Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt

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{{Seitenüberschrift|Zur Fußball-WM 2026}}

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{{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}}

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|Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter Graph/Beispiel||
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{{Zwischenüberschrift|Der Ball}}

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{{Zwischenüberschrift|Das Tor}}

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|Tor/Winkeloptimierung/Gradient/Aufgabe||
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{{Zwischenüberschrift|Die Gruppenphase}}


Ein Turnier führt sowohl zu einem ungerichteten Graphen 
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als auch zu einem gerichteten Graphen 
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{{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}}

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Die beiden folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf Konzepte der Prädikatenlogik.
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{{Zwischenüberschrift|Das Turnier}}

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{{Zwischenüberschrift|Turnierplanung}}

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{{Zwischenüberschrift|Heimvorteil}}

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|Weltmeisterschaften/1970 bis 2014/Auswahl/Vollständige Metrik/Aufgabe||
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{{Seitenüberschrift|Zur Fußball-WM 2026}}

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Die folgende Aufgabe gehört eher zur Analysis II.
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{{Zwischenüberschrift|Die Gruppenphase}}


Ein Turnier führt sowohl zu einem ungerichteten Graphen 
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als auch zu einem gerichteten Graphen 
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{{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}}

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Die beiden folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf Konzepte der Prädikatenlogik.
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|KO-System/Elementare Äquivalenz/Aufgabe||
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    <title>Benutzer:Daniel Mietchen/Themenseiten/Korea</title>
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        <username>CommonsDelinker</username>
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      <comment>Removing [[:c:File:Seoul_montage.PNG|Seoul_montage.PNG]], it has been deleted from Commons by [[:c:User:Didym|Didym]] because: per [[:c:Commons:Deletion requests/File:Seoul montage.PNG|]].</comment>
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      <text bytes="1513" sha1="gmlvrxdli3pcgoy1ju3dsavcrayxmr2" xml:space="preserve">== Geographie ==
&lt;gallery&gt;
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File:Flag of South Korea.svg
File:Gyeongju montage.png
File:Korea-Busan-Busan Tower-01.jpg
&lt;/gallery&gt;

== Natur ==
&lt;gallery&gt;
File:KOCIS Halla Mountain in Jeju-do (6387785543).jpg
File:Meimuna opalifera.JPG
File:Four seasons (4260985963).jpg
&lt;/gallery&gt;

== Sprache und Schrift ==
&lt;gallery&gt;
File:Hangeul.png
File:School zone sign.jpg
&lt;/gallery&gt;

예나.
안녕.
독일.

* [[:commons:Category:Hangul]]

== Kultur ==
&lt;gallery&gt;
File:Korea-Gwangju-Gochang Dolmens 5350-06.JPG
PSY GangnamStyle Incheon 13logo (8046066082).jpg
File:Gurye Sansuyu Flower Festival in Spring.jpg
File:Korean ancestor veneration-Jesa-01.jpg
&lt;/gallery&gt;

== Wirtschaft ==
&lt;gallery&gt;
File:KTX Engine.JPG
File:Currency South Korea.jpg
File:Einstein-Hubo.jpg
File:Korea-Boseong-Green.tea-09.jpg
File:Korea-Seoul-Garak Fish Market-02.jpg
File:People engaging with their phones on the Seoul Metro - 5166351572 4e33242d3e o.jpg
&lt;/gallery&gt;

== Bildung, Wissenschaft und Forschung ==
&lt;gallery&gt;
File:Korea-Busan-Doosong Middle School-08.jpg
File:A South Korean school lunch.jpg
File:Daewoo 2006 BS106 Royal City schoolbus 11-09798.JPG
File:Overwintered adults of Ambrostoma koreana - ZooKeys-321-001-g006 (cropped).jpg
File:Yi+Malenchenko+Whitson at ISS 08Apr17 (NASA-ISS016-E-036365).jpg
&lt;/gallery&gt;
Schulsystem
4 marken

== Sport ==
&lt;gallery&gt;
File:Korea Taekwondo Lee Daehoon 02 (7771941448).jpg
File:Master Heon Kim.jpg
File:Televised Star Craft.jpg
File:Pyeongchang 2018 Logo.svg
&lt;/gallery&gt;</text>
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe|p|||
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|Mörder/Aussagenlogik/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Injektive Abbildung/Anzahl Schnitte/Aufgabe|p|||
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/17/Aufgabe|p|||
|U-Bahn/Zugang und Ausgang/Aufgabe|p|||
|Mengentheorie/4 Mengen/2-Fächer-Bachelor/Skizziere Diagramm/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Abbildungen/Hintereinanderschaltung/Darstellung/Aufgabe|p|||
|Brettspiel/Gewinnstellung/Rekursive Definition/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
|N/Summe 65/Produkt 1000/Aufgabe|p|||
|Division mit Rest/N/Erläuterung mit Eimern/Aufgabe|p|||
|Teilbarkeitstheorie (Z)/Beziehungen zwischen ggT und kgV/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|Alternierende geometrische Reihe/C/Betrag z kleiner 1/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||   
|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
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|Bearbeitungsstand=
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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Aktuelles</title>
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|Text=[[Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt|WM und diskrete Mathematik]]
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&lt;!-- 3. Testklausur am Freitag, 3.7., 12:00 - 14:10, 66/E33 --&gt;

