Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1093162 1092780 2026-06-03T07:00:33Z Bocardodarapti 2041 /* 2FA */ 1093162 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) 0gkpesb5vw9o2immzkiy7wvgt6a39qd 0 63773 1093079 1021252 2026-06-02T12:28:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093079 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Folge| x |n=k}} |SZ=}} eine fallende Nullfolge von nichtnegativen reellen Zahlen. Dann konvergiert die Reihe {{mathl|term= {{Reihe|Glied=(-1)^k x_k }} |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dtvwaod9lw1c3a8pr3o2y2vv0b059ea 0 63774 1093099 1020214 2026-06-02T12:32:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093099 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text=Die Stetigkeit von {{math|term= f|SZ=}} im Punkt {{math|term= a|SZ=}} ist äquivalent dazu, dass für jede Folge {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=,}} die gegen {{math|term= a|SZ=}} konvergiert, die Bildfolge {{mathl|term= {{Folge|Glied=f(x_n)}} |SZ=}} gegen {{mathl|term= f(a) |SZ=}} konvergiert. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 82vnpm0qckwn27mpnkefvu456iprx0u 0 63775 1092968 1025485 2026-06-02T12:10:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092968 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text=Für komplexe Zahlen {{mathl|term= z,w \in {{CC}} |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | {{op:exp(|z+w|}} || {{op:exp| z |}} \cdot {{op:exp| w |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q4up5jcphjrw3ufmj5fkvact4jevcza 0 63776 1092983 1025565 2026-06-02T12:13:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092983 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text=Satzantwort Für einen beliebigen Punkt {{ Relationskette | a | \in | I || || || |SZ= }} ist die Integralfunktion {{ Relationskette/display | F(x) | {{defeq|}} | {{op:Integral| a | x |f}} || || || |SZ= }} differenzierbar und es gilt {{ Relationskette/display | F'(x) || f(x) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | I || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtrxph0w3bmbzo4gx2gjxv6arv6rzf7 0 64033 1093093 1021274 2026-06-02T12:31:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093093 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für {{math|term= z,w \in {{CC}}}} gilt {{ Math/display|term= {{op:sin|(z+w)|}} = {{op:sin| z |}} \, {{op:cos| w |}} + {{op:cos| z |}} \, {{op:sin| w |}} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0gyrta12juqidiwvbpr2l77vkxr1uhd 0 64295 1093004 1025634 2026-06-02T12:16:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093004 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es gebe eine reelle Zahl {{math|term= q|SZ=}} mit {{mathl|term=0 \leq q < 1 |SZ=}} und ein {{math|term= k_0 |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| \frac{a_{k+1} }{a_k} }} | \leq | q || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= k \geq k_0 |SZ=.}} Dann konvergiert die Reihe {{mathl|term= {{Reihe|}} |SZ=}} absolut. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} to2fm0xrvlxcbelc6bwseh78x4atqjt 0 64341 1093011 1025660 2026-06-02T12:17:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093011 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text=Für {{mathl|term= a,b|SZ=}} in einem Körper {{math|term= K|SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | (a+b)^n || \sum_{i {{=}} 0 }^n {{op:Binomialkoeffizient| n |i}} a^i b^{n-i} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b7qf4edmnkxiurwbwri6os1t5drkeqo 0 64343 1092973 1025524 2026-06-02T12:11:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092973 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text=Für alle komplexen Zahlen {{math|term= z|SZ=}} mit {{mathl|term= {{| z |}} < 1 |SZ=}} konvergiert die Reihe {{mathl|term=\sum^\infty_{k = 0} z^k |SZ=}} absolut und es gilt {{ Relationskette/display | \sum^\infty_{k {{=|}} 0} z^k ||\frac{1}{1 - z} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5wma7ax8vgjow1ezif6w68ehgm5oup7 0 64347 1092929 1025359 2026-06-02T12:04:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092929 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text=Es sei {{mathl|term= D \subseteq {{KRC|}} |SZ=}} offen, {{mathl|term= a \in D |SZ=}} ein Punkt und {{ Abbildung/display |name= f,g | D | {{KRC|}} || |SZ= }} zwei Funktionen, die in {{math|term= a|SZ=}} differenzierbar seien. Wenn {{math|term= g|SZ=}} keine Nullstelle in {{math|term= D|SZ=}} besitzt, so ist {{mathl|term= f/g|SZ=}} differenzierbar in {{math|term= a|SZ=}} mit {{ Math/display|term= (f/g)'(a) = \frac{ f'(a)g(a) - f(a)g'(a) }{(g(a))^2} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b72ibx5pugkrmb498ybzz4sjaxv26fy 0 64352 1092926 1025349 2026-06-02T12:03:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092926 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Funktion {{math|term= f|SZ=}} ist in {{math|term= a|SZ=}} genau dann differenzierbar, wenn es ein {{mathl|term= s \in {{KRC|}} |SZ=}} und eine Funktion {{ Abbildung/display |name= r | {{KRC|}} | {{KRC|}} || |SZ= }} gibt mit {{math|term= r|SZ=}} stetig in {{math|term= a|SZ=}} und {{mathl|term= r(a)=0 |SZ=}} und mit {{ Math/display|term= f(x) = f(a) + s (x-a) + r(x) (x-a) |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3zxu4akcry4fviyv32r0uibrdgwmlaw 0 64412 1093078 1020114 2026-06-02T12:28:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093078 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es gebe eine konvergente Reihe {{mathl|term= {{Reihe|b}} |SZ=}} von reellen Zahlen mit {{mathl|term= {{op:Betrag|a_k |}} \leq b_k |SZ=}} für alle {{math|term= k|SZ=.}} Dann ist die Reihe {{ Math/display|term= {{Reihe|a}} |SZ= }} absolut konvergent. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h5tclpincoqea8ytyuo61fu45u4xk6d 0 64417 1092987 1025579 2026-06-02T12:13:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092987 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein reelles Intervall und sei {{ Abbildung/display |name= f | I |\R || |SZ= }} eine stetige Funktion. Es sei {{ Abbildung/display |name= g |[a,b]|I || |SZ= }} stetig differenzierbar. Dann gilt {{ Relationskette/display | {{op:Integral| a | b | Integrand= f(g(t)) g'(t) }} || {{op:Integral|g(a)|g(b)| f |s}} || || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nao193j63ao3f42ceop3s0vo018qpgh 0 64431 1093003 1025629 2026-06-02T12:16:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093003 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | f || {{potenzreihe| c |(z-a)}} || || || |SZ= }} eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius {{mathl|term= R >0 |SZ=}} und sei {{mathl|term= b \in {{op:Offener Ball| a | R}} |SZ=.}} Dann gibt es eine konvergente Potenzreihe {{ Relationskette/display | h || {{potenzreihe| d |(z-b)|n=i}} || || || |SZ= }} mit Entwicklungspunkt {{math|term= b|SZ=}} und mit einem Konvergenzradius {{mathl|term= s \geq R-{{op:Betrag|a-b||}}>0 |SZ=}} derart, dass die durch diese beiden Potenzreihen dargestellten Funktionen auf {{mathl|term= {{op:Offener Ball| b |s}} |SZ=}} übereinstimmen. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7tsbfzqb7ewf71tpq2r0asa33hesgir 0 64433 1093090 1021268 2026-06-02T12:30:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093090 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es ist {{mathl|term= {{op:cos(|z+ \pi/2|}} = - {{op:sin| z |}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:sin(|z+ \pi/2|}} = {{op:cos| z |}} |SZ=}} für alle {{mathl|term= z \in {{CC}} |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9datyehbwiw81726godnct60pexu1kq 0 64557 1093044 1026176 2026-06-02T12:23:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093044 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=[a,b] |SZ=}} ein kompaktes Intervall und sei {{ Abbildung/display |name= f |[a,b]|\R || |SZ= }} eine stetige Funktion. Dann gibt es ein {{mathl|term= c \in [a,b] |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Integral| a | b |f}} || f(c)(b-a) || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rj81dko6e91anx06z6e6kokm43oaxwh 0 65117 1093052 1025818 2026-06-02T12:24:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093052 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Abbildung/display |name= f,g |[a,b]|\R || |SZ= }}stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt {{ Math/display|term= {{op:Integral| a | b | Integrand= f(t)g'(t) }} = {{op:Integralstamm| a | b |stamm= fg }} - {{op:Integral| a | b | Integrand= f'(t)g(t) }} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gwvk4uuz6gje9bnlynj4pxvc7ugkfvq 0 65118 1093073 856432 2026-06-02T12:27:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093073 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=}} eine beschränkte Folge von reellen Zahlen. Dann besitzt die Folge eine konvergente Teilfolge. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3faj0nhc5ube9z1ngrqer829gquv8c9 0 65458 1092971 1025514 2026-06-02T12:11:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092971 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq {{KRC|}} |SZ=}} eine Teilmenge und es sei {{ Abbildung/display |name= f_n | T | {{KRC|}} || |SZ= }} eine Folge von stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion {{math|term= f|SZ=}} konvergiert. Dann ist {{math|term= f|SZ=}} stetig. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53wm1cxq157gkhuaymut5f2znn6l5ir 0 66846 1093058 1025832 2026-06-02T12:25:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093058 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{V|V}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |SZ=, }} {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |SZ=, }} {{mathl|term= U \subseteq V |SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} |I\times U|V |(t,v)| {{{f|f}}}(t,v) |SZ=, }} ein {{{adj|}}} {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=.}} Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |SZ= }} sei und {{ Definitionslink |lokal einer Lipschitz-Bedingung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorfelder/Zeitabhängig/Lokale Lipschitz Bedingung/Definition |SZ= }} genüge. Dann gibt es zu jedem {{mathl|term= (t_0,w) \in I \times U |SZ=}} ein {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Kontext=ang| |SZ= }} {{ mathbed|term= J |mit|bedterm1= t_0 \in J \subseteq I ||bedterm2= |SZ= }} derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige {{ Definitionslink |Lösung für das Anfangswertproblem| |Kontext=System| |SZ= }} {{ Math/display|term= v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w |SZ= }} existiert. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o8genkgi51173jwjxogij609gxmyewk 0 66852 1093008 1025652 2026-06-02T12:17:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093008 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=[a,b] |SZ=}} ein kompaktes Intervall und {{ Abbildung/display |name= f |[a,b]|\R^n || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Abbildung. Dann ist {{math|term= f|SZ=}} rektifizierbar und für die Kurvenlänge gilt {{ Relationskette/display | L(f) || {{op:Integral| a | b | Integrand= {{op:Norm|f'(t)|}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r9m7nybpv8e3g2wmdmo5waz7fth7pri 0 66853 1093101 1026027 2026-06-02T12:32:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093101 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= V,W|SZ=}} und {{math|term= U|SZ=}} endlichdimensionale {{math|term= {{KRC}} |SZ=-}}Vektorräume, {{ Relationskette | G | \subseteq | V |SZ= }} und {{ Relationskette | D | \subseteq | W |SZ= }} offene Mengen, und {{ Abbildung |name= \varphi | G | W || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi | D | U || |SZ= }} Abbildungen derart, dass {{ Relationskette | \varphi(G) | \subseteq | D || || || || |SZ= }} gilt. Es sei weiter angenommen, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} in {{ Relationskette | P | \in | G |SZ= }} und {{math|term= \psi |SZ=}} in {{ Relationskette | \varphi(P) | \in | D || || || |SZ= }} total differenzierbar ist. Dann ist {{ Abbildung |name= \psi \circ \varphi | G | U || |SZ= }} in {{math|term= P|SZ=}} differenzierbar mit dem totalen Differential {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential|(\psi \circ \varphi)|P}} || {{op:Totales Differential|\psi|\varphi(P)}} \circ {{op:Totales Differential|\varphi|P}} || || || |SZ=. }} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qovk21ybfey8gelx7lsuz8ek3m85xje 0 67493 1093104 1026035 2026-06-02T12:32:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093104 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= I|SZ=}} ein reelles Intervall, {{mathl|term= a \in I |SZ=}} und {{math|term= r|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |(uneigentlicher) Randpunkt| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= I|SZ=.}} Es seien {{ Abbildung/display |name= f,h | I |\R_{\geq 0} || |SZ= }} {{ Definitionslink |stetige Funktionen| |Kontext=R| |SZ= }} mit {{ Math/display|term= f(t) \leq h(t) \text{ für alle } t \in I |SZ= }} und es sei vorausgesetzt, dass das {{ Definitionslink |uneigentliche Integral| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Integral| a | r | h |t}} |SZ= }} existiert. Dann existiert auch das uneigentliche Integral {{ Math/display|term= {{op:Integral| a | r | f |t}} |SZ= }} und es gilt {{ Math/display|term= {{op:Integral| a | r | f |t}} \leq {{op:Integral| a | r | h |t}} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8acrahw391nm32lhitam8sc09s1y58y 0 67679 1093087 1025975 2026-06-02T12:30:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093087 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{{G|G}}} \subseteq \R^n |SZ=}} offen und sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | {{{G|G}}} |\R^m || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei {{mathl|term= {{{P|P}}} \in {{{G|G}}} |SZ=}} und es sei {{mathl|term= Z= \varphi^{-1}(\varphi( {{{P|P}}})) |SZ=}} die Faser durch {{math|term= {{{P|P}}} |SZ=.}} Das totale Differential {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi| {{{P|P}}} }} |SZ=}} sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge {{ mathbed|term= {{{P|P}}} \in {{{W|W}}} ||bedterm1= {{{W|W}}} \subseteq {{{G|G}}} ||bedterm2= |SZ=, }} eine offene Menge {{mathl|term= {{{V|V}}} \subseteq \R^{n-m} |SZ=}} und eine stetig differenzierbare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \psi | {{{V|V}}} | {{{W|W}}} || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term=\psi({{{V|V}}}) \subseteq Z \cap {{{W|W}}} |SZ=}} ist und {{math|term=\psi|SZ=}} eine Bijektion {{ Abbildung/display |name= \psi | {{{V|V}}} | Z \cap {{{W|W}}} || |SZ= }} induziert. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g5t20mxvs0enel3gtimpr1b7ubpc5b1 0 67680 1093094 1025999 2026-06-02T12:31:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093094 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein Vektorraum über {{math|term= {{KRC}} |SZ=}} mit einem Skalarprodukt {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und der zugehörigen Norm {{mathl|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=.}} Dann gilt die Abschätzung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt| v |w}} |}} | \leq | {{op:Norm| v |}} \cdot {{op:Norm| w |}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v,w \in V |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ztmaspy0afhjt492y8t5bh8ubgjdkg 0 69174 1092989 1025583 2026-06-02T12:14:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092989 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, {{Mengensystem|A}}, \mu) |SZ=}} ein {{math|term=\sigma|SZ=-}}endlicher Maßraum und es sei {{ Abbildung/display |name= f_n | M | {{op:abschlussnum|\R|}} || |SZ= }} eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion {{ Abbildung/display |name= h | M | {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq 0} || |SZ= }} mit {{mathl|term= {{op:Betrag|f_n(x)|}} \leq h(x) |SZ=}} für alle {{mathl|term= n \in \N|SZ=}} und alle {{mathl|term= x \in M |SZ=.}} Dann ist auch die Grenzfunktion {{mathl|term= f= {{op:Folgenlimes|Glied= f_n}} |SZ=}} integrierbar, und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Integralmaß}} || {{op:Folgenlimes|Glied= {{op:Integralmaß|f_n}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gcg9wlsekriv6t07bv96ex6n1c8w40k 0 69322 1092934 1025373 2026-06-02T12:04:54Z Arbota 36910 Ersetzung 1092934 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G \subseteq {{{K| {{KRC|}} |}}}^n |SZ=}} offen, {{ Relationskette | P | \in | G |SZ= }} ein Punkt und sei {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | G| {{{K| {{KRC|}} |}}}^m |(x_1 {{kommadots|}} x_n)| \varphi (x_1 {{kommadots|}} x_n) {{=|}} (f_1(x_1 {{kommadots|}} x_n) {{kommadots|}} f_m(x_1 {{kommadots|}} x_n)) |SZ=, || }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |partiell differenzierbar| |Kontext=Punkt| |SZ=, }} wenn die {{ Definitionslink |Richtungsableitungen| |Kontext=| |SZ= }} von sämtlichen Komponentenfunktionen {{mathl|term= f_j |SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} in Richtung eines jeden Standardvektors existieren. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bswokphzsigsioigjw6psvq0zzw5ojj 0 69325 1093109 1026049 2026-06-02T12:33:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093109 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles| |Kontext=| |Refname= |SZ= }} {{ Definitionslink |offenes Intervall| |Kontext=ang| |Refname= |SZ=, }} {{mathl|term= U \subseteq \R^n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |Refname= |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= f |I\times U|\R^n |(t,v_1 {{kommadots|}} v_n)|f(t,v_1 {{kommadots|}} v_n) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |Refname= |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ=}} derart, dass die {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext=| |SZ= }} nach {{math|term= v_j |SZ=}} existieren und {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |SZ= }} sind. Dann genügt {{math|term= f|SZ=}} {{ Definitionslink |lokal einer Lipschitz-Bedingung| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5hgfiv8vuyom5aicbe8xb6vnd46p5hy 0 71426 1092922 1025322 2026-06-02T12:03:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092922 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für eine {{ Definitionslink |messbare Funktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= f | {{{H|H}}} |\R || |SZ= }} ist {{math|term= f|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |integrierbar| |Kontext=Maß| |SZ= }} auf {{mathl|term= {{{H|H}}} |SZ=,}} wenn die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= f \circ \varphi|SZ=}} auf {{math|term= G|SZ=}} integrierbar ist. In diesem Fall gilt {{ Relationskette/display | {{op:Integralmaß| f | {{{H|H}}} |\lambda^n}} || {{op:Integralmaß| (f \circ \varphi ) {{op:Betrag|J(\varphi)|}} | G |\lambda^n}} || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= J(\varphi) |SZ=}} die Determinante des totalen Differentials {{mathl|term= D \varphi |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pfaltqq7ytiqctwo3wkxlywx0i1j7ve 0 71427 1092988 1025581 2026-06-02T12:13:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092988 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Sigmaendlicher Maßraum/Situation|SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name= f_n | M | {{op:abschlussnum|\R|}} _{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |SZ= }} von nichtnegativen {{ Definitionslink |messbaren| |Kontext=abb| |SZ= }} {{ Definitionslink |numerischen Funktionen| |Kontext=| |SZ=. }} Dann gilt {{ Relationskette/display | {{op:Integralmaß| {{op:Limes inferior|f_n |}} }} | \leq | {{op:Limes inferior| {{op:Integralmaß| f_n}} |}} || || || |SZ= }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b71hln4mn0239m70vagsp6zwl79skyy 0 71467 1093041 1025753 2026-06-02T12:22:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M, {{Mengensystem|A}}, \mu) |SZ=}} ein {{math|term=\sigma|SZ=-}}endlicher Maßraum und {{ Abbildung/display |name= f | M | {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq 0} || |SZ= }} eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes {{mathl|term= a \in \R_{\geq 0} |SZ=}} die Abschätzung {{ Relationskette/display | {{op:Integralmaß| f | M}} | \geq | a \cdot \mu {{Mengebed|x \in M|f(x) \geq a}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3argd2yybvnpu1e8zhrbnmptw1b3187 0 71554 1093089 1025983 2026-06-02T12:30:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093089 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die beiden Funktionen {{ Abbildung/display |name= | M | {{op:abschlussnum|\R|}} | x | {{op:Integralmaß|f(x,y)| N |\nu |var=y}} |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name= | N | {{op:abschlussnum|\R|}} | y | {{op:Integralmaß|f(x,y)| M |\mu |var=x}} |SZ=, }} sind fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt {{ Relationskette/display | \int_{M\times N} f d (\mu \otimes \nu) || {{op:Integralmaß| \left( {{op:Integralmaß| f(x,y)| N| \nu|var=y}} \right) | M | \mu|var=x }} || {{op:Integralmaß|\left( {{op:Integralmaß| f(x,y)| M| \mu|var=x}} \right) | N | \nu|var=y }} || || |SZ= }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} netcmlux81on2gz3lj472vfdix1uet1 0 71940 1092948 1025417 2026-06-02T12:07:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092948 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Gradformel besagt, dass {{mathl|term= K \subseteq M |SZ=}} eine endliche Körpererweiterung ist und dass {{ Relationskette/display | {{op:Grad Körpererweiterung| K | M}} || {{op:Grad Körpererweiterung| K | L}} \cdot {{op:Grad Körpererweiterung| L | M}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pxynq53svsja9td7e1rq16jc132lnca 0 71941 1093007 1019541 2026-06-02T12:17:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093007 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die {{math|term= n|SZ=-}}ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung {{ Mathbed/display|term= \cos {{op:Bruch|2 \pi k|n}} + {{Imaginäre Einheit|}} \sin {{op:Bruch|2 \pi k|n}} ||bedterm1= k=0,1 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7i1ryykhbz8luj45omsaofkcba6pbdo 0 72022 1092908 1025282 2026-06-02T12:01:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092908 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name= \psi | {{op:Abgeschlossener Ball|0|r}} | {{op:Abgeschlossener Ball|0|r}} || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Abbildung der abgeschlossenen Kugel im {{math|term=\R^n |SZ=}} in sich. Dann besitzt {{math|term=\psi|SZ=}} einen Fixpunkt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ovfg7l9p9owu6t5mujf79s6cqngd4ca 0 72359 1093033 1025736 2026-06-02T12:21:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093033 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionale| |Kontext=Mfk| |SZ= }} {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=Mfk| |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand| |SZ= }} {{math|term=\partial M |SZ=}} und mit {{ Definitionslink |abzählbarer Basis der Topologie| |SZ=, }} und es sei {{math|term=\omega|SZ=}} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare| |Kontext=Differentialform| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=(n-1) |Differentialform| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |kompaktem| |Kontext=top| |SZ= }} {{ Definitionslink |Träger| |Kontext=vr| |SZ= }}{{{zusatz1|}}} auf {{math|term= M|SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Integralform|d\omega|M}} || {{op:Integralform|\omega|\partial M}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ji2o1gqzcrtoz5urw2cztv4hmktepqn 0 72816 1093082 1025954 2026-06-02T12:29:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093082 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= {{{R|R}}}, {{{S|S}}} |und|term2= {{{T|T}}} |SZ= }} kommutative Ringe, es sei {{ Abbildung |name= \varphi | {{{R|R}}} | {{{S|S}}} || |SZ= }} ein Ringhomomorphismus und {{ Abbildung |name= \psi | {{{R|R}}} | {{{T|T}}} || |SZ= }} ein surjektiver Ringhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass {{ Relationskette/display | {{op:Kern|\psi|}} | \subseteq| {{op:Kern|\varphi|}} || || || |SZ= }} ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \tilde{\varphi} | {{{T|T}}} | {{{S|S}}} || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | \varphi || \tilde{\varphi} \circ \psi || || || |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} excltb22qp63kxtwgso0yc9euk6t15c 0 72931 1092931 1025370 2026-06-02T12:04:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092931 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= G \subseteq {{{K| {{KRC}} |}}}^n |SZ=}} offen und {{ Abbildung |name= \varphi | G | {{{K| {{KRC}} |}}}^m || |SZ= }} eine Abbildung. Es seien {{math|term= x_i |SZ=,}} {{mathl|term= i=1, \ldots, n |SZ=,}} die Koordinaten von {{math|term= {{{K| {{KRC}} |}}}^n |SZ=}} und {{ Relationskette | P | \in | G |SZ= }} ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext= {{{K|K}}} | |SZ= }} in einer {{ Definitionslink |offenen Umgebung| |Kontext=mr| |SZ= }} von {{math|term= P|SZ=}} existieren und in {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |SZ= }} sind. Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} {{ Definitionslink |(total) differenzierbar| |Kontext= {{{K|K}}} | |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8799tgmg5ryvevk8lw6aofcs2izhyz 0 72932 1092979 1025539 2026-06-02T12:12:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092979 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | U | \subseteq | \R^n |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{h|h}}} | U |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=| |SZ= }} mit dem zugehörigen {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= G = {{op:Gradient| {{{h|h}}} |}} |SZ=.}} Es sei {{ Abbildung |name= \gamma |[a,b]|U || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |stetig differenzierbarer Weg| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= U|SZ=.}} Dann gilt für das {{ Definitionslink |Wegintegral| |Kontext=Vektorfeld| |SZ= }} {{ Relationskette/display | \int_\gamma G || {{{h|h}}}(\gamma(b)) - {{{h|h}}}(\gamma(a)) || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r561m3lmoz79zfermzp3nxrt29fyxeo 0 73049 1092930 1025364 2026-06-02T12:04:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092930 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text=Es gibt ein {{mathl|term= c \in [a,b] |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Norm|f(b)-f(a)|}} | \leq | (b-a) \cdot {{op:Norm|f'(c)|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5hp6awgbcavzbqjzp73wsdthwkivan0 0 73050 1092935 1026156 2026-06-02T12:05:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092935 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G | \subseteq | V |SZ= }} offen und {{ Abbildung |name= \varphi | G | W || |SZ= }} eine Abbildung derart, dass für {{ Relationskette | u,v | \in | V || || || |SZ= }} die zweiten Richtungsableitungen {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung| {{op:Richtungsableitung|\varphi|| u}} || v}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:Richtungsableitung| {{op:Richtungsableitung|\varphi|| v}} || u}} |SZ=}} existieren und stetig sind. Dann gilt {{ Relationskette/display | {{op:Richtungsableitung| {{op:Richtungsableitung|\varphi|| u}} || v}} || {{op:Richtungsableitung| {{op:Richtungsableitung|\varphi|| v}} || u}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyvx2sitt45fk20bjmhv4mkz69nusg9 0 73051 1093097 1026005 2026-06-02T12:31:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093097 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term=\R|SZ=}} mit einem {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=R| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Dann besitzt der zugehörige {{ Definitionslink |Abstand| |Kontext=VR| |SZ= }} die folgenden Eigenschaften {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sind {{ Relationskette/k | u,v,w | \in | V || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |Es ist {{ Relationskette | {{op:Distanz| v |w}} | \geq | 0 || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette | {{op:Distanz| v |w}} || 0 || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{mathl|term= v=w|SZ=.}} |Es ist {{ Relationskette | {{op:Distanz| v | w |}} || {{op:Distanz| w | v |}} || || || |SZ=. }} |Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Distanz| u |w}} | \leq | {{op:Distanz| u |v}} + {{op:Distanz| v |w}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jqmfqf8t684d551qda2vlsc0fnd5zzm 0 73657 1092969 1025491 2026-06-02T12:10:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092969 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | U | \subseteq | \R^n |SZ= }} eine offene Teilmenge und sei {{ Abbildung/display |name= f | U |\R^m || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= M=f^{-1}(b) |SZ=}} die Faser von {{math|term= f|SZ=}} über {{mathl|term= b \in \R^m |SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= h | U |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Funktion| |Kontext=n| |SZ= }} und die eingeschränkte Funktion {{mathl|term= h {{|}}_M |SZ=}} besitze im Punkt {{ Relationskette | a | \in | M |SZ= }} ein {{ Definitionslink |lokales Extremum| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= a|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |regulärer Punkt| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | T_aM | \subseteq | {{op:Kern| {{op:Totales Differential| h | a}} |}} || || || |SZ=, }} d.h. die Linearform {{mathl|term= {{op:Totales Differential| h | a}} |SZ=}} verschwindet auf dem {{ Definitionslink |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |SZ= }} an der Faser von {{math|term= f|SZ=}} durch {{math|term= a|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tby368rfadi2cg2xarx9xksam2movy3 0 73659 1092977 1025533 2026-06-02T12:12:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092977 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{V|V}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |SZ=, }} {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |reelles Intervall| |Kontext=| |SZ=, }} {{mathl|term= U \subseteq V |SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} |I\times U|V |(t,v)| {{{f|f}}}(t,v) |SZ=, }} ein stetiges {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= U|SZ= {{{SZ|}}}}} das {{ Definitionslink |lokal einer Lipschitz-Bedingung| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Vektorfelder/Zeitabhängig/Lokale Lipschitz Bedingung/Definition |SZ= }} genügt. Es sei {{mathl|term= J \subseteq I |SZ=}} ein offenes Teilintervall und es seien {{ Abbildung/display |name= v_1,v_2 | J | V || |SZ= }} {{ Definitionslink |Lösungen des Anfangswertproblems| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= v' = f(t,v) \text{ und } v(t_0) = w |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= v_1=v_2 |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} th0peaayfb0jyhj3lum17qa9kf32t2w 0 73663 1092933 1025371 2026-06-02T12:04:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092933 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |endlichdimensionale| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{{K| {{KRC|}} |}}} |Vektorräume| |SZ=, }} {{ Relationskette | G | \subseteq | V || || || |SZ= }} eine offene Teilmenge, und {{ Abbildung |name= \varphi | G | W || |SZ= }} eine im Punkt {{ Relationskette | P | \in | G |SZ= }} {{ Definitionslink |differenzierbare Abbildung| |Kontext=total| |SZ=. }} Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} in jede Richtung {{math|term= v|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=Richtung| |SZ=, }} und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Richtungsableitung|\varphi| P | v |}} || {{op:Totales Differential|\varphi| P | v |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 85mwugdx7986572n6ehsopj8y81dj41 0 73704 1093029 1026173 2026-06-02T12:20:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093029 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | v' || Mv || || || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= M \in {{op:Mat| n |m=n|K= {{{K| {{KRC|}} }}} }} |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten| |Kontext=System| |SZ=. }} Die Matrix {{math|term= M|SZ=}} sei {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Kontext=| |SZ= }} mit den linear unabhängigen Eigenvektoren {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=.}} Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich {{ Math/display|term= {{Mengebed|c_1e^{ \lambda_1 t } \cdot u_1 {{plusdots|}} c_n e^{ \lambda_n t } \cdot u_n |c_i \in {{KRC|}} |}} |SZ=, }} wobei {{math|term=\lambda_i |SZ=}} der Eigenwert zu {{math|term= u_i |SZ=}} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r58o41wrzfqxbzb13zqt3j8j1vsvxut 0 73706 1093039 1025751 2026-06-02T12:22:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093039 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für alle {{math|term= v \in \R^n |SZ=}} gilt die Beziehung {{ Relationskette/display | f(P+v) || \sum_{ {{op:Tupelgrad| r |}} \leq k } {{op:Bruch|1|r!