y^3/Zuerst (4,-1), dann (2,-3)/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Richtungsableitung/R/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition|| }} Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung| {{{f|f}}}||v}} |SZ=}} in jede Richtung {{ Relationskette |v |\in|V || || || |SZ= }} existiert und stetig ist. Polynomfunktionen sind beliebig oft stetig differenzierbar, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Polynomiale Funktion/R/Beliebig stetig differenzierbar/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} iqcahz8ykiruau1ii63awh9i4dao3rg 0 52839 1092230 1074608 2026-06-01T13:13:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092230 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Funktion/Metrischer Raum/Lokales Maximum und Minimum/Definition|| }} {{ inputdefinition |Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition|| }} Ein {{Stichwort|globales Maximum|SZ=}} liegt in {{ Relationskette |x |\in|M || || || |SZ= }} vor, wenn {{ Relationskette |f(x) |\geq|f(x') || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |x' |\in|M || || || |SZ= }} ist. {{ inputbeispiel |Minimum/R^2/x^2+y^2/Direkt/Beispiel|| }} Wenn die Funktion {{ Abbildung |name=f |M|\R || |SZ= }} ein lokales Minimum im Punkt {{ Relationskette |P |\in|M || || || |SZ= }} besitzt, so gilt dies auch für die Einschränkung von {{math|term= f |SZ=}} auf jede Teilmenge {{ Relationskette |N |\subseteq|M || || || |SZ=, }} die {{math|term= P |SZ=}} enthält. Beispielsweise muss ein {{ Zusatz/Klammer |text=lokales| |ISZ=|ESZ= }} Minimum einer Funktion der Ebene auch auf jeder Geraden durch diesen Punkt ein {{ Zusatz/Klammer |text=lokales| |ISZ=|ESZ= }} Minimum sein. {{ inputbild |Saddle point|png| 220px {{!}} right {{!}} | {{!}} |Zusname=Saddle_point |Autor= |Benutzer=Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Dies heißt umgekehrt, dass wenn eine Funktion {{ Abbildung |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} auf einer Geraden {{math|term= L_1 |SZ=}} durch {{math|term= P |SZ=}} ein isoliertes lokales Maximum und auf einer anderen Geraden {{math|term= L_2 |SZ=}} ein isoliertes lokales Minimum besitzt, dass dann kein lokales Extremum vorliegen kann. Solche Punkte nennt man {{Stichwort|Sattelpunkt|SZ=}} oder {{Stichwort|Passpunkt|SZ=,}} das Standardbeispiel ist das folgende. {{ inputbeispiel |Sattelpunkt/R^2/x^2-y^2/Direkt/Beispiel|| }} {{ inputbild |Functionseeinsel|png|500px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=Lilli Hasimatzi |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R || |SZ= }} eine stetige Funktion, die im Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} folgende Eigenschaft erfülle. Zu jeder Geraden {{ Relationskette |G | \subseteq| \R^2 || || || |SZ= }} durch den Nullpunkt besitzt die auf {{math|term= G |SZ=}} eingeschränkte Funktion ein lokales isoliertes Maximum. Jeder Wanderer, der durch das durch {{math|term= f |SZ=}} gegebene Gebirge schnurstracks in eine bestimmte Richtung durch den Punkt läuft, wird also in diesem Punkt ein Gipfelerlebnis haben. Folgt daraus, dass wirklich ein Gipfel vorliegt? Das folgende Beispiel zeigt, dass das nicht der Fall sein muss. {{ inputbeispiel |Extrema/R^2/Lineares lokales Minimum/Kein lokales Minimum/Tangentiale Kreise/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} n424mstlwlitd4qg0ppambz106da9bp 0 53049 1092373 983133 2026-06-01T13:36:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092373 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir erwähnen einige Rechenregeln für differenzierbare Abbildungen {{ Abbildung/display |name=f |I|{{CC}}^n || |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= I |SZ=}} ist ein reelles Intervall oder eine offene Teilmenge von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} die bei der Berechnung von Differentialgleichungen zum Zuge kommen. Zunächst lässt sich die reelle Exponentialfunktion {{mathl|term= e^x|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung der Exponentialreihe| |ISZ=|ESZ= }} zu einer Funktion {{ Abbildung/display |name= |{{CC}}|{{CC}} |z|e^z |SZ=, }} ausdehnen. Diese ist komplex-differenzierbar, und zwar ist die Ableitung wieder die Exponentialfunktion selbst. Für eine komplexe Zahl {{math|term= u |SZ=}} gilt {{ Relationskette | {{makl| e^{uz} |}}^{\prime} || u e^{uz} || || || || |SZ=. }} Zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen besteht der Zusammenhang {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Eulersche Formel|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | e^{ {{Imaginäre Einheit|}} t} || {{op:cos|t|}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:sin|t|}} || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= t |SZ=}} reell oder komplex sein kann| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} m5nxk47wcmqe8f1qj13o7io731s05ld 0 53140 1092440 983503 2026-06-01T13:47:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092440 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten die Polynomfunktion {{ Abbildung/display |name=f |\R^2|\R |(x,y)|2 x^3-5x^2y -3y^3 -4 x^2+6xy+7x+8y-1 |SZ=. }} Offenbar ist {{ Relationskette |f(0,0) ||-1 || || || |SZ=, }} d.h. der Wert der Funktion ist unmittelbar am konstanten Koeffizienten des Polynoms ablesbar. Ähnliches gilt für die Ableitungen an der Stelle {{mathl|term= (0,0) |SZ=:}} Um beispielsweise {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x}}(0,0) |SZ=}} auszurechnen, muss man lediglich den Term {{mathl|term= 7x|SZ=}} anschauen. Alle anderen Summanden ergeben unter der partiellen Ableitung nach {{math|term= x |SZ=}} direkt {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn {{math|term= x |SZ=}} gar nicht vorkommt| |ISZ=|ESZ= }} oder einen Ausdruck der Form {{mathl|term= i a x^{i-1}y^{j} |SZ=.}} Da man darin {{ Relationskette |x || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y || 0 || || || |SZ= }} einsetzt, ergibt sich immer {{math|term= 0 |SZ=,}} mit der Ausnahme {{ Relationskette |i ||1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |j || 0 || || || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette | {{op:Partielle Ableitung|f|x}}(0,0) || 7 || || || |SZ=. }} Die höheren Ableitungen sind ebenfalls {{Anführung|direkt}} aus den Koeffizienten ablesbar. Beispielsweise ist {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||x}} f (0,0) || 2 \cdot (-4) || -8 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||y}} f (0,0) || 6 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||x}} f (0,0) || 3 \cdot 2 \cdot 2 || 12 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||x}} {{op:Partielle Ableitung||y}} f (0,0) || 2 \cdot (-5) || -10 || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Taylor-Polynome in mehreren Variablen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8t9pvzrwnhbsy9yt7x0rms2nv9y8a83 0 54148 1092617 1074781 2026-06-01T14:16:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092617 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Cavalieriho princip|svg| 250px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=Cavalieris_principle |Text=Das Cavalieri-Prinzip |Autor= |Benutzer=Anton |Domäne=de Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Bonaventura Cavalieri|jpeg| 150px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=Bonaventura_Cavalieri |Text=[[w:Bonaventura Cavalieri|Bonaventura Cavalieri (1598-1647)]] |Autor= |Benutzer=Gene.arboit |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Für Berechnungen ist das {{Stichwort|Cavalieri-Prinzip|SZ=}} entscheidend. Mit ihm wird die Berechnung eines {{math|term= n |SZ=-}}dimensionalen Volumens auf die Integration des {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}dimensionalen Volumens des Querschnitts des Körpers {{math|term= T |SZ=}} zurückgeführt. Zu einer Teilmenge {{ Relationskette/display |T |\subseteq| [a,b] \times \R^{n-1} || || || |SZ= }} und einem {{ Relationskette |x |\in| [a,b] || || || |SZ= }} nennt man {{ Relationskette | T(x) || {{makl| \{x\} \times \R^{n-1} |}} \cap T || || || |SZ= }} den {{Stichwort|Querschnitt|SZ=}} von {{math|term= T |SZ=}} durch {{math|term= x |SZ=.}} Der Querschnitt zu kompaktem {{math|term= T |SZ=}} ist eine kompakte Teilmenge des {{mathl|term= \R^{n-1} |SZ=}} und besitzt somit ein {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}dimensionales Volumen, das mit {{math|term= x |SZ=}} variiert. {{ inputfakt |R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Cavalieri/Stetige Querschnitte/Integration/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} r7t4ptzyx8ggqy3ty9ae3or9cam3rdj 0 54313 1092535 983960 2026-06-01T14:03:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092535 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Laplace-Operator/R^n/Definition|| }} Die Zuordnung {{mathl|term= u \mapsto \triangle u |SZ=}} nennt man auch den {{Stichwort|Laplace-Operator|SZ=.}} {{ inputdefinition |Harmonische Funktion/R^n/Definition|| }} Eine harmonische Funktion ist also eine {{ Zusatz/Klammer |text=zweifach differenzierbare| |ISZ=|ESZ= }} Funktion {{math|term= u |SZ=,}} die die {{Stichwort|Laplace-Gleichung|SZ=}} {{ Relationskette/display | \triangle u || 0 || || || |SZ= }} erfüllt. Zu einer komplex-differenzierbaren Funktion {{ Abbildung/display |name=g |{{CC}}|{{CC}} || |SZ= }} ist sowohl der Real- als auch der Imaginärteil eine harmonische Funktion. Wir möchten {{ Faktlink |Präwort=aus dem|Satz von Green|Faktseitenname= Regulär berandetes ebenes Gebiet/Satz von Green/Fakt |Nr= |SZ= }} den sogenannten {{Stichwort|Satz von Gauss für die Ebene|SZ=}} ableiten. Dafür beschränken wir uns auf eine offene Menge {{mathl|term= V \subseteq \R^2 |SZ=}} in der Ebene. Zu einer zweimal differenzierbaren Funktion {{ Abbildung/display |name=u |V|\R || |SZ= }} gehört das {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Gradient|u|}} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Partielle Ableitung|u|x}} | {{op:Partielle Ableitung|u|y}} }} || || || |SZ=. }} Wir betrachten das Vektorfeld {{ Relationskette/display | F(x,y) || {{op:Zeilenvektor| - {{op:Partielle Ableitung|u|y}} | {{op:Partielle Ableitung|u|x}} }} || || || |SZ=, }} das in jedem Punkt senkrecht auf dem Gradienten steht. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{mathl|term= F(x,y) |SZ=}} stets {{ Definitionslink |tangential| |Kontext=| |SZ= }} an die Höhenlinie durch den Punkt {{mathl|term= (x,y) |SZ=.}} Zwischen diesem Vektorfeld und dem Laplace-Operator besteht der folgende Zusammenhang. {{ inputfaktbeweis |Satz von Gauss/Ebene/Fakt|Satz|| || }} Bei einer harmonischen Funktion sind also insbesondere die Wegintegrale über geschlossenen Wegen zu dem Vektorfeld {{math|term= F |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Bei einer nicht konstanten harmonischen Funktion sind die Höhenlinien übrigens nicht geschlossen. {{ inputbeispiel |Satz von Gauss/x^2-y^2/Harmonisch/Wegintegral über Einheitskreis/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Satz von Gauss/x^2+y^2/Wegintegral über Einheitskreis/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Satz von Gauss (Ebene) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mez1uvmhvsqic2nd9rvem1bbj3tmq0y 0 55710 1092331 982821 2026-06-01T13:29:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092331 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Spektrum/Definition|| }} Man spricht auch von einem {{Stichwort|affinen Schema|msw=Affines Schema|SZ=.}} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition|| }} Für einelementige Teilmengen {{ Relationskette |T ||\{f\} || || || |SZ= }} schreiben wir {{mathl|term= D(f) |SZ=}} statt {{mathl|term= D(\{f\}) |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Ist Topologie/Fakt|Lemma|| || }} Wir betrachten das Spektrum stets als topologischen Raum. Die Primideale sind die Punkte dieses Raumes. Wir schreiben häufig {{ Relationskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |x |\in|X || || || |SZ=, }} um die geometrische Sichtweise zu betonen. Für das Primideal, das durch {{math|term= x |SZ=}} repräsentiert wird, schreibt man dann wiederum {{math|term= {{idealp|}}_x |SZ=.}} Die Komplemente der offenen Mengen, also die abgeschlossenen Mengen in der Zariski-Topologie, werden mit {{ Relationskette/display | V(T) || {{Mengebed| {{idealp|}} \in {{op:Spek|R|}}| T \subseteq {{idealp|}} |}} || || || |SZ= }} bezeichnet. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Erste Eigenschaften/Fakt|Proposition|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrum/Abschluss/Fakt|Proposition|| || }} {{{zusatz2|}}} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Quasikompaktheit/Fakt|Korollar|| |zusatz1={{{zusatz1|}}}| }} Das Spektrum ist nur in Ausnahmesituationen ein {{ Definitionslink |Hausdorffraum| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. im Allgemeinen kann man zwei Punkte des Spektrums nicht durch offene Umgebungen trennen. {{ inputbeispiel |Körper/Spektrum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Z/Spektrum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring über Körper/Spektrum/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9dpmg9v0b41vs5c6djfemsanhd7wxdc 0 55721 1092332 982826 2026-06-01T13:29:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092332 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt|Proposition|| || }} Die in der vorstehenden Aussage eingeführte stetige Abbildung heißt {{Stichwort|Spektrumsabbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu dem gegebenen Ringhomomorphismus| |ISZ=|ESZ=. }} Bei einem Unterring {{ Relationskette | R | \subseteq | S || || |SZ= }} geht es einfach um die Zuordnung {{mathl|term= {{idealp|}} \mapsto {{idealp|}} \cap R |SZ=.}} In diesem Fall spricht man auch von {{Anführung|Runterschneiden|SZ=.}} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt|Proposition|||zusatz2={{{zusatz2|}}} }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt|Lemma|| }} Insbesondere ist die Faser eines Spektrumsmorphismus über einem Punkt selbst wieder das Spektrum eines Ringes.{{{zusatz3|}}} Ein Spezialfall der vorstehenden Aussage ist, dass die Faser über einem maximalen Ideal {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Spek|S/ {{idealm|}} S|}} |SZ=}} ist, da in diesem Fall aus {{ Relationskette | {{idealm|}} S |\subseteq | {{idealp|}} || || || || |SZ= }} sofort {{ Relationskette |{{idealm|}} | \subseteq | \varphi^{-1}( {{idealp|}} ) || || || |SZ= }} folgt und wegen der Maximalität Gleichheit gelten muss. Bei einem Integritätsbereich {{math|term= R |SZ=}} und dem Nullideal erübrigt es sich, das Erweiterungsideal zu betrachten, die Faser wird einfach durch {{mathl|term= {{op:Spek|S_{\varphi( R \setminus \{0\}) }| }} |SZ=}} beschrieben. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser ist leer/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Schemata |Kategorie2=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} sab0tijr3oe0jpox4xfa5hg1dovbe7f 0 55724 1092356 1019228 2026-06-01T13:33:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092356 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einen {{math|term= n |SZ=-}}dimensionalen Vektorraum nennt man eine Kette von {{ Definitionslink |Untervektorräumen| |SZ= }} {{ Relationskette/display |0 ||V_0 |\subset| V_1 |{{subsetdots|}}| V_{n-1} |\subset |V_n ||V |SZ= }} eine {{Definitionswort|Fahne|SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Dabei ist notwendigerweise die Dimension von {{math|term= V_i |SZ=}} gleich {{math|term= i |SZ=}} und die Kette ist nicht verfeinerbar, d.h. zwischen {{ mathkor|term1= V_i |und|term2= V_{i+1} |SZ= }} gibt es keinen echten Untervektorraum. Von daher kann man sagen, dass die Dimension eines Vektorraumes durch die maximale Länge von Ketten von Untervektorräumen gegeben ist. Wir werden in analoger Weise die Dimension einer affinen Varietät bzw. ihres Koordinatenring und allgemeiner eines beliebigen noetherschen Ringes einführen. {{{zusatz1|}}} Bei einer affinen Varietät {{ Relationskette/display |V ||V {{makl| {{ideala|}} |}} |\subseteq|K^n || || |SZ= }} kann man nicht von Untervektorräumen sprechen. Vielmehr sind die abgeschlossenen Untervarietäten {{ Zusatz/Klammer |text=Nullstellengebilde| |ISZ=|ESZ= }} von {{mathl|term= V( {{ideala|}} ) |SZ=}} die strukturgleichen Unterobjekte. Wenn man allerdings die Gerade über einem unendlichen Körper {{math|term= K |SZ=}} betrachtet, so sind sämtliche endlichen Teilmengen abgeschlossen und daher gibt es beliebig lange Ketten der Form {{ Relationskette/display |\{P_1\} |\subset| \{P_1, P_2 \} |\subset| \{P_1, P_2, P_3 \} |{{subsetdots}} |\{P_1, P_2, P_3 {{kommadots|}} P_n \} |{{subsetdots}}| K || |SZ=. }} Eine sinnvolle Dimensionstheorie lässt sich aufbauen, wenn man statt Ketten von beliebigen abgeschlossenen Teilmengen nur Ketten von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen nimmt. Man betrachtet also Ketten {{ Relationskette/display |V_0 ||\{P\} |\subset|V_1 |\subset|V_2 |{{subsetdots}}| V_n |\subseteq| V |SZ= }} von irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen {{math|term= V_i |SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper entsprechen sich irreduzible Varietäten und Primideale gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Hilbertscher Nullstellensatz/Korrespondenz/Primideal/Fakt |Nr= |SZ=. }} Von daher ist die folgende Definition für einen beliebigen Ring nicht mehr überraschend. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Primidealkette/Krulldimension/Definition|| }} Unter einer maximalen Primidealkette verstehen wir eine nicht weiter verfeinerbare Primidealkette, d.h. zu {{ Relationskette | {{idealp|}}_i |\subset| {{idealp|}}_{i+1} || || || |SZ= }} gibt es kein echtes Primideal dazwischen. Eine solche maximale Primidealkette ist nicht ohne weitere Voraussetzung eine Primidealkette maximaler Länge, an lezteren kann man eben die Krulldimension ablesen. Eine jede maximale Primidealkette startet in einem {{ Definitionslink |minimalen Primideal| |Kontext=| |SZ= }} und endet in einem maximalen Ideal. Bei einem Integritätsbereich ist das Nullideal das einzige minimale Primideal. Ein Körper hat die Krulldimension {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=seine Vektorraumdimension über {{math|term= K |SZ=}} ist aber {{math|term= 1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Ein Hauptidealbereich, der kein Körper ist, besitzt die Krulldimension {{math|term= 1 |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Krulldimension/Hauptidealbereich, kein Körper/Krulldimension 1/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Im Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} hat man direkt die Primidealkette {{ Relationskette/display | 0 |\subset| {{makl| X_1 |}} |\subset| {{makl| X_1,X_2 |}} | {{subsetdots|}} | {{makl| X_1,X_2 {{kommadots|}} X_n |}} || || |SZ=, }} sodass die Dimension des Polynomringes zumindest {{math|term= n |SZ=}} ist. Es ist aber keineswegs klar, warum es nicht noch längere Ketten geben kann. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Ring/Primideal/Dimension/Restklassenring/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Ring/Primideal/Höhe/Lokaler Ring/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Krulldimension |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 28md9b4z0h4objpgi8hzkbb1zrpywz5 0 55735 1092312 1059532 2026-06-01T13:26:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092312 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein kommutativer Ring, {{math|term= G |SZ=}} eine endliche Gruppe, die auf {{math|term= R |SZ=}} und damit auch auf {{ Relationskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} als Gruppe von Automorphismen operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten {{mathl|term= X/G |SZ=}} und andererseits den Invariantenring {{math|term= R^G|SZ=}} und damit dessen Spektrum {{mathl|term= {{op:Spek|R^G|}} |SZ=.}} Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass {{ Relationskette/display | X/G || {{op:Spek|R^G|}} || || || |SZ= }} gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die {{ Definitionslink |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\iota^* |{{op:Spek|R|}} |{{op:Spek|R^G|}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die zur Inklusion {{ Relationskette/k |R^G |\subseteq |R || || || |SZ= }} gehört| |ISZ=|ESZ= }} die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt. {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Endliche Gruppe/Abgeschlossene Abbildung/Bildtopologie/Fakt|Korollar|| || }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Endliche Gruppe/Quotient ist Spektrum/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qa839wce4g0gd9ax6n2tt4wxdj3vuwl 0 55781 1092621 984360 2026-06-01T14:17:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092621 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Definition|| }} Dabei handelt es sich offenbar um einen Unterring von {{math|term= A |SZ=.}} Wegen {{ Relationskette | A_0 | \subseteq | A^{( {{{s|s}}} )} || || || || |SZ= }} liegt eine {{math|term= R |SZ=-}}Unteralgebra vor. Die Veroneseringe kann man selbst {{math|term= \Z |SZ=-}}graduieren, indem man entweder die Graduierung direkt übernimmt {{ Zusatz/Klammer |text=wobei dann die Stufen, deren Index kein Vielfaches von {{math|term= {{{s|s}}} |SZ=}} ist, gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sind| |ISZ=|ESZ= }} oder aber die Graduierung als {{ Relationskette | (A^{( {{{s|s}}} )})_d | {{defeq|}} | A_{ {{{s|s}}} d} || || || || |SZ= }} ansetzt. {{ inputfaktbeweis |Z-graduierter Ring/Veronese-Unterring/Einheitswurzeln/Invariantenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Z-graduierter Ring/Erste Stufe erzeugt/Veronesering ebenso/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Veronesering/Direkter Summand, kein Ringschnitt/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cjwnu30v0sc92eydg1mxym5812wsxrz 0 55819 1092196 1004150 2026-06-01T13:07:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092196 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Direkter Summand/Kommutativer Ring/Definition|| }} Diese Eigenschaft ist äquivalent dazu, dass es einen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\psi | S|R || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \psi \circ \iota || {{op:Identität|R|}} || || || |SZ= }} gibt, wobei {{ Abbildung |name= \iota | R | S || |SZ= }} die Inklusion bezeichnet. Eine stärkere Eigenschaft ist die Existenz eines {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \psi | S | R || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \psi \circ \iota || {{op:Identität|R|}} || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |K-Algebra/Direkter Summand/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Direkter Summand/Tensorprodukt/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Beliebige Gruppe/Grad 0 Ring/Direkter Summand/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Veronesering/Direkter Summand, kein Ringschnitt/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Surjektiv/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der direkten Summanden |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 61sqi24wx6d0g7rar5pw9zsoub47vk4 0 55855 1092282 1055890 2026-06-01T13:21:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092282 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gruppe/Raum/Darstellung/Definition|| }} Man spricht auch von einer {{Stichwort|linearen Darstellung|msw=lineare Darstellung|SZ=.}} Bei {{ Relationskette | V || K^r || || || |SZ= }} spricht man auch von einer {{Stichwort|Matrix-Darstellung|SZ=.}} Das Bild der Darstellung ist eine Untergruppe der {{ Definitionslink |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} des Vektorraumes {{math|term= V |SZ=}} nennt man auch die {{Stichwort|Dimension der Darstellung|SZ=.}} Eine Darstellung von {{math|term= G |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:GLG||V}} |SZ=}} ist das gleiche wie eine lineare Operation von {{math|term= G |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=.}} Die {{Stichwort|Darstellungstheorie|SZ=}} einer gegebenen Gruppe beschäftigt sich mit der Menge aller möglichen Darstellungen zu dieser Gruppe. {{:Gruppe/Lineare Darstellung/Treu/Definition}} Man interessiert sich hauptsächlich für die treuen Darstellungen. Wenn eine Darstellung der Gruppe {{math|term= G |SZ=}} nicht treu ist, so besitzt sie einen nichttrivialen {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{ Relationskette | H |\subseteq| G || || || |SZ=, }} und es ergibt sich {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Gruppenhomomorphismus/Faktorisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} eine treue Darstellung der {{ Definitionslink |Restklassengruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= G/H |SZ=.}} Man unterscheide sorgfältig zwischen abstrakten intrinsischen Eigenschaften einer Gruppe und Eigenschaften, die mit ihrer Einbettung in die allgemeine lineare Gruppe zusammenhängen. Die Eigenschaften einer linearen Operation hängen von beiden ab. {{ inputdefinition |Endliche Gruppe/Reguläre Darstellung/Definition|zusatz1={{{zusatz1|}}}| }} Diese Darstellung ist die Verknüpfung des injektiven Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | G | {{op:Permutationsgruppe|G|}} | \sigma | {{makl| \tau \mapsto \sigma \tau |}} |SZ=, }} der auch im {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Cayley|Faktseitenname= Gruppentheorie/Linksmultiplikation/Cayley/Fakt |Nr= |SZ= }} auftaucht, mit dem ebenfalls injektiven Gruppenhomomorphismus, der einer {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \pi |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= I |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die im vorliegenden Fall {{math|term= G |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ= }} ihre lineare, durch {{mathl|term= e_i \mapsto e_{\pi(i)} |SZ=}} festgelegte Realisierung zuordnet {{ Zusatz/Klammer |text=der Permutation wird ihre {{ Definitionslink |Prämath= |Permutationsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} zugeordnet| |ISZ=|ESZ=. }} Insbesondere ist die reguläre Darstellung treu, und somit gibt es für jede endliche Gruppe überhaupt eine treue Darstellung. Es lässt sich also jede endliche Gruppe als Untergruppe der Gruppe der invertierbaren Matrizen realisieren, und zwar über jedem Körper. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2iccu9bd48s739sq628nba55u93u5fd 0 55860 1092369 1066988 2026-06-01T13:35:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092369 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir wollen zeigen, dass der Invariantenring zu einer algebraischen Operation einer linear reduktiven Gruppe auf einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra von endlichem Typ| |Kontext=| |SZ= }} ein {{ Definitionslink |direkter Summand| |Kontext=Ring| |SZ= }} ist, wobei wir {{ Faktlink |Faktseitenname= Linear reduktive Gruppe/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} auf geeignete {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=G |Untervektorräume| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} anwenden wollen. Dazu müssen wir zunächst sicherstellen, dass jedes {{ Relationskette | f |\in| R || || || |SZ= }} in einem endlichdimensionalen {{math|term= G |SZ=-}}Untervektorraum {{ Relationskette | V | \subseteq | R || || || |SZ= }} liegt. Es sei {{ Relationskette | G || {{op:Spek|H|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |affines Gruppenschema| |Kontext=| |SZ= }} zu einer endlich erzeugten {{ Definitionslink |Prämath=K |Hopf-Algebra| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= H |SZ=.}} Die Operation von {{math|term= G |SZ=}} auf {{ Relationskette | X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ=, }} dem Spektrum einer {{ Definitionslink |endlich erzeugten| |Kontext=Algebra| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |SZ=, }} ist äquivalent zu einem Ringhomomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=der {{ Definitionslink |Kooperation| |Kontext=| |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name=N | R | H {{tensor|K}} R || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit bestimmten Eigenschaften| |ISZ=|ESZ=. }} Für ein {{ Relationskette | f |\in| R || || || |SZ= }} kann man dabei {{ Relationskette/display | N(f) || \sum_{i {{=}} 1}^n a_i {{tensor|}} f_i || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_i |\in| H || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f_i |\in| R || || || |SZ= }} schreiben. Die Operation des {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrums| |Kontext=Ring| |SZ= }} von {{math|term= H |SZ=}} auf {{math|term= R |SZ=}} ist folgendermaßen gegeben: Ein Gruppenelement {{ Relationskette | {{{g|g}}} |\in| {{op:KSpek|R|}} || || || |SZ=, }} also ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{{g|g}}} | H | K || |SZ=, }} schickt eine Funktion {{math|term= f |SZ=}} auf {{ Relationskette/display | f {{{g|g}}} || \sum_{i{{=}}1}^n {{{g|g}}} (a_i) {{tensor}} f_i || || || |SZ=. }} Es wird also die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= R \stackrel{N}{\longrightarrow} H {{tensor|K}} R \stackrel{ {{{g|g}}} {{tensor|}} {{Op:Identität|R|}} }{\longrightarrow} K {{tensor|K}} R \stackrel{\cong}{\longrightarrow} R |SZ= }} betrachtet. {{ inputfaktbeweis |Rationale Gruppenoperation/G(K)-stabiler endlicher Unterraum/Fakt|Lemma||g={{{g|g}}} }} {{ inputfaktbeweis |Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Direkter Summand/Fakt|Satz||g={{{g|g}}} }} {{ inputfaktbeweis |Linear reduktive Gruppe/Rationale Operation/Endlich erzeugt/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Linear reduktive Gruppe/Algebraische (Ko)Operation/Endlich erzeugt/Fakt|Satz||g={{{g|g}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linear reduktiven Gruppen |Kategorie2=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nnlvqn6l12ammb1jftfyc034vqxltaa 0 55892 1092316 1072721 2026-06-01T13:26:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092316 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten zeigen, dass die linearen Gruppen {{mathl|term= {{op:GLG|n|{{CC}}}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:SLG|n|{{CC}}}} |SZ=}} über den komplexen Zahlen {{ Definitionslink |linear reduktiv| |Kontext=| |SZ= }} sind. Dazu brauchen wir einige analytische Hilfsmittel {{ Zusatz/Klammer |text=die Aussage gilt nicht in positiver Charakteristik| |ISZ=|ESZ=, }} und zwar die Existenz des {{Stichwort|Haarschen Maßes|msw=Haarsches Maß|SZ=.}} Dazu zitieren wir den folgenden maßtheoretischen Satz. {{ inputfakt |Kompakte Gruppe/Haarsches Maß/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz|| }} Diese Eigenschaften heißen {{Stichwort|Translationsinvarianz|msw=Translationsinvarianz (Maß auf Gruppe) |SZ=}} und {{Stichwort|Normierung|msw=Normierung (Maß) |SZ=.}} Das Maß, dass gemäß diesem Satz in einer kompakten Gruppe existiert, heißt {{Stichwort|Haarsches Maß|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Kreis/Haarsches Maß/Beispiel|| }} Die Existenz des Haarschen Maßes bedeutet insbesondere, dass über {{math|term= G |SZ=}} eine sinnvolle Integrationstheorie möglich ist. D.h. für {{ Definitionslink |stetige Funktionen| |Kontext=mr| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= f | G | {{CC}} || |SZ= }} ist das Integral {{ Math/display|term= \int_G f d \mu |SZ= }} definiert. Die Translationsinvarianz führt zu {{ Relationskette/display | \int_G f d \mu || \int_G f \lambda_h d \mu || \int_G f \rho_h d \mu || || |SZ= }} für jedes Gruppenelement {{ Relationskette | h |\in| G || || || |SZ=, }} aufgefasst als Links- oder als Rechtsmultiplikation {{ Abbildung |name= \lambda_h, \rho_h | G | G || |SZ=. }} Mit der Existenz des Haarschen Maßes kann man auch stetige Abbildungen von {{math|term= G |SZ=}} in einen endlichdimensionalen {{math|term= \R |SZ=-}}Vektorraum integrieren. {{ inputfaktbeweis |Kompakte Gruppe/Vollständig reduzibel/Hurwitz Schur/Fakt|Satz|| }} Der {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Maschke|Faktseitenname= Endliche Gruppe/Darstellung/Lemma von Maschke/Fakt |Nr= |SZ= }} ist ein Spezialfall des vorstehenden Satzes, da man eine endliche Gruppe mit der {{ Definitionslink |diskreten Topologie| |Kontext=| |SZ= }} versehen und zu einer kompakten Gruppe machen kann. Das Haarsche Maß ist dabei einfach das {{ Definitionslink |normierte Zählmaß| |Kontext=| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Gruppe/C/Kompakte Untergruppe Zariski dicht/Linear reduktiv/Fakt|Lemma|| }} Die linearen Gruppen {{ Math/display|term= {{op:GLG|n|{{CC}}}} ,\, {{op:SLG|n|{{CC}}}} ,\, {{op:Orthogonale Gruppe|n|{{CC}}}} ,\, {{op:SOG|n|{{CC}}}} ,\, {{op:Sp|n|{{CC}}}} |SZ= }} nennt man auch die {{Stichwort|klassischen Gruppen|msw=Klassische Gruppe|SZ=.}} {{:Klassische Gruppen/Kurzübersicht/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Klassische lineare Gruppe/C/Kompakte Untergruppe Zariski dicht/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Klassische lineare Gruppe/C/Linear reduktiv/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linear reduktiven Gruppen |Kategorie2=Theorie der Lie-Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5eedhhzcq452rit0s2a57tukowygsmp 0 56066 1092447 957334 2026-06-01T13:48:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092447 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Definition|| }} Man verwendet also die Ordnung auf der Variablenmenge. Man vergleicht zwei Monome {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ=, }} indem man zuerst den Grad miteinander vergleicht. Stimmt dieser überein, so vergleicht man die Exponenten der ersten Variable der beiden Monome miteinander {{ Zusatz/Klammer |text=man vergleicht also den {{Anführung|Anfangsbuchstaben}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn es hier einen Größenunterschied gibt, so ist die Sache entschieden. Andernfalls schaut man sich den Exponenten der zweiten Variablen an, und so weiter. Dies führt zu einer totalen Ordung auf der Menge der Monome. Zu einem Monom gibt es jeweils nur endlich viele Monome, die bezüglich dieser Ordnung kleiner sind. Daher kann man über diese Ordnung Induktion führen. Zu einem Polynom {{math|term= f |SZ=}} nennt man das Monom aus {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einem Koeffizienten {{math|term= \neq 0 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} mit dem größten Exponententupel in der gradlexikographischen Ordnung das {{Stichwort|Leitmonom|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} f5zm8r77jv8gkbjn4m9mi7g3ivgt3j3 0 56081 1092285 1056254 2026-06-01T13:21:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092285 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |SZ=, }} die auf einer Menge {{math|term= X |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise einem {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |operiere| |Kontext=Gruppe| |SZ=. }} Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=f |X|K || |SZ= }} eine beliebige Funktion mit {{math|term= X |SZ=}} als {{ Definitionslink |Definitionsbereich| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= K |SZ=}} als {{ Definitionslink |Zielbereich| |Kontext=| |SZ=. }} Die Menge dieser Funktionen {{mathl|term= {{op:Abbildungne|X|K}} |SZ=}} bilden einen {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ=, }} wobei je zwei Funktionen addiert oder multipliziert werden, indem an jedem Punkt {{ Relationskette | x |\in| X || || || |SZ= }} die Werte dieser Funktion addiert bzw. multipliziert werden. Zu {{ Relationskette | \sigma |\in| G || || || |SZ=, }} aufgefasst als Bijektion {{ Abbildung/display |name= \sigma | X | X || |SZ=, }} ergibt sich die neue Funktion {{ Math/display|term= X \stackrel{\sigma}{\longrightarrow }X \stackrel{f}{\longrightarrow} K |SZ=, }} also {{mathl|term= f \circ \sigma |SZ=.}} Die Gruppe operiert also auch auf dem Funktionenring, und zwar wegen {{ Relationskette/display | f \circ {{makl| \sigma \tau |}} || {{makl| f \circ \sigma |}} \circ \tau || || || |SZ= }} von rechts. Zu diesem Übergang vergleiche auch {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Gruppenoperation/N Menge/Operation auf Abbildungsmenge nach N/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} sind die einfachsten Funktionen von {{math|term= V |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} die {{ Definitionslink |Linearformen| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn eine Gruppe {{math|term= G |SZ=}} {{ Definitionslink |linear| |Kontext=Operation| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=}} operiert, so ist die Zuordnung {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppe/Lineare Operation/Induzierte Operationen/Fakt |Nr=3 |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Dualraum|V|}} \times G|{{op:Dualraum|V|}} | (f, \sigma) | f \circ \sigma |SZ=, }} selbst {{math|term= K |SZ=-}}linear. Bei {{ Relationskette | V || K^n || || || |SZ= }} bilden die Projektionen {{math|term= p_i |SZ=,}} wobei die Projektion {{math|term= p_i |SZ=}} ein Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|x_1 |\ldots|x_n}} |SZ=}} auf seine {{math|term= i |SZ=-}}te Komponente {{math|term= x_i |SZ=}} abbildet, eine Basis von {{mathl|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die sogenannte {{Stichwort|Dualbasis|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Ein {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=n| |SZ= }} {{ Relationskette | f |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} aus dem {{ Definitionslink |Polynomring| |Kontext=n| |SZ= }} in {{math|term= n |SZ=}} Variablen über {{math|term= K |SZ=}} kann man direkt als eine Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=die zugehörige {{Stichwort|Polynomfunktion|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= K^n |SZ=}} nach {{math|term= K |SZ=}} interpretieren, indem man in das Polynom das Tupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektordots|x_1 |x_n}} |SZ=}} einsetzt, bzw. die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} als die {{math|term= i |SZ=-}}te Projektion {{math|term= p_i |SZ=}} interpretiert. Man möchte nun jedem endlichdimensionalen {{math|term= K |SZ=-}}Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Bezug auf eine Basis| |ISZ=|ESZ= }} einen Polynomring {{mathl|term= K[V] |SZ=}} zuordnen, dessen Elemente man als {{math|term= K |SZ=-}}wertige Funktionen auf {{math|term= V |SZ=}} auffassen kann. Da es stets eine {{ Definitionslink |lineare Isomorphie| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | V | \cong | K^n || || || |SZ= }} gibt, wird es auch einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraisomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | K[V] |\cong| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} geben. {{ inputdefinition |Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Unendlicher Körper/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Lineare Abbildung/Kontravariant/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Lineare Abbildung/K^n nach K^m/Polynomring kontravariant/Explizit/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Gruppe/Lineare Darstellung/Operation auf Polynomring/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Symmetrische Gruppe/Permutationsmatrix/Kontravariant auf Polynomring/Beispiel|zusatz1={{{zusatz1|}}}| }} Wenn eine Gruppe auf dem {{math|term= K^n |SZ=}} durch Diagonalmatrizen operiert, wie in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zyklische Gruppe/Mehrdimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel |Nr= |SZ= }} und Ähnlichen, so erübrigt sich das Transponieren, wenn man zur zugehörigen Operation auf dem Polynomring übergeht. {{ inputbeispiel |Endlichdimensionaler Vektorraum/Skalare Multiplikation/Polynomring/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Einheitswurzeln/Eindimensional/Polynomring/Beispiel|| }} Zu einem Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} ist der Polynomring {{mathl|term= K[V] |SZ=}} in natürlicher Weise{{{zusatz2|}}} {{ Definitionslink |Prämath=\N |graduiert| |Kontext=Ring| |SZ=, }} und zwar besteht die {{math|term= d |SZ=-}}te Stufe aus allen {{math|term= K |SZ=-}}Linearkombinationen von Produkten der Form {{mathl|term= f_1 \cdots f_d |SZ=,}} wobei die {{math|term= f_j |SZ=}} Linearformen sind. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Operation/Polynomring/Homogenität/Fakt|Lemma|| }} Die Stufen {{math|term= R_d |SZ=}} sind also {{ Definitionslink |Prämath=G |invariante Untervektorräume| |Kontext=Operation| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2=Darstellungstheorie von Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6h4uaneyfygixlq6ddz3f1tjkb676vd 0 56109 1092562 957484 2026-06-01T14:07:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092562 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Symmetrisches Polynom/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} {{ inputbeispiel |Symmetrische Polynome/Kleine Dimensionen/Beispiel|| }} Die Summe und das Produkt von symmetrischen Polynomen ist wieder symmetrisch, daher bilden die symmetrischen Polynome einen Unterring des Polynomringes. {{ inputdefinition |Elementar-symmetrische Polynome/Definition|| }} Die elementarsymmetrischen Polynome treten in folgender Situation auf. {{ inputbemerkung |Elementar-symmetrische Polynom/Produkt von allgemeinen Linearfaktoren/Bemerkung|| }} Mit Hilfe der elementarsymmetrischen Polynome kann man nun einfach alle symmetrischen Polynome in eindeutiger Form schreiben. Dies ist der Inhalt des {{Stichwort|Hauptsatzes über symmetrische Polynome|msw=Hauptsatz über symmetrische Polynome|SZ=.}} Für den Beweis benötigen wir den Begriff der {{Stichwort|gradlexikographischen Ordnung|msw=gradlexikographische Ordnung|SZ=.}} {{:Polynomring/Gradlexikographische Ordnung/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Symmetrische Polynome/Körper/Hauptsatz/Fakt|Satz|| || }} Insbesondere ist der Ring der symmetrischen Polynome selbst isomorph zu einem Polynomring in {{math|term= n |SZ=}} Variablen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der symmetrischen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} acsozsu00yy5unb4wakussowycfct2g 0 56114 1092372 983129 2026-06-01T13:36:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092372 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Lineare Gruppenoperation/Polynomring/Relative Invarianten zu Charakter/Definition|| }} Der Invariantenring ist also die Menge der Invarianten relativ zum trivialen Charakter. Die {{math|term= \chi|SZ=-}}relativen Invarianten sind ein {{mathl|term= K[V]^G|SZ=-}}Untermodul von {{mathl|term= K[V] |SZ=:}} Wenn {{math|term= g |SZ=}} invariant ist und {{math|term= f |SZ=}} {{math|term= \chi|SZ=-}}invariant, so ist {{ Relationskette/display | (gf) \sigma || (g) \sigma \cdot (f) \sigma ||g \chi(\sigma) f || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9phyxtmc1iwgtocd5f02rt4j0evabmu 0 56134 1092549 1073475 2026-06-01T14:05:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092549 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die projektive komplexe Gerade {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}}|}} |SZ=}} ist die Menge aller Geraden im {{math|term= {{CC}}^2 |SZ=}} durch den Nullpunkt; sie ist topologisch betrachtet eine Sphäre {{math|term= S^2 |SZ=.}} Diesen Zusammenhang kann man explizit machen, indem man als Zwischenschritt mit {{mathl|term= {{CC}} \cup \{\infty\} |SZ=}} arbeitet. Diese erweiterte komplexe Ebene steht einerseits mit der projektiven Geraden {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= {{CC}} |SZ=}} ist eine affine Karte der projektiven Gerade, die den {{Anführung|unendlich fernen Punkt|}} {{math|term= \infty |SZ=}} nicht enthält| |ISZ=|ESZ= }} und andererseits mit der Sphäre über die {{ Definitionslink |stereographische Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel |SZ= }} in Bijektion {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \infty |SZ=}} entspricht dabei dem Nordpol| |ISZ=|ESZ=. }} Eine komplexe Zahl {{ Relationskette | u |\in| {{CC}} || || || |SZ= }} definiert die von {{ Relationskette | (u,1) |\in| {{CC}}^2 || || || |SZ= }} erzeugte Gerade und damit den Punkt {{ Zusatz/Klammer |text=in homogenen Koordinaten| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= (u:1) |SZ=}} der komplex-projektiven Geraden {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} |}} |SZ=.}} Die Umkehrabbildung ist durch {{mathl|term= (u:v) \mapsto {{op:Bruch|u|v}} |SZ=}} gegeben, die für {{ Relationskette | v |\neq| 0 || || || |SZ= }} definiert ist. Dem Punkt {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} entspricht der unendlich ferne Punkt {{math|term= \infty|SZ=.}} Die Umkehrabbildung der stereographischen Projektion ist die Abbildung {{ Abbildung/druckelementzeile/display |name= |{{CC}} \cong \R^2 | S^2 \setminus \{N\} | z {{=}} a+b {{Imaginäre Einheit}} | {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z|}}^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 {{op:Realteil|z|}} |2 {{op:Imaginärteil|z|}} | {{op:Betrag|z|}}^2-1 }} {{=}} {{op:Bruch|1|1+ a^2 +b^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 a|2b|a^2+b^2-1}} |SZ=. }} Die Gesamtabbildung {{ Math/display|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} \setminus \{(1:0)\} \longrightarrow {{CC}} \longrightarrow S^2 \setminus \{N \} |SZ= }} besitzt insgesamt die Beschreibung {{ Math/display|term= (u:v) \longmapsto {{op:Bruch|1| 1+ {{op:Betrag| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 {{op:Realteil| {{op:Bruch|u|v}} |}} |2 {{op:Imaginärteil| {{op:Bruch|u|v}} |}} |{{op:Betrag| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2 -1 }} |SZ=. }} Mit {{ mathkor|term1= u=a+b {{Imaginäre Einheit}} |und|term2= v=c+d {{Imaginäre Einheit}} |SZ= }} schreibt man dies {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung von {{ Relationskette/k |{{op:Betrag|v|}}^2 || v {{op:Komplexe Konjugation|v|}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} als {{ Relationskette/align/drucklinks |{{op:Bruch|1| 1+ {{op:Betrag| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 {{op:Realteil| {{op:Bruch|u|v}} |}} |2 {{op:Imaginärteil| {{op:Bruch|u|v}} |}} |{{op:Betrag| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2 -1 }} || {{op:Bruch|1|{{op:Betrag| u |}}^2+ {{op:Betrag| v |}}^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 {{op:Realteil| u {{op:Komplexe Konjugation|v|}} |}} |2 {{op:Imaginärteil| u {{op:Komplexe Konjugation|v|}} |}} |{{op:Betrag| u |}}^2 - {{op:Betrag| v |}}^2 }} || {{op:Bruch|1|a^2+ b^2 +c^2+d^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 ac+2bd |2 bc-2ad|a^2+b^2-c^2-d^2 }} || || || |SZ=. }} Diese Formel zeigt, dass die Abbildung für alle {{ Relationskette | (u:v) |\in| {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} || || || || |SZ= }} definiert ist, wobei {{mathl|term= (1:0) |SZ=}} auf den Nordpol {{mathl|term= (0,0,1) |SZ=}} abgebildet wird. Es liegt also eine explizite Bijektion {{ Abbildung |name= | {{op:Projektive Gerade| {{CC}} |}} | S^2 || |SZ= }} vor. Die Umkehrabbildung ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Relationskette/k | (x_1,x_2,x_3) | \neq | (0,0,1) || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/k | x_1^2 + x_2^2 +x_3^2 || 1 || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Math/display|term= (x_1,x_2,x_3) \longmapsto {{op:Zeilenvektor|x_1+x_2 {{Imaginäre Einheit}} :1-x_3 |}} |SZ= }} gegeben. Wenn man eine normierte Repräsentierung dieses Punktes erhalten möchte, so muss man durch {{mathl|term= \sqrt{2-2x_3} |SZ=}} dividieren. Insbesondere erhält man eine explizite {{ Zusatz/Klammer |text=in den natürlichen Topologien stetige| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{CC}}^2 \setminus \{(0,0)\} | S^2 || |SZ=, }} deren Fasern genau die punktierten komplexen Geraden sind. Die natürliche Operation der {{mathl|term= {{op:GLG|2| {{CC}} }} |SZ=}} auf {{math|term= {{CC}}^2 |SZ=}} {{ Zusatz/Gs |text=und das gilt auch für jede endliche Untergruppe {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG|2| {{CC}} }} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} induziert eine Operation auf der Menge der eindimensionalen Untervektorräume {{ Zusatz/Klammer |text=also der komplexen Geraden durch den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} und damit auf {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} |}} |SZ=.}} Eine Gerade {{ Relationskette |H |\subseteq | {{CC}}^2 || || || |SZ= }} wird durch {{ Relationskette | \sigma |\in| {{op:GLG|2| {{CC}} }} || || || |SZ= }} einfach auf die Bildgerade {{mathl|term= \sigma (H) |SZ=}} abgebildet. Eine Gerade {{mathl|term= \langle (u,v) \rangle |SZ=}} wird unter {{ Relationskette | \sigma || {{op:Matrix22|\ell|m|n|p}} || || || |SZ= }} auf die Gerade {{mathl|term= \langle (\ell u+ m v, n u + pv) \rangle |SZ=}} abgebildet, bzw. in homogenen Koordinaten {{ Math/display|term= (u:v) \longmapsto (\ell u+ m v: n u + pv) |SZ=. }} Dabei wirken Streckungen, also Abbildungen der Form {{mathl|term= {{op:Matrix22|s|0|0|s}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | s | \neq | 0 || || |SZ=, }} trivial auf der Menge der Geraden und auf der projektiven Geraden. Da man jede invertierbare Matrix als Produkt einer solchen Streckungsmatrix und einer invertierbaren Matrix mit Determinante {{math|term= 1 |SZ=}} schreiben kann, muss man im Wesentlichen die Operation der {{mathl|term= {{op:SLG|2| {{CC}} }} |SZ=}} auf der projektiven Geraden verstehen. Die einzige Matrix {{ Relationskette | M |\in| {{op:SLG|2| {{CC}} }} || || || |SZ= }} neben der Einheitsmatrix, die sämtliche Geraden auf sich selbst abbildet, ist {{ Relationskette/display | -E_2 || {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Projektive lineare Gruppe/Aus SLnK nach Streckungen darin/Definition|| }} Insbesondere ist {{ Relationskette | {{op:PLG|2|{{CC}}}} |\cong| {{op:SLG|2|{{CC}}}}/\{ \pm E_2 \} || || || |SZ=. }} Diese Gruppe operiert in natür{{drucktrenn}}licher Weise {{ Definitionslink |treu| |Kontext=Operation| |SZ= }} und {{ Definitionslink |transitiv| |Kontext=Operation| |SZ= }} auf der projektiven Geraden. Mittels der obigen Identifizierung {{ Relationskette | {{op:Projektive Gerade|{{CC}}}} |\cong| S^2 || || || |SZ= }} kann man die Operation der Gruppen {{ Zusatz/Klammer |text=und Untergruppen| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG|2|{{CC}}}}, \, {{op:SLG|2|{{CC}}}},\, {{op:PLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}}} |SZ=}} zu einer Operation dieser Gruppen auf der zweidimensionalen Sphäre übersetzen. Es stellt sich heraus, dass die zugehörigen Automorphismen im Allgemeinen nicht längentreu sind. Um dies zu erreichen, arbeiten wir mit der unitären Gruppen {{mathl|term= {{op:SUG|2|{{CC}}}} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2=Theorie der Hopf-Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nvuoitmekxcectgxueceeuey0ly5xi5 0 56172 1092220 1074599 2026-06-01T13:11:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092220 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette |G |\subseteq| {{op:Spezielle orthogonale Gruppe|3}} || || || |SZ= }} eine endliche Untergruppe der Gruppe der eigentlichen, linearen Isometrien. Jedes Element {{ mathbed|term= g \in G ||bedterm1= g \neq \operatorname{id} ||bedterm2= |SZ=, }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Drehung um eine eindeutig bestimmte Drehachse {{math|term= A |SZ=.}} Insbesondere sind an einer endlichen Symmetriegruppe nur endlich viele Drehachsen beteiligt. Jedes Gruppenelement bewirkt dann eine Permutation der Drehachsenmenge, und diese Bedingung schränkt die möglichen Gruppen wesentlich ein. Eine Drehachse zerfällt in zwei Halbachsen, und es ist sinnvoll, die Wirkungsweise der Gruppe auf diesen Halbachsen zu untersuchen. {{ inputbild |Duality Hexa-Okta|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Duality_Hexa-Okta |Text=Würfel und Oktaeder besitzen |Autor= |Benutzer=Peter Steinberg |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }}{{ inputbild |Duality Okto-Hekta|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Duality_Okto-Hekta |Text=isomorphe Symmetriegruppen. |Autor= |Benutzer=Peter Steinberg |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bei einem Würfel gibt es drei verschiedene Arten von Drehachsen: Es gibt drei Drehachsen, die durch die Seitenmittelpunkte gegeben sind, vier Drehachsen, die durch die Eckpunkte gegeben sind und sechs Drehachsen, die durch die Kantenmittelpunkte gegeben sind. Betrachtet man alle {{Stichwort|Durchstoßungspunkte|msw=Durchstoßungspunkt|SZ=}} dieser Achsen mit der Sphäre vom Radius {{math|term= 1 |SZ=,}} so ergeben sich {{ Relationskette | 6+8+12 || 26 || || || |SZ= }} Punkte. Diese Punkte entsprechen den {{Stichwort|Halbachsen|msw=Halbachse|SZ=.}} Dabei gibt es zu je zwei Eckpunkten {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. den zugehörigen Durchstoßungspunkten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mindestens| |ISZ=|ESZ= }} eine Würfelbewegung, die sie ineinander überführt, ebenso zu je zwei Kantenmittelpunkten und zu je zwei Seitenmittelpunkten. Jede Bewegung permutiert diese charakteristischen Punkte. Wenn man eine Achse {{ Zusatz/Klammer |text=oder einen Durchstoßungspunkt| |ISZ=|ESZ= }} fixiert, so kann man die Menge der Bewegungen betrachten, die diese Achse als Drehachse haben. Es kann natürlich auch die Achse zwar auf sich selbst abgebildet werden, aber nicht fix sein. Dann werden die gegenüberliegenden Durchstoßungspunkte ineinander überführt. {{ inputdefinition |Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Halbachsen/Halbachsenklassen/Definition|| }} Da jede von {{math|term= {{op:Identität||}} |SZ=}} verschiedene Drehung genau eine Drehachse hat, ist das Halbachsensystem zu einer endlichen Symmetriegruppe endlich {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar ist die Anzahl maximal gleich {{mathlk|term=2( {{op:Gruppenordnung/ord|G}}-1) |SZ=}}| |SZ=. }} Wenn {{math|term= H |SZ=}} eine Halbachse ist und {{ Relationskette | g |\in| G || || || |SZ=, }} so ist auch {{mathl|term= g(H) |SZ=}} eine Halbachse: wenn nämlich {{ Relationskette | h |\in| G || || || |SZ= }} die durch {{math|term= H |SZ=}} definierte Achse als Drehachse besitzt, so ist {{ Relationskette/display | {{makl| g h g^{-1} |}} (g(H)) || (g h) {{makl| g^{-1} ( g (H)) |}} || (g h) (H)) || g( h (H)) || g(H) |SZ=. }} Mit {{Anführung|äquivalenten Halbachsen|}} ist also wirklich eine Äquivalenzrelation definiert.{{{zusatz1|}}} {{ inputbeispielhier |Text=Beim Würfel werden die Halbachsen durch die Eckpunkte, die Seitenmittelpunkte und die Kantenmittelpunkte repräsentiert. Diese drei Arten bilden dann auch die Äquivalenzklassen, also die Halbachsenklassen. Der Vergleich mit dem Oktaeder zeigt, dass die Sprechweise mit den Halbachsen für die Bewegungsgruppe als solche angemessener ist als die Sprechweise mit Ecken, Kanten, Mittelpunkten. }} {{ inputbeispielhier |Text=Bei einem Tetraeder gibt es vier Eck-Seitenmittelpunkt-Achsen und vier Kantenmittelpunkt{{drucktrenn}}achsen. Die Kantenmittelpunkthalbachsen sind dabei alle untereinander äquivalent, während die zuerst genannten Achsen in zwei Halbachsenklassen zerfallen, nämlich die Eckhalbachsen und die Seitenhalbachsen.| }} An diesem Beispiel sieht man auch, dass die beiden durch eine Drehachse gegebenen Halbachsen nicht zueinander äquivalent sein müssen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen Symmetriegruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hoizx6sno5x71tv3smy7042eebd0sao 0 56270 1092419 1065808 2026-06-01T13:43:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092419 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten auf dem Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_r] |SZ=}} {{ Definitionslink |Graduierungen| |Kontext=| |SZ=, }} die aus der {{ Definitionslink |feinen Graduierung| |Kontext=| |SZ=, }} bei der die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} den Grad {{ Relationskette | e_i |\in| \Z^r || || || |SZ= }} bekommt, hervorgehen, indem man einen {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \delta | \Z^r | D || |SZ= }} in eine kommutative Gruppe {{math|term= D |SZ=}} fixiert {{ Zusatz/Klammer |text=den man als surjektiv voraussetzen darf| |ISZ=|ESZ=. }} Dies ergibt eine {{math|term= D |SZ=-}}Graduierung des Polynomrings, bei der der Grad der Variable {{math|term= X_i |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | \delta(X_i) | {{defeq|}} | \delta(e_i) || || || |SZ= }} festgelegt ist. Die {{ Definitionslink |neutrale Stufe| |Kontext=| |SZ= }} dieses so graduierten Polynomringes besteht aus den Linearkombinationen aller Monome {{mathl|term= X_1^{a_1} \cdots X_r^{a_r} |SZ=,}} deren Exponententupel {{ Relationskette | {{op:Zeilenvektordots|a_1 |a_r}} |\in| \Z^r || || || |SZ= }} unter {{math|term= \delta |SZ=}} auf {{ Relationskette | 0 |\in| D || || || |SZ= }} abgebildet wird. Die neutrale Stufe wird also durch den Kern von {{math|term= \delta |SZ=}} vollständig beschrieben. Wenn umgekehrt eine Untergruppe {{ Relationskette | \Delta | \subseteq | \Z^r || || || || |SZ= }} gegeben ist, so kann man die Restklassenabbildung {{ Abbildung/display |name= | \Z^r | \Z^r/\Delta {{defeqr|}} D || |SZ= }} betrachten und erhält so einen {{math|term= D |SZ=-}}graduierten Ring. {{ inputfaktbeweis |Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Zusammenhang/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Monoidring/Veronese/2dimensional/Graduierung/Beispiel|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputbeispiel |Monoidring/Quadrik/Aus Graduierung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Normaler torischer Monoidring/Graduierung/Invariantenring/Zusammenhang/K algebraisch abgeschlossen Charakteristik 0/Fakt|Satz|| }} {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Positive Charakteristik/Polynomring/Z mod p-Graduierung/Triviale Operation/Beispiel |Nr= |SZ= }} zeigt, dass man im vorstehenden Satz auf die Voraussetzung der Charakteristik nicht verzichten kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie2=Theorie der Graduierung von Polynomringen |Kategorie3=Theorie der Charaktere (Gruppe) |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} dwmmao6n76d0yq4a9hgl5etv3ztedsr 0 56311 1092639 851882 2026-06-01T14:19:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092639 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine endliche {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Zmod| {{{r|r}}}|}} |SZ=}} lässt sich auf unterschiedliche Weise als Untergruppe der {{ Definitionslink |allgemeinen linearen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= {{op:GLG||V}} |bzw.|term2= {{op:GLG|n|K}} |SZ= }} auffassen, wie die folgenden Beispiele zeigen. {{ inputbeispiel |Zyklische Gruppe/Eindimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} {{ inputbeispiel |Zyklische Gruppe/Reguläre Darstellung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zyklische Gruppe/Mehrdimensionale Einheitswurzel-Darstellung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zyklische Gruppe/Einheitswurzel-SL2-Darstellung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Invertierbare Matrix/Endliche Ordnung/Zyklische Gruppe/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zyklische Gruppe/Charakteristik p/Scherungsdarstellung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Darstellungstheorie von endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qq56y4d8ttwnxib9vl03x23vp343ghj 0 56629 1092450 957338 2026-06-01T13:49:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092450 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Veronesering/Monoidring/Fakt|Lemma|| || }} Die in der letzten Aussage angesprochene Gruppenoperation ist besonders einfach, sie wird linear durch Diagonalmatrizen mit konstanten Einträgen realisiert, die {{math|term= s |SZ=-}}te Einheitswurzeln sind. Die Determinanten dieser Matrizen sind i.A. nicht {{math|term= 1 |SZ=,}} d.h. es handelt sich nicht um eine Untergruppe der speziellen linearen Gruppe. Damit hängt der Umstand zusammen, dass die Veronese-Ringe typischerweise ziemlich viele Gleichungen benötigen, um sie als Restklassenring eines Polynomrings zu beschreiben. {{ inputbeispiel |Polynomring/1 Variable/Veronesering/Beispiel|k=s| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/2 Variablen/Veronesering/Beispiel|k=s| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Veronese-Unterringe |Kategorie2=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9fmpbaalcq26dk14914jtxwtneq7pj6 0 56686 1092301 957105 2026-06-01T13:24:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092301 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Affines Gruppenschema/Über K/Spektrum zur Hopf-Algebra/Definition|| }} Die Gruppenschemata sind im Allgemeinen keine Gruppen im eigentlichen Sinne, allein schon weil die Primideale, also die Punkte, unterschiedliche Höhe und unterschiedliche Restklassenkörper besitzen. Solche Primideale können nicht sinnvoll miteinander verknüpft werden. Wir werden gleich sehen, dass Punkte, deren Restklassenkörper zusammenpassen, miteinander verknüpft werden können. {{ inputfaktbeweis |Kommutative Hopf-Algebra/L-Punkte/Ist Gruppe/Fakt|Lemma|| || }} Die vorstehende Aussage erklärt auch teilweise die Bezeichnung Gruppenschema. Einem Gruppenschema ist nicht nur eine Gruppe zugeordnet, sondern gleich eine ganze Familie von Gruppen. Das affine Schema legt dabei die algebraische Struktur der Gruppenverknüpfung fest, während die Anzahl der Elemente in der Gruppe vom gewählten Grundring {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=}} abhängt. Wir erläutern das Konzept der {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=-}}Punkte an einigen Hopf-Algebren. {{ inputbeispiel |Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/K-Punkte/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Additive Gruppe/Hopf-Algebra/L-Punkte/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Multiplikative Gruppe/Hopf-Algebra/L-Punkte/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kommutativen Hopf-Algebren |Kategorie2=Theorie der affinen Gruppenschemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 930donuac9lpsnoxr57fom5wb0oelp7 0 56736 1092275 982372 2026-06-01T13:19:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092275 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Definition|| }} Für ein homogenes Ideal liegt die Summenzerlegung {{ Relationskette/display | {{ideala|}} || \bigoplus_{d \in D} {{ideala|}}_d || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{ideala|}}_d || {{ideala|}} \cap A_d || || || |SZ= }} vor. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Graduierter kommutativer Ring/Homogenes Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der graduierten kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lqzqtcn4c64xymbth4zy4bbm339qwk4 0 56951 1092425 1059530 2026-06-01T13:44:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092425 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Gruppe| |Kontext=| |SZ=, }} die auf einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} als Gruppe von {{ Definitionslink |Ringautomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |operiere| |Kontext=Gruppe| |SZ=. }} Zu jedem {{ Relationskette | \sigma | \in | G || || || |SZ= }} liegt also ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi_\sigma | R | R || |SZ= }} vor, der wiederum zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi_\sigma^* | {{op:Spek|R|}} | {{op:Spek|R|}} || |SZ= }} führt, die eine {{ Definitionslink |Homöomorphie| |Kontext=| |SZ= }} ist. Die Operation von {{math|term= G |SZ=}} auf {{math|term= R |SZ=}} ergibt als eine Operation von {{math|term= G |SZ=}} auf {{mathl|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} als Gruppe von Homöomorphismen. Da wir die Operation auf dem Ring von rechts schreiben, und das Spektrum kontravariant ist, ist es natürlich, die Operation auf dem affinen Schema {{math|term= {{op:Spek|R|}} |SZ=}} von links zu schreiben. Wir werden gleich sehen, dass man bei einer linearen Operation auf einem Vektorraum und der zugehörigen Operation auf dem Polynomring über das Spektrum die ursprüngliche Operation zurückgewinnt. {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Polynomring und Spektrum/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Operation/Auf Ring und Spektrum/Fakt|Proposition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Lineare Invariantentheorie (Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} e9939euj03bjm1f2a02khvrf4b4ny56 0 59526 1092103 1065506 2026-06-01T12:52:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092103 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Affin-algebraische Gruppe/Zu Hopfalgebra/K/Definition|| }} Eine affin-algebraische Gruppe ist also die Menge der {{math|term= K |SZ=-}}Punkte eines affinen Gruppenschemas von endlichem Typ. Dazu gehören die endlichen Gruppen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Endliche Gruppe/Zugehörige Hopf-Algebra (kontravariant)/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} die additive Gruppe {{mathl|term= (K,+,0) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Additive Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=, }} die multiplikative Gruppe {{mathl|term= ( {{op:Einheiten|K|}},\cdot,1) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Multiplikative Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=, }} die allgemeine lineare Gruppe {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Allgemeine lineare Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=, }} die spezielle lineare Gruppe {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Spezielle lineare Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Lineare Gruppe/Algebraisch abgeschlossen/Zariski-abgeschlossen/Definition|| }} Man kann zeigen, dass affin-algebraische Gruppen und lineare Gruppen äquivalente Konzepte sind. Das erste Konzept ist begrifflich stärker, während das zweite Konzept die typischen Beispiele abdeckt. Der Zusammenhang beruht im Wesentlichen auf der Hopf-Interpretation der allgemeinen linearen Gruppe, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Allgemeine lineare Gruppe/Hopf-Algebra/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Wir reformulieren {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affines Gruppenschema/Hopf-Algebra/Operation/Definition |SZ= }} für eine affin-algebraische Gruppe. {{ inputdefinition |Affin-algebraische Gruppe/Operation auf Ring/Algebraisch durch Kooperation/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affin-algebraischen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oznfwcbve6d4bfgc1jgy8vup6d1bf6l 0 61043 1092234 1018932 2026-06-01T13:13:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092234 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei einer Reihe sind die aufzusummierenden Glieder durch die natürlichen Zahlen geordnet. Häufig kommt es vor, dass diese Ordnung verändert wird. Dabei kann sich sowohl die Summe als auch die Eigenschaft, ob eine konvergente Reihe vorliegt, ändern, allerdings nicht, wenn die Reihe {{ Definitionslink |absolut konvergent| |Kontext=K| |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Alternierende Reihe/Leibnizkriterium/Kaffee in Studi-WG/Strategiewechsel/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Komplexe Reihe/Absolut/Umordnung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wenn man sich für die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen interessiert, so ist es natürlicher, dies direkt als die Summe {{math|term= \sum_{p \text{ Primzahl} } {{op:Bruch|1|p}} |SZ=}} aufzufassen, anstatt die Primzahlen durchzunummerieren, um eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Reihe zu haben. Wenn man zwei absolut konvergente Reihen {{ mathkor|term1= {{Reihe|a|k=i}} |und|term2= {{Reihe|b|k=j}} |SZ= }} multiplizieren möchte, so geht es nach der Regel, jeden Summanden mit jedem Summanden zu multiplizieren, um die Summe aller Einzelprodukte {{ mathbed|term= a_ib_j ||bedterm1= (i,j) \in \N \times \N ||bedterm2= |SZ=, }} wobei eben {{math|term= \N^2 |SZ=}} die natürliche Indexmenge ist, für die es keine naheliegende Ordung gibt. In der Definition von {{ Definitionslink |Cauchy-Produkt| |SZ= }} werden die Produkte mit konstanter Indexsumme zusammengefasst, um eine Summationsreihenfolge festzulegen, es gibt aber auch noch viele andere Möglichkeiten. Vor diesem Hintergrund ist es sinnvoll, einen Summationsbegriff zu besitzen, der unabhängig von jeder Ordnung der Indexmenge ist. {{{zusatz1|}}} Die Familie sei als {{ mathbed|term= a_i |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} gegeben. Für jede endliche Teilmenge {{ Relationskette |E |\subseteq|I || || || |SZ= }} kann man die zugehörigen Glieder aufsummieren, und wir setzen {{ Relationskette/display | a_E || \sum_{i \in E} a_i || || || |SZ=. }} Eine sinnvolle Aufsummierung der gesamten Familie muss auf diese endlichen Teilsummen {{math|term= a_E |SZ=}} Bezug nehmen. {{ inputdefinition |Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Definition|| }} {{ inputdefinition |Familie komplexer Zahlen/Cauchy-Familie/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Cauchy-Kriterium/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Familie komplexer Zahlen/Summierbar/Teilfamilie/Fakt|Korollar|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Summierbarkeit (komplexe Zahlen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} tmlvm631kn9k807fakuf5nogxs2lmq5 0 61048 1092096 1018602 2026-06-01T12:51:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092096 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Abbildung |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term= L |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term= M |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Relationskette |x |\in|L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Relationskette/display | F(x) |\in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term= F |SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term= x |SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1 |M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2 |M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Relationskette |x |\in|L_1 ||L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette | F(x) || G(x) || || || |SZ= }} in {{ Relationskette |M_1 || M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|msw=Funktion|SZ=}} genannt. Wir werden den Begriff {{Stichwort|Funktion|SZ=}} für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge ein Zahlbereich wie die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} ist. Zu jeder Menge {{math|term= L |SZ=}} nennt man die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |L|L |x|x |SZ=, }} also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die {{Stichwort|Identität|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{math|term= L |SZ=}}| |SZ=. }} Sie wird mit {{math|term= {{op:Identität|L|}} |SZ=}} bezeichnet. Zu einer weiteren Menge {{math|term= M |SZ=}} und einem fixierten Element {{ Relationskette |c |\in|M || || || |SZ= }} nennt man die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |L|M |x|c |SZ=, }} die also jedem Element {{ Relationskette |x |\in|L || || || |SZ= }} den {{Stichwort|konstanten Wert|msw=Konstanter Wert|SZ=}} {{math|term= c |SZ=}} zuordnet, die {{Definitionswort/enp|konstante Abbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Wert {{math|term= c |SZ=}}| |ESZ=. }} Sie wird häufig wieder mit {{math|term= c |SZ=}} bezeichnet{{ Zusatz/Fußnote |text=Von Hilbert stammt die etwas überraschende Aussage, die Kunst der Bezeichnung in der Mathematik besteht darin, unterschiedliche Sachen mit denselben Symbolen zu bezeichnen|ISZ=. |ESZ=. }} Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graphen der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen. Solche Abbildungsvorschriften sind beispielsweise {{ Zusatz/Klammer |text=jeweils von {{math|term= \R |SZ=}} nach {{math|term= \R |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= x \mapsto x^2 |SZ=,}} {{mathl|term= x \mapsto x^3- e^x + {{op:sin(|x|}} |SZ=,}} etc. In den Naturwissenschaften und Sozialwissenschaften sind {{Stichwort|empirische Funktionen|msw=Empirische Funktion|SZ=}} wichtig, die reale Bewegungen oder Entwicklungen beschreiben, doch auch bei solchen Funktionen erhebt sich die Frage, ob man diese auch mathematisch gut beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=approximieren| |ISZ=|ESZ= }} kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Fußnoten=x |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} a8q9w83zy9tzdz0ybgwjcsl37gi4ivi 0 61174 1092246 982144 2026-06-01T13:15:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092246 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Addition auf {{math|term= \Z|SZ=}} erfüllt die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung4 |Es ist {{ Relationskette/display | (a+b)+c || a+ (b+c) || || || |SZ= }} für beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=alle| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{ Relationskette |a,b,c |\in| \Z || || || |SZ=, }} d.h. die Addition ist {{Stichwort/-|assoziativ|SZ=.}} |Es ist {{ Relationskette/display |a+b ||b+a || || || |SZ= }} für beliebige Zahlen {{ Relationskette |a,b |\in| \Z || || || |SZ=, }} d.h. die Addition ist {{Stichwort/-|kommutativ|SZ=.}} |Es gilt {{ Relationskette/display |a+0 ||a || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette |a |\in| \Z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man sagt, dass {{math|term= 0 |SZ=}} das {{Stichwort/-|neutrale Element|msw=Neutrales Element|SZ=}} der Addition ist| |ISZ=|ESZ=. }} |Zu jedem {{ Relationskette |a |\in| \Z || || || |SZ= }} besitzt {{mathl|term= -a|SZ=}} die Eigenschaft {{ Relationskette/display |a + (-a) || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man sagt, dass {{math|term= -a|SZ=}} das {{Stichwort/-|negative Element|msw=Negatives Element|SZ=}} zu {{math|term= a |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} }} Die Multiplikation auf {{math|term= \Z|SZ=}} erfüllt die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette/display | (a \cdot b) \cdot c || a \cdot (b \cdot c) || || || |SZ= }} für beliebige {{ Zusatz/Klammer |text=alle| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{ Relationskette |a,b,c |\in| \Z || || || |SZ=, }} d.h. die Multiplikation ist {{Stichwort/-|assoziativ|SZ=.}} |Es ist {{ Relationskette/display | a \cdot b || b \cdot a || || || |SZ= }} für beliebige Zahlen {{ Relationskette |a,b |\in| \Z || || || |SZ=, }} d.h. die Multiplikation ist {{Stichwort|kommutativ|SZ=.}} |Es gilt {{ Relationskette/display |a \cdot 1 ||a || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette |a |\in| \Z || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man sagt, dass {{math|term= 1 |SZ=}} das {{Stichwort/-|neutrale Element|msw=neutrales Element||SZ=}} der Multiplikation ist| |ISZ=|ESZ=. }} }} Man spricht auch vom Assoziativgesetz der Addition u.s.w.. Addition und Multiplikation sind durch das sogenannte {{Stichwort/-|Distributivgesetz}} miteinander verbunden. Dieses besagt {{ Relationskette/display | a \cdot (b+c) || {{makl| a \cdot b |}} + {{makl| a \cdot c |}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |a,b,c |\in| \Z || || || |SZ=. }} Wir erinnern an einige weitere Begriffe. Man sagt, dass eine ganze Zahl {{math|term= a |SZ=}} eine ganze Zahl {{math|term= b |SZ=}} {{Stichwort|teilt|msw=Teiler|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder dass {{math|term= a |SZ=}} ein {{Stichwort|Teiler|SZ=}} von {{math|term= b |SZ=}} ist oder dass {{math|term= b |SZ=}} ein {{Stichwort|Vielfaches|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es eine weitere ganze Zahl {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette |b ||ac || || || |SZ= }} gibt. Beispielsweise ist {{math|term= 3 |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= 15 |SZ=,}} aber {{math|term= 2 |SZ=}} ist kein Teiler von {{math|term= 15 |SZ=.}} Eine {{Stichwort|gerade Zahl|SZ=}} ist eine ganze Zahl, die ein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=}} ist, eine {{Stichwort|ungerade Zahl|SZ=}} ist eine ganze Zahl, die kein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=}} ist. Wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, so verwenden wir die Bezeichnung {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} für diejenige {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |ISZ=|ESZ= }} ganze Zahl {{math|term= c |SZ=,}} für die die Gleichheit {{ Relationskette |b ||ac || || || |SZ= }} gilt{{{zusatz1|.}}} Auf den ganzen Zahlen ist auch die {{Stichwort|Größer/Gleich-Beziehung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Ordnungsbeziehung|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} definiert. Man schreibt {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ=, }} wenn {{math|term= a |SZ=}} mindestens so groß wie {{math|term= b |SZ=}} ist. Eine ganze Zahl {{math|term= a |SZ=}} ist genau dann eine natürliche Zahl, wenn {{ Relationskette |a |\geq|0 || || || |SZ= }} ist. Die Beziehung {{mathl|term= a \geq b |SZ=}} gilt genau dann, wenn es eine natürliche Zahl {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette |a ||b+c || || || |SZ= }} gibt. Für die Ordnungsbeziehung gelten die folgenden Regeln, und zwar für beliebige ganze Zahlen {{ Relationskette |a,b,c |\in| \Z || || || |SZ=: }} {{ Aufzählung6 |Es ist {{ Relationskette |a |\geq|a || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dies nennt man die {{Stichwort|Reflexivität|SZ=}} der Ordnung| |ISZ=|ESZ=. }} |Aus {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |b |\geq|c || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette |a |\geq|c || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dies nennt man die {{Stichwort|Transitivität|SZ=}} der Ordnung| |ISZ=|ESZ=. }} |Aus {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |b |\geq|a || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette |a ||b || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dies nennt man die {{Stichwort|Antisymmetrie|SZ=}} der Ordnung| |ISZ=|ESZ=. }} |Aus {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette |a+c |\geq|b+c || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dies nennt man die {{Stichwort|Additivität|SZ=}} der Ordnung| |ISZ=|ESZ=. }} |Aus {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |c |\in|\N || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | c \cdot a || c \cdot b || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dies nennt man die {{Stichwort|Multiplikativität|SZ=}} der Ordnung| |ISZ=|ESZ=. }} |Aus {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | c |\in| \Z_- || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= c |SZ=}} negativ| |ISZ=|ESZ= }} folgt {{ Relationskette | c \cdot a |\leq| c \cdot b || || || |SZ=. }} }} Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht sich also die Ordnungsbeziehung um. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} szh72i03v94hocfiz3ipsfyhpvvu1wk 0 61207 1092495 983762 2026-06-01T13:56:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092495 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Zifferndarstellung {{ Zusatz/Klammer |text=oder Ziffernentwicklung| |ISZ=|ESZ= }} einer natürlichen Zahl haben wir bereits besprochen, für eine negative ganze Zahl nimmt man einfach die zugehörige positive Zahl und schreibt ein Minuszeichen davor. Die zu einer Ziffernfolge gehörende Zahl gewinnt man, indem man aus der Ziffernfolge eine Vorschrift herausliest, was zu addieren, was zu multiplizieren, und was zu potenzieren ist {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Potenzieren eine bestimmte Form der Multiplikation ist| |ISZ=|ESZ=. }} Beispielsweise ist die Ziffernfolge {{ Math/display|term= 5071 |SZ= }} zu verstehen als {{Math/display|term= 5 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 +7 \cdot 10^1 +1 \cdot 10^0 |SZ=.}} Man muss also lediglich die Ziffern {{mathl|term= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 |SZ=}} und die Zahl {{math|term= 10 |SZ=}} sowie Addition und Multiplikation kennen, um die Ziffernfolge richtig zu interpretieren. Die Zifferndarstellung beruht also auf einer Kodierung von Rechenvorschriften. Die Operationen Addition und Multiplikation sollte man dabei als fundamentaler für die Zahlen ansehen als das Ziffernsystem, das lediglich eine geschickte Benennung darstellt. Für reelle Zahlen gibt es ebenfalls eine solche Ziffernentwicklung, wobei diese allerdings im Allgemeinen mit unendlich vielen Ziffern beschrieben werden. Die Bedeutung dieser Ziffernentwicklung ergibt sich im Kontext von Folgen und Reihen in Zusammenhang mit der sogenannten {{Stichwort|Vollständigkeit|SZ=}} der reellen Zahlen. Es ist nicht möglich, eine Zifferndarstellung als reelle Zahl allein mittels Addition und Multiplikation zu interpretieren. Wir betrachten zunächst eine abbrechende Ziffernentwicklung, wobei wir uns erstmal auf das Dezimalsystem beschränken. Es sei die Zahl {{ Relationskette/display |x || 5071{,}89826 || || || |SZ= }} gegeben. Sie ist zu interpretieren als die Zahl {{ Math/display|term= 5 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 7 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0 + 8 \cdot 10^{-1} + 9 \cdot 10^{-2}+ 8 \cdot 10^{-3}+ 2 \cdot 10^{-4} +6 \cdot 10^{-5} |SZ=. }} Hier schreiben wir {{mathl|term= 10^{-k} |SZ=}} statt {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10^k}} |SZ=.}} Diese Zahl kann man auch direkt als Bruch {{ Math/display|term= {{op:Bruch|507189826|100000}} |SZ= }} auffassen, es liegt also insbesondere eine rationale Zahl vor, und zwar eine mit einer Zehnerpotenz im Nenner. Um also eine abbrechende Ziffernfolge richtig als Zahl zu interpretieren, muss man addieren, multiplizieren und auch durch Zehnerpotenzen teilen können. Welche Bedeutung hat nun eine unendliche Ziffernentwicklung, wie {{ Relationskette/display |x || 5071{,}89802649511160350095368527351203476006836203451723487\dotso || || || |SZ=? }} Zunächst mal gar keine, da ja gar nicht klar ist, was mit den Punkten zum Schluss gemeint ist, wie die Zifferndarstellung weiter geht. Eine solche Schreibweise ergibt allenfalls dann Sinn, wenn in den angeführten Ziffern ein Muster erkennbar ist, dessen Fortführung ins Unendliche dann die vollständige Ziffernfolge festlegt, wie bei {{ Relationskette/display |y || 5071{,}8980 89808980 8980 8980 89808980 8980 8980 89808980 8980\dotso || || || |SZ= }} oder bei {{ Relationskette/display |z || 5071{,}010110111011110111110111111011111110\dotso || || || |SZ=. }} Man kann ein Bildungsgesetz für die unendlich vielen Ziffern auf jede beliebige Weise angeben, solange nur jede Ziffer einen eindeutigen Wert bekommt. Es sei jetzt eine irgendwie festgelegte unendliche Ziffernfolge gegeben. Welche Zahl verbirgt sich dahinter? Bei den abbrechenden Zahlen haben wir schon verwendet, dass die {{math|term= k |SZ=-}}te Nachkommastelle sich auf {{ Relationskette | 10^{-k} || {{makl| {{op:Bruch|1|10}} |}}^k || || || |SZ= }} bezieht. Nach dem oben angeführten Gesetz, wie eine Ziffernfolge als Zahl zu interpretieren ist, sollte eine Ziffernfolge {{ Math/display|term= 0{,}z_{1} z_2 z_3 z_4 z_5 z_6... |SZ= }} als {{ Math/display|term= z_1 10^{-1} + z_2 10^{-2} + z_3 10^{-3} + z_4 10^{-4} + z_5 10^{-5} + z_6 10^{-6} + \cdots |SZ= }} zu interpretieren sein. Dies ist eine {{Anführung|unendliche Summe|SZ=,}} und sowas ist {{Betonung/Negation|nicht}} definiert. Ausdrücke wie {{ Math/display|term= 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+ \cdots |SZ= }} oder {{ Math/display|term= 1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+ \cdots |SZ= }} lassen erkennen, dass man auch keine sinnvolle Interpretation für beliebige unendliche Summen erwarten darf. Allerdings ist es möglich, und zwar unter sehr restriktiven Voraussetzungen, gewisse unendliche Summen in sinnvoller Weise als reelle Zahlen zu interpretieren. Dies benötigt einige Vorbereitungen, doch dadurch werden letztlich auch die unendlichen Dezimalentwicklungen gerechtfertigt. Mit der Interpretation der {{math|term= k |SZ=-}}ten Nachkommastelle als {{mathl|term= 10^{-k} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term=z_k 10^{-k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die ja mit wachsendem {{math|term= k |SZ=}} kleiner werden, hängt zusammen, dass zu einer unendlichen Ziffernfolge die abgeschnittene Ziffernfolge bis zur {{math|term= k |SZ=-}}ten Nachkommastelle eine rationale {{Stichwort|Approximation|SZ=}} der Zahl liefert, und dass mit wachsendem {{math|term= k |SZ=}} die Approximationen immer besser werden. Für die Ziffernfolge {{ Relationskette/display |x ||5071{,}010110111011110111110111111011111110 || || || |SZ= }} sind also {{ Relationskette/display | x_0 ||5071 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_1 || 5071{,}0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |x_2 ||5071{,}01 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |x_3 ||5071{,}010 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_4 ||5071{,}0101 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |x_5 ||5071{,}01011 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |x_6 ||5071{,}010110 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |x_7 ||5071{,}0101101 || || || |SZ= }} zunehmend bessere Approximationen {{ Zusatz/Klammer |text=wenn eine {{math|term= 0 |SZ=}} dazukommt, kann man sich darüber streiten| |ISZ=|ESZ=. }} All diese {{math|term= x_i |SZ=}} sind rationale Zahlen, die zunehmend genauere Information über die durch die unendliche Ziffernfolge anvisierte Zahl beinhalten. Wir können also Ziffernfolgen als eine Folge von rationalen Approximationen auffassen{{{zusatz1|.}}} Eine fundamentale Beobachtung ist nun, dass Ziffernfolgen im Allgemeinen nicht die schnellste oder die beste Approximation einer Zahl geben, sondern dass häufig anders gelagerte Folgen besser sind. Deshalb werden die Approximationseigenschaften der reellen Zahlen über die fundamentalen Begriffe {{Stichwort|Folge|SZ=}} und {{Stichwort|Konvergenz|SZ=}} erfasst. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} aaued91bcxmejck30ird1wdtj9g7jeo 0 61219 1092095 980387 2026-06-01T12:51:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092095 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Rationale Zahlen/Brüche/Definition|| }} Einen Ausdruck {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} nennt man Bruch, wobei {{math|term= a |SZ=}} der {{Stichwort|Zähler|SZ=}} und {{math|term= b |SZ=}} der {{Stichwort|Nenner|SZ=}} des Bruches heißt. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben, beispielsweise ist {{ Relationskette | {{op:Bruch|5|10}} || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=. }} Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|1}} |SZ=}} schreibt man einfach {{math|term= a |SZ=.}} In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Es gelten die folgenden Identitäten {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{ Relationskette/k |c,d |\neq|0 || || || |SZ=, }} ansonsten seien alle {{ Relationskette |a,b,c,d |\in|\Z || || || |SZ= }} beliebig| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1|-1}} ||-1 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|0|c}} || 0 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|c|c}} ||1 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|c}} || {{op:Bruch|ad|cd}} || || || |SZ=. }} }} Die Addition und die Multiplikation auf rationalen Zahlen wird folgendermaßen festgelegt. {{ Aufzählung2 |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|c}} \cdot {{op:Bruch|b|d}} | {{defeq}} | {{op:Bruch|ab|cd}} || || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|c}} + {{op:Bruch|b|d}} | {{defeq}} | {{op:Bruch|ad+bc|cd}} || || || || |SZ=. }} }} Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operationen sind wohldefiniert{{{zusatz1|}}} und wie in {{math|term= \Z|SZ=}} assoziativ, kommutativ und es gilt das Distributivgesetz. Diese Eigenschaften kann man auf die entsprechenden Eigenschaften der ganzen Zahlen zurückführen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Rationale Zahlen/Rechengesetze/Bezug auf Z/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die {{ Relationskette | 0 || {{op:Bruch|0|1}} || || || |SZ= }} hat wieder die Eigenschaft {{ Relationskette/display | 0 + {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|a|b}} || || || |SZ= }} und die {{ Relationskette |1 || {{op:Bruch|1|1}} || || || |SZ= }} hat wieder die Eigenschaft {{ Relationskette/display |1 \cdot {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|a|b}} || || || |SZ=. }} Ferner gibt es wieder zu einer rationalen Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} die negative Zahl {{ Relationskette/display | - {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|-a|b}} || || || |SZ=. }} Sie besitzt die charakteristische Eigenschaft {{ Relationskette/display | - {{op:Bruch|a|b}} + {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|-a+a|b}} || 0 || || |SZ=. }} Zu einer rationalen Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit {{ Relationskette |a,b |\neq|0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also wenn Zähler und Nenner von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden sind| |ISZ=|ESZ= }} ist auch der umgedrehte Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} eine rationale Zahl, und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} \cdot {{op:Bruch|b|a}} || {{op:Bruch|ab|ab}} || 1 || || |SZ=. }} Man nennt {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} die {{Stichwort|inverse rationale Zahl|SZ=}} zu {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}}{{{zusatz2|}}} Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren {{ Zusatz/Klammer |text=die ganzen Zahlen seien dort schon platziert| |ISZ=|ESZ=. }} Die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | a,b |\in| \N_+ || || || |SZ= }} findet man so: Man unterteilt die Strecke von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= b |SZ=}} gleichlange Teilstrecken. Die Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} ist dann die rechte Grenze der {{ Zusatz/Klammer |text=von links| |ISZ=|ESZ= }} ersten Teilstrecke. Insbesondere ist {{math|term= {{op:Bruch|1|b}} |SZ=}} die Länge des Intervalls, dass {{math|term= b |SZ=-}}fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke {{ Zusatz/Klammer |text=oder das Einheitsintervall| |ISZ=|ESZ= }} ergibt{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Frage, wie man diese Unterteilung elementar durchführt, besprechen wir hier nicht| |ISZ=.|ESZ=. }} Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. Dabei gilt für {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|b|}} |und|term2= {{op:Bruch|c|d|}} |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= a,c \in \Z |und|term2= b,d \in \N_+ |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b|}} |\geq| {{op:Bruch|c|d|}} || || || |SZ= }} genau dann, wenn in {{math|term= \Z |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | ad |\geq|bc || || || |SZ= }} gilt. Um dies von der Zahlengerade her einzusehen, bringt man die beiden rationalen Zahlen auf den Hauptnenner, d.h. man vergleicht {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|ad|bd|}} |und|term2= {{op:Bruch|cb|bd|}} |SZ=. }} Die Größerbeziehung hängt dann, wegen {{mathl|term= bd|SZ=}} positiv, allein von den beiden Zählern ab. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Fußnoten=x |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 22wwlozz3pe42gj7ozkgiz8clr9vbp5 0 61237 1092227 1074605 2026-06-01T13:12:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092227 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Intervallschachtelung e|gif| 350px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Intervallschachtelung_e |Autor= |Benutzer=Caldrac |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir besprechen eine Beschreibung der sogenannten {{Stichwort|eulerschen Zahl|msw=Eulersche Zahl|SZ=}} {{math|term= e |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Intervallschachtelung/Eulersche Zahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Leonhard Euler by Handmann |png| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Leonhard_Euler_by_Handmann_ |Text=[[w:Leonhard Euler|Leonhard Euler (1707-1783)]] |Autor=Emanuel Handmann |Benutzer=QWerk |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www.euler-2007.ch/doc/Bild0015.pdf }} Durch diese {{ Definitionslink |Intervallschachtelung| |Kontext=| |SZ= }} ist aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt |SZ= }} eindeutig eine reelle Zahl bestimmt. {{ inputdefinition |Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition|| }} Ihr numerischer Wert ist {{ Relationskette/display |e ||2{,}718281828459 {{ldots|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der eulerschen Zahl |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Zahl |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} butfd1y808h37jgujex59cf6uooofwr 0 61261 1092088 1074671 2026-06-01T12:50:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092088 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg|200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies|SZ=,}} aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Math/display|term= x \in M |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Math/display|term= x \not\in M |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. Die Menge, die kein Element besitzt, heißt {{Definitionswort/enp|leere Menge|SZ=}} und wird mit {{ Math/display|term= \emptyset |SZ= }} bezeichnet. Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette | N |\subseteq| M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N |\subseteq| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Man sagt dafür auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{mathl|term= N \subseteq M |SZ=}} vorliegt. Im Nachweis, dass {{mathl|term= N \subseteq M |SZ=}} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{mathl|term= x \in N |SZ=}} ebenfalls die Beziehung {{ Relationskette | x |\in| M |SZ= }} gilt{{ Zusatz/Fußnote |text=In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage {{math|term= \forall x(x \in N \rightarrow x \in M) |SZ=.}} | |ESZ=. }} Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{mathl|term= x \in N |SZ=}} verwenden. Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige {{Stichwort|Gleichheitsprinzip für Mengen|SZ=,}} dass {{ Math/display|term= M=N \text{ genau dann, wenn } N \subseteq M \text{ und } M \subseteq N |SZ= }} gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen| |SZ= }} die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass klar die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prinzip, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird. {{Zwischenüberschrift|Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Betrachte die beiden Auflistungen {{ Math/display|term= \{ \text{Paris}, \text{London}, \text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} \} |SZ= }} und {{ Math/display|term= \{ \text{Paris}, \text{London}, \text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} , \text{die einwohnerreichste Stadt von Frankreich}, \text{die Hauptstadt von England}, \text{Londres}, \text{die Stadt in der wir leben} \} |SZ=. }} Handelt es sich um die gleiche Menge? Ein mathematisches Beispiel von dieser Art ist {{ Math/display|term= \{0,1,2,3\} |SZ= }} und {{ Math/display|term= \{0,0+1,1+1,1+(0+1), \text{der Nachfolger von } 1, 1 \cdot 2+1,3-1, \text{zwei}, 8-6\} |SZ=. }} Es ist keine triviale Frage, ob es sich um die gleiche Menge handelt oder nicht. Die Beantwortung hängt davon ab, ob wir bei den zweiten Mengen die bezeichneten Objekte oder die bezeichnenden Symbole {{ Zusatz/Klammer |text=also die Wörter, die Wortketten, die Beschreibungen| |SZ= }} selbst meinen. {{Stichwort/anf|Die einwohnerreichste Stadt von Frankreich|SZ=}} und {{Stichwort/anf|Paris|SZ=}} sind unterschiedliche Bezeichnungen für die gleiche Stadt. Insofern kann man sagen, dass das Problem nicht auf der Ebene der Mengen besteht, sondern auf der Ebene der Elemente und ihren Bezeichnungen, ob man beispielsweise mit {{Stichwort/anf|Paris|SZ=}} die zugehörige Stadt meint oder die zugehörige {{Stichwort/anf|Buchstabenfolge|SZ=.}} Von der Menge {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. den {{Stichwort/anf|umgebenden Elementen|SZ=}} | |SZ= }} hängt es allerdings schon ab, welcher Kontext erzeugt wird, von dem aus dann auch die einzelnen Elementbezeichner interpretiert werden. In der Menge {{ Math/display|term= \{ \text{Paris}, \text{London}, \text{Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} \} |SZ= }} wird man das erste Element vermutlich spontan als die Stadt verstehen, in der Menge {{ Math/display|term= \{ \text{Paris}, \text{Parole} ,\text{Party} \} |SZ= }} wohl eher als Buchstabenfolge. Im Zweifelsfall muss eben der Kontext deutlich gemacht werden. In der Mathematik handelt es sich dabei selten um ein echtes Problem, in aller Regel meint man bei einer Auflistung die durch die Symbole gemeinten mathematischen Zahlen und sonstigen Objekte. In der mathematischen Logik ist zwar eine Menge wie z.B. {{Stichwort/anf|die Menge aller arithmetisch sinnvollen Ausdrücke|SZ=}} wichtig, in der Mathematik selbst aber nicht. Dort sind die Ausdrücke {{ Zusatz/Klammer |text= {{Stichwort|Terme|msw=Term|SZ=}} | |SZ= }} zumeist auf eine bestimmte {{ Zusatz/Klammer |text=Zahl| |SZ=- }}Menge bezogen und in diesen zu interpretieren. Im mathematischen Kontext gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten, um ein mathematisches Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise eine Zahl| |SZ= }} auszudrücken. Wenn zwei unterschiedliche Ausdrücke oder Terme die gleiche Zahl beschreiben, so meint man, dass es sich um das gleiche Element der entsprechenden Zahlenmenge handelt. Der Nachweis, dass zwei verschiedene Terme die gleiche Zahl bezeichnen, kann durchaus schwierig sein. Dieser Nachweis wird {{Stichwort|rechnen|SZ=}} genannt, insbesondere dann, wenn die Gleichheit eines mehr oder weniger komplizierten Ausdrucks {{ Zusatz/Klammer |text=wie z.B. {{math|term= 1\cdot 2 +1 |SZ=}} | |SZ= }} mit einem einfachen Repräsentaten {{ Zusatz/Klammer |text=z.B. {{math|term= 3 |SZ=}}| |SZ= }} nachgewiesen wird. Auflistungen mit Fortsetzung Neben endlichen Auflistungen gibt es auch noch solche Auflistungen, bei denen nach einer endlichen Auflistung eine unendliche Weiterführung durch Punkte {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \ldots|SZ=}} | |SZ= }} angedeutet wird. Damit ist gemeint, dass die ersten Elemente der Auflistung einen Bildungsprozess erkennen lassen, mit dem man alle weiteren Elemente bestimmen kann. Beispiele sind {{ Math/display|term= \{1,3,5,7,9, \ldots \},\, \{1,2,4,8,16, \ldots \},\, \{ 9,99,999,9999, 99999, \ldots \} |SZ= }} und ähnliche. Dies ist grundsätzlich problematisch, da es für jede endliche Liste {{mathl|term= a_1,a_2 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} von {{math|term= n |SZ=}} Zahlen ein Polynom {{Math/display|term=P(k)=c_0 +c_1k+c_2k^2+c_3k^3 {{plusdots|}} c_d k^d|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= d \leq n |SZ=}} gibt mit {{ Math/display|term= P(1)=a_1, \, P(2)=a_2 {{kommadots|}} P(n)=a_n |SZ=. }} Es gibt also stets ein mehr oder weniger einfaches polynomiales Bildungsgesetz, das aber oben nur im linken Beispiel die vermutlich gemeinte Vorschrift ist. Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen {{ Math/display|term= \N=\{ 0,1,2,3, \ldots \} |SZ=. }} Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wir werden diese Menge erstmal so akzeptieren und später noch eine Axiomatik dafür angeben{{ Zusatz/Fußnote |text=Und zwar werden wir später die natürlichen Zahlen mittels der Peano-Axiome axiomatisieren, bis dahin verwenden wir sie aber schon manchmal, vor allem in Beispielen, ebenso wie die Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=,}} die Menge der rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=}} und die Menge der reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=.}} | |ESZ=. }} Wichtig ist aber, dass mit {{math|term= \N|SZ=}} nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche. Mengenbeschreibung durch Eigenschaften Es sei eine Menge {{math|term= M |SZ=}} gegeben. In ihr gibt es gewisse Elemente, die gewisse Eigenschaften {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikate| |SZ= }} erfüllen können oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Math/display|term= {{Mengebed|x \in M|E(x)}} = {{Mengebed|x \in M|x \text{ besitzt die Eigenschaft } E}} |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Math/display|term= G= {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist gerade} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= U= {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist ungerade} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= Q= {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist eine Quadratzahl} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= \mathbb P= {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist eine Primzahl} }} |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Math/display|term= O = {{Mengebed|x \in K|x \text{ kommt aus Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= P = {{Mengebed|x \in K|x \text{ studiert im Nebenfach Physik} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= D= {{Mengebed|x \in K|x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Math/display|term= K={{Mengebed|x|x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen. {{ Auflistung3 |{{Stichwort|Vereinigung|SZ=}} {{ Math/display|term= A \cup B {{defeq|}} {{Mengebed|x|x \in A \text{ oder } x \in B}} |SZ=, }} |{{Stichwort|Durchschnitt|SZ=}} {{ Math/display|term= A \cap B {{defeq|}} {{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \in B}} |SZ=, }} |{{Stichwort|Differenzmenge|SZ=}} {{ Math/display|term= A \setminus B {{defeq|}} {{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \not\in B}} |SZ=. }} }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{mathl|term= A \subseteq G |SZ=,}} das durch {{ Relationskette/display | {{op:Mengenkomplement|A}} | {{defeq|}}| G \setminus A || {{Mengebed|x \in G|x \not\in A}} || || |SZ= }} definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also {{mathl|term= A \cap B= \emptyset|SZ=}} gilt, so nennen wir sie {{Definitionswort/enp|disjunkt|SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Sie werden aber oft auch nur durch ihre Begrenzung wiedergegeben, wobei dann bei Überschneidungen der Grenzlinien das Problem auftritt, wie die Grenzlinien weiterlaufen. Hier gilt zumeist die {{ Zusatz/Klammer |text=unausgesprochene| |SZ= }} Konvention, dass die {{Stichwort/anf|geraden|}} bzw. {{Stichwort/anf|glatten|SZ=}} Kurven die Ränder der beteiligten Einzelmengen sind, während sich für die Schnittmengen {{Stichwort/anf|eckige|SZ=}} Ränder ergeben können. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Konstruktion von Mengen}} Die meisten Mengen in der Mathematik ergeben sich ausgehend von einigen wenigen Mengen wie beispielsweise den endlichen Mengen und {{math|term= \N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die man sicher auch ohne jede tiefere Rechtfertigung als Menge akzeptieren kann| |SZ= }} durch bestimmte Konstruktionen von neuen Mengen aus schon bekannten oder schon zuvor konstruierten Mengen{{ Zusatz/Fußnote |text=darunter fallen auch der Schnitt und die Vereinigung, doch bleiben diese innerhalb einer vorgegebenen Grundmenge, während es hier um Konstruktionen geht, die darüber hinaus gehen.| |ESZ=. }} Wir definieren{{ Zusatz/Fußnote |text={{:Definitionen/Rolle in Mathematik/Erläuterung/Bemerkung|opt=Text}}| |SZ=. }} {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Man spricht auch vom {{Stichwort|kartesischen Produkt|msw=Kartesisches Produkt|SZ=}} der beiden Mengen| |SZ=. }} }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term= (x,y) |SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponenten|msw=Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn es in der ersten Menge {{math|term= n |SZ=}} Elemente und in der zweiten Menge {{math|term= k |SZ=}} Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge {{mathl|term= n \cdot k |SZ=}} Elemente. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden, worauf wir bald zurückkommen werden. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Schachbrett/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Reelle Intervalle und Rechtecke/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Rationale Zahlen als Brüche/Beispiel|| }} Eine andere wichtige Konstruktion, um aus einer Menge eine neue Menge zu erhalten, ist die Potenzmenge. {{ inputdefinition |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} Wenn eine Menge {{math|term= n |SZ=}} Elemente besitzt, so besitzt ihre Potenzmenge {{math|term= 2^n |SZ=}} Elemente. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} 0xnay1jv8bhz2dj7tpii9j2j2i4rcf5 0 61295 1092283 982428 2026-06-01T13:21:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092283 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} Man beachte, dass kein Kommutativitätsgesetz vorausgesetzt wird, sodass man die zweifachen Formulierungen in Teil (2) und (3) benötigt {{ Zusatz/Klammer |text=eine Gruppe, wo zusätzlich die Kommutativität gilt, heißt {{Definitionswort/enp|kommutative Gruppe|SZ=}} | |SZ=. }} Die Symbole {{math|term= \circ|SZ=}} für die Verknüpfung und {{math|term= e |SZ=}} für das neutrale Element sind willkürlich gewählt, man könnte sie auch anders nennen. Es ist aber sinnvoll, bei der abstrakten Einführung eine Bezeichnung zu wählen, die intuitiv nicht vorbelastet ist. Eine Bezeichnung wie {{math|term= \cdot|SZ=}} für die Verknüpfung und {{math|term= 1 |SZ=}} für das neutrale Element birgt die Gefahr, dass man sich zu Schlüssen verleiten lässt, die von der Multiplikation von Zahlen her vertraut sind, die aber eventuell für eine beliebige Gruppe nicht gelten müssen. Beispiele für Gruppen sind {{mathl|term= (\Z,+,0) |SZ=,}} {{mathl|term= (\Q,+,0) |SZ=,}} {{mathl|term= (\R,+,0) |SZ=,}} {{mathl|term= (\Q \setminus \{0\},\cdot ,1) |SZ=,}} {{mathl|term= (\R \setminus \{0\},\cdot ,1) |SZ=,}} {{mathl|term= (\Q_+ \setminus \{0\},\cdot ,1) |SZ=}} und {{mathl|term= (\R_+ \setminus \{0\},\cdot ,1) |SZ=.}} Dagegen sind {{math|term= \Z|SZ=}} mit der Multiplikation und {{mathl|term= \Z \setminus \{0\} |SZ=}} keine Gruppen. Eine Gruppe ist niemals leer, da es ja ein neutrales Element enthalten muss. Die Menge, die nur aus einem einzigen Element besteht, ist mit der einzig darin möglichen Verknüpfung und dem einzig darin möglichen neutralen Element eine Gruppe. Man spricht von der {{Stichwort|trivialen Gruppe|msw=Triviale Gruppe|SZ=.}} Eine weitere Gruppe ist die zweielementige Menge {{ Math/display|term= (\{-1,1\}, \cdot, 1 ) |SZ= }} mit der von {{math|term= \Z|SZ=}} bekannten Multiplikation. In einer Gruppe ist zu einem Element {{mathl|term= x \in G |SZ=}} das Element {{math|term= y |SZ=}} mit der Eigenschaft {{mathl|term= x\circ y=e= y \circ x |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das es aufgrund der Gruppenaxiome geben muss| |SZ= }} eindeutig bestimmt. Wenn nämlich {{ mathkor|term1= y |und|term2= y' |SZ= }} beide diese Eigenschaft besitzen, so gilt {{ Relationskette/display |y ||y \circ e ||y \circ (x \circ y') ||(y \circ x) \circ y' ||e \circ y' ||y' |SZ=. }} Man beachte, dass in diesen Beweis die Bedingungen an {{ mathkor|term1= y |und|term2= y' |SZ= }} nicht völlig symmetrisch eingehen. Diese Eindeutigkeit erlaubt es, das zu einem Gruppenelement {{mathl|term= x \in G |SZ=}} eindeutig bestimmte inverse Element als {{ Math/display|term= x^{-1} |SZ= }} zu bezeichnen. In der Mathematik geht es zu einem beträchtlichen Teil um die Lösung von Gleichungen, und zwar um die Existenz von Lösungen, die Berechnung von Lösungen und die Eindeutigkeit von Lösungen. Bei einer Gruppe besitzen die formulierbaren Einzelgleichungen eine eindeutige Lösung. Insofern handelt es sich bei einer Gruppe um eine besonders einfache mathematische Struktur. {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ |ref1=|zusatz1={{{zusatz2|}}}| }} {{Zwischenüberschrift|Bijektive Abbildungen}} Wir erwähnen eine weitere Gruppe, nämlich die Gruppe der bijektiven Abbildungen auf einer fixierten Menge. Die Verknüpfung wird durch die Hintereinanderschaltung von Abbildungen gegeben; diese Verknüpfung ist assoziativ, wie die folgende Aussage zeigt. {{ inputfaktbeweis |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Assoziativ/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lbtlbvpzcy0gw4fn9ui43z62zwj5tqs 0 61567 1092781 1081078 2026-06-01T17:43:06Z Ralf Roletschek 2938 LA abgelehnt 1092781 wikitext text/x-wiki ==Fahrschulen in der Uckermark== ===Schwedt=== *Jürgen Drägert - Karthausstr. 9 b - 16303 Schwedt - http://www.fahrschule-draegert.de/ *Compass Fahrschule - R.-Breitscheid Str. 19 - 16303 Schwedt - http://www.compass-fahrschule.de/ *Fahrschule Gerd Frenzel - Inhaber Rene Frenzel - B.-v.-Suttner-Str. 21 - 16303 Schwedt - https://www.fahrschule-gerd-frenzel.de/ *Rudis Fahrschule - Gartenstr. 19/17 - 16303 Schwedt - http://www.rudis-fahrschule-pension-schwedt.de/ *Boy's Fahrschule - Kummerower Straße 37 - 16303 Schwedt - (keine Internetpräsenz vorhanden) *City Fahrschule - 16303 Schwedt - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Fahrschule Mantei - 16303 Schwedt - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Fred Oelke - Berliner Straße 124a - 16303 Schwedt/Oder - (keine Internetpräsenz vorhanden) ===Angermünde=== *B2 Fahrschule - An der MTS 7 - 16278 Angermünde - mail: fahrschule@abw-ang.de - Telefon 03331 296979-60 *Fahrschule Klink - Klosterstr.20 - 16278 Angermünde - http://www.fahrschule--klink.de/ *Fahrschule Borchert - Schönermarker Str. 13 -16278 Angermünde - http://www.fahrschule-borchert.de/ *Fahrschule Boeck - Gustav-Bruhn-Straße 11 - 16278 Angermünde - (keine Internetpräsenz vorhanden) ===Prenzlau=== *Heinz Dei - Neustädter Damm 94 - 17291 Prenzlau - https://www.fahrschule-dei.de/ *Fahrschule Küchler - Neustadt 42 - 17291 Prenzlau - https://www.fahrschule-kuechler.de/ *Fahrschule Welz - Schwedter Straße 20 - 17291 Prenzlau - http://www.fahrschule-welz.de/ *Fahrschule Am Vorstadtbahnhof - Güstower Straße 14 - 17291 Prenzlau - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Fahrschule Gohlke - Brüssower Straße 12 - 17291 Prenzlau - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Fahrschule Meyer - Güstower Straße 14 - 17291 Prenzlau - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Hans Gebhardt - Marktberg 36 - 17291 Prenzlau - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Joachim Baumgarten - Lessingstraße 6 - 17291 Prenzlau - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Peter Beyer - Baustraße 21 - 17291 Prenzlau - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Fahrschule Uckermark-Trans - Brüssower Chaussee 88 - 17291 Prenzlau - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Dirk Weise - Binnenmühle 2 - 17291 Prenzlau - (keine Internetpräsenz vorhanden) ===Templin=== *Klaus Weber - Werderstraße 43 - 17268 Templin - https://www.webers-fahrschule.de/ *Fahrschule Collin - Robert-Koch-Straße 2 - 17268 Templin - http://www.fahrschule-collin.de/ *Fahrschule Michael Klette - Schinkelstraße 8 - 17268 Templin - https://www.fahrschule-klette.de/ *Fahrschule Strachardt - Am Markt 13 - 17268 Templin - http://www.endlich-fahrerlaubnis.de/ *Alexander Dietrich - August-Bebel-Straße 26 - 17268 Templin - (keine Internetpräsenz vorhanden) *Joachim Schirowski - Bahnhofstraße 1 - 17268 Templin - (keine Internetpräsenz vorhanden) ===Hohenselchow=== *Reiner Fischer - Casekower Str. 16 - 16306 Hohenselchow - https://www.fahrschule-fischer-um.de/ ===Lychen=== *Fahrschule Lehmann - Zehdenicker Straße 23 - 17279 Lychen - http://www.fahrschule-lehmann-lychen.de/ == B2 Fahrschule = Mitarbeiter== *Gerd Frenzel * René Frenzel *Jörn Ehling *Manfred Bösel ==Klassen== *A *B *BE *C *CE *D *DE ==Fahrzeug== [[File:VW Golf Plus.jpg|thumb]] *weißer Golf Plus *LKW ==Logoentwürfe== [[File:B2 1.jpg|thumb]] [[File:B2 2.jpg|thumb]] [[File:B2 3.jpg|thumb]] Entscheidung steht: das dritte Logo soll es sein. Und gleichzeitig gibts ein Lob von der GF. Bitte keine Datei löschen. :Löschen kann hier sowieso nur ich :p --[[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] 02:41, 20. Jan. 2010 (CET) Hinweis: Die Seite sollte nach Rücksprache mit der Geschäftsführung schon als Sitemap vorgedacht werden! ==Fahrschulauto== Unterseite, was ist ein Fahrschulauto mit Bebilderung (doppelte Lenkräder usw... und deren Beschreibung) sowie Fotos davon. 074b34ynxa9a1nbud02enp2xo7844vz 0 61570 1092782 1081077 2026-06-01T17:44:05Z Ralf Roletschek 2938 Änderung von [[Special:Contributions/NDG|NDG]] ([[User talk:NDG|Diskussion]]) wurde auf die letzte Version von [[User:Ralf Roletschek|Ralf Roletschek]] zurückgesetzt 373383 wikitext text/x-wiki Eine ausführlichere Version, die auch gepflegt wird, ist jetzt hier zu finden: http://www.fahrradmonteur.de/Diva_vor_der_Kamera f8iz42grnspc0gyxs1m6xt1xzmljnoo 0 62620 1092348 982934 2026-06-01T13:32:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092348 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die imaginäre Einheit {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} hat die wichtige Eigenschaft {{ Relationskette | {{Imaginäre Einheit}}^2 || -1 || || || |SZ=. }} Das Negative von {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} besitzt die gleiche Eigenschaft, nämlich {{ Relationskette/display | (-{{Imaginäre Einheit}} )^2 || (-1)^2 {{Imaginäre Einheit}}^2 || -1 || || |SZ=. }} Damit gibt es zu jeder negativen reellen Zahl {{math|term= -c|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= c |SZ=}} positiv| |ISZ=|ESZ= }} in {{math|term= {{CC}} |SZ=}} die beiden Quadratwurzeln {{ mathkor|term1= \sqrt{c} {{Imaginäre Einheit}} |und|term2= - \sqrt{c} {{Imaginäre Einheit}} |SZ=. }} Im folgenden Beispiel zeigen wir, dass nicht nur jede reelle Zahl in {{math|term= {{CC}} |SZ=}} eine Quadratwurzel besitzt, sondern überhaupt jede komplexe Zahl. {{ inputbeispiel |Komplexe Zahl/Berechnung der Quadratwurzel/Beispiel|| }} Daraus ergibt sich, dass innerhalb von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} jede {{Stichwort|quadratische Gleichung|SZ=}} {{ Relationskette/display | az^2+bz+c || 0 || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b,c \in {{CC}}, \, a \neq 0 |SZ=,}} mindestens eine komplexe Lösung besitzt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Komplexe Zahlen/Quadratische Gleichung hat Lösung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexen Quadratwurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} aj95i9zr1ppl2tjsaogjzowz0xir560 0 62957 1092390 1019349 2026-06-01T13:39:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092390 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. Neben endlichen Auflistungen gibt es auch noch solche Auflistungen, bei denen nach einer endlichen Auflistung eine unendliche Weiterführung durch Punkte {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \ldots|SZ=}} | |SZ= }} angedeutet wird. Damit ist gemeint, dass die ersten Elemente der Auflistung einen Bildungsprozess erkennen lassen, mit dem man alle weiteren Elemente bestimmen kann. Beispiele sind {{ Math/display|term= \{1,3,5,7,9, \ldots \},\, \{1,2,4,8,16, \ldots \},\, \{ 9,99,999,9999, 99999, \ldots \} |SZ= }} und ähnliche. Dies ist grundsätzlich problematisch, da es für jede endliche Liste {{mathl|term= a_1,a_2 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} von {{math|term= n |SZ=}} Zahlen ein Polynom {{Math/display|term=P(k)=c_0 +c_1k+c_2k^2+c_3k^3 {{plusdots|}} c_d k^d|SZ=}} vom Grad {{mathl|term= d \leq n |SZ=}} gibt mit {{ Math/display|term= P(1)=a_1, \, P(2)=a_2 {{kommadots|}} P(n)=a_n |SZ=. }} Es gibt also stets ein mehr oder weniger einfaches polynomiales Bildungsgesetz, das aber oben nur im linken Beispiel die vermutlich gemeinte Vorschrift ist. Die wichtigste Menge, die man zumeist als eine fortgesetzte Auflistung einführt, ist die Menge der natürlichen Zahlen {{ Math/display|term= \N=\{ 0,1,2,3, \ldots \} |SZ=. }} Hier wird eine bestimmte Zahlenmenge durch die Anfangsglieder von erlaubten Zifferfolgen angedeutet. Wir werden diese Menge erstmal so akzeptieren und später noch eine Axiomatik dafür angeben{{ Zusatz/Fußnote |text=Und zwar werden wir später die natürlichen Zahlen mittels der Peano-Axiome axiomatisieren, bis dahin verwenden wir sie aber schon manchmal, vor allem in Beispielen, ebenso wie die Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=,}} die Menge der rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=}} und die Menge der reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=.}} | |ESZ=. }} Wichtig ist aber, dass mit {{math|term= \N|SZ=}} nicht eine Menge von bestimmten Ziffern gemeint ist, sondern die durch die Ziffern repräsentierten Zahlwerte. Eine natürliche Zahl hat viele Darstellungsarten, die Ziffernrepräsentation im Zehnersystem ist nur eine davon, wenn auch eine besonders übersichtliche. Mengenbeschreibung durch Eigenschaften Es sei eine Menge {{math|term= M |SZ=}} gegeben. In ihr gibt es gewisse Elemente, die gewisse Eigenschaften {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikate| |SZ= }} erfüllen können oder aber nicht. Zu einer Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Math/display|term= {{Mengebed|x \in M|E(x)}} = {{Mengebed|x \in M|x \text{ besitzt die Eigenschaft } E}} |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Math/display|term= G= {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist gerade} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= U= {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist ungerade} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= Q= {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist eine Quadratzahl} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= \mathbb P= {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist eine Primzahl} }} |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Math/display|term= O = {{Mengebed|x \in K|x \text{ kommt aus Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= P = {{Mengebed|x \in K|x \text{ studiert im Nebenfach Physik} }} |SZ=, }} {{ Math/display|term= D= {{Mengebed|x \in K|x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Math/display|term= K={{Mengebed|x|x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} aj589r0a3cs5gdvlkjah75340s3tdzf 0 63177 1092098 1075128 2026-06-01T12:51:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092098 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Aplicación_2|svg| 250px {{!}} {{!}} | |Zusname=Aplicacion_2 |Autor= |Benutzer=HiTe |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Beliebteste Eissorten in Deutschland|svg| 250px {{!}} {{!}} | |Zusname=Beliebteste_Eissorten_in_Deutschland |Autor= |Benutzer=Doofi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Tiefkühlkonsum|svg| 250px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=SInner1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= x |SZ=}}|1|2|3|4|5|6|text2={{math|term= \pi(x) |SZ=}}|2|4|6|5|3|1}} {{ inputbild |Exp|svg| 250px {{!}} {{!}} | |Autor=Peter John Acklam |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{:Restklassenringe (Z)/mod 7/Multiplikationstafel}} {{ inputbild |Monkey Saddle Surface (Shaded)|png| 250px {{!}} {{!}} | |Zusname=Monkey_Saddle_Surface_(Shaded) |Autor= |Benutzer=Inductiveload |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Schoenberg-ebringen-isohypsen|png| 250px {{!}} {{!}} | |Autor= |Benutzer=W-j-s |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Elliptic orbit|gif| 250px {{!}} {{!}} | |Zusname=Elliptic_orbit |Autor= |Benutzer=Brandir |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA 2.5 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} neb638uuaqn2lyc1y2x1tf4omhinh5n 0 63769 1092856 1025122 2026-06-02T10:23:51Z Arbota 36910 Ersetzung 1092856 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text=Das {{Stichwort/Abfrage|Folgenkriterium|SZ=}} für die Stetigkeit einer Funktion {{ Abbildung/display |name= f | {{KRC|}} | {{KRC|}} || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | a | \in | {{KRC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 06ir9qg03g1a4y3ef1jzlj3ynooguom 0 63865 1092718 957707 2026-06-01T14:39:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092718 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Die {{Stichwort/Abfrage|Gleichmächtigkeit|SZ=}} von zwei Mengen {{math |term= L }} und {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ht6tp39x5a32woqw3qgp8oxwacfc2ei 0 63866 1092757 1019298 2026-06-01T14:46:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092757 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Die {{Stichwort/Abfrage|Stetigkeit in einem Punkt|SZ=}} {{math |term= a \in {{KRC}} }} einer Abbildung {{math|term= f:{{KRC}} \rightarrow {{KRC}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hs0gz9vytxacxzai98qqrfly7lh2lzm 0 64045 1092680 1024684 2026-06-01T14:33:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092680 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Die {{Stichwort/Abfrage|Exponentialreihe|SZ=}} zu einer komplexen Zahl {{ Relationskette | z | \in | {{CC}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mvtiqo9oofjmbkuz2sw7x4lu766h7b0 0 64159 1092703 1024772 2026-06-01T14:37:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092703 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Der {{Stichwort/Abfrage|Betrag|SZ=}} einer komplexen Zahl {{ Relationskette | z || a+b {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6nunzarbzgy38um0el8ai6shobjolwu 0 64178 1092668 1024630 2026-06-01T14:31:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092668 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{Stichwort/Abfrage|Taylor-Polynom vom Grad|SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} zu einer {{math|term= n |SZ=-}}mal differenzierbaren Funktion {{ Abbildung/display |name= f |{{CC}} | {{CC}} || |SZ= }} im Entwicklungspunkt {{mathl|term= a \in {{CC}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6khwfb5aajaebnmbpa23ikhxrln75nc 0 64179 1092740 1019096 2026-06-01T14:43:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092740 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Die {{Stichwort/Abfrage|Produktmenge}} aus zwei Mengen {{math|term= L}} und {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7491zw9nxylwfb4tr6sw01bcvwkkzda 0 64184 1092660 1024612 2026-06-01T14:30:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092660 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |Treppenintegral| |msw= |SZ= }} zu einer Treppenfunktion {{ Abbildung/display |name= t | I |\R || |SZ= }} auf einem Intervall {{mathl|term= I=[a,b] |SZ=}} zur Unterteilung {{mathl|term= a=a_0<a_1<a_2 < \cdots < a_{n-1} < a_n= b |SZ=}} und den Werten {{ mathbed|term= t_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dq3aw1555iwhrjm9kbscjh8ud25qdjx 0 64208 1092679 1018547 2026-06-01T14:33:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092679 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Die {{ Stichwort/Abfrage |reelle Exponentialfunktion| |msw= |SZ= }} zur Basis {{mathl|term= b >0 |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l9tywad1fsbj11xhi1ns8ku062se0wn 0 64216 1092656 856630 2026-06-01T14:29:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092656 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Eine {{ Stichwort/Abfrage |wachsende| |msw= |SZ= }} Folge {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} in einem angeordneten Körper. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} otmzt24lheqjp6ruula79650bvj8lh6 0 64217 1092756 1025126 2026-06-01T14:46:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092756 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |stetige Fortsetzung| |msw= |SZ= }} einer stetigen Funktion {{ Abbildung/display |name= f |{{{T|T}}} | {{KRC|}} || |SZ= }} auf eine Teilmenge {{ mathbed|term= \tilde{ {{{T|T}}} } ||bedterm1= {{{T|T}}} \subseteq \tilde{ {{{T|T}}} }\subseteq {{KRC|}} ||bedterm2= |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} offufo4aj6iro4ij6fl9fs4patdb3xo 0 64228 1092682 1024686 2026-06-01T14:33:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092682 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Taylor-Reihe| |msw= |SZ= }} zu einer unendlich oft differenzierbaren Funktion {{ Abbildung/display |name= f | U | {{KRC|}} || |SZ= }} auf einer offenen Menge {{mathl|term= U \subseteq {{KRC|}} |SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= a \in U |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bii0wt86igh3y94tldwip384gt4fm0r 0 64244 1092730 1024948 2026-06-01T14:41:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092730 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text=Der {{Stichwort/Abfrage|natürliche Logarithmus|SZ=}} {{ Abbildung/display |name= {{op:ln||}} |\R_+|\R || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} irfceduwu4xhcl74a5mpu6tln9v3hmx 0 64294 1092846 856404 2026-06-02T10:22:11Z Arbota 36910 Ersetzung 1092846 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |Quotientenkriterium| |msw= |SZ= }} für eine komplexe Reihe {{mathl|term= {{Reihe|}} |SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6zuiygl7umv83kiiz88zedxu9lcisu 0 64432 1092854 1025116 2026-06-02T10:23:31Z Arbota 36910 Ersetzung 1092854 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{Anführung| {{ Stichwort/Abfrage |Periodizitätseigenschaft| |msw= |SZ= }}}} für Kosinus und Sinus bei Addition mit {{mathl|term= {{op:Bruch|\pi|2}} |SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fyjhu7hk272if3ytt2f8p0o9mwqi5hm 0 64750 1092229 1074606 2026-06-01T13:13:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092229 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |AHippoBird2200|jpg|250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=PJ KAPDostie |Domäne= |Lizenz=CC-bysa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Extrema/Nebenbedingung/Teich/Nilpferd/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Extrema/Nebenbedingung/Allgemein/Fakt|Satz|| || }} Man beachte, dass dieser Satz nur ein notwendiges Kriterium für lokale Extrema angibt, kein hinreichendes. Die auf dem Satz über implizite Abbildungen beruhende Existenz der Bijektion {{math|term= \psi |SZ=}} wird zwar im Beweis verwendet, sie muss aber nicht explizit bekannt sein, um die Kandidaten für lokale Extrema zu bestimmen. Eine explizite Bijektion kann aber helfen zu entscheiden, ob in den Kandidaten ein lokales Extremum vorliegt oder nicht. Wenn es nur endliche viele Kandidaten gibt, so kann man die Funktionswerte ausrechnen und auf diesem Weg zumindest die globalen Extrema finden. {{ inputfaktbeweis |Extrema/Nebenbedingung/Hyperfläche/Fakt|Korollar|| || }} Den Faktor {{math|term= \lambda|SZ=}} nennt man {{Stichwort|Lagrange-Multiplikator|msw=Lagrange-Multiplikator|SZ=.}} Diese Aussage legt folgendes Verfahren nahe, Kandidaten für lokale Extrema {{ Zusatz/Klammer |text=unter Nebenbedingung| |ISZ=|ESZ= }} zu finden: Man untersucht einfach, für welche {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich {{math|term= f |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} regulären Punkte {{ Relationskette | a |\in| M || || || |SZ= }} eine lineare Abhängigkeit zwischen {{mathl|term= {{op:Totales Differential|f|a}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Totales Differential|h|a}} |SZ=}} vorliegt. {{ inputbeispiel |Lokale Extrema/Nebenbedingung/Auf Kreis/x^3-y^2x/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Extrema/Nebenbedingung/Bedingung durch Linearform/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbeispiel |Extrema/Linearform/Preis/Monomiale Zielfunktion/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Extrema/Nebenbedingung/Linearform als Zielfunktion/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbeispiel |Extrema/Linearform/3x-2y+5z/x^2+y^2+z^4/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/Glatt und kompakt/Jede Hyperebene als Tangentialraum/Fakt|Korollar|| || }} Ohne die Kompaktheitsvoraussetzung und ohne die Regularitätsvoraussetzung ist die vorstehende Aussage nicht richtig, wie einfache Beispiele zeigen. {{ inputbeispiel |Hyperbel/x-Achse nicht Tangentialraum/Beispiel|| }} {{ inputbild |Astroid|svg|250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Joelholdsworth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Astroide/Kompakt/x-Achse kein Tangentialraum/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokalen Extrema unter Nebenbedingungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 17z9p1h0s3g2r763vjwc16zjd152te8 0 64836 1092368 1019272 2026-06-01T13:35:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092368 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das Lemma von Zorn wird für geordnete Mengen formuliert. Wir erinnern an die relevanten Definitionen. {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} Diese Eigenschaften heißen {{Stichwort|Reflexivität|SZ=,}} {{Stichwort|Transitivität|SZ=}} und {{Stichwort|Antisymmetrie|SZ=.}} Eine Menge mit einer fixierten Ordnung heißt {{Stichwort|geordnete Menge|SZ=.}} Eine Ordnung heißt {{Stichwort|total|msw=Totale Ordnung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|linear|msw=Lineare Ordnung|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn {{ Relationskette |i |\preccurlyeq|j || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |j |\preccurlyeq|i || || || |SZ= }} für je zwei Elemente {{ Relationskette |i,j |\in|I || || || |SZ= }} gilt. Die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} sind mit der üblichen Ordnung {{math|term= \leq|SZ=}} total geordnet, die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M|}} |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} ist mit der Inklusion {{math|term= \subseteq|SZ=}} eine nicht total geordnete Menge. Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Teilbarkeitsbeziehung als Ordnungsrelation ist ebenfalls nicht total geordnet. {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition|| }} Bei einer total geordneten Menge fallen diese beiden Begriffe zusammen. Ein größtes Element ist, wenn es existiert, eindeutig bestimmt, maximale Elemente im Allgemeinen nicht. {{ inputdefinition |Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition|| }} Die folgende Aussage heißt Lemma von Zorn. {{ inputfaktbeweishier |Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt|Lemma||Beweistext=Diese Aussage kann man aus dem Auswahlaxiom herleiten; der Beweis ist aber ziemlich kompliziert und wenig erhellend, sodass wir auf ihn verzichten. || }} Da die leere Menge total geordnet ist, kann insbesondere die Menge {{math|term= I |SZ=}} nicht leer sein. Dies wird manchmal in Formlierungen des Lemmas extra mitaufgeführt. Häufig nennt man die total geordneten Teilmengen auch {{Stichwort|Ketten|msw=Kette|SZ=.}} Eine geordnete Menge, die die Voraussetzung des Lemmas erfüllt, in der also jede Kette eine obere Schranke besitzt, heißt {{ Definitionslink |induktiv geordnet| |Kontext=| |SZ=. }} Das Lemma von Zorn ist ein grundlegender mengentheoretischer Sachverhalt, der zum Auswahlaxiom äquivalent ist. Wir geben einige typische Beispiele, wie man mittels des Lemmas von Zorn die Existenz von gewissen mathematischen Objekten nachweisen kann. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Existenz/Fakt|Lemma|| || }} Eine Variante dieser Aussage ist, dass jedes Ideal {{ Relationskette |{{ideala|}} | \subseteq| R || || || |SZ=, }} das nicht die {{math|term= 1 |SZ=}} enthält, in einem maximalen Ideal enthalten ist. Für verhältnismäßig einfache Ringe kann man die Existenz maximaler Ideale auch ohne das Lemma von Zorn sichern. Das Lemma von Zorn etabliert aber auch in überraschenden Situationen die Existenz von maximalen Idealen, wie das folgende Beispiel zeigt. {{ inputbeispiel |Reeller Folgenraum/Maximale Ideale/Zorn/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Topologischer Filter/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologische Filter/Ultrafilter/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Topologischer Raum/Filter/Ultrafilter/Existenz/Fakt|Lemma|| || }} Wir beweisen den {{Stichwort|Satz von Hamel|SZ=}} über die Existenz von Vektorraumbasen als eine weitere Anwendung des Lemmas von Zorn. Eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Vektorraumes| |Kontext=| |SZ= }} über einem Körper ist ein {{ Definitionslink |linear unabhängiges| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |SZ=. }} Für endlich erzeugte Vektorräume {{ Zusatz/Klammer |text=wie den {{math|term= \R^n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist dieser Satz auch ohne das Lemma von Zorn direkt beweisbar. Das Problem sind Vektorräume ohne endliches Erzeugendensystem, beispielsweise die Menge der reellen Zahlen als Vektorraum über den rationalen Zahlen oder der oben betrachtete Folgenraum. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Lemma von Zorn |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} tccntdfvq9y6qun0q2pb4j18l5wouu1 0 64855 1092465 961552 2026-06-01T13:51:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092465 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Strukturen/Elementar äquivalent/Definition|| }} Dies bedeutet, dass in den beiden Strukturen überhaupt die gleichen Sätze gelten. In der Mathematik spielen strukturerhaltende Abbildungen eine herausragende Rolle. Eine erststufige Version dieses Konzeptes kommt in folgender Definition zum Ausdruck. {{ inputdefinition |Strukturen/Homomorphismus/Definition|| }} Die üblichen Begriffe der Mathematik, beispielsweise ein Gruppenhomomorphismus, eine Ringhomomorphismus, eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, eine monotone Abbildung zwischen geordneten Mengen, fallen unter diesen abstrakten Homomorphiebegriff. {{ inputdefinition |Strukturen/Isomorphismus/Isomorph/Definition|| }} Zwei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}Strukturen heißen {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}{{Stichwort|isomorph|SZ=,}} wenn es einen {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Bei {{mathl|term= M= N |SZ=}} spricht man auch von einem {{Stichwort|Automorphismus|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Prädikatenlogik/Symbolalphabet nur Variablen/Automorphismen/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Strukturen/Isomorphismus/Bijektion/Bemerkung|| }} Wir haben in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt |Nr= |SZ= }} gesehen, dass je zwei Modelle der {{ Zusatz/Klammer |text=allerdings nicht erststufig formulierten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |SZ= }} zueinander isomorph sind. Dabei war {{math|term= 0 |SZ=}} die einzige Konstante und die Nachfolgerabbildung die einzige {{ Zusatz/Klammer |text=einstellige| |ISZ=|ESZ= }} Funktion. Auch zwei Modelle der reellen Zahlen sind isomorph, was schwieriger zu beweisen ist. Die zugehörigen Axiomensysteme legen also das intendierte Modell bis auf Isomorphie fest, und zwar ist sogar jeweils der Isomorphismus eindeutig bestimmt. Letzteres gilt beispielsweise für die komplexen Zahlen nicht. Die komplexen Zahlen können als algebraischer Abschluss von {{math|term= \R|SZ=}} eingeführt werden. Je zwei solche algebraische Abschlüsse sind untereinander isomorph, allerdings ist die Isomorphie nicht eindeutig bestimmt. Beispielsweise ist die {{ Definitionslink |komplexe Konjugation| |Kontext=| |SZ= }} ein nichttrivialer Automorphismus auf {{math|term= {{CC}} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Homomorphielemma/Term/Fakt|Lemma|| || }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Isomorphiesatz|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Isomorphielemma|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt|Satz|| || }} Für die meisten Axiomensysteme in der Mathematik gibt es natürlich verschiedene nicht isomorphe und im Allgemeinen auch nicht elementar äquivalente Modelle. Es gibt beispielsweise eine Vielzahl an Gruppen, die {{ Zusatz/Gs |text=nach Definition| |ISZ=|ESZ= }} alle die Gruppenaxiome erfüllen, die aber ansonsten wenig miteinander zu tun haben. Interessanter ist die Frage, ob es, wenn man ein Axiomensystem für ein bestimmtes intendiertes Modell aufstellt, es dieses bis auf Isomorphie festlegt {{ Zusatz/Klammer |text=oder ob es nichtisomorphe Modelle gibt| |ISZ=|ESZ= }} oder ob es die Menge aller gültigen elementaren Aussagen vollständig festlegt, also ob alle im intendierten Modell gültigen Sätze aus dem Axiomensystem ableitbar sind. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oo6q6sjuatht1x43n864c8k8mh13qmc 0 65028 1092146 981208 2026-06-01T12:59:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092146 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die formallogische Sprache der Aussagenlogik wird ausgehend von einer Variablenmenge {{math|term= V |SZ=}} und einer einfachen Menge an Junktoren rekursiv aufgebaut. Die Aussagenvariablen werden wir zumeist mit {{mathl|term= p,q,r,p_1 {{kommadots|}} p_k, p_n \,\, (n \in \N) |SZ=}} etc. bezeichnen. Sie repräsentieren Aussagen, haben aber keinen eigenen Inhalt, sondern teilen mit Aussagen lediglich gewisse syntaktische Eigenschaften {{ Zusatz/Klammer |text=semantische Eigenschaften werden hier noch nicht besprochen| |ISZ=|ESZ=. }} Beispiele für solche syntaktischen Eigenschaften sind, dass man zu einer Aussage eine Negation bilden kann, oder dass man zwei Aussagen durch {{Anführung|und|}} verknüpfen kann. Die Aussagenvariablen repräsentieren Grundaussagen, die durch solche Verknüpfungen zu komplexeren Aussagen zusammengesetzt werden können, die selbst wiederum zu weiter verschachtelten Aussagen verbunden werden können. Die folgende Definition fixiert die formale Sprache der Aussagenlogik; es handelt sich um eine rekursive Definition, wobei die Aussagenvariablen die Startelemente sind und die logischen Operationen als Generierungsregeln auftreten. Das dieser rekursiven Definition zugrunde liegende Alphabet besteht neben einer Menge {{math|term= V |SZ=}} an Aussagenvariablen aus den Symbolen {{ Math/display|term= \neg,\, {{logund|}} ,\, {{logoder|}} ,\, \rightarrow,\, \leftrightarrow,\, (,\, ) |SZ=, }} die als nicht, und, oder, impliziert, genau dann, wenn, Klammer auf, Klammer zu gelesen werden; die zugehörigen Substantive sind {{Stichwort|Negation|SZ=,}} {{Stichwort|Konjunktion|SZ=,}} {{Stichwort|Disjunktion|SZ=,}} {{Stichwort|Implikation|SZ=}} und {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=.}} Die Bezeichnungen orientieren sich natürlich an den später einzuführenden Bedeutungen, im Moment sind es lediglich Wörter für bestimmte Symbole. Die Sprache der Aussagenlogik wird als Teilmenge von {{math|term= A^*|SZ=}} realisiert, wobei {{ Relationskette |A ||V \cup \{ \neg,\, {{logund|}} ,\, {{logoder|}} ,\, \rightarrow,\, \leftrightarrow,\, (,\, )\} || || || |SZ= }} ist. {{ inputdefinition |Aussagenlogik/Variablenmenge/Junktoren/Definition|| }} Häufig verwendet man weniger Symbole, beispielsweise verzichtet man auf {{mathl|term= \rightarrow, \leftrightarrow|SZ=.}} Die Klammerungen werden oft auch anders gesetzt. Z.B. erlaubt man manchmal {{mathl|term= \neg \alpha|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Klammer| |ISZ=|ESZ= }} oder man macht die Klammern außen, also {{mathl|term= (\alpha {{logund|}} \beta ) |SZ=.}} Sehr oft lässt man Klammern, um die Lesbarkeit der Aussagen zu erhöhen, einfach weg, obwohl dies vom syntaktischen Standpunkt aus ein schweres Vergehen ist. {{ inputbeispiel |Aussagenlogik/Sprache/Aussagen/1/Beispiel|| }} Der Nachweis, dass ein gegebenes Wort eine korrekt gebildete Aussage ist, erfolgt über eine Ableitungskette oder einen Aussagestammbaum. Bei einer {{Stichwort|Ableitungskette|SZ=}} listet man Zeile für Zeile korrekt gebildete Aussagen auf, wobei diese Aussagen entweder Aussagenvariablen oder aber mittels einer Rekursionsregel aus vorhergehenden Aussagen entstanden sind. Die letzte Zeile enthält die Aussage, deren Korrektheit man zeigen will. {{ inputbeispiel |Aussagenlogik/Aussage/Ableitungskette/Beispiel|| }} Ein Aussagenstammbaum ist eine graphisch übersichtliche Version einer Ableitungskette. Er beginnt mit den verwendeten Aussagenvariablen als Blättern und erzeugt dann Schritt für Schritt durch Vereinigungen von Zweigen die beteiligten Teilaussagen, bis schließlich die in Frage stehende Aussage als Stamm erzeugt ist. {{ inputbeispiel |Aussagenlogik/Aussage/Stammbaum/Beispiel|| }} Jede Aussage hat eine eindeutige {{Anführung|rekursive Geschichte|SZ=,}} d.h. es gibt für jede Aussage nur eine Abfolge von Rekursionsschritten {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf die Reihenfolge| |ISZ=|ESZ=, }} um sie aus Aussagenvariablen aufzubauen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Aussagenlogik/Letzter Konstruktionsschritt/Eindeutig/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Sprache der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6bf4wimo2pgsrvkdleikoreqqwcem7y 0 65177 1092464 983645 2026-06-01T13:51:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092464 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Reelle Zahlen/Abzählbares Nichtstandardmodell/Beispiel|| }} Die Menge der rationalen Zahlen bilden einen abzählbaren {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ=, }} aber kein Nichtstandardmodell der reellen Zahlen, da ja beispielsweise die Aussage {{mathl|term= \exists x (x^2=2) |SZ=}} in {{math|term= \R|SZ=}} gilt, aber nicht in {{math|term= \Q|SZ=.}} Wichtige erststufige Aussagen, die in {{math|term= \R|SZ=}} und damit auch in jedem Nichtstandardmodell gelten, fassen wir in folgender Proposition zusammen. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Erststufige Aussagen/Fakt|Proposition||zusatz1={{{zusatz1|}}}|zusatz2={{{zusatz2|}}} || }} Diese Eigenschaften {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere die beiden letzten| |ISZ=|ESZ= }} sind ein erststufiger Ersatz für die Vollständigkeit {{ Zusatz/Klammer |text=ähnlich wie das Axiomenschema der Induktion in den erststufigen Peano-Axiomen ein Ersatz für die zweitstufige Induktion der Dedekind-Peano Axiome ist| |ISZ=|ESZ=. }} Das Archimedes-Axiom, also dass es zu jeder reellen Zahl {{ Relationskette |x |\in|\R || || || |SZ= }} eine natürliche Zahl {{ Relationskette |n |\geq|x || || || |SZ= }} gibt, lässt sich nicht erststufig charakterisieren, da dies für die natürlichen Zahlen nicht möglich ist. Wir betrachten zu {{ Relationskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} den Ausdruck {{ Relationskette/display |p_n || \exists x {{makl| x \geq n |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= n |SZ=}} durch die {{math|term= n |SZ=-}}fache Addition der {{math|term= 1 |SZ=}} mit sich selbst repräsentiert wird. Eine Aussage wie {{Anführung|{{mathl|term= \!\!\exists x \forall n (x \geq n)}} |SZ=,}} was nichtarchimedisch bedeutet {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= n |SZ=}} soll hier eine natürliche Zahl sein| |ISZ=|ESZ=, }} ist nicht erststufig formulierbar. {{ inputbeispiel |Reelle Zahlen/Abzählbares Nichtstandardmodell/Nicht archimedisch/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Reell abgeschlossener Körper/Definition|| }} Man kann zeigen, dass ein reell-abgeschlossener Körper {{math|term= K |SZ=}} elementar äquivalent zu den reellen Zahlen ist und insbesondere die oben angeführten Eigenschaften besitzt. Eine wichtige Eigenschaft ist ferner, dass {{mathl|term= K[ {{Imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. durch Hinzunahme eines Elementes {{math|term= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{Imaginäre Einheit|}}^2 || -1 || || || |SZ= }} wird der Körper algebraisch abgeschlossen| |ISZ=|ESZ=. }} Ein {{ Zusatz/Klammer |text=abzählbares Modell| |ISZ=|ESZ= }} eines reell-abgeschlossenen Körpers sind die reellen algebraischen Zahlen, also alle reellen Zahlen, die Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind. Dies ist zugleich der kleinste reell-abgeschlossene Körper. Da die Zahlen {{math|term= \pi|SZ=}} und {{math|term= e |SZ=}} transzendent sind, folgt, dass diese Zahlen nicht erststufig charakterisierbar sind. Eine Besonderheit der Theorie der reell-abgeschlossenen Körper ist, dass es dafür eine Entscheidungsprozedur gibt, d.h. es gibt einen maschinell durchführbaren Algorithmus, die {{Stichwort|Quantorenelimination|SZ=,}} der für jeden Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} über der erststufigen Sprache zur Symbolmenge {{mathl|term= \{0,1,+,\cdot, \geq\} |SZ=}} entscheidet, ob {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} aus den Axiomen ableitbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=äquivalent, in jedem reell-abgeschlossenen Körper gilt| |ISZ=|ESZ= }} oder nicht. Es gibt also prinzipiell keine erststufig formulierbaren {{Anführung|substantiellen Probleme}} für die reellen Zahlen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reell-abgeschlossenen Körper |Kategorie2=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} eu77g64ecs1h3oqla0d0qnjl99cz30m 0 65455 1092844 1024979 2026-06-02T10:21:51Z Arbota 36910 Ersetzung 1092844 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die {{Stichwort/Abfrage|Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Funktionenfolge|SZ=}} {{ Abbildung/display |name= f_n | T | {{KRC}} || |SZ= }} auf einer Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | {{KRC}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 551v4ha0yyisg7qvskspey7opsbb2ea 0 65534 1092144 981184 2026-06-01T12:59:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092144 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Ableitungsbeziehung/Definition|| }} Die vorgegebene Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma |SZ=}} kann endlich oder unendlich sein, in der Ableitungsbeziehung kommen aber stets nur endlich viele Ausdrücke aus {{math|term= \Gamma |SZ=}} vor {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|unendliche Konjunktion|}} ist gar nicht definiert| |ISZ=|ESZ=. }} Die Menge der aus einer gegebenen Ausdrucksmenge {{math|term= \Gamma|SZ=}} ableitbaren Ausdrücke bezeichnet man mit {{math|term= \Gamma^\vdash |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | \Gamma^\vdash || {{Mengebed| {{logprop|}} \in L^V | \Gamma \vdash {{logprop|}} }} || || || |SZ=. }} Wegen {{mathl|term= \vdash {{logprop|}} \rightarrow {{logprop|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Aussagenlogik/Ableitungskalkül/Triviale Implikation/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} gilt {{ Relationskette | \Gamma |\subseteq| \Gamma^\vdash || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |\Gamma || \Gamma^\vdash || || || |SZ= }} sagt man, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} {{Stichwort|abgeschlossenen unter Ableitungen|SZ=}} ist. Die aus der leeren Menge ableitbaren Ausdrücke sind gerade die {{ Zusatz/Klammer |text=syntaktischen| |ISZ=|ESZ= }} Tautologien. Aus den {{ Zusatz/Klammer |text=Grund- oder abgeleiteten| |ISZ=|ESZ= }} Tautologien ergeben sich direkt Regeln für die Ableitungsbeziehung. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Regeln/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widerspruchsfrei/Widersprüchlich/Definition|| }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Regeln/Fakt |Nr=6 |SZ= }} kann man aus einer widersprüchlichen Aussagenmenge jede Aussage ableiten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4rwkvvvpbspklqgxe52ul8o0gqkwvey 0 65578 1092145 981192 2026-06-01T12:59:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092145 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Definition|| }} Eine Wahrheitsbelegung ist also einfach dadurch gegeben, dass einer jeden Aussagenvariablen ein Wahrheitswert, nämlich {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} bzw. {{ mathkor|term1= f |oder|term2= w |SZ= }} zugeordnet wird. Eine solche Wahrheitsbelegung möchte man auf die gesamte Sprache fortsetzen, wobei die folgenden Festlegungen die inhaltliche Bedeutungen der Junktoren widerspiegeln. Die folgende Definition ist möglich, da der rekursive Aufbau einer Aussage eindeutig bestimmt ist. {{ inputdefinition |Aussagenlogik/Wahrheitsbelegung/Interpretation/Definition|| }} Bei {{ Relationskette/display |I( {{logprop|}} ) ||1 || || || |SZ= }} sagt man, dass der Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} bei der Wahrheitsbelegung {{math|term= \lambda|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder der Interpretation {{math|term= I |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wahr wird {{ Zusatz/Klammer |text=oder gilt| |ISZ=|ESZ=, }} andernfalls, dass er falsch wird {{ Zusatz/Klammer |text=nicht gilt| |ISZ=|ESZ=. }} Dafür schreibt man auch {{mathl|term= I \vDash {{logprop|}} |SZ=}} bzw. {{mathl|term= I \not \vDash {{logprop|}} |SZ=.}} Mit {{math|term= I^\vDash|SZ=}} bezeichnen wir die Menge aller bei der Interpretation {{math|term= I |SZ=}} wahren Ausdrücke aus der Sprache. Wenn {{ Relationskette | \Gamma | \subseteq |L^V || || || |SZ= }} eine Menge an Ausdrücken ist, so bedeutet {{mathl|term= I \vDash \Gamma |SZ=,}} dass {{mathl|term= I \vDash {{logprop|}} |SZ=}} für alle {{mathl|term= {{logprop|}} \in \Gamma |SZ=}} gilt. Dafür sagt man auch, dass {{math|term= \Gamma|SZ=}} bei der Interpretation {{math|term= I |SZ=}} gilt oder dass {{math|term= I |SZ=}} ein {{Stichwort|Modell|SZ=}} für {{math|term= \Gamma|SZ=}} ist. {{ inputbeispiel |Wahrheitsbelegung/Verschiedene Ausdrücke/1/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9liifimk7960k95eda53ubpwrg4z52l 0 65606 1092471 957371 2026-06-01T13:52:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092471 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Grunddaten/Definition|| }} Die aussagenlogischen Junktoren werden als {{Stichwort|Negation|SZ=,}} {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und| |ISZ=|ESZ=, }} {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Alteration|SZ=}}, einschließliches Oder| |ISZ=|ESZ=, }} {{Stichwort|Implikation|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn, dann| |ISZ=|ESZ= }} und {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=genau dann, wenn| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet. Der Quantor {{math|term= \forall|SZ=}} heißt {{Stichwort|Allquantor|SZ=}} und {{math|term= \exists|SZ=}} heißt {{Stichwort|Existenzquantor|SZ=.}} Diese Liste ist etwas redundant, da man, von der späteren Interpretation her gesehen, einige aussagenlogische Junktoren durch andere ersetzen kann, beispielsweise ist für zwei Aussagen {{ mathkor|term1= {{logprop|}} |und|term2= {{logprop2|}} |SZ= }} die Aussage {{mathl|term= {{logprop|}} \rightarrow {{logprop2|}} |SZ=}} gleichwertig mit {{mathl|term= \neg {{logprop|}} {{logoder}} {{logprop2|}} |SZ=,}} und so könnte man den Implikationspfeil auch weglassen. Ebenso kann man den einen Quantor mit Hilfe des anderen und der Negation ausdrücken, es ist nämlich {{mathl|term= \forall x {{logprop|}} |SZ=}} gleichbedeutend mit {{mathl|term= \neg \exists x \neg {{logprop|}} |SZ=.}} Um die Lesbarkeit der Ausdrücke zu erhöhen, ist es aber alles in allem vorteilhaft, nicht allzu minimalistisch sein zu wollen {{ Zusatz/Klammer |text=man könnte die unnötigen Symbole auch als Abkürzungen einführen| |ISZ=|ESZ=. }} Das Gleichheitszeichen könnte man zwar auch als ein weiteres zweistelliges Relationssymbol auffassen, allerdings sind die weiter unten einzuführenden Schlussregeln für das Gleichheitszeichen {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere die Möglichkeit einzusetzen| |ISZ=|ESZ= }} für die Logik erster Stufe konstitutiv. Da ein Alphabet einer Sprache erster Stufe eine Termgrundmenge enthält, ist klar, was als Term in der Sprache zu gelten hat. Als nächstes erklären wir formal, was wir als einen Ausdruck {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine formale Aussage| |ISZ=|ESZ= }} in dieser Sprache ansehen. {{ inputdefinition |Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition|| }} Die Klammern sind hier auch nur nötig, weil wir die zweistelligen Junktoren anders als die Funktionssymbole in der Mitte schreiben. Die Menge der Konstanten, der Variablen, der Funktionssymbole und der Relationssymbole nennt man zusammen auch das {{Stichwort|Symbolalphabet}} der Sprache, das wir mit {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=}} bezeichnen. Die anderen Symbole {{ Zusatz/Klammer |text=Junktoren, Quantoren, Gleichheitszeichen, Klammern| |ISZ=|ESZ= }} sind immer gleich, sodass eine Sprache erster Stufe im Wesentlichen nur von der gewählten Symbolmenge {{math|term= S |SZ=}} abhängt. Für die zugehörige Sprache schreibt man {{math|term= L^S|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} od4c1hysyqddan036jdx3uz36qlojk5 0 65608 1092093 956830 2026-06-01T12:51:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092093 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Mathematische Aussage enthalten häufig auch Existenzaussagen. Wenn wir bei dem eben erwähnten Beispiel bleiben, so bedeutet {{ Math/display|term= \text{es gibt } z \, G(A,B,z) |SZ= }} die Aussage, dass es zu gegebenen festen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} ein {{math|term= z |SZ=}} gibt derart, dass die drei Punkte {{mathl|term= A,B,z|SZ=}} ein gleichseitiges Dreieck bilden {{ Zusatz/Klammer |text=diese Aussage ist in der reellen Zahlenebene wahr| |ISZ=|ESZ=. }} In dem Beispielsatz wird nur über {{math|term= z |SZ=}} quantifiziert, nicht über {{math|term= A |SZ=}} und {{math|term= B |SZ=.}} Dies kann man durch die folgenden Aussagen erreichen. {{ Math/display|term= \text{es gibt } x \text{ und es gibt } y \text{ und es gibt } z \, G(x,y,z) |SZ=, }} was bedeutet, dass es Punkte {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} gibt, die ein gleichseitiges Dreieck bilden, die wahr ist, aber deutlich schwächer als die Aussage {{ Math/display|term= \text{ für alle } x \text{ und } \text{ für alle } y \text{ gibt es } z \, G(x,y,z) |SZ= }} ist, die behauptet, dass es zu {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig vorgegebenen| |ISZ=|ESZ= }} Eckpunkten {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} stets einen dritten Punkt gibt, sodass ein gleichseitiges Dreieck entsteht{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Gültigkeit dieser Aussagen setzt voraus, dass wir über den reellen Zahlen bzw. in der reellen Zahlenebene arbeiten. Siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gleichseitiges Dreieck/Rationale Koordinaten/Aufgabe |Nr= |SZ= }}| |ISZ=.|ESZ=. }} Die Ausdrücke {{Anführung|es gibt}} und {{Anführung|für alle}} nennt man {{Stichwort|Quantoren|msw=Quantor|SZ=.}} Für diese Quantoren gibt es spezielle Symbole, nämlich {{math|term= \exists|SZ=}} für {{Anführung|es gibt}} und {{math|term= \forall|SZ=}} für {{Anführung|für alle|SZ=.}} Die obigen Beispielsätze schreibt man dann formal als {{ Math/display|term= \exists x \exists y \exists z G(x,y,z) |SZ= }} bzw. als {{ Math/display|term= \forall x \forall y \exists z G(x,y,z) |SZ=. }} Auf die Reihenfolge bei gleichartigen Quantoren kommt es nicht an {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist von der inhaltlichen Bedeutung her klar, wird später aber auch formal im Ableitungskalkül nachgebildet| |ISZ=|ESZ=, }} sie ist aber bei wechselnden Quantoren entscheidend. Beispielsweise ist die Aussage {{ Math/display|term= \exists z \forall x \forall y G(x,y,z) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Aussage, dass es einen Punkt gibt, der mit je zwei beliebigen weiteren Punkten ein gleichseitiges Dreieck bildet| |ISZ=|ESZ= }} im Gegensatz zur vorherigen Aussage nicht wahr. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prädikatenlogik |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |Fußnoten=x |pdf= }} 7c9blw32q6m38vqonncucljqrvmxcj9 0 65609 1092092 980373 2026-06-01T12:50:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092092 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine weitere Art von mathematischen Aussagen entsteht dadurch, dass man Aussagen selbst zueinander in eine logische Beziehung setzt, indem man beispielsweise sagt, dass aus der Aussage {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} die Aussage {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} folgt, oder dass {{ mathkor|term1= {{logprop|}} |und|term2= {{logprop2|}} |SZ= }} zueinander äquivalent sind. Der {{ Faktlink |Präwort=|Satz des Pythagoras|Faktseitenname= Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt |Nr= |SZ= }} besagt, dass wenn zwischen drei Punkten {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} in der Ebene die Beziehung der Rechtwinkligkeit am Punkt {{math|term= A |SZ=}} besteht, dass dann zwischen den durch die drei Punkte definierten Streckenlängen ebenfalls eine bestimmte Beziehung zwischen den Abständen{{ Zusatz/Fußnote |text=Zur Erinnerung: Das Quadrat der Streckenlänge zwischen {{ mathkor|term1= B |und|term2= C |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Hypotenuse| |ISZ=|ESZ= }} ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Streckenlängen zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} und {{ mathkor|term1= A |und|term2= C |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=den Katheten| |ISZ=|ESZ= }}| |ISZ=.|ESZ= }} besteht. Wenn man die Rechtwinkligkeit wie oben mit dem dreistelligen Relationssymbol {{math|term= R |SZ=}} und die pythagoreische Längenbeziehung mit dem dreistelligen Relationssymbol {{math|term= S |SZ=}} bezeichnet, so gilt also {{ Math/display|term= \text{ aus } R(A,B,C) \text{ folgt } S(A,B,C) |SZ=, }} was wir formal als {{ Math/display|term= \forall A \forall B \forall C (R(A,B,C) \longrightarrow S(A,B,C)) |SZ= }} schreiben. Gilt davon auch die Umkehrung? Folgt also aus {{mathl|term= S(A,B,C) |SZ=,}} dass ein rechter Winkel an {{math|term= A |SZ=}} vorliegt? Dies ist in der Tat der Fall! Der {{ Faktlink |Präwort=|Kosinussatz|Faktseitenname= Dreiecksgeometrie/Kosinussatz/Fakt |Nr= |SZ= }} besagt für ein beliebiges {{ Zusatz/Klammer |text=echtes| |ISZ=|ESZ= }} Dreieck mit einem an {{math|term= A |SZ=}} anliegenden Winkel {{math|term= \alpha|SZ=,}} dass {{ Relationskette/display | d(B,C)^2 || d(A,B)^2 + d(A,C)^2 -2 d(A,B) d(A,C){{op:cos|\alpha|}} || || || |SZ= }} gilt, wobei {{math|term= d |SZ=}} den Abstand zwischen zwei Punkten bezeichne. Der {{Anführung|Störterm}} rechts entfällt genau dann, wenn {{ Relationskette | {{op:cos|\alpha|}} || 0 || || || |SZ= }} ist, und dies ist nur bei {{math|term= 90 |SZ=}} Grad der Fall. Daher gilt die Äquivalenz {{ Math/display|term= \forall A \forall B \forall C (R(A,B,C) \longleftrightarrow S(A,B,C)) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ein Dreieck, bei dem zwei Eckpunkte zusammenfallen, akzeptieren wir als rechtwinklig an dem doppelten Punkt| |ISZ=|ESZ=. }} Unser Rechtwinkligkeitsprädikat {{mathl|term= R(A,B,C) |SZ=}} besagt, dass der Winkel am Eckpunkt {{math|term= A |SZ=}} ein Rechter ist. Wenn man sich dafür interessiert, ob überhaupt ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, so muss {{mathl|term= R(A,B,C) |SZ=}} oder {{mathl|term= R(B,C,A) |SZ=}} oder {{mathl|term= R(C,A,B) |SZ=}} gelten. Die Oderverknüpfung wird formal als {{ Math/display|term= ( R(A,B,C) {{logoder}} R(B,C,A) ) {{logoder}} R(C,A,B) |SZ= }} geschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=die Assoziativität der oder-Verknüpfung steht im Moment noch nicht zur Verfügung| |ISZ=|ESZ=. }} Für ein echtes Dreieck haben wir oben gefordert, dass die konstituierenden Punkte {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} paarweise verschieden sind. Die Gleichheit von zwei Punkten wird durch {{ Relationskette |A ||B || || || |SZ= }} und die Negation davon, also die Verschiedenheit der beiden Punkte, wird in der Mathematik durch {{ Relationskette |A |\neq|B || || || |SZ=, }} in der Logik aber durch {{mathl|term= \neg {{makl| A {{=}} B |}} |SZ=}} ausgedrückt. Dass drei Punkte paarweise verschieden sind, erfordert ein logisches und, das durch {{math|term= {{logund}} |SZ=}} symbolisiert wird, sodass sich die Echtheit eines Dreiecks durch {{ Math/display|term= {{makl| \neg {{makl|A {{=|}} B|}} {{logund}} \neg {{makl| A {{=|}} C |}} |}} {{logund}} \neg {{makl| B {{=|}} C |}} |SZ= }} ausdrücken lässt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prädikatenlogik |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |Fußnoten=x |pdf= }} sil90nke10p5xyr1gdpr4kdlisgx561 1092469 1092092 2026-06-01T13:52:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092469 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine weitere Art von mathematischen Aussagen entsteht dadurch, dass man Aussagen selbst zueinander in eine logische Beziehung setzt, indem man beispielsweise sagt, dass aus der Aussage {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} die Aussage {{math|term= {{logprop2|}} |SZ=}} folgt, oder dass {{ mathkor|term1= {{logprop|}} |und|term2= {{logprop2|}} |SZ= }} zueinander äquivalent sind. Der {{ Faktlink |Präwort=|Satz des Pythagoras|Faktseitenname= Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt |Nr= |SZ= }} besagt, dass wenn zwischen drei Punkten {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} in der Ebene die Beziehung der Rechtwinkligkeit am Punkt {{math|term= A |SZ=}} besteht, dass dann zwischen den durch die drei Punkte definierten Streckenlängen ebenfalls eine bestimmte Beziehung zwischen den Abständen{{ Zusatz/Fußnote |text=Zur Erinnerung: Das Quadrat der Streckenlänge zwischen {{ mathkor|term1= B |und|term2= C |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die Hypotenuse| |ISZ=|ESZ= }} ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Streckenlängen zwischen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} und {{ mathkor|term1= A |und|term2= C |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=den Katheten| |ISZ=|ESZ= }}| |ISZ=.|ESZ= }} besteht. Wenn man die Rechtwinkligkeit wie oben mit dem dreistelligen Relationssymbol {{math|term= R |SZ=}} und die pythagoreische Längenbeziehung mit dem dreistelligen Relationssymbol {{math|term= S |SZ=}} bezeichnet, so gilt also {{ Math/display|term= \text{ aus } R(A,B,C) \text{ folgt } S(A,B,C) |SZ=, }} was wir formal als {{ Math/display|term= \forall A \forall B \forall C (R(A,B,C) \longrightarrow S(A,B,C)) |SZ= }} schreiben. Gilt davon auch die Umkehrung? Folgt also aus {{mathl|term= S(A,B,C) |SZ=,}} dass ein rechter Winkel an {{math|term= A |SZ=}} vorliegt? Dies ist in der Tat der Fall! Der {{ Faktlink |Präwort=|Kosinussatz|Faktseitenname= Dreiecksgeometrie/Kosinussatz/Fakt |Nr= |SZ= }} besagt für ein beliebiges {{ Zusatz/Klammer |text=echtes| |ISZ=|ESZ= }} Dreieck mit einem an {{math|term= A |SZ=}} anliegenden Winkel {{math|term= \alpha|SZ=,}} dass {{ Relationskette/display | d(B,C)^2 || d(A,B)^2 + d(A,C)^2 -2 d(A,B) d(A,C){{op:cos|\alpha|}} || || || |SZ= }} gilt, wobei {{math|term= d |SZ=}} den Abstand zwischen zwei Punkten bezeichne. Der {{Anführung|Störterm}} rechts entfällt genau dann, wenn {{ Relationskette | {{op:cos|\alpha|}} || 0 || || || |SZ= }} ist, und dies ist nur bei {{math|term= 90 |SZ=}} Grad der Fall. Daher gilt die Äquivalenz {{ Math/display|term= \forall A \forall B \forall C (R(A,B,C) \longleftrightarrow S(A,B,C)) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=ein Dreieck, bei dem zwei Eckpunkte zusammenfallen, akzeptieren wir als rechtwinklig an dem doppelten Punkt| |ISZ=|ESZ=. }} Unser Rechtwinkligkeitsprädikat {{mathl|term= R(A,B,C) |SZ=}} besagt, dass der Winkel am Eckpunkt {{math|term= A |SZ=}} ein Rechter ist. Wenn man sich dafür interessiert, ob überhaupt ein rechtwinkliges Dreieck vorliegt, so muss {{mathl|term= R(A,B,C) |SZ=}} oder {{mathl|term= R(B,C,A) |SZ=}} oder {{mathl|term= R(C,A,B) |SZ=}} gelten. Die Oderverknüpfung wird formal als {{ Math/display|term= ( R(A,B,C) {{logoder}} R(B,C,A) ) {{logoder}} R(C,A,B) |SZ= }} geschrieben {{ Zusatz/Klammer |text=die Assoziativität der oder-Verknüpfung steht im Moment noch nicht zur Verfügung| |ISZ=|ESZ=. }} Für ein echtes Dreieck haben wir oben gefordert, dass die konstituierenden Punkte {{mathl|term= A,B,C|SZ=}} paarweise verschieden sind. Die Gleichheit von zwei Punkten wird durch {{ Relationskette |A ||B || || || |SZ= }} und die Negation davon, also die Verschiedenheit der beiden Punkte, wird in der Mathematik durch {{ Relationskette |A |\neq|B || || || |SZ=, }} in der Logik aber durch {{mathl|term= \neg {{makl| A {{=}} B |}} |SZ=}} ausgedrückt. Dass drei Punkte paarweise verschieden sind, erfordert ein logisches und, das durch {{math|term= {{logund}} |SZ=}} symbolisiert wird, sodass sich die Echtheit eines Dreiecks durch {{ Math/display|term= {{makl| \neg {{makl|A {{=|}} B|}} {{logund}} \neg {{makl| A {{=|}} C |}} |}} {{logund}} \neg {{makl| B {{=|}} C |}} |SZ= }} ausdrücken lässt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prädikatenlogik |Kategorie2=Dreiecksgeometrie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |Fußnoten=x |pdf= }} np8jmwlq9l807wxedb4bpxfuw2xd1up 0 65632 1092473 902509 2026-06-01T13:52:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092473 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In der Prädikatenlogik gelten die beiden folgenden Tautologien für die Gleichheit. {{ inputaxiom |Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom||| || }} Diese beiden Axiome {{ Zusatz/Klammer |text=oder genauer Axiomenschemata| |ISZ=|ESZ= }} heißen {{Stichwort|Gleichheitsaxiom|SZ=}} und {{Stichwort|Substitutionsaxiom|SZ=.}} Mit einer aussagenlogischen Umformulierung sieht man, dass das Substitutionsaxiom äquivalent zu {{ Math/display|term= \vdash s=t \rightarrow {{makl| {{logprop|}} {{op:Bruch|s|x}} \rightarrow {{logprop|}} {{op:Bruch|t|x}} |}} |SZ= }} ist. {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Axiom/Korrektheit/Fakt|Lemma|| || }} Bei leerer Variablenmenge ist das Substitutionsaxiom aussagelos. In Hinblick auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Fakt |Nr= |SZ= }} fordern wir, dass die Variablenmenge stets unendlich ist. {{ inputfaktbeweis |Prädikatenlogik/Gleichheitstautologien/Folgerungen/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Ableitungskalkül der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bdo0ye8f5e3b1u6fimlfmlubjpa1923 0 65846 1092463 983641 2026-06-01T13:51:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092463 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Inwiefern kann man die einzelnen Elemente in einer gegebenen {{math|term= S |SZ=-}}Struktur {{math|term= M |SZ=}} mit der durch {{math|term= S |SZ=}} gegebenen Sprache einzeln adressieren bzw. voneinander unterscheiden? Zur Präzisierung dieser Fragestellung dient das Konzept der elementaren Äquivalenz für Elemente. {{ inputdefinition |Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Definition|| }} Die elementare Äquivalenz drücken wir durch {{ Relationskette |m |\sim|n || || || |SZ= }} aus. Dabei handelt es sich offenbar um eine Äquivalenzrelation auf der Menge {{math|term= M |SZ=.}} Wenn {{ Abbildung/display |name=\varphi |M|M || |SZ= }} ein {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}Isomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=also ein Automorphismus| |ISZ=|ESZ= }} ist, der {{math|term= m |SZ=}} auf {{math|term= n |SZ=}} abbildet, so müssen die beiden Elemente elementar äquivalent sein, wie aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Isomorphielemma/Elementare Äquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} für eine beliebige Interpretation {{math|term= \tilde{I} |SZ=}} mit {{ mathkor|term1= I= \tilde{I} {{op:Bruch|m|x}} |und|term2= J= \tilde{I} {{op:Bruch|n|x}} |SZ= }} folgt. Zu zwei nicht elementaar äquivalenten Elementen {{ Relationskette |m,n |\in|M || || || |SZ= }} nennen wir einen Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} mit {{ mathkor|term1= I \frac{m}{x} \vDash {{logprop|}} |und|term2= I \frac{n}{x} \vDash \neg {{logprop|}} |SZ= }} einen {{Stichwort|trennenden Ausdruck|msw=Trennender Ausdruck|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Endliche Permutation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Beliebige Ausdrücke/Beispiel|| }} Für eine Konstante in {{ Relationskette |c |\in| {{Symbolalphabet|}} || || || |SZ=, }} die in {{math|term= M |SZ=}} als das Element {{ Relationskette |m ||c^M || || || |SZ= }} interpretiert wird, ist die zugehörige Äquivalenzklasse einelementig: Sie wird durch den Ausdruck {{ Relationskette |x ||c || || || |SZ= }} in der einen freien Variablen {{math|term= x |SZ=}} charakterisiert, der offenbar nur bei der Belegung von {{math|term= x |SZ=}} durch {{math|term= m |SZ=}} wahr wird. Wir fragen uns, ob es für jede Äquivalenzklasse zur elementaren Äquivalenz einen solchen {{Stichwort|charakterisierenden Ausdruck|msw=Charakterisierender Ausdruck|SZ=}} in einer freien Variablen gibt. {{ inputfaktbeweis |Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Endlich viele Klassen/Trennende Ausdrücke/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Natürliche Zahlen/Isolierende Ausdrücke/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Vielfachklassen/Keine trennenden Ausdrücke/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Trennende Ausdrücke/Relationen und Funktionen wohldefiniert/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 715nf29qq4rtrug58v3x66n2xgvd3cu 0 66602 1092707 1024793 2026-06-01T14:37:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092707 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |polynomiale| |msw= |SZ= }} Funktion {{ Abbildung/display |name= f |{{KRC}}^n | {{KRC|}} || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} my5pmi9kzyai4yuqv2f7foeby6lkkfr 0 66629 1092758 1019304 2026-06-01T14:46:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092758 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Länge| |msw= |SZ= }} eines Streckenzugs {{ Math/display|term= [P_0,P_1 {{kommadots|}} P_k] |SZ= }} mit {{mathl|term= P_i \in \R^n |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g97ertbxpdedj8rdnlzz65r3jfxyzyx 0 66710 1092717 1024878 2026-06-01T14:39:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092717 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |Taylor-Polynom| |msw= |SZ= }} im Punkt {{mathl|term= P=(a_1 {{kommadots|}} a_n) \in \R^n |SZ=}} vom Grad {{math|term=\leq k |SZ=}} einer {{math|term= k |SZ=-}}fach {{ Definitionslink |differenzierbaren| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Eine Variable/R/Höhere Ableitung/Rekursiv/Definition |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name= f |\R^n |\R || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 750des2jny14rpk0niurdhn5rwd6zqi 0 66927 1092661 963527 2026-06-01T14:30:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092661 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Gramsche Matrix| |msw= |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Bilinearform| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} bezüglich einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4cyjpff01x520as245f9irygw5mhl4g 0 66928 1092724 963735 2026-06-01T14:40:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092724 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Konvergenz| |msw= |SZ= }} einer Folge {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4vqpymjij6nsf3waha2movf0j4jb3hc 0 66932 1092711 963687 2026-06-01T14:38:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092711 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |Bilinearform| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oy5r7haa4p9rhmrvn5mk18rjaft053h 0 66936 1092159 1074559 2026-06-01T13:01:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092159 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine Bilinearform auf {{math|term= V |SZ=}} kann man auf einen Untervektorraum {{mathl|term= U \subseteq V |SZ=}} einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf {{math|term= U |SZ=}} ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit werden und auf andere negativ definit. Dies führt zu folgender Definition. {{ inputdefinition |Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Definition|| }} {{ inputbild |James Joseph Sylvester|jpg| 200px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=James_Joseph_Sylvester |Text=[[w:James Joseph Sylvester|James Joseph Sylvester (1814-1897)]] |Autor=nicht bekannt |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=Altes Photo }} Bei einem Skalarprodukt auf einem {{math|term= n |SZ=-}}dimensionalen reellen Vektorraum ist der Typ {{mathl|term= (n,0) |SZ=.}} Wie für Skalarprodukte nennt man zwei Vektoren {{mathl|term= v,w \in V |SZ=}} {{Stichwort|orthogonal|SZ=}} bezüglich einer Bilinearform, wenn {{mathl|term= {{op:Bilinearform|v|w}}=0 |SZ=}} ist, und ähnlich wie im Fall eines Skalarproduktes kann man zeigen, dass es Orthogonalbasen gibt. Die folgende Aussage nennt man den {{Stichwort|Trägheitssatz von Sylvester|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} en87wls7cg7qbef5zna5pw3xkodybiu 0 66970 1092662 963530 2026-06-01T14:30:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092662 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Typ| |msw= |SZ= }} einer symmetrischen Bilinearform {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} smgruemfpzhmra92vromu40dultcmcg 0 67065 1092289 1019012 2026-06-01T13:22:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092289 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Nicht jedes Programm hält an. Ein einfaches Beispiel mit zwei Registern {{mathl|term= R_1,R_2 |SZ=}} und leerer Belegung für {{math|term= R_2 |SZ=}} ist {{ Aufzählung3 |{{math|term= 1+|SZ=}} |{{mathl|term= C(2,1) |SZ=}} |Halte an }} Im Allgemeinen wird es sehr schnell schwierig, zu einem gegebenen konkreten Programm zur Eingabe {{ Relationskette |r_1 || 0 || || || |SZ= }} zu entscheiden, ob es den Haltebefehl schließlich erreicht oder nicht. Ebenso ist es schwierig zu entscheiden, für welche Eingabedaten in {{mathl|term= R_1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=den {{Stichwort|Input}}| |ISZ=|ESZ= }} das konkrete Programm stoppt. Wenn man das Programm bei einer bestimmten Eingabe laufen lässt und es nach einer gewissen Zeit anhält, so kann man dies natürlich unmittelbar als einen Beweis für die Halteeigenschaft des Programms verstehen. Wenn das Programm nicht die Halteeigenschaft hat, so kann man dies aus dem Programmablauf nicht erschließen. Das Programm läuft einfach weiter und man weiß nicht, ob es einfach noch nicht angehalten hat oder ob es niemals anhalten wird. Mit einer aufwändigen Analyse des Programms wird man im Allgemeinen erkennen können, ob das Programm anhält oder nicht. Ein qualitativ anderes Problem ist allerdings die Frage, ob es ein deterministisches Verfahren gibt, mit dem man für jedes Programm {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. jedes Programm und jede Eingabe| |ISZ=|ESZ= }} entscheiden kann, ob es anhält oder nicht. Hier deutet sich eine selbstbezügliche Fragestellung an: Gibt es ein Programm, das Aussagen über alle Programme machen kann? Welche Aussage macht dann dieses Programm über sich selbst? Um einen solchen Ansatz präzise machen zu können, müssen wir Programme als Eingabe für ein Programm interpretieren können. Das Programm einer Registermaschine erlaubt nur die Eingabe einer Zahl. Daher müssen wir ein Programm durch eine Zahl kodieren. Dies geschieht in zwei Schritten. Zuerst führen wir für die erlaubten Befehle abkürzende Schreibweisen ein. Wir arbeiten mit dem Alphabet {{ Math/display|term= \prime \,-\,I\,D\,C\,P\,H \, , |SZ= }} Die einzelnen Befehle werden folgendermaßen notiert {{ Aufzählung5 |Inkrementierung von {{math|term= R_i |SZ=:}} {{mathl|term= I \prime \prime \cdots \prime |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= i |SZ=}} Strichen| |ISZ=|ESZ=. }} |Dekrementierung von {{math|term= R_i |SZ=:}} {{mathl|term= D \prime \prime \cdots \prime |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= i |SZ=}} Strichen| |ISZ=|ESZ=. }} |Sprunganweisung {{math|term= C(i,j) |SZ=:}} {{mathl|term= C \prime \prime \cdots \prime , \prime \prime \cdots \prime|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= i |SZ=}} Strichen vor dem Komma und {{math|term= j |SZ=}} Strichen nach dem Komma| |ISZ=|ESZ=. }} |Druckanweisung: {{math|term= P |SZ=.}} |Halteanweisung: {{math|term= H |SZ=.}} }} Das Symbol {{math|term= \prime|SZ=}} wird also benutzt, um sowohl die Registernummern als auch die Zeilennummern {{ Zusatz/Klammer |text=in der Sprunganweisung| |ISZ=|ESZ= }} auszudrücken. Da in jeder Befehlszeile eines konkreten Programmes konkrete Register bzw. Zeilen adressiert werden, stehen da jeweils natürliche Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=keine Variablen| |ISZ=|ESZ=, }} die problemlos durch eine Strichfolge ausgedrückt werden können. Ein Programm, das aus den durchnummerierten Befehlszeilen {{mathl|term= B_1,B_2 {{kommadots|}} B_h|SZ=}} besteht, wird dann insgesamt durch die Zeichenfolge {{ Math/display|term= b_1-b_2- \ldots -b_h |SZ= }} wiedergegeben, wobei {{math|term= b_j |SZ=}} die soeben angeführte Kodierung der {{math|term= j |SZ=-}}ten Befehlszeile ist. Das Zeichen {{math|term= -|SZ=}} wird also verwendet, um die Zeilen voneinander zu trennen. Das Mitschleppen der Zeilennummern ist nicht nötig, da sich die Nummer aus der Reihenfolge rekonstruieren lässt. Das oben angegebene Programm hätte demnach die symbolische Kodierung {{ Math/display|term= I \prime -C \prime \prime , \prime -H |SZ= }} In einem zweiten Schritt ersetzen wir diese symbolische Kodierung durch eine numerische Kodierung. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten. Da unser Alphabet, mit dem wir jedes Programm schreiben können, {{math|term= 8 |SZ=}} Symbole verwendet, liegt eine Repräsentierung im Achtersystem nahe. Da die {{math|term= 0 |SZ=}} als Anfangsnummer etwas problematisch ist, arbeiten wir lieber im Neunersystem {{ Zusatz/Klammer |text=man kann die folgenden Zahlen genauso gut im Zehnersystem auffassen| |ISZ=|ESZ= }} und ordnen den Symbolen von oben in der obigen Reihenfolge die Ziffern {{ Math/display|term= 1,2,3,4,5,6,7,8 |SZ= }} zu. Das Programm von oben wird dann zur Ziffernfolge {{ Math/display|term= 3125118127 |SZ=. }} Die einem jeden Programm {{math|term= P |SZ=}} auf diese Weise zugeordnete Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=also der Zahlwert, nicht die Ziffernfolge| |ISZ=|ESZ= }} nennen wir {{mathl|term= c(P) |SZ=.}} Man spricht von der {{Stichwort|Gödelnummer}} des Programms. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Halteproblem |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 900yg2igby8gzxcqk6yywtje91yhhyy 0 67068 1092501 1073502 2026-06-01T13:57:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092501 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten ein Registerprogramm {{math|term= P |SZ=,}} das aus {{math|term= h |SZ=}} Programmzeilen besteht und {{math|term= m |SZ=}} Register anspricht, als eine Abbildung auffassen. Die Wirkungsweise einer jeden Programmzeile hängt dabei nur von den Belegungen der Register zu dem Zeitpunkt ab, an dem diese Zeile aufgerufen wird. Sie ist geschichtsunabhängig, d.h. unabhängig von dem bisherigen Verlauf des Programmes. Man kann daher ein Programm vollständig durch die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |\{1,2 {{kommadots|}} h \} \times \N^m | \{1,2 {{kommadots|}} h \} \times \N^m |(\ell ,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m)| \varphi( \ell ,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) |SZ=, }} erfassen. Diese Abbildung nennen wir die {{Stichwort|Programm{{drucktrenn}}abbildung|SZ=}} {{ Relationskette | \varphi || \varphi_P || || || |SZ=. }} Dabei steht {{math|term= \ell |SZ=}} für die Programmzeilennummer und {{math|term= {{{n|n}}}_j |SZ=}} steht für den Inhalt des Registers {{math|term= R_j |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von denen es ja {{math|term= m |SZ=}} Stück gibt| |ISZ=|ESZ=. }} Dem Tupel {{mathl|term= (\ell,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) |SZ=}} wird dasjenige Tupel {{mathl|term= \varphi(\ell, {{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) |SZ=}} zugeordnet, das bei Abruf des in der {{math|term= \ell|SZ=-}}ten Programmzeile stehenden Befehls {{math|term= B_\ell |SZ=}} bei der Registerbelegung {{mathl|term= ({{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) |SZ=}} entsteht. Die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} besteht dabei aus den {{mathl|term= m+1 |SZ=}} Komponentenfunktionen {{mathl|term= \varphi_0, \varphi_1 {{kommadots|}} \varphi_m |SZ=,}} wobei {{math|term= \varphi_0 |SZ=}} die Wirkungsweise auf die Programmzeilennummer und die {{ mathbed|term= \varphi_j ||bedterm1= 1 \leq j \leq m ||bedterm2= |SZ=, }} die Wirkungsweise auf das {{math|term= j |SZ=-}}te Register beschreibt. Die Wirkung der einzelnen Befehle sieht folgendermaßen aus. Bei {{ Relationskette | B_\ell || i+ || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display/handlinks | \varphi(\ell,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) ||(\ell+1,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_{i-1},{{{n|n}}}_i+1,{{{n|n}}}_{i+1} {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | B_\ell || i- || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display/handlinks | \varphi(\ell,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) ||(\ell+1,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_{i-1},{{{n|n}}}_i -1,{{{n|n}}}_{i+1} {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) || || || |SZ= }} bei {{ Relationskette |{{{n|n}}}_i |\geq| 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display/handlinks | \varphi(\ell,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) ||(\ell+1,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_{i-1},{{{n|n}}}_i,{{{n|n}}}_{i+1} {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) || || || |SZ= }} bei {{ Relationskette |{{{n|n}}}_i || 0 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | B_\ell || C(ij) || || || |SZ= }} ist {{ Math/display|term= \varphi(\ell,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m)= \begin{cases} (j,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) , \text{ falls } {{{n|n}}}_i {{=|}} 0 \, , \\ (\ell+1,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) \text{ sonst} \, .\end{cases} |SZ= }} Bei {{ Relationskette | B_\ell || H || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also bei {{mathlk|term=\ell= h |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | \varphi(h,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) || (h,{{{n|n}}}_1 {{kommadots|}} {{{n|n}}}_m) || || || |SZ=, }} die Abbildung wirkt dort also wie die Identität. Der Druckbefehl ist für den Programmablauf nicht relevant und wird hier ignoriert. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Repräsentierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} aghch4borycdqgtbnyawdifxv1ua4x8 0 67073 1092499 983780 2026-06-01T13:57:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092499 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Registermaschine/Einzelbefehle/Arithmetische Repräsentierung/Definition|| }} Hierbei werden die natürlichen Zahlen {{math|term= \ell|SZ=}} und {{math|term= j |SZ=}} in den arithmetischen Ausdrücken durch die entsprechenden Summen {{mathl|term= 1 {{plusdots|}} 1 |SZ=}} repräsentiert, die Abfrage am {{math|term= i |SZ=-}}ten Register schlägt sich in der Variablenbezeichnung nieder. Wie bei der Programmabbildung ist es sinnvoll, für alle Programmzeilennummern {{ Zusatz/Klammer |text=also auch für {{mathlk|term=\ell > h |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} einen arithmetischen Ausdruck zu haben. Dazu setzen wir {{ Math/display|term= A_{h+1} {{defeq}} (z \geq h +1 ) \rightarrow ( z' = z ) {{logund|}} (r_1' =r_1) {{logund|}} \ldots {{logund|}} (r_{ {{{m|m}}} }' =r_{ {{{m|m}}} } ) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{mathlk|term=z \geq h+1 |SZ=}} eine Abkürzung ist| |ISZ=|ESZ=. }} Zu einem gegebenen Programm bestehend aus den Programmzeilen {{mathl|term= B_1 {{kommadots|}} B_h|SZ=}} betrachtet man die Konjunktion der soeben eingeführten zugehörigen arithmetischen Repräsentierungen, also {{ Relationskette |A_P ||A_1 {{logund|}} A_2 {{logunddots|}} A_h {{logund|}} A_{h+1} || || || |SZ=. }} Dieser Ausdruck repräsentiert die Programmabbildung. {{ inputfaktbeweis |Registermaschine/Programm/Arithmetische Repräsentierung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Registermaschinen |Kategorie2=Theorie der Berechenbarkeit |Kategorie3=Theorie der Repräsentierbarkeit |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzc0d4tgnyc5zw60y4e40jhe47nxkzw 0 67384 1092722 963734 2026-06-01T14:40:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092722 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |Cauchy-Folge| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mt73all9y1u8jvkjaa0gzarys6zeocd 0 67415 1092721 1024897 2026-06-01T14:40:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092721 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Grenzwert| |msw= |SZ= }} einer Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | T | {{{L|L}}} || |SZ= }} in {{math|term= a \in M |SZ=,}} wobei {{mathl|term= L,M|SZ=}} metrische Räume sind, {{mathl|term= T \subseteq M |SZ=}} eine Teilmenge und {{ Relationskette | a | \in | M |SZ= }} ein Berührpunkt von {{math|term= T |SZ=}} ist. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sudhx7mmdbmpyrf4xjnwr24g7gamiy7 0 67484 1092688 1024726 2026-06-01T14:34:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092688 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |höhere Richtungsableitung| |msw= |SZ= }} zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | V | W || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= V,W|SZ=}} endlichdimensionale {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} sind, bezüglich der Richtungen {{ Relationskette | v_1 {{kommadots|}} v_n | \in | V || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ppf6p7qv15nxn1clmhky6pio3zrqib 0 67533 1092657 963519 2026-06-01T14:29:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092657 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Ableitbarkeit| |msw= |SZ= }} eines Aussage {{mathl|term= {{logprop|}} \in L^V |SZ=}} aus einer Aussagenmenge {{mathl|term=\Gamma \subseteq L^V|SZ=}} in der {{ Definitionslink |Sprache der Aussagenlogik| |Kontext=| |SZ= }} zu einer Aussagevariablenmenge {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eg9vol9o919slf9nzqdv9yve4qjrtj9 0 68087 1092302 1074632 2026-06-01T13:24:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092302 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Sinh-cosh-r-28pt|svg| 230px {{!}} thumb {{!}} | right {{!}} | |Text=Der Verlauf der Hyperbelfunktionen |Autor= |Benutzer=Emdee |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Hyperbelfunktion/R/Sinus hyperbolicus/Definition|| }} {{ inputdefinition |Hyperbelfunktion/R/Kosinus hyperbolicus/Definition|| }} {{ inputbild |Catenary-pm|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Der Kosinus hyperbolicus {{mathl|term= a {{op:cosh|x/a|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit Parameter {{math|term= a |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} beschreibt eine sogenannte {{Stichwort|Kettenlinie|SZ=,}} das ist diejenige Kurve, die ein durchhängendes Seil einnimmt. |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Hyperbelfunktion/R/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hyperbelfunktion/R/Monotonieeigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |Hyperbolic Tangent|svg|230px {{!}} right {{!}} | thumb |Zusname=Hyperbolic_Tangent |Text= |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Hyperbelfunktion/R/Tangens hyperbolicus/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hyperbelfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i6s7ar55yifgazikdtdvytccho469ax 0 69159 1092750 1022607 2026-06-01T14:45:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092750 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort/Abfrage|Limes inferior|SZ=}} zu einer reellen Folge {{mathl|term= {{Folge| x |}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mz74oxv3bcucqfmlkv4l593bgvb47lu 0 69171 1092850 1021669 2026-06-02T10:22:51Z Arbota 36910 Ersetzung 1092850 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{Stichwort/Abfrage|Cavalieri-Prinzip|SZ=}} für eine messbare Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq M \times N |SZ=}} zu {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endlichen Maßräumen| |Kontext=sigma| |SZ= }} {{ mathkor|term1= (M, {{Mengensystem| A |}} , \mu) |und|term2= (N, {{Mengensystem| B |}} , \nu) |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ggc4sjn5x54solvuqo4ypgf9ri43v2 0 69611 1092225 1018912 2026-06-01T13:12:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092225 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Euklidischer Halbraum/Definition|| }} Bei {{ Relationskette | n || 0 || || || |SZ= }} ist dies ein Punkt, bei {{ Relationskette | n || 1 || || || |SZ= }} ist dies das Intervall {{mathl|term= [0, \infty] |SZ=,}} bei {{ Relationskette| n || 2 || || || |SZ= }} handelt es sich um eine {{Stichwort|Halbebene|SZ=,}} und bei {{ Relationskette | n || 3 || || || |SZ= }} um einen Halbraum. Wenn man statt {{math|term= 1 |SZ=}} einen anderen Koordinatenindex oder {{Anführung|{{math|term= \leq |SZ=}}|}} statt {{Anführung|{{math|term= \geq|SZ=}} }} nimmt, so nennt man auch diese Objekte Halbräume. Da ein Halbraum {{math|term= H |SZ=}} abgeschlossen im {{math|term= \R^n |SZ=}} ist, ist eine Teilmenge {{ Relationskette | T |\subseteq| H || || || |SZ= }} genau dann abgeschlossen in {{math|term= H |SZ=,}} wenn sie abgeschlossen im {{math|term= \R^n |SZ=}} ist. Diese Äquivalenz gilt {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} für offene Mengen. Beispielsweise ist der Gesamtraum {{math|term= H |SZ=}} in {{math|term= H |SZ=}} offen, aber nicht im {{math|term= \R^n |SZ=.}} Die Menge {{ Relationskette/display | \partial H || {{Mengebed|x \in \R^n |x_1 {{=|}} 0}} || || || |SZ= }} gehört zu {{math|term= H |SZ=}} und heißt der {{Stichwort|Rand|SZ=}} von {{math|term= H |SZ=.}} Er ist homöomorph zu {{math|term= \R^{n-1} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=was bei {{math|term= n=0 |SZ=}} als leer zu interpretieren ist| |ISZ=|ESZ=. }} Mit {{math|term= H_+|SZ=}} bezeichnet man die positive Hälfte, also {{ Relationskette | H_+ || {{Mengebed|x \in \R^n |x_1 >0}} || || || |SZ=, }} die eine offene Teilmenge im {{math|term= \R^n |SZ=}} ist. Die Halbräume bilden die Standardmodelle für die Mannigfaltigkeiten mit Rand, die wir jetzt einführen wollen. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung des Mannigfaltigkeitsbegriffes. Ein typisches Beispiel für eine Mannigfaltigkeit mit Rand ist die abgeschlossene Vollkugel; ihr Rand ist die Sphäre. Ein Punkt im Innern der Kugel besitzt eine kleinere offene Kugelumgebung, in einem solchen Punkt sieht es also {{Anführung|lokal}} so aus wie im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Ein Punkt auf dem Rand der Kugel besitzt nicht eine solche Umgebung, sondern in jeder offenen Umgebung davon ist der Rand gegenwärtig; ein solcher Randpunkt sieht lokal wie ein Randpunkt eines euklidischen Halbraumes aus. Die Karten einer Mannigfaltigkeit mit Rand werden offene Mengen in einem Halbraum sein. Für die Übergangsabbildungen müssen wir daher von differenzierbaren Abbildungen, die auf Halbräumen definiert sind, sprechen können. Dies ermöglicht die folgende Definition. {{ inputdefinition |Halbräume/Stetig differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition|| }} Der neue Differenzierbarkeitsbegriff wird also auf den alten zurückgeführt. Für eine offene Menge {{ Relationskette | U |\subseteq| H || || || |SZ=, }} die den Rand von {{math|term= H |SZ=}} nicht trifft, ist dies gleichbedeutend mit der Definition für eine offene Menge im {{math|term= \R^n |SZ=.}} Mit dieser Strategie, Begriffe für Randpunkte über die Existenz von offenen Umgebungen mit fortgesetzten Objekten zu definieren, übertragen sich viele wichtige Konzepte auf die neue allgemeinere Situation, was wir nicht immer im Einzelnen ausführen werden. Beispielsweise ist klar, was ein {{Stichwort|Diffeomorphismus|SZ=}} von offenen Mengen im Halbraum und was das totale Differential einer differenzierbaren Abbildung ist. Auch die Definition einer Mannigfaltigkeit mit Rand ist vor diesem Hintergrund nicht überraschend. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der euklidischen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lgxbdg63jqz9c1efrcti209p0zcqyys 0 70336 1092744 963781 2026-06-01T14:44:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092744 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Prämaß| |msw= |SZ= }} {{math|term=\mu|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Präring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bqlkut39hbixm7a8q504nubwrm5otsx 0 70338 1092739 865602 2026-06-01T14:43:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092739 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Produkt-{{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra| |msw= |SZ= }} zu Messräumen {{mathl|term=(M_1, {{Mengensystem|A}}_1) {{kommadots|}} (M_n, {{Mengensystem|A}}_n) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ae9tn6hgwl9qmn9yxoyk9rk6nayl51 0 70349 1092738 1019090 2026-06-01T14:43:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092738 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Produkt-Präring| |msw= |SZ= }} auf {{mathl|term= M_1 {{timesdots}} M_n |SZ=}} der {{ Definitionslink |Präringe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term=(M_1, {{Mengensystem|P}}_1) {{kommadots|}} (M_n, {{Mengensystem|P}}_n) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7cd46eqmksx48qn2ub7ozcve3uxzpd0 0 70356 1092667 1021745 2026-06-01T14:31:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092667 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |äußere Ableitung| |msw= |SZ= }} einer {{ Definitionslink |stetig differenzierbaren| |Kontext=Differentialform| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=k|Differentialform| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term=\omega \in {{symbol:Differentialformen| U |k}} |SZ=}} auf einer {{ Definitionslink |offenen Menge| |Kontext=mr| |SZ= }} {{mathl|term= U \subseteq \R^n |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fy35ptaw3x9m96ddm9sphqwdpopd71v 0 70358 1092745 963782 2026-06-01T14:44:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092745 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Endlichkeit| |msw= |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämaßes| |Kontext=| |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Präring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d1ve9jcl1ighgq0y3u88slm7pzkiiuy 0 70363 1092746 963783 2026-06-01T14:44:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092746 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Prämath=\sigma |Endlichkeit| |msw= |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Prämaßes| |Kontext=| |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Präring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ek8ffl3uaw334fgr1ih3lgo1q4e5pf7 0 70364 1092755 957742 2026-06-01T14:45:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092755 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |Produktmaß| |msw= |SZ= }} {{mathl|term=\mu_1 {{tensordots|}} \mu_n |SZ=}} zu {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endlichen Maßräumen| |Kontext=sigma|| |SZ= }} {{mathl|term=(M_1, {{Mengensystem|A}}_1, \mu_1) {{kommadots|}} (M_n, {{Mengensystem|A}}_n, \mu_n) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyw62r102l0ujz81pfrbi6jkyfi2gfi 0 70369 1092772 1025236 2026-06-01T14:48:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092772 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort/Abfrage|Zerlegungseigenschaft|SZ=}} für eine Teilmenge {{ Relationskette | Z | \subseteq | M || || || |SZ= }} bezüglich der {{ Definitionslink |Fortsetzung| |Kontext=äußeres Maß| |SZ= }} {{math|term=\tilde{\mu} |SZ=}} auf die Potenzmenge eines äußeren Maßes {{math|term=\mu|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Präring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} von {{math|term= X |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iuf69jcyfa92gv3tt7m8imb19rwx260 0 70374 1092678 963575 2026-06-01T14:33:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092678 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die von einem Mengensystem {{mathl|term= {{Mengensystem|E}} |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=}} {{ Stichwort/Abfrage |erzeugte| |msw= |SZ= }} {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra {{math|term=\sigma( {{Mengensystem|E}} ) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7yi9xu817w010zy3vr0etl0zke8jbc 0 70376 1092671 1018450 2026-06-01T14:31:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092671 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{math|term= C^1 |SZ=-}}{{Stichwort/Abfrage|differenzierbare Mannigfaltigkeit|SZ=}} {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hzj2i2ilkq298ag8lyfnalf4y8oww1x 0 70390 1092719 1024882 2026-06-01T14:39:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092719 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{Stichwort/Abfrage|Bildmaß|SZ=}} unter einer messbaren Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | M | N || |SZ= }} von einem Maßraum {{mathl|term=(M, {{Mengensystem|A}}, \mu) |SZ=}} in einen Messraum {{math|term=(N, {{Mengensystem|B}}) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} psurd0l4irnp0usxnya2xu396z37vo3 0 70391 1092720 1024885 2026-06-01T14:40:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092720 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Messbarkeit| |msw= |SZ= }} einer {{ Definitionslink |numerischen Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | M | {{op:abschlussnum|\R}} || |SZ=, }} wobei {{mathl|term=(M, {{Mengensystem|A}}) |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fnkoi2wotd5ro898b1klhnham3jjxt7 0 70409 1092716 1024876 2026-06-01T14:39:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092716 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |maßtreue Abbildung| |msw= |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | M | N || |SZ= }} zwischen Maßräumen {{ mathkor|term1= (M, {{Mengensystem|A}} , \mu) |und|term2= (N, {{Mengensystem|B}} , \nu) |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} beaygc8vv8dfj93vvo6jmz1lw8rsvy4 0 70411 1092715 875918 2026-06-01T14:39:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092715 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Maß zu einer Dichte| |msw= |SZ= }} {{math|term= g |SZ=}} auf einem Maßraum {{mathl|term= (M, {{Mengensystem|A}}, \mu) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fdcqnlye1h9n3x92dpcjnzl15sulzj8 0 70414 1092763 865631 2026-06-01T14:47:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092763 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort/Abfrage|Unterraumtopologie|SZ=}} auf einer Teilmenge {{mathl|term= Y \subseteq X}} eines topologischen Raumes {{mathl|term=(X, {{Mengensystem|T}}) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fs5vmqp0m82p75rz4nk4n4hveq32t6u 0 70455 1092751 1022611 2026-06-01T14:45:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092751 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort/Abfrage|Limes superior|SZ=}} zu einer reellen Folge {{mathl|term= {{Folge| x |}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3y9wxx96g9u0hyetu612bbu7aqx64jd 0 71552 1092853 1025113 2026-06-02T10:23:21Z Arbota 36910 Ersetzung 1092853 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Satz von Fubini| |msw= |SZ= }} für eine integrierbare Funktion {{ Abbildung/display |name= f |M \times N| {{op:abschlussnum|\R|}} || |SZ= }} auf {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endlichen| |Kontext=sigma| |SZ= }} {{ Definitionslink |Maßräumen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a92r5yxa922883a6m49dhs6tsr1dw6q 0 71798 1092712 1018905 2026-06-01T14:38:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092712 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort/Abfrage|lineare Unabhängigkeit|SZ=}} von Vektoren {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} in einem {{math|term= K |SZ=-}}Vektorraum {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o6bg6rbxd422xm3bt1zqxn74pvm9h6o 0 71831 1092767 1019434 2026-06-01T14:47:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092767 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort/Abfrage|Untervektorraum|SZ=}} {{mathl|term= U \subseteq V |SZ=}} in einem {{math|term= K |SZ=-}}Vektorraum {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1fc6mll861u2ylkicykehzouex3pt7o 0 71832 1092669 1024631 2026-06-01T14:31:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092669 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{Stichwort/Abfrage|Taylor-Polynom vom Grad|SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} zu einer {{math|term= n |SZ=-}}mal differenzierbaren Funktion {{ Abbildung/display |name= f |\R|\R || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | a | \in | \R || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8sc6k8k0c2ks7j463lze6i829sg65x5 0 71844 1092752 1022638 2026-06-01T14:45:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092752 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort/Abfrage|Limes|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort/Abfrage|Grenzwert|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} einer reellen Folge {{mathl|term= {{Folge||}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mo1sy6ut4xqupjl31qw8belbgyp2cgw 0 71885 1092652 1024588 2026-06-01T14:28:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092652 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort/Abfrage|algebraische Zahl|SZ=}} {{ Relationskette | z | \in | {{CC}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8c8d57k8eekfxmebqmt9qkkukb464y 0 72811 1092695 963627 2026-06-01T14:35:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092695 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Ideal| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala|}} \subseteq R |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqnnbt95e2kiu6frq4twho0nv4r1014 0 73382 1092087 1074521 2026-06-01T12:50:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092087 wikitext text/x-wiki {{Seitenüberschrift|Pythagoreische Tripel und der Einheitskreis}} {{Zwischenüberschrift|Der Satz des Pythagoras}} {{ inputbild |Kapitolinischer Pythagoras|jpg|250px {{!}} right {{!}} | |Text=[[w:Pythagoras|Pythagoras von Samos]] lebte im sechsten vorchristlichen Jahrhundert. {{Anführung|Sein}} Satz war aber schon tausend Jahre früher in Babylon bekannt. |Autor= |Benutzer=Galilea |Domäne=de Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir rufen uns den Satz des Pythagoras in Erinnerung. {{ inputbild |Pythagoras large font|svg|250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=KaiMartin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfakt |Dreiecksgeometrie/Satz des Pythagoras/Fakt|Satz|| || }} Wenn man die beiden Kathetenlängen mit {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} und die Hypotenusenlänge mit {{math|term= c |SZ=}} bezeichnet, so besteht also der Zusammenhang {{ Relationskette/display |a^2+b^2 ||c^2 || || || |SZ=. }} In diesem Vortrag soll es aber nicht um den Satz selbst gehen, sondern um die Zahlen {{mathl|term= a,b,c \in \R|SZ=,}} die diese Gleichung erfüllen. Wenn man sich einen Punkt und einen rechten Winkel vorgibt {{ Zusatz/Klammer |text=durch zwei von dem Punkt ausgehenden, zueinander senkrechten Halbgeraden| |ISZ=|ESZ=, }} so kann man sich beliebige Kathetenlängen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} vorgeben und diese auf den beiden Halbgeraden eintragen. Zusammen mit der Verbindungsgeraden der Endpunkte entsteht ein rechtwinkliges Dreieck mit den vorgegebenen Kathetenlängen, und die Hypotenusenlänge ist dann {{ Relationskette/display |c || \sqrt{a^2 +b^2} || || || |SZ=. }} Die Kathetenlängen kann man sich also frei vorgeben, und das legt die Hypotenusenlänge fest. Allerdings kann man nicht erwarten, dass sich {{Anführung|schöne}} Eigenschaften von {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} übertragen. Wenn beispielsweise {{ mathkor|term1= a=2 |und|term2= b=3 |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/display |c || \sqrt{2^2 + 3^2} || \sqrt{13} || || |SZ=. }} Die Hypotenusenlänge ist also eine irrationale Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=da Quadratwurzeln aus Primzahlen stets irrational sind| |ISZ=|ESZ=, }} obwohl die Länge der Katheten natürliche Zahlen sind. Zur Erinnerung: Natürliche Zahlen sind die Zahlen {{ Math/display|term= 0,1,2,3,4. \ldots |SZ=, }} ganze Zahlen sind die Zahlen {{ Math/display|term= \ldots , -4 , -3 ,-2, -1,0,1,2,3,4, \ldots |SZ= }} und rationale Zahlen sind Zahlen, die man als Brüche aus ganzen Zahlen darstellen kann, also {{ Relationskette/display |\Q || {{Mengebed| {{op:Bruch|a|b}} |a, b \in \Z|b \neq 0 }} || || || |SZ=. }} Reelle Zahlen, die nicht rational sind, nennt man irrational. Beispielsweise sind {{ Math/display|term= -5, \, 3, \, 0,\, {{op:Bruch|1|2}}, \, {{op:Bruch|1|10}}, \, {{op:Bruch|3|5}}, \, {{op:Bruch|19|6}} \, |SZ= }} rationale Zahlen, dagegen sind {{ Math/display|term= \sqrt{2},\, \sqrt{3} ,\, \sqrt{13}, \, \sqrt[7]{5}, \, \pi, \, e\, |SZ= }} irrational, wobei das teilweise schwierige Sätze sind. Optisch sind rationale Zahlen von irrationalen Zahlen auf der Zahlengeraden schwer zu unterscheiden. In jeder beliebig kleinen Umgebung einer rationalen Zahl gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=unendlich viele| |ISZ=|ESZ= }} irrationale Zahlen und in jeder beliebig kleinen Umgebung einer irrationalen Zahl gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=unendlich viele| |ISZ=|ESZ= }} rationale Zahlen. {{Zwischenüberschrift|Pythagoreische Tripel}} In diesem Vortrag beschäftigen wir uns mit den sogenannten pythagoreischen Tripeln. {{inputdefinition|Pythagoreisches Tripel/Definition|}} {{ inputbild |Pell right triangles|svg|250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=David Eppstein |Benutzer= |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Ternas pitagóricas|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Ternas_pitagoricas |Text=Die roten Punkte sind primitive pythagoreische Tripel, die blauen nicht-primitive. |Autor=Arkady |Benutzer=Kordas |Domäne=es.wikipedia.org |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Lösungstripel, bei denen (mindestens) ein Eintrag null ist, heißen trivial. Nach der Umkehrung des Satzes des Pythagoras bildet ein solches Tripel die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreieckes. Es geht also um rechtwinklige Dreiecke mit der Eigenschaft, dass alle drei Seiten eine ganzzahlige Länge haben (dabei sind {{math|term= x, y |SZ=}} die Seitenlängen der Katheten und {{math|term= z |SZ=}} ist die Seitenlänge der Hypotenuse). Das bekannteste pythagoreische Tripel ist zweifellos {{Math/display|term=(3,4,5) |SZ=.}} Die einfachste Möglichkeit, neue pythagoreische Tripel zu erhalten, ist es, das Tripel mit einer ganzzahligen Konstanten komponentenweise zu multiplizieren, also beispielsweise {{ Relationskette/display | 2 \cdot (3,4,5) || (6,8,10) || || || |SZ= }} zu betrachten. Wenn man sich auf primitive Tripel beschränkt, ist diese Operation nicht mehr erlaubt. Wenn zwei Zahlen des Tripels einen gemeinsamen Teiler haben, so hat natürlich auch die dritte diesen Teiler, und das Tripel ist nicht primitiv. Wir wollen alle {{ Zusatz/Klammer |text=primitiven| |ISZ=|ESZ= }} pythagoreischen Tripel finden. Man kann das Problem umformulieren, indem man durch {{math|term= z^2 |SZ=}} teilt. Dann ist das Problem äquivalent zu: Bestimme alle rationalen Lösungen für die Gleichung {{ Math/display|term= r^2 +s^2=1 \, \, (r,s \in \Q) |SZ=. }} Es geht also um alle Punkte auf dem Einheitskreis {{ Zusatz/Klammer |text=in der Ebene mit Mittelpunkt {{math|term=(0,0) |SZ=}} und Radius {{math|term=1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} deren beide Koordinaten rationale Zahlen sind. Wir sprechen kurz von rationalen Punkten. Die trivialen Lösungen sind die Zahlenpaare {{mathl|term=(1,0), \, (-1,0),\, (0,1),\, (0,-1) |SZ=.}} Wenn umgekehrt eine rationale Lösung vorliegt, also {{ Math/display|term= (r,s) \in \Q^2 \text{ mit } r^2 + s^2 = 1 |SZ=, }} so kann man daraus einfach ein {{ Zusatz/Klammer |text=primitives| |ISZ=|ESZ= }} pythagoreisches Tripel errechnen. Wenn {{ mathkor|term1= r= {{op:Bruch|n|m}} |und|term2= s= {{op:Bruch|k|\ell }} |SZ= }} mit ganzen Zahlen {{mathl|term= n,m,k, \ell|SZ=}} ist, so ist also {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch|n|m}} |}}^2 + {{makl| {{op:Bruch|k| \ell }} |}}^2 || 1 || || || |SZ= }} und durch Multiplikation mit {{mathl|term= m^2 \ell^2 |SZ=}} erhält man daraus {{ Relationskette/display | (n\ell)^2 +(k m)^2 || (m \ell)^2 || || || |SZ=. }} Durch Division durch einen gemeinsamen Teiler ergibt sich ein primitives Tripel. {{Zwischenüberschrift|Parametrisierungen des Einheitskreises}} Der (Einheits-)Kreis ist ein eindimensionales Objekt und es gibt verschiedene (Teil-)Parametrisierungen für ihn oder Ausschnitte von ihm. Unter einer Parametrisierung einer Kurve {{math|term= C |SZ=}} im {{math|term=\R^2 |SZ=}} versteht man generell eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R|C || |SZ=, }} die eine Bijektion zwischen {{math|term=\R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder einem Intervall| |ISZ=|ESZ= }} und der Kurve {{ Zusatz/Klammer |text=oder einem möglichst großen Ausschnitt daraus| |ISZ=|ESZ= }} vermittelt. Das Ziel einer Parametrisierung ist es, durch die Beziehung zu dem linearen Objekt {{math|term=\R|SZ=}} auch das {{Anführung|krumme Objekt}} {{math|term= C |SZ=}} besser zu verstehen. Da {{mathl|term= x^2+y^2=1 |SZ=}} gelten soll, kann man sich {{math|term= x |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= -1 |und|term2= 1 |SZ= }} frei vorgeben und erhält für {{math|term= y |SZ=}} die Bedingung {{ Relationskette/display |y || \sqrt{1-x^2} || || || |SZ=. }} Der Graph dieser Abbildung ist die obere Hälfte des Einheitskreises. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} eine rationale Zahl nimmt, also {{mathl|term= x \in [-1,1] \cap \Q|SZ=,}} so gibt es aber keinen Grund, warum {{mathl|term= \sqrt{1-x^2} |SZ=}} ebenfalls rational sein sollte. Für {{ Relationskette |x || {{op:Bruch|3|5}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |y || \sqrt{1- {{op:Bruch|3|5}} ^2} || \sqrt{ {{op:Bruch|25|25}} - {{op:Bruch|9|25}} } || \sqrt{ {{op:Bruch|16|25}} } || {{op:Bruch|4|5}} |SZ= }} wieder rational, für {{ Relationskette |x || {{op:Bruch|2|5}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |y || \sqrt{1- {{op:Bruch|2|5}} ^2} || \sqrt{ {{op:Bruch|25|25}} - {{op:Bruch|4|25}} } || \sqrt{ {{op:Bruch|21|25}} } || {{op:Bruch|\sqrt{21}|5}} |SZ= }} nicht rational. Wenn man sich {{Anführung|zufällig}} eine rationale Zahl {{math|term= x |SZ=}} aussucht, wird {{mathl|term= \sqrt{1-x^2} |SZ=}} meistens irrational sein. {{ inputbild |Unit circle2|svg|250px {{!}} right {{!}} | |Text=Ein Winkel definiert einen eindeutigen Punkt auf dem Einheitskreis |Autor= |Benutzer=Pyramide |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Eine weitere wichtige Parametrisierung des Einheitskreises wird durch die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus gegeben. Zu einem Winkel {{math|term=\alpha|SZ=}} betrachtet man ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge {{math|term=1 |SZ=,}} wobei einer der Winkel {{math|term=\alpha|SZ=}} sei. Im Einheitskreis entsteht dieses Dreieck, wenn man den Winkel an die positive {{math|term= x |SZ=-}}Achse gegen den Uhrzeigersinn im Nullpunkt anlegt und den Durchstoßungspunkt {{math|term= P |SZ=}} des zugehörigen Strahles {{ Zusatz/Klammer |text=der Halbgeraden| |ISZ=|ESZ= }} mit dem Einheitskreis bestimmt. Der Nullpunkt, der Punkt {{math|term= P |SZ=}} und der Lotfußpunkt von {{math|term= P |SZ=}} auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Länge der Gegenkathete {{ Zusatz/Klammer |text=gegenüber dem Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet man mit {{mathl|term={{op:sin|\alpha|}} |SZ=}} und die Länge der Ankathete bezeichnet man mit {{mathl|term= {{op:cos|\alpha|}} |SZ=.}} Somit besitzt der Kreispunkt {{math|term= P |SZ=}} die Koordinaten {{ Relationskette/display |P (\alpha) || ({{op:cos|\alpha|}},{{op:sin|\alpha|}} ) || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term=\alpha|SZ=}} sämtliche Winkel durchläuft, durchläuft {{mathl|term= P(\alpha) |SZ=}} den Einheitskreis. Die Zuordnung {{ Math/display|term= \alpha \longmapsto ({{op:cos|\alpha|}},{{op:sin|\alpha|}} ) |SZ= }} bildet also eine Parametrisierung des Einheitskreises. Hierbei kann man den Winkel auf unterschiedliche Arten messen, etwa durch den Grad, bei dem eine Volldrehung als {{math|term=360 |SZ=}} Grad angesetzt wird, oder durch das Bogenmaß, bei dem die Länge des zugehörigen Kreisbogens als Winkel genommen wird und eine Volldrehung somit {{math|term=2 \pi|SZ=}} entspricht. Diese trigonometrische Parametrisierung ist auf einem reellen Intervall {{ Zusatz/Klammer |text=im Bogenmaß nimmt man {{mathl|term=[0, 2 \pi[|SZ=}} als Definitionsintervall| |ISZ=|ESZ= }} definiert, und man kann sich wieder fragen, was bei ihr mit rationalen Zahlen passiert. Wenn wir mit der Gradeinteilung arbeiten, so geht es um die Frage, ob die Koordinaten zu einer rationalen Teildrehung rational sind. Zu einer Vierteldrehung {{ Zusatz/Klammer |text=immer gemessen von der {{math|term= x |SZ=-}}Achse aus| |ISZ=|ESZ= }} erhält man die rationalen Koordinaten {{mathl|term=(0,1) |SZ=,}} zu einer Achteldrehung {{ Zusatz/Klammer |text=also zum Winkel {{math|term=45 |SZ=}} Grad| |ISZ=|ESZ= }} erhält man die Koordinaten {{Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} | {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }}|}} |SZ=,}} die beide irrational sind, für eine Zwölfteldrehung {{ Zusatz/Klammer |text=also zum Winkel {{math|term=30 |SZ=}} Grad| |ISZ=|ESZ= }} erhält man die Koordinaten {{Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|\sqrt{3} |2 }} | {{op:Bruch|1| 2 }}|}} |SZ=,}} wobei die zweite Koordinate rational, die erste aber irrational ist. Die trigonometrische Parametrisierung hilft also ebenfalls nicht, die rationalen Punkte auf dem Einheitskreis besser zu verstehen. {{Zwischenüberschrift|Eine rationale Parametrisierung des Einheitskreises}} Wir brauchen eine Parametrisierung, die rationale Zahlen in solche Punkte überführt, deren beide Koordinaten rational sind, und dabei möglichst all diese Punkte trifft. {{ inputbild |Kreis TdM|png|400px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=M Gausmann |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Wir betrachten hierzu die Abbildung, die einen Punkt {{math|term= t |SZ=}} auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse auf den Durchstoßungspunkt {{mathl|term=(x,y) |SZ=}} abbildet, den der Einheitskreis mit der durch {{ mathkor|term1= (0,t) |und|term2= (-1,0) |SZ= }} definierten Geraden bildet. Aufgrund des Strahlensatzes haben wir die Bedingung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|t|1}} || {{op:Bruch|y|1+x}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | y ||t(1+x) || || || |SZ=. }} Setzt man diese Gleichung in die Gleichung des Einheitskreises ein, so erhält man {{ Relationskette/display |1 ||x^2+y^2 ||x^2+t^2 (x+1)^2 || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette/display | 0 || x^2-1+t^2 (x+1)^2 ||(x+1)(x-1)+t^2 (x+1)(x+1) || (x+1) {{makl| x-1+t^2(x+1) |}} || |SZ=. }} Da uns die erste Lösung {{ Relationskette |x ||-1 || || || |SZ= }} nicht interessiert {{ Zusatz/Klammer |text=da diese dem Punkt {{mathl|term=(-1,0) |SZ=}} auf dem Kreis entspricht| |ISZ=|ESZ=, }} betrachten wir den zweiten Faktor {{ Relationskette/display |0 ||x-1+t^2 (x+1) ||x(1+t^2) +t^2-1 || || |SZ=, }} die zu {{ Relationskette/display | x(1+t^2) || 1-t^2 || || || |SZ= }} und damit zu {{ Math/display|term= x = {{op:Bruch|1-t^2|1+t^2}} \text{ und } y = t \cdot (x+1) = t \cdot {{makl| {{op:Bruch|1-t^2|1+t^2}} +1 |}} = t \cdot {{op:Bruch|1-t^2 + 1+ t^2|1+t^2}} = {{op:Bruch|2t|1+t^2}} |SZ= }} führt. Die Abbildung {{ Math/display|term= t \longmapsto {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1-t^2|1+t^2}} | {{op:Bruch|2t|1+t^2}} |}} = (x,y) |SZ= }} ist also eine Parametrisierung des Einheitskreises. Bei dieser Parametrisierung werden alle Punkte des Einheitskreises mit Ausnahme von {{mathl|term=(-1,0) |SZ=}} genau einmal getroffen. Das Urbild zum Punkt {{mathl|term=(x,y) |SZ=}} ist {{ Relationskette/display |t || {{op:Bruch|y|1+x}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |x |\neq|-1 || || || |SZ=. }} Eine schlechte Eigenschaft dieser Abbildung ist, dass sie sehr große Verzerrungen besitzt. Die Punkte des Kreises, die nah bei {{mathl|term=(-1,0) |SZ=}} liegen, werden enorm auseinandergerissen. Die gute und für uns entscheidende Eigenschaft kann man direkt aus den funktionalen Ausdrücken ablesen: Diese Parametrisierung macht aus rationalen Zahlen {{mathl|term= t \in \Q|SZ=}} ein rationales Punktepaar auf dem Einheitskreis. Wenn nämlich {{ Relationskette/display |t || {{op:Bruch|u|v}} || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/align |(x,y) || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1-t^2|1+t^2}} | {{op:Bruch|2t|1+t^2}} |}} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|1- {{makl| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2|1+ {{makl| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2}} | {{op:Bruch|2 {{makl| {{op:Bruch|u|v}} |}} |1+ {{makl| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2}} |}} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|v^2 - u^2 |u^2+ v^2}} | {{op:Bruch|2 u v |u^2+v^2}} |}} || |SZ=. }} Durch diese Abbildung werden auch alle Punkte des Einheitskreises mit rationalen Koordinaten durch einen rationalen Parameter erfasst. Wenn {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} beide rational sind, so ist auch das Urbild {{ Relationskette/display |t || {{op:Bruch|y|1+x}} || || || |SZ= }} rational. Wir fassen zusammen: {{inputfakt|Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/1/Fakt|Satz|}} Es folgt insbesondere die keineswegs selbstverständliche Aussage, dass es auf dem Einheitskreis unendlich viele rationale Punktepaare gibt. Wenn man {{ Relationskette/display |t || {{op:Bruch|u|v}} || || || |SZ= }} mit ganzen Zahlen {{mathl|term= u,v|SZ=}} ansetzt, so ist der Bildpunkt auf dem Kreis gleich {{Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Bruch|v^2 - u^2 |u^2+ v^2}} | {{op:Bruch|2 u v |u^2+v^2}} |}} |SZ=.}} Daher gehört zu einem jeden Paar {{mathl|term=(u,v) \in \Z \times \Z \setminus \{0\} |SZ=}} das pythagoreische Tripel {{ Math/display|term= ( v^2- u^2, 2uv , u^2+v^2) |SZ=. }} Als {{Anführung|Probe|SZ=,}} dass es sich um ein pythagoreisches Tripel handelt, kann man auch direkt {{ Relationskette/display | (v^2-u^2)^2 + (2uv)^2 || v^4 -2u^2v^2 +u^4 + 4u^2v^2 || v^4 +2u^2v^2 + u^4 || (u^2 + v^2)^2 || |SZ= }} ausrechnen. Wir halten fest. {{inputfakt|Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/1/Fakt|Satz||}} Wenn {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} einen gemeinsamen Teiler haben, so erhält man nichtprimitive Tripel. Um alle pythagoreischen Tripel überhaupt zu erhalten, muss man eventuell noch mit einer positiven ganzen Zahl multiplizieren. In der folgenden Tabelle werden nur teilerfremde und positive {{mathl|term= u,v|SZ=}} angeführt. {{:Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/z bis 100/Tabelle}} {{Zwischenüberschrift|Die Dichtheit der rationalen Punkte}} Wir wissen nun, wie man sämtliche rationalen Punkte auf dem Einheitskreis erhalten kann, wir wissen aber noch nicht, wie sie auf dem Einheitskreis verteilt sind. Die folgende Überlegung zeigt, dass es in jedem beliebig kleinen Ausschnitt des Einheitskreises stets unendlich viele rationale Punkte gibt. Dies beruht darauf, dass rationale Funktionen stetig sind. Es ist typisch für die höhere Mathematik, dass algebraische, arithmetische, analytische, numerische, geometrische und topologische Methoden Hand in Hand gehen. {{inputfaktbeweis|Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/1/Fakt|Korollar}} {{:Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/Approximation/1/Beispiel|zusatz1=beispielsweise}} {{Zwischenüberschrift|Gleichungen von höherem Grad}} {{ inputbild |Pierre de Fermat|jpg| 250px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Pierre_de_Fermat |Text=[[w:Pierre de Fermat|Pierre de Fermat (1607/08-1665)]] |Autor= |Benutzer=Magnus Manske |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=PD |Bemerkung=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Fermat.html }} Statt der Gleichung {{ Relationskette/display |x^2+y^2 ||z^2 || || || |SZ= }} kann man auch andere Gleichungen in Hinblick darauf untersuchen, ob und wie viele ganzzahlige Lösungen sie haben. Generell nennt man Gleichungen der Form {{ Relationskette/display | x^n+y^n || z^n || || || |SZ= }} Fermat-Gleichungen. Die berühmte Vermutung von Fermat aus dem siebzehnten Jahrhundert, der sogenannte {{Anführung|Große Fermat|SZ=,}} besagt, dass es für {{mathl|term= n \geq 3 |SZ=}} keine nicht-trivialen Lösungen gibt. Die Fälle {{mathl|term= n=3,4 |SZ=}} wurden von Euler bewiesen. Nach rund 350 Jahren wurde der Große Fermat schließlich 1995 von Andrew Wiles bewiesen. {{ inputbild |Andrew wiles1-3|jpg| 250px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Andrew_wiles1-3 |Text=[[w:Andrew Wiles|Andrew Wiles (*1953)]] |Autor=C. J. Mozzochi, Princeton N.J |Benutzer=Nyks |Domäne= |Lizenz=freie Verwendung, copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J. |Bemerkung=http://www.mozzochi.org/deligne60/Deligne1/_DSC0024.jpg }} {{inputfakt|Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt|Satz|}} [[Medium:Mathematik_Einführender_Text_Pythagoreische_Tripel_und_der_Einheitskreis_Vortrag.pdf|Pdf-Version dieses Vortrags]] [[Kategorie:Theorie der pythagoreischen Tripel/Textabschnitte]] o4b4oar19v5ddmpkxdf9hoi1fr9o5qp 0 74630 1092111 1074534 2026-06-01T12:54:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092111 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Untervektorräume eines Vektorraums enthalten stets die {{math|term= 0 |SZ=.}} Eine Gerade {{ Relationskette | G |\subset| \R^2 || || || |SZ=, }} die nicht durch den Nullpunkt verläuft, ist also kein Untervektorraum. Dennoch handelt es sich um ein {{Anführung|lineares Objekt|SZ=,}} das im Rahmen der linearen Algebra studiert werden soll. {{ inputdefinition |Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition|| }} Den Punkt {{math|term= P |SZ=}} nennt man auch den {{Stichwort|Aufpunkt|SZ=}} und den Untervektorraum {{math|term= U |SZ=}} den {{Stichwort|Translationsraum|SZ=}} oder {{Stichwort|Verschiebungsraum|SZ=}} oder {{Stichwort|Parallelvektorraum|SZ=}} oder einfach den zugrunde liegenden Untervektorraum. Die Punkte im affinen Raum stellt man sich als {{Stichwort|Ortspunkte|msw=Ortspunkt|SZ=,}} die Punkte aus {{math|term= U |SZ=}} als Verschiebungsvektoren vor. Man kann sich darüber streiten, ob man die leere Menge als affinen (Unter)raum gelten lassen möchte, die folgende Bemerkung, die {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }} sprechen aber dafür. {{ inputbemerkung |Inhomogenes lineares Gleichungssystem/Affiner Unterraum/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Lineare Abbildung/Faser/Affiner Unterraum/Kern/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} {{ inputbild |Translation illustration|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Wirkungsweise einer Parallelverschiebung in der Ebene auf eine Teilmenge. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Eine weitere Überlegung führt zu einem weiteren abstrakten Begriff. Den Anschauungsraum kann man mit Koordinaten versehen und dadurch mit dem {{math|term= \R^3 |SZ=}} identifizieren. Dabei muss man insbesondere willkürlich einen Punkt des Raumes als {{math|term= 0 |SZ=}} auszeichnen. Der natürliche Anschauungsraum besitzt keine natürliche Null und auch keine natürliche Addition von Punkten. Dennoch ist der Anschauungsraum mit einem Vektorraum eng verbunden, nämlich dem Vektorraum aller {{ Zusatz/Klammer |text=Parallel-| |ISZ=|ESZ= }}{{Stichwort|Verschiebungen|msw=Verschiebung|SZ=}} des Raumes. Eine solche Verschiebung ist eine elementargeometrische Konstruktion, bei der jeder Punkt des Raumes um einen bestimmten Richtungsvektor verschoben wird. Eine solche Verschiebung ist durch jeden Punkt zusammen mit seinem Bildpunkt festgelegt. Die Menge all dieser Verschiebungen bildet einen Vektorraum, wobei die Addition durch Hintereinanderausführung der Verschiebungen gegeben ist. Die Nullverschiebung ist die Identität. Wenn man einen Punkt {{math|term= P |SZ=}} des Raumes fixiert, so ergibt sich eine Bijektion zwischen dem Raum und dem Vektorraum der Verschiebungen, indem man den Verschiebungsvektor an {{math|term= P |SZ=}} anlegt. Eine solche Fixierung nennt man auch {{Stichwort|Wahl eines Ursprungs|SZ=.}} {{ inputdefinition |Affiner Raum/Über Vektorraum/Definition|| }} Diese Addition nennt man {{Stichwort|affine Addition|SZ=}} oder {{Stichwort|Translation|SZ=.}} Der zu zwei Punkten {{ Relationskette | P,Q |\in| E || || || |SZ= }} eindeutig bestimmte {{Stichwort|Translationsvektor|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Verschiebungsvektor|SZ=}} oder {{Stichwort|Verbindungsvektor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Vektor|P|Q}} |SZ=}} bezeichnet. Es gelten, neben {{ Relationskette | P+ {{op:Vektor|P|Q}} || Q || || || |SZ=, }} die Regeln {{ Aufzählung3 |{{ Relationskette | {{op:Vektor|P|P}} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | P |\in| E || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | {{op:Vektor|P|Q}} || - {{op:Vektor|Q|P}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | P,Q |\in| E || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | {{op:Vektor|P|Q}} + {{op:Vektor|Q|R}} || {{op:Vektor|P|R}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | P,Q,R |\in| E || || || |SZ=, }} }} wobei dies Identitäten im Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} sind, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Affiner Raum/Grundregeln/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die Gesamtabbildung {{ Abbildung/display |name=+ |V \times E|E || |SZ= }} kann man unter verschiedenen Aspekten betrachten. Zu jedem Punkt {{ Relationskette | P |\in| E || || || |SZ= }} ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | V | E | v | P+v |SZ=, }} eine Bijektion zwischen dem zugrunde liegenden Vektorraum und dem affinen Raum. Diese Bijektion ist aber nicht kanonisch, da sie von dem gewählten Punkt abhängt. Jeder Vektor {{ Relationskette | v |\in| V || || || |SZ= }} definiert die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | E | E | P | P+v |SZ=, }} die die {{Stichwort|Translation|SZ=}} oder {{Stichwort|Verschiebung|SZ=}} auf {{math|term= E |SZ=}} um den Vektor {{math|term= v |SZ=}} heißt. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | E \times E|V |(P,Q) | {{op:Vektor|P|Q}} |SZ=, }} ordnet einem Punktepaar ihren {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmten| |ISZ=|ESZ= }} Verbindungsvektor zu. Statt {{mathl|term= {{op:Vektor|P|Q}} |SZ=}} schreibt man manchmal auch {{mathl|term= Q-P |SZ=.}} Jeder Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} ist auch ein affiner Raum über sich selbst mit der Vektorraumaddition als Addition. Ein affiner Unterraum {{ Relationskette | P+U |\subseteq| V || || || |SZ= }} im Sinne von {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Affiner Unterraum/Verschobener Untervektorraum/Definition |SZ= }} ist ein affiner Raum über {{math|term= U |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Lineares Gleichungssystem/Homogen und inhomogen/Affiner Raum/1/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 78unt30rmw8vrcggg6gsd1v91xs0k3a 0 74955 1092591 1019822 2026-06-01T14:12:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092591 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wichtige Produktmengen sind beispielsweise {{ Relationskette |\R^2 || \R \times \R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |\R^3 || \R \times \R \times \R || || || |SZ=. }} Bei den Elementen darin kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Generell schreibt man zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} und einem {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} die {{math|term= n |SZ=-}}fache Produktmenge von {{math|term= M |SZ=}} mit sich selbst als {{ Relationskette/display | M^n || \underbrace{M {{timesdots|}} M}_{n\text{-mal} } || || || |SZ=. }} Die Elemente darin haben die Gestalt {{ Math/display|term= (x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n) |SZ=, }} wobei alle {{math|term= x_i |SZ=}} aus {{math|term= M |SZ=}} sind. Eine solche geordnete endliche Folge von {{math|term= n |SZ=}} Elementen nennt man auch ein {{math|term= n |SZ=-}}{{Stichwort|Tupel|SZ=}} über {{math|term= M |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n ||2 || || || |SZ= }} spricht man von einem {{Stichwort|Paar|SZ=,}} bei {{ Relationskette |n ||3 || || || |SZ= }} von einem {{Stichwort|Tripel|SZ=.}} Zu {{ Relationskette/display | x || (x_1,x_2 {{kommadots|}} x_n) || || || |SZ= }} nennt man {{mathl|term= x_i |SZ=}} die {{math|term= i |SZ=-}}te Komponente oder den {{math|term= i |SZ=-}}ten Eintrag des Tupels. Das tiefgestellte {{math|term= i |SZ=}} heißt in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Index|SZ=}} des Tupels und {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} die {{Stichwort|Indexmenge|SZ=}} des Tupels. Generell gibt es auch zu komplizierteren Indexmengen {{math|term= I |SZ=}} sogenannte {{math|term= I |SZ=-}}{{Stichwort|Tupel|SZ=.}} Bei einem {{math|term= I |SZ=-}}Tupel wird jedem {{ Relationskette | i |\in| I || || || |SZ= }} ein mathematisches Objekt zugeordnet, das Tupel wird als {{ mathbed|term= x_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} geschrieben. Wenn sämtliche {{math|term= x_i |SZ=}} aus einer gemeinsamen Menge {{math|term= M |SZ=}} stammen, spricht man auch von einem {{math|term= I |SZ=-}}Tupel aus {{math|term= M |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | I || \N || || || |SZ= }} spricht man von einer {{Stichwort|Folge|msw=Folge|SZ=}} in {{math|term= M |SZ=.}} Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} ersetzen {{ Zusatz/Klammer |text=diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen| |ESZ=, }} doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge {{ Relationskette/display | I || {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen {{ Relationskette | J |\subseteq| I || || || |SZ= }} interessiert, so ist es natürlich, die von {{math|term= I |SZ=}} ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt {{math|term= J |SZ=}} mit einer neuen Nummerierung {{mathl|term= {{Menge1m|}} |SZ=}} zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem {{Anführung|natürliche|SZ=}} Indexmengen, die {{ Zusatz/Klammer |text=allein schon mnemotechnisch| |SZ= }} einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln. Spezieller nennt man ein {{math|term= n |SZ=-}}Tupel über einer Menge {{math|term= M |SZ=}} der Form {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|a_1 |\ldots|a_n}} |SZ= }} ein {{Stichwort|Zeilentupel|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=der Länge {{math|term= n |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und eines der Form {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor|a_1 |\vdots|a_n}} |SZ= }} ein {{Stichwort|Spaltentupel|SZ=.}} Im Allgemeinen sind das nur zwei unterschiedliche Darstellungsweisen; wenn die Tupel aber zusätzliche Strukturen repräsentieren {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise Vektoren, auf die eine Matrix {{ Zusatz/Klammer |text=s.u.| |ISZ=|ESZ= }} angewendet werden soll| |ISZ=|ESZ=, }} so ist der Unterschied bedeutsam. Wenn {{ mathkor|term1= I |und|term2= J |SZ= }} zwei Mengen sind und {{mathl|term= I \times J |SZ=}} ihre Produktmenge, so kann man ein {{mathl|term= I \times J |SZ=-}}Tupel in {{math|term= M |SZ=}} als eine {{Anführung|Tabelle}} auffassen, bei der jedem Paar {{mathl|term= (i,j) |SZ=}} ein Element {{ Relationskette | a_{ij} |\in| M || || || |SZ= }} zugeordnet wird. Insbesondere bei {{ mathkor|term1= I = \{1 {{kommadots|}} m \} |und|term2= J = \{1 {{kommadots|}} n \} |SZ= }} nennt man ein {{mathl|term= I \times J |SZ=-}}Tupel auch eine {{mathl|term= m \times n |SZ=-}}{{Stichwort|Matrix|SZ=}} und schreibt sie als {{ Math/display|term= {{op:Matrix44|a_{11}|a_{12}| \ldots|a_{1n} |a_{21}|a_{22}| \ldots|a_{2n}| \vdots | \vdots | \ddots| \vdots |a_{m1}|a_{m2}| \ldots|a_{mn} }} |SZ=. }} Das Zeilentupel {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|a_{i1}|a_{i2}| \ldots|a_{in} }} |SZ= }} heißt dann die {{math|term= i |SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile der Matrix|SZ=}} und entsprechend {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}| \vdots|a_{mj} }} |SZ= }} die {{math|term= j |SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte der Matrix|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ejla11uu3bk9tn3d598hzqfezxu3y3o 0 75110 1092610 984296 2026-06-01T14:15:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092610 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Untervektorraum/Orthogonalraum im Dualraum/Definition|| }} Diese Orthogonalräume sind Untervektorräume von {{math|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dualraum/Orthogonalraum/Untervektorraum/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Ob eine Linearform {{math|term= f |SZ=}} zu {{mathl|term= {{op:Orthogonalraum|U}} |SZ=}} gehört, kann man auf einem {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= U |SZ=}} überprüfen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dualraum/Orthogonalraum/Erzeuger/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die Eigenschaft {{ Relationskette | f |\in| {{op:Orthogonalraum|U|}} || || || |SZ= }} ist äquivalent zu {{ Relationskette | U | \subseteq | {{op:Kern|f|}} || || || |SZ=. }} {{{zusatz1|}}} {{ inputbeispiel |Untervektorraum/Dualraum/1/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Basis/Teilbasis/Orthogonalraum/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Untervektorraum im Dualraum/Orthogonalraum/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum/Orthogonalraum/Beispiel|| }} Generell gilt die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Orthogonalraum|F|}} || \bigcap_{f \in F} {{op:Kern|f|}} || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Relationskette/display | {{op:Orthogonalraum| {{op:Span|f|}} |}} || {{op:Kern|f|}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4tplxn0ol52zeqxo3hqbwizwlsdp0rc 0 75137 1092455 1019543 2026-06-01T13:49:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092455 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Produktmenge/Beliebig/Definition|| }} Wenn alle {{mathl|term= M_i=V_i |SZ=}} Vektorräume über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} sind, so handelt es sich hierbei mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation wieder um einen {{math|term= K |SZ=-}}Vektorraum. Man spricht dann vom {{Stichwort|direkten Produkt der Vektorräume|msw=Direktes Produkt der Vektorräume|SZ=.}} Wenn es sich immer um den gleichen Raum handelt, {{ Relationskette |M_i ||V || || || |SZ=, }} so schreibt man dafür auch {{mathl|term= V^{I} |SZ=.}} Das ist einfach der Abbildungsraum {{mathl|term= \operatorname{Abb} (I,V) |SZ=.}} Den Vektorraum {{math|term= V_j |SZ=}} findet man im direkten Produkt als Untervektorraum wieder, und zwar als die Menge der Tupel {{ Math/display|term= (x_i)_{i \in I} \text{ mit } x_i = 0 \text{ für alle } i \neq j |SZ=. }} Die Menge all dieser, jeweils an nur einer Stelle von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedener, Tupel erzeugt einen Untervektorraum, der bei unendlichem {{math|term= I |SZ=}} nicht das ganze direkte Produkt ist. {{ inputdefinition |Produktmenge/Beliebig/Vektorräume/Direkte Summe/Definition|| }} Wenn es sich stets um den gleichen Vektorraum handelt, so schreibt man für diese direkte Summe {{mathl|term= V^{(I)} |SZ=.}} Es ist also {{ Relationskette/display | V^{(I)} |\subseteq|V^{I} || || || |SZ= }} ein Untervektorraum. Bei endlichem {{math|term= I |SZ=}} gibt es keinen Unterschied, für unendliche Indexmengen kann die Inklusion aber echt sein. Beispielsweise ist {{mathl|term= \R^\N|SZ=}} der Folgenraum, dagegen besteht {{mathl|term= \R^{(\N)} |SZ=}} nur aus der Menge aller Folgen, für die nur endlich viele Glieder von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden sind. Der Polynomring {{mathl|term= K[X] |SZ=}} ist in diesem Sinne die direkte Summe aus den {{mathl|term= KX^n,\, n \in \N|SZ=.}} Jeder {{math|term= K |SZ=-}}Vektorraum mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist isomorph zur direkten Summe {{mathl|term= \bigoplus_{i \in I} Kv_i |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} q997by9o7wh9jlemceo9iu7vj2ax7uy 0 75150 1092613 1019848 2026-06-01T14:15:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092613 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer {{ Definitionslink |direkten Summenzerlegung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | V || U_1 \oplus U_2 || || || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumes| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= V |SZ=}} nennt man die {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=p_1 | V | U_1 | v_1+v_2 | v_1 |SZ=, }} die erste Projektion {{ Zusatz/Klammer |text=oder Projektion auf {{math|term= U_1 |SZ=}} bezüglich der gegebenen Zerlegung oder Projektion auf {{math|term= U_1 |SZ=}} längs {{math|term= U_2 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und entsprechend {{ Abbildung/display |name=p_2 |V|U_2 |v_1+v_2 |v_2 |SZ=, }} die zweite Projektion zu dieser Zerlegung. Da die {{math|term= U_1 |SZ=}} und {{math|term= U_2 |SZ=}} Untervektorräume von {{math|term= V |SZ=}} sind, ist es sinnvoll, die Gesamtabbildung {{ Math/display|term= V \stackrel{p_1}{\longrightarrow} U_1 \longrightarrow V |SZ= }} ebenfalls als Projektion zu bezeichnen. Dann liegt eine Projektion im Sinne der folgenden Definition vor. {{ inputdefinition |Vektorraum/Untervektorraum/Projektion/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Basis/Teilfamilie/Projektion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |R^3/Standardprojektionen/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Eine abstraktere Definition ist die folgende, die a priori ohne Bezug auf einen Untervektorraum auskommt. {{ inputdefinition |Projektion/Idempotent/Definition|| }} Die Identität und die Nullabbildung sind Projektionen. {{ inputfaktbeweis |Projektion/Unterraum/Idempotent/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jjf279sn018avaak6sbt9rx51n8uykt 0 75165 1092607 993577 2026-06-01T14:14:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092607 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Definition|| }} Die Selbstadjungiertheit bedeutet also einfach {{ Relationskette/display | \varphi || {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} || || || |SZ=. }} Eine Streckung ist genau dann selbstadjungiert, wenn der Streckungsfaktor reell ist. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Charakterisierung mit Matrix/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Eigentheorie/Fakt|Lemma|| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der selbstadjungierten Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} iiv7a8ixfjw3rvjnv6nrsxyrzj95ktf 0 75186 1092222 993581 2026-06-01T13:12:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092222 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=KRC| |SZ=. }} Ein Endomorphismus {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} induziert dann mit Hilfe des Skalarproduktes eine Form {{mathl|term= \Psi_\varphi |SZ=,}} die durch {{ Relationskette/display | \Psi_\varphi (v,w) || {{op:Skalarprodukt| \varphi(v)|w}} || || || |SZ= }} definiert ist. Dafür gelten die folgenden Eigenschaften. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Endomorphismus/Sesquilinearform/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2rnbzzlefeh7l9b7bb7xdt4s1cqd94f 0 75237 1092611 1074778 2026-06-01T14:15:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092611 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Orthogonal_Decomposition_qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Skriptformat=png |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Zu einem endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |SZ= }} und einem {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} gibt es ein {{ Definitionslink |orthogonales Komplement| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Orthogonales Komplement|U|}} |SZ=}} und der Raum hat nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum mit Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Direkte Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |direkte Summenzerlegung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | V || U \oplus {{op:Orthogonales Komplement|U|}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Projektion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= p_U | V | U || |SZ= }} längs {{math|term= {{op:Orthogonales Komplement|U|}} |SZ=}} heißt die {{Stichwort|orthogonale Projektion|SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=.}} Diese hängt allein von {{math|term= U |SZ=}} ab, da ja das orthogonale Komplement eindeutig bestimmt ist. Häufig bezeichnet man auch die Abbildung {{mathl|term= V \rightarrow U \rightarrow V |SZ=}} als orthogonale Projektion auf {{math|term= U |SZ=.}} Bei einer orthogonalen Projektion wird ein Punkt auf seinen {{Stichwort|Lotfußpunkt}} auf {{math|term= U |SZ=}} abgebildet. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Unterraum/Orthogonale Projektion/Orthonormalbasis/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der orthogonalen Projektionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3ketr1tjdf6uzw4meqbruacuhy56s81 0 75282 1092102 993566 2026-06-01T12:52:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092102 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Isometrie/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Streckung/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Diagonalmatrix/Orthogonalbasis/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Existenz/Fakt|Lemma|| }} Wie im Beweis dieses Satzes wird der adjungierte Endomorphismus mit {{mathl|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} |SZ=}} bezeichnet. Wenn man die Zuordnung, die einem Vektor {{ Relationskette | w |\in| V || || || |SZ= }} die Linearform {{mathl|term= v \mapsto {{op:Skalarprodukt|v|w}} |SZ=}} zuordnet, mit {{math|term= \Theta |SZ=}} bezeichnet, so ist {{ Relationskette/display | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} || \Theta^{-1} \circ {{op:Dualraum|\varphi|}} \circ \Theta || || || |SZ=, }} wobei {{ Abbildung/display |name= {{op:Dualraum|\varphi|}} | {{op:Dualraum|V|}} | {{op:Dualraum|V|}} || |SZ= }} die {{ Definitionslink |duale Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Matrix/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Adjungierter Endomorphismus/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des adjungierten Endomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ocqj4xvilc5nmg2a6q623xhbimkg6j1 0 75304 1092418 1001932 2026-06-01T13:43:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092418 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Definition|| }} Es muss also {{ Relationskette/display | \varphi \circ {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} || {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} \circ \varphi || || || |SZ= }} gelten. Ein selbstadjungierter Endomorphismus ist trivialerweise normal. Bei einer Isometrie {{math|term= \varphi |SZ=}} ist der adjungierte Endomorphismus nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Isometrie/Adjungierter Endomorphismus/Beispiel |Nr= |SZ= }} gleich {{math|term= \varphi^{-1} |SZ=,}} und somit ist eine Isometrie ebenfalls normal. Wenn der Endomorphismus {{math|term= \varphi|SZ=}} bezüglich einer Orthonormalbasis durch die Matrix {{math|term= M |SZ=}} gegeben ist, so lautet die Normalitätsbedingung {{ Relationskette/display | M {{op:transponiert| {{op:Komplexe Konjugation|M|}} |}} || {{op:transponiert| {{op:Komplexe Konjugation|M|}} |}} M || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Normale Matrix/2x2/Explizit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Diagonalmatrix/Orthogonalbasis/Normal/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Die dritte Eigenschaft des folgenden Lemmas erklärt die Bezeichnung {{Anführung|normal|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Charakterisierung mit Norm/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/K/Endlichdimensional/Endomorphismus/Invariante Unterräume/Orthogonales Komplement/Fakt|Lemma|| }} Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Normaler Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Adjungierter Endomorphismus/Aufgabe |Nr= |SZ= }} gilt, dass auch {{math|term= U |SZ=}} selbst invariant unter {{mathl|term= {{op:Adjungierter Endomorphismus| \varphi |}} |SZ=}} ist, doch dies beruht auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/C/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Spektralsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} weiter unten. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Kern/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Eigenwerte/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/C/Endlichdimensional/Normaler Endomorphismus/Spektralsatz/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der normalen Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} b79qkwtvc01jyrvh08vbiag7w0icqdh 0 75601 1092421 1074697 2026-06-01T13:44:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092421 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Teilmengen in einem metrischen Raum}} {{ inputbild |Unit disc metrics|svg| 150px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Zusname=Unit_disc_metrics |Text=Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Norm bzw. Metrik ab. |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition |Metrischer Raum/Kugel/Definition|}} Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für {{ Relationskette | x |\in| \R || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} einfach das beidseitig offene Intervall {{mathl|term= ]x- \epsilon, x+ \epsilon[|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} ist einfach das beidseitig abgeschlossene Intervall {{mathl|term= [x- \epsilon, x+ \epsilon] |SZ=.}} {{ inputbild |Neighborhood_illust1|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} | right {{!}} | |Zusname=Neighborhood_illust1 |Text=Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin gleich mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die {{Stichwort|Randpunkte|msw=Randpunkt|SZ=}} dazu gehören oder nicht. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition |Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition|}} {{inputdefinition |Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition|}} Achtung! Abgeschlossen ist nicht das {{Anführung|Gegenteil|}} von offen. Die {{Anführung|allermeisten|}} Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge. Offene Bälle sind in der Tat offen und abgeschlossene Bälle sind abgeschlossen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Metrischer Raum/Offene Kugel/Ist offen/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Metrischer Raum/Abgeschlossene Kugel/Ist abgeschlossen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt|Lemma|| }} Die offenen Mengen in einem metrischen Raum bilden somit eine Topologie im Sinne der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Topologie/Topologischer_Raum/Definition|| }} {{Zwischenüberschrift|Äquivalente Normen}} {{ inputdefinition |Vektorraum/Norm/Äquivalent/Definition|| }} {{ inputbeispiel |R^n/Äquivalente Normen/Beispiel|| }} Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normen äquivalent/Fakt |Nr= |SZ= }} sehen, dass auf einem endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath={{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} zwei Normen stets äquivalent sind. Dies bedarf einiger Vorbereitungen, die insbesondere den Begriff der Kompaktheit betreffen. {{Zwischenüberschrift|Kompaktheit}} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Teilmenge/Beschränkt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kompaktheit/R^n/Abgeschlossen und beschränkt/Definition|| }} Die Beschränktheit und damit nach der vorstehenden Definition auch die Kompaktheit hängt wesentlich von der gewählten Metrik ab. Es ist wichtig, auch einen Kompaktheitsbegriff zu besitzen, der rein topologisch ist. {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition|| }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Heine-Borel|SZ=.}} {{ inputfakt |Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt|Satz||zusatz1=, wobei der {{math|term= \R^n |SZ=}} mit der euklidischen Metrik versehen sei. }} {{Zwischenüberschrift|Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen}} Ein {{ Definitionslink |metrischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} ist dadurch ausgezeichnet, dass es in ihm eine Abstandsfunktion gibt, und dass dadurch zwei Punkte {{Anführung|näher|}} zueinander liegen können als zwei andere Punkte. Bei einer Abbildung {{ Abbildung/display |name= f | L | M || |SZ= }} zwischen zwei metrischen Räumen kann man sich fragen, inwiefern der Abstand im Werteraum {{math|term= M |SZ=}} durch den Abstand im Definitionsraum {{math|term= L |SZ=}} kontrollierbar ist. Sei {{ Relationskette | x |\in| L |SZ= }} und {{ Relationskette | y || f(x) || || || |SZ= }} der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte {{ Relationskette | x' |\in| L || || || |SZ=, }} die {{Anführung|nahe}} an {{math|term= x |SZ=}} sind, auch die Bildpunkte {{mathl|term= f(x') |SZ=}} nahe an {{mathl|term= f(x) |SZ=}} sind. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein {{ Relationskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Dieses {{math|term= \epsilon |SZ=}} repräsentiert eine {{Anführung|gewünschte Zielgenauigkeit|SZ=.}} Die Frage ist dann, ob man ein {{ Relationskette | \delta |>| 0 || || || |SZ= }} finden kann {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Startgenauigkeit}}| |ISZ=|ESZ= }} mit der Eigenschaft, dass für alle {{math|term= x' |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Abstand|x|x'}} |\leq| \delta || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette | {{op:Abstand|f(x)|f(x')}} |\leq| \epsilon || || || |SZ= }} gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung. {{ inputdefinition |Metrische Räume/Abbildung/Stetigkeit in einem Punkt/Definition||X=L|Y=M }} Statt mit den abgeschlossenen Ballumgebungen könnte man hier genauso gut mit den offenen Ballumgebungen arbeiten. Die einfachsten Beispiele für stetige Abbildungen sind konstante Abbildungen, die Identität eines metrischen Raumes und die Inklusion {{ Relationskette | T |\subseteq| M || || || |SZ= }} einer mit der induzierten Metrik versehenen Teilmenge eines metrischen Raumes. Siehe dazu die Aufgaben. {{ inputbild |Continuity topology|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Continuity_topology |Autor= |Benutzer=Dcoetzee |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfakt |Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} Die Eigenschaft (4) zeigt, dass es sich bei der Stetigkeit um eine rein topologische Eigenschaft handelt. {{Zwischenüberschrift|Lineare stetige Abbildungen}} Eine lineare Abbildung ist im Allgemeinen nicht stetig. Allerdings gibt es eine relativ einfache Charakterisierung der Stetigkeit einer linearen Abbildung, man muss nämlich nur die Stetigkeit im Nullpunkt überprüfen. In {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Normierte Räume/Endlichdimensional/Stetigkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt sich, dass diese Eigenschaft bei endlichdimensionalen Vektorräumen stets erfüllt ist. {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Normierte Räume/Stetigkeit/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Äquivalenz von Normen}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/K/Normen äquivalent/Stetigkeit/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/K/Endlichdimensional/Normen äquivalent/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Normierte Räume/Endlichdimensional/Stetigkeit/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der stetigen linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} dpmpzm4wpxwr3krr9ahf7upy1o5fxb1 0 76493 1092616 984340 2026-06-01T14:16:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092616 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die natürlichen Zahlen sind dadurch ausgezeichnet, dass man mit ihnen zählen kann, d.h. dass man in ihnen ausgehend von {{math|term= 0 |SZ=}} durch den Übergang von {{math|term= n |SZ=}} zum Nachfolger {{ Relationskette |n' ||n+1 || || || |SZ= }} jede natürliche Zahl erreicht. Dies begründet die folgende Eigenschaft: Wenn {{ Relationskette |T |\subseteq| \N || || || |SZ= }} eine Teilmenge ist, die einerseits die {{math|term= 0 |SZ=}} enthält und die andererseits mit jedem {{ Relationskette |n |\in|T || || || |SZ= }} auch den Nachfolger enthält {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ Relationskette/k |n+1 |\in|T || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} so ist bereits {{ Relationskette |T || \N || || || |SZ=. }} Mit dem Startglied {{math|term= 0 |SZ=}} folgt ja dann zunächst {{ Relationskette |1 |\in|T || || || |SZ=, }} sodann {{ Relationskette |2 |\in|T || || || |SZ=, }} sodann {{ Relationskette |3 |\in|T || || || |SZ= }} u.s.w, und da dieser Zählprozess jede natürliche Zahl erreicht, gehört jede natürliche Zahl zu {{math|term= T |SZ=.}} Diese Beobachtung ist die Grundlage der vollständigen Induktion. Mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, können mit dem Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=}} bewiesen werden. Die folgende Aussage begründet dieses Prinzip. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz||opt1=Damit enthält {{math|term= M |SZ=}} die {{math|term= 0 |SZ=,}} daher die {{math|term= 1 |SZ=,}} daher die {{math|term= 2 |SZ=,}} usw., und damit überhaupt alle natürlichen Zahlen. }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= A(0) |SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term= A(n ) |SZ=}} auf {{mathl|term= A(n+1) |SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term= A(n) |SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term= A(n) |SZ=}} erst für {{ Relationskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} für ein gewisses {{math|term= n_0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term= A(n_0) |SZ=}} und den Induktionsschluss führt man für {{ Relationskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das Summenzeichen. Für gegebene {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche, reelle, komplexe| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen im Allgemeinen die {{math|term= a_k |SZ=}} in einer formelhaften Weise von {{math|term= k |SZ=}} ab. Entsprechend ist das Produktzeichen definiert, nämlich durch {{ Relationskette/display | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} Insbesondere sind für {{ Relationskette |n |\in|\N || || || |SZ= }} die Potenzen durch {{ Relationskette/display | a^n || \prod_{i {{=|}} 1}^n a || a^{n-1} \cdot a || \underbrace{a \cdot a{{cdots|}}a}_{n\text{-mal} } || || |SZ= }} definiert. Dabei gelten die Konventionen {{ Relationskette |0a || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |a^0 ||1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die erste lässt sich auch über die Multiplikation begründen, die zweite ist aber auch sinnvoll| |SZ=. }} Als Rechenregeln für das Potenzieren gelten {{ Aufzählung3 |{{ Relationskette/display | (a\cdot b)^n || a^n \cdot b^n || || || |SZ= }} |{{ Relationskette/display | a^{n+m} || a^n \cdot a^m || || || |SZ= }} |{{ Relationskette/display | (a^{n})^m || a^{n m} || || || |SZ=. }} }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} {{ inputaufgabelösung |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} an1cwg85lg5zf9x6gkqwegz2nm8yjid 0 76856 1092848 1025061 2026-06-02T10:22:31Z Arbota 36910 Ersetzung 1092848 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |Messbarkeitskriterium| |msw= |SZ= }} für eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |(M, {{Mengensystem| A |}} )| (N, {{Mengensystem| B |}} ) || |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Messräumen| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6txjyqowb5m0m9pxrd0fshl7s6gzic2 0 77291 1092659 1024607 2026-06-01T14:29:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092659 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Übergangsmatrix| |msw= |SZ= }} zum Basiswechsel von einer Basis {{ Relationskette | {{basis|v}} || v_1 {{kommadots|}} v_n || || || |SZ= }} zu einer weiteren Basis {{ Relationskette | {{basis|u}} || u_1 {{kommadots|}} u_n || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cial31dg68qbk3784dbsg18eabsh9ne 0 77294 1092768 1019446 2026-06-01T14:48:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092768 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine Zerlegung eines {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} als {{ Stichwort/Abfrage |direkte Summe| |msw= |SZ= }} in die Untervektorräume {{mathl|term= U_1 {{kommadots|}} U_m |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 468f3s65eaa891gltm4zcz5cjpi2nor 0 77342 1092710 1024845 2026-06-01T14:38:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092710 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |beschreibende Matrix| |msw= |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=eeVR| |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorräumen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} bezüglich einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |SZ= }} {{ Relationskette | {{basis|v}} || {{liste1n|v}} || || || |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} und einer Basis {{ Relationskette | {{basis|w}} || {{liste1m|w}} || || || |SZ= }} von {{math|term= W|SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m5rjz76ykinqvb789cf0j7xf7h1tw6z 0 77344 1092709 1024825 2026-06-01T14:38:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092709 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die durch eine {{math|term= m \times n |SZ=-}}Matrix {{ Relationskette | M || (a_{ij})_{ij} | \in | {{op:Mat||}} || || || |SZ= }} {{ Stichwort/Abfrage |festgelegte lineare Abbildung| |msw= |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} zwischen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorräumen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} bezüglich einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |SZ= }} {{ Relationskette | {{basis|v}} || {{liste1n|v}} || || || |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} und einer Basis {{ Relationskette | {{basis|w}} || {{liste1m|w}} || || || |SZ= }} von {{math|term= W|SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6arnm0ehcz94xvq17ftwzrfq8x1rrvm 0 77649 1092436 1076918 2026-06-01T13:46:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092436 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Permutationsgruppe/Definition|| }} Die Verknüpfung ist die Hintereinanderschaltung von Abbildungen und somit assoziativ, die Identität ist das neutrale Element. Das inverse Element zu einer bijektiven Abbildung ist einfach die Umkehrabbildung. Damit handelt es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath= |Gruppe| |Kontext=| |SZ=. }} Eine bijektive Selbstabbildung {{ Abbildung |name=\varphi |M|M || |SZ= }} nennt man auch eine {{Stichwort|Permutation|SZ=.}} Für eine endliche Menge {{ Relationskette |I ||\{1 {{kommadots|}} n\} || || || |SZ= }} schreibt man {{ Relationskette/display |S_n ||\operatorname{Perm} \,(I) || || || |SZ=. }} Eine endliche Permutation kann man beispielsweise mit einer {{ Zusatz/Klammer |text=vollständigen| |SZ= }} Wertetabelle oder mit einem Pfeildiagramm beschreiben. {{ inputbild |Permutation8|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Composicion de permutaciones|svg| 500px {{!}} {{!}} |Zusname=Composicion_de_permutaciones |Autor= |Benutzer=Drini |Domäne= |Lizenz=CC-by-SA 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |050712 perm 0|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Permutation/Zyklus/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Permutation/1/Beispiel|| }} Ein Element {{ Relationskette | x |\in| M |SZ= }} mit {{ Relationskette |\pi (x) ||x || || || |SZ= }} nennt man {{ Definitionslink |Fixpunkt| |Kontext=| |SZ= }} der Permutation. Der {{Stichwort|Wirkungsbereich|SZ=}} einer Permutation ist die Menge der Punkte aus {{math|term= M |SZ=,}} die keine Fixpunkte sind. Bei einem Zyklus ist {{math|term= Z |SZ=}} der Wirkungsbereich. Jede Permutation ist ein Produkt von Zyklen, was wir hier ohne Beweis erwähnen. Eine solche Produktdarstellung heißt {{Stichwort|Zyklendarstellung|SZ=.}} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Permutationsgruppe/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Permutationsgruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4ypzqfcmhy980oda59e7ptj136t1avk 0 77730 1092732 850471 2026-06-01T14:42:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092732 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |Signum| |msw= |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term=\pi|SZ=}} auf {{mathl|term= {{menge1n|}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c74oa752stqrpqz4rzr42fouod7kxbs 0 77734 1092728 1024932 2026-06-01T14:41:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092728 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |multilineare| |msw= |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name= \Phi |V_1 {{timesdots}} V_n | W || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n,W |SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} sind. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gqcitkxbknqjwo515zxbkeixvgs14ok 0 77765 1092714 963693 2026-06-01T14:39:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092714 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort/Abfrage|inhomogenes lineares Gleichungssystem|SZ=}} mit {{math|term= m |SZ=}} Gleichungen in {{math|term= n |SZ=}} Variablen über einem Körper {{math|term= K |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} la7dmk5qfa1vtwm3d3xrz2a35g4vlsf 0 77802 1092764 1025168 2026-06-01T14:47:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092764 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Orthogonalraum| |msw=Orthogonalraum |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | F | \subseteq | {{op:Dualraum| V |}} || || || |SZ= }} im {{ Definitionslink |Dualraum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum| V |}} |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3q7lsk0jimnx3uh0uj2qkoabqbgk8i4 0 77814 1092731 1024974 2026-06-01T14:41:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092731 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{Stichwort/Abfrage|Fehlstand|SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Permutation| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \pi | {{menge1n|}} | {{menge1n|}} || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} knb1m179q5093df9nqi9dl0x51ia3jd 0 77928 1092857 1018733 2026-06-02T10:24:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1092857 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Charakterisierungssatz| |msw= |SZ= }} für eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3g1celeeoirdhky6m36ti5cmosthc62 0 77976 1092849 1018630 2026-06-02T10:22:41Z Arbota 36910 Ersetzung 1092849 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über Nullstellen und lineare Faktoren eines Polynoms {{mathl|term= F \in K[X] |SZ=}}. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dosftyw62dy4na1qfbrm5mil1x6nn5g 0 78416 1092888 1026151 2026-06-02T11:58:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092888 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= E|SZ=}} ein {{ Definitionslink |affiner Raum| |Kontext=| |SZ= }} über dem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} {{ Aufzählung3 | {{math|term= F|SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |affiner Unterraum| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= E|SZ=.}} |Zu {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n \in F |SZ=}} und Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} mit {{ Relationskette | \sum_{i {{=}} 1}^n a_i || 1 || || || |SZ= }} ist auch {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 1}^n a_i P_i \in F |SZ=.}} |Mit je zwei Punkten {{mathl|term= P,Q \in F |SZ=}} und {{mathl|term= r,s \in K |SZ=}} mit {{ Relationskette | r+s || 1 || || || |SZ= }} ist auch {{mathl|term= rP +sQ \in F |SZ=.}} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 659fbjtcr0g3sqwq090tszx1jx12nti 0 78460 1092448 983536 2026-06-01T13:48:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092448 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Polynomring/K/Teiler/Definition|| }} Wenn {{math|term= P |SZ=}} von {{math|term= T |SZ=}} geteilt wird, so sagt man auch, dass {{math|term= P |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= T |SZ=}} ist. Das Polynom {{math|term= T |SZ=}} ist genau dann ein Teiler von {{math|term= P |SZ=,}} wenn bei der Division mit Rest von {{math|term= P |SZ=}} durch {{math|term= T |SZ=}} der Rest gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. {{ inputdefinition |Polynomring/K/Gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinition |Polynomring/K/Größter gemeinsamer Teiler/Definition|| }} Ein größter gemeinsamer Teiler ist nicht eindeutig bestimmt, da mit {{math|term= G |SZ=}} auch {{math|term= cG|SZ=}} für eine Konstante {{ Relationskette |c |\neq|0 || || || |SZ= }} ein größter gemeinsamer Teiler ist. Wenn man sich allerdings auf normierte Polynome beschränkt, so ist der größter gemeinsame Teiler eindeutig bestimmt. {{ inputdefinition |Polynomring/K/Teilerfremd/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Teilbarkeitstheorie für Polynomringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nj9a7qsyrd35ncacmj43003jjd75p6p 0 78777 1092110 1074533 2026-06-01T12:53:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092110 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Affiner Raum/Affine Basis/Definition|| }} Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Vektor|P_{i_0}|P_{i} }} || {{op:Vektor|P_{i_0}|P_{i_1} }} + {{op:Vektor|P_{i_1}|P_{i} }} || - {{op:Vektor|P_{i_1}|P_{i_0} }} + {{op:Vektor|P_{i_1}|P_{i} }} || || |SZ= }} kann man die Basisvektoren {{mathl|term= {{op:Vektor|P_{i_0}|P_{i} }} |SZ=}} zum Ursprungspunkt {{math|term= P_{i_0} |SZ=}} als {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=| |SZ= }} durch die Vektoren zu einem beliebigen anderen Ursprungspunkt {{math|term= P_{i_1} |SZ=}} der Familie ausdrücken. Daher ist die Eigenschaft, eine affine Basis zu sein, unabhängig von dem gewählten {{mathl|term= P_{i_0} |SZ=.}} {{ inputbild |Barycentric coordinates 1|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die baryzentrischen Koordinaten in der Ebene, wobei die affinen Basispunkte die Eckpunkte eines Dreiecks bilden. |Autor= |Benutzer=Gandalf61 |Domäne=en.wikipedia |Lizenz=GFDL |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Affiner Raum/Punktmenge/Baryzentrische Kombination/Punkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Affiner Raum/Affine Basis/Baryzentrische Koordinaten/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbild |Barycentric RGB|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Farben bei additiver Farbmischung mit den Primärfarben Rot, Blau und Grün {{ Zusatz/Klammer |text=dies entspricht den drei Zapfen im menschlichen Auge| |ISZ=|ESZ=. }} Da es für das Auge nur auf das Mischverhältnis der drei Farben ankommt, kann man sich auf Linearkombinationen {{mathl|term= (r,g,b) |SZ=}} mit {{ Relationskette |r+g+b ||1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und nichtnegativen Koeffizienten| |ISZ=|ESZ= }} beschränken. Farben werden also durch baryzentrische Koordinaten beschrieben, dadurch spart man eine Dimension. |Autor= |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Affiner Raum/Baryzentrische Koordinaten/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Affiner Raum/Baryzentrische Koordinaten/Punkte/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o82byv6ylwj9otmvmonkkqqzlnje3yv 0 79451 1092766 1025187 2026-06-01T14:47:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092766 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |normaler| |msw= |SZ= }} Endomorphismus {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ehgx336irklv51ih6vg0q6qzc6jjbes 0 79629 1092442 1019501 2026-06-01T13:47:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092442 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Monom/Definition|| }} Der {{Stichwort|Grad|SZ=}} eines Monoms ist die Summe der Exponenten, also gleich {{mathl|term= \nu_1+\nu_2 {{plusdots|}} \nu_n |SZ=.}} {{ inputdefinition |Polynom/Körper/n Variablen/Direkt/Definition|| }} Der {{Stichwort|Grad eines Polynoms|SZ=}} ist das Maximum der Grade der beteiligten Monome {{ Zusatz/Klammer |text=also derjenigen Monome, die mit einem von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Koeffizienten wirklich vorkommen| |ISZ=|ESZ=. }} Ein Polynom {{ Relationskette |F || F(X_1 {{kommadots|}} X_n) || || || |SZ= }} in {{math|term= n |SZ=}} Variablen über {{math|term= K |SZ=}} definiert durch Einsetzen eine Funktion {{ Abbildung/display |name= |K^n |K |(x_1 {{kommadots|}} x_n) |F(x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ=. }} Dies sind wichtige Funktionen in der höherdimensionalen Analysis. Die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} in diesem Sinne interpretiert repräsentiert einfach die {{math|term= i |SZ=-}}te Projektion, und die Addition und die Multiplikation von Polynomen entspricht dann der Addition und der Multiplikation von Funktionen, bei der die Werte in {{math|term= K |SZ=}} addiert bzw. multipliziert werden. {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/n Variablen/Direkt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Affiner Raum/K/Nullstellengebilde zu einem Polynom/Definition|| }} Das Nullstellengebilde zu {{math|term= F |SZ=}} ist also einfach die {{ Definitionslink |Faser| |Kontext=| |SZ= }} zu der durch {{math|term= F |SZ=}} gegebenen Funktion {{ Abbildung/display |name=F |K^n |K || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |n ||1 || || || |SZ= }} ist dies einfach eine endliche Ansammlung von einzelnen Punkten, den Nullstellen von {{math|term= F |SZ=,}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | F || 0 || || || |SZ= }} handelt es sich um ganz {{math|term= K |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} bei {{ Relationskette | n |\geq| 2 || || || |SZ= }} entstehen aber zunehmend interessantere und kompliziertere geometrische Gebilde. Das Studium dieser Gebilde heißt {{Stichwort|algebraische Geometrie|SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n ||2 || || || |SZ= }} spricht man von algebraischen Kurven. Bei beliebigem {{math|term= n |SZ=}} hat ein Polynom vom Grad {{math|term= \leq 1 |SZ=}} die Gestalt {{ Relationskette/display | F || a_1X_1 {{plusdots|}} a_nX_n +b || || || |SZ= }} und das zugehörige Nullstellengebilde ist einfach die Lösungsmenge der inhomogenen linearen Gleichung {{ Relationskette/display | a_1x_1 {{plusdots|}} a_nx_n ||- b || || || |SZ=, }} also ein affin-linearer Raum.{{{zusatz1|}}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Polynomringe in endlich vielen Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} f49sddnnc3g78ycixxr93vpo1hodtfn 0 79744 1092567 1008060 2026-06-01T14:08:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092567 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Körper und {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} seien {{math|term= K |SZ=-}}Vektorräume. Wir erinnern daran, dass eine {{ Definitionslink |multilineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} in einen weiteren {{math|term= K |SZ=-}}Vektorraum {{math|term= W |SZ=}} eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi | V_1 {{timesdots|}} V_n | W || |SZ= }} ist, die in jeder Komponente {{math|term= K |SZ=-}}linear ist, wenn man alle anderen Komponenten festlässt. Wir wollen einen Vektorraum {{math|term= U |SZ=}} konstruieren zusammen mit einer multilinearen Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | V_1 {{timesdots|}} V_n | U || |SZ= }} derart, dass es zu jeder multilinearen Abbildung {{math|term= \psi |SZ=}} wie oben eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= L | U | W || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \psi || L \circ \varphi || || || |SZ= }} gibt. Dadurch werden multilineare Abbildungen auf lineare Abbildungen auf einem neuen Vektorraum zurückgeführt. {{ inputdefinition |Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Definition|| }} Häufig schreibt man einfach {{mathl|term= V_1 {{tensordots|}} V_n |SZ=.}} Die Bilder von {{mathl|term= e_{(v_1 {{kommadots|}} v_n)} |SZ=}} in {{mathl|term= V_1 {{tensor}}_K V_2 {{tensordots|K}} V_n |SZ=}} bezeichnet man mit {{Math/display |term= v_1 {{tensordots|}} v_n |SZ=.}} Dies ist also die {{ Definitionslink |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= e_{(v_1 {{kommadots|}} v_n)} |SZ=}} zu der durch den Untervektorraum {{math|term= U |SZ=}} gegebenen Äquivalenzrelation. Jedes Element aus {{mathl|term= V_1 {{tensordots|K}} V_n |SZ=}} besitzt eine {{ Zusatz/Klammer |text=nicht eindeutige| |ISZ=|ESZ= }} Darstellung als {{Math/display|term= a_1 v_{1,1} {{tensordots|}} v_{1,n} {{plusdots|}} a_m v_{m,1} {{tensordots|}} v_{m,n} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a_i |\in| K || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | v_{i,j} |\in| V_j || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Insbesondere bilden die {{Stichwort|zerlegbaren Tensoren|msw=zerlegbarer Tensor|SZ=}} {{mathl|term= v_1 {{tensordots|}} v_n |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= K |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |SZ= }} des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untervektorraums {{ Relationskette | U | \subseteq| F || || || |SZ= }} werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt {{ Relationskette/display/handlinks | v_1 {{tensordots|}} v_{i-1} {{tensor}} rv_i {{tensor}} v_{i+1} {{tensordots|}} v_n || r {{makl| v_1 {{tensordots|}} v_{i-1} {{tensor}} v_i {{tensor}} v_{i+1} {{tensordots|}} v_n |}} || || |SZ= }} für beliebige {{math|term= i |SZ=}} und {{ Relationskette/align/drucklinks | v_1 {{tensordots|}} v_{i-1} {{tensor}} (u+w) {{tensor}} v_{i+1} {{tensordots|}} v_n || v_1 {{tensordots|}} v_{i-1} {{tensor}} u {{tensor}} v_{i+1} {{tensordots|}} v_n + v_1 {{tensordots|}} v_{i-1} {{tensor}} w {{tensor}} v_{i+1} {{tensordots|}} v_n || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Vektorräume/Endliche Familie/Tensorprodukt/Konstruktion/Beispiel|| }} Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende {{Stichwort|universelle Eigenschaft|msw=Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Tensorprodukt/Vektorraum/Universelle Eigenschaft/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Tensorprodukt/Multilineare Abbildungen und Hom/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Tensorprodukt/Multilineare Abbildungen nach K und Dualraum/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbemerkung |Vektorraum/Tensorprodukt/Bilinear/Skalarprodukt/Bemerkung|| }} {{{zusatz3|}}} Das Tensorprodukt ist durch die universelle Eigenschaft bis auf {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutige| |ISZ=|ESZ= }} Isomorphie festgelegt, damit ist folgendes gemeint. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Tensorprodukt/Universelle Eigenschaft/Festlegung/Fakt|Satz|| }} Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Tensorprodukt/Rechengesetze/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Tensorprodukt/R^2 über sich/Rechnen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Tensorprodukt/K und 0/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Tensorprodukt/Dimension/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pk6yihlfwkdhptp8covm543eg5kgdfc 0 79994 1092503 1075228 2026-06-01T13:57:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092503 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= P |SZ=}} eine Menge von Personen und {{math|term= E |SZ=}} eine Menge von Eigenschaften, die eine Person haben kann oder auch nicht, und zwar sollen hier nur solche Eigenschaften betrachtet werden, wo es nur die beiden Möglichkeiten des Zukommens oder des Nichtzukommens gibt. Die Gesamtinformation, welche der beteiligten Personen welche Eigenschaft besitzt, kann man dann auf verschiedene Arten ausdrücken. Man kann beispielsweise eine Liste von allen zutreffenden Person-Eigenschafts-Paaren erstellen, also {{ Einrückung|term= (Anna, klug), (Hans, schön), (Berta, schön), (Hans, lustig), (Anna, lustig) |SZ=, }} oder man kann zu jeder Person die ihr zukommenden Eigenschaften auflisten, also {{ Einrückung|term= Anna: klug, lustig |SZ=, }} {{ Einrückung|term= Berta: schön |SZ=, }}{{ Einrückung|term= Hans: schön, lustig |SZ=, }} oder umgekehrt zu einer Eigenschaft die Personen auflisten, die diese Eigenschaft erfüllen, also {{ Einrückung|term= Schön: Berta, Hans |SZ=, }} {{ Einrückung|term= Klug: Anna |SZ=, }} {{ Einrückung|term= Lustig: Anna, Hans |SZ=. }} Man kann auch das ganze in eine Tabelle schreiben, wo die eine Leiste die Personen und die andere Leiste die Eigenschaften repräsentiert, und dann diejenigen Kreuzungspunkte, die eine zutreffende Beziehung repräsentieren, ankreuzen, also {{Tabelleleitdreixdrei|lz1=Anna|lz2=Berta|lz3=Hans|ls1=Schön|ls2=Klug|ls3=Lustig|a1,1=|a1,2=\text{x} |a1,3=\text{x} |a2,1=\text{x} |a2,2=|a2,3=|a3,1=\text{x} |a3,2=|a3,3=\text{x} }} {{ inputbild |AnnaBertaHans|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-da 4.0 |Bemerkung= }} Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Information durch ein Verbindungsdiagramm auszudrücken, bei dem Person und Eigenschaft genau dann durch eine Strecke oder eine Kurve verbunden werden, wenn die Eigenschaft zutrifft. Der mathematische Begriff, um Beziehungen zwischen den Elementen von zwei Mengen zu beschreiben, heißt Relation: {{ inputdefinition |Mengentheorie/Relation/Definition|| }} Statt {{math|term= (x,y) \in R |SZ=}} schreibt man häufig auch {{math|term= R(x,y) |SZ=}} oder {{math|term= xRy|SZ=}} und sagt, dass {{Anführung| {{math|term= x |SZ=}} in Relation {{math|term= R |SZ=}} zu {{math|term= y |SZ=}} steht.}} Typische mathematische Relationen sind: ist gleich, ist größer als, ist Teilmenge von, ist disjunkt zu, usw. Wenn {{ Relationskette |R |\subseteq| M \times N || || || |SZ= }} eine Relation ist, so heißt für jedes {{mathl|term= m \in M |SZ=}} die Menge{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=In einer solchen Situation sagt man manchmal: {{Anführung|für jedes feste {{math|term= m |SZ=}}}} oder {{Anführung|für jedes beliebige, aber feste {{math|term= m |SZ=.}}}} Damit deutet man an, dass es in {{mathl|term= N_m={{Mengebed|y \in N|R(m,y)}} |SZ=}} zwischen den beiden Variablen {{ mathkor|term1= m |und|term2= y |SZ= }} einen Unterschied gibt, da in der Gesamtdefinition {{math|term= m |SZ=}} zwar variabel, innerhalb der Menge aber fest ist, wohingegen {{math|term= y |SZ=}} auch innerhalb der Menge variabel ist| |SZ=. }} {{ Relationskette/display | N_m || {{Mengebed|y \in N|R(m,y)}} || || || |SZ= }} die {{Stichwort|Faser|SZ=}} durch {{math|term= m |SZ=}} und für jedes {{mathl|term= n \in M |SZ=}} heißt die Menge {{ Relationskette/display | M_n || {{Mengebed|x \in M|R(x,n)}} || || || |SZ= }} die Faser durch {{math|term= n |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Mengentheorie/Relation/Stadt und Autobahn/Beispiel| |zusatz1= {{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Hier wird die Relation inhaltlich erklärt und es wird ihr zugleich sozusagen im Vorbeigehen die Bezeichnung {{math|term= L |SZ=}} gegeben| |SZ=. }} |zusatz2= {{ Zusatz/{{{zusatz3|}}} |text=Hier werden die Variablen ohne expliziten Bezug auf eine Menge, in der sie sich bewegen dürfen, angegeben. Dies steckt aber implizit in der Variablenbenennung drin, das {{math|term= s |SZ=}} soll auf Stadt und das {{math|term= a |SZ=}} auf Autobahn hindeuten| |SZ=. }} }} {{ inputbeispiel |Mengentheorie/Relation/Menge und Potenzmenge/Inzidenzrelation/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mengentheorie/Ebene/Inzidenzrelation/Punkte und Geraden/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Relationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4k3zketieq9043xhyf9dfxvh9hl10gr 0 80933 1092470 1073501 2026-06-01T13:52:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092470 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Alphabet erster Stufe/Symbole für Relationen und Funktionen/Grunddaten/Definition|| }} Die aussagenlogischen Junktoren sind von der Aussagenlogik her bekannt und werden sowohl semantisch als auch syntaktisch ihre Rolle behalten. Der Quantor {{math|term= \forall|SZ=}} heißt {{Stichwort|Allquantor|SZ=}} und {{math|term= \exists|SZ=}} heißt {{Stichwort|Existenzquantor|SZ=.}} Diese Liste ist etwas redundant, da man, von der späteren Interpretation her gesehen, einige aussagenlogische Junktoren durch andere ersetzen kann, wie wir das schon im aussagenlogischen Kontext gesehen und verwendet haben. Ebenso kann man den einen Quantor mit Hilfe des anderen und der Negation ausdrücken, es ist nämlich {{mathl|term= \forall x {{logprop|}} |SZ=}} gleichbedeutend mit {{mathl|term= \neg \exists x \neg {{logprop|}} |SZ=.}} Um die Lesbarkeit der Ausdrücke zu erhöhen, ist es aber alles in allem vorteilhaft, nicht allzu minimalistisch sein zu wollen {{ Zusatz/Klammer |text=man könnte die unnötigen Symbole auch als Abkürzungen einführen| |ISZ=|ESZ=. }} Das Gleichheitszeichen könnte man zwar auch als ein weiteres zweistelliges Relationssymbol auffassen, allerdings sind die weiter unten einzuführenden Schlussregeln für das Gleichheitszeichen {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere die Möglichkeit einzusetzen| |ISZ=|ESZ= }} für die Logik erster Stufe konstitutiv. Da ein Alphabet einer Sprache erster Stufe eine Termgrundmenge enthält, ist klar, was als Term in der Sprache zu gelten hat. Als nächstes erklären wir formal, was wir als einen Ausdruck {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine formale Aussage| |ISZ=|ESZ= }} in dieser Sprache ansehen. {{ inputdefinition |Ausdrücke erster Stufe/Über Alphabet/Rekursiv/Definition|| }} Die Klammern sind hier auch nur nötig, weil wir die zweistelligen Junktoren anders als die Funktionssymbole in der Mitte schreiben. Die Menge der Konstanten, der Variablen, der Funktionssymbole und der Relationssymbole nennt man zusammen auch das {{Stichwort|Symbol{{drucktrenn}}alphabet}} der Sprache, das wir mit {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=}} bezeichnen. Die anderen Symbole {{ Zusatz/Klammer |text=Junktoren, Quantoren, Gleichheitszeichen, Klammern| |ISZ=|ESZ= }} sind immer gleich, sodass eine Sprache erster Stufe im Wesentlichen nur von der gewählten Symbolmenge {{math|term= S |SZ=}} abhängt. Für die zugehörige Sprache schreibt man {{math|term= L^S|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gb23ty22gie4ofj8sa19dd21ngh11s4 0 81070 1092398 1073457 2026-06-01T13:40:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092398 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Minkowski-Raum/Typ/Definition|| }} Die Minkowski-Räume liefern ein einfaches Modell für die {{Stichwort|spezielle Relativitätstheorie|SZ=}}{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die allgemeine Relativitätstheorie wird mathematisch durch pseudoriemannsche Mannigfaltigkeiten beschrieben, bei denen die hier besprochenen Minkowski-Räume die lokale Situation wiedergeben. Wichtige Stichworte sind Gravitation, Äquivalenzprinzip, Einsteinsche Feldgleichungen, gekrümmter Raum| |ISZ=.|ESZ=, }} man spricht auch von einem Einstein-Minkowski-Raum und die Bilinearform darauf heißt auch {{Stichwort|Minkowski-Form|SZ=}} oder {{Stichwort|Lorentz-Form|SZ=.}} Die klassische Raum-Zeit-Welt ist von der Form {{mathl|term= \R^3 \times \R |SZ=,}} wobei die dreidimensionale Komponente den Raum und die eindimensionale Komponente die Zeit repräsentiert. Darin ist grundsätzlich jede Bewegung von einem Punkt zu einem anderen möglich, solange der zweite Punkt zeitlich später als der erste Punkt ist. Entsprechend repräsentieren die Punkte in einem vierdimensionalen Minkowski-Raum die relativistischen Weltpunkte {{ Zusatz/Klammer |text=die Ereignisse| |ISZ=|ESZ=; }} eine Trennung in Raum und Zeit ist Beobachter-abhängig; die Theorie liefert auch eine Definition, was ein Beobachter ist, siehe unten. Eine besondere Rolle spielt die Menge der Vektoren {{ Math/display|term= {{Mengebed|v \in V| {{op:Bilinearform|v|v}} {{=}} 0 }} |SZ=, }} die in diesem Zusammenhang der {{Stichwort|Lichtkegel|SZ=}} heißt. Gemeint ist damit die Menge aller Lichtstrahlen, die in einem Weltpunkt eingehen und ausgehen. Dieser Lichtkegel ist gemäß der speziellen Relativitätstheorie Beobachter-unabhängig {{ Zusatz/Klammer |text=absolut| |ISZ=|ESZ=, }} und eben dies wird durch die Minkowski-Räume modelliert. Man erlaubt grundsätzlich jede Dimension, die wesentlichen Phänomene sind schon bei {{ Relationskette | n || 2,3 || || || |SZ= }} sichtbar. Die bezüglich der Standardbasis des {{math|term= \R^n |SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix55|1|0|\cdots|0|0|0|1| 0|\cdots|0|\vdots |\ddots|\ddots| \ddots|\vdots|0|\cdots|0|1|0|0|0|\cdots|0|-1|}} |SZ= }} gegebene Minkowski-Form heißt {{Stichwort|Minkowski-Standard-Form|SZ=.}} Gemäß {{ Faktlink |Präwort=dem|Träg{{drucktrenn}}heitssatz von Sylvester|Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man jede Minkowski-Form bezüglich einer geeignet skalierten Orthogonalbasis {{ Zusatz/Klammer |text=einer {{Stichwort|Minkowski-Basis|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf diese Gestalt bringen. {{ inputdefinition |Minkowski-Raum/Verschiedene Vektoren/Definition|| }} Achtung, diesen Eigenschaften definieren keine Untervektorräume, die Summe von zwei raumartigen Vektoren muss im Allgemeinen nicht wieder raumartig sein. Nicht alle Vektoren bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=linearen| |ISZ=|ESZ= }} Bewegungsvorgänge in dieser Raum-Zeit-Licht-Welt sind für einen {{ Zusatz/Klammer |text=materiellen| |ISZ=|ESZ= }} Beobachter realisierbar, im Gegenteil gehört die folgende Einschränkung wesentlich zu diesem Weltmodell. {{ inputdefinition |Minkowski-Raum/Beobachtervektor/Definition|| }} Der Begriff Beobachter suggeriert eine physikalische Interpretation; man kann sich darunter eine Person vorstellen, wichtig ist aber, dass dies keinen subjektiven Gehalt hat. Der Beobachter hat eine Uhr, einen Meterstab und einen Winkelmesser im Gepäck und jeder Beobachter, der die gleiche Bewegung durchführt, kommt zu den gleichen Messungen. Statt mit der Bedingung {{mathl|term= = -1 |SZ=}} wird ein Beobachtervektor häufig auch durch die Bedingung {{mathl|term= = -c |SZ=}} angesetzt, wobei {{math|term= c |SZ=}} die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese ist aber nur eine Umskalierung. Die zuletzt genannten Beobachtervektor sind insbesondere zeitartig, da jeder Beobachter älter wird, die Zeit bewegt sich also auch für einen {{Anführung|räumlich ruhenden}} Beobachter. Die Gerade {{math|term= \R v |SZ=}} ist ein Untervektorraum der Dimension {{math|term= 1 |SZ=,}} auf dem die eingeschränkte Form negativ definit ist. Es sei {{ Relationskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} der dazu {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Minkowski-Form| |ISZ=|ESZ= }} senkrechte Untervektorraum. Dies ist ein dreidimensionaler Raum, auf dem die eingeschränkte Form positiv definit ist. Dieser Untervektorraum ist der Raum {{math|term= V_v |SZ=}} für diesen Beobachter {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= V_B |SZ=,}} wenn {{math|term= B |SZ=}} den Beobachter bezeichnet| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= \R v |SZ=}} ist seine Zeitachse. Für einen Beobachter besteht also eine Zerlegung des Gesamtraumes der Form {{mathl|term= \R \times \R^3 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in Zeit und Raum| |ISZ=|ESZ=, }} nur hängt diese Zerlegungeben vom Beobachter ab. Man spricht auch von dem {{Stichwort|Bezugssystem|SZ=}} des Beobachters. Die positiv definite Einschränkung der Minkowski-Form auf seine Raumkomponente ist ein Skalarprodukt, mit dem der Beobachter Längen und Winkel misst und auch in seinem Raum eine Orthonormalbasis fixieren kann. Für einen Beobachter mit der erlaubten Vierergeschwindigkeit {{math|term= v |SZ=}} gibt es also insbesondere eine {{ Definitionslink |Orthogonalbasis| |Kontext=bilinear| |SZ= }} {{mathl|term= e_1,e_2,e_3,v |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Bilinearform|e_j |e_j}} || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bilinearform|v|v}} || - 1 || || || |SZ=. }} Bezüglich einer solchen Minkowski-Basis wird die Minkowski-Form einfach durch {{ Math/display|term= {{op:Matrix44|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0|1|0|0|0|0|-1|}} |SZ= }} als {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=| |SZ= }} beschrieben. Ein Großteil der relativistischen Phänome zeigt sich in diesem Modell beim Basiswechsel von zwei solchen Basen {{ Zusatz/Klammer |text=bei einem {{Stichwort|Wechsel des Bezugssystems|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} wobei der wesentliche Punkt der Wechsel der Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente ist. Wenn {{math|term= v |SZ=}} ein Beobachtervektor ist, so ist nach Definition auch {{math|term= -v |SZ=}} ein Beobachtervektor. Dieser Beobachter bewegt sich in die entgegengesetzte Zeitrichtung. Insgesamt zerfällt die Menge aller Beobachtervektoren in zwei Schalen, wobei wir eine als die Zukunftsschale auszeichnen. Ebenso zerfällt der Lichtkegel in zwei Kegel, den Zukunfts- und den Vergangenheitskegel. Zwei Beobachter heißen {{Stichwort|gleichgerichtet|msw=Gleichgerichtete Beobachter|SZ=,}} wenn sie der gleichen Schale angehören, also beide in die Zukunft {{ Zusatz/Klammer |text=oder in die Vergangenheit| |ISZ=|ESZ= }} weisen. {{ inputfaktbeweisverweis |Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Fakt|Lemma|| || }} Die Bedingung, dass die Beobachtergeschwindigkeiten {{ Relationskette | {{op:Bilinearform|v|v}} || -1 || || || |SZ= }} erfüllen müssen, ist eine große Einschränkung an mögliche Bewegungsvorgänge. Wenn eine Minkowski-Basis fixiert ist, so ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|y_1 |y_2 |y_3 |t}} |SZ=}} ein Beobachtervektor genau dann, wenn {{ Relationskette/display | y_1^2 + y_2^2+y_3^2 -t^2 || -1 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{ Relationskette/k |t |\geq|0 || || || |SZ=, }} das ergibt sich aus der Zukunftsrichtung| |ISZ=|ESZ= }} ist. {{ inputbeispiel |Minkowski-Raum/Bewegungsvorgang/Realisierung durch Skalierung/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Minkowski-Raum/Gleichzeitigkeit/Bemerkung|| }} Wir vergleichen nun Geschwindigkeiten von Beobachtern untereinander. {{ inputdefinition |Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeits(vektor)/Definition|| }} Der relative Geschwindigkeitsvektor ist ein Vektor. Beachte, dass nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Fakt |Nr=3 |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Bilinearform|v|w}} | \geq | 1 || || || |SZ= }} und daher die Relativgeschwindigkeit eine wohldefinierte nichtnegative reelle Zahl ist, die von oben durch {{math|term= 1 |SZ=}} beschränkt ist. Die Relativgeschwindigkeit ist symmetrisch in {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ=, }} hingegen ist {{ Relationskette/display | v_{CB} || - w - {{op:Bruch|1| {{op:Bilinearform|v|w}} }} v || || || |SZ= }} im Allgemeinen von {{mathl|term= v_{BC} |SZ=}} verschieden. Da die Lichtgeschwindigkeit zu {{math|term= 1 |SZ=}} normiert ist, sollte man sich diese Relativgeschwindigkeiten klein vorstellen. Bei {{ Relationskette |v ||w || || || |SZ= }} ist die Relativgeschwindigkeit gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Minkowski-Raum/Zwei Beobachter/Relativgeschwindigkeit/Fakt|Lemma|| }} Das in der fünften Aussage des vorstehenden Lemmas formulierte Prinzip heißt {{Stichwort|Zeitdilatation|SZ=.}} Ein Beobachter beobachtet für einen weiteren Beobachter eine längere Zeit als dieser in seinem Bezugsystem. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Minkowski-Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cutg1q9gei8jvjnr9dz4pys2078vwzs 0 81334 1092658 963522 2026-06-01T14:29:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092658 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Sprache der Aussagenlogik| |msw= |SZ= }} {{math|term= L^V|SZ=}} zu einer Aussagenvariablenmenge {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ozsyl3erzg3jyccy81qdd019yz4ueq 0 81731 1092653 1021566 2026-06-01T14:28:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092653 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Uminterpretation| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= I {{op:Bruch| m |x}} |SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath=S |Interpretation| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= I |SZ=}} in einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wobei {{math|term= x |SZ=}} eine Variable und {{mathl|term= m \in M |SZ=}} ein Element der Grundmenge ist. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n1untdxphnf3nvq363ngl8mo736fovq 0 81757 1092472 983657 2026-06-01T13:52:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092472 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In der Mathematik spielen strukturerhaltende Abbildungen eine herausragende Rolle. Eine erststufige Version dieses Konzeptes kommt in folgender Definition zum Ausdruck. {{ inputdefinition |Strukturen/Homomorphismus/Definition|| }} Die üblichen Begriffe der Mathematik, beispielsweise ein Gruppenhomomorphismus, ein Ringhomomorphismus, eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, eine monotone Abbildung zwischen geordneten Mengen, fallen unter diesen abstrakten Homomorphiebegriff. {{ inputdefinition |Strukturen/Isomorphismus/Isomorph/Definition|| }} Zwei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}Strukturen heißen {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}{{Stichwort|isomorph|SZ=,}} wenn es einen {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=-}}Isomorphismus zwischen ihnen gibt. Bei {{ Relationskette |M ||N || || || |SZ= }} spricht man auch von einem {{Stichwort|Automorphismus|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Prädikatenlogik/Symbolalphabet nur Variablen/Automorphismen/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Strukturen/Isomorphismus/Bijektion/Bemerkung|| }} Wir haben in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Dedekind-Peano/Eindeutige Isomorphie/Fakt |Nr= |SZ= }} gesehen, dass je zwei Modelle der {{ Zusatz/Klammer |text=allerdings nicht erststufig formulierten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiome| |Kontext=| |SZ= }} zueinander isomorph sind. Dabei war {{math|term= 0 |SZ=}} die einzige Konstante und die Nachfolgerabbildung die einzige {{ Zusatz/Klammer |text=einstellige| |ISZ=|ESZ= }} Funktion. Auch zwei Modelle der reellen Zahlen sind isomorph, was schwieriger zu beweisen ist, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Isomorphiesatz/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die zugehörigen Axiomensysteme legen also das intendierte Modell bis auf Isomorphie fest, und zwar ist sogar jeweils der Isomorphismus eindeutig bestimmt. Letzteres gilt beispielsweise für die komplexen Zahlen nicht. Die komplexen Zahlen können als algebraischer Abschluss von {{math|term= \R|SZ=}} eingeführt werden. Je zwei solche algebraische Abschlüsse sind untereinander isomorph, allerdings ist die Isomorphie nicht eindeutig bestimmt. Beispielsweise ist die {{ Definitionslink |komplexe Konjugation| |Kontext=| |SZ= }} ein nichttrivialer Automorphismus auf {{math|term= {{CC}} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Homomorphielemma/Term/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Homomorphismen (Prädikatenlogik) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} dbwjezlgy2zhwjeiv8f3jxv1tcvn5oa 0 82339 1092741 850515 2026-06-01T14:43:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092741 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Ableitbarkeit| |msw= |SZ= }} eines Ausdrucks {{math|term= {{logprop|}} \in L^S |SZ=}} im prädikatenlogischen Kalkül. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3ps0epsh742rm3tg2pzyp1woqzhsvq2 0 82370 1092725 957716 2026-06-01T14:40:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092725 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die rekursive Definition der {{ Stichwort/Abfrage |Gültigkeit| |msw= |SZ= }} eines modallogischen Ausdrucks {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |modallogischen Modell| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term=(M,R,\mu) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ryuj0qcojyee63jhh68fpc66w7geueb 0 82373 1092742 1024988 2026-06-01T14:43:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092742 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Ableitbarkeit| |msw= |SZ= }} {{mathl|term=\Gamma \vdash {{logprop}} |SZ=}} eines {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=-}}Ausdrucks {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} aus einer Menge {{math|term=\Gamma|SZ=}} an {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet}} | Ausdrücken| |Kontext=Prädikatenlogik| |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} owg7huusnapv6pqkmvr9qkhq25r85jw 0 82476 1092759 963820 2026-06-01T14:46:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092759 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Ausartungsraum| |msw= |SZ= }} zu einer symmetrischen Bilinearform {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} auf einen {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7k2ogzviudppj93a464kal6elui5ihr 0 82517 1092754 1022686 2026-06-01T14:45:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092754 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Gramsche Matrix| |msw= |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Sesquilinearform| |Kontext=| |SZ= }} auf einem endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= {{CC}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} bezüglich einer Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r6zfer5jccp6w11k2m2don6y8sno3sx 0 82577 1092726 957717 2026-06-01T14:41:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092726 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Gültigkeit| |msw= |SZ= }} eines modallogischen Ausdrucks {{math|term= {{logprop||}} |SZ=}} in einem modallogischen Rahmen {{math|term=(M, R) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ogvg1fmgr7fesj8zgm3rwumijnwkcqm 0 82579 1092743 1022555 2026-06-01T14:43:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092743 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Erfüllbarkeit| |msw= |SZ= }} eines {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=-}}Ausdruckes {{math|term= {{logprop|}} \in L^{{Symbolalphabet|}} |SZ=,}} wobei {{math|term= {{Symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Symbolalphabet| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jzu7cumzyc8zxty312wpbjz8r45eyp1 0 82594 1092412 1074686 2026-06-01T13:42:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092412 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Euro coins and banknotes|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Avij |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten die Euromünzen und Euroscheine {{ Zusatz/Klammer |text=Bargeldmittel| |ISZ=|ESZ=, }} die bekanntlich die Werte {{ Math/display|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ= }} haben {{ Zusatz/Klammer |text=um nicht immer von Münzen bzw. Scheinen sprechen zu müssen, nennen wir diese Zahlen schlicht Eurozahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Einen zu zahlenden vollen Betrag, beispielsweise {{math|term= 37 |SZ=}} Euro, kann man auf viele verschiedene Weisen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Rückgeld| |ISZ=|ESZ= }} begleichen, etwa durch {{math|term= 37 |SZ=}} {{math|term= 1 |SZ=-}}Euro Münzen oder durch {{ Relationskette/display |37 || 1 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 2 \cdot 2 +3 \cdot 1 || || || |SZ= }} oder durch {{ Relationskette/display |37 ||20 +10+5+2 || || || |SZ=. }} Wir fragen uns, ob es stets eine {{Anführung|optimale}} Art gibt, einen gegebenen Betrag zu begleichen, ob sie eindeutig ist und wie man sie finden kann. Ein naheliegender Ansatz ist es, diejenige Bezahlung als optimal anzusehen, bei der die wenigsten Münzen bzw. Scheine verwendet werden. Im Beispiel kommt die zuletzt genannte Möglichkeit mit vier Münzen/Scheinen aus. Gibt es eine bessere Möglichkeit? Wie kann man an eine solche Frage herangehen? Wenn jemand eine Darstellung mit nur zwei oder drei Münzen/Scheinen finden würde, wäre die Frage direkt negativ entschieden, denn dann gäbe es eine bessere Möglichkeit. Wenn man ein bisschen rumprobiert und keine bessere Möglichkeit findet, so sagt das relativ wenig, wenn man sich nicht sicher sein kann, dass man alle Möglichkeiten systematisch überprüft hat. Ein solches systematisches und nachvollziehbares Überprüfen ist eine {{Stichwort|mathematische Argumentation|SZ=.}} Wenn die mathematische Argumentation eine präzise formulierte Aussage begründet, so spricht man von einem {{Stichwort|Beweis|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für diese Aussage| |ISZ=|ESZ=. }} Unsere Aussage ist also {{Anführung|Die Zahl {{math|term= 37 |SZ=}} lässt sich nicht als eine Summe {{ Zusatz/Klammer |text=wobei Wiederholungen erlaubt sind| |ISZ=|ESZ= }} von weniger als vier Zahlen aus den Eurozahlen {{mathl|term= 1,2,5,10,20,50,100,200, 500 |SZ=}} darstellen|SZ=.}} Wie kann man das systematisch begründen? Grundsätzlich könnte man alle Summen mit einer Eurozahl, alle Summen mit zwei Eurozahlen und alle Summen mit drei Eurozahlen ausrechnen und dann feststellen, dass nie {{math|term= 37 |SZ=}} rauskommt. Das ist durchführbar, aber sehr aufwändig. Zu einer guten mathematischen Argumentation gehört auch, dass sie geschickt und ökonomisch ist, dass sie abwegige Situationen schnell ausschließt und sich auf wesentliche Gesichtspunkte konzentriert. Im Beispiel heißt das, dass man Summen, in denen ein Schein mit einem Wert von mindestens {{math|term= 50 |SZ=}} vorkommt, gar nicht betrachten muss, da eine solche Summe immer größergleich {{math|term= 50 |SZ=}} und somit größer als der Zielbetrag {{math|term= 37 |SZ=}} sein wird. Hier fällt sofort eine typische Eigenschaft einer mathematischen Argumentation auf: Sie nimmt Bezug auf schon etablierte oder bekannte oder allgemein anerkannte Eigenschaften, hier nämlich die Eigenschaft, dass eine Summe von natürlichen Zahlen größergleich jedem Summanden der Summe ist. In einer mathematischen Argumentation geht man nicht immer {{Anführung|zurück auf Los|SZ=,}} sondern man verwendet Bekanntes, das seinerseits irgendwann durch eine mathematische Argumentation begründet worden ist. Eine weitere Beobachtung, die das rechnerische Überprüfen von sehr vielen Summen erübrigt, geht folgendermaßen: Man betrachtet den {{math|term= 20 |SZ=-}}Euro-Schein. Das ist der größte Schein, von dem man noch nicht weiß, ob und wie oft er verwendet wird. Wie oft kann/könnte er verwendet werden? Zunächst darf er höchstens einmal verwendet werden, da ja {{ Relationskette/display | 2 \cdot 20 ||40 |>|37 || || |SZ= }} schon zu groß ist. Muss er in einer minimalen Darstellung verwendet werden? Hier begegnen wir einer typischen Denkfigur im Rahmen einer mathematischen Argumentation: Wir zeigen, dass in einer minimalen Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit Eurozahlen die {{math|term= 20 |SZ=}} vorkommen muss, indem wir zeigen, dass eine Darstellung ohne den {{math|term= 20 |SZ=-}}Schein nicht minimal sein kann. Man spricht von einem {{Stichwort|Beweis durch Widerspruch|SZ=.}} Dabei formuliert man eine Annahme, die dann durch die mathematische Argumentation als unhaltbar erwiesen wird, also als widersprüchlich zu den gegebenen Voraussetzungen der Aussage. Wir machen also die Annahme: Es ist möglich, die {{math|term= 37 |SZ=}} als eine Summe mit maximal drei Summanden aus den Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also ohne die {{math|term= 20 |SZ=}}| |ISZ=!|ESZ= }} darzustellen. Durch die Abschätzung, die ihrerseits auf Rechengesetze der natürlichen Zahlen Bezug nimmt, {{ Relationskette/display |a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 |\leq| (a+b+c+d) 10 |\leq| 3 \cdot 10 ||30 |<|37 |SZ= }} sieht man aber schnell, dass dies nicht möglich ist. Die Annahme ist also falsch und eine jede Darstellung der {{math|term= 37 |SZ=}} mit maximal drei Eurozahlen muss die {{math|term= 20 |SZ=}} verwenden, und zwar genau einmal. An dieser Stelle tritt eine weitere wichtige Strategie bei einer mathematischen Argumentation auf, die Vereinfachung der Situation unter Verwendung des schon Gezeigten. Wir wissen bereits, dass {{math|term= 20 |SZ=}} genau einmal vorkommt. Wir ziehen daher {{math|term= 20 |SZ=}} ab und gelangen zur Fragestellung, ob es möglich ist, die {{math|term= 17 |SZ=}} als Summe von maximal zwei der Zahlen {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} darzustellen. In einem gewissen Sinn sind wir jetzt wieder in der Ausgangssituation, wobei allerdings die Zahlen einfacher {{ Zusatz/Klammer |text=geworden| |ISZ=|ESZ= }} sind. Mit der schon verwendeten Strategie kann man hier weiterargumentieren: Man zeigt, dass die {{math|term= 10 |SZ=}} genau einmal in einer solchen minimalen Darstellung vorkommen muss, zieht es wieder ab und gelangt zur Frage, ob man die {{math|term= 7 |SZ=}} als Summe von Eurozahlen mit nur einem Summanden{{ Zusatz/Fußnote |text=Eine Summe mit nur einem Summanden mag sich sonderbar anhören. In der Mathematik sind aber solche Grenzfälle wichtig und stets mitzubetrachten, da man bei einer Situationsvereinfachung häufig {{ Zusatz/Gs |text=wie hier| |ISZ=|ESZ= }} bei einer solchen Extremsituation ankommt| |ISZ=.|ESZ= }} darstellen kann, was offenbar nicht möglich ist. Hier, wie häufig in der Mathematik, hängt also die Gültigkeit einer mathematischen Aussage mit der Gültigkeit einer anderen mathematischen Aussage von gleichem oder ähnlichem Typ zusammen. Von daher ist es sinnvoll, eine möglichst allgemeine mathematische Aussage zu formulieren und diese zu beweisen, wobei man im Beweis zeigt, dass man kompliziertere {{ Zusatz/Klammer |text=größere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} auf einfachere Situationen {{ Zusatz/Klammer |text=kleinere Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} zurückführen kann. Ein wichtiges Beweisprinzip entlang dieses Schemas ist der {{Stichwort|Beweis durch Induktion|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Das Induktionsprinzip werden wir in der siebten Vorlesung genau besprechen, und gelegentlich schon verwenden| |ISZ=.|ESZ=. }}}} Wir haben also gezeigt {{ Zusatz/Klammer |text=bewiesen, durch eine mathematische Argumentation begründet| |ISZ=|ESZ=, }} dass man mindestens vier Eurozahlen braucht, um die {{math|term= 37 |SZ=}} als Summe darzustellen: Mit weniger als vier ist es nicht möglich, und die eingangs beschriebene Zerlegung {{ Relationskette/display |37 ||20+10+5+2 || || || |SZ= }} zeigt, dass es mit vier Eurozahlen möglich ist. Die {{math|term= 37 |SZ=}} ist eine Zahl unter vielen, wir hätten gerne zu einer jeden natürlichen Zahl eine entsprechende Aussage. Zunächst gibt es zu jedem vollen Eurobetrag {{math|term= w |SZ=}} eine minimale Anzahl an Eurozahlen, mit der man den Betrag als Summe erhalten kann, aus den drei einfachen Gründen, dass (1) überhaupt jeder Betrag darstellbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise als hinreichend große Summe der {{math|term= 1 |SZ=}} mit sich selbst| |ISZ=|ESZ=, }} dass (2) es zu jeder Anzahl an Summanden grundsätzlich die beiden Möglichkeiten gibt, dass der Betrag durch eine Summe aus Eurozahlen mit {{math|term= k |SZ=}} Summanden darstellbar ist oder nicht, und dass (3) das Minimum einer nichtleeren Menge aus natürlichen Zahlen existiert{{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist unmittelbar klar (?). Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt |Nr= |SZ= }} diese Aussage aus dem Induktionsprinzip herleiten |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn wir den Betrag mit {{math|term= w |SZ=}} bezeichnen, so kann man die minimale Summandenanzahl als {{ Relationskette/display | m(w) || {{op:min|k \in \N|w \text{ lässt sich als eine Summe mit } k \text{ Summanden aus Eurozahlen darstellen} }} || || || |SZ= }} schreiben. Wir fragen uns: {{ Aufzählung3 |Ist die minimale Darstellung eines Betrages {{math|term= w |SZ=}} eindeutig? |Wie kann man sie charakterisieren? |Wie kann man sie finden? }} Dabei suchen wir nicht nur nach einer Antwort, sondern diese Fragen sind stets so zu verstehen, wie man mathematisch begründen kann, dass die Antwort auch richtig ist. Solche mathematischen Fragen können im Allgemeinen sehr schwierig sein, und es ist von vornherein nicht klar, ob man eine Lösung finden wird. Wir listen einige Herangehensweisen auf. {{ Aufzählung10 |Probieren. |Systematischer Probieren. |Extremfälle betrachten. |Hypothese formulieren. |Voraussetzungen leicht abändern, um mögliche Gründe und Schwierigkeiten zu erkennen. |Hypothese präziser formulieren. |Hypothese unter stärkeren zusätzlichen Voraussetzungen beweisen. |Die Perspektive ändern. |Reduktionsmöglichkeiten erkennen. |Hypothese beweisen. }} Wir erläutern dies an der ersten Frage, ob es eine eindeutig bestimmte minimale Darstellung gibt. {{ Aufzählung10 |Nehmen wir die {{math|term= 37 |SZ=.}} Es fällt uns keine weitere Darstellung mit vier Eurozahlen ein. Man kann die obige Argumentation, bei der wir gezeigt haben, dass es keine Darstellung mit drei Eurozahlen gibt, etwas abwandeln, und erhält so eine Begründung, dass die minimale Darstellung für die {{math|term= 37 |SZ=}} eindeutig ist. Welche Zahl probieren wir als nächstes? Die {{math|term= 146 |SZ=?}} |Es ist systematischer, erstmal die kleinsten Zahlen durchzugehen, die {{math|term= 1,2,3=1+2,4=2+2,5,6=5+1 |SZ=,}} bei denen man recht schnell erkennen kann, dass die optimalen Darstellungen eindeutig sind. |Extremfälle sind beispielsweise die einzelnen Eurozahlen selbst, diese sind offenbar durch sich selbst eindeutig minimal darstellbar. Wie sieht es mit der Summe von zwei Eurozahlen aus, kann es für sie eine weitere Darstellung als Summe von zwei Eurozahlen geben? Warum nicht? |Nach diesen Beobachtungen bzw. Überlegungen formulieren wir die optimistische Hypothese, dass die minimale Darstellung eindeutig ist. |Wie allgemein könnte eine solche Aussage stimmen? Betrachten wir die gleiche Fragestellung für eine Währung{{ Zusatz/Fußnote |text=Hier werden also die Voraussetzungen kurz abgeändert, um sie besser verstehen zu können| |ISZ=.|ESZ=, }} für die die Bargeldmittel gleich {{ Math/display|term= 1,3,5,10,30,50,100,300,500 |SZ= }} sind. Das sieht auf den ersten Blick nicht so anders aus. Allerdings gibt es hier die beiden verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten {{ Relationskette/display |6 ||5+1 ||3+3 || || |SZ=, }} die beide minimal sind, da man die {{math|term= 6 |SZ=}} sicher nicht mit einer Münze darstellen kann. Die Hypothese kann also nur stimmen aufgrund spezifischer Eigenschaften der Eurozahlen, eine grobe Argumentation wird man somit wohl nicht erwarten und eine Argumentation, die nicht direkt auf die Eurozahlen Bezug nimmt, kann nicht funktionieren. Auch wenn man die Rückgabe von Geld erlaubt, geht die Eindeutigkeit verloren, beispielsweise ist {{ Relationskette/display |15 ||10+5 ||20-5 || || |SZ=, }} bei beiden Darstellung werden zwei Scheine bewegt. |Wir meinen natürlich bei eindeutig {{Anführung|eindeutig bis auf die Reihenfolge|SZ=,}} natürlich ist {{ Relationskette/display |37 ||20+10+5+2 ||2+20+5+10 || || |SZ=. }} Es könnte sich als sinnvoll erweisen, immer mit einer bestimmten Reihenfolge der Summanden zu arbeiten, beispielsweise in absteigender Größe. |Wir beweisen die Aussage zuerst nur für alle Beträge {{math|term= \leq 10 |SZ=}} oder {{math|term= \leq 100 |SZ=}} oder nur für alle Beträge, die als Summe von drei Summanden darstellbar sind. |Wir wollen etwas über Zerlegungen {{ Relationskette/display | w || a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || || || |SZ= }} aussagen. Das kann man von links, also von {{math|term= w |SZ=}} aus betrachten, aber auch von der rechten Seite aus. Kann man einer Darstellung {{ Math/display|term= a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... |SZ= }} ohne Bezug auf den dargestellten Wert ansehen, ob sie minimal ist? Hier gibt es viele Gesetzmäßigkeiten, z.B. kann {{math|term= a |SZ=}} nicht {{math|term= 2 |SZ=}} sein, da man andernfalls die beiden {{math|term= 1-|SZ=}}Euromünzen sofort durch eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Euromünze ersetzen und so mit einer kleineren Anzahl von Eurozahlen auskommen würde. |Hängt die eindeutige Zerlegung für große Zahlen irgendwie mit der eindeutigen Zerlegung für kleinere Zahlen zusammen? Eine zweite Darstellung für {{math|term= w |SZ=}} führt zu einer Gleichheit {{ Relationskette/display | a \cdot 1 + b \cdot 2 + c \cdot 5 + d \cdot 10 + ... || a' \cdot 1 + b' \cdot 2 + c' \cdot 5 + d' \cdot 10 + ... || || || |SZ=. }} Hier kann man links und rechts, falls eine Eurozahl auf beiden Seiten positiv vorkommt, diese Eurozahl abziehen, und erhält so eine Gleichheit für einen kleineren Ausdruck. |Siehe unten. }} In einem mathematischen Buch {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. in der Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} werden mathematische Aussagen häufig direkt bewiesen, ohne dass die Vorüberlegungen erläu{{drucktrenn}}tert werden, die zu dem Beweis geführt haben. Dies ist von der Ökonomie her begründet, man möchte einen Beweis haben, und nicht Überlegungen dokumentieren, die für sich allein genommen ziemlich aussagelos {{ Zusatz/Klammer |text=wie das Durchrechnen von einigen Beispielen| |ISZ=|ESZ= }} sind und von denen ein Großteil auch in eine falsche Richtung geht. Beim Auffinden von Beweisen und beim Lösen von Aufgaben {{ Zusatz/Klammer |text=zwischen diesen beiden Aspekten gibt es keinen grundsätzlichen Unterschied| |ISZ=|ESZ= }} ist der Weg dorthin sehr wichtig, und es sollte viel probiert, Strategien entwickelt und diskutiert werden, auch wenn sich das nicht in der Dokumentation der letztlich gefundenen überprüfbaren Argumentation niederschlägt{{ Zusatz/Fußnote |text=Das gilt auch für die abzugebenden Aufgaben. Geben Sie ein überzeugendes Endprodukt der Überlegungen ab, keine Dokumentation der Überlegungen| |ISZ=.|ESZ=. }} Nach all diesen Vorüberlegungen können wir den folgenden Satz beweisen. {{ inputfaktbeweis |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote|zusatz2=Fußnote || }} Die {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Münzen/1,4,5,6/Maximale Auffüllung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} zeigt, dass das Verfahren aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr=3 |SZ= }} nicht bei jeder Bargeldverteilung zur minimalen Darstellung führt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Fußnotenliste=x |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2c1b4r81ozbalxvz5eho0jwqrpz7vd3 0 82600 1092162 1052317 2026-06-01T13:02:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092162 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Aus der Schule sind sicherlich die {{Stichwort|binomischen Formeln|msw=Binomische Formeln|SZ=}} bekannt, also die Beziehungen {{ Relationskette/display |(a+b)^2 ||a^2 +2ab +b^2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |(a-b)^2 ||a^2 -2ab +b^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |(a+b)(a-b) ||a^2 -b^2 || || || |SZ=. }} Wir stellen uns die folgenden Fragen. {{ Aufzählung7 |Für welche {{math|term= a,b|SZ=}} gelten diese Formeln? |Gibt es eine Beziehung zwischen ihnen? |Wie wichtig bzw. wie grundlegend sind sie? |Welche Anwendungen haben diese Formeln? |Wie intuitiv sind diese Formeln? |Warum gelten diese Formeln, worauf beruhen sie, wie kann man sie begründen? |Kann man die Gültigkeit der Formeln in einem bestimmten Zahlbereich auf die Gültigkeit der Formeln in einem kleineren Zahlbereich zurückführen? }} Was fällt uns dazu ein? {{ Aufzählung7 |Vermutlich kann man sich an keine Einschränkung erinnern, die Formeln gelten für alle {{Anführung|Zahlen|SZ=,}} also für natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen{{{zusatz1|.}}} Dennoch kann es große Unterschiede geben, wie man jeweils die Gültigkeit der Formeln beweist. Etwas sonderbar ist allerdings schon, dass man die zweite binomische Formel explizit formuliert, wenn die erste für beliebige ganze Zahlen gilt. |Denn dann kann man ja das {{math|term= b |SZ=}} in der zweiten binomischen Formel als {{ Relationskette |b ||-c || || || |SZ= }} schreiben und erhält unter Verwendung von einfachen Rechengesetzen für {{math|term= -1 |SZ=}} {{ Relationskette/align | (a-b)^2 || (a +c)^2 || a^2 +2ac +c^2 || a^2 + 2a(-b) + (-c)^2 || a^2 -2ab +b^2 |SZ=, }} und so ergibt sich die zweite binomische Formel unmittelbar aus der ersten. Die zweite ist also als eigene Regel überflüssig, wenn man negative Zahlen zur Verfügung hat und mit ihnen umgehen kann. Wenn man hingegen nur mit den natürlichen Zahlen arbeitet, so kann man den Trick von eben nicht anwenden und die zweite binomische Formel braucht die zusätzliche Voraussetzung, dass {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} ist, da sonst {{mathl|term= a-b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \N|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} nicht definiert ist. Aber auch im Fall von natürlichen Zahlen kann man die zweite Formel auf die erste zurückführen. Dazu berechnen wir {{ Relationskette/align | a^2 || ((a-b) + b)^2 || (a-b)^2 + 2 (a-b)b +b^2 || (a-b)^2 + 2ab - 2b^2 +b^2 || (a-b)^2 + 2ab - b^2 || |SZ=. }} Dabei haben wir im ersten Schritt einfach das {{math|term= a |SZ=}} kompliziert geschrieben, im zweiten Schritt die erste binomische Formel angewendet, dann {{ Zusatz/Klammer |text=distributiv| |ISZ=|ESZ= }} ausmultipliziert und zusammengefasst. Eine einfache Umstellung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Präwort=die|Abziehregel|Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} ergibt nun {{ Relationskette/display |(a-b)^2 ||a^2 - 2ab +b^2 || || || |SZ=. }} |Sie kommen häufig in der Schule vor, doch welche Schlussfolgerung kann man daraus ziehen? Vielleicht sind ja eigentlich wichtigere Sachen für die Schüler und Schülerinnnen {{ Zusatz/Klammer |text=oder die Lehrer und Lehrerinnen| |ISZ=|ESZ= }} zu schwierig? Keine Panik, so ist es nicht, man kann viel über die Gewichtung von Schulstoff diskutieren, aber völlig abwegig ist die Stoffauswahl nicht. Eine andere Frage ist die nach grundlegend. Wir haben gerade gesehen, dass man die zweite binomische Formel auf die erste binomische Formel zurückführen kann. Vielleicht stecken grundlegendere Sachverhalte hinter diesen Formeln? (Siehe 6.) |Die binomischen Formeln haben eine Vielzahl von Anwendungen. Da ist zunächst die Anwendung bei der Multiplikation von natürlichen Zahlen und speziell beim Quadrieren. Beispielsweise berechnet man {{ Relationskette/display | 25^2 || (20 +5)^2 || 20^2 + 2 \cdot 5 \cdot 20 + 5^2 || 400 +200 +25 || 625 |SZ= }} oder {{ Relationskette/display |104 \cdot 96 || (100+4)( 100 -4) || 100^2 - 4^2 || 10000 -16 || 9984 |SZ=. }} Weiterhin spielt es beim quadratischen Ergänzen bzw. dem Lösen quadratischer Gleichungen eine herausragende Rolle. Es verallgemeinert sich auf allgemeinere algebraische Strukturen {{ Zusatz/Klammer |text=kommutative Halbringe| |ISZ=|ESZ= }} und auf höhere Potenzen, also Ausdrücke der Form {{mathl|term= (a+b)^n |SZ=,}} siehe {{ Faktlink |Präwort=die|allgemeine binomische Formel|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Die erste binomische Formel kann man sich einfach durch Flächeninhalte wie im Bild veranschaulichen. {{ inputbild |A plus b au carre|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=A_plus_b_au_carre |Autor= |Benutzer=Alkarex |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} Dies erfordert natürlich Grundkenntnisse über Flächeninhalte von Rechtecken, was letztlich mathematisch ein deutlich schwierigeres Konzept als das rein arithmetisch-algebraische Konzept der binomischen Formel ist. Es ist eine wichtige Bemerkung und ein Lernziel im Mathematikstudium, dass man das Intuitiv-anschauliche vom Logisch-mathematischen trennen und ihre jeweilige Bedeutung einordnen kann. Beides ist wichtig. Für das mathematische Argumentieren ist aber das zweite das entscheidende. |Die binomischen Formeln {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar alle drei| |ISZ=|ESZ= }} sind in allen Rechenbereichen, in denen sie gelten, Spezialfälle des {{Stichwort|Distributivgesetzes|msw=Distributivgesetz|SZ=}} und des {{Stichwort|Kommutativgesetzes|msw=Kommutativgesetz|SZ=}} für die Multiplikation. Ersteres besagt für beliebige Zahlen {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} die Gleichheit {{ Relationskette/display | c \cdot (a+b) || (c \cdot a) + ( c \cdot b) || || || |SZ= }} und letzteres besagt {{ Relationskette/display |a \cdot b ||b \cdot a || || || |SZ=. }} Unter Verwendung dieser beiden Regeln kann man die erste binomische Formel durch {{ Zusatz/Klammer |text=wir verwenden schon die Regel Punktrechnung vor Strichrechnung, um Klammern zu sparen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align |(a+b)^2 || (a+b) \cdot (a+b) || (a+b) \cdot a + (a+b) \cdot b || a \cdot a + b \cdot a + a \cdot b + b \cdot b || a \cdot a + a \cdot b + a \cdot b + b \cdot b || a^2 +2ab +b^2 |SZ= }} erhalten. Es ist eine wichtige Zielsetzung des Mathematikstudiums, die Abhängigkeiten und Hierarchien zwischen mathematischen Gesetzmäßigkeiten zu erkennen und zu klären. Für die natürlichen Zahlen gelten die binomischen Formeln genauso wie das Distributivgesetz und das Kommutativgesetz. Letztere sind aber grundlegender, da man aus ihnen die binomischen Formeln ableiten kann. Ein tiefes Verständnis für die Hierarchien zwischen mathematischen Sachverhalten wird erst im begriffsorientierten axiomatischen Aufbau der Mathematik möglich. Diese logischen Hierarchien haben auch einen großen Einfluss auf die Didaktik der Mathematik: das Distributivgesetz ist wichtiger als die binomischen Formeln und es sollte im Schulunterricht mindestens so breit behandelt werden wie diese {{ Zusatz/Klammer |text=Schlüsse von der logischen Hierarchie auf die didaktische Gewichtung sind nie zwingend; es kann auch Gründe geben, didaktisch anders zu verfahren, und das Distributivgesetz durch die binomischen Formeln zu motivieren, etc.| |ISZ=|ESZ=. }} |Über die Beziehung zwischen natürlichen und ganzen Zahlen haben wir schon gesprochen. Gehen wir davon aus, dass die binomischen Formeln für die ganzen Zahlen schon bekannt sind. Wir hätten die binomischen Formeln gern für die Brüche, also für rationale Zahlen. Wir schreiben die beteiligten rationalen Zahlen als {{ Mathkor/display|term1= a= {{op:Bruch|k|m}} |und|term2= b= {{op:Bruch|r|s}} |SZ= }} und erhalten, unter Verwendung von grundlegenden Rechenregeln für Brüche, die Gleichheiten {{ Relationskette/align | (a+b)^2 || {{makl| {{op:Bruch|k|m}} + {{op:Bruch|r|s}} |}}^2 || {{makl| {{op:Bruch|ks+rm|ms}} |}}^2 || {{op:Bruch|(ks+rm)^2|(ms)^2}} || {{op:Bruch|(ks)^2+2ksrm +(rm)^2|(ms)^2}} || {{op:Bruch|(ks)^2| (ms)^2}} + 2 {{op:Bruch|ksrm|(ms)^2}} + {{op:Bruch|(rm)^2|(ms)^2}} || {{makl| {{op:Bruch|k|m}} |}}^2 + 2 {{op:Bruch|ks|ms}} \cdot {{op:Bruch|rm|ms}} + {{makl| {{op:Bruch|r|s}} |}}^2 || a^2 +2ab +b^2 |SZ=, }} also die erste binomische Formel. Der Übergang von {{math|term= \Q|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} ist deutlich schwieriger. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} tsaz8e0shq4a9e7o6ufzz8i4xbysgs1 0 83118 1092416 1074694 2026-06-01T13:43:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092416 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} Beispielsweise sind {{mathl|term= 1,2,5,10 |SZ=}} Teiler von {{math|term= 10 |SZ=}} und {{mathl|term= 1,3,9,27,81 |SZ=}} die Teiler von {{mathl|term= 81 |SZ=.}} Eine Zerlegung {{ Relationskette/display |n ||st || || || |SZ= }} nennt man auch eine {{Stichwort|Faktorzerlegung|SZ=}} von {{math|term= n |SZ=.}} Wenn {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist und {{ Relationskette/display |a |\neq|0 || || || |SZ=, }} so ist die Zahl {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette |b ||ac || || || |SZ= }} {{ Faktlink |Präwort=nach der|Kürzungsregel|Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt |Nr= |SZ= }} eindeutig bestimmt. Man nennt diese Zahl den {{Stichwort|Gegenteiler|SZ=}} oder {{Stichwort|komplementären Teiler|msw=Komplementärer Teiler|SZ=}} und schreibt dafür {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Da wir im Moment die rationalen Zahlen noch nicht zur Verfügung haben, ist dies nur dann eine erlaubte Schreibweise, wenn die Teilerbeziehung vorliegt und {{ Relationskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=so wie die Schreibweise {{mathlk|term=a-b|SZ=}} bisher nur erlaubt ist, wenn {{ Relationskette |b |\leq|a || || || |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist also {{math|term= 0 |SZ=}} ein Teiler der {{math|term= 0 |SZ=,}} der Ausdruck {{mathl|term= 0/0 |SZ=}} ist aber nicht definiert{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Orte können miteinander verbunden sein oder nicht. Man kann von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gelangen, wenn es einen Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gibt. Aber nur, wenn es genau einen Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} gibt, kann man von {{Betonung|dem}} Weg von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= B |SZ=}} sprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} Wenn {{ Relationskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} ein Teiler von {{math|term= b |SZ=}} ist, so nennt man die Bestimmung des eindeutig bestimmten {{math|term= c |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |b ||ac || || || |SZ= }} Teilen. Man sagt, dass man {{math|term= b |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} teilt mit dem Ergebnis {{math|term= c |SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (N)/Größenbeziehung/Fakt|Lemma||}} Wenn man also alle Teiler einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} finden möchte, so muss man einfach die Zahlen {{ Relationskette/display |a |\leq|n || || || |SZ= }} der Reihe nach durchgehen und ihre Vielfachen {{ Math/display|term= 1a =a,2a,3a, \ldots |SZ= }} durchgehen, bis die Zahl {{math|term= n |SZ=}} auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=in welchem Fall {{math|term= a |SZ=}} ein Teiler ist| |ISZ=|ESZ= }} oder eine Zahl {{math|term= >n|SZ=}} auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=dann liegt kein Teiler vor| |ISZ=|ESZ=. }} Übrigens muss man nicht die Zahlen bis {{math|term= n |SZ=}} durchprobieren, sondern lediglich bis zur ersten Zahl {{math|term= r |SZ=}} mit {{ Relationskette |r^2 | \geq|n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man muss also nur bis zur Größenordnung der Quadratwurzel aus {{math|term= n |SZ=}} gehen| |ISZ=|ESZ=. }} Dann muss man aber für jeden Teiler {{ Relationskette/display |t |\leq|r || || || |SZ= }} auch den Gegenteiler mitanführen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Teilerauflistung/Quadratwurzelschranke/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Für {{mathl|term= 105 |SZ=}} muss man maximal bis {{math|term= 11 |SZ=}} gehen. Es ergeben sich die Zerlegungen {{ Relationskette/display |105 ||1 \cdot 105 ||3 \cdot 35 ||5 \cdot 21 ||7 \cdot 15 |SZ= }} und die Teiler sind somit {{mathl|term= 1,3,5,7,15,21,35,105 |SZ=.}} Eine durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbare Zahl, also ein Vielfaches von {{math|term= 2 |SZ=,}} heißt {{Stichwort|gerade|msw=Gerade Zahl|SZ=,}} eine nicht durch {{math|term= 2 |SZ=}} teilbare Zahl heißt {{Stichwort|ungerade|msw=Ungerade Zahl|SZ=.}} Für einige Zahlen gibt es einfache Tests, ob sie ein Teiler einer gewissen Zahl sind, die allerdings auf dem Dezimalsystem beruhen. Eine weitere wichtige Möglichkeit ist die Division mit Rest. Auch der dritte Teil des folgenden Lemmas hilft: Wenn {{math|term= a |SZ=}} kein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} ist, so sind sämtliche Vielfache von {{math|term= a |SZ=}} ebenfalls kein Teiler von {{math|term= n |SZ=.}} {{inputfaktbeweis|Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt|Lemma||}} {{ inputbild |Verband_Teiler30|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=SirJective |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Teilbarkeit in N +/Ordnungsrelation/Variante 2/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Teilbarkeitstheorie (N) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nqp46y7u9yqsg88lhecrw1fv0gp89m2 0 83128 1092640 957578 2026-06-01T14:19:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092640 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die vielleicht wichtigste Funktion der natürlichen Zahlen ist es, zu einer gegebenen endlichen Menge {{math|term= M |SZ=}} zu beschreiben, wie viele Elemente sich in ihr befinden, was ihre Anzahl ist. Man möchte beispielsweise wissen, wie viele Äpfel in einem Korb drin sind oder wie viele Schüler im Bus sind. Das übliche praktische Verfahren, die Anzahl einer endlichen Menge zu bestimmen, ist, die Elemente mit {{mathl|term= 1,2,3 {{kommadots|}} n |SZ=}} durchzuzählen {{ Zusatz/Klammer |text=die Elemente durchzunummerieren| |ISZ=|ESZ=, }} wobei jedes Element{{{zusatz1|}}} genau eine Nummer bekommt. Die letzte benötigte Zahl {{math|term= n |SZ=}} ist dann die Anzahl der Menge. Um sich die Richtigkeit und Sinnhaftigkeit dieses Verfahrens klar zu machen, es ist hilfreich, mögliche Fehlerquellen, die auch praktisch häufig auftreten, zu erkennen. {{ Aufzählung4 |Man beherrscht das Zählen der natürlichen Zahlen nicht. Dann zählt man die Äpfel nacheinander als {{Math/display|term=5,7,1,8,3,3,4 |SZ=.}} |Man beherrscht zwar das Zählen der natürlichen Zahlen, kommt aber im Zählvorgang durcheinander, etwa wenn die Schüler sich bewegen oder wenn man unterbrochen wird. Dann zählt man {{Math/display|term=1,2,3,4,5, \text{ wo war ich gerade ? }, 5,6, 7, \text{ wie bitte ? }, 9,10 |SZ=.}} |Man zählt die Zahlen ohne Lücken und ohne Wiederholungen richtig ab, aber man übersieht Elemente. |Man zählt die Zahlen ohne Lücken und ohne Wiederholungen richtig ab, aber man zählt gewisse Elemente mehrfach. }} Zu einer natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} bezeichnen wir mit {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} n\} |SZ=}} diejenige Teilmenge der natürlichen Zahlen, die aus genau den Zahlen besteht, die man von {{math|term= 1 |SZ=}} ausgehend durch sukzessives Nachfolgernehmen erhält, bis man bei {{math|term= n |SZ=}} anlangt und dann aufhört. Die Elemente {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ= }} gehören also insbesondere dazu. Diese Mengen sind für uns die Standardmengen {{ Zusatz/Klammer |text=oder Referenzmengen| |ISZ=|ESZ= }} mit genau {{math|term= n |SZ=}} Elementen. Wir werden beliebige endliche Mengen dadurch abzählen, dass wir sie mit solchen Standardmengen in Beziehung setzen {{ Zusatz/Klammer |text=die leere Menge betrachten wir auch als eine Standardmenge| |ISZ=|ESZ=. }} Zu zwei natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= k |und|term2= n |SZ=, }} wobei {{math|term= n |SZ=}} im Zählprozess nach {{math|term= k |SZ=}} kommt, bezeichnen wir mit {{mathl|term= \{k {{kommadots|}} n\} |SZ=}} die Menge aller Zahlen, die man von {{math|term= k |SZ=}} ausgehend durch sukzessives Zählen erreicht, bis man schließlich bei {{math|term= n |SZ=}} anlangt und dann aufhört. Wenn man richtig zählt, erhält man eine Zuordnung zwischen den beiden Mengen {{ Mathkor/display|term1= \{1,2 {{kommadots|}} n\} |und der gegebenen Menge|term2= M |SZ=, }} bei der jeder natürlichen Zahl zwischen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= n |SZ= }} genau einem Element der Menge und umgekehrt entspricht. Intuitiv {{ Zusatz/Klammer |text=oder nur im Sinne einer Gewohnheit| |ISZ=|ESZ= }} ist es klar, dass beim richtigen Zählen der Menge {{math|term= M |SZ=}} stets die gleiche Zahl {{math|term= n |SZ=}} als Anzahl herauskommt, dass also die Anzahl unabhängig von der Zählreihenfolge ist. Kann man das genauer begründen? Sowohl diese Frage als auch die oben erwähnten Fehlerquellen können mit dem Abbildungsbegriff beantwortet bzw. analysiert werden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} soioec9ney822r4lb0s4nbazc10p82b 0 83131 1092413 1074687 2026-06-01T13:42:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092413 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Addition auf den natürlichen Zahlen ist eine vertraute Operation und es gibt viele Möglichkeiten, sie einzuführen. Je nach Kontext und Absicht sind unterschiedliche Ansätze besser geeignet. Zur rechnerischen Definition der Addition ist etwa das schriftliche Addieren im Dezimalsystem besonders effektiv, während zum Nachweis der Assoziativität die inhaltliche Interpretation als disjunkte Vereinigung von Mengen sinnvoll ist. Um ein klares Fundament zu haben, muss man sich bei einem systematisches Aufbau der Mathematik dafür entscheiden, was man als Definition nimmt, und dann beweisen, dass der gewählte Zugang auch andere Charakterisierungen erlaubt und somit mit anderen Zugängen übereinstimmt. Wir wollen die Addition auf den natürlichen Zahlen definieren, und zwar allein unter Bezug auf das Nachfolgernehmen, das das Zählen charakterisiert. Das Nachfolgernehmen ist ein Prozess, den man iterieren kann. Sowohl der Startwert des Nachfolgernehmens als auch die Anzahl, wie oft ein Nachfolger genommen werden soll, wird durch natürliche Zahlen beschrieben. Die {{math|term= k |SZ=-}}fache Durchführung eines Prozesses bedeutet, dass er so oft durchgeführt wird, wie es die Menge {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} vorgibt. {{ inputbild |Additionnachfolger6|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Definition||ref1= }} Die Operation heißt die {{Stichwort|Addition|SZ=}} und die beteiligten Zahlen nennt man die {{Stichwort|Summanden|msw=Summand|SZ=.}} Nach dieser Definition wird also ausgehend von {{math|term= n |SZ=}} der Nachfolgerprozess {{math|term= k |SZ=-}}fach durchgeführt. Bei {{ Relationskette |k || 0 || || || |SZ= }} ist dies als der nullte Nachfolger, also als {{math|term= n |SZ=}} selbst, zu verstehen. Bei {{ Relationskette |k ||1 || || || |SZ= }} ist dies der erste Nachfolger, {{mathl|term= n+1 |SZ=}} ist also die erste Zahl {{math|term= n^\prime|SZ=}} nach {{math|term= n |SZ=.}} Die Summe {{mathl|term= n+k|SZ=}} ist also {{mathl|term= n^{\prime \prime \ldots \prime} |SZ=}} mit {{math|term= k |SZ=}} Nachfolgerstrichen. Wenn umgekehrt {{ Relationskette/display |n || 0 || || || |SZ= }} ist, so ist der {{math|term= k |SZ=-}}te Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=}} gleich {{math|term= k |SZ=.}} Man beachte, dass hier die Addition in einer Weise definiert wird, in der die Kommutativität keineswegs offensichtlich ist, das wird sich aber gleich ergeben. {{ inputbild |Addition Table|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Das {{Stichwort|kleine Einsundeins|msw=Kleines Einsundeins|SZ=.}} Das Umlegungsprinzip schlägt sich in der Additionstabelle darin nieder, dass in den Linksunten nach Rechtsoben-Diagonalen konstante Werte stehen. |Autor= |Benutzer=Indolences |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Für einige alternative Begründungen siehe die Aufgaben. Teil (2) kann man auch so verstehen, dass man eine Summe {{mathl|term= n+k|SZ=}} dadurch berechnen kann, dass man sukzessive den ersten Summanden um eins erhöht {{ Zusatz/Klammer |text=also den Nachfolger nimmt| |ESZ= }} und den zweiten um eins vermindert {{ Zusatz/Klammer |text=also den Vorgänger nimmt| |ESZ=, }} falls {{ Relationskette |k |\neq|0 || || || |SZ= }} ist. Dies macht man so lange, bis der zweite Summand {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Der dabei entstandene neue erste Summand ist die Summe. Statt Umlegungsregel sagt man auch {{Stichwort|Umlegungsprinzip|SZ=}} oder man spricht von einer {{Anführung|gegensinnigen Veränderung|SZ=,}} was auch oft bei Rechnungen effektiv eingesetzt wird, wenn man etwa {{ Relationskette |19+41 ||20+40 ||60 || || |SZ= }} rechnet. Die folgende Aussage besagt, dass durch das Umlegungsprinzip die Addition bereits festgelegt ist. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Addition/Fakt|Satz|| |ref|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qq7no3ki179cit2h3fu92zv5qm5rtib 0 83133 1092641 957579 2026-06-01T14:20:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092641 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Unter Zählen verstehen wir die geordnete, systematische, prinzipiell unendliche Abfolge von wohlbestimmten, wohlunterschiedenen {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere wiederholungsfreien| |ISZ=|ESZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=sprachlichen oder schriftlichen| |ISZ=|ESZ= }} Symbolen. Wir erwähnen einige Möglichkeiten von solchen Abfolgen. {{ Aufzählung9 |{{ Math/display|term= {{|}} , {{|}} {{|}} ,{{|}} {{|}} {{|}} ,{{|}}{{|}}{{|}} {{|}} , ... |SZ=. }} Dies ist die Strichabfolge. Es wird einfach bei jedem Schritt ein zusätzlicher Strich hinzugefügt. Die Symbole sind die einzelnen Strichfolgen. Der Übergang zum nächsten Symbol ist besonders einfach, die einzelnen Symbole werden aber sehr schnell unhandlich. |{{ Math/display|term= N0,NN0,NNN0,NNNN0,NNNNN0, ... |SZ=. }} Hier hat man den Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=,}} den Nachfolger des Nachfolgers der {{math|term= 0 |SZ=,}} den Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers der {{math|term= 0 |SZ=,}} u.s.w. |Die Lautfolge {{ Math/display|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, \text{elf}, \text{zwölf}, \text{dreizehn}, \text{vierzehn}, ... |SZ=. }} Dies ist zwar sehr vertraut und man weiß, wie es weiter geht, das sprachliche Bildungsgesetz ist aber keineswegs trivial, und bei sehr großen Zahlen kommt man doch ins Schwitzen. Was kommt beispielsweise nach {{ Math/display|term= \text{neunhundertneunundneunzig Trilliarden neunhundertneunundneunzig Trillionen } {{Mathbruch}} \text{ neunhundertneunundneunzig Billiarden neunhundertneunundneunzig Billionen } |SZ= }} {{ Math/display|term= \text{ neunhundertneunundneunzig Milliarden neunhundertneunundneunzig Millionen } {{Mathbruch}} \text{ neunhundertneunundneunzig Tausend neunhundertneunundneunzig} |SZ=? }} Es gibt keine allgemein anerkannte sprachliche Festlegung für beliebig weites Zählen. Jede sprachliche Festlegung, die jede beliebig große natürliche Zahl ausdrücken möchte, muss früher oder später auf eine Vervielfachung von Wörtern zurückgreifen, wie das im Fall der Strichfolge von Anfang an geschieht. Die Wörter werden jedenfalls auch beliebig lang, siehe [[w:Zahlennamen]]. |{{ Math/display|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, \text{elf}, \text{zwölf}, \text{dreizehn}, ..., {{Mathbruch}} \text{neunundneunzig}, \text{zehnmalzehn}, \text{zehnmalzehn und eins}, \text{zehnmalzehn und zwei}, ..., \text{zehnmalzehnmalzehn}, \text{zehnmalzehnmalzehn und eins}, ... |SZ=. }} Hier weiß man, wie die Folge ins Unendliche weitergeht. Statt bei zehn kann man mit der systematischen Vervielfachung auch deutlich später anfangen. |{{ Math/display|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, {{Mathbruch}} \text{zehnundeins}, \text{zehnundzwei}, \text{zehnunddrei}, \text{zehnundvier}, ..., \text{zwanzig}, \text{zwanzigundeins}, \text{zwanzigundzwei}, ... |SZ=. }} Diese Art zu zählen {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ohne das {{Anführung|und}}| |ISZ=|ESZ= }} wird von einigen Leuten vorgeschlagen, um die verkehrte Aussprache von Einer- und Zehnerstellen und damit Zahlendreher zu vermeiden. Siehe den Verein [[w:Zwanzigeins]] {{ Zusatz/Klammer |text=an der Namensgebung und auch auf der Seite des Vereins fällt auf, dass das Verhältnis zu den Zahlen von {{math|term= 11 |SZ=}} bis {{math|term= 19 |SZ=}} unklar ist| |ISZ=|ESZ=. }} |{{ Math/display|term= \text{yksi}, \text{kaksi}, \text{kolme}, \text{neljä}, \text{viisi}, \text{kuusi}, \text{seitsemän}, \text{kahdeksan},\text{yhdeksän}, {{Mathbruch}} \text{kymmenen}, \text{yksitoista}, \text{kaksitoista}, \text{kolmetoista},...,\text{ kaksikymmentä},\text{kaksikymmentäyksi}, ... |SZ=. }} Was steht dazwischen und wie geht das weiter? |{{ Math/display|term= a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,aa,bb,cc, ... |SZ=. }} Man kann das Alphabet natürlich auch auf andere Weisen zu einer unendlichen Folge fortsetzen. |{{ Math/display|term= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, ... |SZ=. }} Hier ist das Bildungsgesetz bekannt und ziemlich einfach. Wenn die letzte Ziffer nicht {{math|term= 9 |SZ=}} ist, so wird sie um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöht, für die nachfolgende Zahl muss man also in diesem System nur die letzte Ziffer durch den Nachfolger ersetzen. Wenn die letzte Ziffer eine {{math|term= 9 |SZ=}} ist, muss man sämtliche hinten aneinander liegende {{math|term= 9 |SZ=}}en durch {{math|term= 0 |SZ=}}en ersetzen und die unmittelbar davor liegende Ziffer durch ihren Nachfolger ersetzen {{ Zusatz/Klammer |text=wie ist das zu verstehen, wenn die Zahl ausschließlich aus {{math|term= 9 |SZ=}}en besteht| |ISZ=?|ESZ=. }} |{{ Math/display|term= 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010, ... |SZ=. }} }} Entscheidend ist, dass jeweils festgelegt ist, welches Symbol/Objekt als Nächstes kommt. Dies wird in der Regel durch eine mehr oder weniger komplexe Bildungsvorschrift beschrieben, die sagt, wie man aus einem Symbol das Nachfolgersymbol erhält. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} r4c4shor3ocrlez47fnuzrjrox2ezoo 0 83144 1092568 984116 2026-06-01T14:08:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092568 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Unter einem {{ Zusatz/Klammer |text=arithmetischen| |ISZ=|ESZ= }} {{Anführung|Term}} versteht man einen {{Anführung|zahlähnlichen}} Ausdruck, der sich aus {{Anführung|Zahlen}} und {{Anführung|Variablen}} mit Hilfe der Verknüpfungssymbole {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell mit {{ mathkor|term1= - |und|term2= : |SZ= }} oder daraus abgeleiteten Operationen wie Potenzen| |ISZ=|ESZ=, }} mit weiteren Funktionssysmbolen {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Fakultät, Wurzel, abstrakte Funktionssymbole wie {{math|term= f |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und mit Klammern {{Anführung|korrekt}} bilden lässt. Eine Variable ist typischerweise ein Buchstabe {{mathl|term= x,y,z,a,b,c|SZ=,}} in den man eine echte Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=zumeist aus einem fixierten Zahlenbereich| |ISZ=|ESZ= }} oder auch einen anderen Term {{Stichwort|einsetzen|SZ=}} kann{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Laufvariablen kann man nicht durch andere Terme ersetzen, nur durch eine andere Laufvariable umbenennen. Eine Laufvariable kommt beispielsweise im Term {{math|term= \sum_{i {{=}}1 }^n i |SZ=}} vor, hier ist {{math|term= i |SZ=}} eine Laufvariable und {{math|term= n |SZ=}} eine echte Variable. Andererseits bezeichnet der Buchstabe {{math|term= \pi|SZ=}} die Kreiszahl und ist keine Variable| |ISZ=.|ESZ=. }} Mit zahlenähnlich ist gemeint, dass wirklich eine Zahl entsteht, wenn man alle Variablen durch Zahlen ersetzt. Terme sind auch die Ausdrücke, die auf einer Seite einer Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=oder Ungleichung| |ISZ=|ESZ= }} stehen können. Beispielsweise sind {{ Math/display|term= 3 \cdot (4+5),\, x, \, 2x+7, \, {{op:Bruch|3|7}} , \, 4x^3-y,\, (a+b)^2,\, a^2+2ab+b^2, \, 0 \cdot 1, \,n!, \, {{op:Binomialkoeffizient|n|k}}, \, \pi,\, e^u, x^y,\, 5^x, \, \sqrt{x},\, \sum_{i = 1}^n a_i,\, f(x) |SZ= }} Terme. Dagegen sind {{ Math/display|term= 3 \cdot (4+5)), \, 2x+7=0, \, \sqrt{\,\,\, } |SZ= }} keine Terme. Wichtig ist, dass man Terme nur dann als gleich ansieht, wenn es sich um dieselbe Zeichenreihe handelt. Das {{Anführung|Ausrechnen}} oder {{Anführung|Vereinfachen}} von Termen verändert den Term, aber nicht die dadurch gegebene Zahl. Beispielsweise sind {{mathl|term= 3+5 |SZ=}} und {{math|term= 8 |SZ=}} oder {{ mathkor|term1= (a+b)^2 |und|term2= a^2+2ab+b^2 |SZ= }} verschiedene Terme. Gleichheit zwischen diesen beiden letzten Ausdrücken gilt nur bei einer bestimmten Interpretation, wenn man {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} als natürliche Zahlen oder als Elemente eines kommutativen Halbringes interpretiert {{ Zusatz/Klammer |text=erste binomische Formel| |ISZ=|ESZ=. }} Eine wichtige Funktion von Termen ist ihr Auftreten in Gleichungen. Gleichungen sich durch das Vorkommen des Gleichheitszeichens {{Anführung|{{math|term= \!=|SZ=}}|}} charakterisiert, wodurch eine Gleichung in zwei Hälften unterteilt wird{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Eine Gleichungskette wie {{ Relationskette | 5(4+3) || 5 \cdot 4 +5 \cdot 3 || 20 +15 || 35 || |SZ= }} ist einfach eine abkürzende Schreibweise für die drei Einzelgleichungen {{ Relationskette | 5(4+3) || 5 \cdot 4 +5 \cdot 3 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | 5 \cdot 4 +5 \cdot 3 || 20 +15 || || |SZ= }} {{ Relationskette | 20 +15 || 35 || |SZ= }} | |ISZ=.|ESZ=, }} in diesen Hälften stehen Terme. Gleichungen sind Aussagen, die prinzipiell wahr oder falsch sein können. Gleichungen und Terme treten in der Mathematik in unterschiedlicher Bedeutung auf, die sich häufig vom Kontext her erkennen lassen. Wir listen die wesentlichen Gleichungstypen auf. 1) Identitäten von Elementen Das sind Gleichungen der Form {{ Relationskette |2+4 ||6 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |3 \cdot 7 ||21 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |4! ||24 || || || |SZ=, }} die besagen, das zwei irgendwie gegebene Elemente einer Menge gleich sind. {{ mathkor|term1= 2+4 |und|term2= 6 |SZ= }} sind unterschiedliche Terme, haben aber denselben Zahlwert. In solchen Gleichungen kommen keine Variablen vor. Häufig werden solche Gleichungen verwendet, um etwas auszurechnen, also einen komplizierten Ausdruck in eine einfache Standardform zu bringen. Dazu gehören die Rechnungen in {{math|term= \N|SZ=,}} etwa im Dezimalsystem. 2) Allgemeine Termidentitäten (Formeln, Rechengesetze) Diese drücken eine allgemeine Gleichung zwischen Termen aus, in denen Variabeln vorkommen, und die Gleichheit bedeutet, dass für jede sinnvolle Ersetzung der Variablen durch Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=die gewisse Bedingungen erfüllen| |ISZ=|ESZ= }} Gleichheit gilt. Beispiele dazu sind {{ Relationskette/display |a(b+c) || ab + ac || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette/display |(a+b)^2 ||a^2+ 2ab + b^2 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette/display |a^2+b^2 ||c^2 || || || |SZ=. }} Sie drücken eine Gesetzmäßigkeit aus, die unter bestimmten Bedingungen gilt, beispielsweise wenn {{math|term= a,b|SZ=}} Elemente eines kommutativen Halbringes sind oder wenn {{math|term= a,b|SZ=}} Kathetenlängen und {{math|term= c |SZ=}} die Hypotenusenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks ist. Charakteristisch für solche Gleichungen ist, dass in ihnen Variablen vorkommen und dass, wenn man für die Variablen simultan {{ Zusatz/Klammer |text=also an jeder Stelle, wo die Variable steht| |ISZ=|ESZ= }} Elemente, die die Bedingung erfüllen, einsetzt, eine wahre Elementgleichung entsteht. Eine solche Identität repräsentiert also eine Vielzahl an einzelnen Elementgleichungen. Aus dem Distributivgesetz entsteht beispielsweise durch Einsetzen die spezielle Identität {{ Relationskette |3 \cdot (5 +4) || 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 || || || |SZ=. }} 3) Definitionsgleichungen Das sind Gleichungen, durch die eine abkürzende Schreibweise für einen komplexeren Ausdruck eingeführt wird. Beispiele sind {{ Math/display|term= a^3 =a \cdot a \cdot a,\, n! =n(n-1) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1, \, {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} = {{op:Bruch|n!|(n-k)! k!}} , \, P = 4x^2 +7x -5 |SZ=. }} Hierbei schreibt man häufig {{math|term= {{defeq}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=gelesen: ist definitionsgemäß gleich| |ISZ=|ESZ= }} statt {{math|term= =|SZ=,}} wobei der Doppelpunkt auf der Seite des einzuführenden Ausdrucks steht. 4) Gleichungen als Bedingung Damit sind Gleichungen wie {{ Math/display|term= 7-2+5=x,\, 7=N(x),\, x+3=5,\, 4x= 9,\, 2x+7=0,\, 5x^2-3x+4 = 0,\, x=y ,\, y=f(x),\, x^2+y^2 =1 |SZ= }} gemeint. In diesen kommen {{ Zusatz/Klammer |text=in aller Regel| |ISZ=|ESZ= }} Variablen vor, es wird aber nicht eine allgemeingültige Formel zum Ausdruck gebracht, sondern es wird eine Bedingung an die auftretenden Variablen formuliert. D.h. es werden die Elemente gesucht, die die Gleichungen erfüllen, die man also für die Variablen einsetzen kann, damit eine wahre Elementidentität entsteht. Gleichungen in diesem Sinne definieren die Aufgabenstellung, nach Lösungen zu suchen. Eine {{Stichwort|Lösung|SZ=}} ist ein Element {{math|term= a |SZ=}} aus der gegebenen Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ein Tupel wie {{ Relationskette/k | (a,b) |\in| M \times M || || || |SZ=, }} falls es mehrere Variablen gibt| |ISZ=|ESZ=, }} das die Eigenschaft besitzt, dass wenn man {{math|term= x |SZ=}} durch {{math|term= a |SZ=}} ersetzt, eine wahre Elementidentität entsteht. Die {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Erfüllungsmenge|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} besteht aus allen Lösungen, sie kann leer sein, aus einem Element oder aus vielen Elementen bestehen. Bei Gleichungen wie {{ Relationskette |7-2+5 ||x || || || |SZ=, }} was manchmal auch als {{ Relationskette |7-2+5 ||? || || || |SZ= }} formuliert wird, ist das Lösen einer Gleichung einfach das Ausrechnen der einen Seite. 5) Funktionale Gleichungen Eine Gleichung der Form {{ Relationskette |y ||f(x) || || || |SZ= }} nennt man auch {{Stichwort|Funktionsgleichung|SZ=.}} Dabei steht {{math|term= f(x) |SZ=}} für einen komplexen Term, in dem die Variable {{math|term= x |SZ=}} vorkommt {{ Zusatz/Klammer |text=funktionaler Ausdruck| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann sie als eine Definitionsgleichung auffassen, insofern {{math|term= y |SZ=}} eine abkürzende Schreibweise für den komplexen Term ist, aber auch als Bedingungsgleichung, insofern nach den Paaren {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} gesucht wird, die diese Gleichung erfüllen. Bei dieser Interpretation ist die Lösungsmenge einfach der Graph der Funktion {{math|term= f |SZ=.}} Eine solche Funktionsgleichung hat aber auch noch den zusätzlichen Aspekt, dass sie eine Größenbeziehung bzw. eine Größenberechnung beschreibt. Aus der variablen Größe {{math|term= x |SZ=}} wird gemäß der Funktionsvorschrift {{mathl|term= f(x) |SZ=}} die variable Größe {{math|term= y |SZ=}} berechnet. Zwischen physikalischen oder sonstigen Größen kann beispielsweise ein linearer {{ Zusatz/Klammer |text=proportionaler| |ISZ=|ESZ= }} Zusammenhang bestehen, wie wenn eine Meterangabe in Zentimeter umgerechnet werden soll oder eine Währung in eine andere Währung konvertiert werden soll. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} oder für {{math|term= y |SZ=}} gewisse Elemente vorgibt, so erhält man Bedingungsgleichungen in einer {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich der nicht fixierten| |ISZ=|ESZ= }} Variablen. Wenn man für {{math|term= x |SZ=}} ein bestimmtes Element {{math|term= a |SZ=}} vorgibt, so ist die Bestimmung des zugehörigen {{math|term= y |SZ=}} einfach das Ausrechnen von {{math|term= f(a) |SZ=.}} Wenn hingegen für {{math|term= y |SZ=}} ein bestimmtes Element {{math|term= b |SZ=}} vorgegeben wird, so ist die Suche nach allen {{math|term= x |SZ=}} mit der Eigenschaft {{ Relationskette |b ||f(x) || || || |SZ= }} oft schwierig. Manche Gleichungen wie die zuletzt genannten Funktionsgleichungen kann man in mehrfacher Weise auffassen. So kann man die Gleichung {{ Relationskette/display |a^2+b^2 ||c^2 || || || |SZ= }} als Gesetzmäßigkeit in einem rechtwinkligen Dreieck auffassen {{ Zusatz/Klammer |text=bei richtiger Interpretation der einzelnen Variablen| |ISZ=|ESZ= }} oder als Aufgabenstellung, alle Tripel {{mathl|term= (a,b,c) |SZ=}} zu bestimmen, die diese Gleichung erfüllen. Da Gleichungen prinzipiell Aussagen sind, kann man auch die aussagenlogischen Operationen auf sie anwenden. Man kann eine Gleichung negieren, was zu einer Ungleichung {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{math|term= \neq|SZ=,}} nicht im Sinne von {{math|term= \leq|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} führt. Eine quadratische Gleichung wie {{ Relationskette |x^2 -10x+21 || 0 || || || |SZ= }} führt typischerweise zu einer Lösungsbeschreibung wie {{ Relationskette |x ||3 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |x ||7 || || || |SZ=, }} also zu einer Alternation von Gleichungen {{ Zusatz/Klammer |text=die Durchnummerierung {{mathl|term= x_1,x_2 |SZ=}} ist nur dann nötig, wenn man das {{Anführung|oder}} weglässt und wenn man eine Auflistung der Lösungen haben möchte| |ISZ=|ESZ=. }} Die Konjunktion von Gleichungen führt zu einem {{Stichwort|Gleichungssystem|SZ=,}} beispielsweise einem {{Stichwort|linearen Gleichungssystem|msw=lineares Gleichungssystem|SZ=,}} bei dem man nach den Zahltupeln sucht, die sämtliche beteiligten Gleichungen simultan erfüllen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Terme |Kategorie2=Theorie der Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} afxjw2bvl6dsz9l0eakzdap0ahd7tda 0 83149 1092244 982116 2026-06-01T13:15:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092244 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Definition|| }} Diese Definition hat den Vorteil, dass sie direkt ist und ohne mengentheoretische Überlegungen {{ Zusatz/Klammer |text=Äquivalenzrelationen| |ISZ=|ESZ= }} auskommt. Jede ganze Zahl gehört unmittelbar zu genau einem der drei Typen {{ Zusatz/Klammer |text=positiv, {{math|term= 0 |SZ=}} , negativ| |ISZ=|ESZ=. }} Der Nachteil ist, dass die Verknüpfungen darauf, nämlich die Addition und die Multiplikation, die diese Verknüpfungen auf den natürlichen Zahlen fortsetzen sollen, nicht unmittelbar ersichtlich sind, sondern auf eine Weise festgelegt werden müssen, die zumindest auf den ersten Blick etwas willkürlich aussieht. Zugleich ist der Nachweis der Gesetzmäßigkeiten, wie beispielsweise das Assoziativgesetz, recht aufwändig, da man alle Kombinationen der möglichen Fälle untersuchen muss. {{ inputbemerkung |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Gemischte Vorstellung/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Addition/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Additionsvorstellung/Bemerkung|| }} Statt {{mathl|term= a+(-b) |SZ=}} schreiben wir auch {{mathl|term= a-b|SZ=.}} Es ist sinnvoll, diesen Ausdruck und speziell {{mathl|term= -b|SZ=}} für beliebige ganze Zahlen zur Verfügung zu haben. Wir setzen daher {{ Relationskette/display | -x || \begin{cases} -x \, , \text{ falls } x \in \N \, , \\ y \, , \text{ falls } x \text{ negativ ist mit } x {{=}} -y \text{ und } y \in \N \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Insbesondere ist {{ Relationskette |-(-z) ||z || || || |SZ= }} für jede ganze Zahl {{math|term= z |SZ=.}} {{ inputbemerkung |Ganze Zahlen/Lösbarkeit der Additionsgleichung/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikation/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Multiplikationsvorstellung/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ringeigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nu7co16jq1ezuk81o43zjdgenc2m0jg 0 83182 1092488 1081272 2026-06-01T13:55:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092488 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir definieren eine Anordnung auf den rationalen Zahlen. {{ inputdefinition |Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition|| }} Wir müssen zuerst zeigen, dass diese Definition sinnvoll ist, also unabhängig von den gewählten Darstellungen der rationalen Zahlen als Brüche. Seien also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|a'|b'}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|c|d}} || {{op:Bruch|c'|d'}} || || || |SZ= }} mit positiven Nennern. Dann ist {{ Relationskette/display | ab' ||a'b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |cd' ||c'd || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | ad |\geq|bc || || || |SZ= }} ergibt sich dann {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |SZ= }} durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl {{mathl|term= b'd'|SZ=}} {{ Relationskette/display |ad b'd' |\geq|bc b'd' || || || |SZ=. }} Dies schreiben wir als {{ Relationskette/display |a' d bd' |\geq|b c'b' d || || || |SZ=, }} woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl {{mathl|term= db|SZ=}} die Abschätzung {{ Relationskette/display |a'd' |\geq|b'c' || || || |SZ= }} ergibt, die {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a'|b'}} |\geq| {{op:Bruch|c'|d'}} || || || |SZ= }} bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung {{mathl|term= \geq|SZ=}} ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten. Die zugrunde liegende Idee ist, die beiden zu vergleichenden Brüche auf einen gemeinsamen positiven Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|ad|bd}} || ad \cdot {{op:Bruch|1|bd}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|c|d}} || {{op:Bruch|cb|bd}} || cb \cdot {{op:Bruch|1|bd}} || || |SZ=. }} Es liegt also einerseits das {{math|term= ad|SZ=-}}Vielfache und andererseits das {{math|term= cb|SZ=-}}Vielfache des gleichen {{ Definitionslink |Stammbruches| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1|bd}} |SZ=.}} Es leuchtet ein, dass die Größerbeziehung nur von dem ganzzahligen Vorfaktor abhängt. Daraus und aus der Tatsache, dass man auch drei rationale Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner bringen kann, folgt auch direkt, dass es sich um eine totale Ordnung handelt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Rationale Zahlen/Größergleichbeziehung/Totale Ordnung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Rationale Zahlen/Anordnung/1/Beispiel|| }} Um die Ordnungseigenschaften der rationalen Zahlen leichter erfassen zu können, empfiehlt es sich, den folgenden Begriff einzuführen. Es wird sich später herausstellen, dass auch die reellen Zahlen einen angeordneten Körper bilden. {{ inputdefinition |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition||a=x|b=y|c=z }} Man sagt, dass in einem angeordneten Körper die Anordnung mit der Addition und mit der Multiplikation verträglich ist. Elemente {{mathl|term= x \in K |SZ=}} mit {{ Relationskette |x |>|0 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|positiv|SZ=}} und mit {{ Relationskette |x |<|0 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|negativ|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt|Satz|| }} Die folgenden Aussagen formulieren wir für beliebige angeordnete Körper. Man überlege sich auch, ob sich die Beweise vereinfachen würden, wenn man sich auf den Körper der rationalen Zahlen beschränkt. Die angegebenen Regeln gelten auch, wenn man mit {{math|term= >|SZ=}} statt mit {{math|term= \geq|SZ=}} arbeitet. {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/2/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften zu Inversen/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0ideuvbijmvgwnne6kow0u0uir3z91v 0 83197 1092005 1018244 2026-06-01T12:36:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092005 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Da sich die Addition zweier natürlicher Zahlen aus den Dedekind-Peano-Axiomen ergibt, gibt es in jeder Beschreibung der natürlichen Zahlen genau eine Möglichkeit, zu addieren. Ob diese algorithmisch geschickt oder kompliziert ist, hängt wesentlich von der gewählten Beschreibung ab. Wenn man durch Strichfolgen gegebene Zahlen miteinander addiert, so hängt man einfach die beiden Strichfolgen aneinander. Dies ist auf den ersten Blick ein sehr einfacher Vorgang. Wenn man es aber ernsthaft schriftlich durchführen möchte, so sieht man, dass es extrem mühsam ist, da man jeden Strich der einen Strichfolge einzeln an die andere anhängen muss. Das schriftliche Addieren zweier natürlicher Zahlen im Zehnersystem ist aus der Schule bekannt. Man schreibt die beiden Zahlen untereinander so, dass die Einerpositionen übereinander stehen und addiert dann die beiden passenden Ziffern {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne des kleinen Einundeins| |ISZ=|ESZ= }} von hinten nach vorne. Wenn das Ergebnis kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} ist, schreibt man diese Zahl hin und rückt nach links. Wenn das Ergebnis größer oder gleich {{math|term= 10 |SZ=}} ist, so schreibt man die Einerziffer dieser Summe an der Stelle hin und hat in der links liegenden Stelle einen zusätzlichen Übertrag von {{math|term= 1 |SZ=}} mitzuberücksichtigen. Dies ist insgesamt ein rekursives Verfahren, das wir kurz festhalten. {{ inputverfahren |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Verfahren||zusatz1={{{zusatz1|}}}|zusatz2={{{zusatz2|}}} }} Warum ist dieser Algorithmus richtig, warum liefert er das korrekte Ergebnis? Die Gewöhnung an dieses Verfahren verleitet dazu, diese Frage nicht ernst zu nehmen bzw. nicht zu verstehen. Das eben beschriebene schriftliche Addieren ist {{Betonung/Negation|nicht}} die Definition der Addition, sondern eine algorithmische Ausführung der Addition in einem bestimmten Beschreibungssystem {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich dem Dezimalsystem| |ISZ=|ESZ= }} für die natürlichen Zahlen. Der Ausgangspunkt der Addition der natürlichen Zahlen liegt in der disjunkten Vereinigung von endlichen Mengen, wir haben die Addition über die Nachfolgerabbildung eingeführt und bereits {{ Faktlink |Präwort=in||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigt, dass sie mit dem Vereinigungskonzept übereinstimmt. Warum stimmt auch das schriftliche Addieren damit überein? Konkret: Man hat zwei Mengen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} an Äpfeln und bestimmt für beide Mengen ihre Anzahl im Zehnersystem: diese seien {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ=. }} Dann schüttet man die Mengen zusammen, erhält die Menge {{ Relationskette |C ||A \cup B || || || |SZ= }} und bestimmt für diese Menge die Anzahl im Zehnersystem: diese sei {{math|term= k |SZ=.}} Warum kommt, wenn man die Zahlen {{ mathkor|term1= m |und|term2= n |SZ= }} im Zehnersystem schriftlich addiert, ausgerechnet {{math|term= k |SZ=}} heraus? Die beiden Zahlen seien als {{ mathkor/hand|term1= m= a_r10^r + a_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} a_210^2+a_1 10 +a_0 |und|term2= n= b_s10^s + b_{s-1}10^{s-1} {{plusdots|}} b_2 10^2+ b_1 10 +b_0 |SZ= }} gegeben, wobei die Ziffern alle zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} seien. Es sei {{ Relationskette |r |\geq|s || || || |SZ= }} und wir können sogar annehmen, dass {{ Relationskette |r ||s || || || |SZ= }} ist, indem wir fehlende Ziffern in der zweiten Dezimalentwicklung durch Nullen auffüllen. Dann ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{makl| a_r10^r + a_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} a_210^2+a_1 10 +a_0 |}} + {{makl| b_r10^r + b_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} b_2 10^2+ b_1 10 +b_0 |}} || {{makl| a_r +b_r|}} 10^r + {{makl| a_{r-1} +b_{r-1} |}} 10^{r-1} {{plusdots|}} {{makl| a_2+b_2 |}} 10^2+ {{makl| a_1 +b_1 |}} 10 + {{makl| a_0 +b_0 |}} || || || |SZ=. }} Dies beruht auf dem Assoziativgesetz der Addition und dem Distributivgesetz. Achtung! Dieses Ergebnis ist nicht in der Dezimaldarstellung, da die vor den Zehnerpotenzen {{math|term= 10^{i} |SZ=}} stehenden Zahlen {{mathl|term= a_i+b_i |SZ=}} nicht unbedingt kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} sein müssen. Man kann an dieser Stelle {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} anwenden und zu den {{Anführung|größeren}} Ziffern nach oben schaufeln. Dies ist aber nicht das Verfahren des schriftlichen Addierens. {{{zusatz3|}}} {{ inputfaktbeweis |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}| || }} {{ inputbeispiel |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/2/Beispiel|| }} Die Korrektheit des schriftlichen Addierens überträgt sich auf die Addition mehrerer Summanden in der Dezimaldarstellung. Man summiert wieder ziffernweise und schreibt die letzte Ziffer der Summe an der entsprechenden Stelle hin, ebenso den Übertrag. Dieser kann jetzt allerdings {{ Zusatz/Klammer |text=ab zwölf Summanden| |ISZ=|ESZ= }} sogar größergleich {{math|term= 100 |SZ=}} sein, in diesem Fall muss man die Zehnerziffer wie zuvor um eins nach links schreiben und die Hunderterstelle um zwei nach links. Grundsätzlich kann man auch eine Summe mit beliebig vielen Summanden dadurch errechnen, dass man je zwei Summanden zusammenaddiert und somit die Anzahl der Summanden sukzessive verringert, doch ist das viel komplizierter. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 75hmwfe084vapsx38b8sh4aeugdd3h9 0 83206 1092487 1074724 2026-06-01T13:55:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092487 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Konstruktionen 007|jpg|300px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Darapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Man kann die rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden platzieren {{ Zusatz/Klammer |text=die ganzen Zahlen seien dort schon platziert| |ISZ=|ESZ=. }} Die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | a,b |\in| \N_+ || || || |SZ= }} findet man so: Man unterteilt die Strecke von {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{math|term= a |SZ=}} in {{math|term= b |SZ=}} gleichlange Teilstrecken. Die Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} ist dann die rechte Grenze des {{ Zusatz/Klammer |text=von links| |ISZ=|ESZ= }} ersten Teilintervalls. Insbesondere ist {{math|term= {{op:Bruch|1|b}} |SZ=}} die Länge des Intervalls, dass {{math|term= b |SZ=-}}fach nebeneinander gelegt die Einheitsstrecke von {{ mathkor|term1= 0 |bis|term2= 1 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das Einheitsintervall| |ISZ=|ESZ= }} ergibt. Unter Bezugnahme auf elementargeometrische Eigenschaften der Ebene kann man diese Unterteilung folgendermaßen durchführen: Man betrachtet den linearen Graphen zum proportionalen Zusammenhang, der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt. Die Gerade, die senkrecht auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse steht und durch den Punkt {{mathl|term= (0,1) |SZ=}} geht, trifft den Graphen in einem Punkt {{mathl|term= (s,1) |SZ=,}} wobei {{math|term= s |SZ=}} die Länge der Verbindungsstrecke von {{ mathkor|term1= (0,1) |zu|term2= (s,1) |SZ= }} ist. Aufgrund des Strahlensatzes, angewendet auf die Strahlen {{math|term= y |SZ=-}}Achse und linearer Graph und die durch {{ Relationskette | y || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || b || || || |SZ= }} gegebenen parallelen Geraden, gilt die Verhältnisgleichheit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|s|1}} || || || |SZ=. }} Die Streckenlänge {{math|term= s |SZ=}} kann man dann parallel auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse verschieben, das Ergebnis ist der gesuchte Platz für {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Umgekehrt formuliert: Da das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke von {{ mathkor|term1= 0 |nach|term2= 1 |SZ= }} die Länge {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist das {{math|term= b |SZ=-}}fache der Strecke {{math|term= s |SZ=}} gleich der Länge {{math|term= a |SZ=.}} Achtung! Die Steigung des proportionalen Zusammenhangs {{ Zusatz/Klammer |text=die Proportionalitätskonstante| |ISZ=|ESZ=, }} der an der Stelle {{math|term= a |SZ=}} den Wert {{math|term= b |SZ=}} besitzt, ist {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=.}} Diese Zahl ergibt sich geometrisch, wenn man den Graphen mit der durch {{ Relationskette |x ||1 || || || |SZ= }} gegebenen Geraden {{ Zusatz/Klammer |text=also die Gerade, die parallel zur {{math|term= y |SZ=-}}Achse ist und durch den Punkt {{mathlk|term=(1,0) |SZ=}} verläuft| |ISZ=|ESZ= }} schneidet, als Abstand zwischen dem Schnittpunkt und {{mathl|term= (1,0) |SZ=.}} {{ inputbild |Constructrulercompassadd|pdf|300px {{!}} right {{!}} | |Text=Die geometrische Ausführung der vektoriellen Addition auf der Zahlengeraden. Man muss einen Zirkel einsetzen und parallele Geraden konstruieren können. Die {{math|term= 1 |SZ=}} spielt keine Rolle. |Autor= |Benutzer=Darapti |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Die Addition und die Multiplikation lassen sich ebenfalls auf der Zahlengeraden geometrisch deuten bzw. durchführen. Die Addition von zwei Punkten {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} ist die vektorielle Addition der Pfeile {{ mathkor|term1= {{op:Vektor|0|P}} |und|term2= {{op:Vektor|0|Q}} |SZ=, }} wobei der Startpunkt des einen Vektors parallel verschoben an den Endpunkt des anderen Vektors angelegt wird. Für positive Zahlen bedeutet das einfach, dass die zugehörigen, von {{math|term= 0 |SZ=}} ausgehenden Strecken aneinandergelegt werden. Die Korrektheit dieser Interpretation beruht {{ Zusatz/Klammer |text=für rationale Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} darauf, dass man die beiden Strecken als ganzzahlige Vielfache einer Vergleichsstrecke {{mathl|term= {{op:Vektor|0|R}} |SZ=}} darstellen kann {{ Zusatz/Klammer |text=Übergang zu einem Hauptnenner| |ISZ=|ESZ=, }} also {{ mathkor|term1= {{op:Vektor|0|P}} = m {{op:Vektor|0|R}} |und|term2= {{op:Vektor|0|Q}} = n {{op:Vektor|0|R}} |SZ= }} mit {{ Relationskette | m,n |\in| \N || || || |SZ= }} schreiben kann. Dann ist die Hintereinanderlegung der Strecken einfach {{mathl|term= (m+n){{op:Vektor|0|R}} |SZ=.}} Für die geometrische Deutung der Multiplikation muss man den Strahlensatz heranziehen, man muss die {{math|term= 1 |SZ=}} fixiert haben und man muss Zirkel und Lineal zur Verfügung haben. Die zu multiplizierenden Punkte {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} seien auf der Zahlengerade gegeben, die wir als {{math|term= x |SZ=-}}Achse in einem Koordinatensystem auffassen. Auf der {{math|term= y |SZ=-}}Achse {{ Zusatz/Klammer |text=man könnte auch eine andere Gerade durch den Nullpunkt nehmen| |ISZ=|ESZ= }} markieren wir den Punkt {{math|term= a'|SZ=,}} der zum Nullpunkt den Abstand {{math|term= a |SZ=}} und somit die Koordinaten {{mathl|term= (0,a) |SZ=}} besitzt. Wir zeichnen die Gerade durch die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (0,1) |und|term2= (b,0) |SZ=. }} Zu dieser Geraden zeichnen wir die parallele Gerade durch den Punkt {{mathl|term= (0,a) |SZ=.}} Der Schnittpunkt dieser Geraden mit der {{math|term= x |SZ=-}}Achse sei {{mathl|term= (z,0) |SZ=.}} Mit dem Strahlensatz gilt dann die Beziehung {{ Relationskette | {{op:Bruch|z|b}} || {{op:Bruch|a|1}} || || || |SZ=, }} also ist {{ Relationskette/display |z ||ab || || || |SZ=. }} Das Produkt {{math|term= ab|SZ=}} ist also der konstruierte Punkt {{math|term= z |SZ=.}} Für den Nachweis der Korrektheit dieser geometrischen Multiplikation, die keinen Bezug auf den Strahlensatz nimmt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Rationale Zahlen/Zahlenstrahl/Multiplikation/Korrektheit/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Als Punkte auf der Zahlengeraden lassen sich rationale Zahlen ihrer Größe nach vergleichen. In der geometrischen Vorstellung bedeutet {{ Relationskette |x |\geq|y || || || |SZ= }} für beliebige Punkte {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} aus der rechten Hälfte der Zahlengeraden {{ Zusatz/Klammer |text=dem positiven Zahlenstrahl| |ISZ=|ESZ=, }} dass die Strecke {{mathl|term= [0,x] |SZ=}} in der Strecke {{mathl|term= [0,y] |SZ=}} enthalten ist, bzw., dass {{math|term= y |SZ=}} rechts von {{math|term= x |SZ=}} liegt. Für eine rationale Zahl wissen wir, dass ein ganzzahliges {{ Zusatz/Klammer |text=geometrisches| |ISZ=|ESZ= }} Vielfaches davon, also die {{math|term= n |SZ=-}}fache Hintereinanderlegung der Strecke, eine ganze Zahl ergibt. Für zwei rationale Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} gibt es daher eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass sowohl {{ mathkor|term1= nx |als auch|term2= ny |SZ= }} ganzzahlig sind. Damit können wir den Vergleich von rationalen Zahlen auf den Vergleich von ganzen Zahlen zurückführen. Wenn {{ mathkor|term1= x= {{op:Bruch|a|b|}} |und|term2= y= {{op:Bruch|c|d|}} |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= a,c \in \Z |und|term2= b,d \in \N_+ |SZ= }} ist, so kann man {{ Relationskette |n ||bd || || || |SZ= }} nehmen und erhält die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b|}} |\geq| {{op:Bruch|c|d|}} || || || |SZ= }} genau dann, wenn in {{math|term= \Z|SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | ad |\geq|bc || || || |SZ= }} gilt. Hier begegnen wir wieder dem {{Stichwort|Überkreuzungsprinzip|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3eh8h6k3rvn7c7fc7mti3sebaj6caid 0 83208 1092094 980380 2026-06-01T12:51:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092094 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Rationale Zahlen/Brüche/Definition|| }} Einen Ausdruck {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} nennt man Bruch, wobei {{math|term= a |SZ=}} der {{Stichwort|Zähler|SZ=}} und {{math|term= b |SZ=}} der {{Stichwort|Nenner|SZ=}} des Bruches heißt. Eine rationale Zahl wird durch verschiedene Brüche beschrieben und kann mit unterschiedlichen Zählern und Nennern dargestellt werden, beispielsweise ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|5|10}} || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=. }} Man sagt auch, dass diese beiden Brüche gleichwertig sind. Für die rationale Zahl {{math|term= {{op:Bruch|a|1}} |SZ=}} schreibt man einfach {{math|term= a |SZ=.}} In diesem Sinne sind ganze Zahlen insbesondere auch rationale Zahlen. Insbesondere gibt es die Null {{ Relationskette |0 || {{op:Bruch|0|1}} || || || |SZ= }} und die Eins {{ Relationskette |1 || {{op:Bruch|1|1}} || || || |SZ=. }} Es gelten die folgenden Identitäten {{ Zusatz/Klammer |text=dabei seien {{ Relationskette/k | c,d |\neq| 0 || || || |SZ=, }} ansonsten seien {{ Relationskette | a,b,c,d |\in| \Z || || || |SZ= }} beliebig| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1|-1}} ||-1 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|0|c}} || 0 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|c|c}} ||1 || || || |SZ=, }} |{{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|c}} || {{op:Bruch|ad|cd}} || || || |SZ=. }} }} Die Begründung für de Richtigkeit dieser Regeln liegt in der Überkreuzregel. Die letzte Regel heißt {{Stichwort|Erweiterungsregel|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man sie von links nach rechts liest| |ISZ=|ESZ= }} bzw. {{Stichwort|Kürzungsregel|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man sie von rechts nach links liest| |ISZ=|ESZ=. }} Der Wert eines Bruches {{ Zusatz/Klammer |text=also die rationale Zahl, die durch den Bruch festgelegt ist| |ISZ=|ESZ= }} ändert sich also nicht, wenn man sowohl den Zähler als auch den Nenner mit der gleichen, von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen ganzen Zahl multipliziert. Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|-a|-b}} || || || |SZ= }} kann man jede rationale Zahl mit einem positiven Nenner schreiben. Zwei Brüche mit einem gemeinsamen Nenner, also von der Form {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|r}} |und|term2= {{op:Bruch|c|r}} |SZ=, }} heißen {{Stichwort|gleichnamig|msw=Gleichnamige Brüche|SZ=.}} Zwei beliebige Brüche {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|a|b}} |und|term2= {{op:Bruch|c|d}} |SZ= }} kann man gleichnamig machen, indem man sie durch Erweiterung auf einen {{Stichwort|Hauptnenner|SZ=}} bringt. Eine Möglichkeit ist, die beiden Nenner miteinander zu multiplizieren und zu den gleichwertigen Brüchen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|ad|bd}} |und|term2= {{op:Bruch|cb|bd}} |SZ= }} überzugehen. Statt mit {{math|term= bd|SZ=}} kann man mit jedem gemeinsamen Vielfachen der beiden Nenner arbeiten. {{ inputdefinition |Rationale Zahl/Gekürzte Darstellung/Definition|| }} Zu jeder rationalen Zahl gibt es eine gekürzte Darstellung. Wenn man den Nenner positiv wählt, ist diese Darstellung sogar eindeutig. Man erhält sie, indem man in einer beliebigen Darstellung durch den größten gemeinsamen Teiler des Zählers und des Nenners dividiert und das Vorzeichen anpasst. {{ inputdefinition |Stammbruch/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Fußnoten=x |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t35zt4008vh5nhvekaz1d5jfvdugidq 0 83234 1092414 1019417 2026-06-01T13:43:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092414 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir fassen die bisher etablierten algebraischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen in einem eigenen Begriff zusammen. {{ inputdefinition |Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Kommutativer Halbring/Fakt|Korollar|| || }} Neben den natürlichen Zahlen gibt es viele weitere Halbringe, beispielsweise die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=,}} die rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=}} oder die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=.}} Wenn man eine Eigenschaft aus den Gesetzen eines Halbringes erschließen kann, so gilt diese Eigenschaft in jedem Halbring. Sobald man also für eine Struktur gezeigt hat, dass ein Halbring vorliegt, so hat man damit auch automatisch gezeigt, dass diese neue Eigenschaft gilt. Dies ist letztlich ein sehr ökonomisches Vorgehen! Der Preis ist, dass man zusätzliche Begriffe einführen muss und dass man sehr abstrakt argumentieren muss. Wir lassen das Produktzeichen {{math|term= \cdot|SZ=}} häufig weg, wenn das nicht zu Missverständnissen führen kann und wir benutzen allgemein die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass Punktrechnung stärker bindet als Strichrechnung, d.h. wir schreiben einfach {{mathl|term= ab+cd|SZ=}} statt {{mathl|term= (ab)+(cd) |SZ=.}} An weiteren Notationen verwenden wir für ein Halbringelement {{ Relationskette |a |\in|R || || || |SZ= }} und eine positive natürliche Zahl {{ Relationskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} die Schreibweisen {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= n |SZ=-}}tes {{Stichwort|Vielfaches|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=-}}te {{Stichwort|Potenz|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor|term1= na=a {{plusdots|}} a \, \, (n \text{ Summanden}) |und|term2= a^n = a \cdots a \, \, (n \text{ Faktoren}) |SZ=. }} Hier muss man also richtig die Anzahl der Summanden bzw. die Anzahl der Faktoren zählen. Statt {{ Relationskette |n1 ||n 1_R || || || |SZ= }} schreiben wir einfach {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. manchmal {{math|term= n_R|SZ=}}| |SZ=, }} d.h. jede natürliche Zahl findet sich in jedem Halbring wieder. Die Schreibweise {{mathl|term= na|SZ=}} könnte man dann auch als das Produkt {{ Math/display|term= {{makl| 1+1 {{plusdots|}} 1 |}} \cdot a |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= n |SZ=}} Einsen| |ISZ=|ESZ= }} lesen, was aber aufgrund des Distributivgesetzes mit der {{math|term= n |SZ=-}}fachen Summe von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst übereinstimmt. Für {{ Relationskette/display |n || 0 || || || |SZ= }} ist dies jedenfalls als {{mathl|term= 0 \cdot a |SZ=}} im Halbring zu lesen, was nicht ohne weiteres gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sein muss {{ Zusatz/Klammer |text=aber in allen für uns wichtigen Beispielen gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Weiter setzen wir {{ Relationskette/display |a^0 ||1 || || || |SZ=. }} Mit dieser Bezeichnung gilt beispielsweise {{ Relationskette/display |(m+n) a || ma +na || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |(m \cdot n) a || m \cdot (na) || || || |SZ= }} für natürliche Zahlen {{ Relationskette |m,n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=man mache sich klar, was hier jeweils die Multiplikation bezeichnet| |ISZ=|ESZ=. }} Wie bei den natürlichen Zahlen verwenden wir das Summenzeichen {{math|term= \sum|SZ=}} und das Produktzeichen {{math|term= \prod|SZ=.}} Für indizierte Elemente {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} aus {{math|term= R |SZ=}} ist also {{ Relationskette/display |\sum_{i {{=}} 1}^k a_i || a_1 {{plusdots|}} a_k || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |\prod_{i {{=}} 1}^k a_i || a_1 \cdots a_k || || || |SZ=. }} Auch bei einer beliebigen endlichen Indexmenge {{math|term= I |SZ=}} und Elementen {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} verwendet man die Schreibweise {{math|term= \sum_{i \in I} a_i |SZ=}} für die Summe der gegebenen Elemente, die ja wegen der Kommutativität und der Assoziativität nicht von einer Reihenfolge abhängt. Die beiden folgenden extremen Beispiele zeigen, wie verschieden ein Halbring von dem Halbring der natürlichen Zahlen sein kann. Dennoch gelten alle aus den Halbringaxiomen ableitbaren Eigenschaften auch in diesen beiden Beispielen. {{ inputbeispiel |Kommutativer Halbring/Nullring/Beispiel|| }} Nach dem Nullring ist der folgende Ring der zweitkleinste Halbring. {{ inputbeispiel |Kommutativer Halbring/Körper/Zwei Elemente/Beispiel||zusatz1={{{zusatz1|}}}|zusatz2={{{zusatz2|}}} }} Eine {{Anführung|natürliche}} Interpretation dieses Halbringes gewinnt man, wenn man sich die geraden natürlichen Zahlen durch {{math|term= 0 |SZ=}} und die ungeraden natürlichen Zahlen durch {{math|term= 1 |SZ=}} repräsentiert denkt. Beispielsweise ist die Summe zweier ungerader Zahlen stets gerade, was der obigen Gleichung {{ Relationskette |1+1 || 0 || || || |SZ= }} entspricht. Wie oben erwähnt lassen sich in jedem kommutativen Halbring die natürlichen Zahlen eindeutig interpretieren, dabei können aber, wie in den beiden Beispielen, verschiedene Zahlen gleich werden. Im Beispiel wird jede gerade Zahl zu {{math|term= 0 |SZ=}} und jede ungerade Zahl zu {{math|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rt4z2qm11yyc7os9c1n5jd59dk7kok5 0 83288 1092089 1074672 2026-06-01T12:50:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092089 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg|200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies}}, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Relationskette |x |\in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Relationskette |x |\notin|M || || || |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Die wichtigste mathematische Menge ist im Moment für uns die Menge der natürlichen Zahlen {{ Relationskette/display |\N || \{0, 1,2,3, \ldots\} || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. {{ inputdefinition |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N |\subset| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Beispielsweise ist die Menge aller durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbaren natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge aller geraden Zahlen. Bei einer Teilmengenbeziehung sagt man auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Relationskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Im Nachweis, dass {{ Relationskette |N |\subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Relationskette | x |\in| N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Relationskette | x |\in| M |SZ= }} gilt{{ Zusatz/Fußnote |text=In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage {{math|term= \forall x(x \in N \rightarrow x \in M) |SZ=.}}| |ESZ=. }} Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Relationskette | x |\in| N || || || |SZ= }} verwenden. Im Beispiel würde man so argumentieren: {{math|term= x |SZ=}} ist eine durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbare Zahl. Daher kann man {{ Relationskette/display |x ||6 y || || || |SZ= }} mit einer gewissen natürlichen Zahl {{math|term= y |SZ=}} schreiben. Dies kann man als {{ Relationskette/display |x ||6y ||2 (3y) || || || |SZ= }} schreiben, was eben bedeutet, dass {{math|term= x |SZ=}} gerade ist. Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige {{Stichwort|Gleichheitsprinzip für Mengen|SZ=,}} dass {{ Math/display|term= M=N \text{ genau dann, wenn } N \subseteq M \text{ und } M \subseteq N |SZ= }} gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen| |SZ= }} die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass klar die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prinzip, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird. {{Zwischenüberschrift|Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. In der Abgabegruppe {{math|term= H |SZ=}} sind die Personen {{mathl|term= \{ F,Jo,Je, V, Z\} |SZ=.}} Dies sind genau die Personen, die Sonntags im Schwimmbad morgens um {{math|term= 7 |SZ=}} Uhr am Tisch unter der Ulme sitzen. Es handelt sich dann um zwei verschiedene Beschreibungen für die gleiche Menge. Die wichtigste Beschreibung einer Menge ist die durch eine Eigenschaft. Es sei eine Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Menge der natürlichen Zahlen, die Leute im Kurs| |ISZ=|ESZ= }} und ferner eine gewisse Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikat| |SZ=, }} die man auf alle Elemente der Grundmenge sinnvoll anwenden kann und die auf manche Elemente zutrifft, auf manche nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wie gerade zu sein oder sich auf die Weihnachtsferien zu freuen| |ISZ=|ESZ=. }} Zu der Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft, diese Bedingung, erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Relationskette/display | {{Mengebed|x \in M|E(x)}} || {{Mengebed|x \in M|x \text{ besitzt die Eigenschaft } E}} || {{Mengebed|x \in M| E \text{ trifft auf } x \text{ zu} }} || || |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Relationskette/display |G || {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist gerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |U || {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist ungerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |Q || {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist eine Quadratzahl} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {\mathbb P} || {{Mengebed|x \in \N|x \text{ ist eine Primzahl} }} || || || |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Relationskette/display |O || {{Mengebed|x \in K|x \text{ kommt aus Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed|x \in K|x \text{ studiert im Nebenfach evangelische Theologie} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |D || {{Mengebed|x \in K|x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Relationskette/display |K || {{Mengebed|x|x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man beachte, dass sich die ähnlich geformten Symbole {{mathl|term= \cap|SZ=}} und {{math|term= {{logund|}} }} und {{mathl|term= \cup|SZ=}} und {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} entsprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Relationskette |T |\subseteq|G || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Mengenlehre/Komplement/Definition||M=G }} Dafür schreibt man auch {{mathl|term= {{op:Mengenkomplement|T|}} |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display |G || M \cup (M \setminus T) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |M \cap (M \setminus T) || \emptyset || || || |SZ=. }} Beispielsweise ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen. Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt von zwei Mengen leer ist, bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} Wenn Teilmengen durch geeignete Prädikate definiert sind, so stehen die Mengenoperationen unmittelbar in Zusammenhang mit den logischen Operationen für die Prädikate. Wenn {{ Zusatz/Klammer |text=in einer gewissen Grundmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |M || {{Mengebed|x| \alpha (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |L || {{Mengebed|x| \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display |M \cap L || {{Mengebed|x| \alpha(x) \text{ und } \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |M \cup L || {{Mengebed|x| \alpha(x) \text{ oder }\beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |M \setminus L || {{Mengebed|x| \alpha(x) \text{ gilt aber }\beta (x) \text{ gilt nicht} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} kb4h70c732n635adhzaei5kxkd10217 0 83311 1092415 1074691 2026-06-01T13:43:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092415 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zur Definition der Multiplikation verwenden wir wieder das Prinzip, dass man mit natürlichen Zahlen zählen kann. Die Addition haben wir bereits zur Verfü{{drucktrenn}}gung und insbesondere können wir eine natürliche Zahl mit sich selbst addieren. Wir können auch Summen der Form {{ Math/display|term= b+b+b {{plusdots}} b+b |SZ= }} benutzen und können dabei, wegen der Assoziativität der Addition, auf Klammern verzichten. Die Anzahl der Summanden ist dabei eine wohldefinierte natürliche Zahl. Dies nehmen wir zur Grundlage für die Multiplikation{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man beachte, dass hier die erste Zahl angibt, wie oft die zweite Zahl mit sich selbst zu addieren ist. Bei der Definition der Addition gibt gemäß unserer Definition die zweite Zahl an, wie oft von der ersten Zahl ausgehend der Nachfolger zu nehmen ist. Bei der Potenzierung gibt wiederum die zweite hochgestellte Zahl an, wie oft die erste untenstehende Zahl mit sich selbst zu multiplizieren ist. Es gibt hier also keine einheitliche Reihenfolge, welche Zahl die Anzahl der Prozesse festlegt. In der Multiplikation soll die erste Zahl die Prozesse zählen, weil man drei Kühe sagt und nicht Kühe drei| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Definition||ref1= }} Wichtig ist hier, dass {{math|term= a |SZ=}} die Anzahl der Summanden angibt, also wie oft {{math|term= b |SZ=}} zu nehmen ist, und nicht die Anzahl der Additionen {{ Zusatz/Klammer |text=die Anzahl des Pluszeichens| |ISZ=|ESZ=, }} die dabei auszuführen sind. Diese Anzahl ist um eins kleiner. Es spricht aber auch einiges dafür, dass man von {{math|term= 0 |SZ=}} ausgeht und dazu dann {{math|term= a |SZ=-}}fach die Operation {{math|term= +b|SZ=}} durchführt. Dann hat man {{ Math/display|term= 0 +b +b {{plusdots|}} b+b |SZ= }} und {{math|term= a |SZ=-}}fach den gleichen Prozess. Die beiden Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} heißen {{Stichwort|Faktoren|msw=Faktor|SZ=,}} das Ergebnis heißt das {{Stichwort|Produkt|SZ=,}} die Verknüpfung heißt {{Stichwort|Multiplikation|SZ=.}} {{ inputbild |Tpitagoras|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=webmaster del sitio |Benutzer=Liraca |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wenn man die Addition beherrscht, so ist es einfach, die Multiplikation auszuführen und eine Tabelle für kleine Zahlen aufzustellen. Die Multiplikationstabelle für zwei Zahlen zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 10 |SZ=, }} das sogenannte {{Stichwort|kleine Einmaleins|msw=Kleines Einmaleins|SZ=}} lässt sich so erstellen {{ Zusatz/Klammer |text=auch in anderen Systemen| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann dann grundsätzlich sämtliche Multiplikationen im Zehnersystem darauf zurückführen, was im schriftlichen Multiplizieren ausgenutzt wird{{{zusatz2|.}}} Um große Zahlen effektiv miteinander multiplizieren zu können, muss man das kleine Einmaleins auswendig kennen. Eigentlich sollte man die {{math|term= 10 |SZ=}} aus dem kleinen Einmaleins herausnehmen, da die Zehnerreihe sich im Dezimalsystem auf kleinere Rechungen zurückführen lässt. Für die soeben eingeführte Multiplikation möchte man die vertrauten Eigenschaften wie beispielsweise die Kommutativität etablieren. Dies geschieht in folgendem Lemma. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Es gilt insbesondere {{ Relationskette | 0 \cdot n || 0 || || || |SZ= }} und die rekursive Beziehung {{ Relationskette/display | n^\prime \cdot k ||n \cdot k + k || || || |SZ=. }} Diese Eigenschaft nennen wir die {{Stichwort|Anreihungsregel|msw=|SZ=,}} sie ist ein Spezialfall des Distributivgesetzes. Ihre inhaltliche Bedeutung ist, dass sich die Anzahl der Elemente in einer Produktmenge {{ Zusatz/Klammer |text=Tabelle| |ISZ=|ESZ= }} mit {{math|term= n |SZ=}} Reihen und {{math|term= k |SZ=}} Spalten um {{math|term= k |SZ=}} erhöht, wenn man eine zusätzliche Reihe anlegt. Diese beiden Eigenschaften legen bereits die Multiplikationsverknüpfung eindeutig fest. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Rekursive Bedingung/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} j13prijzdns2pb66ag9eb7jegy4jsgf 0 83399 1092006 984448 2026-06-01T12:36:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092006 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt {{ Faktlink |Präwort=im|allgemeinen Distributivgesetz|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt |Nr= |SZ=. }} Für zwei natürliche Zahlen der Form {{ Mathkor/display|term1= m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |und|term2= n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell}10^{\ell} |SZ= }} ist {{ Relationskette/align/handlinks |m \cdot n || {{makl| a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |}} \cdot {{makl| b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell}10^{\ell} |}} || \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i} \cdot 10^{j} || \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i + j} || \sum_{s {{=}} 0}^{k + \ell} {{makl| \sum_{i {{=}} 0}^{ k} a_i b_{s-i} |}} 10^s |SZ=. }} Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 0}^{ k} a_i b_{s-i} |SZ=}} nicht kleiner als {{math|term= 10 |SZ=,}} aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren. {{ inputverfahren |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl {{ Relationskette |n ||b_0 || || || |SZ= }} einstellig ist {{ Zusatz/Klammer |text=sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt| |ISZ=|ESZ=. }} Diesen Fall betrachten wir zuerst. {{ inputfaktbeweis{{{zusatz2|}}} |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt|Lemma|| || }} Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf die Überträge bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt|Lemma|| || }} Der Übertrag {{math|term= b-1 |SZ=}} tritt in der Tat auf, wie die Multiplikation der {{math|term= 9 |SZ=}} mit {{math|term= b |SZ=}} zeigt. {{ inputbeispiel |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/3/Fortsetzung des Übertrages/Beispiel|| }} Im Gegensatz zur Multiplikation mit der {{math|term= 3 |SZ=}} ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der {{math|term= 10 |SZ=,}} also mit {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5 |SZ=, }} besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die {{math|term= i |SZ=-}}te Ziffer des Produktes einer Zahl {{math|term= m |SZ=}} mit der {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder der {{math|term= 5 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auszurechnen, muss man nur die {{math|term= i |SZ=-}}te und die {{mathl|term= (i-1) |SZ=-}}te Ziffer der Zahl {{math|term= m |SZ=}} kennen. {{ inputbemerkung |Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung|| }} Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach. {{ inputfaktbeweis |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Zehnerpotenz als Faktor/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3fddcra258vqeb7xtxk4st9z9out854 1092636 1092006 2026-06-01T14:19:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092636 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt {{ Faktlink |Präwort=im|allgemeinen Distributivgesetz|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt |Nr= |SZ=. }} Für zwei natürliche Zahlen der Form {{ Mathkor/display|term1= m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |und|term2= n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell}10^{\ell} |SZ= }} ist {{ Relationskette/align/handlinks |m \cdot n || {{makl| a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k}10^{k} |}} \cdot {{makl| b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell}10^{\ell} |}} || \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i} \cdot 10^{j} || \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i + j} || \sum_{s {{=}} 0}^{k + \ell} {{makl| \sum_{i {{=}} 0}^{ k} a_i b_{s-i} |}} 10^s |SZ=. }} Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 0}^{ k} a_i b_{s-i} |SZ=}} nicht kleiner als {{math|term= 10 |SZ=,}} aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren. {{ inputverfahren |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Verfahren||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl {{ Relationskette |n ||b_0 || || || |SZ= }} einstellig ist {{ Zusatz/Klammer |text=sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt| |ISZ=|ESZ=. }} Diesen Fall betrachten wir zuerst. {{ inputfaktbeweis{{{zusatz2|}}} |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt|Lemma|| || }} Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf die Überträge bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt|Lemma|| || }} Der Übertrag {{math|term= b-1 |SZ=}} tritt in der Tat auf, wie die Multiplikation der {{math|term= 9 |SZ=}} mit {{math|term= b |SZ=}} zeigt. {{ inputbeispiel |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/3/Fortsetzung des Übertrages/Beispiel|| }} Im Gegensatz zur Multiplikation mit der {{math|term= 3 |SZ=}} ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der {{math|term= 10 |SZ=,}} also mit {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5 |SZ=, }} besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die {{math|term= i |SZ=-}}te Ziffer des Produktes einer Zahl {{math|term= m |SZ=}} mit der {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder der {{math|term= 5 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auszurechnen, muss man nur die {{math|term= i |SZ=-}}te und die {{mathl|term= (i-1) |SZ=-}}te Ziffer der Zahl {{math|term= m |SZ=}} kennen. {{ inputbemerkung |Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung|| }} Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach. {{ inputfaktbeweis |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Zehnerpotenz als Faktor/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7kabbmxmkb27hs9obtxmz0sg7n1w1z5 0 83553 1092600 984247 2026-06-01T14:13:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092600 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei einer {{Stichwort|Ungleichung|SZ=}} handelt es sich um einen Ausdruck der Form {{ Relationskette/display |f(x) | \geq|g(x) || || || |SZ=, }} wobei {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} Ausdrücke in der einen Variablen {{math|term= x |SZ=}} sind. Statt Ungleichung ist eigentlich die Bezeichnung {{Stichwort|Abschätzung|SZ=}} besser. Wie eine Gleichung bezieht sich eine solche Ungleichung auf eine Grundmenge {{math|term= M |SZ=,}} typischerweise ein Zahlenbereich mit einer {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=| |SZ=, }} in der die Ausdrücke {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} und das {{math|term= \geq|SZ=}} sinnvoll interpretiert werden können. Unter einer Lösung der Ungleichung versteht man ein {{ Relationskette | a |\in| M || || || |SZ=, }} das die Bedingung {{ Relationskette/display |f(a) |\geq|g(a) || || || |SZ= }} erfüllt. Unter der {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}} zur Ungleichung versteht man die Menge aller Lösungen, also die Menge {{ Math/display|term= {{Mengebed|a \in M|f(a) \geq g(a)}} |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Ungleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1n5an9fufcfv8dxf1rsomzia4e71xss 0 83603 1092281 902387 2026-06-01T13:20:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092281 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir haben schon{{{zusatz1|}}} für die intuitiv bekannten natürlichen Zahlen ein Axiomensystem eingeführt, das speziell auf die natürlichen Zahlen zugeschnitten war und das sogar die Eigenschaft besitzt, dass es die natürlichen Zahlen in dem Sinne charakterisiert, das je zwei Strukturen {{ Zusatz/Klammer |text=je zwei Modelle| |ISZ=|ESZ=, }} die dieses Axiomensystem erfüllen, zueinander in eine eindeutige Beziehung gebracht werden können, also im Wesentlichen gleich sind {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Zählen/Nachfolgerabbildung/Isomorphie/Fakt |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} In dieser Vorlesung werden wir eine andere Art von {{Stichwort|Axiomensystem|SZ=}} kennenlernen, wie sie in der Mathematik typisch ist. Man fasst verschiedene strukturelle Eigenschaften, die in einem bestimmten Kontext immer wieder auftauchen, in einen neuen Begriff zusammen. Das Ziel ist dabei, weitere Eigenschaften aus einigen wenigen Grundeigenschaften logisch zu erschließen. Man argumentiert dann nicht auf der Ebene vertrauter Beispiele, wie der natürlichen Zahlen, sondern auf der Ebene der Eigenschaften. Der Gewinn ist dabei, dass man mathematische Schlüsse nur einmal auf der abstrakten Ebene der Eigenschaften durchführen muss und diese dann für alle Modelle gelten, die die jeweiligen Grundeigenschaften erfüllen, also unter den Begriff fallen. Zugleich erkennt man logische Abhängigkeiten und Hierarchien zwischen Eigenschaften, die häufig auch im Lernprozess versteckt vorliegen und auch eine gewisse Orientierung für die Didaktik geben, selbst wenn nicht axiomatisch argumentiert wird. In diesem Sinne werden wir im Laufe der Vorlesung die Begriffe Halbringe, Ringe, Gruppen und Körper kennenlernen {{ Zusatz/Klammer |text=auch der Ordnungsbegriff ist ein axiomatischer Begriff| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Axiomatik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hp74g3145dn41jymzhtgb9fypwy97b0 0 83620 1092615 984332 2026-06-01T14:16:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092615 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir führen nun die Addition und die Multiplikation von natürlichen Zahlen ein. Dabei müssen wir uns kurz klar machen, um was für ein Objekt es sich überhaupt handelt. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=der Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist hier auch erlaubt, dass die beiden Zahlen gleich sind. Dann könnte man sich an dem Wort zwei stören, da ja dann nur eine Zahl vorliegt. In einem solchen Zusammenhang sind die Zahlangaben so zu verstehen, dass sie zählen, wie oft eine Zahl aufgerufen wird| |ISZ=.|ESZ= }} natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine neue Zahl, ihre Summe {{mathl|term= a+b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ihr Produkt {{mathlk|term=a\cdot b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zugeordnet. Weiter ober haben wir schon aus zwei Mengen ihre Vereinigung bzw. ihren Durchschnitt gebildet. Für diese Situationen gibt es das Konzept der Verknüpfung. Um dies angemessen formulieren zu können, benötigen wir die Produktmenge. {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term= (x,y) |SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponenten|msw=Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Reelle Intervalle und Rechtecke/Beispiel|| }} Man kann auch mehrfache Produktmengen bilden, wie etwa {{ Relationskette |\R^ 3 ||\R \times \R \times \R || || || |SZ=. }} Für eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R || |SZ= }} ist der Graph diejenige Teilmenge von {{ Relationskette |\R \times \R |\cong| \R^ 2 || || || |SZ=, }} die durch alle Paare der Form {{mathl|term= (x,f(x)) |SZ=}} gegeben sind. Diese Definition überträgt sich auf beliebige Abbildungen. Es existiert also stets ein Graph unabhängig von seiner zeichnerischen Realisierbarkeit. {{ inputdefinition |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Statt Verknüpfung sagt man auch {{Stichwort|Operation|SZ=.}} Das Verknüpfungszeichen {{math|term= \circ|SZ=}} ist hier einigermaßen willkürlich gewählt, um vorschnelle Assoziationen zu vermeiden. In vielen konkreten Situation steht hier {{ mathkor|term1= + |oder|term2= \cdot |SZ=. }} Das {{Anführung|neue}} Element {{mathl|term= x \circ y |SZ=}} heißt dann auch das {{Stichwort|Ergebnis|SZ=}} der Operation. Da das Ergebnis wieder zur Ausgangsmenge {{math|term= M |SZ=}} gehört, kann man es weiter verknüpfen mit weiteren Elementen. Dies erfordert im Allgemeinen Klammerungen, um zu wissen, in welcher Reihenfolge welche Elemente miteinander verknüpft werden sollen. Im Allgemeinen ist {{ Relationskette/display |a \circ (b \circ c) |\neq| (a \circ b) \circ c || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das {{Stichwort|Assoziativgesetz|SZ=}} oder die {{Stichwort|Klammerregel|SZ=}} gilt. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das {{Stichwort|Kommutativgesetz|SZ=}} oder das {{Stichwort|Vertauschungsgesetz|SZ=}} gilt. Die Addition und die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen sind beide assoziativ und kommutativ. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} Bei der Addition auf den natürlichen Zahlen ist {{math|term= 0 |SZ=}} das neutrale Element und bei der Multiplikation auf den natürlichen Zahlen ist {{math|term= 1 |SZ=}} das neutrale Element. Deshalb ist es in der abstrakten Formulierung sinnvoll, eine unbelastete Bezeichnung zu wählen. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, so muss man die Eigenschaft des neutralen Elementes nur von einer Seite überprüfen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3re2ne10b6zvzlff3gaosce39nyy37v 0 83672 1092247 1018963 2026-06-01T13:15:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092247 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Zifferndarstellung von natürlichen Zahlen überträgt sich direkt auf ganze Zahlen, wobei die Zifferndarstellung einer negativen Zahl {{ Relationskette/display |n ||-k || || || |SZ= }} einfach die Zifferndarstellung von {{math|term= k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also der im Betrag genommenen Zahl| |ISZ=|ESZ= }} mit einem Minuszeichen davor ist. Für die schriftliche Durchführung des Addierens, des Multiplizierens und des Subtrahierens geht man abhängig davon vor, ob die beteiligten Zahlen beide positiv, beide negativ oder ob eine positiv, eine negativ ist. Wenn beide positiv sind werden die Verfahren für natürliche Zahlen direkt angewendet. Die Korrektheit der folgenden Regeln beruht auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Vorzeichen/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} und der Korrektheit der schriftlichen Operationen innerhalb der natürlichen Zahlen. Zur Addition {{ Aufzählung2 |Wenn beide Zahlen negativ sind, so nimmt man den Betrag der beiden Zahlen, addiert diese und nimmt davon das Negative. |Wenn eine Zahl positiv ist und eine negativ ist, so zieht man von der betragsmäßig größeren Zahl die betragsmäßig kleinere Zahl ab. Wenn die positive Zahl betragsmäßig größer ist, so hat man die Lösung, wenn die negative Zahl betragsmäßig größer ist, so muss man das Errechnete negieren. }} Zur Multiplikation {{ Aufzählung2 |Wenn beide Zahlen negativ sind, so multipliziert man einfach die Beträge der beiden Zahlen miteinander. |Wenn eine Zahl positiv ist und eine negativ ist, so multipliziert man ebenfalls die Beträge miteinander und nimmt dieses Ergebnis negativ. }} Die Subtraktion fasst man als Addition mit eventuell negativen Zahlen auf. Wenn eine ganze Zahl in der Form {{ Relationskette/display |n ||c_k 10^k + c_{k-1} 10^k {{plusdots|}} c_2 10^2 + c_1 10^1 + c_0 10^0 || || || |SZ= }} gegeben ist, wobei die {{math|term= c_i |SZ=}} beliebige ganze Zahlen sind, so kann man nicht unmittelbar die zugehörige Dezimalentwicklung ablesen, da dies wesentlich davon abhängt, ob die Zahl positiv oder negativ ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für ganze Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i7ar1lms8ao2jli32muuun91jgzses4 0 83689 1092168 1074565 2026-06-01T13:03:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092168 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Domen-indukto|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Eine Visualisierung des Induktionsprinzips. Wenn die Steine nah beieinander stehen und der erste umgestoßen wird, so fallen alle Steine um. |Autor=Joachim Mohr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die folgende Aussage und ihr Beweis begründen das Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=.}} Wir schreiben {{mathl|term= n+1 |SZ=}} für den Nachfolger. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz|| }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= A(0) |SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term= A(n) |SZ=}} auf {{mathl|term= A(n+1) |SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=}} oder {{Stichwort|Induktionsschritt|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term= A(n) |SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term= A(n) |SZ=}} erst für {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} für ein gewisses {{math|term= n_0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term= A(n_0) |SZ=}} und den Induktionsschritt führt man für alle {{ Relationskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. Um dieses Beweisprinzip anhand von substantiellem Material demonstrieren zu können, greifen wir etwas vor und setzen die Addition, die Multiplikation und die Größergleichrelation von natürlichen Zahlen voraus. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das {{Stichwort|Summenzeichen|SZ=.}} Für gegebene {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche, reelle| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen typischerweise die {{math|term= a_k |SZ={{{zusatz1|}}}|}} in einer formelhaften Weise von {{math|term= k |SZ=}} ab. Entsprechend ist das {{Stichwort|Produktzeichen}} definiert, nämlich durch {{ Relationskette/display | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} Aussagen, die durch Induktion bewiesen werden können, können manchmal auch auf andere Art bewiesen werden. Im vorstehenden Beispiel gibt es die elegantere und einsichtigere Lösung, die Zahlen einmal aufsteigend und einmal absteigend untereinander hinzuschreiben, also {{ Math/display|term= 1 \, \,\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, 2\, \, \, \,\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,3 \, \, \, \, \ldots \, \, \, \, n-2 \, \, \, \, n-1\, \, \, \, n |SZ= }} {{ Math/display|term= n\, \, \, \, \, n-1 \, \, \, \, \, \, n-2 \, \,\, \, \ldots \, \,\, \, 3\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, 1 |SZ= }} Spaltenweise ergibt sich {{mathl|term= n+1 |SZ=,}} und diese Summe kommt {{math|term= n |SZ=-}}mal vor. Also ist {{ Relationskette/display |2 {{makl| \sum_{i{{=}} 1}^n i |}} || n {{makl| n+1 |}} || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|| }} Aus dem Induktionsprinzip folgt die nächste wichtige Eigenschaft. Vom intuitiven Standpunkt her ist sie selbstverständlich, wir führen sie aber trotzdem auf das Induktionsprinzip zurück. Es geht in diesem Beweis weniger dadrum, sich über die Satzaussage zu vergewissern, sondern vielmehr Einblicke in mathematisches Argumentieren zu gewinnen. Es ist auch ein Beispiel dafür, wie man eine Aussage über Teilmengen zu einer Aussage über natürliche Zahlen macht, um das Induktionsprinzip anwenden zu können.{{{zusatz2|}}} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cqc2znrpllje07sux8d9kzj1ruadyfh 0 83843 1092139 981176 2026-06-01T12:58:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092139 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine {{Stichwort|Aussage|SZ=}} ist ein sprachliches Gebilde, das {{Stichwort|wahr|SZ=}} oder {{Stichwort|falsch|SZ=}} sein kann{{ Zusatz/Fußnote |text=Statt {{Anführung|wahr}} sagt man auch, dass die Aussage {{Stichwort|gilt|SZ=}} oder dass sie {{Stichwort|richtig|SZ=}} ist, statt {{Anführung|falsch}} auch, dass sie nicht gilt.| |ESZ=. }} Es ist durchaus erlaubt, dass man nicht entscheiden kann, ob die Aussage wahr oder falsch ist, weil man dazu Zusatzinformationen benötigt. Wichtig ist allein, dass die Prädikate wahr und falsch sinnvolle Prädikate des Gebildes aufgrund seiner syntaktischen und semantischen Gestalt sind. Die Bedingung der Bedeutungsklarheit wird von natürlich-sprachlichen Aussagen selten erfüllt. Nehmen wir z.B. den Satz {{Beispielsatz|Dieses Pferd ist schnell|SZ=.}} Einerseits haben wir keine Information, um welches Pferd es sich handelt, von dem da die Rede ist, und die Gültigkeit der Aussage hängt vermutlich davon ab, welches Pferd gemeint ist. Andererseits ist die Bedeutung von {{Anführung|schnell}} nicht so fest umrissen, dass, selbst wenn es klar wäre, um welches Pferd es sich handelt, vermutlich Uneinigkeit herrscht, ob es als schnell gelten soll oder nicht. Weitere alltagssprachliche Aussagen sind {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Heinz Ngolo und Mustafa Müller sind Freunde|SZ=.}} In der natürlichen Sprache besteht die Möglichkeit, durch Zusatzinformationen, Kontextbezug, intersubjektive Vereinbarungen und kommunikative Bedeutungsangleichungen eine Gesprächssituation zu erzeugen, in der man über die Gültigkeit von solchen nicht scharf definierten Aussagen weitgehende Einigkeit erzielen kann. In der Logik und in der Mathematik hingegen sind diese praktischen Notlösungen nicht erlaubt, sondern die Bedeutung einer Aussage soll allein aus der Bedeutung der in ihr verwendeten Begriffe erschließbar sein, wobei diese Begriffe zuvor klar und unmissverständlich definiert worden sein müssen. Einige mathematische Aussagen {{ Zusatz/Klammer |text=egal ob wahr oder falsch| |SZ= }} sind {{Beispielsatz| {{ Relationskette | 5 |>| 3 || || || |SZ=. }} }} {{Beispielsatz| {{ Relationskette | 5 |<| 3 || || || |SZ=. }} }} {{Beispielsatz|5 ist eine natürliche Zahl|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist {{ Relationskette |7+5 ||13 || || || |SZ=. }}|}} {{Beispielsatz|Primzahlen sind ungerade|SZ=.}} {{Beispielsatz|Die minimale Darstellung eines Geldbetrages durch die Eurozahlen ist eindeutig|SZ=.}} Wenn man diese Aussagen versteht, und insbesondere die in ihnen verwendeten Begriffe und Symbole kennt, so sieht man, dass es sich um Aussagen handelt, die entweder wahr oder falsch sind, und zwar unabhängig davon, ob der Leser weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Ob ein sprachliches Gebilde eine Aussage ist hängt nicht vom Wissen, ob sie wahr oder falsch ist, oder vom Aufwand ab, mit dem man durch zusätzliches Nachforschen, durch Experimente oder durch logisch-mathematisches Überlegen entscheiden könnte, ob sie wahr oder falsch ist. Bei den folgenden Beispielen handelt es sich zwar um mathematische Objekte, aber nicht um Aussagen: {{Beispielsatz|5}} {{Beispielsatz|5+11}} {{Beispielsatz|Die Menge der Primzahlen}} {{Beispielsatz|{{math|term= A \cap B |SZ=}} }} {{Beispielsatz|Eine Summe von fünf Quadraten}} {{Beispielsatz|{{math|term= \int_a^b f(t)dt|SZ=.}} }} Statt uns jetzt mit konkreten Aussagen auseinander zu setzen, nehmen wir im Folgenden den strukturellen Standpunkt ein, dass eine Aussage eine Aussagenvariable {{math|term= p |SZ=}} ist, die einen der beiden {{Stichwort|Wahrheitswerte|msw=Wahrheitswert|SZ=}} wahr oder falsch annehmen kann. Zunächst interessiert uns dann, wie sich diese Wahrheitsbelegungen bei einer Konstruktion von neuen Aussagen aus alten Aussagen verhalten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gbd0oo9kxcb9d87a3oqe0ii2hubgwys 0 83845 1092143 956894 2026-06-01T12:59:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092143 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Um sich die Abhängigkeiten von zusammengesetzten Aussagen allein von den einzelnen Wahrheitsgehalten der beteiligten Teilaussagen und den Junktoren, nicht aber von den konkreten Aussagen und ihren Bedeutungen klarer zu machen, ist es sinnvoll, mit {{Stichwort|Aussagenvariablen|msw=Aussagenvariable|SZ=}} zu arbeiten und die Junktoren durch Symbole zu repräsentieren. Für Aussagen schreiben wir jetzt {{ Math/display|term= p,q, \ldots |SZ=, }} und wir interessieren und also nicht für den Gehalt von {{math|term= p |SZ=,}} sondern lediglich für die möglichen Wahrheitswerte {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Belegungen|msw=Belegung|SZ=}} | |SZ= }} von {{math|term= p |SZ=,}} die wir mit {{math|term= w |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= wahr| |SZ= }} oder {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falsch| |SZ= }} bezeichnen {{ Zusatz/Klammer |text=gelegentlich verwendet man auch die Wahrheitswerte {{ mathkor/k|term1= 1 |und|term2= 0 |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei der {{Stichwort|Negation|SZ=}} werden einfach die Wahrheitswerte vertauscht, was man mit einer einfachen {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} ausdrückt: {{Wahrheitstabelle/1|Negation|\neg p |f|w}} Bei einer konkreten Aussage gibt es in der Regel mehrere sprachliche Möglichkeiten, die Negation zu formulieren. Um die Aussage {{Anführung|ich fresse einen Besen}} zu negieren, ist es egal, ob man sagt: {{Beispielsatz|Ich fresse nicht einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse keinen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist nicht der Fall, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es trifft nicht zu, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} Die Negation wirkt auf eine einzelne Aussage, man spricht von einem {{Stichwort|einstelligen Operator|msw=Einstelliger Operator|SZ=.}} Kommen wir nun zu {{Stichwort|mehrstelligen Operatoren|msw=Mehrstelliger Operator|SZ=,}} die von mindestens zwei Aussagen abhängen. Bei der Verknüpfung von zwei Aussagen gibt es insgesamt vier mögliche Kombinationen der Wahrheitswerte, sodass jede logische Verknüpfung dadurch festgelegt ist, wie sie diesen vier Kombinationen einen Wahrheitswert zuordnet. Daher gibt es insgesamt {{math|term= 16 |SZ=}} logische Verknüpfungen, die wichtigsten sind die folgenden vier. Die {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} ist die {{Stichwort|Und-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind; sie ist also falsch, sobald nur eine der beteiligten Aussagen falsch ist. Die {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} der Konjunktion sieht so aus. {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion|p {{logund|}} q|w|f|f|f}} Die {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Alternation|SZ=}}| |SZ= }} ist die einschließende {{Stichwort|Oder-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist wahr sobald mindestens eine der Teilaussagen wahr ist, und insbesondere auch dann wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind. Sie ist nur in dem einzigen Fall falsch, dass beide Teilaussagen falsch sind. Offensichtlich sind bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die beteiligten Teilaussagen gleichberechtigt. {{Wahrheitstabelle/2/1|Disjunktion|p {{logoder|}} q |w|w|w|f}} Die {{Stichwort|Implikation|SZ=}} ist die in der Mathematik wichtigste Verknüpfung. Mathematische Sätze haben fast immer die Gestalt einer {{ Zusatz/Klammer |text=verschachtelten| |SZ= }} Implikation. Der logische Gehalt einer Implikation ist, dass aus der Gültigkeit einer {{Stichwort|Voraussetzung|SZ=}} die Gültigkeit einer {{Stichwort|Konklusion|SZ=}} folgt{{ Zusatz/Fußnote |text=Genauer gesagt haben mathematische Sätze fast immer die Gestalt {{math|term= p_1 {{logund|}} p_2 {{logunddots|}} p_n \rightarrow q |SZ=.}}| |ESZ=. }} Sie wird meistens durch {{Anführung|Wenn {{math|term= p |SZ=}} wahr ist, dann ist auch {{math|term= q |SZ=}} wahr}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder kurz: Wenn {{math|term= p |SZ=,}} dann {{math|term= q |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ausgedrückt. Ihre Wahrheitsbedingung ist daher, dass wenn {{math|term= p |SZ=}} mit wahr belegt ist, dann muss auch {{math|term= q |SZ=}} mit wahr belegt sein. Dies ist erfüllt, wenn {{math|term= p |SZ=}} falsch ist oder wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist{{ Zusatz/Fußnote |text=An die Wahrheitsbelegung einer Implikation für den Fall, wo der Vordersatz falsch ist, muss man sich etwas gewöhnen. Der Punkt ist, dass wenn man eine Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} beweist, dass man dann {{math|term= p |SZ=}} als wahr annimmt und davon ausgehend zeigen muss, dass auch {{math|term= q |SZ=}} wahr ist. Der Fall, dass {{math|term= p |SZ=}} falsch ist, kommt also in einem Implikationsbeweis gar nicht explizit vor. In diesem Fall gilt die Implikation, obwohl sie keine {{Anführung|Schlusskraft}} besitzt. Nehmen wir als Beispiel die mathematische Aussage, dass wenn eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch vier teilbar ist, sie dann gerade ist. Dies ist eine wahre Aussage für alle natürlichen Zahlen, sie gilt insbesondere auch für alle Zahlen, die {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} durch vier teilbar sind. Es gibt auch jeweils für alle drei Wahrheitsbelegungen, die eine Implikation wahr machen, Beispiele von natürlichen Zahlen, die genau diese Wahrheitsbelegung repräsentieren, nicht aber für die vierte| |ISZ=. |ESZ=. }} Ihre Wahrheitstabelle ist daher {{Wahrheitstabelle/2/1|Implikation|p \rightarrow q|w|f|w|w}} Bei einer Implikation sind die beiden beteiligten Teilaussagen nicht gleichberechtigt, die Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} sind verschiedene Aussagen. Eine Implikation hat also eine {{Stichwort/anf|Richtung|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Bei einer Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} sagt man auch, dass {{math|term= p |SZ=}} eine {{Stichwort|hinreichende Bedingung|SZ=}} für {{math|term= q |SZ=}} und dass {{math|term= q |SZ=}} eine {{Stichwort|notwendige Bedingung|SZ=}} für {{math|term= p |SZ=}} ist. Siehe dazu auch die Wahrheitstabelle zur Kontraposition weiter unten.| |ESZ=. }} Im allgemeinen Gebrauch und auch in der Mathematik werden Implikationen zumeist dann verwendet, wenn der Vordersatz der {{Anführung|Grund|}} für die Konklusion ist, wenn die Implikation also einen kausalen Zusammenhang ausdrückt. Diese Interpretation spielt aber im aussagenlogischen Kontext keine Rolle. Wenn die beiden Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} zugleich gelten, so wird das durch {{Anführung|genau dann ist {{math|term= p |SZ=}} wahr, wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist}} ausgedrückt. Man spricht von einer {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} der beiden Aussagen, die Wahrheitstabelle ist {{Wahrheitstabelle/2/1|Äquivalenz|p \leftrightarrow q|w|f|f|w}} Beispiele für eine mathematische Äquivalenzaussage sind: {{Beispielsatz|Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} ist genau dann gerade, wenn sie im Zehnersystem auf {{mathl|term= 0,2,4,6 |SZ=}} oder {{math|term= 8 |SZ=}} endet|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es eine Seite gibt, deren Quadrat gleich der Summe der beiden anderen Seitenquadrate ist|SZ=.}} Die Hinrichtung im zweiten Beispielsatz ist dabei der Satz des Pythagoras, die Rückrichtung gilt aber auch. Achtung: In gewissen Kontexten werden Äquivalenzen als Implikationen formuliert. Dies gilt beispielsweise für Belohnungen, Bestrafungen und auch in mathematische Definitionen. Wenn man sagt: {{Anführung|wenn du nicht durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilst, bekommst du ein Gummibärchen|SZ=,}} so meint man in aller Regel, dass man auch nur dann eines bekommt, aber nicht, wenn man durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilt. Mathematische Definitionen wie {{Anführung|eine Zahl heißt gerade, wenn sie ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist|SZ=,}} sind als genau dann, wenn zu verstehen. Unter Verwendung der Negation kann man jede logische Verknüpfung durch die angeführten Verknüpfungen ausdrücken, wobei man noch nicht mal alle braucht. Z.B. kann man die Konjunktion {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Implikation und die Äquivalenz| |SZ= }} auf die Disjunktion zurückführen, die Wahrheitstabelle{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Folgenden verwenden wir, um Klammern zu sparen, die Konvention, dass die Negation stärker bindet als alle mehrstelligen Junktoren, und dass die Konjunktion stärker bindet als die anderen zweistelligen Junktoren.| |SZ= }} {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion als Disjunktion|\neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} zeigt nämlich, dass die Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |SZ=}} mit der Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= p {{logund|}} q |SZ=}} übereinstimmt. Daher sind die beiden Ausdrücke logisch gleichwertig. Bei einem solchen nur leicht verschachtelten Ausdruck kann man die Wahrheitswerte noch einfach berechnen und damit die Wahrheitsgleichheit mit der Konjunktion feststellen. Bei komplizierteren {{ Zusatz/Klammer |text=tiefer verschachtelten| |SZ= }} Ausdrücken ist es sinnvoll, abhängig von den Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen die Wahrheitswerte der Zwischenausdrücke zu berechnen. Im angegebenen Beispiel würde dies zur Tabelle {{Wahrheitstabelle/2/4|Konjunktion als Disjunktion|\neg p | f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg p {{logoder|}} \neg q |f|w|w|w| \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} führen. Natürlich kann man statt zwei auch beliebig viele Aussagenvariablen verwenden und daraus mit den Verknüpfungen neue Aussagen konstruieren. Die Wahrheitsbelegung der zusammengesetzten Aussagen lassen sich dann ebenfalls in entsprechend größeren Wahrheitstabellen darstellen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2r90esj6idqlbnny4gx3xfb49rj27g6 0 83846 1092141 956892 2026-06-01T12:58:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092141 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei Einzelaussagen und zusammengesetzten Aussagen ist jeder Wahrheitswert erlaubt, und die Wahrheitswerte bei den verknüpften Aussagen ergeben sich aus den Einzelbelegungen über die Wahrheitsregeln, die die Junktoren auszeichnen. Abhängig von den Belegungen können somit alle Aussagen wahr oder falsch sein. Besonders interessant sind aber solche Aussagen, die unabhängig von den Einzelbelegungen stets wahr sind. Solche Aussagen nennt man {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|allgemeingültig|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sie sind für die Mathematik vor allem deshalb wichtig, weil sie erlaubten Schlussweisen entsprechen, wie sie in Beweisen häufig vorkommen. Wenn man beispielsweise schon die beiden Aussagen {{ mathkor|term1= p |und|term2= p \rightarrow q |SZ= }} bewiesen hat, wobei hier {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} für konkrete Aussagen stehen, so kann man daraus auf die Gültigkeit von {{math|term= q |SZ=}} schließen. Die zugrunde liegende aussagenlogische Tautologie ist {{ Math/display|term= (p {{logund}} ( p \rightarrow q)) \rightarrow q |SZ=. }} Wie gesagt, eine Tautologie ist durch den konstanten Wahrheitswert wahr gekennzeichnet. Der Nachweis, dass eine gegebene Aussage eine Tautologie ist, verläuft am einfachsten über eine Wahrheitstabelle. {{Wahrheitstabelle/2/3|{{Stichwort|Ableitungsregel|SZ=}}&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Modus ponens|SZ=}}| |SZ= }}| p \rightarrow q | w|f|w|w|p {{logund}} ( p \rightarrow q) |w|f|f|f| (p {{logund}} ( p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/3|Doppelnegation| \neg p |f|w | \neg (\neg p) |w|f| p \leftrightarrow \neg ( \neg p) | w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/2|Tertium non datur| \neg p |f|w | p {{logoder|}} \neg p |w|w|}} Die Regel {{Stichwort|Tertium non datur|SZ=}} geht auf Aristoteles zurück und besagt, dass eine Aussage {{ Zusatz/Klammer |text=entweder| |SZ= }} wahr oder falsch ist und es keine dritte Möglichkeit gibt. Die obige Regel drückt formal gesehen nur aus, dass mindestens ein Wahrheitswert gelten muss, die Regel davor sagt, dass {{math|term= p |SZ=}} wahr zugleich {{math|term= \neg p |SZ=}} wahr ausschließt, was man auch den {{Stichwort|Satz vom Widerspruch|SZ=}} nennt {{ Zusatz/Klammer |text=zusammenfassend spricht man auch vom {{Stichwort|Bivalenzprinzip|SZ=}} | |SZ=. }} Die Gültigkeit dieser Regeln ist bei vielen umgangssprachlichen Aussagen fragwürdig, im Rahmen der Aussagenlogik und der Mathematik haben sie aber uneingeschränkt Gültigkeit, was wiederum damit zusammenhängt, dass in diesen Gebieten nur solche Aussagen erlaubt sind, denen ein eindeutiger Wahrheitswert zukommt. Als Beweisprinzip schlägt sich dieses logische Prinzip als {{Stichwort|Beweis durch Fallunterscheidung|SZ=}} nieder, wobei die folgende Tautologie dieses Beweisprinzip noch deutlicher ausdrückt. {{Wahrheitstabelle/2/5|Fallunterscheidung| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg p \rightarrow q | w|w|w|f |(p \rightarrow q) {{logund}} ( \neg p \rightarrow q) | w|f|w|f | ((p \rightarrow q) {{logund}} ( \neg p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w }} Bei der Fallunterscheidung will man {{math|term= q |SZ=}} beweisen, und man beweist es dann einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 1| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= p |SZ=}} und andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 2| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= \neg p |SZ=.}} Man muss dabei zweimal was machen, der Vorteil ist aber, dass die zusätzlichen Annahmen zusätzliche Methoden und Techniken erlauben. Die {{Stichwort|Kontraposition|SZ=}} wird häufig in Beweisen verwendet, ohne dass dies immer explizit gemacht wird. In einem Beweis nimmt man einen pragmatischen Standpunkt ein, und manchmal ist es einfacher, von {{math|term= \neg q |SZ=}} nach {{math|term= \neg p |SZ=}} zu gelangen als von {{math|term= p |SZ=}} nach {{math|term= q |SZ=.}} {{Wahrheitstabelle/2/5|Kontraposition| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg q \rightarrow \neg p | w|f|w|w | (p \rightarrow q) \leftrightarrow ( \neg q \rightarrow \neg p) | w|w|w|w }} Die {{Stichwort|Widerspruchsregel|SZ=}} ist auch ein häufiges Argumentationsmuster. Man zeigt, dass aus einer Aussage {{math|term= p |SZ=}} ein Widerspruch, oft von der Form {{mathl|term= q {{logund|}} \neg q |SZ=,}} folgt, und schließt daraus, dass {{math|term= p |SZ=}} nicht gelten kann, also {{math|term= \neg p |SZ=}} gelten muss. {{Wahrheitstabelle/2/5|Widerspruchsregel| p \rightarrow q | w|f|w|w| p \rightarrow \neg q |f|w|w|w| (p \rightarrow q) {{logund|}} (p \rightarrow \neg q) | f|f|w|w | \neg p |f|f|w|w| (p \rightarrow q) {{logund|}} (p \rightarrow \neg q) \rightarrow \neg p | w|w|w|w }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} b52zcbz1orzaqx5tmniqgnnyvave9e0 0 83920 1092490 983737 2026-06-01T13:55:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092490 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Rationale Zahl/Gemischter Bruch/Definition|| }} Die natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} heißt der {{Stichwort|ganzzahlige Anteil|msw=Ganzzahliger Anteil|SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} heißt der {{Stichwort|Bruchanteil|SZ=.}} Ein gemischter Bruch ist eine besondere Darstellung für eine rationale Zahl, sie ist vor allem bei Mengen-, Zeit- und bei Längenangaben gebräuchlich, wie wenn man sagt, dass die Oper dreieinviertel Stunden gedauert hat. Vorteile sind, dass durch den ganzzahligen Anteil die Größenordnung der Zahl unmittelbar ersichtlich ist und dass sich diese Darstellung ergibt, wenn man bei einem gegebenen Bruch die Division mit Rest von Zähler durch Nenner durchführt. Ein Nachteil ist die Verwechslungsgefahr von {{mathl|term= 7 {{op:Bruch|1|4}} |SZ=}} mit dem Produkt {{mathl|term= 7 \cdot {{op:Bruch|1|4}} |SZ=.}} In einem Kontext, in dem man mit gemischten Brüchen arbeitet, muss man auf die Konvention, dass man das Produktzeichen weglassen darf, verzichten. Was gemischte Brüche für negative Zahlen sind ist auch heikel. Jede positive rationale Zahl besitzt eine Darstellung als gemischter Bruch, die bis auf das Kürzen des Bruchanteils eindeutig bestimmt ist. Zu einem Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|c|b}} |SZ=}} erhält man die Darstellung als gemischter Bruch, indem man die Division mit Rest {{ Relationskette/display |c ||nb+a || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |0 |\leq|a |<|b || || |SZ= }} durchführt und die Umformung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|c|b}} || {{op:Bruch|nb+a|b}} || n + {{op:Bruch|a|b}} || n {{op:Bruch|a|b}} || |SZ= }} vornimmt. Insbesondere ist {{ Relationskette |n || {{op:Gaußklammer| {{op:Bruch|c|b}} |}} || || || |SZ=. }} Bei der Weiterverarbeitung eines gemischten Bruches {{mathl|term= n {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} arbeitet man mit {{mathl|term= n +{{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Dies kann man in einen ungemischten Bruch zurückrechnen, was aber nicht immer von Vorteil ist. Wenn man beispielsweise die beiden gemischten Brüche {{ mathkor|term1= n +{{op:Bruch|a|b}} |und|term2= m +{{op:Bruch|c|d}} |SZ= }} miteinander addieren und das Ergebnis als gemischten Bruch haben möchte, so kann man von {{mathl|term= (n+m) + {{makl| {{op:Bruch|a|b}} + {{op:Bruch|c|d}} |}} |SZ=}} ausgehen und muss für die Summe der Brüche hinten nur überprüfen, ob diese {{math|term= 1 |SZ=}} übertrifft oder nicht und gegebenenfalls {{math|term= 1 |SZ=}} zum ganzen Anteil dazuschlagen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l168gfdw7qkab881vdkcp1bmua2neoq 0 84176 1091995 956745 2026-06-01T12:34:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1091995 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Restklassenbildung}} Restklassenbildung ist ein fundamentaler Prozess in der Algebra, an den wir kurz erinnern. Wir gehen davon aus, dass dies für Untergruppen (Normalteiler) bzw. für Untervektorräume bekannt ist. {{inputfaktbeweis|Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt|Satz| }} Man kann umgekehrt zu jedem Ideal {{math|term= I \subseteq R |SZ= }} einen Ring {{math|term= R/I|SZ= }} konstruieren, und zwar zusammen mit einer surjektiven Abbildung {{ Abbildung/display |name= |R|R/I || |SZ=, }} deren Kern gerade das vorgegebene Ideal {{math|term= I |SZ= }} ist. {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Nebenklasse zu Ideal/Definition| }} Zwei Elemente {{mathl|term= a,b \in R |SZ= }} definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also {{mathl|term= a+I=b+I|SZ=,}} wenn ihre Differenz {{mathl|term= a-b|SZ= }} zum Ideal gehört. Man sagt dann auch, dass {{math|term= a |SZ= }} und {{math|term= b |SZ= }} dieselbe Nebenklasse {{Definitionswort/enp|repräsentieren|SZ=.}} {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Restklassenring/Definition| }} Man muss dabei zeigen, dass diese Abbildungen {{ Zusatz/Klammer |text=also Addition und Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} wohldefiniert sind, d.h. unabhängig vom Repräsentanten, und dass die Ringaxiome erfüllt sind. Darüber hinaus ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |R|R/I |a|a+I {{defeqr|}} \bar{a} |SZ= }} ein Ringhomomorphismus, die sogenannte {{Definitionswort/enp|Restklassenabbildung|SZ=.}} Das Bild von {{mathl|term= a \in R |SZ= }} in {{mathl|term= R/I|SZ= }} wird häufig mit {{math|term= [a] |SZ=,}} {{math|term= \bar{a} |SZ=}} oder einfach mit {{math|term= a |SZ=}} selbst bezeichnet und heißt die {{Definitionswort/enp|Restklasse}} von {{math|term= a |SZ=.}} Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf null, d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal. Das einfachste Beispiel für diesen Prozess ist die Abbildung, die einer ganzen Zahl {{math|term= a |SZ=}} den Rest bei Division durch eine fixierte Zahl {{math|term= n |SZ= }} zuordnet. Jeder Rest wird dann repräsentiert durch eine der Zahlen {{mathl|term= 0,1,2 {{kommadots|}} n-1 |SZ=.}} Im Allgemeinen gibt es nicht ein so übersichtliches Repräsentantensystem. Ein typisches Beispiel, wie man mit Restklassen etwas beweist und wie man Eigenschaften von Elementen {{ Zusatz/Klammer |text=oder anderen Objekten| |ISZ=|ESZ= }} in Eigenschaften von Restklassen übersetzt, liefert der folgende Satz {{ Zusatz/Klammer |text=wir unterscheiden in der Notation nicht zwischen Klasse und Repräsentant; es sei zur Übung empfohlen, eine unterscheidende Notation einzufügen| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Die Homomorphiesätze für Ringe}} {{:Homomorphiesätze/Kommutative Ringe/Gruppe bekannt/Textabschnitt}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Restklassenringe (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7n6qic3aim339ygwt4nmw9ejffg4pzu 0 84355 1092748 1022591 2026-06-01T14:44:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092748 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Addition| |msw= |SZ= }} von {{ Definitionslink |rationalen Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= x = {{op:Bruch| a |b}} |und|term2= y = {{op:Bruch| c |d}} |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fy5zwh9wnl3pqgrj4154660f9pedmau 0 84532 1092690 849871 2026-06-01T14:35:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092690 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Kontraposition| |msw= |SZ= }} zu einer Implikation {{mathl|term= {{logprop||}} \rightarrow {{logprop2||}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 371uje9wxrghhlkmruzf8t0gj4gtcvr 0 84719 1092770 1019488 2026-06-01T14:48:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092770 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Ordnung| |msw= |SZ= }} eines Elementes {{math|term= f \in R |SZ=}} an einem Primideal {{mathl|term= {{idealp|}} \neq 0 |SZ=}} in einem Zahlbereich {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gdqhmrezfso8s8db4ap1f1w77qkq6xq 0 84742 1092771 963886 2026-06-01T14:48:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092771 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Norm| |msw= |SZ= }} zu einem Ideal {{math|term= {{ideala|}} \neq 0 |SZ=}} in einem quadratischen Zahlbereich {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8drtbkj51d5a2nh5zrrfr5pwag5ku5j 0 84765 1092694 1024755 2026-06-01T14:35:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092694 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |ganzes Element| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= x \in S |SZ=}} bei einer Ringerweiterung {{ Relationskette | R | \subseteq | S || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nv5cc9uans4lf5ldi694plpod5by9xi 0 84770 1092674 1018498 2026-06-01T14:32:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092674 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Diskriminante| |msw= |SZ= }} zu Elementen {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n \in L |SZ=}} bei einer {{ Definitionslink |endlichen Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= K \subseteq L |SZ=}} vom Grad {{math|term= n |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} anp8pjekvgs70xbdm6qx5sj36tna863 0 84778 1092698 963641 2026-06-01T14:36:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092698 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Primideal| |msw= |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dfcd2gsicxckm4tnw3jowslm1d6p1pq 0 84830 1092614 984327 2026-06-01T14:15:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092614 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Statt Verknüpfung sagt man auch {{Stichwort|Operation|SZ=.}} Das Verknüpfungszeichen {{math|term= \circ|SZ=}} ist hier einigermaßen willkürlich gewählt, um vorschnelle Assoziationen zu vermeiden. In vielen konkreten Situation steht hier {{ mathkor|term1= + |oder|term2= \cdot |SZ=. }} Das {{Anführung|neue}} Element {{mathl|term= x \circ y |SZ=}} heißt dann auch das {{Stichwort|Ergebnis|SZ=}} der Operation. Da das Ergebnis wieder zur Ausgangsmenge {{math|term= M |SZ=}} gehört, kann man es weiter verknüpfen mit weiteren Elementen. Dies erfordert im Allgemeinen Klammerungen, um zu wissen, in welcher Reihenfolge welche Elemente miteinander verknüpft werden sollen. Im Allgemeinen ist {{ Relationskette/display |a \circ (b \circ c) |\neq| (a \circ b) \circ c || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das {{Stichwort|Assoziativgesetz|SZ=}} oder die {{Stichwort|Klammerregel|SZ=}} gilt. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das {{Stichwort|Kommutativgesetz|SZ=}} oder das {{Stichwort|Vertauschungsgesetz|SZ=}} gilt. Die Addition und die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen sind beide assoziativ und kommutativ. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} Bei der Addition auf den natürlichen Zahlen ist {{math|term= 0 |SZ=}} das neutrale Element und bei der Multiplikation auf den natürlichen Zahlen ist {{math|term= 1 |SZ=}} das neutrale Element. Deshalb ist es in der abstrakten Formulierung sinnvoll, eine unbelastete Bezeichnung zu wählen. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, so muss man die Eigenschaft des neutralen Elementes nur von einer Seite überprüfen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ey8v7ixek8v9d65erfha19ss2mb8fpn 0 84845 1092851 1021687 2026-06-02T10:23:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1092851 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Struktur der Einheitengruppe von {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} für eine Primzahl {{math|term= p|SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l1fdloy9qhx9slonnkfbwfegngfc74s 0 85349 1092321 1002467 2026-06-01T13:27:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092321 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Definition|}} Mit natürlichen Identifikationen meinen wir die {{ Zusatz/Klammer |text=Erweiterungs- bzw. Kürzungs| |ISZ=|ESZ=- }}Regel {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|r|s}} || {{op:Bruch|tr|ts}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | t | \neq | 0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Für die Operationen gelten {{ Relationskette/display | \frac{r}{s} + \frac{t}{u} || \frac{ru+ts}{su} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=auf einen Hauptnenner bringen| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette/display | \frac{r}{s} \cdot \frac{t}{u} || \frac{rt}{su} || || || |SZ=. }} Mit diesen Operationen liegt in der Tat, wie man schnell überprüft, ein kommutativer Ring vor. Und zwar handelt es sich um einen Körper, denn für jedes Element {{ Relationskette/display | \frac{r}{s} |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist {{math|term= \frac{s}{r} |SZ=}} das Inverse. Der Integritätsbereich {{math|term= R |SZ=}} findet sich in {{mathl|term= Q(R) |SZ=}} über die Elemente {{math|term= \frac{r}{1} |SZ=}} wieder. Diese natürliche Inklusion {{ Relationskette/display | R |\subseteq| Q(R) || || || |SZ= }} ist ein Ringhomomorphismus. Das Element {{ Relationskette | r || {{op:Bruch|r|1}} || || || |SZ= }} hat bei {{ Relationskette | r | \neq | 0 || || || |SZ= }} das Inverse {{math|term= {{op:Bruch|1|r}} |SZ=.}} Zwischen {{ mathkor|term1= R |und|term2= Q(R) |SZ= }} gibt es keinen weiteren Körper. Ein solcher muss nämlich zu {{ Relationskette | r | \neq | 0 || || || |SZ= }} das {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutig bestimmte| |ISZ=|ESZ= }} Inverse {{math|term= {{op:Bruch|1|r}} |SZ=}} enthalten und dann aber auch alle Produkte {{ Relationskette |s {{op:Bruch|1|r}} || {{op:Bruch|s|r}} || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Quotientenkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} md9vxawl5oaq2xcvf1e1rkm8vazsb1p 0 85373 1092007 1018245 2026-06-01T12:36:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092007 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Da sich die Addition zweier natürlicher Zahlen aus den Dedekind-Peano-Axiomen ergibt, gibt es in jeder Beschreibung der natürlichen Zahl genau eine Möglichkeit, zu addieren. Ob diese algorithmisch geschickt oder kompliziert ist, hängt wesentlich von der gewählten Beschreibung ab. Wenn man durch Strichfolgen gegebene Zahlen miteinander addiert, so hängt man einfach die beiden Strichfolgen aneinander. Dies ist auf den ersten Blick ein sehr einfacher Vorgang. Wenn man es aber ernsthaft schriftlich durchführen möchte, so sieht man, dass es extrem mühsam ist, da man jeden Strich der einen Strichfolge einzelnen an die andere anhängen muss. Das schriftliche Addieren zweier natürlicher Zahlen im Zehnersystem ist aus der Schule bekannt. Man schreibt die beiden Zahlen untereinander so, dass die Einerpositionen übereinander stehen und addiert dann die beiden passenden Ziffern {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne des kleinen Einundeins| |ISZ=|ESZ= }} von hinten nach vorne. Wenn das Ergebnis kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} ist, schreibt man diese Zahl hin und rückt nach links. Wenn das Ergebnis größer oder gleich {{math|term= 10 |SZ=}} ist, so schreibt man die Einerziffer dieser Summe an der Stelle hin und hat in der links liegenden Stelle einen zusätzlichen Übertrag von {{math|term= 1 |SZ=}} mitzuberücksichtigen. Dies ist insgesamt ein rekursives Verfahren, das wir kurz festhalten. {{ inputverfahren |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Verfahren|| }} Warum ist dieser Algorithmus richtig, warum liefert er das korrekte Ergebnis? Die Gewohnheit an dieses Verfahren verleitet dazu, diese Frage nicht ernst zu nehmen bzw. nicht zu verstehen. Das eben beschriebene schriftliche Addieren ist nicht die Definition der Addition, sondern eine algorithmische Ausführung der Addition in einem bestimmten Beschreibungssystem für die natürlichen Zahlen. Der Ausgangspunkt der Addition der natürlichen Zahlen liegt in der disjunkten Vereinigung von endlichen Mengen, wir haben die Addition über die Nachfolgerabbildung eingeführt und bereits gezeigt, dass sie mit dem Vereinigungskonzept übereinstimmt. Warum stimmt auch das schriftliche Addieren damit überein? Konkret: Man hat zwei Mengen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} an Äpfel und bestimmt für beide Mengen ihre Anzahl im Zehnersystem: diese seien {{ mathkor|term1= k |und|term2= n |SZ=. }} Dann schüttet man die Mengen zusammen, erhält die Menge {{ Relationskette |C ||A \cup B || || || |SZ= }} und bestimmt für diese Menge die Anzahl im Zehnersystem: diese sei {{math|term= m |SZ=.}} Warum kommt, wenn man die Zahlen {{ mathkor|term1= k |und|term2= n |SZ= }} im Zehnersystem schriftlich addiert, ausgerechnet {{math|term= m |SZ=}} heraus? Die beiden Zahlen seien als {{ mathkor|term1= n= a_r10^r + a_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} a_210^2+a_1 10 +a_0 |und|term2= k= b_s10^s + b_{s-1}10^{s-1} {{plusdots|}} b_2 10^2+ b_1 10 +b_0 |SZ= }} gegeben, wobei die Ziffern alle zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} seien. Es sei {{ Relationskette |r |\geq|s || || || |SZ= }} und wir können sogar annehmen, dass {{ Relationskette |r ||s || || || |SZ= }} ist, indem wir fehlende Ziffern in der zweiten Dezimalentwicklung durch Nullen auffüllen. Dann ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{makl| a_r10^r + a_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} a_210^2+a_1 10 +a_0 |}} + {{makl| b_r10^r + b_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} b_2 10^2+ b_1 10 +b_0 |}} || {{makl| a_r +b_r|}} 10^r + {{makl| a_{r-1} +b_{r-1} |}} 10^{r-1} {{plusdots|}} {{makl| a_2+b_2 |}} 10^2+ {{makl| a_1 +b_1 |}} 10 + {{makl| a_0 +b_0 |}} || || || |SZ=. }} Dies beruht auf dem Assoziativgesetz der Addition und dem Distributivgesetz. Achtung! Dieses Ergebnis ist nicht in der Dezimaldarstellung, da die vor den Zehnerpotenzen {{math|term= 10^{i} |SZ=}} stehenden Zahlen {{mathl|term= a_i+b_i |SZ=}} nicht unbedingt kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} sein müssen. Man kann an dieser Stelle {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} anwenden und zu größe {{Anführung}} Ziffern nach oben schaufeln. Dies ist aber nicht das Verfahren des schriftlichen Addierens. {{{zusatz3|}}} {{ inputfaktbeweis |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}| || }} {{ inputbeispiel |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/1/Beispiel|| }} Wir geben noch einen zweiten Beweis für die Korrektheit des schriftlichen Addierens. {{ Math/display|term= a_k a_{k-1} \,\, \,\, \,\, \,\, \ldots \,\,\, \,\, \, a_2 a_1 a_0 \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, a_k a_{k-1} \,\, \,\, \,\, \,\, \ldots \,\,\, \,\, \, a_2 a_1 a_0 |SZ= }} {{ Math/display|term= \underline{ b_k b_{k-1} \, \,\, \,\, \,\, \,\, \ldots \, \,\,\, \,\, \, b_2 b_1 b_0 } \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \,\, \, \, \underline{ ( b_k b_{k-1} \,\, \,\, \,\, \,\, \ldots \,\,\, \,\, \, b_2 b_1 b_0)^\prime } |SZ= }} {{ Math/display|term= c_k c_{k-1} \, \,\, \,\, \,\, \,\, \ldots \, \,\,\, \,\, \, c_2 c_1 c_0 |SZ= }} {{:Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt/Beweis2}} Die Korrektheit des schriftlichen Addierens überträgt sich auf die Addition mehrerer Summanden in der Dezimaldarstellung. Man summiert wieder ziffernweise und schreibt die letzte Ziffer der Summe an der entsprechenden Stelle hin, ebenso den Übertrag. Dieser kann jetzt allerdings {{ Zusatz/Klammer |text=ab zwölf Summanden| |ISZ=|ESZ= }} sogar größergleich {{math|term= 100 |SZ=}} sein, in diesem Fall muss man die Zehnerziffer wie zuvor um eins nach links schreiben und die Hunderterstelle um zwei nach links. Grundsätzlich kann man auch eine Summe mit beliebig vielen Summanden dadurch errechnen, dass man je zwei Summanden zusammenaddiert und somit die Anzahl der Summanden sukzessive verringert, doch ist das viel komplizierter. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ie01y91ohhnfgetve8xg02ypec7ttb4 0 85514 1092729 1019015 2026-06-01T14:41:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092729 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Multiplikation| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= a \cdot b |SZ=}} von natürlichen Zahlen {{mathl|term= a,b|SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jb9aihlx7ldwhc1tzw9x6gkskwwwuqq 0 85716 1092760 1019318 2026-06-01T14:46:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092760 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |größter gemeinsamer Teiler| |msw= |SZ= }} der natürlichen Zahlen {{math|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} otoez0bzpv03yfxun4xgounc62pbysj 0 85800 1092761 963822 2026-06-01T14:46:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092761 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die Eigenschaft, dass eine ganze Zahl {{math|term= a |SZ=}} eine ganze Zahl {{math|term= b |SZ=}} {{ Stichwort/Abfrage |teilt| |msw= |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp0m95odcr2aqau39qkcp21r1dncrpc 0 86053 1092486 983722 2026-06-01T13:55:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092486 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine über {{math|term= \Z|SZ=}} formulierte Gleichung der Form {{ Relationskette/display |b x || a || || || |SZ= }} mit {{math|term= a,b \in \Z|SZ=}} soll bei {{ Relationskette |b |\neq|0 || || || |SZ= }} eine eindeutige Lösung besitzen, nämlich {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} Um dies formulieren zu können, müssen wir natürlich erstmal eine Multiplikation und eine Addition auf den rationalen Zahlen definieren. Bei gleichnamigen Nenner addiert man einfach die Zähler, auf diesen Fall kann die allgemeine Definition zurückgeführt werden. Mit diesem Übergang, endlich viele rationale Zahlen mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, kann man häufig Rechnungen und auch theoretische Überlegungen vereinfachen. {{ inputdefinition |Rationale Zahlen/Brüche/Addition/Definition|| }} Man addiert also zwei rationale Zahlen, indem man die Nenner gleichnamig macht. Diese Operation ist wohldefiniert! Was soll das bedeuten? Es gibt hier das folgende Problem, das gerne übersehen wird. Die beiden rationalen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ=, }} die miteinander addiert werden sollen, besitzen unterschiedliche Darstellungen als Brüche, beispielsweise ist {{ Relationskette/display |x || {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|a'|b'}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|c|d}} || {{op:Bruch|c'|d'}} || || |SZ=. }} In der Definition der Addition kann man mit einer beliebigen Bruchdarstellung arbeiten. Dann ergibt sich einerseits, wenn man jeweils die erste Darstellung nimmt, die Summe {{ Math/display|term= {{op:Bruch|ad+bc|bd}} |SZ= }} und andererseits, wenn man jeweils die zweite Darstellung nimmt, die Summe {{ Math/display|term= {{op:Bruch|a'd'+b'c'|b'd'}} |SZ=. }} Es ist nicht unmittelbar klar, dass hier die gleiche rationale Zahl steht. Wegen {{ Relationskette |ab' ||a'b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |cd' ||c'd || || || |SZ= }} ist aber nach Erweitern mit {{math|term= b'd'|SZ=}} und Kürzen durch {{math|term= bd|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|ad+bc|bd}} || {{op:Bruch|adb'd'+bcb'd'|bdb'd'}} || {{op:Bruch|a'dbd'+bc'b'd |bdb'd'}} || {{op:Bruch|a'd'+b'c'|b'd'}} || |SZ=, }} sodass das Ergebnis als rationale Zahl wohldefiniert ist. Nach der Definition nimmt man für den Nenner das Produkt der beiden Nenner. Man kann aber genauso gut ein beliebiges gemeinsames Vielfaches der beiden Nenner und die entsprechende Erweiterung nehmen. Bei gleichem Nenner ist insbesondere {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|r}} + {{op:Bruch|b|r}} || {{op:Bruch|a+b|r}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Definition|| }} Auch hier muss man die Wohldefiniertheit der Verknüpfung nachweisen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Rationale Zahlen/Brüche/Multiplikation/Wohldefiniertheit/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Mit der Multiplikation kann man einen Bruch auch als {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} || a \cdot {{op:Bruch|1|b}} || || || |SZ= }} schreiben. Bei positivem {{math|term= a |SZ=}} ist dies die {{math|term= a |SZ=-}}fache Summe des Stammbruches {{math|term= {{op:Bruch|1|b}} |SZ=}} mit sich selbst. {{ inputbemerkung |Rationale Zahlen/Addition und Multiplikation/Motivation durch Proportionalität/Bemerkung|| }} Die Addition und die Multiplikation von rationalen Zahlen erfüllen weitere wichtige algebraische Eigenschaften. Letztlich werden diese auf die entsprechenden Gesetzmäßigkeiten von {{math|term= \Z|SZ=}} zurückgeführt. {{ inputfaktbeweis |Rationale Zahlen/Brüche/Direkt/Körpereigenschaften/Fakt|Satz|| || }} Man nennt {{mathl|term= {{op:Bruch|-a|b}} |SZ=}} die {{Stichwort|negative rationale Zahl|SZ=}} zu {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} und man nennt bei {{ Relationskette |a,b |\neq|0 || || || |SZ= }} die Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|b|a}} |SZ=}} die {{Stichwort|inverse rationale Zahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder den {{Stichwort|Kehrwert|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} zu {{math|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0hs30nb9xr7vj42fe4x64zcwh3sje44 0 86204 1092654 1018308 2026-06-01T14:29:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092654 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |arithmetische Mittel| |msw= |SZ= }} zu Elementen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n \in K |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c6sbr6yu2zaml6i5qju6gaa1e30rdx7 0 86307 1092749 1022595 2026-06-01T14:44:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092749 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Multiplikation| |msw= |SZ= }} von rationalen Zahlen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| a |b}} |und|term2= {{op:Bruch| c |d}} |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mmoy0wubt9mbz7unz40c1pvv6vf17g2 0 86617 1092079 980273 2026-06-01T12:48:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092079 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir erweitern die {{ Definitionslink |Größergleichrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition |SZ= }} auf den natürlichen Zahlen zu einer Ordnung auf den ganzen Zahlen. {{ inputdefinition |Ganze_Zahlen/Negative_Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche_Addition/Definition|| }} Damit gilt bei der Interpretation an der Zahlengeraden wieder, dass {{ Relationskette/display |a |\geq|b || || || |SZ= }} bedeutet, dass {{math|term= a |SZ=}} rechts von {{math|term= b |SZ=}} liegt. {{ inputbemerkung |Ganze_Zahlen/Negative_Zahlen/Größergleichrelation/Natürliche_Addition/Fälle/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Anordnungseigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Damit bilden die ganzen Zahlen {{mathl|term= (\Z, \geq) |SZ=}} einen angeordneten Ring im Sinne der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} Die erste Eigenschaft nennt man {{Stichwort|Verträglichkeit mit der Addition|SZ=,}} die zweite {{Stichwort|Verträglichkeit mit der Multiplikation|SZ=.}} Neben den ganzen Zahlen werden wir später zwei weitere angeordnete Ringe kennenlernen, nämlich den Körper der rationalen Zahlen und den Körper der reellen Zahlen. Für all diese Ringe bzw. Körper gelten die folgenden Eigenschaften. Man überlege sich für den Fall der ganzen Zahlen, ob und inwiefern sich die Beweise der folgenden Aussagen vereinfachen. {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Die Eigenschaft (2) kann man so verstehen, dass das Negative eines positiven Elementes negativ ist. Allerdings tritt dabei negativ in zwei verschiedenen Bedeutungen auf! |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der angeordneten Ringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gcu4n97pitgekde8sscmdgu6zjcvx62 0 86627 1092489 983734 2026-06-01T13:55:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092489 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir definieren eine Anordnung auf den rationalen Zahlen. {{ inputdefinition |Rationale Zahlen/Elementar/Anordnung/Definition|| }} Wir müssen zuerst zeigen, dass diese Definition sinnvoll ist, also unabhängig von den gewählten Darstellungen der rationalen Zahlen als Brüche. Seien also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|a'|b'}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|c|d}} || {{op:Bruch|c'|d'}} || || || |SZ= }} mit positiven Nennern. Dann ist {{ Relationskette/display | ab' ||a'b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |cd' ||c'd || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette/display | ad |\geq|bc || || || |SZ= }} ergibt sich dann {{ Faktlink |Präwort=gemäß||Faktseitenname= Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |SZ= }} durch Multiplikation mit der positiven ganzen Zahl {{mathl|term= b'd'|SZ=}} {{ Relationskette/display |ad b'd' |\geq|bc b'd' || || || |SZ=. }} Dies schreiben wir als {{ Relationskette/display |a' d bd' |\geq|b c'b' d || || || |SZ=, }} woraus sich durch Kürzen mit der positiven ganzen Zahl {{mathl|term= db|SZ=}} die Abschätzung {{ Relationskette/display |a'd' |\geq|b'c' || || || |SZ= }} ergibt, die {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a'|b'}} |\geq| {{op:Bruch|c'|d'}} || || || |SZ= }} bedeutet. Wegen der Symmetrie der Situation gilt auch die Umkehrung. Die Beziehung {{mathl|term= \geq|SZ=}} ist also unabhängig von dem gewählten Bruchrepräsentanten. Die zugrunde liegende Idee ist, die beiden zu vergleichenden Brüche auf einen gemeinsamen positiven Nenner zu bringen und dann die Zähler zu vergleichen. Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a|b}} || {{op:Bruch|ad|bd}} || ad \cdot {{op:Bruch|1|bd}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|c|d}} || {{op:Bruch|cb|bd}} || cb \cdot {{op:Bruch|1|bd}} || || |SZ=. }} Es liegt also einerseits das {{math|term= ad|SZ=-}}Vielfache und andererseits das {{math|term= cb|SZ=-}}Vielfache des gleichen {{ Definitionslink |Stammbruches| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1|bd}} |SZ=.}} Es leuchtet ein, dass die Größerbeziehung nur von dem ganzzahligen Vorfaktor abhängt. Daraus und aus der Tatsache, dass man auch drei rationale Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner bringen kann, folgt auch direkt, dass es sich um eine totale Ordnung handelt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Rationale Zahlen/Größergleichbeziehung/Totale Ordnung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Rationale Zahlen/Anordnung/1/Beispiel|| }} Um die Ordnungseigenschaften der rationalen Zahlen leichter erfassen zu können, empfiehlt es sich, mit angeordneten Körpern zu arbeiten. Dies ist einfach ein {{ Definitionslink |angeordneter Ring| |Kontext=| |SZ=, }} der zugleich ein Körper ist. {{ inputdefinition |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Definition||a=x|b=y|c=z }} Die beiden Eigenschaften heißen wieder die {{Stichwort|Verträglichkeit mit der Addition|SZ=}} und die {{Stichwort|Verträglichkeit mit der Multiplikation|SZ=.}} Es wird sich später herausstellen, dass auch die reellen Zahlen einen angeordneten Körper bilden. Elemente {{ Relationskette | x |\in| K || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |x |>|0 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|positiv|SZ=}} und mit {{ Relationskette |x |<|0 || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|negativ|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Rationale Zahlen/Elementar/Angeordneter Körper/Fakt|Satz|| || }} Da ein angeordneter Körper insbesondere ein {{ Definitionslink |angeordneter Ring| |Kontext=| |SZ= }} ist, gelten die Eigenschaften aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} unmittelbar auch für {{math|term= \Q|SZ=}} und für {{math|term= \R|SZ=.}} Die dort angegebenen Regeln gelten bei einem angeordneten Körper auch dann, wenn man mit {{math|term= >|SZ=}} statt mit {{math|term= \geq|SZ=}} arbeitet. Wesentlich neue Aspekte bei einem angeordneten Körper treten in Bezug auf inverse Elemente auf. {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften zu Inversen/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Anordnung der rationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hxi4qsl0df75z4b2tnxpl364nkc5nuc 0 86681 1092068 1018507 2026-06-01T12:46:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092068 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Einen im Dezimalsystem gegebenen Dezimalbruch kann man einfach durch {{math|term= 10 |SZ=}} teilen, indem man einfach das Komma um eine Stelle nach links verschiebt. Die Zahl {{math|term= 10 |SZ=,}} die die Grundlage des Dezimalsystems ist, hat die beiden Teiler {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5 |SZ=. }} Durch diese beiden Zahlen kann man ebenfalls teilen und erhält wieder einen Dezimalbruch {{ Zusatz/Klammer |text=was für andere Primzahlen nicht stimmt| |ISZ=|ESZ=, }} wobei diese Divisionen algorithmisch besonders einfach durchzuführen sind. Eine Besonderheit liegt darin, dass die Ziffern des Ergebnisses nur von der entsprechenden und von der um eins höherstelligen Ziffer des Dividenden abhängen. Man braucht keinen Übertrag und kann an jeder beliebigen Stelle anfangen. {{ inputverfahren |Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Verfahren|| }} Da die Ziffern {{math|term= a_i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} liegen, sind die {{math|term= b_i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 4 |SZ= }} und die {{math|term= r_i |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ=. }} Ohne die Division mit Rest kann man diesen Algorithmus auch mit der folgenden Fallunterscheidung darstellen. Es ist {{ Relationskette/display |c_i || \begin{cases} {{op:Bruch|a_i |2}},\, \text{ falls } a_i \text{ und } a_{i+1} \text{ gerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i |2}} +5,\, \text{ falls } a_i \text{ gerade und } a_{i+1} \text{ ungerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i-1|2}},\, \text{ falls } a_i \text{ ungerade und } a_{i+1} \text{ gerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i-1|2}} +5,\, \text{ falls } a_i \text{ und } a_{i+1} \text{ ungerade} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Kurz gesagt: Man nehme von {{math|term= a_i |SZ=}} die abgerundete Hälfte und erhöhe dies um {{math|term= 5 |SZ=,}} falls die davorstehende Ziffer ungerade ist. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_{i+1}a_i |SZ=}} durch {{math|term= 2 |SZ=}} und schreibe davon die Einerziffer an die {{math|term= i |SZ=-}}te Stelle hin {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden| |ISZ=|ESZ=. }} Man muss also nur zweistellige Zahlen durch {{math|term= 2 |SZ=}} dividieren können. {{ inputbeispiel |Dezimalbruch/Halbierung/1/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma|| }} Auch für die Division durch {{math|term= 5 |SZ=}} gibt es einen entsprechenden Algorithmus. {{ inputverfahren |Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Verfahren|| }} Kurz gesagt: Man nehme von {{math|term= a_i |SZ=}} das abgerundete Fünftel {{ Zusatz/Klammer |text=das {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ= }} und addiere das Doppelte des Fünferrestes der Ziffer {{math|term= a_{i+1} |SZ=}} dazu. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_{i+1}a_i |SZ=}} durch {{math|term= 5 |SZ=}} und schreibe davon die Einerziffer hin {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden| |ISZ=|ESZ=. }} Man muss also nur zweistellige Zahlen durch {{math|term= 5 |SZ=}} dividieren können. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma|| || }} Ein weiterer wichtiger Gesichtspunkt in diesem Zusammenhang ist, dass die Division durch {{math|term= 2 |SZ=}} das gleiche ist wie Multiplikation mit {{math|term= 0,5 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also im Wesentlichen Multiplikation mit {{math|term= 5 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und dass die Division durch {{math|term= 5 |SZ=}} das gleiche ist wie die Multiplikation mit {{math|term= 0,2 |SZ=.}} Daher kann man die zuletzt genannten Ergebnisse zur Division durch {{ mathkor|term1= 2 |bzw.|term2= 5 |SZ= }} auch mit {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung |Nr= |SZ= }} begründen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fi84viulou4ssqtm5nalsuqc4tpgk8u 1092179 1092068 2026-06-01T13:05:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092179 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Einen im Dezimalsystem gegebenen Dezimalbruch kann man einfach durch {{math|term= 10 |SZ=}} teilen, indem man einfach das Komma um eine Stelle nach links verschiebt. Die Zahl {{math|term= 10 |SZ=,}} die die Grundlage des Dezimalsystems ist, hat die beiden Teiler {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5 |SZ=. }} Durch diese beiden Zahlen kann man ebenfalls teilen und erhält wieder einen Dezimalbruch {{ Zusatz/Klammer |text=was für andere Primzahlen nicht stimmt| |ISZ=|ESZ=, }} wobei diese Divisionen algorithmisch besonders einfach durchzuführen sind. Eine Besonderheit liegt darin, dass die Ziffern des Ergebnisses nur von der entsprechenden und von der um eins höherstelligen Ziffer des Dividenden abhängen. Man braucht keinen Übertrag und kann an jeder beliebigen Stelle anfangen. {{ inputverfahren |Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Verfahren|| }} Da die Ziffern {{math|term= a_i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} liegen, sind die {{math|term= b_i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 4 |SZ= }} und die {{math|term= r_i |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ=. }} Ohne die Division mit Rest kann man diesen Algorithmus auch mit der folgenden Fallunterscheidung darstellen. Es ist {{ Relationskette/display |c_i || \begin{cases} {{op:Bruch|a_i |2}},\, \text{ falls } a_i \text{ und } a_{i+1} \text{ gerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i |2}} +5,\, \text{ falls } a_i \text{ gerade und } a_{i+1} \text{ ungerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i-1|2}},\, \text{ falls } a_i \text{ ungerade und } a_{i+1} \text{ gerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i-1|2}} +5,\, \text{ falls } a_i \text{ und } a_{i+1} \text{ ungerade} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Kurz gesagt: Man nehme von {{math|term= a_i |SZ=}} die abgerundete Hälfte und erhöhe dies um {{math|term= 5 |SZ=,}} falls die davorstehende Ziffer ungerade ist. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_{i+1}a_i |SZ=}} durch {{math|term= 2 |SZ=}} und schreibe davon die Einerziffer an die {{math|term= i |SZ=-}}te Stelle hin {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden| |ISZ=|ESZ=. }} Man muss also nur zweistellige Zahlen durch {{math|term= 2 |SZ=}} dividieren können. {{ inputbeispiel |Dezimalbruch/Halbierung/1/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma|| }} Auch für die Division durch {{math|term= 5 |SZ=}} gibt es einen entsprechenden Algorithmus. {{ inputverfahren |Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Verfahren|| }} Kurz gesagt: Man nehme von {{math|term= a_i |SZ=}} das abgerundete Fünftel {{ Zusatz/Klammer |text=das {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ= }} und addiere das Doppelte des Fünferrestes der Ziffer {{math|term= a_{i+1} |SZ=}} dazu. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_{i+1}a_i |SZ=}} durch {{math|term= 5 |SZ=}} und schreibe davon die Einerziffer hin {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden| |ISZ=|ESZ=. }} Man muss also nur zweistellige Zahlen durch {{math|term= 5 |SZ=}} dividieren können. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma|| || }} Ein weiterer wichtiger Gesichtspunkt in diesem Zusammenhang ist, dass die Division durch {{math|term= 2 |SZ=}} das gleiche ist wie Multiplikation mit {{math|term= 0,5 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also im Wesentlichen Multiplikation mit {{math|term= 5 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und dass die Division durch {{math|term= 5 |SZ=}} das gleiche ist wie die Multiplikation mit {{math|term= 0,2 |SZ=.}} Daher kann man die zuletzt genannten Ergebnisse zur Division durch {{ mathkor|term1= 2 |bzw.|term2= 5 |SZ= }} auch mit {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Ziffernsystem/Verdopplung und Verfünfachung/Vereinfachtes Verfahren/Bemerkung |Nr= |SZ= }} begründen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mcvf6mcodxjp9p06ajyfjrmoqyadvcn 0 86682 1092066 1018489 2026-06-01T12:46:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092066 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Verfahren{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |z ||\sum_{i {{=}} k}^\ell a_i 10^{i} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Dezimalbruch| |kon=| |SZ=, }} für den die Halbierung {{ Zusatz/Klammer |text=also die Division durch {{math|term=2 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} durchgeführt werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer {{math|term= a_i |SZ=}} für {{ Relationskette/display |i |\geq| k-1 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Division mit Rest| |kon=| |SZ= }} durch {{math|term=2 |SZ=}} durch, d.h. man berechnet {{ Relationskette/display |a_i || 2 b_i +r_i || || || |SZ=. }} Aus diesen Zahlen berechnet man {{ Relationskette/display |c_i ||b_i +5 r_{i+1} || || || |SZ=. }} Dies sind die Ziffern der Halbierung von {{math|term= z |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|z|2}} ||\sum_{i {{=}} k-1}^\ell c_i 10^{i} || || || |SZ=. }} |Textart=Verfahren |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2=Theorie der Algorithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6e8ns7spa14cnboulfdthaon6tduhc 0 86688 1092065 1018483 2026-06-01T12:46:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092065 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Verfahren{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |z ||\sum_{i {{=}} k}^\ell a_i 10^{i} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Dezimalbruch| |kon=| |SZ=, }} für den der fünfte Anteil {{ Zusatz/Klammer |text=also die Division durch {{math|term=5 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} berechnet werden soll. Dazu führt man für jede Ziffer {{math|term= a_i |SZ=}} für {{ Relationskette/display |i |\geq| k-1 || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Division mit Rest| |kon=| |SZ= }} durch {{math|term=5 |SZ=}} durch, d.h. man berechnet {{ Relationskette/display |a_i || 5 b_i +r_i || || || |SZ=. }} Aus diesen Zahlen berechnet man {{ Relationskette/display |c_i || b_i + 2 r_{i+1} || || || |SZ=. }} Dies sind die Ziffern der Fünftelung von {{math|term= z |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|z|5}} ||\sum_{i {{=}} k-1}^\ell c_i 10^{i} || || || |SZ=. }} |Textart=Verfahren |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2=Theorie der Algorithmen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kykrukig88y3uy4olnicfx4rx99su8g 0 86715 1092177 1074571 2026-06-01T13:04:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092177 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Dezimalbruch/Definition|| }} Dezimalbrüche sind beispielsweise sämtliche ganzen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=man kann {{ Relationskette/k |1 ||10^0 || || || |SZ= }} als Nenner nehmen| |ISZ=|ESZ=, }} ferner Zahlen wie {{Math/display|term= {{op:Bruch|1|10}},{{op:Bruch|1|100}} , {{op:Bruch|53|100}} , - {{op:Bruch|271|1000}}, {{op:Bruch|3|1000000}}, ... |SZ=.}} Nach unserer Definition liegt ein Dezimalbruch vor, wenn man die dadurch gegebene rationale Zahl mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann. Das heißt nicht, dass die Zahl in dieser Form vorliegen muss. Beispielsweise sind auch die Brüche {{ Math/display|term= {{op:Bruch|1|2}} , {{op:Bruch|1|5|}} , {{op:Bruch|7|5}} , {{op:Bruch|13|20}} , - {{op:Bruch|7014|500}} |SZ= }} Dezimalbrüche, da man sie nach einer Erweiterung mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann. Dies gilt für alle Brüche mit der Eigenschaft, dass in der Primfaktorzerlegung des Nenners nur Potenzen von {{math|term= 2 |SZ=}} und von {{math|term= 5 |SZ=}} vorkommen. Wenn der Bruch gekürzt ist, so sind genau die Brüche der Form {{mathl|term= {{op:Bruch|a|2^{i} 5^{j}}} |SZ=}} die Dezimalbrüche, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dezimalbruch/Primfaktorzerlegung des Nenners/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputbild |Zahlenstrahl 2|gif|500px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Linealversion der Zahlengeraden markiert neben den ganzen Zahlen die ganzzahligen Vielfachen des Dezimalbruches {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} |SZ=.}} Wenn man den Meter als Einheit nimmt, zeigt es die ganzzahligen Vielfachen von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1000}} |SZ=.}} |Autor= |Benutzer= Daniel Wolf2 |Domäne=de Wikipedia |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Einen Dezimalbruch {{mathl|term= {{op:Bruch|a|10^m}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=m \geq 0 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} kann man auch in der Form {{mathl|term= a 10^{-m} |SZ=}} schreiben. Dies ergibt wohl die kompakteste Charakterisierung eines Dezimalbruches, eine rationale Zahl der Form {{ Math/display|term= a \cdot 10^k \text{ mit } a,k \in \Z |SZ=. }} Aus dieser Darstellung ist unmittelbar ersichtlich, dass man Dezimalbrüche miteinander addieren und multiplizieren kann und dabei wieder einen Dezimalbruch erhält. {{ inputfaktbeweis |Dezimalbrüche/Ring/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}} || }} Die Menge der Dezimalbrüche bilden keinen Körper, da zwar sämtliche ganzen Zahlen Dezimalbrüche sind, ihre inversen Elemente aber im Allgemeinen nicht. Beispielsweise sind {{ mathkor|term1= 3^{-1} |und|term2= 7^{-1} |SZ= }} keine Dezimalbrüche. Für zwei Dezimalbrüche ist es einfach, einen Hauptnenner zu finden, da die Nenner im gekürzten Fall grundsätzlich von der Form {{mathl|term= 2^{i}5^{j} |SZ=}} sind. Insofern spielt sich bei Rechnungen mit Dezimalbrüchen alles Wesentliche im Zähler ab. {{ inputbeispiel |Dezimalbrüche/Rechnung/1/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cqwmxssw4pv49c3rsfz5ks9pzd59ivc 0 86719 1092176 981408 2026-06-01T13:04:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092176 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine wichtige Motivation zur Einführung der rationalen Zahlen war, beliebige Längen, die beispielsweise bei der gleichmäßigen Unterteilung einer gegebenen Strecke auftreten, möglichst gut messen zu können. Dies können wir erst dann präzise formulieren, wenn wir die reellen Zahlen zur Verfügung haben. Die folgende Aussage zeigt, dass man rationale Zahlen selbst schon beliebig gut mit Dezimalbrüchen {{Stichwort|approximieren|msw=Approximation|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=annähern| |ISZ=|ESZ= }} kann. Wenn es also nur darum geht, beliebige Längen approximativ zu beschreiben, so sind die Dezimalbrüche genauso gut wie die deutlich größere Menge aller rationalen Zahlen. {{ inputfaktbeweis |Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt|Lemma|| || }} In diesem Satz gibt das {{math|term= k |SZ=}} über die Potenz {{math|term= 10^{-k} |SZ=}} vor, wie groß der Fehler sein darf. Man sagt dann auch, dass die Approximation bis zur {{math|term= k |SZ=-}}ten Nachkommaziffer genau ist. Es sei {{ Relationskette |q || {{op:Bruch|z|n}} || || || |SZ=. }} Wenn man beispielsweise einen Taschenrechner mit acht Nachkommastellen hat, so ergibt sich zu {{ Relationskette |k ||8 || || || |SZ= }} die Zahl {{math|term= a |SZ=}} als Ergebnis, wenn man {{mathl|term= z:n|SZ=}} eingibt und das Komma in der Darstellung ignoriert. {{ inputbeispiel |Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/3 durch 7/Taschenrechner/Beispiel|| }} Die Rechnung im vorangehenden Beispiel beruht auf dem Divisionsalgorithmus, den wir noch nicht besprochen haben. {{ Faktlink |Faktseitenname= Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt |Nr= |SZ= }} besagt, dass es eine solche eindeutig bestimmte Zahl geben muss. Dass die angeführten Abschätzungen gelten, kann man einfach überprüfen, indem man die beiden Dezimalzahlen mit {{math|term= 7 |SZ=}} multipliziert. Mit der Approximation von rationalen Zahlen durch Dezimalzahlen geht die Dezimalrundung einher. Bei der Rundung auf eine ganze Zahl schaut man einfach nach der ganzzahligen Approximation im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Ganzzahlige Intervalle/Fakt |Nr= |SZ= }} und nimmt von der unteren und der oberen Approximation diejenige, die näher ist {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man bei gleichem Abstand aufrundet| |ISZ=|ESZ=. }} Bei der Dezimalrundung von {{math|term= x |SZ=}} zur Stellenanzahl {{math|term= k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. zur Genauigkeit {{mathlk|term=10^{-k} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} führt man dies für die Nenner {{ mathkor|term1= a |bzw.|term2= a+1 |SZ= }} in der Approximation {{ Relationskette | {{op:Bruch|a|10^k}} |\leq| x |<|{{op:Bruch|a+1|10^k}} || || |SZ= }} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Rationale Zahl/Approximation durch Dezimalbrüche/Fakt |Nr= |SZ= }} durch. Die Zahl {{mathl|term= 47,2940574 |SZ=}} ist beispielsweise auf zwei Nachkommastellen gerundet gleich {{mathl|term= 47,29 |SZ=.}} Häufig finden sich auch Rundungsangaben von der Form {{mathl|term= 7,3 \cdot 10^{k} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} n75u3ivlj88g3dk0o04wlwvrlycg16q 0 86774 1092620 1073508 2026-06-01T14:16:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092620 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Viele Wachstumsprozesse in Natur und Gesellschaft sind von der Form, dass sich die Größe nach einem bestimmten Zeitraum {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise nach einem Jahr| |ISZ=|ESZ= }} zur Ausgangsgröße proportional mit einem bestimmten konstanten Proportionalitätsfaktor verhält. Beispiele hierfür sind das Wachstum einer Population oder die Inflation. Bei konstanten Bedingungen hängt das Wachstum einer Population mit einem festen Faktor, genannt {{Stichwort|Wachstumsfaktor|SZ=,}} von der Größe der Population ab. Wenn sich beispielsweise eine gewisse Population, sagen wir Mäuse, auf katzenfreien, kornreichen Feldern, in einem Jahr verdoppelt, so werden in einem Jahr aus {{math|term= 100 |SZ=}} Mäusen {{math|term= 200 |SZ=}} Mäuse, aus {{math|term= 1000 |SZ=}} Mäusen {{math|term= 2000 |SZ=}} Mäuse u.s.w. Das Verhältnis der Population nach einem Jahr zur Population vor einem Jahr ist also konstant gleich {{math|term= 2 |SZ=.}} Wenn die Bedingungen über einem längeren Zeitraum konstant sind, so ändert sich dieser Faktor nicht, und man muss von Jahr zu Jahr mit diesem Faktor multiplizieren. Nach {{math|term= n |SZ=}} Jahren gibt es dann {{math|term= 2^n x |SZ=}} Mäuse, wenn {{math|term= x |SZ=}} die Größe der jetzigen Mauspopulation bezeichnet. {{wertetabelle7|text1=Jahre|0|1|2|3|4|5|6|text2=Mäuse|100|200|400|800|1600|3200|6400|}} Der Wachstumsfaktor {{math|term= 2 |SZ=}} ist recht groß. Häufiger sind Wachstumsfaktoren wie {{mathl|term= 1,01 |SZ=,}} {{mathl|term= 1,02 |SZ=,}} {{mathl|term= 1,05 |SZ=}} und ähnliches. Bei einem Preisentwicklungsfaktor von {{mathl|term= 1,05 |SZ=}} erhält man beispielsweise {{ Zusatz/Klammer |text=gerundete Werte| |ISZ=|ESZ= }} {{wertetabelle7|text1=Jahre|0|1|2|3|4|5|6|text2=Bierpreis auf der Wiesn|10|10,50|11,03|11,58|12,16|12,76|13,40|}} Ein Wachstum wird häufig nicht mit dem Wachstumsfaktor beschrieben, sondern mit dem proportionalen Zuwachs, dem {{Stichwort|Zuwachsfaktor|SZ=.}} Es wird also der proportionale Anteil in Bezug auf die Vorgängergröße angegeben, der hinzukommt. Bei einem Wachstumsfaktor von {{math|term= 2 |SZ=}} ist der Zuwachsfaktor gleich {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Größe der Population kommt in einem Jahr neu hinzu| |ISZ=|ESZ=, }} in den weiteren genannten Beispielen ist der Zuwachsfaktor gleich {{mathl|term= 0,01 |SZ=,}} {{mathl|term= 0,02 |SZ=,}} {{mathl|term= 0,05 |SZ=.}} Dieser Zuwachsfaktor wird zumeist in Prozent angegeben, man spricht von einem jährlichen Wachstum von {{math|term= 100 {{Prozent}} |SZ=,}} von {{math|term= 1 {{Prozent}} |SZ=,}} {{math|term= 2 {{Prozent}} |SZ=,}} {{math|term= 5 {{Prozent}} |SZ=.}} Eine Prozentangabe bei Wachstumsprozessen von {{math|term= a {{Prozent}} |SZ=}} bedeutet also einen Zuwachsfaktor von {{mathl|term= {{op:Bruch|a|100}} |SZ=}} und einen Wachstumsfaktor von {{mathl|term= {{op:Bruch|100+a|100}} |SZ=.}} Wenn man einen Wachstumsprozess, der mit einer Pro{{drucktrenn}}zentangabe beschrieben wird, über mehrere Jahre verstehen will, muss man also den Wachstumsfaktor ausrechnen und diesen potenzieren {{ Zusatz/Klammer |text=mit der Anzahl der Jahre im Exponenten| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist falsch, die Prozentwerte mit der Anzahl der Jahre zu multiplizieren und dies als Gesamtzuwachs zu nehmen. Im Wiesnbeispiel führt die falsche Rechnung zu folgendem Ergebnis {{wertetabelle7|text1=Jahre|0|1|2|3|4|5|6|text2=Bierpreis auf der Wiesn (falsch gerechnet)|10|10,50|11|11,50|12|12,50|13|}} Die Abweichung wird zunehmend größer, für kleine Zeiträume ist die einfachere falsche Rechnung als Überschlagsrechnung akzeptabel. Aufgrund der allgemeinen binomischen Formel ist {{ Relationskette/display |(1+a)^n || 1 +na + \binom{n}{ 2}a^2 + \binom{n}{ 3}a^3 {{plusdots|}} a^n || || || |SZ=, }} und {{mathl|term= 1+na|SZ=}} ist das Ergebnis bei der falschen Rechnung. Wenn {{math|term= a |SZ=}} wie häufig klein, etwa {{mathl|term= \leq 0,05 |SZ=}} ist, so sind die höheren Potenzen {{mathl|term= a^2,a^3 |SZ=}} besonders klein, und das wird auch durch die Binomialkoeffizienten {{mathl|term= \binom{n}{ i} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bei nicht allzu großem {{math|term= n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} nicht sehr groß gemacht. Der Fehler wird aber, egal wie klein der Prozentsatz ist, bei hinreichend großem {{math|term= n |SZ=}} beliebig groß. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} tdk1dsqthf7h140uyzwxw3zrbvbld6h 0 86778 1092462 1074717 2026-06-01T13:51:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092462 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Rationale Zahl/Prozent/Definition|| }} {{ inputdefinition |Rationale Zahl/Promille/Definition|| }} {{ inputbild |Bundeshaushaltsplan 2011|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Der Bundeshaushalt von 2011 |Autor= |Benutzer=5ven4wiki |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Cement Production 2010|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Propubs |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Dafür gibt es spezielle Zeichen, {{math|term= {{prozent}} |SZ=}} und {{math|term= {{Promille}} |SZ=.}} Von der Definition her ist die Prozentrechnung ein Spezialfall des Rechnens mit rationalen Zahlen, und zwar mit Dezimalbrüchen. Eine rationale Zahl zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} gibt den Anteil von einer gegebenen Grundgröße an. Diese Anteilsgröße wird in vielen alltäglichen Kontexten am besten durch einen Dezimalbruch angeben, da dieser eine unmittelbare Größenvorstellung mitliefert, da Dezimalbrüche untereinander einfach vergleichbar sind, wie in {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Dezimalbrüche/Dezimalsystem/Größenvergleich/Bemerkung |Nr= |SZ= }} erwähnt wurde. Bei der Größenordnung will man es häufig gar nicht so genau wissen, sondern nur eine ungefähre Größenvorstellung haben. Deshalb werden viele Größenanteile in Hunderstel oder seltener in Tausendstel angegeben, wofür sich die Bezeichnungen Prozent und Promille eingebürgert haben. Die {{Stichwort|Prozentrechnung|SZ=}} beschäftigt sich mit dem Rechnen von Größenangaben, die in Prozent gemacht werden. Prozentrechnung ist einfach, wenn man erkennt, dass es sich um Rechnungen mit rationalen Zahlen handelt. Dennoch gibt es einige, für die Prozentrechnung typische Formulierungen, bei denen man sich die zugrunde liegende mathematische Bedeutung erst klar machen muss. Im Prozentkontext werden die Angaben grundsätzlich nur mit einer gewissen Fehlergenauigkeit gemacht. Wenn eine endliche Grundmenge {{math|term= G |SZ=}} und eine Teilmenge {{ Relationskette |T |\subseteq|G || || || |SZ= }} gegeben ist, so versteht man unter dem {{Stichwort|Anteil}} von {{math|term= T |SZ=}} in {{math|term= G |SZ=}} einfach den Quotienten der Anzahlen, also den Bruch {{ Math/display|term= {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} |{{op:Anzahl|G|}} }} |SZ=. }} Diese Zahl liegt zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ=. }} Wenn man daraus eine Prozentangabe machen will, so macht man die Umformung {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} |{{op:Anzahl|G|}} }} || {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} \cdot 100}} || {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} }} \cdot {{op:Bruch|1 | 100 |}} || {{op:Bruch| {{op:Anzahl|T|}} \cdot 100 |{{op:Anzahl|G|}} }} \cdot {{Prozent}} || |SZ=. }} Durch die Multiplikation mit dem Faktor kommt der Anteil, der ja eigentlich zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} liegt, in einen Zahlenbereich zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 100 |SZ=, }} der für die meisten Menschen vertrauter ist {{ Zusatz/Klammer |text=in einer solchen Situation ist die Prozentangabe unterhalb von {{math|term= 100 |SZ=,}} in vielen anderen Kontexten ist aber auch ein größerer Anteil sinnvoll| |ISZ=|ESZ=. }} Überhaupt werden Prozentangaben nur in einer Größenordnung verwendet, in der sie suggestiv sind, wo also die Multiplikation mit {{math|term= 100 |SZ=}} dem Vorstellungsvermögen entgegenkommt. Ob man sagt, dass der Anteil von Gold an der Gesamtmasse des Universums gleich {{math|term= 2 \cdot 10^{-23} |SZ=}} ist oder {{math|term= 2 \cdot 10^{-21} {{Prozent}} |SZ=}} beträgt, macht keinen Unterschied. {{ inputbemerkung |Prozentrechnung/Addition/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Prozentrechnung/Multiplikation/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Prozentrechnung/Gegenrechnung/Invertierung/Bemerkung|| }} Wenn Angaben üblicherweise in Prozenten gemacht werden, wie beispielsweise das Ergebnis von Wahlen, so drückt man die Änderung zwischen zwei Wahlen durch {{Stichwort|Prozentpunkte|msw=Prozentpunkt|SZ=}} aus, also nicht prozentual! Wenn die Partei vor vier Jahren {{mathl|term= 35 {{Prozent|}} |SZ=}} erzielt hat und bei den neuen Wahlen {{mathl|term= 32 {{Prozent|}} |SZ=}} erzielt, so spricht man von einem Verlust von {{math|term= 3 |SZ=}} Prozentpunkten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8d0jwwhduoljuq15i1k03gk2pew1pnx 0 86779 1092129 1074547 2026-06-01T12:57:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092129 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Exp-4-plot|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Exponentialfunktionen werden wir später auf ganz {{math|term= \Q|SZ=}} bzw. {{math|term= \R|SZ=}} ausdehnen, definiert haben wir sie bisher nur für ganzzahlige Stellen. |Autor= |Benutzer=Svyo |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Definition|| }} Die Basis {{math|term= b |SZ=}} ist dabei der Wachstumsfaktor.{{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Funktionalgleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |Exponential|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Exponentialfunktion zur Basis {{math|term= 2 |SZ=}} im Vergleich zu einer linearen Funktion und zur dritten Potenz. Auf der {{math|term= x |SZ=-}} und der {{math|term= y |SZ=-}}Achse wurden unterschiedliche Maßstäbe gewählt. |Autor= |Benutzer=Mc Sush |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Wachstumsverhalten/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch/Grenzverhalten/Fakt|Lemma|| || }} Häufig findet man die Vorstellung, dass exponentielles Wachstum etwas wie {{Anführung|explosives Wachstum}} ist. Das ist so {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} richtig. Wenn der Wachstumsfaktor zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} liegt, so ist die Exponentialfunktion sogar fallend und wenn der Faktor knapp oberhalb von {{math|term= 1 |SZ=,}} so ist das Wachstum langsam. Exponentielles Wachstum ist ein natürliches Phänomen und hat nichts mit unkontrollierbaren Entwicklungen zu tun. Allerdings zeigt der folgende Satz, dass sich exponentielles Wachstum gegenüber jedem Wachstum, das durch eine Potenzfunktion beschrieben wird, letztlich durchsetzt. Man beachte auch, dass sowohl eine Exponentialfunktion als auch eine Potenzfunktion durch den gleichen funktionalen Ausdruck, nämlich als Potenz {{mathl|term= g^e|SZ=,}} beschrieben wird. Der Unterschied besteht darin, ob die Grundzahl {{math|term= g |SZ=}} oder der Exponent {{math|term= e |SZ=}} als variabel betrachtet wird. {{ inputbeispiel |Exponentialfunktion/3 durch 2/Vergleich/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ganzzahligen Exponentialfunktionen |Kategorie2=Theorie der monotonen Abbildungen auf einem angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mb99xr6gmk8xld3y863qcm5pclc2ruk 0 86816 1092163 1009861 2026-06-01T13:02:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092163 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Z/Binäre quadratische Form/Definition|| }} Die {{mathl|term= a,b,c |SZ=}} heißen die Koeffizienten der quadratischen Form. Wir fassen eine binäre quadratische Form {{math|term= F |SZ=}} als eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \Z^2 | \Z | (x,y) | ax^2+bxy+cy^2 |SZ=, }} auf. Die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| a | {{op:Bruch|1|2}}b | {{op:Bruch|1|2}} b | c }} |SZ= }} heißt die {{Stichwort|Gramsche Matrix|SZ=}} zur Form {{math|term= F |SZ=.}} Mit ihr kann man {{ Relationskette/display | F(x,y) || {{op:Zeilenvektor|x|y}} {{op:Matrix22|a| {{op:Bruch|1|2}}b | {{op:Bruch|1|2}}b |c}} {{op:Spaltenvektor|x|y}} || || || |SZ= }} schreiben. {{ inputdefinition |Z/Binäre quadratische Form/Diskriminante/Definition|| }} Die Diskriminante kann man auch als das {{mathl|term= -4 |SZ=-}}fache der Determinante von {{mathl|term= {{op:Matrix22|a| {{op:Bruch|1|2}}b | {{op:Bruch|1|2}}b |c}} |SZ=}} ansehen. Wir werden diese Diskriminante bald mit der Diskriminante eines quadratischen Zahlbereiches in Verbindung bringen. {{ inputdefinition |Z/Binäre quadratische Form/Darstellbar/Definition|| }} Die Zahlen {{mathl|term= a,c,a+b+c |SZ=}} sind unmittelbar darstellbar. Im Allgemeinen ist es schwierig, die Mengen aller darstellbaren Zahlen zu beschreiben. Für die quadratische Form {{mathl|term= X^2+Y^2 |SZ=}} bedeutet die Darstellbarkeit, dass {{math|term= n |SZ=}} eine Summe von zwei Quadraten ist. Zur Beantwortung dieser Frage ist die Betrachtung der Faktorzerlegung in {{math|term= \Z[ {{imaginäre Einheit}} ] |SZ=}} hilfreich. {{ inputdefinition |Z/Binäre quadratische Form/Einfach/Definition|| }} Wenn {{math|term= g |SZ=}} der größte gemeinsame Teiler von {{mathl|term= a,b,c |SZ=}} ist, so nennt man die durch {{ Math/display|term= {{op:Bruch|a|g}} X^2 + {{op:Bruch|b|g}} XY + {{op:Bruch|c|g}} Y^2 |SZ= }} gegebene Form die {{Stichwort|Vereinfachung|msw=Vereinfachung (binäre quadratische Form) |SZ=}} der ursprünglichen Form. Es handelt sich dann um eine einfache Form. Zu einer Matrix {{ Relationskette | M || {{op:Matrix22|r|s|t|u}} || || || |SZ= }} mit ganzzahligen Einträgen {{ Relationskette | r,s,t,u |\in| \Z || || || |SZ= }} und einer binären quadratischen Form {{ Relationskette | F || aX^2+bXY+cY^2 || || || |SZ= }} erhält man durch die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= \Z^2 \stackrel{M}{\longrightarrow} \Z^2 \stackrel{F} {\longrightarrow} \Z |SZ= }} die neue quadratische Form {{ Relationskette | F' || F \circ M || || || |SZ=. }} Wenn man die Variablen links mit {{math|term= V,W |SZ=}} bezeichnet, so liegt insgesamt die quadratische Form vor, die ein Tupel {{math|term= (v,w) |SZ=}} auf {{ Relationskette/align/drucklinks | a {{makl| rv+sw |}}^2 + b {{makl| rv+sw |}} {{makl| tv+uw |}} + c {{makl| tv+uw |}}^2 || {{latexziehzieh|}} {{makl| a r^2+ brt +ct^2 |}} v^2 {{latexzieh|}} + {{latexzieh|}} {{makl| 2ars + bru+bst +2c tu |}} vw {{latexzieh|}} + {{latexzieh|}} {{makl| as^2+bsu +cu^2 |}} w^2 || || || |SZ= }} abbildet. Die neuen Koeffizienten der transformierten Form sind also {{ Mathlist/display|term1= a' = a r^2+ brt +ct^2 ||term2= b' =2ars + bru+bst +2c tu |und|term3= c' = as^2+bsu +cu^2 |SZ=. }} Dies können wir auch als Matrixgleichung als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22|a'| {{op:Bruch|1|2}} b' | {{op:Bruch|1|2}} b' |c'}} || {{op:Matrix22|r|t|s|u}} {{op:Matrix22|a|{{op:Bruch|1|2}} b| {{op:Bruch|1|2}} b |c}} {{op:Matrix22|r|s|t|u}} || || || |SZ= }} schreiben, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Binäre quadratische Form/Transformation/Gramsche Darstellung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Die Matrix {{math|term= M |SZ=}} ist über {{math|term= \Z |SZ=}} genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante gleich {{math|term= 1 |SZ=}} oder gleich {{math|term= -1 |SZ=}} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Matrix/Z/2/Invertierbarkeit/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Bei einer solchen invertierbaren Transformation ändern sich wesentliche Eigenschaften der Form nicht. {{ inputdefinition |Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Definition|| }} {{ inputdefinition |Z/Binäre quadratische Form/Strikte Äquivalenz/Definition|| }} Die Formen {{mathl|term= aX^2+bXY+cY^2 |SZ=}} und {{mathl|term= aX^2-bXY+cY^2 |SZ=}} sind zueinander {{ Zusatz/Klammer |text=über die Matrix {{mathlk|term= {{op:Matrix22|1|0|0|-1}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} äquivalent, aber im Allgemeinen nicht strikt äquivalent. {{ inputfaktbeweis |Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hh2fz93ouocwyrdgfuqb3ewv3ulv5kb 0 86826 1092080 1018544 2026-06-01T12:48:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092080 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition|| }} Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die {{Anführung|Genauigkeit}} um ein {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} |SZ=}} erhöht, das folgende Glied {{mathl|term= x_{n+1} |SZ=}} liegt im Intervall {{ Relationskette/display | [ {{op:Bruch|a_n |10^n}} , {{op:Bruch|a_n + 1|10^n}} [ || [x_n,x_n + {{op:Bruch|1|10^n}} [ || || || |SZ= }} der Länge {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10^n}} |SZ=,}} das vom Vorgänger {{math|term= x_n |SZ=}} festgelegt ist. Wir werden zeigen, dass es für jedes Element {{math|term= x |SZ=}} in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge {{ Math/display|term= {{op:Bruch|9|10}} ,\, {{op:Bruch|99|100}} ,\, {{op:Bruch|999|1000}} ,\, {{op:Bruch|9999|10000}} ,\, {{op:Bruch|99999|100000}} {{kommadots|}} |SZ= }} ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu {{math|term= 1 |SZ=,}} diese ist nämlich einfach die konstante Folge. {{ inputverfahren |Archimedisch angeordneter Körper/Element/Dezimalbruchfolge/Verfahren||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung {{ Relationskette/display | 10^n x || u_n + v_n \cdot 10^n || || || |SZ= }} herstammend interpretieren. Es ist also einfach {{ Relationskette/display | u_n || {{op:Gaußklammer|x \cdot 10^n ||}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |x_n || u_n 10^{-n} || {{op:Gaußklammer|x \cdot 10^n |}} \cdot 10^{-n} || || |SZ=, }} was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder {{math|term= x_n |SZ=}} dieser Folge approximieren die gegebene Zahl {{math|term= x |SZ=}} optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner {{mathl|term= 10^n |SZ=,}} wie die folgende Aussage zeigt. {{ inputfaktbeweis |Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jnubcu4jczmannhg6m8zlnwmk4x4tin 1092128 1092080 2026-06-01T12:56:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092128 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Definition|| }} Achtung! Eine Dezimalbruchfolge ist nicht das gleiche wie eine Folge von Dezimalbrüchen. Die Folge, die abwechselnd die Werte {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} besitzt, besteht auch nur aus Dezimalbrüchen. Hier ist wichtig, das bei einer Dezimalbruchfolge bei jedem Folgenglied sich die {{Anführung|Genauigkeit}} um ein {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} |SZ=}} erhöht, das folgende Glied {{mathl|term= x_{n+1} |SZ=}} liegt im Intervall {{ Relationskette/display | [ {{op:Bruch|a_n |10^n}} , {{op:Bruch|a_n + 1|10^n}} [ || [x_n,x_n + {{op:Bruch|1|10^n}} [ || || || |SZ= }} der Länge {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10^n}} |SZ=,}} das vom Vorgänger {{math|term= x_n |SZ=}} festgelegt ist. Wir werden zeigen, dass es für jedes Element {{math|term= x |SZ=}} in einem archimedisch angeordneten Körper eine zugehörige kanonische Dezimalbruchfolge gibt, und dass diese im Fall einer rationalen Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}} aus dem Divisionsalgorithmus ablesbar ist. Die Folge {{ Math/display|term= {{op:Bruch|9|10}} ,\, {{op:Bruch|99|100}} ,\, {{op:Bruch|999|1000}} ,\, {{op:Bruch|9999|10000}} ,\, {{op:Bruch|99999|100000}} {{kommadots|}} |SZ= }} ist eine Dezimalbruchfolge, aber nicht die kanonische Dezimalbruchfolge zu {{math|term= 1 |SZ=,}} diese ist nämlich einfach die konstante Folge. {{ inputverfahren |Archimedisch angeordneter Körper/Element/Dezimalbruchfolge/Verfahren||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Die definierende Gleichung in diesem Verfahren kann man auch als von der Gleichung {{ Relationskette/display | 10^n x || u_n + v_n \cdot 10^n || || || |SZ= }} herstammend interpretieren. Es ist also einfach {{ Relationskette/display | u_n || {{op:Gaußklammer|x \cdot 10^n ||}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |x_n || u_n 10^{-n} || {{op:Gaußklammer|x \cdot 10^n |}} \cdot 10^{-n} || || |SZ=, }} was zugleich zeigt, dass diese Folge existiert und eine Dezimalbruchfolge im Sinne der obigen Definition ist. Die Glieder {{math|term= x_n |SZ=}} dieser Folge approximieren die gegebene Zahl {{math|term= x |SZ=}} optimal unter allen Dezimalbrüchen mit dem vorgegebenen Nenner {{mathl|term= 10^n |SZ=,}} wie die folgende Aussage zeigt. {{ inputfaktbeweis |Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Approximation/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dezimalbruchfolgen in einem archimedisch angeordneten Körper |Kategorie2=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ej1xgq0lnjqpopi802o8cluy93ber67 0 87377 1092494 983759 2026-06-01T13:56:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092494 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir konstruieren, ausgehend von den rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=,}} einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper, also ein Modell für den Körper der reellen Zahlen. Die Konstruktion ist mengentheoretisch und begrifflich ziemlich aufwändig. Sie setzt einen sicheren Umgang mit Äquivalenzrelationen, Restklassenbildung und Folgen voraus. Es sei {{ Relationskette/display |C || {{Mengebed|{{Folge|}}|\text{Cauchy-Folge in } \Q }} || || || |SZ=, }} also die Menge aller {{ Definitionslink |Cauchy-Folgen| |Kontext=ang| |SZ= }} mit rationalen Gliedern. Dies ist eine riesige und erst mal unübersichtliche Menge. Sie enthält die Menge {{math|term= \Q|SZ=,}} indem wir jeder rationalen Zahl {{math|term= x |SZ=}} die konstante Folge zuordnen, für die jedes Folgenglied gleich {{math|term= x |SZ=}} ist. Eine konstante Folge ist trivialerweise eine Cauchy-Folge. {{ inputfaktbeweis |Cauchy-Folgen/Q/Kommutativer Ring/Fakt|Lemma|| || }} Eine rationale Nullfolge konvergiert nach Definition in {{math|term= \Q|SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=,}} und das soll auch in {{math|term= \R|SZ=}} so sein. Insbesondere gibt es eine Vielzahl von Cauchy-Folgen, die gegen die gleiche Zahl konvergieren. Die Addition einer Nullfolge zu einer Folge ändert das Konvergenzverhalten und den Grenzwert, falls er existiert, nicht. Das Produkt einer Nullfolge mit einer beliebigen Folge ist im Allgemeinen nicht wieder eine Nullfolge. Beispielsweise ist die Folge der Stammbrüche {{ Relationskette | x_n || {{op:Bruch|1|n}} || || || |SZ= }} eine Nullfolge {{ Zusatz/Klammer |text=in jedem archimedisch angeordneten Körper| |ISZ=|ESZ=, }} wenn man sie aber mit der Folge der natürlichen Zahlen, also {{ Relationskette |y_n ||n || || || |SZ= }} multipliziert, so erhält man die konstante Einsfolge, die keine Nullfolge ist. Innerhalb des Ringes der Cauchy-Folgen kann man aber Nullfolgen mit beliebigen Cauchy-Folgen multiplizieren und erhält wieder eine Nullfolge. {{ inputfaktbeweis |Cauchy-Folgen/Q/Kommutativer Ring/Nullfolgenideal/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Cauchy-Folgen/Q/Ideal/Nullfolgenäquivalenz/Bemerkung|| }} Wir definieren nun die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} unter dieser Äquivalenzrelation, also den Restklassenring nach dem von den Nullfolgen erzeugten Ideal, als Menge der reellen Zahlen, also {{ Relationskette/display |\R | {{defeq|}} | C/ \sim || C/N || || |SZ=. }} Wir sprechen vom {{Stichwort|Cauchy-Folgen-Modell|SZ=}} für die reellen Zahlen. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Definition|| }} Unter der Identifzierungsabbildung {{ Abbildung/display |name= |C| C/ \sim {{=}} C/N || |SZ= }} werden also alle Nullfolgen zu {{math|term= 0 |SZ=}} gemacht, und zwei rationale Folgen werden miteinander identifiziert, wenn ihre Differenz eine Nullfolge ist. Wir schreiben die zugehörigen Äquivalenzklassen als {{mathl|term= [{{Folge|x}}] |SZ=.}} Man kann jede Folge durch eine nullfolgenäquivalente Folge ersetzen, ohne den Wert der Restklasse zu ändern. Insbesondere kann man eine Cauchy-Folge an endlich vielen Gliedern abändern, ohne die Äquivalenzklasse zu ändern. Man kann sogar jede Klasse durch eine Dezimalbruchfolge repräsentieren und dadurch eine {{Anführung|schnellere Konvergenz}} erreichen und für unterschiedliche Klassen sicherstellen, dass ihr Konvergenzverhalten simultan ist. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Kommutativer Ring/Fakt|Lemma|| || }} Auf der Quotientenmenge sind also die Verknüpfungen durch {{ Math/display|term= [{{Folge|x}}] +[{{Folge|y}}] := [{{Folge|Glied=x_n+y_n}}] \text{ und } [{{Folge|x}}] \cdot [{{Folge|y}}] := [{{Folge|Glied=x_n \cdot y_n}}] |SZ= }} gegeben. Deutlich aufwändiger ist es zu zeigen, dass unser konstruiertes Modell ein Körper ist. Die zusätzliche Eigenschaft ist, dass jedes von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Element ein inverses Element besitzt. Die entscheidenden Vorbereitungen haben wir aber schon in {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt |Nr= |SZ= }} gemacht. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Körper/Fakt|Lemma|| || }} Ausgehend von der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt |Nr= |SZ= }} formulierten Alternative: die rationale Cauchy-Folge {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} ist eine Nullfolge, oder es gibt ein {{ Relationskette | \delta |>|0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |x_n |\geq| \delta || || || |SZ= }} für fast alle{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Das bedeutet für alle bis auf endlich viele| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ=, }} oder mit {{ Relationskette |x_n |\leq| -\delta || || || |SZ= }} für fast alle {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ=, }} kann man {{math|term= \R |SZ=}} in {{math|term= 0 |SZ=,}} in positive und in negative Zahlen einteilen und somit eine {{ Zusatz/Klammer |text=totale| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Ordnungsrelation| |Kontext=| |SZ= }} darauf definieren. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Archimedisch angeordneter Körper/Fakt|Lemma|| || }} Die Vollständigkeit der reellen Zahlen wird in zwei Schritten bewiesen. Zuerst wird gezeigt, dass die rationalen Cauchy-Folgen, mit denen wir gestartet sind, aufgefasst in {{math|term= \R |SZ=,}} gegen ihre Klasse konvergiert, und dann, dass überhaupt jede reelle Cauchy-Folge konvergiert. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Konvergenz der Repräsentanten/Fakt|Lemma|| || }} Die folgende Tabelle gibt die Beweisidee des folgenden Satzes an. {{Tabelleleitfünfxfünf| |ls0= |lz1= |lz2= |lz3= |lz4= |lz5= Grenzwert |lz6= |lz7= |lz8= |lz9= |lz10= | |ls1=Erste Folge |a1,1= x_{ 11} |a1,2= x_{ 12} |a1,3= x_{ 13} |a1,4= \rightarrow |a1,5= z_1 |a1,6= |a1,7= |a1,8= |a1,9= |a1,10= | |ls2=Zweite Folge |a2,1= x_{ 21} |a2,2= x_{ 22} |a2,3= x_{ 23} |a2,4= \rightarrow |a2,5= z_2 |a2,6= |a2,7= |a2,8= |a2,9= |a2,10= | |ls3=Dritte Folge |a3,1= x_{ 31} |a3,2= x_{ 32} |a3,3= x_{ 33} |a3,4= \rightarrow |a3,5= z_3 |a3,6= |a3,7= |a3,8= |a3,9= |a3,10= | |ls4= |a4,1= \, |a4,2= \, |a4,3= \, |a4,4= \searrow |a4,5= \downarrow |a4,6= |a4,7= |a4,8= |a4,9= |a4,10= | |ls5= |a5,1=\, |a5,2=\, |a5,3=\, |a5,4= \, |a5,5= y |a5,6= |a5,7= |a5,8= |a5,9= |a5,10= | |ls6= |a6,1= |a6,2= |a6,3= |a6,4= |a6,5= |a6,6= |a6,7= |a6,8= |a6,9= |a6,10= | |ls7= |a7,1= |a7,2= |a7,3= |a7,4= |a7,5= |a7,6= |a7,7= |a7,8= |a7,9= |a7,10= | |ls8= |a8,1= |a8,2= |a8,3= |a8,4= |a8,5= |a8,6= |a8,7= |a8,8= |a8,9= |a8,10= | |ls9= |a9,1= |a9,2= |a9,3= |a9,4= |a9,5= |a9,6= |a9,7= |a9,8= |a9,9= |a9,10= | |ls10= |a10,1= |a10,2= |a10,3= |a10,4= |a10,5= |a10,6= |a10,7= |a10,8= |a10,9= |a10,10= | |ls11= |a11,1= |a11,2= |a11,3= |a11,4= |a11,5= |a11,6= |a11,7= |a11,8= |a11,9= |a11,10= | |ls12= |a12,1= |a12,2= |a12,3= |a12,4= |a12,5= |a12,6= |a12,7= |a12,8= |a12,9= |a12,10= | |ls13= |a13,1= |a13,2= |a13,3= |a13,4= |a13,5= |a13,6= |a13,7= |a13,8= |a13,9= |a13,10= | |ls14= |a14,1= |a14,2= |a14,3= |a14,4= |a14,5= |a14,6= |a14,7= |a14,8= |a14,9= |a14,10= | |ls15= |a15,1= |a15,2= |a15,3= |a15,4= |a15,5= |a15,6= |a15,7= |a15,8= |a15,9= |a15,10= | |ls16= |a16,1= |a16,2= |a16,3= |a16,4= |a16,5= |a16,6= |a16,7= |a16,8= |a16,9= |a16,10= | }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Rationale Cauchy-Folgen/Vollständiger Körper/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|}}} || }} Wir halten insbesondere fest, dass es einen vollständigen archimedisch angeordneten Körper gibt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} tm8b5y9qg8h99jeif2yuzs1in9vqrct 0 87424 1092127 1074546 2026-06-01T12:56:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092127 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}}| |SZ= }} mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in {{math|term= \R|SZ=}} betrachten, wo {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge. {{{zusatz1|}}} {{ inputbild |Augustin Louis Cauchy|JPG| 150px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Augustin_Louis_Cauchy |Text= [[w:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy (1789-1857)]] |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Definition|| }} Es werden also die Abstände von Folgenglieder untereinander verglichen, diese Schwankungen müssen beliebig klein werden. Grob gesprochen kann man sagen, dass eine Cauchy-Folge alle Eigenschaften einer konvergenten Folge besitzt bis auf die Konvergenz, bis auf die Existenz eines Grenzwertes. Eine nichtkonvergente Cauchy-Folge entdeckt eine {{Anführung|Lücke|SZ=.}} Beim Übergang von {{math|term= \Q|SZ=}} nach {{math|term= \R|SZ=}} schließt man diese Lücken, indem man {{ Zusatz/Klammer |text=Äquivalenzklassen von| |ISZ=|ESZ= }} Cauchy-Folgen hinzunimmt. {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Konvergente Folge ist Cauchy-Folge/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Cauchyfolge/Charakterisierung mit n0 und n/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt|Lemma|| || }} Dies bedeutet insbesondere, dass jede {{Anführung|Kommazahl|SZ=,}} also jede {{Anführung|unendliche Ziffernfolge|SZ=,}} eine Cauchy-Folge ist. {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Heron-Verfahren/Folge/Cauchy-Folge und Konvergenz/Fakt|Lemma|| || }} {{{zusatz2|}}} Eine Dezimalbruchfolge ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Cauchy-Folge. Sie ist auch eine wachsende Folge, die nach oben beschränkt ist. Solche Folgen sind stets Cauchy-Folgen. Insbesondere ergibt sich {{ Faktlink |Faktseitenname= Dezimalbruchfolge/Cauchy-Folge/Fakt |Nr= |SZ= }} erneut aus dem folgenden Lemma. {{ inputfaktbeweis |Archimedisch angeordneter Körper/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Addition und Multiplikation/Fakt|Lemma|| || }} Wenn eine Folge in {{math|term= K |SZ=}} konvergiert, so ist der Grenzwert {{math|term= 0 |SZ=}} oder positiv oder negativ. Wenn der Grenzwert positiv ist, so können zwar am Anfang der Folge auch negative Folgeglieder auftreten, ab einem bestimmten {{math|term= n_0 |SZ=}} müssen aber alle Folgenglieder positiv sein, und zwar mindestens so groß wie die Hälfte des Grenzwertes. Eine entsprechende Einteilung gilt auch für Cauchy-Folgen, wie das folgende Lemma zeigt, das grundlegend für die {{ Zusatz/Klammer |text=später einzuführende| |ISZ=|ESZ= }} Ordnung auf den reellen Zahlen ist. {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Keine Nullfolge/Abschätzung/Alternative/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Cauchy-Folge/Positiv/Inverse Folge/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Cauchy-Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8b797nf199uuxxml8np19q23yfs72oy 0 87446 1092483 1074719 2026-06-01T13:54:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092483 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein Polynom vom Grad zwei nennt man auch ein {{Stichwort|quadratisches Polynom|SZ=.}} Wir schreiben es in der Form {{ Math/display|term= aX^2 +bX+c \text{ mit } a \neq 0 |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette |a || 0 || || || |SZ= }} ist, so fällt der vordere Term weg und es liegt ein lineares, kein quadratisches Polynom vor. Wenn {{ Relationskette |b || 0 || || || |SZ= }} ist, so spricht man von einem rein-quadratischen Polynom. Es sei ein quadratisches Polynom über {{math|term= \R |SZ=}} gegeben. Wir interessieren uns für die Frage, ob das Polynom Nullstellen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Dieses Konzept werden wir in der nächsten Vorlesung allgemeiner besprechen| |ISZ=.|ESZ= }} besitzt und wie diese zu ermitteln sind. Es geht also um Lösungen einer Gleichung der Form {{ Relationskette/display |aX^2 +bX+c || 0 || || || |SZ=. }} Dabei sind {{mathl|term= a,b,c|SZ=}} vorgegeben mit {{ Relationskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} und gesucht ist {{ Relationskette | x |\in| \R || || || |SZ= }} derart, dass wenn man die Zahl {{math|term= x |SZ=}} für die Variable {{math|term= X |SZ=}} einsetzt, sich der Wert {{math|term= 0 |SZ=}} ergibt. Wenn {{ Relationskette |b || 0 || || || |SZ= }} ist, also eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display |aX^2+c || 0 || || || |SZ= }} vorliegt, so geht es einfach um das ziehen einer Quadratwurzel. Die Gleichung ist ja äquivalent zu {{ Relationskette/display |X^2 || - {{op:Bruch|c|a}} || || || |SZ=. }} Wenn die Zahl rechts negativ ist, so gibt es keine Lösung. Wenn die Zahl rechts {{math|term= 0 |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=was bei {{ Relationskette/k | c || 0 || || || |SZ= }} der Fall ist| |ISZ=|ESZ=, }} so gibt es die einzige Lösung {{math|term= \{0\} |SZ=.}} Wenn die Zahl rechts positiv ist, so gibt es zwei Lösungen, nämlich {{mathl|term= \{ \sqrt{ - {{op:Bruch|c|a}} }, - \sqrt{ - {{op:Bruch|c|a}} } \} |SZ=.}} In einem beliebigen Körper geht es um die Frage, ob {{math|term= - {{op:Bruch|c|a}} |SZ=}} eine Quadratwurzel besitzt oder nicht. Für die Gleichung {{ Relationskette/display |aX^2 +bX || 0 || || || |SZ=, }} wo also {{ Relationskette |c || 0 || || || |SZ= }} ist, kann man sofort die Lösungen angeben, nämlich {{ Relationskette |x_1 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |x_2 || - {{op:Bruch|b|a}} || || || |SZ=. }} Für die allgemeine quadratische Gleichung {{ Relationskette/display |aX^2 +bX+c || 0 || || || |SZ= }} gibt es einen wichtigen Trick, sie auf eine rein-quadratische Form zurückzuführen und sie damit durch Wurzelziehen zu lösen, das sogenannte {{Stichwort|quadratische Ergänzen|msw=Quadratisches Ergänzen|SZ=.}} Zunächst dividiert man durch {{math|term= a |SZ=}} und erhält die äquivalente Gleichung {{ Relationskette/display |X^2 + {{op:Bruch|b|a}} X + {{op:Bruch|c|a}} || 0 || || || |SZ=. }} Das nennt man auch eine normierte Gleichung, da links ein normiertes Polynom steht. Wir schreiben diese Gleichung mit {{ Relationskette/display |p || {{op:Bruch|b|a}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |q || {{op:Bruch|c|a}} || || || |SZ= }} als {{ Relationskette/display |X^2 +pX+q || 0 || || || |SZ=. }} Dieses Polynom schreiben wir nun scheinbar komplizierter als {{ Relationskette/display | X^2 +pX+q || {{makl| X + {{op:Bruch|p|2}} |}}^2 - {{op:Bruch|p^2|4}} +q || || || |SZ=. }} Durch Ausmultiplizieren der rechten Seite mit Hilfe der ersten binomischen Formel sieht man, dass die Terme links und rechts übereinstimmen. Der Gewinn ist dabei, dass {{mathl|term= X + {{op:Bruch|p|2}} |SZ=}} eine {{Anführung|verschobene Variable}} ist, die wie eine Variable behandelt werden kann, und dass {{mathl|term= - {{op:Bruch|p^2|4}} +q |SZ=}} eine reelle Zahl ist. Es liegt also im Wesentlichen eine rein-quadratische Gleichung vor. Mit einer Umstellung erhält man {{ Relationskette/display | {{makl| X + {{op:Bruch|p|2}} |}}^2 || {{op:Bruch|p^2|4}} - q || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | X + {{op:Bruch|p|2}} || \pm \sqrt{ {{op:Bruch|p^2|4}} - q } || || || |SZ=, }} vorausgesetzt, dass der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen nichtnegativ ist. Als Lösung erhält man dann {{ Relationskette/display |X || \pm \sqrt{ {{op:Bruch|p^2|4}} - q } - {{op:Bruch|p|2}} || {{op:Bruch| \pm \sqrt{ p^2-4q } -p|2}} || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Quadratische Gleichung/R/Lösungsformel/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz2|}}} || }} Diese Lösungsformel heißt auch {{Stichwort|Mitternachtsformel|SZ=.}} Wenn man zuerst durch {{math|term= a |SZ=}} durchdividiert und die quadratische Gleichung in der Form {{ Relationskette/display | X^2+pX+q || 0 || || || |SZ= }} vorliegt, so vereinfachen sich die Lösungen zu {{ Relationskette/display |x_{1,2} || {{op:Bruch| \pm \sqrt{ p^2 -4q }-p|2}} || || || |SZ=. }} Dazu sagt man auch {{Stichwort|p-q-Formel|SZ=.}} Diese Formeln gelten in jedem Körper, in dem {{ Relationskette |2 |\neq|0 || || || |SZ= }} ist. Die Lösbarkeit hängt dann allein davon ab, ob die Diskriminante {{mathl|term= b^2-4ac |SZ=}} eine Quadratwurzel besitzt oder nicht. {{ inputbeispiel |Quadratische Gleichung/x^2+4x-3/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zaun/Grundstück/Quadratische Gleichung/Beispiel|| }} {{ inputbild |Francois Viete|jpeg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=[[w:François Viète|François Viète (1540-1603)]] |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Der folgende {{Stichwort|Satz von Vieta|SZ=}} ermöglicht eine sinnvolle Probe für das Ergebnis. Wenn man weiß, dass es ganzzahlige Lösungen geben muss, kann man damit auch häufig die Lösungen der quadratischen Gleichung erraten. {{ inputfaktbeweis |Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt|Lemma|| || }} Von dieser Aussage gilt auch die Umkehrung, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratisches Polynom/Satz von Vieta/Umkehrung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wenn man beispielsweise die Zusatzinformation kennt, dass {{ Relationskette/display |X^2 -7X+6 || 0 || || || |SZ= }} ganzzahlige Lösungen besitzt, so kommen dafür nur die Teiler von {{math|term= 6 |SZ=}} in Frage, und in der Tat sind {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 6 |SZ= }} die beiden Lösungen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der quadratischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5f7pt7w8rimbzjmvh38peiep1xrhy1c 0 87453 1092504 983812 2026-06-01T13:58:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092504 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei der folgenden Konstruktion denke man an die Gruppe {{math|term= \Z|SZ=}} zusammen mit der Untergruppe {{math|term= \Z n |SZ=}} aller Vielfachen zu einer fixierten Zahl {{math|term= n |SZ=,}} also an die Situation {{ Relationskette |\Z n |\subseteq| \Z || || || |SZ=, }} oder an die Situation eines Untervektorraumes {{ Relationskette |U |\subseteq|K^n || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition|| }} In dem eingangs erwähnten Beispiel sind zwei ganze Zahlen äquivalent, wenn ihre Differenz ein Vielfaches von {{math|term= n |SZ=}} ist. Diese Äquivalenzrelation wurde schon in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Z/Modulo/Äquivalenzrelation/Beispiel |Nr= |SZ= }} betrachtet. Wir sichern zuerst, dass wirklich in voller Allgemeinheit eine Äquivalenzrelation vorliegt. {{ inputfaktbeweis |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Die Äquivalenzklassen heißen in dieser Situation auch die {{Stichwort|Nebenklassen|msw=Nebenklasse|SZ=}} der Relation. Sie haben die Gestalt {{ Relationskette/display | [x] || x+H || {{Mengebed|x+h|h \in H}} || || || |SZ=, }} sie bestehen also aus allen Elementen, die man von {{math|term= x |SZ=}} aus durch Addition mit einem Element aus {{math|term= H |SZ=}} erreichen kann. Man kann sich dabei {{math|term= H |SZ=}} als einen mehr oder weniger restriktiven Vorrat an Sprungmöglichkeiten oder Bewegungsmöglichkeiten vorstellen, und die Äquivalenz zwischen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} bedeutet, dass man von {{math|term= x |SZ=}} nach {{math|term= y |SZ=}} mit einem erlaubten Sprung gelangen kann. {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Zyklische Gruppe/Kanonische Darstellung/2/Beispiel| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Restklassengruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4mn9p76i42g8690w92fj7z74dgjv88l 0 87522 1092612 1074780 2026-06-01T14:15:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092612 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Vector_Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= b |SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette |n |\in|\N || || || |SZ=. }} Dann ist die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=m| |SZ= }} {{ Relationskette/display | K^n || \underbrace{K {{timesdots|}} K }_{n\text{-mal} } || {{Mengebed| {{op:Zeilenvektor1n|x}} |x_i \in K }} || || |SZ= }} mit der komponentenweisen Addition, also {{ Relationskette/display | {{op:Zeilenvektor1n|x}} + {{op:Zeilenvektor1n|y}} | {{defeq|}} | {{op:Zeilenvektor|x_1+y_1 |\ldots|x_n+y_n}} || || || |SZ= }} und der durch {{ Relationskette/display | {{skalar}} {{op:Zeilenvektor1n|x}} || {{op:Zeilenvektor1n| {{skalar}} x}} || || || |SZ= }} definierten Skalarmultiplikation ein sogenannter {{ Stichwort |Vektorraum| |Kontext=| |SZ=. }} Damit ist folgendes gemeint: Die Menge {{math|term= K^n |SZ=}} ist mit der Verknüpfung {{math|term= +|SZ=,}} die man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition nennt, eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ=, }} und die Operation {{ Abbildung |name= |K \times K^n |K^n || |SZ=, }} die man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=}} nennt, erfüllt die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung4 |{{ Relationskette | r(su) || (rs) u || || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | r(u+v) || ru + rv || || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette |(r+s)u || ru + su || || || || |SZ= }} | {{ Relationskette |1u ||u || || || |SZ=. }} }} Diese Eigenschaften lassen sich für den {{math|term= K^n |SZ=}} direkt überprüfen. Man nennt den {{math|term= K^n |SZ=}} mit diesen Strukturen den {{math|term= n |SZ=-}}di{{drucktrenn}}mensionalen {{Stichwort|Standardraum|SZ=}} oder {{ Zusatz/Klammer |text=kartesischen| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Zahlenraum|SZ=.}} Insbesondere ist {{ Relationskette |K^1 ||K || || || |SZ= }} selbst ein Vektorraum. Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{ Relationskette | r |\in| K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Zu {{ Relationskette/display |v || {{op:Zeilenvektor|v_1 |v_2 |\ldots|v_n}} |\in| K^n || || |SZ= }} nennt man {{math|term= v_i |SZ=}} die {{math|term= i |SZ=-}}te Koordinate des Vektors. Das Nullelement {{ Relationskette |0 || (0 {{kommadots|}} 0) |\in|K^n || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Relationskette |v || (v_1 {{kommadots|}} v_n) || || || |SZ= }} heißt {{ Relationskette/display |-v || - (v_1 {{kommadots|}} v_n) || (-v_1 {{kommadots|}} -v_n) || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term= v |SZ=.}} Wie in Ringen gilt wieder {{Stichwort|Punktrechnung vor Strichrechnung|SZ=,}} d.h. die Skalarmultiplikation bindet stärker als die Vektoraddition. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Relationskette |K ||\Q || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|rationalen Vektorräumen|msw=rationaler Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Relationskette |K ||\R || || || |SZ= }} von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=.}} Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der Nullraum {{math|term= 0 |SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term= 0 |SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Relationskette |K^0 || 0 || || || |SZ= }} auffassen. Es empfiehlt sich, Vektorräume als geometrische Objekte aufzufassen und sich {{math|term= K^1 |SZ=}} als eine Gerade, {{math|term= K^2 |SZ=}} als eine Ebene und {{math|term= K^3 |SZ=}} als einen Raum vorzustellen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term= K^n |SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|a_1 |a_2 | \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektoren {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor|a_1 |a_2 | \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Relationskette/display | e_i |{{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term= 1 |SZ=}} an der {{math|term= i |SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term= i |SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{ inputdefinition |K^n/Linearkombination/Definition|| }} {{ inputdefinition |K^n/Erzeugendensystem/Definition|| }} Man verlangt hier keine Eindeutigkeit, bei einem Erzeugendensystem kann man einen Vektor im Allgemeinen auf verschiedene Arten als Linearkombination darstellen. {{ inputbeispiel |Q^2/Mehrfache Darstellung eines Vektors/1/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |K^n/Erzeugendensystem/Standardvektoren/Gleichungssystem/Fakt|Lemma|| || }} Wenn die Vektoren die Standardvektoren {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} sind, so kann man jeden Vektor wegen {{ Relationskette/display |{{op:Zeilenvektor|a_1 |a_2 | \ldots |a_n }} || a_1 e_1 {{plusdots|}} a_n e_n || || || |SZ= }} unmittelbar und eindeutig als Linearkombination der Standardvektoren darstellen. {{ inputdefinition |K^n/Basis/Eindeutiges Erzeugendensystem/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |K^n/Basis/Eindeutige Darstellung der 0/Gleichungssystem/Fakt|Lemma|| || }} Es sei bemerkt, dass die Bedingungen im vorstehenden Lemma nur bei {{ Relationskette |m ||n || || || |SZ= }} erfüllt sein können. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} h9zmzw2uxb386znavos23gh3qphc5zc 0 87559 1092243 1074615 2026-06-01T13:15:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092243 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Construction blackboard integers|jpg|500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Construction_blackboard _integers |Autor= |Benutzer=Darapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= \N|SZ=}} die Menge der natürlichen Zahlen und {{ Relationskette |M || \N \times \N || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=2| |SZ= }} mit der komponentenweisen Addition. Wir erklären auf {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Relation| |Kontext=| |SZ= }} durch {{ Math/display|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } a+d = b+c |SZ=. }} Es wird hier also über Kreuz addiert, um diese Relation zu erhalten. Diese Relation ist bei {{ Relationskette |a |\leq|c || || || |SZ= }} genau dann erfüllt, wenn es ein {{mathl|term= e \in \N|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die natürliche Zahl {{math|term= e=c-a|SZ=}}| |ESZ= }} mit {{ Relationskette/display | (c,d) ||(a,b) + (e,e) || || || |SZ= }} gibt und bei {{ Relationskette |a |\geq|c || || || |SZ= }} genau dann erfüllt, wenn es ein {{ Relationskette |e |\in|\N || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich {{ Relationskette/k |e ||a-c || || || |SZ= }}| |ESZ= }} mit {{ Relationskette/display | (c,d)+ (e,e) ||(a,b) || || || |SZ= }} gibt. So oder so kann man sagen, dass die Paare {{ mathkor|term1= (a,b) |und|term2= (c,d) |SZ= }} zueinander äquivalent sind, wenn sie sich um ein Diagonalelement, also um ein Paar, wo beide Komponenten übereinstimmen, unterscheiden. Diese Relation ist eine Äquivalenzrelation auf {{math|term= M |SZ=.}} Das ist von der soeben etablierten Interpretation als {{Anführung|gleichdiagonalig}} her klar, kann aber auch direkt gezeigt werden: {{ Aufzählung3 |Wegen {{ Relationskette | a+b ||b+a || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |(a,b) |\sim|(a,b) || || || |SZ=, }} die Relation ist also reflexiv. |Die Symmetrie folgt daraus, dass aus {{ Relationskette |a+d ||b+c || || || |SZ= }} sofort {{ Relationskette |c+b ||d+a || || || |SZ= }} folgt. |Zum Nachweis der Transitivität sei {{ mathkor|term1= (a,b) \sim (c,d) |und|term2= (c,d) \sim (e,f) |SZ=, }} also {{ Relationskette |a+d ||b+c || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | c +f || d+e || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | a+f+c ||a+d+e ||b+e+c || || |SZ=. }} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=der|Abziehregel|Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Addition mit n/Nachfolgerzählen/Hilfseigenschaften/Fakt |Nr=5 |SZ= }} ist dann {{ Relationskette/display | a+f ||b+e || || || |SZ=, }} und dies bedeutet {{ Relationskette |(a,b) |\sim|(e,f) || || || |SZ=. }} }} Passende Interpretationen für die Paare mit dieser Äquivalenzrelation sind beispielsweise: {{ Auflistung4 |Das Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} repräsentiert das Ergebnis eines Fußballspieles, wobei {{math|term= a |SZ=}} die Toranzahl der Heimmannschaft und {{math|term= b |SZ=}} die Toranzahl der Gastmannschaft repräsentiert. Zwei Spiele gelten dann als äquivalent, wenn die {{Anführung|gerichtete Differenz}} gleich ist. Ein {{mathl|term= 5:1 |SZ=}} wird als äquivalent zu einem {{mathl|term= 6:2 |SZ=}} betrachtet, wenn beide Mannschaften ein weiteres Tor schießen, ändert sich zwar das Paar, aber nicht die Äquivalenzklasse. Die Äquivalenzklassen kann man charakterisieren als Unentschieden, mit einem Tor Vorsprung gewonnen, mit zwei Toren Vorsprung gewonnen, mit drei Toren Vorsprung gewonnen, ... , mit einem Tor Unterschied verloren, mit zwei Toren Unterschied verloren, mit drei Toren Unterschied verloren, .... |Das Paar {{math|term= (a,b) |SZ=}} repräsentiert das Alter eines menschlichen Paares, wobei {{math|term= a |SZ=}} für das Alter der Frau und {{math|term= b |SZ=}} für das Alter des Mannes steht. Die Äquivalenzklasse ist durch den gerichteten Altersunterschied {{Zusatz/Klammer |text=also den Altersunterschied mit der zusätzlichen Information, wer älter ist| |ISZ=|ESZ= }} festgelegt. Diese Beziehung ändert sich im Laufe des Lebens nicht, da beide gleichermaßen älter werden. |Das Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} kann die Einnahmen und Ausgaben eines Haushaltes in einem Monat beschreiben, wobei die erste Stelle die Einnahmen und die zweite Stelle die Ausgaben repräsentieren möge. Zwei Haushalte {{ Zusatz/Klammer |text=oder Monate| |ISZ=|ESZ= }} sind dann äquivalent, wenn sie den gleichen Überschuss oder das gleiche Defizit erwirtschaftet haben. Wenn Einnahmen und Ausgaben gleichermaßen steigen oder fallen, ändert sich an dieser Gesamtbewertung nichts. |Man kann das Paar als eine Schrittfolge aus {{math|term= a |SZ=}} Schritten nach rechts und {{math|term= b |SZ=}} Schritten nach links ansehen. Im Paar selbst wird die Anzahl der Schritte in die beiden Richtungen notiert, für die Äquivalenzrelation schaut man nur das Endergebnis des Bewegungsvorganges an. }} Wenn man {{mathl|term= \N \times \N|SZ=}} als ein quadratisches Gitter anordnet {{ Zusatz/Klammer |text=das ist ein {{Anführung|diskretes Koordinatensystem|}}| |ESZ=, }} so sind die Äquivalenzklassen durch die Punkte auf einer zur Diagonalen parallelen {{Anführung|diskreten Geraden|SZ=}} gegeben. Die Punkte {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} mit {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} sind äquivalent zu {{mathl|term= (a-b,0) |SZ=,}} sie haben also einen Repräsentanten, bei dem die zweite Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Die Punkte {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} mit {{ Relationskette |a |\leq|b || || || |SZ= }} sind äquivalent zu {{mathl|term= (0, b-a) |SZ=,}} sie haben also einen Repräsentanten, bei dem die erste Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Die Punkte {{mathl|term= (a,a) |SZ=}} sind zu {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} äquivalent. Den Repräsentanten einer Äquivalenzklasse, bei dem mindestens eine Komponente {{math|term= 0 |SZ=}} ist, nennen wir den {{Stichwort|Standardvertreter|SZ=}} dieser Äquivalenzklasse. Die Standardvertreter sind die diskreten Punkte des begrenzenden Viertelkreuzes; zu einem Punkt ergibt sich der Standardvertreter, indem man parallel zur Diagonalen in Richtung der Halbachsen wandert, bis man auf einer der Halbachsen landet. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Standardvertreter besitzen. Wir bezeichnen nun die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ=, }} also die Menge der Äquivalenzklassen unter dieser Äquivalenzrelation, als {{Definitionswort/enp|Menge der ganzen Zahlen|SZ=}} und bezeichnen sie mit {{math|term= \Z|SZ=.}} Wir sprechen vom {{Stichwort|Äquivalenzklassenmodell|SZ=}} oder {{Stichwort|Paarmodell|SZ=}} für die ganzen Zahlen. Diese Quotientenmenge ist die Menge der zur Diagonalen parallelen diskreten Geraden, bei der kanonischen Projektion wird jedes Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} auf die Gerade abgebildet, auf der es liegt. Jede ganze Zahl hat genau einen Standardvertreter der Form {{ Relationskette |n | {{defeq|}} | (n,0) || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=,}} der Form {{ Relationskette |0 | {{defeq|}} | (0,0) || || || |SZ= }} oder der Form {{ Relationskette |-n |{{defeq}}| (0,n) || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} fassen wir in diesem Modell als die ganze Zahl {{mathl|term= (n,0) |SZ=}} auf, und negative Zahlen werden als spezielle Äquivalenzklassen eingeführt. Wir wollen nun zwei ganze Zahlen, also zwei solche Äquivalenzklassen {{ mathkor|term1= [(a,b)] |und|term2= [(c,d)] |SZ=, }} miteinander {{Anführung|addieren|SZ=,}} also eine Verknüpfung {{math|term= +|SZ=}} auf {{math|term= \Z|SZ=}} einführen. Ein Ansatz, der sich durch den Zugang über Äquivalenzklassen eröffnet, ist es, auf der Menge der Paare die Addition zu nehmen und zu versuchen, diese Addition auf die Äquivalenzklassen zu übertragen. Die komponentenweise Addition auf {{math|term= \N^2 |SZ=,}} also die Verknüpfung {{ Relationskette/display |(a,b) + (c,d) |{{defeq}}| (a+c,b+d) || || || |SZ=, }} ist recht einfach und insbesondere ist diese Verknüpfung kommutativ, assoziativ und {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} ist das neutrale Element. Diese Addition hat in den oben angegebenen Beispielen eine sinnvolle Interpretation, wie wenn man die Ergebnisse von zwei Fußballspielen miteinander addiert {{ Zusatz/Klammer |text=Hin- und Rückspiel, allerdings muss man die Reihenfolge beibehalten| |ISZ=|ESZ= }} oder das Haushaltsgeschehen von mehreren Monaten addiert. {{ inputfaktbeweis |Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Addition/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer Ring/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Kommutativer angeordneter Ring/Fakt|Satz|| || }} Die natürlichen Zahlen {{math|term= \N|SZ=}} sind über die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= |\N| \Z |n| [(n, 0)] |SZ=, }} in den ganzen Zahlen enthalten. Diese Zuordnung ist mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Ganze Zahlen/Konstruktion/Einbettung/Verträglichkeit/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Statt {{math|term= (n,0) |SZ=}} schreibt man einfach {{math|term= n |SZ=.}} Die ganzen Zahlen, die durch {{mathl|term= (0,n) |SZ=}} mit {{math|term= n \in \N_+|SZ=}} repräsentiert werden, heißen negative Zahlen. Statt {{math|term= (0,n) |SZ=}} schreibt man einfach {{math|term= -n|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} sglq0tz0a641eg4w8oao211n6lqrb6i 0 87560 1092181 1074574 2026-06-01T13:05:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092181 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Konstruktionen 007|jpg|500px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Konstruktionen_007 |Autor= |Benutzer=Darapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir wollen ausgehend von der Menge der ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=,}} die einen {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} bildet, die Menge der {{Stichwort|rationalen Zahlen|msw=Rationale Zahlen|SZ=}} konstruieren. Wir gehen dabei ähnlich wie bei der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vor, indem wir auf einer {{Anführung|zu großen}} Menge eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} einführen, sodass die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} ein Modell für die rationalen Zahlen ist. {{{zusatz1|}}} Wir starten mit der Produktmenge {{ Relationskette/display |P || \Z \times \N_+ || {{Mengebed| (a,b) |a \in \Z \text{ und } b \in \N_+ }} || || |SZ=. }} Zur Orientierung sei schon jetzt gesagt, dass das Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} später den Bruch {{mathl|term= a/b|SZ=}} repräsentieren soll. Man kann sich vorstellen, dass in {{math|term= (a,b) |SZ=}} die erste Zahl eine Anzahl an Kuchen und die zweite Zahl eine Anzahl an Personen bedeutet, oder die Anzahl der Frauen und die Anzahl der Männer auf einer Party, oder irgendein Paar, das einen proportionalen Zusammenhang repräsentiert. Auf {{math|term= P |SZ=}} wollen wir eine Äquivalenzrelation definieren, wobei zwei Paare als äquivalent gelten sollen, wenn sie {{Anführung|den gleichen Bruch}} repräsentieren {{ Zusatz/Klammer |text=den es noch nicht gibt| |ESZ=. }} Wir definieren {{ Math/display|term= (a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc \text{ ist} |SZ=. }} Diese Relation wird also unter Bezug auf die Gleichheit in {{math|term= \Z|SZ=}} erklärt. Es handelt sich dabei um eine Äquivalenzrelation, wie man direkt nachrechnen kann, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/Aufgabe |Refname= {{{ref1|Aufgabe}}} |SZ=. }} Insbesondere sind {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} und {{mathl|term= (ae,be) |SZ=}} für {{ Relationskette |e |\neq|0 || || || |SZ= }} zueinander äquivalent. Es ist hilfreich, sich diese Situation zu veranschaulichen, indem man die diskrete obere Halbebene{{ Zusatz/{{{zusatz2|}}} |text=Man könnte auch {{math|term= \Z \times (\Z \setminus \{0\}) |SZ=}} nehmen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette | \Z \times \N_+ | \subset | \Z \times \N || || || |SZ= }} betrachtet. Ein Paar {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} ist dann ein Gitterpunkt, wobei wir uns die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} als die Punkte {{Math/display|term=(n,1),\, n \in \Z|SZ=,}} vorstellen. Die zugehörige durchgezogene {{Anführung|Zahlengerade}} {{ Zusatz/Klammer |text=wo also die zweite Komponente konstant {{math|term= 1 |SZ=}} ist| |ISZ=.|ESZ= }} bezeichnen wir mit {{math|term= G |SZ=.}} Ein jeder Punkt {{ Relationskette | (a,b) |\in| \Z \times \N_+ || || || || |SZ= }} definiert eine eindeutige Gerade, die durch diesen Punkt und durch den Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} verläuft. In dieser geometrischen Interpretation sind zwei Punkte {{ mathkor|term1= (a,b) |und|term2= (c,d) |SZ= }} genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Gerade definieren, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre {{Anführung|Steigungen|}} übereinstimmen. Zwei Punkte liegen ja genau dann auf der gleichen Geraden, wenn sie, wenn man durch Streckung ihre zweite Koordinate zur Übereinstimmung bringt, dann auch die erste Koordinate übereinstimmt. Wenn man den ersten Punkt mit {{math|term= d |SZ=}} streckt {{ Zusatz/Klammer |text=multipliziert| |ESZ= }} und den zweiten Punkt mit {{math|term= b |SZ=,}} so erhält man die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (da,db) |und|term2= (bc,bd) |SZ=, }} und die Gleichheit vorne war die Definition für die Relation. Die Äquivalenzklassen sind die {{Anführung|diskreten Geraden}} durch den Nullpunkt und einen weiteren Gitterpunkt. Auch die Identifizierungsabbildung zu dieser Äquivalenzrelation kann man sich gut vorstellen. Der Schnittpunkt der durch einen Punkt {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} und dem Nullpunkt definierten Geraden {{math|term= H |SZ=}} mit der Zahlengeraden {{math|term= G |SZ=}} ist ein Punkt, der dem Bruch {{math|term= a/b|SZ=}} entspricht {{ Zusatz/Klammer |text=die Steigung der Geraden {{math|term= H |SZ=}} ist aber {{mathlk|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation nennen wir {{math|term= \Q|SZ=}} und sprechen vom {{Stichwort|Äquivalenzklassenmodell|SZ=}} für {{math|term= \Q|SZ=.}} Für die Elemente in {{math|term= \Q|SZ=}} schreiben wir vorläufig noch {{mathl|term= [(a,b)] |SZ=.}} Wir wollen nun auf {{math|term= \Q|SZ=}} eine Addition und eine Multiplikation definieren. {{ inputfaktbeweis |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Addition/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Multiplikation/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Körper/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation/Angeordneter Körper/Fakt|Satz|| || }} Die ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} sind über die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= |\Z| \Q |n| [(n,1)] |SZ=, }} in den rationalen Zahlen enthalten. Diese Zuordnung ist mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Rationale Zahlen/Konstruktion/Äquivalenzklassenmdell/Einbettung von Z/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Für die Äquivalenzklasse {{mathl|term= [(a,b)] |SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term= {{op:Bruch|a|b}} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktion der rationalen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5sz5tiu7lm0aeec6rv8p9db5edquflx 0 87826 1092081 1018550 2026-06-01T12:49:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092081 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Verfahren{{{opt|}}} |Text= Es sei ein lineares Gleichungssystem über dem Körper {{math|term= K |SZ=}} mit zwei Gleichungen in den zwei Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} gegeben, d.h. es soll {{ Relationskette/display |ax+by || e || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |cx+dy ||f || || || |SZ= }} mit vorgegebenen Zahlen {{mathl|term= a,b,c,d,e,f \in K |SZ=}} simultan gelöst werden. Wenn {{ Relationskette/display |a ||c || 0 || || |SZ= }} ist, so kommt die Variable {{math|term= x |SZ=}} gar nicht explizit vor und es liegt somit im Prinzip ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in der einen Variablen {{math|term= y |SZ=}} vor. In diesem Extremfall hängt die Lösbarkeit und die Lösungen von {{mathl|term= b,d,e,f|SZ=}} ab, insbesondere davon, ob diese Zahlen gleich {{math|term=0 |SZ=}} oder nicht gleich {{math|term=0 |SZ=}} sind. Betrachten wir also den Fall, wo {{ Relationskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} ist. Wenn man zur zweiten Gleichung das {{mathl|term=- {{op:Bruch|c|a}} |SZ=-}}fache der ersten Gleichung hinzuaddiert {{ Zusatz/Klammer |text=also das {{mathl|term= {{op:Bruch|c|a}} |SZ=-}}fache abzieht| |ISZ=|ESZ=, }} so ergibt sich die neue Gleichung {{ Relationskette/display | cx+dy - {{op:Bruch|c|a}}( ax +by ) || {{makl| d - {{op:Bruch|c|a}} b |}} y || f - {{op:Bruch|c|a}} e || || |SZ=. }} Eine Lösung des Ausgangssystems muss auch eine Lösung des neuen Gleichungssystems {{ Zusatz/Klammer |text=und umgekehrt| |ISZ=|ESZ= }} sein, das aus der ersten Gleichung {{ Relationskette/display |ax+by || e || || || |SZ= }} und der neuen Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text= mit neuen Buchstaben für die neuen Koeffizienten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |ry ||s || || || |SZ= }} besteht. In dieser zweiten Gleichung kommt nur {{math|term= y |SZ=}} als Variable vor, entscheidend ist, ob {{math|term= r |SZ=}} gleich oder nicht gleich {{math|term=0 |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=da sich der neue Koeffizient durch eine Rechnung ergibt, ist nicht von vornherein klar, welcher Fall eintreten wird| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette |r |\neq|0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist der {{Anführung|Normalfall|}}| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display |y || {{op:Bruch|s|r}} || || || |SZ= }} und mit der ersten Gleichung erhält man die eindeutige Lösung für {{math|term= x |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |r || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |s |\neq|0 || || || |SZ= }} gibt es keine Lösung für {{math|term= y |SZ=}} und somit auch keine Lösung für das Gesamtsystem. Bei {{ Relationskette |r || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |s || 0 || || || |SZ= }} ist jedes {{math|term= y |SZ=}} eine Lösung der zweiten Gleichung und jedes {{math|term= y |SZ=}} führt mit der ersten Gleichung zu einer Lösung für {{math|term= x |SZ=}} und damit zu einer Gesamtlösung. |Textart=Verfahren |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7luk3kn3u5ptzw59sp37fdp4mdccew1 0 87829 1092633 1019867 2026-06-01T14:18:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092633 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Zahlenraum/Untervektorraum/Durch Abgeschlossenheit/Definition|| }} Eine Familie von Vektoren {{ Relationskette | v_1 {{kommadots|}} v_k |\in| U || || || |SZ= }} heißt wieder ein {{Stichwort|Erzeugendensystem|SZ=}} von {{math|term= U |SZ=,}} wenn man jeden Vektor aus {{math|term= U |SZ=}} als eine {{ Definitionslink |Linearkombination| |Kontext=Zahlenraum| |SZ= }} {{ Relationskette |u || \sum_{i {{=}}1}^k {{skalar|}}_i v_i || || || |SZ= }} schreiben kann, und eine {{Stichwort|Basis|SZ=}} von {{math|term= U |SZ=,}} wenn darüber hinaus diese Darstellung eindeutig ist. Mit einem Erzeugendensystem kann man einen Untervektorraum {{math|term= U |SZ=}} in der Form {{ Relationskette/display |U || {{Mengebed| \sum_{i {{=}}1}^k {{skalar|}}_i v_i | {{skalar|}}_i \in K }} || || || |SZ= }} beschreiben. Umgekehrt definiert dabei die rechte Seite stets einen Untervektorraum, der der von den Vektoren {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_k |SZ=}} {{Stichwort|erzeugte Untervektorraum|msw=Erzeugter Untervektorraum|SZ=}} heißt. Er wird mit {{mathl|term= \langle v_1 {{kommadots|}} v_k \rangle |SZ=}} bezeichnet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt|Lemma|| || }} Für einen Untervektorraum {{ Relationskette |U |\subseteq|K^n || || || |SZ= }} gibt es grundsätzlich zwei Beschreibungsmöglichkeiten: Als Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssystems und als ein von Vektoren erzeugter Untervektorraum. Durch das Lösen eines linearen Gleichungssystems wird die zuerst genannte Darstellungsmöglichkeit in die zweite Darstellungsmöglichkeit umgewandelt. {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Basislösungen/Freie Variablen/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Zahlenraum/Unterraum/Punkt und Untervektorraum/Definition|| }} Statt von einem affinen Unterraum spricht man manchmal schlicht von einem Unterraum. Der Punkt {{math|term= P |SZ=}} heißt ein {{Stichwort|Aufpunkt|SZ=}} des Raumes und {{math|term= U |SZ=}} heißt der zugehörige Untervektorraum. Ein affiner Unterraum ist ein in eine bestimmte Richtung parallel verschobener Untervektorraum, wobei der Aufpunkt den Verschiebungsvektor bezeichnet. {{ inputfaktbeweis |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsmenge ist Unterraum/Fakt|Lemma|| || }} Wenn man also die Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems beschreiben möchte, so nimmt man eine spezielle Lösung als Aufpunkt und eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen Gleichungssystems. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der Untervektorräume |Kategorie3=Theorie der affinen Unterräume |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 50ay4izoy2xa5jzxhquoka1yh3i35dd 0 87837 1092203 1074590 2026-06-01T13:09:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092203 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten {{ Definitionslink |Geraden| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlenraum/Gerade/Punktvektorform/Definition |SZ= }} in der Ebene {{math|term= K^2 |SZ=.}} Unter der {{Stichwort|Gleichungsform|SZ=}} einer Geraden in der Ebene versteht man eine lineare Gleichung der Form {{ Relationskette/display |ax+by ||c || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | (a,b) |\neq| (0,0) || || || |SZ=. }} Es ist einfach, aus der Gleichungsform eine Punktrichtungsform zu erhalten. {{ inputfaktbeweis |Zahlenebene/Gerade/Gleichungsform/Punktvektorform/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbild |Two parallel lines a b|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor=Masur |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |OpenMeanderM1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=FirefoxRocks |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Zahlenebene/Zwei Geraden/Schnittmöglichkeiten/Fakt|Korollar|| || }} Im zweiten Fall {{ Zusatz/Klammer |text=manchmal auch im ersten Fall| |ISZ=|ESZ= }} spricht man von {{Stichwort|parallelen Geraden|msw=parallele Geraden|SZ=.}} Der dritte Fall tritt genau dann ein, wenn zwischen {{ mathkor|term1= (a,b) |und|term2= (r,s) |SZ= }} keine Vielfachheitsbeziehung besteht. {{ inputbeispiel |Zahlenebene/Zwei Geraden/Schnittpunkt/1/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qh77ojui4tcojwsfpej53qif4uqywmc 0 87954 1092496 1019588 2026-06-01T13:56:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092496 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine Folge der Form {{ Relationskette/display |x_n || {{op:Bruch|a_n |10^n}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_n |\in| \Z || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|a_n |10^n}} |\leq| {{op:Bruch|a_{n+1}|10^{n+1} }} |<| {{op:Bruch|a_n+1|10^n}} || || |SZ= }} heißt Dezimalbruchfolge. Eine Ziffernfolge {{ Zusatz/Klammer |text=eine Ziffernentwicklung| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathbed|term= z_{-i} ||bedterm1= i \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette | z_{-i} |\in| \{0,1 {{kommadots|}} 9\} || || || |SZ= }} definiert die Folge {{ Relationskette/display | x_n || \sum_{i {{=}} 1}^n z_{-i} 10^{-i} || {{op:Bruch| \sum_{i {{=}} 1}^n z_{-i} 10^{n-i} |10^n}} || {{op:Bruch|a_n |10^n}} || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | a_n |{{defeq}} | \sum_{i {{=}} 1}^n z_{-i} 10^{n-i} || || || |SZ=. }} Inwiefern stellt eine solche Dezimalbruchfolge eine reelle Zahl dar und inwiefern ist die Darstellung eindeutig? Zu jedem Element {{ Relationskette | x |\in| K || || || |SZ= }} in einem archimedisch angeordneten Körper {{math|term= K |SZ=}} gibt es nach {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Element/Dezimalbruchfolge/Verfahren |Nr= |SZ= }} eine Dezimalbruchfolge, nämlich die durch {{ Relationskette/display |x_n || {{op:Gaußklammer| x \cdot 10^n |}} \cdot 10^{-n} || || || |SZ= }} gegebene Folge, die nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Archimedisch angeordneter Körper/Dezimalbruchfolge/Konvergenzformulierung/Fakt |Nr= |SZ= }} gegen {{math|term= x |SZ=}} konvergiert. {{ inputfaktbeweis |Dezimalbruchfolge/R/Konvergiert/Eindeutigkeit/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbemerkung |Dezimalbruchfolge/Addition und Multiplikation/Problematik/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 36e4btri7bc6qhhbukunkta7zkfk5yd 0 88039 1092696 963634 2026-06-01T14:36:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092696 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |maximales| |msw= |SZ= }} Ideal {{mathl|term= {{idealm|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mo1v08uxofv4njh72vnp2mxky5vsi7t 0 88055 1092769 851121 2026-06-01T14:48:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092769 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Divisor| |msw= |SZ= }} zu einem gebrochenen Ideal {{mathl|term= {{idealf|}} \neq 0 |SZ=}} von einem Zahlbereich. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pwkiut34r8rc1ce1fnd8vxs3oho7x23 0 88060 1092699 1018728 2026-06-01T14:36:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092699 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Produktring| |msw= |SZ= }} zu kommutativen Ringen {{mathl|term= R_1 {{kommadots|}} R_n |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1xsufku8j67f2tyit7kwajf1lop8wgg 0 88793 1092706 1018820 2026-06-01T14:37:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1092706 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |Linearkombination| |msw= |SZ= }} zu Vektoren {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} im {{math|term= K^m |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p8iklw8mxbhav3l6wvm0ue84zco0p42 0 88794 1092713 1018910 2026-06-01T14:38:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092713 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |lineare Gleichung| |msw= |SZ= }} zu einer Variablenmenge {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n |SZ=}} über einem Körper {{math|term= K |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hlddvbteyiiby0kjpg158zwkwevhv6l 0 90147 1092676 1018517 2026-06-01T14:32:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092676 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= {{ Stichwort/Abfrage |Paarweise unabhängige| |msw= |SZ= }} Ereignisse {{mathl|term= E_1 {{kommadots|}} E_k |SZ=}} in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum {{math|term=(M,\mu) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9fced1hkjxryfs5828faceg6gaen72o 0 90177 1092675 504262 2026-06-01T14:32:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092675 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort/Abfrage|Produktraum|SZ=}} der diskreten Wahrscheinlichkeitsräume {{mathl|term=(M_1, \mu_1) {{kommadots|}} (M_n, \mu_n) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 56nm5hjmtcz24qcf2h5rckhjo900gkk 0 90185 1092677 1024680 2026-06-01T14:32:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092677 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |vollständige Unabhängigkeit| |msw= |SZ= }} von Ereignissen {{ Relationskette/display | E_1 {{kommadots|}} E_k | \subseteq | M || || || |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |endlichen Wahrscheinlichkeitsraum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (M, \mu) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8cmfvj58wqh0d6ts7soq40hle2fiq7 0 90215 1092655 1021572 2026-06-01T14:29:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092655 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |beschränkte| |msw= |SZ= }} Folge {{mathl|term= {{Folge| x |}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0z780b8tf2foupafbv99uyu7excxuoc 0 90564 1092075 1074728 2026-06-01T12:48:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092075 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Exponentials(2)|svg| 250px {{!}} right {{!}} | | thumb {{!|}} |Text=Die Exponentialfunktionen für die Basen {{math|term= b=10, \frac{1}{2} |SZ=}} und {{math|term= e |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die oben auf den rationalen Zahlen definierten Exponentialfunktionen besitzen eine Fortsetzung auf die reellen Zahlen, die entsprechend mit {{ Abbildung/display |name= |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} bezeichnet wird. Diese Fortsetzung ist stetig und es gelten die entsprechenden Eigenschaften. Der Nachweis der Existenz dieser Fortsetzung ist nicht einfach und wird hier nicht durchgeführt. Die Grundidee ist, eine beliebige reelle Zahl {{math|term= x |SZ=}} als Grenzwert einer Folge {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=}} von rationalen Zahlen darzustellen und dann {{ Relationskette/display |b^x |{{defeq}}| {{Op:Folgenlimes|glied= b^{x_n} }} || || || |SZ= }} zu definieren, wobei man zuerst zeigen muss, dass diese Folge konvergiert. Ferner muss man zeigen, dass dieser Wert unabhängig von der gewählten gegen {{math|term= x |SZ=}} konvergierenden Folge ist. {{ inputdefinition |Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition|| }} Man kann zeigen, dass die entstehenden reellen Exponentialfunktionen stetig sind und dass sich die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigten Eigenschaften auf die reellen Zahlen ausdehnen. {{ inputfakt |Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt|Satz|| || }} Eine besonders wichtige Exponentialfunktion ergibt sich, wenn man als Basis die {{ Definitionslink |eulersche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition |SZ= }} {{math|term= e |SZ=}} nimmt, die wir als {{ Relationskette/display |e | {{defeq|}} | {{op:Folgenlimes|Glied = {{makl| 1+ {{op:Bruch|1|n}} |}}^n }} || || || |SZ= }} eingeführt haben. In {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Eulersche Zahl/Zins/Auch Exponentialreihe/Bemerkung |Nr= |SZ= }} haben wir erwähnt, dass diese Zahl mit {{ Math/display|term= \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch|1|k !}} |SZ= }} übereinstimmt. Für diese Exponentialfunktion gibt es ebenfalls eine weitere Darstellung, die sich an dieser Reihe orientiert, die Darstellung als Potenzreihe. Auch diese Übereinstimmung können wir hier nicht beweisen. {{ inputfakt |Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt|Satz|| || }} Eine Besonderheit dieser Funktion ist, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Steigung der Tangenten an einem Punkt des Graphen stimmt also stets mit dem Funktionswert überein. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8n5nso70gf19m52bjv8hpekajdqqgyq 1092492 1092075 2026-06-01T13:56:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092492 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Exponentials(2)|svg| 250px {{!}} right {{!}} | | thumb {{!|}} |Text=Die Exponentialfunktionen für die Basen {{math|term= b=10, \frac{1}{2} |SZ=}} und {{math|term= e |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die oben auf den rationalen Zahlen definierten Exponentialfunktionen besitzen eine Fortsetzung auf die reellen Zahlen, die entsprechend mit {{ Abbildung/display |name= |\R|\R |x|b^x |SZ=, }} bezeichnet wird. Diese Fortsetzung ist stetig und es gelten die entsprechenden Eigenschaften. Der Nachweis der Existenz dieser Fortsetzung ist nicht einfach und wird hier nicht durchgeführt. Die Grundidee ist, eine beliebige reelle Zahl {{math|term= x |SZ=}} als Grenzwert einer Folge {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=}} von rationalen Zahlen darzustellen und dann {{ Relationskette/display |b^x |{{defeq}}| {{Op:Folgenlimes|glied= b^{x_n} }} || || || |SZ= }} zu definieren, wobei man zuerst zeigen muss, dass diese Folge konvergiert. Ferner muss man zeigen, dass dieser Wert unabhängig von der gewählten gegen {{math|term= x |SZ=}} konvergierenden Folge ist. {{ inputdefinition |Exponentialfunktion/Basis b/x auf b^x/Definition|| }} Man kann zeigen, dass die entstehenden reellen Exponentialfunktionen stetig sind und dass sich die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Q/q auf b^q/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigten Eigenschaften auf die reellen Zahlen ausdehnen. {{ inputfakt |Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Exponentialfunktion/Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Fakt|Satz|| || }} Eine besonders wichtige Exponentialfunktion ergibt sich, wenn man als Basis die {{ Definitionslink |eulersche Zahl| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Eulersche Zahl/Bezug auf Intervallschachtelung/Definition |SZ= }} {{math|term= e |SZ=}} nimmt, die wir als {{ Relationskette/display |e | {{defeq|}} | {{op:Folgenlimes|Glied = {{makl| 1+ {{op:Bruch|1|n}} |}}^n }} || || || |SZ= }} eingeführt haben. In {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Eulersche Zahl/Zins/Auch Exponentialreihe/Bemerkung |Nr= |SZ= }} haben wir erwähnt, dass diese Zahl mit {{ Math/display|term= \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch|1|k !}} |SZ= }} übereinstimmt. Für diese Exponentialfunktion gibt es ebenfalls eine weitere Darstellung, die sich an dieser Reihe orientiert, die Darstellung als Potenzreihe. Auch diese Übereinstimmung können wir hier nicht beweisen. {{ inputfakt |Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt|Satz|| || }} Eine Besonderheit dieser Funktion ist, dass sie mit ihrer Ableitung übereinstimmt. Die Steigung der Tangenten an einem Punkt des Graphen stimmt also stets mit dem Funktionswert überein. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Exponentialfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o1g2o8t44abakgblz8epao6d6elzz0p 0 91173 1092852 1025110 2026-06-02T10:23:11Z Arbota 36910 Ersetzung 1092852 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort/Abfrage|Formel für das Volumen|SZ=}} einer kompakten Teilmenge {{mathl|term= T \subset \R^n |SZ=}} unter einer linearen Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |\R^n |\R^n || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m3d4hn1nlbq5c6dyjkqy5nzxs3yo4i7 0 93181 1092363 1074656 2026-06-01T13:34:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092363 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} Ausgeschrieben bedeutet dies: {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Die in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebenen Eigenschaften {{ Zusatz/Klammer |text=und Konventionen| |ISZ=|ESZ= }} für Ringe gelten insbesondere für Körper. Unter Verwendung des Gruppenbegriffs kann man auch sagen, dass ein Körper eine Menge mit zwei Verknüpfungen {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} und zwei fixierten Elementen {{ Relationskette | 0 |\neq| 1 || || || |SZ= }} ist, derart, dass {{mathl|term= (K,+,0) |SZ=}} und {{mathl|term= (K \setminus \{0\}, \cdot, 1) |SZ=}} jeweils kommutative Gruppen{{ Zusatz/Fußnote |text=Das beinhaltet hier insbesondere, dass die Multiplikation sich zu einer Verknüpfung auf {{mathl|term= K \setminus \{0\} |SZ=}} einschränken lässt. Aus den Körperaxiomen folgt dies, wie wir gleich sehen werden | |ISZ=.|ESZ= }} sind und dass das Distributivgesetz gilt. Zu einem Element {{ Relationskette | x |\in| K || || || |SZ= }} und einer natürlichen Zahl {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} definiert man {{mathl|term= nx |SZ=}} als die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= x |SZ=}} mit sich selbst. Dabei setzt man {{ Relationskette | 0x || 0 || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette/display | n 1_K || \underbrace{1_K+ 1_K {{plusdots|}} 1_K }_{n {\text{ Summanden} } } || || || |SZ= }} schreibt man auch einfach {{mathl|term= n_K |SZ=}} oder {{math|term= n |SZ=.}} Man findet also jede natürliche Zahl in jedem Körper {{ Zusatz/Klammer |text=auch in jedem Ring| |ISZ=|ESZ= }} wieder, allerdings kann es sein, dass diese Zuordnung nicht injektiv ist und beispielsweise {{ Relationskette |2 || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |7 || 0 || || || |SZ= }} in einem Körper gilt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe die Beispiele weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} Für negative ganze Zahlen {{math|term= n |SZ=}} setzt man {{ Relationskette/display |nx ||(-n) (-x) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= -x |SZ=}} das Negative von {{math|term= x |SZ=}} in dem Körper ist. Aufgrund von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körper/N und Z/Kanonische Abbildung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} passt alles zusammen. Z.B. kann man {{mathl|term= (-n) (-x) |SZ=}} wie eben als die {{math|term= -n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= -x |SZ=}} mit sich selbst verstehen oder als Produkt aus {{math|term= -x |SZ=}} und {{math|term= -n |SZ=,}} letzteres als die {{math|term= -n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= 1_K |SZ=}} mit sich selbst verstanden. {{ inputbild |Function-1 x|svg| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Function-1_x |Text=Der Graph zur reellen Funktion, die einer Zahl {{ Relationskette | a |\neq| 0 || || || |SZ= }} ihr Inverses {{math|term= a^{-1} |SZ=}} zuordnet. Im Nullpunkt ist die Abbildung nicht definiert und auch nicht stetig fortsetzbar. |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=hier lohnt sich schon der Gruppenbegriff| |ISZ=|ESZ= }} eindeutig bestimmte Element {{math|term= z |SZ=}} mit {{ Relationskette | az || 1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term= a^{-1} |SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Relationskette/display | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} |{{defeq|}}|ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also Abkürzungen für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{ Relationskette | a |\in| K || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} wird die {{math|term= n |SZ=-}}te {{Stichwort|Potenz|SZ=,}} geschrieben {{mathl|term= a^n |SZ=,}} als das {{math|term= n |SZ=-}}fache Produkt von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst definiert {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= n |SZ=}} gibt die Anzahl der Faktoren an| |ISZ=|ESZ=. }} Man setzt weiterhin {{ Relationskette | a^0 || 1 || || || |SZ=, }} und bei {{ Relationskette | a |\neq| 0 || || || |SZ= }} und einer negativen ganzen Zahl {{math|term= n |SZ=}} wird der Ausdruck {{mathl|term= a^{n} |SZ=}} als {{mathl|term= {{makl| a^{-1} |}}^{-n} |SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel||opt1=/link2 }} {{ inputbeispiel |Körper/7 Elemente/Einführung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} a1gw5qagvx77lvr0qnei464qes9dvgp 0 93307 1092762 963824 2026-06-01T14:47:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092762 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{Stichwort/Abfrage|Radikal}} zu einem {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{ideala|}} \subseteq R |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rokc0e545zczkgwh1npzxe6so261kf6 0 93310 1092664 1024618 2026-06-01T14:30:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092664 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort/Abfrage|projektive Raum|SZ=}} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| n | K}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3am0x0a79p7cok71htwvyifu10nok51 0 94201 1092651 1024583 2026-06-01T14:28:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092651 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{Stichwort/Abfrage|Koordinatenring}} zu einer {{ Definitionslink |affin-algebraischen Menge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | V | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9jkaohbrc9wxehzltios8z45z76weps 0 94205 1092692 1072842 2026-06-01T14:35:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092692 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | P | \in | U | \subseteq | {{op:KSpek|R}} || || || |SZ= }} ein Punkt in einer offenen Menge {{math|term= U |SZ=}} im {{ Definitionslink |Prämath=K |Spektrum| |Kontext=K| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Es sei {{ Abbildung |name= f | U | {{op:Affine Gerade| K |}} {{=}} K || |SZ= }} eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion {{Stichwort/Abfrage|algebraisch}} in {{math|term= P |SZ=}} ist? |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eicgmijwhqavwedbzr9qruodk90x436 0 94215 1092737 1019072 2026-06-01T14:42:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092737 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{Stichwort/Abfrage|formale Potenzreihe|SZ=}} über einem kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} in der Variablenmenge {{mathl|term= T_1 {{kommadots|}} T_n |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pg35i37fden29w099qwo8hir9pmlirf 0 94217 1092648 1024578 2026-06-01T14:28:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092648 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |projektive Abschluss| |msw= |SZ= }} zu einer affinen Varietät {{ Relationskette | V({{ideala}}) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} | \subseteq | {{op:Projektiver Raum| n | K}} || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 99zz8qealt4rpd68j3c05321q4wwxgb 0 94219 1092650 1024580 2026-06-01T14:28:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092650 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Zariski-Topologie| |msw= |SZ= }} auf dem affinen Raum {{math|term= {{op:Affiner Raum| n | K}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dx50y61vj6yax33agug3hajb8aw3oqv 0 94241 1092837 1024895 2026-06-02T10:20:51Z Arbota 36910 Ersetzung 1092837 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen {{ Relationskette | V , \tilde{V} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mh6izrw0tvm81ch37eys4rgpl7t4lrs 0 94485 1092842 1018374 2026-06-02T10:21:31Z Arbota 36910 Ersetzung 1092842 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Beziehung des {{math|term= K|SZ=-}}Spektrums von einem Restklassenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}} |SZ=}} zum Nullstellengebilde {{math|term= V( {{ideala|}} ) |SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qrmd981qpi0l7uxnw82hx5zu8ampyb7 0 94593 1092649 1024579 2026-06-01T14:28:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092649 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |irreduzible| |msw= |SZ= }} affin-algebraische Menge {{ Relationskette | V | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3evlny33wa7q4kjeop9sv8uljnynabn 0 94595 1092673 1073053 2026-06-01T14:32:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092673 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |rationale Parametrisierung|SZ= }} einer affin-algebraischen Kurve {{ Relationskette | V(F) | \subseteq | {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 05mmgdfws80ovww0n4hzj3aj2zk1qif 0 94698 1092666 1073052 2026-06-01T14:31:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092666 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |projektive Nullstellengebilde| |msw= |SZ= }} zu einem homogenen Ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} | \subseteq | K[X_0 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 91x6h4w81164td0tajzlqjxu1kjbxmx 0 94734 1092693 1024747 2026-06-01T14:35:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092693 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Ring der algebraischen Funktionen| |msw= |SZ= }} auf einer offenen Menge {{ Relationskette | U | \subseteq | {{op:KSpek| R |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fds35cocjmbcoc1zfdhysamft48gcp4 0 94749 1092665 1024619 2026-06-01T14:30:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092665 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Zariski-Topologie| |msw= |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |projektiven Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Projektiver Raum| n | K}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kq9a01lrcieo8wawyo67n450mfkdxz7 0 94773 1092647 1024575 2026-06-01T14:27:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092647 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{Stichwort/Abfrage|affin-lineare Äquivalenz|SZ=}} von {{ Definitionslink |affin-algebraischen Mengen| |Refname= {{{ref|}}} }} {{ Relationskette | V, \tilde{V} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jc4lscb3zhyrm8qj4cf23xw468as1yq 0 94774 1092697 1018722 2026-06-01T14:36:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092697 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Grad| |msw= |SZ= }} eines Polynoms {{mathl|term= F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2cpuiufqapdsxztxluv9d46bmch6z84 0 94782 1092672 1024651 2026-06-01T14:32:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092672 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Multiplizität| |Kontext=| |SZ= }} zu einem Punkt {{ Relationskette | P | \in | V(F) | \subseteq | {{op:Affine Ebene| K |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} grdxyyxvmaowft348fqw6339za7xami 0 94784 1092747 1025001 2026-06-01T14:44:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092747 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Morphismus| |msw= |SZ= }} {{ Abbildung |name= {{morpsi}} | Y | X || |SZ= }} zwischen quasiaffinen Varietäten. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pa0gh8qnhczu3gvzgot661bajgzwyd9 0 94786 1092735 1019060 2026-06-01T14:42:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092735 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |homogene Zerlegung| |msw= |SZ= }} zu einem Polynom {{mathl|term= F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6av54jqg4mzl9n8yzeboc6eyal14yci 0 94793 1092843 1021543 2026-06-02T10:21:41Z Arbota 36910 Ersetzung 1092843 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über Einheiten im Potenzreihenring {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring| K | T |}} |SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 35up7cyqfc0u0o2pgudgiljkd3ikljh 0 94843 1092886 1025181 2026-06-02T11:57:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092886 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein Körper und seien {{ Relationskette | V , \tilde{V} | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ= }} zwei affin-algebraische Teilmengen, die affin-linear äquivalent seien. Es seien {{mathl|term=\operatorname{Id}\, (V), \operatorname{Id} \,(\tilde{V}) }} die zugehörigen Verschwindungsideale. Dann sind die Restklassenringe {{ Zusatz/Klammer |text=als {{math|term= K|SZ=-}}Algebren| |ISZ=|ESZ= }} isomorph, also {{ Relationskette/display | K[X_1 {{kommadots}} X_n]/\operatorname{Id}\, (V) |\cong| K[X_1 {{kommadots}} X_n]/\operatorname{Id}\, (\tilde{V}) || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r3uy9wst4nmjdr2xb0gxylf0knm5hxn 0 95179 1092839 1024902 2026-06-02T10:21:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1092839 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über den projektiven Abschluss zu einer affinen Varietät {{ Relationskette | V( {{ideala|}} ) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h6yzkwo8bh3hy8lerrlncqzyw2oa9s2 0 95340 1092734 1073804 2026-06-01T14:42:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092734 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Homogenisierung| |msw= |SZ= }} zu einem Ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} | \subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 46z0mgqiy1gphvarz5ask84sx26680x 0 95347 1092736 1019066 2026-06-01T14:42:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092736 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Homogenisierung| |msw= |SZ= }} eines Polynoms {{mathl|term= F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4562bnpuqlk1xgald76foq8rd1lx8eu 0 95351 1092733 1024978 2026-06-01T14:42:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092733 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |homogenes| |msw= |SZ= }} Ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} | \subseteq | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} itxjs9rnjptw99z7x8oi48dyhh7xtlx 0 95355 1092681 1018573 2026-06-01T14:33:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092681 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |eingesetze| |msw= |SZ= }} Potenzreihe {{math|term= F(G) |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7gjlyfahinjnya0xzvqm3u1e1zewvcv 0 95491 1092117 1074540 2026-06-01T12:55:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092117 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Tangent to a curve|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor=AxelBoldt |Zusname=Tangent_to_a_curve |Benutzer= |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= K}} ein Körper und {{mathbed|term= F \in K[X,Y]|bedterm1=F \neq 0 |SZ=,}} ein Polynom ohne mehrfache Faktoren {{ Zusatz/Klammer |text=da wir uns nur für die zugehörige Kurve interessieren, ist dies bei einem algebraisch abgeschlossenen Körper aufgrund des Hilbertschen Nullstellensatzes keine Einschränkung| |ISZ=|ESZ=. }} Für jeden Punkt {{ Relationskette | (a,b) |\in| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ=, }} kann man zu den Variablen {{mathkon|X-a|und|Y-b}} übergehen. Das bedeutet, dass man den Punkt in den Ursprung verschiebt. Für das Verhalten eines Polynoms an einem Punkt kann man sich also stets auf den Ursprungspunkt beschränken. Es sei also {{ Relationskette | P || (0,0) || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{math|term= F }} mit homogenen Komponenten als {{ Relationskette/display | F || F_d+F_{d-1} {{plusdots}} F_1+F_0 || || || |SZ=. }} Hier sind die {{math|term= F_i }} homogen vom Grad {{math|term= i |SZ=.}} Was kann man an den einzelnen homogenen Komponenten ablesen? Zunächst gilt trivialerweise die Beziehung {{ Math/display|term= P \in V(F) \text{ genau dann, wenn } F_0 = 0 |SZ=. }} Wenn man die Koordinaten von {{math|term= P |SZ=,}} also {{mathl|term= (0,0) |SZ=,}} in {{math|term= F }} einsetzt, so werden ja alle höheren Komponenten zu {{math|term= 0 |SZ=}} gemacht, und lediglich die konstante Komponente {{math|term= F_0 }} bleibt übrig. Da wir uns hauptsächlich für das Verhalten der Kurve in einem Kurvenpunkt interessieren, werden wir uns häufig auf die Situation {{ Relationskette | F_0 || 0 || || || |SZ= }} beschränken. Was ist dann die erste homogene Komponente {{math|term= F_i |SZ=,}} die nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist? Welche Rolle spielt dieses {{math|term= i}} und welche Rolle spielen dessen Linearfaktoren? Nehmen wir zunächst an, dass {{mathkon|F_0{{=}}0|und|F_1{{=}}aX+bY}} ist. Diese Linearform {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= 0 |SZ=}} sein kann| |ISZ=|ESZ= }} lässt sich auch mit partiellen Ableitungen charakterisieren, es ist nämlich {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung|F|x}} (P) = a \text{ und } {{op:Partielle Ableitung|F|y}} (P) = b |SZ=. }} Hier und im Folgenden werden Polynome einfach {{Stichwort|formal abgeleitet|SZ=.}} Damit ist auch {{mathkon|F_1{{=}}0|genau dann, wenn|{{op:Partielle Ableitung|F|x}} (P) {{=}} {{op:Partielle Ableitung|F|y}} (P) {{=}} 0 }} ist. Wenn dies nicht der Fall ist, so ist es naheliegend, die durch die Gleichung {{ Relationskette | F_1(X,Y) || 0 || || || |SZ= }} definierte Gerade als Tangente an die Kurve im Punkt {{math|term= P}} anzusehen. Ein erstes Indiz dafür ist, dass im linearen Fall {{ Relationskette |F ||F_1 || || || |SZ= }} die Gerade mit ihrer Tangente zusammenfallen soll. {{inputdefinition |Ebene algebraische Kurven/Punkt/Glatt mit partiellen Ableitungen/Definition|}} Die Kurve heißt {{Stichwort|glatt|msw=Glatte Kurve|SZ=,}} wenn sie in jedem ihrer Punkte glatt ist. {{inputdefinition |Ebene algebraische Kurven/Singularitäten/Multiplizität und Tangenten über kleinste homogene Komponente/Definition|}} Der Punkt ist genau dann glatt, wenn die Multiplizität {{math|term= 1 |SZ=}} ist. In diesem Fall gibt es genau eine Tangente durch den Punkt, deren Steigung man über die partiellen Ableitungen berechnen kann. {{ inputbild |3 equations -5|JPG| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=3_equations_-5 |Text=Geraden, die sich im Punkt {{math|term= (0,1)}} schneiden |Autor=Cronholm144 |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputbeispiel |Ebene algebraische Kurven/Mehrere Geraden durch Ursprung/Gleichung/Beispiel|}} {{inputbeispiel |Ebene algebraische Kurven/Kartesisches Blatt/Beispiel|}} {{inputbemerkung |Ebene algebraische Kurven/Tangente in einem glatten Punkt/Bemerkung| }} {{inputbemerkung |Ebene algebraische Kurven/Tangentialabbildung und Tangente in einem glatten Punkt als Kern/Bemerkung| }} {{ inputbild |Intersect3|png| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Text=Bei einer algebraischen Kurve sind die Schnittpunkte von irreduziblen Komponenten niemals glatt. |Autor=Michael Larsen |Benutzer= |Domäne=en.wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Die folgende Ausssage zeigt, dass ein Kreuzungspunkt zweier irreduzibler Komponenten niemals glatt sein kann. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ebene algebraische Kurve/Glatter Punkt/Liegt nur auf einer Komponente/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Ebene algebraische Kurve/Glatte zusammenhängende Kurve/Ist irreduzibel/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Glattheit von ebenen algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} blfa9j4c2kd61lme1dybg1kn3b4jsqt 0 96386 1092887 1025196 2026-06-02T11:58:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092887 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M \subseteq \N}} ein durch teilerfremde Elemente {{mathl|term= e_1, \ldots, e_n}} erzeugtes Untermonoid und sei {{Abbildung |\N^n | M}} die zugehörige surjektive Abbildung mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus {{Abbildung |name= \varphi |K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|K[M] |SZ=.}} Dann wird das Kernideal durch {{ Relationskette/display/handlinks |\ker \varphi || {{makl| \prod_{i \in I_1} X_i^{r_i} - \prod_{i \in I_2} X_i^{s_i} :\, I_1, I_2 \subseteq \{1, \ldots ,n\} \text{ disjunkt }, \sum_{i \in I_1} r_ie_i {{=}} \sum_{i \in I_2} s_ie_i |}} || || || |SZ= }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4e7oc518ulfz45wy4rkv646bm4r3q3v 0 96391 1092890 1025219 2026-06-02T11:58:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092890 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien {{ mathbed|term= F_i \in K[X_1 {{kommadots}} X_n] ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} Polynome mit {{ Relationskette/display | {{op:Affiner Raum| n | K}} || \bigcup_{i \in I} D(F_i) || || || |SZ=. }} Dann erzeugen die {{math|term= F_i}} das Einheitsideal in {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots}} X_n] |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2h9g05ncm92lifzwkat5k9mbqdpi8sn 0 96404 1092892 1025228 2026-06-02T11:58:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092892 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein Körper und seien {{math|term= A }} und {{math|term= B}} zwei {{math|term= K|SZ=-}}Algebren von endlichem Typ. Es sei {{ Abbildung |name= \varphi | A | B || |SZ= }} ein {{math|term= K|SZ=-}}Algebrahomomorphismus. Dann ist für jedes maximale Ideal {{math|term= {{idealm|}} }} aus {{math|term= B}} auch das Urbild {{mathl|term=\varphi ^{-1} ({{idealm|}}) }} ein maximales Ideal. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4e774uade7hxtxw3wq76zcfn6cnsxw9 0 96412 1092889 1025216 2026-06-02T11:58:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092889 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein algebraisch abgeschlossener Körper mit dem Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ= }} und dem affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| n | K}} |SZ=.}} Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen affin-algebraischen Mengen in {{mathl|term= {{op:Affiner Raum| n | K}} }} und Radikalidealen in {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} piaq3opl2e8bl29b29g10uk4c411bl5 0 96419 1092891 1025222 2026-06-02T11:58:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092891 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei {{ Relationskette | V || V( {{ideala}} ) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || |SZ= }} eine affin-algebraische Menge, die durch das Ideal {{math|term= {{ideala}} }} beschrieben werde. Es sei {{mathl|term= F \in K[X_1 {{kommadots|}} X_n]}} ein Polynom, das auf {{math|term= V}} verschwindet. Dann gehört {{math|term= F}} zum Radikal von {{math|term= {{ideala}} |SZ=,}} d.h. es gibt ein {{mathl|term= r \in \N}} mit {{mathl|term= F^r \in {{ideala}} |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rum746vibej98s8gmrg6odocjikk3ha 0 96467 1092185 1018822 2026-06-01T13:06:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092185 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir bezeichnen zu einem Monom {{mathl|term= \lambda \in \N^k |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | D^\lambda || {{makl| \partial_{X_1} |}}^{\lambda_1} {{circdots}} {{makl| \partial_{X_k} |}}^{\lambda_k} || || || |SZ= }} diesen Differentialoperator auf dem Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_k] |SZ=.}} Der Ausdruck {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1|\lambda!}} D^\lambda || {{op:Bruch|1|\lambda!}} {{makl| \partial_{X_1} |}}^{\lambda_1} {{circdots}} {{makl| \partial_{X_k} |}}^{\lambda_k} || || || |SZ= }} ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom {{math|term= X^\nu|SZ=}} direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in {{math|term= \Z|SZ=}} behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form {{math|term= D^\lambda|SZ=,}} wobei eine Komponente von {{math|term= \lambda|SZ=}} negativ ist, ist als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren. {{ inputfaktbeweis |Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Polynome/Jacobi-Taylor-Matrix/Definition|| }} Diese Matrizen bezeichnen wir mit {{math|term= J_n |SZ=.}} Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist. In drei Variablen und einer Gleichung {{math|term= F |SZ=}} sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus {{ Zusatz/Klammer |text=über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch {{math|term= F |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |u=0 |ux= \partial_X (F) |uy= \partial_Y (F) |uz= \partial_Z (F) |uxx= {{op:Bruch|1|2}} \partial_X \partial_X (F) |uxy= \partial_X \partial_Y (F) |uxz= \partial_X \partial_Z (F) |uyy= {{op:Bruch|1|2}} \partial_Y \partial_Y (F) |uyz= \partial_Y \partial_Z (F) |uzz= {{op:Bruch|1|2}} \partial_Z \partial_Z (F) }} }} {{ inputfaktbeweis |Polynome/Hauptteilmodul/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Partielle Ableitungen im Polynomring/Fakt|Korollar|| || }} Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form {{ Relationskette/display |Z_\nu || {{makl| {{op:Bruch|1|(\nu -\mu)!}} D^{ \nu-\mu}(F_i) \, , (\mu,i)|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mjv9rtln4h6l877j5ugtpgjfw60basp 0 97238 1092186 981509 2026-06-01T13:06:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092186 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Derivationen/Verknüpfung/Produktauswertung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hauptteilmodul/Symmetrische Potenz/Differentialformen/Natürliche Abbildung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hauptteilmodul/Differentialoperator/Auf Produkt von Differentialformen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hauptteilmodul/Verknüpfung von Derivationen/Beziehung zu symmetrischem Produkt/Fakt|Lemma|| || }} Insbesondere ist das Bild der Hintereinanderschaltung unabhängig von der Reihenfolge der Derivationen. Dies bedeutet, dass die Differenz zwischen zwei Hintereinanderschaltungen derselben Derivationen auf {{math|term= 0 |SZ=}} geht, also im Kern liegt, welcher {{mathl|term= \operatorname{Diff}^{n-1} |SZ=}} umfasst. Dies ist nicht überraschend, da die Lie-Klammer von Derivationen selbst wieder eine Derivation ist. Daher ist {{ Relationskette/display | \delta_n {{circdots|}} \delta_i \circ \delta_{i-1} {{circdots}} \delta_1 - \delta_n {{circdots|}} \delta_{i-1} \circ \delta_{i} {{circdots}} \delta_1 ||\delta_n {{circdots|}} [\delta_i , \delta_{i-1}] {{circdots}} \delta_1 || || || |SZ= }} ein Operator der Ordnung {{math|term= n-1 |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} spmf2cocgdppy151l9hx2m021dmm8tm 0 97926 1092147 772693 2026-06-01T12:59:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092147 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputaxiom |Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Implikation, Negation, Konjunktion/Axiom||| || }} Man spricht häufig auch genauer von {{Stichwort|Axiomenschemata|msw=Axiomenschema|SZ=,}} da jedes Axiom bei unterschiedlichen Einsetzungen eine Vielzahl von Axiomen representiert. Das {{Stichwort|Kettenschlussaxiom|SZ=}} (2) besagt die {{Stichwort|Transitivität der Implikation|SZ=,}} Axiom (5) heißt {{Stichwort|Widerspruchsaxiom|SZ=}} und Axiom (6) heißt {{Stichwort|Fallunterscheidungsaxiom|SZ=.}} Diese Tautologien sind die axiomatisch fixierten Grundtautologien und fungieren als die Startglieder im rekursiven Aufbau der syntaktischen Tautologien. Um überhaupt aus diesen Axiomen weitere Tautologien generieren zu können, braucht man Ableitungsregeln. Davon gibt es lediglich eine. {{Stichwort|Modus ponens|SZ=}} Aus {{ mathkor|term1= \vdash {{logprop|}} |und|term2= \vdash ({{logprop|}}) \rightarrow ({{logprop2|}} ) |SZ= }} folgt {{mathl|term= \vdash {{logprop2|}} |SZ=.}} {{ inputdefinition |Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Grundtautologien und Modus ponens/Definition|| }} Die Menge aller syntaktischen Tautologien bilden also eine rekursiv definierte Teilmenge von {{math|term= L^V|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Syntaktische Tautologien/Semantisch/Korrektheit/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Ableitungskalkül der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ii8mi32zvr3e7e2120l6h2gh4veng4p 0 97945 1092727 1024926 2026-06-01T14:41:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092727 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |funktional abgeschlossene| |msw= |SZ= }} Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ= }} einer {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=,}} wobei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2oph9j19ujh3t878aondwfn4tsc8v1g 0 98114 1092355 1074654 2026-06-01T13:33:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092355 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Cross_product_parallelogram|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Acdx |Domäne= |Skriptformat=png |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Eine Besonderheit im {{math|term= \R^3 |SZ=}} ist das sogenannte {{Stichwort|Kreuzprodukt|SZ=,}} das zu zwei gegebenen Vektoren einen dazu senkrechten Vektor berechnet. {{ inputdefinition |K^3/Kreuzprodukt/Direkt/Definition|| }} Statt Kreuzprodukt sagt man auch {{Stichwort|Vektorprodukt|SZ=.}} Als Merkregel kann man {{ Relationskette/display | x \times y || {{op:Determinante| {{op:Matrix33|e_1 |x_1 |y_1 |e_2 |x_2 |y_2 |e_3 |x_3 |y_3}} |}} || || || |SZ= }} verwenden, wobei {{math|term= e_1,e_2,e_3 |SZ=}} die Standardvektoren sind und formal nach der ersten Spalte zu entwickeln ist. So wie es dasteht, ist das Kreuzprodukt unter Bezug auf die Standardbasis definiert. {{ inputbeispiel |R^3/Kreuzprodukt/Rechnung/1/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Der uns in (5) begegnende Ausdruck {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|x \times y|z}} |SZ=,}} also die Determinante der drei Vektoren, wenn man diese als Spaltenvektoren auffasst, heißt auch {{Stichwort|Spatprodukt|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |R^3/Kreuzprodukt/Orientierte Orthonormalbasis/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz2|}}}|zusatz2={{{zusatz3|}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Kreuzproduktes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9r7wudk72icuprxj6e1jaxokne6lts0 0 98306 1092407 1019393 2026-06-01T13:41:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092407 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein normales torisches positives Monoid besitzt die Form {{ Relationskette/display |M || C \cap \Gamma || || || |SZ= }} mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter {{ Relationskette | \Gamma || \Z M || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{{d|d}}} |SZ=}} die Dimension von {{math|term= \Gamma|SZ=}} und seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_r |SZ=}} die Facetten von {{math|term= C |SZ=.}} Zu jeder Facette {{math|term= F_i |SZ=}} gibt es eine integrale Linearform {{ Abbildung/display |name= \ell_i |\Gamma| \Z || |SZ=, }} deren Kern {{math|term= F_i |SZ=}} enthält, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Linearformen liefern auf dem Monoidring {{mathl|term= K[M] |SZ=}} die Bewertungen, die zu den torischen Primidealen der Höhe {{math|term= 1 |SZ=,}} die den Facetten entsprechen, gehören. Diese Linearformen definieren zusammengenommen einen injektiven Monoidhomomorphismus {{ Abbildung/display |name=\ell |M| \N^r |m| {{makl| \ell_1(m) {{kommadots|}} \ell_r(m) |}} |SZ=, }} die wiederum einen injektiven Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name=\ell |K[M]| K[\N^r] {{=|}} K[X_1 {{kommadots|}} X_r] || |SZ= }} ergibt. Dieser ist ein direkter Summand, und zwar ist {{mathl|term= K[M] |SZ=}} der Ring der nullten Stufe des Polynomrings unter der Graduierung, die zu {{ Relationskette |D | {{defeq|}} | \Z^r/\Gamma || || || |SZ= }} gehört {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= D |SZ=}} ist die Divisorenklassengruppe des Monoidringes| |ISZ=|ESZ= }}. Man hat also insbesondere eine Zerlegung {{ Relationskette/display | K[X_1 {{kommadots|}} X_r] || \bigoplus_{d \in D} K[X_1 {{kommadots|}} X_r]_d || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | K[X_1 {{kommadots|}} X_r]_0 || K[M] || || || |SZ=. }} Die Projektion auf die {{math|term= 0 |SZ=-}}te Komponente nennen wir {{math|term= \pi|SZ=.}} Über die Abbildung {{math|term= \ell|SZ=}} erhält man gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt |Nr= |SZ= }} aus den zusammengesetzten partiellen Ableitungen {{math|term= \partial^\mu|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term= {{op:Bruch|\partial^\mu|\mu!}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} auf dem Polynomring Differentialoperatoren auf {{mathl|term= K[M] |SZ=.}} Insbesondere erhält man für jedes Monom {{mathl|term= \nu \in M |SZ=}} einen {{Anführung|zugehörigen}} kanonischen Differentialoperator {{math|term= E_\nu|SZ=}} durch {{ Relationskette/display | E_\nu | {{defeq|}} | \pi \circ {{op:Bruch|\partial^{\ell (\nu)}| \ell(\nu) !|}} \circ \ell || || || |SZ=. }} Die Wirkungsweise von {{math|term= E_\nu |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=zu {{mathlk|term=\lambda \in M |SZ=,}} man könnte auch {{math|term= T^\lambda|SZ=}} schreiben| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | E_\nu (\lambda) || \begin{cases} {{op:Bruch|\ell(\lambda)! |\ell(\lambda-\nu)! \ell(\nu)! }} (\lambda - \nu )\text{ falls } \lambda - \nu \in M\, , \\ 0 \text{ sonst} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Dies beruht auf {{ Relationskette/align | E_\nu (\lambda) || \pi {{makl| {{op:Bruch|\partial^{\ell (\nu)}| \ell(\nu) !|}} {{makl| X^{\ell (\lambda) } |}} |}} || \begin{cases} \pi {{makl| {{op:Bruch|\ell(\lambda)! |\ell(\lambda - \nu)! \ell(\nu)! }} X^{\ell (\lambda- \nu) } |}} \\ 0 \end{cases} || \begin{cases} {{op:Bruch| \ell(\lambda)! | \ell(\lambda - \nu)! \ell(\nu)! }} { (\lambda- \nu) } \\ 0 \, ,\end{cases} || |SZ= }} wobei die erste Alternative genau dann gilt, wenn {{ Relationskette |\ell( \lambda ) |\geq| \ell( \nu) || || || |SZ= }} in jeder Komponente gilt, was zu {{mathl|term= \lambda - \nu \in M |SZ=}} äquivalent ist. {{{zusatz1|}}} Die Ordnung des Differentialoperators {{math|term= E_\nu|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Betrag|\ell(\nu)|}} |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette/display |E_\nu(\nu) ||1 || || || |SZ=. }} Insbesondere gibt es also zu jedem Monom in {{mathl|term= K[M] |SZ=}} einen unitären Operator, der dieses Monom auf {{math|term= 1 |SZ=}} abbildet. Dies überträgt sich {{ Zusatz/Klammer |text=in Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=}} unmittelbar| |ISZ=|ESZ= }} auf beliebige Elemente {{math|term= \neq 0 |SZ=}} eines torischen Monoidringes. Allerdings ist, im Gegensatz zum Polynomring, die Ordnung der zu einem Monom gehörigen unitären Differentialoperatoren komplizierter, nämlich über {{math|term= \ell|SZ=,}} zu bestimmen. Durch {{mathl|term= {{op:Betrag|\ell|}} |SZ=}} ist eine natürliche positive {{math|term= \N|SZ=-}}Graduierung auf einem Monoidring gegeben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} h1umrqtzxrbxzmhv20z85oxjnus0vxn 0 98657 1092556 1019721 2026-06-01T14:06:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092556 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten die Fermat-Quadrik {{ Math/display|term= X_1^2+X_2^2 {{plusdots|}} X_d^2+X_{d+1}^2 =0 |SZ= }} der Dimension {{ Relationskette |d |\geq|2 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= d+1 |SZ=}} Variablen. Wir nehmen Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=}} an. Der Operator {{math|term= E_1 |SZ=}} {{ Math/display|term= (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j \neq 1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j \neq 1} X_j \partial_{1} \partial_{j} |SZ= }} schickt {{math|term= X_1 |SZ=}} auf eine Einheit und die anderen Variablen auf {{math|term= 0 |SZ=.}} Sie formen also für die Erzeuger von Grad {{math|term= 1 |SZ=}} ein komplettes unitäres System von Operatoren der Ordnung {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} Es wird {{math|term= X_1^2 |SZ=}} auf {{mathl|term= 2(d-1)X_1 + 2X_1 |SZ=}} und {{mathl|term= X_1X_i |SZ=}} auf {{mathl|term= (d-1)X_i +2 X_i |SZ=}} abgebildet und {{mathl|term= X_i^2 |SZ=}} auf {{math|term= -2X_1 |SZ=}} abgebildet. Ein Monom {{mathl|term= X^\lambda|SZ=}} wird auf {{ Math/display|term= \lambda_1 {{makl| (d-1 ) + (\lambda_1-1) + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \lambda_j |}} X^{\lambda -e_1 } - \sum_{j \neq 1} \lambda_j ( \lambda_j-1) X^{ \lambda + e_1-2e_j} |SZ=, }} abgebildet. Es ist ja {{ Relationskette/align | E_1 {{makl| X^\lambda |}} || {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum_{j \neq 1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j \neq 1} X_j \partial_{1} \partial_{j} |}} {{makl| X^\lambda |}} || (d-1) \lambda_1 X^{\lambda -e_1} + \lambda_1 (\lambda_1-1) X^{\lambda -e_1} - \sum_{j \neq 1} \lambda_j(\lambda_j-1) \partial^{\lambda +e_1-2e_j }+ 2 \sum_{j \neq 1} \lambda_1 \lambda_j X^{\lambda -e_1 } || {{makl| (d-1 ) \lambda_1 + \lambda_1(\lambda_1-1) + 2 \sum_{j \neq 1} \lambda_1 \lambda_j |}} X^{\lambda -e_1 } - \sum_{j \neq 1} \lambda_j( \lambda_j-1) X^{ \lambda + e_1-2e_j} || \lambda_1 {{makl| (d-1 ) + (\lambda_1-1) + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \lambda_j |}} X^{\lambda -e_1 } - \sum_{j \neq 1} \lambda_j ( \lambda_j-1) X^{ \lambda + e_1-2e_j} |SZ=. }} {{ Math/display|term= {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j {{=|}} 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} |}} {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} X_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1} \partial_{k} |}} |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/display | \partial_{1} \circ ( \partial_{1} ) || \partial^2_{1} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \partial_{1} \circ (X_1 \partial^2_{1} ) || \partial^2_{1} +X_1 \partial^3_{1} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \partial_{1} \circ (X_1 \partial^2_{k} ) || \partial^2_{k} +X_1 \partial_{1} \partial^2_{k} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \partial_{1} \circ (X_k \partial_{1} \partial_{k} ) || X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | \partial_1 \circ E_1 || d \partial_1^2- \sum_{k {{=}} 2}^ {d+1} \partial_k^2 +F || || || |SZ=. }} Mit Koeffizienten ergibt sich {{ Relationskette/display |E_1^2 ||(d-1) {{makl| d \partial_{1}^2 - \sum_{k {{=}} 2}^{d+1} \partial^2_{k} |}} +F || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= F |SZ=}} ein Operator mit einem Vorfaktor aus {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} ist. Ausgeschrieben ist {{ Relationskette/align | \partial_1 \circ E_1 || \partial_1 \circ {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} X_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1} \partial_{k} |}} || (d-1) \partial_{1}^2 + \partial_{1}^2 + X_1 \partial_{1}^3 - \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} || d \partial_{1}^2 + X_1 \partial_{1}^3 - \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/align | \partial_1^2 \circ E_1 || \partial_1 {{makl| d \partial_{1}^2 + X_1 \partial_{1}^3 - \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} |}} || d \partial_{1}^3 + \partial_{1}^3 +X_1 \partial_1^4 - \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 - \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1^2 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^3 \partial_{k} || (d +1) \partial_{1}^3 +X_1 \partial_1^4 - 2\sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 - X_1 \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1^2 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^3 \partial_{k} |SZ=. }} Es ist {{ Zusatz/Klammer |text={{mathl|term= j \neq 1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \partial_{j} \circ ( \partial_{1} ) || \partial_{1} \partial_{j} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \partial_{j} \circ (X_1 \partial^2_{1} ) || X_1 \partial^2_{1}\partial_{j} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \partial_{j} \circ (X_1 \partial^2_{k} ) || X_1 \partial_{j} \partial^2_{k} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \partial_{j} \circ (X_k \partial_{1} \partial_{k} ) || X_k \partial_{1} \partial_{j} \partial_{k} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= j \neq k |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette/display | \partial_{j} \circ (X_j \partial_{1} \partial_{j} ) || \partial_{1} \partial_{j}+ X_j \partial_{1} \partial_{j}^2 || || || |SZ=. }} Ausgeschrieben ist {{ Relationskette/align | \partial_j \circ E_1 || \partial_j \circ {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{k {{=|}} 2}^{d+1} X_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1} \partial_{k} |}} || (d-1) \partial_{1} \partial_{j} + X_1 \partial_{1}^2 \partial_{j} - X_1 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_j \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2, k \neq j}^{d+1} X_k \partial_{1} \partial_j \partial_{k} +2 \partial_{1} \partial_{j}+2 X_j \partial_{1} \partial_{j}^2 || || |SZ=. }} Insgesamt ist {{mathl|term= E_1^2 |SZ=}} gleich {{ Math/display|term= (d-1) {{makl| d \partial_{1}^2 + X_1 \partial_{1}^3 - \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_{k}^2 - X_1 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_k \partial_{1}^2 \partial_{k} |}} |SZ= }} {{ Math/display|term= +(d +1) X_1 \partial_{1}^3 + X_1^2 \partial_1^4 - 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_1\partial_1 \partial_{k}^2 - X_1^2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} \partial_1^2 \partial_{k}^2 + 2 \sum_{k {{=|}} 2}^{d+1} X_1 X_k \partial_{1}^3 \partial_{k} |SZ= }} {{ Math/display|term= - (d-1) X_1 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_{j}^2 - X_1^2 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_1^2 \partial_{j}^2 +\sum_{2 \leq j,k \leq d+1} X_1^2 \partial_j^2 \partial_{k}^2 -2 \sum_{2 \leq j,k \leq d+1, j \neq k} X_1 X_k \partial_1 \partial_j^2 \partial_{k} -4 \sum_{2 \leq j \leq d+1} X_1 \partial_1 \partial_j^2 |SZ= }} {{ Math/display|term= + 2(d-1) \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} X_j \partial_1^2 \partial_{j} + 2 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} X_1X_j \partial_1^3 \partial_{j}+ 2 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} X_j \partial_1^2 \partial_{j} |SZ= }} {{ Math/display|term= -2 \sum_{1 \leq j,k \leq d+1 } X_j \partial_j \partial_k^2 -2 \sum_{1 \leq j,k \leq d+1 } X_jX_1 \partial_1 \partial_j \partial_k^2 + 4 \sum_{2 \leq j,k \leq d+1 } X_jX_k \partial_1^2 \partial_j \partial_k + 4 \sum_{2 \leq j \leq d+1 }X_j \partial_1^2 \partial_j |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/align | \partial^2_{1} \circ E_1 || (d-1) \partial_{1}^3 + 2\partial_{1}^3 - 2 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_{1} \partial_{j}^2 + G || (d+1) \partial_{1}^3 - 2 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_{1} \partial_{j}^2 + G || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | \partial^2_{j} \circ E_1 || (d-1) \partial_{1} \partial_{j}^2 + 4 \partial_{1} \partial_{j}^2 + H || (d+3) \partial_{1} \partial_{j}^2 + H || || |SZ=. }} Somit ist bis auf die Anteile mit einem Vorfaktor aus {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} {{ Relationskette/align | E_1^3 || E_1^2 \circ E_1 || (d-1) {{makl| d \partial_1^2 - \sum_{j {{=}} 2}^ {d+1} \partial_j + F |}} \circ E_1 || (d-1) {{makl| d (d+1) \partial_1^3 - 2 d \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 - \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} (d+3) \partial_1 \partial_j^2 + F |}} || (d-1) {{makl| d (d+1) \partial_1^3 - 3( d+1) \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 + F |}} || (d-1)(d+1) {{makl| d \partial_1^3 - 3 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 + F |}} |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/align |\partial_1^m (E_1) || \partial_1^m {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j {{=|}} 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} |}} || (d-1) \partial_1^{m+1} + m \partial_1^ {m-1+2} - m \sum_{j {{=}} 2}^ {d+1} \partial_1^{m-1} \partial_j^2 +H || (d+m-1) \partial_1^{m+1} - m \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_1^{m-1} \partial_j^2 +H || |SZ= }} und {{ Relationskette/align |\partial_1^k \partial_j^2 (E_1) || \partial_1^k \partial_j^2 {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j {{=|}} 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} |}} || (d-1) \partial_1^{k+1}\partial_{j}^2 + k \partial_1^{k-1+2} \partial_j^2 - k \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial_1^{k-1} \partial_j^4 + 4 \partial_1^{k+1} \partial_j^2 + H || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/align | \partial_1^m \partial_j^k (E_1) || \partial_1^m \partial_j^k {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j {{=|}} 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} |}} || (d-1) \partial_1^{m+1} \partial_j^k + m \partial_1^{m-1+2} \partial_j^k - m \sum_{j {{=}} 2}^ {d+1} \partial_1^{m-1} \partial_j^{k+2} + 2k \partial_1^{m+1} \partial_j^{k} +H || (d+m+2k-1) \partial_1^{m+1} \partial_j^k - m \sum_{j {{=}} 2}^ {d+1} \partial_1^{m-1} \partial_j^{k+2} +H || |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/align | \partial^\nu (E_1) || \partial^\nu {{makl| (d-1) \partial_{1} +X_1 \partial_{1}^2 - \sum _{j {{=|}} 2}^{d+1} X_1 \partial_{j}^2 + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} X_j \partial_{1} \partial_{j} |}} || (d-1) \partial^{\nu+e_1} + \nu_1 \partial_1^{\nu+e_1} - \nu_1 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1+2e_j } +2 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \nu_j \partial^{\nu+e_1} + H || {{makl| d-1+ \nu_1 +2 \sum_{j{{=}}2}^{d+1} \nu_j |}} \partial^{\nu+e_1} - \nu_1 \sum_{j {{=}} 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1+2e_j } + H || |SZ=. }} Beispielsweise ist {{ Relationskette/display | \partial_1^2 (E_1) || (d+1) \partial_1^3 -2 \sum_{j {{=|}} 2 }^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \partial_2^2 (E_1) || (d+3) \partial_1 \partial_2^2 || || |SZ=. }} Damit ist {{ Relationskette/display | \partial_2^2 (E_1) - \partial_3^2 (E_1) || (d+3) {{makl| \partial_1 \partial_2^2 - \partial_1 \partial_3^2 |}} || || || |SZ=, }} diese Operatordifferenz gehört also dazu. Damit gilt wiederum {{ Relationskette/align | {{makl| \partial_1^2 -\partial_2^2 |}} (E_1) || (d+1) \partial_1^3 -2 \sum_{j {{=|}} 2 }^{d+1} \partial_1 \partial_j^2 - (d+3) \partial_1 \partial_2^2 || (d+1) \partial_1^3 -2 d \partial_1 \partial_2^2 - (d+3) \partial_1 \partial_2^2 || (d+1) \partial_1^3 - 3(d+1) \partial_1 \partial_2^2 || |SZ=. }} Somit sollte {{mathl|term= \mu! \partial^\nu - \nu! \partial^\nu|SZ=}} für benachbarte Monome darin sein {{ Zusatz/Klammer |text=unitär ausdrückbar| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Relationskette/align | {{makl| \mu! \partial^\nu - \nu! \partial^\mu |}} {{makl| E_1 |}} || \mu! {{makl| d-1 +\nu_1 +2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \nu_j |}} \partial^{\nu +e_1} - \mu! \nu_1 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1 +2e_j} - \nu! {{makl| d-1 +\mu_1 + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \mu_j |}} \partial^{\mu +e_1} + \nu! \mu_1 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \partial^{\mu -e_1 +2e_j} || \mu! {{makl| d-1 +\nu_1 +2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \nu_j |}} \partial^{\nu +e_1} - \nu! {{makl| d-1 +\mu_1 + 2 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \mu_j |}} \partial^{\mu +e_1} - \mu! \nu_1 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1 +2e_j} + \nu! \mu_1 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \partial^{\mu -e_1 +2e_j} || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette | \nu_1 || \mu_1 || || || |SZ= }} ist, so stimmen die Zahlen vorne in den Klammer überein, und die neuen und alten Fakultäten unterscheiden sich wie gehabt an den anderen Stellen. Die hinteren Summen heben sich nach Induktion über {{math|term= \nu_1= \mu_1 |SZ=}} weg. Sei nun {{ Relationskette | \nu_1 |>| \mu_1 || 0 || || |SZ=. }} Dann muss man {{mathl|term= \nu_1 \sum_{j {{=|}} 2}^{d+1} \partial^{\nu -e_1 +2e_j} |SZ=}} verstehen. Es ist {{ Relationskette/align | E_2 \circ E_1 || (d-1) \partial_2 (E_1) + H || (d-1) ( (d-1) \partial_1 \partial_2 + 2 \partial_1 \partial_2 ) +H || (d-1) (d+1) \partial_1 \partial_2 + H || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | E_2 \circ E_1 \circ E_1 || (d-1) (d+1) \partial_1 \partial_2 (E_1) + H || (d-1) (d+1) {{makl| (d+2 ) \partial_1^2 \partial_2 - \sum_{j {{=}} 2}^{d+1 } \partial_2 \partial_j^2 |}} +H || || |SZ= }} und {{ Relationskette/align | E_2 \circ E_2 \circ E_1 \circ E_1 || ( E_2 \circ E_2 \circ E_1 )( E_1) || {{makl| (d+2 ) \partial_1\partial_2^2 - \sum_{j \neq 2} \partial_1 \partial_j^2 |}} (E_1) || (d+2 ) {{makl| (d +4) \partial_1^2 \partial_2^2 - \sum_{j \neq 1 } \partial_j^2 \partial_2^2 |}} - \sum_{j \neq 2} {{makl| (d+4) \partial_1^2 \partial_j^2 - \sum_{ k \neq 1} \partial_j^2 \partial_k^2 |}} || |SZ= }} {{ Relationskette/align | {{op:Bruch|1|\nu!}} \partial^\nu (E_1) - {{op:Bruch|\nu_1 | (\nu_2+1) \nu!}} \partial^{\nu -e_1+e_2} (E_2) || {{op:Bruch|d-1+ \nu_1 + 2 \sum_{j \neq 1} \nu_j |\nu!}} \partial^{\nu+e_1} - {{op:Bruch|\nu_1 |\nu!}} \sum_{j \neq 1} \partial^ {\nu-e_1 +2e_j} - {{op:Bruch|\nu_1 (d-1+ \nu_2 +1 + 2 \sum_{j \neq 2} \nu_j -2 )| (\nu_2+1) \nu!}} \partial^{\nu-e_1+2e_2} + {{op:Bruch|\nu_1 | (\nu_2+1) \nu!}}(\nu_2+1) \sum_{j \neq 2} \partial^{\nu-e_1 +2e_j} || {{op:Bruch|d-1+ \nu_1 + 2 \sum_{j \neq 1} \nu_j |\nu!}} \partial^{\nu+e_1} - {{op:Bruch|\nu_1 (d-2+ \nu_2 + 2 \sum_{j \neq 2} \nu_j )| (\nu_2+1) \nu!}}\partial^{\nu-e_1+2e_2} - {{op:Bruch|\nu_1 |\nu!}} \partial^{\nu-e_1+2e_2} + {{op:Bruch|\nu_1 | \nu!}} \partial^{\nu-e_1 +2e_1} || {{op:Bruch|d-1+ 2 \sum_{j} \nu_j |\nu!}} \partial^{\nu+e_1} - {{op:Bruch|\nu_1 (d-1+ 2 \sum_{j } \nu_j )| (\nu_2+1) \nu!}}\partial^{\nu-e_1+2e_2} || {{makl| d-1+ 2 \sum_{j} \nu_j |}} {{makl| {{op:Bruch|\nu_1 +1 | (\nu+e_1)!}} \partial^{\nu+e_1} - {{op:Bruch|\nu_2+2 | (\nu-e_1+2e_2)!}} \partial^{\nu-e_1+2e_2} |}} |SZ=. }} Es gibt die {{ Zusatz/Klammer |text=nichtunitären| |ISZ=|ESZ= }} Derivationen {{mathl|term= X_i \partial_j - X_j \partial_i |SZ=.}} Es ist beispielsweise {{ Relationskette/align | {{makl| X_1 \partial_2 - X_2 \partial_1 |}} \circ {{makl| X_1 \partial_3 - X_3 \partial_1 |}} || X_1^2 \partial_2\partial_3 -X_1X_3 \partial_1 \partial_2 - X_1X_2 \partial_1 \partial_3 -X_2 \partial_3 +X_2X_3 \partial_1 \partial_1 || || |SZ= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} tdmsshn26qoed31z90s5n9xsbbdpi8l 0 98835 1092541 983984 2026-06-01T14:04:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092541 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Hermitesche Form/Definition|| }} Aus dieser Bedingung folgt sofort, dass bei {{ Relationskette |u ||v || || || |SZ= }} der Wert {{mathl|term= {{op:Bilinearform|v|v}} |SZ=}} reell ist. {{ inputdefinition |Sesquilinearform/Hermitesch/Definitheit/Definition|| }} {{ inputdefinition |Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Sesquilinearform/Hermitesch/Typ/Trägheitssatz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hermitesche Form/Typ über selbstadjungierten Endomorphismus/Fakt|Satz|| || }} Mit den Eigenwerten ist auch die Determinante und das charakteristische Polynom der Gramschen Matrix zu einer hermiteschen Sesquilinearform reell. Die Hauptminoren sind also reelle Zahlen und wir erhalten auch über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} das Minorenkriterium. {{ inputfaktbeweis |Sesquilinearform/Hermitesch/Minorenkriterium_für_Typ/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der hermiteschen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} m0zm2jjk2ysidbrkl3u9h7wxky5np88 0 99142 1092434 1077066 2026-06-01T13:46:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092434 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Wichteln}} Eine gewisse Gruppe von Personen möchte wichteln. D.h. jeder Person wird eine weitere Person zugelost, die die erste Person beschenken soll, und dabei wird größtmögliche Geheimhaltung angestrebt. Typischerweise legt man die Zuordnung so fest, dass man die Namen der beteiligten Personen einzeln auf einen Zettel schreibt und dann die Leute ziehen lässt. Die ziehende Person beschenkt die Person, deren Namen auf dem gezogenen Zettel steht. Wenn eine Person sich selbst zieht, so hat man ein Problem. Die übliche praktische Lösung ist, alles zurück in den Topf zu werfen und nochmal probieren, solange, bis es keine Selbstziehungen mehr gibt. Wir wollen verstehen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich jemand bei einer Ziehung selbst zieht, und daher das Ganze wiederholt werden muss. Insbesondere wollen wir die Asymptotik verstehen, wenn die Anzahl der beteiligten Personen sehr groß ist bzw. wird. Es sei {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl der Personen, die wichteln möchten. {{ Relationskette/display |n ||1 || || || |SZ=. }} Hier gibt es nur eine Ziehung, die eine Person zieht sich selbst, dies ist unvermeidbar. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine {{ Zusatz/Klammer |text=erlaubte| |ISZ=|ESZ= }} Wichtelzuordnung gezogen wird, ist also {{math|term= 0 |SZ=,}} und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nichtwichtelzuordnung gezogen wird, ist {{math|term= 1 |SZ=.}} {{ Relationskette/display |n ||2 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Hier gibt es zwei Ziehmöglichkeiten, nämlich {{Wertetabelle2 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B}} und {{Wertetabelle2 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A}} Die erste Möglichkeit ist die Identität, die zweite die Vertauschung. Die erste ist nicht erlaubt, die zweite ist eine erlaubte Wichtelzuordnung. Die Wahrscheinlichkeit is also {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} Die Ziehmöglichkeiten werden hier durch eine Wertetabelle angegeben, und zwar eine solche, bei der jede Person genau einmal als Wert {{ Zusatz/Klammer |text=in der unteren Reihe| |ISZ=|ESZ= }} auftritt. Eine solche Zuordnung heißt bijektive Abbildung oder {{Stichwort|Permutation|SZ=.}} Wir interessieren uns also für den Anteil derjenigen Permutation, wo keine Person auf sich selbst abgebildet wird, innerhalb der Gesamtheit aller Permutationen. {{ Relationskette/display |n ||3 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A,B |und|term2= C |SZ=. }} Hier gibt es sechs Ziehmöglichkeiten, nämlich {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B|C}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|C|B}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A|C}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|C|A}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|A|B}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|B|A}} Von den sechs Möglichkeiten sind nur die vierte und die fünfte ohne Selbstziehung {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Fixpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit für eine fixpunktfreie Ziehung ist demnach {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} Wie kommt man auf die Liste dieser insgesamt sechs Ziehmöglichkeiten? Um sich dies klar zu machen, vergessen wir kurz die Frage nach den Selbstziehungen. Die erste Person {{math|term= A |SZ=}} hat drei Ziehmöglichkeiten, nämlich {{math|term= A,B,C|SZ=.}} Wenn dies festgelegt ist, so hat die zweite Person, {{math|term= B |SZ=,}} nur noch zwei Ziehmöglichkeiten, die jeweils von {{math|term= A |SZ=}} gezogene Person ist ja nicht mehr möglich. Für die letzte Person, {{math|term= C |SZ=,}} gibt es nur noch eine Möglichkeit, sie muss den verbliebenen Zettel ziehen. Diese Beobachtung gilt stets. Bei {{math|term= n |SZ=}} Personen gibt es insgesamt {{ Math/display|term= n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 |SZ= }} Permutationen. Diese von {{math|term= n |SZ=}} abhängige Zahl bekommt einen eigenen Namen, man nennt sie die {{Stichwort|Fakultät|SZ=}} von {{math|term= n |SZ=}} und bezeichnet sie mit {{math|term= n!|SZ=.}} Diese Funktion wächst ziemlich schnell. {{Wertetabelle8 |text1={{math|term= n |SZ=}}|0|1|2|3|4|5|6|7 |text2={{math|term= n! |SZ=}}|1|1|2|6|24|120|720|5040}} Der Wert {{mathl|term= 0!=1 |SZ=}} mag überraschen, ist aber sinnvoll. Die Grundmenge aller Permutationen besitzt also {{math|term= n!|SZ=}} Elemente, darin müssen wir diejenigen Permutationen zählen, die keinen Fixpunkt besitzen. {{ Relationskette/display |n ||4 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A,B,C |und|term2= D |SZ=. }} Wir wissen, dass es insgesamt {{math|term= 24 |SZ=}} Permutationen gibt. Alle aufzulisten und einfach zu schauen, welche einen Fixpunkt haben und welche nicht, ist schon ziemlich aufwändig. Wir werden gleich bessere Abzählmöglichkeiten finden. {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B|C|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B|D|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|C|B|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|C|D|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|D|B|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|D|C|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A|C|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A|D|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|C|A|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|C|D|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|D|A|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|D|C|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|A|B|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|A|D|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|B|A|D}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|B|D|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|D|A|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|D|B|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|A|B|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|A|C|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|B|A|C}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|B|C|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|C|A|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D |text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|C|B|A}} Eine Durchsicht der Liste zeigt, dass es unter den {{math|term= 24 |SZ=}} Permutationen {{math|term= 9 |SZ=}} fixpunktfreie Permutationen gibt. Auf diese Zahl kann man schneller kommen, indem man die Struktur von Permutationen besser versteht. Entscheidend dafür ist das Konzept eines Zyklus. Bei der zuletzt angeführten Permutation wird beispielsweise {{math|term= A |SZ=}} auf {{math|term= D |SZ=}} und {{math|term= D |SZ=}} wiederum auf {{math|term= A |SZ=}} abgebildet, und ebenso wird {{math|term= B |SZ=}} mit {{math|term= C |SZ=}} vertauscht. Insgesamt kann man diese Abbildung als {{ Math/display|term= A \leftrightarrow B, \, \, \, C \leftrightarrow D |SZ= }} darstellen. Man hat zwei Zyklen der Länge zwei. In der darüber stehenden Permutation hat man die Zuordnung {{ Math/display|term= A \mapsto D \mapsto B \mapsto C |SZ=. }} Man spricht von einem Zyklus der Länge {{math|term= 4 |SZ=.}} In der darüber stehenden Permutation hat man die Zuordnung {{ Math/display|term= A \leftrightarrow D , \, \, \, B , \, \, \, C |SZ=. }} Man hat einen Zyklus der Länge zwei und zwei Fixpunkte, ein Fixpunkt ist ein Zyklus der Länge eins. Die Zerlegung einer Permutation in die Zyklen verschiedener Länge nennt man den Typ der Permutation. Es geht also darum, wie viele Zyklen welcher Länge es gibt. Im Falle {{ Relationskette |n ||4 || || || |SZ= }} gibt es nun lediglich zwei Typen, wie eine fixpunktfreie Permutation aussehen kann, nämlich den Viererzyklus und den doppelten Zweierzyklus. Beim ersten Typ kann man an jeder Stelle anfangen, die Reihenfolge der Elemente legt dann den Zyklus fest. Davon gibt es also {{ Relationskette |3! ||6 || || || |SZ= }} Stück. Beim zweiten Typ geht es um die Einteilung der Menge in zwei Paare, danach ist alles festgelegt. Davon gibt es {{math|term= 3 |SZ=}} Stück. Jedenfalls ist die Wahrscheinlichkeit für eine fixpunktfreie Permutation bei vier Personen gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|9|24}} |SZ=.}} {{ Relationskette/display |n ||5 || || || |SZ=. }} Hier gibt es schon {{mathl|term= 120 |SZ=}} Permutationen, eine Auflistung erübrigt sich. Es gibt aber wieder nur zwei Typen von fixpunktfreien Permutationen, nämlich einerseits die {{math|term= 5 |SZ=-}}Zyklus und andererseits diejenigen Permutationen, die aus einem Zweier-Zyklus und einem Dreier-Zyklus bestehen. Vom ersten Typ gibt es, mit dem gleichen Argument wie oben, {{ Relationskette |4! ||24 || || || |SZ= }} Möglichkeiten. Vom zweiten Typ muss man die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, in einer fünfelementigen Menge eine zweielementige Teilmenge zu fixieren. Diese Zahlen werden wir gleich allgemeiner benötigen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, in einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Teilmenge zu fixieren? Hier treten wieder die Fakultäten auf. {{ inputdefinition |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputfakt |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz|| }} Der Grund für diese Formel ist im Wesentlichen: Wenn man eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Teilmenge fixieren möchte, so hat man zunächst {{math|term= n |SZ=}} Wahlmöglichkeiten, dann {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Wahlmöglichkeiten bis man schließlich {{mathl|term= n-k+1 |SZ=}} Wahlmöglichkeiten für das letzte, {{math|term= k |SZ=-}}te Element hat. Allerdings gibt es dabei {{math|term= k!|SZ=}} viele Reihenfolgen, letztlich die gleiche Menge auszuwählen. Daher ist die richtige Anzahl gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+2) (n-k+1)|k!}} || {{op:Bruch|n!|(n-k)! k!}} || {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} || || |SZ=. }} Somit gibt es in der fünfelementigen Menge genau {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient|5|2}} || {{op:Bruch|5 \cdot 4|2}} || 10 || || |SZ= }} zweielementige Teilmengen. Wenn diese fixiert ist, muss man noch sagen, wie der Dreierzyklus auf dem Komplement aussehen soll. Dafür gibt es jeweils zwei Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also unter den {{math|term= 120 |SZ=}} Permutationen {{ Relationskette/display | 24+ 10 \cdot 2 || 44 || || || |SZ= }} fixpunktfreie Permutationen. Die Wahrscheinlichkeit, eine erlaubte Wichtelzuordnung zu ziehen, ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|44|120}} || {{op:Bruch|11|30}} || || || |SZ=. }} Für deutlich größere {{math|term= n |SZ=}} wird es auch mit der Zyklenmethode schwierig, die genaue Anzahl der fixpunktfreien Permutationen zu bestimmen. Wir werden gleich eine bessere Methode kennenlernen. Wir fassen kurz die berechneten Wahrscheinlichkeiten zusammen. {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= n |SZ=}}|1|2|3|4|5| \ldots |text2={{math|term= w(n) |SZ=}}|0| {{op:Bruch|1|2}} | {{op:Bruch|1|3}} | {{op:Bruch|9|24}} | {{op:Bruch|11|30}} | ? }} In gerundeten Prozent ist dies {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= n |SZ=}}|1|2|3|4|5| \ldots |text2={{math|term= w(n) |SZ=}}|0| 50 | 33{,}3 | 37{,}5 | 36{,}6 | ? }} Diese Zahlen gehen hoch und runter. Wir möchten uns mit dem Problem beschäftigen, wie sich diese Zahlen verhalten, wenn {{math|term= n |SZ=}} groß und größer wird, gegen unendlich geht. {{ inputproblem |Wichteln/Wahrscheinlichkeit/Problem||| || }} Wie sieht es etwa für {{ Relationskette |n ||1000 || || || |SZ= }} aus? {{Anführung|Streben}} die Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Zahl entgegen oder varieren sie in alle Richtungen? Wenn sie gegen eine bestimmte Zahl streben, gegen welche? Gegen {{math|term= 0 |SZ=,}} gegen {{math|term= 1 |SZ=,}} gegen irgendwas dazwischen? Heuristisch ist es hier schwierig, einen Tipp abzugeben. Einerseits ist, wenn {{math|term= n |SZ=}} groß ist, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person sich selbst zieht, sehr klein. Andererseits darf aber gar keine Person sich selbst ziehen, und das sind wiederum viele Bedingungen, und viele kleine Wahrscheinlichkeiten können sich zu einer großen Zahl aufaddieren. Wir beschreiben nun eine einfache Möglichkeit, für jedes {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen anzugeben. Betrachten wir zuerst das Problem, dass bei einer Permutation eine bestimmte Person auf sich selbst abgebildet wird. Dies haben wir schon weiter oben für einzelne Zahlen bestimmt, es gibt {{mathl|term= (n-1)!|SZ=}} Permutationen von dieser Art, da ja die eine Person auf sich selbst abgebildet wird, und es ansonsten keine weitere Bedingung gibt, es sich also einfach um die Gesamtzahl der Permutationen von {{math|term= n-1 |SZ=}} Personen handelt. Falsch wäre es jetzt, diese Anzahl {{math|term= n |SZ=-}}mal aufzuaddieren, da wir dann eine Permutation mit mehreren Fixpunkten mehrfach zählen würden. {{ inputbild |Inclusion-exclusion|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Chris-martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Wir müssen die sogenannte {{Stichwort|Siebformel|SZ=}} anwenden. Sie berechnet die Anzahl in einer Vereinigung von Mengen, wenn die einzelnen Anzahlen der Mengen und ihrer Durchschnitte bekannt sind. Im einfachsten Fall, bei {{ Relationskette/display |M ||A \cup B || || || |SZ=, }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M|}} || {{op:Anzahl|A|}} + {{op:Anzahl|B |}} - {{op:Anzahl|A \cap B|}} || || || |SZ=. }} Um die Elemente, die sowohl in {{math|term= A |SZ=}} als auch in {{math|term= B |SZ=}} sind, nicht doppelt zu zählen, muss man deren Anzahl abziehen. Bei drei Mengen {{ Relationskette/display |M ||A \cup B \cup C || || || |SZ=, }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M|}} || {{op:Anzahl|A|}} + {{op:Anzahl|B |}} + {{op:Anzahl|C |}} - {{op:Anzahl|A \cap B|}}- {{op:Anzahl|A \cap C|}}- {{op:Anzahl|B \cap C|}} + {{op:Anzahl|A \cap B \cap C|}} || || || |SZ=. }} Die allgemeine Formel für eine Vereinigung von {{math|term= n |SZ=}} Mengen {{mathl|term= A_1,A_2 {{kommadots|}} A_n |SZ=}} wird im folgenden Satz beschrieben. {{ inputfakt |Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz|| || }} Kehren wir zu unserer Frage zurück. Zu jedem {{math|term= i \in {{Menge1n}} |SZ=}} sei {{math|term= A_i |SZ=}} die Menge aller Permutationen auf {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=,}} die {{math|term= i |SZ=}} auf sich selbst abbilden. Somit ist {{mathl|term= A_1 \cup A_2 {{cupdots}} A_n |SZ=}} die Menge aller Permutationen, die mindestens einen Fixpunkt haben. Um die Siebformel anwenden zu können, müssen wir zu {{ Relationskette |J |\subseteq| {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} die Durchschnitte {{mathl|term= \bigcap_{i \in J} A_j |SZ=}} verstehen. Bei dieser Menge handelt es sich um diejenigen Permutationen, für die alle Elemente aus {{math|term= J |SZ=}} Fixpunkte sind {{ Zusatz/Klammer |text=und die auch noch weitere Fixpunkte außerhalb von {{math|term= J |SZ=}} haben können| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die Anzahl von {{math|term= J |SZ=}} gleich {{math|term= k |SZ=}} ist, so gibt es {{mathl|term= (n-k)!|SZ=}} solche Permutationen, da ja die Permutation auf {{math|term= J |SZ=}} die Identität sein muss und es außerhalb von {{math|term= J |SZ=}} keine Einschränkung gibt. Bei fixiertem {{math|term= k |SZ=}} wissen wir auch, wie viele Teilmengen {{math|term= J |SZ=}} mit {{math|term= k |SZ=}} Elementen zu berücksichtigen sind, nämlich {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} |SZ=.}} Mit diesen Zahlen ergibt sich nun mit Hilfe der Siebformel der Ausdruck {{ Relationskette/align |{{op:Anzahl| A_1 \cup A_2 {{cupdots}} A_n |}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} (n-k)! || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Bruch|n!|k! (n-k)! }} (n-k)! || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Bruch|n!|k! }} || || |SZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit, eine wichtelkonforme {{ Zusatz/Klammer |text=fixpunktfreie| |ISZ=|ESZ= }} bijektive Abbildung zu ziehen, ist somit gleich {{ Relationskette/align | {{op:Bruch|n! - {{op:Anzahl| A_1 \cup A_2 {{cupdots}} A_n }}|n! }} || 1- {{op:Bruch| \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Bruch|n!|k! }} |n!}} || 1- {{makl| \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{op:Bruch|1 |k! }} |}} || 1+ \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} || \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} |SZ=. }} Wir berechnen diese Ausdrücke für {{ Relationskette |n |\leq|5 || || || |SZ= }} und vergleichen sie mit den oben gefundenen. Es ist {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^1 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} || 1-1 || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^2 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} ||1-1 +{{op:Bruch|1 |2 }} || {{op:Bruch|1 |2 }} || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^3 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} ||1-1 +{{op:Bruch|1 |2 }} - {{op:Bruch|1 |6 }} || {{op:Bruch|1 |3 }} || || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^4 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} ||1-1 +{{op:Bruch|1 |2 }} - {{op:Bruch|1 |6 }} + {{op:Bruch|1 |24 }} || {{op:Bruch|9 |24 }} || || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 0}^5 (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} ||1-1 +{{op:Bruch|1 |2 }} - {{op:Bruch|1 |6 }} + {{op:Bruch|1 |24 }} - {{op:Bruch|1|120}} || {{op:Bruch|44 |120 }} || || || || |SZ=. }} Das Schöne an der jetzt gefundenen Formel ist, dass sich der nächste Wert durch Hinzunahme oder Abzug eines einfachen Bruches aus der zuvor berechneten Zahl ergibt. {{Zwischenüberschrift|Die eulersche Zahl}} {{ inputbild |Exponential function|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Luks |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei, |Bemerkung= }} Die eulersche Zahl {{ Relationskette/display |e || 2{,}71828 \ldots || || || |SZ= }} gehört zu den wichtigsten Zahlen der Mathematik überhaupt, und kommt in sehr vielen verschiedenen Gebieten der Mathematik vor. Das gleiche gilt für die zugehörige Exponentialfunktion, also die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R|\R |x|e^x |SZ=. }} Die Exponentialfunktion hat die folgende Darstellung. {{ inputfakt |Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt|Satz|| || }} Insbesondere ist also {{ Relationskette/display |e ||\sum_{k {{=}} 0}^n {{op:Bruch|1 |k! }} ||1+1+ {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|24}} + {{op:Bruch|1|120}} + \ldots || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e^{-1} || \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} || 1-1+ {{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|24}} - {{op:Bruch|1|120}} \pm \ldots || || |SZ=. }} Somit ist die oben ermittelte Formel für die Wahrscheinlichkeit, eine fixpuntfreie Permutation zu ziehen, gleich der Anfangssumme von {{mathl|term= e^{-1} |SZ=.}} Insbesondere konvergiert diese Wahrscheinlichkeit {{mathl|term= w(n) |SZ=}} gegen {{mathl|term= e^{-1} |SZ=}} für {{math|term= n |SZ=}} gegen unendlich. Der numerische Wert ist {{ Relationskette/display |e^{-1} || 0{,}367879 \ldots || || || |SZ=, }} die oben zuletzt ausgerechneten Werte sind also schon ziemlich gut. {{Zwischenüberschrift|Andere Auswahlverfahren}} Beim üblichen Ziehen ist, wie wir gesehen haben, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand sich selbst zieht und die Ziehung dann wiederholt werden muss, nicht zu vernachlässigen. Gibt es andere Auswahlverfahren? Es soll jede (fixpunktfreie) Zuordnung gleichwahrscheinlich sein und jede Person sollte außer der zu beschenkenden Person keinerlei weitere Information haben. Es sei zumindest {{ Relationskette |n |\geq|3 || || || |SZ=. }} Wir besprechen zwei mögliche Ansätze. Methode 1 Statt leerer Zettel nimmt man einseitig mit von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= n |SZ=}} durchnummerierte Zettel. Diese werden mit der Nummer nach unten hingelegt und jede Person zieht zufällig einen Zettel mit der Nummer, und zwar ohne den Zettel zurück zu legen. Nach diesem ersten Schritt besitzt also jede Person genau einen Zettel mit einer Nummer. Jede Person merkt sich ihre Nummer und schreibt auf ihrem Zettel den eigenen Namen auf der leeren Seite drauf. Die Zettel werden nun mit der Nummer nach oben wieder hingelegt, was die anderen nicht sehen dürfen. Im letzten Schritt zieht nun jede Person ihre Nachfolgerzahl, wenn also eine Person die Nummer {{math|term= k |SZ=}} gezogen hat, muss sie jetzt den Zettel mit der Nummer {{mathl|term= k+1 |SZ=}} rausgreifen {{ Zusatz/Klammer |text=was im Fall {{mathl|term= k= n |SZ=}} als {{math|term= 1 |SZ=}} zu verstehen ist| |ISZ=|ESZ=, }} den Zettel umdrehen und den Namen lesen. Die darauf stehende Person ist zu beschenken, der Zettel wird mit der Nummer nach oben wieder zurückgelegt. Bei diesem letzten Schritt müssen wieder alle anderen Personen wegschauen, da es ja geheim sein soll, welche Nummer zu welcher Person gehört. Diese Methode ist nicht ganz korrekt, da sie etwas Information über die Gesamtzuordnung mitliefert. Man weiß nämlich, dass die Person, der ich etwas schenken soll, definitiv nicht mein Schenker sein kann. Bei einer zufälligen Ziehung kann es aber sein, dass man selbst in einem Zweierzyklus landet. Methode 2 Man macht für jede mögliche fixpunktfreie Permutation einen großen Umschlag {{ Zusatz/Klammer |text=das sind also sehr viele Umschläge| |ISZ=|ESZ=, }} der wiederum {{math|term= n |SZ=}} kleine Umschläge enthält. Auf jedem kleinen Umschlag steht außen ein Name und im Innern ist ein Zettel mit einem weiteren Namen. Jede Permutation kann man ja durch solche Umschläge kodieren, die kleinen Umschläge übernehmen also die Rolle der Wertetabelle. Die Gruppe muss dann einen großen Umschlag wählen, ihn öffnen und jede Person öffnet dann den kleinen Umschlag, auf dem ihr Name steht. Die im kleinen Umschlag innen benannte Person ist zu bewichteln. Diese Methode ist mathematisch völlig korrekt, aber praktisch undurchführbar. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der eulerschen Zahl |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Zahl |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} na2d940pkqjcem91a9m8m411iov6idm 0 99195 1092427 1074698 2026-06-01T13:45:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092427 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Gerade mit Orientierungen|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Jeder Punkt {{math|term= \neq 0 |SZ=}} auf einer Geraden definiert eine Orientierung. Die beiden grünen Punkte definieren die gleiche Orientierung, der rote Punkt die andere. |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne=CC-by-sa 4.0 |Lizenz= |Bemerkung= }} Bei einem eindimensionalen reellen Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=einer Geraden| |ISZ=|ESZ= }} ist jeder von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Vektor ein Basisvektor. Wenn man die {{math|term= 0 |SZ=}} herausnimmt, so zerfällt die Gerade in zwei Hälften {{ Zusatz/Klammer |text=zwei Halbgeraden, zwei Strahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die Gerade {{Anführung|horizontal vor einem liegt|SZ=,}} so werden die beiden Hälften als {{Anführung|links}} bzw. {{Anführung|rechts}} angesprochen. Diese Begrifflichkeit ist ziemlich problematisch, wenn man die Gerade bewegt oder wenn man sie aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet. Dagegen ist es ein einfacher Tatbestand, dass es zwei Seiten gibt und es ist auch einfach zu bestimen, ob zwei Punkte der gleichen Seite oder verschiedenen Seiten angehören, auch wenn die einzelnen Seiten schwer zu benennen sind. Die Gleichseitigkeit von zwei Punkten {{math|term= \neq 0 |SZ=}} auf der Geraden kann man dadurch ausdrücken, dass ihre Übergangsmatrix {{ Zusatz/Klammer |text=Basiswechselmatrix| |ISZ=|ESZ=, }} die ja nur aus einer einzigen reellen Zahl besteht, positiv ist, die Andersseitigkeit bedeutet, dass die Übergangsmatrix negativ ist. {{ inputbild |Clockwise arrow|svg|230px {{!}} left {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Scott5114 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Counterclockwise arrow|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Scott5114 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} In der Ebene gibt es ein vergleichbares Phänomen, den Drehsinn. Wenn man sich beispielsweise auf der Erdoberfläche um einen Baum bewegen möchte, so kann man das mit dem Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn tun. Der Uhrzeigersinn ist durch eine Konvention festgelegt und es wird von der Draufsicht {{Anführung|von oben}} ausgegangen. Für den nach oben schauenden Maulwurf im Boden ist der Drehsinn genau umgekehrt. Wenn im Raum irgendeine Ebene gegeben ist, so ist keineswegs klar, was in ihr der Uhrzeigersinn sein soll. Dennoch ist für jede Ebene klar, dass es dort zwei entgegengesetzte Drehrichtungen gibt und wann zwei Drehrichtungen übereinstimmen. Auch dieses Phänomen kann man mit Basen und ihren Übergangsmatrizen erfassen. Der Mittelpunkt der Uhr sei der Nullpunkt der Ebene, den Zeiger fassen wir zu jedem Zeitpunkt als einen Vektor auf. Zu zwei aufeinanderfolgenden Zeitpunkten {{ mathkor|term1= t_1 |und|term2= t_2 |SZ= }} nimmt der Zeiger die beiden Vektorpositionen {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} ein, wobei darauf zu achten ist, dass in der Zeitdifferenz weniger als eine Halbdrehung vollzogen wird. Diese beiden Vektoren {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_2 |SZ= }} definieren eine Basis der Ebene {{ Zusatz/Klammer |text=nach einer Halbdrehung wäre {{ Relationskette/k | v_2 || -v_1 || |SZ= }} und die beiden Vektoren wären linear abhängig| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man zum Zeitpunkt {{ Relationskette |t_1 || 0 || || || |SZ= }} den Zeiger oben sein lässt, sie wird die Zeigerbewegung im Uhrzeigersinn durch {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:sin|t|}}| {{op:cos|t|}} |}} |SZ=}} parametrisiert. Die beiden Vektoren sind dann {{ Math/display|term= v_1 = {{op:Spaltenvektor|0|1}} ,\, v_2 = {{op:Spaltenvektor| {{op:sin|t|}}| {{op:cos|t|}} |}} \text{ mit } 0 <t < \pi |SZ=. }} {{ inputbild |UhrSchraegeEbene|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Wurde die Uhr von vorne oder von hinten in die schräge Ebene hineingelegt? |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die Übergangsmatrix zwischen der Standardbasis {{ Math/display|term= u_1= {{op:Spaltenvektor|1|0}} ,\, u_2 = {{op:Spaltenvektor|0|1}} |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Übergangsmatrix|v|u}} || {{op:Matrix22|0|{{op:sin|t|}}|1|{{op:cos|t|}} }} || || || |SZ=. }} Die Determinante davon ist {{mathl|term= -{{op:sin|t|}} |SZ=,}} und diese ist im angegebenen Winkelbereich für {{math|term= t |SZ=}} stets negativ, für {{math|term= t |SZ=}} aus {{mathl|term= ] \pi, 2 \pi [|SZ=}} ist sie positiv. Die Übergangsmatrizen zwischen den Basen {{ Math/display|term= v_1= {{op:Spaltenvektor|0|1}} ,\, v_2 = {{op:Spaltenvektor| {{op:sin|t|}}| {{op:cos|t|}} |}} \text{ und } w_1= {{op:Spaltenvektor|0|1}} ,\, w_2 = {{op:Spaltenvektor| {{op:sin|s|}}| {{op:cos|s|}} |}} \text{ mit } t,s \in {]0, \pi[} |SZ= }} haben eine positive Determinante. In diesem Sinne legt der Uhrzeigersinn zwar keine Basis fest, aber doch eine Klasse von Basen, die untereinander eine Übergangsmatrix mit positiver Determinante haben. Wenn man gegen den Uhrzeigersinn läuft, so gelangt man zu Basen vom Typ {{ Math/display|term= v_1= {{op:Spaltenvektor|0|1}} ,\, v_2 = {{op:Spaltenvektor| - {{op:sin|t|}}| {{op:cos|t|}} |}} \text{ mit } t \in {]0, \pi[} |SZ=, }} und diese haben zur Standardbasis und untereinander Übergangsmatrizen mit positiver Determinante. {{ inputbild |Right hand rule Cartesian axes|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Cmglee |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Im Raum gibt es wieder ein vergleichbares Phänomen, wobei hier die menschliche Anatomie hilft. Die rechte und die linke Hand sind spiegelbildlich aufgebaut {{ Zusatz/Klammer |text=die rechte Hand ist diejenige, die vom Herz weiter weg ist als die linke| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man eine Hand nimmt, den Handmittelpunkt als Nullpunkt des Raumes ansetzt und den Daumen, Zeige- und Mittelfinger ausspreizt, sodass Daumen und Zeigefinger eine Pistole bilden und der Mittelfinger nach innen zeigt, so ergibt sich durch diese drei Finger in dieser Reihenfolge im Raum eine Folge von drei Vektoren, die eine Basis bilden {{ Zusatz/Klammer |text=man kann auch die Finger einzeln vom Ansatz zur Spitze als Vektoren auffassen und auf einen gemeinsamen Ursprungspunkt verzichten, das macht keinen Unterschied| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn man dies mit der linken und der rechten Hand macht, so kann man zwar Daumen und Zeigefinger parallel aneinander anlegen, aber die Mittelfinger sind dann einander entgegen gesetzt. Die Übergangsmatrix zwischen den beiden Handbasen ist {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|1|0|0|0|1|0|0|0|-1|}} |SZ=, }} ihre Determinante ist negativ. Die rechte und die linke Hand repräsentieren wieder unterschiedliche Orientierungen von Raumbasen. Wir kommen nun zur allgemeinen Definition einer Orientierung. Im Folgenden ist es wichtig, dass man unter einer Basis nicht die Menge der Basisvektoren {{mathl|term= \{v_1 {{kommadots|}} v_n\} |SZ=,}} sondern das geordnete Tupel {{mathl|term= (v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ=}} der Basisvektoren versteht. {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierungsgleiche Basen/Definition|| }} Diese Relation zwischen Basen ist eine Äquivalenzrelation, und zwar eine, bei der es nur zwei Äquivalenzklassen {{ Zusatz/Klammer |text=genannt {{Stichwort|Orientierungen|msw=Orientierung|SZ=}} oder {{Stichwort|Orientierungsklassen|msw=Orientierungsklasse|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} gibt {{ Zusatz/Klammer |text=außer beim Nullraum| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierung als Äquivalenzklasse/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Es ist einfach, zu bestimmen, ob zwei Basen die gleiche oder die entgegengesetzte Orientierung besitzen, es macht aber keinen Sinn, die einzelnen Orientierungen zu benennen. {{ inputbild |Kulifeder|JPG| 250px {{!}} left {{!}} | |Text=Viele Objekte aus Natur und Technik machen deutlich, dass es zwei verschiedene Orientierungen gibt. Es ist einfach, bei gleichartigen Objekten wie Federn die mit der gleichen und die mit der entgegengesetzten Orientierung zu erkennen. |Autor= |Benutzer=Ghinrael |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Ressort de compression|jpg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Ressort_de_compression |Text=Die Benennung der beiden Orientierungen und welchen mathematischen (durch eine Basis repräsentierten) Orientierungen sie entsprechen ist eine Frage der Konvention. |Autor= |Benutzer=Jean-Jacques MILAN |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Orientierter Vektorraum/Definition|| }} Ein Vektorraum wird dadurch orientiert, dass man beispielsweise sagt, dass {{math|term= V |SZ=}} die Orientierung tragen möge, die durch die Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} repräsentiert wird. Der Standardraum {{math|term= \R^n |SZ=}} trägt, wenn nichts anderes gesagt wird, die sogenannte {{Stichwort|Standardorientierung|SZ=,}} die durch die {{ Definitionslink |Standardbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} repräsentiert wird. Die Standardorientierung von {{math|term= \R |SZ=}} wird durch die {{math|term= 1 |SZ=}} und jede positive Zahl repräsentiert, die Standardorientierung des {{math|term= \R^2 |SZ=}} entpricht, wenn man wie üblich den ersten Standardvektor nach rechts und den zweiten Standardvektor dazu senkrecht nach oben zeichnet, der Bewegung gegen den Uhrzeigersinn. Im Raum entspricht die Standardorientierung der rechten Hand, wenn man den Raum mit der ersten Achse nach rechts, der zweiten Achse nach hinten und der dritten Achse nach oben positiv ausrichtet. Die rechte Hand liefert eine menschlich-natürliche Orientierung des Anschauungsraumes und die Standardorientierung liefert eine Orientierung auf dem {{math|term= \R^3 |SZ=,}} beides hat erstmal nichts miteinander zu tun, da es eine Vielzahl an Möglichkeiten gibt, ein Koordinatensystem aufzustellen. Das eben angesprochene Koordinatensystem beruht auf einer Konvention. Auf einem beliebigen reellen Vektorraum gibt es keine kanonische Möglichkeit, eine Orientierung auszuzeichnen. Es gibt zwar zu jedem reellen endlichdimensionalen Vektorraum eine bijektive lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | \R^n | V || |SZ=, }} und dabei wird die Standardbasis auf eine Basis von {{math|term= V |SZ=}} abgebildet, allerdings hängen diese Bildbasen und ihre Orientierungsklasse vom gewählten {{math|term= \varphi |SZ=}} ab. Es ist nicht möglich, auf jedem {{math|term= V |SZ=}} eine Orientierung in kanonischer Weise festzulegen. Unter einer Orientierung auf einem reellen affinen Raum {{math|term= E |SZ=}} versteht man eine Orientierung auf dem zugrunde liegenden reellen Vektorraum. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Orientierungen auf reellen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pbfe1y12jb46pr77q5t5m25bcca71k2 0 99220 1092561 555749 2026-06-01T14:07:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092561 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wenn man eine Drehachse für eine Raumbewegung gefunden hat, so ist die Bewegung dadurch charakterisiert, wie sie auf der zur Achse senkrechten Ebene wirkt. Von daher ist es zuerst wichtig, die Bewegungen der Ebene mit einem fixierten Punkt zu verstehen. {{ inputbild |Kreis3Teilung|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Exxu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Kreis5Teilung|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Exxu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Symmetrie/Drehungen am n-Eck/Gruppe bekannt/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen zyklischen Gruppen |Kategorie2=Theorie der regulären n-Ecke |Kategorie3=Theorie der ebenen Drehungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lmo5lfwtfygv49qlcdvpjkrb5h5odq6 0 99652 1092827 1009228 2026-06-02T09:43:07Z Kaan Bauer 38603 /* Bestimmung des kleinsten von 0 verschiedenen Koeffizienten */ 1092827 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine meromorphe Funktion auf einer offenen Teilmenge <math>U</math> von <math>\mathbb{C}</math> ist in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] eine Funktion, die [[Holomorphie|holomorph]] bis auf [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|Pole]] ist. Diese Pole dürfen nur isoliert auftreten. === Körper der meromorphen Funktionen === Die Menge aller meromorphen Funktionen auf einem Teilgebiet <math>U</math> der komplexen Ebene hat gegenüber der Menge der holomorphen Funktionen den Vorteil, dass sie nicht nur einen Ring, sondern einen Körper bildet, man kann sogar zeigen, dass sie der Quotientenkörper des Rings der holomorphen Funktionen ist. ==Definition - meromorph Funktion == Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen. Eine meromorphe Funktion <math>f</math> auf <math>U</math> ist eine Funktion mit einer diskrete Singularitätenmenge <math>S \subseteq U</math> mit * <math>f \colon U \setminus S\to \mathbb C</math> ist holomorph * <math>f</math> hat an jeder Stelle <math>s \in S</math> einen Pol Man bezeichnet dann <math>f</math> als ''meromorph'' auf <math>U</math> und schreibt <math>f \in \mathcal M(U)</math>. === Bemerkung - Definitionsbereich === Man beachte, dass eine meromorphe Funktion auf <math>U</math> keine auf ganz <math>U</math> definierte Funktion ist, sondern nur auf dem Komplement einer diskreten Teilmenge. === Bemerkung - Auschließen wesentlicher Singularität === Nach dem [[Satz von Casorati-Weierstraß]] liegt das einer punktierten Umgebung um eine wesentliche Singularität dicht in <math>\mathbb{C}</math>. Bezogen auf die Riemannsche Zahlenkugel der Einpunktkompaktifizierung von <math>\mathbb{C}</math> ist diese Eigenschaft ungeeignet für Operationen. == Bemerkung == Bei der Definition von Singularitäten wurden die drei Typen von Singulariäten * hebbare Singularität, * Pol (der Ordnung <math>m</math>) * wesentliche Singularität genannt. Meromorphe Funktionen dürfen dabei in der Singularitätmengen <math>S</math> nur Pole oder hebbare Singularitäten besitzen, aber keine wesentliche Singularitäten besitzen. ==Eigenschaften== Folgende Eigenschaften meromorpher Funktionen werden behandelt: * Summen Differenz und Produkt von meromorphen Funktionen, * Zusammenhängendes <math>U</math> und Körpereigenschaften, * meromorphe Funktionen als Quotient zweier holomorpher Funktionen === Summen Differenz und Produkt=== Die Summe, die Differenz und das Produkt zweier Funktionen <math>f,g \in \mathcal M(U)</math> sind wieder meromorph, also ist <math>\mathcal M(U)</math> eine Algebra über dem Ring der holomorphen Funktionen auf <math>U</math>.<br />Denn sei <math>S</math> die Polstellenmenge von <math>f</math> und <math>T</math> die Polstellenmenge von <math>g</math>. Dann ist <math>S \cup T</math> eine diskrete Teilmenge von <math>U</math> und <math>f +g, f-g, fg</math> sind auf <math>U \setminus (S \cup T)</math> holomorph und haben auf <math>S\cup T</math> hebbare Singularitäten oder Pole. === Zusammenhang und Körpereigenschaft === Ist <math>U</math> zusammenhängend, <math>f,g \in \mathcal M(U)</math> und <math>g\ne 0</math>, so ist <math>f/g</math> meromorph auf <math>U</math>. In diesem Fall ist <math>\mathcal M(U)</math> also ein Körper.<br />Denn sei <math>S_f</math> die Polstellenmenge von <math>f</math>, <math>S_g</math> die Polstellenmenge von <math>g</math>. Es ist <math>U\setminus S_g</math> ein Gebiet, also ist die Nullstellenmenge <math>N_g</math> von <math>g</math> nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] eine diskrete Teilmenge von <math>U</math>. Nun ist <math>f/g \colon U \setminus (S_f \cup S_g \cup N_g) \to \mathbb{C}</math> holomorph und auf <math>S_f \cup S_g \cup N_g</math> hat <math>f/g</math> hebbare Singularitäten oder Pole. === Meromorphe Funktion als Quotient holomorpher Funktionen === Lokal ist jede meromorphe Funktion Quotient zweier holomorpher Funktionen, d.&thinsp;h. ist <math>f \in \mathcal M(U)</math>, <math>z_0 \in U</math>, so gibt es eine Umgebung <math>V</math> von <math>z_0</math> und holomorphe Funktionen <math>p,q \colon V \to \mathbb C</math>, so dass <math>f = p/q</math> gilt. Es ist ein tiefliegendes Ergebnis, dass für Gebiete <math>U</math> eine solche Darstellung sogar stets global möglich ist, d.&thinsp;h. in diesem Fall ist der Körper der meromorphen Funktionen der Quotientenkörper des Rings der holomorphen Funktionen auf <math>U</math>. ==Äquivalente Beschreibung - holomorphe Funktionen auf Riemannscher Zahlenkugel == Eine weitere Möglichkeit, meromorphe Funktionen auf einer offenen Menge <math>U \subseteq \mathbb{C}</math> zu beschreiben, ist sie als holomorphe Funktionen mit Werten in der [[w:de:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannschen Zahlenkugel]] zu definieren. Durch Erweiterung der Menge <math>\mathbb{C}</math> um den Punkt <math>\infty</math> erhält man durch die Menge <math>\widehat{\mathbb{C}}:= \mathbb{C} \cup \{\infty \}</math>. === Einpunktkompaktifizierung - Riemannsche Zahlenkugel === Durch die Hinzunahme eines Punktes <math>\infty</math> zu <math>\mathbb{C}</math> erhält man eine kompakte Menge <math>\widehat{\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \{\infty \} </math>. Dabei verändert sich die topologische Struktur von der Gaußschen Zahlenebene in eine Kugelgeometrie (siehe [[w:de:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]]). === Umgebungen des Punktes "unendlich" === ==Definition - Holomorphie im Punkt Unendlich == Sei <math>U\subseteq \mathbb{C}</math> eine offene Menge und <math>f \colon U \to \widehat{\mathbb{C}}</math> eine Funktion. <math>f</math> heißt ''holomorph'' an einer Stelle <math>z_0 \in U</math> mit <math>f(z_0) \ne \infty</math>, wenn es eine Umgebung <math>V</math> von <math>z_0</math> gibt, so dass <math>f(V)\subseteq \mathbb C</math> und <math>f|_V \colon V \to \mathbb C</math> in <math>z_0</math> holomorph ist. <math>f</math> heißt ''holomorph'' an einer Stelle <math>z_0</math> mit <math>f(z_0) = \infty</math>, wenn <math>\frac 1f</math> an der Stelle <math>z_0</math> holomorph in der bisherigen Definition von Holomorphie auf <math> \mathbb{C}</math> ist. ==Pole und Unendlichkeitsstellen == Sei <math>f \colon U \to \widehat{\mathbb{C}}</math> holomorph und <math>f(z_0) = \infty</math>. Ist <math>f</math> auf keiner Umgebung von <math>z_0</math> konstant <math>\infty</math>, da meromorphe Funktionen isolierte Singularitäten besitzen. Also gibt es nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]] eine Umgebung <math>V</math> von <math>z_0</math>, so dass <math>f|_{V \setminus \{z_0\}} \colon V \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C}</math>, in der <math>z_0</math> die einzige Singularität ist. === Anwendung der Definition der Holomorphie im Punkt Unendlich === Da <math>f</math> in <math>z_0</math> holomorph ist, gibt es nach Definition der Holomorphie im Punkt <math>\infty</math> <math>\frac{1}{f}</math> in <math>z_0</math> holomorph, besitzt also auf <math>V </math> eine Potenzreihenentwicklung, etwa <center><math> \frac 1{f(z)} = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k </math></center> === Bestimmung des kleinsten von 0 verschiedenen Koeffizienten === Sei <math>m := \min \{k : a_k \ne 0\}</math>, dann ist <center><math> \frac 1{f(z)} = (z-z_0)^m \underbrace{\sum_{k=0}^\infty a_{k+m}(z-z_0)^k}_{g(z) :=} </math></center> Durch das Ausklammern von <math>(z-z_0)^m</math> ist dann immer noch <math>g</math> holomorph mit <math>g(z_0) \ne 0</math> und damit <math>\frac{1}{g(z_0)} \ne \infty </math>. Damit ist dann <math>1/g</math> auch in <math>z_0</math> holomorph. === Darstellung der Funktion f === Mit dem Ausklammern des Terms <math>(z-z_0)^m</math> folgt <center><math> f(z) \cdot (z-z_0)^m = \frac 1{g(z)}, \qquad z \in V\setminus\{z_0\} </math></center> also hat <math>f</math> in <math>z_0</math> einen Pol der Ordnung <math>m</math>. ===Charakterisierung meromorpher Funktionen=== Da Pole gerade als Unendlichekeitsstellen beschrieben werden können, erhalten wir: Eine meromorphe Funktion <math>f</math> auf <math>U \subseteq \mathbb C</math> ist eine holomorphe Funktion <math>f \colon U \to \widehat{\mathbb{C}}</math>, deren Unendlichkeitsstellen keine Häufungspunkte besitzt. Dies ist äquivalent dazu, dass <math>f</math> auf keiner Komponente von <math>U</math> konstant gleich <math>\infty</math> ist. == Aufgabe - Abbildungen auf der Riemannschen Zahlenkugel == Betrachten Sie die folgenden Funktionen auf der Riemannschen Zahlenkugel: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \widehat{\mathbb{C}} & \rightarrow & \widehat{\mathbb{C}} \\ & z & \mapsto & f(z) = \frac{a\cdot z + b}{c\cdot z + d} \end{array} </math> * Berechnen Sie den Funktionswert <math>f(\infty)</math>. * Für welche <math>z \in \widehat{\mathbb{C}}</math> gilt <math>f(z) = \infty </math> * Der Koeffizient <math>c \not = 0</math>. Ist die obigen Abbildung <math>f</math> dann bijektiv auf <math> \widehat{\mathbb{C}} </math>? Weisen Sie die Injektivität und Sujektivität jeweils nach. * Beschreiben Sie die geometrischen Eigenschaften der Funktion <math>g</math> auf der Riemannschen Zahlenkugel über die Kongruenzabbildungen. Nennen Sie Fixpunkte der Abbildung <math>g</math>. ::<math> \begin{array}{rrcl} g: & \widehat{\mathbb{C}} & \rightarrow & \widehat{\mathbb{C}} \\ & z & \mapsto & g(z) = \begin{cases} \overline{z} & , & z \in \mathbb{C} \\ \infty & , & z = \infty \\ \end{cases} \end{array} </math> * Betrachten Sie die Abbildung <math>h(z):=\frac{1}{z} </math> auf der Riemannschen Zahlenkugel. Verwenden Sie dazu die Begriffe obere und untere Hemisphäre. Identifizieren Sie den "Äquator" der Riemannschen Zahlenkugel mit der Gaußschen Zahlenebene. == Siehe auch == * [[w:de:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] * [[Satz von Casorati-Weierstraß]] * [[Kurs:Funktionentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/meromorphe%20Funktion https://de.wikiversity.org/wiki/meromorphe%20Funktion] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/meromorphe%20Funktion Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/meromorphe%20Funktion * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Meromorphic function]]</noinclude> i4lbja8augusm2selwtr3ifv4ghhddl 106 99672 1092821 1011674 2026-06-02T08:20:50Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n */ 1092821 wikitext text/x-wiki Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt, wie der Name schon vermuten lässt, Null- und Polstellen einer [[Meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] mit ihrer Vielfachheit. Genauer: ==Nullstelle der Ordnung n== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. <math>f</math> hat in <math>z_o</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>, wenn eine holomorphe Funktion <math>g: U \to \mathbb{C}</math> existiert, mit :<math>g(z_o)\not= 0 \, \wedge \, f(z)=(z-z_o)^n \cdot g(z)</math>. ==Polstelle der Ordnung n== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \setminus \{z_o\} \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. <math>f</math> hat in <math>z_o</math> eine Polstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>, wenn eine holomorphe Funktion <math>g: U \to \mathbb{C}</math> existiert, mit <math> z\in U\setminus \{z_o\}</math>: :<math>g(z_o)= w_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \, \wedge \, f(z)=(z-z_o)^{-n} \cdot g(z) </math>. === Bemerkung 1 - U als Kreisscheibe === Man betrachtet in der Regel als offene Menge <math>U := D_r(z_o) \subset G</math> als Kreisscheibe um eine isolierte Singularität. "Isoliert" bedeutet gerade, dass man immer eine Kreisscheibe finden kann, in der nur <math>z_o\in U</math> eine Singularität ist und keine weiteren Singularitäten in der Kreisscheibe <math>D_r(z_o) \subset G</math>. === Bemerkung 2 - Polstelle der Ordnung n === Die Bedingung <math> g(z_o)= w_o \in \mathbb{C} </math> sorgt dafür, dass kein weiterer Faktor <math>(z-z_o)^{-1}</math> in <math>g</math> steckt und die Ordnung der Polstelle größer als <math>n</math> ist. In einem solchen Fall wäre <math>g(z_0)=\infty</math>. === Bemerkung 3 - Polstelle der Ordnung n === Die Bedingung <math> g(z_o)\not= 0 </math> sorgt dafür, dass die Funktion <math>g</math> keine Nullstelle in <math>z_o</math>. In einem solchen Fall wäre die Ordnung der Polstelle dann kleiner als <math>n</math> ist. In einem solchen Fall kann man mit einer Nullstelle der Ordnung <math>k</math> durch <math>(z-z_0)^k</math> den Grad des der Polstelle, um <math>k</math> reduzieren. == Aufgaben == Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. Ferner habe <math>f</math> in <math>z_o</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>. === Aufgabe 1: Nullstelle der Ordnung n === Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Nullstellenordnung den Ausdruck für <math>z \in U</math> :<math>\frac{f'(z)}{f(z)}=</math> === Aufgabe 2: Nullstelle der Ordnung n === Begründen Sie, warum für den Term <math>\frac{g'(z)}{g(z)}</math> eine Umgebung <math>D_\varepsilon(z_o) \subset U</math> existiert in der <math>\frac{g'}{g}</math> keine Singularitäten besitzt. === Aufgabe 3: Nullstelle der Ordnung n === Begründen Sie, warum <math>\frac{g'}{g}</math> nicht notwendigerweise auf ganz <math>U\subseteq \mathbb C</math> definiert sein muss. === Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n=== Was können Sie daraus für die folgende Integrale folgern: :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{g{\,}'(z)}{g(z)}\, dz = ...</math> und :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = ... </math> === Aufgabe 5: Polstelle der Ordnung n=== Übertragen Sie Berechnung und Begründungen auf Polstellen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math> und berechnen Sie wieder die Integrale: :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{g'(z)}{g(z)}\, dz = ...</math> und :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = ... </math> ==Satz - Null- und Polstellen zählendes Integral== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f \in \mathcal{M}(U)</math>. Sei <math>\mathcal{N}(f)</math> die Menge der Null- und <math>\mathcal{P}(f)</math> die Menge der Polstellen von <math>f</math>. Sei <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklus]] in <math>U</math>, der jede Null- und jede Polstelle von <math>f</math> genau einmal im positiven Sinn [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|umläuft]], d.&thinsp;h. es ist <math>n(\Gamma, z) = 1</math> für jedes <math>z\in \mathcal{N}(f)\cup \mathcal{P}(f)</math>. Wir setzen für <math> z \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math>: :<math> o_z(f) := \left\{\begin{array}{rr} m & z\ \textrm{ist}\ \textrm{Nullstelle}\ m\textrm{-ter}\ \textrm{Ordnung}\\ -m & z \ \textrm{ist}\ \textrm{Pol}\ m\textrm{-ter}\ \textrm{Ordnung} \end{array}\right. </math> Dann ist <center><math> \frac 1{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_{z\in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)} o_z(f). </math></center> ==Beweis== Für jedes <math>z_0 \in \mathcal{N}(f)\cup \mathcal{P}(f)</math> gibt es dann eine Umgebung <math>U_{z_0}</math> und ein holomorphes <math>g_{z_0}\colon U_{z_0} \to \mathbb C</math> so dass <math>g_{z_0}(z_0) \ne 0</math>, <math>U_{z_0} \cap (\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)) = \{z_0\}</math> und :<math> f(z) = (z-z_0)^{o_{z_0}(f)}g_{z_0}(z) \qquad(\star)</math> gilt. === Beweis 1 - Holomorphie und Anwendung Residuensatz=== Der Integrand ist überall in <math>U</math> mit Ausnahme von möglicherweise <math>\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> holomorph. Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] genügt es, die [[Residuum|Residuen]] von <math>f</math> in den Punkten von <math>\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> zu berechnen. === Beweis 2 - Nullstellen / Polstellen === * '''Nullstelle''' der Ordnung <math>n</math>: <math> f(z) = (z-z_o)^n \cdot g(z)</math> mit <math> g(z_o) \not= 0 </math> * '''Polstelle''' der Ordnung <math>n</math>: <math> f(z) = (z-z_o)^{-n} \cdot g(z)</math> mit <math> g(z_o) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. === Beweis 3 - Ableitung mit Produktregel === * '''Nullstelle''' der Ordnung <math>n</math> mit <math> g(z_o) \not= 0 </math>: ::<math> f'(z) = n\cdot (z-z_o)^{n-1} \cdot g(z) + (z-z_o)^{n} \cdot g{\,}'\!(z) </math> * '''Polstelle''' der Ordnung <math>n</math> mit <math> g(z_o) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>: ::<math> f'(z) = -n\cdot (z-z_o)^{-n-1} \cdot g(z) + (z-z_o)^{-n} \cdot g{\,}'\!(z) </math> Beide Fälle werden durch die Definition <math>o_{z_o}(f)</math> für Polstellen und Nullstellen nun zusammengefasst. === Beweis 4 - Umgebung um Pol- bzw. Nullstelle === Da sowohl bei der Polstelle als auch bei der Nullstelle <math> g(z_o) \not= 0 </math> gelten muss, gibt es eine Umgebung <math>D_\varepsilon (z_o)</math> um <math>z_o</math>, für die <math> g(z) \not= 0 </math> für alle <math>z \in D_\varepsilon (z_o)</math> gilt. Man indiziert nun die Funktion <math>g</math> als <math>g_{z_o}</math>, um deutlich zu machen, dass die Wahl von <math>g_{z_o}</math> von <math> z_o</math> abhängt. === Beweis 5 - Residuum für Nullstellen/Polstellen=== Sei <math>z_0 \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math>, dann erhält man mit der Definition von <math>(\star)</math> über die Produktregel für <math>z \in D_\varepsilon(z_0) </math> die folgende Ableitung: :<math> f'(z) = o_{z_0}(f)(z-z_0)^{o_{z_0}(f)-1}g_{z_0}(z) + (z-z_0)^{o_{z_0}(f)}g_{z_0}'(z) </math> also ist für <math>z</math> nicht weiter als <math>\varepsilon > 0 </math> von <math>z_0</math> entfernt ist: :<math> \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0} + \frac{g'_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)}, z \in D_\varepsilon (z_o) </math> mit <math>g_{z_o}(z) > 0 </math> für alle <math>z \in D_\varepsilon(z_0) </math>. === Bemerkung zu 5 - Wahl der Kreisschreibe === In den folgenden Schritten ist es wesentlich, dass auch auf dem Rand einer Kreisschreiben die Bedingung <math>g_{z_o}(z) > 0 </math> gilt. Das ist möglich, indem man den Radius <math>\varepsilon </math> verkleinert, damit z.B. für alle <math>z \in \overline{D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_0)} </math> auf der abgeschlossenen Kreisscheibe (und damit auch auf dem Rand) der Wert <math>g(z)</math> von 0 verschieden ist. Die Stetigkeit von <math>g</math> mit <math>g(z_0) \not= 0</math> erlaubt die geeignete Wahl. === Beweis 6 - Residuum für Nullstellen/Polstellen=== Durch Integration erhält man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz & = & \displaystyle \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0} + \underbrace{\int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{g'_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)} \, dz}_{=0} \\ & = & \displaystyle o_{z_0}(f) \cdot \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{1}{z-z_0} dz \\ \end{array} </math> === Beweis 7 - Anwendung Residuensatz === Der zweite Summand <math>g_{z_o}'/g_{z_o}</math> ist in <math>D_\varepsilon(z_o)</math> holomorph, also ist <math>z_0</math> ein Pol erster Ordnung von <math>f'/f</math> und :<math> \mathrm{res}_{z_0} \frac{f'}{f} = o_{z_0}(f) </math> === Beweis 8 - Anwendung Residuensatz === Für die Berechnung des Gesamtintergral über einen nullhomologen Zyklus, der alle Polstellen und Nullstellen genau einmal umrundet, ergänzt addiert und substrahiert man jeweils die Integrale <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math>. Das Intergal über den Zyklus <math>\Gamma</math> zusammen mit dem subtrahierten Integralen um <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> umrundet dann weder eine Polstelle noch eine Nullstelle von <math>f</math> und ist damit nach dem Cauchy-Integralsatz 0. Das Gesamtintergral lässt sich damit als Summe der Integrale über den Rand von <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> der Pol- bzw. Nullstellen darstellen. === Beweis 9 - Anwendung Residuensatz === Das Integral aus der Behauptung ist damit die Summe aus den positive umrandeten Wegintegralen über <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> für alle <math>z_o \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> :<math> \mathrm{res}_{z_0} \frac{f'}{f} = o_{z_0}(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{\varepsilon / 2}} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz </math> === Bemerkung - Residuum === Da die Umlaufzahl 1 ist und nur eine Singularität umrundet wird, reduziert sich der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] auf die Defintion des Residuums: :<math>\mathrm{res}_{z_0}\left(\frac{f'}{f} \right) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{\varepsilon / 2}(z_0)} \frac{f'(\xi)}{f(\xi)}\, d\xi </math>. === Bemerkung - Integral liefert Residuen für Pol- bzw. Nullstellen === Die Anmerkung erläutert, warum das Integral über <math>\frac{ f'}{f}</math> sowohl für Polstellen als auch Nullstellen von 0 verschiedene Werte liefer kann. * Nullstellen von <math>f</math> sind Polstellen von <math>\frac{f'}{f}</math>. * Polstellen von <math>f</math> sind Polstellen 1. Ordnung von <math>\frac{f'}{f}</math>. == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Zero and Pole counting integral]]</noinclude> 8qa63su1mhe6lp4y1rjr4mi4lhlfprn 1092822 1092821 2026-06-02T08:54:12Z Kaan Bauer 38603 /* Bemerkung zu 5 - Wahl der Kreisschreibe */ 1092822 wikitext text/x-wiki Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt, wie der Name schon vermuten lässt, Null- und Polstellen einer [[Meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] mit ihrer Vielfachheit. Genauer: ==Nullstelle der Ordnung n== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. <math>f</math> hat in <math>z_o</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>, wenn eine holomorphe Funktion <math>g: U \to \mathbb{C}</math> existiert, mit :<math>g(z_o)\not= 0 \, \wedge \, f(z)=(z-z_o)^n \cdot g(z)</math>. ==Polstelle der Ordnung n== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \setminus \{z_o\} \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. <math>f</math> hat in <math>z_o</math> eine Polstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>, wenn eine holomorphe Funktion <math>g: U \to \mathbb{C}</math> existiert, mit <math> z\in U\setminus \{z_o\}</math>: :<math>g(z_o)= w_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \, \wedge \, f(z)=(z-z_o)^{-n} \cdot g(z) </math>. === Bemerkung 1 - U als Kreisscheibe === Man betrachtet in der Regel als offene Menge <math>U := D_r(z_o) \subset G</math> als Kreisscheibe um eine isolierte Singularität. "Isoliert" bedeutet gerade, dass man immer eine Kreisscheibe finden kann, in der nur <math>z_o\in U</math> eine Singularität ist und keine weiteren Singularitäten in der Kreisscheibe <math>D_r(z_o) \subset G</math>. === Bemerkung 2 - Polstelle der Ordnung n === Die Bedingung <math> g(z_o)= w_o \in \mathbb{C} </math> sorgt dafür, dass kein weiterer Faktor <math>(z-z_o)^{-1}</math> in <math>g</math> steckt und die Ordnung der Polstelle größer als <math>n</math> ist. In einem solchen Fall wäre <math>g(z_0)=\infty</math>. === Bemerkung 3 - Polstelle der Ordnung n === Die Bedingung <math> g(z_o)\not= 0 </math> sorgt dafür, dass die Funktion <math>g</math> keine Nullstelle in <math>z_o</math>. In einem solchen Fall wäre die Ordnung der Polstelle dann kleiner als <math>n</math> ist. In einem solchen Fall kann man mit einer Nullstelle der Ordnung <math>k</math> durch <math>(z-z_0)^k</math> den Grad des der Polstelle, um <math>k</math> reduzieren. == Aufgaben == Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. Ferner habe <math>f</math> in <math>z_o</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>. === Aufgabe 1: Nullstelle der Ordnung n === Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Nullstellenordnung den Ausdruck für <math>z \in U</math> :<math>\frac{f'(z)}{f(z)}=</math> === Aufgabe 2: Nullstelle der Ordnung n === Begründen Sie, warum für den Term <math>\frac{g'(z)}{g(z)}</math> eine Umgebung <math>D_\varepsilon(z_o) \subset U</math> existiert in der <math>\frac{g'}{g}</math> keine Singularitäten besitzt. === Aufgabe 3: Nullstelle der Ordnung n === Begründen Sie, warum <math>\frac{g'}{g}</math> nicht notwendigerweise auf ganz <math>U\subseteq \mathbb C</math> definiert sein muss. === Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n=== Was können Sie daraus für die folgende Integrale folgern: :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{g{\,}'(z)}{g(z)}\, dz = ...</math> und :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = ... </math> === Aufgabe 5: Polstelle der Ordnung n=== Übertragen Sie Berechnung und Begründungen auf Polstellen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math> und berechnen Sie wieder die Integrale: :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{g'(z)}{g(z)}\, dz = ...</math> und :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = ... </math> ==Satz - Null- und Polstellen zählendes Integral== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f \in \mathcal{M}(U)</math>. Sei <math>\mathcal{N}(f)</math> die Menge der Null- und <math>\mathcal{P}(f)</math> die Menge der Polstellen von <math>f</math>. Sei <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklus]] in <math>U</math>, der jede Null- und jede Polstelle von <math>f</math> genau einmal im positiven Sinn [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|umläuft]], d.&thinsp;h. es ist <math>n(\Gamma, z) = 1</math> für jedes <math>z\in \mathcal{N}(f)\cup \mathcal{P}(f)</math>. Wir setzen für <math> z \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math>: :<math> o_z(f) := \left\{\begin{array}{rr} m & z\ \textrm{ist}\ \textrm{Nullstelle}\ m\textrm{-ter}\ \textrm{Ordnung}\\ -m & z \ \textrm{ist}\ \textrm{Pol}\ m\textrm{-ter}\ \textrm{Ordnung} \end{array}\right. </math> Dann ist <center><math> \frac 1{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_{z\in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)} o_z(f). </math></center> ==Beweis== Für jedes <math>z_0 \in \mathcal{N}(f)\cup \mathcal{P}(f)</math> gibt es dann eine Umgebung <math>U_{z_0}</math> und ein holomorphes <math>g_{z_0}\colon U_{z_0} \to \mathbb C</math> so dass <math>g_{z_0}(z_0) \ne 0</math>, <math>U_{z_0} \cap (\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)) = \{z_0\}</math> und :<math> f(z) = (z-z_0)^{o_{z_0}(f)}g_{z_0}(z) \qquad(\star)</math> gilt. === Beweis 1 - Holomorphie und Anwendung Residuensatz=== Der Integrand ist überall in <math>U</math> mit Ausnahme von möglicherweise <math>\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> holomorph. Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] genügt es, die [[Residuum|Residuen]] von <math>f</math> in den Punkten von <math>\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> zu berechnen. === Beweis 2 - Nullstellen / Polstellen === * '''Nullstelle''' der Ordnung <math>n</math>: <math> f(z) = (z-z_o)^n \cdot g(z)</math> mit <math> g(z_o) \not= 0 </math> * '''Polstelle''' der Ordnung <math>n</math>: <math> f(z) = (z-z_o)^{-n} \cdot g(z)</math> mit <math> g(z_o) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. === Beweis 3 - Ableitung mit Produktregel === * '''Nullstelle''' der Ordnung <math>n</math> mit <math> g(z_o) \not= 0 </math>: ::<math> f'(z) = n\cdot (z-z_o)^{n-1} \cdot g(z) + (z-z_o)^{n} \cdot g{\,}'\!(z) </math> * '''Polstelle''' der Ordnung <math>n</math> mit <math> g(z_o) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>: ::<math> f'(z) = -n\cdot (z-z_o)^{-n-1} \cdot g(z) + (z-z_o)^{-n} \cdot g{\,}'\!(z) </math> Beide Fälle werden durch die Definition <math>o_{z_o}(f)</math> für Polstellen und Nullstellen nun zusammengefasst. === Beweis 4 - Umgebung um Pol- bzw. Nullstelle === Da sowohl bei der Polstelle als auch bei der Nullstelle <math> g(z_o) \not= 0 </math> gelten muss, gibt es eine Umgebung <math>D_\varepsilon (z_o)</math> um <math>z_o</math>, für die <math> g(z) \not= 0 </math> für alle <math>z \in D_\varepsilon (z_o)</math> gilt. Man indiziert nun die Funktion <math>g</math> als <math>g_{z_o}</math>, um deutlich zu machen, dass die Wahl von <math>g_{z_o}</math> von <math> z_o</math> abhängt. === Beweis 5 - Residuum für Nullstellen/Polstellen=== Sei <math>z_0 \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math>, dann erhält man mit der Definition von <math>(\star)</math> über die Produktregel für <math>z \in D_\varepsilon(z_0) </math> die folgende Ableitung: :<math> f'(z) = o_{z_0}(f)(z-z_0)^{o_{z_0}(f)-1}g_{z_0}(z) + (z-z_0)^{o_{z_0}(f)}g_{z_0}'(z) </math> also ist für <math>z</math> nicht weiter als <math>\varepsilon > 0 </math> von <math>z_0</math> entfernt ist: :<math> \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0} + \frac{g'_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)}, z \in D_\varepsilon (z_o) </math> mit <math>g_{z_o}(z) > 0 </math> für alle <math>z \in D_\varepsilon(z_0) </math>. === Bemerkung zu 5 - Wahl der Kreisschreibe === In den folgenden Schritten ist es wesentlich, dass auch auf dem Rand einer Kreisschreiben die Bedingung <math>g_{z_o}(z) \not= 0 </math> gilt. Das ist möglich, indem man den Radius <math>\varepsilon </math> verkleinert, damit z.B. für alle <math>z \in \overline{D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_0)} </math> auf der abgeschlossenen Kreisscheibe (und damit auch auf dem Rand) der Wert <math>g(z)</math> von 0 verschieden ist. Die Stetigkeit von <math>g</math> mit <math>g(z_0) \not= 0</math> erlaubt die geeignete Wahl. === Beweis 6 - Residuum für Nullstellen/Polstellen=== Durch Integration erhält man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz & = & \displaystyle \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0} + \underbrace{\int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{g'_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)} \, dz}_{=0} \\ & = & \displaystyle o_{z_0}(f) \cdot \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{1}{z-z_0} dz \\ \end{array} </math> === Beweis 7 - Anwendung Residuensatz === Der zweite Summand <math>g_{z_o}'/g_{z_o}</math> ist in <math>D_\varepsilon(z_o)</math> holomorph, also ist <math>z_0</math> ein Pol erster Ordnung von <math>f'/f</math> und :<math> \mathrm{res}_{z_0} \frac{f'}{f} = o_{z_0}(f) </math> === Beweis 8 - Anwendung Residuensatz === Für die Berechnung des Gesamtintergral über einen nullhomologen Zyklus, der alle Polstellen und Nullstellen genau einmal umrundet, ergänzt addiert und substrahiert man jeweils die Integrale <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math>. Das Intergal über den Zyklus <math>\Gamma</math> zusammen mit dem subtrahierten Integralen um <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> umrundet dann weder eine Polstelle noch eine Nullstelle von <math>f</math> und ist damit nach dem Cauchy-Integralsatz 0. Das Gesamtintergral lässt sich damit als Summe der Integrale über den Rand von <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> der Pol- bzw. Nullstellen darstellen. === Beweis 9 - Anwendung Residuensatz === Das Integral aus der Behauptung ist damit die Summe aus den positive umrandeten Wegintegralen über <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> für alle <math>z_o \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> :<math> \mathrm{res}_{z_0} \frac{f'}{f} = o_{z_0}(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{\varepsilon / 2}} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz </math> === Bemerkung - Residuum === Da die Umlaufzahl 1 ist und nur eine Singularität umrundet wird, reduziert sich der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] auf die Defintion des Residuums: :<math>\mathrm{res}_{z_0}\left(\frac{f'}{f} \right) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{\varepsilon / 2}(z_0)} \frac{f'(\xi)}{f(\xi)}\, d\xi </math>. === Bemerkung - Integral liefert Residuen für Pol- bzw. Nullstellen === Die Anmerkung erläutert, warum das Integral über <math>\frac{ f'}{f}</math> sowohl für Polstellen als auch Nullstellen von 0 verschiedene Werte liefer kann. * Nullstellen von <math>f</math> sind Polstellen von <math>\frac{f'}{f}</math>. * Polstellen von <math>f</math> sind Polstellen 1. Ordnung von <math>\frac{f'}{f}</math>. == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Zero and Pole counting integral]]</noinclude> n1adsvfrhqjrv82xm16pocmylik89oe 1092823 1092822 2026-06-02T08:54:57Z Kaan Bauer 38603 /* Beweis 5 - Residuum für Nullstellen/Polstellen */ 1092823 wikitext text/x-wiki Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt, wie der Name schon vermuten lässt, Null- und Polstellen einer [[Meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] mit ihrer Vielfachheit. Genauer: ==Nullstelle der Ordnung n== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. <math>f</math> hat in <math>z_o</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>, wenn eine holomorphe Funktion <math>g: U \to \mathbb{C}</math> existiert, mit :<math>g(z_o)\not= 0 \, \wedge \, f(z)=(z-z_o)^n \cdot g(z)</math>. ==Polstelle der Ordnung n== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \setminus \{z_o\} \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. <math>f</math> hat in <math>z_o</math> eine Polstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>, wenn eine holomorphe Funktion <math>g: U \to \mathbb{C}</math> existiert, mit <math> z\in U\setminus \{z_o\}</math>: :<math>g(z_o)= w_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \, \wedge \, f(z)=(z-z_o)^{-n} \cdot g(z) </math>. === Bemerkung 1 - U als Kreisscheibe === Man betrachtet in der Regel als offene Menge <math>U := D_r(z_o) \subset G</math> als Kreisscheibe um eine isolierte Singularität. "Isoliert" bedeutet gerade, dass man immer eine Kreisscheibe finden kann, in der nur <math>z_o\in U</math> eine Singularität ist und keine weiteren Singularitäten in der Kreisscheibe <math>D_r(z_o) \subset G</math>. === Bemerkung 2 - Polstelle der Ordnung n === Die Bedingung <math> g(z_o)= w_o \in \mathbb{C} </math> sorgt dafür, dass kein weiterer Faktor <math>(z-z_o)^{-1}</math> in <math>g</math> steckt und die Ordnung der Polstelle größer als <math>n</math> ist. In einem solchen Fall wäre <math>g(z_0)=\infty</math>. === Bemerkung 3 - Polstelle der Ordnung n === Die Bedingung <math> g(z_o)\not= 0 </math> sorgt dafür, dass die Funktion <math>g</math> keine Nullstelle in <math>z_o</math>. In einem solchen Fall wäre die Ordnung der Polstelle dann kleiner als <math>n</math> ist. In einem solchen Fall kann man mit einer Nullstelle der Ordnung <math>k</math> durch <math>(z-z_0)^k</math> den Grad des der Polstelle, um <math>k</math> reduzieren. == Aufgaben == Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. Ferner habe <math>f</math> in <math>z_o</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>. === Aufgabe 1: Nullstelle der Ordnung n === Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Nullstellenordnung den Ausdruck für <math>z \in U</math> :<math>\frac{f'(z)}{f(z)}=</math> === Aufgabe 2: Nullstelle der Ordnung n === Begründen Sie, warum für den Term <math>\frac{g'(z)}{g(z)}</math> eine Umgebung <math>D_\varepsilon(z_o) \subset U</math> existiert in der <math>\frac{g'}{g}</math> keine Singularitäten besitzt. === Aufgabe 3: Nullstelle der Ordnung n === Begründen Sie, warum <math>\frac{g'}{g}</math> nicht notwendigerweise auf ganz <math>U\subseteq \mathbb C</math> definiert sein muss. === Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n=== Was können Sie daraus für die folgende Integrale folgern: :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{g{\,}'(z)}{g(z)}\, dz = ...</math> und :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = ... </math> === Aufgabe 5: Polstelle der Ordnung n=== Übertragen Sie Berechnung und Begründungen auf Polstellen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math> und berechnen Sie wieder die Integrale: :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{g'(z)}{g(z)}\, dz = ...</math> und :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = ... </math> ==Satz - Null- und Polstellen zählendes Integral== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f \in \mathcal{M}(U)</math>. Sei <math>\mathcal{N}(f)</math> die Menge der Null- und <math>\mathcal{P}(f)</math> die Menge der Polstellen von <math>f</math>. Sei <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklus]] in <math>U</math>, der jede Null- und jede Polstelle von <math>f</math> genau einmal im positiven Sinn [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|umläuft]], d.&thinsp;h. es ist <math>n(\Gamma, z) = 1</math> für jedes <math>z\in \mathcal{N}(f)\cup \mathcal{P}(f)</math>. Wir setzen für <math> z \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math>: :<math> o_z(f) := \left\{\begin{array}{rr} m & z\ \textrm{ist}\ \textrm{Nullstelle}\ m\textrm{-ter}\ \textrm{Ordnung}\\ -m & z \ \textrm{ist}\ \textrm{Pol}\ m\textrm{-ter}\ \textrm{Ordnung} \end{array}\right. </math> Dann ist <center><math> \frac 1{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_{z\in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)} o_z(f). </math></center> ==Beweis== Für jedes <math>z_0 \in \mathcal{N}(f)\cup \mathcal{P}(f)</math> gibt es dann eine Umgebung <math>U_{z_0}</math> und ein holomorphes <math>g_{z_0}\colon U_{z_0} \to \mathbb C</math> so dass <math>g_{z_0}(z_0) \ne 0</math>, <math>U_{z_0} \cap (\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)) = \{z_0\}</math> und :<math> f(z) = (z-z_0)^{o_{z_0}(f)}g_{z_0}(z) \qquad(\star)</math> gilt. === Beweis 1 - Holomorphie und Anwendung Residuensatz=== Der Integrand ist überall in <math>U</math> mit Ausnahme von möglicherweise <math>\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> holomorph. Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] genügt es, die [[Residuum|Residuen]] von <math>f</math> in den Punkten von <math>\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> zu berechnen. === Beweis 2 - Nullstellen / Polstellen === * '''Nullstelle''' der Ordnung <math>n</math>: <math> f(z) = (z-z_o)^n \cdot g(z)</math> mit <math> g(z_o) \not= 0 </math> * '''Polstelle''' der Ordnung <math>n</math>: <math> f(z) = (z-z_o)^{-n} \cdot g(z)</math> mit <math> g(z_o) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. === Beweis 3 - Ableitung mit Produktregel === * '''Nullstelle''' der Ordnung <math>n</math> mit <math> g(z_o) \not= 0 </math>: ::<math> f'(z) = n\cdot (z-z_o)^{n-1} \cdot g(z) + (z-z_o)^{n} \cdot g{\,}'\!(z) </math> * '''Polstelle''' der Ordnung <math>n</math> mit <math> g(z_o) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>: ::<math> f'(z) = -n\cdot (z-z_o)^{-n-1} \cdot g(z) + (z-z_o)^{-n} \cdot g{\,}'\!(z) </math> Beide Fälle werden durch die Definition <math>o_{z_o}(f)</math> für Polstellen und Nullstellen nun zusammengefasst. === Beweis 4 - Umgebung um Pol- bzw. Nullstelle === Da sowohl bei der Polstelle als auch bei der Nullstelle <math> g(z_o) \not= 0 </math> gelten muss, gibt es eine Umgebung <math>D_\varepsilon (z_o)</math> um <math>z_o</math>, für die <math> g(z) \not= 0 </math> für alle <math>z \in D_\varepsilon (z_o)</math> gilt. Man indiziert nun die Funktion <math>g</math> als <math>g_{z_o}</math>, um deutlich zu machen, dass die Wahl von <math>g_{z_o}</math> von <math> z_o</math> abhängt. === Beweis 5 - Residuum für Nullstellen/Polstellen=== Sei <math>z_0 \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math>, dann erhält man mit der Definition von <math>(\star)</math> über die Produktregel für <math>z \in D_\varepsilon(z_0) </math> die folgende Ableitung: :<math> f'(z) = o_{z_0}(f)(z-z_0)^{o_{z_0}(f)-1}g_{z_0}(z) + (z-z_0)^{o_{z_0}(f)}g_{z_0}'(z) </math> also ist für <math>z</math> nicht weiter als <math>\varepsilon > 0 </math> von <math>z_0</math> entfernt ist: :<math> \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0} + \frac{g'_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)}, z \in D_\varepsilon (z_o) </math> mit <math>g_{z_o}(z) \not= 0 </math> für alle <math>z \in D_\varepsilon(z_0) </math>. === Bemerkung zu 5 - Wahl der Kreisschreibe === In den folgenden Schritten ist es wesentlich, dass auch auf dem Rand einer Kreisschreiben die Bedingung <math>g_{z_o}(z) \not= 0 </math> gilt. Das ist möglich, indem man den Radius <math>\varepsilon </math> verkleinert, damit z.B. für alle <math>z \in \overline{D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_0)} </math> auf der abgeschlossenen Kreisscheibe (und damit auch auf dem Rand) der Wert <math>g(z)</math> von 0 verschieden ist. Die Stetigkeit von <math>g</math> mit <math>g(z_0) \not= 0</math> erlaubt die geeignete Wahl. === Beweis 6 - Residuum für Nullstellen/Polstellen=== Durch Integration erhält man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz & = & \displaystyle \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0} + \underbrace{\int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{g'_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)} \, dz}_{=0} \\ & = & \displaystyle o_{z_0}(f) \cdot \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{1}{z-z_0} dz \\ \end{array} </math> === Beweis 7 - Anwendung Residuensatz === Der zweite Summand <math>g_{z_o}'/g_{z_o}</math> ist in <math>D_\varepsilon(z_o)</math> holomorph, also ist <math>z_0</math> ein Pol erster Ordnung von <math>f'/f</math> und :<math> \mathrm{res}_{z_0} \frac{f'}{f} = o_{z_0}(f) </math> === Beweis 8 - Anwendung Residuensatz === Für die Berechnung des Gesamtintergral über einen nullhomologen Zyklus, der alle Polstellen und Nullstellen genau einmal umrundet, ergänzt addiert und substrahiert man jeweils die Integrale <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math>. Das Intergal über den Zyklus <math>\Gamma</math> zusammen mit dem subtrahierten Integralen um <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> umrundet dann weder eine Polstelle noch eine Nullstelle von <math>f</math> und ist damit nach dem Cauchy-Integralsatz 0. Das Gesamtintergral lässt sich damit als Summe der Integrale über den Rand von <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> der Pol- bzw. Nullstellen darstellen. === Beweis 9 - Anwendung Residuensatz === Das Integral aus der Behauptung ist damit die Summe aus den positive umrandeten Wegintegralen über <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> für alle <math>z_o \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> :<math> \mathrm{res}_{z_0} \frac{f'}{f} = o_{z_0}(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{\varepsilon / 2}} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz </math> === Bemerkung - Residuum === Da die Umlaufzahl 1 ist und nur eine Singularität umrundet wird, reduziert sich der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] auf die Defintion des Residuums: :<math>\mathrm{res}_{z_0}\left(\frac{f'}{f} \right) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{\varepsilon / 2}(z_0)} \frac{f'(\xi)}{f(\xi)}\, d\xi </math>. === Bemerkung - Integral liefert Residuen für Pol- bzw. Nullstellen === Die Anmerkung erläutert, warum das Integral über <math>\frac{ f'}{f}</math> sowohl für Polstellen als auch Nullstellen von 0 verschiedene Werte liefer kann. * Nullstellen von <math>f</math> sind Polstellen von <math>\frac{f'}{f}</math>. * Polstellen von <math>f</math> sind Polstellen 1. Ordnung von <math>\frac{f'}{f}</math>. == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Zero and Pole counting integral]]</noinclude> mvg2y72apdvmhi5gz1oaxhozik9tje6 1092824 1092823 2026-06-02T08:59:18Z Kaan Bauer 38603 /* Bemerkung - Integral liefert Residuen für Pol- bzw. Nullstellen */ 1092824 wikitext text/x-wiki Das Null- und Polstellen zählende Integral zählt, wie der Name schon vermuten lässt, Null- und Polstellen einer [[Meromorphe Funktion|meromorphen Funktion]] mit ihrer Vielfachheit. Genauer: ==Nullstelle der Ordnung n== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. <math>f</math> hat in <math>z_o</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>, wenn eine holomorphe Funktion <math>g: U \to \mathbb{C}</math> existiert, mit :<math>g(z_o)\not= 0 \, \wedge \, f(z)=(z-z_o)^n \cdot g(z)</math>. ==Polstelle der Ordnung n== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \setminus \{z_o\} \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. <math>f</math> hat in <math>z_o</math> eine Polstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>, wenn eine holomorphe Funktion <math>g: U \to \mathbb{C}</math> existiert, mit <math> z\in U\setminus \{z_o\}</math>: :<math>g(z_o)= w_o \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \, \wedge \, f(z)=(z-z_o)^{-n} \cdot g(z) </math>. === Bemerkung 1 - U als Kreisscheibe === Man betrachtet in der Regel als offene Menge <math>U := D_r(z_o) \subset G</math> als Kreisscheibe um eine isolierte Singularität. "Isoliert" bedeutet gerade, dass man immer eine Kreisscheibe finden kann, in der nur <math>z_o\in U</math> eine Singularität ist und keine weiteren Singularitäten in der Kreisscheibe <math>D_r(z_o) \subset G</math>. === Bemerkung 2 - Polstelle der Ordnung n === Die Bedingung <math> g(z_o)= w_o \in \mathbb{C} </math> sorgt dafür, dass kein weiterer Faktor <math>(z-z_o)^{-1}</math> in <math>g</math> steckt und die Ordnung der Polstelle größer als <math>n</math> ist. In einem solchen Fall wäre <math>g(z_0)=\infty</math>. === Bemerkung 3 - Polstelle der Ordnung n === Die Bedingung <math> g(z_o)\not= 0 </math> sorgt dafür, dass die Funktion <math>g</math> keine Nullstelle in <math>z_o</math>. In einem solchen Fall wäre die Ordnung der Polstelle dann kleiner als <math>n</math> ist. In einem solchen Fall kann man mit einer Nullstelle der Ordnung <math>k</math> durch <math>(z-z_0)^k</math> den Grad des der Polstelle, um <math>k</math> reduzieren. == Aufgaben == Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f: U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion und <math>z_o \in U</math>. Ferner habe <math>f</math> in <math>z_o</math> eine Nullstelle der Ordnung <math>n\in\mathbb{N}</math>. === Aufgabe 1: Nullstelle der Ordnung n === Berechnen Sie unter Verwendung der Definition der Nullstellenordnung den Ausdruck für <math>z \in U</math> :<math>\frac{f'(z)}{f(z)}=</math> === Aufgabe 2: Nullstelle der Ordnung n === Begründen Sie, warum für den Term <math>\frac{g'(z)}{g(z)}</math> eine Umgebung <math>D_\varepsilon(z_o) \subset U</math> existiert in der <math>\frac{g'}{g}</math> keine Singularitäten besitzt. === Aufgabe 3: Nullstelle der Ordnung n === Begründen Sie, warum <math>\frac{g'}{g}</math> nicht notwendigerweise auf ganz <math>U\subseteq \mathbb C</math> definiert sein muss. === Aufgabe 4: Nullstelle der Ordnung n=== Was können Sie daraus für die folgende Integrale folgern: :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{g{\,}'(z)}{g(z)}\, dz = ...</math> und :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = ... </math> === Aufgabe 5: Polstelle der Ordnung n=== Übertragen Sie Berechnung und Begründungen auf Polstellen der Ordnung <math>n\in \mathbb{N}</math> und berechnen Sie wieder die Integrale: :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{g'(z)}{g(z)}\, dz = ...</math> und :<math>\displaystyle \int_{\partial D_\varepsilon(z_o)} \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = ... </math> ==Satz - Null- und Polstellen zählendes Integral== Sei <math>U\subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f \in \mathcal{M}(U)</math>. Sei <math>\mathcal{N}(f)</math> die Menge der Null- und <math>\mathcal{P}(f)</math> die Menge der Polstellen von <math>f</math>. Sei <math>\Gamma</math> ein [[Kurs:Funktionentheorie/Kette#Zykel|Zyklus]] in <math>U</math>, der jede Null- und jede Polstelle von <math>f</math> genau einmal im positiven Sinn [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|umläuft]], d.&thinsp;h. es ist <math>n(\Gamma, z) = 1</math> für jedes <math>z\in \mathcal{N}(f)\cup \mathcal{P}(f)</math>. Wir setzen für <math> z \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math>: :<math> o_z(f) := \left\{\begin{array}{rr} m & z\ \textrm{ist}\ \textrm{Nullstelle}\ m\textrm{-ter}\ \textrm{Ordnung}\\ -m & z \ \textrm{ist}\ \textrm{Pol}\ m\textrm{-ter}\ \textrm{Ordnung} \end{array}\right. </math> Dann ist <center><math> \frac 1{2\pi i}\int_\Gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\, dz = \sum_{z\in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)} o_z(f). </math></center> ==Beweis== Für jedes <math>z_0 \in \mathcal{N}(f)\cup \mathcal{P}(f)</math> gibt es dann eine Umgebung <math>U_{z_0}</math> und ein holomorphes <math>g_{z_0}\colon U_{z_0} \to \mathbb C</math> so dass <math>g_{z_0}(z_0) \ne 0</math>, <math>U_{z_0} \cap (\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)) = \{z_0\}</math> und :<math> f(z) = (z-z_0)^{o_{z_0}(f)}g_{z_0}(z) \qquad(\star)</math> gilt. === Beweis 1 - Holomorphie und Anwendung Residuensatz=== Der Integrand ist überall in <math>U</math> mit Ausnahme von möglicherweise <math>\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> holomorph. Nach dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] genügt es, die [[Residuum|Residuen]] von <math>f</math> in den Punkten von <math>\mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> zu berechnen. === Beweis 2 - Nullstellen / Polstellen === * '''Nullstelle''' der Ordnung <math>n</math>: <math> f(z) = (z-z_o)^n \cdot g(z)</math> mit <math> g(z_o) \not= 0 </math> * '''Polstelle''' der Ordnung <math>n</math>: <math> f(z) = (z-z_o)^{-n} \cdot g(z)</math> mit <math> g(z_o) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>. === Beweis 3 - Ableitung mit Produktregel === * '''Nullstelle''' der Ordnung <math>n</math> mit <math> g(z_o) \not= 0 </math>: ::<math> f'(z) = n\cdot (z-z_o)^{n-1} \cdot g(z) + (z-z_o)^{n} \cdot g{\,}'\!(z) </math> * '''Polstelle''' der Ordnung <math>n</math> mit <math> g(z_o) \in \mathbb{C} \setminus \{0\} </math>: ::<math> f'(z) = -n\cdot (z-z_o)^{-n-1} \cdot g(z) + (z-z_o)^{-n} \cdot g{\,}'\!(z) </math> Beide Fälle werden durch die Definition <math>o_{z_o}(f)</math> für Polstellen und Nullstellen nun zusammengefasst. === Beweis 4 - Umgebung um Pol- bzw. Nullstelle === Da sowohl bei der Polstelle als auch bei der Nullstelle <math> g(z_o) \not= 0 </math> gelten muss, gibt es eine Umgebung <math>D_\varepsilon (z_o)</math> um <math>z_o</math>, für die <math> g(z) \not= 0 </math> für alle <math>z \in D_\varepsilon (z_o)</math> gilt. Man indiziert nun die Funktion <math>g</math> als <math>g_{z_o}</math>, um deutlich zu machen, dass die Wahl von <math>g_{z_o}</math> von <math> z_o</math> abhängt. === Beweis 5 - Residuum für Nullstellen/Polstellen=== Sei <math>z_0 \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math>, dann erhält man mit der Definition von <math>(\star)</math> über die Produktregel für <math>z \in D_\varepsilon(z_0) </math> die folgende Ableitung: :<math> f'(z) = o_{z_0}(f)(z-z_0)^{o_{z_0}(f)-1}g_{z_0}(z) + (z-z_0)^{o_{z_0}(f)}g_{z_0}'(z) </math> also ist für <math>z</math> nicht weiter als <math>\varepsilon > 0 </math> von <math>z_0</math> entfernt ist: :<math> \frac{f'(z)}{f(z)} = \frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0} + \frac{g'_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)}, z \in D_\varepsilon (z_o) </math> mit <math>g_{z_o}(z) \not= 0 </math> für alle <math>z \in D_\varepsilon(z_0) </math>. === Bemerkung zu 5 - Wahl der Kreisschreibe === In den folgenden Schritten ist es wesentlich, dass auch auf dem Rand einer Kreisschreiben die Bedingung <math>g_{z_o}(z) \not= 0 </math> gilt. Das ist möglich, indem man den Radius <math>\varepsilon </math> verkleinert, damit z.B. für alle <math>z \in \overline{D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_0)} </math> auf der abgeschlossenen Kreisscheibe (und damit auch auf dem Rand) der Wert <math>g(z)</math> von 0 verschieden ist. Die Stetigkeit von <math>g</math> mit <math>g(z_0) \not= 0</math> erlaubt die geeignete Wahl. === Beweis 6 - Residuum für Nullstellen/Polstellen=== Durch Integration erhält man zunächst: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz & = & \displaystyle \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{o_{z_0}(f)}{z-z_0} + \underbrace{\int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{g'_{z_0}(z)}{g_{z_0}(z)} \, dz}_{=0} \\ & = & \displaystyle o_{z_0}(f) \cdot \int_{|z-z_o| = \frac{\varepsilon}{2} } \frac{1}{z-z_0} dz \\ \end{array} </math> === Beweis 7 - Anwendung Residuensatz === Der zweite Summand <math>g_{z_o}'/g_{z_o}</math> ist in <math>D_\varepsilon(z_o)</math> holomorph, also ist <math>z_0</math> ein Pol erster Ordnung von <math>f'/f</math> und :<math> \mathrm{res}_{z_0} \frac{f'}{f} = o_{z_0}(f) </math> === Beweis 8 - Anwendung Residuensatz === Für die Berechnung des Gesamtintergral über einen nullhomologen Zyklus, der alle Polstellen und Nullstellen genau einmal umrundet, ergänzt addiert und substrahiert man jeweils die Integrale <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math>. Das Intergal über den Zyklus <math>\Gamma</math> zusammen mit dem subtrahierten Integralen um <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> umrundet dann weder eine Polstelle noch eine Nullstelle von <math>f</math> und ist damit nach dem Cauchy-Integralsatz 0. Das Gesamtintergral lässt sich damit als Summe der Integrale über den Rand von <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> der Pol- bzw. Nullstellen darstellen. === Beweis 9 - Anwendung Residuensatz === Das Integral aus der Behauptung ist damit die Summe aus den positive umrandeten Wegintegralen über <math>\partial D_{\frac{\varepsilon}{2}}(z_o)</math> für alle <math>z_o \in \mathcal{N}(f) \cup \mathcal{P}(f)</math> :<math> \mathrm{res}_{z_0} \frac{f'}{f} = o_{z_0}(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{\varepsilon / 2}} \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz </math> === Bemerkung - Residuum === Da die Umlaufzahl 1 ist und nur eine Singularität umrundet wird, reduziert sich der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] auf die Defintion des Residuums: :<math>\mathrm{res}_{z_0}\left(\frac{f'}{f} \right) := \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D_{\varepsilon / 2}(z_0)} \frac{f'(\xi)}{f(\xi)}\, d\xi </math>. === Bemerkung - Integral liefert Residuen für Pol- bzw. Nullstellen === Die Anmerkung erläutert, warum das Integral über <math>\frac{ f'}{f}</math> sowohl für Polstellen als auch Nullstellen von 0 verschiedene Werte liefern kann. * Nullstellen von <math>f</math> sind Polstellen von <math>\frac{f'}{f}</math>. * Polstellen von <math>f</math> sind Polstellen 1. Ordnung von <math>\frac{f'}{f}</math>. == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Zero and Pole counting integral]]</noinclude> 7gqxnld0zuc4bhfcqyfvrj64iun9vc7 0 100497 1092446 983528 2026-06-01T13:48:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092446 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es ist {{ Relationskette/display | \partial^\nu (X_1 \partial^\lambda) || X_1 \partial^ {\nu + \lambda} + \nu_1 \partial^ {\nu + \lambda -e_1} || || || |SZ=. }} Induktion über {{math|term= \nu_1 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | \nu_1 || 0 || || || |SZ= }} kann man {{math|term= X_1 |SZ=}} vorziehen. Der Induktionsschritt ergibt sich aus {{ Relationskette/align | \partial^\nu (X_1 \partial^\lambda) || \partial_1 \partial^{\nu-e_1} (X_1 \partial^\lambda) || \partial_1 {{makl| X_1 \partial^ {\nu -e_1 + \lambda} + (\nu_1 -1) \partial^ {\nu + \lambda - 2e_1} |}} || \partial_1 {{makl| X_1 \partial^ {\nu -e_1 + \lambda} |}} + (\nu_1 -1) \partial^{\nu + \lambda - e_1} || X_1 \partial^{\nu + \lambda} + \partial^{\nu -e_1 + \lambda} + (\nu_1 -1) \partial^{\nu + \lambda - e_1} || X_1 \partial^{\nu + \lambda} + \nu_1 \partial^{\nu + \lambda - e_1} |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jclzljrc9vaokdxvw5c6hyw5681sshv 0 100589 1092378 983150 2026-06-01T13:37:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092378 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Lokaler Ring/Regulär/Erzeugeranzahl/Definition|| }} Ein regulärer nulldimensionaler lokaler Ring ist einfach ein Körper. Eindimensionale reguläre lokale Ringe nennt man auch diskrete Bewertungsringe. In ihnen wird das maximale Ideal durch ein Element {{math|term= \neq 0 |SZ=}} erzeugt. {{ inputbeispiel |Polynomring/Zentral lokalisiert/Regulär/Beispiel|| }} Wenn {{ Relationskette | (a_1 {{kommadots |}} a_n) |\in| K^n || || || |SZ= }} ist, so ist auch die {{ Definitionslink |Prämath= |Lokalisierung| |Kontext=| |SZ= }} des Polynomrings am {{ Definitionslink |Prämath= |maximalen Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (X-a_1 {{kommadots |}} X-a_n) |SZ=}} regulär, und zwar isomorph zur Lokalisierung im Nullpunkt {{mathl|term= (0 {{kommadots |}} 0) |SZ=.}} Es ist schwieriger zu zeigen, dass überhaupt die Lokalisierung an jedem maximalen Ideal {{ Relationskette/display | {{idealm|}} |\subseteq| K[ X_1 {{kommadots |}} X_n] || || || |SZ= }} ein lokaler regulärer Ring der Dimension {{math|term= n |SZ=}} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körper/Polynomring/Maximale Ideale/Erzeugendenzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Lokaler Ring/Regulär und nicht regulär/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Lokaler Ring/Regulär/Integer/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oxjf28s9agiszogaakhu9psl2c1k0d6 0 100618 1092360 983030 2026-06-01T13:34:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092360 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es gibt die exake Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Kählermodul|{{op:Projektiver Raum|N|R }}|R}} | {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|N|R }} |-1}}^{\oplus N+1} | {{op:Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|N|R }} }} }} und dazu dual {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } \longrightarrow \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} }(1)^{\oplus N+1} \longrightarrow T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } \longrightarrow 0 |SZ=. }} Für die symmetrische Potenzen gilt die Beziehung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Sym| q-1| \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} }(1)^{\oplus N+1} }} \longrightarrow {{op:Sym| q| \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} }(1)^{\oplus N+1} }} \longrightarrow {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Ausgeschrieben ist dies {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{ {{op:Binomialkoeffizient|q-1+N|N}} } \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} }(q-1) \longrightarrow \bigoplus_{ {{op:Binomialkoeffizient|q+N|N}} } \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } (q) \longrightarrow {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |N |\geq|2 || || || |SZ= }} ist somit {{ Relationskette/align | {{op:Vektorraumdimension| \Gamma({{op:Projektiver Raum|N|R }} , {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} ) |}} || {{op:Binomialkoeffizient|q+N|N}} {{op:Binomialkoeffizient|q+N|N}} - {{op:Binomialkoeffizient|q-1+N|N}} {{op:Binomialkoeffizient|q-1+N|N}} || {{makl| {{op:Binomialkoeffizient|q+N|N}} - {{op:Binomialkoeffizient|q-1+N|N}} |}}^2 || {{makl| {{op:Bruch| (q+N) \cdots (q+1) - (q+N-1) \cdots q |N!}} |}}^2 || {{makl| {{op:Bruch| (q+N - q) (q+N-1) \cdots (q+1) |N!}} |}}^2 || {{makl| {{op:Bruch| (q+N-1) \cdots (q+1) |(N-1)!}} |}}^2 || {{op:Binomialkoeffizient| q+N-1 |N-1 }}^2 |SZ=. }} Unter Berücksichtigung von Twists ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \bigoplus_{ {{op:Binomialkoeffizient|q-1+N|N}} } \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} }(q+\ell-1) \longrightarrow \bigoplus_{ {{op:Binomialkoeffizient|q+N|N}} } \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } (q+\ell) \longrightarrow {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} (\ell) \longrightarrow 0 |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |N |\geq|2 || || || |SZ= }} ist somit {{ Relationskette/align | {{op:Vektorraumdimension| \Gamma {{makl| {{op:Projektiver Raum|N|R }} , {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} |}} |}} || {{op:Binomialkoeffizient|q+N|N}} {{op:Binomialkoeffizient|q+\ell+N|N}} - {{op:Binomialkoeffizient|q-1+N|N}} {{op:Binomialkoeffizient|q+\ell-1+N|N}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | \ell |<|- q || || || |SZ= }} gibt es keine globalen Schnitte. Zu einer Hyperfläche {{ Relationskette/display |Z |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|N|R }} || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= k |SZ=}} hat man über {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } (-k) \stackrel{F}{\longrightarrow} \mathcal{O}_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } \longrightarrow \mathcal{O}_Z \longrightarrow 0 |SZ= }} die exakte Sequenz {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} (-k) \longrightarrow {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} \longrightarrow {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} {{|}}Z \longrightarrow 0 |SZ= }} Wenn {{ Relationskette |N |\geq|3 || || || |SZ= }} ist, so ist {{ Relationskette/display | H^1( {{op:Projektiver Raum|N|R }} , {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} (\ell) ) || 0 || || || |SZ= }} für alle Twists {{math|term= \ell |SZ=}} und somit ist {{ Relationskette/align | {{op:Vektorraumdimension| \Gamma {{makl| {{op:Projektiver Raum|N|R }} , {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} {{|}}Z (\ell) |}} |}} || {{op:Vektorraumdimension| \Gamma {{makl| {{op:Projektiver Raum|N|R }} , {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} (\ell) |}} |}} - {{op:Vektorraumdimension| \Gamma {{makl| {{op:Projektiver Raum|N|R }} ,{{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } |}} (\ell-k) |}} |}} || || || |SZ=. }} Mit der Tangentialsequenz {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{math|term= Z |SZ=}} glatt| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow T_{ Z } \longrightarrow T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } {{|}}_Z \longrightarrow {\mathcal O}_Z(k) \longrightarrow 0 |SZ= }} ist {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Sym| q| T_{ Z } |}} \longrightarrow {{op:Sym| q| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } {{|}}Z |}} \longrightarrow{{op:Sym| q-1| T_{ {{op:Projektiver Raum|N|R }} } {{|}}Z |}} \longrightarrow 0 |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf einem Schema |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cmovhnt8tw7ewl8mh3jmfgmxf7n2737 0 100621 1092474 957375 2026-06-01T13:53:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092474 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Prägarbe/Definition|| }} Die Abbildungen {{math|term= \rho_{V,U} |SZ=}} heißen dabei {{Stichwort|Restriktionsabbildungen|msw=Restriktionsabbildung|SZ=.}} Die Mengen {{mathl|term= {{op:Prägarbe|F|U}} |SZ=}} nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge {{math|term= U |SZ=.}} {{ inputdefinition |Prägarbe/Gruppe/Definition|| }} {{ inputdefinition |Prägarbe/Kommutativer Ring/Definition|| }} {{ inputdefinition |Prägarbe/Punkt/Halm/Definition|| }} Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt {{mathl|term= s \in {{op:Prägarbe|F|}} (U) |SZ=}} und jedem Punkt {{mathl|term= P\in U |SZ=}} ein eindeutig definiertes Element {{math|term= s_P \in {{op:Prägarbe|F|}}_P |SZ=,}} das der {{Stichwort|Keim|SZ=}} von {{math|term= s |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} heißt. Etwas allgemeiner ist die folgende Definition. {{ inputdefinition |Prägarbe/Topologischer Filter/Halm/Definition|| }} {{ inputdefinition |Prägarbe/Homomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinition |Garbe/Über Prägarbe/Definition|| }} {{ inputdefinition |Prägarbe/Vergarbung/Definition|| }} Die in dieser Definition auftretende Bedingung, dass die Schnitte die gleichen Keime in den Halmen definieren, nennt man auch die Kompatibilitätsbedingung. {{ inputfaktbeweis |Prägarbe/Vergarbung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lskpioydbcp6hmi73qvfdgwflz5p8cd 0 100651 1092404 1077191 2026-06-01T13:41:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092404 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Modul/Symmetrische Potenz/Über Tensorprodukt/Definition|| }} Man geht also von der {{math|term= n |SZ=-}}ten Tensorpotenz {{ Relationskette/display |T^n(M) || M {{tensordots|R}} M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= n |SZ=}} Faktoren| |ISZ=|ESZ= }} aus und identifiziert diejenigen Tensorprodukte, die durch eine Permutation ineinander überführt werden können, wobei man sicherstellt, dass wieder ein {{math|term= R |SZ=-}}Modul entsteht. Zu Elementen {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} nennt man das Element {{mathl|term= v_1 \cdots v_n =[v_1 {{tensordots|}} v_n] \in S^n(M) |SZ=}} das symmetrische Produkt der Elemente. {{ inputfaktbeweis |Freier Modul/Symmetrische Potenz/Basisbeschreibung/Fakt|Lemma|| }} Wenn {{ Abbildung/display |name=M |R^2 |R^2 || |SZ= }} eine lineare Abbildung ist, die durch die Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22|a|b|c|d}} || || || |SZ= }} gegeben ist, so werden die Abbildungen zwischen den symmetrischen Produkten durch die symmetrischen Potenzen von Matrizen beschrieben. Dabei wird {{ Relationskette | e_\nu || e_1^{\nu_1}e_2^{\nu_2} || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= (ae_1+ce_2)^{\nu_1} \cdot (be_1+de_2)^{\nu_2} |SZ=}} abgebildet, und man rechnet wie im Polynomring in zwei Variablen. Bei {{ Relationskette |q ||2 || || || |SZ= }} ist die beschreibende Matrix gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|a^2|ab|b^2|2ac|ad+bc|2bd|c^2|cd|d^2|}} |SZ=, }} bei {{ Relationskette |q ||3 || || || |SZ= }} ist die beschreibende Matrix gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix44|a^3|a^2b|ab^3|b^3|3a^2c|a^2d+2abc|b^2c+2abd|3b^2d|3ac^2|bc^2 +2acd |ad^2+2bcd|3bd^3|c^3|c^2d|cd^2|d^3|}} |SZ=, }} bei {{ Relationskette |q ||4 || || || |SZ= }} ist die beschreibende Matrix gleich {{ Math/display|term= {{op:Matrix55|a^4|a^3b|a^2b^2|ab^3|b^4|4a^3c|a^3d+3a^2bc|2a^2bd +2acd^2 | b^3c+3ab^2d|4b^3d|6a^2c^2| 3abc^2+3a^2cd | a^2d^2+ 4abcd+b^2c^2| 3abd^2+3b^2cd |6b^2d^2|4ac^3| bc^3+3ac^2d |2 a^2bd+2acd^2|ad^3+3bcd^2|4bd^3|c^4|c^3d|c^2d^2|cd^3|d^4}} |SZ=. }} Bei {{math|term= 3 |SZ=}} Variablen. Wir setzen {{ Relationskette | L_1 || a_1X+a_2Y+a_3Z || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | L_2 || b_1X+b_2Y+b_3Z || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | L_3 || c_1X+c_2Y+c_3Z || || || |SZ= }} an. Die Matrix ist dann {{ Math/display|term= {{op:Matrix33|a_1 |b_1 |c_1 | a_2 |b_2 |c_2 |a_3 |b_3 |c_3 |}} |SZ=. }} Die zweite symmetrische Potenz davon ist {{ Zusatz/Klammer |text=in der Reihenfolge {{mathlk|term= X^2,XY,XZ,Y^2,YZ,Z^2 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix66 |a_1^2|a_1b_1 |a_1c_1 | b_1^2|b_1c_1 |c_1^2| 2a_1a_2 |a_1b_2+a_2b_1 |a_1c_2+a_2c_1 |2b_1b_2 | b_1c_2+b_2c_1 |2c_1c_2 | 2a_1a_3 |a_1b_3+a_3b_1 |a_1c_3+a_3c_1 |2b_1b_3 |b_1c_3+b_3c_1 |2c_1c_3 | a_2^2|a_2b_2 |a_2c_2 |b_2^2| b_2c_2 |c_2^2| 2a_2a_3 |a_2b_3+a_3b_2 | a_2c_3+a_3c_2 | 2b_2b_3 | b_2c_3+b_3c_2 |2c_2c_3 | a_3^2 |a_3b_3 |a_3c_3 |b_3^2|b_3c_3 |c_3^2|}} |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Freie Moduln/Lineare Abbildung/Symmetrische Potenz/Matrix/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Moduln/Exakte Sequenz/Symmetrische Potenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Modul/Symmetrische Potenz/Dualer Modul/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Transzendente Matrix/Symmetrische Potenz/Lineare Unabhängigkeit/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der symmetrischen Potenzen von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} sop56c7m0se9iqfwo4idkx3h664nxra 0 100665 1092475 983661 2026-06-01T13:53:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092475 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Prägarbe/Definition|| }} Die Abbildungen {{math|term= \rho_{V,U} |SZ=}} heißen dabei {{Stichwort|Restriktionsabbildungen|msw=Restriktionsabbildung|SZ=.}} Die Mengen {{mathl|term= {{op:Prägarbe|F|U}} |SZ=}} nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge {{math|term= U |SZ=.}} Grundbeispiele für Prägarben {{ Zusatz/Klammer |text=und Garben| |ISZ=|ESZ= }} sind die folgenden Konstruktionen. {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Werteraum/Prägarbe der stetigen Funktionen/Beispiel|| }} Ein Spezialfall hiervon wird im folgenden Beispiel formuliert, in dem eine zusätzliche Struktur, nämlich ein {{Stichwort|beringter Raum|SZ=}} vorliegt. {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Prägarbe der stetigen Funktionen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Prägarbe der differenzierbaren Funktionen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Konstante Prägarbe/Beispiel|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputbeispiel |Stetige Abbildung/Prägarbe der stetigen Schnitte/Beispiel|| }} Aufgrund dieses wichtigen Beispiels nennt man ein Element {{ Relationskette |s |\in| {{op:Prägarbe|F|U}} || || || |SZ= }} auch einen {{Stichwort|Schnitt|SZ=}} der Prägarbe {{mathl|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}} über {{math|term= U |SZ=.}} Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine kleinere offene Menge {{ Relationskette |V |\subseteq|U || || || |SZ= }} schreibt man auch suggestiver {{ Relationskette/display | s {{|}}_V || \rho_{U,V} (s) || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Prägarbe/Unterprägarbe/Definition|| }} Da differenzierbare Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit insbesondere stetig sind, bildet die Prägarbe der differenzierbaren Funktionen eine Untergarbe der Prägarbe der stetigen reellwertigen Funktionen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o5k65llaauf618o11tzti455wi3cals 0 100667 1092476 1009544 2026-06-01T13:53:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092476 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Prägarbe/Punkt/Halm/Definition|| }} Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt {{ Relationskette | s |\in| {{op:Prägarbe|F|}} (U) || || || |SZ= }} und jedem Punkt {{ Relationskette | P |\in| U || || || |SZ= }} ein eindeutig definiertes Element {{ Relationskette | s_P |\in| {{op:Prägarbe|F|}}_P || || || |SZ=, }} das der Keim von {{math|term= s |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} heißt. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Prägarbe|F|}} (U) | {{op:Prägarbe|F|}}_P |s|s_P |SZ=, }} heißt {{Stichwort|Restriktionsabbildung|SZ=}} und wird mit {{mathl|term= \rho_{U,P} |SZ=}} bezeichnet. Zu {{ Relationskette |P |\in|V |\subseteq|U || || |SZ= }} kommutiert das Diagramm {{ Kommutatives Dreieck/ru | {{op:Prägarbe|F|}} (U) | {{op:Prägarbe|F|}} (V) | {{op:Prägarbe|F|}}_P |abb12= \rho_{U,V} |abb13= \rho_{U,P} |abb23= \rho_{V,P} |SZ=. }} Etwas allgemeiner ist die folgende Definition. {{ inputdefinition |Prägarbe/Topologischer Filter/Halm/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9p55kycc7jllfgga3vi2o05i1q6urgu 0 100668 1092249 957040 2026-06-01T13:16:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092249 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Garbe/Über Prägarbe/Definition|| }} Diese Eigenschaften nennt man die Serreschen Bedingungen. Die erste fordert, dass man die Übereinstimmung von Schnitten lokal auf einer offenen Überdeckung überprüfen kann, die zweite fordert, dass zusammenpassende lokale Schnitte von einem globalen Schnitt herkommen. Für die leere Menge ist {{mathl|term= {{op:Garbe|F| \emptyset}} |SZ=}} einelementig, was mengentheoretisch aus den Eigenschaften folgt, wenn man die Überdeckung der leeren Menge mit der leeren Indexmenge betrachtet. Stellvertretend für viele ähnliche Beispiele zeigen wir, dass die Prägarbe der Schnitte zu {{ Abbildung |name=p |Y|X || |SZ= }} eine Garbe auf {{math|term= X |SZ=}} ist. {{ inputbeispiel |Stetige Abbildung/Garbe der stetigen Schnitte/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Topologische Gruppe/Stetige Funktionen/Garbe/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Garbe/Schnitte/Gleichheit/Lokaler Test/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4w8uc5oeph0nbqratxqux6vxqc5aqfu 0 100717 1092070 1018514 2026-06-01T12:47:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092070 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |normaler| |Kontext=Ring| |SZ= }} {{ Definitionslink |noetherscher| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Integritätsbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |K ||Q(R) || || || |SZ=. }} Wegen der Normalität sind die Lokalisierungen {{mathl|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} an {{ Definitionslink |Primidealen| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Höhe| |Kontext=Primideal| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Definitionslink |diskrete Bewertungsringe| |Kontext=| |SZ=. }} D.h. dass es ein Element {{math|term= \pi|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{idealp|}} R_{{idealp|}} || (\pi) || || || |SZ= }} gibt. Jedes Element {{ mathbed|term= f \in K ||bedterm1= f \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} besitzt somit in {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette |f || u \pi^n || || || |SZ= }} mit einer Einheit {{mathl|term= u \in {{op:Einheiten|R_{{idealp|}}|}} |SZ=}} und mit {{mathl|term= n\in \Z|SZ=.}} Die Zahl {{math|term= n |SZ=}} nennt man die Ordnung von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} spricht man auch von der Verschwindungsordnung und bei {{ Relationskette |n |\leq|-1 || || || |SZ= }} nennt man {{math|term= -n|SZ=}} auch die Polordnung. Zu zwei Elementen {{ Relationskette | f,g |\in| K || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung|fg|}} || {{op:Bewertungsordnung|f|}} + {{op:Bewertungsordnung|g|}} || || || |SZ=. }} Für ein Element {{ mathbed|term= a \in R ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ist dabei die Ordnung in {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} genau dann positiv, wenn {{ Relationskette | f |\in| {{idealp|}} || || || |SZ= }} ist. Da es oberhalb von {{math|term= (a) |SZ=}} nur endlich viele minimale Primoberideale gibt, besitzt {{math|term= a |SZ=}} nur in endlich vielen Primidealen der Höhe {{math|term= 1 |SZ=}} eine positive verschwindungsordnung, sonst ist die Ordnung gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette |f || a/b || || || |SZ= }} ist, so ergibt sich aus dieser Beobachtung, dass die Ordnung von {{math|term= f |SZ=}} nur an endlich vielen Primidealen der Höhe {{math|term= 1 |SZ=}} eine Ordnung besitzt, die nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Abweichendes Verhalten gibt es nur bei den minimalen Primoberidealen von {{math|term= a |SZ=}} und von {{math|term= b |SZ=.}} {{ inputdefinition |Normaler noetherscher Bereich/Hauptdivisor/Definition|| }} {{ inputdefinition |Normaler noetherscher Bereich/Divisor/Definition|| }} {{ inputdefinition |Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Normaler noetherscher Bereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Faktoriell/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normaler Bereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jt3ccn7t2o424iildn9joioyflzg6jf 0 100745 1092106 1018641 2026-06-01T12:53:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092106 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Jacobi-Matrix/Körper/Polynome/Partielle Ableitungen/Definition|| }} Für {{ Relationskette |K || {{KRC}} || || || |SZ= }} beschreibt die Jacobi-Matrix das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn die Jacobi-Matrix in einem Punkt {{math|term= P |SZ=}} surjektiv ist, als ihr {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=Matrix| |SZ= }} gleich {{math|term= m |SZ=}} ist, so gilt der {{ Faktlink |Präwort=|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |SZ=, }} der besagt, dass die Faser durch {{math|term= P |SZ=}} von {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_m |SZ=}} in einer offenen Umgebung von {{math|term= P |SZ=}} diffeomorph zu {{mathl|term= {{KRC|}}^{n-m} |SZ=}} ist. Die Faser ist also lokal um {{math|term= P |SZ=}} eine Mannigfaltigkeit. Dies führt zur folgenden Definition {{ inputdefinition |Affine Varietät/Punkt/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4uv9ammya20vvasgxhhodlup3n3xd2o 0 100782 1092319 1019074 2026-06-01T13:27:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092319 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form {{ Relationskette/display |M || C \cap \Gamma || || || |SZ= }} mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter {{ Zusatz/Klammer |text=das Differenzengitter zu {{math|term= M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | \Gamma || \Z M || || || |SZ= }} gegeben. Es sei {{math|term= d |SZ=}} die Dimension von {{math|term= \Gamma|SZ=}} und seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_r |SZ=}} die Facetten von {{math|term= C |SZ=.}} Zu jeder Facette {{math|term= F_i |SZ=}} gibt es eine integrale Linearform {{ Abbildung/display |name= \ell_i |\Gamma| \Z || |SZ=, }} deren Kern {{math|term= F_i |SZ=}} ist, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu zwei charakteristischen Polytopen bzw. deren Volumina. Zum einen wird durch {{ Relationskette/display | \ell_i || 1 || || || |SZ= }} eine zur Facette {{math|term= F_i |SZ=}} parallele Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese parallelen Hyperebenen begrenzen ein {{ Zusatz/Klammer |text=kompaktes| |ISZ=|ESZ= }} Polytop. Dessen Volumen nennen wir die {{math|term= F |SZ=-}}Signatur des Kegels. Zum andern wird durch {{ Relationskette/display | \ell_1 {{plusdots}} \ell_r || 1 || || || |SZ= }} eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen wieder ein {{ Zusatz/Klammer |text=kompaktes| |ISZ=|ESZ= }} Polytop. Das {{math|term= d!|SZ=-}}fache dessen Volumen nennen wir die {{math|term= D |SZ=-}}Signatur des Kegels. Es ist nicht unmittelbar klar, ob und wie man diese als Invarianten der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist. {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/N^n/Signaturen/Beispiel|| }} Wir erwähnen für das Monoid {{math|term= \N^n |SZ=}} bzw. den Monoidring {{ Relationskette/display |K [\N^n] || K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} folgende Beobachtung. Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} {{makl| X^\beta |}} || {{op:Bruch|\beta !|\alpha! ( \beta- \alpha)!}} X^{\beta - \alpha} || || || |SZ= }} ist die Wirkungsweise der Operatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} |SZ=}} auf einem Tupel {{math|term= \beta|SZ=}} im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung {{math|term= - \alpha|SZ=,}} wobei das Ergebnis als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren ist, falls man außerhalb von {{math|term= \N^n |SZ=}} landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} |SZ=,}} die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen. {{ inputbemerkung |Kommutative Monoidringe/Regulär/Realisierungen/Signaturen/Bemerkung|| }} Man kann allgemeiner zeigen, dass die eingeführten Signaturen nur von den {{ Zusatz/Klammer |text=Isomorphieklassen der| |ISZ=|ESZ= }} Monoiden abhängen. Aus einem Isomorphismus {{ Abbildung |name= | M|N || |SZ= }} ergibt sich nämlich ein Isomorphismus der zugehörigen Differenzengitter {{ Abbildung |name= |\Z^n | \Z^n || |SZ= }} und damit auch der Kegel und der Linearformen. {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/A_n/Kegelrealisierung/Signaturen/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Polyedrischer Kegel/Simplizial/Definition|| }} Im zweidimensionalen ist jeder Kegel simplizial, nämlich durch zwei Kanten begrenzt, in höherer Dimension ist dies aber keineswegs immer der Fall. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signaturen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/Quadrik/Kegelrealisierung/Signaturen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} d8o07y6e0qs2lxysltkxa3pysf9d6mp 0 100785 1092422 1019435 2026-06-01T13:44:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092422 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Neil-Parabel/Unitäre Differentialoperatoren/Beispiel|| }} In derselben Weise kann man zu jeder numerischen Semigruppe für jede Potenz unitäre Operatoren angeben. Zu {{ mathbed|term= U^n ||bedterm1= n \in M ||bedterm2= |SZ=, }} startet man mit {{mathl|term= {{op:Bruch|1|n!}} \partial_U^n |SZ=.}} Dann betrachtet man das nächstgrößte Element, sagen wir {{mathl|term= m \in M |SZ=.}} Bei {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Bruch|1|n!}} \partial_U^n |}} {{makl| U^m |}} |\in| K[M] || || || |SZ= }} muss man nichts hinzunehmen. Wenn dies aber nicht zu {{mathl|term= K[M] |SZ=}} gehört, so nimmt man {{ Math/display|term= {{op:Bruch|1|n!}} \partial_U^n + c_m U^{m-n} {{op:Bruch|1|m!}} \partial_U^m |SZ=, }} wobei der Koeffizient {{math|term= c_m |SZ=}} so zu wählen ist, dass das Gesamtergebnis des Operators, angewendet auf {{math|term= U^m |SZ=,}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Man fährt induktiv mit dem nächsten {{mathl|term= m' \in M |SZ=}} fort. Die Hinzunahme der neuen Summanden ändert die Werte des Operators auf den kleineren Potenzen nicht. Jeder Summand hat dabei den Grad {{mathl|term= - n |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette |m-n |\geq| f || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= f |SZ=}} die {{ Definitionslink |Führungszahl| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=}} ist, so landet {{math|term= X^m |SZ=}} aus Gradgründen in {{mathl|term= K[M] |SZ=}} und man ist fertig. {{ inputbeispiel |Numerischer Halbgruppenring/3,5,7/Unitäre Differentialoperatoren/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} phf58r7bou4kfv4lht31c8agpn382z4 0 100808 1092320 982710 2026-06-01T13:27:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092320 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das {{math|term= d |SZ=-}}dimensionale Volumen eines durch eine Linearform {{math|term= \ell |SZ=}} bzw. die Gleichung {{ Relationskette | \ell ||1 || || || |SZ= }} aus einem spitzen polyedrischen Kegel herausgeschnittenen Kegels ist das {{mathl|term= {{op:Bruch|1|d}} |SZ=-}}fache des {{math|term= (d-1) |SZ=-}}dimensionalen Volumen des Querschnittes. Die {{math|term= D |SZ=-}}Signatur des Kegels ist somit das {{math|term= (d-1)!|SZ=-}}fache des Querschnittsvolumens. Seien nun zwei Kegel in {{math|term= \R^d |SZ=}} bzw. im {{math|term= \R^e|SZ=}} gegeben. Der Produktkegel wird durch die Vereinigung der jeweiligen Linearformen beschrieben, aufgefasst als Linearformen auf dem {{mathl|term= \R^{d+e} |SZ=}} über die Projektionen. Der Querschnitt zum Produktkegel zur Linearform {{mathl|term= \ell + \kappa |SZ=}} ist {{mathl|term= \bigcup_{0 \leq x \leq 1} Q_1 (x) \times Q_2(1-x) |SZ=.}} Das Querschnittsvolumen des Produktes ist {{ Math/display|term= \int_0^1 x^{d-1} (x-1)^{e-1} dx |SZ=. }} Dies ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Integration/Polynom/x^m (1-x)^n/Formel/Aufgabe |Nr= |SZ= }} gleich {{ Math/display|term= {{op:Bruch|(d-1)! (e-1)!|(d+e-1)!}} |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Monoidringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} dhdjpjhmehzyzojlchl69p2s2ibaqn4 0 100883 1092184 956937 2026-06-01T13:05:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092184 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Fakt|Lemma|| || }} Insbesondere ist die Verknüpfung von {{math|term= n |SZ=}} Derivationen ein Differentialoperator der Ordnung {{math|term= n |SZ=.}} {{ inputdefinition |Differentialoperator/Algebraisch/Ring/Definition|| }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= D(R,R) |SZ=}} ein Unterring des Endomorphismenringes {{mathl|term= {{op:End|R|}} |SZ=.}} Die Identität, also die Multiplikation mit {{math|term= 1 |SZ=,}} ist das neutrale Element dieses Ringes. Einfache Beispiele zeigen, dass dieser Ring nicht kommutativ ist. {{ inputbeispiel |Differentialoperator/Algebraisch/Ring/KX/Nicht kommutativ/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Differentialoperator/Algebraisch/Modulstruktur/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bf2yqqxe36yzlhxn4r7vbx2hetrak3r 0 100907 1092115 1018665 2026-06-01T12:54:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092115 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Verknüpfung von Differentialoperatoren}} Das folgende Lemma zeigt, wie die induktive Definition für Differentialoperatoren typischerweise funktioniert. {{ inputfaktbeweis |Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Fakt|Lemma|| || }} Insbesondere ist die Verknüpfung von {{math|term= n |SZ=}} Derivationen ein Differentialoperator der Ordnung {{math|term= n |SZ=.}} {{ inputdefinition |Differentialoperator/Algebraisch/Ring/Definition|| }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= D(R,R) |SZ=}} ein Unterring des Endomorphismenringes {{mathl|term= {{op:End|R|}} |SZ=.}} Die Identität, also die Multiplikation mit {{math|term= 1 |SZ=,}} ist das neutrale Element dieses Ringes. Einfache Beispiele zeigen, dass dieser Ring nicht kommutativ ist. {{Zwischenüberschrift|Monoidringe}} Eine wichtige Beispielklasse von im Allgemeinen singulären Ringen wird durch Monoidringe gegeben. Diese rühren von einer gewissen kombinatorischen Struktur her und sind ein Hauptgegenstand der kombinatorischen kommutativen Algebra bzw. der torischen Geometrie. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Definition||R=K }} Monoidringe zeichnen sich unter anderem dadurch aus, dass sie durch besonders einfache Gleichungen beschrieben werden, nämlich durch binomiale Gleichungen, das sind Gleichungen der Form {{ Relationskette/display |X^\alpha ||X^\beta || || || |SZ=. }} Das in der letzten Vorlesung erwähnte Beispiel {{ Relationskette |Z^2 ||X^2+Y^2 || || || |SZ= }} ist nach einer Variablentransformation {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} äquivalent zur binomialen Gleichung {{ Relationskette/display |Z^2 || \tilde{X} \tilde{Y} || || || |SZ=. }} Wir beschränken uns auf Monoidringe zu einem endlich erzeugten, torsionsfreien Monoid, das der Kürzungsregel genügt. Das ist im Wesentlichen die torische Situation. Für einen solchen Monoidring wollen wir die Differentialoperatoren verstehen und insbesondere die unitären Operatoren durch eine kombinatorische Invariante quantitativ erfassen, wobei sich dieser Zusammenhang erst später ergeben wird. Wegen der Beziehung {{ Relationskette/display |M |\subseteq| \Gamma M |\cong| \Z^d || || |SZ= }} gilt für den Quotientenkörper {{ Relationskette/display |Q (K[M]) || Q (K[\Z^d]) || Q(K[\N^d]) || Q( K[X_1 {{kommadots|}} X_n]) || K(X_1 {{kommadots|}} X_n) |SZ=, }} sodass man die Differentialoperatoren auf {{math|term= K[M] |SZ=}} grundsätzlich auch darüber beschreiben kann. Dies führt aber zu ziemlich unübersichtlichen Beschreibungen. {{:Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt|zusatz1=}} Wir fragen uns, ob es eine ringtheoretische Interpretation für diese Signaturen gibt. Dazu müssen wir die {{ Zusatz/Klammer |text=unitären| |ISZ=|ESZ= }} Differentialoperatoren auf den Monoidringen verstehen. Dafür ist es hilfreiche, diese als ein direkter Summand eines Polynomringes aufzufassen. {{Zwischenüberschrift|Direkte Summanden}} {{:Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt}} {{:Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt|zusatz1= Für normale torische Monoide gibt es also {{Anführung|kombinatorische Operatoren}} wie im Fall {{math|term= \N^n |SZ=.}} Diese verschieben im Wesentlichen {{ Zusatz/Klammer |text=es kommen eben noch die Vorfaktoren hinzu| |ISZ=|ESZ= }} die Monome in eine bestimmte Richtung {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die negative Richtung zu einem Monom des Monoids| |ISZ=|ESZ= }} und das Ergebnis ist als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren, wenn das Verschiebungsergebnis außerhalb des Monoids liegt.}} Es wird sich später herausstellen, dass die {{math|term= D |SZ=-}}Signatur {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ihr Kehrwert| |ISZ=|ESZ= }} ein quantitatives Maß dafür ist, wie sich die Ordnungen der unitären Differentialoperatoren zu den {{math|term= M_+|SZ=-}}Ordnungen von Monomen verhalten. Die {{math|term= M_+|SZ=-}}Ordnung eines Monoms {{math|term= \nu|SZ=}} ist das maximale {{math|term= k |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |\nu |\in| k M_+ || {{Mengebed| \gamma_1 {{plusdots |}} \gamma_k | \gamma_i \in M_+ }} || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Numerische Halbgruppenringe}} Wir betrachten abschließend noch eine wichtige Klasse von nichtnormalen Monoidringen, nämlich numerische Halbgruppenringe, die von einem Monoid {{ Relationskette |M |\subseteq| \N || || || |SZ= }} herrühren. Diese sind kein direkter Summand eines regulären Ringes, dennoch gibt es viele unitäre Operatoren. Diese werden wir rational beschreiben, also als Differentialoperatoren des Quotientenkörpers {{ Relationskette/display |Q(K[M]) |\cong| K(U) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=welche bekannt sind| |ISZ=|ESZ=, }} die zusätzlich {{math|term= K[M] |SZ=}} in {{math|term= K[M] |SZ=}} überführen. {{:Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ngdyvz5y4szw0t1pbwyvz6t8hgcetod 0 100908 1092445 1019513 2026-06-01T13:48:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092445 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition|| }} Es wird also einfach algebraisch gemäß der üblichen Formel abgeleitet. Wenn {{math|term= \nu_i |SZ=}} ein Vielfaches der Charakteristik des Körpers ist, so kann diese Ableitung {{Anführung|überraschenderweise}} {{math|term= 0 |SZ=}} ergeben. Statt {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial F|\partial_{X_i} }} |SZ=}} schreibt man auch kurz {{mathl|term= \partial_i (F) |SZ=.}} Insgesamt handelt es sich um eine {{math|term= K |SZ=-}}lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \partial_i | K[X_1 {{kommadots|}} X_n]| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || |SZ=. }} Es gilt die Produktregel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Leibnizregel| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \partial_i(FG) || F \partial_i(G) + G \partial_i(F) || || || |SZ=. }} Diese partiellen Ableitungen kann man miteinander verknüpfen. Hierzu empfiehlt sich Monomschreibweise. Zu einem Tupel {{ Zusatz/Klammer |text=einem Multiindex| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \alpha || {{op:Zeilenvektor|\alpha_1 |\ldots|\alpha_n}} |\in| \N^n || || |SZ= }} setzen wir {{ Relationskette/display | \partial^\alpha || \partial_1^{\alpha_1} \cdots \partial_n^{\alpha_n} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \partial_i^{\alpha_i} |SZ=}} die {{math|term= \alpha_i |SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term= \partial_i |SZ=}} bezeichnet. Bei dieser Gesamtkomposition kommt es nicht auf die Reihenfolge an, was hier im algebraischen Kontext einfacher ist als der analytische {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Schwarz|Faktseitenname= Satz von Schwarz/R/Partielle Version/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Summe {{ Relationskette/display | {{op:Betrag|\alpha|}} || \alpha_1 {{plusdots|}} \alpha_n || || || |SZ= }} nennt man die Ordnung der Hintereinanderschaltung. Zu einem Monom {{math|term= X^\beta|SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \partial^\alpha {{makl| X^\beta |}} || {{op:Bruch|\beta !|( \beta- \alpha)!}} X^{\beta - \alpha} || || || |SZ= }} wobei zu einem Tupel {{math|term= \gamma|SZ=}} die Fakultät als {{ Relationskette/display | \gamma! ||\gamma_1! \cdots \gamma_n! || || || |SZ= }} definiert wird und wobei dieser Ausdruck als {{math|term= 0 |SZ=}} zu verstehen ist, wenn {{mathl|term= \beta- \alpha |SZ=}} in einer Komponente negativ ist. {{ inputdefinition |Polynomring/Charakteristik 0/Differentialoperator/Definition|| }} Die Ordnung eines Operators ist das maximale {{math|term= {{op:Betrag|\alpha|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette |g_\alpha |\neq|0 || || || |SZ=. }} Ein solcher Differentialoperator {{math|term= E |SZ=}} ist eine {{math|term= K |SZ=-}}lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |f| E(f) {{=}} \sum_\alpha g_\alpha \cdot \partial^\alpha(f) |SZ=. }} Er führt also polynomiale Funktionen auf dem {{math|term= K^n |SZ=}} in ebensolche Funktionen über. Im physikalischen Kontext sind die Koeffizientenfunktionen häufig nur stetige Funktionen auf einer offenen Menge {{ Relationskette |U |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} und da beim Anwenden des Operators der Differenzierbarkeitsgrad heruntergeht, sind die Funktionenräume, die aus hinreichend oft differenzierbaren Funktionen bestehen und die als Definitionsbereich und als Wertebereich auftreten, nicht unbedingt identisch. Die beschriebenen Differentialoperatoren nennt man genauer lineare partielle Differentialoperatoren. Partiell bezieht sich dabei darauf, dass es mehr als eine Variable gibt {{ Zusatz/Klammer |text=sonst spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen| |ISZ=|ESZ= }} und linear darauf, dass die einzelnen {{math|term= \partial^\alpha |SZ=}} nur mit Koeffizientenfunktionen multipliziert werden, aber beispielsweise nicht quadriert werden. Insbesondere ist der Operator als Abbildung {{math|term= K |SZ=-}}linear. Ein nichtlinearer partieller Differentialoperator ist beispielsweise der Monge-Ampère-Operator {{ Math/display|term= \partial_1^2 \cdot \partial_2^2 - ( \partial_1 \partial_2)^2 |SZ=. }} Hier steht links nicht die Verknüpfung der Operatoren, sondern das Produkt! Die Wirkungsweise auf eine Funktion {{math|term= f |SZ=}} ist also {{mathl|term= \partial_1^2 (f) \cdot \partial_2^2 (f)- ( \partial_1 \partial_2 (f) )^2 |SZ=.}} {{ inputbemerkung |Differentialoperator/Algebraisch/Prominente partielle Differentialgleichungen/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Euler-Derivation/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Charakteristik 0/Differentialoperatoren/Unitär/Bemerkung|| }} Wir nennen einen Differentialoperator {{math|term= E |SZ=}} unitär, wenn es ein Polynom {{math|term= f |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |E (f) ||1 || || || |SZ= }} gibt, wenn also die partielle Differentialgleichung {{ Relationskette |E (-) ||1 || || || |SZ= }} eine Lösung besitzt. Wegen der Existenz der Operatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha|\alpha! }} |SZ=}} gibt es in einem Polynomring viele unitäre Operatoren. Ein Operator wie {{mathl|term= X \partial_X|SZ=}} ist nicht unitär. Die Operatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha|\alpha! }} |SZ=}} sind in positiver Charakteristik zunächst nicht definiert, wenn {{math|term= \alpha!|SZ=}} ein Vielfaches der Charakteristik ist. Dennoch kann man dieses Operatoren auch in diesem Fall sinnvoll interpretieren. {{ inputbemerkung |Polynomring/Charakteristik p/Differentialoperatoren/Taylor-Reihe/Unitär/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Differentialoperatoren/Offene Teilmenge bzw. Nenneraufnahme/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4hzactia61lpwo2zggpc8a7kvdbfqc5 0 100930 1092114 1074537 2026-06-01T12:54:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092114 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Differentialoperatoren auf dem Polynomring}} {{:Polynomring/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Differentialoperatoren auf singulären Räumen}} {{ inputbild |DoubleCone|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor=Lars H. Rohwedder |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im Weiteren soll es um Differentialoperatoren gehen, die nicht auf {{ Zusatz/Klammer |text=Funktionen auf| |ISZ=|ESZ= }} dem glatten Raum {{math|term= K^n |SZ=}} wirken, sondern auf Räumen mit Singularitäten. Als ein typisches Beispiel kann man einen Doppelkegel betrachten, den man als die Nullstellenmenge des Polynoms {{mathl|term= Z^2-X^2-Y^2 |SZ=}} betrachten kann. Nennen wir dieses geometrische Objekt {{math|term= S |SZ=,}} also {{ Relationskette/display |S || {{Mengebed|(x,y,z) \in K^3|x^2+y^2 {{=}} z^2}} || || || |SZ=. }} Es hat in der Kegelspitze {{mathl|term= (0,0,0) \in S |SZ=}} eine Singularität. In jedem anderen Punkt ist er glatt, d.h. man kann {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=K=\R|SZ=}} oder {{math|term= {{CC}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} den {{ Faktlink |Präwort=|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhält, dass außerhalb der Singularität eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vorliegt. Es gibt also lokal in einer offenen Umgebung {{math|term= U |SZ=}} zu einem jeden Punkt {{ Relationskette |P |\neq| (0,0,0) || || || |SZ= }} einen Diffeomorphismus zu einer offenen Menge {{ Relationskette |V |\subseteq|\R^2 || || || |SZ=. }} Auf einer solchen offenen Menge wissen wir, was die Differentialoperatoren sind. Mit lokalen Koordinaten {{mathl|term= s,t|SZ=}} für {{math|term= V |SZ=}} hat man lokal die partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= \partial_s |und|term2= \partial_t |SZ= }} und somit auch ihre Verknüpfungen und Multiplikation mit Koeffizentenfunktionen zur Verfügung. Über den Diffeomorphismus überträgt sich dies zurück auf {{math|term= U |SZ=.}} Im algebraischen Kontext ist diese Überlegung etwas komplizierter und arbeitet mit regulären Ringen. Ein sinnvoller Differentialoperator auf {{ Zusatz/Klammer |text=Funktionen auf| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= S |SZ=}} muss jedenfalls auch auf jeder offenen Menge {{ Relationskette |U |\subseteq|S || || || |SZ= }} einen Differentialoperator induzieren, und wenn eine Überdeckung {{ Relationskette/display |U || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} mit offenen Mengen vorliegt und auf den {{math|term= U_i |SZ=}} jeweils ein Differentialoperator {{math|term= E_i |SZ=}} gegeben ist, die miteinander verträglich sind in dem Sinne, dass für die Einschränkungen {{ Relationskette/display | E_i {{|}}_{U_i \cap U_j } || E_j {{|}}_{U_i \cap U_j } || || |SZ= }} gilt, so sollte dies von einem Differentialoperator {{math|term= E |SZ=}} auf ganz {{math|term= U |SZ=}} herrühren. D.h. man erwartet, dass Differentialoperatoren eine Garbe bilden. Diese naheliegenden Bedingungen legen bereits ein eindeutiges Konzept für Differentialoperatoren auf {{mathl|term= S \setminus \{(0,0,0)\} |SZ=}} fest. In der Tat werden diese Operatoren bereits die Operatoren auf ganz {{math|term= S |SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=die Singularität ist normal| |ISZ=|ESZ=. }} Achtung: Die partiellen Ableitungen {{mathl|term= \partial_X,\partial_Y, \partial_Z|SZ=}} des umgebenden Raumes {{math|term= K^3 |SZ=}} ergeben keinen Sinn auf {{math|term= S |SZ=.}} Das Polynom {{mathl|term= Z^2-X^2-Y^2 |SZ=}} ist ja die Nullfunktion auf {{math|term= S |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= S |SZ=}} wurde ja als die Nullstellenmenge dieses Polynoms definiert| |ISZ=|ESZ=, }} es ist aber {{ Relationskette/display | \partial_X ( Z^2-X^2-Y^2) || -2X |\neq | 0 || || |SZ= }} auf {{math|term= S |SZ=.}} Wir geben nun die allgemeine algebraische Definition für einen Differentialoperator für eine beliebige kommutative {{math|term= K |SZ=-}}Algebra. Im ober erwähnten Beispiel geht es um den Restklassenring {{ Relationskette |R || K[X,Y,Z]/(Z^2-X^2-Y^2) || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Differentialoperator/Algebraisch/Definition|| }} Wir bemerken, dass dieses Konzept für den Polynomring über einem Körper den durch die {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha| \alpha! }} |SZ=}} frei erzeugten Modul ergibt. Eine entsprechende Beschreibung gilt für jeden regulären {{ Zusatz/Klammer |text=glatten| |ISZ=|ESZ= }} lokalen Ring. Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung {{ Zusatz/Klammer |text=genau| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n |SZ=}} besitzt, wenn er eine Ordnung {{math|term= \leq n |SZ=,}} aber nicht {{math|term= \leq n-1 |SZ=}} besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} sind einfach Derivationen, also {{math|term= K |SZ=-}}lineare Abbildungen {{ Abbildung |name=D |R|R || |SZ=, }} die die Leibniz-Regel {{ Relationskette/display |D (fg) ||f D(g)+ gD(f) || || || |SZ= }} erfüllen. Diese Regel kann man auch {{ Zusatz/Klammer |text=was zunächst komplizierter aussieht| |ISZ=|ESZ= }} als {{ Relationskette/display |D (fg) ||f D(g)+ gD(f)-fg D(1) || || || |SZ= }} schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf {{math|term= 0 |SZ=}} abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von den Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung. {{ inputfakt |Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Differentialoperator/Algebraisch/Nenneraufnahme/Bemerkung|| }} Es ist im Allgemeinen schwierig, sich einen Überblick über alle Differentialoperatoren einer {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{math|term= R |SZ=}} zu verschaffen. Wir werden uns im Rahmen dieser Vorlesungen auf die folgenden Fragen konzentrieren. {{ Aufzählung3 |Wie kann man für Monoidringe die Differentialoperatoren beschreiben? |Wie kann man Differentialoperatoren algorithmisch beschreiben? |Kann man über die Anzahl von unitären Differentialoperatoren eine sinnvolle Aussage machen und mit ihnen eine Singularität quantitativ erfassen? }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} khu7u8ii59cookl93h0xbup81ffnnu6 0 101054 1092330 982815 2026-06-01T13:29:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092330 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Primideal/Symbolische Potenz/Definition|| }} Es gilt {{ Relationskette/display | {{idealp|}}^{(n)} || {{Mengebed|f \in R| \exists g \notin {{idealp}} \text{ mit } gf \in {{idealp|}}^n }} || || || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette/display | {{idealp|}}^n |\subseteq| {{idealp|}}^{(n)} || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |A1-Singularität/Primideal/Symbolische Potenz/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Ideal/Symbolische Potenz/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Monomiales Ideal/Symbolische Potenzen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der symbolischen Potenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1xsdg3wgnpf06ixwogw8ucimfqw1br7 0 101146 1092327 1019086 2026-06-01T13:28:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092327 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Freie Auflösung/Definition|| }} Die {{math|term= F_i |SZ=}} haben somit die Form {{ Relationskette |F_i || R^{r_i} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | r_i |\in| \N || || || |SZ=. }} Die {{math|term= R |SZ=-}}Modulhomomorphismen {{ Abbildung/display |name= \theta_i | F_{i+1} {{=}} R^{r_{i+1} } |F_i {{=}} R^{r_i} || |SZ= }} werden durch Matrizen beschrieben. Da {{ Abbildung |name= |F_0 |M || |SZ= }} surjektiv ist, muss {{math|term= M |SZ=}} endlich erzeugt sein, wenn es für ihn eine freie Auflösung gibt. Den Modul {{math|term= M |SZ=}} kann man aus der Auflösung {{math|term= F_\bullet|SZ=,}} bei der man {{math|term= M |SZ=}} weglässt, als Kokern von {{math|term= \theta_0 |SZ=}} rekonstruieren. Die Bedeutung von freien Auflösungen liegt darin, beliebig komplizierte und insbesondere hochgradig nichtfreie Moduln durch freie Moduln zu beschreiben. {{ inputfaktbeweis |Noetherscher Ring/Modul/Endlich erzeugt/Freie Auflösung/Existenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Ränge/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Lokaler Ring/Modul/Freie Auflösung/Minimal/Eindeutigkeit/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der freien Auflösungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} id9kary0uog00su71m0bwncfxflcjz5 0 101170 1092240 957026 2026-06-01T13:14:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092240 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= k |SZ=}} ein Körper der Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=.