Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 44847 1093546 1088179 2026-06-06T09:02:33Z Bocardodarapti 2041 1093546 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= {{{R|R}}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term= {{{A|A}}} |SZ=}} eine kommutative {{ Definitionslink |endlich erzeugte| |Kontext=Algebra| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath={{{R|R}}} |Algebra| |Kontext=Ring| |SZ=, }} die als {{ Relationskette/display | {{{A|A}}} || {{{R|R}}} [X_1 {{kommadots|}} X_n]/ {{makl| F_1 {{kommadots|}} F_k |}} || || || |SZ= }} gegeben sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| {{{A|A}}} | {{{R|R}}} }} || \bigoplus_{i {{=|}} 1}^n {{{A|A}}} dX_i / {{makl| dF_1 {{kommadots|}} dF_k |}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Kählermodul bei Restklassendarstellung |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bgxvib3461qvsyzvot7ywl3wjr40ocx 0 76504 1093526 1082726 2026-06-06T07:21:51Z Bocardodarapti 2041 1093526 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= G|SZ=}} eine Menge und es seien {{ mathbed|term= A_i \subseteq G ||bedterm1= i =1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} {{ Definitionslink |endliche Teilmengen| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Endliche Menge/1...n/Definition |SZ=. }} Für eine Teilmenge {{ Relationskette | J | \subseteq | {{Menge1n|}} || || || |SZ= }} sei {{ Relationskette/display | A_J || \bigcap_{i \in J} A_i || || || |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} die Anzahlformel {{ Zusatz/Klammer |text=Siebformel| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| \bigcup_{i {{=}} 1}^n A_i |}} || \sum_{k {{=}} 1}^n (-1)^{k+1} {{makl| \sum_{J \subseteq \{1 {{kommadots}} n \} ,\, {{op:Anzahl| J |}} {{=}} k } {{op:Anzahl|A_J}} |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hdgzq549z8yuashzcx7seb5bx0o40hd 0 116528 1093512 1092599 2026-06-05T21:39:27Z Bocardodarapti 2041 1093512 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Weg/Definition|| }} Statt Weg sagt man auch {{Stichwort|Kantenzug|SZ=}} oder {{Stichwort|Pfad|msw=Pfad (Graph) |SZ=.}} {{math|term= v_1 |SZ=}} heißt {{Stichwort|Anfangspunkt|SZ=}} und {{math|term= v_m |SZ=}} heißt {{Stichwort|Endpunkt|SZ=}} des Weges. Man sagt in dieser Situation auch, dass der angegebene Weg die Punkte {{ mathkor|term1= v_1 |und|term2= v_m |SZ= }} verbindet. Zu jedem Knotenpunkt {{math|term= v |SZ=}} gibt es den konstanten, kantenleeren Weg, der keine Kanten besitzt, und {{math|term= v |SZ=}} mit sich selbst verbindet. Bei einem Weg sind Wiederholungen erlaubt, und zwar sowohl von Punkten als auch von Kanten. Gelegentlich wird ein Weg in der Form {{mathl|term= e_1 {{kommadots|}} e_{m-1} |SZ=}} mit Kanten {{ Relationskette | e_i |\in| E || || || |SZ= }} angeben, wobei dann vorauszusetzen ist, dass die Kanten {{ mathkor|term1= e_i |und|term2= e_{i+1} |SZ= }} stets {{ Definitionslink |koinzident| |Kontext=Graph| |SZ= }} sind und der Anfangspunkt eventuell explizit zu machen ist. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zusammenhangskomponente/Definition|| }} Die Zusammenhangskomponenten eines Graphen sind einfach die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ= }} zur Äquivalenzrelation, miteinander verbunden zu sein. Ein isolierter Punkt eines Graphen ist dasselbe wie eine einpunktige Zusammenhangskomponente. Die verschiedenen Zusammenhangskomponenten eines Graphen haben nichts miteinander zu tun und daher studiert man vor allem zusammenhängende Graphen. {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Wege in ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 6wlhb5k7sht2h67h3688qq83hfph4zt 0 116728 1093503 855424 2026-06-05T21:17:47Z Bocardodarapti 2041 1093503 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Definition|| }} Ein Homomorphismus von Graphen ist einfach eine relationserhaltende Abbildung, er führt adjazente Knotenpunkte in adjazente Knotenpunkte über. Er wird kurz als {{ Abbildung |name= \varphi | G | H || |SZ= }} notiert. Ein Untergraph ist im Wesentlichen dasselbe wie ein injektiver Graphhomomorphismus. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Erste Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Isomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Isomorph/Definition|| }} Isomorphe Graphen sind hinsichtlich sämtlicher graphentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Gelegentlich braucht man die folgende Variante eines Graphhomomorphismus, insbesondere, wenn durch eine Kante verbundene Knotenpunkte auf einen Punkt abgebildet werden sollen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Schwach/Definition|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mzw2ho6ajlwchgwxd2ejsuow5izim0n 0 116756 1093504 1092596 2026-06-05T21:20:37Z Bocardodarapti 2041 1093504 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition|| }} Es wird also die Knotenmenge übernommen und eine zweielementige Teilmenge {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} ist genau dann eine Kante des komplementären Graphen, wenn sie keine Kante des Ausgangsgraphen ist. Der komplementäre Graph des komplementären Graphes ist wieder der Ausgangsgraph, also {{ Relationskette | {{makl| G^c |}}^c || G || || || |SZ=. }} In diesem Sinne entsprechen sich der {{ Definitionslink |vollstän{{drucktrenn}}dige Graph| |Kontext=| |SZ= }} und der {{ Definitionslink |kantenfreie Graph| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{math|term= G |SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} Punkte und {{math|term= m |SZ=}} Kanten besitzt, so besitzt {{math|term= G^c |SZ=}} gerade {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|2}} -m |SZ=}} Kanten. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition|| }} Für {{ Relationskette | F || \{e\} || || || |SZ= }} schreibt man abkürzend {{math|term= G \setminus e |SZ=}} für {{math|term= G \setminus \{e\} |SZ=.}} {{ inputbild |Line graph construction 1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_1 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 2|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_2 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 3|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_3 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 4|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_4 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Sterngraph/Kantengraph/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Kantenanzahl/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 23xh6hajcumycypbwqochvekotei318 0 116849 1093510 1040020 2026-06-05T21:29:06Z Bocardodarapti 2041 1093510 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} und {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} eine Kante, die die Knotenpunkte {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet. Man nennt denjenigen Graphen mit der Knotenmenge {{ Relationskette | V' || V/e || || || |SZ=, }} bei der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} miteinander identifiziert werden, und bei dem die Kantenmenge {{math|term= E' |SZ=}} aus den Bildkanten zur Kontraktionsabbildung {{ Abbildung |name= | V | V/e || |SZ= }} besteht, den {{ Definitionswort |Kontraktionsgraphen| |msw=Kontraktionsgraph |SZ= }} zu {{ Relationskette | e | \in | G || || || |SZ=. }} Er wird mit {{mathl|term= G/e |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kontraktionsgraph |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqcorv9teu3kwy2gr34l3qj596tfnf7 0 116888 1093509 1011701 2026-06-05T21:27:20Z Bocardodarapti 2041 1093509 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} und sei {{math|term= \sim |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=.}} Dann nennt man die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V/\sim |SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Bildgraphenstruktur| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |kanonischen Abbildung| |Kontext=Äquivalenzrelation| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | V | V/\sim || |SZ=, }} den {{ Definitionswort |Quotientengraphen| |msw=Quotientengraph |SZ= }} zu {{math|term= \sim |SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= G/\sim |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Quotientengraph |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lp6el2qw9ciofgwtnu5462qgureffij 0 117530 1093516 1093150 2026-06-05T21:51:48Z Bocardodarapti 2041 1093516 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{math|term= G |SZ=}} zusammenhängend und {{ Relationskette | u,v | \in | G \setminus \{b\} || || || |SZ=. }} Dann gibt es in {{math|term= G |SZ=}} einen verbindenden Weg von {{ mathkor|term1= u |nach|term2= v |SZ=. }} Wenn in diesem Weg {{math|term= b |SZ=}} vorkommt, so jedenfalls nicht als Anfangs- oder als Endpunkt, da dies explizit ausgeschlossen ist. Wenn {{math|term= b |SZ=}} in der Mitte vorkommt, so in der Form {{mathl|term= w,b,w |SZ=,}} wobei {{mathl|term= \{b,w\} |SZ=}} die einzige Kante an {{math|term= b |SZ=}} bezeichne. Doch in diesem Fall kann man diesen Wegabschnitt herausnehmen und erhält einen kürzeren Weg von {{math|term= u |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=.