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|Endliche Menge/1...n/Definition||
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|Kommutativer Halbring/Ausführlich/Definition||
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|Teilbarkeitstheorie (N)/Kleinstes gemeinsames Vielfache/Definition||
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|Verband/Algebraisch/Ordnung/Definition||
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|Geordnete Menge/Kleinstes Element/Atom/Definition||
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|Ungerichteter Graph/Zusammenhängend/Punkte/Abstand/Definition||
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|Graph/Färbung/Chromatische Zahl/Definition||
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|Endliche Mengen/Anzahl/Wohldefiniert/Fakt|Lemma||
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|Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Produktmenge/Fakt|Satz||
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|Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Fakt|Satz||
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|Endliche Mengen/Abbildungen/Anzahl/Fakt|Lemma||
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|Endliche Menge/Permutationen/Fakultät/Fakt|Korollar||
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|Binomialkoeffizient/Explizit/Teilmengenanzahl/Fakt|Satz||
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|Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Lemma|
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|Permutationen/Fixpunktfrei/Asymptotisches Verhalten/Fakt|Satz||
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|Kommutativer Halbring/Allgemeines Distributivgesetz/Fakt|Satz||
}}

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|Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt|Satz||
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|Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt|Lemma||v=\circ
}}

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|Körper/Integritätsbereich/Fakt|Lemma||
}}

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|Ordnung/Ordnungsvolltreu in Potenzmenge/Injektiv/Fakt|Lemma||
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|Lemma von Bezout/N/Teilerfremd/Induktion/Fakt|Satz||
}}

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|Division mit Rest/Z/Fakt|Satz||
}}

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|Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz||
}}

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|Z/Durchschnitt von Untergruppen/KgV/Fakt|Lemma||
}}

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|Teilbarkeitstheorie (Z)/Primzahl erfüllt Primelementeigenschaft/Fakt|Satz||
}}

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|Zahlentheorie/Primfaktorzerlegung/Fakt|Satz||
}}

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|Boolescher Verband/Endlich/Eindeutige Darstellung mit Atomen/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Boolescher Verband/Endlich/Einbettung/Fakt|Satz||
}}

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|Abbildung/Wertgleichheit/Äquivalenzrelation/Fakt|Lemma||
}}

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|Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma||
}}

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|Gruppentheorie/Kommutativ/Äquivalenz zu Untergruppe/Eigenschaften/Fakt|Lemma||
}}

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|Gruppe/Kommutativ/Restklassengruppe/Fakt|Satz||
}}

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|Kommutativer Ring/Ideal/Restklassenring/Fakt|Lemma||
}}

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|Restklassenringe von Z/Charakterisierung Körper/Prim/Fakt|Satz||
}}

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|Kommutativer Halbring/Multinomialsatz/Fakt|Satz||
}}

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|Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt|Lemma||
}}

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|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Summe der Multinomialkoeffizienten/Nichtleer/Fakt|Lemma
}}

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|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Rekursionsformel/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Potenzprodukte/Summe/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Siebformel/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Menge/Äquivalenzrelation/Partition/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Endliche Mengen/Surjektive Abbildungen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Endliche Mengen/Kugel und Urnen/Stirling-Zahl/2. Art/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Partitionen/Stirling-Zahlen zweiter Art/Rekursion/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt|||
}}

{{
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|Endliche Menge/Äquivalenzrelation/Klassenanzahltupel/Fakt|||
}}

{{
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|Endliche Permutationen/Konjugiert/Zyklendarstellung/Typ/Fakt|||
}}

{{
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|Matrixrekursion/Basis aus Eigenvektoren/Lösungsformel/Fakt||
}}

{{
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|Matrixrekursion/C/Potenz/Beschreibung/Fakt||
}}

{{
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|Lineare Rekursion/C/Lösung/Explizite Darstellung/Fakt||
}}

{{
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|Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Konstante nicht null, dann Einheit/Fakt||
}}

{{
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|Numerisches Monoid/Erzeuger/Darstellungsmöglichkeiten/Potenzreihen/Fakt||
}}

{{
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|Folge/Erzeugende Funktion/Lineare Rekursion/Fakt||
}}

{{
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|Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Ungerichteter Graph/Anzahl/Ungerader Grad/Gerade/Fakt|Korollar||
}}

{{
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|Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt|Satz||
}}

&lt;!--
{{
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|Zusammenhängender Graph/Aufspannender Baum/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Graph/Wald/Ergänzung/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Graph/Wälder/Matroid/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt|Lemma||
}}

{{
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|Adjazenzmatrix/Potenzen/Interpretation/Fakt|Lemma||
}}

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|Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Ungerichteter Graph/Bipartit/Gerade Kreise/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt|Satz||
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|Bipartiter Graph/Paarungszahl/Knotenüberdeckungszahl/Fakt|Satz||
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|Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt|Satz||
}}

{{
inputfaktklappe
|Zusammenhängender Graph/Offener Eulerzug/Charakterisierung mit Grad/Fakt|Satz||
}}

{{
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|Chromatisches Polynom/Polynom/Fakt|Korollar||
}}

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|Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Fakt|Satz||
}}

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|Planarer Graph/Eulersche Polyederformel/Gebietsanzahl/Fakt|Korollar||
}}

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inputfaktklappe
|Ebener Graph/Sechs Farben/Fakt|Satz||
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|Ebener Graph/Fünf Farben/Fakt|Satz||
}}

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|Ebener Graph/Vier Farben/Fakt|Satz||
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--&gt;

&lt;noinclude&gt;[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Listen]]&lt;/noinclude&gt;</text>
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    <title>Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen</title>
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== Einleitung ==
[[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]]
Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. 
Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. 

