Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 4 2133 1105357 1093938 2026-06-23T17:12:19Z MediaWiki message delivery 16096 Neuer Abschnitt /* RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons */ 1105357 wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Apologies for writing in English. {{int:Please-translate}} A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 02:58, 26. Apr. 2026 (CEST) </bdi> Beim recherchieren vielen mir vor kurzem einige Lücken des Lexikon bei den englischsprachigen Wissenschaftlern auf. Vielleicht kann ich da demnächst ein paar Namen unter Relevanzaspekten ergänzen oder einen stub dazu verfassen. Schönen Mai.[[Spezial:Beiträge/&#126;2026-26314-20|&#126;2026-26314-20]] ([[Benutzer Diskussion:&#126;2026-26314-20|Diskussion]]) 09:09, 1. Mai 2026 (CEST) == 2FA == Wikimedia hat beschlossen, daß für alle <s>Hausmeister</s> "Benutzer mit erweiterten Rechten" eine Zweifaktorenautorisierung erzwungen wird. Somit endet meine Tätigkeit hier als Pedell nach knapp 17 Jahren. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 18:48, 15. Mai 2026 (CEST) :Um Missverständnisse bei Mitlesenden zu vermeiden: "Benutzer mit erweiterten Rechten" beinhaltet (bisher) nicht normale Admins, sondern nur Gruppen, die darüber hinausgehen (also z.B. Bürokraten). Siehe [[:m:Mandatory two-factor authentication for users with some extended rights/de]]. [[Benutzer:Johannnes89|Johannnes89]] ([[Benutzer Diskussion:Johannnes89|Diskussion]]) 07:14, 16. Mai 2026 (CEST) ::Hallo Ralf, ich hab da keine richtige Meinung zu, ob diese Änderung für Wikiversity sinnvoll, übertrieben, doof ist. Mir ist nicht klar, was du daran so schlimm findest, dass du dich als Pedell zurückziehen willst. Fänd ich jedenfalls schade. Gruß, [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 13:50, 30. Mai 2026 (CEST) :::Ich verstehe das Ganze einfach nicht. Versteh mich nicht falsch, ich habe Informatik unterrichtet, Assembler, Maschine, LISP, Fortran usw. Ich bin also nicht völlig ahnungslos, aber der ganze Hokuspokus erschließt sich mir nicht. Daß sowas bei Onlinebanking erforderlich ist, verstehe ich ja noch, aber da ist es auch einfach gemacht. Fingerabdruck eingeben und das wars. Jetzt soll ich einen Sicherheitsschlüssel kaufen, dafür extra Software installieren, um damit einen Fingerabdruck zu registrieren. Ich versuche es heute nochmal. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 19:41, 1. Jun. 2026 (CEST) ::::Hallo Ralf, ich fand es auch nicht einfach und nervig, da ich eigentlich kein Handy hab und für solche Sachen dann das alte von X nehme. Jedenfalls hab ich aufs Handy die App 'open authenticator' runtergeladen (meine erste App runterladen, NB: für die empfohlene App war das Handy schon zu alt!). Dann musste man dort aktivieren, dass die App Zugriff auf die Kamera hat (Dank an X), um damit dann diesen QR-Code aus den Einstellungen hier zu fotografieren. Das stellt die Verbindung zwischen der App und Wikiversity her. Wenn man dann sich anmeldet, fragt das Login noch nach dem Code, da muss man auf die App gehen und die zeigt einen sechstelligen Zahlencode an, den man eingeben muss. Das hat jedenfalls geklappt. Aber trivial find ich das Ganze auch nicht, wenn man sonst kein Handy verwendet. An der Uni konnte ich mich dann nicht einloggen, da ich es nicht dabei hatte. Zur anderen 2FA-Möglichkeit kann ich nix sagen. Ich frage mich aber schon, ob das dem inklusiven Gedanken der Wikipedia entspricht, solche technischen Hürden aufzubauen. [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 09:00, 3. Jun. 2026 (CEST) :::::Ich habe zwar ein Telefon aber ich darf weder da drauf noch auf dem Laptop einfach irgendwelche Software installieren. Ich fahre Ende der Woche mal ins Büro von WMDE, vielleicht bekommen die es hin. Das ist aber dann der letzte Versuch. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 20:24, 8. Jun. 2026 (CEST) ::::::Vielen Dank an [[Benutzer:DerHexer|DerHexer]], alleine hätte ich das nie geschafft. [[Benutzer:Ralf Roletschek|RalfR]] ([[Benutzer Diskussion:Ralf Roletschek|Diskussion]]) 16:45, 11. Jun. 2026 (CEST) :::::::Gut! [[Benutzer:Bocardodarapti|Bocardodarapti]] ([[Benutzer Diskussion:Bocardodarapti|Diskussion]]) 16:05, 12. Jun. 2026 (CEST) == Jetzt bei den U4C-Wahlen 2026 abstimmen == <section begin="announcement-content" /> Die stimmberechtigten Wähler werden gebeten, an der Wahl des [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] 2026 teilzunehmen. Weitere Informationen - einschließlich einer Prüfung der eigenen Stimmberechtigung, Informationen zum Abstimmungsprozess, Kandidateninformationen und einem Link zur Abstimmung - findest du auf Meta auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|Informationsseite der Wahlen 2026]]. Die Abstimmung endet am 2. Juni 2026 um [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 Uhr UTC]. Bitte stimme ab, wenn dein Konto stimmberechtigt ist. Die Ergebnisse werden bis zum 14. Juni 2026 vorliegen.<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 19:15, 27. Mai 2026 (CEST) == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr">Apologies for writing in English, please help translate this message to your language. You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|Diskussion]])</bdi> 19:12, 23. Jun. 2026 (CEST) lut8b65zqwv8o9fsgwigxds8mvxsfsm 0 10758 1105377 1047798 2026-06-24T07:38:03Z Bocardodarapti 2041 1105377 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= 2 |SZ=}} im Ring {{mathl|term= \Z [ \sqrt{5} ] |SZ=}} {{ Definitionslink |irreduzibel| |Kontext=Ring| |SZ=, }} aber nicht {{ Definitionslink |prim| |Kontext=Ring| |SZ= }} ist. Wie sieht es in {{math|term= A_5 |SZ=}} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reell-quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(5)) |Objektkategorie2=Der quadratische Zahlbereich zu D ist 5 |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k74jxdm077zecz06wapsh2rjhnr1ld5 108 11991 1105388 1099371 2026-06-24T09:00:52Z Bocardodarapti 2041 1105388 wikitext text/x-wiki Der einzige Sinn dieser Seite ist, solche Seiten aufzulisten, auf die im Moment zwar nicht von irgendwoher zugegriffen wird, die aber in sinnvoller Weise kategorisiert wurden. Dies kann auf Aufgaben, die auf Vorrat angelegt wurden, oder auf Definitionsvarianten etc. zutreffen. Der Zweck ist, dass solche Seiten nicht unter [[Spezial:Verwaiste_Seiten|verwaiste Seiten]] auftauchen. Es handelt sich ja nicht wirklich um verwaiste Seiten, da sie über das Kategoriensystem auffindbar und verfügbar sind. Ebenso werden hier Latexvarianten von Seiten abgelegt. Es besteht kein Grund, die Seiten hier zu löschen, nachdem sie verlinkt sind. [[Kategorie:Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Sonstiges]] =Verwaiste Vorlagen = [[Vorlage:Arbeitsblattaufzählungsform]] [[Vorlage:Algorithmen-Kategorie unter]] [[Vorlage:Element-Kategorie]] [[Vorlage:Elemente-Kategorie‏]] [[Vorlage:DefinitionslinkAnführung‏‎]] [[Vorlage:DefinitionslinkFußnote‏]] [[Vorlage:Extralatex]] [[Vorlage:Fakten mit Beweis-Kategorie]] [[Vorlage:FaktlinkAufgabe]] [[Vorlage:Latexdruck2\!]] [[Vorlage:Latexmakros-Kategorie