}} Deshalb gibt es auch einen verbindenen Weg, wo {{math|term= b |SZ=}} gar nicht vorkommt. {{parskip|}} Es sei nun {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} zusammenhängend und seien {{ Relationskette | u, v | \in | G || || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette | u,v | \neq | b || || || |SZ= }} ist, so kann man direkt einen verbindenden Weg aus {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} nehmen. Wenn {{ Relationskette | u || b || || || |SZ= }} ist, so ist {{math|term= b |SZ=}} mit einem weiteren Knotenpunkt {{math|term= w |SZ=}} verbunden, und einen Weg in {{mathl|term= G \setminus \{b\} |SZ=}} von {{math|term= w |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} kann man durch die Kante {{mathl|term= \{b,w\} |SZ=}} zu einem Weg in {{math|term= G |SZ=}} von {{math|term= b |SZ=}} nach {{math|term= v |SZ=}} verlängern. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategore2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dyj90vu02gzvg81cz3sv7ys7h6i0hvp 0 117556 1093513 978802 2026-06-05T21:40:34Z Bocardodarapti 2041 1093513 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= In einem {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ist die {{ Definitionslink |Verbundenheit| |Kontext=Graph| |SZ= }} zwischen Knotenpunkten |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf der Knotenmenge {{math|term= V |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie des Zusammenhangs in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} no4fvda5mgga6jaubxmxzekrb8oyhbi 0 117564 1093517 1074775 2026-06-05T21:54:08Z Bocardodarapti 2041 1093517 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Zyklus/Definition|| }} Den konstanten Weg und einen Weg der Form {{mathl|term= u,v,u |SZ=}} betrachten wir als triviale Zyklen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kreis/Definition|| }} Mit der Formulierung ohne Wiederholungen meint man ohne Wiederholungen in der Knotenmenge, was insbesondere keine Wiederholungen in der Kantenmenge impliziert. Umgekehrt kann es aber Wege ohne Kantenwiederholungen geben, bei denen sich Knotenpunkte wiederholen, dies sind keine Kreise. Ein {{Stichwort|zyklischer Graph|SZ=}} ist ein Graph mit zumindest einem Kreis. {{ inputbild |Circle Line (old)|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Circle_Line_(old) |Text=Die Circle line von London ist für sich genommen ein Rundgang. |Autor= |Benutzer=DavidCane, James D. Forrester |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Rundgang/Definition|| }} Die beiden folgenden Definition ergeben nur für zyklische Graphen Sinn. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Taille/Definition|| }} Statt mit der kürzesten Länge eines Kreises kann man genauso gut mit der Länge eines nichttrivialen Zyklus arbeiten. Die Taille ist zumindest {{math|term= 3 |SZ=.}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Umfang/Definition|| }} Hier kann man nicht mit beliebigen Zyklen arbeiten, da man diese ja mehrfach durchlaufen kann. Der Umfang ist durch die Knotenanzahl des Graphen beschränkt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kreise in einem ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 8r0pi5va0hc5keg5x3nezur9f6znfuk 0 118399 1093505 1073164 2026-06-05T21:22:46Z Bocardodarapti 2041 1093505 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Aufzählung3 |Dies folgt unmittelbar aus der Definition des Kantengraphen. |Es sei {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} eine Kante von {{math|term= G |SZ=,}} aufgefasst als Punkt im Kantengraphen {{math|term= K |SZ=.}} Dieser Punkt ist mit einem anderen Punkt des Kantengraphen, also einer Kante {{mathl|term= \{r,s\} |SZ=}} des Ausgangsgraphen, genau dann verbunden, wenn diese Kante an {{math|term= u |SZ=}} oder an {{math|term= v |SZ=}} anliegt, wobei nur eines der Fall sein kann. Die Anzahl der an {{math|term= u |SZ=}} anliegenden Kanten ist {{mathl|term= d(u) |SZ=,}} allerdings dürfen wir die Kante {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} nicht mitzählen. |Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} ist die gesuchte Anzahl der Kanten in {{math|term= K |SZ=}} unter Verwendung von Teil (2) gleich {{ Relationskette/display/druckalign | {{op:Bruch| 1 |2}} \sum_{ \{u,v\} \in E } {{makl| d(u)+d(v) -2 |}} || {{op:Bruch| 1 |2}} \sum_{ \{u,v\} \in E } {{makl| d(u)-1 +d(v) -1 |}} || {{op:Bruch| 1 |2}} \sum_{ v \in V} d(v) (d(v)-1) || || |SZ=, }} da in der mittleren Summe der Term {{mathl|term= d(v)-1 |SZ=}} so oft vorkommt, wie es {{math|term= d(v) |SZ=}} angibt. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r89kiubycqzakfrncwyof1i44wlqlwy 0 118404 1093506 1049973 2026-06-05T21:24:40Z Bocardodarapti 2041 1093506 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ=, }} {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{ Abbildung |name=\varphi | G | M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |surjektive Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Es werde {{math|term= M |SZ=}} mit der Struktur des {{ Definitionslink |Bildgraphen| |Kontext=| |SZ= }} versehen. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term= \varphi|SZ=}} ein {{ Definitionslink |schwacher Homomorphismus| |Kontext=Graph| |SZ= }} von Graphen. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 12zbq5i0umipkdzx3mq5isvmk772qu6 0 118405 1093507 1039941 2026-06-05T21:25:29Z Bocardodarapti 2041 1093507 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ=, }} {{math|term= M|SZ=}} eine Menge und {{ Abbildung |name= \varphi | G | M || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |surjektive Abbildung| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} ein {{ Definitionslink |schwacher Homomorphismus| |Kontext=Graph| |SZ= }} von Graphen ist, wenn man {{math|term= M |SZ=}} mit der Struktur des {{ Definitionslink |Bildgraphen| |Kontext=| |SZ= }} versieht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} njaf8i1txuwjcicq8cbpb24addzh99j 0 118408 1093508 950735 2026-06-05T21:26:23Z Bocardodarapti 2041 1093508 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer Firma arbeiten verschiedene Personen {{math|term= V |SZ=,}} und manche Personenpaare arbeiten gemeinsam an gewissen Aufgaben, was durch einen Kooperationsgraphen ausgedrückt wird. Es steht ein Stellenabbau an, bei dem die Aufgaben von mehreren Personen in Zukunft von einer einzigen {{ Zusatz/Klammer |text=alten oder neuen| |ISZ=|ESZ= }} Person übernommen werden soll. Dabei sollen sämtliche Kooperationen übernommen werden, das heißt, dass jede Kooperation zwischen zwei {{ Zusatz/Klammer |text=alten| |ISZ=|ESZ= }} Personen in eine Kooperation der diese Personen ersetzenden {{ Zusatz/Klammer |text=neuen| |ISZ=|ESZ= }} Personen übertragen werden soll. Der einfachste nichttriviale Spezialfall hiervon ist, dass zwei Personen durch eine Person ersetzt werden und die bisherigen Kooperationen auf diese neue Person übergehen soll. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nmmnqu2lt0kz2rqrlk4c6xfmldw9y45 0 118452 1093511 1038207 2026-06-05T21:34:42Z Bocardodarapti 2041 1093511 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionslink |Automorphismengruppe| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} eines {{ Definitionslink |Sterngraphen| |Kontext=| |SZ= }} mit einem Zentrum und {{ Relationskette | n | \geq |2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Blättern| |Kontext=Graph| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=also insgesamt {{mathlk|term= n+1 |SZ=}} Knoten| |ISZ=|ESZ= }} ist die volle {{ Definitionslink |Permutationsgruppe| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= S_n |SZ=,}} da man die Blätter beliebig ineinander überführen kann und das Zentrum auf sich selbst abgebildet werden muss. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Automorphismengruppe eines ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 438fy8dhrgsf80vz7saxq4a1ncoa3uf 106 121867 1093525 1081209 2026-06-06T07:20:12Z Bocardodarapti 2041 1093525 wikitext text/x-wiki {{ Klausur15 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe|p||| |Cocktailmixer/Anzahl/Aufgabe|p||| |Verknüpfung/Anzahl/Aufgabe|p||| |Menge/Potenzmenge/Komplement/Aufgabe|p||| |Dating/Personen und Eigenschaften/Allrelation/Aufgabe|p||| |Fakultät/Teilt gleichlanges Produkt/Aufgabe|p||| |Verband/Ordnungstheoretisch/Assoziativ/Aufgabe|p||| |Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/2 1 1 1/Lösungsfolge/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bidiakiswürfel/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |Schachfigur/3x3/König/Planarer Graph/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 8ifbnfjxmbvn3gqk9me20021fovze7z 106 121868 1093527 1092643 2026-06-06T07:27:04Z Bocardodarapti 2041 1093527 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Eins dazu/Anzahl/Aufgabe|p||| |Fingernägel/Reihenfolge/2/Aufgabe|p||| |100 Fakultät/Anzahl der 0 hinten/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Injektive und surjektive Abbildungen/Vergleich für kleine Zahlen/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Siebformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Teilbarkeit (N)/Produkt von drei Zahlen/Minimale Anzahl an