Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.6 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 61327 1093756 1093634 2026-06-10T08:03:15Z Bocardodarapti 2041 1093756 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{Seitenüberschrift|Zur Fußball-WM 2026}} {{ inputbild |FIFA World Cup Trophy at National Football Museum, Manchester 02|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Das Einzelspiel}} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Begrüßung/Anzahl/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputbeispiel |Fußballspiel/Zweikampf/Bipartiter Graph/Beispiel|| }} {{ inputaufgabe |Fußballspiel/Zweikampf/Gleichzeitig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Pokal/Wildberg/Bayern München/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Der Ball}} {{ inputbild |Football_theorem_qtl1|svg|230px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Quartl |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Skriptformat=png |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|Das Tor}} {{ inputbild |Götze kicks the match winning goal|jpg|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Abbildung/Fußballspiel/Torschütze/Beispiel|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Karl und Susanne/Tor/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Borussia Dortmund/5 zu 2/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußball/8 zu 3/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe gehört eher zur Analysis II. {{ inputaufgabe |Tor/Winkeloptimierung/Gradient/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Gruppenphase}} Ein Turnier führt sowohl zu einem ungerichteten Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=Spielrelation| |ISZ=|ESZ= }} als auch zu einem gerichteten Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=Gewinnrelation| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbeispiel |Spielgruppen (Fußball)/4/Darstellungsmöglichkeiten/Beispiel|| }} {{ inputaufgabe |Isomorphe Fußballgruppe/Klassifiziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{:Isomorphe Fußballgruppen/Fragen/Textabschnitt}} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Euro 2016/C/Relation/Graph/Adjazenzmatrix/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/Euro 2016/C/Stochastische Matrix/Eigenverteilung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballgruppe/3-1-Regel/Tabelle/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Das KO-System}} {{ inputaufgabe |KO-System/Summenformel/Fußballspiele/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KO-System/8/Höhenskizze/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KO-System/16/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KO-System/8/Freier Graph/Spielgraph/Quotientengraph/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |KO-System/Gewinnrelation/Konjugiert-isomorph/Eindeutig/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die beiden folgenden Aufgaben nehmen Bezug auf Konzepte der Prädikatenlogik. {{ inputaufgabe |KO-System/Elementare Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußballweltmeisterschaft/KO-Runde/Elementare Äquivalenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Das Turnier}} {{ inputaufgabe |WM 26/Gesamtspielgraph/Numerische Eigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |WM 26/Gesamtspielgraph/Cliquen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Turnierplanung}} {{ inputaufgabe |EM 2016/Fußballgruppen/Drittplatzierte/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Heimvorteil}} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1970 bis 2014/Auswahl/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Ohne 1998/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Weltmeisterschaften/1978 bis 2014/Vollständige Metrik/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Informationsverarbeitung}} {{ inputaufgabe |Fußball-Weltmeisterschaft/Teilinformation/Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fußball-WM/Top 4/Spielreihenfolge/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|Die Liga}} {{ inputaufgabe |Rekordrekordmeister/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} gojsczci6rnormrkn8knk8mirq8caj1 106 72759 1093705 1062018 2026-06-09T13:07:15Z Falko Wilms 8588 1093705 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''<big>''Bildung, Manieren und Karriere''</big>''' <center>''CAREER HACKING''</center></span> <span style="font-size:50%;><span style="color:blue;">mit Dr. Falko Wilms im SS 2026</small></span></span></span></center> -------------- <br> <div id="toc" style="width:35%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Zielgruppe'''</div> Studierende des Kursmoduls „Bildung-Manieren-Karriere“ im Rahmen Abschlussseminares ''Interdisziplinäre Integration 2'' des Stundiengangs WING der FHV. ------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Studie</big>'''<BR> </div> * [https://homepages.fhv.at/wf/bube/BB-Studie.pdf <big>'''Die Bekleidung verändert das Denken!'''</big>] ------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>PODCAST</big>'''<BR> </div> * '''podcast: [http://www.youtube.com/watch?v=_mJEZPriBQM Business Behaviour]''' * '''[https://homepages.fhv.at/wf/Protected/Nugget/BuBe.pdf geschützte PDF zum podcast] ------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Youtube-Links</big>'''<BR> </div> * [http://www.youtube.com/watch?v=dWVlVxhCatsHochschule Business Behaviour] * [https://www.youtube.com/watch?v=vgY19WJ8QGg zeitgemässe Umgangsformen] -------- * [https://www.youtube.com/watch?v=toJ0VZT8XA0 Die Begrüßung] * [http://www.youtube.com/watch?v=hGK5WMh_B6o Das Geschäftsessen] * [https://www.youtube.com/watch?v=tMv59RgycEs Das Geschäftsessen] * [https://www.youtube.com/watch?v=DPL1xzkHwGc Tischmanieren: Besteck und Gedeck] * [https://www.youtube.com/watch?v=DTbDYdwV1H0Die Macht der Umgangsformen im Verkauf] ------ * [https://www.youtube.com/watch?v=6ui6bYt2-0A Businesskleidung] * [https://www.youtube.com/watch?v=dYHfYxZSbgo Der Anzug I] * [https://www.youtube.com/watch?v=QVMKLil7N44 Der Anzug II] * [https://www.youtube.com/watch?v=18Bj58S6vF0 Das Einstecktuch] * [https://www.youtube.com/watch?v=pTbDwcrFO9E einfacher Krawattenknoten] -------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiches </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf Unterlage für '''eigene Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf Lerntagebuch für '''eigene Reflexionen'''] * [https://www.tiktok.com/@kniggeakademie Knigge-Akademie auf tik tok] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:red;"><big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></span></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div> __TOC__ Den Traumjob hat ein anderer bekommen, obwohl die eigene Qualifikation maßgeschneidert war. Solche Enttäuschungen beruhen zu oft auf das Fehlen von guten Umgangsformen. Insbesondere hinsichtlich der Tischsitten, des miteinader Bekanntmachens und der Selbstvorstellung sind gute Umgangsformen nicht nur im Berufsleben oftmals ein hartes Auswahlkriterium. <BR> Beruflicher Erfolg benötigt neben einer profunden Expertise und einer erkennbaren Leistungsbereitschaft immer auch ein an die gegebenen Situation angepasstes Verhalten. Viele im Geschäftsleben erwartete Umgangsformen können auch im Erwachsenealter relativ leicht erlernt werden. Genau hier setzt dieses Lehrmodul an.<br> ==<span style="color:blue;"><big>Wozu dieses Lehrangebot?</big>== <span style="color:blue;">Das selbstverständliche Zeigen guter Umgangsformen ist in jeder Situation von Vorteil, denn mit ihnen findet man sich auch in unerwarteten Situationen zurecht, hält die erwartete Kleiderordnung ein und verhält sich erwartungsgemäß, wodurch Missverständnisse minimiert werden. Für das berufliche Vorankommen sind gute Umgangsformen unabdingbar, denn ohne sie bleibt ein Zugang zu weiteren Karriereschritten oft verschlossen. Wesentlich sind neben dem Dresscode insbesondere erwartete Tischsitten, das miteinader Bekanntmachen und die Selbstvorstellung. Mit dem Beherschen vorteilhafter Umgangsformen sinkt die Wahrscheinlichkeit, dass ein für die eigene Qualifikation maßgeschneiderter Job ein anderer bekommt. ==Kursleitung== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span ==Wesentliche Inhalte== Hier die Reihenfolge der vorgesehenen Themen mit weiterführenden links.<br>Bei Bedarf wird davon abgewichen und den Interessen des Auditoriums gefolgt. * Schlechte Umgangsformen sind ein [https://de.wikipedia.org/wiki/Karriere Karriere]-Killer * Gute [https://de.wikipedia.org/wiki/Umgangsformen Umgangsformen] sind ein Navigationsmittel * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungserwartung Erwartungen] prägen das Miteinander * Grundlegende [https://de.wikipedia.org/wiki/Sozialverhalten Verhalten]sregeln für gute Umgangsformen * Grundlagen [https://de.wikipedia.org/wiki/Westliche_Welt „westlicher“] Umgangsformen * Der [http://www.ankewillberg.de/download/der-erste-eindruck.pdf erste Eindruck] * Die eigene [http://www.wiwo.de/erfolg/jobsuche/audiogalerie-der-ton-macht-die-person/5451576.html Stimme] * Der [https://de.wikipedia.org/wiki/Kleiderordnung Dresscode] * Das [https://de.wikipedia.org/wiki/Mahlzeit#Soziale_Bdeutung gemeinsame] Geschäftsessen * Das [https://de.wikipedia.org/wiki/Tischgedeck Gedeck] * Die [https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rpersprache Körpersprache] * [https://de.wikipedia.org/wiki/R%C3%BCstungskontrolle#Vertrauensbildende_Ma.C3.9Fnahmen Vertrauensbildende] Umgangsformen * [https://de.wikipedia.org/wiki/Networking Networking] leicht gemacht ==Materialien== '''Zeitungsartikel''' * [http://www.zeit.de/2015/18/etikette-kurs-holger-urmersbach Etikette-Coaching] * [http://diepresse.com/home/bildung/weiterbildung/4662330/Social-Skills_Feinschliff-fur-die-Umgangsformen Manieren trainieren] * [http://www.morgenpost.de/wirtschaft/karriere/article132105534/Allgemeinbildung-und-Manieren-werden-vorausgesetzt.html Allgemeinbildung und Manieren werden vorausgesetzt] * [http://www.karriere.de/karriere/gutes-benehmen-in-jeder-lebenslage-166025/ Gutes Benehmen in jeder Lebenslage] <BR> '''Das Vorstellungsgespräch:''' * [http://www.sueddeutsche.de/karriere/karriere-coach-bewerbungsoutfit-weiblich-1.1291626 Dresscode für