Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.5 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1093650 1093162 2026-06-08T18:23:11Z ~2026-33756-18 41631 /* 2FA */ 1093650 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Spezial:Beiträge/&#126;2026-33756-18|&#126;2026-33756-18]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-33756-18|Diskussion]]) 20:23, 8. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) 7c0drcv5ufs0s86iofd2orb1shmm9ub 1093651 1093650 2026-06-08T18:24:11Z Ralf Roletschek 2938 /* 2FA */ 1093651 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) s93xklivxcw9hwgnxmoqjlyxss4otad 14 116539 1093694 620164 2026-06-09T11:14:22Z Bocardodarapti 2041 1093694 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 0 128943 1093648 1093595 2026-06-08T17:00:59Z Jeb 26942 /* 9. Juni */ Lepidoptera collection 01652.jpg 1093648 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldendburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] h9v8dmjvvjdxbayq3k2kgxxqhqltvl1 1093649 1093648 2026-06-08T17:11:44Z Jeb 26942 /* 9. Juni */ typo 1093649 wikitext text/x-wiki '''DatenlaubeJam''', dienstags 2026, meist ab 8:30, BBB: https://bbb.tu-dresden.de/rooms/l3b-ikm-u3c-2rd/join == 9. Juni == ; 180 Tage Zukunft [[Datei:Lepidoptera collection 01652.jpg|mini|Lepidoptera collection 01652]] * Naturalienkabinett Waldenburg: https://www.museum-waldenburg.de/forschen-bewahren/wunderkammer-digital, ... https://www.geschichtsverein-waldenburg.de * neu: [[s:Waldenburg (Sachsen)]], siehe auch: [[c:Category:Museum Waldenburg]] == 2. Juni == {{Wikisource|Ludwig Richter}} ; Sinnsprüche : CF: "Hier gibts soviel zu tun, da reichen meine Tanzkarten nicht!" : JB: "Marktforschung kann enttäuschend sein." ; [[c:Category:Graphical abstracts|Graphical abstracts]] für DD-Hefte-Titel!? ; Neu : [[c:Category:Elbhang-Kurier]] : Leipziger Ausstellungsdaten: [[c:Category:Strukturen der Macht (exhibition)]] == 26. Mai == [[Datei:Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken.pdf|100px|Wikidata in Museen, Archiven und Bibliotheken|right]] == 19. Mai == ; Neu {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band}} {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)}} == 12. Mai == * Bericht vom Besuch der Ehrenamtler der SLUB in Freiberg, dort interessantes Gebäude und Blick ins Magazin * Projekt Herrnhuter läuft weiter, große Datenmengen werden generiert auf Zenodo: https://zenodo.org/records/19130765 * Tipp: Universum Dresden-Schau von Ernst Hirsch, viele tolle Dresdenaufnahmen, viel Stadtgeschichte * Projekt der SäBiG und der SLUb zum Besucherbuch der Bibliothek: https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/12236/1 zum Projekt: https://www.saxorum.de/mitmachen/bibliotheksgeschichte-zum-mitmachen bisschen unklar, wo das Projekt liegt, vielleicht mal in die Datenlaube einladen? * Stand Geschichtsbücher: Band 5 fertig (juhu!!!) {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter Band 5 (1909 bis 1912)}} * bitte Band 6 vorbereiten [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite295.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 295]] * Cossefritz bearbeitet weiter: {{Wikisource|Kesselsdorf_und_Maxen_–_Zwei_Winterschlachten_bei_Dresden}} und möchte den Wanderweg gehen, wer geht mit? ==5. Mai== [[Datei:Goldenes Buch Seite 001 Signatur 05.jpg|mini|Unterschrift Friedrich Ebert]] * ''Wenn Kruzianer feiern'', https://www.musik-in-dresden.de/2026/05/03/wenn-kruzianer-feiern/ über Tafellieder ; Datenpflege Das [[s:Goldenes Buch zum 70. Geburtstag August Bebel 1910/Personenregister|Personenregister des Goldenen Buches zum 70. Geburtstag August Bebel 1910]] wurde komplett auf WD umgestellt == April == [[Datei:Ortskarte des Königreichs Sachson 1-250.000. Auf Veranlassung der königlichen Ministerien sowie des evangelisch-lutherischen Landes-Consistoriums, nach amtlichen Quellen bearbeitet - btv1b53258207z.jpg|mini|Schöne übersichtliche politische Karte des Kgr. Sachsen, gespendet von der Franz. Nationalbibliothek]] [[Datei:Dresden, Albertinum, Ludwig Richter, im Juni.JPG|mini|1859 in der Kunstakademie ausgestellt]] ;Frühjahrsputz beim Poenicke: {{Wikisource|Album der Rittergüter und Schlösser im Königreiche Sachsen}} <gallery caption="neue Bilder" perrow="5" showfilename> Posseck Vogtland 2017 xy11.jpg Rittergut Untermarxgrün, Herrenhaus.jpg Schloss Heinersgrün (1).jpg Kirche St. Nikolaus (Rodau).jpg Herrenhaus des Ritterguts Gutenfürst (2).jpg </gallery> ; Interessant und hilfreich: https://sachsens-schloesser.de/ ; Desiderat mit Hilfe [[w:Staatliche Kunstsammlungen Dresden|SKD-Kunstbibliothek]] erledigt {{Wikisource|Katalog zu der von der Kön. Sächs. Akademie der bildenden Künste alljährlich veranstalteten Kunst-Ausstellung in Dresden 1859}} ; Neues Projekt Marie Simon: [[s:Index:Die Krankenpflege 1876.pdf]] == 31. März == [[Datei:Kesselsdorf und Maxen.Seite71.jpg|mini|Kesselsdorf und Maxen, S. 71]] ; Projekte {{Wikisource|Kunstdenkmäler Amtshauptmannschaft Flöha}} {{Wikisource|Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden}} {{Wikisource|Im Verein (Kunsthütte)}} {{Wikisource|Tafellied zur Crucianer-Feier am 2. Mai 1891}} * [[c:Category:Beschreibende Darstellung der älteren Bau- und Kunstdenkmäler des Königreichs Sachsen (Heft 7, Chemnitz)]] == 24. März == [[File:Die Gartenlaube (1898) b 0196 a 5.jpg|mini|Osterei als Tischkartenhalter, Die Gartenlaube, 1898, S. 196]] ; Zeitgemäßes neues Projekt? ''Ostereier für Buchhändler : mit Salz, Pfeffer, Essig oder Senf zu verspeisen im Jahre 1864'', https://mdz-nbn-resolving.de/details:bsb11267173 <gallery> Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_1.jpg|Das „Ritzen“ der Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0185_2.jpg|Mährische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_1.jpg|Galizische Ostereier Die_Gartenlaube_(1898)_b_0186_2.jpg|Bemaltes und beschriebenes Gänseei Eduard Unger (painter, 1853) eastereggs ChatGPT-Image.png Die Gartenlaube (1894) b 180 3.jpg|[[s:Ein Gruß vom Osterhasen|Ein Gruß vom Osterhasen, 1894]] </gallery> == 17. März == Neue Themenseite: [[s:Kunsthütte Chemnitz]] ; Edits * Deutsche Nationalbibliothek [[d:Q27302]] * Sammelauftrag [[d:Q2217225]] * Sondersammelgebiet [[d:Q1746046]] * élections municipales de 2026 à Paris [[d:Q124423240]] == 10. März == ; Save the date * Tagung „Lebendiges Netzwerk Industriekultur im Ehrenamt“, Tagung mit Markt der Akteure in Dresden, am 28. März 2026: [https://www.saechsischer-heimatschutz.de/files/heimatschutz/pdf/Denkmalnetz%20Sachsen/Lebendiges%20Netzwerk/Tagungsprogramm%20LNIK%2028.03.2026_Stand_15.01.2026.pdf Flyer] ; Lieder Kunsthütte in [[s:Chemnitz#Kunst]] {{Wikisource|1. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|2. Tafellied zum 20. Stiftungsfeste des Erzgebirgischen Gartenbauvereins}} {{Wikisource|Erstes Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} {{Wikisource|Zweites Tafellied Erzgebirgischer Gartenbauverein 1884}} ; Instabil {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.pdf}} Nach Leerspeicherung geht’s kurzfristig – Das Problem hat sich leider weiter manifestiert – Problem hat sich in Luft aufgelöst, da auf djvu umgestellt. Nichts zu danken. {{Wikisource|Index:Kesselsdorf und Maxen.djvu}} == 3. März == ; C. {{Wikisource|Kunsthütte oder Pechhütte|Kunsthütte oder – Pechhütte?}} {{Wikisource|Die Geschichte von der Kunsthütte}} {{Wikisource|Die Chemnitzer wollten e Kunstvereinl hamm}} ; Deutsche Digitale B. Dokumention: [[meta:WikiKult - Offene Kulturdaten/Virtuelle Ausstellungen|Virtuelle Ausstellungen]] der DDB == 24. Februar == [[Datei:Liddy Böttcher.pdf|thumb|Die hochverehrte Mitbegründerin des Gewerbschul-Damenkränzchens ihre aufrichtige Freundin und treue Beratherin Frau Geh. Regierungsrath Liddy Böttcher in Dresden begrüssen in dankbarer Anerkennung ihres verdienstlichen Wirkens hierdurch als ihr Ehrenmitglied die gegenwärtigen Mitglieder dieser Vereinigung. Chemnitz, den 21. Juni 1882.]] ; Dresden: Plauen * Altarverhüllung und Passionsandachten, https://jakobikirchgemeinde-dresden.de/aktuelles/altarverhuellung-und-passionsandachten ; Kunsthütte Chemnitz * [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]], Kunstsammlungen Chemnitz: [https://www.kunstsammlungen-chemnitz.de/bibliothek-archiv/ Bibliothek und Archiv] ; Archiverlebnisse ... ''13. Tag der Archive'' am 7./8. März 2026, https://www.staatsarchiv.sachsen.de/tag-der-archive-2026-8099.html : ''Ordnung muss sein. Extra-Touren mit historischen Tanzkarten – und mit GLAM'', https://osl.hypotheses.org/21052 : ''Unboxing: Tafellieder, Tanzkarten, Bücher, Dachböden'', https://nearby.hypotheses.org/5225 ; Datenpflege * automatische Rückverlinkung zu WD in Echtzeit -> super! siehe: https://personen.niedersaechsische-bibliographie.de/person/1786778084/ == 17. Februar == [[Datei:Trostworte DDB.jpg|mini|Konrad Dielitz, DDB: Trostworte]] ; Es wollt' die Kunsthütt' auch einmal auf eine Reise gehen [[c:Category:Kunsthütte Chemnitz]] ; DDBstudio Kennt Ihr die [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/content/virtuelle-ausstellungen Virtuellen Ausstellungen] der [[c:Category:Deutsche Digitale Bibliothek|Deutschen Digitalen Bibliothek]]? ; Urheber gesucht: <gallery> Meyers Universum Band 01 06 7. Auflage.jpg|[[d:Q138292728]] nicht in Marienbad, sondern in Karlsbad </gallery> == 10. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) August Tiedge.jpg|mini|hochkant|Christoph August Tiedge]] ; WP-Artikel gesucht [[d:Q138029143]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Tiedge-Stiftung ; [[Projekt:Tanzkarten]] Wie können historische Tanzkarten heute als Lern- und Lehrmittel dienen? ; Volltext bei Wikisource [[d:Q138038625]] = https://swb.bsz-bw.de/DB=2.304/PPNSET?PPN=1124690913&INDEXSET=21 {{Wikisource|Verzeichniss der von Speck’schen Gemälde-Sammlung, Teil 1 (1827)}} ; "Grüne Liste" für die Recherche von Lehrerbiografien im Königreich Sachsen {{Wikisource|Sächsischer Gymnasiallehrerverein}} == 3. Februar == [[Datei:Bildnisse hervorragender Dresdner (1908) Ludwig Richter.jpg|mini|hochkant|[[w:Ludwig Richter|Ludwig Richter]] war Lehrer an der Zeichenschule Meißen]] ; Tafellieder Heute * {{Wikisource|Tafellied Hebammenverein Bautzen|Tafel-Lied zum 25jährigen Stiftungsfest des Hebammenvereins Bautzen und Umg. am 7. Oktober 1926}} ; Universitäts- und Stadtbibliothek Köln über Wikisource ''Schatz an Digitalisaten und Texten wurde an der Universitäts- und Stadtbibliothek Köln in einen lokalen Katalog überführt und so für alle Nutzer - innerhalb und ausserhalb der Universität zu Köln - in einem modernen Recherche-Portal erschlossen.'' https://wikisource.ub.uni-koeln.de/portal/home.html?l=de ; WP-Artikel gesucht [[d:Q137948126]], Stadtwiki hat vorgelegt: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Zeichenschule_Meißen, mehrfach erwähnt in: {{Wikisource|Lebensläufe Meißner Künstler}} Mehrfache Erwähnung auch im Stadtwiki Meißen via https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Lebensläufe_Meißner_Künstler_(1888). Eine Seite dort wäre relevant. : ''(...) wenn man einen Artikel zur Zeichenschule Meißen (1743-1893) anlegt, dann muss nach meiner Meinung auch gleichzeitig ein Artikel über die "Kunstschule Meißen" (ab 1906) angelegt werden. (...)'' [https://stadtwiki-meissen.de/wiki/Diskussion:Lebensl%C3%A4ufe_Mei%C3%9Fner_K%C3%BCnstler_(1888) Link] == 27. Januar == ; Lesenswert [[d:Q137877729]]: zentrale Themen: Wahlen in Baltimore am 2. November 1859, Nativisten, Rowdys, Know Nothing Party; dazu der Soundtrack: [https://www.youtube.com/watch?v=_TvDge63Iy8 Baltimore] Man beachte den Text: [[s:Das Washingtondenkmal zu Baltimore in Maryland]] : jetzt auch auf Archivalia: https://archivalia.hypotheses.org/249945 ; Augenweide [[d:Q137886412]]: [[c:Category:Souvenirs des eaux de Baden-Baden et des environs (ca. 1837)]] Hinweis: Baden-Baden ist Partnerstadt von Freital ; Citizen Science in Dresden [[w:Wohnungsenquête (Berlin)]] {{Wikisource|Gesundheit und Städteerweiterung}} {{Wikisource|Wohnung und Krankheit}} {{Wikisource|Wohnungsnot in den großen Städten}} {{Wikisource|Die Wohnungsnoth der ärmeren Klassen}} {{Wikisource|Wohnungsnoth der Arbeiterinnen}} ; Verein für die Geschichte Leipzigs {{Wikisource|Leipziger Geschichtsverein}} ; Capital of Culture Content {{Wikisource|Tafellied im ökonomischen Verein zu Chemnitz}} == 20. Januar == ; Rollout [[d:Q136696936|164. Heft auf WD nun komplett (bis auf bibliographische Einträge in diversen Katalogen)]] ; Thüringer Schulportal ''Tafellieder : Informationen, Digitalisate und Einsatzmöglichkeiten im Bildungsbereich'', https://www.schulportal-thueringen.de/media/detail?tspi=18946, siehe auch [[s:Wikisource:OER]] ; Thüringen dito {{Commonscat|Hennebergisch-Fränkischer Geschichtsverein}} == 13. Januar == ; Neues Projekt {{Wikisource|Die Sophienkirche in Dresden}} ; Altes Projekt, neuer Band {{Wikisource|Meyer’s Universum, oder Abbildung und Beschreibung des Sehenswerthesten und Merkwürdigsten der Natur und Kunst auf der ganzen Erde. Zwanzigster Band|Meyer’s Universum, 20. Band}} ; Neue Themenseite {{Wikisource|Hasel}} ; Neue Tafellieder <gallery> Tafellied gesucht 1897.jpg|Tafellied gesucht, 1897 Tafellieder Schillerfest 1853.jpg|Aufforderung Tafellieder einzusenden bis 1. November 1853 </gallery> {{Wikisource|Tafellied beim Stiftungsfeste des Kunst- und Handwerksvereins zu Altenburg}} {{Wikisource|Tafellied auf Schulze-Delitzsch 1883}} {{Wikisource|Tafellied von Wilhelm Müller}} {{Wikisource|Neu-orthographisches Tafellied 1876}} : {{Wikisource|Parteitag der Deutschen Volkspartei (Der Beobachter, 1895)}} Neue Themenseite für die OER-Entwicklung {{Wikisource|Tafellieder}} == 6. Januar == ; Meyer’s Universum {{Wikisource|Das neue Museum in Dresden}} <gallery> Meyers Universum Band 19 33.jpg|Gesundes neues Jahr! </gallery> ; Tafellieder {{Wikisource|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens 1894|Tafellied des Vereins für Geschichte Dresdens, 1894}} {{Wikisource|Alles per Dampf (1863)}} {{Wikisource|Olympische Grüsse (1899)}} {{Wikisource|Tafellied Ehemaliger Werkmeisterschüler Chemnitz 1884}} ; Dresden historisch, frisch hochgeladen [[d:Q137675269]] <gallery> S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 45.