unter]] [[Vorlage:Mathbed3‏‎]] [[Vorlage:Mathbed3/display‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie2‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie3‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/FaktKategorie1‏‎‏‎]] [[Vorlage:Semantische Vorlage‏]] [[Vorlage:Seminarformvorlage‏]] [[Vorlage:Sumj0k]] [[Vorlage:Sumj1m‏‎]] [[Vorlage:Sumn0k‏]][[Vorlage:Synchronized‏‎]] [[Vorlage:Tabellemitdreispalten]] [[Vorlage:Tabellemitzeilen‏‎]] [[Vorlage:Tabellemitzeilen]] [[Vorlage:Textabschnitts-Kategorie]] [[Vorlage:Vorlesungsaufzählungsform]] [[Vorlage:Vorlesungsfußform‏‎]] [[Vorlage:Vortragseintragaktuellsek‏‎]] = = [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 3/wikicode]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Deckblatt/latex]] [[Ring/Lineare Algebra/Einführung/Textabschnitt/wikicode]] [[Lineare Abbildung/Normierte Räume/Stetigkeit/Charakterisierung/Fakt/Name]] [[Algebraische Kurven/Geradenbündel/Aufgaben/Textabschnitt]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/Information/Inhalt]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesungsaufzählung/Vorlesungstitellatex]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesungsaufzählung/Vorlesungstitellatex]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Information/Klausur]] [[Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Information/Übungsbetrieb]] [[Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2025-2026)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik/2a/Klausur]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik/3a/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Algebraische Kurven/Test 1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2025-2026)/Lizenzerklärung]] [[Zeitungsabos/3/Aufgabe]] [[Zeitungsabos/4/Aufgabe]] [[Quadratische Gleichung/K/Lösungsformel/Fakt]] [[Quadratwurzelfunktion/Potenzreihe/Einspunkt/Aufgabe]] [[Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition/wiki]] [[Kommutative Ringtheorie/Kommutativer Ring/Definition/wikicode]] [[Ringtheorie/Ring/Ausführlich/Definition/wikicode]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2025)/Vorlesungsaufzählung/Vorlesungstitellatex]] [[Kurs:Lineare Algebra I,II (Osnabrück)/Mündliche Prüfung]] [[Holger Brenner/Corona/Klausur/Zu unterschreibendes Dokument/E-mail]] [[Holger Brenner/Corona/Klausur/Zu unterschreibendes Dokument/latex]] [[Holger Brenner/Corona/Präsenzveranstaltung/Zusatz November 21]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Nachfolger/Addition/Multiplikation/Textabschnitt]] [[Geordnete Menge/Extremalelemente/Textabschnitt]] [[Fermat-Kubik/4 Variablen/Standardquadrik/Beispiel]] [[Fermat-Kubik/Z mod 3/Gruppenoperation/Invariantenring/Beispiel]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/61/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/62/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/63/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/64/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/65/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/6a/Klausur mit Lösungen]] [[Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name]] [[Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Frobenius-Homomorphismus/Elliptische Kurve/Direkt und basistrivial/Textabschnitt]] [[Funktion/Profil/Kraftfeld/Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel]] [[Funktionentheorie/Singularitäten/Einführung/Textabschnitt]] [[Fünfter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe]] [[Euklidischer Vektorraum/Orthogonalbasis/Definition]] [[Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Zusammenhang/Textabschnitt]] [[Bocardodarapti/StudIP/Abgabe]] [[Bruch/Zehnersystem/Umrechnung in Dreiersystem/2/Aufgabe]] [[Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Funktion/Definition]] [[Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe]] [[Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T7/Aufgabe]] [[Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T7/Aufgabe]] [[Angeordneter Körper/Folgen/Rechenregeln/Textabschnitt]] [[Abelsche Gruppe/Normfunktion/Einführung/Endlich erzeugt/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Offene Menge/Globale Funktion/Beispiel]] [[Endlicher freier Modul/Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung]] [[Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Direkt/Beispiel]] [[Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Homogen/Geradenschnitt/Bemerkung]] [[Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe]] [[Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Ebene algebraische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition]] [[Eigenvektoren/Charakteristisches Polynom/4/Aufgabe]] [[Eindimensionale Algebra/R/Zwei Variablen modulo s^2+t^2/Beispiel]] [[Division mit Rest/Konstruktiv/Bemerkung]] [[Dedekindbereich/Gebrochene Ideale/Bezug zu Divisoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/y' ist ty-t^2+1/Aufgabe]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt]] [[Differenzierbare Funktionen/K/Hintereinanderschaltung/Höhere Kettenregel/Fakt]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Lizenzerklärung]] [[Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Ableitungen und Regeln/Textabschnitt]] [[Aussagenlogik/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt]] [[Euro-Münze/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe]] [[Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/2/Bemerkung]] [[Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/Bemerkung]] [[Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbarer Fall/Fakt]] [[Aussagenlogik/Modellbeziehung/Folgerung/Textabschnitt]] [[Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Logarithmus/Reihen und Integrale/Aufgabe]] [[Erststufige Peano-Arithmetik/Kommutativer Halbring/Fakt]] [[Spektrumsabbildung/Faser/Tensorprodukt/Aufgabe]] [[Summierbarkeit/1 durch ab/a,b geq k/Aufgabe]] == == [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Elementare Algebra/1/Test/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Deckblatt]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/100/Klausur]] [[Kurs:Differentialgeometrie/100/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Materialienaufzählung]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Platzaufteilung/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Testklausur/Ablauf]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Analysis/Teil I/64/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil II/26/Klausur mit Lösungen]] [[Sigmaendlicher Maßraum/Offenes Intervall/Funktion/Situation]] [[Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/4/Aufgabe]] [[Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt]] [[Reeller Vektorraum/Gitter/Einführung/Textabschnitt]] [[Neilsche Parabel/+/Matrix zu Hauptteilen/Quadrataddition/Beispiel]] [[Noethersche Normalisierung/Ebene/3/Aufgabe]] [[Minimalpolynom/sqrt(3)+sqrt(7)/Aufgabe]] [[Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Name]] [[Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt/Name]] [[Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition/Begriff]] [[Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition/Begriff/Inhalt]] = = [[Nichtmodulare Gruppe/Normalteiler/Lineare Operation/Linearisierbar/Aufgabe]] [[SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt/Beweis]] [[R^3/Ohne