Damen] * [http://www.sueddeutsche.de/karriere/karriere-coach-bewerbungsoutfit-maennlich-1.1291638 Dresscode für Herren] <BR> '''Der Krawattenknoten:''' * [http://www.krawatte-binden.com/ Krawattenknoten richtig binden] * [http://www.krawatten--knoten.de/ Formen von Krawattenknoten] * [http://www.borghaus.de/krawattenknoten.html Anleitungen für Krawattenknoten] * [http://www.hirmer-muenchen.de/service/service-ueberblick/krawattenknoten/modische-knoten/merowinger-krawattenknoten/ Der Merowinger-Knoten] * [https://www.youtube.com/embed/XfU_Rfnk2Oc Der Trinity-Knoten] * [http://www.krawattenknoten.info/eldredge-krawattenknoten.html Der Eldredge-Krawattenknoten] <BR> '''Knigge:''' * [http://www.knigge2day.at Knigge kurz + knapp] * [http://knigge-aktuell.de/start/?code=Google_Knigge-Ticker-suche Knigge-Ticker] * [http://www.knigge.de/ Der ständig aktualisierte Knigge] * [http://www.knigge.de/newsletter-1600.htm Knigge Newsletter] * [http://www.zeno.org/nid/20003608883 Das Buch der Etikette] * [http://www.zeitblueten.com/news/umgangsformen-knigge-fehler-nicht-machen/ Dieses Verhalten vermeiden] <BR> ==Umgangsformen sind kontextabhängig== Gute Manieren sind je nach Kontext (= sozialem Umfeld) durchaus unterschiedlich: * In Indien ist das Essen mit den Händen Ausdruck guter Manieren - in Europa nicht * In Indien ist es für Frauen eher normal, den Nabel unbedeckt zu halten - was in Europa als schlechte Manieren gilt * In moslemischen Moscheen sowie in hinduistischen und buddhistischen Tempeln ist es üblich, die Schuhe vor dem Betreten auszuziehen - in christlichen Kirchen gilt dies als Gotteslästerung Es ist immer von Vorteil, sich auf unterschiedliche Kulturen einzustellen und die darin verwobenen unterschiedliche Manieren zu erlernen. Einfühlungsvermögen und Offenheit werden so geschult - Toleranz und Respekt auch. ==kommentierte Bücherliste== * [https://www.amazon.de/Knigge-Kleider-Karriere-auftreten-Etikette/dp/370640804X '''Knigge: Das Buch über Umgangsformen, Stil und Etikette''']: Ein umfassender Leitfaden für gutes Benehmen in allen Lebensbereichen, von Tischmanieren über Kommunikation bis hin zu Dresscodes. * [https://www.amazon.de/Knigge-Erfolgreich-durch-gutes-Benehmen/dp/3895556351 '''Erfolgreich durch gutes Benehmen: Wie man sich im Beruf und im Privatleben souverän und sicher bewegt''']: Ein Leitfaden für zeitgemäßes und erfolgreiches Auftreten in verschiedenen Situationen, angefangen von Geschäftsessen bis hin zu Gesprächen mit Vorgesetzten. * [https://www.humboldt.de/product/9783869100296/knigge-fr-jeden-tag '''Knigge für jeden Tag''']: Ein praktischer Ratgeber, der alltägliche Situationen abdeckt und Ratschläge für gutes Benehmen und angemessenes Verhalten gibt, sei es bei Tisch, in der Kommunikation oder im Umgang mit anderen Menschen. * [https://www.trauner.at/shop/der-benimm-code-ueberzeugend-stilvoll-auftreten '''Der Benimm-Code''']: Ein modernes Nachschlagewerk darüber, wie man sich angemessen verhält, z. B. beim Small Talk, bei (Online‑)Sitzungen, bei öffentlichen Auftritten, bei Bewerbungsgesprächen, bei Einladungen oder im Hotel. * [https://www.amazon.de/Business-Behaviour-Gabriele-Schlegel/dp/3636013033 '''Business Behaviour. Auftreten im Beruf''']: Ein Nachschlagewerk, das ohne belehrend zu wirken beschreibt, wie man sich in eher peinlichen Momenten mit guten Umgangsformen befreiht. * [https://www.amazon.de/Global-Business-Behaviour-Erfolgreiches-internationalen/dp/3492236863 '''Global Business Behaviour: Erfolgreiches Verhalten und Verhandeln im internationalen Geschäft''']: Ein hilfreiches Fachbuch, um erste Schritte in einem neuen Kulturkreis zu machen und dabei grobe Fehltritte zu vermeiden. [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] 9zkt5ygfx0052lj8vt1r32ce4q36ny0 106 114923 1093723 1069003 2026-06-10T06:05:45Z Bocardodarapti 2041 1093723 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2020)/Vorlesungsgestaltung|16| {{ inputbild |Waeller331|jpg|230px {{!}} right {{!}} |Text=Vorli mag so ziemlich alles. Nur Handies findet sie blöd. Sie sind definitiv nix zum Fressen. Aber auch nix zum Spielen, da sie ablenken, ohne zu zerstreuen. |Autor= |Benutzer=Odatrulle |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|Untergraphen}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition|| }} Einen Untergraphen kann man auch durch die beiden Eigenschaften {{ Relationskette |W |\subseteq|V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |F |\subseteq| E \cap {{op:Potenzmengezwei|W|}} || || || |SZ= }} charakterisieren. Zu einem Graphen {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} und einer Teilmenge {{ Relationskette |W |\subseteq|V || || || |SZ= }} gibt es eine Vielzahl an Untergraphstrukturen, abhängig davon, welche Kanten aus {{math|term= E|SZ=,}} deren beide Endpunkte zu {{math|term= W|SZ=}} gehören, in {{math|term= F|SZ=}} übernommen werden und welche nicht. Jede Teilmenge {{math|term= W|SZ=}} ist mit der leeren Kantenmenge ein Untergraph. Für jeden Graphen {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette |(V, \emptyset) |\subseteq| G |\subseteq| (V, {{op:Potenzmengezwei|V|}} ) || || |SZ=. }} Zum Sprachgebrauch der folgenden Definition vergleiche auch {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Kontext=|msw=| |Definitionsseitenname= Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition |SZ=. }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition|| }} Bei einem vollen Untergraphen werden also alle Kanten aus {{math|term= E|SZ=}} übernommen, die Bezug auf die Teilmenge {{math|term= W|SZ=}} nehmen. Statt von einem vollen Untergraphen spricht man auch von einem {{Stichwort|induzierten Untergraphen|msw=Induzierter Untergraph|SZ=.}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition|| }} Für {{ Relationskette | F || \{e\} || || || |SZ= }} schreibt man abkürzend {{math|term= G \setminus e |SZ=}} für {{math|term= G \setminus \{e\} |SZ=.}} {{Zwischenüberschrift|Homomorphismen von Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Homomorphismus/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konstruktionen für Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Konstruktionen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Äquivalenzrelationen und Quotientengraphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Konstruktionen/Äquivalenzrelation und Quotientengraph/Textabschnitt|zusatz1=Eine rekursive Argumentation unter Bezug auf Kontraktionsgraphen werden wir in {{ Faktlink |Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} und in {{ Faktlink |Faktseitenname= Chromatisches Polynom/Konstruktionen/Fakt |Nr= |SZ= }} verwenden.}} {{Zwischenüberschrift|Konstruktionen aus mehreren Graphen}} Es gibt eine Vielzahl an Möglichkeiten, aus zwei Graphen einen neuen Graphen zusammenzusetzen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition|| }} Beispielsweise ist das kartesische Produkt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} ein rechteckiger Gittergraph, es gibt dort nur horizontale und vertikale Kanten. {{Zwischenüberschrift|Die Automorphismengruppe eines Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Automorphismengruppe/Einführung/Textabschnitt|}} }} ewh155rcupq55a74pd15xvw0whu24kr 0 116756 1093720 1093504 2026-06-10T05:56:33Z Bocardodarapti 2041 1093720 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Komplementärer Graph/Definition|| }} Es wird also die Knotenmenge übernommen und eine zweielementige Teilmenge {{mathl|term= \{u,v\} |SZ=}} ist genau dann eine Kante des komplementären Graphen, wenn sie keine Kante des Ausgangsgraphen ist. Der komplementäre Graph des komplementären Graphes ist wieder der Ausgangsgraph, also {{ Relationskette | {{makl| G^c |}}^c || G || || || |SZ=. }} In diesem Sinne entsprechen sich der {{ Definitionslink |vollstän{{drucktrenn}}dige Graph| |Kontext=| |SZ= }} und der {{ Definitionslink |kantenfreie Graph| |Kontext=| |SZ=. }} Wenn {{math|term= G |SZ=}} {{math|term= n |SZ=}} Punkte und {{math|term= m |SZ=}} Kanten besitzt, so besitzt {{math|term= G^c |SZ=}} gerade {{mathl|term= {{op:Binomialkoeffizient|n|2}} -m |SZ=}} Kanten. {{ inputbild |Line graph construction 1|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_1 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 2|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_2 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 3|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_3 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Line graph construction 4|svg|230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Line_graph_construction_4 |Text= |Autor= |Benutzer=Haui, Booyabazooka, Chris-Martin |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Definition|| }} {{ inputbeispiel |Sterngraph/Kantengraph/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Kantengraph/Kantenanzahl/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Konstruktionen von ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} lpd5rv5ancag5ov314xjg9mz1g0q9fw 0 116849 1093737 1093510 2026-06-10T06:37:25Z Bocardodarapti 2041 1093737 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} und {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} eine Kante, die die Knotenpunkte {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} verbindet. Man nennt denjenigen Graphen mit der Knotenmenge {{ Relationskette | V' || V/e || || || |SZ=, }} bei der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} miteinander identifiziert werden, und bei dem die Kantenmenge {{math|term= E' |SZ=}} aus den Bildkanten zur Kontraktionsabbildung {{ Abbildung |name= | V | V/e || |SZ= }} besteht, den {{ Definitionswort |Kontraktionsgraphen| |msw=Kontraktionsgraph |SZ= }} zu {{ Relationskette | e | \in | G || || || |SZ=. }} Er wird mit {{mathl|term= G/e |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Quotientengraphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Kontraktionsgraph |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jx4ponbarpl6ysjzf826l72it8nf6rw 0 116888 1093731 1093509 2026-06-10T06:35:11Z Bocardodarapti 2041 1093731 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph| |Kontext=diskret| |SZ= }} und sei {{math|term= \sim |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= V |SZ=.