Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.6 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1093873 1093651 2026-06-11T14:45:06Z Ralf Roletschek 2938 /* 2FA */ 1093873 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) ::::::Vielen Dank an [[Benutzer:DerHexer|DerHexer]], alleine hätte ich das nie geschafft. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 16:45, 11. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) 1t4gww8xx8f7d12yfx5m3kvhcgasi3v 106 12769 1093874 1081400 2026-06-11T16:31:30Z Bert Niehaus 20843 /* Singularität und Residuen */ 1093874 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 7jmk0ycofqtolw5o3xbfnes0jrugxhu 1093875 1093874 2026-06-11T16:52:47Z Bert Niehaus 20843 /* Holormorphe Funktionen als Hilbertraum */ 1093875 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 2g4cxcx8ta6m0zo07j5ueid23jlkmpx 1093876 1093875 2026-06-11T17:11:34Z Bert Niehaus 20843 /* Holormorphe Funktionen als Hilbertraum */ 1093876 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <span id="CIS-CIF"></span> === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Holomorphie/Kriterien|Holomorphiekriterien]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige|Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=no&shorttitle=Eindeutigkeitslemma%20f%C3%BCr%20Logarithmuszweige&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vierecke|Flächenintegrale über Vierecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vierecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] == Funktionentheorie - Teil 3 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird der Begriff der Taylorreihe zum Begriff der [[Laurent-Reihe]] verallgemeinert (analog zur Erweiterung der ganzen Zahlen in Stellenwertsystem um Nachkommastelle, die hier den Potenzen <math>(z-z_o)^{-n}</math> mit <math>n\in\mathbb{N}</math> entsprechen). Ferner werden Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz von geschlossenen Weg auf Zyklen verallgemeinert. <span id="LaurentCISCIF"></span> === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[b-adische Stellenwertsysteme|b-adische Stellenwertsysteme - Exkurs bzgl. Laurent-Reihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=b-adische%20Stellenwertsystem&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma === Cauchy-Integralformel und Cauchy-Integralsatz für Zyklen === <span id="CIS-CIF"></span> Die Aussagen des [[Cauchy-Integralsatz|CIS]] und [[Cauchy-Integralformel|CIF]] für konvexe bzw. sternförmige Gebiete werden auf [[nullhomolog|nullhomologe]] [[Zyklus|Zyklen]] verallgemeinert. Es wird CIS-NZ wird aus CIF-NZ gefolgert. * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]] * '''[[Integralsatz von Cauchy#Zyklen|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Satz von der Gebietstreue === Bilder von Gebieten sind unter holomorphen Funktionen wieder Gebiete. * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Satz%20von%20der%20Gebietstreue&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20der%20Gebietstreue&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] (Open Mapping Theorem) * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue/Anwendungen|Anwendungen des Satzes von der Gebietstreue]] === Singularität und Residuen === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - wesentliche Singularität|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_wesentliche_Singularität/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale|Beispielintegrale - Anwendung Residuensatz]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz/Beispielintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Beispielintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/holomorphe Funktionen als Vektorfelder|holomorphe Funktionen als Vektorfelder]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=holomorphe%20Funktionen%20als%20Vektorfelder&coursetitle=Kurs:%20Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Holormorphe Funktionen als Hilbertraum == * [[/Funktionraum als Hilbertraum/]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Hilbertraum&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Pythagoras|Satz des Pythagoras]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Pythagoras&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Pythagoras&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Satz des Thales|Satz des Thales]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Satz%20des%20Thales&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20des%20Thales&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Semi-Skalarprodukt|Semi-Skalarprodukt]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> 8pikxjbjl52ok7tuyi9swx5gprija6x 0 66143 1093888 1038807 2026-06-12T06:43:42Z Bocardodarapti 2041 1093888 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{symbolalphabet|}} |SZ=}} ein {{ Definitionslink |erststufiges Symbolalphabet| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=| |SZ=. }} Eine Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq | M || || || |SZ= }} heißt {{ Definitionswort |funktional abgeschlossen| |msw= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=oder eine {{ Definitionswort |Prämath= {{symbolalphabet|}} |Unterstruktur| |msw= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=, }} wenn für jede Konstante {{ Relationskette |c | \in | {{Symbolalphabet|}} || || || |SZ= }} das Element {{math|term= c^M|SZ=}} zu {{math|term= T |SZ=}} gehört und für jedes {{math|term= k |SZ=-}}stellige Funktionssymbol {{math|term= f |SZ=}} und beliebige Elemente {{ Relationskette | m_1 {{kommadots|}} m_k | \in | T || || || |SZ= }} auch {{mathl|term= f^M(m_1 {{kommadots|}} m_k ) |SZ=}} zu {{math|term= T |SZ=}} gehört. |Textart=Definition |Kategorie=Modelltheorie der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Funktional-abgeschlossene Teilmenge |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gw6kh5efpqf93wo0j217pujk3a9rzm8 0 120949 1093878 1092063 2026-06-12T06:08:57Z Bocardodarapti 2041 1093878 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Zahlbereichserweiterung/Trägheitsgrad/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Erweiterung/Eine normierte Gleichung/Trägheitsgrad/Abschätzung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt|Satz|| }} Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch {{Stichwort|fundamentale Gleichung|msw=Fundamentale Gleichung|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt genau dann {{ Definitionslink |Verzweigung| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} vor, wenn einer der {{ Definitionslink |Verzweigungsindizes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= e_j |SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition|| }} Im voll zerlegten Fall ist {{ Relationskette | e_j || f_j || 1 || || |SZ= }} für {{ Relationskette | j || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper {{math|term= R/ {{idealp|}} |SZ=}} überein. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Unzerlegt/Definition|| }} In diesem Fall ist {{ Relationskette | n || ef || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Polynomring/R nach C/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht unzerlegt| |ISZ=|ESZ= }} ist. Für das folgende Beispiel siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kv00w7cyyzeruk6nf0v5yi7jsvm5dei 1093884 1093878 2026-06-12T06:16:51Z Bocardodarapti 2041 1093884 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Endliche Erweiterung/Primideale/Trägheitsgrad/Definition|| }} {{ inputbemerkung |Zahlbereichserweiterung/Trägheitsgrad/Bemerkung|| }} {{ inputfaktbeweis |Endliche Erweiterung/Eine normierte Gleichung/Trägheitsgrad/Abschätzung/Fakt|Lemma|| }} {{ inputfaktbeweis |Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Fundamentale Gleichung/Fakt|Satz|| }} Die in diesem Satz auftretende Gleichung nennt man auch {{Stichwort|fundamentale Gleichung|msw=Fundamentale Gleichung|SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterung/Verzweigungsordnung/Idealzerlegung/Diskreter Bewertungsring/Fakt |Nr= |SZ= }} liegt genau dann {{ Definitionslink |Verzweigung| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} vor, wenn einer der {{ Definitionslink |Verzweigungsindizes| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= e_j |SZ=}} größer als {{math|term= 1 |SZ=}} ist. Die beiden extremen Möglichkeiten für das Zerlegungsverhalten bekommen einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Voll zerlegt/Definition|| }} Im voll zerlegten Fall ist {{ Relationskette | e_j || f_j || 1 || || |SZ= }} für {{ Relationskette | j || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Es liegt keine Verzweigung von und alle Restekörper stimmen mit dem Grundkörper {{ Zusatz/Klammer |text=der Faser| |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= R/ {{idealp|}} |SZ=}} überein. {{ inputdefinition |Dedekindbereich/Primideal/Unzerlegt/Definition|| }} In diesem Fall ist {{ Relationskette | n || ef || || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Polynomring/R nach C/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Fünfter Kreisteilungsring/Primzahlen/Zerlegungsverhalten/Beispiel|| }} Es ist einfach Beispiele von Zahlbereichen anzugeben, in denen jedes Primideal des Grundringes zerlegt {{ Zusatz/Klammer |text=also nicht unzerlegt| |ISZ=|ESZ= }} ist. Für das folgende Beispiel siehe auch {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zerlegungsgruppe/Restekörper/Zerlegungseigenschaft/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Biquadratisch/Unzerlegt/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qodkfp7pmwzymfgwpkzbb9b9g6lu8rx 0 120954 1093879 1085826 2026-06-12T06:12:26Z Bocardodarapti 2041 1093879 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Bemerkung{{{opt|}}} |Text= Wenn {{ Relationskette | R | \subseteq | S || || || |SZ= }} eine endliche Erweiterung von Dedekindbereichen ist und {{math|term= {{idealm}} |SZ=}} ein maximales Ideal von {{math|term= R |SZ=}} ist und {{math|term= {{idealn|}} |SZ=}} ein maximales Ideal von {{math|term= S |SZ=}} über {{math|term= {{idealm|}} |SZ=,}} so ist der {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} einfach der Grad der Körpererweiterung {{ Abbildung/display |name= | R/{{idealm}} | S/{{idealn}} || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=der Trägheitsgrad im Nullideal ist einfach der Grad der Erweiterung der Quotientenkörper| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn {{math|term= R |SZ=}} und damit auch {{math|term= S |SZ=}} ein Zahlbereich ist, so sind diese Körper stets endlich von gleicher Charakteristik {{math|term= p |SZ=,}} und daher liegt eine Erweiterung der Form {{ Relationskette | {{op:Endlicher Körper| q |}} | \subseteq | {{op:Endlicher Körper| q' |}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | q || p^e || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | q' || p^{e'} || || || |SZ= }} vor. Dabei muss {{math|term= q' |SZ=}} eine Potenz von {{math|term= q |SZ=}} sein, also {{ Relationskette | p^{e'} || {{makl| p^e |}}^\ell || || || |SZ=, }} was bedeutet, dass {{math|term= e' |SZ=}} ein Vielfaches von {{math|term= e |SZ=}} ist. Bei {{ Relationskette | q || p || || || |SZ= }} ist das natürlich keine Einschränkung. |Textart=Bemerkung |Kategorie=Theorie der endlichen kommutativen Algebren |Kategorie2=Theorie der Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sz5i3cf136ueptdvnler7m3ven6svo2 0 120957 1093880 1086193 2026-06-12T06:13:18Z Bocardodarapti 2041 1093880 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Durch Übergang mittels {{ Abbildung |name= | R | {{op:Restekörper| {{idealp}} |}} || |SZ= }} kann man direkt annehmen, dass {{ Relationskette | R || K || || || |SZ= }} ein Körper ist und dass das Primideal das Nullideal ist. Es liegt dann die endliche Erweiterung {{ Relationskette |K | \subseteq | K[X]/(F) | {{defeqr}} | B || || |SZ= }} vor. Die Primideale von {{math|term= S |SZ=}} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} entsprechen den Primidealen von {{math|term= B |SZ=}} und damit den irreduziblen Teilern von {{math|term= F |SZ=}} in {{mathl|term= K[X] |SZ=.}} Sei {{ Relationskette | F || F_1^{n_1 } \cdots F_k^{n_k } || || || |SZ= }} die Primfaktorzerlegung von {{math|term= F |SZ=}} in {{math|term= K[X] |SZ=.}} Die relevanten Körpererweiterungen sind dann die {{ Relationskette/display | K | \subseteq | K[X]/ {{makl| F_j |}} || || || |SZ=. }} Die Aussage folgt daher direkt aus Gradeigenschaften von Polynomen über einem Körper. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rakby894gl4c3aguyzpnu5e4rqnrpyd 0 120958 1093886 1084993 2026-06-12T06:25:46Z Bocardodarapti 2041 1093886 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || \Z[x] || || |SZ= }} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | (X-1) {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=,}} der {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} ist also {{math|term= 1 |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Verzweigungsindex| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= 4 |SZ=.}} Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen {{ Relationskette | p | \neq | 5 || || || |SZ= }} versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei {{ Relationskette/display | v || x-x^2-x^3+x^4 || || || |SZ=. }} Eine direkte Rechnung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zeigt {{ Relationskette | v^2 || 5 || || || |SZ=, }} d.h. es liegt ein Zwischenring {{ Relationskette/display | \Z | \subset | \Z[ \sqrt{5} ] | \subset | \Z[ {{op:Bruch|1+ \sqrt{5}|2}} ] || \Z[ x^3+x^2 ] ||S | \subset | \Z[x] || || |SZ= }} vor, wobei der Ganzheitsring zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} bestimmt wurde. {{parskip|}} Für {{ Relationskette/display | p || 1,4 \mod 5 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} ein Quadrat modulo {{math|term= p |SZ=.}} Über diesen Primzahlen liegen in {{math|term= S |SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} und dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von {{math|term= p |SZ=}} ab. {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 11 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= 1,3,4,5,9 |SZ=}} fünfte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Über {{math|term= (11) |SZ=}} liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen {{math|term= p |SZ=}} mit {{ Relationskette | p || 1 \mod 5 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 4 \mod 5 || || || |SZ= }} gibt es nur die {{math|term= 1 |SZ=}} als fünfte Einheitswurzel und es gilt {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 + {{op:Bruch| \sqrt{5} + 1|2}} X+1 |}} {{makl| X^2 - {{op:Bruch| \sqrt{5} -1|2}} X+1 |}} || || || |SZ=, }} wobei für {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} eine Quadratwurzel von {{math|term= 5 |SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} einzusetzen ist. Bei {{ Relationskette | p || 19 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette | 9^2 || 5 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ=. }} {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 3 \mod 5 || || || |SZ= }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bsitcl2iu9j8th80xv6y1fkkapcnipc 1093890 1093886 2026-06-12T06:57:32Z Bocardodarapti 2041 1093890 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || \Z[X]/ {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || \Z[x] || || |SZ= }} der fünfte {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ=. }} Wir beschreiben exemplarisch das Verhalten von Primzahlen in diesem Zahlbereich. Es sei zuerst {{ Relationskette | p || 5 || || || |SZ=. }} Hier ist über {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=}} {{ Relationskette/display | (X-1) {{makl| X^4+X^3+X^2+X+1 |}} || X^5-1 || (X-1)^5 || |SZ= }} und somit {{ Relationskette | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-1)^4 || || || |SZ=. }} Es gibt also nur ein Primideal oberhalb von {{math|term= (5) |SZ=}} und dessen Restklassenkörper ist {{mathl|term= {{op:Zmod| 5 |}} |SZ=,}} der {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} ist also {{math|term= 1 |SZ=}} und der {{ Definitionslink |Verzweigungsindex| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= 4 |SZ=.}} Das Zerlegungsverhalten der anderen Primzahlen {{ Relationskette | p | \neq | 5 || || || |SZ= }} versuchen wir mit Hilfe eines Zwischenringes zu verstehen. Sei {{ Relationskette/display | v || x-x^2-x^3+x^4 || || || |SZ=. }} Eine direkte Rechnung {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kreisteilungskörper/Q/5/Beispiel |Nr= |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} zeigt {{ Relationskette | v^2 || 5 || || || |SZ=, }} d.h. es liegt ein Zwischenring {{ Relationskette/display | \Z | \subset | \Z[ \sqrt{5} ] | \subset | \Z[ {{op:Bruch|1+ \sqrt{5}|2}} ] || \Z[ x^3+x^2 ] ||S | \subset | \Z[x] || || |SZ= }} vor, wobei der Ganzheitsring zu {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} bestimmt wurde. {{parskip|}} Für {{ Relationskette/display | p || 1,4 \mod 5 || || || |SZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} ein Quadrat modulo {{math|term= p |SZ=.}} Über diesen Primzahlen liegen in {{math|term= S |SZ=}} zwei Primideale, beide mit dem Restekörper {{math|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} und dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Über diesen Primzahlen zerfällt das fünfte Kreisteilungspolynom in zwei Faktoren vom Grad {{math|term= 2 |SZ=.}} Ob es weiter in Linearfaktoren zerfällt, hängt von {{math|term= p |SZ=}} ab. {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 11 || || || |SZ= }} sind {{mathl|term= 1,3,4,5,9 |SZ=}} fünfte Einheitswurzeln in {{math|term= {{op:Zmod|11|}} |SZ=}} und das Kreisteilungspolynom hat die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^4+X^3+X^2+X+1 || (X-3)(X+2)(X-4)(X-5) || || |SZ=. }} Über {{math|term= (11) |SZ=}} liegen also vier Primideale, jeweils mit dem Trägheitsgrad {{math|term= 1 |SZ=.}} Ein entsprechendes Verhalten gilt für alle Primzahlen {{math|term= p |SZ=}} mit {{ Relationskette | p || 1 \mod 5 || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt |Nr= |SZ=. }} {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 4 \mod 5 || || || |SZ= }} gibt es nur die {{math|term= 1 |SZ=}} als fünfte Einheitswurzel und es gilt {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 + {{op:Bruch| \sqrt{5} + 1|2}} X+1 |}} {{makl| X^2 - {{op:Bruch| \sqrt{5} -1|2}} X+1 |}} || || || |SZ=, }} wobei für {{math|term= \sqrt{5} |SZ=}} eine Quadratwurzel von {{math|term= 5 |SZ=}} aus {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} einzusetzen ist. Bei {{ Relationskette | p || 19 || || || |SZ= }} ist beispielsweise {{ Relationskette | 9^2 || 5 || || || |SZ= }} und daher ist {{ Relationskette/display/handlinks | X^4+X^3+X^2+X+1 || {{makl| X^2 +5 X+1 |}} {{makl| X^2 +15 X+1 |}} || || || |SZ=. }} {{parskip|}} Bei {{ Relationskette | p || 2,3 \mod 5 || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=aber {{ Relationskette/k | p | \neq | 2 || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ= }} ist {{math|term= 5 |SZ=}} kein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=}} und somit ist {{ Relationskette/display | S/pS | \cong | {{op:Endlicher Körper| p^2|}} || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} liegen über diesen Primidealen im Kreisteilungskörper jeweils nur ein Primideal mit dem Restekörper {{mathl|term= {{op:Endlicher Körper| p^4|}} |SZ=.}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfte Kreisteilungsring |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3prk1o7nahpnt5e4yxhi0n9oyfqekkj 0 121175 1093881 1086060 2026-06-12T06:14:46Z Bocardodarapti 2041 1093881 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche|Faktseitenname= Dedekindbereich/Chinesischer Restsatz/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | S/ {{idealp|}}S || S/ {{idealq}}_1^{e_1 } {{timesdots}} S/ {{idealq|}}_k^{e_k } || || || |SZ=. }} Wir können über dem {{ Definitionslink |diskreten Bewertungsring| |SZ= }} {{math|term= R_{{idealp|}} |SZ=}} argumentieren, also davon ausgehen, dass {{math|term= R |SZ=}} ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist {{math|term= S |SZ=}} ein freier {{math|term= R |SZ=-}}Modul vom Rang {{math|term= n |SZ=}} und somit ist {{ Relationskette/display | S/{{idealp}} S || S {{tensor|R}} R/{{idealp}} || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=R/{{idealp}} |Vektorraum| |SZ= }} der {{ Definitionslink |Dimension| |Kontext=vr| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Oben rechts steht das Produkt der {{math|term= R/{{idealp}} |SZ=-}}Vektorräume {{mathl|term= S/{{idealq}}_j^{e_j } |SZ=}} und es ist zu zeigen, dass deren {{math|term= R/{{idealp}} |SZ=-}}Dimension gleich {{mathl|term= e_jf_j |SZ=}} ist. Dies zeigen wir durch Induktion über {{ Relationskette | e || e_j || || || |SZ=, }} wobei der Induktionsanfang für {{ Relationskette | e || 1 || || || |SZ= }} die Definition des Trägheitsgrades {{math|term= f_j |SZ=}} ist. Wegen {{ Relationskette | {{idealq}}^{e+1} | \subseteq | {{idealq}}^{e} || || || |SZ= }} liegt eine {{ Definitionslink |kurze exakte Sequenz| |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/display| {{idealq}}^{e} / {{idealq}}^{e+1} | S/{{idealq}}^{e+1} | S/ {{idealq}}^{e} }} vor. Dabei ist {{ Relationskette/display | {{idealq}}^{e} / {{idealq}}^{e+1} || {{idealq}}^{e} S_{{idealq}} / {{idealq}}^{e+1} S_{{idealq}} || S_{{idealq}} / {{idealq}} S_{{idealq}} || S/ {{idealq}} || |SZ=. }} Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljtlkyjd8cojcwyuuq96tyga9iy1wqf 0 121206 1093882 1090942 2026-06-12T06:15:10Z Bocardodarapti 2041 1093882 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=,}} {{ Relationskette | K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} und {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=.}} Ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |voll zerlegt| |msw=Voll zerlegtes Primideal |SZ= }} in {{math|term= S |SZ=,}} wenn es {{math|term= n |SZ=}} Primideale in {{math|term= S |SZ=}} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Voll zerlegtes Primideal |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dkidi9104c9bm6db34qi337s88hsoi9 0 121227 1093883 1090941 2026-06-12T06:15:27Z Bocardodarapti 2041 1093883 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Dedekindbereich| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= K |SZ=,}} {{ Relationskette | K | \subseteq | L || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=}} und {{math|term= S |SZ=}} der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=.}} Ein von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedenes {{ Definitionslink |Primideal| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} heißt {{ Definitionswort |unzerlegt| |msw=Unzerlegtes Primideal |SZ= }} in {{math|term= S |SZ=,}} wenn es genau ein Primideal in {{math|term= S |SZ=}} oberhalb von {{math|term= {{idealp|}} |SZ=}} gibt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Unzerlegtes Primideal |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1q76hwzmsw45aaav36vcgluxv9opcb1 0 121230 1093885 1085277 2026-06-12T06:19:03Z Bocardodarapti 2041 1093885 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Ringerweiterung {{ Relationskette | \R[X] | \subset | {{CC|}} [X] || || || |SZ=. }} Auf der Ebene der {{ Definitionslink |Quotientenkörper| |Kontext=| |SZ= }} liegt die {{ Definitionslink |quadratische Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} der zugehörigen {{ Definitionslink |Funktionenkörper| |Kontext=1| |SZ= }} {{ Relationskette | \R(X) | \subset | {{CC}}(X) || || || |SZ= }} vor, und {{mathl|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} ist der {{ Definitionslink |ganze Abschluss| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= \R[X] |SZ=}} in {{mathl|term= {{CC}}(X) |SZ=.}} Die {{ Definitionslink |Primideale| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \neq 0 |SZ=}} von {{mathl|term= \R[X] |SZ=}} sind von der Form {{mathl|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Relationskette | a | \in | \R || || || |SZ= }} oder von der Form {{mathl|term= {{makl| X^2+bX+c |}} |SZ=}} mit einem quadratischen Polynom ohne reelle Nullstelle. Die Restekörper in diesem zweiten Fall sind isomorph zu {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Die Primideale in {{mathl|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} sind alle von der Form {{mathl|term= (X-a) |SZ=}} mit {{ Relationskette | a | \in | {{CC|}} || || || |SZ=. }} {{parskip|}} In der Erweiterung liegt über dem Primideal {{mathl|term= (X-a) |SZ=}} das entsprechende Ideal, dieses Ideal ist also {{ Definitionslink |unzerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ=, }} die {{ Definitionslink |Verzweigungsordnung| |Kontext=| |SZ= }} ist {{math|term= 1 |SZ=}} und die Restekörpererweiterung ist {{ Relationskette | \R | \subset | {{CC|}} || || || |SZ=, }} der {{ Definitionslink |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} ist also {{math|term= 2 |SZ=.}} Zu einem Primideal {{mathl|term= {{makl| X^2+bX+c |}} |SZ=}} zu einem reellen Polynom ohne reelle Nullstelle seien {{ mathkor|term1= z |und|term2= {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |SZ= }} die zueinander konjugierten komplexen Nullstellen. In {{math|term= {{CC|}}[X] |SZ=}} gilt die Idealzerlegung {{ Relationskette | {{makl| X^2+bX+c |}} || {{makl| X-z |}} {{makl| X- {{op:Komplexe Konjugation| z |}} |}} || || || |SZ=. }} Die Verzweigungsordnungen sind also {{math|term= 1 |SZ=}} und in den Restekörpern liegt ein Isomorphismus vor, die Trägheitsgrade sind also {{math|term= 1 |SZ=.