Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite

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[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Deckblatt|Deckblatt]]


[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil I]]

[[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2026-2027)/Teil II]]


[[/Differentialgeometrie]]


[[/Monomiale Syzygien/Beispiel]]

[[/Simpliziale Komplexe]]

[[/Analysis III]]

[[/Algebraische Zahlentheorie]]

[[/Algebraische Topologie]]

[[/Abelsche Kategorie/Weitere Axiome/Textabschnitt]]


[[Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]]

[[/Elliptisches]]

[[/Riemannsche Flächen]]

[[/Funktionentheorie]]

[[/Diskrete Mathematik]]

[[/Kommutative Algebra]]

[[/Invariantentheorie]]

[[/Differentialoperatoren]]

[[/Trigonometrische Summen]]

[[Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt]]

[[/Cogni/Papers]]

[[/Sonderaufgaben]]

[[/Z/Modulschema]]


[[/Positive Charakteristik]]


[[Simplizialer Komplex/K/Transpositionsbündel/Beispiel]]

[[Topologische Filter/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt]]


[[Modul/Symmetrische Potenz/Einführung/Textabschnitt]]

[[Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln]]


[[Beringter Raum/Geradenbündel/Verklebung/Textabschnitt]]

[[Kommutatives Monoid/Kürzbar/Torsion/Beispiele/Textabschnitt]]


[[/Lineare Algebra]]

[[/BEU]]

[[/Lineare Algebra]]

[[/Homologische Algebra]]

[[/Modallogik]]


[[/Affine Situation/Textabschnitt]]

[[Affiner Raum/Knotenkurve/Textabschnitt]]


== ==


[[/Parameter/Tabellen]]

[[/Sonstiges]]


[[Hilfsparameter/Durchnummeriert/400]]


https://www.geogebra.org/m/vWMCKYbV

https://www.symbolab.com/solver/trigonometric-simplification-calculator


http://classes.lt.unt.edu/Summer_MA_2013/CECS_5200_080/gmm0101/CECS5200/assign3/articles/Inclass%20multitasking.pdf

http://blog.reyjunco.com/wp-content/uploads/2010/03/JuncoCottenMultitaskingFBTextCAE2012.pdf

http://www.psychologytoday.com/files/attachments/40095/anempiricalexaminationoftheeducationalimpactoftextmessage-inducedtaskswitchingintheclassroom-educati.pdf

== [[Projekt:Semantische Vorlagen]] ==

{{:Benutzer:Bocardodarapti/Vorlagendiagramm|Vorlagendiagramm}}

[[:Kategorie:Mathematische Diagrammvorlagen]]

=== [[Benutzer:Bocardodarapti/monobook.js]] ===

=== [[:Kategorie:Latex-Vorspann|Latex-Vorspänne]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Grundvorspann in Latex|Grund]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Vortragshandvorspann in Latex|Hand]] [[Projekt:Semantische Vorlagen/Skriptvorspann in Latex|Skript]] ===

[[Projekt:Semantische Vorlagen/Tabellen mit benannten Parametern/Latex|Tabellen mit benannten Parametern]]

[[Projekt:Semantische_Vorlagen/Aufgabenblatt/Stauchung/Latex]]

=== [[:Kategorie:Vorlagen zur Kursgestaltung]] ===

==== [[/Kursaufbau/Reihenfolge]] ====

=== [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik]] ===

[[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Verlinkungshilfe/Standardkurse]]

=== [[Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Bereits kategorisiert]] ===


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[[Kurs:Reelle und komplexe Analysis (Sheffield 2007)]]


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[[Graduiertenkolleg Osnabrück: Kombinatorische Strukturen in Algebra und Topologie]]

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== [[Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie]] ==

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[[/Hilfstabelle/1/30]]

[[/Hilfstabelle/2/20]]

[[/Hilfstabelle/6/20]]

[[/Hilfstabelle/7/20]]


[[/Hilfstabelle/9/2]]

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=== [[w:Hilfe:Vorlagenprogrammierung]] ===

[[commons:Category:Mathematics|Commons]]

[[commons:Category:MediaWiki_edit_toolbar|Buttons]]

== [[Benutzer:Bocardodarapti/Sonstiges|Sonstiges]] ==

== Check ==

[[:Kategorie:Mathematischer Text/check]]</text>
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    <title>Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 46</title>
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      <text bytes="2136" sha1="al65e3gje8561gkf2w70k8i6xmvgjal" xml:space="preserve">{{Kurs:Mathematik_für_Anwender_(Osnabrück_2011-2012)/Teil_II/Arbeitsblattgestaltung|46|

{{Zwischenüberschrift|Aufwärmaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Totale Differenzierbarkeit/R/(x,y) nach x^2y^3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totale Differenzierbarkeit/R/(x,y) nach x^ay^b/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential/R/Addition und Multiplikation/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential/R/xy-2y^3+5,x^3-xy^2+y/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential/R/xy-zy+2z^2,sin(x^2yz)/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential einer konstanten Abbildung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential 0/Konstante Abbildung/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential/R/Skalarmultiplikation/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential/R/Produktabbildungen/Aufgabe|adj=||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Funktionslimes/Metrischer Raum nach metrischer Raum/Abstandtest/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential/R/x+y^2,xy,exp(x)/Aufgabe|4|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Determinante/R/2 und 3/Totales Differential/Aufgabe|4|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Differenzierbarkeit/Total und partiell/xy durch sqrt x^2+y^2/Aufgabe|5|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Differenzierbar/R/Ableitung ist Identität/Charakterisierung/Aufgabe|3|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totale Differenzierbarkeit/R/xf(y)/f stetig/Aufgabe|5|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Totales Differential/R/Komponentenweise differenzierbare Funktionen/Aufgabe|4|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Zusatzaufgabe zur Fußball-EM}}

Die folgende Aufgabe kann bis zum Ende der EM abgegeben werden. Die zu erreichende Punktezahl ist gleich der Anzahl der Tore, die Deutschland bei dem Turnier
{{
Zusatz/Klammer
|text=in den regulären Spielzeiten|
|ISZ=|ESZ=
}} schießt.
{{
inputaufgabe
|Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt/Beweis/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

}}</text>
      <sha1>al65e3gje8561gkf2w70k8i6xmvgjal</sha1>
    </revision>
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    <title>Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt/Beweis/Aufgabe</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt/Aufgabe]] nach [[Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt/Beweis/Aufgabe]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="312" sha1="4zsy57lcgw1xw709pigwdjgqel2p209" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Beweise{{n Sie}} die folgende Aussage:

{{:Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt|opt=Text}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der räumlichen Drehungen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Lösung=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
}}</text>
      <sha1>4zsy57lcgw1xw709pigwdjgqel2p209</sha1>
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    <title>Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt</title>
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      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="2528" sha1="7xko1onf3tzu2tfax2x77pfer5zuzp0" xml:space="preserve">{{Seitenüberschrift|Zur Fußball-WM 2026}}

{{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}}

{{
inputaufgabe
|Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputbeispiel
|Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter Graph/Beispiel||
}}

{{
inputaufgabe
|Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Pokal/Wildberg/Bayern München/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Das Tor}}

{{
inputbeispiel
|Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Karl und Susanne/Tor/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Borussia Dortmund/5 zu 2/Möglichkeiten/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Tor/Winkeloptimierung/Gradient/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|KO-System}}

{{
inputaufgabe
|KO-System/Summenformel/Fußballspiele/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|KO-System/Gewinnrelation/Konjugiert-isomorph/Eindeutig/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|KO-System/Elementare Äquivalenz/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Die Gruppenphase}}

{{
inputbeispiel
|Spielgruppen (Fußball)/4/Darstellungsmöglichkeiten/Beispiel||
}}

{{
inputaufgabe
|Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}}

{{
inputaufgabe
|Fußballgruppe/Euro 2016/C/Relation/Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe||
|zusatz=
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{{
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|Fußballgruppe/Euro 2016/C/Stochastische Matrix/Eigenverteilung/Aufgabe||
|zusatz=
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}}

{{
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|Fußballgruppe/3-1-Regel/Tabelle/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Turnierplanung}}

{{
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|EM 2016/Fußballgruppen/Drittplatzierte/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Die Liga}}

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|Rekordrekordmeister/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Informationsverarbeitung}}

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|Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe||
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|Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Der Ball}}