}} D^r f(P) \cdot v^r + R_{k}(v) || || || |SZ=, }} wobei {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes|v |0| {{op:Bruch| {{op:Norm|R_{k}(v)|}} | {{op:Norm| v |}}^{k} }} }} = 0 |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fgswqsqfrg3wqtqxvh0xoe5sq4vo7se 0 73749 1093028 1026172 2026-06-02T12:20:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093028 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | v' || Mv || || || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= M \in {{op:Mat| n |m=n|K= {{{K| {{KRC|}} }}} }} |SZ= }} eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei {{mathl|term= B \in {{op:Mat| n |m=n|K= {{KRC|}} }} |SZ=}} eine invertierbare Matrix und es sei {{ Math/display|term= N= BMB^{-1} |SZ=. }} Dann ist {{ Abbildung/display |name= v |\R| {{KRC|}} ^n | t |v(t) |SZ=, }} genau dann eine Lösung von {{mathl|term= v'=Mv|SZ=,}} wenn {{mathl|term= w=Bv|SZ=}} eine Lösung der Differentialgleichung {{mathl|term= w'=Nw|SZ=}} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gw1pd6ly8imsvmkcancjzzedmhzvoph 0 73750 1093032 1026175 2026-06-02T12:21:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093032 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und {{mathl|term= {{{G|G}}} \subseteq V |SZ=}} eine offene Teilmenge. Es sei {{ Abbildung/display |name= f | {{{G|G}}} |\R || |SZ= }} eine Funktion, die im Punkt {{mathl|term= P \in {{{G|G}}} |SZ=}} ein lokales Extremum besitzt. Wenn {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} in Richtung {{mathl|term= v \in V |SZ=}} differenzierbar ist, so ist {{ Relationskette/display | {{op:Richtungsableitung| f | P |v}} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n0vgzz5e7bw66wwa02oxx6x62wiqd9s 0 73751 1093086 1025971 2026-06-02T12:29:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093086 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei {{ Relationskette | G | \subseteq | V |SZ= }} offen und sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | G | W || |SZ= }} eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei {{ Relationskette | P | \in | G |SZ= }} ein Punkt, in dem das totale Differential {{mathl|term= {{op:Totales Differential| \varphi | P }} |SZ=}} injektiv sei. Dann gibt es eine offene Umgebung {{math|term= U|SZ=,}} {{ Relationskette | P | \in | U |\subseteq | G || || |SZ=, }} derart, dass {{mathl|term= \varphi {{|}}_{U} |SZ=}} injektiv ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pf0gln5syb1fe4izl6vocemy1xf9ddp 0 73817 1093083 1025956 2026-06-02T12:29:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093083 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{{R|R}}} |und|term2= {{{S|S}}} |SZ= }} kommutative Ringe und es sei {{ Abbildung/display |name= {{{\varphi|\varphi}}} | {{{R|R}}} | {{{S|S}}} || |SZ= }} ein Ringhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung {{ Math/display|term= R \stackrel{q}{\longrightarrow} R/ {{op:Kern|\varphi|}} \stackrel{\theta}{\longrightarrow} {{op:Bild|\varphi}} \stackrel{\iota} {\hookrightarrow} S |SZ=, }} wobei {{math|term= q|SZ=}} die kanonische Projektion, {{math|term=\theta|SZ=}} ein Ringisomorphismus und {{math|term=\iota|SZ=}} die kanonische Inklusion des Bildes ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3wwzzv753t4qb63escq5szj1go5ke4t 0 73840 1092905 1025276 2026-06-02T12:00:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092905 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Binomialkoeffizienten erfüllen die rekursive Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Binomialkoeffizient|n+1|k}} || {{op:Binomialkoeffizient| n |k}} + {{op:Binomialkoeffizient| n |k-1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0ei7hsf10g7gtlswertqmke3pukkmmg 0 73842 1092995 1019421 2026-06-02T12:15:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092995 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Elemente {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n \in R |SZ=}} besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler {{math|term= d|SZ=,}} und dieser lässt sich als Linearkombination der {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_n |SZ=}} darstellen, d.h. es gibt Elemente {{mathl|term= r_1 {{kommadots|}} r_n \in R |SZ=}} mit {{mathl|term= r_1a_1+r_2a_2 {{plusdots|}} r_na_n=d|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qcbpikow87t80p218kgqcxt99x86mfz 0 73844 1093080 1025948 2026-06-02T12:28:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093080 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= n|SZ=}} eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung {{mathl|term= n= p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} {{cdots}} p_k^{r_k} |SZ=.}} Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen {{ Abbildung |name= | {{op:Zmod|n}} | {{op:Zmod|p_i^{r_i} }} || |SZ= }} einen Ringisomorphismus {{ Relationskette/display | {{op:Zmod|n}} |\cong| {{op:Zmod|p_1^{r_1} }} \times {{op:Zmod|p_2^{r_2} }} \times \cdots \times {{op:Zmod|p_k^{r_k} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m8cb8e0uwx8qoptgdolazi0ieu1q3vt 0 73846 1093012 1025668 2026-06-02T12:17:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093012 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= P|SZ=}} das Minimalpolynom von {{math|term= f|SZ=.}} Dann gibt es eine kanonische {{math|term= K|SZ=-}}Algebraisomorphie {{ Abbildung/display |name= |K[X]/(P)|K[f] | X |f |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e2k2fr8cmcfyzr3l05fgf6cwliywwvn 0 73903 1093042 1025758 2026-06-02T12:22:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093042 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Seien {{ mathkor|term1= {{{L|L}}} |und|term2= {{{M|M}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |metrische Räume| |SZ= }} und sei {{ Abbildung/display |name= {{{f|f}}} | {{{L|L}}} | {{{M|M}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |SZ=. }} Es sei {{mathl|term= S \subseteq L |SZ=}} eine {{ Definitionslink |zusammenhängende| |Kontext=mr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilmenge| |SZ=. }} Dann ist auch das {{ Definitionslink |Bild| |Kontext=abb| |SZ= }} {{ Math/display|term= f(S) |SZ= }} zusammenhängend. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2d64zejez3bbtlfflhg10gxgrv2stvk 0 73904 1092925 1025330 2026-06-02T12:03:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092925 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |SZ=, }} {{mathl|term= U \subseteq \R^n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Menge| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= {{{h|h}}} |I \times U|\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Funktion| |SZ=. }} Dann ist die {{ Definitionslink |Differentialgleichung höherer Ordnung| |SZ= }} {{ Math/display|term= y^{(n)} = {{{h|h}}} {{makl| t,y ,y' ,y^{\prime \prime} {{kommadots|}} y^{(n-1)} |}} |SZ= }} über die Beziehung {{ Relationskette | v_i | {{defeq|}} | y^{(i)} || || || |SZ= }} äquivalent zum {{ Definitionslink |Differentialgleichungssystem| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor|v_0 |v_1 |\vdots|v_{n-2}|v_{n-1} }}' || {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 |\vdots|v_{n-1}| {{{h|h}}}(t, v_0,v_1 {{kommadots|}} v_{n-1}) }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n93pj0frk91tp4en0k6jr6ya3ahje0b 0 73909 1092904 1025274 2026-06-02T12:00:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092904 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |symmetrischen| |Kontext=bilinear| |SZ= }} {{ Definitionslink |Bilinearform| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |SZ= }} {{mathl|term= (p,q) |SZ=.}} Dann ist die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich einer jeden {{ Definitionslink |Orthogonalbasis| |Kontext=| |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Diagonalmatrix| |Kontext=| |SZ= }} mit {{math|term= p|SZ=}} positiven und {{math|term= q|SZ=}} negativen Einträgen. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lu46ou95kzecln3730gucxplacb5y86 0 73910 1092903 1025272 2026-06-02T12:00:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092903 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |symmetrische Bilinearform| |Kontext=| |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{math|term= G|SZ=}} die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich dieser Basis. Die Determinanten {{math|term= D_k |SZ=}} der {{ Definitionslink |quadratischen| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{ Definitionslink |Untermatrizen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= M_k = ( {{op:Bilinearform|v_i |v_j}} )_{1 \leq i,j \leq k} |SZ= }} seien alle von {{math|term=0 |SZ=}} verschieden für {{mathl|term= k=1 {{kommadots|}} n |SZ=.}} Es sei {{math|term= q|SZ=}} die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge {{ Math/display|term= D_0=1,\, D_1= {{op:Determinante|M_1 |}} ,\, D_2 = {{op:Determinante|M_2 |}} {{kommadots|}} D_n = {{op:Determinante|M_n |}} = {{op:Determinante| G |}} |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} vom {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |SZ= }} {{mathl|term= (n-q,q) |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gvg4nc1nqksrnfokkeqjr9lasb22ief 0 73911 1092970 1025493 2026-06-02T12:10:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092970 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | U | \subseteq | \R^n |SZ= }} eine offene Teilmenge und seien {{ Abbildung/display |name= f | U |\R || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= h | U |\R || |SZ= }} {{ Definitionslink |stetig differenzierbare Funktionen| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | b | \in | \R |SZ= }} und {{ Relationskette | M || f^{-1}(b) || || || |SZ= }} die Faser von {{math|term= f|SZ=}} über {{math|term= b|SZ=.}} Die eingeschränkte Funktion {{mathl|term= h {{|}}_M |SZ=}} besitze im Punkt {{ Relationskette | a | \in | M |SZ= }} ein lokales Extremum auf {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term= a|SZ=}} sei ein {{ Definitionslink |regulärer Punkt| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=.}} Dann ist {{mathl|term= {{op:Totales Differential| h | a}} |SZ=}} ein Vielfaches von {{mathl|term= {{op:Totales Differential| f | a}} |SZ=,}} d.h. es gibt ein {{ Relationskette | \lambda | \in | \R |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Totales Differential| h | a}} || \lambda {{op:Totales Differential| f | a}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kp9de1yw25ebr7822dt8zu8468l8fjm 0 73913 1093102 1026029 2026-06-02T12:32:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093102 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die offene Menge {{ Relationskette | G | \subseteq | V |SZ= }} enthalte mit je zwei Punkten die Verbindungsgerade. Ferner gelte {{ Relationskette/display | {{op:Norm| {{op:Totales Differential|\varphi|P}} ||}} | \leq | b || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | P | \in | G || || || |SZ=. }} Dann gilt für {{ Relationskette | P,Q | \in | G || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | {{op:Norm| \varphi(Q) - \varphi(P)|}} | \leq | {{op:Norm| Q-P|}} \cdot b || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h8gegllnzx48uo4klqjzb903zdagbfl 0 76398 1093111 1022358 2026-06-02T12:34:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093111 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=}} ein Körper und {{math|term= {{{V|V}}} |SZ=}} ein {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=-}}Vektorraum mit einer Basis {{ Math/display|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=. }} Ferner sei {{ Math/display|term= u_1 {{kommadots|}} u_k |SZ= }} eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in {{math|term= V|SZ=.}} Dann gibt es eine Teilmenge {{mathl|term= J=\{ i_1, i_2 {{kommadots|}} i_k \} \subseteq \{1 {{kommadots|}} n \} = I |SZ=}} derart, dass die Familie {{ Math/display|term= u_1 {{kommadots|}} u_k, b_i, i \in I \setminus J |SZ=,}} eine Basis von {{math|term= V|SZ=}} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0s8kmcn3uwf4liml47p72spmk2ip7li 0 76874 1093040 1022031 2026-06-02T12:22:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093040 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{Mengensystem|E}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=Sigmaalgebra| |SZ= }} für {{math|term= {{Mengensystem|B}} |SZ=.}} Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} bereits dann {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Abbildung| |SZ=, }} wenn für jede Teilmenge {{mathl|term= T \subseteq N |SZ=}} mit {{mathl|term= T \in {{Mengensystem|E}} |SZ=}} das {{ Definitionslink |Urbild| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term=\varphi^{-1}(T) |SZ=}} zu {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=}} gehört. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} epopqgzrtln8rk67lav8hulsfsljiec 0 76875 1093037 1025742 2026-06-02T12:22:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093037 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (M,{{Mengensystem|A}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Messraum| |SZ= }} und es sei {{math|term= {{Mengensystem|E}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |durchschnittsstabiles Erzeugendensystem| |SZ= }} für {{math|term= {{Mengensystem|A}} |SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= \mu_1 |und|term2= \mu_2 |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Maße| |SZ= }} auf {{mathl|term= (M, {{Mengensystem|A}}) |SZ=,}} die auf {{math|term= {{Mengensystem|E}} |SZ=}} übereinstimmen. Es gebe eine {{ Definitionslink |Ausschöpfung| |SZ= }} {{mathl|term= M_n \uparrow M |SZ=}} mit {{mathl|term= M_n \in {{Mengensystem|E}} |SZ=}} und mit {{mathl|term=\mu_1(M_n) = \mu_2(M_n) < \infty|SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | \mu_1 ||\mu_2 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3f1j3seq0egfjn3yn3utuptsgmbuq1 0 76879 1093038 1025744 2026-06-02T12:22:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093038 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endliche| |Kontext=sigma| |SZ= }} {{ Definitionslink |Maßräume| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (M_1, {{Mengensystem|A}}_1, \mu_1) {{kommadots|}} (M_n, {{Mengensystem|A}}_n, \mu_n) |SZ=}} gegeben. Dann gibt es genau ein {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=\sigma|SZ=-}}endliches| |ISZ=|ESZ= }} Maß {{math|term=\mu|SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=Sigmaalgebra| |SZ=- }}{{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |SZ= }} {{mathl|term= {{Mengensystem|A}}_1 {{tensordots|}} {{Mengensystem|A}}_n |SZ=,}} das für alle messbaren Quader {{ Zusatz/Klammer |text=deren Seiten endliches Maß besitzen| |ISZ=|ESZ= }} den Wert {{ Relationskette/display | \mu(T_1 {{timesdots}} T_n ) || \mu_1(T_1) {{cdots|}} \mu_n(T_n) || || || |SZ= }} besitzt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} abwaxi0qqgtmo695ivdb3iiir9mzsub 0 76881 1093074 1025930 2026-06-02T12:27:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093074 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Mengensystem|B}} = {{Mengensystem|B}}(\R) |SZ=}} die {{math|term=\sigma|SZ=-}}{{ Definitionslink |Algebra| |Kontext=sigma| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Borel-Mengen| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term=\R|SZ=.}} Dann gibt es genau ein {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endliches Maß| |Kontext=sigma| |SZ= }} {{math|term=\lambda|SZ=}} auf {{mathl|term= (\R, {{Mengensystem|B}} ) |SZ=,}} das für jedes {{ Definitionslink |halboffene Intervall| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term=[a,b[|SZ=}} den Wert {{mathl|term=\lambda ( [a,b[ ) = b-a |SZ=}} besitzt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0rk5aasdojm6mkvx88kpsytgmfoa38z 0 77045 1093110 1026053 2026-06-02T12:33:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093110 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{math|term= {{{V|V}}} |SZ=}} ein {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum mit einer Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= w \in V |SZ=}} ein Vektor mit einer Darstellung {{ Relationskette/display | w || \sum_{i {{=}} 1}^n {{skalar|}}_i v_i || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= {{skalar|}}_k \neq 0 |SZ=}} sei für ein bestimmtes {{math|term= k|SZ=.}} Dann ist auch die Familie {{ Math/display|term= v_1 {{kommadots|}} v_{k-1} , w, v_{k+1} {{kommadots|}} v_n |SZ= }} eine Basis von {{math|term= V|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} peg6id7hp3pdjsst6cex6behkbd6mxz 0 77047 1092917 1025306 2026-06-02T12:02:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092917 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Dann gilt für Matrizen {{mathl|term= A,B \in {{op:Matq| n | K}} |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Determinante(|A \circ B|}} || {{op:Determinante|A}} \cdot {{op:Determinante| B |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nqnzdgqj4samdscz0x0mz5cb00g6gue 0 77049 1092913 1021343 2026-06-02T12:01:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092913 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Folgende Aussagen sind äquivalent. {{ Aufzählung4 | {{math|term=\varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |trigonalisierbar| |Kontext=Matrix| |SZ=. }} |Es gibt eine {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariante Fahne| |Kontext=| |SZ=. }} |Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} |SZ=}} zerfällt in {{ Definitionslink |Linearfaktoren| |Kontext=1K| |SZ=. }} |Das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=linear| |SZ= }} {{mathl|term= \mu_\varphi |SZ=}} zerfällt in {{ Definitionslink |Linearfaktoren| |Kontext=1K| |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p4zqhk7gn4dpqbr13ztgwz63ahv6a9a 0 77386 1093014 1025680 2026-06-02T12:18:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093014 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Unter der Bedingung, dass {{math|term= V|SZ=}} endlichdimensional ist, gilt {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| V |}} || {{op:Vektorraumdimension| {{op:Kern|\varphi|}} |}} + {{op:Vektorraumdimension| {{op:Bild|\varphi|}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mrxq2qjkqtwcemzpv0s1px31ig1xr9m 0 77395 1092900 1025266 2026-06-02T12:00:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092900 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Sigmaendlicher Maßraum/Situation|SZ=,}} {{mathl|term= (N, {{Mengensystem|B}}) |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Messraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= \varphi | M | N || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |messbare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{math|term=\nu|SZ=}} das {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term=\mu|SZ=}} unter {{math|term=\varphi|SZ=,}} das ebenfalls als {{ Definitionslink |Prämath=\sigma|endlich |Kontext=Sigma| |SZ= }} vorausgesetzt sei, und es sei {{ Abbildung/display |name= f | N | {{op:abschlussnum|\R|}} || |SZ= }} eine {{math|term=\nu|SZ=-}}{{ Definitionslink |integrierbare Funktion| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist auch {{mathl|term= f \circ \varphi|SZ=}} {{math|term=\mu|SZ=-}}{{ Definitionslink |integrierbar| |Kontext=| |SZ=, }} und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Integralmaß| f | N |\nu}} || {{op:Integralmaß|(f \circ \varphi)| M |\mu}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0y8s011ic9prdvex354zra0y14dtdg6 0 77400 1093065 1025867 2026-06-02T12:26:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093065 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Präring| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} und {{ Abbildung/display |name= \mu | {{Mengensystem|P}} | {{maßR|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |äußeres Maß| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=.}} Dann ist die {{ Definitionslink |Fortsetzung| |Kontext=äußeres Maß| |SZ= }} {{math|term=\tilde{\mu} |SZ=}} des {{ Definitionslink |äußeren Maßes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term=\mu|SZ=}} ein {{ Definitionslink |äußeres Maß| |Kontext=| |SZ= }} auf der {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M}} |SZ=,}} das auf {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} mit {{math|term=\mu|SZ=}} übereinstimmt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cuzziy07u4gwx3t5foenrosdg7ml180 0 77688 1093031 1025724 2026-06-02T12:21:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093031 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{ Math/display|term= {{Lineares Gleichungssystem inhomogen| {{{a|a}}} | {{{x|x}}} | {{{n|n}}} | {{{n|n}}}}} | {{{c|c}}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |inhomogenes lineares Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= {{{SZ|}}} }} Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix {{mathl|term= M=(a_{ij})_{ij} |SZ=}} {{ Definitionslink |invertierbar| |Kontext=Matrix| |SZ= }} sei. Dann erhält man die eindeutige Lösung für {{math|term= x_j |SZ=}} durch {{ Relationskette/display | x_j || {{op:Bruch| {{op:Determinante| {{matrixcramer| n | a | j |c}} |}} | {{op:Determinante| M |}} }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6j55dl9bbl9240juvf3yu0mc1sa7ldm 0 77794 1092916 1025304 2026-06-02T12:02:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092916 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für die Determinante einer {{math|term= n \times n |SZ=-}}Matrix {{ Relationskette/display | M ||(a_{ij})_{ij} || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| M |}} || {{summe/index| {{op:Signum| \pi }} a_{1 \pi (1)} \cdots a_{ n \pi ( n)} | \pi \in S_{n } }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 02pw3wcguptj37rpyuzoxaao55qzgcv 0 77795 1092985 1025571 2026-06-02T12:13:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092985 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=}} ein Körper und es seien {{ mathkor|term1= {{{V|V}}} |und|term2= {{{W|W}}} |SZ= }} endlichdimensionale {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräume mit den Dimensionen {{ mathkor|term1= n |bzw.|term2= m |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| {{op:Homomorphismen| V | W |}} |}} || nm || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qx5opymbfsw92tfdentr39vj1lmof8c 0 78112 1093120 1026063 2026-06-02T12:35:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093120 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Wenn {{math|term= V|SZ=}} endlichdimensional ist, so ist auch {{math|term= U|SZ=}} endlichdimensional und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension|U}} |\leq | {{op:Vektorraumdimension|V}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s51llf6ftlk62h7wq5t14if856qzgqc 0 78114 1093112 1020312 2026-06-02T12:34:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093112 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum endlich Dimension/Situation|SZ=.}} Es seien {{ Math/display|term= u_1 {{kommadots|}} u_k |SZ= }} {{ Definitionslink |linear unabhängige| |Kontext=| |SZ= }} Vektoren in {{math|term= V|SZ=.}} Dann gibt es Vektoren {{ Math/display|term= u_{k+1} {{kommadots|}} u_n |SZ= }} derart, dass {{ Math/display|term= u_1 {{kommadots|}} u_k, u_{k+1} {{kommadots|}} u_n |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=LinAlg| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} bilden. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j4e4ijnm9dafl4061a9ephedt1qztl3 0 78115 1092899 1025264 2026-06-02T11:59:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092899 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=eeVR| |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|u}} = {{liste1n|u}} ,\, {{basis|v}} = {{liste1n|v}} |und|term2= {{basis|w}} = {{liste1n|w}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=LinAlg| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Dann stehen die {{ Definitionslink |Übergangsmatrizen| |Kontext=| |SZ= }} zueinander in der Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Übergangsmatrix| u |w}} || {{op:Übergangsmatrix| v |w}} \circ {{op:Übergangsmatrix| u |v}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ymmcxd0guv6zx50nibmw0lko5kz8yr 0 78116 1093115 1026057 2026-06-02T12:34:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093115 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=eeVR| |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|v}} = {{liste1n|v}} |und|term2= {{basis|u}} = {{liste1n|u}} |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=LinAlg| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{ Relationskette/display | v_j || {{sumi1n| c_{ij} u_i}} || || || |SZ= }} mit den Koeffizienten {{mathl|term= c_{ij} \in K |SZ=,}} die wir zur {{ Definitionslink |Prämath=n \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Übergangsmatrix| v |u}} || {{makl| c_{ij} |}}_{ij} || || || |SZ= }} zusammenfassen. Dann hat ein Vektor {{math|term= w|SZ=,}} der bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|v}} |SZ=}} die Koordinaten {{math|term= {{op:Spaltenvektor1n| {{skalar}} |}} |SZ=}} besitzt, bezüglich der Basis {{math|term= {{basis|u}} |SZ=}} die Koordinaten {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor1n| {{skalar2}} }} || {{op:Übergangsmatrix| v |u}} {{op:Spaltenvektor1n| {{skalar}} |}} || {{op:Matrixnn|c}} {{op:Spaltenvektor1n| {{skalar}} |}} || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cpclgnvvbx8csogp9mg8pi82ytt71na 0 78117 1093108 1026046 2026-06-02T12:33:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093108 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= U_1,U_2 \subseteq V |SZ=}} {{ Definitionslink |Untervektorräume| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension|U_1}} + {{op:Vektorraumdimension|U_2}} || {{op:Vektorraumdimension|U_1 \cap U_2}} + {{op:Vektorraumdimension|U_1 + U_2}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5fmdhyvs37wduv4aj4hwtal7c41x0k1 0 78118 1093107 1026044 2026-06-02T12:33:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093107 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} und es seien {{mathl|term= U_1,U_2 \subseteq V |SZ=}} {{ Definitionslink |Untervektorräume| |SZ= }} der Dimension {{ mathkor|term1= {{op:Vektorraumdimension|U_1}} =n-k_1 |bzw.|term2= {{op:Vektorraumdimension|U_2}} =n-k_2 |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension|U_1 \cap U_2}} | \geq| n-k_1 -k_2 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6luemih274wfkfxzu5y2fz2cbojbjk 0 78124 1093022 1025694 2026-06-02T12:19:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093022 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{math|term= n|SZ=-}}{{ Definitionslink |dimensionaler| |Kontext=eeVR| |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=VR| |SZ= }} {{mathl|term= {{basis|v}} = {{liste1n|v}} |SZ=}} und sei {{math|term= W|SZ=}} ein {{math|term= m|SZ=-}}dimensionaler Vektorraum mit einer Basis {{mathl|term= {{basis|w}} = {{liste1m|w}} |SZ=.}} Dann sind die Abbildungen {{ Math/display|term= \varphi \longmapsto M^{ {{basis| v |}} }_{ {{basis|w}} } ( \varphi) \text{ und } M \longmapsto \varphi^{ {{basis| v |}} }_{ {{basis|w}} } (M) |SZ= }} {{ Definitionslink |invers| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Abbildung/Bijektiv/Umkehrabbildung/Definition |SZ= }} zueinander. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} au0zcj9982jizmxzq2skkdy0c2w5lf7 0 78126 1093019 1025688 2026-06-02T12:19:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093019 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=}} ein Körper, {{ mathkor|term1= {{{V|V}}} |und|term2= {{{W|W}}} |SZ= }} seien {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräume und {{ Abbildung/display |name= {{{\varphi|\varphi}}} | {{{V|V}}} | {{{W|W}}} || |SZ= }} sei eine {{math|term= K|SZ=-}}lineare Abbildung. Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} injektiv genau dann, wenn {{mathl|term= {{op:Kern|\varphi|}}=0 |SZ=}} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 22frl3u214mz4xw9lvttuenvl6uyk9n 0 78128 1093023 1019666 2026-06-02T12:19:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093023 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation. }} Damit ist folgendes gemeint: es seien {{mathl|term= U,V,W|SZ=}} Vektorräume über einem Körper {{math|term= K|SZ=}} mit Basen {{ Math/display|term= {{basis|u}} = {{liste1p|u}} , \, {{basis|v}} = {{liste1n|v}} \text{ und } {{basis|w}} = {{liste1m|w}} |SZ=. }} Es seien {{ Math/display|term= \psi:U \longrightarrow V \text{ und } \varphi: V \longrightarrow W |SZ= }} lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von {{mathl|term=\psi,\, \varphi|SZ=}} und der Hintereinanderschaltung {{mathl|term=\varphi \circ \psi|SZ=}} die Beziehung {{ Math/display|term= M^{ {{basis|u}} }_{ {{basis|w}} } (\varphi \circ \psi ) = ( M^{ {{basis|v}} }_{ {{basis|w}} } (\varphi) ) \circ ( M^{ {{basis|u}} }_{ {{basis|v}} }(\psi) ) |SZ=. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t10e7v9a7gpntbv1tnn43ebeyt7ubkn 0 78129 1093017 1073342 2026-06-02T12:18:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093017 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=}} ein Körper und es seien {{ mathkor|term1= {{{V|V}}} |und|term2= {{{W|W}}} |SZ= }} endlichdimensionale {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=-}}Vektor{{drucktrenn}}räume. Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|v}} |und|term2= {{basis|u}} |SZ= }} Basen von {{math|term= V|SZ=}} und {{ mathkor|term1= {{basis|w}} |und|term2= {{basis|z}} |SZ= }} Basen von {{math|term= W|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen {{ mathkor|term1= {{basis|v}} |und|term2= {{basis|w}} |SZ= }} durch die Matrix {{mathl|term= M^{{basis|v}}_{{basis|w}}(\varphi) |SZ=}} beschrieben werde. Dann wird {{math|term=\varphi|SZ=}} bezüglich der Basen {{ mathkor|term1= {{basis|u}} |und|term2= {{basis|z}} |SZ= }} durch die Matrix {{ Math/display|term= {{op:Übergangsmatrix| w |z}} \circ ( M^{{basis|v}}_{{basis|w}}(\varphi) ) \circ ( {{op:Übergangsmatrix| v |u}})^{-1} |SZ= }} beschrieben, wobei {{ mathkor|term1= {{op:Übergangsmatrix| v |u}} |und|term2= {{op:Übergangsmatrix| w |z}} |SZ= }} die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von {{ mathkor|term1= {{basis|v}} |nach|term2= {{basis|u}} |SZ= }} und von {{ mathkor|term1= {{basis|w}} |nach|term2= {{basis|z}} |SZ= }} beschreiben. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jpbz13vmnr1duadi6tcbnfmxgjw8foe 0 78130 1092958 1025447 2026-06-02T12:08:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092958 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=}} ein Körper und es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{math|term= K |SZ=-}}Vektorraum. Es sei {{ Abbildung/display |name= {{{\varphi|\varphi}}} | {{{V|V}}} | {{{V|V}}} || |SZ= }} eine lineare Abbildung. Es seien {{ mathkor|term1= {{basis|u}} |und|term2= {{basis|v}} |SZ= }} Basen von {{math|term= V|SZ=.}} Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich {{ mathkor|term1= {{basis|u}} |bzw.|term2= {{basis|v}} |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=beidseitig| |ISZ=|ESZ= }} beschreiben, die Beziehung {{ Math/display|term= M^{{basis|u}}_{{basis|u}}(\varphi) = {{op:Übergangsmatrix| v |u}} \circ M^{{basis|v}}_{{basis|v}}(\varphi) \circ ( {{op:Übergangsmatrix| v |u}})^{-1} |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxld5j90q7ssxopwoirg15x6bfthd7j 0 78131 1093036 1025749 2026-06-02T12:21:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093036 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} mit Einträgen in {{math|term= K|SZ=.}} Dann hat die {{ Definitionslink |Multiplikation| |Kontext=Matrix| |SZ= }} mit den {{ Definitionslink |Prämath=m \times m |Elementarmatrizen| |Kontext=| |SZ= }} von links mit {{math|term= M|SZ=}} folgende Wirkung. {{ Aufzählung3 | {{math|term= V_{ij} \circ M =|SZ=}} Vertauschen der {{math|term= i|SZ=-}}ten und der {{math|term= j|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=.}} | {{math|term= (S_k (s)) \circ M =|SZ=}} Multiplikation der {{math|term= k|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=}} mit {{math|term= s|SZ=.}} | {{math|term= (A_{ij}(a)) \circ M =|SZ=}} Addition des {{math|term= a|SZ=-}}fachen der {{math|term= j|SZ=-}}ten Zeile von {{math|term= M|SZ=}} zur {{math|term= i|SZ=-}}ten Zeile ({{mathlk|term=i \neq j |SZ=}}). }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7lrtof39lt73rlm5ol6f97oj2u1k36t 0 78212 1093021 1025692 2026-06-02T12:19:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093021 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein Körper und es seien {{ mathkor|term1= {{{V|V}}} |und|term2= {{{W|W}}} |SZ= }} Vektorräume über {{math|term= K|SZ=}} der Dimension {{ mathkor|term1= {{{n|n}}} |bzw.|term2= {{{m|m}}} |SZ=. }} }} Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix {{ Relationskette | {{{M|M}}} | \in | {{op:Mat| m |n}} || || || |SZ= }} beschrieben werde. Dann gilt {{ Relationskette/display | {{op:Rang|\varphi|}} || {{op:Rang| M |}} || || || |SZ=. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljbtvpgnw045vfxr0n943k61cuaetzr 0 78215 1092986 1025573 2026-06-02T12:13:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092986 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorräume/Situation|SZ=.}} Dann gelten folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | U | V || |SZ= }} mit einem weiteren Vektorraum {{math|term= U|SZ=}} induziert eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Hom| V | W}} | {{op:Hom| U | W}} | f | f \circ \varphi |SZ=. }} |Eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \psi | W | T || |SZ= }} mit einem weiteren Vektorraum {{math|term= T|SZ=}} induziert eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Hom| V | W}} | {{op:Hom| V | T}} | f | \psi \circ f |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ur77jgdcofwapdj6pwn016uekjj0dx 0 78216 1092984 1025569 2026-06-02T12:13:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092984 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorräume/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{basis| v |}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} und {{mathl|term= {{basis| w |}} = w_1 {{kommadots|}} w_m |SZ=}} eine Basis von {{math|term= W|SZ=.}} Dann ist die Zuordnung {{ Abbildung/display |name= | {{op:Hom| V | W}} | {{op:Mat| m |n}} | f | M^{ {{basis|v}} }_{ {{basis|w}} } (f) |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= K|SZ=-}}Vektorräumen. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9nvy5cpns7bsvjqisy4dkojryoibvah 0 78218 1092945 1021011 2026-06-02T12:06:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092945 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum mit einer Basis {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=.