Teilern/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Invarianz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Abbildungsmenge/R/Verknüpfung/Distributionseigenschaften/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Surjektiv/Kommutativ/Aufgabe|p||| |Wertetabelle/Faseranzahltupel/1/Aufgabe|p||| |N/Untermonoid/3,7/Geldfälscher/2/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Münzzahlen/1,n,n+1/Uneindeutigkeit/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Graph/Kein Dreierkreis/Nicht bipartit/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} k5n6ullz9syks8c79tqhjhaguqguzsc 106 121869 1093529 1093398 2026-06-06T07:29:39Z Bocardodarapti 2041 1093529 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/7/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe|p||| |20-Cent/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe|p||| |Puzzleteile/Rechteckig/Typ/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Gleiche Anzahl/Bijektionen/Fakultät/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Quadrat/Teilquadrate/Anzahl/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus/Langsame Version/Aufgabe|p||| |N^2-1/Wann prim/Aufgabe|p||| |Ganze Zahl/Teilbarkeitsbedingungen/Bestimme/1/Aufgabe|p||| |Die rationalen Zahlen/Konstruktion aus Z/Äquivalenzrelation auf ZxN +/2/Aufgabe|p||| |Zweidimensionales Gitter/(1,1) und (1,-1)/Äquivalenzrelation/Farben/Restklassenaddition/Aufgabe|p||| |Teilbarkeitstheorie (Z)/Zusammenhang zu Ringhomomorphismus und Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |Endliche kommutative Ringe/4 Elemente/Multiplikation/Faseranzahltupel/Aufgabe|p||| |Cauchy-Produkt/Geometrische Reihe mal Exponentialreihe/Ordnung 4/Aufgabe|p||| |Vollständiger Graph/4 Knoten/Überschneidungsfrei/Aufgabe|p||| |Endliche Ringe/Nullteilergraph/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} s2cv6bu87dduog0zckvpi2iwwjwp4gh 106 121948 1093520 1093449 2026-06-05T21:59:15Z Bocardodarapti 2041 1093520 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/1/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endliche Gruppe/Verknüpfung/Faseranzahltupel/Isomorphie/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Grad/Doppelt/Aufgabe|p||| |Baum/Blatt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} kgl16e93l0t9l8ogu5w6dnf8ck57qy7 1093522 1093520 2026-06-05T22:01:13Z Bocardodarapti 2041 1093522 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/11/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe|p||| |Freund besuchen/U-Bahn/Aufgabe|p||| |Pickel/Ausdrücken/Reihenfolge/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizienten/Verknüpfung/Assoziativ/Aufgabe|p||| |Monoid/Potenzgesetze/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/Begriffe/1/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p||| |Ordnungsrelation/Zyklus/Gleichheit/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Ggt und kgV/Kommutativer Halbring/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/999999/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Gruppe/x ist y oder Inverses/Aufgabe|p||| |Endliche Gruppe/Verknüpfung/Faseranzahltupel/Isomorphie/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Grad/Doppelt/Aufgabe|p||| |Baum/Blatt/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} hw26qr2s9phgbxuytj89s03fyz9mtn5 106 121956 1093515 1089616 2026-06-05T21:46:28Z Bocardodarapti 2041 1093515 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/20/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/20/Aufgabe|p||| |Kombinatorik/Formel/Inhaltliche Interpretation/Beweis/Aufgabe|p||| |Geldautomat/100/Möglichkeiten/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Wochentag/In 1000 Tagen/Aufgabe|p||| |Ebene/7 Geraden/8 Schnittpunkte/Skizziere/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Gruppe/Einseitig Inverses/Inverses/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe|p||| |Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Komplexe Zahlen/17. Potenz/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Dobble/F 2/Projektive Ebene/Aufgabe|p||| |Permutation/4-elementig/Typ/Anzahl/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Konjugierte Matrix/Überführung/Aufgabe|p||| |Nullteilergraph/Z_mod_10/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Verbunden/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 5vpts7t3nqp13ej2bywkwdrwjj2z0ly 106 121958 1093523 1086737 2026-06-05T22:03:57Z Bocardodarapti 2041 1093523 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p||| |Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Teilmenge/Aufteilung/Aufgabe|p||| |Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe|p||| |Relationstabelle/Eigenschaften/3/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahlen/Rechnung/1/Aufgabe|p||| |Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p||| |Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/Q nach Z/Aufgabe|p||| |Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlicher Körper/Matrixrekursion/Periodisch/Aufgabe|p||| |Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 2nvdo0g34uyao6jr857f2mras306oue 0 124248 1093549 1092122 2026-06-06T09:08:31Z Bocardodarapti 2041 1093549 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition|| }} Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien {{math|term= A |SZ=-}}Modul {{math|term= F |SZ=}} mit {{ mathbed|term= da ||bedterm1= a \in A ||bedterm2= |SZ= }} als Basis und bildet den {{ Definitionslink |Prämath=A |Restklassenmodul| |Kontext=| |SZ= }} zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen {{ Math/display|term= d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A) |SZ= }} und {{ Math/display|term= d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A ) |SZ= }} erzeugt wird. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= d | A | {{op:Kählermodul|A|R}} | a | d(a) {{=|}} da |SZ=, }} heißt die {{Stichwort|universelle Derivation|SZ=.}} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |SZ= }} handelt. Grundlage für konkrete Berechnungen bilden die folgenden Lemmata. {{ inputfakt |Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Polynom/Einsetzung/Kähler-Differentiale/Fakt|Korollar|| }} Diese Isomorphie ist so zu verstehen, dass die {{math|term= 1 |SZ=}} in {{mathl|term= K[X]/ {{makl| P' |}} |SZ=}} dem Differential {{math|term= dX |SZ=}} entspricht. Man könnte den Sachverhalt auch als die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| K[X] | K[Y] }} || K[X]/ {{makl| P' |}} dX || || || |SZ= }} ausdrücken. Wenn {{math|term= K |SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, so ist {{ Relationskette | P' || {{makl| X-a_1 |}} \cdots {{makl| X-a_s |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | K[X]/ {{makl| P' |}} |\cong| K^s || || || |SZ=. }} Die vorstehende Aussage zeigt somit insbesondere, dass der Modul der Kähler-Differentiale nur lokalisiert in den maximalen Idealen {{mathl|term= {{makl| X-a_j |}} |SZ=,}} die den Nullstellen der Ableitung entsprechen, von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. Ein entsprechendes Verhalten gilt generell im Fall einer separablen Erweiterung von Dedekindbereichen. {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} In der Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt |Nr=5 |SZ= }} könnte man auf den Exponenten {{math|term= m |SZ=}} verzichten, wenn man {{math|term= r |SZ=}} abändert. Aber aus Teil (3) ergibt sich die Aussage mit dem Exponenten. Man denke bei {{math|term= r |SZ=}} an eine Primzahl aus {{math|term= \Z |SZ=,}} man versucht dann, eine annullierende Potenz mit einem möglichst kleinen Exponenten zu finden. {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Kähler-Differential/Differente/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Differentiale) für Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} bhq2px7c7ghqkaq3g1o9kayi87pb000 0 127908 1093547 1048374 2026-06-06T09:03:41Z Bocardodarapti 2041 1093547 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette | P | \in | K[X] || || || |SZ= }} ein nichtkonstantes {{ Definitionslink |Polynom| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= | K[Y] | K[X] \cong K[Y] [X]/(Y-P(X)) | Y | P(X) |SZ=, }} der zugehörige {{ Definitionslink |Einsetzungshomomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt für den {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} die Beschreibung {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|K[X] | K[Y]}} |\cong| K[X]/ {{makl| P' |}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern |Kategorie3=Theorie des Einsetzungshomomorphismus (Polynomring) |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n75z7bxzuhmmw0uwkstprnvuw5guzrh 0 127909 1093548 1047483 2026-06-06T09:04:23Z Bocardodarapti 2041 1093548 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Relationskette/k | R || K[Y] || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | A || R[X]/(Y-P(X)) || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|K[X] | K[Y]}} || {{op:Kählermodul| K[Y] [X]/(Y-P(X)) | K[Y]}} || K[X] /d(Y-P(X)) || K[X]/ {{makl| P' |}} || |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 60hkixjacbhhsh4i6l1x1w0rme7qdfu 0 127911 1093550 1085109 2026-06-06T09:15:27Z Bocardodarapti 2041 1093550 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= R |SZ=}} der {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | R || \Z[X]/ {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | {{op:Kählermodul| R |\Z}} |\cong| R/ {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-2} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} |\cong|\Z[X]/ \left( X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1, |5teil2= (p-1) X^{p-2} +(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 \right) || || |SZ=. }} Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da {{mathl|term= X^p-1 |SZ=}} zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja {{ Relationskette/display | X^p-1 || (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | pX^{p-1} dX || d {{makl| X^p-1 |}} || d {{makl| (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} |}} || {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} dX |7teil2= + (X-1) {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} dX || || |SZ=. }} Damit ist insbesondere {{ Relationskette/display | pdX || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Kählermodul|R_p|\Z}} |SZ=,}} da ja {{math|term= X |SZ=}} eine Einheit ist. Somit ist der Kählermodul ein {{mathl|term= R_p/pR_p |SZ=-}}Modul und insbesondere ein {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=-}}Modul. Daher und wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|R_p|\Z}} || {{op:Kählermodul|R_p|\Z}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || {{op:Kählermodul|R_p/pR_p| {{op:Zmod| p |}} }} || || |SZ=. }} Da der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= p |SZ=}} die Form {{ Relationskette/display | R_p/pR_p || {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| (X-1)^{p-1} |}} || {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} || || || |SZ= }} besitzt, ist wegen {{ Relationskette | {{makl| Y^{p-1} |}}' || -Y^{p-2} || || || |SZ= }} insgesamt {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|R_p|\Z}} || {{op:Kählermodul| {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} | {{op:Zmod| p |}} }} |\cong| {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-2} |}} || || || |SZ=. }} Dies ist ein freier {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=-}}Modul mit der {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= X |SZ=}} geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{math/druckdisplay|term= dX, XdX {{kommadots|}} X^{p-3} dX |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also vom {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=freier Modul| |SZ= }} {{math|term= p-2 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gyg5rddycnkv0evy2cmbdn9b4wwyi7k 1093551 1093550 2026-06-06T09:31:26Z Bocardodarapti 2041 1093551 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= R |SZ=}} der {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | R || \Z[X]/ {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | {{op:Kählermodul| R | \Z }} |\cong| R/ {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-2} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} |\cong|\Z[X]/ \left( X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1, |5teil2= (p-1) X^{p-2} +(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 \right) || || |SZ=. }} Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da {{mathl|term= X^p-1 |SZ=}} zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja {{ Relationskette/display | X^p-1 || (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | pX^{p-1} dX || d {{makl| X^p-1 |}} || d {{makl| (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} |}} || {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} dX |7teil2= + (X-1) {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} dX || || |SZ=. }} Damit ist insbesondere {{ Relationskette/display | pdX || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Kählermodul| R| \Z }} |SZ=,}} da ja {{math|term= X |SZ=}} eine Einheit ist. Somit ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R_p | \Z_p }} || 0 || || || |SZ=, }} d.h. der Kählermodul ist eingeschränkt auf die offene Menge {{mathl|term= D(p) |SZ=}} der Nullmodul. Ferner ist der Kählermodul ein {{mathl|term= R/pR |SZ=-}}Modul und insbesondere ein {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=-}}Modul. Daher und wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R | \Z}} || {{op:Kählermodul| R | \Z}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || {{op:Kählermodul| R/pR | {{op:Zmod| p |}} }} || || |SZ=. }} Da der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= p |SZ=}} die Form {{ Relationskette/display | R/ pR || {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| (X-1)^{p-1} |}} || {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} || || || |SZ= }} besitzt, ist wegen {{ Relationskette | {{makl| Y^{p-1} |}}' || -Y^{p-2} || || || |SZ= }} insgesamt {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R | \Z}} || {{op:Kählermodul| {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} | {{op:Zmod| p |}} }} |\cong| {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-2} |}} || || || |SZ=. }} Dies ist ein freier {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=-}}Modul mit der {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= X |SZ=}} geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{math/druckdisplay|term= dX, XdX {{kommadots|}} X^{p-3} dX |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also vom {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=freier Modul| |SZ= }} {{math|term= p-2 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9g2yxbr36843p7icae40d91dbc0wnus 1093554 1093551 2026-06-06T09:37:30Z Bocardodarapti 2041 1093554 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= R |SZ=}} der {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | R || \Z[X]/ {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/Primzahl/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ= }} ist der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} gleich {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | {{op:Kählermodul| R | \Z }} |\cong| R/ {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-2} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} |\cong|\Z[X]/ \left( X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1, |5teil2= (p-1) X^{p-2} +(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 \right) || || |SZ=. }} Das beschreibende Ideal ist auf den ersten Blick schwer zu durchschauen. Da {{mathl|term= X^p-1 |SZ=}} zum Ideal des Kreisteilungsringes gehört, gehört auch die Ableitung zum beschreibenden Ideal des Kählermoduls. Es ist ja {{ Relationskette/display | X^p-1 || (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} und somit {{ Relationskette/align/drucklinks/teile | pX^{p-1} dX || d {{makl| X^p-1 |}} || d {{makl| (X-1) {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} |}} || {{makl| X^{p-1}+X^{p-2} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} dX |7teil2= + (X-1) {{makl| (p-1) X^{p-2}+(p-2)X^{p-3} {{plusdots|}} 3X^2 +2X+1 |}} dX || || |SZ=. }} Damit ist insbesondere {{ Relationskette/display | pdX || 0 || || || |SZ= }} in {{mathl|term= {{op:Kählermodul| R| \Z }} |SZ=,}} da ja {{math|term= X |SZ=}} eine Einheit ist. Somit ist {{ Zusatz/Klammer |text=hier bezeichnet {{math|term= R_p |SZ=}} die Nenneraufnahme an {{math|term= p |SZ=,}} nicht den {{math|term= p |SZ=-}}ten Kreisteilungsring| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R_p | \Z_p }} || 0 || || || |SZ=, }} d.h. der Kählermodul ist eingeschränkt auf die offene Menge {{mathl|term= D(p) |SZ=}} der Nullmodul. Ferner ist der Kählermodul ein {{mathl|term= R/pR |SZ=-}}Modul und insbesondere ein {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=-}}Modul. Daher und wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R | \Z}} || {{op:Kählermodul| R | \Z}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || {{op:Kählermodul| R/pR | {{op:Zmod| p |}} }} || || |SZ=. }} Da der {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= p |SZ=}} die Form {{ Relationskette/display | R/ pR || {{op:Zmod| p |}}[X]/ {{makl| (X-1)^{p-1} |}} || {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} || || || |SZ= }} besitzt, ist wegen {{ Relationskette | {{makl| Y^{p-1} |}}' || -Y^{p-2} || || || |SZ= }} insgesamt {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R | \Z}} || {{op:Kählermodul| {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-1} |}} | {{op:Zmod| p |}} }} |\cong| {{op:Zmod| p |}}[Y]/ {{makl| Y^{p-2} |}} || || || |SZ=. }} Dies ist ein freier {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=-}}Modul mit der {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= X |SZ=}} geschriebenen| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=Modul| |SZ= }} {{math/druckdisplay|term= dX, XdX {{kommadots|}} X^{p-3} dX |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also vom {{ Definitionslink |Rang| |Kontext=freier Modul| |SZ= }} {{math|term= p-2 |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o3dvf8xzolwx7lwica7qgrfkm7qna1h 0 128746 1093552 1037926 2026-06-06T09:35:00Z Bocardodarapti 2041 1093552 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Primzahl| |SZ=, }} {{ Relationskette/display | R | R_p || \Z[X]/ {{makl| X^{p-1} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} der {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R | \Z }} |\cong| {{op:Zmod| p |}} [X] / (X-1)^{p-2} dX || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem Kähler-Differential {{ Relationskette/display | \omega || {{makl| a_{p-3} X^{p-3} {{plusdots|}} a_2X^2+ a_1 X+ a_0 |}} dX || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |0 | \leq | a_j | < | p || || |SZ= }} ein {{ Relationskette |f | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | df || \omega || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mospvr1dla6q6gqfz5smu3p7h5ljyr9 1093553 1093552 2026-06-06T09:35:12Z Bocardodarapti 2041 1093553 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Primzahl| |SZ=, }} {{ Relationskette/display | R || R_p || \Z[X]/ {{makl| X^{p-1} {{plusdots|}} X^2+X+1 |}} || || || |SZ= }} der {{math|term= p |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |SZ= }} mit dem {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R | \Z }} |\cong| {{op:Zmod| p |}} [X] / (X-1)^{p-2} dX || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass es zu jedem Kähler-Differential {{ Relationskette/display | \omega || {{makl| a_{p-3} X^{p-3} {{plusdots|}} a_2X^2+ a_1 X+ a_0 |}} dX || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |0 | \leq | a_j | < | p || || |SZ= }} ein {{ Relationskette |f | \in | R || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | df || \omega || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sypnzpqfl64y5809kq07chqwjicqadc 106 153487 1093538 965185 2026-06-06T08:15:52Z Paul Sutermeister 37610 1093538 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Lückentext | type="{}" } ''Death by PowerPoint'' fand im Jahr { 2003 } in Florida statt. Dabei verloren { 7|sieben } Menschen ihr Leben. Grund war eine PowerPoint-{ Folie|Präsentation }. Eine gute Präsentation geht auch ohne { PowerPoint }: Mit dem papiernen { Flipchart } visualisiert man Gesprochenes simultan. PowerPoint soll sparsam verwendet werden. Zum Beispiel zeigt die Vortragstechnik { Pecha Kucha|Petscha-Kutscha } 20 Bilder jeweils 20 Sekunden. Die Präsentation dauert so nur { 6|sechs } Minuten und { 40|vierzig } Sekunden. Gezeigt werden nur { Bilder }, kein Text. { Stell dir vor, du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. Was sind minimale '''Bewertungskriterien''' für alle Präsentationsdateien? } + Die Präsentationsdatei wurde auf dem vereinbarten Weg (zum Beispiel per [[w:Microsoft Teams|Teams]] als [[w:Microsoft_PowerPoint#Dateiformate|pptx]]-Datei) eingereicht. + Die Präsentationsdatei wurde im vereinbarten [[:w:Zeitfenster|Zeitfenster]] eingereicht. + Die Präsentationsdatei hat die vereinbarte Anzahl Folien. + Die Präsentationsdatei hat eine sinnvolle Titel- und eine sinnvolle Schlussfolie (Titel, Name, Datum; Schluss: QR-Code zu Forms-Umfrage «Haben Sie Fragen?», Dank, Quellennachweise). + Auf der Titelfolie steht Autorenschaft und Datum. + Auf jeder Folie steht mindestens ein Bild oder eine Grafik. + Auf jeder Folie steht die Foliennummer vor der Gesamtfolienzahl. + Stichworte stehen in den Folien, Sätze stehen in den Notizen. + Die Präsentation behandelt ausnahmslos das vereinbarte Thema. + Die Reihenfolge der Folien ist logisch. + Layout (Farben, Schrift), Übergänge und Animationen aller Folien behindern nicht das Verständnis. + Alle Texte in Folien und Notizen sind ausnahmslos inhaltlich relevant (nicht trivial). + Alle Bilder und Grafiken sind inhaltlich relevant (nicht trivial). + Die Rechtschreib- und Grammatikregeln werden eingehalten. </quiz> k8td4mheumiq057nma7dd6cuyt57jwk 1093539 1093538 2026-06-06T08:19:00Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation]] nach [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation]]: inhaltlich ausgereift/bereinigt 1093538 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Lückentext | type="{}" } ''Death by PowerPoint'' fand im Jahr { 2003 } in Florida statt. Dabei verloren { 7|sieben } Menschen ihr Leben. Grund war eine PowerPoint-{ Folie|Präsentation }. Eine gute Präsentation geht auch ohne { PowerPoint }: Mit dem papiernen { Flipchart } visualisiert man Gesprochenes simultan. PowerPoint soll sparsam verwendet werden. Zum Beispiel zeigt die Vortragstechnik { Pecha Kucha|Petscha-Kutscha } 20 Bilder jeweils 20 Sekunden. Die Präsentation dauert so nur { 6|sechs } Minuten und { 40|vierzig } Sekunden. Gezeigt werden nur { Bilder }, kein Text. { Stell dir vor, du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. Was sind minimale '''Bewertungskriterien''' für alle Präsentationsdateien? } + Die Präsentationsdatei wurde auf dem vereinbarten Weg (zum Beispiel per [[w:Microsoft Teams|Teams]] als [[w:Microsoft_PowerPoint#Dateiformate|pptx]]-Datei) eingereicht. + Die Präsentationsdatei wurde im vereinbarten [[:w:Zeitfenster|Zeitfenster]] eingereicht. + Die Präsentationsdatei hat die vereinbarte Anzahl Folien. + Die Präsentationsdatei hat eine sinnvolle Titel- und eine sinnvolle Schlussfolie (Titel, Name, Datum; Schluss: QR-Code zu Forms-Umfrage «Haben Sie Fragen?», Dank, Quellennachweise). + Auf der Titelfolie steht Autorenschaft und Datum. + Auf jeder Folie steht mindestens ein Bild oder eine Grafik. + Auf jeder Folie steht die Foliennummer vor der Gesamtfolienzahl. + Stichworte stehen in den Folien, Sätze stehen in den Notizen. + Die Präsentation behandelt ausnahmslos das vereinbarte Thema. + Die Reihenfolge der Folien ist logisch. + Layout (Farben, Schrift), Übergänge und Animationen aller Folien behindern nicht das Verständnis. + Alle Texte in Folien und Notizen sind ausnahmslos inhaltlich relevant (nicht trivial). + Alle Bilder und Grafiken sind inhaltlich relevant (nicht trivial). + Die Rechtschreib- und Grammatikregeln werden eingehalten. </quiz> k8td4mheumiq057nma7dd6cuyt57jwk 1093542 1093539 2026-06-06T08:27:59Z Paul Sutermeister 37610 1093542 wikitext text/x-wiki Beim Stichwort „[[:w:Referat (Vortrag)|Präsentation]]“ denken viele zunächst an [[:w:Präsentationsprogramm|PowerPoint]]. Aber: <quiz display="simple"> { Lückentext | type="{}" } ''[[:w:Tod durch PowerPoint|Death by PowerPoint]]'' fand im Jahr { 2003 } in Florida statt. Dabei verloren { 7|sieben } Menschen ihr Leben. Grund war eine PowerPoint-{ Folie|Präsentation }. Eine gute Präsentation geht auch ohne { PowerPoint }: Mit dem papiernen { Flipchart } visualisiert man Gesprochenes simultan. PowerPoint soll sparsam verwendet werden. Zum Beispiel zeigt die Vortragstechnik { Pecha Kucha|Petscha-Kutscha } 20 Bilder jeweils 20 Sekunden. Die Präsentation dauert so nur { 6|sechs } Minuten und { 40|vierzig } Sekunden. Gezeigt werden nur { Bilder }, kein Text. </quiz> Es gibt zahlreiche Alternativen – allen voran der freie Vortrag ganz ohne Hilfsmittel oder der Einsatz eines [[:w:Flipchart|Flipcharts]]. Entscheidet man sich dennoch für PowerPoint, gilt Folgendes: <quiz display="simple"> { Stell dir vor, du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. Was sind minimale '''Bewertungskriterien''' für alle Präsentationsdateien? } + Die Präsentationsdatei wurde auf dem vereinbarten Weg (zum Beispiel per [[w:Microsoft Teams|Teams]] als [[w:Microsoft_PowerPoint#Dateiformate|pptx]]-Datei) eingereicht. + Die Präsentationsdatei wurde im vereinbarten [[:w:Zeitfenster|Zeitfenster]] eingereicht. + Die Präsentationsdatei hat die vereinbarte Anzahl Folien. + Die Präsentationsdatei hat eine sinnvolle Titel- und eine sinnvolle Schlussfolie (Titel, Name, Datum; Schluss: QR-Code zu Forms-Umfrage «Haben Sie Fragen?», Dank, Quellennachweise). + Auf der Titelfolie steht Autorenschaft und Datum. + Auf jeder Folie steht mindestens ein Bild oder eine Grafik. + Auf jeder Folie steht die Foliennummer vor der Gesamtfolienzahl. + Stichworte stehen in den Folien, Sätze stehen in den Notizen. + Die Präsentation behandelt ausnahmslos das vereinbarte Thema. + Die Reihenfolge der Folien ist logisch. + Layout (Farben, Schrift), Übergänge und Animationen aller Folien behindern nicht das Verständnis. + Alle Texte in Folien und Notizen sind ausnahmslos inhaltlich relevant (nicht trivial). + Alle Bilder und Grafiken sind inhaltlich relevant (nicht trivial). + Die Rechtschreib- und Grammatikregeln werden eingehalten. </quiz> g68bmpk5uhx4zxfnlfh0yxhlagg1pid 1093543 1093542 2026-06-06T08:28:52Z Paul Sutermeister 37610 1093543 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Beim Stichwort „[[:w:Referat (Vortrag)|Präsentation]]“ denken viele zunächst an [[:w:Präsentationsprogramm|PowerPoint]]. Aber: | type="{}" } ''[[:w:Tod durch PowerPoint|Death by PowerPoint]]'' fand im Jahr { 2003 } in Florida statt. Dabei verloren { 7|sieben } Menschen ihr Leben. Grund war eine PowerPoint-{ Folie|Präsentation }. Eine gute Präsentation geht auch ohne { PowerPoint }: Mit dem papiernen { Flipchart } visualisiert man Gesprochenes simultan. PowerPoint soll sparsam verwendet werden. Zum Beispiel zeigt die Vortragstechnik { Pecha Kucha|Petscha-Kutscha } 20 Bilder jeweils 20 Sekunden. Die Präsentation dauert so nur { 6|sechs } Minuten und { 40|vierzig } Sekunden. Gezeigt werden nur { Bilder }, kein Text. </quiz> Es gibt zahlreiche Alternativen – allen voran der freie Vortrag ganz ohne Hilfsmittel oder der Einsatz eines [[:w:Flipchart|Flipcharts]]. Entscheidet man sich dennoch für