{{
inputbild
|Football_theorem_qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} 
|Text=
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|Lizenz=CC-by-sa 3.0
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|Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt|Satz||
}}</text>
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        <id>2041</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Fußball]] nach [[Benutzer:Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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      <text bytes="2528" sha1="7xko1onf3tzu2tfax2x77pfer5zuzp0" xml:space="preserve">{{Seitenüberschrift|Zur Fußball-WM 2026}}

{{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}}

{{
inputaufgabe
|Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe||
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}}

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|Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter Graph/Beispiel||
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|Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/Aufgabe||
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}}

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|Pokal/Wildberg/Bayern München/Aufgabe||
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|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Das Tor}}

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|Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel||
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{{
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|Karl und Susanne/Tor/Aufgabe||
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}}

{{
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|Borussia Dortmund/5 zu 2/Möglichkeiten/Aufgabe||
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|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe||
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}}

{{
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|Tor/Winkeloptimierung/Gradient/Aufgabe||
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}}

{{Zwischenüberschrift|KO-System}}

{{
inputaufgabe
|KO-System/Summenformel/Fußballspiele/Aufgabe||
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}}

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|KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe||
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{{
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|KO-System/Gewinnrelation/Konjugiert-isomorph/Eindeutig/Aufgabe||
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inputaufgabe
|KO-System/Elementare Äquivalenz/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Die Gruppenphase}}

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|Spielgruppen (Fußball)/4/Darstellungsmöglichkeiten/Beispiel||
}}

{{
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|Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe||
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{{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}}

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|Fußballgruppe/Euro 2016/C/Relation/Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe||
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|Fußballgruppe/Euro 2016/C/Stochastische Matrix/Eigenverteilung/Aufgabe||
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|Fußballgruppe/3-1-Regel/Tabelle/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Turnierplanung}}

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|EM 2016/Fußballgruppen/Drittplatzierte/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Die Liga}}

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|Rekordrekordmeister/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Der Ball}}

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|Football_theorem_qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} 
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|Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt|Satz||
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      <comment>Bocardodarapti verschob die Seite [[Benutzer:Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt]] nach [[Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen</comment>
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{{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}}

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|Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe||
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|Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter Graph/Beispiel||
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{{Zwischenüberschrift|Das Tor}}

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{{Zwischenüberschrift|KO-System}}

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{{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}}

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{{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}}

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{{Zwischenüberschrift|Das Tor}}

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{{Zwischenüberschrift|KO-System}}