}} Diese Primideale sind {{ Definitionslink |voll zerlegt| |Kontext=Primideal| |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über R |Kategorie2=Theorie des Polynomrings in einer Variablen über C |Kategorie3=Theorie der Primidealzerlegung bei endlichen Erweiterungen von Dedekindbereichen |Kategorie4=Theorie der Körpererweiterung R in C |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ijmqltj8hju58jd8owkntqmmvh89y2 0 121375 1093891 1085548 2026-06-12T07:04:29Z Bocardodarapti 2041 1093891 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette | a,b | \in |\Z || || || |SZ= }} verschiedene quadratfreie Zahlen, sei {{ Relationskette/display | \Q | \subset | L || \Q[ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] || || |SZ= }} die zugehörige {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom Grad {{math|term= 4 |SZ=}} und sei {{ Relationskette/display | T || \Z [ \sqrt{a}, \sqrt{b} ] | \subseteq | S || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Ganzheitsring| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \Z |SZ=}} in {{math|term= L |SZ=,}} wobei für dieses Beispiel der Unterschied zwischen {{ mathkor|term1= T |und|term2= S |SZ= }} irrelevant ist. Wir bestimmen die Faser über einem Primideal zu einer Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} Der beschreibende Ring ist {{ Relationskette/display/druckalign | T {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || \Z[X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} {{tensor|\Z}} {{op:Zmod| p |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || || || |SZ=. }} Wir beschränken uns auf Primzahlen {{math|term= \geq 3 |SZ=,}} die weder {{ mathkor|term1= a |noch|term2= b |SZ= }} teilen, was bedeutet, dass die zugehörigen Restklassen Einheiten in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind. Wenn {{math|term= a |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=entsprechend für {{math|term= b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ein Quadrat in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} ist, sagen wir {{ Relationskette/display | a || r^2 || (-r)^2 || || |SZ=, }} so ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| (X-r)(X+r) ,Y^2-b |}} || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} [X]/((X-r)(X+r)) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} \times {{makl| {{op:Zmod| p |}} [Y]/ {{makl| Y^2-b |}} |}} || || |SZ=, }} wobei die letzte Identifizierung durch {{mathl|term= X \mapsto (r, -r ) |SZ=}} gegeben ist. Der Faserring ist also ein Produktring und kein Körper und {{mathl|term= (p) |SZ=}} zerfällt in {{math|term= T |SZ=}} und dann auch in {{math|term= S |SZ=}} in zumindest zwei Primideale. {{parskip}} Wenn hingegen sowohl {{ mathkor|term1= a |als auch|term2= b |SZ= }} Nichtquadrate in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} |SZ=}} sind, so ist das Produkt {{math|term= ab |SZ=}} ein Quadrat, sagen wir {{ Relationskette | ab || s^2 || (-s)^2 || || |SZ=. }} Dann gelten, da ja {{math|term= a |SZ=}} eine Einheit ist, in {{mathl|term= {{op:Zmod| p |}} [X,Y] |SZ=}} die Idealgleichheiten {{ Relationskette/align | {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{makl| X^2-a, aY^2-ab |}} || {{makl| X^2-a, aY^2-s^2 |}} || {{makl| X^2-a, X^2Y^2-s^2 |}} || {{makl| X^2-a, (XY-s)(XY-s) |}} |SZ= }} und damit ist {{ Relationskette/align/drucklinks | {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/ {{makl| X^2-a,Y^2-b |}} || {{op:Zmod| p |}} [X,Y]/(X^2-a, (XY-s)(XY-s)) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} [Y ]/(XY-s)(XY-s) || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} [Y ]/ {{makl| Y- {{op:Bruch| s | X}} |}} {{makl| Y-{{op:Bruch| s | X}} |}} || {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} \times {{makl| {{op:Zmod| p |}} [X]/ {{makl| X^2-a |}} |}} || || |SZ=, }} es liegt also wieder ein Produktring vor. |Textart=Beispiel |Kategorie=Galoistheorie für Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Idealzerlegung in Zahlbereichen |Kategorie3=Theorie der biquadratischen Zahlbereiche |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} o40cng3oz704ke496gi23av9lii9z2q 0 138522 1093889 1085080 2026-06-12T06:43:56Z Bocardodarapti 2041 1093889 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Abbildung {{ Abbildung/display |name= {{op:exp||}} | {{CC|}} | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} | w | {{op:exp| w |}} |SZ=, }} ist eine {{ Definitionslink |Überlagerung| |Kontext=| |SZ=. }} Zu einem Punkt {{ Relationskette | z | \in | {{op:Einheiten| {{CC|}} |}} || || || |SZ= }} und einem Punkt {{ Relationskette | w | \in | {{CC|}} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | {{op:exp| w |}} || z || || || |SZ= }} gibt es nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Holomorph/Fakt |Nr= |SZ= }} eine offene Umgebung {{ Relationskette | w | \in | V | \subseteq | {{CC|}} || || |SZ=, }} die {{ Definitionslink |homöomorph| |Kontext=| |SZ= }} auf {{ Relationskette | U | {{defeq|}} | {{op:exp(| V |}} || || || |SZ= }} abbildet. Durch Verkleinern von {{math|term= V |SZ=}} können wir annehmen, dass die offenen Mengen {{ mathkor|term1= V |und|term2= V+ 2 \pi k {{imaginäre Einheit}} |SZ= }} für {{ Relationskette | k |\neq| 0 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |disjunkt| |Kontext=| |SZ= }} sind. Dann ist {{ Relationskette/display | {{op:exp||}}^{-1}(U) |\cong| \biguplus_{k \in \Z} {{makl| V + 2 k \pi {{imaginäre Einheit}} |}} |\cong| U \times \Z || || |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Überlagerungen |Kategorie2=Theorie der komplexen Exponentialfunktion |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c2g4kva3495b76dtxku0rcg56hyymmq 0 157267 1093913 1078040 2026-06-12T11:18:44Z C.Koltzenburg 13981 /* Patientenvorstellungen */ 1093913 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Patientenvorstellungen == '''[[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle mit Beispielformulierungen für Ihren 1. Satz]]''' * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 15|'''PatV 15''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 14|'''PatV 14''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 13|'''PatV 13''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 12|'''PatV 12''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 11|'''PatV 11''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 10a|'''PatV 10a''' (nur der Anfang)]] / bzw. [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 10b|'''PatV 10b''' (vollständig)]] Alexander Weiss, 34 J. (VD Nierenruptur links, Milzruptur, Kompressionsfraktur der Halswirbel und Fraktur der Knochen der linken Hand) -- [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 9|'''PatV 9''': Sina Gowitz, 22 J.]] (VD Appendizitis) -- [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 8|'''PatV 8''': Ralf Merklinger, 48 J.]] (VD Panikattacke) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 7|'''PatV 7''': Frank Boppes, 67 J.]] (VD Prostatakarzinom) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 6|'''PatV 6''': Tatjana Märker, 32 J.]] (VD Intoxikation) -- [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 5|'''PatV 5 a.''' (+ b. to do): Gisela Reuters, 58 J.]] (VD Mesenterialinfarkt) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 4|'''PatV 4''': Agnes Schulz, 48 J.]] (VD Appendizitis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 3|'''PatV 3''': Sebastian Mayer, 66 J.]] (VD exazerbierte COPD) -- [[Anamnesegespräche#Fall_13|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 2|'''PatV 2''': Sabine Nelius, 63 J.]] (VD Pyelonephritis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 1|'''PatV 1''': Magda Wienhäuser, 46 J.]] (VD Panikattacke) = Patientenvorstellung 1 = == Magda Wienhäuser, 46 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde Ihnen gern die Patientin Magda Wienhäuser vorstellen. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja, bitte legen Sie los."'' "Magda Wienhäuser ist 46 Jahre alt, sie ist am 01.06.1976 ("ersten sechsten sechsundsiebzig) geboren, [161 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einen Meter einundsechzig groß und wiegt [68 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtundsechzig Kilo. Die Patientin stellte sich heute Morgen um halb acht in der Notaufnahme vor, nachdem sie mit dem Auto zur Arbeit fahren wollte und, im Auto sitzend, verschiedene, sehr stark ausgeprägte Symptome bemerkte, nämlich: Tachykardie, Kaltschweißigkeit, Todesangst, Dyspnoe, das Gefühl, sich nicht mehr bewegen zu können. Außerdem berichtete sie von Kribbeln in den Händen und Ohrensausen. Ferner gab sie an, ihr sei übel gewesen. Erbrochen habe sie aber nicht. Nach Angaben der Patientin hat sie ungefähr 15 Minuten im Auto gesessen und ist dann mit großer Mühe in die Klinik gefahren, um sich bei uns vorzustellen. Aus der Vorgeschichte ist bekannt: <br /> * eine rheumatoide Arthritis seit der zweiten Schwangerschaft, also seit 14 Jahren. Diese rheumatoide Arthritis wird mit Diclofenac zwei Mal täglich behandelt. * Außerdem eine Migräne mit Aura seit der Jugend. Die Patientin nimmt bei Bedarf Sumatriptan und Ibuprofen. * Ein Bandscheibenvorfall, also Diskusprolaps, mit 42 Jahren, der konservativ behandelt wurde. An Operationen nannte die Patientin eine Myomentfernung in 2021 und eine Mammareduktion mit 20 Jahren. Unsere Patientin ist Nichtraucherin, hat auch nie geraucht, sie trinke ab und zu Alkohol, insbesondere Aperol Spritz, ungefähr einmal im Monat, und sie gab an, in der Jugend einmal Amphetamine genommen zu haben. Zur gynäkologischen Anamnese: Sie hat ungefähr alle zwei bis drei Monate ihre Mensis, zuletzt vor zwei Wochen. Die Patientin nannte eine Allergie gegen Haselnüsse, was sich mit Dyspnö und Exanthem äußert, außerdem hat sie eine Glutenintoleranz, also es liegt vermutlich eine Zöliakie vor. Zur Familenanamnese: Der Vater der Patientin verstarb mit 47 an einem Hodenkarzinom, die Mutter ist 72 Jahre alt, leidet an leichter Demenz und lebt in einem Pflegeheim. Bei der Schwester ist eine Alopecia areata bekannt und der jüngere Bruder der Patientin ist aufgrund eines angeborenen Herzfehlers bereits verstorben, mit Anfang 30. Unsere Patientin ist Fleischerei-Fachverkäuferin bei Edeka, sie ist seit fünf Jahren geschieden. Sie ist alleinerziehend mit drei Kindern, 15, 14 und 9, wobei der jüngste Sohn im Alter von vier Jahren Leukämie hatte. Das sei eine schwierige Zeit gewesen und hier sei es auch zur Trennung vom Partner gekommen. Der Ex-Mann unserer Patientin ist Polizist und laut Frau Wienhäuser gibt es immer wieder Probleme zwischen den beiden, wo es dann um den Umgang der Kinder geht. Die Patientin hat seit zwei Jahren einen neuen Freund, der ebenfalls Mitarbeiter bei Edeka ist. Die Patientin treibt Sport, sie geht zum Zumba. Ich denke, das waren die wichtigsten Informationen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Panikattacke. Natürlich muss ich, wenn ich diese Diagnose vermute, erstmal alle somatischen Erkrankungen ausschließen, unter anderem einen Myokardinfarkt, eine Refluxösophagitis, einen Magenulkus, eine Lungenembolie. Zu den Untersuchungen: Die Patientin muss natürlich ausführlich körperlich untersucht werden, vor allem Herz und Lungen müssen auskultiert werden. Ich benötige eine Messung der Vitalparameter, selbstverständlich, dann ist eine Blutuntersuchung notwendig. Wir würden hier vor allem die Herzenzyme, die Entzündungsparameter und eine BGA bestimmen. Außerdem schreiben wir ein EKG und wir könnten gegebenenfalls auch ein Herz-Echo oder eine Sonografie des Abdomens durchführen, wobei in der Regel ja schon die ersten Befunde in etwa die Richtung anzeigen, in die es weitergeht. Wenn wir tatsächlich in den Befunden nichts Pathologisches feststellen, dann würden wir erstmal von einer Panikattacke ausgehen. Die Panikattacke hört normalerweise von selbst wieder auf. Bei ausgeprägter Hyperventilation sollte man der Patientin eine Tüte geben, so dass sie in die Tüte atmet. Manchmal ist eine beruhigende Medikation erforderlich, zum Beispiel mit Benzodiazepin, wobei man da sehr gut aufpassen muss, weil das zu Abhängigkeit führen kann. Die Patientin sollte aufgeklärt werden über diese Erkrankung und auch darüber, dass es häufig zu rezidivierenden Panikattacken kommt, aber dass es sozusagen nichts Schlimmes ist. Falls es immer wieder zu Panikattacken kommt, kann die Patientin auch verhaltenstherapeutisch behandelt werden, wobei hier in den meisten Fällen eine ambulante Therapie ausreicht. Das wäre alles meinerseits." ''"Welche Laborwerte würden Sie anordnen?"'' "Ah, welche genau? Also: die Herzenzyme, also Troponin T [teh] und CK-MB [zeh kah emm beh], LDH [ell deh hah] und natürlich ein Blutbild, in der Regel ein großes Blutbild, um einen guten Überblick zu erhalten, Entzündungswerte neben den Leukozyten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh]. In der BGA achte ich darauf, wie Sauerstoff und Co2 [zeh oh zwei] verteilt sind, ob es bereits eine Azidose gibt. Das wären die wichtigsten Werte, denke ich." ''"Würden Sie thyreoide Hormone anordnen?"'' "Ah, Schilddrüsenhormone, ja. Ich würde auf jeden Fall das TSH [teh ess hah] bestimmen, um einen ersten Eindruck zu bekommen. Schon bei der körperlichen Untersuchung würde ich auf den Halsbereich achten, also ob da vielleicht schon einen Vergrößerung der Schilddrüse zu sehen oder zu spüren ist." ''"Vielen Dank. Dann verfahren Sie mit Ihrer Patientin bitte so."'' = Patientenvorstellung 2 = == Sabine Nelius, 63 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja."'' "Es geht um Sabine Nelius, eine 63-jährige [dreiundsechzigjährige] Patientin, geboren am 02.01.1961 [am zweiten Januar einundsechzig], [171 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einseinundsiebzig groß und [61 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] 61 Kilo schwer. Die Patientin stellte sich bei uns vor wegen starker, linksseitiger Flankenschmerzen. Die Schmerzen habe sie seit drei Tagen und sie würden stärker, also sind progredient, von der Qualität her ziehend, teilweise klopfend, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. Sie gab an, seit gestern auch Fieber zu haben, knapp über [38° C <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtunddreißig Grad Celsius, Schüttelfrost, Schwindel, ihr sei übel, sie habe leichten Durchfall gehabt. Darüber hinaus müsse sie häufig Wasser lassen, dabei würde der Urin nicht einfach kommen und es würde sogar brennen, also dysurische Beschwerden. Der Urin sei rötlich. Die Patienen glaubt selbst, es sei Blut. Sie klagt über ein allgemeines Krankheitsgefühl und Herzrasen. Die Schmerzen würden vor allem durch Bewegung, durch Gehen, verstärkt und in Ruhe seien die Schmerzen etwas besser auszuhalten. Die Patientin hat einige Vorerkrankungen, unter anderem hatte sie 2018 einen Myokardinfarkt, sie hat eine Psoriasis seit 6 Jahren und vor 7 Jahren wurde ihr aufgrund einer Perforation im Sigma ein Teil des Sigmas entfernt. An Operationen ist außerdem eine Tonsillektomie, 1972, bekannt. Die Medikation besteht aus ASS 100 mg einmal morgens und Citalopram 75 mg einmal morgens. In der Sozialanamnese gab die Patientin an, dass ihre Tochter im Alter von 30 [dreißig] Jahren bei einem Autounfall verunglückt sei. Die Patientin selbst lebe mit ihrem gehbehinderten Ehemann zusammen und ist seit einem halben Jahr in Rente. Vorher hat sie als Frisörin gearbeitet. In der Familienanamnese ist beim Vater ein Diabetes mellitus Typ 2 bekannt, er ist 91 Jahre alt und lebt in einem Pflegeheim. Die Mutter sei gesund, mit 85 Jahren, und ein Onkel mütterlicherseits sei vor 15 Jahren im Alter von 79 Jahren an Prostatakrebs verstorben. Auch die Schwester der Patientin, aktuell 62 Jahre alt, hatte im Alter von 45 Jahren ein Zervixkarzinom, was aber kurativ behandelt werden konnte. Zu den Noxen: Die Patientin raucht ca. 10 Zigaretten täglich seit 50 Jahren, also 25 pack years [päck years, also Englisch gesprochen], sie trinke täglich eine Flasche Bier, Drogenkonsum wurde verneint. Allergien wurden glaubhaft verneint. Sie gab allerdings an, dass eine Unverträglichkeit gegen Milch bekannt sei, ich vermute, (es handelt sich um) eine Laktoseintoleranz. Aufgrund der Schmerzen in der linken Flanke und dieser Dysurie vermute ich einen Harnwegsinfekt, und zwar eine Pyelonephritis. An Differenzialdiagnosen kommen eine Zystitis oder eine Divertikulitis in Betracht. Zur Abklärung würde ich die Patientin körperlich untersuchen, mit Fokus auf das Abdomen und die Flanken, also prüfen, ob die Nieren klopfschmerzhaft sind. Dann würde ich mit Urinstix (also Urinteststreifen) den Urin untersuchen, auf Protein, PH und so weiter. Auch schauen, ob eine Hämaturie besteht, dann eine Blutentnahme, ich würde ein großes Blutbild anordnen, mit Entzündungswerten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh], außerdem Creatinin, Harnstoff, Elektrolyte, Leberwerte bestimmen, wobei ich bei einer akuten Pyelonephritis vor allem eine Erhöhung der Entzündungsparameter erwarte. Ich benötige außerdem eine Urinkultur, um den Erreger zu bestimmen. An bildgebenden Verfahren benötige ich eine Sonografie des Abdomens, damit kann ich in der Regel schon ganz gut abschätzen, ob ein Harnaufstau besteht oder ich könnte differenzialdiagnostisch eine Urolithiasis, also einen Stein feststellen. Den könnte man auch mit einem Röntgen Abdomen sehen. Meistens reicht die Sonografie Abdomen aus, um die Diagnose zu stellen, aber falls noch unklar sein sollte, was die Patientin hat, wäre auch ein CT [zeh teh] Abdomen in Betracht zu ziehen. Therapeutisch empfehle ich Bettruhe, ausreichend Flüssigkeit, entweder oral oder intravenös, außerdem ein Analgetikum wie zum Beispiel Novalgin oder Paracetamol. Bevor der Befund der Urinkultur vorliegt, behandele ich bereits empirisch, beispielweise mit einem Cephalosporin oder Ciprofloxacin, da gibt es verschiedene Optionen. Das Antibiogramm lässt sich anpassen, sobald die Befunde der Urinkultur vorliegen. In der Regel wird die Pyelonephritis intravenös behandelt, später kann es auch oralisiert werden. Das wäre (soweit erstmal) alles meinerseits." ''"Gut, danke. Ich habe keine Fragen. Bitte machen Sie mit der Patientin weiter."'' = Patientenvorstellung 3 = == Sebastian Mayer == Kandidatin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Kandidatin: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los. Kandidatin: Dankeschön. Es handelt sich um Herrn Sebastian Mayer, einen 66-jährigen Patienten, geboren am 15.6.1958, 177 cm, 80 kg, den ich heute gegen 11 Uhr gesehen habe. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehenden Hustens, seit gestern mit gelblich-grünem Sputum, Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, und Fieber. Seit der Kindheit besteht Asthma und vor 3 Jahren wurden pulmonale Emphyseme bei ihm diagnostiziert. Laut Patient wird sein Asthma mit Prolenium behandelt und er nutzt Salbutamol Spray bei Bedarf. Bisher sei das aber nur ein Mal der Fall gewesen. Vor 3 Tagen seien ihm blaue Lippen aufgefallen und etwas Herzrasen, also Hypoxie-Zeichen, und laut Patient ist es schlimmer geworden. Es gehe ihm insgesamt nicht gut und er sei oft nervös. An Begleitsymptomen liegen vor: schnelle Ermüdung bei Bewegung, sowie Insomnie. Verneint wurden die Fragen nach Schmerz sowie Miktions- und Defäkationsstörungen. Bei ihm ist eine Pencillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe und Rubor äußert. Vor 4 Monaten habe er ein neues Knie bekommen (rechts). In der Familienanamnese fand sich Asthma bei Vater und Bruder. Er lebt mit seiner Frau zusammen und hat zwei gesunde Töchter. Meine Verdachtsdiagnose lautet: COPD, vielleicht exazerbierte COPD. Differenzialdiagnostisch kommen Salbutamol-Abusus und Pneumonie in Betracht. Für meine Verdachtsdiagnose sprechen: Husten mit Sputum, Fieber und - wie heißt nochmal der Fachbegriff für Atemnot? Oberärztin: Dyspnoe Kandidatin: Ach ja, vielen Dank, also … und Dyspnoe. Dazu kommt Asthma als Vorerkrankung und die Lungenemphysem-Diagnose vor 3 Jahren. Zur Bestätigung dieser Verdachtsdiagnose brauche ich natürlich eine körperliche Untersuchung mit Auskultation und Palpation, ein EKG wegen der Hypoxiesymptome, um Herzprobleme ausschließen zu können, dazu Laborwerte, Entzündungszeichen und Leukozyten, ein Röntgen des Thorax - und, falls notwendig, ein CT. Eine Antibiotikum-Therapie wäre zu empfehlen, denn Herr Mayer war wegen dieser Symptome noch nicht beim Hausarzt und ich denke, dass deswegen eine symptomatische Behandlung nicht ausreicht. Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Vorstellung. Was könnte der Auslöser gewesen sein? Kandidatin: Ich denke, es könnte die Erkältung sein, mit Husten, den er seit 3 Tagen hat. Oberärztin: Was genau spricht für ein Lungenemphysem? Kandidatin: Die Anamnese, also die Vordiagnose. Und dass sein Brustkorb größer geworden ist. Oberärztin: Wie nennt man dieses Zeichen? '''Kandidatin''': Oh, das weiß ich nicht. '''Oberärztin''': Fassthorax. '''Kandidatin''': Dankeschön. Und dazu Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, mit dem Gefühl, dass Luft in der Lunge bleibt, er also nicht vollständig ausatmen kann. '''Oberärztin''': Ja genau, gut. Welche Risikofaktoren hat der Patient? '''Kandidatin''': Er ist starker Raucher, mit mehr als 30 pack years. '''Oberärztin''': Was spricht für eine akute exazerbierte COPD? '''Kandidatin''': Dafür spricht produktiver Husten, Fieber, Zyanose, Tachykardie. '''Oberärztin''': Und es liegt ein expiratorischer Stridor vor. '''Kandidatin''': Ah ja, er hat ein Pfeifen erwähnt. Das gibt es auch bei Asthma bronchiale. '''Oberärztin''': Mit welchen lebensbedrohlichen Komplikationen müssen Sie hier rechnen? '''Kandidatin''': Ich denke an eine Insuffizienz der rechten Herzkammer, denn die Lungenbeschwerden können zuerst zu einer Hypertrophie führen und danach zu einer Herzinsuffizienz. '''Oberärztin''': Ja, aber das tritt überwiegend bei chronisch erkrankten Patienten auf. '''Kandidatin''': Und in akuten Fällen kann es vielleicht zu akuter respiratorischer Insuffizienz führen, oder? '''Oberärztin''': Warum? '''Kandidatin''': Weil bei Exazerbation Auswurf besteht und dann können Patienten bei weiterer Verschlechterung kaum noch ausatmen, was auch zu einem Pneumothorax führen kann. '''Oberärztin''': Was genau führt zu einem Pneumothorax? '''Kandidatin''': Da bin ich mir nicht sicher, aber bei Vorliegen eines (exazerbierten?) Emphysems (das sich verschlechtert hat) ... , aber ich habe keine Erfahrung mit COPD-Patienten und kenne mich deswegen nicht so gut damit aus. '''Oberärztin''': Ok. Bei so einer Komplikation: Welche Untersuchung machen Sie zuerst? '''Kandidatin''': Ich mache zuerst eine Auskultation und höre dabei vermutlich keine respiratorischen Geräusche. '''Oberärztin''': Wie heißt das in Fachsprache? '''Kandidatin''': Totenstille. '''Oberärztin''': Gut. Was brauchen Sie in so einer Situation? '''Kandidatin''': Zur Bestätigung benötige ich ein Röntgen des Thorax. '''Oberärztin''': Was können Sie damit bestätigen? Was sehen Sie auf dem Röntgenbild? '''Kandidatin''': Ich denke: Einige Teile des Lungengewebes sind gar nicht zu sehen. '''Oberärztin''': Aber welche genau? Rechts, links, oben, unten …? '''Kandidatin''': Hm, das weiß ich nicht. Ich kann es jetzt nur vermuten. Erklären Sie es mir, bitte? '''Oberärztin''': Gern. Hier geht die Luft nach oben und die Lunge geht in die Mitte oder nach unten. Bei einem Hydrothorax hingegen befindet sich die Flüssigkeit unten und die Lunge bewegt sich nach oben. '''Kandidatin''': Ah, sehr interessant und logisch: Flüssigkeit ist schwerer und Luft leichter. '''Oberärztin''': Welche Erste Hilfe empfehlen Sie bei einem ausgedehnteren Pneumothorax? '''Kandidatin''': Vielleicht eine Thoraxdrainage? '''Oberärztin''': Ja, mit einem Nadelstich in den zweiten Interkostalraum, damit die Luft rauskommt. Ein risikoreicher Eingriff in einer lebensbedrohlichen Lage, um ein Menschenleben zu retten. '''Kandidatin''': So etwas wäre mir bestimmt zu riskant. '''Oberärztin''': Naja, wenn es sein muss, muss es eben sein. Vielen Dank für Ihre Patientenvorstellung. = Patientenvorstellung 4 = == Agnes Schulz == Kandidatin: Guten Tag, ich würde Ihnen gern eine neue Patientin vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja. Kandidatin: Unsere Patientin Agnes Schulz ist 48 Jahre alt, 160 Zentimeter groß und 63 Kilo schwer. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vortag bestehender, akuter, stechender Bauchschmerzen, die vom Nabel nach unten rechts gewandert seien. Paracetamoleinnahme habe keine Linderung gebracht. FS | Begleitend besteht Nausea sowie Obstipation mit dunkelgrauer Defäkation, ferner erhöhte Temperatur gestern Abend, 38,3° [Grad] Celsius, oral gemessen. <br /> PS | Zudem klagte sie über Übelkeit sowie Verstopfung mit dunkelgrauem Stuhl, ferner über Fiebergefühl, 38,3° [Grad] Celsius, im Mund gemessen. Die Frage nach Emesis, Nachtschweiß und kaltem Schweiß wurde verneint. Es sind keine Vorerkrankungen bekannt. FS | Vor 14 Jahren wurde sie aufgrund einer Tubargravidität operiert. <br /> PS | Sie sei vor 14 Jahren wegen einer Eileiterschwangerschaft operiert worden. Sie nehme regelmäßig Eisentabletten seit 3 Wochen, weil sie Veganerin ist. Sie sei Nichtraucherin seit ihrer ersten Schwangerschaft, davor 12 PY. <br /> Sie trinke keinen Alkohol, Drogenkontakt wurde verneint. <br /> Sie sei verheiratet, habe zwei gesunde Kinder und sie wohnen als Familie zusammen. Sie sei Buchhalterin von Beruf. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. | Aufgrund dieser anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf eine Appendizitis aus. <br /> | Meine Verdachtsdiagnose lautet auf Appendizitis. Oberärztin: Was spricht dafür? Kandidatin: Dafür sprechen Nausea und akute Schmerzen am McBurney-Punkt, Nausea und Fieber. Oberärztin: Welche Differenzialdiagnosen kommen denn in Betracht? Kandidatin: Als Differenzialdiagnosen kommen Morbus Crohn, Nephrolithiasis oder Urolithiasis sowie bei Frauen eine Tubargravidität in Betracht. Oberärztin: Ja, gibt es noch andere gynäkologische Erkrankungen, die solche Bauchschmerzen verursachen könnten? Kandidatin: Es könnte auch eine Ruptur der Ovarien sein. Oberärztin: Sehr gut. Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Kandidatin: Labordiagnostisch finden wir: Leukozytose sowie CRP höher als 10 Milligramm pro Liter und erhöhte BSG (Blutsenkungsgeschwindigkeit). Und ich würde ein Sonographie des Abdomens machen. Oberärztin: Was sehen wir denn in der Sonographie typischerweise, wenn es sich um eine Appendizitis handelt? Kandidatin: Ich erwarte einen vergrößerten Appendix vermiformis von mehr als 6 Millimetern Durchmesser und eine Wandstärke von mehr als 3 Millimetern. Oberärztin: Ja, ... Kandidatin: Auch die mesenterialen Lymphknoten sind vergrößert. Oberärztin: Nehmen wir mal an, Sie finden jetzt sonographisch die Appendix nicht, aber Sie entdecken freie Flüssigkeit. Was ist hier los? Kandidatin: Sie meinen: intestinale Flüssigkeit? Oberärztin: Ja, was für eine Flüssigkeit könnte das sein? Ich denke jetzt an eine Komplikation der Appendizitis. Kandidatin: Dann wäre es eine Peritonitis. Oberärztin: Und vor allem eine Ruptur. Kommen wir zum nächsten Punkt: Welche Behandlung würden Sie denn empfehlen, wenn Sie jetzt die Appendizitis bestätigen? Kandidatin: Dann wäre eine Appendektomie innerhalb von 24 Stunden anzuraten. Oberärztin: Ok, und könnten Sie ein bisschen was über so eine Operation sagen: Welche Möglichkeiten gibt es da? Kandidatin: Eine Laparoskopie hätte den Vorteil, dass man nur sehr kleine Schnitte benötigt, weswegen die Heilung schneller geht. Oberärztin: Meine letzte Frage ist: Kann man eine akute Appendizitis auch konservativ behandeln? Kandidatin: Wenn eine Patientin früh genug kommt, lässt sich eine Appendizitis mit Antibiotika und Analgetika behandeln. Oberärztin: Gut, dankeschön. Kandidatin: Ich danke Ihnen. = Patientenvorstellung 5 = == (Gisela Reuters) == === a. === Guten Tag usw., ["Guten Tag/ Hallo ... Wie war der Dienst?" -- "Es war viel los und ..."] wir haben eine neue Patientin (und ich würde Ihnen gern über sie berichten), hätten Sie kurz Zeit? [Ja, bitte berichten Sie mir.] Vielen Dank. Frau Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin, stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 1,5 Stunden (eineinhalb Stunden) bestehender, plötzlich aufgetretener, krampfartiger, stechender Abdominalschmerzen (NRS 8 von 10), ohne Ausstrahlung. Laut Patientin hat der Schmerz um den Nabel herum begonnen (also umbilikal), ist immer stärker geworden und aktuell im ganzen Bauch. Sie war zu Uhrzeit und Person voll orientiert. Die Schmerzintensität wird von der Patientin bei ungefähr 8 von 10 NRS eingeordnet. An Begleitsymptomatik fand sich Herzrasen und Ohrensausen seit circa 20 Minuten und Verstopfung sei dem Vortag. Die Patientin leide an Schlafstörungen und Schweißausbrüchen. An Vorerkrankungen und Voroperationen sind bei ihr bekannt: Arterielle Hypertonie seit 5 Jahren und Vorhofflimmern, behandelt mit Metoprolol und Marcumar. Sie nehme gelegentlich Aspirin. Sie sei 4 Mal operiert worden: Leistenbruch [FS??], Appendektomie, Ostheosynthese der linken oberen Extremität und Sectio Caesarea. Es besteht eine Penicillin-Allergie, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußert. In der Noxenanamnese fand sich: Raucherin seit 35 Jahren, 35 pack years, sie trinke 1-2 Bier täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Sie habe alle empfohlenen Impfungen. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. Die Patientin befindet sich in den Wechseljahren [im Klimakterium]. Die Reiseanamnese ist leer. Die Familienanamnese ergab arterielle Hypertonie und Diabetes mellitus bei der Mutter, einen Herzinfarkt beim Vater, an dem er verstorben ist. Sie treibt keinen Sport. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf einen Mesenterialinfarkt aus. Differenzialdiagnostisch sollte ein Ileus ausgeschlossen werden, ebenso eine Darmperforation. Wir sollten auch vasogene Ursachen ausschließen, zum Beispiel eine Aortendissektion oder andere Mesenterialthrombosen. === OA-Fragen === Was spricht für einen Mesenterialinfarkt? Könnten Sie bitte den Zusammenhang zwischen Vorhofflimmern und Mesenterialinfarkt erklären? Was passiert zwischen dem Vorhof und dem Mesenterium? Wo entsteht das Blutgerinnsel? Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Welche Blutwerte sind denn hilfreich für uns? Was erwarten Sie denn in der Gerinnung - bei einer Marcumar-Patientin? Wie verändert sich zum Beispiel der INR [International Normalised Ratio], wenn man Marcumar einnimmt? Mal angenommen, unsere Patientin hat einen Mesenterialinfarkt. Wie kann man das behandeln? = Patientenvorstellung 6 = == Tatjana Märker == Arzt: Hallo. Ich möchte Ihnen die Patientin Frau Märker vorstellen - wenn Sie kurz Zeit hätten? Oberarzt: Ja, habe ich. Arzt: Frau Märker ist zweiunddreißig Jahre alt, einundsiebzig Kilogramm schwer, hat Dr. Werner als Hausärztin. Sie stellte sich bei uns wegen seit etwa 12 Stunden bestehender Tachykardie und Palpitation vor, mit innerer Unruhe und Angst einhergehend. Sie berichtete von einem Flackern vor den Augen, weswegen ich gleich ein EKG durchgeführt habe, um mögliche Rhythmusstörungen auszuschließen. Oberarzt: An welche Rhythmusstörungen haben Sie gedacht? Arzt: Wegen der Ecstasyeinnahme der Patientin. Oberarzt: Ich will wissen, an welche Rhythmusstörungen Sie gedacht haben. Arzt: An eine aurikulare Fibrillation, Vorhofflimmern. Oberarzt: Ja. Was gibt es noch bei jüngeren Patienten? Arzt: Bei jüngeren Patienten? Oberarzt: Gibt es supraventrikulare Tachykardien? Arzt: Supraventrikulare Tachykardien und auch einen ventrikularen Block. Oberarzt: Gut. Bitte weiter. Arzt: Bei genauer Befragung berichtete sie, dass sie vorher keine Drogen genommen hat, außer gestern zwei Mal Ecstasy nacheinander. Oberarzt: Warum zwei nacheinander? Arzt: Sie habe zuerst nichts gefühlt, wollte aber das High-Sein erleben, was dann auch eintrat, aber mit Palpitation und Tachykardie, trockenem Mund und innerer Angst und Unruhe. Oberarzt: Wie sah die Ecstasy aus? Arzt: Es seien rosa Tabletten gewesen. Oberarzt: Ok. Welche Form? Arzt: Das habe ich leider nicht nachgefragt. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Zur Sozialanamnese: Sie hat zwei Kinder, eine dreijährige Tochter und einen eineinhalbjährigen Sohn. Oberarzt: Was haben die Kinder gemacht, während sie Ecstasy genommen hat? Also: Wo waren die Kinder da? Arzt: Die Mutter der Patientin hat sich um die Kinder gekümmert, während die Patientin mit ihrer Freundin feiern ging. Laut Patientin war es das erste Mal, dass sie Drogen ausprobiert hat. Sie lebt allein mit zwei Kindern, ist Bäckereifachverkäuferin von Beruf, aber seit viereinhalb Jahren erwerbslos. Ferner erwähnte sie einen stressigen Lebenskontext mit dem Vater der Kinder. Oberarzt: Was ist mit dem Mann? Sie hat „on off“ gesagt. Was heißt das denn? Arzt: „On off“ bedeutet: manchmal ok, manchmal Probleme. Ich habe es so verstanden, dass sie sich in einer toxischen Beziehung mit dem Mann befindet. Oberarzt: Genau. „On off“ heißt: Manchmal sind sie ein Paar, manchmal sind sie getrennt, immer im Wechsel. Arzt: Ja, toxisch. Oberarzt: Nun, das ist Ihre Beurteilung. Arzt: An Vorerkrankungen ist eine Hypothyreose bekannt, seit sie siebzehn Jahre alt ist. Und dagegen nimmt sie L-Thyroxin 15 µg. Und sie wurde einmal operiert, eine Schönheits-OP ihrer Nase, mit neunzehn. In der Familienanamnese fand sich Diabetes mellitus bei der Mutter, sie spritzt Insulin. Und Grauer Star beim Vater. Oberarzt: Was ist das? Arzt: Der Fachbegriff fällt mir gerade nicht ein, sorry. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Wie lautet der Fachbegriff? Oberarzt: Katarakt. Arzt: Ach ja, danke. Sie ist Einzelkind, hat also keine Geschwister. Sie ist allergisch gegen Nüsse. Sie ist vollständig geimpft, auch ein Mal gegen Covid-19. In der Noxenanamnese ergab sich ein Nikotinkonsum von zwei bis drei Zigaretten bei Gelegenheit sowie Alkoholkonsum, aber sie trinke nicht jedes Wochenende. Drogenkonsum wurde verneint – bis auf dieses Mal. Ich gehe von einer Metamphethamin-Intoxikation aus. Differentialdiagnostisch ist eine Rhythmusstörung auszuschließen. Basisdiagnostisch mache ich eine körperliche Untersuchung, eine Blutabnahme, eine Überprüfung von Elektrolyten und Blutgasen, um zu sehen, ob eine Azidose besteht oder nicht. Sie hat auch viel geschwitzt. Oberarzt: Können wir denn auch diesen Ecstasykonsum verifizieren? Arzt: Ja, mittels einer toxikologischen Blutabnahme vielleicht? Oberarzt: Gibt es noch andere Möglichkeiten? Arzt: Im Urin? Oberarzt: Ja, Genau. Arzt: Was noch? Eine Infusiontherapie, um den Mangel an Elektrolyten und Flüssigkeit auszugleichen. Man könnte auch eine Magenspülung machen. Aber in diesem Fall ist es noch nicht notwendig. Oberarzt: Wie ist denn die Prognose? Arzt: Ja, die Prognose ist gut, denke ich. Die Patientin hat ein bisschen übertrieben wegen der Angst und weil sie es zum ersten Mal ausprobiert hat. Oberarzt: Wie kann man denn Patienten behandeln, die sehr agitiert sind, sehr unruhig, sehr ängstlich. Kennen Sie Medikamente, die stark, beruhigend und angstlösend wirken? Arzt: Benzodiazepine? Oberarzt: Ja. Sehr gut. Vielen Dank. Arzt: Ganz meinerseits. [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] == (Gisela Reuters) == === b. === Hallo, schönen guten Tag, Frau Oberärztin, ich habe eine neue Patientin und würde ihren Fall gern mit Ihnen besprechen. Hätten Sie kurz Zeit? ''Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los.'' Es geht um Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund vor 1,5 Stunden plötzlich aufgetretener, umbilikaler, progredienter, postprandialer Schmerzen, ohne Linderung nach Ibuprofeneinnahme. Sie habe vor 10 Tagen schon einmal ähnliche Beschwerden gehabt. Begleitend fand sich: Obstipation seit 3 Tagen, Meteorismus, Völlegefühl, Hyperhidrose, Tachykardie und Tinnitus. Die vegetative Anamnese ist unauffällig, bis auf Inappetenz und stressbedingte Insomnie. Sie sei in den Wechseljahren. Es sei eine Penicillin-Allergie bekannt, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußern würde. Sie hat Vorhofflimmern seit 5 Jahren und vor 20 Jahren hatte sie einen Ikterus nach einer Marokkoreise. An Medikamenten nehme sie: Metoprolol und Marcumar regelmäßig sowie ACC bei Bedarf. Bei der Patientin wurde mit 14 Jahren eine Appendektomie durchgeführt. Sie hatte auch eine Inguinalhernie und eine Fußknochenfraktur wegen eines Fahrradunfalls. Sie rauche 20 Zigaretten pro Tag seit 20 Jahren und trinke 1-2 Flaschen Bier am Wochenende. Die Familienanamnese ergab Folgendes: Die Mutter leide an arterieller Hypertonie und Diabetes mellitus, der Vater sei mit 58 Jahren an einem Herzinfarkt gestorben. Eine ihrer Schwestern sei bei einem Sportunfall ums Leben gekommen, die andere habe eine Nierenerkrankung. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf einem Mesenterialinfarkt hin. An Differenzialdiagnosen kommen folgende in Betracht: eine Appendizitis, vielleicht eine Cholezystitis. Zur weiteren Abklärung führe ich folgende Maßnahmen durch: eine körperliche Untersuchung, Blutabnahme, Blutbild (Koagulationswerte), Abdomen Angiographie mit Kontrastmittel. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: Koagulationskorrektur, Thrombektomie, ein kardiologisches Konsil - ja, was war alles. ''Oberärztin: Vielen Dank. Welche Risikofaktoren hat diese Patientin?'' Als Risikofaktoren kommen folgende in Betracht: Vorhofflimmern, arterielle Hypertonie in der Vorgeschichte der Patientin, dazu Adipositas. Es könnte auch eine Hyperlipidämie sein. Auch hormonelle Veränderungen aufgrund der Menopause könnten bei der Gerinnung eine Rolle spielen. ''Oberärztin: Welche Komplikationen können hier auftreten?'' Die Patientin hat schon seit 3 Tagen Obstipation, daher ist an einen Ileus zu denken, und bei der körperlichen Untersuchung können wir dumpfe Bauchgeräusche hören. ''Oberärztin: Was wäre im Verlauf die schlimmste Komplikation?'' Es könnte einen Apoplex auslösen. ''Oberärztin: Aha, Sie denken an das Neuro-System. Und im System Gastro?'' Eine Darmnekrose, die zu einer Peritonitis mit Sepsis führen könnte. ''Oberärztin: Was würden Sie der Patientin zur Prophylaxe geben?'' Antibiotika. ''Oberärztin: Welche weiteren Maßnahmen würden Sie durchführen?'' Ich würde eine regelmäßige INR-Bestimmung machen, um die Koagulationswerte im Auge zu behalten. ''Oberärztin: Und was wäre hier die wichtigste Therapieform?'' Eine Thrombektomie, also ein chirurgischer Eingriff. ''Oberärztin: Wie ist die Prognose, nicht nur für diese Patientin, sondern generell?'' Es hängt von rechtzeitiger Therapie ab. Bei sofortiger Behandlung ist die Prognose günstiger. Bei späterem Behandlungsbeginn treten häufig Komplikationen auf, was oft zu einer ungünstigen Prognose führt, weil die Letalität steigt. ''Oberärztin: Aber warum steigt dann die Letalität?'' Weil solche Komplikationen einen Apoplex im Gehirn verursachen können. ''Oberärztin: Warum im Gehirn?'' Bei unserer Patientin besteht das Problem in den Arterien, denn sie hat seit 5 Jahren Vorhofflimmern. Es könnte deshalb sein, dass eine periphere Ischämie auftritt und ein Thrombus ins Gehirn gelangt. ''Oberärztin: Warum besteht bei dieser Erkrankung ein so hohes Risiko?'' Falls es sich um nicht eingestelltes Vorhofflimmern handelt, treten häufig Komplikationen auf, zum Beispiel eine Embolie. ''Oberärztin: Ich sehe noch ein anderes Problem: Hier könnte ein verstecktes Bauchproblem bestehen, sie nannten schon die Angiographie. Aber in der Klinik ist die Zeit knapp, weshalb wir nicht erst alle Probleme im Bauch ausschließen können. Also bekommen Patienten zuerst eine explorative Laparoskopie, um möglichst schnell den Auslöser zu identifizieren.'' Im aktuellen Fall denke ich, dass eher ein CT mit Kontrastmittel geeignet ist. ''Oberärztin: Nach einer Laparoskopie. Und die häufigste Therapie ist dann die Entfernung des betroffenen Teils des Darms, um mögliche Komplikationen zu vermeiden. Kommen wir nochmal zurück zur körperlichen Untersuchung: Was erwarten Sie bei der Auskultation?'' Ich erwarte fehlende oder weniger starke Bauchgeräusche, wegen des Ileus. ''Oberärztin: Und bei der Perkussion?'' Da rechne ich mit Abwehrspannung und mit Loslassschmerz. Und bei einer Perforation als Komplikation sehen wir Luft im Bauchfell. ''Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Ausführungen.'' Vielen Dank. = Patientenvorstellung 7 = == Frank Boppes == (ohne OA-Fragen) Arzt: Guten Tag, Frau Oberärztin. Oberärztin: Hallo. Arzt: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja, natürlich, bitteschön. Arzt: Es handelt sich um Herrn Frank Boppes, einen 67-jährigen Patienten, geboren am 23.11.1958, einen Meter fünfundachtzig groß [1,85 m], 90 Kilo schwer. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 6 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter Dysurie. Darüber hinaus klagte er über Unterbauchschmerzen ohne Ausstrahlung. Die Schmerzintensität wurde mit 7 von 10 bewertet. Begleitend liegt Hämaturie vor. Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Nachtschweiß sowie Gewichtsabnahme (8 kg innerhalb von 6 Monaten). An Vorerkrankungen fand sich ein Reizdarmsyndrom seit 15 Jahren, COPD seit 20 Jahren und Prostatahyperplasie seit 4 Jahren. Gegen COPD nimmt er ggf. ein Kortikosteroidspray. Beim Patienten wurde vor zwei Jahren wegen eines Tumors im Rückenbereich eine Operation durchgeführt, die laut Patient komplikationslos war. Familienanamnestisch relevant ist ein Kolonkarzinom beim Vater, mit 65 Jahren daran verstorben. Allergien sind keine bekannt und es besteht eine Milchprodukteunverträglichkeit (Laktoseintoleranz), Nikotinabusus (100 PY). Er trinke ein Glas Rotwein täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Er sei verheiratet und wohne mit seiner Frau zusammen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Prostatakarzinom. <br /> Differenzialdiagnostisch kommen eine benigne Prostatahyperplasie, Harnwegsentzündung, z.B. eine Pyelonephritis, Zystitis. <br /> Basisdiagnostisch würde ich eine körperliche Untersuchung durchführen, Vitalparameter messen und den Patienten inspizieren, palpieren und auskultieren. Die Palpation ist in diesem Fall entscheidend. Zur weiteren Abklärung würde ich Blut abnehmen, um Entzündungswerte zu bestimmen. Im nächsten Schritt würde ich die apparative Diagnostik einsetzen, eine Abdomenspiegelung machen und ein CT. Ah, und für die körperliche Untersuchung ist auch eine digital-rektale Untersuchung notwendig. = Patientenvorstellung 8 = == Ralf Merklinger == mit Dank an I.K. Ärztin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Ärztin: Ich möchte Ihnen einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja natürlich, bitteschön. Ärztin: Es handelt sich um Herrn Ralf Merklinger, 48 Jahre alt. Er stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, anfallsartig auftretender Tachykardie und Palpitation. Zudem berichtete der Patient, dass diese Anfälle einmal pro Tag auftreten und ungefähr 15 Minuten dauern. Sie würden sich spontan zurückbilden. Nach Angaben des Patienten hilft Ablenkung. Begleitend bestehen inspiratorische Dyspnoe, Vertigo, Angstgefühl, Diaphorese und Kontrollverlust. Er berichtete von Angst vor den nächsten Anfällen. Zudem klagte er über Konzentrationsstörungen. Bei ihm liegt auch ein Schuldgefühl und eine depressive Verstimmung vor. Die Frage nach Thoraxschmerzen, nach ähnlichen vorherigen Beschwerden, Suizidgedanken, Derealisation und Depersonalisation wurden verneint. In der vegetativen Anamnese zeigten sich nächtliche Hyperhidrose und beschwerdebedingte Insomnie in Form von Einschlafstörungen. In der Vorgeschichte fand sich Hypothyreose, mit L-Thyroxin 100 mcg behandelt. Es besteht ferner Bruxismus seit 20 Jahren, weswegen er nachts eine Schiene trägt. Zudem habe er sich mit 22 Jahren eine Tibiafraktur links zugezogen, die operativ behandelt wurde. Erwähnenswert ist, dass er vor einer Woche einen Autounfall erlitten hat, dabei wurde seine Frau verletzt. Sie ist aktuell in einer Klinik und er macht sich Gedanken, ob er sie heute auch wieder besuchen kann, denn er macht sich Vorwürfe und hat Schuldgefühle. Oberärztin: Aha, daher kommen die Schuldgefühle! Was haben Sie dem Patienten empfohlen, bezüglich der Schuldgefühle? Ärztin: Ich habe psychologische Hilfe angeboten und habe versucht, ihm zu erklären, dass ihn keine Schuld trifft und dass es manchmal nicht von einem selbst abhängt, was passiert ist. Ich habe ihm auch empfohlen, offen mit seiner Frau zu sprechen. Oberärztin: Warum haben Sie es ihm angeboten? Ärztin: Er hatte mich danach gefragt, ob er es seiner Frau sagen soll, dass er selbst jetzt auch ärztliche Hilfe benötigt und er sie deshalb wahrscheinlich heute nicht besuchen kann. Denn meiner Meinung nach ist es immer besser, ehrlich zu sein und nichts zu verheimlichen. Oberärztin: Würden Sie den Patienten stationär aufnehmen? Ärztin: Ja, denn es sollte zuerst alles abgeklärt werden. Auch organische Ursachen müssen ausgeschlossen werden, etwa eine koronare Herzkrankheit. Deshalb habe ich gezielt nach Thoraxschmerzen gefragt und danach, ob sie in Ruhe oder bei Belastung auftreten und ob er so etwas schon einmal hatte. Oberärztin: Ja, ok. Welche Laborwerte würden Sie anordnen? Ärztin: Bei diesem Fall beginne ich mit hochsensitivem Troponin-T und I, um einen Myokardinfarkt auszuschließen. Zudem überprüfe ich weitere Parameter, wie D-Dimere, um eine Lungenembolie auszuschließen und weitere Parameter wie Nierenwerte, Entzündungsparameter, für die Einschätzung des Allgemeinzustands. Oberärztin: Welche Rolle spielen die Informationen aus der Medikamentenanamnese? Ärztin: Ah ja, es ist wichtig, auch TSH und freie T4 und freie T3 zu bestimmen, da eine Überdosierung von L-Thyroxin die Ursache sein könnte. Also sollten auch die Schilddrüsenhormone bestimmt werden. Oberärztin: Gut. Welche Therapie würden Sie vorschlagen? Ärztin: Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, würde ich zuerst ein psychologisches bzw. ein psychiatrisches Konsil anraten. Hier kommt eine kognitive Verhaltenstherapie in Frage, um Denkmuster zu erkennen, sie zu bearbeiten und zu verändern. Falls nötig, kann auch eine Antidepressiva-Therapie eingesetzt werden. Zuerst müssen wir dem Patienten einen Fragebogen anbieten und dann sehen wir, ob es auch um eine Depression geht. Oberärztin: Wie kommen Sie auf Depression? Ärztin: Depressionen können auftreten, wenn ein Patient ein traumatisches Erlebnis hatte. Und er hat Schuldgefühle. Und seiner Frau sei eine depressive Stimmung an ihm aufgefallen. Deshalb müssen wir das ernst nehmen. Oberärztin: Vielen Dank, dann verfahren Sie bitte so. [[Anamneseberichte/Ralf_Merklinger_48_J|Anamnesebericht dazu]] = Patientenvorstellung 9 = [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] == Sina Gowitz == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) Ä: Ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben aufgenommen habe. Es geht um eine zweiundzwanzigjährige Patientin, sie heißt Sina Gowitz, geboren am vierzehnten Vierten zweitausendzwei [14.4.2002], relativ groß, eins fünfundachtzig, und achtzig Kilo schwer. Die Patientin stellte sich eigenständig bei uns vor mit starken Bauchschmerzen, vor allem im rechten Unterbauch lokalisiert. Anfangs seien die Schmerzen aber eher so in der Mitte gewesen, also im Epigastrium. Außerdem habe sie Fieber und Durchfall, wobei sie angab, dass sie beides auch schon vor zwei Wochen mal gehabt habe und zwischenzeitlich symptomfrei gewesen sei. Außerdem habe sie vor zwei Wochen einen eitrigen vaginalen Ausfluss gehabt, der auch behandelt worden sei. Der Zyklus sei generell unregelmäßig bei ihr. Sie gab an, dass es nicht möglich sei, dass sie schwanger wäre, denn sie habe keinen Geschlechtsverkehr. Die Schmerzintensität bewertete die Patientin mit initial acht von zehn. Nach Medikation mit Novalgin intravenös war das dann noch bei sechs von zehn. An Vorerkrankungen sind so unspezifische Abdominalsymptome bekannt. Es sei laut Hausärztin fraglich, ob das vielleicht ein Reizdarmsyndrom sei. Es wurde aber wohl keine Koloskopie bislang durchgeführt. Außerdem hat die Patientin Asthma und hatte mal eine Urolithiasis mit achtzehn. Sie hat sich auch mal eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ versorgt wurde, das Osteosynthesematerial sei noch einliegend. Und bei ihr wurde eine Tonsillektomie durchgeführt. Wann, weiß ich leider nicht genau, denn dazu machte die Patientin keine Angaben. Medikation nimmt die Patientin nur bei Bedarf. Zum einen Atrovent Spray gegen das Asthma und Duspatal Tabletten gegen die Verstopfung. Unsere Patientin ist Studentin, studiert Physik, lebt in einer Sechser-WG, in der ansonsten niemand ähnliche Beschwerden habe. Sie spielt Basketball und war vor Kurzem in Belgien. Das ist aber, denke ich, nicht besonders relevant. Der Impfstatus sei vollständig. Sie hat vor allem FSME im März aufgefrischt. Zur Familienanamnese ist bei der Mutter eine Herzinsuffizienz bekannt. Auch der Bruder hat wohl eine Herzerkrankung, die sie nicht näher benennen konnte. Beim Vater ist Morbus Bechterew bekannt und auch beim Großvater väterlicherseits. Zu den Noxen: Die Patientin ist Nichtraucherin, sie trinkt gelegentlich Alkohol, im Sommer häufiger mal, und sie hat einmalig Cannabis ausprobiert. An Allergien ist eine Amoxicillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe äußert, und sie vertrage einige Früchte nicht, zum Beispiel Äpfel, Kiwi und Ananas. Es fragt sich, ob es sich hier um eine Allergie handelt. Aufgrund der anamnestischen Angaben und auch der wirklich starken Abdominalschmerzen gehe ich aktuell von einer Appendizitis aus. Differentialdiagnostisch müssen wir auch an eine gynäkologische Erkrankung denken, zum Beispiel an eine Adnexitis, eine obturierte Ovarialzyste oder eine, ja, vielleicht sexuell übertragbare Erkrankung. Es könnte auch eine akute Gastroenteritis sein. Als Diagnostik empfehle ich natürlich eine ausführliche körperliche Untersuchung, wobei wir auf die Appendizitiszeichen achten, dann eine Sonografie des Abdomens. Hier suchen wir nach einem sogenannten Kokardenphänomen im rechten Unterbauch. Zu den Laborwerten: Bei einer Appendizitis erwarte ich eine Leukozytose, ein erhöhtes CAP, eine erhöhte BSG und eventuell auch erhöhtes Procalcitonin. Falls der sonographische Befund unklar ist, könnte man auch ein CT Abdomen erwägen. Und wenn ja, wenn wir Hinweise auf eine akute Appendizitis haben, würden wir in jedem Fall, denk ich, eine operative Behandlung empfehlen, also eine laparoskopische Appendektomie. Hätten Sie dazu noch Fragen? OÄ: Könnten Sie bitte diese spezifischen ultrasonographischen Befunde erklären? Was ist ein Kokardenphänomen genau? Ä: Das Kokardenphänomen? Ja, also dieser Wurmfortsatz am Zirkum stellt sich bei einer akuten Appendizitis verdickt dar. Wir sehen deutlich die Wand der Appendix und häufig auch ein Begleitödem. Und wenn wir das sonographisch feststellen können, dann ist das ein deutlicher Hinweis auf eine Appendizitis. Manchmal sehen wir auch begleitend eine Lymphadenopathie, also eine abdominelle Lymphadenopathie, das ist auch ganz typisch, glaube ich. OÄ: Ist ein Appendix generell im Ultraschall zu sehen? Ä: Nein, eigentlich nicht, das heißt, wenn wir die Appendix sehen, dann ist das schon ein Hinweis auf eine Appendizitis. OÄ: Ja. Soweit mal, vielen Dank. = Patientenvorstellung 10a = (nur der Anfang) Herr Weiß, 34 Jahre alt, 186 cm groß, 78 kg schwer, wurde heute aufgrund eines Inlineskatingunfalls von seiner Freundin eingeliefert. Der Unfall fand vor 4 Stunden in einem Wohngebiet statt, als er mit seinen Inlineskatern in hohem Tempo mit einem entgegenkommenden Fahrrad(fahrer) zusammenstieß, woraufhin er nach links auf einen Fahrradständer stürzte, wonach er sich mit der linken Hand am Boden abzustützen versuchte. Laut Patient bestehen seit 2 Stunden Kopfschmerzen (Cephalgie/ Cervikalgie (?)), hypochondrische und lumbale Abdominalschmerzen links sowie Schmerzen im linken Handgelenk. Die Abdominalschmerzen wurden (auf einer Schmerzskala) im Bauch mit 6 von 10 beziffert und mit 8 von 10 im Arm und Nacken.  Darüber hinaus klagt er über starke Müdigkeit, Schwindel und Nausea.  Die Frage nach Bewusstlosigkeit und Sehstörungen wurde verneint.  Er ist Bahnelektrotechniker von Beruf, lebt mit seiner Freundin zusammen und hat keine Kinder. Die Familienanamnese ergab aHT bei der Mutter, ein Larynxkarzinom mit 65 beim Vater (operiert), in Remission, und Asthma beim Zwillingsbruder.  Die Frage nach Vorerkrankungen ergab [+ Akk.]: Mononukleose mit 12, eine mit 24 diagnostizierte Migräne und einen idiopathischer Hörsturz mit 29.  