== Nachhaltigkeitsziele (SDG) ==

=== 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) ===

Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell.  

=== 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) ===

Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig.

=== 🎓 SDG 13 (Climate action) ===

Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. 

=== 🎓 SDG 15 (Life on land) ===

Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar.

== Zielsetzung ==
Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. 

== Modellierungszyklen==
==Sekundarstufe 1==
*[[/Sekundarstufe1/]]
===Grundidee===
Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt &quot;Explizites Bewerten&quot; und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. 
Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. 
Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. 
Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. 

===Ziele===
Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können.

===Mathematischer Hintergrund===
Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Dabei gilt:

* &lt;math&gt;\bar{x}_w&lt;/math&gt;: gewichteter Mittelwert
* &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird
* &lt;math&gt;w_i&lt;/math&gt;: Gewicht des i-ten Wertes

Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt.

Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden:

:&lt;math&gt;\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden:

:&lt;math&gt;W = \frac{p}{100} \times G&lt;/math&gt;

Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n&lt;/math&gt;

Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-&gt; näheres dann bei Umsetzung).

===Umsetzung===
Als erster Schritt wurden vier Standorte anhand der zuvor festgelegten Kategorien eine Bewertung von 1-3 zugeordnet. Mit der dabei entstandenen Tabelle können Schüler*innen der Sekundarstufe 1 nun die gewichtete Gesamtbewertung dereinzelnen Standorte vornehmen und feststellen, welcher Standort am besten geeignet ist.[[Bild:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]]

==Sekundarstufe 2==
*[[/Sekundarstufe2/]]
===Grundidee===
Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage.
Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden:

&lt;math&gt;P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3&lt;/math&gt;

Dabei bedeuten die einzelnen Größen:

* &lt;math&gt;P_\text{max}&lt;/math&gt; – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W)
* &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³)
* &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²)
* &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von &lt;math&gt;\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}&lt;/math&gt; herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei &lt;math&gt;D = 140\,\mathrm{m}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich &lt;math&gt;A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}&lt;/math&gt;.

Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu 

&lt;math&gt;
P_\text{Wind}
=
\frac{1}{2}\rho A v^3
=
\frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3
=
9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}
&lt;/math&gt;

Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt.
Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten.

Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden.
Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft.


Stadorte mit richten werte 
eindimensionaler Definitionsbereich 
Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme 
Winderträge are ins Landesinnere verschieben
Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab
Rotationsgröße, Höhe 
Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet
Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt  
*[[/Universitäts Niveau/]]

== Zielgruppe ==
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema  ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

== Aufgaben für Lernende / Studierende ==
Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden

== Literatur/Quellennachweise ==
&lt;references/&gt;

== Siehe auch ==
* [[Wiki2Reveal]]
== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen]
--&gt;
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* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

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== Einleitung ==
[[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]]
Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. 
Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. 

== Nachhaltigkeitsziele (SDG) ==

=== 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) ===

Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell.  

=== 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) ===

Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig.

=== 🎓 SDG 13 (Climate action) ===

Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. 

=== 🎓 SDG 15 (Life on land) ===

Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar.

== Zielsetzung ==
Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. 

== Modellierungszyklen==
==Sekundarstufe 1==
*[[/Sekundarstufe1/]]
===Grundidee===
Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt &quot;Explizites Bewerten&quot; und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. 
Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. 
Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. 
Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. 

===Ziele===
Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können.

===Mathematischer Hintergrund===
Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Dabei gilt:

* &lt;math&gt;\bar{x}_w&lt;/math&gt;: gewichteter Mittelwert
* &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird
* &lt;math&gt;w_i&lt;/math&gt;: Gewicht des i-ten Wertes

Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt.

Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden:

:&lt;math&gt;\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden:

:&lt;math&gt;W = \frac{p}{100} \times G&lt;/math&gt;

Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n&lt;/math&gt;

Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-&gt; näheres dann bei Umsetzung).

===Umsetzung===
Als erster Schritt wurden vier Standorte anhand der zuvor festgelegten Kategorien eine Bewertung von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOffice)eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]]
Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schüler*innen gruppenweise selbst machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit.[[File:Festgelegte Gewichtung der einzelnen Kategorien.png|thumb|Festgelegte Gewichtung der einzelnen Kategorien]]

Nun wird die Summe der Gewichtungen erechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]]

==Sekundarstufe 2==
*[[/Sekundarstufe2/]]
===Grundidee===
Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage.
Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden:

&lt;math&gt;P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3&lt;/math&gt;

Dabei bedeuten die einzelnen Größen:

* &lt;math&gt;P_\text{max}&lt;/math&gt; – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W)
* &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³)
* &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²)
* &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von &lt;math&gt;\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}&lt;/math&gt; herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei &lt;math&gt;D = 140\,\mathrm{m}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich &lt;math&gt;A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}&lt;/math&gt;.

Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu 

&lt;math&gt;
P_\text{Wind}
=
\frac{1}{2}\rho A v^3
=
\frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3
=
9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}
&lt;/math&gt;

Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt.
Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten.

Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden.
Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft.


Stadorte mit richten werte 
eindimensionaler Definitionsbereich 
Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme 
Winderträge are ins Landesinnere verschieben
Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab
Rotationsgröße, Höhe 
Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet
Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt  
*[[/Universitäts Niveau/]]

== Zielgruppe ==
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema  ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

== Aufgaben für Lernende / Studierende ==
Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden

== Literatur/Quellennachweise ==
&lt;references/&gt;

== Siehe auch ==
* [[Wiki2Reveal]]
== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

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Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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        <username>Lisa Haaf</username>
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== Einleitung ==
[[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]]
Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. 
Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. 

== Nachhaltigkeitsziele (SDG) ==

=== 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) ===

Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell.  

=== 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) ===

Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig.

=== 🎓 SDG 13 (Climate action) ===

Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. 

=== 🎓 SDG 15 (Life on land) ===

Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar.

== Zielsetzung ==
Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. 

== Modellierungszyklen==
==Sekundarstufe 1==
*[[/Sekundarstufe1/]]
===Grundidee===
Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt &quot;Explizites Bewerten&quot; und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. 
Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. 
Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. 
Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. 

===Ziele===
Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können.

===Mathematischer Hintergrund===
Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Dabei gilt:

* &lt;math&gt;\bar{x}_w&lt;/math&gt;: gewichteter Mittelwert
* &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird
* &lt;math&gt;w_i&lt;/math&gt;: Gewicht des i-ten Wertes

Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt.

Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden:

:&lt;math&gt;\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden:

:&lt;math&gt;W = \frac{p}{100} \times G&lt;/math&gt;

Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n&lt;/math&gt;

Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-&gt; näheres dann bei Umsetzung).

===Umsetzung===
Als erster Schritt wurden vier Standorte anhand der zuvor festgelegten Kategorien Punkte im Wert von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOffice)eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]]
Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schüler*innen gruppenweise selbst machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit.[[File:Festgelegte Gewichtung der einzelnen Kategorien.png|thumb|Festgelegte Gewichtung der einzelnen Kategorien]]

Nun wird die Summe der Gewichtungen erechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]]

Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien erechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]]

Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]]
[[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]]
Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind negativ bewertet wurden (dazu passend wurden sie rot eingefärbt). Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt.

==Sekundarstufe 2==
*[[/Sekundarstufe2/]]
===Grundidee===
Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage.
Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden:

&lt;math&gt;P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3&lt;/math&gt;

Dabei bedeuten die einzelnen Größen:

* &lt;math&gt;P_\text{max}&lt;/math&gt; – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W)
* &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³)
* &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²)
* &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von &lt;math&gt;\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}&lt;/math&gt; herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei &lt;math&gt;D = 140\,\mathrm{m}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich &lt;math&gt;A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}&lt;/math&gt;.

Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu 

&lt;math&gt;
P_\text{Wind}
=
\frac{1}{2}\rho A v^3
=
\frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3
=
9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}
&lt;/math&gt;

Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt.
Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten.

Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden.
Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft.


Stadorte mit richten werte 
eindimensionaler Definitionsbereich 
Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme 
Winderträge are ins Landesinnere verschieben
Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab
Rotationsgröße, Höhe 
Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet
Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt  
*[[/Universitäts Niveau/]]

== Zielgruppe ==
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema  ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

== Aufgaben für Lernende / Studierende ==
Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden

== Literatur/Quellennachweise ==
&lt;references/&gt;

== Siehe auch ==
* [[Wiki2Reveal]]
== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <contributor>
        <username>Lisa Haaf</username>
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== Einleitung ==
[[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]]
Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. 
Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. 

== Nachhaltigkeitsziele (SDG) ==

=== 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) ===

Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell.  

=== 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) ===

Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig.

=== 🎓 SDG 13 (Climate action) ===

Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. 

=== 🎓 SDG 15 (Life on land) ===

Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar.

== Zielsetzung ==
Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. 

== Modellierungszyklen==
==Sekundarstufe 1==
*[[/Sekundarstufe1/]]
===Grundidee===
Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt &quot;Explizites Bewerten&quot; und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. 
Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. 
Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. 
Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. 

===Ziele===
Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können.

===Mathematischer Hintergrund===
Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Dabei gilt:

* &lt;math&gt;\bar{x}_w&lt;/math&gt;: gewichteter Mittelwert
* &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird
* &lt;math&gt;w_i&lt;/math&gt;: Gewicht des i-ten Wertes

Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt.

Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden:

:&lt;math&gt;\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden:

:&lt;math&gt;W = \frac{p}{100} \times G&lt;/math&gt;

Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n&lt;/math&gt;

Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-&gt; näheres dann bei Umsetzung).