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 46.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 47.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 48.jpg S. Prout Sketches in Flanders and Germany 1833 49.jpg </gallery> ; Ratsschulbibliothek Zwickau : https://www.ratsschulbibliothek.de, Projektidee {{Wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Zehntes Heft}} == Bibliothek == === Leseecke === * [[DieDatenlaube/call4edits]] === DatenlaubeJam '21, '22, '23, '24, '25 === Archive: '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2022|2022]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2023|2023]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2024|2024]]''', '''[[DieDatenlaube/Notizen/2025|2025]]''' siehe auch [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB/Archiv|''Archiv des Wikisource-Informationsstands'' in der SLUB Dresden]] == Werkzeug== <gallery> Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V.jpg|Logo des Dresdner Geschichtsverein e.V. Dresdner Journal 1906 010 Tierschutzverein.jpg|Nachtrag zum 164. Dresdner Heft Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] Wir bilden aus.jpg|right|mini|Wir bilden aus. Wikisource-logo-green.svg|Wikisource </gallery> === Fußnoten === <references /> [[Kategorie:Bibliothek]] [[Kategorie:Dresden]] [[Kategorie:Citizen Science]] eudn13t41bcuwyvoptuafn3ursymme2 106 168509 1093647 1068805 2026-06-08T12:33:32Z Paul Sutermeister 37610 1093647 wikitext text/x-wiki = Webbrowser = <quiz display="simple"> { Ordne [[:w:Webbrowser|Webbrowser]] zu: | typ="[]" } | [[:w:Safari (Browser)|Safari]] | [[:w:Mozilla Firefox|Firefox]] | [[:w:Microsoft Edge|Edge]] | [[:w:Google Chrome|Chrome]] -+-- [[:w:Mozilla|Mozilla]] --+- [[:w:Microsoft|Microsoft]] ---- [[:w:Meta Platforms|Meta]] ---+ [[:w:Google LLC|Google]] +--- [[:w:Apple|Apple]] ---- [[:w:Amazon|Amazon]] </quiz> = URL, Protokoll, sichere Verbindung = <quiz display="simple"> { [[Datei:HTTPS icon.png|100px]] Was ist das? } + eine Adresszeile + Anfang eines [[:w:Uniform Resource Locator|URL]] + ein [[:w:Hypertext Transfer Protocol Secure|Transfer Protocol]] + eine sichere Verbindung </quiz> = Aufbau einer Internetadresse = <quiz display="simple"> { Ordne Teile des [[:w:Uniform Resource Locator|URL]] zu: | typ="[]" } | http:// | paypaI | .com | .ru | /login +---- [[:w:Hypertext Transfer Protocol|Protokoll]] ---+- [[:w:Top-Level-Domain|Top-Level-Domain]] --+-- [[:w:Domain_(Internet)#Subdomain|Second-Level-Domain]] -+--- Third-Level-Domain ----+ [[:w:Pfadname|Pfad]] </quiz> = [[:w:Suchmaschine#Websuchmaschine|Suchmaschine]] = <quiz display="simple"> { Ordne zu: | typ="[]" } | Suchmaschine | Webbrowser | Betriebssystem +-- [[:w:Microsoft Bing|Bing]] -+- [[:w:Google Chrome|Chrome]] -+- [[:w:Microsoft Edge|Edge]] -+- [[:w:Mozilla Firefox|Firefox]] +-- [[:w:Google|Google]] --+ [[:w:Linux|Linux]] --+ [[:w:macOS|macOS]] -+- [[:w:Safari (Browser)|Safari]] --+ [[:w:Microsoft Windows|Windows]] { Was ist keine Suchmaschine? } + [[Bild:Windows logo - 2021.svg|100px|[[:w:Microsoft Windows|Microsoft Windows]]]] + [[Bild:Microsoft_PowerToys-Logo_File_Explorer_Preview_02.png|100px|[[:w:Windows-Explorer|Windows-Explorer]]]] + [[Bild:MacOS_wordmark_(2017).svg|100px|[[:w:macOS|macOS]]]] + [[Bild:Tux.svg|100px|[[:w:Linux|Linux]]]] - [[Bild:Google_2026_logo.svg|100px|[[:w:Google|Google]]]] - [[Bild:Bing_Fluent_Logo_Text.svg|100px|[[:w:Microsoft Bing|Bing]]]] + [[Bild:Android 2023 3D logo and wordmark.svg|100px|[[:w:Android (Betriebssystem)|Android]]]] </quiz> = Blog, Chat, Forum, VoIP = <quiz display="simple"> { Ordne jeweils einen [[:w:Internetdienst|Internetdienst]] zu: | typ="[]" } | [[:w:Blog|Blog]] | [[:w:Chat|Chat]] | [[:w:Internetforum|Forum]] | [[:w:IP-Telefonie|VoIP]] --+- öffentliche Diskussion -+-- Echtzeitdiskussion ---+ Internettelefonie +--- Tagebuch </quiz> = Webanwendungen (WeTransfer, WhatsApp, Wikipedia …) = <quiz display="simple"> { [[Datei:WordPress blue logo.svg|70px]] Welche [[:w:World Wide Web|Webanwendung]] ist das? } - [[:w:WeTransfer|WeTransfer]] - [[:w:WhatsApp|WhatsApp]] - [[:w:Wikipedia|Wikipedia]] - [[:w:Microsoft Windows|Windows]] + [[:w:WordPress|WordPress]] </quiz> [[Kategorie:Kurs:IT Skills (Handelsdiplom VSH)]] 9i88308yvpzql321mqi8uyqgoywymid 106 168599 1093657 1093597 2026-06-09T07:33:35Z Bocardodarapti 2041 1093657 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Diskrete Mathematik/Natürliche Zahlen/Textabschnitt|Natürliche Zahlen]] *[[Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt|Zur WM]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/1/Klausur|Beispiel zu einer zweiten Testklausur]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/2/Klausur|Beispiel zu einer zweiten Testklausur]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/3/Klausur|Beispiel zu einer zweiten Testklausur]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/Klausuren|Beispielklausuren]]<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> fnlprucvsp1bu6zh8k64714no6bveln 1093681 1093657 2026-06-09T10:52:34Z Bocardodarapti 2041 1093681 wikitext text/x-wiki *[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Definitionsliste|Definitionsliste]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Definitionsabfrage|Definitionsabfrage]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze|Wichtigste Aussagen]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage|Aussagen (Abfrage)]] *[[Diskrete Mathematik/Natürliche Zahlen/Textabschnitt|Natürliche Zahlen]] *[[Diskrete Mathematik/Fußball/Textabschnitt|Zur WM]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/1/Klausur|Beispiel zu einer dritten Testklausur]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/2/Klausur|Beispiel