Die Noxenanamnese war unauffällig ebenso wie die Reiseanamnese.  Bei Herrn Weiß ist eine Allergie gegen Amoxicillin bekannt.  Er ist vollständig geimpft. ... Ä: Ich habe zu danken. * [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_10b|vollständige PatV dazu]] = Patientenvorstellung 10b = Es handelt sich um Alexander Weiß, einen 34-jährigen Patienten, 186 cm groß, 78 kg. Der Patient war nach einem Unfall von seiner Freundin in der Notaufnahme eingeliefert worden. Der AZ ist reduziert wegen der starken Schmerzen. Er ist bei vollem Bewusstsein. Laut Patient hat er vor 4 Stunden bei einem Supermarkt einen Unfall gehabt. Er sei mit Inlineskatern unterwegs gewesen und plötzlich mit einem entgegenkommenden Fahrradfahrer zusammengestoßen. Infolge des Zusammenstoßes sei er nach links auf einen Fahrradständer gefallen und habe sich am Boden mit der linken Hand abgestützt. Bewusstlosigkeit wurde verneint.  Vor 2 Stunden seien zunehmende Bauchschmerzen, Nackenschmerzen und Schmerzen in der linken Hand aufgetreten.  Die Schmerzintensität liegt laut Patientin im Bauch bei 6, im Nacken bei 8, in der Hand bei 8 von 10. Die Schmerzen verstärken sich beim Einatmen. Außerdem klagt er über blaue Flecken (Zyanose) auf dem Bauch (Bauchdecke) und Schwellung, Zyanose und mangelnde Bewegungsfähigkeit (Dysfunktion) der linken Hand. Ihm sei (es) übel und schwindelig. Darüber hinaus wies er darauf hin, (beim Wasserlassen) rötlichen Urin zu haben. Nach Angaben des Patienten nimmt er keine Medikamente regelmäßig ein, aber Paracetamol bei Migräne b.B.  Es liegen keine Operationen vor. Mit 12 habe er "Pfeiffersches Drüsenfieber" (Mononukleose) und mit 29 einen Hörsturz gehabt. Vor 7 Tagen hatte er eine Konjunktivitis rechts (Kortisonsalbe).   Er sei gegen Amoxicillin allergisch (Luftnot) und vertrage keinen Milchzucker (Blähungen, Durchfall), weswegen er sich vegan ernähre (ergänzend Eisentabletten).  Der Patient sei verheiratet und lebe mit seiner Frau zusammen. Er habe keine Kinder. Er arbeitet als Elektrotechniker bei der DB. Die Familienanamnese ergab Asthma beim Bruder und Kehlkopfkrebs beim Vater (in Remission) sowie aHT bei der Mutter. Der Impfstatus ist vollständig. Rauchen, Alkoholkonsum und Kontakt mit Drogen wurde(n) verneint. Die Reiseanamnese ist leer. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf Nierenruptur links, Milzruptur, Kompressionsfraktur der Halswirbel und Fraktur der Knochen der linken Hand (Handgelenkfraktur links ?) aus. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, wäre Folgendes anzuraten: 1.      Labor (BB cito) <br /> 2.      Blutdruckkontrolle <br /> 3.      Kontrolle des Aderschlags (Puls?) <br /> 4.      US des Bauch (cito) <br /> 5.      Röntgen Hand links <br /> 6.      CT  der Halswirbelsäule und des Kopfes <br /> 7.      CT i.v. Urogrophie bei Verdacht auf Nierenruptur nach der US. <br /> Als Therapie empfehle ich: <br /> 1.      Kochsalzlösung 500 ml i.v. <br /> 2.      Bluttransfusion b.B. <br /> 3.      Analgesie – Novalgin 500 mg i.v. <br /> 4.      OP bei Indikation. <br /> * [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_10a|unvollständige PatV dazu]] 28lsiyqh5oo5c2ity1oei0ge5guqxwt 1093914 1093913 2026-06-12T11:19:35Z C.Koltzenburg 13981 /* Patientenvorstellungen */ 1093914 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Patientenvorstellungen == '''[[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle mit Beispielformulierungen für Ihren 1. Satz]]''' * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 15 '''PatV 15''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 14 '''PatV 14''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 13 '''PatV 13''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 12 '''PatV 12''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 11 '''PatV 11''']] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 10a|'''PatV 10a''' (nur der Anfang)]] / bzw. [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 10b|'''PatV 10b''' (vollständig)]] Alexander Weiss, 34 J. (VD Nierenruptur links, Milzruptur, Kompressionsfraktur der Halswirbel und Fraktur der Knochen der linken Hand) -- [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 9|'''PatV 9''': Sina Gowitz, 22 J.]] (VD Appendizitis) -- [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 8|'''PatV 8''': Ralf Merklinger, 48 J.]] (VD Panikattacke) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 7|'''PatV 7''': Frank Boppes, 67 J.]] (VD Prostatakarzinom) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 6|'''PatV 6''': Tatjana Märker, 32 J.]] (VD Intoxikation) -- [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 5|'''PatV 5 a.''' (+ b. to do): Gisela Reuters, 58 J.]] (VD Mesenterialinfarkt) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 4|'''PatV 4''': Agnes Schulz, 48 J.]] (VD Appendizitis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 3|'''PatV 3''': Sebastian Mayer, 66 J.]] (VD exazerbierte COPD) -- [[Anamnesegespräche#Fall_13|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 2|'''PatV 2''': Sabine Nelius, 63 J.]] (VD Pyelonephritis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 1|'''PatV 1''': Magda Wienhäuser, 46 J.]] (VD Panikattacke) = Patientenvorstellung 1 = == Magda Wienhäuser, 46 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde Ihnen gern die Patientin Magda Wienhäuser vorstellen. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja, bitte legen Sie los."'' "Magda Wienhäuser ist 46 Jahre alt, sie ist am 01.06.1976 ("ersten sechsten sechsundsiebzig) geboren, [161 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einen Meter einundsechzig groß und wiegt [68 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtundsechzig Kilo. Die Patientin stellte sich heute Morgen um halb acht in der Notaufnahme vor, nachdem sie mit dem Auto zur Arbeit fahren wollte und, im Auto sitzend, verschiedene, sehr stark ausgeprägte Symptome bemerkte, nämlich: Tachykardie, Kaltschweißigkeit, Todesangst, Dyspnoe, das Gefühl, sich nicht mehr bewegen zu können. Außerdem berichtete sie von Kribbeln in den Händen und Ohrensausen. Ferner gab sie an, ihr sei übel gewesen. Erbrochen habe sie aber nicht. Nach Angaben der Patientin hat sie ungefähr 15 Minuten im Auto gesessen und ist dann mit großer Mühe in die Klinik gefahren, um sich bei uns vorzustellen. Aus der Vorgeschichte ist bekannt: <br /> * eine rheumatoide Arthritis seit der zweiten Schwangerschaft, also seit 14 Jahren. Diese rheumatoide Arthritis wird mit Diclofenac zwei Mal täglich behandelt. * Außerdem eine Migräne mit Aura seit der Jugend. Die Patientin nimmt bei Bedarf Sumatriptan und Ibuprofen. * Ein Bandscheibenvorfall, also Diskusprolaps, mit 42 Jahren, der konservativ behandelt wurde. An Operationen nannte die Patientin eine Myomentfernung in 2021 und eine Mammareduktion mit 20 Jahren. Unsere Patientin ist Nichtraucherin, hat auch nie geraucht, sie trinke ab und zu Alkohol, insbesondere Aperol Spritz, ungefähr einmal im Monat, und sie gab an, in der Jugend einmal Amphetamine genommen zu haben. Zur gynäkologischen Anamnese: Sie hat ungefähr alle zwei bis drei Monate ihre Mensis, zuletzt vor zwei Wochen. Die Patientin nannte eine Allergie gegen Haselnüsse, was sich mit Dyspnö und Exanthem äußert, außerdem hat sie eine Glutenintoleranz, also es liegt vermutlich eine Zöliakie vor. Zur Familenanamnese: Der Vater der Patientin verstarb mit 47 an einem Hodenkarzinom, die Mutter ist 72 Jahre alt, leidet an leichter Demenz und lebt in einem Pflegeheim. Bei der Schwester ist eine Alopecia areata bekannt und der jüngere Bruder der Patientin ist aufgrund eines angeborenen Herzfehlers bereits verstorben, mit Anfang 30. Unsere Patientin ist Fleischerei-Fachverkäuferin bei Edeka, sie ist seit fünf Jahren geschieden. Sie ist alleinerziehend mit drei Kindern, 15, 14 und 9, wobei der jüngste Sohn im Alter von vier Jahren Leukämie hatte. Das sei eine schwierige Zeit gewesen und hier sei es auch zur Trennung vom Partner gekommen. Der Ex-Mann unserer Patientin ist Polizist und laut Frau Wienhäuser gibt es immer wieder Probleme zwischen den beiden, wo es dann um den Umgang der Kinder geht. Die Patientin hat seit zwei Jahren einen neuen Freund, der ebenfalls Mitarbeiter bei Edeka ist. Die Patientin treibt Sport, sie geht zum Zumba. Ich denke, das waren die wichtigsten Informationen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Panikattacke. Natürlich muss ich, wenn ich diese Diagnose vermute, erstmal alle somatischen Erkrankungen ausschließen, unter anderem einen Myokardinfarkt, eine Refluxösophagitis, einen Magenulkus, eine Lungenembolie. Zu den Untersuchungen: Die Patientin muss natürlich ausführlich körperlich untersucht werden, vor allem Herz und Lungen müssen auskultiert werden. Ich benötige eine Messung der Vitalparameter, selbstverständlich, dann ist eine Blutuntersuchung notwendig. Wir würden hier vor allem die Herzenzyme, die Entzündungsparameter und eine BGA bestimmen. Außerdem schreiben wir ein EKG und wir könnten gegebenenfalls auch ein Herz-Echo oder eine Sonografie des Abdomens durchführen, wobei in der Regel ja schon die ersten Befunde in etwa die Richtung anzeigen, in die es weitergeht. Wenn wir tatsächlich in den Befunden nichts Pathologisches feststellen, dann würden wir erstmal von einer Panikattacke ausgehen. Die Panikattacke hört normalerweise von selbst wieder auf. Bei ausgeprägter Hyperventilation sollte man der Patientin eine Tüte geben, so dass sie in die Tüte atmet. Manchmal ist eine beruhigende Medikation erforderlich, zum Beispiel mit Benzodiazepin, wobei man da sehr gut aufpassen muss, weil das zu Abhängigkeit führen kann. Die Patientin sollte aufgeklärt werden über diese Erkrankung und auch darüber, dass es häufig zu rezidivierenden Panikattacken kommt, aber dass es sozusagen nichts Schlimmes ist. Falls es immer wieder zu Panikattacken kommt, kann die Patientin auch verhaltenstherapeutisch behandelt werden, wobei hier in den meisten Fällen eine ambulante Therapie ausreicht. Das wäre alles meinerseits." ''"Welche Laborwerte würden Sie anordnen?"'' "Ah, welche genau? Also: die Herzenzyme, also Troponin T [teh] und CK-MB [zeh kah emm beh], LDH [ell deh hah] und natürlich ein Blutbild, in der Regel ein großes Blutbild, um einen guten Überblick zu erhalten, Entzündungswerte neben den Leukozyten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh]. In der BGA achte ich darauf, wie Sauerstoff und Co2 [zeh oh zwei] verteilt sind, ob es bereits eine Azidose gibt. Das wären die wichtigsten Werte, denke ich." ''"Würden Sie thyreoide Hormone anordnen?"'' "Ah, Schilddrüsenhormone, ja. Ich würde auf jeden Fall das TSH [teh ess hah] bestimmen, um einen ersten Eindruck zu bekommen. Schon bei der körperlichen Untersuchung würde ich auf den Halsbereich achten, also ob da vielleicht schon einen Vergrößerung der Schilddrüse zu sehen oder zu spüren ist." ''"Vielen Dank. Dann verfahren Sie mit Ihrer Patientin bitte so."'' = Patientenvorstellung 2 = == Sabine Nelius, 63 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja."'' "Es geht um Sabine Nelius, eine 63-jährige [dreiundsechzigjährige] Patientin, geboren am 02.01.1961 [am zweiten Januar einundsechzig], [171 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einseinundsiebzig groß und [61 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] 61 Kilo schwer. Die Patientin stellte sich bei uns vor wegen starker, linksseitiger Flankenschmerzen. Die Schmerzen habe sie seit drei Tagen und sie würden stärker, also sind progredient, von der Qualität her ziehend, teilweise klopfend, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. Sie gab an, seit gestern auch Fieber zu haben, knapp über [38° C <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtunddreißig Grad Celsius, Schüttelfrost, Schwindel, ihr sei übel, sie habe leichten Durchfall gehabt. Darüber hinaus müsse sie häufig Wasser lassen, dabei würde der Urin nicht einfach kommen und es würde sogar brennen, also dysurische Beschwerden. Der Urin sei rötlich. Die Patienen glaubt selbst, es sei Blut. Sie klagt über ein allgemeines Krankheitsgefühl und Herzrasen. Die Schmerzen würden vor allem durch Bewegung, durch Gehen, verstärkt und in Ruhe seien die Schmerzen etwas besser auszuhalten. Die Patientin hat einige Vorerkrankungen, unter anderem hatte sie 2018 einen Myokardinfarkt, sie hat eine Psoriasis seit 6 Jahren und vor 7 Jahren wurde ihr aufgrund einer Perforation im Sigma ein Teil des Sigmas entfernt. An Operationen ist außerdem eine Tonsillektomie, 1972, bekannt. Die Medikation besteht aus ASS 100 mg einmal morgens und Citalopram 75 mg einmal morgens. In der Sozialanamnese gab die Patientin an, dass ihre Tochter im Alter von 30 [dreißig] Jahren bei einem Autounfall verunglückt sei. Die Patientin selbst lebe mit ihrem gehbehinderten Ehemann zusammen und ist seit einem halben Jahr in Rente. Vorher hat sie als Frisörin gearbeitet. In der Familienanamnese ist beim Vater ein Diabetes mellitus Typ 2 bekannt, er ist 91 Jahre alt und lebt in einem Pflegeheim. Die Mutter sei gesund, mit 85 Jahren, und ein Onkel mütterlicherseits sei vor 15 Jahren im Alter von 79 Jahren an Prostatakrebs verstorben. Auch die Schwester der Patientin, aktuell 62 Jahre alt, hatte im Alter von 45 Jahren ein Zervixkarzinom, was aber kurativ behandelt werden konnte. Zu den Noxen: Die Patientin raucht ca. 10 Zigaretten täglich seit 50 Jahren, also 25 pack years [päck years, also Englisch gesprochen], sie trinke täglich eine Flasche Bier, Drogenkonsum wurde verneint. Allergien wurden glaubhaft verneint. Sie gab allerdings an, dass eine Unverträglichkeit gegen Milch bekannt sei, ich vermute, (es handelt sich um) eine Laktoseintoleranz. Aufgrund der Schmerzen in der linken Flanke und dieser Dysurie vermute ich einen Harnwegsinfekt, und zwar eine Pyelonephritis. An Differenzialdiagnosen kommen eine Zystitis oder eine Divertikulitis in Betracht. Zur Abklärung würde ich die Patientin körperlich untersuchen, mit Fokus auf das Abdomen und die Flanken, also prüfen, ob die Nieren klopfschmerzhaft sind. Dann würde ich mit Urinstix (also Urinteststreifen) den Urin untersuchen, auf Protein, PH und so weiter. Auch schauen, ob eine Hämaturie besteht, dann eine Blutentnahme, ich würde ein großes Blutbild anordnen, mit Entzündungswerten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh], außerdem Creatinin, Harnstoff, Elektrolyte, Leberwerte bestimmen, wobei ich bei einer akuten Pyelonephritis vor allem eine Erhöhung der Entzündungsparameter erwarte. Ich benötige außerdem eine Urinkultur, um den Erreger zu bestimmen. An bildgebenden Verfahren benötige ich eine Sonografie des Abdomens, damit kann ich in der Regel schon ganz gut abschätzen, ob ein Harnaufstau besteht oder ich könnte differenzialdiagnostisch eine Urolithiasis, also einen Stein feststellen. Den könnte man auch mit einem Röntgen Abdomen sehen. Meistens reicht die Sonografie Abdomen aus, um die Diagnose zu stellen, aber falls noch unklar sein sollte, was die Patientin hat, wäre auch ein CT [zeh teh] Abdomen in Betracht zu ziehen. Therapeutisch empfehle ich Bettruhe, ausreichend Flüssigkeit, entweder oral oder intravenös, außerdem ein Analgetikum wie zum Beispiel Novalgin oder Paracetamol. Bevor der Befund der Urinkultur vorliegt, behandele ich bereits empirisch, beispielweise mit einem Cephalosporin oder Ciprofloxacin, da gibt es verschiedene Optionen. Das Antibiogramm lässt sich anpassen, sobald die Befunde der Urinkultur vorliegen. In der Regel wird die Pyelonephritis intravenös behandelt, später kann es auch oralisiert werden. Das wäre (soweit erstmal) alles meinerseits." ''"Gut, danke. Ich habe keine Fragen. Bitte machen Sie mit der Patientin weiter."'' = Patientenvorstellung 3 = == Sebastian Mayer == Kandidatin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Kandidatin: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los. Kandidatin: Dankeschön. Es handelt sich um Herrn Sebastian Mayer, einen 66-jährigen Patienten, geboren am 15.6.1958, 177 cm, 80 kg, den ich heute gegen 11 Uhr gesehen habe. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehenden Hustens, seit gestern mit gelblich-grünem Sputum, Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, und Fieber. Seit der Kindheit besteht Asthma und vor 3 Jahren wurden pulmonale Emphyseme bei ihm diagnostiziert. Laut Patient wird sein Asthma mit Prolenium behandelt und er nutzt Salbutamol Spray bei Bedarf. Bisher sei das aber nur ein Mal der Fall gewesen. Vor 3 Tagen seien ihm blaue Lippen aufgefallen und etwas Herzrasen, also Hypoxie-Zeichen, und laut Patient ist es schlimmer geworden. Es gehe ihm insgesamt nicht gut und er sei oft nervös. An Begleitsymptomen liegen vor: schnelle Ermüdung bei Bewegung, sowie Insomnie. Verneint wurden die Fragen nach Schmerz sowie Miktions- und Defäkationsstörungen. Bei ihm ist eine Pencillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe und Rubor äußert. Vor 4 Monaten habe er ein neues Knie bekommen (rechts). In der Familienanamnese fand sich Asthma bei Vater und Bruder. Er lebt mit seiner Frau zusammen und hat zwei gesunde Töchter. Meine Verdachtsdiagnose lautet: COPD, vielleicht exazerbierte COPD. Differenzialdiagnostisch kommen Salbutamol-Abusus und Pneumonie in Betracht. Für meine Verdachtsdiagnose sprechen: Husten mit Sputum, Fieber und - wie heißt nochmal der Fachbegriff für Atemnot? Oberärztin: Dyspnoe Kandidatin: Ach ja, vielen Dank, also … und Dyspnoe. Dazu kommt Asthma als Vorerkrankung und die Lungenemphysem-Diagnose vor 3 Jahren. Zur Bestätigung dieser Verdachtsdiagnose brauche ich natürlich eine körperliche Untersuchung mit Auskultation und Palpation, ein EKG wegen der Hypoxiesymptome, um Herzprobleme ausschließen zu können, dazu Laborwerte, Entzündungszeichen und Leukozyten, ein Röntgen des Thorax - und, falls notwendig, ein CT. Eine Antibiotikum-Therapie wäre zu empfehlen, denn Herr Mayer war wegen dieser Symptome noch nicht beim Hausarzt und ich denke, dass deswegen eine symptomatische Behandlung nicht ausreicht. Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Vorstellung. Was könnte der Auslöser gewesen sein? Kandidatin: Ich denke, es könnte die Erkältung sein, mit Husten, den er seit 3 Tagen hat. Oberärztin: Was genau spricht für ein Lungenemphysem? Kandidatin: Die Anamnese, also die Vordiagnose. Und dass sein Brustkorb größer geworden ist. Oberärztin: Wie nennt man dieses Zeichen? '''Kandidatin''': Oh, das weiß ich nicht. '''Oberärztin''': Fassthorax. '''Kandidatin''': Dankeschön. Und dazu Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, mit dem Gefühl, dass Luft in der Lunge bleibt, er also nicht vollständig ausatmen kann. '''Oberärztin''': Ja genau, gut. Welche Risikofaktoren hat der Patient? '''Kandidatin''': Er ist starker Raucher, mit mehr als 30 pack years. '''Oberärztin''': Was spricht für eine akute exazerbierte COPD? '''Kandidatin''': Dafür spricht produktiver Husten, Fieber, Zyanose, Tachykardie. '''Oberärztin''': Und es liegt ein expiratorischer Stridor vor. '''Kandidatin''': Ah ja, er hat ein Pfeifen erwähnt. Das gibt es auch bei Asthma bronchiale. '''Oberärztin''': Mit welchen lebensbedrohlichen Komplikationen müssen Sie hier rechnen? '''Kandidatin''': Ich denke an eine Insuffizienz der rechten Herzkammer, denn die Lungenbeschwerden können zuerst zu einer Hypertrophie führen und danach zu einer Herzinsuffizienz. '''Oberärztin''': Ja, aber das tritt überwiegend bei chronisch erkrankten Patienten auf. '''Kandidatin''': Und in akuten Fällen kann es vielleicht zu akuter respiratorischer Insuffizienz führen, oder? '''Oberärztin''': Warum? '''Kandidatin''': Weil bei Exazerbation Auswurf besteht und dann können Patienten bei weiterer Verschlechterung kaum noch ausatmen, was auch zu einem Pneumothorax führen kann. '''Oberärztin''': Was genau führt zu einem Pneumothorax? '''Kandidatin''': Da bin ich mir nicht sicher, aber bei Vorliegen eines (exazerbierten?) Emphysems (das sich verschlechtert hat) ... , aber ich habe keine Erfahrung mit COPD-Patienten und kenne mich deswegen nicht so gut damit aus. '''Oberärztin''': Ok. Bei so einer Komplikation: Welche Untersuchung machen Sie zuerst? '''Kandidatin''': Ich mache zuerst eine Auskultation und höre dabei vermutlich keine respiratorischen Geräusche. '''Oberärztin''': Wie heißt das in Fachsprache? '''Kandidatin''': Totenstille. '''Oberärztin''': Gut. Was brauchen Sie in so einer Situation? '''Kandidatin''': Zur Bestätigung benötige ich ein Röntgen des Thorax. '''Oberärztin''': Was können Sie damit bestätigen? Was sehen Sie auf dem Röntgenbild? '''Kandidatin''': Ich denke: Einige Teile des Lungengewebes sind gar nicht zu sehen. '''Oberärztin''': Aber welche genau? Rechts, links, oben, unten …? '''Kandidatin''': Hm, das weiß ich nicht. Ich kann es jetzt nur vermuten. Erklären Sie es mir, bitte? '''Oberärztin''': Gern. Hier geht die Luft nach oben und die Lunge geht in die Mitte oder nach unten. Bei einem Hydrothorax hingegen befindet sich die Flüssigkeit unten und die Lunge bewegt sich nach oben. '''Kandidatin''': Ah, sehr interessant und logisch: Flüssigkeit ist schwerer und Luft leichter. '''Oberärztin''': Welche Erste Hilfe empfehlen Sie bei einem ausgedehnteren Pneumothorax? '''Kandidatin''': Vielleicht eine Thoraxdrainage? '''Oberärztin''': Ja, mit einem Nadelstich in den zweiten Interkostalraum, damit die Luft rauskommt. Ein risikoreicher Eingriff in einer lebensbedrohlichen Lage, um ein Menschenleben zu retten. '''Kandidatin''': So etwas wäre mir bestimmt zu riskant. '''Oberärztin''': Naja, wenn es sein muss, muss es eben sein. Vielen Dank für Ihre Patientenvorstellung. = Patientenvorstellung 4 = == Agnes Schulz == Kandidatin: Guten Tag, ich würde Ihnen gern eine neue Patientin vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja. Kandidatin: Unsere Patientin Agnes Schulz ist 48 Jahre alt, 160 Zentimeter groß und 63 Kilo schwer. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vortag bestehender, akuter, stechender Bauchschmerzen, die vom Nabel nach unten rechts gewandert seien. Paracetamoleinnahme habe keine Linderung gebracht. FS | Begleitend besteht Nausea sowie Obstipation mit dunkelgrauer Defäkation, ferner erhöhte Temperatur gestern Abend, 38,3° [Grad] Celsius, oral gemessen. <br /> PS | Zudem klagte sie über Übelkeit sowie Verstopfung mit dunkelgrauem Stuhl, ferner über Fiebergefühl, 38,3° [Grad] Celsius, im Mund gemessen. Die Frage nach Emesis, Nachtschweiß und kaltem Schweiß wurde verneint. Es sind keine Vorerkrankungen bekannt. FS | Vor 14 Jahren wurde sie aufgrund einer Tubargravidität operiert. <br /> PS | Sie sei vor 14 Jahren wegen einer Eileiterschwangerschaft operiert worden. Sie nehme regelmäßig Eisentabletten seit 3 Wochen, weil sie Veganerin ist. Sie sei Nichtraucherin seit ihrer ersten Schwangerschaft, davor 12 PY. <br /> Sie trinke keinen Alkohol, Drogenkontakt wurde verneint. <br /> Sie sei verheiratet, habe zwei gesunde Kinder und sie wohnen als Familie zusammen. Sie sei Buchhalterin von Beruf. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. | Aufgrund dieser anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf eine Appendizitis aus. <br /> | Meine Verdachtsdiagnose lautet auf Appendizitis. Oberärztin: Was spricht dafür? Kandidatin: Dafür sprechen Nausea und akute Schmerzen am McBurney-Punkt, Nausea und Fieber. Oberärztin: Welche Differenzialdiagnosen kommen denn in Betracht? Kandidatin: Als Differenzialdiagnosen kommen Morbus Crohn, Nephrolithiasis oder Urolithiasis sowie bei Frauen eine Tubargravidität in Betracht. Oberärztin: Ja, gibt es noch andere gynäkologische Erkrankungen, die solche Bauchschmerzen verursachen könnten? Kandidatin: Es könnte auch eine Ruptur der Ovarien sein. Oberärztin: Sehr gut. Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Kandidatin: Labordiagnostisch finden wir: Leukozytose sowie CRP höher als 10 Milligramm pro Liter und erhöhte BSG (Blutsenkungsgeschwindigkeit). Und ich würde ein Sonographie des Abdomens machen. Oberärztin: Was sehen wir denn in der Sonographie typischerweise, wenn es sich um eine Appendizitis handelt? Kandidatin: Ich erwarte einen vergrößerten Appendix vermiformis von mehr als 6 Millimetern Durchmesser und eine Wandstärke von mehr als 3 Millimetern. Oberärztin: Ja, ... Kandidatin: Auch die mesenterialen Lymphknoten sind vergrößert. Oberärztin: Nehmen wir mal an, Sie finden jetzt sonographisch die Appendix nicht, aber Sie entdecken freie Flüssigkeit. Was ist hier los? Kandidatin: Sie meinen: intestinale Flüssigkeit? Oberärztin: Ja, was für eine Flüssigkeit könnte das sein? Ich denke jetzt an eine Komplikation der Appendizitis. Kandidatin: Dann wäre es eine Peritonitis. Oberärztin: Und vor allem eine Ruptur. Kommen wir zum nächsten Punkt: Welche Behandlung würden Sie denn empfehlen, wenn Sie jetzt die Appendizitis bestätigen? Kandidatin: Dann wäre eine Appendektomie innerhalb von 24 Stunden anzuraten. Oberärztin: Ok, und könnten Sie ein bisschen was über so eine Operation sagen: Welche Möglichkeiten gibt es da? Kandidatin: Eine Laparoskopie hätte den Vorteil, dass man nur sehr kleine Schnitte benötigt, weswegen die Heilung schneller geht. Oberärztin: Meine letzte Frage ist: Kann man eine akute Appendizitis auch konservativ behandeln? Kandidatin: Wenn eine Patientin früh genug kommt, lässt sich eine Appendizitis mit Antibiotika und Analgetika behandeln. Oberärztin: Gut, dankeschön. Kandidatin: Ich danke Ihnen. = Patientenvorstellung 5 = == (Gisela Reuters) == === a. === Guten Tag usw., ["Guten Tag/ Hallo ... Wie war der Dienst?" -- "Es war viel los und ..."] wir haben eine neue Patientin (und ich würde Ihnen gern über sie berichten), hätten Sie kurz Zeit? [Ja, bitte berichten Sie mir.] Vielen Dank. Frau Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin, stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 1,5 Stunden (eineinhalb Stunden) bestehender, plötzlich aufgetretener, krampfartiger, stechender Abdominalschmerzen (NRS 8 von 10), ohne Ausstrahlung. Laut Patientin hat der Schmerz um den Nabel herum begonnen (also umbilikal), ist immer stärker geworden und aktuell im ganzen Bauch. Sie war zu Uhrzeit und Person voll orientiert. Die Schmerzintensität wird von der Patientin bei ungefähr 8 von 10 NRS eingeordnet. An Begleitsymptomatik fand sich Herzrasen und Ohrensausen seit circa 20 Minuten und Verstopfung sei dem Vortag. Die Patientin leide an Schlafstörungen und Schweißausbrüchen. An Vorerkrankungen und Voroperationen sind bei ihr bekannt: Arterielle Hypertonie seit 5 Jahren und Vorhofflimmern, behandelt mit Metoprolol und Marcumar. Sie nehme gelegentlich Aspirin. Sie sei 4 Mal operiert worden: Leistenbruch [FS??], Appendektomie, Ostheosynthese der linken oberen Extremität und Sectio Caesarea. Es besteht eine Penicillin-Allergie, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußert. In der Noxenanamnese fand sich: Raucherin seit 35 Jahren, 35 pack years, sie trinke 1-2 Bier täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Sie habe alle empfohlenen Impfungen. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. Die Patientin befindet sich in den Wechseljahren [im Klimakterium]. Die Reiseanamnese ist leer. Die Familienanamnese ergab arterielle Hypertonie und Diabetes mellitus bei der Mutter, einen Herzinfarkt beim Vater, an dem er verstorben ist. Sie treibt keinen Sport. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf einen Mesenterialinfarkt aus. Differenzialdiagnostisch sollte ein Ileus ausgeschlossen werden, ebenso eine Darmperforation. Wir sollten auch vasogene Ursachen ausschließen, zum Beispiel eine Aortendissektion oder andere Mesenterialthrombosen. === OA-Fragen === Was spricht für einen Mesenterialinfarkt? Könnten Sie bitte den Zusammenhang zwischen Vorhofflimmern und Mesenterialinfarkt erklären? Was passiert zwischen dem Vorhof und dem Mesenterium? Wo entsteht das Blutgerinnsel? Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Welche Blutwerte sind denn hilfreich für uns? Was erwarten Sie denn in der Gerinnung - bei einer Marcumar-Patientin? Wie verändert sich zum Beispiel der INR [International Normalised Ratio], wenn man Marcumar einnimmt? Mal angenommen, unsere Patientin hat einen Mesenterialinfarkt. Wie kann man das behandeln? = Patientenvorstellung 6 = == Tatjana Märker == Arzt: Hallo. Ich möchte Ihnen die Patientin Frau Märker vorstellen - wenn Sie kurz Zeit hätten? Oberarzt: Ja, habe ich. Arzt: Frau Märker ist zweiunddreißig Jahre alt, einundsiebzig Kilogramm schwer, hat Dr. Werner als Hausärztin. Sie stellte sich bei uns wegen seit etwa 12 Stunden bestehender Tachykardie und Palpitation vor, mit innerer Unruhe und Angst einhergehend. Sie berichtete von einem Flackern vor den Augen, weswegen ich gleich ein EKG durchgeführt habe, um mögliche Rhythmusstörungen auszuschließen. Oberarzt: An welche Rhythmusstörungen haben Sie gedacht? Arzt: Wegen der Ecstasyeinnahme der Patientin. Oberarzt: Ich will wissen, an welche Rhythmusstörungen Sie gedacht haben. Arzt: An eine aurikulare Fibrillation, Vorhofflimmern. Oberarzt: Ja. Was gibt es noch bei jüngeren Patienten? Arzt: Bei jüngeren Patienten? Oberarzt: Gibt es supraventrikulare Tachykardien? Arzt: Supraventrikulare Tachykardien und auch einen ventrikularen Block. Oberarzt: Gut. Bitte weiter. Arzt: Bei genauer Befragung berichtete sie, dass sie vorher keine Drogen genommen hat, außer gestern zwei Mal Ecstasy nacheinander. Oberarzt: Warum zwei nacheinander? Arzt: Sie habe zuerst nichts gefühlt, wollte aber das High-Sein erleben, was dann auch eintrat, aber mit Palpitation und Tachykardie, trockenem Mund und innerer Angst und Unruhe. Oberarzt: Wie sah die Ecstasy aus? Arzt: Es seien rosa Tabletten gewesen. Oberarzt: Ok. Welche Form? Arzt: Das habe ich leider nicht nachgefragt. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Zur Sozialanamnese: Sie hat zwei Kinder, eine dreijährige Tochter und einen eineinhalbjährigen Sohn. Oberarzt: Was haben die Kinder gemacht, während sie Ecstasy genommen hat? Also: Wo waren die Kinder da? Arzt: Die Mutter der Patientin hat sich um die Kinder gekümmert, während die Patientin mit ihrer Freundin feiern ging. Laut Patientin war es das erste Mal, dass sie Drogen ausprobiert hat. Sie lebt allein mit zwei Kindern, ist Bäckereifachverkäuferin von Beruf, aber seit viereinhalb Jahren erwerbslos. Ferner erwähnte sie einen stressigen Lebenskontext mit dem Vater der Kinder. Oberarzt: Was ist mit dem Mann? Sie hat „on off“ gesagt. Was heißt das denn? Arzt: „On off“ bedeutet: manchmal ok, manchmal Probleme. Ich habe es so verstanden, dass sie sich in einer toxischen Beziehung mit dem Mann befindet. Oberarzt: Genau. „On off“ heißt: Manchmal sind sie ein Paar, manchmal sind sie getrennt, immer im Wechsel. Arzt: Ja, toxisch. Oberarzt: Nun, das ist Ihre Beurteilung. Arzt: An Vorerkrankungen ist eine Hypothyreose bekannt, seit sie siebzehn Jahre alt ist. Und dagegen nimmt sie L-Thyroxin 15 µg. Und sie wurde einmal operiert, eine Schönheits-OP ihrer Nase, mit neunzehn. In der Familienanamnese fand sich Diabetes mellitus bei der Mutter, sie spritzt Insulin. Und Grauer Star beim Vater. Oberarzt: Was ist das? Arzt: Der Fachbegriff fällt mir gerade nicht ein, sorry. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Wie lautet der Fachbegriff? Oberarzt: Katarakt. Arzt: Ach ja, danke. Sie ist Einzelkind, hat also keine Geschwister. Sie ist allergisch gegen Nüsse. Sie ist vollständig geimpft, auch ein Mal gegen Covid-19. In der Noxenanamnese ergab sich ein Nikotinkonsum von zwei bis drei Zigaretten bei Gelegenheit sowie Alkoholkonsum, aber sie trinke nicht jedes Wochenende. Drogenkonsum wurde verneint – bis auf dieses Mal. Ich gehe von einer Metamphethamin-Intoxikation aus. Differentialdiagnostisch ist eine Rhythmusstörung auszuschließen. Basisdiagnostisch mache ich eine körperliche Untersuchung, eine Blutabnahme, eine Überprüfung von Elektrolyten und Blutgasen, um zu sehen, ob eine Azidose besteht oder nicht. Sie hat auch viel geschwitzt. Oberarzt: Können wir denn auch diesen Ecstasykonsum verifizieren? Arzt: Ja, mittels einer toxikologischen Blutabnahme vielleicht? Oberarzt: Gibt es noch andere Möglichkeiten? Arzt: Im Urin? Oberarzt: Ja, Genau. Arzt: Was noch? Eine Infusiontherapie, um den Mangel an Elektrolyten und Flüssigkeit auszugleichen. Man könnte auch eine Magenspülung machen. Aber in diesem Fall ist es noch nicht notwendig. Oberarzt: Wie ist denn die Prognose? Arzt: Ja, die Prognose ist gut, denke ich. Die Patientin hat ein bisschen übertrieben wegen der Angst und weil sie es zum ersten Mal ausprobiert hat. Oberarzt: Wie kann man denn Patienten behandeln, die sehr agitiert sind, sehr unruhig, sehr ängstlich. Kennen Sie Medikamente, die stark, beruhigend und angstlösend wirken? Arzt: Benzodiazepine? Oberarzt: Ja. Sehr gut. Vielen Dank. Arzt: Ganz meinerseits. [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] == (Gisela Reuters) == === b. === Hallo, schönen guten Tag, Frau Oberärztin, ich habe eine neue Patientin und würde ihren Fall gern mit Ihnen besprechen. Hätten Sie kurz Zeit? ''Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los.'' Es geht um Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund vor 1,5 Stunden plötzlich aufgetretener, umbilikaler, progredienter, postprandialer Schmerzen, ohne Linderung nach Ibuprofeneinnahme. Sie habe vor 10 Tagen schon einmal ähnliche Beschwerden gehabt. Begleitend fand sich: Obstipation seit 3 Tagen, Meteorismus, Völlegefühl, Hyperhidrose, Tachykardie und Tinnitus. Die vegetative Anamnese ist unauffällig, bis auf Inappetenz und stressbedingte Insomnie. Sie sei in den Wechseljahren. Es sei eine Penicillin-Allergie bekannt, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußern würde. Sie hat Vorhofflimmern seit 5 Jahren und vor 20 Jahren hatte sie einen Ikterus nach einer Marokkoreise. An Medikamenten nehme sie: Metoprolol und Marcumar regelmäßig sowie ACC bei Bedarf. Bei der Patientin wurde mit 14 Jahren eine Appendektomie durchgeführt. Sie hatte auch eine Inguinalhernie und eine Fußknochenfraktur wegen eines Fahrradunfalls. Sie rauche 20 Zigaretten pro Tag seit 20 Jahren und trinke 1-2 Flaschen Bier am Wochenende. Die Familienanamnese ergab Folgendes: Die Mutter leide an arterieller Hypertonie und Diabetes mellitus, der Vater sei mit 58 Jahren an einem Herzinfarkt gestorben. Eine ihrer Schwestern sei bei einem Sportunfall ums Leben gekommen, die andere habe eine Nierenerkrankung. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf einem Mesenterialinfarkt hin. An Differenzialdiagnosen kommen folgende in Betracht: eine Appendizitis, vielleicht eine Cholezystitis. Zur weiteren Abklärung führe ich folgende Maßnahmen durch: eine körperliche Untersuchung, Blutabnahme, Blutbild (Koagulationswerte), Abdomen Angiographie mit Kontrastmittel. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: Koagulationskorrektur, Thrombektomie, ein kardiologisches Konsil - ja, was war alles. ''Oberärztin: Vielen Dank. Welche Risikofaktoren hat diese Patientin?'' Als Risikofaktoren kommen folgende in Betracht: Vorhofflimmern, arterielle Hypertonie in der Vorgeschichte der Patientin, dazu Adipositas. Es könnte auch eine Hyperlipidämie sein. Auch hormonelle Veränderungen aufgrund der Menopause könnten bei der Gerinnung eine Rolle spielen. ''Oberärztin: Welche Komplikationen können hier auftreten?'' Die Patientin hat schon seit 3 Tagen Obstipation, daher ist an einen Ileus zu denken, und bei der körperlichen Untersuchung können wir dumpfe Bauchgeräusche hören. ''Oberärztin: Was wäre im Verlauf die schlimmste Komplikation?'' Es könnte einen Apoplex auslösen. ''Oberärztin: Aha, Sie denken an das Neuro-System. Und im System Gastro?'' Eine Darmnekrose, die zu einer Peritonitis mit Sepsis führen könnte. ''Oberärztin: Was würden Sie der Patientin zur Prophylaxe geben?'' Antibiotika. ''Oberärztin: Welche weiteren Maßnahmen würden Sie durchführen?'' Ich würde eine regelmäßige INR-Bestimmung machen, um die Koagulationswerte im Auge zu behalten. ''Oberärztin: Und was wäre hier die wichtigste Therapieform?'' Eine Thrombektomie, also ein chirurgischer Eingriff. ''Oberärztin: Wie ist die Prognose, nicht nur für diese Patientin, sondern generell?'' Es hängt von rechtzeitiger Therapie ab. Bei sofortiger Behandlung ist die Prognose günstiger. Bei späterem Behandlungsbeginn treten häufig Komplikationen auf, was oft zu einer ungünstigen Prognose führt, weil die Letalität steigt. ''Oberärztin: Aber warum steigt dann die Letalität?'' Weil solche Komplikationen einen Apoplex im Gehirn verursachen können. ''Oberärztin: Warum im Gehirn?'' Bei unserer Patientin besteht das Problem in den Arterien, denn sie hat seit 5 Jahren Vorhofflimmern. Es könnte deshalb sein, dass eine periphere Ischämie auftritt und ein Thrombus ins Gehirn gelangt. ''Oberärztin: Warum besteht bei dieser Erkrankung ein so hohes Risiko?'' Falls es sich um nicht eingestelltes Vorhofflimmern handelt, treten häufig Komplikationen auf, zum Beispiel eine Embolie. ''Oberärztin: Ich sehe noch ein anderes Problem: Hier könnte ein verstecktes Bauchproblem bestehen, sie nannten schon die Angiographie. Aber in der Klinik ist die Zeit knapp, weshalb wir nicht erst alle Probleme im Bauch ausschließen können. Also bekommen Patienten zuerst eine explorative Laparoskopie, um möglichst schnell den Auslöser zu identifizieren.'' Im aktuellen Fall denke ich, dass eher ein CT mit Kontrastmittel geeignet ist. ''Oberärztin: Nach einer Laparoskopie. Und die häufigste Therapie ist dann die Entfernung des betroffenen Teils des Darms, um mögliche Komplikationen zu vermeiden. Kommen wir nochmal zurück zur körperlichen Untersuchung: Was erwarten Sie bei der Auskultation?'' Ich erwarte fehlende oder weniger starke Bauchgeräusche, wegen des Ileus. ''Oberärztin: Und bei der Perkussion?'' Da rechne ich mit Abwehrspannung und mit Loslassschmerz. Und bei einer Perforation als Komplikation sehen wir Luft im Bauchfell. ''Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Ausführungen.'' Vielen Dank. = Patientenvorstellung 7 = == Frank Boppes == (ohne OA-Fragen) Arzt: Guten Tag, Frau Oberärztin. Oberärztin: Hallo. Arzt: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja, natürlich, bitteschön. Arzt: Es handelt sich um Herrn Frank Boppes, einen 67-jährigen Patienten, geboren am 23.11.1958, einen Meter fünfundachtzig groß [1,85 m], 90 Kilo schwer. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 6 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter Dysurie. Darüber hinaus klagte er über Unterbauchschmerzen ohne Ausstrahlung. Die Schmerzintensität wurde mit 7 von 10 bewertet. Begleitend liegt Hämaturie vor. Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Nachtschweiß sowie Gewichtsabnahme (8 kg innerhalb von 6 Monaten). An Vorerkrankungen fand sich ein Reizdarmsyndrom seit 15 Jahren, COPD seit 20 Jahren und Prostatahyperplasie seit 4 Jahren. Gegen COPD nimmt er ggf. ein Kortikosteroidspray. Beim Patienten wurde vor zwei Jahren wegen eines Tumors im Rückenbereich eine Operation durchgeführt, die laut Patient komplikationslos war. Familienanamnestisch relevant ist ein Kolonkarzinom beim Vater, mit 65 Jahren daran verstorben. Allergien sind keine bekannt und es besteht eine Milchprodukteunverträglichkeit (Laktoseintoleranz), Nikotinabusus (100 PY). Er trinke ein Glas Rotwein täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Er sei verheiratet und wohne mit seiner Frau zusammen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Prostatakarzinom. <br /> Differenzialdiagnostisch kommen eine benigne Prostatahyperplasie, Harnwegsentzündung, z.B. eine Pyelonephritis, Zystitis. <br /> Basisdiagnostisch würde ich eine körperliche Untersuchung durchführen, Vitalparameter messen und den Patienten inspizieren, palpieren und auskultieren. Die Palpation ist in diesem Fall entscheidend. Zur weiteren Abklärung würde ich Blut abnehmen, um Entzündungswerte zu bestimmen. Im nächsten Schritt würde ich die apparative Diagnostik einsetzen, eine Abdomenspiegelung machen und ein CT. Ah, und für die körperliche Untersuchung ist auch eine digital-rektale Untersuchung notwendig. = Patientenvorstellung 8 = == Ralf Merklinger == mit Dank an I.K. Ärztin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Ärztin: Ich möchte Ihnen einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja natürlich, bitteschön. Ärztin: Es handelt sich um Herrn Ralf Merklinger, 48 Jahre alt. Er stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, anfallsartig auftretender Tachykardie und Palpitation. Zudem berichtete der Patient, dass diese Anfälle einmal pro Tag auftreten und ungefähr 15 Minuten dauern. Sie würden sich spontan zurückbilden. Nach Angaben des Patienten hilft Ablenkung. Begleitend bestehen inspiratorische Dyspnoe, Vertigo, Angstgefühl, Diaphorese und Kontrollverlust. Er berichtete von Angst vor den nächsten Anfällen. Zudem klagte er über Konzentrationsstörungen. Bei ihm liegt auch ein Schuldgefühl und eine depressive Verstimmung vor. Die Frage nach Thoraxschmerzen, nach ähnlichen vorherigen Beschwerden, Suizidgedanken, Derealisation und Depersonalisation wurden verneint. In der vegetativen Anamnese zeigten sich nächtliche Hyperhidrose und beschwerdebedingte Insomnie in Form von Einschlafstörungen. In der Vorgeschichte fand sich Hypothyreose, mit L-Thyroxin 100 mcg behandelt. Es besteht ferner Bruxismus seit 20 Jahren, weswegen er nachts eine Schiene trägt. Zudem habe er sich mit 22 Jahren eine Tibiafraktur links zugezogen, die operativ behandelt wurde. Erwähnenswert ist, dass er vor einer Woche einen Autounfall erlitten hat, dabei wurde seine Frau verletzt. Sie ist aktuell in einer Klinik und er macht sich Gedanken, ob er sie heute auch wieder besuchen kann, denn er macht sich Vorwürfe und hat Schuldgefühle. Oberärztin: Aha, daher kommen die Schuldgefühle! Was haben Sie dem Patienten empfohlen, bezüglich der Schuldgefühle? Ärztin: Ich habe psychologische Hilfe angeboten und habe versucht, ihm zu erklären, dass ihn keine Schuld trifft und dass es manchmal nicht von einem selbst abhängt, was passiert ist. Ich habe ihm auch empfohlen, offen mit seiner Frau zu sprechen. Oberärztin: Warum haben Sie es ihm angeboten? Ärztin: Er hatte mich danach gefragt, ob er es seiner Frau sagen soll, dass er selbst jetzt auch ärztliche Hilfe benötigt und er sie deshalb wahrscheinlich heute nicht besuchen kann. Denn meiner Meinung nach ist es immer besser, ehrlich zu sein und nichts zu verheimlichen. Oberärztin: Würden Sie den Patienten stationär aufnehmen? Ärztin: Ja, denn es sollte zuerst alles abgeklärt werden. Auch organische Ursachen müssen ausgeschlossen werden, etwa eine koronare Herzkrankheit. Deshalb habe ich gezielt nach Thoraxschmerzen gefragt und danach, ob sie in Ruhe oder bei Belastung auftreten und ob er so etwas schon einmal hatte. Oberärztin: Ja, ok. Welche Laborwerte würden Sie anordnen? Ärztin: Bei diesem Fall beginne ich mit hochsensitivem Troponin-T und I, um einen Myokardinfarkt auszuschließen. Zudem überprüfe ich weitere Parameter, wie D-Dimere, um eine Lungenembolie auszuschließen und weitere Parameter wie Nierenwerte, Entzündungsparameter, für die Einschätzung des Allgemeinzustands. Oberärztin: Welche Rolle spielen die Informationen aus der Medikamentenanamnese? Ärztin: Ah ja, es ist wichtig, auch TSH und freie T4 und freie T3 zu bestimmen, da eine Überdosierung von L-Thyroxin die Ursache sein könnte. Also sollten auch die Schilddrüsenhormone bestimmt werden. Oberärztin: Gut. Welche Therapie würden Sie vorschlagen? Ärztin: Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, würde ich zuerst ein psychologisches bzw. ein psychiatrisches Konsil anraten. Hier kommt eine kognitive Verhaltenstherapie in Frage, um Denkmuster zu erkennen, sie zu bearbeiten und zu verändern. Falls nötig, kann auch eine Antidepressiva-Therapie eingesetzt werden. Zuerst müssen wir dem Patienten einen Fragebogen anbieten und dann sehen wir, ob es auch um eine Depression geht. Oberärztin: Wie kommen Sie auf Depression? Ärztin: Depressionen können auftreten, wenn ein Patient ein traumatisches Erlebnis hatte. Und er hat Schuldgefühle. Und seiner Frau sei eine depressive Stimmung an ihm aufgefallen. Deshalb müssen wir das ernst nehmen. Oberärztin: Vielen Dank, dann verfahren Sie bitte so. [[Anamneseberichte/Ralf_Merklinger_48_J|Anamnesebericht dazu]] = Patientenvorstellung 9 = [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] == Sina Gowitz == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) Ä: Ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben aufgenommen habe. Es geht um eine zweiundzwanzigjährige Patientin, sie heißt Sina Gowitz, geboren am vierzehnten Vierten zweitausendzwei [14.4.2002], relativ groß, eins fünfundachtzig, und achtzig Kilo schwer. Die Patientin stellte sich eigenständig bei uns vor mit starken Bauchschmerzen, vor allem im rechten Unterbauch lokalisiert. Anfangs seien die Schmerzen aber eher so in der Mitte gewesen, also im Epigastrium. Außerdem habe sie Fieber und Durchfall, wobei sie angab, dass sie beides auch schon vor zwei Wochen mal gehabt habe und zwischenzeitlich symptomfrei gewesen sei. Außerdem habe sie vor zwei Wochen einen eitrigen vaginalen Ausfluss gehabt, der auch behandelt worden sei. Der Zyklus sei generell unregelmäßig bei ihr. Sie gab an, dass es nicht möglich sei, dass sie schwanger wäre, denn sie habe keinen Geschlechtsverkehr. Die Schmerzintensität bewertete die Patientin mit initial acht von zehn. Nach Medikation mit Novalgin intravenös war das dann noch bei sechs von zehn. An Vorerkrankungen sind so unspezifische Abdominalsymptome bekannt. Es sei laut Hausärztin fraglich, ob das vielleicht ein Reizdarmsyndrom sei. Es wurde aber wohl keine Koloskopie bislang durchgeführt. Außerdem hat die Patientin Asthma und hatte mal eine Urolithiasis mit achtzehn. Sie hat sich auch mal eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ versorgt wurde, das Osteosynthesematerial sei noch einliegend. Und bei ihr wurde eine Tonsillektomie durchgeführt. Wann, weiß ich leider nicht genau, denn dazu machte die Patientin keine Angaben. Medikation nimmt die Patientin nur bei Bedarf. Zum einen Atrovent Spray gegen das Asthma und Duspatal Tabletten gegen die Verstopfung. Unsere Patientin ist Studentin, studiert Physik, lebt in einer Sechser-WG, in der ansonsten niemand ähnliche Beschwerden habe. Sie spielt Basketball und war vor Kurzem in Belgien. Das ist aber, denke ich, nicht besonders relevant. Der Impfstatus sei vollständig. Sie hat vor allem FSME im März aufgefrischt. Zur Familienanamnese ist bei der Mutter eine Herzinsuffizienz bekannt. Auch der Bruder hat wohl eine Herzerkrankung, die sie nicht näher benennen konnte. Beim Vater ist Morbus Bechterew bekannt und auch beim Großvater väterlicherseits. Zu den Noxen: Die Patientin ist Nichtraucherin, sie trinkt gelegentlich Alkohol, im Sommer häufiger mal, und sie hat einmalig Cannabis ausprobiert. An Allergien ist eine Amoxicillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe äußert, und sie vertrage einige Früchte nicht, zum Beispiel Äpfel, Kiwi und Ananas. Es fragt sich, ob es sich hier um eine Allergie handelt. Aufgrund der anamnestischen Angaben und auch der wirklich starken Abdominalschmerzen gehe ich aktuell von einer Appendizitis aus. Differentialdiagnostisch müssen wir auch an eine gynäkologische Erkrankung denken, zum Beispiel an eine Adnexitis, eine obturierte Ovarialzyste oder eine, ja, vielleicht sexuell übertragbare Erkrankung. Es könnte auch eine akute Gastroenteritis sein. Als Diagnostik empfehle ich natürlich eine ausführliche körperliche Untersuchung, wobei wir auf die Appendizitiszeichen achten, dann eine Sonografie des Abdomens. Hier suchen wir nach einem sogenannten Kokardenphänomen im rechten Unterbauch. Zu den Laborwerten: Bei einer Appendizitis erwarte ich eine Leukozytose, ein erhöhtes CAP, eine erhöhte BSG und eventuell auch erhöhtes Procalcitonin. Falls der sonographische Befund unklar ist, könnte man auch ein CT Abdomen erwägen. Und wenn ja, wenn wir Hinweise auf eine akute Appendizitis haben, würden wir in jedem Fall, denk ich, eine operative Behandlung empfehlen, also eine laparoskopische Appendektomie. Hätten Sie dazu noch Fragen? OÄ: Könnten Sie bitte diese spezifischen ultrasonographischen Befunde erklären? Was ist ein Kokardenphänomen genau? Ä: Das Kokardenphänomen? Ja, also dieser Wurmfortsatz am Zirkum stellt sich bei einer akuten Appendizitis verdickt dar. Wir sehen deutlich die Wand der Appendix und häufig auch ein Begleitödem. Und wenn wir das sonographisch feststellen können, dann ist das ein deutlicher Hinweis auf eine Appendizitis. Manchmal sehen wir auch begleitend eine Lymphadenopathie, also eine abdominelle Lymphadenopathie, das ist auch ganz typisch, glaube ich. OÄ: Ist ein Appendix generell im Ultraschall zu sehen? Ä: Nein, eigentlich nicht, das heißt, wenn wir die Appendix sehen, dann ist das schon ein Hinweis auf eine Appendizitis. OÄ: Ja. Soweit mal, vielen Dank. = Patientenvorstellung 10a = (nur der Anfang) Herr Weiß, 34 Jahre alt, 186 cm groß, 78 kg schwer, wurde heute aufgrund eines Inlineskatingunfalls von seiner Freundin eingeliefert. Der Unfall fand vor 4 Stunden in einem Wohngebiet statt, als er mit seinen Inlineskatern in hohem Tempo mit einem entgegenkommenden Fahrrad(fahrer) zusammenstieß, woraufhin er nach links auf einen Fahrradständer stürzte, wonach er sich mit der linken Hand am Boden abzustützen versuchte. Laut Patient bestehen seit 2 Stunden Kopfschmerzen (Cephalgie/ Cervikalgie (?)), hypochondrische und lumbale Abdominalschmerzen links sowie Schmerzen im linken Handgelenk. Die Abdominalschmerzen wurden (auf einer Schmerzskala) im Bauch mit 6 von 10 beziffert und mit 8 von 10 im Arm und Nacken.  Darüber hinaus klagt er über starke Müdigkeit, Schwindel und Nausea.  Die Frage nach Bewusstlosigkeit und Sehstörungen wurde verneint.  Er ist Bahnelektrotechniker von Beruf, lebt mit seiner Freundin zusammen und hat keine Kinder. Die Familienanamnese ergab aHT bei der Mutter, ein Larynxkarzinom mit 65 beim Vater (operiert), in Remission, und Asthma beim Zwillingsbruder.  Die Frage nach Vorerkrankungen ergab [+ Akk.]: Mononukleose mit 12, eine mit 24 diagnostizierte Migräne und einen idiopathischer Hörsturz mit 29.  Die Noxenanamnese war unauffällig ebenso wie die Reiseanamnese.  Bei Herrn Weiß ist eine Allergie gegen Amoxicillin bekannt.  Er ist vollständig geimpft. ... Ä: Ich habe zu danken. * [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_10b|vollständige PatV dazu]] = Patientenvorstellung 10b = Es handelt sich um Alexander Weiß, einen 34-jährigen Patienten, 186 cm groß, 78 kg. Der Patient war nach einem Unfall von seiner Freundin in der Notaufnahme eingeliefert worden. Der AZ ist reduziert wegen der starken Schmerzen. Er ist bei vollem Bewusstsein. Laut Patient hat er vor 4 Stunden bei einem Supermarkt einen Unfall gehabt. Er sei mit Inlineskatern unterwegs gewesen und plötzlich mit einem entgegenkommenden Fahrradfahrer zusammengestoßen. Infolge des Zusammenstoßes sei er nach links auf einen Fahrradständer gefallen und habe sich am Boden mit der linken Hand abgestützt. Bewusstlosigkeit wurde verneint.  Vor 2 Stunden seien zunehmende Bauchschmerzen, Nackenschmerzen und Schmerzen in der linken Hand aufgetreten.  Die Schmerzintensität liegt laut Patientin im Bauch bei 6, im Nacken bei 8, in der Hand bei 8 von 10. Die Schmerzen verstärken sich beim Einatmen. Außerdem klagt er über blaue Flecken (Zyanose) auf dem Bauch (Bauchdecke) und Schwellung, Zyanose und mangelnde Bewegungsfähigkeit (Dysfunktion) der linken Hand. Ihm sei (es) übel und schwindelig. Darüber hinaus wies er darauf hin, (beim Wasserlassen) rötlichen Urin zu haben. Nach Angaben des Patienten nimmt er keine Medikamente regelmäßig ein, aber Paracetamol bei Migräne b.B.  Es liegen keine Operationen vor. Mit 12 habe er "Pfeiffersches Drüsenfieber" (Mononukleose) und mit 29 einen Hörsturz gehabt. Vor 7 Tagen hatte er eine Konjunktivitis rechts (Kortisonsalbe).   Er sei gegen Amoxicillin allergisch (Luftnot) und vertrage keinen Milchzucker (Blähungen, Durchfall), weswegen er sich vegan ernähre (ergänzend Eisentabletten).  