}} Dann bildet die Dualbasis {{ Math/display|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^* \in {{op:Dualraum| V |}} |SZ= }} eine Basis des Dualraums. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d2j1r58hkus7z3rlex1v96ufvvnaa9j 0 78219 1093114 1026056 2026-06-02T12:34:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093114 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} und sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |Dualbasis| |SZ= }} {{mathl|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^* |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ=}} eine weitere Basis mit {{ Relationskette/display | w_r || \sum_{ k {{=}} 1}^n a_{kr} v_k || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= Dann ist {{ Relationskette/display | w_j^* || \sum_{i {{=}} 1}^n b_{ij} v_i^* || || || |SZ=, }} wobei {{ Relationskette | {{makl| b_{ij} |}}_{ij} || {{op:transponiert| {{makl| A^{-1} |}} |}} || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Transponierte| |Kontext=Matrix| |SZ= }} der {{ Definitionslink |inversen Matrix| |SZ= }} von {{ Relationskette |A || {{makl| a_{kr} |}}_{kr} || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbpq138i07q7rtipvmv5ch8kseu9fyo 0 78220 1093106 1026043 2026-06-02T12:33:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093106 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Dualraum| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Dualraum| V |}} |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang=Dann gelten folgende Aussagen. {{ Aufzählung4 |Zu Untervektorräumen {{ Relationskette | U | \subseteq | U' | \subseteq | V || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Orthogonalraum| U |}} | \supseteq | {{op:Orthogonalraum|U'|}} || || || |SZ=. }} |Zu Untervektorräumen {{ Relationskette | F | \subseteq | F' | \subseteq | {{op:Dualraum| V |}} || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Orthogonalraum| F |}} | \supseteq | {{op:Orthogonalraum|F'|}} || || || |SZ=. }} |Es sei {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |endlichdimensional| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Orthogonalraum| {{makl| {{op:Orthogonalraum| U |}} |}} |}} || U || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Orthogonalraum| {{makl| {{op:Orthogonalraum| F |}} |}} |}} || F || || || |SZ=. }} |Es sei {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |endlichdimensional| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| {{op:Orthogonalraum| U |}} |}} || {{op:Vektorraumdimension| V |}} - {{op:Vektorraumdimension| U |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| {{op:Orthogonalraum| F |}} |}} || {{op:Vektorraumdimension| V |}} - {{op:Vektorraumdimension| F |}} || || || |SZ=. }} }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d85np3nl7ztfw9oictao4q5u4bdcgws 0 78221 1092947 1025405 2026-06-02T12:07:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092947 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= U \subseteq V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ=. }} Dann gibt es {{ Definitionslink |Linearformen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= L_1 {{kommadots|}} L_r|SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | U || \bigcap_{i {{=}} 1}^r {{op:Kern|L_i |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gc81t5rowukooogj2z9alncz9iaujac 0 78222 1093024 1025698 2026-06-02T12:19:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093024 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= V |und|term2= W |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=,}} wobei {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |endlichdimensional| |Kontext=| |SZ= }} sei. Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} eine lineare Abbildung. Dann gibt es Vektoren {{ Relationskette | w_1 {{kommadots|}} w_n | \in | W || || || |SZ= }} und {{ Definitionslink |Linearformen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} auf {{math|term= V|SZ=}} mit{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Die {{mathl|term= fw|SZ=}} sind im Sinne von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Linearform/Vektor/Gesamtabbildung/Bemerkung |Nr= |SZ= }} zu verstehen| |ISZ=.|ESZ= }} {{ Relationskette/display | \varphi || f_1w_1 +f_2w_2 {{plusdots|}} f_nw_n || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0pxsussru9pzgakkvqmdk5cpi8krb0f 0 78223 1092937 1026159 2026-06-02T12:05:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092937 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} mit einer {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Relationskette | {{basis|v}} || {{liste1n|v}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term= W|SZ=}} ein {{math|term= m|SZ=-}}dimensionaler Vektorraum mit einer Basis {{ Relationskette | {{basis|w}} || {{liste1m|w}} || || || |SZ=. }} Es seien {{mathl|term= v_1^* {{kommadots|}} v_n^*|SZ=}} bzw. {{mathl|term= w_1^* {{kommadots|}} w_m^* |SZ=}} die zugehörigen {{ Definitionslink |Dualbasen| |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |SZ=, }} die bezüglich der gegebenen Basen durch die {{ Definitionslink |Prämath=m \times n |Matrix| |SZ= }} {{ Relationskette/display | M || M^{ {{basis| v |}} }_{ {{basis|w}} } ( \varphi) || (a_{ij})_{ij} || || |SZ= }} beschrieben werde. Dann wird die {{ Definitionslink |duale Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi^* | {{op:Dualraum| W |}} | {{op:Dualraum| V |}} || |SZ= }} bezüglich der Dualbasen von {{ mathkor|term1= {{op:Dualraum| V |}} |bzw.|term2= {{op:Dualraum| W |}} |SZ= }} durch die {{ Definitionslink |transponierte Matrix| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:transponiert| {{makl| M^{ {{basis| v |}} }_{ {{basis|w}} }(\varphi) |}} |}} |SZ=}} beschrieben. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} riximr625lbfhi95wxtj9ntrb6awwe0 0 78224 1093113 1026054 2026-06-02T12:34:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093113 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Situation|SZ=.}} Dann gibt es eine natürliche {{ Definitionslink |injektive| |SZ= }} {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \Psi | V | {{op:Dualraum|({{op:Dualraum| V |}})|}} | v | {{makl| f \mapsto f(v) |}} |SZ=. }} Wenn {{math|term= V|SZ=}} {{ Definitionslink |endlichdimensional| |SZ= }} ist, so ist {{math|term=\Psi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=vr| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 79cilq682hg8g2duitncasv7acyfzq4 0 78232 1092919 1025312 2026-06-02T12:02:44Z Arbota 36910 Ersetzung 1092919 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Dann ist die Determinante {{ Abbildung/display |name= | {{op:Matq| n | K}} {{=|}} (K^n)^n | K | M | {{op:Determinante| M |}} |SZ=, }} multilinear. D.h., dass für jedes {{ Relationskette | k | \in | {{Menge1n|}} || || || |SZ=, }} für je {{mathl|term= n-1 |SZ=}} Vektoren {{ Relationskette | v_1 {{kommadots|}} v_{k-1} , v_{k+1} {{kommadots|}} v_n | \in | K^n || || || |SZ= }} und für {{ Relationskette | u,w | \in | K^n || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen| v | k |u+w}} ||}} || {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen| v | k |u}} ||}} + {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen| v | k |w}} ||}} || || || |SZ= }} und für {{ Relationskette | {{skalar}} | \in | K || || || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Relationskette/display | {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen| v | k | {{skalar}} u}} ||}} || {{skalar}} {{op:Determinante| {{Matrixinzeilen| v | k |u}} ||}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5f24p1k5mf1c1b9ix6ovaruklnr9mk 0 78233 1092918 1025310 2026-06-02T12:02:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092918 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Dann ist die Determinante {{ Abbildung/display |name= | {{op:Matq| n | K}} {{=|}} (K^n)^n | K | M | {{op:Determinante| M |}} |SZ=, }} alternierend. D.h. wenn in {{math|term= M|SZ=}} zwei Zeilen übereinstimmen, so ist {{ Relationskette | {{op:Determinante| M |}} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ex7cahwf73freplyjrunkh6z85un69 0 78235 1092921 1025316 2026-06-02T12:02:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092921 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} und {{mathl|term= n \in \N_+|SZ=.}} Dann gibt es genau eine {{ Definitionslink |Determinantenfunktion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \triangle | {{op:Matq| n | K}} {{=|}} (K^n)^n | K |SZ= }} mit {{ Relationskette | \triangle {{op:Zeilenvektor12n|e}} || 1 || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= e_i |SZ=}} die {{ Definitionslink |Standardvektoren| |Kontext=LinAlg| |SZ= }} sind, nämlich die {{ Definitionslink |Determinante| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r08tergqknk2axefsud8lpoijvn6gzb 0 78238 1093035 1025746 2026-06-02T12:21:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093035 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | ( {{op:Adjungierte Matrix| M |}} ) \cdot M || M \cdot ( {{op:Adjungierte Matrix| M |}} ) || ( {{op:Determinante| M |}} ) {{Einheitsmatrix/ab|}} || |SZ= }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l6nfnaymoiqghy25q5cd7sosx5hssnk 0 78241 1093056 1025826 2026-06-02T12:24:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093056 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Relationskette | {{{M|M}}} || {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} und sei {{math|term=\pi|SZ=}} eine Permutation auf {{math|term= {{{M|M}}} |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= k= {{op:Anzahl|F}} |SZ=}} die Anzahl der Fehlstände von {{math|term=\pi|SZ=.}} Dann ist das Signum von {{math|term=\pi|SZ=}} gleich {{ Relationskette/display | {{op:Signum|\pi}} ||(-1)^k || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8tlyrp5i7jpuxffly9a8z9eey3j3ko4 0 78243 1093057 1025828 2026-06-02T12:25:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093057 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Permutation1n/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Relationskette/display | \pi || \tau_1 \cdots \tau_r || || || |SZ= }} als ein Produkt von {{math|term= r|SZ=}} {{ Definitionslink |Transpositionen| |Definitionsseitenname= Permutation/Transposition/Definition |SZ= }} geschrieben. Dann gilt für das {{ Definitionslink |Signum| |Definitionsseitenname= Permutation/Signum/Differenzprodukt/Definition |SZ= }} die Darstellung {{ Relationskette/display | {{op:Signum|\pi}} ||(-1)^r || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rherbzvnua1dn4c3jhr6oo9m3b0wrbl 0 78245 1092943 1025397 2026-06-02T12:06:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092943 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name= \varphi | V | V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Endomorphismus| |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=vr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und es sei {{ Relationskette | {{basis| u |}} || u_1 {{kommadots|}} u_n || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{ Relationskette | M || M^{ {{basis| u |}} }_{ {{basis| u |}} } || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |beschreibende Matrix| |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} bezüglich dieser Basis. Dann ist {{mathl|term= v \in V |SZ=}} genau dann ein {{ Definitionslink |Eigenvektor| |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} zum {{ Definitionslink |Eigenwert| |SZ= }} {{math|term= a|SZ=,}} wenn das {{ Definitionslink |Koordinatentupel| |SZ= }} zu {{math|term= v|SZ=}} bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu {{math|term= M|SZ=}} zum Eigenwert {{math|term= a|SZ=}} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7kgc4u9siwhcuay37xzvcf9p1c3ed3b 0 78246 1093015 960305 2026-06-02T12:18:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093015 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Es sei {{mathl|term=\lambda \in K |SZ=.}} Dann ist {{ Math/display|term= {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} = {{op:Kern| {{makl| \lambda \cdot {{op:Identität|V}} - \varphi |}} |}} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ewndo2ckfo0vq9wwtpmors3z3053coa 0 78247 1092957 960235 2026-06-02T12:08:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092957 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Es seien {{mathl|term= {{liste1n|v}} |SZ=}} {{ Definitionslink |Eigenvektoren| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Zusatz/Klammer |text=paarweise| |ISZ=|ESZ= }} verschiedenen {{ Definitionslink |Eigenwerten| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{liste1n|\lambda}} \in K |SZ=.}} Dann sind {{mathl|term= {{liste1n|v}} |SZ=}} {{ Definitionslink |linear unabhängig| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qzzf7f4tbsutsp5lvt7bc5rg679a8zp 0 78248 1093016 1021168 2026-06-02T12:18:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093016 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Endomorphismus/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Dann gibt es maximal {{mathl|term= {{op:Vektorraumdimension| V |}} |SZ=}} viele {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3v2pkr5vaczt42eyvxc33drm3va0au9 0 78253 1092959 1025449 2026-06-02T12:09:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092959 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=\lambda \in K |SZ=.}} Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension| {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda|}} }} | \leq | \mu_\lambda(\varphi) || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qspk40xidefvkgmvvzqvplv1sd3act 0 78254 1092956 1025445 2026-06-02T12:08:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092956 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Körper/Definition |SZ= }} und es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |SZ= }} {{math|term= {{{K|K}}} |SZ=-}}{{ Definitionslink |Vektorraum| |Definitionsseitenname= Vektorraum/Definition |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name= {{{\varphi|\varphi}}} | {{{V|V}}} | {{{V|V}}} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |SZ=. }} Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |diagonalisierbar| |Kontext=ev| |SZ=, }} wenn das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} |SZ=}} in {{ Definitionslink |Linearfaktoren| |Kontext=1K| |SZ= }} zerfällt und wenn für jede Nullstelle {{math|term=\lambda|SZ=}} mit der algebraischen Vielfachheit {{math|term=\mu_\lambda|SZ=}} die Gleichheit {{ Relationskette/display | \mu_\lambda || {{op:Vektorraumdimension| {{op:Eigenraum|\varphi|\lambda}} |}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gnk2qcty4u9d1nzem8flsonb87r3z4t 0 78255 1092911 1025286 2026-06-02T12:01:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092911 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Körper Matrix/Situation|m=n|SZ=.}} Es sei {{ Math/display|term= {{op:Charakteristisches Polynom| M |}} = X^n+c_{n-1} X^{n-1} {{plusdots|}}c_1X+c_0 |SZ= }} das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= M|SZ=.}} Dann gilt {{ Math/display|term= {{op:Charakteristisches Polynom| M | M}} = M^n +c_{n-1} M^{n-1} {{plusdots|}}c_1M+c_0 =0 |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9596cj6zz4rvm7lh1ewyo2w4ipdf8ci 0 78256 1092910 1025284 2026-06-02T12:01:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092910 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name= f | V | V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Dann gilt für das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | {{op:Charakteristisches Polynom| f |}} (f) || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1pboyfw2dhhy4foqmelbeiabqrb26me 0 78257 1092912 1025288 2026-06-02T12:01:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092912 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name= f | V | V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom| f |}} |SZ=}} ein Vielfaches des {{ Definitionslink |Minimalpolynoms| |Kontext=Endomorphismus| |SZ= }} {{mathl|term= \mu_f |SZ=}} zu {{math|term= f|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 65w6av8lljtvftu2gjcrtbdgpm1g49f 0 78259 1093043 1025760 2026-06-02T12:23:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093043 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K|SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name= f | V | V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Dann besitzt das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Charakteristisches Polynom| f |}} |SZ=}} und das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=Endomorphismus| |SZ= }} {{mathl|term= \mu_f|SZ=}} die gleichen Nullstellen. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bftjcxtvcvrsnli7adyj0vm8zt8l0h9 0 78261 1092960 1025453 2026-06-02T12:09:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092960 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Endomorphismus/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Relationskette/display | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invarianter Untervektorraum| |Kontext=| |SZ=. }} Dann gilt zu jedem Polynom {{mathl|term= P \in K[X] |SZ=}} die Beziehung {{ Relationskette/display | P {{makl| \varphi {{|}}_U |}} || {{makl| P ( \varphi ) |}}{{|}}_U || || || |SZ=, }} wobei hier {{mathl|term= \varphi {{|}}_U|SZ=}} die im Definitionsbereich und auch im Bildbereich eingeschränkte Abbildung bezeichnet. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eofqo7mcanekpjl7dplfuzsgnsf6i8v 0 78263 1093025 1025704 2026-06-02T12:20:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093025 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Endomorphismus/Endlich/Situation|SZ=.}} Dann sind folgende Aussagen äquivalent. {{ Aufzählung4 | {{math|term=\varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |trigonalisierbar| |Kontext=Matrix| |SZ=. }} |Es gibt eine {{ Definitionslink |Prämath=\varphi |invariante Fahne| |Kontext=| |SZ=. }} |Das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Charakteristisches Polynom|\varphi|}} |SZ=}} zerfällt in {{ Definitionslink |Linearfaktoren| |Kontext=1K| |SZ=. }} |Das {{ Definitionslink |Minimalpolynom| |Kontext=linear| |SZ= }} {{mathl|term= \mu_\varphi |SZ=}} zerfällt in {{ Definitionslink |Linearfaktoren| |Kontext=1K| |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kmxlgta0jd8u8ghq12iyanjmov6et48 0 78264 1093068 1022167 2026-06-02T12:26:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093068 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= M \in {{op:Mat|m=n|K= {{CC}}}} |SZ=}} eine quadratische Matrix mit {{ Definitionslink |komplexen| |Kontext=| |SZ= }} Einträgen. Dann ist {{math|term= M|SZ=}} {{ Definitionslink{{{optkon1|}}} |trigonalisierbar| |Kontext=|kon2=Matrix| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s9w14q1bu5ltm9h0eywl5kuc2n81zxq 0 78267 1092946 1025403 2026-06-02T12:06:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092946 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term=\varphi|SZ=}} auf einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} und zwei {{ Definitionslink |Eigenwerten| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term=\lambda \neq \delta |SZ=}} haben die zugehörigen {{ Definitionslink |Haupträume| |Kontext=| |SZ= }} den Durchschnitt {{math|term=0 |SZ=,}} also {{ Relationskette/display | {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda}} \cap {{op:Hauptraum|\varphi|\delta}} || 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rqkevgbxd0se83efh2tp3ilk4uyw9ni 0 78268 1092963 1025463 2026-06-02T12:09:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092963 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |trigonalisierbarer| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Endomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=.}} Dann ist {{math|term= V|SZ=}} die {{ Definitionslink |direkte Summe| |Kontext=| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Haupträume| |Kontext=| |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | V || {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda_1 |}} {{oplusdots}} {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda_m |}} || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term=\lambda_1 {{kommadots}} \lambda_m |SZ=}} die verschiedenen {{ Definitionslink |Eigenwerte| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term=\varphi|SZ=}} durchläuft, und {{math|term=\varphi|SZ=}} ist die {{ Definitionslink |direkte Summe| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} der Einschränkungen {{ Abbildung/display |name= \varphi_i {{=}} \varphi{{|}}_{H_i} |H_i | H_i || |SZ= }} auf den Haupträumen {{mathl|H_i{{=}} {{op:Hauptraum|\varphi|\lambda_i |}} |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} p6tfb59ft13bl8igssv6ew7o3zjuhg4 0 78270 1093048 1025805 2026-06-02T12:23:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093048 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Vektorraum/Endlichdimensional/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |SZ=. }} {{ Aufzählung4 | {{math|term= \varphi|SZ=}} ist {{ Definitionslink |nilpotent| |Kontext=Endomorphismus| |SZ=. }} |Für jeden Vektor {{mathl|term= v \in V |SZ=}} gibt es ein {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \varphi^k (v) || 0 || || || |SZ=. }} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} und ein {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \varphi^k (v_i) || 0 || || || |SZ=. }} für {{mathl|term= i= 1 {{kommadots|}} n |SZ=.}} |Es gibt ein {{ Definitionslink |Erzeugendensystem| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} und ein {{mathl|term= k \in \N|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \varphi^k (v_i) || 0 || || || |SZ=. }} für {{mathl|term= i= 1 {{kommadots|}} m |SZ=.}} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d75yatz5zlk5m8f3zgqoxnjei60odsz 0 78273 1092964 1025465 2026-06-02T12:09:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092964 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} ein trigonalisierbarer {{math|term= K|SZ=-}}Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen {{math|term= K|SZ=-}}Vektorraum {{math|term= V|SZ=.}} Dann gibt es eine Zerlegung {{ Relationskette/display | \varphi || \varphi_{\rm diag} + \varphi_{\rm nil} || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= \varphi_{\rm diag} |SZ=}} diagonalisierbar, {{mathl|term=\varphi_{\rm nil} |SZ=}} nilpotent und zusätzlich {{ Relationskette/display | \varphi_{\rm diag} \circ \varphi_{\rm nil} ||\varphi_{\rm nil}\circ \varphi_{\rm diag} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8yka19v3lxegp680soiq3m66jybyrjm 0 78274 1093051 1026181 2026-06-02T12:24:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093051 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Relationskette/display | \varphi^{{{s|s}}} || 0 || || || |SZ= }} und {{math|term= {{{s|s}}} |SZ=}} minimal mit dieser Eigenschaft. Dann besteht zwischen den Untervektorräumen {{ Relationskette/display | V_i | {{defeq|}} | {{op:Kern|\varphi^{i} |}} || || || |SZ= }} die Beziehung {{ Relationskette/display | \varphi^{-1 } (V_i) || V_{i+1} || || || |SZ= }} und die Inklusionen {{ Relationskette/display | V_i | \subset | V_{i+1} || || || |SZ= }} sind echt für {{ Relationskette/display | i | < | {{{s|s}}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4cv3tpopvel3xymiiuybu5dej7ic9tu 0 78413 1093049 1019934 2026-06-02T12:24:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093049 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Endomorphismus endlichdimensional nilpotent/Situation|SZ=.}} Dann gibt es eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=,}} bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt {{ Math/display|term= {{op:Matrix66|0|u_1 |0| \cdots|\cdots |0|0|0| u_2 |0|\cdots |0|\vdots| \ddots|\ddots|\ddots|\ddots|\vdots|0| \cdots|0|0|u_{n-2}|0|0|\cdots|\cdots|0|0|u_{n-1}|0|\cdots|\cdots|\cdots|0|0}} |SZ= }} besitzt, wobei die {{math|term= u_i |SZ=}} gleich {{math|term=0 |SZ=}} oder gleich {{math|term=1 |SZ=}} sind. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ly3deu5xcl0mbfe6s37zf6inz18m494 0 78515 1093060 1026186 2026-06-02T12:25:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093060 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{mathl|term= P_1 {{kommadots|}} P_n |SZ=}} {{ Definitionslink |Polynome| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= K|SZ=.}} Es sei {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |größter gemeinsamer Teiler| |Kontext=Polynomring| |SZ= }} der {{math|term= P_i |SZ=.}} Dann gibt es eine Darstellung {{ Relationskette/display | G || Q_1P_1 {{plusdots|}} Q_nP_n || || || |SZ= }} mit {{mathl|term= Q_1 {{kommadots|}} Q_n \in K[X] |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n7if0ldsuglfowar54se9e7fbv8f4qi 0 78646 1093062 1025857 2026-06-02T12:25:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093062 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= (M_1, {{Mengensystem|P}}_1) {{kommadots|}} (M_n, {{Mengensystem|P}}_n) |SZ=}} Mengen mit darauf erklärten {{ Definitionslink |Präringen| |Kontext=| |SZ=. }} Dann besteht der {{ Definitionslink |Produkt-Präring| |Kontext=| |SZ= }} aus allen endlichen {{ Definitionslink |disjunkten Vereinigungen| |Kontext=| |SZ= }} von {{ Definitionslink |Quadern| |Kontext=Mengensystem| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2ja00u2p7dhjn0rhm7llbk0fuha7psl 0 78648 1093034 1025740 2026-06-02T12:21:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093034 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= U \subseteq M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} mit einer Karte {{ Abbildung/display |name= \alpha | U | V || |SZ= }} und {{mathl|term= V \subseteq \R^n |SZ=}} offen. Es seien {{ Abbildung/display |name= x_j | U |\R || |SZ= }} die zugehörigen Koordinatenfunktionen, {{mathl|term=1 \leq j \leq n |SZ=.}} Dann lässt sich jede auf {{math|term= U|SZ=}} definierte {{math|term= k|SZ=-}}{{ Definitionslink |Differentialform| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term=\omega \in {{symbol:Differentialformen| U |k}} |SZ=}} eindeutig schreiben als {{ Relationskette/display | \omega || \sum_{J,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k} f_J dx_J || || || |SZ= }} mit eindeutig bestimmten Funktionen {{ Abbildung/display |name= f_J | U |\R || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etwj1uj76canervxjh83z7upae9l4cs 0 78657 1093081 1025952 2026-06-02T12:29:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093081 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine {{ Definitionslink |orientierte| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |riemannsche Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term=\omega|SZ=}} die {{ Definitionslink |kanonische Volumenform| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name= \alpha | U | V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |orientierte Karte| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | V | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} offen mit Koordinaten {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |metrischen Fundamentalmatrix| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= G=(g_{ij})_{1 \leq i,j \leq n} |SZ=}} und {{mathl|term= g= {{op:Determinante| G |}} |SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | \alpha_* \omega || \sqrt{ g} dx_1 {{wedgedots|}} dx_n || || || |SZ=. }} Für eine {{ Definitionslink |messbare Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | T | \subseteq | U || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Integralform|\omega | T }} || {{op:Integralform| \sqrt{g} dx_1 {{wedgedots|}} dx_n |\alpha(T)}} || {{op:Integralmaß| \sqrt{g} |\alpha(T)|\lambda^n}} || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7mz74ly63ojaeesny9nw32dinv0yy56 0 78659 1093063 1025859 2026-06-02T12:26:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093063 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Zwei sigmaendliche Maßräume/Situation|SZ=}} und es seien {{ Abbildung |name= f | M | {{op:abschlussnum|\R|}} || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= g | N | {{op:abschlussnum|\R|}} || |SZ= }} {{ Definitionslink |integrierbare Funktionen| |Kontext=Maß| |SZ=. }} Dann ist auch die Funktion {{ Abbildung/display |name= fg |M \times N | {{op:abschlussnum|\R|}} |(x,y)|f(x) \cdot g(y) |SZ=, }} integrierbar und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Integralmaß|fg|M \times N| (\mu \otimes \nu)}} || {{op:Integralmaß| f | M | \mu }} \cdot {{op:Integralmaß| g | N | \nu }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} llv8xofo43we65gnyii1lqntgl2ddr7 0 79021 1093066 1025869 2026-06-02T12:26:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093066 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, {{math|term= {{Mengensystem|P}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Präring| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} {{ Abbildung/display |name= \mu | {{Mengensystem|P}} | {{maßR|}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |äußeres Maß| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=}} und {{math|term=\tilde{\mu} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Fortsetzung| |Kontext=äußeres Maß| |SZ= }} von {{math|term=\mu|SZ=}} auf die {{ Definitionslink |Potenzmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Potenzmenge|M}} |SZ=.}} Dann gelten folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Das {{ Definitionslink |Mengensystem| |Kontext=| |SZ= }} aller Teilmengen {{mathl|term= Z \subseteq M |SZ=,}} die die {{ Definitionslink |Zerlegungseigenschaft| |Kontext=| |SZ= }} besitzen, bilden eine {{math|term=\sigma|SZ=-}}{{ Definitionslink |Algebra| |Kontext=sigma| |SZ=. }} |Die Einschränkung von {{math|term=\tilde{\mu} |SZ=}} auf diese {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra ist ein {{ Definitionslink |Maß| |Kontext=| |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eyeed9t3ku4xag07uqpsrqf7vwnbbfb 0 81360 1093064 1025863 2026-06-02T12:26:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093064 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei ein Symbolalphabet {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=}} einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_k |SZ=}} paarweise verschiedene Variablen und {{mathl|term= t_1 {{kommadots|}} t_k |SZ=}} fixierte {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=-}}Terme. Es sei eine {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=-}}Interpretation {{math|term= I|SZ=}} gegeben. Dann gelten folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Für jeden {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=-}}Term {{math|term= s|SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | I \left( s {{op:Bruch|t_1 {{kommadots|}} t_k |x_1 {{kommadots|}} x_k |}} \right) || \left( I {{op:Bruch|I(t_1) {{kommadots}} I(t_k) |x_1 {{kommadots}} x_k}} \right) (s) || || || |SZ=. }} |Für jeden {{math|term= {{Symbolalphabet}} |SZ=-}}Ausdruck {{math|term= {{logprop|}} |SZ=}} gilt {{ Math/display|term= I \vDash {{logSubstitution| {{logprop|}} |k}} \text{ genau dann, wenn } {{makl| I {{op:Bruch|I(t_1) {{kommadots}} I(t_k) |x_1 {{kommadots}} x_k}} |}} \vDash {{logprop|}} |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mf0huv2hgrpzqsvc7nocqlyo7sog9n6 0 81511 1092965 1026163 2026-06-02T12:10:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092965 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein euklidischer Vektorraum und {{mathl|term= u_1 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} eine Orthonormalbasis von {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} eine lineare Abbildung und {{math|term= M|SZ=}} die beschreibende Matrix zu {{math|term=\varphi|SZ=}} bezüglich der gegebenen Basis. Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} genau dann eine Isometrie, wenn {{ Relationskette/display | {{op:transponiert| M |}} M || E_n || || || |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5xfz78qmui7jo2xpnkkyauth1bmn0j7 0 81512 1092962 1025457 2026-06-02T12:09:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092962 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}Vektorraum und {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent. {{ Aufzählung4 | {{math|term=\varphi|SZ=}} ist asymptotisch stabil. |Zu jedem {{mathl|term= v \in V |SZ=}} konvergiert die Folge {{math|term= \varphi^n(v) |SZ=,}} {{mathl|term= n \in \N |SZ=,}} gegen {{mathl|term=0 \in V |SZ=.}} |Es gibt ein Erzeugendensystem {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m \in V |SZ=}} derart, dass {{mathl|term=\varphi^n (v_j) |SZ=,}} {{mathl|term= j {{=}} 1 {{kommadots|}} m |SZ=,}} gegen {{math|term=0 |SZ=}} konvergiert. |Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von {{math|term=\varphi|SZ=}} ist kleiner als {{math|term=1 |SZ=.}} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktsvitw2xvmhfhfggnxmqd7d4xqvlpj 0 81525 1092901 1073444 2026-06-02T12:00:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092901 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |SZ=, }} {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=VR| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=K |Vektor{{drucktrenn}}raum| |SZ= }} und {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Bilinearform| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=.|}} Es seien {{ mathkor|term1= {{basis| v |}} = v_1 {{kommadots|}} v_n |und|term2= {{basis| w |}} = w_1 {{kommadots|}} w_n |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |Basen| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=}} und es seien {{ mathkor|term1= G |bzw.