Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 89936 1093265 1081126 2026-06-03T16:37:47Z Bocardodarapti 2041 1093265 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Äquivalenzrelation| |SZ= }} {{math|term= \sim_H |SZ=}} {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |zu einer Untergruppe| |SZ= }} {{ Relationskette | H | \subseteq | G || || || |SZ= }} in einer kommutativen Gruppe {{math|term= G |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bojov769f4jhs56jsrltugobn4vkf17 0 89937 1093266 1019149 2026-06-03T16:38:13Z Bocardodarapti 2041 1093266 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |Äquivalenzrelation| |SZ= }} {{math|term=\sim_H|SZ=}} ist auf {{math|term= G |SZ=}} durch {{mathl|term= x \sim_H y |SZ=,}} falls {{mathl|term= x-y \in H |SZ=,}} definiert. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tbmm16fktw5d9g98q4cnrir4sqqjz9y 0 101618 1093233 1041587 2026-06-03T14:13:50Z Bocardodarapti 2041 1093233 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zu {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} sei {{mathl|term= f(n) |SZ=}} der minimale Eurobetrag, für den man mindestens {{math|term= n |SZ=}} Münzen/Scheine braucht, um diesen Betrag zu begleichen. {{ Aufzählung2 |Erstelle{{n Sie}} {{{zusatz1|}}} eine Tabelle, aus der die Werte für {{math|term= f(n)|SZ=}} ablesbar sind! |Was ist {{mathl|term= f(1000000) |SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9unefd3xjl8scl10zl0xvh1y3ew4av5 0 101619 1093234 1092253 2026-06-03T14:29:58Z Bocardodarapti 2041 1093234 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die minimale Darstellung einer Zahl mit den Eurozahlen eindeutig, man erhält sie, indem man rekursiv die größtmöglichen Scheine/Münzen einsetzt. Damit gelangt man zu folgender Tabelle. {{Wertetabelle12|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= f(n) |SZ=}} |0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|0|1|3|8|18|38|88|188|388|888|1388|1888|||||}} Für alle weiteren {{math|term= n |SZ=}} muss man {{math|term= 500 |SZ=}} dazuaddieren. |Es ist {{ Relationskette/display | f(1 000 000) || 1388 + 999 990 \cdot 500 || 1388 + 499 995 000 || 499 996 388 || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qehkehat9hm9rvi50jml2b7gbl20ien 106 114973 1093376 1072816 2026-06-03T19:35:34Z Bocardodarapti 2041 1093376 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Nachfolger/Addition und disjunkte Vereinigung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Potenzmenge/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ }} {{ inputfaktklappe |Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. 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Grundsätzlich könnte man immer {{ Relationskette | V || {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} nehmen, doch ist dies nicht immer sinnvoll. Eine typische Darstellung eines Graphen ist ein Diagramm aus {{math|term= n |SZ=}} Punkten, von denen manche miteinander durch eine {{Stichwort|Kante|SZ=}} verbunden sind, manche nicht. Die Menge der Kanten bildet eine Teilmenge der Potenzmenge von {{math|term= V |SZ=,}} und zwar eine, wo sämtliche Teilmengen zweielementig sind. Im Sinne der obigen Definition darf {{mathl|term= (v,v) |SZ=}} keine Kante sein. Die Menge aller Kanten wird häufig mit {{math|term= E |SZ=}} bezeichnet und man schreibt kurz {{ Relationskette | uv | \in | E || || || |SZ= }} für den Sachverhalt, dass {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} eine Kante des Graphen ist. Ein Graph wird oft kurz in der Form {{mathl|term= (V,E) |SZ=}} angegeben. Wenn man zu einer Menge {{math|term= V |SZ=}} mit {{mathl|term= {{Op:Potenzmengezwei|V}} |SZ=}} die Menge aller zweielementigen Teilmengen von {{math|term= V |SZ=,}} bezeichnet, so kann man die Kantenmenge als {{ Relationskette |E |\subseteq|{{Op:Potenzmengezwei|V}} || || || |SZ= }} auffassen. {{{zusatz1|}}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Nachbarn/Definition|| }} Wenn zwei Punkte benachbart sind, also durch eine Kante verbunden, so sagt man auch, dass sie {{Stichwort|adjazent|msw=Adjazente Knoten|SZ=}} sind. Ferner sagt man, dass eine Kante mit einem Knoten {{Stichwort|inzident|SZ=}} ist, wenn der Knoten in der Kante vorkommt. Die Kante {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} ist also inzident zu {{math|term= u |SZ=}} und zu {{math|term= v |SZ=}} und sonst zu keinem Punkt. Zwei Kanten nennen wir {{Stichwort|koinzident|msw=Koinzidente Kanten|SZ=,}} wenn ihr Durchschnitt nicht leer ist, wenn sie also inzident zu einem gemeinsamen Punkt sind. Für eine Teilmenge {{ Relationskette |S |\subseteq|V || || || |SZ= }} setzt man {{ Relationskette |N(S) || \bigcup_{ s \in S} N(s) || || || |SZ= }} und nennt dies die Nachbarschaftsmenge von {{math|term= S |SZ=.}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} buyaacni95g2tj8uu8qjtuh79ssm0xj 0 116512 1093404 1085916 2026-06-04T07:26:13Z Bocardodarapti 2041 1093404 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Das kann man beispielsweise durch Induktion über die Anzahl der Kanten bei gegebener Knotenmenge beweisen. Bei einem kantenlosen Graphen steht links und rechts beidseitig {{math|term= 0 |SZ=.}} Wenn man zu einem Graphen eine Kante hinzufügt, sagen wir die Kante, die die beiden Punkte {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet, so erhöht sich der Grad von {{math|term= u |SZ=}} und der Grad von {{math|term= v |SZ=}} jeweils um {{math|term= 1 |SZ=}} und die anderen Grade bleiben unverändert. Somit erhöhen sich beide Seiten um {{math|term= 2 |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d7733vyg39wjmiyajeewwtn5jizvkrn 0 116911 1093403 1091606 2026-06-04T07:24:16Z Bocardodarapti 2041 1093403 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |linear| |msw=Linearer Graph |SZ=, }} wenn es eine Auflistung {{mathl|term= v_1 {{kommadots|}} v_n |SZ=}} aller Knoten derart gibt, dass die Kantenmenge aus {{ mathbed|term= \{ v_i, v_{i+1} \} ||bedterm1= i {{=}} 1,2 {{kommadots|}} n-1 ||bedterm2= |SZ=, }} besteht. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Linearer Graph |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7yga0r72in7tybfy9u7ls6gb75s4s1s 0 117060 1093366 1086814 2026-06-03T19:31:07Z Bocardodarapti 2041 1093366 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir verwenden durchgehend {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt |Nr= |SZ=, }} das besagt, dass {{mathl|term= k! {{op:Partitionszahl| n |k}} |SZ=}} gleich der Anzahl der surjektiven Abbildungen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Menge ist. {{ Aufzählung4 |Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in eine {{math|term= k |SZ=-}}elementige Menge gleich {{ Math/display|term= \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_k {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k } |SZ=. }} Wenn man diesen Ausdruck durch {{math|term= k!|SZ=}} dividiert, und überall {{ Relationskette |c_j || a_j -1 || || || |SZ= }} ersetzt, so erhält man die Behauptung. |Dies ergibt sich aus Teil (2). Zu einem Tupel {{mathl|term= (i_1 {{kommadots|}} i_{n-k}) |SZ=}} der Indexmenge aus Teil (3) definiert man {{ Relationskette/display |c_j | {{defeq|}} | {{op:Anzahl| {{Mengebed| s| i_s {{=}} j |}} |}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |j || 1 {{kommadots|}} k || || || |SZ=. }} Umgekehrt definiert man zu einem Tupel {{mathl|term= (c_1 {{kommadots|}} c_{k}) |SZ=}} der Indexmenge aus Teil (2) die Zahlen {{ Relationskette/display |i_t || j || || || |SZ= }} für {{math|term= t |SZ=}} zwischen ausschließlich {{ mathkor|term1= c_1 {{plusdots|}} c_{j-1} |und einschließlich|term2= c_1 {{plusdots|}} c_{j-1} + c_{j} |SZ=. }} Diese Zuordnungen sind invers zueinander und die aufzusummierenden Produkte stimmen überein. |Dies folgt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt |Nr= |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gsb6h3u548ava6pzggg3igjrtnyp56q 0 117521 1093386 963131 2026-06-03T19:55:40Z Cookietogo97 35924 "G" hinzugefügt 1093386 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionswort |Taille| |msw=Taille (Graph) |SZ= }} eines {{ Definitionslink |zyklischen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=}} ist die kürzeste {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Graph| |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Kreises| |Kontext=Graph| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Taille |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} byxfgjxwop9819tyg9sdqn6zvic6984 1093388 1093386 2026-06-04T06:21:57Z Bocardodarapti 2041 1093388 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionswort |Taille| |msw=Taille (Graph) |SZ= }} eines {{ Definitionslink |zyklischen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G |SZ=}} ist die kürzeste {{ 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|surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= {{{A|A}}} |SZ=}} nach {{math|term= {{{B|B}}} |SZ=}} gleich {{ Math/display|term= \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_k {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k } |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über die Anzahl der surjektiven Abbildungen mit Produktpotenzen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8mb6ck25sm81tu64bh9zoy05xoq38kz 1093353 1093343 2026-06-03T19:19:51Z Bocardodarapti 2041 1093353 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= {{{A|A}}} |SZ=}} eine {{math|term= {{{n|n}}} |SZ=-}}elementige Menge und {{math|term= {{{B|B}}} |SZ=}} eine {{math|term= {{{k|k}}} |SZ=-}}elementige Menge. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Anzahl der {{ Definitionslink |surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= {{{A|A}}} |SZ=}} nach {{math|term= {{{B|B}}} |SZ=}} gleich {{ Math/display|term= \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_k {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k } |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Satz über die Anzahl der surjektiven Abbildungen mit Potenzprodukten |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2srcc60zspuykculec3bbzpeu1136gn 1093358 1093353 2026-06-03T19:25:52Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukten/Summe/Fakt]] nach [[Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1093353 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= 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Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt/Beweis]] nach [[Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukten/Summe/Fakt/Beweis]] 1086225 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über {{math|term= k |SZ=}} und bei fixiertem {{math|term= k |SZ=}} Induktion nach {{math|term= n |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |k || 0 || || || |SZ= }} ist die Aussage richtig. Es sei also {{math|term= k |SZ=}} fixiert und sei die Aussage für alle kleineren {{math|term= k |SZ=}} und alle {{math|term= n |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=zu diesen kleineren {{math|term= k |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} bereits bewiesen. Für {{ Relationskette |n | < | k || || || |SZ= }} ist der Summenausdruck gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} und es gibt auch keine surjektive Abbildung einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in eine größere Menge. Bei {{ Relationskette |n || k || || || |SZ= }} ist das einzige Indextupel gleich {{mathl|term= (1 {{kommadots|}} 1) |SZ=}} und der Summenausdruck ist gleich {{math|term= k!