Ein Turnier führt sowihl zu einem ungerichteten Graphen 
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als auch zu einem gerichteten Graphen 
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Die beiden folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf Konzepte der Prädikatenlogik.
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Zusatz/Klammer
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Das Turnier sei vorbei. Zeige{{n Sie}}, dass man jede Mannschaft in der Prädikatenlogik allein mit der Gewinnrelation adressieren kann
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durch eine inhaltliche Überlegung
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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durch eine inhaltliche Überlegung
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Zusatz/Klammer
|text=Wie viele Spiele finden statt|
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|ISZ=|ESZ=
}}
der Fußballweltmeisterschaften von 2014 und von 2018, ohne das Spiel um Platz {{math|term= 3|SZ=,}} als {{math|term= S|SZ=-}}Modelle, wobei wir {{math|term= G|SZ=}} als die Gewinnrelation interpretieren, d.h. {{mathl|term= xGy|SZ=}} besagt, dass {{math|term= x|SZ=}} gegen {{math|term= y|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=gespielt und|
|ISZ=|ESZ=
}}
gewonnen hat.
{{
Aufzählung8
|Welche der folgenden Relationen sind für die WM 2014 wahr: Brasilien G Deutschland, Deutschland G Brasilien, Deutschland G Argentinien, Mexiko G Japan.
|Ist {{mathl|term= \forall y xGy |SZ=}} eine Charakterisierung des Weltmeisters?
|Charakterisiere durch einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} dass eine Mannschaft mindestens das Halbfinale erreicht hat.
|Charakterisiere durch einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} dass eine Mannschaft das Halbfinale, aber nicht das Finale erreicht hat.
|Betrachte Schweden bei der WM 2018. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} der Schweden charakterisiert.
|Welche(n) Mannschaft(en) der WM 2014 erfüllt (erfüllen) den {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck, der Schweden bei der WM 2018 charakterisiert?
|Definiere{{n Sie}} einen
{{
Definitionslink
|Prämath=S
|Isomorphismus|
|Kontext=Struktur|
|SZ=
}}
zwischen der WM 2014 und der WM 2018.
|Ist dies auch ein Isomorphismus, wenn man das Spiel um Platz {{math|term= 3|SZ=}} mitberücksichtigt?
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz
|Kategorie2=Theorie der binären Bäume
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|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=10
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|Autor=
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei {{math|term= S|SZ=}} das Symbolalphabet, das neben Variablen aus dem einzigen zweistelligen Relationssymbol {{math|term= G|SZ=}} besteht. Wir betrachten die KO-Runden
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Zusatz/Klammer
|text=also ab dem Achtelfinale|
|ISZ=|ESZ=
}}
der Fußballweltmeisterschaften von 2014 und von 2018, ohne das Spiel um Platz {{math|term= 3|SZ=,}} als {{math|term= S|SZ=-}}Modelle, wobei wir {{math|term= G|SZ=}} als die Gewinnrelation interpretieren, d.h. {{mathl|term= xGy|SZ=}} besagt, dass {{math|term= x|SZ=}} gegen {{math|term= y|SZ=}}
{{
Zusatz/Klammer
|text=gespielt und|
|ISZ=|ESZ=
}}
gewonnen hat.
{{
Aufzählung8
|Welche der folgenden Relationen sind für die WM 2014 wahr: Brasilien G Deutschland, Deutschland G Brasilien, Deutschland G Argentinien, Mexiko G Japan.
|Ist {{mathl|term= \forall y xGy |SZ=}} eine Charakterisierung des Weltmeisters?
|Charakterisiere durch einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} dass eine Mannschaft mindestens das Halbfinale erreicht hat.
|Charakterisiere durch einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} dass eine Mannschaft das Halbfinale, aber nicht das Finale erreicht hat.
|Betrachte Schweden bei der WM 2018. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} einen {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck in der einen freien Variablen {{math|term= x|SZ=,}} der Schweden charakterisiert.
|Welche(n) Mannschaft(en) der WM 2014 erfüllt (erfüllen) den {{math|term= S|SZ=-}}Ausdruck, der Schweden bei der WM 2018 charakterisiert?
|Definiere{{n Sie}} einen
{{
Definitionslink
|Prämath=S
|Isomorphismus|
|Kontext=Struktur|
|SZ=
}}
zwischen der WM 2014 und der WM 2018.
|Ist dies auch ein Isomorphismus, wenn man das Spiel um Platz {{math|term= 3|SZ=}} mitberücksichtigt?
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz
|Kategorie2=Theorie der gerichteten Graphen
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
|Punkte=10
|p1=1
|p2=1
|p3=1
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|p8=1
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition</title>
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Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}}
|Text=
Zu einem 
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Definitionslink
|Graphen|
|Kontext=diskret|
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}}
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Relationskette
| G
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||
||
||
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}}
nennt man den Graphen {{mathl|term= (V, {{op:Potenzmengezwei| V |}} \setminus E ) |SZ=}} den
{{
Definitionswort
|komplementären Graphen|
|msw=Komplementärer Graph
|SZ=
}} 
{{
Zusatz/Klammer
|text=oder
{{
Definitionswort
|Komplementärgraph|
|msw=Komplementärgraph
|SZ=
}} |
|ISZ=|ESZ=.
}}
Er wird mit {{math|term= G^c |SZ=}} bezeichnet. 
|Textart=Definition
|Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=   
|Definitionswort=Komplementärer Graph
|Definitionswort2=
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|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Ausschließung/Graph/Beispiel</title>
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Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text=
Oft drückt eine Kante in einem Graphen eine gewisse Verbundenheit zwischen den an der Kante beteiligten Knotenpunkten aus, es kann aber auch genau umgekehrt sein, dass man mit einem Graphen Ausschließungen ausdrücken möchte. Man spricht dann von einem {{Stichwort|Ausschließungsgraphen|msw=Ausschließungsgraph|SZ=.}} Beispielsweise kann es um eine Menge von Personen gehen, und die mit dem Graphen zu modellierende Relation ist etwas wie {{Anführung|sie gehen sich aus dem Weg|SZ=,}} {{Anführung|sie können nicht zusammen in einem Team arbeiten|SZ=,}} {{Anführung|sie vertragen sich nicht|SZ=.}} Die Knotenmenge kann aber auch eine Menge von Aussagen sein, die mit einer Kante zu verbinden sind, wenn die Aussagen sich widersprechen. Oder Klamotten, die nicht zueinander passen.
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Stichwort=
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|Bearbeitungsstand=
}}</text>
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    <title>Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel</title>
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      <origin>1093567</origin>
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      <text bytes="1758" sha1="g6xk2c8hswgp651tfx068lks3oa30fp" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}}
|Text={{bildskip}}
{{
inputbild
|U-Bahn Berlin - Netzplan|png|300px {{!}} right {{!}} | 
|Zusname=U-Bahn_Berlin_-_Netzplan
|Text=
|Autor=
|Benutzer=Arbalete
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|Lizenz=CC-by-sa 4.0
|Bemerkung=
}}
Ein Verkehrsnetz, beispielsweise ein {{math|term= U |SZ=-}}Bahnnetz, kann man in verschiedener Weise als einen Graphen interpretieren. Die Knotenmenge ist die Menge der Haltestellen. Man kann nun zwei Haltestellen miteinander durch eine Kante verbinden, wenn sie direkt durch eine Linie unmittelbar benachbart sind
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn es eine direkte Tunnelverbindung ohne Zwischenstation gibt|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Dies ist der Graph
{{
Zusatz/Klammer
|text=Netzgraph|
|ISZ=|ESZ=,
}}
der üblicherweise als Netzplan aushängt
{{
Zusatz/Klammer
|text=wenn verschiedene Linien eine Strecke lang parallel fahren, ist dies für den Graphen unerheblich, ist aber im Netzplan sichtbar|
|ISZ=|ESZ=.
}}
Man kann aber auch zwei Haltestellen miteinander durch eine Kante verbinden, wenn sie an einer gemeinsamen Linie liegen, also ohne Umsteigen erreichbar sind. Im eben erwähnten Netzplan ist dies durch die verschiedenen Farben der Linien einfach erkennbar. Würde man aber all diese Kanten hinmalen, ergäbe sich schnell eine unübersichtliche Darstellung der Netzsituation. Die volle Erreichbarkeit
{{
Zusatz/Klammer
|text=also mit Umsteigen|
|ISZ=|ESZ=
}}
wird typischerweise durch den
{{
Definitionslink
|vollständigen Graphen|
|Kontext=|
|SZ=
}}
der Haltestellen dargestellt, es sei denn, das Liniennetz zerfällt in zueinander disjunkte Teilnetze.
|Textart=Beispiel 
|Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen
|Kategorie2=
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|Objektkategorie=
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|Variante=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/10/Klausur</title>
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      <timestamp>2026-06-07T07:28:18Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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Klausur16
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe|p|||
|N/Zehnte Potenz/Wenig Multiplikationen/Aufgabe|p|||
|Fingernägel/Reihenfolge/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Vereinigung/Aufgabe|p|||
|Untergruppenkriterium/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Monotone Abbildungen/Standard/1/Aufgabe|p|||
|Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
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|Differenzierbare Funktion/Äquivalenzrelation durch Ableitungsbedingung/Aufgabe|p|||
|Fibonacci-Zahlen/Matrix/Iterationen/Eigenvektoren/Aufgabe|p|||
|Nullteilergraph/Z_mod_15/Aufgabe|p|||
|KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|p|||
|Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||   
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
|Kategorie2=
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|Objektkategorie=
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|Klausurtyp=
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        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="1161" sha1="icim6cfwql0xsuuo41py6eeab4wuxi0" xml:space="preserve">{{
Klausur15
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe|p|||
|N/Zehnte Potenz/Wenig Multiplikationen/Aufgabe|p|||
|Fingernägel/Reihenfolge/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Zweielementige Menge/Verknüpfungstabelle für Vereinigung/Aufgabe|p|||
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|Textart=Klausur
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/12/Klausur</title>
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      </contributor>
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Klausur17
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/12/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe|p|||
|Tripel/Summe ist 5/Berechnung/Aufgabe|p|||
|Produktmenge/Durchschnitt/Aufgabe|p|||
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|Gaußklammer/Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p|||
|Kommutative Ringtheorie/Elementmultiplikation/Surjektiv, bijektiv, injektiv/Aufgabe|p|||
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p|||
|Lineare Rekursion/Erzeugende Funktion/Rekursion/Aufgabe|p|||
|Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe|p|||
|Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p|||   
|Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/13/Klausur</title>
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      </contributor>
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      <text bytes="1357" sha1="0fp6arct8fl2crs3875hz358y6ovlo8" xml:space="preserve">{{
Klausur17
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/13/Aufgabe|p|||
|Weihnachtsbaum/10 Kerzen/Anzündmöglichkeiten/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/Teilmengenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Verknüpfung/Surjektive Abbildung/Übertragung der Assoziativität/Aufgabe|p|||
|Ordnung/Echte Ordnung/Eigenschaften/Aufgabe|p|||
|Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p|||
|Boolescher Verband/Komplementäregeln/De Morgan/1/Aufgabe|p|||
|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe|p|||
|Restklassenkörper/Z mod 101/Inverses Element zu 35/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Surjektive Abbildung/Faserbeschränkung/3/Aufgabe|p|||
|Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p|||
|Graph/Jeder Grad einmal/Bis 8/Skizze/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p|||
|Schachfiguren/Planarer Graph/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/14/Klausur</title>
    <ns>106</ns>
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/14/Aufgabe|p|||
|Endliche Produkte von Mengen/Surjektivität von Produktabbildung/Aufgabe|p|||
|Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe|p|||
|Induktionsaufgabe/3^n \geq n^4/Aufgabe|p|||
|Differenzmenge/Assoziativität/Aufgabe|p|||
|Z/Endliche Teilmengen/Halbringeigenschaften/Aufgabe|p|||
|Ring mit 0 ist 1/Ist Nullring/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Nichtleere Teilmengen/Hat Minimum/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/Summe/Aus Lehrsatz/Aufgabe|p|||
|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Abbildungen/Rechtsisomorph/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p|||
|KO-System/8/Höhenskizze/Aufgabe|p|||
|Graph/Isomorph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Kurs=
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/19/Klausur</title>
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/19/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe|p|||
|Höhle/Taschenlampe/Aufgabe|p|||
|Finger und Zehen/Aufteilung/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Bis 1000/Ziffernanzahl/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahl/Quadrat und Kubik/Minimal/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Halbring/Erste binomische Formel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Polynom/R/Bijektiv/Umkehrfunktion/Aufgabe|p|||
|Bruch/Primfaktorzerlegung/Allgemein/Aufgabe|p|||
|Darstellung der 1/11 und 13/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Endlicher Körper/Multiplikationsabbidung/Faseranzahltupel/Aufgabe|p|||
|Lineare Funktionen/R/Multiplikation mit 2 und mit 8/Konjugiert/Aufgabe|p|||  
|Lineare Rekursion/Startwertedifferenz/Differenz/Aufgabe|p|||
|Folge/C/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Explizite Darstellung/Erläuterung/d ist 2/0,b^2/Aufgabe|p|||
|Graph/Komplementärer Graph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p|||
|Diamant Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
|Kategorie2=
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|Klausurtyp=
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/22/Klausur</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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      <text bytes="1320" sha1="ob693372082p02l0v78py50vsk3jjyc" xml:space="preserve">{{
Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/22/Aufgabe|p|||
|Frühe Vogel/Späte Igel/Aufgabe|p|||
|Endliche Menge/Abbildung/Iteration/Wiederholung/Aufgabe|p|||
|Endliche Permutationen/Teilmenge/Aufteilung/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Halbring/0 mal 0/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe|p|||
|Relationstabelle/Eigenschaften/3/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/10868 und 9243/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Rechnung/1/Aufgabe|p|||
|Zahlenraum/Untervektorraum/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p|||
|Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||  
|Kein Ringhomomorphismus/Q nach Z/Aufgabe|p|||
|Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Endlicher Körper/Matrixrekursion/Periodisch/Aufgabe|p||| 
|Quadratzahlen/Erzeugende Funktion/Aufgabe|p|||  
|Endlicher Ring/Nullteilergraph/Multiplikation/Homomorphismus/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
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|Semester=
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|Klausurtyp=
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/23/Klausur</title>
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p|||
|Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p|||
|Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p|||
|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p|||
|Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p|||
|Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Endlicher kommutativer Ring/Addition und Multiplikation/Isomorph/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||   
|Graph/Homomorphismus/Komplementärgraph/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Länderkarte/Geraden als Grenzen/Zwei Farben/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
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    <title>DieDatenlaube/Notizen</title>
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      <timestamp>2026-06-07T09:35:12Z</timestamp>
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      <comment>9. Juni</comment>
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      <text bytes="14477" sha1="kjiq3ch4nma271wxyt61lc2x07bhiz9" xml:space="preserve">
'''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join

== 9. Juni ==
; 180 Tage Zukunft
* Naturalienkabinett Waldendburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de
* neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]] 

== 2. Juni ==
{{Wikisource|Ludwig Richter}}
; Sinnsprüche
: CF: &quot;Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!&quot;
: JB: &quot;Marktforschung kann enttäuschend sein.&quot;
; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!?
; Neu
: [[c:Category:Elbhang-Kurier]]
: Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]]

== 26. Mai  ==
[[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]]

== 19. Mai ==
; Neu
{{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}}
{{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}}

== 12. Mai ==
* Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin
* Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765
* Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte
* Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1
zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen
bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen?
* Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!)  {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} 
* bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]]
* Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit?