zu einer dritten Testklausur]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/3/Klausur|Beispiel zu einer dritten Testklausur]] *[[Kurs:Diskrete Mathematik/Klausuren|Beispielklausuren]]<noinclude>[[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]]</noinclude> opbb28x5sui77r6zmk6on5pjpxa2i1r 106 168630 1093682 1079588 2026-06-09T11:02:28Z Bocardodarapti 2041 1093682 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|20| Schon in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel |Nr= |SZ= }} sind wir einer Situation begegnet, wo eine Kante in einem Graphen eine direkte Verbindung bedeutet, wo aber auch die passende Aneinanderreihung von Kanten eine naheliegende und sinnvolle Interpretation besitzt. {{Zwischenüberschrift|Wege und Zusammenhang}} {{:Ungerichteter Graph/Wege/Zusammenhang/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Weglänge und Abstand}} {{:Ungerichteter Graph/Wege/Numerische Invarianten/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Zyklen und Kreise}} {{:Ungerichteter Graph/Zyklus/Kreis/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Kreis/Kein Blatt/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Bäume und Wälder}} {{:Ungerichteter Graph/Bäume und Wälder/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Binärbäume}} Häufig spielt in einem Graphen ein einzelner Knotenpunkt eine herausragende Rolle. {{ inputdefinition |Baum/Wurzel/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Wurzelbaum/Gerichtet und ungerichtet/Fakt|Lemma|| }} {{:Binärbäume/Wurzel/Gerichtet und ungerichtet/Einführung/Textabschnitt|}} }} rr40awqkx3ju48pbbh6yplsez9w1jqc 1093702 1093682 2026-06-09T11:24:27Z Bocardodarapti 2041 1093702 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|20| Schon in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel |Nr= |SZ= }} sind wir einer Situation begegnet, wo eine Kante in einem Graphen eine direkte Verbindung bedeutet, wo aber auch die passende Aneinanderreihung von Kanten eine naheliegende und sinnvolle Interpretation besitzt. {{Zwischenüberschrift|Wege und Zusammenhang}} {{:Ungerichteter Graph/Wege/Zusammenhang/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Weglänge und Abstand}} {{:Ungerichteter Graph/Wege/Numerische Invarianten/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Zyklen und Kreise}} {{:Ungerichteter Graph/Zyklus/Kreis/Einführung/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Kreis/Kein Blatt/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Bäume und Wälder}} {{:Ungerichteter Graph/Bäume und Wälder/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Binärbäume}} {{:Wurzelbaum/Gerichtet und ungerichtet/Einführung/Textabschnitt}} {{:Binärbäume/Wurzel/Gerichtet und ungerichtet/Einführung/Textabschnitt|}} }} a80csmtxz6prad0hvgznbolfof9vm84 106 170121 1093658 1080058 2026-06-09T07:34:36Z Bocardodarapti 2041 1093658 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/3/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/Gradeigenschaft/Aufgabe|p||| |Graph/3 Punkte/1 Kante/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Diamantgraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Grad/Summe/Kantenanzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |WM 26/Gesamtspielgraph/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Springer/4x4/Abdeckung/Aufgabe|p||| |Endliche Menge/Numerische Bedingung/Injektive Abbildung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graph/Paarung/Paarungszahl/1/Aufgabe|p||| |Graph/Gradbedingung/Ore/Hamiltonkreis/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Stiergraph/Charakteristisches Polynom/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Dürergraph/Hamiltonsch/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} 9fndpe8umh543exnbhvjjnf3ffyu94a 106 170122 1093659 1080057 2026-06-09T07:35:30Z Bocardodarapti 2041 1093659 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/2/Aufgabe|p||| |Graph/Nachbarschaftsvergleich/Homomorphismus/Aufgabe|p||| |Zweistellige Zahlen/Grapheigenschaften/Aufgabe|p||| |WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Schach/Läufer/Bipartit/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Optimale Paarung/Alternierender Weg/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Strahlgraph/Knotenüberdeckungszahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Rundgang/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} nu1z8bcld4m24iqifmp41wrczdnreg8 106 170123 1093660 1080054 2026-06-09T07:36:05Z Bocardodarapti 2041 1093660 wikitext text/x-wiki {{ Klausur16 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/3. Drittel/1/Aufgabe|p||| |Graph/Kantengraph/Automorphismengruppe/Aufgabe|p||| |KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|p||| |Graph/Wege/Numerische Invarianten/Metro Manila/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Graphhomomorphismus/In bipartiten Graphen/Aufgabe|p||| |Graph/Baum/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Ungerichteter Graph/Blatt/Hinwegnahme/Zusammenhang/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Laplace-Matrix/Spannbaum/4/Aufgabe|p||| |Zusammenhängender Graph/Eulersch/Gerader Grad/Kantendisjunkte Kreise/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Bipartiter Graph/Vollständig/2 s/Chromatisches Polynom/Aufgabe|p||| |Deutschland/Länder/Nachbarschaftsgraph/Karte/Chromatische Zahl/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} twgpvzunc0b0s017xfytustpgz02boe 106 171264 1093652 1081416 2026-06-09T06:26:58Z Bert Niehaus 20843 /* Pole und gebrochen rationale Funktionen */ 1093652 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math>. == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kx7wq8nrk9663jleclivgf0m7gjq2i7 1093653 1093652 2026-06-09T06:41:44Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 1 - Polynom im Nenner */ 1093653 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_o=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_1=i</math> und <math>z_2=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hebjlyra1cwodxid61otzz3qpit4wdx 1093654 1093653 2026-06-09T06:52:46Z Bert Niehaus 20843 /* 1.2. Pole und Nullstellen */ 1093654 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_o=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_1=i</math> und <math>z_2=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen keine Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. ==== 1.5 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{2\pi}{3}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0zdwyx1zjg57xf6td7rwdtm1ta950wf 1093655 1093654 2026-06-09T06:53:24Z Bert Niehaus 20843 /* 1.5 - Residuensatz anwenden */ 1093655 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_o=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_1=i</math> und <math>z_2=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen keine Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. ==== 1.5 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] f0b9aedzu6f2ci6476jqieuu1w3zv9u 1093662 1093655 2026-06-09T08:02:50Z Bert Niehaus 20843 /* 1.4 Singularitäten auf der Spur */ 1093662 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_o=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_1=i</math> und <math>z_2=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. ==== 1.5 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] rwrsry63xc2bwktcri97qsh1pfshnce 1093663 1093662 2026-06-09T08:03:33Z Bert Niehaus 20843 /* 1.2. Pole und Nullstellen */ 1093663 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. ==== 1.5 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] evi3hygzokwyy51yih8rncwtcqy67c8 1093664 1093663 2026-06-09T08:05:18Z Bert Niehaus 20843 /* 1.4 Singularitäten auf der Spur */ 1093664 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| \\ |z_3 - z_0| & = & y \\ \end{array} </math> ==== 1.5 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dznvqo8vyvlfp27hmtvg4e2e23uckc2 1093665 1093664 2026-06-09T08:12:16Z Bert Niehaus 20843 /* 1.4 Singularitäten auf der Spur */ 1093665 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] hdd1mu6vyawj81095t3mc2nccnxbzii 1093667 1093665 2026-06-09T08:35:47Z Bert Niehaus 20843 /* 1.5 - Residuensatz anwenden */ 1093667 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2f502u5sixiejufq4strn8t8saf4asv 1093668 1093667 2026-06-09T09:15:34Z Kaan Bauer 38603 /* Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel */ 1093668 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel (hier wird die Definition des Wegintegrals umgekehrt angewendet, wie wir es sonst in FT1 gemacht hatten) integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g3baj2w3jbhlc9s9wbmcuz3e8buc06z 1093669 1093668 2026-06-09T09:19:03Z Kaan Bauer 38603 /* Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel */ 1093669 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1 umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sgy6agrh6uuot0dmmv60o40nxgclz6y 1093670 1093669 2026-06-09T09:20:21Z Kaan Bauer 38603 /* Schritt 1.8 - Residuum berechnen */ 1093670 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1 umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] oh08ft9gm5knnisi5v1w5fhr9k3it5q 1093671 1093670 2026-06-09T09:21:32Z Kaan Bauer 38603 /* Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel */ 1093671 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{+R}^{-R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mqjzm3cx5llk9b3le318hrjhonjju2q 1093672 1093671 2026-06-09T09:23:25Z Kaan Bauer 38603 /* Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral */ 1093672 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R}(z_1) = n(\Gamma_{_R}(z_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 21mdd2be03buflot0cdesfn4yzxmhhf 1093673 1093672 2026-06-09T09:27:35Z Kaan Bauer 38603 /* Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen */ 1093673 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(4i + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d9412aowkdxde9a4sryrhilhvfx1pf5 1093674 1093673 2026-06-09T09:28:34Z Kaan Bauer 38603 /* Schritt 2.6 - Residuen berechnen */ 1093674 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= n(\Gamma_{_R},-ia)= 1</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dqgtbh8lnk6mjfx9ykxdqwmeulfxubx 1093675 1093674 2026-06-09T09:45:52Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden */ 1093675 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \left( \frac{2e^{-a}}{i} - \frac{2e^{a}}{i} \right) = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] g0v4t7hzp65gtz7dzq1xv4awcu2idd8 1093676 1093675 2026-06-09T09:48:12Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden */ 1093676 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] afnpytrwi5h4sfs0yqtm04p71drzqen 1093677 1093676 2026-06-09T09:50:44Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden */ 1093677 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}). </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5ntnc1frr43945ruj0g25x9wlc2kxw5 1093678 1093677 2026-06-09T09:51:06Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden */ 1093678 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 4\pi \cdot (e^{-a}-e^{a}) . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] pmuxu24givrxhf3168g6zothh1cwmdg 1093679 1093678 2026-06-09T09:52:06Z Bert Niehaus 20843 /* Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft */ 1093679 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Zeige Sie, dass die folgende Gleichung bzgl. Schritt 3.7 ebenfalls gilt: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> Verwenden Sie dazu die Gleichung <math>\sin(x) = \mathfrak{Re} \left( e^{ix} \right) = \tfrac{e^{ix}-\overline{e^{ix}}}{2i} = \tfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} </math> (siehe [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]]). == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4riw8jszd6r9k7xmqka52y0eatty9ss 1093680 1093679 2026-06-09T09:55:07Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgabe für Studierende */ 1093680 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Der [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] ist ein wesentliches Werkzeug in der Funktionentheorie, um Integrale über nullhomologe Zyklen und Funktionen berechnen zu können, die bis auf isolierte Singularitäten auf einem Gebiet <math>G</math> holomorph sind. Der Residuensatz kommt insbesondere dann zum Einsatz, wenn herkömmliche Methoden der Integralrechnung versagen. Die folgenden Beispiele sind zeigen ausführliche Berechnung der Residuen. == Einfach geschlossene Wege == Ein Spezialfall von [[nullhomolog]]en Zyklen ist ein einfach geschlossener Weg, der keine Punkte aus <math>G\setminus \mathbb{C}</math> umrundet. Für diese Fall werden nun elementare Anwendungen des Residuensatzes berechnet. === Beispiel 1 - Polynom im Nenner === Das zu berechnende Integal ist ein Integral über ein Intervall über eine Kreisscheibe um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> über die folgende meromorphe Funktion <math>f</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \end{array} </math> ==== 1.1. Definition der Wege ==== Der Weg über dne Kreis um <math>z_o = 1+2i</math> mit dem Radius <math>r=2</math> ist wie folgt