}} Dann nennt man die {{ Definitionslink |Quotientenmenge| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= V/\sim |SZ=,}} versehen mit der {{ Definitionslink |Bildgraphenstruktur| |Kontext=| |SZ= }} zur {{ Definitionslink |kanonischen Abbildung| |Kontext=Äquivalenzrelation| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | V | V/\sim || |SZ=, }} den {{ Definitionswort |Quotientengraphen| |msw=Quotientengraph |SZ= }} zu {{math|term= \sim |SZ=.}} Er wird mit {{mathl|term= G/\sim |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Quotientengraphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Quotientengraph |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 45loe66d2hejkkwhj93g4yoy2vr93cx 0 118408 1093727 1093508 2026-06-10T06:33:11Z Bocardodarapti 2041 1093727 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= In einer Firma arbeiten verschiedene Personen {{math|term= V |SZ=,}} und manche Personenpaare arbeiten gemeinsam an gewissen Aufgaben, was durch einen Kooperationsgraphen ausgedrückt wird. Es steht ein Stellenabbau an, bei dem die Aufgaben von mehreren Personen in Zukunft von einer einzigen {{ Zusatz/Klammer |text=alten oder neuen| |ISZ=|ESZ= }} Person übernommen werden soll. Dabei sollen sämtliche Kooperationen übernommen werden, das heißt, dass jede Kooperation zwischen zwei {{ Zusatz/Klammer |text=alten| |ISZ=|ESZ= }} Personen in eine Kooperation der diese Personen ersetzenden {{ Zusatz/Klammer |text=neuen| |ISZ=|ESZ= }} Personen übertragen werden soll. Der einfachste nichttriviale Spezialfall hiervon ist, dass zwei Personen durch eine Person ersetzt werden und die bisherigen Kooperationen auf diese neue Person übergehen soll. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quotientengraphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sy4f6x5z92awog6im6p8vzu5a34yhop 0 118410 1093729 902959 2026-06-10T06:33:49Z Bocardodarapti 2041 1093729 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den durch eine U-Bahn in einer Stadt gegebenen Graphen, der aus der Menge der Haltestellen gegeben ist, und bei dem zwei Haltestellen durch eine Kante verbunden werden, wenn sie ohne Umsteigen verbunden sind, also an einer Linie liegen {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Verkehrsnetz/Erreichbarkeit/Graph/Beispiel |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Es ist nicht zu erwarten, dass jede Haltestelle mit jeder anderen Haltestelle durch eine direkte Linie verbunden ist. Die Steuereinnahmen sprudeln kräftig und so möchte man wissen, ob zumindest jeder Stadtteil mit jedem Stadtteil ohne Umsteigen erreichbar ist. Dazu stellt man einen neuen Graphen auf, bei dem die Knotenpunkte die Stadtteile repräsentieren und bei dem zwei Stadtteile genau dann miteinander durch eine Kante zu verbinden sind, wenn es eine Haltestelle im einen und eine Haltestelle im andern Stadtteil gibt, die durch eine U-Bahnlinie verbunden sind. |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Quotientengraphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8xav43nqwvivocgcyg0ctnytdx28xt7 0 118428 1093719 1013891 2026-06-10T05:29:58Z Λυκας 38324 1093719 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Kantengraphen| |SZ= }} zum {{ Definitionslink |vollständigen Graphen| |SZ= }} {{math|term= K_4|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kantengraphen |Kategorie2=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4j1pa1zegomoxonlkmayzkwczoogrna 0 118456 1093733 1049975 2026-06-10T06:35:54Z Bocardodarapti 2041 1093733 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Abbildung |name=\varphi | G | H || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |schwacher Homomorphismus| |Kontext=Graph| |SZ= }} zwischen den {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |H ||(W,F) || || || |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es eine Faktorisierung von {{math|term= \varphi|SZ=}} als {{ Math/display|term= G \stackrel{q}{\longrightarrow} G/\sim \stackrel{r}{\longrightarrow} (U,K) \stackrel{s}{\longrightarrow} (U,K') \stackrel{t}{\longrightarrow} (W,F) |SZ=, }} wobei {{math|term= q |SZ=}} die {{ Definitionslink |Quotientenabbildung| |Kontext=Graph| |SZ= }} zu einer Äquivalenzrelation auf {{math|term= V |SZ=}} ist, {{math|term= r |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Isomorphismus| |Kontext=Graph| |SZ= }} ist, {{math|term= s |SZ=}} einen knotenidentischen Untergraphen und {{math|term= t |SZ=}} einen {{ Definitionslink |vollen Untergraphen| |Kontext=| |SZ= }} beschreibt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Homomorphismen von ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der Quotientengraphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Faktorisierungssatz für Graphhomomorphismen |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pjnkaxbfmwz52zc1c2dqyltngbpry11 0 120986 1093730 644986 2026-06-10T06:34:45Z Bocardodarapti 2041 1093730 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Definition|| }} Man beachte, dass dabei jede Kante nur einfach genommen wird, auch wenn sie im Urbild durch mehrere Kanten repräsentiert sein sollte. {{ inputfaktbeweisaufgabe |Ungerichteter Graph/Menge/Abbildung/Bildgraph/Schwacher Homomorphismus/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |U-Bahn/Stadtteil/Umsteigefreie Verbindung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Firma/Kooperationen/Stellenabbau/Beispiel|| }} Die beiden vorstehenden Beispiele werden durch das folgende Konzept erfasst. Die Äquivalenzrelation ist im ersten Beispiel durch {{Anführung|liegt im gleichen Stadtteil}} und im zweiten durch {{Anführung|werden durch eine Person ersetzt}} gegeben. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Äquivalenzrelation/Quotientengraph/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kontraktionsgraph/Definition|| }} Der Kontraktionsgraph ist einfach der Quotientengraph zur Äquivalenzrelation, bei der {{ mathkor|term1= u |und|term2= v |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=zusammen eine Kante bilden und| |ISZ=|ESZ= }} zueinander und ansonsten jeder Punkt nur zu sich selbst äquivalent ist. {{{zusatz1|}}} {{ inputfaktbeweis |Ungerichteter Graph/Schwacher Homomorphismus/Faktorisierung/Fakt|Lemma|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Quotientengraphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 3zbhiroh77v9hw6wozzrhhhtkcez20p 106 121959 1093757 1093561 2026-06-10T08:04:27Z Bocardodarapti 2041 1093757 wikitext text/x-wiki {{ Klausur19 |Diskrete Mathematik/Gemischte Definitionsabfrage/23/Aufgabe|p||| |Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/23/Aufgabe|p||| |Ponyhof/Ausflug/Aufgabe|p||| |Holzstück/Zerlegung in Stücke/30 bis 40/Aufgabe|p||| |Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Permutationen/4/Auflistung/Fixpunktfrei/Aufgabe|p||| |Gruppe/Lösbarkeit von Gleichungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Wurzel/Gruppenhomomorphismus/Verschiedene Verknüpfungen/Aufgabe|p||| |Polynomring/1/Kommutativer Ring/Kommutativer Ring/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Ganze Zahlen/25n^2-17/n ungerade/Vielfaches von 8/Aufgabe|p||| |Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe|p||| |Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Endlicher kommutativer Ring/Addition und Multiplikation/Isomorph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Matrixrekursion/Eigenvektor/Lösungsformel/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Graph/Homomorphismus/Komplementärgraph/Aufgabe|p||| |KO-System/8/Freier Graph/Spielgraph/Quotientengraph/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Länderkarte/Geraden als Grenzen/Zwei Farben/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Diskrete Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} el8jnr268upbvsuw9ya3pe1ue8w7qjn 106 122159 1093777 1071776 2026-06-10T10:26:38Z Bocardodarapti 2041 1093777 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesungsgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Verzweigungsverhalten}} Schon mehrfach haben wir das Wort {{Anführung|Verzweigung}} fallen lassen. Jetzt werden wir diesen Begriff verschiedene Präzisierungen und Charakterisierungen angeben. {{:Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Verzweigung/Ordnung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verzweigung und Ableitung}} {{:Dedekindbereich/Verzweigung/Ordnung/Ableitungsbedingung/2/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verzweigung und Faserringe}} In {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Endliche integre Erweiterung/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} haben wir von der Reduziertheit der Faserringe auf die Normalität des {{ Zusatz/Klammer |text=lokalisierten| |ISZ=|ESZ= }} Zahlbereiches geschlossen. Wir werden sehen, dass diese Reduziertheit direkt mit der Unverzweigtheit zusammenhängt und dass diese somit stärker als die Normalität ist. {{:Zahlbereich/Verzweigung/Ordnung/Faserring/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verzweigung und Diskriminante}} Die Faserringe zu einem Zahlbereich über einer Primzahl {{math|term=p|SZ=}} sind im Allgemeinen kein Körper, sie sind aber freie endlich erzeugte {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Algebren und daher ist dort auch die Spur und die Diskriminante {{ Zusatz/Klammer |text=allerdings aber nur bis auf eine Einheit| |ISZ=|ESZ= }} definiert. Unter der {{Stichwort|Spurform|msw=|SZ=}} auf einer freien {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{math|term= A |SZ=}} versteht man die symmetrische Bilinearform {{ Abbildung/display |name= | A \times A | K | (x,y) | {{op:Spur|xy|}} |SZ=. }} {{:Zahlbereich/Verzweigung/Faserring/Diskriminante/Textabschnitt}} }} 31buftywkgo7p0muznipkho6saufhaq 106 122160 1093758 792038 2026-06-10T09:42:16Z Bocardodarapti 2041 1093758 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesungsgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Kähler-Differentiale}} Wir besprechen eine weitere Möglichkeit, Verzweigung zu erfassen, nämlich mit der Hilfe von Kähler-Differentialen. Dies ist ein sehr allgemeines Konzept, das dazu dient, die geometrische Idee eines Tangentialraumes bzw. Tangentialbündels algebraisch zu realisieren. Wir erwähnen hier nur die Grundzüge der Konstruktion und die wesentlichen Eigenschaften ohne Beweis. Beweise finden sich im Anhang. {{:Algebraische Zahlentheorie/Kähler-Differentiale/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verzweigung und Differentiale}} {{:Zahlbereich/Differentiale/Verzweigung/2/Textabschnitt}} }} ehk9h5v58l1p1dxhrirsou7fj88ra2q 0 124248 1093770 1093549 2026-06-10T10:08:30Z Bocardodarapti 2041 1093770 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition|| }} Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien {{math|term= A |SZ=-}}Modul {{math|term= F |SZ=}} mit {{ mathbed|term= da ||bedterm1= a \in A ||bedterm2= |SZ= }} als Basis und bildet den {{ Definitionslink |Prämath=A |Restklassenmodul| |Kontext=| |SZ= }} zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen {{ Math/display|term= d(ab) - ad(b) - bd(a) \, (a,b \in A) |SZ= }} und {{ Math/display|term= d (ra +sb) - rd(a) -sd(b)\, (r,s \in R \text{ und } a,b \in A ) |SZ= }} erzeugt wird. Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= d | A | {{op:Kählermodul|A|R}} | a | d(a) {{=|}} da |SZ=, }} heißt die {{Stichwort|universelle Derivation|SZ=.}} Man prüft sofort nach, dass es sich um eine {{ Definitionslink |Prämath=R |Derivation| |Kontext=| |SZ= }} handelt. Grundlage für konkrete Berechnungen bilden die folgenden Lemmata. {{ inputfakt |Polynomring/Kählermodul und Derivation/Beschreibung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Kähler-Differentiale/Relative Differentialsequenz/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfakt |Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Polynomring/Polynom/Einsetzung/Kähler-Differentiale/Fakt|Korollar|| }} Diese Isomorphie ist so zu verstehen, dass die {{math|term= 1 |SZ=}} in {{mathl|term= K[X]/ {{makl| P' |}} |SZ=}} dem Differential {{math|term= dX |SZ=}} entspricht. Man könnte den Sachverhalt auch als die Gleichung {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| K[X] | K[Y] }} || K[X]/ {{makl| P' |}} dX || || || |SZ= }} ausdrücken. Wenn {{math|term= K |SZ=}} algebraisch abgeschlossen ist, so ist {{ Relationskette | P' || {{makl| X-a_1 |}} \cdots {{makl| X-a_s |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | K[X]/ {{makl| P' |}} |\cong| K^s || || || |SZ=. }} Die vorstehende Aussage zeigt somit insbesondere, dass der Modul der Kähler-Differentiale nur lokalisiert in den maximalen Idealen {{mathl|term= {{makl| X-a_j |}} |SZ=,}} die den Nullstellen der Ableitung entsprechen, von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. Ein entsprechendes Verhalten gilt generell im Fall einer separablen Erweiterung von Dedekindbereichen. {{Zwischenüberschrift|Kähler-Differentiale im zahlentheoretischen Kontext}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} In der Aussage {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Separabel/Kähler-Modul/Eigenschaften/Fakt |Nr=5 |SZ= }} könnte man auf den Exponenten {{math|term= m |SZ=}} verzichten, wenn man {{math|term= r |SZ=}} abändert. Aber aus Teil (3) ergibt sich die Aussage mit dem Exponenten. Man denke bei {{math|term= r |SZ=}} an eine Primzahl aus {{math|term= \Z |SZ=,}} man versucht dann, eine annullierende Potenz mit einem möglichst kleinen Exponenten zu finden. {{ inputfaktbeweis |Quadratischer Zahlbereich/Kähler-Modul/Fakt|Lemma|| }} {{ inputbeispiel |Kreisteilungsring/p/Kähler-Differential/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Kähler-Differential/Differente/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Verzweigungstheorie (Differentiale) für Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 1wzzg895yxspdnn5y9lwgukreylcule 0 124255 1093784 1085554 2026-06-10T11:20:00Z Bocardodarapti 2041 1093784 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^p-p |}} || || || |SZ=, }} vergleiche {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Faserringe/Beschreibung/Beispiel |Nr= |SZ=. }} Der {{ Definitionslink |Modul der Kähler-Differentiale| |Kontext=| |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| R |\Z}} || R/ {{makl| px^{p-1} |}} dx || || || |SZ= }} und das annullierende Ideal ist {{ Relationskette/display | {{makl| px^{p-1} |}} || {{makl| x^{2p-1} |}} || || || |SZ=. }} Die {{ Definitionslink |Norm| |Kontext=Zahlbereich| |SZ= }} von diesem Ideal bzw. seinem Erzeuger ist {{mathl|term= p^{2p-1} |SZ=,}} deshalb ist die Anzahl der Elemente im Modul der Kähler-Differentiale gleich {{math|term= p^{2p-1} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l69mgto99lcusa6wl6hlc1j5btef23h 0 124310 1093780 1089365 2026-06-10T10:29:36Z Bocardodarapti 2041 Bocardodarapti verschob die Seite [[Dedekindbereich/Erweiterung/Separabel/Verzweigung/Endlich/Fakt/Beweis]] nach [[Dedekindbereich/Erweiterung/Separabel/Verzweigung/Endlich/Fakt/Beweis2]], ohne dabei eine Weiterleitung anzulegen 1089365 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette/display |L || K[x] || K[X]/(F) || || |SZ= }} mit einem normierten Polynom {{math|term= F |SZ=,}} was es {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Satz vom primitiven Element|Faktseitenname= Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen {{ Relationskette/display |R | \subseteq | R[x] \cong R[X]/(F) | \subseteq | S || || |SZ= }} wobei {{math|term= S |SZ=}} die Normalisierung von {{math|term= R[x] |SZ=}} ist. Es sei {{ Relationskette/display |S || R[x] [ {{op:Bruch|g_1 |f_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|g_n |f_n }} ] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | g_i,f_i | \in | R[x] || || || |SZ= }} und wobei wir {{ Relationskette | f_i | \in | R || || || |SZ= }} annehmen dürfen. Sei {{ Relationskette/display | f || \prod f_i | \neq | 0 || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | R_f[x] || R[x]_f || S_f || || |SZ=. }} Das heißt, dass oberhalb von {{math|term= R_f |SZ=}} der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von {{math|term= (f) |SZ=}} nur endlich viele Primideale in {{math|term= R |SZ=}} gibt, genügt es zu zeigen, dass in der offenen Menge {{mathl|term= D(f) |SZ=}} nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also {{ Relationskette/display | S || R[x] || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |monogen| |Kontext=Algebra| |SZ= }} annehmen. Wir betrachten das von {{ mathkor|term1= F |und|term2= F' |SZ= }} erzeugte Ideal in {{mathl|term= R[X] |SZ=.}} Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in {{mathl|term= K[X] |SZ=}} das Einheitsideal, was in {{mathl|term= R[X] |SZ=}} bedeutet, dass es Polynome {{math|term= P,Q |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | FP+F'Q || g | \in | R || || |SZ= }} und {{ Relationskette |g |\neq|0 || || || |SZ= }} gibt. Dies heißt wiederum, dass in {{mathl|term= R_g[X] |SZ=}} die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{mathl|term= D(g) |SZ=}} keine Verzweigung statt. Oberhalb von {{math|term= g |SZ=}} gibt es aber auch wieder nur endlich viele Primideale und die Primideale aus {{mathl|term= D(g) |SZ=}} verzweigen nicht. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dc7cuqrv47s2aqqo4jaah6rtmioo6mz 1093781 1093780 2026-06-10T10:30:14Z Bocardodarapti 2041 1093781 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette/display | L || K[x] || K[X]/(F) || || |SZ= }} mit einem normierten Polynom {{math|term= F |SZ=,}} was es {{ Faktlink |Präwort=nach dem|Satz vom primitiven Element|Faktseitenname= Endliche separable Körpererweiterung/Satz vom primitiven Element/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt. Wir betrachten die endlichen Abbildungen {{ Relationskette/display |R | \subseteq | R[x] \cong R[X]/(F) | \subseteq | S || || |SZ= }} wobei {{math|term= S |SZ=}} die Normalisierung von {{math|term= R[x] |SZ=}} ist. Es sei {{ Relationskette/display | S || R[x] [ {{op:Bruch|g_1 |f_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch|g_n |f_n }} ] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | g_i,f_i | \in | R[x] || || || |SZ= }} und wobei wir {{ Relationskette | f_i | \in | R || || || |SZ= }} annehmen dürfen. Sei {{ Relationskette/display | f || \prod f_i | \neq | 0 || || |SZ=. }} Dann ist {{ Relationskette/display | R_f[x] || R[x]_f || S_f || || |SZ=. }} Das heißt, dass oberhalb von {{math|term= R_f |SZ=}} der Ganzheitsring durch ein Element erzeugt wird. Da es oberhalb von {{math|term= (f) |SZ=}} nur endlich viele Primideale in {{math|term= R |SZ=}} gibt, genügt es zu zeigen, dass in der offenen Menge {{mathl|term= D(f) |SZ=}} nur endlich viele Primideale verzweigen. Wir können also {{ Relationskette/display | S || R[x] || || || |SZ= }} als {{ Definitionslink |monogen| |Kontext=Algebra| |SZ= }} annehmen. Wir betrachten das von {{ mathkor|term1= F |und|term2= F' |SZ= }} erzeugte Ideal in {{mathl|term= R[X] |SZ=.}} Wegen der Separabilität der generischen Körpererweiterung erzeugen diese Polynome in {{mathl|term= K[X] |SZ=}} das Einheitsideal, was in {{mathl|term= R[X] |SZ=}} bedeutet, dass es Polynome {{math|term= P,Q |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | FP+F'Q || g | \in | R || || |SZ= }} und {{ Relationskette |g |\neq|0 || || || |SZ= }} gibt. Dies heißt wiederum, dass in {{mathl|term= R_g[X] |SZ=}} die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen. Somit findet nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{mathl|term= D(g) |SZ=}} keine Verzweigung statt. 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Die Bedingung {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Kählermodul| R |\Z }} |}}_{ {{idealq}} } || {{makl| {{op:Kählermodul| A | B}} |}}_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul|A_{ {{idealq}} }|B}} |\neq| 0 || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt |Nr= |SZ= }} äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| A | B}} {{tensor|A}} A/{{idealq}} || {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealq}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} |SZ=}} ein endlicher erzeugter {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=-}}Modul über dem lokalen Ring {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=}} ist. Wegen der natürlichen Surjektion {{ Abbildung/display |name= | A_{{idealq|}}/ {{idealp|}} A_{{idealq|}} | A_{{idealq|}}/ {{idealq|}} A_{{idealq}} || |SZ= }} ist dies {{ Zusatz/Klammer |text=wieder wegen des Lemmas von Nakayama| |ISZ=|ESZ= }} auch äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealp}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} angewendet auf {{Kommutatives Quadrat/ro| A_{ {{idealq}} }|A_{ {{idealq}} }/{{idealp|}} A_{ {{idealq}} } | B | B/ {{idealp|}} {{=|}} {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} |}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|A_{ {{idealq}} }|B}} {{tensor|A_{ {{idealq}} }| }} A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul|A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealp|}} }} || || |SZ= }} und dies ist die Lokalisierung von {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A / {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Somit ist die Lokalisierung von {{math|term= {{op:Kählermodul| A | B}} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden, wenn {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A/ A {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} lokalisiert an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ab. Nach {{ Zusatz/Klammer |text=dem Beweis zu| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt in {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann Verzweigung vor, wenn {{ Relationskette | R/ {{idealq|}} || A/ {{idealq|}} || || || |SZ= }} nicht reduziert ist. 