==5. Mai==
[[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]]
* ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder

; Datenpflege
Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt

== April ==
[[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche  politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]]
[[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]]

;Frühjahrsputz beim Poenicke:
{{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} 
&lt;gallery caption=&quot;neue Bilder&quot; perrow=&quot;5&quot; showfilename&gt;
Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg
Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg
Schloss Heinersgrün (1).jpg
Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg
Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg
&lt;/gallery&gt;

; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/
; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt
{{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}}


; Neues Projekt
Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]]

== 31. März ==
[[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]]
; Projekte
{{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}}
{{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}}
{{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}}
{{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}}
* [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]]

== 24. März ==
[[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]]
; Zeitgemäßes neues Projekt?
''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173


&lt;gallery&gt;
Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier
Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier
Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier
Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei
Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png
Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]]
&lt;/gallery&gt;

== 17. März ==
Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]]

; Edits
* Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]]
* Sammelauftrag [[d:Q2217225]]
* Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]]
* élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]]

== 10. März ==
; Save the date
* Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer]

; Lieder
Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]]
{{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}}
{{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}}
{{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}}
{{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}}

; Instabil
{{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken.
{{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}}

== 3. März ==
; C.
{{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}}
{{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}}
{{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}}


; Deutsche Digitale B.
Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB

== 24. Februar ==
[[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]]
; Dresden: Plauen
* Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten

; Kunsthütte Chemnitz
* [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv]

; Archiverlebnisse
... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html

: ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052
: ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225

; Datenpflege
* automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -&gt; super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/

== 17. Februar ==
[[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]]
; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen
[[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] 

; DDBstudio
Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]?

; Urheber gesucht: 
&lt;gallery&gt;
Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad
&lt;/gallery&gt;

== 10. Februar ==
[[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]]

; WP-Artikel gesucht
[[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung

; [[Projekt:Tanzkarten]]
Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen?

; Volltext bei Wikisource
[[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&amp;INDEXSET=21
{{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}}

; &quot;Grüne Liste&quot; für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen
{{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}}

== 3. Februar ==
[[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]]
; Tafellieder Heute
* {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}}

; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource
''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de

; WP-Artikel gesucht
[[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in:
{{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}}
Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant.
: ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die &quot;Kunstschule Meißen&quot; (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link]

== 27. Januar ==
; Lesenswert
[[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]]
: jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945

; Augenweide
[[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital

; Citizen Science in Dresden
[[w:Wohnungsenquête (Berlin)]]
{{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}}
{{Wikisource|Wohnung und Krankheit}}
{{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}}
{{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}}
{{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}}

; Verein für die Geschichte Leipzigs
{{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}}

; Capital of Culture Content
{{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}}

== 20. Januar ==
; Rollout
[[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]]

; Thüringer Schulportal
''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]]

; Thüringen dito
{{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}}

== 13. Januar ==
; Neues Projekt
{{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}}

; Altes Projekt, neuer Band
{{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}}

; Neue Themenseite
{{Wikisource|Hasel}}

; Neue Tafellieder
&lt;gallery&gt;
Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897
Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853
&lt;/gallery&gt;
{{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}}
{{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}}
{{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}}
{{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}}
: {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}}
Neue Themenseite für die OER-Entwicklung
{{Wikisource|Tafellieder}}

== 6. Januar ==
; Meyer’s Universum
{{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}}
&lt;gallery&gt;
Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr!
&lt;/gallery&gt;

; Tafellieder
{{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}}
{{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}}
{{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}}
{{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}}

; Dresden historisch, frisch hochgeladen
[[d:Q137675269]]
&lt;gallery&gt;
S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg
S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg
S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg
S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg
S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg
&lt;/gallery&gt;

; Ratsschulbibliothek Zwickau
: https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee
{{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}}

== Bibliothek ==
=== Leseecke ===
* [[DieDatenlaube/call4edits]]

=== DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 ===
Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]]

== Werkzeug==
&lt;gallery&gt;
Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.
Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft
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=== Fußnoten ===
&lt;references /&gt;


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[[Kategorie:Dresden]]
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    <title>Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/100/Klausur</title>
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Klausur20{{{opt|}}}
|/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/5371400 und 695700/Aufgabe|p|||
|Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1085 und 806/Division/Aufgabe|p|||
|Rechteck/Seiten ganzzahlig/Fläche und Umfang/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/Summe aus teilerfremden Zahlen/Teilbarkeit/Aufgabe|p|||
|Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p|||
|Eulersche Zahl/Teilsumme/Nicht ganz/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahlen/Primfaktoren/Äquivalenzrelation/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p|||
|Restklassenkörper (Z)/Summe von zwei Quadraten/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Restklassenringe/Z/Mod 2 und mod 5/Surjektiv/Aufgabe|p|||
|Teilbarkeitsbeziehung/a^2-1 teilt b^2+1/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Endlicher Körper/Charakteristik nicht 2/Quadratanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Einheitskreis/Rationaler Punkt/Abstand zu 1 irrational/Aufgabe|p|||
|Einheitskreis/Rationaler Punkt/Zweite Potenz/Abstand zu 1 rational/Aufgabe|p|||
|Ganzzahlige Matrix/Charakteristisches Polynom/Zahlbereich/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Imaginär-quadratischer Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/100/Klausur</title>
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Klausur24{{{opt|}}}
|Graph/Adjazenzmatrix/Beispiel/1/Aufgabe|p|||
|Endliche Permutation/Element mit Ordnung/Größer/Aufgabe|p|||
|Term/Einsetzen/4/Aufgabe|p|||
|Polynom/Einsetzung/Beispiel/1/Aufgabe|p|||
|Primelemente/Zahl geq 100000 alle Primteiler geq 20/Polynomring über Z mod 3/Polynom Grad geq 9 alle Primteiler geq 3/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/Teilbarkeit/Idealinklusion/Ringhomomorphismus/Surjektiver Gruppenhomomorphismus/Aufgabe|p|||   
|KgV/Primzahlzerlegung/Aufgabe|p|||
|Binomialkoeffizient/n über 2/Zerlegbar/Aufgabe|p|||
|Exponent/72657/Zu 3/Aufgabe|p|||
|Primfaktorzerlegung/10!/Aufgabe|p|||
|Fakultäten/GgT und KgV/Aufgabe|p|||
|10/Teilerfremd/Endziffer/Aufgabe|p|||
|Restklassenring/Z mod p/Additive und multiplikative Ordnung sind teilerfremd/Aufgabe|p|||
|Restklassenringe (Z)/mod 13/3 hoch 1457/Berechne/Aufgabe|p|||
|Z mod 6/Lösungen von x^2 ist x/Aufgabe|p|||
|Restklassenring/Z mod 5/Multiplikationstafel/Aufgabe|p|||
|Z mod 7/Modulo x^3+4x^2+x+5/(2x^2+5x+3)(3x^2+x+6)/Aufgabe|p|||
|Z mod 10/Dritte Potenz/Wertetabelle/Aufgabe|p|||
|Äquivalenzrelation/Modulo 7/Aufgabe|p|||
|Konstruktion von Q/Äquivalenzklassen/Aufgabe|p|||
|Körper/Ringhomomorphismus/Injektiv/Beweise direkt/Aufgabe|p|||
|Division mit Rest (Polynomring)/Z mod 7/4/Aufgabe|p|||
|Quadratzahl/Teileranzahl/Aufgabe|p|||
|Kleines Einmaleins/Diagonale und Gegendiagonale/Aufgabe|p|||
|Ganze Zahlen/Nach Z mod p/Nur multiplikativ/Aufgabe|p|||
|Größter gemeinsamer Teiler/4369, 4131, 3383/Aufgabe|p|||
|Kommutativer Ring/Multiplikation/Gruppenhomomorphismus/Kern/Aufgabe|p|||
|Matrixprodukt/Explizit/Z mod 5/1/Aufgabe|p|||
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|Graph/Adjazenzmatrix/Beispiel/1/Aufgabe|p|||
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Aktuelles</title>
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Materialaufzählung</title>
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      <text bytes="935" sha1="6u50tf0fb0x46jkvxp0rbpu2ch9v3zc" xml:space="preserve">*[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Definitionsliste|Definitionsliste]]