|term2= H |SZ= }} die {{ Definitionslink |Gramschen Matrizen| |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen {{ Relationskette/display | w_j || \sum_{i {{=|}} 1}^n a_{ij} v_i || || || |SZ=, }} die wir durch die {{ Definitionslink |Übergangsmatrix| |SZ= }} {{ Relationskette | A || (a_{ij})_{i,j} || || || |SZ= }} ausdrücken. Dan |Übergang= |Folgerung=n besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung {{ Relationskette/display | H || {{op:transponiert| A ||}} G A || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5wijs2gnlznnf0id0hc1nxcskrokib 0 81531 1093116 1026060 2026-06-02T12:34:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093116 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC}} |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Skalarprodukt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Endomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent. {{ Aufzählung3 | {{math|term=\varphi|SZ=}} ist normal. |Für alle {{mathl|term= v,w \in V |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (v) | {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (w) }} || {{op:Skalarprodukt|\varphi (v) | \varphi (w) }} || || || |SZ=. }} |Für alle {{mathl|term= v \in V |SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm| {{op:Adjungierter Endomorphismus|\varphi|}} (v) }} || {{op:Norm|\varphi (v) }} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kku4d1flwii412l6254qifimt40nkbs 0 81540 1092982 1025557 2026-06-02T12:12:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092982 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{{G|G}}}, {{{Q|Q}}} |und|term2= {{{H|H}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |Gruppen| |SZ=, }} es sei {{ Abbildung |name= \varphi | {{{G|G}}} | {{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi | {{{G|G}}} | {{{Q|Q}}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |surjektiver| |Kontext=| |SZ= }} Gruppenhomomorphismus. Es sei vorausgesetzt, dass {{ Relationskette/display | {{op:Kern| \psi|}} | \subseteq | {{op:Kern| \varphi|}} || || || || |SZ= }} ist. Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \tilde{\varphi} | {{{Q|Q}}} | {{{H|H}}} || |SZ= }} derart, dass {{ Relationskette | \varphi || \tilde{\varphi} \circ \psi || || || |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f5i0u4ql46rponvrlucu5jzj7cyx3th 0 81578 1093118 1026061 2026-06-02T12:35:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093118 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} endlichdimensionale Vektorräume über {{math|term= K|SZ=.}} Dann ist die Dimension des Tensorproduktes gleich {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension|V_1 {{tensordots|}} V_n |}} || {{op:Vektorraumdimension|V_1 }} \cdots {{op:Vektorraumdimension|V_n |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fv36vn2m2lteq3h2b08gdrg210gecvm 0 81588 1093096 1026003 2026-06-02T12:31:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093096 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Polarisationsformel besagt {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt| v |w}} || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| {{op:Norm|v+w|}}^2 - {{op:Norm| v |}}^2 - {{op:Norm| w |}}^2 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4xhhxlnfync09yawd4tmtdto3t77mcn 0 81662 1092999 1025623 2026-06-02T12:15:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092999 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= T \subseteq \R^n |SZ=}} eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. {{ Aufzählung4 | {{math|term= T|SZ=}} ist {{ Definitionslink |überdeckungskompakt| |Kontext=| |SZ=. }} |Jede {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} in {{math|term= T|SZ=}} besitzt einen {{ Definitionslink |Häufungspunkt| |Kontext=mr| |SZ= }} in {{math|term= T|SZ=.}} |Jede {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{Folge|}} |SZ=}} in {{math|term= T|SZ=}} besitzt eine in {{math|term= T|SZ=}} {{ Definitionslink |konvergente| |Kontext=mr| |SZ= }} {{ Definitionslink |Teilfolge| |Kontext=mr| |SZ=. }} | {{math|term= T|SZ=}} ist {{ Definitionslink |abgeschlossen| |Kontext=mr| |SZ= }} und {{ Definitionslink |beschränkt| |Kontext=mr| |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ppeoainkmsz46cwisispvr2zxpv4g0r 0 82412 1092936 1025384 2026-06-02T12:05:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092936 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Dreieck| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (A,B,C) |SZ=}} mit den Seitenlängen {{math|term= a,b,c|SZ=}} und dem {{ Definitionslink |Winkel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term=\gamma|SZ=}} an {{math|term= C|SZ=}} gilt {{ Relationskette/display | c^2 || a^2+b^2- 2 ab {{op:cos|\gamma|}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2hzt9rd322ibji7bxwmhyyf9xr3x4vs 0 82439 1093117 1020359 2026-06-02T12:35:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093117 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= V \neq 0 |SZ=}} ein {{ Definitionslink |endlichdimensionaler| |SZ= }} {{ Definitionslink |reeller Vektorraum| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} {{math|term= n|SZ=.}} Dann entsprechen durch die {{ Definitionslink |Zuordnung| |SZ= }} {{ Math/display|term= [v_1 {{kommadots|}} v_n] \longmapsto [ v_1 {{wedgedots|}} v_n ] |SZ= }} die {{ Definitionslink |Orientierungen| |SZ= }} auf {{math|term= V|SZ=}} den Orientierungen auf {{mathl|term=\bigwedge^n V |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ffy3ho3yzf054jv94nbiz3c0wm74oc 0 82446 1093105 1026042 2026-06-02T12:33:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093105 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Untergruppen von {{math|\Z |SZ=}} sind genau die Teilmengen der Form {{ Relationskette/display | \Z {{{d|d}}} || {{Mengebed| k{{{d|d}}} |k \in \Z}} || || || |SZ= }} mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl {{math|term= {{{d|d}}} |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bdp9vn0zjunbnurrqpvvp41us26b1qm 0 82450 1092991 1025591 2026-06-02T12:14:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092991 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= V|SZ=}} und {{math|term= W|SZ=}} {{ Definitionslink |euklidische Vektorräume| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | W || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |lineare Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. {{ Aufzählung3 | {{math|term=\varphi|SZ=}} ist eine Isometrie. |Für jede Orthonormalbasis {{mathl|term= u_i, {{laufi|1| n |}} |SZ=,}} von {{math|term= V|SZ=}} ist {{mathl|term=\varphi(u_i), {{laufi|1| n |}} |SZ=,}} Teil einer Orthonormalbasis von {{math|term= W|SZ=.}} |Es gibt eine Orthonormalbasis {{mathl|term= u_i, {{laufi|1| n |}} |SZ=,}} von {{math|term= V|SZ=}} derart, dass {{mathl|term=\varphi(u_i), {{laufi|1| n |}} |SZ=,}} Teil einer Orthonormalbasis von {{math|term= W|SZ=}} ist.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nlk95x70qh43lx6dkhhsk7q335ub6dp 0 82496 1093119 1026062 2026-06-02T12:35:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093119 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und seien {{mathl|term= V_1 {{kommadots|}} V_n |SZ=}} endlichdimensionale Vektorräume über {{math|term= K|SZ=.}} Dann gibt es eine natürliche Isomorphie {{ Abbildung/display |name= | V_1^{ * } {{tensordots||}} V_n^{ * } | {{makl| V_1 {{tensordots||}} V_n |}}^{ * } |f_1 {{tensordots||}} f_n | {{makl| v_1 {{tensordots|}} v_n \mapsto f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) |}} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gi81vwko2wcaat6wun0bwjh6dzpjeyh 0 82497 1092961 1025455 2026-06-02T12:09:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092961 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler {{math|term= {{KRC|}} |SZ=-}}Vektorraum und {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | V || |SZ= }} ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent. {{ Aufzählung5 | {{math|term=\varphi|SZ=}} ist stabil. |Zu jedem {{mathl|term= v \in V |SZ=}} ist die Folge {{math|term= \varphi^n(v) |SZ=,}} {{mathl|term= n \in \N|SZ=,}} beschränkt. |Es gibt ein Erzeugendensystem {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_m \in V |SZ=}} derart, dass {{mathl|term=\varphi^n (v_j) |SZ=,}} {{mathl|term= j {{=}} 1 {{kommadots|}} m |SZ=,}} beschränkt ist. |Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von {{math|term=\varphi|SZ=}} ist kleiner oder gleich {{math|term=1 |SZ=}} und die Eigenwerte mit Betrag {{math|term=1 |SZ=}} sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit. |Für eine beschreibende Matrix {{math|term= M|SZ=}} von {{math|term=\varphi|SZ=,}} aufgefasst über {{math|term= {{CC}} |SZ=,}} sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich {{ Math/display|term= {{Jordanblock/klein|\lambda}} |SZ= }} mit {{mathl|term= {{op:Betrag|\lambda|}} <1 |SZ=}} oder gleich {{math|term= (\lambda) |SZ=}} mit {{mathl|term= {{op:Betrag|\lambda|}} =1 |SZ=.}} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jbfirjgotcvjzsmz6rn0zyfbzybckb4 0 84377 1092952 1026161 2026-06-02T12:07:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092952 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Wenn {{math|term= M|SZ=}} eine Menge ist und wenn {{ Abbildung/display |name= \varphi | \{1 {{kommadots|}} n\} | M || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= \psi | \{1 {{kommadots|}} k\} | M || |SZ= }} bijektive Abbildungen sind, so ist {{ Relationskette/display | n || k || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mjzhoyofq779s30vxkoeh1omakey1c7 0 84812 1093069 1025877 2026-06-02T12:27:04Z Arbota 36910 Ersetzung 1093069 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{math|term= p}} und {{math|term= q}} zwei verschiedene ungerade {{ Definitionslink |Primzahlen| |Kontext=| |SZ=. }} Dann gilt: {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| p |q}} \cdot {{op:Legendre-Symbol| q |p}} || (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} } || \begin{cases} -1 \, , \text{ wenn } p {{=|}} q {{=|}} 3 \mod 4 \, , \\ 1 \, , \text{ sonst} \, . \end{cases} || || |SZ= }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mbc4ociadjxtdfz9uwm3lf5oibakyo2 0 84946 1092996 1025611 2026-06-02T12:15:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092996 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Halbring und es seien {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_r, b_1 {{kommadots|}} b_s |SZ=}} Elemente aus {{math|term= R|SZ=.}} Dann gilt das {{Stichwort/Betonung|allgemeine Distributivgesetz|msw=Allgemeines Distributivgesetz|SZ=}} {{ Relationskette/display | {{makl| \sum_{i {{=}} 1}^r a_i |}} {{makl| \sum_{k {{=}} 1}^s b_k |}} ||\sum_{ 1 \leq i \leq r,\, 1 \leq k \leq s } a_ib_k || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} spbru3cd1dwqnyn8gzaercp24qq2i5x 0 84958 1093071 1025881 2026-06-02T12:27:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093071 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Zu jeder rationalen Zahl {{math|term= q|SZ=}} und jedem {{mathl|term= k \in \N_+|SZ=}} gibt es ein {{mathl|term= a \in \Z|SZ=}} derart, dass {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| a |10^k}} | \leq| q | < | {{op:Bruch|a+1|10^k}} || || |SZ= }} gilt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l50q6616gvgteb5ldqm8j164si6iv6r 0 85598 1092978 1026167 2026-06-02T12:12:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092978 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | f(x) || g(x) || || || |SZ= }} eine Gleichung in der Variablen {{math|term= x|SZ=}} über einem gegebenen Zahlenbereich {{math|term= M|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | M | M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Dann gelten die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung2 |Wenn {{ Relationskette | a | \in | M |SZ= }} eine Lösung der Gleichung ist, so ist {{math|term= a|SZ=}} auch eine Lösung der umgeformten Gleichung {{ Relationskette/display | \varphi(f(x)) || \varphi(g(x)) || || || |SZ=. }} |Wenn {{math|term=\varphi|SZ=}} injektiv ist, so ist {{ Relationskette | a | \in | M |SZ= }} genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn {{math|term= a|SZ=}} eine Lösung der umgeformten Gleichung {{ Relationskette/display | \varphi(f(x)) || \varphi(g(x)) || || || |SZ= }} ist. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ht3uyvmuj62itj0p6kw7qlotwwo9b7c 0 87193 1093013 1019593 2026-06-02T12:18:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093013 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= a,b \in \N|SZ=}} zwei {{ Definitionslink |teilerfremde| |Kontext=N| |SZ= }} natürliche Zahlen. Dann gibt es ganze Zahlen {{mathl|term= r,s \in \Z|SZ=}} mit {{mathl|term= ra+sb=1 |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j6fm977z8nit9xkidr0cw95xsupip2g 0 87223 1093100 1020233 2026-06-02T12:32:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093100 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |SZ= }} und {{math|term= p|SZ=}} teile ein Produkt {{math|term= ab|SZ=}} von natürlichen Zahlen {{mathl|term= a,b \in \N|SZ=.}} Dann teilt {{math|term= p|SZ=}} einen der Faktoren. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pckj9tl73r9fsqptqq1q6ugx8vd0ft9 0 87230 1093047 1026177 2026-06-02T12:23:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093047 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette/display | m || a_0+a_1 10+a_2 10^2 {{plusdots|}} a_{k-1}10^{k-1} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | n ||b_0+b_1 10+b_2 10^2 {{plusdots|}} b_{\ell-1}10^{\ell-1} || || || |SZ= }} zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem. Dann ist {{ Relationskette/display | m | > | n || || || |SZ= }} genau dann, wenn {{ Relationskette/display | k | > | \ell || || || |SZ= }} oder wenn {{ Relationskette | k || \ell || || || |SZ= }} ist und wenn es ein {{ mathbed|term= s ||bedterm1= 0 \leq s < k ||bedterm2= |SZ=, }} derart gibt, dass {{ Math/display|term= a_{k-1}=b_{k-1} {{kommadots|}} a_{s+1} = b_{s+1}, a_s> b_s |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ikwdwzvh2x0czlo1j3a5cosryd3qllj 0 87231 1092972 1025522 2026-06-02T12:11:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092972 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |angeordneter Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= b \in K_+|SZ=}} ein positives Element. Dann besitzt die {{ Zusatz/Klammer |text=ganzzahlige| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=ganzzahlig| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi_b |\Z| K | n | b^n |SZ=, }} zur Basis {{math|term= b|SZ=}} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung2 |Bei {{ Relationskette | b | > | 1 || || || |SZ= }} ist die Exponentialfunktion streng wachsend. |Bei {{ Relationskette | b | < | 1 || || || |SZ= }} ist die Exponentialfunktion streng fallend. |Bei {{ Relationskette | b | < | 1 || || || |SZ= }} gibt es zu jedem {{math|term= M \in K |SZ=}} eine ganze Zahl {{mathl|term= n \in \Z|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \varphi_b(n) | \geq | M || || || |SZ= }} und zu jedem {{math|term=\epsilon \in K |SZ=}} eine ganze Zahl {{mathl|term= m \in \Z|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | \varphi_b(m) | \leq | \epsilon || || || |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aj5rnk74gnzx7fchs8v4vhst6pako36 0 87350 1093123 1026072 2026-06-02T12:36:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093123 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= n |und|term2= m |SZ= }} positive natürliche Zahlen mit den Primfaktorzerlegungen {{ mathkor|term1= n=\prod_p p^{{op:pexp| n |}} |und|term2= m=\prod_p p^{{op:pexp| m |}} |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:kgv| n |m}} || \prod_p p^{{op:max| {{op:pexp| n |}} | {{op:pexp| m |}} |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:ggt| n |m}} || \prod_p p^{{op:min| {{op:pexp| n |}} | {{op:pexp| m |}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 20n24fftfzxvvx0er8fsztx99n78bz5 0 87776 1093121 1026068 2026-06-02T12:35:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093121 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term=\Q \subseteq L |SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition |Refname= |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Definitionsseitenname= Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition |SZ= }} {{math|term= n|SZ=}} und {{math|term= R|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ=. }} Es sei {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} ein von {{math|term=0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= R|SZ=.}} Dann ist {{math|term= {{ideala|}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |freie abelsche Gruppe vom Rang| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= n|SZ=,}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0wm4avsxosud0szoifm2c4gcwef7f7a 0 90107 1092981 1025551 2026-06-02T12:12:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092981 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= (G,0,+) |SZ=}} eine kommutative Gruppe, {{ Relationskette | H | \subseteq | G || || || |SZ= }} eine Untergruppe und {{mathl|term= G/H|SZ=}} die Quotientenmenge zur durch {{math|term= H|SZ=}} definierten Äquivalenzrelation auf {{math|term= G|SZ=}} mit der kanonischen Projektion {{Abbildung/display |name= {{{q|q}}} | G | G/H | g |[g] |SZ=. }} Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf {{mathl|term= G/H|SZ=}} derart, dass {{math|term= q|SZ=}} ein Gruppenhomomorphismus ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s79kaxqhpng65y8cpupdvgewn7vcdkb 0 90225 1093092 1025993 2026-06-02T12:30:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093092 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Funktionen {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | {{{x|x}}} | {{op:cos| {{{x|x}}} |}} |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | {{{x|x}}} | {{op:sin| {{{x|x}}} |}} |SZ=, }} besitzen für {{mathl|term= {{{x|x}}} \in \R|SZ=}} folgende Eigenschaften. {{ Aufzählung3 |Es gilt {{ Relationskette/display | ( {{op:cos| {{{x|x}}} |}})^2 + ({{op:sin| {{{x|x}}} |}})^2 || 1 || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= {{{x|x}}} \in \R|SZ=.}} |Es ist {{ Relationskette/display | -1 | \leq| {{op:cos| {{{x|x}}} |}}, {{op:sin| {{{x|x}}} |}} | \leq | 1 || || |SZ=. }} |Es ist {{ mathkor|term1= {{op:cos(|-{{{x|x}}} |}} = {{op:cos| {{{x|x}}} |}} |und|term2= {{op:sin(|-{{{x|x}}} |}} = - {{op:sin| {{{x|x}}} |}} |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} poo45yukwvnmro6093p5rp5s1wsuau5 0 90248 1093010 1025658 2026-06-02T12:17:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093010 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= v_1= {{op:Spaltenvektor|a_{11}|\vdots| a_{m1}|}}, v_2= {{op:Spaltenvektor|a_{12}|\vdots| a_{m2}|}} {{kommadots|}} v_n = {{op:Spaltenvektor|a_{1n}|\vdots| a_{mn}|}} |SZ=}} Vektoren im {{math|term= K^m |SZ=.}} Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. {{ Aufzählung3 |Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des {{math|term= K^m |SZ=.}} |Für jeden Standardvektor {{math|term= e_i |SZ=}} gibt es eine Darstellung als Linearkombination {{ Relationskette/display | e_i || \sum s_j v_j || || || |SZ=. }} |Für jedes {{mathl|term= w = {{op:Spaltenvektor|w_1 |\vdots|w_m}} \in K^m |SZ=}} ist das lineare Gleichungssystem {{ Relationskette/display | {{skalar}}_1 {{op:Spaltenvektor|a_{11}|\vdots|a_{m1} }} + {{skalar}}_2 {{op:Spaltenvektor|a_{12}|\vdots|a_{m2} }} {{plusdots|}} {{skalar}}_n {{op:Spaltenvektor|a_{1n}|\vdots|a_{m n} }} || {{op:Spaltenvektor|w_1 |\vdots|w_m}} || || || |SZ= }} lösbar. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pwrrcwkcp4q8x5yvf6salci0nw0rk5x 0 90249 1093067 1026187 2026-06-02T12:26:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093067 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | aX^2+bX+c || 0 || || || |SZ= }} eine reelle quadratische Gleichung. Dann gilt folgendes Lösungsverhalten. {{ Aufzählung3 |Bei {{ Relationskette/display | b^2 -4ac | < | 0 || || || |SZ= }} gibt es keine reelle Lösung. |Bei {{ Relationskette/display | b^2 -4ac || 0 || || || |SZ= }} gibt es die eine Lösung {{ Relationskette/display | x || {{op:Bruch| -b |2a}} || || || |SZ= }} |Bei {{ Relationskette/display | b^2 -4ac | > | 0 || || || |SZ= }} gibt es die beiden Lösungen {{ Relationskette/display | x_{1,2} || {{op:Bruch| \pm \sqrt{ b^2 -4ac } -b |2a}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a5ncinue8i61r445qelx3oygxieb05h 0 90279 1093046 1025772 2026-06-02T12:23:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093046 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem {{math|term= n|SZ=-}}fachen Münzwurf genau {{math|term= k|SZ=-}}fach Kopf fällt, beträgt {{ Relationskette/display | B_{ {{op:Bruch|1|2}},n } (k) || {{op:Bruch| {{op:Binomialkoeffizient| n |k}} | 2^n}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ej4x4ms6gd9w2swf50jipmwfto08uqf 0 90280 1093018 1025686 2026-06-02T12:18:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093018 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{mathl|term= m,n \in \N|SZ=.}} Es seien {{ mathbed|term= w_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} Elemente in {{math|term= K^m |SZ=.}} Dann gibt es genau eine lineare Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi |K^n | K^m || |SZ= }} mit {{ Math/display|term= \varphi(e_i) = w_i \text { für alle } i {{=}} 1 {{kommadots|}} n |SZ=, }} wobei {{math|term= e_i |SZ=}} den {{math|term= i|SZ=-}}ten Standardvektor bezeichnet. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iieg1j8vw6eox8wvmj444ddwu5tvkbp 0 90305 1092894 1025240 2026-06-02T11:59:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092894 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein angeordneter Körper und es sei {{mathl|term= {{Folge|x}} |SZ=}} eine Cauchy-Folge in {{math|term= K|SZ=.}} Dann gibt es die drei folgenden Alternativen. {{ Aufzählung3 |Die Folge ist eine Nullfolge. |Es gibt eine positive Zahl {{math|term=\delta|SZ=}} derart, dass ab einem gewissen {{math|term= n_0 |SZ=}} die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_n | \geq | \delta || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} gilt. |Es gibt eine positive Zahl {{math|term=\delta|SZ=}} derart, dass ab einem gewissen {{math|term= n_0 |SZ=}} die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_n | \leq | - \delta || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= n \geq n_0 |SZ=}} gilt. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9ezo06e5pujndwef7g0ehy35907bw2r 0 90306 1093020 1025690 2026-06-02T12:19:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093020 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und sei {{ Abbildung/display |name= \varphi |K^n | K^m || |SZ= }} eine lineare Abbildung. Dann ist {{math|term=\varphi|SZ=}} genau dann injektiv, wenn {{ Relationskette | {{op:Kern|\varphi|}} || 0 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f8n9zzux2po1vwqasbw4tw8ln36cf3r 0 90313 1093122 1026196 2026-06-02T12:35:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093122 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Relationskette/display | ax+by || c || || || |SZ= }} eine lineare Gleichung in zwei Variablen über {{math|term= K|SZ=}} mit {{ Relationskette | (a,b) |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann ist die Lösungsmenge eine {{ Definitionslink |Gerade| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Zahlenraum/Gerade/Punktvektorform/Definition |SZ= }} in {{math|term= K^2 |SZ=.}} Als Richtungsvektor kann man den Vektor {{mathl|term= {{op:Spaltenvektor| b |-a}} |SZ=}} nehmen. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9dxtp6erkqowj86d5pbtt2fyxeh2xz9 0 90337 1093009 1025656 2026-06-02T12:17:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093009 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= v_1= {{op:Spaltenvektor|a_{11}|\vdots| a_{m1}|}}, v_2= {{op:Spaltenvektor|a_{12}|\vdots| a_{m2}|}} {{kommadots|}} v_n = {{op:Spaltenvektor|a_{1n}|\vdots| a_{mn}|}} |SZ=}} Vektoren im {{math|term= K^m |SZ=.}} Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. {{ Aufzählung3 |Die Vektoren bilden eine Basis des {{math|term= K^m |SZ=.}} |Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des {{math|term= K^m |SZ=,}} und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der {{math|term= v_j |SZ=}} ist die triviale Darstellung {{ Relationskette/display | 0 || 0 \cdot v_1 {{plusdots|}} 0 \cdot v_n || || || |SZ=. }} |Für jedes {{mathl|term= w = {{op:Spaltenvektor|w_1 |\vdots|w_m}} \in K^m |SZ=}} besitzt das lineare Gleichungssystem {{ Relationskette/display | {{skalar}}_1 {{op:Spaltenvektor|a_{11}|\vdots| a_{m1}|}} + {{skalar}}_2 {{op:Spaltenvektor|a_{12}|\vdots| a_{m2}|}} {{plusdots|}} {{skalar}}_n {{op:Spaltenvektor|a_{1n}|\vdots| a_{mn}|}} || {{op:Spaltenvektor|w_1 |\vdots|w_m}} || || || |SZ= }} eine eindeutige Lösung. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nrldepjlw7tlljodsl3mpj442bwf9do 0 90339 1093027 1025712 2026-06-02T12:20:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093027 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und {{ Relationskette/display | a_1x_1 +a_2x_2 {{plusdots|}} a_nx_n || c || || || |SZ= }} eine lineare Gleichung über {{math|term= K|SZ=}} in den Variablen {{mathl|term= x_1 {{kommadots|}} x_n |SZ=.}} Es sei {{math|term= a_1 \neq 0 |SZ=.}} Dann steht die Lösungsmenge {{math|term= L|SZ=}} der Gleichung in einer natürlichen Bijektion zum {{mathl|term= K^{n-1} |SZ=,}} und zwar über die Abbildungen {{ Abbildung/display |name= | L | K^{n-1} | {{op:Zeilentupel|x_1 |x_2 |\ldots|x_n}} | {{op:Zeilentupel|x_2 |\ldots|x_n}} |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name= |K^{n-1}|L | {{op:Zeilentupel|x_2 |\ldots|x_n}} | {{op:Zeilentupel| \frac{1}{a_1} \left( c- a_2x_2 {{minusdots|}} a_nx_n \right) |x_2 |\ldots|x_n}} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nxmp81dpka1m39n7su3gqcwiwv75oj8 0 90340 1092954 1025439 2026-06-02T12:08:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092954 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= (M, P) |SZ=}} ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und {{ Relationskette/display | M || B_1 \uplus B_2 {{uplusdots}} B_n || || || |SZ= }} eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis {{math|term= A|SZ=}} mit positiver Wahrscheinlichkeit {{ Relationskette/display | P(B_k {{|}} A) || {{op:Bruch| P(B_k) \cdot P(A {{|}} B_k) | \sum_{ i {{=}} 1}^n P(B_i) \cdot P( A {{|}} B_i ) }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} skrgeeqyot81qxsos49cgkbpqx4bjmg 0 90344 1092990 1019347 2026-06-02T12:14:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092990 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Intervalle {{ mathbed|term= I_n=[a_n,b_n] ||bedterm1= n \geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} mit den Grenzen {{ Math/display|term= a_n= {{makl| 1+ \frac{1}{n} |}}^n \text{ und } b_n = {{makl| 1+ \frac{1}{n} |}}^{n+1} |SZ= }} definieren eine Intervallschachtelung. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} odnrhlxgxgwgm6g6j4tcob8u08mav2s 0 90403 1093165 1090098 2026-06-03T07:51:45Z Bocardodarapti 2041 1093165 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung4 |Die Reflexivität ist klar, da {{math|term= n |SZ=}} die erste Potenz {{ Relationskette | n || n^1 || || || |SZ= }} teilt. Die Symmetrie ist von der Formulierung her klar. Zum Nachweis der Transitivität sei {{ Relationskette | \ell | \sim | m || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | m | \sim | n || || || |SZ=. }} Dann ist {{math|term= \ell |SZ=}} ein Teiler von {{mathl|term= m^r |SZ=}} für ein gewisses {{ Relationskette | r | \in | \N || || || |SZ= }} und {{math|term= m |SZ=}} ist ein Teiler von {{mathl|term= n^s |SZ=}} für ein gewisses {{ Relationskette | s | \in | \N || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | \ell a || m^r || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | m b || n^s || || || |SZ= }} und daraus folgt {{ Relationskette/display | \ell a b^r || m^r b^r || (mb)^{r} || {{makl| n^s |}}^r || n^{sr} |SZ=, }} sodass {{math|term= \ell |SZ=}} eine Potenz von {{math|term= n |SZ=}} teilt. Die umgekehrte Teilbarkeitsbeziehung ergibt sich genauso. |Es ist offenbar {{ Relationskette | 10 | \sim | 100 | \sim | 1000 | \sim | 500 || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=es kommen jeweils die Primfaktoren {{ mathkor|term1= 2 |und|term2= 5 |SZ= }} vor| |ISZ=|ESZ= }} und {{ Relationskette | 9 | \sim | 27 || 3^3 || || |SZ=, }} darüber hinaus sind {{ Relationskette | 125 || 5^3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | 210 || 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 || || || |SZ= }} nur zu sich selbst äquivalent. Dies ergibt sich aus der Charakterisierung der Relation mit Primteilern aus dem folgenden Teil. |Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name= \varphi | \N_+ | {{op:Potenzmenge|{\mathbb P}|}} | n | \{ \text{Primteiler von } n \} |SZ=, }} die einer natürlichen Zahl {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} die Menge der in der Primfaktorzerlegung von {{math|term= n |SZ=}} vorkommenden Primzahlen zuordnet. Es sei {{ Relationskette | m | \sim | n || || || |SZ=. }} Da in einer Potenz {{ Zusatz/Klammer |text=zu einem positiven Exponenten| |ISZ=|ESZ= }} einer Zahl die gleichen Primfaktoren vorkommen {{ Zusatz/Klammer |text=nur ihre Vielfachheit ändert sich| |ISZ=|ESZ= }} folgt aus der Eigenschaft, dass {{math|term= m |SZ=}} eine Potenz von {{math|term= n |SZ=}} teilt, dass die Primteiler von {{math|term= m |SZ=}} in den Primteilern von {{math|term= n |SZ=}} enthalten sein müssen. Aus {{mathl|term= m \sim n |SZ=}} folgt also, dass die Primteiler der beiden Zahlen überhaupt gleich sind. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es daher eine zugehörige Abbildung {{ Abbildung/display |name= \tilde{\varphi} | Q | {{op:Potenzmenge| {\mathbb P} |}} || |SZ=. }} Diese ist injektiv, da wenn von {{math|term= m |SZ=}} und {{math|term= n |SZ=}} die Primteiler übereinstimmen, dann {{math|term= m |SZ=}} eine hinreichend große Potenz von {{math|term= n |SZ=}} teilt und umgekehrt. Diese Abbildung ist nicht surjektiv, da nur endliche Teilmengen der Primzahlen im Bild liegen, es aber unendlich viele Primzahlen gibt. |Ein Repräsentantensystem besteht aus allen natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, dass sämtliche Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung gleich {{math|term= 1 |SZ=}} sind. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gxh1pmc7dojz2tq0km4q50v2mxo88nq 0 90942 1092998 1025617 2026-06-02T12:15:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092998 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette | {{ideala}} | \subseteq | R || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= R/{{ideala}} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |SZ= }} zur durch {{math|term= {{ideala}} |SZ=}} definierten {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Definition |SZ= }} auf {{math|term= R|SZ=}} mit der {{ Definitionslink |kanonischen Projektion| |SZ= }} {{Abbildung/display |name= {{{q|q}}} | R | R/ {{ideala}} | g |[g] |SZ=. }} Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Ringstruktur auf {{mathl|term= R/{{ideala}} |SZ=}} derart, dass {{math|term= q|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Ringhomomorphismus| |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqrbflk7b7zs0dpstwp15xtnuafflu4 0 90943 1092906 1025278 2026-06-02T12:01:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092906 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Zu jedem {{ Relationskette | \alpha | < | {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |konvergiert| |Kontext=R| |SZ= }} die Folge {{ Math/display|term= {{op:Bruch|1|2^n}} {{makl| \sum_{k {{= }} 0}^{\lfloor \alpha n \rfloor } B_{ {{op:Bruch|1|2}},n } (k) |}} |SZ= }} gegen {{math|term=0 |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 26o21rhayn5ooft06qu1owhpg5n6lm2 0 91014 1093072 1025897 2026-06-02T12:27:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093072 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für die {{ Definitionslink |Exponentialfunktion| |Kontext=R Basis| |SZ= }} zur Basis {{math|term= e|SZ=}} gilt die Darstellung {{ Relationskette/display | e^x || \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch|x^k |k!}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dw36pd3w7folqu4tnjt68i9ssk1zkpr 0 91015 1092955 1025443 2026-06-02T12:08:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092955 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= (M_1, P_1) {{kommadots|}} (M_n, P_n) |SZ=}} {{ Definitionslink |endliche Wahrscheinlichkeitsräume| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette/display | M || M_1 {{timesdots}} M_n || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Produktraum| |Kontext=endliche Wahrscheinlichkeitsräume| |SZ=. }} Es seien Ereignisse {{mathl|term= E_1 \subseteq M_1 |SZ=,}} {{mathl|term= E_2 \subseteq M_2 |SZ=,}} ... , {{mathl|term= E_n \subseteq M_n |SZ=}} gegeben und es seien {{mathl|term=\tilde{E_i} |SZ=}} die zugehörigen Zylindermengen im Produktraum, also {{ Relationskette/display | \tilde{E_i} || M_1 {{timesdots}} M_{i-1} \times E_i \times M_{i+1} {{timesdots}} M_n || p_i^{-1} (E_i) || || |SZ=. }} Dann sind die Ereignisse {{mathl|term=\tilde{E_1} {{kommadots|}} \tilde{E_n} |SZ=}} {{ Definitionslink |vollständig unabhängig| |Kontext=Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 24stw6pd54zvos70qgwskcwez24tl3g 0 91139 1093103 1026031 2026-06-02T12:32:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093103 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die zusammengesetzte Abbildung {{ Abbildung |name= g \circ f |\R^n |\R^k || |SZ= }} ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den {{ Definitionslink |totalen Differentialen| |Kontext=| |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= P \in \R^n |SZ=}} besteht die Beziehung {{ Math/display|term= {{op:Totales Differential|(g \circ f)|P}} = {{op:Totales Differential| g |f(P)}} \circ {{op:Totales Differential| f | P}} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9hpede3qmi8k0x2oug6dla7ekc65zp0 0 91174 1093085 1025960 2026-06-02T12:29:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093085 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es ist {{ Relationskette/display | \lambda^n(\varphi(T)) || {{op:Betrag| {{op:Determinante|\varphi|}} ||}} \cdot \lambda^n(T) || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2z6tisrypdudm12nlu99l2cedco7von 0 93302 1093088 1025977 2026-06-02T12:30:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093088 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien {{mathl|term= F,G \in K[X,Y,Z] |SZ=}} zwei homogene Polynome vom Grad {{math|term= m|SZ=}} und {{math|term= n|SZ=}} ohne gemeinsame Komponente mit zugehörigen Kurven {{mathl|term= C=V_+(F), D=V_+(G) \subset {{op:Projektive Ebene|K}} |SZ=.