definiert: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = z_o + r\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> ==== 1.2. Pole und Nullstellen ==== Unmittelbar erkennt man, dass die Funktion <math>f</math> eine Nullstelle der Ordnung 2 in <math>z_1=0</math> besitzt. Ferner hat die meromorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> zwei Pole erster Ordnung in <math>z_2=i</math> und <math>z_3=-i</math>, wie durch die folgende Umformung ersichtlich ist: :<math> \begin{array}{rrcl} f: & \mathbb{C} & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & z & \mapsto & \displaystyle f(z) = \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} = \frac{(3+i)\cdot z^2}{(z+i)\cdot (z-i)} \end{array} </math> Dabei wurde die 3.bionomische Formel für die Faktorisierung des Nenners verwendet. ====1.3 Umlaufzahl ==== In dem [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] geht laut Aussage des Satzes die Umlaufzahl des Zylus <math>\Gamma</math> ein, der in diesem Fall aus einem einfach geschlossenen Weg <math>\Gamma:=\gamma</math> besteht. Also gilt für alle <math>z\in D_r(z_o)</math> auch <math>n(\gamma, z) = 1</math>. ====1.4 Singularitäten auf der Spur ==== Um den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] anwwenden zu können, dürfen '''''keine''''' Singularitäten auf der Spur von <math>\gamma</math> liegen. Um das zu überprüfen, berechnet man den Abstand zwischen einer Singulariät <math>z_k \in S = \{+i,-i\}</math> und <math>z_o</math>. :<math> \begin{array}{rclclcl} |z_2 - z_0| & = & |i - (1+2i)| & = & |-1-i| & = & \sqrt{2} & < & 2 \\ |z_3 - z_0| & = & |-i - (1+2i) | & = & |-1-3i| & = & \sqrt{10} & > & 2\\ \end{array} </math> Die Abstände sind alle <math>|z_k - z_0| \not= 2</math> und liegen damit nicht auf dem Kreisrand mit Radius 2 um <math>z_0</math>. Ferner geben die Abstände auch an, ob diese Singularitäten von dem Weg <math>\gamma </math> umrundet werden. Es gilt <math>n(\gamma,z_2) = 1</math> und <math>n(\gamma,z_3) = 0</math>. ==== 1.5 - Residuen berechnen ==== Berechnung von <math> Res_{+i}(f)</math> erfolgt über: :<math> Res_{+i}(f) = \lim_{z\to i} (z-i) \cdot f(z) = </math> Berechnung von <math> Res_{-i}(f)</math> :<math> Res_{-i}(f) = \lim_{z\to i} (z+i) \cdot f(z) = </math> ==== 1.6 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{\gamma} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{i}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{ .... }{... } = \frac{}{}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{\partial D_2(1+i)} \frac{(3+i)\cdot z^2}{z^2+1} \, dz = \frac{....}{.....}. </math> == Pole und gebrochen rationale Funktionen == Analog zur Primfaktorzerlegung von Zählen und Nenner und dem Kürzen von Primfaktoren, erlaubt die Zerlegung des Zählers und Nenners in Linearfaktoren der Form <math>z-z_k</math> mit dem Fundamentalsatz der Algebra eine ähnliches Vorgehen für die Bestimmung des Grades von Polen im Nenner. === Beispiel 1: Trigonometrisches Integral === Das Integral ist eigentlich ein reelles Integral für den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,2\pi]</math>. :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx </math> Diese Integral wird über die Transformationsformel in ein Integral über den Kreisrand in komplexen Zahlenebene [[Transformationsformel|transformiert]]. ==== Schritt 1.1 - Darstellung des Kosinus ==== Den Kosinus kann man für reellwertige <math>x\in\mathbb{R}</math> über die Eulersche Formel wie folgt ausdrücken: :<math> e^{ix} = \cos(x) + i\cdot \sin(x) </math> Den Realteil einer Zahl <math>z</math> kann man ferner über <math>\overline{z}</math> darstellen: :<math> z+ \overline{z} = 2 \cdot \mathfrak{Re}(z) \ \,\mbox{ } \ \, \mathfrak{Re}(z) = \frac{z+ \overline{z}}{2} </math> Dies wendet man auf den Kosinus als Realteil von <math>e^{ix}</math> an. ==== Schritt 1.2 - Darstellung Kosinus ==== Man setzt <math> z := e^{ix} </math> gilt für die Darstellung von <math> \overline{z} = \overline{e^{ix}} = e^{-ix} </math>. Die Umformung mit Potenzgesetze liefert dann: :<math> \cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} = \frac{e^{ix} + (e^{ix})^{-1}}{2} = \frac{z + z^{-1}}{2}. </math> ==== Schritt 1.3 - Definition des Integrationsweges ==== Definition des Integrationsweges: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & x & \mapsto & \gamma(x) = e^{ix} \end{array} </math> Für die Ableitung des Integrationsweges gilt <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math>. Diese wird für die Anwendung der Substitutionsregel benötigt. ==== Schritt 1.4 - Ersetzung der Kosinusdefinition ==== Mit den Schritten 1.1-1.2 kann man Ausgangsintegral wie folgt umschreiben: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)} \cdot \underbrace{\frac{i \cdot e^{ix}}{i \cdot e^{ix}}}_{=1} \, dx </math> Dabei wird man dem Faktor 1 erweitert, der im Zählen und Nennen die Ableitung <math>\gamma{\,}'(x) = i\cdot e^{ix}</math> erhält ==== Schritt 1.5 - Integration mit Substitutionsregel ==== Durch die Anwendung der Substitutionsregel integriert man nicht mehr über den Weg <math>\gamma_o(t)=t</math>, sondern nun über den Kreisrand <math>\gamma(x)=e^{ix}</math> mit Radius 1: :<math> \oint_{|z|=1} \frac{1}{5 + 4\left(\frac{z + z^{-1}}{2}\right)} \cdot \frac{1}{iz} \, dz = \oint_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)}. </math> (Bemerkung: Von Schritt 1.4 zu Schritt 1.5 wird die Definition des Wegintegrals aus FT1, wie bisher noch nicht gewohnt, umgekehrt angewendet.) ==== Schritt 1.6 - Mitternachtformel ==== Die Lösungen (Wurzeln) einer quadratischen Gleichung <math>a z^2 + b z + c = 0</math> mit [[w:de:Reelle Zahl|reellen]] Koeffizienten <math>a\neq0</math>, <math>b</math> und <math>c</math> lassen sich mit der [[w:de:Mitternachtsformel|Mitternachtsformel]] : <math>z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}</math> berechnen. Die Anzahl der reellen Lösungen hängt vom Term unter der [[w:de:Wurzel (Mathematik)|Wurzel]] ab. ==== Schritt 1.7 - Polstellen bestimmen:==== Für den Nenner <math> 2z^2 + 5z + 2 = 0 </math> bestimmt man die beiden Nullstellen, die Polstellen 1. Ordnung sind: : <math>z_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} </math> Damit erhält man die Nullstellen <math> z_1 = -\tfrac{2}{4} = -\tfrac{1}{2}</math> und <math> z_2 = -\tfrac{8}{4} = -2</math>. ==== Schritt 1.8 - Anwendung Residuensatz==== Die Umlaufzahl geht in die Summendarstellung des [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatzes]] ein. Dabei wird nur <math> z_1 = -\frac{1}{2} </math> von dem Integrationsweg <math>\gamma</math> auf dem Einheitskreis mit <math> |z| = 1 </math> umrundet. <math>z_2=-2</math> liegt außerhalb des Einheitskreises und es gilt <math>n(\gamma , z_1)=1</math> und <math>n(\gamma , z_2)=0</math>. ==== Schritt 1.8 - Residuum berechnen ==== Da es nun eine relevante Singularität <math> z_1 =-\frac{1}{2}</math> berücksichten muss, die zugleich nur eine Polstelle 1. Ordnung ist, kann man das Residuum wie folgt berechnen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \left(z + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \\ & = & \displaystyle \lim_{z \to -\tfrac{1}{2}} \frac{\left(z + \frac{1}{2}\right)}{2i \cdot \left(z + \frac{1}{2}\right)\cdot \left(z + 2\right)} \\ & = & \displaystyle \frac{1}{3i \, .