}} Dann sind die {{ Definitionslink |Prämath=k |Differentialoperatoren| |Kontext=| |SZ= }} auf dem Körper der rationalen Funktionen {{mathl|term= k(X_1 {{kommadots|}} X_d) |SZ=}} gleich {{mathl|term= \bigoplus_\nu k(X_1 {{kommadots|}} X_d) \partial^\nu |SZ=.}} Dies folgt aus der entsprechenden Beschreibung für den Polynomring und dem Verhalten von Differentialoperatoren bei Nenneraufnahme. {{ inputfaktbeweis |Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Fortsetzung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Funktionenkörper/K(X)/Wurzelaufnahme/Fortsetzung von Operatoren/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Funktionenkörper/Fermat-Kubik/Fortsetzung von Operatoren/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Funktionenkörper/Galoiserweiterung/Differentialoperatoren/Fortsetzung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Funktionenkörper/Galoiserweiterung/Invariante Differentialoperatoren/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Differentialoperatoren auf Funktionenkörpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t10w3tpu0ioxpd2pn245v5u8l3qxduv 0 101386 1092405 983322 2026-06-01T13:41:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092405 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ=. }} Zu einen jeden Element {{mathl|term= v \in M |SZ=}} betrachtet man den zugehörigen {{ Definitionslink |Annullator| |Kontext=Element| |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | {{op:Annullator|v|}} || {{Mengebed|f \in R|fv {{=}}0}} || || || |SZ=. }} Dies ist ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=.}} Mit dieser Konstruktion können häufig Moduleigenschaften auf Ring- bzw. Idealeigenschaften zurückgeführt werden. Beispielsweise gilt {{ Relationskette |v || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{math|term= {{op:Annullator|v|}} |SZ=}} das Einheitsideal ist. Der von einem Element {{mathl|term= v \in M |SZ=}} erzeugte Untermodul ist isomorph zu {{mathl|term= R/ {{op:Annullator|v|}} |SZ=.}} Eine besonders wichtige Rolle spielen die {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |SZ=, }} die als Annullatoren eines Elementes auftreten. {{ inputdefinition |Modultheorie/Assoziiertes Primideal/Definition|| }} Die Menge der assoziierten Primideale zu dem gegebenen Modul wird mit {{mathl|term= {{op:Assoziierte Primideale|M|}} |SZ=}} bezeichnet. Zum Nullmodul gibt es keine assoziierten Primideale. Erstaunlicher ist, dass es ansonsten stets assoziierte Primideale gibt. {{ inputfaktbeweis |Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Existenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Modultheorie/Assoziierte Primideale/xy und x^2 sind 0/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Modultheorie/Restklassenmodul modulo Primideal/Assoziiertes Primideal/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modultheorie/Assoziierte Primideale/Kurze exakte Sequenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modultheorie/Assoziierte Primideale/Noethersch/Endliche Filtration/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modultheorie/Endlich erzeugt/Assoziierte Primideale/Noethersch/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modultheorie/Endlich erzeugt/Nullteiler/Assoziierte Primideale/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Modultheorie/Endlich erzeugt/Ideal in Annullationsideal/Annulliert Element/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputdefinition |Modultheorie/Assoziierte Primideale/Eingebettetes Primideal/Definition|| }} In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Modultheorie/Assoziierte Primideale/xy und x^2 sind 0/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist das maximale Ideal ein eingebettetes Primideal. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der assoziierten Primideale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ohjvadn3v7f7p8fgkyvw27s25rquub7 0 101474 1092339 1019150 2026-06-01T13:30:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092339 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Kurven/Standardbeispiel/Komplettierung/Motivation/Beispiel|| }} Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | {{ideala|}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ=. }} Dazu gehören die {{ Definitionslink |Idealpotenzen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathbed|term= {{ideala|}}^n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} die die Inklusionen {{ Relationskette/display | {{ideala|}}^{n+1} |\subseteq|{{ideala|}}^n || || || |SZ= }} erfüllen. Somit gibt es surjektive Ringhomomorphismen {{ Abbildung/display |name= |R/ {{ideala|}}^{n+1} |R /{{ideala|}}^n || |SZ=, }} und kommutative Diagramme {{Kommutatives Dreieck/ru| R | R/ {{ideala|}}^{n+1} | R/ {{ideala|}}^{n} \, .| abb1}} Allgemeiner gibt es zu {{ Relationskette |m |\geq|n || || || |SZ= }} surjektive Ringhomomorphismen {{ Abbildung/display |name=\pi_{m,n} |R/ {{ideala|}}^{m} |R /{{ideala|}}^n || |SZ=, }} und kommutative Diagramme {{Kommutatives Dreieck/ru| R | R/ {{ideala|}}^{m} | R/ {{ideala|}}^{n} \, .| abb1}} Jedes Element {{ Relationskette | f |\in| R || || || |SZ= }} definiert für jeden Index {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ= }} eine Restklasse {{ Math/display|term= f_n = [f] \text{ in } R/{{ideala}}^n |SZ=. }} Dabei ist insbesondere {{math|term= f_1 \in R/{{ideala}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= f_0 \in R/{{ideala}}^0=0 |SZ=,}} was häufig ignoriert wird| |ISZ=|ESZ=. }} Diese Restklassen sind eng miteinander verbunden, es ist nämlich {{ Relationskette/display | \pi_{m,n} (f_m) || f_n || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= f_m |SZ=}} bekannt ist, so kann man die {{math|term= f_n |SZ=}} mit kleinerem Index direkt rekonstruieren. Eine wichtige begleitende Vorstellung ist, dass die {{math|term= f_0,f_1,f_2 |SZ=}} zunehmende bessere Approximationen des wahren Elements {{math|term= f |SZ=}} sind. Diese Vorstellung passt besonders gut für den Fall, dass ein {{ Definitionslink |lokaler Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (R, {{idealm|}} ) |SZ=}} vorliegt und als Ideal das maximale Ideal genommen wird. Dann ist {{math|term= f_1 |SZ=}} ein Element im Restekörper {{math|term= R/ {{idealm|}} |SZ=,}} was man als konstante Approximation ansehen kann, {{math|term= f_2 \in R/{{idealm}}^2 |SZ=}} ist die {{Anführung|lineare Approximation|SZ=,}} {{math|term= f_3 \in R/{{idealm}}^3 |SZ=}} ist die {{Anführung|quadratische Approximation|SZ=,}} u.s.w.. Diese Sprechweisen passen besonders gut, wenn {{mathl|term= R |SZ=}} die Lokalisierung eines Polynomrings am zentralen maximalen Ideal ist. Wir fragen uns, ob es neben den Folgen {{mathl|term= f_n,\, n \in \N|SZ=,}} die von einem Element {{mathl|term= f\in R |SZ=}} herrühren, weitere Folgen gibt, die diese Kompatibilitätsbedingung erfüllen, und was ihre Signifikanz für den Ring und das gegebene Ideal ist. Wir halten zuerst diese Kompatibilitätsbedingung fest. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Ideal/Potenzfamilie/Kompatibel/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Z/Primzahl/Komplettierung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Ring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Maximales Ideal/Lokalisierung/Komplettierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Ring/Nilpotentes Ideal/Komplettierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Noetherscher lokaler Ring/Komplettierung/Injektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Lokaler Ring/Vollständig/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gd9sgila9x0mcjdbuxh3kg8kf25wi7t 0 101615 1092546 1074750 2026-06-01T14:04:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092546 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir erinnern an den Satz über implizite Abbildungen, wie er in der Analysis II vorkommt. {{ inputfakt |Satz über implizite Abbildungen/R/Fakt|Satz|| || }} Das total Differential wird bezüglich der Standardbasen des {{math|term= \R^n |SZ=}} bzw. des {{math|term= \R^m |SZ=}} durch die Jacobi-Matrix {{ Math/display|term= {{op:Jacobimatrix|n|m|\varphi|x|P}} |SZ= }} beschrieben. Damit das totale Differential {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|{{{P|P}}} }} |SZ=}} surjektiv sein kann, muss {{ Relationskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} gelten. In diesem Fall ist es das {{Anführung|typische Verhalten|SZ=,}} dass {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|{{{P|P}}} }} |SZ=}} surjektiv ist und dass man daher den Satz anwenden kann. Der Satz über implizite Abbildungen gibt Anlass zu einer ganzen Theorie von geometrischen Objekten, den Mannigfaltigkeiten. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein topologischer Raum, der lokal wie eine offene Menge des {{math|term= \R^n |SZ=}} aussieht {{ Zusatz/Klammer |text=und wobei die Übergangsabbildungne stetig differenzierbar sein müssen| |ISZ=|ESZ=. }} Der Satz über implizite Abbildungen besagt, dass die regulären Punkte einer Faser eine Mannigfaltigkeit bilden. Wenn man statt {{math|term= \R|SZ=}} die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC}} |SZ=}} zugrunde legt, und die komplexe Differenzierbarkeit fordert, so gilt auch die komplexe Version des Satzes. Die Fasern sind dann komplexe Mannigfaltigkeiten. Wir betrachten die geometrische Relevanz des Satzes in kleinen Dimensionen. Schon der Fall {{ Relationskette |m ||1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |n ||2 || || || |SZ= }} ist sehr aussagekräftig, wir formulieren ihn explizit. {{ inputbild |Cusp|png| 230px {{!}} left {{!}} | |Text=Die Nullstellenmenge zu {{mathl|term= y^2=x^3 |SZ=}} heißt {{Stichwort|Neilsche Parabel|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |X2x3|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Nullstellenmenge zu {{mathl|term= y^2=x^2+x^3 |SZ=.}} |Zusname= |Autor= |Benutzer=Svjo |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfakt |Satz über implizite Abbildungen/R/2 nach 1/Fakt|Korollar|| || }} Hier kann man sich vorstellen, dass {{math|term= \varphi|SZ=}} ein Gebirge über der Ebene beschreibt, die Fasern sind dann die Höhenlinien und der Satz besagt, dass diese in regulären Punkten lokal wie ein Graph zu einer stetig differenzierbaren Funktion in einer Variablen aussehen. {{ inputbild |DoubleCone|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Text=Das Nullstellengebilde zu {{mathl|term= z^2=x^2+y^2 |SZ=}} ist eine Fläche im Raum, man spricht von einem {{Stichwort|Doppelkegel|SZ=.}} Gemäß dem Satz über implizite Abbildungen ist es außerhalb der Kegelspitze eine zweidimensionale reelle Mannigfaltigkeit. In der Kegelspitze ist es aber definitiv keine Mannigfaltigkeit. Wenn man nämlich die Spitze aus dem Doppelkegel herausnimmt, so zerfällt dieser in zwei Zusammenhangskomponenten, während ein zweidimensionaler offener Ball, aus dem man einen Punkt herausnimmt, zusammenhängend bleibt. |Autor=Lars H. Rohwedder |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine Verallgemeinerung des letzten Satzes davon ist durch eine stetig differenzierbare Abbildung {{ Abbildung/display |name=F |\R^n | \R || |SZ= }} gegeben. Die Menge {{mathl|term= F^{-1} (b) |SZ=}} nennt man auch eine {{Stichwort|Hyperfläche|SZ=.}} In einem regulären Punkt, wenn man also den Satz über implizite Abbildungen anwenden kann, sieht eine solche Hyperfläche lokal wie eine offene Teilmenge des {{math|term= \R^{n-1} |SZ=}} aus. Die {{Anführung|Dimension}} dieses geometrischen Objektes ist also um {{math|term= 1 |SZ=}} kleiner als die des umgebenden Raumes {{math|term= \R^n |SZ=.}} Dies ist mit {{Anführung|Hyper}} gemeint, bei {{ Relationskette/display |n ||3 || || || |SZ= }} ist eine Hyperfläche eine Fläche. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2=Theorie der algebraischen Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1703d3mlwxzn2zhia8i0ko9xxbfwigd 0 101619 1092253 1023173 2026-06-01T13:16:56Z Bocardodarapti 2041 1092253 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |{{Wertetabelle12|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= f(n) |SZ=}} |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|0|1|3|8|18|38|88|188|388|888|1388|1888|||||}} Für alle weiteren {{math|term= n |SZ=}} muss man {{math|term= 500 |SZ=}} dazuaddieren. |Es ist {{ Relationskette/display | f(1 000 000) || 1388 + 999 990 \cdot 500 || 1388 + 499 995 000 || 499 996 388 || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cbxzmoyno64d4o9zmtmoa11htbvyixv 0 101631 1092453 983572 2026-06-01T13:49:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092453 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Formale Potenzreihe/Definition|| }} Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. In einer Variablen hat man {{ Relationskette/display | F \cdot G || {{makl| {{potreiein|i|a|T}} |}} {{makl| {{potreiein|j|b|T}} |}} || {{potreiein|k|c|T}} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c_k ||\sum_{i {{=}} 0}^k a_i b_{k-i} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Potenzreihenring/Körper/Lokaler Ring/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Potenzreihenring/Restklassenring nach T/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Potenzreihenring/Komplettierung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 55niufhsz4uwu4r05tfq2pq9667wqmw 0 101642 1092340 982878 2026-06-01T13:30:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092340 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Ideal/Komplettierung/Restklassenring/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Variablenideal/Komplettierung/Restklassenring/Fakt|Lemma|| || }} Wenn beispielsweise {{ Relationskette/display | {{idealb|}} || (f) || || || |SZ= }} ein Hauptideal ist, so ist die Komplettierung von {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/(f) |SZ=}} am maximalen Ideal {{mathl|term= (X_1 {{kommadots|}} X_n) |SZ=}} gleich {{mathl|term= K[[X_1 {{kommadots|}} X_n]]/(f) |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Komplettierung (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mgwot7qweiy1k5ely75rmqiuthr98lu 0 101643 1092498 1019594 2026-06-01T13:57:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092498 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Ideal/Rees-Algebra/Definition|| }} Für die Übereinstimmung rechts verwendet man {{ Relationskette/display | {{ideala|}}^0 || R || || || |SZ=. }} Die {{math|term= n |SZ=-}}te homogene Komponente ist also der {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}}^n |SZ=.}} Da sich aus {{mathl|term= f \in {{ideala|}}^n |SZ=}} und {{mathl|term= g \in {{ideala|}}^m |SZ=}} direkt {{mathl|term= fg \in {{ideala}}^{n+m} |SZ=}} ergibt, handelt es sich in der Tat um eine graduierte Algebra. Wegen der Inklusion {{ Relationskette |{{ideala}}^{n+1} |\subseteq| {{ideala}}^n || || || |SZ= }} muss man aufpassen. Ein Element {{ Relationskette |f |\in|{{ideala}}^{n+1} |\subseteq| {{ideala}}^n || || || |SZ= }} definiert in der Rees-Algebra unterschiedliche Elemente, je nachdem, ob man es in {{math|term= {{ideala}}^{n+1} |SZ=}} oder in {{math|term= {{ideala}}^{n} |SZ=}} auffasst! Diese Quelle von Missverständnis kann man umgehen, wenn man die Rees-Algebra als die von {{mathl|term= {{ideala}} T |SZ=}} in {{math|term= R[T] |SZ=}} erzeugte Unteralgebra auffasst. Bei dieser Darstellung kann man {{ mathkor|term1= fT^{n+1} |und|term2= fT^n |SZ= }} nicht verwechseln. Diese Darstellung zeigt zugleich, dass bei endlich erzeugtem Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} die zugehörige Rees-Algebra als Algebra endlich erzeugt über {{math|term= R |SZ=}} ist. {{ inputbeispiel |Polynomring/Variablenideal/Rees-Algebra/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Noetherscher Ring/Ideal/Rees-Algebra/Noethersch/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Ideal/Modul/Rees-Modul/Definition|| }} Ein homogenes Element der Rees-Algebra, sagen wir {{mathl|term= f \in {{ideala}}^n |SZ=}} wird dabei mit einem homogenen Element des Moduls, {{ Relationskette |v ||gw || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= g \in {{ideala}}^m |SZ=}} und {{mathl|term= w \in M |SZ=}} auf {{ Relationskette/display |fv ||fgw |\in| {{ideala}}^{n+m} M || || |SZ= }} abgebildet. Zu einem noetherschen Ring und einem endlich erzeugten Modul ist der Rees-Modul ein noetherscher Modul über der Rees-Algebra. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Rees-Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} g3sn82h0eap0tvhrk8cnzqj2r7tyjbp 0 101857 1092333 1019111 2026-06-01T13:29:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092333 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{mathl|term= M |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kürzbares| |Kontext=Monoid| |SZ=, }} {{ Definitionslink |endlich erzeugtes| |Kontext=Monoid| |SZ= }} {{ Definitionslink |kommutatives Monoid| |Kontext=| |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Differenzengruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= \Gamma|SZ=.}} Wegen der Kürzbarkeit gilt {{ Relationskette/display |\Gamma || \Z^d \times T || || || |SZ= }} mit einer kommutativen {{ Definitionslink |Torsionsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= T |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= u \in T \cap {{op:Einheiten|M||}} |SZ=}} eine Torsionseinheit, dessen Ordnung ein Teiler von {{math|term= n |SZ=}} sei. Dann definiert dies einen Monoid-Automorphismus {{ Abbildung/display |name=\varphi_u |M \times {{op:Zmod|n|}}| M \times {{op:Zmod|n|}} |(m, i)| (m+iu,i) |SZ=. }} Es ist ja {{ Relationskette/align | \varphi_u( (m,i) + (n,j)) || \varphi_u( (m+n,i+j) ) || (m+n +(i+j)u),i+j) || (m+iu,i) + (n+ju,j) || \varphi_u( (m,i) )+ \varphi_u( (n,j) ) |SZ=. }} Dieser Automorphismus ist mit der natürlichen Einbettung von {{math|term= M |SZ=,}} bei der die zweite Komponente gleich {{math|term= 0 |SZ=}} gesetzt wird, verträglich. Auf der Monoidringebene ist dies die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |K[M][V]/(V^n-1)| K[M][V]/(V^n-1) |V| uV |SZ=. }} Eine Cech-Kohomologieklasse zur Garbe der Torsionseinheiten auf einer offenen Menge {{ Relationskette/display |U || {{op:Spec|M|}} || || || |SZ=, }} die man innerhalb einer Untergarbe {{ Relationskette | {{op:Zmod|n|}} |\subseteq| T || || || |SZ= }} realisieren kann, ergibt ein {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=-}}Bündel über {{math|term= U |SZ=.}} Wenn der Kozykel durch {{mathl|term= (D(f_i), u_{ij}) |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |U || \bigcup_i D(f_i) || || || |SZ= }} und {{mathl|term= u_{ij} \in \Gamma (D(f_i+f_j), {{op:Zmod|n|}}) |SZ=}} gegeben ist, so muss man entlang der Automophismen {{ Abbildung/display |name= \varphi_{u_{ij} } | M_{f_i +f_j} \times {{op:Zmod|n|}} |M_{f_i +f_j} \times {{op:Zmod|n|}} || |SZ= }} verkleben. Eine zweite Frage ist, ob man das entstehende Monoidschema quasiaffin als offene Teilmenge eines affinen kombinatorischen Schemas realisieren kann. {{ inputbeispiel |Modul mit Torsion/Doppelpaar/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Modul mit Torsion/Doppelpaar/Komomologie der Einheitengarbe/K-Realisierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/Beispiel|| }} Die kombinatorischen Geradenbündel lassen sich als quasiaffine Spektra zu Monoiden realisieren. Sei {{mathl|term= 0 \leq i < n |SZ=.}} Durch {{ Relationskette/display | M_i || \langle f,g,h,s,t \rangle/ ( nh {{=}} n f+n g, nf +s {{=}} ih +t , ng + t {{=}} (n-i) h+ s ) || || || |SZ= }} werden {{math|term= M |SZ=-}}Monoide definiert, die über {{math|term= M_f|SZ=}} zu {{mathl|term= M_f \times \N|SZ=}} trivialisieren, da man dann {{math|term= s |SZ=}} eliminieren kann und somit nur die neue freie Variable {{math|term= t |SZ=}} übrig bleibt. Man beachte, dass in der Differenzengruppe {{ Relationskette/display |s || ih + t - nf || ih + ( (n-i) h +s-ng ) -nf || s +nh-ng-nf || s |SZ= }} gilt. Es ergibt sich also über dem punktierten Spektrum ein kombinatorisches Geradenbündel, nämlich {{ Relationskette/display | L_i || D(f,g) |\subseteq| {{op:Spec|M_i |}} || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |nh ist nf+ng/Komomologie der Einheitengarbe/K-Realisierung/Beispiel|| }} In der folgenden Überlegung bringen wir die zuvor erwähnten Beispiele miteinander in Verbindung. Es ist {{ Relationskette/display |U ||D(f) \cup D(g) || || || |SZ= }} das punktierte Schema und {{ Math/display|term= h-f-g \in \Gamma(D(f+g), {\mathcal O}^\times) |SZ= }} ist eine Torsionseinheit der Ordnung {{math|term= n |SZ=.}} Das angegebene Monoid {{math|term= N |SZ=}} liefert eine Realisierung. {{ inputbeispiel |nf ist ng+nh/Punktierte Überlagerung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kürzbaren kommutativen Monoide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7lzm3584270hihgz55v3y6nyc6a3g8f 0 101877 1092543 1074748 2026-06-01T14:04:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092543 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Polynomring/Charakteristik 0/Differentialoperator/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Charakteristik 0/Differentialoperatoren/Unitär/Bemerkung|| }} {{ inputbild |DoubleCone|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor=Lars H. Rohwedder |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im Weiteren soll es um Differentialoperatoren gehen, die nicht auf {{ Zusatz/Klammer |text=Funktionen auf| |ISZ=|ESZ= }} dem glatten Raum {{math|term= K^n |SZ=}} wirken, sondern auf Räumen mit Singularitäten. Als ein typisches Beispiel kann man einen Doppelkegel betrachten, den man als die Nullstellenmenge des Polynoms {{mathl|term= Z^2-X^2-Y^2 |SZ=}} betrachten kann. Nennen wir dieses geometrische Objekt {{math|term= S |SZ=,}} also {{ Relationskette/display |S || {{Mengebed|(x,y,z) \in K^3|x^2+y^2 {{=}} z^2}} || || || |SZ=. }} Es hat in der Kegelspitze {{mathl|term= (0,0,0) \in S |SZ=}} eine Singularität. In jedem anderen Punkt ist er glatt, d.h. man kann {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=K=\R|SZ=}} oder {{math|term= {{CC}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} den {{ Faktlink |Präwort=|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhält, dass außerhalb der Singularität eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vorliegt. Es gibt also lokal in einer offenen Umgebung {{math|term= U |SZ=}} zu einem jeden Punkt {{ Relationskette |P |\neq| (0,0,0) || || || |SZ= }} einen Diffeomorphismus zu einer offenen Menge {{ Relationskette |V |\subseteq|\R^2 || || || |SZ=. }} Auf einer solchen offenen Menge wissen wir, was die Differentialoperatoren sind. Mit lokalen Koordinaten {{mathl|term= s,t|SZ=}} für {{math|term= V |SZ=}} hat man lokal die partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= \partial_s |und|term2= \partial_t |SZ= }} und somit auch ihre Verknüpfungen und Multiplikation mit Koeffizentenfunktionen zur Verfügung. Über den Diffeomorphismus überträgt sich dies zurück auf {{math|term= U |SZ=.}} Im algebraischen Kontext ist diese Überlegung etwas komplizierter und arbeitet mit regulären Ringen. Ein sinnvoller Differentialoperator auf {{ Zusatz/Klammer |text=Funktionen auf| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= S |SZ=}} muss jedenfalls auch auf jeder offenen Menge {{ Relationskette |U |\subseteq|S || || || |SZ= }} einen Differentialoperator induzieren, und wenn eine Überdeckung {{ Relationskette/display |U || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} mit offenen Mengen vorliegt und auf den {{math|term= U_i |SZ=}} jeweils ein Differentialoperator {{math|term= E_i |SZ=}} gegeben ist, die miteinander verträglich sind in dem Sinne, dass für die Einschränkungen {{ Relationskette/display | E_i {{|}}_{U_i \cap U_j } || E_j {{|}}_{U_i \cap U_j } || || |SZ= }} gilt, so sollte dies von einem Differentialoperator {{math|term= E |SZ=}} auf ganz {{math|term= U |SZ=}} herrühren. D.h. man erwartet, dass Differentialoperatoren eine Garbe bilden. Diese naheliegenden Bedingungen legen bereits ein eindeutiges Konzept für Differentialoperatoren auf {{mathl|term= S \setminus \{(0,0,0)\} |SZ=}} fest. In der Tat werden diese Operatoren bereits die Operatoren auf ganz {{math|term= S |SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=die Singularität ist normal| |ISZ=|ESZ=. }} Achtung: Die partiellen Ableitungen {{mathl|term= \partial_X,\partial_Y, \partial_Z|SZ=}} des umgebenden Raumes {{math|term= K^3 |SZ=}} ergeben keinen Sinn auf {{math|term= S |SZ=.}} Das Polynom {{mathl|term= Z^2-X^2-Y^2 |SZ=}} ist ja die Nullfunktion auf {{math|term= S |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= S |SZ=}} wurde ja als die Nullstellenmenge dieses Polynoms definiert| |ISZ=|ESZ=, }} es ist aber {{ Relationskette/display | \partial_X ( Z^2-X^2-Y^2) || -2X |\neq | 0 || || |SZ= }} auf {{math|term= S |SZ=.}} Wir geben nun die allgemeine algebraische Definition für einen Differentialoperator für eine beliebige kommutative {{math|term= K |SZ=-}}Algebra. Im ober erwähnten Beispiel geht es um den Restklassenring {{ Relationskette |R || K[X,Y,Z]/(Z^2-X^2-Y^2) || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Differentialoperator/Algebraisch/Definition|| }} Wir bemerken, dass dieses Konzept für den Polynomring über einem Körper den durch die {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha| \alpha! }} |SZ=}} frei erzeugten Modul ergibt. Eine entsprechende Beschreibung gilt für jeden regulären {{ Zusatz/Klammer |text=glatten| |ISZ=|ESZ= }} lokalen Ring. Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung {{ Zusatz/Klammer |text=genau| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n |SZ=}} besitzt, wenn er eine Ordnung {{math|term= \leq n |SZ=,}} aber nicht {{math|term= \leq n-1 |SZ=}} besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} sind einfach Derivationen, also {{math|term= K |SZ=-}}lineare Abbildungen {{ Abbildung |name=D |R|R || |SZ=, }} die die Leibniz-Regel {{ Relationskette/display |D (fg) ||f D(g)+ gD(f) || || || |SZ= }} erfüllen. Diese Regel kann man auch {{ Zusatz/Klammer |text=was zunächst komplizierter aussieht| |ISZ=|ESZ= }} als {{ Relationskette/display |D (fg) ||f D(g)+ gD(f)-fg D(1) || || || |SZ= }} schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf {{math|term= 0 |SZ=}} abbildet. Für beliebige Differentialoperatoren der Ordnung {{math|term= \leq 1 |SZ=}} gibt es eine entsprechende Produktregel. {{Zwischenüberschrift|Der Modul der Hauptteile}} {{ inputdefinition |Algebra/Modul der Hauptteile/Definition|| }} {{ inputdefinition |Algebra/Modul der Hauptteile/Universeller Operator/Definition|| }} Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar {{mathl|term= ( {{op:Hauptteilmodul|R|K|n}} ,d^n) |SZ=.}} Wir bezeichnen zu einem Monom {{mathl|term= \lambda \in \N^k |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | D^\lambda || {{makl| \partial_{X_1} |}}^{\lambda_1} {{circdots}} {{makl| \partial_{X_k} |}}^{\lambda_k} || || || |SZ= }} diesen Differentialoperator auf dem Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_k] |SZ=.}} Der Ausdruck {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1|\lambda!}} D^\lambda || {{op:Bruch|1|\lambda!}} {{makl| \partial_{X_1} |}}^{\lambda_1} {{circdots}} {{makl| \partial_{X_k} |}}^{\lambda_k} || || || |SZ= }} ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom {{math|term= X^\nu|SZ=}} direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in {{math|term= \Z|SZ=}} behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form {{math|term= D^\lambda|SZ=,}} wobei eine Komponente von {{math|term= \lambda|SZ=}} negativ ist, ist als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren. {{ inputfakt |Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Polynome/Jacobi-Taylor-Matrix/Definition|| }} Diese Matrizen bezeichnen wir mit {{math|term= J_n |SZ=.}} Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist. In drei Variablen und einer Gleichung {{math|term= F |SZ=}} sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus {{ Zusatz/Klammer |text=über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch {{math|term= F |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |u=0 |ux= \partial_X (F) |uy= \partial_Y (F) |uz= \partial_Z (F) |uxx= {{op:Bruch|1|2}} \partial_X \partial_X (F) |uxy= \partial_X \partial_Y (F) |uxz= \partial_X \partial_Z (F) |uyy= {{op:Bruch|1|2}} \partial_Y \partial_Y (F) |uyz= \partial_Y \partial_Z (F) |uzz= {{op:Bruch|1|2}} \partial_Z \partial_Z (F) }} }} {{ inputfakt |Polynome/Hauptteilmodul/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfakt |Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfakt |Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Partielle Ableitungen im Polynomring/Fakt|Korollar|| || }} Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form {{ Relationskette/display |Z_\nu || {{makl| {{op:Bruch|1|(\nu -\mu)!}} D^{ \nu-\mu}(F_i) \, , (\mu,i)|}} || || || |SZ=. }} {{ inputfakt |Kommutativer Ring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfakt |Polynomring/Direkter Summand/Differentialoperatoren/Fakt|Korollar|| || }} Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form {{ Relationskette/display |M || C \cap \Gamma || || || |SZ= }} mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter {{ Zusatz/Klammer |text=das Differenzengitter zu {{math|term= M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | \Gamma || \Z M || || || |SZ= }} gegeben. Es sei {{math|term= d |SZ=}} die Dimension von {{math|term= \Gamma|SZ=}} und seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_r |SZ=}} die Facetten von {{math|term= C |SZ=.}} Zu jeder Facette {{math|term= F_i |SZ=}} gibt es eine integrale Linearform {{ Abbildung/display |name= \ell_i |\Gamma| \Z || |SZ=, }} deren Kern {{math|term= F_i |SZ=}} ist, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu einem charakteristischen Polytop und dessen Volumen. Durch {{ Relationskette/display | \ell_1 {{plusdots}} \ell_r || 1 || || || |SZ= }} wird eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen ein {{ Zusatz/Klammer |text=kompaktes| |ISZ=|ESZ= }} Polytop. Das {{math|term= d!|SZ=-}}fache dessen Volumen nennen wir die {{math|term= D |SZ=-}}Signatur des Kegels. Es ist nicht unmittelbar klar, ob und wie man diese als Invarianten der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist. Wir erwähnen für das Monoid {{math|term= \N^n |SZ=}} bzw. den Monoidring {{ Relationskette/display |K [\N^n] || K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} folgende Beobachtung. Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} {{makl| X^\beta |}} || {{op:Bruch|\beta !|\alpha! ( \beta- \alpha)!}} X^{\beta - \alpha} || || || |SZ= }} ist die Wirkungsweise der Operatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} |SZ=}} auf einem Tupel {{math|term= \beta|SZ=}} im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung {{math|term= - \alpha|SZ=,}} wobei das Ergebnis als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren ist, falls man außerhalb von {{math|term= \N^n |SZ=}} landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} |SZ=,}} die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen. {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/Quadrik/Kegelrealisierung/D-Signatur/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jpxfrfncg18ekejfhsiz1r9615jj9ll 0 102249 1092169 1074566 2026-06-01T13:03:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092169 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Domen-indukto|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Eine Visualisierung des Induktionsprinzips. Wenn die Steine nah beieinander stehen und der erste umgestoßen wird, so fallen alle Steine um. |Autor=Joachim Mohr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die folgende Aussage und ihr Beweis begründen das Beweisprinzip der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=.}} Wir schreiben {{mathl|term= n+1 |SZ=}} für den Nachfolger von {{math|term= n |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz|| }} Der Nachweis von {{ Zusatz/Klammer |text=der Gültigkeit von| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= A(0) |SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term= A(n) |SZ=}} auf {{mathl|term= A(n+1) |SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschluss|SZ=}} oder {{Stichwort|Induktionsschritt|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschlusses nennt man die Gültigkeit von {{mathl|term= A(n) |SZ=}} auch die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term= A(n) |SZ=}} erst für {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} für ein gewisses {{math|term= n_0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term= A(n_0) |SZ=}} und den Induktionsschritt führt man für alle {{ Relationskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. Um dieses Beweisprinzip anhand von substantiellem Material demonstrieren zu können, greifen wir etwas vor und setzen die Addition, die Multiplikation und die Größergleichrelation von natürlichen Zahlen voraus. Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das {{Stichwort|Summenzeichen|SZ=.}} Für gegebene {{ Zusatz/Klammer |text=natürliche, reelle| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen typischerweise die {{math|term= a_k |SZ={{{zusatz1|}}}|}} in einer formelhaften Weise von {{math|term= k |SZ=}} ab. Entsprechend ist das {{Stichwort|Produktzeichen}} definiert, nämlich durch {{ Relationskette/display | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Aufgabe|| }} Aussagen, die durch Induktion bewiesen werden können, können manchmal auch auf andere Art bewiesen werden. Im vorstehenden Beispiel gibt es die elegantere und einsichtigere Lösung, die Zahlen einmal aufsteigend und einmal absteigend untereinander hinzuschreiben, also {{ Math/display|term= 1 \, \,\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, 2\, \, \, \,\, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \,3 \, \, \, \, \ldots \, \, \, \, n-2 \, \, \, \, n-1\, \, \, \, n |SZ= }} {{ Math/display|term= n\, \, \, \, \, n-1 \, \, \, \, \, \, n-2 \, \,\, \, \ldots \, \,\, \, 3\, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 2\, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, 1 |SZ= }} Spaltenweise ergibt sich {{mathl|term= n+1 |SZ=,}} und diese Summe kommt {{math|term= n |SZ=-}}mal vor. Also ist {{ Relationskette/display |2 {{makl| \sum_{i{{=}} 1}^n i |}} || n {{makl| n+1 |}} || || || |SZ=. }} {{ inputaufgabelösung |Induktion/6^(n+2)+7^(2n+1) teilbar durch 43/Aufgabe|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} f9yxeb0ztkgk0cubqexsxhtumeflhl3 0 102863 1092082 1076595 2026-06-01T12:49:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092082 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz|| }} Der Satz beinhaltet, dass {{mathl|term= k! (n-k)!|SZ=}} ein Teiler von {{math|term= n!|SZ=}} ist und somit ist der Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch|n!|k! (n-k)!}} |SZ=}} eine natürliche Zahl. Diese bekommt einen eigenen Namen und ein eigenes Symbol. {{ inputdefinition |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Binomialkoeffizient/Komplementregel/Bemerkung|| }} Den Binomialkoeffizienten {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} |SZ=}} kann man auch als {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} || {{op:Bruch|n!|k! (n-k)!}} || {{op:Bruch|n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n-k+2) (n-k+1)\cdot(n-k)\cdot (n-k-1) \cdots 2 \cdot 1 | ( k\cdot(k-1) \cdot(k-2) \cdots 2 \cdot 1 ) \cdot ( (n-k)\cdot (n-k-1) \cdots 2 \cdot 1 ) }} || {{op:Bruch|n\cdot(n-1)\cdot (n-2) \cdots (n-k+2)\cdot(n-k+1)|k\cdot(k-1)\cdot (k-2) \cdots 2 \cdot 1}} || || |SZ= }} schreiben, da die Faktoren aus {{mathl|term= (n-k)!|SZ=}} auch in {{math|term= n!|SZ=}} vorkommen und daher kürzbar sind. In dieser Darstellung stehen im Zähler und im Nenner gleich viele Faktoren. Gelegentlich ist es sinnvoll, auch negative {{math|term= k |SZ=}} oder {{ Relationskette |k |>|n || || || |SZ= }} zuzulassen und in diesen Fällen die Binomialkoeffizienten gleich {{math|term= 0 |SZ=}} zu setzen. Dies passt zur Interpretation in {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Binomialkoeffizient/4 über 2/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Binomialkoeffizient/Lotto/Teilmengenanzahl/Beispiel|| }} {{ inputbild |Pascal triangle|svg|220px {{!}} thumb {{!}} | | |Zusname=Pascal_triangle |Text=Das {{Stichwort|Dreieck der Binomialkoeffizienten|SZ=}} war in Indien und in Persien schon um 1000 bekannt, |Autor= |Benutzer=Kazukiokumura |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Yanghui triangle|gif|220px {{!}} {{!}} thumb {{!}} | | |Zusname=Yanghui_triangle |Text=in China heißt es {{Stichwort|Yanghui-Dreieck|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nach [[w:Yang Hui|Yang Hui (um 1238-1298)]]| |SZ=, }} |Autor= |Benutzer=Noe |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |TrianguloPascal|jpg|220px {{!}} thumb {{!}} | | |Text=in Europa heißt es das {{Stichwort|Pascalsche Dreieck|msw=Pascalsches Dreieck|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nach [[w:Blaise Pascal|Blaise Pascal (1623-1662)]]| |SZ=. }} |Autor=Pascal |Benutzer=Drini |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma||zusatz1={{{zusatz1|}}}|zusatz2={{{zusatz2|}}} || }} Wir geben noch einen zweiten Beweis für diese Aussage, der sich an der inhaltlichen Beschreibung der Binomialkoeffizienten als Teilmengenanzahl orientiert. {{:Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis2}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o040ucgp34jkhet6ejn5wl7lzji9uzz 0 102904 1092350 1052354 2026-06-01T13:32:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092350 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Unter einer reell-quadratischen Körpererweiterung eines Körpers {{ Relationskette |K |\subseteq| \R || || || |SZ= }} verstehen wir eine quadratische Körpererweiterung {{ Relationskette | K |\subseteq| K' || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |K' |\subseteq| \R || || || |SZ=, }} die sich also innerhalb der reellen Zahlen abspielt. Eine solche Körpererweiterung ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratische Körpererweiterung/Charakteristik nicht zwei/Reine Gestalt/Fakt |Nr= |SZ= }} immer durch die Adjunktion einer Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl {{ mathbed|term= \sqrt{c} |mit|bedterm1= c \in K ||bedterm2= \sqrt{c} \notin K |SZ= }} gegeben. Es gilt die Isomorphie {{ Relationskette/display | K[\sqrt{c}] |\cong| K[X]/ {{makl| X^2-c |}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Konstruierbare Zahlen/Aus Punktmenge in einem Schritt/Quadratische Körpererweiterung/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} {{ inputbild |Two Lines|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Two_Lines |Autor= |Benutzer=Jim.belk |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Inversie|PNG| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Lymantria |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Schnittpunkt von zwei Kreisen/Einheitskreis und (X-2)^2+Y^2-3/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Konstruierbare Zahlen/Sukzessive quadratische Körpererweiterung/Charakterisierung/Fakt|Satz|| |ref1= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o1s4aknmblbnafioq66pfbquo01s6cc 0 102914 1092353 1074652 2026-06-01T13:32:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092353 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kreisteilungskörper/Q/Als Zerfällungskörper/Definition|| }} Offenbar ist {{math|term= 1 |SZ=}} eine Nullstelle von {{mathl|term= X^n-1 |SZ=.}} Daher kann man {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} durch {{mathl|term= X-1 |SZ=}} teilen und erhält, wie man schnell nachrechnen kann, {{ Relationskette/display | X^n-1 || (X-1) {{makl| X^{n-1} +X^{n-2} {{plusdots|}} X+1 |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette |1 |\in| \Q || || || |SZ= }} ist daher der {{math|term= n |SZ=-}}te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskörper von {{ Math/display|term= X^{n-1} +X^{n-2} {{plusdots|}} X+1 |SZ=. }} Es gibt auch Kreisteilungskörper über anderen Körpern, da es ja stets Zerfäl{{drucktrenn}}lungskörper gibt. Wir beschränken uns aber weitgehend auf die Kreisteilungskörper über {{math|term= \Q |SZ=,}} die wir auch mit {{mathl|term= K_n |SZ=}} bezeichnen. Da {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} auf die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebenen Art über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt, kann man {{math|term= K_n |SZ=}} als Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} realisieren, und zwar ist {{math|term= K_n |SZ=}} der von allen {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=.}} Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt. {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt|Lemma||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element| |ISZ=.|ESZ=. }} }} Statt {{mathl|term= {{op:exp2piibruch||n}} |SZ=}} kann man auch jede andere {{math|term= n |SZ=-}}te primitive Einheitswurzel aus {{math|term= {{CC}} |SZ=}} als Erzeuger nehmen. {{ inputbeispiel |Kreisteilungskörper/Q/Kleine n/Beispiel|| }} {{{zusatz2|}}} {{ inputfaktbeweis{{{zusatz3|}}} |Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Kreis5Teilung|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Exxu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel||zusatz1={{{zusatz4|}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} esjb6j9qxwgjxuwodhq3n4e4p2w3gi3 0 103017 1092008 1018246 2026-06-01T12:36:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092008 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Da sich die Addition zweier natürlicher Zahlen aus den Dedekind-Peano-Axiomen ergibt, gibt es in jeder Beschreibung der natürlichen Zahlen genau eine Möglichkeit, zu addieren. Ob diese algorithmisch geschickt oder kompliziert ist, hängt wesentlich von der gewählten Beschreibung ab. Wenn man durch Strichfolgen gegebene Zahlen miteinander addiert, so hängt man einfach die beiden Strichfolgen aneinander. Dies ist auf den ersten Blick ein sehr einfacher Vorgang. Wenn man es aber ernsthaft schriftlich durchführen möchte, so sieht man, dass es extrem mühsam ist, da man jeden Strich der einen Strichfolge einzeln an die andere anhängen muss. Das schriftliche Addieren{{ Zusatz/Fußnote |text=Man könnte auch vom algorithmischen Addieren sprechen. Die Gültigkeit dieses Algorithmus besteht unabhängig von der schriftlichen Durchführung. Den Algorithmus im Kopf allein anzuwenden ist schwierig, weil die menschliche Speicherkapazität für solche Operationen bescheiden ist. Unter halbschriftlichem Rechnen versteht man übrigens Verfahren, bei denen die Rechnungen zwar durch schriftliche Notizen unterstützt werden, aber ohne dass ein Algorithmus systematisch durchlauft wird| |ISZ=.|ESZ= }} zweier natürlicher Zahlen im Zehnersystem ist aus der Schule bekannt. Man schreibt die beiden Zahlen untereinander so, dass die Einerpositionen übereinander stehen und addiert dann die beiden passenden Ziffern {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne des kleinen Einundeins| |ISZ=|ESZ= }} von hinten nach vorne. Wenn das Ergebnis kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} ist, schreibt man diese Zahl hin und rückt nach links. Wenn das Ergebnis größer oder gleich {{math|term= 10 |SZ=}} ist, so schreibt man die Einerziffer dieser Summe an der Stelle hin und hat in der links liegenden Stelle einen zusätzlichen Übertrag von {{math|term= 1 |SZ=}} mitzuberücksichtigen. Dies ist insgesamt ein rekursives Verfahren, das wir kurz festhalten. {{ inputverfahren |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Verfahren|| }} Warum ist dieser Algorithmus richtig, warum liefert er das korrekte Ergebnis? Die Gewöhnung an dieses Verfahren verleitet dazu, diese Frage nicht ernst zu nehmen bzw. nicht zu verstehen. Das eben beschriebene schriftliche Addieren ist nicht die Definition der Addition, sondern eine algorithmische Ausführung der Addition in einem bestimmten Beschreibungssystem {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich dem Dezimalsystem| |ISZ=|ESZ= }} für die natürlichen Zahlen. Der Ausgangspunkt der Addition der natürlichen Zahlen liegt in der disjunkten Vereinigung von endlichen Mengen, wir haben die Addition über die Nachfolgerabbildung eingeführt und bereits {{ Faktlink |Präwort=in||Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigt, dass sie mit dem Vereinigungskonzept übereinstimmt. Warum stimmt auch das schriftliche Addieren damit überein? Konkret: Man hat zwei Mengen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} an Äpfeln und bestimmt für beide Mengen ihre Anzahl im Zehnersystem: diese seien {{ mathkor|term1= k |und|term2= n |SZ=. }} Dann schüttet man die Mengen zusammen, erhält die Menge {{ Relationskette |C ||A \cup B || || || |SZ= }} und bestimmt für diese Menge die Anzahl im Zehnersystem: diese sei {{math|term= m |SZ=.}} Warum kommt, wenn man die Zahlen {{ mathkor|term1= k |und|term2= n |SZ= }} im Zehnersystem schriftlich addiert, ausgerechnet {{math|term= m |SZ=}} heraus? Die zwei Zahlen seien als {{ mathkor/hand|term1= n= a_r10^r + a_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} a_210^2+a_1 10 +a_0 |und|term2= k= b_s10^s + b_{s-1}10^{s-1} {{plusdots|}} b_2 10^2+ b_1 10 +b_0 |SZ= }} gegeben, wobei die Ziffern alle zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} seien. Es sei {{ Relationskette |r |\geq|s || || || |SZ= }} und wir können sogar annehmen, dass {{ Relationskette |r ||s || || || |SZ= }} ist, indem wir fehlende Ziffern in der zweiten Dezimalentwicklung durch Nullen auffüllen. Dann ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{makl| a_r10^r + a_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} a_210^2+a_1 10 +a_0 |}} + {{makl| b_r10^r + b_{r-1}10^{r-1} {{plusdots|}} b_2 10^2+ b_1 10 +b_0 |}} || {{makl| a_r +b_r|}} 10^r + {{makl| a_{r-1} +b_{r-1} |}} 10^{r-1} {{plusdots|}} {{makl| a_2+b_2 |}} 10^2+ {{makl| a_1 +b_1 |}} 10 + {{makl| a_0 +b_0 |}} || || || |SZ=. }} Dies beruht auf dem Assoziativgesetz der Addition und dem Distributivgesetz. Achtung! Dieses Ergebnis ist nicht in der Dezimaldarstellung, da die vor den Zehnerpotenzen {{math|term= 10^{i} |SZ=}} stehenden Zahlen {{mathl|term= a_i+b_i |SZ=}} nicht unbedingt kleiner als {{math|term= 10 |SZ=}} sein müssen. Man kann an dieser Stelle {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zehnersystem/Beliebige Vorfaktoren/Umwandlung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} anwenden und zu den {{Anführung|größeren}} Ziffern nach oben schaufeln. Dies ist aber nicht das Verfahren des schriftlichen Addierens. {{{zusatz3|}}} {{ inputfaktbeweis2 |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/Fakt|Satz||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}}|zusatz2={{{zusatz2|zusatz2}}}| || }} {{ inputbeispiel |Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrekt/1/Beispiel|| }} Die Korrektheit des schriftlichen Addierens überträgt sich auf die Addition mehrerer Summanden in der Dezimaldarstellung. Man summiert wieder ziffernweise und schreibt die letzte Ziffer der Summe an der entsprechenden Stelle hin, ebenso den Übertrag. Dieser kann jetzt allerdings {{ Zusatz/Klammer |text=ab zwölf Summanden| |ISZ=|ESZ= }} sogar größergleich {{math|term= 100 |SZ=}} sein, in diesem Fall muss man die Zehnerziffer wie zuvor um eins nach links schreiben und die Hunderterstelle um zwei nach links. Grundsätzlich kann man auch eine Summe mit beliebig vielen Summanden dadurch errechnen, dass man je zwei Summanden zusammenaddiert und somit die Anzahl der Summanden sukzessive verringert, doch ist das viel komplizierter. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der schriftlichen Addition der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} dim4ctpzmoyg6dgyhwj0jrs6848e1o4 0 103509 1092288 957091 2026-06-01T13:22:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092288 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir schauen uns kurz die Addition in einem kommutativen Ring genauer an. Hier begegnen wir einer Struktur, die später bei Körpern wieder auftaucht. Mit dieser Struktur kann man viele strukturelle Gemeinsamkeiten zwischen der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Z|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und der Multiplikation {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise in {{math|term= \Q \setminus \{ 0 \} |SZ=}} oder in {{math|term= \R \setminus \{ 0 \} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} erfassen. {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ }} {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Eindeutige Existenz des Inversen/Fakt|Lemma|| || }} Ein kommutativer Ring {{math|term= R |SZ=}} ist bezüglich der Addition insbesondere eine kommutative Gruppe. Insbesondere bilden die ganzen Zahlen {{mathl|term= (\Z,0,+) |SZ=}} eine kommutative Gruppe, das inverse Element zu {{math|term= x |SZ=}} ist das negative Element {{math|term= -x|SZ=.}} Allgemein gilt in Gruppen die eindeutige Lösbarkeit von mit der Verknüpfung formulierten Gleichungen. {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Elementare Gruppentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ha9vegpz4xv602baisequ838gy7efv4 0 103609 1092451 1019525 2026-06-01T13:49:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092451 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition|| }} Mit {{mathl|term= \,^e R |SZ=}} bezeichnen wir denjenigen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ=, }} der als kommutative Gruppe einfach {{math|term= R |SZ=}} ist, dessen {{math|term= R |SZ=-}}Modulstruktur aber durch den {{math|term= e |SZ=-}}ten Frobenius festgelegt ist. Die {{math|term= e |SZ=-}}te Skalarmultiplikation {{math|term= \star_e|SZ=}} ist also {{ Relationskette/display |r \star_e f | {{defeq|}} | r^{p^e} f || || || |SZ=. }} Die Menge der {{math|term= p |SZ=-}}ten Potenzen in {{math|term= R |SZ=}} wird mit {{math|term= R^p|SZ=}} bezeichnet, das ist der Unterring von {{math|term= R |SZ=,}} der mit dem Bild des Frobeniushomomorphismus übereinstimmt. Wenn {{math|term= R |SZ=}} reduziert ist, so ist der Frobenius injektiv und man betrachtet zunehmend kleinere Unterringe. {{ Relationskette/display |R |\supseteq| R^p |\supseteq| R^{p^2} |\supseteq| \ldots || |SZ= }} Die Inklusion {{ Relationskette |R^p |\subseteq|R || || || |SZ= }} kann man auch als Erweiterung {{ Relationskette/display |R |\subseteq| R^{1/p} || || || |SZ= }} verstehen, jedes Element bekommt also eine eindeutig bestimmte {{math|term= p |SZ=-}}te Wurzel hinzu. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/F-endlich/Definition|| }} Wenn {{math|term= R |SZ=}} {{math|term= F |SZ=-}}endlich ist, so ist {{mathl|term= \,^e R |SZ=}} ein endlich erzeugter {{math|term= R |SZ=-}}Modul für jedes {{math|term= e |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Z mod p/Polynomring/Frei via Frobenius/Beispiel|| }} Diese Aussage gilt im Wesentlichen auch für lokale reguläre Ringe in positiver Charakteristik. Wichtig ist, dass hiervon sogar die Umkehrung gilt. Die {{math|term= R |SZ=-}}Modulstruktur von {{mathl|term= \,^e R |SZ=}} im nichtregulären Fall wurde vor allem von Smith und van den Bergh, Seibert, Huneke und Leuschke, Watanabe und Yoshida studiert. Die grundlegende Beobachtung ist, dass wenn {{math|term= R |SZ=}} eine {{Anführung|milde}} Singularität repräsentiert, dass dann eine gewisse Regelmäßigkeit in der {{math|term= R |SZ=-}}Modulstruktur von {{mathl|term= \,^e R |SZ=}} für {{mathl|term= e \in \N|SZ=}} zu beobachten ist. Wir konzentrieren uns hier auf die sogenannte {{math|term= F |SZ=-}}Signatur. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/F-endlich/F-Signatur/Definition|| }} Die Existenz des Limits wurde von Tucker bewiesen. Der folgende Satz wurde {{ Zusatz/Klammer |text=im Kontext von Hilbert-Kunz Theorie| |ISZ=|ESZ= }} von Watanabe Yoshida bewiesen. Er stellt bereits sicher, dass die {{math|term= F |SZ=-}}Signatur ein sinnvolles Singularitätsmaß ist. {{ inputfakt |Regulärer Ring/F-Signatur/Fakt|Satz|| || }} Eine wichtige Beispielklasse wird durch das folgende Resultat abgedeckt. {{ inputfakt |Polynomring/Gruppenoperation/Klein/F-Signatur/Fakt|Satz|| || }} Somit kann die {{math|term= F |SZ=-}}Signatur insbesondere verschiedene nichtreguläre Ringe voneinander unterscheiden. Es ist keienswegs so, dass die {{math|term= F |SZ=-}}Singularität immer eine positive Zahl ist. In einem gewissen Sinne ist dies eher eine Ausnahme. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/Stark F-regulär/Definition|| }} Das bedeutet, dass wenn man die Skalare zunehmend einschränkt, dass nur noch gewisse Frobeniuspotenzen erlaubt sind, dass dann ein direkter Summand entsteht. Man kann die Eigenschaft auch so verstehen, dass es zu jedem {{ mathbed|term= r \in R ||bedterm1= r \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} eine additive Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |R|R || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |\varphi(r) ||1 || || || |SZ= }} gibt, die zusätzlich {{math|term= R^q-R|SZ=-}}linear für ein gewisses {{ Relationskette |q ||p^e || || || |SZ= }} ist, was bedeutet, dass links über Potenzen und rechts normal operiert wird. Es gilt also {{ Relationskette/display | \varphi (f^q g) || f \varphi(g) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= f,g \in R |SZ=.}} Das nennt man auch {{math|term= p^{-e} |SZ=-}}linear. Im Polynomring {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}[X_1 {{kommadots}} X_d] |SZ=}} erzeugt mit der Ausnahme einer konstanten Einheit ein Polynom {{math|term= r |SZ=}} nie einen direkten Summanden. Wenn man aber {{math|term= q |SZ=}} größer als den Grad des Polynoms macht, so kann man {{math|term= r |SZ=}} als Teil einer {{math|term= R^q|SZ=-}}Basis von {{math|term= R |SZ=}} nehmen. Dieses Konzept ist eng verwandt mit zwei Begriffen, die mit tight closure zusammenhängen, nämlich {{math|term= F |SZ=-}}regulär und schwach {{math|term= F |SZ=-}}regulär. Letzteres bedeutet, dass jedes Ideal {{math|term= I |SZ=}} mit seinem tight closure {{math|term= I^*|SZ=}} übereinstimmt, und stark {{math|term= F |SZ=-}}regulär, wenn diese Eigenschaft auch für jede Lokalisierung gilt. Für Gorenstein-Ringe stimmen die drei Konzepte überein, und es wird vermutet, dass dies immer gilt. Beispielsweise sind direkte Summanden von regulären Ringen {{math|term= F |SZ=-}}regulär. Dazu gehören normale Monoidringe und Invariantenringe. Der folgende Satz von Aberbach und Leuschke klärt die Beziehung zwischen {{math|term= F |SZ=-}}Signatur und starker {{math|term= F |SZ=-}}Regularität. {{ inputfakt |Ring/Stark F-regulär/Positive F-Signatur/Fakt|Satz|| || }} Somit liefert die {{math|term= F |SZ=-}}Signatur nur für eine kleine, aber relevante Klasse von milden Singularitäten ein numerisches Maß. Das unterscheidet sie von der Hilbert-Kunz-Multiplizität, die für alle Ringe ein Singularitätsmaß liefert. {{:Kommutativer Ring/Relative Situation/F-Signatur/Bemerkung}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der F-Signatur |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} srd1sb5awmw0i5ogwcif4vpvfdin4g8 0 103674 1092231 1074609 2026-06-01T13:13:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092231 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Der Frobenius}} In dieser Vorlesungsreihe möchten wir Singularitäten, gegeben durch einen lokalen kommutativen Ring, mit Hilfe des Frobeniushomomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=in positiver Charakteristik| |ISZ=|ESZ= }} und mit Hilfe von Differentialoperatoren {{ Zusatz/Klammer |text=über einem Grundkörper beliebiger Charakteristik| |ISZ=|ESZ= }} verstehen. Zunächst rekapitulieren wir relevante Konzepte in positiver Charakteristik. Die neuen Ergebnisse zu den Differentialoperatoren und wie man damit eine Singularität erfassen kann beruhen auf einer gemeinsamen Arbeit mit Jack Jeffries und Luis Nuñez-Betancourt. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition|| }} Mit {{math|term= \,^e R |SZ=}} bezeichnen wir denjenigen {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ=, }} der als kommutative Gruppe einfach {{math|term= R |SZ=}} ist, dessen {{math|term= R |SZ=-}}Modulstruktur aber durch den {{math|term= e |SZ=-}}ten Frobenius festgelegt ist. Die {{math|term= e |SZ=-}}te Skalarmultiplikation {{math|term= \star_e|SZ=}} ist also {{ Relationskette/display |r \star_e f | {{defeq|}} | r^{p^e} f || || || |SZ=. }} Die Menge der {{math|term= p |SZ=-}}ten Potenzen in {{math|term= R |SZ=}} wird mit {{math|term= R^p|SZ=}} bezeichnet, das ist der Unterring von {{math|term= R |SZ=,}} der mit dem Bild des Frobeniushomomorphismus übereinstimmt. Wenn {{math|term= R |SZ=}} reduziert ist, so ist der Frobenius injektiv und man betrachtet zunehmend kleinere Unterringe. {{ Relationskette/display |R |\supseteq| R^p |\supseteq| R^{p^2} |\supseteq| \ldots || |SZ= }} Die Inklusion {{ Relationskette |R^p |\subseteq|R || || || |SZ= }} kann man auch als Erweiterung {{ Relationskette/display |R |\subseteq| R^{1/p} || || || |SZ= }} verstehen, jedes Element bekommt also eine eindeutig bestimmte {{math|term= p |SZ=-}}te Wurzel hinzu. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/F-endlich/Definition|| }} Wenn {{math|term= R |SZ=}} {{math|term= F |SZ=-}}endlich ist, so ist {{math|term= \,^e R |SZ=}} ein endlich erzeugter {{math|term= R |SZ=-}}Modul für jedes {{math|term= e |SZ=.}} Diese Eigenschaft gilt für Ringe der Form {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|p|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n]/{{ideala}} |}}_{ {{idealm|}} } |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Z mod p/Polynomring/Frei via Frobenius/Beispiel|| }} {{ Zusatz/Klammer |text= Wenn {{math|term= R |SZ=}} ein Integritätsbereich der Dimension {{math|term= d |SZ=}} ist, so ist der Rang von {{math|term= \,^e R |SZ=}} ebenfalls gleich {{math|term= q^d|SZ=.}}| |ISZ=|ESZ= }} Diese Aussage gilt im Wesentlichen auch für lokale reguläre Ringe in positiver Charakteristik. Wichtig ist, dass hiervon sogar die Umkehrung gilt. Der folgende Satz wurde 1969 von Kunz bewiesen und bildet einen wichtigen Startpunkt für die kommutative Algebra in positiver Charakteristik. {{ inputfakt |Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/Regularität und Freiheit/Kunz/Fakt|Satz|| || }} {{:Kommutativer Ring/Regularität/Syzygien und Differentialmodul/Freiheit/Bemerkung}} Wir fragen uns, inwiefern man eine Singularität dadurch beschreiben kann, dass man die Abweichung von der Freiheit von diesen Moduln in einem asymptotischen Sinn misst. {{Zwischenüberschrift|Die F-Signatur}} In der oben erwähnten Arbeit von Kunz wurde auch die sogenannte Hilbert-Kunz-Multiplizität eingeführt. Für einen lokalen Ring {{mathl|term= (R, {{idealm|}} ) |SZ=}} in positiver Charakteristik {{math|term= p |SZ=}} ist diese durch {{ Relationskette/display | e_{\rm HK} (R) || {{lim|e|\infty}} {{op:Bruch| \operatorname{length} \, (R/ {{idealm|}}^{[p^e]}) |p^{ e d } }} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{idealm|}}^{[p^e]} || {{makl| f^{p^e}: f \in {{idealm}} |}} || || || |SZ= }} definiert. Die Existenz des Limes wurde von Monsky gezeigt. Wenn {{math|term= R |SZ=}} im wesentlichen von endlichem Typ über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} und {{ Relationskette |R/{{idealm}} || K || || || |SZ= }} ist, so geht es um die {{math|term= K |SZ=-}}Dimensionen der Restklassenringe. Wegen {{ Relationskette/display | \,^e R {{tensor|R}} R/{{idealm}} |\cong| R/{{idealm}}^{[p^e]} || || || |SZ= }} kann man diese Dimensionen auch als die minimalen Erzeugendenanzahlen der Modulserie {{math|term= \,^e R |SZ=}} auffassen. Insofern ist die Hilbert-Kunz-Multiplizität ein asymptotisches Maß für diese Serie. Die genauere {{math|term= R |SZ=-}}Modulstruktur von {{math|term= \,^e R |SZ=}} im nichtregulären Fall wurde vor allem von Smith und van den Bergh, Seibert, Huneke und Leuschke, Watanabe und Yoshida studiert. Die grundlegende Beobachtung ist, dass wenn {{math|term= R |SZ=}} eine {{Anführung|milde}} Singularität repräsentiert, dass dann eine gewisse Regelmäßigkeit in der {{math|term= R |SZ=-}}Modulstruktur von {{math|term= \,^e R |SZ=}} für {{mathl|term= e \in \N|SZ=}} zu beobachten ist. Wir konzentrieren uns hier auf die sogenannte {{math|term= F |SZ=-}}Signatur. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/F-endlich/F-Signatur/Definition|| }} Die Existenz des Limits wurde von Tucker bewiesen. Die {{math|term= F |SZ=-}}Signatur ist eine reelle Zahl aus dem Intervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=.}} Es ist unbekannt, ob sie stets eine rationale Zahl ist. Der folgende Satz wurde {{ Zusatz/Klammer |text=im Kontext von Hilbert-Kunz Theorie| |ISZ=|ESZ= }} von Watanabe und Yoshida bewiesen. Er stellt bereits sicher, dass die {{math|term= F |SZ=-}}Signatur ein sinnvolles Singularitätsmaß ist. {{ inputfakt |Regulärer Ring/F-Signatur/Fakt|Satz|| || }} Eine wichtige Beispielklasse wird durch das folgende Resultat abgedeckt. {{ inputfakt |Polynomring/Gruppenoperation/Klein/F-Signatur/Fakt|Satz|| || }} Somit kann die {{math|term= F |SZ=-}}Signatur insbesondere verschiedene nichtreguläre Ringe voneinander unterscheiden. Es ist keineswegs so, dass die {{math|term= F |SZ=-}}Singularität immer eine positive Zahl ist. In einem gewissen Sinne ist dies eher eine Ausnahme. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Positive Charakteristik/Stark F-regulär/Definition|| }} Das bedeutet, dass wenn man die Skalare zunehmend auf die Unterringe {{math|term= R^q|SZ=}} einschränkt, dass nur noch gewisse Frobeniuspotenzen erlaubt sind, dass dann ein direkter Summand entsteht. Man kann die Eigenschaft auch so verstehen, dass es zu jedem {{ mathbed|term= r \in R ||bedterm1= r \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} eine additive Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |R|R || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |\varphi(r) ||1 || || || |SZ= }} gibt, die zusätzlich {{math|term= R^q-R|SZ=-}}linear für ein gewisses {{ Relationskette |q ||p^e || || || |SZ= }} ist, was bedeutet, dass links über Potenzen und rechts normal operiert wird. Es gilt also {{ Relationskette/display | \varphi (f^q g) || f \varphi(g) || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= f,g \in R |SZ=.}} Das nennt man auch {{math|term= p^{-e} |SZ=-}}linear. Im Polynomring {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}}[X_1 {{kommadots}} X_d] |SZ=}} erzeugt mit der Ausnahme einer konstanten Einheit ein Polynom {{math|term= r |SZ=}} nie einen direkten Summanden. Wenn man aber {{math|term= q |SZ=}} größer als den Grad des Polynoms macht, so kann man {{math|term= r |SZ=}} als Teil einer {{math|term= R^q|SZ=-}}Basis von {{math|term= R |SZ=}} nehmen. Dieses Konzept ist eng verwandt mit zwei Begriffen, die mit tight closure zusammenhängen, nämlich {{math|term= F |SZ=-}}regulär und schwach {{math|term= F |SZ=-}}regulär. Letzteres bedeutet, dass jedes Ideal {{math|term= I |SZ=}} mit seinem tight closure {{math|term= I^*|SZ=}} übereinstimmt, und stark {{math|term= F |SZ=-}}regulär, wenn diese Eigenschaft auch für jede Lokalisierung gilt. Für Gorenstein-Ringe stimmen die drei Konzepte überein, und es wird vermutet, dass dies immer gilt. Beispielsweise sind direkte Summanden von regulären Ringen {{math|term= F |SZ=-}}regulär. Dazu gehören normale Monoidringe und Invariantenringe. Der folgende Satz von Aberbach und Leuschke klärt die Beziehung zwischen {{math|term= F |SZ=-}}Signatur und starker {{math|term= F |SZ=-}}Regularität. {{ inputfakt |Ring/Stark F-regulär/Positive F-Signatur/Fakt|Satz|| || }} Somit liefert die {{math|term= F |SZ=-}}Signatur nur für eine kleine, aber relevante Klasse von milden Singularitäten ein numerisches Maß. Das unterscheidet sie von der Hilbert-Kunz-Multiplizität, die für alle Ringe ein Singularitätsmaß liefert. {{:Kommutativer Ring/Relative Situation/F-Signatur/Bemerkung}} In dieser Vorlesungsreihe fragen wir uns, ob es ein sinnvolles Konzept in Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=}} gibt, dass die Rolle der {{math|term= F |SZ=-}}Signatur übernehmen kann. {{:Kommutativer Ring/Relative Situation/F-Signatur/Charakteristik 0/Ansätze/Bemerkung}} In dieser Vorlesungsreihe werden wir Modulfamilien studieren, die von Differentialoperatoren herrühren. {{Zwischenüberschrift|Differentialoperatoren auf dem Polynomring}} {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition|| }} Es wird also einfach algebraisch gemäß der üblichen Formel abgeleitet. Wenn {{math|term= \nu_i |SZ=}} ein Vielfaches der Charakteristik des Körpers ist, so kann diese Ableitung {{Anführung|überraschenderweise}} {{math|term= 0 |SZ=}} ergeben. Statt {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial F|\partial_{X_i} }} |SZ=}} schreibt man auch kurz {{mathl|term= \partial_i (F) |SZ=.}} Insgesamt handelt es sich um eine {{math|term= K |SZ=-}}lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \partial_i | K[X_1 {{kommadots|}} X_n]| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || |SZ=. }} Es gilt die Produktregel {{ Zusatz/Klammer |text=oder Leibnizregel| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \partial_i(FG) || F \partial_i(G) + G \partial_i(F) || || || |SZ=. }} Diese partiellen Ableitungen kann man miteinander verknüpfen. Hierzu empfiehlt sich Monomschreibweise. Zu einem Tupel {{ Zusatz/Klammer |text=einem Multiindex| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \alpha || {{op:Zeilenvektor|\alpha_1 |\ldots|\alpha_n}} |\in| \N^n || || |SZ= }} setzen wir {{ Relationskette/display | \partial^\alpha || \partial_1^{\alpha_1} \cdots \partial_n^{\alpha_n} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \partial_i^{\alpha_i} |SZ=}} die {{math|term= \alpha_i |SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term= \partial_i |SZ=}} bezeichnet. Bei dieser Gesamtkomposition kommt es nicht auf die Reihenfolge an, was hier im algebraischen Kontext einfacher ist als der analytische {{ Faktlink |Präwort=|Satz von Schwarz|Faktseitenname= Satz von Schwarz/R/Partielle Version/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Summe {{ Relationskette/display | {{op:Betrag|\alpha|}} || \alpha_1 {{plusdots|}} \alpha_n || || || |SZ= }} nennt man die Ordnung der Hintereinanderschaltung. Zu einem Monom {{math|term= X^\beta|SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \partial^\alpha {{makl| X^\beta |}} || {{op:Bruch|\beta !|( \beta- \alpha)!}} X^{\beta - \alpha} || || || |SZ= }} wobei zu einem Tupel {{math|term= \gamma|SZ=}} die Fakultät als {{ Relationskette/display | \gamma! ||\gamma_1! \cdots \gamma_n! || || || |SZ= }} definiert wird und wobei dieser Ausdruck als {{math|term= 0 |SZ=}} zu verstehen ist, wenn {{mathl|term= \beta- \alpha |SZ=}} in einer Komponente negativ ist. Die Operatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha|\alpha!|}} |SZ=}} bilden {{math|term= X^\alpha|SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} ab und sind auch in positiver Charakteristik definiert, allerdings nicht als Hintereinanderschaltung von Derivationen. {{ inputdefinition |Polynomring/Differentialoperator/Definition|| }} Die Ordnung eines Operators ist das maximale {{math|term= {{op:Betrag|\alpha|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette |g_\alpha |\neq|0 || || || |SZ=. }} Ein solcher Differentialoperator {{math|term= E |SZ=}} ist eine {{math|term= K |SZ=-}}lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |f| E(f) {{=}} \sum_\alpha g_\alpha \cdot {{op:Bruch|\partial^\alpha| \alpha !}} (f) |SZ=. }} Er führt also polynomiale Funktionen auf dem {{math|term= K^n |SZ=}} in ebensolche Funktionen über. Im physikalischen Kontext sind die Koeffizientenfunktionen häufig nur stetige Funktionen auf einer offenen Menge {{ Relationskette |U |\subseteq| \R^n || || || |SZ=, }} und da beim Anwenden des Operators der Differenzierbarkeitsgrad heruntergeht, sind die Funktionenräume, die aus hinreichend oft differenzierbaren Funktionen bestehen und die als Definitionsbereich und als Wertebereich auftreten, nicht unbedingt identisch. Die beschriebenen Differentialoperatoren nennt man genauer lineare partielle Differentialoperatoren. Partiell bezieht sich dabei darauf, dass es mehr als eine Variable gibt {{ Zusatz/Klammer |text=sonst spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen| |ISZ=|ESZ= }} und linear darauf, dass die einzelnen {{math|term= \partial^\alpha |SZ=}} nur mit Koeffizientenfunktionen multipliziert werden, aber beispielsweise nicht quadriert werden. Insbesondere ist der Operator als Abbildung {{math|term= K |SZ=-}}linear. Ein nichtlinearer partieller Differentialoperator ist beispielsweise der Monge-Ampère-Operator {{ Math/display|term= \partial_1^2 \cdot \partial_2^2 - ( \partial_1 \partial_2)^2 |SZ=. }} Hier steht links nicht die Verknüpfung der Operatoren, sondern das Produkt! Die Wirkungsweise auf eine Funktion {{math|term= f |SZ=}} ist also {{mathl|term= \partial_1^2 (f) \cdot \partial_2^2 (f)- ( \partial_1 \partial_2 (f) )^2 |SZ=.}} {{ inputbemerkung |Differentialoperator/Algebraisch/Prominente partielle Differentialgleichungen/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Euler-Derivation/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Differentialoperatoren/Unitär/Bemerkung|| }} Wir nennen einen Differentialoperator {{math|term= E |SZ=}} unitär, wenn es ein Polynom {{math|term= f |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |E (f) ||u || || || |SZ= }} gibt, wobei {{math|term= u |SZ=}} eine Einheit ist, wenn also die partielle Differentialgleichung {{ Relationskette |E (-) ||u || || || |SZ= }} eine Lösung besitzt. Durch Übergang zu {{mathl|term= u^{-1} E |SZ=}} kann man dann die rechte Seite als {{math|term= 1 |SZ=}} ansetzen. Wegen der Existenz der Operatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha|\alpha! }} |SZ=}} gibt es in einem Polynomring viele unitäre Operatoren. Ein Operator wie {{mathl|term= X \partial_X|SZ=}} ist nicht unitär. {{Zwischenüberschrift|Differentialoperatoren auf singulären Räumen}} {{ inputbild |DoubleCone|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor=Lars H. Rohwedder |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im Weiteren soll es um Differentialoperatoren gehen, die nicht auf {{ Zusatz/Klammer |text=Funktionen auf| |ISZ=|ESZ= }} dem glatten Raum {{math|term= K^n |SZ=}} wirken, sondern auf Räumen mit Singularitäten. Als ein typisches Beispiel kann man einen Doppelkegel betrachten, den man als die Nullstellenmenge des Polynoms {{mathl|term= Z^2-X^2-Y^2 |SZ=}} betrachten kann. Nennen wir dieses geometrische Objekt {{math|term= S |SZ=,}} also {{ Relationskette/display |S || {{Mengebed|(x,y,z) \in K^3|x^2+y^2 {{=}} z^2}} || || || |SZ=. }} Es hat in der Kegelspitze {{mathl|term= (0,0,0) \in S |SZ=}} eine Singularität. In jedem anderen Punkt ist er glatt, d.h. man kann {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{mathlk|term=K=\R|SZ=}} oder {{math|term= {{CC}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} den {{ Faktlink |Präwort=|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |SZ= }} anwenden und erhält, dass außerhalb der Singularität eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit vorliegt. Es gibt also lokal in einer offenen Umgebung {{math|term= U |SZ=}} zu einem jeden Punkt {{ Relationskette |P |\neq| (0,0,0) || || || |SZ= }} einen Diffeomorphismus zu einer offenen Menge {{ Relationskette |V |\subseteq|\R^2 || || || |SZ=. }} Auf einer solchen offenen Menge wissen wir, was die Differentialoperatoren sind. Mit lokalen Koordinaten {{mathl|term= s,t|SZ=}} für {{math|term= V |SZ=}} hat man lokal die partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= \partial_s |und|term2= \partial_t |SZ= }} und somit auch ihre Verknüpfungen und Multiplikation mit Koeffizentenfunktionen zur Verfügung. Über den Diffeomorphismus überträgt sich dies zurück auf {{math|term= U |SZ=.}} Im algebraischen Kontext ist diese Überlegung etwas komplizierter und arbeitet mit regulären Ringen. Ein sinnvoller Differentialoperator auf {{ Zusatz/Klammer |text=Funktionen auf| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= S |SZ=}} muss jedenfalls auch auf jeder offenen Menge {{ Relationskette |U |\subseteq|S || || || |SZ= }} einen Differentialoperator induzieren, und wenn eine Überdeckung {{ Relationskette/display |U || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} mit offenen Mengen vorliegt und auf den {{math|term= U_i |SZ=}} jeweils ein Differentialoperator {{math|term= E_i |SZ=}} gegeben ist, die miteinander verträglich sind in dem Sinne, dass für die Einschränkungen {{ Relationskette/display | E_i {{|}}_{U_i \cap U_j } || E_j {{|}}_{U_i \cap U_j } || || |SZ= }} gilt, so sollte dies von einem Differentialoperator {{math|term= E |SZ=}} auf ganz {{math|term= U |SZ=}} herrühren. D.h. man erwartet, dass Differentialoperatoren eine Garbe bilden. Diese naheliegenden Bedingungen legen bereits ein eindeutiges Konzept für Differentialoperatoren auf {{mathl|term= S \setminus \{(0,0,0)\} |SZ=}} fest. In der Tat werden diese Operatoren bereits die Operatoren auf ganz {{math|term= S |SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=die Singularität ist normal| |ISZ=|ESZ=. }} Achtung: Die partiellen Ableitungen {{mathl|term= \partial_X,\partial_Y, \partial_Z|SZ=}} des umgebenden Raumes {{math|term= K^3 |SZ=}} ergeben keinen Sinn auf {{math|term= S |SZ=.}} Das Polynom {{mathl|term= Z^2-X^2-Y^2 |SZ=}} ist ja die Nullfunktion auf {{math|term= S |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= S |SZ=}} wurde ja als die Nullstellenmenge dieses Polynoms definiert| |ISZ=|ESZ=, }} es ist aber {{ Relationskette/display | \partial_X {{makl| Z^2-X^2-Y^2 |}} || -2X |\neq | 0 || || |SZ= }} auf {{math|term= S |SZ=.}} Wir geben nun die allgemeine algebraische Definition für einen Differentialoperator für eine beliebige kommutative {{math|term= K |SZ=-}}Algebra. Im oben erwähnten Beispiel geht es um den Restklassenring {{ Relationskette |R || K[X,Y,Z]/ {{makl| Z^2-X^2-Y^2 |}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Differentialoperator/Algebraisch/Definition|| }} Wir bemerken, dass dieses Konzept für den Polynomring über einem Körper den durch die {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha| \alpha! }} |SZ=}} frei erzeugten Modul ergibt. Eine entsprechende Beschreibung gilt für jeden regulären {{ Zusatz/Klammer |text=glatten| |ISZ=|ESZ= }} lokalen Ring. Man sagt, dass ein Differentialoperator die Ordnung {{ Zusatz/Klammer |text=genau| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= n |SZ=}} besitzt, wenn er eine Ordnung {{math|term= \leq n |SZ=,}} aber nicht {{math|term= \leq n-1 |SZ=}} besitzt. Differentialoperatoren der Ordnung {{math|term= 1 |SZ=}} sind einfach Derivationen, also {{math|term= K |SZ=-}}lineare Abbildungen {{ Abbildung |name=D |R|R || |SZ=, }} die die Leibniz-Regel {{ Relationskette/display |D (fg) ||f D(g)+ gD(f) || || || |SZ= }} erfüllen. Diese Regel kann man auch {{ Zusatz/Klammer |text=was zunächst komplizierter aussieht| |ISZ=|ESZ= }} als {{ Relationskette/display |D (fg) ||f D(g)+ gD(f)-fg D(1) || || || |SZ= }} schreiben, da eine Derivation die Konstanten auf {{math|term= 0 |SZ=}} abbildet. Diese so formulierte Regel wird auch von den Multiplikationsabbildungen erfüllt, d.h. sie gilt für alle Differentialoperatoren der Ordnung {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} Sie besitzt die folgende Verallgemeinerung. {{ inputfakt |Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt|Lemma|| || }} Wie oben erwähnt induziert ein Differentialoperator auf einem Ring im Allgemeinen keinen Differentialoperator auf einem Restklassenring. Allerdings kann man einfach charakterisieren, welche Differentialoperatoren dies erfüllen. Man beachte, dass es für Derivationen genügt, die Idealbedingung für Idealerzeuger zu überprüfen, dies gilt aber nicht für beliebige Differentialoperatoren. {{ inputfakt |Kommutativer Ring/Restklassenring/Differentialoperatoren/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|Verknüpfung von Differentialoperatoren}} Das folgende Lemma zeigt, wie die induktive Definition für Differentialoperatoren typischerweise funktioniert. {{ inputfaktbeweis |Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Fakt|Lemma|| || }} Insbesondere ist die Verknüpfung von {{math|term= n |SZ=}} Derivationen ein Differentialoperator der Ordnung {{math|term= n |SZ=.}} Es muss aber keineswegs jeder Operator der Ordnung {{math|term= n |SZ=}} ein Verknüpfung von {{math|term= n |SZ=}} Derivationen sein. {{ inputdefinition |Differentialoperator/Algebraisch/Ring/Definition|| }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= D(R,R) |SZ=}} ein Unterring des Endomorphismenringes {{mathl|term= {{op:End|R|}} |SZ=.}} Die Identität, also die Multiplikation mit {{math|term= 1 |SZ=,}} ist das neutrale Element dieses Ringes. Einfache Beispiele zeigen, dass dieser Ring nicht kommutativ ist. Es ist im Allgemeinen schwierig, sich einen Überblick über alle Differentialoperatoren einer {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{math|term= R |SZ=}} zu verschaffen. Wir werden uns im Rahmen dieser Vorlesungen auf die folgenden Fragen konzentrieren. {{ Aufzählung3 |Wie kann man für Monoidringe die Differentialoperatoren beschreiben? |Wie kann man Differentialoperatoren algorithmisch beschreiben? |Kann man über die Anzahl von unitären Differentialoperatoren eine sinnvolle Aussage machen und mit ihnen eine Singularität quantitativ erfassen? }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der noetherschen kommutativen Ringe in positiver Charakteristik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lug7ngqjftwt14ico6exbpu5kqbwrcx 0 103687 1092233 1018928 2026-06-01T13:13:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092233 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Direkte Summanden}} Wir wollen Ringe über die Eigenschaft erfassen, ob es in ihnen {{Anführung|viele}} {{ Zusatz/Klammer |text=in einem asymptotischen Sinn| |ISZ=|ESZ= }} unitäre Differentialoperatoren gibt. Die naheliegende, zur starken {{math|term= F |SZ=-}}Regularität analoge Eigenschaft in einem Integritätsbereich ist, dass es zu jedem von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Element einen Differentialoperator {{math|term= E |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |E(f) ||1 || || || |SZ= }} gibt. Solche Operatoren nennen wir unitär. Im folgenden zeigen wir zunächst, dass sich diese Eigenschaften auf direkte Summanden überträgt. Diese Beobachtungen können für auf Invariantenringe und auf normale Monoidringe anwenden. {{:Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt}} Als ein konkreteres Beispiel betrachten wir {{ Zusatz/Klammer |text=torische| |ISZ=|ESZ= }} Monoidringe, wo wir die {{ Zusatz/Klammer |text=unitären| |ISZ=|ESZ= }} Differentialoperatoren explizit beschreiben können. {{Zwischenüberschrift|Monoidringe}} Eine wichtige Beispielklasse von im Allgemeinen singulären Ringen wird durch Monoidringe gegeben. Diese rühren von einer gewissen kombinatorischen Struktur her und sind ein Hauptgegenstand der kombinatorischen kommutativen Algebra bzw. der torischen Geometrie. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Definition||R=K }} Monoidringe zeichnen sich unter anderem dadurch aus, dass sie durch besonders einfache Gleichungen beschrieben werden, nämlich durch binomiale Gleichungen, das sind Gleichungen der Form {{ Relationskette/display |X^\alpha ||X^\beta || || || |SZ=. }} Das in der letzten Vorlesung erwähnte Beispiel {{ Relationskette |Z^2 ||X^2+Y^2 || || || |SZ= }} ist nach einer Variablentransformation {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= {{CC}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} äquivalent zur binomialen Gleichung {{ Relationskette/display |Z^2 || \tilde{X} \tilde{Y} || || || |SZ=. }} Wir beschränken uns auf Monoidringe zu einem endlich erzeugten, torsionsfreien Monoid, das der Kürzungsregel genügt. Das ist im Wesentlichen die torische Situation. Für einen solchen Monoidring wollen wir die Differentialoperatoren verstehen und insbesondere die unitären Operatoren durch eine kombinatorische Invariante quantitativ erfassen, wobei sich dieser Zusammenhang erst später ergeben wird. Wegen der Beziehung {{ Relationskette/display |M |\subseteq| \Gamma M |\cong| \Z^d || || |SZ= }} gilt für den Quotientenkörper {{ Relationskette/display |Q (K[M]) || Q (K[\Z^d]) || Q(K[\N^d]) || Q( K[X_1 {{kommadots|}} X_n]) || K(X_1 {{kommadots|}} X_n) |SZ=, }} sodass man die Differentialoperatoren auf {{math|term= K[M] |SZ=}} grundsätzlich auch darüber beschreiben kann. Dies führt aber zu ziemlich unübersichtlichen Beschreibungen. Es sei ein normales torisches positives Monoid in der Form {{ Relationskette/display |M || C \cap \Gamma || || || |SZ= }} mit einem positiven rationalen polyedrischen Kegel und dem Gitter {{ Zusatz/Klammer |text=das Differenzengitter zu {{math|term= M |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | \Gamma || \Z M || || || |SZ= }} gegeben. Es sei {{math|term= d |SZ=}} die Dimension von {{math|term= \Gamma|SZ=}} und seien {{mathl|term= F_1 {{kommadots|}} F_r |SZ=}} die Facetten von {{math|term= C |SZ=.}} Zu jeder Facette {{math|term= F_i |SZ=}} gibt es eine integrale Linearform {{ Abbildung/display |name= \ell_i |\Gamma| \Z || |SZ=, }} deren Kern {{math|term= F_i |SZ=}} enthält, die im Innern des Kegels positiv ist und die surjektiv ist. Diese Daten, die durch den Kegel festgelegt sind, geben Anlass zu zwei charakteristischen Polytopen bzw. deren Volumina. Zum einen wird durch {{ Relationskette/display | \ell_i || 1 || || || |SZ= }} eine zur Facette {{math|term= F_i |SZ=}} parallele Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese parallelen Hyperebenen begrenzen ein {{ Zusatz/Klammer |text=kompaktes| |ISZ=|ESZ= }} Polytop, das wir das {{math|term= F |SZ=-}}Polytop nennen. Dessen Volumen nennen wir die {{ Zusatz/Klammer |text=kombinatorische| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= F |SZ=-}}Signatur des Kegels. Es gilt der folgende Satz. {{ inputfakt |Monoidring/Torisch/F-Signatur/Beschreibung/Fakt|Satz|| || }} Zum andern wird durch {{ Relationskette/display | \ell_1 {{plusdots}} \ell_r || 1 || || || |SZ= }} eine Hyperebene festgelegt. Die Facettenhyperebenen und diese Hyperebenen begrenzen wieder ein {{ Zusatz/Klammer |text=kompaktes| |ISZ=|ESZ= }} Polytop. Das {{math|term= d!|SZ=-}}fache dessen Volumen nennen wir die {{math|term= D |SZ=-}}Signatur des Kegels. Es ist nicht unmittelbar klar, ob man diese Zahl ebenfalls als Invariante der zugehörigen Monoide bzw. Monoidringe beschreiben kann und was ihre ringtheoretische Signifikanz ist. {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/A_n/Kegelrealisierung/Signaturen/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Polyedrischer Kegel/Simplizial/Definition|| }} Im zweidimensionalen ist jeder Kegel simplizial, nämlich durch zwei Kanten begrenzt, in höherer Dimension ist dies aber keineswegs immer der Fall. {{ inputfakt |Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signaturen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Kommutative Monoidringe/Quadrik/Kegelrealisierung/Signaturen/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|Differentialoperatoren auf Monoidringen}} Wir fragen uns, ob es eine ringtheoretische Interpretation für diese Signatur gibt. Dazu müssen wir die {{ Zusatz/Klammer |text=unitären| |ISZ=|ESZ= }} Differentialoperatoren auf den Monoidringen verstehen. Dafür ist es hilfreiche, diese als ein direkter Summand eines Polynomringes aufzufassen. Zur Orientierung erwähnen wir für das Monoid {{math|term= \N^n |SZ=}} bzw. den Monoidring {{ Relationskette/display |K [\N^n] || K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} folgende Beobachtung. Wegen {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} {{makl| X^\beta |}} || {{op:Bruch|\beta !|\alpha! ( \beta- \alpha)!}} X^{\beta - \alpha} || || || |SZ= }} ist die Wirkungsweise der Operatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} |SZ=}} auf einem Tupel {{math|term= \beta|SZ=}} im Wesentlichen einfach die Verschiebung in Richtung {{math|term= - \alpha|SZ=,}} wobei das Ergebnis als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren ist, falls man außerhalb von {{math|term= \N^n |SZ=}} landet. D.h. dass abgesehen von den Vorfaktoren die Differentialoperatoren {{mathl|term= {{op:Bruch|\partial^\alpha |\alpha!}} |SZ=,}} die ja die Basiselemente für alle Differentialoperatoren sind, eine unmittelbare kombinatorische Beschreibung besitzen. {{:Monoidring/Normal/Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt|zusatz1=Für normale torische Monoide gibt es also {{Anführung|kombinatorische Operatoren}} wie im Fall {{math|term= \N^n |SZ=.}} Diese verschieben im Wesentlichen {{ Zusatz/Klammer |text=es kommen eben noch die Vorfaktoren hinzu| |ISZ=|ESZ= }} die Monome in eine bestimmte Richtung {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich die negative Richtung zu einem Monom des Monoids| |ISZ=|ESZ= }} und das Ergebnis ist als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren, wenn das Verschiebungsergebnis außerhalb des Monoids liegt.}} Es wird sich später herausstellen, dass die {{math|term= D |SZ=-}}Signatur {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ihr Kehrwert| |ISZ=|ESZ= }} ein quantitatives Maß dafür ist, wie sich die Ordnungen der unitären Differentialoperatoren zu den {{math|term= M_+|SZ=-}}Ordnungen von Monomen verhalten. Die {{math|term= M_+|SZ=-}}Ordnung eines Monoms {{math|term= \nu|SZ=}} ist das maximale {{math|term= k |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |\nu |\in| k M_+ || {{Mengebed| \gamma_1 {{plusdots |}} \gamma_k | \gamma_i \in M_+ }} || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Der Modul der Hauptteile}} Jede Derivation {{ Abbildung |name=E |R|R || |SZ= }} faktorisiert mittels einer Linearform durch den Modul der Kählerdifferentiale {{mathl|term= \Omega_{R{{|}}K} |SZ=.}} Eine entsprechende Konstruktion gibt es für beliebige Differentialoperatoren. {{ inputdefinition |Algebra/Modul der Hauptteile/Definition|| }} Die {{math|term= R |SZ=-}}Modulstruktur ist durch die Multiplikation in der ersten Komponenten gegeben. Wenn {{math|term= R |SZ=}} von endlichem Typ it, so ist der Modul der Hauptteile endlich erzeugt. {{ inputdefinition |Algebra/Modul der Hauptteile/Universeller Operator/Definition|| }} Der Modul der Hauptteile wird durch die Bilder {{ mathbed|term= d^n(f) ||bedterm1= f \in R ||bedterm2= |SZ=, }} als {{math|term= R |SZ=-}}Modul erzeugt. Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar {{mathl|term= ( {{op:Hauptteilmodul|R|K|n}} ,d^n) |SZ=.}} Dieser Modul ist eine Verallgemeinerung des Moduls der Kählerdifferentiale. Die universelle Eigenschaft, die dieser für die Derivationen besitzt, überträgt sich auf den Modul der Hauptteile. {{ inputfakt |Algebra/Modul der Hauptteile/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Lokale Algebra/Unitärer Operator/Modul der Hauptteile/Beschreibung/Fakt|Lemma|| || }} Ein unitärer Operator der Ordnung {{math|term= \leq n |SZ=}} ist also einfach ein freier Summand vom Rang {{math|term= 1 |SZ=}} von {{mathl|term= {{op:Hauptteilmodul|R|K|n}} |SZ=.}} Bei einer Zerlegung {{ Relationskette/display | {{op:Hauptteilmodul|R|K|n}} ||R^a \oplus M || || || |SZ= }} liegt eine unabhängige Familie von {{math|term= a |SZ=}} unitären Differentialoperatoren vor. In der folgenden Definition wird somit die Größe von solchen Familien gemessen. {{ inputdefinition |Lokale Algebra/Im wesentlichen von endlichen Typ/Differentielle Signatur/Definition|| }} Die differentielle Signatur ist eine reelle Zahl aus dem Intervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=.}} Es ist unbekannt, ob sie stets eine rationale Zahl ist. Für einen regulären Ring hat sie den Wert {{math|term= 1 |SZ=,}} da in diesem Fall die Hauptteilmoduln frei sind; ob die Umkehrung gilt, ist ein wichtiges offenes Problem {{ Zusatz/Klammer |text=man muss jedenfalls normal und eventuell Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=}} voraussetzen| |ISZ=|ESZ=. }} Ein weiteres offenes Problem ist, ob der Limes superior ein Limes ist. Für Integritätsbereiche ist der Rangbegriff unproblematisch und hängt nur von der Dimension des Ringes ab, und zwar ist er gleich {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|d+n|d}} |SZ=.}} Asymptotisch betrachtet muss man also durch {{mathl|term= n^d/d!|SZ=}} dividieren. {{ inputfakt |Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Exakte Sequenz/Fakt|Lemma|| || }} Mit der kurzen exakten Sequenz {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Hom|{{op:Hauptteilmodul|R|K|n}}| {{idealm|}}|R }} = \operatorname{Diff}^n (R, {{idealm|}} ) \longrightarrow {{op:Hom|{{op:Hauptteilmodul|R|K|n}}| R|R }} = \operatorname{Diff}^n (R,R) \longrightarrow Q_n \longrightarrow 0 |SZ= }} kann man die relevanten Zahlen als die {{math|term= R/{{idealm}} |SZ=-}}Dimension von {{math|term= Q_n |SZ=}} bestimmen. Es geht also um die Differentialoperatoren modulo denjenigen Differentialoperatoren, die im maximalen Ideal landen. Achtung, dies sind nicht die {{math|term= R/{{idealm}} |SZ=-}}wertigen Differentialoperatoren {{mathl|term= \operatorname{Diff}^n (R,R/{{idealm}}) |SZ=,}} sondern nur eine bestimmte Teilmenge davon. {{Zwischenüberschrift|Die Jacobi-Taylor-Matrizen}} Wir bezeichnen zu einem Monom {{mathl|term= \lambda \in \N^k |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \partial^\lambda || {{makl| \partial_{X_1} |}}^{\lambda_1} {{circdots}} {{makl| \partial_{X_k} |}}^{\lambda_k} || {{makl| \partial_{1} |}}^{\lambda_1} {{circdots}} {{makl| \partial_{k} |}}^{\lambda_k} || || |SZ= }} diesen Differentialoperator auf dem Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_k] |SZ=.}} Der Ausdruck {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|\partial^\lambda|\lambda!}} || {{op:Bruch|1|\lambda!}} {{makl| \partial_{X_1} |}}^{\lambda_1} {{circdots}} {{makl| \partial_{X_k} |}}^{\lambda_k} || || || |SZ= }} ist ebenfalls ein Differentialoperator. Ein Ausdruck der Form {{math|term= \partial^\lambda|SZ=,}} wobei eine Komponente von {{math|term= \lambda|SZ=}} negativ ist, ist als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren. Zur algorithmischen Erfassung von {{ Zusatz/Klammer |text=unitären| |ISZ=|ESZ= }} Differentialoperatoren dienen die folgenden Aussagen {{ Zusatz/Klammer |text=sie wurden ähnlich auch von Barajas und Duarte entwickelt| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Fakt|Lemma|| || }} Für eine endlich erzeugte {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{ Relationskette/display |R ||K[X_1 {{kommadots}} X_k]/(F_1 {{kommadots}} F_m) || || || |SZ= }} kann man den {{math|term= R |SZ=-}}Modul der Kählerdifferentiale über die exakte Sequenz {{ Math/display|term= R^m \longrightarrow R^k \longrightarrow \Omega_{R {{|}} K} \longrightarrow 0 |SZ= }} beschreiben, wobei die Basiselemente {{math|term= e_i |SZ=}} auf {{math|term= dx_i |SZ=}} gehen und links die transponierte Jacobimatrix steht. Entsprechende Darstellungen für {{mathl|term= {{op:Hauptteilmodul|R|K|n}} |SZ=}} werden durch die folgenden Konstruktionen geliefert. {{ inputdefinition |Polynome/Jacobi-Taylor-Matrix/Definition|| }} Diese Matrizen bezeichnen wir mit {{math|term= J_n |SZ=.}} Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist. In drei Variablen und einer Gleichung {{math|term= F |SZ=}} sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus {{ Zusatz/Klammer |text=über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch {{math|term= F |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |u=0 |ux= \partial_X (F) |uy= \partial_Y (F) |uz= \partial_Z (F) |uxx= {{op:Bruch|1|2}} \partial_X \partial_X (F) |uxy= \partial_X \partial_Y (F) |uxz= \partial_X \partial_Z (F) |uyy= {{op:Bruch|1|2}} \partial_Y \partial_Y (F) |uyz= \partial_Y \partial_Z (F) |uzz= {{op:Bruch|1|2}} \partial_Z \partial_Z (F) }} }} Zu {{ Relationskette/display |F ||X^2+Y^2+Z^2 || || || |SZ= }} sieht dies folgendermaßen aus. {{ Math/display|term= {{op:Hauptteilmatrix 3 Variablen 2 |ux= 2X |uy= 2Y |uz=2Z |uxx= 1 |uxy=0 |uxz= 0 |uyy= 1 |uyz= 0 |uzz= 1 }} }} {{ inputfakt |Polynome/Hauptteilmodul/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfakt |Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Partielle Ableitungen im Polynomring/Fakt|Korollar|| || }} Ein Differentialoperator auf einem lokalen Ring ist genau dann unitär, wenn ein {{math|term= a_\lambda|SZ=}} eine Einheit ist. Ein Element des Linkskerns im obigen Beispiel ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|0|1|0|0|2X|2Y|2Z|-2X|0|-2X|}} |SZ=, }} der zugehörige Operator ist {{ Math/display|term= \partial_X + X \partial_X^2 + 2 Y \partial_X \partial_Y+ 2Z \partial_X \partial_Z -X \partial_Y^2 -X \partial_Z^2 |SZ=. }} Dieser ist unitär der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=}} und schickt {{math|term= X |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der unitären Differentialoperatoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9q47pdyzunzutmlwd9gtk78q3pjvxmd 0 104084 1092067 1018495 2026-06-01T12:46:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092067 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Einen im Dezimalsystem gegebenen Dezimalbruch kann man einfach durch {{math|term= 10 |SZ=}} teilen, indem man einfach das Komma um eine Stelle nach links verschiebt. Die Zahl {{math|term= 10 |SZ=,}} die die Grundlage des Dezimalsystems ist, hat die beiden Teiler {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5 |SZ=. }} Durch diese beiden Zahlen kann man ebenfalls teilen und erhält wieder einen Dezimalbruch {{ Zusatz/Klammer |text=was für andere Primzahlen nicht stimmt| |ISZ=|ESZ=. }} Ein wichtiger Gesichtspunkt in diesem Zusammenhang ist, dass die Division durch {{math|term= 2 |SZ=}} das gleiche ist wie Multiplikation mit {{ Relationskette | {{op:Bruch|1|2}} || {{op:Bruch|5|10}} || 0{,}5 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also im Wesentlichen Multiplikation mit {{math|term= 5 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und dass die Division durch {{math|term= 5 |SZ=}} das gleiche ist wie die Multiplikation mit {{ Relationskette | {{op:Bruch|1|5}} || {{op:Bruch|2|10}} || 0{,}2 || || |SZ=. }} Daher sind diese Divisionen im Dezimalsystem algorithmisch besonders einfach durchzuführen. Eine Besonderheit liegt darin, dass die Ziffern des Ergebnisses nur von der entsprechenden und von der um eins höherstelligen Ziffer des Dividenden abhängen. Man braucht keinen Übertrag und kann an jeder beliebigen Stelle anfangen. {{ inputverfahren |Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Verfahren|| }} Da die Ziffern {{math|term= a_i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} liegen, sind die {{math|term= b_i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 4 |SZ= }} und die {{math|term= r_i |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ=. }} Ohne die Division mit Rest kann man diesen Algorithmus auch mit der folgenden Fallunterscheidung darstellen. Es ist {{ Relationskette/display |c_i || \begin{cases} {{op:Bruch|a_i |2}},\, \text{ falls } a_i \text{ und } a_{i+1} \text{ gerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i |2}} +5,\, \text{ falls } a_i \text{ gerade und } a_{i+1} \text{ ungerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i-1|2}},\, \text{ falls } a_i \text{ ungerade und } a_{i+1} \text{ gerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i-1|2}} +5,\, \text{ falls } a_i \text{ und } a_{i+1} \text{ ungerade} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Kurz gesagt: Man nehme von {{math|term= a_i |SZ=}} die abgerundete Hälfte und erhöhe dies um {{math|term= 5 |SZ=,}} falls die davorstehende Ziffer ungerade ist. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_{i+1}a_i |SZ=}} durch {{math|term= 2 |SZ=}} und schreibe davon die Einerziffer an die {{math|term= i |SZ=-}}te Stelle hin {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden| |ISZ=|ESZ=. }} Man muss also nur zweistellige Zahlen durch {{math|term= 2 |SZ=}} dividieren können. {{ inputbeispiel |Dezimalbruch/Halbierung/1/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis2 |Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma|| || }} Auch für die Division durch {{math|term= 5 |SZ=}} gibt es einen entsprechenden Algorithmus. {{ inputverfahren |Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Verfahren|| }} Kurz gesagt: Man nehme von {{math|term= a_i |SZ=}} das abgerundete Fünftel {{ Zusatz/Klammer |text=das {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ= }} und addiere das Doppelte des Fünferrestes der Ziffer {{math|term= a_{i+1} |SZ=}} dazu. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_{i+1}a_i |SZ=}} durch {{math|term= 5 |SZ=}} und schreibe davon die Einerziffer hin {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden| |ISZ=|ESZ=. }} Man muss also nur zweistellige Zahlen durch {{math|term= 5 |SZ=}} dividieren können. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9ixcqwkghk1o2iqmyqmyux6jmr7z4ya 1092178 1092067 2026-06-01T13:04:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092178 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Einen im Dezimalsystem gegebenen Dezimalbruch kann man einfach durch {{math|term= 10 |SZ=}} teilen, indem man einfach das Komma um eine Stelle nach links verschiebt. Die Zahl {{math|term= 10 |SZ=,}} die die Grundlage des Dezimalsystems ist, hat die beiden Teiler {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5 |SZ=. }} Durch diese beiden Zahlen kann man ebenfalls teilen und erhält wieder einen Dezimalbruch {{ Zusatz/Klammer |text=was für andere Primzahlen nicht stimmt| |ISZ=|ESZ=. }} Ein wichtiger Gesichtspunkt in diesem Zusammenhang ist, dass die Division durch {{math|term= 2 |SZ=}} das gleiche ist wie Multiplikation mit {{ Relationskette | {{op:Bruch|1|2}} || {{op:Bruch|5|10}} || 0{,}5 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also im Wesentlichen Multiplikation mit {{math|term= 5 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und dass die Division durch {{math|term= 5 |SZ=}} das gleiche ist wie die Multiplikation mit {{ Relationskette | {{op:Bruch|1|5}} || {{op:Bruch|2|10}} || 0{,}2 || || |SZ=. }} Daher sind diese Divisionen im Dezimalsystem algorithmisch besonders einfach durchzuführen. Eine Besonderheit liegt darin, dass die Ziffern des Ergebnisses nur von der entsprechenden und von der um eins höherstelligen Ziffer des Dividenden abhängen. Man braucht keinen Übertrag und kann an jeder beliebigen Stelle anfangen. {{ inputverfahren |Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Verfahren|| }} Da die Ziffern {{math|term= a_i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 9 |SZ= }} liegen, sind die {{math|term= b_i |SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 4 |SZ= }} und die {{math|term= r_i |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ=. }} Ohne die Division mit Rest kann man diesen Algorithmus auch mit der folgenden Fallunterscheidung darstellen. Es ist {{ Relationskette/display |c_i || \begin{cases} {{op:Bruch|a_i |2}},\, \text{ falls } a_i \text{ und } a_{i+1} \text{ gerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i |2}} +5,\, \text{ falls } a_i \text{ gerade und } a_{i+1} \text{ ungerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i-1|2}},\, \text{ falls } a_i \text{ ungerade und } a_{i+1} \text{ gerade} \, ,\\ {{op:Bruch|a_i-1|2}} +5,\, \text{ falls } a_i \text{ und } a_{i+1} \text{ ungerade} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Kurz gesagt: Man nehme von {{math|term= a_i |SZ=}} die abgerundete Hälfte und erhöhe dies um {{math|term= 5 |SZ=,}} falls die davorstehende Ziffer ungerade ist. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_{i+1}a_i |SZ=}} durch {{math|term= 2 |SZ=}} und schreibe davon die Einerziffer an die {{math|term= i |SZ=-}}te Stelle hin {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden| |ISZ=|ESZ=. }} Man muss also nur zweistellige Zahlen durch {{math|term= 2 |SZ=}} dividieren können. {{ inputbeispiel |Dezimalbruch/Halbierung/1/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis2 |Dezimalbruch/Halbierung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma|| || }} Auch für die Division durch {{math|term= 5 |SZ=}} gibt es einen entsprechenden Algorithmus. {{ inputverfahren |Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Verfahren|| }} Kurz gesagt: Man nehme von {{math|term= a_i |SZ=}} das abgerundete Fünftel {{ Zusatz/Klammer |text=das {{ mathkor|term1= 0 |oder|term2= 1 |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ= }} und addiere das Doppelte des Fünferrestes der Ziffer {{math|term= a_{i+1} |SZ=}} dazu. Oder: Man teile jeweils die zweistellige Zahl {{mathl|term= a_{i+1}a_i |SZ=}} durch {{math|term= 5 |SZ=}} und schreibe davon die Einerziffer hin {{ Zusatz/Klammer |text=die Zehnerziffer muss nicht ausgerechnet werden| |ISZ=|ESZ=. }} Man muss also nur zweistellige Zahlen durch {{math|term= 5 |SZ=}} dividieren können. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Dezimalbruch/Fünftelung/Algorithmus/Korrektheit/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dezimalbrüche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mhn6gvirj632hcynsaj2gmovlyfon38 0 104495 1092303 1074633 2026-06-01T13:24:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092303 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Hyperfläche/Jacobiideal/Definition|| }} Das Jacobiideal ist ein Ideal im Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=.}} Für einen Punkt {{ Relationskette |P || {{op:Zeilenvektor|a_1 | \ldots | a_n}} |\in| V || || |SZ= }} betrachtet man das Jacobiideal auch in der Lokalisierung {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{ {{makl| X_1-a_1 {{kommadots|}} X_n-a_n |}} } |SZ=.}} Da wir an lokalen Eigenschaften interessiert sind, ist diese Interpretation wichtiger. {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/Jacobiideal/Einheitsideal/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |John Milnor|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=[[w:John Milnor|John Milnor]] |Autor=Gert-Martin Greuel |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Hyperfläche/Jacobiideal/Milnorzahl/Definition|| }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Hyperfläche/Jacobiideal/Einheitsideal/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= P |SZ=}} genau dann ein glatter Punkt der Hyperfläche, wenn seine Milnorzahl gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Insofern ist die Milnorzahl ein sinnvolles Singularitätsmaß. {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Global isolierte Singularität/Globale und lokale Milnoralgebra/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Hyperfläche/Fermat-Brieskorn/Milnorzahl/Beispiel|| }} Die Milnorzahl kann unendlich sein. {{ inputbeispiel |Hyperfläche/Variablenprodukt/Milnorzahl/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/Isolierte Singularität/Milnorzahl/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} g6h5f2og6tzazw0ar31qg5d5eqsgikt 0 104690 1092304 1074634 2026-06-01T13:24:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092304 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Abbildung |name=f |U| {{CC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=n| |SZ= }} mit {{ Relationskette |U |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |offen| |Kontext=| |SZ= }} und einem einzigen {{ Definitionslink |kritischen Punkt| |Kontext=| |SZ= }} im Nullpunkt {{mathl|term= 0 \in U |SZ=.}} Dies bedeutet insbesondere, dass die {{Anführung|benachbarten Fasern}} {{ mathbed|term= f^{-1}(t) ||bedterm1= t \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} Mannigfaltigkeiten sind. Das Bild von {{math|term= f |SZ=}} umfasst einen offenen Ballumgebung {{mathl|term= {{op:Offener Ball|0|\epsilon}} |SZ=}} des Nullpunktes von {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}} sodass die eingeschränkte Abbildung {{ Abbildung/display |name= f | f^{-1}( {{op:Offener Ball|0|\epsilon}} ) | {{op:Offener Ball|0|\epsilon}} || |SZ= }} surjektiv ist. Wir nennen {{mathl|term= f^{-1}( {{op:Offener Ball|0|\epsilon}} ) |SZ=}} wieder {{math|term= U |SZ=.}} Wir betrachten nun offene Bälle {{ Relationskette/display | {{op:Offener Ball|0|\delta}} |\subseteq| U || || || |SZ=. }} Der Rand von einem solchen Ball, also die reell {{mathl|term= 2n-1 |SZ=-}}dimensionale {{ Definitionslink |Sphäre| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= S^{2n-1} (0, \delta) |SZ=}} mit Mittelpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} und Radius {{math|term= \delta|SZ=,}} schneidet die Fasern {{ mathbed|term= f^{-1} (t) ||bedterm1= t \in {{op:Offener Ball|0|\epsilon}} ||bedterm2= |SZ=. }} Indem man den Radius {{math|term= \delta|SZ=}} verkleinert, kann man erreichen, dass diese Schnitte transversal sind und dass es sich daher um {{mathl|term= 2n-3 |SZ=-}}dimensionale reelle kompakte {{ Zusatz/Klammer |text=als abgeschlossene Teilmenge der kompakten Sphäre| |ISZ=|ESZ= }} Mannigfaltigkeiten handelt. Dies gilt auch für {{ Relationskette |t || 0 || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Umgebungsrand/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Achsenkreuz/C/Umgebungsrand/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaserung/Milnorfaser/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Achsenkreuz/C/Milnorfaser/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaserung/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Obwohl die Fasern in der Milnorfaser zueinander diffeomorph sind, ist die Milnorfaserung im Allgemeinen insgesamt nicht trivial. {{ inputbild |Topological Rose|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Ein Bouquet bestehend aus vier eindimensionalen Sphären. |Autor=r Jim.belk |Benutzer= |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Sphären/Bouquet/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/Isolierter kritischer Punkt/Milnorfaser/Homotopietyp/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9w6tsbla8tuhix24w165say41yqgfpl 0 104729 1092298 1009546 2026-06-01T13:23:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092298 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Definition|| }} Es liegt dann ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru| V_1 | V_2 | {{CC|}} |abb12= \varphi |abb13= f_1 |abb23= f_2 |}} vor. Man beachte, dass man dabei die offenen Definitionsbereiche durch kleinere ersetzen darf. Typischerweise wird diese Verkleinerung stillschweigend durchgenommen, man ändert die Bezeichnung der offenen Menge nicht. Statt von einer biholomorphen Abbildung spricht man auch von einer {{ Zusatz/Klammer |text=holomorphen| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Transformation|SZ=}} oder einem {{ Zusatz/Klammer |text=holomorphen| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Koordinatenwechsel|SZ=.}} Von Rechtsäquivalenz spricht man, da die vermittelnde biholomorphe Abbildung rechts steht. Mit der Umkehrabbildung {{math|term= \varphi^{-1} |SZ=}} gilt dann die Beziehung {{ Relationskette | f_1 \circ \varphi^{-1} || f_2 || || || |SZ=, }} was die Symmetrie dieses Konzeptes sicherstellt. Insgesamt liegt eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Paare {{mathl|term= (U,f) |SZ=}} bzw. auf der Menge der holomorphen Abbildungskeime vor. Wenn man sich nicht auf den Nullpunkt konzentrieren möchte, so gilt eine entsprechende Definition, bei der dann {{math|term= \varphi|SZ=}} den Punkt {{math|term= P_1 |SZ=}} auf den Punkt {{math|term= P_2 |SZ=}} abbilden muss und wo im Bildraum {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} noch die Bildpunkte ineinander verschoben werden. {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Regulärer Punkt/Fakt|Lemma|| || }} Insofern ist das Konzept Rechtsäquivalenz hauptsächlich für kritische Punkte von holomorphen Funktionen relevant. Im rein algebraischen Kontext gibt es keinen Satz über implizite Abbildungen und dort gibt es im Allgemeinen keinen Isomorphismus zwischen regulären Ringen gleicher Dimension. {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Biholmorphe Nullstellenmenge/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Holomorphe Funktion/1 Variable/Rechtsäquivalent/Potenz/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Potenzreihen/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Rechtsäquivalenz/Jacobiideal/Milnorzahl/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gsky7nobym09n1jbwo6xq987c076am1 0 104744 1092299 982530 2026-06-01T13:23:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092299 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine holomorphe Funktion {{ Abbildung |name=f |U| {{CC|}} || |SZ=, }} {{ Relationskette |0 |\in | U |\subseteq| {{CC|}}^n || || |SZ= }} offen, besitzt im Nullpunkt eine {{ Definitionslink |Taylorentwicklung| |Kontext=n| |SZ=, }} die auf einer offenen Umgebung des Nullpunktes konvergiert und dort die Funktion darstellt. Durch Verkleinern können wir direkt annehmen, dass auf {{math|term= U |SZ=}} Konvergenz vorliegt. Insbesondere beschreibt die Taylorreihe die Funktion lokal vollständig und daher müssen auch Singularitätskonzepte wie Rechtsäquivalenz daraus ablesbar sein. Die Taylorreihe hat in Monomschreibweise die Form {{ Relationskette/display | \sum_\nu a_\nu X^\nu || \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{makl| \sum_{ {{op:Tupelgrad|\nu}} {{=}} k} a_\nu X^\nu |}} || || || |SZ=. }} Die abgebrochene Taylorentwicklung {{ Math/display|term= \sum_{k {{=}} 0}^d {{makl| \sum_{ {{op:Tupelgrad|\nu}} {{=|}} k} a_\nu X^\nu |}} |SZ= }} heißt das Taylorpolynom von {{math|term= f |SZ=}} der Ordnung {{math|term= d |SZ=.}} Wir bezeichnen es mit {{mathl|term= T_d(f) |SZ=.}} Wenn wir, wie häufig, {{ Relationskette |f(0) || 0 || || || |SZ= }} voraussetzen, so ist {{ Relationskette/display |T_0(f) || a_0 || 0 || || |SZ= }} und wenn zusätzlich der Nullpunkt ein kritischer sein soll, so ist {{ Relationskette/display |T_1(f) || 0 || || || |SZ=. }} Wenn für zwei holomorphe Funktionen {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} die Taylorpolynome der Ordnung {{math|term= r |SZ=}} übereinstimmen {{ Zusatz/Klammer |text=was eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Potenreihen ist| |ISZ=|ESZ=, }} so erwartet man, dass auch sonst gewisse Eigenschaften der Funktionen bzw. der durch sie gegebenen singulären Hyperflächen übereinstimmen. {{ inputdefinition |Holomorphe Funktion/Endlich bestimmt/Definition|| }} Der folgende Satz heißt Satz von Mather. {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt|Satz|| || }} Daraus erhalten wir die folgenden Spezialfälle. {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall 0/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Spezialfall m/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5ppjqq12601zrjk7ly4d90obln1wsv0 0 104808 1092542 1074747 2026-06-01T14:04:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092542 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Draft0|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Kalan |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die wohl einfachste Art einer Singularität liegt vor, wenn sich verschiedene Standardunterräume {{ Relationskette |K^d | \subseteq |K^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=auch unterschiedlicher Dimension| |ISZ=|ESZ=, }} die jeweils von einer Auswahl an Standardvektoren erzeugt werden, im Nullpunkt treffen. Dazu gehören das Achsenkreuz in der Ebene, das Achsenkreuz im Raum, die Vereinigung der drei Achsenebenen im Raum, die Vereinigung einer Ebene mit einer dazu senkrechten Geraden. Diese geometrischen Objekte sind dadurch gegeben, dass sie aus gewissen Teilachsenräumen in einem gegebenen affinen Raum bestehen. Solche Konfigurationen erfassen wir hier mit einem einheitlichen Konzept, das auch in der algebraischen Topologie, der Kombinatorik und der kombinatorischen kommutativen Algebra wichtig ist. {{ inputdefinition |Simplizialer Komplex/Definition|| }} Die zugrunde liegende Menge {{math|term= V |SZ=}} nennt man auch die Menge der {{Stichwort|Ecken|msw=Ecke|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=vertices| |ISZ=|ESZ= }} und die Mengen aus {{math|term= \Delta|SZ=}} nennt man die {{Stichwort|Seiten|msw=Seite|SZ=}} des simplizialen Komplexes. Entsprechend nennt man die Teilmengen, die nicht zu {{math|term= \Delta|SZ=}} gehören, die Nichtseiten des simplizialen Komplexes. Gelegentlich fordert man, dass {{math|term= V |SZ=}} nicht leer ist oder dass die einzelnen Ecken, also die einelementigen Mengen {{math|term= \{v\} |SZ=,}} stets Seiten sind. Oft setzt man die Menge {{math|term= V |SZ=}} als {{ Relationskette/display |V || \{1 {{kommadots|}} n \} || || || |SZ= }} an. Für einen simplizialen Komplex gibt es verschiedene geometrische Interpretationen. Wir konzentrieren uns auf die durch einen simplizialen Komplex definierte Achsenraumkonfiguration. Zu einem Körper {{math|term= K |SZ=}} bezeichnet {{mathl|term= K^V|SZ=}} die Menge der durch {{math|term= V |SZ=}} indizierten Tupel mit Werten in {{math|term= K |SZ=.}} Bei {{ Relationskette/display |V || \{1 {{kommadots|}} n \} || || || |SZ= }} ist das einfach die Menge aller {{math|term= n |SZ=-}}Tupel in {{math|term= K |SZ=,}} also der {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K^n |SZ=.}} Zu einem Tupel {{ mathbed|term= (x_v) ||bedterm1= v \in V ||bedterm2= |SZ=, }} bezeichnet man {{ Relationskette/display | {{op:Support|x_v|}} || {{Mengebed|v \in V| x_v \neq 0}} || || || |SZ= }} den {{Stichwort|Träger|SZ=}} des Tupels. {{ inputbild |3D coordinate system|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Sakurambo |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Non cohen macaulay scheme thumb|png|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Non_cohen_macaulay_scheme_thumb |Text= |Autor= |Benutzer=Jakob.scholbach |Domäne=en.wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Definition|| }} {{ inputdefinition |Simplizialer Komplex/Facette/Definition|| }} Jede Seite eines simplizialen Komplexes ist in einer Facette enthalten. Wenn man die Facetten eines simplizialen Komplexes kennt, so kennt man bereits den gesamten simplizialen Komplex, da er aus sämtlichen Teilmengen der Facetten besteht. So wie die Facetten, die maximalen Seiten, bestimmen auch die minimalen Nichtseiten einen simplizialen Komplex vollständig. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Beschreibung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Simplizialer Komplex/Einzelne Ecken/Achsenkonfiguration/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Graph/Ungerichtet/Definition|| }} Einen ungerichteten Graphen kann man direkt als einen simplizialen Komplex auf {{math|term= V |SZ=}} auffassen, bei dem alle Eckpunkte dazugehören und der ansonsten nur zweielementige Seiten besitzt, nämlich genau die Kanten des Graphen. {{ inputbeispiel |Simplizialer Komplex/Graph/Achsenflächenkonfiguration/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Simplizialer Komplex/Simplex/Definition|| }} Die Achsenraumkonfiguration zum Simplex {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|V|}} |SZ=}} ist der Gesamtraum {{math|term= K^V|SZ=.}} {{ inputbild |SKT2009OxOyOzTriRavn2|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=P queensgod |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/K/Korrespondenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |2D-simplex|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Tosha |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Simplizialer Komplex/Achsenraumkonfiguration/R/Geometrische Realisierung/Definition|| }} Die geometrische Realisierung ergibt sich also aus der reellen Achsenraumkonfiguration, wenn man diese mit dem Standardsimplex {{ Relationskette/display | \Delta^n || {{Mengebed| {{makl| x_v |}} \in \R^n | \sum_{v \in V} x_v {{=|}} 1 | 0 \leq x_v \leq 1 }} || || || |SZ= }} schneidet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der simplizialen Komplexe |Kategorie2=Theorie der Achsenraumkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lbrnndftjpzzzvq7nyd2kufuknybcbr 0 104961 1092193 1074584 2026-06-01T13:07:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092193 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Torus vectors oblique|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=RokerHRO |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Zeitunabhängig/Vektorfeld/Definition|| }} Ein Vektorfeld {{math|term= F |SZ=}} definiert für jeden Punkt {{ Relationskette |P |\in|M || || || |SZ= }} eine gewöhnliche zeitunabhängige Differentialgleichung {{ Zusatz/Klammer |text=ein dynamisches System| |ISZ=|ESZ=, }} nämlich {{ Relationskette/display |F( \varphi(t)) || \varphi'(t) || || || |SZ=, }} wobei {{ Abbildung |name= \varphi |I|M || |SZ= }} die gesuchte auf einem reellen Intervall {{math|term= I |SZ=}} mit {{ Relationskette |0 |\in| I || || || |SZ= }} definierte differenzierbare Kurve ist. Zu jedem Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} soll die Geschwindigkeit {{ Zusatz/Klammer |text=also Ableitung| |ISZ=|ESZ= }} der Kurve mit dem durch das Vektorfeld vorgegebenen Richtungsvektor im Ortspunkt {{mathl|term= \varphi(t) |SZ=}} übereinstimmen und es soll die Anfangsbedingung {{ Relationskette | \varphi(0) ||P || || || |SZ= }} erfüllt sein. Unter recht schwachen Bedingungen ist die Lösung einer solchen Differentialgleichung eindeutig. Wenn man den Punkt {{math|term= P |SZ=}} variiert, und die Lösungen zu jedem Anfangspunkt stets auf ganz {{math|term= \R|SZ=}} definiert sind, so ergibt sich insgesamt eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= \Psi | \R \times M| M |(t,P)| \Psi (t,P) |SZ=, }} wobei {{ Relationskette/display |\Psi (t,P) || \varphi_P(t) || || || |SZ= }} und {{mathl|term= \varphi_P |SZ=}} die Lösung der Differentialgleichung zum Startpunkt {{math|term= P |SZ=}} ist. Die Abbildung {{math|term= \Psi|SZ=}} enthält die volle Information über das Vektorfeld und alle Lösungen der zugehörigen Differentialgleichungen und heißt der {{Stichwort|Fluss|SZ=}} zum Vektorfeld. Die Abbildung {{mathl|term= \Psi( - , P) |SZ=}} zu festem {{math|term= P |SZ=}} ergibt die Lösungskurve und die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\Psi( t,- ) | M | M || |SZ= }} zu festem {{math|term= t |SZ=}} beschreibt, wohin ein Punkt {{math|term= P |SZ=}} durch die Differentialgleichung hintransportiert wird. Das Vektorfeld {{math|term= F |SZ=}} kann man über {{ Relationskette/display |F(P) || \partial_t {{|}}_{t {{=}} 0} \Psi (t, P) || \varphi_P'(0) || || |SZ= }} ebenfalls aus {{math|term= \Psi|SZ=}} ablesen. Die zu einem fixierten {{math|term= t |SZ=}} gegebene Abbildung {{math|term= \Psi(t, -) |SZ=}} ist unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen ein Diffeomorphismus der Mannigfaltigkeit {{math|term= M |SZ=}} in sich. Dies kann man wiederum als eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R| {{op:Diffeomorphismen|M|M}} |t| \Psi(t, -) |SZ=, }} auffassen. Dabei gilt {{ Relationskette | \Psi(0, -) || {{op:Identität|M|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |\Psi(s+t, -) || \Psi(s, -) \circ \Psi(t, -) || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |s,t |\in| \R || || || |SZ=. }} Das ist also ein Gruppenhomomorphismus der reellen additiven Gruppe in die Gruppe der Diffeomorphismen, man spricht von einer Einparametergruppe von Diffeomorphismen. Die begleitende Vorstellung ist dabei, dass die Identität mit Hilfe des Zeitparameters {{math|term= t |SZ=}} in einen komplizierteren Diffeomorphismus deformiert wird. Im Allgemeinen sind die Lösungen zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung nicht auf ganz {{math|term= \R|SZ=}} definiert, sondern nur auf bestimmten Intervallen, die auch noch vom Startpunkt {{math|term= P |SZ=}} abhängen. Typischerweise ist dann {{math|term= \Psi|SZ=}} nicht auf ganz {{mathl|term= \R \times M |SZ=}} definiert, sondern, bei gegebenem Punkt {{ Relationskette |P |\in|M || || || |SZ=, }} auf einer Menge der Form {{mathl|term= I \times U |SZ=,}} wobei {{math|term= I |SZ=}} ein reelles Intervall mit {{ Relationskette |0 |\in|I || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |U | \subseteq|M || || || |SZ= }} eine offene Umgebung von {{math|term= P |SZ=}} ist. Der Fluss ist also immerhin in einer Umgebung des Punktes für ein gewisses Zeitintervall definiert. Die Morphismen sind von der Form {{ Abbildung |name=\Psi_t | U|M || |SZ= }} und sind Diffeomorphismen auf das {{ Zusatz/Klammer |text=offene| |ISZ=|ESZ= }} Bild. {{ inputdefinition |Differenzierbare_Mannigfaltigkeit/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisverweis |Differenzierbare_Mannigfaltigkeit/Vektorfeld/Diffeomorphismen/Lokal einparametrige Gruppe/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nnrt9er6uets8rn97qh33fm4e63zckz 0 105034 1092305 982560 2026-06-01T13:24:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092305 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette/display |f |\in| K [X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} mit der homogenen Zerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=in der Standardgraduierung| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |f || \sum_d f_d || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette |f(0) || 0 || || || |SZ=, }} d.h. der konstante Term {{math|term= f_0 |SZ=}} sei {{math|term= 0 |SZ=.}} Wir interessieren uns dafür, wie das Schnittverhalten von {{math|term= V(f) |SZ=}} mit einer Geraden {{ Relationskette |G |\subseteq| K^n || || || |SZ= }} aussieht. Ein Extremfall ist, dass die Gerade ganz auf {{math|term= V(f) |SZ=}} liegt, das kann bei {{ Relationskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=was wir annehmen| |ISZ=|ESZ= }} nicht für alle Geraden gelten {{ Zusatz/Klammer |text=bei einem unendlichen Körper| |ISZ=|ESZ=. }} Eine jede Gerade lässt sich durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor parametrisieren, d.h. sie ist das Bild einer {{ Definitionslink |affin-linearen| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name= \alpha | K | K^n |t| t {{op:Spaltenvektor|a_1 |\vdots|a_n }} + {{op:Spaltenvektor|b_1 |\vdots|b_n }} |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|a_1 |\vdots|a_n }} |\neq|0 || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= K \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} K^n \stackrel{f}{\longrightarrow} K |SZ=. }} Daraus sieht man, dass für einen Punkt {{ Relationskette |t |\in|K || || || |SZ= }} genau dann {{ Relationskette/display |\alpha(t) || V(f) ||f^{-1}(0) || || |SZ= }} gilt, wenn {{math|term= t |SZ=}} eine Nullstelle des Polynoms {{mathl|term= f ( \alpha_1 {{kommadots|}} \alpha_n) |SZ=}} in der einen Variablen {{math|term= t |SZ=}} ist. Den Durchschnitt von {{math|term= G |SZ=}} mit {{mathl|term= V(f) |SZ=}} erhält man also dadurch, dass man die Nullstellen von {{mathl|term= f {{makl| \alpha_1 {{kommadots|}} \alpha_n |}} |SZ=}} beschreibt. Der Extremfall {{ Relationskette |G |\subseteq|V(f) || || || |SZ= }} liegt genau dann vor, wenn die Einsetzung {{ Relationskette |f_\alpha | {{defeq|}} | f \circ \alpha || || || |SZ= }} das Nullpolynom ist. Andernfalls hat nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} die Einsetzung maximal so viele Nullstellen, wie der Grad des eingesetzten Polynoms angibt. Über einem algebraisch abgeschlossenen Körper stimmt die Anzahl der mit Vielfachheiten gezählten Nullstellen mit dem Grad überein. {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Schnitt mit Geraden/Multiplizität/Beispiel|| }} Das folgende Lemma beschreibt den Grad der eingesetzten Polynome {{math|term= f_\alpha|SZ=?}} {{ inputfaktbeweis |Polynom/Geradeneinsetzung/Formel/Fakt|Lemma|| || }} Das vorstehende Argument zeigt insbesondere, dass bei Geraden durch dem Nullpunkt, die man ja mit Aufpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} ansetzen kann, die homogenen Komponenten der Einsetzungen sich direkt aus den homogenen Komponenten von {{math|term= f |SZ=}} ergeben. {{ inputdefinition |Polynom/n/Untergrad/Definition|| }} Wie wirkt sich der Untergrad auf das Schnittverhalten mit Geraden aus? {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Geradenschnitt durch Punkt/Vielfachheit/Fakt|Satz|| || }} Die Aussage im vorstehenden Satz, dass eine Eigenschaft {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich das Schnittverhalten| |ISZ=|ESZ= }} für alle Geraden gilt, die durch eine nichtleere Zariski-offene Menge parametrisiert werden, drückt man häufig durch die Formulierung aus, dass sie für die generische Gerade gilt. Man sagt dann kurz, dass {{math|term= f |SZ=}} auf der generischen Gerade durch den Nullpunkt die Vielfachheit {{math|term= k |SZ=}} besitzt. Entsprechende Formulierungen gibt es nicht nur für Geraden, sondern generell für Objekte, die durch einen affinen Parameterraum oder eine affine Varietät parametrisiert werden. {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/K unendlich/Untergrad/Glatt/Schnittverhalten/Fakt|Korollar|| || }} Wir besprechen nun Besonderheiten des Schnittverhaltens mit Geraden über den komplexen Zahlen. Eine wichtige Rolle spielt dabei die sogenannte {{ Faktlink |Präwort=|Stetigkeit der Nullstellen|Faktseitenname= Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/Multiplizität/Geradenschnitt/C/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbert-Samuel-Multiplizität |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oduf49qij1durykctnnt7hnx92zsqm2 0 105046 1092417 1019423 2026-06-01T13:43:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092417 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertfunktion/Definition|| }} Wenn {{ Relationskette |R_0 ||K || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} ist, so geht es einfach um die {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraumdimensionen| |Kontext=| |SZ= }} der {{math|term= n |SZ=-}}ten Stufen {{math|term= M_n |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Polynomring/K/Hilbertfunktion/Beispiel|| }} In einer Variablen ist {{math|term= H_R|SZ=}} konstant {{math|term= =1 |SZ=,}} in zwei Variablen ist {{ Relationskette |H_R (n) || n+1 || || || |SZ=, }} in drei Variablen ist {{ Relationskette |H_R (n) || {{op:Bruch|(n+2)(n+1)|2}} || {{op:Bruch|1|2}} n^2 + {{op:Bruch|3|2}} n+ 1 || || |SZ=, }} in vier Variablen ist {{ Relationskette |H_R (n) || {{op:Bruch|(n+3)(n+2)(n+1)|6}} || {{op:Bruch|1|6}} n^3 + n^2 + {{op:Bruch|11|6}} n+ 1 || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hilbertfunktion/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Noetherscher Ring/Graduiert/Z/Modul/Länge/Hilbertpolynom/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fozn5dgraygjs891jaxvf7esu9t5fes 0 105064 1092325 982765 2026-06-01T13:28:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092325 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Definition|| }} Diese Verknüpfung ist wohldefiniert. Der assoziierte graduierte Ring ist {{ Definitionslink |Prämath=\N |graduiert| |Kontext=| |SZ= }} und von der ersten Stufe erzeugt. Diese Konstruktion erlaubt es häufig, Fragen für einen beliebigen kommutativen Ring auf eine graduierte Situation zurückzuführen. Wenn {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein endlich erzeugtes Ideal ist, so ist der graduierte Ring als Algebra endlich erzeugt. Wenn {{math|term= R |SZ=}} ein noetherscher lokaler Ring ist und man das maximale Ideale {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} nimmt, so erhält man eine {{ Definitionslink |standard-graduierte Algebra| |Kontext=| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Restekörper| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/ {{idealm|}} |SZ=}} als nullte Stufe. Zu einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{ideala|}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} besitzt die Folge der {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermoduln| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |M_n || {{ideala|}}^n M |\subseteq| M || || |SZ= }} die Eigenschaften {{ Aufzählung2 |{{ Relationskette |M_{n+1} |\subseteq| M_n || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n |\in| \N || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | {{ideala|}} M_n |\subseteq| M_{n+1} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n |\in| \N || || || |SZ=. }} }} Darüber hinaus gilt auch {{ Relationskette/display |M_{n+1} || {{ideala|}} M_n || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Stabil/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Filtration/Assoziierter graduierter Modul/Modul/Stabil/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2dgk3lxdoggez9vk58kysdg2z5fkflk 0 105108 1092409 1074684 2026-06-01T13:42:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092409 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Cusp|svg| 250px {{!}} {{!}} |Text=Das reelle Bild der Neilschen Parabel |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir betrachten die Nullstellenmenge {{ Relationskette/display | V || V {{makl| Z^a-W^b |}} |\subseteq| {{CC|}}^2 || || |SZ=, }} die bei {{ Relationskette |a,b |\geq|2 || || || |SZ= }} eine isolierte Singularität im Nullpunkt besitzt. Wenn {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} teilerfremd sind, so ist das Polynom {{ Relationskette/display |Z^a-W^b |\in| {{CC|}} [Z,W] || || || |SZ= }} irreduzibel und damit ist auch {{math|term= V |SZ=}} irreduzibel. Diese Eigenschaft werden wir im Folgenden voraussetzen, das einfachste singuläre Beispiel ist die Neilsche Parabel. Eine andere wichtige Beschreibung von {{math|term= V |SZ=}} ergibt sich als Bild der polynomialen Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{CC|}} |V \subseteq {{CC|}}^2 |t| {{makl| t^b,t^a |}} |SZ=. }} Jeder Bildpunkt {{mathl|term= \varphi(t) |SZ=}} erfüllt offenbar die beschreibende Gleichung. Bei vorausgesetzter Teilerfremdheit der Exponenten kann man einfach zeigen, dass die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} sogar bijektiv ist. Es gibt also eine polynomiale Bijektion {{ Abbildung |name= \varphi | {{CC|}} | V || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} glatt und {{math|term= V |SZ=}} singulär ist. Von daher könnte man meinen, dass die Singularität von {{math|term= V |SZ=}} topologisch keine besondere Relevanz haben sollte. In der Tat liegt ein Homöomorphismus zwischen {{ Relationskette | {{CC|}} |\cong| \R^2 || || || |SZ= }} und {{math|term= V |SZ=}} vor. Wir werden aber zeigen, dass die Singularität sehr wohl eine topologische Relevanz besitzt, und zwar in der Art, wie sie im umgebenden Raum {{ Relationskette/display | {{CC|}}^2 |\cong| \R^4 || || || |SZ= }} eingebettet ist. Ein erster wichtiger Hinweis in diese Richtung ergibt sich, wenn man die Abbildung {{math|term= \varphi|SZ=}} mit der Standarddurchlauf des Einheitskreises verknüpft. Dieser ist durch {{ Abbildung/display |name= | [0,1] | S^1 \subseteq {{CC|}} |s| e^{ 2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} s } |SZ=, }} gegeben. Verknüpft mit {{math|term= \varphi|SZ=}} erhält man die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | [0,1]| V \subseteq {{CC|}}^2 |s| {{op:Zeilenvektor|e^{ 2 b\pi {{Imaginäre Einheit|}} s } | e^{ 2 a \pi {{Imaginäre Einheit|}} s } ||}} |SZ=. }} Da eine Homöomorphie vorliegt, ist dieser Weg ein Erzeuger der Fundamentalgruppe von {{mathl|term= V \setminus \{ (0,0) \} |SZ=,}} ebenso wie der Standarddurchlauf des Einheitskreises ein Erzeuger der Fundamentalgruppe von {{mathl|term= {{CC|}} \setminus \{ 0 \} |SZ=}} ist. Ein Unterschied besteht aber in der Verschlingung dieses Weges im {{math|term= \R^4 |SZ=.}} Wir Identifizieren den {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=}} mit dem {{math|term= \R^4 |SZ=}} und schreiben {{ Relationskette |z || x_1 + x_2 {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | w || y_1 + y_2 {{Imaginäre Einheit|}} || || || |SZ=. }} Im {{math|term= \R^4 |SZ=}} arbeiten wir also mit den reellen Koordinaten {{mathl|term= x_1,x_2,y_1,y_2 |SZ=.}} Eine komplexe Zahl ist genau dann {{math|term= 0 |SZ=,}} wenn sowohl ihr Realteil als auch ihr Imaginäreteil {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Die definierende Gleichung {{ Relationskette/display |z^a -w^b || 0 || || || |SZ= }} für ein komplexes Zahlenpaar {{mathl|term= (z,w) |SZ=}} bedeutet daher ins Reelle übersetzt, wegen {{ Relationskette/align/handlinks | z^a || {{makl| x_1 + x_2 {{Imaginäre Einheit|}} |}}^a || \sum_{j {{=}} 0}^a {{op:Binomialkoeffizient|a|j}} {{Imaginäre Einheit|}}^j x_1^{a-j} x_2^j || {{makl| \sum_{j \text{ gerade } } (-1)^{j/2} {{op:Binomialkoeffizient|a|j}} x_1^{a-j} x_2^j |}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{makl| \sum_{j \text{ ungerade} } (-1)^{(j-1)/2} {{op:Binomialkoeffizient|a|j}} x_1^{a-j} x_2^j |}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und entsprechend für {{math|term= w^b|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} dass die beiden reellen Gleichungen {{ Relationskette/display/handlinks | \sum_{j \text{ gerade } } (-1)^{j/2} {{op:Binomialkoeffizient|a|j}} x_1^{a-j} x_2^j || \sum_{j \text{ gerade } } (-1)^{j/2} {{op:Binomialkoeffizient|b|j}} y_1^{b-j} y_2^j || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display/handlinks | \sum_{j \text{ ungerade} } (-1)^{(j-1)/2} {{op:Binomialkoeffizient|a|j}} x_1^{a-j} x_2^j || \sum_{j \text{ ungerade} } (-1)^{(j-1)/2} {{op:Binomialkoeffizient|b|j}} y_1^{b-j} y_2^j || || || |SZ= }} simultan erfüllt sein müsssen. Für die Neilsche Parabel bedeutet das, dass die beiden Gleichungen {{ Relationskette/display | x_1^2-x_2^2 -y_1^3 +3 y_1y_2^2 || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 2x_1x_2 -3y_1^2y_2 + y_2^3 || 0 || || || |SZ= }} erfüllt sein müssen. Auf {{math|term= V |SZ=}} wirkt die multiplikative Gruppe {{math|term= {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} |SZ=}} durch die {{ Definitionslink |Operation| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |{{op:Einheiten| {{CC|}} |}} \times V |V | (u,z,w)| ( u^bz, u^aw) |SZ=. }} Diese Gruppenwirkung hängt mit der {{ Definitionslink |Prämath=\N |Graduierung| |Kontext=| |SZ= }} des Restklassenringes {{mathl|term= {{CC|}}[Z,W]/ {{makl| Z^a-W^b |}} |SZ=}} durch {{ Relationskette | {{op:Grad|Z|}} || b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Grad|W|}} || a || || || |SZ= }} zusammen. Wir schränken die Operation auf positive reelle Zahlen ein. Diese Operation setzt sich auf dem gesamten {{math|term= \R^4 |SZ=}} fort, durch {{ Relationskette/display | u (x_1,x_2,y_1,y_2) || (u^bx_1,u^bx_2,u^ay_1,u^ay_2) || || || |SZ=. }} Die Bahnen dieser Operation zu einem Punkt {{ Relationskette | (x_1,x_2,y_1,y_2) |\neq| 0 || || || |SZ= }} sind selbst wieder reelle mit Koeffizienten versehene monomiale Kurven im Vierdimensionalen. Für {{mathl|term= u \rightarrow 0 |SZ=}} streben diese Bahnen gegen den Nullpunkt und für {{math|term= u \rightarrow + \infty |SZ=}} gegen Unendlich. Diese Bahnen sollte man in Analogie zu den Strahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Halbgeraden| |ISZ=|ESZ= }} im {{math|term= \R^n |SZ=}} sehen, die vom Nullpunkt ausgehen. Jedes Strahl durchstößt die Sphäre in genau einem Punkt. Eine entsprechende Aussage gilt auch für die gegenwärtigen Bahnen. Es sei {{ Relationskette/display |S^3 || {{Mengebed|(x_1,x_2,y_1,y_2) | x_1^2 + x_2^2+y_1^2 +y_2^2 {{=|}} 1 }} |\subseteq| \R^4 |\cong| {{CC|}}^2 || |SZ= }} die reell dreidimensionale Sphäre im reell vierdimensionalen Raum. Wir betrachten den Durchschnitt {{ Relationskette/display | L || V \cap S^3 || || || |SZ=. }} Da {{math|term= V |SZ=}} reell zweidimensional ist, erwartet man {{ Zusatz/Klammer |text=reelle Kodimensionen zählen| |ISZ=|ESZ= }} einen reell eindimensionalen Schnitt. {{math|term= L |SZ=}} steht hier für Link, auf Deutsch {{Stichwort|Umgebungsrand|SZ=.}} Es ist generell ein wichtiges topologisches Hilfsmittel, zu einer affin-algebraischen Varietät {{ Relationskette/display |V |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} mit einer Singularität im Nullpunkt den Durchschnitt mit der reell {{math|term= 2n-1 |SZ=-}}dimensionalen Sphäre zu betrachten, also {{ Relationskette |L || V \cap S^{2n-1} |\subseteq| S^{2n-1} || || |SZ=. }} Dabei ist für geeignete Sphärenradien der Durchschnitt {{math|term= L |SZ=}} eine reelle Mannigfaltigkeit, deren Dimension um {{math|term= 1 |SZ=}} kleiner als die reelle Dimension von {{math|term= V |SZ=}} ist. In unserer Situation liegt insgesamt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| \R_+ \times S^1| {{op:Einheiten|{{CC}}||}} | \R_+ \times L | V \setminus \{0\} }} von Homöomorphismen vor. Dabei steht oben die Polarkoordinantenabbildung, rechts steht {{mathl|term= t \mapsto {{op:Zeilenvektor|t^b|t^a}} |SZ=}} mit der Umkehrabbildung {{mathl|term= (z,w) \mapsto z^\beta w^\alpha |SZ=,}} wobei {{ Relationskette |\alpha a + \beta b ||1 || || || |SZ= }} gelte {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} ||ISZ=|ESZ=, }} und unten {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|u|x_1 |x_2 |y_1 |y_2}} \mapsto {{op:Zeilenvektor|u^bx_1 |u^bx_2 |u^ay_1 |u^ay_2}} |SZ=,}} was wir gleich als bijektiv nachweisen werden. {{ inputfaktbeweis |Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Wir betrachten nun das Paar bestehend aus der Sphäre {{math|term= S^3 |SZ=}} und {{math|term= L |SZ=,}} das homöomorph zu {{math|term= S^1 |SZ=}} ist. Wenn man aus {{math|term= S^3 |SZ=}} einen Punkt herausnimmt, der nicht auf dem eingebetteten {{math|term= S^1 |SZ=}} liegt, so erhält man eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Sphäre im {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Ein solches Gebilde nennt man einen Knoten. {{:Knoten/R^3/Äquivalenz/Einführung/Textabschnitt}} Zur Orientierung der im Folgenden zu besprechenden Knoten ist der Begriff des Torus und des Torusknotens hilfreich. {{ inputdefinition |Torus/Produktmannigfaltigkeit/Definition|| }} Der Torus ist in natürlicher Weise eine abgeschlossene zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des {{math|term= \R^4 |SZ=.}} Ein Torus lässt sich aber auch einfach als abgeschlossene Untermannigfaltigkeit des {{math|term= \R^3 |SZ=}} realisieren, beispielsweise, indem man einen Kreis um eine Gerade außerhalb des Kreises rotieren lässt. Ein Torus ist somit einfach ein Fahrradschlauch. {{ inputbild |TorusKnot-3-8|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Christian.Mercat |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Torusknoten/Definition|| }} Wir arbeiten nun mit Polarkoordinaten für die beiden {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}} und zwar sei {{ Relationskette/display |z || \rho_1 e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} \theta_1} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |w || \rho_2 e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}} \theta_2} || || || |SZ=. }} Auf {{mathl|term= V \setminus \{(0,0)\} |SZ=}} sind beiden Koordinaten nicht {{math|term= 0 |SZ=,}} und daher kann man mit diesen Koordinaten alles erfassen. In diesen Koordinaten ist {{ Relationskette/display | {{CC|}}^\times \times {{CC|}}^\times || \R_+ \times S^1 \times \R_+ \times S^1 || || || |SZ=. }} In der Polarkoordinatenbeschreibung wird {{mathl|term= V \setminus {(0,0)} |SZ=}} durch {{ Math/display|term= {{Mengebed| (\rho_1, \theta_1, \rho_2, \theta_2)| \rho_1^a {{=}} \rho_2^b | a \theta_1 {{=}} b \theta_2 }} |SZ= }} beschrieben. Dabei ist die zweite Gleichung {{ Relationskette | a \theta_1 || b \theta_2 || || || |SZ= }} als Winkelgleichung, also modulo {{math|term= \Z|SZ=}} zu verstehen. In dieser Darstellung erkennt man den positiven Quadranten der reellen monomialen Kurve, wenn man die Winkelgleichung vergisst. Die Lösungsmenge der Winkelgleichung, also {{ Math/display|term= {{Mengebed| {{makl| \theta_1,\theta_2 |}} | a \theta_1 {{=}} b \theta_2 \text{ modulo } \Z}} |SZ=, }} ist innerhalb von {{mathl|term= [0,1[ \times [0,1[ |SZ=}} der {{Anführung|Funktionsgraph}} zu {{ Relationskette/display | \theta_2 || {{op:Bruch|a|b}} \theta_1 || || || |SZ=, }} der allerdings aus verschiedenen parallelen Strecken besteht. Sie ist homöomorph zum {{math|term= S^1 |SZ=.}} Wenn man auch auf der Normalisierung {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} der Kurve Polarkoordinaten {{mathl|term= (\rho,\theta) |SZ=}} einführt, so ist die Normalisierungsabbildung durch {{ Math/display|term= ( \rho, \theta) \mapsto {{makl| \rho^b ,b \theta, \rho^a, a \theta |}} |SZ= }} gegeben. Der erzeugende Weg {{math|term= \gamma|SZ=}} der Fundamentalgruppe von {{math|term= V \setminus \{0\} |SZ=}} hat in beiden komplexen Koordinaten den Radius {{math|term= 1 |SZ=}} und ist daher ein Weg auf dem {{ Definitionslink |Torus| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= S^1 \times S^1 |SZ=.}} Er dreht sich um den ersten Kreis {{math|term= b |SZ=-}}fach und um den zweiten {{math|term= a |SZ=-}}fach. Um einen Weg auf dem Link {{math|term= L |SZ=}} zu erreichen, muss man den Weg {{ Abbildung/display |name= |S^1|L | \theta| {{op:Zeilenvektor| u_0^b |b \theta|u_0^a|a \theta }} |SZ=, }} mit {{math|term= u_0 |SZ=}} wie im Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Monomiale ebene Kurve/Umgebungsrand/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} nehmen. Dies ändert nichts daran, dass der Weg auf einem Torus verläuft {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die beiden Kreise jetzt untershciedliche Radien haben| |ISZ=|ESZ= }} und wie oft sich der Weg in den beiden Richtungen dreht. Wenn man den {{math|term= S^3 |SZ=}} ohne einen Punkt {{math|term= N |SZ=}} auf den {{math|term= \R^3 |SZ=}} homöomorph abbildet {{ Zusatz/Klammer |text=etwa durch die {{ Definitionslink |stereographische Projektion| |Kontext=| |SZ=, }} | |ISZ=|ESZ= }} und der Projektionspunkt {{math|term= N |SZ=}} nicht auf diesem Torus und damit auch nicht auf {{math|term= L |SZ=}} liegt, so wird der Torus homöomorph auf einen Torus im {{math|term= \R^3 |SZ=}} abgebildet. Daraus ist ersichtlich, dass es sich bei {{mathl|term= (L,S^3) |SZ=}} um einen Torusknoten handelt. Bei {{ Relationskette |a ||2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |b ||3 || || || |SZ= }} ist dieser Knoten die sogenannte Kleeblattschlinge. {{ inputbild |Trefoil knot left|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Rybu |Domäne=en. Wikipedia |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Bei {{ Relationskette |a ||1 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |b ||1 || || || |SZ= }} ergibt sich ein Torusknoten, der einmal längs des einen Kreises und beliebig oft längs des anderen Kreises läuft. Das ist dann aber ein trivialer Knoten, man denke an die homöomorphe Projektion dieses Knoten auf die Ebene, die einen geschlängelten Kreis ergibt. Wir halten die folgende topologische Auswirkung einer Singularität fest: Die ebene monomiale Kurve ist genau dann regulär, wenn der zu ihr gehörende Link trivial ist. Wir behandeln abschließend noch den Fall, wo die Exponenten der Variablen nicht teilerfremd sind. Der Link besteht dann aus mehreren eindimensionalen Sphären, die im {{math|term= S^3 |SZ=}} in einer bestimmten charakteristischen Weise miteinander verschlungen sind. {{ inputfaktbeweis |Monomiale ebene Kurve/Exponent/Gemeinsamer Teiler/Fakt|Lemma|| || }} Dies bedeutet insbesondere, dass der Durchschnitt {{mathl|term= S^3 \cap V {{makl| Z^{ca}-W^{cb} |}} |SZ=}} aus {{math|term= c |SZ=}} disjunkten {{math|term= S^1 |SZ=}} bestehen. {{ inputbeispiel |Ebene monomiale Kurve/Gemeinsamer Teiler/2 und 2/Link/Knoten/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ebene monomiale Kurve/Gemeinsamer Teiler/2 und 4/Link/Knoten/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen monomialen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} s78tpecygqdwco2ujtzzovz4j1fugzb 0 105132 1092317 1074642 2026-06-01T13:26:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092317 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Example of Knots|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Links ein Schnürsenkelknoten, rechts ein mathematischer Knoten. Durch die Verbindung der Schnürsenkelenden merkt man sich die eigentliche Verknotung besser. |Autor= |Benutzer=Talifero |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Knoten/R^3/Definition|| }} Manchmal beschränkt man sich auf stetig differenzierbar eingebettete Kreise. {{ inputdefinition |Knoten/R^3/Äquivalenz/Definition|| }} Die Bildknoten {{mathl|term= \Psi_t (K_1) |SZ=}} beschreiben dabei eine stetige Deformation des ersten Knoten in den zweiten Knoten mit dem Zeitparameter {{math|term= t |SZ=.}} {{ inputbild |Bowen-knot-in-rope|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Ein trivialer Knoten, der ziemlich, aber nicht völlig trivial aussieht. |Autor= |Benutzer=The Man in Question |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Knoten/R^3/Trivial/Definition|| }} Streng genommen meint man die Standardeinbettung dieses Knotens, also di Abbildung {{ Abbildung/display |name= |[0,1]| \R^3 |s| {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|2 \pi s|}} | {{op:sin|2 \pi s|}}|0}} |SZ=, }} doch ist jeder andere Durchlauf dazu äquivalent. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Knotentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9xwqmg6nyqzlo8wf5ivs6a9miu45kln 0 105153 1092603 984264 2026-06-01T14:14:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092603 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In einem {{math|term= n |SZ=-}}dimensionalen Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} mit Untervektorräumen {{ Relationskette |U_1,U_2 |\subseteq|V || || || |SZ= }} der Dimension {{ mathkor|term1= n-k_1 |bzw.|term2= n-k_2 |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Untervektorraum/Durchschnitt/Dimensionsabschätzung/Fakt |Nr= |SZ= }} der Durchschnitt {{mathl|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} ein Untervektorraum, dessen Dimension zumindest {{mathl|term= n-k_1-k_2 |SZ=}} ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Kodimension des Durchschnittes ist also höchstens die Summe der beiden Kodimensionen| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die Untervektorräume hinreichend generisch gewählt sind, so ist diese Dimension genau {{mathl|term= n-k_1-k_2 |SZ=.}} Wir fragen uns, ob die Dimensionen sich entsprechend verhalten, wenn man nicht den Durchschnitt von Untervektorräumen, sondern den Durchschnitt von abgeschlossenen Untervarietäten {{ Relationskette |Y,Z |\subseteq|V || || || |SZ= }} in einer Varietät {{math|term= V |SZ=}} betrachtet. Wenn beispielsweise {{math|term= V |SZ=}} zweidimensional {{ Zusatz/Klammer |text=eine Fläche| |ISZ=|ESZ= }} ist, und {{ mathkor|term1= Y |und|term2= Z |SZ= }} eindimensional sind {{ Zusatz/Klammer |text=Kurven| |ISZ=|ESZ=, }} so besteht der Durchschnitt {{mathl|term= Y \cap Z |SZ=}} aus einzelnen Punkten {{ Zusatz/Klammer |text=er kann generell auch leer sein| |ISZ=|ESZ=, }} es sei denn, die beiden Kurven haben eine gemeinsame irreduzible Komponente. Für verschiedene irreduzible Kurven besteht der Durchschnitt aus einzelnen Punkten und die Dimensionen verhalten sich wie im linearen Kontext. Man braucht keine weitere Bedingung an die Fläche stellen. Im Allgemeinen hängt das Dimensionsverhalten aber von den Singularitäten der umgebenden Varietät {{math|term= V |SZ=,}} wie das folgende Beispiel zeigt. {{ inputbeispiel |Standardquadrik/Schnittverhalten/Beispiel|| }} Über den reellen Zahlen gilt das erwähnte Dimensionsverhalten noch nicht einmal im {{math|term= \R^3 |SZ=,}} wie das folgende Beispiel zeigt. {{ inputbeispiel |R/Ebene und Parabolid/Schnittverhalten/Beispiel|| }} Für einen glatten Punkt über einem algebraisch abgeschlossenen Körper gilt hingegen die Verallgemeinerung des erwähnten linearen Schnittverhaltens. Um dies zu zeigen bedarf es einiger Vorbereitungen. Das erste Lemma macht eine Aussage, wenn eine der beteiligten Untervarietäten geometrisch durch die minimal mögliche Anzahl von Gleichungen beschrieben wird {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht von einem lokal geometrisch vollständigen Durchschnitt| |ISZ=|ESZ=. }} Im vorstehenden Beispiel können die beiden Flächen nicht durch eine Gleichung beschrieben werden. {{ inputfaktbeweis |Untervarietät/Lokal durch Funktionen/Schnittverhalten/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Varietäten/Glatte Punkte/Produkt/Fakt|Lemma|| || }} Unsere weitere Beweisstrategie läuft unter dem Stichwort {{Stichwort|Reduktion zur Diagonalen|SZ=.}} Damit ist folgendes gemeint. Zu einer beliebigen Menge {{math|term= V |SZ=}} nennt man die Teilmenge {{ Relationskette/display |\Delta || {{Mengebed|(P,P)|P \in V}} |\subseteq| V \times V || || || |SZ= }} die Diagonale. Es gibt eine natürliche Bijektion {{ Abbildung/display |name= |V| \Delta |P| (P,P) |SZ=. }} Wenn {{math|term= V |SZ=}} ein topologischer Raum {{ Zusatz/Klammer |text=Mannigfaltigkeit, Varietät| |ISZ=|ESZ= }} ist, so ist dies häufig eine {{ Definitionslink |abgeschlossene Einbettung| |Kontext=| |SZ= }} und {{ mathkor|term1= V |und|term2= \Delta |SZ= }} haben die gleichen Eigenschaften. Zu Teilmengen {{ Relationskette |Y,Z |\subseteq|V || || || |SZ= }} ergibt sich eine natürliche Bijektion zwischen {{ Relationskette |Y \cap Z |\subseteq| V || || || |SZ= }} einerseits und {{ Relationskette |\Delta \cap {{makl| Y \times Z |}} |\subseteq| V \times V || || || |SZ= }} andererseits. Insofern kann man Eigenschaften des Durchschnittes {{mathl|term= Y \cap Z |SZ=}} dadurch verstehen, dass man Eigenschaften des Durchschnittes {{mathl|term= \Delta \cap {{makl| Y \times Z |}} |SZ=}} versteht. Der Vorteil hierbei ist, dass die Diagonale {{math|term= \Delta|SZ=}} häufig schönere Eigenschaften als eine beliebige Teilmenge besitzt. Zunächst halten wir fest, dass die Diagonale isomorph zu {{math|term= V |SZ=}} selbst ist. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Varietät/Diagonale/Abgeschlossene Einbettung/Fakt|Lemma|| || }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Varietät/Glatter Punkt/Selbstprodukt/Beschreibung der Diagonalen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Varietät/Glatter Punkt/Schnittverhalten/Dimension/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Affiner Raum/Schnittverhalten/Dimension/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Schnitttheorie (algebraische Geometrie) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cm94w0u1uci01qzseqpzdolp1s00upd 0 105168 1092108 980525 2026-06-01T12:53:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092108 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ= }} kann man bekanntlich das {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=Menge| |SZ= }} {{mathl|term= M \times N |SZ=}} definieren, das aus allen Paaren {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} mit {{ Relationskette |x |\in|M || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y |\in|N || || || |SZ= }} besteht. Wenn die beteiligten Mengen weitere Strukturen besitzen, so übertragen sich diese häufig direkt auf die Produktmenge. Beispielsweise ist das Produkt von Gruppen wieder eine Gruppe, das Produkt von Vektorräumen ist wieder ein Vektorraum, das Produkt von topologischen Räumen ist mit der {{ Definitionslink |Produkttopologie| |Kontext=| |SZ= }} wieder ein topologischer Raum, das {{ Definitionslink |Produkt von Mannigfaltigkeiten| |Kontext=| |SZ= }} ist wieder eine Mannigfaltigkeit. Hier interessieren wir uns für das Produkt von affin-algebraischen Mengen, wie dieses zu definieren ist, wie der Koordinatenring dazu aussieht und wie sich die Krulldimension dabei verhält. Für Vektorräume gilt {{ Relationskette |K^r \times K^s || K^{r+s} || || || |SZ=, }} das bedeutet, dass die Dimension des Produktraumes die Summe der beiden einzelnen Dimensionen ist. Dies wird sich auch für die Dimension von Produktvarietäten ergeben. Wir stellen eine allgemeine Vorüberlegung an, inwiefern auf den beteiligten Mengen {{ Zusatz/Klammer |text=Räumen, Mannigfaltigkeiten, Varietäten| |ISZ=|ESZ= }} definierte Funktionen auch Funktionen auf der Produktmenge ergeben. {{ inputbemerkung |Räume/Produkt/Funktionen/Bemerkung|| }} Im algebraischen Kontext sind die relevanten Funktionen die Polynomfunktionen auf dem affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} und ihre Einschränkungen auf abgeschlossene Teilmengen und daraus konstruierte rationale Funktionen. Die natürliche Identität {{ Relationskette/display | {{op:Affiner Raum|m|K}} \times {{op:Affiner Raum|n|K}} || {{op:Affiner Raum|m+n|K}} || || || |SZ= }} kann man auf der Ebene der Polynomringe folgendermaßen interpretieren: Einerseits hat man für die beiden affinen Räume die Polynomringe {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_m ] |SZ=}} und {{mathl|term= K[Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] |SZ=,}} andererseits einen Polynomring in {{mathl|term= m+n|SZ=}} Variablen. Diesen kann man aber direkt als {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] |SZ=}} ansetzen, da ein Polynom aus {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_m ] |SZ=}} über die Projektion {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affiner Raum|m|K}} \times {{op:Affiner Raum|n|K}} | {{op:Affiner Raum|m|K}}| | ( x_1 {{kommadots|}} x_m, y_1 {{kommadots|}} y_n )| ( x_1 {{kommadots|}} x_m ) |SZ= }} zu einer polynomialen Funktion auf der Produktmenge wird. Über diesen Weg wird ein Polynom in den ersten {{math|term= m |SZ=}} Variablen einfach als ein Polynom in {{mathl|term= m+n|SZ=}} Variablen aufgefasst, in dem die hinteren Variablen nicht explizit vorkommen. Eine direkte Überlegung zeigt {{ Relationskette/display | K[X_1 {{kommadots|}} X_m] {{tensor|K}} K[ Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] |\cong| K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe auch {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Polynomringe/Tensorprodukt/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Die oben formulierte naive funktionentheoretische Interpretation des Tensorzeichens stimmt mit der algebraischen Definition des Tensorproduktes überein. {{ inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Teilmenge affiner Raum/Fakt|Lemma|| || }} Wenn die beiden Ideale durch Erzeuger gegeben sind, sagen wir {{ Relationskette | {{ideala|}} || {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_r |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{idealb|}} || {{makl| g_1 {{kommadots|}} g_s |}} || || || |SZ=, }} so ist das Ideal, das die Produktmenge beschreibt, einfach gleich {{ Relationskette | {{makl| f_1 {{kommadots|}} f_r , g_1 {{kommadots|}} g_s |}} |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_m, Y_1 {{kommadots|}} Y_n ] || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Zariski-Topologie/Definition|| }} Nach Konstruktion ist das Produkt {{mathl|term= V( {{ideala|}} ) \times V( {{idealb|}} ) |SZ=}} als Punktmenge einfach die rein mengentheoretische Produktmenge. Allerdings kommt noch die Zariski-Topologie hinzu, die unter Bezug auf die umgebenden Räume definiert wird. Diese Topologie ist nicht die {{ Definitionslink |Produkttopologie| |Kontext=| |SZ= }} der beiden einzelnen Topologien auf den Varietäten {{ Zusatz/Klammer |text=dies stimmt schon nicht für {{ Relationskette/k | {{op:Affine Ebene|K}} || {{op:Affine Gerade|K}} \times {{op:Affine Gerade|K}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Von daher ist es nicht selbstverständlich, dass diese Topologie auf der Produktmenge unabhängig von der Restklassenrepräsentierung der beiden Koordinatenringe ist, und wie man den Koordinatenring der Produktvarietät aus den beiden Koordinatenringen berechnet. Beide Probleme werden durch das folgende Lemma erledigt. {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringe/Restklassendarstellung/Tensorprodukt/Fakt|Lemma|| || }} Da man {{math|term= V( {{ideala|}} ) |SZ=}} mitsamt der Topologie als das {{math|term= K |SZ=-}}Spektrum aus dem Koordinatenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} |SZ=}} rekonstruieren kann, kann man auch die Topologie der Produktvarietät aus dem Tensorprodukt der beiden Koordinanteringe rekonstruieren. Dass das Tensorprodukt auf der algebraischen Ebene die richtige Beschreibung des Produktes der geometrischen Mengen liefert, wird auch durch den folgenden Satz bestätigt. {{ inputfaktbeweis |K-Algebren/Tensorprodukt/K-Spektrum/Produktmenge/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Körper/Produkt/Geometrisch/Irreduzibel/Fakt|Lemma|| || }} Den folgenden Satz formulieren wir nur für einen algebraisch abgeschlossenen Körper, da nur in diesem Fall die Übersetzung von Primidealen in irreduzible Teilmengen unproblematisch ist. {{ inputfaktbeweis |Affine Varietäten/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Fakt|Satz|| || }} Diese Aussage gilt auch für beliebige affin-agebraische Mengen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Affin-algebraische Mengen/Algebraisch abgeschlossener Körper/Produkt/Geometrisch/Dimension/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Produkte von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l3x1g0e7kou29u9gwefixouel16vz7y 0 105201 1092323 982754 2026-06-01T13:27:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092323 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der folgende Satz heißt Krullscher Hauptidealsatz. {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Fakt|Satz|| || }} Die im Satz angesprochenen Primideale nennt man auch die minimalen Primoberideale zu {{math|term= f |SZ=.}} Sie sind typischerweise in {{math|term= R |SZ=}} keine minimalen Primideale, sondern sie entsprechen den minimalen Primidealen im Restklassenring {{mathl|term= R/(f) |SZ=.}} Wenn {{math|term= R |SZ=}} ein noetherscher Integritätsbereich und {{ Relationskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} ist, so bedeutet die Aussage, dass die minimalen Primoberideale zu {{math|term= f |SZ=}} die Höhe {{math|term= 1 |SZ=}} besitzen. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Allgemein/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer noetherscher Ring/Primideal/Höhe/Parameterrealisierung/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer noetherscher Ring/Lokal/Parameterrealisierung/Fakt|Korollar|| || }} Elemente {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_d |SZ=}} nennt man auch {{Stichwort|Parameter|msw=Parameter (lokaler Ring) |SZ=}} des lokalen Ringes. Geometrisch {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. bis auf das Radikal| |ISZ=|ESZ= }} kann man also in jedem lokalen noetherschen Ring das maximale Ideal durch {{math|term= d |SZ=}} Elemente beschreiben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Krullsche Hauptidealsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fw8cqjjioe11q062v99zw7x8lj06zqi 0 105207 1092545 1019689 2026-06-01T14:04:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092545 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n |SZ=}} Variablen. Unter einer {{Stichwort|binomialen Gleichung|msw=binomiale Gleichung |SZ=}} in den {{math|term= X_i |SZ=}} versteht man eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display |X^\mu ||X^\nu || || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | \mu,\nu |\in| \N^n || || || |SZ= }} Exponententupel sind. Zu einem Körper {{math|term= K |SZ=}} interessiert man sich für die Erfüllungsmenge {{ Relationskette/display |V || {{Mengebed| (x_1 {{kommadots|}} x_n) \in K^n | x^\mu {{=}} x^\nu }} || || || |SZ=. }} Dies ist einfach die Nullstellenmenge der {{Stichwort|binomialen Funktion|msw=binomiale Funktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder des binomialen Polynoms| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= X^\mu-X^\nu |SZ=.}} Wenn die Variable {{math|term= X_i |SZ=}} auf beiden Seiten echt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. mit einem positiven Exponenten| |ISZ=|ESZ= }} vorkommt, so ist die Hyperebene {{mathl|term= V(X_i) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |irreduzible Komponente| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=.}} Wenn {{ Zusatz/Klammer |text=nach einer Umnummerierung der Variablen| |ISZ=|ESZ= }} die Variablen {{math|term= X_k {{kommadots|}} X_n |SZ=}} beidseitig echt vorkommen, so erhält man die Zerlegung {{ Relationskette/display |V || V( X^\sigma -X^\tau) \cup V(X_k) \cup \ldots \cup V(X_n) || || || |SZ=, }} wobei im vorderen binomialen Polynom keine Variable beidseitig vorkommt. Wir werden uns weitgehend auf den Fall beschränken, wo keine Variable beidseitig vorkommt. Auch dann muss das binomiale Polynom nicht irreduzibel sei, beispielsweise ist {{ Relationskette | Y^2-X^2 || (Y-X)(Y+X) || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Binomiale Funktion/Allgemeine Hyperbel/Beispiel|| }} Wenn, anders als im vorstehenden Beispiel, auf beiden Seiten der binomialen Gleichung variable Ausdrücke stehen, also jeweils mindestens eine Variable mit einem positiven Exponenten vorkommt, so gehört der Nullpunkt {{mathl|term= (0 {{kommadots|}} 0) |SZ=}} zu {{math|term= V |SZ=.}} Im vorstehenden Beispiel war die Varietät glatt. Dies ist aber {{ Zusatz/Klammer |text=neben der trivialen Gleichung {{ Relationskette/k | X || X || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} die einzige glatte Varietät, die durch eine binomiale Gleichung definiert wird. Wir halten fest. {{ inputfaktbeweis |Binomiale Gleichung/Singulärer Punkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Binomiale Gleichung/Ebener Fall/Teilerfremd/Parametrisierung/Fakt|Lemma|| || }} In der vorstehenden Situation liegt also eine Bijektion und bei {{ Relationskette | K || \R, {{CC|}} || || || |SZ= }} eine Homöomorphie zwischen der glatten affinen Geraden und der singulären Kurve vor. In diesem Fall hat die Existenz einer Singularität keine topologischen Auswirkungen{{{zusatz1|.}}} {{ inputbeispiel |A-Singularität/XY-Z^n/Singulärer Ort/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |A1-Singularität/R und C/Topologische Eigenschaften/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Whitney Regenschirm/X^2Y-Z^2/Singulärer Ort/Beispiel|| }} Wir betrachten nun Nullstellengebilde, die zu mehr als einer binomialen Gleichung gegeben sind. Es ist hier schon eine subtile Frage, wie die Zerlegung in irreduzible Komponenten aussieht. {{ inputbeispiel |Monomiale Raumkurve/X ist YZ/Y ist XZ/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Monomiale Raumkurve/XY ist Z^3/X^2Z ist Y^3/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qpqsn0wgv1q5astsefmlx3ipkfk9zfu 0 105268 1092328 982784 2026-06-01T13:28:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092328 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Definition|| }} Dabei heißt {{math|term= M_d|SZ=}} die {{math|term= d |SZ=-}}te Stufe des Moduls. Wenn {{ Relationskette |R_d || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette |M_d || 0 || || || |SZ= }} für negative {{math|term= d |SZ=}} ist, so spricht man {{math|term= \N|SZ=-}}graduierten Ringen bzw. Moduln. Wenn {{ Relationskette/display |R_0 ||K || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} ist, so sind sämtliche Stufen {{math|term= M_d|SZ=}} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=.}} Ein {{math|term= \Z|SZ=-}}graduierter Ring {{math|term= R |SZ=}} ist ein graduierter Modul über sich selbst. Ebenso ist jedes {{ Definitionslink |homogene Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also ein von homogenen Elementen erzeugtes Ideal| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette |I |\subseteq|R || || || |SZ= }} ein graduierter Untermodul und {{ Relationskette/display |R/I || \bigoplus_{d \in \Z} R_d/I_d || || || |SZ= }} ist ein graduierter Restklassenmodul. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Homogener Homomorphismus/Definition|| }} Manchmal nennt man die vorstehenden Homomorphismen auch graduierte Homomorphismen vom Grad {{math|term= 0 |SZ=}} und nennt auch solche Homomorphismen homogen, bei denen der Grad um eine bestimmte Zahl verschoben wird. Solche Verschiebungen kann man aber auch durch Verschiebungen in der Graduierung beschreiben. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Z/Graduierter Modul/Gradverschiebung/Definition|| }} Speziell spielen die {{mathl|term= R(n) |SZ=}} eine wichtige Rolle. Wenn {{ Relationskette |v |\in|M || || || |SZ= }} ein homogenes Element vom Grad {{math|term= d |SZ=}} eines graduierten {{math|term= R |SZ=-}}Moduls ist, so gehört dazu der homogene Modulhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | R(-d)| M |1|v |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Homogene Surjektion/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Z-graduierten Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l2w168tygt3pexxiqs51c23ocm1webn 0 105280 1092554 984052 2026-06-01T14:06:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092554 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/K/Hilbertfunktion/Beispiel|| }} In einer Variablen ist {{math|term= H_R|SZ=}} konstant {{math|term= =1 |SZ=,}} in zwei Variablen ist {{ Relationskette |H_R (n) || n+1 || || || |SZ=, }} in drei Variablen ist {{ Relationskette |H_R (n) || {{op:Bruch|(n+2)(n+1)|2}} || {{op:Bruch|1|2}} n^2 + {{op:Bruch|3|2}} n+ 1 || || |SZ=, }} in vier Variablen ist {{ Relationskette |H_R (n) || {{op:Bruch|(n+3)(n+2)(n+1)|6}} || {{op:Bruch|1|6}} n^3 + n^2 + {{op:Bruch|11|6}} n+ 1 || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Standard-graduierter Ring/K/Modul/Endlich erzeugt/Stufen endlichdimensional/Fakt|Lemma|| || }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hilbertfunktion/Fakt|Lemma|| || }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertfunktion/Polynomial/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputdefinition |Standard-graduierter Ring/K/Modul/Hilbertpolynom/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilbertfunktion graduierter Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1bb2uge3gt0iucygdi213dv8naal1mr 0 105287 1092555 773471 2026-06-01T14:06:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092555 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Definition|| }} Wenn das Hilbertpolynom das Nullpolynom ist, so betrachtet man {{mathl|term= \sum_{i \in \Z} {{op:Vektorraumdimension|M_i}} |SZ=}} als die Multiplizität. Diesen Ausnahmefall kann man umschiffen, wenn man das kumulative Hilbertpolynom betrachtet, siehe die Aufgaben. {{ inputfaktbeweis |Polynomring/K/Multiplizität/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/K/Homogenes Polynom/Hyperfläche/Multiplizität/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Standard-graduierter Ring/K/Modul/Multiplizität/Ganzzahlig/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Multiplizität von graduierten Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} m9jclpzcu34tdvmwpjl853fec91tncn 0 105576 1092105 1018628 2026-06-01T12:53:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092105 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Polynomring/Körper/Formales partielles Ableiten/Definition|| }} {{ inputdefinition |Jacobi-Matrix/Körper/Polynome/Partielle Ableitungen/Definition|| }} Die Jacobi-Matrix im Punkt {{math|term= P |SZ=}} ist eine {{mathl|term= m \times n |SZ=-}}Matrix über {{math|term= K |SZ=.}} Für {{ Relationskette |K || {{KRC}} || || || |SZ= }} beschreibt die Jacobi-Matrix das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn die Jacobi-Matrix in einem Punkt {{math|term= P |SZ=}} surjektiv ist, als ihr {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=Matrix| |SZ= }} gleich {{math|term= m |SZ=}} ist, so gilt der {{ Faktlink |Präwort=|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |SZ=, }} der besagt, dass die Faser durch {{math|term= P |SZ=}} von {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_m |SZ=}} in einer offenen Umgebung von {{math|term= P |SZ=}} diffeomorph zu {{mathl|term= {{KRC|}}^{n-m} |SZ=}} ist. Die Faser ist also lokal um {{math|term= P |SZ=}} eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dies führt zur folgenden Definition, die sich bei {{ Relationskette |n |\geq|m || || || |SZ= }} am Satz über implizite Abbildungen orientiert, sonst aber darüber hinausgeht. {{ inputdefinition |Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition|| }} Allerdings haben wir noch nicht den Dimensionsbegriff entwickelt, sodass diese Definition noch in der Luft hängt. Den Dimensionsbegriff zu entwickeln wird eine Aufgabe dieses Kurses sein. Die folgenden erwarteten Eigenschaften geben eine wichtige Orientierung und legen in vielen Situationen die Dimension fest, auch wenn die allgemeine Theorie noch nicht zur Verfügung steht. {{:Varietäten/Dimensionstheorie/Anforderungen/Bemerkung}} Die vorletzte Forderung ist, wenn man über den reellen Zahlen arbeitet, nicht immer zutreffend, wie einfache Beispiele zeigen, im algebraischen und im komplex-analytischen Fall ist dies aber erfüllt. {{ inputbeispiel |Quadratsumme/Hyperfläche/Reell/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Affin-algebraische Menge/Punkt/Lokale Dimension/Satz über implizite Abbildungen/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Glattheit (affine Varietät) |Kategorie2=Theorie der formalen partiellen Ableitungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t6serh5vbhht1mlpacmlcobr15kqnw2 0 106043 1092443 1074708 2026-06-01T13:47:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092443 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Affine Varietäten/Affiner Raum über einem Körper/Definition|}} Der affine Raum ist also zunächst einfach eine Menge aus Punkten. Ein Punkt im affinen Raum ist einfach ein {{math|term= n |SZ=-}}Tupel {{mathl|term= (a_1 {{kommadots|}} a_n)}} mit Koordinaten aus {{math|term= K |SZ=.}} Für {{ Relationskette |n ||1 || || || |SZ= }} spricht man von der {{Stichwort|affinen Geraden|msw=Affine Gerade}} und für {{ Relationskette |n ||2 || || || |SZ= }} von der {{Stichwort|affinen Ebene|msw=Affine Ebene|SZ=.}} Ein Polynom {{ Relationskette |F |\in|K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} fasst man in natürlicher Weise als Funktion auf dem affinen Raum auf: Einem Punkt {{ Relationskette |P |\in| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |P || {{makl| a_1{{kommadots|}} a_n |}} || || || |SZ= }} wird der Wert {{ Relationskette |F(P) || F {{makl| a_1 {{kommadots|}} a_n |}} || || || |SZ= }} zugeordnet, indem die Variable {{math|term= X_i}} durch {{math|term= a_i}} ersetzt wird und alles in {{math|term= K}} ausgerechnet wird. Zu einen Polynom {{ Relationskette |F |\in| K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} kann man insbesondere fragen, ob {{ Relationskette |F(P) || 0 || || || |SZ= }} ist oder nicht. Zu {{math|term= F}} rückt dann insbesondere das dadurch definierte {{Anführung|Nullstellengebilde}} ins Interesse. {{ inputdefinition |Affiner Raum/Polynom/Hyperfläche/Definition|| }} Neben Nullstellengebilden, die durch eine Gleichung definiert sind, ist es auch sinnvoll, zu untersuchen, wie das gemeinsame {{ Zusatz/Klammer |text=simultane| |ISZ=|ESZ= }} Nullstellengebilde zu mehreren Polynomen aussieht. Dieses beschreibt den Durchschnitt der einzelnen beteiligten Nullstellengebilde {{ Zusatz/Klammer |text=wie beispielsweise bei Kegelschnitten, wo man einen Kegel im dreidimensionalen Raum mit verschiedenen Ebenen schneidet| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Conic sections 2n|png|300px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Conic_sections_2n |Text=Kegelschnitte sind die Nullstellengebilde, die als Durchschnitt des Doppelkegels mit einer Ebenen entstehen.| |Benutzer=NK |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 }} Daher definieren wir allgemein. {{inputdefinition|Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge/Definition|}} Diejenigen Teilmengen des affinen Raumes, die als Nullstellenmengen auftreten, verdienen einen eigenen Namen. {{inputdefinition|Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge/Definition|}} Oft spricht man auch von Varietäten, wobei dieser Begriff eigentlich für irreduzible affin-algebraische Mengen reserviert wird. Die einfachsten Beispiele sind eine endliche Punktemenge auf der affinen Geraden {{mathl|term= {{op:Affine Gerade|K|}} |SZ=,}} die durch ein einzelnes Polynom gegeben sind, und affin-lineare Unterräume im {{math|term= {{op:Affiner Raum|n|K|}} |SZ=,}} die ja als Lösungsmenge eines {{ Definitionslink |inhomogenen linearen Gleichungssystems| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=}} gegeben sind. Wir führen ohne Beweise einige wichtige Aussagen für affin-algebraische Mengen an. {{inputfakt|Affine Varietäten/Affiner Raum/Nullstellengebilde zu Polynommenge und zu Ideal/Fakt|Lemma| }} Wir können also im Folgenden bei jeder Nullstellenmenge davon ausgehen, dass sie durch ein Ideal gegeben ist. Affin-algebraische Teilmengen des affinen Raumes erfüllen einige wichtige strukturelle Eigenschaften. {{inputfakt|Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt|Proposition| }} Diese strukturellen Eigenschaften erlauben es, eine Topologie auf dem affine Raum einzuführen, die für das Studium von Polynomen angemessen ist. {{ inputdefinition |Affine Varietäten/Affiner Raum/Zariski-Topologie/Definition|| }} Die offenen Mengen in dieser Topologie werden mit {{ Relationskette/display |D( {{ideala|}} ) || {{op:Affiner Raum|n|K}} \setminus V( {{ideala|}} ) || || || |SZ= }} bezeichnet. Die Zariski-Topologie ist nicht {{ Definitionslink |Hausdorffsch| |Kontext=| |SZ=, }} es gibt keine kleinen offenen Bälle. Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Hilbertscher Basissatz|SZ=.}} Er besagt, dass Ideale im Polynomring endlich erzeugt sind und damit auch, dass affin-algebraische Mengen stets durch eine endliche Familie von Polynomen beschrieben werden können. {{ inputfakt |Kommutative Ringtheorie/Polynomring über Körper/Endliche viele Variablen/Noethersch/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kfgulxy90q514137sh661z3ym9cqd9y 0 106054 1092359 983024 2026-06-01T13:33:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092359 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebra| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |A || K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/(f_1 {{kommadots|}} f_m) || || || |SZ= }} und einem Punkt {{ Relationskette |P ||(a_1 {{kommadots|}} a_n) |\in|V || V(f_1 {{kommadots|}} f_m) || |SZ= }} mit zugehörigem maximalen Ideal {{ Relationskette |{{idealm}}_P |\subseteq|A || || || |SZ= }} und Lokalisierung {{ Relationskette/display |R ||A_{ {{idealm}}_P} || {\mathcal O}_{V,P} || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \Omega_{R {{|}} K} || \Omega_{A {{|}} K} {{tensor|A}} R || || || |SZ=, }} und die Tensorierung {{ Relationskette/display | \Omega_{R {{|}} K} {{tensor|R}} K || \Omega_{A {{|}} K} {{tensor|A}} K || || || |SZ= }} zur Restekörperauswertung {{ Math/display|term= A \longrightarrow A_{{idealm}} \longrightarrow A_{{idealm}}/ {{idealm}}A_{{idealm}} =K |SZ= }} spielt eine besondere Rolle. Es ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Dualraum des {{{zusatz1|}}} {{ Definitionslink |extrinsischen Tangentialraumes| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} an {{math|term= P |SZ=.}} Das bedeutet, dass {{mathl|term= \Omega_{R {{|}} K} {{tensor|R}} K |SZ=}} in natürlicher Weise der {{ Definitionslink |Kotangentialraum| |Kontext=| |SZ= }} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} ist. {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Gleichungen/Extrinsischer Kotangentialraum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Lokaler Ring/Kotangentialraum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Kähler-Differentiale/Gleichungen/Maximales Ideal/Extrinsischer Kotangentialraum/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4qg9f09feqhvi49cidet6rx72fm8ucy 0 106122 1092104 980479 2026-06-01T12:52:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092104 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Um eine affin-algebraische Menge, die bisher einfach die Nullstellenmenge zu einer Familie von Polynomen ist, besser verstehen zu können, müssen wir festlegen, welche Funktionen wir darauf als passend zur gegebenen algebraischen Struktur auffassen wollen. Für den affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}} |SZ=}} soll der Polynomring in {{math|term= n |SZ=}} Variablen über {{math|term= K |SZ=}} der Ring der relevanten Funktionen sein. Eine Polynomfamilie in {{math|term= n |SZ=}} Variablen legt selbst ein geometrisches Objekt fest, nämlich die zugehörige Nullstellenmenge {{ Relationskette |V |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ=. }} Die Polynome des umgebenden Raumes ergeben unmittelbar durch Einschränken Funktionen auf {{math|term= V |SZ=.}} Allerdings liefert eine Funktion aus der Polynomfamilie, mit der man {{math|term= V |SZ=}} festgelegt hat, einfach die Nullfunktion auf {{math|term= V |SZ=.}} Von daher ist es natürlich, diese Funktionen in einem algebraischen Sinn vom Polynomring ausgehend zu {{math|term= 0 |SZ=}} zu machen. Die Menge der auf {{math|term= V |SZ=}} verschwindenden Polynome bilden ein Ideal im Polynomring, das die definierende Polynomfamilie samt allen Linearkombinationen umfasst und das das {{Stichwort|Verschwindungsideal|SZ=}} zu {{math|term= V |SZ=}} heißt. Wenn man ein Ideal zu {{math|term= 0 |SZ=}} machen möchte, so steht eine wichtige algebraische Konstruktion zur Verfügung, der {{ Definitionslink |Restklassenring| |Kontext=| |SZ=. }} {{ inputdefinition |Affine-algebraische Mengen/Koordinatenring/Definition|| }} Diese Definition ist bei einem algebraisch abgeschlossenen Körper sinnvoll, hat sonst aber auch einige Tücken. Wenn man reell das Polynom {{mathl|term= X^2+Y^2 |SZ=}} betrachtet, so besteht {{math|term= V |SZ=}} allein aus dem Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} und somit gehört bereits {{mathl|term= X,Y|SZ=}} zum Verschwindungsideal, aber nicht zu dem von {{math|term= X^2+Y^2 |SZ=}} erzeugten Ideal. Der Restklassenring ist dann einfach {{ Relationskette | \R[X,Y] /(X,Y) || \R || || || |SZ=, }} was zu dem einen Punkt gut passt, aber woran das Ausgangspolynom {{math|term= X^2+Y^2 |SZ=}} nicht mehr erkennbar ist. Eine alternative Sichtweise besteht darin, den Restklassenring {{mathl|term= \R[X,Y]/(X^2+Y^2) |SZ=}} als passenden Ring anzusehen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Koordinatenrings von affinen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5j28jje8whtgsv968qyosr0g1evgsyt 0 106239 1092544 1019683 2026-06-01T14:04:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092544 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Komplexe Funktion/n/Holomorph/Komplex-differenzierbar/Definition|| }} {{ inputdefinition |Komplexe Funktion/n/Analytisch/Potenzreihe/Definition|| }} Der folgende Satz ist ein Hauptsatz aus der Funktionentheorie mehrerer Variablen. {{ inputfakt |Komplexe Funktion/n/Holomorph/Analytisch/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Komplexe Funktionen/n/Lokal/Konvergente Potenzreihen/Definition|| }} Der Ring der konvergenten Potenzreihen wird mit {{math|term= {\mathcal O}_P |SZ=}} bezeichnet. Dieser Ring hängt nur von der Dimension, also der Anzahl der Variablen ab, nicht aber vom Punkt {{math|term= P |SZ=.}} Häufig wird er auch mit {{math|term= {\mathcal O}_n |SZ=}} bezeichnet. Zum Nullpunkt bilden die Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n |SZ=}} ein minimales Erzeugendensystem des maximalen Ideals. Zum Polynomring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} bzw. zur Lokalisierung {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{X_1 {{kommadots|}} X_n} |SZ=}} besteht die Beziehung {{ Relationskette/display | K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] / {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}}^s ||K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]_{X_1 {{kommadots|}} X_n}/ {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}}^s ||{\mathcal O}_n/ {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}}^s || || |SZ= }} für alle {{math|term= s |SZ=,}} d.h. die Restklassenringe zu Potenzen des maximalen Ideals stimmen in den verschiedenen Konzepten überein. Somit stimmen beispielsweise auch die Hilbert-Samuel-Funktion, das {{ Definitionslink |Jacobiideal| |Kontext=| |SZ= }} und die {{ Definitionslink |Milnorzahl| |Kontext=| |SZ= }} zu einem Polynom etc. überein. {{ inputfaktbeweis |Konvergenter Potenzreihenring/Lokal/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der holomorphen Funktionen in mehreren Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} sh80p4nku9zhwrjbnri5udlxkoq4cb1 0 106410 1092381 1073471 2026-06-01T13:37:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092381 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein lineares Gleichungssystem lässt sich am einfachsten mit Matrizen schreiben. Dies ermöglicht es, die Umformungen, die zur Lösung eines solchen Systems führen, durchzuführen, ohne immer die Variablen mitschleppen zu müssen. Matrizen {{ Zusatz/Klammer |text=und der zugehörige Kalkül| |ISZ=|ESZ= }} sind recht einfache Objekte; sie können aber ganz unterschiedliche mathematische Objekte beschreiben {{ Zusatz/Klammer |text=eine Familie von Spaltenvektoren, eine Familie von Zeilenvektoren, eine lineare Abbildung, eine Tabelle von Wechselwirkungen, eine zweistellige Relation etc.| |ISZ=|ESZ=, }} die man stets im Hinterkopf haben sollte, um vor Fehlinterpretationen geschützt zu sein. {{ inputdefinition |Matrix/nxm/Definition|| }} Zu jedem {{ Relationskette |i |\in|I || {{Menge1m}} || || |SZ= }} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= j \in J ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term= i |SZ=-}}te {{Stichwort|Zeile|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein {{Stichwort|Zeilentupel|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder einen {{Stichwort|Zeilenvektor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= (a_{i1}, a_{i2} {{kommadots|}} a_{in}) |SZ= }} schreibt. Zu jedem {{ Relationskette |j |\in| J || {{Menge1n}} || || |SZ= }} heißt {{ mathbed|term= a_{ij} |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} die {{math|term= j |SZ=-}}te {{Stichwort|Spalte|SZ=}} der Matrix, was man zumeist als ein {{Stichwort|Spaltentupel|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder einen {{Stichwort|Spaltenvektor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor|a_{1j}|a_{2j}|\vdots|a_{mj} }} |SZ= }} schreibt. Die Elemente {{mathl|term= a_{ij} |SZ=}} heißen die {{Stichwort|Einträge|msw=Eintrag|SZ=}} der Matrix. Zu {{mathl|term= a_{ij} |SZ=}} heißt {{math|term= i |SZ=}} der {{Stichwort|Zeilenindex|SZ=}} und {{math|term= j |SZ=}} der {{Stichwort|Spaltenindex|SZ=}} des Eintrags. Man findet den Eintrag {{mathl|term= a_{ij} |SZ=,}} indem man die {{math|term= i |SZ=-}}te Zeile mit der {{math|term= j |SZ=-}}ten Spalte kreuzt. Eine Matrix mit {{ Relationskette | m || n || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|quadratische Matrix|SZ=.}} Eine {{mathl|term= m \times 1 |SZ=-}}Matrix ist einfach ein einziges Spaltentupel der Länge {{math|term= m |SZ=,}} und eine {{mathl|term= 1 \times n |SZ=-}}Matrix ist einfach ein einziges Zeilentupel der Länge {{math|term= n |SZ=.}} Die Menge aller Matrizen mit {{math|term= m |SZ=}} Zeilen und {{math|term= n |SZ=}} Spalten {{ Zusatz/Klammer |text=und mit Einträgen in {{math|term= K |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wird mit {{mathl|term= {{op:Mat|n|m|K}} |SZ=}} bezeichnet, bei {{ Relationskette |m ||n || || || |SZ= }} schreibt man {{mathl|term= {{op:Matq|n|K}} |SZ=.}} Zwei Matrizen {{ Relationskette |A,B |\in| {{op:Mat|n|m|K}} || || || |SZ= }} werden addiert, indem man sie komponentenweise addiert. Ebenso ist die Multiplikation einer Matrix {{math|term= A |SZ=}} mit einem Element {{ Relationskette |r |\in|K || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einem {{Stichwort|Skalar}}| |ISZ=|ESZ= }} komponentenweise definiert, also {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Matrixmn|a}} + {{op:Matrixmn|b}} || \begin{pmatrix} a_{11 } +b_{11} & a_{1 2} +b_{12} & \ldots & a_{1 {{{n|n}}} } +b_{1n}\\ a_{21 } +b_{21} & a_{2 2} +b_{22} & \ldots & a_{2 {{{n|n}}} } +b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ {{{m|m}}} 1 } +b_{m1} & a_{ {{{m|m}}} 2 } +b_{m2} & \ldots & a_{ {{{m|m}}} {{{n|n}}} } +b_{mn} \end{pmatrix} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | r {{op:Matrixmn|a}} || {{op:Matrixmn|ra}} || || || |SZ=. }} Die Matrizenmultiplikation wird folgendermaßen definiert. {{ inputdefinition |Matrizenmultiplikation/Definition|| }} Eine solche Matrizenmultiplikation ist also nur möglich, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Als Merk{{drucktrenn}}regel kann man das Schema {{ Relationskette/display | (Z E I L E) {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} || (ZS+EP+IA+L^2+ET) || || || |SZ= }} verwenden, das Ergebnis ist eine {{math|term= 1 \times 1 |SZ=-}}Matrix. Die beiden soeben angeführten Matrizen kann man auch in der anderen Reihenfolge multiplizieren {{ Zusatz/Klammer |text=was nicht immer möglich ist| |ISZ=|ESZ= }} und man erhält {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|S|P|A|L|T}} (Z E I L E) || {{Op:Matrix55|SZ|SE|SI|SL|SE|PZ|PE|PI|PL|PE|AZ|AE|AI|AL|AE|LZ|LE|LI|L^2|LE|TZ|TE|TI|TL|TE}} || || || |SZ=. }} Insbesondere kann man eine {{mathl|term= m \times n |SZ=-}}Matrix {{math|term= A |SZ=}} mit einem Spaltenvektor der Länge {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=von rechts| |ISZ=|ESZ= }} multiplizieren, und erhält dabei einen Spaltenvektor der Länge {{math|term= m |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Matrizenmultiplikation/1/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung||zusatz2={{{zusatz1|}}} }} {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term= E_n |SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Relationskette | E_n M || M || M E_n || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term= n\times n |SZ=-}}Matrix {{math|term= M |SZ=.}} Sie ist also das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von quadratischen Matrizen. {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} f802t4vcig581olapibd18rvjifhapm 0 106578 1092160 1018761 2026-06-01T13:01:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092160 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien Variablen {{mathl|term= X_1 {{kommadots|}} X_n |SZ=}} und eine Familie von binomialen Gleichungen {{ Relationskette/display |X^{\mu_j} ||X^{\nu_j} || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette |j |\in|J || || || |SZ= }} gegeben. Zum Ideal {{ Relationskette/display | {{makl|X^{\mu_j} - X^{\nu_j} , j \in J |}} |\subseteq| K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] || || || |SZ= }} gehören neben anderen Polynomen auch noch viele weitere binomiale Polynome und im Restklassenring, also dem {{ Definitionslink |affinen Koordinatenring| |Kontext=| |SZ= }} der durch die binomialen Gleichungen definierten affin-algebraischen Menge gelten noch weitere binomiale Identitäten. Wenn beispielsweise {{mathl|term= X^2-Y^3 |SZ=}} zur definierenden Familie gehört, so gilt auch {{ Relationskette/display |YX^2 ||Y^4 || || || |SZ= }} und wenn auch noch {{mathl|term= X^2-Z^5 |SZ=}} dazu gehört, so gilt im Restklassenring auch {{ Relationskette/display |Y^3 ||Z^5 || || || |SZ=. }} Diese Gleichungen haben nichts mit dem gewählten Grundkörper oder Grundring zu tun, sie beruhen vielmehr auf Identitäten in den Exponententupeln {{math|term= \nu \in \N^n |SZ=.}} Die Gleichheit {{ Relationskette/display |X^\mu || X_1^{\mu_1} \cdots X_n^{\mu_n} || X_1^{\nu_1} \cdots X_n^{\nu_n} || X^{\nu} || |SZ=, }} die im Restklassenring gilt, kann man so verstehen, dass auf der Exponentenebene die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Zeilentupel|{\mu_1}| \ldots | {\mu_n} |}} || {{op:Zeilentupel|{\nu_1}| \ldots | {\nu_n} |}} || || || |SZ= }} gelten soll. Da die Gleichheit {{ Relationskette |X^\mu || X^{\nu} || |SZ= }} im Restklassenring auch die Gleichheit {{ Relationskette | X^\mu X^\lambda || X^{\nu} X^\lambda || |SZ= }} für alle Exponententupel {{math|term= \lambda|SZ=}} erzwingt, sollte auf der Ebene der Exponenten die Gleichheit {{ Relationskette/display | \mu + \lambda || \nu + \lambda || || || |SZ= }} gelten. Man beachte, dass man diese Gleichheit additiv schreiben muss, da eine Addition der Exponenten der Multiplikation der Monome entspricht. Wir fragen uns, was das richtige Konzept für eine Exponentenmenge ist, und wie man aus ihr bei gegebenem Grundring {{math|term= K |SZ=}} eine Algebra konstruieren kann, in der dann genau die durch die in der Exponentenmenge codierten Gleichungen für die Monome gelten. {{ Math/display|term= \begin{matrix} \text{ Exponententupel } & & \text{ Algebra } \\ \N^n & \stackrel{?} { \mapsto} & K[X_1 {{kommadots|}} X_n ] \\ ? & \stackrel{?} { \mapsto} & K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{makl|X^{\mu_j} - X^{\nu_j} , j \in J |}}\end{matrix} |SZ=. }} Diese Fragestellung führt zu Monoidringen. Da auf der Algebraseite eine Restklassenbildung {{ Zusatz/Klammer |text=modulo dem binomialen Ideal| |ISZ=|ESZ= }} vorliegt, kann man sich fragen, wie auf der Exponentenseite eine entsprechende Konstruktion aussehen muss. Zwar ist {{math|term= \N^n |SZ=}} keine Gruppe, es ist aber dennoch einfach, ein passendes Konzept zu entwickeln. {{ inputdefinition |Kommutatives Monoid/Äquivalenzrelation/Verträglich/Definition|| }} Es lässt sich direkt zeigen, dass auf der {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M/ \sim|SZ=}} zu einer mit der Verknüpfung verträglichen Äquivalenzrelation eine eindeutig bestimmte Monoidstruktur derart existiert, dass die kanonische Abbildung {{ Abbildung |name= |M|M/ \sim || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Monoidhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutatives Monoid/Verträgliche Äquivalenzrelation/Monoidstruktur/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der binomialen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der kommutativen Monoidringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i6fzt7ffyae8g7gseimj9fppc9ahpyu 0 106585 1092248 957039 2026-06-01T13:16:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092248 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Polynom/Q/Ganzwertig/Definition|| }} Funktionen aus der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie, die die {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} oder die {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Modul| |SZ= }} einer Reihe von algebraischen Objekten zählen, haben häufig für negative Argumente den Wert {{math|term= 0 |SZ=,}} verhalten sich dann auf einem gewissen Bereich {{Anführung|chaotisch|}} und verhalten sich für {{Anführung|große Argumente}} {{ Zusatz/Klammer |text=ab einem bestimmten {{math|term= n_0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} polynomial. Dies wird durch die folgende Definition ausgedrückt. {{ inputdefinition |Funktion/Z nach Z/Polynomialer Typ/Definition|| }} Wenn dabei {{math|term= P |SZ=}} den Grad {{math|term= d |SZ=}} besitzt, so sagt man auch, dass {{math|term= f |SZ=}} vom polynomialen Typ vom Grad {{math|term= d |SZ=}} ist. Polynomialer Typ vom Grad {{math|term= 0 |SZ=}} bedeutet letztlich konstant, polynomialer Typ vom Grad {{math|term= 1 |SZ=}} bedeutet letztlich linear. {{ inputdefinition |Ganzzahlige Funktionen/Differenzoperator/Definition|| }} Die Abbildung {{math|term= \Delta|SZ=,}} die einer Funktion ihre Differenzfunktion zuordnet, heißt {{Stichwort|Differenzoperator|SZ=.}} In gewisser Hinsicht ist der Differenzoperator analog zum Ableitungsoperator. Ein Polynom ist dadurch gekennzeichent, dass eine höhere Ableitung davon die Nullfunktion wird. Ein entsprechender Zusammenhang gilt auch für Funktionen vom polynomialen Typ. {{ inputfaktbeweis |Polynom/Q/Ganzwertig/Differenzoperator/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynom/Q/Ganzwertig/Binomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynom/Q/Ganzwertig/Multiplizität/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ganzwertigen Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nz1kk4mqhztu9khc0e1wxpj8ocpmvia 0 106726 1092551 1019716 2026-06-01T14:05:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092551 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} sind die {{ Zusatz/Klammer |text=erzeugenden| |ISZ=|ESZ= }} Matrizen von der Form {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|u|- {{op:Komplexe Konjugation|v|}}|v| {{op:Komplexe Konjugation|u|}} }} |SZ=, }} d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=komplex| |SZ= }} auf dem {{math|term= {{CC}}^n |SZ=}} ist durch {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt|w|z}} || \sum_{i {{= }} 1}^n w_i {{op:Komplexe Konjugation|z_i |}} || || || |SZ= }} definiert. Eine lineare Abbildung {{ Abbildung |name=f |{{CC}}^n |{{CC}}^n || |SZ= }} heißt {{Stichwort|unitär|SZ=,}} wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt|f(w)|f(z)}} || {{op:Skalarprodukt|w|z}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |w,z | \in | {{CC}}^n || || || |SZ= }} gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen. {{ inputdefinition |C^n/Skalarprodukt/Unitäre Gruppe/Definition|| }} {{ inputdefinition |C^n/Skalarprodukt/Spezielle unitäre Gruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |SU2C/Element der Ordnung 2/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der unitären Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} krxv27e3qtzbxkptgeptgwpgs528t7w 0 106730 1092548 1019705 2026-06-01T14:05:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092548 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die projektive komplexe Gerade {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} |SZ=}} ist die Menge aller Geraden im {{math|term= {{CC}}^2 |SZ=}} durch den Nullpunkt; sie ist topologisch betrachtet eine Sphäre {{math|term= S^2 |SZ=.}} Diesen Zusammenhang kann man explizit machen, indem man als Zwischenschritt mit {{mathl|term= {{CC}} \cup \{\infty\} |SZ=}} arbeitet. Diese erweiterte komplexe Ebene steht einerseits mit der projektiven Geraden {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= {{CC}} |SZ=}} ist eine affine Karte der projektiven Gerade, die den {{Anführung|unendlich fernen Punkt|}} {{math|term= \infty|SZ=}} nicht enthält| |ISZ=|ESZ= }} und andererseits mit der Sphäre über die {{ Definitionslink |stereographische Projektion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kugeloberfläche/Stereographische Projektion/Einführung zum Mannigfaltigkeitsbegriff/Beispiel |SZ= }} in Bijektion {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \infty |SZ=}} entspricht dabei dem Nordpol| |ISZ=|ESZ=. }} Eine komplexe Zahl {{ Relationskette | u |\in| {{CC}} || || || |SZ= }} definiert die von {{ Relationskette | (u,1) |\in| {{CC}}^2 || || || |SZ= }} erzeugte Gerade und damit den Punkt {{ Zusatz/Klammer |text=in homogenen Koordinaten| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= (u:1) |SZ=}} der komplex-projektiven Geraden {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} |SZ=.}} Die Umkehrabbildung ist durch {{mathl|term= (u:v) \mapsto {{op:Bruch|u|v}} |SZ=}} gegeben, die für {{ Relationskette |v |\neq|0 || || || |SZ= }} definiert ist. Dem Punkt {{mathl|term= (1,0) |SZ=}} entspricht der unendlich ferne Punkt {{math|term= \infty|SZ=.}} Die Umkehrabbildung der stereographischen Projektion ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{{CC}} \cong \R^2| S^2 \setminus \{N\} |z {{=}} a+b {{Imaginäre Einheit}} | {{op:Bruch|1|1+ {{op:Betrag|z|}}^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 {{op:Realteil|z|}} |2 {{op:Imaginärteil|z|}} | {{op:Betrag|z|}}^2-1 }} {{=}} {{op:Bruch|1|1+ a^2 +b^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 a|2b|a^2+b^2-1}} |SZ=. }} Die Gesamtabbildung {{ Math/display|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} \setminus \{(1:0)\} \longrightarrow {{CC}} \longrightarrow S^2 \setminus \{N \} |SZ= }} besitzt insgesamt die Beschreibung {{ Math/display|term= (u:v) \longmapsto {{op:Bruch|1| 1+ {{op:Betrag| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 {{op:Realteil| {{op:Bruch|u|v}} |}} |2 {{op:Imaginärteil| {{op:Bruch|u|v}} |}} |{{op:Betrag| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2 -1 }} |SZ=. }} Mit {{ mathkor|term1= u=a+b {{Imaginäre Einheit}} |und|term2= v=c+d {{Imaginäre Einheit}} |SZ= }} schreibt man dies {{ Zusatz/Klammer |text=unter Verwendung von {{ Relationskette/k |{{op:Betrag|v|}}^2 || v {{op:Komplexe Konjugation|v|}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} als {{ Relationskette/align/drucklinks |{{op:Bruch|1| 1+ {{op:Betrag| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 {{op:Realteil| {{op:Bruch|u|v}} |}} |2 {{op:Imaginärteil| {{op:Bruch|u|v}} |}} |{{op:Betrag| {{op:Bruch|u|v}} |}}^2 -1 }} || {{op:Bruch|1|{{op:Betrag| u |}}^2+ {{op:Betrag| v |}}^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 {{op:Realteil| u {{op:Komplexe Konjugation|v|}} |}} |2 {{op:Imaginärteil| u {{op:Komplexe Konjugation|v|}} |}} |{{op:Betrag| u |}}^2 - {{op:Betrag| v |}}^2 }} || {{op:Bruch|1|a^2+ b^2 +c^2+d^2 }} {{op:Zeilenvektor|2 ac+2bd |2 bc-2ad|a^2+b^2-c^2-d^2 }} || || || |SZ=. }} Diese Formel zeigt, dass die Abbildung für alle {{ Relationskette | (u:v) |\in| {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} || || || || |SZ= }} definiert ist, wobei {{mathl|term= (1:0) |SZ=}} auf den Nordpol {{mathl|term= (0,0,1) |SZ=}} abgebildet wird. Es liegt also eine explizite Bijektion {{ Abbildung |name= | {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} | S^2 || |SZ= }} vor. Die Umkehrabbildung ist {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term=(x_1,x_2,x_3) \neq (0,0,1) |SZ=}} mit {{mathlk|term=x_1^2 + x_2^2 +x_3^2 = 1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} durch {{ Math/display|term= (x_1,x_2,x_3) \longmapsto {{op:Zeilenvektor|x_1+x_2 {{Imaginäre Einheit}} :1-x_3 |}} |SZ= }} gegeben. Wenn man eine normierte Repräsentierung dieses Punktes erhalten möchte, so muss man durch {{mathl|term= \sqrt{2-2x_3} |SZ=}} dividieren. Insbesondere erhält man eine explizite {{ Zusatz/Klammer |text=in den natürlichen Topologien stetige| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{{CC}}^2 \setminus \{(0,0)\}| S^2 || |SZ=, }} deren Fasern genau die punktierten komplexen Geraden sind. Die natürliche Operation der {{mathl|term= {{op:GLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} auf {{math|term= {{CC}}^2 |SZ=}} {{ Zusatz/Gs |text=und das gilt auch für jede endliche Untergruppe {{ Relationskette | G | \subseteq | {{op:GLG|2|{{CC}} }} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} induziert eine Operation auf der Menge der eindimensionalen Untervektorräume {{ Zusatz/Klammer |text=also der komplexen Geraden durch den Nullpunkt| |ISZ=|ESZ= }} und damit auf {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC}} |}} |SZ=.}} Eine Gerade {{ Relationskette |H |\subseteq | {{CC}}^2 || || || |SZ= }} wird durch {{ Relationskette | \sigma |\in| {{op:GLG|2| {{CC}} }} || || || |SZ= }} einfach auf die Bildgerade {{mathl|term= \sigma (H) |SZ=}} abgebildet. Eine Gerade {{mathl|term= \langle (u,v) \rangle |SZ=}} wird unter {{ Relationskette | \sigma || {{op:Matrix22|\ell|m|n|p}} || || || |SZ= }} auf die Gerade {{mathl|term= \langle (\ell u+ m v, n u + pv) \rangle |SZ=}} abgebildet, bzw. in homogenen Koordinaten {{ Math/display|term= (u:v) \longmapsto (\ell u+ m v: n u + pv) |SZ=. }} Dabei wirken Streckungen, also Abbildungen der Form {{mathl|term= {{op:Matrix22|s|0|0|s}} |SZ=}} mit {{ Relationskette | s | \neq | 0 || || || |SZ=, }} trivial auf der Menge der Geraden und auf der projektiven Geraden. Da man jede invertierbare Matrix als Produkt einer solchen Streckungsmatrix und einer invertierbaren Matrix mit Determinante {{math|term= 1 |SZ=}} schreiben kann, muss man im Wesentlichen die Operation der {{mathl|term= {{op:SLG|2|{{CC}}}} |SZ=}} auf der projektiven Geraden verstehen. Die einzige Matrix {{ Relationskette | M |\in| {{op:SLG|2| {{CC}} }} || || || |SZ= }} neben der Einheitsmatrix, die sämtliche Geraden auf sich selbst abbildet, ist {{ Relationskette/display | -E_2 || {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen Untergruppen von GLG |Kategorie2=Theorie der Hopf-Abbildung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bpnf3q17uq7ta2tyi7z1psyv1ws2uh5 0 107005 1092547 1036390 2026-06-01T14:05:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092547 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Zwischenüberschrift|Das Tensorprodukt von Moduln}} {{ inputdefinition |Moduln/Multilinear/Definition|| }} Bei {{ Relationskette | n || 2 || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|bilinear|SZ=.}} {{:Tensorprodukt/Moduln/Rechtsexaktheit/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Ringwechsel}} Wir betrachten jetzt den Fall des Tensorproduktes, wenn über {{math|term= R |SZ=}} ein {{math|term= R |SZ=-}}Modul {{math|term= M |SZ=}} und eine kommutative {{math|term= R |SZ=-}}Algebra {{math|term= R' |SZ=}} vorliegt. {{:Tensorprodukt/Moduln/Ringwechsel/Einführung/Textabschnitt|zusatz1= {{ inputbeispiel |Reeller Vektorraum/Komplexifizierung/Tensorprodukt/Beispiel|| }} }} {{ inputbeispiel |Integritätsbereich/Quotientenkörper/Tensorprodukt für Modul/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Algebra/Modul/Homomorphismenraum und Tensorierung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lsmalcq5tkoxs4clg2m3lu75k20k3v0 0 107168 1092439 1019489 2026-06-01T13:47:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092439 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Fakt|Satz|| || }} Wenn man {{math|term= \epsilon|SZ=}} kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes zwischen verschiedenen Nullstellen {{math|term= a_i |SZ=}} von {{math|term= P |SZ=}} wählt, so gibt es auch ein {{math|term= \delta|SZ=}} derart, dass jedes normierte Polynom, dass die angegebene Koeffizientenbedingung erfüllt, in {{mathl|term= {{op:Offener Ball|a_i |\epsilon}} |SZ=}} genau {{math|term= k_i |SZ=}} Nullstellen besitzt, wobei {{math|term= k_i |SZ=}} die Vielfachheit der Nullstelle {{math|term= a_i |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=}} sei. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jc068ap4v06wdbr5cfaiy0cv1zcypea 0 107493 1092324 982760 2026-06-01T13:28:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092324 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Assoziierter graduierter Ring/Definition|| }} Diese Verknüpfung ist wohldefiniert. Der assoziierte graduierte Ring ist {{ Definitionslink |Prämath=\N |graduiert| |Kontext=| |SZ= }} und von der ersten Stufe erzeugt. Diese Konstruktion erlaubt es häufig, Fragen für einen beliebigen kommutativen Ring auf eine graduierte Situation zurückzuführen. Wenn {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein endlich erzeugtes Ideal ist, so ist der graduierte Ring als Algebra endlich erzeugt, und zwar liefert ein Modulerzeugendensystem von {{mathl|term= {{ideala|}}/{{ideala}}^2 |SZ=}} ein Algebraerzeugendensystem, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Assoziierter graduierter Ring/Darstellung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wenn {{math|term= R |SZ=}} ein noetherscher lokaler Ring ist und man das maximale Ideale {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} nimmt, so erhält man eine {{ Definitionslink |standard-graduierte Algebra| |Kontext=| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Restekörper| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/ {{idealm|}} |SZ=}} als nullte Stufe. {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Assoziierter graduierter Ring/Beispiel|| }} Zu einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{ideala|}} |\subseteq| R || || || |SZ= }} besitzt die Folge der {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermoduln| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |M_n || {{ideala|}}^n M |\subseteq| M || || |SZ= }} die Eigenschaften {{ Aufzählung2 |{{ Relationskette |M_{n+1} |\subseteq| M_n || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n |\in| \N || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | {{ideala|}} M_n || M_{n+1} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |n |\in| \N || || || |SZ=. }} }} {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Modul/Ideal/Assoziierter graduierter Modul/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der assoziierten graduierten Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5f0lx0hi213657i7l52hnff4o5jq5lz 0 108175 1092112 1018647 2026-06-01T12:54:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092112 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Algebraische Derivation/Definition|| }} Die dabei verwendete Regel nennt man {{Stichwort|Leibniz-Regel|SZ=.}} Oft ist {{ Relationskette |M ||A || || || |SZ=. }} Für den Polynomring {{ Relationskette |A ||R[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} sind beispielsweise die {{math|term= i |SZ=-}}ten {{ Zusatz/Klammer |text=formalen| |ISZ=|ESZ= }} partiellen Ableitungen {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung||X_i |}} |SZ= }} {{math|term= R |SZ=-}}Derivationen von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= A |SZ=.}} Die Menge der Derivationen von {{math|term= A |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=}} ist in natürlicher Weise ein {{ Definitionslink |Prämath=A |Modul| |Kontext=| |SZ=. }} Er wird mit {{mathl|term= {{Op:Derivationenziel|A|M|R|}} |SZ=}} bezeichnet. {{ inputdefinition |Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition|| }} Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien {{math|term= A |SZ=-}}Modul {{math|term= F |SZ=}} mit {{ mathbed|term= da ||bedterm1= a\in A ||bedterm2= |SZ= }} als Basis und bildet den {{ Definitionslink |Prämath=A |Restklassenmodul| |Kontext=| |SZ= }} zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen {{ Math/display|term= d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A) |SZ= }} und {{ Math/display|term= d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A ) |SZ= }} erzeugt wird. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name=d |A |{{op:Kählermodul|A|R}} |a|d(a) {{=|}} da |SZ=, }} heißt die {{Stichwort|universelle Derivation|SZ=.}} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |SZ= }} handelt. {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| || }} Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche {{ Definitionslink |Prämath=A |Modulisomorphie| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |{{Op:Derivationenziel|A|M|R|}} |\cong| {{op:Hom|{{op:Kählermodul|A|R}}|M|A}} || || || |SZ= }} vorliegt. Insbesondere ist {{ Relationskette/display |{{Op:Derivationenziel|A|A|R|}} |\cong| {{op:Hom|{{op:Kählermodul|A|R}}|A|A}} || {{op:Dualraum|{{op:Kählermodul|A|R}}|}} || || |SZ=, }} wobei rechts der Dualmodul genommen wird. {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt|Lemma|| || }} Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei. Wenn {{math|term= R |SZ=}} ein Körper und {{math|term= A |SZ=}} der lokale Ring zu einem Punkt auf einer Varietät ist, so charakterisiert die Freiheit des Moduls sogar, dass der Punkt glatt ist, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix und regulär/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kähler-Differentiale/Nenneraufnahme/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Derivationen und Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d6jg7i1cacffxm4v3kxoq9h1hceanko 0 108261 1092297 1019030 2026-06-01T13:23:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092297 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Holomorphe Funktion/Entfaltung/Definition|| }} Statt Entfaltung spricht man auch von einer {{Stichwort|Deformation|SZ=}} oder einer {{Stichwort|Störung|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=.}} Den Raum {{math|term= V |SZ=}} nennt man dabei auch den Entfaltungsraum oder Deformationsraum oder Parameterraum. Typischerweise bezeichnet man die Koordinaten von {{math|term= U |SZ=}} mit {{ Relationskette |z ||(z_1 {{kommadots|}} z_n) || || || |SZ= }} und die Koordinaten von {{math|term= V |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die Deformationsparameter| |ISZ=|ESZ= }} mit {{ Relationskette |w ||(w_1 {{kommadots|}} w_m) || || || |SZ=. }} Die Definition bedeutet, dass man, wenn man {{ Relationskette |w || 0 || || || |SZ= }} setzt, die ursprüngliche Funktion {{math|term= f |SZ=}} zurückerhält, und dass man für fixiertes {{ Relationskette |w |\neq|0 || || || |SZ= }} eine variierte, deformierte, gestörte Version von {{math|term= f |SZ=}} erhält. Die Funktion {{ Abbildung |name=E(-,w) | U | {{CC|}} || |SZ=, }} wo also der Deformationsparameter {{math|term= w |SZ=}} fixiert ist, wird auch mit {{math|term= f_w|SZ=}} bezeichnet. Man spricht bei einer Entfaltung auch von einer {{Stichwort|Familie|SZ=}} von Funktionen {{ mathbed|term= f_w ||bedterm1= w \in V ||bedterm2= |SZ=. }} Die Grundidee ist, dass diese Deformationen helfen, das eigentliche {{math|term= f |SZ=}} zu verstehen. Den Graphen der Ausgangsfunktion {{math|term= f |SZ=}} erhält man aus dem Graphen zu {{math|term= E |SZ=}} zurück, indem man mit {{ Relationskette |w || 0 || || || |SZ= }} schneidet. {{ inputbemerkung |Holomorphe Funktion/Entfaltung/Affine Entfaltung/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Holomorphe Funktion/Entfaltung/Addition/Fasern/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Entfaltung zu Standardraum/Definition|| }} Diese Standardentfaltung ist in einem präzisierbaren Sinn die universelle Entfaltung, d.h. jede Entfaltung lässt sich in einem gewissen Sinne durch die Standardentfaltung erfassen. Dies werden wir hier nicht durchführen. Wenn {{math|term= f |SZ=}} ein Polynom ist, das eine isolierte Singularität definiert, so ist {{ Relationskette/display | {{CC|}} [X_1 {{kommadots|}} X_n]_{(X_1 {{kommadots|}} X_n)} /J_f |\cong| {\mathcal O}_n/J_f || || || |SZ= }} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/C/Lokalisiert/Holomorpher Ring/Flach/Ideal/Fakt |Nr= |SZ=, }} d.h. der Parameterraum zur Standardentfaltung lässt sich rein algebraisch beschreiben. Die {{math|term= 1 |SZ=}} kann man stets als ein Basiselement nehmen. Wenn man allerdings nur an Entfaltungen mit {{ Relationskette |f_w(0) || 0 || || || |SZ= }} interessiert ist, so kann man dies weglassen und spart eine Parameterdimension. {{ inputbeispiel |Variablenpotenz/Standardentfaltung/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Entfaltung/Kritische Punkte/Parameterabhängig/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Neilsche Parabel/Holomorphe Funktion/Standardentfaltung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Entfaltungen von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 485vx6z1znbiidm94cgzlw2i7wr5b5w 0 108365 1092686 1024722 2026-06-01T14:34:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092686 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |einfache Singularität| |msw= |SZ= }} einer holomorphen Funktion {{ Abbildung |name= f | U | {{CC|}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette | U | \subseteq | {{CC|}}^n || || || |SZ= }} offen| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9jq1dnnvj6y70c83g1wic5yyofalr2t 0 108370 1092701 963651 2026-06-01T14:36:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092701 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Höhe| |msw= |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Primideals| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1kivaq78sfq5cyzu7p2bepdv7vp6olr 0 108386 1092691 1024741 2026-06-01T14:35:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092691 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Jacobi-Matrix| |msw= |SZ= }} zu Polynomen {{ Relationskette | F_1 {{kommadots|}} F_m | \in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} im Punkt {{ Relationskette | P | \in | K^n || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ny2105pe8hl8xc4luz2aey09ti2p4e5 0 108393 1092687 1024724 2026-06-01T14:34:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092687 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Abfrage |Jacobiideal| |msw= |SZ= }} zu einem Polynom {{ Relationskette | F | \in | K[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hc1f584cpatyy4rmcwimtoqxitlk8mr 0 108396 1092700 963649 2026-06-01T14:36:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092700 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |assoziierte graduierte Ring| |msw= |SZ= }} zu einem Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} in einem kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hbl3v6mp6glg3qn9iv72zgo9ou9mirs 0 108397 1092708 1024795 2026-06-01T14:38:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092708 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Modul der Kählerdifferentiale| |msw= |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| A | R}} |SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebra| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hbout4iz6c63g330pedqv2bnf15onvg 0 108405 1092670 1024637 2026-06-01T14:31:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092670 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |nichtausgearteter| |msw= |SZ= }} kritischer Punkt einer zweimal differenzierbaren Funktion {{ Abbildung |name= f | U | {{KRC|}} || |SZ=, }} {{ Relationskette | U | \subseteq | {{KRC|}}^n || || || |SZ= }} offen. |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m4auudu4b38a3ffm2syafmyg0q8ozqa 0 108428 1092855 593598 2026-06-02T10:23:41Z Arbota 36910 Ersetzung 1092855 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Klassifikationssatz für endliche Untergruppen der {{mathl|term= {{op:SLG|2| {{CC|}} }} |SZ=.}} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 57zbwf0sq1159lnapnzojvm4s0uswyb 0 108655 1092420 983426 2026-06-01T13:44:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092420 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir nennen eine irreduzible abgeschlossene Teilmenge {{ Relationskette |Y |\subset|X || || || |SZ= }} der Kodimension {{math|term= 1 |SZ=}} in einem integren Schema {{math|term= X |SZ=}} einen {{Stichwort|Primdivisor|SZ=.}} Wenn {{math|term= X |SZ=}} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Schema| |SZ= }} und {{ Definitionslink |noethersch| |Kontext=Schema| |SZ= }} ist, so ist der lokale Ring {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X,\eta|}} |SZ=}} am generischen Punkt {{math|term= \eta|SZ=}} zu {{math|term= Y |SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |SZ=. }} Somit besitzt jedes Element {{ Relationskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} aus dem {{ Definitionslink |Funktionenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K(X) |SZ=}} eine wohlbestimmte Ordnung {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung|f|}} |SZ=}} längs {{math|term= Y |SZ=,}} die wir mit {{mathl|term= {{op:Bewertungsordnung|f|Y}} |SZ=}} bezeichnen. Wenn {{math|term= \pi|SZ=}} die {{ Definitionslink |Ortsuniformisierende| |Kontext=| |SZ= }} im diskreten Bewertungsring {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X,\eta|}} |SZ=}} bezeichnet, so kann man {{ Relationskette |f ||u \pi^n || || || |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=Ring| |SZ= }} {{math|term= u |SZ=}} aus dem Ring und {{ Relationskette |n |\in|\Z || || || |SZ= }} schreiben, und dieser Exponent {{math|term= n |SZ=}} ist die Ordnung von {{math|term= f |SZ=}} längs {{math|term= Y |SZ=}} heißt. Bei positiver Ordnung spricht man von einer Nullstelle, bei negativer Ordnung von einem Pol. Wenn {{ Relationskette |U || {{op:Spek|R|}} |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine offene affine Teilmenge mit {{ Relationskette |U \cap Y |\neq|\emptyset || || || |SZ= }} ist, so entspricht {{math|term= Y |SZ=}} einem Primideal {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Höhe| |Kontext=Primideal| |SZ= }} {{math|term= 1 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} und für den lokalen Ring gilt {{ Relationskette | {{op:Strukturgarbe|X,\eta|}} || R_{{idealp}} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Definition|| }} Der Hauptdivisor beschreibt also das Nullstellen- und das Polverhalten der Funktion {{math|term= f |SZ=.}} Wir zeigen zunächst, dass es sich bei einem Hauptdivisor um eine endliche Summe handelt. {{ inputfaktbeweis |Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Endlich/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Noethersches normales integres Schema/Weildivisor/Definition|| }} Ein Weildivisor ist eine freie Vorgabe für das {{Anführung|theoretisch mögliche}} Nullstellen- bzw Polverhalten einer rationalen Funktion, allerdings muss ein solche Vorgabe nicht durch eine Funktion realisiert werden können. Einen Divisor, bei dem sämtliche Zahlen {{ Relationskette |a_Y |\geq|0 || || || |SZ= }} sind, nennt man {{Stichwort|effektiv|msw=Effektiver Divisor|SZ=.}} Auf einer irreduziblen normalen {{ Zusatz/Klammer |text=also glatten| |ISZ=|ESZ= }} Kurve {{math|term= X |SZ=}} ist ein Primdivisor einfach ein abgeschlossener Punkt. Ein Weildivisor ist also in diesem Fall einfach eine endliche Summe {{mathl|term= \sum_{P\in X} n_P \cdot P |SZ=.}} {{ inputdefinition |Noethersches normales integres Schema/Weildivisorengruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Gruppenhomomorphismus/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Weildivisoren (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} dy6spmtjf7oy260i7mmucb6n02p7p7p 0 108684 1092150 981224 2026-06-01T13:00:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092150 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Beringter Raum/Kommutativ/Definition|| }} Ein beringter Raum wird oft in der Form {{mathl|term= (X, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} angegeben, wobei {{math|term= X |SZ=}} der zugrunde liegende Raum ist und {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=}} die Garbe von kommutativen Ringen ist. Diese heißt die {{Stichwort|Strukturgarbe|SZ=}} des beringten Raumes. Die Auswertung {{ Relationskette | \Gamma(U, {{op:Strukturgarbe|X}}) || {{op:Strukturgarbe|X}} (U) || || || |SZ= }} nennt man auch den {{Stichwort|Schnittring|SZ=}} zur offenen Menge {{ Relationskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} und {{mathl|term= \Gamma(U, {{op:Strukturgarbe|X}}) |SZ=}} den {{Stichwort|globalen Schnittring|msw=Globaler Schnittring|SZ=.}} Im Anschluss an {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Topologischer Raum/Prägarbe der stetigen Funktionen/Beispiel |Nr= |SZ= }} bzw. {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Prägarbe der differenzierbaren Funktionen/Beispiel |Nr= |SZ= }} haben wir die folgenden Standardbeispiele. {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Stetigen Funktionen/Beringter Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Stetige differenzierbare Funktion/Beringter Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Funktion/Beringter Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutativer Ring/Punkt/Beringter Raum/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Beringter Raum/Punkt/Halm/Definition|| }} Er wird mit {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe|X, P|}} |SZ=}} oder kurz mit {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe|P|}} |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der beringten Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1r2sntt5y84qn91sdo4qygimix6l6za 0 108694 1092449 1019519 2026-06-01T13:48:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092449 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette/display |A ||R[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} der Polynomring über {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= n |SZ=}} Variablen. Man denke insbesondere an den Fall, wo {{math|term= R |SZ=}} ein Körper ist. Wir betrachten die offene Menge {{ Relationskette/display |U || {{op:Affiner Raum|n|R}} \setminus V{{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} || D {{makl| X_1 {{kommadots|}} X_n |}} || \bigcup_{i {{=}} 1}^n D(X_i) || || |SZ=, }} wobei wir mit der angegebenen affinen Überdeckung mit den {{ Relationskette |D(X_i) || {{op:Spek|A_{X_i}|}} || || || |SZ= }} arbeiten werden. Der {{ Definitionslink |Čech-Komplex| |Kontext=| |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Prämath=A |Modul| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=}} zu dieser Überdeckung hat somit die Gestalt {{ Math/display|term= \prod_{1 \leq i \leq n } M_{X_i} \longrightarrow \prod_{1 \leq i < j \leq n } M_{X_iX_j} \longrightarrow \prod_{1 \leq i <j<k \leq n } M_{X_iX_jX_k} \longrightarrow \cdots \longrightarrow M_{X_1 \cdots X_n} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Komplex|p|D(X_i)|{{op:Modulgarbespektrum|M|}} }} || \prod_{1 \leq i_0 < i_1 < \cdots i_p \leq n} M_{X_{i_0} \cdots X_{i_p} } || || || |SZ= }} und die {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Čech-Kohomologie| |Kontext=| |SZ= }} ist die Homologie des oben ausgeschriebenen Komplexes. Komponentenweise sind die Abbildungen dabei einfach die kanonischen Abbildungen in die Nenneraufnahmen {{ Zusatz/Klammer |text=es wird jeweils eine zusätzliche Variable als Nenner aufgenommen| |ISZ=|ESZ=, }} allerdings werden diese noch mit einem Vorzeichen versehen, wie das in der Definition des Čech-Komplex festgelegt wurde. Wir beschreiben diese Komplexe für die Strukturgarbe {{ Zusatz/Klammer |text=also| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/k | M ||A || || || |SZ= }} genauer, wobei es hilfreich ist, die Komplexe durch die feine Monomgraduierung, wo mit der Gruppe {{math|term= \Z^n |SZ=}} graduiert wird, in einfachere Komplexe aufzuspalten. Wir betrachten zuerst die kleinen Dimensionen. {{ inputbeispiel |Polynomring/2/Cech-Kohomologie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/3/Cech-Kohomologie/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/n/Cech-Kohomologie/Berechnung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Čech-Kohomologie für Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qd173mrsijv54y52yb3146swl5tbhon 0 108763 1092276 1018998 2026-06-01T13:20:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092276 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das projektive Spektrum wird üblicherweise für {{ Definitionslink |Prämath=\N |graduierte Ringe| |Kontext=| |SZ= }} eingeführt. Da man aber in der Konstruktion Nenneraufnahmen an homogenen Elementen betrachtet, wobei auch negative Grade auftreten, ist es sinnvoller, von Anfang an mit {{math|term= \Z|SZ=-}}Graduierungen zu arbeiten. {{ inputdefinition |Graduierter Ring/Z/Irrelevantes Ideal/Definition|| }} Im positiv-graduierten Fall ist dies einfach das Ideal {{mathl|term= \bigoplus_{n \geq 1 } R_n |SZ=.}} Bei negativen Graden kann es auch das Einheitsideal sein. {{ inputdefinition |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Definition|| }} {{ inputdefinition |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Zariski-Topologie/Definition|| }} Es handelt sich in der Tat um eine Topologie. Es ist {{ Relationskette/display |D_+( {{ideala|}}) || \bigcup_{f \in {{ideala|}} \text{ homogen} } D_+(f) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |D_+(f) || {{Mengebed| {{idealp|}} \in {{op:Proj|R|}}| f \notin {{idealp|}} }} || || || |SZ=. }} Diese {{mathl|term= D_+(f) |SZ=}} bilden eine Basis der Topologie. {{ inputdefinition |Polynomring/Projektives Spektrum/Projektiver Raum/Definition|| }} Zu einem {{math|term= \Z|SZ=-}}graduierten Ring {{math|term= S |SZ=}} bezeichnet man den Ring der nullten Stufe mit {{math|term= S_0 |SZ=.}} Wenn {{math|term= R |SZ=}} {{math|term= \N|SZ=-}}graduiert ist, so ist {{math|term= R_0 |SZ=}} häufig ein einfacher Ring, beispielsweise ein Körper, aber wenn {{ Relationskette |f |\in|R || || || |SZ= }} ein homogenes Element mit einem positiven Grad ist, so ist die Nenneraufnahme {{math|term= R_f|SZ=}} in natürlicher Weise {{math|term= \Z |SZ=-}}graduiert und {{math|term= {{makl| R_f |}}_0 |SZ=}} kann beliebig kompliziert sein. Zu einem homogenen Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= R \setminus {{idealp|}} |SZ=}} ein multiplikatives System und entsprechend ist der Durchschnitt von {{math|term= R \setminus {{idealp|}} |SZ=}} mit der Menge aller homogenen Elemente ein multiplikatives System. Der Ring der nullten Stufe zu dieser Nenneraufnahme spielt eine besondere Rolle, er wird mit {{ Relationskette/display | R_{ ( {{idealp|}} )} || ( R_{ (R \setminus {{idealp}}) \cap \{ \text{homogene Elemente} \} })_0 || || || |SZ= }} bezeichnet. {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Homogenes Primideal/Lokalisierung/Nullte Stufe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Strukturgarbe/Definition|| }} Diese Definition beinhaltet insbesondere, dass in jeder Darstellung die Differenz {{mathl|term= {{op:Grad|a|}} - {{op:Grad|b|}} |SZ=}} gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Man kann dies als Vergarbung der durch {{Math/display|term=D_+( {{ideala|}} ) \mapsto {{op:Kolimes|(R_f)_0 | D_+( {{ideala|}} ) \subseteq D_+(f)| }} |SZ=}} definierten Prägarbe auffassen, wodurch klar wird, dass eine Garbe aus kommutativen Ringen vorliegt. {{ inputdefinition |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Schema/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Homogene Einheit/Homöomorphie/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Hauptmenge/Schema/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Projektiver Raum/Schema/Affine Räume/Überdeckung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der projektiven Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} e94p25kacin3kge3nm9j1l0e8pq3cnq 0 108808 1092254 957043 2026-06-01T13:16:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092254 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Schema/Geometrisches Vektorbündel/Schnitte/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Schema/Geometrisches Vektorbündel/Schnitte/Lokal frei/Fakt|Lemma|| || }} Geometrische Vektorbündel und lokal freie Garben sind im Wesentlichen äquivalente Objekte. {{ inputfaktbeweis |Schema/Lokal freie Garben und Vektorbündel/Äquivalenz/Fakt|Satz|| || }} Die freie Garbe vom Rang {{math|term= r |SZ=}} entspricht unter dieser Äquivalenz dem affinen Raum {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|r|X}} |SZ=}} über {{math|term= X |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Vektorbündel auf Schemata |Kategorie2=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} m1box17lal8gx7ocognaw8nm3qzy62q 0 108823 1092540 1019662 2026-06-01T14:03:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092540 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Schema/Morphismus/Definition|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Lokal beringter Raum/Affines Schema/Morphismus/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Ringhomomorphismus/Spektrumsabbildung/Morphismus/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Lokal beringter Raum/Spek Z/Kanonischer Morphismus/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Lokal beringter Raum/Globale Funktion/Affine Gerade/Morphismus/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lokal beringter Raum/Affiner Raum/Morphismus/Fakt|Korollar|| || }} Ein Morphismus in einen affinen Raum ist also nichts anderes als ein Tupel von globalen Funktionen. Wenn {{ Abbildung/display |name=\varphi |X|Y || |SZ= }} ein Morphismus ist, so ist für jede offene Teilmenge {{ Relationskette |V |\subseteq|Y || || || |SZ= }} auch die induzierte Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\varphi^{-1}(V)|V || |SZ= }} ein Morphismus. Wenn {{math|term= V |SZ=}} zusätzlich affin ist, so wird ein solcher Morphismus lokal {{ Zusatz/Klammer |text=bezogen auf {{math|term= Y |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokal beringter Raum/Affines Schema/Morphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} durch einen Ringhomomorphismus gegeben. Dies bedeutet, dass ein Schemamorphismus {{ Abbildung |name= \varphi |X|Y || |SZ= }} mit Hilfe einer affinen Überdeckung {{ Relationskette/display |Y || \bigcup_{i \in I} V_i || \bigcup_{i \in I} {{op:Spek|R_i |}} || || |SZ= }} im Wesentlichen durch die Ringhomomorphismen {{ Abbildung/display |name= |R_i | {{op:SchnittringX| \varphi^{-1}(V_i) |}} || |SZ= }} bestimmt ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ijqhmpasepj59qhcw7blx3xt5vt36kl 0 108927 1092277 982386 2026-06-01T13:20:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092277 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Graduierter Modul/Affin/Graduierung auf homogenen Mengen/Fakt|Lemma|| || }} Es ergibt keinen Sinn, zu sagen, dass {{math|term= {{op:Modulgarbespektrum|M|}} |SZ=}} als Ganzes graduiert ist, da dies auf beliebigen offenen Mengen, die nicht von einem homogenen Ideal herrühren, nicht definiert ist. Allerdings erlaubt es die Graduierung auf den homogenen Teilmengen, auf dem zu {{math|term= R |SZ=}} gehörenden projektiven Spektrum eine Modulgarbe zu definieren. {{ inputdefinition |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Definition|| }} Für einen graduierten {{math|term= R |SZ=-}}Modul {{math|term= M |SZ=}} und ein homogenes Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} setzen wir {{ Relationskette |M_{({{idealp}}) } || {{makl| M_{h \text{ homogen}, h \notin {{idealp}} } |}}_0 || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Graduierter Modul/Garbe/Quasikohärenz/Fakt|Lemma|| || }} Die letzte Aussage bedeutet, dass im Allgemeinen der globale Schnittmodul von {{math|term= {{op:Modulgarbeprojektivesspektrum|M|}} |SZ=}} auf {{math|term= Y |SZ=}} nicht unmittelbar aus {{math|term= M |SZ=}} berechnet werden kann. {{ inputdefinition |Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarben/Beispiel|| }} Für den projektiven Raum haben wir schon in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Projektiver Raum/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Beispiel |Nr= |SZ= }} gesehen, dass diese Garben invertierbar sind. Dies gilt auch allgemein. {{ inputfaktbeweis |Standard-graduierter Ring/Projektives Spektrum/Verschiebung/Twist/Invertierbar/Fakt|Lemma|| || }} Die getwisteten Strukturgarbe {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|n}} |SZ=}} sind für das projektive Schema {{ Relationskette |Y || {{op:Proj|R|}} || || || |SZ= }} charakteristische, allerdings vom graduierten Ring {{math|term= R |SZ=}} abhängige invertierbare Garben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der projektiven Spektren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l9z6fvypht0zziz6ii27r6jh5wx5b38 0 108961 1092461 983621 2026-06-01T13:50:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092461 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/Getwistete Strukturgarbe/Garbenkohomologie/Fakt|Satz|| || }} Speziell ist für die {{ Definitionslink |kanonische Garbe| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|R}}| -d-1}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektiver Raum/K/Kanonische Garbe/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | H^d {{makl| {{op:Projektiver Raum|d|R}} , {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|R}}| -d-1}} |}} || R X_0^{-1}X_1^{-1} \cdots X_n^{-1} |\cong| R || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | H^d {{makl| {{op:Projektiver Raum|d|R}} , {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektiver Raum|d|R}}|n}} |}} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |n |>| -d-1 || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Projektive Varietät/Quasikohärente Garbe/Vorschub/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Projektive Varietät/Kohärente Garbe/Endlichkeitssatz/Fakt|Satz|| || }} Man beachte, dass es um {{math|term= R |SZ=-}}Moduln geht, nicht um Moduln über dem Koordinatening von {{math|term= X |SZ=.}} Im wichtigsten Fall, wenn {{math|term= R= K |SZ=}} ein Körper ist, handelt es sich also bei den Kohomologiegruppen um endlichdimensionale Vektorräume über {{math|term= K |SZ=.}} Deren Dimensionen sind natürliche Zahlen, die den kohärente Garben auf {{math|term= X |SZ=}} zugeordnet werden und für diese in gewisser Weise charakteristisch sind. Wenn man die Strukturgarbe oder die Tangentialgarbe auf {{math|term= X |SZ=}} nimmt, so erhält man Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Invarianten| |ISZ=|ESZ=, }} die für {{math|term= X |SZ=}} selbst charakteristisch sind. In diesem Zusammenhang setzt man abkürzend {{ Relationskette/display | h^i( {{op:Garbe|F|}} ) || {{op:Vektorraumdimension|H^i(X, {{op:Garbe|F|}}) |}} || || || |SZ=. }} Beispielsweise ist für eine glatte projektive Kurve {{math|term= X |SZ=}} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper {{math|term= K |SZ=}} die Vektorraumdimension von {{mathl|term= H^1 (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) |SZ=}} das sogenannte {{Stichwort|Geschlecht|SZ=}} der Kurve. Dies ist die wichtigste Invariante, wobei im komplexen Fall ein unmittelbarer Zusammenhang mit der topologischen Gestalt der Kurve {{ Zusatz/Klammer |text=als komplex eindimensionale, reell zweidimensionale Mannigfaltigkeit| |ISZ=|ESZ= }} besteht. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Garbenkohomologie für projektive Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gh8v56vrjjjekeic7qn8j8uomxh7se8 0 108986 1092539 1005410 2026-06-01T14:03:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092539 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Beringter Raum/Lokal freie Garbe/Definition|| }} Für {{ Relationskette |r ||1 || || || |SZ= }} erhält man die invertierbaren Garben, diese sind einfach die lokal freien Garben vom Rang {{math|term= r |SZ=.}} Die einfachsten lokal freien Garben sind die {{Stichwort|freien Garben|msw=Freie Garbe|SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:Strukturgarbe|X|}}^r|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu {{ Relationskette/k | r |\in| \N || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Gemäß der Definition ist eine lokal freie Garbe lokal, also auf einer Überdeckung aus offenen Mengen, frei. Lokal lassen sich also freie Garben und lokal freie Garben nicht unterscheiden. Lokal freie Garben reflektieren daher globale Eigenschaften des beringten Raumes {{math|term= X |SZ=.}} Wir betrachten lokal freie Garben auf Schemata, wo sich enge Beziehungen zu projektiven und flachen Moduln ergeben. Lokal freie Garben sind insbesondere {{ Definitionslink |kohärente Moduln| |Kontext=| |SZ=. }} Über einem lokalen Ring sind alle lokal freien Garben frei, da das Spektrum nur einen abgeschlossenen Punkt enthält und dieser nur die Gesamtmenge als offene Umgebung besitzt. Wenn man jedoch zu einem lokalen Ring das {{ Definitionslink |punktierte Spektrum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |U || D( {{idealm|}} ) || {{op:Spek|R|}} \setminus \{ {{idealm|}} \} || || |SZ= }} betrachtet, so gibt es darauf in der Regel viele nichttriviale {{ Zusatz/Klammer |text=nichtfreie| |ISZ=|ESZ= }} lokal freie Garben, die Eigenschaften des lokalen Ringes {{ Zusatz/Klammer |text=der Singularität| |ISZ=|ESZ= }} widerspiegeln. Da jedes Schema durch affine Schemata überdeckt wird, muss man insbesondere zuerst die lokal freien Garben auf einem affinen Schema verstehen. {{ inputfaktbeweis |Endlich erzeugter Modul/Lokal freie Garbe/Charakterisierungen von lokal/Fakt|Satz|| }} Das Beispiel aus {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutativer Ring/Nicht noethersch/Moduln/Homomorphismus/Lokalisierungsphänomene/Aufgabe |Nr=4 |SZ= }} zeigt, dass es bei einem nichtnoetherschen Ring {{math|term= R |SZ=}} einem Modul {{math|term= M |SZ=}} mit {{ Relationskette | M_{{idealp|}} || R_{{idealp|}} || || || |SZ= }} geben kann, ohne dass diese Isomorphie auf eine offene Umgebung fortsetzbar ist. Wir setzen lokal freie Moduln in Bezug zu projektiven Moduln. {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Projektiv/Universell/Definition|| }} Ein Modul ist genau dann projektiv, wenn er ein direkter Summand von einem freien Modul ist. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Lokal/Projektiver Modul/Frei/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Noethersch/Lokal frei/Projektiv/Fakt|Lemma|| }} Es gilt ferner der folgende Satz, den wir nicht beweisen. {{ inputfakt |Endlich erzeugter Modul/Lokal frei/Projektiv und flach/Fakt|Satz|| }} Mit dem folgenden Satz erhält man viele lokal freie Garben, die im Allgemeinen nicht trivial sind. {{ inputfaktbeweis |Schema/Lokal freie Garben/Surjektiv/Kern/Fakt|Satz|| }} {{ inputbemerkung |Affines Schema/Syzygiengarbe zu Idealerzeugern/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokal freien Garben auf Schemata |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3nrjions42ryefrwjxk6kqapbkekn54 0 109036 1092479 595380 2026-06-01T13:53:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092479 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Prägarbe/Vergarbung/Definition|| }} Die in dieser Definition auftretende Bedingung, dass die Schnitte die gleichen Keime in den Halmen definieren, nennt man auch die {{Stichwort|Kompatibilitätsbedingung|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Prägarbe/Vergarbung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Garbentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} og82qsi8ksp394uh5nu9qinz2522scl 0 109038 1092376 1019302 2026-06-01T13:36:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092376 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Lokal beringter Raum/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Lokal beringter Raum/Beispiel|| }} Entsprechendes gilt auf einer reellen oder komplexen Mannigfaltigkeit. {{ inputdefinition |Lokal beringter Raum/Punkt/Restekörper/Definition|| }} Der Restekörper bei einem topologischen Raum versehen mit der Garbe der stetigen Funktionen ist einfach {{math|term= \R|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Restekörper/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Lokal beringter Raum/Funktion/Auswertung/Definition|| }} IN einem lokal beringten Raum hat man zu jedem {{ Relationskette |f |\in| \Gamma(X, {{op:Strukturgarbe|X|}} ) || || || |SZ= }} und jedem Punkt {{ Relationskette |P |\in|X || || || |SZ= }} die Äquivalenz {{ Relationskette |f(P) || 0 || || || |SZ= }} in {{math|term= {{op:Restekörper|P}} |SZ=}} genau dann, wenn {{ Relationskette |f_P |\in| {{idealm|}}_P || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{math|term= f_P |SZ=}} ist keine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= {\mathcal O}_{X,P} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokal beringten Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3kjhwqcaeexsfhybg6vm1wp5o7qftib 0 109040 1092071 980140 2026-06-01T12:47:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092071 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Noethersches normales integres Schema/Divisorenklassengruppe/Definition|| }} Für einen noetherschen normalen Integritätsbereich {{math|term= R |SZ=}} nennt man entsprechend {{ Relationskette | {{op:Divisorenklassengruppe|R|}} || {{op:Divisorenklassengruppe| {{op:Spek|R||}} |}} || || || |SZ= }} die {{Stichwort|Divisorenklassengruppe|SZ=}} des Rings {{math|term= R |SZ=.}} Im zahlentheoretischen Kontext, wenn {{math|term= R |SZ=}} der Ring der ganzen Zahlen in einer endlichen Erweiterung von {{math|term= \Q|SZ=}} ist, spricht man auch von der {{Stichwort|Idealklassengruppe|SZ=.}} Divisoren, die die gleiche Divisorenklasse definieren, heißen {{Stichwort|linear äquivalent|msw=Linear äquivalente Divisoren|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Faktoriell/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Projektiver Raum/Körper/Divisorenklassengruppe/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (normales Schema) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9a29xdrhcos63xh6mbntiwvkwiho5e6 0 109130 1092274 957064 2026-06-01T13:19:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092274 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Glatte projektive Kurve/Weildivisor/Grad/Definition|| }} Ohne Beweis teilen wir den folgenden Satz mit. {{ inputfakt |Glatte projektive Kurve/Hauptdivisor/Grad 0/Fakt|Satz|| || }} Daher faktorisiert der Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Weildivisorengruppe|C|}} | \Z | D | {{op:Weildivisorgrad|D|}} |SZ=, }} durch die Divisorenklassengruppe von {{math|term= C |SZ=.}} Daher ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputdefinition |Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Grad/Definition|| }} Dabei ist zugehörig so zu verstehen, dass dem Divisor {{math|term= D |SZ=}} die invertierbare Garbe {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|C|D}} |SZ=}} entspricht, dass also effektive Divisoren den Schnitten in der Garbe entsprechen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf glatten projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} sif68vu6qjkgx7qpcxr34ej4z9rk1fx 0 109253 1092493 1019583 2026-06-01T13:56:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092493 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Direkte Summe/Definition|| }} Wenn {{math|term= E |SZ=}} durch die Matrixbeschreibung {{ Abbildung/display |name= \varphi_{ij} | U_i \cap U_j | {{op:GLG|m|\R}} || |SZ= }} und {{math|term= F |SZ=}} durch die Matrixbeschreibung {{ Abbildung/display |name= \psi_{ij} | U_i \cap U_j | {{op:GLG|n|\R}} || |SZ=, }} so erhält man die Matrixbeschreibung von {{mathl|term= E \oplus F |SZ=,}} indem man die beiden Matrizen diagonal zu einer {{mathl|term= (m+n) \times (m+n) |SZ=-}}Matrix zusammensetzt und mit Nullen auffüllt. {{ inputdefinition |Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Tensorprodukt/Definition|| }} Bei gegebenen Matrixbeschreibungen erhält man die Matrixbeschreibung des Tensorproduktes durch das sogenannte {{ Definitionslink |Kroneckerprodukt| |Kontext=| |SZ=. }} Dabei wird jeder Eintrag der einen Matrix mit jedem Eintrag der anderen Matrix multipliziert. {{ inputdefinition |Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Äußeres Produkt/Definition|| }} Bei einer gegebenen Matrixbeschreibung von {{math|term= E |SZ=}} erhält man die Matrixbeschreibung des {{math|term= r |SZ=-}}ten äußeren Produktes, indem man sämtliche {{ Definitionslink |Determinanten| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath=r \times r |Untermatrizen| |Kontext=| |SZ= }} zu einer Matrix zusammenfasst. {{ inputdefinition |Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Determinantenbündel/Definition|| }} Das Determinantenbündel ist ein Geradenbündel. Die Matrixbeschreibung ist durch die Determinante gegeben. {{ inputdefinition |Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Homomorphismenbündel/Definition|| }} {{ inputdefinition |Reelle Vektorbündel/Topologischer Raum/Duales Bündel/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0xwkz7019alzaii2anu4lfrw1eh0rsu 0 109272 1092375 983138 2026-06-01T13:36:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092375 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten die reelle {{ Definitionslink |lineare Gleichung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |7u-5v+2w || 0 || || || |SZ=. }} Die Lösungsmenge {{ Relationskette/display |L || {{Mengebed|(u,v,w) \in \R^3|7u-5v+2w {{=|}} 0 }} |\subset| \R^3 || || |SZ= }} ist ein zweidimensionaler reeller Untervektorraum des {{math|term= \R^3 |SZ=.}} Das Lösen einer solchen linearen Gleichung bedeutet u.A. eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} für {{math|term= L |SZ=}} anzugeben, im vorliegenden Fall ist beispielsweise {{ Relationskette/display |L || \langle {{op:Spaltenvektor|5|7|0}}, {{op:Spaltenvektor|2|0|-7}} \rangle || || || |SZ=. }} Die Lösungsmethoden sind hierbei weitgehend {{ Zusatz/Klammer |text=siehe unten für Einschränkungen zu dieser Behauptung| |ISZ=|ESZ= }} unabhängig von den konkreten Koeffizienten der linearen Gleichung. Wenn man statt konkreter Zahlen die Koeffizienten in irgendeiner funktionalen Weise von Parametern abhängen lässt, so kann man sich fragen, inwiefern der Lösungsraum mit diesen Parametern variiert. Betrachten wir beispielsweise die von einem Parameter {{math|term= s |SZ=}} abhängige lineare Gleichung {{ Relationskette/display |7u-5v+ {{makl| s^2-3s-10 |}} w || 0 || || || |SZ=. }} Zu jedem {{math|term= s |SZ=}} hängt der Lösungsraum {{math|term= L_s|SZ=}} von {{math|term= s |SZ=}} ab, er ist nach wie vor ein zweidimensionaler Untervektorraum {{ Relationskette |L_s |\subset|\R^3 || || || |SZ=, }} der Lösungsraum ist eine mit {{math|term= s |SZ=}} wandernde Ebene im Raum. Man kann sich fragen, für welche {{math|term= s |SZ=}} der Vektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|5|-3|8}} |SZ=}} eine Lösung ist, also zu {{math|term= L_s|SZ=}} gehört. Oder, ob es verschiedene Parameter {{math|term= s,t|SZ=}} gibt, für die die Lösungsräume übereinstimmen, also {{ Relationskette |L_s ||L_t || || || |SZ= }} als Untervektorräume des {{math|term= \R^3 |SZ=}} gilt. Oder, ob es stets eine Basis des Lösungsraumes der Form {{mathl|term= \langle {{op:Spaltenvektor|a|b|0}}, {{op:Spaltenvektor|c|0|d}} \rangle |SZ=}} wie oben gibt. Oder, ob es stets einen Lösungsvektor der Form {{math|term= {{op:Spaltenvektor|1|0|e}} |SZ=}} gibt. Wir erinnern daran, dass der Lösungsalgorithmus für lineare Gleichungssysteme {{ Zusatz/Klammer |text=also die Gaußelimination| |ISZ=|ESZ= }} dann verzweigt, wenn gewisse Koeffizienten {{math|term= 0 |SZ=}} sind bzw. im Verlauf des Algorithmus {{math|term= 0 |SZ=}} werden. Die Gleichung {{ Relationskette/display |7u-5v+ 0 w || 0 || || || |SZ= }} besitzt den Lösungsraum {{ mathl|term= \langle {{op:Spaltenvektor|5|7|0}}, {{op:Spaltenvektor|0|0|1}} \rangle |SZ= }} und enthält keinen Vektor der Form {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0|e}} |SZ=.}} Da {{ Relationskette |s ||-2,5 || || || |SZ= }} Nullstellen des quadratischen Polynoms {{mathl|term= s^2-3s-10 |SZ=}} sind, wird in der obigen parametrisierten Gleichung für diese Parameterwerte die Gleichung zu {{ Relationskette |7u-5v+ 0 w || 0 || || || |SZ= }} und daher besitzt für diese beiden Werte der Lösungsraum {{math|term= L_s|SZ=}} keinen Vektor der Form {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0|e}} |SZ=.}} Für alle anderen Parameterwerte besitzt der Lösungsraum den Vektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|1|0| - {{op:Bruch|7|s^2-3s-10}} }} |SZ=.}} Ein gewisser Aspekt des Lösungsraumes hängt also selbst wieder funktional von dem Parameter ab. Es ist naheliegend, die Abhängigkeit einer linearen Gleichung oder eines linearen Gleichungssystems von Parametern in zwei Schritten zu untersuchen. Im ersten Schritt setzt man die Koeffizienten der Gleichungen selbst als Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=universelle Parameter| |ISZ=|ESZ= }} an und studiert, wie die Lösungsräume mit diesen Parametern variieren. Insbesondere möchte man qualitative Sprünge im Verhalten der Lösungsräume verstehen. In einem zweiten Schritt stellt man zusätzliche mehr oder weniger restriktive Bedingungen an die universellen Parameter oder man lässt diese funktional von anderen Parametern abhängen. {{ inputbeispiel |Lineare Gleichung/Zwei Variablen/Parameter/Trivialisierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Lineare Gleichung/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierungen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zwei lineare Gleichungen/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Vektorbündel auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4ewlm6n3hj6xu90ct55eumgtlqvrk8d 0 109477 1092537 1019657 2026-06-01T14:03:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092537 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Zugehöriger Morphismus/Definition|| }} {{ inputdefinition |Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Definition|| }} Wegen {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Lineares System/Basiswechsel/Projektiver Automorphismus/Aufgabe |Nr= |SZ= }} hängt der durch eine Familie von Schnitten gegebene Morphismus in erster Linie von dem davon erzeugten Untermodul ab {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere, wenn die Schnitte linear unabhängig sind, was man oft ohnehin fordert| |ISZ=|ESZ=. }} Bei {{ Relationskette |T || {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|L|}} }} || || || |SZ= }} spricht man von einem {{Stichwort|vollen linearen System|msw=Volles lineares System|SZ=.}} Ein lineares System hat eine geometrische Bedeutung. Jeder Schnitt {{ Relationskette |s |\in|T || || || |SZ= }} definiert den Invertierbarkeitsort {{math|term= X_s|SZ=}} und das Nullstellengebilde {{ Relationskette |Z(s) | {{defeq|}} |X \setminus X_s || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |s |\neq|0 || || || |SZ= }} ist {{math|term= Z(s) |SZ=}} eine abgeschlossene Teilmenge von {{math|term= X |SZ=}} der Kodimension {{math|term= 1 |SZ=,}} eine Hyperfläche von {{math|term= X |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an integres {{math|term= X |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Die Familie {{ mathbed|term= Z(s) ||bedterm1= s \in T ||bedterm2= s \neq 0 |SZ=, }} ist somit eine Familie von Hyperflächen, die dem linearen System zugeordnet ist {{ Zusatz/Klammer |text=oft nennt man dieses System das lineare System| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn {{math|term= X |SZ=}} {{ Definitionslink |normal| |Kontext=Schema| |SZ= }} ist, so kann man die {{math|term= Z(s) |SZ=}} als eine Familie von zueinander linear äquialenten Divisoren auffassen. {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/O(1)/Variablen/Zugehöriger voller Morphismus/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/O(2)/Variablen/Zugehöriger voller Morphismus/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Schema/Invertierbare Garbe/Lineares System/Basispunktfrei/Definition|| }} Dies wird hauptsächlich für Schemata über einem Körper verwendet. Man sagt dann auch, dass die Schnitte {{mathl|term= s_0,s_1 {{kommadots|}} s_n |SZ=}} basispunktfrei sind, wenn das von ihnen erzeugte lineare System basispunktfrei ist. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Global definiert/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Korrespondenz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Hyperebene/Urbild/Fakt|Lemma|| || }} Zur getwisteten Strukturgarbe {{mathl|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe|{{op:Projektiver Raum|n|R}}|1}} |SZ=}} gehört über die Familie aller globalen Schnitte {{math|term= \neq 0 |SZ=}} die Familie aller Hyperebenen im projektiven Raum. Ebenso gehört zu einer invertierbaren Garbe auf einem Schema über die Familie ihrer globalen Schnite {{math|term= \neq 0 |SZ=}} die Familie ihrer Nullstellengebilde. Unter der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Schema über R/Invertierbare Garbe/Schnitte/Morphismus in projektiven Raum/Korrespondenz/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebenen Korrespondenz sind die Urbilder der Hyperebenen gleich den Nullstellengebilden. Wenn {{math|term= \varphi|SZ=}} durch eine abgeschlossene Untervarietät faktorisiert, also {{mathl|term= X \rightarrow Y \subseteq {{op:Projektiver Raum|n|R}} |SZ=}} vorliegt, so sind auch die Nullstellengebilde Urbilder von Durchschnitten {{mathl|term= Y \cap H |SZ=}} mit einer Hyperebene {{math|term= H |SZ=.}} In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Projektive Gerade/O(2)/Variablen/Zugehöriger voller Morphismus/Beispiel |Nr= |SZ= }} etwa stimmt die Familie der Nullstellengebilde zum vollen linearen System aus {{math|term= {{op:Getwistete Strukturgarbe| {{op:Projektive Gerade|R|}} |2}} |SZ=}} mit der Familie der Durchschnitte {{ mathbed|term= V_+(uw-v^2) \cap H ||bedterm1= H \text{ Gerade} ||bedterm2= |SZ=, }} überein. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o4ugk0fmedeig48avmky9zy0rmkkya0 0 109494 1092377 1019308 2026-06-01T13:36:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092377 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeit/Offen/Fakt|Lemma|| || }} Die Menge der Punkte, für die {{math|term= f |SZ=}} als Element im Halm {{math|term= {\mathcal O}_P |SZ=}} nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist, muss hingegen nicht offen sein, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Irreduzibel/Restriktionsabbildung nicht injektiv/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Lokal beringter Raum/Funktion/Invertierbarkeitsort/Definition|| }} Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Beringter Raum/Einheit/Lokale Eigenschaft/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= f |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:SchnittringX|X_f|}} |SZ=}} eine Einheit. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokal beringten Räume |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf lokal beringten Räumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qgd9rjir9d2xup8uc31zslqdvsdmydi 0 109515 1092153 981248 2026-06-01T13:00:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092153 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:Homomorphismengarbe| {{op:Garbe|M|}}| {{op:Garbe|N|}} |U}} || {{op:Homomorphismen| {{op:Garbe|M|}} {{|}}_U | {{op:Garbe|N|}} {{|}}_U |}} || || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Garbe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modulgarbe/Dualer Modul/Definition|| }} {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modulgarben/Tensorprodukt/Definition|| }} Aufgrund der universellen Eigenschaft der Vergarbung gibt es eine kanonische Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|F|}} }} {{tensor| {{op:SchnittringX|U|}} }} {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} }} | {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|F|}} {{tensor| {{op:Strukturgarbe|X|}} }} {{op:Garbe|G|}} }} || |SZ=, }} die in den Halmen ein Isomorphismus ist. Der Halm ist dabei das Tensorprodukt der Halme, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Beringter Raum/Modulgarben/Tensorprodukt/Prägarbe/Halm/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qpgyswguamlb5z9a65079qdka6d0oqu 0 109642 1092329 1019105 2026-06-01T13:28:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092329 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutativer Ring/Komplex/Definition|| }} Dies bedeutet, dass an jeder Stelle {{ Relationskette/display | {{op:Bild|d_n |}} |\subseteq|{{op:Kern|d_{n-1}|}} || || || |SZ= }} gilt. {{ inputdefinition |Moduln/Kettenkomplex/Exaktheit/Definition|| }} Dies bedeutet wiederum, dass an jeder Stelle {{ Relationskette/display | {{op:Bild|d_n |}} |\supseteq|{{op:Kern|d_{n-1}|}} || || || |SZ= }} gilt. {{ inputdefinition |Gruppen/Kettenkomplex/Homologie/Definition|| }} {{ inputdefinition |Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismus/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kurze exakte Sequenzen/Komplex/Verbindender Homomorphismus/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Gruppe/Kettenkomplex/Homomorphismen/Homotop/Definition|| }} Es liegt also ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Rechteck/23/ru/antidiag|F_{n-1}|F_n |F_{n+1}|G_{n-1}|G_n |G_{n+1} |abb12=d_n |abb23=d_{n+1} |abb45=e_n |abb56=e_{n+1} |abb14=||abb36=|abb24=\Theta_{n-1}|abb35=\Theta_n |SZ=. }} vor. Die {{math|term= \Theta_n |SZ=}} nennt man {{Stichwort|Homotopien|msw=Homotopie (Kettenkomplex) |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Induzierter Homologiehomomorphismus/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Gruppe/Kettenkomplex/Homotope Homomorphismen/Kovarianter Funktor/Homotopie/Fakt|Lemma|| || }} Es sei {{math|term= I |SZ=}} eine {{ Definitionslink |total geordnete| |Kontext=| |SZ= }} endliche Indexmenge. Zu einer Teilmenge {{ Relationskette |K |\subseteq|I || || || |SZ= }} und einem Element {{ Relationskette |k |\in|K || || || |SZ= }} definieren wir {{mathl|term= {{op:Ordnungsnummer|k|K}} |SZ=}} durch {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= -1 |SZ=,}} je nachdem, ob {{math|term= k |SZ=}} in der induzierten Ordnung auf {{math|term= K |SZ=}} ein gerades oder ein ungerades Element ist. Die Elemente von {{math|term= K |SZ=}} haben also abwechselnd das Vorzeichen {{math|term= 1,-1,1 |SZ=}} etc, beginnend mit {{math|term= 1 |SZ=.}} Wir betrachten die freie Gruppe {{math|term= F_n |SZ=}} zur Basis {{math|term= e_J|SZ=,}} wobei {{math|term= J |SZ=}} die {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term= I |SZ=}} durchläuft. Es ist also {{ Relationskette/display |F_n || \Z^{ {{op:Binomialkoeffizient|I|n}} } || || || |SZ=, }} wobei wir mit {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|I|n}} |SZ=}} die Menge der {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{math|term= I |SZ=}} bezeichnen. {{ inputdefinition |Binomialkomplex/Z/Absteigend/Definition|| }} {{ inputdefinition |Binomialkomplex/Z/Aufsteigend/Definition|| }} Für einen Standardvektor {{math|term= e_K|SZ=}} bedeutet dies {{ Relationskette/display | \delta (e_K) || \sum_{\ell \in I \setminus K} {{op:Ordnungsnummer|\ell|K \cup \{ \ell \} }} e_{ K \cup \{\ell \} } || || || |SZ=. }} In diesem Fall entspricht {{math|term= e_K|SZ=}} dem Tupel {{math|term= \alpha|SZ=,}} das genau an der Stelle {{math|term= K |SZ=}} eine {{math|term= 1 |SZ=}} und sonst überall eine {{math|term= 0 |SZ=}} stehen hat. Sagen wir {{math|term= K |SZ=}} besitzt {{math|term= n |SZ=}} Elemente. Für eine {{math|term= n+1 |SZ=-}}elementige Menge {{math|term= J |SZ=}} ist somit {{ Relationskette | \delta(\alpha)_J || 0 || || || |SZ=, }} falls {{ Relationskette |K |\not\subseteq|J || || || |SZ=, }} und im anderen Fall ist {{ Relationskette/display |J || K \cup \{ \ell \} || || || |SZ= }} und nur bei {{ Relationskette |j || \ell || || || |SZ= }} ist das {{mathl|term= e_{K \cup \{ \ell \} } |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Binomialkomplex/Aufsteigend/Homotopie/Fakt|Lemma|| || }} Bei leerem {{math|term= I |SZ=}} ist der Komplex gleich {{mathl|term= 0 \rightarrow \Z \rightarrow 0 |SZ=}} und daher nicht exakt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Komplexe (homologische Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ckbtzarob5uz8kodkw82yck5km5jdqv 0 109670 1092315 982656 2026-06-01T13:26:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092315 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kategorie/Definition|| }} Dabei ist die Klasse der Objekte typischerweise keine Menge. Die Verknüpfungen schreibt man im Allgemeinen suggestiver als {{mathl|term= \varphi \circ \psi|SZ=}} oder in umgekehrter Reihenfolge. Es gibt eine Vielzahl von Kategorien. In sehr vielen haben die Morphismen, die Verknüpfungen und die Identitäten eine natürliche Interpretation. Einen Morphismus {{ Relationskette/display | \varphi |\in| {{op:Morphismen|M|N}} || || || |SZ= }} schreibt man häufig suggestiv als {{ Abbildung |name= \varphi |M|N || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Mengen/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Gruppen/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Gruppen/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorräume/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutative Ring/Ringhomomorphismen/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kommutativer Ring/Moduln/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Metrische Räume/Stetige Abbildungen/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Topologische Räume/Stetige Abbildungen/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Geordnete Menge/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Offene Teilmengen/Kategorie/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Kategorie/Initiales Objekt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kategorie/Finales Objekt/Definition|| }} In der Kategorie der Ringe ist der Nullring das finale Objekt und {{math|term= \Z|SZ=}} ist wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Ringhomomorphismus/Z nach R/Kanonisch/Fakt |Nr= |SZ= }} das initiale Objekt. {{ inputdefinition |Kategorie/Nullobjekt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kategorie/Isomorphismus/Definition|| }} Da die Morphismen in einer Kategorie im Allgemeinen keine Abbildungen sind, kann man weder von injektiven noch von surjekitiven noch noch bijektiven Morphismen sprechen. Die beiden folgenden Konzepte liefern einen kategoriellen Ersatz für injektiv und surjektiv. {{ inputdefinition |Monomorphismus/Kategorie/Kürzungseigenschaft/Definition|| }} {{ inputdefinition |Epimorphismus/Kategorie/Kürzungseigenschaft/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kategorie/Direktes Produkt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kategorie/Direkte Summe/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Kategorientheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hrv02hbbu3xb0cavwe1lgi88w3lvkc8 0 109704 1092242 982081 2026-06-01T13:15:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092242 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kategorien/Kovarianter Funktor/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kategorien/Kontravarianter Funktor/Definition|| }} Ein kontravarianter Funktor ist dasgleiche wie ein kovarianter Funktor auf der oppositionellen Kategorie. Von daher muss man sich prinzipiell nur mit kovarianten Funktoren beschäftigen. Von den Beispielen her wäre das aber künstlich. Bei einem kovarianten Funktor gibt es zu Objekten {{ Relationskette |M,N |\in| {\mathcal C} || || || |SZ= }} eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Morphismen|M|N}} |{{op:Morphismen|F(M)|F(N)}} |\varphi| F(\varphi) |SZ= }} und bei einem kontravarianten Funktor gibt es eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Morphismen|M|N}} |{{op:Morphismen|F(N)|F(M)}} |\varphi| F(\varphi) |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Mengen/Abbildungen/Kovarianter Funktor/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Mengen/Abbildungen/Kontravarianter Funktor/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorräume/Dualraum/Kontravarianter Funktor/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Funktoren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 24a4af5je8n8fbau3f7rywofcgpq3qc 0 109854 1092251 957041 2026-06-01T13:16:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092251 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt|Korollar|| || }} Es ist im Allgemeinen schwierig, Kohomologiegruppen zu berechnen. Wir listen einige grundsätzliche Berechnungsmöglichkeiten auf. {{ Aufzählung6 |Verschwindungssätze: Man zeigt, dass für gewisse Räume, gewisse Garben und gewisse Indizes die Kohomologiegruppen {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Wenn in der langen exakten Kohomologiesequenz an gewissen Stellen eine {{math|term= 0 |SZ=}} steht, so bedeutet dies, dass zuvor eine surjektive Abbildung und danach eine injektive Abbildung steht. |Statt mit injektiven Garben kann man mit anderen azyklischen {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise {{ Definitionslink |welken| |Kontext=Garbe| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} Garben arbeiten. |Interpretation von {{math|term= H^1 |SZ=}} als klassifizierende Gruppe für gewisse geometrische Objekte (Picardgruppe). |Wenn die Garben Moduln auf einem beringten Raum sind, so besitzen auch die Kohomologiegruppen die Struktur von Moduln über dem globalen Schnittring {{mathl|term= {{op:SchnittringX|X|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Beringter Raum/Modul/Garbenkohomologie/Modulstruktur/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Wenn dieser ein Körper ist {{ Zusatz/Klammer |text=was insbesondere für zusammenhängende projektive Varietäten der Fall ist| |ISZ=|ESZ=, }} so sind die Kohomologiegruppen sogar Vektorräume. Im endlichdimensionalen Fall sind die Dimensionen wichtige Invarianten. |Vergleich der Kohomologie auf {{math|term= X |SZ=}} mit der Kohomologie auf einer offenen Teilmenge. |Vergleich mit anderen Kohomologietheorien: Čech-Kohomologie, singuläre Kohomologie, simpliziale Kohomologie. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Garbenkohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} j0nyjbjjs8wy370qez4ejp34p1jlqyk 0 109916 1092165 981336 2026-06-01T13:02:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092165 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Überdeckung| |SZ= }} eines {{ Definitionslink |topologischen Raumes| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=.}} Für eine Teilmenge {{ Relationskette |J |\subseteq|I || || || |SZ= }} setzen wir {{ Relationskette |U_J |{{defeq}}| \bigcap_{i\in J} U_i || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette |J |\subseteq|L |\subseteq|I || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |U_L |\subseteq|U_J || || || |SZ=. }} Für eine {{ Definitionslink |Garbe| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} von kommutativen Gruppen auf {{math|term= X |SZ=}} betrachtet man die Auswertungen {{mathl|term= {{op:Garbe|G|U_J}} |SZ=}} zu den verschiedenen {{math|term= J |SZ=,}} und zu {{ Relationskette |J |\subseteq|L || || || |SZ= }} gehören die Restriktionen {{ Abbildung |name= | {{op:Garbe|G|U_J}} | {{op:Garbe|G|U_L}} || |SZ=. }} Für ein Element {{ Relationskette |s |\in| {{op:Garbe|G|U_J}} || || || |SZ= }} schreiben wir dann abkürzend {{ Relationskette/display |s {{|}}_L || s {{|}}_{U_L} || || || |SZ= }} und oft häufig einfach {{math|term= s |SZ=.}} Wir fixieren eine {{ Definitionslink |Wohlordnung| |SZ= }} auf {{math|term= I |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man braucht hauptsächlich den Fall für endliches {{math|term= I |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Damit können wir nun den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist. {{ inputdefinition |Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Definition|| }} Bei {{ Relationskette |k || 0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Komplex|0|{\mathcal U}| {{op:Garbe|G|}} }} || \prod_{i \in I} {{op:Garbe|G|U_i}} || || || |SZ= }} und bei {{ Relationskette |k || {{op:Anzahl|I|}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Komplex|k|{\mathcal U}| {{op:Garbe|G|}} }} || {{op:Garbe|G| \bigcap_{i \in I } U_i}} || || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette |k |>| {{op:Anzahl|I|}} || || || |SZ= }} ist, so ist die Indexmenge zu {{mathl|term= {{op:Cech-Komplex|k|{\mathcal U} | {{op:Garbe|G|}} }} |SZ=}} leer und dieser Term ist einfach {{math|term= 0 |SZ=.}} Ebenso setzt man für negatives {{math|term= k |SZ=}} den Komplex gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} ist der Komplex gleich {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte| V| {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow {{op:Schnitte|U \cap V | {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow 0 |SZ= }} und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen {{ mathkor|term1= U, V |und|term2= W |SZ= }} ist der Komplex gleich {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte| V| {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte| W| {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow {{op:Schnitte|V \cap W | {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte|U \cap W | {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte|U \cap V | {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow {{op:Schnitte|U \cap V \cap W | {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen {{mathl|term= U_1,U_2,U_3 |SZ=}} zu arbeiten. Die Elemente des {{math|term= k |SZ=-}}ten Kernes nennt man auch {{Stichwort|Čech-Kozykel|msw=Čech-Kozykel|SZ=,}} die Elemente des {{math|term= k |SZ=-}}ten Bildes auch {{Stichwort|Čech-Koränder|msw=Čech-Korand|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Ist Komplex/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Garbe/Überdeckung/Cech-Kohomologie/Definition|| }} Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der {{math|term= k |SZ=-}}ten Čech-Kohomologie nennt man auch {{Stichwort|Čech-Kohomologieklasse|SZ=.}} Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich {{math|term= {{op:Garbe|G|X}} |SZ=,}} wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Cech-Kohomologie/0/Globale Auswertung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} dm24cbu2mi361kvecbwvima0j1gkyxu 0 109972 1092149 981216 2026-06-01T13:00:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092149 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer stetigen Abbildung {{ Abbildung |name=\varphi |X|Y || |SZ= }} zwischen topologischen Räumen gehört zu jeder offenen Teilmenge {{ Relationskette |V |\subseteq|Y || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | C^0 (V,\R) |C^0 ( \varphi^{-1}(V),\R) |f| f \circ \varphi |SZ=. }} Für diese zurückgezogene stetige Funktion schreibt man auch {{math|term= \varphi^*f|SZ=.}} Diese Schreibweise verwenden wir auch in der folgenden abstrakten Definition. {{ inputdefinition |Beringter Raum/Morphismus/Definition|| }} Die Verträglichkeit bedeutet, dass für offene Mengen {{ Relationskette |W |\subseteq|V |\subseteq|Y || || || |SZ= }} das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:SchnittringY|V}} |{{op:SchnittringX| \varphi^{-1}(V)|}} |{{op:SchnittringY|W}} |{{op:SchnittringX| \varphi^{-1}(W)|}} |abb12= \varphi^*_V|abb34= \varphi^*_W }} kommutiert. Ein Morphismus {{ Abbildung |name= \varphi |X|Y || |SZ= }} von beringten Räumen induziert für jeden Punkt {{ Relationskette |P |\in|X || || || |SZ= }} einen Ringhomomorphismus der Halme {{ Abbildung/display |name= | {{op:Strukturgarbe|}}_{Y, \varphi(P)} |{{op:Strukturgarbe|}}_{X,P} || |SZ=, }} wobei ein {{ Relationskette |f |\in| {{op:Strukturgarbe|}}_{Y, \varphi(P)} || || || |SZ=, }} das durch {{ Relationskette |f |\in| {{op:SchnittringY|V|}} || || || |SZ= }} mit einer offenen Umgebung {{ Relationskette | \varphi(P) |\in|V || || || |SZ= }} repräsentiert wird, auf den Keim von {{ Relationskette | \varphi^*(f) |\in | {{op:SchnittringX|\varphi^{-1}(V)| }} || || || |SZ= }} abgebildet wird. {{ inputdefinition |Beringter Raum/Isomorphismus/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Morphismen beringter Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} f1clh1mzwmzvms6220xp7hvsd47entf 0 110165 1092480 983681 2026-06-01T13:54:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092480 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Topologische Gruppe/Definition|| }} Topologische Gruppen sind {{mathl|term= (\R,+) |SZ=,}} {{mathl|term= (\R \setminus \{0\}, \cdot) |SZ=,}} {{mathl|term= ( {{CC|}} ,+) |SZ=,}} {{mathl|term= ( {{CC|}} \setminus \{0\}, \cdot) |SZ=,}} {{mathl|term= (\R^n,+) |SZ=,}} {{mathl|term= (S^1,\text{ mit der Winkeladdition} ) |SZ=,}} die {{ Definitionslink |allgemeine lineare Gruppe| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:GLG |n|\R|}} |SZ=}} bzw. {{mathl|term= {{op:GLG |n| {{CC|}}|}} |SZ=,}} ein {{ Definitionslink |komplexer Torus| |Kontext=1| |SZ= }} {{math|term= {{CC|}}/\Gamma |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette | \Gamma |\subseteq| {{CC}} || || || |SZ=. }} Man kann jede Gruppe mit der {{ Definitionslink |diskreten Topologie| |SZ= }} zu einer topologischen Gruppe machen. Zu einem topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} ist die Mengen der stetigen Abbildungen von {{math|term= X |SZ=}} in eine topologische Gruppe {{math|term= G |SZ=}} mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von {{math|term= X |SZ=}} ist dabei ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist die Zuordnung {{ Math/display|term= U \mapsto C^0(U,G) |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prägarbe von Gruppen| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Prägarben von Gruppen |Kategorie2=Theorie der topologischen Gruppen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i8lfrqihtmbwqrhdfavdu1hj1tq38g0 0 111273 1092134 981136 2026-06-01T12:57:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092134 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein grundlegender Gedanke der Mathematik ist der der {{Stichwort|Approximation|SZ=,}} der in unterschiedlichen Kontexten auftritt und sowohl für die Mathematik als Hilfswissenschaft für die empirischen Wissenschaften als auch für den Aufbau der Mathematik selbst, insbesondere der Analysis, entscheidend ist. Das erste Beispiel dazu ist das {{Stichwort|Messen|SZ=,}} beispielsweise der Länge einer Strecke oder der Dauer eines Zeitabschnittes. Abhängig vom Kontext und der Zielsetzung gibt es sehr unterschiedliche Vorstellungen davon, was eine genaue Messung ist, und die gewünschte Genauigkeit hat eine Auswirkung auf das zu wählende Messinstrument. Das Ergebnis einer Messung wird, bezogen auf eine physikalische Einheit, durch einen {{Stichwort|Dezimalbruch|SZ=}} angegeben, also eine abbrechende {{Anführung|Kommazahl|SZ=,}} und die Anzahl der Nachkommaziffern gibt Aufschluss über die behauptete Genauigkeit. Zur Angabe von Messergebnissen braucht man also weder irrationale Zahlen noch rationale Zahlen, deren periodische Ziffernentwicklung nicht abbricht. Betrachten wir die Meteorologie. Aus Messungen an verschiedenen Messstationen wird versucht, das Wetter der folgenden Tage mit mathematischen Modellen {{ Zusatz/Klammer |text=und Computersimulation| |ISZ=|ESZ= }} zu berechnen. Hier wird man, um bessere Prognosen machen zu können, im Allgemeinen mehr Messstationen brauchen {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man irgendwann aufgrund von anderen Fehlerquellen mit zusätzlichen Messstationen die Prognosen nicht mehr optimieren kann| |ISZ=|ESZ=. }} Kommen wir zu innermathematischen Approximationen. Eine Strecke kann man zumindest ideell in {{math|term= n |SZ=}} gleichlange Teile unterteilen und man kann sich für die Länge der Teilstücke interessieren, oder man kann sich für die Länge der Diagonalen in einem Einheitsquadrat interessieren. Die Länge dieser Strecken könnte man prinzipiell auch messen, doch bietet die Mathematik bessere Beschreibungen dieser Längen an, indem sie beliebige rationale Zahlen und irrationale Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=wie hier {{math|term= \sqrt{2} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zur Verfügung stellt. Die Bestimmung einer guten Approximation erfolgt dann innermathematisch. Betrachten wir den Bruch {{ Relationskette |q || {{op:Bruch|3|7}} || || || |SZ=. }} Eine Approximation dieser Zahl mit einer Genauigkeit von neun Nachkommastellen ist durch {{ Relationskette/display |0,428571428 |<| {{op:Bruch|3|7}} |<|0,428571429 || || |SZ= }} gegeben. Die beiden Dezimalbrüche links und rechts sind also Approximationen {{ Zusatz/Klammer |text=Abschätzungen| |ISZ=|ESZ= }} des wahren Bruches {{mathl|term= {{op:Bruch|3|7}} |SZ=}} mit einem Fehler, der kleiner als {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10^9}} |SZ=}} ist. Dies ist eine typische Taschenrechnergenauigkeit, je nach Zielsetzung möchte man eine deutliche größere Genauigkeit {{ Zusatz/Klammer |text=einen kleineren Fehler| |ISZ=|ESZ= }} haben. Die Rechnung in diesem Beispiel beruht auf dem Divisionsalgorithmus, den man beliebig weit durchführen kann, um beliebige Fehlergenauigkeiten zu erreichen {{ Zusatz/Klammer |text=dass man wegen der auftretenden Periodizität irgendwann nur noch die weiteren Ziffern ablesen und nicht mehr rechnen muss, ist ein zusätzlicher Aspekt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Angabe einer Dezimalbruchapproximation einer gegebenen Zahl nennt man auch eine {{Stichwort|Rundung|SZ=.}} Sowohl in der empirischen als auch in der innermathematischen Situation gilt das folgende Approximationsprinzip. {{Stichwort|Approximationsprinzip|SZ=:}} Es gibt keine allgemeingültige Güte für eine Approximation. Ein gutes Approximationsverfahren ist keine einzelne Approximation, sondern eine Methode, mit der man zu jeder gewünschten Güte {{ Zusatz/Klammer |text=Fehler, Toleranz, Genauigkeit, Abweichung| |ISZ=|ESZ= }} bei entsprechendem Aufwand eine Approximation finden kann, die diese vorgegebene Güte erreicht. Mit diesem Prinzip im Hinterkopf werden viele Begriffe wie {{Stichwort|konvergente Folge|SZ=}} und {{Stichwort|Stetigkeit|SZ=,}} deren präzise Formulierungen ziemlich kompliziert aussehen, verständlich. Approximationen treten auch in dem Sinne auf, dass man empirische Funktionen, von denen ein endliches Datensampling bekannt ist, durch mathematisch möglichst einfache Funktionen beschreiben möchte. Ein Beispiel dazu ist {{ Faktlink |Präwort=der|Interpolationssatz|Faktseitenname= Polynom/K/Interpolation/Fakt |Nr= |SZ=. }} Später werden wir die Taylorformel kennenlernen, die eine Funktion in einer kleinen Umgebung eines einzelnen Punktes besonders gut durch ein Polynom approximiert. Auch hier gilt wieder das Approximationsprinzip in der Form, dass man, um die Funktion zunehmend besser zu approximieren, den Grad der Polynome zunehmend höher wählen muss. In der Integrationstheorie wird ein Funktionsgraph durch obere und untere Treppenfunktionen eingeschachtelt und damit der Flächeninhalt unterhalb des Graphen approximiert, mit feineren Treppenfunktionen {{ Zusatz/Klammer |text=kürzeren Stufen| |ISZ=|ESZ= }} erhält man zunehmend bessere Approximationen. Wie gut eine Approximation ist, zeigt sich oft erst dann, wenn man mit den Approximationen rechnen soll. Man möchte beispielsweise wissen, welche Abschätzung man für den Flächeninhalt eines Rechtecks hat, wenn man Abschätzungen für seine Seitenlängen hat. Und zwar fragt man sich, welchen Fehler man für die Seitenlängen erlauben darf, damit der Fehler des Flächeninhalts noch innerhalb einer gewünschten Toleranz bleibt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Folgen (Analysis) |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9f8prckt1y13i5rp5i23w46107krvah 0 111330 1092138 1074555 2026-06-01T12:58:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092138 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine {{Stichwort|Aussage|SZ=}} ist ein sprachliches Gebilde, das {{Stichwort|wahr|SZ=}} oder {{Stichwort|falsch|SZ=}} sein kann{{ Zusatz/Fußnote |text=Statt {{Anführung|wahr}} sagt man auch, dass die Aussage {{Stichwort|gilt|SZ=}} oder dass sie {{Stichwort|richtig|SZ=}} ist, statt {{Anführung|falsch}} auch, dass sie nicht gilt.| |ESZ=. }} Es ist durchaus erlaubt, dass man nicht entscheiden kann, ob die Aussage wahr oder falsch ist, weil man dazu Zusatzinformationen benötigt. Wichtig ist allein, dass die Prädikate wahr und falsch sinnvolle Prädikate des Gebildes aufgrund seiner syntaktischen und semantischen Gestalt sind. Die Bedingung der Bedeutungsklarheit wird von natürlich-sprachlichen Aussagen selten erfüllt. Nehmen wir z.B. den Satz {{Beispielsatz|Dieses Pferd ist schnell|SZ=.}} Einerseits haben wir keine Information, um welches Pferd es sich handelt, von dem da die Rede ist, und die Gültigkeit der Aussage hängt vermutlich davon ab, welches Pferd gemeint ist. Andererseits ist die Bedeutung von {{Anführung|schnell}} nicht so fest umrissen, dass, selbst wenn es klar wäre, um welches Pferd es sich handelt, vermutlich Uneinigkeit herrscht, ob es als schnell gelten soll oder nicht. Weitere alltagssprachliche Aussagen sind {{ inputbild |WinkAlien|PNG|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Customizer 2010 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Heinz Ngolo und Mustafa Müller sind Freunde|SZ=.}} In der natürlichen Sprache besteht die Möglichkeit, durch Zusatzinformationen, Kontextbezug, intersubjektive Vereinbarungen und kommunikative Bedeutungsangleichungen eine Gesprächssituation zu erzeugen, in der man über die Gültigkeit von solchen nicht scharf definierten Aussagen weitgehende Einigkeit erzielen kann. In der Logik und in der Mathematik hingegen sind diese praktischen Notlösungen nicht erlaubt, sondern die Bedeutung einer Aussage soll allein aus der Bedeutung der in ihr verwendeten Begriffe erschließbar sein, wobei diese Begriffe zuvor klar und unmissverständlich definiert worden sein müssen. Einige mathematische Aussagen {{ Zusatz/Klammer |text=egal ob wahr oder falsch| |SZ= }} sind {{Beispielsatz| {{math|term= 5>3 |SZ=.}} }} {{Beispielsatz| {{math|term= 5<3 |SZ=.}} }} {{Beispielsatz|5 ist eine natürliche Zahl|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist {{ Relationskette |7+5 ||13 || || || |SZ=. }}|}} {{Beispielsatz|Primzahlen sind ungerade|SZ=.}} Wenn man diese Aussagen versteht, und insbesondere die in ihnen verwendeten Begriffe und Symbole kennt, so sieht man, dass es sich um Aussagen handelt, die entweder wahr oder falsch sind, und zwar unabhängig davon, ob der Leser weiß, ob sie wahr oder falsch sind. Ob ein sprachliches Gebilde eine Aussage ist hängt nicht vom Wissen, ob sie wahr oder falsch ist, oder vom Aufwand ab, mit dem man durch zusätzliches Nachforschen, durch Experimente oder durch logisch-mathematisches Überlegen entscheiden könnte, ob sie wahr oder falsch ist. Bei den folgenden Beispielen handelt es sich zwar um mathematische Objekte, aber nicht um Aussagen: {{Beispielsatz|5}} {{Beispielsatz|5+11}} {{Beispielsatz|Die Menge der Primzahlen}} {{Beispielsatz|{{math|term= A \cap B |SZ=}} }} {{Beispielsatz|Eine Summe von fünf Quadraten}} {{Beispielsatz|{{math|term= \int_a^b f(t)dt|SZ=.}} }} Statt uns jetzt mit konkreten Aussagen auseinander zu setzen, nehmen wir im Folgenden den strukturellen Standpunkt ein, dass eine Aussage eine Aussagenvariable {{math|term= p |SZ=}} ist, die einen der beiden {{Stichwort|Wahrheitswerte|msw=Wahrheitswert|SZ=}} wahr oder falsch annehmen kann. Zunächst interessiert uns dann, wie sich diese Wahrheitsbelegungen bei einer Konstruktion von neuen Aussagen aus alten Aussagen verhalten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} c1pw78yuh62hyq4oexnwzguit3zy1bg 0 111332 1092142 956893 2026-06-01T12:59:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092142 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Um sich die Abhängigkeiten von zusammengesetzten Aussagen allein von den einzelnen Wahrheitsgehalten der beteiligten Teilaussagen und den Junktoren, nicht aber von den konkreten Aussagen und ihren Bedeutungen klarer zu machen, ist es sinnvoll, mit {{Stichwort|Aussagenvariablen|msw=Aussagenvariable|SZ=}} zu arbeiten und die Junktoren durch Symbole zu repräsentieren. Für Aussagen schreiben wir jetzt {{ Math/display|term= p,q, \ldots |SZ=, }} und wir interessieren und also nicht für den Gehalt von {{math|term= p |SZ=,}} sondern lediglich für die möglichen Wahrheitswerte {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Belegungen|msw=Belegung|SZ=}} | |SZ= }} von {{math|term= p |SZ=,}} die wir mit {{math|term= w |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= wahr| |SZ= }} oder {{math|term= f |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falsch| |SZ= }} bezeichnen {{ Zusatz/Klammer |text=gelegentlich verwendet man auch die Wahrheitswerte {{ mathkor/k|term1= 1 |und|term2= 0 |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Bei der {{Stichwort|Negation|SZ=}} werden einfach die Wahrheitswerte vertauscht, was man mit einer einfachen {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} ausdrückt: {{Wahrheitstabelle/1|Negation|\neg p |f|w}} Bei einer konkreten Aussage gibt es in der Regel mehrere sprachliche Möglichkeiten, die Negation zu formulieren. Um die Aussage {{Anführung|ich fresse einen Besen}} zu negieren, ist es egal, ob man sagt: {{Beispielsatz|Ich fresse nicht einen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ich fresse keinen Besen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es ist nicht der Fall, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} {{Beispielsatz|Es trifft nicht zu, dass ich einen Besen fresse|SZ=.}} Die Negation wirkt auf eine einzelne Aussage, man spricht von einem {{Stichwort|einstelligen Operator|msw=Einstelliger Operator|SZ=.}} Kommen wir nun zu {{Stichwort|mehrstelligen Operatoren|msw=Mehrstelliger Operator|SZ=,}} die von mindestens zwei Aussagen abhängen. Bei der Verknüpfung von zwei Aussagen gibt es insgesamt vier mögliche Kombinationen der Wahrheitswerte, sodass jede logische Verknüpfung dadurch festgelegt ist, wie sie diesen vier Kombinationen einen Wahrheitswert zuordnet. Daher gibt es insgesamt {{math|term= 16 |SZ=}} logische Verknüpfungen, die wichtigsten sind die folgenden vier. Die {{Stichwort|Konjunktion|SZ=}} ist die {{Stichwort|Und-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind; sie ist also falsch, sobald nur eine der beteiligten Aussagen falsch ist. Die {{Stichwort|Wahrheitstabelle|SZ=}} der Konjunktion sieht so aus. {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion|p {{logund|}} q|w|f|f|f}} Die {{Stichwort|Disjunktion|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Alternation|SZ=}}| |SZ= }} ist die einschließende {{Stichwort|Oder-Verknüpfung|SZ=.}} Sie ist wahr sobald mindestens eine der Teilaussagen wahr ist, und insbesondere auch dann wahr, wenn beide Aussagen zugleich wahr sind. Sie ist nur in dem einzigen Fall falsch, dass beide Teilaussagen falsch sind. Offensichtlich sind bei einer Konjunktion und einer Disjunktion die beteiligten Teilaussagen gleichberechtigt. {{Wahrheitstabelle/2/1|Disjunktion|p {{logoder|}} q |w|w|w|f}} Die {{Stichwort|Implikation|SZ=}} ist die in der Mathematik wichtigste Verknüpfung. Mathematische Sätze haben fast immer die Gestalt einer {{ Zusatz/Klammer |text=verschachtelten| |SZ= }} Implikation. Beispiele sind {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Beschränkt/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{Beispielsatz|Wenn ein Polynom den Grad {{math|term= d |SZ=}} besitzt, dann hat es höchstens {{math|term= d |SZ=}} Nullstellen|SZ=.}} {{Beispielsatz|Wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie beschränkt|SZ=.}} Der logische Gehalt einer Implikation ist, dass aus der Gültigkeit einer {{Stichwort|Voraussetzung|SZ=}} die Gültigkeit einer {{Stichwort|Konklusion|SZ=}} folgt{{ Zusatz/Fußnote |text=Genauer gesagt haben mathematische Sätze fast immer die Gestalt {{math|term= p_1 {{logund|}} p_2 {{logunddots|}} p_n \rightarrow q |SZ=.}}| |ESZ=. }} Sie wird meistens durch {{Anführung|Wenn {{math|term= p |SZ=}} wahr ist, dann ist auch {{math|term= q |SZ=}} wahr}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder kurz: Wenn {{math|term= p |SZ=,}} dann {{math|term= q |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ausgedrückt. Ihre Wahrheitsbedingung ist daher, dass wenn {{math|term= p |SZ=}} mit wahr belegt ist, dann muss auch {{math|term= q |SZ=}} mit wahr belegt sein. Dies ist erfüllt, wenn {{math|term= p |SZ=}} falsch ist oder wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist{{ Zusatz/Fußnote |text=An die Wahrheitsbelegung einer Implikation für den Fall, wo der Vordersatz {{ Zusatz/Klammer |text=die Prämisse| |ISZ=|ESZ= }} falsch ist, muss man sich etwas gewöhnen. Der Punkt ist, dass wenn man eine Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} beweist, dass man dann {{math|term= p |SZ=}} als wahr annimmt und davon ausgehend zeigen muss, dass auch {{math|term= q |SZ=}} wahr ist. Der Fall, dass {{math|term= p |SZ=}} falsch ist, kommt also in einem Implikationsbeweis gar nicht explizit vor. In diesem Fall gilt die Implikation, obwohl sie keine {{Anführung|Schlusskraft}} besitzt. Nehmen wir als Beispiel die mathematische Aussage, dass wenn eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} durch vier teilbar ist, sie dann gerade ist. Dies ist eine wahre Aussage für alle natürlichen Zahlen, sie gilt insbesondere auch für alle Zahlen, die {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} durch vier teilbar sind. Es gibt auch jeweils für alle drei Wahrheitsbelegungen, die eine Implikation wahr machen, Beispiele von natürlichen Zahlen, die genau diese Wahrheitsbelegung repräsentieren, nicht aber für die vierte| |ISZ=. |ESZ=. }} Ihre Wahrheitstabelle ist daher {{Wahrheitstabelle/2/1|Implikation|p \rightarrow q|w|f|w|w}} Bei einer Implikation sind die beiden beteiligten Teilaussagen nicht gleichberechtigt, die Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} sind verschiedene Aussagen. Eine Implikation hat also eine {{Stichwort/anf|Richtung|SZ=}}{{ Zusatz/Fußnote |text=Bei einer Implikation {{math|term= p \rightarrow q |SZ=}} sagt man auch, dass {{math|term= p |SZ=}} eine {{Stichwort|hinreichende Bedingung|SZ=}} für {{math|term= q |SZ=}} und dass {{math|term= q |SZ=}} eine {{Stichwort|notwendige Bedingung|SZ=}} für {{math|term= p |SZ=}} ist. Siehe dazu auch die Wahrheitstabelle zur Kontraposition weiter unten.| |ESZ=. }} Im allgemeinen Gebrauch und auch in der Mathematik werden Implikationen zumeist dann verwendet, wenn der Vordersatz der {{Anführung|Grund|}} für die Konklusion ist, wenn die Implikation also einen kausalen Zusammenhang ausdrückt. Diese Interpretation spielt aber im aussagenlogischen Kontext keine Rolle. Wenn die beiden Implikationen {{ mathkor|term1= p \rightarrow q |und|term2= q \rightarrow p |SZ= }} zugleich gelten, so wird das durch {{Anführung|genau dann ist {{math|term= p |SZ=}} wahr, wenn {{math|term= q |SZ=}} wahr ist}} ausgedrückt. Man spricht von einer {{Stichwort|Äquivalenz|SZ=}} der beiden Aussagen, die Wahrheitstabelle ist {{Wahrheitstabelle/2/1|Äquivalenz|p \leftrightarrow q|w|f|f|w}} Beispiele für eine mathematische Äquivalenzaussage sind: {{Beispielsatz|Eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} ist genau dann gerade, wenn sie im Zehnersystem auf {{mathl|term= 0,2,4,6 |SZ=}} oder {{math|term= 8 |SZ=}} endet|SZ=.}} {{Beispielsatz|Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn es eine Seite gibt, deren Quadrat gleich der Summe der beiden anderen Seitenquadrate ist|SZ=.}} Die Hinrichtung im zweiten Beispielsatz ist dabei der Satz des Pythagoras, die Rückrichtung gilt aber auch. Achtung: In gewissen Kontexten werden Äquivalenzen als Implikationen formuliert. Dies gilt beispielsweise für Belohnungen, Bestrafungen und auch in mathematische Definitionen. Wenn man sagt: {{Anführung|wenn du heute brav bist, dann gehen wir morgen in den Zoo|SZ=,}} so meint man in aller Regel, dass man auch nur dann in den Zoo geht, wenn man brav ist. Mathematische Definitionen wie {{Anführung|eine Zahl heißt gerade, wenn sie ein Vielfaches der {{math|term= 2 |SZ=}} ist|SZ=,}} sind als genau dann, wenn zu verstehen. Unter Verwendung der Negation kann man jede logische Verknüpfung durch die angeführten Verknüpfungen ausdrücken, wobei man noch nicht mal alle braucht. Z.B. kann man die Konjunktion {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso die Implikation und die Äquivalenz| |SZ= }} auf die Disjunktion zurückführen, die Wahrheitstabelle{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Folgenden verwenden wir, um Klammern zu sparen, die Konvention, dass die Negation stärker bindet als alle mehrstelligen Junktoren, und dass die Konjunktion stärker bindet als die anderen zweistelligen Junktoren.| |SZ= }} {{Wahrheitstabelle/2/1|Konjunktion als Disjunktion|\neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} zeigt nämlich, dass die Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |SZ=}} mit der Wahrheitsfunktion von {{mathl|term= p {{logund|}} q |SZ=}} übereinstimmt. Daher sind die beiden Ausdrücke logisch gleichwertig. Bei einem solchen nur leicht verschachtelten Ausdruck kann man die Wahrheitswerte noch einfach berechnen und damit die Wahrheitsgleichheit mit der Konjunktion feststellen. Bei komplizierteren {{ Zusatz/Klammer |text=tiefer verschachtelten| |SZ= }} Ausdrücken ist es sinnvoll, abhängig von den Belegungen der beteiligten Aussagenvariablen die Wahrheitswerte der Zwischenausdrücke zu berechnen. Im angegebenen Beispiel würde dies zur Tabelle {{Wahrheitstabelle/2/4|Konjunktion als Disjunktion|\neg p | f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg p {{logoder|}} \neg q |f|w|w|w| \neg ( \neg p {{logoder|}} \neg q) |w|f|f|f}} führen. Natürlich kann man statt zwei auch beliebig viele Aussagenvariablen verwenden und daraus mit den Verknüpfungen neue Aussagen konstruieren. Die Wahrheitsbelegung der zusammengesetzten Aussagen lassen sich dann ebenfalls in entsprechend größeren Wahrheitstabellen darstellen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fznarmx3gwl3zjkq61dddoqgr85xr4x 0 111333 1092140 956891 2026-06-01T12:58:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092140 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei Einzelaussagen und zusammengesetzten Aussagen ist jeder Wahrheitswert erlaubt, und die Wahrheitswerte bei den verknüpften Aussagen ergeben sich aus den Einzelbelegungen über die Wahrheitsregeln, die die Junktoren auszeichnen. Abhängig von den Belegungen können somit alle Aussagen wahr oder falsch sein. Besonders interessant sind aber solche Aussagen, die unabhängig von den Einzelbelegungen stets wahr sind. Solche Aussagen nennt man {{Stichwort|Tautologien|msw=Tautologie|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|allgemeingültig|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Sie sind für die Mathematik vor allem deshalb wichtig, weil sie erlaubten Schlussweisen entsprechen, wie sie in Beweisen häufig vorkommen. Wenn man beispielsweise schon die beiden Aussagen {{ mathkor|term1= p |und|term2= p \rightarrow q |SZ= }} bewiesen hat, wobei hier {{ mathkor|term1= p |und|term2= q |SZ= }} für konkrete Aussagen stehen, so kann man daraus auf die Gültigkeit von {{math|term= q |SZ=}} schließen. Die zugrunde liegende aussagenlogische Tautologie ist {{ Math/display|term= (p {{logund}} ( p \rightarrow q)) \rightarrow q |SZ=. }} Wie gesagt, eine Tautologie ist durch den konstanten Wahrheitswert wahr gekennzeichnet. Der Nachweis, dass eine gegebene Aussage eine Tautologie ist, verläuft am einfachsten über eine Wahrheitstabelle. {{Wahrheitstabelle/2/3|{{Stichwort|Ableitungsregel|SZ=}}&nbsp;{{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Modus ponens|SZ=}}| |SZ= }}| p \rightarrow q | w|f|w|w|p {{logund}} ( p \rightarrow q) |w|f|f|f| (p {{logund}} ( p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/3|Doppelnegation| \neg p |f|w | \neg (\neg p) |w|f| p \leftrightarrow \neg ( \neg p) | w|w}} {{Wahrheitstabelle/1/2|Tertium non datur| \neg p |f|w | p {{logoder|}} \neg p |w|w|}} Die Regel {{Stichwort|Tertium non datur|SZ=}} geht auf Aristoteles zurück und besagt, dass eine Aussage {{ Zusatz/Klammer |text=entweder| |SZ= }} wahr oder falsch ist und es keine dritte Möglichkeit gibt. Die obige Regel drückt formal gesehen nur aus, dass mindestens ein Wahrheitswert gelten muss, die Regel davor sagt, dass {{math|term= p |SZ=}} wahr zugleich {{math|term= \neg p |SZ=}} wahr ausschließt, was man auch den {{Stichwort|Satz vom Widerspruch|SZ=}} nennt {{ Zusatz/Klammer |text=zusammenfassend spricht man auch vom {{Stichwort|Bivalenzprinzip|SZ=}} | |SZ=. }} Die Gültigkeit dieser Regeln ist bei vielen umgangssprachlichen Aussagen fragwürdig, im Rahmen der Aussagenlogik und der Mathematik haben sie aber uneingeschränkt Gültigkeit, was wiederum damit zusammenhängt, dass in diesen Gebieten nur solche Aussagen erlaubt sind, denen ein eindeutiger Wahrheitswert zukommt. Als Beweisprinzip schlägt sich dieses logische Prinzip als {{Stichwort|Beweis durch Fallunterscheidung|SZ=}} nieder, wobei die folgende Tautologie dieses Beweisprinzip noch deutlicher ausdrückt. {{Wahrheitstabelle/2/5|Fallunterscheidung| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg p \rightarrow q | w|w|w|f |((p \rightarrow q) {{logund}} ( \neg p \rightarrow q)) | w|f|w|f | ((p \rightarrow q) {{logund}} ( \neg p \rightarrow q)) \rightarrow q | w|w|w|w }} Bei der Fallunterscheidung will man {{math|term= q |SZ=}} beweisen, und man beweist es dann einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 1| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= p |SZ=}} und andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=Fall 2| |SZ= }} unter der zusätzlichen Annahme {{math|term= \neg p |SZ=.}} Man muss dabei zweimal was machen, der Vorteil ist aber, dass die zusätzlichen Annahmen zusätzliche Methoden und Techniken erlauben. Die {{Stichwort|Kontraposition|SZ=}} wird häufig in Beweisen verwendet, ohne dass dies immer explizit gemacht wird. In einem Beweis nimmt man einen pragmatischen Standpunkt ein, und manchmal ist es einfacher, von {{math|term= \neg q |SZ=}} nach {{math|term= \neg p |SZ=}} zu gelangen als von {{math|term= p |SZ=}} nach {{math|term= q |SZ=.}} {{Wahrheitstabelle/2/5|Kontraposition| p \rightarrow q | w|f|w|w| \neg p |f|f|w|w| \neg q |f|w|f|w| \neg q \rightarrow \neg p | w|f|w|w | (p \rightarrow q) \leftrightarrow ( \neg q \rightarrow \neg p) | w|w|w|w }} Die {{Stichwort|Widerspruchsregel|SZ=}} ist auch ein häufiges Argumentationsmuster. Man zeigt, dass aus einer Aussage {{math|term= p |SZ=}} ein Widerspruch, oft von der Form {{mathl|term= q {{logund|}} \neg q |SZ=,}} folgt, und schließt daraus, dass {{math|term= p |SZ=}} nicht gelten kann, also {{math|term= \neg p |SZ=}} gelten muss. {{Wahrheitstabelle/2/5|Widerspruchsregel| p \rightarrow q | w|f|w|w| p \rightarrow \neg q |f|w|w|w| (p \rightarrow q) {{logund|}} (p \rightarrow \neg q) | f|f|w|w | \neg p |f|f|w|w| (p \rightarrow q) {{logund|}} (p \rightarrow \neg q) \rightarrow \neg p | w|w|w|w }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gdi1lmyh1pa3j1fh44qews2azsmjm3u 0 111427 1092099 980437 2026-06-01T12:52:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092099 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein physikalisches Teilchen bewege sich im Raum. Dieser Vorgang wird beschrieben, indem man zu jedem Zeitpunkt {{ Relationskette |t |\in|\R || || || |SZ= }} angibt, an welchem Ort {{ Relationskette |z(t) |\in|\R^3 || || || |SZ= }} sich das Teilchen zu diesem Zeitpunkt befindet. Der Ablauf eines Computerprogramms, das insgesamt auf {{math|term= s |SZ=}} Speicher {{ Zusatz/Klammer |text=die beispielsweise natürliche Zahlen enthalten können| |ISZ=|ESZ= }} Bezug nimmt, wird beschrieben, indem man zu jedem Rechenschritt {{ Zusatz/Klammer |text=was der Abarbeitung einer Programmzeile entspricht, und zwar derjenigen Programmzeile, die bei diesem Rechenschritt aufgerufen wird| |ISZ=|ESZ= }} angibt, wie die Belegungen der Speicher nach der Ausführung des Befehls lauten. Einer Rechenschrittnummer {{math|term= n |SZ=}} wird also das Belegungstupel {{ Relationskette/display |(b_1 (n) {{kommadots|}} b_s(n)) |\in| \N^s || || || |SZ= }} zugeordnet. Bei einer Wahl muss sich jeder Wähler für genau eine Partei {{ Zusatz/Klammer |text=oder für das Nichtwählen| |ISZ=|ESZ= }} entscheiden. Der Temperaturverlauf auf der Erdoberfläche wird dadurch beschrieben, wenn man jedem Zeitpunkt und jedem Punkt der Erdoberfläche die Temperatur zuordnet. Solche und viele andere Situationen werden durch das Konzept einer Abbildung beschrieben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ft6qbz8c0zi2nyccz8yutdohsx8n1xl 0 111689 1092255 1018973 2026-06-01T13:17:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092255 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Topologie/Topologischer Filter/Definition|| }} Die wichtigsten Filter sind für und die Umgebungsfilter zu einer Punkt, der aus allen offenen Mengen eines fixierten Punktes besteht. {{inputdefinition|Ordnungstheorie/Gerichtete Menge/Definition|}} Wir fassen einen {{ Definitionslink |topologischen Filter| |Kontext=| |SZ= }} als eine durch die Inklusion geordnete Menge auf. Aus der Durchschnittseigenschaft eines Filters ergibt sich, dass eine gerichtete Menge vorliegt {{ Zusatz/Klammer |text=Es ist dabei {{Anführung|{{mathlk|term=\preccurlyeq= \supseteq|SZ=}}}}| |ISZ=|ESZ=. }} {{inputdefinition|Geordnetes und gerichtetes System/Von Mengen/Definition|}} Wenn die beteiligten Mengen {{math|term= M_i |SZ=}} allesamt Gruppen {{ Zusatz/Klammer |text=Ringe| |ISZ=|ESZ= }} sind und alle Abbildungen zwischen ihnen Gruppenhomorphismen {{ Zusatz/Klammer |text=Ringhomomorphismen| |ISZ=|ESZ=, }} so spricht man von einem geordneten bzw. gerichteten System von Gruppen {{ Zusatz/Klammer |text=Ringen| |ISZ=|ESZ=. }} {{inputdefinition|Geordnetes System/Von Mengen/Kolimes/Definition|}} Bei dieser Definition ist insbesondere ein Element {{ Relationskette |s_i |\in| M_i || || || |SZ= }} äquivalent zu seinem Bild {{ Relationskette | \varphi_{ik}(s_i) |\in| M_k || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |i |\preccurlyeq | k || || || |SZ=. }} Wenn ein gerichtetes System von Gruppen {{ Zusatz/Klammer |text=Ringen| |ISZ=|ESZ= }} vorliegt, so kann man auf dem soeben eingeführten Kolimes der Mengen auch eine Gruppenstruktur {{ Zusatz/Klammer |text=Ringstruktur| |ISZ=|ESZ= }} definieren. Dies beruht darauf, dass zwei Elemente in diesem Kolimes, die durch {{ Relationskette |s_i |\in| M_i || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |s_j |\in| M_j || || || |SZ= }} repräsentiert seien, mit ihren Bildern in {{mathl|term= M_k |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{mathlk|term=i,j \preccurlyeq k |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} identifiziert werden können. Dann kann man dort die Gruppenverknüpfung erklären, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gerichtetes System/Von kommutativen Gruppen/Kolimes ist kommutative Gruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Unser Hauptbeispiel für ein gerichtetes System ist das durch einen topologischen Filter gerichtete System zu einer {{ Definitionslink |Prägarbe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}} auf {{math|term= X |SZ=,}} also das System {{ Mathbed/display|term= {{op:Prägarbe|F|U}} ||bedterm1= U \in F ||bedterm2= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der gerichteten Systeme |Kategorie2=Theorie der topologischen Filter |Kategorie3=Theorie der Prägarben |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 42ddbunprcb7eqjp0icm63ldptet71b 0 111800 1092069 1074732 2026-06-01T12:47:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092069 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Körpertheorie/Angeordneter Körper/Ausführlich/Definition|| }} Die rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=}} als auch die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} bilden mit den natürlichen Vergleichsordnungen einen angeordneten Körper. Im Zahlenstrahl bedeutet {{ Relationskette/display |a |\geq|b || || || |SZ=, }} dass {{math|term= a |SZ=}} mindestens so weit rechts wie {{math|term= b |SZ=}} liegt. Die ersten beiden Eigenschaften drücken aus, dass auf {{math|term= K |SZ=}} eine {{Stichwort|totale|msw=Totale Ordnung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|lineare|msw=Totale Ordnung|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|msw=Totale Ordnung|Ordnung|SZ=}} vorliegt; die in (2) beschriebene Eigenschaft heißt Transitivität. Statt {{ Relationskette |a |>|b || || || |SZ= }} schreibt man auch {{ Relationskette |b |<|a || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text={{Anführung|kleiner als}}| |ISZ=|ESZ= }} und statt {{ Relationskette |a |\geq|b || || || |SZ= }} schreibt man auch {{ Relationskette |b |\leq|a || || || |SZ=. }} Ein Element {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} in einem angeordneten Körper nennt man {{Definitionswort/enp|positiv|SZ=,}} wenn {{ Relationskette |a |>|0 || || || |SZ= }} ist, und {{Definitionswort/enp|negativ|SZ=,}} wenn {{ Relationskette |a |<|0 || || || |SZ= }} ist. Die {{math|term= 0 |SZ=}} ist demnach weder positiv noch negativ, und jedes Element ist entweder positiv oder negativ oder gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Die Elemente {{ mathbed|term= a |mit|bedterm1= a \geq 0 ||bedterm2= |SZ= }} nennt man dann einfach {{Definitionswort/enp|nichtnegativ|SZ=}} und die Elemente {{ mathbed|term= a |mit|bedterm1= a \leq 0 ||bedterm2= |SZ= }} {{Definitionswort/enp|nichtpositiv|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften/3/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Körper/Elementare Eigenschaften zu Inversen/Fakt|Lemma|| }} Wir besprechen nun eine weitere Anordungseigenschaft der reellen Zahlen, das sogenannte {{Stichwort|Archimedes-Axiom|SZ=.}} Um dieses formulieren zu können, müssen wir uns zunächst klar machen, dass in jedem Körper {{math|term= K |SZ=}} jede natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} eine sinnvolle und eindeutige Interpretation hat. Dies ist nicht selbstverständlich, da ja in der Axiomatik eines Körpers zwar eine {{math|term= 0 |SZ=}} und eine {{math|term= 1 |SZ=}} vorkommt, aber keine {{math|term= 2,3, ...|SZ=.}} Wir legen daher einfach über die Addition im Körper die Bedeutung dieser Zahlen fest, also {{ Relationskette/display |2 ||1+1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |3 ||2+1 ||1+1+1 || || |SZ=, }} u.s.w. Dabei kann passieren, dass eine positive natürliche Zahl in einem Körper gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, im Körper mit zwei Elementen ist beispielsweise {{ Relationskette |0 ||2 ||4 ||6 ||\ldots |SZ= }} und {{ Relationskette |1 ||3 ||5 ||7 ||\ldots |SZ=. }} Eine negative ganze Zahlen {{mathl|term= -n|SZ=}} kann man in jedem Körper als das Negative {{ Zusatz/Klammer |text=im Körper| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= n |SZ=}} interpretieren. Bei einem angeordneten Körper {{math|term= K |SZ=}} ist aber die natürliche Abbildung {{ Abbildung |name= |\Z|K || |SZ= }} injektiv. Damit können wir das noch ausstehende Axiom formulieren. {{ inputbild |Archimedes (Idealportrait)|jpg|150px {{!}} thumb {{!}} | | |Zusname=Archimedes (Idealportrait) |Text=[[w:Archimedes|Archimedes (ca. 287 -212 v. C.)]] |Autor= |Benutzer=Ixitixel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Archimedisch/Definition|| }} Die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=ebenso die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} erfüllen das Archimedische Axiom, sie bilden also einen archimedisch angeordneten Körper. Die folgenden Folgerungen aus dem Archimedes-Axiom gelten also für die reellen Zahlen. Wir werden sie direkt nur für die reellen Zahlen selbst formulieren, da man sogar jeden archimedisch angeordneten Körper als Unterkörper der reellen Zahlen erhalten kann. In {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Polynomring/Angeordneter Körper/Anordnung auf Quotientenkörper/Nicht archimedisch angeordnet/Aufgabe |Nr= |SZ= }} wird ein angeordneter Körper beschrieben, der nicht archimedisch angeordnet ist. Aufgrund von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Enthält Q/Verknüpfung und Ordnung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} enthält ein angeordneter Körper nicht nur die ganzen Zahlen, sondern auch die rationalen Zahlen. {{ inputfaktbeweis2 |Reelle Zahlen/Anordnungsaxiome/Archimedes/Folgerungen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Verschiedene Intervalle/Definition|| }} Für das offene Intervall wird häufig auch {{mathl|term= (a,b) |SZ=}} geschrieben. Die Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} heißen die {{Stichwort|Grenzen des Intervalls|msw=Grenzen eines Intervalls|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Randpunkte|msw=Randpunkt|SZ=}} des Intervalls| |ISZ=|ESZ=, }} genauer spricht man von {{Stichwort|unterer|msw=Untere Grenze|SZ=}} und {{Stichwort|oberer Grenze|msw=Obere Grenze|SZ=.}} Die Bezeichnung linksseitig und rechtsseitig bei den beiden letzten Intervallen {{ Zusatz/Klammer |text=die man auch als {{Stichwort|halboffen|SZ=}} bezeichnet| |SZ= }} rühren von der üblichen Repräsentierung der reellen Zahlen als Zahlengerade her, bei der rechts die positiven Zahlen stehen. Manchmal werden auch Schreibweisen wie {{mathl|term= [a, \infty] |SZ=}} verwendet. Dies bedeutet {{Betonung|nicht|SZ=,}} dass es in {{math|term= \R|SZ=}} ein Element {{math|term= \infty|SZ=}} gibt, sondern ist lediglich eine kurze Schreibweise für {{mathl|term= {{Mengebed|x \in \R|x \geq a}} |SZ=.}} Ferner verwendet man Schreibweisen wie {{ Math/display|term= \R_+,\, \R_-,\, \R_{\geq 0} = \R_+^0,\, \R_{\leq 0} = \R_-^0 |SZ= }} oder Ähnliches. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Fußnoten= |Autor= |Abstraktere Version=Angeordneter Körper/Intervalle/Einführung/Textabschnitt |Bearbeitungsstand= }} psx78ol9c2pd8cgmh3sprw0y3l3bzz4 0 112583 1092151 981240 2026-06-01T13:00:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092151 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modul/Definition|| }} Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen {{ Relationskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:Schnitte|V| {{op:Strukturgarbe|X}} }} \times {{op:Schnitte|V| {{op:Garbe|M}} }} | {{op:Schnitte|V| {{op:Garbe|M}} }}|{{op:Schnitte|U| {{op:Strukturgarbe|X}} }} \times {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|M}} }}| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|M}} }}|}} kommutiert. Die Strukturgarbe {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=}} ist insbesondere ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Modul. Ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen. {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modul/Untermodul/Definition|| }} {{ inputdefinition |Beringter Raum/Idealgarbe/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 87ljiw4bo7htystyls4vr04wnvld0al 0 113086 1092361 1019247 2026-06-01T13:34:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092361 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= X |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Schema| |Kontext=| |SZ= }} über einem Basisschema {{math|term= S |SZ=.}} Wir möchten eine Garbenversion des Moduls der Kählerdifferentiale definieren. {{ inputfaktbeweis |Affines Schema/Affines Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Lokalisierungseigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Definition|| }} Es ist zu zeigen, dass es ein solches Objekt in eindeutiger Weise gibt. Durch die Quasikohärenz muss zu jeder affinen Teilmenge {{ Relationskette |V || {{op:Spek|R|}} |\subseteq|S || || || |SZ= }} und jeder affinen Teilmenge {{ Relationskette |U || {{op:Spek|A|}} |\subseteq|X || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |U |\subseteq| p^{-1} (V) || || || |SZ= }} der Modul auf {{math|term= U |SZ=}} mit {{mathl|term= {{op:Modulgarbespektrum|{{op:Kählermodul|A|R }} }} |SZ=}} übereinstimmen. Im affinen Fall ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Affines Schema/Affines Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Lokalisierungseigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} der Modul {{mathl|term= {{op:Modulgarbespektrum|{{op:Kählermodul|A|R}}||}} |SZ=}} das richtige Modell. Wenn {{ mathkor|term1= (\Omega,d) ||term2= (\Omega',d') |SZ= }} zwei Modelle sind, so gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft {{ Zusatz/Klammer |text=zuerst auf den affinen Stücken und dann allgemein| |ISZ=|ESZ= }} einen {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X|}} |Modulhomomorphismus| |Kontext=Garbe| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Modulgarbespektrum|{{op:Kählermodul|A|R}}||}} | \Omega' || |SZ=. }} Da dieser punktweise ein Isomorphismus ist, handelt es sich überhaupt um einen Isomorphismus. Insbesondere kann es nur eine solche Garbe geben. Wenn eine affine Überdeckung {{ Relationskette/display |S || \bigcup_{j \in J} V_j || || || |SZ= }} und dazu eine affine Überdeckung {{ Relationskette/display |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |U_i |\subseteq| p^{-1} (V_j) || || || |SZ= }} für ein {{ Relationskette |j ||j(i) || || || |SZ= }} vorliegt, so kann man die {{mathl|term= {{op:Kählermodul|U_i |V_{j(i)} |}} |SZ=}} miteinander verkleben, da die Einschränkungen auf affinen Stücken {{ Relationskette |U |\subseteq| U_i \cap U_{i'} || || || |SZ= }} über {{ Relationskette | V |\subseteq |V_{j(i)} \cap V_{j(i')} || || || |SZ= }} eindeutig bestimmt sind. {{ inputdefinition |Schema/Basisschema/Garbe der Kähler-Differentiale/Tangentialgarbe/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:Tangentialgarbe|X|S}} || {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Kählermodul|X|S}} | {{op:Strukturgarbe|X|}} }} || {{op:Homomorphismengarbe| {{op:Kählermodul|X|S}} | {{op:Strukturgarbe|X|}} }} || {{op:Derivationengarbe| {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Strukturgarbe|X|}} }} || |SZ=, }} wobei die letzte Gleichheit auf der universellen Eigenschaft der Kähler-Differentiale beruht. Entsprechend nennt man die Garbe der Kähler-Differentiale auch die {{Stichwort|Kotangentialgarbe|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale auf einem Schema |Kategorie2=Theorie der Tangentialgarbe auf einem Schema |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} a423brqeqnitwip5arjd5kvedpdyrpa 0 113165 1092155 902301 2026-06-01T13:01:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092155 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem {{ Definitionslink |Morphismus beringter Räume| |SZ= }} {{ Abbildung |name= \varphi |(X, {{op:Strukturgarbe|X|}}) | (Y, {{op:Strukturgarbe|Y|}} ) || |SZ= }} und einem {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|Y|}} |Modul| |Kontext=Garbe| |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |zurückgezogene Garbe| |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1} {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} im Allgemeinen kein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}} |SZ=-}}Modul. {{ inputdefinition |Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Beringter Raum/Morphismus/Modul/Rückzug/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Beringter Raum/Morphismus/Moduln/Vorschub und Rückzug/Adjunktion/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Lokal beringte Räume/Morphismus/Invertierbare Garbe/Rückzug/Invertierbarkeitsort/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Affines Schema/Morphismus/Modul/Rückzug/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Schema/Morphismus/Modul/Rückzug/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Standard-graduierter Ring/Getwistete Struturgarbe/Rückzug/Fakt|Lemma|| || }} Eine direktere Beweismöglichkeit ergibt sich mit {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Standard-graduierter Ring/Homogenes Ideal/Nenneraufnahme/n-te Stufe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bhlp2ws4p2vjt36w537pj7fm7hzowsi 0 114538 1092881 1025942 2026-06-02T11:57:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092881 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Math/display|term= {{Reihe|a}} |SZ= }} eine Reihe von reellen Zahlen. Dann ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das folgende Cauchy-Kriterium erfüllt ist: Zu jedem {{ Relationskette | \epsilon | > | 0 || || || |SZ= }} gibt es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} derart, dass für alle {{ Relationskette/display | n | \geq | m | \geq | n_0 || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| \sum_{k {{=|}} m}^n a_k }} | \leq | \epsilon || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3jvhzqhpssjg9yttiev16xshry7zug6 0 114542 1092882 1025922 2026-06-02T11:57:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092882 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Sei {{mathl|term= {{Reihe|b}} |SZ=}} eine konvergente Reihe von reellen Zahlen und {{mathl|term= {{Folge| a |n=k}} |SZ=}} eine Folge reeller Zahlen mit {{ Relationskette | {{op:Betrag|a_k |}} | \leq | b_k || || || |SZ= }} für alle {{math|term= k|SZ=.}} Dann ist die Reihe {{ Math/display|term= {{Reihe|a}} |SZ= }} absolut konvergent. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hrhltor9euf4dbwnqinvhg6dsjbvwlo 0 114601 1092883 1025944 2026-06-02T11:57:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092883 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Math/display|term= {{Reihe|a}} |SZ= }} eine konvergente Reihe von reellen Zahlen. Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes| a |n=k}} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2zrm37k7dbhnyta0cgq7xwdn7w58o3i 0 114613 1092884 1025924 2026-06-02T11:57:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092884 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Math/display|term= {{Reihe|a}} \text{ und } {{Reihe|b}} |SZ= }} zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt {{mathl|term= {{Reihe|c}} |SZ=}} absolut konvergent und für die Summe gilt {{ Relationskette/display | {{Reihe|c}} || {{makl| {{Reihe|a}} |}} \cdot {{makl| {{Reihe|b}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c3hf87npsahkdohttxb5c5qg6srge8u 0 116142 1092753 1025053 2026-06-01T14:45:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092753 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Grenzwert| |msw= |SZ= }} zu einer auf {{ Relationskette | T | \subseteq| \R || || || |SZ= }} definierten Funktion {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | T |\R || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | a | \in | \R || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2mfn72vvuasqpl2de1mksf7wm5hh39h 0 116151 1092646 1021434 2026-06-01T14:27:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1092646 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |absolute Konvergenz| |msw= |SZ= }} einer reellen Reihe {{mathl|term= {{Reihe| a |}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2mcmi6prxuaiyxvbh3tcbqqnr5tf5r 0 116502 1092595 1085876 2026-06-01T14:12:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092595 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Graph/Ungerichtet/Definition|| }} Man spricht auch kurz von einem {{Stichwort|Graphen|msw=Graph (Relation)|SZ=.}} Ein Graph ist nichts anderes als eine {{ Definitionslink |symmetrische Relation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=}} ohne Selbstbezug {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Schleifen| |ISZ=|ESZ=. }} Typischerweise ist die Grundmenge, zu der man auch {{Stichwort|Knotenmenge|SZ=}} oder {{Stichwort|Punktmenge|SZ=}} oder {{Stichwort|Vertexmenge|SZ=}} sagt, endlich, und oft wählt man {{ Relationskette | V || {{Menge1n|}} || || || |SZ=. }} Eine typische Darstellung eines Graphen ist ein Diagramm aus {{math|term= n |SZ=}} Punkten, von denen manche miteinander durch eine {{Stichwort|Kante|SZ=}} verbunden sind, manche nicht. Die Menge der Kanten bildet eine Teilmenge der Potenzmenge von {{math|term= V |SZ=,}} und zwar eine, wo sämtliche Teilmengen zweielementig sind. Im Sinne der obigen Definition darf {{mathl|term= (v,v) |SZ=}} keine Kante sein. Die Menge aller Kanten wird häufig mit {{math|term= E |SZ=}} bezeichnet und man schreibt kurz {{ Relationskette | uv | \in | E || || || |SZ= }} für den Sachverhalt, dass {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} eine Kante des Graphen ist. Ein Graph wird oft kurz in der Form {{mathl|term= (V,E) |SZ=}} angegeben. Wenn man zu einer Menge {{math|term= V |SZ=}} mit {{mathl|term= {{Op:Potenzmengezwei|V}} |SZ=}} die Menge aller zweielementigen Teilmengen von {{math|term= V |SZ=,}} bezeichnet, so kann man die Kantenmenge als {{ Relationskette |E |\subseteq|{{Op:Potenzmengezwei|V}} || || || |SZ= }} auffassen. {{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition|| }} Wenn zwei Punkte benachbart sind, also durch eine Kante verbunden, so sagt man auch, dass sie {{Stichwort|adjazent|msw=Adjazente Knoten|SZ=}} sind. Ferner sagt man, dass eine Kante mit einem Knoten {{Stichwort|inzident|SZ=}} ist, wenn der Knoten in der Kante vorkommt. Die Kante {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} ist also inzident zu {{math|term= u |SZ=}} und zu {{math|term= v |SZ=}} und sonst zu keinem Punkt. Zwei Kanten nennen wir {{Stichwort|koinzident|msw=Koinzidente Kanten|SZ=,}} wenn ihr Durchschnitt nicht leer ist, wenn sie also inzident zu einem gemeinsamen Punkt sind. Für eine Teilmenge {{ Relationskette |S |\subseteq|V || || || |SZ= }} setzt man {{ Relationskette |N(S) || \bigcup_{ s \in S} N(s) || || || |SZ= }} und nennt dies die Nachbarschaftsmenge von {{math|term= S |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7ttelhhs4wph3cie5svp8ct8hwwuhm7 0 116528 1092599 1019832 2026-06-01T14:13:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092599 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Weg/Definition|| }} Statt Weg sagt man auch {{Stichwort|Kantenzug|SZ=}} oder {{Stichwort|Pfad|msw=Pfad (Graph) |SZ=.}} {{math|term= v_1 |SZ=}} heißt {{Stichwort|Anfangspunkt|SZ=}} und {{math|term= v_m |SZ=}} heißt {{Stichwort|Endpunkt|SZ=}} des Weges. Man sagt in dieser Situation auch, dass der angegebene Weg die Punkte {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_m |SZ= }} verbindet. Zu jedem Knotenpunkt {{math|term= v |SZ=}} gibt es den konstanten, kantenleeren Weg, der keine Kanten besitzt, und {{math|term= v |SZ=}} mit sich selbst verbindet. Bei einem Weg sind Wiederholungen erlaubt, und zwar sowohl von Punkten als auch von Kanten. Gelegentlich wird ein Weg in der Form {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_{m-1} |SZ=}} mit Kanten {{ Relationskette |e_i |\in|E || || || |SZ= }} angeben, wobei dann vorauszusetzen ist, dass stets {{ mathkor|term1= e_i |und|term2= e_{i+1} |SZ= }} {{ Definitionslink |koinzident| |Kontext=Graph| |SZ= }} sind und der Anfangspunkt eventuell explizit zu machen ist. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition|| }} Die Zusammenhangskomponenten eines Graphen sind einfach die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ= }} zur Äquivalenzrelation, miteinander verbunden zu sein. Ein isolierter Punkt eines Graphen ist dasselbe wie eine einpunktige Zusammenhangskomponente. Die verschiedenen Zusammenhangskomponenten eines Graphen haben nichts miteinander zu tun und daher studiert man vor allem zusammenhängende Graphen. {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9ndwawiabhamwz1r04rny6jy7rybhvb 0 116594 1092290 1074626 2026-06-01T13:22:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092290 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Graph/Hamiltonkreis/Definition|| }} Da in einem Kreis ein Punkt höchstens einmal vorkommt, kommt in einem Hamiltonkreis jeder Punkt genau einmal vor. Ein {{Stichwort|Hamiltonscher Pfad|SZ=}} ist ein Kantenzug, bei dem jeder Knoten genau einmal durchlaufen wird, die Enden müssen aber nicht wie bei einem Hamiltonkreis notwendigerweise durch eine Kante verbunden sein. {{ inputbild |Hamiltonian Dodecahedron Graph|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Hamiltonian_Dodecahedron_Graph |Text= |Autor= |Benutzer=Zorgit |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Graph/Hamiltonsch/Definition|| }} {{ inputbild |Knight's tour anim 2|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Knight's_tour_anim_2 |Text=Der Schachpferdgraph: Die Knoten sind die Schachfelder und zwei Felder sind durch eine Kante miteinander verbunden, wenn man durch einen Pferdsprung von einem Feld zum andern kommen kann. Die Animation zeigt einen hamiltonschen Pfad, der kein Hamiltonkreis ist. Gibt es einen Hamiltonkreis? |Autor= |Benutzer=Ilmari Karonen |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Der folgende Satz heißt Satz von Ore. {{ inputfaktbeweis |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hamiltonkreise |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 752ts5ktv448wcp10im1zmbbwp4c1u4 0 116673 1092279 1074623 2026-06-01T13:20:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092279 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Firma/Ausschließungsgraph/Teams/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Graph/Färbung/Definition|| }} Bei {{math|term= f |SZ=}} denke man an Färbung und bei {{math|term= B |SZ=}} an bunt. Den Wert {{mathl|term= f(v) |SZ=}} nennt man die Farbe von {{math|term= v |SZ=}} unter der gegebenen Färbung. Es ist keine Einschränkung, nur Farbenmengen der Form {{mathl|term= \{1 {{kommadots|}} k\} |SZ=}} zu betrachten. Diese Definition nimmt keinen Bezug auf die Kantenmenge {{math|term= E |SZ=.}} Dies wird hingegen bei der folgenden Definition entscheidend verlangt. {{ inputbild |Petersen graph 3-coloring|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Petersen_graph_3-coloring |Autor= |Benutzer=Chris-martin |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Graph/Färbung/Zulässig/Definition|| }} {{ inputdefinition |Graph/Färbung/Chromatische Zahl/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Graph/Färbung/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Färbungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ha9ykey7v9awpgewx1m0z0snz6n7p5w 0 116756 1092596 1074770 2026-06-01T14:12:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092596 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition|| }} Es wird also die Knotenmenge übernommen und eine zweielementige Teilmenge {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} ist genau dann eine Kante des komplementären Graphen, wenn sie keine Kante des Ausgangsgraphen ist. Dabei entsprechen sich der {{ Definitionslink |vollstän{{drucktrenn}}dige Graph| |Kontext=| |SZ= }} und der {{ Definitionslink |kantenfreie Graph| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{math|term= G |SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} Punkte und {{math|term= m |SZ=}} Kanten besitzt, so besitzt {{math|term= G^c|SZ=}} gerade {{math|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|2}} -m |SZ=}} Kanten. Der komplementäre Graph des komplementären Graphes ist wieder der Ausgangsgraph, also {{ Relationskette | {{makl| G^c |}}^c ||G || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition|| }} Für {{ Relationskette |F ||\{e\} || || || |SZ= }} schreibt man abkürzend {{math|term= G \setminus e |SZ=}} für {{math|term= G \setminus \{e\} |SZ=.}} {{ inputbild |Line graph construction 1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_1 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 2|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_2 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 3|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_3 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 4|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_4 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Sterngraph/Kantengraph/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Kantenanzahl/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5vszl7m5zwph1w6rspgnc0f1nkwesuw 0 116769 1092382 983190 2026-06-01T13:37:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092382 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Matroid/Definition|| }} Die dritte Eigenschaft heißt dabei die {{Stichwort|Austauscheigenschaft|SZ=.}} Sie besagt, dass man jede Menge {{math|term= B |SZ=,}} die zu dem Matroid gehört, zu einer größeren Menge des Matroids mit Hilfe eines Elements von {{math|term= A |SZ=}} auffüllen kann, sobald {{math|term= A |SZ=}} mehr Elemente als {{math|term= B |SZ=}} besitzt und ebenfalls zum Matroid gehört. Das folgende Standardbeispiel für ein Matroid ist aus der linearen Algebra bekannt. {{ inputbeispiel |Vektorraum/Vektorenfamilie/Matroid/Beispiel|| }} Wegen dieses Beispiels nennt man die Mengen aus {{math|term= E |SZ=,}} die zu einem Matroid gehören, die {{Stichwort|unabhängigen Mengen|msw=Unabhängige Menge (Matroid) |SZ=.}} Die folgende Terminologie orientiert sich ebenfalls an der linearen Algebra. {{ inputdefinition |Matroid/Basis/Definition|| }} Ein {{ Relationskette |B |\in| {{Mengensystem|M}} || || || |SZ= }} ist also genau dann eine Basis, wenn keine Teilmenge {{ Relationskette |A |\subseteq|I || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |B |\subset|A || || || |SZ= }} zu {{math|term= {{Mengensystem|M}} |SZ=}} gehört. Aufgrund der Austauscheigenschaft besitzt jede Basis in einem Matroid die gleiche Anzahl. {{ inputdefinition |Matroid/Rang/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Matroide |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} j1fvo4fxv5zg1nhpsiahqglac0xxten 0 116793 1092278 982393 2026-06-01T13:20:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092278 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Aufspannender Wald/Definition|| }} Ein aufspannender Wald ist also dadurch gekennzeichnet, dass er auf jeder Zusammenhangskomponenten von {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |aufspannender Baum| |Kontext=| |SZ= }} ist. Insbesondere ist ein aufspannender Wald knotengleich zu {{math|term= G |SZ=}} und er lässt sich nicht zu einem Unterwald von {{math|term= G |SZ=}} vergrößern. Wir bezeichnen die Menge der Wälder in einem Graphen {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ=, }} die {{math|term= V |SZ=}} als Knotenmenge besitzen, mit {{math|term= {{Mengensystem|W}} (G) |SZ=.}} Ein solcher Wald ist durch seine Kanten festgelegt, da ja die Knotenmenge mit der von {{math|term= G |SZ=}} übereinstimmt. Insbesondere gehört jeder aufspannende Wald von {{math|term= G |SZ=}} zu {{mathl|term= {{Mengensystem|W}} (G) |SZ=,}} aber auch der kantenfreie Graph auf {{math|term= V |SZ=}} gehört dazu. Es gibt natürlich auch Wälder in {{math|term= G |SZ=,}} deren Knotenmenge kleiner ist, das folgende Lemma gilt auch für sie. {{ inputfaktbeweis |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Graph/Wälder/Matroid/Fakt|Satz|| || }} Mit dem Sprachgebrauch der Matroidtheorie kann man sagen, dass die Wälder den unabhängigen Untergraphen und die aufspannenden Wälder den maximal unabhängigen Untergraphen, also den Basen, entsprechen, wobei unabhängig im graphentheoretischen Kontext als zykelfrei zu verstehen ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der aufspannenden Bäume |Kategorie2=Theorie der Matroide |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 369411p1xbbjj7442ng8tc4zf8oaxi7 0 117054 1092218 1079969 2026-06-01T13:11:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092218 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Set partitions 5; circles|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Set_partitions_5;_circles |Text=Die {{math|term= 52 |SZ=}} Partitionen einer fünfelementigen Menge. |Autor= |Benutzer=Watchduck |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Menge/Partition/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | M || \biguplus_{A \in P} A || || || |SZ= }} eine disjunkte Vereinigung von nichtleeren Teilmengen, die auch die {{Stichwort|Blöcke|msw=Block|SZ=}} der Partition heißen. Da eine Partition als Teilmenge der Potenzmenge angesetzt wird, sind zwei Partitionen genau dann gleich, wenn sie die gleichen Blöcke enthalten. Die Blöcke sind nicht geordnet oder nummeriert. Als Extremfälle gibt es die Partition in einen einzigen Block, der alle Elemente enthält {{ Zusatz/Klammer |text=die {{Stichwort|Klumpenpartition|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} und die Partition, bei der jeder Block einelementig ist. Wir werden hier Partitionen von endlichen Mengen in den Mittelpunkt stellen. Typischerweise werden wir eine Mengen mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke aufteilen. Jeder Block hat dann eine gewisse Anzahl, und man kann diese Situation kombinatorisch studieren. Dabei ist eine Partition stets von ihrem numerischen Typ zu unterscheiden. Wenn beispielsweise eine fünfelementige Menge in zwei Blöcke mit zwei bzw. drei Elementen eingeteilt wird, so stehen dahinter zehn verschiedene Partitionen. Es ist aber sinnvoll, sich alle Partitionen entlang solcher numerischer Überlegungen zu vergegenwärtigen. {{ inputbemerkung |Endliche Menge/Partitionen/Interpretationen/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma|| }} Die Menge aller Partitionen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke wird mit {{mathl|term= \operatorname{Part}(n,k) |SZ=}} bezeichnet. {{ inputbemerkung |Endliche Menge/Partitionen/Surjektive Abbildungen/Bemerkung||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Partitionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o1ooxba84wiryus7zbskzygdtf88set 0 117107 1092435 1079980 2026-06-01T13:46:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092435 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine gewisse Gruppe von Personen möchte wichteln. D.h. jeder Person wird eine weitere Person zugelost, die die erste Person beschenken soll, und dabei wird größtmögliche Geheimhaltung angestrebt. Typischerweise legt man die Zuordnung so fest, dass man die Namen der beteiligten Personen einzeln auf einen Zettel schreibt und dann die Leute ziehen lässt. Die ziehende Person beschenkt die Person, deren Namen auf dem gezogenen Zettel steht. Wenn eine Person sich selbst zieht, so hat man ein Problem. Die übliche praktische Lösung in diesem Fall ist, alles zurück in den Topf zu werfen und es nochmal zu probieren, solange, bis es keine Selbstziehungen mehr gibt. Wir wollen verstehen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich jemand bei einer Ziehung selbst zieht, und daher das Ganze wiederholt werden muss. Insbesondere wollen wir die Asymptotik verstehen, wenn die Anzahl der beteiligten Personen sehr groß ist bzw. wird. Wir erinnern an das Konzept eines Fixpunktes. {{ inputdefinition |Abbildung/In sich/Fixpunkt/Definition|| }} Es geht also um die fixpunktfreien Permutationen. Es sei {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl der Personen, die wichteln möchten. {{ Relationskette/display | n || 1 || || || |SZ=. }} Hier gibt es nur eine Ziehung, die eine Person zieht sich selbst, dies ist unvermeidbar. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine {{ Zusatz/Klammer |text=erlaubte| |ISZ=|ESZ= }} Wichtelzuordnung gezogen wird, ist also {{math|term= 0 |SZ=,}} und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nichtwichtelzuordnung gezogen wird, ist {{math|term= 1 |SZ=.}} {{ Relationskette/display | n || 2 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ=. }} Hier gibt es zwei Ziehmöglichkeiten, nämlich {{Wertetabelle2 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B}} und {{Wertetabelle2 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A}} Die erste Möglichkeit ist die Identität, die zweite die Vertauschung. Die erste ist nicht erlaubt, die zweite ist eine erlaubte Wichtelzuordnung. Die Wahrscheinlichkeit ist also {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} {{ Relationskette/display | n || 3 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A,B |und|term2= C |SZ=. }} Hier gibt es sechs Ziehmöglichkeiten, nämlich {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|B|C}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|A|C|B}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|A|C}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|B|C|A}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|A|B}} {{Wertetabelle3 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|C|B|A}} Von den sechs Möglichkeiten sind nur die vierte und die fünfte ohne Selbstziehung {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Fixpunkt| |ISZ=|ESZ=. }} Die Wahrscheinlichkeit für eine fixpunktfreie Ziehung ist demnach {{mathl|term= {{op:Bruch|1|3}} |SZ=.}} {{ Relationskette/display | n || 4 || || || |SZ=. }} Nennen wir die Personen {{ mathkor|term1= A,B,C |und|term2= D |SZ=. }} Wir wissen, dass es insgesamt {{math|term= 24 |SZ=}} Permutationen gibt. All diese aufzulisten und einfach zu schauen, welche einen Fixpunkt haben und welche nicht, ist schon ziemlich aufwändig, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Es ergeben sich {{math|term= 9 |SZ=}} fixpunktfreie Permutationen. Wir werden mit einer besseren Abzählmöglichkeit arbeiten. Auf diese Zahl kann man schneller kommen, indem man die Struktur von Permutationen besser versteht. Entscheidend dafür ist das Konzept der Zyklen. {{ inputdefinition |Permutation/Zyklus/Definition|| }} Dabei kann man statt {{math|term= z |SZ=}} jedes andere Element aus {{math|term= Z |SZ=}} als Anfangsglied nehmen. Die Menge {{math|term= Z |SZ=}} heißt auch der {{Stichwort|Wirkungsbereich|SZ=}} des Zyklus. Eine Transposition ist ein Zyklus der Ordnung {{math|term= 2 |SZ=.}} Eine beliebige Permutation kann man als eine Verknüpfung von Zyklen mit disjunkten Wirkungsbereichen schreiben, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Permutation/Zyklendarstellung/Definition|| }} Manchmal werden die Fixpunkte in der Zyklendarstellung nicht mit aufgelistet. Wir erläutern dies kurz an einigen Permutationen auf einer vierelementigen Menge. {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|B|C|A}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|C|A|B}} {{Wertetabelle4 |text1={{math|term= P |SZ=}}|A|B|C|D|text2={{math|term= Z(P) |SZ=}}|D|C|B|A}} Bei der zuletzt angeführten Permutation wird {{math|term= A |SZ=}} auf {{math|term= D |SZ=}} und {{math|term= D |SZ=}} wiederum auf {{math|term= A |SZ=}} abgebildet, und ebenso wird {{math|term= B |SZ=}} mit {{math|term= C |SZ=}} vertauscht. Insgesamt kann man diese Abbildung als {{ Math/display|term= A \leftrightarrow D, \, \, \, B \leftrightarrow C |SZ= }} darstellen. Man hat zwei Zyklen der Länge zwei. In der darüber stehenden Permutation hat man die Zuordnung {{ Math/display|term= A \mapsto D \mapsto B \mapsto C |SZ=. }} Man spricht von einem Zyklus der Länge {{math|term= 4 |SZ=.}} In der darüber stehenden Permutation hat man die Zuordnung {{ Math/display|term= A \leftrightarrow D , \, \, \, B , \, \, \, C |SZ=. }} Man hat einen Zyklus der Länge zwei und zwei Fixpunkte, ein Fixpunkt ist ein Zyklus der Länge eins. Die Zerlegung einer Permutation in die Zyklen verschiedener Länge nennt man den Typ der Permutation. Es geht also darum, wie viele Zyklen welcher Länge es gibt. Im Falle {{ Relationskette | n || 4 || || || |SZ= }} gibt es nun lediglich zwei Typen, wie eine fixpunktfreie Permutation aussehen kann, nämlich den Viererzyklus und den doppelten Zweierzyklus. Beim ersten Typ kann man an jeder Stelle anfangen, die Reihenfolge der Elemente legt dann den Zyklus fest. Davon gibt es also {{ Relationskette | 3! || 6 || || || |SZ= }} Stück. Beim zweiten Typ geht es um die Einteilung der Menge in zwei Paare, danach ist alles festgelegt. Davon gibt es {{math|term= 3 |SZ=}} Stück. Jedenfalls ist die Wahrscheinlichkeit für eine fixpunktfreie Permutation bei vier Personen gleich {{mathl|term= {{op:Bruch|9|24}} |SZ=.}} {{ Relationskette/display | n || 5 || || || |SZ=. }} Hier gibt es schon {{mathl|term= 120 |SZ=}} Permutationen, eine Auflistung erübrigt sich. Es gibt aber wieder nur zwei Typen von fixpunktfreien Permutationen, nämlich einerseits die {{math|term= 5 |SZ=-}}Zyklen und andererseits diejenigen Permutationen, die aus einem Zweier-Zyklus und einem Dreier-Zyklus bestehen. Vom ersten Typ gibt es, mit dem gleichen Argument wie oben, {{ Relationskette | 4! || 24 || || || |SZ= }} Möglichkeiten. Vom zweiten Typ muss man die Anzahl der Möglichkeiten bestimmen, in einer fünfelementigen Menge eine zweielementige Teilmenge zu fixieren. In der fünfelementigen Menge gibt es genau {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient|5|2}} || {{op:Bruch|5 \cdot 4|2}} || 10 || || |SZ= }} zweielementige Teilmengen. Wenn diese fixiert ist, muss man noch sagen, wie der Dreierzyklus auf dem Komplement aussehen soll. Dafür gibt es jeweils zwei Möglichkeiten. Insgesamt gibt es also unter den {{math|term= 120 |SZ=}} Permutationen {{ Relationskette/display | 24+ 10 \cdot 2 || 44 || || || |SZ= }} fixpunktfreie Permutationen. Die Wahrscheinlichkeit, eine erlaubte Wichtelzuordnung zu ziehen, ist somit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|44|120}} || {{op:Bruch|11|30}} || || || |SZ=. }} Für deutlich größere {{math|term= n |SZ=}} wird es auch mit der Zyklenmethode schwierig, die genaue Anzahl der fixpunktfreien Permutationen zu bestimmen. Wir werden gleich eine bessere Methode kennenlernen. Wir fassen kurz die berechneten Wahrscheinlichkeiten zusammen. {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= n |SZ=}}|1|2|3|4|5| \ldots |text2={{math|term= w(n) |SZ=}}|0| {{op:Bruch|1|2}} | {{op:Bruch|1|3}} | {{op:Bruch|9|24}} | {{op:Bruch|11|30}} | ? }} In gerundeten Prozent ist dies {{Wertetabelle6 |text1={{math|term= n |SZ=}}|1|2|3|4|5| \ldots |text2={{math|term= w(n) |SZ=}}|0| 50 | 33{,}3 | 37{,}5 | 36{,}6 | ? }} Diese Zahlen gehen hoch und runter. Wir möchten uns mit dem Problem beschäftigen, wie sich diese Zahlen verhalten, wenn {{math|term= n |SZ=}} groß und größer wird, gegen unendlich geht. {{ inputproblem |Wichteln/Wahrscheinlichkeit/Problem||| }} Wie sieht es etwa für {{ Relationskette | n || 1000 || || || |SZ= }} aus? {{Anführung|Streben}} die Wahrscheinlichkeiten einer bestimmten Zahl entgegen oder varieren sie in alle Richtungen? Wenn sie gegen eine bestimmte Zahl streben, gegen welche? Gegen {{math|term= 0 |SZ=,}} gegen {{math|term= 1 |SZ=,}} gegen irgendwas dazwischen? Heuristisch ist es hier schwierig, einen Tipp abzugeben. Einerseits ist, wenn {{math|term= n |SZ=}} groß ist, die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Person sich selbst zieht, sehr klein. Andererseits darf aber gar keine Person sich selbst ziehen, und das sind wiederum viele Bedingungen, und viele kleine Wahrscheinlichkeiten können sich zu einer großen Zahl aufaddieren. Wir beschreiben nun eine einfache Möglichkeit, für jedes {{math|term= n |SZ=}} die Anzahl der fixpunktfreien Permutationen anzugeben. Betrachten wir zuerst das Problem, dass bei einer Permutation eine bestimmte Person auf sich selbst abgebildet wird. Dies haben wir schon weiter oben für einzelne Zahlen bestimmt, es gibt {{mathl|term= (n-1)! |SZ=}} Permutationen von dieser Art, da ja die eine Person auf sich selbst abgebildet wird, und es ansonsten keine weitere Bedingung gibt, es sich also einfach um die Gesamtzahl der Permutationen von {{math|term= n-1 |SZ=}} Personen handelt. Falsch wäre es jetzt, diese Anzahl {{math|term= n |SZ=-}}mal aufzuaddieren, da wir dann eine Permutation mit mehreren Fixpunkten mehrfach zählen würden. Stattdessen müssen wir die Siebformel anwenden. {{ inputfaktbeweis |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt|Lemma|| }} Die Wahrscheinlichkeit, eine wichtelkonforme {{ Zusatz/Klammer |text=fixpunktfreie| |ISZ=|ESZ= }} Permutation zu ziehen, ist somit gleich {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch| n! |k! }} |n! }} || \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} |SZ=. }} Das Schöne an der jetzt gefundenen Formel ist, dass sich der nächste Wert {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man {{math|term= n |SZ=}} auf {{math|term= n+1 |SZ=}} erhöht| |ISZ=|ESZ= }} durch Hinzunahme oder Abzug eines einfachen Bruches aus der zuvor berechneten Zahl ergibt. Vor allem aber erinnert die Formel an die Definition der Exponentialreihe, die die Exponentialfunktion beschreibt. {{ inputbild |Exponential function|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Exponential_function |Text= |Autor= |Benutzer=Luks |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei, |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Exponentialfunktion/Über Reihe/Definition||n=k }} Dabei ist {{ Relationskette/display | e || {{op:exp|1|}} || \sum_{k {{=}} 0}^{\infty} {{op:Bruch|1 |k! }} || 1+1+ {{op:Bruch|1|2}} + {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|24}} + {{op:Bruch|1|120}} + \ldots || 2{,}71828 \ldots || |SZ= }} die {{Stichwort|eulersche Zahl|SZ=}} und {{ Relationskette/display | e^{-1} || \sum_{k {{=}} 0}^{\infty} (-1)^{k} {{op:Bruch|1 |k! }} || 1-1+ {{op:Bruch|1|2}} - {{op:Bruch|1|6}} + {{op:Bruch|1|24}} - {{op:Bruch|1|120}} \pm \ldots || || |SZ= }} ist die inverse eulersche Zahl. Somit ist die oben ermittelte Formel für die Wahrscheinlichkeit, eine fixpunktfreie Permutation zu ziehen, gleich der Anfangssumme von {{mathl|term= e^{-1} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Permutationen/Fixpunktfrei/Asymptotisches Verhalten/Fakt|Korollar|| }} Der numerische Wert ist {{ Relationskette/display | e^{-1} || 0{,}367879 \ldots || || || |SZ=, }} die oben zuletzt ausgerechneten Werte sind also schon ziemlich gut. {{Zwischenüberschrift|Andere Auswahlverfahren}} Beim üblichen Ziehen ist, wie wir gesehen haben, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand sich selbst zieht und die Ziehung dann wiederholt werden muss, nicht zu vernachlässigen. Gibt es andere Auswahlverfahren? Es soll jede (fixpunktfreie) Zuordnung gleichwahrscheinlich sein und jede Person sollte außer der zu beschenkenden Person keinerlei weitere Information haben. Es sei zumindest {{ Relationskette | n |\geq| 3 || || || |SZ=. }} Wir besprechen zwei mögliche Ansätze. Methode 1 Statt leerer Zettel nimmt man einseitig mit von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= n |SZ=}} durchnummerierte Zettel. Diese werden mit der Nummer nach unten hingelegt und jede Person zieht zufällig einen Zettel mit der Nummer, und zwar ohne den Zettel zurück zu legen. Nach diesem ersten Schritt besitzt also jede Person genau einen Zettel mit einer Nummer. Jede Person merkt sich ihre Nummer und schreibt auf ihrem Zettel den eigenen Namen auf der leeren Seite drauf. Die Zettel werden nun mit der Nummer nach oben wieder hingelegt, was die anderen wieder nicht sehen dürfen. Im letzten Schritt zieht nun jede Person ihre Nachfolgerzahl, wenn also eine Person die Nummer {{math|term= k |SZ=}} gezogen hat, muss sie jetzt den Zettel mit der Nummer {{mathl|term= k+1 |SZ=}} rausgreifen {{ Zusatz/Klammer |text=was im Fall {{ Relationskette/k | k || n || || || |SZ= }} als {{math|term= 1 |SZ=}} zu verstehen ist| |ISZ=|ESZ=, }} den Zettel umdrehen und den Namen lesen. Die darauf stehende Person ist zu beschenken, der Zettel wird mit der Nummer nach oben wieder zurückgelegt. Bei diesem letzten Schritt müssen alle anderen Personen wegschauen, da es ja geheim sein soll, welche Nummer zu welcher Person gehört. Diese Methode ist nicht ganz korrekt, da sie etwas Information über die Gesamtzuordnung mitliefert. Man weiß nämlich, dass die Person, der ich etwas schenken soll, definitiv nicht mein Schenker sein kann. Bei einer zufälligen Ziehung kann es aber sein, dass man selbst in einem Zweierzyklus landet. Methode 2 Man macht für jede mögliche fixpunktfreie Permutation einen großen Umschlag {{ Zusatz/Klammer |text=das sind also sehr viele Umschläge| |ISZ=|ESZ=, }} der wiederum {{math|term= n |SZ=}} kleine Umschläge enthält. Auf jedem kleinen Umschlag steht außen ein Name und im Innern ist ein Zettel mit einem weiteren Namen. Jede Permutation kann man ja durch solche Umschläge kodieren, die kleinen Umschläge zusammen übernehmen also die Rolle der Wertetabelle. Die Gruppe muss dann einen großen Umschlag wählen, ihn öffnen und jede Person öffnet dann den kleinen Umschlag, auf dem ihr Name steht. Die im kleinen Umschlag innen benannte Person ist zu bewichteln. Diese Methode ist mathematisch völlig korrekt, aber praktisch undurchführbar. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von endlichen Permutationen |Kategorie2=Theorie der eulerschen Zahl |Kategorie3= |Objektkategorie=Die eulersche Zahl |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 97p02oye781c5viwizetpxgz6gtsv5f 0 117515 1092597 984236 2026-06-01T14:13:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092597 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette |d(v) || {{op:Anzahl|N(v)|}} || || || |SZ=. }} Die folgende Aussage {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. das darauf folgende Korollar| |ISZ=|ESZ= }} heißt auch {{Stichwort|Handschlaglemma|SZ=.}} Man überlege sich eine Handschlaginterpretation für diese Aussagen. {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Isolierter Knoten/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Blatt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Grades in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 88hkd5b197xij9320az7pj4d996zqks 0 117637 1092344 851699 2026-06-01T13:31:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092344 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeit/Zusatzstruktur/Definition|| }} Lokal sieht also eine komplexe Mannigfaltigkeit wie eine offene Teilmenge im {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} aus. Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine {{ Definitionslink |reelle Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} der reellen Dimension {{math|term= 2n|SZ=.}} Hiervon gilt nicht die Umkehrung, da entscheidend bei einer komplexen Mannigfaltigkeit ist, dass die Übergangsabbildungen komplex-differenzierbar ist. Dies ist eine deutlich stärkere Forderung, als dass die Übergangsabbildungen reell-differenzierbar sind. {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ghxrtpo6a9erepnya29l1d3b7o33ntv 0 117643 1092022 919563 2026-06-01T12:39:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092022 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Meromorph/Definition|| }} Wir werden gleich begründen, dass diese Funktion auf {{math|term= {{CC|}} \setminus \Gamma |SZ=}} holomorph und in {{math|term= \Gamma|SZ=}} meromorph ist. {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßsche Funktion/Elliptisch/Ableitung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elliptischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l9ci47ty5swjnmmiznc41hl20yweoy1 0 117688 1092215 981790 2026-06-01T13:11:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092215 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Q/Reduktionstyp/Definition|| }} Da wir mit einer fixierten Gleichung {{ Zusatz/Klammer |text=und nicht mit den sogenannten global minimalen Gleichungen über {{math|term= \Z |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} arbeiten, hängt das Reduktionsverhalten nicht nur von der elliptischen Kurve über {{math|term= \Q |SZ=,}} sondern von der Gleichung selbst ab. So gesehen sind diese Eigenschaften keine Eigenschaften der Kurve über {{math|term= \Q |SZ=,}} sondern der {{ Zusatz/Klammer |text=relativen| |ISZ=|ESZ= }} Kurve über {{math|term= \Z|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Affine Fermatkubik/Glattheit/Mod p/Beispiel|| }} Im Fall von schlechter Reduktion sind weitere Unterscheidungen nötig, je nachdem, was für Singularitäten auftreten. Zumeist betrachtet man ganzzahlige Weierstraßgleichungen für die elliptische Kurve, bei denen der Koeffizient zu {{math|term= Y^2 |SZ=}} und zu {{math|term= X^3 |SZ=}} gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Dies sichert nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kubisches Polynom/Y^2 und X^3/Irreduzibel/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} dass die Kurve modulo {{math|term= p |SZ=}} irreduzibel bleibt. In diesem Fall kann nur ein einzelner singulärer Punkt auftreten, und zwar ist dieser singuläre Punkt schon über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} sichtbar {{ Zusatz/Klammer |text=und nicht erst über einer endlichen Erweiterung {{math|term= {{op:Endlicher Körper|p^e|}} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Für diesen singulären Punkt gibt es dann zwei Möglichkeiten, nämlich, ob eine Spitze {{ Zusatz/Klammer |text=Kuspe| |ISZ=|ESZ= }} oder ob ein Überkreuzungspunkt auftritt. Im letzteren Fall können die Tangenten in diesem Punkt über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} definiert sein oder erst in einer endlichen Erweiterung von {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=.}} {{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Q/Additive Reduktion/Definition|| }} Im Fall von additiver Reduktion liegt {{ Zusatz/Klammer |text=affin| |ISZ=|ESZ= }} im Wesentlichen eine {{ Definitionslink |Neilsche Parabel| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |Y^2 ||X^3 || || || |SZ= }} vor. {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Q/Multiplikative Reduktion/Definition|| }} Man beachte, dass die Tangentenrichtungen erst nach einer endlichen Erweiterung des Körpers sichtbar werden können. Diese Sprechweisen haben folgenden Hintergrund: Im singulären Fall liegt keine Gruppenstruktur auf der Kurve mehr vor. Allerdings gibt es eine Gruppenstruktur außerhalb des singulären Punktes. Wenn die Singularität eine Kuspe ist, so ist das Komplement isomorph zur affinen Geraden mit der additiven Struktur, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Neilsche Parabel/Normalisierung/Gruppenisomorphismus/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wenn die Singularität ein Kreuzungspunkt ist, so ist das Komplement eine punktierte affine Gerade {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an die Normalisierung der Kurve, wo ja zwei Punkte oberhalb des singulären Punktes liegen| |ISZ=|ESZ= }} und isomorph zur multiplikativen Gruppe {{mathl|term= ({{op:Affine Gerade|K|}} \setminus \{0\}, \cdot ,1) |SZ=.}} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Q/Multiplikative Reduktion/Spaltend/Definition|| }} Andernfalls spricht man von nichtspaltender multiplikativer Reduktion. {{ inputbeispiel |Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Reduktionsverhalten/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-X/Reduktionsverhalten/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-1)(X-p)/Reduktionsverhalten/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} brso71zohodsvkog9betqmiaf257n27 0 117704 1092206 1052331 2026-06-01T13:09:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092206 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Einheitskreis/Als Graph/Bogenlänge/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ellipse/Umfang/Ansatz und Integral/Beispiel|| }} Zu {{mathl|term= \sqrt{ {{op:Bruch|1-k^2t^2|1-t^2}} } |SZ=}} kann man keine Stammfunktion mit den sogenannten elementaren Funktionen wie rationale Funktionen oder trigonometrische Funktionen angeben. Die Stammfunktionen existieren, da diese Integranden stetig sind, es gibt aber keine bessere Beschreibung denn als Integral. Wir führen einen eigenen Namen für sie ein. {{ inputdefinition |Elliptisches Normalintegral/Zweite Gattung/Definition|| }} Es sei {{ Relationskette/display |R ||R(u,v) || || || |SZ= }} eine rationale Funktion in den beiden Variablen. Wenn {{ Relationskette/display |v || \sqrt{P(u)} || || || |SZ= }} mit einem quadratischen Polynom {{math|term= P |SZ=}} in der einen Variablen {{math|term= u |SZ=}} ist, so lässt sich eine Stammfunktion zu {{mathl|term= R(u, \sqrt{P(u)}) |SZ=}} angeben, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |Nr= |SZ=. }} Dies geht nicht, wenn {{math|term= P |SZ=}} ein Polynom von höherem Grad ist. Wenn {{math|term= P |SZ=}} den Grad {{math|term= 3 |SZ=}} oder {{math|term= 4 |SZ=}} hat, so gibt es zwar keine expliziten Stammfunktionen, aber dennoch eine reiche Theorie über diese Integrale. Beim obigen Integranden {{mathl|term= \sqrt{ {{op:Bruch|1-k^2t^2|1-t^2}} } |SZ=}} kann man wegen {{ Relationskette/display | \sqrt{ {{op:Bruch|1-k^2t^2|1-t^2}} } || {{op:Bruch| \sqrt{ {{makl| 1-k^2t^2 |}} {{makl| 1-t^2 |}} } | 1-t^2}} || {{op:Bruch| \sqrt{ 1- (1+k^2)t^2 +k^2t^4 } | 1-t^2}} || || |SZ= }} direkt in dieser Form mit {{ Relationskette/display | P(t) || 1- (1+k^2)t^2 +k^2t^4 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |v(t) || \sqrt{ P(t) } || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |R(v,t) || {{op:Bruch| v| 1-t^2|}} || || || |SZ= }} schreiben. {{ inputdefinition |Lemniskate/Abstandsbedingung/Definition|| }} {{ inputbild |Lemniscate of Bernoulli|svg|150px {{!}} thumb {{!}} |Zusname=Lemniscate_of_Bernoulli |Text=Die Lemniskate von Bernoulli |Autor= |Benutzer=Zorgit |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wenn man die beiden Punkte auf die {{math|term= x |SZ=-}}Achse symmetrisch zum Ursprung platziert, sagen wir {{ mathkor|term1= (-a,0) |und|term2= (a,0) |SZ=, }} so erhält man durch Quadrieren die Bedingung {{ Relationskette/display | ((x-a)^2 +y^2)((x+a)^2 +y^2) || a^4 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | (x^2-a^2)^2 + 2 (x^2 +a^2) y^2 +y^4) || a^4 || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | (x^2+y^2)^2 || 2a^2 (x^2-y^2) || || || |SZ=. }} Die einfachste Form ergibt sich für {{ Relationskette |a || {{op:Bruch|1|\sqrt{2} }} || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Lemniskate/Kurvenlänge/Integral/Beispiel|| }} Auf der durch {{ Relationskette |v^2 ||P(u) || || || |SZ= }} definierten Kurve {{math|term= C |SZ=}} in {{math|term= \R^2 |SZ=}} oder in {{math|term= {{CC|}}^2 |SZ=}} ist {{mathl|term= S(u,v)dv|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit einer rationalen Funktion {{math|term= S |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine Differentialform {{ Zusatz/Klammer |text=eventuell mit Polen| |ISZ=|ESZ=. }} Dies gilt auch auf der ganzen Ebene, wobei dann die Pole nicht einzelne Punkte, sondern selbst Kurven sind. Zu einem differenzierbaren Weg {{ Abbildung/display |name=\gamma |I|C |t| \gamma(t) {{=|}} (\gamma_1(t), \gamma_2(t)) |SZ=, }} der die Polstellen vermeidet, kann man das {{ Definitionslink |Wegintegral| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= \int_\gamma \omega |SZ= }} berechnen. Dieses ist gleich {{ Math/display|term= \int_I \gamma^* \omega |SZ=, }} wobei {{mathl|term= \gamma^*\omega |SZ=}} die {{ Definitionslink |zurückgezogene Differentialform| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet. Diese zurückgezogene Form ist gleich {{ Relationskette/display | S(\gamma_1(t), \gamma_2(t)) d \gamma_2(t) || S(\gamma_1(t), \gamma_2(t)) \gamma_2'(t) dt || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display | \gamma_1(t) || t || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \gamma_2(t) || \sqrt{ P(t)} || || || |SZ= }} ist dies {{ Math/display|term= {{op:Bruch|P'(t) |2\sqrt{ P(t)} }} S( t, \sqrt{P(t)}) dt |SZ=. }} Den Integranden kann man wiederum als {{mathl|term= R(t, \sqrt{P(t)}) |SZ=}} schreiben. {{ inputbeispiel |Einheitskreis/Längenform/Rückzug/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2=Theorie der elliptischen Integrale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} n8zdiaaiuxld4b6y6u4k94x7bqdsavg 0 117711 1092197 1018857 2026-06-01T13:08:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092197 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |L-Reihe/Definition|| }} Die {{math|term= a_n |SZ=}} heißen die Koeffizienten der {{math|term= L |SZ=-}}Reihe. Die Riemannsche Zetafunktion ist durch die {{math|term= L |SZ=-}}Reihe gegeben, bei der alle Koeffizienten {{math|term= 1 |SZ=}} sind. Man kann nicht erwarten, dass eine solche Reihe überall, also für jedes {{math|term= s |SZ=,}} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=Reihe| |SZ=. }} Ein typisches Verhalten ist aber, dass sie konvergiert, wenn der Realteil von {{math|term= s |SZ=}} hinreichend groß ist. {{ inputbemerkung |L-Reihe/Sinnhaftigkeit/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |L-Reihe/Typische Fragestellungen/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Dirichletreihe/Konvergenzverhalten/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dirichletreihe/Produktreihe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dirichletreihe/Beschränkte Koeffizienten/Konvergenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Zahlentheoretische Funktion/C/Multiplikativ/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Dirichletreihe/Beschränkte Koeffizienten/Multiplikativ/Produktdarstellung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der L-Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jqy130zfzk8jc1uev0xddyu4k9v0r5b 0 117720 1092213 981769 2026-06-01T13:10:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092213 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= E |SZ=}} eine {{ Definitionslink |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ= }} über {{math|term= \Q |SZ=,}} gegeben in ganzzahliger Darstellung. Für fast alle Primzahlen {{math|term= p |SZ=}} ist dann {{math|term= E_p |SZ=}} modulo {{math|term= p |SZ=}} eine elliptische Kurve über {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=.}} Es sei {{math|term= N_p |SZ=}} die Anzahl der {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Punkte von {{math|term= E_p |SZ=,}} die ja endlich ist. Aufgrund der Abschätzung von Hasse erwartet man eine Größenordnung von {{math|term= p+1 |SZ=.}} Es fällt einem zunächst mal kein Grund ein, warum die Zahlen {{math|term= N_p |SZ=}} zu verschiedenen Primzahlen etwas miteinander zu tun haben sollten. Deshalb packt man diese Daten in eine {{math|term= L |SZ=-}}Reihe und hofft, dass sich dadurch Gesetzmäßigkeiten ergeben {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. dieser Zugang ist sinnvoll, weil dadurch Gesetzmäßigkeiten sichtbar werden| |ISZ=|ESZ=. }} Statt mit {{math|term= N_p |SZ=}} direkt arbeitet man mit {{mathl|term= p+1-N_p|SZ=,}} da diese Terme um {{math|term= 0 |SZ=}} schwanken. Für Primzahlen mit schlechter Reduktion müssen besondere Festlegungen getroffen werden. {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Primkoeffizienten/Definition|| }} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Primzahlpotenzkoeffizienten/Definition|| }} Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/Z mod p/Weilsche Zetafunktion/Rekursionsbedingung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} erfüllen bei guter Reduktion die Zahlen {{ Relationskette | b_{p^r} | {{defeq|}} | p^r + 1 - E_p( {{op:Endlicher Körper|p^r|}} ) || || || |SZ= }} ebenfalls diese rekursive Relation, allerdings erst für {{ Relationskette |r |\geq|3 || || || |SZ=, }} für {{ Relationskette |r ||2 || || || |SZ= }} gilt dort {{ Relationskette | b_{p^2} || b_p b_p -2p || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Koeffizienten/Definition|| }} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Q/L-Reihe/Definition|| }} Reihen von dieser Bauart nennt man {{ Definitionslink |Dirichletreihen| |Kontext=| |SZ=, }} man fasst sie als Funktion in der einen komplexen Variablen {{math|term= s |SZ=}} auf, wobei das Konvergenzverhalten von den Koeffizienten abhängt. Die bekannteste Reihe von dieser Form ist die {{ Definitionslink |Riemannsche {{math|term= \zeta|SZ=-}}Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Riemannsche Zetafunktion/Definition |SZ=, }} die durch {{ Relationskette/display | \zeta(s) || \sum_{n {{=|}} 1}^\infty n^{-s} || \sum_{n {{=|}} 1}^\infty {{op:Bruch|1|n^s}} || || |SZ= }} gegeben sind, dort sind also sämtliche Koeffizienten gleich {{math|term= 1 |SZ=.}} Für die {{ Definitionslink |Riemannsche {{math|term= \zeta|SZ=-}}Funktion| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Riemannsche Zetafunktion/Definition |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | \zeta(s) || \sum_{n {{=|}} 1}^\infty \frac{1}{n^s} || \prod_{p \in {\mathbb P} } \frac{1}{1-p^{-s} } || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Ebenso besitzt die {{math|term= L |SZ=-}}Reihe zu einer elliptischen Kurve {{math|term= E |SZ=}} neben der additiven Darstellung auch eine multiplikative Darstellung, bei der die {{ Definitionslink |Weilschen Zeta-Funktionen| |Kontext=Varietät| |SZ= }} zu {{math|term= E_p |SZ=}} eine wichtige Rolle spielen. Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt im Falle guter Reduktion {{ Relationskette/display | Z(E_p;t) || {{op:Bruch|1+ (N_1 -p-1) t+pt^2|(1-t)(1-pt) }} || {{op:Bruch|1 -a_p t+pt^2|(1-t)(1-pt) }} || || |SZ=, }} d.h. das {{math|term= a_p|SZ=}} beschreibt vollständig die Zeta-Funktion der Reduktion {{math|term= E_p|SZ=.}} Wenn man in die obige Zeta-Funktion {{ Relationskette | t || p^{-s} || || || |SZ= }} einsetzt, so erhält man {{ Relationskette/display | Z(E_p;p^{-s} ) || {{op:Bruch|1+ (N_1 -p-1) p^{-s}+p p^{-2s}|(1-p^{-s})(1-pp^{-s}) }} || {{op:Bruch|1+ (N_1 -p-1) p^{-s}+p^{1-2s}|(1-p^{-s})(1-p^{1-s}) }} || {{op:Bruch|1 -a_p p^{-s}+p^{1-2s}|(1-p^{-s})(1-p^{1-s}) }} || |SZ=. }} Wenn man versucht, darüber das Produkt über alle Primzahlen {{math|term= p |SZ=}} zu bilden, so fällt zunächst auf, dass das Produkt über den linken Faktor im Nenner {{math|term= \zeta(s) |SZ=}} ergibt und dass das Produkt über den rechten Faktor {{math|term= \zeta(s-1) |SZ=}} ergibt. Man kann sich also auf den Zähler konzentrieren. Die folgende Aussage beschreibt die multiplikative Version der {{math|term= L |SZ=-}}Reihe. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Q/L-Funktion/Produktdarstellung/Fakt|Lemma|| || }} Wenn man die Zeta-Funktion für die Primzahlen mit schlechter Reduktion als {{ Relationskette/display | Z(E_p;t) | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1-a_pt|(1-t)(1-pt)}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | Z(E_p; p^{-s} ) | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1-a_pp^{-s}|(1-p^{-s})(1-p p^{-s})}} || || || |SZ= }} ansetzt, so erhält man die Darstellung {{ Relationskette/align/drucklinks | L(E,s) || \prod_{p \text{ schlechte Reduktion } } {{op:Bruch| 1 | 1-a_p p^{-s} }} \cdot \prod_{p \text{ gute Reduktion } } {{op:Bruch| 1 | 1-a_p p^{-s} + p^{1-2s} }} || \prod_{p \text{ schlechte Reduktion } } {{op:Bruch| 1 | (1-p^{-s})(1- p^{1-s} ) Z(E_p ;p^{-s}) }} \cdot \prod_{p \text{ gute Reduktion } } {{op:Bruch| 1 | (1-p^{-s})(1- p^{1-s} ) Z(E_p ;p^{-s}) }} || \prod_p {{op:Bruch| 1 | 1-p^{-s} }} \prod_p {{op:Bruch| 1 | 1- p^{1-s} }} \prod_p {{op:Bruch| 1 | Z(E_p ;p^{-s}) }} || \zeta(s) \zeta(s-1) \prod_p {{op:Bruch| 1 | Z(E_p ;p^{-s}) }} |SZ=, }} und die {{math|term= L |SZ=-}}Reihe ergibt sich bis auf die beiden Vorfaktoren, die von der Riemannschen Zetafunktion herkommen, als ein Produkt von invertierten Zetafunktionen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der L-Reihen zu elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1l03vafqdd2ek2putoro4nuwishsshp 0 117756 1092267 1074620 2026-06-01T13:18:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092267 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu je zwei Gittern {{ Relationskette |\Gamma_1,\Gamma_2 |\subset| {{CC|}} || || || |SZ= }} sind die Quotienten {{ mathkor|term1= {{CC|}} /\Gamma_1 |und|term2= {{CC|}} /\Gamma_2 |SZ= }} als {{ Definitionslink |topologische Gruppen| |Kontext=| |SZ= }} isomorph, es handelt sich ja um den topologischen Torus {{mathl|term= S^1 \times S^1 |SZ=.}} Auch als {{ Definitionslink |reelle Lie-Gruppen| |Kontext=| |SZ= }} sind sie stets diffeomorph. Als komplexe Mannigfaltigkeiten bzw. als komplexe Liegruppen sind aber {{ mathkor|term1= {{CC|}} /\Gamma_1 |und|term2= {{CC|}} /\Gamma_2 |SZ= }} in aller Regel verschieden. Dies bedeutet, dass die eine topologische Gruppe {{mathl|term= S^1 \times S^1 |SZ=}} unterschiedliche komplexe Strukturen besitzt. {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Gitter/Streckungsäquivalent/Definition|| }} Dabei ist natürlich {{ Relationskette |s |\neq|0 || || || |SZ=, }} die Streckungsäquivalenz ist eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn das eine Gitter {{math|term= \Gamma_1 |SZ=}} durch die reelle Basis {{mathl|term= u_1,u_2 |SZ=}} und das andere Gitter {{math|term= \Gamma_2 |SZ=}} durch {{mathl|term= v_1,v_2 |SZ=}} gegeben ist, so kann man durch Multiplikation mit {{ Relationskette/display | s || {{op:Bruch|v_1 |u_1}} || || || |SZ= }} ein zu {{math|term= \Gamma_1 |SZ=}} streckungsäquivalentes Gitter {{ Relationskette/display | s \Gamma_1 || \langle v_1, {{op:Bruch|v_1 u_2 |u_1}} \rangle || || || |SZ= }} finden, das mit {{math|term= \Gamma_2 |SZ=}} im ersten Erzeuger übereinstimmt. Damit sind die Streckungsmöglichkeiten aufgebraucht. Allerdings kann man aus {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|v_1 u_2 |u_1}} |\neq| v_2 || || || |SZ= }} nicht schließen, dass {{ mathkor|term1= \Gamma_1 |und|term2= \Gamma_2 |SZ= }} nicht zueinander streckungsäquivalent sind, da es ja um die Gleichheit von Gittern und nicht um die Gleichheit von Gitterbasen geht, d.h. man kann noch mit einer Matrix aus {{mathl|term= {{op:SLG|2|\Z}} |SZ=}} multiplizieren. {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Vertretung in oberer Halbebene/Fakt|Lemma|| || }} Es bleibt noch zu fragen, wann zwei Gitter, die beide durch eine Basis der Form {{ mathkor|term1= (1, u) |bzw.|term2= (1, v) |SZ= }} mit {{ Relationskette |u,v |\in| {{Obere Halbebene|}} || || || |SZ= }} gegeben sind, übereinstimmen. {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt|Lemma|| || }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt |Nr= |SZ= }} ist es naheliegend, die folgende Wirkungsweise der Gruppe der speziellen ganzzahligen {{math|term= 2 \times 2 |SZ=-}}Matrizen auf der oberen Halbebene zu betrachten. {{ inputdefinition |Obere Halbebene/Spezielle ganze Gruppe/Modulsubstitution/Definition|| }} Es handelt sich also um die Wirkung von speziellen {{ Definitionslink |Prämath= |gebrochen-linearen Funktionen| |Kontext=| |SZ= }} auf der oberen Halbebene. Dass das Ergebnis einer solchen Substitution {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht auch von einer speziellen Möbiustransformation| |ISZ=|ESZ= }} wieder in der oberen Halbebene liegt wurde in {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt |Nr= |SZ= }} mitbewiesen. Eine Gruppenoperation liegt aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Zahlen/Gebrochen-lineare Funktion/Verknüpfungseigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} vor. Die spezielle lineare Gruppe {{mathl|term= {{op:SLG|2|\Z}} |SZ=}} nennt man in diesem Zusammenhang auch {{Stichwort|Modulgruppe|SZ=.}} Da die negative Einheitsmatrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} |SZ=}} als Modulsubstitution trivial operiert, betrachtet man zumeist die Restklassengruppe {{mathl|term= {{op:SLG|2|\Z}} / \pm {{op:Matrix22|1|0|0|1}} |SZ=}} als die Modulgruppe. {{ inputbemerkung |Obere Halbebene/Spezielle ganze Gruppe/Modulsubstitution/Erzeuger/Bemerkung|| }} {{ inputbild |ModularGroup-FundamentalDomain|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Der Fundamentalbereich der Gruppenoperation durch Modulsubstitution ist grau. Im Bild ist nicht erkennbar, inwiefern die Randpunkte dazu gehören oder nicht. |Autor= |Benutzer=Kilom691 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Obere Halbebene/Modulsubstitution/Fundamentalbereich/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Eindeutige Repräsentierung/Fundamentalbereich/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ebwm9ywz3hvpch2xgm3jnmfeqdkrid0 0 117773 1092258 982231 2026-06-01T13:17:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092258 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Die Eisensteinreihen sind Invarianten, die den Gittern zugeordnet sind. Allerdings haben streckungsäquivalente Gitter nicht die gleichen Werte für die Eisensteinreihen, sondern es liegt das in {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihe/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |SZ= }} beschriebene Transformationsverhalten vor. Für ein Gitter mit einer Basis der Form {{mathl|term= 1 , \tau |SZ=}} mit {{ Relationskette |\tau |\in| {{Obere Halbebene|}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | G_k(\Gamma) || \sum_{(m,n) \neq (0,0)} {{op:Bruch|1|(m + n \tau )^k}} || || || |SZ=, }} insofern kann man eine Eisensteinreihe auch als abhängig vom Parameter {{math|term= \tau |SZ=}} und damit als Funktion auf {{math|term= {{Obere Halbebene}} |SZ=}} auffassen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Eisenstein-Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ckwi6g5ickwihogcnoynwmryrriksqv 0 117862 1092265 982281 2026-06-01T13:18:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092265 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ=. }} Ausgehend von den {{ Definitionslink |Prämath= |Eisensteinreihen| |Kontext=| |SZ= }} legt man weitere Invarianten zu {{math|term= \Gamma |SZ=}} fest. Die Wahl der Normierungen durch relativ große Zahlen scheint zunächst willkürlich, wird aber einsichtig{{ Zusatz/Klammer |text=er| |ISZ=|ESZ=, }} wenn man die algebraische Gleichung für den zugehörigen komplexen Torus {{mathl|term= {{CC|}}/\Gamma |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} berücksichtigt. {{ inputdefinition |Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihen/g_2 und g_3/Definition|| }} {{ inputdefinition |Gitter/Komplexe Zahlen/Eisenstein-Reihen/Diskriminante/Definition|| }} {{ inputdefinition |Gitter/Komplexe Zahlen/Absolute Invariante/Definition|| }} Statt von der absoluten Invarianten spricht man auch von der {{math|term= j |SZ=-}}Invarianten oder der universellen Invarianten. {{ inputbemerkung |Gitter/Komplexe Zahlen/Obere Halbebene/Invarianten/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Invarianten/Streckungsverhalten/Fakt|Lemma|| || }} Die Eigenschaft {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Invarianten/Streckungsverhalten/Fakt |Nr=4 |SZ= }} besagt, dass die {{math|term= j |SZ=-}}Invariante von {{ Definitionslink |Prämath= |streckungsäquivalenten Gittern| |Kontext=| |SZ= }} gleich ist. {{ inputbeispiel |Komplexer Torus/1/Gaussgitter/Eisensteinzahlen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Komplexer Torus/1/Eisensteingitter/Eisensteinzahlen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} b7g60qfji4cd9qk618w0gxyd4smekle 0 117874 1092423 1019441 2026-06-01T13:44:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092423 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten die komplexe Exponentialfunktion auf der oberen Halbebene in der Form {{ Abbildung/display |name= \psi | {{Obere Halbebene|}} | {{CC|}} | z | e^{2 \pi {{imaginäre Einheit|}} z} |SZ=. }} Das Bild dieser Abbildung ist die punktierte offene Einheitskreisscheibe {{mathl|term= {{op:Offener Ball|0|1}} \setminus \{0\} |SZ=.}} Mit {{ Relationskette/display | z || a+b {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} gilt ja {{ Relationskette/align | e^{2 \pi {{imaginäre Einheit|}} z} || e^{2 \pi {{imaginäre Einheit|}} (a+b {{imaginäre Einheit|}} )} || e^{2 \pi {{imaginäre Einheit|}} a -2 b \pi } || e^{2 \pi {{imaginäre Einheit|}} a} \cdot e^{-2 b \pi } || e^{-2 b \pi } \cdot {{op:Zeilenvektor| {{op:cos|a|}} | {{op:sin|a|}} }} |SZ= }} und wegen {{ Relationskette |b |>|0 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | e^{-2 b \pi } |<| 1 || || || |SZ=. }} Es gilt die Periodizitätsbedingung {{ Relationskette/display | \psi (z+n) || \psi (z) || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |n |\in| \Z || || || |SZ=. }} Wenn man den Wertebereich auf {{mathl|term= {{op:Offener Ball|0|1}} \setminus \{0\} |SZ=}} einschränkt, so erhält man eine holomorphe Überlagerung. Die Geraden parallel zur {{math|term= x |SZ=-}}Achse werden zu Kreisen aufgewickelt, wobei die Geraden nah an der Achse auf einen Kreis nah an der Einheitssphäre abgebildet werden und die fernen Geraden auf kleine Kreise um den Nullpunkt. Die Halbgeraden parallel zur {{math|term= y |SZ=-}}Achse werden auf eine offene Radiusstrecke abgebildet. Wenn {{ Abbildung |name=f | {{Obere Halbebene||}} | {{CC|}} || |SZ= }} eine Funktion ist, die die Periodizitätsbedingung {{ Relationskette | f(z) || f(z +n) || || || |SZ= }} zu {{ Relationskette |n |\in|\Z || || || |SZ= }} erfüllt, so gibt es eine Faktorisierung von {{math|term= f |SZ=}} über die Exponentialabbildung {{Kommutatives Dreieck/ru| {{Obere Halbebene|}} | {{op:Offener Ball|0|1}} \setminus \{0\} \subseteq {{CC}} | {{CC|}} |abb13= f |abb23= \tilde{f} |abb12= e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}} z} |SZ=}} mit einer eindeutig bestimmten Funktion {{ Abbildung/display |name= \tilde{f} | {{op:Offener Ball|0|1}} \setminus \{0\} | {{CC|}} || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= f |SZ=}} genau dann holomorph oder meromorph, wenn {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} holomorph oder meromorph auf der punktierten Kreisscheibe ist. Man bezeichnet in dieser Situation die Variable der komplexen Zahlen rechts oben oft mit {{math|term= q |SZ=}} und hat dann die Beziehung {{ Relationskette | \tilde{f} (q) || f(z) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | q ||e^{2\pi {{imaginäre Einheit|}} z} || || || |SZ=. }} Diesen Übergang kann man insbesondere für eine {{ Definitionslink |schwache Modulfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= f |SZ=}} machen, für die es somit eine meromorphe Funktion {{ Abbildung/display |name= \tilde{f} | {{op:Offener Ball|0|1}} \setminus \{0\} | {{CC|}} || |SZ= }} gibt, die wegen der Modularitätsbedingung noch weitere Bedingungen erfüllen muss. Dabei ist es für {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} eine natürliche Frage, ob man sie in den Nullpunkt hinein sinnvoll meromorph oder holomorph fortsetzen kann. {{ inputdefinition |Halbebene/Meromorph/Periodisch/Meromorph im Unendlichen/Definition|| }} {{ inputdefinition |Halbebene/Meromorph/Periodisch/Holomorph im Unendlichen/Definition|| }} In diesem Fall setzt man {{ Relationskette | f(\infty) || \tilde{f} (0) || || || |SZ=. }} Im Fall der meromorphen Fortsetzbarkeit von {{math|term= \tilde{f} |SZ=}} im Nullpunkt liegt dort eine {{ Definitionslink |Laurent-Entwicklung| |Kontext=meromorph| |SZ= }} der Form {{ Relationskette/display | \tilde{f} (q) || \sum_{n {{=}} n_0}^\infty a_n q^n || || || |SZ= }} vor, wobei im holomorphen Fall {{ Relationskette |n_0 |\geq|0 || || || |SZ= }} ist. Es ist dann {{ Relationskette | f (z) || \sum_{n {{=}} n_0}^\infty a_n e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}} n } || || || |SZ= }} und die {{math|term= a_n |SZ=}} nennt man auch {{Stichwort|Fourierkoeffizienten|msw=Fourierkoeffizient|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Modulfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5daem6dve0sgye6ycv0icfjk94jc15i 0 117883 1092263 1074619 2026-06-01T13:18:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092263 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien zwei Gitter {{ Relationskette |\Gamma_1 |\subseteq|\Gamma_2 |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} gegeben, das eine Gitter sei also in dem anderen Gitter enthalten, d.h. {{math|term= \Gamma_1 |SZ=}} ist ein Untergitter von {{math|term= \Gamma_2 |SZ=.}} Beispielsweise ist {{mathl|term= \langle 2, 3 {{Imaginäre Einheit|}} \rangle |SZ=}} ein Untergitter des Standardgitters {{mathl|term= \langle 1, {{Imaginäre Einheit|}} \rangle |SZ=.}} Wenn man ein Gitter {{math|term= \Gamma |SZ=}} mit einer positiven natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} streckt, so erhält man die Untergitterbeziehung {{ Relationskette |n \Gamma |\subseteq|\Gamma || || || |SZ=. }} Hierbei sind {{ mathkor|term1= \Gamma |und|term2= n \Gamma |SZ= }} zueinander {{ Definitionslink |streckungsäquivalent| |Kontext=| |SZ=, }} es kann also durchaus sein, dass ein streckungsäquivalentes Gitter als Untergitter von sich selbst auftritt. {{ inputbild |Lattice torsion points|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Sam Derbyshire |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Verfeinerungsgitter/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Quotient/Gruppenhomomorphismus/Endlicher Kern/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Topologischer_Quotient/Endliche_Überlagerung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Quotientenabbildung/Holomorph/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Eindimensionaler Torus/C/Isogenie/Definition|| }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe_Zahlen/Untergitter/Quotientenabbildung/Holomorph/Fakt |Nr= |SZ= }} ist also zu einem Untergitter {{ Relationskette |\Gamma_1 |\subseteq|\Gamma_2 || || || |SZ= }} die induzierte Abbildung {{ Abbildung |name= | {{CC|}}/\Gamma_1 | {{CC|}}/\Gamma_2 || |SZ= }} eine Isogenie. {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung mit n/Untergitter/Isogenie/Fakt|Lemma|| || }} Der folgende Satz charakterisiert die nichtkonstanten Isogenien. {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Untergitter/Isogenie/Charakterisierung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Tori/Eindimensional/Isogenie/Multiplikation/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Tori/C/Isogenien/Multiplikationen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Isogenien/Hintereinanderschaltung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Eindimensionaler Torus/C/Isogen/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2=Theorie der Isogenien zwischen eindimensionalen komplexen Tori |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2m5eh5edjh0gks0it6undkm99gltnlh 0 117889 1092207 981734 2026-06-01T13:09:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092207 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Elliptische Kurven bilden ein herausragendes Objekt an der Schnittstelle von algebraischer Geometrie, komplexer Analysis, Zahlentheorie. Diese Reichhaltigkeit zeigt sich auch in den vielfältigen Möglichkeiten, eine elliptische Kurve zu definieren. Diese Definitionen nehmen Bezug auf recht unterschiedliche geometrische, algebraische, gruppentheoretische, topologische, arithmetische Eigenschaften, und das Studium der elliptischen Kurven ist durch ein intensives Wechselspiel zwischen diesen Konzepten gekennzeichnet. Einige Definitionsmöglichkeiten sind {{ Aufzählung3 |Eine kubische glatte projektive Kurve. |Eine projektive Kurve mit einer Gruppenstruktur. |Eine glatte projektive Kurve vom Geschlecht {{math|term= 1 |SZ=.}} }} Dabei gibt es mehrere Möglichkeiten, das Geschlecht zu definieren: Als Dimension der globalen Differentialformen, als Dimension der ersten Kohomologie der Strukturgarbe, über topologische Eigenschaften. Über den komplexen Zahlen ergeben sich weitere Definitionsmöglichkeiten. {{ Aufzählung6 |Eine eindimensionale kompakte komplexe Lie-Gruppe. |Ein reell zweidimensionaler Torus mit einer komplexen Struktur. |Die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} modulo einem Gitter {{ Relationskette |\Gamma |\cong| \Z^2 |\subset| {{CC|}} || || |SZ=. }} |Eine kompakte Riemannsche Fläche mit trivialem Tangentialbündel. |Eine kompakte Riemannsche Fläche mit topologischem Geschlecht {{math|term= 1 |SZ=.}} |Eine kompakte Riemannsche Fläche mit Fundamentalgruppe {{math|term= \Z^2 |SZ=.}} }} Innerhalb der glatten projektiven Kurven nehmen die elliptischen Kurven eine mittlere Position ein. Die projektive Gerade ist als einfachste Kurve auf der einen Seite und die Kurven von einem Geschlecht {{math|term= \geq 2 |SZ=}} sind auf der anderen Seite. Diese Mittelstellung bestätigt sich, wenn man Eigenschaften des Tangentialbündels oder Krümmungseigenschaften betrachtet. In einem gewissen Sinn spiegelt sich diese mittlere Stellung auch im Schwierigkeitsgrad wider. Es gibt viele Fragen, die für die projektive Gerade trivial sind, die man für elliptische Kurven mit einigem Aufwand versteht, und die man für andere Kurven nicht zu fragen wagt bzw. die dafür erst Jahrzehnte später beantwortet werden können. Da man aber eben für elliptische Kurven sich Fragen zu stellen wagt, vor denen man sonst zurückweicht {{ Zusatz/Klammer |text=oder gar nicht weiß, wie die Frage zu formulieren wäre| |ISZ=|ESZ=, }} ist das Studium der elliptischen Kurven wiederum beliebig schwierig. Dies gilt insbesondere für arithmetisch angehauchte Probleme. Es hat sich nämlich herausgestellt, dass man Probleme aus der Zahlentheorie in Fragen über elliptische Kurven übersetzen und damit lösen kann. Das prominenteste Beispiel ist die Lösung des großen Fermat über die Modularitätseigenschaft von elliptischen Kurven über {{math|term= \Q|SZ=}} durch Andrew Wiles. Eine weiteres Problem, das eng mit elliptischen Kurven verbunden ist, ist das Problem der kongruenten Zahlen. Dieser enge Zusammenhang mit der Zahlentheorie hat sich auch darin niedergeschlagen, dass die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer über den Rang von elliptischen Kurven in die Liste der sogenannten {{ Zusatz/Klammer |text=sieben| |ISZ=|ESZ= }} Milleniums-Probleme aufgenommen wurde. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qmizkp1fnqc2rs7r3qm8d9v5xjq7is1 0 117893 1092201 981678 2026-06-01T13:08:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092201 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten affine kubische Gleichungen in den Variablen {{math|term= x,y|SZ=.}} Eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display/handlinks | y^2 +a_1 xy +a_3y || x^3+a_2x^2 +a_4x +a_6 || || || |SZ= }} nennt man eine {{Stichwort|lange Weierstraß-Gleichung|SZ=}} und eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | y^2 || x^3+ax +b || || || |SZ= }} eine {{Stichwort|kurze Weierstraß-Gleichung|SZ=.}} Die homogene Gestalt der langen Weierstraß-Gleichungen ist {{ Relationskette/display | Y^2Z +a_1 XYZ +a_3YZ^2 || X^3+a_2X^2Z +a_4XZ^2 +a_6Z^3 || || || |SZ= }} und die homogene Gestalt der kurzen Weierstraß-Gleichung ist {{ Relationskette/display | Y^2Z || X^3+aXZ^2 +bZ^3 || || || |SZ=. }} Auf die lange Form kann man eine elliptische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik {{math|term= \neq 2,3 |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene kubische Kurven/Projektiv/Glatt/Wendepunkt/Fakt |Nr= |SZ= }} stets bringen, aber auch, wie wir jetzt sehen, auf die kurze Form. Wenn man {{ Relationskette |Z || 0 || || || |SZ= }} setzt, also den Durchschnitt mit der unendlich fernen Geraden {{math|term= V_+(Z) |SZ=}} betrachtet, so erhält man {{ Relationskette |X^3 || 0 || || || |SZ=, }} also den einzigen Schnittpunkt {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=,}} den man{{{zusatz1|}}} üblicherweise als Nullpunkt der Gruppenverknüpfung auf der elliptischen Kurve wählt. {{ inputfaktbeweis |Kubische Kurve/Lange Weierstraßgleichung/Kurz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Fermat-Kubik/Normalform/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/Fakt|Lemma|| || }} {{{zusatz2|}}} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Diskriminante/Definition|| }} Vergleiche zur Diskriminante eines kubischen Polynoms auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kubische Körpererweiterung/Diskriminante/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Die Diskriminante ist genau dann {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} wenn das kubische Polynom {{math|term= x^3+ax+b|SZ=}} keine mehrfache Nullstelle besitzt, was nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt |Nr= |SZ= }} die Glattheit der Kurve bedeutet, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kubisches Polynom/Diskriminante/Nullstellenverhalten/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/j-Invariante/Definition|| }} Bei der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebenen Transformation ändert sich die {{math|term= j |SZ=-}}Invariante der Kurve nicht, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kubische Kurve/Kurze Weierstraßform/Transformation/j-Invariante/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8af715jb9j6lue3hhisgzzkbsika988 0 117899 1092269 957059 2026-06-01T13:18:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092269 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein wesentliches Charakteristikum einer elliptischen Kurve ist, dass es auf ihr die Struktur einer kommutativen Gruppe gibt, die wir additiv schreiben. Dabei ist der Nullpunkt frei wählbar, man kann jeden {{math|term= K |SZ=-}}Punkt als neutrales Element wählen. Dies ist der Grund, warum man bei der Definition einer elliptischen Kurve die Existenz eines {{ Definitionslink |Prämath=K |rationalen Punktes| |Kontext=| |SZ= }} fordert. Allerdings ist die Verknüpfung geometrisch signifikanter, wenn man einen Wendepunkt als Nullpunkt wählt. Meistens arbeitet man mit einer kurzen Weierstraßgleichung und setzt dann den unendlich fernen Punkt {{mathl|term= (0,1,0) |SZ=}} als Nullpunkt {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} an. {{ inputbemerkung |Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Idee/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Glatte kubische Kurve/Punkt/Negation/Verknüpfung/Gruppe/Eigenschaften/Fakt|Satz|| || }} Auch wenn {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} kein Wendepunkt der Kurve ist, so kann man ihn dennoch als neutrales Element einer Gruppenaddition nehmen. In diesem Fall muss man die Definition des Negativen folgendermaßen abändern: Es sei {{math|term= {{elliptischo|}}' |SZ=}} der dritte Schnittpunkt der Tangente an {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} mit der Kurve. Dann ist {{math|term= -P|SZ=}} der dritte Schnittpunkt der Gerade durch {{ mathkor|term1= P |und|term2= {{elliptischo|}} |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Glatte kubische Kurve/Projektiv/Gruppenstruktur/Körpererweiterung/Endlichkeit/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Gruppenstruktur/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Addition/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Vervielfachung/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Gruppenstruktur auf elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} imm0jq99tzd3pm9ey4d6i2k8hf4stjz 0 117921 1092239 982046 2026-06-01T13:14:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092239 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition|| }} Den Frobenius-Homomorphismus kann man iterieren, die {{math|term= e |SZ=-}}te Iteration ist die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |R|R |f|f^q |SZ=, }} mit {{ Relationskette |q ||p^e || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Endlicher Körper/Frobenius/Eigenschaften/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Körper/Charakteristik p/Algebraisch abgeschlossen/Frobeniuspotenz/Fixkörper/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt|Satz|| || }} Auf den Körper {{math|term= K |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |q ||p^e || || || |SZ= }} ist die {{math|term= e |SZ=-}}te Frobeniusiteration {{math|term= F^e|SZ=}} die Identität. Im folgenden arbeiten wir mit Ringen und Varietäten über einem Grundkörper {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=,}} der Frobenius {{math|term= F^e|SZ=}} ist dann mit der Basis verträglich {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem Grundring trivial| |ISZ=|ESZ=, }} hat aber auf den algebraischen oder geometrischen Objekten eine interessante Wirkung. {{ inputfaktbeweis |Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt|Lemma|| || }} Mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Endlicher Basiskörper/Algebra/Frobenius/Wirkungsweise auf K-Punkten/Fakt |Nr=2 |SZ= }} hängt unmittelbar die Tatsache zusammen, dass der Frobenius auf dem Spektrum von {{math|term= R |SZ=}} identisch wirkt. {{ inputdefinition |Endlicher Basiskörper/Algebra/Algebraischer Abschluss/Fortsetzung des Frobenius/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Endlicher Basiskörper/Polynomring/Frobenius/Lineare Fortsetzung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Frobenius/Lineare Fortsetzung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Endlicher Basiskörper/Restklassenalgebra/Linearer Frobenius/Fixpunktcharakterisierung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt_und_basistrivial/Koordinaten/Definition|| }} {{ inputdefinition |Endlicher Basiskörper/Varietät/Algebraischer Abschluss/Lineare Fortsetzung des Frobenius/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Affiner Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt_und_basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Projektiver Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt_und_basistrivial/Koordinaten/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/Frobenius-Homomorphismus/Direkt_und_basistrivial/Koordinaten/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Frobeniushomomorphismus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mra2fpc7unhafmkpwlufbm74ihcstv6 0 117945 1092482 983687 2026-06-01T13:54:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092482 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Aus der linearen Algebra ist die Abschätzung von Cauchy-Schwarz bekannt. {{ inputfaktbeweis |Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt|Satz|| || }} Skalarprodukte sind positive definite Bilinearformen auf einen reellen oder komplexen Vektorraum. Nach {{ Faktlink |Präwort=der|Polarisationsformel|Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Polarisationsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} ist allgemeiner eine symmetrische Bilinearform bereits durch die Werte {{mathl|term= {{op:Bilinearform|v|v}} |SZ=}} festgelegt, die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= |V| {{op:Bilinearform|v|v}} || |SZ= }} heißt die zugehörige quadratische Form. Diese Konzepte kann man auch für kommutative Gruppen und allgemeiner Moduln über einem kommutativen Ring entwickeln, ein klassischer Gegenstand sind quadratische Formen auf {{math|term= \Z^2 |SZ=,}} siehe [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 28]]. {{ inputdefinition |Quadratische Form/Modul/Definition|| }} Dieses Konzept ist insbesondere für kommutative Gruppen anwendbar, die ja {{math|term= \Z|SZ=-}}Moduln sind. {{ inputdefinition |Quadratische Form/Modul/Zugehörige Bilinearform/Definition|| }} Man beachte, dass für die zugehörige Bilinearform die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Bilinearform|v|v}} || Q(2v)-2Q(v) || 4Q(v)-2Q(v) || 2Q(v) || |SZ= }} gilt. Deshalb wäre es schöner, mit dem Faktor {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} die zugehörige Bilinearform zu definieren, was aber in Charakteristik {{math|term= 2 |SZ=}} nicht geht. {{ inputdefinition |Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Angeordneter Ring/Modul/Quadratische Form/Positiv definit/Cauchy-Schwarz/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8pop4bllbxnd21059fhg02lj1eqcztd 0 117961 1092212 981762 2026-06-01T13:10:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092212 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Elliptische Kurven/Isogenie/Definition|| }} Die konstante Abbildung mit dem Wert {{math|term= {{elliptischo|}}_2 |SZ=}} betrachten wir hier als eine Isogenie, die Konventionen sind unterschiedlich. Oft wird diese konstante Abbildung nicht als Isogenie angesehen und nur unsere nichtkonstanten Isogenien gelten als Isogenie. So oder so sind die nichtkonstanten Isogenien interessant. Anders als in der {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Eindimensionaler Torus/C/Isogenie/Definition |SZ= }} von Isogenien zwischen komplexen Tori wird hier nicht verlangt, dass eine Isogenie ein Gruppenhomomorphismus ist. Allerdings werden wir in {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurven/Isogenie/Homomorphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} beweisen, dass die Isogenien im algebraischen Sinn stets Gruppenhomomorphismen sind. Als eine nichtkonstante Abbildung zwischen projektiven Kurven ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Kurven/Morphismus/Alternative/Fakt |Nr= |SZ= }} eine nichtkonstante Isogenie eine surjektive {{ Definitionslink |endliche Abbildung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} von einem bestimmten Grad, und der Grad stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung {{ Relationskette |Q(E_2) |\subseteq|Q(E_1) || || || |SZ= }} überein. Wir betrachten zunächst Isogenien auf einer elliptischen Kurve {{math|term= E |SZ=,}} die unmittelbar mit der Gruppenstruktur auf {{math|term= E |SZ=}} zusammenhängen. Zu jeder {{ Zusatz/Klammer |text=additiv geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} kommutativen Gruppe {{math|term= G |SZ=}} und jeder ganzen Zahl {{math|term= n |SZ=}} ist durch {{ Abbildung/display |name= |G|G |x|nx |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenendomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} gegeben. Bei {{ Relationskette |n ||1 || || || |SZ= }} ist dies die Identität, bei {{ Relationskette |n ||-1 || || || |SZ= }} die Negation und bei {{ Relationskette |n || 0 || || || |SZ= }} die konstante Abbildung auf {{math|term= 0 |SZ=.}} Der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=| |SZ= }} ist die Menge {{ Math/display|term= {{Mengebed|x \in G|n x {{=}} 0}} |SZ= }} der {{Stichwort|Torsionselemente|msw=Torsionselement|SZ=}} zur Ordnung {{math|term= n |SZ=.}} Bei einem {{ Definitionslink |komplexen Torus| |Kontext=1| |SZ= }} über den komplexen Zahlen {{ Relationskette |E || {{CC|}} /\Gamma || || || |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} liegt die Untergitterbeziehung {{ Relationskette |n \Gamma |\subseteq|\Gamma || || || |SZ= }} und das kommutative Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| {{CC|}}| {{CC|}}|{{CC|}}/\Gamma |{{CC|}}/\Gamma|abb12=n|abb34=[n] |SZ=.}} von Gruppenhomomorphismen vor, vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung mit n/Untergitter/Isogenie/Fakt |Nr= |SZ=. }} Dabei ist die obere horizontale Abbildung bijektiv und die untere horizontale Abbildung surjektiv mit dem Kern {{ Math/display|term= {{Mengebed| i {{op:Bruch|u|n|}} + j {{op:Bruch|v|n|}}|i,j {{=}} 0,1 {{kommadots|}} n-1 }} |SZ=, }} wenn {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} eine Basis des Gitters bezeichnet, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung mit n/Untergitter/Isogenie/Fakt |Nr= |SZ=. }} Insbesondere besteht der Kern von {{math|term= [n] |SZ=}} aus {{math|term= n^2 |SZ=}} Elementen. Allgemeiner besteht das Urbild unter {{math|term= [n] |SZ=}} zu {{ Relationskette |Q |\in| {{CC|}} /\Gamma || || || |SZ= }} aus {{ Math/display|term= {{Mengebed| P + i {{op:Bruch|u|n|}} + j {{op:Bruch|v|n|}} |i,j {{=}} 0,1 {{kommadots|}} n-1 }} |SZ= }} wenn {{math|term= P |SZ=}} ein Urbild ist. Insbesondere bestehen sämtliche Urbilder ebenfalls aus {{math|term= n^2 |SZ=}} Elementen was bedeutet, dass der Grad dieser Abbildung gleich {{math|term= n^2 |SZ=}} ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kubisch/Gruppenstruktur/Morphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} sind die Multiplikationen {{ Abbildung |name=[m] |E|E || |SZ= }} Morphismen und damit Isogenien. Auch die Gradeigenschaft gilt über jedem Körper. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Multiplikation mit n/Grad/Fakt|Satz|| || }} Insbesondere sind die Multiplikationsabbildungen nicht konstant, wobei allerdings eventuell alle {{math|term= K |SZ=-}}Punkte auf {{math|term= {{elliptischo|}} |SZ=}} abgebildet werden können. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurven/Isogenien/Summe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Elliptische Kurven/Homomorphismengruppe/Definition|| }} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Definition|| }} Es handelt sich in der Tat um einen Ring, wobei alle Eigenschaften bis auf die Distributivität klar sind. Diese wird sich aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurven/Isogenie/Homomorphismus/Fakt |Nr= |SZ= }} ergeben, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Distributivität/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Der Endomorphismenring enthält die ganzen Zahlen als Unterring, und zwar entspricht der Zahl {{math|term= n |SZ=}} die Multiplikationsabbildung mit {{math|term= n |SZ=.}} Es ist {{{zusatz1|}}} eine wichtige Frage, wann es über diese Multiplikationsabbildungen hinaus weitere Isogenien gibt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Isogenien zwischen elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 06d4uxaqchg6m9z7fd0nsaosopssnr9 0 118092 1092261 982260 2026-06-01T13:17:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092261 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ Relationskette/display |f_{\gamma'} (z + \gamma) f_\gamma(z) ||f_{\gamma + \gamma'} (z) || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |f_{1} (z + u_2 ) f_2(z) ||f_2 (z+u_1) f_1(z) || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |f_1 ||1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |f_2(z) || e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}} z/u_1} || || || |SZ= }} die Gruppe {{math|term= \Gamma|SZ=}} muss aus {{mathl|term= {{CC|}} \times {{CC|}} |SZ=}} operieren. Bündel- Schnitte. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Gitter in C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ox2tif20jm5j56dg7asumtog36pum1o 0 118129 1092101 980465 2026-06-01T12:52:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092101 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die folgende Definition orientiert sich an der Normfunktion für einen reellen oder komplexen Vektorraum, siehe {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorraum/K/Norm/Definition |SZ=. }} Genauer spricht man von einer Seminorm, wenn nicht nur der Nullvektor den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} haben kann. {{ inputdefinition |Kommutative Gruppe/Seminorm/Definition|| }} Für jede Untergruppe {{ Relationskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eines {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}Vektorraumes {{math|term= V |SZ=}} mit einer Norm {{math|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} wird unmittelbar eine {{ Zusatz/Klammer |text=Semi| |ISZ=|ESZ=- }}Norm auf {{math|term= G |SZ=}} induziert. Solche Untergruppen sind torsionsfrei. Seminormen sind insbesondere für Gruppen mit Torsionselementen relevant. Für ein Torsionselement {{ Relationskette |x |\in|G || || || |SZ= }} folgt aus der zweiten Eigenschaft direkt {{ Relationskette | {{op:Betrag|x|}} || 0 || || || |SZ=. }} Wenn also eine kommutative Gruppe mit Torsionsanteil vorliegt, so gibt es keine Norm, nur Seminormen. Die Nullfunktion ist eine Seminorm. Wichtig sind die folgenden Höhenfunktionen, mit denen man zeigen kann, dass eine Gruppe endlich erzeugt ist. {{ inputdefinition |Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Torsion/Endlich/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Kommutative Gruppe/Höhenfunktion/Endlich erzeugt/Charakterisierung/Nur eine Bedingung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Höhenfunktionen auf einer kommutativen Gruppe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0exktg74uufqtveup9ts4hswv8u9a45 0 118152 1092002 1074596 2026-06-01T12:35:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092002 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer {{ Zusatz/Klammer |text=additiv geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} Gruppe {{math|term= G |SZ=}} bezeichnet {{math|term= 2 G |SZ=}} die Untergruppe derjenigen Elemente, die das Doppelte eines Elementes sind, die also eine Halbierung besitzen. Im Folgenden wird die Restklassengruppe {{math|term= G/2G |SZ=}} eine wichtige Rolle spielen. Bei der multiplikativen Gruppe eines {{ Definitionslink |Körpers| |Kontext=| |SZ= }} ist dies die Restklassengruppe {{mathl|term= {{op:Einheiten|K|}} / {{makl| {{op:Einheiten|K|}} |}}^2 |SZ=,}} also die Gruppe der Einheiten modulo der Quadrate. {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Produktform/Abbildung/Quadratrestgruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Produktform/Halbierung/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Produktform/Faktorieller Ring/Ordnung/Fakt|Lemma|| || }} Mit der Hilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Produktform/Faktorieller Ring/Ordnung/Fakt |Nr= |SZ= }} können wir im Zahlkörperfall das Bild von {{math|term= \varphi_j |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Einheiten|K|}} / {{makl| {{op:Einheiten|K|}} |}}^2 |SZ=}} besser eingrenzen. Hierfür sind zwei Hauptergebnisse zu der algebraischen Zahlentheorie entscheidend, nämlich {{ Faktlink |Präwort=die|Endlichkeit der Klassengruppe|Faktseitenname= Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=der|Dirichletsche Einheitensatz|Faktseitenname= Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Faktorieller Ganzheitsring/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Modulo 2/Körpererweiterung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |Louis Mordell|jpeg|230px {{!}} right {{!}} | | | |Text=[[w:Louis Mordell|Louis Mordell (1888-1972)]] |Autor= |Benutzer=Momotaro |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa2.0 |Bemerkung= }} Der folgende Satz heißt der schwache Satz von Mordell-Weil. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Zahlkörper/Mordell-Weil/Schwach/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Mordell-Weil |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mk35a2hl9l75gkytbd5jhkn4jkrw8hs 0 118412 1092598 957520 2026-06-01T14:13:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092598 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition|| }} Dabei zählt man sich wiederholende Kanten mehrfach, d.h. der Weg {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} hat die Länge {{math|term= m-1 |SZ=,}} auch wenn in dem Weg die gleiche Kante mehrfach vorkommt. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition|| }} In einem nicht zusammenhängenden Graphen setzt man manchmal den Abstand zwischen zwei Punkten, die zu verschiedenen Zusammenhangskomponenten gehören, als unendlich an. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Durchmesser/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Radius/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Exzentrizität/Definition|| }} Der Durchmesser ist also das Maximum über alle Exzentrizitäten und der Radius ist das Minimum über alle Exzentrizitäten. {{ inputbeispiel |Graph/Weg/Numerische Eigenschaften/Lissabon/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ahbsjclckhq8uwiuktjoo3j7147gf8q 0 118893 1092411 1079362 2026-06-01T13:42:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092411 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der {{ Definitionslink |Binomialkoeffizient| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n| {{{r|r}}} }} |SZ=}} beschreibt die Anzahl der {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=-}}elementigen Teilmengen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge. Eine solche Teilmenge kann man auch auffassen als eine Zerlegung einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in zwei Teilmengen, von denen die eine {{math|term= {{{r|r}}} |SZ=}} und die andere {{math|term= n-{{{r|r}}} |SZ=}} Elemente besitzt, und wobei man sich die Rollen der beiden Teilmengen merkt. Man kann sich nun fragen, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in {{math|term= k |SZ=}} Teilmengen aufzuteilen, wobei die Teilmengen vorgegebene Anzahlen haben und wobei die Teilmengen durchnummeriert werden. Dies führt zum Begriff Multinomialkoeffizient. {{ inputdefinition |Multinomialkoeffizient/Definition|| }} Statt Multinomialkoeffizient sagt man auch {{Stichwort|Polynomialkoeffizient|SZ=.}} Für {{ Relationskette |k ||2 || || || |SZ= }} ist dies der Binomialkoeffizient, in diesem Fall legt die erste Zahl {{ Relationskette |r_1 |\leq|n || || || |SZ= }} durch die Bedingung {{ Relationskette |r_2 ||n-r_1 || || || |SZ= }} die zweite Zahl fest. Generell legen die Zahlen {{mathl|term= r_1 {{kommadots|}} r_{k-1} |SZ=,}} deren Summe {{math|term= \leq n |SZ=}} ist, die letzte Zahl {{math|term= r_k |SZ=}} fest. Die Multinomialkoeffizienten besitzen eine Vielzahl an Interpretationen, zentral ist die folgende Interpretation mit Abbildungen. {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| }} Durch die Bedingungen {{ Relationskette |r_j |\geq|1 || || || |SZ= }} für alle {{math|term= j |SZ=}} sind die surjektiven Abbildungen gekennzeichnet. Die Multinomialkoeffizienten beschreiben also die Anzahl der Möglichkeiten, {{math|term= n |SZ=}} Elemente auf {{math|term= k |SZ=}} Ziele abzubilden, wobei das {{math|term= j |SZ=-}}te Ziel durch {{math|term= r_j |SZ=}} Elemente getroffen wird. Man sagt auch so: Es gibt {{mathl|term= {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1 |r_k}} |SZ=}} viele Möglichkeiten, {{math|term= n |SZ=}} unterscheidbare Kugeln auf {{math|term= k |SZ=}} unterscheidbare Urnen zu verteilen derart, dass in der ersten Urne {{math|term= r_1 |SZ=}} Kugeln, in der zweiten Urne {{math|term= r_2 |SZ=}} Kugeln u.s.w. landen. Die entsprechende Abbildung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} ordnet jeder Kugel die Urne zu, in die sie reinkommt {{ Zusatz/Klammer |text=Elemente in einer Menge sind stets unterscheidbar; bei Verteilungen von Kugeln auf Urnen gibt es auch nicht unterscheidbare Szenarien| |ISZ=|ESZ=. }} Man kann auch umgekehrt aus unterscheidbaren Urnen, die jeweils eine hinreichend große Anzahl von urnenspezifischen Objekten beinhalten, eine geordnete Ziehung der Länge {{math|term= n |SZ=}} vornehmen, derart, dass aus der {{math|term= j |SZ=-}}ten Urne {{ Zusatz/Klammer |text=also der {{math|term= j |SZ=-}}te Objekttyp| |ISZ=|ESZ= }} genau {{math|term= r_j |SZ=}} Elemente gezogen werden. Die Objekte aus der gleichen Urne müssen nicht unterscheidbar sein, dies wird durch die Ziehreihenfolge übernommen. Die entsprechende Abbildung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt |Nr= |SZ= }} ordnet der Nummer von {{ mathkor|term1= 1 |bis|term2= n |SZ= }} die Urne bzw. den Objekttyp zu, der für diese Nummer gezogen wird. Beispielsweise ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer vorgegebenen Buchstabenansammlung mit {{math|term= k |SZ=}} Buchstaben, die {{math|term= r_j |SZ=-}}fach vorkommen, {{ Relationskette |1 |\leq|j |\leq|k || || |SZ=, }} Wörter zu bilden, die genau diese Buchstaben verbrauchen, durch den Multinomialkoeffizienten {{mathl|term= {{op:Multinomialkoeffizient|n|r_1 |r_k}} |SZ=}} gegeben. Ein Wort der Länge {{math|term= n |SZ=}} kann man direkt als eine Wertetabelle einer Abbildung von {{mathl|term= {{Menge1n|}} |SZ=}} in die Buchstabenmenge auffassen. {{ inputbeispiel |Wort/Anordnungen/Anzahl/Homomorphismus/Beispiel|| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Multinomialsatz|SZ=}} oder {{Stichwort|Polynomialsatz|SZ=}} und ist eine direkte Verallgemeinerung {{ Faktlink |Präwort=des| binomischen Lehrsatzes|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Multinomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} tjf5ke2cur35ammnmeo2rahw1wttaw7 0 119354 1092023 1074746 2026-06-01T12:39:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Siebformel berechnet die Anzahl in einer Vereinigung von Mengen, wenn die einzelnen Anzahlen der Mengen und ihrer Durchschnitte bekannt sind. Im einfachsten Fall, bei {{ Relationskette/display | M || A \cup B || || || |SZ=, }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M|}} || {{op:Anzahl|A|}} + {{op:Anzahl|B |}} - {{op:Anzahl|A \cap B|}} || || || |SZ=. }} Um die Elemente, die sowohl in {{math|term= A |SZ=}} als auch in {{math|term= B |SZ=}} sind, nicht doppelt zu zählen, muss man deren Anzahl abziehen. {{ inputbild |Inclusion-exclusion|svg|230px {{!}} right {{!}} | | |Text= |Autor= |Benutzer=Chris-martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bei drei Mengen {{ Relationskette/display | M || A \cup B \cup C || || || |SZ=, }} ist {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | {{op:Anzahl|M|}} || {{op:Anzahl|A|}} + {{op:Anzahl|B |}} + {{op:Anzahl|C |}} |3teil2= - {{op:Anzahl|A \cap B|}}- {{op:Anzahl|A \cap C|}}- {{op:Anzahl|B \cap C|}} + {{op:Anzahl|A \cap B \cap C|}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz|| }} Man spricht auch vom {{Stichwort|Prinzip der Inklusion und Exklusion|SZ=.}} Wir geben noch einen zweiten Beweis für die vorstehende Aussage. {{:Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis2|}} {{ inputbemerkung |Siebformel/Erläuterung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Siebformel |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fm2sx83mxgvtcri4uc8y86w62zabecg 0 120142 1092352 982975 2026-06-01T13:32:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092352 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Person {{math|term= A |SZ=}} befindet sich in {{math|term= (1,0) |SZ=}} und möchte nach {{math|term= (-1,0) |SZ=,}} wobei zur Person {{math|term= B |SZ=,}} die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von {{ Relationskette/display |s |\leq|1 || || || |SZ=. }} Bestimme den minimalen Weg. Die Person {{math|term= A |SZ=}} darf sich nicht innerhalb des Kreises mit Radius {{math|term= 0 |SZ=}} um den Nullpunkt bewegen. Der kürzeste Weg ergibt sich daher, wenn {{math|term= A |SZ=}} such zuerst auf einer Geraden, die tangential zu diesem Kreis ist, bewegt, in den Kreis einbiegt und diesen dann wieder tangential verlässt {{ Zusatz/Klammer |text=alles ist symmetrisch zur {{math|term= x |SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ=. }} Sei {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} der Punkt des Kreises, wo der Weg von {{math|term= A |SZ=}} in den Kreis einbiegt. Dann müssen {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}} - {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}} |SZ=}} senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung {{ Relationskette/align | {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|x|y}} - {{op:Spaltenvektor|1|0}} | {{op:Spaltenvektor|x|y}} }} || {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|x-1|y}} | {{op:Spaltenvektor|x|y}} }} || x^2 - x+y^2 || 0 || || |SZ=. }} Wegen der Kreisbedingung {{ Relationskette/display | x^2+y^2 || s^2 || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette/display | x || s^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | y || s \sqrt{1-s^2 } || || || |SZ=. }} Der Winkel {{math|term= \alpha|SZ=}} zu diesem Punkt ist durch {{ Relationskette/display | {{op:sin|\alpha|}} ||s \sqrt{1-s^2 } || || || |SZ= }} gegeben. Die Länge des Weges auf dem Kreisbogen ist daher {{ Math/display|term= 2 s {{makl| {{op:Bruch|\pi|2}} - \alpha |}} |SZ= }} und der Weg auf der geraden Anfangsstrecke ist {{ Relationskette/display | \sqrt{ (1-s)^2 - s^2 } || \sqrt{ 1-2s } || || || |SZ=. }} Die zurückgelegte Gesamtstrecke ist daher {{ Relationskette/display | 2 s {{makl| {{op:Bruch|\pi|2}} - \alpha |}} + 2 \sqrt{ 1-2s } || 2 s {{makl| {{op:Bruch|\pi|2}} - {{op:arcsin(|s \sqrt{1-s^2 }|}} |}} + 2 \sqrt{ 1-2s } || || || |SZ= }} Die Person {{math|term= A |SZ=}} befindet sich in {{math|term= (1,0) |SZ=}} und möchte nach {{math|term= (-1,0) |SZ=,}} wobei zur Person {{math|term= B |SZ=,}} die sich im Nullpunkt befindet, ein Mindestabstand von {{math|term= 1 |SZ=}} einzuhalten ist. Person {{math|term= B |SZ=}} ist bereit, sich zuerst auf {{mathl|term= (0,-b) |SZ=}} zurückzuziehen {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k |0 |\leq|b |\leq|1 || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} um den Weg von {{math|term= A |SZ=}} etwas zu verkürzen, zum Schluss geht {{math|term= B |SZ=}} wieder auf ihre Ausgangsposition zurück. Der Mittelpunkt des Kreises, den {{math|term= A |SZ=}} nicht betreten darf, ist {{ Math/display|term= (0,-b) |SZ=. }} Person läuft zuerst einen linearen Weg, der tangential zu diesem Kreis ist, biegt dann in diesen Kreis ein und verlässt ihn wieder tangential {{ Zusatz/Klammer |text=alles ist symmetrisch zur {{math|term= x |SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ=. }} Sei {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} der Punkt des Kreises, wo der Weg von {{math|term= A |SZ=}} in den Kreis einbiegt. Dann müssen {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}} - {{op:Spaltenvektor|1|0}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|x|y}} - {{op:Spaltenvektor|0|-b}} |SZ=}} senkrecht aufeinander stehen. Dies führt auf die Bedingung {{ Relationskette/align | {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|x|y}} - {{op:Spaltenvektor|1|0}} | {{op:Spaltenvektor|x|y}} - {{op:Spaltenvektor|0|-b}} }} || {{op:Skalarprodukt| {{op:Spaltenvektor|x-1|y}} | {{op:Spaltenvektor|x|y+b}} }} || x^2 -x+y^2+by || || || |SZ=. }} Wegen der Radiusbedingung {{ Relationskette/display | x^2+ (y+b)^2 ||1 || || || |SZ= }} ist dies gleich {{ Relationskette/display | x^2 -x +y^2 +by || 1 - (y+b)^2 -x +y^2+by || 1- by -b^2 -x || 0 || |SZ=. }} Somit ist {{ Relationskette/display |x ||1-b y-b^2 ||1- b (\sqrt{1-x^2} -b ) -b^2 || 1-b \sqrt{1-x^2 } || || || |SZ=. }} Dies führt auf {{ Relationskette/display |x-1 || -b \sqrt{1-x^2} || || || |SZ= }} bzw. auf {{ Relationskette/display |(x-1)^2 || b^2 (1-x^2) || || || |SZ= }} und somit auf die quadratische Gleichung {{ Relationskette/display | (1+b^2) x^2 -2x +1 -b^2 || 0 || || || |SZ= }} mit den Lösungen {{ Relationskette/display |x || {{op:Bruch|1 \pm b^2 |1+b^2 }} || || || |SZ=, }} wobei die Lösung {{ Relationskette/display |x ||1 || || || |SZ= }} irrelevant ist, da sie den Nullvektor repräsentiert. Variante {{ inputbeispiel |Personenweg/Abstandsbedingung/Gleichzeitig/Gedreht/Beispiel|| }} Jetzt laufen beide auf einem Kreisbogen, und zwar mit dem Mittelpunkt {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|0|-c}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= A |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bzw. {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|c|0}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette |c |\geq|0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} und dem Radius, der durch die Anfangspunkte festgelegt ist. Der Radius ist {{ Relationskette/display |r || \sqrt{1+c^2} || || || |SZ=, }} die Bewegung von {{math|term= A |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \gamma(t) || {{op:Spaltenvektor|0|-c}} + r {{op:Spaltenvektor| {{op:cos|t|}} | {{op:sin|t|}} }} || || || |SZ=. }} Dabei bewegt sich {{math|term= t |SZ=}} zwischen {{ Relationskette/display | \alpha || {{op:arcsin|c|}} || || || |SZ= }} und {{mathl|term= \pi - {{op:arcsin|c|}} |SZ=.}} Die Länge des zurückgelegten Weges von Person {{math|term= A |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | r(\pi -2 \alpha) || \sqrt{1+c^2} (\pi -2 {{op:arcsin|c|}} ) || || || |SZ=. }} Der Weg von {{math|term= B |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | \varphi(t) || {{op:Spaltenvektor|c|0}} + r {{op:Spaltenvektor| {{op:cos(|t+ {{op:Bruch|\pi|2}} |}} | {{op:sin(|t+ {{op:Bruch|\pi|2}}|}} }} || || || |SZ= }} mit dem gleichen Zeitintervall für {{math|term= t |SZ=.}} Abstandsbedingung. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rektifizierbaren Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ia41pejbarnaf6u2q2g9zfqlxo2m8vr 0 120389 1092252 1074616 2026-06-01T13:16:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092252 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |MONTAÑA RUSA|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Gutenvi |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Rownia|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=4C |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Es sei {{ Abbildung |name=f |\R|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |SZ=, }} wir stellen uns ihren Graphen als ein Profil vor, auf dem sich ein Massekörper {{ Zusatz/Klammer |text=ein Teilchen| |ISZ=|ESZ= }} unter der konstanten Schwerkraft {{math|term= g |SZ=}} bewegt {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Reibungsverlust| |ISZ=|ESZ=, }} man spricht von einer {{Stichwort|geführten Bewegung|msw=Geführte Bewegung|SZ=.}} Die Schwerkraft wirkt nach unten, für die Beschleunigung in Richtung der {{math|term= x |SZ=-}}Achse ist aber nur die zum Graphen tangentiale Komponente des Kraftvektors verantwortlich. Der Kraftvektor ist also für jeden Punkt {{mathl|term= (x,f(x)) |SZ=}} zu zerlegen in einen zur Tangente parallelen Anteil und einen dazu senkrechten Anteil {{ Zusatz/Klammer |text=letzterer beschreibt die Kraft, die entgegengesetzt aufgewendet werden muss, damit die Bewegung in der vorgegebenen Bahn bleibt, sie ist für das Folgende unerheblich| |ISZ=|ESZ=. }} Dieses Kräftedreieck ist {{ Definitionslink |ähnlich| |Kontext=Dreieck| |SZ= }} zum Steigungsdreieck der Funktion in {{mathl|term= (x,f(x)) |SZ=.}} Im Steigungsdreieck ist die Länge der horizontalen Komponente gleich {{math|term= 1 |SZ=,}} die Länge der vertikalen Komponente gleich {{math|term= f'(x) |SZ=}} und die Hypotenuse hat die Länge {{mathl|term= \sqrt{1+f'(x)^2} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit dem Steigungswinkel {{math|term= \alpha |SZ=}} ist {{ Relationskette/k | f'(x) || {{op:tan|\alpha|}} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Im Kräftedreieck ist die Länge der Hypotenuse gleich {{math|term= g |SZ=,}} und wegen der Ähnlichkeit {{ Zusatz/Klammer |text=Stichwort Strahlensatz| |ISZ=|ESZ= }} ergibt sich für die Stärke der tangentialen Kraft die Beziehung {{ Relationskette/display | F_{\operatorname{tang} } (x) || g {{op:Bruch|f'(x)| \sqrt{1+ f'(x)^2} }} || || || |SZ=. }} Vektoriell handelt es sich um die Kraft {{ Math/display|term= -g {{op:Bruch|f'(x)| 1+ f'(x)^2 }} {{op:Spaltenvektor|1|- f'(x)}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=berechne dessen Norm| |ISZ=|ESZ=. }} Diese durch das Kraftfeld auf ein Teilchen auf der vorgegebenen Bahn {{ Zusatz/Klammer |text=dem Graphen| |ISZ=|ESZ= }} wirkende tangentiale Beschleunigung muss mit der tangentialen Beschleunigung der Teilchenbewegung übereinstimmen. Diese wird durch die folgende Aussage beschrieben. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Kurve/Euklidischer Raum/Tangentiale Beschleunigung/Fakt|Lemma|| || }} Für die Norm der tangentialen Beschleunigung gilt auch die Beschreibung {{ Relationskette/display | {{op:Norm| h'(t)|}}' || {{op:Bruch| {{op:Skalarprodukt|h'(t)|h^{\prime \prime} (t)}} |{{op:Skalarprodukt|h'(t)|h'(t)}} }} {{op:Norm| h'(t)|}} || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Differenzierbare Kurve/Geschwindigkeitsnorm/Ableitung/Charakterisierung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Geführte Bewegung/Funktionsgraph/Energieerhaltungssatz/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Gerade/Geführte Bewegung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Parabel/Geführte Bewegung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Pendel/Geführte Bewegung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der geführten Bewegung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} axwtx56paqn200cn14r0l5uczo6glrv 0 120825 1092628 1073606 2026-06-01T14:18:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092628 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Zahlbereich/Norm eines Ideals/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Ganze Zahlen/Ideal/Norm/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideal/Norm/Enthalten/Fakt|Lemma|| }} Die Norm eines Ideals berechnet man am besten, indem man nach und nach den Restklassenring vereinfacht. Ein entscheidender Schritt ist dabei, eine ganze Zahl {{ Relationskette |n |\neq|0 || || || |SZ= }} in dem Ideal zu finden, da man dann über dem endlichen Ring {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} arbeiten und weiter vereinfachen kann. Dieses Verfahren hilft aufgrund der folgenden Aussage auch bei der Berechnung der Norm von Elementen. {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Hauptideal/Norm/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Kein Hauptideal/Beispiel|zusatz1=&nbsp; {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Ideal/Basis/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |zusatz2=/- }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Element/Hauptideal/Norm/Enthalten/Fakt|Korollar|| }} Die Norm {{ Abbildung |name= |R|\Z || |SZ= }} hat die Eigenschaft, dass oberhalb von {{math|term= 1 |SZ=}} nur Einheiten liegen. Auch für die Elemente aus {{math|term= R |SZ=,}} deren Norm gleich einer fixierten ganzen Zahl {{math|term= a |SZ=}} ist, gibt es eine wichtige Gesetzmäßigkeit. {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Norm fixiert/Elemente/Assoziiert/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Norm von Idealen in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6vnzld8xx5hshv00uizawa8cx070ety 0 120865 1092626 1073636 2026-06-01T14:17:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092626 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Endlich viele Ideale unterhalb Norm/Fakt|Lemma|||}} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideal/Einbettungsbedingung/Element/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Einbettungsbedingung/Element/Fakt|Korollar|| }} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt|Korollar||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt|Satz|||}} Das im Beweis verwendete Lemma bietet prinzipiell eine Abschätzung für die Anzahl der Klassengruppe. {{inputdefinition |Zahlbereich/Klassenzahl/Definition|}} Es ist üblich, die Klassenzahl mit {{math|term= {{op:Klassenzahl|R|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= {{op:Klassenzahl|K|}} |SZ=,}} wenn {{math|term= K |SZ=}} der Quotientenkörper ist| |ISZ=|ESZ= }} zu bezeichnen. {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt|Korollar||}} Wir formulieren noch explizit die folgenden Kriterien für Faktorialität. {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primideale unterhalb von Normschranke Hauptideale/Fakt|Korollar|optlink1=/link2||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt|Korollar||}} {{ inputfaktbeweishier |Quadratischer Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt|Korollar||Beweistext=Für {{ Relationskette | D |<| 0 || || || |SZ= }} folgt dies direkt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt |Nr= |SZ=, }} für {{ Relationskette |D |>|0 || || || |SZ= }} erfordert dies eine zusätzliche Überlegung.|| }} {{inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Klassengruppe/Beispiel|}} {{inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/D ist -19/Faktoriell/Nicht euklidisch/Beispiel|optlink1=/link2}} {{ inputbeispiel |Kreisteilungsring/5/Faktorialitätsschranke/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} s8xrfgcpzeth7f51u78i0sz3acqv4lb 0 120876 1091996 1074786 2026-06-01T12:34:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1091996 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette | \Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Einbettungen von {{math|term= K |SZ=}} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Diese kann man zur komplexen Gesamteinbettung {{ Abbildung/display |name= \tau |K| {{CC|}}^n || |SZ= }} zusammenfassen. Insbesondere ist das Bild des Ganzheitsringes {{math|term= R |SZ=}} unter dieser Abbildung interessant und erlaubt einen Zugang zu {{math|term= R |SZ=,}} bei dem Methoden der diskreten Geometrie, der linearen Algebra, der Maßtheorie eingesetzt werden können. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |R |\cong|\Z^n || || || |SZ=, }} wobei die Standardbasis einer {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} entspricht. Diese legt die komplexe {{ Definitionslink |Ganzheitsmatrix| |Kontext=komplex| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{makl| \tau_j(b_k) |}}_{1 \leq j,k \leq n} |SZ= }} fest. Sie definiert ein {{Anführung|komplexes Gitter}} im {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=,}} das Quadrat ihrer Determinante ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ=, }} u.s.w. Allerdings entwickeln die angesprochen Methoden ihre Schlagkraft deutlicher, wenn man zu der komplexen Gesamteinbettung eine reelle Version entwickelt. Bei einer Einbettung {{ Abbildung/display |name= \sigma |K| {{CC|}} || |SZ= }} unterscheidet man, ob das Bild innerhalb der reellen Zahlen liegt oder nicht. Im ersten Fall spricht man von einer {{Stichwort|reellen Einbettung|msw=Reelle Einbettung|SZ=.}} Wenn {{math|term= \sigma |SZ=}} keine reelle Einbettung ist, so spricht man von einer komplexen Einbettung, in diesem Sinn ist also eine reelle Einbettung nicht komplex. Zu einer komplexen Einbettung {{math|term= \sigma |SZ=}} ist auch die konjugiert-komplexe Einbettung {{ Math/display|term= {{op:Komplexe Konjugation|\sigma|}} : K \stackrel{\sigma }{ \longrightarrow} {{CC|}} \stackrel{ \text{komplexe Konjugation} }{\longrightarrow } {{CC|}} |SZ= }} eine komplexe Einbettung, und zwar ist {{ Relationskette | \sigma |\neq| {{op:Komplexe Konjugation|\sigma|}} || || || |SZ=, }} denn sonst wäre {{math|term= \sigma |SZ=}} eine reelle Einbettung. Komplexe Einbettungen treten also immer paarweise auf. Es sei {{math|term= r |SZ=}} die Anzahl der reellen Einbettungen und {{math|term= 2s|SZ=}} die Anzahl der komplexen Einbettungen, also {{math|term= s |SZ=}} sei die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen. Dann gilt {{ Relationskette/display |n || r+2s || || || |SZ=. }} Häufig fixiert man zu jedem Paar von komplexen Einbettungen eine Einbettung davon, da sich die andere daraus direkt ablesen lässt. Die Wahl ist dabei willkürlich. Alle numerisch möglichen Kombinationen von {{ mathkor|term1= r |und|term2= s |SZ= }} treten auch auf. Es seien {{ mathbed|term= \rho_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} r ||bedterm2= |SZ= }} die reellen Einbettungen und {{ mathbed|term= \sigma_j ||bedterm1= j=1 {{kommadots|}} s ||bedterm2= |SZ= }} Repräsentanten der Paare von komplexen Einbettungen. Dies definiert eine Gesamteinbettung {{ Abbildung/display |name= |K| \R^r \times {{CC}}^s || |SZ=, }} die wir die {{Stichwort|reelle Gesamteinbettung|SZ=}} nennen. Wenn man einzelne komplexe Einbettungen durch ihre konjugierten Einbettungen ersetzt, so ergibt sich ein natürlicher {{math|term= \R|SZ=-}}linearer Isomorphismus. Dabei gilt als reeller Vektorraum {{ Relationskette/display | \R^r \times {{CC}}^s |\cong| \R^r \times \R^{2s} || \R^n || || |SZ=, }} d.h. die reelle Dimension des Einbettungsraumes stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein. Zwischen der reellen Gesamteinbettung und der komplexen Gesamteinbettung besteht der Zusammenhang {{Kommutatives Dreieck/ru| K | \R^r \times {{CC}}^s | {{CC|}}^{r+2s} |abb12= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} |abb13= \tau |abb23= \psi |SZ=,}} wobei {{math|term= \psi |SZ=}} in den ersten {{math|term= r |SZ=}} Komponenten die natürliche Einbettung {{ Relationskette | \R |\subset| {{CC}} || || || |SZ= }} und in den hinteren Komponenten die Abbildung {{ Abbildung |name= | {{CC|}} | {{CC|}} \times {{CC|}} |z| (z, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} ) |SZ=, }} ist. Somit ist {{math|term= \psi|SZ=}} eine {{math|term= \R|SZ=-}}lineare Abbildung. Ein Element {{ Relationskette |b |\in|K || || || |SZ= }} wird unter der reellen Gesamteinbettung auf {{ Relationskette/display | {{op:Reelle Gesamteinbettung|}} (b) || {{op:Spaltenvektor| \rho_1(b)|\vdots| \rho_r(b)| {{op:Realteil| \sigma_1(b)||}} | {{op:Imaginärteil|\sigma_1(b)||}}|\vdots| {{op:Realteil| \sigma_s(b)||}} | {{op:Imaginärteil|\sigma_s(b)||}} |}} || || || |SZ= }} und unter der komplexen Gesamteinbettung auf {{ Relationskette/display | \tau (b) || {{op:Spaltenvektor| \rho_1(b)|\vdots| \rho_r(b)| \sigma_1(b) | {{op:Komplexe Konjugation|\sigma}}_1(b)|\vdots| \sigma_s(b) | {{op:Komplexe Konjugation|\sigma}}_s(b) |}} || || || |SZ= }} abgebildet. {{ inputbild |Wurzel5|png|250px {{!}} right {{!}} | | |Text=Das Gitter zum Zahlbereich {{mathl|term= \Z[\sqrt{-5}] |SZ=}} und zum Ideal {{mathl|term= (2,1+ \sqrt{-5}) |SZ=}} (blau, mit einer Grundmasche). |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die reelle Gesamtabbildung ist trivialerweise injektiv, da sie ja sogar in jeder einzelnen Komponente injektiv ist. Für die Gittertheorie der algebraischen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Minkowski-Theorie| |ISZ=|ESZ= }} ist aber entscheidend, dass das Bild des Rings der ganzen Zahlen ein Gitter in diesem {{math|term= \R^n |SZ=}} ist, also nicht in einem reellen Untervektorraum kleinerer Dimension liegt. Der Zahlbereich wird auf ein Gitter abgebildet, eine Ganzheitsbasis auf eine Gitterbasis. {{ inputdefinition |Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Reelle Einbettungen/Reelle Ganzheitsmatrix/Definition|| }} Die reelle Ganzheitsmatrix steht mit der komplexen Ganzheitsmatrix in dem oben durch {{math|term= \psi|SZ=}} beschriebenen Zusammenhang. {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt|Satz|| || }} Wir werden dieses Gitter im {{math|term= \R^n |SZ=}} zumeist mit {{math|term= \Gamma|SZ=}} oder {{math|term= \Gamma_R|SZ=}} oder {{math|term= \Gamma_K|SZ=}} bezeichnen. Die reelle Gesamteinbettung liefert einen Gruppenisomorphismus {{ Relationskette | R |\cong| \Gamma |\subseteq| \R^n || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Gitter-Einbettung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel|| }} Wenn {{ Relationskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ= }} eine Galoiserweiterung mit einer fixierten reellen Einbettung {{math|term= \rho|SZ=}} ist, so sind alle Einbettungen reell, und die gesamte Gitterabbildung wird durch {{ Abbildung/display |name= |R| \R^n |f| ( \rho( \sigma(f)) , \sigma \in {{op:Galoisgruppe|\Q|K}} ) |SZ= }} realisiert. {{ inputbeispiel |Zahlbereich/X^3-3X+1/Gitterrealisierung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Imaginär-quadratischer Fall/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Reell-quadratischer Fall/Beispiel||zusatz1=wieder }} {{ inputfaktbeweisverweis |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Gittertheorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8hj128z38hy7e9nlnm0u7dmfrqdn39f 0 120916 1092623 984368 2026-06-01T14:17:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092623 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Zahlbereich/Dedekindsche Zetafunktion/Definition|| }} Die angegebene Reihe läuft über sämtliche von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Ideale von {{math|term= R |SZ=.}} Sie konvergiert für gewisse komplexe Zahlen {{math|term= s |SZ=}} und für andere nicht, s.u. Es gibt die multiplikative Version {{ Relationskette/display | \zeta_R(s) || \prod_{{idealp}} {{op:Bruch|1|1- N( {{idealp|}} )^{-s} }} || || || |SZ=, }} wobei das Produkt sich über die Primideale erstreckt. {{ inputfaktbeweis |Dedekindsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Konvergenz/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekindschen Zetafunktionen zu Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 669zku0v8174l3thx15cibem3msvc5q 0 120931 1092076 1085356 2026-06-01T12:48:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092076 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kreisteilungsring/Z/Definition|| }} Wir bezeichnen diesen Kreisteilungsring mit {{math|term= R_n |SZ=}} und möchten die Gleichheit {{ Relationskette | R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom|n}} |}} || || || |SZ= }} nachweisen, was bedeutet, dass der Kreisteilungsring durch die selbe Gleichung beschrieben wird wie der Kreisteilungskörper. Für {{ Relationskette | n || 3 || || || |SZ= }} ist der Kreisteilungsring der Ring der Eisensteinzahlen, und für diesen gilt in der Tat die Beschreibung {{mathl|term= \Z[ u]/ {{makl| u^2+u+1 |}} |SZ=}} und für {{ Relationskette | n || 4 || || || |SZ= }} ist der vierte Kreisteilungsring der Ring der Gaußschen Zahlen {{mathl|term= \Z[u]/ {{makl| u^2+1 |}} |SZ=,}} und {{mathl|term= u^2+1 |SZ=}} ist das vierte Kreisteilungspolynom. Aber schon für diese niedrigen Zahlen ist das Resultat nicht selbstverständlich, sondern beruht auf der expliziten Beschreibung der quadratischen Zahlbereiche im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wir werden die Behauptung zuerst für eine Primzahl {{ Relationskette | n || p || || || |SZ= }} zeigen. Wenn {{math|term= \zeta |SZ=}} eine primitive {{math|term= p |SZ=-}}te Einheitswurzel ist, so spielt das Element {{math|term= 1- \zeta |SZ=}} eine besondere Rolle. {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungsring/Primzahl/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt|Lemma|| }} Insbesondere sind die Kreisteilungsringe {{ Definitionslink |Prämath= |monogen| |Kontext=Algebra| |SZ= }} und {{mathl|term= 1, \zeta, \zeta^2 {{kommadots}} \zeta^{p-2} |SZ=}} ist eine {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} des Kreisteilungsringes. {{ inputbeispiel |Fünfter Kreisteilungsring/Kleine Primzahl/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Kreisteilungskörper/Primzahl/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisverweis |Kreisteilungskörper/Primzahlpotenz/Einheitswurzel/Diskriminante/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisverweis |Kreisteilungsring/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | R_n || \Z[X]/ {{makl| {{op:Kreisteilungspolynom|n}} |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= {{op:Kreisteilungspolynom|n}} |SZ=}} das {{math|term= n |SZ=-}}te Kreisteilungspolynom bezeichnet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ek148q8f0gbqz13amvml4y2vfgevypq 0 120949 1092063 1018477 2026-06-01T12:46:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092063 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Zahlbereichserweiterung/Trägheitsgrad/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Erweiterung/Eine normierte Gleichung/Trägheitsgrad/Abschätzung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt|Satz|| || }} Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch {{Stichwort|fundamentale Gleichung|msw=Fundamentale Gleichung|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt genau dann {{ Definitionslink |Verzweigung| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} vor, wenn einer der {{ Definitionslink |Verzweigungsindizes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= e_j |SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition|| }} Im voll zerlegten Fall ist {{ Relationskette |e_j ||f_j ||1 || || |SZ= }} für {{ Relationskette |j || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper {{math|term= R/ {{idealp|}} |SZ=}} überein. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Unzerlegt/Definition|| }} In diesem Fall ist {{ Relationskette |n ||ef || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Polynomring/R nach C/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht unzerlegt| |ISZ=|ESZ= }} ist. Für das folgende Beispiel siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 369cf89n8w35y3hhgjjsckzh65q7n78 0 120990 1092630 984400 2026-06-01T14:18:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092630 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem Zahlbereich {{math|term= R |SZ=}} und einem Primideal {{ Relationskette | {{idealp|}} | \neq | 0 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |SZ= }} die Lokalisierung {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} ein diskreter Bewertungsring und somit ergibt sich insgesamt eine Abbildung {{ Math/display|term= R \setminus \{0\} \longrightarrow R_{{idealp}} \setminus \{0\} \stackrel{\text{ord} }{\longrightarrow} \N |SZ=. }} {{inputdefinition |Zahlbereich/Primideal/Ordnung/Definition|}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma|||}} {{inputdefinition |Zahlbereich/Element/Hauptdivisor/Definition|}} Die Ordnung an einem Primideal nennt man in diesem Zusammenhang auch die Verschwindungsordnung. Die Ordnung ist ja genau dann positiv, wenn {{math|term= f |SZ=}} zum Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gehört, und dies ist genau dann der Fall, wenn unter der Abbildung {{ Math/display|term= R \longrightarrow R/ {{idealp|}} \longrightarrow Q(R/{{idealp}}) |SZ= }} das Element {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet wird, also an dieser Stelle verschwindet. Eine höhere Verschwindungsordnung bedeutet, dass {{math|term= f |SZ=}} nicht nur einfach, sondern mit einer gewissen Vielfachheit verschwindet. Der Hauptdivisor zu {{math|term= f |SZ=}} notiert also, mit welcher Verschwindungsordnung die Funktion {{math|term= f |SZ=}} an den verschiedenen Primstellen verschwindet. {{ inputbemerkung |Zahlbereich/Faktoriell/Hauptdivisor/Bemerkung|| }} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt|Lemma||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pnfaq0qkfbsoc7q3i9xbwal0dm80eid 0 120992 1091991 1074785 2026-06-01T12:34:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1091991 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Zahlbereich/Effektiver Divisor/Definition|}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigt, dass ein Hauptdivisor zu einem Ringelement wirklich ein effektiver Divisor ist. Wir werden im Weiteren sehen, dass die Frage, welche Divisoren Hauptdivisoren sind, eng mit der Frage nach der Faktorialität von Zahlbereichen zusammenhängt. Der Zugang über Divisoren hat den Vorteil, dass er erlaubt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe weiter unten| |ISZ=|ESZ=, }} eine Gruppe, die sogenannte {{Stichwort|Divisorenklassengruppe}} einzuführen, die die Abweichung von der Faktorialität messen kann. Ein effektiver Divisor gibt für jede Primstelle eine Verschwindungsordnung an. Eine naheliegende Frage ist dann, ob dieses Ordnungsverhalten durch eine Funktion realisiert werden kann, also ob der Divisor ein Hauptdivisor ist. {{inputdefinition |Zahlbereich/Divisor zu Ideal/Definition|}} {{inputbemerkung |Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Divisor zu Ideal/Bemerkung|}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt|Lemma||}} {{inputdefinition |Zahlbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition|}} In der vorstehenden Definition verwenden wir die Konvention, dass in Ungleichungen der Ausdruck {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|0|}} |SZ=}} als {{math|term= \infty|SZ=}} zu verstehen ist. Damit gehört also {{math|term= 0 |SZ=}} zu {{mathl|term= \operatorname{Id}(D) |SZ=.}} Es ergibt sich sofort, dass es sich in der Tat um ein Ideal handelt. Es ist auch nicht das Nullideal, da wir zu den endlich vielen Primidealen {{ mathbed|term= {{idealp}}_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette |n_i || n_{ {{idealp}}_i} |>| 0 || || |SZ= }} Elemente {{ Relationskette |0 |\neq| f_i |\in|{{idealp}}_i || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|f_i | {{idealp}}_i }} || 1 || || || |SZ= }} wählen können. Dann gehört aber das Produkt {{mathl|term= f_1^{n_1} \cdots f_k^{n_k} |SZ=}} zu dem zu {{math|term= D |SZ=}} gehörenden Ideal. Der folgende Satz zeigt, dass die beiden soeben eingeführten Zuordnungen zwischen den effektiven Divisoren und den von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Idealen in einem Zahlbereich invers zueinander sind. Dies sollte man als eine einfache und übersichtliche Beschreibung für die Menge aller Ideale ansehen. {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Umfassen und teilen/Fakt|Korollar|||}} {{ inputbild |Dedekind stamp|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | |Zusname=Dedekind_stamp |Text=DDR Briefmarke |Autor=Deutsche Post der DDR |Benutzer=Le Corbeau |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Satz von Dedekind|SZ=.}} Sie liefert für jeden Zahlbereich auf der Idealebene einen Ersatz für die eindeutige Primfaktorzerlegung. {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt|Satz|||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt|Korollar||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i48v440d1z5u1s189u28f58xyefr136 1092624 1091991 2026-06-01T14:17:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092624 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Zahlbereich/Effektiver Divisor/Definition|}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigt, dass ein Hauptdivisor zu einem Ringelement wirklich ein effektiver Divisor ist. Wir werden im Weiteren sehen, dass die Frage, welche Divisoren Hauptdivisoren sind, eng mit der Frage nach der Faktorialität von Zahlbereichen zusammenhängt. Der Zugang über Divisoren hat den Vorteil, dass er erlaubt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe weiter unten| |ISZ=|ESZ=, }} eine Gruppe, die sogenannte {{Stichwort|Divisorenklassengruppe}} einzuführen, die die Abweichung von der Faktorialität messen kann. Ein effektiver Divisor gibt für jede Primstelle eine Verschwindungsordnung an. Eine naheliegende Frage ist dann, ob dieses Ordnungsverhalten durch eine Funktion realisiert werden kann, also ob der Divisor ein Hauptdivisor ist. {{inputdefinition |Zahlbereich/Divisor zu Ideal/Definition|}} {{inputbemerkung |Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Divisor zu Ideal/Bemerkung|}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt|Lemma||}} {{inputdefinition |Zahlbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition|}} In der vorstehenden Definition verwenden wir die Konvention, dass in Ungleichungen der Ausdruck {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|0|}} |SZ=}} als {{math|term= \infty|SZ=}} zu verstehen ist. Damit gehört also {{math|term= 0 |SZ=}} zu {{mathl|term= \operatorname{Id}(D) |SZ=.}} Es ergibt sich sofort, dass es sich in der Tat um ein Ideal handelt. Es ist auch nicht das Nullideal, da wir zu den endlich vielen Primidealen {{ mathbed|term= {{idealp}}_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette |n_i || n_{ {{idealp}}_i} |>| 0 || || |SZ= }} Elemente {{ Relationskette |0 |\neq| f_i |\in|{{idealp}}_i || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|f_i | {{idealp}}_i }} || 1 || || || |SZ= }} wählen können. Dann gehört aber das Produkt {{mathl|term= f_1^{n_1} \cdots f_k^{n_k} |SZ=}} zu dem zu {{math|term= D |SZ=}} gehörenden Ideal. Der folgende Satz zeigt, dass die beiden soeben eingeführten Zuordnungen zwischen den effektiven Divisoren und den von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Idealen in einem Zahlbereich invers zueinander sind. Dies sollte man als eine einfache und übersichtliche Beschreibung für die Menge aller Ideale ansehen. {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideale und Divisoren/Umfassen und teilen/Fakt|Korollar|||}} {{ inputbild |Dedekind stamp|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | |Zusname=Dedekind_stamp |Text=DDR Briefmarke |Autor=Deutsche Post der DDR |Benutzer=Le Corbeau |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Satz von Dedekind|SZ=.}} Sie liefert für jeden Zahlbereich auf der Idealebene einen Ersatz für die eindeutige Primfaktorzerlegung. {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt|Satz|||}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereich/Elemente/Zerlegung in Primideale/Fakt|Korollar||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Zahlbereich) |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lbe8roh9f4pou8oihgkzg9woet1zz77 0 121008 1092174 981392 2026-06-01T13:04:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092174 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} und einem {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | {{idealp|}} | \neq | 0 || || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |SZ= }} die Lokalisierung {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |SZ= }} und somit ergibt sich insgesamt eine Abbildung {{ Math/display|term= R \setminus \{0\} \longrightarrow R_{{idealp}} \setminus \{0\} \stackrel{\text{ord} }{\longrightarrow} \N |SZ=. }} {{inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Ordnung/Definition|}} {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma|||}} {{inputdefinition |Dedekindbereich/Element/Hauptdivisor/Definition|}} Die Ordnung an einem Primideal nennt man in diesem Zusammenhang auch die Verschwindungsordnung. Die Ordnung ist ja genau dann positiv, wenn {{math|term= f |SZ=}} zum Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gehört, und dies ist genau dann der Fall, wenn unter der Abbildung {{ Math/display|term= R \longrightarrow R/ {{idealp|}} \longrightarrow Q(R/{{idealp}}) |SZ= }} das Element {{math|term= f |SZ=}} auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet wird, also an dieser Stelle verschwindet. Eine höhere Verschwindungsordnung bedeutet, dass {{math|term= f |SZ=}} nicht nur einfach, sondern mit einer gewissen Vielfachheit verschwindet. Der Hauptdivisor zu {{math|term= f |SZ=}} notiert also, mit welcher Verschwindungsordnung die Funktion {{math|term= f |SZ=}} an den verschiedenen Primstellen verschwindet. {{ inputbemerkung |Dedekindbereich/Faktoriell/Hauptdivisor/Bemerkung|| }} {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Hauptdivisor/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma||}} {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt|Lemma||}} {{{zusatz1|}}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qi3ewpvlq9hnbtvp62ud53qkdoyiw17 0 121033 1092062 1018471 2026-06-01T12:45:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092062 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition|}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigt, dass ein Hauptdivisor zu einem Ringelement {{math|term= \neq 0 |SZ=}} wirklich ein effektiver Divisor ist. Ein effektiver Divisor gibt für jede Primstelle eine {{Anführung|Verschwindungsordnung}} an. Eine naheliegende Frage ist dann, ob dieses Ordnungsverhalten durch eine Funktion realisiert werden kann, also ob der Divisor ein Hauptdivisor ist. Wir werden im Weiteren sehen, dass die Frage, welche Divisoren Hauptdivisoren sind, eng mit der Frage nach der Faktorialität von Dedekindbereichen zusammenhängt. Der Zugang über Divisoren hat den Vorteil, dass er erlaubt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe weiter unten| |ISZ=|ESZ=, }} eine Gruppe, die sogenannte {{Stichwort|Divisorenklassengruppe}} einzuführen, die die Abweichung von der Faktorialität messen kann. Die Menge der effektiven Divisoren wird mit {{mathl|term= {{op:Effektive Divisoren|R|}} |SZ=}} bezeichnet, es handelt sich um ein kommutatives additives {{ Definitionslink |Monoid| |Kontext=| |SZ=, }} das als Monoid von den {{Stichwort|Primdivisoren|msw=Primdivisor|SZ=}} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} erzeugt wird. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisor zu Ideal/Definition|}} {{inputbemerkung |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Divisor zu Ideal/Bemerkung|}} {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt|Lemma||}} {{inputdefinition |Dedekindbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition|}} In der vorstehenden Definition verwenden wir die Konvention, dass in Ungleichungen der Ausdruck {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|0|}} |SZ=}} als {{math|term= \infty|SZ=}} zu verstehen ist. Damit gehört also {{math|term= 0 |SZ=}} zu {{mathl|term= \operatorname{Id}(D) |SZ=.}} Es ergibt sich sofort, dass es sich in der Tat um ein Ideal handelt. Es ist auch nicht das Nullideal, da wir zu den endlich vielen Primidealen {{ mathbed|term= {{idealp}}_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette |n_i || n_{ {{idealp}}_i} |>| 0 || || |SZ= }} Elemente {{ Relationskette |0 |\neq| f_i |\in|{{idealp}}_i || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|f_i | {{idealp}}_i }} || 1 || || || |SZ= }} wählen können. Dann gehört aber das Produkt {{mathl|term= f_1^{n_1} \cdots f_k^{n_k} |SZ=}} zu dem zu {{math|term= D |SZ=}} gehörenden Ideal. Der folgende Satz zeigt, dass die beiden soeben eingeführten Zuordnungen zwischen den effektiven Divisoren und den von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Idealen in einem Dedekindbereich invers zueinander sind. Dies sollte man als eine einfache und übersichtliche Beschreibung für die Menge aller Ideale ansehen. {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Dedekindbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fhyjpx3upsb19qpstwjut47vlk3r5ok 1092077 1092062 2026-06-01T12:48:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092077 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition|}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigt, dass ein Hauptdivisor zu einem Ringelement {{math|term= \neq 0 |SZ=}} wirklich ein effektiver Divisor ist. Ein effektiver Divisor gibt für jede Primstelle eine {{Anführung|Verschwindungsordnung}} an. Eine naheliegende Frage ist dann, ob dieses Ordnungsverhalten durch eine Funktion realisiert werden kann, also ob der Divisor ein Hauptdivisor ist. Wir werden im Weiteren sehen, dass die Frage, welche Divisoren Hauptdivisoren sind, eng mit der Frage nach der Faktorialität von Dedekindbereichen zusammenhängt. Der Zugang über Divisoren hat den Vorteil, dass er erlaubt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe weiter unten| |ISZ=|ESZ=, }} eine Gruppe, die sogenannte {{Stichwort|Divisorenklassengruppe}} einzuführen, die die Abweichung von der Faktorialität messen kann. Die Menge der effektiven Divisoren wird mit {{mathl|term= {{op:Effektive Divisoren|R|}} |SZ=}} bezeichnet, es handelt sich um ein kommutatives additives {{ Definitionslink |Monoid| |Kontext=| |SZ=, }} das als Monoid von den {{Stichwort|Primdivisoren|msw=Primdivisor|SZ=}} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} erzeugt wird. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisor zu Ideal/Definition|}} {{inputbemerkung |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Divisor zu Ideal/Bemerkung|}} {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt|Lemma||}} {{inputdefinition |Dedekindbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition|}} In der vorstehenden Definition verwenden wir die Konvention, dass in Ungleichungen der Ausdruck {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|0|}} |SZ=}} als {{math|term= \infty|SZ=}} zu verstehen ist. Damit gehört also {{math|term= 0 |SZ=}} zu {{mathl|term= \operatorname{Id}(D) |SZ=.}} Es ergibt sich sofort, dass es sich in der Tat um ein Ideal handelt. Es ist auch nicht das Nullideal, da wir zu den endlich vielen Primidealen {{ mathbed|term= {{idealp}}_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette |n_i || n_{ {{idealp}}_i} |>| 0 || || |SZ= }} Elemente {{ Relationskette |0 |\neq| f_i |\in|{{idealp}}_i || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|f_i | {{idealp}}_i }} || 1 || || || |SZ= }} wählen können. Dann gehört aber das Produkt {{mathl|term= f_1^{n_1} \cdots f_k^{n_k} |SZ=}} zu dem zu {{math|term= D |SZ=}} gehörenden Ideal. Der folgende Satz zeigt, dass die beiden soeben eingeführten Zuordnungen zwischen den effektiven Divisoren und den von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Idealen in einem Dedekindbereich invers zueinander sind. Dies sollte man als eine einfache und übersichtliche Beschreibung für die Menge aller Ideale ansehen. {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Dedekindbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qkxlvjlfqdyyyds9in1j8zbdqxbqo7i 1092170 1092077 2026-06-01T13:03:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092170 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition|}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Hauptdivisor/Endlich/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigt, dass ein Hauptdivisor zu einem Ringelement {{math|term= \neq 0 |SZ=}} wirklich ein effektiver Divisor ist. Ein effektiver Divisor gibt für jede Primstelle eine {{Anführung|Verschwindungsordnung}} an. Eine naheliegende Frage ist dann, ob dieses Ordnungsverhalten durch eine Funktion realisiert werden kann, also ob der Divisor ein Hauptdivisor ist. Wir werden im Weiteren sehen, dass die Frage, welche Divisoren Hauptdivisoren sind, eng mit der Frage nach der Faktorialität von Dedekindbereichen zusammenhängt. Der Zugang über Divisoren hat den Vorteil, dass er erlaubt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe weiter unten| |ISZ=|ESZ=, }} eine Gruppe, die sogenannte {{Stichwort|Divisorenklassengruppe}} einzuführen, die die Abweichung von der Faktorialität messen kann. Die Menge der effektiven Divisoren wird mit {{mathl|term= {{op:Effektive Divisoren|R|}} |SZ=}} bezeichnet, es handelt sich um ein kommutatives additives {{ Definitionslink |Monoid| |Kontext=| |SZ=, }} das als Monoid von den {{Stichwort|Primdivisoren|msw=Primdivisor|SZ=}} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} erzeugt wird. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisor zu Ideal/Definition|}} {{inputbemerkung |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Divisor zu Ideal/Bemerkung|}} {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Verträglichkeit mit Operationen/Fakt|Lemma||}} {{inputdefinition |Dedekindbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition|}} In der vorstehenden Definition verwenden wir die Konvention, dass in Ungleichungen der Ausdruck {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|0|}} |SZ=}} als {{math|term= \infty|SZ=}} zu verstehen ist. Damit gehört also {{math|term= 0 |SZ=}} zu {{mathl|term= \operatorname{Id}(D) |SZ=.}} Es ergibt sich sofort, dass es sich in der Tat um ein Ideal handelt. Es ist auch nicht das Nullideal, da wir zu den endlich vielen Primidealen {{ mathbed|term= {{idealp}}_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} k ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette |n_i || n_{ {{idealp}}_i} |>| 0 || || |SZ= }} Elemente {{ Relationskette |0 |\neq| f_i |\in|{{idealp}}_i || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|f_i | {{idealp}}_i }} || 1 || || || |SZ= }} wählen können. Dann gehört aber das Produkt {{mathl|term= f_1^{n_1} \cdots f_k^{n_k} |SZ=}} zu dem zu {{math|term= D |SZ=}} gehörenden Ideal. Der folgende Satz zeigt, dass die beiden soeben eingeführten Zuordnungen zwischen den effektiven Divisoren und den von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Idealen in einem Dedekindbereich invers zueinander sind. Dies sollte man als eine einfache und übersichtliche Beschreibung für die Menge aller Ideale ansehen. {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Dedekindbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} powp1mjqn058tbeqv32auoc3033a1kg 0 121132 1092313 982620 2026-06-01T13:26:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092313 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein kommutativer Ring, {{math|term= G |SZ=}} eine endliche Gruppe, die auf {{math|term= R |SZ=}} als Gruppe von Ringautomorphismen und damit nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt |Nr= |SZ= }} auch auf {{ Relationskette |X || {{op:Spek|R|}} || || || |SZ= }} als Gruppe von {{ Definitionslink |Homöomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten {{mathl|term= X/G |SZ=}} und andererseits den Invariantenring {{math|term= R^G|SZ=}} und damit dessen Spektrum {{mathl|term= {{op:Spek|R^G|}} |SZ=.}} Der topologische Quotient ist einfach der {{ Definitionslink |Bahnenraum| |Kontext=| |SZ= }} versehen mit der {{ Definitionslink |Bildtopologie| |Kontext=| |SZ=. }} Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass {{ Relationskette/display | X/G || {{op:Spek|R^G|}} || || || |SZ= }} gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die {{ Definitionslink |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=\iota^* |{{op:Spek|R|}} |{{op:Spek|R^G|}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die zur Inklusion {{ Relationskette |R^G |\subseteq |R || || || |SZ= }} gehört| |ISZ=|ESZ= }} die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt. {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Endliche Gruppe/Abgeschlossene Abbildung/Bildtopologie/Fakt|Korollar|| || }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Invariantenring/Endliche Gruppe/Quotient ist Spektrum/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Galoistheorie für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4egieradqerg9pmwhou4tyd4iarrph6 0 121237 1092172 1085650 2026-06-01T13:03:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092172 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Diskrete Bewertungsringe/Verzweigungsordnung/Definition|| }} Statt Verzweigungsindex sagt man auch {{Stichwort|Verzweigungsordnung|SZ=.}} Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen {{ Abbildung/display |name= \varphi | R | S || |SZ= }} und Primidealen {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} über {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} nennt man die Verzweigungsordnung von {{ Abbildung/display |name= | R_{{idealp}} | S_{{idealq}} || |SZ= }} auch die Verzweigungsordnung von {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} über {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} oder einfach von {{math|term= {{idealq}} |SZ=,}} da ja {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} durch {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} bestimmt ist. Wenn man von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ausgeht, hängt im Allgemeinen die Verzweigungsordnung von den darüber liegenden Primidealen ab. {{ inputdefinition |Diskrete Bewertungsringe/Homomorphismus/Verzweigt/Ordnung/Definition|| }} Bei einer Erweiterung von Dedekindbereichen {{ Abbildung |name= \varphi | R | S || |SZ= }} sagt man auch, dass ein Primideal {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} aus {{math|term= S |SZ=}} verzweigt, wenn {{ Abbildung/display |name= | R_{{idealp}} | S_{{idealq}} || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{idealp|}} || R \cap {{idealq|}} || || || |SZ= }} verzweigt, und man sagt, dass ein Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= S |SZ=}} verzweigt, wenn es darüber ein Primideal {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} gibt, in dem Verzweigung stattfindet {{ Zusatz/Klammer |text=es darf also auch noch Primideale darüber geben, in denen keine Verzweigung stattfindet| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Punktierte affine Gerade/Potenzieren/Verzweigung/Ordnung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} arhc8es8bzfwhh4ivz46se5vu4nng4r 0 121243 1092173 1018793 2026-06-01T13:04:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092173 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |K ||Q(R) || || || |SZ= }} und sei {{ Relationskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Galoisgruppe| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. die Gruppe der {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebraautomorphismen| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= L |SZ=,}} besteht also aus {{math|term= n |SZ=}} Automorphismen. Die Untergruppen der Galoisgruppe entsprechen nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz über die Galoiskorrespondenz|Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Korrespondenz von Körpern und Gruppen/Fakt |Nr= |SZ= }} den Zwischenkörpern der Erweiterung. Die Galoisgruppe operiert nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt |Nr= |SZ= }} auch auf dem ganzen Abschluss {{math|term= S |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=.}} Hier besprechen wir Untergruppen, ihre zugehörigen Zwischenkörper und Zwischenringe, die mit dem Zerlegungsverhalten von Primidealen unter der Erweiterung {{ Relationskette |R |\subseteq|S || || || |SZ= }} zusammenhängen. Zuerst formulieren wir, wie sich die fundamentale Gleichung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} im Galoisfall vereinfacht. {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt|Lemma|| || }} Es sei {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ein Primideal aus {{math|term= R |SZ=}} und seien {{mathl|term= {{idealq|}}_1 {{kommadots|}} {{idealq|}}_k |SZ=}} die Primideale von {{math|term= S |SZ=}} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt |Nr= |SZ= }} und wie eben verwendet lassen sich diese Primideale ineinander mit isomorphen Restekörpern überführen. Dies bedeutet natürlich nicht, dass der Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |G| {{op:Permutationsgruppe|{{idealq|}}_1 {{kommadots|}} {{idealq|}}_k |}} || |SZ= }} bijektiv ist, wobei rechts die Permutationsgruppe zur Faser über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} steht. Dabei ist die Bijektivität oft schon wegen der Anzahl ausgeschlossen. Wenn der Grad {{math|term= n |SZ=}} ist, und wenn, im {{ Definitionslink |total zerlegten| |Kontext=Primideal| |SZ= }} Fall, die Faser aus {{math|term= n |SZ=}} Primidealen besteht, so steht links {{ Zusatz/Klammer |text=im Galoisfall| |ISZ=|ESZ= }} eine Gruppe mit {{math|term= n |SZ=}} Elementen und rechts eine Gruppe mit {{math|term= n!|SZ=}} Elementen, was nur bei {{ Relationskette |n |\leq|2 || || || |SZ= }} übereinstimmt. Wenn hingegen, im {{ Definitionslink |unzerlegten| |Kontext=Primideal| |SZ= }} Fall, die Faser aus nur einem Primideal besteht, so steht rechts die triviale Gruppe. Ein Automorphismus {{ Relationskette |\sigma |\in|G || || || |SZ= }} gehört genau dann zum Kern, wenn jedes Primideal der Faser unter {{math|term= \sigma |SZ=}} auf sich selbst abgebildet wird. Diese Bedingung führt, auf ein einzelnes Primideal angewendet, zum Begriff der Zerlegungsgruppe. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Definition|| }} Man spricht auch von der {{Stichwort|Isotropiegruppe|SZ=}} oder dem {{Stichwort|Stabilisator|SZ=}} zu {{math|term= {{idealq}} |SZ=.}} Man beachte, dass die Bedingung besagt, dass {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} auf sich selbst abgebildet wird, nicht, dass die Einschränkung auf {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} die Identität ist. {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungskörper/Definition|| }} Den {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} zum Zerlegungskörper nennt man {{Stichwort|Zerlegungsring|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Definition|| }} Es liegt also eine Kette von Untergruppen {{ Relationskette/display | {{op:Trägheitsgruppe|{{idealq}} }} |\subseteq| {{op:Zerlegungsgruppe|G|{{idealq}} }} |\subseteq|G || || |SZ= }} vor. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitskörper/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Trägheitsgruppe/Verzweigungsindex/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Galoistheorie für Dedekindbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ci94q0b4fwnv80jqatdiizq6zp3bxgk 0 121577 1092689 1024728 2026-06-01T14:34:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092689 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |höhere Richtungsableitung| |msw= |SZ= }} zu einer Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | V | W || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= V,W|SZ=}} endlichdimensionale reelle {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} sind, bezüglich der Richtungen {{ Relationskette | v_1 {{kommadots|}} v_n | \in | V || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rh95whk6c243n8pt2s1bp8e22ngnfse 106 121866 1092632 1086667 2026-06-01T14:18:42Z Bocardodarapti 2041 1092632 wikitext text/x-wiki {{ Klausur15 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Professor/Socken und Schuhe/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Tabelle/4/2/Aufgabe|p||| |Menge/Potenzmenge/Halbring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abschätzung/n hoch n+1 und n+1 hoch n/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Teilmengen/Anzahlrelation/Aufgabe|p||| |Flüsse/Abfluss/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 97/Inverses Element zu 44/Aufgabe|p||| |Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe|p||| |Permutation/Überschneidungsfrei/1/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Schachfigur/5x5/König/Planarer Graph/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} jwzlwa3vfzdwdwy4lj3mgtdsknodb55 106 121868 1092643 1079838 2026-06-01T14:21:33Z Bocardodarapti 2041 1092643 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe|p||| |Fingernägel/Reihenfolge/2/Aufgabe|p||| |100 Fakultät/Anzahl der 0 hinten/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Vergleich für kleine Zahlen/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Kommutativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe|p||| |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Münzzahlen/1,n,n+1/Uneindeutigkeit/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Graph/Kein Dreierkreis/Nicht bipartit/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Ebener Graph/Sechs_Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 6h69sg66iqj35n9h3ed3r5jsl7eagyn 106 121872 1092625 994779 2026-06-01T14:17:47Z Bocardodarapti 2041 1092625 wikitext text/x-wiki {{ Klausur13 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe|p||| |Schulklasse/4 Pizzen/Zerschneiden/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Opernaufführung/Stimmlagen/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Rekursiver Zusammenhang/Aufgabe|p||| |Endliche Permutation/Zykellänge/Elemente/Aufgabe|p||| |Relationen/Endliche Menge/Reflexiv, symmetrisch/Anzahl/Aufgabe|p||| |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Primfaktoren/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Invarianten/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ods7itwlax949gdoxny98jrp4z94vga 106 121947 1092774 1077347 2026-06-01T17:26:55Z Bocardodarapti 2041 1092774 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe|p||| |Tripel/Summe ist 5/Berechnung/Aufgabe|p||| |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|p||| |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Berechnung/Aufgabe|p||| |Addition/Multiplikation/Potenz/N/Injektivität/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorph/Beidseitig/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} rk9y16hto7hmxellnucw54ubarb76wu 1092790 1092774 2026-06-01T17:52:48Z Bocardodarapti 2041 1092790 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe|p||| |Tripel/Summe ist 5/Berechnung/Aufgabe|p||| |Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|p||| |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Berechnung/Aufgabe|p||| |Addition/Multiplikation/Potenz/N/Injektivität/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 5i2pirae2aszw20dsys57yh86bwbog6 106 121952 1092779 1089495 2026-06-01T17:31:37Z Bocardodarapti 2041 1092779 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/16/Aufgabe|p||| |Mörder/Aussagenlogik/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p||| |Schokolade/Heidi Gonzales/Aufteilung/Karate/Aufgabe|p||| |Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Rationales Einheitsintervall/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Planet/Drei Geschlechter/Generationen/Aufgabe|p||| |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Kern ist Ideal/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/831600/Aufgabe|p||| |Gewichte/Zweischalig/1/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Kein Graph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Nullteilergraph/Sterngraph/Körper/Aufgabe|p||| |Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9o68b5lm4i996jfjfi5u28o6na18zcp 106 121955 1092885 1080467 2026-06-02T11:57:46Z Bocardodarapti 2041 1092885 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Quadrat und Kubik/Minimal/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe|p||| |Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe|p||| |Darstellung der 1/11 und 13/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlicher Körper/Multiplikationsabbidung/Faseranzahltupel/Aufgabe|p||| |Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p||| |Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Erläuterung/d ist 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} mt8dbqylyyd382d567uuyaymruuxxbz 106 121959 1092799 1080613 2026-06-02T05:41:41Z Bocardodarapti 2041 1092799 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p||| |Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p||| |Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Endlicher kommutativer Ring/Addition und Multiplikation/Isomorph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Länderkarte/Geraden als Grenzen/Zwei Farben/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 1fq8tdrzc99vllbgj2w9r4nlvv2lsxa 106 121960 1092264 1079605 2026-06-01T13:18:15Z Bocardodarapti 2041 1092264 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/24/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/24/Aufgabe|p||| |Knopfloch und Eisenbeis/Seeumrundung/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |5 Geraden/4 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Endliche Permutation/Voller Zyklus/Anzahl/Aufgabe|p||| |Anfangsmenge/N/Minimum und Maximum/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Potenzen/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/2/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 6/Aufgabe|p||| |2x2-Matrizen/Determinante/Direkt/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/C nach R/Aufgabe|p||| |Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gerichteter Graph/Symmetrisch/Vorgängermenge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 1wmlgr6bl95940hkctdzm2oyrp3wr7l 0 122248 1092845 1024983 2026-06-02T10:22:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1092845 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über das Fundamentalsystem für eine lineare Differentialgleichung {{ Relationskette/display | y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} {{plusdots|}} a_1y' +a_0 y || 0 || || || |SZ= }} mit Koeffizienten {{ Relationskette | a_i | \in | \R || || || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9gddp4woj504kqsidovciryhwgklfz 0 122955 1092509 1074740 2026-06-01T13:58:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092509 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Garbe/Keim/Punkte/Verbunden/Definition|| }} Bei {{ Relationskette |P ||Q || || || |SZ= }} ist ein Keim nur mit sich selbst verbunden. Ohne die Voraussetzung zusammenhängend wären in einem Hausdorffraum je zwei Keime zu verschiedenen Punkten miteinander verbunden. Zu einem fixierten Keim {{ Relationskette |s |\in| {{op:Garbe|G|}}_P || || || |SZ= }} und einem weiteren Punkt {{ Relationskette |Q |\in|X || || || |SZ= }} kann man sich fragen, ob {{math|term= s |SZ=}} mit einem Keim aus {{math|term= {{op:Garbe|G|}}_Q |SZ=}} verbunden ist und, wenn ja, mit wie vielen. Im Folgenden interessieren uns für diese Fragen im Fall, wenn {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ist. Die Verbundenheit ist keine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Keime, da man Schnitte auf offenen Mengen im Allgemeinen nicht auf die Vereinigung fortsetzen kann. Um dies zu erreichen, muss man Verbundenheiten aneinander legen. {{ inputdefinition |Garbe/Keim/Punkte/Schrittweise Verbunden/Definition|| }} Auf einer Mannigfaltigkeit ist zusammenhängend das Gleiche wie {{ Definitionslink |wegzusammenhängend| |SZ=. }} Oft formuliert man daher die Fragen nach Verbundenheit und schrittweiser Verbundenheit entlang eines fixierten stetigen Weges, der {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} verbindet. {{ inputdefinition |Garbe/Keim/Punkte/Verbunden längs Weg/Definition|| }} {{ inputdefinition |Garbe/Keim/Punkte/Schrittweise verbunden längs Weg/Definition|| }} Bei der schrittweisen Verbundenheit gibt es zusammenhängende offene Mengen {{ mathbed|term= U_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} mit {{ Relationskette | \gamma( [t_{i-1},t_i]) |\subseteq|U_i || || || |SZ= }} und Schnitte {{ Relationskette |r_i |\in| {{op:Schnitte|U_i | {{op:Garbe|G|}} }} || || || |SZ=, }} die auf die Keime an den Endpunkten einschränken. Da die {{ mathkor|term1= r_i |und|term2= r_{i+1} |SZ= }} in den Übergangspunkten den gleichen Keim definieren, sind sie auf einer offenen Umgebung des Übergangspunktes überhaupt gleich. Das heißt aber nicht, dass sie überhaupt zu einem Schnitt über {{mathl|term= U_i \cup U_{i+1} |SZ=}} fortgesetzt werden können, da es ja auch einen nichtleeren Durchschnitt jenseits des Übergangspunktes geben kann, wie wenn {{math|term= \gamma|SZ=}} ein voller Kreisbogen ist, den man in den oberen und den unteren Bogen aufteilt. Insbesondere ist die Verbundenheit bei {{ Relationskette |x ||y || || || |SZ= }} trivial, die schrittweise Verbundenheit aber nicht. Im holomorphen Kontext wird diese schrittweise Verbundenheit verwendet, um holomorphe Funktionskeime miteinander in Beziehung zu setzen. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Definition|| }} {{ inputbild |Analytic continuation 3|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Snty-tact~commonswiki |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Eine wichtige Beobachtung ist, dass wenn man mit verschiedenen stetigen Wegen von {{math|term= x |SZ=}} nach {{math|term= y |SZ=}} gelangt und wenn entlang beider Wege eine analytische Fortsetzung eines Keimes in {{math|term= x |SZ=}} möglich ist, das man dann keineswegs im gleichen Keim landen muss. Das folgende Beispiel ist typisch. {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Quadratwurzel/Analytische Fortsetzung/Beispiel|| }} Aufgrund dieses Phänomens, dass verschiedene Wege zu verschiedenen Fortsetzungen führen, sagt man manchmal, dass die komplexe Quadratwurzel {{ Zusatz/Klammer |text=und viele andere Funktionen| |ISZ=|ESZ= }} eine {{Stichwort|mehrdeutige Funktion|SZ=}} ist. Sie ist aber auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} oder auf {{math|term= {{CC|}} \setminus \{0\} |SZ=}} definitiv keine Funktion, sie kann nur auf gewissen offenen Teilmengen eindeutig definiert werden, diese Funktionen {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|Zweige|msw=Zweig (holomorphe Funktion) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} passen aber nicht zusammen. Eine naheliegende Frage ist es, ob man die riemannsche Fläche durch eine andere Fläche ersetzen kann, auf der die verschiedenen, durch analytische Fortsetzung entstandenen Zweige eine globale holomorphe Funktion definieren. Dies wird positiv in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorpher Funktionskeim/Ausbreitungsraum/Zusammenhangskomponente/Fakt |Nr= |SZ= }} beantwortet. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Analytische Fortsetzung/Nicht global definiert/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionskeime/Algebraische Relation/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Ausbreitungsraumes zur Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2lpyqaj4ukdqh6dncrjf8izstgz9p81 0 123008 1091997 1074741 2026-06-01T12:35:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1091997 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |CartaGeometriaDiferencial|png|230px {{!}} right {{!}} | | |Text= |Autor= |Benutzer=Marianov |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeit/Zusatzstruktur/Definition|| }} Die Abbildungen {{math|term= \alpha_i |SZ=}} nennt man die {{Stichwort|Karten|msw=Karte (Mannigfaltigkeit) |SZ=}} der Mannigfaltigkeit und {{math|term= U_i |SZ=}} heißt auch das {{Stichwort|Kartengebiet|SZ=}} und {{math|term= V_i |SZ=}} das {{Stichwort|Kartenbild|SZ=.}} Die passende Vorstellung ist, dass die Mannigfaltigkeit die {{ Zusatz/Klammer |text=komplizierte, gekrümmte| |ISZ=|ESZ= }} {{Anführung|Wirklichkeit}} ist, die man ausschnittsweise mit der Hilfe von flachen Karten erfassen kann. Einen Homöomorphismus {{ Abbildung/display |name= \alpha |U|V || |SZ= }} mit {{ Relationskette | U |\subseteq| X || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | V |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} offen nennt man eine {{ Zusatz/Klammer |text=zu dem gegebenen Atlas| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|kompatible Karte|msw=Kompatible Karte|SZ=,}} wenn für jedes Kartengebiet {{math|term= U_i |SZ=}} {{ Abbildung/display |name= \alpha \circ \alpha_i^{-1} | V_i \cap \alpha_i(U_i \cap U) |V || |SZ= }} komplex-differenzierbar ist. Die Hinzunahme von kompatiblen Karten ändert die Mannigfaltigkeit nur unwesentlich, allerdings brauchen wir den Holomorphiebegriff für komplexe Mannigfaltigkeiten, um dies präzise zu machen. Lokal sieht also eine komplexe Mannigfaltigkeit wie eine offene Teilmenge im {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=}} aus. Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine {{ Definitionslink |reelle Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} der reellen Dimension {{math|term= 2n|SZ=.}} Hiervon gilt nicht die Umkehrung, da entscheidend bei einer komplexen Mannigfaltigkeit ist, dass die Übergangsabbildungen komplex-differenzierbar ist. Dies ist eine deutlich stärkere Forderung, als dass die Übergangsabbildungen reell-differenzierbar sind. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Komplexe Mannigfaltigkeit/Definition|| }} Eine riemannsche Fläche hat die komplexe Dimension {{math|term= 1 |SZ=}} und die reelle Dimension {{math|term= 2 |SZ=,}} deshalb spricht man von Flächen. Es handelt sich somit um zweidimensionale Gebilde, bei denen zusätzlich eine komplexe Struktur vorliegt und fixiert ist. Jede offene Teilmenge von {{math|term= {{CC}} |SZ=,}} und insbesondere {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} selbst und ein offener Ball {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r|}} |SZ=}} ist eine riemannsche Fläche. Es sei schon jetzt erwähnt, dass {{ mathkor|term1= {{CC|}} \cong \R^2 |und|term2= {{op:Offener Ball|0|1|}} |SZ= }} als topologische Räume und als reelle Mannigfaltigkeiten homöomorph bzw. diffeomorph sind, aber nicht als riemannsche Flächen isomorph {{ Zusatz/Klammer |text=das nennt man dann biholomorph| |ISZ=|ESZ= }} sind. Die komplexe Struktur ist also eine neue entscheidende Struktur. Andererseits ist jeder offene Ball {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r|}} |SZ=}} zur Standardkreisscheibe {{math|term= {{op:Offener Ball|0|1|}} |SZ=}} biholomorph, da man das eine durch verschieben und strecken ineinander überführen kann. Wenn eine Karte mit dem Kartenbild {{ Relationskette | U |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} gegeben ist und {{math|term= z |SZ=}} die Variable auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} ist, so nennt man {{math|term= z |SZ=}} auch einen {{Stichwort|lokalen Parameter|msw=Lokaler Parameter (riemannsche Fläche) |SZ=}} für {{math|term= X |SZ=,}} insbesondere dann, wenn man sich auf einen Punkt {{ Relationskette | P |\in| X || || || |SZ= }} bezieht, für den {{math|term= z |SZ=}} den Wert {{math|term= 0 |SZ=}} besitzt. Die komplexe Struktur verkompliziert einerseits die topologische bzw. reelle Situation, indem topologisch äquivalente Sachen verschiedene komplexe Strukturen haben können, andererseits vereinfacht sie aber auch die Situation, da man beispielsweise die Übergangsabbildungen und die relevanten Funktionen mit nur einer komplexen Variablen beschreiben kann und da die komplexe Differenzierbarkeit bereits die Analytizität, also die lokale Entwickelbarkeit in einer Potenzreihe, bedeutet. In der Welt der riemannschen Flächen gibt es eine viele engere Beziehung zwischen dem lokalen und dem globalen Verhalten von Funktionen. {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/C/Komplexe Mannigfaltigkeit/Beispiel|| }} Oft fixiert man eine komplexe Ebene {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und bezeichnet dann den einzigen Punkt, der bei der Einbettung {{ Relationskette | {{CC|}} |\subseteq| {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} hinzukommt, als unendlich fernen Punkt {{math|term= \infty |SZ=.}} Eine wichtige Quelle für komplexe Mannigfaltigkeiten eröffnet sich durch den Satz über implizite Abbildungen. {{ inputfakt |Satz über implizite Abbildungen/C/Faser/Komplexe Mannigfaltigkeit/Fakt|Satz|| || }} Dabei ergibt sich eine riemannsche Fläche, wenn die Differenz der Dimensionen gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Wir erwähnen speziell die folgende Situation. {{ inputfaktbeweis |Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Riemannsche Fläche/Fakt|Korollar|| || }} Durch die Projektion auf die erste Komponente liegt eine fixierte Abbildung {{ Abbildung |name= |V| {{CC|}} |(z,w)|z |SZ=, }} vor. Diese ist surjektiv und besitzt über den Nullstellen von {{math|term= f |SZ=}} ein Urbild und sonst überall zwei Urbilder. Man spricht von der {{Stichwort|Wurzelfläche|SZ=}} zu {{math|term= f |SZ=}} und sagt, dass diese {{Anführung|ausgebreitet}} über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} vorliegt. Solche mit einer festen Projektion auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} versehenen riemannschen Flächen nennt man auch {{Stichwort|konkrete riemannsche Flächen|msw=Konkrete riemannsche Fläche|SZ=,}} während man dann die durch einen Atlas gegebenen Flächen {{Stichwort|abstrakte riemannsche Flächen|msw=Abstrakte riemannsche Fläche|SZ=}} nennt. Diesen Unterschied sollte man aber nicht überbewerten. Wir werden uns in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ= }} mit der Frage beschäftigen, inwiefern man eine solche Wurzelfläche zu einer riemannschen Fläche über die projektive Gerade {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} fortsetzen kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1nx08xi8byhq8i86mqo52a6ddueqimo 0 123010 1092517 983872 2026-06-01T14:00:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092517 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Charakterisierungen/Fakt|Lemma|| || }} Dabei ist die Potenzreihe auf dem Kartenbild definiert und hängt von der gewählten Karte ab. Die Eigenschaft (2) zeigt, dass man den Atlas durch kompatible Karten auffüllen kann, ohne dabei die holomorphen Funktionen zu verändern. Deshalb nimmt man häufig kompatible Karten hinzu, etwa solche, die zusammenhängend sind oder die homöomorph zu einer Kreisscheibe sind oder hinreichend klein, um gewissen Punkten auszuweichen und Ähnliches. {{ inputfaktbeweis |Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Holomorph/Riemannsche Fläche/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Ringstruktur/Fakt|Lemma|| || }} Die letzte Teilaussage wird zumeist auf holomorphe Funktionen angewendet, die Nullstellen haben, und wo man dann {{math|term= f |SZ=}} auf die nullstellenfreie offene Teilmenge einschränkt und dort holomorph invertiert. Viele substantielle Ergebnisse der komplexen Funktionentheorie übertragen sich direkt auf riemannsche Flächen. Gelegentlich braucht man die Bedingung, dass die riemannsche Fläche zusammenhängend ist. Häufig wird eine riemannsche Fläche als zusammenhängend definiert. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Identitätssatz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Kompakt und zusammenhängend/Holomorphe Funktion/Konstant/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Strukturgarbenschreibweise/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:SchnittringX|X|}} || {{Mengebed|f:X \longrightarrow {{CC}}|f \text{ holomorph} }} || || || |SZ=. }} Zu jeder offenen Telmenge {{ Relationskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} ist {{math|term= U |SZ=}} wieder eine riemannsche Fläche und somit ist auch {{ Relationskette/display | {{op:SchnittringX|U|}} || {{op:SchnittringU|U|}} || || || |SZ= }} definiert. Man spricht von der Auswertung der Strukturgarbe {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}} |SZ=}} auf {{math|term= U |SZ=.}} Wir werden später das abstrakte Garbenkonzept kennenlernen. Die wichtigsten Eigenschaften werden in der folgenden Aussage zusammengefasst. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Ringstruktur/Garbeneigenschaft/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i2fcjzjh8euzallbbwcu4s4e5egbc64 0 123056 1092530 983924 2026-06-01T14:02:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092530 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Funktionen/Definition|| }} Gemäß der Definition muss man also für jede offene Menge {{ Relationskette |V |\subseteq|Y || || || |SZ= }} und jede holomorphe Funktion {{ Abbildung |name=f |V| {{CC|}} || |SZ= }} die Hintereinanderschaltung {{ Math/display|term= \varphi^{-1}(V) \stackrel{\varphi {{|}}_{ \varphi^{-1}(V)} }{\longrightarrow} V \stackrel{f}{\longrightarrow} {{CC|}} |SZ= }} betrachten und als holomorph auf {{ Relationskette | \varphi^{-1}(V) |\subseteq|X || || || |SZ= }} nachweisen. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Charakterisierungen/Fakt|Lemma|| }} Die Situation in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Charakterisierungen/Fakt |Nr=4 |SZ= }} kann man sich durch das kommutative Diagramm {{Vorlage:Kommutatives Quadrat/ru|U|V|\alpha(V)| \beta(V) |abb12=\varphi {{|}}_U|abb13= \alpha |abb24=\beta |abb34= \beta \circ \varphi {{|}}_U \circ \alpha^{-1} }} veranschaulichen, wobei sich die untere Zeile allein in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} abspielt. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung nach C/Funktion/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildungen/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} Eine direkte Verallgemeinerung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Ringstruktur/Garbeneigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die folgende Aussage. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Garbeneigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Offen/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ob6r0clfwi64u6y04s9ybghz9rgha23 0 123079 1092534 902552 2026-06-01T14:03:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092534 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Abbildung nach projektive Gerade/Fakt|Satz|| || }} Zu einer meromorphen Funktion {{math|term= f |SZ=}} auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=}} versteht man unter der Gesamtnullstellenordnung einfach die {{ Definitionslink |Gesamtnullstellenordnung| |Kontext=Verzweigung riemannsche Fläche| |SZ= }} der zugehörigen holomorphen Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem maximalen Definitionsbereich| |ISZ=|ESZ=, }} also die Summe {{mathl|term= \sum_{ x \in \varphi^{-1}(0)} {{op:Verzweigungsordnung|x|0}} |SZ=,}} falls diese endlich ist. Hierbei werden die Nullstellen von {{math|term= f |SZ=}} zusammen mit ihren jeweiligen Ordnungen gezählt, die man aus der Potenzreihenentwicklung ablesen kann. Die {{Stichwort|Gesamtpolstellenordnung|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=}} ist entsprechend die Summe {{mathl|term= \sum_{ x \in \operatorname{Pol} (f) } -k_x |SZ=,}} wenn {{math|term= k_x |SZ=}} die Startordnung der Laurent-Entwicklung von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= x |SZ=}} bezeichnet. Diese Gesamtpolstellenordnung kann man wiederum als {{ Definitionslink |Gesamtordnung| |Kontext=Verzweigung riemannsche Fläche| |SZ= }} über {{math|term= \infty |SZ=}} der zugehörigen holomorphen Abbildung nach {{math|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} auffassen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Meromorphe Funktion/Polstellenordnung/Interpretation nach P^1/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Nullstellen und Pole/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kth6md3rv9nw97a6yo34qjipg5xiuht 0 123107 1092533 983936 2026-06-01T14:02:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092533 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Definition|| }} Dabei werden meromorphe Funktionen als gleich angesehen, wenn sie als holomorphe Funktionen auf dem offenen Komplement einer diskreten Teilmenge übereinstimmen. Wenn der Limes gleich {{math|term= \infty |SZ=}} ist, was bedeutet, dass für {{math|term= {{op:Betrag|y|}} \rightarrow \infty |SZ=}} auch {{math|term= {{op:Betrag|f(y)|}} \rightarrow \infty |SZ=}} gilt, so sagt man, dass ein {{Stichwort|Pol|SZ=}} in {{math|term= y |SZ=}} vorliegt. Wenn der Limes in einem Punkt existiert {{ Zusatz/Klammer |text=also in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} so kann man nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Riemannschen Hebbarkeitssatz|Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Riemannscher Hebbarkeitssatz/Eindimensional/Fakt |Nr= |SZ= }} die Funktion in diesem Punkt holomorph fortsetzen. Man kann daher jede meromorphe Funktion durch eine holomorphe Funktion auf einer größtmöglichen offenen Menge repräsentieren, nämlich auf dem Komplement der Polstellen. Insbesondere ist eine meromorphe Funktion genau dann eine holomorphe Funktion, wenn sie keine Polstellen besitzt, wenn also {{ Relationskette | D || \emptyset || || || |SZ= }} gewählt werden kann. Eine meromorphe Funktion {{math|term= f |SZ=}} besitzt in jedem Punkt {{math|term= P |SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |lokalen Parameter| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= z |SZ=}} eine {{Stichwort|Laurent-Entwicklung|SZ=,}} also auf dem Kartenbild eine Darstellung {{ Relationskette/display | f(z) || \sum_{n{{=}} k}^\infty c_nz^n || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | k |\in| \Z || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | f |\neq| 0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | c_k |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | k |\geq| 0 || || || |SZ= }} ist die Funktion in {{math|term= P |SZ=}} holomorph und bei {{ Relationskette | k |\in| \Z_- || || || |SZ= }} liegt ein Pol vor, wobei {{math|term= -k |SZ=}} die {{Stichwort|Polstellenordnung|SZ=}} heißt {{ Zusatz/Klammer |text=generell heißt {{math|term= k |SZ=}} die Nullstellenordnung im Punkt| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Charakterisierungen/Fakt|Lemma|| || }} Meromorphe Funktionen {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} auf einer riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=}} kann man in natürlicher Weise addieren und multiplizieren. Dazu fasst man die jeweiligen diskreten Ausnahmemengen {{ mathkor|term1= D_1 |und|term2= D_2 |SZ= }} zu einer diskreten Menge {{ Relationskette |D ||D_1 \cup D_2 || || || |SZ= }} zusammen und addiert bzw. multipliziert die holomorphen Funktionen auf {{math|term= X \setminus D |SZ=.}} Die Summe bzw. das Produkt besitzt in den Punkten aus {{math|term= D |SZ=}} entweder einen Limes oder aber einen Pol. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Zusammenhängend/Meromorphe Funktionen/Körper/Fakt|Satz|| || }} Wir bezeichnen diesen Körper mit {{math|term= {{op:Garbe|M|X}} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Einschränkung/Körpererweiterung/Fakt|Lemma|| || }} Die Garbe der meromorphen Funktionen auf {{math|term= X |SZ=}} wird mit {{math|term= {{op:Garbe|M|}}_X |SZ=}} oder mit {{math|term= {{op:Garbe|M|}} |SZ=}} bezeichnet. Es liegt die Untergarbenbeziehung {{ Relationskette/display | {{op:Strukturgarbe|X|}} |\subseteq| {{op:Garbe|M|}}_X || || || |SZ= }} vor. Schon das Beispiel {{ Relationskette/display | {{op:Offener Ball|0|r}} |\subset|{{op:Offener Ball|0|s}} || |\subset| {{CC|}} || |SZ= }} mit {{ Relationskette |r |<|s || || || |SZ= }} zeigt, dass die Restriktionsabbildung für die meromorphen Funktionen im Allgemeinen nicht surjektiv ist, da es zu jedem Radius holomorphe Funktionen mit diesem Konvergenzradius gibt, die nicht über den Rand hinaus fortsetzbar sind. {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/C/Rationale Funktionen/Meromorphe Funktion/Beispiel|| }} Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Funktionen/Rational/Fakt |Nr= |SZ= }} sehen, dass auf der projektiven Geraden jede meromorphe Funktion rational ist. Generell besitzt auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche der Körper der meromorphen Funktionen eine algebraische Beschreibung, was für nichtkompakte riemannsche Flächen keineswegs gilt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bs0ijmfzn8iko0o8mlvv9hokblrgg60 0 123121 1092336 982857 2026-06-01T13:30:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092336 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Riemann-Roch|SZ=.}} Er stiftet eine vom Geschlecht abhängige Beziehung zwischen dem Grad eines Divisors bzw. einer invertierbaren Garbe auf einer kompakten riemannschen Fläche und den Dimensionen der nullten und der ersten Kohomologie der Garbe. Insbesondere erlaubt er, die Existenz von globalen Schnitten unter gewissen Gradbedingungen nachzuweisen. Wir verwenden die abkürzenden Schreibweisen {{ Relationskette/display | h^0(X , {{op:Garbe|F|}} ) || {{op:Vektorraumdimension|K= {{CC|}} | {{op:Schnitte |X| {{op:Garbe|F|}} }} }} || {{op:Vektorraumdimension|K= {{CC|}} | H^0 (X, {{op:Garbe|F|}} )}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | h^1(X , {{op:Garbe|F|}} ) || {{op:Vektorraumdimension|K= {{CC|}} | H^1 (X, {{op:Garbe|F|}} )}} || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Divisor/Riemann-Roch/Abschätzung für Schnitte/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Riemann-Roch für kompakte riemannsche Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ag85z7qzo847gpyw41yttkj8vd982hn 0 123124 1092512 983840 2026-06-01T13:59:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092512 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine meromorphe Funktion {{ Relationskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} auf einer riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=}} besitzt in jedem Punkt {{ Relationskette |x |\in|X || || || |SZ= }} eine wohldefinierte Ordnung, die durch eine ganze Zahl gegeben ist. In einer lokalen Beschreibung als Laurentreihe mit dem lokalen Parameter {{math|term= z |SZ=}} ist die Ordnung die ganze Zahl {{math|term= n |SZ=}} mit {{ Relationskette/display |f (z) || z^n \cdot h || || || |SZ= }} mit einer holomorphen nullstellenfreien Funktion {{math|term= h |SZ=.}} Bei positiven {{math|term= n |SZ=}} liegt in dem Punkt eine Nullstelle der Ordnung {{math|term= n |SZ=}} vor und im negativen Fall liegt eine Polstelle der Ordnung {{math|term= -n|SZ=}} vor. Dieses für die meromorphe Funktion charakteristische Null- und Polstellenverhalten fasst man in dem folgenden Konzept zusammen. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Hauptdivisor/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Rationale Funktion/Hauptdivisor/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/C/Identität/Hauptdivisor/Beispiel|| }} Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Nullstellen/Diskret/Fakt |Nr= |SZ= }} bzw. der Definition von meromorphen Funktionen ist die Menge der Punkte, in denen die Ordnung nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist, wo also eine Nullstelle oder ein Polstelle vorliegt, eine diskrete abgeschlossene Menge. Außerhalb dieser diskreten Menge ist die Funktion holomorph und invertierbar. Der Hauptdivisor ist also ein Divisor im Sinne der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Divisor/Definition|| }} Man spricht auch von einem {{Stichwort|Weildivisor|SZ=.}} Einen Divisor kann man also schreiben als {{ Relationskette/display | D || \sum_{x \in T} n_x x || || || |SZ= }} mit einer diskreten Teilmenge {{ Relationskette |T |\subseteq|X || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette |n_x |\neq|0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |x |\in|T || || || |SZ=. }} Man nennt {{math|term= T |SZ=}} dann den {{Stichwort|Träger|SZ=}} des Divisors. Für einen konkreten Divisor in {{math|term= {{CC}} |SZ=}} oder einer Teilmenge davon oder in {{math|term= {{op:Projektive Gerade|{{CC}}|}} |SZ=}} besteht eine Verwechslungsgefahr zwischen den ganzzahligen Vorfaktoren und den Bezeichnungen für die Punkte. Diese kann man umgehen, indem man beispielsweise {{mathl|term= 7 \cdot \{1\} -5 \cdot \{ 4\} +3 \cdot \{ \infty \} |SZ=}} schreibt. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Definition|| }} Die Theorie unterscheidet sich wesentlich danach, ob die riemannsche Fläche kompakt oder nichtkompakt ist. Der Träger des Divisors ist stets eine abgeschlossene diskrete Teilmenge, im kompakten Fall bedeutet dies aber bereits, dass diese Menge endlich ist. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Effektiver Divisor/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Divisor/Holomorph und effektiv/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Divisorengruppe/Gruppenhomomorphismus/Fakt|Lemma|| || }} Das Bild dieses Gruppenhomomorphismus ist die Gruppe der Hauptdivisoren, sie wird mit {{mathl|term= {{op:Hauptdivisorengruppe|X|}} |SZ=}} bezeichnet. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Divisoren/Linear äquivalent/Definition|| }} {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9ww66vwebbaqfoo6dv9el8ax4wd38ef 0 123183 1092528 983912 2026-06-01T14:02:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092528 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer holomorphen Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | X|Y || |SZ= }} und einen Punkt {{ Relationskette | y |\in| Y || || || |SZ= }} nennt man die Summe {{mathl|term= \sum_{ x \in \varphi^{-1}(y)} {{op:Verzweigungsordnung|x|y}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese endlich ist| |ISZ=|ESZ= }} die {{Stichwort|Gesamtordnung|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=}} über {{math|term= y |SZ=,}} man sagt, dass {{math|term= y |SZ=}} mit dieser Gesamtordnung angenommen wird. Speziell bei {{ Relationskette | Y || {{CC|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | P || 0 || || || |SZ= }} spricht man von der {{Stichwort|Gesamtnullstellenordnung|SZ=}} von {{math|term= \varphi |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Endlich/Faser mit Verzweigungsordnung/Fakt|Satz|| || }} Aufgrund von dieser Aussage nennt man, den Sprachgebrauch von Überlagerungen erweiterend, bei einer endlichen holomorphen Abbildung die konstante Anzahl {{ Zusatz/Klammer |text=wenn man die Verzweigungspunkte richtig zählt| |ISZ=|ESZ= }} der Elemente in der Faser die {{Stichwort|Blätterzahl|msw=Blätterzahl (endliche holomorphe Abbildung) |SZ=}} der Abbildung. Solche Abbildung werden manchmal auch {{Stichwort|verzweigte Überlagerungen|msw=Verzweigte Überlagerung|SZ=}} genannt. Die Begriffe {{Stichwort|Decktransformation|SZ=,}} {{Stichwort|Decktransformationsgruppe|SZ=}} und {{Stichwort|normal|SZ=}} verwenden wir auch in dieser allgemeineren Situation. {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Flächen/Holomorphe Abbildung/Grad/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Projektive Gerade/Holomorphe Abbildung/Grad/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} iv7mhpklnobf0xo59obj2174z84jdch 0 123200 1092513 1070166 2026-06-01T13:59:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092513 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Definition|| }} Zu einem einzelnen Punkt {{ Relationskette |y |\in|Y || || || |SZ=, }} aufgefasst als Divisor, ist der zurückgezogene Divisor gleich {{mathl|term= \sum_{ x \in \varphi^{-1} (y) } {{op:Verzweigungsordnung|x|y}} \cdot x |SZ=.