PowerPoint, gilt Folgendes: <quiz display="simple"> { Stell dir vor, du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. Was sind minimale '''Bewertungskriterien''' für alle Präsentationsdateien? } + Die Präsentationsdatei wurde auf dem vereinbarten Weg (zum Beispiel per [[w:Microsoft Teams|Teams]] als [[w:Microsoft_PowerPoint#Dateiformate|pptx]]-Datei) eingereicht. + Die Präsentationsdatei wurde im vereinbarten [[:w:Zeitfenster|Zeitfenster]] eingereicht. + Die Präsentationsdatei hat die vereinbarte Anzahl Folien. + Die Präsentationsdatei hat eine sinnvolle Titel- und eine sinnvolle Schlussfolie (Titel, Name, Datum; Schluss: QR-Code zu Forms-Umfrage «Haben Sie Fragen?», Dank, Quellennachweise). + Auf der Titelfolie steht Autorenschaft und Datum. + Auf jeder Folie steht mindestens ein Bild oder eine Grafik. + Auf jeder Folie steht die Foliennummer vor der Gesamtfolienzahl. + Stichworte stehen in den Folien, Sätze stehen in den Notizen. + Die Präsentation behandelt ausnahmslos das vereinbarte Thema. + Die Reihenfolge der Folien ist logisch. + Layout (Farben, Schrift), Übergänge und Animationen aller Folien behindern nicht das Verständnis. + Alle Texte in Folien und Notizen sind ausnahmslos inhaltlich relevant (nicht trivial). + Alle Bilder und Grafiken sind inhaltlich relevant (nicht trivial). + Die Rechtschreib- und Grammatikregeln werden eingehalten. </quiz> hi7mbu3k3tvik321z0nlvh1msw1pod4 106 160377 1093528 1093448 2026-06-06T07:27:43Z Bocardodarapti 2041 1093528 wikitext text/x-wiki {{ Klausur24{{{opt|}}} |Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p||| |Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p||| |Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe|p||| |Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p||| |KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p||| |Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe|p||| |Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe|p||| |Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p||| |10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p||| |Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p||| |Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p||| |Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p||| |Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|p||| |Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe|p||| |Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p||| |Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p||| |Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p||| |Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p||| |Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p||| |Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p||| |Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p||| |Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p||| |Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} rauy9v2cny2lmziuz0krxoijv18qt3v 106 167054 1093541 1078157 2026-06-06T08:20:50Z Paul Sutermeister 37610 1093541 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Personal Skills''' zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 26.</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14. Februar 2026 | '''Office Knigge''':</br>Telefongespräch, Reklamation, E-Mail (Abwesenheitsmeldung), soziale Netzwerke | Graber/Ritter (2025), Seiten 7-18<ref>Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3</ref> |- | 21. Februar | '''Bekleidung und Auftreten'''</br> | Seiten 24-31 |- | 28. Februar | '''Arbeiten im Team''':</br>Johari-Fenster, Teamrollen, Teamwerte, Wertschätzung | Seiten 35-43 |- | 7. März | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Sender-Empfänger-Modell|Sender-Empfänger-Modell]], [[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Watzlawick-Axiome|Watzlawick-Axiome]] | Seiten 44-46 |- | 14. März | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal_Skills_(Handelsdiplom_VSH)/Kommunikation#Vier-Seiten-Modell|Vier-Seiten-Modell]], Distanzzonen | Seiten 46-48 |- | 21. März | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Kognitive Verzerrung|Wahrnehmungsfehler]], Teamphasen (Tuckman) | Seiten 48-51 |- | 28. März | Arbeiten im Team:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Fragen|Fragetechniken]], «Nein» sagen | Seiten 52-56 |- | 4. April | Arbeiten im Team:</br>Stressoren, Konflikt | Seiten 56-61 |- | 25. April | Arbeiten im Team:</br>Umgang mit [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eskalation|Konflikt → Mobbing]] verhindern | Seiten 62-68 |- | 2. Mai | Arbeiten im Team:</br>Resilienz | Seiten 69-75 |- | 9. Mai | '''Eventmanagement''':</br> Konzept, Checkliste | Seiten 82-86 |- | 16. Mai | '''Selbstmanagement''':</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/SMART|SMART]], [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Paretoprinzip|Pareto]] | Seiten 90-94 |- | 23. Mai | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ALPEN-Methode|Alpenmethode]], IPERKA, Leistungskurve | Seiten 95-99 |- | 30. Mai | Selbstmanagement:</br>[[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/ABC-Analyse|ABC-Analyse]], Kreativitätstechniken | Seiten 100-104 |- | 6. Juni | Selbstmanagement:</br>Kopfstand-Technik, [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Eisenhower-Prinzip|Eisenhower-Prinzip]] | Seiten 104-108 |- | 13. Juni | '''Präsentationstechnik''': [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation|Erfolgskomponenten]], Rhetorik/Mimik/Gestik | Seiten 113-119 |- | 20. Juni | Präsentationstechnik: Sitzungen organisieren (& Protokoll), Checklisten erstellen | Seiten 119-126 |- | 27. Juni | colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} <!-- = Ergänzendes Material = <small> :[[:en:Human capital|Human Capital]] :[[:en:Personal development|Personal development]] :[[:en:21st century skills|21st century skills]] :[[:en:Competence (human resources)|Competence in human resources]] :[[:en:Key Skills Qualification|Key Skills Qualification]]</small> == Kommunikation == * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Aktives Zuhören|Aktives Zuhören]] * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Fragetechnik|Fragetechnik]] == Team == * '''[[Benutzer:Paul Sutermeister/Team|Teambildung, Gesprächsführung, Konfliktlösung]]''' * [[Benutzer:Paul Sutermeister/Rangdynamik|Rangdynamik]] * <small>[[:w:Gruppendynamik|Phasenmodell nach Tuckman / Rangdynamische Positionen nach Schindler (Alpha, Beta, Gamma, Omega)]]</small> == [[:w:Selbstmanagement|Selbstmanagement]] == # Persönliche Leistungskurve – Wann arbeite ich am besten? # Pareto – Was lohnt sich? # ABC – Was ist wichtig? # Eisenhower – Was ist wichtig ''und'' dringend? # SMART – Wie formuliere ich ein gutes Ziel? # ALPEN – Wie plane ich meinen Tag? # IPERKA – Wie führe ich einen ganzen Prozess durch? === [[:w:Arbeitskurve|Persönliche Leistungskurve]] === <gallery> Nivel de atención durante el ritmo circadiano.jpg|'''[[:w:Circadiane Rhythmik|Circadiane Rhythmik]]''' Adenosine Sleep Two Process Model.png|[[:w:Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation|Zwei-Prozess-Modell der Schlafregulation]] </gallery> Das eigene Energie- und Konzentrationsniveau, und somit die Produktivität, schwanken über den Tag. Diese Erkenntnis ist Grundlage für folgende Planungs- und Priorisierungsmethoden. === [[:w:Modell der vollständigen Handlung|IPERKA]] === ; Zweck : '''Strukturierter Arbeits- und Projektprozess:''' Komplexeste Methode, eignet sich für ganze Arbeits- und Projektprozesse. → Abschluss: Vom Tagesgeschäft zur vollständigen Handlung und Prozesssteuerung. ; Schritte : '''I'''nformieren – Situation klären : '''P'''lanen – Vorgehen, Ressourcen : '''E'''ntscheiden – beste Lösung wählen : '''R'''ealisieren – ausführen : '''K'''ontrollieren – prüfen : '''A'''uswerten – lernen und verbessern ==== Beispiel: Spaghetti kochen ==== '''I – Informieren''' * Was will ich kochen? → Spaghetti * Was brauche ich? → Nudeln, Sauce, Salz, Wasser * Habe ich alles zu Hause? → Sauce fehlt '''P – Planen''' * Ich gehe zuerst kurz einkaufen. * Danach koche ich. * Das Essen soll um 18 Uhr fertig sein. '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide: '''Ich kaufe die Sauce und koche Spaghetti.''' '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich gehe in den Laden und kaufe die Sauce. * Ich koche Wasser. * Ich koche die Spaghetti. * Ich wärme die Sauce. '''K – Kontrollieren''' * Sind die Spaghetti gar? * Schmeckt die Sauce? * Ist das Essen rechtzeitig (z.B. um 18 Uhr) fertig? '''A – Auswerten''' * Hat alles gut geklappt? * War meine Planung realistisch? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. früher anfangen, mehr Sauce kaufen) ==== Beispiel: Eine Sitzung organisieren ==== '''I – Informieren''' * Worum geht es in der Sitzung? → Team-Besprechung * Wer muss dabei sein? → 5 Mitarbeitende * Wie lange dauert die Sitzung? → 30 Minuten * Gibt es einen Termin? → Noch nicht '''P – Planen''' * Ich schlage zwei mögliche Termine vor. * Ich reserviere einen Sitzungsraum. * Ich erstelle eine kurze Traktandenliste. * Ich plane die Dauer der Sitzung (30 Minuten). '''E – Entscheiden''' * Ich entscheide mich für: ** Termin: Dienstag, 14:00 Uhr ** Raum: Sitzungszimmer 2 * Ich entscheide, welche Traktanden besprochen werden. '''R – Realisieren (Ausführen)''' * Ich verschicke die Einladung per E-Mail. * Ich drucke die Traktandenliste aus. * Ich leite die Sitzung. * Ich mache kurze Notizen während der Sitzung. '''K – Kontrollieren''' * Waren alle eingeladen? * Hat die Sitzung pünktlich begonnen und geendet? * Wurden alle Traktanden besprochen? '''A – Auswerten''' * Hat die Sitzung etwas gebracht? * War sie gut vorbereitet? * Was mache ich nächstes Mal besser? (z.B. klarere Traktanden, weniger Themen) === [[:w:Kreativitätstechniken|Kreativitätstechniken]] === * [[:w:Walt-Disney-Methode|Walt-Disney-Methode]] * [[:w:Denkhüte von De Bono|Denkhüte von De Bono]] * [[:w:Kopfstandtechnik|Kopfstandtechnik]]--> =Lehrmittel= * Bettina Graber, Sonja Ritter: ''Office-Knigge & Selbstmanagement / Personal Skills für Handelsschulen: Praxisorientierte Theorie, Aufgaben & Lösungen.'' Schaffhausen: [[:w:Westermann Gruppe|Westermann]], 2025. 134 Seiten. ISBN 978-3-85612-002-3 = Einzelnachweise = <references/> [[Kategorie:Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] 1cp8refvxz65kpqsl4weqrldtq908xj 106 170342 1093477 1093470 2026-06-05T13:00:22Z ~2026-29316-36 41570 1093477 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan (Daten und Zufall steht im Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen ===Ergebnisse=== *[[/Sekundarstufe2/]] ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math>P_\text{max}\approx5\,580\cdot v^3</math> Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tpwudd8eealyb1etsxdvi8gkldi2yl1 1093478 1093477 2026-06-05T13:03:39Z ~2026-29316-36 41570 1093478 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan (Daten und Zufall steht im Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen *[[/Sekundarstufe2/]] ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math>P_\text{max}\approx5\,580\cdot v^3</math> Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dxulk2ilvphg0txa55791q4fhizxikm 1093479 1093478 2026-06-05T13:18:18Z ~2026-29316-36 41570 1093479 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan (Daten und Zufall steht im Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen *[[/Sekundarstufe2/]] ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind} = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 </math> Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bfgk77xlz46d03pdvo90blopu9z9bqz 1093480 1093479 2026-06-05T13:22:02Z ~2026-29316-36 41570 1093480 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan (Daten und Zufall steht im Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen *[[/Sekundarstufe2/]] ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind} = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 </math> Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rdztcppzpf944cacr4rv8z268ks2hkr 1093481 1093480 2026-06-05T13:27:46Z Jonas Dächert 41519 /* Grundidee */ 1093481 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan (Daten und Zufall steht im Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen *[[/Sekundarstufe2/]] ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind} = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3} </math> Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] td82d4jx8fzugaodlrkrm0stfzxk409 1093482 1093481 2026-06-05T13:28:19Z Jonas Dächert 41519 /* Grundidee */ 1093482 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan (Daten und Zufall steht im Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen *[[/Sekundarstufe2/]] ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind} = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] o0g7cp6p41oyhan8t14dlvay5cwmwvf 1093483 1093482 2026-06-05T13:31:58Z Jonas Dächert 41519 /* Grundidee */ 1093483 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan (Daten und Zufall steht im Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind} = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ijvk102uj3x66v46u6k8ey2ll04n5qx 1093484 1093483 2026-06-05T13:33:04Z Jonas Dächert 41519 /* Modellierungszyklen */ 1093484 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== ==Sekundarstufe 1== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Im Fokus steht hierbei das Bilden eines gewichteten Mittelwerts (-> Verweis Lehrplan (Daten und Zufall steht im Lehrplan). Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist (-> Verweis Lehrplan). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind} = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jjyr8xht54j8uarwt04dvum1cx8rgqk 1093485 1093484 2026-06-05T13:45:52Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1093485 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== ==Sekundarstufe 1== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist [https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]. Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind} = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nk14h1stt303w7pjkpdm1oiy8zfga3x 1093486 1093485 2026-06-05T13:46:17Z Jonas Dächert 41519 /* Mathematischer Hintergrund */ 1093486 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== ==Sekundarstufe 1== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Farbcodierung wichtig (Bedingte Formatierung) wie können wir es hinkriegen zahlen mit Semantik belegen können wir haben die Kodierung schon mit den Farben Gesamtbewertung separat einfügen dass nicht so breit Referenz für die Datei einfügen ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind} = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 129c1qfhgnyz39fdew0ildozdsusvbs 106 171235 1093487 1088802 2026-06-05T15:14:06Z ~2026-33490-25 41625 1093487 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken |'''Veranstalter'''| Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.: [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Wikisource] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni, Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Alle: Login * Erste Edits in Wikisource : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] d8vtdzqivo9zxtsete9b4myzd7w7zrx 1093488 1093487 2026-06-05T15:17:42Z ~2026-33490-25 41625 1093488 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [ https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni, Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Alle: Login * Erste Edits in Wikisource : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] psf3iekyte5dwl3wtxpk0o4606oqz4b 1093489 1093488 2026-06-05T15:19:29Z ~2026-33490-25 41625 1093489 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Alle: Login * Erste Edits in Wikisource : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 406ftq2kkt7rfcmza46uy81itlfq7f7 1093490 1093489 2026-06-05T15:21:04Z ~2026-33490-25 41625 /* Vorabtreffen online */ 1093490 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Alle: Login * Erste Edits in Wikisource : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 4db15a2k2x6lz5fyspfhpp0ui2neug7 1093491 1093490 2026-06-05T15:23:46Z ~2026-33490-25 41625 /* Bibliothek */ 1093491 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Alle: Login * Erste Edits in Wikisource : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 5hn4htz6oynv6x6m9u2au6effsjv63v 1093492 1093491 2026-06-05T15:24:38Z ~2026-33490-25 41625 /* Vorabtreffen online */ 1093492 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Alle: Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in Wikisource : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] chz3d5013fs6mdf01ukmgdmayfced2k 1093493 1093492 2026-06-05T15:29:21Z ~2026-33490-25 41625 /* Vorabtreffen online */ 1093493 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in Wikisource : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] dk0kpcrq41jo3f3135073p5lsurrsze 1093494 1093493 2026-06-05T15:34:19Z ~2026-33490-25 41625 /* Vorabtreffen online */ 1093494 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in Wikisource : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] e6o0khwiwuum90kexxpkc100s98aap6 1093495 1093494 2026-06-05T15:38:31Z ~2026-33490-25 41625 /* Vorabtreffen online */ 1093495 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Bibliothek == ; Weitere Themen * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? ; neue Projektideen * Comics? ; Literatur == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] stj9rkcglaps2zy57z68tm4p98xl31z 1093496 1093495 2026-06-05T15:42:46Z ~2026-33490-25 41625 /* Bibliothek */ 1093496 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? == neue Projektideen == * Comics? == Literatur == == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] dw2e6kut2kq0b8tucrn55l4enpf67s6 1093497 1093496 2026-06-05T15:43:04Z ~2026-33490-25 41625 1093497 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? == neue Projektideen == * Comics? == Literatur == == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 05qxg5ea1k0ohpk4ipwkj3an9dux68e 1093498 1093497 2026-06-05T15:48:33Z ~2026-33490-25 41625 1093498 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? == neue Projektideen == * Comics? == Literatur == Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] jm6z9ltt0x3271scscdikbkfpzce1j2 1093499 1093498 2026-06-05T15:57:33Z ~2026-33490-25 41625 /* neue Projektideen */ 1093499 