*[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]]

*[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]]

*[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]]

*[[Diskrete Mathematik/Natürliche Zahlen/Textabschnitt|Natürliche Zahlen]]

*[[Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt|Zur WM]]

*[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/1/Klausur|Beispiel zu einer zweiten Testklausur]]

*[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/2/Klausur|Beispiel zu einer zweiten Testklausur]]

*[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/3/Klausur|Beispiel zu einer zweiten Testklausur]]

*[[Kurs:Diskrete Mathematik/Klausuren|Beispielklausuren]]&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblatt 19</title>
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      <text bytes="2852" sha1="jtposqsa2hl9bruavpkfnd47uogpaqd" xml:space="preserve">{{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|19|

{{Zwischenüberschrift|Übungsaufgaben}}

{{
inputaufgabe
|Potenzmengengraph/Untergraph/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Homomorphismus/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|U-Bahn/Graphinterpretationen/Graphhomomorphismus/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabekommentar
|Graph/Bilder/Isomorphismus/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Graph/Schleifen/Isomorphismus/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Vollständiger Graph/4/Kantengraph/Skizze/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Kantengraph/Skizze/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Schwacher Homomorphismus/Fakt/Beweis/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabekommentar
|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/3 Knoten/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/4 Knoten/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/5 Knoten/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabekommentar
|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Trivial/Minimal/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/2/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Automorphismengruppe/Z mod 3/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Würfelgraph/3/Automorphismengruppe/Geometrisch realisierbar/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Graph/Isomorph/Automorphismengruppe/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Graph/Komplementärer Graph/Automorphismengruppe/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Starr/1/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Kein Graph/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Graph/Isomorphie/Zweiseitige Bijektion/Grad/Nicht konjugiert-isomorph/Aufgabe||
|zusatz=
|tipp=
}}

{{Zwischenüberschrift|Aufgaben zum Abgeben}}

{{
inputaufgabe
|Graph/Potenzmengengraph/Untergraph/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
inputaufgabe
|Ungerichteter Graph/Kantengraph/Skizze/2/Aufgabe|p|
|zusatz=
|tipp=
}}

{{
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      <sha1>jtposqsa2hl9bruavpkfnd47uogpaqd</sha1>
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    <title>Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Kreisscheiben</title>
    <ns>106</ns>
    <id>170179</id>
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      <id>1093573</id>
      <parentid>1093417</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T07:51:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Hinweise zur Berechnung */</comment>
      <origin>1093573</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28239" sha1="ncthah7gck8xl8f0s3j9yj8wdwbf7i8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Integrals.

=== Veranschaulichung ===
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die orientierte Kreisfläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t) = (1-t)\cdot z_1 + t \cdot z_2  
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{(1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Bemerkung - Winkel und Eckpunkte */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28251" sha1="9qt2tscrkandstlvvxy6t52a6sons37" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

=== Veranschaulichung ===
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die orientierte Kreisfläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t) = (1-t)\cdot z_1 + t \cdot z_2  
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{(1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <parentid>1093574</parentid>
      <timestamp>2026-06-07T07:53:56Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <minor />
      <comment>/* Veranschaulichung */</comment>
      <origin>1093575</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28281" sha1="cea2tqxp35csgn82d28vhmxrff28tl8" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die orientierte Kreisfläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t) = (1-t)\cdot z_1 + t \cdot z_2  
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{(1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Kreisfläche */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28493" sha1="9198a6qimjv0eoumkklsmbmsal3vxkv" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die orientierte Kreisfläche &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t) &amp; = &amp; 
 (1-t_1)\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_1 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_2 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot t_2 \cdot \gamma_3 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    (1-t_1)\cdot t_2 \cdot \gamma_4 (t_1)  
  \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{(1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <timestamp>2026-06-07T08:24:34Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Kreisfläche */</comment>
      <origin>1093580</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28692" sha1="fx4m3wrfeyabnruvgx1u3savxo531v6" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 (1-t_1)\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_1 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_2 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot t_2 \cdot \gamma_3 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    (1-t_1)\cdot t_2 \cdot \gamma_4 (t_1)  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \ldots , \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.


==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{(1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Kreisfläche */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="28703" sha1="01t4m1p1k311bdpjlhpamgzpj4ieog9" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 (1-t_1)\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_1 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_2 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot t_2 \cdot \gamma_3 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    (1-t_1)\cdot t_2 \cdot \gamma_4 (t_1)  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.


==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{(1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Randwege auf dem Kreisrand */</comment>
      <origin>1093582</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29257" sha1="tgp83ss35g9ia61yaw8w626qseleenv" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 (1-t_1)\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_1 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_2 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot t_2 \cdot \gamma_3 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    (1-t_1)\cdot t_2 \cdot \gamma_4 (t_1)  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.


==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege ====

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
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      <comment>/* Veranschaulichung der Randwege */</comment>
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      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29574" sha1="4pnyx2y41rp4jn82lfewfjwm48xhixm" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 (1-t_1)\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_1 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot (1-t_2) \cdot \gamma_2 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    t_1\cdot t_2 \cdot \gamma_3 (t_1) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    (1-t_1)\cdot t_2 \cdot \gamma_4 (t_1)  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.


==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;. 

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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      <timestamp>2026-06-07T08:50:45Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Kreisfläche */</comment>
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      <text bytes="29578" sha1="c1aa9nma4fa5qt10s5c3o5km2oahh64" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_1) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;. 

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

== Seiteninformation ==
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=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <timestamp>2026-06-07T08:52:09Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bert Niehaus</username>
        <id>20843</id>
      </contributor>
      <comment>/* Definition der orientierten Kreisfläche */</comment>
      <origin>1093585</origin>
      <model>wikitext</model>
      <format>text/x-wiki</format>
      <text bytes="29578" sha1="jba976ls193hfmdp7ppy1i9p08hgw28" xml:space="preserve">== Einleitung ==
[[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; im Inneren eine Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle &lt;math&gt;z\in D_r(z_0)&lt;/math&gt; gilt:
:&lt;math&gt;f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .&lt;/math&gt; 

In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt.

=== Aufgabe für Studierende ===
Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]]. 
* Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? 
* Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? 
Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor!

=== Extremalpunkte eines Kreise ===
Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] ab.

=== Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Mit einem Doppelintegral über den Realteil &lt;math&gt;x\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; und den Imaginärteil &lt;math&gt;y\in\mathbb{R}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;z=x+iy\in\mathbb{C}&lt;/math&gt; für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f= f_1+if_2&lt;/math&gt; auf dem Definitionsbereich &lt;math&gt;G\subseteq\mathbb{C}&lt;/math&gt; betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von &lt;math&gt;G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; für &lt;math&gt;f_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;f_2&lt;/math&gt; die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt; liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;.

=== Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben ===
Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] &lt;math&gt;f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;f(z)=z^2&lt;/math&gt;. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}&lt;/math&gt; mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0&lt;/math&gt; und Radius &lt;math&gt;r_0 &gt; 0&lt;/math&gt;. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe &lt;math&gt;z_0= 3+2i \not=0&lt;/math&gt;  und  dem Radius &lt;math&gt;r_0 := 3 &gt; 0&lt;/math&gt; berechnet.