===Umsetzung===
Als erster Schritt wurden vier Standorte anhand der zuvor festgelegten Kategorien Punkte im Wert von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOffice)eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]]
Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schüler*innen gruppenweise selbst machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit.[[File:Festgelegte Gewichtung der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung der einzelnen Kategorien]]

Nun wird die Summe der Gewichtungen erechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]]

Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien erechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]]

Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]]
[[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]]
Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt.

==Sekundarstufe 2==
*[[/Sekundarstufe2/]]
===Grundidee===
Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage.
Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden:

&lt;math&gt;P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3&lt;/math&gt;

Dabei bedeuten die einzelnen Größen:

* &lt;math&gt;P_\text{max}&lt;/math&gt; – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W)
* &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³)
* &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²)
* &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von &lt;math&gt;\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}&lt;/math&gt; herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei &lt;math&gt;D = 140\,\mathrm{m}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich &lt;math&gt;A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}&lt;/math&gt;.

Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu 

&lt;math&gt;
P_\text{Wind}
=
\frac{1}{2}\rho A v^3
=
\frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3
=
9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}
&lt;/math&gt;

Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt.
Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten.

Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden.
Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft.


Stadorte mit richten werte 
eindimensionaler Definitionsbereich 
Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme 
Winderträge are ins Landesinnere verschieben
Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab
Rotationsgröße, Höhe 
Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet
Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt  
*[[/Universitäts Niveau/]]

== Zielgruppe ==
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema  ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

== Aufgaben für Lernende / Studierende ==
Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden

== Literatur/Quellennachweise ==
&lt;references/&gt;

== Siehe auch ==
* [[Wiki2Reveal]]
== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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        <username>Lisa Haaf</username>
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== Einleitung ==
[[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]]
Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. 
Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. 

== Nachhaltigkeitsziele (SDG) ==

=== 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) ===

Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell.  

=== 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) ===

Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig.

=== 🎓 SDG 13 (Climate action) ===

Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. 

=== 🎓 SDG 15 (Life on land) ===

Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar.

== Zielsetzung ==
Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. 

== Modellierungszyklen==
==Sekundarstufe 1==
*[[/Sekundarstufe1/]]
===Grundidee===
Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt &quot;Explizites Bewerten&quot; und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. 
Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. 
Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. 
Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. 

===Ziele===
Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können.

===Mathematischer Hintergrund===
Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Dabei gilt:

* &lt;math&gt;\bar{x}_w&lt;/math&gt;: gewichteter Mittelwert
* &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird
* &lt;math&gt;w_i&lt;/math&gt;: Gewicht des i-ten Wertes

Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt.

Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden:

:&lt;math&gt;\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden:

:&lt;math&gt;W = \frac{p}{100} \times G&lt;/math&gt;

Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n&lt;/math&gt;

Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-&gt; näheres dann bei Umsetzung).

===Umsetzung===
Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]]
Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit.
[[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]]

Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]]

Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]]

Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]]
[[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]]
Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt.

==Sekundarstufe 2==
*[[/Sekundarstufe2/]]
===Grundidee===
Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage.
Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden:

&lt;math&gt;P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3&lt;/math&gt;

Dabei bedeuten die einzelnen Größen:

* &lt;math&gt;P_\text{max}&lt;/math&gt; – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W)
* &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³)
* &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²)
* &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von &lt;math&gt;\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}&lt;/math&gt; herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei &lt;math&gt;D = 140\,\mathrm{m}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich &lt;math&gt;A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}&lt;/math&gt;.

Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu 

&lt;math&gt;
P_\text{Wind}
=
\frac{1}{2}\rho A v^3
=
\frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3
=
9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}
&lt;/math&gt;

Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt.
Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten.

Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden.
Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft.


Stadorte mit richten werte 
eindimensionaler Definitionsbereich 
Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme 
Winderträge are ins Landesinnere verschieben
Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab
Rotationsgröße, Höhe 
Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet
Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt  
*[[/Universitäts Niveau/]]

== Zielgruppe ==
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema  ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

== Aufgaben für Lernende / Studierende ==
Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden

== Literatur/Quellennachweise ==
&lt;references/&gt;

== Siehe auch ==
* [[Wiki2Reveal]]
== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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* Link zur Quelle in  Wikiversity:  https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen
* siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator].
&lt;!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --&gt;;

[[Category:Wiki2Reveal]]</text>
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      <contributor>
        <username>Jonas Dächert</username>
        <id>41519</id>
      </contributor>
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== Einleitung ==
[[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]]
Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. 
Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. 

== Nachhaltigkeitsziele (SDG) ==

=== 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) ===

Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell.  

=== 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) ===

Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig.

=== 🎓 SDG 13 (Climate action) ===

Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. 

=== 🎓 SDG 15 (Life on land) ===

Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar.

== Zielsetzung ==
Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. 

== Modellierungszyklen==
==Sekundarstufe 1==
*[[/Sekundarstufe1/]]
===Grundidee===
Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt &quot;Explizites Bewerten&quot; und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. 
Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. 
Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. 
Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. 

===Ziele===
Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können.

===Mathematischer Hintergrund===
Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Dabei gilt:

* &lt;math&gt;\bar{x}_w&lt;/math&gt;: gewichteter Mittelwert
* &lt;math&gt;x_i&lt;/math&gt;: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird
* &lt;math&gt;w_i&lt;/math&gt;: Gewicht des i-ten Wertes

Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt.

Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden:

:&lt;math&gt;\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}&lt;/math&gt;

Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden:

:&lt;math&gt;W = \frac{p}{100} \times G&lt;/math&gt;

Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort:

:&lt;math&gt;\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n&lt;/math&gt;

Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-&gt; näheres dann bei Umsetzung).

===Umsetzung===
Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]]
Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit.
[[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]]

Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]]

Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]]

Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]]
[[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]]
Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt.

==Sekundarstufe 2==
*[[/Sekundarstufe2/]]
===Grundidee===
Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage.
Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden:

&lt;math&gt;P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3&lt;/math&gt;

Dabei bedeuten die einzelnen Größen:

* &lt;math&gt;P_\text{max}&lt;/math&gt; – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W)
* &lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt; – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³)
* &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²)
* &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s)
Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von &lt;math&gt;\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}&lt;/math&gt; herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei &lt;math&gt;D = 140\,\mathrm{m}&lt;/math&gt;. Daraus ergibt sich &lt;math&gt;A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}&lt;/math&gt;.

Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu 

&lt;math&gt;
P_\text{Wind}
=
\frac{1}{2}\rho A v^3
=
\frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3
=
9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}
&lt;/math&gt;

Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt.
Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten.

Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden.
Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft.


Stadorte mit richten werte 
eindimensionaler Definitionsbereich 
Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme 
Winderträge are ins Landesinnere verschieben
Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab
Rotationsgröße, Höhe 
Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet
Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt  
*[[/Universitäts Niveau/]]

== Zielgruppe ==
Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema  ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind
* Studierende im Fach
* Schüler:innen im Fach

== Aufgaben für Lernende / Studierende ==
Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden

== Literatur/Quellennachweise ==
&lt;references/&gt;

== Siehe auch ==
* [[Wiki2Reveal]]
== Seiteninformation ==
Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen.

=== Wiki2Reveal ===

Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&amp;title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&amp;author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&amp;language=de&amp;audioslide=yes&amp;shorttitle=Windkraftanlagen&amp;coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem  [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt.
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    <title>Kurs:Wikisource ASpB 2026</title>
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        <username>Ulrike Blumenthal</username>
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      <comment>/* Vorabtreffen online */</comment>
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      <text bytes="2713" sha1="1sg90ha51yc0nkiknzhfi47ut18so5j" xml:space="preserve">{{Kurs Box
| '''Workshop''' |
[https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken]
|'''Veranstalter'''|
[https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.]
| '''Ziel''' |
Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum &lt;br&gt; 

Mehr Edits wagen!
| '''Termin'''| 
Auftakt online: 9. Juni &lt;br&gt;
Workshop am 25./26. Juni 2026
|'''Ort'''|
[https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg]
| '''Referentinnen''' |
Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden)
}}

== Vorabtreffen online ==
* Begrüßung und Vorstellungsrunde
: Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]]
: Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]]
* Erstellen eines Benutzerkontos
* Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource]
: [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]]
: [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]]
: [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]]
: [[s:Die Krankenpflege]]
: [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]]
: [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]]  ...
* Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum 
* Gemeinsame Projekte suchen &amp; finden ...

== Workshop ==

=== Wikisource-Projekte ===

=== Commons ===

=== Wikidata ===

== Offene Fragen und Herausforderungen ==
* Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus?
* Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format?

== Neue Projektideen == 
* Comics?

==  Literatur ==
*Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource &amp; Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284]

== Galerie ==
&lt;gallery&gt;
Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]]
Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019
Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019
Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016
Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]''
Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023
Die_Datenlaube_green_edition.jpg
&lt;/gallery&gt;