Punkt/Einfach zusammenhängend/Aufgabe]] [[Intrat/Aufgabe]] [[Endliche lineare Gruppenoperation/pm S 2/Normalteiler/Linear und nicht/Aufgabe]] [[Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Mit Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis]] [[Algebra/Seminar/Mögliche Themen]] [[Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Modultheorie/Untermodul/Definition]] [[Lexikographische Ordnung/Leitmonom/Multiplikativ/Aufgabe]] [[Lineare Invariantentheorie/Relative Invarianten zu Charakter/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangswertproblems]] [[Differentialgleichung/y^2+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Einführung/Textabschnitt]] [[Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel]] [[Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Invariantenringe/Textabschnitt]] [[Wegintegral/Ebene/x^2-y^3,xy/t^2,t^3-5t/-3 bis 4/Beispiel]] [[Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/Euklidisch/Definition]] [[Totale Differenzierbarkeit/R/Polynomiale Funktion/Aufgabe]] [[Totales Differential/R/Kettenregel/(uv^3w^2,u^2-v^2w) und (xy-y^2,cos(xy),x-y)/Beispiel]] [[Stetigkeit/Wikipediaartikel/Aufgabe]] [[Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung/Beispiel]] [[Polynomfunktionen/R/Sind stetig/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomring/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Primzahlen/Fermatsche Primzahl/Doppelexponent/Definition]] [[Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition]] [[R^n/Abgeschlossene Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt]] [[Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/2/Definition]] [[Differentialgleichung/y+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Ebene Kurve/Bogenparametrisiert/Definition]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (t^3-yt^2,tx^2y-sinh t)/Start (0,1)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (x^2t-xyt+y^3-yt^3,x^3-xy^2+cos t)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (xt^2-y^2t,xy)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/Berechnung/x^2+3x-4 durch x-1/Von 2 bis 5/Aufgabe]] [[Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Bezout Euklid Faktoriell/Textabschnitt]] [[Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Prädikatenlogik/Ableitungskalkül/Surjektivität/Verknüpfung/Beispiel]] [[Prädikatenlogik/Erste Stufe/Identität/Syntaktische Tautologien/Sequenzenkalkül ableitbar/Textabschnitt]] [[Reihe/Koch Schneeflocke/Länge und Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Sinus/R/Additionstheorem/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] == == [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Euklidischer Algorithmus/Arbeitsblatt 1]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt]] [[Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Z kanonisch/Aufgabe]] [[Kommutative Ringtheorie/Urbild eines maximalen Ideals/Nicht maximal/Aufgabe]] [[Kommutatives Monoid/Teilbarkeitseigenschaften/Arbeitsblatt]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweis]] [[Gruppentheorie/Index/Definition/2]] [[Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Nichteinheiten Ideal/Definition]] [[Konjugierte invertierbare Matrizen/R/Invariante Eigenschaften/Aufgabe]] [[Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlentheorie/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweisklappe]] [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt mit Beweisklappe]] = = [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt mit Beweisklappe]] [[Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt mit Beweisklappe]] [[Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Textabschnitt]] [[Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt mit Beweisklappe]] [[Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweisverweis]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweisklappe]] [[Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt mit Beweisklappe]] [[MDLUL/kompakten Teilmengen]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] = = [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Funktion/Definition]] [[Quadratische Lösungsformel/R/Beweise/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Linksseitiger rechtsseitiger Limes/Definition]] [[Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Zahlen/Gaußklammer/Funktion/Definition]] [[Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe]] [[Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^3y^2dxdy/Stammform/Aufgabe]] [[MDLUL/Offene Innere]] [[MDLUL/Untermannigfaltigkeit mit Rand]] [[MDLUL/diffeomorph (Rand)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (C^k)]] [[MDLUL/Überdeckung untergeordnete Partition der Eins]] [[Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Wegintegral/M und R^n/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialformen und Orientierung/Textabschnitt]] [[Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe/2/Lösung]] [[Angeordneter Körper/Vollständigkeit/Textabschnitt]] [[MDLUL/Lösung für das Anfangswertproblem]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/3/Basislösungen/4 5 9/1 4 7/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung]] [[MDLUL/messbaren Funktion]] [[MDLUL/Schnitt]] [[MDLUL/abgeschlossenen Untermannigmannigfaltigkeit]] [[MDLUL/orientierungstreu]] [[MDLUL/regulären Punkt (Kurve)]] [[Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt]] [[MDLUL/wachsenden (Funktionenfolge)]] [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Textabschnitt]] [[MDLUL/kompakten]] [[MDLUL/Endomorphismus]] [[MDLUL/Polygons]] [[MDLUL/Dimension (Mannigfaltigkeit)]] [[MDLUL/Niveaumenge zum Wert 0]] [[Produktraum/Endlich/Produktprämaß auf Produktpräring/Textabschnitt]] [[Produktraum/Endlich/Produktpräring/Textabschnitt]] [[Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit/Glatter Tensor/Definition]] = = [[Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Einführung/Textabschnitt]][[Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Linearität des Integrales/Textabschnitt]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt]] [[Existenzsätze für Maße/Fortsetzung/Produktmaß/Textabschnitt]] [[Diskrete Bewertungsringe/Einführung/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangsbedingung (dgl)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gd)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gdg)]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen (gdg)]] [[MDLUL/Exponentialfunktionen (allg R)]] [[MDLUL/Funktionenfolgen (mr)]] [[MDLUL/Lineare Abbildung]] [[MDLUL/Linearfaktor (1K)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangswertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangwertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung des Anfangwertproblems (gdg)]] [[MDLUL/Matrixpotenz]] [[MDLUL/Maximum (fkt)]] [[MDLUL/Minimum (fkt)]] [[MDLUL/Neilsche Parabel]] [[MDLUL/Nullfolgen (R)]] [[MDLUL/Nullteiler]] [[MDLUL/Obere Schranke]] [[MDLUL/Obere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Ordnung (Gruppe)]] [[MDLUL/Orthonormalbasen]] [[MDLUL/Partialsumme (C)]] [[MDLUL/Polynomring (1)]] [[MDLUL/Potenz (matrix)]] [[MDLUL/Produkt (Matrix)]] [[MDLUL/Rang (Matrix)]] [[MDLUL/Restklassenring (Z)]] [[MDLUL/Skalarprodukte (R)]] [[MDLUL/Skalarprodukten (R)]] [[MDLUL/Teilen]] [[MDLUL/Teilfolgen (mr)]] [[MDLUL/Untere Schranke]] [[MDLUL/Untere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Wachstumsverhalten (abb)]] [[MDLUL/endlichdimensional (VR)]] [[MDLUL/erzeugte σ-Algebra]] [[MDLUL/stetige Abbildung (tr)]] [[Mathematik/Hilfsmittel/Griechisches Alphabet 2]] [[Messbare Funktionen/Folge/Supremum und Infimum/Fakt/Beweis]] [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Faser ist topologische Mannigfaltigkeit/Fakt/Beweis]] [[Satz über implizite Abbildungen/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt]] [[Tensorprodukte von Vektorräumen/Einführung/Textabschnitt]] [[Topologische Grundbegriffe/Zusammenstellung für Mannigfaltigkeiten/Textabschnitt]] [[Transformationsformel/Asphalt und Mittelstreifen/Beispiel]] [[Der Banachsche Fixpunktsatz/Textabschnitt]] [[Gewöhnliche Differentialgleichungen/Picard Lindelöf/Textabschnitt]] [[Satz über Umkehrabbildung/Textabschnitt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Textabschnitt]] [[Stammfunktion/(sqrt(x^2+x+1))^3 +4 sqrt(x^2+x+1) x^3 -3 sqrt(x^2+x+1) x durch x^2 sqrt(x^2+x+1)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/f^2/Über 1 durch n+1 bis 1 durch n/Aufgabe]] [[Stammfunktion/1 durch cos/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/t^x e^(-t)/0 bis -infty/Aufgabe]] [[Die Fakultätsfunktion/Komplex/Textabschnitt]] [[Uneigentliches Integral/0 bis 1/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] [[Mathematik/Einführender Text/Platon und Würfelsymmetrie/Vortrag/Zusatz]] = = [[Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/NxN/Äquivalenzrelation/Variante 1/Aufgabe]] [[Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe]] [[Polynom/Linearfaktor/Definition]] [[Potenzen, Wurzeln/Aufgabe 3/Aufgabe]] [[Sinus und Kosinus]] [[Hintereinanderschaltung/Treppenfunktion/Ist Treppenfunktion/Aufgabe]] [[Stammfunktionen/Rechenregeln/Textabschnitt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt/Beweis]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzipien/Aufgabe]] [[Q nach R/Kleiner sqrt(2)/Keine stetige Fortsetzung/Aufgabe]] [[Seminar Algebra (Osnabrück 2009/2010)/Themen]] [[Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition]] [[Abbildung/Nach Körper/Nullfunktion/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition]] [[Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Definition]] [[Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise]] [[Matrix/Körper/Potenz/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Sinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition]][[Abbildung nach Körper/Nullstelle/Definition]][[Obere Dreiecksmatrix/Definition]] [[Körper und reelle Zahlen/Quadratwurzel/Definition]] [[Lineare Algebra/Quadratische Matrix/Definition]] [[Matrix/Zeilenrang einer Matrix/Definition]] [[Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Multiplikationssatz/Mit Spalten/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt]] [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition]] [[Vektorraum/Nullraum/Definition]] [[Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt/Beweis]] [[Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Fakt]] [[Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt/Beweis]] [[Körper/2 nicht null/Arithmetisches Mittel/Definition]] [[Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Beweis]] [[Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folgen/Textabschnitt]] [[Reelle Zahlen/Binomi/Fakt]][[Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Doppelte Existenz injektiver Abbildungen/Bijektiv/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/In M unendlich/Gibt disjunkte bijektive Menge/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Über Injektion vergleichbar/Aufgabe]] [[Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition]] [[Binomialkoeffizient/Anzahl der Monome vom Grad maximal n/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Bijektion zu 1...kl(T)/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Wohldefinierte Addition über disjunkte Mengen/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Definition]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Isoliertes System/Definition]] [[Vektorraum/Familie von Untervektorräumen/Untervektorraum/Aufgabe]] = = [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Eigentheorie/Textabschnitt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt/Beweis]] [[Affiner Raum/Reell/Lineare Variablentransformation/Definition]] [[Gruppentheorie/Alternierende Gruppe/Konstruktion/Aufgabe]] [[Semantische Einlesevorlagen/Alphabetische Parameterweitergabe]] [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Textabschnitt]] = = [[Seminar Algebraische Kurven (Osnabrück 2009)/Themen]] [[Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen und GgT/Textabschnitt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt/Beweis]] [[Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz/Abschätzungskette]] [[Theorie der Abbildungen/Abbildung/Als Relation/Definition]] [[Quadratische Reste/35 mod 97/Aufgabe]][[Ebene algebraische Kurve/Irreduzibel/Nur endlich viele singuläre Punkte/Aufgabe]] [[Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität (ohne Nakayama)/Fakt/Beweis]] [[Monomiale ebene Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/align]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/detail]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/display//Grund1]] [[Topologie/Topologische Räume/Simplex/Definition]] [[Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Arbeitsblatt 2]] = = [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Logik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Lineare Abbildung/Determinante/Textabschnitt]] [[Zahlentheorie/Großer Fermat/Exponent 3/Fakt]] [[Satz von Schwarz/x^4y^5/Beispiel]] [[Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition]] [[Quadratzahl/Definition]] [[JohnSinclair/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]] [[Restklassenringe (Z)/Restberechnung/36! mod 31/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/78+66i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Affiner Raum/Irreduzibilität/Schnitt von Zylinder und Kugel/2/Aufgabe]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge ist Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals/Fakt/Beweis]] [[Kommutative Ringtheorie/Theorie der noetherschen kommutativen Ringe/Textabschnitt]] [[Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Einführender Textabschnitt]] [[Monomiale Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Euklidischer Bereich Definition Alternative]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 2/X^6+X^2+1 und X^3+X/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/X^4+2X^2+X+2 und X^2+2X+1/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 7/X^3+6X^2+4 und X^2+3X+2/Aufgabe]] [[ Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/2X^4-7X^2+5/2X+3 und X^3+1/Aufgabe]] = = [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweis]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/Basislösungen/7 8 9/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/71 mod 89/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/479 