}} Dann gilt {{ Relationskette/display | {{Summe/index| {{op:Schnittmultiplizität| C | D | P}} | P}} || mn || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bvrucxj9nml1p9dtoma5mokr32egrd 0 94175 1093070 1025879 2026-06-02T12:27:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093070 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= C=V(F)}} eine Quadrik in zwei Variablen, also {{ Relationskette/display | F ||\alpha X^2+ \beta XY+\gamma Y^2 + \delta X + \epsilon Y + \eta || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term=\alpha}}, {{math|term=\beta}}, {{math|term=\gamma}} nicht alle {{math|term=0 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Es sei vorausgesetzt, dass es mindestens einen Punkt auf der Quadrik gibt. Dann gibt es Polynome {{ mathbed|term= P_1,P_2,Q \in K[T] ||bedterm1= Q \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} derart, dass das Bild der rationalen Abbildung {{ Math/display|term= {{op:Affine Gerade| K |}} \supseteq D(Q) \longrightarrow {{op:Affine Ebene| K |}} \, \text{ mit } t \longmapsto \left( \frac{P_1(t)}{Q(t)}, \frac{P_2(t)}{Q(t)}\right) |SZ= }} in {{math|term= C}} liegt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3uvintw2s33im5lrowphhe421mvhs8v 0 96385 1092992 1025593 2026-06-02T12:14:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092992 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossener Körper| |Definitionsseitenname= Körpertheorie (Algebra)/Algebraisch abgeschlossen/Definition |Refname= |SZ=, }} {{math|term= R|SZ=}} eine {{ Definitionslink |reduzierte| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Reduzierter Ring/Definition |SZ=}} {{math|term= K|SZ=-}} {{ Definitionslink |Algebra von endlichem Typ| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Algebra von endlichem Typ/Definition |SZ= }} und sei {{mathl|term= V= {{op:KSpek|R}} |SZ=}} das {{math|term= K|SZ=-}} {{ Definitionslink |Spektrum| |Definitionsseitenname= Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum mit Zariski-Topologie/Definition |SZ= }} von {{math|term= R|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= {{{F|F}}} \in R |SZ=}} mit zugehöriger offener Menge {{mathl|term= D({{{F|F}}}) \subseteq V |SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Schnittring|D({{{F|F}}})}} || R_{{{F|F}}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lm59fdseur2wxoxmnl0jdgzozb9me3s 0 96392 1092941 1025392 2026-06-02T12:06:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092941 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei {{mathbed|term= F = F_m {{plusdots|}} F_d \in K[X,Y]|bedterm1=m \leq d |SZ=,}} ein Polynom in homogener Zerlegung und {{ Relationskette | L || V(aX+bY) || || || |SZ= }} eine Gerade durch den Nullpunkt {{math|term= P|SZ=,}} die keine Komponente von {{mathl|term= V(F) |SZ=}} sei. Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Schnittmultiplizität| L | V(F)|P}} | \geq | {{multeben| P | F |}} || m || || |SZ=, }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} go7z48c2zzdb3dxb5ecjpjq0jhtgtpy 0 96393 1092893 1018445 2026-06-02T11:59:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092893 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein Körper und sei {{math|term= A }} eine {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ. Dann ist jedes Radikal in {{math|term= A}} der Durchschnitt von maximalen Idealen. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8wbcb2ten9ibjefa6b4sh9szqebwdfz 0 96399 1092938 1026160 2026-06-02T12:05:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092938 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und sei {{mathl|term= F \in K[X,Y] |SZ=}} nichtkonstant ohne mehrfachen Faktor mit zugehöriger algebraischer Kurve {{ Relationskette | C || V(F) || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | P ||(a,b) | \in | C || || |SZ= }} ein Punkt der Kurve mit maximalem Ideal {{ Relationskette | {{idealm|}} ||(X-a,Y-b) || || || |SZ= }} und mit lokalem Ring {{ Relationskette | R || (K[X,Y]_{{idealm}})/(F) || || || |SZ=. }} Dann sind folgende Aussagen äquivalent. {{ Aufzählung4 | {{math|term= P|SZ=}} ist ein glatter Punkt der Kurve. |Die Multiplizität von {{math|term= P|SZ=}} ist eins. | {{math|term= R|SZ=}} ist ein diskreter Bewertungsring. | {{math|term= R|SZ=}} ist ein normaler Integritätsbereich. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j0ifynd8590r0fknwhr33540sjg5pp0 0 96407 1092940 1025390 2026-06-02T12:05:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092940 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein Körper und seien {{mathl|term= F,G \in K[X,Y] |SZ=}} Polynome ohne gemeinsame Komponente. Es sei {{ Relationskette/display | P | \in | V(F,G) | \subseteq| {{op:Affine Ebene|K}} || || |SZ= }} ein Schnittpunkt. Dann schneiden sich {{mathkon|V(F)|und|V(G) |SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} genau dann transversal, wenn die Schnittmultiplizität {{ Relationskette | {{op:Schnittmultiplizität|V(F)|V(G)|P}} || 1 || || || |SZ= }} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nkq3gir95ylfbypdb6945vao8ti68q6 0 96408 1092993 1025595 2026-06-02T12:14:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092993 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein algebraisch abgeschlossener Körper, {{math|term= R|SZ=}} eine reduzierte {{math|term= K|SZ=-}}Algebra von endlichem Typ und sei {{ Relationskette | V || {{op:KSpek|R}} || || || |SZ= }} das {{math|term= K|SZ=-}}Spektrum von {{math|term= R|SZ=.}} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Schnittring|V}} || R || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9m2xkt394h9qepcqweliyzuwm3bw2f9 0 96411 1092942 1025395 2026-06-02T12:06:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092942 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei {{mathl|term= C \subset {{op:Projektive Ebene|K}} |SZ=}} eine ebene projektive Kurve vom Grad {{math|term= d|SZ=.}} Dann gibt es einen surjektiven {{ Definitionslink |Morphismus| |Definitionsseitenname= Quasiprojektive Varietäten/K/Morphismus/Definition |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | C | {{op:Projektive Gerade|K}} || |SZ= }} derart, dass alle Fasern aus maximal {{math|term= d|SZ=}} Punkten bestehen. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ghxxul2lboi9owb9ub3i66n6n2nxdqr 0 96413 1092939 1025389 2026-06-02T12:05:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092939 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K|SZ=}} ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien {{mathl|term= F,G \in K[X,Y] |SZ=}} Polynome ohne gemeinsamen Primteiler. Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Vektorraumdimension|K[X,Y]/(F,G)}} || {{Summe/index| {{op:Schnittmultiplizität| F | G | P}} | P}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 47tqfvat3k8wjcaxlh56q0hu6bcl37q 0 96414 1092944 1025401 2026-06-02T12:06:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092944 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K}} ein Körper und sei {{math|term= R}} eine endlich erzeugte kommutative {{math|term= K|SZ=-}}Algebra mit {{math|term= K|SZ=-}}Spektrum {{mathl|term= {{op:KSpek| R |}} |SZ=.}} Es sei {{mathl|term= R=K[X_1 {{kommadots|}} X_n]/{{ideala}} }} eine Restklassendarstellung von {{math|term= R}} mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus {{ Abbildung/display |name= \varphi |K[X_1 {{kommadots|}} X_n]|R || |SZ= }} und dem Nullstellengebilde {{ Relationskette | V( {{ideala}} ) | \subseteq | {{op:Affiner Raum| n | K}} || || || |SZ=. }} Dann stiftet die Abbildung {{ Abbildung/display |name= | {{op:KSpek| R |}} | {{op:Affiner Raum| n | K}} | P | P \circ \varphi |SZ= }} eine Bijektion zwischen {{mathl|term= {{op:KSpek| R |}} }} und {{mathl|term= V( {{ideala}} ) |SZ=,}} die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 04uotv4pwtaienvpe58xos1mc3uoosi 0 96420 1093045 1025767 2026-06-02T12:23:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093045 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | M | \subseteq | \N || || || |SZ= }} ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität {{math|term= e_1 |SZ=.}} Es sei {{ Relationskette | {{idealm}} ||(M_+) || || || |SZ= }} das maximale Ideal des Monoidringes {{math|term= K[M] |SZ=,}} das dem Nullpunkt entspricht. Dann gilt {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes|Glied= {{op:Bruch| \operatorname{dim}_K (K[M]/{{idealm}}^n) |n }} }} || e_1 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6nq0x6f4kqswy2squlpos34t3xzpjsg 0 107036 1093175 1050675 2026-06-03T08:24:21Z Bocardodarapti 2041 1093175 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Welche der folgenden Abbildungen sind {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismen| |Kontext=| |SZ=? }} {{ Aufzählung4 | {{ Abbildung/display |name= | (\R_+,1,\cdot) |(\R_+,1,\cdot) | x | \sqrt{x} |SZ=. }} | {{ Abbildung/display |name= | (\R,0,+) |(\R,0,+) | x | \sqrt{x} |SZ=. }} | {{ Abbildung/display |name= | (\R_{\geq 0},1,\cdot) |(\R_{\geq 0},1,\cdot) | x | \sqrt{x} |SZ=. }} | {{ Abbildung/display |name= | (\R_+,1,\cdot) |(\R,0,+) | x | \sqrt{x} |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gruppenhomomorphismen |Kategorie2=Theorie der reellen Quadratwurzeln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ax0hbf6yw90wfyygb2ok3jvxga8urjo 0 116179 1092974 1025526 2026-06-02T12:11:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092974 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für alle reellen Zahlen {{math|term= x|SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x |}} | < | 1 || || || |SZ= }} konvergiert die Reihe {{mathl|term=\sum^\infty_{k = 0} x^k |SZ=}} absolut und es gilt {{ Relationskette/display | \sum^\infty_{k {{=}} 0} x^k || {{op:Bruch|1|1-x}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4lej7ib2dwqc298ld4ayi03kt2aqzgj 0 116387 1093075 1025934 2026-06-02T12:28:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093075 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text=Es seien {{ mathkor|term1= {{Folge|}} |und|term2= {{Folge|y}} |SZ= }} konvergente Folgen in {{math|term=\R|SZ=.}} Dann ist die Folge {{mathl|term= {{Folge|Glied=x_n + y_n}} |SZ=}} ebenfalls konvergent und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n + y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} + {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1333y35v3gmm96znr7rv984aqaexs4v 0 116389 1093076 1025936 2026-06-02T12:28:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093076 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Folge|}} |und|term2= {{Folge|y}} |SZ= }} konvergente Folgen in {{math|term=\R|SZ=.}} Dann ist die Folge {{mathl|term= {{Folge|Glied=x_n \cdot y_n}} |SZ=}} ebenfalls konvergent und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n \cdot y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} \cdot {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4lisac11jjc5dnva1q9h7pef23lhxc0 0 116394 1093091 1025991 2026-06-02T12:30:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093091 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für die trigonometrischen Funktionen {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x | {{op:cos| x |}} |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name= |\R|\R | x | {{op:sin| x |}} |SZ=, }} gelten die Additionstheoreme {{ Relationskette/display | {{op:cos|(x+y)|}} || {{op:cos| x |}} \cdot {{op:cos| y |}} - {{op:sin| x |}} \cdot {{op:sin| y |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{op:sin|(x+y)|}} || {{op:sin| x |}} \cdot {{op:cos| y |}} + {{op:cos| x |}} \cdot {{op:sin| y |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iqbwlh893cbkfpoda7tj76gd1y5bt6c 0 116401 1093077 1026192 2026-06-02T12:28:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093077 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Folge||}} |SZ=}} eine konvergente Folge in {{math|term=\R|SZ=}} mit dem Grenzwert {{ Relationskette | {{op:Folgenlimes|}} || x | \neq| 0 || || || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | x_n |\neq|0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= {{Folge|Glied= \frac{1}{x_n} }} |SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes|Glied= \frac{1}{x_n} }} || \frac{1}{x} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xzyrga119dhxcd65qj8iykbc55t8dn 0 116469 1093125 1026074 2026-06-02T12:36:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093125 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= D \neq 0,1 |SZ=}} eine quadratfreie Zahl und {{math|term= A_D|SZ=}} der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann gibt es für eine Primzahl {{math|term= p|SZ=}} die folgenden drei Möglichkeiten: {{Aufzählung3| {{math|term= p|SZ=}} ist prim in {{math|term= A_D|SZ=.}} |Es gibt ein Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= A_D|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= (p)= {{idealp|}}^2 |SZ=}} ist. |Es gibt ein Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} in {{math|term= A_D|SZ=}} derart, dass {{mathl|term= (p)= {{idealp|}} \overline{ {{idealp|}} } |SZ=}} ist mit {{mathl|term= {{idealp|}} \neq \overline{ {{idealp|}}} |SZ=.}} }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ldvejgtpxjpcoj13yumkbxiispbtb48 0 116472 1093124 1026073 2026-06-02T12:36:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093124 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= A_D|SZ=}} ein {{ Definitionslink |quadratischer Zahlbereich| |Definitionsseitenname= Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition |Refname= |SZ= }} und sei {{mathl|term= {{ideala}} |SZ=}} ein von {{math|term=0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Ideal| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= A_D|SZ=.}} Dann gilt {{ Relationskette/display | {{ideala}} \overline{ {{ideala}} } ||( N({{ideala}}) ) || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cfltwgav9q64g07ru3wd32huf8epsk0 0 116481 1092975 1025528 2026-06-02T12:11:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092975 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für alle reellen Zahlen {{math|term= x|SZ=}} mit {{ Relationskette | {{op:Betrag| x |}} | < | 1 || || || |SZ= }} konvergiert die Reihe {{mathl|term=\sum^\infty_{k = 0} x^k |SZ=}} und es gilt {{ Relationskette/display | \sum^\infty_{k {{=}} 0} x^k || {{op:Bruch|1|1-x}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} af4k7lxju5r23okgjqfjbeo4twap67f 0 116482 1092924 1026152 2026-06-02T12:03:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092924 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, {{mathl|term= I \subseteq \R|SZ=}} ein reelles Intervall, {{mathl|term= U \subseteq V |SZ=}} eine offene Menge und {{ Abbildung/display |name= f |I\times U|V |(t,v)| {{{f|f}}}(t,v) |SZ=, }} ein stetiges Vektorfeld auf {{math|term= U|SZ=.}} Es sei {{mathl|term= (t_0,w) \in I \times {{{U|U}}} |SZ=}} vorgegeben. Dann ist eine stetige Abbildung {{ Abbildung/display |name= v | J | V | t |v(t) |SZ=, }} auf einem Intervall {{mathl|term= J \subseteq I |SZ=}} mit {{mathl|term= t_0 \in J |SZ=}} genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere muss {{math|term= v|SZ=}} differenzierbar sein| |ISZ=|ESZ= }} {{ Math/display|term= v'=f(t,v) \text{ und } v(t_0)=w |SZ=, }} wenn {{math|term= v|SZ=}} die Integralgleichung {{ Math/display|term= v(t)= w + {{op:Integral|Integrand= f(s,v(s))|t_0 | t || s}} |SZ= }} erfüllt. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} drq29gxoqp0o688r1qdsua1s0ls1n6u 0 116483 1093030 1025722 2026-06-02T12:20:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093030 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= I\subseteq \R|SZ=}} ein offenes Intervall und es liege eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung der Form {{ Math/display|term= {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 |\vdots|v_n}}' = {{op:Matrix44|a_{11}| \cdots|\cdots |a_{1n} |0|a_{22}|\cdots|a_{2n} |\vdots|\ddots|\ddots|\vdots|0|\cdots|0|a_{nn} }} {{op:Spaltenvektor|v_1 |v_2 |\vdots|v_n}} + {{op:Spaltenvektor|z_1 |z_2 |\vdots|z_n}} |SZ= }} mit stetigen Funktionen {{ Abbildung |name= a_{ij} | I |\R || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= z_i | I |\R || |SZ= }} und den Anfangsbedingungen {{ Math/display|term= v_i(t_0) =w_i \in \R \text{ für } i=1 {{kommadots|}} n \,\, (t_0 \in I) |SZ= }} vor. Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen, nämlich {{ Math/display|term= v_n'= a_{nn}(t)v_n + z_n(t) \text{ mit } v_n(t_0)=w_n |SZ=, }} {{ Math/display|term= v_{n-1}'= a_{n-1\, n-1}(t)v_{n-1} +a_{n-1 \, n}(t) v_n(t)+ z_{n-1}(t) \text{ mit } v_{n-1}(t_0)=w_{n-1} |SZ=, }} {{ Math/display|term= v_{n-2}'= a_{n-2\, n-2}(t)v_{n-2} + a_{n-2 \, n-1}(t) v_{n-1}(t)+ a_{n-2 \, n}(t) v_{n}(t) + z_{n-2}(t) \text{ mit } v_{n-2}(t_0)=w_{n-2} |SZ=, }} {{ Math/display|term= \vdots |SZ= }} {{ Math/display|term= v_{1}'= a_{1 1}(t)v_{1} + a_{1 2}(t) v_{2}(t) {{plusdots|}} a_{1n}(t) v_{n}(t) + z_{1}(t) \text{ mit } v_{1}(t_0)=w_{1} |SZ=, }} löst. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ij39jglh2bji6wu8gcrlyh17gkgxw7u 0 116484 1093126 1026079 2026-06-02T12:36:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093126 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, {{ Relationskette | G | \subseteq | V |SZ= }} eine offene Teilmenge und {{ Abbildung/display |name= f | G |\R| || |SZ= }} eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Es sei {{ Relationskette | P | \in | G |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:Totales Differential| f | P}} || 0 || || || |SZ=. }} Dann gelten folgende Aussagen. {{ Aufzählung3 |Wenn {{mathl|term= {{op:Hesse| f | P}} |SZ=}} negativ definit ist, so besitzt {{math|term= f|SZ=}} ein isoliertes lokales Maximum in {{math|term= P|SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= {{op:Hesse| f | P}} |SZ=}} positiv definit ist, so besitzt {{math|term= f|SZ=}} ein isoliertes lokales Minimum in {{math|term= P|SZ=.}} |Wenn {{mathl|term= {{op:Hesse| f | P}} |SZ=}} indefinit ist, so besitzt {{math|term= f|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q805kme76ctmupcxg0hq7unv8iqqr7d 0 116485 1093001 1019499 2026-06-02T12:16:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1093001 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathbed|term= P,Q \in {{CC}}[X] ||bedterm1= Q \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} Polynome und es sei {{ Math/display|term= Q=(X-a_1)^{r_1} \cdots (X-a_s)^{r_s} |SZ= }} mit verschiedenen {{mathl|term= a_i \in {{CC}} |SZ=.}} Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom {{mathl|term= H \in {{CC}}[X] |SZ=}} und eindeutig bestimmte Koeffizienten {{ mathbed|term= c_{ij} \in {{CC}} ||bedterm1= 1 \leq i \leq s ||bedterm2= 1 \leq j \leq r_i |SZ=, }} mit {{ Math/display|term= \frac{P}{Q} =H + \frac{c_{11} }{X-a_1} + \frac{c_{12} }{(X-a_1)^2} {{plusdots|}} \frac{c_{1 r_1} }{(X-a_1)^{r_1} } {{plusdots|}} \frac{c_{s1} }{X-a_s} + \frac{c_{s2} }{(X-a_s)^2} {{plusdots|}} \frac{c_{s r_s} }{(X-a_s)^{r_s} } |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4ofcvo0u85rafo84s4ohi9w4lmgugq 0 116563 1093151 1086386 2026-06-02T16:08:51Z Bocardodarapti 2041 1093151 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Aus (1) folgt (2). Da {{math|term= G |SZ=}} nach Voraussetzung zusammenhängend ist, gibt es zu {{math|term= u,v |SZ=}} zumindest einen verbindenden Weg. Würde es zwei Wege geben, so könnte man daraus direkt einen Zyklus und dann auch einen Kreis konstruieren, was ausgeschlossen ist. {{parskip|}} Aus (2) folgt (1). Die Zusammenhangseigenschaft ist klar. Würde es einen Kreis geben, so könnte man dies direkt als einen zweifachen Weg ohne Wiederholung zwischen zwei Punkten auffassen. {{parskip|}} Aus (1) folgt (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Punkte von {{math|term= G |SZ=.}} Bei einem einzigen Punkt gibt es keine Kante und die Gleichung stimmt. Es sei also {{math|term= G |SZ=}} ein Baum mit {{ Relationskette |n | \geq |2 || || || |SZ= }} Punkten. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Baum/Blatt/Fakt |Nr= |SZ= }} besitzt {{math|term= G |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Blatt| |Kontext=| |SZ= }} und nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Baum/Blatt/Hinwegnahme/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{math|term= G \setminus b |SZ=}} ebenfalls ein Baum. Dabei wird ein Punkt und eine Kante herausgenommen. Nach Induktionsvoraussetzung gilt die Gleichung für den verkleinerten Baum, also gilt sie auch für {{math|term= G |SZ=.}} {{parskip|}} Von (3) nach (1). Wir führen wieder Induktion über die Knotenanzahl, bei einem Knoten ist alles klar. Aufgrund der Voraussetzung und {{ Faktlink |Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} gilt {{ Relationskette/display | \sum_{v \in V} d(v) || 2 \cdot {{makl| {{op:Anzahl| V |}} -1|}} || 2{{op:Anzahl| V |}} -2 || || |SZ=. }} Wegen der Zusammenhangseigenschaft sind die Grade zumindest {{math|term= 1 |SZ=.}} Deshalb muss es {{ Zusatz/Klammer |text=zumindest {{math|term= 2 |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} Punkte mit Grad {{math|term= 1 |SZ=,}} also Blätter geben. Es sei {{math|term= b |SZ=}} ein Blatt. Die Formel gilt dann auch für {{math|term= G \setminus b |SZ=.}} Nach Induktionsvoraussetzung ist {{math|term= G \setminus b |SZ=}} ein Baum, und daher ist nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Baum/Blatt/Hinwegnahme/Fakt |Nr= |SZ= }} auch {{math|term= G |SZ=}} ein Baum. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dd0jiv4dn51mt83zuh2doqbjirp5igv 0 116608 1093156 1045429 2026-06-02T16:13:54Z Bocardodarapti 2041 1093156 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir argumentieren bei einer fixierten Knotenmenge absteigend über die Kantenmenge. Für einen {{ Definitionslink |vollständigen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} ist die Aussage richtig. Wir müssen zeigen, dass die Aussage richtig bleibt, wenn man aus einem Graphen, für den die Aussage gilt, eine Kante herausnimmt. Es sei also {{math|term= G |SZ=}} ein Graph, für den es einen Hamiltonkreis gibt, und es sei {{ Relationskette |L || \{x,y\} || || || |SZ= }} die Kante, die wir herausnehmen. Es sei {{math|term= H |SZ=}} der verkleinerte Graph. Wenn es in {{math|term= G |SZ=}} einen Hamiltonkreis gibt, in dem {{math|term= L |SZ=}} nicht vorkommt, so ist dies direkt ein Hamiltonkreis für {{math|term= H |SZ=.}} Es sei also {{ Zusatz/Klammer |text=alle {{math|term= \sim|SZ=}} beziehen sich auf {{math|term= G |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | x || v_1 | \sim |v_2 | {{simdots}} |v_{n-1} | \sim | v_n || y |SZ= }} mit {{ Relationskette |n || {{op:Anzahl| V |}} || || || |SZ= }} ein Hamiltonkreis von {{math|term= G |SZ=.}} Wir betrachten die Mengen {{ Relationskette/display | A || {{Mengebed|v_i | x \text{ und } v_{i+1} \text{ sind benachbart} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | B || {{Mengebed|v_i | y \text{ und } v_i \text{ sind benachbart} }} || || || |SZ=. }} Dabei ist {{ Zusatz/Klammer |text=in der Definition von {{math|term= A |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= v_{n+1} |SZ=}} als {{math|term= v_1 |SZ=}} zu interpretieren und die Nachbarschaften beziehen sich auf {{math|term= H |SZ=.}} Aufgrund der Voraussetzung über die Grade {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= x |SZ=}} und {{math|term= y |SZ=}} sind nicht adjazent und {{math|term= A |SZ=}} ist so groß wie {{math|term= N(x) |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| A |}} + {{op:Anzahl| B |}} | \geq |n || || || |SZ=. }} Das Element {{math|term= y |SZ=}} gehört nicht zur Vereinigung {{mathl|term= A \cup B |SZ=,}} da ein Knotenpunkt nicht mit sich selbst benachbart ist. Daher gibt es {{ Faktlink |Präwort=nach der|Siebformel|Faktseitenname= Endliche Menge/Siebformel/Fakt |Nr= |SZ= }} ein Element {{ Relationskette/display | v_k | \in | A \cap B || || || |SZ=. }} Es gibt also die Verbindungskanten {{ mathkor|term1= \{ x,v_{k+1}\} |und|term2= \{ y,v_k\} |SZ= }} und somit den Hamiltonkreis {{ Relationskette/display | x | \sim |v_2 | {{simdots|}} | v_{k-1} | \sim | v_k | \sim |y | \sim |v_{n-1} | {{simdots|}} | v_{k+1} |SZ=, }} der ohne die Kante {{math|term= L |SZ=}} auskommt und daher ein Hamiltonkreis in {{math|term= H |SZ=}} ist. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i7jt893lqa8fnwsioc112qg46xo7jly 0 116633 1093152 1087205 2026-06-02T16:10:18Z Bocardodarapti 2041 1093152 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette |V || A \uplus B || || || |SZ= }} eine bipartite Zerlegung eines bipartiten Graphen. In jedem {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} in einem bipartiten Graphen gehören die Knoten abwechselnd zu {{math|term= A |SZ=}} oder zu {{math|term= B |SZ=.}} Die Existenz eines Kreises mit ungerader Anzahl führt daher direkt zu einem Widerspruch. {{parskip|}} Es sei nun umgekehrt die Kreisbedingung erfüllt. Wir können annehmen, dass {{math|term= G |SZ=}} {{ Definitionslink |zusammenhängend| |Kontext=Graph| |SZ= }} ist. Es sei {{ Relationskette |v | \in | V || || || |SZ= }} ein fixierter Punkt. Wir definieren {{ Relationskette/display |A || {{Mengebed|x \in V| \text{ es gibt einen geradzahligen Weg von } v \text{ nach } x }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |B || {{Mengebed|x \in V| \text{ es gibt einen ungeradzahligen Weg von } v \text{ nach } x }} || || || |SZ=. }} Wegen der Zusammenhangseigenschaft ist {{ Relationskette/display | V || A \cup B || || || |SZ=. }} Nehmen wir an, dass {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} nicht disjunkt sind, sagen wir {{ Relationskette | y | \in | A \cap B || || || |SZ=. }} Es gibt dann Wege {{ Relationskette/display | v || v_0 | \sim | v_1 | {{simdots|}} | v_r || y || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | v || v_0 | \sim |u_1 | {{simdots|}} | u_s || y || |SZ= }} mit {{math|term= r |SZ=}} gerade und {{math|term= s |SZ=}} ungerade. Indem man die beiden Wege zusammensetzt, erhält man einen Zyklus mit ungerade vielen Knoten. Wenn es in ihm Wiederholungen gibt, so kann man daraus zwei kleinere Zyklen herausarbeiten, von denen einer ebenfalls eine ungerade Anzahl besitzt. Somit erhält man auch einen ungeraden Kreis im Widerspruch zur Voraussetzung. Die beiden Mengen sind also disjunkt. Wenn es eine Kante innerhalb von {{math|term= A |SZ=}} geben würde, so würden die daran beteiligten Punkte sofort auch zu {{math|term= B |SZ=}} gehören im Widerspruch zur gezeigten Disjunktheit. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nex9z8ganiqrdfq8pccxsz8v6zdxhry 0 116725 1093159 1086038 2026-06-02T16:16:41Z Bocardodarapti 2041 1093159 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis=(1). Es sei {{ Relationskette |e ||\{u,v\} || || || |SZ=. }} Wir zeigen {{ Relationskette/display | {{op:Chromatisches Polynom|G \setminus \{e\} |}} || {{op:Chromatisches Polynom| G |}} + {{op:Chromatisches Polynom|G /e |}} || || || |SZ=, }} indem wir die {{ Definitionslink |zulässigen Färbungen| |Kontext=| |SZ= }} analysieren. Eine zulässige Färbung von {{math|term= G |SZ=}} ist eine zulässige Färbung {{math|term= f |SZ=}} von {{mathl|term= G \setminus \{e\} |SZ=,}} bei der auch die Bedingung {{ Relationskette |f(u) |\neq|f(v) || || || |SZ= }} erfüllt ist. Somit müssen wir zeigen, dass die zulässigen Färbungen von {{mathl|term= G \setminus \{e\} |SZ=}} mit {{ Relationskette |f(u) || f(v) || || || |SZ= }} den zulässigen Färbungen von {{math|term= G/e|SZ=}} entsprechen. Über den surjektiven {{ Definitionslink |schwachen Graphhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= \varphi | G | G/e || |SZ= }} erhält man aus einer zulässigen Färbung {{math|term= f |SZ=}} von {{math|term= G/e|SZ=}} direkt eine {{ Zusatz/Klammer |text=nichtzulässige| |ISZ=|ESZ= }} Färbung {{math|term= f \circ \varphi|SZ=}} von {{math|term= G |SZ=}} mit identischem Wert auf {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} und damit direkt eine zulässige Färbung auf {{math|term= G \setminus \{e\} |SZ=}} mit identischem Wert auf {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ=. }} Diese Gesamtzuordnung ist injektiv. Wenn umgekehrt eine zulässige Färbung {{ Abbildung/display |name=g |G \setminus \{e\}|B || |SZ= }} mit {{ Relationskette |g(u) || g(v) || || || |SZ= }} gegeben ist, so kann man dies direkt als eine Färbung auf {{math|term= G/e|SZ=}} auffassen. Wenn {{math|term= d |SZ=}} eine Kante von {{math|term= G/e|SZ=}} ist, so liegt dieser Kante eine Kante {{math|term= d'|SZ=}} in {{math|term= G |SZ=}} zugrunde, und daher überträgt sich die Zulässigkeit. {{parskip|}} (2). Eine zulässige Färbung auf {{mathl|term= G_1 \uplus G_2 |SZ=}} mit {{math|term= k |SZ=}} Farben besteht einfach aus einer zulässigen Färbung von {{math|term= G_1 |SZ=}} und einer zulässigen Färbung von {{math|term= G_2 |SZ=,}} es gibt darüber hinaus keine weitere Bedingung, da es ja keine Kanten zwischen {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ= }} gibt. Die Anzahl der zulässigen Gesamtfärbungen ist daher das Produkt der Anzahlen der einzelnen zulässigen Färbungen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t4bp26fkkqdczlmjlai3klpqbod2oth 0 116979 1093153 1086221 2026-06-02T16:11:41Z Bocardodarapti 2041 1093153 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Anzahl von {{math|term= I |SZ=,}} bei {{ Relationskette | I || \{ i \} || || || |SZ= }} ist nach Voraussetzung {{ Relationskette |M_i |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} und man kann ein beliebiges Element aus {{math|term= M_i |SZ=}} als Wert an der Stelle {{math|term= i |SZ=}} festlegen. {{parskip|}} Es sei nun {{math|term= I |SZ=}} {{math|term= n |SZ=-}}elementig und sei die Aussage für jede kleinere Indexmenge {{ Zusatz/Klammer |text=und jede Mengenfamilie, die die numerische Bedingung erfüllt| |ISZ=|ESZ= }} bewiesen. Wir betrachten zwei Fälle. Erster Fall. Für alle Teilmengen {{ Relationskette | J | \subseteq | I || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |J |\neq| \emptyset, I || || || |SZ=, }} gelte sogar die stärkere Bedingung {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M_J|}} | \geq | {{op:Anzahl| J |}} +1 || || || |SZ=. }} Wir wählen ein Element {{ Relationskette | i_0 | \in | I || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | m_0 | \in | M_{i_0 } || || || |SZ= }} und betrachten {{ Relationskette | I' | {{defeq|}} | I \setminus \{i_0\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M' || M \setminus \{ m_0 \} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M_i' || M_i \setminus \{ m_0 \} || || || |SZ=. }} Da stets nur das Element {{math|term= m_0 |SZ=}} herausgenommen wird, gilt die numerische Bedingung für diese neue Situation und wir können darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden. Es gibt also eine injektive Abbildung {{ Abbildung/display |name=g | I' | M' || |SZ= }} mit {{ Relationskette | g(i) | \in | M_i' || || || |SZ=. }} Diese Abbildung können wir durch {{mathl|term= i_0 \mapsto m_0 |SZ=}} zu einer injektiven Abbildung von {{math|term= I |SZ=}} nach {{math|term= M |SZ=}} fortsetzen. Zweiter Fall. Es gibt nun eine echte Teilmenge {{ Relationskette | \emptyset | \subset | J | \subset | I || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| J |}} || {{op:Anzahl|M_J|}} || || || |SZ=. }} Für {{math|term= J |SZ=}} gilt die numerische Bedingung nach wie vor. Wir betrachten {{ Relationskette/display |K | {{defeq|}} | I \setminus J || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |N | {{defeq|}} | M \setminus M_J || || || |SZ= }} und setzen {{ Relationskette/display | N_k | {{defeq|}} | M_k \cap N || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | k | \in | K || || || |SZ=. }} Für jede Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | K || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/align/handlinks | \bigcup_{ k \in T \cup J} M_k || {{makl| {{makl| \bigcup_{ k \in T} M_k |}} \setminus {{makl| \bigcup_{ k \in J} M_k |}} |}} \cup {{makl| \bigcup_{ k \in J } M_k |}} || {{makl| \bigcup_{ k \in T } N_k |}} \uplus {{makl| \bigcup_{ k \in J} M_k |}} || {{makl| \bigcup_{ k \in T } N_k |}} \uplus M_J || |SZ=. }} Nach Voraussetzung hat diese Menge zumindest {{mathl|term= {{op:Anzahl| T |}} + {{op:Anzahl| J |}} |SZ=}} Elemente und {{math|term= M_J |SZ=}} hat genau {{math|term= {{op:Anzahl| J |}} |SZ=}} Elemente. Deshalb besitzt {{mathl|term= \bigcup_{ k \in T } N_k |SZ=}} zumindest {{math|term= {{op:Anzahl| T |}} |SZ=}} Elemente. D.h. dass {{math|term= K |SZ=}} und die {{ mathbed|term= N_k ||bedterm1= k \in K ||bedterm2= |SZ=, }} ebenfalls die numerische Bedingung erfüllen. Wir können die Induktionsvoraussetzung auf {{math|term= J |SZ=}} einerseits und auf {{math|term= K |SZ=}} andererseits {{ Zusatz/Klammer |text=mit den zugehörigen Zielmengen| |ISZ=|ESZ= }} anwenden und erhalten injektive Abbildungen {{ Abbildung/display |name= g | J | M_J || |SZ= }} mit {{ Relationskette | g(j) | \in | M_j || || || |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= h | K | N || |SZ= }} mit {{ Relationskette | h(k) | \in| N_k | \subseteq | M_k || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= M_J |und|term2= N |SZ= }} disjunkt sind, setzen sich diese beiden Abbildungen zu einer injektiven Abbildung {{ Abbildung |name= f | I | M || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f(i) | \in | M_i || || || |SZ= }} zusammen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s1x92uwjz0ndqmdg5thvs4i17qayq7v 0 117019 1093155 1043602 2026-06-02T16:13:26Z Bocardodarapti 2041 1093155 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die Abschätzung {{ Relationskette | \pi(G) | \leq | \kappa(G) || || || |SZ= }} gilt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Vergleich/Fakt |Nr= |SZ= }} in jedem Graphen. Es sei nun der Graph {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} als bipartit mit einer Zerlegung {{ Relationskette || A\uplus B || || || |SZ= }} vorausgesetzt und sei {{math|term= P |SZ=}} eine {{ Definitionslink |optimale Paarung| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=.