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    <title>Kurs:Diskrete Mathematik/29/Klausur</title>
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Klausur19
|Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/29/Aufgabe|p|||
|Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/29/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
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|Z^2/Bewegungsvorgang/Lucy/2/Aufgabe|p|||
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|Primzahlen/Abstand 6/Aufgabe|p|||
|Klausuren/Rundung/Korrektur/Aufgabe|p|||
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|Rationale Zahlen/Addition/Verknüpfung/1 neutral/Multiplikation/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/2/Aufgabe|p|||
|Endliche Mengen/Abbildung/Faseranzahl/Multinomialkoeffizienten/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
|/Aufgabe|p|||
|WM 26/Gesamtspielgraph/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|p|||
|Graph/Wald/Ergänzung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
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|/Aufgabe|p|||
|Textart=Klausur
|Kategorie=Diskrete Mathematik
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    <title>KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung</title>
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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
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Aufzählung4
|Der Minimalgrad ist {{math|term= 1 |SZ=,}} das ist der Grad der Mannschaften, die in der ersten Runde verlieren und rausfliegen. Der Maximalgrad ist {{math|term= 4 |SZ=,}} das ist die Anzahl der Spiele des Gewinners und auch des Finalisten.  
|Der Minimalgrad {{math|term= 1 |SZ=}} wird achtfach angenommen
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Zusatz/Klammer
|text=Verlierer des Achtelfinales|
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}} 
der Maximalgrad wird zweifach angenommen
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Zusatz/Klammer
|text=Gewinner und Finalist|
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}}
|Der Durchmesser ist {{math|term= 7 |SZ=.}} Dies ist die Länge des Weges zwischen den beiden Achtelfinalverlierer, die so indirekt wie möglich gegen den Gewinner bzw. den Finalverlierer gespielt haben.
|Der Radius ist {{math|term= 4 |SZ=}} und dies ist auch die Exzentrizität des Gewinners. Von ihm aus führt der längste Weg über den Finalverlierer, über dessen Halbfinalverlierer, über dessen Viertelfinalverlierer zu dessen Achtelfinalverlierer.
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|Textart=Lösung 
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Bei der WM 2026 nehmen {{math|term= 48 |SZ=}} Mannschaften teil, zunächst in {{math|term= 12 |SZ=}} Gruppen zu je {{math|term= 4 |SZ=}} Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich {{math|term= 32 |SZ=}} Mannschaften für die weiterführenden Runden, die im KO-System ausgeführt werden
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Zusatz/Klammer
|text=den man erst vollständig nach dem Turnier beschreiben kann|
|ISZ=|ESZ=
}}  besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollte.
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Aufzählung6
|Wie viele Kanten besitzt der Graph höchstens?
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und was ist der
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|Wie viele Mannschaften besitzen den Grad {{math|term= 4 |SZ=?}} 
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|Was ist der 
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von {{math|term= G |SZ=?}} 
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
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Bei der WM 2026 nehmen {{math|term= 48 |SZ=}} Mannschaften teil, zunächst in {{math|term= 12 |SZ=}} Gruppen zu je {{math|term= 4 |SZ=}} Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich {{math|term= 32 |SZ=}} Mannschaften für die weiterführenden Runden, die im KO-System ausgeführt werden
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Zusatz/Klammer
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Der zugehörige 
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Zusatz/Klammer
|text=den man erst vollständig nach dem Turnier beschreiben kann|
|ISZ=|ESZ=
}}  besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollte.
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Aufzählung6
|Wie viele Kanten besitzt der Graph höchstens?
|Wie viele Mannschaften besitzen den Grad {{math|term= 4 |SZ=?}}
|Was ist der 
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Bei der WM 2026 nehmen {{math|term= 48 |SZ=}} Mannschaften teil, zunächst in {{math|term= 12 |SZ=}} Gruppen zu je {{math|term= 4 |SZ=}} Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich {{math|term= 32 |SZ=}} Mannschaften für die weiterführenden Runden
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Zusatz/Klammer
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besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollte.
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Aufzählung6
|Wie viele Kanten besitzt der Graph höchstens?
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Bei der WM 2026 nehmen {{math|term= 48 |SZ=}} Mannschaften teil, zunächst in {{math|term= 12 |SZ=}} Gruppen zu je {{math|term= 4 |SZ=}} Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich {{math|term= 32 |SZ=}} Mannschaften für die weiterführenden Runden
{{
Zusatz/Klammer
|text=aus jeder Gruppe mindestens {{math|term= 2 |SZ=}} und höchstens {{math|term= 3 |SZ=}}|
|ISZ=|ESZ=
}}, die im KO-System ausgeführt werden
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|text=wir ignorieren das Spiel um Platz {{math|term= 3 |SZ=}}|
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Der zugehörige 
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Zusatz/Klammer
|text=den man erst vollständig nach dem Turnier beschreiben kann|
|ISZ=|ESZ=
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besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollten. Ab Frageteil (3b) schließen wir das aus.
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Aufzählung6
|Wie viele Kanten besitzt der Graph höchstens?
|Wie viele Mannschaften besitzen den Grad {{math|term= 4 |SZ=?}}
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|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der binären Bäume
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|Kategorie3=
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    <title>WM 26/Gesamtspielgraph/Numerische Eigenschaften/Aufgabe/Lösung</title>
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      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
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Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
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Aufzählung6
|Es gibt
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Relationskette/display
| 12 \cdot 6 + 16+8+4+2+1
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|| 