mod 1277/Aufgabe]] = = [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition]] [[Affine Varietäten/Irreduzible/Rationale Funktion/Definition]] = = [[Stetige Funktion/Halbgerade/Überabzählbare Nullstellen/Aufgabe]] [[Stetige Funktion/R/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Häufige Fehler/Zweite Woche/Doppelinduktion]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/TeilI I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Ferientutorium]] [[Zahlentheorie/Chinesischer Restsatz (Z)/4 5 11/Basislösungen/Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 6/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 7/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 11/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] = = [[Lineare Abbildung/Modul/Situation]] [[Lineare Abbildungen/Bestimme Bild und Kern 3x3/Aufgabe]] [[Lineares Gleichungssystem/Situation]] [[Logik/Terminterpretation/Surjektiv machen/Aufgabe]] [[Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Eigenschaften/Aufgabe]] [[Numerischer Halbgruppenring/3,4,5/Unitäre Operatoren/Aufgabe]] [[Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Invertierungsfunktion/Logarithmus/Beispiel]] [[Modultheorie/Antisymmetrisierungsoperator/Definition]] [[Monoidring/Dimension zwei/Idempotenz/Lokale Picardgruppe/Beispiel]] [[Monoidring/Universelle Eigenschaft/Funktorialität/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Monoidring/ZW ist XY/Unitärer Operator/Aufgabe]] [[Monoidring/Z^2 ist XY/Unitärer Operator/Aufgabe]] [[Münzwurf/10/Abwechselnd/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung2]] [[N/Teilerverband/Untergruppenverband/Antimonoton/Aufgabe]] [[Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Name]] [[Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Name/Inhalt]] [[Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstelle/Polynomialer Ausdruck/Beispiel]] [[Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Metrischer Zusammenhang/Aufgabe]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Lineare Algebra und Analysis/Aufgabe]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Zahlensystem/Konstruktionen/Aufgabe]] [[Mathematik/Logik- und Knobelaufgaben/Liste/Zufallsauswahl]] [[Mathematik/Zahlen lügen/Reflexion/Aufgabe]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe]] [[Matrix/Eigenräume/2/Aufgabe]] [[Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/Offenes Intervall/Funktion/Situation]] [[Kähler-Differentiale/Projektiver Raum/Einführung/Textabschnitt]] [[Körper/Transzendenzbasis/Transzendenzgrad/Endlich/Einführung/Textabschnitt]] [[Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Jacobische Varietät/Einführung/Textabschnitt]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Basiwahl/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Jacobische Varietät/Basis/Globale Differentialformen/Bemerkung]] [[Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Existenz/Fakt]] [[Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Kompaktes Intervall/Stetig differenzierbare Funktion/Situation]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über holomorphe Kurven/Derivationen/Textabschnitt]] [[Komplexe Zahlen/Konjugation Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Definition]] [[Komutative Algebra/Freier Modul/Beispiel]] [[Konstruierbare Zahl/In keinem Kreisteilungskörper/Aufgabe]] [[Kreisbogen/Umgehung/Zurückweichung/Textabschnitt]] [[Kommutative Algebra/Alternierend/Beispiel]] [[Kommutative Algebra/Alternierende Abbildung/Erzeugendensystem/Fakt]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Epimorphimus zwischen Freien Modul und Modul/Fakt]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie R^n und M/Bemerkung]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Wohldefiniertheit des Ranges/Bemerkung]] [[Kommutative Algebra/Multilineare Abbildung über Moduln/Definition]] [[Kommutative Algebra/Ringtheorie/Ring modulo maximalem Ideal/Fakt]] [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Normal/Textabschnitt]] [[Kommutativer Ring/Z mod k-graduiert/Twists mit verträglicher Gruppenoperation/Beispiel]] [[Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(2x+2y=4x+4y)/Idempotenz/Beispiel]] [[Vorkurs/Mathematik/2/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/3/Klausur]] [[Gerichtete Graphen/Einführung/Textabschnitt]] [[Gerichtete Menge/Vorgängermenge/Definition/Begriff/Inhalt]] [[Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Ableitung/Fakt]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/11/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/12/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/13/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/14/Aufgabe]] [[K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition/Begriff]] [[K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/4/Aufgabe]] [[Kegel/Linearform/Teilerfremdheit/Aufgabe]] [[Kegel/Zweidimensional/Kantengleichung/Signatur/Aufgabe]] [[Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Motivation für Cech-Kohomologie/Beispiel]] [[Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Untervektorraum/Projektion/Textabschnitt]] [[Hintereinanderschaltung/Polynomiales Beispiel/4/Aufgabe]] [[Holomorphe Funktion/Entfaltung/z^2+y^2/Beispiel]] [[Homogene Polynome/S T ST/Homogene Gleichung/Aufgabe/Lösung]] [[Hyperbelfunktion/R/Kotangens hyperbolicus/Definition/Begriff]] [[Hyperbolische Halbebene/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/1/Aufgabe]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorwort zum Skript]] [[Restklassenringe (Z)/Z/12/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Z/48/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] = = [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 1/Statistik]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/23+2i und 11+23i/Aufgabe]] [[Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1+ sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Berechnung/14! mod 187/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/35x ist 5 mod 100/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 2 mod 6/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 6 mod 9/Aufgabe]] = = [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/19/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/20/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/21/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/14/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T1/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T2/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T3/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T5/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T7/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsfrageliste]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur]] [[Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/ist Primzahl/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Z(sqrt(5))/Zerlegung von 2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/-1+10i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/350+70i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7-4i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/93-55i/Aufgabe]] = = [[Monoidring/Q