==== Berechnung des Doppelintegrals ====
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle
 \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad}
 \!\!\!\!\!\!
   f(x+iy) \, dx \, dy
   \!\!\!\!
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} 
  \big( z_{o}^2
   + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + 
  (r\, e^{it} )^2 \big)
  \cdot r \,\, dt \, dr \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \!
    z_0^2 \, r_o \, dt  +
   \underbrace{
   \int_{0}^{2\pi} \!
   \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 +
  \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\
  &amp; = &amp; 
 \displaystyle
  \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}}
  = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6  \pi
  = 30\pi + 72\pi i
  \not=0
 
 \end{array}    
&lt;/math&gt;

=== Hinweise zur Berechnung ===
&lt;math&gt;z_o^2 \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;. Die Stammfunktion von &lt;math&gt;z_o^2&lt;/math&gt; ist daher &lt;math&gt;z_o^2\cdot r&lt;/math&gt;
&lt;math&gt;\int_{0}^{r_o} 
   z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o &lt;/math&gt;

==== Transformationsformel ====
Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum &lt;math&gt;z_o&lt;/math&gt; der Kreisschreibe und vom Radius &lt;math&gt;r_0&lt;/math&gt; ab.

== Rechteck und Kreisscheibe ==
Bei einer orientierten Fläche wird mit 
:&lt;math&gt;\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt;
Ein Rechteck  &lt;math&gt; [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; auf die abgeschlossene Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit Radius &lt;math&gt; r &gt; 0 &lt;/math&gt; und bijektiv &lt;math&gt; z_o \in \mathbb{C}&lt;/math&gt; abgebildet.

=== Abbildung der Ecken auf Kreisrand ===
Die Ecken des Rechtecks &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; mit 
:&lt;math&gt;(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2&lt;/math&gt; 
werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}&lt;/math&gt; als [[orientierte Fläche]] abgebildet.

=== Bezeichnung der Eckpunkte ===
Die Bildpunkte &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)&lt;/math&gt; der  [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]  von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit &lt;math&gt;t_i \in [0,2\pi] &lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} &lt;/math&gt;,
* &lt;math&gt; \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}&lt;/math&gt;, 
* &lt;math&gt; \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ====
In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{2}&lt;/math&gt; abgetragen. Damit bilden die Punkte &lt;math&gt;w_1, w_2, w_3, w_4&lt;/math&gt; ein Quadrat in &lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals.

==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ====
Bildpunkt &lt;math&gt;\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe.

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]]

=== Definition der orientierten Kreisfläche ===
Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] &lt;math&gt;\gamma_\circ&lt;/math&gt; wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rccccl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,1] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) &amp; = &amp; 
 \gamma_1 (t_1) \cdot  (1-t_1)\cdot (1-t_2) 
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2)  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
     \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2  
    \\ &amp; &amp; &amp; &amp; + &amp; 
    \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2   
  \end{array}
&lt;/math&gt;
Dabei sind &lt;math&gt;\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4&lt;/math&gt; Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden.

==== Randwege auf dem Kreisrand ====
Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege &lt;math&gt;\gamma_k&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;k\in \{1,2,3,4\}&lt;/math&gt;:
:&lt;math&gt;
  \begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_k} : &amp;  [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  t  &amp; \mapsto &amp; \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)}  
  \end{array}

&lt;/math&gt;
Dabei gilt &lt;math&gt;a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} &lt;/math&gt; und &lt;math&gt; w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ====
Sind &lt;math&gt;a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]&lt;/math&gt; zwei Winkel, dann bewegt sich &lt;math&gt;\gamma_k(t)&lt;/math&gt; auf dem Kreisrand von &lt;math&gt; \overline{D_r(z_o)}&lt;/math&gt;. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte &lt;math&gt;\gamma_k(t_i)&lt;/math&gt; in Abhängigkeit von &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;.

==== Veranschaulichung der Randwege ====
Der rot markierte Punkt &lt;math&gt;z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)&lt;/math&gt; zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument &lt;math&gt;(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]&lt;/math&gt;. 

[[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]]

Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments &lt;math&gt;(t_1,t_2)&lt;/math&gt; im Einheitsquadrat aus &lt;math&gt;\mathbb{R}^2&lt;/math&gt;.

=== Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege ===
In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung &lt;math&gt;\gamma{\,}'&lt;/math&gt; eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]].

==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_{_D} :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_{_D} : &amp;  [0,r] \times [0,2\pi] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2}  
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2}  , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)&lt;/math&gt;.

==== Animation - orientierte Kreisscheibe ====

[[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]]

==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{r}
 \,\,
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^r
 \bigg]_0^{2\pi}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ====
Das Flächenintegral hat folgende Darstellung:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
  \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi}  f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2
\\
&amp;=&amp;
\displaystyle
 \bigg[
 \,\,
   \bigg[
     F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) 
   \bigg]_0^{\pi}
 \,\,
 \bigg]_0^{1}
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ====
Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man:
:&lt;math&gt;
  
  \begin{array}{rcl}
  \displaystyle
  \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z   
&amp;=&amp;
\displaystyle
\bigg[
\bigg[
 F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2))
 \bigg]_0^\pi
 \bigg]_0^{1}
\\
&amp;=&amp;
 
    F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big)    
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) 
  - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big)
  + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big)
\\
&amp;=&amp;
  F_{_\Box}\big(z_0+r)\big)   
 - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) 
  - F_{_\Box}\big(z_0-r\big)
  + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0
\\
 \end{array}

&lt;/math&gt;

=== Kreisscheibe als orientierte Fläche ===
Behandelt man Kreisscheiben als  [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von &lt;math&gt;\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; über &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und &lt;math&gt;\gamma_{_\circ}&lt;/math&gt; von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind.  Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von &lt;math&gt;\gamma_{\circ}&lt;/math&gt; durch eine Animation veranschaulicht wurde.

==== Bemerkung zu Übungen ====
Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit &lt;math&gt;z_0 + re^{it}&lt;/math&gt; als Integrationsweg.

==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation====
Sei &lt;math&gt;r &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Dann definiert &lt;math&gt;\gamma_\circ :  \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}\subset G&lt;/math&gt; über
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rrcl}
   \gamma_\circ : &amp;  [0,\pi] \times [0,1] &amp; \rightarrow &amp;  \mathbb{C} \\ 
    &amp;  (t_1,t_2)  &amp; \mapsto &amp; \gamma_\circ(t_1,t_2) = 
    z_0 + r  
    \left( 
    (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}
     \right)
  \end{array}
&lt;/math&gt;
mit dem Gradienten &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)&lt;/math&gt;.

==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ====
Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] &lt;math&gt;(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2&lt;/math&gt; von zwei Wegen &lt;math&gt;\gamma_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;\gamma_2&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;[0,\pi]&lt;/math&gt;:
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}&lt;/math&gt; startet bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_1(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis.
* Der Weg &lt;math&gt;\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}&lt;/math&gt; startet ebenfalls bei &lt;math&gt;z_0+r&lt;/math&gt; und läuft mit &lt;math&gt;t_1\in [0,\pi]&lt;/math&gt; über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; bis &lt;math&gt;z_0-r&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;\gamma_2(t_1)&lt;/math&gt; ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis.

==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ====
Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] &lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)&lt;/math&gt; liefert zunächst einmal:
:&lt;math&gt;Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1}  \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg)
&lt;/math&gt;
Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] &lt;math&gt;e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)&lt;/math&gt;:
* &lt;math&gt;\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;-\sin (t_2)= \sin (-t_2)&lt;/math&gt;
* &lt;math&gt;\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\cos (t_2)= \cos (-t_2)&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r\cdot \big(
(1-t_2)  e^{i t_1}
      +
      t_2   e^{-i t_1} 
   \big)
  \\
 &amp; = &amp;
  r\cdot \big(
e^{i t_1} +  t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big)
\\
&amp;=&amp;
 r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)\big) \\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ====
Für &lt;math&gt;\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &lt;/math&gt; erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion:
:&lt;math&gt;
\begin{array}{rcl}
\displaystyle
\frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2)
&amp;=&amp;
\displaystyle
r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big)
= 
- r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) 
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;

==== Gradient der orientierten Fläche ====
Damit ergibt sich der obige Gradient:
:&lt;math&gt;\begin{array}{rcl}
\displaystyle
Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)
&amp; = &amp; r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot  \sin(t_1)   \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)
\\
&amp; = &amp; r  \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i  \cdot  \sin(t_1) \cdot  \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg)
\\
 \end{array}
&lt;/math&gt;.

=== Wahl der orientierten Fläche ===
Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; und den Bilder von &lt;math&gt;\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral &lt;math&gt;\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z &lt;/math&gt; ist durch &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))&lt;/math&gt;  bereits festgelegt.

== Approximation durch Polygone ==
Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. 

=== Approximation durch Rechtecke ===
Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. 

=== Translationsinvarianz nicht gegeben ===
Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; nicht notwendigerweise konstant ist.

== Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;(R_n)_{n\in \mathbb{N}}&lt;/math&gt; eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe &lt;math&gt;D_r(z_0)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;r &lt; r_0&lt;/math&gt; überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe &lt;math&gt;\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}&lt;/math&gt; ist dann über Summe der Integrale über &lt;math&gt;\gamma_{_{R_n}}&lt;/math&gt; als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} 
  \!\!\!\!\!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} 
  \!\!\!\!
  f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;

=== Veranschaulichung - Rechteckapproximation ===

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]]

=== Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität ===
In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke &lt;math&gt;R_i \cap R_j&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;i\not= j&lt;/math&gt; Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt;-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht.

=== Aufgabe 1 - alternierende Randwege ===
Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben.

==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ====
Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals:

[[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]]

=== Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral ===
Ergänzen Sie analog zum  [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben.

==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ====
* entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw.
* wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und 
* sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. 
Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen.

== Approximation der  Kreisscheibe über n-Ecke ==
Sei &lt;math&gt;f:G\to \mathbb{C}&lt;/math&gt; eine [[holomorphe Funktion]], &lt;math&gt;r_o &gt; 0&lt;/math&gt; der Radius des Kreises mit Mittelpunkt &lt;math&gt;z_0\in \mathbb{C}&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;D_{r_o}(z_0) \subset G&lt;/math&gt;. Dann definiert mit dem Bild &lt;math&gt;\overline{D_r(z_0)}&lt;/math&gt; und dem Entwicklungspunkt &lt;math&gt;z_0\in G&lt;/math&gt; der Flächenstammfunktion &lt;math&gt;F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}&lt;/math&gt;. Sei &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; ein regelmäßiges &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck mit &lt;math&gt;m:=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert:
:&lt;math&gt;
  \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z
&lt;/math&gt;


=== Beweisidee ===
Für &lt;math&gt;n=0&lt;/math&gt; erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken &lt;math&gt;z_1,z_2,z_3,z_4&lt;/math&gt; gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; auf &lt;math&gt;n+1&lt;/math&gt; mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;3\cdot m&lt;/math&gt;-Eck (also für &lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck in ein &lt;math&gt;2m&lt;/math&gt;-Eck nicht möglich.

==== Anzahl der Ecken ====
Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen &lt;math&gt;F_{_\Box}&lt;/math&gt; in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl &lt;math&gt;m=4\cdot 3^n&lt;/math&gt; pro Verfeinung von &lt;math&gt;m&lt;/math&gt;-Eck zum &lt;math&gt;3m&lt;/math&gt;-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden.

==== Additives Flächenintegral ====
Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt; und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons &lt;math&gt;V(m)&lt;/math&gt; zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über &lt;math&gt;V(m+1)&lt;/math&gt;.

== Siehe auch ==
* [[Approximationssatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]]
* [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]]
* [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]]
* [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]
* [[Kurvenintegral]]
* [[orientierte Fläche]]
* [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]]
* [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]]
* [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]
* [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]]
* [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] 
* [[Transformationsformel]]