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? == Neue Projektideen == * Comics? == Literatur == Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 603nsjvp12wz5sojbc3v2wgr1uu2bb0 1093500 1093499 2026-06-05T15:57:48Z ~2026-33490-25 41625 /* Literatur */ 1093500 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? == Neue Projektideen == * Comics? == Literatur == *Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] mhl0ainf7t851ngx0ovekvxhipmpidk 1093501 1093500 2026-06-05T15:59:53Z ~2026-33490-25 41625 /* Offene Fragen und Herausforderungen */ 1093501 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? == Literatur == *Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] 70jvt2l5z8ufa19mchex9kjeuejg6cu 1093502 1093501 2026-06-05T16:06:00Z ~2026-33490-25 41625 1093502 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austauch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? == Literatur == *Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] r4w0g9vpyfywdfrt6z9tqtdq9m60keb 0 171239 1093533 1081169 2026-06-06T07:35:13Z Bocardodarapti 2041 1093533 wikitext 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1093536 1081180 2026-06-06T07:36:31Z Bocardodarapti 2041 1093536 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den {{ Definitionslink |Prämath= |Nullteilergraphen| |Kontext=| |SZ= }} zu einem endlichen {{ Definitionslink |Prämath= |kommutativen Ring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} für einen endlichen {{ Definitionslink |Prämath= |Körper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=,}} dass der zugehörige Nullteilergraph ein {{ Definitionslink |Prämath= |Sterngraph| |Kontext=| |SZ= }} ist. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen endlichen kommutativen Ring, der kein Körper ist, für den aber der Nullteilergraph ein Sterngraph ist. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nullteilergraphen von endlichen kommutativen Ringen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} sgp7gjbkkb269iivg9zmms8jeqs3wbz 106 171336 1093524 1093430 2026-06-05T22:05:00Z Bocardodarapti 2041 1093524 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Binomische Formeln/999/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p||| |Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe|p||| |KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe|p||| |Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p||| |Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p||| |Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 1j01fh3k9nry75817vlabzergr3u6wg 0 171426 1093514 2026-06-05T21:44:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093514 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass die {{ Definitionslink |Verbundenheit| |Kontext=Graph| |SZ= }} zwischen Knotenpunkten in einem {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf der Knotenmenge {{math|term= V |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d15fc1wzsj8m1kmz1e35k9be22xq3z2 0 171427 1093518 2026-06-05T21:56:51Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093518 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über Blätter an einem Baum. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=3 |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} q1mg8mk12slom2laq7l0iq1dxw96knd 1093521 1093518 2026-06-05T21:59:58Z Bocardodarapti 2041 1093521 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über Blätter an einem Baum. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9olas4ahsrg1zfbl8rber8ix6lamvgn 0 171428 1093519 2026-06-05T21:57:24Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093519 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{:Baum/Blatt/Fakt/Beweis|opt=Text}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 70k340h19nxwktif4m0e7khzy4znflb 14 171429 1093531 2026-06-06T07:32:27Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093531 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 14 171430 1093532 2026-06-06T07:34:18Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093532 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der endlichen kommutativen Ringe|Nullteilergraph |Theorie der ungerichteten Graphen|Nullteilergraph |Theorie der Nullteiler (kommutative Ringe)|Nullteilergraph}} lwvs2v9oo8zgundpqvf17i31nnrfjxk 14 171431 1093534 2026-06-06T07:35:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093534 wikitext text/x-wiki {{Definitions-Kategorie unter}} ls4sw8lzp64qkyjccp3etf8xupqojj9 0 171432 1093537 2026-06-06T08:03:53Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093537 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= R,S |SZ=}} endliche kommutative Ringe, es sei {{ Abbildung |name= \varphi | R | S || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{math|term= G |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Nullteilergraph| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= R |SZ=}} und {{math|term= H |SZ=}} der Nullteilergraph zu {{math|term= S |SZ=.}} {{ Aufzählung5 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} einen {{ Definitionslink |Prämath= |schwachen Graphhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} induziert. |Es sei {{math|term= \varphi |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |injektiv| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} einen {{ Zusatz/Klammer |text=echten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Graphhomomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= H |SZ=}} induziert, wodurch {{math|term= G |SZ=}} zu einem {{ Definitionslink |Prämath= |vollen Untergraphen| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= H |SZ=}} wird. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} keinen {{ Zusatz/Klammer |text=echten| |ISZ=|ESZ= }} Graphhomomorphismus induziert. |Es sei nun {{ Relationskette | R || S || || || |SZ= }} und {{math|term= \varphi |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Ringautomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass dadurch ein {{ Definitionslink |Prämath= |Graphautomorphismus| |Kontext=| |SZ= }} induziert wird. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen endlichen kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} und einen Graphautomorphismus des Nullteilergraphen, der nicht von einem Ringautomorphismus herrührt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Nullteilergraphen von endlichen kommutativen Ringen |Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nwyiwq3hbuni05txp9lf5gdb8zw859f 2 171433 1093540 2026-06-06T08:19:00Z Paul Sutermeister 37610 Paul Sutermeister verschob die Seite [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation]] nach [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation]]: inhaltlich ausgereift/bereinigt 1093540 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[Kurs:Personal Skills (Handelsdiplom VSH)/Präsentation]] c3y8k1yuuy5vqzg4uhau2vr3iyz4bdo 0 171434 1093544 2026-06-06T08:56:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093544 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung5 |Es seien {{ Relationskette | r_1,r_2 | \in | R || || || |SZ=. }} Aus {{ Relationskette | r_1 r_2 || 0 || || || |SZ= }} folgt direkt {{ Relationskette/display | \varphi {{makl| r_1 }} \varphi {{makl| r_2 |}} || \varphi {{makl| r_1 r_2 |}} || \varphi {{makl| 0 |}} || 0 || |SZ=. }} Deshalb werden im Nullteilergraphen {{math|term= G |SZ=}} verbundene Knotenpunkte auf einem gemeinsamen Punkt abgebildet oder aber auf ein Punktepaar, das ebenfalls verbunden ist. Dies bedeutet schwacher Homomorphismus. |In injektiven Fall ist der Fall, dass zwei Punkte zusammenfallen, ausgeschlossen. Nach (1) liegt also ein injektiver Graphhomomorphismus vor, mit dem wir direkt {{math|term= G |SZ=}} als einen Untergraphen von {{math|term= H |SZ=}} auffassen können. Wenn in {{math|term= H |SZ=}} eine Kante zwishen {{ Relationskette | r_1,r_2 | \in | R | \subseteq | S || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette | r_1 r_2 || 0 || || || |SZ= }} in {{math|term= S |SZ=,}} aber dann auch in {{math|term= R |SZ=.}} Deshalb ist {{math|term= G |SZ=}} ein voller Untergraph. |Es sei {{ Relationskette | S || 0 || || || |SZ= }} der Nullring und {{math|term= R |SZ=}} nicht der Nullring mit der Nullabbildung {{ Abbildung |name= \varphi | R | 0 || |SZ=. }} Dabei wird die Nullteilerkante zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= 1 |SZ= }} nicht auf eine Kante abgebildet, da die beiden Endpunkte vereinigt werden. |Dies folgt direkt aus (2). |Es sei {{ Relationskette | R || {{op:Zmod|3|}} || || || |SZ=, }} im zugehörigen Nullteilergraphen ist {{math|term= 0 |SZ=}} mit {{math|term= 1 |SZ=}} und mit {{math|term= 2 |SZ=}} verbunden. Die Vertauschung von {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= 2 |SZ=}} ist ein nichttrivialer Graphautomorphismus. Dagegen muss ein Ringautomorphismus die {{math|term= 1 |SZ=}} auf die {{math|term= 1 |SZ=}} abbilden und muss in diesem Fall bereits die Identität sein. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} niyk5x7at1wi9kbsjhdloiwglksquaj 14 171435 1093545 2026-06-06T08:56:33Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093545 wikitext text/x-wiki {{Lösungs-Kategorie unter}} 5q1vyq1m9unmx4esndm9tvnwdz5b46a