}} Wir wählen aus jeder Kante {{ Relationskette | e || \{ a,b \} | \in | P || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a | \in | A || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b | \in | B || || || |SZ= }} einen Endpunkt nach folgendem Prinzip aus: Wenn es einen in einem von der Paarung {{math|term= P |SZ=}} {{ Definitionslink |unabgedeckten Punkt| |Kontext=Paarung| |SZ= }} aus {{math|term= A |SZ=}} beginnenden {{ Definitionslink |alternierenden Weg| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=}} gibt, der in {{math|term= b |SZ=}} endet, so wählen wir {{math|term= b |SZ=,}} andernfalls {{math|term= a |SZ=.}} Nennen wir die Menge der so ausgewählten Knotenpunkte {{math|term= W |SZ=.}} Es ist zu zeigen, dass diese Auswahl {{math|term= W |SZ=}} eine Knotenüberdeckung ist. Es sei dazu {{mathl|term= \{c,d\} |SZ=}} eine beliebige Kante von {{math|term= G |SZ=.}} Wenn diese zu {{math|term= P |SZ=}} gehört, so sind wir fertig. Wir können also davon ausgehen, dass {{mathl|term= \{c,d\} |SZ=}} nicht zu {{math|term= P |SZ=}} gehört {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | c | \in | A || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/k | d | \in | B || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} Da {{math|term= P |SZ=}} eine optimale Paarung ist, ist ein Endpunkt von {{mathl|term= \{c,d\} |SZ=}} mit einem Endpunkt einer Kante aus {{math|term= P |SZ=}} identisch. Entsprechend betrachten wir zwei Fälle. {{parskip|}} Erster Fall. Wenn {{math|term= c |SZ=}} von der Paarung nicht abgedeckt ist, so ist {{math|term= d |SZ=}} von der Paarung abgedeckt und es gibt ein {{ Relationskette |a | \in | A || || || |SZ= }} und eine Kante {{ Relationskette | \{a,d\} | \in | P || || || |SZ=. }} Da {{mathl|term= \{c,d\} |SZ=}} in dem nichtabgedeckten Punkt {{ Relationskette |c | \in | A || || || |SZ= }} startet, ist diese einzelne Kante ein alternierender Weg, der die geforderten Eigenschaften erfüllt, und daher wurde aus der Paarungskante {{mathl|term= \{a,d\} |SZ=}} der Punkt {{math|term= d |SZ=}} ausgewählt. {{parskip|}} Zweiter Fall. Wenn {{math|term= c |SZ=}} von der Paarung abgedeckt ist, so gibt es ein {{ Relationskette |b | \in | B || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= \{c,b\} |SZ=}} eine Kante von {{math|term= P |SZ=}} ist. Wenn aus dieser Kante {{math|term= c |SZ=}} ausgewählt wird, sind wir fertig. Wenn aber {{math|term= b |SZ=}} ausgewählt wird, so bedeutet dies, dass es einen in einem unabgedeckten Punkt von {{math|term= A |SZ=}} beginnenden alternierenden Weg gibt, der in {{math|term= b |SZ=}} endet. Dieser Weg wird durch die beiden Kanten {{ mathkor|term1= \{c,b\} |und|term2= \{c,d\} |SZ= }} alternierend mit Endpunkt {{math|term= d |SZ=}} fortgesetzt. Da eine optimale Paarung vorliegt, folgt nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass {{math|term= d |SZ=}} durch die Paarung abgedeckt ist. Somit ist {{ Relationskette | d | \in | W || || || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tg5nmgf9o4x7gkgm74ofpi99y464crf 0 117134 1093157 1049406 2026-06-02T16:14:34Z Bocardodarapti 2041 1093157 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Von (1) nach (2) ist klar, da bei einen geschlossenen Eulerzug jeder Knotenpunkt genau so oft besucht wie verlassen wird. {{parskip|}} Von (2) nach (3). Wir führen Induktion über die Anzahl der Kanten. Da der Graph zusammenhängend ist, handelt es sich um einen isolierten Punkt oder aber jeder Knoten besitzt einen Grad von zumindest {{math|term= 2 |SZ=.}} Deshalb muss es in {{math|term= G |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Kreis| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=}} geben. Man kann ja inn einem beliebigen Punkt starten und von diesem Punkt ausgehend nach und nach einen Kantenzug konstruieren. Wenn der Kantenzug in einen Punkt hineingeht, so kann man den Kantenzug fortsetzen, da zumindest zwei Kanten in dem Punkt zusammenlaufen. Wenn erstmal ein schon erreichter Punkt erneut auftaucht, ist der Kreis fertig, die {{Anführung|Vorperiode}} kann man außer Acht lassen. Es seien {{math|term= F |SZ=}} die Kanten des Kreises und wir betrachten den neuen Graphen {{ Relationskette |G' || (V, E \setminus F) || || || |SZ=. }} Wenn ein Punkt aus {{math|term= V |SZ=}} zu einer Kante aus {{math|term= F |SZ=}} inzident ist, so reduziert sich der Grad in diesem Knoten um {{math|term= 2 |SZ=,}} da ja jeder Punkt in einem Kreis inzident zu zwei Kanten ist. Wenn ein Punkt im Kreis nicht aufgerufen wird, so ändert sich der Grad nicht. In jedem Fall besitzt in {{math|term= G'|SZ=}} jeder Punkt wieder einen geraden Grad. Der neue Graph muss nicht mehr zusammenhängend sein, allerdings erfüllen die einzelnen {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= G'|SZ=}} wieder die Voraussetzung, dass sämtliche Grade gerade sind. Nach Induktionsvoraussetzung besitzen die Zusammenhangskomponenten jeweils eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. Also besitzt {{math|term= G'|SZ=}} eine Darstellung als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen und zusammen mit {{math|term= K |SZ=}} ergibt sich eine Darstellung von {{math|term= G |SZ=}} als Vereinigung mit kantendisjunkten Kreisen. {{parskip|}} Von (3) nach (1). Es seien {{ Relationskette |K_j || (V_j,E_j) || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |j | \in | J || || || |SZ=, }} die beteiligten kantendisjunkten Kreise, die {{math|term= G |SZ=}} überdecken. Wir konstruieren induktiv Kantenzüge, die für zunehmend größere Vereinigungen dieser Kreise einen Eulerzug darstellen. Einen einzelnen Kreis kann man unmittelbar als einen Eulerzug für diesen Kreis auffassen. Es sei nun vorausgesetzt, dass man {{math|term= s |SZ=}} Kreise, die wir als {{math|term= K_1 {{kommadots|}} K_s |SZ=}} durchnummerieren, derart gefunden hat, dass es einen Eulerzug für {{ Relationskette/display | G_s || \bigcup_{j {{=}} 1}^s K_j || || || |SZ= }} gibt. Bei {{ Relationskette | s | < | r || || || |SZ= }} gibt es aufgrund des Zusammenhangs des Graphen einen weiteren Kreis, den wir {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} nennen, der einen gemeinsamen Knotenpunkt mit {{math|term= G_s |SZ=}} hat, sagen wir {{math|term= u |SZ=.}} Dann erhält man aus dem Eulerzug für {{math|term= G_s|SZ=}} einen Eulerzug für {{ Relationskette | G_{s+1} || G_{s} \cup K_{s+1} || || || |SZ=, }} indem man, wenn der Eulerzug den Punkt {{math|term= u |SZ=}} erreicht, in den Kreis {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} abbiegt, diesen einmal durchläuft und danach an der Stelle {{math|term= u |SZ=}} den alten Eulerzug fortsetzt. Da {{math|term= K_{s+1} |SZ=}} kantendisjunkt zu {{math|term= G_s |SZ=}} ist, entsteht dabei wieder ein Eulerzug. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 616n41w1f26et3o4v0z99iy9dabpf7j 0 117205 1093158 956505 2026-06-02T16:15:12Z Bocardodarapti 2041 1093158 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Ein nicht geschlossener Eulerzug besitzt einen Anfangspunkt {{math|term= u |SZ=}} und einen davon verschiedenen Endpunkt {{math|term= v |SZ=.}} Wenn man den Eulerzug durchläuft und dabei für jeden Punkt die Grade zählt, so erhöht sich bei jedem Durchlauf durch einen Punkt {{ Zusatz/Klammer |text=egal ob {{math|term= u |SZ=}} oder {{math|term= v |SZ=}} oder sonst ein Punkt| |ISZ=|ESZ= }} der Grad um {{math|term= 2 |SZ=.}} Am Anfang und am Ende kommt für {{math|term= u |SZ=}} bzw. {{math|term= v |SZ=}} nochmal {{math|term= 1 |SZ=}} dazu. {{parskip|}} Es seien {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} die beiden Punkte mit ungeradem Grad. Wenn {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} nicht zu {{math|term= E |SZ=}} gehört, so nimmt man diese Kante hinzu und erhält einen neuen Graphen {{math|term= G'|SZ=,}} bei dem nun alle Knotenpunkte einen geraden Grad besitzen. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es in {{math|term= G' |SZ=}} einen geschlossenen Eulerzug. Dieser ist ohne die Kante {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} ein nichtgeschlossener Eulerzug von {{math|term= G |SZ=.}} Wenn hingegen {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} zu {{math|term= E |SZ=}} gehört, so nimmt man einen neuen Punkt {{math|term= w |SZ=}} zur Knotenmenge und die Kanten {{ mathkor|term1= \{u,w\} |und|term2= \{v,w\} |SZ= }} zur Kantenmenge hinzu. Im neuen Graphen {{math|term= G'|SZ=}} besitzt wieder jeder Knoten einen geraden Grad. Ein geschlossener Eulerzug von {{math|term= G' |SZ=}} enthält den Kantenzug {{mathl|term= \{u,w\}, \{w,v\} |SZ=.}} Da {{math|term= w |SZ=}} in sonst keiner Kante auftritt, erhält man, indem man dieses Teilstück und {{math|term= w |SZ=}} weglässt, einen nichtgeschlossenen Eulerzug von {{math|term= G |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 32c97te00evc7jjvrvucqo0kfleaf0n 0 117288 1093160 1086148 2026-06-02T16:17:54Z Bocardodarapti 2041 1093160 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über die Anzahl der Knoten, wobei die Aussage bei höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Knoten unmittelbar klar ist. Es liege also ein ebener Graph {{math|term= G |SZ=}} mit {{math|term= n |SZ=}} Knoten vor und für jeden ebenen Graphen mit weniger als {{math|term= n |SZ=}} Knoten wissen wir, dass es eine zulässige Färbung mit höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Farben gibt. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Abschätzungen/Fakt |Nr=2 |SZ= }} gibt es einen Knoten {{math|term= u |SZ=}} mit höchstens {{math|term= 5 |SZ=}} Nachbarn. Es sei {{math|term= H |SZ=}} der Graph, der aus {{math|term= G |SZ=}} entsteht, wenn man {{math|term= u |SZ=}} und die an {{math|term= u |SZ=}} anliegenden Kanten herausnimmt. Nach Induktionsvoraussetzung besitzt {{math|term= H |SZ=}} eine zulässige Färbung mit höchstens fünf Farben. Wenn die Nachbarn von {{math|term= u |SZ=}} nur höchstens vier Farben verwenden, was insbesondere dann der Fall ist, wenn {{math|term= u |SZ=}} höchstens vier Nachbarn besitzt, so kann man unmittelbar eine zulässige Färbung von {{math|term= H |SZ=}} zu einer zulässigen Färbung von {{math|term= G |SZ=}} ausbauen, indem man {{math|term= u |SZ=}} eine Farbe gibt, die in seinen Nachbarn nicht vorkommt. {{parskip|}} Der Punkt {{math|term= u |SZ=}} habe also genau {{math|term= 5 |SZ=}} Nachbarn mit {{math|term= 5 |SZ=}} verschiedenen Farben. Wir fixieren eine ebene Realisierung und wir bezeichnen die Nachbarn von {{math|term= u |SZ=}} mit {{math|term= v_1,v_2,v_3,v_4,v_5 |SZ=}} im Uhrzeigersinn {{ Zusatz/Klammer |text=ein kleiner Kreis um {{math|term= u |SZ=}} in {{math|term= \R^2 |SZ=,}} der keinen weiteren Knotenpunkt enthält, trifft jeden Verbindungsweg zu den Nachbarn in einem Punkt der Peripherie, dies legt die Reihenfolge fest| |ISZ=|ESZ=. }} Es sei {{math|term= c |SZ=}} eine zulässige Färbung auf {{math|term= H |SZ=.}} Wie betrachten den {{ Definitionslink |induzierten Untergraphen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | V_{13} || {{Mengebed|v \in H|c(v) {{=|}} c(v_1) \text{ oder } c(v) {{=|}} c(v_3) }} || || || |SZ=. }} Wir machen nun eine Fallunterscheidung je nachdem, ob {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_3 |SZ= }} in {{math|term= V_{13} |SZ=}} miteinander durch einen {{ Definitionslink |Weg| |Kontext=Graph| |SZ= }} verbunden sind oder nicht. {{parskip|}} Fall 1. Sie sind nicht miteinander verbunden. Es sei {{mathl|term= W_{13} |SZ=}} die {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= V_{13} |SZ=,}} die {{math|term= v_1 |SZ=}} enthält. Dabei gilt {{ Relationskette |v_3 |\notin| W_{13} || || || |SZ=. }} Wir legen jetzt auf {{math|term= H |SZ=}} eine neue Färbung {{math|term= c'|SZ=}} fest, indem wir {{ Relationskette/display | c'(v) || \begin{cases} c(v),\, \text{ falls } v \notin W_{13} \, , \\ c(v_3),\, \text{ falls } v \in W_{13} \text{ und } c(v) {{=|}} c(v_1) \, , \\ c(v_1),\, \text{ falls } v \in W_{13} \text{ und } c(v) {{=|}} c(v_3) \, . \end{cases} || || || |SZ= }} festlegen. Für die Knoten aus {{math|term= W_{13} |SZ=}} werden also die beiden Farben {{ mathkor|term1= c(v_1) |und|term2= c(v_3) |SZ= }} vertauscht, alle anderen Knoten behalten ihre Farben. Diese Färbung ist wieder zulässig. Dies ist klar für Kanten, die ganz außerhalb von {{math|term= W_{13} |SZ=}} oder ganz innerhalb von {{math|term= W_{13} |SZ=}} verlaufen. Bei {{ Relationskette |x | \in | W_{13} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |y |\notin|W_{13} || || || |SZ= }} besitzt bei {{ Relationskette |y |\notin| V_{13} || || || |SZ= }} dieser Knoten eine von {{ mathkor|term1= c(v_1) |und|term2= c(v_3) |SZ= }} verschiedene Farbe, und bei {{ Relationskette |y | \in | V_{13} || || || |SZ= }} gibt es keine Kante. {{parskip|}} Fall 2. Es gibt nun einen verbindenen Weg in {{math|term= V_{13} |SZ=}} von {{math|term= v_1 |SZ=}} nach {{math|term= v_3 |SZ=.}} Wenn es keinen verbindenden Weg von {{math|term= v_2 |SZ=}} nach {{math|term= v_4 |SZ=}} innerhalb des entsprechend definierten Untergraphen {{math|term= V_{24} |SZ=}} gibt, so sind wir aufgrund der Argumentation im ersten Fall fertig. Wir sind somit in der Situation, wo es einen Weg {{math|term= P_{13} |SZ=}} von {{math|term= v_1 |SZ=}} nach {{math|term= v_3 |SZ=}} in {{math|term= V_{13} |SZ=}} und einen Weg {{math|term= P_{24} |SZ=}} von {{math|term= v_2 |SZ=}} nach {{math|term= v_4 |SZ=}} in {{math|term= V_{24} |SZ=}} gibt. Wir ergänzen {{math|term= P_{13} |SZ=}} durch die Kanten {{ mathkor|term1= \{u, v_1\} |und|term2= \{u, v_3\} |SZ= }} zu einem {{ Definitionslink |Zyklus| |Kontext=Graph| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=,}} der in der ebenen Realisierung einem geschlossenen Weg entspricht {{ Zusatz/Klammer |text=indem wir {{math|term= P_{13} |SZ=}} ohne Knotenwiederholungen wählen, können wir diesen geschlossenen Weg als überschneidungsfrei annehmen| |ISZ=|ESZ=. }} Hierbei liegt einer der Punkte {{ mathkor|term1= v_2 |oder|term2= v_4 |SZ= }} im Inneren des durch den Weg begrenzten Gebietes und der andere außerhalb davon. Dann gibt es aber eine Überschneidung der beiden Wege, und diese muss in einem Knotenpunkt vorliegen. Dies ist aber ein Widerspruch, da die Farben {{mathl|term= c(v_1),c(v_2),c(v_3),c(v_4) |SZ=}} alle verschieden sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3z3qenx9yo400w7cr460yoveff2q0ay 0 117530 1093150 1048896 2026-06-02T16:07:27Z Bocardodarapti 2041 1093150 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= G |SZ=}} zusammenhängend und {{ Relationskette |u,v | \in | G \setminus \{b\} || || || |SZ=. }} Dann gibt es in {{math|term= G |SZ=}} einen verbindenden Weg von {{ mathkor|term1= u |nach|term2= v |SZ=. }} Wenn in diesem Weg {{math|term= b |SZ=}} vorkommt, so jedenfalls nicht als Anfangs- oder als Endpunkt, da dies explizit ausgeschlossen ist. Wenn {{math|term= b |SZ=}} in der Mitte vorkommt, so in der Form {{mathl|term= w,b,w |SZ=,}} wobei {{math|term= \{b,w\} |SZ=}} die einzige Kante an {{math|term= b |SZ=}} bezeichne. Doch in diesem Fall kann man diesen Wegabschnitt herausnehmen und erhält einen kürzeren Weg von {{math|term= u |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=.}} Deshalb gibt es auch einen verbindenen Weg, wo {{math|term= b |SZ=}} gar nicht vorkommt. {{parskip|}} Es sei nun {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} zusammenhängend und seien {{ Relationskette |u,v | \in | G || || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette |u,v |\neq|b || || || |SZ= }} ist, so kann man direkt einen verbindenden Weg aus {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} nehmen. Wenn {{ Relationskette |u ||b || || || |SZ= }} ist, so ist {{math|term= b |SZ=}} mit einem weiteren Knotenpunkt {{math|term= w |SZ=}} verbunden, und einen Weg in {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} von {{math|term= w |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} kann man durch die Kante {{mathl|term= \{b,w\} |SZ=}} zu einem Weg in {{math|term= G |SZ=}} von {{math|term= b |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} fortsetzverlämgern. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0b3fnj1wxrpb63joawikh5bi6z8d068 0 118648 1093154 1077362 2026-06-02T16:12:36Z Bocardodarapti 2041 1093154 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nehmen wir zuerst an, dass es einen alternierenden Weg gibt, der die Punkte {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet, die beide nicht durch die Paarung abgedeckt sind. Wir müssen zeigen, dass man eine Paarung konstruieren kann, die mehr Kanten als die gegebene Paarung besitzt. Es sei {{ Math/display|term= \{ u,u_2\}, \{u_2,u_3\} {{kommadots|}} \{u_{n-1},v\} |SZ= }} der alternierende Weg. Dabei gehören die beiden Endkanten nicht zu {{math|term= P |SZ=,}} da die beiden Endpunkte nicht durch {{math|term= P |SZ=}} abgedeckt sind. Die Länge des Weges, also {{math|term= n-1 |SZ=,}} ist ungerade. Wir modifizieren nun die Paarung, indem wir die Kanten {{mathl|term= \{u_i,u_{i+1} \} |SZ=}} für {{math|term= i |SZ=}} gerade herausnehmen und die Kanten {{mathl|term= \{u_i,u_{i+1} \} |SZ=}} für {{math|term= i |SZ=}} ungerade hinzunehmen. Dabei wird die Gesamtzahl der Kanten um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöht. Ferner handelt es sich nach wie vor um eine Paarung. Würde es nämlich in der neuen Paarung einen Knotenpunkt geben, der mit zwei Kanten inzident ist, so würde eine Kante davon gleich {{mathl|term= \{ u_i, u_{i+1} \} |SZ=}} sein {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{math|term= i |SZ=}} ungerade| |ISZ=|ESZ= }} und die andere Kante gleich {{mathl|term= \{ u_i,x \} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder gleich {{mathlk|term= \{ u_{i+1},x \} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn diese zweite Kante nicht zum alternierenden Weg gehört, so gehört sie zu {{math|term= P |SZ=}} und würde zusammen mit {{mathl|term= \{ u_{i-1}, u_{i} \} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. {{mathlk|term=\{ u_{i+1}, u_{i+2} \} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} der Paarungseigenschaft von {{math|term= P |SZ=}} widersprechen. Wenn sie zum alternierenden Weg gehört, so wäre sie gleich {{mathl|term= \{u_j,u_{j+1} \} |SZ=}} mit {{math|term= j |SZ=}} ungerade, und dann würden die an dem Durchschnittspunkt anliegenden Kanten aus {{math|term= P |SZ=}} der Paarungseigenschaft von {{math|term= P |SZ=}} widersprechen {{ Zusatz/Klammer |text=bei den Endkanten muss man etwas anders argumentieren| |ISZ=|ESZ=. }} {{parskip|}} Nehmen wir nun an, dass {{math|term= P |SZ=}} nicht optimal ist. Es sei {{math|term= Q |SZ=}} eine optimale Paarung, die ja dann nach Definition mehr Kanten als {{math|term= P |SZ=}} besitzt. Es ist zu zeigen, dass es einen alternierenden Weg für {{math|term= P |SZ=}} gibt, dessen Endpunkte von {{math|term= P |SZ=}} nicht abgedeckt sind. Wir betrachten den Graphen {{math|term= H |SZ=}} auf {{math|term= V |SZ=}} mit der {{ Definitionslink |symmetrischen Differenz| |Kontext=| |SZ= }} von {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} als Kantenmenge. Da {{math|term= Q |SZ=}} mehr Kanten als {{math|term= P |SZ=}} besitzt, gibt es in {{math|term= H |SZ=}} mehr Kanten aus {{math|term= Q \setminus P |SZ=}} als aus {{math|term= P \setminus Q |SZ=.}} Dies muss dann auch für eine {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponente| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= H |SZ=}} gelten, und deren Möglichkeiten sind in {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph/Paarungen/Symmetrische Differenz/Fakt |Nr= |SZ= }} aufgelistet. Daher muss eine Komponente ein linearer Graph sein, mit Kanten abwechselnd aus {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} und wobei die Endkanten aus {{math|term= Q \setminus P |SZ=}} sind. Die Endpunkte sind dann insbesondere verschieden und nicht durch {{math|term= P |SZ=}} abgedeckt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bov323cqkbb7y6d4el5yswfjexfp9f3 2 119575 1093161 690290 2026-06-02T20:13:58Z WikiBayer 20987 Parsing Links is not useful here 1093161 javascript text/javascript // copied from https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Bocardodarapti/monobook.js //Version 0.80 - Optionaler Parameter bei Kategorisierung //Version 0.79 - Aufgeräumt //Version 0.78 - Button für Aufgabe- und Beispiellink //Version 0.77 - Kommentar- Button //Version 0.76 - Element- Button //Version 0.75 - Änderung 2.11.2018 Bezug auf https://www.mediawiki.org/wiki/Contributors/Projects/Removal_of_the_2006_wikitext_editor //Version 0.74 - Kürzungen //Version 0.73 - Tabellenvorlage //Version 0.72 - Zeigeanweisungen entfernt //Version 0.71 - Buttons für Aufzählungen //Version 0.71 - Klausurbutton //Version 0.70 - Korrekturen an Buttons //Version 0.69 - Ergänzungen zu Definitionsabfrage //Version 0.68 - Funktionale Korrektur, Dank an Jonathan Steinbuch //Version 0.67 - Textkategorie Diagramme //Version 0.66 - Referenznummer für Beispiel, Bemerkung; mathematische Gesamtklammer //Version 0.65 - Sieheparameter bei MDLUL //Version 0.64 - Nummerparameter für Faktlink //Version 0.63 - Latexoperator durch syntaktischen Operator ersetzt //Version 0.62 - Bedingter Button für Artikeleintrag //Version 0.61 - Anfangsbuchstaben bei MSW //Version 0.60 - MDLUL ersetzt Mastalink //Version 0.59 - Beweisaufgabe wie Aufgabe //Version 0.58 - Bedingter Button für Kontrollseite //Version 0.57 - Genauere Buttons für mathematische Texte //Version 0.56 - Bedingter Button für Referenznummer //Version 0.55 - Kategorienamen bei Texttyp automatisch eingefügt //Version 0.54 - Dateiname bei "MSW" automatisch eingefügt //Version 0.53 - Dateiname bei "Latexdeklaration" automatisch eingefügt //Version 0.52 - Bedingte Kategorisierungen //Version 0.51 - Bedingter Button für mathematisches Stichwort //Version 0.50 - Weitere bedingte Buttons für Beweisstrukturen //Version 0.49 - Button für mathematische Bedingung und mathematische Liste; bedingter Button für Stichwortumleitung //Version 0.48 - Stärkere Strukturierung, Erweiterung bei Vorlagenbutton //Version 0.47 - Stichwortbutton und bedingter Definitionswort-Button statt Betonung //Version 0.46 - Operatorvorlage //Version 0.45 - Testphase für semantische Tafeldarstellung nach unter abgetrennt //Version 0.44 - Bedingter Button für Widerspruchsbeweis //Version 0.43 - Bedingter Button für Induktionsbeweis //Version 0.42 - Button für mathematische Vorlage im Display //Version 0.41 - Button für Strukturvorlage //Version 0.40 - Bedingter Button für Fallunterscheidung //Version 0.39 - Bedingter Button für Zuweisung, für Definition (Testphase) //Version 0.38 - Bedingter Button für Zwischenbehauptung //Version 0.37 - Bedingter Button für Latexmakros //Version 0.36 - Andere Buttons, Ausrichtung entfernt (durch Vergleichskette ersetzt), Einrückung entfernt, Operatorname nach links, Bild leicht nach rechts //Version 0.35 - Bedingter Button für Vorlagengestaltung //Version 0.34 - Button für Situationsbeschreibung //Version 0.33 - Aufgabenstrukuren unter Aufgabenbedingung (man/Sie) //Version 0.32 - Mathkon in Mathkor umbenannt und umgestaltet (für korrespondierende Terme) //Version 0.31 - Bedingter Button für Bucheintrag //Version 0.30 - Button für häufige Abbildungsstruktur //Version 0.29 - Button für Vergleichskette (semantischer) //Version 0.28 - Button für Mathkon //Version 0.27 - Bedingter Button für Latexseite //Version 0.26 - Button für Vortragseintrag unter der Bedingung /Themen und /Vorträge //Version 0.25 - Bildbutton ergänzt um Dokumentationsmöglichkeit für Lizenz //Version 0.24 - Button für Klammerzusätze. Textart und Objektkategorie-Zeile im mathematischen Text. //Version 0.23 - Vorlagebutton und Parameterbutton eingeführt, Änderungen an D-Link und F-Link, Kategorisierungshilfe. //Version 0.22 - "Faktstruktur" eingeführt. //Version 0.21 - "math", "mathdisplay" und "inputbild" angepasst. //Version 0.20 - "D-Link", "F-Link" eingeführt. //Version 0.19 - "MathDisplay", "Aufzählung": zeilenweise Aufteilung der Elemente eingeführt. //Version 0.18 - "Latex-Operatorname", "Bemerkung" ergänzt, Reihenfolge angepasst. //Version 0.17 - "Beispiel" und "Aufgabe" ergänzt //Version 0.16 - "Definition" und "Fakt" ergänzt //Version 0.15 - "Mathdisplay" ergänzt, Reihenfolge verändert //Version 0.1 //(c) 2008 by Exxu //Released under GPL or CC-by-SA 2.5 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5/deed.de) //at your choice //****************************************************************************************** // Add some more custom edit buttons to the toolbar if working in edit modus // It inserts templates coming from [[Projekt:Semantische Vorlagen]] //****************************************************************************************** // relies on [//de.wikiversity.org/w/skins/common/edit.js] //****************************************************************************************** // Ergänzt die Editiersymbolleiste um eine Reihe spezifischer Schaltflächen im // "Bearbeiten"-Modus. // Die Schaltflächen entstanden im Ergebnis des [[Projekt:Semantische Vorlagen]]. //****************************************************************************************** // Benötigt: [//de.wikiversity.org/w/skins/common/edit.js] /** * Interface for the classic edit toolbar. * * Adapted from MediaWiki Core, before it was removed from it on 2018-10-17 */ var wgTitle = mw.config.get('wgTitle'); var wgPageName = mw.config.get('wgPageName'); var wgCanonicalNamespace = mw.config.get('wgCanonicalNamespace'); ( function () { var toolbar, isReady, $toolbar, queue, slice, $currentFocused; /** * Internal helper that does the actual insertion of the button into the toolbar. * * For backwards-compatibility, passing `imageFile`, `speedTip`, `tagOpen`, `tagClose`, * `sampleText` and `imageId` as separate arguments (in this order) is also supported. * * @private * * @param {Object} button Object with the following properties. * You are required to provide *either* the `onClick` parameter, or the three parameters * `tagOpen`, `tagClose` and `sampleText`, but not both (they're mutually exclusive). * @param {string} [button.imageFile] Image to use for the button. * @param {string} button.speedTip Tooltip displayed when user mouses over the button. * @param {Function} [button.onClick] Function to be executed when the button is clicked. * @param {string} [button.tagOpen] * @param {string} [button.tagClose] * @param {string} [button.sampleText] Alternative to `onClick`. `tagOpen`, `tagClose` and * `sampleText` together provide the markup that should be inserted into page text at * current cursor position. * @param {string} [button.imageId] `id` attribute of the button HTML element. Can be * used to define the image with CSS if it's not provided as `imageFile`. * @param {string} [speedTip] * @param {string} [tagOpen] * @param {string} [tagClose] * @param {string} [sampleText] * @param {string} [imageId] */ function insertButton( button, speedTip, tagOpen, tagClose, sampleText, imageId ) { var $button; // Backwards compatibility if ( typeof button !== 'object' ) { button = { imageFile: button, speedTip: speedTip, tagOpen: tagOpen, tagClose: tagClose, sampleText: sampleText, imageId: imageId }; } if ( button.imageFile ) { $button = $( '<img>' ).attr( { src: button.imageFile, alt: button.speedTip, title: button.speedTip, id: button.imageId || undefined, 'class': 'mw-toolbar-editbutton' } ); } else { $button = $( '<div>' ).attr( { title: button.speedTip, id: button.imageId || undefined, 'class': 'mw-toolbar-editbutton' } ); } $button.click( function ( e ) { if ( button.onClick !== undefined ) { button.onClick( e ); } else { toolbar.insertTags( button.tagOpen, button.tagClose, button.sampleText ); } return false; } ); $toolbar.append( $button ); } isReady = false; $toolbar = false; /** * @private * @property {Array} * Contains button objects (and for backwards compatibility, it can * also contains an arguments array for insertButton). */ queue = []; slice = queue.slice; toolbar = { /** * Add buttons to the toolbar. * * Takes care of race conditions and time-based dependencies by placing buttons in a queue if * this method is called before the toolbar is created. * * For backwards-compatibility, passing `imageFile`, `speedTip`, `tagOpen`, `tagClose`, * `sampleText` and `imageId` as separate arguments (in this order) is also supported. * * @inheritdoc #insertButton */ addButton: function () { if ( isReady ) { insertButton.apply( toolbar, arguments ); } else { // Convert arguments list to array queue.push( slice.call( arguments ) ); } }, /** * Add multiple buttons to the toolbar (see also #addButton). * * Example usage: * * addButtons( [ { .. }, { .. }, { .. } ] ); * addButtons( { .. }, { .. } ); * * @param {...Object|Array} [buttons] An array of button objects or the first * button object in a list of variadic arguments. */ addButtons: function ( buttons ) { if ( !Array.isArray( buttons ) ) { buttons = slice.call( arguments ); } if ( isReady ) { buttons.forEach( function ( button ) { insertButton( button ); } ); } else { // Push each button into the queue queue.push.apply( queue, buttons ); } }, /** * Apply tagOpen/tagClose to selection in currently focused textarea. * * Uses `sampleText` if selection is empty. * * @param {string} tagOpen * @param {string} tagClose * @param {string} sampleText */ insertTags: function ( tagOpen, tagClose, sampleText ) { if ( $currentFocused && $currentFocused.length ) { $currentFocused.textSelection( 'encapsulateSelection', { pre: tagOpen, peri: sampleText, post: tagClose } ); } } }; // For backwards compatibility. Used to be called from EditPage.php, maybe other places as well. toolbar.init = $.noop; // Expose API publicly mw.toolbar = toolbar; $( function () { var $textBox, i, button; // Used to determine where to insert tags $currentFocused = $( '#wpTextbox1' ); // Populate the selector cache for $toolbar $toolbar = $( '#toolbar' ); if ( $toolbar.length === 0 ) { $textBox = $( '#wpTextbox1' ); if ( $textBox.length === 0 ) { return; } $toolbar = $( '<div>' ).attr( { id: 'toolbar' } ); $toolbar.insertBefore( $textBox ); } for ( i = 0; i < queue.length; i++ ) { button = queue[ i ]; if ( Array.isArray( button ) ) { // Forwarded arguments array from mw.toolbar.addButton insertButton.apply( toolbar, button ); } else { // Raw object from mw.toolbar.addButtons insertButton( button ); } } // Clear queue queue.length = 0; // This causes further calls to addButton to go to insertion directly // instead of to the queue. // It is important that this is after the one and only loop through // the queue isReady = true; // Apply to dynamically created textboxes as well as normal ones $( document ).on( 'focus', 'textarea, input:text', function () { $currentFocused = $( this ); } ); } ); }() ); window.currentFocused = undefined; // this function adds a toolbar button via mw.toolbar window.addButton = function( imageFile, speedTip, tagOpen, tagClose, sampleText, imageId ) { // Don't generate buttons for browsers which don't fully // support it. mw.toolbar.addButton({ 'imageId': imageId, 'imageFile': imageFile, 'speedTip': speedTip, 'tagOpen': tagOpen, 'tagClose': tagClose, 'sampleText': sampleText }); }; // @deprecated window.mwInsertEditButton = function( parent, item ) { var image = document.createElement( 'img' ); image.width = 23; image.height = 22; image.className = 'mw-toolbar-editbutton'; if ( item.imageId ) { image.id = item.imageId; } image.src = item.imageFile; image.border = 0; image.alt = item.speedTip; image.title = item.speedTip; image.style.cursor = 'pointer'; image.onclick = function() { insertTags( item.tagOpen, item.tagClose, item.sampleText ); // click tracking if ( ( typeof $ != 'undefined' ) && ( typeof $.trackAction != 'undefined' ) ) { $.trackAction( 'oldedit.' + item.speedTip.replace(/ /g, "-") ); } return false; }; parent.appendChild( image ); return true; }; // this function generates the actual toolbar buttons with localized text // we use it to avoid creating the toolbar where javascript is not enabled window.mwSetupToolbar = function() { var toolbar = document.getElementById( 'toolbar' ); if ( !toolbar ) { return false; } // Don't generate buttons for browsers which don't fully // support it. // but don't assume wpTextbox1 is always here var textboxes = document.getElementsByTagName( 'textarea' ); if ( !textboxes.length ) { // No toolbar if we can't find any textarea return false; } // Only check for selection capability if the textarea is visible - errors will occur otherwise - just because // the textarea is not visible, doesn't mean we shouldn't build out the toolbar though - it might have been replaced // with some other kind of control if ( textboxes[0].style.display != 'none' ) { if ( !