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Die Bedingung {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Kählermodul| R |\Z }} |}}_{ {{idealq}} } || {{makl| {{op:Kählermodul| A | B}} |}}_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul|A_{ {{idealq}} }|B}} |\neq| 0 || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt |Nr= |SZ= }} äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| A | B}} {{tensor|A}} A/{{idealq}} || {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealq}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} |SZ=}} ein endlicher erzeugter {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=-}}Modul über dem lokalen Ring {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=}} ist. Wegen der natürlichen Surjektion {{ Abbildung/display |name= | A_{{idealq|}}/ {{idealp|}} A_{{idealq|}} | A_{{idealq|}}/ {{idealq|}} A_{{idealq}} || |SZ= }} ist dies {{ Zusatz/Klammer |text=wieder wegen des Lemmas von Nakayama| |ISZ=|ESZ= }} auch äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealp}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} angewendet auf {{Kommutatives Quadrat/ru| B | A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealp|}} {{=|}} {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} | A_{ {{idealq}} }/{{idealp|}} A_{ {{idealq}} } ||}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }|B}} {{tensor|A_{ {{idealq}} }| }} A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealp|}} }} || || |SZ= }} und dies ist die Lokalisierung von {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A / {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Somit ist die Lokalisierung von {{math|term= {{op:Kählermodul| A | B}} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden, wenn {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A/ A {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} lokalisiert an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ab. Nach {{ Zusatz/Klammer |text=dem Beweis zu| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt in {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann Verzweigung vor, wenn {{ Relationskette | R/ {{idealq|}} || A/ {{idealq|}} || || || |SZ= }} nicht reduziert ist. 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Die Bedingung {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Kählermodul| R |\Z }} |}}_{ {{idealq}} } || {{makl| {{op:Kählermodul| A | B}} |}}_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul|A_{ {{idealq}} }|B}} |\neq| 0 || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt |Nr= |SZ= }} äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| A | B}} {{tensor|A}} A/{{idealq}} || {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealq}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} |SZ=}} ein endlicher erzeugter {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=-}}Modul über dem lokalen Ring {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=}} ist. Wegen der natürlichen Surjektion {{ Abbildung/display |name= | A_{{idealq|}}/ {{idealp|}} A_{{idealq|}} | A_{{idealq|}}/ {{idealq|}} A_{{idealq}} || |SZ= }} ist dies {{ Zusatz/Klammer |text=wieder wegen des Lemmas von Nakayama| |ISZ=|ESZ= }} auch äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealp}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} angewendet auf {{Kommutatives Quadrat/ru| B | A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealp|}} {{=|}} {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} | A_{ {{idealq}} }/{{idealp|}} A_{ {{idealq}} } ||}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }|B}} {{tensor|A_{ {{idealq}} }| }} A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealp|}} }} || || |SZ= }} und dies ist die Lokalisierung von {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A / {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Somit ist die Lokalisierung von {{math|term= {{op:Kählermodul| A | B}} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden, wenn {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A/ A {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} lokalisiert an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. 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Wegen der natürlichen Surjektion {{ Abbildung/display |name= | A_{{idealq|}}/ {{idealp|}} A_{{idealq|}} | A_{{idealq|}}/ {{idealq|}} A_{{idealq}} || |SZ= }} ist dies {{ Zusatz/Klammer |text=wieder wegen des Lemmas von Nakayama| |ISZ=|ESZ= }} auch äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealp}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} angewendet auf {{Kommutatives Quadrat/ru| B | A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealp|}} {{=|}} {{op:Restekörper| {{idealp|}} |}} | A_{ {{idealq}} }/{{idealp|}} A_{ {{idealq}} } ||}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }|B}} {{tensor|A_{ {{idealq}} }| }} A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }/ {{idealp|}} A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealp|}} }} || || |SZ= }} und dies ist die Lokalisierung von {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A / {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Somit ist die Lokalisierung von {{math|term= {{op:Kählermodul| A | B}} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden, wenn {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A/ A {{idealp|}} | B/ {{idealp|}} }} |SZ=}} lokalisiert an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. 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Wir behaupten, dass der Erzeuger {{math|term= dz |SZ=}} überflüssig ist, obwohl er als Algebraerzeuger nicht überflüssig ist. Dabei gilt {{ Relationskette/display | 3 dz || d3z || d {{makl| 1+qx+x^2 |}} || qdx +2xdx || (q+2x) dx |SZ=. }} Ferner ist unter Verwendung von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Reine kubische Gleichung/q ist pm 1 mod 9/Quadratische Ausdrücke/Aufgabe |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display |xdz+zdx || dxz || d {{makl| {{op:Bruch|1-q^2|3}} x+q z |}} || {{op:Bruch|1-q^2|3}} dx + qd z || |SZ=, }} woraus wir {{ Relationskette/display | (x-q) dz || -zdx - {{op:Bruch|1-q^2|3}} dx || - {{makl| z+ {{op:Bruch|1-q^2|3}} |}} dx || || |SZ= }} gewinnen. Schließlich ist {{ Relationskette/display | 2zdz || dz^2 || d {{makl| {{op:Bruch|q^2-1|9}} + {{op:Bruch| -q^3-q |9}} x + {{op:Bruch|q^2+2|3}} z |}} || {{op:Bruch| -q^3-q |9}} dx + {{op:Bruch|q^2+2|3}} dz || |SZ=, }} woraus wir {{ Relationskette/display | {{makl| 2z - {{op:Bruch|q^2+2|3}} |}} dz || {{op:Bruch| -q^3-q |9}} dx || || || |SZ= }} gewinnen. Wir können also verschiedene Vielfache von {{math|term= dz |SZ=}} als Vielfache von {{math|term= dx |SZ=}} ausdrücken. Wir betrachten das von den Vorfaktoren zu {{math|term= dz |SZ=}} erzeugte Ideal in {{math|term= R |SZ=,}} also {{Math/display|term= {{makl| 3, x-q ,2z - {{op:Bruch|q^2+2|3}} |}} |SZ=.}} Dieses Ideal enthält {{math|term= q^3-q |SZ=}} als Vielfaches von {{mathl|term= x-q |SZ=.}} Im Restklassenring wird also {{math|term= x |SZ=}} zu {{math|term= q |SZ=}} und {{math|term= z |SZ=}} wird zu {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|1+qx+x^2|3}} || {{op:Bruch|1+2q^2 |3}} || || |SZ=. }} Somit enthält das Ideal die Zahlen {{math|term= 3, q^3-q |SZ=}} und {{ Relationskette/display | 2 {{op:Bruch|1+2q^2 |3}} - {{op:Bruch|q^2+2|3}} || q^2 || || || |SZ=. }} Da {{ mathkor|term1= 3 |und|term2= q |SZ= }} teilerfremd sind, enthält es auch die {{math|term= 1 |SZ=}} und somit gibt es auch eine Darstellung von {{math|term= dz |SZ=}} als ein Vielfaches von {{math|term= dx |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der reinen kubischen Gleichungen über Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1zg3c83gk8tjibuezj0ofau2tprtl8f 106 168629 1093721 1079589 2026-06-10T06:03:01Z Bocardodarapti 2041 1093721 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Untergraphen}} {{:Ungerichteter Graph/Untergraph/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Homomorphismen von Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Homomorphismus/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Konstruktionen für Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Konstruktionen/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|Äquivalenzrelationen und Quotientengraphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Konstruktionen/Äquivalenzrelation und Quotientengraph/Textabschnitt|zusatz1=Eine rekursive Argumentation unter Bezug auf Kontraktionsgraphen werden wir in {{ Faktlink |Faktseitenname= Multigraph/Aufspannender Baum/Rekursionsformel/Fakt |Nr= |SZ= }} und in {{ Faktlink |Faktseitenname= Chromatisches Polynom/Konstruktionen/Fakt |Nr= |SZ= }} verwenden.