geq 0/Erläutert/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Aktuelles]] = = [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Elementare Algebra/6/Klausur mit Lösungen]] [[Quadratische Reste/19 mod 97/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/53 mod 83/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/44 mod 73/Aufgabe]] = = [[Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Komplexes Polynom/Surjektiv/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Länge des Graphen/x^2 durch 2 - x + 13/Von 4 nach 8/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wegintegral/Vektorfeld/Archimedische Spirale/Senkrechtes Feld/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wärmeleitungsgleichung/Standardlösung mit Sinus/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Peano-Axiome/Multiplikation/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt]] [[Proportionalität/Summe und Produkt/Interpretation/Bemerkung]] [[Quadratisches Polynom/R/Äquivalenzklasse zu Verschiebung/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe]] [[Rationale Zahl/Primzahlexponentdarstellung/Rechnung/2/Aufgabe]] [[Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/55/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/65/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/2/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/3/Aufgabe]] [[Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/1/Aufgabe]] [[Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Starke Zugehörigkeit auf Komponenten/Beispiel]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Gt Ggt teilerfremd/Definition]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/gV und kgV/Definition]] [[Verknüpfung/Produktmenge/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Wurzel/Definition]] [[Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/Zwei Beweise/Textabschnitt]] [[Zählen/Zweiersystem/Bis 10000/Aufgabe]] [[Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endlicher Körper/16/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/8/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/8/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/9/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/9/Multiplikationstafel]] [[Idealoperationen/Idealprodukt/Definition]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Multiplikationstafel]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösungsklappe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösung]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT(zwei Elemente)/Fakt]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/12x ist 3 mod 18/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/7x ist 0 mod 91/Aufgabe]] = = [[Magisches Quadrat/Erste n^2 Zahlen/Definition]] [[Normierter Vektorraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweislink]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT (zwei Elemente)/Fakt/Beweis]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/7+4i und 5+3i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 1]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 2]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 3]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 4]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 5]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Berechnung/s ist 3/p ist 3 5 7/Aufgabe]] # [[Sophie Germain Primzahlen/Elementare Übersicht/Textabschnitt]] = = [[Cardanosche Formel/x^3-3x+1/Beispiel]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T2/Klausur mit Lösungen]] [[Reelle Exponentialfunktion/Einführung/Ohne stetig/Textabschnitt]] [[MDLUL/Norm (Zahlbereich)]] [[MDLUL/Ordnung (Z)]] [[MDLUL/Quadrate]] [[MDLUL/Tensorierung]] [[MDLUL/beschränkt (Folge R)]] [[MDLUL/freie Gruppe vom Rang]] [[Matrix/Diagonalgestalt/1/Beispiel]] [[Matrix/Diagonalgestalt/2/Beispiel]] [[Mengentheorie/Partition/Definition]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Textabschnitt]] [[Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kombinatorik/Elementar/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche geometrische Reihe/Term/Natürliche Zahlen/Aufgabe]] [[Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primfaktorzerlegung/1573/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/2047/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/539/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/717/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/827/Aufgabe]] == == [[Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Variante]] [[Prädikatenlogik/Substitution/Ohne Beweis/Einführung/Textabschnitt]] [[Strukturen/Automorphismus/Definition]] [[Strukturen/Isomorphismus (direkt)/Isomorph/Definition]] [[MDLUL/Alleinführung im Sukzedens]] [[MDLUL/Automorphismusgruppe (Struktur)]] [[MDLUL/Bijektive Abbildung]] [[MDLUL/Disjunktive Normalform]] [[MDLUL/Drehung (2)]] [[MDLUL/Extrema (mr)]] [[MDLUL/Grenzfunktion (mr)]] [[MDLUL/Konjugation (Untergruppe)]] [[MDLUL/Peano-Modelle]] [[MDLUL/Polynomfunktion (n R)]] [[MDLUL/Polynomringen (n)]] [[MDLUL/Randpunkt (R)]] [[MDLUL/Randpunkten (mr)]] [[MDLUL/Register-Programmen]] [[MDLUL/beschränkten (mr)]] [[MDLUL/differenzierbar (n)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (n)]] [[MDLUL/divergiert (mr)]] [[MDLUL/erststufigen Peanoaxiome]] [[MDLUL/gleichmäßig konvergiert]] [[MDLUL/gleichmäßig stetigen (mr)]] [[MDLUL/kompakten (Rn)]] [[MDLUL/konvergiert]] [[MDLUL/offenes (R)]] [[MDLUL/punktweise konvergent (funktfolge mr)]] [[MDLUL/reelles Intervall (ang)]] [[MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (1 K)]] [[MDLUL/summierbaren (C)]] [[MDLUL/(komplex-)differenzierbare (total)]] [[MDLUL/Ball (mr)]] [[MDLUL/Erzeugendensystem (VR)]] [[MDLUL/Homotopieklassen]] [[MDLUL/Laurent-Entwicklungen]] [[MDLUL/Obersumme]] [[MDLUL/Obersummen]] [[MDLUL/Polynomfunktionen (R)]] [[MDLUL/Untersumme]] [[MDLUL/Untersummen]] [[MDLUL/holomorphe (Funktion)]] [[MDLUL/holomorphe Funktionen]] [[MDLUL/holomorphen Funktion]] [[MDLUL/inversen gebrochenes Ideale (Dedekindbereich)]] [[MDLUL/inzident (Graph)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbar (1)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbare (C)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbare (Funktion)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbaren]] [[MDLUL/reell-differenzierbar]] [[MDLUL/unverzweigte Überlagerung (riemannsche Fläche)]] [[MDLUL/vertauschbaren (Matrix)]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/14/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/9/Klausur mit Lösungen]] [[Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/2/Tabelle]] [[Dezimalentwicklung/5 durch 7/Aufgabe]] [[Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Phantasie/Stammbaum/Beispiel]] [[Vorkurs/Mathematik/4/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/5/Klausur]] [[Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Beispiel]] [[Spaltenstochastisch/2x2/Beispiel/Zweiter Eigenvektor/Aufgabe]] [[Strahlensatz/Zwei Strahlen/Nur Strahlen/Fakt]] [[Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Radius in Abhängigkeit von Winkel/Pseudoformel für Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Rechnen mit