( document.selection && document.selection.createRange ) && textboxes[0].selectionStart === null ) { return false; } } return true; }; // apply tagOpen/tagClose to selection in textarea, // use sampleText instead of selection if there is none window.insertTags = function( tagOpen, tagClose, sampleText ) { if ( typeof $ != 'undefined' && typeof $.fn.textSelection != 'undefined' && currentFocused && ( currentFocused.nodeName.toLowerCase() == 'iframe' || currentFocused.id == 'wpTextbox1' ) ) { $( '#wpTextbox1' ).textSelection( 'encapsulateSelection', { 'pre': tagOpen, 'peri': sampleText, 'post': tagClose } ); return; } var txtarea; if ( document.editform ) { txtarea = currentFocused; } else { // some alternate form? take the first one we can find var areas = document.getElementsByTagName( 'textarea' ); txtarea = areas[0]; } var selText, isSample = false; function checkSelectedText() { if ( !selText ) { selText = sampleText; isSample = true; } else if ( selText.charAt(selText.length - 1) == ' ' ) { // exclude ending space char selText = selText.substring(0, selText.length - 1); tagClose += ' '; } } }; /** * Restore the edit box scroll state following a preview operation, * and set up a form submission handler to remember this state */ window.scrollEditBox = function() { var editBox = document.getElementById( 'wpTextbox1' ); var scrollTop = document.getElementById( 'wpScrolltop' ); var editForm = document.getElementById( 'editform' ); if( editForm && editBox && scrollTop ) { if( scrollTop.value ) { editBox.scrollTop = scrollTop.value; } addHandler( editForm, 'submit', function() { scrollTop.value = editBox.scrollTop; } ); } }; function toolbarExtension_semanticTemplates(){ var textHere = " Hier Text einsetzen "; var formulaHere = " Hier Formel einsetzen "; var regx = wgPageName.match(/Aufgabe|Beispiel|Bemerkung|Beweis|Definition|Fakt/gi); // // //Bedingte Einsetzungshilfen // // // // //Bedingte Einsetzungshilfen für Stichworte // // // <nowiki> if(wgPageName.match(/MSWUL/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Stichwortumleitung", "tagOpen": "<noinclude>{{MSWUL}}</noinclude>", "tagClose": "", "sampleText": "wohin"}); } if(wgPageName.match(/MSW/)) { mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Mathematisches Stichwort", "tagOpen": "{{MSW|Anf1=" + wgTitle.substring (0, 1) + "|Anf2=" + wgTitle.substring (1, 2) + "|Anf3=" + wgTitle.substring (2, 3) + "|" + wgTitle + "}}", "tagClose": "", "sampleText": ""}); } if(wgPageName.match(/^MDLUL/)){ var getStart = /^MDLUL\/(.*)/; getStart.exec(wgTitle); var start = RegExp.$1; mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Definitionsumleitung", "tagOpen": "{{MDLUL{{{opt|}}}|Start=" + start + "|Anf=" + start.substring (0, 1).toUpperCase() + start.substring (1, 2) + "|\n|Siehe=\n|Ziel=", "tagClose": "/Definition\n}}", "sampleText": "Ziel"}); } if(wgPageName.match(/Faktreferenznummer$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Faktreferenznummer", "tagOpen": "{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|", "tagClose": "|||Kurs=|}}", "sampleText": "Satz"}); } if(wgPageName.match(/Beispielreferenznummer$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Beispielreferenznummer", "tagOpen": "{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|", "tagClose": "||Kurs=|}}", "sampleText": " "}); } if(wgPageName.match(/Definitionreferenznummer$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Definitionreferenznummer", "tagOpen": "{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Definition|", "tagClose": "||Kurs=|}}", "sampleText": " "}); } if(wgPageName.match(/Bemerkungreferenznummer$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Bemerkungreferenznummer", "tagOpen": "{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Bemerkung|", "tagClose": "||Kurs=|}}", "sampleText": " "}); } if(wgPageName.match(/Aufgabereferenznummer$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Aufgabereferenznummer", "tagOpen": "{{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|", "tagClose": "||Kurs=|}}", "sampleText": " "}); } // // //Anredevarianten // // if(wgPageName.match(/Sie$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Anredevariante", "tagOpen": "{{Anredevariante|", "tagClose": "}}", "sampleText": "Dateiname"}); } if(wgPageName.match(/Direkt$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Anredevariante", "tagOpen": "{{Anredevariante|", "tagClose": "}}", "sampleText": "Dateiname"}); } // // //Bedingter Button für Vorlesungsaufzählung // // if(wgPageName.match(/Vorlesungsaufzählung$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Vorlesungsaufzählung", "tagOpen": "{{Vorlesungsaufzählung\n|", "tagClose": "|\n|V1=\n|V2=\n|V3=\n|V4=\n|V5=\n|V6=\n|V7=\n|V8=\n|V9=\n|V10=\n|V11=\n|V12=\n|V13=\n|V14=\n|V15=\n|V16=\n|V17=\n|V18=\n|V19=\n|V20=\n|V21=\n|V22=\n|V23=\n|V24=\n|V25=\n|V26=\n|V27=\n|V28=\n|V29=\n|V30=\n}}", "sampleText": wgPageName.replace(/.Vorlesungsaufzählung$/,"")}); } // // //Bedingter Button für Arbeitsblattaufzählung // // if(wgPageName.match(/Arbeitsblattaufzählung$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Arbeitsblattaufzählung", "tagOpen": "{{Arbeitsblattaufzählung|", "tagClose": "}}", "sampleText": wgPageName.replace(/.Arbeitsblattaufzählung$/,"")}); } // // //Bedingte Buttons für Latexversion // // if(wgPageName.match(/latex$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Latexdeklaration", "tagOpen": "{{latex|", "tagClose": "}}", "sampleText": wgPageName.replace(/.latex$/,"")}); } if(wgPageName.match(/latexmakros$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Latexmakrosseite", "tagOpen": "{{Latexmakros-Seite unter|", "tagClose": "|}}", "sampleText": "Theorie"}); } // // //Bedingte Buttons für Kontrollversion (intern) // // if(wgPageName.match(/kontrolle$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Kontrollseite", "tagOpen": "{{Kontrollseite|", "tagClose": "}}", "sampleText": wgPageName.replace(/.kontrolle$/,"")}); } // // //Mathematische Umgebungen // // mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/Button_clipboard_math.png", "speedTip": "Mathematische Formel (Latex)", "tagOpen": " {{math|term=", "tagClose": "|SZ=}} ", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/Button_clipboard_math.png", "speedTip": "Mathematische Formel (Latex)", "tagOpen": " {{mathl|term=", "tagClose": "|SZ=}} ", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ce/Button_clipboard_mathdisplay.png", "speedTip": "Mathdisplay", "tagOpen": "\n{{\nmath/disp|term=\n", "tagClose": "\n|SZ=\n}}", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5f/Button_sorterbar.png", "speedTip": "Mathematische Korrespondenz", "tagOpen": "\n{{\nmathkor|term1=\n", "tagClose": "\n||term2=\n\n|SZ=\n}}", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Button_clipboard_enum.png", "speedTip": "Mathematische Liste", "tagOpen": "\n{{\nmathlist|term1=\n", "tagClose": "\n||term2=\n\n||term3=\n\n|SZ=\n}}", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5f/Button_sorterbar.png", "speedTip": "Mathematische Bedingung", "tagOpen": "\n{{\nmathbed|term=\n", "tagClose": "\n||bedterm1=\n\n||bedterm2=\n\n|SZ=\n}}", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/Set_theory_icon.svg", "speedTip": "Element", "tagOpen": "\n{{\nMa:Vergleichskette\n|", "tagClose": "\n|\\in|\n||\n||\n||\n|SZ=\n}}", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/86/Button_clipboard_valign.png", "speedTip": "Vergleichskette", "tagOpen": "\n{{\nMa:Vergleichskette/disp\n|", "tagClose": "\n||\n||\n||\n||\n|SZ=\n}}", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/Button_arrow_right.png", "speedTip": "Abbildungsstruktur", "tagOpen": "\n{{\nMa:abbele/disp\n|name=\n|", "tagClose": "|\n||\n|SZ=\n}}", "sampleText": formulaHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f3/Button_clipboard_template.png", "speedTip": "Vorlage einfügen", "tagOpen": " {{", "tagClose": "|}} ", "sampleText": " Vorlagennamen hier einfügen "}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Btn_toolbar_par.png", "speedTip": "Klammer", "tagOpen": " {{makl| ", "tagClose": " |}} ", "sampleText": textHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Button_clipboard_parameter.png", "speedTip": "Parameter", "tagOpen": "{{{", "tagClose": "|}}}", "sampleText": " Hier Vorlagenparameter einsetzen "}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Button_clipboard_latex_operation.png", "speedTip": "Operator einfügen", "tagOpen": " {{op:", "tagClose": "||}} ", "sampleText": "Operatornamen hier einfügen "}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d8/Button_clipboard_enum.png", "speedTip": "Aufzählung", "tagOpen": "\n{{\nAufzählung3\n|", "tagClose": "\n|\n|\n}}", "sampleText": textHere}); // // //Herausstellungen // // mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Button_clipboard_bold.png", "speedTip": "Stichwort", "tagOpen": " {{Stichwort|", "tagClose": "|msw=|SZ=}} ", "sampleText": " Stichwort "}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Btn_toolbar_par.png", "speedTip": "Klammerzusatz", "tagOpen": "\n{{\nZusatz/Klammer\n|text=", "tagClose": "|\n|ISZ=|ESZ=\n}}", "sampleText": textHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Button_clipboard_headline.png", "speedTip": "Seitenüberschrift", "tagOpen": "{{Seitenüberschrift|term=", "tagClose": "}}", "sampleText": textHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Button_clipboard_subheading.png", "speedTip": "Zwischenüberschrift", "tagOpen": "{{Zwischenüberschrift|term=", "tagClose": "}}", "sampleText": textHere}); // // //Einbindungen // // mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ee/Button_clipboard_image.png", "speedTip": "Bild einbinden", "tagOpen": "\n{{\ninputbild\n|", "tagClose": "||230px {{!}} right {{!}} \n|Text=\n|Autor=\n|Benutzer=\n|Domäne=\n|Lizenz=\n|Bemerkung=\n}}", "sampleText": " Hier Bildname einsetzen "}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cf/Button_clipboard_definition.png", "speedTip": "Definition einbinden", "tagOpen": "\n{{\ninputdefinition\n|", "tagClose": "/Definition||\n}}", "sampleText": " Hier Definitionsname einsetzen "}); // // //Spezielle Defintionsbuttons // // if(wgPageName.match(/Definition$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Button_clipboard_bold.png", "speedTip": "Definitionswort", "tagOpen": "\n{{\nDefinitionswort\n|Prämath=\n|", "tagClose": "|\n|msw=\n|SZ=\n}} ", "sampleText": " Definitionswort "}); } mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/87/Button_clipboard_fact.png", "speedTip": "Fakt einbinden", "tagOpen": "\n{{\ninputfaktbeweis\n|", "tagClose": "/Fakt|||\n||\n}}", "sampleText": " Hier Faktname einsetzen "}); if(wgPageName.match(/Begriff$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Button_clipboard_bold.png", "speedTip": "Stichwort", "tagOpen": "\n{{\nStichwort/Abfrage\n|Prämath=\n|", "tagClose": "|\n|msw=\n|SZ=\n}} ", "sampleText": " Stichwort "}); } if(wgPageName.match(/Name$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7b/Button_clipboard_bold.png", "speedTip": "Stichwort", "tagOpen": "\n{{\nStichwort/Abfrage\n|Prämath=\n|", "tagClose": "|\n|msw=\n|SZ=\n}} ", "sampleText": " Stichwort "}); } // // //Spezielle Beweisbuttons (aktiv bei /Beweis) // // if(wgPageName.match(/Beweis$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Button_recycling.png", "speedTip": "Teilbeweis", "tagOpen": "{{\nTeilbeweis\n|Teilziel=|Teilstrategie=\n|Teilbeweis=\n", "tagClose": "\n|Teilabschluss=\n}}", "sampleText": "Beweis"}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Button_recycling.png", "speedTip": "Ringbeweis", "tagOpen": "{{\nRingbeweis\n|Strategie=\n|Richtung=123\n|Beweis12=\n", "tagClose": "\n|Beweis23=\n\n|Beweis31=\n\n|Abschluss=\n}}", "sampleText": "Beweis von 1 nach 2"}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Button_recycling.png", "speedTip": "Beweisrichtung", "tagOpen": "\n{{\nBeweis", "tagClose": "\n| |\n}}", "sampleText": "Beweis"}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Button_clipboard_category.png", "speedTip": "Fallunterscheidung", "tagOpen": "\n{{\nFallunterscheidung\n|Fall1=\n", "tagClose": "\n|Fall2=\n\n|Fall3=|Fall4=|Fall5=\n}}", "sampleText": "Fall1"}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a5/Buttonexperimenty.png", "speedTip": "Widerspruchsbeweis", "tagOpen": "{{\nWiderspruchsbeweis\n|Strategie=\n\n|Annahme=\n", "tagClose": "\n|Argumentation=\n\n|Widerspruch=\n\n|Zusammenfassung=\n\n}}", "sampleText": "Annahme"}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Button_l_nl.png", "speedTip": "Induktionsbeweis", "tagOpen": "{{\nInduktionsbeweis\n|Strategie=\n", "tagClose": "\n|Anfang=\n\n|Schluss=\n\n|Zusammenfassung=\n\n}}", "sampleText": "Induktion"}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Zwischenbehauptung", "tagOpen": "\n{{\nZwischenbehauptung\n|Behauptung=\n", "tagClose": "\n|SZ0=.\n|Beweis=\n\n|SZ=\n}}", "sampleText": "Zwischenbehauptung"}); } // // //Weitere Strukturen // // mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Button_clipboard_information.png", "speedTip": "Bemerkung einbinden", "tagOpen": "\n{{\ninputbemerkung\n|", "tagClose": "/Bemerkung||\n}}", "sampleText": " Hier Bemerkungsname einsetzen "}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/76/Button_clipboard_example.png", "speedTip": "Beispiel einbinden", "tagOpen": "\n{{\ninputbeispiel\n|", "tagClose": "/Beispiel||\n}}", "sampleText": " Hier Beispielname einsetzen "}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Button_clipboard_task.png", "speedTip": "Aufgabe einbinden", "tagOpen": "\n{{\ninputaufgabe\n|", "tagClose": "/Aufgabe||\n|zusatz=\n|tipp=\n}}", "sampleText": " Hier Aufgabenname einsetzen "}); // // //Spezielle Aufgabenbuttons (aktiv nur bei /Aufgabe und /Beweis) // // if(wgPageName.match(/Aufgabe$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Sister_icon.png", "speedTip": "n Sie", "tagOpen": "{{n Sie}}", "tagClose": "", "sampleText": ""}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Sister_icon.png", "speedTip": "ManSie Unterscheidung einbinden", "tagOpen": "{{ManSie|Man ", "tagClose": "|en Sie}}", "sampleText": "bestimme"}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f3/Button_clipboard_template.png", "speedTip": "Aufgabenformvorlage", "tagOpen": "{{", "tagClose": "/Aufgabenform||SZ=}}", "sampleText": "Aufgabenformname"}); } if(wgPageName.match(/Beweisaufgabe$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Sister_icon.png", "speedTip": "n Sie", "tagOpen": "{{n Sie}}", "tagClose": "", "sampleText": ""}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Sister_icon.png", "speedTip": "ManSie Unterscheidung einbinden", "tagOpen": "{{ManSie|Man ", "tagClose": "|en Sie}}", "sampleText": "bestimme"}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f3/Button_clipboard_template.png", "speedTip": "Aufgabenformvorlage", "tagOpen": "{{", "tagClose": "/Aufgabenform||SZ=}}", "sampleText": "Aufgabenformname"}); } if(wgPageName.match(/Aufgabenform$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Sister_icon.png", "speedTip": "n Sie", "tagOpen": "{{n Sie}}", "tagClose": "", "sampleText": ""}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Sister_icon.png", "speedTip": "ManSie Unterscheidung einbinden", "tagOpen": "{{ManSie|Man ", "tagClose": "|en Sie}}", "sampleText": "bestimme"}); } // // //Button für mathematischer Text (abhängig vom Texttyp) // // if(wgPageName.match(/Definition$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Definition", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Definition{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Definition\n|Kategorie=\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie= \n|Definitionswort=\n|Definitionswort2=\n|Stichwort=\n|Variante=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Begriff$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Begriff", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Definitionsabfrage\n|Kategorie=Siehe\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie= \n|Definitionswort=\n|Definitionswort2=\n|Stichwort=\n|Variante=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Name$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Satzabfrage", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Satzabfrage\n|Kategorie=Siehe\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie= \n|Stichwort=\n|Variante=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Name/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Satzantwort", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Satzantwort\n|Kategorie=Siehe\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie= \n|Stichwort=\n|Variante=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Inhalt$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Antwort", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Definitionsantwort\n|Kategorie=Siehe\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie= \n|Definitionswort=\n|Definitionswort2=\n|Stichwort=\n|Variante=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Fakt$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Fakt", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Fakt{{{opt|}}}\n|Text=\n{{\nFaktstruktur|typ=\n|Situation=\n", "tagClose":"\n|Voraussetzung=\n\n|Übergang=\n|Folgerung=\n\n|Zusatz=\n}}\n|Textart=Fakt \n|Kategorie=\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie=\n|Stichwort=\n|Faktname=\n|Abfrage=\n|Variante=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Beweis$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Beweis", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Beweis{{{opt|}}}\n|Text=\n{{\nBeweisstruktur\n|Strategie=\n|Notation=\n|Beweis=\n", "tagClose":"\n|Abschluss=\n}}\n|Textart=Beweis \n|Kategorie=Siehe\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie=\n|Stichwort=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Name$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Name", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Satzabfrage\n|Kategorie=Siehe\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie= \n|Stichwort=\n|Variante=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Aufgabe$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Aufgabe", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Aufgabe \n|Kategorie=\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie=\n|Stichwort=\n|Punkte=\n|Lösung=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); 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} if(wgPageName.match(/Diagramm$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Diagramm", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Diagramm{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Diagramm \n|Kategorie=\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie=\n|Stichwort=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } // // //Unter Sonstiges // // if(wgPageName.match(/Definitionskern$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Sonstiges", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Sonstiges{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Sonstiges \n|Kategorie=\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie=\n|Stichwort=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Einzelbegründung$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Mathematischer Text/Sonstiges", "tagOpen": "{{\nMathematischer Text/Sonstiges{{{opt|}}}\n|Text=\n", "tagClose":"\n|Textart=Sonstiges \n|Kategorie=\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie=\n|Stichwort=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n}}", "sampleText": textHere}); 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} // // //Klausuren // // if(wgPageName.match(/Klausur$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Button_clipboard_mathematical_text.png", "speedTip": "Klausur", "tagOpen": "{{\nKlausur{{{opt|}}}\n|", "tagClose":"/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p||| \n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|/Aufgabe|p|||\n|Textart=Klausur\n|Kategorie=\n|Kategorie2=\n|Kategorie3=\n|Objektkategorie=\n|Kurs=\n|Semester=\n|Institution=\n|Bereich=\n|Klausurtyp=\n|Klausurtitel=\n|Klausurnummer=\n|Dozent=\n|Datum=\n|Stichwort=\n|Autor=\n|Bearbeitungsstand=\n|opt2={{{opt2|}}}\n|pdf=.pdf\n}}", "sampleText": textHere}); } if(wgPageName.match(/Klausur$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Button_clipboard_task.png", "speedTip": "Aufgabe", "tagOpen": "\n|", "tagClose":"/Aufgabe|p|||", "sampleText": textHere}); 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mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/Button_clipboard_Flink.png", "speedTip": "Fakt-Link", "tagOpen": "\n{{\nFaktlink\n|Präwort=||Faktseitenname=\n", "tagClose": "/Fakt\n|Nr=\n|Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}}\n|SZ=\n}}\n", "sampleText": textHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c9/Button_clipboard_bold.png", "speedTip": "Beispiel-Link", "tagOpen": "\n{{\nBeispiellink\n|Präwort=||Beispielseitenname=\n", "tagClose": "/Beispiel\n|Nr=\n|Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}}\n|SZ=\n}}\n", "sampleText": textHere}); mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/54/Letter_A.svg", "speedTip": "Aufgabe-Link", "tagOpen": "\n{{\nAufgabelink\n|Präwort=||Aufgabeseitenname=\n", "tagClose": "/Aufgabe\n|Nr=\n|Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}}\n|SZ=\n}}\n", "sampleText": textHere}); // // //Kategorisierung // // if(wgPageName.match(/Aufgaben$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Button_clipboard_category.png", "speedTip": "Aufgaben-Kategorisierung", "tagOpen": "{{\nAufgaben-Kategorie unter\n|", "tagClose": "|\n||}}", "sampleText": wgTitle.replace(/.Aufgaben$/,"")}); } if(wgPageName.match(/Arbeitsblätter$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Button_clipboard_category.png", "speedTip": "Arbeitsblatt-Kategorisierung", "tagOpen": "{{\nArbeitsblatt-Kategorie unter\n|", "tagClose": "|\n||}}", "sampleText": wgTitle.replace(/.Arbeitsblätter$/,"")}); } if(wgPageName.match(/Beispiele$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Button_clipboard_category.png", "speedTip": "Beispiel-Kategorisierung", "tagOpen": "{{\nBeispiel-Kategorie unter\n|", "tagClose": "|\n||}}", "sampleText": wgTitle.replace(/.Beispiele$/,"")}); } if(wgPageName.match(/Bemerkungen$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Button_clipboard_category.png", "speedTip": "Bemerkungs-Kategorisierung", "tagOpen": "{{\nBemerkungs-Kategorie unter\n|", "tagClose": "|\n||}}", "sampleText": wgTitle.replace(/.Bemerkungen$/,"")}); } if(wgPageName.match(/Beweise$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Button_clipboard_category.png", "speedTip": "Beweis-Kategorisierung", "tagOpen": "{{\nBeweis-Kategorie unter\n|", "tagClose": "|\n||}}", "sampleText": wgTitle.replace(/.Beweise$/,"")}); 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} if(wgCanonicalNamespace.match("Category")){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2d/Button_clipboard_category.png", "speedTip": "Kategorisierung", "tagOpen": "{{\nTheorie-Kategorie unter{{{opt|}}}\n|", "tagClose": "|\n||}}", "sampleText": textHere}); } // // //Buttons zum Schreiben von Strukturvorlagen // // mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/62/Button_desambig.png", "speedTip": "If-Bedingung", "tagOpen": "\n{{#if:{{{", "tagClose": "|}}}| | }}", "sampleText": "Bedingung einfügen"}); if(wgCanonicalNamespace.match("Template")){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Strukturvorlage", "tagOpen": "<includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}}\n|latex\n|#default=", "tagClose": "\n}}</includeonly><noinclude>{{Operatorvorlage||}}</noinclude>", "sampleText": "Struktur"}); } // // //Einträge für Vorträge und Literatur // // if(wgPageName.match(/Themen$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Vortragseintrag", "tagOpen": "{{\nVortragseintrag{{{opt|}}}\n|Sprecher=\n|Thema=", "tagClose": "\n|Titel=\n|Datum=\n|Raum=\n|Ort=\n|Zusammenfassung=\n|Literatur=\n|Aktuell=\n|Status=\n|Vortragstyp=\n|Sonstiges=\n}}", "sampleText": " "}); } if(wgPageName.match(/Vorträge$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Vortragseintrag", "tagOpen": "{{\nVortragseintrag{{{opt|}}}\n|Sprecher=\n|Sprecher2=\n|Thema=", "tagClose": "\n|Titel=\n|Datum=\n|Raum=\n|Ort=\n|Zusammenfassung=\n|Literatur=\n|Aktuell=\n|Status=\n|Vortragstyp=\n|Sonstiges=\n}}", "sampleText": " "}); } if(wgPageName.match(/Literatureintrag/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Bucheintrag", "tagOpen": "{{\nBucheintrag{{{opt|}}}\n|Zitatstichwort=\n|Vorname=", "tagClose": "\n|Nachname=\n|Vorname2=\n|Nachname2=\n|Titel=\n|Teiltitel=\n|Untertitel=\n|Jahr=\n|Verlag=\n|Ort=\n|Auflage=\n|ISBN= --- \n|Reihe=\n|Band=\n|Nummer=\n|Bemerkung=\n}}", "sampleText": "Vorname"}); } if(wgPageName.match(/Literatureintrag/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Artikeleintrag", "tagOpen": "{{\nArtikeleintrag{{{opt|}}}\n|Zitatstichwort=\n|Vorname=", "tagClose": "\n|Nachname=\n|Vorname2=\n|Nachname2=\n|Titel=\n|Journal=\n|Band=\n|Nummer=\n|Jahr=\n|Seiten= \n|ArXivlink=\n|Zentralblatt=\n|Reviews=\n|Bemerkung=\n}}", "sampleText": "Vorname"}); } if(wgPageName.match(/Literatur$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Eintrag im Literaturverzeichnis", "tagOpen": "{{Literaturverzeichnis|", "tagClose": "}}", "sampleText": "Literaturstichwort"}); } if(wgPageName.match(/Literaturverzeichnis$/)){ mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Eintrag im Literaturverzeichnis", "tagOpen": "{{Literaturverzeichnis|", "tagClose": "}}", "sampleText": "Literaturstichwort"}); } // // //Einsetzungshilfen Umstellung // // mw.toolbar.addButton({ "imageFile": "//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Button_oeil.png", "speedTip": "Kat", "tagOpen": "[[Kategorie:Mathematische Standardlinks]]", "tagClose": "", "sampleText":""}); return false; } $( toolbarExtension_semanticTemplates ) ; $( scrollEditBox ); $( mwSetupToolbar ); $( function() { currentFocused = document.getElementById( 'wpTextbox1' ); // http://www.quirksmode.org/blog/archives/2008/04/delegating_the.html // focus does not bubble normally, but using a trick we can do event delegation // on the focus event on all text inputs to make the toolbox usable on all of them var editForm = document.getElementById( 'editform' ); if ( !editForm ) { return; } function onfocus( e ) { var elm = e.target || e.srcElement; if ( !elm ) { return; } var tagName = elm.tagName.toLowerCase(); var type = elm.type || ''; if ( tagName !== 'textarea' && tagName !== 'input' ) { return; } if ( tagName === 'input' && type.toLowerCase() !== 'text' ) { return; } currentFocused = elm; } if ( editForm.addEventListener ) { // Gecko, WebKit, Opera, etc... (all standards compliant browsers) editForm.addEventListener( 'focus', onfocus, true ); // This MUST be true to work } else if ( editForm.attachEvent ) { // IE needs a specific trick here since it doesn't support the standard editForm.attachEvent( 'onfocusin', function() { onfocus( event ); } ); } // </nowiki> // HACK: make currentFocused work with the usability iframe // With proper focus detection support (HTML 5!) this'll be much cleaner if ( typeof $ != 'undefined' ) { var iframe = $( '.wikiEditor-ui-text iframe' ); if ( iframe.length > 0 ) { $( iframe.get( 0 ).contentWindow.document ) .add( iframe.get( 0 ).contentWindow.document.body ) // for IE .focus( function() { currentFocused = iframe.get( 0 ); } ); } } editForm }); ozd06mcmvh9mimg1zcv12d5b2s0bcx9 0 121626 1093095 1026001 2026-06-02T12:31:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093095 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein Vektorraum über {{math|term=\R|SZ=}} mit einem Skalarprodukt {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und der zugehörigen Norm {{mathl|term= {{op:Norm|-|}} |SZ=.}} Dann gilt die Abschätzung {{ Relationskette/display | {{op:Betrag| {{op:Skalarprodukt| v |w}} |}} | \leq | {{op:Norm| v |}} \cdot {{op:Norm| w |}} || || || |SZ= }} für alle {{mathl|term= v,w \in V |SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a7okf81dm7j06evrk89bmxyfqz4813t 106 121948 1093131 1081463 2026-06-02T12:59:33Z Bocardodarapti 2041 1093131 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/1/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Gruppe/Verknüpfung/Faseranzahltupel/Isomorphie/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Erläuterung/d ist 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} jvksqw9ykg6kw2sb3duglsut4h7x3fy 1093132 1093131 2026-06-02T12:59:51Z Bocardodarapti 2041 1093132 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/1/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Gruppe/Verknüpfung/Faseranzahltupel/Isomorphie/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9pscvgv4ho23psy49a3v6djhlsnw14b 106 121955 1093130 1092885 2026-06-02T12:59:17Z Bocardodarapti 2041 1093130 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe|p||| |Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p||| |Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Quadrat und Kubik/Minimal/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe|p||| |Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe|p||| |Darstellung der 1/11 und 13/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlicher Körper/Multiplikationsabbidung/Faseranzahltupel/Aufgabe|p||| |Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p||| |Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Erläuterung/d ist 2/0,b^2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ha99iocswwjf85o6z1tsgl24m72tqqj 106 121959 1093177 1092799 2026-06-03T08:27:04Z Bocardodarapti 2041 1093177 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p||| |Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p||| |Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlicher kommutativer Ring/Addition und Multiplikation/Isomorph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Länderkarte/Geraden als Grenzen/Zwei Farben/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} r2l487o9f87aet0035f0fsy2tpw1pz9 106 121961 1093133 1081186 2026-06-02T13:00:06Z Bocardodarapti 2041 1093133 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/25/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/25/Aufgabe|p||| |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zehnersystem/Verknüpfung/Hintereinanderschaltung/Aufgabe|p||| |Gruppe/abc ist 1/Inverses von b/Aufgabe|p||| |Polynomring/Eine Variable/Kein Körper/Aufgabe|p||| |Nahrungskette/Relation/Arktis/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p||| |Stetige Funktionen/R/Äquivalenzrelation durch Multiplikation mit Einheit/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Potenzierung/Identität/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Erläuterung/d ist 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} m3mwkb8fmz466p75htfyt1ilfaxmmfb 0 122009 1092950 1025425 2026-06-02T12:07:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092950 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Menge und es seien {{ mathbed|term= A_i \subseteq G ||bedterm1= i =1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |endliche Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/1...n/Definition |SZ=. }} Für eine Teilmenge {{ Relationskette | J | \subseteq | {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette/display | A_J || \bigcap_{i \in J} A_i || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| \bigcup_{i {{=}} 1}^n A_i |}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k } {{op:Anzahl|A_J}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7bulay16izjww3n1tmjknwyge6k8ic1 0 122249 1092976 1026166 2026-06-02T12:11:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092976 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, also {{ Relationskette/align |P || X^n + a_{n-1} X^{n-1} {{plusdots|}} a_1X +a_0 ||(X- \lambda_1)^{\nu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\nu_k} || || |SZ= }} mit verschiedenen {{math|term=\lambda_i |SZ=,}} so bilden die Funktionen {{ Math/display|term= t^{j} e^{ \lambda_i t} ,\, i=1 {{kommadots|}} k,\, j=0 {{kommadots|}} \nu_i -1, |SZ= }} ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oh1day3ima7681f826kniqqvlxbsrxz 0 122318 1093054 1019962 2026-06-02T12:24:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093054 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Anzahl der {{ Definitionslink |fixpunktfreien| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |Permutationen| |Kontext=| |SZ= }} auf einer Menge mit {{math|term= n|SZ=}} Elementen ist {{ Math/display|term= \sum_{k {{=}} 0}^n (-1)^{k} {{op:Bruch|n!|k! }} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} smsbk8ex2shcldnydjloxe7snle5hg5 0 122336 1092951 1025427 2026-06-02T12:07:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092951 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= L |und|term2= M |SZ= }} {{ Definitionslink |endliche Mengen| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{ Abbildung/display |name= f | L | M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Dann gilt {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| L |}} || \sum_{ y \in M} {{op:Anzahl| f^{-1} (y) |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5yhfq2ycmomyoyefcng3y3wr1ucwb3c 0 122523 1092914 1020961 2026-06-02T12:02:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092914 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |chromatische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{op:Chromatisches Polynom| G |}} |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten ist ein normiertes Polynom vom Grad {{math|term= n|SZ=.}} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1kx1f5rxfq6pb3575cgayks9ogh3s8l 0 122534 1092953 1026162 2026-06-02T12:08:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092953 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | n,k | \in | \N || || || |SZ= }} bezeichne {{mathl|term= {{op:Surjektionszahl| n |k}} |SZ=}} die Anzahl der {{ Definitionslink |surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} einer {{math|term= n|SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k|SZ=-}}elementige Menge. Dann gilt die Rekursionsformel {{ Relationskette/display | {{op:Surjektionszahl|n+1|k}} || k \cdot {{op:Surjektionszahl| n |k}} + k \cdot {{op:Surjektionszahl| n |k-1}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f177da6rhleevigulrz7fjrk1f6z0is 0 122538 1092980 1025547 2026-06-02T12:12:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092980 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} mit mindestens drei Elementen, der die Bedingung {{ Relationskette/display | d(u) + d(v) | \geq | {{op:Anzahl| V |}} || || || |SZ= }} für je zwei nicht adjazente Knoten {{math|term= u,v|SZ=}} erfüllt. Dann ist {{math|term= G|SZ=}} {{ Definitionslink |hamiltonsch| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} khf1jevfteijwvexe35fvmml3timiri 0 122540 1092949 1025421 2026-06-02T12:07:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092949 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M|SZ=}} eine Menge, es sei {{math|term= I|SZ=}} eine endliche Indexmenge und zu jedem {{ Relationskette | i | \in | I || || || |SZ= }} sei eine Teilmenge {{ Relationskette | M_i | \subseteq | M || || || |SZ= }} gegeben. Zu einer Teilmenge {{ Relationskette | J | \subseteq | I || || || |SZ= }} setzen wir {{ Relationskette/display | M_J || \bigcup_{j \in J} M_j || || || |SZ=. }} Für jede Teilmenge {{ Relationskette | J | \subseteq | I || || || |SZ= }} gelte {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl|M_J|}} | \geq | {{op:Anzahl | J |}} || || || |SZ=. }} Dann gibt es eine {{ Definitionslink |injektive Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= f | I | M || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f(i) | \in | M_i || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q7qvw06kzn4xawcgcnkv7et6o451z4k 0 122859 1093059 1026184 2026-06-02T12:25:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1093059 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |zusammenhängender| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{ Definitionslink |planarer Graph| |Kontext=| |SZ= }} mit {{math|term= n|SZ=}} Knotenpunkten, {{math|term= m|SZ=}} Kanten und {{math|term= g|SZ=}} Gebieten. Dann gilt die {{Stichwort/Antwort|eulersche Polyederformel|SZ=}} {{ Relationskette/display | n-m+g || 2 || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hay4himitg0h5m4447t56iwtud2ey98 0 122860 1092997 1025615 2026-06-02T12:15:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092997 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Halbring| |Kontext=| |SZ= }} und seien {{ Relationskette | x_1 {{kommadots|}} x_k | \in | R || || || |SZ= }} Elemente und {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | {{makl| x_1 {{plusdots|}} x_k |}}^n || \sum_{ r_1 {{plusdots|}} r_k {{=|}} n } {{op:Multinomialkoeffizient| n |r_1 |r_k}} x_1^{r_1} \cdots x_k^{r_k} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oqyb080x0bmbc6q1zoah7ahje6ygr3m 0 122870 1093098 1026015 2026-06-02T12:31:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093098 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= g |[a,b]|V || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Abbildung| |Kontext=mr| |SZ=. }} Dann gilt {{ Relationskette/display | {{op:Norm| {{op:Integral| a | b | g |t}} |}} | \leq | {{op:Integral| a | b | Integrand= {{op:Norm|g(t)|}} ||t}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} m6cpdpgylwql5eazfvawrbln9sn66jl 0 124958 1093026 1025710 2026-06-02T12:20:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093026 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= {{:Gewöhnliche Differentialgleichung/Linear/Inhomogen/Situation|SZ=}} mit {{ Definitionslink |stetigen Funktionen| |Kontext=R| |SZ= }} {{ Abbildung |name= g,h | I |\R || |SZ=. }} Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Stammfunktion| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= g|SZ=}} und es sei {{ Relationskette/display | a(t) || {{op:exp|(G(t))|}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Lösung| |Kontext=gdg| |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |homogenen linearen Differentialgleichung| |Kontext=gdg| |SZ=. }} Dann sind die Lösungen {{ Zusatz/Klammer |text=auf {{math|term= I|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen {{ Relationskette/display | y(t) || c(t)a(t) || || || |SZ=, }} wobei {{mathl|term= c(t) |SZ=}} eine Stammfunktion zu {{mathl|term=\frac{h(t)}{a(t)} |SZ=}} ist. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 866qhel5awn1159tp3zpgig08viid8t 0 130895 1093084 1025958 2026-06-02T12:29:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093084 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | T | \subseteq | [a,b] \times \R^{n-1} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n | |SZ= }} und es sei vorausgesetzt, dass die Funktion {{ Abbildung/display |name= {{{h|h}}} |[a,b]|\R | x | {{{h|h}}}(x) {{=}} \lambda^{n-1} {{makl| x \times \R^{n-1} \cap T |}} |SZ= }} {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=R| |SZ= }} ist. Dann ist {{ Relationskette/display | \lambda^n(T) || {{op:Integral| a | b | {{{h|h}}} |x}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bz39u28ezndf90j2jn9d9xsu7635qs5 0 130967 1093053 1025824 2026-06-02T12:24:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1093053 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= In einem {{ Definitionslink |Peano-Halbring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M|SZ=}} gilt für jeden Ausdruck {{ Relationskette | {{logprop|}} | \in | L^{\{0,1,+,\cdot \} } || || || |SZ= }} in der freien Variablen {{math|term= x|SZ=}} die Aussage {{ Math/display|term= \exists x {{logprop|}} \rightarrow \exists y {{makl| {{logprop|}} \frac{y}{x} {{logund|}} \forall x {{makl| {{logprop|}} \rightarrow x \geq y|}} |}} |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3wecdfxq2v2sdiymcotddsn1wo0qgg 0 131223 1092923 1025324 2026-06-02T12:03:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092923 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= G |und|term2= {{{H|H}}} |SZ= }} {{ Definitionslink |offene Mengen| |Kontext=mr| |SZ= }} im {{mathl|term=\R^n |SZ=}} und es sei {{ Abbildung/display |name= \varphi | G | {{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{math|term= C^1 |SZ=-}}{{ Definitionslink |Diffeomorphismus| |Definitionsseitenname= C^k-Diffeomorphismus/Definition |SZ= }} mit der {{ Definitionslink |Jacobi-Determinante| |SZ= }} {{ Relationskette | (J(\varphi))(x) || {{op:Determinante| {{op:Totales Differential|\varphi|x}} |}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette | x | \in | G || || || |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | {{{T|T}}} | \subseteq | {{{H|H}}} || || || || |SZ= }} eine {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term=\R^n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |kompakte Teilmenge| |Kontext=R^n | |SZ= }} und es sei {{ Abbildung/display |name= f | {{{T|T}}} |\R || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=mr| |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= \varphi^{-1}(T) |SZ=}} ebenfalls kompakt und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Integralmaß| f | {{{T|T}}} |\lambda^n}} || {{op:Integralmaß| (f \circ \varphi ) {{op:Betrag|J(\varphi)|}} |\varphi^{-1}({{{T|T}}})|\lambda^n}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eq9a32cy8ndbc0s3hu6ew005hrmedr5 0 131230 1092994 1025599 2026-06-02T12:14:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092994 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | B | \subseteq | \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |kompakt| |Kontext=R^n | |SZ=, }} {{ Relationskette | P | \in | \R^{n+1} || || || |SZ= }} ein Punkt und {{math|term= K_B|SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Kegel| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{ Relationskette | h || P_{n+1} || || || |SZ= }} die letzte Koordinate von {{math|term= P|SZ=.}} Dann ist {{math|term= K_B|SZ=}} ebenfalls kompakt, und es gilt {{ Relationskette/display | \lambda^{n+1} {{makl| K_B |}} || {{op:Bruch|1|n+1}} \lambda^{n} (B) \cdot {{op:Betrag| h |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0xj5zn51ruczuuoqsovbgwr5i8gii2v 0 131289 1092966 1025477 2026-06-02T12:10:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1092966 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V|SZ=}} ein {{ Definitionslink |euklidischer Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{mathl|term= v_1 ,v_2 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Dann gibt es eine {{ Definitionslink |Orthonormalbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= u_1,u_2 {{kommadots|}} u_n |SZ=}} von {{math|term= V|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Span| v_1,v_2 {{kommadots|}} v_i |}} || {{op:Span| u_1,u_2 {{kommadots|}} u_i |}} || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iijbafmho2mbzi4s4igxnlaej2l8yua 0 135251 1092967 1025483 2026-06-02T12:10:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092967 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Für jedes {{ Relationskette | z | \in | {{CC}} || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:exponentialreihe| z |}} |SZ= }} {{ Definitionslink |absolut konvergent| |Kontext=C| |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o0f1yv3hgzvazpf712wl9pev1077gjb 0 135263 1092928 1025356 2026-06-02T12:04:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1092928 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | a | \in | {{KRC|}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | f'(a) |\neq| 0 || || || |SZ= }} ist auch die Umkehrfunktion {{math|term= f^{-1} |SZ=}} in {{ Relationskette | b || f(a) || || || |SZ= }} differenzierbar mit {{ Relationskette/display | {{makl| f^{-1} |}}'(b) || \frac{1}{f' (f^{-1} (b))} || \frac{1}{f'(a)} || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rteziaxor2bus1xrmihzp55i2gcrxx6 0 135265 1092895 1025243 2026-06-02T11:59:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092895 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= {{Folge|}} |und|term2= {{Folge|y}} |SZ= }} konvergente Folgen in {{math|term= K|SZ=.}} Dann ist die Folge {{mathl|term= {{Folge|Glied=x_n \cdot y_n}} |SZ=}} ebenfalls konvergent und es gilt {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes|Glied= {{makl| x_n \cdot y_n |}} }} || {{makl| {{op:Folgenlimes|}} |}} \cdot {{makl| {{op:Folgenlimes|y}} |}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jd0n1zudin8w48512btwwyfrjnnv7r9 0 135267 1093002 1025627 2026-06-02T12:16:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1093002 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display | g || {{potenzreihe| a |(z-a)}} || || || |SZ= }} eine konvergente Potenzreihe mit dem Konvergenzradius {{ Relationskette | R | > | 0 || || || |SZ=. }} Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe {{ Relationskette/display | \tilde{g} || \sum_{n {{=|}} 1}^\infty n a_n (z-a)^{n-1} || || || |SZ= }} konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe {{math|term= g|SZ=}} dargestellte Funktion {{math|term= f|SZ=}} ist in jedem Punkt {{ Relationskette | z | \in | {{op:Offener Ball| a | R}} || || || |SZ= }} differenzierbar mit {{ Relationskette/display | f'(z) || \tilde{ g}(z) || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} esp81shqzvbpop4ra0kupae86eyyz6t 0 135284 1092896 1025246 2026-06-02T11:59:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1092896 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{Folge||}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |konvergente Folge| |Kontext=ang| |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} mit dem Grenzwert {{ Relationskette | {{op:Folgenlimes|}} || x |\neq| 0 || || |SZ= }} und mit {{ Relationskette | x_n |\neq|0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ=, }} Dann ist {{mathl|term= {{Folge|Glied= {{op:Bruch|1|x_n}} }} |SZ=}} ebenfalls konvergent mit {{ Relationskette/display | {{op:Folgenlimes|Glied= {{op:Bruch|1|x_n}} }} || {{op:Bruch|1|x}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} izs7obebm4dunrm5ent6vhkknecv4s1 0 136821 1093005 1025636 2026-06-02T12:16:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093005 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Math/display|term= {{Reihe|a}} \text{ und } {{Reihe|b}} |SZ= }} zwei {{ Definitionslink |absolut konvergente| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Definitionslink |Reihen| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Definitionslink |komplexer Zahlen| |Kontext=| |SZ=. }} Dann ist auch das {{ Definitionslink |Cauchy-Produkt| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {{Reihe|c}} |SZ=}} absolut konvergent und für die Summe gilt {{ Relationskette/display | {{Reihe|c}} || {{makl| {{Reihe|a}} |}} \cdot {{makl| {{Reihe|b}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cig4qplaejv6t9i0z0i663dbgtejh17 0 136862 1093061 1025853 2026-06-02T12:25:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1093061 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Relationskette | f(z) || {{potenzreihe| c |(z-a)}} || || || |SZ= }} sei für eine komplexe Zahl {{ mathbed|term= z=b ||bedterm1= b \neq a ||bedterm2= |SZ=, }} konvergent. Dann ist für jeden reellen Radius {{ mathbed|term= r |mit|bedterm1= 0< r< {{op:Betrag|b-a|}} ||bedterm2= |SZ= }} die Potenzreihe {{mathl|term= f(z) |SZ=}} auf der abgeschlossenen Kreisscheibe {{mathl|term= {{op:Abgeschlossener Ball| a |r}} |SZ=}} punktweise absolut und gleichmäßig konvergent. |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kipfnay3mhd87l0gvrlb8v935juglu4 0 136871 1092927 1025353 2026-06-02T12:03:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1092927 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die Funktionen {{math|term= f,g|SZ=}} seien in {{math|term= a|SZ=}} differenzierbar mit {{ Relationskette | g(a) |\neq|0 || || || |SZ=. }} Dann ist {{mathl|term= f/g|SZ=}} differenzierbar in {{math|term= a |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | {{op:Bruch(| f |g}}' (a) || {{op:Bruch| f'(a) g(a) - f(a) g'(a) | (g(a))^2 }} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4ixi17snq5o7reh22vgyxcnck8814lq 0 137332 1092897 1025257 2026-06-02T11:59:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1092897 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Zu je zwei Elementen {{ Relationskette | x | < | y || || || |SZ= }} aus {{math|term= K|SZ=}} gibt es eine rationale Zahl {{mathl|term= n/k|SZ=}} mit {{ Relationskette/display | x | < | {{op:Bruch| n |k}} | < | y || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rfmn6lk1hbixophcm2pcm6tqrhd6cak 0 137378 1093006 1025638 2026-06-02T12:16:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093006 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Sinusfunktion| |Kontext=C|msw=Sinus| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{CC}} | {{CC}} | z | {{op:sin| z |}} |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=K| |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{opab|sin| z |}} || {{op:cos| z |}} || || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jsag6isbhup3pcsyvm4hzk694aziq9w 0 137383 1093000 1025625 2026-06-02T12:15:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1093000 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Kosinusfunktion| |Kontext=C|msw=Kosinus| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{CC}} | {{CC}} | z | {{op:cos| z |}} |SZ=, }} ist {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=K| |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{opab|cos|z |}} || - {{op:sin| z |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8wqth1toyq3u62hkwnunen1yivyx8jn 0 139358 1092902 1018548 2026-06-02T12:00:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1092902 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzantwort{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |symmetrische Bilinearform| |SZ= }} auf einem {{ Definitionslink |endlichdimensionalen| |SZ= }} {{ Definitionslink |reellen Vektorraum| |SZ= }} und sei {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} von {{math|term= V|SZ=.}} Es sei {{math|term= G|SZ=}} die {{ Definitionslink |Gramsche Matrix| |SZ= }} zu {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} bezüglich dieser Basis und es seien {{math|term= D_k |SZ=}} die {{ Definitionslink |Determinanten| |SZ= }} der {{ Definitionslink |quadratischen| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{ Definitionslink |Untermatrizen| |SZ= }} {{ Math/display|term= M_k = ( {{op:Bilinearform|v_i |v_j}} )_{1 \leq i,j \leq k}, \, k=1 {{kommadots|}} n |SZ=. }} Dann gelten folgende Aussagen. {{ Aufzählung2 |Genau dann ist {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} {{ Definitionslink |positiv definit| |SZ=, }} wenn alle {{math|term= D_k |SZ=}} positiv sind. |Genau dann ist {{mathl|term= {{op:Bilinearform|-|-}} |SZ=}} {{ Definitionslink |negativ definit| |SZ=, }} wenn das Vorzeichen in der Folge {{mathl|term= D_0=1,\, D_1, \, D_2 {{kommadots|}} D_n |SZ=}} an jeder Stelle wechselt. }} |Textart=Satzantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3bqsuexn2mcnf8leqx7nt14l33hzk4i 0 153184 1093173 1012053 2026-06-03T08:03:53Z Bocardodarapti 2041 1093173 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term=K|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term=T |SZ=}} eine Variable. Eine {{Definitionswort|formale Potenzreihe|msw=Formale Potenzreihe (eine Variable)|SZ=}} in {{math|term= T |SZ=}} über {{math|term= K |SZ=}} ist ein Ausdruck der Form {{ Relationskette/display | F || \sum_{n \in \N} a_n T^n || || || |SZ=, }} mit {{ Relationskette | a_n |\in| K || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | n |\in| \N || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Potenzreihenringe in einer Variablen über einem Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Definitionswort=Formale Potenzreihe (eine Variable) |Definitionswort2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pq9ok7ifuooeyr30bh01j6ar1guxm1a 106 160377 1093178 1081187 2026-06-03T09:25:54Z Bocardodarapti 2041 1093178 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist 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Die Gleichung {{ Relationskette/display | x_n || a_1 x_{n-1} +a_2 x_{n-2} {{plusdots}} a_{{{d|d}}} x_{n-{{{d|d}}}} || || || |SZ= }} heißt eine {{ Definitionswort |Prämath= |lineare Rekursion| |msw= |SZ= }} der Länge {{ Zusatz/Klammer |text=oder der Ordnung| |ISZ=|ESZ= }} {{mathl|term= {{{d|d}}} |SZ=.}} Wenn Anfangsglieder {{mathl|term= x_0,x_1 {{kommadots|}} x_{{{{d|d}}}-1} |SZ=}} gegeben sind, so definiert dies rekursiv eine {{ Definitionslink |Prämath= |Folge| |Kontext=| |SZ= }} in {{math|term= K |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Lineare Rekursion |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} b2a9lydmi4vl37zuscrwop9v7c4hwgj 106 169576 1093219 1072614 2026-06-03T11:04:50Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1093219 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|7|21|Kurs=|}} m7glroiz4m0qlyzo8s9bb040qj5bx9a 0 169639 1093163 1073979 2026-06-03T07:22:27Z Bocardodarapti 2041 1093163 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Rekursion| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | x_n || a_1 x_{n-1} +a_2 x_{n-2} {{plusdots}} a_{{{d|d}}} x_{n-{{{d|d}}}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a_{{{d|d}}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} und Startgliedern {{mathl|term= x_0 {{kommadots|}} x_{d-1} |SZ=}} gegeben und sei {{ Relationskette | F || F(z) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |erzeugende Funktion| |Kontext=| |SZ= }} der Lösungsfolge. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F |SZ=}} die Bedingung {{ Relationskette/display/druckteile | F || a_1 z F + a_2 z^2 F {{plusdots}} a_{{{d|d}}} z^d F + x_0+ {{makl| x_1 -a_1x_0 |}} z |teil2= + {{makl| x_2 -a_1x_1 -a_2x_0 |}}z^2 {{plusdots}} {{makl| x_{d-1} -a_{1}x_{d-1} {{minusdots|}} a_{d-1}x_0 |}} z^{d-1} || || || |SZ= }} erfüllt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7sebvqht79v5zwiqin726ptkejmt1lt 106 170118 1093164 1092538 2026-06-03T07:43:53Z Bocardodarapti 2041 1093164 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelationen/Isomorph/Einzeln ordnungstreu/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/2. 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Drittel/1/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Faseranzahltupel/4 nach 2/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelationen/Isomorph/Einzeln ordnungstreu/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/2. Ordnung/Charakteristisches Polynom/1/Aufgabe|p||| |Endliche geometrische Reihe/Körper/Induktion/Aufgabe|p||| |Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|p||| |Eurozahlen/Minimaler Betrag/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Nullteilergraph/Z mod 10/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} b9ldrsi3ncwuvz6mtnw00zeh8pta6cw 106 170120 1093174 1081191 2026-06-03T08:22:01Z Bocardodarapti 2041 1093174 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/2. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/2. 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Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} --- ===== Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags ===== [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- == 3. Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] 49n3ygvy5uxbbh86mapohzoowymo414 1092920 1092898 2026-06-02T12:02:51Z Mrchristian 31317 1092920 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Aufgaben: # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE ## Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository ## Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository ## Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) ## KI-LLMs: ### Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ### Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining --- ==== 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum ==== [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} --- ===== Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags ===== [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- == 3. Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository == --- == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] lhhn0grj1fa00hxulkhfboy269klrhg 1093135 1092920 2026-06-02T13:04:18Z Mrchristian 31317 /* 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum */ 1093135 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Aufgaben: # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE ## Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository ## Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository ## Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) ## KI-LLMs: ### Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ### Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining --- == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} --- ===== Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags ===== [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- == 3. Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository == --- == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] bpq57lba79ki70np5ucn2wgaa49s0lt 1093136 1093135 2026-06-02T13:05:17Z Mrchristian 31317 1093136 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ # Die drei Abschnitte: ## Wikidata-Ausstellungseinträge ## Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ## Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} --- ===== Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags ===== [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- == 3. Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository == --- == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] 69e66ar4z50fydwx7wcbz71m85rl1kk 1093137 1093136 2026-06-02T13:06:53Z Mrchristian 31317 1093137 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} --- ===== Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags ===== [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- == 3. Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository == --- == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] 77ec71byk5c9n8kw38165tleuk4q765 1093140 1093137 2026-06-02T14:43:44Z Mrchristian 31317 /* 3. Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository */ 1093140 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} --- ===== Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags ===== [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ja7qb0z7h941ibkrmbczpqz5qp8ya7i 1093141 1093140 2026-06-02T14:44:28Z Mrchristian 31317 /* Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags */ 1093141 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} --- == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] 4xqr87qejasp36li63kkue26fvhr7e0 1093142 1093141 2026-06-02T14:45:00Z Mrchristian 31317 /* 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum */ 1093142 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] qmr0nnv4x41obloyowldfzdwzbng15j 1093143 1093142 2026-06-02T14:45:34Z Mrchristian 31317 /* 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags */ 1093143 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] 7bzm0gve0dd9cuix7tt0rdms9ez4afq 1093144 1093143 2026-06-02T14:46:34Z Mrchristian 31317 /* 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags */ 1093144 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] nqh9irgbmxg2d94rbmegnj9eve6ubx3 1093145 1093144 2026-06-02T15:26:03Z Mrchristian 31317 1093145 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. k8fmr4hkmxyq63msw2io0958mh9u3s0 1093146 1093145 2026-06-02T15:26:26Z Mrchristian 31317 1093146 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. t46g6hfpm9pswfhdw0mgyihp3039u6f 1093147 1093146 2026-06-02T15:27:12Z Mrchristian 31317 /* 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen */ 1093147 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. mmep8rpaimhh8eiocehyf7xko0px8ce 1093148 1093147 2026-06-02T15:27:45Z Mrchristian 31317 /* 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys */ 1093148 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. 0f8vt3zqed8kxmdt289wuw5g3ycv2zm 1093149 1093148 2026-06-02T15:53:43Z Mrchristian 31317 1093149 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> 7vey5lii1w48zmvhwa6h81dnqth1imb 0 171326 1092907 2026-06-02T12:01:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1092907 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}} die wesentlichen Konzepte und Objekte in {{ Faktlink |Faktseitenname= Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall {{ Relationskette | d || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | a_1 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | a_2 || -1 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} fvm0p2dygoe6gctam9d6qju5xc121mk 1092909 1092907 2026-06-02T12:01:20Z Bocardodarapti 2041 1092909 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}} die wesentlichen Konzepte und Objekte in {{ Faktlink |Faktseitenname= Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall {{ Relationskette | d || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a_1 || 0 || || || |SZ=, }} {{ 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171327 1093050 2026-06-02T12:24:04Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093050 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}} die wesentlichen Konzepte und Objekte in {{ Faktlink |Faktseitenname= Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall {{ Relationskette | d || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a_1 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | a_2 || b^2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b | \neq | 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 80o143keeqm2fyk79ut8w9ux6r35umk 1093129 1093050 2026-06-02T12:57:18Z Bocardodarapti 2041 1093129 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man erläutere|Erläutern Sie}} die wesentlichen Konzepte und Objekte in {{ Faktlink |Faktseitenname= Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} für den Fall {{ Relationskette | d || 2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a_1 || 0 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | a_2 || b^2 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | b | \neq | 0 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Rekursion |Kategorie2=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 75paex95hj1fd9i6rwohmnlomzsln4q 0 171328 1093127 2026-06-02T12:41:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093127 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Rekursionsbedingung aus Teil (1) ist {{ Relationskette/display | x_n || a_2 x_{n-2} || b^2 x_{n-2} || || |SZ=. }} Es wird nur Bezug auf das vorletzte Folgenglied genommen, die Anfangsglieder 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Das relevante Polynom aus Teil (2) ist zunächst {{ Relationskette/display | Q(t) || 1-b^2t^2 || {{makl| 1-bt |}} {{makl| 1+bt |}} || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 1-b^2 t^2 }} ||\sum_{m {{=}} 0}^\infty b^{2m} t^{2m} || || || |SZ= }} gemäß {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Geometrische Reihe/Erzeugende Funktion/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Damit ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| x_1 t + x_0 | 1-b^2 t^2 }} |SZ= }} die erzeugende Funktion, das Zählerpolynom besitzt den Grad {{math|term= 1 |SZ=.}} In (3) kann man das Polynom {{ Relationskette/display | t^2 -a_2 || {{makl| t-b |}} {{makl| t+b |}} || || || |SZ= }} unmittelbar faktorisieren, es sind also {{ Relationskette | \lambda_1 || b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \lambda_2 || -b || || || |SZ= }} die beiden Nullstellen {{ Zusatz/Klammer |text=mit Vielfachheit {{math|term= 1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4fqv0wyr8dd24pgm5lavy6ik58v1vlf 1093128 1093127 2026-06-02T12:57:07Z Bocardodarapti 2041 1093128 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Rekursionsbedingung aus Teil (1) ist {{ Relationskette/display | x_n || a_2 x_{n-2} || b^2 x_{n-2} || || |SZ=. }} Es wird nur Bezug auf das vorletzte Folgenglied genommen, die Anfangsglieder {{math|term= x_0,x_1 |SZ=}} legen direkt die Folge durch {{ Relationskette/display | x_n || x_{2m} || a^m x_0 || b^{2m} x_0 || b^{n} x_0 || |SZ= }} für {{math|term= n |SZ=}} gerade und {{ Relationskette/display | x_n || x_{2m+1} || a^m x_1 || b^{2m} x_1 || b^{n-1} x_1 || |SZ= }} für {{math|term= n |SZ=}} ungerade fest. Das relevante Polynom aus Teil (2) ist zunächst {{ Relationskette/display | Q(t) || 1-b^2t^2 || {{makl| 1-bt |}} {{makl| 1+bt |}} || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 1-b^2 t^2 }} ||\sum_{m {{=}} 0}^\infty b^{2m} t^{2m} || || || |SZ= }} gemäß {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Geometrische Reihe/Erzeugende Funktion/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Damit ist {{ Math/display|term= {{op:Bruch| x_1 t + x_0 | 1-b^2 t^2 }} |SZ= }} die erzeugende Funktion, das Zählerpolynom besitzt den Grad {{math|term= 1 |SZ=.}} In (3) kann man das Polynom {{ Relationskette/display | t^2 -a_2 || {{makl| t-b |}} {{makl| t+b |}} || || || |SZ= }} unmittelbar faktorisieren, es sind also {{ Relationskette | \lambda_1 || b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \lambda_2 || -b || || || |SZ= }} die beiden Nullstellen {{ Zusatz/Klammer |text=mit Vielfachheit {{math|term= 1 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} Damit dies mit der fallweise bestimmten expliziten Folge aus (1) übereinstimmt, muss {{ Relationskette/display | x_n || b^n {{makl| {{op:Bruch|x_0 |2}} + {{op:Bruch| x_1 | 2 b }} |}} + (-b)^n {{makl| {{op:Bruch| x_0 | 2}} - {{op:Bruch|x_1 |2 b }} |}} || || || |SZ= }} sein {{ Zusatz/Klammer |text=überprüfe die Übereinstimmung für {{math|term= n |SZ=}} gerade und ungerade getrennt| |ISZ=|ESZ=. }} Die beiden Polynome sind konstant, wie gefordert. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} il6keltjo7xo9jo6ea12smlyyk93sr2 106 171329 1093134 2026-06-02T13:00:36Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093134 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs|}} |}} 4kad2zn6l2n3u6dtx2y0t1w2u6rdmnw 0 171330 1093166 2026-06-03T07:53:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093166 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Zu einer {{ Definitionslink |Folge| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= a_n |SZ=}} von {{ Definitionslink |komplexen Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} nennt man die {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Math/display|term= \sum_{n {{=}} 0}^\infty a_nz^n |SZ= }} bzw. die durch diese Reihe dargestellte Funktion die {{ Stichwort/Antwort |erzeugende Funktion| |SZ= }} zur Folge. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kclzfqpjvwy786qhq68xek3c3mqqhr2 1093167 1093166 2026-06-03T07:54:11Z Bocardodarapti 2041 1093167 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Zur Folge {{math|term= a_n |SZ=}} nennt man die {{ Definitionslink |Potenzreihe| |Kontext=C| |SZ= }} {{ Math/display|term= \sum_{n {{=}} 0}^\infty a_nz^n |SZ= }} bzw. die durch diese Reihe dargestellte Funktion die {{ Stichwort/Antwort |erzeugende Funktion| |SZ= }} zur Folge. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 53mhu2i2d61cfw40jrbevwa3l8uhyax 0 171331 1093169 2026-06-03T07:56:44Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093169 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Zu {{math|term= {{{d|d}}} |SZ=}} Elementen {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_{{{d|d}}} |SZ=}} aus {{math|term= K |SZ=}} mit {{ Relationskette | a_{{{d|d}}} |\neq| 0 || || || |SZ= }} nennt man die Gleichung {{ Relationskette/display | x_n || a_1 x_{n-1} +a_2 x_{n-2} {{plusdots}} a_{{{d|d}}} x_{n-{{{d|d}}}} || || || |SZ= }} eine {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |lineare Rekursion| |msw= |SZ= }} der Länge {{mathl|term= {{{d|d}}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cvjmc37kkut95fa1tom8r0dzx524bv6 0 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oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 6bgmarj17qkaivi66qze9487ise406x 106 171336 1093181 2026-06-03T09:32:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093181 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| 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|Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} h6ej0ne20cwqf8kd8o2zq42uexbhq87 1093207 1093199 2026-06-03T10:20:36Z Bocardodarapti 2041 1093207 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| 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oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} phzu0pdlloix85k5buk1d9qhwhjwb6w 106 171338 1093184 2026-06-03T09:36:25Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093184 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| 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