}} Dies ist also im Wesentlichen die Faser über {{math|term= y |SZ=,}} wobei allerdings die {{Stichwort|Verzweigungspunkte|msw=Verzweigungspunkt|SZ=,}} also Punkte, wo die Verzweigungsordnung {{math|term= \geq 2 |SZ=}} ist, mehrfach gezählt werden. Der Rückzug ist ein Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung |name= | {{op:Divisorengruppe|Y|}} |{{op:Divisorengruppe|X|}} || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Riemannsche Fläche/Divisor/Rückzug/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Hauptdivisor/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Divisor/Rückzug/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung/Zurückgezogener Divisor/Divisorenklassengruppe/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l9jjnsp52i1qmnbtqi108utcunfknxm 0 123221 1092525 1019642 2026-06-01T14:01:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092525 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Definition|| }} Diese Definition ist so zu verstehen: Zu {{ Relationskette | (x,t) |\in| X \times {{CC}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | P(x,t) || t^n +a_{n-1}(x) t^{n-1} {{plusdots}} a_1(x) t +a_0(x) || || || |SZ=, }} es wird also {{ Relationskette |x |\in|X || || || |SZ= }} in die holomorphen Koeffizientenfunktionen eingesetzt und {{math|term= t |SZ=}} wird in die Variable des Polynoms eingesetzt. Das Nullstellengebilde besteht aus allen Punkten {{math|term= (x,t) |SZ=,}} für die diese Einsetzung {{math|term= 0 |SZ=}} ergibt. Das Nullstellengebilde wird mit der induzierten Topologie von {{math|term= X \times {{CC}} |SZ=}} versehen. Häufig wird das Polynom als irreduzibel vorausgesetzt. Im Fall, dass {{ Relationskette |X || {{CC|}} || || || |SZ= }} oder eine offene Menge davon ist und dass die {{math|term= a_i |SZ=}} selbst Polynome in {{math|term= x |SZ=}} sind, ist {{math|term= P |SZ=}} ein Polynom in zwei Variablen über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und es wird das Paar {{mathl|term= (x,t) |SZ=}} in die beiden Variablen eingesetzt. Das einfachste nichttriviale Beispiel ist durch das quadratische Polynom {{math|term= T^2-z |SZ=}} gegeben, wobei {{math|term= z |SZ=}} die Variable auf {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} bezeichnet. Für die Situation, wo statt {{math|term= z |SZ=}} ein Polynom in {{math|term= z |SZ=}} als konstanter Koeffizient des quadratischen Polynoms auftritt, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Riemannsche Fläche/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Ohne die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Nullstellengebilde/Einfache Eigenschaften/Fakt |Nr=4 |SZ= }} formulierte Bedingung der Irreduzibilität an das Polynom kann das glatte Nullstellengebilde leer sein. Die Irreduzibilität bzw. die schwächere Bedingung, dass {{math|term= P |SZ=}} und {{math|term= P' |SZ=}} keinen gemeinsamen nichtkonstanten Faktor besitzen, ist also häufig nötig, damit die Aussagen sich nicht auf die leere Menge beziehen {{ Zusatz/Klammer |text=die wir als riemannsche Fläche gelten lassen| |ISZ=|ESZ=. }} In {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe algebraische Gleichung/Irreduzibel/Zusammenhängend/Fakt |Nr= |SZ= }} wird gezeigt, dass für ein irreduzibles Polynom über einer zusammenhängenden riemannschen Fläche das Nullstellengebilde ebenfalls zusammenhängend ist. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Definition|| }} {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Definition|| }} Dabei ist {{ Relationskette | P' || {{op:Partielle Ableitung|P|T}} || || || |SZ= }} die formale Ableitung nach {{math|term= T |SZ=.}} Ein Punkt {{mathl|term= (x,t) |SZ=}} des Nullstellengebildes, der nicht die Glattheitsbedingung aus der Definition erfüllt, heißt {{Stichwort|singulärer Punkt|SZ=}} oder {{Stichwort|Singularität|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Holomorphe zweite Projektion/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Glattes und unverzweigtes Nullstellengebilde/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Holomorphe zweite Projektion/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Potenzierung/Nullstellengebilde/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Achsenkreuz/Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Neilsche Parabel/Nullstellengebilde/Riemannsche Fläche/Beispiel|| }} Wir werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ= }} sehen, dass man das glatte Nullstellengebilde über die singulären Punkte des Nullstellengebildes hinaus zu einer größeren riemannschen Fläche mit einer surjektiven endlichen holomorphen Abbildung nach {{math|term= X |SZ=}} erweitern kann. Im Beispiel der Neilschen Parabel wird dies durch die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}}| V |u|(u^2,u^3) {{=|}} (z,t) |SZ=, }} geleistet, die bijektiv ist und auf dem glatten Ort biholomorph. Im Beispiel des Achsenkreuzes wird es durch die disjunkte Vereinigung von zwei komplexen Geraden geleistet, die auf die beiden Achsen abbilden und sich im Ursprung vereinigen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Nullstellengebilde über einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fg4ovc3g0elp1x1mungnmbvgoim3z81 0 123255 1092514 983856 2026-06-01T13:59:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092514 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |riemannsche Fläche| |SZ=. }} Die Zuordnung, die jeder offenen Menge {{ Relationskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} den Ring {{mathl|term= {{op:SchnittringX|U|}} |SZ=}} der auf {{math|term= U |SZ=}} definierten {{ Definitionslink |holomorphen Funktionen| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} zuordnet, ist eine {{ Definitionslink |Garbe| |SZ= }} von kommutativen Ringen. Die entsprechenden Eigenschaften wurden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktion/Ringstruktur/Garbeneigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }} nachgewiesen. Ebenso ist die Zuordnung {{mathl|term= U \mapsto {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|M|}} }} |SZ=,}} die einer offenen Menge die auf ihr definierten meromorphen Funktionen zuordnet, eine Garbe. Dabei liegt eine Untergarbenbeziehung {{ Relationskette | {{op:Strukturgarbe|X|}} |\subseteq| {{op:Garbe|M|}} || || || |SZ= }} vor. Die Halme der Garbe der holomorphen Funktionen {{math|term= {{op:Strukturgarbe|}}_{X,x} |SZ=}} sind für alle Punkte isomorph, und zwar isomorph zum Ring des Halmes der holomorphen Funktionen {{math|term= {{op:Strukturgarbe|}}_{ {{CC|}} ,0} |SZ=.}} Dies ist der Ring der konvergenten Potenzreihen in einer komplexen Variablen, wobei sich Konvergenz auf einen positiven Konvergenzradius bezieht, der von der Potenzreihe abhängt. Ein Element eines solchen Halmes nennt man {{Stichwort|holomorpher Funktionskeim|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kr85px5nb350g7b1zvjgmmmoy236yjk 0 123257 1092510 826255 2026-06-01T13:59:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092510 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Hausdorff/Fakt|Lemma|| || }} Auf dem Ausbreitungsraum {{math|term= E |SZ=}} zu einer riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=}} gibt es eine natürliche global definierte Funktion {{ Abbildung/display |name= |E| {{CC|}} || |SZ=, }} die einem holomorphen Funktionskeim {{mathl|term= (x,f) |SZ=}} den wohldefinierten Wert {{math|term= f(x) |SZ=}} zuordnet. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Ausbreitungsraum/Riemannsche Fläche/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Ausbreitungsraumes zur Strukturgarbe auf einer riemannschen Fläche‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} budpc8z9a7jj1czqbvejylh8bxxuw4z 0 123313 1092608 984288 2026-06-01T14:14:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092608 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum über C/Antilinear/Definition|| }} Die Antilinearität von {{math|term= \varphi |SZ=}} kann man auch so ausdrücken, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} reell-linear ist und dass {{ Relationskette | \varphi ( {{imaginäre Einheit|}} v) || - {{imaginäre Einheit|}} \varphi(v) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | v |\in| V || || || |SZ= }} gilt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Semilinear/R-linear/Skalar i/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt|Lemma|| || }} In der obigen Aussage nennt man {{math|term= \psi |SZ=}} den {{math|term= \Complex |SZ=-}}{{Stichwort|linearen Anteil|msw=linearer Anteil |SZ=}} von {{math|term= \varphi |SZ=}} und {{math|term= \theta |SZ=}} den {{math|term= \Complex |SZ=-}}{{Stichwort|antilinearen Anteil|msw=Antilinearer Anteil |SZ=}} von {{math|term= \varphi |SZ=.}} Insbesondere ist eine reell-lineare Abbildung genau dann {{math|term= \Complex |SZ=-}}linear, wenn ihr antilinearer Anteil gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. {{ inputbemerkung |Komplex und reell-linear/Antilinear/C/Matrizen/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der antilinearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} leba1spuzx2bmyby5e3m9wbrmw57gzu 0 123423 1092345 982899 2026-06-01T13:31:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092345 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer holomorphen Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | G | {{CC|}}^n || |SZ= }} mit {{ Relationskette | G |\subseteq| {{CC|}}^m || || || |SZ= }} offen ist zu einem Punkt {{ Relationskette | P |\in| G || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=K| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} | {{CC|}}^m | {{CC|}}^n || |SZ= }} die lineare Approximation der Abbildung in dem Punkt. Auf einer komplexen Mannigfaltigkeit kann man ebenfalls eine holomorphe Abbildung durch eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialräumen approximieren. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Mannigfaltigkeiten/Holomorphe Abbildung/Tangential äquivalent/Fakt|Lemma|| || }} Aufgrund dieses Lemmas ist der folgende Begriff wohldefiniert. {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeiten/Tangentialabbildung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Tangentialabbildung/C/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Tangentialraumes einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3gmi701dmnp4cwe6d8mihdtobc565mw 0 123567 1092346 982904 2026-06-01T13:31:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092346 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer {{ Definitionslink |holomorphen Funktion| |Kontext=Mfkt| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f |M| {{CC|}} || |SZ= }} auf einer {{ Definitionslink |komplexen Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} und einem Punkt {{ Relationskette | P |\in| M || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Tangentialabbildung| |Kontext=komplexe Mannigfaltigkeit| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=T_Pf | T_PM| T_P {{CC}} \cong {{CC}} || |SZ= }} eine nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Tangentialabbildung/C/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} komplex-lineare Abbildung, wobei die hintere Identifizierung unmittelbar gegeben ist {{ Zusatz/Klammer |text=siehe etwa {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialklassen und C^n unter Karte/Fakt |Nr= |SZ= }} für die identische Karte | |ISZ=|ESZ=. }} Somit kann man {{math|term= T_Pf |SZ=}} als ein Element des {{ Definitionslink |Dualraumes| |Kontext=| |SZ= }} zum Tangentialraum in {{math|term= P |SZ=}} auffassen. Wenn {{ Relationskette | M |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} eine offene Teilmenge ist, so ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Tangentialabbildung/C/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |SZ= }} die Tangentialabbildung im Punkt {{math|term= P |SZ=}} einfach das totale Differential. Daher werden wir im Folgenden auch {{math|term= (df)_P |SZ=}} statt {{math|term= T_Pf |SZ=}} schreiben. {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorpher Kotangentialraum/Definition|| }} {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeiten/Kotangentialabbildung/Definition|| }} Ausgeschrieben handelt es sich dabei um die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |T^*_QN|T^*_PM |h|( [\gamma] \mapsto h([\varphi \circ \gamma])) |SZ=. }} Wie die Tangentialräume zum Tangentialbündel zusammengefasst werden, so werden auch die Kotangentialräume zum Kotangentialbündel zusammengefasst. {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeit/Kotangentialbündel/Definition|| }} Das Kotangentialbündel ist selbst eine komplexe Mannigfaltigkeit der doppelten Dimension. Bei {{ Relationskette/display | M |\cong| V |\subseteq| {{CC|}}^n || || |SZ= }} ist das Kotangentialbündel biholomorph zu {{mathl|term= V \times {{CC|}}^n |SZ=}} und damit in diesem Fall auch biholomorph zum Tangetialbündel. Als globales Objekt über einer komplexen Mannigfaltigkeit muss man aber stets zwischen Tangentialbündel und Kotangentialbündel unterscheiden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Kotangentialraumes einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie2=Theorie des Kotangentialbündels einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9msk6sufgkd78l3m76ufxc2szzjacd6 0 123683 1092097 980408 2026-06-01T12:51:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092097 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräume| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} offen und {{ Abbildung |name=\varphi |G|W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=total| |SZ=. }} Der Differentiationsprozess ordnet jedem Punkt {{ Relationskette |P |\in|G || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name={{op:Totales Differential|\varphi|P}} | V |W |v| {{op:Totales Differential|\varphi|P|v}} |SZ= }} zu. Insgesamt liegt also eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=D \varphi |G| {{op:Homomorphismen|V|W|Ring= {{KRC|}} }} || |SZ= }} vor, das ein neuartiges Objekt darstellt. Dies ist ein grundlegender Unterschied zur eindimensionalen Situation, wo die Ableitung einer Funktion wieder eine Funktion ist. Dieses neuartige Objekt erfassen wir mit einer neuen Definition. {{ inputdefinition |1-Form/K/Vektorräume/Definition|| }} Man spricht auch von einer {{Stichwort|Pfaffschen Form|msw=Pfaffsche Form|SZ=.}} Ein totales Differential, aufgefasst als eine Abbildung, die den Punkten der Definitionsmenge eine lineare Abbildung zwischen den umgebenden Vektorräumen zuordnet, ist also eine solche {{math|term= 1 |SZ=-}}Form. Der Homomorphismenraum ist dabei selbst ein Vektorraum über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=,}} seine Dimension ist das Produkt der beiden Vektorraumdimensionen. Deshalb lassen sich auf eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Form Konzepte wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit u.s.w anwenden. {{ inputbemerkung |1-Form/K/Vektorräume/Stammform/Probleme/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der 1-Formen in einem endlichdimensionalen Vektorraum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nqz9m4509tfv1t2zqompos03b00fzos 0 123719 1092156 1018749 2026-06-01T13:01:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092156 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Bernoulli-Zahlen/Exponentiell erzeugende Funktion/Definition|| }} Die Funktion {{mathl|term= e^z -1 |SZ=}} besitzt im Nullpunkt eine einfache Nullstelle, deshalb ist {{mathl|term= {{op:Bruch|e^z-1|z}} |SZ=}} nullstellenfrei im Nullpunkt und daher besitzt die inverse Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|z|e^z-1}} |SZ=}} eine Potenzreihenentwicklung im Nullpunkt. Diese ist die {{ Definitionslink |exponentiell erzeugende Funktion| |Kontext=| |SZ= }} für die Bernoulli-Zahlen. {{ inputfaktbeweis |Bernoulli-Zahlen/Summe mit Binomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| || }} Die ersten Bernoulli-Zahlen sind {{Wertetabelle7|B_0 |B_1 |B_2 |B_4|B_6|B_8|B_{10} |1|- {{op:Bruch|1|2}} |{{op:Bruch|1|6}}|-{{op:Bruch|1|30}}|{{op:Bruch|1|42}}|-{{op:Bruch|1|30}}|{{op:Bruch|5|66}}||}} Es ist {{ Relationskette/align | {{op:cot|z|}} || {{op:Bruch| {{op:cos|z|}} | {{op:sin|z|}} }} || {{Imaginäre Einheit|}} \cdot {{op:Bruch| e^{ {{Imaginäre Einheit|}} z} + e^{-{{Imaginäre Einheit|}} z} | e^{ {{Imaginäre Einheit|}} z}- e^{-{{Imaginäre Einheit|}} z} }} || {{Imaginäre Einheit|}} \cdot {{op:Bruch| e^{ 2 {{Imaginäre Einheit|}} z} + 1 | e^{2 {{Imaginäre Einheit|}} z} - 1 }} || {{Imaginäre Einheit|}} - 2 {{Imaginäre Einheit|}} {{op:Bruch| 1 | e^{2 {{Imaginäre Einheit|}} z} - 1}} || {{Imaginäre Einheit|}} + z^{-1} \beta(2 {{Imaginäre Einheit|}} z ) |SZ=, }} wobei wir {{ Relationskette |\beta(z) || {{op:Bruch|z|e^z-1}} || || || |SZ= }} gesetzt haben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Bernoulli-Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 16zyjgleqfa89jvp9scdtuhem81ndlf 0 123885 1092631 1077234 2026-06-01T14:18:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092631 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zwischen den ganzen Zahlen einerseits und den Polynomringen über einem Körper andererseits bestehen folgende Analogien, die wir hier schon mal festhalten und die wir im Laufe des Kurses vertiefen werden. Dabei haben diese Phänomene im funktionentheoretischen Kontext eine zumeist naheliegende Bedeutung, während sie im zahlentheoretischen Kontext erst erschlossen werden müssen. Dieser Prozess erlaubt es, eine geometrische Sprache in die Zahlentheorie einzuführen, die zu Beginn etwas gewöhnungsbedürftig ist, aber bald eine gute intuitive Unterstützung für das Verständnis der Zahlentheorie gibt. Wir erwähnen die folgenden Punkte, die wir hier nur kurz funktionentheoretisch erläutern. Mit der passenden Begrifflichkeit werden aus Analogien dann gemeinsame Konzepte. Analogien {{ Aufzählung14 |Man kann die gleichen algebraischen Konzepte anwenden. |Hauptidealbereich. |Punktkonzept. Restekörper. |Funktion. Nullstelle. |Rationale Funktionen. Polstelle. |Quotientenkörper. |Bilder und Urbilder. |Lokale und globale Eigenschaften. |Erweiterungen der Quotientenkörper. Ganzheit. |Gruppenoperation. |Zerlegung. |Verzweigung. |Singularitäten. |Projektiver Abschluss. }} Unterschiede {{ Aufzählung4 |Nichtidentische Ringhomomorphismen von {{math|term= K[T] |SZ=}} in sich. |Endlichkeit der Restekörper bei {{math|term= \Z |SZ=.}} Dies gilt für {{math|term= K[X] |SZ=}} auch, wenn {{math|term= K |SZ=}} ein endlicher Körper ist. Diese {{Anführung|Enge}} erzwingt häufig zusätzliche Gesetzmä{{drucktrenn}}ßigkeiten. |Analytische Methoden bei {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | K || {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Topologische Methoden bei {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | K || {{CC|}} || || || |SZ=. }} }} Einige Kommentare {{ inputbild |Polynomialdeg4|svg|150px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Ein Polynom hat an jedem Punkt {{ Relationskette | a |\in| K || || || |SZ= }} einen Wert, eine besondere Rolle spielen die Nullstellen. Die Nullstellen können, wie bei {{math|term= x^2 |SZ=,}} eine größere Vielfachheit haben, und dies ist dann der Fall, wenn auch noch die Ableitung eine Nullstelle an dieser Stelle besitzt. Es gibt stets, außer beim Nullpolynom, nur endlich viele Nullstellen. Auch sonst wird jeder Wert, außer bei konstanten Polynomen, nur endlich oft angenommen. Über den komplexen Zahlen ist jedes nichtkonstante Polynom surjektiv. {{ inputbild |Function-1 x|svg| 150px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Function-1_x |Text=Die rationale Funktion {{math|term= 1/x|SZ=}} besitzt an der Stelle {{math|term= 0 |SZ=}} einen Pol. |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} Aus Polynomen kann man durch Division auch rationale Funktionen bilden, beispielsweise {{math|term= 1/x|SZ=,}} diese sind nicht überall definiert und haben an endlich vielen Stellen, nämlich den Nullstellen des Nenners, Pole. Die Menge {{mathl|term= K(X) |SZ=}} der rationalen Funktionen bildet wie die Menge {{math|term= \Q |SZ=}} der rationalen Zahlen einen Körper. So wie man endliche Erweiterungen {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | \Z[\sqrt{7}] || \Z[T]/ {{makl| T^2-7 |}} || || |SZ= }} betrachten kann, kann man auch Erweiterungen wie {{ Relationskette/display | K[Y] |\subseteq| K[Y] [X]/ {{makl| X^2- Y^3+5Y-4 |}} || || || |SZ= }} betrachten, dabei wird beispielsweise einem Polynom, hier {{mathl|term= Y^3-5Y+4 |SZ=,}} eine algebraische Quadratwurzel verpasst. Es wird also eine algebraische Funktion {{mathl|term= \sqrt{y^3-5y+4} |SZ=}} adjungiert. Eine Besonderheit tritt auf, wenn man aus der Variablen {{math|term= Y |SZ=}} selbst die Quadratwurzel zieht. Dann ist nämlich {{ Relationskette/display | K[Y] [X]/ {{makl| X^2 - Y |}} |\cong| K[X] || || || |SZ=, }} da man ja {{math|term= Y |SZ=}} als Polynom in {{math|term= X |SZ=}} ausdrücken kann. In diesem Fall ist also der algebraisch definierte Erweiterungsring selbst wieder isomorph zum Polynomring selbst! Jedes Polynom {{mathl|term= P(X) |SZ=}} in einer Variablen kann man in diesem Sinne als Ringerweiterung {{ Relationskette/display | K[Y] |\subseteq| K[Y,X]/(Y- P(X)) |\cong| K[X] || || |SZ= }} interpretieren. Das Polynom {{math|term= P |SZ=}} definiert in diesem Sinne einen Ringhomomorphismus von {{math|term= K[Y] |SZ=}} nach {{math|term= K[X] |SZ=.}} Ferner ist die Menge {{ Relationskette/display | V(Y-P(X)) || {{Mengebed| (x,y) \in K^2 | y {{=|}} P(x) }} || || || |SZ= }} der Graph des Polynoms {{math|term= P |SZ=.}} Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | K | K | x | P(x) |SZ=, }} kann man darin auch so auffassen, dass zuerst eine Bijektion zwischen {{math|term= K |SZ=}} und dem Graphen gemacht wird und dann der Graph auf die vertikale Achse projiziert wird. Bei dieser Interpretation sieht man besonders schön, welche Punkte auf einen bestimmten Punkt {{math|term= b |SZ=}} abgebildet werden, nämlich die Schnittpunkte des Graphen mit der durch {{math|term= b |SZ=}} verlaufenden horizontalen Geraden. Es ist im Hinblick auf die zahlentheoretische Interpretation üblich, das Bild an der Hauptdiagonalen zu spiegeln, damit der Graph oberhalb der Zielgeraden liegt und die Punkte quasi herunterfallen. Das Urbild von {{math|term= b |SZ=}} besteht bei dieser Veranschaulichung aus den Punkten, die oberhalb von {{math|term= b |SZ=}} liegen, und man interessiert sich insbesondere dafür, wie diese Fasern mit {{math|term= b |SZ=}} variieren. Bei einfachen Beispielen wie {{ Relationskette | P(x) || x^2 || || || |SZ= }} fällt direkt ein regelmäßiges Zerlegungsverhalten der Fasern auf. Für reelles {{math|term= b |SZ=}} besteht bei {{math|term= b |SZ=}} positiv die Faser aus {{mathl|term= \{\sqrt{b},-\sqrt{b} \} |SZ=,}} bei {{ Relationskette | b || 0 || || || |SZ= }} nur aus dem Nullpunkt und bei {{math|term= b |SZ=}} negativ ist die Faser leer. Im Komplexen besteht die Faser für {{ Relationskette | b | \neq | 0 || || || |SZ= }} stets aus zwei Punkten. Die Einzigkeit der {{math|term= 0 |SZ=}} über der {{math|term= 0 |SZ=}} wird in einem gewissen Sinne dadurch {{Anführung|aufgefangen|SZ=,}} dass dort auch die Ableitung gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist, dort fallen die beiden Urbilder zusammen, es liegt {{Anführung|Verzweigung}} vor. Ein vergleichbares Verhalten zeigt sich bei der Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z |\subseteq| \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] || || || |SZ=, }} wenn man betrachtet, was dort mit den Primzahlen passiert. Für eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} mit dem Rest {{math|term= 1 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} gibt es dort {{{zusatz1|}}} eine Faktorzerlegung {{ Relationskette/display |p || x^2+ {{imaginäre Einheit|}} y^2 || {{makl|x+ {{imaginäre Einheit|}} y|}} {{makl| x- {{imaginäre Einheit|}} y|}} || || |SZ= }} in zwei neue Primelemente, eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} mit dem Rest {{math|term= 3 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} bleibt eine Primzahl, wobei der Restklassenkörper aber {{math|term= p^2 |SZ=}} viele Elemente besitzt, und für {{ Relationskette |p ||2 || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display |2 || - {{imaginäre Einheit|}} {{makl| 1+ {{imaginäre Einheit|}} |}}^2 || || || |SZ=, }} was dem Verzweigungsverhalten entspricht. {{ inputbild |Cusp|svg| 150px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Ein weiteres Phänomen tritt auf, wenn man Erweiterungen der Form {{ Relationskette/display | K[Y] |\subseteq| K[Y][X]/ {{makl| X^2-Y^3 |}} || || || |SZ= }} betrachtet, die zugehörige Kurve {{ Relationskette/display | V {{makl| X^2-Y^3 |}} || {{Mengebed| (x,y) | x^2 {{=|}} y^3 }} || || || |SZ= }} besitzt eine Singularität im Punkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=,}} was bei dem Graphen eines Polynoms nicht vorkommen kann. Zahlentheoretisch treten bei Erweiterungen wie {{ Relationskette |\Z |\subseteq| \Z[X]/ {{makl| X^2-27 |}} || || || |SZ=, }} also der Adjunktion von {{math|term= \sqrt{27} |SZ=,}} ähnliche Phänomene auf.{{{zusatz2|}}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der diskreten Bewertungsringe |Kategorie2=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über C |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pv16whx8byvdymn10xgt4uduyudy6vm 0 123965 1092123 981080 2026-06-01T12:56:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092123 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition|}} {{inputnotation|Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/A_D/Notation|}} Eine quadratische Körpererweiterung der rationalen Zahlen wird durch ein normiertes irreduzibles Polynom beschrieben, das man durch quadratisches Ergänzen auf die Form {{mathl|term= X^2-q|SZ=}} bringen kann. Durch Multiplikation mit einem Quadrat {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratrestgruppe (Q)/Ganzzahliger Vertreter/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} kann man {{math|term= q |SZ=}} durch eine quadratfreie ganze Zahl ersetzen. Die quadratische Körpererweiterung kann man also als {{ Relationskette |\Q | \subseteq| \Q[ \sqrt{D}] || || || |SZ= }} mit einer quadratfreien Zahl {{ Relationskette |D |\neq|0,1 || || || |SZ= }} ansetzen. Ein großer Unterschied besteht je nachdem, ob {{math|term= D |SZ=}} positiv oder negativ ist. Im positiven Fall ist {{math|term= \sqrt{D} |SZ=}} eine reelle irrationale Zahl, im negativen Fall handelt es sich um eine imaginäre Zahl. Man definiert: {{inputdefinition|Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition|}} {{inputdefinition|Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition|}} Wir bezeichnen die Konjugation von {{math|term= z |SZ=}} mit {{math|term= \bar{z} |SZ=.}} {{inputbemerkung|Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Bemerkung|}} {{inputbemerkung|Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm und Spur/spezialisiert/Bemerkung|}} {{inputfaktbeweis|Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ganz, wenn Spur und Norm ganz ist/Fakt|Lemma|||}} Wir kommen zur expliziten Beschreibung eines quadratischen Zahlbereiches. {{inputfaktbeweis|Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt|Satz||}} In den im vorstehenden Satz beschriebenen Fällen kann man jeweils den Ring der ganzen Zahlen durch eine Variable und eine Gleichung beschreiben. Für {{ Relationskette |D ||2,3 \mod 4 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |A_D | \cong| \Z[ \sqrt{D} ] |\cong| \Z[X]/(X^2-D) || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette |D ||1 \mod 4 || || || |SZ= }} setzt man häufig {{ Relationskette | \omega || \frac{1+\sqrt{D} }{2} || || || |SZ= }} für den Algebra-Erzeuger. Dieser Erzeuger erfüllt die Gleichung {{ Relationskette | \omega ^2 - \omega - \frac{D-1}{4} || 0 || || || |SZ=. }} Wir haben also {{ Relationskette/display |A_D |\cong| {\Z}[\omega]/ {{makl| \omega^2- \omega - \frac{D-1}{4} |}} || || || |SZ=. }} Wir werden häufiger in beiden Fällen diese Ganzheitsbasis {{mathl|term= 1, \omega|SZ=}} nennen, mit {{ Relationskette | \omega || \sqrt{D} || || || |SZ= }} im ersten Fall und {{ Relationskette/display | \omega || {{op:Bruch|1 + \sqrt{D}|2}} || || || |SZ= }} im zweiten Fall. {{inputfaktbeweis|Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Diskriminante/Fakt|Lemma|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} h1wdhr7uiwm9g4d9a8xlkttag8rxtq0 0 124043 1092280 1076377 2026-06-01T13:20:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092280 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine besondere Herausforderung innerhalb der Zahlentheorie sind diophantische Gleichungen. {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Diophantische Gleichung/Definition|| }} Die Pellsche Gleichung haben wir schon erwähnt, bei linearen diophantischen Gleichungen ist das Lösungsverhalten einfach zu verstehen, die Gleichung {{ Relationskette/display | x^2+y^2 || z^2 || || || |SZ= }} ist die Frage nach {{Stichwort|Pythagoreischen Tripeln|msw= Pythagoreisches Tripel|SZ=,}} was ebenfalls gut verstanden ist. Eine wesentliche Frage bei diophantischen Gleichungen ist, ob es überhaupt, eventuell abgesehen von trivialen Lösungen, ganzzahlige Lösungen gibt. Ein weiteres wichtiges Problem ist, ob es endlich viele oder unendlich viele ganzzahlige Lösungen gibt. Ein großes zahlentheoretisches Problem, das erst 1995 gelöst wurde, ist das Problem von Fermat, ob die Gleichung {{ Relationskette/display | x^n+y^n || z^n || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | n | \geq | 3 || || || |SZ= }} nichttriviale ganzzahlige Lösungen {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} besitzt, in denen alle Einträge nicht {{math|term= 0 |SZ=}} sind. {{ inputbild |Andrew wiles1-3|jpg| 180px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Andrew_wiles1-3 |Text=[[w:Andrew Wiles|Andrew Wiles (*1953)]] |Autor=C. J. Mozzochi, Princeton N.J |Benutzer=Nyks |Domäne= |Lizenz=freie Verwendung, copyright C. J. Mozzochi, Princeton N.J. |Bemerkung=http://www.mozzochi.org/deligne60/Deligne1/_DSC0024.jpg }} {{inputfaktbeweisverweis|Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt|Satz|}} Der Beweis für diesen Satz verwendet die reichhaltige Theorie der elliptischen Kurven. Vor diesem Beweis wurden die besten Resultate zu diesem Problem mit Methoden der algebraischen Zahlentheorie erzielt, und zwar konnten sehr viele Exponenten erledigt werden. Die Grundidee geht folgendermaßen: Die Fermat-Gleichung erhält einen neuartigen Charakter, wenn man sie in dem Ring betrachten, der aus {{math|term= \Z |SZ=}} entsteht, wenn man eine {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel {{math|term= \zeta|SZ=}} hinzunimmt. Das ist eine Zahl, deren {{math|term= n |SZ=-}}te Potenz {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Solche Einheitswurzeln gibt es innerhalb der komplexen Zahlen, beispielsweise ist {{mathl|term= e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}}/n } |SZ=}} eine primitive {{math|term= n |SZ=-}}te Einheitswurzel. Wichtig sind hier aber allein die algebraischen Eigenschaften. Jedenfalls kann man die etwas umgeschriebene Fermatgleichung {{ Relationskette/display | x^n-z^n || - y^n || || || |SZ= }} unter Verwendung einer primitiven Einheitswurzel als {{ Relationskette/display | x^n-z^n || {{makl| x-z |}} {{makl| x- \zeta z |}} \cdots {{makl| x- \zeta^{n-1} z |}} || -y^n || || |SZ= }} schreiben. Somit hat man zwei ziemlich verschiedene Faktorzerlegungen einer Zahl. Wenn man jetzt noch weiß, dass in diesem neuen Ring die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt, so kann man {{ Zusatz/Klammer |text=das sind dann immer noch mehrere Schritte| |ISZ=|ESZ= }} daraus einen Widerspruch ableiten. An dieser Stelle gibt es eine schlechte und eine gute Nachricht: Diese Ringe besitzen häufig nicht die eindeutige Primfaktorzerlegung, das angedeutete Argument funktioniert aber auch dann noch, wenn man weiß, dass die sogenannte Klassengruppe des Ringes eine gewisse Eigenschaft erfüllt, die deutlich schwächer als die eindeutige Primfaktorzerlegung ist. Für {{ Relationskette | n || 4 || || || |SZ= }} ist die imaginäre Einheit {{math|term= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=}} eine vierte primitive Einheitswurzel {{ Zusatz/Klammer |text=wegen {{ Relationskette/k | {{Imaginäre Einheit|}}^4 || 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} in diesem Fall gilt {{ Relationskette/display | y^4-z^4 || (x-z)(x- {{Imaginäre Einheit|}} z) (x+ z)(x + {{Imaginäre Einheit|}} z) || -y^4 || || |SZ= }} und man kann die Situation im Ring der Gaußschen Zahlen {{math|term= \Z[{{Imaginäre Einheit|}}] |SZ=}} analysieren. {{ inputbeispiel |Eulersche Vermutung/Gegenbeispiele/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der diophantischen Fermat-Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 47072tgbcu07jq6u6l4c91snuga9adm 0 124045 1092454 1076375 2026-06-01T13:49:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092454 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In den ganzen Zahlen {{math|term= \Z|SZ=}} gilt die eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. jede ganze Zahl {{ Relationskette |n |\neq|0 || || || |SZ= }} lässt sich als ein {{ Zusatz/Klammer |text=bei einer negativen Zahl braucht man noch das Vorzeichen {{math|term= -1 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} Produkt von {{ Zusatz/Klammer |text=positiven| |ISZ=|ESZ= }} Primzahlen schreiben, wobei die Anzahl der auftretenden Primzahlen, die Primfaktoren, eindeutig bestimmt ist. Beispielsweise ist {{ Relationskette/display |175 || 5 \cdot 5 \cdot 7 || 5 \cdot 7 \cdot 5 || 5^2 \cdot 7 || |SZ=. }} Für eine Primzahl ist diese Faktorzerlegung einfach die Zahl selbst. In einem größeren Ring, beispielsweise einem Körper, ergeben sich neue Darstellungsmöglichkeiten. Es ist in {{math|term= \R|SZ=}} {{ Relationskette/display |7 || {{op:Bruch|7|5}} \cdot 5 || 7 \cdot 5^{-1} \cdot 5 || 7 \cdot \pi^{-1} \pi || |SZ=. }} Das sind natürlich Uneindeutigkeiten, die sich einfach daraus ergeben, dass es Elemente gibt, die ein Inverses besitzen. Wenn man an {{ Relationskette | 7 || (-1) (-7) || || || |SZ= }} denkt, gibt es dieses Phänomen schon in {{math|term= \Z |SZ=.}} Wir halten kurz die folgende Definition fest. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition|| }} In {{math|term= \Z |SZ=}} sind nur {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= -1 |SZ= }} Einheiten, der Einfluss auf die Teilbarkeitstheorie ist daher sehr überschaubar. Ein kommutativer Ring ist genau dann ein Körper, wenn in ihm jedes von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Element eine Einheit ist {{ Zusatz/Klammer |text=der Nullring ist kein Körper, da in ihm sogar die {{math|term= 0 |SZ=}} eine Einheit ist| |ISZ=|ESZ=. }} Deshalb gibt es in einem Körper keine aussagekräftige Teilbarkeitstheorie. Ein anderes Phänomen sind die Faktorzerlegungen {{ Relationskette/display |7 || \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} || \sqrt[3] {7} \cdot \sqrt[3] {7} \cdot \sqrt[3]{7} ||\sqrt[4] {7} \cdot \sqrt[4] {7} \cdot \sqrt[4]{7} \cdot \sqrt[4]{7} || |SZ=. }} In diesem Sinne kann man beliebig weitermachen, es gibt dann für die Zahl {{math|term= 7 |SZ=}} beliebig lange zunehmend feinere Zerlegungen - aber keine Primfaktorzerlegung. Betrachten wir genauer die Zerlegung {{ Relationskette/display |7 || \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} || |SZ=. }} Diese hat nichts mit Einheiten zu tun, sondern allein mit der Existenz der Quadratwurzel {{ Zusatz/Klammer |text=oder in den weiteren Fällen mit der Existenz der dritten oder vierten Wurzel| |ISZ=|ESZ= }} der {{math|term= 7 |SZ=.}} Um eine solche Faktorzerlegung hinzuschreiben, braucht man nicht die vollen reellen Zahlen, sondern eben nur diese Wurzeln. Um die erste Gleichung ausdrücken zu können, braucht man nur das neue Element {{mathl|term= \sqrt{7} |SZ=}} mit der charakteristischen Eigenschaft, dass das Produkt mit sich selbst gleich {{math|term= 7 |SZ=}} ist. Doch allein diese Hinzunahme, also die Mengen {{math|term= \N \cup \{ \sqrt{7} \} |SZ=}} bzw. {{math|term= \Z \cup \{ \pm \sqrt{7} \} |SZ=}} liefert keine sinnvolle algebraische Struktur, da darin weder die Multiplikation {{mathl|term= 4 \cdot \sqrt{7} |SZ=}} noch die Addition {{mathl|term= 4 + \sqrt{7} |SZ=}} definiert ist. Da verliert man also viel zu viel. Man möchte {{Anführung|nur}} die Quadratwurzel aus {{math|term= 7 |SZ=}} hinzutun, aber gleichzeitig sinnvolle algebraische Strukturen erhalten. Mit {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}} muss dann auch beispielsweise {{mathl|term= 13-22 \sqrt{7} |SZ=}} drin sein. Zahlen von dieser Form sind offenbar additiv abgeschlossen. Sie sind aber auch multiplikativ abgeschlossen, es gilt ja {{ Relationskette/display | {{makl| a+ b \sqrt{7} |}} {{makl| c+ d \sqrt{7} |}} || {{makl| ac+ 7bd |}} + {{makl|ad+bc |}} \sqrt{7} || || || |SZ= }} für beliebige {{ Relationskette | a,b,c,d |\in| \Z || || || |SZ=. }} Diese Zahlen bilden also wieder einen kommutativen Ring, und zwar kann man ihn als Unterring der reellen Zahlen realisieren, weshalb die Assoziativität der Verknüpfungen direkt erfüllt ist. Wir haben also eine Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z |\subseteq| \Z[\sqrt{7}] || \Z + \Z \sqrt{7} || {{Mengebed| a+b \sqrt{7}| a,b \in \Z }} |{{defeqr}}| R |SZ=, }} wobei die ganzen Zahlen den Summen {{mathl|term= a+b \sqrt{7} |SZ=}} mit {{ Relationskette | b || 0 || || || |SZ= }} entsprechen. Die Addition in {{math|term= R |SZ=}} ist komponentenweise und die Multiplikation ist wie in {{math|term= \R |SZ=}} bzw. explizit wie oben bzw. distributiv unter Verwendung der einzigen relevanten Regel {{ Relationskette/display | \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} || 7 || || || |SZ= }} erklärt. Die Darstellung {{mathl|term= a + b \sqrt{7} |SZ=}} eines Elementes aus {{math|term= R |SZ=}} ist ferner eindeutig, d.h. {{ Relationskette | a + b \sqrt{7} || a' + b' \sqrt{7} || || || |SZ= }} ist nur bei {{ Relationskette/display | a || a' || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | b || b' || || || |SZ= }} möglich. Anderfalls hätte man eine Gleichung {{ Relationskette/display | r || s \sqrt{7} || || || |SZ= }} mit {{ mathkor|term1= r,s \in \Z ||term2= r,s \neq 0 |SZ=, }} woraus sich {{ Relationskette/display | \sqrt{7} || {{op:Bruch|r|s}} || || || |SZ= }} im Widerspruch zur Irrationalität von Quadratwurzeln auf Primzahlen ergibt, die aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung in {{math|term= \Z|SZ=}} folgt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Quadratwurzel aus Primzahl/Irrationalität/Primfaktorzerlegung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ Zusatz/Klammer |text=der Spezialfall, die Irrationalität der Quadratwurzel aus {{math|term= 2 |SZ=,}} ist ein typisches Beispiel für einen Widerspruchsbeweis aus den Anfängervorlesungen, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratwurzel/2/Irrational/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Aufgrund der definierenden Gleichung sieht man direkt, dass {{math|term= 7 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} nicht mehr prim ist, sondern nichttriviale Teiler, nämlich {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}} besitzt, wobei wir aber die exakten Definitionen noch nicht fixiert haben. Zunächst muss man sich klar machen, dass {{math|term= 7 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} keine Einheit in {{math|term= R |SZ=}} wird. Dies kann man aber wegen {{ Relationskette/display | 7 {{makl| a+b \sqrt{7} |}} || 7a + 7b \sqrt{7} || 1 || || |SZ= }} sofort ausschließen. Was aber keineswegs klar ist, ob es in {{math|term= R |SZ=}} weitere Faktorzerlegungen für {{math|term= 7 |SZ=}} gibt, ob {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}} prim ist, ob es neue Einheiten in {{math|term= R |SZ=}} gibt, wie sich die Existenz von {{math|term= \sqrt{7} |SZ=}} auf die Faktorzerlegung von anderen ganzen Zahlen auswirkt. Um Zerlegungsphänome von der Bauart {{ Relationskette/display | 7 || u (u^{-1} 7) || || || |SZ= }} mit einer Einheit {{math|term= u |SZ=}} auszuschließen bzw. zu erkennen, müssen wir zuerst wissen, ob in {{math|term= R |SZ=}} neue Einheiten dazukommen. Mit dem Argument von eben kann man direkt einsehen, dass ganze Zahlen {{math|term= \neq 1,-1 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} Nichteinheiten bleiben. Es gibt aber in der Tat eine Vielzahl von neuen Einheiten! Betrachten wir in {{math|term= R |SZ=}} die Gleichung {{ Relationskette/display | {{makl| 8 +3 \sqrt{7} |}} {{makl| 8-3 \sqrt{7} |}} || 64 -9 \cdot 7 || 1 || || |SZ=, }} die ja besagt, dass die beiden Elemente {{ mathkor|term1= 8 + 3 \sqrt{7} |und|term2= 8 - 3 \sqrt{7} |SZ= }} zueinander invers sind und damit Einheiten sind. Damit sind auch alle Zahlen der Form {{mathl|term= \pm {{makl|8 + 3 \sqrt{7} |}}^n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | n |\in| \Z || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} Einheiten, und das sind alle Einheiten von {{math|term= R |SZ= {{{zusatz1|.}}}|}} Die Existenz von Einheiten erschwert die Entscheidung, ob eine Faktorzerlegung auf Einheiten beruht oder auf eine Zerlegung in substantiell grundlegendere Bestandteile. Handelt es sich beispielsweise bei {{ Relationskette/display | {{makl| 5 + 4 \sqrt{7} |}} {{makl| -5+4 \sqrt{7} |}} || -25 +16 \cdot 7 || -25+ 112 || 87 || 3 \cdot 29 |SZ= }} um zwei wesentlich verschiedene Faktorzerlegungen der {{math|term= 87 |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=?}} Hier haben wir schon zum zweiten Mal die dritte binomische Formel ausgenutzt, um durch eine Multiplikation von zwei Zahlen aus {{math|term= R |SZ=}} wieder in {{math|term= \Z |SZ=}} zu landen. Wegen {{ Relationskette/display |3 || (2 + \sqrt{7} )(-2+ \sqrt{7}) || || || |SZ= }} kann man aber die {{math|term= 3 |SZ=}} weiter zerlegen. Der erste Faktor kommt auch in der Zerlegung {{ Relationskette/display | 5+4 \sqrt{7} || {{makl| 2+ \sqrt{7} |}} {{makl| 6- \sqrt{7} |}} || || || |SZ= }} vor. In der verfeinerten Zerlegung {{ Relationskette/display | 87 || {{makl| 2 + \sqrt{7} |}} {{makl| -2 + \sqrt{7} |}} {{makl| 6- \sqrt{7} |}} {{makl| 6+ \sqrt{7} |}} || || || |SZ= }} kommen somit beide obigen Zerlegungen vor, die sich daher als keine Primfaktorzerlegung erweisen. Das ist also wie bei {{ Relationskette/display |210 || 6 \cdot 35 || 10 \cdot 21 || 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 || |SZ=, }} allerdings mit dem Unterschied, dass es in {{math|term= R |SZ=}} zunächst einmal keine systematische Methode gibt, Zahlen auf die Primeigenschaft zu überprüfen. Eine wichtige Fragestellung der algebraischen Zahlentheorie ist, wie sich Teilereigenschaften und die Primfaktorzerlegungen von {{math|term= \Z |SZ=}} ändern, wenn man zusätzliche Elemente hinzunimmt. Typischerweise werden dabei die Primfaktorzerlegungen zerstört, es entstehen aber neue Faktorzerlegungen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht unbedingt Primfaktorzerlegungen| |ISZ=|ESZ=, }} die selbst wieder zahlentheoretischen Sachverhalte ausdrücken und sichtbar machen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(7)) |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} s1ujcbw5yrcmib90ivlt0asnc253nke 0 124056 1092560 1076376 2026-06-01T14:07:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092560 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Betrachten wir die Frage, welche natürlichen Zahlen die Summe von zwei Quadratzahlen sind. Anders formuliert, für welche {{math|term= n |SZ=}} hat die Gleichung {{ Relationskette/display | n || x^2+y^2 || || || |SZ= }} Lösungen mit ganzen Zahlen {{math|term= x,y |SZ=?}} Es ist {{ Relationskette/display | 0 || 0+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |1 ||1+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |2 ||1+1 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 3 |SZ= }} {{ Relationskette/display |4 ||4+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |5 ||4+1 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 6 |SZ= }} {{ Math/display|term= 7 |SZ= }} {{ Relationskette/display |8 ||4+4 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |9 ||9+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |10 ||9+1 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 11 |SZ= }} {{ Math/display|term= 12 |SZ= }} {{ Relationskette/display |13 ||9+4 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 14 |SZ= }} {{ Math/display|term= 15 |SZ= }} {{ Relationskette/display |16 ||16+0 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |17 ||16+1 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display |18 ||9+9 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 19 |SZ= }} {{ Relationskette/display |20 ||16+4 || || || |SZ= }} {{ Math/display|term= 21 |SZ= }} Erkennt man hier schon eine Struktur? Es ist in der Zahlentheorie üblich, solche Fragen erst einmal für {{ Definitionslink |Primzahlen| |Kontext=| |SZ= }} zu verstehen, und die Ergebnisse dann auf zusammengesetzte Zahlen zu übertragen. Von den Primzahlen {{math|term= \leq 20 |SZ=}} sind {{mathl|term= 3,7,11,19 |SZ=}} keine Summe von zwei Quadraten, während {{mathl|term= 2, 5,13 |SZ=}} und {{math|term= 17 |SZ=}} es sind. Es fällt auf, dass die Zahlen der ersten Reihe alle den Rest {{math|term= 3 |SZ=}} bei Division durch {{math|term= 4 |SZ=}} haben, und die Zahlen der zweiten Reihe {{ Zusatz/Klammer |text=von {{math|term= 2 |SZ=}} abgesehen| |ISZ=|ESZ= }} den Rest {{math|term= 1 |SZ=.}} Hier zeigt sich, dass es sinnvoll ist, zu anderen, hier endlichen, Ringen überzugehen, um Fragen über natürliche oder ganze Zahlen zu beantworten. Die Restabbildung zur {{Stichwort|Division mit Rest}} durch {{math|term= 4 |SZ=}} ist ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |\Z| {{op:Zmod|4}} {{=|}} \{0,1,2,3\} |n| n \mod 4 |SZ=. }} Dabei ist in {{math|term= {{op:Zmod|4}} |SZ=}} die Addition und die Multiplikation modulo {{math|term= 4 |SZ=}} erklärt, also etwa {{ Relationskette | 3 \cdot 3 || 9 || 1 || || |SZ=. }} Die Abbildung respektiert also die Addition und die Multiplikation. Wenn nun die Gleichung {{ Relationskette/display | n || x^2+y^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= \Z |SZ=}} eine Lösung besitzt, so liefert das sofort auch eine Lösung modulo {{math|term= 4 |SZ=,}} nämlich {{ Relationskette/display | n || x^2+y^2 \mod 4 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | (n \mod 4 ) || (x \mod 4)^2+ (y \mod 4)^2 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette/display | \bar{n} || \bar{x} ^2+ \bar{y}^2 || || || |SZ=. }} Nun sind aber in {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}} |SZ=}} die Quadrate einfach {{ Relationskette/display | 0^2 || 2^2 || 0 || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | 1^2 || 3^2 || 1 || || |SZ= }} und damit sind {{math|term= 0,1 |SZ=}} und {{math|term= 2 |SZ=}} Summen von zwei Quadraten in {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}} |SZ=,}} aber nicht {{math|term= 3 |SZ=.}} Es bestätigt sich also bereits die obige Beobachtung, dass natürliche Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=nicht nur Primzahlen| |ISZ=|ESZ=, }} die den Rest {{math|term= 3 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} haben, nicht die Summe von zwei Quadraten sein können. Für Primzahlen mit dem Rest {{math|term= 1 |SZ=}} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} liefert die Betrachtung im Restklassenring {{mathl|term= {{op:Zmod|4|}} |SZ=}} natürlich nur, dass eine notwendige Bedingung erfüllt ist, woraus sich natürlich noch lange nicht auf eine Darstellung als Summe von zwei Quadraten schließen lässt. Die Zahl {{math|term= 21 |SZ=}} zeigt auch, dass eine Zahl, die modulo {{math|term= 4 |SZ=}} den Rest {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt, nicht notwendig selbst die Summe von zwei Quadraten ist. Eine wichtige Umformulierung der Frage erhält man, wenn man wie oben zu einer quadratischen Erweiterung übergeht, nämlich zum {{Stichwort|Ring der Gaußschen Zahlen|SZ=}} {{ Relationskette/display | \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] || \Z \oplus \Z {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=einem Unterring der komplexen Zahlen| |ISZ=|ESZ=. }} Dort können wir {{ Relationskette/display | n || x^2+y^2 || (x+ {{imaginäre Einheit|}} y) (x- {{imaginäre Einheit|}} y) || || |SZ= }} schreiben, wodurch die Frage, ob eine Zahl Summe von zwei Quadraten ist, mit der Frage der multiplikativen Zerlegung von natürlichen Zahlen in diesem neuen Ring in Zusammenhang gebracht wird. Insbesondere ist eine Primzahl, die Summe von zwei Quadraten ist, im Ring der Gaußschen Zahlen nicht mehr prim {{ Zusatz/Klammer |text=die hingeschriebenen Faktoren können keine Einheiten sein| |ISZ=|ESZ=. }} Die Frage nach den Summen von zwei Quadraten werden wir abschließend in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} beantworten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2=Algebraische Zahlentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jn705hhhbsn2jebx1yqjztjvx8etift 0 124185 1092121 981064 2026-06-01T12:55:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092121 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{:Körper/Vektorraum/Bilinearform/Dualität/Spur/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputdefinition |Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Definition|| }} Zum Einheitsideal {{ Relationskette/display | {{ideala|}} ||S || || || |SZ= }} nennt man die Kodifferente des Ideals auch die Kodifferente von {{math|term= S |SZ=}} oder den {{Stichwort|Dedekindschen Komplementärmodul|msw=Dedekindscher Komplementärmodul|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Homomorphismenmodul/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Differente/Spurdual/Definition|| }} Die Differente zum Einheitsideal heißt wieder die Differente schlechthin zu {{math|term= S |SZ=.}} {{ inputdefinition |Separable Erweiterung/Differente/Spurdual/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Differente |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} q2q1w2qpbvcs6hx2nqsnzq1prg9be18 0 124204 1092365 983063 2026-06-01T13:34:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092365 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} Es sei {{math|term= \Phi|SZ=}} eine {{ Definitionslink |symmetrische Bilinearform| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=.}} Dann definiert jeder Vektor {{ Relationskette |v |\in|V || || || |SZ= }} über {{ Abbildung/display |name= \Phi(v,-) |V|K |u| \Phi(v,u) |SZ=, }} eine Linearform auf {{math|term= V |SZ=,}} also ein Element des Dualraumes {{mathl|term= {{op:Dualraum|V|}} |SZ=.}} Wenn die Bilinearform {{math|term= \Phi|SZ=}} {{ Definitionslink |nichtausgeartet| |Kontext=| |SZ= }} ist, so kann man jede Linearform so realisieren, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt |Nr= |SZ=, }} das zugehörige {{math|term= v |SZ=}} heißt dann der Gradient der Linearform. Wenn {{ Relationskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} ist, so ist die {{ Definitionslink |Spurform| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= L |SZ=,}} also die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |L \times L|K |(x,y)| {{op:Spur|xy|}} |SZ=, }} eine besondere und natürliche symmetrische Bilinearform, die nicht ausgeartet ist, falls die Körpererweiterung {{ Definitionslink |separabel| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} ist. Es sei {{ Relationskette |R |\subseteq|Q(R) ||K || || |SZ= }} und wieder {{math|term= V |SZ=}} ein {{math|term= n |SZ=-}}dimensionaler {{math|term= K |SZ=-}}Vektorraum, versehen mit einer symmetrischen Bilinearform. Zu einem {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} setzt man {{ Relationskette/display | U^* || {{Mengebed|v \in V| \Phi(v,u) \in R \text{ für alle } u \in U }} || || || |SZ= }} und nennt dies den Dualmodul zu {{math|term= U |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der fixierten Bilinearfrom und dem fixierten Unterring| |ISZ=|ESZ=. }} Man denke etwa an {{ Relationskette |R ||\Z || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |V ||L || || || |SZ= }} einer endlichen Körpererweiterung von {{math|term= \Q|SZ=,}} an ein {{ Definitionslink |gebrochenes Ideal| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{ Relationskette |U || {{ideala}} || || || |SZ= }} und an die Spurform. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der symmetrischen Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gmd0h2g4k3mnplha01ns0ain3lqq33b 0 124210 1092406 1019387 2026-06-01T13:41:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092406 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{ Relationskette |S ||R[X]/(F) || || || |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |normierten Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |F || \sum_{i {{=}} 0}^n c_i X^i |\in|R[X] || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= S |SZ=}} eine {{ Definitionslink |freie Algebra| |Kontext=| |SZ= }} mit der {{math|term= R |SZ=-}}Basis {{math|term= 1,x,x^2 {{kommadots|}} x^{n-1} |SZ=,}} wobei {{math|term= x |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= X |SZ=}} bezeichnet. Für eine endliche separable Körpererweiterung {{ Relationskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} liegt diese Situation stets vor. Wenn {{ Relationskette |L ||K[X]/(F) || || || |SZ= }} ist, {{ Relationskette |R |\subseteq|Q(R) ||K || || |SZ= }} und {{math|term= T |SZ=}} der Ganzheitsring von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=,}} so ist {{ Relationskette/display | S |\cong|R[X]/(F) ||R[x] |\subseteq|T || |SZ=, }} und {{math|term= T |SZ=}} ist die Normalisierung von {{math|term= S |SZ=.}} Im Allgemeinen gilt {{ Relationskette |S |\neq|T || || || |SZ=, }} dennoch ist {{math|term= S |SZ=}} eine gute Annäherung an {{math|term= T |SZ=}} und oft besitzt {{math|term= T |SZ=}} die Gestalt {{ Relationskette |T ||R[Y]/(G) || || || |SZ= }} mit einem anderen Erzeuger, {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} beschreibt eine instruktive Beispielklasse. Eine besondere Rolle spielt die formale Ableitung {{math|term= F'|SZ=}} bzw. {{math|term= F'(x) |SZ=}} als Element von {{math|term= S |SZ=.}} Die Relevanz des von {{math|term= F'(x) |SZ=}} definierten Hauptideals in {{math|term= S |SZ=}} wird schon durch die kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display|(F'(x))|S| {{op:Kählermodul|S|R}} }} deutlich, wobei rechts der {{ Definitionslink |Modul der Kählerdifferentiale| |Kontext=| |SZ= }} steht. Die Exaktheit rechts, also die Surjektivität, beruht auf {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Bei einer freien Algebra wird die Norm und die Spur wie im Körperfall definiert. Bei Integritätsbereichen kann man direkt die Definitionen von den Quotientenkörpern her einschränken. Der {{ Definitionslink |Homomorphismenmodul| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Homomorphismen|M|R|Ring=R}} |SZ=}} zu einem freien endlichen {{math|term= R |SZ=-}}Modul {{math|term= M |SZ=,}} also der {{ Definitionslink |Dualmodul| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= M |SZ=,}} ist selbst frei vom gleichen Rang, und eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} von {{math|term= M |SZ=}} liefert über die Dualbasis eine Basis des Dualmoduls. Wenn {{ Relationskette |M ||S || || || |SZ= }} eine {{math|term= R |SZ=-}}Algebra ist, so ist der Dualmodul nicht nur ein {{math|term= R |SZ=-}}Modul, sondern auch ein {{math|term= S |SZ=-}}Modul, über die Multiplikation {{ Relationskette |(x \varphi) (y) | {{defeq|}} | \varphi(xy) || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Monogene Algebra/Dualmodul/Beschreibung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Monogene Algebra/Spur und Norm/Ableitungsbeschreibung/Fakt|Lemma|| || }} Sei weiterhin {{ Relationskette/display |S ||R[X]/(F) || || || |SZ= }} mit einem normierten Polynom {{ Relationskette |F || \sum_{i {{=}} 0}^n c_i X^i || || || |SZ= }} vom Grad {{math|term= n |SZ=}} und sei {{math|term= S |SZ=}} integer. Dann liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display|S |S| {{op:Kählermodul|S|R}} |abblr= \cdot F'}} vor. Bezüglich der {{math|term= R |SZ=-}}Basis {{ mathbed|term= X^i ||bedterm1= i=0 ,1 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} wird die Abbildung {{math|term= 1 \mapsto F'|SZ=}} durch die Multiplikationsmatrix zu {{math|term= F'|SZ=,}} {{ Math/display|term= {{op:Matrix66|c_1 |-c_0 |||||2c_2 |(1-n) c_1 ||||| 3c_3 |(2-n) c_2 |c_1 ||| |\vdots||||||(n-2)c_{n-1}| -2c_{n-2} |||||n| - c_{n-1}|||||}} |SZ=, }} beschrieben. Deren Determinante ist nach Definition die Norm von {{math|term= F'|SZ=}} und dieses ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Monogene Algebra/Spur und Norm/Ableitungsbeschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} gleich der Diskriminante zur Basis {{math|term= x^i |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Polynomring/Polynom/Endliche Erweiterung/Spur/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen freien kommutativen Algebren |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kjol1ij2k1cszo9stmemeraqt19y77f 0 124248 1092122 1018677 2026-06-01T12:55:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092122 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition|| }} Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien {{math|term= A |SZ=-}}Modul {{math|term= F |SZ=}} mit {{ mathbed|term= da ||bedterm1= a\in A ||bedterm2= |SZ= }} als Basis und bildet den {{ Definitionslink |Prämath=A |Restklassenmodul| |Kontext=| |SZ= }} zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen {{ Math/display|term= d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A) |SZ= }} und {{ Math/display|term= d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A ) |SZ= }} erzeugt wird. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name=d |A |{{op:Kählermodul|A|R}} |a|d(a) {{=|}} da |SZ=, }} heißt die {{Stichwort|universelle Derivation|SZ=.}} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |SZ= }} handelt. Grundlage für konkrete Berechnungen bilden die folgenden Lemmata. {{ inputfakt |Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfakt |Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfakt |Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Polynom/Einsetzung/Kähler-Differentiale/Fakt|Korollar|| || }} Diese Isomorphie ist so zu verstehen, dass die {{math|term= 1 |SZ=}} in {{math|term= K[X]/(P') |SZ=}} dem Differential {{math|term= dX|SZ=}} entspricht. Man könnte den Sachverhalt auch als die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|K[X]|K[Y]}} || K[X]/(P') dX || || || |SZ= }} ausdrücken. Wenn {{math|term= K |SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, so ist {{ Relationskette |P' || (X-a_1) \cdots (X-a_s) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |K[X]/(P') |\cong| K^s || || || |SZ=. }} Die vorstehende Aussage zeigt somit insbesondere, dass der Modul der Kähler-Differentiale nur lokalisiert in den maximalen Idealen {{mathl|term= (X-a_j) |SZ=,}} die den Nullstellen der Ableitung entsprechen, von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. Ein entsprechendes Verhalten gilt generell im Fall einer separablen Erweiterung von Dedekindbereichen. {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} In der Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt |Nr=5 |SZ= }} könnte man auf den Exponenten {{math|term= m |SZ=}} verzichten, wenn man {{math|term= r |SZ=}} abändert. Aber aus Teil (3) ergibt sich die Aussage mit dem Exponenten. Man denke bei {{math|term= r |SZ=}} an eine Primzahl aus {{math|term= \Z|SZ=,}} man versucht dann, eine annullierende Potenz mit einem möglichst kleinen Exponenten zu finden. {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Kähler-Differential/Differente/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Differentiale) für Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} iw8pyl0ouyk3bq3mpzojo7d3gmvh72w 0 124408 1092171 855223 2026-06-01T13:03:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092171 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Erweiterung/Divisorenklassengruppe/Rückzug/Fakt|Lemma|| || }} Insgesamt liegt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Rechteck/23/ru|{{op:Gebrochene Hauptideale|R|}} | {{op:Gebrochene Ideale|R|}} |{{op:Divisorenklassengruppe|R|}}|{{op:Gebrochene Hauptideale|S|}} |{{op:Gebrochene Ideale|S|}} |{{op:Divisorenklassengruppe|S|}}|}} vor. Auf der Divisorebene wird dabei einem Primdivisor {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} der Divisor zum Ideal {{math|term= {{idealp|}}S |SZ=}} zugeordnet. Das Erweiterungsideal zu {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} beschreibt dabei die Faser der {{ Definitionslink |Spektrumsabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= | {{op:Spek|S|}} | {{op:Spek|R|}} || |SZ= }} über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=.}} Dies ist insbesondere bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen relevant. Man kann sich fragen, ob die Abbildung zwischen den Klassengruppen stets injektiv ist, oder ob umgekehrt ein nichttriviales Ideal zu einem Hauptideal werden kann. Dies ist in der Tat der Fall. {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/D ist -5/Standardideal/Hauptideal nach Adjunktion von Wurzel(2)/Beispiel|| }} Es gilt sogar, dass man im zahlentheoretischen Kontext jede Klasse trivialisieren kann. Dies bedeutet aber nicht, dass es zu jedem Zahlbereich eine faktorielle Erweiterung gibt, da durch die Trivialisierung typischerweise {{Anführung|an anderer Stelle}} nichttriviale Klassen auftreten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisorenklassengruppe (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4wb8fws9m6h71zlosfkglcv6udbu122 0 125643 1092433 983477 2026-06-01T13:46:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092433 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Betrachten wir eine Zahlbereichserweiterung {{ Relationskette/display |\Z || \Z[\sqrt{D}] || \Z \oplus \Z \sqrt{D} || || |SZ= }} mit einer ganzen Zahl {{math|term= D |SZ=,}} die beiden Fälle {{ Relationskette |D ||7 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |D ||-1 || || || |SZ= }} haben wir schon etwas genauer in den Blick genommen {{ Zusatz/Klammer |text=es sei {{math|term= D |SZ=}} {{ Definitionslink |quadratfrei| |Kontext=| |SZ=, }} enthalte also keinen Primfaktor mehrfach | |ISZ=|ESZ=. }} Auch der Frage, wie in diesen Ringen die Einheiten aussehen, sind wir schon begegnet. Betrachten wir allgemein die Bedingung, ob es zu {{mathl|term= a+b\sqrt{D} |SZ=}} ein Element {{mathl|term= c+e\sqrt{D} |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{makl| a+b\sqrt{D} |}} {{makl| c+e\sqrt{D} |}} || 1 || || || |SZ=. }} Wenn {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} nicht teilerfremd sind, so kann es keine Lösung geben, seien also {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} teilerfremd. Dann folgt aus {{ Relationskette/display |bc +ae || 0 || || || |SZ=, }} dass bis auf einen gemeinsamen Vorfaktor {{ Relationskette/display |c ||fa || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |e || -fb || || || |SZ= }} gilt, und der Vorfaktor muss {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= -1 |SZ= }} sein. Die Frage nach den Einheiten ist also im Wesentlichen die Frage, ob {{ Relationskette/display | {{makl| a+b\sqrt{D} |}} {{makl| a-b\sqrt{D} |}} || a^2-b^2D || \pm 1 || || |SZ=. }} Es geht also darum, welche ganzzahligen Lösungen bei gegebenem {{math|term= D |SZ=}} die Gleichung {{ Relationskette/display |x^2 - y^2D || \pm 1 || || || |SZ= }} besitzt. Man spricht von der {{Stichwort|Pellschen Gleichung|msw=Pellsche Gleichung|SZ=,}} deren Lösungsverhalten wesentlich von {{math|term= D |SZ=}} positiv oder negativ abhängt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Einheiten in quadratischen Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ew09rqico8unt9kabzxbhvg2sl2klie 0 125782 1092003 1074459 2026-06-01T12:36:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092003 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die natürlichen Zahlen sind dadurch ausgezeichnet, dass man jede natürliche Zahl ausgehend von der {{math|term= 0 |SZ=}} durch den Zählprozess {{ Zusatz/Klammer |text=das sukzessive Nachfolgernehmen| |ISZ=|ESZ= }} erreichen kann. Daher können mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, mit dem Beweisprinzip{{{zusatz1|}}} der {{Stichwort|vollständigen Induktion|msw=Vollständige Induktion|SZ=}} bewiesen werden. Das folgende Beispiel soll an dieses Argumentationsschema heranführen. {{ inputbeispiel |Ebene/Geraden/Schnittpunktanzahl/Beispiel|| }} Im vorstehenden Beispiel liegt eine Summe vor, wobei die Anzahl der Summanden selbst variieren kann. Für eine solche Situation ist das {{Stichwort|Summenzeichen|SZ=}} sinnvoll. Für gegebene reelle Zahlen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} bedeutet{{{zusatz2|}}} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 + a_2 {{plusdots|}} a_{n-1} + a_n || || || |SZ=. }} Dabei hängen im Allgemeinen die {{math|term= a_k |SZ=}} in einer formelhaften Weise von {{math|term= k|SZ=}} ab, beispielsweise ist im Beispiel {{ Relationskette | a_k || k || || || |SZ=, }} es könnte aber auch etwas wie {{ Relationskette | a_k || 2k+1 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |a_k || k^2 || || || |SZ= }} vorliegen. Der {{math|term= k|SZ=-}}te Summand der Summe ist jedenfalls {{math|term= a_k |SZ=,}} dabei nennt man {{math|term= k|SZ=}} den {{Stichwort|Index|SZ=}} des Summanden. Entsprechend ist das {{Stichwort|Produktzeichen|SZ=}} definiert, nämlich durch {{ Relationskette/display | \prod_{k {{=|}} 1}^n a_k |{{defeq|}}| a_1 \cdot a_2 {{cdots|}} a_{n-1} \cdot a_n || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Aufaddieren/Induktion/Schnittpunkte/Motivation/Beispiel|| }} {{ inputbild |Domen-indukto|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Eine Visualisierung des Induktionsprinzips. Wenn die Steine nah beieinander stehen und der erste umgestoßen wird, so fallen alle Steine um. |Autor=Joachim Mohr |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die folgende Aussage begründet das Prinzip der vollständigen Induktion. {{ inputfaktbeweis2 |Zahlentheorie/Beweisverfahren/Induktionsprinzip/Fakt|Satz|| }} Der Nachweis von {{mathl|term= A(0) |SZ=}} heißt dabei der {{Stichwort|Induktionsanfang|SZ=}} und der Schluss von {{mathl|term= A(n) |SZ=}} auf {{mathl|term= A(n+1) |SZ=}} heißt der {{Stichwort|Induktionsschritt|SZ=.}} Innerhalb des Induktionsschrittes nennt man die Gültigkeit von {{math|term= A(n) |SZ=}} die {{Stichwort|Induktionsvoraussetzung|SZ=.}} In manchen Situationen ist die Aussage {{mathl|term= A(n) |SZ=}} erst für {{ Relationskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} für ein gewisses {{math|term= n_0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=definiert oder| |ISZ=|ESZ= }} wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage {{mathl|term= A(n_0) |SZ=}} und den Induktionsschluss führt man für {{ Relationskette |n |\geq|n_0 || || || |SZ= }} durch. Wir begründen nun die Gleichheit {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=}} 1}^n k || {{op:Bruch|n(n+1)|2}} || || || |SZ=. }} mit dem Induktionsprinzip. Beim Induktionsanfang ist {{ Relationskette |n ||1 || || || |SZ=, }} daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der {{math|term= 1|SZ=,}} und daher ist die Summe {{math|term= 1|SZ=.}} Die rechte Seite ist {{ Relationskette | {{op:Bruch|1 \cdot 2|2}} ||1 || || || |SZ=, }} sodass die Formel für {{ Relationskette |n ||1 || || || |SZ= }} stimmt. Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein {{ Relationskette |n |\geq|1 || || || |SZ= }} gilt, und müssen zeigen, dass sie dann auch für {{mathl|term= n+1 |SZ=}} gilt. Dabei ist {{math|term= n |SZ=}} beliebig. Es ist{{{zusatz3|}}} {{ Relationskette/align | \sum_{k {{=|}} 1}^{n+1} k || {{makl| \sum_{k {{=|}} 1}^{n} k |}} + n+1 || {{op:Bruch|n(n+1)|2}} + n+1 || {{op:Bruch|n(n+1) +2(n+1)|2}} || {{op:Bruch|(n+2)(n+1)|2}} |SZ=. }} Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für {{mathl|term= n+1 |SZ=,}} also ist die Formel bewiesen. {{ inputbemerkung{{{zusatz4|}}} |Induktion/Variable/Relevanz/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Vollständige Induktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} g92e30jin4pc56x1gw4lvrhteq87onk 0 125863 1092379 983155 2026-06-01T13:37:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092379 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition|}} Jeder Körper ist ein lokaler Ring mit dem Nullideal als eindeutigem maximalen Ideal. Ein kommutativer Ring ist genau dann lokal, wenn seine Nichteinheiten ein Ideal bilden, das dann das einzige maximale Ideal ist. {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Restekörper/Definition|| }} {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideal/Definition|}} Für eine Primzahl {{ Relationskette |p |\in|\Z || || || |SZ= }} besteht {{mathl|term= \Z_{(p)} |SZ=}} aus allen rationalen Zahlen, die man ohne {{math|term= p |SZ=}} im Nenner schreiben kann. Der folgende Satz zeigt, dass diese Namensgebung Sinn ergibt. {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt|Satz|| || }} Das Ideal {{mathl|term= {{idealp}} R_{{idealp}} |SZ=}} ist dabei das {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} unter dem Ringhomomorphismus {{ Abbildung |name= |R|R_{{idealp}} || |SZ=. }} {{inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt|Lemma|| || }} Der Restekörper zu einem Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} wird mit {{mathl|term= {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |SZ=}} bezeichnet. Wenn {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} ein maximales Ideal ist, so ist insbesondere der Restklassenkörper {{math|term= R/ {{idealm|}} |SZ=}} gleich dem Restklassenkörper der Lokalisierung {{math|term= R_{{idealm}} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Lokalisierungen (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4o9ieh6guf6j0l4e36wvw6rgnaejrqk 0 125954 1092634 984424 2026-06-01T14:18:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092634 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir untersuchen, wie sich das Spektrum eines kommutativen Ringes unter einem Ringhomomorphismus verhält. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Funktorialität/Fakt|Proposition|| || }} Die in der vorstehenden Aussage eingeführte stetige Abbildung heißt {{Stichwort|Spektrumsabbildung|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu dem gegebenen Ringhomomorphismus| |ISZ=|ESZ=. }} Bei einem Unterring {{ Relationskette/display |R |\subseteq|S || || || |SZ= }} geht es einfach um die Zuordnung {{mathl|term= {{idealp|}} \mapsto {{idealp|}} \cap R |SZ=.}} In diesem Fall spricht man auch von {{Anführung|Runterschneiden|SZ=.}} {{{zusatz1|}}} {{ inputbeispiel |Polynomring/Eine Variable/Polynom/Spektrumsabbildung/Beispiel|| }} Im zahlentheoretischen Kontext betrachtet man meist eine Ringerweiterung {{ Relationskette |\Z |\subseteq|R || || || |SZ=, }} ein Primideal aus {{math|term= R |SZ=}} wird dabei unter der Spektrumsabbildung entweder auf das Nullideal {{math|term= (0) |SZ=}} abgebildet oder aber auf ein Primhauptideal {{math|term= (p) |SZ=}} zu einer Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} Diese Abbildung kann man auf zwei Arten versuchen zu verstehen, erstens, indem man die Primideale von {{math|term= R |SZ=}} versucht zu verstehen und dann zu bestimmen, wohin diese abgebildet werden, oder aber zweitens, und dies ist im zahlentheoretischen Kontext produktiver, dadurch, dass man versucht zu verstehen, welche Primideale oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} liegen. Diese Frage hängt unmittelbar mit der Frage zusammen, was mit der Primzahl {{math|term= p |SZ=}} in der Ringerweiterung {{math|term= R |SZ=}} geschieht, ob es eine Primzahl bleibt oder ob und wie es zerfällt. Die Faser über {{math|term= (p) |SZ=}} ist direkt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe unten| |ISZ=|ESZ= }} die Menge der Primideale des Restklassenringes {{mathl|term= R/(p) |SZ=,}} und dies ist bei einer ganzen Erweiterung ein endlicher Ring. {{ inputbeispiel |Ganze Zahlen/Gaußsche Zahlen/Spektrumsabbildung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt|Proposition|||zusatz2={{{zusatz2|}}} || }} {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt|Lemma|| || }} Insbesondere ist die Faser eines Spektrumsmorphismus über einem Punkt selbst wieder das Spektrum eines Ringes.{{{zusatz3|}}} Ein Spezialfall der vorstehenden Aussage ist, dass die Faser über einem maximalen Ideal {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} gleich {{mathl|term= {{op:Spek|S/ {{idealm|}} S|}} |SZ=}} ist, da in diesem Fall aus {{ Relationskette | {{idealm|}} S |\subseteq | {{idealp|}} || || || || |SZ= }} sofort {{ Relationskette |{{idealm|}} | \subseteq | \varphi^{-1}( {{idealp|}} ) || || || |SZ= }} folgt und wegen der Maximalität Gleichheit gelten muss. Bei einem Integritätsbereich {{math|term= R |SZ=}} und dem Nullideal erübrigt es sich, das Erweiterungsideal zu betrachten, die Faser wird einfach durch {{mathl|term= {{op:Spek|S_{\varphi( R \setminus \{0\}) }| }} |SZ=}} beschrieben. {{ inputdefinition |Ringhomomorphismus/Faserring/Definition|| }} Die Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt |Nr= |SZ= }} bedeutet also, dass die Faser der Spektrumsabbildung über {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} gleich dem Spektrum des Faserringes ist. Der Faserring beinhaltet dabei eine genauere algebraische Information, aus der die topologische und mengentheoretische Information ablesbar ist. Wenn {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} ein maximales Ideal von {{math|term= R |SZ=}} ist, so braucht man die Nenneraufnahme nicht, der Faserring ist dann einfach gleich {{mathl|term= S/{{idealq}} S |SZ=.}} Den Faserring kann man allgemein auch als {{mathl|term= S {{tensor|R}} {{op:Restekörper| {{idealq|}} |}} |SZ=}} realisieren. {{ inputbemerkung |Restklassenbeschreibung/Z/Faserring/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Spektrumsabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cg9tnqaay6m3njyarou2n0fwsmqoktd 0 126012 1092004 1074730 2026-06-01T12:36:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092004 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Heron von Alexandria|jpg| 200px {{!}} right {{!}} | | |Zusname=Heron_von_Alexandria |Text=[[w:Heron von Alexandria|Heron von Alexandria (1. Jahrhundert n.C.)]] |Autor= |Benutzer=Frank C. Müller |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. {{ inputbeispiel |Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/R/Beispiel| }} Eine entsprechende Folge ergibt sich zur Berechnung der Quadratwurzel einer jeden positiven reellen Zahl. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Heron-Verfahren/Heron-Folge/Definition|| }} Entsprechend heißt das Verfahren, rekursiv zunehmend bessere Approximationen einer Quadratwurzel zu finden, {{Stichwort|Heron-Verfahren|msw=|SZ=.}} Dieses Verfahren liefert also insbesondere zu jeder natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} eine reelle Zahl, die eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, sodass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Folge/Definition|| }} Eine Folge wird zumeist als {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=,}} oder einfach nur kurz als {{mathl|term= (x_n)_n |SZ=}} geschrieben. Die oben zu einem Startglied {{math|term= x_0 |SZ=}} rekursiv definierten Zahlen zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{c} |SZ=}} sind ein Beispiel für eine Folge. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen {{math|term= \geq N |SZ=.}} Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|| }} Man sollte sich dabei das vorgegebene {{math|term= \epsilon |SZ=}} als eine kleine, aber positive Zahl vorstellen, die eine gewünschte {{Stichwort|Zielgenauigkeit|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder erlaubten Fehler| |ISZ=|ESZ= }} ausdrückt. Die natürliche Zahl {{math|term= n_0 |SZ=}} ist dann die {{Stichwort|Aufwandszahl|SZ=,}} die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar so zu erreichen, dass alle ab {{math|term= n_0 |SZ=}} folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner der Fehler, also je besser die Approximation sein soll, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand. Statt mit beliebigen positiven reellen Zahlen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man auch mit den {{Stichwort|Stammbrüchen|msw=Stammbruch|SZ=,}} also den rationalen Zahlen {{ mathbed|term= {{op:Bruch|1|k}} ||bedterm1= k \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} arbeiten, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Folge/Konvergenz/Mit Stammbrüchen/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} oder mit den inversen Zehnerpotenzen {{ mathbed|term= {{op:Bruch|1|10^\ell}} ||bedterm1= \ell \in \N ||bedterm2= |SZ=. }} Zu einem {{ Relationskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} und einer reellen Zahl {{math|term= x |SZ=}} nennt man das Intervall {{mathl|term= ]x- \epsilon, x + \epsilon[ |SZ=}} auch die {{math|term= \epsilon|SZ=-}}{{Stichwort|Umgebung|SZ=}} von {{math|term= x |SZ=.}} Eine Folge, die gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert, heißt {{Stichwort|Nullfolge|SZ=.}} {{ inputbild |Konvergenz|svg| 400px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Matthias Vogelgesang |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Cauchy sequence - example|png| 300px {{!}} right {{!}} | | |Zusname=Cauchy_sequence_-_example |Autor= |Benutzer=Pred |Domäne=da.wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Reelle Zahlen/Konstante Folge/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reelle Zahlen/Stammbruchfolge/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reelle Zahlen/1 durch 3/Dezimalbruchfolge/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6tr8x2hfl0s127p63d0tz7h6n3fj5bt 0 126119 1092627 984384 2026-06-01T14:17:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092627 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In {{mathl|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} ist jedes Ideal ein Hauptideal und es ist {{ Relationskette/display |(a+b {{Imaginäre Einheit|}} ) || {{Mengebed| m (a+b {{Imaginäre Einheit|}} ) + n {{Imaginäre Einheit|}} ( a+b {{Imaginäre Einheit|}}) |m,n \in \Z }} |\cong| \Z^2 || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die letzte Gleichung setzt voraus, dass es sich nicht um das Nullideal handelt| |ISZ=|ESZ=. }} Eine ähnlich einfache Gruppenstruktur gilt für jedes Ideal in einem Zahlbereich, was wir in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt |Nr= |SZ= }} beweisen werden. {{inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweis |Zahlbereiche/Ideale ungleich null enthält Basis/Fakt|Lemma|||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Idealtheorie in Zahlbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8dwultqh65rclnis8e4u69o9lm81bk4 0 126232 1092367 983090 2026-06-01T13:35:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092367 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt|Satz|| }} Statt von komplexen Einbettungen spricht man auch von komplexen Realisierungen. Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen {{ Abbildung/display |name= \rho_i |L| {{CC}} || |SZ= }} der gleiche Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie {{mathl|term= \Q[ {{Imaginäre Einheit}} ] |SZ=.}} Man hat die beiden Einbettung {{ Abbildung |name=\rho_1, \rho_2 | \Q[{{Imaginäre Einheit}}]|{{CC}} || |SZ=, }} wobei die eine Abbildung {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} auf {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und die andere {{math|term= {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} auf {{math|term= - {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich. Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer {{Stichwort|reellen Einbettung|msw=reelle Einbettung|SZ=.}} Die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der imaginären Einbettungen spielt eine wichtige Rolle in der algebraischen Zahlentheorie. Zu einem Element {{ Relationskette |z |\in|L || || || |SZ= }} nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen {{ Math/display|term= z_1=\rho_1(z) {{kommadots|}} z_n= \rho_n(z) |SZ= }} zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms {{math|term= F |SZ=}} mit rationalen Koeffizienten vom Grad {{math|term= n |SZ=.}} {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Minimalpolynom aus konjugierten Elementen/Fakt|Lemma| }} {{inputfaktbeweis |Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt|Lemma|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Norm bei endlichen Körpererweiterungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} k14garaimgkkn1w1r7uo437y8a2a0fj 0 126328 1091998 1074734 2026-06-01T12:35:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1091998 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein Problem des Konvergenzbegriffes ist, dass zur Formulierung der Grenzwert verwendet wird, den man unter Umständen noch gar nicht kennt. Wenn man beispielsweise die durch das babylonische Wurzelziehen konstruierte Folge {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}}| |SZ= }} mit einem rationalen Startwert betrachtet, so ist dies eine Folge aus rationalen Zahlen. Wenn wir diese Folge in {{math|term= \R|SZ=}} betrachten, wo {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} existiert, so ist die Folge konvergent. Innerhalb der rationalen Zahlen ist sie aber definitiv nicht konvergent. Es ist wünschenswert, allein innerhalb der rationalen Zahlen den Sachverhalt formulieren zu können, dass die Folgenglieder beliebig nahe zusammenrücken, auch wenn man nicht sagen kann, dass die Folgenglieder einem Grenzwert beliebig nahe zustreben. Dazu dient der Begriff der Cauchy-Folge. {{ inputbild |Augustin Louis Cauchy|JPG| 150px {{!}} thumb {{!}} | | |Zusname=Augustin_Louis_Cauchy |Text= [[w:Augustin Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy (1789-1857)]] |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Cauchy-Folge/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Konvergente Folge ist Cauchyfolge/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Teilfolge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Folge/Wachsend und fallend/Definition|| }} Als gemeinsamen Begriff für {{ Zusatz/Klammer |text=streng| |ISZ=|ESZ= }} wachsende oder {{ Zusatz/Klammer |text=streng| |ISZ=|ESZ= }} fallende Folgen verwendet man die Bezeichnung {{ Zusatz/Klammer |text=streng| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|monotone Folgen|msw=Monotone Folge|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Beschränkte monoton wachsende Folge/Ist Cauchyfolge/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Cauchy-Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3hgp3k701o5qhpjkmb1e40ju7cgztrh 0 126704 1091988 1079397 2026-06-01T12:33:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1091988 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Menge der effektiven Divisoren zu einem {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} bilden mit der natürlichen Addition ein kommutatives Monoid, aber keine Gruppe, da ja die Koeffizienten {{math|term= n_{{idealp}} |SZ=}} alle nichtnegativ sind. Lässt man auch negative ganze Zahlen zu, so gelangt man zum Begriff des Divisors, die eine Gruppe bilden. Auch den Begriff des Hauptdivisors kann man so erweitern, dass er nicht nur für ganze Elemente aus {{math|term= R |SZ=,}} sondern auch für rationale Elemente, also Elemente aus dem Quotientenkörper {{mathl|term= Q(R) |SZ=,}} definiert ist. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisor/Definition|}} Für einen diskreten Bewertungsring {{math|term= R |SZ=}} lässt sich die Ordnung {{ Abbildung |name=\operatorname{ord} | R \setminus \{0\} | \N | q | \operatorname{ord}(q) |SZ=, }} zu einer Ordnungsfunktion auf dem Quotientenkörper fortsetzen, {{ Abbildung/display |name=\operatorname{ord} | Q(R) \setminus \{0\} | \Z | q | {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Fortsetzung auf Quotientenkörper/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} wobei sich die Eigenschaften von {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Ordnungsfunktion/Erste Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} hierher übertragen. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition|}} Wenn man die rationale Funktion {{ Relationskette | q |\in| Q(R) || || || |SZ= }} als {{ Relationskette | q || {{op:Bruch|f|g}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f,g |\in| R || || || |SZ= }} ansetzt, so gilt {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|q|}} || {{op:Hauptdivisor|f|}} - {{op:Hauptdivisor|g|}} || || || |SZ=, }} da dies punktweise an jedem Primideal gilt. Bei {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung|q| {{idealp|}} }} |<| 0 || || || |SZ= }} sagt man auch, dass {{math|term= q |SZ=}} einen {{Stichwort|Pol |SZ=}} an der Stelle {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} besitzt, und zwar mit der Polordnung {{mathl|term= - {{op:Bewertungsordnung|q| {{idealp|}} }} |SZ=.}} Die Menge der Divisoren bildet eine additive kommutative freie Gruppe, die wir mit {{mathl|term= {{op:Divisorengruppe|R|}} |SZ=}} bezeichnen. {{ inputfaktbeweisverweis |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Es liegt also insbesondere ein Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten(|Q(R)|}} | {{op:Divisorengruppe|R|}} | q | {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=, }} vor. Das Bild unter diesem Gruppenhomomorphismus ist die Untergruppe der Hauptdivisoren, die wir mit {{math|term= H |SZ=}} bezeichnen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} msmgzzcc7j8l76mae0b5wg0t8s231t9 0 126705 1092064 980083 2026-06-01T12:46:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092064 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt |Nr= |SZ= }} haben wir eine Bijektion zwischen effektiven Divisoren und von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Idealen {{ Zusatz/Klammer |text=und von effektiven Hauptdivisoren mit von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Hauptidealen| |ISZ=|ESZ= }} gestiftet. Von daher liegt die Frage nahe, welche {{Anführung|Ideal-ähnlichen}} Objekte den Divisoren entsprechen. Wir wollen also wissen, durch welche Objekte wir das Fragezeichen im folgenden Diagramm ersetzen müssen. {{Kommutatives Quadrat/ru|\operatorname{Ideale}(R) |abb12=\sim |{{op:Effektive Divisoren|R|}} | ? |abb34 =\sim | {{op:Divisorengruppe|R|}} }} Da wir einen Divisor {{math|term= D |SZ=}} stets als {{ Relationskette |D ||E-F || || || |SZ= }} mit effektiven Divisoren {{math|term= E |SZ=}} und {{math|term= F |SZ=}} schreiben können, liegt die Vermutung nahe, nach etwas wie dem Inversen {{ Zusatz/Klammer |text=bezüglich der Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} eines Ideals zu suchen. Im Fall eines faktoriellen Dedekindbereichs entsprechen sich {{ Zusatz/Klammer |text=bis auf die Einheiten| |ISZ=|ESZ= }} Elemente und Hauptdivisoren, und zwar sowohl auf der Ringebene {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Dedekindbereich/Faktoriell/Hauptdivisor/Bemerkung |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} als auch auf der Ebene des Quotientenkörpers. Zu einer rationale Funktion {{math|term= q |SZ=}} bzw. dem Hauptdivisor {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|q|}} |SZ=}} gehört in diesem Fall einfach der von {{math|term= q |SZ=}} erzeugte {{ Definitionslink |Prämath=R |Untermodul| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= q R |SZ=}} des Quotientenkörpers {{math|term= Q(R) |SZ=.}} Im Fall der rationalen Zahlen sind dies Untergruppen der Form {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10}} \Z |SZ=}} oder {{mathl|term= {{op:Bruch|7|3}} \Z |SZ=.}} Für allgemeine Dedekindbereiche führt die folgende Definition zum Ziel. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition|}} {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt|Lemma|}} Wie für Ideale spielen diejenigen gebrochenen Ideale, die von einem Element erzeugt sind, eine besondere Rolle. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Gebrochenes Hauptideal/Definition|}} Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt sich sofort, dass für einen Hauptidealbereich jedes gebrochene Ideal ein gebrochenes Hauptideal ist. {{inputdefinition |Dedekindbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition|}} Wird das gebrochene Ideal {{math|term= {{idealf}} |SZ=}} als {{math|term= R |SZ=-}}Modul von {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} erzeugt und wird das gebrochene Ideal {{math|term= {{idealg}} |SZ=}} von {{mathl|term= g_1 {{kommadots|}} g_m |SZ=}} erzeugt, so wird das Produkt {{math|term= {{idealf}} {{idealg}} |SZ=}} von den Produkten {{ mathbed|term= f_ig_j ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= 1 \leq j \leq m |SZ=, }} erzeugt. Also ist das Produkt in der Tat wieder endlich erzeugt und damit ein gebrochenes Ideal. Für Ideale stimmt natürlich das Idealprodukt mit dem hier definierten Produkt von gebrochenen Idealen überein. Das Produkt von gebrochenen Hauptidealen ist wieder ein gebrochenes Hauptideal. Man kann direkt zeigen, oder aber den Bijektionssatz weiter unten benutzen, dass die Menge der von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen gebrochenen Ideale eine Gruppe bilden, und die von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen gebrochenen Hauptideale darin eine Untergruppe. {{ inputbemerkung |Dedekindbereich/Ideal/Inverses gebrochenes Ideal/Produkt/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Ideal/Inverses gebrochenes Ideal/(2, 1+sqrt(-5))/Beispiel|| }} Ein gebrochenes Ideal {{ Relationskette | {{idealf|}} | \neq| 0 || || || || |SZ= }} in einem Dedekinsbereich ist ein sogenannter {{Stichwort|invertierbarer Modul|SZ=.}} D.h. es ist {{Stichwort|lokal isomorph}} zum Ring selbst. Mit diesen Formulierungen ist folgendes gemeint: Für ein maximales Ideal {{ Zusatz/Klammer |text=also für ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes Primideal| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= {{idealp}} |SZ=}} ist {{ Relationskette | {{idealf}} R_{{idealp}} || {{idealf}}_{{idealp}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist die Lokalisierung eines Moduls an einem Primideal| |ISZ=|ESZ= }} ein endlich erzeugter {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=-}}Modul {{math|term= \neq 0 |SZ=,}} der zugleich im Quotientenkörper liegt. Solche Moduln sind isomorph zu {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=.}} Siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Nenneraufnahme (kommutative Algebra)/Moduln/Einführung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{inputdefinition |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal zu Divisor/Definition|}} Das folgende Lemma zeigt, dass man in der Tat ein gebrochenes Ideal erhält, und dass diese Definition mit der früheren {{ Definitionslink |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Dedekindbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition |SZ= }} verträglich ist. {{inputfaktbeweis |Dedekind/Ideale und Divisoren/Gebrochenes Ideal/Fakt|Lemma|}} {{inputdefinition |Dedekindbereich/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition|}} Da das gebrochene Ideal {{math|term= {{idealf}} |SZ=}} nach Definition endlich erzeugt ist, muss man das Minimum nur über eine endliche Menge nehmen. Insbesondere ist der zugehörige Divisor wohldefiniert. Für ein Ideal stimmt diese Definition offensichtlich mit der {{ Definitionslink |alten| |Definitionsseitenname= Dedekindbereich/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition |SZ= }} überein. {{inputfaktbeweisaufgabe |Dedekindbereich/Divisoren und gebrochene Ideale/Beziehung zu effektiven Divisoren und Idealen/Fakt|Lemma||}} Auch die Einzelheiten des Beweises des folgenden Satzes überlassen wir dem Leser, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz|||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Dedekindbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mg4etvhsck68all1crtgrwav3wpa9cr 0 126986 1092311 957120 2026-06-01T13:25:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092311 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Definition|}} {{inputfaktbeweis |Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt|Lemma|zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Wie für Ideale spielen diejenigen gebrochenen Ideale, die von einem Element erzeugt sind, eine besondere Rolle. {{inputdefinition |Integritätsbereich/Gebrochenes Hauptideal/Definition|}} Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Integritätsbereich/Gebrochenes Ideal/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt sich sofort, dass für einen Hauptidealbereich jedes gebrochene Ideal ein gebrochenes Hauptideal ist. {{inputdefinition |Integritätsbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition|}} Wird das gebrochene Ideal {{math|term= {{idealf}} |SZ=}} als {{math|term= R |SZ=-}}Modul von {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} erzeugt und wird das gebrochene Ideal {{math|term= {{idealg}} |SZ=}} von {{mathl|term= g_1 {{kommadots|}} g_m |SZ=}} erzeugt, so wird das Produkt {{math|term= {{idealf}} {{idealg}} |SZ=}} von den Produkten {{ mathbed|term= f_ig_j ||bedterm1= 1 \leq i \leq n ||bedterm2= 1 \leq j \leq m |SZ=, }} erzeugt. Also ist das Produkt in der Tat wieder endlich erzeugt und damit ein gebrochenes Ideal. Für Ideale stimmt natürlich das Idealprodukt mit dem hier definierten Produkt von gebrochenen Idealen überein. Das Produkt von gebrochenen Hauptidealen ist wieder ein gebrochenes Hauptideal. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der gebrochenen Ideale (Integritätsbereich) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} edf9ol5rfofiouhv7ub8emxxdzd4aua 0 127051 1092589 1019817 2026-06-01T14:11:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092589 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kosinusreihe und Sinusreihe/R/Definition|| }} Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes {{math|term= x |SZ=}} absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen {{ Math/display|term= {{op:cos|x|}} {{defeq|}} {{op:cosinusreihe|x|}} \text{ und } {{op:sin|x|}} {{defeq|}} {{op:sinusreihe|x|}} |SZ= }} heißen {{Stichwort|Sinus|SZ=}} und {{Stichwort|Kosinus|SZ=.}} Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen. Der Hintergrund ist, dass man in Potenzreihen stets auch komplexe Zahlen einsetzen kann {{ Zusatz/Klammer |text=der Konvergenzbereich ist dann nicht ein reelles Konvergenzintervall, sondern eine Kreisscheibe| |ISZ=|ESZ=. }} Für die Exponentialreihe und {{ Relationskette | z || {{Imaginäre Einheit|}} x || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei {{math|term= x |SZ=}} reell oder komplex sein kann| |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=wir verwenden Rechenregeln für Potenzreihen, die wir für komplexe Zahlen nicht behandelt haben| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | {{op:exp(| {{Imaginäre Einheit|}} x|}} || \sum_{k {{=|}} 0}^\infty {{op:Bruch|( {{Imaginäre Einheit|}} x)^k |k!}} || \sum_{k {{=|}} 0, \, k \text{ gerade} }^\infty {{op:Bruch|( {{Imaginäre Einheit|}}x)^k |k!}} + \sum_{k {{=|}} 0, \, k \text{ ungerade} }^\infty {{op:Bruch|( {{Imaginäre Einheit|}} x)^k |k!}} || \sum_{n {{=|}} 0 }^\infty {{op:Bruch|( {{Imaginäre Einheit|}} x)^{2n}|(2n) !}} + \sum_{n {{=|}} 0 }^\infty {{op:Bruch|( {{Imaginäre Einheit|}} x)^{2n+1}|(2n+1) !}} || \sum_{n {{=|}} 0 }^\infty (-1)^n {{op:Bruch|x^{2n}|(2n) !}} + {{Imaginäre Einheit|}} (-1)^n \sum_{n {{=|}} 0 }^\infty {{op:Bruch|(x)^{2n+1}|(2n+1) !}} || {{op:cos|x|}} + {{Imaginäre Einheit|}} {{op:sin|x|}} |SZ=. }} Mit dieser Beziehung zwischen komplexer Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen {{ Zusatz/Klammer |text=die die {{Stichwort|eulersche Formel}} heißt| |ISZ=|ESZ= }} lassen sich viele Eigenschaften der letzteren besonders einfach beweisen. Prominente Spezialfälle dieser Beziehung sind {{ Relationskette/display | e^{ \pi {{Imaginäre Einheit|}}} || -1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | e^{2 \pi {{Imaginäre Einheit|}}} || 1 || || || |SZ=. }} Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Potenzreihe/Konvergenz/Stetige Funktion/Fakt |Nr= |SZ= }} sind Sinus und Kosinus stetige Funktionen. Weitere wichtige Eigenschaften werden in der folgenden Aussage zusammengefasst. {{ inputfaktbeweis |Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt|Satz|| |ref1=|| }} Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass das Paar {{mathl|term= ( {{op:cos|x|}}, {{op:sin|x|}} ) |SZ=}} ein Punkt auf dem {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=}} {{mathl|term= {{Mengebed|(u,v)|u^2+v^2 {{=|}} 1}} |SZ=}} ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als {{mathl|term= ( {{op:cos|x|}}, {{op:sin|x|}}) |SZ=}} schreiben lässt, wobei man {{math|term= x |SZ=}} als Winkel interpretieren kann. Dabei tritt die Periode {{math|term= 2 \pi |SZ=}} auf, wobei wir die {{Stichwort|Kreiszahl|SZ=}} {{math|term= \pi|SZ=}} eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8wxew2y42pjokn3460nnbe939aqccm1 0 127104 1092354 1080872 2026-06-01T13:33:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092354 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kreisteilungskörper/Q/Als Zerfällungskörper/Definition|| }} Die Kreisteilungskörper über {{math|term= \Q |SZ=}} bezeichnen wir mit {{mathl|term= K_n |SZ=.}} Offenbar ist {{math|term= 1 |SZ=}} eine Nullstelle von {{mathl|term= X^n-1 |SZ=,}} daher kann man {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} durch {{mathl|term= X-1 |SZ=}} teilen und erhält {{ Relationskette/display | X^n-1 || (X-1) {{makl| X^{n-1} +X^{n-2} {{plusdots|}} X+1 |}} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Relationskette | 1 |\in| \Q || || || |SZ= }} ist daher der {{math|term= n |SZ=-}}te Kreisteilungskörper auch der Zerfällungskör{{drucktrenn}}per von {{ Math/display|term= X^{n-1} +X^{n-2} {{plusdots|}} X+1 |SZ=. }} Da {{mathl|term= X^n-1 |SZ=}} auf die in {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebene Art über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} in Linearfaktoren zerfällt, nämlich {{ Relationskette/display | X^n-1 || \prod_{ k {{=}} 0}^{n-1} {{makl| X- e^{k 2 \pi {{Imaginäre Einheit}} / n} |}} || || || |SZ=, }} kann man {{math|term= K_n |SZ=}} als Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} realisieren, und zwar ist {{math|term= K_n |SZ=}} der von allen {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln erzeugte Unterkörper von {{math|term= {{CC}} |SZ=.}} Dieser wird sogar schon von einer einzigen primitiven Einheitswurzel erzeugt. {{ inputfakt |Kreisteilungskörper/Q/Erzeugt durch explizite Nullstellen/Fakt|Lemma||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist natürlich auch klar aufgrund des Satzes vom primitiven Element| |ISZ=.|ESZ=. }} }} Statt {{mathl|term= {{op:exp2piibruch||n}} |SZ=}} kann man auch jede andere {{math|term= n |SZ=-}}te primitive Einheitswurzel aus {{math|term= {{CC}} |SZ=}} als Erzeuger nehmen. {{ inputbeispiel |Kreisteilungskörper/Q/Kleine n/Beispiel|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungskörper/Q/Prim/Kreisteilungspolynom/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbild |Kreis5Teilung|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Exxu |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel|| }} Die Menge der {{math|term= n |SZ=-}}ten Einheitswurzeln in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} bilden eine {{ Definitionslink |zyklische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} und die primitiven Einheitswurzeln sind die Erzeuger davon. Ihre Anzahl stimmt damit generell mit der Anzahl der Erzeuger der additiven Gruppe {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|n|}}, \cdot, 0 |}} |SZ=}} überein. Diese Anzahl bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition|| }} {{ inputdefinition |Kreisteilungspolynom/Definition|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungspolynom/Koeffizienten in Z/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungskörper/Q/Minimalpolynom/Fakt|Satz|| }} {{ inputfakt |Kreisteilungskörper/Galois/Beschreibung der Gruppe/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oyowf45aaxrhilhkna3ig1tyrds09jn 0 127555 1092195 1075316 2026-06-01T13:07:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092195 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten die Gleichung {{ Relationskette/display | x^2+y^2 || z^3 || || || |SZ=. }} Lösungen sind beispielsweise {{mathl|term= (2,2,2) |SZ=}} oder {{mathl|term= (11,2,5) |SZ=.}} Wenn man eine Lösung {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} hat, so kann man das Lösungstupel mit {{math|term= u^6 |SZ=}} multiplizieren und erhält wegen {{ Relationskette/display | {{makl| u^3x |}}^2 + {{makl| u^3y |}}^2 || u^6(x^2+y^2) || u^6 z^3 || {{makl| u^2z |}}^3 || |SZ= }} eine neue Lösung {{mathl|term= {{makl| u^3x,u^3y,u^2z |}} |SZ=.}} Insbesondere gibt es unendlich viele Lösungen. Wenn {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} in einer Lösung einen gemeinsamen Primteiler {{math|term= p |SZ=}} haben, so kommt er wegen der linken Seite mit einer geraden Vielfachheit und wegen der rechten Seite mit einer durch drei teilbaren Vielfachheit vor. Er kommt also insgesamt mit einer durch sechs teilbaren Vielfachheit vor und man kann den eben beschriebenen Prozess umkehren. Es geht also im Wesentlichen darum, Lösungen für {{math|term= x,y |SZ=}} teilerfremd zu finden. Es ist {{ Relationskette/display |x^2+y^2 || (x+ {{imaginäre Einheit|}} y)(x - {{imaginäre Einheit|}} y) || z^3 || || |SZ= }} im Ring der Gaußschen Zahlen. Bei {{mathl|term= x,y |SZ=}} teilerfremd ist {{ Relationskette/display | (x+ {{imaginäre Einheit|}} y,x - {{imaginäre Einheit|}} y) || (2 x, 2 y, x + {{imaginäre Einheit|}} y) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette/display |x ||y ||1 || || |SZ= }} liegt das im Ideal {{mathl|term= ( 1 + {{imaginäre Einheit|}} ) |SZ=.}} Sonst handelt es sich um das Einheitsideal. Letzterer Fall entspricht keiner Lösung. Also sind {{ mathkor|term1= x+ {{imaginäre Einheit|}} y |und|term2= x- {{imaginäre Einheit|}} y |SZ= }} teilerfremd und daher muss jeder Primteiler von {{math|term= z |SZ=}} in einem der Faktoren in der dirtten Potenz aufgehen. D.h. die beiden Zahlen sind selbst bis auf Einheiten dritte Potenzen. Der Ansatz {{ Relationskette/display | x+ {{imaginäre Einheit|}} y || w (a + {{imaginäre Einheit|}} b)^3 || || || |SZ= }} mit einer Einheit {{math|term= w |SZ=.}} Da man die Negation reinziehen kann und man die Rollen von {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} vertauschen kann, darf man {{ Relationskette | w || 1 || || || |SZ= }} annehmen. Das führt auf die beiden Gleichungen {{ Relationskette | x || a^3 - 3 ab^2 || a {{makl| a^2-3b^2 |}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette | y || 3a^2b - b^3 || b {{makl| 3a^2-b^2 |}} || || |SZ=. }} Man kann also {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= b |SZ=}} frei vorgeben. In der Tat ist {{ Relationskette/display | {{makl| a {{makl| a^2-3b^2 |}} |}}^2 + {{makl| b {{makl| 3a^2-b^2 |}} |}}^2 || {{makl| a^2+b^2 |}}^3 || || || |SZ=. }} Sei nun {{math|term= y |SZ=}} fixiert. Dann gibt es nur endlich viele Teiler {{math|term= b |SZ=}} von {{math|term= y |SZ=,}} und dies legt auch {{math|term= a |SZ=}} fest. Bei {{ Relationskette | y || 1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | b || 1 || || || |SZ= }} und es gibt keine Lösung für {{math|term= a |SZ=.}} Der Fall {{ Relationskette/display | b || -1 || || || |SZ= }} führt auf {{ Relationskette | a || 0 || || || |SZ=, }} was wir ausgeschlossen haben. Bei {{ Relationskette | y || 2 || || || |SZ= }} hat man die Lösungen {{ Relationskette/display | (a,b) || ( 1, 1), (1, -2) || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | b || -1 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette/k | b || 2 || || || |SZ= }} führen nicht auf eine Lösung| |ISZ=|ESZ=. }} Diese führen auf die Lösungen {{ Relationskette/display | x || \pm 2, \pm 11 || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der diophantischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 78r24n46mcr3hybt4xnr3xxijfuzf6r 0 127571 1092194 981594 2026-06-01T13:07:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092194 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten die Gleichung {{ Relationskette/display |X^3+Y^3 ||Z^2 || || || |SZ=. }} Als ganzzahlige Lösungen fallen einem {{mathl|term= (0,1,1), \, (1,2,3) |SZ=}} und {{mathl|term= (2,2,4) |SZ=}} sofort ein. Ferner erhält man mit jeder Lösung {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} neue Lösungen {{mathl|term= (u^2x,u^2y,u^3z) |SZ=.}} Man wird also vor allem nach Lösungen mit teilerfremden {{math|term= x,y|SZ=}} suchen. Eine nicht unmittelbar naheliegende ganzzahlige, aber nicht positive Lösung ist {{mathl|term= (-7,8,13) |SZ=,}} es ist ja {{ Relationskette/display |(-7)^3+8^3 || -343 +512 || 169 || 13^2 || |SZ=, }} oder {{mathl|term= (-104,105,181) |SZ=.}} Da wir nach ganzzahligen Lösungen suchen, ist die Gleichung äquivalent zu {{ Relationskette/display |X^3-Y^3 ||Z^2 || || || |SZ=. }} Im Ring der Eisensteinzahlen ist {{ Relationskette/display | (x-y)(x- \eta y)(x- \eta^2 y) || z^2 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |x-y ||1 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | x ||y+1 || || || |SZ=, }} gelangt man zur Bedingung {{ Relationskette/display | {{makl| y+1- \eta y |}} {{makl|y+1- \eta^2 y |}} || z^2 || || || |SZ=. }} Die Differenz der beiden Faktoren ist {{math|term= (\eta^2 - \eta) y |SZ=.}} Daraus folgt, dass die Faktoren teilerfremd sind, und daraus folgt {{ Relationskette/display | y+1- \eta y || (a+b \eta)^2 || a^2 + b^2 \eta^2 + 2ab \eta || a^2 -b^2 + ( 2ab-b^2) \eta || |SZ=. }} Dies ergibt das Gleichungssystem {{ Relationskette/display | y+1 || a^2-b^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |-y || 2ab-b^2 || || || |SZ=, }} was aufaddiert auf die Gleichung {{ Relationskette/display |a^2 +2ab -2b^2 ||1 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | (a+b)^2 -3b^2 || 1 || || || |SZ= }} führt. Mit {{ Relationskette/display |c || a+b || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |c^2 -3b^2 ||1 || || || |SZ= }} eine Pellsche Gleichung, und zwar die {{ Zusatz/Klammer |text=positive| |ISZ=|ESZ= }} Einheitenbedingung im quadratischen Zahlbereich zu {{math|term= \sqrt{3} |SZ=.}} Die Fundamentaleinheit ist {{math|term= 2+\sqrt{3} |SZ=.}} {{Wertetabelle6|text1=Einheit|a|b|c|x|y|z|text2={{math|term= 2+\sqrt{3} |SZ=}} |1|1|2|0|-1|1|}} {{Wertetabelle6|text1=Einheit|a|b|c|x|y|z|text2={{math|term= 2-\sqrt{3} |SZ=}} |3|-1|2|8|7|13 |}} {{Wertetabelle6|text1=Einheit|a|b|c|x|y|z|text2={{math|term= 7+4\sqrt{3} |SZ=}} |3|4|7|-7|-8|13 }} {{Wertetabelle6|text1=Einheit|a|b|c|x|y|z|text2={{math|term= 7-4\sqrt{3} |SZ=}} |11|-4|7|105|104|181 }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der diophantischen Gleichungen |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen D-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8vpmr4inel90auwupe23oafggmu5w2z 0 128044 1092505 1000846 2026-06-01T13:58:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092505 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Modulo {{math|term= 2 |SZ=}} ist jede Zahl ein quadratischer Rest. Für ungerade Primzahlen kann man ebenfalls sofort eine Aussage über die Anzahl der Quadratreste machen. {{inputfaktbeweis |Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt|Satz|}} {{ inputbemerkung |Restklassenkörper/Z/Zyklisch/Quadratrest/Bemerkung|| }} {{inputdefinition |Restklassenringe (Z)/Legendre Symbol/Definition|}} Insbesondere ist {{ Relationskette | {{op:Legendre-Symbol|k|p}} || {{op:Legendre-Symbol|k \mod p|p}} || || || |SZ=. }} Die Werte des Legendre-Symbols, also {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= -1 |SZ=,}} kann man dabei in {{math|term= \Z|SZ=,}} in {{math|term= \Z^\times|SZ=}} oder in {{mathl|term= {{op:Einheiten(| {{op:Zmod|p|}} |}} |SZ=}} auffassen. Für Vielfache von {{math|term= p |SZ=}} definiert man manchmal das Legendre-Symbol ebenfalls, und zwar mit dem Wert {{math|term= 0 |SZ=.}} {{inputfaktbeweis |Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Legendre ist multiplikativ/Fakt|Lemma||}} Die folgende Aussage heißt das {{Stichwort|Euler-Kriterium|SZ=}} für quadratische Reste. {{inputfaktbeweis |Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt|Satz||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Quadratreste |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} s5tqa4q1n9jakjh3znxrkiggftrq7xf 0 128260 1092351 1074651 2026-06-01T13:32:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092351 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Konvexe Teilmengen/konvex (R hoch n)/Definition|}} {{ inputbild |Convex set|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Convex_set |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Non Convex set|svg| 200px {{!}} {{!}} |Zusname=Non_Convex_set |Autor= Kilom691 |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex{{{refa|}}}. Daher kann man definieren. {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Konvexe Hülle (R hoch n)/Definition|}} Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die {{math|term= U |SZ=}} umfassen. {{ inputbild |ConvexHull|png| 200px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Maksim |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus {{math|term= U |SZ=}} legt und die Schnur dann zusammen zieht. Dreidimensional nehme man ein Stofftuch. {{inputdefinition |Konvexe Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition|}} Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren {{math|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugten Parallelotops| |Kontext=| |SZ=. }} Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form {{ Math/display|term= r_1v_1 {{plusdots}} r_nv_n \text{ mit } r_i \in [0,1] |SZ= }} Wir werden die Grundmasche häufig mit {{math|term= \mathfrak M |SZ=}} bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt {{math|term= P |SZ=}} nennt man die Menge {{mathl|term= P+ {\mathfrak M} |SZ=}} eine {{Definitionswort/enp|Masche}} des Gitters. Ein beliebiger Punkt {{ Relationskette |Q |\in| \R^n || || || |SZ= }} hat eine eindeutige Darstellung {{ Relationskette |Q || t_1v_1 {{plusdots|}} t_nv_n || || || |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/display/handlinks |Q || (\lfloor t_1 \rfloor v_1 {{plusdots|}} \lfloor t_n \rfloor v_n) + ( (t_1 - \lfloor t_1 \rfloor) v_1 {{plusdots|}} (t_n-\lfloor t_n \rfloor) v_n) || || || |SZ=, }} wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam. {{ inputbild |Determinant parallelepiped|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Determinant_parallelepiped |Text= |Autor= |Benutzer=Claudio Rocchini |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Da ein Gitter keine wohldefinierte Gitterbasis besitzt, gibt es eine wohldefinierte Grundmasche nur dann, wenn eine Gitterbasis fixiert wurde, siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Standardgitter/R^2/Andere Basis/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Allerdings, und dies ist entscheidend, ist das Volumen einer Grundmasche unabhängig von der Gitterbasis und hängt nur vom Gitter selbst ab. Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Basis/Übergang/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ=. }} Das Volumen eines Parallelotops und insbesondere einer Grundmasche kann man mit den beiden folgenden Sätzen berechnen.{{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweishier |Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt|Satz||Beweistext=Dies ist der entscheidende Schritt zum Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Nr= |SZ=, }} siehe den Beweis dort.||}} {{ inputfaktbeweishier |Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt|Satz||Beweistext=Für den Beweis siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Euklidischer Vektorraum/Volumen eines Parallelotops/Über Skalarproduktmatrix/Fakt |Nr= |SZ=. }} }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konvexität (Geometrie) |Kategorie2=Theorie der Gitter |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0766gb58j5db63m95fddtcef4ncjleo 0 128488 1092629 1073700 2026-06-01T14:18:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092629 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} zur endlichen Körpererweiterung {{ Relationskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ=. }} In {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt |Nr= |SZ= }} haben wir gesehen, dass das Bild der {{ Definitionslink |reellen Gesamteinbettung| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (R) ||\Gamma_R |\subset| \R^r \times {{CC}}^s || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=| |SZ= }} in {{mathl|term= \R^r \times {{CC}}^s |SZ=}} ist, wobei {{math|term= r |SZ=}} die Anzahl der reellen Einbettungen und {{math|term= s |SZ=}} die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Zu jedem von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Element {{ Relationskette |f |\in|R || || || |SZ= }} ist {{math|term= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} (f) |SZ=}} in jeder reellen Komponente und in jeder komplexen Komponente von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden {{ Zusatz/Klammer |text=Real- oder Imaginärteil kann aber {{math|term= 0 |SZ=}} sein| |ISZ=|ESZ=. }} Um die Einheitengruppe von {{math|term= R |SZ=}} zu verstehen, betrachten wir die Abbildung {{ Abbildung/display/druckelementzeile |name= | {{makl| {{op:Einheiten|\R|}} |}}^r \times {{makl| {{op:Einheiten|{{CC}} }} |}}^s | \R^{r+s} | (x_1 {{kommadots|}} x_r; z_{r+1} {{kommadots|}} z_{r+s} )| ( {{op:ln| {{op:Betrag|x_1 |}} |}} {{kommadots|}} {{op:ln| {{op:Betrag|x_r|}} |}} ; {{op:ln(| {{op:Betrag|z_{r+1}|}}^2 |}} {{kommadots|}} {{op:ln(| {{op:Betrag|z_{r+s}|}}^2 |}} ) |SZ=. }} Man beachte, dass man für die komplexen Einbettungen die Werte {{ Relationskette/display | {{op:ln| {{op:Betrag|z_{j} {{op:Komplexe Konjugation|z_j |}} |}} |}} || {{op:ln(| {{op:Betrag|z_{j}|}}^2 |}} || 2 {{op:ln| {{op:Betrag|z_{j}|}} |}} || || |SZ= }} heranzieht. Insgesamt haben wir die Verknüpfung der folgenden Abbildungen {{ Math/display|term= {{op:Einheiten|K|}} \stackrel{ {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} }{\longrightarrow } {{makl| {{op:Einheiten|\R|}} |}}^r \times {{makl| {{op:Einheiten|{{CC}} }} |}}^s \stackrel{ {{op:Betrag| - |}} }{ \longrightarrow } {{makl| {{op:Einheiten|\R|}} |}}^r \times {{makl| {{op:Einheiten|\R|}} |}}^s \stackrel{ {{op:ln(|-|}} , 2 {{op:ln(|- |}} }{\longrightarrow} \R^r \times \R^s |SZ=, }} wobei die funktionalen Ausdrücke komponentenweise zu verstehen sind. Da die Einbettungen und der Betrag multiplikativ sind und der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | ( {{op:Einheiten|K|}},1, \cdot) | (\R^{r+s} , 0 , +) || |SZ= }} vor. Wir sprechen von der {{Stichwort|logarithmischen Gesamtabbildung|msw=Logarithmische Gesamtabbildung|SZ=}} und bezeichnen sie mit {{math|term= L |SZ=.}} Diese ist insbesondere für die Einheitengruppe {{ Relationskette | {{op:Einheiten|R|}} |\subseteq| {{op:Einheiten|K|}} || || || |SZ= }} wichtig. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Dirichletsche Einheitensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} e5wbtulzx0df87s2tolb5obfwe6197u 0 128943 1092807 1079958 2026-06-02T07:06:50Z Jeb 26942 1092807 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 2. Juni == ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical Abstracts|Graphical Abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] m4tkwkz0c1nlmo7x9ai7gsukzmv6doo 1092808 1092807 2026-06-02T07:10:58Z Jeb 26942 /* 2. Juni */ 1092808 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 2. Juni == ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical Abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 6mpnafta6diuxtsqy6wt6bv8nhfwr59 1092809 1092808 2026-06-02T07:11:24Z Jeb 26942 /* 2. Juni */ 1092809 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 2. Juni == ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 3s0agddiob4hxvv2wly1cc8uui3k3vr 1092810 1092809 2026-06-02T07:25:10Z Jeb 26942 /* 2. Juni */ 1092810 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 2. Juni == ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] etxys1hwpqj8l92tmmyc0k0jq299ptx 1092811 1092810 2026-06-02T07:34:00Z Jeb 26942 /* 2. Juni */ Ludwig Richter 1092811 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] 774djb70xfwtok97yfhy0ujjz62t5hl 0 129156 1092262 982267 2026-06-01T13:17:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092262 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |imaginär-quadratischer Zahlbereich| |Kontext=| |SZ=, }} d.h. es gibt eine negative quadratfreie Zahl {{math|term= D |SZ=,}} die eine {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |\Q |\subseteq|K ||\Q[\sqrt{D}] ||\Q[X]/ {{makl| X^2-D |}} || |SZ= }} und einen zugehörigen {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= A_D|SZ=}} definiert. Dabei gilt {{ Math/display|term= A_D = {\Z}[\sqrt{D}], \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4 |SZ= }} und {{ Math/display|term= A_D= {\Z}[ {{op:Bruch|1+\sqrt{D} |2}} ], \text{ wenn } D= 1 \mod 4 |SZ=, }} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Man kann {{math|term= \sqrt{D} |SZ=}} als komplexe Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar als rein-imaginäre Zahl| |ISZ=|ESZ= }} realisieren und erhält dadurch eine Einbettung {{ Relationskette |A_D |\subseteq|K |\subseteq|{{CC}} || || |SZ=. }} Wir fixieren eine solche Einbettung, die andere Einbettungsmöglichkeit ist dazu komplex-konjugiert. Als kommutative Gruppe ist in beiden Fällen {{math|term= A_D|SZ=}} isomorph zu {{math|term= \Z^2 |SZ=,}} was unmittelbar aus der expliziten Beschreibung folgt. Dies gilt auch für jedes von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} in {{math|term= A_D|SZ=,}} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Basis für Ideale/Fakt |Nr= |SZ= }} oder allgemeiner {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt |Nr= |SZ=, }} und somit ergibt ein Ideal {{ Relationskette | {{ideala|}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ= }} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Zu diesem Gitter kann man die elliptische Kurve {{mathl|term= {{CC|}}/{{ideala}} |SZ=}} bilden. Wir fragen uns, inwiefern diese elliptischen Kurven besonders sind und wie man in ihnen den Ring {{math|term= A_D|SZ=}} wiederfinden kann. {{ inputfaktbeweis |Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Ideal/Elliptische Kurve/Endomorphismenring/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Ideal/Elliptische Kurve/Idealklasse/Fakt|Satz|| || }} Wenn {{math|term= \Gamma|SZ=}} ein durch {{math|term= 1, \tau |SZ=}} gegebenes Gitter ist, so handelt es sich um das Ideal in einem quadratischen Zahlbereich {{ Zusatz/Klammer |text=allerdings nicht notwendigerweise normal| |ISZ=|ESZ=, }} wenn {{math|term= \tau|SZ=}} eine quadratische Gleichung über {{math|term= \Q|SZ=}} erfüllt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven mit komplexer Multiplikation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1j4fjl6894qzuir4x4ksa12muphf3yg 0 129468 1092663 849380 2026-06-01T14:30:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092663 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Divisor| |msw= |SZ= }} zu einem Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o0a012sa4oluj55i0r1lr1b0duxtngy 0 129497 1092452 1019531 2026-06-01T13:49:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092452 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik 2/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Produkt von Kurven/Positive Charakteristik/Geradenbündel/Produkttyp/Fakt|Lemma|| || }} Wenn eine Kurve die projektive Gerade ist oder beide Kurven elliptisch sind, so ist jedes Geradenbündel vom Produkttyp, sonst aber nicht. Der Modul der Kähler-Differentiale ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|C_1 \times C_2 |}} || q_1^* \omega_1 \oplus q_2^*\omega_2 || || || |SZ=. }} Die erste Kohomologie ist die direkte Summe der beiden ersten Kohomologien, beide eindimensional, und je nach Kurve kann was annullierbar sein oder nicht. Zu einer lokal freien Garbe {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} und einer topdimensionalen Kohomologieklasse gibt es einen Homomorphismus {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{op:Garbe|F|}} | \omega_X || |SZ=, }} der die Klasse auf nicht {{math|term= 0 |SZ=}} abbildet. Das Bild ist ein Untermodul, der sonst keine besonderen Eigenschaften besitzt. {{ inputfaktbeweis |Glatte projektive Varietät/Positive Charakteristik/Sehr amples Geradenbündel/Kohomologieklasse/Projektion/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Fermatkubik/4 Variablen/Charakteristik p/Annullation/Beispiel|| }} Zu einer endlichen graduierten Ringerweiterung {{ Relationskette/display |K[X_0,X_1 {{kommadots|}} X_d ] |\subseteq| S || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |Y || {{op:Proj|S|}} || || || |SZ= }} gibt es ein {{math|term= m |SZ=}} derart, dass alle Kohomologieklassen {{math|term= c |SZ=}} aus {{mathl|term= H^d( Y, {{op:Getwistete Strukturgarbe|Y|s}} |SZ=}} eine Realisierung {{ Relationskette/display |c || {{op:Bruch|z|X_0^{m_1} \cdots X_d^{m_d}}} || || || |SZ= }} besitzen, wobei der Grad des Nenners durch {{math|term= m |SZ=}} beschränkt ist, und zwar unabhängig von {{math|term= s |SZ=.}} Für ein fixiertes {{math|term= s |SZ=}} ist dies klar wegen der Endlichkeit der Kohomologie. Ansonsten können wir {{math|term= S |SZ=}} als normal annehmen, wobei wir dann die Graduierung verfeinern müssen. Die Algebraerzeuger von {{math|term= S |SZ=}} erfüllen Ganzheitsgleichungen. {{math|term= m |SZ=}} ist dann das Produkt der Grade der Ganzheitsgleichungen über ein Algebraerzeugendensystem, da man dann ein Monom in diesen Erzeugern durch einen einfacheren Ausdruck ersetzen kann. {{ inputbeispiel |Polynomring/2 Variablen/X^2 und Y^2/XY/Restklassenring/Straffer Abschluss/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Projektive Ebene/Syz vierte Potenzen/Torsor/Einschränkung/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Vektorbündel/Projektive Varietät/Kohomologisch p-ampel/Definition|| }} Arapura nennt das {{math|term= F |SZ=-}}ampel bzw. Frobenius-Amplitude ist {{math|term= 0 |SZ=.}} {{ inputdefinition |Vektorbündel/Projektive Varietät/P-ampel/Definition|| }} Es gilt kohomologisch {{math|term= p |SZ=-}}ampel {{math|term= \Rightarrow |SZ=}} {{math|term= p |SZ=-}}ampel {{math|term= \Rightarrow |SZ=}} ampel. Auf einer Kurve und für invertierbare Garben fallen die Begriffe zusammen. Das Syzygienbündel in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Projektive Ebene/Syz vierte Potenzen/Torsor/Einschränkung/Beispiel |Nr= |SZ= }} ist ampel, aber nicht kohomologisch {{math|term= p |SZ=-}}ampel. Es ist als Quotient eines {{math|term= p |SZ=-}}amplen Bündels auch {{math|term= p |SZ=-}}ampel. Wenn {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} {{math|term= p |SZ=-}}ampel auf einer glatten projektiven Varietät ist, so ist {{math|term= F^{e*}( {{op:Garbe|F|}} ) {{tensor|}} \omega^{-1} {{tensor|}} {{op:Garbe|A|}}^{-1} |SZ=,}} wobei {{math|term= {{op:Garbe|A|}} |SZ=}} eine sehr ample invertierbare Garbe sei, für {{math|term= e |SZ=}} hinreichend groß von globalen Schnitten erzeugt. Damit gibt es eine Einbettung {{ Math/display|term= F^{e*}( {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} ) {{tensor|}} \omega \subset F^{e*}( {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} ) {{tensor|}} \omega {{tensor|}} {{op:Garbe|A|}} \hookrightarrow {{op:Strukturgarbe|X|}}^r |SZ= }} und deshalb hat {{math|term= F^{e*}( {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} ) {{tensor|}} \omega |SZ=}} keine globalen Schnitte {{math|term= \neq 0 |SZ=.}} Deshalb ist nach Serre-Dualität {{ Relationskette/display | H^d(X, F^{e*} ({{op:Garbe|F|}} )) || 0 || || || |SZ=. }} siehe Lemma 5.3 in Arapura. Das geht auch unter der Bedingung ampel. Dazu wählt man ein sehr amples Geradenbündel und Schnitte, die eine glatte Kurve herausschneiden. Wenn {{math|term= F^{e*}( {{op:Duale Modulgarbe| {{op:Garbe|F|}} |}} ) {{tensor|}} \omega |SZ=}} einen globalen Schnitt hätte, so hätte auch die generische Einschränkung auf eine vollständige Durchschnittskurve einen Schnitt. Die Einschränkung von {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} ist aber ebenfalls amplel und so erreicht man einen beliebig hohen Grad. Sei {{Kurze exakte Sequenz/display|N|\bigoplus_j R(-e_j)|M}} eine kurze exakte Sequenz von graduierten {{math|term= R |SZ=-}}Moduln. Dann ist der Frobenius nicht exakt, aber rechtsexakt und exakt auf dem regulären Ort und auf dem Ort, wo lokal frei vorliegt. {{ inputbeispiel |Hyperfläche/Projektiver Raum/Parameterpotenzen/Eingeschränkte Auflösung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Diskreter Bewertungsring/Syzygienmodul/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Hyperfläche/Eingeschränkte Parameterpotenzen/Syzygien/Erste Kohomologieklasse/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/2 Variablen/2 Erzeuger/Syzygien/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Fermat-Kubik/Syzygienbündel/Kurven und Liftung/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |Singularität/Auflösung/Topdimensionale Kohomologieklasse/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Modul/Darstellung/Symmetrische Algebra/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Primäre Syzygie/3 Erzeuger/Quotientenabbildung/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Fermat-Kubik/Variablenquadrate/Syzygienmodul/Restklassendarstellung/Diskreter Bewertungsring/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Standardaufblasung/Affin/Maximales Ideal/Torsion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Polynomring/Standardaufblasung/Affin/Projektives Spektrum/Beispiel|| }} |Kategorie=Theorie der Frobeniuspotenzen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kch3yo8t5jp8uk3qk09q7f8aiwoh3kf 0 129630 1092326 982770 2026-06-01T13:28:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092326 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Proj der {{ Definitionslink |Rees-Algebra| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{math|term= I |SZ=}} ein {{math|term= {{idealm}} |SZ=-}}primäres Ideal ist, und {{ Relationskette |f_1 {{kommadots|}} f_d |\in|I || || || |SZ= }} Parameter, so bilden die {{math|term= D_+(f_iT) |SZ=}} eine offene Überdeckung der Aufblasung. Zu {{ Relationskette |h |\in|I^n || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Schnittring| D_+ (hT^r ) |}} || {{Mengebed| {{op:Bruch|gT^{rs}| (hT^r)^s }} |g \in I^{rs} }} || || || |SZ= }} Zu einem Ideal {{ Relationskette/display | {{ideala|}} || (a_1 {{kommadots|}} a_n) |\subseteq| R || || || |SZ= }} wird das Urbild unter der kanonischen Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Proj|R(I)|}} | {{op:Spek|R|}} || |SZ= }} durch {{mathl|term= \bigcup D_+(a h) |SZ=}} mit {{ Relationskette |h |\in|I || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |a |\in|I || || || |SZ= }} beschrieben. Speziell wird zu einem Element {{ Relationskette |f |\in|R || || || |SZ= }} das Urbild {{math|term= \tilde{X}_f|SZ=}} von {{math|term= D(f) |SZ=}} durch {{mathl|term= \bigcup D_+(fh) |SZ=}} mit {{ Relationskette |h |\in|I || || || |SZ= }} beschrieben. {{ Abbildung/display |name= |R_f| ( R(I)_{fh})_0 | {{op:Bruch|r|f^s}} | {{op:Bruch|r hT |f^s hT|}} |SZ=, }} wobei man {{ Relationskette |r,f^s |\in|R || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette |rh,f^sh |\in|I || || || |SZ= }} ausnutzt. Zu einem {{math|term= R |SZ=-}}Modul {{math|term= M |SZ=}} ist der Rückzug auf die Aufblasung gleich der zugehörigen quasikohärenten Garbe zum graduierten Modul {{math|term= M {{tensor}} R(I) |SZ=.}} Dieser ist {{ Relationskette/display | M {{tensor|R}} R(I) || \bigoplus_{n \in \N} M {{tensor|R}} I^n || || || |SZ= }} und der zugehörige Modul auf {{mathl|term= D_+(gT) |SZ=}} zu {{ Relationskette |g |\in|I || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{Mengebed| {{op:Bruch|v|g^nT^n}}| v \in M {{tensor|R}} I^n }} || M {{tensor|R}} {{Mengebed| {{op:Bruch|a|g^nT^n}}| a \in I^n }} || M {{tensor|R}} {{op:Schnittring|D_+(gT)| \tilde{X} }} || || |SZ=. }} Eine Cech-Kohomologieklasse {{mathl|term= {{op:Bruch|g|x_1^{\alpha_1} \ldots x_d^{\alpha_d} }} |SZ=}} kann man als {{mathl|term= {{op:Bruch|ghT|x_1^{\alpha_1} \ldots x_d^{\alpha_d} hT }} |SZ=}} für jedes {{ Relationskette |h |\in|I || || || |SZ= }} auffassen, also als Element von {{ Relationskette/display |\tilde{X}_{x_1 \cdots x_d} || \bigcup_{ h\in I} D_+ (x_1 \cdots x_d hT) || || || |SZ=. }} Die Fortsetzbarkeit nach {{math|term= \tilde{X} |SZ=}} bedeutet im Wesentlichen, dass {{ Relationskette | g |\in| I^{\alpha_1 {{plusdots}} \alpha_d} || || || |SZ= }} gilt. Man arbeitet mit der Überdeckung {{ Relationskette/display |\tilde{X} || \bigcup D_+(x_iT) || || || |SZ=. }} Ein Element des Durchschnittes hat dann die Gestalt {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|gT^\alpha| (x_1T)^{\alpha_1} \cdots (x_dT)^{\alpha_d}}} || {{op:Bruch| gT^{\alpha_1 {{plusdots}} \alpha_d}|x_1^{\alpha_1} \ldots x_d^{\alpha_d} T^{\alpha_1 {{plusdots}} \alpha_d} }} || || || |SZ= }} und {{math|term= g |SZ=}} muss zur entsprechenden Potenz gehören. Man darf auch mit {{math|term= x_i^\beta|SZ=}} erweitern. Deshalb folgt im homogenen isolierten Fall mit {{ Relationskette |I ||R_+ || || || |SZ=, }} dass die Klassen fortsetzbar ist, wenn der Grad des Zählers größergleich der Summe der Parametergrade ist. {{ inputbemerkung |Kommutativer Ring/Aufblasung/Modul/Zeilendarstellung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Aufblasungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 54pywknbz0q5d5m8a5jt3m77t42vlgi 0 130136 1092563 1019743 2026-06-01T14:07:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092563 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein lokaler noetherscher Ring und {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} Elemente, die ein {{math|term= {{idealm|}} |SZ=-}}primäres Ideal erzeugen. Es gelte {{ Relationskette |f_j |\in| {{idealm|}}^{d_j} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |f_j |\notin| {{idealm|}}^{d_j +1} || || || |SZ=. }} Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \bigoplus_j R(-d_j) | R | {{op:Zeilenvektor|s_1 | \ldots |s_n }} | \sum_j s_jf_j |SZ=, }} induziert für jedes {{math|term= k |SZ=}} Abbildungen {{ Abbildung/display |name= | \bigoplus_j {{idealm|}}^{k -d_j} | {{idealm|}}^{k} || |SZ= }} und Abbildungen von {{math|term= R/ {{idealm|}} |SZ=-}}Vektorräumen {{ Abbildung/display |name= | \bigoplus_j {{idealm|}}^{k -d_j} / {{idealm|}}^{k-d_j+1} | {{idealm|}}^{k} / {{idealm|}}^{k+1} || |SZ=. }} Aus Dimensionsgründen gibt es dann ein minimales {{math|term= k |SZ=}} derart, dass es einen nichttrivialen Kern gibt, was mit der Hilbertfunktion bestimmt werden kann. Ferner gibt es ein erwartetes minimales {{math|term= k'|SZ=,}} das von den Hilbertpolynomen herrührt. {{ Math/display|term= Syz (X^3,Y^5,X^2-Y^3) \subseteq R(-3) \oplus R(-5) \oplus R(-2) |SZ= }} Basissyzygien {{ Relationskette/display | s_1 || (-X,Y,X^2+Y^3) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | s_2 || (-Y^2,X,XY^2) || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | Xs_1-Ys_2 || ( -X^2+Y^3 ,0,X^3) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Y^2 s_1-Xs_2 || ( 0 ,-X^2+Y^3 ,Y^5) |\in| F_7 || || |SZ=. }} Die erste Komponente müsste also zu {{math|term= R(-4)_7 |SZ=}} gehören, was nicht der Fall ist. Wir ergänzen {{math|term= S |SZ=}} zu {{math|term= S' |SZ=,}} indem wir {{mathl|term= {{op:Bruch|Y^m |X}} (Y^2s_1-Xs_2) |SZ=}} hinzunehmen und in die Stufe {{math|term= F_{m+6} |SZ=}} packen. {{math|term= S' |SZ=}} kann man als {{math|term= R |SZ=-}}Untermodul von {{math|term= S_X |SZ=}} realisieren. Die natürliche Abbildung {{mathl|term= As_1+Bs_2 \mapsto B |SZ=}} nach {{math|term= R(-6) |SZ=}} ergänzen wir, indem wir diese Element auf {{math|term= -Y^m |SZ=}} schicken. Insbesondere geht {{mathl|term= - {{op:Bruch|1|X}} (Y^2s_1-Xs_2) |SZ=}} auf {{math|term= 1 |SZ=}} (und zwar vom richtigen Grad). Dies erlaubt den Schnitt {{math|term= 1 \mapsto - {{op:Bruch|1|X}} (Y^2s_1-Xs_2) |SZ=.}} Wegen {{math|term= As_1+Bs_2 \mapsto B \mapsto - {{op:Bruch|B|X}} (Y^2s_1-Xs_2) |SZ=}} geht {{mathl|term= (A- {{op:Bruch|BY^2|X}}) s_1 |SZ=}} zum Kern. Nach vorne betrachten wir daher die Abbildung {{math|term= As_1+Bs_2 \mapsto A- {{op:Bruch|BY^2|X}} |SZ=,}} wofür wir {{math|term= R(-4) |SZ=}} um die {{math|term= Y^m/X |SZ=}} erweitern müssen. Obiges {{math|term= Y^2s_1-Xs_2 |SZ=}} geht dann auf {{math|term= 0 |SZ=.}} Allerdings sind die Erweiterungen nicht erlaubt. Bei {{ Relationskette/display | R' || R + {{op:Bruch|Y^m |X}} || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | R'/F_\ell || R/m^\ell +{{op:Bruch|Y^m |X}} , 0 \leq m \leq \ell || || || |SZ=. }} Das Bild mit Quotientenfiltrierung. {{math|term= As_1+Bs_2 |SZ=}} gehört maximal zu {{math|term= F_{Grad C +2+5} |SZ=}} bei {{math|term= B=CX |SZ=}} und nur zu {{math|term= F_{ k+5} |SZ=}} bei {{math|term= B=Y^k |SZ=.}} Die Bildstufe zu {{math|term= F_\ell |SZ=}} ist daher {{math|term= CX |SZ=}} mit {{math|term= C |SZ=}} vom Grad {{math|term= \ell - 7 |SZ=}} und {{math|term= Y^k |SZ=}} mit {{ Relationskette | k || \ell -5 || || || |SZ=. }} Also {{math|term= G_\ell |SZ=}} ist {{ Relationskette | X \cdot m^{\ell -7} + Y^{\ell -5} | \subseteq | m^{\ell -6} || || || || |SZ=. }} Daher ist {{math|term= R/G_\ell |SZ=}} gleich {{math|term= X \cdot M, Y^0 ... Y^{\ell - 6} |SZ=,}} der Unterschied ist eindimensional. Wenn man die Filtrierung von Syz ändert? {{ Relationskette/display | F_\ell |\subseteq| H_\ell || || || |SZ= }} sodass etwa {{math|term= s_2 |SZ=}} zu {{math|term= H_6 |SZ=}} gehört. Also {{ Relationskette/display | H_\ell || F_\ell + Y^{\ell -6} s_2 || || || |SZ=. }} Unterschied eindimensional, da ja {{math|term= Y^{\ell -6+pos} |SZ=}} zu {{math|term= F_\ell |SZ=}} gehört. Wenn {{math|term= 1 |SZ=}} auf {{math|term= s_2 |SZ=}} abgebildet wird, so braucht man mehr, da {{math|term= Bs_2 |SZ=}} den Summengrad besitzt. Höheren Grad erreicht man nur in Verbindung {{math|term= As_1+B s_2 |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokalen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6zfsmtnxkxbqgtfsnepvso2uv5gke30 0 130450 1092401 957260 2026-06-01T13:40:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092401 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir besprechen einige modallogischen Axiomenschemata, die über das {{math|term= K |SZ=-}}System hinausgehen. Die inhaltliche Relevanz der Systeme ist sehr unterschiedlich. Wenn aus einem modallogischen Axiomensystem {{math|term= \Gamma|SZ=}} ein modallogischer Ausdruck {{math|term= \alpha |SZ=}} mit Modus ponens und der Nezessisierungsregel ableitbar ist, so schreiben wir dafür {{mathl|term= \Gamma \vdash \alpha |SZ=.}} Im modallogischen Kontext bedeutet {{math|term= \vdash \alpha |SZ=}} die Ableitbarkeit im {{math|term= K |SZ=-}}System. {{ inputdefinition |Modallogik/Leerheitsaxiom/Definition|| }} Dies ergibt keine interessante Modallogik, da einfach jede Aussage der Form {{math|term= \Box \alpha |SZ=}} gilt, auch dann, wenn {{math|term= \alpha|SZ=}} eine Kontradiktion ist, und jede Aussage der Form {{math|term= \Diamond \alpha |SZ=}} nicht gilt. {{ inputdefinition |Modallogik/Möglichkeitsaxiom/Definition|| }} Dies bedeutet also {{mathl|term= \Diamond \alpha {{logoder|}} \Diamond \neg \alpha |SZ=,}} es muss also die Aussage oder ihre Negation möglich sein, oder beides. Man spricht auch vom {{Stichwort|Seriellitätsaxiom|SZ=}} oder {{math|term= D |SZ=-}}Axiom. Die Bezeichnung {{math|term= D |SZ=}} kommt von deontisch. Was verpflichtend ist, sollte insbesondere erlaubt sein. {{ inputdefinition |Modallogik/Phantasiearmutsaxiom/Definition|| }} Das Möglichkeitsaxiom bedeutet, dass es mindestens eine Vorstellungswelt gibt und das Phantasiearmutsaxiom bedeutet, dass es höchstens eine Vorstellungswelt gibt. Solche Charakterisierungen werden wir später im Rahmen der semantischen Interpretation mit gerichteten Graphen präzisieren. {{ inputdefinition |Modallogik/Ideologieaxiom/Definition|| }} In einer Ideologie stellt man sich genau eine Welt vor, die im Allgemeinen mit der Realität nichts zu tun hat. {{ inputfaktbeweis |Modallogik/K/Phantasiearmutsaxiom und K-Umkehrung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3rcn8w1f8t2qjuhim2yjz584ofvq9u7 0 130452 1092402 957261 2026-06-01T13:41:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092402 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die {{Stichwort|Modallogik|SZ=}} beschäftigt sich mit der Logik der Notwendigkeit und Möglichkeit und allgemeiner mit Modalitäten von Aussagen. Sie baut auf der Aussagenlogik auf. Während diese die logische Abhängigkeit von mittels aussagenlogischer Junktoren definierten Ausdrücken in den Aussagenvariablen studiert, und für eine Aussagenvariable nur die beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch kennt, erlaubt die Modallogik, auch modalisierte Aussagenvariablen zu untersuchen. Modalisierte Aussagen kommen häufig vor, typische Beispiele sind: {{ Aufzählung6 |{{math|term= p |SZ=}} gilt notwendigerweise. |Es ist moralisch geboten, dass {{math|term= p |SZ=}} gilt. |Ich möchte, dass {{math|term= p |SZ=}} gilt. |Ich weiß, dass {{math|term= p |SZ=}} gilt. |{{math|term= p |SZ=}} ist beweisbar. |{{math|term= p |SZ=}} gilt überall {{ Zusatz/Klammer |text=in allen Fällen, in allen Welten| |ISZ=|ESZ=. }} }} Die Negationen dieser Aussagen sind {{ Zusatz/Klammer |text=es ist nicht der Fall, dass ...| |ISZ=|ESZ= }} {{ Aufzählung6 |{{math|term= p |SZ=}} gilt nicht notwendigerweise. |Es ist moralisch nicht geboten, dass {{math|term= p |SZ=}} gilt. |Ich möchte nicht, dass {{math|term= p |SZ=}} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von, es ist mir egal| |ISZ=|ESZ=. }} |Ich weiß nicht, ob {{math|term= p |SZ=}} gilt. |{{math|term= p |SZ=}} ist nicht beweisbar. |{{math|term= p |SZ=}} gilt nicht überall {{ Zusatz/Klammer |text=nicht in allen Fällen, nicht in allen Welten| |ISZ=|ESZ=. }} }} Man kann aber auch die gleiche Modalität auf die Negation zu {{math|term= p |SZ=}} anwenden, das ergibt. {{ Aufzählung6 |{{math|term= \neg p |SZ=}} gilt notwendigerweise. |Es ist moralisch geboten, dass {{math|term= \neg p |SZ=}} gilt {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= p |SZ=}} ist moralisch verwerflich/verboten| |ISZ=|ESZ=. }} |Ich möchte, dass {{math|term= \neg p |SZ=}} gilt. |Ich weiß, dass {{math|term= \neg p |SZ=}} gilt. |{{math|term= \neg p |SZ=}} ist beweisbar. |{{math|term= \neg p |SZ=}} gilt überall {{ Zusatz/Klammer |text=in allen Fällen, in allen Welten| |ISZ=|ESZ=, }} also {{math|term= p |SZ=}} gilt nirgendwo. }} Diesen Aussagen können wiederum als Ganzes negiert werden. {{ Aufzählung6 |Es ist nicht der Fall, dass {{math|term= \neg p |SZ=}} notwendigerweise gilt. |Es ist nicht moralisch geboten, dass {{math|term= \neg p |SZ=}} gilt. |Ich möchte nicht, dass {{math|term= \neg p |SZ=}} gilt. |Ich weiß nicht, dass {{math|term= \neg p |SZ=}} gilt. |{{math|term= \neg p |SZ=}} ist nicht beweisbar. |{{math|term= \neg p |SZ=}} gilt nicht überall {{ Zusatz/Klammer |text=nicht in allen Fällen| |ISZ=|ESZ=. }} }} Davon sind die folgenden Aussagen Paraphrasierungen. {{ Aufzählung6 |{{math|term= p |SZ=}} gilt möglicherweise. |{{math|term= p |SZ=}} ist (moralisch) erlaubt. |Ich kann {{math|term= p |SZ=}} akzeptieren. |Ich kann von meinem Wissen her nicht ausschließen, dass {{math|term= p |SZ=}} gilt {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= p |SZ=}} ist denkbar| |ISZ=|ESZ=. }} |{{math|term= p |SZ=}} ist nicht ausschließbar. |Es gibt Fälle bzw. Welten, wo {{math|term= p |SZ=}} gilt. }} Wenn man die zu Beginn genannten Modalitäten mit {{mathl|term= \Box p |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Notwendigkeit| |ISZ=|ESZ= }} bezeichnet, so haben wir nach {{math|term= \Box p |SZ=}} die Varianten {{math|term= \neg \Box p |SZ=,}} {{mathl|term= \Box \neg p |SZ=,}} {{mathl|term= \neg \Box \neg p |SZ=}} aufgelistet, und die letzte Variante konnten wir durch eine neue Modalität {{ Zusatz/Klammer |text=Möglichkeit| |ISZ=|ESZ= }} ausdrücken, nämlich {{ Math/display|term= \Diamond p \Leftrightarrow \neg \Box \neg p |SZ=. }} Möglich bedeutet also, dass das Gegenteil nicht notwendig ist, erlaubt bedeutet, dass das Gegenteil nicht verpflichtend ist, u.s.w. Diese Äquivalenz wird etwas weniger verschachtelt, wenn man sie als {{ Math/display|term= \neg \Diamond p \Leftrightarrow \Box \neg p |SZ= }} schreibt. Dass etwas nicht erlaubt ist bedeutet, dass das Gegenteil davon verpflichtend ist. In der formalen Modallogik untersucht man strukturelle Gesetzmäßigkeiten von Aussagen, die durch einen Operator {{math|term= \Box|SZ=}} modalisiert werden können. Philosophisch relevante Interpretationen sind die Notwendigkeitslogik, die Deontik {{ Zusatz/Klammer |text=Moral, Recht| |ISZ=|ESZ=, }} epistemische Logik {{ Zusatz/Klammer |text=Wissen| |ISZ=|ESZ=, }} Beweisbarkeitslogik. In der letzten Vorlesung haben wir in {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Peano-Arithmetik/Beweisprädikat/Eigenschaften/Bemerkung |Nr= |SZ= }} für das einstellige Ableitungsprädikat einige strukturelle Eigenschaft formuliert. Wenn man dabei {{mathl|term= \alpha(GN(s)) |SZ=}} als {{Anführung|{{math|term= s |SZ=}} ist beweisbar}} liest und als {{math|term= \Box s |SZ=}} schreibt, wobei {{math|term= s |SZ=}} nicht weiter hinterfragt wird und als Aussagenvariable aufgefasst wird, so kann man diese Eigenschaften modallogisch untersuchen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qlgk6xwzenhy247ig9n7t65sa3eitry 0 130455 1092400 983299 2026-06-01T13:40:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092400 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Einen modallogischen Ausdruck nennen wir {{Stichwort|paradox|msw=Paradox (Modallogik) |SZ=,}} wenn er, wenn man alle darin auftretenden {{math|term= \Box|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und somit auch alle {{math|term= \Diamond|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} weglässt, einen aussagenlogischen Widerspruch ergibt. Ein modallogisches Axiomenschema heißt paradox, wenn es davon eine paradoxe Instanz gibt. {{ inputdefinition |Modallogik/Antiaxiom/Definition|| }} Wenn das Antiaxiom gilt, so ist auch {{ Math/display|term= \Diamond \alpha \leftrightarrow \neg \Box \neg \alpha \leftrightarrow \neg \neg \neg \alpha \leftrightarrow \neg \alpha \leftrightarrow \Box \alpha |SZ=, }} das Antiaxiom ist also ideologisch. In einer {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |SZ= }} führt das Antiaxiom zu einem Widerspruch, da ja dann zu einer aussagenlogischen Tautologie {{math|term= \alpha|SZ=}} wegen der Nezessisierungsregel auch {{math|term= \Box \alpha|SZ=}} und somit der Widerspruch {{math|term= \neg \alpha|SZ=}} gilt. Wenn man dagegen das Antiaxiom auf Aussagenvariablen beschränkt, also {{ Math/display|term= \Box p \leftrightarrow \neg p |SZ= }} betrachtet, so ergibt sich ein sinnvolles {{math|term= K |SZ=-}}System. {{ inputdefinition |Modallogik/Löb-Axiom/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Beweisbarkeitslogik/Löb-Axiom/Bemerkung|| }} Es sei {{ Relationskette | {{Falsum|}} || p {{logund}} \neg p || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=gesprochen Falsum| |ISZ=|ESZ= }} eine Abkürzung für einen Widerspruch. Im Kontext der Beweisbarkeitslogik bedeutet dann {{mathl|term= \neg \Box {{Falsum}} |SZ=}} die Nichtableitbarkeit eines Widerspruchs, also die Widerspruchsfreiheit des Systems. Aus dem Löb-Axiom {{ Zusatz/Klammer |text=also der {{math|term= K |SZ=-}}Modallogik {{math|term= L |SZ=,}} die durch das Löbaxiom gegeben ist| |ISZ=|ESZ= }} lässt sich ableiten, dass diese Widerspruchsfreiheit ein Fixpunkt der Nichtableitbarkeit ist, d.h. es gilt {{ Math/display|term= L \vdash \neg \Box \neg \Box {{Falsum|}} \leftrightarrow \neg \Box {{Falsum|}} |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Beweisbarkeitslogik/Widerspruchsfreiheit als Fixpunkt/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dies bedeutet insbesondere, dass weder {{ mathkor|term1= \Box {{Falsum|}} |noch|term2= \neg \Box {{Falsum}} |SZ= }} aus {{math|term= L |SZ=}} ableitbar ist {{ Zusatz/Klammer |text=die Widerspruchsfreiheit des Systems ergibt sich aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Modallogik/K/Systeme und Rahmen/Fakt |Nr=6 |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Insbesondere ist dieses Ableitungssystem unvollständig, was {{ Faktlink |Präwort=dem|ersten Gödelschen Fixpunktsatz|Faktseitenname= Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Aufzählbar und Repräsentierungen/Unvollständig/Arithmetisch/Fakt |Nr= |SZ= }} entspricht. Darüber hinaus ist die letzte Unableitbarkeit gerade die Aussage des {{ Faktlink |Präwort=|zweiten Gödelschen Fixpunktsatzes|Faktseitenname= Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz/Entscheidbar und Peano-Arithmetik/Widerspruchsfreiheit nicht ableitbar/Fakt |Nr= |SZ=, }} den man also so modallogisch nachbilden kann {{ Zusatz/Klammer |text=die Hauptarbeit liegt aber darin, zu zeigen, dass das arithmetische Ableitungsprädikat das Löb-Axiom erfüllt| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 487tkv8s86hnbi7lqjn47cpb4v9nnug 0 130460 1092403 1074681 2026-06-01T13:41:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092403 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Gottfried Wilhelm von Leibniz|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Von [[w:Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Wilhelm Leibniz]] stammt die Idee, Notwendigkeiten über mögliche Welten zu verstehen. |Autor= Christoph Bernhard Francke |Benutzer=Andrejj |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbild |Kripke|JPG|230px {{!}} right {{!}} | |Text=[[w:Saul Kripke|Saul Kripke]] schuf die formale Modelltheorie für die Modallogik. |Autor= |Benutzer=Oursipan |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir besprechen nun die Semantik der Modallogik, die mit gerichteten Graphen arbeitet, die die Idee von erreichbaren Welten modellieren. {{ inputdefinition |Modallogik/Gerichteter Graph/Modell/Definition|| }} Die Knotenpunkte des gerichteten Graphen nennt man in diesem Zusammenhang auch {{Stichwort|Welten|msw=Welt (Modallogik) |SZ=}} oder Weltpunkte. Die von einer Welt {{math|term= x |SZ=}} aus verbundenen Welten {{math|term= y |SZ=,}} also die mit {{mathl|term= xRy |SZ=,}} nennt man die von {{math|term= x |SZ=}} aus erreichbaren Welten, die Relation {{math|term= R |SZ=}} heißt auch {{Stichwort|Erreichbarkeitsrelation|SZ=.}} Durch die übliche Interpretation der aussagenlogischen Junktoren erhält man in jedem Weltpunkt eine Belegung für alle aussagenlogischen Ausdrücke in den gegebenen Aussagenvariablen. Darauf aufbauend kann man auch jedem modallogischen Ausdruck an jedem Knotenpunkt einen Wahrheitswert zuordnen, und zwar in folgender Weise. Dabei wird die Gültigkeit einer Aussage {{math|term= \alpha |SZ=}} in einer Welt {{math|term= w |SZ=}} als {{mathl|term= w \vDash \alpha |SZ=}} notiert. {{ inputdefinition |Modallogik/Gerichteter Graph/Semantik/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Modallogik/Gerichteter Graph/Belegung/1/Beispiel|| }} {{ inputbild |Kripke frame|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Eusebius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Kripke model|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Eusebius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Frames|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Eusebius |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Modallogik/Modell/Ausdruck/Gültigkeit/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Modallogik/K/Gültigkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Modallogik/Modell/Ausdrucksmenge/Gültigkeit/Definition|| }} {{ inputdefinition |Modallogik/Rahmen/Ausdruck/Gültigkeit/Definition|| }} {{ inputdefinition |Modallogik/Folgerungsbeziehung/Definition|| }} Für {{ Relationskette |\Gamma || \emptyset || || || |SZ= }} ergeben sich die modallogisch allgemeingültigen Ausdrücke. Aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Modallogik/K/Gültigkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} gehören alle in der {{ Definitionslink |Prämath=K |Modallogik| |Kontext=K| |SZ= }} ableitbaren Ausdrücke dazu. Wie in der Aussagenlogik und der Prädikatenlogik ist also der Ableitungskalkül korrekt und es erhebt sich die Frage, ob er auch vollständig ist. {{ inputfaktbeweis |Modallogik/Korrektheitssatz/Fakt|Lemma|| || }} Diese Aussage erlaubt es insbesondere, zu zeigen, dass aus einem gegebenen modallogischen Axiomensystem {{math|term= \Gamma|SZ=}} ein gewisser modallogischer Ausdruck {{math|term= \alpha|SZ=}} nicht ableitbar, indem man ein modallogisches Modell {{mathl|term= (M,R, \mu) |SZ=}} angibt, in dem {{math|term= \Gamma|SZ=}} gilt, aber {{math|term= \alpha|SZ=}} nicht. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Modelltheorie der Modallogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} k367c7r31758bvsfblbbge5lajbxch8 0 130464 1092188 1074581 2026-06-01T13:06:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092188 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |ComplexSinInATimeAxe|gif| 350px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Text=Eine Animation des Graphen der trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises. Die grünen Punkte sind Punkte des Graphen. |Autor=Nashev |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung= }} Es sei {{math|term= I |SZ=}} ein reelles Intervall, {{math|term= V |SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und {{ Abbildung/display |name=f |I|V || |SZ= }} eine Abbildung. Eine solche Abbildung nennen wir auch eine {{Stichwort|Kurve|SZ=}} oder einen {{Stichwort|Weg|SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} Häufig stellt man sich dabei {{math|term= I |SZ=}} als ein Zeitintervall und die Abbildung als einen Bewegungsprozess im Raum {{math|term= V |SZ=}} vor. Jedem Zeitpunkt {{ Relationskette |t |\in|I || || || |SZ= }} wird also ein Ortspunkt {{ Relationskette |f(t) |\in|V || || || |SZ= }} zugeordnet. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich eine solche Abbildung zu veranschaulichen. Bei eindimensionalem {{math|term= V |SZ=,}} also {{ Relationskette |V |\cong|\R || || || |SZ=, }} ist der Graph die übliche Darstellungsweise. Einen Graphen gibt es bekanntlich zu jeder Abbildung. Bei {{ Relationskette |V |\cong|\R^2 || || || |SZ= }} ist der Graph eine Teilmenge von {{ Relationskette | \R \times \R^2 || \R^3 || || || || |SZ=. }} Häufig skizziert man bei einer Kurve bei {{ Relationskette |V ||\R^2 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette |V ||\R^3 || || || |SZ= }} nur das Bild {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht auch von der {{Stichwort|Bahn|SZ=}} oder der {{Stichwort|Spur|SZ=}} der Kurve| |ISZ=|ESZ= }} der Kurve. Man beachte aber, dass das Bild nur eine Teilinformation der Abbildung aufzeigt. Bei einem Bewegungsprozess interessiert man sich natürlich für die {{Anführung|Geschwindigkeit}} zu einem bestimmten Zeitpunkt. Dabei versteht man unter Geschwindigkeit nicht nur deren Betrag {{ Zusatz/Klammer |text=oder Norm| |ISZ=|ESZ=, }} sondern auch deren Richtung {{ Zusatz/Klammer |text=die Sprechweisen sind uneinheitlich| |ISZ=|ESZ=. }} Eine gleichmäßige Bewegung auf einem Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} und Radius {{math|term= r |SZ=,}} bei der eine volle Kreisumdrehung die Zeit {{math|term= a |SZ=}} benötigt, die zum Zeitpunkt {{math|term= 0 |SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (r,0) |SZ=}} startet und gegen den Uhrzeigersinn verläuft, wird durch {{ Abbildung/display |name= |\R|\R^2 |t| {{op:Zeilenvektor|r {{op:cos| {{op:Bruch|2 \pi | a||}} t|}} |r {{op:sin| {{op:Bruch|2 \pi | a||}} t|}}}} |SZ=, }} beschrieben. Der Geschwindigkeitsvektor der Kreisbewegung ist zu jedem Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} {{Stichwort|tangential|SZ=}} an den Ortspunkt auf dem Kreis {{ Zusatz/Klammer |text=und steht senkrecht zum Ortsvektor| |ISZ=|ESZ=. }} Die Norm der Geschwindigkeit ist bei einer Kreisbewegung konstant, aber die Richtung ändert sich kontinuierlich. Die Vorstellung der {{Stichwort|Momentangeschwindigkeit|SZ=}} wird durch den Begriff der {{Stichwort|differenzierbaren Kurve|msw=Differenzierbare Kurve|SZ=}} und ihrer Ableitung präzisiert, der eine direkte Verallgemeinerung von differenzierbaren Funktionen ist. Die Idee ist wieder, zu zwei Zeitpunkten {{ Relationskette |t |<|t' || || || |SZ= }} den Durchschnittsgeschwindigkeitsvektor {{ Zusatz/Klammer |text=die wir den {{Stichwort|Differenzenquotienten|msw=Differenzenquotient|SZ=}} nennen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|f(t') - f(t) |t'-t|}} |\in|V || || || |SZ= }} zu betrachten und davon den Limes für {{mathl|term= t' \mapsto t |SZ=}} zu bestimmen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gt0m91nwbqgty8zs4dh3pfgzdqtkr81 0 130497 1092468 1073459 2026-06-01T13:52:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092468 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei einer Interpretation in einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird das Symbol{{drucktrenn}}alphabet, das neben den Junktoren, Quantoren, dem Gleichheitszeichen und den Klammern das Alphabet der Sprache bildet, interpretiert. Man möchte aber die gesamte Sprache in {{math|term= M |SZ=,}} ausgehend von der Interpretation dieser Symbole, interpretieren. Der erste Schritt dazu ist die Interpretation der Terme. Die Wohldefiniertheit der folgenden Festlegung ergibt sich durch einen Beweis über den Aufbau der Terme, vergleiche {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Rekursive Definition/Abbildung/Definition/Bemerkung |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Alphabet erster Stufe/A/Interpretation für Terme/Definition|| }} Damit werden alle Terme in der Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} interpretiert. Es wird also die auf {{mathl|term= K \cup V |SZ=}} gegebene Interpretation auf die gesamte Termmenge {{math|term= T |SZ=}} fortgesetzt, oder, mit anderen Worten, es liegt ein kommutatives Diagramm {{ Kommutatives Dreieck/lo |K \cup V| M|T |SZ= }} vor, wobei der Diagonalpfeil durch den horizontalen Pfeil eindeutig festgelegt ist. In vielen Situationen bleibt die Grundmenge und die Interpretation der Konstanten und der Relations- und Funktionssymbole gleich, während man die Variablenbelegung ändern möchte. Insbesondere möchte man Interpretationen für eine einzelne Variable abändern. Dafür gibt es das Konzept der Uminterpretation. {{ inputdefinition |Alphabet erster Stufe/A/Umbelegung und Uminterpretation/Definition|| }} Entsprechend schreibt man {{mathl|term= I \frac{m_1 {{kommadots|}} m_k}{x_1 {{kommadots|}} x_k} |SZ=}} für {{mathl|term= {{makl| {{makl| I \frac{m_1}{x_1} |}} \frac{m_2}{x_2} |}} \ldots \frac{m_k}{x_k} |SZ=,}} wobei es bei verschiedenen Variablen nicht auf die Reihenfolge ankommt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} p6jj05s1olmb08e79h657c04znce21n 0 130512 1092189 1073480 2026-06-01T13:06:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092189 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar in einem Punkt/Definition|| }} Die Ableitung ist selbst wieder ein Vektor in {{math|term= V |SZ=.}} Statt Ableitung spricht man auch vom {{Stichwort|Differentialquotienten|msw=Differentialquotient|SZ=}} in einem {{ Zusatz/Klammer |text=Zeit| |ISZ=|ESZ=- }}Punkt {{math|term= t |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |f'(t) |\neq| 0 || || || |SZ= }} versteht man unter der {{Stichwort|Tangente|SZ=}} an {{mathl|term= f(t) |SZ=}} zum Zeitpunkt {{math|term= t |SZ=}} die durch {{ Math/display|term= {{Mengebed|f(t)+ s \cdot f'(t)|s \in \R }} |SZ= }} gegebene Gerade. {{ inputdefinition |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar/Definition|| }} Die Ableitung einer differenzierbaren Kurve ist damit selbst wieder eine Kurve. Wenn die Ableitung stetig ist, so nennt man die Kurve {{Stichwort|stetig differenzierbar|SZ=.}} Wenn die Ableitung selbst differenzierbar ist, so nennt man die Ableitung der Ableitung die zweite Ableitung der Ausgangskurve. Das folgende Lemma zeigt, dass dieser Differenzierbarkeitsbegriff nichts wesentlich neues ist, da er auf die Differenzierbarkeit von Funktionen in einer Variablen zurückgeführt werden kann. {{ inputfaktbeweis |Kurve/Euklidischer Vektorraum/Differenzierbar und Komponenten/Fakt|Lemma|| || }} Die vorstehende Aussage wird hauptsächlich für die Standardbasis des {{math|term= \R^n |SZ=}} angewendet. {{ inputbeispiel |Differenzierbare Kurve/(t^2-t^3,t sin t, e^(-t))/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Funktion/Graph/Differenzierbare Kurve/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kreisbewegung/Ableitung/Senkrecht/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Man kann natürlich zwei Abbildungen {{ Abbildung |name=f,g |I|V || |SZ= }} nicht miteinander multiplizieren, sodass in der obigen Produktregel eine differenzierbare Kurve und eine differenzierbare Funktion auftreten. Ebenso muss die Kettenregel mit Bedacht formuliert werden.{{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Kettenregel/Fakt|Lemma|| || }} In der vorstehenden Situation sollte man sich {{math|term= h |SZ=}} als eine Umparametrisierung der Zeit vorstellen. Die Bahn der Kurve bleibt erhalten, es ändert sich aber die Geschwindigkeit und eventuell die Orientierung, mit der die Bahn durchlaufen wird. Wenn {{ Abbildung |name=h |\R|\R |t|-t |SZ= }} die Negation ist, so wird die Kurve mit umgekehrter Zeit{{drucktrenn}}richtung durchlaufen. Die Aussage besagt in diesem Fall, dass die Ableitung der umgekehrten Kurve negiert werden muss. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Lineare Abbildung/Fakt|Lemma| |zusatz= |tipp= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} awv6mw0avaf4zl6wxlmoddc1loku2k8 0 130676 1092158 1018755 2026-06-01T13:01:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092158 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Bilinearform/Gramsche Matrix/Definition|| }} In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= K^n/Bilinearformen/Vorgabe/Spezialfälle/Beispiel |Nr= |SZ= }} bildet {{mathl|term= {{makl| a_{ij} |}}_{ij} |SZ=}} die Gramsche Matrix der Bilinearform {{math|term= \Psi |SZ=}} bezüglich der Standardbasis des {{math|term= K^n |SZ=,}} im Fall des Standardskalarproduktes ist das die Einheitsmatrix. Wenn die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich einer Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} gegeben ist, so kann man daraus {{mathl|term= {{op:Bilinearform|v|w}} |SZ=}} für beliebige Vektoren berechnen. Man schreibt {{ Relationskette | v || \sum_{i {{=}} 1}^n b_i v_i || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |w || \sum_{i{{=}} 1}^n c_i v_i || || || |SZ= }} und erhält mit dem allgemeinen Distributivgesetz {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Bilinearform/Distributivgesetz/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align | {{op:Bilinearform|v|w}} || {{op:Bilinearform| \sum_{i {{=}} 1}^n b_i v_i |\sum_{j {{=}} 1}^n c_j v_j }} || \sum_{ 1 \leq i , j \leq n} b_i c_j {{op:Bilinearform|v_i |w_j}} || \sum_{i {{=}} 1}^n b_i {{makl| \sum_{j {{=}} 1 }^n c_j {{op:Bilinearform|v_i |w_j}} |}} || (b_1 {{kommadots|}} b_n) G {{op:Spaltenvektor|c_1 |\vdots|c_n}} |SZ=. }} Man erhält also den Wert der Bilinearform an zwei Vektoren, indem man die Gramsche Matrix auf das Koordinatentupel des zweiten Vektors anwendet und das Ergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=ein Spaltenvektor| |ISZ=|ESZ= }} mit dem Koordinatentupel des ersten Vektors als Zeilentupel von links multipliziert. Kurz und etwas ungenau ist also {{ Relationskette/display | {{op:Bilinearform|v|w}} || {{op:transponiert|v|}} Gw || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Bilinearform/Gramsche Matrix unter Basiswechsel/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Bilinearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mmjromkln15cvxeiemz51bh7zyzhz9y 0 130864 1092564 1019747 2026-06-01T14:07:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092564 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Taylor-Entwicklung bzw. Taylor-Formel in einer Variablen, die wir im ersten Semester kennengelernt haben {{ Zusatz/Klammer |text=siehe insbesondere {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Lagrange/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Funktion/Taylor-Formel/(n+1)-mal stetig differenzierbar/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} liefert zu einem Punkt und einer gewünschten Ordnung eine optimale Approximation in diesem Punkt einer {{ Zusatz/Klammer |text=hinreichend oft differenzierbaren| |ISZ=|ESZ= }} Funktion durch ein Polynom, das Taylor-Polynom. Eine entsprechende Aussage gilt auch in mehreren Variablen. Wir beginnen mit einigen Vorbereitungen. Zu einem Monom {{mathl|term= x_1^{r_1} \cdot x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n} |SZ=}} nennt man die Summe {{ Relationskette/display | {{op:Tupelgrad|r|}} | {{defeq|}} | {{op:Tupelgrad| (r_1 {{kommadots|}} r_n)|}} | {{defeq|}}| \sum_{j {{=|}} 1}^n r_j || || |SZ= }} den {{Stichwort|Grad|SZ=}} des Monoms. Ein Polynom in {{math|term= n |SZ=}} Variablen, {{ Relationskette/display/handlinks | f(x_1 {{kommadots|}} x_n) || \sum_{(r_1 {{kommadots|}} r_n) \in \N^n} a_{ (r_1 {{kommadots|}} r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei die Summe endlich ist| |ISZ=|ESZ= }} lässt sich entlang des Grades der beteiligten Monome anordnen, also {{ Relationskette/display/handlinks | f(x_1 {{kommadots|}} x_n) || \sum_{d {{=|}} 0}^{e} \left( \sum_{(r_1 {{kommadots|}} r_n) \in \N^n,\,{{op:Tupelgrad|r|}} {{=|}} d } a_{ (r_1 {{kommadots|}} r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n} \right) || || || |SZ=. }} Für jedes {{ Relationskette |k |\in|\N || || || |SZ= }} kann man dies auch als {{ Relationskette/display | f(x_1 {{kommadots|}} x_n) || T_k(x_1 {{kommadots|}} x_n) + R_k(x_1 {{kommadots|}} x_n) || || || |SZ= }} schreiben mit {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | x || (x_1 {{kommadots|}} x_n) || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ mathkor/display/drucktrenn|term1= T_k(x) = \sum_{d {{=|}} 0}^{k} {{makl|\sum_{(r_1 {{kommadots|}} r_n) \in \N^n,\,{{op:Tupelgrad|r|}} {{=|}} d } a_{ (r_1 {{kommadots|}} r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n}|}} |und|term2= R_k(x) = \sum_{d {{=|}} k+1}^{e} {{makl|\sum_{(r_1 {{kommadots|}} r_n) \in \N^n,\,{{op:Tupelgrad|r|}} {{=|}} d } a_{ (r_1 {{kommadots|}} r_n) } x_1^{r_1} x_2^{r_2} \cdots x_n^{r_n}|}} |SZ=. }} Für {{math|term= R_k |SZ=}} gilt dabei {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes|x|0| {{op:Bruch| {{op:Norm|R_k(x)|}} | {{op:Norm|x|}}^k }} }} || 0 || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Monom/R/Grad/Durch Normpotenz/Limes/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |k ||1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | T_1(x) || a_{(0 {{kommadots |}} 0) }+ a_{(1,0 {{kommadots |}} 0) }x_1 {{plusdots|}} a_{(0 {{kommadots |}} 0,1) }x_n || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |affin-lineare Approximation| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} im Punkt {{ Relationskette |0 || (0 {{kommadots|}} 0) || || || |SZ=, }} und dabei gilt für die Abweichung in der linearen Approximation die Beziehung {{ Relationskette | r(x) || {{op:Bruch|R_1(x)| {{op:Norm|x|}} }} || || || || |SZ=. }} Im Allgemeinen liefern die Polynome {{mathl|term= T_k(x) |SZ=}} bessere Approximationen im Nullpunkt als die lineare Approximation, und mit {{mathl|term= R_k(x) |SZ=}} kann man die Abweichung kontrollieren. Entscheidend für uns ist, dass man nicht nur für Polynomfunktionen, sondern generell für hinreichend oft differenzierbare Funktionen {{math|term= f |SZ=}} approximierende Polynome finden und die Abweichung gut kontrollieren kann. Dies ist der Inhalt der {{Stichwort|Taylor-Formel für Funktionen in mehreren Variablen|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in mehreren Variablen (R) |Kategorie2=Theorie der Taylor-Formel in mehreren Variablen (R) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pcg5i2701f89889hyvbrgk7duslin98 0 131703 1092637 1074789 2026-06-01T14:19:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092637 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir zeigen nun, wie eine Zifferenentwicklung {{mathl|term= 0,z_1z_2z_3 \ldots |SZ=}} eine Cauchy-Folge {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= \Q|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist und wie sie über die Vollständigkeit in der Tat eine reelle Zahl darstellt. {{ inputfaktbeweis |Dezimaldarstellung/Cauchy-Folge/Fakt|Satz|| || }} Wir besprechen nun, wie man zu einer irgendwie gegebenen reellen Zahl die Dezimalbruchentwicklung findet und zeigen, dass sie eindeutig bestimmt ist. Die Zahl kann als ein Bruch {{math|term= {{op:Bruch|3|7}} |SZ=,}} durch eine algebraische Eigenschaft, wie bei {{math|term= \sqrt{5} |SZ=,}} als das Inverse {{math|term= x^{-1} |SZ=}} einer irgendwie gegebenen Zahl {{math|term= x |SZ=,}} als Ergebnis einer Verknüpfung {{ mathkor|term1= x+y |oder|term2= x \cdot y |SZ= }} von irgendwie gegebenen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ=, }} oder als Grenzwert einer Folge gegeben sein. In irgendeiner Weise muss die Zahl natürlich vorliegen. Der im folgenden Satz beschriebene Algorithmus zur Bestimmung der Ziffern benötigt lediglich, dass man die auftretenden Zahlen mit {{math|term= 10 |SZ=}} multiplizieren, Differenzen berechnen und mit ganzen Zahlen vergleichen kann. Für den letzten Punkt ist die folgende Überlegung hilfreich. Für die reellen Zahlen bilden die ganzzahligen halboffenen Intervalle {{ mathbed|term= [n,n+1[ ||bedterm1= n \in \Z ||bedterm2= |SZ=, }} aufgrund des Archimedes-Axioms eine disjunkte {{Stichwort|Überdeckung|SZ=.}} Jede reelle Zahl liegt also in genau einem dieser Intervalle. Deshalb ist die folgende Definition sinnvoll. {{ inputbild |Floor function|svg|250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Floor_function |Autor= |Benutzer=Omegatron |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Gaußklammer/Definition|| }} Es ist also {{mathl|term= \lfloor x \rfloor |SZ=}} die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich {{math|term= x |SZ=}} ist. {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Intervallteilung/Fakt|Satz|| || }} Die im vorstehenden Satz formulierte Ziffernentwicklung nennt man auch die {{Stichwort|kanonische Ziffernentwicklung|SZ=;}} sie ist in eindeutiger Weise einer reellen Zahl zugeordnet. Die Ziffernentwicklung {{ Math/display|term= 0,99999999999999999999999999999999999999999999 ... |SZ= }} ist zwar eine erlaubte Ziffernentwicklung, aber keine kanonische Ziffernentwicklung. Die zugehörige reelle Zahl ist die {{math|term= 1 |SZ=,}} und deren kanonische Ziffernentwicklung ist {{ Math/display|term= 1,0000000000000000000000000000000000000000000 ... |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Reelle Zahl/Zifferndarstellung im Dezimalsystem/Divisionsalgorithmus als Spezialfall/Bemerkung||zusatz1={{{zusatz1|zusatz1}}} }} {{ inputfaktbeweis |Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt|Satz|| || }} Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise {{ Math/display|term= 351, 0528 \overline{82700} |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für reelle Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} eblgtde433e2gme7p6oc9lts6pyg64w 0 131836 1092391 983242 2026-06-01T13:39:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092391 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen. Die wichtigsten sind die folgenden:{{ Zusatz/Fußnote |text=Die Symbolik kann man sich so merken: Bei Vereinigung denke man an englisch union, das {{math|term= \cup |SZ=}} sieht aus wie ein u. Der Durchschnitt ist das {{math|term= \cap |SZ=.}} Die entsprechenden logischen Operationen oder bzw. und haben die analoge eckige Form {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} bzw. {{math|term= {{logund|}} |SZ=}} | |ISZ=.| }} {{ Auflistung3 |{{Stichwort|Vereinigung|SZ=}} {{ Relationskette/display |A \cup B |{{defeq}}| {{Mengebed|x|x \in A \text{ oder } x \in B}} || || || || |SZ=. }} |{{Stichwort|Durchschnitt|SZ=}} {{ Relationskette/display | A \cap B | {{defeq}}| {{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \in B}} || || || || |SZ=. }} |{{Stichwort|Differenzmenge|SZ=}} {{ Relationskette/display | A \setminus B | {{defeq}}| {{Mengebed|x|x \in A \text{ und } x \notin B}} || || || || |SZ=. }} }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Relationskette |A |\subseteq|G || || || |SZ=, }} das durch {{ Relationskette/display | {{op:Mengenkomplement|A}} | {{defeq}} | G \setminus A || {{Mengebed|x \in G|x \not\in A}} || || |SZ= }} definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also {{ Relationskette | A \cap B || \emptyset || || || |SZ= }} gilt, so nennen wir sie {{Definitionswort/enp|disjunkt|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} e96p8cciqpsu8p02eyerxz124do2rhf 0 131842 1092362 1019254 2026-06-01T13:34:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092362 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| |ISZ=|ESZ= }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. Das heißt nicht, dass sie dort bewiesen wurden. Unter Verwendung des Gruppenbegriffs kann man auch sagen, dass ein Körper eine Menge mit zwei Verknüpfungen {{ mathkor|term1= + |und|term2= \cdot |SZ= }} und zwei fixierten Elementen {{ Relationskette |0 |\neq|1 || || || |SZ= }} ist, derart, dass {{mathl|term= (K,+,0) |SZ=}} und {{mathl|term= (K \setminus \{0\}, \cdot, 1) |SZ=}} jeweils kommutative Gruppen{{ Zusatz/Fußnote |text=Das beinhaltet hier insbesondere, dass die Multiplikation sich zu einer Verknüpfung auf {{mathl|term= K \setminus \{0\} |SZ=}} einschränken lässt. Aus den Körperaxiomen folgt dies, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |SZ=. }} | |ISZ=|ESZ= }} sind und dass das Distributivgesetz gilt. Daher gelten für die Addition und die Multiplikation häufig strukturell ähnliche Eigenschaften. Da wir in dieser Vorlesung die Gruppentheorie nicht systematisch entwickeln werden, ist das nur eine Nebenbemerkung. In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term= a \cdot b + c \cdot d |SZ=}} statt {{mathl|term= (a \cdot b) + (c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen, die wir später kennenlernen werden. Wir nennen die Elemente eines beliebigen Körper einfach Zahlen. {{ inputfaktbeweis |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term= y |SZ=}} mit {{ Relationskette |a+y || 0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term= -a|SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | -(-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Relationskette | a+(-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term= a |SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term= -a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term= b+(-a) |SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term= b-a |SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term= z |SZ=}} mit {{ Relationskette |az ||1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term= a |SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term= a^{-1} |SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Relationskette/display | a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} |{{defeq|}}|ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. In einem jeden Körper findet sich eine jede natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} wieder, und zwar wird die natürliche {{math|term= 0 |SZ=}} als die {{math|term= 0 |SZ=}} des Körpers interpretiert, die natürliche {{math|term= 1 |SZ=}} wird als die {{ Relationskette |1 ||1_K || || || |SZ= }} des Körpers interpretiert, die natürliche {{math|term= 2 |SZ=}} wird als {{mathl|term= 1_K+1_K|SZ=}} interpretiert, u.s.w. Die natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} wird also als {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe der {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= n |SZ=}} Summanden| |ISZ=|ESZ= }} des Körpers mit sich selbst interpretiert. Es gibt Körper, siehe etwa {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Körper/Zwei Elemente/Beispiel |Nr= |SZ= }} weiter unten, bei denen diese Zuordnung nicht {{ Definitionslink |injektiv| |Kontext=| |SZ= }} ist, bei denen also verschiedene natürliche Zahlen gleich interpretiert werden. Eine negative ganze Zahl {{math|term= -m|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k |m |\in|\N_+ || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} wird in einem Körper als die {{math|term= m |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= -1_K |SZ=}} mit sich selbst interpretiert. Zu einem Körperelement {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= na |SZ=}} als die {{math|term= n |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst interpretiert, dabei gilt {{ Relationskette | n_K \cdot_K a || na || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=wobei diese Gleichung dann zeigt, dass der Index nicht nötig ist| |ISZ=|ESZ=. }} Für negative Zahlen {{math|term= -m|SZ=}} mit {{ Relationskette |m |\in|\N_+ || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= (-m)a|SZ=}} als die {{math|term= m |SZ=-}}fache Summe von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst definiert. Zu einem Körperelement {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= a^n |SZ=}} als das {{math|term= n |SZ=-}}fache Produkt von {{math|term= a |SZ=}} mit sich selbst {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= n |SZ=}} Faktoren| |ISZ=|ESZ= }} definiert, und bei {{ Relationskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= a^{-n} |SZ=}} als {{mathl|term= (a^{-1})^n |SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} Die folgenden Eigenschaften sind für den Körper der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Körpers. Sie gelten daher für einen jeden Körper. {{ inputfaktbeweis |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 72q3xenrgkwzoonaftvg2ipagj28yo1 0 131843 1092502 983792 2026-06-01T13:57:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092502 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Mengentheorie/Relationen/Relation/Definition|| }} D.h. bei einer Relation stehen gewisse Paare {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} in der gegebenen Relation, und die anderen Paare eben nicht. Man schreibt dafür {{ Relationskette |(x,y) |\in|R || || || |SZ= }} oder {{mathl|term= R (x,y) |SZ=}} oder {{mathl|term= xRy|SZ=.}} Im Moment sind wir an Ordnungsrelationen interessiert, die folgendermaßen definiert werden. {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} Wenn auf einer Menge {{math|term= M |SZ=}} eine totale Ordnung vorliegt, so bezeichnet man für zwei Elemente {{ Relationskette |x,y |\in |M || || || |SZ= }} das kleinere der beiden mit {{mathl|term= {{op:min|x|y}} |SZ=}} und das größere mit {{mathl|term= {{op:max|x|y}} |SZ=.}} Man spricht vom {{Stichwort|Minimum}} und vom {{Stichwort|Maximum|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} h4v90toqunpgbuwj6ripnva9ofrx8ce 0 131844 1092130 1074548 2026-06-01T12:57:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092130 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Absolute value|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ {{ Zusatz/Klammer |text=da aus {{ Relationskette/k |x |<|0 || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/k |-x |>|0 || || || |SZ= }} folgt, vergleiche {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Angeordneter Körper/Negative von positivem Element ist negativ/Aufgabe |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} und hat nur bei {{ Relationskette |x || 0 || || || |SZ= }} den Wert {{math|term= 0 |SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung {{ Abbildung/display |name= |K|K |x|{{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Angeordneter Körper/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Die Zahl {{mathl|term= {{op:Betrag|x-y}} |SZ=}} nennt man auch den {{Stichwort|Abstand}} der beiden Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} k52yc0mt2oviehfl1ax0mr79lz1fmtm 0 131850 1092559 1074754 2026-06-01T14:07:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092559 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Den Abstand zwischen zwei reellen {{ Zusatz/Klammer |text=oder komplexen| |ISZ=|ESZ= }} Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} bezeichnen wir mit {{ Relationskette/display | d(x,x') |{{defeq|}} | {{op:Betrag|x-x'|}} || || || || |SZ=. }} Bei einer Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R || |SZ= }} kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Es sei {{ Relationskette |x |\in|\R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y ||f(x) || || || |SZ= }} der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte {{math|term= x' |SZ=,}} die {{Anführung|nahe}} an {{math|term= x |SZ=}} sind, auch die Bildpunkte {{mathl|term= f(x') |SZ=}} {{Anführung|nahe}} an {{mathl|term= f(x) |SZ=}} sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlicher Steigung zeigen, dass die {{Anführung|Nähe}} im Bildbereich nicht mit der {{Anführung|Nähe}} im Definitionsbereich direkt verglichen werden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr, dass zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein {{ Relationskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Dieses {{math|term= \epsilon |SZ=}} repräsentiert eine {{Anführung|gewünschte Zielgenauigkeit|SZ=.}} Die Frage ist dann, ob man ein {{ Relationskette | \delta |>| 0 || || || |SZ= }} finden kann {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Startgenauigkeit}}| |ISZ=|ESZ= }} mit der Eigenschaft, dass für alle {{math|term= x' |SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Abstand|x|x'}} | \leq | \delta || || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette | {{op:Abstand|f(x)|f(x')}} |\leq| \epsilon || || || || |SZ= }} gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung, den wir parallel für die reellen und die komplexen Zahlen entwickeln. Wir verwenden für {{math|term= \R |SZ=}} und {{math|term= {{CC}} |SZ=}} das gemeinsame Symbol {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} und wir betrachten Funktionen {{ Abbildung/display |name= \varphi |T| {{KRC|}} || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |T |\subseteq| {{KRC|}} || || || |SZ= }} eine Teilmenge ist. Wegen {{ Relationskette |\R | \subset|{{CC}} || || || |SZ= }} könnte man sich auf {{ Relationskette | {{KRC|}} || {{CC}} || || || || |SZ= }} beschränken. Allerdings ist die reelle Situation etwas suggestiver und viele komplexe Fragestellungen lassen sich einfach auf den reellen Fall zurückführen, sodass es durchaus erlaubt ist, sich zunächst auf {{ Relationskette | {{KRC|}} || \R || || || || |SZ= }} zu beschränken. {{ inputdefinition |Stetigkeit in einem Punkt/K/Allgemein/Definition| }} Bei {{math|term= T |SZ=}} sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass {{math|term= T |SZ=}} ganz {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} ist, oder ein reelles Intervall, oder {{math|term= \R |SZ=}} ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den nichnegativen reellen Zahlen {{ mathkor|term1= \epsilon |und|term2= \delta |SZ= }} kann man genauso gut mit Stammbrüchen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|1|n}} |und|term2= {{op:Bruch|1|m}} |SZ= }} arbeiten. {{ inputbeispiel |Stetig/K/Konstant/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Stetig/K/Lineare Abbildung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reelle Funktion/Indikatorfunktion nichtnegativ/Unstetig/Beispiel|| }} {{ inputbild |WeierstrassFunction|svg|270px {{!}} right {{!}} | |Text=Nicht jede stetige Funktion kann man zeichnen, auch nicht nach beliebiger Vergrößerung. Gezeigt wird eine Approximation einer Weierstraß-Funktion, die stetig, aber nirgendwo differenzierbar ist. Bei einer stetigen Funktion kann man zwar die Größe der Schwankungen im Bildbereich durch Einschränkungen im Definitionsbereich kontrollieren, die Anzahl der Schwankungen {{ Zusatz/Klammer |text=die Anzahl der Richtungswechsel des Graphen| |ISZ=|ESZ= }} kann man aber nicht kontrollieren. |Autor= |Benutzer=Eeyore22 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der stetigen Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} j9hufcrkserjkjfun7exhdflwfg254p 0 131854 1092590 957510 2026-06-01T14:11:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092590 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition|| }} Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes {{math|term= z |SZ=}} absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen {{ Math/display|term= {{op:cos|z|}} {{defeq|}} {{op:cosinusreihe|z|}} \text{ und } {{op:sin|z|}} {{defeq|}} {{op:sinusreihe|z|}} |SZ= }} heißen {{Stichwort|Kosinus|SZ=}} und {{Stichwort|Sinus|SZ=.}} Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen. {{ inputfaktbeweis |Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote|zusatz2={{Zusatz/Fußnote|text=Dies ist ein Spezialfall der Aussage, dass man absolut konvergente Reihen beliebig sortieren darf, was wir in Vorlesung 17 ausführlich begründen werden.}} |ref1=|| }} Für reelle {{math|term= z |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= {{op:sin|z|}} |und|term2= {{op:cos|z|}} |SZ= }} wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles {{math|term= z |SZ=}} das Paar {{mathl|term= ( {{op:cos|z|}}, {{op:sin|z|}}) |SZ=}} ein Punkt auf dem {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=}} {{mathl|term= {{Mengebed|(x,y)|x^2+y^2 {{=|}} 1}} |SZ=}} ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als {{mathl|term= ( {{op:cos|z|}}, {{op:sin|z|}} ) |SZ=}} schreiben lässt, wobei man {{math|term= z |SZ=}} als Winkel {{ Zusatz/Klammer |text=im Bogenmaß| |ISZ=|ESZ= }} interpretieren kann. Dabei tritt die Periode {{math|term= 2 \pi|SZ=}} auf, wobei wir die {{Stichwort|Kreiszahl|SZ=}} {{math|term= \pi|SZ=}} eben über die trigonometrischen Funktionen einführen werden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1iru5b3uyv5zkrpahi4h3iiofzalxoe 0 131857 1092187 1074580 2026-06-01T13:06:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092187 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Tangente2|gif| 300px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Loveless |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Differenzenquotient/D offen K/Definition|| }} Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graphen durch die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (a,f(a)) |und|term2= (x,f(x)) |SZ=, }} diese Situation wird auch durch das {{Stichwort|Steigungsdreieck|SZ=}} dargestellt. Für {{ Relationskette |x ||a || || || |SZ= }} ist dieser Differenzenquotient {{Betonung/Negation|nicht}} definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für {{mathl|term= x \rightarrow a |SZ=}} existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der {{Anführung|Tangente|SZ=.}} {{ inputdefinition |Differenzierbar/D offen K/Über Limes/Definition|| }} Die Ableitung in einem Punkt {{math|term= a |SZ=}} ist, falls sie existiert, ein Element in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Häufig nimmt man die Differenz {{ Relationskette |h ||x-a || || || |SZ= }} als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt {{math|term= h |SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} gehen, d.h. man betrachtet {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes|h|0| {{op:Bruch| f(a+h)-f(a) | h}} }} |SZ=. }} Die Bedingung {{ Relationskette |x |\in| D \setminus \{a\} || || || |SZ= }} wird dann zu {{ mathbed|term= a+h \in D ||bedterm1= h \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Wenn die Funktion {{math|term= f |SZ=}} einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient {{mathl|term= {{op:Bruch|f(x)-f(a)|x-a}} |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=effektive| |ISZ=|ESZ= }} Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten {{ mathkor|term1= a |und|term2= x |SZ= }} und {{mathl|term= f'(a) |SZ=}} ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt {{math|term= a |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Ableitung/K/Affin-lineare Funktion/Direkt/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ableitung/K/Quadrieren/Direkt/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 423jnbruqnt3cwhflaq55l7gee1xof0 0 131862 1092024 984047 2026-06-01T12:39:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092024 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Stammfunktion der Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|x}} |SZ=}} ist der natürliche Logarithmus. Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst. Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:sin|x|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= -{{op:cos|x|}} |SZ=,}} die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:cos|x|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:sin|x|}} |SZ=.}} Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1+x^2|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:arctan|x|}} |SZ=,}} es ist ja {{:Arkustangens/Ableitung/1 durch 1+x^2/Fakt/Beweis|}} Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1-x^2|}} |SZ=}} auf {{mathl|term= ]{-1},1[ |SZ=}} ist {{ Relationskette | {{op:Bruch|1|2}} {{op:ln| {{op:Bruch|1+x|1-x}} |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:ln(|1+x|}} - {{op:ln(|1-x}} |}} || || || |SZ=, }} es ist ja {{:Stammfunktion/1 durch 1- x^2/Fakt/Beweis|opt=Text}} Auf {{mathl|term= \R \setminus \{-1,1\} |SZ=}} ist {{ mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} {{op:ln| {{op:Betrag| {{op:Bruch|1+x|1-x}} |}}||}} |SZ= }} eine Stammfunktion. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rg36cztxa8xl1s8c0vuexzdclribk2g 0 131945 1092120 1054484 2026-06-01T12:55:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092120 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die beiden ersten Bilder sind {{Stichwort|Graphen|msw=Graph}} zu einer polynomialen Funktion in einer Variablen, sie werden beschrieben durch {{ Relationskette/display | Y || P(X) || || || |SZ=, }} wobei im ersten Bild {{ Relationskette | P(X) ||X || || || |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=es liegt also ein lineares Polynom vor| |ISZ=|ESZ= }} und im zweiten Bild etwas wie {{ Relationskette/display | P(X) ||a_4X^4+a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0 || || || |SZ= }} mit gewissen Koeffizienten {{math|term= a_i}} aus einem Körper {{math|term= K}} vorliegt. In der algebraischen Geometrie fixiert man einen {{Stichwort|Grundkörper}} {{math|term= K |SZ=.}} Wichtige Körper sind für uns die {{Stichwort|reellen Zahlen|msw=Reelle Zahlen}} {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere sind die Bilder so zu verstehen| |ISZ=!|ESZ= }} oder die {{Stichwort|komplexen Zahlen|msw=Komplexe Zahlen}} {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Ein solcher Graph ist insofern ein einfaches Gebilde, dass es zu jedem Wert für {{math|term= X}} genau einen Wert für {{math|term= Y}} {{ Zusatz/Klammer |text=den Funktionswert| |ISZ=|ESZ= }} gibt, und den man auch noch einfach ausrechnen kann, wenn man im gegebenen Körper rechnen kann. Der Graph ist in gewissem Sinne eine {{anführung|gebogene}} Kopie der Grundlinie, der {{math|term= X |SZ=-}}Achse. Betrachten wir das dritte Bild. Das ist der Graph einer {{Stichwort|rationalen Funktion|msw=rationale Funktion|SZ=,}} d.h. man hat zwei Polynome {{math|term= P,Q }} in einer Variablen {{math|term= X}} und schaut sich den Quotienten {{mathl|term= {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} |SZ= }} an. Dieser Ausdruck ergibt nur dort Sinn, wo der Nenner nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist. An den Nullstellen des Nennerpolynoms ist die rationale Funktion nicht definiert {{ Zusatz/Klammer |text=wenn Nenner und Zähler an der gleichen Stelle {{math|term= 0 |SZ=}} sind, so kann man durch kürzen manchmal erreichen, dass der Quotient auch an dieser Stelle einen Sinn bekommt| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn der Nenner {{math|term= 0 |SZ=}} ist, der Zähler aber nicht, so ist die Undefiniertheitsstelle ein {{anführung|Pol}} {{ Zusatz/Gs |text=der reelle Graph strebt nach {{math|term= + \infty }} bzw. {{math|term= -\infty}}| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist verlockend zu sagen, dass der Wert der rationalen Funktion an diesen undefinierten Stellen {{Anführung|unendlich}} ist, und im Kontext der projektiven Geometrie macht das durchaus Sinn, wie wir später sehen werden. Die {{Anführung|Graphengleichung}} {{ Relationskette |Y || {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} || || || |SZ= }} ist jedenfalls wegen den Undefinierbarkeitsstellen keine optimale Beschreibung für die Kurve. Wenn man sie hingegen mit dem Nenner multipliziert, so erhält man die Bedingung (oder {{Stichwort|Gleichung}}) {{ Math/display|term= Y Q(X) = P(X) \text{ bzw. genauer } {{Mengebed|(x,y) \in K^2| yQ(x) {{=|}} P(x) |}} |SZ=, }} in der links und rechts wohldefinierte Polynome stehen. Die {{Stichwort|Erfüllungsmenge}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Lösungsmenge|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} ist eindeutig definiert, wobei bei {{ Relationskette | Q(x) || 0 || || || |SZ= }} für ein bestimmtes {{math|term= x}} die linke Seite null ist, und es dann dort bei {{ Relationskette | P(x) |\neq|0 || || || |SZ= }} keine Lösung gibt {{ Zusatz/Klammer |text=wie im Bild| |ISZ=|ESZ= }} und bei {{ Relationskette | P(x) || 0 || || || |SZ= }} jeder {{math|term= Y |SZ=-}}Wert erlaubt ist. In letzterem Fall gehört also eine zur {{math|term= X |SZ=-}}Achse senkrechte Gerade durch {{mathl|term= (x,0) }} zu dem Gebilde. {{inputbeispiel|Ebene affine Kurven/Hyperbel/zur Einführung/Beispiel|}} Das vierte Bild ist ein {{Stichwort|Kreis|SZ=,}} seine Gleichung ist {{ Relationskette | K || {{Mengebed|(x,y)| x^2+y^2 {{=}} r^2}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= r}} den Radius des Kreises bezeichnet. Schon das Bild zeigt, dass dieses Gebilde nicht der Graph einer Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=Abbildung| |ISZ=|ESZ= }} sein kann, da bei einem Graphen zu einem {{math|term= x |SZ=-}}Wert stets genau ein {{math|term= y |SZ=-}}Wert gehört. Man kann aber keine Funktion finden mit {{ Relationskette | y || \varphi(x) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |K || {{Mengebed| (x,\varphi(x))| x \in \R }} || || || |SZ=. }} Die Frage, ob man ein algebraisches Lösungsgebilde als einen Graphen realisieren kann, ist äquivalent dazu, ob man die definierende Gleichung nach {{math|term= y}} {{anführung|auflösen}} kann. Im Beispiel kann man {{ Relationskette | y^2 ||r^2-x^2 || || || |SZ= }} und damit {{ Relationskette | y || \sqrt{r^2-x^2} || \sqrt{(r-x)(r+x)} || || |SZ= }} schreiben. Ist es also doch ein Graph? Hier gibt es zwei Interpretationen: {{ Auflistung2 |Wenn man sich auf reelle Zahlen und auf positive Wurzeln beschränkt, so hat man im letzten Schritt keine Äquivalenzumformung durchgeführt, und Information {{Anführung|hinzugefügt|SZ=,}} die in der ursprünglichen Gleichung nicht vorhanden war. Die positive Wurzel zu nehmen bedeutet, sich auf den oberen Halbkreis zu beschränken (Information, also Bedingungen hinzufügen, bewirkt, dass die Lösungsmenge verkleinert wird). |Wenn man stattdessen unter {{math|term= \sqrt{\, } }} alle Lösungen berücksichtigt {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. im Reellen die positive und die negative Quadratwurzel, was man häufig als {{math|term= \pm \sqrt{\, } }} schreibt| |ISZ=|ESZ=, }} so hat man keine Information dazugetan, aber auch nicht nach einer Funktion aufgelöst {{ Zusatz/Klammer |text=sondern nur, wie man manchmal sagt, nach einer {{Anführung|mehrwertigen Funktion|SZ=| |ISZ=|ESZ= }} |ESZ=.}} }} Beide Standpunkte haben etwas für sich. Dass man für einen Teil des geometrischen Objektes {{ Zusatz/Klammer |text=dem oberen Halbbogen| |ISZ=|ESZ= }} versucht, eine einfache Beschreibung als Graph zu finden, kehrt im Satz über implizite Funktionen, im Potenzreihenansatz, in Parametrisierungen und in der lokalen Theorie wieder. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen affinen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} alqh1t4jowxfo7tapoouxyctiu8xapc 0 131948 1092119 1074542 2026-06-01T12:55:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092119 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Newtonbig|gif| {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Pokipsy76 |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |GodfreyKneller-IsaacNewton-1689|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Text= [[w:Isaac Newton|Isaac Newton (1643–1727)]] |Autor=Godfrey Kneller |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine Kreisgleichung kann man als eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | Y^2 || G(X) || || || |SZ= }} auffassen, wobei {{math|term= G}} ein Polynom in der einen Variablen {{math|term= X}} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=im Fall eines Kreises ist {{ Relationskette/k |G || -X^2+1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Das ist kein Graph, aber die {{anführung|Wurzel}} eines Graphen. Betrachten wir generell eine solche Situation, wo {{mathl|term= G(X) }} auch komplizierter sein darf. Das Nullstellengebilde repräsentiert hier die Quadratwurzel {{mathl|term= \sqrt{G(X)} |SZ=.}} Wenn man sich für {{math|term= X}} einen beliebigen Wert {{math|term= x }} vorgibt, so gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=im Reellen| |ISZ=|ESZ= }} drei Möglichkeiten für zugehörige Lösungen: {{ Auflistung3 |Wenn {{mathl|term= G(x) }} negativ ist, so gibt es keine Lösung. |Wenn {{ Relationskette | G(x) || 0 || || || |SZ= }} ist, so gibt es genau die Lösung {{ Relationskette |y || 0 || || || |SZ=. }} |Wenn {{mathl|term= G(x) }} positiv ist, so gibt es die beiden Lösungen {{ Relationskette |y || \pm \sqrt{G(x)} || || || |SZ=. }} }} Das gibt auch einen Ansatz, wie das reelle Bild aussieht: Für jedes {{math|term= x }} berechnet man {{math|term= G(x) }} und markiert bei {{mathl|term= (x, \pm \sqrt{G(x)}) }} {{ Zusatz/Klammer |text=falls der Radikand nichtnegativ ist| |ISZ=|ESZ= }} einen Punkt. Im Komplexen sind nur die Fälle {{ Relationskette |G(x) || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | G(x) | \neq| 0 || || || |SZ= }} zu unterscheiden. Wenn {{math|term= G}} selbst nur den Grad zwei besitzt, so handelt es sich um einen {{Stichwort|Kegelschnitt|SZ=,}} die schon in der Antike betrachtet wurden{{{zusatz1|.}}} Mit dem Fall, dass {{math|term= G(X)}} ein kubisches {{ Zusatz/Klammer |text=reelles| |ISZ=|ESZ= }} Polynom ist {{ Zusatz/Klammer |text=also den Grad drei besitzt| |ISZ=|ESZ=, }} hat sich Isaac Newton intensiv beschäftigt. Dieses Beispielmaterial ist schon sehr reichhaltig. {{ inputbild |ECexamples01|png| 300px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dake |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Betrachten wir den Fall {{ Relationskette |G(X) || X^3 || || || |SZ=, }} also das durch {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y)| y^2{{=}}x^3 }} }} beschriebene Gebilde. Dieses Gebilde nennt man die {{Stichwort|Neilsche Parabel|SZ=.}} Hier tritt ein neues Phänomen auf, nämlich, dass der Nullpunkt anders ist als alle anderen Punkte. Man spricht von einer {{Stichwort|Singularität|SZ=;}} im Gegensatz dazu nennt man die anderen Punkte {{Stichwort|glatt}} oder {{Stichwort|nicht-singulär|SZ=.}} Eine genaue Definition zu geben ist Teil dieses Kurses, als erste ungenaue Formulierung kann man sagen, dass eine Kurve in einem glatten Punkt lokal und in geeigneten Koordinaten so aussieht wie der {{ Zusatz/Klammer |text=gedrehte| |ISZ=|ESZ= }} Graph einer differenzierbaren Funktion. Die Singularität in der Neilschen Parabel nennt man auch eine {{Stichwort|Spitze}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{Stichwort|Kuspe|SZ=,}} was einfach Spitze bedeutet| |ISZ=|ESZ=. }} Dagegen ist die Singularität im Bild 8 ein {{Stichwort|Kreuzungspunkt}} oder {{Stichwort|Doppelpunkt|SZ=.}} Im Bild 7 vom Anfang und oben sieht man ebenfalls Nullstellengebilde der Form {{ Relationskette |Y^2 || G(X) || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= G(X) }} ein Polynom vom Grad drei ist. Wie sieht {{math|term= G(X) }} aus, damit sich solch eine Kurve ergibt? Die zuletzt genannten Beispiele zeigen auch, dass es von der genauen Gestalt von {{math|term= G(X) }} abhängt, ob die Kurve eine Singularität besitzt oder nicht. Bleiben wir noch bei der Neilschen Parabel {{math|term= C |SZ=.}} Wenn {{math|term= t }} irgendeine reelle oder komplexe Zahl ist, so liegt der Punkt mit den Koordinaten {{ Relationskette | (x,y) || {{op:Zeilenvektor|t^2|t^3}} || || || |SZ= }} stets auf der Neilschen Parabel, da ja {{ Relationskette | {{makl| t^2 |}}^3 || t^6 || {{makl| t^3 |}}^2 || || |SZ= }} ist. Man kann auch umgekehrt zeigen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Neilsche Parabel/Bildbeschreibung durch Gleichung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} dass jeder Punkt der Neilschen Parabel eine solche Gestalt besitzt, dass es also zu {{mathl|term= (x,y) }} mit {{ Relationskette |y^2 ||x^3 || || || |SZ= }} ein {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar genau ein| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= t}} mit {{ Relationskette | (x,y) || {{op:Zeilenvektor|t^2|t^3}} || || || |SZ= }} gibt. Man sagt, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\R|C |t|(t^2,t^3) |SZ=, }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=bijektive polynomiale| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Parametrisierung}} der Neilschen Parabel ist. Es ist eine nicht-triviale Frage, welche algebraischen Kurven eine polynomiale Parametrisierung besitzen. Eine Kurve der Form {{ Relationskette |Y^2 ||G(X) || || || |SZ=, }} die glatt ist und wo {{math|term= G}} den Grad drei hat, besitzt keine solche Parametrisierung. In der elementaren Zahlentheorie lernt man, dass alle {{Stichwort|pythagoreischen Tripel|msw=Pythagoreisches Tripel}} auf eine einfache übersichtliche Gestalt gebracht werden können, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Äquivalent dazu ist eine {{ Zusatz/Klammer |text=rationale| |ISZ=|ESZ= }} Parametrisierung des rationalen Einheitskreises, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Einheitskreis/Rationale Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Dies werden wir in größerer Allgemeinheit in {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} behandeln. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen affinen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} avxljw9oznq02vjgc16v66q2pj7xrji 0 132115 1092241 1018952 2026-06-01T13:14:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092241 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Siehe auch [[Funktionenfolgen/K/Einführung/Textabschnitt]]. In verschiedenen Kontexten gibt es unendliche Summen von Funktionen, wo die Indexmenge nicht oder zumindest nicht in natürlicher Weise durch die natürlichen Zahlen gegeben ist. In diesem Fall möchte man einen Summierbarkeitsbegriff haben, der ohne eine willkürliche Festlegung der Summationsreihenfolge auskommt. {{ inputdefinition |Funktionsfamilie/Gleichmäßig summierbar/Definition|| }} In diesem Fall ist für jedes {{ Relationskette |P |\in|T || || || |SZ= }} die Familie {{ mathbed|term= f_i(P) ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |summierbare Familie| |Kontext=| |SZ= }} von Zahlen aus {{math|term= {{KRC|}} |SZ=,}} und zwar ist {{math|term= f(P) |SZ=}} die Summe der Familie. Insbesondere ist eine gleichmäßig summierbare Funktionenfamilie punktweise summierbar, und {{math|term= f |SZ=}} ist die Summe der Familie. {{ inputdefinition |Funktionsfamilie/Normal summierbar/Definition|| }} Das folgende Kriterium heißt Weierstraßscher {{math|term= M |SZ=-}}Test {{ inputfaktbeweis |Funktionsfamilie/Weierstraß-Test/Gleichmäßig summierbar/Fakt|Lemma|| || }} Die Abschätzungen dieses Tests kann man auch als {{ Relationskette | {{op:Norm|f_i |}} |\leq| M_i || || || |SZ= }} ausdrücken. Die Aussage bedeutet insbesondere, dass eine normal summierbare Funktionenfamilie gleichmäßig summierbar ist. Ferner gilt die gleichmäßige Summierbarkeit auch dann, wenn diese Abschätzungen bis auf endlich viele Ausnahmen gelten. {{ inputdefinition |Funktionsfamilie/Lokal gleichmäßig summierbar/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Stetige Funktionsfamilie/Lokal gleichmäßig summierbar/Stetige Summe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Funktionsfamilie/Ableitung lokal gleichmäßig summierbar/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der summierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 42lquu49spzt3rmhrviyhmwse7hlbz3 0 132137 1092266 982288 2026-06-01T13:18:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092266 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=| |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Weierstraßsche p-Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \wp |SZ=}} und ihre Ableitung {{math|term= \wp' |SZ=}} und betrachten die holomorphe Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{CC|}} \setminus \Gamma | {{CC|}}^2 |z| {{op:Zeilenvektor| \wp(z)|\wp'(z) |}} {{=|}} {{op:Zeilenvektor|x|y}} |SZ=. }} Das Bild erfüllt die algebraische Gleichung {{ Relationskette/display |y^2 || g(x) || 4x^3-g_2x-g_3 || || |SZ= }} mit dem kubischen Polynom {{math|term= g |SZ= }} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Elliptische Funktionen/Körper/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wir betrachten die Abbildung in die projektive Ebene über die Einbettung {{ Relationskette | {{CC|}}^2 || D_+(z) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene| {{CC|}} |}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe_Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt|Satz|| || }} In {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe_Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt |Nr= |SZ= }} haben wir die Abbildung in die projektive Ebene als holomorph angesprochen. Dazu fassen wir die projektive Ebene als komplexe Mannigfaltigkeit auf. Man kann aber auch die elliptische Kurve {{ Relationskette |V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} als komplexe Mannigfaltigkeit auffassen {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Glatte Varietät/Morphismus/Holomorphe Abbildung/Bemerkung |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} nämlich als eindimensionale abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der projektiven Ebene mit der letztlich durch {{ Faktlink |Präwort=den|Satz über implizite Abbildungen|Faktseitenname= Satz über implizite Abbildungen/K/Fakt |Nr= |SZ= }} gesicherten holomorphen Struktur. Mit dieser Struktur is die Abbildung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe_Zahlen/Kubische Kurve/Bijektiv/Fakt |Nr= |SZ= }} sogar biholomorph. {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe_Zahlen/Kubische Kurve/Gruppenisomorphismus/Fakt|Satz|| || }} Streckungsäquivalente Gitter bzw. als komplexe Lie-Gruppen isomorphe komplexe Tori führen zu {{ Zusatz/Klammer |text=als Varietäten und auch als abelsche Varietäten| |ISZ=|ESZ= }} isomorphen elliptischen Kurven, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gitter/Streckungsäquivalent/Elliptische Kurven/Isomorph/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Isomorphe elliptische Kurven sind auch als komplexe Lie-Gruppen isomorph. Ferner kann man zeigen, dass jede elliptische Kurve über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} zu einem komplexen Torus biholomorph ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bvmr92krpqedbmn591hwo9t42eynwni 0 132174 1092273 982337 2026-06-01T13:19:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092273 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Glatte projektive Kurve/Geschlecht/Erste Kohomologie/Definition|| }} In Abgrenzung zum differentiellen Geschlecht spricht man auch vom kohomologischen Geschlecht. Die sogenannte Serre-Dualität besagt, dass beide Arten, das Geschlecht zu definieren, übereinstimmen. Es ist ein erheblicher Aufwand, Kohomologie von Garben auf Varietäten {{ Zusatz/Klammer |text=und allgemeiner| |ISZ=|ESZ= }} zu definieren. Für eine projektive Kurve kann man Kohomologie für quasikohärente Garben über Čech-Kohomologie direkt und effektiv einführen. Die Kurve {{math|term= C |SZ=}} wird überdeckt durch zwei offene affine Teilmengen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ=, }} eine elliptische Kurve in Weierstraßform beispielsweise durch {{math|term= D_+(Z) |SZ=}} und {{math|term= D_+(Y) |SZ=.}} Die erste Kohomologie {{ Zusatz/Klammer |text=höhere Kohomologien gibt es im Kurvenfall nicht, die nullte Kohomologie ist die globale Auswertung| |ISZ=|ESZ= }} einer quasikohärenten Garbe {{math|term= {{op:Garbe|F}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=dazu gehört die Strukturgarbe, die Garbe der Differentialformen, alle invertierbaren Garben| |ISZ=|ESZ= }} ist der {{ Definitionslink |Kokern| |Kontext=| |SZ= }} der zusammengesetzten Restriktionsabbildung {{ Math/display|term= H^0(U, {{op:Garbe|F}}) \oplus H^0(V, {{op:Garbe|F}}) \longrightarrow H^0(U \cap V, {{op:Garbe|F}}) |SZ=. }} Die universellen Beschreibungen der Kohomologie sichern, dass das Ergebnis unabhängig von der gewählten Überdeckung ist. Für projektive Varietäten sind sämtliche Kohomologien von quasikohärenten Moduln nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektive Varietät/Quasikohärente Garbe/Vorschub/Fakt |Nr= |SZ= }} endlichdimensional, was der Hauptgrund ist, warum man mit Kohomologie sinnvolle Invarianten definieren kann. Im Allgemeinen ist die Berechnung von Kohomologien schwierig, es gibt aber auch viele erfolgreiche Techniken. Ein wichtiger Satz bezieht sich auf ebene Kurven. {{ inputfakt |Ebene projektive Kurve/Grad/Kohomologisches Geschlecht/Fakt|Satz|| || }} Insbesondere ergibt sich bei {{ Relationskette |d ||1,2 || || || |SZ= }} das Geschlecht {{math|term= 0 |SZ=,}} und in der Tag liegt hier jeweils eine projektive Gerade vor. Bei {{ Relationskette |d ||3 || || || |SZ= }} ist das Geschlecht {{math|term= 1 |SZ=.}} Elliptische Kurven, definiert als glatte kubische Kurven, haben also das Geschlecht {{math|term= 1 |SZ=.}} {{ inputbemerkung |Ebene projektive Kurve/Kleiner Grad/Kohomologie der Strukturgarbe/Explizite Berechnung/Bemerkung|| }} {{ inputbemerkung |Quadriken/Glatter Durchschnitt/Geschlecht 1/Bemerkung|| }} Der folgende Satz heißt Satz von Riemann-Roch. Es bezeichnet darin {{math|term= h^0 |SZ=}} bzw. {{math|term= h^1 |SZ=}} die Dimension der zugehörigen Kohomologiegruppen, der Grad einer invertierbaren Garbe ist der Grad der zugehörigen Weildivisorklasse. {{ inputfakt |Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Riemann-Roch/Fakt|Satz|| || }} Dieser Satz beherrscht die Frage, wie viele globale Schnitte eine invertierbare Garbe besitzt. Es gibt eine im Allgemeinen schwierige Beziehung zwischen einer geometrischen Realisierung {{ Zusatz/Klammer |text=einer projektiven Einbettung| |ISZ=|ESZ= }} und dem Geschlecht. Eine invertierbare Garbe {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} auf einer Kurve {{math|term= C |SZ=}} und ein System von globalen Schnitten {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise eine Basis| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | s_0, s_1 {{kommadots|}} s_n |\in| {{op:Schnitte|C| {{op:Garbe|L|}} }} || H^0(C,{{op:Garbe|L|}}) || || |SZ= }} definiert einen Morphismus {{ Abbildung/display |name= |C| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || |SZ=. }} {{ inputfakt |Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Grad/2g+1/Einbettung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o5ajhdrtyav8gl3a5t5y7fn3ue7ngz2 0 132175 1092209 956975 2026-06-01T13:10:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092209 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Definition|| }} Die erste Kohomologie {{mathl|term= H^1(C, {{op:Strukturgarbe|C}}) |SZ=}} muss also eindimensional sein. Eine glatte kubische Kurve besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene projektive Kurve/Grad/Kohomologisches Geschlecht/Fakt |Nr= |SZ= }} das Geschlecht {{math|term= 1 |SZ=.}} Wenn man wie oben eine elliptische Kurve durch das Geschlecht definiert, so ist es keineswegs klar, dass sie eine kubische Realisierung besitzt. Beispielsweise besitzt wie in {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Quadriken/Glatter Durchschnitt/Geschlecht 1/Bemerkung |Nr= |SZ= }} erläutert der Durchschnitt im {{math|term= {{op:Projektiver Raum|3|K}} |SZ=}} von zwei Flächen vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} im glatten Fall ebenfalls das Geschlecht {{math|term= 1 |SZ=,}} und diese geometrische Realisierung legt nicht nahe, dass es auch eine ebene kubische Realisierung gibt. Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Glatte projektive Kurve/Invertierbare Garbe/Grad/2g+1/Einbettung/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt für eine elliptische Kurve das folgende Einbettungsresultat. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Geschlecht 1/Kubische Realisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} itnhxfqm334fv61krym0f0ucuefugpt 0 132183 1092210 1018872 2026-06-01T13:10:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092210 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette |\Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} ist die zugehörige elliptische Kurve {{mathl|term= {{CC|}}/\Gamma |SZ=}} eine Gruppe, die als {{ Definitionslink |topologische Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} isomorph zu {{mathl|term= S^1 \times S^1 |SZ=.}} Auf dieser Ebene sind also alle elliptischen Kurven über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} untereinander gleich. Die Gruppenstruktur kann man insbesondere dadurch verstehen, dass man {{ Relationskette/display | S^1 || \R/\Z || || || |SZ= }} versteht. Eine reelle Zahl {{math|term= r |SZ=}} definiert in {{math|term= S^1 |SZ=}} genau dann das Nullelement, wenn {{ Relationskette |r |\in|\Z || || || |SZ= }} ist. Eine reelle Zahl {{math|term= r |SZ=}} definiert in {{math|term= S^1 |SZ=}} genau dann ein Torsionselement, wenn {{ Relationskette |r |\in|\Q || || || |SZ= }} ist. Wenn {{ Relationskette | r || {{op:Bruch|m|n}} || || || |SZ= }} eine gekürzte Darstellung ist, dann ist {{math|term= n |SZ=}} die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} von {{mathl|term= [r] |SZ=}} in {{math|term= S^1 |SZ=.}} Wenn die Darstellung nicht notwendigerweise gekürzt ist, so ist {{math|term= n |SZ=}} ein Vielfaches der Ordnung. Insbesondere sind zu gegebenem {{ Relationskette |n |\in|\N_+ || || || |SZ= }} die verschiedenen Elemente {{mathl|term= [{{op:Bruch|0|n}}], [{{op:Bruch|1|n}}], [{{op:Bruch|2|n}}] {{kommadots|}} [{{op:Bruch|n-1|n}}] |SZ=}} diejenigen Elemente, deren Ordnung ein Vielfaches von {{math|term= n |SZ=}} ist. Diese bilden eine Untergruppe der Kreisgruppe, die aus {{math|term= n |SZ=}} Elementen besteht, und isomorph zur {{ Definitionslink |zyklischen Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Zmod|n|}} |SZ=}} ist. {{ inputfaktbeweis |Komplexe Zahlen/Gitter/Torsionsuntergruppe/Fakt|Lemma|| || }} Bei {{ Relationskette | \Gamma || \langle w_1,w_2 \rangle || || || |SZ= }} kann man die Torsionsuntergruppe {{mathl|term= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|n|{{CC|}}/\Gamma }} |SZ=}} explizit als {{ mathbed|term= [{{op:Bruch|i|n}} w_1 + {{op:Bruch|j|n}} w_2 ] ||bedterm1= 0 \leq i,j \leq n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} angeben. Wenn eine elliptische Kurve über einem beliebigen Körper {{math|term= K |SZ=}} definiert ist, so ist die Menge der {{math|term= K |SZ=-}}Punkte eine kommutative Gruppe. Wenn {{ Relationskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} ein Erweiterungskörper ist, so ist auch die Menge der {{math|term= L |SZ=-}}Punkte der Kurve eine kommutative Gruppe, die typischerweise aus mehr Elementen besteht, also {{ Relationskette/display |E(K) |\subseteq|E(L) || || || |SZ=. }} Es gibt im Allgemeinen auch mehr Torsionselement über {{math|term= L |SZ=}} als über {{math|term= K |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Standardgleichung/2-Torsion/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Körper/Torsionsuntergruppen/Fakt|Korollar|| || }} Wenn {{math|term= E |SZ=}} über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} definiert, so muss man zwischen den über {{math|term= K |SZ=}} und den über {{math|term= {{op:Algebraischer Abschluss|K|}} |SZ=}} definierten Torsionspunkten unterscheiden. Wir bezeichnen die in einem algebraischen Abschluss von {{math|term= K |SZ=}} gewonnenen {{math|term= n |SZ=-}}Torsionspunkte mit {{math|term= E[n] |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | E[n] || {{op:Torsionsuntergruppeordnung|n|E ({{op:Algebraischer Abschluss|K|}}) }} || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 90xs8dj4ycawmj2tqoo69ev7gr8ggfo 0 132271 1092268 1018982 2026-06-01T13:18:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092268 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Auf einer ebenen affinen Kurve {{ Relationskette |V(g) |\subseteq| {{op:Affine Ebene|K|}} || || || |SZ= }} mit dem affinen Ring {{ Relationskette |R ||K[X,Y]/(g) || || || |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} gleich dem {{ Definitionslink |Prämath=R |Modul| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|R|K}} || R dx \oplus R dy /dg |\cong| R \times R / {{op:Zeilenvektor| {{op:Partielle Ableitung|g|x}} | {{op:Partielle Ableitung|g|y}} }} || || |SZ=, }} es handelt sich also um eine Darstellung als Restklassenmodul eines freien Moduls vom Rang {{math|term= 2 |SZ=}} modulo einer Gleichung. Wenn die Kurve glatt ist, so ist in jedem Punkt eine der partiellen Ableitungen eine Einheit und somit ist lokal dieser Modul frei vom Rang {{math|term= 1 |SZ=.}} Es handelt sich also um einen invertierbaren Modul. Die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|g|x}} dx + {{op:Partielle Ableitung|g|y}} dy || 0 || || || |SZ= }} kann man auch als {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1 | {{op:Partielle Ableitung|g|y}} }} dx || - {{op:Bruch|1 | {{op:Partielle Ableitung|g|x}} }} dy || || || |SZ= }} schreiben, wobei die linke Darstellung für den Ort gilt, wo {{math|term= {{op:Partielle Ableitung|g|y}} |SZ=}} nicht vercshwindet. Da im glatten Fall die partiellen Ableitungen das Einheitsideal erzeugen, handelt es sich um eine auf ganz {{math|term= R |SZ=}} definierte nullstellenfreie Differentialform. Bei einer projektiven Varietät muss man den Modul der Kähler-Differentialformen vergarben. Im Fall von Kurven lässt sich der Grundgedanke dieses Konzeptes einfach beschreiben. Für eine ebene projektive Kurve {{ Relationskette |C ||V_+(F) |\subseteq| {{op:Projektive Ebene|K|}} || || || |SZ= }} mit {{math|term= F |SZ=}} vom Grad {{math|term= m |SZ=}} und der Form {{math|term= X^m + \ldots |SZ=}} bilden {{ mathkor|term1= D_+(Y) |und|term2= D_+(Z) |SZ= }} eine affine Überdeckung der Kurve und für die globalen Funktionen liegt das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:Schnitte|C| {{op:Strukturgarbe|C|}} }} | ((K[X,Y,Z]/(F))_Y)_0 |((K[X,Y,Z]/(F))_Z)_0 | ((K[X,Y,Z]/(F))_{YZ} )_0 }} vor. Eine globale Funktion {{ Zusatz/Klammer |text=links oben| |ISZ=|ESZ= }} wird genauer durch ein Paar bestehend aus einer Funktion rechts oben und einer Funktion links unten beschrieben, das die Bedingung erfüllt, dass es rechts unten auf das gleiche Element abbildet. Die Abbildungen sind bei einer integren Kurve injektiv und somit spielt sich alles im Funktionenkörper der Kurve ab. Ein entsprechendes Diagramm gibt es für den Modul der Kähler-Differentiale, nämlich {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:Schnitte|C| {{op:Kählermodul|C|K}} }} | {{op:Kählermodul| ((K[X,Y,Z]/(F))_Y)_0 |K}} | {{op:Kählermodul|((K[X,Y,Z]/(F))_Z)_0 |K}} | {{op:Kählermodul| ((K[X,Y,Z]/(F))_{YZ} )_0 |K}} |SZ=.}} Im integren Fall sind die Abbildungen wieder injektiv, und das Diagramm stellt die Definition für die globalen Differentialformen {{math|term= {{op:Schnitte|C| {{op:Kählermodul|C|K}} }} |SZ=}} dar. Eine globale Differentialform ist nämlich ein Paar bestehend aus einer Differentialform rechts oben und einer Differentialform links unten, das die Bedingung erfüllt, dass es rechts unten auf die gleiche Differentialform abbildet. Im integren Fall spielt sich alles im Modul dere Kähler-Differentiale des Funktionenkörpers, also in {{math|term= {{op:Kählermodul|Q(C)|K}} |SZ=}} ab. Für die affinen Ausschnitte haben wir die oben angegebene Restklassendarstellung. {{ inputfaktbeweis |Projektive ebene Kurve/Glatt/Homogen/Differentialformen explizit/Fakt|Lemma|| || }} Mit dieser expliziten Methode erhält man auf einer glatten ebenen projektiven Kurve vom Grad {{math|term= m |SZ=}} genau {{mathl|term= {{op:Bruch|(m-2)(m-1)|2}} |SZ=}} globale Differentialformen, die linear unabhängig über {{math|term= K |SZ=}} sind. In der Tat gibt es keine weiteren. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2=Theorie der kanonischen Garbe auf einer glatten projektiven Kurve |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7wyzbhffrx62nwhbzsiqyrf4t22lhaz 0 132315 1092335 1019118 2026-06-01T13:29:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092335 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Periodengitter/Definition|| }} Das Periodengitter ist in der Tat ein Gitter im {{math|term= {{CC|}}^g |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Periodengitter/Gitter/Fakt|Satz|| }} Die Periode {{mathl|term= \int_\gamma \omega |SZ=}} hängt nur von der Homologieklasse des geschlossenen Weges und nicht von gewählten Aufpunkt ab. Das Periodengitter ist das Bild des Gruppenhomomorhismus {{ Abbildung/display |name= | \pi_1(X)| {{CC}}^g |\gamma| {{op:Zeilenvektor| \int_\gamma \omega_1 |\ldots| \int_\gamma \omega_g }} |SZ=, }} die Homomorphieeigenschaft beruht einfach darauf, dass Wegintegrale mit der Verknüpfung von Wegen verträglich sind. Wenn {{mathl|term= \tau_1 {{kommadots|}} \tau_g |SZ=}} eine weitere Basis der holomorphen Formen ist, mit der Übergangsbasis {{math|term= M |SZ=,}} die die {{math|term= \tau_j |SZ=}} als Linearkombination der {{math|term= \omega_i |SZ=}} ausdrückt, so wird unter der natürlichen bijektiven linearen Abbildung {{ Abbildung/display |name=M | {{CC|}}^g | {{CC}}^g || |SZ= }} das Periodengitter zur ersten Basis in das Peridodengitter zur zweiten Basis überführt. Dies beruht direkt auf der Linearität der Wegintegrale in den Differentialformen, {{ Relationskette/display | M {{op:Spaltenvektor| \int_\gamma \omega_1 |\vdots| \int_\gamma \omega_g }} || {{op:Spaltenvektor| \sum_{j {{=|}} 1}^g a_{1j} \int_\gamma \omega_j |\vdots | \sum_{j {{=|}} 1}^g a_{gj} \int_\gamma \omega_j }} || {{op:Spaltenvektor| \int_\gamma \sum_{j {{=|}} 1}^g a_{1j} \omega_j |\vdots | \int_\gamma \sum_{j {{=|}} 1}^g a_{1j} \omega_j }} || {{op:Spaltenvektor| \int_\gamma \tau_1 |\vdots | \int_\gamma \tau_g }} || |SZ=. }} Darauf beruht, dass die folgende Definition unabhängig von der gewählten Basis ist. {{ inputdefinition |Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Jacobische Varietät/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Kompakte riemannsche Fläche/Jacobische Varietät/Dualraum/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Wohldefiniert/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der jacobischen Varietät |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8e5lbigh41z7ol416w96fbtdkxt12s7 0 132456 1092601 984256 2026-06-01T14:13:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092601 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine Varietät, die über dem {{ Definitionslink |endlichen Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} mit {{math|term= q |SZ=}} Elementen definiert sei. Diese Varietät besitzt endlich viele Punkte, die über {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q|}} |SZ=}} definiert sind. Nennen wir diese Anzahl {{math|term= N_1 |SZ=.}} Aufgrund der Körpererweiterung {{ Relationskette | {{op:Endlicher Körper|q|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|q^r|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körper/Endliche Erweiterung/Galois/Zwischenkörper/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} kann man {{math|term= X |SZ=}} auch über {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q^r|}} |SZ=}} auffassen und dessen Punkteanzahl, nennen wir sie {{math|term= N_r|SZ=,}} bestimmen. Wenn {{math|term= X |SZ=}} in einem affinen oder projektiven Raum durch Gleichungen beschrieben wird, so kann man direkt die Gleichungen über {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q^r|}} |SZ=}} auffassen und die Punkte zählen, deren Koordinaten zu {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q^r|}} |SZ=}} gehören. Wenn {{math|term= X |SZ=}} nicht eingebettet vorliegt, so muss man {{mathl|term= X \times_{ {{op:Endlicher Körper|q|}} } {{op:Endlicher Körper|q^r|}} |SZ=}} betrachten und dort die Anzahl der Punkte mit Restekörper {{math|term= {{op:Endlicher Körper|q^r|}} |SZ=}} bestimmen. Eine faszinierende Frage ist nun, ob es bei den Anzahlen {{mathl|term= N_1,N_2, \ldots|SZ=}} Gesetzmäßigkeiten gibt, und wie diese mit weiteren Eigenschaften von {{math|term= X |SZ=}} zusammenhängen. Die Suche nach diesen Gesetzmäßigkeiten war eine treibende Kraft in der Entwicklung der algebraischen Geometrie in der zweiten Hälfte des 20.sten Jahrhunderts {{ Zusatz/Klammer |text=Weil, Grothendieck, Deligne| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist auf den ersten Blick überraschend, dass die folgende formale Funktion der richtige Ansatz ist, die Teilinformationen der {{math|term= N_r |SZ=}} in ein einziges analytisches {{ Zusatz/Klammer |text=funktionentheoretisches| |ISZ=|ESZ= }} Objekt zusammenzufassen. {{ inputdefinition |Varietät/Fq/Zeta-Funktion/Definition|| }} Genauer spricht man von der Weilschen Zeta-Funktion. Formal handelt es sich einfach um eine Potenzreihe in {{math|term= t |SZ=}} mit rationalen Koeffizienten. Aufgrund der Definition der Exponentialreihe handelt es sich um die Reihe {{ Math/display|term= 1 + {{makl| N_1t + N_2 {{op:Bruch|t^2|2}} + N_3 {{op:Bruch|t^3|3}} + \ldots|}} + {{op:Bruch|1|2}} {{makl| N_1t + N_2 {{op:Bruch|t^2|2}} + N_3 {{op:Bruch|t^3|3}} + \ldots|}}^2+ {{op:Bruch|1|6}} {{makl| N_1t + N_2 {{op:Bruch|t^2|2}} + N_3 {{op:Bruch|t^3|3}} + \ldots|}}^3 + \ldots |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Projektiver Raum/Fq/Zeta-Funktion/Beispiel|| }} Das Ergebnis im vorstehenden Beispiel ist typisch und zeigt bereits die Stärke und Prägnanz der Zeta-Funktion: Sie ist für eine glatte projektive Varietät {{math|term= X |SZ=}} stets eine {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= t |SZ=.}} Wenn {{math|term= n |SZ=}} die Dimension von {{math|term= X |SZ=}} ist, so gibt es ganzzahlige Polynome {{math|term= P_i(t) |SZ=}} für {{ Relationskette |0 |\leq|i |\leq|2n || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |Z(t) || {{op:Bruch|P_1(t) \cdot P_3(t)\cdot P_5(t) \cdots P_{2n-1} (t) |P_0(t) \cdot P_2(t)\cdot P_4(t) \cdots P_{2n} (t) }} || || || |SZ=. }} Diese starke Aussage beinhaltet insbesondere die keineswegs selbstverständliche Aussage, dass endlich viele der Anzahlen {{math|term= N_r |SZ=}} bereits alle Anzahlen bestimmen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zeta-Funktionen von Varietäten über endlichen Körpern |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} eox2jf2au7ubmm3z0ix9447y7mmll00 0 132532 1092214 981776 2026-06-01T13:10:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092214 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine über {{math|term= \Q |SZ=}} definierte elliptische Kurve besitzt eine {{ Definitionslink |Prämath=L |Reihe| |Kontext=L elliptisch| |SZ=, }} die man als eine Dirichletreihe {{mathl|term= \sum_{n \in \N_+} a_n n^{-s} |SZ=}} schreiben kann. Aus den Koeffizienten {{math|term= a_n |SZ=}} kann man andere Objekte bilden, insbesondere andere Reihen. Hier interessieren wir uns für die Reihe {{ Relationskette/display | g(z) | {{defeq|}} | \sum_{n \in \N_+} a_n e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}} n z } || || || |SZ=. }} Es handelt sich um eine Fourierreihe, die man oft auch als Potenzreihe {{ Math/display|term= \sum_{n \in \N_+} a_n q^n |SZ= }} schreibt, dabei gilt also {{ Relationskette | q || e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}} z } || || || |SZ=, }} es liegt eine Potenzreihe in {{mathl|term= e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}} z } |SZ=}} vor. Es liegt die Zusammensetzung {{ Math/display|term= {{CC}} \stackrel{\, \, \, z \mapsto e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}} z } \, \, \,}{\, \, \, \longrightarrow \, \, \, } {{CC}} \stackrel{\, \, \,q \mapsto \sum a_n q^n \, \, \,}{\, \, \, \longrightarrow \, \, \, } {{CC|}} |SZ= }} bzw. {{ Math/display|term= {{Obere Halbebene}} \stackrel{\, \, \, z \mapsto e^{2 \pi {{imaginäre Einheit}} z } \, \, \,}{\, \, \, \longrightarrow \, \, \, } {{Op:Offener Ball|0|1}} \stackrel{\, \, \,q \mapsto \sum a_n q^n \, \, \,}{\, \, \, \longrightarrow \, \, \, } {{CC|}} |SZ= }} vor, für die Konvergenz auf der offenen Einheitskreisscheibe siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Elliptische Kurve/L-Reihe/Potenzreihe/Konvergenz/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Man kann sich nun fragen, ob sich Gesetzmäßigkeiten der {{math|term= L |SZ=-}}Reihe, die ja strukturelle Eigenschaften der elliptischen Kurve zusammenfasst, in Gesetzmäßigkeiten von {{math|term= g(z) |SZ=}} niederschlagen bzw. dort erst sichtbar bzw. sinnvoll formulierbar werden. Es gilt nun in der Tat der folgende {{Stichwort|Modularitätssatz|SZ=,}} vormals die Vermutung von Taniyama-Shimura, der in einem wichtigen Spezialfall zuerst von Wiles und dann vollständig von Breuil, Conrad, Diamond, Taylor bewiesen wurde. Er kann auf recht unterschiedliche Weise formuliert werden, wir erwähnen eine Version, die ohne großen begrifflichen Aufwand direkt die Koeffizienten der {{math|term= L |SZ=-}}Reihe ins Visier nimmt. Der Beweis geht deutlich über eine Einführung in elliptische Kurven hinaus. {{ inputfakt |Elliptische Kurve/Q/Modularitätssatz/Fakt|Satz|| || }} Da die Reihe {{mathl|term= \sum_{n \in \N_+} a_nq^n |SZ=}} auf dem offenen Ball definiert ist, liegt für die zugehörige Abbildung auf {{math|term= {{Obere Halbebene|}} |SZ=}} Holomorphie im Unendlichen mit dem Wert {{math|term= 0 |SZ=}} vor. Die Hauptaussage ist also die Verträglichkeit mit der Operation der Kongruenzuntergruppe, die eine zusätzliche Gesetzmäßigkeit zwischen den Koeffizienten {{math|term= a_n |SZ=}} und damit zwischen den verschiedenen Reduktionen der elliptischen Kurve ausdrückt. Eine weitere Formulierung des Modularitätssatzes ist, dass es eine nichtkonstante holomorphe {{ Zusatz/Klammer |text=oder algebraische| |ISZ=|ESZ= }} Abbildung {{ Abbildung/display |name= |X_0(N) | E || |SZ= }} gibt, wobei {{math|term= X_0(N) |SZ=}} die {{ Definitionslink |Modulkurve| |Kontext=| |SZ= }} zur Kongruenzuntergruppe {{math|term= \Gamma_0(N) |SZ=}} bezeichnet. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Absolute Galoisgruppe/Darstellung auf Tate-Modul/Fakt |Nr= |SZ= }} liefert eine über {{math|term= \Q |SZ=}} definierte elliptische Kurve {{math|term= E| SZ=}} zu jeder Primzahl {{math|term= \ell|SZ=}} eine Darstellung der absoluten Galoisgruppe von {{math|term= \Q|SZ=}} in den {{math|term= \ell |SZ=-}}adischen {{ Definitionslink |Tate-Module| |Kontext=elliptisch| |SZ= }} {{ Relationskette/display | T_\ell(E) |\cong| \hat{\Z}_\ell \times \hat{\Z}_\ell || || || |SZ=, }} also einen Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | G_{ {{op:Algebraischer Abschluss|\Q|}} {{|}} \Q } | {{op:Aut|T_\ell(E)||}} \cong {{op:GLG|2| \hat{\Z}_\ell}} || |SZ=. }} Ebenso definiert eine Modulform eine solche Darstellung. Im Beweis werden letztlich solche Darstellungen miteinander verglichen. Eine wichtige Folgerung aus dem Modularitätsatz ist der folgende Satz, vormals eine Vermutung von Hasse-Weil. {{ inputfakt |Elliptische Kurve/Q/L-Reihe definiert/Fakt|Satz|| || }} Dies sichert, dass in der Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer die {{math|term= L |SZ=-}}Reihe in {{ Relationskette |s ||1 || || || |SZ= }} eine sinnvolle Fortsetzung besitzt und der analytische Rang dort überhaupt wohldefiniert ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über Q |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qmst6qwny7cr792fvyzn7obgy7w9oao 0 132541 1092550 984028 2026-06-01T14:05:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092550 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten eine Reihe von Untergruppen der speziellen linearen Gruppe {{mathl|term= {{op:SLG|2|\Z}} |SZ=}} einführen, die durch gewisse modulare Bedingungen charakterisiert sind und Kongruenzuntergruppen heißen. Es sei eine natürliche Zahl {{math|term= N |SZ=}} fixiert. Zunächst induziert der {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= |\Z| {{op:Zmod|N|}} || |SZ= }} einen {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= |{{op:SLG|2|\Z}} | {{op:SLG|2| {{op:Zmod|N|}} }} || |SZ=, }} bei dem einfach sämtliche Einträge modulo {{math|term= N |SZ=}} genommen werden. Da die Matrizenmultiplikation und die Determinante durch polynomiale Ausdrücke gegeben sind, folgt direkt, dass dies ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus ist. {{ inputdefinition |SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/Kern/Definition|| }} Es geht also einfach um die Matrizen, deren Diagonalelemente modulo {{math|term= N |SZ=}} zu {{math|term= 1 |SZ=}} und deren Nebendiagonalelemente modulo {{math|term= N |SZ=}} zu {{math|term= 0 |SZ=}} werden. Als Kern eines Gruppenhomomorphismus handelt es sich um eine Untergruppe und um einen {{ Definitionslink |Normalteiler| |Kontext=| |SZ=. }} Da die Bildgruppe bei {{ Relationskette |N |\geq|1 || || || |SZ= }} endlich ist und die spezielle lineare Gruppe unendlich, ist {{math|term= \Gamma(N) |SZ=}} unendlich. Beispielsweise ist {{ Relationskette | {{op:Matrix22|N+1|N|-N|1-N}} |\in| \Gamma(N) || || || |SZ=. }} Wir interessieren uns nun für Untergruppen {{ Relationskette/display |\Gamma (N) |\subseteq| \Gamma |\subseteq| {{op:SLG|2|\Z}} || || |SZ=, }} wovon es bei gegebenem {{math|term= N |SZ=}} endlich viele gibt. Solche Untergruppen nennt man {{Stichwort|Kongruenzuntergruppen|msw=Kongruenzuntergruppe|SZ=.}} Neben der Hauptkongruenzgruppe erwähnen wir die folgenden. {{ inputdefinition |SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/0/Definition|| }} {{ inputdefinition |SL2/Z/Kongruenzuntergruppe/1/Definition|| }} Es ist {{ Relationskette/display |\Gamma (N) |\subseteq|\Gamma_1(N) |\subseteq| \Gamma_0(N) || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |N |\geq|2 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette | {{op:Matrix22|1|N|0|1}} |\in| \Gamma(N) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | T || {{op:Matrix22|1|1|0|1}} |\in| \Gamma_1(N) || || || |SZ=, }} aber {{ Relationskette | {{op:Matrix22|1|1|0|1}} |\notin| \Gamma(N) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} |\in| \Gamma_0(N) || || || |SZ=, }} aber {{ Relationskette | {{op:Matrix22|-1|0|0|-1}} |\notin| \Gamma_1(N) || || || |SZ=. }} Ferner ist {{ Relationskette | S || {{op:Matrix22|0|-1|1|0}} |\notin| \Gamma_1(N) || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5vy0cp84fne4b9p46g345sox2a5lywe 0 132591 1092211 981755 2026-06-01T13:10:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092211 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette/display |E || V_+(F) || {{op:Projektive Ebene|K|}} || || |SZ= }} eine über einem {{ Definitionslink |Zahlkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} definierte {{ Definitionslink |elliptische Kurve| |Kontext=kubisch| |SZ=, }} gegeben durch eine kurze Weierstraßgleichung {{ Relationskette |y^2 || x^3+ax+b || || || |SZ=. }} Wir wollen auf den Punkten von {{math|term= E |SZ=}} eine Höhenfunktion definieren, die im Beweis des Satzes von Mordell-Weil helfen soll. Dazu muss sie gewisse Eigenschaften bezüglich der Addition erfüllen. Wir arbeiten {{ Zusatz/Klammer |text=statt mit der durch die Einbettung gegebene Höhe| |ISZ=|ESZ= }} mit der Abbildung {{ Abbildung/display |name= |E| {{op:Projektive Gerade|K|}} |(x,y,z)| (x,z) |SZ=. }} Affin wird also ein Punkt {{math|term= (x,y) |SZ=}} einfach auf {{math|term= x |SZ=}} projiziert. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Abschätzung für Addition/Fakt|Lemma|| || }} De folgende Satz besagt, dass bei einer elliptischen Kurve über einem Zahlkörper die über die {{math|term= x |SZ=-}}Projektion auf die projektive Gerade definierte logarithmische Höhe eine {{ Definitionslink |schwache Höhenfunktion| |Kontext=| |SZ= }} ist. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Zahlkörper/Höhenfunktion/Existenz/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der elliptischen Kurven über einem Zahlkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} llsq1htr3zx3cbnv3u656rvv9h23of4 0 132594 1092459 1019549 2026-06-01T13:50:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092459 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Im projektiven Raum über einem Körper ist jeder Punkt gleichberechtigt, es gibt stets einen Automorphismus, der den einen Punkt in einen anderen Punkt überführt. Im projektiven Raum über {{math|term= {{op:Algebraischer Abschluss|\Q}} |SZ=}} unterscheiden sich aber dennoch die Punkte hinsichtlich ihrer arithmetischen Eigenschaften oder arithmetischen Komplexität. Da ist zum einen die Frage, über welchem Körper ein Punkt definiert werden kann. Da es nur endlich viele Koordinaten gibt und diese algebraische Zahlen sind, gehört jeder Punkt {{ Relationskette |P || {{op:Zeilenvektor|x_0 |x_1 | \ldots|x_m}} |\in| {{op:Projektiver Raum|m|}} {{makl|{{op:Algebraischer Abschluss|\Q}} |}} || || || |SZ= }} bereits zu {{ Relationskette |P |\in| {{op:Projektiver Raum|m|}} ( K ) || || || |SZ= }} für eine endliche Erweiterung {{ Relationskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ=, }} beispielsweise kann man {{ Relationskette/display | K || \Q( x_0,x_1 {{kommadots}} x_m) || || || |SZ= }} nehmen, was aber im Allgemeinen nicht der Körper von minimalen Grad sein muss, man denke an {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| \sqrt{2} | \sqrt{2} | \ldots|\sqrt{2} }} |SZ=,}} der bereits über {{math|term= \Q |SZ=}} definiert ist. Natürlich gibt es im projektiven Raum unendlich viele Punkte mit rationalen Koordinaten. Daher erhebt sich die Frage, wie man bei einem fixierten Zahlkörper die Punkte sinnvoll in zunehmend größere endliche Teilmengen anordnen kann. Es bezeichnet {{ mathbed|term= {{op:Betrag|-|}}_v ||bedterm1= v \in M_K ||bedterm2= |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Standardbeträge| |Kontext=Zahlkörper| |SZ= }} eines Zahlkörpers {{math|term= K |SZ=.}} {{ inputdefinition |Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Definition|| }} Dieser Ausdruck existiert, da bis auf endlich viele Ausnahmen zu jedem nichtarchimedischen Betrag der Faktor gleich {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Durch die Potenz mit dem lokalen Grad {{math|term= n_v |SZ=}} als Exponenten wird aus dem Standardbetrag der natürliche Betrag, siehe {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Normierungen/Bemerkung |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Projektive Ebene/Q/Höhe/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/Q/Höhe/Schranke/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Körpererweiterung/Fakt|Lemma|| || }} Die im vorstehenden Lemma ausgedrückte Abhängigkeit vom Körper wird durch die folgende Definition überwunden. {{ inputdefinition |Projektiver Raum/Zahlbereich/Absolute Höhe/Definition|| }} Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Projektiver Raum/Zahlbereich/Höhe/Körpererweiterung/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=der|Gradformel|Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/Gradformel/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt für eine Körperkette {{ Relationskette | \Q |\subseteq| K |\subseteq| L || || |SZ= }} und einen Punkt {{ Relationskette |P |\in| {{op:Projektiver Raum|m|}} (K) || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display/druckalign | H (P) || H_K(P)^{ 1/ {{op:Grad Körpererweiterung|\Q|K}} } || H_K(P)^{ {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} / ({{op:Grad Körpererweiterung|\Q|K}}) ( {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} ) } || {{makl| H_K(P)^{ {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} } |}}^{ 1/({{op:Grad Körpererweiterung|\Q|K}}) ( {{op:Grad Körpererweiterung|K|L}} ) } || H_L(P)^{ 1/ {{op:Grad Körpererweiterung|\Q|L}} } || |SZ=, }} also ist die absolute Höhe in der Tat unabhängig vom Körper. Zur Berechnung der absoluten Höhe eines Punktes {{ Relationskette |P |\in| {{op:Projektiver Raum|m| {{op:Algebraischer Abschluss|\Q|}} }} || || || |SZ= }} wählt man eine beliebige endliche Körpererweiterung {{ Relationskette |\Q |\subseteq|K || || || |SZ=, }} über den der Punkt definiert ist, und bestimmt {{ Relationskette/align/handlinks |H (P) || \prod_{ v \in M_K} \max \{ {{op:Betrag|x_0 |}}_v^{n_v}, {{op:Betrag|x_1 |}}_v^{n_v} {{kommadots}} {{op:Betrag|x_m |}}_v^{n_v} \}^{ {{op:Bruch|1| {{op:Grad Körpererweiterung|\Q|K}} }} } || \prod_{ v \in M_K} \max \{ {{op:Betrag|x_0 |}}_v^{ {{op:Bruch|n_v| {{op:Grad Körpererweiterung|\Q|K}} }} }, {{op:Betrag|x_1 |}}_v^{ {{op:Bruch|n_v| {{op:Grad Körpererweiterung|\Q|K}} }} } {{kommadots}} {{op:Betrag|x_m |}}_v^{ {{op:Bruch|n_v| {{op:Grad Körpererweiterung|\Q|K}} }} } \} || || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/Absolute Höhe/Wurzeln aus 2/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Projektive Gerade/Zahlkörper/Absolute Höhe/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Höhenfunktionen auf dem projektiven Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 829ecwjlbnp02mnjirk602nquimxd3m 0 132597 1092635 984428 2026-06-01T14:19:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092635 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Körper/Absolutbetrag/Definition|| }} Beispielsweise ist der übliche Betrag auf den rationalen oder reellen oder komplexen Zahlen ein Absolutbetrag in diesem Sinne. {{ inputbeispiel |Zahlkörper/Reelle oder komplexe Einbettung/Betrag/Beispiel|| }} Zu einer komplexen Einbettung definiert dabei die konjugiert-komplexe Einbettung den gleichen Betrag auf {{math|term= K |SZ=.}} Mit der Festlegung {{ Relationskette/display | d(f,g) || {{op:Betrag|f-g|}} || || || |SZ= }} wird ein Körper mit einem Betrag zu einem {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körper/Betrag/Metrischer Raum/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Zu einem {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |endlichen Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |\Q | \subseteq|K || || || |SZ= }} ist {{math|term= R_{{idealp}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |SZ= }} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |SZ= }} und die zugehörige Ordnung {{ Abbildung/display |name= |K \setminus \{0\} | \Z |f| {{op:Bewertungsordnung|f| {{idealp|}} }} |SZ=, }} besitzt die Eigenschaften {{ Aufzählung2 |{{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|fg|}} || {{op:Bewertungsordnung|f|}} + {{op:Bewertungsordnung|g|}} || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette | {{op:Bewertungsordnung|f+g|}} | \geq| \min \{ {{op:Bewertungsordnung|f|}} , {{op:Bewertungsordnung|g|}} \} || || || || |SZ=. }} Häufig setzt man {{ Relationskette/display | {{op:Bewertungsordnung|0|}} || \infty || || || |SZ=. }} }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Körper/Betrag/Archimedisch/Definition|| }} Ein Betrag ist genau dann nichtarchimedisch, wenn die Dreiecksabschäzung in der verschärften Form {{ Relationskette/display | {{op:Betrag|f+g|}} |\leq| {{op:Maximumpaar| {{op:Betrag|f|}} | {{op:Betrag|g|}} }} || || || |SZ= }} gilt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Körper/Betrag/Nichtarchimedisch/Starke Dreiecksabschätzung/Fakt/Beweis/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} In {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Fakt |Nr= |SZ= }} wurde mitbewiesen, dass die Beträge, die von einer Bewertung herrühren, nichtarchimedisch sind. {{ inputbemerkung |Zahlbereich/Bewertung/Betrag/Normierungen/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Rationale Zahlen/Betragsmenge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Zahlkörper/Betragsmenge/Definition|| }} Man spricht von den Standardbeträgen auf {{math|term= K |SZ=.}} Die {{math|term= 1 |SZ=}} hat unter jedem Standardbetrag den Wert {{math|term= 1 |SZ=.}} Das gleiche gilt für jede {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |SZ= }} aus dem {{ Definitionslink |Ring der ganzen Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= K |SZ=.}} {{ inputdefinition |Zahlkörper/Betrag/Lokaler Grad/Definition|| }} Zu {{ Relationskette |v |\in|M_K || || || |SZ= }} schreibt man auch {{ Relationskette/display | {{op:Norm|-|}}_v || {{op:Betrag|-|}}_v^{n_v} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= n_v |SZ=}} den {{ Definitionslink |lokalen Grad| |Kontext=| |SZ= }} bezeichnet. Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aus dem Zahlbereich {{math|term= R |SZ=}} zu {{math|term= K |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} über {{mathl|term= (p) |SZ=}} ist {{math|term= n_v |SZ=}} das Produkt aus {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ=, }} also dem Grad der Körpererweiterung {{ Relationskette/display | {{op:Zmod|p|}} |\subseteq| {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} || || || |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Verzweigungsindex| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Relationskette/display | \Z_{(p)} | \subseteq| R_{{idealp}} || || || |SZ=. }} Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad {{math|term= 1 |SZ=}} im reellen und {{math|term= 2 |SZ=}} im komplexen Fall. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Beträge auf einem Zahlkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 21bzffcssovuy950bx8gqky294umw8o 0 132863 1092216 1018877 2026-06-01T13:11:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092216 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Für eine elliptische Kurve über einem Körper {{math|term= K |SZ=}} betrachten wir stets den Tate-Modul zur elliptischen Kurve über dem algebraischen Abschluss von {{math|term= K |SZ=.}} {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Primzahl/Tate-Modul/Definition|| }} Man bezeichnet hier die Primzahl mit {{math|term= \ell|SZ=,}} da sie zumeist verschieden von der Charakteristik des Körpers gewählt wird. Wenn {{math|term= \ell|SZ=}} nicht die Charakteristik ist, so ist {{ Relationskette/display | E[ \ell^n] |\cong| {{op:Zmod|\ell^n |}} \times {{op:Zmod|\ell^n |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Torsionsuntergruppen/Fakt |Nr= |SZ=. }} Unter den natürlichen Abbildungen {{ Abbildung/display |name= \ell | E[ \ell^{n+1}] \cong {{op:Zmod|\ell^{n+1}|}} \times {{op:Zmod|\ell^{n+1} |}}|E[ \ell^n] \cong {{op:Zmod|\ell^n |}} \times {{op:Zmod|\ell^n |}} || |SZ= }} wird ein Erzeugerpaar auf ein Erzeugerpaar abgebildet. Man kann also die gerichtete Familie identifizieren mit der zweifach genommenen Restklassenfamilie {{ Math/display|term= \longrightarrow {{op:Zmod|\ell^3|}} \longrightarrow {{op:Zmod|\ell^2|}} \longrightarrow {{op:Zmod|\ell|}} \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei die Homomorphismen in der Restklassenfamilie einfach die Restklassenringhomomorphismen sind. Der zugehörige projektive Limes ist nach Definition die {{math|term= \ell|SZ=-}}adische {{ Definitionslink |Komplettierung| |Kontext=| |SZ= }} des {{ Definitionslink |lokalen Ringes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \Z_{ (\ell)} |SZ=}} am {{ Definitionslink |maximalen Ideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= (\ell) |SZ=.}} Diese wird mit {{math|term= \hat{ \Z}_\ell |SZ=}} bezeichnet. Daher gibt es eine nichtkanonische Isomorphie {{ Relationskette/display | T_\ell(E) |\cong| \hat{ \Z}_\ell \times \hat{ \Z}_\ell || || || |SZ=. }} Im Fall eines {{ Definitionslink |komplexen Torus| |Kontext=1| |SZ= }} {{math|term= {{CC|}}/\Gamma |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |komplexen Gitter| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Relationskette | \Gamma |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} gibt es aber eine kanonische Isomorphie {{ Relationskette/display | T_\ell(E) |\cong| \varprojlim_{n \in \N} \Gamma/ \ell^n \Gamma || || || |SZ=, }} also zur Vervollständigung des Gitters bezüglich der Untergruppen {{ mathbed|term= \ell^n \Gamma ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Torsionsuntergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Tate-Modul/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Da das Gitter aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Universelle Überlagerung/Fakt |Nr= |SZ= }} die Fundamentalgruppe und die erste Homologiegruppe des Torus ist, sollte man die Tate-Moduln als {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= \ell|SZ=-}}adische| |ISZ=|ESZ= }} Versionen der ersten Homologie der elliptischen Kurve ansehen. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurven/Isogenie/Tate-Modul/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Tate-Modul einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} c69t21n1x67rjt12kgl9oid8z60juso 0 132888 1092318 1019068 2026-06-01T13:27:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092318 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= G |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= \ell|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Torsionsuntergruppen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G[ \ell^n] |SZ=}} zur Ordnung {{math|term= \ell^n |SZ=}} stehen zueinander in der Beziehung {{ Abbildung/display |name= | G[ \ell^{n+1}] | G[ \ell^{n}] | g| \ell g |SZ=, }} da ja aus {{ Relationskette/display | \ell^{n+1} g || \ell^n ( \ell g) || || |SZ= }} folgt, dass ein Element der Ordnung {{math|term= \ell^{n+1} |SZ=}} unter Multiplikation mit {{math|term= \ell|SZ=}} auf ein Element der Ordnung {{math|term= \ell^n |SZ=}} abgebildet wird. Es liegt somit ein gerichtetes System {{ Math/display|term= G[ \ell^{n+1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^n] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{n-1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} \ldots \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^2] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{1}] \stackrel{ \cdot \ell }{ \longrightarrow} G[ \ell^{0}] {{=}} \{0\} |SZ= }} vor. Über dieses System kann man den {{ Definitionslink |projektiven Limes| |Kontext=| |SZ= }} bilden. Er besteht aus Folgen {{mathl|term= {{Folge|g|}} |SZ=}} mit {{ Relationskette |g_n |\in| G[ \ell^{n}] || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | \ell g_{n+1} || g_n || || || |SZ=. }} Diese Konstruktion ergibt eigentlich nur dann Sinn, wenn es zu jedem {{math|term= \ell^n |SZ=}} auch Torsionselemente gibt. {{ inputdefinition |Kommutative Gruppe/Primzahl/Tate-Modul/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kommutative Gruppe/Homomorphismus/Primzahl/Tate-Modul/Fakt|Lemma|| || }} Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kommutative Gruppe/Tate-Modul/Modul/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist der Tate-Modul ein Modul über der Komplettierung {{math|term= \hat{ \Z}_\ell |SZ=}} von {{math|term= \Z_{(\ell)} |SZ=}} und der Homomorphismus aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutative Gruppe/Homomorphismus/Primzahl/Tate-Modul/Fakt |Nr=1 |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Prämath=\hat{ \Z}_\ell |Modulhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Tate-Modul einer kommutativen Gruppe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} eom3zhxclji124m7ikxb165naq39n0u 0 133199 1092604 1019837 2026-06-01T14:14:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092604 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition|| }} Jede reguläre Funktion auf {{math|term= U |SZ=}} definiert einen Morphismus {{ Abbildung/display |name= |U| {{op:Affine Gerade|K|}} || |SZ=. }} Ein Morphismus {{ Abbildung/display |name= |U| {{op:Affiner Raum|n|K|}} || |SZ= }} ist nichts anderes als ein Tupel von {{math|term= n |SZ=}} regulären Funktionen. Ein Morphismus {{ Abbildung/display |name= |U| V( {{ideala|}} ) \subseteq {{op:Affiner Raum|n|K|}} || |SZ= }} ist einfach ein Morphismus nach {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K|}} |SZ=,}} dessen Bild in der abgeschlossenen Teilmenge {{math|term= V( {{ideala|}} ) |SZ=}} landet. Für affine Varietäten {{ Relationskette/display |X ||V( {{ideala|}} ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K|}} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |Y ||V( {{idealb|}} ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|m|K|}} || || |SZ= }} ist ein Morphismus {{ Abbildung/display |name= | V( {{idealb|}} ) | V( {{ideala|}} ) || |SZ= }} äquivalent zu einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Algebrahomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | K[X_1 {{kommadots|}} X_n ]/ {{ideala|}} | K[Y_1 {{kommadots|}} Y_m ]/ {{idealb|}} || |SZ=, }} also gegeben durch {{math|term= n |SZ=}} Polynome {{math|term= P_i |SZ=}} in {{math|term= m |SZ=}} Variablen {{math|term= Y_j |SZ=,}} die {{ Relationskette |F(P_1 {{kommadots|}} P_n) |\in| {{idealb|}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |F |\in| {{ideala|}} || || || |SZ= }} erfüllen müssen. Da ein Morphismus ein lokales Konzept ist, kann man einen Morphismus {{ Abbildung/display |name= |Y|X || |SZ= }} auf diese affine Situation zurückführen. Zu einer offenen affinen Überdeckung {{ Relationskette/display |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und einer affinen Überdeckung {{ Relationskette/display | {{morpsi}}^{-1}(U_i) || \bigcup_{j \in J_i} V_j || || || |SZ= }} muss {{ Abbildung/display |name= |V_j | U_i || |SZ= }} ein Morphismus zwischen affinen Varietäten sein, also durch einen Ringhomomorphismus zwischen {{math|term= K |SZ=-}}Algebren und damit durch Polynome festgelegt sein. Zu irreduziblen Varietäten {{math|term= X,Y |SZ=}} und einem Morphismus {{ Abbildung/display |name= {{morpsi}} |Y|X || |SZ= }} mit der Eigenschaft, dass das Bild von {{math|term= Y |SZ=}} in {{math|term= X |SZ=}} {{ Definitionslink |dicht| |Kontext=Topologie| |SZ= }} ist, ist zu jeder offenen Teilmenge {{ Relationskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} der Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |{{op:SchnittringX|U}} |{{op:SchnittringY|{{morpsi}}^{-1}(U)}} || |SZ= }} injektiv ist. In dieser Situation erhält man einen Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |Q(X)| Q(Y) || |SZ= }} der zugehörigen Funktionenkörper. {{ inputbemerkung |Glatte Varietät/Morphismus/Holomorphe Abbildung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1ddsa48exqugsc85sf84a0z9xutv8a9 0 133203 1092605 984272 2026-06-01T14:14:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092605 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Quasiaffine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition|| }} Sämtliche Polynome aus {{math|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n] |SZ=}} kann man direkt als reguläre Funktionen auf einer affinen Teilmenge {{ Relationskette/display |V({{ideala}}) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} und ebenso auf einer jeden offenen Teilmenge {{ Relationskette |U |\subseteq|V({{ideala}}) || || || |SZ= }} auffassen. Hier braucht man keine Nenner und auch keine von den Punkten abhängige Darstellung. Man kann sogar zeigen, dass auf einer affinen Varietät die Menge der regulären Funktionen mit dem Restklassenring {{ Relationskette |R || K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/{{ideala}} || || || |SZ= }} übereinstimmt, falls {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Radikalideal| |Kontext=| |SZ= }} ist, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Beschreibung der regulären Funkionen auf einer offenen Teilmenge {{ Relationskette/display |U |\subseteq| V( {{ideala|}} ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || |SZ= }} ist besonders einfach, wenn der affine Koordinatenring {{mathl|term= K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{ideala|}} |SZ=}} {{ Definitionslink |faktoriell| |Kontext=| |SZ= }} ist, da dann die Bruchdarstellung {{math|term= G/H|SZ=}} nach Kürzung eindeutig ist. Der maximale Definitionsbereich von {{math|term= G/H|SZ=}} ist gleich {{math|term= D(H) |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Elliptische Kurve/Affine kurze Weierstraßform/Reguläre Funktion/Mehrfache Darstellung/Beispiel|| }} {{inputdefinition |Projektive Varietät/Als abgeschlossene Teilmenge/Algebraische Funktion/Definition|}} Zu einer offenen Menge {{math|term= U |SZ=}} bildet die Menge der auf {{math|term= U |SZ=}} definierten regulären Funktionen wieder eine kommutative {{math|term= K |SZ=-}}Algebra, die mit {{mathl|term= {{op:SchnittringX|U|}} |SZ=}} bezeichnet wird. Zu offenen Teilmengen {{ Relationskette | V |\subseteq| U || || || |SZ= }} gibt es die natürliche Restriktionsabbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:SchnittringX|U|}} |{{op:SchnittringX|V|}} || |SZ=, }} die ein Ringhomomorphismus ist. Von nun an verstehen wir unter einer projektiven Varietät ein projektives Nullstellengebilde zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der {{Stichwort|Strukturgarbe|SZ=}} {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=}} der regulären Funktionen. Diese Konzepte übertragen sich sofort auf offene Teilmengen, was zum Begriff der quasiprojektiven Varietät führt. {{ inputdefinition |Varietäten/K/Quasiprojektive Varietät/Definition|| }} Insbesondere ist eine projektive Varietät aber auch eine affine Varietät quasiprojektiv. Letzteres folgt daraus, dass man eine affine Varietät {{ Relationskette |Y |\subseteq | {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} zu einer projektiven Varietät {{ Relationskette | \tilde{Y} |\subseteq| {{op:Projektiver Raum|n|K}} || || || |SZ= }} fortsetzen kann, in der {{math|term= Y |SZ=}} eine offene Teilmenge ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der algebraischen Funktionen auf Varietäten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ocg6589evb1u8vxzh3sb24hmjp1j7bp 0 133205 1092602 984260 2026-06-01T14:13:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092602 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer irreduziblen quaiprojektiven Varietät {{math|term= X |SZ=}} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper kann man reguläre Funktionen {{ Relationskette |f |\in| {{op:SchnittringX|U|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |g |\in| {{op:SchnittringX|V|}} || || || |SZ= }} auf nichtleeren offenen Mengen {{ Relationskette |U,V |\subseteq|X || || || |SZ= }} miteinander addieren und multiplizieren, indem man beide Funktion über die Restriktionen in {{mathl|term= {{op:SchnittringX|U \cap V|}} |SZ=}} auffasst, wobei {{mathl|term= U \cap V |SZ=}} ebenfalls nicht leer ist, und dort die Operationen durchführt. Dabei muss man reguläre Funktionen mit ihren Einschränkungen auf nichtleeren Teilmengen identifizieren {{ Zusatz/Klammer |text=diese natürliche Identifzierung ist im Folgenden mit Kolimes gemeint| |ISZ=|ESZ=. }} Diese Überlegung ist die Grundlage für die folgende Definition. {{ inputdefinition |Quasiprojektive Varietäten/Irreduzibel/Funktionenkörper/Direkt/Definition|| }} Wir bezeichnen den Funktionenkörper zumeist mit {{math|term= Q(X) |SZ=.}} Die Körpereigenschaft beruht darauf, dass man von einer Darsellung {{ Relationskette |f ||G/H || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k |G,H |\neq|0 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} auf einer affinen Teilmenge ausgehen kann und dann auf der Teilmenge davon, die entsteht, wenn man die Nullstellenmenge von {{math|term= G |SZ=}} herausnimmt, die reguläre Funktion {{ Relationskette |f^{-1} || H/G || || || |SZ= }} zur Verfügung hat. Bei einer irreduziblen Varietät liegen alle auf irgendwelchen offenen Mengen definierten regulären Funktionen in dem einen Funktionenkörper. Wenn {{ Relationskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} eine offene affine Teilmenge mit globalem Schnittring {{math|term= R |SZ=}} ist, so ist der Funktionenkörper gleich dem {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Für eine elliptische Kurve in Weierstraßform ist der Funktionenkörper gleich {{mathl|term= Q(K[x,y]/(y^2-x^3-ax-b)) |SZ=.}} Das ist eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= 2 |SZ=}} über dem {{ Definitionslink |Körper der rationalen Funktionen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= K(x) |SZ=.}} Im Fall einer irreduziblen Varietät {{math|term= X |SZ=}} der Dimension {{math|term= d |SZ=}} ist der Funktionenkörper zu {{math|term= X |SZ=}} ein Körper über {{math|term= K |SZ=}} mit dem {{ Definitionslink |Transzendenzgrad| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= d |SZ=,}} d.h. es gibt eine endliche Körpererweiterung {{ Relationskette |K(T_1 {{kommadots}} T_n) |\subseteq| Q(V) || || || |SZ=. }} Speziell haben bei irreduziblen Kurven die Funktionenkörper den Transzendenzgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Im Kurvenfall gilt sogar der folgende Satz. {{ inputfakt |Glatte projektive Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Funktionenkörper/Fakt|Satz|| || }} Ohne die beiden Voraussetzungen glatt und projektiv stimmt diese Aussage hochgradig nicht. Man sollte diese Aussage als einen deutlichen Hinweis darauf verstehen, dass die Eigenschaften glatt und projektiv eine optimale geometrische Realisierung des Funktionenkörpers liefern. Die Grundidee für den Beweis dieses Satzes ist, in dem Körper {{math|term= Q |SZ=}} mit Transzendenzgrad {{math|term= 1 |SZ=}} die Menge aller {{ Definitionslink |diskreten Bewertungsringe| |Kontext=| |SZ= }} oberhalb von {{math|term= K |SZ=}} zu nehmen und aus diesen die Punkte einer Kurve zu machen. In höherer Dimension gilt die Aussage nicht, man kann zwar jede Körpererweiterung von {{math|term= K |SZ=}} mit endlichem Transzendenzgrad {{math|term= d |SZ=}} als Funktionenkörper einer {{math|term= d |SZ=-}}dimensionalen {{ Zusatz/Klammer |text=auch projektiven| |ISZ=|ESZ= }} Varietät realisieren. Man kann auch, zumindest in Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Singularitätenauflösung| |ISZ=|ESZ= }} Glattheit erreichen, es gibt aber verschiedene konkurrierende Modelle. Die Menge aller diskreten Bewertungsringe ist hier viel zu groß und kann nicht zu einer Varietät gemacht werden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Funktionenkörper (Varietäten) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bcwfk469372fg100hdtqua9ny34k0cu 0 133523 1092167 956914 2026-06-01T13:03:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092167 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Satz von Chevalley-Warning|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Chevalley-Warning/Lösungsanzahl/Fakt|Satz|| || }} Wir erwähnen einige Korollare. {{ inputfaktbeweis |Chevalley-Warning/Hyperfläche/Fakt|Korollar|| || }} In vielen Fällen kann man aus dem Satz von Chevalley-Warning die Existenz von {{ Zusatz/Klammer |text=nichttrivialen| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= K |SZ=-}}rationalen Punkten erschließen. {{ inputfaktbeweis |Chevalley-Warning/Ohne Konstante/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Chevalley-Warning/Homogener Fall/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbemerkung |Chevalley-Warning/Homogener Fall/Anzahl/p-1/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Chevalley-Warning/Homogene Hyperfläche/Fakt|Korollar|| || }} Der Fall vom Grad {{math|term= 1 |SZ=}} in zumindest zwei Variablen ist trivial, da sich da die Existenz von Punkten aus der linearen Algebra ergibt. {{ inputfaktbeweis |Chevalley-Warning/3 Variablen/Quadratische Form/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbeispiel |Chevalley-Warning/Fermatquadrik/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Chevalley-Warning/X^2+Y^2/3 Variablen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Chevalley-Warning/Kubische Kurve über Z mod 2/Keine Lösung/Beispiel|| }} Die Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Chevalley-Warning/3 Variablen/Quadratische Form/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt nicht, wenn man statt endlichen Körpern zu nichtreduzierten endlichen Ringen übergeht. {{ inputbeispiel |Chevalley-Warning/Fermatquadrik/Z mod 4/Beispiel|| }} Bei mehr als einer Gleichung ist der erste interessante Fall der von zwei homogenen Polynomen vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} in fünf Variablen {{ Zusatz/Klammer |text=mit linearen Gleichungen kann man stets Variablen eliminieren| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Chevalley-Warning/2 Quadriken/5 Variablen/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Chevalley-Warning |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jcxa7dtlnisnd72sf72pjlbf7waggul 0 133653 1092260 982253 2026-06-01T13:17:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092260 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Gitter/Komplexe Zahlen/Endomorphismenring/Fakt|Lemma|| || }} Der Standardfall ist, dass der Endomorphismenring gleich {{math|term= \Z|SZ=}} ist und einfach nur aus den Multiplikationen mit ganzen Zahlen im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Streckung mit n/Untergitter/Isogenie/Fakt |Nr= |SZ= }} besteht. Es gibt aber auch Fälle, wo der Endomorphismenring größer ist. Wenn {{math|term= \Gamma|SZ=}} das definierende Gitter ist, so ist die entscheidende Frage, ob es komplexe Zahlen {{ Relationskette |s |\notin|\Z || || || |SZ= }} gibt mit {{ Relationskette |s \Gamma |\subseteq| \Gamma || || || |SZ=. }} Wenn das Gitter in der Form {{mathl|term= \Z 1 + \Z u |SZ=}} gegeben ist, so muss {{math|term= s |SZ=}} selbst zu dem Gitter gehören, also {{ Relationskette |s || n+mu || || || |SZ=, }} und es muss {{ Relationskette/display | su || nu +mu^2 |\in| \Gamma || || |SZ= }} gelten, also {{ Relationskette |mu^2 |\in| \Gamma || || || |SZ=. }} D.h. {{math|term= u |SZ=}} muss eine quadratische Gleichung über {{math|term= \Z|SZ=}} erfüllen. Daher besteht ein enger Zusammenhang zwischen elliptischen Kurven über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} mit {{Anführung|großem}} Endomorphismenring und {{ Definitionslink |imaginär-quadratischen Zahlbereichen| |Kontext=| |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Komplexer Torus/1/Gaussgitter/Endomorphismenring/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Komplexer Torus/1/Eisensteingitter/Endomorphismenring/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Endomorphismenringes eines eindimensionalen komplexen Torus |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 65muu4oe2r7dbqude0ztybp8b1wu84y 0 133705 1092107 1074532 2026-06-01T12:53:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092107 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In der algebraischen Geometrie fixiert man einen {{Stichwort|Grundkörper}} {{math|term= K |SZ=.}} Wichtige Körper sind für uns die rationalen Zahlen {{math|term= \Q|SZ=,}} weitere {{ Definitionslink |Zahlkörper| |Kontext=| |SZ=, }} die reellen Zahlen {{math|term= \R|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere sind die Bilder meistens so zu verstehen| |ISZ=!|ESZ= }} oder die komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}} ferner die {{ Definitionslink |endlichen Körper| |Kontext=| |SZ=. }} {{inputdefinition |Ebene affin-algebraische Kurve/Definition|}} Es handelt sich also um gewisse, durch ein Polynom festgelegte Teilmengen des {{math|term= K^2 |SZ=,}} den man in diesem Zusammenhang auch die affine Ebene nennt und mit {{mathl|term= {{op:Affine Ebene|K|}} |SZ=}} bezeichnet. Das Polynom selbst definiert durch Einsetzen eine Abbildung {{ Abbildung |name=F |K^2|K |(x,y)| F(x,y) |SZ= }} und die Kurve ist das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |SZ= }} über dem Nullpunkt. Betrachten wir einige vergleichsweise einfach gebaute Polynome {{math|term= F |SZ=}} in zwei Variablen und versuchen das zugehörige Nullstellenmenge zu verstehen. {{ inputbild |Polynomialdeg4|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Derbeth |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-2.5 |Bemerkung= }} Wenn {{math|term= F |SZ=}} die Form {{mathl|term= Y-P(X) |SZ=}} mit einem Polynom {{math|term= P |SZ=}} in der einen Variablen {{math|term= X |SZ=}} besitzt, so ist das zugehörige Nullstellengebilde einfach der {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=abb| |SZ= }} dieses Polynoms. Für einen Punkt {{ Relationskette |(x,y) |\in| K^2 || || || |SZ= }} ist ja {{ Relationskette |F(x,y) || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette/display |y || P(x) || || || |SZ= }} ist, und dies charakterisiert die Zugehörigkeit zum Graphen. Ein solcher Graph ist insofern ein einfaches Gebilde, dass es zu jedem Wert für {{math|term= X}} genau einen Wert für {{math|term= Y}} {{ Zusatz/Klammer |text=nämlich den Funktionswert| |ISZ=|ESZ= }} gibt, und den man auch noch einfach ausrechnen kann, wenn man im gegebenen Körper rechnen kann. Der Graph ist in gewissem Sinne eine {{Anführung|gebogene}} Kopie der Grundlinie, der {{math|term= X |SZ=-}}Achse. {{ inputbild |RationalDegree2byXedi|gif| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor=Sam Derbyshire |Benutzer=Ylebru |Domäne=en-wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Eine {{ Definitionslink |rationale Funktion| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= X |SZ=}} ist von der Form {{mathl|term= {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} |SZ= }} mit zwei Polynomen {{math|term= P,Q }} in einer Variablen {{math|term= X |SZ=,}} wobei der Ausdruck nur dort einen Sinn ergibt, wo der Nenner nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist, an den Nullstellen des Nennerpolynoms ist die rationale Funktion nicht definiert.Wenn der Nenner {{math|term= 0 |SZ=}} ist, der Zähler aber nicht, so ist die Undefiniertheitsstelle ein {{Anführung|Pol}} {{ Zusatz/Gs |text=der reelle Graph strebt nach {{math|term= + \infty }} bzw. {{math|term= -\infty}}| |ISZ=|ESZ=. }} Es ist verlockend zu sagen, dass der Wert der rationalen Funktion an diesen undefinierten Stellen {{Anführung|unendlich}} ist, und im Kontext der projektiven Geometrie macht das durchaus Sinn, wie wir später sehen werden. Die {{Anführung|Graphengleichung}} {{ Relationskette |Y || {{op:Bruch|P(X)|Q(X)}} || || || |SZ= }} ist jedenfalls wegen den Undefinierbarkeitsstellen keine optimale Beschreibung für die Kurve. Wenn man sie hingegen mit dem Nennerpolynom multipliziert, so erhält man die Bedingung {{ Math/display|term= Y Q(X) = P(X) \text{ bzw. genauer } {{Mengebed|(x,y) \in K^2| yQ(x) {{=|}} P(x) |}} |SZ=, }} in der links und rechts wohldefinierte Polynome stehen. Der Graph ist dann die Nullstellenmenge des Polynoms {{ Relationskette |F || YQ(X) -P(X) || || || |SZ=. }} In den bisherigen Beispielen kam die Variable {{math|term= Y |SZ=}} nur in ihrer esten Potenz vor, wobei {{math|term= X |SZ=}} beliebig kompliziert darin vorkam. {{ inputbild |Disk 1|svg| 200px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Paris 16 |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-4.0 |Bemerkung= }} Betrachten wir einen {{Stichwort|Kreis|SZ=,}} seine Gleichung ist {{ Relationskette | C || {{Mengebed|(x,y)| x^2+y^2 {{=}} r^2}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= r}} den Radius des Kreises bezeichnet. Eine Kreisgleichung kann man als eine Gleichung der Form {{ Relationskette/display | Y^2 || G(X) || || || |SZ= }} auffassen, wobei {{math|term= G}} ein Polynom in der einen Variablen {{math|term= X}} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=im Fall eines Kreises ist {{ Relationskette/k |G || -X^2+1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Das ist kein Graph, aber die {{Anführung|Wurzel}} eines Graphen. Betrachten wir generell eine solche Situation, wo {{mathl|term= G(X) }} auch komplizierter sein darf. Das Nullstellengebilde repräsentiert hier die Quadratwurzel {{mathl|term= \sqrt{G(X)} |SZ=.}} Wenn man sich für {{math|term= X}} einen beliebigen Wert {{math|term= x }} vorgibt, so gibt es {{ Zusatz/Klammer |text=im Reellen| |ISZ=|ESZ= }} drei Möglichkeiten für zugehörige Lösungen: {{ Auflistung3 |Wenn {{mathl|term= G(x) }} negativ ist, so gibt es keine Lösung. |Wenn {{ Relationskette | G(x) || 0 || || || |SZ= }} ist, so gibt es genau die Lösung {{ Relationskette |y || 0 || || || |SZ=. }} |Wenn {{mathl|term= G(x) }} positiv ist, so gibt es die beiden Lösungen {{ Relationskette |y || \pm \sqrt{G(x)} || || || |SZ=. }} }} Das gibt auch einen Ansatz, wie das reelle Bild aussieht: Für jedes {{math|term= x }} berechnet man {{math|term= G(x) }} und markiert bei {{mathl|term= (x, \pm \sqrt{G(x)}) }} {{ Zusatz/Klammer |text=falls der Radikand nichtnegativ ist| |ISZ=|ESZ= }} einen Punkt. Im Komplexen sind nur die Fälle {{ Relationskette |G(x) || 0 || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | G(x) | \neq| 0 || || || |SZ= }} zu unterscheiden. {{ inputbild |Cusp|png| 180px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Satipatthana |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Mit dem Fall, dass {{math|term= G(X)}} ein kubisches {{ Zusatz/Klammer |text=reelles| |ISZ=|ESZ= }} Polynom ist {{ Zusatz/Klammer |text=also den Grad drei besitzt| |ISZ=|ESZ=, }} hat sich bereits Isaac Newton intensiv beschäftigt. Dieses Beispielmaterial ist schon sehr reichhaltig und insbesondere in Hinblick auf elliptische Kurven relevant. Betrachten wir den Fall {{ Relationskette |G(X) || X^3 || || || |SZ=, }} also das durch {{ Math/display|term= {{Mengebed|(x,y)| y^2{{=}}x^3 }} }} beschriebene Gebilde. Dieses Gebilde nennt man die {{Stichwort|Neilsche Parabel|SZ=.}} Hier tritt ein neues Phänomen auf, nämlich, dass der Nullpunkt anders ist als alle anderen Punkte. Man spricht von einer {{Stichwort|Singularität|SZ=;}} im Gegensatz dazu nennt man die anderen Punkte {{Stichwort|glatt}} oder {{Stichwort|nicht-singulär|SZ=.}} Eine genaue Definition zu geben ist Teil dieses Kurses, als erste ungenaue Formulierung kann man sagen, dass eine Kurve in einem glatten Punkt lokal und in geeigneten Koordinaten so aussieht wie der {{ Zusatz/Klammer |text=gedrehte| |ISZ=|ESZ= }} Graph einer differenzierbaren Funktion. Die Singularität in der Neilschen Parabel nennt man auch eine {{Stichwort|Spitze}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{Stichwort|Kuspe|SZ=,}} was einfach Spitze bedeutet| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Tschirnhausen cubic|svg| 180px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Tschirnhausen_cubic |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Auch der Fall {{ Relationskette |G(X) || X^3 +3X^2 || || || |SZ= }} besitzt einen eigenen Namen, man spricht von der {{Stichwort|Tschirnhausen Kubik|SZ=.}} Die gezeigte Singularität nennt man einen {{Stichwort|Kreuzungspunkt}} oder einen {{Stichwort|Doppelpunkt|SZ=.}} In den beiden Beispielen mit Singularität besitzt das Polynom {{mathl|term= G(X) |SZ=}} eine zumindest doppelte Nullstelle {{ Zusatz/Klammer |text=im Fall der Kuspe sogar eine dreifache| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Elliptic curve simple|svg| 180px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Elliptic_curve_simple |Autor=Sean κ. |Benutzer=Giro720 |Domäne=en-wikipedia.org |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} Es sei nun {{math|term= G(X) |SZ=}} ein Polynom vom Grad {{math|term= 3 |SZ=}} ohne mehrfache Nullstelle. Das Nullstellengebilde zu {{ Relationskette |Y^2 || G(X) || || || |SZ= }} besitzt dann keine Singularität, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Ebene affine Kurve/Körper/Y^n ist F(X)/Glattheit/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es handelt sich um einen affinen Ausschnitt einer elliptischen Kurve. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affin-algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o3p287m522sjdth20vm3b59jczh945q 0 133719 1092118 981032 2026-06-01T12:55:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092118 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Betrachten wir die durch das Polynom {{ Relationskette/display |F ||X^2+Y^2+1 || || || |SZ= }} gegebene Nullstellengebilde im {{math|term= \R^2 |SZ=.}} Dieses ist offenbar leer, da ja für {{ Relationskette |(x,y) |\in| \R^2 || || || |SZ= }} wegen der Nichtnegativität der Quadrate direkt {{ Relationskette |F(x,y) |\geq|1 |>|0 || || |SZ= }} gilt. Wenn man hingegen das gleiche Polynom über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} auffasst und nach Lösungen in {{mathl|term= {{CC|}}^2 |SZ=}} sucht, so ergibt sich eine Vielzahl an Nullstellen. Oder betrachten wir das Polynom {{ Relationskette/display |G || X^2Y+XY^2 +1 || || || |SZ= }} über dem Körper {{math|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=}} mit zwei Elementen. Für jedes Punktepaar {{ Relationskette |(x,y) |\in| {{op:Zmod|2|}} \times {{op:Zmod|2|}} || || || |SZ= }} besitzt dieses Polynom den Wert {{math|term= 1 |SZ=}} und besitzt keine Nullstelle. Wenn man aber zu dem Körper mit vier Elementen übergeht, also die {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Zmod|2|}} |\subseteq| {{op:Endlicher Körper|4|}} || {{op:Zmod|2|}}[T]/(T^2+T+1) || || |SZ= }} durchführt, so findet man dort beispielsweise die Lösung {{mathl|term= (1,t) |SZ=,}} wobei {{math|term= t |SZ=}} die Restklasse von {{math|term= T |SZ=}} bezeichnet. In der algebraischen Geometrie stellt man die Polynome bzw. die zugehörigen Gleichungen in den Mittelpunkt. Dazu braucht man zunächst einen Grundkörper {{math|term= K |SZ=,}} über dem die Polynome definiert sind. Die zugehörige Nullstellenmenge betrachtet man aber nicht nur in {{math|term= K^2 |SZ=,}} sondern allgemeiner in {{math|term= L^2 |SZ=,}} wobei {{ Relationskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=nicht notwendigerweise endliche| |ISZ=|ESZ= }} Körpererweiterung bezeichnet. Wesentliche Eigenschaften der Polynome werden erst dann sichtbar, wenn man das Lösungsverhalten zu verschiedenen Körpererweiterungen untersucht. Dabei spielt der algebraische Abschluss des Körpers eine besondere Rolle{{{zusatz1|}}}. Es ist aber auch wichtig, sich zu fragen, welche Lösungen es über einem gegebenen Körper gibt. Der reelle Kreis {{mathl|term= {{Mengebed|(x,y) \in \R^2|x^2+y^2 {{=}} 1}} |SZ=}} ist ein geometrisch sehr einfaches Objekt. Dagegen ist der rationale Kreis {{mathl|term= {{Mengebed|(x,y) \in \Q^2|x^2+y^2 {{=}} 1}} |SZ=,}} das durch die gleiche Gleichung definiert wird, ein zahlentheoretisch recht subtiles Objekt, das eng mit {{ Definitionslink |pythagoreischen Tripeln| |Kontext=| |SZ= }} zusammenhängt. Wenn {{ Relationskette |V || V( {{ideala|}} ) |\subseteq| {{op:Affiner Raum|n|K}} || || || |SZ= }} die affin-algebraische Menge zum Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ist, so bezeichnen wir die entsprechende Menge über {{math|term= L |SZ=}} zu einer Körpererweiterung {{ Relationskette |K |\subseteq|L || || || |SZ= }} mit {{math|term= V_L |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | V_L || {{Mengebed| P \in {{op:Affiner Raum|n|L}}| F(P) {{=}} 0 \text{ für alle } F \in {{ideala}} }} || || || |SZ=, }} wobei das Ideal {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=als {{ Definitionslink |Erweiterungsideal| |Kontext=| |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} bzw. ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=Ideal| |SZ= }} davon in {{math|term= L [ X_1 {{kommadots|}} X_n ] |SZ=}} aufzufassen ist. Für diese Bezeichnung ist es entscheidend, dass man bei {{math|term= V({{ideala}}) |SZ=}} nicht nur die {{ Zusatz/Klammer |text=rein mengentheoretische| |ISZ=|ESZ= }} Nullstellenmenge, sondern auch das definierende Ideal als Teil der Information betrachtet. Ein Extremfall ist, wenn zwei verschiedene Ideale {{ mathkor|term1= {{ideala|}} |und|term2= {{idealb|}} |SZ= }} beide eine leere Nullstellenmenge haben, da sind im Allgemeinen {{ mathkor|term1= V( {{ideala|}} )_L |und|term2= V( {{idealb|}} )_L |SZ= }} auch als Punktmenge verschieden. Die Notation {{mathl|term= {{op:Affiner Raum|n|K}}, {{op:Affiner Raum|n|L}} |SZ=}} orientiert sich auch an dieser Bezeichnungsphilosophie. Einen Punkt {{ Relationskette |P |\in|V_L || || || |SZ= }} nennt man auch einen {{math|term= L |SZ=-}}{{Stichwort|Punkt|SZ=}} oder einen {{math|term= L |SZ=-}}{{Stichwort|rationalen Punkt|msw=Rationaler Punkt|SZ=}} von {{math|term= V |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affin-algebraischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 94rgpmaat60ivdd2zw0uc1r4nvzsux2 0 133764 1092202 981692 2026-06-01T13:08:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092202 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Algebraische Kurve/Projektive ebene Kurve/Definition|}} Zu einer ebenen affinen Kurve {{ Relationskette | V(G) |\subset | {{op:Affine Ebene|K}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den Koordinaten {{math|term= X,Y|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} liegt insgesamt die Situation {{ Relationskette/display |V || V(G) |\subset| {{op:Affine Ebene|K}} || D_+(Z) |\subset| {{op:Projektive Ebene|K}} || |SZ= }} vor. Die affine Kurve ist abgeschlossen in der affinen Ebene, aber nicht in der projektiven Ebene, dort kommen noch einzelne Punkte hinzu. Den {{ Zusatz/Klammer |text=Zariski-topologischen| |ISZ=|ESZ= }} Abschluss von {{math|term= V |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene|K}} |SZ=}} nennt man den {{Stichwort|projektiven Abschluss|msw=Projektiver Abschluss}} der Kurve. {{ inputfaktbeweis |Ebene projektive Kurve/Gleichung für projektiven Abschluss mit Homogenisierung/Fakt|Korollar|| | }} Die vorstehende Aussage gilt nicht ohne die Voraussetzung, dass der Körper algebraisch abgeschlossen ist, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= R/Projektiver_Abschluss/Homogene_Gleichungen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Wir werden aber generell {{math|term= V_+(H) |SZ=}} mit der Homogenisierung {{math|term= H |SZ=}} als richtige projektive Version der affinen Kurve ansehen, da dieses Konzept sich bei Körpererweiterungen gut verhält. {{ inputbemerkung |Ebene projektive Kurve/Verschiedene affine Ausschnitte/Bemerkung|| }} {{ inputbeispiel |Ebene projektive Kurven/Kegelschnitt als affine Ausschnitte/Beispiel|| }} {{inputdefinition |Projektive Kurve/Fermat-Kurve vom Grad d/Definition|}} Für {{ Relationskette |d ||1 || || || |SZ= }} handelt es sich einfach um eine projektive Gerade. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ebenen projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qp8ewxgxnt1dat0tf2eslhk7wjrx5fs 0 133784 1092200 981671 2026-06-01T13:08:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092200 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Definition|| }} Es ist {{ Relationskette/display | X(X-1)(X- \lambda) || X^3 -( \lambda+1) X^2+\lambda X || || || |SZ=. }} Wenn man aus der Legendreschen Normalform die Weierstraßsche Normalform erhalten möchte, so muss man hier den quadratischen Term eliminieren. Wenn Weierstraßsche Normalform vorliegt, so muss das Polynom {{mathl|term= X^3+aX+b|SZ=}} im Allgemeinen keine Faktorzerlegung in Linearfaktoren besitzen. Nach einer endlichen Erweiterung des Körpers und erst recht über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist aber eine solche Zerlegung möglich. Durch Verschieben und Strecken kann man dann erreichen, dass {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} Nullstellen sind, die dritte Nullstelle kann alles sein und man hat im Allgemeinen keine Optimierungsmöglichkeiten mehr. {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Legendre Normalform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Die dritte Nullstelle, also das {{math|term= \lambda|SZ=}} in der Legendreschen Normalform, ist durch die elliptische Kurve nicht eindeutig bestimmt. Stattdessen kann man auch {{ Math/display|term= 1- \lambda,\, {{op:Bruch|1|\lambda}} ,\, {{op:Bruch|1|1- \lambda}} ,\, {{op:Bruch|\lambda - 1|\lambda}} ,\, {{op:Bruch|\lambda |\lambda-1}} |SZ= }} nehmen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kubischen Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} r3grhwn5kuq7kaa76bnqmvnzuhx1gqe 0 133872 1092133 1074551 2026-06-01T12:57:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092133 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Illustration nested intervals|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Stephan Kulla |Domäne= |Lizenz=CC-by sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Intervallschachtelung/Definition|| }} Die Intervalllängen müssen also insbesondere eine fallende Nullfolge bilden. Es wird nicht eine bestimmte Geschwindigkeit dieser Konvergenz verlangt. Die {{Stichwort|Intervallhalbierung|SZ=}} ist eine spezielle Intervallschachtelung, bei der man zusätzlich verlangt, dass das folgende Intervall jeweils die untere oder die obere Hälfte des Vorgängerintervalls ist. Zu einer {{ Definitionslink |Dezimalbruchfolge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |x_n || {{op:Bruch|a_n |10^ n}} || || || |SZ= }} gehört die Intervallschachtelung {{ Relationskette/display |I_n || [ {{op:Bruch|a_n |10^n}} , {{op:Bruch|a_n+1 |10^n}} ] || || || |SZ=. }} Hier ist {{math|term= x_n |SZ=}} der untere Rand des Intervalls {{math|term= I_n |SZ=}} und es gilt {{ Relationskette | x_{n+1} |\in| I_n || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und wobei zusätzlich ausgeschlossen ist, dass {{math|term= x_{n+1} |SZ=}} der rechte Rand von {{math|term= I_n |SZ=}} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Die Intervalllängen sind hier {{mathl|term= {{op:Bruch|1|10^n}} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Reelle Zahlen/Intervallschachtelung/Punkt/Fakt|Satz||| |ref1=|| }} Genauer gilt, dass bei einer Intervallschachtelung sowohl die Folge der unteren Intervallgrenzen als auch die Folge der oberen Intervallgrenzen gegen ein und dieselbe Zahl konvergieren. Ebenso konvergiert jede Folge {{mathl| {{Folge|}} }} mit {{ Relationskette |x_n |\in|I_n || || || |SZ= }} gegen diesen Grenzwert, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Intervallschachtelung/Folge/Konvergiert/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Intervallschachtelungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8fps2wcddopx66iqqoqw0xffbhc0mc4 0 135008 1092358 983019 2026-06-01T13:33:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092358 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Diskrete Bewertungsringe/Verzweigungsordnung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Diskrete Bewertungsringe/Homomorphismus/Verzweigt/Ordnung/Definition|| }} Unverzweigt bedeutet also, dass eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet wird. Diese Konzepte werden insbesondere bei einem nichtkonstanten Morphismus {{ Abbildung |name=\varphi |C|D || |SZ= }} zwischen glatten Kurven und einem Punkt {{ Relationskette |Q |\in|C || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \varphi(Q) ||P || || || |SZ= }} auf den zugehörigen Ringhomomorphismus {{ Abbildung |name= |{\mathcal O}_{D,P}|{\mathcal O}_{C,Q} || |SZ= }} angewendet. In diesem Fall schreibt man {{mathl|term= {{op:Verzweigungsordnung|Q|P}} |SZ=}} für die Verzweigungsordnung. {{ inputfaktbeweis |Glatte Kurven/Endlicher Morphismus/Punkt/Faserpunktanzahl/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Definition|| }} In Charakteristik {{math|term= 0 |SZ=}} sind die endlichen Morphismen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Minimalpolynom/Separabel/Charakteristik 0/Bemerkung |Nr= |SZ= }} stets separabel. Der Frobenius ist hingegen nicht separabel. {{ inputfaktbeweis |Kurven/Endlicher Morphismus/Separabel/Generische Faserpunktanzahl/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Morphismen zwischen glatten projektiven Kurven |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1mv54zi2volzy5lwmbounebnls20mw1 0 135127 1092270 1018992 2026-06-01T13:19:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092270 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Glatte Kurven/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Definition|| }} Insbesondere gilt für einen Punkt {{ Relationskette |P |\in|C || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | \varphi^* P || \sum_{ Q \in \varphi^{-1} (P)} {{op:Verzweigungsordnung|Q|P}} \cdot Q || || || |SZ=. }} Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi^* | {{op:Divisorengruppe|C_2 |}} |{{op:Divisorengruppe|C_1 |}} || |SZ= }} ist ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Glatte Kurve/Morphismus/Zurückgezogener Divisor/Hauptdivisor/Fakt|Satz|| || }} Die vorstehende Aussage sichert, dass {{ Abbildung/display |name= \varphi |C_1 |C_2 || |SZ= }} einen Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Divisorenklassengruppe|C_2 |}} | {{op:Divisorenklassengruppe|C_1 |}} || |SZ= }} induziert. {{ inputfaktbeweis |Glatte Kurve/Rationale Funktion/Morphismus nach P^1/Hauptdivisor/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Glatte projektive Kurve/Hauptdivisor/Grad 0/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Weildivisoren auf einer glatten Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mopg3u52yd8xmc159zs969ge1se3jbe 0 135446 1092622 984364 2026-06-01T14:17:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092622 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Zahlkörper/Betrag/Lokaler Grad/Definition|| }} Für einen nichtarchimedischen Betrag zu einem Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=aus dem Zahlbereich {{math|term= R |SZ=}} zu {{math|term= K |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} über {{mathl|term= (p) |SZ=}} ist {{math|term= n_v |SZ=}} das Produkt aus {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ=, }} also dem Grad der Körpererweiterung {{ Relationskette/display | {{op:Zmod|p|}} |\subseteq| {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} || || || |SZ= }} und dem {{ Definitionslink |Verzweigungsindex| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Relationskette/display | \Z_{(p)} | \subseteq| R_{{idealp}} || || || |SZ=. }} Bei einem archimedischen Betrag ist der lokale Grad {{math|term= 1 |SZ=}} im reellen und {{math|term= 2 |SZ=}} im komplexen Fall. {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Beträge/Körpererweiterung/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Beträge/Produktformel/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Beträge auf einem Zahlkörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mbgxajg7uksor53h7nqkl4hbi5b5xsx 0 136209 1092310 1074636 2026-06-01T13:25:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092310 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Integral as region under curve|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Integral_as_region_under_curve |Autor= |Benutzer=4C |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der {{Stichwort|Integrationstheorie|SZ=,}} d.h. wir wollen den Flächeninhalt derjenigen Fläche, die durch einen Funktionsgraphen einer Funktion {{ Abbildung/display |name=f |[a,b]|\R || |SZ= }} und der {{math|term= x |SZ=-}}Achse begrenzt wird, systematisch studieren und berechnen. Zugleich ergibt sich ein direkter Zusammenhang zum Auffinden von {{Stichwort|Stammfunktionen|msw=Stammfunktion|SZ=,}} das sind Funktionen, deren Ableitung {{math|term= f |SZ=}} ist. Der Flächeninhalt ist kein unproblematischer Begriff, den wir erst im dritten Semester im Rahmen der {{Stichwort|Maßtheorie|SZ=}} grundlegend behandeln werden. Dennoch handelt es sich um einen intuitiv leicht zugänglichen Begriff, von dem wir hier nur einige wenige naheliegende Grundtatsachen verwenden. Sie dienen hier auch nirgendwo der Argumentation, sondern lediglich der Motivation. Ausgangspunkt ist, dass der Flächeninhalt eines Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen einfach das Produkt der beiden Seitenlängen ist, und dass der Flächeninhalt einer Fläche, die man mit Rechtecken {{Stichwort/anf|ausschöpfen|SZ=}} kann, als der Limes der Summe der beteiligten Rechtecksinhalte erhalten werden kann. Beim {{Stichwort|Riemannschen Integral|msw=Riemannsches Integral|SZ=,}} das zumindest für stetige Funktionen eine befriedigende Theorie liefert, beschränkt man sich auf solche Rechtecke, die parallel zum Koordinatensystem liegen, deren Breite {{ Zusatz/Klammer |text=Grundseite auf der {{math|term= x |SZ=-}}Achse| |ISZ=|ESZ= }} beliebig variieren darf und deren Höhe in Beziehung zu den Funktionswerten über der Grundseite steht. Dadurch werden die Funktionen durch sogenannte {{Stichwort|Treppenfunktionen|msw=Treppenfunktion|SZ=}} approximiert. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Riemann-Integrierbarkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4uz290b6sqdvldv972b7ejg8vkfvcwr 0 136360 1092594 1074769 2026-06-01T14:12:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092594 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Zeta|svg| 300px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Text=Die Riemannsche Zeta-Funktion im Reellen |Autor= |Benutzer=WhiteTimberwolf |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Nach {{ Beispiellink ||Beispielseitenname= Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/t^c/Beispiel |SZ= }} existiert für {{ Relationskette | c |<| -1 || || || |SZ= }} das uneigentliche Integral {{mathl|term= {{op:Integral|1|\infty|Integrand=t^c||t}} |SZ=,}} sodass aufgrund von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Fallende Funktion/Uneigentliches Integral und Reihe/Vergleichskriterium/Fakt |SZ= }} auch die Reihen {{ Relationskette | \sum_{n {{=|}} 1}^\infty n^{c} || \sum_{n {{=|}} 1}^\infty {{op:Bruch|1|n^{-c}|}} || || || |SZ= }} konvergieren. Daher ist die folgende Funktion wohldefiniert. {{ inputdefinition |Riemannsche Zetafunktion/Reell/Definition|| }} Diese Funktion lässt sich komplex fortsetzen und spielt eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Riemannsche Zetafunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4i4zhme5zsk4lk5q1bhw6rtqmoldaxw 0 136406 1092765 1022737 2026-06-01T14:47:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092765 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Zeta-Funktion| |msw= |SZ= }} zu einer Varietät {{math|term= X |SZ=}} über einem endlichen Körper {{math|term= {{op:Endlicher Körper| q |}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2hugjz52epdfypjyb1t9x9jwgvopeq 0 136409 1092705 850096 2026-06-01T14:37:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092705 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Gitter| |msw= |SZ= }} in den komplexen Zahlen {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3byjhgu3p72vng4qiyr1d50xdzeo37j 0 136491 1092497 983771 2026-06-01T13:56:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092497 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des {{Stichwort|Skalarprodukts|msw=Skalarprodukt|SZ=}} präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum oder ein komplexer Vektorräume vorliegen. {{ inputdefinition |Reeller Vektorraum/Skalarprodukt/Definition|| }} Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen {{Stichwort|Bilinearität|SZ=,}} {{Stichwort|Symmetrie|SZ=}} und {{Stichwort|positive Definitheit|SZ=.}} {{ inputbeispiel |R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel|| }} Beispielsweise ist im {{math|term= \R^3 |SZ=}} mit dem Standardskalarprodukt {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt|{{op:Spaltenvektor|3|-5|2}}|{{op:Spaltenvektor|-1|4|6}}|}} ||3\cdot(-1) - 5 \cdot 4 +2 \cdot 6 || -11 || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Euklidischer Vektorraum/Definition|| }} Zu einem euklidischen Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} ist jeder {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |U | \subseteq| V || || || |SZ= }} selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf {{math|term= U |SZ=}} einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben. Im komplexen Fall sieht die Definition etwas anders aus. Es liegt keine Bilinearität und keine Symmetrie im strengen Sinne vor, sondern nur bis auf komplexe Konjugation. Diese Variante ist nötig, um die positive Definitheit zu sichern, auf der der Abstandsbegriff beruht. {{ inputdefinition |Komplexer Vektorraum/Skalarprodukt/Definition|| }} {{ inputdefinition |C^n/Standardskalarprodukt/Definition|| }} Wir werden die beiden Fälle parallel behandeln. Wenn man zu einem komplexen Vektorraum mit einem Skalarprodukt {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} den zugrunde liegenden reellen Vektorraum betrachten, so ist der Realteil des komplexen Skalarprodukts ein reelles Skalarprodukt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Komplexes Skalarprodukt/Realteil/Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Daher kann man sich bei Abstandsfragen auf den reellen Fall konzentrieren. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Skalarprodukte |Kategorie2=Theorie der komplexen Skalarprodukte |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3dbhfjv7h8rd7serg3ndotx7rjo9bnu 0 136495 1092396 1074677 2026-06-01T13:40:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092396 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition|Metrik/Metrischer Raum/Definition|}} Man kann leicht aus den Bedingungen folgern, dass eine Metrik nur nichtnegative Werte annimmt. Der Wert {{mathl|term= d(x,y) }} gibt den Abstand der Punkte {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} bezüglich {{math|term= d}} an. Oft wird die Metrik nicht in der Notation erwähnt, obwohl es Situationen gibt, in denen verschiedene Metriken auf ein- und derselben Menge betrachtet werden. {{ inputbeispiel |Euklidischer Vektorraum/Als metrischer Raum/Beispiel|| }} Wenn wir nichts anderes sagen, so versehen wir den {{math|term= \R^n |SZ=}} und den {{ Relationskette | {{CC}}^n |\cong| \R^{2n} || || || |SZ= }} stets mit dem euklidischen Abstand. Insbesondere sind die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen {{ Relationskette | {{CC|}} |\cong| \R^2 || || || |SZ= }} mit der durch den Betrag definierten Metrik metrische Räume. Als gemeinsame Bezeichnung für {{ mathkor|term1= \R |und|term2= {{CC}} |SZ= }} werden wir wieder {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} verwenden. {{ inputbild |Manhattan distance|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} | right {{!}} | |Zusname=Manhattan_distance |Text=Die Summenmetrik heißt auch {{Stichwort|Taxi-Metrik|SZ=.}} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand. |Autor= |Benutzer=Psychonaut |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |R^n/Summenmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |R^n/Maximumsmetrik/Metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Metrischer Raum/Teilmenge als metrischer Raum/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Menge/Diskrete Metrik/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2nc9ldmb9gxae74bj5bbdmpfewpec8w 0 136497 1092397 1074678 2026-06-01T13:40:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092397 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Unit disc metrics|svg| 150px {{!}} right {{!}} | thumb {{!|}} |Zusname=Unit_disc_metrics |Text=Die Gestalt der Kugelumgebungen hängt von der Metrik ab. |Autor= |Benutzer=Krishnavedala |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition |Metrischer Raum/Kugel/Definition|}} Natürlich müssen Kugeln nicht unbedingt kugelförmig aussehen, aber sie tun es in der euklidischen Norm. Für {{ Relationskette |x |\in| \R || || || |SZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Offener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} einfach das beidseitig offene Intervall {{mathl|term= ]x- \epsilon, x+ \epsilon[ |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball|x|\epsilon}} |SZ=}} ist einfach das beidseitig abgeschlossene Intervall {{mathl|term= [x- \epsilon, x+ \epsilon] |SZ=.}} {{ inputbild |Neighborhood illust1|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} | right {{!}} | |Zusname=Neighborhood_illust1 |Text=Eine Teilmenge ist offen, wenn jeder Punkt darin gleich mit einer vollen Kugelumgebung drin liegt. Bei einer solchen Menge ist es entscheidend, ob die {{Stichwort|Randpunkte|msw=Randpunkt|SZ=}} dazu gehören oder nicht. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{inputdefinition |Metrischer Raum/Offene Menge/Epsilon/Definition|}} {{inputdefinition |Metrischer Raum/Abgeschlossene Menge/Komplement/Definition|}} Achtung! Abgeschlossen ist nicht das {{Anführung|Gegenteil|}} von offen. Die {{Anführung|allermeisten|}} Teilmengen eines metrischen Raumes sind weder offen noch abgeschlossen, es gibt aber auch Teilmengen, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, z.B. die leere Teilmenge und die Gesamtmenge. {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Offene Kugel/Abgeschlossene Kugel/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Metrischer Raum/Strukturelle Eigenschaften der offenen Mengen/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 76oqtazdyy1ej5oh372oaer4u1d5cyh 0 136580 1092292 1019024 2026-06-01T13:22:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092292 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine reelle Basis {{math|term= u,v |SZ=}} von {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} legt ein {{ Definitionslink |Gitter| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette |\Lambda || \Z u + \Z v || || || |SZ= }} und einen {{ Definitionslink |komplexen Torus| |Kontext=1| |SZ= }} {{mathl|term= {{CC|}}/\Lambda |SZ=}} fest, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Zahlen/Gitter/Quotient/Komplexe Mannigfaltigkeit/Fakt |Nr= |SZ=, }} wobei der komplexe Torus nur vom Gitter, nicht aber von den Erzeugern abhängt. Wir besprechen eine Sichtweise, in der eine Teilinformation, die in den Erzeugern drinsteckt, beibehalten wird und die die Rolle der Kongruenzuntergruppen erläutert. Dazu fixieren wir eine positive natürliche Zahl {{math|term= N |SZ=.}} Die Erzeuger werden unter der kanonischen Abbildung auf das neutrale Element des Torus abgebildet. Die Punkte {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|u|N}} |und|term2= {{op:Bruch|v|N}} |SZ= }} werden unter der kanonischen Abbildung auf {{ Definitionslink |Prämath=N |Torsionspunkte| |Kontext=| |SZ= }} des komplexen Torus abgebildet. Wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Zahlen/Gitter/Torsionsuntergruppe/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette | {{op:Torsionsuntergruppeordnung|N| {{CC|}}/\Lambda }} |\cong | {{op:Zmod|N|}} \times {{op:Zmod|N|}} || || || |SZ= }} und diese Elemente werden durch {{ mathbed|term= i [ {{op:Bruch|u|N}} ] + j [ {{op:Bruch|v|N}} ] ||bedterm1= 0 \leq i,j < N ||bedterm2= |SZ=, }} repräsentiert. D.h. die Erzeuger definieren in kanonischer Weise eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} des {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Zmod|N|}} |Moduls| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Torsionsuntergruppeordnung|N| {{CC|}}/\Lambda }} |SZ=.}} Wenn {{math|term= N |SZ=}} eine Primzahl ist, so handelt es sich um eine Basis eines zweidimensionalen Vektorraumes. In diesem Sinne liefert ein {{ Zusatz/Klammer |text=geordnetes| |ISZ=|ESZ= }} Erzeugendensystem eines Gitters einen Datensatz bestehend aus einem komplexen Torus {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. der zugehörigen elliptischen Kurve| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= E |SZ=}} und einem {{ Zusatz/Klammer |text=geordneten| |ISZ=|ESZ= }} Punktepaar {{mathl|term= (P,Q) |SZ=,}} das ein Erzeugendensystem für die {{math|term= N |SZ=-}}Torsion ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Zahlen/Gitter/Basisauswahl/Fakt |Nr= |SZ= }} definieren zwei reelle Basen das gleiche Gitter, wenn sie durch eine ganzzahlige invertierbare Matrix ineinander überführt werden können. Dabei wird aber nicht nur die Basis selbst, sondern im Allgemeinen auch die durch die Basis definierte {{math|term= N |SZ=-}}Torsionsbasis verändert. Da es aber nur endlich viele {{math|term= N |SZ=-}}Torsionsbasen gibt, gibt es wiederum eine Vielzahl an ganzzahligen invertierbaren Matrizen, die eine {{math|term= N |SZ=-}}Torsionsbasis in sich selbst überführen. Wir beschränken uns auf die spezielle lineare Gruppe, wo sich ein direkter Zusammenhang zu den {{ Definitionslink |Hauptkongruenzgruppen| |Kontext=| |SZ= }} ergibt. {{ inputfaktbeweis |Hauptkongruenzgruppe/Basis für Torsion/Wirkungsweise/Fakt|Lemma|| || }} Zu einer Streckung mit {{ Relationskette | s |\in| {{op:Einheiten| {{CC|}} }} || || || |SZ= }} sind {{ mathkor|term1= \Lambda |und|term2= s \Lambda |SZ= }} verschiedene Gitter, es gibt aber nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Isomorpher Quotient/Hinrichtung/Fakt |Nr= |SZ= }} einen kanonischen Isomorphismus {{ Relationskette/display | {{CC|}} / \Lambda |\cong| {{CC|}} /s \Lambda || || || |SZ=. }} Eine Gitterbasis {{math|term= u,v |SZ=}} wird auf die Gitterbasis {{mathl|term= su,sv|SZ=}} abgebildet und die zugehörige {{math|term= N |SZ=-}}Torsionsbasis des komplexen Torus wird auf die entsprechende Torsionsbasis abgebildet. Zu {{ Relationskette |\tau |\in| {{Obere Halbebene|}} || || || |SZ= }} besteht der Datensatz aus dem komplexen Torus {{mathl|term= {{CC|}}/ \langle 1, \tau \rangle |SZ=}} und der {{math|term= N |SZ=-}}Torsionsbasis {{mathl|term= [ {{op:Bruch|1|N}}], \, [ {{op:Bruch|\tau|N}} ] |SZ=.}} Für die Wirkungsweise der Hauptkongruenzgruppe auf {{math|term= {{Obere Halbebene|}} |SZ=}} durch Modulsubstitution gilt {{ Faktlink |Faktseitenname= Hauptkongruenzgruppe/Basis für Torsion/Wirkungsweise/Fakt |Nr= |SZ= }} entsprechend. Man beachte, dass die Beziehung {{ Relationskette |M \tau || \tau' || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Obere Halbebene/Fakt |Nr= |SZ= }} bedeutet, dass {{ mathkor|term1= {{CC|}}/ \langle 1, \tau \rangle |und|term2= {{CC|}}/ \langle 1, \tau' \rangle |SZ= }} {{ Definitionslink |streckungsäquivalent| |Kontext=| |SZ= }} sind, nicht, dass sie gleich sind. Insbesondere dürfen die beiden {{mathl|term= [ {{op:Bruch|1|N}} ] |SZ=}} nicht miteinander identifiziert werden. Auch für die Wirkungsweise von {{mathl|term= \Gamma_0(N) |SZ=}} und {{math|term= \Gamma_1(N) |SZ=}} auf Gittern gibt es ähnliche Interpretationen, die auf Torsionseigenschaften des Torus Bezug nehmen, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kongruenzuntergruppe/Gamma0/Untergruppe der Torsion/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Kongruenzuntergruppe/Gamma1/Torsionselement/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kongruenzuntergruppen |Kategorie2=Theorie der Torsionsuntergruppen einer elliptischen Kurve |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 355he20evi8yw1vawgzjr4083hnpoi3 0 136676 1091989 992881 2026-06-01T12:33:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1091989 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir stellen uns vor, wir sind an einem Ort im Gebirge und entschließen uns, in eine bestimmte Richtung, beispielsweise nach Nordwest zu gehen, egal was kommen mag. Damit machen wir sämtliche Steigungen und Abhänge mit, die das Gebirge uns in dieser vorgegebenen Richtung bietet. Dabei lernen wir nur den Höhenverlauf des Gebirges entlang dieses linearen Ausschnitts {{ Zusatz/Klammer |text=Querschnitts| }} kennen. Durch die gewählte Richtung bewegen wir uns auf dem Graphen zu einer Funktion in einer einzigen Variablen, nämlich einer Variablen der Grundgeraden. Dies ist die Grundidee der {{Stichwort|Richtungsableitung |SZ=.}} {{ inputdefinition |Richtungsableitung/Punkt/Definition|adj=| }} Den Ausdruck {{ Math/display|term= {{op:Bruch|f(P+sv) -f(P)|s}} |SZ= }} nennt man wieder den {{Stichwort|Differenzenquotienten|msw=Differenzenquotient |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} in Richtung {{math|term= v |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} bis {{math|term= s |SZ=.}} Er misst die Durchschnittsrichtung {{ Zusatz/Klammer |text=oder Durchschnittssteigung bei {{ Relationskette/k |W ||\R || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} in Richtung {{math|term= v |SZ=}} für das Zeitintervall {{mathl|term= [0,s] |SZ=.}} Die Richtungsableitung in einem Punkt und in eine Richtung ist selbst ein Vektor in {{math|term= W |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |W || {{KRC|}} || || || |SZ= }} ist die Richtungsableitung eine reelle oder komplexe Zahl. {{ inputbeispiel |Richtungsableitung/K/x^2y/Verschiedene Punkte und Richtungen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Richtungsableitung/K/Lineare Abbildung/Beispiel||| }} Die Existenz von {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} }} hängt nur von der Abbildung {{ Abbildung |name= |{{op:Offener Ball|0|\delta}}|W |s|f(P+sv) |SZ=, }} ab {{ Zusatz/Klammer |text=wobei das Intervall {{mathlk|term= {{op:Offener Ball|0|\delta}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im reellen Fall| |ISZ=|ESZ= }} bzw. der offene Ball {{ Zusatz/Klammer |text=im komplexen Fall| |ISZ=|ESZ= }} so gewählt ist, dass {{ Relationskette | s |\in| {{op:Offener Ball|0|\delta}} || || || |SZ= }} auch {{ Relationskette | P+sv |\in| G || || || |SZ= }} impliziert. D.h. dass {{ Relationskette | {{op:Offener Ball|P|\delta}} |\subseteq | G || || || |SZ= }} gilt |ISZ=|ESZ=. }} Daher kann man die Richtungsableitung im Wesentlichen auf die Ableitung von Kurven zurückführen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Richtungsableitung/K/Lineare Realisierung/Differenzierbare Kurve/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Richtungsableitung/R/x^2-xy^2+sin(xy)/Punkt (3,4), Richtung (2,-5)/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Richtungsableitung/K/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma||| || }} Im Rahmen der Theorie des totalen Differentials wird die Frage beantwortet, wie sich die Richtungsableitungen zu verschiedenen Richtungen zueinander verhalten. Ohne weitere Voraussetzung gibt es keine Beziehung zwischen {{ mathlist|term1= {{op:Richtungsableitung|f|P|v}} ||term2= {{op:Richtungsableitung|f|P|w}} |und|term3= {{op:Richtungsableitung|f|P|v+w}} |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Geradenbüschel/Richtungsableitungen/Beispiel|| }} Wenn im Werteraum eine Basis gegeben ist, so kann man die Richtungsableitung komponentenweise bestimmen. {{ inputfaktbeweis |Richtungsableitung/K/Summenzerlegung und Basis/Fakt|Lemma||| || }} Aufgrund von diesem Lemma muss man vor allem die Richtungsableitung für den Fall verstehen, wo der Wertebereich gleich {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} ist. Das folgende einfache Beispiel zeigt, dass durchaus alle Richtungsableitungen {{ Zusatz/Klammer |text=und zwar in jedem Punkt| |ISZ=|ESZ= }} existieren können, die Abbildung selbst aber noch nicht einmal stetig sein muss. {{ inputbeispiel |Differenzierbarkeit/Partielle Differenzierbarkeit ist schwach/Beispiel|| }} Im Allgemeinen möchte man nicht nur in einem einzigen Punkt {{ Relationskette |P |\in|V || || || |SZ= }} ableiten können, sondern in jedem Punkt, was durch die folgende naheliegende Definition präzisiert wird. {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Endlichdimensional/Richtungsableitung/Jedem Punkt/Definition|| }} Die Richtungsableitung zu einem fixierten Vektor ist also vom selben Typ wie die Ausgangsabbildung. {{ inputbeispiel |K^n/x_1...x_n/Richtungsableitung/Beispiel| }} In den Aufgaben werden wir sehen, dass die Richtungsableitung zu einer polynomialen Funktion in jede Richtung existiert und selbst wieder polynomial ist. Dies wird sich auch einfach im Rahmen des totalen Differentials ergeben. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Richtungsableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 277jmvr1f52p7mm7q1s6tf26qmqycbd 0 136678 1092431 1019471 2026-06-01T13:45:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092431 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Abbildung |name=f |{{KRC}}^n |{{KRC}} || |SZ= }} eine durch {{ Math/display|term= (x_1 {{kommadots|}} x_n) \longmapsto f(x_1 {{kommadots|}} x_n) |SZ= }} gegebene Abbildung. Betrachtet man für einen fixierten Index {{math|term= i |SZ=}} die übrigen Variablen {{ mathbed|term= x_j ||bedterm1= j \neq i ||bedterm2= |SZ=, }} als Konstanten, so erhält man eine Abbildung {{ Abbildung |name= |{{KRC}}|{{KRC}} || |SZ=, }} die nur von {{math|term= x_i |SZ=}} abhängt {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend betrachtet man die übrigen Variablen als Parameter| |ISZ=|ESZ=. }} Falls diese Funktion, als Funktion in der einen Variablen {{math|term= x_i |SZ=,}} differenzierbar ist, so sagen wir, dass {{math|term= f |SZ=}} {{Stichwort|partiell differenzierbar|SZ=}} bezüglich {{math|term= x_i |SZ=}} ist und bezeichnen diese Ableitung mit {{mathl|term= {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}} |SZ=.}} Der Vorteil der partiellen Ableitungen liegt darin, dass man diese einfach berechnen kann. Jedoch hängen sie von der Wahl einer Basis ab. Die partiellen Ableitungen sind selbst Abbildungen von {{ Abbildung |name= |{{KRC}}^n |{{KRC}} || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Definition|| }} Diese Definition führt insbesondere die {{math|term= i |SZ=-}}te partielle Ableitung einer Funktion {{ Abbildung |name=f | {{KRC|}}^n | {{KRC|}} || |SZ= }} auf den Ableitungsbegriff in einer Variablen zurück, indem die anderen Variablen {{Anführung|festgehalten|}} und als Parameter betrachtet werden. Daher bedeutet die Existenz der {{math|term= i |SZ=-}}ten partiellen Ableitung von {{math|term= f |SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (a_1 {{kommadots|}} a_n) |SZ=}} einfach die Existenz des Limes {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes|s|0| {{op:Bruch|f(a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}, a_i+s,a_{i+1} {{kommadots|}} a_n) -f(a_1 {{kommadots|}} a_{i-1}, a_i,a_{i+1} {{kommadots|}} a_n) |s}} }} |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Partielle Ableitung/R/xy^3 durch x^2+y^2/Berechnung und Erläuterung/Beispiel|| }} Die partiellen Ableitungen sind im Wesentlichen die Richtungsableitungen in Richtung der Standardvektoren. Insbesondere ergeben partielle Ableitungen nur dann Sinn, wenn eine Basis im Vektorraum, der den Definitionsbereich einer Abbildung darstellt, gewählt worden ist, bzw. wenn eben von vornherein ein {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} betrachtet wird. {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/K/Zusammenhang zwischen partieller Ableitung und Richtungsableitung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/K/Partiell differenzierbare Abbildung/Jeder Punkt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Jacobi-Matrix/K/Partielle Ableitungen/Definition||| }} {{ inputbeispiel |Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung mit Jacobimatrix/Beispiel||| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der partiellen Ableitung (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i6x38hesh9ttaqeoxr9xyvfcq08h6ll 0 136868 1092840 1024937 2026-06-02T10:21:11Z Arbota 36910 Ersetzung 1092840 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Produktregel| |msw= |SZ= }} für differenzierbare Funktionen {{ Abbildung/display |name= f,g | {{KRC|}} | {{KRC|}} || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | a | \in | {{KRC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ouedww66jd349bx9u77xaxdaqekdd19 0 136870 1092841 1024940 2026-06-02T10:21:21Z Arbota 36910 Ersetzung 1092841 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Quotientenregel| |msw= |SZ= }} für differenzierbare Funktionen {{ Abbildung/display |name= f,g | {{KRC|}} | {{KRC|}} || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | a | \in | {{KRC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ei4qcihntlis6xi4vit368b2vd6j7pi 0 137164 1092585 984183 2026-06-01T14:11:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092585 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten Abbildungen {{ Abbildung |name=\varphi |V|W || |SZ= }} zwischen endlichdimensionalen {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräumen| |SZ= }} differenzieren, und allgemeiner Abbildungen {{ Abbildung/display |name=\varphi |G|W || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine gewisse offene Teilmenge ist. Wir wiederholen kurz die Situation in einer Variablen: Angenommen wir haben eine Abbildung {{ Abbildung |name=\varphi |\R|\R || |SZ=, }} dann ist die Grundidee einer differenzierbaren Abbildung und ihrer Ableitung, eine {{Anführung|Tangente an den Graphen}} anzulegen. Dabei kann man sagen, dass die Tangente die beste {{Stichwort|lineare Approximation|SZ=}} von {{math|term= \varphi |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=genauer: der Graph einer affin-linearen Approximation| |ISZ=|ESZ= }} in einem gegebenen Punkt {{ Relationskette |x |\in| \R || || || |SZ= }} darstellt. Da die Steigung der Tangente wieder eine reelle Zahl ist, wird beim Differenzieren jedem Punkt {{math|term= x |SZ=}} wieder eine Zahl zugeordnet. Wir erhalten also eine neue Funktion, welche wir mit {{math|term= \varphi' |SZ=}} bezeichnen. Im höherdimensionalen Fall ist dies komplizierter, aber die Idee einer bestmöglichen linearen Approximation bleibt bestehen. Die Übereinstimmung der Konzepte wird auch deutlich, wenn man den Graphen einer Abbildung anschaut. Zu einer differenzierbaren Funktion {{ Abbildung |name=f |\R|\R || |SZ= }} schmiegt sich die Tangente im Punkt {{mathl|term= (P,f(P)) |SZ=}} an den Graphen zu {{math|term= f |SZ=}} an. Zu einer Funktion {{ Abbildung/display |name= f | \R^2 |\R || |SZ= }} ist der Graph eine Teilmenge von {{ Relationskette | \R^2 \times \R || \R^3 || || || || |SZ=, }} den man sich als ein Gebirge über der Ebene vorstellen sollte. Eine sinnvolle Fragestellung ist, ob es zu einem Punkt {{mathl|term= (P,f(P)) |SZ=}} eine anschmiegende Tangentialebene an den Graphen zu {{math|term= f |SZ=}} gibt, die man als den Graphen einer affin-linearen Abbildung {{ Abbildung |name= | \R^2 | \R || |SZ= }} realisieren kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fe4d0ywpjezfs0lu9ax5r3p94wx2sqx 0 137168 1092584 1074762 2026-06-01T14:10:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092584 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Differenzierbarkeit/Vektorraum/K/Lineare Approximation/Definition||| }} Äquivalent zur totalen Differenzierbarkeit ist die Eigenschaft, dass der Ausdruck {{ Relationskette/display | r(v) || {{op:Bruch| \varphi(P+v) - \varphi(P) - L(v) | {{op:Norm|v|}} }} || || || |SZ= }} für {{mathl|term= v \rightarrow 0 |SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert. Ebenfalls äquivalent ist die Eigenschaft, dass der Limes {{ Zusatz/Klammer |text=von Funktionen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes|v|0, v \neq 0|}} {{op:Bruch| {{op:Norm|\varphi(P+v)-\varphi(P)-L(v)|}} | {{op:Norm|v|}} }} |SZ= }} existiert und gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Das Konzept der totalen Differenzierbarkeit ist eher theoretisch und für konkrete Berechnungen nicht optimal. Wir werden später dieses Konzept mit dem Konzept der partiellen Ableitungen in Verbindung bringen, welches eher für Berechnungen geeignet ist, jedoch von Koordinaten, d.h. von der Auswahl einer Basis, abhängt {{ Zusatz/Klammer |text=siehe auch {{ Beispiellink ||Beispielseitenname= Differenzierbarkeit/K/Partielle Ableitungen hängen von Koordinaten ab/Beispiel |SZ= }} weiter unten| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Surface integral1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Cronholm144 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Der geometrische Gehalt tritt besonders im Fall {{ Relationskette | W || \R || || || |SZ= }} deutlich hervor. Dann ist der Graph der affin-linearen Abbildung {{mathl|term= \varphi (P) + {{op:Totales Differential|\varphi|P}} (x-P) |SZ=}} eine lineare Approximation des Graphen der Funktion {{math|term= \varphi(x) |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Konstante Abbildung/Differential verschwindet/Beispiel|ref1=Aufgabe| }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/K/Lineare Abbildungen sind differenzierbar/Fakt|Proposition||| || }} {{ inputbeispiel |Untere Halbkugel/Nullpunkt/Total differenzierbar/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/K/Eindeutige Approximation/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/K/Summe differenzierbarer Abbildungen ist differenzierbar/Fakt|Proposition||| || }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/K/Differenzierbar impliziert stetig/Fakt|Proposition|||| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der totalen Differenzierbarkeit (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} heq7z71dlevs6dd2ybpzonsz6og0mk0 0 137226 1092308 1074635 2026-06-01T13:25:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092308 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Schoenberg-ebringen-isohypsen|png| 250px {{!}} right {{!}} | |Text=In einer topographischen Karte wird ein Gebirge durch seine Niveaulinien (Höhenlinien) repräsentiert. |Autor= |Benutzer=W-j-s |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Coast line east Karystos, Euboea, Greece|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Text=Die Küstenlinie ist die Nullfaser der Höhenabbildung. In den regulären Punkten der Küste kann man eine Tangente anlegen und die Küste lokal als einen Graphen einer Funktion beschreiben. Ein singulärer Punkt einer Küste ergibt sich beispielsweise bei einer Meereserhebung, die genau in einem Punkt an die Wasseroberfläche stößt, oder einem Sattelpunkt zwischen {{Anführung|zwei|}} Inseln, der sich auf Meeresniveau befindet{{ Zusatz/Fußnote |text=Dass man solche singulären Punkte in der Natur nur selten antrifft, liegt daran, dass das Höhenprofil der Erde nur endlich viele kritische Punkte und damit nur endlich viele Gipfel und Sattelpunkte besitzt. Es ist daher unwahrscheinlich, dass der Meeresspiegel genau auf der Höhe eines solchen kritischen Punktes liegt. Wenn man aber Ebbe und Flut betrachtet, so werden solche Punkte immer wieder durchlaufen| |ISZ=.|ESZ=. }} |Autor= |Benutzer=Straitgate |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Abbildung/Faser/Definition|| }} Die Faser zu einem Punkt ist also einfach das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= \varphi^{-1}(\{ y \} ) |SZ=}} von {{math|term= y |SZ=.}} Zu einem Punkt {{ Relationskette |P |\in|L || || || |SZ= }} nennt man die Faser über {{mathl|term= \varphi(P) |SZ=}} auch die {{Stichwort|Faser durch|SZ=}} {{math|term= P |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |M ||\R || || || |SZ= }} sagt man statt Fasern auch {{Stichwort|Niveaumengen|msw=Niveaumenge|SZ=}} oder, insbesondere bei {{ Relationskette |L ||\R^2 || || || |SZ=, }} auch {{Stichwort|Höhenlinien|msw=Höhenlinie|SZ=.}} In meteorologischen Kontexten spricht man von Isothermen oder von Isobaren. {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/Einführung/x^2+y^2/Kreise/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Implizite Abbildung/y-f(x)/Graph und Fasern/Einführung/Beispiel|| }} Der {{Stichwort|Satz über implizite Abbildungen|SZ=}} wird zeigen, dass unter gewissen Differenzierbarkeitsvoraussetzungen die Fasern einer Abbildung sich {{Stichwort/-|lokal|SZ=}} als {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=abb| |SZ= }} von Abbildungen realisieren lassen. {{:Implizite Abbildungen/Gleichungssysteme/Einführung/Bemerkung}} {{ inputbild |Agate1 hg|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=Agate1_hg |Text=Der Querschnitt eines [[w:Achat|Achats]]. Die chemische Zusammensetzung variiert mit dem Ort und damit variiert auch die Frequenz des reflektierten Lichts, also die optische Erscheinung, mit dem Ort. Man sieht also die {{ Zusatz/Klammer |text=verdickten| |ISZ=|ESZ= }} Fasern der Lichtabbildung. |Autor= |Benutzer=Hgrobe |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz über implizite Abbildungen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} aph7pn2auxljjcom7485crqogc81nsr 0 137231 1092583 1019802 2026-06-01T14:10:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092583 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Bilinearform/Linearformen/Nicht ausgeartet/Fakt|Lemma|| || }} Wenn es also in einem endlichdimensionalen Vektorraum eine nicht ausgeartete Bilinearform gibt, beispielsweise ein Skalarprodukt, so gibt es zu jeder Linearform einen eindeutig bestimmten Vektor, mit dem diese Linearform beschrieben werden kann. Wendet man dies auf die Linearform an, die durch das totale Differential zu einer differenzierbaren Funktion {{ Abbildung |name=f |V|\R || |SZ= }} gegeben ist, so gelangt man zum Begriff des Gradienten. {{ inputdefinition |Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition|| }} Man beachte, dass wir durchgehend die endlichdimensionalen Vektorräume mit einem Skalarprodukt versehen, um topologische Grundbegriffe wie Konvergenz und Stetigkeit zur Verfügung zu haben, dass diese Begriffe aber nicht von dem gewählten Skalarprodukt abhängen. Dem entgegen hängt aber der Gradient von dem gewählten Skalarprodukt ab. Bei {{ Relationskette |V || \R^n || || || |SZ=, }} versehen mit dem {{ Definitionslink |Standardskalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= R^n/Standardskalarprodukt/Beispiel |SZ=, }} ist der Gradient einfach gleich {{ Relationskette/display | {{op:Gradient|f|P}} || {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x_1 |P}}|\vdots| {{op:Partielle Ableitung|f|x_n |P}} |}} || || || |SZ=. }} {{ inputbemerkung |Reellwertige Funktion auf R^3/Einschränkung auf Ebene/Gradient/Koordinantenfrei/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbare Funktion/Steigungsabschätzung über Cauchy Schwarz/Gradient/Fakt|Satz|| }} Der Gradient gibt demnach die Richtung an, in die die Funktion den stärksten Anstieg hat. In die entgegengesetze Richtung liegt entsprechend der steilste Abstieg vor. {{ inputbeispiel |Rechteck/Ein Eckpunkt/Umfang und Flächeninhalt/Gradient/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Gradienten einer Funktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hult6dmxrgn26t6atwfkg9pcugn1zbz 0 137233 1092586 1019807 2026-06-01T14:11:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092586 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu {{ Relationskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} offen und einer reellwertigen Funktion {{ Abbildung/display |name=f |G|\R || |SZ= }} interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese existieren| |ISZ=|ESZ= }} erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von {{ mathkor|term1= V |nach|term2= {{KRC}} |SZ=. }} Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Linearform/Definition|| }} Das totale Differential {{mathl|term= {{op:Totales Differential|f|P}} |SZ=}} zu {{ Abbildung |name=f |G|\R || |SZ= }} ist also eine Linearform. {{ inputdefinition |Vektorraum/Dualraum/Definition|| }} Wenn {{ Relationskette | G | \subseteq| {{KRC|}}^n || || || |SZ= }} ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt {{ Relationskette |P |\in| G || || || |SZ= }} eine Matrix mit einer einzigen Zeile, nämlich {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x_1 |P}} | \ldots |{{op:Partielle Ableitung|f|x_n |P}} }} |SZ=, }} die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso gut als ein {{math|term= n |SZ=-}}Tupel in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} und damit als einen Vektor über {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=}} auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des {{math|term= {{KRC|}}^n |SZ=,}} und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen. {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Bilinearform/Definition|| |zusatz= |tipp= }} Eine wichtige Eigenschaft von Bilinearformen, die Skalarprodukte erfüllen, wird in der nächsten Definition formuliert. {{ inputdefinition |Bilinearform/Nicht ausgeartet/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Linearformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nkuisv0td8fpmgnjkdun98awfbl04hi 0 137242 1092307 982572 2026-06-01T13:25:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092307 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale {{math|term= {{KRC}} |SZ=-}}Vektorräume und {{ Relationskette |G |\subseteq|V || || || |SZ= }} eine offene Teilmenge. Für eine Abbildung {{ Abbildung |name=\varphi | G | W || |SZ= }} und einen fixierten Vektor {{ Relationskette |v |\in|V || || || |SZ= }} ist die Richtungsableitung in Richtung {{math|term= v |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=falls diese existiert| |ISZ=|ESZ= }} selbst eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |G|W |P| {{op:Richtungsableitung|\varphi|P|v}} |SZ=. }} Als solche ergibt es Sinn zu fragen, ob {{math|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |SZ=}} in Richtung {{ Relationskette |v |\in|V || || || |SZ= }} differenzierbar ist. Wir sprechen dann von {{Stichwort|höheren Ableitungen|msw=Höhere Ableitung|SZ=.}} Dies wird präzisiert durch die folgende induktive Definition. {{ inputdefinition |Höhere Richtungsableitung/K/Bestimmte Reihenfolge/Definition|| }} Mit partiellen Ableitungen schreibt man höhere Ableitungen als {{ Math/display|term= {{op:Partielle Ableitung| | x_i }} {{op:Partielle Ableitung|f|x_j}}, \, {{op:Partielle Ableitung|| x_i }} {{op:Partielle Ableitung|f|x_i}}, \, {{op:Partielle Ableitung|| x_j }} {{op:Partielle Ableitung| f| x_i}}, \, {{op:Partielle Ableitung| | x_i }} {{op:Partielle Ableitung| | x_j }}{{op:Partielle Ableitung| f| x_k}} ,\, \text{etc.} |SZ= }} {{ inputdefinition |Richtungsableitung/K/n mal stetig differenzierbar/Jede Reihenfolge/Definition|| }} Einmal stetig differenzierbar bedeutet also, dass die Richtungsableitung {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung|\varphi||v}} |SZ=}} in jede Richtung {{ Relationskette |v |\in|V || || || |SZ= }} existiert und stetig ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der höheren Richtungsableitungen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1drfggptnqhx4r2lbxhf8ugwzvr3d7v 0 137244 1092374 787800 2026-06-01T13:36:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092374 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Falls die Funktionen {{math|term= a_{ij} |SZ=}} alle konstant sind, so spricht man von einem {{Stichwort|linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten|msw=Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten|SZ=,}} welche im Wesentlichen mit Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können. Dazu ist es sinnvoll, von vornherein auch komplexe Koeffizienten zuzulassen. {{ inputdefinition |Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Homogen/C/Definition|| }} {{ inputdefinition |Lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten/Inhomogen/C/Definition|| }} Die Störfunktion muss also nicht konstant sein. {{ inputbemerkung |Lineare Differentialgleichung höherer Ordnung/Zugehöriges System/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rxslbygblhw69kmsilheps084ss1m2i 0 137246 1092580 1074761 2026-06-01T14:10:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092580 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Menge der offenen Teilmengen des {{mathl|term= \R^n |SZ=,}} oder allgemeiner eines {{ Definitionslink |metrischen Raumes| |Kontext=| |SZ=, }} bilden ein Mengensystem, dass eine Topologie im Sinne der folgenden Definition ist. {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|| }} Die Teilmengen von {{math|term= X |SZ=,}} die zu {{math|term= {{Mengensystem|T}} |SZ=}} gehören, heißen {{Stichwort|offene Mengen|msw=Offene Menge|SZ=.}} Eine Teilmenge {{ Relationskette |A |\subseteq|X || || || |SZ= }} heißt {{Stichwort|abgeschlossen|msw=Abgeschlossene Menge|SZ=,}} wenn ihr Komplement offen ist, also zur Topologie gehört. {{ inputbild |Hausdorff space|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Hausdorff_space |Text= |Autor=Toby Bartels |Benutzer=Fibonacci |Domäne= |Lizenz=copyleft |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Hausdorff/Definition|| }} {{ inputdefinition |Topologie/Basis/Definition|| }} In einem metrischen Raum bilden die offenen Bälle eine Basis der Topologie. {{ inputdefinition |Topologie/Raum mit abzählbarer Basis/Definition|| }} Im {{math|term= \R^n |SZ=}} gibt es {{ Definitionslink |überabzählbar| |Kontext=| |SZ= }} viele offene Mengen, es gibt aber eine abzählbare Basis, nämlich alle offenen Bälle {{mathl|term= {{op:Offener Ball|P|r}} |SZ=,}} deren Mittelpunktskoordinaten und deren Radien {{ Definitionslink |rationale Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} sind, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= R^n/Abzählbare Topologie durch Bälle/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Topologie/Stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen/Definition|| }} Diese Definition stimmt wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Metrische Räume/Stetige Abbildung/Charakterisierung/Fakt |SZ= }} mit der Definition für metrische Räume überein. {{ inputdefinition |Topologische Räume/Homöomorph/Definition|| }} Beispielsweise ist nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Offenes Einheitsintervall/R/Homoömorph/Aufgabe |Nr= |SZ= }} das offene Einheitsideal {{mathl|term= ]0,1[ |SZ=}} homöomorph zu {{math|term= \R |SZ=,}} aber nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Abgeschlossenes Intervall/Offenes Intervall/Nicht homöomorph/Aufgabe |Nr= |SZ= }} nicht homöomorph zum abgeschlossenen Einheitsintervall {{mathl|term= [0,1] |SZ=.}} Eine stetige bijektive Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung nennt man {{Stichwort|Homöomorphie|SZ=.}} {{ inputdefinition |Topologie/Grundbegriffe/Unterraumtopologie/Definition|| }} Es lässt sich leicht nachweisen, dass {{mathl|term= {{Mengensystem|T}}_Y }} eine Topologie ist. Sie heißt {{Definitionswort|Unterraumtopologie|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Definitionswort|induzierte Topologie|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} und der topologische Raum {{mathl|term= (Y, {{Mengensystem|T}} _Y) }} heißt ein {{Definitionswort|Unterraum}} von {{mathl|term= (X,{{Mengensystem|T}} ) |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der topologischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jm9xxbgaetbluesijrdk4njdj03v9ep 0 137248 1092388 1074670 2026-06-01T13:38:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092388 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Measure illustration|png| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Measure_illustration |Text= |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} In der Praxis gibt man einen Flächeninhalt in Quadratmeter {{math|term= m^2 |SZ=}} und ein Volumen in Kubikmeter {{math|term= m^3 |SZ=}} an. Diese Einheiten legen die Skala fest, auf der dann mit nichtnegativen reellen Zahlen gemessen wird. Als Wertemenge für ein Maß bieten sich demnach die nichtnegativen reellen Zahlen an. Besitzt der Gesamt{{drucktrenn}}raum {{math|term= \R^3 |SZ=}} ein Volumen? Sicherlich keines, das durch eine reelle Zahl ausgedrückt werden könnte. Daher erlaubt man bei einem Maß auch den Wert {{math|term= \infty |SZ=,}} und setzt {{ Mathkor/display|term1= {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq} = \R_{\geq 0} \cup \{ \infty\} |und|term2= {{op:abschlussnum|\R|}} = \R \cup \{ \infty\} \cup \{ - \infty\} |SZ=. }} Das bedeutet nicht, dass wir die reellen Zahlen ändern, sondern dass wir im maßtheoretischen Kontext mit einer bestimmten Mengenerweiterung der reellen Zahlen arbeiten. Einen Teil der Rechenoperationen dehnen wir auf die zusätzlichen Symbole aus, aber nicht alles, wobei man sich von der maßtheoretischen Zweckmäßigkeit leiten lässt. Die Ordnungsrelation wird durch {{ Relationskette/display | - \infty |<| r |<| \infty || || |SZ= }} für jede reelle Zahl {{math|term= r |SZ=}} ausgedehnt. Wir setzen {{ Math/display|term= r+ \infty = \infty \text{ und } r - \infty = - \infty |SZ= }} für {{ Relationskette |r |\in| \R || || || |SZ=. }} Der Ausdruck {{mathl|term= \infty + (- \infty) |SZ=}} ist nicht definiert. Für positive reelle Zahlen {{math|term= r |SZ=}} ist {{ Relationskette | r \cdot \infty || \infty || || || |SZ=, }} und wir setzen {{ Relationskette | 0 \cdot \infty || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Maßtheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} c86dab2kqj5novuncehx6kd40uclx3i 0 137251 1092164 1074563 2026-06-01T13:02:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092164 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Bonaventura Cavalieri|jpeg| 150px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=Bonaventura_Cavalieri |Text=[[w:Bonaventura Cavalieri|Bonaventura Cavalieri (1598-1647)]] |Autor= |Benutzer=Gene.arboit |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Zwei sigmaendliche Maßräume/Situation|SZ=}} und {{ Relationskette |T |\subseteq| M \times N || || || |SZ= }} eine messbare Teilmenge. Für jeden Punkt {{ Relationskette |x |\in|M || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | T(x) || {{Mengebed|y \in N|(x,y) \in T}} || || || |SZ=. }} Wir erinnern an {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produkt von Messräumen/Messbarkeit von Querschnitten/Fakt |SZ=, }} nachdem diese Mengen messbar sind. In welcher Beziehung steht {{mathl|term= (\mu \otimes \nu)(T) |SZ=}} zur Funktion {{ Abbildung/display |name= |M| \R |x| \nu(T(x)) |SZ=? }} Bei {{ Relationskette |N || \R || || || |SZ= }} und wenn {{math|term= T |SZ=}} der Subgraph zu einer nichtnegativen messbaren Funktion {{math|term= f |SZ=}} ist, so ist {{ Relationskette | \lambda^1(T(x)) || f(x) || || || |SZ= }} und nach der Definition des {{ Definitionslink |Integrals| |Kontext=Maß| |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | (\mu \otimes \lambda^1) (T) || {{op:Integralmaß|f(x)|M|\mu}} || {{op:Integralmaß|\lambda^1 (T(x)) |M|\mu}} || || |SZ=. }} Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Gleichheit zwischen links und rechts für beliebige messbare Teilmengen {{math|term= T |SZ=}} gilt. Um diesen Satz überhaupt formulieren zu können, müssen wir zunächst sicherstellen, dass die Funktion {{mathl|term= x \mapsto \nu(T(x)) |SZ=}} messbar ist. {{ inputfaktbeweis |Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt|Lemma|| || }} Wir werden im Folgenden die Notation {{mathl|term= {{op:Integralmaß|f(x)|M|\mu|var=x}} |SZ=}} verwenden, die betont, dass die Funktion {{math|term= f |SZ=}} von {{ Relationskette |x |\in|M || || || |SZ= }} abhängt. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn es um einen Produktraum {{mathl|term= M \times N |SZ=}} geht und Verwechslungen möglich sind. {{ inputbild |Cavalieriho princip|svg| 250px {{!}} right {{!}} | thumb {{!}} |Zusname=Cavalieriho_princip |Text= |Autor= |Benutzer=Pajs |Domäne=cs Wikipedia |Lizenz=Public domain |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} emp6vr6fj6ifbvoze5forv6djeyqlp3 0 137252 1092574 1074760 2026-06-01T14:09:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092574 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Topologische Mannigfaltigkeit/Hausdorff/Definition|| }} Zu jedem Punkt {{ Relationskette |P |\in| M || || || |SZ= }} gibt es also eine offene Umgebung {{ Relationskette |P |\in| U |\subseteq| M || || |SZ=, }} die homöomorph zu einer offenen Teilmenge {{ Relationskette |V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} ist. Sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |U|V || |SZ= }} eine Homöomorphie und sei {{ Relationskette | Q || \varphi(P) || || || |SZ=. }} Dann entspricht einer offenen Ballumgebung {{ Relationskette |Q |\in| {{op:Offener Ball|Q|\epsilon}} | \subseteq | V || || || |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Relationskette | U' || \varphi^{-1}({{op:Offener Ball|Q|\epsilon}}) || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |P |\in| U' |\subseteq| U || || |SZ=, }} die nach Konstruktion homöomorph zu einem offenen Ball ist. Man kann daher eine topologische Mannigfaltigkeit auch als einen topologischen Hausdorff-Raum charakterisieren, der {{Stichwort|lokal euklidisch|SZ=}} ist. {{ inputdefinition |Topologische Mannigfaltigkeit/Karte/Definition|| }} Dabei nennt man die offene Menge {{ Relationskette | U |\subseteq| M || || || |SZ= }} manchmal das {{Stichwort|Kartengebiet|SZ=}} und {{ Relationskette | V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Kartenbild|SZ=.}} Zu einer Karte {{ Abbildung/display |name=\varphi |U|V || |SZ= }} und einer offenen Teilmenge {{ Relationskette | U' |\subseteq| U || || || |SZ= }} ist auch die induzierte Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi {{|}}_{U'} |U'|\varphi(U') || |SZ= }} eine Karte. Manchmal nennt man auch die Umkehrabbildung eine Karte. Statt Karte spricht man auch von einem {{Stichwort|lokalen Koordinatensystem|msw=Lokales Koordinatensystem|SZ=.}} Durch die Karte {{ Abbildung |name=\varphi |U|V || |SZ= }} werden ja die Koordinaten auf {{ Relationskette |V |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} auf {{math|term= U |SZ=}} übertragen. Die {{math|term= j |SZ=-}}te Koordinate {{ Zusatz/Klammer |text=die {{math|term= j |SZ=-}}te Projektion| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung |name=x_j |V|\R || |SZ= }} induziert die {{ Zusatz/Klammer |text=lokale Koordinaten| |ISZ=|ESZ=- }}Funktion {{ Abbildung/display |name=x_j \circ \varphi |U|\R || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=die oft einfach wieder mit {{math|term= x_j |SZ=}} bezeichnet wird| |ISZ=|ESZ=, }} und ein Punkt {{ Relationskette | Q || {{op:Zeilenvektor|x_1 | {{kommadots|}}| x_n |}} |\in| V || || || |SZ= }} entspricht einem Punkt {{ Relationskette |P ||\varphi^{-1}(Q) || || || |SZ=. }} {{ inputbild |Manifold zahyou3|png| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Manifold_zahyou3 |Text= |Autor= |Benutzer=１３２人目　 |Domäne=ja. Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologische Mannigfaltigkeit/Karten/Übergangsabbildung/Definition|| }} Der Durchschnitt {{mathl|term= U_1 \cap U_2 |SZ=}} ist die offene Teilmenge, auf der beide Karten definiert sind und worauf man die beiden Karten vergleichen kann. Genauer müsste man in der Definition von der Einschränkung von {{math|term= \alpha_1^{-1} |SZ=}} auf die offene Teilmenge {{ Relationskette | \alpha_1(U_1 \cap U_2) | \subseteq | V_1 || || || || |SZ= }} sprechen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der topologischen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nyr528e8arcg8qry65e4euv1l3srjtc 0 137260 1092592 1074767 2026-06-01T14:12:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092592 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Gegen unendlich/Motivation für uneigentliche Integrale/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Dieses Beispiel zeigt, dass es sinnvoll sein kann, bei bestimmten Integralen die Intervallgrenzen {{Anführung|gegen unendlich laufen zu lassen|SZ=.}} Dies führt zum Begriff der {{Stichwort|uneigentlichen Integrale|msw=Uneigentliches Integral|SZ=.}} Unter einem {{ Zusatz/Klammer |text=uneigentlichen| |ISZ=|ESZ= }} Randpunkt eines {{ Zusatz/Klammer |text=ein- oder beidseitig| |ISZ=|ESZ= }} unbeschränkten Intervalls verstehen wir im Folgenden auch die Symbole {{ mathkor|term1= \infty |und|term2= - \infty |SZ=. }} Dies heißt nicht, dass diese Symbole zu {{math|term= \R |SZ=}} gehören, sondern lediglich, dass man dafür sinnvolle Grenzwertbetrachtungen durchführen kann. Die Definition für den Grenzwert einer Funktion gegen {{math|term= + \infty |SZ=}} bzw. {{math|term= - \infty |SZ=}} lautet folgendermaßen. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Funktion/Grenzwert gegen unendlich/Definition|| }} Die Rechenregeln für diesen Grenzwertbegriff {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Grenzwert/Funktion/Unendlich/Rechenregeln/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} sind weitgehend analog zu den Rechenregeln für den bisherigen Grenzwertbegriff für Funktionen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Funktion/K/Grenzwert/Epsilon/Rechenregeln/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Sie sind auch analog zu den Rechenregeln für Limiten von Folgen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Körper/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{:Uneigentliche Integrale/Textabschnitt|zusatz1={{ inputbeispiel |Integration/Eine Variable/1 durch Wurzel(1+t^2)^3/Beispiel|| }}}} {{ inputbild |Normal distribution|svg| 300px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Normal_distribution |Text=Die Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|\sqrt{2 \pi} }} e^{- {{op:Bruch|t^2|2}} } |SZ=}} ist die Dichtefunktion der Gaußschen Normalverteilung. Der Flächeninhalt unterhalb der Kurve ist {{math|term= 1 |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Fehlerintegral/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der uneigentlichen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} jq154r4heblhd1b0lcvu6ixkx174vg3 0 137357 1092683 1024688 2026-06-01T14:33:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1092683 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Der {{ Stichwort/Abfrage |Grenzwert| |msw= |SZ= }} einer Funktion {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | T | {{KRC|}} || |SZ=, }} {{ Relationskette | T | \subseteq | {{KRC|}} || || || |SZ= }} Teilmenge, in einem Punkt {{ Relationskette | a | \in | {{KRC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g47c3yypmqriz4w5g6pu5lwnkm1jk9b 0 137403 1092208 902334 2026-06-01T13:09:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092208 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbeispiel |Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Differentialform explizit/Beispiel|| }} Auf einer elliptischen Kurve in Weierstraßform werden wir zumeist mit der Form {{mathl|term= {{op:Bruch|dx|y}} |SZ=}} arbeiten, jede andere globale Differentialform ist ein skalares Vielfaches davon. {{ inputbeispiel |Elliptische Kurve/C/Kurze Weierstraßform/Differentialform explizit/Rückzug/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialformen/Trivial und eindimensional/Fakt|Lemma|| || }} Man kann auch direkt mit {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Beispiel |Nr= |SZ= }} argumentieren. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer elliptischen Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} t9refuot8sa8thkepvhplxu01l4o97p 0 137412 1092272 982323 2026-06-01T13:19:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092272 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Glatte projektive Kurve/Differentielles Geschlecht/Definition|| }} Beim differentiellen Geschlecht geht es also um die maximale Anzahl an linear unabhängigen globalen Differentialformen auf der Kurve. Auf einer Varietät bilden die Differentialformen eine Garbe, die globalen Differentialformen sind einfach die globalen Schnitte davor. Ohne den Garbenbegriff kann man das für eine Kurve {{math|term= C |SZ=}} mit Funktionenkörper {{math|term= Q(C) |SZ=}} auch so formulieren: Es geht um die rationalen Differentialformen, also Elemente aus {{mathl|term= {{op:Kählermodul|Q(C)|K}} |SZ=,}} die in jedem Punkt {{ Relationskette |P |\in|C || || || |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Kählermodul| {\mathcal O}_{C,P} |K}} |SZ=}} gehören. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialformen/Trivial und eindimensional/Fakt |Nr= |SZ= }} ist das differentielle Geschlecht einer elliptischen Kurve gleich {{math|term= 1 |SZ=,}} die bis auf skalare Vielfache einzige globale Differentialform ist, wenn die Kurve in Weierstraß-Form {{ Relationskette |y^2 ||x^3+ax+b || || || |SZ= }} gegeben ist, {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|dy|3x^2+a}} || {{op:Bruch|dx|2y}} || || || |SZ=. }} Auf der projektiven Geraden gibt es außer der {{math|term= 0 |SZ=}} keine globalen Differentialformen, ihr differentielles Geschlecht ist also {{math|term= 0 |SZ=.}} Da die Garbe {{math|term= {{op:Kählermodul|C|K}} |SZ=}} {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Garbe| |SZ= }} ist, bedeutet differentielles Geschlecht {{math|term= 1 |SZ=}} direkt, dass der zu einer nichttrivialen Differentialform {{ Relationskette | \omega |\in|H^0 {{makl| C, {{op:Kählermodul|C|K}} |}} || || || |SZ= }} definierte Garbenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Strukturgarbe|C|}} | {{op:Kählermodul|C|K}} || |SZ= }} sogar ein Isomorphismus ist, da dies eindimensional lokal stets gilt. In diesem Fall ist also die Garbe der Kähler-Differentiale, die man auch die {{Stichwort|kanonische Garbe|SZ=}} nennt, isomorph zur Strukturgarbe. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kanonischen Garbe auf einer glatten projektiven Kurve |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 7738s2gvp3e3k60fxzp28djjw7eno52 0 137478 1092685 1024708 2026-06-01T14:34:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1092685 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |elliptische Funktion| |msw= |SZ= }} zu einem Gitter {{ Relationskette | \Gamma | \subseteq | {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5bd5mwm56mpt23l7zcqyjghfg85xrem 0 137600 1092704 1024774 2026-06-01T14:37:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1092704 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Streckungsäquivalenz| |msw= |SZ= }} von Gittern {{ Relationskette | \Gamma_1,\Gamma_2 | \subseteq | {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8sxa565nzqyd192vcl18dcs53lj02fj 0 137605 1092847 1025028 2026-06-02T10:22:21Z Arbota 36910 Ersetzung 1092847 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Die Struktur des Quotientenraumes {{mathl|term= {{CC|}}/\Gamma |SZ=}} zu einem Gitter {{ Relationskette | \Gamma | \subset | {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fpc4lvke73fjl14ltv09r2nzc273dn9 0 137662 1092460 983617 2026-06-01T13:50:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092460 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Der projektive Raum/Als Geradenmenge/Homogene Koordinaten/Ohne Topologie/Definition|| }} {{ inputbild |Projektiveplane1bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Projektiveplane2bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Projektiveplane3bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Projektiveplane4bb|jpg| 250px {{!}} {{!}} |Autor=Darapti |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=CC-BY-SA-3.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Der projektive Raum/Offene Standardüberdeckung mit affinen Räumen/Fakt|Satz|| || }} Die offenen Mengen {{math|term= D_+(X_i) |SZ=}} werden wir gleich als Kartengebiete und die Umkehrabbildungen {{math|term= \varphi^{-1} |SZ=}} als Kartenabbildungen auffassen, um auf den projektiven Räumen eine Mannigfaltigkeitssstruktur zu erhalten. {{ inputdefinition |Projektiver Raum/Kegelabbildung/Definition|| }} Wir beschränken uns nun auf den Fall {{ Relationskette | K || \R, {{CC}} || || || |SZ=. }} Mit der Kegelabbildung definieren wir zunächst eine Topologie auf den projektiven Räumen. {{ inputdefinition |Projektiver Raum/R oder C/Topologie/Kegelabbildung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/R oder C/Offen überdeckt und Mannigfaltigkeit/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/R oder C/Repräsentiert durch Sphäre/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/R oder C/Kompakt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Projektiver Raum/R oder C/Differenzierbar bzw. holomorph/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplex-projektiven Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gwtqdu7ch7epz7mlsggckuh0d83al6v 0 137686 1092577 1019788 2026-06-01T14:09:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092577 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette |X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Überdeckung| |SZ= }} eines {{ Definitionslink |topologischen Raumes| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=.}} Für eine endliche Teilmenge {{ Relationskette |J |\subseteq|I || || || |SZ= }} setzen wir {{ Relationskette |U_J |{{defeq}}| \bigcap_{i\in J} U_i || || || |SZ=. }} Für {{ Relationskette |J |\subseteq|L |\subseteq|I || || |SZ= }} ist {{ Relationskette |U_L |\subseteq|U_J || || || |SZ=. }} Für eine {{ Definitionslink |Garbe| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} von kommutativen Gruppen auf {{math|term= X |SZ=}} betrachtet man die Auswertungen {{mathl|term= {{op:Garbe|G|U_J}} |SZ=}} zu den verschiedenen {{math|term= J |SZ=,}} und zu {{ Relationskette |J |\subseteq|L || || || |SZ= }} gehören die Restriktionen {{ Abbildung |name= | {{op:Garbe|G|U_J}} | {{op:Garbe|G|U_L}} || |SZ=. }} Für ein Element {{ Relationskette |s |\in| {{op:Garbe|G|U_J}} || || || |SZ= }} schreiben wir dann abkürzend {{ Relationskette/display |s {{|}}_L || s {{|}}_{U_L} || || || |SZ= }} und oft häufig einfach {{math|term= s |SZ=.}} Wir fixieren eine {{ Definitionslink |Wohlordnung| |SZ= }} auf {{math|term= I |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=man braucht hauptsächlich den Fall für endliches {{math|term= I |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Damit können wir nun Čech-Koketten, Čech-Ableitungen, Čech-Kozykel, Čech-Koränder, den Čech-Komplex und die Čech-Kohomologie definieren, die ein wichtiges Werkzeug zur Berechnung von Garbenkohomologien ist. {{ inputdefinition |Garbe/Überdeckung/Cech-Kokette/Definition|| }} Die Menge der {{math|term= k |SZ=-}}ten Čech-Koketten {{mathl|term= {{op:Cech-Komplex|k|{\mathcal U}| {{op:Garbe|G|}} }} |SZ=}} bildet mit der komponentenweisen Addition, wobei eine Komponente durch eine Teilmenge {{ Relationskette | J |\subseteq| I || || || |SZ= }} gegeben ist, eine kommutative Gruppe. Für {{ Relationskette | k || 0 || || || |SZ= }} ist speziell {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Komplex|0|{\mathcal U}| {{op:Garbe|G|}} }} || \prod_{ i \in I} {{op:Garbe|G|U_i}} || || || |SZ=, }} für {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Komplex|1|{\mathcal U}| {{op:Garbe|G|}} }} || \prod_{ \{ i , j \} \subseteq I} {{op:Garbe|G|U_i \cap U_j }} || || || |SZ= }} und für {{ Relationskette | k || 2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Komplex|2|{\mathcal U}| {{op:Garbe|G|}} }} || \prod_{ \{ i , j , k \} \subseteq I } {{op:Garbe|G|U_i \cap U_j \cap U_k }} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |k || {{op:Anzahl|I|}} +1 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Komplex|k|{\mathcal U}| {{op:Garbe|G|}} }} || {{op:Garbe|G| \bigcap_{i \in I } U_i}} || || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette |k |>| {{op:Anzahl|I|}} +1 || || || |SZ= }} ist, so ist die Indexmenge zu {{mathl|term= {{op:Cech-Komplex|k|{\mathcal U} | {{op:Garbe|G|}} }} |SZ=}} leer und dieser Term ist einfach {{math|term= 0 |SZ=.}} Ebenso setzt man für negatives {{math|term= k |SZ=}} die Kokettengruppe gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Die Koketten zu verschieden {{math|term= k |SZ=}} werden durch die Čech-Ableitung miteinander in Beziehung gesetzt. {{ inputdefinition |Garbe/Überdeckung/Cech-Ableitung/Definition|| }} Die verschiedenen Kokettengruppen und die Ableitungen fasst man zum {{Stichwort|Čech-Komplex|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Komplex|\bullet|{\mathcal U}| {{op:Garbe|G|}} }} || {{makl| {{op:Cech-Komplex|k|\mathcal U| {{op:Garbe|G|}} }} , k \geq 0,\, \delta_k |}} || || || |SZ= }} zusammen {{ Zusatz/Klammer |text=zur Garbe {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} und zur Überdeckung {{math|term= {\mathcal U} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Bei einer Überdeckung aus zwei offenen Mengen {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} ist der Komplex gleich {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte| V| {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow {{op:Schnitte|U \cap V | {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow 0 |SZ=, }} wobei {{mathl|term= (s,t) |SZ=}} auf {{mathl|term= t {{|}}_U - s{{|}}_U |SZ=}} abgebildet wird, und bei einer Überdeckung aus drei offenen Mengen {{ mathkor|term1= U, V |und|term2= W |SZ= }} ist der Komplex gleich {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte| V| {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte| W| {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow {{op:Schnitte|V \cap W | {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte|U \cap W | {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte|U \cap V | {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow {{op:Schnitte|U \cap V \cap W | {{op:Garbe|G|}} |}} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Zum Verständnis der Homomorphismen ist es schon in diesen Fällen sinnvoll, mit den durchnummerierten Bezeichnungen {{mathl|term= U_1,U_2,U_3 |SZ=}} zu arbeiten. Die erste Abbildung ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|s_1 |s_2 |s_3}} \longmapsto {{op:Zeilenvektor|s_3-s_2 |s_3-s_1 |s_2-s_1}} |SZ= }} und die zweite Abbildung ist {{ Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|t_{23} | t_{13} |t_{12} }} \longmapsto t_{23} -t_{13} + t_{12} |SZ=. }} {{ inputdefinition |Garbe/Überdeckung/Cech-Kozykel/Definition|| }} {{ inputdefinition |Garbe/Überdeckung/Cech-Korand/Definition|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Garbe/Überdeckung/Cech-Komplex/Ist Komplex/Fakt|Lemma|| || }} Für eine Überdeckung {{ Relationskette/display | X || U_1 \cup U_2 \cup U_3 || || || |SZ= }} mit drei offenen Teilmengen und {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ= }} geht es um die Gesamtabbildung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Schnitte|U_1 | {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte| U_2 | {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte| U_3 | {{op:Garbe|G|}} |}} \stackrel{\delta_1} {\longrightarrow} {{op:Schnitte|U_2 \cap U_3 | {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte|U_1 \cap U_3 | {{op:Garbe|G|}} |}} \times {{op:Schnitte|U_1 \cap U_2 | {{op:Garbe|G|}} |}} \stackrel{\delta_2} {\longrightarrow}{{op:Schnitte|U_1 \cap U_2 \cap U_3 | {{op:Garbe|G|}} |}} |SZ=. }} Um nachzuweisen, dass die Hintereinanderschaltung die Nullabbildung ist, kann man sich auf einen Schnitt der Form {{ Relationskette | s |\in| {{op:Schnitte|U_1 | {{op:Garbe|G|}} |}} || || || |SZ= }} beschränken {{ Zusatz/Klammer |text=die anderen Komponenten seien also gleich {{math|term= 0 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Dieses Element wird auf {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor|0 | - s{{|}}_{U_1 \cap U_2} | - s{{|}}_{U_1 \cap U_3} }} |SZ=}} abgebildet, und dieses wiederum auf {{mathl|term= s{{|}}_{U_1 \cap U_2 \cap U_3} - s{{|}}_{U_1 \cap U_2 \cap U_3} |SZ=,}} also auf {{math|term= 0 |SZ=.}} {{ inputdefinition |Garbe/Überdeckung/Cech-Kohomologie/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:Cech-Kohomologie|k|{\mathcal U} | {{op:Garbe|G|}} }} || {{op:Cech-Kozykel|k|{\mathcal U} | {{op:Garbe|G|}} }} /{{op:Cech-Korand|k|{\mathcal U} | {{op:Garbe|G|}} }} || || || |SZ=. }} Wie bei jeder Homologie zu einem Komplex geht es also um die Restklassengruppe aus dem Kern modulo dem Bild an einer jeden Stelle des Komplexes. Das zu einem Čech-Kozykel gehörige Element in der {{math|term= k |SZ=-}}ten Čech-Kohomologie nennt man auch {{Stichwort|Čech-Kohomologieklasse|SZ=.}} Die nullte Čech-Kohomologiegruppe ist einfach gleich {{math|term= {{op:Garbe|G|X}} |SZ=,}} wie direkt aus der Garbeneigenschaft folgt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Cech-Kohomologie/0/Globale Auswertung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Kreis/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zweidimensionale Sphäre/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kreis/Stetige Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Cech/Beispiel|| }} In {{ Faktlink |Faktseitenname= Differenzierbare Mannigfaltigkeit/Unendlich/Abzählbare Topologie/Erste Kohomologie/Fakt |Nr= |SZ= }} wird gezeigt, dass in der vorstehenden Situation die erste Kohomologiegruppe zu {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} und zu jeder Überdeckung gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. {{ inputbeispiel |Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Cech-Kohomologie/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} k0qif87zqzi8l2y58ej2m0y00nc3x88 0 137693 1092516 983864 2026-06-01T14:00:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092516 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Für Formen von höherem Grad und äußerer Ableitung siehe [[Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Einführung/Textabschnitt]] und [[Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt]] Im Zweidimensionalen besitzt eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Form die lokale Gestalt {{ Math/display|term= h dx \wedge dy |SZ= }} mit einer reell- oder komplexwertigen differenzierbaren Funktion {{math|term= h |SZ=.}} Im Komplexen gilt die Beziehung {{ Relationskette/display |dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} || -2 {{Imaginäre Einheit||}} dx \wedge dy || || || |SZ=. }} Die äußere Ableitung bildet eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Form {{mathl|term= fdx+gdy |SZ=}} auf {{ Relationskette/align/handlinks |d (fdx+gdy) || df \wedge dx +dg \wedge dy || {{makl| {{op:Partielle Ableitung|f|x}} dx + {{op:Partielle Ableitung|f|y}} dy |}} \wedge dx + {{makl| {{op:Partielle Ableitung|g|x}} dx + {{op:Partielle Ableitung|g|y}} dy |}} \wedge dy || {{makl|{{op:Partielle Ableitung|g|x}} - {{op:Partielle Ableitung|f|y}} |}} dx \wedge dy || |SZ= }} ab. Eine Form {{math|term= fdz |SZ=}} wird auf {{mathl|term= - {{op:Antiholomorphe Ableitung|f|z}} dz \wedge d \, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ=}} abgebildet. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Fakt|Satz|| || }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es auf einer riemannschen Fläche mit abzählbarer Topologie eine differenzierbare nullstellenfreie Flächenform {{math|term= \tau |SZ=.}} Dabei gilt {{ Relationskette/display | \int_X \tau |\neq|0 || || || |SZ=. }} Daraus folgt im kompakten Fall mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Mannigfaltigkeiten ohne Rand/Satz von Stokes/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass zu einer {{math|term= 1 |SZ=-}}Form {{math|term= \omega |SZ=}} die Ableitung {{math|term= d\tau|SZ=}} nicht die Flächenform ist. Eine positive Flächenform liegt also in der Situation des vorstehenden Satzes nicht im globalen Bild und wird auf eine nichttriviale erste Kohomologieklasse in {{mathl|term= H^1(X, \Omega) |SZ=}} abgebildet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der 1-Formen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6av7lp2ybo4k02vqzwf4p31vnoyb74h 0 137759 1092527 983908 2026-06-01T14:01:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092527 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Häufig betrachtet man auch {{ Relationskette | {{op:Strukturgarbe|X|}}(D) || {{op:Garbe|L|}}_{-D} || || || |SZ= }} als die zugehörige Garbe, beide Konventionen haben Vor- und Nachteile. Die Bedingung {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|f|}} | \geq| D || || || |SZ= }} ist äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|f|}} -D | \geq| 0 || || || |SZ=, }} es ist dann {{math|term= {{op:Hauptdivisor|f|}} -D |SZ=}} ein zu {{math|term= -D|SZ=}} linear äquivalenter effektiver Divisor. {{ inputbeispiel |Riemannsche Fläche/Nulldivisor/Invertierbare Garbe/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Zuordnungseigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Wir haben also einen Gruppenisomorphismus zwischen der Divisorengruppe und der Gruppe der invertierbaren Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen. Man kann ferner zeigen, dass überhaupt jede invertierbare Garbe auf einer riemannschen Fläche sich als Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen realisieren lässt. Auch die lineare Äquivalenz von Divisoren, die ja die Grundlage zur Einführung der Divisorenklassengruppe ist, spiegelt sich auf der Seite der invertierbaren Untergarben wieder. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Lineare Äquivalenz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Kompakt/Divisor/Invertierbare Garbe/Grad/Definition|| }} Mit dieser Festlegung haben invertierbare Garben mit nichttrivialen globalen Schnitten einen positiven Grad. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} af9419es4i709wg5t3jw1e311xku27o 0 137762 1092532 983932 2026-06-01T14:02:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092532 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Definition|| }} Die Strukturgarbe ist invertierbar, man kann direkt die durch {{math|term= X |SZ=}} selbst gegebene Überdeckung nehmen. Eine {{ Definitionslink |invertierbare Garbe| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} heißt {{Stichwort|trivial|msw=Triviale invertierbare Garbe|SZ=,}} wenn sie {{ Definitionslink |isomorph| |Kontext=Modulgarbe| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |Strukturgarbe| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X|}} |SZ=}} ist. Die von einer {{ Definitionslink |holomorphen Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{ Relationskette |f |\neq|0 || || || |SZ= }} auf einer zusammenhängenden riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=}} erzeugte Idealgarbe {{ Relationskette/display | f {{op:Strukturgarbe|X|}} |\subseteq| {{op:Strukturgarbe|X|}} || || || |SZ= }} ist trivial. Lokal ist nach der Definition jede invertierbare Garbe trivial, es geht also hauptsächlich um die Frage, ob es global nichttriviale invertierbare Garben gibt. Zu einer invertierbaren Garbe {{math|term= {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} nennt man die {{ Definitionslink |duale Garbe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Duale Modulgarbe|{{op:Garbe|L|}}|}} || {{op:Homomorphismengarbe| {{op:Garbe|L|}}| {{op:Strukturgarbe|X|}} }} || || || || |SZ= }} auch die {{Stichwort|inverse Garbe|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Invertierbar/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} noveyqpsnibs2aqx3po68qibr8t4hkd 0 137907 1092072 1018520 2026-06-01T12:47:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092072 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |riemannsche Fläche |SZ=. }} Für jede offene Teilmenge {{ Relationskette |U |\subseteq|X || || || |SZ= }} liegt die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Strukturgarbe|X|}} (U) |\subseteq| {{op:Garbe|M|U|}} || || || |SZ= }} vor, da ja jede {{ Definitionslink |holomorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} insbesondere eine {{ Definitionslink |meromorphe Funktion| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} ist. Wir haben also eine Untergarbenbeziehung {{ Relationskette | {{op:Strukturgarbe|X|}} |\subseteq| {{op:Garbe|M|}}_X || || || |SZ= }} und wollen die {{ Definitionslink |Quotientengarbe| |SZ= }} dazu bestimmen. Zur Formulierung verwenden wir die folgenden Begriffe. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Punkt/Hauptteil/Definition|| }} Der Hauptteil ist ein Element des Restklassenmoduls {{mathl|term= {{op:Garbe|M|}}_P/ {{op:Garbe|O|}}_{P} |SZ=.}} Diese Sichtweise ist wichtiger als die übersichtliche Darstellung mit einem lokalen Parameter. Der Hauptteil einer holomorphen Funktion ist {{math|term= 0 |SZ=,}} der Hauptteil ist also relevant für das Polstellenverhalten einer meromorphen Funktion und ist dafür ein gewisses Maß. Jeder Hauptteil wird durch eine besonders einfache meromorphe Funktion repräsentiert, nämlich ein Polynom in {{math|term= z^{-1} |SZ=}} ohne konstanten Term. Die Potenzen {{ mathbed|term= z^k ||bedterm1= k \in \Z_- ||bedterm2= |SZ=, }} bilden eine {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} des Vektorraumes aller Hauptteile. Unendliche Summen dieser Potenzen sind keine Hauptteile. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Hauptteilverteilung/Definition|| }} Für einen Punkt ist der Hauptteil einer meromorphen Funktion {{math|term= f |SZ=}} in diesem Punkt genau dann {{math|term= 0 |SZ=,}} wenn {{math|term= f |SZ=}} in diesem Punkt keinen Pol besitzt. Da die Polstellen einer meromorphen Funktion diskret sind, ist die Hauptteilverteilung einer meromorphen Funktion eine Hauptteilverteilung im Sinne der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Definition|| }} Der Hauptteil {{math|term= T_P |SZ=}} wird dabei durch eine in einer offenen Umgebung von {{math|term= P |SZ=}} definierten meromorphen Funktion oder durch {{mathl|term= \sum_{n {{=}} k}^{-1} c_nz^{n} |SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |lokalen Parameter| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= z |SZ=}} um {{math|term= P |SZ=}} repräsentiert. Man kann eine Hauptteilverteilung auch so auffassen, dass überhaupt jedem Punkt ein Hauptteil zugeordnet wird, wobei aber außerhalb einer diskreten Menge die Hauptteile gleich {{math|term= 0 |SZ=}} sind. Die Punkte, in denen eine Hauptteilverteilung {{math|term= \neq 0 |SZ=}} ist, nennt man auch den {{Stichwort|Träger|SZ=}} der Hauptteilverteilung. Statt von einer Hauptteilverteilung spricht man auch von einer {{Stichwort|Mittag-Leffler-Verteilung|SZ=.}} Wenn man einer jeden offenen Menge {{math|term= U |SZ=}} die Menge aller möglichen Hauptteilverteilungen auf {{math|term= U |SZ=}} zuordnet, so erhält man eine Garbe von kommutativen Gruppen auf {{math|term= X |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Riemannsche Fläche/Hauptteilverteilung/Garbe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Diese Garbe bezeichnen wir mit {{math|term= {{op:Garbe|T|}} |SZ=.}} Bei der Restriktionsabbildung werden punktweise die Hauptteile übernommen bzw. weggelassen, wenn der Punkt nicht zur kleineren offenen Menge gehört. {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/Rationale Funktion/Hauptteilverteilung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Meromorphe_Funktionen/Hauptteile/Exakte_Sequenz/Fakt|Lemma|| || }} Es sei betont, dass nicht jede globale Hauptteilverteilung von einer meromorphen Funktion herrührt. In der Tat ist die Frage, welche Hauptteilverteilungen von einer meromorphen Funktion herrühren und welche nicht, ein wichtiges Motiv zur Einführung der Kohomologie. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} evwdp5tzycoos1mxh1aik0a5kwdtns2 0 137925 1092271 982316 2026-06-01T13:19:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092271 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine glatte projektive Kurve über {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} kann man als eine kompakte riemannsche Fläche und eine kompakte riemannsche Fläche algebraisch realisieren{{{zusatz1|.}}} Wir wollen zeigen, dass bei dieser Korrespondenz die Geschlechter übereinstimmen. In der kohomologischen Definition des Geschlechtes wird auf beiden Seiten die Dimension der ersten Kohomologie der Strukturgarbe genommen. In der analytischen Situation bezieht sich Strukturgarbe aber auf die holomorphen Funktionen mit der feinen metrischen Topologie, in der algebraischen Situation aber auf die rationalen Funktionen in der Zariski-Topologie. Aufgrund der Serre-Dualität, die es auf beiden Seiten gibt, stimmt jeweils das kohomologische Geschlecht mit dem differentiellen Geschlecht überein. Dies ist analog definiert, bezieht sich aber in der analytischen Situation auf die Dimension der globalen holomorphen Differentialformen, in der algebraischen Situation auf die Dimension der globalen Kähler-Differentialformen. In der differentiellen Situation ist recht einfach zu sehen, dass globale Kähler-Differentialformen auch globale holomorphe Differentialformen sind und dass dabei die lineare Unabhängigkeit erhalten bleibt. Es ist also {{ Relationskette/display | g_{\text{alg} \text{ dif} }(X_\text{alg} ) |\leq| g_{\text{an} \text{ dif} }(X_\text{an} ) || || || |SZ=. }} In der kohomologischen Welt liefert ein Čech-Kozykel zur algebraischen Strukturgarbe auf einer Zariski-offenen Überdeckung auch einen Čech-Kozykel für die holomorphen Funktionen auf der riemannschen Fläche. Es ist aber keineswegs klar, dass ein solcher nichttrivialer Kozykel nichttrivial bleibt, da ja viel mehr holomorphe Funktionen zur Verfügung stehen, noch, dass alle holomorphen Kozykel zu dieser Überdeckung algebraisch repräsentiert werden können, noch, dass man mit diesen Zariski-Überdeckungen alles erfassen kann. {{ inputfaktbeweis |Glatte projektive Kurve/C/Riemannsche Fläche/Geschlecht/Übereinstimmung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie der glatten projektiven Kurven |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9isubwzqpwltav2qfnyl5meu5r65gxi 0 137994 1092522 983892 2026-06-01T14:01:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092522 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Definition|| }} Die meromorphen Differentialformen bilden eine {{ Definitionslink |Garbe| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X |SZ=,}} die wir mit {{math|term= {{op:Garbe| M^{(1)}|}} |SZ=}} bezeichnen. {{ inputbemerkung |Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktion/Meromorphe Differentialform/Ableitung/Bemerkung|| }} Holomorphe Differentialformen sind insbesondere meromorphe Differentialformen, wir haben also die Untergarbenbeziehung {{ Relationskette | \Omega_X |\subseteq| {{op:Garbe|M^{(1)}| }} || || || |SZ=. }} Dies erlaubt neben der Einbettung von holomorphen Differentialformen in reell-differenzierbare {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen eine weitere Auflösungsmöglichkeit für die holomorphen Differentialformen. In einem Punkt {{ Relationskette |P |\in|X || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Garbe|M^{(1)}| }}_P / \Omega_{X,P} |\cong | {{op:Garbe|M | }}_P / {{op:Strukturgarbe|X,P|}} |\cong| {{op:Garbe|T|}}_P || || |SZ=, }} der Quotientenmodul ist also in einem Punkt isomorph zum Hauptteilmodul in diesem Punkt. Um mit natürlichen Abbildungen zu arbeiten und falsche Identifizierungen zu vermeiden sollte man in diesem Kontext die Hauptteilverteilungen stets punktweise durch {{math|term= [\omega] |SZ=}} mit einer meromorphen Differentialform {{math|term= \omega|SZ=}} aus {{math|term= {{op:Garbe|M^{(1)}| }}_P |SZ=}} repräsentieren oder in der Form {{mathl|term= \sum_{n{{=}} k}^{-1} c_nz^n dz |SZ=}} mit einem lokalen Parameter {{math|term= z |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=.}} Die zugehörige Garbe bezeichnen wir mit {{math|term= {{op:Garbe|T^{(1)}| }} |SZ=,}} sie ist isomorph zur Garbe der Hauptteilverteilungen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Meromorphe Differentialform/Exakt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/C/Meromorphe Differentialform/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Residuum/Definition|| }} Eine holomorphe Differentialform nennt man auch {{ Zusatz/Klammer |text=meromorphe| |ISZ=|ESZ= }} {{Stichwort|Differentialform erster Gattung|SZ=.}} Darüber hinaus gibt es die folgenden Sprechweisen. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Zweite Gattung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Meromorphe Differentialform/Dritte Gattung/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der meromorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i4z138hhhtw1ur7ha92xtmjvw2bfp0o 0 138003 1092520 983880 2026-06-01T14:00:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092520 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wie in der Funktionentheorie definiert man das Residuum in einem Punkt {{math|term= P |SZ=}} einer {{math|term= 1 |SZ=-}}Form {{math|term= \omega|SZ=}} auf einer riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=,}} die in {{math|term= X \setminus \{P\} |SZ=}} {{ Definitionslink |holomorph| |Kontext=Differentialform| |SZ= }} ist, durch {{ Relationskette/display | {{op:Residuum|\omega|P}} || {{op:Bruch|1|2 \pi {{imaginäre Einheit}} }} \int_\gamma \omega || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \gamma|SZ=}} einen einfach gegen den Uhrzeigersinn durchlaufenen Weg um {{math|term= P |SZ=}} innerhalb einer Kartenumgebung bezeichnet, die biholomorph zu einer offenen Kreisscheibe ist. Dies stimmt mit dem Koeffizienten {{math|term= c_{-1} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Laurent-Entwicklung| |Kontext=punktiert| |SZ= }} überein. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Kompakt/Residuensatz/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Residuums auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lt1jpoud7d6a5ruqc2uk54nrif0chv8 0 138023 1092519 983876 2026-06-01T14:00:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092519 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kompakte| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |zusammenhängende| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannsche Fläche| |Kontext=| |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Differenzierbare Formen/Exakt/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es eine exakte kurze Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/display|\Omega_X | {{op:Garbe|E|}}^{(1,0)} | {{op:Garbe|E|}}^{(2)}|abbmr=d |SZ=.}} Eine Kohomologieklasse {{ Relationskette | c |\in| H^1(X, \Omega_X) || || || |SZ= }} wird wegen {{ Relationskette | H^1(X,{{op:Garbe|E|}}^{(1,0)} ) || 0 || || || |SZ= }} über den verbindenden Homomorphismus von einer Flächenform {{ Relationskette |\sigma |\in| H^0(X,{{op:Garbe|E|}}^{(2)} ) || || || |SZ= }} repräsentiert. Diese ist bis auf das Bild einer differenzierbaren {{math|term= (1,0) |SZ=-}}Form, also {{math|term= d \omega|SZ=,}} eindeutig bestimmt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Mannigfaltigkeiten ohne Rand/Satz von Stokes/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | \int_X d \omega || 0 || || || |SZ=. }} Wir definieren das {{Stichwort|Residuum|SZ=}} zur Kohomologieklasse {{math|term= c |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | {{op:Residuum|c|}} | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1|2 \pi {{imaginäre Einheit}} }} \int_X \sigma || || || |SZ=, }} und dies ist unabhängig von der gewählten Flächenform {{math|term= \sigma |SZ=,}} die {{math|term= c |SZ=}} realisiert. Dies definiert einen Homomorphismus {{ Abbildung/display |name= | H^1(X, \Omega_X)| {{CC|}} || |SZ=. }} Dieser ist surjektiv, da es auf {{math|term= X |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Nullstellenfreie Volumenform/Orientierte (Karten) Mannigfaltigkeit/Äquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} reelle überall positive Flächenformen gibt, deren Gesamtintegral somit positiv ist. {{ inputbeispiel |Projektive Gerade/C/Flächenform/Beispiel|| }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Meromorphe Differentialform/Exakt/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es auch die kurze exakte Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/display| \Omega_X | {{op:Garbe|M^{(1)}|}} | {{op:Garbe|T^{(1)}|}} |SZ=,}} mit der man ebenfalls die erste Kohomologie der holomorphen Differentialformen beschreiben kann. Auch in dieser Situation definieren wir das Residuum. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Kompakt/Meromorphe Differentialform/Hauptteilverteilung/Residuum/Definition|| }} Dabei ist {{mathl|term= {{op:Residuum|\tau|P}} |SZ=}} einfach der Koeffizient von {{math|term= f |SZ=}} zu {{math|term= z^{-1} |SZ=,}} wenn die Hauptteilverteilung im Punkt {{math|term= P |SZ=}} durch die meromorphe Differentialform {{math|term= fdz |SZ=}} mit einem lokalen Parameter {{math|term= z |SZ=}} um {{math|term= P |SZ=}} beschrieben wird. Wir zeigen, dass die beiden Definitionen miteinander kompatibel sind. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialformen/Erste Kohomologie/Residuum/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Serre-Dualität auf riemannschen Flächen |Kategorie2=Theorie des Residuums auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rv7y7miaq3u9fmftx5x2wala3xo8ndv 0 138161 1092191 981552 2026-06-01T13:07:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092191 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Auf einer {{ Definitionslink |Prämath=C^\infty |differenzierbaren Mannigfaltigkeit| |SZ= }} {{math|term= M |SZ=}} bilden die {{ Zusatz/Klammer |text=reell- oder komplexwertigen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=k |Differentialformen| |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Garbe| |SZ= }} {{math|term= U \mapsto {{symbol:Differentialformen|U|k}} |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |äußere Ableitung| |SZ= }} definiert einen Garbenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name=d |{{op:Garbe|E^k}} |{{op:Garbe|E^{k+1}}} || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Komplex/Garbenversion/Definition|| }} Wichtige Eigenschaften der äußeren Ableitung werden in {{ Faktlink |Faktseitenname= Differentialform/Mannigfaltigkeit/Äußere Ableitung/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} formuliert. Ferner ist wegen des Lemmas von Poincaré für Differentialformen der Komplex ab der Stelle {{ Relationskette | i |\geq| 1 || || || |SZ= }} als Garbenkomplex exakt. Öfters ergänzt man links den Komplex durch die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in {{math|term= \R |SZ=}} oder in {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}} um überall Exaktheit zu erreichen. In der gegebenen Form ist der Komplex aber gerade eine Auflösung dieser lokal konstanten Garbe. Die globale Auswertung ist im Allgemeinen nicht exakt, vielmehr die Grundlage für die Einführung der de-Rham-Kohomologie. {{ inputdefinition |Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Kohomologie/Stufe/Definition|| }} Eine {{math|term= i |SZ=-}}te de Rham-Kohomoloieklasse wird also durch eine geschlossene {{math|term= i |SZ=-}}te Differentialform {{math|term= \omega |SZ=}} repräsentiert, wobei zwei Differentialformen die gleiche Klasse definieren, wenn ihre Differenz eine exakte Differentialform ist. Für eine riemannsche Fläche ist die komplexwertige Version des de-Rham-Komplexes {{ Zusatz/Klammer |text=mit den lokal konstanten Funktionen| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{CC}} \longrightarrow {{op:Garbe|E|}} \stackrel{d}{ \longrightarrow } {{op:Garbe|E|}}^{(1)} \stackrel{d}{ \longrightarrow } {{op:Garbe|E|}}^{(2)} \longrightarrow 0 |SZ=. }} Die Kerngarbe {{ Relationskette/display | {{op:Garbe|Z|}} | {{defeq}} | {{op:Kern(| {{op:Garbe|E|}}^{(1)} \stackrel{d}{ \longrightarrow } {{op:Garbe|E|}}^{(2)} |}} || || || |SZ= }} ist die Garbe der geschlossenen differenzierbaren komplexwertigen {{math|term= 1 |SZ=-}}Formen. Mit {{math|term= {{op:Garbe|Z|}} |SZ=}} kann man diesen exakten Komplex in zwei kurze exakte Garbensequenzen aufspalten, nämlich {{Kurze exakte Sequenz/display| {{CC|}} | {{op:Garbe|E|}} | {{op:Garbe|Z|}} |abbmr=d}} und {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Garbe|Z|}} | {{op:Garbe|E^{(1)}|}} | {{op:Garbe|E^{(2)}|}} |abbmr= d |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/de-Rham-Kohomologie/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der de-Rham-Komplex auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} r68lw0jm9u6pw0eofqlioa6mop3f0mi 0 138182 1092575 984136 2026-06-01T14:09:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092575 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |topologische Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ=, }} wir betrachten die {{ Definitionslink |Garbe| |Kontext=| |SZ= }} der lokal konstanten Funktionen auf {{math|term= X |SZ=}} mit Werten in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=,}} wobei {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} für {{math|term= \R |SZ=}} oder für {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} steht. Das Symbol {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} verwenden wir auch für die zugehörige Garbe. Eine erste Kohomologieklasse {{ Relationskette | c |\in| H^1(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} wird repräsentiert durch einen {{ Definitionslink |Čech-Kozykel| |Kontext=| |SZ=, }} also durch eine offene Überdeckung {{ Relationskette/display | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und lokal konstante Funktionen {{math|term= f_{ij} |SZ=}} auf {{mathl|term= U_i \cap U_j |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{ Relationskette/display | f_{ij} -f_{ik} +f_{jk} || 0 || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= U_i \cap U_j \cap U_k |SZ=}} gilt. Die lokale Konstanz bedeutet insbesondere, dass {{math|term= f_{ij} |SZ=}} auf den {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= U_i \cap U_j |SZ=}} konstant ist. Auch wenn die {{math|term= U_i |SZ=,}} die man oft als homöomorph zu Bällen ansetzt, zusammenhängend sind, gilt dies in der Regel nicht für die Durchschnitte. Die Trivialität einer Kohomologieklasse {{math|term= c |SZ=}} bedeutet, dass es lokal konstante Funktionen {{math|term= g_i |SZ=}} auf {{math|term= U_i |SZ=}} gibt mit {{ Relationskette | f_{ij} || -g_i+g_j || || || |SZ=. }} Wir wollen diese Trivialität mit der Hilfe von geschlossenen Wegen charakterisieren. {{ inputdefinition |Offene Überdeckung/Topologische Kette/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Trivialität mit Ketten/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Kreis/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Stetige Umrundung/Auswertung/Beispiel|| }} Die Wohldefiniertheit der Auswertung ergibt sich aus der folgenden Aussage. {{ inputfaktbeweis |Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Stetiger geschlossener Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Trivialität mit geschlossenen Wegen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Periodenabbildung auf Fundamentalgruppe/Definition|| }} Die Periodenabbildung ist wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologieklasse/Stetiger geschlossener Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} ein Gruppenhomomorphismus. Da {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} eine kommutative Gruppe ist, wird die {{ Definitionslink |Kommutatoruntergruppe| |Kontext=| |SZ= }} der Fundamentalgruppe unter jeder Periodenabbildung auf {{math|term= 0 |SZ=}} abgebildet. Daher faktorisiert die Periodenabbildung durch die erste Homologiegruppe {{ Zusatz/Klammer |text=die man als die Fundamentalgruppe modulo der Kommutatoruntergruppe definieren kann| |ISZ=|ESZ=, }} also {{ Abbildung/display |name= |H_1(X, {{KRC|}} )| {{KRC|}} |[\gamma]| \int_\gamma c |SZ=. }} Für die Gesamtzuordnung gilt die folgende Aussage. {{ inputfaktbeweis |Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Nach Dualraum der ersten Homologie/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologische Mannigfaltigkeit/Einfach zusammenhängend/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Trivial/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2=Čech-Kohomologie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} roy2lwlmnq3zkqec6my6qizwerwx5wa 0 138228 1092521 983888 2026-06-01T14:00:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092521 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Kohomologieklasse/Geschlossener Weg/Fakt|Lemma|| || }} Die Wegintegrale {{math|term= \int_\gamma \omega |SZ=}} hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Wegintegral/Homotopieinvarianz/Fakt |Nr= |SZ= }} und für geschlossene Wege auch aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Kohomologieklasse/Geschlossener Weg/Fakt |Nr= |SZ= }} in Verbindung mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Topologische Mannigfaltigkeit/Lokal konstante Funktionen/Erster Kozykel/Stetiger Weg/Auswertung/Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Exaktheitstest/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialform/Geschlossener Weg/Nulltest/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialform/Zugehörige Periodenabbildung/Injektiv/Fakt|Korollar|| || }} Das Bild der zu {{math|term= \omega |SZ=}} gehörenden {{Stichwort|Periodenabbildung|msw=|SZ=}} {{mathl|term= \gamma \mapsto \int_\gamma \omega |SZ=}} nennen wir die {{Stichwort|Periodengruppe|SZ=}} zu {{math|term= \omega |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | \operatorname{Per} (\omega) || {{Mengebed|\int_\gamma \omega|\gamma \in \pi_1(X) }} || || || |SZ=. }} Es handelt sich um eine Untergruppe von {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rdblcfvwi46wypaccz24sp9aersmwwu 0 138290 1092515 983860 2026-06-01T13:59:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092515 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Definition|| }} Eine holomorphe Differentialform {{math|term= \omega |SZ=}} ordnet also jedem Punkt {{ Relationskette | P |\in| X || || || |SZ= }} einen Vektor {{math|term= \omega(P) |SZ=}} im Kotangentialraum {{math|term= T^*_PX |SZ=}} zu, also eine komplexwertige Linearform auf dem Tangentialraum {{math|term= T_PX |SZ=.}} Wenn {{ Relationskette | v |\in| T_PX || || || |SZ= }} ein Tangentialvektor ist, so versteht man unter {{mathl|term= \omega(P,v) |SZ=}} diejenige komplexe Zahl, die sich ergibt, wenn man die Linearform {{math|term= \omega(P) |SZ=}} auf den Vektor {{math|term= v |SZ=}} anwendet. Wir beschreiben zuerst die holomorphen Differentialformen auf einer offenen Menge von {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}} was dann auch die lokale Beschreibung für die holomorphen Differentialformen auf einer beliebigen riemannschen Fläche ergibt. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Offene Teilmenge von C/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Eine holomorphe Differentialform {{math|term= \omega |SZ=}} auf einer riemannschen Fläche wird häufig in der Form {{mathl|term= U_i, f_idz_i |SZ=}} gegeben, wobei {{ Relationskette | U || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} eine offene Überdeckung mit Kartengebieten, {{math|term= z_i |SZ=}} ein {{ Definitionslink |lokaler Parameter| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} und {{math|term= f_i |SZ=}} eine holomorphe Funktion auf {{math|term= U_i |SZ=}} ist, wobei die {{math|term= f_idz_i |SZ=}} auf den Kartenüberlappungen zusammenpassen müssen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Garbe/Fakt|Lemma|| || }} Die Garbe der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=}} wird mit {{math|term= \Omega_X |SZ=}} bezeichnet. Es ist also {{mathl|term= {{op:Schnitte|U|\Omega_X}} |SZ=}} der Vektorraum aller holomorphen Differentialformen auf {{math|term= U |SZ=}} und speziell {{mathl|term= {{op:Schnitte|X|\Omega_X}} |SZ=}} der Vektorraum der globalen holomorphen Differentialformen. Insbesondere für kompakte riemannschen Flächen ist es eine wichtige Frage, wie viele globale holomorphe Differentialformen es gibt. Es handelt sich im kompakten Fall um einen endlichdimensionalen Vektorraum, dessen Dimension auch das {{Stichwort|differentielle Geschlecht|msw=Differentielles Geschlecht|SZ=}} der riemannschen Fläche heißt, siehe hierzu {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Sphäre/Globale holomorphe Differentialformen/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexer Torus/1/Holomorphe Differentialformen/Bestimmung/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Invertierbar/Bemerkung |Nr= |SZ= }} und vor allem {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Serre-Dualität/Holomorphe Differentialformen und Strukturkohomologie/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Serre-Dualität/Geschlecht/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht und topologisches Geschlecht/Fakt |Nr= |SZ=. }} Man nennt die holomorphe Differentialform {{math|term= df |SZ=}} auch die {{Stichwort|Ableitung|msw=Ableitung (riemannsche Fläche) |SZ=}} zu {{math|term= f |SZ=}} und ebenso nennt man die Abbildung {{ Abbildung/display |name=d | {{op:SchnittringX|X|}} | {{op:Schnitte|X|\Omega_X}} |f|df |SZ=, }} Ableitung oder den Ableitungsoperator. Man beachte, dass es keine Ableitung in dem Sinne gibt, dass einer holomorphen Funktion wieder eine holomorphe Funktion zugeordnet wird. Dies lässt sich zwar lokal definieren, passt aber global nicht zusammen. Um einen sinnvollen Ableitungsprozess zu bekommen, muss man die Ableitung als eine Differentialform verstehen. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Konstante Funktionen/Holomorphe Funktionen/Holomorphe Differentialform/Fakt|Lemma|| || }} Im Allgemeinen ist die globale Auswertung {{ Abbildung/display |name=d | {{op:SchnittringX|X|}} | {{op:Schnitte|X|\Omega_X}} |f|df |SZ=, }} nicht surjektiv. Wenn eine holomorphe Differentialform {{math|term= \omega |SZ=}} von der Form {{math|term= df |SZ=}} ist, so heißt {{math|term= f |SZ=}} eine {{Stichwort|Stammfunktion|SZ=}} der Form. Die Surjektivität der globalen Auswertung ist also äquivalent dazu, dass jede holomorphe Differentialform eine Stammfunktion besitzt. Siehe u. A. {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Holomorphe Differentialform/C punktiert/dz durch z/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Riemannsche Fläche/Kompakt/Ableitung/Globale Auswertung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Sphäre/Globale holomorphe Differentialformen/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Über C/Holomorphe Differentialformen/Fakt|Lemma|| || }} Dieses Argument würde auch bei allgemeiner angesetzten Differentialformen durchgehen, allerdings bilden die angegebenen Formen auf dem projektiven Abschluss schon eine Basis. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kcx65ge8llruj4ehyqejbit1hp555i2 0 138321 1092531 983928 2026-06-01T14:02:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092531 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Differentialform/Spur/Definition|| }} Bei einer normalen verzweigten Abbildung ist {{ Relationskette/display | {{op:Spur|\omega|}} || \sum_\varphi \varphi^* \omega || || || |SZ=, }} wobei die Summe über alle Decktransformationen läuft. Dies ist eine invariante Form und entspricht einer Differentialform auf {{math|term= X |SZ=,}} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Flächen/Normale endliche Abbildung/Holomorphe Differentialform/Invariant und Rückzug/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es ist ja {{ Relationskette/align | {{op:Spur|dg |}} || d {{op:Spur| g |}} || d {{makl| \sum_\varphi g \circ \varphi |}} || \sum_\varphi d {{makl| g \circ \varphi |}} || \sum_\varphi \varphi^* d g || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Flächen/Holomorphe endliche Abbildung/Differentialform/Wegintegral/Spur/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der meromorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie3=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ppg609cx4j6jopbkc2x86xmj47f4h6j 0 138355 1092228 1018918 2026-06-01T13:13:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092228 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Kommutativität mit Serre Dualität/Fakt|Lemma|| || }} Aus der Exponentialsequenz {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Beispiel zu Quotient/Beispiel |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} erhält man eine exakte Sequenz {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow H^1(X,\Z) \longrightarrow H^1 (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) \longrightarrow H^1(X, {{op:Einheiten| {{op:Strukturgarbe |X}} |}} ) \cong {{op:Picardgruppe|X|}} \longrightarrow H^2 (X, \Z) \longrightarrow 0 |SZ=. }} Eine invertierbare Garbe vom Grad {{math|term= 0 |SZ=}} rührt von einer ersten Kohomologieklasse {{math|term= c |SZ=}} aus {{mathl|term= H^1 (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) |SZ=}} her. Die Trivialität der invertierbaren Garbe bedeutet, dass die Klasse von {{mathl|term= H^1(X,\Z) |SZ=}} herkommt. Bei Abel-Jacobi geht es um das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|H^1(X,\Z) | H^1 (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) |H_1(X, \Z)| {{op:Dualraum|H^0(X, \Omega_X)||}}|abb13=?|abb24=Res|abb34=\int|SZ=. }} Die angedeuteten Abbildungen sind rechts Serre-Dualität, also der Isomorphismus {{math|term= c \mapsto {{makl| \omega \mapsto {{op:Residuum| H^1(\omega)(c)|}} |}} |SZ=}} und unten {{mathl|term= \gamma \mapsto {{makl| \omega \mapsto \int_\gamma \omega |}} |SZ=.}} Die untere Zeile definiert die jacobische Varietät. Es ist zu zeigen, dass der Isomorphismus rechts einen Isomorphismus links induziert. {{Kommutatives Rechteck/25/ru |0|H^1(X,\Z) | H^1 (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) | {{op:Picardgruppe0|X|}}|0 | 0 | H_1(X, \Z)| {{op:Dualraum|H^0(X, \Omega_X)||}}|J|0|abb27=?|abb38=Res|abb78=\int |SZ=.}} Eine Kohomologieklasse {{math|term= U_i, h_{ij} |SZ=}} wird bei einer gegebenen globalen holomorphen Differentialform {{math|term= \omega |SZ=}} auf {{math|term= U_i, h_{ij} \omega |SZ=}} abgebildet. Wenn man {{math|term= h_{ij} |SZ=}} durch meromorphe Funktionen {{math|term= g_i |SZ=}} repräsentiert, so wird die Bildklasse durch {{math|term= g_i \omega |SZ=}} repräsentiert. Wenn man mit der Hauptteilverteilung {{math|term= \tau_P |SZ=}} arbeitet {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | \tau_P || [g_i] || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=, }} so nimmt man {{math|term= \tau_P \omega |SZ=.}} Das Residuum ist dann {{mathl|term= \sum_P {{op:Residuum|\tau_P \omega|P}} |SZ=,}} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Kompakt/Holomorphe Differentialformen/Erste Kohomologie/Residuum/Fakt |Nr= |SZ=. }} Dies ist nur für Polstellen der Form {{mathl|term= \tau_P \omega |SZ=}} interessant, wobei {{math|term= \omega |SZ=}} selbst keine Pole hat, aber durch {{math|term= \tau_P |SZ=}} welche reinkommen. Zu vergleichen mit {{math|term= e^{h_{ij} } |SZ=,}} {{math|term= e^{g_i} |SZ=}} wohl kein Sinn. Zugehöriger Divisor durch {{ Relationskette/display | e^{h_{ij} } || f_i/f_j || || || |SZ=. }} Die lokalen Hauptdivisoren {{mathl|term= {{op:Hauptdivisor|f_i |}} |SZ=}} legen Punktetupel fest. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Exponentialsequenz |Kategorie2=Theorie der jacobischen Varietät |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gocnxb8rksqfhokqbsa3jbw5l16eqgq 0 138475 1092337 1009553 2026-06-01T13:30:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092337 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |kompakte| |SZ= }} {{ Definitionslink |zusammenhängende| |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannsche Fläche| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Geschlecht| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= g |SZ=.}} Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | \pi_1(X)| {{op:Dualraum| {{op:Schnitte|X|\Omega_{X }|}} |}} |\gamma| {{makl| \omega \mapsto \int_\gamma \omega }} |SZ=, }} von der Fundamentalgruppe in den Dualraum zum Raum der globalen holomorphen Differentialformen, jedem geschlossenen stetigen Weg {{math|term= \gamma |SZ=}} wird die Auswertung zugeordnet, die zu einer holomorphen Differentialform {{math|term= \omega |SZ=}} das Wegintegral über {{math|term= \gamma |SZ=}} berechnet. Die Wohldefiniertheit der Abbildung beruht darauf, dass die Wegintegrale nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Reelle Mannigfaltigkeit/Geschlossene Differentialform/Wegintegral/Homotopieinvarianz/Fakt |Nr= |SZ= }} nur von der Homotopieklasse des Weges abhängen, unabhängig vom gewählten Aufpunkt sind und dass Wegintegrale linear in den Differentialformen sind. Ferner ist die Zuordnung ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |Kontext=| |SZ=, }} da Wegintegrale mit der Verknüpfung von Wegen verträglich sind. Da der Dualraum wie jeder Vektorraum eine kommutative Gruppe ist, faktorisiert die Abbildung durch die erste Homologiegruppe {{mathl|term= H_1(X, \Z) |SZ=,}} die man ja als {{ Definitionslink |Abelianisierung| |Kontext=| |SZ= }} der Fundamentalgruppe auffassen kann. {{ inputdefinition |Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Periodengitter/Definition|| }} Das Periodengitter ist also das Bild des oben beschriebenen Gruppenhomomorphismus. Es handelt sich unmittelbar um eine Untergruppe des Dualraumes {{math|term= {{op:Dualraum| {{op:Schnitte|X|\Omega_{X }|}} |}} |SZ=.}} Die Dimension von {{mathl|term= {{op:Schnitte|X|\Omega_{X }|}} |SZ=}} und seines Dualraumes ist das {{ Definitionslink |Geschlecht| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= g |SZ=}} von {{math|term= X |SZ=.}} Bei einer gegebenen {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= \omega_1 {{kommadots|}} \omega_g |SZ=}} von {{mathl|term= {{op:Schnitte|X|\Omega_X}} |SZ=}} ist die Auswertung längs {{math|term= \gamma |SZ=}} durch das {{Stichwort|Periodentupel|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder den {{Stichwort|Periodenvektor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Periodentupel|\gamma|}} | {{defeq|}} | {{op:Zeilenvektor| \int_\gamma \omega_1 |\ldots| \int_\gamma \omega_g }} |\in| {{CC|}}^g || || |SZ= }} festgelegt, es liegt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Dreieck/ru| \pi_1(X)| {{op:Dualraum| {{op:Schnitte|X|\Omega_X}} |}} | {{CC}}^g |abb23=\cong|SZ=}} vor, wobei der vertikale Pfeil rechts eine Linearform {{ Abbildung |name= \ell | {{op:Schnitte|X|\Omega_X}} | {{CC|}} || |SZ= }} auf das Auswertungstupel {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| \ell(\omega_1)| \ldots | \ell (\omega_g) }} |SZ=}} abbildet. Das Bild von {{ Abbildung/display |name= | \pi_1(X) | {{CC}}^g | \gamma| {{op:Zeilentupel| \int_{\gamma} \omega_1 | \ldots | \int_{\gamma} \omega_g }} |SZ=, }} nennt man das {{Stichwort|Periodengitter|SZ=}} zur gegebenen Basis, es steht unter der vertikalen Abbildung in Bijektion zum Periodengitter. Da die erste Homologiegruppe gleich {{math|term= \Z^{2g} |SZ=}} ist, kann man eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{mathl|term= \gamma_1 {{kommadots|}} \gamma_{2g} |SZ=}} finden, und das Periodengitter wird von den zugehörigen Auswertungen bzw. den zugehörigen Periodenvektoren {{ Definitionslink |erzeugt| |Kontext=Gruppe| |SZ=. }} Es liegt das kommutative Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| \pi_1 (X) | {{op:Dualraum|{{op:Schnitte|X|\Omega_X}}|}} | \Z^{2g} | {{CC|}}^g |abb24= \cong }} vor. Das Periodengitter ist in der Tat ein Gitter im Dualraum. {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Periodengitter/Gitter/Fakt|Satz|| }} {{ inputdefinition |Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialformen/Dualraum/Jacobische Varietät/Definition|| }} Die jacobische Varietät ist eine kompakte {{ Definitionslink |komplexe Lie-Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} der Dimension {{math|term= g |SZ=,}} man spricht auch vom {{Stichwort|Jacobischen Periodentorus|msw=Jacobischer Periodentorus|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Flächen/Kompakt/Jacobische Varietät/Funktiorialität/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der jacobischen Varietät |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oaf9xybhtplsmuav6rlyaeu7baycvn5 0 138634 1092000 982128 2026-06-01T12:35:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092000 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei einem durch ein Polynom definierten Nullstellengebilde über einer {{ Definitionslink |riemannschen Fläche| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} treten Singularitäten auf. Diese kann man einfach ignorieren und herausnehmen, um eine riemannsche Fläche zu erhalten, ober aber man kann diese Punkte mit einer kleinen Umgebung durch Punkte in einer Kreisscheibe ersetzen. Ein anderes Problem ist die Frage, inwiefern man eine riemannsche Fläche mit einer endlichen Realisierung {{ Abbildung |name= |Y| {{CC|}} || |SZ= }} zu einer riemannschen Fläche über {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} fortsetzen kann. Man denke beispielsweise an die hyperelliptische Situation {{ Relationskette/display | Y || V {{makl| W^2-f(Z) |}} |\subseteq| {{CC|}}^2 || || |SZ= }} mit einem Polynom {{math|term= f |SZ=}} ohne mehrfache Nullstelle und der durch {{math|term= Z |SZ=}} gegebenen Projektion nach {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Endliche Abbildung/Verzweigung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Von der projektiven Geometrie her ist es ein naheliegender Ansatz, die Gleichung mit Hilfe einer neuen Variablen {{math|term= U |SZ=}} zu homogenisieren und dann das projekive Nullstellengebilde in {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene| {{CC|}} |}} |SZ=}} zu betrachten. Wenn {{math|term= f |SZ=}} den Grad {{math|term= 3 |SZ=}} besitzt und in der Form {{mathl|term= Z^3+rZ^2+sZ+t |SZ=}} vorliegt, so ist die Homogenisierung gleich {{mathl|term= W^2U-Z^3-rZ^2U-sZU^2-tU^3 |SZ=}} und dies definiert eine glatte Kurve, also eine riemannsche Fläche. Dabei kommt ein neuer Punkt hinzu. Wenn aber {{math|term= f |SZ=}} größeren Grad besitzt, so wird die Homogenisierung im allgemeinen singuläre Punkte besitzen, also keine Beschreibung einer riemannschen Fläche sein. Der folgende Fortsetzungssatz besagt, dass es in einer solchen Situation stets eine sinnvolle Fortsetzung als riemannsche Fläche gibt. Dabei wird keine Aussage über Beschreibungen mit Hilfe von Gleichungen gemacht. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt|Satz|| || }} In der Situation eines {{ Definitionslink |Nullstellengebildes| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} zu einem Polynom über {{math|term= X |SZ=}} kann man {{ Zusatz/Klammer |text=aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Holomorphe zweite Projektion/Fakt |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ= }} stets auf das {{ Definitionslink |unverzweigte Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} anwenden. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Definition|| }} Hyperelliptische riemannsche Flächen sind kompakt. Sie sind insofern einfach, dass sie eine endliche holomorphe Abbildung von der Blätterzahl {{math|term= 2 |SZ=}} auf die projektive Gerade besitzen, ansonsten können sie beliebig kompliziert sind, beispielsweise gibt es zu jedem Geschlecht {{math|term= \geq 2 |SZ=}} hyperelliptsche Flächen. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt|Lemma|| || }} Man beachte, dass die homogene Gleichung {{ Relationskette/display | W^2U^{k-2} || \tilde{f}(Z,U) || || || |SZ= }} keine Beschreibung der hyperelliptischen Kurve ist. Das durch diese Gleichung in der projektiven Ebene beschriebene Nullstellengebilde besitzt Singularitäten, die durch den in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebenen Prozess eliminiert werden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 13bxb3rjynsoucaoptawpxosujw06ed 1092524 1092000 2026-06-01T14:01:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092524 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei einem durch ein Polynom definierten Nullstellengebilde über einer {{ Definitionslink |riemannschen Fläche| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} treten Singularitäten auf. Diese kann man einfach ignorieren und herausnehmen, um eine riemannsche Fläche zu erhalten, ober aber man kann diese Punkte mit einer kleinen Umgebung durch Punkte in einer Kreisscheibe ersetzen. Ein anderes Problem ist die Frage, inwiefern man eine riemannsche Fläche mit einer endlichen Realisierung {{ Abbildung |name= |Y| {{CC|}} || |SZ= }} zu einer riemannschen Fläche über {{mathl|term= {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} |SZ=}} fortsetzen kann. Man denke beispielsweise an die hyperelliptische Situation {{ Relationskette/display | Y || V {{makl| W^2-f(Z) |}} |\subseteq| {{CC|}}^2 || || |SZ= }} mit einem Polynom {{math|term= f |SZ=}} ohne mehrfache Nullstelle und der durch {{math|term= Z |SZ=}} gegebenen Projektion nach {{math|term= {{CC|}} |SZ=,}} siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Endliche Abbildung/Verzweigung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Von der projektiven Geometrie her ist es ein naheliegender Ansatz, die Gleichung mit Hilfe einer neuen Variablen {{math|term= U |SZ=}} zu homogenisieren und dann das projekive Nullstellengebilde in {{mathl|term= {{op:Projektive Ebene| {{CC|}} |}} |SZ=}} zu betrachten. Wenn {{math|term= f |SZ=}} den Grad {{math|term= 3 |SZ=}} besitzt und in der Form {{mathl|term= Z^3+rZ^2+sZ+t |SZ=}} vorliegt, so ist die Homogenisierung gleich {{mathl|term= W^2U-Z^3-rZ^2U-sZU^2-tU^3 |SZ=}} und dies definiert eine glatte Kurve, also eine riemannsche Fläche. Dabei kommt ein neuer Punkt hinzu. Wenn aber {{math|term= f |SZ=}} größeren Grad besitzt, so wird die Homogenisierung im allgemeinen singuläre Punkte besitzen, also keine Beschreibung einer riemannschen Fläche sein. Der folgende Fortsetzungssatz besagt, dass es in einer solchen Situation stets eine sinnvolle Fortsetzung als riemannsche Fläche gibt. Dabei wird keine Aussage über Beschreibungen mit Hilfe von Gleichungen gemacht. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt|Satz|| || }} In der Situation eines {{ Definitionslink |Nullstellengebildes| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} zu einem Polynom über {{math|term= X |SZ=}} kann man {{ Zusatz/Klammer |text=aufgrund von {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Normiertes Polynom/Unverzweigtes Nullstellengebilde/Holomorphe zweite Projektion/Fakt |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Endliche holomorphe Abbildung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ= }} stets auf das {{ Definitionslink |unverzweigte Nullstellengebilde| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} anwenden. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Definition|| }} Hyperelliptische riemannsche Flächen sind kompakt. Sie sind insofern einfach, dass sie eine endliche holomorphe Abbildung von der Blätterzahl {{math|term= 2 |SZ=}} auf die projektive Gerade besitzen, ansonsten können sie beliebig kompliziert sind, beispielsweise gibt es zu jedem Geschlecht {{math|term= \geq 2 |SZ=}} hyperelliptsche Flächen. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt|Lemma|| || }} Man beachte, dass die homogene Gleichung {{ Relationskette/display | W^2U^{k-2} || \tilde{f}(Z,U) || || || |SZ= }} keine Beschreibung der hyperelliptischen Kurve ist. Das durch diese Gleichung in der projektiven Ebene beschriebene Nullstellengebilde besitzt Singularitäten, die durch den in {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ= }} beschriebenen Prozess eliminiert werden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der endlichen holomorphen Abbildungen zwischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2fixpj9cd1vc4edmmxb0cjiyszc0by3 0 138744 1092576 984144 2026-06-01T14:09:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092576 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu {{ Relationskette | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | Y || \bigcup_{j \in J} V_j || || || |SZ= }} bilden die {{mathl|term= U_i \times V_j |SZ=}} eine offene Überdeckung von {{mathl|term= X \times Y |SZ=.}} Für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in {{math|term= {{KRC|}} |SZ=}} ist unter gewissen Raumbedingungen {{ Relationskette/display | \Gamma(U \times V, {{KRC}}) || \Gamma(U , {{KRC}}) {{tensor}} \Gamma(V, {{KRC}}) || || || |SZ=, }} da die {{ Zusatz/Klammer |text=endlich vielen| |ISZ=|ESZ= }} Zusammenhangskomponenten des Produktes die Produkte der Zusammenhangskomponenten sind. Kokettenkomplexe {{ mathkor|term1= (D,d) |und|term2= (E,e) |SZ=. }} {{ Relationskette/display | C^r || \bigoplus_{p+q {{=}} r} D^p {{tensor}} E^q || || || |SZ= }} mit {{ Abbildung/display |name=c_{r+1} |C^r|C^{r+1} || |SZ= }} auf einem Summanden durch {{ Abbildung/display |name= | D^p {{tensor}} E^q| D^{p+1} {{tensor}} E^{q} \oplus D^p {{tensor}} E^{q+1} | \alpha {{tensor}} \beta | d(\alpha) {{tensor}} \beta \pm \alpha {{tensor}} e( \beta ) |SZ= }} Zu {{mathl|term= \Gamma(U_{i_0 \ldots i_p}, {{KRC|}} ) |SZ=}} Cech-Komplex und Tensorprodukt der Cech-Komplexe. {{math|term= C^0 |SZ=}} {{ Relationskette/align | {{makl| \bigoplus_i \Gamma(U_i, {{KRC|}} |}} {{tensor}} {{makl| \bigoplus_j \Gamma(V_j, {{KRC|}} |}} || \bigoplus_{(i,j)} \Gamma( U_i, {{KRC|}} ) {{tensor}} \Gamma(V_j, {{KRC|}} ) || \bigoplus_{(i,j)} \Gamma( U_i \times V_j, {{KRC|}} ) || || |SZ=. }} {{mathl|term= C^1 |SZ=}} ist {{mathl|term= D^0 {{tensor}} E^1 \oplus D^1 {{tensor}} E^0 |SZ=}} also {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| \bigoplus_{i \in I} \Gamma(U_i, {{KRC}} ) {{tensor}} \bigoplus_{j_0, j_1 } \Gamma(V_{j_0} \cap V_{j_1} , {{KRC}} ) |}} \oplus {{makl| \bigoplus_{i_0, i_1} \Gamma(U_{i_1} \cap U_{i_1} , {{KRC}} ) {{tensor}} \bigoplus_{j } \Gamma(V_{j} , {{KRC}} ) |}} || {{makl| \bigoplus_{i, j_0,j_1} \Gamma(U_i, {{KRC|}} ) {{tensor|}} \Gamma (V_{j_0} \cap V_{j_1} , {{KRC|}} ) |}} \oplus {{makl| \bigoplus_{i_0, i_1,j} \Gamma(U_{i_1} \cap U_{i_1} , {{KRC}} ) {{tensor}} \Gamma(V_{j} , {{KRC}} ) |}} || {{makl| \bigoplus_{i, j_0,j_1} \Gamma(U_i \times V_{j_0} \cap V_{j_1} , {{KRC|}} ) |}} \oplus {{makl| \bigoplus_{i_0, i_1,j} \Gamma( U_{i_1} \cap U_{i_1} \times V_{j} , {{KRC}} ) |}} || || || |SZ=. }} Dies enthält die Durchschnitte von {{ mathkor|term1= U_i \times V_{j_0} |und|term2= U_i \times V_{j_1} |SZ= }} und die Durchschnitte von {{ mathkor|term1= U_{i_0} \times V_{j} |und|term2= U_{i_1} \times V_{j} |SZ=. }} Es fehlen aber die Zweierdurchschnitte von {{ mathkor|term1= U_{i_0} \times V_{j_0} ||term2= U_{i_1} \times V_{j_1} |SZ=. }} Diese kann man als Dreierdurchschnitte {{ Math/display|term= U_{i_0} \times V_{j_0} \cap U_{i_0} \times V_{j_1} \cap U_{i_1} \times V_{j_1} |SZ= }} erhalten. Überdeckung {{math|term= U_i |SZ=}} von {{math|term= X |SZ=,}} zu {{ Relationskette/display | A |\subseteq|I || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette | U_A || \bigcap_{i \in A} U_i || || || |SZ=. }} Der entsprechende Schnitt sei {{math|term= s_A |SZ=.}} Die Kohomologieklassen {{ Relationskette | c |\in| H^p(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | d |\in| H^q(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} seien zur gleichen Überdeckung durch die Familie {{math|term= s_A |SZ=}} bzw. {{math|term= t_B |SZ=}} gegeben. Man muss {{mathl|term= c \wedge d |SZ=}} definieren, also einen Kozyklel festlegen. D.h. für {{ Relationskette/display | C |\subseteq| I || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= p+q+1 |SZ=}} Elementen muss man {{mathl|term= {{makl| c \wedge d |}}_C |SZ=}} festlegen. Es sei {{ Relationskette | i_0 |\in|C || || || |SZ= }} das minimale Element in der induzierten Ordnung auf {{math|term= I |SZ=.}} Dann setzt man {{ Relationskette/display | {{makl| c \wedge d |}}_C | {{defeq|}} | \sum_{A \subseteq C \setminus \{i_0 \} , \, \, {{op:Anzahl|A|}} {{=}} q} \pm s_{ A \cup \{i_0\} } \cdot t_{C \setminus A} || || || |SZ=. }} Das Vorzeichen hängt davon ab, ob {{math|term= A |SZ=}} das zweitkleinste Element enthält oder nicht? Es wird also summiert über fast-disjunkte Zerlegungen von {{math|term= C |SZ=,}} wo das kleinste Element zu beiden Mengen gehört. Alternative Darstellung {{ Math/display|term= \sum_{A \cup B {{=}} C,\, A \cap B {{=}} \{ c_0 \} } \pm s_{ A } \cdot t_{B} |SZ=. }} Die Elemente muss man über {{math|term= U_C |SZ=}} auffassen, man braucht einen kommutativen Ring. {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Lokal konstante Funktionen/Dreierüberdeckung/Produkt auf H^1/Beispiel|| }} {{Kurze exakte Sequenz/display| {{KRC|}} | {{op:Garbe|E|}} | {{op:Garbe|Z|}}_1 |SZ=.}} Sei {{ Relationskette | s_{ij} || g_i-g_j || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | t_{ij} || h_i-h_j || || || |SZ= }} mit glatten Funktionen. Dann ist die geschlossene Differentialform {{math|term= \alpha |SZ=,}} die lokal als {{math|term= dg_i |SZ=}} beschrieben wird, ein Urbild von {{math|term= c |SZ=.}} Es ist {{ Relationskette | \alpha \wedge \beta |\in| H^2_{dR} (X) || || || |SZ=. }} Dies wird lokal durch {{mathl|term= dg_i \wedge dh_i |SZ=}} repräsentiert. {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Garbe|Z|}}_1 | {{op:Garbe|E|}}_1 | {{op:Garbe|Z|}}_2 |SZ=.}} Hier ist {{ Relationskette/align | H^2_{dR} (X) || H^0(X, {{op:Garbe|Z|}}_2 )/Exakte 2-Formen || H^1(X, {{op:Garbe|Z|}}_1 ) || H^2(X, {{KRC|}} ) || || |SZ= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Garbe der lokal konstanten Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=unfertig |pdf= }} m7m4xc1y2x0g7cd336cgjlqmkztgf3l 0 138793 1092347 982924 2026-06-01T13:31:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092347 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{imaginäre Einheit|}} |SZ=. }} Entsprechend kann man eine auf einer {{ Zusatz/Klammer |text=zumeist offenen| |ISZ=|ESZ= }} Teilmenge {{ Relationskette | G |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} definerte Funktion {{ Abbildung |name=f | G | {{CC|}} || |SZ= }} auch als eine Abbildung {{ Abbildung |name= |G| \R^2 || |SZ= }} auffassen und die komplexe Differenzierbarkeit in der einen Variablen {{math|term= z |SZ=}} mit der reellen partiellen Differenzierbarkeit der beiden Komponentenfunktionen bezüglich den reellen Koordinaten {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} in Beziehung setzen. Die Bedingungen in der folgenden Aussage heißen die {{Stichwort|Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt|Satz|| || }} Bei einer reell differenzierbaren Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | {{CC|}} | {{CC|}} || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | P |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} eine reell-lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential|f|P}} | {{CC|}} | {{CC|}} || |SZ=. }} Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{imaginäre Einheit|}} |SZ= }} beschrieben. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer {{ Definitionslink |komplex-antilinearen| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit setzt man daher {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|f|z}} | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|f|x}} - {{op:Bruch| {{imaginäre Einheit|}} |2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|f|y}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|f| {{op:Komplexe Konjugation|z|}} }} | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|f|x}} + {{op:Bruch| {{imaginäre Einheit|}} |2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|f|y}} || || || |SZ=. }} Es gilt dann umgekehrt {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|f|x|}} || {{op:Partielle Ableitung|f|z|}} + {{op:Partielle Ableitung|f| {{op:Komplexe Konjugation|z|}}| }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|f|y|}} || {{imaginäre Einheit|}} {{makl| {{op:Partielle Ableitung|f|z|}} - {{op:Partielle Ableitung|f| {{op:Komplexe Konjugation|z|}}| }} |}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Ableitung und antiholomorphe Ableitung/Fakt|Korollar|| || }} Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion {{ Relationskette | f || g+ {{imaginäre Einheit|}} h || || || |SZ= }} zerlegt, so ist {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Totales Differential|f|P}} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x|P}} | {{op:Partielle Ableitung|f|y|P}} }} || {{op:Matrix22| {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} | {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{op:Matrix22| {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} | - {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} - {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} |}} + {{op:Bruch|1|2}} {{op:Matrix22| {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} - {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | - {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} |}} }} die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist {{math|term= f |SZ=}} genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der antiholomorphen Ableitung (C) |Kategorie3=Theorie der holomorphen Ableitung (C) |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hj1evwj7tlbg3bk0acddp52l9mxk535 0 139066 1092296 982512 2026-06-01T13:23:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092296 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Holomorphe Funktion/C/Lokale Beschreibung/Fakt|Satz|| || }} Man kann also sagen, dass nach einem biholomorphen Koordinatenwechsel lokal jede holomorphe Abbildung {{math|term= \neq 0 |SZ=}} eine Potenzierung ist. Diese lokale Beschreibung der Funktion nennen wir ihre {{Stichwort|lokale Normalform|msw=Lokale Normalform (holomorphe Funktion) |SZ=,}} und das {{math|term= k |SZ=}} nennen wir den {{Stichwort|lokalen Exponenten|msw=Lokaler Exponent|SZ=}} der Funktion im Punkt {{math|term= P |SZ=.}} Man spricht, je nach Kontext, auch vom {{Stichwort|Verzweigungsindex|SZ=}} oder von der {{Stichwort|Ordnung|msw=Nullstellenordnung|SZ=.}} Wenn die Ableitung {{ Relationskette | f'(P) |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist, so kann man den Satz über die lokale Umkehrabbildung anwenden und in einem solchen Punkt ist {{ Relationskette | k || 1 || || || |SZ=, }} dies ist der Standardfall. Nur für die Punkte einer diskreten Teilmenge kann {{ Relationskette | k |\geq| 2 || || || |SZ= }} sein, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Holomorphe Funktion/1/Lokaler Exponent/Größer 1/Diskret/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der lokalen Normalform einer holomorphen Funktion (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} s85czkhqalxaeafjvnuaso8wobxbok0 0 139317 1092723 1022487 2026-06-01T14:40:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1092723 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Häufungspunkt| |msw= |SZ= }} einer Folge {{math|term= {{Folge| x |}} |SZ=}} einem metrischen Raum {{math|term= M |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 635hslf1g1j1o8y9f1bldxdgb4ap5x4 0 139665 1092477 983670 2026-06-01T13:53:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092477 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Prägarbe/Definition|| }} Die Abbildungen {{math|term= \rho_{V,U} |SZ=}} heißen dabei {{Stichwort|Restriktionsabbildungen|msw=Restriktionsabbildung|SZ=.}} Die Mengen {{math|term= {{op:Prägarbe|F|U}} |SZ=}} nennt man auch die Auswertung der Prägarbe an der offenen Menge {{math|term= U |SZ=.}} Statt {{math|term= {{op:Prägarbe|F|U}} |SZ=}} schreib mat auch {{mathl|term= {{op:Schnitte|U|{{op:Prägarbe|F}} }} |SZ=.}} Grundbeispiele für Prägarben {{ Zusatz/Klammer |text=und Garben| |ISZ=|ESZ= }} sind die folgenden Konstruktionen. {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Werteraum/Prägarbe der stetigen Funktionen/Beispiel|| }} Ein Spezialfall hiervon wird im folgenden Beispiel formuliert, in dem eine zusätzliche Struktur, nämlich ein {{Stichwort|beringter Raum|SZ=}} vorliegt. {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Prägarbe der stetigen Funktionen/Beispiel|| }} Ebenso kann man die stetigen {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}wertigen Funktionen oder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die differenzierbaren Funktionen oder auf einer komplexen Mannigfaltigkeit die holomorphen Funktionen betrachten. {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Konstante Prägarbe/Beispiel|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputbeispiel |Stetige Abbildung/Prägarbe der stetigen Schnitte/Beispiel|| }} Aufgrund dieses wichtigen Beispiels nennt man ein Element {{ Relationskette |s |\in| {{op:Prägarbe|F|U}} || || || |SZ= }} auch einen {{Stichwort|Schnitt|SZ=}} der Prägarbe {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}} über {{math|term= U |SZ=.}} Für die Einschränkung eines Schnittes auf eine kleinere offene Menge {{ Relationskette |V |\subseteq|U || || || |SZ= }} schreibt man auch suggestiver {{ Relationskette/display | s {{|}}_V || \rho_{U,V} (s) || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Riemannsche Fläche/Überlagerung/Schnitte/Prägarbe/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Prägarbe/Unterprägarbe/Definition|| }} Da holomorphe Funktionen auf einer riemannschen Fläche insbesondere stetig sind, bildet die Prägarbe der holomorphen Funktionen eine Untergarbe der Prägarbe der beliebig oft reell-differenzierbaren {{math|term= {{CC}} |SZ=-}}wertigen Funktionen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} cc64i36u8cb15ysck6r9903lnlszxzk 0 139680 1092478 1009554 2026-06-01T13:53:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092478 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine grundlegende Idee von Prägarben und Garben ist, lokale und globale Eigenschaften von geometrischen Objekten sinnvoll zu trennen und ihr Wechselspiel zu verstehen. Eine lokale Eigenschaft ist beispielsweise eine, die auf {{Anführung|kleinen|}} offenen Mengen gilt. Oft möchte man aber kleine offene Mengen durch noch kleinere offene Mengen ersetzen, insbesondere, um das Verhalten in einer beliebig kleinen Umgebung eines Punktes verstehen zu können. Dafür führen wir die folgenden Konzepte ein. {{ inputdefinition |Prägarbe/Punkt/Halm/Definition|| }} Der Kolimes bedeutet hier einfach {{ Relationskette/display | {{op:Kolimes}}_{P \in U } {{op:Schnitte|U|{{op:Prägarbe|F|}}|}} || \biguplus_{P \in U} {{op:Schnitte|U|{{op:Prägarbe|F|}}|}} / \sim || || || |SZ=. }} Dabei ist {{math|term= \sim |SZ=}} auf der disjunkten Vereinigung aller Schnitte zu irgendwelchen offenen Umgebungen von {{math|term= P |SZ=}} diejenige Äquivalenzrelation, bei der {{ mathkor|term1= (U,s) |und|term2= (V,t) |SZ= }} zueinander in Relation stehen, wenn es eine offene Umgebung {{ Relationskette | P |\in| W |\subseteq| U \cap V || || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette/display | s {{|}}_W || t {{|}}_V || || || |SZ= }} ist. Insbesondere gibt es zu jedem Schnitt {{ Relationskette | s |\in| {{op:Prägarbe|F|}} (U) || || || |SZ= }} und jedem Punkt {{ Relationskette | P |\in| U || || || |SZ= }} ein eindeutig definiertes Element {{ Relationskette | s_P |\in| {{op:Prägarbe|F|}}_P || || || |SZ=, }} das der {{Stichwort|Keim|SZ=}} von {{math|term= s |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} heißt. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Prägarbe|F|}} (U) | {{op:Prägarbe|F|}}_P |s|s_P |SZ=, }} heißt {{Stichwort|Restriktionsabbildung|SZ=}} und wird mit {{mathl|term= \rho_{U,P} |SZ=}} bezeichnet. Zu {{ Relationskette |P |\in|V |\subseteq|U || || |SZ= }} kommutiert das Diagramm {{ Kommutatives Dreieck/ru | {{op:Prägarbe|F|}} (U) | {{op:Prägarbe|F|}} (V) | {{op:Prägarbe|F|}}_P |abb12= \rho_{U,V} |abb13= \rho_{U,P} |abb23= \rho_{V,P} |SZ=. }} Wenn {{math|term= {{op:Prägarbe|F|}} |SZ=}} eine Prägarbe von Gruppen oder von Ringen ist, so übertragen sich diese Strukturen auf die Halme, diese sind also wieder Gruppen bzw. Ringe. Für die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche kann man die Halme einfach bestimmen. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Holomorphe Funktionen/Prägarbe/Halm/Konvergente Potenzreihen/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Prägarben |Kategorie2=Theorie der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} as3x87k7h3z4govlb3pbycpzac1m8ij 0 139724 1092250 902364 2026-06-01T13:16:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092250 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Garben/Gruppen/Homomorphismus/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Topologische Gruppen/Homomorphismus/Garbenversion/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Garbe/Gruppen/Homomorphismus/Kerngarbe/Definition|| }} Es handelt sich dabei genauer um eine Untergarbe von kommutativen Gruppen, d.h. für jede offene Teilmenge liegt eine Untergruppe von {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} vor, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Garben von Gruppen/Homomorphismus/Kern/Garbe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ourdaud5c3qcv2qg8yxo7hkhkwq92sx 0 139727 1092523 983896 2026-06-01T14:01:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092523 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer Untergarbe {{ Relationskette | {{op:Garbe|F|}} |\subseteq| {{op:Garbe|G|}} || || || |SZ= }} von {{ Definitionslink |Garben von kommutativen Gruppen| |Kontext=| |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |topologischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} hätte man gerne eine Quotientengarbe {{mathl|term= {{op:Garbe|G|}} / {{op:Garbe|F|}} |SZ=,}} wie es zu einer Untergruppe einer kommutativen Gruppe eine wohldefinierte Restklassengruppe gibt. Die naheliegende Idee, zu jeder offenen Teilmenge {{ Relationskette | U |\subseteq| X || || || |SZ= }} die Restklassengruppe {{mathl|term= {{op:Garbe|G|U}} / {{op:Garbe|F|U}} |SZ=}} zu betrachten, stößt auf dass Problem, dass diese Konstruktion zwar eine Prägarbe, aber keine Garbe ist. Dieses Problem bekommt man durch das Konzept der {{ Definitionslink |Vergarbung| |Kontext=| |SZ= }} in den Griff. Die Vergarbung ist ein Konstruktionsprozess, der jeder Prägarbe eine Garbe zuordnet, wobei die Halme in jedem Punkt übereinstimmen. Diese Eigenschaft ist wichtiger als die genaue Konstruktion der Vergarbung. {{ inputdefinition |Garbe/Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Definition|| }} Die Quotientengarbe wird mit {{math|term= {{op:Garbe|G|}}/ {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} bezeichnet. Da vergarbt wird, muss nicht unbedingt {{ Relationskette | {{makl| {{op:Garbe|G|}}/ {{op:Garbe|F|}} |}} (U) || {{op:Garbe|G|U}}/ {{op:Garbe|F|U}} || || || |SZ= }} gelten. Es gilt aber {{ Relationskette | {{makl| {{op:Garbe|G|}}/ {{op:Garbe|F|}} |}}_P || {{op:Garbe|G|}}_P/ {{op:Garbe|F|}}_P || || || |SZ= }} für jeden Punkt {{ Relationskette |P |\in|X || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Garben von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Halm/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Garbe von Gruppen/Untergarbe/Quotientengarbe/Explizite Beschreibung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Beispiel zu Quotient/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Quotientengarben |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 644l19qxzk4p69eedreo11yt6sfxg0f 0 139773 1092529 983916 2026-06-01T14:02:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092529 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{mathl|term= F,G,H |SZ=}} {{ Definitionslink |kommutative Gruppen| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{ Math/display|term= F \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} G \stackrel{\beta}{\longrightarrow} H |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismen| |Kontext=| |SZ=. }} Man sagt, dass ein Komplex vorliegt, wenn {{ Relationskette/display | {{op:Bild|\alpha|}} |\subseteq| {{op:Kern|\beta|}} || || || |SZ= }} gilt, was zu {{ Relationskette | \beta \circ \alpha || 0 || || || |SZ= }} äquivalent ist. Man sagt, dass der Komplex exakt ist, wenn {{ Relationskette/display | {{op:Bild|\alpha|}} || {{op:Kern|\beta|}} || || || |SZ= }} gilt. Dieses Konzept überträgt man auf Garben von kommutativen Gruppen auf einem topologischen Raum {{math|term= X |SZ=,}} indem man die Bedingungen halmweise interpretiert {{ Zusatz/Klammer |text= siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Prägarbe/Homomorphismus/Halm/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Man sagt also, dass die Garbenhomomorphismen {{ Math/display|term= {{op:Garbe|F|}} \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} {{op:Garbe|G|}} \stackrel{\beta}{\longrightarrow} {{op:Garbe|H|}} |SZ= }} einen Komplex bilden, wenn für jeden Punkt {{ Relationskette | P |\in| X || || || |SZ= }} die Halmabbildungen {{ Math/display|term= {{op:Garbe|F|}}_P \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} {{op:Garbe|G|}}_P \stackrel{\beta}{\longrightarrow} {{op:Garbe|H|}}_P |SZ= }} einen Komplex von Gruppen bilden, und man nennt den Garbenkomplex exakt, wenn der Halmkomplex für jeden Punkt exakt ist. {{ inputdefinition |Garbe/Gruppen/Kurze exakte Sequenz/Definition|| }} Hierbei ist insbesondere die vordere Abbildung injektiv und die hintere Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=Garben| |ISZ=|ESZ=- }}surjektiv. Es ist {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Kern| |Kontext=Garbe| |SZ= }} des Garbenhomomorphismus {{ Abbildung |name= | {{op:Garbe|G|}}| {{op:Garbe|H|}} || |SZ= }} und {{math|term= {{op:Garbe|H|}} |SZ=}} ist die {{ Definitionslink |Quotientengarbe| |Kontext=| |SZ= }} zur Untergarbe {{ Relationskette | {{op:Garbe|F|}} |\subseteq| {{op:Garbe|G|}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Topologischer Raum/Komplexe Exponentialsequenz/Stetig/Beispiel|| }} Für die holomorphe Version der vorstehenden Aussage siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Beispiel zu Quotient/Beispiel |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Punktierte komplexe Zahlen/Potenzüberlagerung/Garbenversion/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Garbe/Kommutative Gruppen/Komplex/Globale Auswertung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Garbe/Kommutative Gruppen/Linksexakt/Fakt|Lemma|| || }} Auch bei einer kurzen exakten Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/display|{{op:Garbe|F|}}| {{op:Garbe|G|}} | {{op:Garbe|H|}} |SZ=,}} ist im zugehörigen globalen Komplex {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|F|}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|G|}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|H|}} }} |SZ= }} die hintere Abbildung im Allgemeinen nicht surjektiv. Dieses Phänomen wird im Rahmen der Kohomologie verstanden und produktiv verwertet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der exakten Garbenkomplexe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3aosj976hjncum8lwxiywwobkfwf2k5 0 140157 1092342 1019168 2026-06-01T13:31:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092342 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir setzen {{ Relationskette/display | E^{(1)} || \biguplus_{P \in M} {{op:Homomorphismen|T_PM| {{CC|}}|Ring=\R }} || || || |SZ=, }} dies ist ein reelles Vektorbündel über {{math|term= M |SZ=}} vom Rang {{math|term= 4n|SZ=,}} wenn {{math|term= n |SZ=}} die komplexe Dimension von {{math|term= M |SZ=}} bezeichnet. Lokal besitzt es eine Darstellung der Form {{mathl|term= U \times {{op:Homomorphismen| {{CC|}}^n | {{CC|}}|Ring=\R }} |SZ=}} für ein Kartengebiet {{math|term= U |SZ=.}} Daher ist auch klar, was man unter einem stetigen oder einem differenzierbaren Schnitt in diesem Bündel versteht. Das Bündel besitzt ferner eine Zerlegung {{ Relationskette/display | E^{(1)} || T^*M \oplus {{op:Komplexe Konjugation|T|}}^*M || || || |SZ= }} in das holomorphe und das antiholomorphe Kotangentialbündel, das analog zum holomorphen Kotangentialbündel definiert wird. {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/Definition|| }} Die Menge aller differenzierbaren 1-Formen auf {{math|term= M |SZ=}} wird mit {{math|term= {{op:Garbe|E|}}^{(1)} (M) |SZ=}} bezeichnet. {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/(1,0)/Definition|| }} Insbesondere ist eine holomorphe Differentialform eine {{math|term= (1,0) |SZ=-}}Form. Wenn {{math|term= \omega |SZ=}} eine holomorphe Differentialform ist und {{math|term= f |SZ=}} eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion, so ist {{math|term= f \omega |SZ=}} eine {{math|term= (1,0) |SZ=-}}Form, aber nur bei {{math|term= f |SZ=}} holomorph selbst wieder eine holomorphe Differentialform. {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/C-wertig/(0,1)/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Differenzierbare 1-Formen/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Garben/Fakt|Lemma|| || }} Die Garbe der holomorphen Differentialformen {{math|term= \Omega_X |SZ=}} ist eine Untergarbe der Garbe der {{math|term= (1,0) |SZ=-}}Formen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Zerlegung/Fakt|Lemma|| || }} Die Funktionen {{ Relationskette | f |\in| {{op:Garbe|E|M}} || || || |SZ= }} sind unendlich oft differenzierbar, was eine lokale Eigenschaft ist, es gibt aber keine Ableitungsfunktion auf {{math|term= M |SZ=.}} Stattdessen ist die Ableitung eine differenzierbare {{math|term= 1 |SZ=-}}Form, nämlich {{math|term= df |SZ=,}} also für jeden Punkt {{ Relationskette | P |\in| M || || || |SZ= }} die {{math|term= \R |SZ=-}}lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name=d_Pf |T_PM|{{CC}} || |SZ=. }} So erhält man eine Gesamtableitung {{ Abbildung/display |name=d | {{op:Garbe|E|M}} |{{op:Garbe|E^{(1)}|M}} |f| df |SZ=, }} bzw. die Garbenversion davon auf jeder offenen Menge. Mit der in {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Mannigfaltigkeit/1-Form/Differenzierbar/Zerlegung/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigten Zerlegung {{ Relationskette | {{op:Garbe|E|}}^{(1)} || {{op:Garbe|E|}}^{(1,0)} \oplus {{op:Garbe|E|}}^{(0,1)} || || || |SZ= }} erhält man auch die holomorphe Ableitung {{ Abbildung/display |name=d^h | {{op:Garbe|E|M}} |{{op:Garbe|E^{(1,0)}|M}} |f| d^hf |SZ=, }} und die antiholomorphe Ableitung {{ Abbildung/display |name=d^a | {{op:Garbe|E|M}} |{{op:Garbe|E^{(0,1)}|M}} |f| d^af |SZ=. }} Lokal kann man diese Abbildungen folgendermaßen beschreiben. Für eine offene Teilmenge {{ Relationskette | U |\subseteq| {{CC|}}^n || || || |SZ= }} mit den komplexen Koordinatenfunktionen {{ Relationskette/display | z_j || x_j +y_j {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} mit den reellwertigen Koordinatenfunktionen {{math|term= x_j,y_j |SZ=}} und eine reell-differenzierbare komplexwertige Funktion {{math|term= f |SZ=}} setzt man daher {{{zusatz1|}}} {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|f|z_j}} | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|f|x_j}} - {{op:Bruch| {{imaginäre Einheit|}} |2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|f|y_j}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|f| {{op:Komplexe Konjugation|z_j |}} }} | {{defeq|}} | {{op:Bruch|1|2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|f|x_j}} + {{op:Bruch| {{imaginäre Einheit|}} |2}} \cdot {{op:Partielle Ableitung|f|y_j}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Funktion/Ableitungsform/Zerlegung/Lokale Beschreibung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der 1-Formen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hmu99btnar6684z898ei97zvr1eiu4m 0 140160 1092343 982894 2026-06-01T13:31:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092343 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der Tangentialraum {{math|term= T_PM |SZ=}} einer komplexen Mannigfaltigkeit {{math|term= M |SZ=}} in einem Punkt {{ Relationskette |P |\in| M || || || |SZ= }} ist einfach der reelle Tangentialraum der zugrundeliegenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit, allerdings mit einer komplexen Vektorraumstruktur, die unmittelbar von der komplexen Mannigfaltigkeitsstruktur herrührt, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Mannigfaltigkeit/Holomorphe Kurven/Tangentialraum/Reell/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Tangentialabbildung zu einer holomorphen Abbildung {{ Abbildung |name=\varphi | M| N || |SZ= }} führt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Komplexe Mannigfaltigkeiten/Holomorphe Abbildung/Tangential äquivalent/Fakt |Nr= |SZ= }} und insbesondere {{ Faktlink |Faktseitenname= Tangentialabbildung/C/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |linearen Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= T_P(\varphi) | T_PM | T_{\varphi(P)}N || |SZ=. }} Eine {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |SZ= }} {{ Abbildung |name=\varphi |M|N || |SZ= }} führt zu einer {{math|term= \R |SZ=-}}linearen Abbildung {{ Abbildung/display |name= T_P(\varphi) | T_PM | T_{\varphi(P)}N || |SZ=. }} Diese Abbildung respektiert nur die reelle, aber nicht die komplexe Struktur auf den beiden komplexen Vektorräumen. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt |Nr= |SZ= }} besitzt aber jede reelle lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen eine eindeutige Summenzerlegung in eine {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}lineare und eine {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |antilineare| |SZ= }} Abbildung. {{ inputfaktbeweis |Komplexe Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Holomorphe Zerlegung/Fakt|Lemma|| || }} Wir schreiben {{ Relationskette/display | T_P(\varphi) || T_P^h(\varphi) + T_P^a(\varphi) || || || |SZ= }} und nennen {{math|term= T_P^h(\varphi) |SZ=}} die holomorphe Tangentialabbildung und {{math|term= T_P^a(\varphi) |SZ=}} die antiholomorphe Tangentialabbildung. Es ist keineswegs so, dass eine differenzierbare Abbildung {{ Zusatz/Klammer |text=sagen wir nach {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine Zerlegung in eine holomorphe und eine antiholomorphe Funktion besitzt, dies gilt nur auf der Ebene der Linearisierungen. Wir wollen diese Zerlegung auf reell-differenzierbare Funktionen von {{math|term= M |SZ=}} nach {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} genauer studieren. Eine reell-differenzierbare Funktion {{ Abbildung |name=f |M| {{CC|}} || |SZ= }} auf einer komplexen Mannigfaltigkeit {{math|term= M |SZ=}} definiert für jeden Punkt {{ Relationskette |P |\in|M || || || |SZ= }} eine {{math|term= \R|SZ=-}}lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= d_Pf | T_PM| T_{f(P)} {{CC}} \cong {{CC|}} || |SZ=. }} Diese Abbildung ist weder ein Element des komplexen Kotangentialraumes, da sie nicht {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}linear ist, noch ein Element des reellen Kotangentialraumes, da die Zielmenge {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} und nicht {{math|term= \R |SZ=}} ist. Es gibt aber eine kanonische Zerlegung {{ Relationskette/display | d_Pf || d_P^hf+d_P^af || || || |SZ= }} in eine {{ Definitionslink |Prämath= {{CC|}} |Linearform| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= d_P^hf |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=die ein Element des komplexen Kotangentialraumes ist| |ISZ=|ESZ= }} und eine {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}antilineare Form {{math|term= d_P^af |SZ=.}} Diese Zerlegung erfasst man mit der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Komplexe Mannigfaltigkeit/Antiholomorpher Kotangentialraum/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:Homomorphismen| T_PM| {{CC|}} |Ring=\R}} || {{op:Homomorphismen|T_PM| {{CC|}} |Ring= {{CC|}} }} \oplus {{op:Homomorphismen|T_PM| {{CC|}} |Ring= {{op:Komplexe Konjugation|{{CC|}}||}} }} || {{op:Holomorpher Kotangentialraum|M|P}} \oplus {{op:Antiholomorpher Kotangentialraum|M|P}} || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Kotangentialraumes einer komplexen Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 33wngpjsgcn77fsdls24s4g4s2ljl4j 0 140318 1092154 981256 2026-06-01T13:00:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092154 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die folgenden Objekte formulieren wir allgemein für einen beringten Raum, man kann sich aber stets darunter eine riemannsche Fläche mit der Garbe der holomorphen Funktionen vorstellen. {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modul/Definition|| }} Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen {{ Relationskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} das Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| {{op:Schnitte|V| {{op:Strukturgarbe|X}} }} \times {{op:Schnitte|V| {{op:Garbe|M}} }} | {{op:Schnitte|V| {{op:Garbe|M}} }}|{{op:Schnitte|U| {{op:Strukturgarbe|X}} }} \times {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|M}} }}| {{op:Schnitte|U| {{op:Garbe|M}} }}|}} kommutiert. Die Strukturgarbe {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=}} ist insbesondere ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Modul. Ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Differentialform/Grundlegende Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} ist die Garbe der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=}} ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Modul. Ebenso ist die Garbe der meromorphen Funktionen ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Modul. Im Wesentlichen kann man sämtliche Definitionen und Konstruktionen aus der Modultheorie über einem kommutativen Ring auf Modulgarben übertragen. {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modul/Untermodul/Definition|| }} Die Strukturgarbe ist ein {{math|term= {{op:Strukturgarbe|X}} |SZ=-}}Untermodul der Garbe der meromorphen Funktionen. {{ inputdefinition |Beringter Raum/Idealgarbe/Definition|| }} {{ inputdefinition |Garbe/Modul/Homomorphismus/Definition|| }} Ein {{ Definitionslink |Prämath= {{op:Strukturgarbe|X|}} |Modulhomomorphismus| |SZ= }} ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von abelschen Gruppen. {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodul/Definition|| }} {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modulgarben/Homomorphismenmodulgarbe/Definition|| }} Es ist also {{ Relationskette/display | {{op:Homomorphismengarbe| {{op:Garbe|M|}}| {{op:Garbe|N|}} |U}} || {{op:Homomorphismen| {{op:Garbe|M|}} {{|}}_U | {{op:Garbe|N|}} {{|}}_U |}} || || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Beringter Raum/Modulgarbe/Dualer Modul/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Moduln auf einem beringten Raum |Kategorie2=Theorie der riemannschen Flächen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l794dioawgj0d3b704bkr4vrw3i68qe 0 140356 1092579 1019793 2026-06-01T14:10:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092579 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Eine strukturell befriedigendere Kohomologietheorie erfordert stärkere Hilfsmittel aus der homologischen Algebra. Über injektive Auflösungen kann man zu einer Garbe {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} von kommutativen Gruppen kohomologische Funktoren {{ mathbed|term= H^i(X, {{op:Garbe|F|}} ) ||bedterm1= i \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} definieren. Dies werden wir nicht im Einzelnen ausführen. Wichtig ist für uns, dass diese {{Anführung|wahre Kohomologie}} häufig über Čech-Kohomologie berechnet werden kann. Der folgende Satz fasst die wichtigsten Eigenschaften dieser Kohomologietheorie zusammen. {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Garbe/Kohomologie/Grundlegende Eigenschaften/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Welke Garbe/Azyklisch/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfakt |Beringter Raum/Modul/Garbenkohomologie/Modulstruktur/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Cech-Kohomologie/Abgeleitete Kohomologie/Endliche azyklische Überdeckung/Übereinstimmung/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Injektiv/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Cech-Kohomologie/Abgeleitete erste Kohomologie/Verfeinerung/Übereinstimmung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2=Garbenkohomologie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ii5h4e4jjwzp4m7fi8f8oq79f4e0q1h 0 140358 1092578 984155 2026-06-01T14:09:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092578 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Überdeckungen/Verfeinerung/Definition|| }} Es sei nun eine {{ Definitionslink |Garbe von kommutativen Gruppen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} auf {{math|term= X |SZ=}} gegeben. Eine Verfeinerung definiert einen Kokettenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Cech-Komplex|1|{\mathcal V} | {{op:Garbe|G|}} }} | {{op:Cech-Komplex|1|{\mathcal U} | {{op:Garbe|G|}} }} | s_{ \{ j_1, j_2\} } | s_{ \{ i_1, i_2 \} } |SZ=, }} wobei die Bildkokette an der Stelle {{mathl|term= \{ i_1, i_2 \} |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | s_{ \{ i_1, i_2 \} } | {{defeq|}} | s_{ \{ \alpha(i_1), \alpha(i_2) \} } {{|}}_{U_{i_1} \cap U_{i_2} } || || || |SZ= }} definiert ist {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette | \alpha(i_1) || \alpha(i_2) || || || |SZ= }} ist dies als {{math|term= 0 |SZ=}} zu interpretieren| |ISZ=|ESZ=. }} Diese Abbildung führt Kozykel in Kozykel und Koränder in Koränder über und definiert daher einen Verfeinerungshomomorphismus {{ Abbildung/display |name= |{{op:Cech-Kohomologie| 1 | {\mathfrak V} |{{op:Garbe|F|}} |}} |{{op:Cech-Kohomologie| 1 | {\mathfrak U} | {{op:Garbe|F|}} |}} || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Topologischer Raum/Überdeckungen/Verfeinerung/Erste Cech-Kohomologie/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Garbe/Erste Cech-Kohomologie/Induktiver Limes/Definition|| }} Der {{ Zusatz/Klammer |text=direkte oder induktive| |ISZ=|ESZ= }} Limes wird hier über alle Čech-Komologien zu Überdeckungen genommen, die untereinander durch die Verfeinerungshomomorphismen miteinander verbunden sind. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ne94vvre17u0uq4ju5wj1mz5szp1861 0 140435 1092684 1022035 2026-06-01T14:34:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092684 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Stichwort/Abfrage |Garbe| |msw= |SZ= }} {{math|term= {{op:Garbe| G |}} |SZ=}} auf einem topologischen Raum {{math|term= X |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5rc2lu0q9yyvvghivjj279fjxwej0x 0 140438 1092702 850069 2026-06-01T14:37:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1092702 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Jacobische Varietät| |msw= |SZ= }} zu einer zusammenhängenden kompakten riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hjvti098ccddagtk2pfswapqi1nt5sc 0 140464 1092511 1019636 2026-06-01T13:59:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092511 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Für die Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche {{math|term= X |SZ=}} haben wir die kurzen exakten Sequenzen {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Garbe|E|}} | {{op:Garbe|E|}}^{(0,1)} |abbmr= d^a }} und {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Strukturgarbe|X|}} | {{op:Garbe|M|}} | {{op:Garbe|T|}} }} {{ Zusatz/Klammer |text= siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Exakt/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Meromorphe Funktionen/Hauptteile/Exakte Sequenz/Fakt |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} kennen gelernt. Im ersten Fall werden die holomorphen Funktionen in die reell-differenzierbaren Funktionen und im zweiten Fall in die meromorphen Funktionen eingebettet. In beiden Fällen ist die globale Auswertung im Allgemeinen hinten nicht surjektiv. Diese globale Nichtsurjektivität wollen wir systematisch verstehen. Es stellt sich heraus, dass in beiden Fällen die Nichtsurjektivität durch eine einzige Gruppe gemessen wird, die nur von der Strukturgarbe abhängt, nämlich durch die sogenannte erste Kohomologiegruppe {{math|term= H^1(X, {{op:Strukturgarbe|X|}} ) |SZ=.}} Eine wesentliche Idee dazu kann man sich folgendermaßen klar machen. Es sei {{Kurze exakte Sequenz/display| {{op:Garbe|F|}} | {{op:Garbe|G|}} | {{op:Garbe|H|}} }} eine {{ Definitionslink |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Garbe| |SZ= }} von {{ Definitionslink |Garben von kommutativen Gruppen| |Kontext=| |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |topologischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=.}} Die globale Auswertung {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|F|}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|G|}} }} \longrightarrow {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|H|}} }} |SZ= }} ist exakt, wobei die hintere Abbildung im Allgemeinen nicht surjektiv ist. Es sei {{ Relationskette | t |\in| {{op:Schnitte|X| {{op:Garbe|H|}} }} || || || |SZ=. }} Aufgrund der Garbensurjektivität gibt es eine offene Überdeckung {{ Relationskette/display | X || \bigcup_{i \in I} U_i || || || |SZ= }} und Schnitte {{ Relationskette | s_i |\in | {{op:Schnitte| U_i | {{op:Garbe|H|}} }} || || || |SZ=, }} die auf {{math|term= t {{|}}_{U_i} |SZ=}} abbilden. Die Differenzen {{mathl|term= s_i {{|}}_{U_i \cap U_j} -s_j {{|}}_{U_i \cap U_j} |SZ=}} sind somit Schnitte von {{math|term= {{op:Garbe|G|}} |SZ=}} über {{math|term= U_i \cap U_j |SZ=,}} die auf {{math|term= 0 |SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Garbe|H| U_i \cap U_j}} |SZ=}} abbilden und daher zu {{mathl|term= {{op:Garbe|F| U_i \cap U_j}} |SZ=}} gehören. Wir erhalten also eine Familie {{ Relationskette | r_{ij} || s_i -s_j |\in| {{op:Garbe|F| U_i \cap U_j}} || || || |SZ=, }} die allein auf die Garbe {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=}} und auf die Zweierdurchschnitte der Überdeckung Bezug nimmt. Ferner gilt auf den Dreierdurchschnitten {{mathl|term= U_i \cap U_j \cap U_k |SZ=}} die sogenannte Kozykelbeziehung {{ Relationskette/display | r_{ij} +r_{jk} || s_i-s_j + (s_j-s_k) || s_i-s_k || r_{ik} || |SZ= }} Dabei handelt es sich um einen ersten {{ Definitionslink |Čech-Kozykel| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= {{op:Garbe|F|}} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Čech-Kohomologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hcaj1hmes4ctx6ptkrpj1bccen2e2m8 0 140659 1091999 851358 2026-06-01T12:35:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1091999 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Fakt|Lemma|| || }} Speziell hat bei {{math|term= X |SZ=}} {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=| |SZ= }} die Quotientengarbe {{math|term= {{op:Garbe|M|}}/ {{op:Garbe|L|}} |SZ=}} einen endlichen Träger. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Untergarbe/Quotientengarbe/Gradbeziehung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Kompakt/Invertierbare Garbe/Globaler Schnitt/Nichtnegativer Grad/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der invertierbaren Garben auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rem7q6knj63ssp0uo1p1q1qkb66x1z1 0 140669 1092526 983904 2026-06-01T14:01:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092526 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Definition||zusatz1={{{zusatz1|}}} }} Der Divisor {{math|term= {{op:Hauptdivisor|f|}} + D |SZ=}} ist dabei ein zu {{math|term= D |SZ=}} linear äquivalenter effektiver Divisor. Häufig betrachtet man auch {{ Relationskette | {{op:Garbe|L|}}_{D} || {{op:Strukturgarbe|X|}}(-D) || || || |SZ= }} als die zugehörige Garbe, beide Konventionen haben Vor- und Nachteile. {{ inputbeispiel |Riemannsche Fläche/Nulldivisor/Invertierbare Garbe/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Zuordnungseigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Wir haben also einen Gruppenisomorphismus zwischen der Divisorengruppe und der Gruppe der invertierbaren Untergarben der Garbe der meromorphen Funktionen. Man kann ferner zeigen, dass überhaupt jede invertierbare Garbe auf einer riemannschen Fläche sich als Untergarbe der Garbe der meromorphen Funktionen realisieren lässt. Auch die lineare Äquivalenz von Divisoren, die ja die Grundlage zur Einführung der Divisorenklassengruppe ist, spiegelt sich auf der Seite der invertierbaren Untergarben wider. {{ inputfaktbeweis |Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Negativ/Lineare Äquivalenz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Kompakt/Divisor/Invertierbare Garbe/Grad/Definition|| }} Mit dieser Festlegung haben invertierbare Garben auf einer kompakten reimannschen Fläche mit nichttrivialen globalen Schnitten einen positiven Grad. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Divisoren auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2=Theorie der invertierbaren Garben auf einer riemannschen Fläche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2mrk145rjegxpgydwi8k6uoct5pyfmo 0 140705 1092334 902419 2026-06-01T13:29:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092334 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Divisorengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abbildung/Wohldefiniert/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi-Abbildung/Fakt|Lemma|| || }} Diese Abbildung nennt man ebenfalls {{Stichwort|Abel-Jacobi-Abbildung|SZ=.}} Wir möchten zeigen, dass diese Abbildung ein Isomorphismus ist, dies ist der Inhalt des Satzes von Abel-Jacobi. Aus der Exponentialsequenz {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Beispiel zu Quotient/Beispiel |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Holomorphe Exponentialsequenz/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} erhält man eine exakte Sequenz {{ Math/display|term= 0 \longrightarrow H^1(X,\Z) \longrightarrow H^1 (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) \longrightarrow H^1(X, {{op:Einheiten| {{op:Strukturgarbe |X}} |}} ) \cong {{op:Divisorenklassengruppe|X|}} \longrightarrow H^2 (X, \Z) \longrightarrow 0 |SZ=. }} Die hintere Abbildung ist dabei die Gradabbildung und somit liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display|H^1(X,\Z) | H^1 (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) | {{op:Divisorenklassengruppe0|X|}}|| |}} vor. Über die Abel-Jacobi-Abbildung ist die Gruppe rechts mit der jacobischen Varietät verbunden. Es liegt die Situation {{Kommutatives Rechteck/25/ru |0|H^1(X,\Z) | H^1 (X, {{op:Strukturgarbe|X}} ) | {{op:Divisorenklassengruppe0|X|}}|0 | 0 | H_1(X, \Z)| {{op:Dualraum|H^0(X, \Omega_X)||}}|J|0|abb27=?|abb38=?|abb78=\int |SZ=}} vor, wobei die untere Zeile die jacobische Varietät definiert und wobei wir die vertikalen Abbildungen links und in der Mitte noch nicht festgelegt haben. {{ inputfaktbeweis |Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Kommutativität mit Serre Dualität/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Divisorenklassengruppe Grad 0/Jacobische Varietät/Abel-Jacobi/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Abel-Jacobi |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lf6jc5xh7p8qlyd2rz2j6lqn2ojgjqq 0 140753 1092518 902539 2026-06-01T14:00:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092518 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Jede kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche {{math|term= X |SZ=}} besitzt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakte riemannsche Fläche/Holomorphe Abbildung nach projektive Gerade/Fakt |Nr= |SZ= }} eine endliche holomorphe Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |X| {{op:Projektive Gerade| {{CC|}} |}} || |SZ=. }} Man kann sich fragen, was dabei der minimale Grad ist, mit dem man {{math|term= X |SZ=}} oberhalb der projektiven Geraden realisieren kann. Grad {{math|term= 1 |SZ=}} ist nur bei einem Isomorphismus möglich, also wenn {{math|term= X |SZ=}} selbst die projektive Gerade ist. Riemannsche Flächen vom Geschlecht {{math|term= 1 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also komplexe Tori bzw. elliptische Kurven| |ISZ=|ESZ= }} lassen sich durch eine endliche holomorphe Abbildung vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} realisieren, siehe etwa den Beweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakte riemannsche Fläche/Punkt/Meromorphe Funktion/Existenz/Fakt |Nr= |SZ=. }} Es gibt aber auch kompakte riemannsche Fläche von einem Geschlecht {{math|term= \geq 2 |SZ=,}} die sich mit Grad {{math|term= 2 |SZ=}} realisieren lassen. {{ inputdefinition |Riemannsche Fläche/Kompakt/Hyperelliptisch/Definition|| }} Beispiele ergeben sich aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Riemannsche Fläche/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynom ohne mehrfache Nullstelle/C/Quadratwurzel/Endliche Abbildung/Verzweigung/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/C/Hyperelliptische Gleichung/Fortsetzung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Viele Aussagen wie auch die folgende über hyperelliptische riemannsche Flächen gelten in der Regel erst recht auch für elliptische riemannsche Flächen, entscheidend ist die Existenz der Abbildung vom Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Riemannsche Fläche/Hyperelliptisch/Verzweigungsdivisor/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der hyperelliptischen riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lp07x2t5gxkofsm9isqlz0gyy2wbuo5 0 141069 1092386 983211 2026-06-01T13:38:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092386 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Definition|| }} Der Menge aller {{math|term= p |SZ=-}}integrierbaren Funktionen wird mit {{ Relationskette/display | \mathcal{L}^p(X) || \mathcal {L}^p(X, {{Mengensystem|A|}} , \mu) || || || |SZ= }} bezeichnet, es handelt sich um einen {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}Vektorraum. {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^p-Raum/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Vektorraum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Maßraum/Messbare Funktion/p-integrierbar/Norm/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Maßraum/Messbare Funktionen/p ist unendlich/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt|Lemma|| || }} Wir werden zeigen, dass die {{math|term= p |SZ=-}}Norm eine {{ Definitionslink |Halbnorm| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= {\mathcal L}^p |SZ=}} ist und daher nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Fakt |Nr= |SZ= }} auf einem geeigneten {{ Definitionslink |Restklassenraum| |Kontext=| |SZ= }} eine Norm ist. Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Höldersche Abschätzung|msw=|SZ=}} oder {{Stichwort|Höldersche Ungleichung|msw=|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Höldersche Ungleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Minkowskische Ungleichung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Maßraum/p-integrierbar/Halbnorm/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} f8gd6ukhphtm1n1a1n8zplsb5kifi0o 0 141089 1092012 983215 2026-06-01T12:37:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092012 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einem {{ Definitionslink |Maßraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= X |SZ=}} betrachten wir {{ Relationskette/display | \mathcal{N} || {{Mengebed| f:X \rightarrow {{KRC}} \text{ messbar} | f {{=|}} 0 \text{ fast überall } }} || || || |SZ=. }} Dies ist ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ=, }} der aus allen messbaren Funktionen besteht, für die die Menge {{mathl|term= {{Mengebed|x \in X|f(x) \neq 0 }} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Nullmenge| |Kontext=| |SZ= }} ist. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Maßraum/Nullmenge/Nullintegral/Fakt |Nr= |SZ= }} stimmt dieser Raum mit dem Raum aller Funktionen überein, für die die {{math|term= p |SZ=-}}Norm gleich {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Daher liegt für jede reelle Zahl {{ Relationskette | p |\geq| 1 || || || |SZ= }} die Unterraumbeziehung {{ Relationskette/display | {\mathcal N} |\subseteq| {\mathcal L}^p || || || |SZ= }} vor, und {{math|term= { \mathcal N} |SZ=}} entspricht für jeden {{math|term= {\mathcal L}^p |SZ=}} dem Untervektorraum {{math|term= {\mathcal Z} |SZ=}} aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputdefinition |Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Raum/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Natürliche Zahlen/Zählmaß/L^p-Raum/Identifizierung überflüssig/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Normierter Vektorraum/Fakt|Lemma|| || }} Wegen der Identifizierung von Funktionen, die sich nur in einer Nullmenge unterscheiden, kann man bei Funktionsklassen nicht unmittelbar von punktweiser Konvergenz sprechen. Man kann allerdings davon sprechen, dass fast überall punktweise Konvergenz vorliegt. Die folgende Aussage sichert, dass dies auch auf {{math|term= L^p(X) |SZ=}} eine wohldefinierte Eigenschaft ist. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/Fakt|Lemma|| || }} Entsprechend kann man ähnliche Sprechweisen über messbare Funktionen auf {{math|term= X |SZ=}} auf Funktionsklassen in {{math|term= L^p(X) |SZ=}} übertragen. {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenfolge/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Lebesgueraum/Funktionenreihe/Normabschätzung/Fast überall konvergent/p-Konvergenz/Fakt|Lemma|| || }} Die folgende Aussage heißt Vollständigkeitssatz von Fischer-Riesz. {{ inputfaktbeweis |Maßraum/p-integrierbar/Identifiziert/Vollständig/Fakt|Satz|| || }} Diese Aussage besagt also, dass ein Lebesgueraum ein {{ Definitionslink |Prämath= |Banachraum| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Räume von p-integrierbaren Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} h51h9km4o81wuxruazugltdc3vvovyf 0 141123 1092013 1018256 2026-06-01T12:37:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092013 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Unter den periodischen Funktionen spielen die trigonometrischen Funktionen {{ mathkor|term1= {{op:cos|x|}} |und|term2= {{op:sin|x|}} |SZ= }} bzw. die komplexe Exponentialfunktion {{math|term= e^{ {{imaginäre Einheit}} z} |SZ=}} eine besondere Rolle, die die Periode {{math|term= 2 \pi |SZ=}} haben. Neben diesen enthält man weitere periodische Funktionen, indem man das Argument {{math|term= x |SZ=}} bzw. {{math|term= z |SZ=}} durch ganzzahlige Vielfache {{math|term= nx |SZ=}} bzw. {{math|term= nz |SZ=}} ersetzt. Diese haben die kleineren Perioden {{math|term= {{op:Bruch|2 \pi|n}} |SZ=,}} aber {{math|term= 2 \pi |SZ=}} bleibt eine Periode. Im Rahmen der Fourieranalysis {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht auch von harmonischer Analysis| |ISZ=|ESZ= }} möchte man periodische Funktionen als Reihen von trigonometrischen Funktionen darstellen. Eine periodische Funktion mit Periode {{math|term= {{Periodenlänge|}} |SZ=}} ist vollständig bestimmt durch ihren Verlauf auf dem Intervall {{mathl|term= [0, {{Periodenlänge}} [ |SZ=.}} Wir arbeiten im Kontext von Hilberträumen und insbesondere in {{mathl|term= L^2([0, {{Periodenlänge}} ] ) |SZ=,}} der Übergang vom halboffenen zum abgeschlossen Intervall ist für diesen Funktionenraum unerheblich. Besonders wichtig sind die Periodenlängen {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= 2 \pi |SZ=,}} wir werden zumeist eine beliebige Periodenlänge {{math|term= {{Periodenlänge|}} |SZ=}} zulassen und dann {{ Relationskette | \omega || {{op:Bruch|2 \pi| {{Periodenlänge}} }} || || || |SZ= }} setzen. Die Funktionen {{math|term= e^{ {{op:Bruch|2 \pi|{{Periodenlänge}}}} {{imaginäre Einheit}} n t} |SZ=}} sind auf {{mathl|term= [0, {{Periodenlänge}}] |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratintegrierbar| |Kontext=| |SZ=, }} wie sofort aus der Beschränktheit folgt. Daher sichert {{ Faktlink |Faktseitenname= Maßraum/Quadratintegrierbar/Hilbertraum/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass die folgenden Definitionen sinnvoll sind. Insbesondere kann man sie auf messbare beschränkte periodische Funktionen und auf stückweise stetige Funktionen auf {{mathl|term= [0, {{Periodenlänge}}] |SZ=}} anwenden. {{ inputdefinition |Periodische Funktion/Fourierreihe/Komplexe Koeffizienten/Definition|| }} Bis auf den Vorfaktor ist dieser Koeffizient gleich dem {{ Definitionslink |Prämath=L^2 |Skalarprodukt| |Kontext=L| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Skalarprodukt|f|e^{ {{op:Bruch|2 \pi| {{Periodenlänge|}} }} n t } }} || \int_0^{{Periodenlänge}} f (t) e^{ - {{op:Bruch|2 \pi| {{Periodenlänge|}} }} n t }dt || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Periodische Funktion/Fourierreihe/Reelle Koeffizienten/Definition|| }} Nur wenn {{math|term= f |SZ=}} reellwertig ist sind die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a_n |bzw.|term2= b_n |SZ= }} reell, die Koeffizienten {{math|term= c_n |SZ=}} sind auch in diesem Fall nicht reell. {{ inputfaktbeweis |Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Trennende Algebra/Fakt|Lemma|| || }} Ausdrücke der Form {{ Relationskette/display | \sum_{n } r_n f_n || \sum_{n } {{op:Bruch|r_n |\sqrt{ {{Periodenlänge|}} }|}} e^{\omega {{imaginäre Einheit}} n z} || || || |SZ= }} zu einer endlichem Indexmenge nennt man auch {{Stichwort|trigonometrische Polynome|msw=Trigonometrisches Polynom|SZ=.}} Zumeist schreibt man sie als {{mathl|term= \sum_{n {{=}} -N }^N {{op:Bruch|r_n |\sqrt{ {{Periodenlänge|}} }|}} e^{\omega {{imaginäre Einheit}} n z} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt|Satz|| || }} Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass jede quadratintegrierbare Funktion {{ Abbildung/display |name=f |[0, {{Periodenlänge}}]| {{CC|}} || |SZ= }} eine konvergente Darstellung {{ Relationskette/display | f || \sum_{n \in \Z} {{op:Skalarprodukt|f_n | {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} } }} e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } }} {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} }}} e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } || || || |SZ= }} besitzt, die Konvergenz ist dabei im Sinne der {{math|term= L^2 |SZ=-}}Norm zu verstehen. Im Allgemeinen liegt keine punktweise Konvergenz vor. Es ist {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Skalarprodukt|f_n | {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} } }} e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } }} || \int_0^{ {{Periodenlänge}} } f (t) {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} } }} e^{ -\omega {{imaginäre Einheit}} n t } dt || {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} } }} \int_0^{ {{Periodenlänge}} } f (t) e^{ - \omega{{imaginäre Einheit}} n t } dt || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | f || \sum_{n \in \Z} {{op:Bruch|1| {{Periodenlänge|}} }} {{makl| \int_0^{ {{Periodenlänge}} } f (t) e^{ -\omega {{imaginäre Einheit}} n t } dt |}} e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } || \sum_{n \in \Z} c_n e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } || || |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Fourierkoeffizienten| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= c_n |SZ=.}} Diese beziehen sich also nicht unmittelbar auf das Orthonormalsystem, sondern auf eine skalierte Version davon. Die Darstellung {{mathl|term= \sum_{n \in \Z} c_n e^{ {{imaginäre Einheit}} n \omega t } |SZ=}} nennt man die {{Stichwort|Fourierreihe|msw=|SZ=}} zu {{math|term= f |SZ=,}} auch wenn über {{math|term= \Z |SZ=}} aufsummiert wird. Man spricht auch von der {{Stichwort|Fourierentwicklung|msw=|SZ=.}} Die Umformung {{ Relationskette/align | \sum_{n \in \Z} c_n e^{\omega {{imaginäre Einheit}} n t } || c_0 + \sum_{n \in \N_+} {{makl| c_n e^{\omega {{imaginäre Einheit}} n t } +c_{-n} e^{ - \omega {{imaginäre Einheit}} n t } |}} || c_0 + \sum_{n \in \N_+} {{makl| c_n {{makl| {{op:cos| \omega n t |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| \omega n t |}} |}} +c_{-n} {{makl| {{op:cos| \omega n t |}} - {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| \omega n t |}} |}} |}} || c_0 + \sum_{n \in \N_+} {{makl| {{makl| c_n +c_{-n} |}} {{op:cos| \omega n t |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{makl|c_n -c_{-n} |}} {{op:sin| \omega n t |}} |}} || {{op:Bruch|a_0 |2}} + \sum_{n \in \N_+} a_n {{op:cos| \omega n t |}} + b_n {{op:sin| \omega n t |}} |SZ= }} unter Verwendung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt die Darstellung mit den reellen Koeffizienten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fourierreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 188pkg2pzevsf2pxarlt13eydjl5hvm 1092237 1092013 2026-06-01T13:14:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092237 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Unter den periodischen Funktionen spielen die trigonometrischen Funktionen {{ mathkor|term1= {{op:cos|x|}} |und|term2= {{op:sin|x|}} |SZ= }} bzw. die komplexe Exponentialfunktion {{math|term= e^{ {{imaginäre Einheit}} z} |SZ=}} eine besondere Rolle, die die Periode {{math|term= 2 \pi |SZ=}} haben. Neben diesen enthält man weitere periodische Funktionen, indem man das Argument {{math|term= x |SZ=}} bzw. {{math|term= z |SZ=}} durch ganzzahlige Vielfache {{math|term= nx |SZ=}} bzw. {{math|term= nz |SZ=}} ersetzt. Diese haben die kleineren Perioden {{math|term= {{op:Bruch|2 \pi|n}} |SZ=,}} aber {{math|term= 2 \pi |SZ=}} bleibt eine Periode. Im Rahmen der Fourieranalysis {{ Zusatz/Klammer |text=man spricht auch von harmonischer Analysis| |ISZ=|ESZ= }} möchte man periodische Funktionen als Reihen von trigonometrischen Funktionen darstellen. Eine periodische Funktion mit Periode {{math|term= {{Periodenlänge|}} |SZ=}} ist vollständig bestimmt durch ihren Verlauf auf dem Intervall {{mathl|term= [0, {{Periodenlänge}} [ |SZ=.}} Wir arbeiten im Kontext von Hilberträumen und insbesondere in {{mathl|term= L^2([0, {{Periodenlänge}} ] ) |SZ=,}} der Übergang vom halboffenen zum abgeschlossen Intervall ist für diesen Funktionenraum unerheblich. Besonders wichtig sind die Periodenlängen {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= 2 \pi |SZ=,}} wir werden zumeist eine beliebige Periodenlänge {{math|term= {{Periodenlänge|}} |SZ=}} zulassen und dann {{ Relationskette | \omega || {{op:Bruch|2 \pi| {{Periodenlänge}} }} || || || |SZ= }} setzen. Die Funktionen {{math|term= e^{ {{op:Bruch|2 \pi|{{Periodenlänge}}}} {{imaginäre Einheit}} n t} |SZ=}} sind auf {{mathl|term= [0, {{Periodenlänge}}] |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |quadratintegrierbar| |Kontext=| |SZ=, }} wie sofort aus der Beschränktheit folgt. Daher sichert {{ Faktlink |Faktseitenname= Maßraum/Quadratintegrierbar/Hilbertraum/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass die folgenden Definitionen sinnvoll sind. Insbesondere kann man sie auf messbare beschränkte periodische Funktionen und auf stückweise stetige Funktionen auf {{mathl|term= [0, {{Periodenlänge}}] |SZ=}} anwenden. {{ inputdefinition |Periodische Funktion/Fourierreihe/Komplexe Koeffizienten/Definition|| }} Bis auf den Vorfaktor ist dieser Koeffizient gleich dem {{ Definitionslink |Prämath=L^2 |Skalarprodukt| |Kontext=L| |SZ= }} {{ Relationskette | {{op:Skalarprodukt|f|e^{ {{op:Bruch|2 \pi| {{Periodenlänge|}} }} n t } }} || \int_0^{{Periodenlänge}} f (t) e^{ - {{op:Bruch|2 \pi| {{Periodenlänge|}} }} n t }dt || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Periodische Funktion/Fourierreihe/Reelle Koeffizienten/Definition|| }} Nur wenn {{math|term= f |SZ=}} reellwertig ist sind die Koeffizienten {{ mathkor|term1= a_n |bzw.|term2= b_n |SZ= }} reell, die Koeffizienten {{math|term= c_n |SZ=}} sind auch in diesem Fall nicht reell. {{ inputfaktbeweis |Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Trennende Algebra/Fakt|Lemma|| || }} Ausdrücke der Form {{ Relationskette/display | \sum_{n } r_n f_n || \sum_{n } {{op:Bruch|r_n |\sqrt{ {{Periodenlänge|}} }|}} e^{\omega {{imaginäre Einheit}} n z} || || || |SZ= }} zu einer endlichem Indexmenge nennt man auch {{Stichwort|trigonometrische Polynome|msw=Trigonometrisches Polynom|SZ=.}} Zumeist schreibt man sie als {{mathl|term= \sum_{n {{=}} -N }^N {{op:Bruch|r_n |\sqrt{ {{Periodenlänge|}} }|}} e^{\omega {{imaginäre Einheit}} n z} |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt|Satz|| || }} Aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Periodische Funktion/Komplexe Exponentialfunktion/Vollständiges Orthonormalsystem/L^2-Raum/Fakt |Nr= |SZ= }} folgt mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass jede quadratintegrierbare Funktion {{ Abbildung/display |name=f |[0, {{Periodenlänge}}]| {{CC|}} || |SZ= }} eine konvergente Darstellung {{ Relationskette/display | f || \sum_{n \in \Z} {{op:Skalarprodukt|f_n | {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} } }} e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } }} {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} }}} e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } || || || |SZ= }} besitzt, die Konvergenz ist dabei im Sinne der {{math|term= L^2 |SZ=-}}Norm zu verstehen. Im Allgemeinen liegt keine punktweise Konvergenz vor. Es ist {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Skalarprodukt|f_n | {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} } }} e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } }} || \int_0^{ {{Periodenlänge}} } f (t) {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} } }} e^{ -\omega {{imaginäre Einheit}} n t } dt || {{op:Bruch|1|\sqrt{ {{Periodenlänge|}} } }} \int_0^{ {{Periodenlänge}} } f (t) e^{ - \omega{{imaginäre Einheit}} n t } dt || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/display | f || \sum_{n \in \Z} {{op:Bruch|1| {{Periodenlänge|}} }} {{makl| \int_0^{ {{Periodenlänge}} } f (t) e^{ -\omega {{imaginäre Einheit}} n t } dt |}} e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } || \sum_{n \in \Z} c_n e^{ \omega {{imaginäre Einheit}} n t } || || |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath= |komplexen Fourierkoeffizienten| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= c_n |SZ=.}} Diese beziehen sich also nicht unmittelbar auf das Orthonormalsystem, sondern auf eine skalierte Version davon. Die Darstellung {{mathl|term= \sum_{n \in \Z} c_n e^{ {{imaginäre Einheit}} n \omega t } |SZ=}} nennt man die {{Stichwort|Fourierreihe|msw=|SZ=}} zu {{math|term= f |SZ=,}} auch wenn über {{math|term= \Z |SZ=}} aufsummiert wird. Man spricht auch von der {{Stichwort|Fourierentwicklung|msw=|SZ=.}} Die Umformung {{ Relationskette/align | \sum_{n \in \Z} c_n e^{\omega {{imaginäre Einheit}} n t } || c_0 + \sum_{n \in \N_+} {{makl| c_n e^{\omega {{imaginäre Einheit}} n t } +c_{-n} e^{ - \omega {{imaginäre Einheit}} n t } |}} || c_0 + \sum_{n \in \N_+} {{makl| c_n {{makl| {{op:cos| \omega n t |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| \omega n t |}} |}} +c_{-n} {{makl| {{op:cos| \omega n t |}} - {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin| \omega n t |}} |}} |}} || c_0 + \sum_{n \in \N_+} {{makl| {{makl| c_n +c_{-n} |}} {{op:cos| \omega n t |}} + {{imaginäre Einheit|}} {{makl|c_n -c_{-n} |}} {{op:sin| \omega n t |}} |}} || {{op:Bruch|a_0 |2}} + \sum_{n \in \N_+} a_n {{op:cos| \omega n t |}} + b_n {{op:sin| \omega n t |}} |SZ= }} unter Verwendung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt |Nr= |SZ= }} ergibt die Darstellung mit den reellen Koeffizienten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fourierreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5zmrwiuiirk336p9evifscuqbjgj431 0 141173 1092014 1018258 2026-06-01T12:37:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092014 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Definition|| }} Zu einem gegebenen Orthonormalsystem {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} und einem Vektor {{ Relationskette | v |\in| V || || || |SZ= }} spielen die Koeffizienten {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|v,v_i |}} |SZ=}} eine wichtige Rolle, man spricht von den {{Stichwort|Fourierkoeffizienten|msw=Fourierkoeffizient|SZ=}} des Vektors bezüglich des Systems, wobei diese Sprechweise insbesondere im Kontext von Fourierreihen verwendet wird. Eine wichtige Frage ist, in welcher Beziehung {{math|term= v |SZ=}} zu {{mathl|term= \sum_{i \in I} {{op:Skalarprodukt|v,v_i |}} v_i |SZ=}} steht, wobei bei {{math|term= I |SZ=}} unendlich zuerst zu klären ist, in welchem Sinne eine solche unendlich Summe verstanden werden kann. Im endlichen Fall haben wir folgende Beschreibung, auf die man weitere Resultate zurückführen kann. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Endliche Menge/Funktion/Fehlerquadratsumme/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Satz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Systematisch/Beispiel|| }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition|| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Besselsche Abschätzung|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Besselsche Abschätzung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hilbertraum/Orthonormalsystem/Fourierkeoffizienten/Summierbar/Fakt|Korollar|| || }} Im Allgemeinen gibt es keinen direkten Zusammenhang zwischen {{math|term= v |SZ=}} und {{mathl|term= \sum_{i \in I} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i |SZ=,}} man denke etwa an kleine Orthonormalsysteme. Der folgende Satz charakterisiert die vollständigen Orthonormalsysteme. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Hilbertraum/Orthonormalsystem/Ergänzung/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbemerkung |Separabler Hilbertraum/Orthonormalisierungsverfahren/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Hilbertraum/Vollständiges Orthnormalsystem/Fourierentwicklung/Definition|| }} Im separablen Fall, wenn das vollständige Orthonormalsystem abzählbar ist und durch {{ mathbed|term= v_n ||bedterm1= n \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{math|term= \Z |SZ=}} als geordnete Indexmenge| |ISZ=|ESZ= }} gegeben ist, so nennt man die Darstellung {{ Relationskette/display | v || \sum_{n \in \N} {{op:Skalarprodukt|v|v_n}} v_n || || || |SZ= }} auch die Fourierreihe zu {{math|term= v |SZ=}} bezüglich des gegebenen Systems. Die Sprechweise wird insbesondere bei periodischen Funktionen mit dem trigonometrischen Orthonormalsystem verwendet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Orthonormalsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qa0y4m5iitr8dfz8gn4i438w7n45c0v 0 141233 1092383 983198 2026-06-01T13:37:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092383 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= ( M, \mu) |und|term2= (N, \nu) |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endliche| |Kontext=sigma| |SZ= }} {{ Definitionslink |Maßräume| |Kontext=| |SZ= }} mit dem Produktraum {{mathl|term= M \times N |SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name=K | M \times N | {{KRC|}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |messbare Funktion| |Kontext=| |SZ=, }} die in diesem Zusammenhang ein {{Stichwort|Integralkern|SZ=}} oder kurz {{Stichwort|Kern|SZ=}} heißt. Mit Hilfe eines solchen Integralkernes kann man unter gewissen Integrationsbedingungen messbare Funktionen auf {{math|term= M |SZ=}} in messbare {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}wertige Funktionen auf {{math|term= N |SZ=}} transformieren, indem man die transformierte Funktion {{ Relationskette | T(f) || T_K(f) || || || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | (T(f)) (y) || \int_M K(x,y) f(x) d \mu || || || |SZ= }} definiert. In dieses sehr allgemeine Konzept kann man die Fouriertransformation, die Laplacetransformation und Integralgleichungen einordnen. {{ inputbeispiel |Produktintervall/Integralkern/Beispiel|| }} Wenn man die unterschiedlichen Rollen betonen möchte, so arbeitet man beispielsweise mit einer Zeitvariablen {{math|term= t |SZ=}} und einer Frequenzvariablen {{math|term= u |SZ=,}} aber eine allgemein stimmige Bezeichnungsphilosophie scheint nahezu unmöglich. Wir erwähnen einige typische Integralztransformationen. {{tabelleleitdreixdrei |ls0=Transformation |lz1= Integralkern |lz2= Integrationsgebiet |lz3= Typischer Ausdruck {{math|term= (Tf)(u) |SZ=}} |lz4= |lz5= |lz6= |lz7= |lz8= | |ls1= Fourier |a1,1= {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} e^{ - {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt|u|t}} } |a1,2= \R^n |a1,3= {{op:Bruch|1|(2 \pi)^{n/2} }} \int_{\R^n} e^{ -{{imaginäre Einheit }} {{op:Skalarprodukt|u|t}} } f(t) dt |a1,4= |a1,5= |a1,6= | |ls2= Laplace |a2,1=e^{-ut} |a2,2= \R_+ |a2,3= \int_0^\infty e^{-ut} f(t) dt |a2,4= |a2,5= |a2,6= | |ls3= Mellin |a3,1= t^{u-1} |a3,2= \R_+ |a3,3= \int_{0 }^\infty t^{u-1} f(t) dt |a3,4= |a3,5= |a3,6= | |ls4= |a4,1= |a4,2= |a4,3= |a4,4= |a4,5=|a4,6= | }} Die Mellin-Transformation kommt beispielsweise bei der Definition der {{math|term= \Gamma |SZ=-}}Funktion vor, es ist {{ Relationskette/display | \Gamma (u) || {{op:Fak(|u-1|}} {{defeq|}} {{op:Integral|0|\infty|Integrand=t^{u-1} e^{-t} }} || || || |SZ=. }} Hier ist also {{ Relationskette | f(t) || e^{-t} || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Integrierbare Funktion/R^n/Fourier-Transformation/Definition|| }} Hier ist also {{math|term= e^{- {{imaginäre Einheit}} {{op:Skalarprodukt|u|t}} } |SZ=}} der Integralkern. Für den Vorfaktor gelten unterschiedliche Konventionen, der gewählte passt am besten zur Rücktransformation. {{ inputfaktbeweis |Maßraum/Messbarer Integralkern/Linearer Operator/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakter metrischer Raum/Stetiger Integralkern/Kompakter Operator/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Integralkerne |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bbapguyhmq0stkvsn3y03nw6gebq8x1 0 141296 1092384 1074667 2026-06-01T13:38:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092384 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Legendre-Polynom/Ableitung/Definition|| }} {{ inputbild |Legendrepolynomials6|svg|300px {{!}} right {{!}} | |Text=Die ersten sechs Legendre-Polynome im für die Orthogonalitsärelation entscheidenden Intervall {{math|term= [-1,1] |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Aus der Definition ist ablesbar, dass das {{math|term= n |SZ=-}}te Legendre-Polynom den Grad {{math|term= n |SZ=}} besitzt. Die ersten Legendre-Polynome lauten. {{ Relationskette/display | P_0 (t) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_1(t) || t || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_2(t) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| 3t^2 - 1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_3(t) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| 5t^3 - 3t |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_4(t) || {{op:Bruch|1|8}} {{makl| 35t^4-30t^2+3 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_5(t) || {{op:Bruch|1|8}} {{makl| 63t^5-70t^3+15t |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_6(t) || {{op:Bruch|1|16}} {{makl| 231 t^6-315t^4+105t^2-5 |}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Legendre-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Legendre-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1i2ff60b93nrmczxqypf0zrbm4nik4l 0 141378 1092619 1074783 2026-06-01T14:16:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092619 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition|| }} {{ inputbild |Integral apl rot objem3|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Integral_apl_rot_objem3 |Text= |Autor= |Benutzer=Pajs |Domäne=cs Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt|Satz|| || }} Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer {{ Zusatz/Klammer |text=differenzierbaren| |ISZ=|ESZ= }} Funktion werden wir in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Rotationsfläche zu ebener Kurve/Flächenberechnung/Fakt |SZ= }} berechnen. {{ inputbeispiel |Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel|| }} Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert {{math|term= \pi |SZ=,}} für das Volumen der Einheitskugel der Wert {{mathl|term= {{op:Bruch|4|3}} \pi |SZ=}} und für das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Standardkugel der Wert {{mathl|term= {{op:Bruch|\pi^2|2}} |SZ=.}} {{ inputbild |Coneirr3|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mpfiz |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Falsche Berechnung/Pseudo-Cavalieri-Prinzip/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} l1vmlj5sekgzm9w6rk2h7blwct1wirg 0 141379 1092385 1074668 2026-06-01T13:38:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092385 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten das Intervall {{mathl|term= [-1,1] |SZ=}} als Maßraum mit dem Maß {{math|term= \mu |SZ=,}} das durch die {{ Definitionslink |Dichte| |Kontext=Maßraum| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1| \sqrt{ 1-t^2} }} |SZ=}} bezüglich dem Lebesgue-Maß gegeben ist. Diese Funktion beschreibt den Kehrwert des oberen Halbkreises, dadurch werden die Ränder stark gewichtet, eine Stammfunktion dieser Dichte ist {{mathl|term= {{op:arcsin|t|}} |SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Inverse trigonometrische Funktionen/Ableitung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Die Zugehörigkeit einer messbaren Funktion {{math|term= f |SZ=}} zu {{mathl|term= L^2([-1,1], \mu) |SZ=}} bedeutet {{ Relationskette/display | \int_{-1}^1 {{op:Bruch| {{op:Betrag|f(t)|}}^2 | \sqrt{1-t^2 } }} dt |<| \infty || || || |SZ=. }} Dieses maßtheoretische Integral ist für eine stetige Funktion {{math|term= f |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |uneigentliches Integral| |Kontext=| |SZ=, }} dessen Existenz aus {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Uneigentliches Integral/1 durch sqrt(1-t^2)/-1 bis 1/Berechnung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} folgt. Das Skalarprodukt auf {{mathl|term= L^2([-1,1], \mu) |SZ=}} für bezüglich der Dichte quadratintegrierbare Funktionen {{math|term= f,g |SZ=}} ist durch {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt|f|g}} || \int_{-1}^1 f(t) {{op:Komplexe Konjugation|g(t)|}} {{op:Bruch|1| \sqrt{ 1-t^2} }} dt || || || |SZ= }} gegeben. {{ inputdefinition |Tschebyschow-Polynom/Explizit/Definition|| }} {{ inputbild |Chebyshev Polynomials of the First Kind|svg|300px {{!}} right {{!}} | |Text=Die ersten fünf Tschebyschow-Polynome im für die Orthogonalitätsrelation entscheidenden Intervall {{math|term= [-1,1] |SZ=.}} Der Wertebereich auf diesem Intervall ist ebenfalls {{math|term= [-1,1] |SZ=,}} obwohl die Leitkoeffizienten große Zweierpotenzen sind. |Autor= |Benutzer=Rayhem |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Aus der Definition ist ablesbar, dass das {{math|term= n |SZ=-}}te Tschebyschow-Polynom den Grad {{math|term= n |SZ=}} besitzt. Die ersten Tschebyschow-Polynome lauten. {{ Relationskette/display | T_0 (t) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | T_1(t) || t || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | T_2(t) || 2 t^2 - 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | T_3(t) || 4 t^3 - 3 t || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | T_4(t) || 8 t^4 - 8 t^2 + 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | T_5(t) || 16 t^5 - 20 t^3 + 5 t || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | T_6(t) || 32 t^6 - 48 t^4 + 18 t^2 - 1 || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt|Satz|| || }} Für reelles {{math|term= t |SZ=}} zwischen {{math|term= -1 |SZ=}} und {{math|term= 1 |SZ=}} ist der Kosinus {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} bijektiv und es gibt ein eindeutiges {{ Relationskette | z |\in| [0, \pi] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | t || {{op:cos|z|}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette | z || {{op:arccos|t|}} || || || |SZ=. }} Somit kann man auf diesen reellen Intervallen {{ Faktlink |Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt |Nr= |SZ= }} auch also {{ Relationskette/display | T_n(t) || T_n( {{op:cos|z|}} ) || {{op:cos(|nz|}} || {{op:cos(|n {{op:arccos|t|}} |}} || |SZ= }} schreiben. {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| || }} Aus dieser Rekursionsformel ergibt sich unmittelbar, dass der Leitkoeffizient von {{math|term= T_n |SZ=}} gleich {{math|term= 2^{n-1} |SZ=}} ist. Gelegentlich betrachtet man auch die normierten Tschebyschow-Polynome, bei denen man einfach durch {{math|term= 2^{n-1} |SZ=}} teilt. {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Nullstellen/Maxima/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Normiertes Polynom/R/Betragsmaximum auf -1 bis 1/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8vmg95jc3a1ejtrctmhupqvbuo499c0 0 141410 1092051 984168 2026-06-01T12:44:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092051 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Menge/Funktionenmenge/Teilmenge/Trennung/Definition|| }} Hier wird {{math|term= X |SZ=}} stets eine {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= T |SZ=}} wird eine Teilmenge von stetigen Funktionen auf {{math|term= X |SZ=}} sein. Ein wichtiges Beispiel ist {{ Relationskette | {{KRC|}} || \R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | X || [a,b] || || || |SZ= }} und {{math|term= T |SZ=}} die Menge der polynomialen Funktionen auf dem Intervall. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Menge/Funktionenmenge/Unteralgebra/Trennung/Wertevorgabe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Betrag/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Maximum/Fakt|Korollar|| || }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Approximationssatz von Stone-Weierstrass|msw=|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Kompakt/R/Stone-Weierstrass/Fakt|Satz|| || }} Wir erwähnen die folgenden Spezialfälle. {{ inputfaktbeweis |Kompakte Teilmenge/R^n/Polynom/Approximation/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Abgeschlossenes Intervall/R/Polynom/Approximation/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Stone-Weierstrass |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 39v4bbxsfkti01ksksnapnnon9p9hew 1092582 1092051 2026-06-01T14:10:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092582 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Menge/Funktionenmenge/Teilmenge/Trennung/Definition|| }} Hier wird {{math|term= X |SZ=}} stets eine {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= T |SZ=}} wird eine Teilmenge von stetigen Funktionen auf {{math|term= X |SZ=}} sein. Ein wichtiges Beispiel ist {{ Relationskette | {{KRC|}} || \R || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | X || [a,b] || || || |SZ= }} und {{math|term= T |SZ=}} die Menge der polynomialen Funktionen auf dem Intervall. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Menge/Funktionenmenge/Unteralgebra/Trennung/Wertevorgabe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Betrag/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Kompakt/R/Algebra/Maximum/Fakt|Korollar|| || }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Approximationssatz von Stone-Weierstrass|msw=|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Topologischer Raum/Kompakt/R/Stone-Weierstrass/Fakt|Satz|| || }} Wir erwähnen die folgenden Spezialfälle. {{ inputfaktbeweis |Kompakte Teilmenge/R^n/Polynom/Approximation/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Abgeschlossenes Intervall/R/Polynom/Approximation/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Stone-Weierstrass |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} sibk7jgpu7px157odbhat3puuge7p5i 0 141417 1092055 984164 2026-06-01T12:44:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092055 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} und darauf den {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall einer kompakten Teilmenge {{ Relationskette | X |\subseteq| \R^k || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge {{ Relationskette/display | T |\subseteq| C(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition|| }} Eine einzelne Abbildung ist genau dann gleichgradig stetig in {{math|term= x |SZ=,}} wenn sie stetig in {{math|term= x |SZ=}} ist. Auch eine Ansammlung von endlich vielen stetigen Funktionen ist automatisch gleichgradig stetig, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Topologischer Raum/Endlich viele Funktionen/Gleichgradig stetig/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Im Allgemeinen geht es darum, ob es für eine gegebene Funktionenmenge und jede vorgegebene Zielgenauigkeit {{ Relationskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} eine Startumgebung gibt, die für alle Funktionen simultan die Zielbedingung sichert. Wenn {{math|term= X |SZ=}} ein metrischer Raum ist, so wird die Startumgebung durch eine Startgenauigkeit {{ Relationskette | \delta |>| 0 || || || |SZ= }} beschrieben. {{ inputbeispiel |Intervall/Affin-lineare Funktionen/Gleichgradig stetig/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Intervall/Affin-lineare Funktionen/Gleichgradig stetig/Beispiel |Nr= |SZ= }} sind die Auswertungsbilder nicht beschränkt, da {{math|term= d |SZ=}} in ganz {{math|term= \R |SZ=}} variieren kann. Wenn man das Intervall kompakt wählt und sowohl für {{ mathkor|term1= c |als auch für|term2= d |SZ= }} einem beschränkten Bereich feslegt, so erhält man mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt |Nr= |SZ= }} eine total beschränkte Menge an affin-linearen Funktionen. Der folgende Satz heißt Satz von Arzelà-Ascoli. {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Arzelà-Ascoli |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ogj0jeiibradv86k9pm68m6mg412uxr 1092581 1092055 2026-06-01T14:10:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092581 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} und darauf den {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall einer kompakten Teilmenge {{ Relationskette | X |\subseteq| \R^k || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt |Nr= |SZ=. }} Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge {{ Relationskette/display | T |\subseteq| C(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition|| }} Eine einzelne Abbildung ist genau dann gleichgradig stetig in {{math|term= x |SZ=,}} wenn sie stetig in {{math|term= x |SZ=}} ist. Auch eine Ansammlung von endlich vielen stetigen Funktionen ist automatisch gleichgradig stetig, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Topologischer Raum/Endlich viele Funktionen/Gleichgradig stetig/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Im Allgemeinen geht es darum, ob es für eine gegebene Funktionenmenge und jede vorgegebene Zielgenauigkeit {{ Relationskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} eine Startumgebung gibt, die für alle Funktionen simultan die Zielbedingung sichert. Wenn {{math|term= X |SZ=}} ein metrischer Raum ist, so wird die Startumgebung durch eine Startgenauigkeit {{ Relationskette | \delta |>| 0 || || || |SZ= }} beschrieben. {{ inputbeispiel |Intervall/Affin-lineare Funktionen/Gleichgradig stetig/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} In {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Intervall/Affin-lineare Funktionen/Gleichgradig stetig/Beispiel |Nr= |SZ= }} sind die Auswertungsbilder nicht beschränkt, da {{math|term= d |SZ=}} in ganz {{math|term= \R |SZ=}} variieren kann. Wenn man das Intervall kompakt wählt und sowohl für {{ mathkor|term1= c |als auch für|term2= d |SZ= }} einem beschränkten Bereich feslegt, so erhält man mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt |Nr= |SZ= }} eine total beschränkte Menge an affin-linearen Funktionen. Der folgende Satz heißt Satz von Arzelà-Ascoli. {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arzela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Arzelà-Ascoli |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} iq0od9tcgev6xzgycsvmgogr4jet53k 0 141832 1092236 1018943 2026-06-01T13:14:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092236 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Integrierbare Funktion/R^n/Fourier-Transformation/Definition|| }} Der Vorfaktor wird häufig auch anders gewählt, weggelassen oder mit dem Maß verarbeitet. Auch die Bezeichnung der Variablen wird sehr unterschiedlich gehandhabt. Einer integrierbaren komplexwertigen Funktion {{math|term= f |SZ=}} wird also eine andere Funktion {{math|term= \hat{f} |SZ=}} zugeordnet. Eine physikalische Interpretation ist, dass beispielsweise bei {{ Relationskette | n || 1 || || || |SZ= }} {{math|term= f( {{Startvektor|}} ) |SZ=}} eine zeitabhängige nichtperiodische {{ Zusatz/Klammer |text=beispielsweise gedämpfte| |ISZ=|ESZ= }} Schwingung ist und {{math|term= \hat{f} ( {{Zielvektor|}} ) |SZ=}} bzw. dessen Betrag angibt, wie stark die Frequenz {{math|term= {{Zielvektor||}} |SZ=}} in {{math|term= f |SZ=}} vorkommt. Die Fourier-Transformation ist zunächst für integrierbare Funktionen definiert und liefert eine Funktion, von der wir noch keine Eigenschaft kennen. Da das definierende Integral sich nicht ändert, wenn man {{math|term= f |SZ=}} auf einer Nullmenge abändert, ist die Fourier-Transformation auf {{math|term= L^1(\R^n) |SZ=}} definiert. {{ inputbemerkung |Fourier-Transformation/Eindimensional/Kreis mit Radius/Interpretation/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Fourier-Transformation/Linearität/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Fourier-Transformation/Rechtsseitig abfallende Exponentialfunktion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Fourier-Transformation/Beidseitig abfallende Exponentialfunktion/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Fourier-Transformation/Indikatorfunktion/Intervall/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Transformation/Translationseigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Transformation/Normalverteilung/Dichte/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Transformation/Faltungssatz/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Transformation/Gleichmäßig stetig/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Transformation/Ableitungseigenschaften/Fakt|Satz|| || }} Es liegt also unter den formulierten Voraussetzungen ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru | {{op:Abbildungsmenge|\R^n | {{CC|}} }} | {{op:Abbildungsmenge|\R^n | {{CC|}} }}|{{op:Abbildungsmenge|\R^n | {{CC|}} }} | {{op:Abbildungsmenge|\R^n | {{CC|}} }}|abb12=FT||abb34=FT|abb13= \cdot (- {{imaginäre Einheit|}} )^ { {{op:Betrag|r|}} } {{Startvektor|}}^r |abb24=D^r}} vor, wobei die Definitionsbereiche nicht die gesamte Abbildungsmenge sind. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fourier-Transformation |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 4es583y22g6wch2bt7qg69cy5yj7tdb 0 142031 1092235 1018937 2026-06-01T13:14:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092235 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Komplexe Einheitswurzel/N/Fourier-Matrix/Definition|| }} Entscheidend sind dabei für die Exponenten die Restklassen {{math|term= j \cdot k \mod N |SZ=.