|| 
|SZ=
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Spiele, also höchstens so viele Kanten.
|Das sind die Mannschaften, die sich für das Sechzehntelfinale qualifizieren und dort ausscheiden, also {{math|term= 16 |SZ=}} Mannschaften. 
|Der Minimalgrad ist {{math|term= 3 |SZ=,}} das ist der Grad der Mannschaften, die nur die Gruppenspiele austragen und danach ausscheiden. Der Maximalgrad ist 
{{
Relationskette
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|| 
|| 
|| 
|SZ=,
}}
das ist die Anzahl der Spiele des Gewinners und auch des Finalisten.  
|Der Minimalgrad {{math|term= 3 |SZ=}} wird 
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|| 
|| 
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}}
mal angenommen, der Maximalgrad wird zweifach angenommen
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Zusatz/Klammer
|text=Gewinner und Finalist|
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}}
|Der Durchmesser ist {{math|term= 11 |SZ=.}} Um dies zu begründen, schauen wir zunächst die Länge des längsten Weges auf dem vollen Untergraphen an, der durch die KO-Phase gegeben ist. Die maximale Länge ist hier {{math|term= 9 |SZ=,}} und zwar besteht diese zwischen den beiden Sechzehntelfinalverlierer, die so indirekt wie möglich gegen den Gewinner bzw. den Finalverlierer gespielt haben. Diesen Weg kann man beidseitig um jeweils eine Kante zu einer Mannschaft verlängern, die die zugehörigen Gruppen nicht überstanden haben.
|Der Radius ist {{math|term= 6 |SZ=}} und dies ist auch die Exzentrizität des Gewinners. Von ihm aus führt der längste Weg über den Finalverlierer, über dessen Halbfinalverlierer, über dessen Viertelfinalverlierer, über dessen Achtelfinalverlierer zu dessen Sechzehntelfinalverlierer und letztlich zu einer Mannschaft dessen Gruppe, die sich nicht für die KO-Runde qualifiziert hat.
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
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|Bearbeitungsstand=wd
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    <title>Kategorie:Diskrete Mathematik/Textabschnitte</title>
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        <username>Bocardodarapti</username>
        <id>2041</id>
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    <title>WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe</title>
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        <id>2041</id>
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Bei der WM 2026 nehmen {{math|term= 48 |SZ=}} Mannschaften teil, zunächst in {{math|term= 12 |SZ=}} Gruppen zu je {{math|term= 4 |SZ=}} Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich {{math|term= 32 |SZ=}} Mannschaften für die weiterführenden Runden
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Zusatz/Klammer
|text=aus jeder Gruppe mindestens {{math|term= 2 |SZ=}} und höchstens {{math|term= 3 |SZ=}}|
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}}, die im KO-System ausgeführt werden
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Der zugehörige 
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Zusatz/Klammer
|text=den man erst vollständig nach dem Turnier beschreiben kann|
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besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollten.
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Aufzählung2
|Kann es außer den Vorrundengruppen einen vollen Untergraphen mit vier Mannschaften geben, der vollständig ist?
|Kann man die vollen Untergraphen zu den Vorrundengruppen identifizieren?
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der binären Bäume
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|Kategorie3=
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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}}
|Text=
Bei der WM 2026 nehmen {{math|term= 48 |SZ=}} Mannschaften teil, zunächst in {{math|term= 12 |SZ=}} Gruppen zu je {{math|term= 4 |SZ=}} Mannschaften, wobei jeder gegen jeden spielt. Danach qualifizieren sich {{math|term= 32 |SZ=}} Mannschaften für die weiterführenden Runden
{{
Zusatz/Klammer
|text=aus jeder Gruppe mindestens {{math|term= 2 |SZ=}} und höchstens {{math|term= 3 |SZ=}}|
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}}, die im KO-System ausgeführt werden
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Zusatz/Klammer
|text=wir ignorieren das Spiel um Platz {{math|term= 3 |SZ=}}|
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}}
Der zugehörige 
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Definitionslink
|Prämath=
|Graph|
|Kontext=Relation|
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}}
{{math|term= G |SZ=}}
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Zusatz/Klammer
|text=den man erst vollständig nach dem Turnier beschreiben kann|
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}}
besteht aus der Vertexmenge, deren Elemente die Mannschaften sind, und zwei Mannschaften werden durch eine Kante verbunden, wenn sie gegeneinander gespielt haben. Dabei ziehen wir nur eine Kante, auch wenn zwei Mannschaften zweimal gegeneinander spielen sollten.
{{
Aufzählung2
|Kann es außer den Vorrundengruppen einen vollen Untergraphen mit vier Mannschaften geben, der vollständig ist?
|Kann man die vollen Untergraphen zu den Vorrundengruppen graphentheoretisch identifizieren?
}}
|Textart=Aufgabe 
|Kategorie=Theorie der binären Bäume
|Kategorie2=
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|Stichwort=
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|Bearbeitungsstand=wd
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    <title>WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe/Lösung</title>
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      <comment>Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt.</comment>
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      <text bytes="1057" sha1="f8xajs8zm6fk2v7jfu0vbwisd9h6pbs" xml:space="preserve">{{
Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}}
|Text=
{{
Aufzählung2
|Das kann es geben. Es sei {{math|term= U |SZ=}} eine Vorrundengruppe, aus der sich die {{math|term= 3 |SZ=}} Mannschaften {{mathl|term= x,y,z |SZ=}}  für die KO-Runde qualifizieren, und es sei {{math|term= w |SZ=}} eine Mannschaft aus einer anderen Vorrrundengruppe, die nacheinander in der KO-Phase auf {{mathl|term= x,y,z |SZ=}} stößt und diese besiegt
{{
Zusatz/Klammer
|text=bei {{math|term= z |SZ=}} ist es egal|
|ISZ=|ESZ=.
}} 
Dann finden innerhalb von der Teilmenge {{mathl|term= \{ x,y,z,w \} |SZ=}} {{math|term= 6 |SZ=}} Partien statt.
|Man kann die Vorrundengruppen dennoch graphentheoretisch identifizieren. Da sich höchstens drei Mannschaften aus einer Vorrunde qualifizieren, gibt es in einem solchen vollständigen Untergraphen einen Punkt mit dem Grad {{math|term= 3 |SZ=.}} Dies kann bei einem Untergraphen, der ausschließlich aus weiter qualifizierten Mannschaften besteht, nicht sein.
}}
|Textart=Lösung 
|Kategorie=Siehe
|Kategorie2=
|Autor=
|Bearbeitungsstand=wd
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