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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;author=Kurs:Funktionentheorie&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&amp;coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/28/Klausur</title>
    <ns>106</ns>
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        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
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      <text bytes="1179" sha1="5mqhoc9u1rdoerds1r1y2rgpwdqdctj" xml:space="preserve">{{
Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/28/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/28/Aufgabe|p|||
|Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Binomische Formeln/999/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Zwei Eimer/7 und 10/1/Aufgabe|p|||
|Natürliche Zahl/Letzte Ziffer/3/Bedingungen/Aufgabe|p|||
|KgV/Erste Zahlen/Verhalten/2/Aufgabe|p|||
|Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Kein Ringhomomorphismus/R nach Q/Aufgabe|p|||
|Restklassenkörper/Z mod 17/Inverses Element zu 8/Aufgabe|p|||
|Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
|Kategorie2=
|Kategorie3=
|Objektkategorie=
|Kurs=
|Semester=
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|Klausurtyp=
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|Bearbeitungsstand=
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    <title>Endlicher Ring/Nullteilergraph/Multiplikation/Homomorphismus/Aufgabe</title>
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      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es seien {{mathl|term= R |SZ=}} ein endlicher kommutativer Ring und es sei {{math|term= G |SZ=}} der 
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Nullteilergraph|
|Kontext=|
|SZ=
}}
von {{math|term= R |SZ=.}} Zu
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Relationskette
| f
| \in | R 
||
||
||
|SZ=
}} 
betrachten wir die Multiplikationsabbildung
{{
Abbildung/display
|name= \mu_f
| R | R
| x | fx
|SZ=.
}}
{{
Aufzählung4
|Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu_f |SZ=}} einen
{{
Definitionslink
|Prämath=
|schwachen Graphhomomorphismus|
|Kontext=|
|SZ=
}}
von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=}} induziert.  
|{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel, dass  {{math|term= \mu_f |SZ=}} keinen 
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Zusatz/Klammer
|text=echten|
|ISZ=|ESZ=
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Definitionslink
|Prämath=
|Graphhomomorphismus|
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induziert.
|Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f |SZ=}} genau dann eine 
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Definitionslink
|Prämath=
|Einheit|
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}}
in {{math|term= R |SZ=}} ist, wenn  {{math|term= \mu_f |SZ=}} einen
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Definitionslink
|Prämath=
|Graphautomorphismus|
|Kontext=|
|SZ=
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bewirkt.
|{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen endlichen kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} und einen Graphautomorphismus des Nullteilergraphen, der nicht von der Multiplikation mit einem Element herrührt.
}}   
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Nullteilergraphen von endlichen kommutativen Ringen
|Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen
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|Objektkategorie=
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es seien {{mathl|term= R |SZ=}} ein endlicher kommutativer Ring und es sei {{math|term= G |SZ=}} der 
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Definitionslink
|Prämath=
|Nullteilergraph|
|Kontext=|
|SZ=
}}
von {{math|term= R |SZ=.}} Zu
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Relationskette
| f
| \in | R 
||
||
||
|SZ=
}} 
betrachten wir die Multiplikationsabbildung
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Abbildung/display
|name= \mu_f
| R | R
| x | fx
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Aufzählung4
|Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \mu_f |SZ=}} einen
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Definitionslink
|Prämath=
|schwachen Graphhomomorphismus|
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von {{math|term= G |SZ=}} nach {{math|term= G |SZ=}} induziert.  
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Zusatz/Klammer
|text=echten|
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Definitionslink
|Prämath=
|Graphhomomorphismus|
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induziert.
|Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f |SZ=}} genau dann eine 
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Definitionslink
|Prämath=
|Einheit|
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in {{math|term= R |SZ=}} ist, wenn  {{math|term= \mu_f |SZ=}} einen
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Definitionslink
|Prämath=
|Graphautomorphismus|
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}}
bewirkt.
|{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen endlichen kommutativen Ring {{math|term= R |SZ=}} und einen Graphautomorphismus des Nullteilergraphen, der nicht von der Multiplikation mit einem Element herrührt.
}}   
|Textart=Aufgabe 
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|Kategorie2=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen
|Kategorie3=
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    <title>Endlicher Ring/Nullteilergraph/Multiplikation/Homomorphismus/Aufgabe/Lösung</title>
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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
{{
Aufzählung4
|Es seien
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Relationskette
| x_1, x_2
| \in | R
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
Aus
{{
Relationskette
| x_1 x_2
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|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
folgt direkt
{{
Relationskette/display
|  {{makl| f x_1 }}  \cdot  {{makl| f x_2 |}} 
|| f^2  x_1 x_2  
|| f^2 \cdot 0
|| 0
|| 
|SZ=.
}}
Deshalb werden im Nullteilergraphen {{math|term= G |SZ=}} verbundene Knotenpunkte auf einem gemeinsamen Punkt abgebildet oder aber auf ein Punktepaar, das ebenfalls verbunden ist. Dies bedeutet schwacher Homomorphismus.
|Es sei
{{
Relationskette
| R
| \neq | 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}
und
{{
Relationskette
| f
|| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=.
}}
Die zugehörige Multiplikationsabbildung ist die Nullabbildung, daher wird die Nullteilerkante zwischen
{{
mathkor|term1=
0
|und|term2=
1
|SZ=
}}
nicht auf eine Kante abgebildet, da die beiden Endpunkte vereinigt werden.  
|Die Multiplikation mit {{math|term= f |SZ=}} ist genau dann bijektiv, wenn  {{math|term= f |SZ=}} eine Einheit ist. In diesem Fall ist
{{
Relationskette/display
| x_1x_2
|| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=
}}  
äquivalent zu 
{{
Relationskette/display
| fx_1 f x_2
|| 0
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
da man ja mit der Einheit {{math|term= f^2 |SZ=}} kürzen kann.
|Es sei
{{
Relationskette
| R
|| {{op:Zmod|5|}} 
|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
im zugehörigen Nullteilergraphen ist {{math|term= 0 |SZ=}} mit {{math|term= 1, 2, 3, 4 |SZ=}} verbunden, sonst gibt es keine Verbindungen. Daher ist jede Permutation auf {{mathl|term= 1, 2, 3, 4 |SZ=}} ein Graphautomorphismus. Davon gibt es {{math|term= 24 |SZ=,}} also kann schon allein aufgrund der Anzahl nicht jeder Graphautomorphismus von einer Multiplikation mit einer Einheit herkommen. Konkret ist die Transposition von {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= 2 |SZ=}} nicht durch eine Multiplikation gegeben, da eine Multiplikation, die {{math|term= 1 |SZ=}} auf {{math|term= 2 |SZ=}} abbildet, schon die Multiplikation mit {{math|term= 2 |SZ=}} sein muss. Doch diese schickt {{math|term= 2 |SZ=}} auf
{{
Relationskette
| 2 \cdot 2
|| 4
| \neq | 1
|| 
|| 
|SZ=.
}} 
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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    </revision>
  </page>
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    <title>Graph/Homomorphismus/Komplementärgraph/Aufgabe</title>
    <ns>0</ns>
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    <revision>
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      <timestamp>2026-06-06T16:21:27Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es sei
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Abbildung
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| G | H
||
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}}
ein
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Definitionslink
|Prämath=
|Graphhomomorphismus|
|Kontext=|
|SZ=.
}}
Ist die gleiche Abbildung
{{
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|text=auf den Vertexmengen|
|ISZ=|ESZ=
}}
auch ein Graphhomomorphismus von den
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Komplementärgraphen|
|Kontext=|
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{{
Abbildung
|name=
| G^c | H^c
||
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|Textart=Aufgabe 
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      <contributor>
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        <id>2041</id>
      </contributor>
      <origin>1093565</origin>
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Es sei
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| G | H
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|Graphhomomorphismus|
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Ist die gleiche Abbildung
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Zusatz/Klammer
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auch ein Graphhomomorphismus von den
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|Prämath=
|Komplementärgraphen|
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Abbildung
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| G^c | H^c
||
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|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen
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|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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    <title>Graph/Homomorphismus/Komplementärgraph/Aufgabe/Lösung</title>
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    <id>171439</id>
    <revision>
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      <timestamp>2026-06-06T16:25:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
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      <text bytes="614" sha1="4lfbco6wwk9uruo3hurjn8cfpyl513k" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
Dies ist nicht der Fall. Es sei {{math|term= G |SZ=}} der zweipunktige kantenfreie Graph und {{math|term= H |SZ=}} der zweipunktige lineare Graph. Die Bijektion
{{
Abbildung/display
|name=
| G | H
||
|SZ=
}}
ist ein Graphhomomorphismus, da es ja links keine Kanten gibt. Bei den Komplementären Graphen vertauschen sich die Rollen. Die einzige Kante in {{math|term= G^c |SZ=}} wird dann auf eine Nichtkante in {{math|term= H^c |SZ=}} abgebildet, das ist also kein Graphhomomorphismus. 
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
}}</text>
      <sha1>4lfbco6wwk9uruo3hurjn8cfpyl513k</sha1>
    </revision>
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  <page>
    <title>Graph/Komplementärer Graph/Automorphismengruppe/Aufgabe/Lösung</title>
    <ns>0</ns>
    <id>171440</id>
    <revision>
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      <timestamp>2026-06-06T16:34:23Z</timestamp>
      <contributor>
        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
      </contributor>
      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
Wir zeigen, dass ein
{{
Definitionslink
|Prämath=
|Graphautomorphismus|
|Kontext=|
|SZ=
}}
{{
Abbildung
|name= \varphi
| G | G
||
|SZ=
}}
direkt ein Graphautomorphismus von {{math|term= G^c |SZ=}} nach {{math|term= G^c |SZ=}} ist. Dies beruht direkt auf den Äquivalenzen der Aussagen
{{
Aufzählung4/a
| {{mathl|term= \{x,y \} |SZ=}} ist eine Kante in {{math|term= G^c |SZ=,}}
| {{mathl|term= \{x,y \} |SZ=}} ist keine Kante in {{math|term= G |SZ=,}}
| {{mathl|term= \{ \varphi(x), \varphi(y) \} |SZ=}} ist keine Kante in {{math|term= H |SZ=,}}
| {{mathl|term= \{ \varphi(x), \varphi(y) \} |SZ=}} ist eine Kante in {{math|term= H^c |SZ=.}}
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
}}</text>
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    </revision>
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    <title>KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Es findet ein Turnier mit {{math|term= 16 |SZ=}} Mannschaften im KO-System statt. Der zugehörige Graph {{math|term= G |SZ=}} verbindet zwei Mannschaften, wenn sie gegeneinander spielen. 
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Aufzählung4
|Was ist der 
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|Minimalgrad|
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und was ist der
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des Graphen?
|In wie vielen Punkten wird der Minimalgrad und in wie vielen Punkten wird der Maximalgrad angenommen?
|Was ist der 
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Es findet ein Turnier mit {{math|term= 16 |SZ=}} Mannschaften im KO-System statt. Der zugehörige Graph {{math|term= G |SZ=}} verbindet zwei Mannschaften, wenn sie gegeneinander spielen. 
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Aufzählung4
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|In wie vielen Punkten wird der Minimalgrad und in wie vielen Punkten wird der Maximalgrad angenommen?
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    <title>KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung</title>
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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
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Aufzählung4
|Der Minimalgrad ist {{math|term= 1 |SZ=,}} das ist der Grad der Mannschaften, die in der ersten Runde verlieren und rausfliegen. Der Maximalgrad ist {{math|term= 4 |SZ=,}} das ist die Anzahl der Spiele des Gewinners und auch den Finalisten.  
|Der Minimalgrad {{math|term= 1 |SZ=}} wird achtfach angenommen
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Zusatz/Klammer
|text=Verlierer des Achtelfinales|
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der Maximalgrad wird zweifach angenommen
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Zusatz/Klammer
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|Der Durchmesser ist {{math|term= 7 |SZ=.}} Dies ist die Länge des Weges zwischen den beiden Achtelfinalverlierer, die so indirekt wie möglich gegen den Gewinner bzw. den Finalverlierer gespielt haben.
|Der Radius ist {{math|term= 4 |SZ=}} und dies ist auch die Exzentrizität des Gewinners. Von ihm aus führt der längste Weg über den Finalverlierer, über dessen Halbfinalverlierer, über dessen Viertelfinalverlierer zu dessen Achtelfinalverlierer.
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
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    <title>KO-System/8/Höhenskizze/Aufgabe</title>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Ein Turnier findet mit {{math|term= 8 |SZ=}} Mannschaften im KO-System statt. Es sei {{math|term= G |SZ=}} der 
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|Graph|
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zu der Mannschaftenmenge, bei dem zwei Mannschaften verbunden werden, wenn sie gegeneinander gespielt haben.
Skizziere{{n Sie}} den Graphen derart, dass gleicherfolgreiche Mannschaften  auf einem Level
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liegen. Beispielsweise sollen die beiden Halbfinalverlierer auf dem gleichen Level liegen.
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Ein Turnier findet mit {{math|term= 8 |SZ=}} Mannschaften im KO-System statt. Es sei {{math|term= G |SZ=}} der 
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|Graph|
|Kontext=Relation|
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}}
zu der Mannschaftenmenge, bei dem zwei Mannschaften verbunden werden, wenn sie gegeneinander gespielt haben.
Skizziere{{n Sie}} den Graphen überschneidungsfrei und derart, dass gleicherfolgreiche Mannschaften  auf einem Level
{{
Zusatz/Klammer
|text=einer Höhe|
|ISZ=|ESZ=
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liegen. Beispielsweise sollen die beiden Halbfinalverlierer auf dem gleichen Level liegen.
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der binären Bäume
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|Kategorie3=
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    <title>Kategorie:Theorie der binären Bäume/Aufgaben</title>
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    <title>Kategorie:Theorie der binären Bäume</title>
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Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}}
|Theorie der Bäume|Binär
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    <title>Kategorie:Theorie der binären Bäume/Lösungen</title>
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