Der Patient sei verheiratet und lebe mit seiner Frau zusammen. Er habe keine Kinder. Er arbeitet als Elektrotechniker bei der DB. Die Familienanamnese ergab Asthma beim Bruder und Kehlkopfkrebs beim Vater (in Remission) sowie aHT bei der Mutter. Der Impfstatus ist vollständig. Rauchen, Alkoholkonsum und Kontakt mit Drogen wurde(n) verneint. Die Reiseanamnese ist leer. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf Nierenruptur links, Milzruptur, Kompressionsfraktur der Halswirbel und Fraktur der Knochen der linken Hand (Handgelenkfraktur links ?) aus. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, wäre Folgendes anzuraten: 1.      Labor (BB cito) <br /> 2.      Blutdruckkontrolle <br /> 3.      Kontrolle des Aderschlags (Puls?) <br /> 4.      US des Bauch (cito) <br /> 5.      Röntgen Hand links <br /> 6.      CT  der Halswirbelsäule und des Kopfes <br /> 7.      CT i.v. Urogrophie bei Verdacht auf Nierenruptur nach der US. <br /> Als Therapie empfehle ich: <br /> 1.      Kochsalzlösung 500 ml i.v. <br /> 2.      Bluttransfusion b.B. <br /> 3.      Analgesie – Novalgin 500 mg i.v. <br /> 4.      OP bei Indikation. <br /> * [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_10a|unvollständige PatV dazu]] bt82jc34h7zsnlkhr7a4me5fao36uqf 1093915 1093914 2026-06-12T11:20:09Z C.Koltzenburg 13981 /* Patientenvorstellungen */ 1093915 wikitext text/x-wiki * Siehe auch [[FSP-Material|TOC]] -- [[Anamnesegespräche]] -- [[Anamneseberichte/Grammatikcheck|Checklisten für die FSP]] -- [[Anamneseberichte/Schreibtraining|Schreibtraining in 5 Schritten]] -- [[Anamneseberichte/Verben_trainieren|Verben richtig trainieren: PS =/= FS]] -- [[Anamneseberichte]] -- [[Anamneseberichte/Beispielformulierungen|Beispielformulierungen für Berichte]] -- [[Diagnosenrätsel|Diagnosenrätsel]] -- [[Fachbegriffe FSP Freiburg Karlsruhe Stuttgart bis inkl. Januar 2025]] == Patientenvorstellungen == '''[[Patientenvorstellungen/Beispielformulierungen_1._Satz|6 Modelle mit Beispielformulierungen für Ihren 1. Satz]]''' * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 15|'''PatV 15''' (to come)]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 14|'''PatV 14''' (to come)]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 13|'''PatV 13''' (to come)]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 12|'''PatV 12''' (to come)]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 11|'''PatV 11''' (to come)]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 10a|'''PatV 10a''' (nur der Anfang)]] / bzw. [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 10b|'''PatV 10b''' (vollständig)]] Alexander Weiss, 34 J. (VD Nierenruptur links, Milzruptur, Kompressionsfraktur der Halswirbel und Fraktur der Knochen der linken Hand) -- [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 9|'''PatV 9''': Sina Gowitz, 22 J.]] (VD Appendizitis) -- [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 8|'''PatV 8''': Ralf Merklinger, 48 J.]] (VD Panikattacke) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 7|'''PatV 7''': Frank Boppes, 67 J.]] (VD Prostatakarzinom) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 6|'''PatV 6''': Tatjana Märker, 32 J.]] (VD Intoxikation) -- [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 5|'''PatV 5 a.''' (+ b. to do): Gisela Reuters, 58 J.]] (VD Mesenterialinfarkt) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 4|'''PatV 4''': Agnes Schulz, 48 J.]] (VD Appendizitis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 3|'''PatV 3''': Sebastian Mayer, 66 J.]] (VD exazerbierte COPD) -- [[Anamnesegespräche#Fall_13|Anamnesegespräch dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 2|'''PatV 2''': Sabine Nelius, 63 J.]] (VD Pyelonephritis) * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung 1|'''PatV 1''': Magda Wienhäuser, 46 J.]] (VD Panikattacke) = Patientenvorstellung 1 = == Magda Wienhäuser, 46 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde Ihnen gern die Patientin Magda Wienhäuser vorstellen. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja, bitte legen Sie los."'' "Magda Wienhäuser ist 46 Jahre alt, sie ist am 01.06.1976 ("ersten sechsten sechsundsiebzig) geboren, [161 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einen Meter einundsechzig groß und wiegt [68 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtundsechzig Kilo. Die Patientin stellte sich heute Morgen um halb acht in der Notaufnahme vor, nachdem sie mit dem Auto zur Arbeit fahren wollte und, im Auto sitzend, verschiedene, sehr stark ausgeprägte Symptome bemerkte, nämlich: Tachykardie, Kaltschweißigkeit, Todesangst, Dyspnoe, das Gefühl, sich nicht mehr bewegen zu können. Außerdem berichtete sie von Kribbeln in den Händen und Ohrensausen. Ferner gab sie an, ihr sei übel gewesen. Erbrochen habe sie aber nicht. Nach Angaben der Patientin hat sie ungefähr 15 Minuten im Auto gesessen und ist dann mit großer Mühe in die Klinik gefahren, um sich bei uns vorzustellen. Aus der Vorgeschichte ist bekannt: <br /> * eine rheumatoide Arthritis seit der zweiten Schwangerschaft, also seit 14 Jahren. Diese rheumatoide Arthritis wird mit Diclofenac zwei Mal täglich behandelt. * Außerdem eine Migräne mit Aura seit der Jugend. Die Patientin nimmt bei Bedarf Sumatriptan und Ibuprofen. * Ein Bandscheibenvorfall, also Diskusprolaps, mit 42 Jahren, der konservativ behandelt wurde. An Operationen nannte die Patientin eine Myomentfernung in 2021 und eine Mammareduktion mit 20 Jahren. Unsere Patientin ist Nichtraucherin, hat auch nie geraucht, sie trinke ab und zu Alkohol, insbesondere Aperol Spritz, ungefähr einmal im Monat, und sie gab an, in der Jugend einmal Amphetamine genommen zu haben. Zur gynäkologischen Anamnese: Sie hat ungefähr alle zwei bis drei Monate ihre Mensis, zuletzt vor zwei Wochen. Die Patientin nannte eine Allergie gegen Haselnüsse, was sich mit Dyspnö und Exanthem äußert, außerdem hat sie eine Glutenintoleranz, also es liegt vermutlich eine Zöliakie vor. Zur Familenanamnese: Der Vater der Patientin verstarb mit 47 an einem Hodenkarzinom, die Mutter ist 72 Jahre alt, leidet an leichter Demenz und lebt in einem Pflegeheim. Bei der Schwester ist eine Alopecia areata bekannt und der jüngere Bruder der Patientin ist aufgrund eines angeborenen Herzfehlers bereits verstorben, mit Anfang 30. Unsere Patientin ist Fleischerei-Fachverkäuferin bei Edeka, sie ist seit fünf Jahren geschieden. Sie ist alleinerziehend mit drei Kindern, 15, 14 und 9, wobei der jüngste Sohn im Alter von vier Jahren Leukämie hatte. Das sei eine schwierige Zeit gewesen und hier sei es auch zur Trennung vom Partner gekommen. Der Ex-Mann unserer Patientin ist Polizist und laut Frau Wienhäuser gibt es immer wieder Probleme zwischen den beiden, wo es dann um den Umgang der Kinder geht. Die Patientin hat seit zwei Jahren einen neuen Freund, der ebenfalls Mitarbeiter bei Edeka ist. Die Patientin treibt Sport, sie geht zum Zumba. Ich denke, das waren die wichtigsten Informationen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Panikattacke. Natürlich muss ich, wenn ich diese Diagnose vermute, erstmal alle somatischen Erkrankungen ausschließen, unter anderem einen Myokardinfarkt, eine Refluxösophagitis, einen Magenulkus, eine Lungenembolie. Zu den Untersuchungen: Die Patientin muss natürlich ausführlich körperlich untersucht werden, vor allem Herz und Lungen müssen auskultiert werden. Ich benötige eine Messung der Vitalparameter, selbstverständlich, dann ist eine Blutuntersuchung notwendig. Wir würden hier vor allem die Herzenzyme, die Entzündungsparameter und eine BGA bestimmen. Außerdem schreiben wir ein EKG und wir könnten gegebenenfalls auch ein Herz-Echo oder eine Sonografie des Abdomens durchführen, wobei in der Regel ja schon die ersten Befunde in etwa die Richtung anzeigen, in die es weitergeht. Wenn wir tatsächlich in den Befunden nichts Pathologisches feststellen, dann würden wir erstmal von einer Panikattacke ausgehen. Die Panikattacke hört normalerweise von selbst wieder auf. Bei ausgeprägter Hyperventilation sollte man der Patientin eine Tüte geben, so dass sie in die Tüte atmet. Manchmal ist eine beruhigende Medikation erforderlich, zum Beispiel mit Benzodiazepin, wobei man da sehr gut aufpassen muss, weil das zu Abhängigkeit führen kann. Die Patientin sollte aufgeklärt werden über diese Erkrankung und auch darüber, dass es häufig zu rezidivierenden Panikattacken kommt, aber dass es sozusagen nichts Schlimmes ist. Falls es immer wieder zu Panikattacken kommt, kann die Patientin auch verhaltenstherapeutisch behandelt werden, wobei hier in den meisten Fällen eine ambulante Therapie ausreicht. Das wäre alles meinerseits." ''"Welche Laborwerte würden Sie anordnen?"'' "Ah, welche genau? Also: die Herzenzyme, also Troponin T [teh] und CK-MB [zeh kah emm beh], LDH [ell deh hah] und natürlich ein Blutbild, in der Regel ein großes Blutbild, um einen guten Überblick zu erhalten, Entzündungswerte neben den Leukozyten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh]. In der BGA achte ich darauf, wie Sauerstoff und Co2 [zeh oh zwei] verteilt sind, ob es bereits eine Azidose gibt. Das wären die wichtigsten Werte, denke ich." ''"Würden Sie thyreoide Hormone anordnen?"'' "Ah, Schilddrüsenhormone, ja. Ich würde auf jeden Fall das TSH [teh ess hah] bestimmen, um einen ersten Eindruck zu bekommen. Schon bei der körperlichen Untersuchung würde ich auf den Halsbereich achten, also ob da vielleicht schon einen Vergrößerung der Schilddrüse zu sehen oder zu spüren ist." ''"Vielen Dank. Dann verfahren Sie mit Ihrer Patientin bitte so."'' = Patientenvorstellung 2 = == Sabine Nelius, 63 J == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) "Guten Tag, ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit?" ''"Ja."'' "Es geht um Sabine Nelius, eine 63-jährige [dreiundsechzigjährige] Patientin, geboren am 02.01.1961 [am zweiten Januar einundsechzig], [171 cm <-- im Bericht =/= mündlich -->] einseinundsiebzig groß und [61 kg <-- im Bericht =/= mündlich -->] 61 Kilo schwer. Die Patientin stellte sich bei uns vor wegen starker, linksseitiger Flankenschmerzen. Die Schmerzen habe sie seit drei Tagen und sie würden stärker, also sind progredient, von der Qualität her ziehend, teilweise klopfend, mit Ausstrahlung in die linke Leiste. Sie gab an, seit gestern auch Fieber zu haben, knapp über [38° C <-- im Bericht =/= mündlich -->] achtunddreißig Grad Celsius, Schüttelfrost, Schwindel, ihr sei übel, sie habe leichten Durchfall gehabt. Darüber hinaus müsse sie häufig Wasser lassen, dabei würde der Urin nicht einfach kommen und es würde sogar brennen, also dysurische Beschwerden. Der Urin sei rötlich. Die Patienen glaubt selbst, es sei Blut. Sie klagt über ein allgemeines Krankheitsgefühl und Herzrasen. Die Schmerzen würden vor allem durch Bewegung, durch Gehen, verstärkt und in Ruhe seien die Schmerzen etwas besser auszuhalten. Die Patientin hat einige Vorerkrankungen, unter anderem hatte sie 2018 einen Myokardinfarkt, sie hat eine Psoriasis seit 6 Jahren und vor 7 Jahren wurde ihr aufgrund einer Perforation im Sigma ein Teil des Sigmas entfernt. An Operationen ist außerdem eine Tonsillektomie, 1972, bekannt. Die Medikation besteht aus ASS 100 mg einmal morgens und Citalopram 75 mg einmal morgens. In der Sozialanamnese gab die Patientin an, dass ihre Tochter im Alter von 30 [dreißig] Jahren bei einem Autounfall verunglückt sei. Die Patientin selbst lebe mit ihrem gehbehinderten Ehemann zusammen und ist seit einem halben Jahr in Rente. Vorher hat sie als Frisörin gearbeitet. In der Familienanamnese ist beim Vater ein Diabetes mellitus Typ 2 bekannt, er ist 91 Jahre alt und lebt in einem Pflegeheim. Die Mutter sei gesund, mit 85 Jahren, und ein Onkel mütterlicherseits sei vor 15 Jahren im Alter von 79 Jahren an Prostatakrebs verstorben. Auch die Schwester der Patientin, aktuell 62 Jahre alt, hatte im Alter von 45 Jahren ein Zervixkarzinom, was aber kurativ behandelt werden konnte. Zu den Noxen: Die Patientin raucht ca. 10 Zigaretten täglich seit 50 Jahren, also 25 pack years [päck years, also Englisch gesprochen], sie trinke täglich eine Flasche Bier, Drogenkonsum wurde verneint. Allergien wurden glaubhaft verneint. Sie gab allerdings an, dass eine Unverträglichkeit gegen Milch bekannt sei, ich vermute, (es handelt sich um) eine Laktoseintoleranz. Aufgrund der Schmerzen in der linken Flanke und dieser Dysurie vermute ich einen Harnwegsinfekt, und zwar eine Pyelonephritis. An Differenzialdiagnosen kommen eine Zystitis oder eine Divertikulitis in Betracht. Zur Abklärung würde ich die Patientin körperlich untersuchen, mit Fokus auf das Abdomen und die Flanken, also prüfen, ob die Nieren klopfschmerzhaft sind. Dann würde ich mit Urinstix (also Urinteststreifen) den Urin untersuchen, auf Protein, PH und so weiter. Auch schauen, ob eine Hämaturie besteht, dann eine Blutentnahme, ich würde ein großes Blutbild anordnen, mit Entzündungswerten, CRP [zeh err peh], BSG [beh ess geh], außerdem Creatinin, Harnstoff, Elektrolyte, Leberwerte bestimmen, wobei ich bei einer akuten Pyelonephritis vor allem eine Erhöhung der Entzündungsparameter erwarte. Ich benötige außerdem eine Urinkultur, um den Erreger zu bestimmen. An bildgebenden Verfahren benötige ich eine Sonografie des Abdomens, damit kann ich in der Regel schon ganz gut abschätzen, ob ein Harnaufstau besteht oder ich könnte differenzialdiagnostisch eine Urolithiasis, also einen Stein feststellen. Den könnte man auch mit einem Röntgen Abdomen sehen. Meistens reicht die Sonografie Abdomen aus, um die Diagnose zu stellen, aber falls noch unklar sein sollte, was die Patientin hat, wäre auch ein CT [zeh teh] Abdomen in Betracht zu ziehen. Therapeutisch empfehle ich Bettruhe, ausreichend Flüssigkeit, entweder oral oder intravenös, außerdem ein Analgetikum wie zum Beispiel Novalgin oder Paracetamol. Bevor der Befund der Urinkultur vorliegt, behandele ich bereits empirisch, beispielweise mit einem Cephalosporin oder Ciprofloxacin, da gibt es verschiedene Optionen. Das Antibiogramm lässt sich anpassen, sobald die Befunde der Urinkultur vorliegen. In der Regel wird die Pyelonephritis intravenös behandelt, später kann es auch oralisiert werden. Das wäre (soweit erstmal) alles meinerseits." ''"Gut, danke. Ich habe keine Fragen. Bitte machen Sie mit der Patientin weiter."'' = Patientenvorstellung 3 = == Sebastian Mayer == Kandidatin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Kandidatin: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los. Kandidatin: Dankeschön. Es handelt sich um Herrn Sebastian Mayer, einen 66-jährigen Patienten, geboren am 15.6.1958, 177 cm, 80 kg, den ich heute gegen 11 Uhr gesehen habe. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 3 Tagen bestehenden Hustens, seit gestern mit gelblich-grünem Sputum, Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, und Fieber. Seit der Kindheit besteht Asthma und vor 3 Jahren wurden pulmonale Emphyseme bei ihm diagnostiziert. Laut Patient wird sein Asthma mit Prolenium behandelt und er nutzt Salbutamol Spray bei Bedarf. Bisher sei das aber nur ein Mal der Fall gewesen. Vor 3 Tagen seien ihm blaue Lippen aufgefallen und etwas Herzrasen, also Hypoxie-Zeichen, und laut Patient ist es schlimmer geworden. Es gehe ihm insgesamt nicht gut und er sei oft nervös. An Begleitsymptomen liegen vor: schnelle Ermüdung bei Bewegung, sowie Insomnie. Verneint wurden die Fragen nach Schmerz sowie Miktions- und Defäkationsstörungen. Bei ihm ist eine Pencillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe und Rubor äußert. Vor 4 Monaten habe er ein neues Knie bekommen (rechts). In der Familienanamnese fand sich Asthma bei Vater und Bruder. Er lebt mit seiner Frau zusammen und hat zwei gesunde Töchter. Meine Verdachtsdiagnose lautet: COPD, vielleicht exazerbierte COPD. Differenzialdiagnostisch kommen Salbutamol-Abusus und Pneumonie in Betracht. Für meine Verdachtsdiagnose sprechen: Husten mit Sputum, Fieber und - wie heißt nochmal der Fachbegriff für Atemnot? Oberärztin: Dyspnoe Kandidatin: Ach ja, vielen Dank, also … und Dyspnoe. Dazu kommt Asthma als Vorerkrankung und die Lungenemphysem-Diagnose vor 3 Jahren. Zur Bestätigung dieser Verdachtsdiagnose brauche ich natürlich eine körperliche Untersuchung mit Auskultation und Palpation, ein EKG wegen der Hypoxiesymptome, um Herzprobleme ausschließen zu können, dazu Laborwerte, Entzündungszeichen und Leukozyten, ein Röntgen des Thorax - und, falls notwendig, ein CT. Eine Antibiotikum-Therapie wäre zu empfehlen, denn Herr Mayer war wegen dieser Symptome noch nicht beim Hausarzt und ich denke, dass deswegen eine symptomatische Behandlung nicht ausreicht. Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Vorstellung. Was könnte der Auslöser gewesen sein? Kandidatin: Ich denke, es könnte die Erkältung sein, mit Husten, den er seit 3 Tagen hat. Oberärztin: Was genau spricht für ein Lungenemphysem? Kandidatin: Die Anamnese, also die Vordiagnose. Und dass sein Brustkorb größer geworden ist. Oberärztin: Wie nennt man dieses Zeichen? '''Kandidatin''': Oh, das weiß ich nicht. '''Oberärztin''': Fassthorax. '''Kandidatin''': Dankeschön. Und dazu Dyspnoe, vor allem beim Ausatmen, mit dem Gefühl, dass Luft in der Lunge bleibt, er also nicht vollständig ausatmen kann. '''Oberärztin''': Ja genau, gut. Welche Risikofaktoren hat der Patient? '''Kandidatin''': Er ist starker Raucher, mit mehr als 30 pack years. '''Oberärztin''': Was spricht für eine akute exazerbierte COPD? '''Kandidatin''': Dafür spricht produktiver Husten, Fieber, Zyanose, Tachykardie. '''Oberärztin''': Und es liegt ein expiratorischer Stridor vor. '''Kandidatin''': Ah ja, er hat ein Pfeifen erwähnt. Das gibt es auch bei Asthma bronchiale. '''Oberärztin''': Mit welchen lebensbedrohlichen Komplikationen müssen Sie hier rechnen? '''Kandidatin''': Ich denke an eine Insuffizienz der rechten Herzkammer, denn die Lungenbeschwerden können zuerst zu einer Hypertrophie führen und danach zu einer Herzinsuffizienz. '''Oberärztin''': Ja, aber das tritt überwiegend bei chronisch erkrankten Patienten auf. '''Kandidatin''': Und in akuten Fällen kann es vielleicht zu akuter respiratorischer Insuffizienz führen, oder? '''Oberärztin''': Warum? '''Kandidatin''': Weil bei Exazerbation Auswurf besteht und dann können Patienten bei weiterer Verschlechterung kaum noch ausatmen, was auch zu einem Pneumothorax führen kann. '''Oberärztin''': Was genau führt zu einem Pneumothorax? '''Kandidatin''': Da bin ich mir nicht sicher, aber bei Vorliegen eines (exazerbierten?) Emphysems (das sich verschlechtert hat) ... , aber ich habe keine Erfahrung mit COPD-Patienten und kenne mich deswegen nicht so gut damit aus. '''Oberärztin''': Ok. Bei so einer Komplikation: Welche Untersuchung machen Sie zuerst? '''Kandidatin''': Ich mache zuerst eine Auskultation und höre dabei vermutlich keine respiratorischen Geräusche. '''Oberärztin''': Wie heißt das in Fachsprache? '''Kandidatin''': Totenstille. '''Oberärztin''': Gut. Was brauchen Sie in so einer Situation? '''Kandidatin''': Zur Bestätigung benötige ich ein Röntgen des Thorax. '''Oberärztin''': Was können Sie damit bestätigen? Was sehen Sie auf dem Röntgenbild? '''Kandidatin''': Ich denke: Einige Teile des Lungengewebes sind gar nicht zu sehen. '''Oberärztin''': Aber welche genau? Rechts, links, oben, unten …? '''Kandidatin''': Hm, das weiß ich nicht. Ich kann es jetzt nur vermuten. Erklären Sie es mir, bitte? '''Oberärztin''': Gern. Hier geht die Luft nach oben und die Lunge geht in die Mitte oder nach unten. Bei einem Hydrothorax hingegen befindet sich die Flüssigkeit unten und die Lunge bewegt sich nach oben. '''Kandidatin''': Ah, sehr interessant und logisch: Flüssigkeit ist schwerer und Luft leichter. '''Oberärztin''': Welche Erste Hilfe empfehlen Sie bei einem ausgedehnteren Pneumothorax? '''Kandidatin''': Vielleicht eine Thoraxdrainage? '''Oberärztin''': Ja, mit einem Nadelstich in den zweiten Interkostalraum, damit die Luft rauskommt. Ein risikoreicher Eingriff in einer lebensbedrohlichen Lage, um ein Menschenleben zu retten. '''Kandidatin''': So etwas wäre mir bestimmt zu riskant. '''Oberärztin''': Naja, wenn es sein muss, muss es eben sein. Vielen Dank für Ihre Patientenvorstellung. = Patientenvorstellung 4 = == Agnes Schulz == Kandidatin: Guten Tag, ich würde Ihnen gern eine neue Patientin vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja. Kandidatin: Unsere Patientin Agnes Schulz ist 48 Jahre alt, 160 Zentimeter groß und 63 Kilo schwer. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit dem Vortag bestehender, akuter, stechender Bauchschmerzen, die vom Nabel nach unten rechts gewandert seien. Paracetamoleinnahme habe keine Linderung gebracht. FS | Begleitend besteht Nausea sowie Obstipation mit dunkelgrauer Defäkation, ferner erhöhte Temperatur gestern Abend, 38,3° [Grad] Celsius, oral gemessen. <br /> PS | Zudem klagte sie über Übelkeit sowie Verstopfung mit dunkelgrauem Stuhl, ferner über Fiebergefühl, 38,3° [Grad] Celsius, im Mund gemessen. Die Frage nach Emesis, Nachtschweiß und kaltem Schweiß wurde verneint. Es sind keine Vorerkrankungen bekannt. FS | Vor 14 Jahren wurde sie aufgrund einer Tubargravidität operiert. <br /> PS | Sie sei vor 14 Jahren wegen einer Eileiterschwangerschaft operiert worden. Sie nehme regelmäßig Eisentabletten seit 3 Wochen, weil sie Veganerin ist. Sie sei Nichtraucherin seit ihrer ersten Schwangerschaft, davor 12 PY. <br /> Sie trinke keinen Alkohol, Drogenkontakt wurde verneint. <br /> Sie sei verheiratet, habe zwei gesunde Kinder und sie wohnen als Familie zusammen. Sie sei Buchhalterin von Beruf. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. | Aufgrund dieser anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf eine Appendizitis aus. <br /> | Meine Verdachtsdiagnose lautet auf Appendizitis. Oberärztin: Was spricht dafür? Kandidatin: Dafür sprechen Nausea und akute Schmerzen am McBurney-Punkt, Nausea und Fieber. Oberärztin: Welche Differenzialdiagnosen kommen denn in Betracht? Kandidatin: Als Differenzialdiagnosen kommen Morbus Crohn, Nephrolithiasis oder Urolithiasis sowie bei Frauen eine Tubargravidität in Betracht. Oberärztin: Ja, gibt es noch andere gynäkologische Erkrankungen, die solche Bauchschmerzen verursachen könnten? Kandidatin: Es könnte auch eine Ruptur der Ovarien sein. Oberärztin: Sehr gut. Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Kandidatin: Labordiagnostisch finden wir: Leukozytose sowie CRP höher als 10 Milligramm pro Liter und erhöhte BSG (Blutsenkungsgeschwindigkeit). Und ich würde ein Sonographie des Abdomens machen. Oberärztin: Was sehen wir denn in der Sonographie typischerweise, wenn es sich um eine Appendizitis handelt? Kandidatin: Ich erwarte einen vergrößerten Appendix vermiformis von mehr als 6 Millimetern Durchmesser und eine Wandstärke von mehr als 3 Millimetern. Oberärztin: Ja, ... Kandidatin: Auch die mesenterialen Lymphknoten sind vergrößert. Oberärztin: Nehmen wir mal an, Sie finden jetzt sonographisch die Appendix nicht, aber Sie entdecken freie Flüssigkeit. Was ist hier los? Kandidatin: Sie meinen: intestinale Flüssigkeit? Oberärztin: Ja, was für eine Flüssigkeit könnte das sein? Ich denke jetzt an eine Komplikation der Appendizitis. Kandidatin: Dann wäre es eine Peritonitis. Oberärztin: Und vor allem eine Ruptur. Kommen wir zum nächsten Punkt: Welche Behandlung würden Sie denn empfehlen, wenn Sie jetzt die Appendizitis bestätigen? Kandidatin: Dann wäre eine Appendektomie innerhalb von 24 Stunden anzuraten. Oberärztin: Ok, und könnten Sie ein bisschen was über so eine Operation sagen: Welche Möglichkeiten gibt es da? Kandidatin: Eine Laparoskopie hätte den Vorteil, dass man nur sehr kleine Schnitte benötigt, weswegen die Heilung schneller geht. Oberärztin: Meine letzte Frage ist: Kann man eine akute Appendizitis auch konservativ behandeln? Kandidatin: Wenn eine Patientin früh genug kommt, lässt sich eine Appendizitis mit Antibiotika und Analgetika behandeln. Oberärztin: Gut, dankeschön. Kandidatin: Ich danke Ihnen. = Patientenvorstellung 5 = == (Gisela Reuters) == === a. === Guten Tag usw., ["Guten Tag/ Hallo ... Wie war der Dienst?" -- "Es war viel los und ..."] wir haben eine neue Patientin (und ich würde Ihnen gern über sie berichten), hätten Sie kurz Zeit? [Ja, bitte berichten Sie mir.] Vielen Dank. Frau Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin, stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit 1,5 Stunden (eineinhalb Stunden) bestehender, plötzlich aufgetretener, krampfartiger, stechender Abdominalschmerzen (NRS 8 von 10), ohne Ausstrahlung. Laut Patientin hat der Schmerz um den Nabel herum begonnen (also umbilikal), ist immer stärker geworden und aktuell im ganzen Bauch. Sie war zu Uhrzeit und Person voll orientiert. Die Schmerzintensität wird von der Patientin bei ungefähr 8 von 10 NRS eingeordnet. An Begleitsymptomatik fand sich Herzrasen und Ohrensausen seit circa 20 Minuten und Verstopfung sei dem Vortag. Die Patientin leide an Schlafstörungen und Schweißausbrüchen. An Vorerkrankungen und Voroperationen sind bei ihr bekannt: Arterielle Hypertonie seit 5 Jahren und Vorhofflimmern, behandelt mit Metoprolol und Marcumar. Sie nehme gelegentlich Aspirin. Sie sei 4 Mal operiert worden: Leistenbruch [FS??], Appendektomie, Ostheosynthese der linken oberen Extremität und Sectio Caesarea. Es besteht eine Penicillin-Allergie, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußert. In der Noxenanamnese fand sich: Raucherin seit 35 Jahren, 35 pack years, sie trinke 1-2 Bier täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Sie habe alle empfohlenen Impfungen. Die gynäkologische Anamnese ist unauffällig. Die Patientin befindet sich in den Wechseljahren [im Klimakterium]. Die Reiseanamnese ist leer. Die Familienanamnese ergab arterielle Hypertonie und Diabetes mellitus bei der Mutter, einen Herzinfarkt beim Vater, an dem er verstorben ist. Sie treibt keinen Sport. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf einen Mesenterialinfarkt aus. Differenzialdiagnostisch sollte ein Ileus ausgeschlossen werden, ebenso eine Darmperforation. Wir sollten auch vasogene Ursachen ausschließen, zum Beispiel eine Aortendissektion oder andere Mesenterialthrombosen. === OA-Fragen === Was spricht für einen Mesenterialinfarkt? Könnten Sie bitte den Zusammenhang zwischen Vorhofflimmern und Mesenterialinfarkt erklären? Was passiert zwischen dem Vorhof und dem Mesenterium? Wo entsteht das Blutgerinnsel? Welche Untersuchungen werden Sie durchführen? Welche Blutwerte sind denn hilfreich für uns? Was erwarten Sie denn in der Gerinnung - bei einer Marcumar-Patientin? Wie verändert sich zum Beispiel der INR [International Normalised Ratio], wenn man Marcumar einnimmt? Mal angenommen, unsere Patientin hat einen Mesenterialinfarkt. Wie kann man das behandeln? = Patientenvorstellung 6 = == Tatjana Märker == Arzt: Hallo. Ich möchte Ihnen die Patientin Frau Märker vorstellen - wenn Sie kurz Zeit hätten? Oberarzt: Ja, habe ich. Arzt: Frau Märker ist zweiunddreißig Jahre alt, einundsiebzig Kilogramm schwer, hat Dr. Werner als Hausärztin. Sie stellte sich bei uns wegen seit etwa 12 Stunden bestehender Tachykardie und Palpitation vor, mit innerer Unruhe und Angst einhergehend. Sie berichtete von einem Flackern vor den Augen, weswegen ich gleich ein EKG durchgeführt habe, um mögliche Rhythmusstörungen auszuschließen. Oberarzt: An welche Rhythmusstörungen haben Sie gedacht? Arzt: Wegen der Ecstasyeinnahme der Patientin. Oberarzt: Ich will wissen, an welche Rhythmusstörungen Sie gedacht haben. Arzt: An eine aurikulare Fibrillation, Vorhofflimmern. Oberarzt: Ja. Was gibt es noch bei jüngeren Patienten? Arzt: Bei jüngeren Patienten? Oberarzt: Gibt es supraventrikulare Tachykardien? Arzt: Supraventrikulare Tachykardien und auch einen ventrikularen Block. Oberarzt: Gut. Bitte weiter. Arzt: Bei genauer Befragung berichtete sie, dass sie vorher keine Drogen genommen hat, außer gestern zwei Mal Ecstasy nacheinander. Oberarzt: Warum zwei nacheinander? Arzt: Sie habe zuerst nichts gefühlt, wollte aber das High-Sein erleben, was dann auch eintrat, aber mit Palpitation und Tachykardie, trockenem Mund und innerer Angst und Unruhe. Oberarzt: Wie sah die Ecstasy aus? Arzt: Es seien rosa Tabletten gewesen. Oberarzt: Ok. Welche Form? Arzt: Das habe ich leider nicht nachgefragt. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Zur Sozialanamnese: Sie hat zwei Kinder, eine dreijährige Tochter und einen eineinhalbjährigen Sohn. Oberarzt: Was haben die Kinder gemacht, während sie Ecstasy genommen hat? Also: Wo waren die Kinder da? Arzt: Die Mutter der Patientin hat sich um die Kinder gekümmert, während die Patientin mit ihrer Freundin feiern ging. Laut Patientin war es das erste Mal, dass sie Drogen ausprobiert hat. Sie lebt allein mit zwei Kindern, ist Bäckereifachverkäuferin von Beruf, aber seit viereinhalb Jahren erwerbslos. Ferner erwähnte sie einen stressigen Lebenskontext mit dem Vater der Kinder. Oberarzt: Was ist mit dem Mann? Sie hat „on off“ gesagt. Was heißt das denn? Arzt: „On off“ bedeutet: manchmal ok, manchmal Probleme. Ich habe es so verstanden, dass sie sich in einer toxischen Beziehung mit dem Mann befindet. Oberarzt: Genau. „On off“ heißt: Manchmal sind sie ein Paar, manchmal sind sie getrennt, immer im Wechsel. Arzt: Ja, toxisch. Oberarzt: Nun, das ist Ihre Beurteilung. Arzt: An Vorerkrankungen ist eine Hypothyreose bekannt, seit sie siebzehn Jahre alt ist. Und dagegen nimmt sie L-Thyroxin 15 µg. Und sie wurde einmal operiert, eine Schönheits-OP ihrer Nase, mit neunzehn. In der Familienanamnese fand sich Diabetes mellitus bei der Mutter, sie spritzt Insulin. Und Grauer Star beim Vater. Oberarzt: Was ist das? Arzt: Der Fachbegriff fällt mir gerade nicht ein, sorry. Oberarzt: Nicht schlimm. Arzt: Wie lautet der Fachbegriff? Oberarzt: Katarakt. Arzt: Ach ja, danke. Sie ist Einzelkind, hat also keine Geschwister. Sie ist allergisch gegen Nüsse. Sie ist vollständig geimpft, auch ein Mal gegen Covid-19. In der Noxenanamnese ergab sich ein Nikotinkonsum von zwei bis drei Zigaretten bei Gelegenheit sowie Alkoholkonsum, aber sie trinke nicht jedes Wochenende. Drogenkonsum wurde verneint – bis auf dieses Mal. Ich gehe von einer Metamphethamin-Intoxikation aus. Differentialdiagnostisch ist eine Rhythmusstörung auszuschließen. Basisdiagnostisch mache ich eine körperliche Untersuchung, eine Blutabnahme, eine Überprüfung von Elektrolyten und Blutgasen, um zu sehen, ob eine Azidose besteht oder nicht. Sie hat auch viel geschwitzt. Oberarzt: Können wir denn auch diesen Ecstasykonsum verifizieren? Arzt: Ja, mittels einer toxikologischen Blutabnahme vielleicht? Oberarzt: Gibt es noch andere Möglichkeiten? Arzt: Im Urin? Oberarzt: Ja, Genau. Arzt: Was noch? Eine Infusiontherapie, um den Mangel an Elektrolyten und Flüssigkeit auszugleichen. Man könnte auch eine Magenspülung machen. Aber in diesem Fall ist es noch nicht notwendig. Oberarzt: Wie ist denn die Prognose? Arzt: Ja, die Prognose ist gut, denke ich. Die Patientin hat ein bisschen übertrieben wegen der Angst und weil sie es zum ersten Mal ausprobiert hat. Oberarzt: Wie kann man denn Patienten behandeln, die sehr agitiert sind, sehr unruhig, sehr ängstlich. Kennen Sie Medikamente, die stark, beruhigend und angstlösend wirken? Arzt: Benzodiazepine? Oberarzt: Ja. Sehr gut. Vielen Dank. Arzt: Ganz meinerseits. [[Anamnesegespräche#Fall_11|Anamnesegespräch dazu]] == (Gisela Reuters) == === b. === Hallo, schönen guten Tag, Frau Oberärztin, ich habe eine neue Patientin und würde ihren Fall gern mit Ihnen besprechen. Hätten Sie kurz Zeit? ''Oberärztin: Ja bitte, legen Sie los.'' Es geht um Gisela Reuters, eine 58-jährige Patientin. Sie stellte sich heute bei uns vor aufgrund vor 1,5 Stunden plötzlich aufgetretener, umbilikaler, progredienter, postprandialer Schmerzen, ohne Linderung nach Ibuprofeneinnahme. Sie habe vor 10 Tagen schon einmal ähnliche Beschwerden gehabt. Begleitend fand sich: Obstipation seit 3 Tagen, Meteorismus, Völlegefühl, Hyperhidrose, Tachykardie und Tinnitus. Die vegetative Anamnese ist unauffällig, bis auf Inappetenz und stressbedingte Insomnie. Sie sei in den Wechseljahren. Es sei eine Penicillin-Allergie bekannt, was sich mit Exanthem, Emesis und Diarrhoe äußern würde. Sie hat Vorhofflimmern seit 5 Jahren und vor 20 Jahren hatte sie einen Ikterus nach einer Marokkoreise. An Medikamenten nehme sie: Metoprolol und Marcumar regelmäßig sowie ACC bei Bedarf. Bei der Patientin wurde mit 14 Jahren eine Appendektomie durchgeführt. Sie hatte auch eine Inguinalhernie und eine Fußknochenfraktur wegen eines Fahrradunfalls. Sie rauche 20 Zigaretten pro Tag seit 20 Jahren und trinke 1-2 Flaschen Bier am Wochenende. Die Familienanamnese ergab Folgendes: Die Mutter leide an arterieller Hypertonie und Diabetes mellitus, der Vater sei mit 58 Jahren an einem Herzinfarkt gestorben. Eine ihrer Schwestern sei bei einem Sportunfall ums Leben gekommen, die andere habe eine Nierenerkrankung. Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf einem Mesenterialinfarkt hin. An Differenzialdiagnosen kommen folgende in Betracht: eine Appendizitis, vielleicht eine Cholezystitis. Zur weiteren Abklärung führe ich folgende Maßnahmen durch: eine körperliche Untersuchung, Blutabnahme, Blutbild (Koagulationswerte), Abdomen Angiographie mit Kontrastmittel. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, schlage ich folgende Therapie vor: Koagulationskorrektur, Thrombektomie, ein kardiologisches Konsil - ja, was war alles. ''Oberärztin: Vielen Dank. Welche Risikofaktoren hat diese Patientin?'' Als Risikofaktoren kommen folgende in Betracht: Vorhofflimmern, arterielle Hypertonie in der Vorgeschichte der Patientin, dazu Adipositas. Es könnte auch eine Hyperlipidämie sein. Auch hormonelle Veränderungen aufgrund der Menopause könnten bei der Gerinnung eine Rolle spielen. ''Oberärztin: Welche Komplikationen können hier auftreten?'' Die Patientin hat schon seit 3 Tagen Obstipation, daher ist an einen Ileus zu denken, und bei der körperlichen Untersuchung können wir dumpfe Bauchgeräusche hören. ''Oberärztin: Was wäre im Verlauf die schlimmste Komplikation?'' Es könnte einen Apoplex auslösen. ''Oberärztin: Aha, Sie denken an das Neuro-System. Und im System Gastro?'' Eine Darmnekrose, die zu einer Peritonitis mit Sepsis führen könnte. ''Oberärztin: Was würden Sie der Patientin zur Prophylaxe geben?'' Antibiotika. ''Oberärztin: Welche weiteren Maßnahmen würden Sie durchführen?'' Ich würde eine regelmäßige INR-Bestimmung machen, um die Koagulationswerte im Auge zu behalten. ''Oberärztin: Und was wäre hier die wichtigste Therapieform?'' Eine Thrombektomie, also ein chirurgischer Eingriff. ''Oberärztin: Wie ist die Prognose, nicht nur für diese Patientin, sondern generell?'' Es hängt von rechtzeitiger Therapie ab. Bei sofortiger Behandlung ist die Prognose günstiger. Bei späterem Behandlungsbeginn treten häufig Komplikationen auf, was oft zu einer ungünstigen Prognose führt, weil die Letalität steigt. ''Oberärztin: Aber warum steigt dann die Letalität?'' Weil solche Komplikationen einen Apoplex im Gehirn verursachen können. ''Oberärztin: Warum im Gehirn?'' Bei unserer Patientin besteht das Problem in den Arterien, denn sie hat seit 5 Jahren Vorhofflimmern. Es könnte deshalb sein, dass eine periphere Ischämie auftritt und ein Thrombus ins Gehirn gelangt. ''Oberärztin: Warum besteht bei dieser Erkrankung ein so hohes Risiko?'' Falls es sich um nicht eingestelltes Vorhofflimmern handelt, treten häufig Komplikationen auf, zum Beispiel eine Embolie. ''Oberärztin: Ich sehe noch ein anderes Problem: Hier könnte ein verstecktes Bauchproblem bestehen, sie nannten schon die Angiographie. Aber in der Klinik ist die Zeit knapp, weshalb wir nicht erst alle Probleme im Bauch ausschließen können. Also bekommen Patienten zuerst eine explorative Laparoskopie, um möglichst schnell den Auslöser zu identifizieren.'' Im aktuellen Fall denke ich, dass eher ein CT mit Kontrastmittel geeignet ist. ''Oberärztin: Nach einer Laparoskopie. Und die häufigste Therapie ist dann die Entfernung des betroffenen Teils des Darms, um mögliche Komplikationen zu vermeiden. Kommen wir nochmal zurück zur körperlichen Untersuchung: Was erwarten Sie bei der Auskultation?'' Ich erwarte fehlende oder weniger starke Bauchgeräusche, wegen des Ileus. ''Oberärztin: Und bei der Perkussion?'' Da rechne ich mit Abwehrspannung und mit Loslassschmerz. Und bei einer Perforation als Komplikation sehen wir Luft im Bauchfell. ''Oberärztin: Vielen Dank für Ihre Ausführungen.'' Vielen Dank. = Patientenvorstellung 7 = == Frank Boppes == (ohne OA-Fragen) Arzt: Guten Tag, Frau Oberärztin. Oberärztin: Hallo. Arzt: Ich würde Ihnen gern einen neuen Patienten vorstellen, die ich eben in der Notaufnahme gesehen habe. Hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja, natürlich, bitteschön. Arzt: Es handelt sich um Herrn Frank Boppes, einen 67-jährigen Patienten, geboren am 23.11.1958, einen Meter fünfundachtzig groß [1,85 m], 90 Kilo schwer. Er stellte sich bei uns vor aufgrund seit 6 Wochen bestehender, allmählich aufgetretener, progredienter Dysurie. Darüber hinaus klagte er über Unterbauchschmerzen ohne Ausstrahlung. Die Schmerzintensität wurde mit 7 von 10 bewertet. Begleitend liegt Hämaturie vor. Die vegetative Anamnese ist unauffällig bis auf Nachtschweiß sowie Gewichtsabnahme (8 kg innerhalb von 6 Monaten). An Vorerkrankungen fand sich ein Reizdarmsyndrom seit 15 Jahren, COPD seit 20 Jahren und Prostatahyperplasie seit 4 Jahren. Gegen COPD nimmt er ggf. ein Kortikosteroidspray. Beim Patienten wurde vor zwei Jahren wegen eines Tumors im Rückenbereich eine Operation durchgeführt, die laut Patient komplikationslos war. Familienanamnestisch relevant ist ein Kolonkarzinom beim Vater, mit 65 Jahren daran verstorben. Allergien sind keine bekannt und es besteht eine Milchprodukteunverträglichkeit (Laktoseintoleranz), Nikotinabusus (100 PY). Er trinke ein Glas Rotwein täglich, Drogenkonsum wurde verneint. Er sei verheiratet und wohne mit seiner Frau zusammen. Meine Verdachtsdiagnose lautet: Prostatakarzinom. <br /> Differenzialdiagnostisch kommen eine benigne Prostatahyperplasie, Harnwegsentzündung, z.B. eine Pyelonephritis, Zystitis. <br /> Basisdiagnostisch würde ich eine körperliche Untersuchung durchführen, Vitalparameter messen und den Patienten inspizieren, palpieren und auskultieren. Die Palpation ist in diesem Fall entscheidend. Zur weiteren Abklärung würde ich Blut abnehmen, um Entzündungswerte zu bestimmen. Im nächsten Schritt würde ich die apparative Diagnostik einsetzen, eine Abdomenspiegelung machen und ein CT. Ah, und für die körperliche Untersuchung ist auch eine digital-rektale Untersuchung notwendig. = Patientenvorstellung 8 = == Ralf Merklinger == mit Dank an I.K. Ärztin: Guten Tag. Oberärztin: Guten Tag. Ärztin: Ich möchte Ihnen einen neuen Patienten vorstellen, hätten Sie kurz Zeit? Oberärztin: Ja natürlich, bitteschön. Ärztin: Es handelt sich um Herrn Ralf Merklinger, 48 Jahre alt. Er stellte sich heute bei uns vor aufgrund seit einer Woche bestehender, anfallsartig auftretender Tachykardie und Palpitation. Zudem berichtete der Patient, dass diese Anfälle einmal pro Tag auftreten und ungefähr 15 Minuten dauern. Sie würden sich spontan zurückbilden. Nach Angaben des Patienten hilft Ablenkung. Begleitend bestehen inspiratorische Dyspnoe, Vertigo, Angstgefühl, Diaphorese und Kontrollverlust. Er berichtete von Angst vor den nächsten Anfällen. Zudem klagte er über Konzentrationsstörungen. Bei ihm liegt auch ein Schuldgefühl und eine depressive Verstimmung vor. Die Frage nach Thoraxschmerzen, nach ähnlichen vorherigen Beschwerden, Suizidgedanken, Derealisation und Depersonalisation wurden verneint. In der vegetativen Anamnese zeigten sich nächtliche Hyperhidrose und beschwerdebedingte Insomnie in Form von Einschlafstörungen. In der Vorgeschichte fand sich Hypothyreose, mit L-Thyroxin 100 mcg behandelt. Es besteht ferner Bruxismus seit 20 Jahren, weswegen er nachts eine Schiene trägt. Zudem habe er sich mit 22 Jahren eine Tibiafraktur links zugezogen, die operativ behandelt wurde. Erwähnenswert ist, dass er vor einer Woche einen Autounfall erlitten hat, dabei wurde seine Frau verletzt. Sie ist aktuell in einer Klinik und er macht sich Gedanken, ob er sie heute auch wieder besuchen kann, denn er macht sich Vorwürfe und hat Schuldgefühle. Oberärztin: Aha, daher kommen die Schuldgefühle! Was haben Sie dem Patienten empfohlen, bezüglich der Schuldgefühle? Ärztin: Ich habe psychologische Hilfe angeboten und habe versucht, ihm zu erklären, dass ihn keine Schuld trifft und dass es manchmal nicht von einem selbst abhängt, was passiert ist. Ich habe ihm auch empfohlen, offen mit seiner Frau zu sprechen. Oberärztin: Warum haben Sie es ihm angeboten? Ärztin: Er hatte mich danach gefragt, ob er es seiner Frau sagen soll, dass er selbst jetzt auch ärztliche Hilfe benötigt und er sie deshalb wahrscheinlich heute nicht besuchen kann. Denn meiner Meinung nach ist es immer besser, ehrlich zu sein und nichts zu verheimlichen. Oberärztin: Würden Sie den Patienten stationär aufnehmen? Ärztin: Ja, denn es sollte zuerst alles abgeklärt werden. Auch organische Ursachen müssen ausgeschlossen werden, etwa eine koronare Herzkrankheit. Deshalb habe ich gezielt nach Thoraxschmerzen gefragt und danach, ob sie in Ruhe oder bei Belastung auftreten und ob er so etwas schon einmal hatte. Oberärztin: Ja, ok. Welche Laborwerte würden Sie anordnen? Ärztin: Bei diesem Fall beginne ich mit hochsensitivem Troponin-T und I, um einen Myokardinfarkt auszuschließen. Zudem überprüfe ich weitere Parameter, wie D-Dimere, um eine Lungenembolie auszuschließen und weitere Parameter wie Nierenwerte, Entzündungsparameter, für die Einschätzung des Allgemeinzustands. Oberärztin: Welche Rolle spielen die Informationen aus der Medikamentenanamnese? Ärztin: Ah ja, es ist wichtig, auch TSH und freie T4 und freie T3 zu bestimmen, da eine Überdosierung von L-Thyroxin die Ursache sein könnte. Also sollten auch die Schilddrüsenhormone bestimmt werden. Oberärztin: Gut. Welche Therapie würden Sie vorschlagen? Ärztin: Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, würde ich zuerst ein psychologisches bzw. ein psychiatrisches Konsil anraten. Hier kommt eine kognitive Verhaltenstherapie in Frage, um Denkmuster zu erkennen, sie zu bearbeiten und zu verändern. Falls nötig, kann auch eine Antidepressiva-Therapie eingesetzt werden. Zuerst müssen wir dem Patienten einen Fragebogen anbieten und dann sehen wir, ob es auch um eine Depression geht. Oberärztin: Wie kommen Sie auf Depression? Ärztin: Depressionen können auftreten, wenn ein Patient ein traumatisches Erlebnis hatte. Und er hat Schuldgefühle. Und seiner Frau sei eine depressive Stimmung an ihm aufgefallen. Deshalb müssen wir das ernst nehmen. Oberärztin: Vielen Dank, dann verfahren Sie bitte so. [[Anamneseberichte/Ralf_Merklinger_48_J|Anamnesebericht dazu]] = Patientenvorstellung 9 = [[Anamnesegespr%C3%A4che#Fall_8|Anamnesegespräch dazu]] == Sina Gowitz == (Dies ist eine Patientinnenvorstellung von einer muttersprachlichen Ärztin.) Ä: Ich würde gern eine Patientin vorstellen, die ich eben aufgenommen habe. Es geht um eine zweiundzwanzigjährige Patientin, sie heißt Sina Gowitz, geboren am vierzehnten Vierten zweitausendzwei [14.4.2002], relativ groß, eins fünfundachtzig, und achtzig Kilo schwer. Die Patientin stellte sich eigenständig bei uns vor mit starken Bauchschmerzen, vor allem im rechten Unterbauch lokalisiert. Anfangs seien die Schmerzen aber eher so in der Mitte gewesen, also im Epigastrium. Außerdem habe sie Fieber und Durchfall, wobei sie angab, dass sie beides auch schon vor zwei Wochen mal gehabt habe und zwischenzeitlich symptomfrei gewesen sei. Außerdem habe sie vor zwei Wochen einen eitrigen vaginalen Ausfluss gehabt, der auch behandelt worden sei. Der Zyklus sei generell unregelmäßig bei ihr. Sie gab an, dass es nicht möglich sei, dass sie schwanger wäre, denn sie habe keinen Geschlechtsverkehr. Die Schmerzintensität bewertete die Patientin mit initial acht von zehn. Nach Medikation mit Novalgin intravenös war das dann noch bei sechs von zehn. An Vorerkrankungen sind so unspezifische Abdominalsymptome bekannt. Es sei laut Hausärztin fraglich, ob das vielleicht ein Reizdarmsyndrom sei. Es wurde aber wohl keine Koloskopie bislang durchgeführt. Außerdem hat die Patientin Asthma und hatte mal eine Urolithiasis mit achtzehn. Sie hat sich auch mal eine Tibiafraktur zugezogen, die operativ versorgt wurde, das Osteosynthesematerial sei noch einliegend. Und bei ihr wurde eine Tonsillektomie durchgeführt. Wann, weiß ich leider nicht genau, denn dazu machte die Patientin keine Angaben. Medikation nimmt die Patientin nur bei Bedarf. Zum einen Atrovent Spray gegen das Asthma und Duspatal Tabletten gegen die Verstopfung. Unsere Patientin ist Studentin, studiert Physik, lebt in einer Sechser-WG, in der ansonsten niemand ähnliche Beschwerden habe. Sie spielt Basketball und war vor Kurzem in Belgien. Das ist aber, denke ich, nicht besonders relevant. Der Impfstatus sei vollständig. Sie hat vor allem FSME im März aufgefrischt. Zur Familienanamnese ist bei der Mutter eine Herzinsuffizienz bekannt. Auch der Bruder hat wohl eine Herzerkrankung, die sie nicht näher benennen konnte. Beim Vater ist Morbus Bechterew bekannt und auch beim Großvater väterlicherseits. Zu den Noxen: Die Patientin ist Nichtraucherin, sie trinkt gelegentlich Alkohol, im Sommer häufiger mal, und sie hat einmalig Cannabis ausprobiert. An Allergien ist eine Amoxicillinallergie bekannt, die sich mit Dyspnoe äußert, und sie vertrage einige Früchte nicht, zum Beispiel Äpfel, Kiwi und Ananas. Es fragt sich, ob es sich hier um eine Allergie handelt. Aufgrund der anamnestischen Angaben und auch der wirklich starken Abdominalschmerzen gehe ich aktuell von einer Appendizitis aus. Differentialdiagnostisch müssen wir auch an eine gynäkologische Erkrankung denken, zum Beispiel an eine Adnexitis, eine obturierte Ovarialzyste oder eine, ja, vielleicht sexuell übertragbare Erkrankung. Es könnte auch eine akute Gastroenteritis sein. Als Diagnostik empfehle ich natürlich eine ausführliche körperliche Untersuchung, wobei wir auf die Appendizitiszeichen achten, dann eine Sonografie des Abdomens. Hier suchen wir nach einem sogenannten Kokardenphänomen im rechten Unterbauch. Zu den Laborwerten: Bei einer Appendizitis erwarte ich eine Leukozytose, ein erhöhtes CAP, eine erhöhte BSG und eventuell auch erhöhtes Procalcitonin. Falls der sonographische Befund unklar ist, könnte man auch ein CT Abdomen erwägen. Und wenn ja, wenn wir Hinweise auf eine akute Appendizitis haben, würden wir in jedem Fall, denk ich, eine operative Behandlung empfehlen, also eine laparoskopische Appendektomie. Hätten Sie dazu noch Fragen? OÄ: Könnten Sie bitte diese spezifischen ultrasonographischen Befunde erklären? Was ist ein Kokardenphänomen genau? Ä: Das Kokardenphänomen? Ja, also dieser Wurmfortsatz am Zirkum stellt sich bei einer akuten Appendizitis verdickt dar. Wir sehen deutlich die Wand der Appendix und häufig auch ein Begleitödem. Und wenn wir das sonographisch feststellen können, dann ist das ein deutlicher Hinweis auf eine Appendizitis. Manchmal sehen wir auch begleitend eine Lymphadenopathie, also eine abdominelle Lymphadenopathie, das ist auch ganz typisch, glaube ich. OÄ: Ist ein Appendix generell im Ultraschall zu sehen? Ä: Nein, eigentlich nicht, das heißt, wenn wir die Appendix sehen, dann ist das schon ein Hinweis auf eine Appendizitis. OÄ: Ja. Soweit mal, vielen Dank. = Patientenvorstellung 10a = (nur der Anfang) Herr Weiß, 34 Jahre alt, 186 cm groß, 78 kg schwer, wurde heute aufgrund eines Inlineskatingunfalls von seiner Freundin eingeliefert. Der Unfall fand vor 4 Stunden in einem Wohngebiet statt, als er mit seinen Inlineskatern in hohem Tempo mit einem entgegenkommenden Fahrrad(fahrer) zusammenstieß, woraufhin er nach links auf einen Fahrradständer stürzte, wonach er sich mit der linken Hand am Boden abzustützen versuchte. Laut Patient bestehen seit 2 Stunden Kopfschmerzen (Cephalgie/ Cervikalgie (?)), hypochondrische und lumbale Abdominalschmerzen links sowie Schmerzen im linken Handgelenk. Die Abdominalschmerzen wurden (auf einer Schmerzskala) im Bauch mit 6 von 10 beziffert und mit 8 von 10 im Arm und Nacken.  Darüber hinaus klagt er über starke Müdigkeit, Schwindel und Nausea.  Die Frage nach Bewusstlosigkeit und Sehstörungen wurde verneint.  Er ist Bahnelektrotechniker von Beruf, lebt mit seiner Freundin zusammen und hat keine Kinder. Die Familienanamnese ergab aHT bei der Mutter, ein Larynxkarzinom mit 65 beim Vater (operiert), in Remission, und Asthma beim Zwillingsbruder.  Die Frage nach Vorerkrankungen ergab [+ Akk.]: Mononukleose mit 12, eine mit 24 diagnostizierte Migräne und einen idiopathischer Hörsturz mit 29.  Die Noxenanamnese war unauffällig ebenso wie die Reiseanamnese.  Bei Herrn Weiß ist eine Allergie gegen Amoxicillin bekannt.  Er ist vollständig geimpft. ... Ä: Ich habe zu danken. * [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_10b|vollständige PatV dazu]] = Patientenvorstellung 10b = Es handelt sich um Alexander Weiß, einen 34-jährigen Patienten, 186 cm groß, 78 kg. Der Patient war nach einem Unfall von seiner Freundin in der Notaufnahme eingeliefert worden. Der AZ ist reduziert wegen der starken Schmerzen. Er ist bei vollem Bewusstsein. Laut Patient hat er vor 4 Stunden bei einem Supermarkt einen Unfall gehabt. Er sei mit Inlineskatern unterwegs gewesen und plötzlich mit einem entgegenkommenden Fahrradfahrer zusammengestoßen. Infolge des Zusammenstoßes sei er nach links auf einen Fahrradständer gefallen und habe sich am Boden mit der linken Hand abgestützt. Bewusstlosigkeit wurde verneint.  Vor 2 Stunden seien zunehmende Bauchschmerzen, Nackenschmerzen und Schmerzen in der linken Hand aufgetreten.  Die Schmerzintensität liegt laut Patientin im Bauch bei 6, im Nacken bei 8, in der Hand bei 8 von 10. Die Schmerzen verstärken sich beim Einatmen. Außerdem klagt er über blaue Flecken (Zyanose) auf dem Bauch (Bauchdecke) und Schwellung, Zyanose und mangelnde Bewegungsfähigkeit (Dysfunktion) der linken Hand. Ihm sei (es) übel und schwindelig. Darüber hinaus wies er darauf hin, (beim Wasserlassen) rötlichen Urin zu haben. Nach Angaben des Patienten nimmt er keine Medikamente regelmäßig ein, aber Paracetamol bei Migräne b.B.  Es liegen keine Operationen vor. Mit 12 habe er "Pfeiffersches Drüsenfieber" (Mononukleose) und mit 29 einen Hörsturz gehabt. Vor 7 Tagen hatte er eine Konjunktivitis rechts (Kortisonsalbe).   Er sei gegen Amoxicillin allergisch (Luftnot) und vertrage keinen Milchzucker (Blähungen, Durchfall), weswegen er sich vegan ernähre (ergänzend Eisentabletten).  Der Patient sei verheiratet und lebe mit seiner Frau zusammen. Er habe keine Kinder. Er arbeitet als Elektrotechniker bei der DB. Die Familienanamnese ergab Asthma beim Bruder und Kehlkopfkrebs beim Vater (in Remission) sowie aHT bei der Mutter. Der Impfstatus ist vollständig. Rauchen, Alkoholkonsum und Kontakt mit Drogen wurde(n) verneint. Die Reiseanamnese ist leer. Aufgrund der anamnestischen Angaben gehe ich von einem Verdacht auf Nierenruptur links, Milzruptur, Kompressionsfraktur der Halswirbel und Fraktur der Knochen der linken Hand (Handgelenkfraktur links ?) aus. Sollte sich die Verdachtsdiagnose bestätigen, wäre Folgendes anzuraten: 1.      Labor (BB cito) <br /> 2.      Blutdruckkontrolle <br /> 3.      Kontrolle des Aderschlags (Puls?) <br /> 4.      US des Bauch (cito) <br /> 5.      Röntgen Hand links <br /> 6.      CT  der Halswirbelsäule und des Kopfes <br /> 7.      CT i.v. Urogrophie bei Verdacht auf Nierenruptur nach der US. <br /> Als Therapie empfehle ich: <br /> 1.      Kochsalzlösung 500 ml i.v. <br /> 2.      Bluttransfusion b.B. <br /> 3.      Analgesie – Novalgin 500 mg i.v. <br /> 4.      OP bei Indikation. <br /> * [[Anamneseberichte/Alexander_Weiss_34_J|Anamnesebericht dazu]] * [[Patientenvorstellungen#Patientenvorstellung_10a|unvollständige PatV dazu]] dvspamymkuuobj45ylbbewos2gt23yn 106 168797 1093887 1076329 2026-06-12T06:43:15Z Bocardodarapti 2041 1093887 wikitext text/x-wiki {{Aktuellbox|Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Aktuelles}} {{:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Navigation}} {{:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Information/Inhalt|}} {{ inputbild |Kreisteilungskoerper5zerlegung|png|230px {{!