}} Es handelt sich um eine symmetrische Matrix. Die ersten Fourier-Matrizen sind {{ Relationskette/display | F_1 || (1) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | F_2 || {{op:Matrix22|1|1|1|-1}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | F_3 || {{op:Matrix33|1|1|1|1|\zeta_3 |\zeta_3^2|1|\zeta_3^2|\zeta }} || {{op:Matrix33|1|1|1|1| {{op:Bruch|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} | {{op:Bruch|-1 - \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} |1| {{op:Bruch|-1 - \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} | {{op:Bruch|-1 + \sqrt{3} {{imaginäre Einheit|}} |2}} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | F_4 || {{op:Matrix44|1|1|1|1|1| {{imaginäre Einheit|}} |-1| - {{imaginäre Einheit|}} |1|-1|1|-1|1|- {{imaginäre Einheit|}} |-1| {{imaginäre Einheit|}} }} || || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Matrix/Inverse Matrix/Fakt|Lemma|| || }} Für einen Vektor {{ Relationskette | y |\in| {{CC|}}^N || || || |SZ= }} nennt man {{math|term= {{op:Bruch|1|N}} {{op:Komplexe Konjugation|F_N|y}} y |SZ=}} die {{Stichwort|diskrete Fourier-Transformation|SZ=}} von {{math|term= y |SZ=,}} das Ergebnis nennt man den {{Stichwort|Fourier-Vektor|SZ=}} zu {{math|term= y |SZ=,}} und für einen {{ Zusatz/Klammer |text=Spektral| |ISZ=|ESZ=- }}Vektor {{ Relationskette | c |\in| {{CC|}}^N || || || |SZ= }} nennt man {{math|term= F_Nc |SZ=}} die {{Stichwort|inverse diskrete Fourier-Transformation|SZ=}} von {{math|term= c |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Fourier-Matrix/Inverse Matrix/Fakt |Nr= |SZ= }} sind diese beiden linearen Operationen invers zueinander. Die Darstellung {{ Relationskette/display | y || F_N c || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | c || {{op:Bruch|1|N}} {{op:Komplexe Konjugation|F_N|}} y || || || |SZ= }} nennt man die Fourier-Summe oder Fourier-Darstellung für {{math|term= y |SZ=.}} Im gegebenen Kontext sind zu einem Vektor {{ Relationskette | y |\in| {{CC|}}^N || || || |SZ= }} die Koeffizienten {{math|term= y_j |SZ=}} für beliebige Indizes {{ Relationskette | j |\in| \N || || || |SZ= }} als {{math|term= y_{j \mod N} |SZ=}} mit dem kanonischen Vertreter zwischen {{math|term= 0 |SZ=}} und {{math|term= N-1 |SZ=}} zu verstehen. Dies gilt insbesondere in der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Vektoren/C^N/Periodische Faltung/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Fourier-Matrix/Periodische Faltung/Produkt/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Fourier-Matrizen |Kategorie2=Theorie der diskreten Fourier-Transformation |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ldft9f7fjyq4lrp8ks8fxi53c6etg5n 0 142068 1092100 1074529 2026-06-01T12:52:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092100 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} Bei einer Abbildung {{ Abbildung |name=F |L|M || |SZ= }} heißt {{math|term= L |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Definitionsmenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder Definitionsbereich| |SZ= }} der Abbildung und {{math|term= M |SZ=}} die {{Definitionswort/enp|Wertemenge|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Wertevorrat|SZ=}} oder {{Stichwort|Zielbereich|SZ=}} | |SZ= }} der Abbildung. Zu einem Element {{ Relationskette | x |\in| L || || || |SZ= }} heißt das Element {{ Relationskette/display | F(x) |\in| M || || || |SZ= }} der {{Stichwort|Wert|SZ=}} von {{math|term= F |SZ=}} an der {{Stichwort|Stelle|SZ=}} {{math|term= x |SZ=.}} Statt Stelle sagt man auch häufig {{Stichwort|Argument|SZ=.}} Zwei Abbildungen {{ mathkor|term1= {{ abb |name=F |L_1 |M_1 || |SZ= }} |und|term2= {{ abb |name=G |L_2 |M_2 || |SZ= }} |SZ= }} sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle {{ Relationskette | x |\in| L_1 || L_2 || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette | F(x) || G(x) || || || |SZ= }} in {{ Relationskette | M_1 || M_2 || || || |SZ= }} gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge. Abbildungen werden häufig auch {{Stichwort|Funktionen|msw=Funktion|SZ=}} genannt. Der Abbildungsbegriff ist fundamental für die Mathematik, es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Abbildungen und an Darstellungsmöglichkeiten von Abbildungen. Im jetzigen Kontext interessieren wir uns nur für Abbildungen zwischen endlichen Mengen, die stets durch eine vollständige Wertetabelle angegeben werden können. Für die Mengen {{ Relationskette/display | L || \{1,2,3,4,5,6,7,8\} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | M ||\{a,b,c,d,e,f,g\} || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{Wertetabelle8|text1={{math|term= x |SZ=}}|1|2|3|4|5|6|7|8|text2={{math|term= F(x) |SZ=}}|c|a|a|b|e|b|e|d|}} eine vollständige Wertetabelle. Aus ihr kann man unmittelbar den Wert {{math|term= F(3) |SZ=}} als {{math|term= a |SZ=}} ablesen. Es handelt sich aber offenbar nicht um eine korrekte Abzählung der Menge {{math|term= M |SZ=,}} da {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= e |SZ=}} mehrfach im Bild auftauchen {{ Zusatz/Klammer |text=mehrfach gezählt werden| |ISZ=|ESZ= }} und {{math|term= f |SZ=}} überhaupt nicht im Bild auftaucht {{ Zusatz/Klammer |text=übersehen wird| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die obigen Fehlerquellen (1) und (2) ausgeschlossen sind, so ist das {{ Zusatz/Klammer |text=versuchsweise| |ISZ=|ESZ= }} Abzählen einer Menge {{math|term= M |SZ=}} eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |{{Menge1n}} |M | i| \varphi(i) |SZ=. }} Jeder natürlichen Zahl {{math|term= i |SZ=}} wird also ein eindeutiges Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} zugeordnet. Die beiden Fehlerquellen (3) und (4) sind durch den Abbildungsbegriff {{Betonung/Negation|nicht}} ausgeschlossen. Eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} kann für verschiedene Definitionsstellen, also beispielsweise Zahlen {{ Relationskette | i |\neq| j || || || |SZ= }} den gleichen Wert, also {{ Relationskette/display | F(i) || F(j) || || || |SZ= }} haben und sie muss nicht jedes Element der Menge {{math|term= M |SZ=}} erfassen {{ Zusatz/Klammer |text=treffen| |ISZ=|ESZ=. }} Es kann also Elemente {{ Relationskette | m |\in| M || || || |SZ= }} mit der Eigenschaft geben, dass für jedes {{math|term= i |SZ=}} aus dem Definitionsbereich stets {{ Relationskette/display | F(i) | \neq| m || || || |SZ= }} gilt. Diese beiden Fehlerquellen erfassen wir mit den folgenden Begriffen. {{ inputdefinition |Theorie der Abbildungen/Injektiv/Surjektiv/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputbild |Aplicación|svg|230px {{!}} left {{!}} | |Text=Weder injektiv noch surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} left {{!}} | |Text=Injektiv und surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación no inyectiva sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Nicht injektiv, aber surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Aplicación inyectiva no sobreyectiva|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Injektiv, nicht surjektiv. |Autor= |Benutzer=HiTe~commonswiki |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Diese Begriffe sind fundamental! Beispielsweise ist die Nachfolgerabbildung {{ Abbildung/display |name= |\N|\N |x|x' |SZ=, }} auf der Menge der natürlichen Zahlen wegen der oben angeführten Eigenschaft (4) injektiv, aber wegen der Eigenschaft (3) nicht surjektiv, da das Startelement nicht der Nachfolger einer Zahl ist. Die Frage, ob eine Abbildung {{math|term= F |SZ=}} diese Eigenschaften besitzt, kann man anhand der Gleichung{{ Zusatz/Fußnote |text=Über Gleichungen und Variablen werden wir später ausführlicher sprechen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display |F(x) ||y || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in den beiden Variablen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }}| |SZ= }} erläutern. Die Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y |\in| M || || || |SZ= }} mindestens eine Lösung {{ Relationskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, die Injektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y |\in| M || || || |SZ= }} maximal eine Lösung {{ Relationskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt, und die Bijektivität bedeutet, dass es zu jedem {{ Relationskette | y |\in| M || || || |SZ= }} genau eine Lösung {{ Relationskette | x |\in| L || || || |SZ= }} für diese Gleichung gibt. Die Surjektivität entspricht also der Existenz von Lösungen, die Injektivität der Eindeutigkeit von Lösungen. Beide Fragestellungen durchziehen die Mathematik und können selbst wiederum häufig als die Surjektivität oder die Injektivität einer geeigneten Abbildung interpretiert werden. Beim Nachweis der Injektivität einer Abbildung geht man häufig so vor, dass man zu zwei gegebenen Elementen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} aus der Voraussetzung {{ Relationskette | F(x) || F(x') || || || |SZ= }} erschließt, dass {{ Relationskette | x || x' || || || |SZ= }} ist. Dies ist oft einfacher zu zeigen, als aus {{ Relationskette | x |\neq|x' || || || |SZ= }} auf {{ Relationskette | F ( x) |\neq|F ( x' ) || || || |SZ= }} zu schließen. {{ inputbild |Appelbijektion1|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Bocardodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} Unser erstes Hauptanliegen ist es zu begründen, dass die natürliche Zahl {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} dabei eindeutig bestimmt ist. Wir werden nach einigen Vorbereitungen zeigen, dass wenn {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{Menge1n|}} |M || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name=\psi | {{Menge1k|}} |M || |SZ= }} bijektive Abbildungen sind, dass dann {{ Relationskette/display |n ||k || || || |SZ= }} ist. Diese Zahl heißt die {{Stichwort|Anzahl|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder die {{Stichwort|Kardinalität|SZ=}}| |SZ= }} der Menge. Sie wird mit {{mathl|term= {{op:Anzahl|M}} |SZ=}} oder mit {{mathl|term= {{op:Anzahl/Betrag|M}} |SZ=}} bezeichnet. Die bijektive Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\{1 {{kommadots|}} {{{n|n}}} \}| M || |SZ= }} kann man eine {{Stichwort|Nummerierung|SZ=}} der Menge {{math|term= M |SZ=}} nennen. Eine Menge besitzt also {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} Elemente, wenn man sie mit den natürlichen Zahlen von {{math|term= 1 |SZ=}} bis {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=}} durchnummerieren kann. Zwei endliche Mengen {{ mathkor|term1= M |und|term2= N |SZ=, }} für die es eine Bijektion {{ Abbildung/display |name= |M|N || |SZ= }} gibt, besitzen die gleiche Anzahl. Dies beruht einfach darauf, dass diese Bijektion verknüpft mit der bijektiven Nummerierung wieder eine Bijektion ist. Eine Menge, die nicht endlich ist, für die es also keine Bijektion mit {{mathl|term= {{Menge1n}} |SZ=}} für irgendein {{math|term= n |SZ=}} gibt, heißt {{Stichwort|unendlich|SZ=.}} {{ inputbemerkung |Mathematik/Zählen/Modellierung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Abbildungen |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qxv2tu8c2uszgi0qavlx3tfxjhm83z8 0 142071 1092322 1074645 2026-06-01T13:27:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092322 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Binomio al cubo|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Binomio_al_cubo |Autor=Drini |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die folgende {{Stichwort|allgemeine binomische Formel}} oder {{Stichwort|binomischer Lehrsatz|SZ=}} bringt die Addition, die Multiplikation und die Potenzierung in einem kommutativen Halbring und insbesondere für die natürlichen Zahlen miteinander in Beziehung. {{ inputfaktbeweis |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz|| || }} Den vorstehenden Satz kann man sich auch folgendermaßen klar machen. Beim Ausmultiplizieren von {{ Relationskette/display | (a+b)^n || \underbrace{ (a+b) \cdot (a+b) \cdots (a+b) }_{n\text{-fach } } || || || |SZ= }} muss jeder Summand {{ Faktlink |Präwort=gemäß dem|allgemeinen Distributivgesetz|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=in jedem Faktor| |ISZ=|ESZ= }} mit jedem Summanden multipliziert werden. Für jedes Teilprodukt muss man sich bei jedem Faktor entscheiden, ob man den vorderen Summanden {{math|term= a |SZ=}} oder den hinteren Summanden {{math|term= b |SZ=}} nimmt. Die einzelnen Produkte haben die Form {{mathl|term= a^k b^{n-k} |SZ=,}} wobei {{math|term= k |SZ=}} die Anzahl der Faktoren ist, bei denen {{math|term= a |SZ=}} gewählt wurde und {{math|term= n-k |SZ=}} die Anzahl der Faktoren ist, bei denen {{math|term= b |SZ=}} gewählt wurde. Wenn man {{math|term= k |SZ=}} fixiert, so kann man sich fragen, auf wie viele Arten das Produkt {{mathl|term= a^k b^{n-k} |SZ=}} zustande kommen kann. Eine solche Möglichkeit ist dadurch gegeben, dass man unter den {{math|term= n |SZ=}} Faktoren bestimmt, in welchen von ihnen {{math|term= a |SZ=}} gewählt wird. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also die Anzahl der {{math|term= k |SZ=-}}elementigen Teilmengen von {{mathl|term= {{Menge1n}} |SZ=,}} also gleich {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|k}} |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2=Theorie der kommutativen Halbringe |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} a4nbd261dzpmqsbjbvl8cuktphakz67 0 142082 1092015 982102 2026-06-01T12:38:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092015 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten nun zur Primfaktorzerlegung, deren Existenz wir bereits in {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt |Nr= |SZ= }} gezeigt haben, beweisen, dass sie eindeutig ist. Natürlich kann man {{ Relationskette/display | 12 || 3 \cdot 2 \cdot 2 || 2 \cdot 3 \cdot 2 || 2 \cdot 2 \cdot 3 || |SZ= }} schreiben, mit eindeutig ist also eindeutig bis auf die Reihenfolge gemeint. Um dies zu zeigen brauchen wir zunächst das sogenannte {{Stichwort|Lemma von Euklid|SZ=,}} das eine wichtige Eigenschaft einer Primzahl beschreibt. {{ inputfaktbeweis3 |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| || }} Aus dem Lemma von Euklid folgt sofort die etwas stärkere Aussage: Wenn eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} ein beliebiges Produkt {{mathl|term= a_1 a_2 {{cdots|}} a_n |SZ=}} teilt, dann teilt {{math|term= p |SZ=}} mindestens einen Faktor. Man wendet das Lemma einfach auf {{mathl|term= (a_1 a_2 {{cdots|}} a_{n-1}) \cdot a_n |SZ=}} an {{ Zusatz/Klammer |text=formal ist das eine Induktion über die Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Dies wird im Beweis des folgenden {{Stichwort|Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie|msw=Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie|SZ=}} verwendet. {{ inputfaktbeweis3 |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| || }} In der {{Stichwort|kanonischen Primfaktorzerlegung|msw=Kanonische Primfaktorzerlegung|SZ=}} schreibt man die beteiligten Primzahlen in aufsteigender Reihenfolge mit ihrem jeweiligen Exponenten, also beispielsweise {{ Relationskette/display | 840 || 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ=. }} Damit ist insbesondere zu jeder ganzen Zahl {{ Relationskette | n |\neq| 0 || || || |SZ= }} und jeder Primzahl {{math|term= p |SZ=}} eindeutig bestimmt, ob {{math|term= p |SZ=}} in der Primfaktorzerlegung überhaupt vorkommt und wenn ja mit welchem Exponenten. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} h6ji93nnp38kbod9k4tyojvkobnrhv4 0 142084 1092245 982137 2026-06-01T13:15:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092245 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ganze Zahl/p-Exponent/Definition|| }} Statt Exponent spricht man auch von der {{Stichwort|Vielfachheit|SZ=}} oder der {{Stichwort|Ordnung|SZ=}} von {{math|term= p |SZ=}} in {{math|term= n |SZ=.}} Wenn {{math|term= p |SZ=}} in der Primfaktorzerlegung nicht vorkommt, so ist {{ Relationskette/display | \nu_p(n) || 0 || || || |SZ=. }} Die Primfaktorzerlegung einer ganzen Zahl {{ Relationskette | n |\neq| 0 || || || |SZ= }} kann man damit abstrakt und kompakt als {{ Relationskette/display |n || \pm \prod_p p^{\nu_p(n)} || || || |SZ= }} schreiben. Da in jeder Primfaktorzerlegung nur endlich viele Primzahlen wirklich vorkommen, ist dies ein endliches Produkt. Zu {{ Relationskette | n || 14 000 || || || |SZ= }} ist die Primfaktorzerlegung gleich {{ Relationskette/display | 14000 || 2^4 \cdot 5^3 \cdot 7 || || || |SZ= }} und somit gilt {{ Relationskette/display | \nu_2(14000) || 4 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \nu_5(14000) || 3 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | \nu_7(14000) || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | \nu_p ( 14000) || 0 || || || |SZ= }} für alle weiteren Primzahlen {{math|term= p |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponenten/Bewertungseigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Teilbarkeitstheorie (Z)/Exponentenkriterium/Fakt|Korollar|| || }} Aus diesem Kriterium ergibt sich, dass man zu einer gegebenen Zahl, deren Primfaktorzerlegung vorliegt, einfach alle Teiler angeben kann. Bei {{ Relationskette/display | n || p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k} || || || |SZ= }} sind die {{ Zusatz/Klammer |text=positiven| |ISZ=|ESZ= }} Teiler genau die Zahlen {{ Math/display|term= p_1^{s_1} p_2^{s_2} \cdots p_2^{s_k} \text{ mit } 0 \leq s_1 \leq r_1,\, 0 \leq s_2 \leq r_2 {{kommadots|}} 0 \leq s_k \leq r_k |SZ=. }} Davon gibt es {{mathl|term= (r_1+1)(r_2+1) \cdots (r_k+1) |SZ=}} Stück. {{ inputfaktbeweis |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/KgV und ggT/Fakt|Korollar|| || }} Für die beiden Zahlen {{ mathkor|term1= m=2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11 |und|term2= m=2^2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 11 |SZ= }} ist beispielsweise der größte gemeinsame Teiler gleich {{mathl|term= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11 |SZ=}} und das kleinste gemeinsame Vielfache gleich {{mathl|term= 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7^2 \cdot 11 |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der p-Exponenten (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} pwk39nntwatv9stsj9m4r5vnckmeic8 0 142095 1092126 1074545 2026-06-01T12:56:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092126 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Absolute value|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Absolute_value |Autor= |Benutzer= Ævar Arnfjörð Bjarmason |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Angeordneter Körper/Betrag/Definition|| }} Der Betrag ist also nie negativ {{ Zusatz/Klammer |text=da aus {{ Relationskette/k | x |<| 0 || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/k | -x |>| 0 || || || |SZ= }} folgt, vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Angeordneter Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=2 |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} und hat nur bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} den Wert {{math|term= 0 |SZ=,}} sonst ist er immer positiv. Die Gesamtabbildung {{ Abbildung/display |name= | K | K | x | {{op:Betrag|x}} |SZ=, }} nennt man auch {{Stichwort|Betragsfunktion|SZ=.}} Der Funktionsgraph setzt sich aus zwei Halbgeraden zusammen; eine solche Funktion nennt man auch {{Stichwort|stückweise linear|SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Angeordneter Körper/Betragseigenschaften/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} Die Zahl {{mathl|term= {{op:Betrag|x-y}} |SZ=}} nennt man auch den {{Stichwort|Abstand}} der beiden Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} und die Länge der Strecke {{ Zusatz/Klammer |text=oder des {{Stichwort|Intervalls|msw=Intervall|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} von {{ mathkor|term1= x |nach|term2= y |SZ= }} bzw. von {{ mathkor|term1= y |nach|term2= x |SZ=. }} Bei {{ Relationskette |x |<|y || || || |SZ= }} wird die Strecke von {{math|term= x |SZ=}} nach {{math|term= y |SZ=}} in {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text={{ Relationskette/k | n |\in| \N_+ || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} gleichlange Streckenabschnitte eingeteilt, wenn man die Zwischenpunkte {{ Mathbed/display|term= x + i {{op:Bruch|y-x|n}} ||bedterm1= i {{=}} 0, 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ= }} betrachtet {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k | i || 0 || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/k | i || n || || || |SZ= }} ergeben sich Randpunkte| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Betrags für einen angeordneten Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mq6pb00u52e717a6t8hfwgxt4u2umuj 0 142733 1092073 1018526 2026-06-01T12:47:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092073 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der {{math|term= \R^n |SZ=}} sei mit der durch die Standardvektoren {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} gegebenen {{ Definitionslink |Orientierung| |Kontext=| |SZ= }} versehen, ferner sei der Halbraum {{ Relationskette/display | H_{\leq 0} || {{Mengebed|x \in \R^n |x_1 \leq 0 }} || || || |SZ= }} als der {{Anführung|innere Halbraum|}} ausgezeichnet. Dann nennt man die auf der Hyperebene {{ Zusatz/Klammer |text=also dem Rand der berandeten Mannigfaltigkeit {{mathlk|term= H_{\leq 0} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | E || {{Mengebed|x \in \R^n |x_1 {{=|}} 0 }} || || || |SZ= }} durch die Basis {{mathl|term= e_2 {{kommadots|}} e_n |SZ=}} definierte Orientierung die {{Stichwort|Orientierung durch die äußere Normale|SZ=.}} Eine beliebige Basis {{mathl|term= v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= E |SZ=}} repräsentiert diese Orientierung genau dann, wenn für einen beliebigen Vektor {{ Relationskette | v |\in| H_+ || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das bedeutet, nach {{Anführung|außen|SZ=,}} also raus aus dem Halbraum zu zeigen| |ISZ=|ESZ= }} die Basis {{mathl|term= v,v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= v |SZ=}} zuerst| |ISZ=|ESZ= }} von {{math|term= \R^n |SZ=}} die Ausgangsorientierung repräsentiert {{ Zusatz/Fußnote |text=Dies ist für eine Halbgerade {{ Relationskette |H || \R_{\geq 0} |\subseteq| \R || || |SZ= }} mit seinem einzigen Randpunkt {{math|term= \{0\} |SZ=}} folgendermaßen zu interpretieren. Die beiden Orientierungen auf {{mathl|term= \{0\} |SZ=}} sind {{ mathkor|term1= + |und|term2= - |SZ=, }} und {{math|term=-|SZ=}} repräsentiert die Orientierung durch die äußere Normale, da für einen nach außen weisenden Vektor {{ Relationskette | w |\in| \R_- || || || |SZ= }} der entgegengesetzte Vektor {{math|term= -w |SZ=}} die Standardorientierung von {{math|term= \R |SZ=}} repräsentiert. Für den negativen Halbraum {{mathl|term= \R_{\leq 0} |SZ=}} repräsentiert hingegen im Nullpunkt {{math|term= + |SZ=}} die Orientierung durch die äußere Normale| |ISZ=.|ESZ=. }} Dieser Zusammenhang zwischen Orientierungen auf einem reellen Vektorraum und Orientierungen auf dem Rand eines Halbraumes überträgt sich auf Mannigfaltigkeiten mit Rand. Wichtig ist dabei, dass der Tangentialraum {{mathl|term= T_PM |SZ=}} in einem Randpunkt {{math|term= P |SZ=}} eine kanonische Hyperebene enthält, nämlich den Tangentialraum {{mathl|term= T_P (\partial M) |SZ=}} des Randes. Die Mannigfaltigkeit definiert dabei eine {{Anführung|innere|}} und eine {{Anführung|äußere Hälfte|}} des Tangentialraumes. {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit mit Rand/Orientierung/Randorientierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der berandeten Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lu0906ahw48wjtmzgmlrdso0foaev8i 0 144543 1092078 1074513 2026-06-01T12:48:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092078 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Vector_Addition|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die Addition von zwei Pfeilen {{math|term= a |SZ=}} und {{math|term= b |SZ=,}} ein typisches Beispiel für Vektoren. |Autor= |Benutzer=Booyabazooka |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der zentrale Begriff der linearen Algebra ist der Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/Direkt/Definition||zusatz1=Fußnote }} Die Verknüpfung in {{math|term= V |SZ=}} nennt man {{ Zusatz/Klammer |text=Vektor| |ISZ=|ESZ=- }}Addition und die Operation {{ Abbildung |name= | K \times V | V || |SZ= }} nennt man {{Stichwort|Skalarmultiplikation|SZ=.}} Die Elemente in einem Vektorraum nennt man {{Stichwort|Vektoren|msw=Vektor|SZ=,}} und die Elemente {{ Relationskette | r |\in| K || || || |SZ= }} heißen {{Stichwort|Skalare|msw=Skalar|SZ=.}} Das Nullelement {{ Relationskette | 0 |\in| V || || || |SZ= }} wird auch als {{Stichwort|Nullvektor|SZ=}} bezeichnet, und zu {{ Relationskette | v |\in| V || || || |SZ= }} heißt das inverse Element bezüglich der Addition das {{Stichwort|Negative|SZ=}} zu {{math|term= v |SZ=}} und wird mit {{math|term= -v |SZ=}} bezeichnet. Wie in Ringen gilt wieder {{Stichwort|Punktrechnung vor Strichrechnung|SZ=,}} d.h. die Skalarmultiplikation bindet stärker als die Vektoraddition. Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den {{Stichwort|Grundkörper|SZ=.}} Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei {{ Relationskette | K || \R || || || |SZ= }} spricht man von {{Stichwort|reellen Vektorräumen|msw=Reeller Vektorraum|SZ=}} und bei {{ Relationskette | K || {{CC|}} || || || |SZ= }} von {{Stichwort|komplexen Vektorräumen|msw=Komplexer Vektorraum|SZ=.}} Bei reellen und komplexen Vektorräumen gibt es zusätzliche Strukturen wie Längen, Winkel, Skalarprodukt. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper. {{ inputbild |Vector space illust|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Vector_space_illust |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/K^n komponentenweise/Beispiel|| }} Der Nullraum {{math|term=0 |SZ=,}} der aus dem einzigen Element {{math|term=0 |SZ=}} besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als {{ Relationskette | K^0 || 0 || || || |SZ= }} auffassen. Die Vektoren im Standardraum {{math|term= K^n |SZ=}} kann man als Zeilenvektoren {{Math/display|term= {{op:Zeilenvektor|a_1 |a_2 | \ldots |a_n }} |SZ=}} oder als Spaltenvektoren {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor|a_1 |a_2 | \vdots |a_n }} |SZ= }} schreiben. Der Vektor {{ Relationskette/display | e_i |{{defeq}} | {{op:Spaltenvektor|0| \vdots|0|1|0|\vdots |0}} || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term= 1 |SZ=}} an der {{math|term= i |SZ=-}}ten Stelle steht, heißt {{math|term= i |SZ=-}}ter {{Stichwort|Standardvektor|SZ=.}} {{{zusatz1|}}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Komplexe Zahlen als reeller Vektorraum/Beispiel|opt1=als additive Struktur|zusatz1=&nbsp;Unter Verwendung einer späteren Terminologie kann man sagen, dass {{math|term= {{CC}} |SZ=}} ein eindimensionaler komplexer Vektorraum ist und dass {{math|term= {{CC}} |SZ=}} ein zweidimensionaler reeller Vektorraum ist mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{Imaginäre Einheit|}} |SZ=. }}| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/mxn-Matrizen/Beispiel|| }} {{{zusatz2|}}} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Polynome/Kurz/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Vektorraum/Reelle Zahlen als Vektorraum über Q/Beispiel|| }} {{{zusatz3|}}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} tkyrb25kjl4k1qs4bs033bmqz1ptw80 0 145342 1092074 980189 2026-06-01T12:47:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092074 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es ist von vornherein gar nicht so klar, was man unter dem Lösen eines {{ Zusatz/Klammer |text=linearen| |ISZ=|ESZ= }} Gleichungssystems verstehen soll. Jedenfalls geht es um eine möglichst gute Beschreibung der Lösungsmenge. Wenn es nur eine Lösung gibt, so geht es darum, diese Lösung zu finden und anzugeben. Wenn es überhaupt keine Lösung gibt, geht es darum, dies festzustellen und zu begründen. Im Allgemeinen ist aber die Lösungsmenge eines Gleichungssystems groß. Dann versteht man unter der Lösung eines Systems, freie Variablen zu identifizieren, die beliebige Werte annehmen dürfen, und explizit zu beschreiben, wie die anderen {{ Zusatz/Klammer |text=abhängigen| |ISZ=|ESZ= }} Variablen von diesen freien Variablen abhängen. Man spricht auch von einer {{Stichwort|expliziten Beschreibung|msw=Explizite Beschreibung}} der Lösungsmenge. Lineare Gleichungssysteme können systematisch mit dem {{Stichwort|Eliminationsverfahren|SZ=}} gelöst werden, bei dem nach und nach Variablen eliminiert werden und schließlich ein besonders einfaches äquivalentes Gleichungssystem {{ Zusatz/Klammer |text=in Dreiecksgestalt| |ISZ=|ESZ= }} entsteht, das direkt gelöst werden kann {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. von dem gezeigt werden kann, dass es keine Lösung besitzt| |ISZ=|ESZ=. }} {{{zusatz1|}}}Wir betrachten ein typisches Beispiel mit vielen Variablen. {{ inputbeispiel |Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/2x+5y+2z-v ist 3, 3x-4y+u+2v ist 1, 4x -2z+2u ist 7/Beispiel||zusatz1=Fußnote }} {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Äquivalente Systeme/Manipulationen/Fakt|Lemma|| }} Für die praktische Lösung eines linearen Gleichungssystems sind die beiden Manipulationen (2) und (6) am wichtigsten, wobei man in aller Regel diese beiden Schritte kombiniert und eine Gleichung {{math|term= H |SZ=}} durch eine Gleichung der Form {{mathl|term= H + \lambda G |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=G \neq H |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ersetzt. Dabei wird {{ Relationskette | \lambda |\in| K || || || |SZ= }} so gewählt, dass die neue Gleichung eine Variable weniger besitzt als die alte. Man spricht von {{Stichwort|Elimination einer Variablen|SZ=.}} Diese Elimination wird nicht nur für eine Zeile durchgeführt, sondern für alle Zeilen mit Ausnahme von einer {{ Zusatz/Klammer |text=geeignet gewählten| |ISZ=|ESZ= }} {{Anführung|Arbeitszeile|SZ=}} {{math|term= G |SZ=}} und mit einer fixierten {{Anführung|Arbeitsvariablen|SZ=.}} Das folgende {{Stichwort|Eliminationslemma|SZ=}} beschreibt diesen Rechenschritt. {{ inputfaktbeweis |Lineares Gleichungssystem/Eliminationslemma/Fakt|Lemma||zusatz1=Fußnote }} Das praktische Verfahren, bei dem man sukzessive das Verfahren im Beweis des vorstehenden Lemmas anwendet, um auf Dreiecksgestalt bzw. Stufengestalt zu kommen, nennt man {{Stichwort|Gaußsches Eliminationsverfahren|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Additionsverfahren|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es werden also Variablen eliminiert, indem man geeignete Vielfache von Gleichungen zu anderen Gleichungen hinzuaddiert. {{ inputfaktbeweis |Lineares inhomogenes Gleichungssystem/Elimination/Stufengestalt und Dreiecksgestalt/Fakt|Satz|| }} Es kann sein, dass die Variable {{math|term= x_1 |SZ=}} gar nicht in dem System mit einem von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenen Koeffizienten vorkommt, und, dass in einer Variablenelimination gleichzeitig mehrere Variablen eliminiert werden. Dann erhält man wie beschrieben ein Gleichungssystem in Stufenform, das erst durch Variablenvertauschungen in die Dreiecksform gebracht werden kann. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 5n7y8udfqbzk64owbm3iwnpgt4bxymc 0 145343 1092019 991169 2026-06-01T12:38:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092019 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputverfahren |Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren|| }} {{ inputbeispiel |Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren/59/-37/Beispiel|| }} Für eine invertierbare {{math|term=2\times 2|SZ=-}}Matrix {{mathl|term= {{op:Matrix22|a|b|c|d}} |SZ=}} kann man die inverse Matrix einfacher direkt angeben, es ist nämlich {{ Relationskette/display | M^{-1} || {{op:Bruch|1|ad-bc}} {{op:Matrix22|d|-b|-c|a|}} || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=und die {{Anführung|Determinante}} {{mathl|term= ad-bc |SZ=}} ist genau dann ungleich {{math|term= 0 |SZ=,}} wenn die Matrix invertierbar ist| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Invertierbare Matrix/Finden der inversen Matrix/Tabelle/Verfahren/131/412/011/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der invertierbaren Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8mgob5d7tmbnycjis87dh77u7tb8bet 0 146920 1092057 1018435 2026-06-01T12:45:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092057 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Direkt/Definition|| }} Dass all diese Axiome für die reellen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=und die rationalen Zahlen| }} mit den natürlichen Verknüpfungen gelten, ist aus der Schule bekannt. In einem Körper gilt die {{Stichwort|Klammerkonvention|SZ=,}} dass die Multiplikation stärker bindet als die Addition. Man kann daher {{mathl|term= a \cdot b + c \cdot d|SZ=}} statt {{mathl|term=(a \cdot b) +( c \cdot d) |SZ=}} schreiben. Zur weiteren Notationsvereinfachung wird das Produktzeichen häufig weggelassen. Die besonderen Elemente {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} in einem Körper werden als {{Stichwort|Nullelement|SZ=}} und als {{Stichwort|Einselement|SZ=}} bezeichnet. Nach der Definition müssen sie verschieden sein. Die wichtigsten Beispiele für einen Körper sind für uns die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und die komplexen Zahlen, die wir in der nächsten Vorlesung kennenlernen werden. {{ inputfaktbeweis2 |Körpertheorie/Eindeutigkeit des Negativen und des Inversen/Fakt|Lemma|| |ref1=||Beweistext=Dies folgt aus der allgemeinen Eindeutigkeitsaussage für inverse Elemente in jeder Gruppe, siehe die letzte Vorlesung. }} Zu einem Element {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} nennt man das nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term= y|SZ=}} mit {{ Relationskette |a+y ||0 || || || |SZ= }} das {{Stichwort|Negative|SZ=}} von {{math|term= a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term=-a|SZ=.}} Es ist {{ Relationskette |- (-a) || a || || || |SZ=, }} da wegen {{ Relationskette | a + (-a) || 0 || || || |SZ= }} das Element {{math|term= a|SZ=}} gleich dem eindeutig bestimmten Negativen von {{math|term=-a|SZ=}} ist. Statt {{mathl|term= b+(-a)|SZ=}} schreibt man abkürzend {{mathl|term= b-a|SZ=}} und spricht von der {{Stichwort|Differenz|SZ=.}} Die Differenz ist also keine grundlegende Verknüpfung, sondern wird auf die Addition mit dem Negativen zurückgeführt. Das zu {{ mathbed|term= a \in K ||bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} nach diesem Lemma eindeutig bestimmte Element {{math|term= z|SZ=}} mit {{ Relationskette |az ||1 || || || |SZ= }} nennt man das {{Stichwort|Inverse|msw=Inverses Element|SZ=}} von {{math|term= a|SZ=}} und bezeichnet es mit {{math|term= a^{-1}|SZ=.}} Für {{ mathbed|term= a,b \in K ||bedterm1= b \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} schreibt man auch abkürzend {{ Relationskette/display |a/b | {{defeq|}} | {{op:Bruch|a|b}} || ab^{-1} || || |SZ=. }} Die beiden linken Ausdrücke sind also eine Abkürzung für den rechten Ausdruck. Zu einem Körperelement {{ Relationskette |a |\in|K || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |n |\in| \N || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= a^n |SZ=}} als das {{math|term= n|SZ=-}}fache Produkt von {{math|term= a|SZ=}} mit sich selbst definiert {{ Zusatz/Klammer |text=also {{math|term= n |SZ=}} Faktoren| |ISZ=|ESZ=, }} und bei {{ Relationskette |a |\neq|0 || || || |SZ= }} wird {{mathl|term= a^{-n}|SZ=}} als {{mathl|term=(a^{-1})^n |SZ=}} interpretiert. Ein {{Anführung|kurioser}} Körper wird im folgenden Beispiel beschrieben. Dieser Körper mit zwei Elementen ist in der Informatik und der Kodierungstheorie wichtig, wird für uns aber keine große Rolle spielen. Er zeigt, dass es nicht für jeden Körper sinnvoll ist, seine Elemente auf der Zahlengeraden zu verorten. {{ inputbeispiel |Körper/Zwei Elemente/Beispiel|| }} Die folgenden Eigenschaften sind für den Körper der reellen Zahlen vertraut, wir beweisen sie aber allein aus den Axiomen eines Körpers, sie gelten daher für einen beliebigen Körper. {{ inputfaktbeweis2 |Körper/Elementare Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Körpertheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nyc6upl2kjjdae6wqk7ogeb96u546tq 0 147253 1092058 1074496 2026-06-01T12:45:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092058 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Den Abstand zwischen zwei reellen Zahlen {{ mathkor|term1= x |und|term2= x' |SZ= }} bezeichnen wir mit {{ Relationskette | {{op:Abstand|x|x'}} | {{defeq|}} | {{op:Betrag|x-x'|}} || || || || |SZ=. }} Bei einer Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R || |SZ= }} kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Sei {{ Relationskette |x |\in| \R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y ||f(x) || || || |SZ= }} der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte {{math|term= x'|SZ=,}} die {{Anführung|nahe}} an {{math|term= x|SZ=}} sind, auch die Bildpunkte {{mathl|term= f(x')|SZ=}} {{Anführung|nahe}} an {{mathl|term= f(x)|SZ=}} sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlichen Steigungen zeigen, dass die {{Anführung|Nähe}} im Bildbereich nicht mit der {{Anführung|Nähe}} im Definitionsbereich direkt verglichen weden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne des in der siebten Vorlesung erwähnten Approximationsprinzip| |ISZ=|ESZ=, }} dass zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen. Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein {{ Relationskette |\epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Dieses {{math|term=\epsilon|SZ=}} repräsentiert eine {{Anführung|gewünschte Zielgenauigkeit|SZ=.}} Die Frage ist dann, ob man ein {{ Relationskette | \delta |>|0 || || || |SZ= }} finden kann {{ Zusatz/Klammer |text=eine {{Anführung|Startgenauigkeit}}| |ISZ=|ESZ= }} mit der Eigenschaft, dass für alle {{math|term= x'|SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Abstand|x|x'}} |\leq| \delta || || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette | {{op:Abstand|f(x)|f(x')}} |\leq| \epsilon || || || || |SZ= }} gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung. {{ inputdefinition |Reelle Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Allgemein/Definition| }} Bei {{math|term= D|SZ=}} sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass {{math|term= D|SZ=}} ganz {{math|term=\R|SZ=}} ist, oder ein Intervall, oder {{math|term=\R|SZ=}} ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den reellen Zahlen {{ mathkor|term1= \epsilon |und|term2= \delta |SZ= }} kann man genauso gut mit Stammbrüchen {{ mathkor|term1= {{op:Bruch|1|n}} |und|term2= {{op:Bruch|1|m}} |SZ= }} arbeiten. {{ inputbeispiel |Reelle Funktion/Stetig/Konstant/Identität/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reelle Funktion/Indikatorfunktion nichtnegativ/Unstetig/Beispiel|| }} {{ inputbild |WeierstrassFunction|svg|270px {{!}} right {{!}} | |Text=Nicht jede stetige Funktion kann man zeichnen, auch nicht nach beliebiger Vergrößerung. Gezeigt wird eine Approximation einer Weierstraß-Funktion, die stetig ist, aber nirgendwo differenzierbar. Bei einer stetigen Funktion kann man zwar die Größe der Schwankungen im Bildbereich durch Einschränkungen im Definitionsbereich kontrollieren, die Anzahl der Schwankungen {{ Zusatz/Klammer |text=die Anzahl der Richtungswechsel des Graphen| |ISZ=|ESZ= }} kann man aber nicht kontrollieren. |Autor= |Benutzer=Eeyore22 |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die folgende Aussage bringt die Stetigkeit mit konvergenten Folgen in Verbindung. {{ inputfaktbeweis |Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt|Lemma|| |ref1=|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der stetigen reellen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} m39fo68gl32vxxugzqyoyi07u8c8gat 0 147394 1092059 1052279 2026-06-01T12:45:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092059 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Geometric series 14 square|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |Zusname=Geometric_series_14_square |Text=Dieses Bild veranschaulicht das Verhalten der geometrischen Reihe zu {{ Relationskette |x || {{op:Bruch|1|4}} || || || |SZ=. }} Die Grundseite des Quadrates sei {{math|term=2|SZ=,}} dann passt die geometrische Reihe dreimal in dieses Quadrat rein. Der jeweilige Flächeninhalt der drei Reihen ist {{math|term= {{op:Bruch|4|3}} |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Melchoir |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Reihe {{mathl|term={{Reihe|Glied=z^k}}|SZ=}} heißt {{Stichwort|geometrische Reihe|SZ=}} zu {{ Relationskette |z |\in| {{CC|}} || || || |SZ=, }} es geht also um die Summe {{ Math/display|term= 1+z+z^2+z^3+ \ldots |SZ=. }} Die Konvergenz hängt wesentlich vom Betrag von {{math|term= z|SZ=}} ab. {{ inputfaktbeweis |Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt|Satz|| ||| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Quotientenkriterium|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Reihe/Quotientenkriterium/Fakt|Satz|| ||zusatz1=Fußnote| }} {{ inputbeispiel |Koch Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Flächenkonvergenz und Längendivergenz/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2e2xp9j0gwbn6lswfqmkoyschpe6asy 0 147396 1092060 1052280 2026-06-01T12:45:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092060 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Geometric series 14 square|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} right {{!}} |Zusname=Geometric_series_14_square |Text=Dieses Bild veranschaulicht das Verhalten der geometrischen Reihe zu {{ Relationskette | x || {{op:Bruch|1|4}} || || || |SZ=. }} Die Grundseite des Quadrates sei {{math|term=2|SZ=,}} dann passt die geometrische Reihe dreimal in dieses Quadrat rein. Der jeweilige Flächeninhalt der drei Reihen ist {{math|term= {{op:Bruch|4|3}} |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Melchoir |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die Reihe {{mathl|term={{Reihe|Glied=x^k}}|SZ=}} heißt {{Stichwort|geometrische Reihe|SZ=}} zu {{ Relationskette |x |\in| \R || || || |SZ=, }} es geht also um die Summe {{ Math/display|term= 1+x+x^2+x^3+ \ldots |SZ=. }} Die Konvergenz hängt wesentlich vom Betrag von {{math|term= x|SZ=}} ab. {{ inputfaktbeweis |Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt|Satz|| ||| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Quotientenkriterium|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Reelle Reihe/Quotientenkriterium/Fakt|Satz|| ||zusatz1=Fußnote| }} {{ inputbeispiel |Koch Schneeflocke/Rekursiv/Beschreibung/Flächenkonvergenz und Längendivergenz/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Reihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} myu3ovs0ptx8k4fg5yxz7malhgt8zy5 0 147404 1092061 1073479 2026-06-01T12:45:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092061 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Potenzreihe/Definition|| }} Bei Potenzreihen ist es wichtig, dass man {{math|term= x|SZ=}} variieren kann und dass die Potenzreihe in einem {{Stichwort|Konvergenzintervall|SZ=}} eine Funktion in {{math|term= x|SZ=}} darstellt. Jedes Polynom ist eine Potenzreihe, bei der allerdings alle Koeffizienten ab einem bestimmten Glied gleich {{math|term=0|SZ=}} sind. In diesem Fall hat man kein Konvergenzproblem. Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der {{math|term=9|SZ=}}ten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe {{mathl|term= \sum_{n=0}^\infty x^n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=hier sind alle Koeffizienten gleich {{math|term=1|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} die für {{ Relationskette | {{op:Betrag|x|}} |<| 1 || || || |SZ= }} konvergiert und dort die Funktion {{mathl|term=1/(1-x)|SZ=}} darstellt, siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Geometrische Reihe/Reell/Konvergenzbeschreibung/Absolut/Fakt |Nr= |SZ=. }} Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die {{Stichwort|Exponentialreihe|SZ=,}} die für jede reelle Zahl konvergiert und zur {{Stichwort|reellen Exponentialfunktion|msw=reelle Exponentialfunktion|SZ=}} führt. Ihre Umkehrfunktion ist der {{Stichwort|natürliche Logarithmus|SZ=.}} Das Konvergenzverhalten einer Potenzreihe wird durch den folgenden Satz beschrieben. {{ inputfaktbeweisverweishier |Reelle Potenzreihe/Konvergenz/Stetige Funktion/Fakt|Satz||Verweistext=Der Beweis beruht auf einer systematischen Untersuchung für Potenzreihen und dem Limes von Funktionenfolgen. Wir werden ihn nicht durch{{drucktrenn}}führen. || }} Wenn zwei Funktionen durch Potenzreihen gegeben sind, so wird ihre Summe einfach durch die {{ Zusatz/Klammer |text=koeffizientenweise definierte| |ISZ=|ESZ= }} Summe der Potenzreihen beschrieben. Es ist keineswegs selbstverständlich, durch welche Potenzreihe ihr Produkt beschrieben werden kann. Die Antwort gibt das Cauchy-Produkt von Reihen. {{ inputdefinition |Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Definition|| }} Auch für die folgende Aussage geben wir keinen Beweis. {{ inputfakt |Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt|Lemma|| || }} Dies hat die Auswirkung, dass das Produkt von Potenzreihen durch eine Potenzreihe gegeben ist, deren Koeffizienten sich wie bei der Multiplikation von Polynomen ergeben, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Potenzreihen/R/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Potenzreihen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} el6y49ijyoe8t0q7zn7qbyt5z5hreup 0 147427 1092056 1074493 2026-06-01T12:44:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092056 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Tangente2|gif| 300px {{!}} right {{!}} | |Autor= |Benutzer=Loveless |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} In diesem Abschnitt betrachten wir Funktionen {{ Abbildung/display |name=f |D| \R || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette |D |\subseteq|\R || || || |SZ= }} eine Teilmenge ist. Wir wollen erklären, wann eine solche Funktion in einem Punkt {{ Relationskette |a |\in|D || || || |SZ= }} differenzierbar ist. Die intuitive Idee ist dabei, für einen weiteren Punkt {{ Relationskette |x |\in|D || || || |SZ= }} die {{Stichwort|Sekante}} durch die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (a,f(a)) |und|term2= (x,f(x)) |SZ= }} des Funktionsgraphen zu ziehen und dann {{Anführung|{{math|term= x|SZ=}} gegen {{math|term= a|SZ=}} laufen zu lassen|SZ=.}} Wenn sich dieser Grenzwertprozess sinnvoll durchführen lässt, so wird aus den Sekanten eine Tangente. Dieser Grenzwertprozess wird über den Begriff des Grenzwertes einer Funktion präzise gefasst, den wir im Anschluss an die Stetigkeit eingeführt haben. {{ inputdefinition |Differenzenquotient/D in R/Definition|| }} Der Differenzenquotient ist die Steigung der Sekante am Graph durch die beiden Punkte {{ mathkor|term1= (a,f(a)) |und|term2= (x,f(x)) |SZ=. }} Für {{ Relationskette |x ||a || || || |SZ= }} ist dieser Quotient {{Betonung/Negation|nicht}} definiert. Allerdings kann ein sinnvoller Limes für {{mathl|term= x \rightarrow a |SZ=}} existieren. Dieser repräsentiert dann die Steigung der {{Stichwort|Tangente|SZ=}} an {{math|term= f|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= (a,f(a)) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder an der Stelle {{math|term= a|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Differenzierbar/D in R/Über Limes/Definition|| }} Die Ableitung in einem Punkt {{math|term= a|SZ=}} ist, falls sie existiert, ein Element in {{math|term= \R |SZ=.}} Häufig nimmt man die Differenz {{ Relationskette |h |{{defeq|}} | x-a || || || |SZ= }} als Parameter für den Limes des Differenzenquotienten, und lässt {{math|term= h|SZ=}} gegen {{math|term=0|SZ=}} gehen, d.h. man betrachtet {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes|h|0|\frac{f(a+h)-f(a)}{h} }} |SZ=. }} Die Bedingung {{ Relationskette |x |\in|D \setminus \{a\} || || || |SZ= }} wird dann zu {{ mathbed|term= a+h \in D ||bedterm1= h \neq 0 ||bedterm2= |SZ=. }} Wenn die Funktion {{math|term= f|SZ=}} einen eindimensionalen Bewegungsvorgang beschreibt, also eine von der Zeit abhängige Bewegung auf einer Strecke, so ist der Differenzenquotient {{mathl|term= {{op:Bruch|f(x)-f(a)|x-a}} |SZ=}} die {{ Zusatz/Klammer |text=effektive| |ISZ=|ESZ= }} Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen den Zeitpunkten {{ mathkor|term1= a |und|term2= x |SZ= }} und {{mathl|term= f'(a) |SZ=}} ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt {{math|term= a|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Ableitung/R/Affin-lineare Funktion/Direkt/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Ableitung/R/Quadrieren/Direkt/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0i0yns07wrhrs7of9w7op3fhnc7oe1g 0 148252 1092016 1033821 2026-06-01T12:38:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092016 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Definition|| }} Zu einem gegebenen Orthonormalsystem {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} und einem Vektor {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} spielen die Koeffizienten {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|v,v_i |}} |SZ=}} eine wichtige Rolle, man spricht von den {{Stichwort|Fourierkoeffizienten|msw=Fourierkoeffizient|SZ=}} des Vektors bezüglich des Systems, wobei diese Sprechweise insbesondere im Kontext von Fourierreihen verwendet wird. Eine wichtige Frage ist, in welcher Beziehung {{math|term= v |SZ=}} zu {{mathl|term= \sum_{i \in I} {{op:Skalarprodukt|v,v_i |}} v_i |SZ=}} steht, wobei bei {{math|term= I |SZ=}} unendlich zuerst zu klären ist, in welchem Sinne eine solche unendlich Summe verstanden werden kann. Im endlichen Fall haben wir folgende Beschreibung, auf die man weitere Resultate zurückführen kann. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Endliches Orthonormalsystem/Beste Approximation/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbeispiel |Endliche Menge/Funktion/Fehlerquadratsumme/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Datensatz/Fehlerquadrate/Lineare Funktion/Fakt|Satz||zusatz1= {{{zusatz1|}}} || }} Den Graphen der approximierenden affin-linearen Funktion im vorstehenden Satz nennt man {{Stichwort|Ausgleichsgerade|msw=|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Lineare Funktion/3 Punkte/Fehlerquadratsumme/Systematisch/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Orthonormalsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ligalks9u1za7ct2wb3oqx3yv8slmuu 0 149541 1091992 1033933 2026-06-01T12:34:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1091992 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{:Differenzierbare Hyperfläche/Offene Menge/Regulär/Situation|SZ=.|zusatz1=zweifach|h=f}} Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | Y || |SZ= }} mit {{ Relationskette | V | \subseteq | \R^{n-1} || || || |SZ= }} offen eine diffeomorphe Parametrisierung einer offenen Menge {{ Relationskette | U | \subseteq | Y || || |SZ=, }} man kann also {{math|term= \varphi^{-1} |SZ=}} als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Karte| |Kontext=Mannigfaltigkeit| |SZ= }} für {{math|term= Y |SZ=}} auffassen. Dabei ist für {{ Relationskette | Q | \in | V || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | \varphi(Q) || P || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | T_{P}Y || {{op:Bild| {{op:Totales Differential|\varphi|Q}} |}} || || || |SZ=, }} es liegt also ein linearer Isomorphismus {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential|\varphi|Q}} |\R^{n-1}| T_{P} Y || |SZ= }} vor, der den Tangentialraum {{mathl|term= T_{P} Y |SZ=}} beschreibt. Die Standardbasisvektoren {{math|term= e_i |SZ=}} werden auf {{ Relationskette | \partial_i \varphi(Q) || {{op:Spaltenvektor| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_1 |u_i | Q}} |\vdots| {{op:Partielle Ableitung|\varphi_n |u_i | Q}} }} || || || |SZ= }} abgebildet und bilden eine Basis des Tangentialraumes. Wenn man {{ Relationskette | Y | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} mit der von der euklidischen Struktur des {{math|term= \R^n |SZ=}} induzierten {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Struktur| |Kontext=| |SZ= }} versieht, so erhält man die Funktionen {{ Relationskette/display | g_{ij}(Q) || {{op:Skalarprodukt| \partial_i \varphi (Q) | \partial_j \varphi (Q) }} || || || |SZ=, }} die man zur ersten Fundamentalmatrix {{ Zusatz/Klammer |text=metrischen Fundamentalmatrix| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | G || {{makl| g_{ij} |}} || || || |SZ= }} zusammenfasst. Die erste Fundamentalmatrix ist durch die riemannsche Struktur von {{math|term= Y |SZ=}} vollständig bestimmt. Die {{ Definitionslink |Prämath= |Weingartenabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= L_{P} | T_{P}Y | T_{P}Y || |SZ= }} kann man bezüglich der Basis {{mathl|term= \partial_i \varphi (Q) |SZ=}} beschreiben. Dies geschieht am besten, wenn man die sogenannte zweite Fundamentalmatrix einführt. Dazu sei {{math|term= Y |SZ=}} durch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitsnormalenfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= N |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |orientiert| |Kontext=Hyperfläche| |SZ=, }} was unter Rückgriff auf die beschreibende Funktion {{math|term= f |SZ=}} möglich ist. Das Einheitsnormalenfeld eingeschränkt auf {{math|term= U |SZ=}} kann man unmittelbar auf {{math|term= V |SZ=}} auffassen. Wegen der vorausgesetzten zweifachen stetigen Differenzierbarkeit von {{math|term= f |SZ=}} und der von {{math|term= \varphi |SZ=}} ist das Einheitsnormalenfeld auf {{math|term= V |SZ=}} differenzierbar. Wir definieren. {{ inputdefinition |Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalmatrix/Definition|| }} In dieser Definition wird auf das Einheitsnormalenfeld und über das Skalarprodukt auf die riemannsche Struktur von {{math|term= Y |SZ=}} Bezug genommen. Die zweite Fundamentalmatrix ist nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Satz von Schwarz|Faktseitenname= Satz von Schwarz/R/Partielle Version/Fakt |Nr= |SZ= }} symmetrisch. {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/R^n/Parametrisierung/Zweite Fundamentalform/Variante/Fakt|Lemma|| || }} Wir beschränken uns nun auf den Fall {{ Relationskette | n || 3 || || || |SZ=. }} Es liegt die erste Fundamentalmatrix {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22|g_{11}|g_{12}|g_{21}|g_{22} }} || {{op:Matrix22| E | F | F|G }} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | g_{ij} || {{op:Skalarprodukt| \partial_i \varphi| \partial_j \varphi}} || || || |SZ= }} vor, wobei wir im jetzigen Kontext die erste Bezeichnung vorziehen, und die zweite Fundamentalmatrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|h_{11}|h_{12}|h_{21}|h_{22} }} |SZ= }} vor. Für die in der folgenden Aussage aufgeführten Voraussetzungen sagt man auch kurz, dass eine {{Stichwort|orientierte Fläche|msw=|SZ=}} oder eine stückweise parametrisierte orientierte Fläche im {{math|term= \R^3 |SZ=}} vorliegt. {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Weingartenabbildung/Fundamentalformen/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten im Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 0t0s1lkg2w8yajt26mhy57b2cq71och 0 149988 1092017 1035653 2026-06-01T12:38:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092017 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Für einen Bruch {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} zu {{ Relationskette | a,b | \in | \N_+ || || || |SZ= }} liefert der Divisionsalgorithmus nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Schriftliche Division/Eigenschaften/Fakt |Nr=3 |SZ= }} eine periodische Entwicklung {{mathl|term= z,z_{-1} z_{-2} \ldots |SZ=.}} die nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Bruch/Divisionsalgorithmus/Dezimalbruchfolge in Q/Fakt |Nr= |SZ= }} die Dezimalbruchfolge zur Zahl {{mathl|term= {{op:Bruch| a |b}} |SZ=}} ist. Zu einer rationalen Zahl gehört also eine periodische Ziffernentwicklung. Die Umkehrung gilt ebenfalls. {{ inputfaktbeweis2 |Rationale Zahl/Charakterisierung mit periodischer Dezimalentwicklung/Fakt|Satz|| || }} Die entsprechende Aussage gilt für die Ziffernentwicklung zu jeder Basis, nicht nur im Dezimalsystem. Eine reelle Zahl mit einer periodischen Ziffernentwicklung wird so geschrieben, dass man einen Strich über die Periode macht, also beispielsweise {{ Math/display|term= 351, 0528 \overline{82700} |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Periodische Entwicklung/Bruch/0,7 41/Beispiel|| |zusatz= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für rationale Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 8qsepvlt7q5kcig4dqq2t536tszm2py 0 150014 1092018 1074471 2026-06-01T12:38:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092018 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Jakob Bernoulli|jpeg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=[[w:Jakob Bernoulli|Jakob Bernoulli (1655-1705)]] bewies erstmals das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf. |Autor= |Benutzer=File Upload Bot (Magnus Manske) |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} In der Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert man sich häufig für asymptotische Aussagen. Dass bei einem einzelnen Münzwurf Kopf und Zahl gleichwahrscheinlich ist, ist eine plausible Definition, aber selbst noch nicht sehr aussagestark. Eine gehaltvolle Aussage wird erst dann daraus, wenn man zeigen kann, dass bei einer häufigen Wiederholung des Experimentes die relative Häufigkeit, wie oft Kopf fällt, sich in der Nähe von {{math|term= {{op:Bruch| 1 |2}} n| SZ=}} befindet, wenn {{math|term= n|SZ=}} die Anzahl der Wiederholungen bezeichnet. In diesem Kontext ist es zunächst wichtig, sich klar zu machen, was eine sinnvolle Formulierung sein könnte und wie hier {{Anführung|in der Nähe von}} zu verstehen ist. Insbesondere muss man sich klar machen, was zu viel erwartet wäre. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem {{math|term= n|SZ=-}}fachen Münzwurf {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= n|SZ=}} gerade| |ISZ=|ESZ= }} genau {{math|term= n/2|SZ=-}}oft Kopf fällt, gleich {{mathl|term= {{op:Bruch| {{op:Binomialkoeffizient| n |n/2}} |2^n}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Münzwurf/Binomialverteilung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Dies ist wahrscheinlicher als jedes andere Ergebnis für die Anzahl der Kopfwürfe. Wenn aber {{math|term= n|SZ=}} gegen unendlich strebt, so wird diese Wahrscheinlichkeit beliebig klein, sie konvergiert gegen {{math|term= 0 |SZ=.}} Auch wenn man einen gewissen Abstand zu der Mitte {{math|term= n/2 |SZ=}} fixiert, wie wenn man sagt, dass die Anzahl der Kopfwürfe zwischen {{ mathkor|term1= n/2 -10 |und|term2= n/2+10 |SZ= }} liegen soll, so geht die Wahrscheinlichkeit dafür gegen {{math|term= 0|SZ=}} für {{math|term= n|SZ=}} gegen unendlich. Dies klingt einleuchtend, wenn man ein sehr großes {{math|term= n|SZ=}} betrachtet. Dass bei einer Million an Münzwürfen die Kopfanzahl im {{ Zusatz/Klammer |text=relativ gesehen kleinen| |ISZ=|ESZ= }} Intervall {{mathl|term= [499 990, 5000 010] |SZ=}} liegen soll, ist doch nicht zu erwarten. Anders sieht es aus, wenn man {{Anführung|in der Nähe von }} anteilig bzw. prozentual versteht. Wenn man sich Intervalle der Form {{ Math/display|term= [ {{op:Bruch| n |2}} - {{op:Bruch| n |10}}, {{op:Bruch| n |2}} + {{op:Bruch| n |10}} ] |SZ= }} anschaut, so sind dies für einige Zehnerpotenzen die Intervalle {{mathl|term= [4,6] |SZ=,}} {{mathl|term= [40,60] |SZ=,}} {{mathl|term=[400,600] |SZ=,}} {{mathl|term= [400 000, 600 000] |SZ=,}} und unser stochastisches Gefühl sagt uns, dass die Wahrscheinlichkeiten zunehmend größer werden, dass die Anzahlen der Kopfwürfe in diesen Intervallen liegen. Diese Beobachtung wird durch das {{Stichwort|Gesetz der großen Zahlen|SZ=}} präzisiert. Es gibt eine ganze Reihe von Aussagen unter diesem Namen, wir beschränken uns auf den Fall eines Münzwurfes. Das folgende Lemma beinhaltet die entscheidenden Abschätzungen, um das Gesetz der großen Zahlen für den Münzwurf zu beweisen. Zur Orientierung: Im zuletzt erwähnten Beispiel muss man {{ Relationskette | \beta || 0,1 || || || |SZ= }} nehmen, es ist {{ Relationskette | n || 1 000 000 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Bruch| n |2}} - {{op:Gaußklammer|\beta n|}} || 400 000 || || || |SZ=. }} Der Beweis liefert eine Abschätzung nach oben dafür, dass bei einem millionenfachen Münzwurf höchstens {{mathl|term= 400 000 |SZ=-}}mal Zahl geworfen wird. {{ inputfaktbeweis |Binomialkoeffizient/Abschätzung zum Mittelpunkt/Summe/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |De moivre-laplace|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Die geeignet normierte Binomialverteilung zu {{math|term= {{op:Bruch| 1 |2}} |SZ=}} {{Anführung|konvergiert}} gegen die sogenannte Normalverteilung. |Autor= |Benutzer=Stpasha |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis2 |Binomialverteilung/Münzwurf/Gesetz der großen Zahlen/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Binomialverteilung |Kategorie2=Das Gesetz der großen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} imv0pasbqbde5azzgy9rf59uzv4g46b 0 150259 1092041 1032488 2026-06-01T12:42:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ=. }} Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Kurve| |Kontext=Mfkt| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \gamma | I | M || |SZ= }} ist {{ Abbildung/display |name= \gamma' | I|TM || |SZ= }} eine Kurve im Tangentialbündel, die eine Liftung zu {{math|term= \gamma |SZ=}} ist. Wenn diese wiederum differenzierbar ist, so erhält man eine Kurve {{ Abbildung/display |name= \gamma^{\prime \prime} | I|TTM || |SZ=, }} die man aber nicht mit {{math|term= \gamma' |SZ=}} in Bezug setzen kann, da sie in einem anderen Raum landet. Wenn hingegen auf {{math|term= TM |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhang| |Kontext=Vektorbündel| |SZ= }} gegeben ist, so kann man über die {{ Zusatz/Klammer |text=zurückgezogene| |ISZ=|ESZ= }} vertikale Ableitung die zweite Ableitung über {{mathl|term= \nabla_{ \partial } \gamma' |SZ=}} definieren. {{ inputdefinition |Riemannsche Mannigfaltigkeit/Levi-Civita-Zusammenhang/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/Definition|| }} Man schreibt dafür auch {{mathl|term= {{Vertikalprojektion}} \circ \gamma^{\prime \prime} |SZ=}} bzw. {{ Zusatz/Klammer |text=als vertikale Ableitung längs {{math|term= \gamma |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= \nabla_\partial \gamma' |SZ=,}} wobei {{ Abbildung/display |name= \gamma' | I | TM || |SZ= }} als Schnitt im Tangentialbündel längs des Weges {{math|term= \gamma |SZ=}} aufgefasst und die Abbildungskette {{ Math/display|term= I \stackrel{\partial}{\longrightarrow} I \times \R {{=}} TI \stackrel{T(\gamma')}{\longrightarrow} TTM \stackrel{ {{Vertikalprojektion|}} }{\longrightarrow} TM |SZ= }} betrachtet wird. {{ inputfaktbeweis |Hyperfläche/Zweite Ableitung einer Kurve/Direkt und über Zusammenhang/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Levi-Civita-Zusammenhangs auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 5ynqot98cs6ivljt7qe5596rwkgfpyk 0 150509 1092042 1074485 2026-06-01T12:42:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092042 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Im {{math|term=\R^2|SZ=}} ist der Abstand zwischen zwei Punkten {{ Relationskette |P,Q |\in| \R^2 || || || |SZ= }} eine positive reelle Zahl {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. gleich {{math|term=0|SZ=,}} falls die Punkte zusammenfallen| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn die beiden Punkte in Koordinaten gegeben sind, also {{ mathkor|term1= P=(x_1,y_1) |und|term2= Q=(x_2,y_2) |SZ=, }} so ist der Abstand gleich {{ Relationskette/display | d(P,Q) || \sqrt{ (x_2-x_1)^2+ (y_2-y_1)^2 } || || || |SZ=. }} Diese Gleichung beruht auf dem Satz des Pythagoras. Speziell besitzt jeder Punkt {{ Relationskette |P || (x,y) || || || |SZ= }} zum Nullpunkt {{mathl|term= (0,0) |SZ=}} den Abstand {{ Math/display|term= \sqrt{x^2 +y^2} |SZ=. }} Weil die Koordinaten reelle Zahlen sind, sind auch die Abstände reelle Zahlen. Wenn ein Punkt {{math|term= M|SZ=}} und eine positive reelle Zahl {{math|term= r|SZ=}} fixiert sind, so nennt man die Menge aller Punkte der Ebene, die zu {{math|term= M|SZ=}} den Abstand {{math|term= r|SZ=}} besitzen, den Kreis um {{math|term= M|SZ=}} mit Radius {{math|term= r|SZ=.}} In Koordinaten sieht die Definition folgendermaßen aus. {{ inputbild |Disk 1|svg|100px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Paris 16 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |R^2/Kreislinie/Definition|| }} Von Kreislinie spricht man, um zu betonen, dass man nicht den Vollkreis {{ Zusatz/Klammer |text=die Kreisscheibe| |ISZ=|ESZ= }} meint, sondern nur den Rand. Alle Kreise sind wesensgleich, es kommt für die wichtigsten Eigenschaften des Kreises nicht auf den Mittelpunkt und nicht auf den Radius an. Von daher ist der Einheitskreis der einfachste Kreis, der alle Kreise repräsentiert. {{ inputdefinition |Einheitskreis/Reell/Definition|| }} {{ inputbild |Unit circle|svg| 250px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Unit_circle |Text= |Autor= |Benutzer=Gustavb |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Der Einheitskreis besitzt dem Radius {{math|term=1|SZ=}} und den Mittelpunkt {{ Relationskette |0 || (0,0) || || || |SZ=. }} Die trigonometrischen Funktionen {{Stichwort|Sinus|SZ=}} und {{Stichwort|Kosinus|SZ=}} werden in einem naiven Zugang am Einheitskreis definiert. Ein {{Anführung|Winkel}} {{math|term= \alpha |SZ=}} am Nullpunkt {{ Zusatz/Klammer |text=und von der positiven {{Anführung|{{math|term= x|SZ=-}}Achse|}} aus {{Anführung|gegen den Uhrzeigersinn|}} gemessen| |ISZ=.|ESZ= }} definiert eine vom Nullpunkt ausgehende {{Anführung|Halbgerade|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Anführung|Strahl|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Da diese einen eindeutigen Durchstoßungspunkt {{ Relationskette |P(\alpha) || (x,y) || || || |SZ= }} mit der Einheitskreislinie besitzt, definiert der Winkel auch einen eindeutigen Punkt auf dem Einheitskreis. Dessen Koordinaten sind nach Definition gleich {{ Relationskette/display | P(\alpha) || ({{op:cos|\alpha|}}, {{op:sin|\alpha|}} ) || || || || |SZ=, }} d.h. die {{math|term= x |SZ=-}}Koordinate wird durch den Kosinus und die {{math|term= y|SZ=-}}Koordinate wird durch den Sinus angegeben. Dadurch sind einige wichtige Eigenschaften direkt klar: {{ Aufzählung5 |Es gilt {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:cos|\alpha|}} |}}^2 + {{makl| {{op:sin|\alpha|}} |}}^2 || 1 || || || |SZ=. }} |Es ist {{ mathkor|term1= {{op:cos|0|}} =1 |und|term2= {{op:sin|0|}} =0 |SZ=. }} |Wenn der Winkel {{math|term=\beta|SZ=}} eine Vierteldrehung bezeichnet, so ist {{ mathkor|term1= {{op:cos|\beta|}} = 0 |und|term2= {{op:sin|\beta|}} = 1 |SZ=. }} |Es ist {{ mathkor|term1= {{op:cos(|-\alpha|}} = {{op:cos|\alpha|}} |und|term2= {{op:sin(|-\alpha|}} = - {{op:sin|\alpha|}} |SZ=. }} Dabei bezeichnet {{math|term=- \alpha|SZ=}} den an der {{math|term= x |SZ=-}}Achse gespiegelten Winkel. |Die Werte von Sinus und Kosinus wiederholen sich nach einer Volldrehung. }} {{ inputbild |Sine cosine plot|svg| 400px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Sine_cosine_plot |Text=Die Graphen von Kosinus und Sinus. Der qualitative Verlauf ist von der naiven Definition her klar. Mit der unten folgenden analytischen Definition über Reihen kann man die Funktionswerte beliebig genau ausrechnen. Für viele wichtige qualitative Eigenschaften wie die Periodizität mit der Periodenlänge {{math|term= 2 \pi |SZ=}} muss man aber die analytische Definition genauer studieren. |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Diese Definition der trigonometrischen Funktionen ist zwar intuitiv klar, sie ist aber in verschiedener Hinsicht unbefriedigend. {{ Aufzählung3 |Es ist nicht klar, wie der Winkel zu messen ist. |Es gibt keinen analytischen {{Anführung|berechenbaren|}} Ausdruck, wie zu einem gegebenen Winkel die Werte von Kosinus und Sinus berechnet werden müssen. |Damit fehlt die Grundlage, um Gesetzmäßigkeiten dieser Funktionen zu beweisen. }} Mit diesen Defiziten hängt auch zusammen, dass wir noch keine präzise Definition für die Kreiszahl {{math|term=\pi|SZ=}} haben. Diese ist bekanntlich gleich dem Kreisinhalt des Einheitskreises und gleich der Hälfte des Kreisumfanges. Doch sind sowohl der {{Anführung|Flächeninhalt ebener berandeter Gebiete|}} als auch die {{Anführung|Länge von gebogenen Kurven|}} problematische Begriffe. Von daher ist es in der höheren Mathematik sinnvoll, die Kreisfunktionen über ihre Potenzreihen einzuführen und nach und nach zu beweisen, dass sie die gewünschten Eigenschaften erfüllen. Sodann kann man auch die Kreiszahl {{math|term=\pi|SZ=}} über Eigenschaften dieser Funktionen einführen und letztlich den Winkel als Länge des zugehörigen Kreisbogens einführen, nachdem diese Länge exakt definiert wird{{{zusatz1|.}}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Kreisgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} hllhjh3q5935idwebe4wbq1ssh8h8p3 0 150510 1092043 1074486 2026-06-01T12:42:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092043 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir besprechen einige wichtige Anwendungen der trigonometrischen Funktionen wie Polarkoordinaten, wobei wir die Winkel naiv verstehen und die trigonometrischen Funktionen als geometrisch definiert betrachten. {{ inputbeispiel |Reelle Ebene/Polarkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel|| }} Diese Neuinterpretation der Multiplikation von komplexen Zahlen führt auch zu einem neuen Verständnis der Wurzeln aus komplexen Zahlen, die es aufgrund des Fundamentalsatzes der Algebra geben muss. Wenn {{ Relationskette |z ||r {{op:cos|\alpha|}} +r {{Imaginäre Einheit|}} {{op:sin|\alpha|}} || || || |SZ= }} ist, so ergibt sich, dass {{ Relationskette/display |w || \sqrt[n]{r}{{op:cos| {{op:Bruch|\alpha|n|}}|}} + \sqrt[n]{r} {{Imaginäre Einheit|}} {{op:sin|{{op:Bruch|\alpha|n|}}|}} || || || |SZ= }} eine {{math|term= n|SZ=-}}te Wurzel von {{math|term= z|SZ=}} ist. D.h. man muss für den Betrag der komplexen Zahl die reelle {{math|term= n|SZ=-}}te Wurzel nehmen und den Winkel durch {{math|term= n|SZ=}} teilen. {{ inputbild |Cylindrical Coordinates|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Cylindrical_Coordinates |Text= |Autor= |Benutzer=Inductiveload |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Raum/Zylinderkoordinaten/Winkel naiv/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Polarkoordinaten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 40i4b57m7px15jh1nchvtfs6v666hpy 0 150514 1092021 1018266 2026-06-01T12:39:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092021 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputnotation |Stammfunktion/Bestimmtes Integral/Notation|| }} Diese Notation wird hauptsächlich bei Rechnungen verwendet, vor allem beim Ermitteln von bestimmten Integralen. Mit den früher bestimmten Ableitungen von differenzierbaren Funktionen erhält man sofort eine Liste von Stammfunktionen zu einigen wichtigen Funktionen.{{{zusatz1|}}} Im Allgemeinen ist das Auffinden von Stammfunktionen schwierig. Die Stammfunktion zu {{mathl|term= x^a |SZ=,}} wobei {{ Relationskette |x |\in|\R_+ || || || |SZ= }} und {{ mathbed|term= a \in \R ||bedterm1= a \neq -1 ||bedterm2= |SZ=, }} ist, ist {{mathl|term= {{op:Bruch|1|a+1}}x^{a+1} |SZ=.}} {{ inputbeispiel |Zwei Massen/Bewegung/Differenz der Lageenergie/Beispiel|| }} Die Stammfunktion der Funktion {{mathl|term= {{op:Bruch|1|x}} |SZ=}} ist der natürliche Logarithmus. Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist die Exponentialfunktion selbst. Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:sin|x|}}|SZ=}} ist {{mathl|term= -{{op:cos|x|}} |SZ=,}} die Stammfunktion von {{mathl|term={{op:cos|x|}} |SZ=}} ist {{math|term= {{op:sin|x|}} |SZ=.}} Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1+x^2|}} |SZ=}} ist {{mathl|term= {{op:arctan|x|}} |SZ=}} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Inverse trigonometrische Funktionen/Ableitung/Fakt |Nr=3 |SZ=. }} Die Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:Bruch|1|1-x^2|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=für {{ Relationskette/k | x |\in| {]{-1},1[} || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist {{mathl|term= {{op:Bruch|1|2}} {{op:ln| {{op:Bruch|1+x|1-x}} |}} |SZ=,}} es ist ja {{:Stammfunktion/1 durch 1- x^2/Fakt/Beweis|}} {{Netz oder Druck| Siehe [[Funktionen/Stammfunktionen/Tabelle|hier]] für eine Tabelle von wichtigen Stammfunktionen.|}} Achtung! Integrationsregeln sind nur anwendbar auf Funktionen, die im gesamten Intervall definiert sind. Z.B. gilt {{Betonung/Negation|nicht|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{op:Integral|-a|a|Integrand= {{op:Bruch|1|t^2}} |}} || {{op:Integralstamm|-a|a| - {{op:Bruch|1|x}} }} || - {{op:Bruch|1|a}} - {{op:Bruch|1|a}} || - {{op:Bruch|2|a}} || |SZ=, }} da hier über eine Definitionslücke hinweg integriert wird. {{ inputbeispiel |Stammfunktion und Riemann-Integral/1 durch x sin 1 durch x^2/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} btil2lsnidsxt3vrfmr1ogzspiswnz0 0 150746 1092044 990417 2026-06-01T12:42:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092044 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein endlich erzeugter Vektorraum hat im Allgemeinen ganz unterschiedliche Basen. Allerdings ist die Anzahl der Elemente in einer Basis stets konstant und hängt nur vom Vektorraum ab. Diese wichtige Eigenschaft werden wir jetzt formulieren und als Ausgangspunkt für die Definition der Dimension eines Vektorraums nehmen. {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt|Satz|| }} Dieser Satz erlaubt die folgende Definition. {{ inputdefinition |Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition|| }} Man sagt auch, dass die Dimension aufgrund des vorstehenden Satzes {{Stichwort|wohldefiniert|msw=Wohldefiniertheit|SZ=}} ist. Wenn ein Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, so setzt man {{ Relationskette | {{op:dim vr|V|}} || \infty || || || |SZ=. }} Der Nullraum {{math|term=0|SZ=}} hat die Dimension {{math|term=0|SZ=.}} Einen eindimensionalen Vektorraum nennt man auch eine {{Stichwort|Gerade|SZ=,}} einen zweidimensionalen Vektorraum eine {{Stichwort|Ebene|SZ=,}} einen dreidimensionalen Vektorraum einen {{Stichwort|Raum|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im engeren Sinn| |ISZ=|ESZ=, }} wobei man andererseits auch jeden Vektorraum einen Raum nennt. {{ inputfaktbeweis |Standardraum/K^n/Dimension n/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Reell/Zweidimensional/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Körper/Polynomring/Nicht endlich erzeugt/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisnichtvorgeführt |Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt|Korollar||ref1=des Basisaustausches }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt|Korollar|| | }} {{ inputbeispiel |Vektorräume/Unterräume im K^123/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8d33hnfrq9tnhksdsxqv2zpoogppzws 0 150748 1092045 1018378 2026-06-01T12:43:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092045 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir wissen nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum je zwei Basen die gleiche Länge haben, also die gleiche Anzahl von Basisvektoren besitzen. Jeder Vektor besitzt bezüglich einer jeden Basis eindeutig bestimmte Koordinaten {{ Zusatz/Klammer |text=oder Koeffizienten| |ISZ=|ESZ=. }} Wie verhalten sich diese Koordinaten zu zwei Basen untereinander? Dies beantwortet die folgende Aussage. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt|Lemma|| }} Die Matrix {{mathl|term= {{op:Übergangsmatrix|v|w}} |SZ=,}} die den Basiswechsel von {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} nach {{math|term= {{basis|w}} |SZ=}} beschreibt, nennt man auch die {{Stichwort|Transformationsmatrix|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Übergangsmatrix|SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} In der {{math|term= j|SZ=-}}ten Spalte der Transformationsmatrix stehen also die Koordinaten von {{math|term= v_j |SZ=}} bezüglich der Basis {{math|term={{basis|w}}|SZ=.}} Wenn man zu einer Basis {{math|term= {{basis|v|}} |SZ=}} und einem Vektor {{ Relationskette |u |\in|V || || || |SZ= }} das zugehörige Koordinatentupel mit {{math|term= \Psi_{ {{basis|v|}} } (u) |SZ=}} bezeichnet, so kann man den Übergang kurz als {{ Relationskette/display | \Psi_{ {{basis|w|}} } (u) || {{op:Übergangsmatrix|v|w}} ( \Psi_{ {{basis|v|}} } (u)) || || || |SZ= }} schreiben. {{ inputbeispiel |Basiswechsel/R^2/Standard und 12,-23/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 0eismo92z7mjc0lp0i7clwpw6clv5ey 0 150769 1092046 1018390 2026-06-01T12:43:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092046 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten zu einem Endomorphismus {{ Abbildung |name= \varphi | V | V || |SZ= }} die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend. {{ inputdefinition |Lineare Algebra/Charakteristisches Polynom/Definition||zusatz1=Fußnote }} Für {{ Relationskette | M || {{makl| a_{ij} |}}_{ij} || || || |SZ= }} bedeutet dies {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || {{op:Determinante| {{matrixchar||}} |}} || || || |SZ=. }} {{:Charakteristisches Polynom/Definition/Körper/Bemerkung|zusatz1=Fußnote|opt=Text}} Der Grad des charakteristischen Polynoms ist {{math|term= n|SZ=}} und der Leitkoeffizient ist {{math|term=1|SZ=,}} d.h. die Gestalt ist {{ Relationskette/display/handlinks | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || X^n + c_{n-1}X^{n-1} {{plusdots||}} c_1 X+c_0 || || || |SZ=. }} Es gilt die wichtige Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} (\lambda) || {{op:Determinante(|\lambda {{einheitsmatrix/ab|}} - M |}} || || || |SZ= }} für jedes {{ Relationskette | \lambda |\in| K || || || |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Charakteristisches Polynom/Einsetzen und direkte Determinante/Aufgabe |SZ=. }} Hier wird links die Zahl {{math|term= \lambda |SZ=}} in das Polynom eingesetzt und rechts wird die Determinante von einer Matrix, die von {{math|term= \lambda |SZ=}} abhängt, ausgerechnet. Für eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |V|V || |SZ= }} auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das {{Stichwort|charakteristische Polynom|msw=Charakteristisches Polynom|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} |{{defeq}} | {{op:Charakteristisches Polynom|M|}} || || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= M|SZ=}} eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der {{ Faktlink |Präwort=|Determinantenmultiplikationssatz|Faktseitenname= Determinante/Multiplikationssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Wohldefiniert/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Das charakteristische Polynom der Identität auf einem {{math|term= n|SZ=-}}dimensionalen Vektorraum ist {{ Relationskette/display/druckalign | {{op:Charakteristisches Polynom| {{op:Identität||}} |}} || {{op:Determinante(|XE_n-E_n |}} || (X-1)^n || X^n- nX^{n-1} + \binom{n}{2} X^{n-2} - \binom{n}{3} X^{n-3} + \cdots \pm \binom{n}{2} X^{2} \mp n X \pm 1 || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Eigenwert und charakteristisches Polynom/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Charakteristisches Polynom/0 5 1 0/Eigenwerte/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Charakteristisches Polynom/2 5 -3 4/Eigenwerte/Eigenräume/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Trigonalmatrix/Charakteristisches Polynom/Eigenwerte/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das charakteristische Polynom von Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 45lt9w0mem3ny2lwx1ph80uh5jb7smq 0 150921 1092047 1074490 2026-06-01T12:43:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092047 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Heron von Alexandria|jpg| 200px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Heron_von_Alexandria |Text=[[w:Heron von Alexandria|Heron von Alexandria (1. Jahrhundert n.C.)]] |Autor= |Benutzer=Frank C. Müller |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir beginnen mit einem motivierenden Beispiel. {{ inputbeispiel |Babylonisches Wurzelziehen/Motivierendes Beispiel/R/Beispiel|ref1=| }} Allgemein ergibt sich das folgende Heron-Verfahren. {{ inputbeispiel |Wurzelziehen/Heronverfahren/Angeordneter Körper/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} Das eben beschriebene Verfahren liefert also zu jeder natürlichen Zahl {{math|term= n |SZ=}} eine reelle Zahl, die eine durch eine gewisse algebraische Eigenschaft charakterisierte Zahl beliebig gut approximiert. Bei vielen technischen Anwendungen genügt es, gewisse Zahlen nur hinreichend genau zu kennen, wobei allerdings die benötigte Güte der Approximation von der technischen Zielsetzung abhängt. Es gibt im Allgemeinen keine Güte, die für jede vorstellbare Anwendung ausreicht, so dass es wichtig ist zu wissen, wie man eine gute Approximation durch eine bessere Approximation ersetzen kann und wie viele Schritte man machen muss, um eine gewünschte Approximation zu erreichen. Dies führt zu den Begriffen Folge und Konvergenz. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Folge/Definition|| }} Eine Folge wird zumeist als {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=,}} oder einfach nur kurz als {{mathl|term= (x_n)_n |SZ=}} geschrieben. Die oben zu einem Startglied {{math|term= x_0 |SZ=}} rekursiv definierten Zahlen zur Berechnung von {{math|term= \sqrt{c} |SZ=}} sind ein Beispiel für eine Folge. Manchmal sind Folgen nicht für alle natürlichen Zahlen definiert, sondern nur für alle natürlichen Zahlen {{math|term= \geq N |SZ=.}} Alle Begriffe und Aussagen lassen sich dann sinngemäß auch auf diese Situation übertragen. {{ inputdefinition |Reelle Zahlen/Folge/Limes und Konvergenz/Definition|| }} Man sollte sich dabei das vorgegebene {{math|term= \epsilon |SZ=}} als eine kleine, aber positive Zahl vorstellen, die eine gewünschte {{Stichwort|Zielgenauigkeit|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder erlaubten Fehler| |ISZ=|ESZ= }} ausdrückt. Die natürliche Zahl {{math|term= n_0 |SZ=}} ist dann die {{Stichwort|Aufwandszahl|SZ=,}} die beschreibt, wie weit man gehen muss, um die gewünschte Zielgenauigkeit zu erreichen, und zwar so zu erreichen, dass alle ab {{math|term= n_0 |SZ=}} folgenden Glieder innerhalb dieser Zielgenauigkeit bleiben. Konvergenz bedeutet demnach, dass man jede gewünschte Genauigkeit bei hinreichend großem Aufwand auch erreichen kann. Je kleiner der Fehler, also je besser die Approximation sein soll, desto höher ist im Allgemeinen der Aufwand. Statt mit beliebigen positiven reellen Zahlen {{math|term= \epsilon |SZ=}} kann man auch mit den {{Stichwort|Stammbrüchen|msw=Stammbruch|SZ=,}} also den rationalen Zahlen {{ mathbed|term= {{op:Bruch|1|k}} ||bedterm1= k \in \N_+ ||bedterm2= |SZ=, }} arbeiten, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reelle Folge/Konvergenz/Mit Stammbrüchen/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} oder mit den inversen Zehnerpotenzen {{ mathbed|term= {{op:Bruch|1|10^\ell}} ||bedterm1= \ell \in \N ||bedterm2= |SZ=. }} Zu einem {{ Relationskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} und einer reellen Zahl {{math|term= x |SZ=}} nennt man das Intervall {{mathl|term= ]x- \epsilon, x + \epsilon[ |SZ=}} auch die {{math|term= \epsilon|SZ=-}}{{Stichwort|Umgebung|SZ=}} von {{math|term= x |SZ=.}} Eine Folge, die gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert, heißt {{Stichwort|Nullfolge|SZ=.}} {{ inputbild |Konvergenz|svg| 400px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Matthias Vogelgesang |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Cauchy sequence - example|png| 300px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Cauchy_sequence_-_example |Autor= |Benutzer=Pred |Domäne=da.wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Reelle Zahlen/Konvergente Standardfolgen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Reelle Zahlen/1 durch 3/Dezimalbruchfolge/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Reelle Zahlen/Folge/Eindeutiger Limes/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der reellen Folgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ehy0j091qytprzdq9ev3jkhh0bgeqy3 0 151018 1092048 1033456 2026-06-01T12:43:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092048 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbemerkung |Hyperfläche/Kurve/Beschleunigung/Bemerkung|| }} Bei einer Hyperfläche {{ Relationskette | Y | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} und einem Punkt {{ Relationskette | P | \in | Y || || || |SZ= }} kann man stets den umgebenden Raum {{math|term= \R^n |SZ=,}} aufgefasst als Tangentialraum von {{math|term= \R^n |SZ=}} in {{math|term= P |SZ=,}} orthogonal zerlegen als {{ Relationskette/display | \R^n || T_PY \oplus N_PY || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= N_PY |SZ=}} eine Gerade ist, die aus allen zu {{math|term= T_PY |SZ=}} orthogonalen Punkten besteht und die {{Stichwort|Normalengerade|msw=|SZ=}} heißt. Die Normalengerade besteht aus allen Vielfachen des Gradienten {{mathl|term= {{op:Gradient| h | P}} |SZ=}} zu {{math|term= P |SZ=,}} wenn {{math|term= h |SZ=}} eine beschreibende Funktion für {{math|term= Y |SZ=}} bezeichnet. Ein {{Stichwort|Normalenvektor|msw=|SZ=}} ist ein Element der Normalegeraden mit Norm {{math|term= 1 |SZ=,}} wovon es zwei gibt, die zueinander negativ sind. Durch die {{ Definitionslink |Prämath= |orthogonale Projektion| |Kontext=| |SZ= }} längs {{math|term= N_PY |SZ=,}} also die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \pi_P |\R^n | T_PY || |SZ= }} kann man jedem Vektor im {{math|term= \R^n |SZ=}} einen Vektor im Tangentialraum zuordnen. {{ inputdefinition |Hyperfläche/Differenzierbare Kurve/Zweite tangentiale Ableitung/Definition|| }} Die Idee von einer zweiten Ableitung, die tangential zur Hyperfläche ist, wird allgemein im Kontext von den sogenannten Zusammenhängen weiterentwickelt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ojwg3ri5939qtrcuvdccut088fgcae6 0 151313 1092009 1036618 2026-06-01T12:37:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092009 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{:Tight closure/localization problem/description}} {{inputfaktbeweis/en|Tight closure/localization/geometric deformation over one dimensional domain/Fakt|Proposition|}} In order to get a counterexample to the localization property we will look now at geometric deformations: {{ Relationskette/display | D || {\mathbb F}_p[t] |\subset | {\mathbb F}_p[t][x,y,z]/(g) || S || || || |SZ=, }} where {{math|term= t|SZ=}} has degree {{math|term= 0 |SZ=}} and {{mathl|term= x,y,z |SZ=}} have degree {{math|term= 1 |SZ=}} and {{math|term= g |SZ=}} is homogeneous. Then {{ Zusatz/Klammer |text=for every field {{ Relationskette/k | {\mathbb F}_p[t] |\subseteq | K || || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= S \otimes_{ {\mathbb F}_p [t]} K |SZ= }} is a two-dimensional standard-graded ring over {{math|term= K |SZ=.}} For residue class fields of points of {{ Relationskette | {{op:Affine Gerade| {\mathbb F}_p |}} || {{op:Spec| {\mathbb F}_p [t] }} || || || |SZ= }} we have basically two possibilities. {{Auflistung2 | {{ Relationskette | K || {\mathbb F}_p (t) || || || |SZ=, }} the function field. This is the {{Betonung|term=generic}} or {{Betonung|term=transcendental}} case. | {{ Relationskette | K || {\mathbb F}_q || || || |SZ=, }} the {{Betonung|term=special}} or {{Betonung|term=algebraic}} or {{Betonung|term=finite}} case.}} How does {{ Relationskette | f | \in | I^* || || || |SZ= }} vary with {{math|term= K |SZ=?}} To analyze the behavior of tight closure in such a family we can use what we know in the two-dimensional standard-graded situation. In order to establish an example where tight closure does not behave uniformly under a geometric deformation we first need a situation where strong semistability does not behave uniformly. Such an example was given, in terms of Hilbert-Kunz theory, by Paul Monsky in 1998{{latexcite|monskypoints4quartics|}}. {{inputbeispiel/en|Hilbert-Kunz multiplicity/Monsky-Quartic for weird deformation behavior/example/short description|}} By the geometric interpretation of Hilbert-Kunz theory this means that the restricted cotangent bundle {{ Relationskette/display | {{op:Syz|x,y,z}} || (\Omega_{ {{op:Projektive Ebene||}} }) {{|}}_C || || || |SZ= }} is strongly semistable in the transcendental case, but not strongly semistable in the algebraic case. In fact, for {{ Relationskette | d || \deg(\alpha) || || || |SZ=, }} {{mathl|term= t \mapsto \alpha|SZ=,}} where {{ Relationskette | L || \mathbb F_2(\alpha) || || || |SZ=, }} the {{math|term= d|SZ=-}}th Frobenius pull-back destabilizes {{ Zusatz/Klammer |text=meaning that it is not semistable anymore| |ISZ=|ESZ=. }} The maximal ideal {{mathl|term= (x,y,z) |SZ=}} can not be used directly. However, we look at the second Frobenius pull-back which is {{ Zusatz/Klammer |text=characteristic two| |ISZ=|ESZ= }} just {{ Relationskette/display | I || {{makl| x^4,y^4,z^4 |}} || || || |SZ=. }} By the degree formula we have to look for an element of degree {{math|term= 6 |SZ=.}} Let's take {{ Relationskette | f || y^3z^3 || || || |SZ=. }} This is our example {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term= x^3y^3 }} does not work| |ISZ=|ESZ=. }} First, by strong semistability in the transcendental case we have {{ Math/display|term= f \in I^* \text{ in } S \otimes {\mathbb F}_2(t) |SZ= }} by the degree formula. If localization would hold, then {{math|term= f |SZ=}} would also belong to the tight closure of {{math|term= I |SZ=}} for almost all algebraic instances {{ Relationskette | {\mathbb F}_q || {\mathbb F}_2(\alpha) || || || |SZ=, }} {{mathl|term= t \mapsto \alpha |SZ=.}} Contrary to that we show that for all algebraic instances the element {{math|term= f |SZ=}} belongs never to the tight closure of {{math|term= I |SZ=.}} {{inputfaktbeweisverweis/en |Tight closure/Monsky-Quartic/explicit not inclusion/Fakt|Lemma|}} {{inputfaktbeweisverweis/en |Tight closure/does not commute with localization/Fakt|Theorem|}} In terms of affineness {{ Zusatz/Klammer |text=or local cohomology| |ISZ=|ESZ= }} this example has the following properties: the ideal {{ Relationskette/display | (x,y,z) |\subseteq | {\mathbb F}_2(t)[x,y,z,s_1,s_2,s_3]/ {{makl| g, s_1x^4+s_2y^4+s_3z^4+ y^3z^3 |}} || || || || |SZ= }} has cohomological dimension {{math|term= 1 |SZ=}} if {{math|term= t |SZ=}} is transcendental and has cohomological dimension {{math|term= 0 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=equivalently, {{mathlk|term= D(x,y,z) |SZ=}} is an affine scheme| |ISZ=|ESZ= }} if {{math|term= t |SZ=}} is algebraic. {{inputfaktbeweisverweis/en |Tight closure/is not plus closure/graded dimension two/Fakt|Corollary|}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Tight closure |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} sd4p5if7nt7horrbipadcx2rf2a899p 0 151314 1091993 1034301 2026-06-01T12:34:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1091993 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{:Inhomogeneous linear equation/System/Geometric situation/description}} These objects {{math|term= T|SZ=}} have new and sometimes difficult global properties which we try to understand in these lectures. We will work mainly in an algebraic setting and restrict to the situation where just one equation {{ Relationskette/display | f_1T_1 {{plusdots|}} f_nT_n || f || || || |SZ= }} is given. Then in the homogeneous case {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | f || 0 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} the fibers are vector spaces of dimension {{ mathkor|term1= n-1 |or|term2= n |SZ=, }} and the later holds exactly for the points {{ Relationskette | P | \in | X || || || |SZ= }} where {{ Relationskette | f_1(P) || \ldots || f_n(P) || 0 |SZ=. }} In the inhomogeneous case the fibers are either empty or of dimension {{ mathkor|term1= n-1 |or|term2= n |SZ=. }} We give some typical examples. {{ inputbeispiel/en |Erzwingende Gleichung/Gerade/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel/en |Erzwingende Gleichung/Ebene/Monomiale Parametersituation/Beispiel|| }} In {{ Zusatz/Klammer |text=most of| |ISZ=|ESZ= }} these example we can observe the following behavior. On an open subset, the dimension of the fibers is constant and equals {{mathl|term= n-1 |SZ=,}} whereas the fiber over some special points degenerates to an {{math|term= n |SZ=-}}dimensional solution set {{ Zusatz/Klammer |text=or becomes empty| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie= |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} s4m8f0p08w2moicsgv7p8vf1zcvjckz 0 151317 1092010 1036622 2026-06-01T12:37:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092010 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{:Tight closure/situation/description for domains}} The element {{math|term= f |SZ=}} defines the cohomology class {{ Relationskette | c | \in | H^1(D(I), {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n |}}) || || || |SZ=. }} Suppose that {{math|term= R |SZ=}} is normal and that {{math|term= I |SZ=}} has height at least {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=think of a local normal domain of dimension at least {{math|term= 2 |SZ=}} and an {{math|term= {{idealm|}} |SZ=-}}primary ideal {{math|term= I |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Then the {{math|term= e |SZ=}}th Frobenius pull-back of the cohomology class is {{ Relationskette/display | F^{e*} (c) | \in | H^1(D(I), F^{e*} ( {{op:Syz|f_1 {{kommadots|}} f_n |}} ) | \cong | H^1(D(I), {{op:Syz|f_1^q {{kommadots|}} f_n^q|}}) || || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | q || p^e || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} and this is the cohomology class corresponding to {{math|term= f^q |SZ=.}} By the height assumption, {{ Relationskette | z F^{e*} (c) || 0 || || || |SZ= }} if and only if {{ Relationskette | zf^q | \in | {{makl| f_1^q {{kommadots}} f_n^q |}} || || || |SZ=, }} and if this holds for all {{math|term= e|SZ=}} then {{ Relationskette | f | \in | I^* || || || |SZ= }} by definition. This shows already that tight closure under the given conditions does only depend on the cohomology class. This is also a consequence of the following theorem of Hochster{{latexcite|hochstersolid|Theorem 8.6}} which gives a characterization of tight closure in terms of forcing algebra and local cohomology. {{inputfakt|Forcing algebras/Relation to tight closure/Local cohomology/Characterization/Fakt|Theorem||| A=B}} If the dimension {{math|term= d }} is at least two, then {{Math/display|term= H^d_{{idealm}} (R) \longrightarrow H^d_{{idealm}} (B) \cong H^d_{ {{idealm}} B} (B) \cong H^{d-1}(D({{idealm}} B), {{op:Strukturgarbe|B}} ) |SZ=.}} This means that we have to look at the cohomological properties of the complement of the exceptional fiber over the closed point, i.e. the torsor given by these data. If {{ Relationskette | H^{d-1} (D({{idealm}} B), {{op:Strukturgarbe|B}} ) || 0 || || || |SZ= }} then this is true for all quasicoherent sheaves instead of the structure sheaf. This property can be expressed by saying that the {{Stichwort/-|cohomological dimension|SZ=}} of {{mathl|term= D ({{idealm}} B) |SZ=}} is {{mathl|term= \leq d-2 |SZ=}} and thus smaller than the cohomological dimension of the punctured spectrum {{mathl|term= D( {{idealm|}} ) |SZ=,}} which is exactly {{mathl|term= d-1 |SZ=.}} So belonging to tight closure can be rephrased by saying that the formation of the corresponding torsor does not change the cohomological dimension. If the dimension is two, then we have to look whether the first cohomology of the structure sheaf vanishes. This is true {{ Zusatz/Klammer |text=by Serre's {{ Faktlink |Präwort=|cohomological criterion|Faktseitenname= Noethersches Schema/Affin/Kohomologisches Kriterium/en/Fakt |Nr= |SZ= }} for affineness| |ISZ=|ESZ= }} if and only if the open subset {{mathl|term= D( {{idealm|}} B) }} is an {{Betonung|term=affine scheme}} {{ Zusatz/Klammer |text=the spectrum of a ring| |ISZ=|ESZ=. }} The right hand side of the equivalence in {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Forcing algebras/Relation to tight closure/Local cohomology/Characterization/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Zusatz/Gs |text=the non-vanishing of the top-dimensional local cohomology| |ISZ=|ESZ= }} is independent of any characteristic assumption, and can be taken as the basis for the definition of another closure operation, called {{Stichwort/-|solid closure|SZ=.}} So the theorem above says that in positive characteristic tight closure and solid closure coincide. There is also a definition of tight closure for algebras over a field of characteristic {{math|term= 0 |SZ=}} by reduction to positive characteristic. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Tight closure |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} eclg0drecqw23mvyxyxm5xgmsxym0rr 0 153181 1092052 1072453 2026-06-01T12:44:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092052 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition|| }} Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. D.h. man setzt {{ Relationskette/display | F \cdot G || {{makl| {{potreiein|i|a|T}} |}} {{makl| {{potreiein|j|b|T}} |}} || {{potreiein|k|c|T}} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c_k || \sum_{i {{=}} 0}^k a_i b_{k-i} || || || |SZ=. }} Die Multiplikation ist also durch das Cauchy-Produkt gegeben. {{ inputdefinition |Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt|Lemma|| }} {{inputfaktbeweis |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt|Satz| }} {{ inputbeispiel |Formale Potenzreihe/Inverses von 1-T/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} atmorkobybdrzomoqd3hpzc68ws20oe 1092858 1092052 2026-06-02T10:24:27Z Bocardodarapti 2041 1092858 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition|| }} Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. D.h. man setzt {{ Relationskette/display | F \cdot G || {{makl| {{potreiein|i|a|T}} |}} {{makl| {{potreiein|j|b|T}} |}} || {{potreiein|k|c|T}} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | c_k || \sum_{i {{=}} 0}^k a_i b_{k-i} || || || |SZ=. }} Die Multiplikation ist also durch das Cauchy-Produkt gegeben. {{ inputdefinition |Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition|| }} {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt|Lemma|| }} Der Polynomring {{mathl|term= K[T] |SZ=}} ist im Potenzreihenring {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring|K|T}} |SZ=}} als {{ Definitionslink |Prämath= |Unterring| |Kontext=| |SZ= }} enthalten. {{inputfaktbeweis |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt|Satz|}} {{inputfaktbeweis |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Rationale Funktion/Fakt|Korollar|}} {{ inputbeispiel |Formale Potenzreihe/Inverses von 1-T/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oyfdw53rc88rd8iitquz5rc08utkhbs 0 153368 1092053 990436 2026-06-01T12:44:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092053 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der reellen Basis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{imaginäre Einheit|}} |SZ=. }} Entsprechend kann man eine auf einer {{ Zusatz/Klammer |text=zumeist offenen| |ISZ=|ESZ= }} Teilmenge {{ Relationskette | G |\subseteq| {{CC|}} || || || |SZ= }} definerte Funktion {{ Abbildung |name=f | G | {{CC|}} || |SZ= }} auch als eine Abbildung {{ Abbildung |name= |G| \R^2 || |SZ= }} auffassen und die komplexe Differenzierbarkeit in der einen Variablen {{math|term= z |SZ=}} mit der reellen partiellen Differenzierbarkeit der beiden Komponentenfunktionen bezüglich der reellen Koordinaten {{ mathkor|term1= x |und|term2= y |SZ= }} in Beziehung setzen. Beispielsweise ist das komplexe Quadrieren in reellen Koordinaten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |\Complex {{=|}} \R^2 | \Complex {{=|}} \R^2 | z {{=}} x+ y {{imaginäre Einheit|}} | z^2 {{=}} x^2-y^2 + 2xy{{imaginäre Einheit|}} |SZ=, }} bzw., direkt in Spaltenschreibweise, {{ Abbildung/display |name= |\R^2|\R^2 | {{op:Spaltenvektor|x|y}} |{{op:Spaltenvektor|x^2-y^2 | 2xy}} |SZ=. }} Die Bedingungen in der folgenden Aussage heißen die {{Stichwort|Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Differenzierbarkeit/C nach C/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Komplexes Quadrieren/Reell/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zwei reelle Polynome in zwei Variablen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} krezfhp54snye84mt47i0nl3rnb8r1y 0 153369 1092054 990437 2026-06-01T12:44:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092054 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Bei einer reell differenzierbaren Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | {{CC|}} | {{CC|}} || |SZ= }} ist das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext=| |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette | P |\in| {{CC|}} || || || |SZ= }} eine reell-lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential|f|P}} | {{CC|}} | {{CC|}} || |SZ=. }} Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= {{imaginäre Einheit|}} |SZ= }} beschrieben. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum über C/R-linear/C-linear und C-antilinear/Fakt |Nr= |SZ= }} kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer {{ Definitionslink |komplex-antilinearen| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit definiert man daher die folgenden Konzepte. {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Holomorphe Ableitung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktion/Antiholomorphe Ableitung/Definition|| }} Es gilt dann {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|f|x|}} || {{op:Partielle Ableitung|f|z|}} + {{op:Partielle Ableitung|f| {{op:Komplexe Konjugation|z|}}| }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Partielle Ableitung|f|y|}} || {{imaginäre Einheit|}} {{makl| {{op:Partielle Ableitung|f|z|}} - {{op:Partielle Ableitung|f| {{op:Komplexe Konjugation|z|}}| }} |}} || || || |SZ=. }} Es handelt bei der holomorphen und der antiholomorphen Ableitung um komplexe Linearkombinationen der reellen partiellen Ableitungen {{ mathkor|term1= {{op:Partielle Ableitung|f| x }} |und|term2= {{op:Partielle Ableitung|f| y }} |SZ=. }} Man kann sie bereits dann definieren, wenn {{math|term= f |SZ=}} partiell differenzierbar ist. {{ inputbeispiel |Holomorphe Ableitung/z und z konjugiert/Beispiel|| }} Analoge Eigenschaften gelten für die antiholomorphe Ableitung von {{ mathkor|term1= z |und|term2= {{op:Komplexe Konjugation|z|}} |SZ=, }} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Antiholomorphe Ableitung/z und z konjugiert/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Ableitung und antiholomorphe Ableitung/Fakt|Korollar|| || }} Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion {{ Relationskette | f || g + {{imaginäre Einheit|}} h || || || |SZ= }} zerlegt, so ist {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Komplex und reell-linear/Antilinear/C/Matrizen/Bemerkung |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/align/handlinks | {{op:Totales Differential|f|P}} || {{op:Zeilenvektor| {{op:Partielle Ableitung|f|x|P}} | {{op:Partielle Ableitung|f|y|P}} }} || {{op:Matrix22| {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} | {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} |}} || {{op:Bruch|1|2}} {{op:Matrix22| {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} | - {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} - {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} |}} + {{op:Bruch|1|2}} {{op:Matrix22| {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} - {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | {{op:Partielle Ableitung|h|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|g|y|P}} | - {{op:Partielle Ableitung|g|x|P}} + {{op:Partielle Ableitung|h|y|P}} |}} }} die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in {{math|term= {{CC|}} |SZ=-}}lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist {{math|term= f |SZ=}} genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird. {{ inputfaktbeweis |Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Holomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Komplexe Zahlen/Reell-differenzierbare Funktionen/Antiholomorphe Ableitung/Rechenregeln/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen |Kategorie2=Theorie der antiholomorphen Ableitung (C) |Kategorie3=Theorie der holomorphen Ableitung (C) |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 357dd5qrqj5ed4ce39arswjpyf4a7at 0 154208 1092049 1036790 2026-06-01T12:43:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092049 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kosinusreihe und Sinusreihe/Definition|| }} Durch Vergleich mit der Exponentialreihe ergibt sich sofort, dass diese beiden Reihen für jedes {{math|term= z|SZ=}} absolut konvergieren. Die zugehörigen Funktionen {{ Math/display|term= {{op:cos| z |}} {{defeq|}} {{op:cosinusreihe| z |}} \text{ und } {{op:sin| z |}} {{defeq|}} {{op:sinusreihe| z |}} |SZ= }} heißen {{Stichwort|Kosinus|SZ=}} und {{Stichwort|Sinus|SZ=.}} Beide Funktionen stehen unmittelbar in Zusammenhang mit der Exponentialfunktion, wobei man allerdings die komplexen Zahlen braucht, um diesen Zusammenhang zu erkennen. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt|Satz|| }} Für reelle {{math|term= z|SZ=}} sind {{ mathkor|term1= {{op:sin| z |}} |und|term2= {{op:cos| z |}} |SZ= }} wieder reell, wie unmittelbar aus der Potenzreihendarstellung folgt. Die letzte Aussage im vorstehenden Satz besagt, dass für reelles {{math|term= z|SZ=}} das Paar {{mathl|term= ( {{op:cos| z |}}, {{op:sin| z |}})|SZ=}} ein Punkt auf dem {{Stichwort|Einheitskreis|SZ=}} {{mathl|term= {{Mengebed|(x,y)|x^2+y^2 {{=|}} 1}} |SZ=}} ist. Wir werden später sehen, dass sich jeder Punkt des Einheitskreises als {{mathl|term= ( {{op:cos| z |}}, {{op:sin| z |}} ) |SZ=}} schreiben lässt, wobei man {{math|term= z|SZ=}} als Winkel {{ Zusatz/Klammer |text=im Bogenmaß| |ISZ=|ESZ= }} interpretieren kann. Dabei tritt die Periode {{math|term= 2 \pi|SZ=}} auf, wobei die {{Stichwort|Kreiszahl|SZ=}} {{math|term= \pi|SZ=}} als das Doppelte der kleinsten positiven reellen Nullstelle des Kosinus eingeführt wird, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt |Nr= |SZ=. }} Mit dieser Zahl {{math|term= \pi |SZ=}} kann man die folgenden Periodizitätseigenschaften der trigonometrischen Funktionen formulieren. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Sinus und Kosinus/C/Periodizitätseigenschaften/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} raww2a5xns2nom1thgpek9h7212zigh 0 154216 1092011 1018251 2026-06-01T12:37:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092011 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Funktionenfolge/K/Punktweise konvergent/Definition|| }} Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch {{ Relationskette/display | f(x) | {{defeq|}} | {{op:Folgenlimes|Glied=f_n(x)|}} || || || |SZ= }} eine sogenannte {{Stichwort|Grenzfunktion|SZ=}} {{ Abbildung |name=f |T| {{KRC|}} || |SZ= }} definiert. {{{zusatz1|}}} Selbst wenn {{ Zusatz/Klammer |text=bei {{ Relationskette/k |T |\subseteq| {{KRC|}} || || || |SZ=}} |ISZ=|ESZ= }} sämtliche Funktionen {{math|term= f_n |SZ=}} stetig sind, muss diese Grenzfunktion nicht stetig sein. Man braucht einen stärkeren Konvergenzbegriff, um die Stetigkeit der Grenzfunktion zu sichern. {{ inputdefinition |Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Definition|| }} Bei gleichmäßiger Konvergenz liegt insbesondere punktweise Konvergenz vor und die Funktion {{math|term= f|SZ=}} aus der vorstehenden Definition ist die Grenzfunktion. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Funktionenfolge/K/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexwertigen Funktionenfolgen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2hmw9kxzt3vjty0p2q6ivizfgncqowp 0 154225 1092050 1034208 2026-06-01T12:43:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092050 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Konvergente Potenzreihen/1/Lokaler Ring/Definition|| }} Dieser Ring wird mit {{mathl|term= {{op:Konvergenter Potenzreihenring| {{CC|}} | T}} |SZ=}} bezeichnet. Es beruht auf {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Komplexe Potenzreihen/Summe/Produkt/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass dabei ein kommutativer Ring vorliegt, wobei die über die Potenzreihen definierte Addition und Multiplikation mit der Addition und Multiplikation von Funktionen übereinstimmen. Es liegt insbesondere die Unterringbeziehung {{ Relationskette | {{op:Konvergenter Potenzreihenring| {{CC|}} | T}} | \subseteq | {{op:Potenzreihenring| {{CC|}} | T}} || || || |SZ= }} vor. Dagegen ist es nicht unmittelbar klar, dass die formal gegebenen Operationen wie inverse Potenzreihe, Einsetzen von Potenzreihen, Umkehrreihe wieder zu konvergenten Reihen führen. {{ inputfaktbeweis |Konvergente Potenzreihe/C/Konstanter Term nicht 0/Einheit/Fakt|Lemma|| || }} Insbesondere ergibt sich entsprechend zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass eine konvergente Potenzreihe genau dann eine Einheit im Ring der konvergenten Potenzreihen ist, wenn der konstante Term nicht {{math|term= 0 |SZ=}} ist. Wenn eine nullstellenfreien Funktion {{ Abbildung |name= f | U | {{CC|}} || |SZ= }} durch eine Potenzreihe gegeben ist, so ist auch die Funktion {{math|term= {{op:Bruch| 1 |f}} |SZ=}} durch eine Potenzreihe beschreibbar, die formale Invertierung ergibt die invertierte Funktion. {{ inputfaktbeweis |Rationale Funktion/C/Konvergente Potenzreihenentwicklung/Fakt|Korollar|| || }} Die Potenzreihe einer rationalen Funktion bestimmt man am besten über die Taylorentwicklung. {{ inputfaktbeweis |Konvergente Potenzreihen/C/Diskreter Bewertungsring/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der konvergenten Potenzreihenringe in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 127g77d99b69029hjgqiy14lp2yo0vn 0 154533 1091987 1033376 2026-06-01T12:33:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1091987 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorräume| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette | G | \subseteq | V || || || |SZ= }} offen und {{ Abbildung |name= \varphi | G | W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=total| |SZ=. }} Der Differentiationsprozess ordnet jedem Punkt {{ Relationskette | P | \in | G || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} | V | W | v | {{op:Totales Differential|\varphi| P |v}} |SZ=, }} zu. Insgesamt liegt also eine Abbildung {{ Abbildung/display |name= D \varphi | G | {{op:Homomorphismen| V | W |Ring= {{KRC|}} }} || |SZ= }} vor, das ein neuartiges Objekt darstellt. Dies ist ein grundlegender Unterschied zur eindimensionalen Situation, wo die Ableitung einer Funktion wieder eine Funktion ist. Dieses neuartige Objekt erfassen wir mit einer neuen Definition. {{ inputdefinition |1-Form/K/Vektorräume/Definition|| }} Man spricht auch von einer {{Stichwort|Pfaffschen Form|msw=Pfaffsche Form |SZ=.}} Ein totales Differential, aufgefasst als eine Abbildung, die den Punkten der Definitionsmenge das zugehörige totale Differential zwischen den umgebenden Vektorräumen zuordnet, ist also eine solche {{math|term= 1 |SZ=-}}Form. Der Homomorphismenraum {{mathl|term= {{op:Homomorphismen| V | W |Ring= {{KRC}} }} |SZ=}} ist dabei selbst ein Vektorraum über {{math|term= {{KRC|}} |SZ=,}} seine Dimension ist das Produkt der beiden Vektorraumdimensionen. Deshalb lassen sich auf eine {{math|term= 1 |SZ=-}}Form Konzepte wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit u.s.w anwenden. Besonders wichtig sind die {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}wertigen Differentialformen. Für {{ Relationskette | P | \in | G || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} schreibt man auch {{mathl|term= \omega(P,v) |SZ=}} für {{mathl|term= (\omega(P))(v) |SZ=.}} {{ inputfaktbeweisaufgabe |1-Form/K/Vektorräume/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Es sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine fixierte Basis auf {{math|term= V |SZ=}} mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=.}} Die {{math|term= i |SZ=-}}te Koordinatenfunktion {{ Abbildung/display |name= x_i | V | {{KRC|}} || |SZ= }} ordnet jedem Vektor {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} den Skalar {{ Relationskette | s_i | \in | {{KRC|}} || || || |SZ= }} zu, der durch die eindeutige Darstellung {{ Relationskette | v || \sum_{j {{=}} 1}^n s_jv_j || || || |SZ= }} gegeben ist. Diese Koordinatenfunktionen sind lineare Abbildungen. Ihr totales Differential stimmt nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Differenzierbarkeit/K/Lineare Abbildungen sind differenzierbar/Fakt |Nr= |SZ= }} für jeden Punkt mit der Abbildung {{math|term= x_i |SZ=}} selbst überein. Als {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}wertige| |ISZ=|ESZ= }} Differentialform ist also {{mathl|term= d x_i |SZ=}} die Abbildung {{ Abbildung/display |name= dx_i | G | {{op:Homomorphismen| V | {{KRC|}} |Ring= {{KRC|}} }} || |SZ=, }} die jedem Punkt {{ Relationskette | P | \in | G || || || |SZ= }} die {{math|term= i |SZ=-}}te Koordinatenfunktion zuordnet. Mit Hilfe dieser Standarddifferentialformen kann man jede weitere Differentialform einfach ausdrücken. {{ inputfaktbeweis |1-Form/K/Vektorräume/Koordinatendarstellung/Fakt|Lemma|| || }} Im funktionentheoretischen Kontext ist vor allem die Situation wichtig, in der {{ Abbildung |name= g | G | {{CC|}} || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=komplex| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare| |Kontext=C| |SZ= }} Funktion auf einer offenen Teilmenge {{ Relationskette | G | \subseteq | {{CC|}} || || || |SZ= }} ist. Das zugehörige totale Differential ist, als Differentialform aufgefasst, die Form {{mathl|term= g' dz |SZ=.}} Diese ordnet einem jeden Punkt {{ Relationskette | P | \in | G || || || |SZ= }} die komplex-lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:Totales Differential| g | P}} | {{CC|}} | {{CC|}} | w | g'(P) w |SZ=, }} zu, also die Multiplikation mit der Ableitung {{math|term= g'(P) |SZ=.}} {{ inputdefinition |Komplexe Zahlen/Holomorphe Differentialform/Definition|| }} Dabei ist {{math|term= dz |SZ=}} einfach die Differentialform, die jeden Punkt auf die Identität abbildet. {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Differentialform zur Invertierung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Offene Teilmenge/C/C-wertige 1-Form/Reell-Differenzierbar/Beispiel|| }} {{ inputbemerkung |1-Form/K/Vektorräume/Stammform/Probleme/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der 1-Formen in einem endlichdimensionalen Vektorraum |Kategorie2=Theorie der holomorphen Differentialformen (C) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} izudjp77q6dj7fcnxb81bcdl3ugmaq5 0 155259 1092026 1034408 2026-06-01T12:39:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092026 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Das {{ Definitionslink |Prämath= |Residuum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Residuum| f | P}} |SZ=}} zu einer holomorphen Funktion {{math|term= f |SZ=}} auf {{mathl|term= U \setminus \{P\} |SZ=}} im Punkt {{math|term= P |SZ=}} ist insbesondere für jede auf {{math|term= U |SZ=}} definierte {{ Definitionslink |Prämath= |meromorphe Funktion| |Kontext=| |SZ= }} definiert und besitzt dort gewisse zusätzliche Eigenschaften. Nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Komplexe Zahlen/Gebiet/Meromorphe Funktion/Lokaler Quotient/Aufgabe |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | f(z) || {{op:Bruch|g(z)|(z-P)^m}} || || || |SZ= }} für ein {{math|term= m |SZ=}} mit einer holomorphen Funktion {{math|term= g |SZ=}} und das Residuum kann aus der Potenzreihe von {{math|term= g |SZ=}} abgelesen werden. Daher kann das Residuum auch mit der Ableitung berechnet werden. {{ inputfaktbeweis |Meromorphe Funktion/Residuum/Ableitungsberechnung/Fakt|Lemma|| || }} Zu einer nullstellenfreien differenzierbare Funktion {{math|term= f |SZ=}} nennt man {{mathl|term= {{op:Bruch|f'|f}} |SZ=}} die {{Stichwort|logarithmische Ableitung|msw=|SZ=}} von {{math|term= f |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Nullstellenfreien differenzierbare Funktion/K/Logarithmische Ableitung/Lokale Stammfunktion/Aufgabe |Nr= |SZ= }} für den Grund für diese Bezeichnung. {{ inputfaktbeweis |Meromorphe Funktion/Ordnung/Logarithmische Ableitung/Residuum/Fakt|Lemma|| || }} Die vorstehende Aussage kann man auch als Korollar zu der folgenden Aussage erhalten. {{ inputfaktbeweis |Meromorphe Funktion/Ordnung mal Auswertung/Logarithmische Ableitung mal Funktion/Residuum/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Meromorphe Funktion/Ordnung mal Punkt/Logarithmische Ableitung mal z/Residuum/Fakt|Korollar|| || }} Beachte, dass in der vorstehenden Aussage eine Gleichheit von komplexen Zahlen ausgesprochen wird. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Residuums einer meromorphen Funktion (C) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} cp35hsqq0wzhoxzpmkabqyo752sejgl 0 156912 1092028 1032848 2026-06-01T12:40:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092028 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Ebene monomiale Kurve/Teilerfremd/Differentialmodul/Fakt|Lemma|| || }} Es sei {{ Relationskette | a | < | b || || || |SZ=. }} Dann hat man in der symmetrischen Algebra auch die Gleichungen {{ Relationskette/display | b^b X^b (dY)^b || (bXdY)^b || (aYdX)^b || a^b Y^b (dX)^b || a^b X^a (dX)^b || |SZ= }} und modulo Torsion auch {{ Relationskette/display | b^b X^{b-a} (dY)^b || a^b (dX)^b || || || |SZ=, }} also eine Ganzheitsgleichung für {{math|term= dX |SZ=}} über {{math|term= R[dY] |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der affin-algebraischen Kurven |Kategorie2=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} ibj1618tvd4ytxqcxib7yrst05xi27t 0 157175 1092029 1074473 2026-06-01T12:40:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092029 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Ein endlich erzeugter Vektorraum hat im Allgemeinen ganz unterschiedliche Basen. Wenn beispielsweise ein homogenes lineares Gleichungssystem in {{math|term= n |SZ=}} Variablen vorliegt, so ist nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Lösungsraum ist Vektorraum/Fakt |Nr= |SZ= }} der Lösungsraum ein Untervektorraum von {{math|term= K^n |SZ=,}} und eine Basis des Lösungsraumes kann man aus dem äquivalenten Gleichungssystem in Stufenform errechnen. Da man aber im Eliminationsverfahren mehrere Wahlmöglichkeiten hat, kann man zu unterschiedlichen Basen des Lösungsraumes gelangen. Dabei ist es keineswegs selbstverständlich, dass die Anzahl der Basislösungen unabhängig vom eingeschlagenen Verfahren ist. In dieser Vorlesung werden wir allgemein zeigen, dass die Anzahl der Elemente in einer Basis eines Vektorraumes stets konstant ist und nur vom Vektorraum abhängt. Diese wichtige Eigenschaft werden wir nach einigen technischen Vorbereitungen beweisen und als Ausgangspunkt für die Definition der Dimension eines Vektorraumes nehmen. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Basisaustauschlemma/Fakt|Lemma|| }} Die vorstehende Aussage heißt {{Stichwort|Austauschlemma|SZ=,}} die nachfolgende {{Stichwort|Austauschsatz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Basisaustauschsatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Basisaustauschsatz/1/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt|Satz|| }} Dieser Satz erlaubt die folgende Definition. {{ inputdefinition |Vektorraum/Endlich erzeugt/Dimension/Definition|| }} Wenn ein Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, so setzt man {{ Relationskette | {{op:dim vr|V|}} || \infty || || || |SZ=. }} Der Nullraum {{math|term= 0 |SZ=}} hat die Dimension {{math|term= 0 |SZ=.}} Einen eindimensionalen Vektorraum nennt man auch eine {{Stichwort|Gerade|SZ=,}} einen zweidimensionalen Vektorraum eine {{Stichwort|Ebene|SZ=,}} einen dreidimensionalen Vektorraum einen {{Stichwort|Raum|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=im engeren Sinn| |ISZ=|ESZ=, }} wobei man andererseits auch jeden Vektorraum einen Raum nennt. {{ inputfaktbeweis |Standardraum/K^n/Dimension n/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbeispiel |Komplexe Zahlen/Reell/Zweidimensional/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Körper/Polynomring/Nicht endlich erzeugt/Beispiel|| }} Die vorstehende Aussage folgt auch daraus, dass wir aufgrund von {{ Beispiellink |Präwort=||Beispielseitenname= Polynomring/Basis/Beispiel |Nr= |SZ= }} schon eine unendliche Basis, nämlich die Potenzen {{math|term= X^n |SZ=,}} des Polynomrings kennen. Dies schließt generell die Existenz einer endlichen Basis aus, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Unendliche Basis/Endliche Basis/Aufgabe |Nr= }} {{ Zusatz/Klammer |text= der Beweis zu {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Endlich erzeugt/Länge von jeder Basis/Fakt |Nr= |SZ= }} zeigt strenggenommen nur, dass zwei endliche Basen die gleiche Anzahl haben müssen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt|Korollar|| }} Die Differenz {{ Math/display|term= {{op:dim vr|V|}} - {{op:dim vr|U|}} |SZ= }} nennt man auch die {{Stichwort|Kodimension|SZ=}} von {{math|term= U |SZ=}} in {{math|term= V |SZ=.}} {{ inputbild |IntersecciónEspacioVectorial|gif|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Marianov |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Vektorräume/Unterräume im K^123/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt|Korollar|| }} Der folgende Satz heißt {{Stichwort|Basisergänzungssatz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Basisergänzungssatz/Fakt|Satz|| }} Insbesondere kann man eine Basis eines Untervektorraumes {{ Relationskette |U |\subseteq|V || || || |SZ= }} stets zu einer Basis des Gesamtraumes ergänzen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Dimensionstheorie für endlichdimensionale Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qwik209mbaxtzye0umjmnz8u3bxi98t 0 157184 1092030 1074475 2026-06-01T12:40:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092030 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Some linear maps kpv without eigenspaces|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Some_linear_maps_kpv_without_eigenspaces |Text=Die Wirkungsweise von verschiedenen linearen Abbildungen des {{math|term=\R^2|SZ=}} in sich, dargestellt an einer Gehirnzelle. |Autor= |Benutzer=Dividuum |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name=\varphi |K^n |K^m || |SZ= }} ist durch die Bilder {{ mathbed|term= \varphi(e_j) ||bedterm1= j = 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} der Standardvektoren eindeutig festgelegt, und jedes {{mathl|term= \varphi(e_j) |SZ=}} ist eine Linearkombination {{ Relationskette/display | \varphi(e_j) || \sum_{i {{=}} 1}^m a_{ij} e_i || || || |SZ= }} und damit durch die Elemente {{mathl|term= a_{ij}|SZ=}} eindeutig festgelegt. Insgesamt ist also eine solche lineare Abbildung durch {{math|term= mn|SZ=}} Elemente {{ mathbed|term= a_{ij} ||bedterm1= 1 \leq i \leq m ||bedterm2= 1 \leq j \leq n |SZ=, }} festgelegt. Eine solche Datenmenge kann man wieder als Matrix schreiben. Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Festlegungssatz|Faktseitenname= Lineare Abbildung/Festlegung auf Basis/Fakt |SZ= }} gilt dies für alle endlichdimensionalen Vektorräume, sobald sowohl im Definitionsraum als auch im Zielraum der linearen Abbildung eine Basis fixiert ist. {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Matrix zu Basis und umgekehrt/Definition|| }} Wenn {{ Relationskette |V ||W || || || |SZ=, }} ist, so interessiert man sich häufig, aber nicht immer, für die beschreibende Matrix bezüglich einer einzigen Basis {{math|term={{basis|v}}|SZ=}} von {{math|term= V|SZ=.}} {{ inputbeispiel |Identität/Matrix zu Basis/Übergangsmatrix/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Lineare Abbildung/Matrizen/Kommutatives Diagramm/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt|Satz|| }} Wir bezeichnen die Menge aller linearen Abbildungen von {{math|term= V|SZ=}} nach {{math|term= W|SZ=}} mit {{mathl|term={{op:Hom|V|W}} |SZ=.}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt |Nr= |SZ= }} bedeutet also, dass die Abbildung {{ Abbildung/display |name= |{{op:Hom|V|W}} | {{op:Mat|m|n|K}} |\varphi| M^{ {{basis|v|}} }_{ {{basis|w}} } ( \varphi) |SZ=, }} bijektiv mit der angegebenen Umkehrabbildung ist. Eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |V|V || |SZ= }} nennt man auch einen {{Stichwort|Endomorphismus|SZ=.}} Die Menge aller Endomorphismen auf {{math|term= V|SZ=}} wird mit {{mathl|term={{op:End|V}}|SZ=}} bezeichnet. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mjlznsjk0mrlqbeye8g8h7atvpiz1r1 0 157205 1092020 990405 2026-06-01T12:38:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092020 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition|| }} Das Signum ist {{ mathkor|term1= 1 |oder|term2= -1 |SZ=, }} da im Zähler und im Nenner die bis auf das Vorzeichen gleichen Differenzen {{mathl|term= \pm ( j-i) |SZ=}} stehen. Der Faktor {{mathl|term= r-s |SZ=}} im Zähler wird von {{mathl|term= \pm ( \pi^{-1} (r)- \pi^{-1} (s) ) |SZ=}} aus getroffen. Es gibt für das Signum also nur zwei mögliche Werte. Bei {{ Relationskette | {{op:Signum|\pi}} || 1 || || || |SZ= }} spricht man von einer {{Definitionswort/enp|geraden Permutation|msw=Gerade Permutation|SZ=}} und bei {{ Relationskette | {{op:Signum|\pi}} || - 1 || || || |SZ= }} von einer {{Definitionswort/enp|ungeraden Permutation|msw=Ungerade Permutation|SZ=.}} {{ inputdefinition |Permutation/Fehlstand/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum über Fehlstände/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Permutation/246531/Fehlstände und Signum/Beispiel|| }} Das Signum ist ein Gruppenhomomorphismus im Sinne der folgenden Definition. {{ inputdefinition |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum/Gruppenhomomorphismus/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Transposition/Signum/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Permutation/Signum über Transpositionen/Fakt|Korollar|| }} {{ inputbemerkung |Signum/Übertragung von geordneter Menge auf beliebige/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie des Signums (Permutation) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} a41wynuhbojav8zh51b83295kxr040t 0 157208 1092025 1018267 2026-06-01T12:39:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092025 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |V|V || |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} kann man die Iterationen {{math|term= f^n |SZ=,}} also die {{math|term= n|SZ=-}}fache Hintereinanderschaltung von {{math|term= f|SZ=}} mit sich selbst, betrachten. Ferner kann man lineare Abbildungen addieren und mit Skalaren aus dem Körper multiplizieren. Insgesamt sind somit Ausdrücke der Form {{ Math/display|term= a_nf^n +a_{n-1} f^{n-1} {{plusdots}} a_2f^2 +a_1 f +a_0 |SZ= }} selbst wieder lineare Abbildungen von {{math|term= V|SZ=}} nach {{math|term= V|SZ=.}} Dabei ist {{ Relationskette/display | a_0 || a_0f^0 || a_0 {{op:Identität|V|}} || || |SZ= }} zu interpretieren. Es ist eine von vornherein keineswegs selbstverständliche Tatsache, dass die Untersuchung solcher polynomialer Kombinationen aus {{math|term= f |SZ=}} bei der Untersuchung von {{math|term= f |SZ=}} selbst hilfreich ist. Den beschriebenen Ausdruck kann man so auffassen, dass in das Polynom {{mathl|term= a_n X^n +a_{n-1} X^{n-1} {{plusdots}} a_2X^2 +a_1 X +a_0 |SZ=}} für die Variable {{math|term= X |SZ=}} die lineare Abbildung {{math|term= f|SZ=}} eingesetzt wird. Diese Zuordnung durch Einsetzen besitzt die folgenden strukturellen Eigenschaften. {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Endomorphismus/Einsetzung/Ringhomomorphismus (ohne Begriff)/Fakt|Lemma|| }} Wenn {{math|term= V |SZ=}} endlichdimensional ist, sagen wir die Dimension {{math|term= d |SZ=}} besitzt, so sind sämtliche Potenzen {{ mathbed|term= f^k ||bedterm1= k \in \N ||bedterm2= |SZ=, }} Elemente im {{math|term= d^2 |SZ=-}}dimensionalen Vektorraum {{ Relationskette/display | {{op:Hom|V|V}} || {{op:End|V|}} || || || |SZ= }} aller linearen Abbildungen von {{math|term= V |SZ=}} nach {{math|term= V |SZ=.}} Wegen der Endlichkeit des Homomorphismenraumes müssen daher diese Potenzen linear abhängig sein, d.h. es gibt ein {{ Relationskette | m |\in|\N || || || |SZ= }} und Koeffizienten {{ mathbed|term= a_i ||bedterm1= 0 \leq i \leq m ||bedterm2= |SZ=, }} die nicht alle {{math|term= 0 |SZ=}} sind, mit {{ Relationskette/display | a_m f^m +a_{m-1} f^{m-1} {{plusdots}} a_2f^2 +a_1 f +a_0 || 0 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=dabei ist {{ Relationskette/k | m |\leq| d^2 || || || |SZ= }} unmittelbar klar, wir werden später sehen, dass sogar stets {{ Relationskette/k | m |\leq| d || || || |SZ= }} ist| |ISZ=|ESZ=. }} Das entsprechende Polynom {{mathl|term= a_m X^m +a_{m-1} X^{m-1} {{plusdots}} a_2X^2 +a_1 X +a_0 |SZ=}} hat also die Eigenschaft, dass es selbst nicht das Nullpolynom ist, dass aber, wenn man überall {{math|term= X |SZ=}} durch {{math|term= f |SZ=}} ersetzt, die Nullabbildung auf {{math|term= V |SZ=}} herauskommt. Wir fragen uns: {{Auflistung4 |Gibt es eine Struktur auf der Menge aller Polynome {{ Relationskette | P |\in| K[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |P(f) ||0 || || || |SZ=? }} |Gibt es ein besonders einfaches Polynom {{ Relationskette | P_0 |\in| K[X] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |P_0(f) ||0 || || || |SZ=? }} |Wie kann man es finden? |Welche Eigenschaften von {{math|term= f|SZ=}} kann man aus der Faktorzerlegung von diesem Polynom {{math|term= P_0 |SZ=}} ablesen? }} {{ inputbemerkung |Polynomring/Endomorphismus/Matrix/Einsetzung/Bemerkung|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Minimalpolynome von Vektorraum-Endomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rvyrmg2ljc5p0ldw3kzlifpdp45dlx8 0 157216 1092031 993810 2026-06-01T12:40:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092031 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum/Lineare Abbildung/Hauptraum/Definition|| }} Wenn {{math|term= V |SZ=}} endlichdimensional ist, so wird die Kette {{ Relationskette/display | {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}} |}} | \subseteq | {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}}^2|}} | \subseteq | {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}}^3 |}} | \subseteq | ... || |SZ= }} stationär, d.h. es gibt ein {{ Relationskette | r |\in| \N || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda}} || {{op:Kern| {{makl| \varphi - \lambda {{op:Identität||}} |}}^r|}} || || || |SZ=. }} Haupträume sind nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vektorraum/Endomorphismus/Polynom/Kern/Invarianter Unterraum/Aufgabe |Nr= |SZ= }} invariant unter der linearen Abbildung. Es gilt nach Definition {{ Relationskette/display | {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} |\subseteq| {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda}} || || || |SZ=, }} wobei für diagonalisierbares {{math|term= \varphi |SZ=}} Gleichheit gilt, siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Diagonalisierbar/Hauptraum/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Trigonalisierbare Abbildungen werden wir über ihre Haupträume verstehen. {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Hauptraum/Algebraische Vielfachheit/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Haupträume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ft2duahbvtibr89y4pfs79xtekjoo4l 0 157219 1092032 990549 2026-06-01T12:40:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092032 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Für einen {{ Definitionslink |Prämath= |nilpotenten Endomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \varphi |SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |Prämath= |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | V || {{op:Hauptraum|\varphi| 0}} || || || |SZ=, }} es gibt also nur einen {{ Definitionslink |Prämath= |Hauptraum| |Kontext=| |SZ=, }} und dieser ist der Gesamtraum. Wir werden jetzt zeigen, dass man eine beschreibende Matrix weiter {{ Zusatz/Klammer |text=über die Dreiecksgestalt hinaus| |ISZ=|ESZ= }} verbessern kann.{{{zusatz1|}}} {{ inputbeispiel |2x2Matrix/Nilpotent/Jordan/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Abbildungslemma/Fakt|Lemma||zusatz2=Fußnote }} {{ inputfaktbeweis |Nilpotenter Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt|Korollar|| }} Bei einer nilpotenten Abbildung auf einem zweidimensionalen Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} handelt es sich um die Nullabbildung oder um eine nilpotente Abbildung mit einem eindimensionalen Kern. Im letzteren Fall erhält man für jedes Element {{ Relationskette | v |\in| V \setminus {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ= }} eine Basis {{mathl|term= \varphi(v),v |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in dieser Reihenfolge| |ISZ=|ESZ=, }} bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt {{mathl|term= {{op:Matrix22|0|1|0|0|}} |SZ=}} besitzt. Bei zunehmender Dimension werden die Möglichkeiten zunehmend zahlreicher und komplexer, wir besprechen abschließend typische Beispiele in der Dimension drei. {{ inputbeispiel |3x3Matrix/235/Jordan/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |3x3Matrix/037/Jordan/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |3x3Matrix/370/Jordan/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gjrkom2rgc1vu3pu1vlwxvj92ldjiun 0 157244 1092033 1074477 2026-06-01T12:41:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092033 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Aufgrund von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Skalarprodukt/K/Zugehörige Norm/Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Norm zu einem Skalarprodukt eine Norm im Sinne der folgenden Definition, und ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt ist insbesondere ein normierter Vektorraum. {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Norm/Definition|| }} {{ inputdefinition |Normierter Vektorraum/Definition|| }} Auf einem euklidischen Vektorraum nennt man die über das Skalarprodukt gegebene Norm auch die {{Stichwort|euklidische Norm|SZ=.}} Bei {{ Relationskette |V ||\R^n || || || |SZ= }} mit dem Standardskalarprodukt ist {{ Relationskette/display | {{op:Norm|v|}} || \sqrt{ \sum_{i {{=}} 1 }^n v_i^2 } || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |K^n/Maximumsnorm/Beispiel|| }} {{ inputbild |Manhattan distance|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} | right {{!}} | |Zusname=Manhattan_distance |Text=Die Summenmetrik heißt auch {{Stichwort|Taxi-Metrik|SZ=.}} Die grüne Linie repräsentiert den euklidischen Abstand, die anderen repräsentieren den Summenabstand. |Autor= |Benutzer=Psychonaut |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |K^n/Summennorm/Beispiel|| }} Zu einem Vektor {{ mathbed|term= v \in V ||bedterm1= v \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} in einem normierten Vektorraum {{math|term= V|SZ=}} nennt man den Vektor {{mathl|term= {{op:Bruch|v| {{op:Norm|v|}} }} |SZ=}} den zugehörigen {{Stichwort|normierten Vektor|msw=Normierter Vektor|SZ=.}} Ein solcher normierter Vektor besitzt die Norm {{math|term=1|SZ=.}} Der Übergang zum normierten Vektor heißt {{Stichwort|Normierung|SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der normierten Vektorräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1i1dgyuhq1so2x320tzhk8k7pk9f8ct 0 157248 1092034 1018306 2026-06-01T12:41:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092034 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Skalarprodukt/Orthogonalbasis/Definition|| }} {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Definition|| }} Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm {{math|term= 1 |SZ=}} und sie stehen senkrecht aufeinander. Eine Orthonormalbasis ist also eine {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalbasis| |Kontext=| |SZ=, }} bei der zusätzlich die Normbedingung {{ Relationskette/display | {{op:Norm|v_i |}} || \sqrt{ {{op:Skalarprodukt|v_i |v_i}} } || 1 || || |SZ= }} erfüllt ist. Man kann problemlos von einer Orthogonalbasis zu einer Orthonormalbasis übergehen, indem man jedes {{math|term= v_i |SZ=}} durch die Normierung {{mathl|term= {{op:Bruch|v_i | {{op:Norm|v_i |}} }} |SZ=}} ersetzt {{ Zusatz/Klammer |text=da {{math|term= v_i |SZ=}} Teil einer Basis ist, ist die Norm von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden| |ISZ=|ESZ=. }} Eine Familie von Vektoren, die jeweils die Norm {{math|term= 1 |SZ=}} haben und paarweise aufeinander senkrecht stehen, aber nicht unbedingt eine Basis bilden, nennt man ein {{Stichwort|Orthonormalsystem|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalbasis/Koeffizienten/Fakt|Lemma|| }} Wir werden Orthonormalbasen hauptsächlich im endlichdimensionalen Fall betrachten. Im {{math|term= \R^n |SZ=}} ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. In der Ebene {{math|term= \R^2 |SZ=}} ist eine Orthonormalbasis von der Form {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|a|b}}, {{op:Spaltenvektor|-b|a}} |SZ=}} oder {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor|a|b}}, {{op:Spaltenvektor|b|-a}} |SZ=,}} wobei jeweils {{ Relationskette | a^2 +b^2 || 1 || || || |SZ= }} erfüllt sein muss. Beispielsweise ist {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| {{op:Bruch|3|5}} | {{op:Bruch|4|5}} }}, {{op:Spaltenvektor|- {{op:Bruch|4|5}}| {{op:Bruch|3|5}} }} |SZ=}} eine Orthonormalbasis. Das folgende {{Stichwort|Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren|msw=Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|SZ=}} erlaubt es, ausgehend von einer Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes eine Orthonormalbasis zu konstruieren, die die gleiche {{ Definitionslink |Prämath= |Fahne| |Kontext=| |SZ= }} von Untervektorräumen festlegt. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalisierungsverfahren/Fakt|Satz||zusatz1=Fußnote }} {{ inputbeispiel |R^3/Kern von 2x+3y-z/Orthonormalbasis/Nach Schmidt/Beispiel||zusatz1=Fußnote }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endliche Dimension/Orthonormalbasis/Existenz/Fakt|Korollar|| }} Man kann auch stets in einem endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt ein vorgegebenes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzen, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Orthonormaler Basisergänzungssatz/Formuliere und beweise/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum mit Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Direkte Summe/Fakt|Korollar|| }} Zur folgenden Aussage vergleiche man auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Beziehung zu Dualraum/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Orthonormalbasen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bz3e1orkh1p5r8kbyq1144ar0bn822n 0 157250 1092035 1002082 2026-06-01T12:41:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1092035 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} Die Menge der Gruppenhomomorphismen von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} wird mit {{ Math/display|term= {{op:Homomorphismen|G|H|}} |SZ= }} bezeichnet. Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind insbesondere Gruppenhomomorphismen. Die beiden folgenden Lemmata folgen direkt aus der Definition. {{ inputfaktbeweis |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweistrivial |Gruppenhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Gruppenhomomorphismus/Z nach Z/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Gruppenhomomorphismus/Z nach Z mod d/Direkt/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Gruppenhomomorphismus/Determinante/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Gruppenhomomorphismus/Signum/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt|Lemma|| }} Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch {{ Relationskette |G |\cong| {{op:Homomorphismen| \Z | G |}} || || || |SZ= }} ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= \Z |SZ=}} sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von {{math|term= \Z |SZ=}} nach {{math|term= \Z |SZ=}} sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl {{math|term= a |SZ=,}} also {{ Abbildung/display |name= | \Z | \Z | x | ax |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9aeu7zhu8krv5uiy0c7pe6s0gb6jefa 0 157549 1092036 990579 2026-06-01T12:41:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1092036 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition|}} Die Eigenschaft {{ Relationskette | 0 |\in| {{ideala|}} || || || |SZ= }} kann man durch die Bedingung ersetzen, dass {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} nicht leer ist. Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von {{math|term= R |SZ=,}} die zusätzlich unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Idealtheorie/Endlich Erzeugtes Ideal/Definition|}} {{inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Hauptideal/Definition|}} Das Nullelement bildet in jedem Ring das sogenannte {{Stichwort|Nullideal|SZ=,}} was wir einfach als {{ Relationskette | 0 || (0) || \{0\} || || || |SZ= }} schreiben. Die {{math|term= 1 |SZ=}} und überhaupt jede {{ Definitionslink |Prämath= |Einheit| |Kontext=| |SZ= }} erzeugt als Ideal schon den ganzen Ring.{{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Kommutative Ringtheorie/Einheitsideal/Definition|| }} In einem Körper gibt es nur diese beiden Ideale. {{ inputfaktbeweis |Körper/Genau zwei Ideale/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Idealtheorie (kommutative Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} o9ho37789ourdc5yavs7ukoiifmyucw 0 157969 1092037 1018312 2026-06-01T12:41:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1092037 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Einheitsmatrix/Definition|| }} Die Einheitsmatrix {{math|term= E_n |SZ=}} besitzt die Eigenschaft {{ Relationskette | E_n M || M || M E_n || || |SZ= }} für eine beliebige {{mathl|term= n\times n|SZ=-}}Matrix {{math|term= M|SZ=.}} Sie ist also das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von quadratischen Matrizen. {{ inputbemerkung |Lineares Gleichungssystem/Matrixbeschreibung/Bemerkung||zusatz2={{{zusatz1|}}} }} {{ inputdefinition |Diagonalmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinition |Matrix/K/Transponierte/Definition|| }} Die transponierte Matrix entsteht also, indem man die Rollen von Zeilen und Spalten vertauscht. Beispielsweise ist {{ Relationskette/display | {{op:transponiert|{{op:Matrix34|t|n|o|e|r|s|n|r|a|p|i|t}} |}} || {{op:Matrix43|t|r|a|n|s|p|o|n|i|e|r|t}} || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Matrizen (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 141o0dj1qmmhx0ixnqjeue3teuotsnx 0 158051 1092038 1074479 2026-06-01T12:41:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1092038 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{:Eigentheorie/Motivation/Bemerkung}} {{ inputbild |Simetria axial|png| 300px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Simetria_axial |Text= Eine {{Stichwort|Achsenspiegelung|SZ=}} besitzt zwei Eigengeraden, die Spiegelungsachse zum Eigenwert {{math|term=1|SZ=}} und die dazu senkrechte Gerade zum Eigenwert {{math|term=-1|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Rovnet |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Eigenvektor/Definition|| }} Ein Eigenvektor ist also ein Vektor {{ Relationskette |v |\neq|0 || || || |SZ=, }} der zu {{mathl|term= \varphi(v) |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear abhängig| |SZ= }} ist. {{ inputbildmitgleich |bild=VerticalShear_m=1.25|svg|300px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=VerticalShear_m_1_25 |Text=Eine {{Stichwort|Scherung|SZ=}} hat eine Eigengerade zum Eigenwert {{math|term=1|SZ=}} und keine weiteren Eigenwerte.|Autor= |Benutzer=RobHar |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Rotation illustration2|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Text=Bei einer Drehung der Ebene um {{math|term=0|SZ=}} gibt es keine Eigenvektoren, außer bei einer Halbdrehung oder einer Volldrehung. |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Eigenwert/Definition|| }} Die Menge aller Eigenwerte zu {{math|term= \varphi |SZ=}} nennt man, vor allem im funktionalanalytischen Kontext, das {{Stichwort|Spektrum|msw=Spektrum (Endomorphismus)|SZ=}} von {{math|term= \varphi |SZ=.}} {{ inputdefinition |Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition|| }} {{:Lineare Abbildung/Eigenraum/Definition/Erläuterungen/Bemerkung}} {{:Eigentheorie/Streckung/Bemerkung|}} Für Matrizen verwenden wir die entsprechenden Begriffe, die von der zugehörigen linearen Abbildung auf dem {{math|term= K^n |SZ=}} nahegelegt werden. Ein {{math|term= n |SZ=-}}Tupel {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor1n|x}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=nicht das Nulltupel| |ISZ=|ESZ= }} heißt Eigenvektor zur {{math|term= n \times n |SZ=-}}Matrix {{math|term= M |SZ=,}} wenn {{ Relationskette/display | M {{op:Spaltenvektor1n|x}} || \lambda {{op:Spaltenvektor1n|x}} || || || |SZ= }} gilt, und {{math|term= \lambda |SZ=}} heißt dann Eigenwert der Matrix. {{ inputbeispiel |Diagonalmatrix/Eigenwerte/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Matrix/Eigenwerte/0510/Q und R/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Endomorphismus/Eigenräume sind Unterräume/Wann null/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Eigenräume (lineare Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 55ipc5qmv7hqaulhwnuqp98f5w39lro 0 158059 1092039 1074480 2026-06-01T12:42:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092039 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Arthur Cayley|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Zusname=Arthur_Cayley |Text=[[w:Arthur Cayley|Arthur Cayley (1821-1895)]] |Autor= |Benutzer=Zuirdj |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=<nowiki>http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Cayley.html</nowiki> }} {{ inputbild |WilliamRowanHamilton|jpeg| 200px {{!}} thumb {{!}} | |Text=[[w:William Rowan Hamilton|William Hamilton (1805-1865)]] |Autor= |Benutzer= |Domäne=PD |Lizenz= |Bemerkung=<nowiki>http://mathematik-online.de/F77.htm</nowiki> }} Einer der Höhepunkte der linearen Algebra ist der Satz von Cayley-Hamilton. Um ihn formulieren zu können erinnern wir daran, dass man in Polynome quadratische Matrizen einsetzen kann{{{zusatz1|.}}} Dabei ersetzt man an jeder Stelle die Variable {{math|term= X|SZ=}} durch die Matrix {{math|term= M|SZ=}} und muss die Potenzen {{math|term= M^{i}|SZ=}} als das {{math|term= i|SZ=-}}te Matrixprodukt von {{math|term= M|SZ=}} mit sich selbst verstehen und die Addition als die {{ Zusatz/Klammer |text=komponentenweise| |ISZ=|ESZ= }} Addition von Matrizen interpretieren. Ein Skalar {{math|term= a|SZ=}} wird dabei als das {{math|term= a|SZ=-}}fache der Einheitsmatrix interpretiert. Für das Polynom {{ Relationskette/display |P || 3X^2 - 5X+2 || || || |SZ= }} und die Matrix {{ Relationskette/display |M || {{op:Matrix22|2|4|3|1}} || || || |SZ= }} ist also {{ Relationskette/align | P(M) ||3 {{op:Matrix22|2|4|3|1}}^2 - 5 {{op:Matrix22|2|4|3|1}} + 2 || {{op:Matrix22|3|0|0|3}} {{op:Matrix22|16|12|9|13}} + {{op:Matrix22|-5|0|0|-5}} {{op:Matrix22|2|4|3|1}} + {{op:Matrix22|2|0|0|2}} || {{op:Matrix22|40|16|12|36}} || |SZ=. }} Zu einer fixierten Matrix {{ Relationskette | M |\in| {{op:Matq|n|K}} || || || |SZ= }} gibt es also eine {{Stichwort|Einsetzungsabbildung|SZ=}} {{ Abbildung/display |name= |K[X]|{{op:Matq|n|K}} |P|P(M) |SZ=. }} Dies ist {{ Zusatz/Gs |text=ebenso wie die Einsetzungsabbildung zu {{ Relationskette | a |\in| K || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |SZ=, }} d.h. es gelten die Beziehungen {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Polynomring/Endomorphismus/Einsetzung/Ringhomomorphismus (ohne Begriff)/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= (P+Q)(M)=P(M)+Q(M),\, (P \cdot Q)(M)=P(M) \circ Q(M) \text{ und } 1 (M) = {{einheitsmatrix/ab|}} |SZ=. }} Der Satz von Cayley-Hamilton beantwortet nun die Frage, was passiert, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt. {{ inputfaktbeweis |Cayley-Hamilton/Matrixversion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Cayley-Hamilton/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Satz von Cayley-Hamilton (Vektorraum) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ebuxzmq7aerimu473jpg906h9vhoz35 0 158065 1092040 1073305 2026-06-01T12:42:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1092040 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Jordanmatrix/Oben/Definition||zusatz1=Fußnote }} Wenn man eine solche Jordanmatrix als lineare Abbildung {{math|term= \varphi |SZ=}} des Standard{{drucktrenn}}raumes {{math|term= K^n |SZ=}} in sich interpretiert, so ist {{ Math/display|term= \varphi(e_1)= \lambda e_1 \text{ und } \varphi(e_k)= \lambda e_k +e_{k-1} \text{ für alle } k \geq 2 |SZ=. }} Insbesondere ist {{math|term= e_1 |SZ=}} ein Eigenvektor zum Eigenwert {{math|term= \lambda |SZ=.}} Eine einfache Überlegung zeigt, dass es keine dazu linear unabhängigen Eigenvektoren geben kann {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Jordanmatrix/Eigenvektor/Eindimensional/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Die Eigenschaft rechts ist äquivalent zur Bedingung{{ Zusatz/Fußnote |text=Im Kontext der trigonalisierbaren Abbildungen und zum Auffinden der jordanschen Normalform ist es sinnvoll, mit {{mathlk|term= \varphi- \lambda \cdot {{op:Identität|}} |SZ=}} statt mit {{mathlk|term= \lambda \cdot {{op:Identität|}} - \varphi |SZ=}} zu arbeiten| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | e_{k-1} || ( \varphi - \lambda \cdot {{op:Identität|}} )(e_k) || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | k | \geq | 2 || || || |SZ=. }} Als Eigenvektor ist {{math|term= e_1 |SZ=}} ein erzeugendes Element des Kerns der Abbildung {{ Relationskette | \psi | {{defeq|}} | \varphi - \lambda {{op:Identität|}} || || || |SZ=, }} und die anderen Standardvektoren {{math|term= e_k |SZ=}} sind die sukzessiven Urbilder von {{math|term= e_{k-1} |SZ=}} unter {{math|term= \psi |SZ=.}} {{ inputdefinition |Obere Dreiecksmatrix/Jordansche Normalmatrix/Definition|| }} Die dabei auftretenden Jordanmatrizen heißen {{Stichwort|Jordanblöcke|msw=Jordanblock|SZ=}} der Matrix. Ihre Eigenwerte können verschieden oder gleich sein. In der Matrix {{ Math/display|term= {{op:Matrix66|2|1|0|0|0|0|0|2|0|0|0|0|0|0|4|1|0|0|0|0|0|4|1|0|0|0|0|0|4|0|0|0|0|0|0|2|}} |SZ= }} gibt es drei Jordanblöcke, nämlich {{ Math/display|term= {{op:Matrix22|2|1|0|2}} ,\, {{op:Matrix33|4|1|0|0|4|1|0|0|4}} \text{ und } {{op:Matrix11|2}} |SZ= }} zu den Eigenwerten {{math|term= 2,4 |SZ=}} und nochmal {{math|term= 2 |SZ=.}} Wir kommen zum Satz über die jordansche Normalform für trigonalisierbare Endomorphismen. {{ inputfaktbeweis |Trigonalisierbarer Endomorphismus/Jordansche Normalform/Fakt|Satz|| }} Jede obere Dreiecksmatrix ist also ähnlich zu einer Matrix in jordanscher Normalform. Über den komplexen Zahlen kann man jede Matrix auf jordansche Normalform bringen. Wenn eine Matrix in jordanscher Normalform vorliegt, so kann man direkt den diagonalisierbaren und den nilpotenten Anteil im Sinne von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Endomorphismus/Trigonalisierbar/Kanonische additive Zerlegung/Fakt |Nr= |SZ= }} ablesen: Die Diagonale liefert den diagonalisierbaren Anteil und die Einträge, die echt oberhalb der Diagonalen liegen, liefern den nilpotenten Anteil {{ Zusatz/Klammer |text=dies ist im Allgemeinen für obere Dreiecksmatrizen nicht richtig| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputverfahren |Obere Dreiecksmatrix/Auffinden der Jordanschen Normalform/Hauptraum/Verfahren|| |a=\lambda |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |221 023 002/Jordanform/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |200 023 002/Jordanform/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Obere Dreiecksmatrix/44/Jordanform/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der jordanschen Normalform |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9tag3ochgfjwd104co0ekp9889yr4vx 2 159714 1092819 1055172 2026-06-02T07:45:12Z Paul Sutermeister 37610 1092819 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { [[Datei:458-cow.svg|100px]] } - Tiger - Katze - Hund + Kuh { [[Datei:Microsoft Office Outlook (2018–present).svg|100px]] } - Office + Outlook - Online - Download { [[Datei:Microsoft Office PowerPoint (2019–2025).svg|100px]] } - Paint + PowerPoint - Print - Pfeil { [[Datei:Microsoft Office Excel (2019–2025).svg|100px]] } - E-Mail + Excel - Enter - Entwurf { [[Datei:Microsoft Office Word (2019–present).svg|100px]] } - Wikipedia - Windows + Word - Wordpress { [[Datei:Tabellone ZürichHB CIS 011109.jpg|400px]] '''Um 13:09 Uhr fährt der Zug nicht nach''' } - Zug + CIS - Lugano - Milano { [[Datei:Tabellone ZürichHB CIS 011109.jpg|400px]] '''Der Zug nach Milano fährt auf Gleis''' } - 13 - 8 - 5 + 4 { [[Datei:01 2015 quer CC.png|400px]] '''Der 1. Januar ist ein''' } - Montag - Dienstag - Mittwoch + Donnerstag { [[Datei:01 2015 quer CC.png|400px]] '''Der 5. Januar ist ein''' } + Montag - Dienstag - Mittwoch - Donnerstag { [[Datei:01 2015 quer CC.png|400px]] '''Der 18. November ist ein''' } - Montag - Dienstag + Mittwoch - Donnerstag { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } - Diagramm + Excel - Outlook - E-Mail { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } - Diagramm - Präsentation + Tabelle - Brief { [[Datei:Excel0001.jpg|300px]] Markiert ist: } - eine Zeile + eine Zelle - eine Spalte - eine Tabelle { [[Datei:Sélection pour exemple grouper.jpg|300px]] Markiert sind: } - drei Zeilen - drei Zellen + drei Spalten - drei Tabellen { [[Datei:Sélection pour exemple grouper.jpg|300px]] Markiert sind: } - eine Zelle - zwei Zellen + drei Spalten - vier Spalten { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } + A1 = 35 - A1 = 36 - A1 = 37 - A1 = 38 { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } - A1 = 25 - A2 = 20 + A3 = 15 - A4 = 10 { [[Datei:Excel0001.jpg|300px]] Markiert ist: } - A1 - A2 + B3 - B4 { [[Datei:Sélection pour exemple grouper.jpg|300px]] Markiert ist: } - Spalte A + Spalte B - Spalte E - Spalte F { [[Datei:Sélection pour exemple grouper.jpg|300px]] Nicht markiert ist: } + Spalte A - Spalte B - Spalte C - Spalte D { <code>'''()'''</code> } - Doppelpunkt + Klammer - Strichpunkt - Schrägstrich { <code>''';'''</code> } - Doppelpunkt - Klammer + Strichpunkt - Schrägstrich { <code>''':'''</code> } + Doppelpunkt - Klammer - Strichpunkt - Schrägstrich { <code>'''/'''</code> } - Doppelpunkt - Klammer - Strichpunkt + Schrägstrich { [[Datei:Excel AutoSom Exercise.png|300px]] } - A1+A2=6 - A1+A2=7 - A1+A2=8 + A1+A2=9 { [[Datei:Excel AutoSom Exercise.png|300px]] } - SUMME(A1:A3)=4 - SUMME(A1:A3)=5 - SUMME(A1:A3)=2 + SUMME(A1:A3)=7 { [[Datei:Excel AutoSom Exercise.png|300px]] } + SUMME(A1:A2)=9 - SUMME(A1:A2)=7 - SUMME(A1:A2)=5 - SUMME(A1:A2)=4 { [[Datei:Excel AutoSom Exercise.png|300px]] } - SUMME(A1:A2)=B1+B2 - SUMME(A1:A2)=A3+A4 + SUMME(A1:A2)=A2+A1 - SUMME(A1:A2)=A1-A2 { [[Datei:Pivottable-Flatdata.png|300px]] } - A1=West + A2=East - B1=Region - B2=East { [[Datei:Pivottable-Flatdata.png|300px]] } + A1=Region - A2=Fast - B1=East - B2=Region { [[Datei:Saeulendiagramm-Beispiel.svg|300px]] } - Outlook + Excel - Taste - E-Mail { [[Datei:Saeulendiagramm-Beispiel.svg|300px]] } - Virus + Diagramm - Präsentation - Tabelle { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } - A1+A2 = 15 - A1+A2 = 25 - A1+A2 = 35 + A1+A2 = 45 { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } + A1+A2 = SUMME(A1:A2) - A1+A2 = SUMME(A3:A4) - A1+A2 = SUMME A1:A2 - A1+A2 = SUMME A1 A2 { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } + A1+A2 = SUMME(A1+A2) - A1+A2 = (A1:A2)SUMME - A1+A2 = (A1+A2)SUMME - A1+A2 = A1:A2 { '''MAX''' } - [[:w:Größtes und kleinstes Element|SUMME]] + [[:w:Größtes und kleinstes Element|MAXIMUM]] - [[:w:Größtes und kleinstes Element|MINIMUM]] - [[:w:Mittelwert|MITTELWERT]] { '''SUMME(1;3)''' } - 1 - 2 - 3 + 4 { '''MAX(1;3)''' } - 1 - 2 + 3 - 4 { '''MIN(1;3)''' } + 1 - 2 - 3 - 4 { '''MITTELWERT(1;3)''' } - 1 + 2 - 3 - 4 { [[Datei:Excel AutoSom Exercise.png|300px]] } - MAX(A1:A3)=4 + MAX(A1:A3)=5 - MAX(A1:A3)=-2 - MAX(A1:A3)=2 { [[Datei:Excel AutoSom Exercise.png|300px]] } - MIN(A1:A3)=4 - MIN(A1:A3)=5 + MIN(A1:A3)=-2 - MIN(A1:A3)=2 { [[Datei:Excel AutoSom Exercise.png|300px]] } - MITTELWERT(A1:A2)=4 + MITTELWERT(A1:A2)=4.5 - MITTELWERT(A1:A2)=5 - MITTELWERT(A1:A2)=-2 { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } + MAX(A1:A5) = 35 - MAX(A1:A5) = 10 - MAX(A1:A5) = 15 - MAX(A1:A5) = 25 { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } - MIN(A1:A5) = 35 + MIN(A1:A5) = 10 - MIN(A1:A5) = 15 - MIN(A1:A5) = 25 { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } - MAX(A2:A5) = 35 - MAX(A2:A5) = 10 - MAX(A2:A5) = 15 + MAX(A2:A5) = 25 { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } - MIN(A2:A5) = 35 + MIN(A2:A5) = 10 - MIN(A2:A5) = 15 - MIN(A2:A5) = 25 { [[Datei:No 11 - 15.jpg|200px]] } - ANZAHL(A1:A5) = 2 - ANZAHL(A1:A5) = 3 - ANZAHL(A1:A5) = 4 + ANZAHL(A1:A5) = 5 </quiz> <!--Begriffe klären: Mittelwert. == Aufgaben == === Aufgabe: Einkaufliste erstellen === 1. Öffne Excel. 2. Gib in die Zellen A1 bis A5 die folgenden Artikel ein: Brot Milch Eier Äpfel Butter 3. Gib in die Zellen B1 bis B5 die jeweiligen Preise ein, z. B.: 2.00 1.50 3.00 2.50 4.00 4. Berechne die Gesamtkosten: Klicke in die Zelle B6 und gib folgende Formel ein: =SUMME(B1:B5) 5. Drücke '''Enter''', um die Gesamtsumme anzuzeigen. === Aufgabe 2: Wochentage eintragen === 1. Öffne Excel. 2. Trage in die Zellen A1 bis A7 die Wochentage ein: Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag 3. Formatiere die Zellen so, dass die Wochentage fett angezeigt werden: Markiere die Zellen A1 bis A7, klicke auf ''Start'', dann auf das '''fett'''-Symbol (B). === Aufgabe 3: Einfache Tabelle mit Summen erstellen === 1. Gib in die Zellen A1 bis A3 die folgenden Namen ein: Peter Anna Sophie 2. Gib in die Zellen B1 bis B3 deren jeweilige Alter ein: 25 30 22 3. Berechne das durchschnittliche Alter: Klicke in die Zelle B4 und gib folgende Formel ein: =MITTELWERT(B1:B3) 4. Drücke ''Enter'', um das Ergebnis zu sehen. === Aufgabe 4: Monatsbudget erstellen === 1. Erstelle in Spalte A eine Liste von Ausgaben (A1 bis A5): Miete Strom Wasser Lebensmittel Transport 2. Gib in Spalte B die entsprechenden Kosten ein, z. B.: 500 100 50 300 60 3. Berechne die Gesamtausgaben: Klicke in die Zelle B6 und gib die Formel ein: =SUMME(B1:B5) 4. Drücke ''Enter'', um die Summe zu sehen. === Aufgabe 5: Multiplikationstabelle === 1. Trage in die Zellen A2 bis A6 die Zahlen 1 bis 5 ein. 2. Trage in die Zellen B1 bis F1 ebenfalls die Zahlen 1 bis 5 ein. 3. Berechne die Produkte: Klicke in die Zelle B2 und gib folgende Formel ein: =A2*B1 Ziehe dann die Formel mit dem kleinen Quadrat unten rechts über die Zellen B2 bis F6, um die gesamte Tabelle auszufüllen. === Aufgabe 6: Prozentrechnung === 1. Erstelle eine Liste in Spalte A von fünf Artikelpreisen, z. B.: 10 15 20 25 30 2. Berechne in Spalte B die Preise nach einem Rabatt von 10%: Klicke in die Zelle B1 und gib folgende Formel ein: =A1*0.9 Ziehe die Formel nach unten, um sie für die anderen Zellen anzuwenden. === Aufgabe 7: Namen alphabetisch sortieren=== 1. Trage in die Zellen A1 bis A5 fünf Namen ein, z. B.: Lukas Maria Ben Sophie Anna 2. Sortiere die Namen alphabetisch: Markiere die Zellen A1 bis A5. Klicke auf ''Daten'' und dann auf ''Sortieren A–Z''. === Aufgabe 8: Einfache Umsatzberechnung === 1. Erstelle eine Tabelle in Spalte A mit Produkten: Stift Buch Tasse 2. Trage in Spalte B die verkauften Stückzahlen ein, zum Beispiel: 10 5 3 3. Gib in Spalte C die Preise pro Stück ein: 1.50 10.00 8.00 4. Berechne den Gesamtumsatz in Spalte D: Klicke in Zelle D1 und gib die Formel ein: =B1*C1 Ziehe die Formel nach unten für die restlichen Produkte. izwpj322olxisfzmap8uup6o2lejaz5 0 159883 1092027 1034123 2026-06-01T12:40:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092027 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir erläutern kurz und ohne Beweise einen weiteren Zugang zur Multiplikation von komplexen Zahlen. Zunächst kann man innerhalb der komplexen Zahlen wie bei den reellen Zahlen von konvergenten Folgen sprechen, die Definition überträgt sich unmittelbar, wobei der komplexe Betrag den reellen Betrag ersetzt. In {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Exponentialfunktion/Grenzwert und Potenzreihe/Fakt |Nr= |SZ= }} haben wir erwähnt, dass die reelle Exponentialfunktion {{math|term= e^x |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | e^x || \sum_{n {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch|x^n |n!}} || || || |SZ= }} beschrieben werden kann, wobei die unendliche Summe für jedes {{math|term= x |SZ=}} konvergiert. Diese Konvergenz kann man auch für komplexe Zahlen nachweisen und gelangt so zur komplexen Exponentialfunktion. {{ inputdefinition |Komplexe Exponentialfunktion/Definition|| }} Auch die Funktionalgleichung gilt nach wie vor. {{ inputfakt |Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt|Satz|| }} Überraschend ist hingegen, dass sich im Komplexen eine Beziehung zwischen der komplexen Exponentialfunktion und den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus ergibt. {{ inputfakt |Komplexe Exponentialreihe/Trigonometrische Funktionen/Eulersche Formel/Fakt|Satz|| }} Spezialfälle davon sind {{ Relationskette/display | {{op:exp|2 \pi {{imaginäre Einheit|}} }} || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:exp| \pi {{imaginäre Einheit|}} }} || -1 || || || |SZ=, }} was man auch gern als {{ Relationskette/display | 1 + {{op:exp| \pi {{imaginäre Einheit|}} }} || 0 || || || |SZ= }} schreibt. {{ inputfakt |Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Fakt|Satz|| }} Dies ist anschaulich klar. {{math|term= \varphi |SZ=}} ist der Winkel der durch {{math|term= z |SZ=}} und dem Nullpunkt definierten Halbgerade, und {{math|term= e^{ {{imaginäre Einheit}} \varphi } |SZ=}} ist der zugehörige Punkt auf dem Einheitskreis. {{ inputfakt |Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Multiplikation/Fakt|Korollar|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} amps6erwsgwl8c7q4jixt00lkhkv9ea 0 164684 1092565 1019752 2026-06-01T14:08:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1092565 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Tensorprodukt/Moduln/Definition|| }} Die Bilder von {{mathl|term= (v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ=}} in {{mathl|term= V_1 \otimes_R V_2 {{otimesRdots|}} V_n |SZ=}} bezeichnet man wieder mit {{mathl|term= v_1 {{otimesdots|}} v_n |SZ=.}} Jedes Element aus {{mathl|term= V_1 {{otimesRdots|}} V_n |SZ=}} besitzt eine {{ Zusatz/Klammer |text=nicht eindeutige| |ISZ=|ESZ= }} Darstellung als {{Math/display|term= a_1 v_{1,1} {{otimesdots|}} v_{1,n} {{plusdots|}} a_m v_{m,1} {{otimesdots|}} v_{m,n} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | a_i |\in| R || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | v_{i,j} |\in| V_j || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Insbesondere bilden die {{ Zusatz/Klammer |text={{Stichwort|zerlegbaren Tensoren|msw=zerlegbarer Tensor|SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= v_1 {{tensordots|}} v_n |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=R |Modulerzeugendensystem| |Kontext=| |SZ= }} des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt {{ Relationskette/display/handlinks | v_1 {{tensordots|}} v_{i-1} {{tensor}} rv_i {{tensor}} v_{i+1} {{tensordots|}} v_n || v_1 {{tensordots|}} v_{j-1} {{tensor}} rv_j {{tensor}} v_{j+1} {{tensordots|}} v_n || || || |SZ= }} für beliebige {{mathl|term= i,j |SZ=.}} Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende {{Stichwort|universelle Eigenschaft|msw=Universelle Eigenschaft des Tensorprodukts|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| }} Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf {{ Zusatz/Klammer |text=eindeutige| |ISZ=|ESZ= }} Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen {{math|term= R |SZ=-}}Modul {{math|term= {{{T|T}}} |SZ=}} zusammen mit einer multilinearen Abbildung {{ Abbildung |name= | V_1 {{timesdots|}} V_n | {{{T|T}}} || |SZ= }} derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen {{math|term= R |SZ=-}}Modul {{math|term= W |SZ=}} eindeutig über {{math|term= {{{T|T}}} |SZ=}} mit einer linearer Abbildung von {{math|term= {{{T|T}}} |SZ=}} nach {{math|term= W |SZ=}} faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen {{math|term= {{{T|T}}} |SZ=}} und dem Tensorprodukt {{mathl|term= V_1 {{tensordots|R}} V_n |SZ=.}} Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Moduln/Tensorprodukt/Grundlegende Eigenschaften/Fakt|Proposition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 9ecar2hthvt5yn6njeuo9ekniqzethe 106 165952 1092789 1067871 2026-06-01T17:48:57Z Bocardodarapti 2041 1092789 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurven/Schnitt mit Geraden/Ist endlich oder voll/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Affine Varietäten/Vereinigung und Durchschnitt von affin-algebraischen Mengen im affinen Raum/Fakt|Proposition| }} {{ inputfaktklappe |Affiner Raum/Zariski-Topologie/Zariski-Abschluss ist V zu Verschwindungsideal/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Affine Varietäten/Irreduzible Teilmengen/Primideale/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Ebene Kurven/Algebraisch abgeschlossener Körper/Noethersche Normalisierung/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurve/Algebraisch abgeschlossener Körper/Unendlich viele Elemente/Fakt|Korollar| | }} {{ inputfaktklappe |Affin-algebraische Mengen/Affin-linear äquivalent/Impliziert isomorphen Restklassenring/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Affine Räume/K unendlich/Bild unter polynomialer Abbildung/ist irreduzibel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebene Kurven/Schnitt ohne Komponenten/Endlich viele Punkte/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebene polynomiale Parametrisierungen/Kurvengleichung/Fakt|Satz|||| }} {{ inputfaktklappe |Affine Ebene/Rationale Abbildung/Bild ist algebraisch/Fakt|Satz| | }} {{ inputfaktklappe |Quadrik in zwei Variablen/Rationale Parametrisierung/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Äquivalente Formulierungen/Fakt|Proposition| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Hilbertscher Basissatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Affin-algebraische Teilmengen/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Modultheorie (kommutative Algebra)/Noethersche Moduln/Kurze exakte Sequenz/Äquivalentes Kriterium/Fakt|Lemma| | }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hilbertscher Nullstellensatz (algebraisch)/Endlich erzeugte Körpererweiterung ist endlich/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Algebren von endlichem Typ über Körper/Homomorphismen/Urbild von maximalem Ideal ist maximal/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Algebren von endlichem Typ über Körper/Radikal ist Durchschnitt von maximalen Idealen/Fakt|Satz| | }} {{ inputfaktklappe |Algebren von endlichem Typ über Körper/Algebraisch abgeschlossen/Maximale Ideale sind Punktideal/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Affiner Raum/Hilbertscher Nullstellensatz (geometrisch)/Algebraisch abgeschlossen/Fakt|Satz|||| }} {{ inputfaktklappe |Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossen/Korrespondenz zwischen affin algebraischen Mengen und Radikalen/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Affiner Raum/Algebraisch abgeschlossener Körper/D(f i) überdeckt/Erzeugt Einheitsideal/Fakt|Korollar|||| }} {{ inputfaktklappe |Affin-algebraische Mengen/Affiner Raum/Unendlicher Körper/Koordinatenring ist Polynomring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Polynomring über Körper/Punkte im affinen Raum und K-Algebra-Homomorphismen/Identifizierung/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt|Satz| | }} {{ inputfaktklappe |Affine Varietäten/K-Spektren als Funktor/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Affine Varietäten/K-Spektrum/D(f) als K-Spek von R_f/Fakt|Satz|||| }} {{ inputfaktklappe |K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt|Satz|||| }} {{ inputfaktklappe |K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf D(f)/Ist R_f/Fakt|Korollar| || }} {{ inputfaktklappe |K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossen/Punkt/Halm ist Lokalisierung/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |K-Spektrum/Integritätsbereich/Durchschnitt von lokalen Ringen/Fakt|Lemma| | }} {{ inputfaktklappe |K-Spektrum/Integritätsbereich/Algebraische Funktion ist Element im Quotientenkörper/Fakt|Lemma| | }} {{ inputfaktklappe |K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Monoidringe/Universelle Eigenschaft für R-Algebren mit Monoidabbildung/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Monoid/Surjektivität/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Monoidringe/Erzeugendensystem für Monoid und Polynomring/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Monoidringe/Funktorialität im Ring/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Monomiale Kurvenabbildung/Bijektiv/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Minimales Standard-Erzeugendensystem/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Affine Kurven/Monomiale Kurven/Beschreibende binomiale Gleichungen/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Ring/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Monoidringe/Monoid mit Kürzungsregel und torsionsfrei/Grundring integer/Integer/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Monoidtheorie/Normalisierung/Monoid und Monoidring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Affine Kurven/Monomiale Kurvenabbildung/Ist Normalisierung/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Lokaler Ring/Modulerzeuger und Erzeuger mod m/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Lokaler Ring/Einbettungsdimension ist Dimension des Kotangentialraumes/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Numerisches Monoid/Lokale kommutative noethersche Ringe/Numerische und algebraische Einbettungsdimension/Äquivalenz/Fakt|Lemma||| }} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität/Fakt|Satz||||| }} {{ inputfaktklappe |Monomiale Kurve/Hilbert-Samuel Multiplizität ist numerische Multiplizität/Fakt|Korollar||||| }} {{ inputfaktklappe |Algebraische Kurven/Rationale Parametrisierung/Verhältnis Tangenten/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Diskreter Bewertungsring/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/T+../Transformierbar auf T/Fakt|Lemma|| |}} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurven/Potenzreihenlösung für Punkt/Linearer Term liegt auf Tangente/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurven/Tangenten mit Kontaktordnung eins/Formal-analytische Realisierung als Graph/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Charakterisierung Transversaler Schnitt/Fakt|Lemma||||||| }} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurve/Schnitt von Kurven ohne gemeinsame Komponente/Beschreibung als Produktring/Fakt|Korollar||||| }} {{ inputfaktklappe |Ebene algebraische Kurve/Schnittmultiplizität/Summe der Multiplizitäten ist Restklassendimension/Fakt|Satz||||| }} {{ inputfaktklappe |Affine Varietät/Projektiver Abschluss/Beschreibung mit Homogenisierung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebene projektive Kurve/Abbildung nach P^1 über Projektion von einem Punkt/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Glatte projektive Kurven/Rationale Funktion als Morphismus nach P^1/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Rationale Kurvenparametrisierung/Fortsetzung auf projektive Gerade/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bezout/Fakt|Satz||||| }} <!-- --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Listen]]</noinclude> cu8h80y6w6os6pytxgj29n6091zd7gz 106 166460 1092788 1051444 2026-06-01T17:48:19Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1051444 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|18|4|Kurs=|}} a60deatszdutx1844aufc5noawbjt21 106 168657 1092137 1091982 2026-06-01T12:58:18Z Bocardodarapti 2041 1092137 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Rationale Funktion/Körper/Definition|}} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Körper/Potenzreihenentwicklung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde_Erzeuger/Ab n alles/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,5,10/Betrag/30/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Kubikzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} an79b8vul9pkrcmdsj2p7qgnhio6f04 1092226 1092137 2026-06-01T13:12:49Z Bocardodarapti 2041 1092226 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Rationale Funktion/Körper/Definition|}} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Körper/Potenzreihenentwicklung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde_Erzeuger/Ab n alles/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,5,10/Betrag/30/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Kubikzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 8kjkg65cfox9h9saagiftpr8e1rf2hq 1092238 1092226 2026-06-01T13:14:34Z Bocardodarapti 2041 1092238 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Rationale Funktion/Körper/Definition|}} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Körper/Potenzreihenentwicklung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde_Erzeuger/Ab n alles/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,5,10/Betrag/30/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubikzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} qkjdcjmjrzenqgn6vyj1xxzj3k2mbi2 1092642 1092238 2026-06-01T14:20:15Z Bocardodarapti 2041 1092642 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Rationale Funktion/Körper/Definition|}} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Körper/Potenzreihenentwicklung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,5,10/Betrag/30/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu gegebenen Münzwerten {{mathl|term= m_1, m_2 {{kommadots}} m_k }} und gegebenem {{math|term= n |SZ=}} kann man sich fragen, ob in einer Darstellung {{ Relationskette | n || c_1 m_1 +c_2m_2 {{plusdots|}} c_km_k || || || || |SZ= }} die Gesamtzahl der Münzen, also {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 1}^k c_i |SZ=,}} {{ Zusatz/Klammer |text=für dieses {{math|term= n |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} minimal ist, ob die Darstellung mit der minimalen Anzahl von Münzen eindeutig ist, und wie man das charakterisieren kann. Für das Eurosystem gibt die folgende Aufgabe die Antwort. {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzzahlen/1,n,n+1/Uneindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubikzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 6u8ijugh80y87xa3dosjf1zkav8ho57 1092645 1092642 2026-06-01T14:23:43Z Bocardodarapti 2041 1092645 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Rationale Funktion/Körper/Definition|}} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Körper/Potenzreihenentwicklung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,5,10/Betrag/30/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu gegebenen Münzwerten {{mathl|term= m_1, m_2 {{kommadots}} m_k }} und gegebenem {{math|term= n |SZ=}} kann man sich fragen, ob in einer Darstellung {{ Relationskette | n || c_1 m_1 +c_2m_2 {{plusdots|}} c_km_k || || || || |SZ= }} die Gesamtzahl der Münzen, also {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 1}^k c_i |SZ=,}} {{ Zusatz/Klammer |text=für dieses {{math|term= n |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} minimal ist, ob die Darstellung mit der minimalen Anzahl von Münzen eindeutig ist, und wie man das charakterisieren kann. Für das Eurosystem gibt die folgende Aufgabe die Antwort. {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzzahlen/1,n,n+1/Uneindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubikzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} leguqrsl4sjddz7u47mymxc0oiyt370 1092815 1092645 2026-06-02T07:41:43Z Arbota 36910 1092815 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,5,10/Betrag/30/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu gegebenen Münzwerten {{mathl|term= m_1, m_2 {{kommadots}} m_k }} und gegebenem {{math|term= n |SZ=}} kann man sich fragen, ob in einer Darstellung {{ Relationskette | n || c_1 m_1 +c_2m_2 {{plusdots|}} c_km_k || || || || |SZ= }} die Gesamtzahl der Münzen, also {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 1}^k c_i |SZ=,}} {{ Zusatz/Klammer |text=für dieses {{math|term= n |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} minimal ist, ob die Darstellung mit der minimalen Anzahl von Münzen eindeutig ist, und wie man das charakterisieren kann. Für das Eurosystem gibt die folgende Aufgabe die Antwort. {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzzahlen/1,n,n+1/Uneindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubikzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 8bq9v336rw19hvu4z96rgrjlrkrbzfq 1092874 1092815 2026-06-02T11:32:05Z Bocardodarapti 2041 1092874 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|17| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/Gerade und ungerade Indizes/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihe/Dritte Potenz/Bis vierter Koeffizient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Geometrische Reihe/(a+bt)t/Koeffizienten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Potenzreihenring/Eine Variable/Konstanter Koeffizient/Ringhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Numerische Halbgruppe/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Erläutert/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzen/1,5,10/Betrag/30/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zu gegebenen Münzwerten {{mathl|term= m_1, m_2 {{kommadots}} m_k }} und gegebenem {{math|term= n |SZ=}} kann man sich fragen, ob in einer Darstellung {{ Relationskette | n || c_1 m_1 +c_2m_2 {{plusdots|}} c_km_k || || || || |SZ= }} die Gesamtzahl der Münzen, also {{mathl|term= \sum_{i {{=}} 1}^k c_i |SZ=,}} {{ Zusatz/Klammer |text=für dieses {{math|term= n |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} minimal ist, ob die Darstellung mit der minimalen Anzahl von Münzen eindeutig ist, und wie man das charakterisieren kann. Für das Eurosystem gibt die folgende Aufgabe die Antwort. {{ inputaufgabe |Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Maximal zwei Münzen/Eindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Münzzahlen/1,n,n+1/Uneindeutigkeit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fibonacci-Zahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Erläuterung/d ist 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |50-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubikzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 86kdr1n9ufi0vzi3rben9j61fman8su 106 168658 1092775 1086230 2026-06-01T17:27:05Z Bocardodarapti 2041 1092775 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Typ/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Man soll also nur die {{Anführung|Isomorphieklassen}} im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname=Mengen/Relation/Isomorphismus/Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also konjugiert-isomorph im Sinne der 15. Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} auflisten. }} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/4 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Keine Geradenkonfiguration/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eigene Wohnung/Graph/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Pferdsprung/Schachbrett/3x3/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Turmzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Läuferzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Amsterdam/Graphentheorie/Netzgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Kästchen als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Wörter als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutativer Ring/Nullteilergraph/Definition}} {{ inputaufgabe |Nullteilergraph/Z mod 10/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Definition}} {{ inputaufgabe |3-elementige Menge/Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Graph einer Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Isomorph/Beidseitig/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/7 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wohnung/Graph/Skizze/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Teilerfremdheitsgraph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Tipp: Komplementärgraph. }} {{ inputaufgabe |Pferdsprung/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} t7ugspgabkc0e7wm1pnyh27f3im9mvw 1092776 1092775 2026-06-01T17:30:35Z Bocardodarapti 2041 1092776 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Typ/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Man soll also nur die {{Anführung|Isomorphieklassen}} im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname=Mengen/Relation/Isomorphismus/Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also konjugiert-isomorph im Sinne der 15. Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} auflisten. }} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/4 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Keine Geradenkonfiguration/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eigene Wohnung/Graph/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Pferdsprung/Schachbrett/3x3/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Turmzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Läuferzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Amsterdam/Graphentheorie/Netzgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Kästchen als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Wörter als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutativer Ring/Nullteilergraph/Definition}} {{ inputaufgabe |Nullteilergraph/Z mod 10/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Definition}} {{ inputaufgabe |3-elementige Menge/Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Graph einer Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/7 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wohnung/Graph/Skizze/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Teilerfremdheitsgraph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Tipp: Komplementärgraph. }} {{ inputaufgabe |Pferdsprung/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} h3648qy36jjujirlyi90nev8rt5e2h2 1092793 1092776 2026-06-01T18:22:53Z Bocardodarapti 2041 1092793 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Kleine Knotenanzahl/Typ/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Man soll also nur die {{Anführung|Isomorphieklassen}} im Sinne von {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=| |Definitionsseitenname=Mengen/Relation/Isomorphismus/Definition |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also konjugiert-isomorph im Sinne der 15. Vorlesung| |ISZ=|ESZ= }} auflisten. }} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/4 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Keine Geradenkonfiguration/Beispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eigene Wohnung/Graph/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E6/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E7/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |E8/Graph/Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Pferdsprung/Schachbrett/3x3/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Turmzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Läuferzug/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn Amsterdam/Graphentheorie/Netzgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Kästchen als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreuzworträtsel/Wörter als Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Kommutativer Ring/Nullteilergraph/Definition}} {{ inputaufgabe |Nullteilergraph/Z mod 10/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Definition}} {{ inputaufgabe |3-elementige Menge/Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Graph einer Abbildung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Geradenkonfiguration/5 Geraden/7 Schnittpunkte/Graph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilerfremd/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Wohnung/Graph/Skizze/1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Teilerfremdheitsgraph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp=Tipp: Komplementärgraph. }} {{ inputaufgabe |Pferdsprung/Schachbrett/Knotengrad/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} ezfqsyiaqfdjdmuhb9p2t2szv9wceex 106 168659 1092794 1089587 2026-06-01T18:23:09Z Bocardodarapti 2041 1092794 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Potenzmengengraph/Untergraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |U-Bahn/Graphinterpretationen/Graphhomomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Graph/Bilder/Isomorphismus/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Schleifen/Isomorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vollständiger Graph/4/Kantengraph/Skizze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Skizze/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Schwacher Homomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/3 Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/4 Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/5 Knoten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabekommentar |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Trivial/Minimal/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Z mod 3/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Würfelgraph/3/Automorphismengruppe/Geometrisch realisierbar/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Isomorph/Automorphismengruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Starr/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Kein Graph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Graph/Potenzmengengraph/Untergraph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Skizze/2/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Graph/Komplementärer Graph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rundgang/Automorphismengruppe/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ungerichteter Graph/Starr/7/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Homogener Graph/Regulärer Graph/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} dwcflkdf5vgk1h51ipz7ziw8qbi8jom 106 168668 1092798 1072294 2026-06-02T05:41:18Z Bocardodarapti 2041 1092798 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|28| {{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}} {{ inputaufgabe |Karte/Länder/Hauptstadt/Verbindung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Europa/Nachbarschaftsgraph/Graphentheoretische Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Karte/Einfärbung/Meer/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Chromatische Zahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Mongolei/Kasachstan/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Karte/Vollständiger Graph/4/Aufgabe|| |zusatz=Finde eine solche Konfiguration auf der Weltkarte! Auf der Europakarte? |tipp= }} {{ inputaufgabe |Vier-Farben-Satz/Umfärbung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Planarer Graph/5 Punkte/9 Kanten/Färbung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Karte/5 Knoten 9 Kanten/Aufgabe|| |zusatz=Gibt es eine solche Konfiguration auf der Weltkarte? |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ebener Graph/Länderkartenrealisierung/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Länderkarte/Geraden als Grenzen/Zwei Farben/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} i9jhiqd7atpznzcmc87jui1v1rlv84g 106 168671 1092871 1081059 2026-06-02T11:14:05Z Bocardodarapti 2041 1092871 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Potenzmenge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Theorie der Abbildungen/Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Injektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Surjektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Hintereinanderschaltung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Menge/1...n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Natürliche Zahlen/Fakultät/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Permutation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Binomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfung/Inverses Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verknüpfungen/Monoid/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Gruppe/Direkt/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Abelsche Gruppe/Definition||v=\circ }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ring/Über Halbring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Polynomring/Eine Variable/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Linkseindeutig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Rechtseindeutig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Linksvollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relation/Rechtsvollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relation auf einer Menge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Reflexiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Transitiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Symmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Antisymmetrisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Relation/Relationstreue Abbildung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Lineare Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Angeordneter Ring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Produktordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungstreu/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Mengen/Abbildung/Antimonoton/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Kleinstes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Maximales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Minimales Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Obere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Untere Schranke/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Supremum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Teilmenge/Infimum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Primzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Größter gemeinsamer Teiler/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsames Vielfaches/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Euklidischer Algorithmus/Z/Euklidische Restfolge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Algebraisch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Beschränkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Komplementär/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Distributiv/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Verband/Boolesch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Äquivalenzrelation/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengentheorie/Relationen/Äquivalenzklasse/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Repräsentantensystem/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Äquivalenzrelation/Kanonische Projektion/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppenhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringtheorie/Ringhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ideal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multinomialkoeffizient/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Menge/Partition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Stirling-Zahl/2. Art/Partition/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Permutation/Stirling-Zahl/1. Art/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Partitionen/Bellzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Relationen/Isomorph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildungen/Isomorph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildung/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Abbildungen/Rechts fest/Linksisomorph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Mengen/Selbstabbildungen/Konjugiert/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Permutation/Zyklendarstellung/Typ/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Lineare Rekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matrixrekursion/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Formale Potenzreihe/Eine Variable/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Folge/C/Erzeugende Funktion/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Ungerichtet/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Vollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantenfrei/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Pfad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Sterngraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Punkt/Grad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isolierter Knoten/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Blatt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Minimalgrad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Maximalgrad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Regulär/Definition|| }} <!-- {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Homogen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Starr/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Weg/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Weg/Länge/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Durchmesser/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Radius/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Exzentrizität/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Kreis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Taille/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Umfang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Wald/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Baum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Aufspannender Baum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Basis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Matroid/Rang/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Aufspannender Wald/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multigraph/Ungerichtet/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Adjazenzmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Adjazenzmatrix/Charakteristisches Polynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Inzidenzmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Gradmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Multigraph/Laplace-Matrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Vollständig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarung/Punktabdeckung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Knotenteilmenge/Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Perfekte Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Maximale Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Optimale Paarung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichter Graph/Paarungszahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Bipartiter Graph/Teilmenge/Paarungsbedingung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Paarung/Alternierender Weg/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Minimal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckung/Optimal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Knotenüberdeckungszahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Hamiltonkreis/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Hamiltonsch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Eulerscher Kantenzug/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Eulersch/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Untergraph/Kantendisjunkt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Zulässig/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbung/Chromatische Zahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Geometrische Realisierung/R^n/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ungerichteter Graph/Planar/Definition|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> bn0qdpfd3iz6ivu44g7qb5grwbncq6m 106 168673 1092872 1081069 2026-06-02T11:14:49Z Bocardodarapti 2041 1092872 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Permutationen/Fixpunktfrei/Asymptotisches Verhalten/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ }} {{ inputfaktklappe |Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt||| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt||| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt||| }} {{ inputfaktklappe |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Lineare Rekursion/C/Lösung/Explizite Darstellung/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt|Korollar|| }} <!-- {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Wälder/Matroid/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Ebener Graph/Vier Farben/Fakt|Satz|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> 0l9fhjxbohijg7qbfjkyujfz8yma7b0 0 169429 1092256 1079927 2026-06-01T13:17:14Z Λυκας 38324 1092256 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette/display | x_n || a_1x_{n-1} +a_2x_{n-2} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Rekursion| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_2 | \neq| 0 || || || |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=,}} es seien {{ Relationskette | c_0,c_1 | \in | K || || || |SZ= }} Startglieder und seien {{ Relationskette | \lambda_1, \lambda_2 | \in | K || || || |SZ= }} Nullstellen von {{mathl|term= T^2-a_1T-a_2 |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Lösungsformeln. |Folgerung= Bei {{ Relationskette | \lambda_1 |\neq | \lambda_2 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | x_n || \lambda_1^n {{op:Bruch| c_1 -c_0 \lambda_2 | \lambda_1 - \lambda_2 }} + \lambda_2^n {{op:Bruch| -c_1 + c_0 \lambda_1 | \lambda_1 - \lambda_2 }} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | \lambda_1 || \lambda_2 || \lambda || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | x_n || \lambda^n {{makl| {{op:Bruch|c_1 - \lambda c_0 | \lambda }} n+c_0 |}} || \lambda^n {{makl| {{op:Bruch|n | \lambda }} c_1 + (1-n) c_0 |}} || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 5mzxzkbc5yhuaxtm1kqryu7fhh0wlw1 0 169447 1092877 1087341 2026-06-02T11:40:34Z Bocardodarapti 2041 1092877 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{mathl|term= {{Folge|x|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_d |SZ=}} komplexe Zahlen mit {{ Relationskette | a_d | \neq | 0 || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Die Folge erfüllt eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Rekursion| |Kontext=| |SZ= }} der Länge {{math|term= d |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | x_n || a_1 x_{n-1} +a_2 x_{n-2} {{plusdots}} a_{{{d|d}}} x_{n-{{{d|d}}}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | n | \geq | d || || || |SZ=. }} |Die {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugende Funktion| |Kontext=| |SZ= }} der Folge besitzt eine rationale Darstellung {{ Relationskette/display | F_x (t) || \sum_{n {{=}} 0}^\infty x_nt^n || {{op:Bruch| P(t) | Q(t) }} || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | Q(t) || 1-a_1t-a_2t^2 {{minusdots}} a_dt^d || || || |SZ= }} und {{mathl|term= P(t) |SZ=}} ein Polynom vom Grad {{mathl|term= \leq d-1 |SZ=.}} |Die Folge besitzt eine explizite Beschreibung {{ Relationskette/display | x_n || \sum_{i {{=}} 1}^k \lambda_i^n P_i(n) || || || |SZ= }} mit komplexen Zahlen {{mathl|term= \lambda_1 {{kommadots|}} \lambda_k |SZ=}} und derart, dass {{ Relationskette/display | {{op:Grad Polynom| P_i |}} | \leq| d_i -1 || || || |SZ= }} und dass {{ Relationskette/display | t^d -a_1t^{d-1} {{minusdots}} a_{d-1} t -a_d || \prod_{i {{=}} 1}^k {{makl| t- \lambda_i |}}^{d_i} || || || |SZ= }} ist. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} r6vchvruu1jnim9jv54nh9ye66dvslf 106 169460 1092816 1079721 2026-06-02T07:43:10Z Arbota 36910 1092816 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|19|Kurs=|}} ozuic9jtk15espd2g62bzh9aixuwo8f 106 169462 1092818 1079722 2026-06-02T07:43:44Z Arbota 36910 1092818 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|26|Kurs=|}} qo9gosm4b2kjyn5t6p4uab5xufg3ia3 106 169468 1092817 1079720 2026-06-02T07:43:27Z Arbota 36910 1092817 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|21|Kurs=|}} f4th46lqqrfw0mte556nz008fwb7zsv 106 169485 1092812 1079735 2026-06-02T07:38:42Z Arbota 36910 1092812 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|17|11|Kurs=|}} g9f6fcvt5k7blbr8ziiap8ac0zfye6i 1092864 1092812 2026-06-02T10:31:19Z Bocardodarapti 2041 1092864 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|17|12|Kurs=|}} 4k618bux2fk92v0c5ybv99d8huf4ho1 106 169486 1092813 1079711 2026-06-02T07:40:33Z Arbota 36910 1092813 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|17|5|Kurs=|}} 70mgxz25ke7n8b93u9jcans4y3d6h8y 106 169489 1092814 1079712 2026-06-02T07:40:44Z Arbota 36910 1092814 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|17|6|Kurs=|}} sbxssuctmcf669tdstos1xu75db4etd 0 169615 1092868 1072737 2026-06-02T10:38:32Z Bocardodarapti 2041 1092868 wikitext text/x-wiki {{ Tabelleleitzehnxdrei |ls0=|lz1=Folge|lz2=Potenzreihe|lz3=Funktion| |ls1=|a1,1=c_n|a1,2= \sum_{n = 0}^\infty c_n z^n |a1,3= F(z) | |ls2=|a2,1=c_0,c_1 {{kommadots|}} c_d|a2,2= \sum_{n =0}^d c_nz^n|a2,3=\sum_{n =0}^d c_nz^n| |ls3=|a3,1=c_n=1|a3,2= \sum_{n = 0}^\infty z^n |a3,3= {{op:Bruch|1|1-z}} | |ls4=|a4,1=c_n=n|a4,2=\sum_{n = 0}^\infty n z^n |a4,3= {{op:Bruch|z|(1-z)^2}} | |ls5=|a5,1=c_n=n^2 |a5,2=\sum_{n = 0}^\infty n^2 z^n|a5,3= {{op:Bruch|z (1+z) | (1-z)^3}} | |ls6=|a6,1=c_n= {{op:Bruch|1|n!}} |a6,2= \sum_{n = 0}^\infty {{op:Bruch|1|n!}} z^n |a6,3= e^z | |ls7=|a7,1=c_n= {{op:Bruch| (-1)^{n+1} |n}} |a7,2= \sum_{n {{=|}} 1}^\infty {{op:Bruch| (-1)^{n+1} |n}} z^n |a7,3= {{op:ln(|1+z|}} | |ls8=|a8,1=c_n= {{op:Bruch| 1 |n}} |a8,2=\sum_{n {{=|}} 1}^\infty {{op:Bruch| 1 |n}} z^n |a8,3= {{op:ln | {{op:Bruch|1|1-z}} |}} | |ls9=|a9,1=c_n=b^n |a9,2=\sum_{n {{=|}} 0}^\infty b^n z^n |a9,3= {{op:Bruch|1|1-bz}} | |ls10=|a10,1=c_n = {{op:Binomialkoeffizient|r|n}} |a10,2=\sum_{n {{=|}} 0}^\infty {{op:Binomialkoeffizient|r|n}} z^n |a10,3= (1+z)^r | |ls12=|a12,1=|a12,2=|a12,3=| |ls13=|a13,1=|a13,2=|a13,3=| |ls14=|a14,1=|a14,2=|a14,3=| |ls15=|a15,1=|a15,2=|a15,3=| |ls16=|a16,1=|a16,2=|a16,3=| }} Die beiden Folgen in den Logarithmusreihen fangen bei {{math|term= c_1 |SZ=}} an. In der letzten Folge kann das {{math|term= r |SZ=}} eine beliebige positive reelle Zahl sein. <noinclude>[[Kategorie:Theorie der erzeugenden Funktionen]]</noinclude> 01rjvj1yqpb3aqebteixu1h14fwp3du 0 169667 1092259 1081241 2026-06-01T13:17:34Z Λυκας 38324 1092259 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Rekursion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | x_n || {{imaginäre Einheit|}} x_{n-1} +5 x_{n-2} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung5/a |Erstelle{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Rekursionsmatrix| |Kontext=| |SZ= }} zu dieser Rekursion. |Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |charakteristische Polynom| |Kontext=lineare Rekursion| |SZ= }} zu dieser Rekursion. |Bestimme{{n Sie}} die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. |Bestimme{{n Sie}} die Eigenvektoren zur Rekursionsmatrix. |Bestimme{{n Sie}} die explizite Lösung zu dieser Rekursion für die Anfangsglieder {{ Relationskette | x_0 || 7 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | x_1 || 3- {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |p5=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 51kcuvo5gh6qt17vyit0banaa1zqyht 106 169734 1092863 1079733 2026-06-02T10:31:05Z Bocardodarapti 2041 1092863 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|17|9|Kurs=|}} 8cosb98h54dpjiw2j9vjr7a56rja6oq 106 170118 1092538 1081183 2026-06-01T14:03:46Z Bocardodarapti 2041 1092538 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelationen/Isomorph/Einzeln ordnungstreu/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/2. Ordnung/Charakteristisches Polynom/1/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Körper/Induktion/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Nullteilergraph/Z mod 10/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} cd98wyyfzsaou0ek8b9aq67kdt2w82d 106 170119 1092232 1081441 2026-06-01T13:13:48Z Bocardodarapti 2041 1092232 wikitext text/x-wiki {{ Klausur14 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Primfaktoren/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Aufgabe|p||| |Endlicher kommutativer Ring/Addition und Multiplikation/Isomorph/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelationen/Isomorph/Endlich/Konjugiert/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p||| |Fibonacci-Zahlen/Matrix/Iterationen/Eigenvektoren/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |10-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |3-elementige Menge/Potenzmenge/Disjunktheitsgraph/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8cfsg2zlz7b71ffwmn5rqvdoramfb6s 0 170226 1092820 1079776 2026-06-02T07:58:35Z C.Koltzenburg 13981 /* Beispielformulierungen für den 1. Satz der PatV */ 1092820 wikitext text/x-wiki == Beispielformulierungen für den 1. Satz der PatV == Ich würde Ihnen '''gern''' einen neuen Fall vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? - Ja bitte, legen Sie los! - === Modell 1 === Herr/Frau x Mayer, 66 Jahre alt, geboren am 15.6.1958, 177 cm groß, 80 kg schwer, stellte sich bei uns vor wegen/ aufgrund … === Modell 2 === Herr/Frau Sebastian Mayer ist 66 Jahre alt, geboren am 15.6.[19]58, 177 cm groß, 80 kg schwer. Er/ Sie stellte sich bei uns vor wegen/ aufgrund ... === Modell 3 === Frau Stefanie Mayer, eine 66-jährige Patientin, am 15.6.1958 geboren, 177 cm groß, 80 kg schwer, stellte sich bei uns vor wegen/ aufgrund ... Herr Sebastian Mayer, ein 66-jähriger Patient, am 15.6.1958 geboren, 177 cm groß, 80 kg schwer, stellte sich bei uns vor wegen/ aufgrund ... === Modell 4 === Frau Anders ist [+ Nom.] <br /> | eine 30-jährige Patientin, <br /> | ein 30-jähriger Patient, <br /> am dreizehnten fünften fünfundneunzig geboren, einen Meter zweiundachtzig groß und sechsundachtzig Kilo schwer. <br /> Er/ Sie stellte sich ... === Modell 5 === Es geht um [+ Akk] Kathrin Anders, <br /> | eine 30-jährige Patientin, <br /> | einen 30-jährigen Patienten, <br /> geboren am 13.5.1995, 182 cm groß und 86 Kilo schwer. <br /> Sie/ Er stellte sich bei uns vor aufgrund... === Modell 6 === Es handelt sich um [+ Akk] <br /> | Herrn Sebastian Mayer, einen 66-jährigen Patienten, <br /> | Frau Stefanie Mayer, eine 66-jährige Patientin, <br /> geboren am 15.6.1958, 177 cm, 80 kg. <br /> Sie/ Er stellte sich bei uns vor wegen/ aufgrund ... m4r1xjkflduwfzq5gyyay1in0rjegvg 106 170342 1092832 1081411 2026-06-02T10:04:43Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1092832 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sek 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: ... Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: ... Die Summe aller Prozentwerte liefert dann das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: ... Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der möglichen Standorte sich womöglich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. (->weiter) *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0kcaxrzh8pn2qzx1hrpkxa9uamlots3 1092833 1092832 2026-06-02T10:17:40Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1092833 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: <math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sek 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: ... Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte liefert dann das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: :<math>X = W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der möglichen Standorte sich womöglich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. (->weiter) *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] runr7bms2st6nvc7v7tufc2qmbpik9n 1092834 1092833 2026-06-02T10:18:33Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1092834 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sek 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: ... Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte liefert dann das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: :<math>\bar{x}_w = \W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der möglichen Standorte sich womöglich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. (->weiter) *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kahoj4pxwljkhjkz0cifuzaj246dltr 1092835 1092834 2026-06-02T10:19:05Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1092835 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sek 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: ... Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte liefert dann das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der möglichen Standorte sich womöglich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. (->weiter) *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s4szgx83sleo0xxcary4rnobce9f4d5 1092859 1092835 2026-06-02T10:26:08Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1092859 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sek 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: <math>frac{\sum_{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte liefert dann das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der möglichen Standorte sich womöglich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. (->weiter) *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q7w5b0gj2vork37pxcz0ma2dnyj065o 1092865 1092859 2026-06-02T10:33:15Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1092865 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sek 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: <math>\frac{p}{100} = frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte liefert dann das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der möglichen Standorte sich womöglich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. (->weiter) *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ev4o1wi0kceqk0yr2wxb4tbt9yowc4i 1092866 1092865 2026-06-02T10:33:54Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1092866 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sek 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte liefert dann das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der möglichen Standorte sich womöglich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. (->weiter) *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kzztpdbk2w77evdxrewb0ahz3v0rhcf 0 171301 1092777 1089573 2026-06-01T17:30:40Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Graph/Isomorphie mit zweiseitiger Isomorphie/Kein Graph/Aufgabe]] nach [[Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Kein Graph/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1089573 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graph| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} zu einer Relation {{math|term= S |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= als eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |SZ= }} zwischen Mengen| |ISZ=|ESZ= }} sein kann, ohne dass {{mathl|term= (M,S) |SZ=}} selbst ein Graph ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4dwdgwx7j4ispanusymlc0i7fgvnd42 0 171302 1092778 1089571 2026-06-01T17:30:41Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Graph/Isomorphie mit zweiseitiger Isomorphie/Kein Graph/Aufgabe/Lösung]] nach [[Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Kein Graph/Aufgabe/Lösung]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1089571 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | V || \{x,y\} || || || |SZ= }} mit der verbindenen Kante {{mathl|term= xy |SZ=}} und es sei {{ Relationskette | M || \{a,b\} || || || |SZ= }} mit der identischen Relation, was kein {{ Zusatz/Klammer |text=schleifenfreier| |ISZ=|ESZ= }} Graph ist. Wir legen die Bijektionen {{ Abbildung/display |name= \varphi, \psi | V | M || |SZ= }} durch {{ Relationskette/display | a || \varphi(x) || \psi(y) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | b || \varphi(y) || \psi(x) || || || |SZ= }} fest. Dem Paar {{mathl|term= (x,y) |SZ=}} entspricht dabei das Paar {{ Relationskette | (\varphi(x), \psi(y)) || (a,a) || || || |SZ= }} und dem Paar {{mathl|term= (y,x) |SZ=}} entspricht dabei das Paar {{ Relationskette | (\varphi(y), \psi(x)) || (b,b) || || || |SZ=. }} Es liegt also eine Isomorphie von Relationen vor. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} a70ho7i8gkyqi2f70h8o15kp9a7nul4 0 171310 1092152 2026-06-01T13:00:42Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092152 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man mit {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig vielen| |ISZ=|ESZ= }} Münzen mit den Nennbeträgen {{math|term= 1,5,10 |SZ=}} Cent einen Betrag von {{math|term= 30 |SZ=}} Cent begleichen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie2=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} i9xgtaewyhao09cbbxhbt5p3cnkwebr 1092644 1092152 2026-06-01T14:22:24Z Bocardodarapti 2041 1092644 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf wie viele Arten kann man mit {{ Zusatz/Klammer |text=beliebig vielen| |ISZ=|ESZ= }} Münzen mit den Nennbeträgen {{math|term= 1,5,10 |SZ=}} Cent einen Betrag von {{math|term= 30 |SZ=}} Cent begleichen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie2=Theorie der additiven Untermonoide von N |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qxfo05jobsrvjjo7g2a522jg86as0lb 0 171311 1092566 2026-06-01T14:08:15Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092566 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die folgenden Aussagen gelten. {{ Aufzählung3 |Jede natürliche Zahl {{math|term= w |SZ=}} besitzt eine eindeutige Summendarstellung {{ Relationskette/display |w || a_1 \cdot 1 + a_2 \cdot 2 +a_3 \cdot 5 + a_4 \cdot 10 +a_5 \cdot 20 +a_6 \cdot 50 + a_7 \cdot 100+ a_8 \cdot 200 + a_9 \cdot 500 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=a_1 {{kommadots|}} a_9 \in \N|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} mit der Eigenschaft, dass die Gesamtanzahl der Summanden {{ Zusatz/Klammer |text=also {{mathlk|term=a_1 +a_2 {{plusdots}} a_9 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} unter allen Darstellungen minimal ist. |Eine solche Darstellung ist genau dann minimal, wenn die folgenden Koeffizientenbedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3/a |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 1,5,10,50,100 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 1 |SZ=.}} |Die Koeffizienten {{math|term= a_i |SZ=,}} die sich auf {{math|term= 2,20,200 |SZ=}} beziehen, sind {{math|term= \leq 2 |SZ=.}} |Falls der Koeffizient, der sich auf {{math|term= 2 |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{math|term= 20 |SZ=}} bzw. {{math|term= 200 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} bezieht, gleich {{math|term= 2 |SZ=}} ist, so ist der vorhergehende Koeffizient {{ Zusatz/Klammer |text=der sich also auf {{math|term= 1 |SZ=}} bzw. {{math|term= 10 |SZ=}} bzw. {{math|term= 100 |SZ=}} bezieht| |ISZ=|ESZ= }} gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} }} |Die eindeutige Darstellung findet man, indem man sukzessive absteigend {{mathl|term= a_9 {{kommadots|}} a_1 |SZ=}} bestimmt, wobei man folgendermaßen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Dies ist ein sogenannter {{Anführung|gieriger Algorithmus|SZ=,}} da er sich bei jedem Einzelschritt daran orientiert, wie man möglichst viel von dem {{ Zusatz/Klammer |text=verbleibenden| |ISZ=|ESZ= }} Geldbetrag abzahlen kann| |ISZ=.|ESZ= }} vorgeht {{ Math/display|term= a_9 \text{ ist die maximale natürliche Zahl mit } a_9 \cdot 500 \leq w |SZ=, }} definiere {{ Relationskette/display |w_8 | {{defeq}} | w- a_9 \cdot 500 || || || |SZ=. }} {{ Math/display|term= a_8 \text{ ist die maximale natürliche Zahl mit } a_8 \cdot 200 \leq w_8 |SZ=, }} definiere {{ Relationskette/display |w_7 | {{defeq}} | w_8- a_8 \cdot 200 || || || |SZ=, }} etc. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d35uzj83tp1oeomv640z437vgcegw1u 0 171312 1092570 2026-06-01T14:08:44Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092570 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} euhssvlq2emc9liqiaomnoetubqfuq2 0 171313 1092783 2026-06-01T17:44:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092783 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den zweiseitigen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphiebegriff| |Kontext=Relation| |SZ= }} für {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=| |SZ=, }} dabei sind also zwei Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | H || (W,F) || || || |SZ= }} zueinander isomorph {{ Zusatz/Klammer |text=als Relation| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es Bijektionen {{ Abbildung/display |name= \varphi, \psi | V | W || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= uv |SZ=}} genau dann eine Kante in {{math|term= E |SZ=}} ist, wenn {{mathl|term= \varphi(u) \psi (v) |SZ=}} eine Kante in {{math|term= F |SZ=}} ist. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Knotengrad| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= v |SZ=}} mit den Knotengrad von {{math|term= \varphi(v) |SZ=}} übereinstimmt. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} für zwei Graphen, die in dem beschriebenen Sinn zueinander isomorph sind, aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert-isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} jdmh3fba6ajxs2qfwbjzu8o0ii842w5 1092795 1092783 2026-06-01T18:23:57Z Bocardodarapti 2041 1092795 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den zweiseitigen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphiebegriff| |Kontext=Relation| |SZ= }} für {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=| |SZ=, }} dabei sind also zwei Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | H || (W,F) || || || |SZ= }} zueinander isomorph {{ Zusatz/Klammer |text=als Relation| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es Bijektionen {{ Abbildung/display |name= \varphi, \psi | V | W || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= uv |SZ=}} genau dann eine Kante in {{math|term= E |SZ=}} ist, wenn {{mathl|term= \varphi(u) \psi (v) |SZ=}} eine Kante in {{math|term= F |SZ=}} ist. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Knotengrad| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= v |SZ=}} mit den Knotengrad von {{math|term= \varphi(v) |SZ=}} übereinstimmt. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für zwei Graphen, die in dem beschriebenen Sinn zueinander isomorph sind, aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert-isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} kjgssibbds1bl2kkso4p8oqe55aycdu 1092804 1092795 2026-06-02T06:39:25Z Bocardodarapti 2041 1092804 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den zweiseitigen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphiebegriff| |Kontext=Relation| |SZ= }} für {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=| |SZ=, }} dabei sind also zwei Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | H || (W,F) || || || |SZ= }} zueinander isomorph {{ Zusatz/Klammer |text=als Relation| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es Bijektionen {{ Abbildung/display |name= \varphi, \psi | V | W || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= uv |SZ=}} genau dann eine Kante in {{math|term= E |SZ=}} ist, wenn {{mathl|term= \varphi(u) \psi (v) |SZ=}} eine Kante in {{math|term= F |SZ=}} ist. {{ Aufzählung3 |Es seien {{ mathkor|term1= G ||term2= und |SZ= }} {{math|term= H |SZ=}} isomorph. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der Kanten übereinstimmt. |Es seien {{ mathkor|term1= G ||term2= und |SZ= }} {{math|term= H |SZ=}} isomorph. Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Knotengrad| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= v |SZ=}} mit den Knotengrad von {{math|term= \varphi(v) |SZ=}} übereinstimmt. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für zwei Graphen, die in dem beschriebenen Sinn zueinander isomorph sind, aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert-isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bxrvxkuu48kikcieqjp16bydvh9usfo 1092805 1092804 2026-06-02T06:39:59Z Bocardodarapti 2041 1092805 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den zweiseitigen {{ Definitionslink |Prämath= |Isomorphiebegriff| |Kontext=Relation| |SZ= }} für {{ Definitionslink |Prämath= |Graphen| |Kontext=| |SZ=, }} dabei sind also zwei Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | H || (W,F) || || || |SZ= }} zueinander isomorph {{ Zusatz/Klammer |text=als Relation| |ISZ=|ESZ=, }} wenn es Bijektionen {{ Abbildung/display |name= \varphi, \psi | V | W || |SZ= }} derart gibt, dass {{mathl|term= uv |SZ=}} genau dann eine Kante in {{math|term= E |SZ=}} ist, wenn {{mathl|term= \varphi(u) \psi (v) |SZ=}} eine Kante in {{math|term= F |SZ=}} ist. {{ Aufzählung3 |Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} isomorph. Zeige{{n Sie}}, dass die Anzahl der Kanten übereinstimmt. |Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= H |SZ= }} isomorph. Zeige{{n Sie}}, dass zu jedem Punkt {{ Relationskette | v | \in | V || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Prämath= |Knotengrad| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= v |SZ=}} mit den Knotengrad von {{math|term= \varphi(v) |SZ=}} übereinstimmt. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für zwei Graphen, die in dem beschriebenen Sinn zueinander isomorph sind, aber nicht {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert-isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Relationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=1 |p2=2 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} tskqd02f089j7ip3s3d8179ord7xj7o 0 171314 1092791 2026-06-01T18:19:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092791 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zu {{math|term= v |SZ=}} werden die {{ Relationskette | u | \in | V || || || |SZ=, }} für die {{mathl|term= vu |SZ=}} eine Kante im ersten Graphen ist, in die {{math|term= \psi (u) |SZ=}} überführt, für die {{mathl|term= \varphi(v) \psi(u) |SZ=}} eine Kante im zweiten Graphen ist, und dabei werden alle von {{math|term= \varphi(v) |SZ=}} ausgehenden Kanten getroffen. Daher stimmen die Knotengrade überein. |Wir betrachten {{ Relationskette/display | V || \{u,v,w,x,y,z\} || || || |SZ= }} mit den sechs Kanten {{mathl|term= uv,vw,uw,xy,yz,xz |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die disjunkte Vereinigung von zwei zyklischen Graphen der Länge {{math|term= 3 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette/display | W || \{a,b,c,d,e,f \} || || || |SZ= }} mit den sechs Kanten {{mathl|term= ab,bc,cd,de,ef,fa |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also der zyklische Graph der Länge {{math|term= 6 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir legen die Bijektionen über {{ Relationskette | a || \varphi(u) || \psi(x) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b || \varphi(y) || \psi(v) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | c || \varphi(w) || \psi(z) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | d || \varphi(x) || \psi(u) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | e || \varphi(v) || \psi(y) || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f || \varphi(z) || \psi(w) || || |SZ= }} fest. Damit ergibt sich die Entsprechung der Kanten {{Wertetabelle6|uv|vw|uw|xy|yz|xz|ab|ef|af|de|bc|dc|}} }} Somit liegt eine Isomorphie mit unabängigen Bijektionen vor. Eine Isomorphie im Graphensinn liegt aber nicht vor, da beispielsweise der zweite Graph zusammenhängend ist, der erste aber nicht. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} kq6jepubg3xkq4s67ndifa85bu1s4te 1092792 1092791 2026-06-01T18:20:30Z Bocardodarapti 2041 1092792 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zu {{math|term= v |SZ=}} werden die {{ Relationskette | u | \in | V || || || |SZ=, }} für die {{mathl|term= vu |SZ=}} eine Kante im ersten Graphen ist, in die {{math|term= \psi (u) |SZ=}} überführt, für die {{mathl|term= \varphi(v) \psi(u) |SZ=}} eine Kante im zweiten Graphen ist, und dabei werden alle von {{math|term= \varphi(v) |SZ=}} ausgehenden Kanten getroffen. Daher stimmen die Knotengrade überein. |Wir betrachten {{ Relationskette/display | V || \{u,v,w,x,y,z\} || || || |SZ= }} mit den sechs Kanten {{mathl|term= uv,vw,uw,xy,yz,xz |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die disjunkte Vereinigung von zwei zyklischen Graphen der Länge {{math|term= 3 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette/display | W || \{a,b,c,d,e,f \} || || || |SZ= }} mit den sechs Kanten {{mathl|term= ab,bc,cd,de,ef,fa |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also der zyklische Graph der Länge {{math|term= 6 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir legen die Bijektionen über {{ Relationskette | a || \varphi(u) || \psi(x) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b || \varphi(y) || \psi(v) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | c || \varphi(w) || \psi(z) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | d || \varphi(x) || \psi(u) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | e || \varphi(v) || \psi(y) || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f || \varphi(z) || \psi(w) || || |SZ= }} fest. Damit ergibt sich die Entsprechung der Kanten {{Wertetabelle6|uv|vw|uw|xy|yz|xz|ab|ef|af|de|bc|dc|}} Somit liegt eine Isomorphie mit unabhängigen Bijektionen vor. Eine Isomorphie im Graphensinn liegt aber nicht vor, da beispielsweise der zweite Graph zusammenhängend ist, der erste aber nicht. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} iwto1h7qjj8fdtx2xlridpdr4fa837y 1092806 1092792 2026-06-02T06:42:03Z Bocardodarapti 2041 1092806 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Die bijektive Gesamtabbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi \times \psi | V \times V | W \times W || |SZ= }} überführt nach Voraussetzung Kanten in Kanten {{ Zusatz/Klammer |text=und umgekehrt| |ISZ=|ESZ=, }} deshalb ist die Anzahl der Kanten links und rechts gleich. |Zu {{math|term= v |SZ=}} werden die {{ Relationskette | u | \in | V || || || |SZ=, }} für die {{mathl|term= vu |SZ=}} eine Kante im ersten Graphen ist, in die {{math|term= \psi (u) |SZ=}} überführt, für die {{mathl|term= \varphi(v) \psi(u) |SZ=}} eine Kante im zweiten Graphen ist, und dabei werden alle von {{math|term= \varphi(v) |SZ=}} ausgehenden Kanten getroffen. Daher stimmen die Knotengrade überein. |Wir betrachten {{ Relationskette/display | V || \{u,v,w,x,y,z\} || || || |SZ= }} mit den sechs Kanten {{mathl|term= uv,vw,uw,xy,yz,xz |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die disjunkte Vereinigung von zwei zyklischen Graphen der Länge {{math|term= 3 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette/display | W || \{a,b,c,d,e,f \} || || || |SZ= }} mit den sechs Kanten {{mathl|term= ab,bc,cd,de,ef,fa |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also der zyklische Graph der Länge {{math|term= 6 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir legen die Bijektionen über {{ Relationskette | a || \varphi(u) || \psi(x) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b || \varphi(y) || \psi(v) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | c || \varphi(w) || \psi(z) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | d || \varphi(x) || \psi(u) || || |SZ=, }} {{ Relationskette | e || \varphi(v) || \psi(y) || || |SZ= }} und {{ Relationskette | f || \varphi(z) || \psi(w) || || |SZ= }} fest. Damit ergibt sich die Entsprechung der Kanten {{Wertetabelle6|uv|vw|uw|xy|yz|xz|ab|ef|af|de|bc|dc|}} Somit liegt eine Isomorphie mit unabhängigen Bijektionen vor. Eine Isomorphie im Graphensinn liegt aber nicht vor, da beispielsweise der zweite Graph zusammenhängend ist, der erste aber nicht. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} eq4356br0u1u1zejb1js60ywj3jzbst 0 171315 1092796 2026-06-01T18:24:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092796 wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Isomorphiebegriff (Relation)|Anf=Is| |Siehe= |Ziel=Relationen/Isomorph/Definition }} j3p1lmseq32u8ovyqxitu6ddi71ojfu 0 171316 1092800 2026-06-02T05:55:22Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092800 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ebene, die durch eine Menge von Geraden {{mathl|term= G_1 {{kommadots}} G_n |SZ=}} in Teilgebiete {{ Zusatz/Klammer |text={{Anführung|Länder}}| |ISZ=|ESZ= }} zerschnitten wird. Die Grenze zwischen zwei solchen Gebieten ist also ein Geradenstück. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass man die Gebiete mit zwei Farben so färben kann, dass zwei benachbarte Gebiete {{ Zusatz/Klammer |text=die ein echtes Geradenstück gemeinsam haben, ein einzelner gemeinsamer Punkt gilt nicht| |ISZ=|ESZ= }} eine verschiedene Farbe haben. |Skizziere{{n Sie}} eine solche Färbung in der abgebildeten Situation. {{ inputbild |4Geraden5Schnittpunkte|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=5 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} r2qwutho99bskbdxe2sdkc9b4zu8f87 1092801 1092800 2026-06-02T06:33:15Z Bocardodarapti 2041 1092801 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ebene, die durch eine Menge von Geraden {{mathl|term= G_1 {{kommadots}} G_n |SZ=}} in Teilgebiete {{ Zusatz/Klammer |text={{Anführung|Länder}}| |ISZ=|ESZ= }} zerschnitten wird. Die Grenze zwischen zwei solchen Gebieten ist also ein Geradenstück. {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass man die Gebiete mit zwei Farben so färben kann, dass zwei benachbarte Gebiete {{ Zusatz/Klammer |text=die ein echtes Geradenstück gemeinsam haben, ein einzelner gemeinsamer Punkt gilt nicht| |ISZ=|ESZ= }} eine verschiedene Farbe haben. |Skizziere{{n Sie}} eine solche Färbung in der abgebildeten Situation. {{ inputbild |4Geraden5Schnittpunkte|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der planaren Graphen |Kategorie2=Theorie der ebenen Geradenkonfigurationen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=6 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} n9vg3b75mt5ef1gyvyuz909k4sqa0yw 0 171317 1092802 2026-06-02T06:33:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092802 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Geraden. Bei {{ Relationskette | n || 1 || || || |SZ= }} gibt es nur eine Gerade und damit zwei Hälften, denen wir unterschiedliche Farben geben. Zum Induktionsschluss setzen wir voraus, dass es zu je {{math|term= n |SZ=}} Geraden eine erlaubte Färbung der Gebiete gibt. Es seien {{math|term= n+1 |SZ=}} Geraden {{mathl|term= G_1 {{kommadots|}} G_n, G_{n+1} |SZ=}} gegeben. Es sei eine erlaubte Färbung der Gebiete gegeben, die durch die Geraden {{mathl|term= G_1 {{kommadots|}} G_n |SZ=}} festgelegt werden {{ Zusatz/Klammer |text=alte Gebiete| |ISZ=|ESZ=, }} was es nach Induktionsvoraussetzung gibt. Die hinzukommende Gerade {{ Relationskette/display | H || G_{n+1} || || || |SZ= }} verändert natürlich einen Großteil der Gebiete, und zwar zerlegt sie diejenigen Gebiete, die durch {{math|term= H |SZ=}} echt zerschnitten werden, in zwei neue Gebiete. Ferner zerlegt {{math|term= H |SZ=}} die Gesamtebene in zwei Hälften, die wir {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nennen. Ein Gebiet zur größeren Geradenkonfiguration liegt somit ganz in {{math|term= A |SZ=}} oder in {{math|term= B |SZ=.}} Wir definieren eine neue Färbung der neuen Gebietsaufteilung durch folgende Vorschrift: Ein {{ Zusatz/Klammer |text=neues| |ISZ=|ESZ= }} Gebiet, das in {{math|term= A |SZ=}} liegt, behält seine Farbe, ein Gebiet, das in {{math|term= B |SZ=}} liegt, ändert seine Farbe. Wir behaupten, dass diese neue Färbung die Bedingung erfüllt. Es seien dazu {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} benachbarte Gebiete, es sei {{math|term= G |SZ=}} die Gerade, die eine Grenze zwischen {{ mathkor|term1= R |und|term2= S |SZ= }} bildet. Bei {{ Relationskette | G | \neq | H || || || |SZ= }} liegen beide Gebiete in {{math|term= A |SZ=}} oder in {{math|term= B |SZ=}} und die beiden Gebiete waren in der alten Situation schon Teile von benachbarten Gebieten. Wenn beide in {{math|term= A |SZ=}} liegen, so hatten sie in der alten Färbung verschiedene Farben, und dies wurde übernommen. Wenn beide in {{math|term= B |SZ=}} liegen, so hatten sie in der alten Färbung verschiedene Farben, und diese wurden jeweils verändert, die Farben sind also auch in der neuen Färbung verschieden. Bei {{ Relationskette | G || H || || || |SZ= }} entstanden die Gebiete aus einem alten Gebiet durch die Trennung mit der neuen Geraden. In der alten Färbung hatten sie {{ Zusatz/Klammer |text=als Teil eines gemeinsamen Gebietes| |ISZ=|ESZ= }} die gleiche Farbe. Eines der Gebiete liegt in {{math|term= A |SZ=}} und eines in {{math|term= B |SZ=,}} d.h., eines behält seine Farbe und eines wird umgefärbt, die Farben in der neuen Färbung sind also verschieden. | | }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4pe6xycdsl1kecqfiqcmmak3i2t9bes 106 171318 1092803 2026-06-02T06:36:27Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092803 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|8|2|Kurs=|}} pe8ezii62ul9l71ziltsodbl6xlvg9e 0 171319 1092825 2026-06-02T09:27:27Z Mrchristian 31317 outline 1092825 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Aufgaben: Ergänze den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) KI-LLMs: Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben Abschluss des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ Die drei Abschnitte: Wikidata-Ausstellungseinträge Sortierung von DNB-Einträgen (Bibliotheksmetadaten) Scannen des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining ha6tz0h2eovj15gvjjqenwmau4nr0rj 1092826 1092825 2026-06-02T09:32:27Z Mrchristian 31317 1092826 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Aufgaben: # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE ## Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository ## Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository ## Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) ## KI-LLMs: ### Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ### Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining b3lhd5p9w5arolbcsn243n5khg6q9e7 1092867 1092826 2026-06-02T10:37:50Z Mrchristian 31317 1092867 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Aufgaben: # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE ## Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository ## Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository ## Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) ## KI-LLMs: ### Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ### Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining --- ==== 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum ==== # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} 2y981px375hpvo1msiw0d600c25tpyr 1092869 1092867 2026-06-02T10:47:57Z Mrchristian 31317 1092869 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Aufgaben: # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE ## Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository ## Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository ## Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) ## KI-LLMs: ### Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ### Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining --- ==== 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum ==== [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} fso4ku2yi2ezudrppbqofinbuzjja6d 1092873 1092869 2026-06-02T11:30:16Z Mrchristian 31317 1092873 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Aufgaben: # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE ## Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository ## Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository ## Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) ## KI-LLMs: ### Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ### Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining --- ==== 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum ==== [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} --- ===== Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags ===== [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ij95hbuhu63kwvyicl6q1slsk1y5duo 0 171320 1092828 2026-06-02T09:45:25Z Mrchristian 31317 course material 1092828 wikitext text/x-wiki {{TOCleft}} ==== Linked Open Exhibition ==== ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung einer Ausstellung-Zeitleiste – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== # Erfassen Sie minimale Informationen zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle1 : ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung'' # Zeigen Sie den Ausstellungseintrag in Wikidata an Ergebnisse des Abfragedienstes anzeigen Link (Zeitleiste und Grafik https://w.wiki/J8NJ | https://w.wiki/J8aS ) # Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge. # Behandeln Sie Themen, die durch die Erstellung eines LOD-Eintrags aufgeworfen werden: Wikidata-Grundlagen, bewährte Verfahren für Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Verwendung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. ==== Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen ==== ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum (noch zu bestätigen) ==== ==== Sitzung 4: Ausstellungskatalogisierung – Massenhinzufügungen: Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen ==== ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 6: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 7: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 8: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== --- ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Datensatz für eine Ausstellung mit Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining ENDE n8nqfplsd9h78je66wpzk9f3yescufn 1092829 1092828 2026-06-02T09:47:24Z Mrchristian 31317 course DE 1092829 wikitext text/x-wiki ==== Linked Open Exhibition ==== ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung einer Ausstellung-Zeitleiste – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== # Erfassen Sie minimale Informationen zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle1 : ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung'' # Zeigen Sie den Ausstellungseintrag in Wikidata an Ergebnisse des Abfragedienstes anzeigen Link (Zeitleiste und Grafik https://w.wiki/J8NJ | https://w.wiki/J8aS ) # Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge. # Behandeln Sie Themen, die durch die Erstellung eines LOD-Eintrags aufgeworfen werden: Wikidata-Grundlagen, bewährte Verfahren für Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Verwendung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. ==== Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen ==== ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum (noch zu bestätigen) ==== ==== Sitzung 4: Ausstellungskatalogisierung – Massenhinzufügungen: Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen ==== ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 6: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 7: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 8: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== --- ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Datensatz für eine Ausstellung mit Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining ENDE e5zbpxyfhnp6lg5j15o9l1e9qlvrp02 1092830 1092829 2026-06-02T09:56:41Z Mrchristian 31317 1092830 wikitext text/x-wiki {{TOC left}} ==== Linked Open Exhibition ==== Siehe Sprachauswahl – oben rechts ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung einer Ausstellung-Zeitleiste – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== # Erfassen Sie minimale Informationen zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle1 : ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung'' # Zeigen Sie den Ausstellungseintrag in Wikidata an Ergebnisse des Abfragedienstes anzeigen Link (Zeitleiste und Grafik https://w.wiki/J8NJ | https://w.wiki/J8aS ) # Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge. # Behandeln Sie Themen, die durch die Erstellung eines LOD-Eintrags aufgeworfen werden: Wikidata-Grundlagen, bewährte Verfahren für Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Verwendung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. ==== Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen ==== ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum (noch zu bestätigen) ==== ==== Sitzung 4: Ausstellungskatalogisierung – Massenhinzufügungen: Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen ==== ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 6: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 7: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== ==== Sitzung 8: Prototypenerstellung: Dateneingabe, Visualisierung und Präsentation ==== --- ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Datensatz für eine Ausstellung mit Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining ENDE gj8l0d9zi9tmx6ur9ezn4skee3s2e1q 1092831 1092830 2026-06-02T09:57:50Z Mrchristian 31317 1092831 wikitext text/x-wiki {{TOC left}} ==== Linked Open Exhibition ==== Siehe Sprachauswahl – oben rechts ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Datensatz für eine Ausstellung mit Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining ENDE eu2prih5qgi4nhk9cft8z5h0zs0ud71 1092836 1092831 2026-06-02T10:19:44Z Mrchristian 31317 1092836 wikitext text/x-wiki ==== Linked Open Exhibition ==== EN - Siehe Sprachauswahl – oben rechts ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' - Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition - Beispiel für einen einzelnen Ausstellungsbeitrag: https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE - Bewegung: [Linked-Open-Exhibition-Ausstellung] ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Datensatz für eine Ausstellung mit Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining ENDE i4ahixgnw1s1bigxyjmo60mrzysxvgo 1092838 1092836 2026-06-02T10:21:00Z Mrchristian 31317 1092838 wikitext text/x-wiki ==== Linked Open Exhibition ==== EN - Siehe Sprachauswahl – oben rechts ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' - Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition - Beispiel für einen einzelnen Ausstellungsbeitrag: https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE - Bewegung: [[Linked-Open-Exhibition-Ausstellung]] ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Datensatz für eine Ausstellung mit Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining ENDE lvp5cyqge93duju2ussqt0qlqd137sj 1092870 1092838 2026-06-02T10:50:54Z Mrchristian 31317 /* Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen */ 1092870 wikitext text/x-wiki ==== Linked Open Exhibition ==== EN - Siehe Sprachauswahl – oben rechts ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' - Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition - Beispiel für einen einzelnen Ausstellungsbeitrag: https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE - Bewegung: [[Linked-Open-Exhibition-Ausstellung]] ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining ENDE c6s5jv8i72k5yuxluoi345xa6ku58y6 0 171321 1092860 2026-06-02T10:29:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092860 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring| K | T}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Ring der formalen Potenzreihen| |Kontext=1 K| |SZ= }} in einer Variablen. Es seien {{math|term= G, H |SZ=}} Polynome über {{math|term= K |SZ=}} und der konstante Term von {{math|term= H |SZ=}} sei nicht {{math|term= 0 |SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann lässt sich der Quotient {{mathl|term= G/H |SZ=}} als eine formale Potenzreihe darstellen. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Potenzreihen und Einheiten |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n9frox82bwreg2m0w7jm96wpzwotx15 1092861 1092860 2026-06-02T10:29:40Z Bocardodarapti 2041 1092861 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur |Situation= |Voraussetzung= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{op:Potenzreihenring| K | T}} |SZ=}} der {{ Definitionslink |Ring der formalen Potenzreihen| |Kontext=1 K| |SZ= }} in einer Variablen. Es seien {{math|term= G, H |SZ=}} Polynome über {{math|term= K |SZ=}} und der konstante Term von {{math|term= H |SZ=}} sei nicht {{math|term= 0 |SZ=.}} |Übergang= |Folgerung= Dann lässt sich der Quotient {{mathl|term= G/H |SZ=}} als eine formale Potenzreihe darstellen. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Rationale Funktionen und Potenzreihen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qamptaxqj0h4d4jey0pyn5y20mb3c5n 0 171322 1092862 2026-06-02T10:30:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092862 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt unmittelbar aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt |Nr= |SZ=, }} angewendet auf {{math|term= H |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} on2j32a19go5e63v8hmqktdm4sxqjef 0 171323 1092875 2026-06-02T11:33:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092875 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}} die wesentlichen Konzepte und Objekte in {{ Faktlink |Faktseitenname= Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall {{ Relationskette | d || 1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} t252zxi8o06zdvj091qbg78k3nxeuer 1092880 1092875 2026-06-02T11:56:21Z Bocardodarapti 2041 1092880 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}} die wesentlichen Konzepte und Objekte in {{ Faktlink |Faktseitenname= Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall {{ Relationskette | d || 1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9rqfeqqqwfo2j273g3bpuksnqas9118 106 171324 1092876 2026-06-02T11:34:14Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092876 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|17|13|Kurs=|}} gs355yzzvy4xux3nohqci1s1hrodtcf 0 171325 1092878 2026-06-02T11:55:37Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092878 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | a_d || a | \neq | 0 || || |SZ=. }} Die Rekursionsbedingung aus Teil (1) ist {{ Relationskette/display | x_n || ax_{n-1} || || || |SZ=. }} Ein Anfangsglied {{math|term= x_0 |SZ=}} legt direkt die Folge {{ Relationskette | x_n || a^n x_0 || || || |SZ= }} fest. Die relevanten Polynome aus Teil (2) sind {{ Zusatz/Klammer |text=das charakteristische Polynom| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | Q(t) || 1-at || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=das konstante Polynom| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | P(t) || x_0 || || || |SZ=. }} Es ist ja {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|x_0|1-at }} || x_0 \sum_{n {{=}} 0}^\infty a^n t^n || || || |SZ= }} gemäß {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Geometrische Reihe/Erzeugende Funktion/Beispiel |Nr= |SZ=. }} In (3) liegt das Polynom {{mathl|term= t-a |SZ=}} unmittelbar faktorisiert vor, es ist also {{ Relationskette | \lambda || a || || || |SZ= }} die einzige Nullstelle {{ Zusatz/Klammer |text=mit Vielfachheit {{math|term= 1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Hier ist wieder {{math|term= P |SZ=}} konstant und {{ Relationskette/display | x_n || a^n P || || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} h1f37u1a03vubnsp8p705u6zup8uqov 1092879 1092878 2026-06-02T11:56:03Z Bocardodarapti 2041 1092879 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | a_d || a | \neq | 0 || || |SZ=. }} Die Rekursionsbedingung aus Teil (1) ist {{ Relationskette/display | x_n || ax_{n-1} || || || |SZ=. }} Ein Anfangsglied {{math|term= x_0 |SZ=}} legt direkt die Folge {{ Relationskette | x_n || a^n x_0 || || || |SZ= }} fest. Die relevanten Polynome aus Teil (2) sind {{ Relationskette/display | Q(t) || 1-at || || || |SZ= }} und {{ Zusatz/Klammer |text=das konstante Polynom| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | P(t) || x_0 || || || |SZ=. }} Es ist ja {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|x_0|1-at }} || x_0 \sum_{n {{=}} 0}^\infty a^n t^n || || || |SZ= }} gemäß {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Geometrische Reihe/Erzeugende Funktion/Beispiel |Nr= |SZ=. }} In (3) liegt das Polynom {{mathl|term= t-a |SZ=}} unmittelbar faktorisiert vor, es ist also {{ Relationskette | \lambda || a || || || |SZ= }} die einzige Nullstelle {{ Zusatz/Klammer |text=mit Vielfachheit {{math|term= 1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Hier ist wieder {{math|term= P |SZ=}} konstant und {{ Relationskette/display | x_n || a^n P || || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} b38cao09uhqieryuepe0qjs5119gyuc