Skalarprodukt/2/Aufgabe]] [[Reell-projektive Räume/Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt mit Beweisklappe]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt [[Produktmenge/Direktes Produkt/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt]] [[Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/1/Aufgabe]] [[Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/2/Aufgabe]] [[MDLUL/fatalistischen (Modallogik)]] [[MDLUL/repräsentierbar (schwach)]] [[KXY/Modulo X^2 Y^2/Kein zyklischer Restklassentest/Beispiel]] [[Kugel/Lineare Abbildung/Beschreibung durch Quadrik/Aufgabe]] [[Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widersprüchlich/Definition]] [[Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[Quadratische_Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Endlich viele Mengen/Erzeugte Algebra/Indikatorfunktionen/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/1/Fakt/Beweis]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Wirkungsweise/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe für Endomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Zuerst Streckung/Aufgabe]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Multilineare Abbildung/Alternierend/K/Definition]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition]] [[Hauptachsentransformation/Einführung/Textabschnitt]] [[Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßiges n-Eck/Charakterisierung mit Fermatschen Primzahlen/Notwendige Bedingung/Fakt/Beweis]] [[KursEinführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Algebra/Linear unabhängig/Fast alle/Definition]] [[MDLUL/Kerne]] [[MDLUL/Peano-Axiome]] [[MDLUL/Unterraum]] [[MDLUL/Unterraum (vr)]] [[MDLUL/aufgespannten Parallelotops]] [[MDLUL/hermitesche (sesquilinear)]] [[MDLUL/isoliertes Minimum (R)]] [[MDLUL/nichtausgeartet]] [[MDLUL/translationsinvariant (Maß)]] [[MDLUL/translationsinvariante]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Cayley-Hamilton/Fakt/Name/Inhalt]] [[Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Charakteristisches Polynom/Begleitmatrix/Spalte/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/2/Aufgabe]] [[MDLUL/linear-magischer Quadrate]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/36/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/14/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/15/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/16/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/17/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/4/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/5/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/6/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/7/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/8/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/9/Klausur mit Lösungen]]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Fehler TK/aufg12]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Fehler TK/aufg13]] [[Elementare und algebraische Zahlentheorie/T1/Klausur mit Lösungen]] == == [[Permutation/Stirling-Zahl erster Art/Einführung/Textabschnitt]] [[Permutationen/Zyklendarstellung/Einführung/Textabschnitt]] [[Projektive Ebene/Endlicher Körper/Inzidenzstruktur/Textabschnitt]] [[Projektive Ebene/Konzentrische Kreise/Schnittpunkte/Bezout/Aufgabe]] [[Punktierte affine Gerade/Potenzieren/C und R^2/Etale/Beispiel]] [[Rationale Funktion/Ordnung/1/Aufgabe]] [[Satz vom Igel/Eine Nullstelle/Aufgabe]] [[Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Name]] [[Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Name/Inhalt]] [[Satz über implizite Abbildungen/R/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt]] [[Satz über implizite Abbildungen/R/Textabschnitt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Rekapituliere/Aufgabe]] [[Schema/R/Invertierbare Garbe/Sehr ampel/Affine Invertierbarkeitsorte und surjektiv/Fakt]] [[Schema/Topologische Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt]] [[Schneckenparadoxon/Reihe/Aufgabe]] [[Reihe/-1^n durch Wurzel(n^2+1)/(absolute) Konvergenz/Aufgabe]] [[Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Effektiv/Aufgabe]] [[Riemannsche Fläche/Kanonischer Divisor/Definition]] [[Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Dolbeault/Textabschnitt]] [[Riemannsche Flächen/Divisoren/Invertierbare Garben/Textabschnitt]] [[Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Textabschnitt]] [[Quasiprojektive Varietäten/Irreduzibel/Funktionenkörper/Definition]] [[R/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe]] [[R^n/Standardbasis/Dualbasis/Beispiel]] [[Rationale Funktion/Exponentialfunktion/Stammfunktion/Aufgabe]] [[Rationale Parametrisierung/Gleichung/1/Aufgabe]] [[Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung2]] [[Reelle Funktion/Ableitung null/Konstant/2/Fakt]] [[Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/4/Aufgabe[[ [[Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Abgeschlossen/Definition]] [[Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Offen/Definition]] Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt Reeller Vektorraum/Gitter/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomiale Abbildung/Standardaufblasung/Affine Koordinaten/Bemerkung]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Nicht kommutativ/Aufgabe]] [[Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^2+(1+4i)X+3-i/2-i 1+3i 5 -3+4i/Aufgabe]] [[Polynomring/Formales partielles Ableiten/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Gruppenoperation/Klein/F-Signatur/Fakt/en]] [[Polynomring/Polynom/Endliche Erweiterung/Phänomene/Beispiel]] [[Potenzreihe/(Un)gerade Potenzen/(Un)gerade Funktion/Aufgabe]] [[Potenzreihe/Koeffizient ist 1 durch n^2/Randverhalten/Aufgabe]] [[Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Definition/Begriff]] [[Primitive Einheitswurzeln/Galoiserzeuger/Aufgabe]] [[Produktraum/Endlich/Produktpräring/Produktprämaß/Textabschnitt]] [[Projektiver Raum/R/Topologie/Kegelabbildung/Definition]] [[Prägarben/Gruppe/Homomorphismus/Kern/Definition]] [[Elementare und algebraische Zahlentheorie/T3/Klausur]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung]] [[1-Form/K/Vektorräume/Textabschnitt]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/100/Klausur]] [[Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Information/Übungsbetrieb/Tutoren]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 1/Klausur]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 2/Klausur]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 3/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Information/Testklausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Repetitorium]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Lizenzerklärung]] == == [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Teiltest/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Teiltest/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/31/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/32/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/33/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/34/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/35/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik/1a/Klausur]] [[Kurs:Analysis/Teil