}} {{Zwischenüberschrift|Konstruktionen aus mehreren Graphen}} Es gibt eine Vielzahl an Möglichkeiten, aus zwei Graphen einen neuen Graphen zusammenzusetzen. {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Disjunkte Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kartesisches Produkt/Definition|| }} Beispielsweise ist das kartesische Produkt von zwei {{ Definitionslink |Prämath= |linearen Graphen| |Kontext=| |SZ= }} ein rechteckiger Gittergraph, es gibt dort nur horizontale und vertikale Kanten. {{Zwischenüberschrift|Die Automorphismengruppe eines Graphen}} {{:Ungerichtete Graphen/Automorphismengruppe/Einführung/Textabschnitt|}} }} 1gmjwzqjxtj3oxslmpr8vy9ud1a9tcf 106 168845 1093772 1072024 2026-06-10T10:16:04Z Bocardodarapti 2041 1093772 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|15| {{Zwischenüberschrift|Normalitätskriterien}} Es ist im Allgemeinen schwierig, den ganzen Abschluss von {{math|term= \Z |SZ=,}} also den Zahlbereich, in einer endlichen Körpererweiterung {{ Relationskette | \Q | \subseteq | L || || || |SZ= }} zu bestimmen bzw. eine vorliegende Ringerweiterung {{ Relationskette/display | \Z | \subseteq | S || \Z[X_1 {{kommadots|}} X_m ]/ {{makl| F_1 {{kommadots|}} F_n |}} | \subseteq | L || |SZ= }} als normal nachzuweisen. Es handelt es sich aber um ein lokales Problem, d.h. {{math|term= S |SZ=}} ist genau dann normal, wenn {{math|term= S_{{idealp}} |SZ=}} für jedes Primideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} normal ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn für jede Primzahl {{math|term= p |SZ=}} die Nenneraufnahme {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p }|SZ=}} normal ist, siehe {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Integritätsbereich/Normal/Lokale Eigenschaft/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Endliche Erweiterung/Z/Normal/Nenneraufnahme zu Faser/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} Dies erlaubt den Übergang zu einem diskreten Bewertungsring als Basisring {{ Zusatz/Klammer |text={{math|term= \Z_{(p)} |SZ=}} statt {{math|term= \Z |SZ=}}| |ISZ=|ESZ=, }} was oft die Gleichungsbeschreibung vereinfacht und was es erlaubt, Eigenschaften der Faserringe {{math|term= S/pS |SZ=}} besser zu verarbeiten. Das typische Verhalten ist, dass sich die Ringe {{mathl|term= S_{\Z \setminus \Z p } |SZ=}} bis auf endliche viele Primzahlen direkt als normal erweisen, und dass man einen Teil der verbleibenden Ringe über Eigenschaften der Faser erledigen kann, einen anderen Teil aber auch nicht. {{:Endliche Erweiterung/Z/Normalitätskriterien/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Monogene Algebren}} {{:Kommutative Algebra/Monogen/Zahlbereich/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Endliche separable Erweiterung/Generisch monogen/Fakt|Lemma|| }} }} m36cr85khpbnf9vwpmam9mw28d5k1s0 106 168848 1093771 1085405 2026-06-10T10:12:00Z Bocardodarapti 2041 1093771 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|18| {{Zwischenüberschrift|Verzweigungsverhalten}} Schon mehrfach haben wir das Wort {{Anführung|Verzweigung}} fallen lassen. Jetzt werden wir für diesen Begriff verschiedene Präzisierungen und Charakterisierungen angeben. {{:Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Verzweigung/Ordnung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verzweigung und Faserringe}} In {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Normiertes Polynom/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Diskreter Bewertungsring/Endliche integre Erweiterung/Reduzierte Faser/Normal/Fakt |Nr= |SZ= }} haben wir von der Reduziertheit der Faserringe auf die Normalität des {{ Zusatz/Klammer |text=lokalisierten| |ISZ=|ESZ= }} Zahlbereiches geschlossen. Wir werden sehen, dass diese Reduziertheit direkt mit der Unverzweigtheit zusammenhängt und dass diese somit stärker als die Normalität ist. {{:Zahlbereich/Verzweigung/Ordnung/Faserring/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verzweigung und Ableitung}} {{:Dedekindbereich/Verzweigung/Ordnung/Ableitungsbedingung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verzweigung und Diskriminante}} Die Faserringe zu einem Zahlbereich über einer Primzahl {{math|term= p |SZ=}} sind im Allgemeinen keine Körper, sie sind aber freie endlich erzeugte {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Algebren und daher ist dort auch die Spur und die Diskriminante {{ Zusatz/Klammer |text=allerdings aber nur bis auf eine Einheit| |ISZ=|ESZ= }} definiert. Unter der {{Stichwort|Spurform|msw=|SZ=}} auf einer freien {{math|term= K |SZ=-}}Algebra {{math|term= A |SZ=}} versteht man die symmetrische Bilinearform {{ Abbildung/display |name= | A \times A | K | (x,y) | {{op:Spur|xy|}} |SZ=. }} {{:Zahlbereich/Verzweigung/Faserring/Diskriminante/Textabschnitt}} }} skxlhfo67vc91bnipkq2ymm328mm9fc 106 168849 1093769 1072039 2026-06-10T10:07:03Z Bocardodarapti 2041 1093769 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|19| {{Zwischenüberschrift|Kähler-Differentiale}} Wir besprechen eine weitere Möglichkeit, Verzweigung zu erfassen, nämlich mit der Hilfe von Kähler-Differentialen. Dies ist ein sehr allgemeines Konzept, das dazu dient, die geometrische Idee eines Tangentialraumes bzw. Tangentialbündels algebraisch zu realisieren. Wir erwähnen hier nur die Grundzüge der Konstruktion und die wesentlichen Eigenschaften ohne Beweis. Beweise finden sich im Anhang. {{:Algebraische Zahlentheorie/Kähler-Differentiale/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|Verzweigung und Differentiale}} Wir kommen zur Charakterisierung der Verzweigung mit Hilfe von Differentialen. Da der Kähler-Modul auf dem Erweiterungsring lebt, gibt er eine feinere Charakterisierung als die Diskriminante, vergleiche {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Diskriminante/Nichtreduzierter Faserring/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{:Zahlbereich/Differentiale/Verzweigung/Textabschnitt}} }} k32b1cy1kcbxikimzdwwzmk4d8vcqoy 106 168891 1093785 1093138 2026-06-10T11:28:42Z Bocardodarapti 2041 1093785 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Diophantische Gleichung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Integritätsbereich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Teilen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Teilerfremd/Gemeinsamer Teiler ist Einheit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Irreduzibles Element/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Teilbarkeitslehre/Primelement/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Faktorieller Bereich/Über prim/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Maximales Ideal/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Ring/Spektrum/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Multiplikatives System/Paare/Überkreuzrelation/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Quotientenkörper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Restekörper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung für Primideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ringhomomorphismus/Faserring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Algebra/Ringhomomorphismus/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Körpererweiterung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Körpererweiterung/Grad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpertheorie/Algebraisches Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körper/Algebra/Element/Minimalpolynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Körpererweiterung/Galoisgruppe/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Galois-Erweiterung/Über Automorphismenanzahl/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Positive Charakteristik/Frobenius/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzheitsgleichung/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzer Abschluss/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganz-abgeschlossen/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normal (ganz-abgeschlossen)/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Normalisierung für Integritätsbereich/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Ganzer Zahlbereich/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche freie Algebra/Element/Spur/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche freie Algebra/Element/Norm/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Körpererweiterung/Elemente/Diskriminante/Definition|}} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Diskriminante/Definition|}} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Komplexe Einbettungen/Komplexe Ganzheitsmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Quadratischer Zahlbereich/Reell und imaginär/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Ring/Ideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Norm eines Ideals/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Diskreter Bewertungsring/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Diskreter Bewertungsring/Ordnung/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Primideal/Ordnung/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Element/Hauptdivisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Effektiver Divisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Divisor zu Ideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Ideal zu effektivem Divisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Produktring/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kommutative Ringtheorie/Idempotentes Element/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Divisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Quotientenkörper/Hauptdivisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Gebrochenes Hauptideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Produkt von gebrochenen Idealen/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Gebrochenes Ideal zu Divisor/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Algebra/Monogen/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kreisteilungskörper/Q/Als Zerfällungskörper/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Restklassenringe (Z)/Einheitengruppen/Eulersche Funktion/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kreisteilungspolynom/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kreisteilungsring/Z/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Diskrete Bewertungsringe/Verzweigungsordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Diskrete Bewertungsringe/Homomorphismus/Verzweigt/Ordnung/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Kähler Differentiale/Universeller Modul/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe 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Geometrie/Gitter (R hoch n)/Grundmasche/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Konvexe Geometrie/Zentralsymmetrisch/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Topologie/Grundbegriffe/Kompaktheit/Überdeckungskompakt/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Reelle Einbettungen/Reelle Ganzheitsmatrix/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Klassenzahl/Definition| }} {{ inputdefinitionsklappe |Ganzer Zahlbereich/Fundamentaleinheit/Definition|| }} {{ inputdefinitionsklappe |Zahlbereich/Regulator/Definition|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> 09hg4szbllj5oh3u83y9p06ssi248aw 106 168893 1093786 1093139 2026-06-10T11:29:29Z Bocardodarapti 2041 1093786 wikitext text/x-wiki {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Großer Fermat/Satz von Wiles/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Z ist Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Zwei teilerfremde Elemente/Darstellung der 1/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Verschiedene Charakterisierungen für faktoriell/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Faktoriell/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Polynomring/Eine Variable/Körper/Restklassencharakterisierung von irreduzibel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Nenneraufnahme/Universelle Eigenschaft/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierung/Lokaler Ring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Lokalisierungen/Durchschnitt/Ring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Primideal/Restekörper als Quotientenring/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Abgeschlossene und offene Teilmengen/Fakt|Proposition|||zusatz2={{{zusatz2|}}} }} {{ inputfaktklappe |Kommutativer Ring/Spektrumsabbildung/Faser/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körpererweiterung/Galoiszahl und Grad/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt|Satz|}} {{ inputfaktklappe |Endliche Körper/Endliche Erweiterung von Fp/Galois und Frobenius/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Z ist normal/Wurzeln aus ganzen Zahlen sind irrational/Fakt|Korollar| }} {{ inputfaktklappe |Kommutative Ringtheorie/Ganzheitsring/Quotientenkörper/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Zahlentheorie/Ideale haben nicht trivialen Schnitt mit Z/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körpererweiterung von Q/Norm und Spur mit Konjugationen/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Endliche Körpererweiterung/Diskriminante/Transformationsverhalten/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Charakterisierung von Idealerzeugung mit Diskriminante/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereiche/Ideale sind frei/Fakt|Korollar||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt|Korollar| }} {{ inputfaktklappe |Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt|Lemma||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Dedekindbereich/Fakt|Korollar| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Element/Einheit/Norm/Z/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Hauptideal/Norm/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt|Korollar||||| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Ideal/Zerlegung in Primideale/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Hauptidealbereich/Restklassenring/Chinesischer Restsatz/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Restklassenringe (Z)/Chinesischer Restsatz/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Idealnorm/Multiplikativ/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Gebrochene Ideale und Divisoren/Bijektion/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Divisorenklassengruppe/Charakterisierung von faktoriell/Fakt|Satz| }} {{ inputfaktklappe 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|Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Invariantenring/Endliche Gruppe/Ganzheit/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Invariantenring/Endliche Gruppe/Quotient ist Spektrum/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Einfache Eigenschaften/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Quadratisches Reziprozitätsgesetz/Fakt|Satz|| }} <!-- {{ inputfaktklappe |Standardraum/Basis/Erzeugte Parallelotop/Volumen/Determinante/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz (Minkowski)/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Klassengruppe/Vertreter mit beschränkter Norm für Idealklasse/Fakt|Lemma| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt|Satz||| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Idealpotenz ist Hauptideal/Fakt|Korollar|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Kriterium für faktoriell/Primzahlen unterhalb von Normschranke haben Primfaktorzerlegung/Fakt|Korollar| }} {{ inputfaktklappe |Körper/Charakteristik 0/Einheitswurzeln/Kreisteilungskörper/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Kreisteilungskörper/Einheitswurzeln/Gleichheit/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Einheitswurzeln/Endlich/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Einheitswurzeln/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktklappe |Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt|Satz|| }} {{ inputfaktklappe |Quadratischer Zahlbereich/Dirichletscher Einheitensatz/Fakt|Korollar|| }} --> <noinclude>[[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Listen]]</noinclude> l5hog927fwjdz5m6lm1iyqdkbggs3ax 0 169032 1093718 1071548 2026-06-09T18:46:16Z Bocardodarapti 2041 1093718 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für einen Punkt {{ Relationskette | p+q {{imaginäre Einheit|}} | \in | S^1_{{CC}} || || || |SZ= }} auf dem rationalen Einheitskreis {{ Zusatz/Klammer |text=also mit {{ Relationskette/k | p,q | \in | \Q || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/k | p^2+q^2 || 1 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} derart, dass der {{ Zusatz/Klammer |text=euklidische| |ISZ=|ESZ= }} Abstand des Punktes zu {{ Relationskette | 1 || (1,0) || || || |SZ= }} irrational ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} elycdy0zx2j22oiu2kpcff14twyxgvt 106 170056 1093787 1093401 2026-06-10T11:31:00Z Bocardodarapti 2041 1093787 wikitext text/x-wiki {{Deckblatt |Blatt1=17 |von1=19 |bis1=20 |Blatt2=18 |von2=19 |bis2=23 |}} [[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]] jbsv9urdzwqrgn55m1n93aqhgn9mc0b 106 170179 1093706 1093585 2026-06-09T13:48:35Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Randwege */ 1093706 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Hilfspunkte ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\cric (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 2gfi3uyng0eerhlerduczb6j3iw0inu 1093707 1093706 2026-06-09T13:57:29Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Fläche - Hilfspunkte */ 1093707 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] von oben genannten Eckpunkten werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> ein Quadrat in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz verändert den Wert des komplexen Flächenintegrals. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Bildpunkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_o)}</math> bewegt sich über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot a_{_k} + t \cdot a_{_{k+1}}\big)} \end{array} </math> Dabei gilt <math>a_k = \tfrac{3}{4}\pi + k\cdot \tfrac{\pi}{2} </math> und <math> w_k = z_o + r\cdot e^{i\cdot a_k}</math>. ==== Bemerkung - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>a_{_{k}}, a_{_{k+1}} \in [0,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math>. Die folgende Animation zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> zeigt die Position des Punktes in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0.5 \, , \, 0) = \widehat{w_{1}} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{2}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0.5) = \widehat{w_{2}}= z_o + r\cdot e^{i 0\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (0.5 \, , \, 1) = \widehat{w_{3}} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{2}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 0.5) = \widehat{w_{4}} = z_o + r\cdot e^{i \pi}</math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 2 ==== A === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 9j7mjdmtsndddqaciwldkbbroqmqzh6 106 171472 1093709 2026-06-09T16:16:14Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093709 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|Anhang 8|3|Kurs=|}} poqaqs34pjisseyttcjjwisy1up57zh 0 171473 1093712 2026-06-09T18:08:50Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093712 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= B |SZ=}} ein {{ Definitionslink |diskreter Bewertungsring| |Kontext=| |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |vollkommenen| |Kontext=Körper| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Restekörper| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= B/ {{idealm|}} |SZ=.}} Es sei eine {{ Definitionslink |Prämath= |endliche Ringerweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | B | \subseteq | A || || || |SZ= }} gegeben, wobei {{math|term= A |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} sei. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist die Ringerweiterung in einem Primideal {{ Relationskette | {{idealq|}} | \in | {{op:Spek| A |}} || || || |SZ= }} oberhalb von {{mathl|term= {{idealm|}} |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |verzweigt| |Kontext=diskreter Bewertungsring| |SZ=, }} wenn {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Kählermodul| A | B }} |}}_{ {{idealq|}} } | \neq | 0 || || || |SZ= }} ist. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Verzweigungstheorie (Differentiale) für Dedekindbereiche |Kategorie2=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4enksjm4y8bkblhsaf7u3utb7xaonv6 0 171474 1093713 2026-06-09T18:18:25Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093713 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Die für den Beweis relevanten Ringe hängen untereinander durch das folgende kommutative Diagramm zusammen: {{:Diskreter Bewertungsring/Vollkommener Restklassenkörper/Dedekindbereich/Verzweigung/Über reduziert/Kählermodul/Diagramm|SZ=.