|SZ=,}} was mit der Anzahl der surjektiven bzw. bijektiven Abbildungen nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt |Nr= |SZ= }} übereinstimmt. Es sei also die Aussage auch für ein {{ Relationskette | n | \geq |k || || || |SZ= }} bewiesen. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der {{ Faktlink |Rekursionsformel |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von {{mathl|term= {{Menge1n+1|}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | \, || k \cdot \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_k {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k } |5teil2= +k \cdot \sum_{(b_1 {{kommadots|}} b_{k-1} ):\, b_1+b_2 {{plusdots|}} b_{k-1} {{=|}} n,\, b_j \geq 1} 1^{b_1 }2^{b_2 } \cdots (k-1)^{b_{k-1} } || \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_{k-1} + a_k + 1{{=|}} n+1,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k+1} |7teil2=+ \sum_{(b_1 {{kommadots|}} b_{k-1} ):\, b_1+b_2 {{plusdots|}} b_{k-1} +1 {{=|}} n+1,\, b_j \geq 1} 1^{b_1 }2^{b_2 } \cdots (k-1)^{b_{k-1} } \cdot k^1 ||\sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1,\, c_k \geq 2} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } |9teil2= + \sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1,\, c_k {{=|}} 1} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } || \sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} finko1nv6kcyyj1yek6vpbemshszwp8 1093359 1093345 2026-06-03T19:26:54Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukten/Summe/Fakt/Beweis]] nach [[Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt/Beweis]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1086225 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir führen Induktion über {{math|term= k |SZ=}} und bei fixiertem {{math|term= k |SZ=}} Induktion nach {{math|term= n |SZ=.}} Bei {{ Relationskette |k || 0 || || || |SZ= }} ist die Aussage richtig. 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Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der {{ Faktlink |Rekursionsformel |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die Anzahl der surjektiven Abbildungen von {{mathl|term= {{Menge1n+1|}} |SZ=}} nach {{mathl|term= {{Menge1k|}} |SZ=}} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | \, || k \cdot \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_k {{=|}} n,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k } |5teil2= +k \cdot \sum_{(b_1 {{kommadots|}} b_{k-1} ):\, b_1+b_2 {{plusdots|}} b_{k-1} {{=|}} n,\, b_j \geq 1} 1^{b_1 }2^{b_2 } \cdots (k-1)^{b_{k-1} } || \sum_{(a_1 {{kommadots|}} a_k):\, a_1+a_2 {{plusdots|}} a_{k-1} + a_k + 1{{=|}} n+1,\, a_j \geq 1} 1^{a_1 }2^{a_2 } \cdots k^{a_k+1} |7teil2=+ \sum_{(b_1 {{kommadots|}} b_{k-1} ):\, b_1+b_2 {{plusdots|}} b_{k-1} +1 {{=|}} n+1,\, b_j \geq 1} 1^{b_1 }2^{b_2 } \cdots (k-1)^{b_{k-1} } \cdot k^1 ||\sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1,\, c_k \geq 2} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } |9teil2= + \sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1,\, c_k {{=|}} 1} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } || \sum_{(c_1 {{kommadots|}} c_k):\, c_1+c_2 {{plusdots|}} c_k {{=|}} n+1,\, c_j \geq 1} 1^{c_1 }2^{c_2 } \cdots k^{c_k } |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} finko1nv6kcyyj1yek6vpbemshszwp8 106 118945 1093375 635846 2026-06-03T19:34:43Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt/Faktreferenznummer]] nach [[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt/Faktreferenznummer]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 635846 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|13|6|Kurs=|}} entub400b2smi1kpjw3etshq87a42ha 0 118952 1093367 1084954 2026-06-03T19:31:30Z Bocardodarapti 2041 1093367 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir bestimmen die Anzahl der {{ Definitionslink |surjektiven Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} der fünfelementigen Menge {{mathl|term= \{a,b,c,d,e\} |SZ=}} in die dreielementige Menge {{mathl|term= \{1,2,3\} |SZ=}} mit Hilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt |Nr= |SZ=, }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt |Nr= |SZ=. }} Zur Bestimmung der Summe aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt |Nr= |SZ= }} betrachten wir zuerst die Indexmenge. Die möglichen Indextupel sind {{ mathkor|term1= (1,1,3) |und|term2= (1,2,2) |SZ=, }} jeweils mit drei Permutationen. Deshalb ist die Summe gleich {{ Relationskette/align/handlinks | \sum_{(r_1 ,r_2, r_3):\, r_1+r_2 + r_3 {{=|}} n,\, r_j \geq 1} {{op:Binomialkoeffizient| 5 |r_1 , r_2 , r_3 }} || 3\cdot {{op:Binomialkoeffizient| 5 |3 , 1 , 1}} + 3 \cdot {{op:Binomialkoeffizient| 5 |1 ,2 , 2}} || 3 \cdot 20 + 3 \cdot 30 || 150 || |SZ=. }} Zur Bestimmung der Summe in {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt |Nr= |SZ= }} betrachten wir wieder die Indextupel, wobei ähnlich wie soeben bis auf Permutationen die Summen {{ Relationskette |5 || 1+1+3 || 1+2+2 || || |SZ= }} möglich sind. Die zugehörigen Summanden hängen aber von den Permutationen ab. 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Sie wird auch im Beweis des folgenden Satzes verwendet. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/5 nach 3/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Anzahl von surjektiven Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kcc7hebxvqai1n3t7bx4gug7km1z5op 106 121869 1093398 1086626 2026-06-04T06:45:58Z Bocardodarapti 2041 1093398 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe|p||| |20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Puzzleteile/Rechteckig/Typ/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Gleiche 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|Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition| |Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition| |Restklassengruppe/Kommutativ/Repräsentant/Definition| |Abbildung/Endliche Mengen/Faseranzahltupel/Definition| |Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition| |Ungerichteter Graph/Baum/Definition| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a68reqcfdian8pg9pshgq7ac00ml7q5 0 121879 1093241 645079 2026-06-03T14:37:03Z Bocardodarapti 2041 1093241 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Definitionsabfrage6{{{opt1|}}} |Endliche Menge/1...n/Definition| |Ordnungstheorie/Geordnete Menge/Größtes Element/Definition| |Elementare Zahlentheorie/N/2/Teilerfremd/Definition| |Abbildungen/Links fest/Rechtsisomorph/Definition| |Ungerichteter Graph/Kantenfrei/Definition| |Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Definition| }} |Textart=Aufgabe 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*[[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/53/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/54/Klausur|Beispielklausur 54]] *[[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/54/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] *[[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/55/Klausur|Beispielklausur 55]] *[[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/55/Klausur mit Lösungen|Lösungen dazu]] [[Kategorie:Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Hilfsstruktur]] eok1yur4ts0u1qsspt7mdphj9gi1qh6 108 137449 1093221 965744 2026-06-03T12:29:07Z ~2026-32865-80 41614 -+Kersting, Georg Friedrich - Caspar David Friedrich in his Studio 1811.jpg 1093221 wikitext text/x-wiki == Einführung == == 1613 == [[File:Porträtt, Johann Georg I av Sachsen - Skoklosters slott - 87718.tif|thumb|Porträt Johann Georg II. von Sachsen, 1613.]] Künstler unbekannt Mittleres Alter, schwarze Haare und Bart. Silberfarbenes Sakko mit Blumenstickerei, Nervitk-Spitzenkragen, gelbe Krawatte. Violetter Hintergrund. Die Kurven zwischen dem ovalen Bild und dem Rahmen sind grau gestrichen, mit braunen inneren Locken. Spätere Bezeichnung: „Chufurst Johan Georg af Saxen 1613“ und Mühle. „8“ mit Bleistift. Die Tischdecke auf schlichten, schwarzen Zierrahmen genagelt. Rahmenleistenbreite 55 mm. Porträt, Johann Georg I. von Sachsen Stichworte: Johann Georg I. von Sachsen, Schnurrbart, Barock, Halsband, Porträt, Mann, Malerei, Objekt, Vollbart == 1748 == [[File:Bellotto - Dresden vom linken Elbufer unterhalb der Festungswerke, 1748, Gal.-Nr. 607.jpg|thumb|Dresden vom linken Elbufer unterhalb der Festungswerke, 1748]] [[File:Bellotto - View of Dresden with the Hofkirche at Right, 1748, 52.9.146.jpg|thumb|Bernardo Bellotto: View of Dresden with the Hofkirche at Right]] Bernardo Bellotto (1722–1780) [[w:commons:Category:Dresden vom linken Elbufer unterhalb der Festungswerke (Gal.-Nr. 607)]] [[w:commons:Category:Paintings by Bernardo Bellotto in the North Carolina Museum of Art]] == 1811 == [[File:Kersting, Georg Friedrich - Caspar David Friedrich in his Studio 1811.jpg|thumb| Georg Friedrich Kersting (1785–1847): Caspar David Friedrich in seinem Atelier (1811)]] Georg Friedrich Kersting (1785–1847): Caspar David Friedrich in seinem Atelier (1811), Gemälde, Öl auf Leinwand, Maße Höhe: 54,0 cm, Breite: 42,0 cm, Hamburger Kunsthalle In der Version von 1811, welche als Hamburger Bild bezeichnet wird, sitzt Friedrich vor der Staffelei und malt, wobei er den Arm auf den Malstock gestützt hat. In diesem Fall ist zu erkennen, dass er an einer Gebirgslandschaft mit Wasserfall arbeitet. Auf dem Hamburger Bild malt Friedrich sitzend, trägt einen Hausrock und Pantoffeln, wodurch das Bild etwas Privates hat. Friedrichs Dresdner Atelier befand sich in der Pirnaischen Vorstadt an der Straße An der Elbe, die heute Terrassenufer heißt. Hier arbeitet er bis zum Jahr 1820. Aus zwei Sepiablättern aus den Jahren 1805/06 ist ersichtlich, dass die Fenster des Ateliers auf die Elbe hinausgingen. Die Holzläden konstruierte Friedrich erst nach 1806 und nahm sie, nachdem er verheiratet war und seine erste Tochter geboren war, in die größere Wohnung ein paar Häuser weiter, mit. Im neuen Atelierraum sind diese Fensterläden auf dem Bild Frau am Fenster von 1822 zu sehen. == 1812 == [[File:Georg Friedrich Kersting - Caspar David Friedrich in seinem Atelier (um 1812).jpg|thumb| Georg Friedrich Kersting (1785–1847) Caspar David Friedrich in seinem Atelier (1812)]] Georg Friedrich Kersting (1785–1847) Caspar David Friedrich in seinem Atelier (1812) Mit Caspar David Friedrich in seinem Atelier betitelte der Maler Georg Friedrich Kersting drei Varianten eines Bildes, die zwischen 1811 und 1819 entstanden sind. Alle zeigen den Romantiker Caspar David Friedrich in seinem Atelier in Dresden. Da Friedrich als Landschaftsmaler bekannt ist, überrascht es, dass in seinem Atelier jeder Hinweis auf die Außenwelt fehlt. Ein Fenster ist mit Holzläden völlig abgedunkelt, beim anderen sind nur die oberen zwei Drittel geöffnet, sodass lediglich ein Stück Himmel zu sehen ist. Das Atelier ist betont karg. Nur an der Wand hängen zwei weitere Paletten, eine Reißschiene und ein Zeichendreieck. Caspar David Friedrich suchte Abgeschiedenheit, damit er ungestört seiner Arbeit nachgehen konnte. Kersting zeigt das Malen als einen Prozess der Kontemplation und Reflexion. Dabei dient das Atelier als Ort reiner Konzentration. == 1821 == [[File:Caspar David Friedrich - Flussufer im Nebel - Wallraf-Richartz-Museum.jpg|thumb|Caspar David Friedrich: Flussufer im Nebel (um 1821)]] Caspar David Friedrich (1774–1840) - Flussufer im Nebel / Elbschiff im Frühnebel - etwa 1821 - Technik Öl auf Leinwand - Maße Höhe: 22,0 cm - Breite: 33,5 cm - Wallraf-Richartz-Museum & Fondation Corboud Das Gemälde zeigt das Elbufer bei Dresden, vermutlich aus dem „Blickwinkel von Friedrichs Atelier“. Der Maler Caspar David Friedrich hatte im Haus An der Elbe 26 sein Atelier; unter anderem schuf er dort sein Bild Frau am Fenster und wurde dort auch selbst porträtiert. Im Jahr 1820 zog er mit seiner Familie wenige Meter weiter in das auch vom norwegischen Maler Johan Christian Clausen Dahl bewohnte Haus An der Elbe 33, von wo aus er das Gemälde Flussufer im Nebel schuf. == 1822 == [[File:Caspar David Friedrich 018.jpg|thumb|Caspar David Friedrich: Frau am Fenster]] Caspar David Friedrich (1774–1840) Frau am Fenster - Gemälde Die Gattin des Künstlers, Caroline Friedrich, im Dresdner Atelier An der Elbe 26 - erstellt 1818 bis 1822 Der Raum ist anhand des Atelierbildes von Georg Friedrich Kersting von 1811 als Atelier Friedrichs erkennbar, das sich im Haus An der Elbe 26 befand. Die Rückenfigur stellt nach zeitgenössischer Überlieferung Caroline Friedrich dar, die Frau des Malers. Im unteren, abgedunkelten Teil des Fensters ist ein Laden geöffnet und gibt den Blick frei auf Masten und Takelung zweier Segelboote sowie eine Reihe von hoch gewachsenen Pappeln, die nach Landschaftsdarstellungen aus dieser Zeit die Uferzone der Elbe säumten. Die Bäume und das vorbeifahrende Schiff sind durch den Maler herangezoomt, die Nähe ist unrealistisch. Friedrichs Dresdner Atelier befand sich in der Pirnaischen Vorstadt an der Straße An der Elbe, die heute Terrassenufer heißt. Hier arbeitet er bis zum Jahr 1820. Aus zwei Sepiablättern aus den Jahren 1805/06 ist ersichtlich, dass die Fenster des Ateliers auf die Elbe hinausgingen. Die Holzläden konstruierte Friedrich erst nach 1806 und nahm sie, nachdem er verheiratet war und seine erste Tochter geboren war, in die größere Wohnung ein paar Häuser weiter, mit. Im neuen Atelierraum sind diese Fensterläden auf dem Bild Frau am Fenster von 1822 zu sehen. kpnm9col070sd3knodgooafsym6s1ba 0 141296 1093387 1092384 2026-06-04T06:21:09Z Bocardodarapti 2041 1093387 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Legendre-Polynom/Ableitung/Definition|| }} {{ inputbild |Legendrepolynomials6|svg|300px {{!}} right {{!}} | |Text=Die ersten sechs Legendre-Polynome im für die Orthogonalitätsrelation entscheidenden Intervall {{math|term= [-1,1] |SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Geek3 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Aus der Definition ist ablesbar, dass das {{math|term= n |SZ=-}}te Legendre-Polynom den Grad {{math|term= n |SZ=}} besitzt. Die ersten Legendre-Polynome lauten. {{ Relationskette/display | P_0 (t) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_1(t) || t || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_2(t) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| 3t^2 - 1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_3(t) || {{op:Bruch|1|2}} {{makl| 5t^3 - 3t |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_4(t) || {{op:Bruch|1|8}} {{makl| 35t^4-30t^2+3 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_5(t) || {{op:Bruch|1|8}} {{makl| 63t^5-70t^3+15t |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | P_6(t) || {{op:Bruch|1|16}} {{makl| 231 t^6-315t^4+105t^2-5 |}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Legendre-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Legendre-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} i9kb0flfppib9mvet6riw7d1okk9zjc 3 156489 1093402 929539 2026-06-04T07:18:20Z Kim Celine Cilius 38892 1093402 wikitext text/x-wiki Definition und Ziel, Bewertungsverfahren, Bewertungskriterien, Bewertung von Massenakten, Bewertungsprotokoll Die Bewertung von Registraturgut gehört mit zu den Kernaufgaben von Archiven. Archivische Bewertung bedeutet, dass entschieden wird, welches Registraturgut (= Schriftgut der aktenführenden Stelle) einen dauerhaften Wert hat und in das Archiv übernommen wird. Sie ist damit Teil der Überlieferungsbildung. Die Bewertung läuft jedoch nicht einfach so nach Lust und Laune der bewertenden Person, sondern erfolgt mithilfe von verschiedenen Bewertungsverfahren, -modellen und -kriterien. == Warum muss bewertet werden? == In der öffentlichen Verwaltung entstehen jeden Tag viele Dokumente: Angefangen von E-Mails über Protokolle bis hin zu Ton- und Filmaufnahmen. All diese Dokumente aufzubewahren würde enorm viel Platz erfordern, welches kein Archiv hat. {{Kasten|Beispiel: Auf dem Blog des Sächsischen Staatsarchivs ([http://saxarchiv.hypotheses.org saxarchiv.hypotheses.org]) werden genaue Zahlen für das Jahr 2022 genannt: Dem Sächsischen Staatsarchiv sind mehr als 200 Stellen anbietungspflichtig. Daraus ergeben sich rund 30 Kilometer angebotenes Registraturgut, wovon nur etwa 1 Prozent übernommen wird. Vgl.: Friedrich, Christine: Archivische Bewertung: Was kommt ins Archiv, 20.02.2023: https://saxarchiv.hypotheses.org/16794.}} == Bewertungsverfahren == jdtvpiuvabugltoa1e1odbn8swp51lh 1093414 1093402 2026-06-04T09:10:29Z Kim Celine Cilius 38892 1093414 wikitext text/x-wiki Definition und Ziel, Bewertungsverfahren, Bewertungskriterien, Bewertung von Massenakten, Bewertungsprotokoll Die Bewertung von Registraturgut gehört mit zu den Kernaufgaben von Archiven. Archivische Bewertung bedeutet, dass entschieden wird, welches Registraturgut (= Schriftgut der aktenführenden Stelle) einen dauerhaften Wert hat und in das Archiv übernommen wird. Sie ist damit Teil der Überlieferungsbildung. Die Bewertung läuft jedoch nicht einfach so nach Lust und Laune der bewertenden Person, sondern erfolgt mithilfe von verschiedenen Bewertungsverfahren, -modellen und -kriterien. == Warum muss bewertet werden? == In der öffentlichen Verwaltung entstehen jeden Tag viele Dokumente: Angefangen von E-Mails über Protokolle bis hin zu Ton- und Filmaufnahmen. All diese Dokumente aufzubewahren würde enorm viel Platz erfordern, welches kein Archiv hat. {{Kasten|Beispiel: Auf dem Blog des Sächsischen Staatsarchivs ([http://saxarchiv.hypotheses.org saxarchiv.hypotheses.org]) werden genaue Zahlen für das Jahr 2022 genannt: Dem Sächsischen Staatsarchiv sind mehr als 200 Stellen anbietungspflichtig. Daraus ergeben sich rund 30 Kilometer angebotenes Registraturgut, wovon nur etwa 1 Prozent übernommen wird. Vgl.: Friedrich, Christine: Archivische Bewertung: Was kommt ins Archiv, 20.02.2023: https://saxarchiv.hypotheses.org/16794.}} == Vorbereitung auf die Bewertung == Um das Registraturgut einer Stelle zu bewerten, ist es nötig, Informationen zu den Aufgaben der Stelle zu haben. Vorab sollten Gespräche mit der Stelle geführt werden. Weitere Hilfsmittel können sein: Um die Verwaltungsstruktur zu verstehen: * Aufgabengliederungsplan (gibt die Aufgaben verschiedener Bereiche in der Verwaltung wieder) * Verwaltungsgliederungsplan (gibt die Gliederung der Verwaltung wieder) * Geschäftsverteilungsplan (gibt die personellen Verantwortlichkeiten innerhalb der Verwaltung/Stellen wieder) * Verwaltungsblätter und ähnliche Literatur (geben Aufschluss über Veränderungen innerhalb der Verwaltung, z.B. wenn Ämter zusammengeführt wurden) Um die Akten zu verstehen: * Aktenplan (gibt wieder, welche Akten an welcher Stelle entstehen) * Aktenverzeichnis (Verzeichnis der angelegten Akten) * Fristenkatalog für die Aufbewahrungsfristen == Bewertungsverfahren == '''Einzelbewertung''': Jede Akte wird einzeln angeschaut und bewertet. + Vorteile: Genaue Kenntnis des Akteninhalts. - Nachteile: Zeitaufwändig und erfordert Personal. '''Listenbewertung''': Aussonderungsliste wird von der anbietenden Stelle an das zuständige Archiv übermittelt, die Aussonderungsliste sollte folgende Informationen enthalten: laufende Nummer, Aktenzeichen, Aktentitel, Laufzeit und Aufbewahrungsfrist. + Vorteile: Nimmt weniger Zeit und Personal in Anspruch. - Nachteile: Die anbietende Stelle muss Kenntnisse über ihre eigenen Akten haben, zudem kann es bei falscher Titelbildung seitens der anbietenden Stelle zu falschen Kassationsentscheidungen kommen. Hier gibt eine Stichprobennahme Sicherheit. '''Bewertungskatalog''': Wird anhand eines Aktenplanes gebildet, anhand dessen das zuständige Archiv schon eine Vorbewertung treffen kann. + Vorteile: Entscheidungen müssen nur einmal getroffen werden, nimmt von allen Verfahren am wenigsten Kapazitäten in Anspruch. - Nachteile: Einmalige Fehler können sich über Jahre hinweg ziehen und zu Kassationsfehlern führen. == Bewertunskriterien == ktmva4ho9d7pp6aglhfhr570eiwnqbj 106 160377 1093397 1093211 2026-06-04T06:45:06Z Bocardodarapti 2041 1093397 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p||| |Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Unterring/QX/Dividierte Potenzen/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Z/GgT/Faktoren/Beispiele/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe|p||| |Vier natürliche Zahlen/Hintereinander/Produkt/Teilbar durch 8/Aufgabe|p||| |Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} fc2s9hdp0jhuwbojnvogrfmbps6jecu 106 168596 1093389 1070612 2026-06-04T06:32:35Z Bocardodarapti 2041 1093389 wikitext text/x-wiki {{Arbeitsblattaufzählung28|Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)}}<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik 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}} {{ inputaufgabekommentar |Lemma von Dickson/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Beweise dies zuerst für {{ Vergleichskette | r || 2 || || || |SZ=. }} }} {{ inputaufgabe |R^2/Produktordnung/Kreis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Zahlen/N/Obere Schranke/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Endliche Mengen/Monotone Abbildungen/Standard/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilbarkeit/Produktmenge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Teilerdiagramm/100/Begriffe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fakultät/Teilt gleichlanges Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Natürliche Zahlen/Teilbarkeit/Größergleichbeziehung/Ordnungstreu/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Da die Teilbarkeit allein auf die Multiplikation Bezug nimmt, kann man sie auch in jedem Monoid definieren. {{:Kommutatives Monoid/Teilbarkeit/Definition|}} {{ 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|Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} klyhq0cancki1rnrixar3g7g3g53szp 0 170154 1093349 1077164 2026-06-03T19:18:35Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt/Name]] nach [[Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukten/Summe/Fakt/Name]] 1077164 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Anzahl der surjektiven Abbildungen mit Produktpotenzen. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2lba64nattal86qihhfbvvdtw4c3q9y 1093352 1093349 2026-06-03T19:19:37Z Bocardodarapti 2041 1093352 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Anzahl der surjektiven Abbildungen mit Potenzprodukten. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= 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Art/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Graph/Wälder/Matroid/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt|Korollar|| }} j42ijku3xqh6tppgmoa3bpik61lam6y 1093335 1093328 2026-06-03T19:08:46Z Bocardodarapti 2041 1093335 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Schubfachprinzip/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Menge/Gleiche Anzahl/Injektiv ist surjektiv/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Produktpotenzen/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. 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Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pw87m2z6u4ah6d2tthbmiwtk035ll4j 1093410 1093409 2026-06-04T08:43:19Z Bert Niehaus 20843 /* Rechteck und Kreisscheibe */ 1093410 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1}</math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}</math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} </math> und * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4}</math>. === Veranschaulichung === === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hy1shcckhf4h0ijwa9sdllkgtcaop9b 1093411 1093410 2026-06-04T08:43:40Z Bert Niehaus 20843 /* Bezeichnung der Eckpunkte */ 1093411 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1}</math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}</math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} </math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4}</math>. === Veranschaulichung === === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1396bs1noay1namk92g6p7n0ujdmg0p 1093412 1093411 2026-06-04T09:07:33Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung */ 1093412 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1}</math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}</math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} </math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4}</math>. === Veranschaulichung === Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r09nxl4imujvscfaub08qheea1w23sl 1093413 1093412 2026-06-04T09:08:09Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung */ 1093413 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1}</math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}</math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} </math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4}</math>. === Veranschaulichung === Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] n5lq7madzj6iuv5plzf2k6h7vichzhf 1093415 1093413 2026-06-04T09:21:29Z Bert Niehaus 20843 /* Bezeichnung der Eckpunkte */ 1093415 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Integrals. === Veranschaulichung === Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0vc2seqqp0n6d8zr5utegnf9of79a5m 1093416 1093415 2026-06-04T09:33:36Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege */ 1093416 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Integrals. === Veranschaulichung === Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die orientierte Kreisfläche <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt definiert: ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{(1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9hrh0mtnimpe1ttlex5lniizqnww8xi 1093417 1093416 2026-06-04T09:36:01Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Kreisfläche */ 1093417 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Integrals. === Veranschaulichung === Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die orientierte Kreisfläche <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,1] \times & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t) = (1-t)\cdot z_1 + t \cdot z_2 \end{array} </math> ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{(1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fmtmru3b6fzzjrvyuzzxr0gejq0aa1p 106 170342 1093419 1092866 2026-06-04T10:56:02Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1093419 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den (->weiter) *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] c4b77qt6an9x0idk33yufgih7s1zua7 1093420 1093419 2026-06-04T10:59:06Z Jonas Dächert 41519 /* Modellierungszyklen */ 1093420 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis der oben genannten Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann damit nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert dann eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den (->weiter) ===Umsetzung=== ===Ergebnisse=== *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] r0vynqwyy5ridihq05k2zbtgqefchzm 1093421 1093420 2026-06-04T11:05:24Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1093421 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:00 0863 Zugvögel (Knölsvanor).jpg|mini|andere Zugvögel]] [[Datei:Bear River Migratory Bird Refuge (14848658639).jpg|mini|Zugvögel an einem See]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== ===Ergebnisse=== *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jd90zh90gnczn3t7hyjo6iw6zqllaao 0 170480 1093354 1079797 2026-06-03T19:20:19Z Bocardodarapti 2041 1093354 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis2 |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukten/Summe/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/5 nach 3/Beispiel|| }} Als Alternative zu den oben angegebenen expliziten Formeln, hinter denen jeweils eine aufwändige Summation steht, kann man mit der folgenden Rekursionsformel für die Anzahl von surjektiven Abbildungen arbeiten. 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Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> tfewhn4hbco85p66qln6l507nugjh0g 1093406 1093405 2026-06-04T07:27:43Z Mrchristian 31317 1093406 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Zurück zum Hauptmenü: [[BIM-126-02-Informationsmanagement-Linked-Open-Exhibition]] EN-Version – siehe Sprachauswahl oben rechts. ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> 1n8jxz8t0l4hhu03dssky5cvz4raaor 0 171320 1093407 1092870 2026-06-04T07:56:22Z Mrchristian 31317 /* Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. */ 1093407 wikitext text/x-wiki ==== Linked Open Exhibition ==== EN - Siehe Sprachauswahl – oben rechts ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' - Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition - Beispiel für einen einzelnen Ausstellungsbeitrag: https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE - Bewegung: [[Linked-Open-Exhibition-Ausstellung]] ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining == Sitzung Nr. 8: Kursprojekt == Links * GitHub-Repo des Projekts – Kursprojekt – Veröffentlichung: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Beispiel für einen einzelnen Ausstellungsbeitrag: https://github.com/mrchristian/prototype * Übung: [[Linked-Open-Exhibition-Exercise]] (7 Aufgaben, die für das Kursprojekt bearbeitet werden müssen) * Liste der erstellten Wikidata-Einträge (passwortgeschützt); Teameinteilung: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Zeitplan Linked Open Exhibition: Kunstgalerie, Stiftung und Museum in Toulouse – https://www.wikidata.org/wiki/Q16303680 * Bemberg-Stiftung * Bemberg-Sammlung -- 11:30–13:30 Uhr – Einführung; Gast Chloë Farr – Gast des Open Science Lab aus Kanada – Expertin für Scannen und Datenextraktion; Prototypenarbeit Abschlussprojekt – Teams A. DNB, B. Wikidata, C. Katalog-Scan; Aufgaben für das Abschlussprojekt. 13:30–13:45 Uhr – Pause 13:45–14:15 Uhr – Abschlussprojekt Climic. Aufgabenverteilung für die Prototyp-Teams; Zusammenfassung der Aufgaben. Abschlussprojekt<blockquote>Demonstrieren Sie Beispiele dafür, wie ein Kurator einen „Linked Open Exhibition – Catalogue“ erstellen könnte: Bibliografische Datensätze, Wikidata-Einträge, Scannen von Printkatalogen.</blockquote>Frist: 31. Juli Veröffentlichung: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition (Beitrag leisten) Persönliche Ausstellungsbeiträge: Fork von https://github.com/mrchristian/prototype (Beitrag vervollständigen) 7 Aufgaben erledigen: [[Linked-Open-Exhibition-Exercise]] Aufgaben des Prototyp-Teams erledigen: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/issues [[Kategorie:Wikidata]] qdt9586j2hu4prlrv62j77pobrix7pv 1093408 1093407 2026-06-04T07:57:29Z Mrchristian 31317 1093408 wikitext text/x-wiki ==== Linked Open Exhibition ==== EN - Siehe Sprachauswahl – oben rechts ''Materialien und Aufgaben für das Modul „BIM-126-02, SoSe 2026, Worthington/Blümel” für Studierende der Hochschule Hannover. Die Materialien werden gemeinsam mit mehreren Kollegen aus dem [https://www.tib.eu/de/forschung-entwicklung/forschungsgruppen-und-labs/open-science Open Science Lab] der TIB Hannover erstellt.'' - Projekt-GitHub-Repo: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition - Beispiel für einen einzelnen Ausstellungsbeitrag: https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE - Bewegung: [[Linked-Open-Exhibition-Ausstellung]] ==== Zusammenfassung ==== Der achtteilige Kurs bietet eine Einführung in Linked Open Data (LOD) im Kontext von: # Open Galleries Libraries Archives and Museums (GLAM) und # der Nutzung von Plattformen der Wikimedia Foundation. Die folgenden Plattformen der Wikimedia Foundation werden verwendet: Wikidata, Wikibase, MediaWiki und Wikimedia Commons. AI LLM wird in den folgenden Workflows verwendet: Code Assistant ''Copilot'' und eine Vielzahl von AI LLM-Chat-Diensten für die Dateierstellung und Konfigurationen zur Erstellung von SPARQL-Abfragen, Jinja 2.0-Vorlagen usw. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat Die verwendeten Methoden sind: Open-Source-Software, Open Science und Rapid Prototyping. ==== Linked Open Exhibition ==== Die Frage, die in diesem Kurs untersucht wird, lautet: Wie kann LOD genutzt werden, um Museumsausstellungen als Linked Open Exhibitions zu verbessern – als Aufzeichnung der Ausstellung, als Katalog der Ausstellungsstücke und für andere wichtige Daten? Als Beispiele '''dienen die Steigerung der Besucherzahlen von Ausstellungen und die Schaffung einer größeren Tiefe des Engagements'''. Der Schwerpunkt liegt auf der Frage, wie LOD-Aufzeichnungen von '''Exponaten in einer Ausstellung''' erstellt werden können. ==== Lernpunkte – in der Reihenfolge ihrer Priorität ==== # '''Wikidata/Wikibase LOD-Konzepte:''' Objekte, Eigenschaften, Werte, Qualifikatoren, Wikibase-Schemas, Klassen, Lexeme, Wissensbasis und Wissensgraphen. # '''Linked Open Data (LOD):''' Semantic Web, 5-Sterne-Bewertung, RDF/Triples, Ontologien, Taxonomien und kontrollierte Vokabulare. # '''Verwendung von LOD-Quellen:''' Identifikatoren, PIDs, Informationsquellen, Medienquellen sowie Import- und Export-Tools. # '''Datenmodellierung:''' Methodiken, Schemaverwendung, Visualisierung und Testen. # '''Daten-Workflow-Tools:''' Git, IDE, KI-Code-Assistent (Copilot), KI-Chat, Verwendung von Wikimedia Foundation-Tools, Datenimport- und -export-Tools, Generierung von PIDs und Hinterlegung in einem wissenschaftlichen Repositorium. # '''Datenpräsentation und Datennutzung:''' Ergebnisse des Wikidata Query Service, MediaWiki-Infoboxen, Verarbeitung von SPARQL-Abfragen durch KI-Chat. # '''Open-Science-Praxis:''' Open-Source-Software, Open Notebook Science, Open Licensing, PIDs, FAIR-Datenprinzipien sowie ethische und bewährte Verfahren bei der Nutzung von KI. ==== Sitzungen ==== Die Sitzungen befassen sich mit der Katalogisierung