} \\ \end{array} </math> ==== Schritt 1.9 - Residuensatz anwenden ==== :<math> \oint_{|z|=1} f(z)\, dz = 2\pi i \cdot \text{Res}_{-\tfrac{1}{2}}\left(f\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3}. </math> Damit erhält man über den Residuensatz das Ergebnis des reellen Integrals: :<math> \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{5 + 4\cos(x)} \, dx = \frac{2\pi}{3}. </math> === Beispiel 2 - Uneigentliches Integral === Das Integral hat im Nenner ein reelles Polynom, das zwar keine reellwertigen Nullstellen besitzt, aber mit dem Fundamentalsatz der Algebra komplexwertige Nullstellen, die man in diesem Beispiel über die 3. Binomische Formel berechnen kann: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} </math> ==== Schritt 2.1 - Nullstellen im Nenner ==== Die Nullstellen im Nenner lassen sich mit der 3. binomischen Formel in Linearfaktoren zerlegen. :<math> x^2 + 1 = (x+i) \cdot (x-i) \quad \quad x^2 + 4 = (x+2i) \cdot (x-2i) </math> ==== Schritt 2.2 - Polstellen 1. Ordnung ==== Die Nullstellen des Nenners sind die Polstellen der Funktion <math>f</math> mit: :<math> f(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. </math> Polstellen sind <math> x_{1,2} = \pm i </math> und <math> x_{3,4} = \pm 2i </math>. ==== Schritt 2.3 - Uneigentliches Integral ==== Ein uneigentliches Integral ist ein Grenzwertprozess: : <math>\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \displaystyle \lim_{R\to +\infty} \int_{-R}^{+R} f(x) dx </math> Das Integral über die reelle Achse wird wieder als Wegintegral über den Weg <math>\gamma_{_R}(x)=x</math> mit dem Definitionsbereich <math>[-R,+R]</math> interpretiert. ==== Schritt 2.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 2.5 - Umlaufzahlen für die Polstellen ==== Nur <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> liegen in der oberen Halbebene. Für <math>R > 2</math> werden <math> x_1 = i </math> und <math> x_3 = 2i </math> von dem Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> jeweils mit <math>n(\Gamma_{_R},x_1) = n(\Gamma_{_R},x_3)= 1</math> umrundet. ==== Schritt 2.6 - Residuen berechnen ==== Für die Singularität <math> z_1 = i </math> liegt ein Pol 1. Ordnung vor und daher erhält man das Residuum wie folgt: :<math> \text{Res}_i(f) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \tfrac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \tfrac{1}{2i \cdot (i^2 + 4)} = \tfrac{1}{6i}. </math> Analog gilt für <math> z_3 = 2i </math> als Pol 1. Ordnung: :<math> \text{Res}_{2i}(f) = \lim_{z \to 2i} (z - 2i) \cdot \tfrac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \tfrac{1}{(-4 + 1) \cdot 4i} = -\tfrac{1}{12i}. </math> Den vorderen Linearfaktor <math>z-i</math> bzw. <math>z-2i</math> kann gegen den entsprechenden Linearfaktor im Nenner kürzen, wenn man bei dem Grenzwertprozess <math>z\not= i</math> bzw. <math>z\not= 2i</math> voraussetzt. ==== Schritt 2.7 - Residuensatz anwenden ==== Mit der Anwendung des Residuensatzes erhält man für <math>R > 2</math>: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z)\, dz = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des Integrals über Zyklus <math>\Gamma_{_R}</math> erhält man: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> ==== Schritt 2.8 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Für die Berechnung des Integrals über <math>f</math> wird man nun zeigen, dass das Integral über <math>\widehat{\gamma_{_R}}</math> für den Grenzwertprozess <math>R\to +\infty</math> gegen 0 konvergiert: :<math> \lim_{R\to +\infty} \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \underbrace{ \lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz }_{=0} </math> ==== Schritt 2.9 - Grenzwertprozess für den Halbkreis ==== Um zu zeigen, dass <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, schätzt man das Integral betragsmäßig nach oben ab: :<math> \left| \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz \right| \leq \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \left| f(z) \right| \, dz \leq \underbrace{\pi \cdot R}_{=\mathcal{L}(\widehat{\gamma_{_R}})} \cdot \frac{1}{(2\cdot R)^4} \underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0 </math> Ohne Einschränkung sei mit dem Grenzwertprozess <math> R > 5 </math> gewählt werden. ==== Schritt 2.10 - Residuensatz anwenden ==== Da <math>\lim_{R\to +\infty} \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz = 0 </math> gilt, liefert auch das uneigentliche reelle Integral den gleichen Wert: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, dx = 2\pi i \left( \frac{1}{6i} - \frac{1}{12i} \right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{12i} = \frac{\pi}{6}. </math> Als Ergebnis des reellen Integrals über den Residuensatz erhält man daher auch: :<math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}. </math> === Beispiel 3 - Integral mit trigonometrischer Funktion im Zähler === Das folgende uneigentliche Integral soll nun mit dem Residuensatz berechnet werden: :<math> \int_{0}^{+\infty} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> Der Graph des Nenner <math>x^2+a^2</math> ist auf der reellen Achse achsenssymmetrisch zur reellen <math>y</math>-Achse. Auch der Graph vom Kosinus ist achsensymmetrisch zur <math>y</math>-Achse. ==== Schritt 3.1 - Achsensymmetrie ==== Die Achsensymmetrie des Zählers und Nenners zur <math>y</math>-Achse erlaubt die Berechnung des Integrals für <math>(-R , +R)</math>. :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\cdot \int_{0}^{R} \frac{4a\cdot \cos(x)}{x^2 + a^2}\, dx \quad (a > 0) </math> ==== Schritt 3.2 - Integration über den Kreisrand ==== Das Integral von <math>-R</math> bis <math>+R</math> durchläuft <math>4a\cdot e^{ix}</math> einmal den Kreisrand mit de Radius <math>4a</math>. Da der Kosinus <math> \cos(x)</math> der Realteil von <math>e^{ix}</math> ist, gilt auch: :<math> 4a\cdot \cos(x) = 4a\cdot \mathfrak{Re}(e^{ix}) = \mathfrak{Re}\big(4a\cdot \cos(x)\big) </math> ==== Schritt 3.3 - Funktion