}} right {{!}} |Text=Das exemplarische Zerlegungsverhalten im fünften Kreisteilungsring und im quadratischen Zahlbereich zu {{math|term=\sqrt{5}|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} [[Kategorie:Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)]] [[Kategorie:Kurs an einer Universität]] qscduciwxoktnldsphjx2czai12oej2 106 168850 1093877 1072042 2026-06-12T06:08:16Z Bocardodarapti 2041 1093877 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|20| {{Zwischenüberschrift|Zerlegungsverhalten}} Wir besprechen nun systematisch, wie eine Primzahl {{math|term= p |SZ=}} in einem {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R |SZ=}} zerlegt wird, also wie viele Primideale von {{math|term= R |SZ=}} oberhalb von {{math|term= (p) |SZ=}} liegen, wie diese sich zueinander verhalten und wie die Abhängigkeit von {{math|term= p |SZ=}} aussieht. Viele Eigenschaften hängen dabei allein vom {{ Definitionslink |Faserring| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= R/pR |SZ=}} ab, von dem wir nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Zahlbereiche/Restklassenbildung nach Primzahl/Fakt |Nr= |SZ= }} wissen, dass {{mathl|term= R/pR |SZ=}} als additive Gruppe bzw. als {{math|term= {{op:Zmod|p|}} |SZ=-}}Vektorraum isomorph zu {{mathl|term= {{makl| {{op:Zmod|p|}} |}}^n |SZ=}} ist, wenn {{math|term= n |SZ=}} der Grad der Erweiterung ist. {{:Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Einführung/Textabschnitt}} }} 2r4gunctl9i78pvyax3bis0vlz9gn9s 106 170342 1093892 1093645 2026-06-12T08:50:28Z Nils Huck 41520 1093892 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== ==Sekundarstufe 1== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ittb2ezp4qzxz74nh4ytqggf9q4e06x 1093893 1093892 2026-06-12T08:54:27Z ~2026-34380-90 41642 /* Grundidee */ 1093893 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== ==Sekundarstufe 1== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] === Funktionsdefinition === <math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = r\cdot e^{i\cdot t} = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> <math> \begin{array}{rrcl} f : & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & f(x) = x^2+ 2x + 1 \end{array} </math> ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] j51o3vtc81wzs5ou7lizf8yz7nyi5s4 1093894 1093893 2026-06-12T08:55:05Z ~2026-34380-90 41642 /* Funktionsdefinition */ 1093894 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== ==Sekundarstufe 1== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] === Funktionsdefinition === <math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = r\cdot e^{i\cdot t} = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> <math> \begin{array}{rrcl} f : & [a,b] \times \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & (c,x) & \mapsto & f(x) = c\cdot x^2+ 2x + 1 \end{array} </math> ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ts3ex8mlz1wsnyi4mly3ym14jwbfrep 1093895 1093894 2026-06-12T08:59:46Z ~2026-34380-90 41642 /* Sekundarstufe 1 */ 1093895 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== ==Sekundarstufe 1== *[[/Sekundarstufe1/|Sek 1 - Bewerten mit Tabellenkalkulation]] ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] === Funktionsdefinition === <math> \begin{array}{rrcl} \gamma : & [a,b] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma(t) = r\cdot e^{i\cdot t} = (1-t)\cdot z_1 + t\cdot z_2 \end{array} </math> <math> \begin{array}{rrcl} f : & [a,b] \times \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & (c,x) & \mapsto & f(x) = c\cdot x^2+ 2x + 1 \end{array} </math> ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kdv9zutiwbrllzwupgf6pya5asgq2rh 1093898 1093895 2026-06-12T09:00:15Z NDG 40315 Reverted edits by [[Special:Contribs/~2026-34380-90|~2026-34380-90]] ([[User talk:~2026-34380-90|talk]]) to last version by Nils Huck: unexplained content removal 1093892 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== ==Sekundarstufe 1== *[[/Sekundarstufe1/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ittb2ezp4qzxz74nh4ytqggf9q4e06x 1093899 1093898 2026-06-12T09:01:04Z ~2026-34380-90 41642 /* Sekundarstufe 1 */ 1093899 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Uni-Niveau/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gsyqzp9u9coksi6t797y4we3o64alhq 1093900 1093899 2026-06-12T09:30:06Z ~2026-29316-36 41570 /* Modellierungszyklen */ 1093900 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Uni-Niveau/]] ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 4qgc8i28wmlmzdra4aqfgbymh2wltfw 1093901 1093900 2026-06-12T09:31:46Z NDG 40315 Reverted edits by [[Special:Contribs/~2026-29316-36|~2026-29316-36]] ([[User talk:~2026-29316-36|talk]]) to last version by ~2026-34380-90: unexplained content removal 1093899 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== *[[/Sekundarstufe1/]] *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Uni-Niveau/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] gsyqzp9u9coksi6t797y4we3o64alhq 1093902 1093901 2026-06-12T09:34:18Z ~2026-29316-36 41570 /* Modellierungszyklen */ 1093902 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== Für die Sekundarstufe 1 haben wir einen Modellierungszyklus entwickelt, bei dem mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine Bewertung für den Standort einer Windenergieanlage mit verschiedenen Parametern erstellt wird. *[[/Sekundarstufe1/]] *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Uni-Niveau/]] ===Grundidee=== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p4wa6imw1rhe3a8mm9nqkziwedcdqsl 1093903 1093902 2026-06-12T09:35:09Z ~2026-29316-36 41570 /* Modellierungszyklen */ 1093903 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== Für die Sekundarstufe 1 haben wir einen Modellierungszyklus entwickelt, bei dem mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine Bewertung für den Standort einer Windenergieanlage mit verschiedenen Parametern erstellt wird. *[[/Sekundarstufe1/]] *[[/Sekundarstufe2/]] *[[/Uni-Niveau/]] ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ppgvc49pwbue0vhkn67snv5iphucdc6 1093906 1093903 2026-06-12T09:39:43Z ~2026-29316-36 41570 /* Modellierungszyklen */ 1093906 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== Für die Sekundarstufe 1 haben wir einen Modellierungszyklus entwickelt, bei dem mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine Bewertung für den Standort einer Windenergieanlage mit verschiedenen Parametern erstellt wird. *[[/Sekundarstufe 1/]] *[[/Sekundarstufe 2/]] *[[/Uni-Niveau/]] ==Sekundarstufe 2== *[[/Sekundarstufe2/]] ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ==Regresionskuve Eifügen und genau klären was Variablen bedeuten== Nachdem die Leistungsformel hergeleitet wurde, soll nun die Windgeschwindigkeit als entscheidender Einflussfaktor näher untersucht werden. Dazu werden verschiedenen fiktiven Standorten in Deutschland (x-Werte) jeweils Windgeschwindigkeiten (y-Werte) zugeordnet. Die entstehenden Datenpunkte werden in GeoGebra dargestellt. Anschließend wird mithilfe einer Polynomregression dritten Grades eine Funktion bestimmt, die den Zusammenhang zwischen dem Standort und der dort zu erwartenden Windgeschwindigkeit möglichst gut beschreibt. Die erhaltene Regressionsfunktion dient als mathematisches Modell für die Windverhältnisse an den betrachteten Standorten. Im nächsten Schritt wird die Regressionsfunktion durch eine Kurvendiskussion untersucht. Insbesondere sollen Extremstellen bestimmt werden, um Standorte mit besonders hohen Windgeschwindigkeiten zu identifizieren. Aus dem Maximum der Funktion kann die größte zu erwartende Windgeschwindigkeit innerhalb des betrachteten Bereichs abgelesen beziehungsweise berechnet werden. Diese maximale Windgeschwindigkeit wird anschließend in die zuvor hergeleitete Leistungsformel eingesetzt. Dadurch lässt sich abschätzen, an welchem der betrachteten Standorte die höchste theoretisch nutzbare Leistung einer Windkraftanlage erzielt werden kann. Auf diese Weise werden die Modelle zur Beschreibung der Windgeschwindigkeit und der Leistungsberechnung miteinander verknüpft. Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] s9hh76fy3zo878kuqv5e9asdc20vc9l 1093909 1093906 2026-06-12T09:45:26Z ~2026-29316-36 41570 1093909 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Datei:2013-07-19 D300-0859 Achim-Lammerts Windpark-Gollenberg.jpg|miniatur|Windpark]] Der Klimawandel zählt zu den größten gesellschaftlichen und wissenschaftlichen Herausforderungen unserer Zeit. Die zunehmende Erderwärmung, häufigere Extremwetterereignisse sowie die Begrenztheit fossiler Energieträger machen eine nachhaltige und klimafreundliche Energieversorgung zunehmend notwendig. In diesem Zusammenhang kommt dem Ausbau erneuerbarer Energien eine bedeutende Rolle zu. Insbesondere Windenergieanlagen gelten als wichtiger Bestandteil der angestrebten Energiewende, da diese auf eine vergleichsweise emmissionsarme Art Strom erzeugen. Die Planung solcher Anlagen ist allerdings ein komplexer Prozess und bedarf der Berücksichtigung vieler verschiedener Faktoren. Neben geeigneten Wind- und Wetterverhältnissen spielen die geographische Lage, wirtschaftliche Aspekte, Naturschutz und auch gesellschaftliche Akzeptanz eine entscheidende Rolle. In den vergangenen Jahren kam es dadurch immer wieder zu Landnutzungskonflikten bei der Planung und Umsetzung von Windenergieanlagen. Um diese Konflikte möglichst klein zu halten, ist eine langfristige und überlegte Planung im Vorhinein essenziell. An dieser Stelle haben mathematische Modelle das Potential, verschiedene Faktoren zu berücksichtigen und dadurch komplexe Entscheidungsprozesse zu strukturieren und zu vereinfachen. == Nachhaltigkeitsziele (SDG) == === 🎓 SDG 7 (Affordable and clean energy) === Windenergieanlagen erzeugen Strom aus einer erneuerbaren Energiequelle und verursachen dabei während des Betriebs kaum CO2-Emissionen. Lediglich beim Bau der Windenergieanlagen wird CO2 ausgestoßen, allerdings in deutlich geringerem Maße als das bei vergleichbaren Formen der Stromerzeugung der Fall ist. Dadurch tragen Windenergieanlagen dazu bei, dass Menschen langfristig mit nachhaltiger und sauberer Energie versorgt werden. Um die Anlagen möglichst effizient zu nutzen, ist eine geeignete Standortwahl essenziell. === 🎓 SDG 11 (Sustainable cities and communities) === Nachhaltige Energieversorgung ist wichtig für Städte und Gemeinden. Windenergie kann Regionen unabhängiger von fossilen Brennstoffen machen und damit die Umweltbelastung verringern. Besonders angesichts wachsender Megacities und einer weltweit zunehmenden Bevölkerungszahl, ist eine solche umweltschonende Energieerzeugung sinnvoll und notwendig. === 🎓 SDG 13 (Climate action) === Windkraft hilft dabei, den Ausstoß von Treibhausgasen zu reduzieren und den Klimawandel zu bekämpfen. Im Vergleich zu anderen Stromerzeugungsquellen wird insbesondere das Treibhausgas Kohlenstoffdioxid eingespart. CO2 ist eines der wichtigsten Treibhausgase und trägt maßgeblich zum Klimawandel bei, indem es wie eine Art Wärmespeicher wirkt und einen großen Teil der Wärme in der Atmosphäre hält, der eigentlich von der Erde abgestrahlt wurde. Da Windenergieanlagen ohne Verbrennung fossiler Brennstoffe betrieben werden, entstehen nahezu keine CO2-Emissionen während des Betriebs. === 🎓 SDG 15 (Life on land) === Beim Bau von Windenergieanlagen muss die Natur geschützt werden. Deshalb ist die Standortwahl wichtig, damit Tiere, Pflanzen und Ökosysteme möglichst wenig beeinträchtigt werden. Insbesondere durch Bodenversiegelung oder Vogelschlag, haben Windenergieanlagen einen Einfluss auf die Umwelt. Um diesen Einfluss so gering wie möglich zu halten ist eine geeignete Standortwahl unabdingbar. == Zielsetzung == Diese Lernressource zu ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' in der Wikiversity hat das Ziel, einen geeigneten Standort zu finden für den Bau einer Windenergieanlage. Dabei sollen auf verschiedenen Niveaus (Sekundarstufe 1, Sekundarstufe 2 und Universitätsniveau) Möglichkeiten gezeigt werden, wie in der Schule mathematische Modelle eingesetzt werden können, um geeignete Standorte für Windenergieanlagen zu finden. == Modellierungszyklen== Für die Sekundarstufe 1 haben wir einen Modellierungszyklus entwickelt, bei dem mithilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms eine Bewertung für den Standort einer Windenergieanlage mit verschiedenen Parametern erstellt wird. *[[/Sekundarstufe 1/]] *[[/Sekundarstufe 2/]] *[[/Uni-Niveau/]] Stadorte mit richten werte eindimensionaler Definitionsbereich Süden nach Norden Windertrag höher, an Küste höher keine Bebauung, Temp Wasser weniger aufheizen und Abkühlen, Land schneller d.h mehr Windströme Winderträge are ins Landesinnere verschieben Wie nimmt der Windertrag im Landesinneren ab Rotationsgröße, Höhe Vektoren (Windertrag) werden durch eine Funktion zugeordnet Parameter eintragen Berechnungsvorschrift (Entfernung Küste, mittlere Windstärke, Bebauung, ...) Ende Skalarprodukt *[[/Universitäts Niveau/]] == Zielgruppe == Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' sind * Studierende im Fach * Schüler:innen im Fach == Aufgaben für Lernende / Studierende == Mit den folgenden Aufgaben zum Thema ''Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen'' werden == Literatur/Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Wiki2Reveal]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Windkraftanlagen&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Windkraftanlagen&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q0ig07uy0r3f31eemcmfn3cdq1ctkoo 0 171509 1093871 1093808 2026-06-11T12:15:31Z Bocardodarapti 2041 1093871 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{bildskip}} {{ inputbild |Afrotheria_phylogeny_(eng)|png|230px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer=Mariomassone |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir betrachten das Kladogramm der Afrotheria als einen {{ Definitionslink |Prämath= |binären Baum| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= B |SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Was ist die {{ Definitionslink |Prämath= |Exzentrizität| |Kontext=Graph| |SZ= }} der Wurzel Afrotheria und was ist der {{ Definitionslink |Prämath= |Durchmesser| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= B |SZ=?}} |Was ist der Abstand zwischen einem Rüsselspringer {{ Zusatz/Klammer |text=elephant shrew| |ISZ=|ESZ= }} und einem Elefanten? 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Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. 8xa7nwce172argysxt77819isp2vn2z 1093897 1093896 2026-06-12T09:00:12Z ~2026-34380-90 41642 /* Grundidee */ 1093897 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. [[File:Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter.png|center|thumb|Festgelegte Gewichtung für die einzelnen Parameter]] Nun wird die Summe der Gewichtungen errechnet, da man diese im nächsten Schritt (zur Anwendung der Formel) benötigt.[[File:Berechnung der Summe aller Gewichtungen.png|center|thumb|Berechnung der Summe aller Gewichtungen]] Alternativ kann man den prozentualen Anteil der einzelnen Kategorien errechnen, um die Bewertung ohne die genannte Formel, sondern mit Prozentrechnung durchzuführen.[[File:Prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien.png|center|thumb|prozentualer Anteil der einzelnen Kategorien]] Nun erfolgt die Berechnung der Gesamtbewertung der vier Standorte auf zwei Wegen. [[File:Berechnung durch Anwendung der Formel.png|center|thumb|1. Berechnung mithilfe Anwendung der Formel]] [[File:Berechnung mithilfe Prozentrechnung.png|center|thumb|2. Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ke9d2pk4qtrvjw3vwdofam1ilm5ayxg 106 171531 1093904 2026-06-12T09:38:45Z ~2026-29316-36 41570 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093904 wikitext text/x-wiki ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> 265bcxx71qvlgq6a3tmt7ea7dbevgo5 1093905 1093904 2026-06-12T09:39:02Z ~2026-29316-36 41570 1093905 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> o19175sk25vn8lnqg8fzxklhx84t2iv 106 171532 1093907 2026-06-12T09:43:22Z Nils Huck 41520 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093907 wikitext text/x-wiki ==Grundidee== Für die Sekundarstufe 1 würde sich beispielsweise die mathematische Umsetzung einer in der Biologiedidaktik bekannten Unterrichtsmethode eignen. Diese Unterrichtsmethode heißt "Explizites Bewerten" und wurde vor allem durch Susanne Bögeholz geprägt. Ziel ist es, durch eine explizite Bewertung verschiedener Untersuchungskriterien zu einer Fragestellung ein gewichtetes Urteil zu fällen. Die Gewichtung der Schülerinnen und Schüler kann dabei völlig individuell erfolgen und somit auch zu verschiedenen Ergebnissen führen. Dafür erstellen sich die Lernenden eine Tabelle, indem sie verschiedene Bewertungskriterien festhalten und diese unterschiedlich gewichten, je nach Wichtigkeit, die sie für das Kriterium empfinden. Mögliche Bewertungskriterien für den Bau von Windenergieanlagen wären beispielsweise die Windstärke, der Abstand zu Häusern, die Naturverträglichkeit, die Nähe zu Siedlungen oder zu Wäldern, die Anzahl betroffener Menschen, Vogelzuggebiete, landwirtschaftliche Nutzung und Höhenlage. Je nach Bewertung geben die Lernenden den Kriterien eine Punktzahl von 1 bis 3 (1 = negativ, 2 = neutral, 3 = positiv(vielleicht mit -1,0,1 Menschen interpretieren werte und Zahlen besser mit minus)) und können dann mithilfe der Formel mit den Gewichtungen eine Gesamtpunktzahl errechnen. Machen sie das für verschiedene Standorte, können Ergebnisse miteinander verglichen und relefktiert werden. Somit wird niedrigschwellig eine erste Möglichkeit zur Standortwahl bereits in der Sekundarstufe 1 angeboten. ===Ziele=== Das Ziel des ersten Modellierungszyklus besteht darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Werkzeug kennenlernen, mit dem eine derartige komplexe Problemstellung angenähert und welches als Entscheidungshilfe verwendet werden kann. Der Fokus liegt hierbei nicht auf einer möglichst präzisen Annäherung an den realen Sachverhalt, sondern darin, dass Schülerinnen und Schüler ein Verständnis dafür entwickeln, dass komplexe Problemstellungen aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet werden und verschiedene Faktoren Einfluss nehmen können. Auch wird deutlich, dass einige Faktoren möglicherweise von höherer Bewandtnis sind als andere und dass unterschiedliche Gruppen in der Bevölkerung dabei verschiedene Interessen sowie daraus resultierend Meinungen und Schwerpunkte vertreten können. ===Mathematischer Hintergrund=== Das oben beschriebene Vorgehen für den ersten Modellierungszyklus ist entsprechend so gewählt, dass eine mathematische Betrachtung der Problemstellung mit den Methoden, die Schülerinnen und Schülern in der Sekundarstufe 1 zur Verfügung stehen, möglich wird. Die entsprechende Formel hierfür lautet: :<math>\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Dabei gilt: * <math>\bar{x}_w</math>: gewichteter Mittelwert * <math>x_i</math>: i-ter Wert, der für ein entsprechendes Merkmal vergeben wird * <math>w_i</math>: Gewicht des i-ten Wertes Mit Hilfe dieser Formel kann aus den vergebenen Punkten für jeden betrachteten Standort eine Gesamtpunktzahl ermittelt werden, die sich durch den gewichteten Mittelwert ergibt. Alternativ kann die Rechnung auch ohne Kenntnis obiger Formel erfolgen, indem deren inhaltliche Bedeutung über die Prozentrechnung erarbeitet wird, die ebenfalls Bestandteil des Unterrichtsinhalts in der Sekundarstufe 1 ist ([https://bildung.rlp.de/lehrplaene/seite/1 Lehrplan Mathematik Sek1]). Die Gewichtung eines jeden Kriteriums kann nicht nur als ganzzahliger Wert (bspw. dreifache Gewichtung), sondern auch als prozentualer Anteil der Summe aller Gewichtungen der betrachteten Kriterien dargestellt werden: :<math>\frac{p}{100} = \frac{w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}</math> Anschließend kann mit dem auf diese Weise bestimmten Prozentsatz aus dem jeweiligen Grundwert, also der je Kriterium vergebenen Punktzahl, der Prozentwert errechnet werden: :<math>W = \frac{p}{100} \times G</math> Die Summe aller Prozentwerte, das heißt von allen Kategorien eines betrachteten Standortes, liefert dann ebenfalls das Ergebnis für den gewichteten Mittelwert, also die Gesamtpunktzahl für diesen Standort: :<math>\bar{x}_w = \ W_1+ W_2+ ...+ W_n</math> Der Vergleich der errechneten gewichteten Mittelwerte mittels einem der beiden oben beschriebenen Vorgehen liefert schließlich eine quantitative Aussage darüber, welcher der untersuchten Standorte sich am besten für den Bau von Windkraftanlagen eignet, unter Berücksichtigung der möglicherweise individuell vergebenen Gewichtung der Untersuchungskriterien. Die oben geschilderten Berechnungen können dabei mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie Libre Office Calc durchgeführt werden. Auf diese Weise lernen die Schülerinnen und Schüler auch den Umgang mit digitalen mathematischen Hilfsmitteln und wie sie diese sinnvoll für die zu untersuchende Problemstellung einsetzen können (-> näheres dann bei Umsetzung). ===Umsetzung=== Im ersten Schritt wurden den vier Standorten anhand der zuvor festgelegten Parameter Punktwerte von 1-3 zugeordnet. Diese Daten werden in einem Tabellenkalkulationsprogramm (z.B. LibreOfficeCalc) eingetragen.[[File:Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung.png|center|thumb|Tabelle mit vier verschiedenen Standorten zur Bewertung]] Anschließend wird für jede Kategorie eine Gewichtung festgelegt. Dies können die Schülerinnen und Schüler individuell machen. Dabei stärken sie vorwiegend ihre Argumentations - und Urteilsfähigkeit. 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Berechnung mithilfe Prozentrechnung]] Beide Rechenwege liefern die gleichen Ergebnisse, die durch die bedingte Formatierung und dadurch resultierende Farbcodierung gut interpretierbar werden. Als Schwellenwert von negativ zu positiv wurde laut Legende der Wert zwei festgelegt. Somit folgt, dass alle Standorte, deren Gesamtbewertung kleiner als zwei sind, negativ bewertet wurden. Dazu passend wurden sie rot eingefärbt. Alle Standorte, deren Gesamtbewertung größer als zwei sind, werden positiv bewertet und sind dazu passend grün eingefärbt. ke9d2pk4qtrvjw3vwdofam1ilm5ayxg 106 171533 1093908 2026-06-12T09:44:26Z Nils Huck 41520 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1093908 wikitext text/x-wiki ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> 265bcxx71qvlgq6a3tmt7ea7dbevgo5 1093910 1093908 2026-06-12T09:52:11Z Nils Huck 41520 1093910 wikitext text/x-wiki ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ===Umsetzung=== {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} qxn222o7gzaj9q41zggio1scrb2e7fs 1093911 1093910 2026-06-12T09:53:17Z Nils Huck 41520 1093911 wikitext text/x-wiki ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ===Umsetzung=== {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} ghpx1thxruiahocawpqht697wygobr4 1093912 1093911 2026-06-12T09:57:14Z Nils Huck 41520 /* Umsetzung */ 1093912 wikitext text/x-wiki ===Grundidee=== Eine Windkraftanlage wandelt die Bewegungsenergie des Windes in elektrische Energie um. Um abzuschätzen, wie viel Leistung eine Anlage unter bestimmten Bedingungen maximal erzeugen kann, wird in der Physik und Technik ein mathematisches Modell verwendet. Dieses Modell beschreibt den Zusammenhang zwischen den Eigenschaften des Windes und den Abmessungen der Anlage. Die theoretisch maximal nutzbare Leistung einer Windkraftanlage kann mit folgender Formel berechnet werden: <math>P_\text{Wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3</math> Dabei bedeuten die einzelnen Größen: * <math>P_\text{max}</math> – die theoretisch maximal erreichbare Leistung der Windkraftanlage in Watt (W) * <math>\rho</math> – die Dichte der Luft in Kilogramm pro Kubikmeter (kg/m³) * <math>A</math> – die vom Rotor überstrichene Fläche in Quadratmetern (m²) * <math>v</math> – die Windgeschwindigkeit in Metern pro Sekunde (m/s) Besonders relevant ist der Einfluss der Windgeschwindigkeit. Da sie kubisch, also in der dritten Potenz in die Formel eingeht, führt beispielsweise eine Verdopplung der Windgeschwindigkeit direkt zu einer Verachtfachung der theoretisch verfügbaren Leistung. Die Windgeschwindigkeit ist daher der wichtigste Faktor für den Energieertrag einer Windkraftanlage und soll im Folgenden speziell betrachtet werden. Um die Modellierung für Sekundarstufe 2 zu ermöglichen, gehen wir davon aus, dass in ganz Deutschland eine konstante Luftdichte von <math>\rho = 1{,}225\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}</math> herrscht, das entspricht trockener Luft bei 15 °C auf Meereshöhe. Außerdem gehen wir zur Vereinfachung von einem konstanten Wert der Rotorfläche A aus. Ein typischer Modellwert für moderne Onshore-Windkraftanlagen liegt bei <math>D = 140\,\mathrm{m}</math>. Daraus ergibt sich <math>A = \pi \cdot \left(\frac{140}{2}\right)^2 \approx 15\,400\,\mathrm{m^2}</math>. Dadurch vereinfacht sich die Leistungsformel zu <math> P_\text{Wind}(v) = \frac{1}{2}\rho A v^3 = \frac{1}{2}\cdot 1{,}225\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^3}\cdot 15\,400\,\mathrm{m}^2 \cdot v^3 = 9432{,}5\cdot v^3 \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}} </math> ===Umsetzung=== {{math|f(x) = -0{,}0013x^3 + 0{,}0155x^2 + 0{,}1433x + 6{,}037}} {| class="wikitable" |- ! Standorte !! Windgeschwindigkeit |- | -15 || 11.5 |- | -14 || 10 |- | -13 || 9.5 |- | -12 || 9 |- | -11 || 8.4 |- | -10 || 7.8 |- | -9 || 7.2 |- | -8 || 6.9 |- | -7 || 6.5 |- | -6 || 6.2 |- | -5 || 5.9 |- | -4 || 5.6 |- | -3 || 5.2 |- | -2 || 5.6 |- | -1 || 5.7 |- | 0 || 5.7 |- | 1 || 5.9 |- | 2 || 6.1 |- | 3 || 6.4 |- | 4 || 6.8 |- | 5 || 7 |- | 6 || 7.3 |- | 7 || 7.5 |- | 8 || 8 |- | 9 || 8.1 |- | 10 || 8.4 |- | 11 || 7.8 |- | 12 || 7.6 |- | 13 || 7.4 |- | 14 || 7.4 |- | 15 || 7.3 |} 42ex7kf31uklasbngdf22f1vwo28x99