von Ausstellungen des Sprengel Museums unter Verwendung von LOD und der Erstellung von Visualisierungen und Präsentationen. '''Das Ziel des Lernens ist es, den Umgang''' mit '''LOD''' zu '''erlernen.''' Die Methode besteht darin, ausgehend von einem Kern einer „Ausstellung” „Exponate in einer Ausstellung” hinzuzufügen. Von Anfang an sind es die Studierenden, die die LOD erstellen. Dies beginnt mit minimalen Einträgen der Studierenden, die dann mit Identifikatoren, LOD-Medienquellen, Schemata usw. ergänzt werden. Schließlich wird gezeigt, wie die Daten so präsentiert werden können, dass sie dem „Anwendungsfall” entsprechen: '''die Besucherzahlen der Ausstellungen zu steigern und ein tieferes Engagement zu erreichen'''. Hier kommen Präsentationstechnologien zum Einsatz: MediaWiki-Infoboxen, Ergebnisse des Wikidata Query Service, KI-Chat-SPARQL-Abfragen und andere Funktionen usw. ==== Sitzung 1: Erstellung eines Ausstellungskalenders – Aufbau, Hinzufügen von Ausstellungen ==== [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} Ende von Sitzung 1. ==== Hausaufgabenübungen ==== 1. Vervollständigen Sie Ihre zugewiesene Ausstellung. Stellen Sie sicher, dass alle Felder aus Tabelle 1 ausgefüllt sind. Wenn etwas nicht hinzugefügt werden kann, haben Sie zwei Möglichkeiten: A. Machen Sie eine Notiz in der Tabelle zur Ausstellungszuweisung oder B. Senden Sie eine E-Mail an [mailto:Simon.worththington@tib.eu simon.worththington@tib.eu] , damit ich Ihnen bei der Lösung Ihres Problems helfen kann. '''Hinweis: Wenn Sie während des Unterrichts keinen Ausstellungseintrag erstellt haben, stellen Sie sicher, dass dieser vor der nächsten Unterrichtsstunde fertiggestellt ist.''' 2. Erstellen Sie ein GitHub-Konto und fügen Sie Ihren GitHub-Namen neben Ihrem Namen in der Spalte „GitHub-Name” in der Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen hinzu. 3. Überprüfen Sie die Ausstellungseinträge Ihrer Klassenkameraden. Ihnen wurde allen ein Eintrag zur Überprüfung zugewiesen, siehe Tabelle zur Zuweisung der Ausstellungen. Ihr Name steht in Spalte G. Diese erste Überprüfung umfasst drei Fragen – kreuzen Sie die Kästchen an, um anzuzeigen, ob jeder Punkt ausgefüllt wurde, und fügen Sie entweder Kommentare hinzu oder korrigieren Sie den Wikidata-Ausstellungseintrag. '''Hinweis: Wenn der Ihnen zugewiesene Ausstellungseintrag nicht von Ihrem Klassenkameraden erstellt wurde, kontaktieren Sie ihn bitte und bitten Sie ihn, den Eintrag zu vervollständigen.''' Die Fragen lauten: 1. Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? 2. Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? 3. Gibt es einen deutschen und einen englischen Eintrag? --- === Sitzung 2: Ausstellungskatalogisierung – Aufbau, Hinzufügen von Objekten, Künstlern, Katalogen === ==== Die Sitzung umfasst fünf Übungen: ==== # Ausstellungsaktualisierung # Künstler # Ausstellungskatalog # AI LLM SPARQL-Experimente # <s>Kunstwerk</s> ==== Die Übungen umfassen die folgenden Konzepte: ==== ==== Übungen ==== ==== 1. Aktualisierung der Ausstellung ==== * Hausaufgabenüberprüfung: Füllen Sie alle Felder für eine Ausstellung aus. Überprüfen Sie die Ihnen zugewiesene Ausstellung, indem Sie die folgenden drei Fragen beantworten: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch</blockquote> * Für das Label. Wandeln Sie Wörter in Großbuchstaben in Satzschrift um. Verwenden Sie: https://convertcase.net/title-case-converter/ | Ändern Sie z. B. ADRIAN SAUER: TRUTH TABLESPECTRUM INTERNATIONALER PREIS FÜR FOTOGRAFIE DER STIFTUNG NIEDERSACHSEN in Adrian Sauer: Truth Tablespectrum Internationaler Preis Für Fotografie Der Stiftung Niedersachsen. * Fügen Sie die englischen Versionen hinzu. Verwenden Sie DeepL zum Übersetzen: https://www.deepl.com/en/translator ** Titel: Fügen Sie den englischen Titel hinzu * Fügen Sie Folgendes hinzu. Ändern Sie P710 Teilnehmer (Participant) in P921 zentrales Thema artists name. ** Qualifier zum zentralen Thema, um anzugeben, dass die Person Kunstwerke beisteuert. * Verwenden Sie: Qualifier P170 creator und fügen Sie artist Q483501 hinzu (geben Sie „Künstler” ein, es wird automatisch vervollständigt) * Referenz: Gemeinsame Normdatei (GND) ID für eine Person, z. B. Gabriela Jolowicz https://d-nb.info/gnd/134184963 | Suchen Sie den Namen der Person und kopieren Sie den letzten Teil der Nummer 134184963 * Diskussionsseite: Fügen Sie die Überprüfungsfragen für Ihren Wikidata-Eintrag hinzu: <blockquote>[ ] Sind alle erforderlichen Felder vorhanden? [ ] Sind alle Felder korrekt ausgefüllt? [ ] Gibt es einen Eintrag in Deutsch und Englisch?</blockquote>Beachten Sie die nützlichen Links, die Ihnen mehr über verbundene Linked Open Data verraten! Hinweis: SPARQL-Abfrage zur Anzeige des Datenmodells. Eigenschaften und Werte. Ergebnisse: https://w.wiki/JMLX Erstellt mit Gemini AI: https://gemini.google.com/share/c43f34a67f67 ==== Konzepte ==== * Wikidata-Teile – siehe Informationen und Diagramm: ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction/de ** https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:Introduction#/media/File:Datamodel_in_Wikidata.svg * Anwendung eines Überprüfungsprozesses mithilfe von Diskussionsseiten * Hinzufügen von Referenzen * Verwendung einer LOD-Quelle – Ein Normdatensatz Gemeinsame Normdatei (GND) ID <nowiki>https://portal.dnb.de/opac.htm</nowiki> * SPARQL-Abfrage --- ==== 2. Künstler ==== Das Ziel hierbei ist es, sicherzustellen, dass alle Künstler in die Ausstellungsliste aufgenommen wurden, und anschließend die bestehenden Künstlereinträge zu überprüfen. Später wird eine SPARQL-Abfrage durchgeführt, um Aussagen über alle Künstler in unserem Datensatz zu vergleichen. Bevor Sie die Künstereinträge überprüfen, stellen Sie sicher, dass alle Künstler im Ausstellungseintrag aufgeführt sind, mit dem Qualifikationsmerkmal „Künstler” und einem Verweis auf ihren GND-Datensatz. ==== Wichtige Aussagen ==== {| class="wikitable" |Concept |CIDOC CRM (Full) |Linked Art (Selection) |Wikidata Equivalent |Note |- |Entity |E21 Person |Person |Q5 (human) |The base instance. |- |Label/Name |P1 is identified by → E33_E41 |identified_by (Name) | |Linked Art flattens this into a simple list of names. |- | | | |P735 Given name | |- | | | |P734 Family name | |- |Profession |P2 has type → E55 Type |classified_as |P106 (occupation) |Map to AAT 300025103 (artist). |- |Birth |P98i was born → E67 Birth |born (Birth) |P569 (date of birth) |CRM treats birth as an event; Wikidata as a property. |- |Death |P100i died in → E69 Death |died (Death) |P570 (date of death) |If the artist is still living, this is omitted. |- |Nationality |P107i member of → E74 Group |classified_as (Type) |P27 (citizenship) |Linked Art often models nationality as a Type. |- |Reference |P1 identifies ← E42 Identifier |identified_by (Identifier) |QID (The URI itself) |Used to link to external authorities (ULAN, VIAF). |- |Commons category |? |? |P373 search name |<nowiki>https://commons.wikimedia.org/</nowiki> |} Aus Google Gemini: https://gemini.google.com/share/578cc1b886d0 --- ==== Schemas und Communities benötigen Beratung. ==== '''Aus Wikimedia:''' WikiProject Visual Arts: https://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:WikiProject_Visual_arts Wikiproject Exhibitions: https://www.wikidata.org/wiki/Wikidata:WikiProject_Exhibitions '''Halbformell''' Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten: https://kgi4nfdi.github.io/Guidelines/guide/wikibase/data_modelling_import/ '''Formell:''' CIDOC Conceptual Reference Model (CRM) – https://cidoc-crm.org/ Linked Art (basierend auf CIDOC) https://linked.art/model/actor/ ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Schemas * Anwendungsfall * Bottom-up-Design * Identifikatoren --- ==== 3. Ausstellungskatalog ==== Suchen Sie an beiden Orten nach Informationen zum Katalog Ihrer zugewiesenen Ausstellung. Sprengel Museum Publikationskatalog – https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised DND (Beispiel) Sie können nach dem Namen der Ausstellung oder dem Sprengel Museum suchen – https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true Hinweis: Notieren Sie sich alle Links, die Sie in der Tabelle mit den Ausstellungslisten finden. ===== Erstellen Sie einen Wikidata-Eintrag für den Katalog. ===== Hinweis: Suchen Sie zunächst nach der Veröffentlichung, bevor Sie einen Wikidata-Eintrag erstellen. Verwenden Sie den Titel, die ISBN und die GND. Ein Beispiel für eine Veröffentlichung aus DNB und Sprengel Shop. * https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=Gabriela+and+Jolowicz%26any&currentPosition=0 * https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised ===== Geben Sie diese Angaben ein ===== Hinweis: Denken Sie an die Bezeichnung und Beschreibung {| class="wikitable" |Property |Label |Description/Example |- |P31 |instance of |catalogue (Q2352616) |- |P1476 |title |The official title of the catalogue (e.g., Vermeer and the Masters of Genre Painting) |- |P50 |author |The main curator or art historian (item link) |- |P123 |publisher |The museum or publishing house (e.g., Louvre Museum) |- |P577 |publication date |Year of release (e.g., 2024) |- |P212 |ISBN-13 |The 13-digit standard book identifier |- | |GND |ID |- |P973 |described at URL |A link to the catalogue's page on the museum’s website |} Google Gemini https://gemini.google.com/share/9a21f5522192 Beispiel für eine Eingabe: https://www.wikidata.org/wiki/Q138646145 ==== Verlinken Sie den Datensatz zurück zur Ausstellung. ==== P972 > Titel ==== Konzepte ==== * Datenmodellierung * Identifikator * Daten als CC Zero / Urheberrecht der Daten --- ==== 4. AI LLM SPARQL-Experimente ==== Wikidata verfügt über eine SPARQL-Schnittstelle, über die die LOD in Wikidata durchsucht (abgefragt) und auf verschiedene Arten, in verschiedenen Formaten und Visualisierungen ausgegeben werden kann. Außerdem kann sie im Web gespeichert werden. Wir werden den AI LLM-Chat verwenden, um SPARQL-Abfragen zu generieren. Später werden wir die Grundlagen des Schreibens einer SPARQL-Abfrage lernen. Aber zunächst wollen wir sehen, wie sie generiert werden, welche Optionen es gibt und wie sie kreativ eingesetzt werden können. Die Verwendung von Chat-Diensten oder Code-Assistenten kann eine wertvolle Möglichkeit sein, um neue Technologien kennenzulernen. {| class="wikitable" |Service |Best For |Standout Feature |Key Model(s) |- |'''ChatGPT''' |General Use & Tasks |Deep Research & Agent Mode |GPT-5.4, GPT-5 |- |'''Claude''' |Coding & Writing |Artifacts (interactive workspace) |Claude 4.5, 4.6 |- |'''Google Gemini''' |Google Ecosystem |Nano Banana (native image/video) |Gemini 3.1 Pro |- |Perplexity |Real-time Research |Native Citations & Search Labs |Sonar, GPT-5, Claude |- |MS Copilot |Office Productivity |Copilot Vision & 365 Integration |GPT-5.2, Prometheus |- |DeepSeek |Logical Reasoning |High-tier performance at low cost |DeepSeek-V3, R1 |- |Grok |Real-time Social Info |Unfiltered X (Twitter) integration |Grok 4.1 |- |'''Meta AI''' |Social Media |Seamless integration in WhatsApp/IG |Llama 4 (Scout) |- |Poe |Model Testing |Access multiple LLMs in one app |Multi-model aggregator |- |Mistral (Le Chat) |Privacy & Developers |European-hosted, GDPR-focused |Mistral Large 3 |} Einige davon können auch über KISSKI genutzt werden. Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden: https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/ | https://chat-ai.academiccloud.de/chat ==== Die Übung ==== Die Gruppe wird in mehrere Zoom-Breakout-Gruppen aufgeteilt und verbringt dann 20 Minuten damit, SPARQL-Abfragen und andere kreative Anwendungen zu generieren. Fügen Sie die Ergebnisse hier ein: https://tib.cloud/apps/files/files/8251374?dir=/NFDI4Culture/HsH/BIM26/bim26-shared&editing=false&openfile=true Jedem Raum wird eine Chat-Engine zugewiesen. Es gibt maximal vier Gruppen. · Gruppe Nr. 1: ChatGPT · Gruppe Nr. 2: Claude · Gruppe Nr. 3: Google Gemini · Gruppe Nr. 4: Meta AI ==== Beispielübung ==== Chatbots können eine SPARQL-Abfrage oder eine Wikidata-Adresse lesen. z. B. * Artikel https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 * Abfragegrafik https://w.wiki/JPNc * Abfragetidsachse https://w.wiki/JPPN * Artikel Sprengel Museum https://www.wikidata.org/wiki/Q510144 Anschließend kann der Chatbot angewiesen werden, auf Grundlage der bereitgestellten Informationen bestimmte Aktionen auszuführen. Sie sollten den Chatbot bitten, Wikidata-SPARQL-Abfragen zu generieren, und diese Abfragen dann in die SPARQL-Abfrageoberfläche einfügen. https://query.wikidata.org/ Verwenden Sie diese Beispiele und entwickeln Sie Ihre eigenen: # Dashboard erstellen (Anzahl der Dinge) # Inventar erstellen (Tabelle) # Graphdatenmodell erstellen Einige SPARQL-Abfragen · Karte der Geburtsorte von Künstlern – https://w.wiki/JPT3 · Liste der Ausstellungen – https://w.wiki/JPR3 · Als Darstellung der Ausstellungen – https://w.wiki/J8aS ==== Hausaufgabe: Sitzung 2 ==== Erstellen Sie ein Bottom-up-Datenmodell eines Kunstwerks in einer Ausstellung. Fügen Sie nur die minimal erforderlichen Informationen hinzu. Das Ergebnis sollte eine Tabelle sein, wie sie für Ausstellung, Künstler und Katalog dargestellt wird. Die Tabelle sollte Eigenschaften und Attribute enthalten. Sie sollten die oben genannten Schemata zu Rate ziehen. Sie können KI verwenden, aber geben Sie die KI an und verlinken Sie sie mit Ihrer Frage. Wenn Sie KI verwenden, überprüfen Sie die Ergebnisse und machen Sie sich Notizen darüber, was Sie geändert haben. Hinweis: Überlegen Sie, wie die Teile miteinander in Beziehung stehen, was Sie hinzufügen müssen und was bereits in Wikidata vorhanden ist. Reichen Sie Ihre Ergebnisse als Tabelle oder Spreadsheet ein. --- ==== Sitzung 3: Museumsbesuch – Sprengel Museum ==== 19 März 2026 ENDE ==== Sitzung Nr. 4: Schemata und Prototyping (Abschlussprojekt) ==== ===== Zusammenfassung und Überblick ===== Erledigt * Erstellen von Ausstellungs-Einträgen in Wikidata * Befüllen unserer Datenmodelle für „Künstler“ und „Katalog“ * Erkundung des Museums und seiner Aktivitäten, um den Prototyp zu steuern Zu erledigen * Entscheidung über die Ideen für den Prototyp * Datenmodell für Objekte in einer Ausstellung (Kunstwerk und Ausstellung) * Erstellen eines Datenmodells zum Projektende, das von Museen genutzt werden kann und den Branchenstandards – CIDOC und Wikidata – entspricht. ===== Was haben wir über die „Geschichte des Museums“ gelernt? ===== TBC ===== Schemas ===== Eine Gelegenheit, sich mit der Struktur von Linked Open Data anhand gemeinsamer Vereinbarungen zu Arbeitspraktiken vertraut zu machen. Im Laufe des Kurses wird ein Datenmodell entwickelt und fertiggestellt, um „Objekte in einer Ausstellung“ zu beschreiben. Das Datenmodell wird zur Konsultation und zum Testen durch die Community veröffentlicht. ===== Schemas und Schlüsselkonzepte ===== Tabelle: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP * Schema * Terminologiedienst * Kontrolliertes Vokabular * Taxonomie * Ontologie * Wissensgraph Tabelle X: Link: https://tib.cloud/s/ZKNAAo3B8ATXsAP In Linked Open Data (LOD) verwendete Terminologie DE {| class="wikitable" ! Konzept ! Wikidata-Link (Konzept) ! Hauptschwerpunkt ! Analogie ! Beispielressource ! URL ! Anwendungsbeispiel ! URL |- | Schema | Q1397073 | Datenstruktur | Die Vorlage. Konzeptionelles Schema / Datenmodell | Schema.org | [https://schema.org/] | VisualArtwork | [https://schema.org/VisualArtwork] |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) „In der Sierra Nevada, Kalifornien“ | [https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372] |- | Terminologiedienst | Q22692845 | Verbreitung | Eine Bibliothek mit Vokabularen, Schemata, Ontologien usw. | TIB-Terminologiedienst | [https://terminology.tib.eu/ts/] | NFDI4CULTURE | [https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE] |- | Kontrolliertes Vokabular | Q1469824 | Konsistenz | Das Wörterbuch | Integrierte Normdatei / die Gemeinsame Normdatei (GND) | [https://portal.dnb.de/opac/showShortList] | Personen: Dürer, Albrecht | [https://d-nb.info/gnd/117751669] |- | Taxonomie | Q8269924 | Hierarchie | Sortierung nach Typ (allgemeine Klassifizierung) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | [https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/] | Deutscher Surrealist Max Ernst (verwendete Maltechniken) |[https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20und%20Grattage,in%20seinen%20Zeichnungen%20von%201925]. |- | | | | | Iconclass | [https://iconclass.org/] | Max Ernsts „Die Jungfrau, die das Christkind versohlt“ (Parady) | [https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926] |- | Ontologie | Q324254 | Semantik: Bedeutung & Logik (Informationswissenschaft) | Das Regelwerk oder der Stilführer | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / Internationales Komitee für Dokumentation) | [https://cidoc-crm.org/] | Sloane Lab Knowledge Base – Zusammenführung von 3 Sammlungen | [https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start] |- | Wissensgraph | Q33002955 | Netzwerk von Dingen und Beziehungen | Eine Navigationskarte | Verzeichnis antiker Kunstwerke und architektonischer Bauwerke, die in der Renaissance bekannt waren | [https://www.census.de/] | Artemis-Suche | [https://database.census.de/#/detail/10013099] |- | | | | | Forschungsbereich | [https://researchspace.org/] | Hokusai: Das große Bilderbuch von allem |[https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start] |} EN {| class="wikitable" |- ! **Concept** ! **Wikidata link (Concept)** ! **Primary Focus** ! **Analogy** ! **Example resource** ! **URL** ! **Example use** ! **URL** |- | Schema | Q1397073 | Data Structure | The Template. Conceptual schema / data model | Schema.org | https://schema.org/ | VisualArtwork | https://schema.org/VisualArtwork |- | | | | | | | Smithsonian American Art Museum (SAAM) "Among the Sierra Nevada, California" | https://www.wikidata.org/wiki/Q20475372 |- | Terminology Service | Q22692845 | Distribution | A Library of Vocabularies, Schemas, Ontologies, etc | TIB Terminology Service | https://terminology.tib.eu/ts/ | NFDI4CULTURE | https://terminology.tib.eu/ts/ontologies?and=false&page=1&sortedBy=title&size=10&collection=NFDI4CULTURE |- | Controlled Vocabulary | Q1469824 | Consistency | The Dictionary | Integrated Authority File / die Gemeinsame Normdatei (GND) | https://portal.dnb.de/opac/showShortList | Persons: Dürer, Albrecht | https://d-nb.info/gnd/117751669 |- | Taxonomy | Q8269924 | Hierarchy | Sorting things by type (general classification) | Getty Art & Architecture Thesaurus (AAT) | https://www.getty.edu/research/tools/vocabularies/aat/ | German Surrealist Max Ernst (painting techniques used) | https://www.guggenheim-venice.it/en/art/conservation-department-new/technical-studies-and-conservation-campaigns/portrait-of-an-artist-at-work-max-ernsts-surrealist-techniques/#:~:text=Frottage%20and%20Grattage,in%20his%20drawings%20in%201925. |- | | | | | Iconclass | https://iconclass.org/ | Max Ernst’s "The Virgin Spanking the Christ Child" (Parady) | https://www.wikiart.org/en/max-ernst/the-virgin-spanking-the-christ-child-before-three-witnesses-andre-breton-paul-eluard-and-the-1926 |- | Ontology | Q324254 | Semantics: Meaning & logic (information science) | The Rulebook or Writing Style Guide | CIDOC (Comité International pour la DOCumentation / International Committee for Documentation) | https://cidoc-crm.org/ | Sloane Lab Knowledge Base - unifying 3 collections | https://knowledgebase.sloanelab.org/resource/Start |- | Knowledge Graph | Q33002955 | Network of things and relations | A Navigational Map | Census of Antique Works of Art and Architecture Known in the Renaissance | https://www.census.de/ | Artemis search | https://database.census.de/#/detail/10013099 |- | | | | | Research Space | https://researchspace.org/ | Hokusai: The Great Picture Book of Everything | https://hokusai-great-picture-book-everything.researchspace.org/resource/rsp:Start |} ===== Schema-Übung ===== Zu bearbeitende Tabelle: https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (Passwort: bim2026) Wir werden uns mit folgenden Themen befassen: Ausstellung, Künstler und Katalog. '''''Geben Sie die gefundenen URLs ein. Fügen Sie bei Bedarf neue Zeilen, Spalten und Kommentare hinzu. Führen Sie sowohl manuelle als auch KI-Suchen durch, um die Ergebnisse zu vergleichen.''''' ===== Übung Nr. 1: Trage Links zu passenden Elementen aus den folgenden Quellen in die Tabelle ein: ===== * Wikidata:WikiProject Exhibitions/Properties * Generisches Wikibase-Modell für Kulturdaten – Wikibase4Research NFDI4Culture * CIDOC CRM (vollständig) * Terminologiedienst (NFDII4Culture) * Wikidata ===== Übung Nr. 2: Verwenden Sie KI-LLM, um passende Elemente zu finden ===== * <nowiki>https://gemini.google.com/</nowiki> ==== Prototyping ==== Entweder in dieser oder in der nächsten Sitzung wird die Gruppe in Teams aufgeteilt. ===== Schema ===== # Entwicklung eines Datenmodells: „Objekte in einer Ausstellung“ ===== Teile der Quarto-Publikation ===== # Ein Katalog einer Ausstellung des Sprengel Museums # Ein Katalog aller Ausstellungen und Ausstellungskataloge # Katalog der Ausstellungsbeiträge # Ein Glossar mit Begriffen – Personen und benannte Entitäten – aus Wikidata --- ===== Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags ===== Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype '''Modell: Auto''' '''So wurde das Repo eingerichtet. Agent-Eingabeaufforderungen:'''<blockquote>Ich möchte ein Quarto-Website-Projekt ausführen, bitte richte die Grundlagen ein. Das Projekt wird auf GitHub Pages veröffentlicht. Lege das Ausgabeverzeichnis auf „docs“ fest.</blockquote>Erstellen Sie eine Seite für das Quarto-Projekt, die die für diesen Wikidata-Eintrag verwendeten Daten abruft und als professionelle Webseite rendert <Fügen Sie hier Ihre Ausstellung ein – oder verwenden Sie diese> https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 Der Ansatz sollte eine SPARQL-Abfrage für die Daten erstellen und diese dann mithilfe eines Jupyter-Notebooks als HTML rendern. Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. --- ===== Hausaufgabe – Sitzung Nr. 4 ===== * Hol alle Bücher aus der HsH-Bibliothek, die Ausstellungskataloge des Sprengel Museums sind. Bring sie zur nächsten Vorlesung mit * Erstelle einen Ausstellungs-Eintrag, falls noch nicht geschehen * Arbeite mit VSCode und dem Agent und experimentiere ==== Sitzung 5: Prototypenerstellung: Running Quarto Prototype, Federation, Prototype Teams ==== * Running Quarto Prototype - wie oben - https://github.com/mrchristian/prototype * DNB data download https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Data Federation - WB4R ===== Links ===== https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/wiki/Main_Page Glossar - https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/Documentation/glossary ===== DNB Suche ===== https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books Sprengel Museum, 602 Artikel '''Über die Dienstleistungen von DNB''' https://www.dnb.de/librarylab https://deutsche-nationalbibliothek.github.io/jupyterlite/lab/ '''AUCH''' https://wiki.dnb.de/spaces/LINKEDDATASERVICE/pages/449878933/DNB+SPARQL+Service+BETA ===== Prototype Teams ===== * DNB-Daten * Katalog durchsuchen * Ausstellungsbeiträge * Vollständiges Datenmodell (alle) == Sitzung 6: Kursprojekt – Prototypenentwicklung: ''Vernetzte offene Ausstellungen'' == URL des Prototyps (derzeit 29.04.2026, ein Shell-Framework): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ === Programm: === 11:30 – 11:50 Uhr (20 Min.) ''' Überblick: Klassenprojekt – Prototyping: Linked Open Exhibitions.''' Was ist das und was muss geliefert werden? Zuweisung zu Teilprojekten und Aufgabenübersicht. '''Aktivität Nr. 1: Bottom-up-Datenmodellierung: Datenabgleich''' 11:50 – 12:20 Uhr (30 Min.) Datenermittlung und -auswertung (Breakout-Räume) 12:20 – 12:40 Uhr (20 Min.) Besprechung der Datenergebnisse (Klassendiskussion) 12:40 – 12:55 (15 Min.) Pause '''Aktivität Nr. 2: Top-down-Datenmodellierung: Schema-Mapping''' 12:55 – 13:35 (40 Min.) Daten anhand von Schemata abbilden (Arbeitsgruppen) 13:35 – 13:55 (20 Min.) Besprechung der Ergebnisse (Klassendiskussion) '''13:55 – 14:15 (20 Min.) Arbeitszeit: Offener Zeitblock zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Beantwortung weiterer Fragen''' --- === Wichtige Links === ·  '''Haupt-Prototyp-Repository:''' https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ · Quarto-Einrichtung: ''„BIM Prototype 02 Quarto Website“:'' https://mrchristian.github.io/prototype/ ·  Anleitungen für den „Tech Stack“: ''Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags'' [[BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einführung in Quarto und Einfügen eines Ausstellungsbeitrags|https://en.wikiversity.org/wiki/BIM-126-02-Data-Science-Linked-Open-Exhibition#Einf%C3%BChrung_in_Quarto_und_Einf%C3%BCgen_eines_Ausstellungsbeitrags]] ·  Früherer Prototyp (2025): https://nfdi4culture.github.io/open-museum/ === ''Übersicht: Klassenprojekt – Prototypenentwicklung: Vernetzte offene Ausstellungen'' === Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Repo: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Warum? ·      Rapid Prototyping wird in diesem Zusammenhang genutzt, um mehr über „Datenmodellierung mit Linked Open Data“ zu lernen. '''''Anmerkung: Die hier erworbenen Fähigkeiten und Erfahrungen im Bereich der Datenmodellierung sind eine Kernkompetenz, die eine Grundlage für die Erstellung von Datenmodellen in einer Vielzahl von beruflichen Kontexten bildet.''''' ◦  Wie man Datenmodellierung durchführt ◦  Zu verwendende Methoden: Bottom-up; KISS (Keep it Short and Simple); Top-down ◦  Bewertung und Validierung ◦  Ein Datenmodell operationalisieren ◦  Benutzertests ◦  Bewährte Verfahren, einschließlich Open-Science-Praktiken, z. B. die FAIR-Datenprinzipien ◦  Experimente mit KI-LLMs und agentischer Programmierung im Arbeitsablauf ·      Rapid Prototyping ist eine Design-Forschungsmethodik – das heißt, Wissen durch praktisches Tun zu schaffen oder zu entdecken. Was? Erstellen Sie mit der ganzen Klasse einen Website-Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Die Website besteht aus drei datengesteuerten Teilprojekten: 1.    Manuelle Wikidata-Einträge für die Website des Sprengel Museums – Einträge der Klasse bereits erstellt 2.    Massen-Ausstellungseinträge, abgeleitet aus über 600 DNB-Einträgen zum „Sprengel Museum“ – importiert 3.    HsH-Bibliotheksdatensätze für eine Suche zum Sprengel Museum und ein Scan eines Sprengel-Museum-Katalogs für Text- und Daten-Mining (TDM) – noch zu erledigen Wie? Simon Worthington wird als Publikationsmanager fungieren. Dies umfasst die Ausführung oder Steuerung komplexer Softwareteile. Für einige Teile wird agentische Codierung mit Copilot verwendet (erprobt). Die Klasse ist in drei Teams für die Teilprojekte aufgeteilt: 1.    Website zu den Ausstellungen des Sprengel Museums; 2.    DNB-Einträge „Sprengel Museum“ 3.    Text- und Data-Mining: Bibliothekskatalog Sprengel Museum Jedes Team führt für seinen Teil die gleichen Aufgaben durch, um eine Runde der Datenmodellierung abzuschließen: 1.    Daten sammeln – Bottom-up-Methode 2.    Validierung der Daten – Top-down-Methode 3.    Präsentation der Daten – Quarto-Website „Linked Open Exhibitions“ Ziel: Definition of Done (DoD) ''Anmerkung: Entwicklerjargon'' ·      Ein dokumentiertes Datenmodell (Tabelle) mit Diagramm (Mermaid, GraphVis oder Draw.io) ·      Zuordnung des Datenmodells zu Schemata (Tabelle) ·      Idee zur Darstellung der Daten für jeden Unterabschnitt im Prototyp und Umsetzung mit Unterstützung des Publication Managers, z. B. für DNB eine chronologische Liste von Ausstellungen mit Bildern. ·      Dokumentation der Nutzung von KI-LLM als Assistent, Quellenangaben und Kommentare zu bewährten Verfahren ·      Datenherkunft und Ausfüllen der Checkliste für bewährte Praktiken ·      Das Endergebnis „Class Project – Prototyping: Linked Open Exhibitions“ wird als institutionelle Hinterlegung bei [https://zenodo.org/ Zenodo] veröffentlicht. === --- === === Aktivität Nr. 1: Datenerhebung und Bottom-up-Datenmodellierung === Bestätigen, erstellen oder erweitern Sie bestehende Datenmodelle, indem Sie die Quelle betrachten. Jedes Projekt hat eine Quelle: * ·      Team Nr. 1: Website des Sprengel Museums, Ausstellungslisten: ◦  https://www.sprengel-museum.de/ und ◦  CSV-Tabelle mit den eingegebenen Ausstellungen GitHub | [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Tabelle TIB Cloud] (passwortgeschützt) ◦  Prototyp: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/exhibitions.html * ·      Team Nr. 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“: ◦  https://portal.dnb.de/opac/moveDown?currentResultId=Sprengel+and+Museum%26any&categoryId=books | https://wikibase.wbworkshop.tibwiki.io/ ◦  CSV https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/blob/main/catalogues/sprengel_exhibitions.csv ◦  Bilder von Buchumschlägen https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/tree/main/catalogues/images * ·       Team Nr. 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen für das „Sprengel Museum“ : ◦  https://katalog.bib.hs-hannover.de/vufind/Search/Results?lookfor=Sprengel%2BMuseum ◦  Team 3 muss bei Null anfangen, da wir bislang noch keinen Bibliotheksdatensatz oder Eintrag in einem Ausstellungsdatenmodell haben. Tipp: Schaut euch die anderen Modelle an, um mit dem Aufbau eurer Datenmodelle zu beginnen. '''>>> Hier zum Datenmodell hinzufügen:''' https://tib.cloud/s/PicTdwCEqCQ6pBp (passwortgeschützt) ==== ZIEL ==== Sicherstellen, dass das Datenmodell die Quelle abbilden kann. Gibt es genügend Einträge, um die Bestandteile der Quelle zu beschreiben? Der Prozess ist iterativ, das heißt, er wird immer wieder wiederholt, wobei Verbesserungen und Änderungen vorgenommen werden. ==== AUFGABEN ==== ·      Bearbeiten Sie den violett-grauen Bereich; der grüne Bereich wird in der nächsten Aktivität bearbeitet ·      Überprüfen und korrigieren Sie vorhandene Informationen ·      Fügen Sie neue Konzepte hinzu, falls die Quelle dies erfordert ·      Orangefarbene Bereiche müssen ausgefüllt werden. Die Zellen müssen möglicherweise bearbeitet oder ergänzt werden. ·      Datentypen finden Sie ausschließlich auf den Eigenschaftsseiten. Elemente (QIDs) haben keine Datentypen, unter „https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476<nowiki/>“ unter der Bezeichnung „ “ ''Datentyp'' ·      URI entspricht einer URL === Tipps === * Schau dir andere Beispiele auf Wikidata an: Künstler, Ausstellungen, Kataloge, bibliografische Einträge oder Objekte in einer Ausstellung. * Verwenden Sie eine KI, um Schemaerklärungen oder Optionen nachzuschlagen. Registrieren Sie sich bei KISSKI, um eine bessere KI-Datenschutznutzung zu erhalten. === Aktivität Nr. 2: Validierung der Top-Down-Datenmodellierung === ·      Team 1: Website des Sprengel Museums ·      Team 2: DNB-Einträge zur Suche nach „Sprengel Museum“   ·      Team 3: Informationen der HsH-Bibliothek zu Katalogen zum „Sprengel Museum“ ==== ZIEL ==== Alle Konzepte abbilden ==== AUFGABEN ==== Das Konzept in den verschiedenen Ressourcen nachschlagen und Verknüpfungen hinzufügen, === Arbeitszeit: Zeitfenster zur Überprüfung des laufenden „Tech Stack“ oder zur Klärung sonstiger Fragen === --- == Hausaufgabe == ·      Führen Sie die Bottom-up- und Top-down-Modellierung durch ·      Team #3: Besuche die Bibliothek und erstelle einen digitalen Scan auf einem Kopierer, speichere ihn als PDF. Der Scan wird für Text- und Data-Mining verwendet und die Datei anschließend gelöscht und vernichtet. Wir werden nur Metadaten aus dem Scan extrahieren. ·      Kommt zur nächsten Unterrichtsstunde mit Ideen und Vorschlägen, was ihr aus euren Daten und Datenmodellen im Prototyp dargestellt haben möchtet. ---- == Abgabe und Beitrag zum Klassenprojekt: Prototypenentwicklung: „Linked Open Exhibitions“. == „Linked Open Exhibitions“ (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Von den Studierenden zu erledigende Aufgaben, die bewertet werden und in die Gesamtnote einfließen: # Erstellen Sie den Wikidata-Eintrag für eine Ausstellung des Sprengel Museums # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository (wird noch im Unterricht behandelt) # KI-LLMs: ## Agentische Programmierung: VSCode-Copilot-Übung – planen, ausführen (wird noch im Unterricht vermittelt) ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben – Richtlinien werden bereitgestellt # Erledigung einer Teamaufgabe für das Klassenprojekt: Prototyping: Linked Open Exhibitions (wird noch im Unterricht vermittelt, wird über GitHub-Issue zugewiesen). ## Die drei Teams sind: ### Ausstellungshandbuch Wikidata-Einträge ### Sortierung von DNB-Einträgen ### Ausstellungskatalog der HsH-Bibliothek – Text- und Data-Mining == Sitzung Nr. 8: Kursprojekt == Links * GitHub-Repo des Projekts – Kursprojekt – Veröffentlichung: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition * Beispiel für einen einzelnen Ausstellungsbeitrag: https://github.com/mrchristian/prototype * Übung: [[Linked-Open-Exhibition-Ausstellung]] (7 Aufgaben, die für das Kursprojekt bearbeitet werden müssen) * Liste der erstellten Wikidata-Einträge (passwortgeschützt); Teameinteilung: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq Zeitplan Linked Open Exhibition: Kunstgalerie, Stiftung und Museum in Toulouse – https://www.wikidata.org/wiki/Q16303680 * Bemberg-Stiftung * Bemberg-Sammlung -- 11:30–13:30 Uhr – Einführung; Gast Chloë Farr – Gast des Open Science Lab aus Kanada – Expertin für Scannen und Datenextraktion; Prototypenarbeit Abschlussprojekt – Teams A. DNB, B. Wikidata, C. Katalog-Scan; Aufgaben für das Abschlussprojekt. 13:30–13:45 Uhr – Pause 13:45–14:15 Uhr – Abschlussprojekt Climic. Aufgabenverteilung für die Prototyp-Teams; Zusammenfassung der Aufgaben. Abschlussprojekt<blockquote>Demonstrieren Sie Beispiele dafür, wie ein Kurator einen „Linked Open Exhibition – Catalogue“ erstellen könnte: Bibliografische Datensätze, Wikidata-Einträge, Scannen von Printkatalogen.