}} Die Bedingung {{ Relationskette/display | {{makl| {{op:Kählermodul| A | B }} |}}_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }|B}} |\neq| 0 || || |SZ= }} ist nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Lemma von Nakayama|Faktseitenname= Lokaler Ring/Lemma von Nakayama/Fakt |Nr= |SZ= }} äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| A | B}} {{tensor|A}} A/{{idealq}} || {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealq}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=, }} da ja {{math|term= {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} |SZ=}} ein endlicher erzeugter {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=-}}Modul über dem lokalen Ring {{math|term= A_{{idealq}} |SZ=}} ist. Wegen der natürlichen Surjektion {{ Abbildung/display |name= | A_{{idealq|}}/ {{idealm|}} A_{{idealq|}} | A_{{idealq|}}/ {{idealq|}} A_{{idealq}} || |SZ= }} ist dies {{ Zusatz/Klammer |text=wieder wegen des Lemmas von Nakayama| |ISZ=|ESZ= }} auch äquivalent zu {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul|A_{{idealq}} | B}} {{tensor|A_{{idealq}} }} A_{{idealq}}/{{idealm}} A_{{idealq}} |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kählermodul/Basiswechsel/Endlich erzeugt/Fakt |Nr= |SZ= }} angewendet auf {{Kommutatives Quadrat/ru| B | A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealm|}} {{=|}} {{op:Restekörper| {{idealm|}} |}} | A_{ {{idealq}} }/{{idealm|}} A_{ {{idealq}} } ||}} ist {{ Relationskette/display | {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }| B }} {{tensor|A_{ {{idealq}} }| }} A_{ {{idealq}} }/ {{idealm|}} A_{ {{idealq}} } || {{op:Kählermodul| A_{ {{idealq}} }/ {{idealm|}} A_{ {{idealq}} } | B/ {{idealm|}} }} || || |SZ= }} und dies ist die Lokalisierung von {{mathl|term= {{op:Kählermodul|A / {{idealm|}} | B/ {{idealm|}} }} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=.}} Somit ist die Lokalisierung von {{math|term= {{op:Kählermodul| A | B }} |SZ=}} an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden, wenn {{mathl|term= {{op:Kählermodul| A/ A {{idealm|}} | B/ {{idealm|}} }} |SZ=}} lokalisiert an {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} von {{math|term= 0 |SZ=}} verschieden ist. Die Bedingung an den Modul der Kähler-Differentiale spielt sich somit allein in der speziellen Faser über {{math|term= {{idealm|}} |SZ=}} ab. Nach {{ Zusatz/Klammer |text=dem Beweis zu| |ISZ=|ESZ= }} {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt in {{math|term= {{idealq|}} |SZ=}} genau dann Verzweigung vor, wenn {{ Relationskette | R/ {{idealq|}} || A/ {{idealq|}} || || || |SZ= }} nicht reduziert ist. Deshalb folgt die Aussage aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Vollkommener Körper/Algebra/Endlichdimensional/Reduziert/Kähler/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} rlmor1rg3tdetdt4b0ncykpehz4uohg 0 171475 1093714 2026-06-09T18:38:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093714 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Diagramm{{{opt|}}} |Text= {{ Math/display|term= \begin{matrix} B & \longrightarrow & A & \longrightarrow & A_{ {{idealq}} } & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ B/ {{idealm}} & \longrightarrow & A/{{idealm}}A & \longrightarrow & A_{{idealq}}/ {{idealm}} A_{{idealq}} \\ & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & A/ {{idealq}} & \stackrel{ {{=}} }{ \longrightarrow } & A_{{idealq}}/ {{idealq}} A_{{idealq}} \!\!\!\!\! {{{SZ|}}} \\ \end{matrix} }} |Textart=Diagramm |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} gtccht4w1qbx0uoqvwlefmvmeefii9d 1093716 1093714 2026-06-09T18:43:03Z Bocardodarapti 2041 1093716 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Diagramm{{{opt|}}} |Text= {{ Math/display|term= \begin{matrix} B & \longrightarrow & A & \longrightarrow & A_{ {{idealq}} } & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ B/ {{idealm}} & \longrightarrow & A/{{idealm}}A & \longrightarrow & A_{{idealq}}/ {{idealm}} A_{{idealq}} \\ & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & A/ {{idealq}} & \stackrel{ {{=}} }{ \longrightarrow } & A_{{idealq}}/ {{idealq}} A_{{idealq}} \\ \end{matrix} |SZ={{{SZ|}}} }} |Textart=Diagramm |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} i23czaz66aajl3ndolbxi86wn0n1uxb 1093717 1093716 2026-06-09T18:43:55Z Bocardodarapti 2041 1093717 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Diagramm{{{opt|}}} |Text= {{ Math/display|term= \begin{matrix} B & \longrightarrow & A & \longrightarrow & A_{ {{idealq}} } & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ B/ {{idealm}} & \longrightarrow & A/{{idealm}}A & \longrightarrow & A_{{idealq}}/ {{idealm}} A_{{idealq}} \\ & & \downarrow & & \downarrow & \\ & & A/ {{idealq}} & \stackrel{ {{=}} }{ \longrightarrow } & A_{{idealq}}/ {{idealq}} A_{{idealq}} {{{SZ|}}} \\ \end{matrix} }} |Textart=Diagramm |Kategorie=Theorie der kommutativen Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1h9qu8idr3who08tccrh7jhrdj79qrp 14 171476 1093715 2026-06-09T18:38:51Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093715 wikitext text/x-wiki {{Diagramme-Kategorie unter|Theorie der kommutativen Ringe}} d84ujy56488j2v3l5l8bxw8nz9umisx 0 171477 1093722 2026-06-10T06:04:08Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093722 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Untergraph/Definition|| }} Einen Untergraphen kann man auch durch die beiden Eigenschaften {{ Relationskette | W | \subseteq | V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | F | \subseteq | E \cap {{op:Potenzmengezwei|W|}} || || || |SZ= }} charakterisieren. Zu einem Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} und einer Teilmenge {{ Relationskette | W | \subseteq | V || || || |SZ= }} gibt es eine Vielzahl an Untergraphstrukturen, abhängig davon, welche Kanten aus {{math|term= E |SZ=,}} deren beide Endpunkte zu {{math|term= W |SZ=}} gehören, in {{math|term= F |SZ=}} übernommen werden und welche nicht. Jede Teilmenge {{math|term= W |SZ=}} ist mit der leeren Kantenmenge ein Untergraph. Für jeden Graphen {{ Relationskette | G || (V,E) || || || |SZ= }} gilt {{ Relationskette | (V, \emptyset) |\subseteq| G |\subseteq| (V, {{op:Potenzmengezwei|V|}} ) || || |SZ=. }} Zum Sprachgebrauch der folgenden Definition vergleiche auch {{ Definitionslink |Prämath= |Definition| |Definitionsseitenname= Geordnete Mengen/Abbildung/Ordnungsvolltreu/Definition |SZ=. }} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Untergraph/Voll/Definition|| }} Bei einem vollen Untergraphen werden also alle Kanten aus {{math|term= E |SZ=}} übernommen, die Bezug auf die Teilmenge {{math|term= W |SZ=}} nehmen. Statt von einem vollen Untergraphen spricht man auch von einem {{Stichwort|induzierten Untergraphen|msw=Induzierter Untergraph|SZ=.}} {{ inputdefinition |Ungerichteter Graph/Kantenteilmenge/Restgraph/Definition|| }} Für {{ Relationskette | F || \{e\} || || || |SZ= }} schreibt man abkürzend {{math|term= G \setminus e |SZ=}} für {{math|term= G \setminus \{e\} |SZ=.}} Der Restgraph ist ein Untergraph des Ausgangsgraphen mit der gleichen Knotenmenge. Es ist kein voller Untergraph, außer bei {{ Relationskette | F || \emptyset || || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} o2swgbvn6qvqaqbji3plue3t3ge9j61 0 171478 1093724 2026-06-10T06:31:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093724 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= === Viertelfinale === {{Fußballspiel kurz/Zeile||Sieger 2. 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Die Zeitung druckt den folgenden Restspielplan {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Spiel um Platz 3| |ISZ=|ESZ= }} ab. Viertelfinale {{Spiel|VF1|Arg|Deu}} {{Spiel|VF2|Usb|Bra}} {{Spiel|VF3|Eng|Kapv}} {{Spiel|VF4|Fra|Cur}} Halbfinale {{Spieleintrag|HF1|Sieger VF1|Sieger VF2}} {{Spieleintrag|HF2|Sieger VF3|Sieger VF4}} Finale {{Spieleintrag|Finale|Sieger HF1|Sieger HF2}} Wir interpretieren die Begegnungsstriche {{math|term= - |SZ=}} als Kanten in einem Graphen {{math|term= G |SZ=.}} {{ Aufzählung6 |Was ist die Knotenmenge in {{math|term= G |SZ=?}} Skizziere{{n Sie}} den Graphen allein mit Punkten und Kanten {{ Zusatz/Klammer |text=ohne jede Bennenung| |ISZ=|ESZ=! }} |Was sind die Zusammenhangskomponenten von {{math|term= G |SZ=?}} Ist der Graph {{ Definitionslink |Prämath= |bipartit| |Kontext=| |SZ=? }} |Einige Tage später steht das Finale an. Der Spielplan wurde zwischenzeitlich ergänzt, die unteren Zeilen sehen jetzt so aus {{ Zusatz/Klammer |text=die oberen Zeilen aus dem Viertefinale sind unverändert da| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Math/display|term= \, |SZ= }} {{parskip|}} Halbfinale {{Spieleintrag|HF1|Sieger VF1|Sieger VF2|Deu|Usb}} {{Spieleintrag|HF2|Sieger VF3|Sieger VF4|Kapv|Cur}} Finale {{Spieleintrag|Finale|Sieger HF1|Sieger HF2|Deu|Cur}} Hat sich der Graph {{math|term= G |SZ=}} verändert? |Es sei nun {{math|term= \sim |SZ=}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= G |SZ=,}} bei der Knotenpunkte zueinander äquivalent sind, wenn sie durch die gleiche Mannschaft besetzt sind. Skizziere{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Prämath= |Quotientengraphen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | H || G/ \sim || || || |SZ=. }} |Ist der Graph {{math|term= H |SZ=}} zusammenhängend? 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Wir betrachten die endlichen Abbildungen {{ Relationskette/display | R | \subseteq | R[x] \cong R[X]/(F) | \subseteq | S || || |SZ= }} wobei {{math|term= S |SZ=}} die Normalisierung von {{math|term= R[x] |SZ=}} ist. Es sei {{ Relationskette/display | S || R[x] [ {{op:Bruch| g_1 |f_1 }} {{kommadots|}} {{op:Bruch| g_n |f_n }} ] || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | g_i,f_i | \in | R[x] || || || |SZ= }} und wobei wir {{ Relationskette | f_i | \in | R || || || |SZ= }} annehmen dürfen. 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Somit findet nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Monogene normale Erweiterung/Verzweigung/Ordnung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} auf {{mathl|term= D(g) |SZ=}} keine Verzweigung statt. 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