definieren ==== Man definiert nun eine Funktion in Abhängigkeit von <math>e^{iz}</math> :<math> f(z) = \frac{4a\cdot e^{iz}}{z^2 + a^2} = \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z-ia)\cdot (z + ia)} . </math> Die Polstellen sind <math> z_{1,2} = \pm ai </math> sind Polstellen 1.Ordnung, die sich durch die Anwendung der 3. binomischen Formel ergeben. Dabei liegt <math> z_1 = ai </math> in der oberen Halbebene und <math> z_2 = -ai </math> in der unteren Halbebene der Gaußschen Zahlenebene. Beide Singularitäten würden von dem Kreis mit Radius <math> R > a</math> umlaufen. Der Zyklus <math>\Gamma_{_R} </math> für das Integral wird durch ein Integral auf der reellen Achse und ein Integral über einen Halbkreis in der oberen Halbebene in 3.4 zusammengesetzt. ==== Schritt 3.4 - Definition eines Zyklus==== Ferner wird ein weiterer Weg <math>\widehat{\gamma_{_R}}(x)=R\cdot e^{ix}</math> mit dem Definitionsbereich <math>[0,\pi]</math> definiert. Die Kette :<math> \Gamma_{_R} := \gamma_{_R} + \widehat{\gamma_{_R}} </math> ist ein Zyklus, über den integriert wird. Wenn <math>R > 0</math> groß genug gewählt wird, werden alle Singularitäten aus der oberen Halbebene umrundet. Berechnet wird nun das Integral: :<math> \oint_{\Gamma_{_R}} f(z) \, dz = \int_{\gamma_{_R}} f(z) \, dz + \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} f(z) \, dz </math> ==== Schritt 3.5 - Residuen berechnen ==== Die Residuen werden wie folgt für die beiden Pole 1. Ordnung berechnet: :<math> \text{Res}_{ai}(f) = \lim_{z \to ai} (z - ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a \cdot e^{-a}}{2ai}= \frac{2 \cdot e^{-a}}{i}. </math> Analog gilt für die zweite Singularität in <math>-ai</math> berechnet: :<math> \text{Res}_{-ai}(f) = \lim_{z \to -ai} (z + ai) \cdot \frac{4a\cdot e^{iz}}{(z - ai)(z + ai)} = \frac{4a\cdot e^{a}}{-2ai} = - \frac{2\cdot e^{a}}{i}. </math> ==== Schritt 3.6 - Residuensatz anwenden ==== Die Anwendung des Residuensatzes erhält man mit <math>R > a </math> und <math>n(\Gamma_{_R},ia)= 1 </math> und <math>n(\Gamma_{_R},-ia)= 0</math>: :<math> \int_{\Gamma_{_R}} \frac{4a\cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi i \cdot \frac{2e^{-a}}{i} = 4\pi \cdot e^{-a} . </math> Da <math> \cos (x) </math> der Realteil von <math> e^{ix} </math> ist, gilt <math>\mathfrak{Re}(e^{ix})= \cos(x)</math> und <math>4\pi \cdot e^{-a} = \mathfrak{Re}(4\pi \cdot e^{-a})</math>: :<math> \int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx + \underbrace{ \int_{\widehat{\gamma_{_R}}} \frac{4a \cdot \cos (z)}{z^2 + a^2}\, dz }_{\underset{R\to +\infty}{\longrightarrow} 0} = 4\pi \cdot e^{-a}. </math> Das zweite Integral geht gegen 0, weil der Zählergrad von <math>\tfrac{4a}{x^2 + a^2}</math> um 2 größer ist als der Nennergrad. Hier muss die rationale Funktion ohne <math>\cos(x)</math>, <math>\sin(x)</math> bzw. <math>e^{ix}</math> untersucht werden. ==== Schritt 3.7 - Symmetrieeigenschaft ==== Das Ergebnis des Integrals benötigt die Verwendung der Symmetrieeigenschaften des reellen Integrals: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{0}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = \lim_{R\to +\infty} \tfrac{1}{2}\int_{-R}^{+R} \frac{4a \cdot \cos (x)}{x^2 + a^2}\, dx = 2\pi \cdot e^{-a} . </math> Damit wurde das reelle Integral insgesamt über den [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] berechnet. === Aufgabe für Studierende === Berechnen Sie mit den Ideen aus der obigen Integralberechnung für :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_R : & [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = R\cdot e^{i\cdot t} \end{array} </math> das folgende Integral: :<math> \lim_{R\to +\infty} \int_{\gamma_R} \frac{4a \cdot e^{ix}}{x^2 + a^2}\, dx = 8\pi i \cdot \sin(-ia) </math> == Siehe auch == * [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * [[Residuum]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2mcqb1wagij8exhkbmegdytmv1ludwq 14 171445 1093691 1093610 2026-06-09T11:13:14Z Bocardodarapti 2041 1093691 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie der Wurzelbäume|Binär ||}} lm3bw9f29fvj94fcnjm9m0o1qawyjjq 3 171452 1093656 2026-06-09T07:20:33Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1093656 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=WSC2195}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:20, 9. Jun. 2026 (CEST) ta4ltp3sy49z8mmajkislha9yl78agu 3 171453 1093661 2026-06-09T07:58:33Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1093661 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Annette Krause - Bandlow}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 09:58, 9. Jun. 2026 (CEST) 6v6rkyugff2nlzfw7gmjtictbeqwfun 3 171454 1093666 2026-06-09T08:13:08Z New user message 15350 Begrüßung eines neuen Benutzers mit einer [[Template:Welcome|Willkommensnachricht]] auf dessen Diskussionsseite 1093666 wikitext text/x-wiki {{Template:Welcome|realName=|name=Annika Müllner}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 10:13, 9. Jun. 2026 (CEST) 5ay4tmlg8etn53iiyexszs6u2872sup 0 171455 1093683 2026-06-09T11:03:12Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093683 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Tetrapod Cladogram|png|230px {{!}} right {{!}} |Zusname=Tetrapod_Cladogram |Text=Ein Kladogramm der Tetrapoden (Landwirbeltiere) |Autor= |Benutzer=Ceballosvg |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der binären Bäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 7eqv0y5f3g8bbd5tue15m9p6c234zok 14 171456 1093684 2026-06-09T11:03:19Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093684 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe 0 171457 1093685 2026-06-09T11:05:31Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093685 wikitext 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Im Allgemeinen ergibt sich im graphischen Bild {{ Zusatz/Klammer |text=Stammbaum, Turnierverlauf| |ISZ=|ESZ= }} die Wurzelrolle und die Richtung dadurch, dass man den Baum hierarchisch anordnet und so skizziert, dass die Wurzel ganz oben {{ Zusatz/Klammer |text=oder ganz unten| |ISZ=|ESZ= }} ist und alle Kanten ein Gefällt haben {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht horizontal sind| |ISZ=|ESZ= }} und die Pfeilrichtung als von oben nach unten zu lesen ist. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Wurzelbäume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} l0n0x7dcyylm8ya4u7ysw1kaglv7of1 14 171471 1093704 2026-06-09T11:31:12Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093704 wikitext text/x-wiki {{Textabschnitts-Kategorie unter}} bl0v8l79nyghz6bnoof6be1czzigwqe