</blockquote>Frist: 31. Juli Veröffentlichung: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition (Beitrag leisten) Persönliche Ausstellungsbeiträge: Fork von https://github.com/mrchristian/prototype (Beitrag vervollständigen) 7 Aufgaben erledigen: [[Linked-Open-Exhibition-Ausstellung]] Aufgaben des Prototyp-Teams erledigen: https://github.com/NFDI4Culture/linked-open-exhibition/issues [[Kategorie:Wikidata]] fndlv91dl9l7e6wjmdzzgr49e6lf4dl 106 171334 1093283 1093179 2026-06-03T18:07:37Z Bocardodarapti 2041 1093283 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 1ek02hr6ftwzs2k1ah4255naw36jnlk 1093395 1093283 2026-06-04T06:44:25Z Bocardodarapti 2041 1093395 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/26/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dritte binomische Formel/Illustriere geometrisch/Aufgabe|p||| |Division mit Rest/Z/1/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Teileranzahl/Unter 1000/Rekord/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(3,0) und (1,1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition//Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 89/Inverses Element zu 25/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} k3yp5k7wn7cjpgdcda9xa2vo948i7iw 1093396 1093395 2026-06-04T06:44:35Z Bocardodarapti 2041 1093396 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte 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|/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} cnbm1ryjnoj6jbz7tuiby2th19rdkp0 106 171336 1093307 1093196 2026-06-03T18:35:25Z Bocardodarapti 2041 1093307 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomische Formeln/999/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p||| |Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} c8lqkc7bqi778l1vycuzwax7r60g1zm 1093332 1093307 2026-06-03T19:07:05Z Bocardodarapti 2041 1093332 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomische Formeln/999/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu 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|/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} d5kfl4b8zay3dhdodqjejoc54dbf4kd 1093322 1093317 2026-06-03T18:56:06Z Bocardodarapti 2041 1093322 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/2/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ke8qq10aqtjqhziiyenl33ueu55xt0h 1093326 1093322 2026-06-03T19:00:28Z Bocardodarapti 2041 1093326 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/2/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p||| |Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Wald/Ergänzung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} ql828in4hvo2cay73dxofduar76wv7l 106 171338 1093311 1093212 2026-06-03T18:38:42Z Bocardodarapti 2041 1093311 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/30/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Monoid/Lösbarkeit von Gleichungen/Umformungen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Produkt aller Zahlen/Primfaktorzerlegung/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Teilerkette/Maximale Anzahl/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Z/Aus NxN/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| 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Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} rdyiwxgxz0grhpxp5wpqfyhs2xq1w31 0 171339 1093243 1093202 2026-06-03T14:38:00Z Bocardodarapti 2041 1093243 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{Definitionsabfrage6{{{opt1|}}} |/Definition| |/Definition| |/Definition| |Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Definition| |Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Homogen/Definition| |/Definition| }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= 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htf9qltm8sv5k50cc82jk37s4umdybl 0 171356 1093230 2026-06-03T13:00:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093230 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Das {{ Stichwort/Antwort |Prämath= |Faseranzahltupel| |msw= |SZ= }} zu {{math|term= f |SZ=}} ist das aufsteigend angeordnete Zahlentupel, in dem die Zahlen {{ Math/display|term= {{op:Anzahl| f^{-1} (y)| }} \text{ zu } y \in M |SZ= }} stehen. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cwwexw41muh70se3pvga80xe3hinq2z 106 171357 1093235 2026-06-03T14:30:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093235 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs|}} |}} 4kad2zn6l2n3u6dtx2y0t1w2u6rdmnw 106 171358 1093236 2026-06-03T14:31:00Z Bocardodarapti 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Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093245 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} heißen {{ Stichwort/Antwort |linksisomorph| |SZ=, }} wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | L_1 | L_2 || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 34oydstq89zd9wkaukidu8spzaaiies 0 171361 1093246 2026-06-03T14:44:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093246 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R_1 | \subseteq | M_1 \times N_1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Relation| |Kontext=| |SZ= }} zwischen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= N_1 |SZ= }} und {{ Relationskette | R_2 | \subseteq | M_2 \times N_2 || || || |SZ= }} eine Relation zwischen {{ mathkor|term1= M_2 |und|term2= N_2 |SZ=. }} Wann nennt man die beiden Relationen {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |isomorph| |SZ=? }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} heh187kxv3rt95srno93ggtan7fobpt 0 171362 1093247 2026-06-03T14:45:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093247 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Die beiden Relationen heißen {{ Stichwort/Antwort |isomorph| |SZ=, }} wenn es {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= \varphi | M_1 | M_2 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi |N_1|N_2 || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette | (x,y) | \in | R_1 || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn {{ Relationskette | (\varphi(x), \psi(y)) | \in | R_2 || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} q68zfffc7k0timvppmkjk4zbmvtbl4v 0 171363 1093248 2026-06-03T14:47:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093248 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Matroid| |SZ= }} auf einer endlichen Menge {{math|term= E |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lcy8admzhf48yoqsstwjgk2p7lreqk3 0 171364 1093250 2026-06-03T14:49:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093250 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Rechtsisomorphe| |SZ= }} Abbildungen {{ Abbildung |name= f_1 | L | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L | M_2 || |SZ= }} zu Mengen {{mathl|term= L, M_1, M_2 |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 38yt718j6hzsntbz05ao7eifssj8d9p 0 171365 1093251 2026-06-03T14:51:15Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093251 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsantwort{{{opt|}}} |Text= Die Abbildungen {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} heißen {{ Stichwort/Antwort |rechtsisomorph| |SZ=, }} wenn es eine {{ Definitionslink |Prämath= |bijektive| |Kontext=| |SZ= }} Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | M_1 | M_2 || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | f_2 || \psi \circ f_1 || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fw2bmksetxdz296af46r57fe65s35cq 0 171366 1093254 2026-06-03T16:27:30Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093254 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Isomorphie| |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |Abbildungen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name= f_1 | L_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | L_2 | M_2 || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7jfiooe45iwsgwfj3tsrak868gp42kb 0 171367 1093257 2026-06-03T16:30:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093257 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe|opt1=Lösung}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} io4wobjz3tvq0gwvanqaj6elb50cx4j 0 171368 1093258 2026-06-03T16:30:15Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093258 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe|opt1=Lösung}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ct4w62q47d8ikyljbyyn7hv8pu7pspv 0 171369 1093259 2026-06-03T16:30:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093259 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Diskrete Mathematik/Gemischte 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|M_1| M_2 || |SZ= }} derart gibt, dass {{ Relationskette/display | f_1 || \varphi^{-1} \circ f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Definitionsantwort |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jfuuqgtnn0lliiw5lkt61sj4r4vt9gy 0 171373 1093263 2026-06-03T16:33:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093263 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definitionsabfrage{{{opt|}}} |Text= Die {{ Stichwort/Abfrage |Prämath= |Konjugiertheit| |SZ= }} von zwei Abbildungen {{ Abbildung |name= f_1 | M_1 | M_1 || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= f_2 | M_2 | M_2 || |SZ=. }} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lskbidymsksqa01leanawyxndvxgieq 0 171374 1093270 2026-06-03T16:44:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische 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|Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} o4ch1pkm7ftapvom6dc89feqz7ixo6a 0 171386 1093286 2026-06-03T18:10:15Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093286 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die explizite Lösung einer linearen Rekursion. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iec2i7d54hvpyfowola44ye77rrdpbd 0 171387 1093287 2026-06-03T18:11:40Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093287 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Satzabfrage{{{opt|}}} |Text= Der Satz über die Darstellungsmöglichkeiten von natürlichen Zahlen mit Gewichten. |Textart=Satzabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} iu48eend4mt1mjzqcwx8n4wcdojllal 0 171388 1093289 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|Stirling-Zahl erster Art| |msw=Stirling-Zahl erster Art |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Permutationszahl| n |k}} |SZ=.}} |Textart=Definitionsabfrage |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= |Definitionswort2= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ks4bd3wsq60odpngfcg93amvuhm7h1h 0 171390 1093291 2026-06-03T18:16:54Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093291 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Rekursionsformel für die Stirling-Zahlen zweiter Art. |Textart=Aufgabe |Kategorie= |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7x23hu1dr3b6984r8x4z2qcbawep3ac 1093385 1093291 2026-06-03T19:49:41Z Bocardodarapti 2041 1093385 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Rekursionsformel für die Stirling-Zahlen zweiter Art. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe 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