II/100/Klausur]] [[Kurs:Analysis/Teil I/61/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/62/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/63/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/64/Klausur mit Lösungen [[Kurs:Analysis/Teil I/65/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/100/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/21/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/22/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/23/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/24/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/25/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Teiltest/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/100/Klausur]] [[Kurs:Körper- 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Dies kann auf Aufgaben, die auf Vorrat angelegt wurden, oder auf Definitionsvarianten etc. zutreffen. Der Zweck ist, dass solche Seiten nicht unter [[Spezial:Verwaiste_Seiten|verwaiste Seiten]] auftauchen. Es handelt sich ja nicht wirklich um verwaiste Seiten, da sie über das Kategoriensystem auffindbar und verfügbar sind. Ebenso werden hier Latexvarianten von Seiten abgelegt. Es besteht kein Grund, die Seiten hier zu löschen, nachdem sie verlinkt sind. [[Kategorie:Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Sonstiges]] =Verwaiste Vorlagen = [[Vorlage:Arbeitsblattaufzählungsform]] [[Vorlage:Algorithmen-Kategorie unter]] [[Vorlage:Element-Kategorie]] [[Vorlage:Elemente-Kategorie‏]] [[Vorlage:DefinitionslinkAnführung‏‎]] [[Vorlage:DefinitionslinkFußnote‏]] [[Vorlage:Extralatex]] [[Vorlage:Fakten mit Beweis-Kategorie]] [[Vorlage:FaktlinkAufgabe]] [[Vorlage:Latexdruck2\!]] [[Vorlage:Latexmakros-Kategorie unter]] [[Vorlage:Mathbed3‏‎]] [[Vorlage:Mathbed3/display‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie2‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/BeweisaufgabeKategorie3‏‎‏‎]] [[Vorlage:Mathematischer Text/FaktKategorie1‏‎‏‎]] [[Vorlage:Semantische Vorlage‏]] [[Vorlage:Seminarformvorlage‏]] [[Vorlage:Sumj0k]] [[Vorlage:Sumj1m‏‎]] [[Vorlage:Sumn0k‏]][[Vorlage:Synchronized‏‎]] [[Vorlage:Tabellemitdreispalten]] 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Brenner/Corona/Präsenzveranstaltung/Zusatz November 21]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Nachfolger/Addition/Multiplikation/Textabschnitt]] [[Geordnete Menge/Extremalelemente/Textabschnitt]] [[Fermat-Kubik/4 Variablen/Standardquadrik/Beispiel]] [[Fermat-Kubik/Z mod 3/Gruppenoperation/Invariantenring/Beispiel]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/61/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/62/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/63/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/64/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/65/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/6a/Klausur mit Lösungen]] [[Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name]] [[Formaler Potenzreihenring/Eine Variable/Einsetzen ergibt Ringhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Frobenius-Homomorphismus/Elliptische Kurve/Direkt und basistrivial/Textabschnitt]] [[Funktion/Profil/Kraftfeld/Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel]] [[Funktionentheorie/Singularitäten/Einführung/Textabschnitt]] [[Fünfter Kreisteilungsring/Faktoriell/Normschranke/Aufgabe]] [[Euklidischer Vektorraum/Orthogonalbasis/Definition]] [[Exponentialsequenz/Jacobische Varietät/Zusammenhang/Textabschnitt]] [[Bocardodarapti/StudIP/Abgabe]] [[Bruch/Zehnersystem/Umrechnung in Dreiersystem/2/Aufgabe]] [[Archimedisch angeordneter Körper/Gaußklammer/Funktion/Definition]] [[Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T2/Aufgabe]] [[Analysis 2/Gemischte Definitionsabfrage/T7/Aufgabe]] [[Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/T7/Aufgabe]] [[Angeordneter Körper/Folgen/Rechenregeln/Textabschnitt]] [[Abelsche Gruppe/Normfunktion/Einführung/Endlich erzeugt/Textabschnitt]] [[Affiner Raum/Offene Menge/Globale Funktion/Beispiel]] [[Endlicher freier Modul/Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung]] [[Elliptische Kurve/Kubisch/Differentialform explizit/Direkt/Beispiel]] [[Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Homogen/Geradenschnitt/Bemerkung]] [[Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe]] [[Algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Ebene algebraische Kurve/Algebraisch abgeschlossen/Glatt/Partielle Ableitungen/Definition]] [[Eigenvektoren/Charakteristisches Polynom/4/Aufgabe]] [[Eindimensionale Algebra/R/Zwei Variablen modulo s^2+t^2/Beispiel]] [[Division mit Rest/Konstruktiv/Bemerkung]] [[Dedekindbereich/Gebrochene Ideale/Bezug zu Divisoren/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialgleichung/Potenzreihenansatz/y' ist ty-t^2+1/Aufgabe]] [[Differentialoperator/Algebraisch/Induktiv und Produktbedingung/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Differenzierbar/D in R/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt]] [[Differenzierbare Funktionen/K/Hintereinanderschaltung/Höhere Kettenregel/Fakt]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Lizenzerklärung]] [[Aussagenlogik/Syntaktische Tautologien/Ableitungen und Regeln/Textabschnitt]] [[Aussagenlogik/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt]] [[Euro-Münze/Darstellung mit Münzen/Anzahl/Aufgabe]] [[Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/2/Bemerkung]] [[Ebene glatte Kurve/Grad 4/Normalform/Syzygienbündel/Bemerkung]] [[Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Abzählbarer Fall/Fakt]] [[Aussagenlogik/Modellbeziehung/Folgerung/Textabschnitt]] [[Aussagenlogik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Logarithmus/Reihen und Integrale/Aufgabe]] [[Erststufige Peano-Arithmetik/Kommutativer Halbring/Fakt]] [[Spektrumsabbildung/Faser/Tensorprodukt/Aufgabe]] [[Summierbarkeit/1 durch ab/a,b geq k/Aufgabe]] == == [[Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2014)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2021)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Elementare Algebra/1/Test/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2015)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Deckblatt]] [[Kurs:Elemente der Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/100/Klausur]] [[Kurs:Differentialgeometrie/100/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Materialienaufzählung]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Platzaufteilung/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil I/Testklausur/Ablauf]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil III/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Analysis/Teil I/64/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil II/26/Klausur mit Lösungen]] [[Sigmaendlicher Maßraum/Offenes Intervall/Funktion/Situation]] [[Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/4/Aufgabe]] [[Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt]] [[Reeller Vektorraum/Gitter/Einführung/Textabschnitt]] [[Neilsche Parabel/+/Matrix zu Hauptteilen/Quadrataddition/Beispiel]] [[Noethersche Normalisierung/Ebene/3/Aufgabe]] [[Minimalpolynom/sqrt(3)+sqrt(7)/Aufgabe]] [[Kathetensatz/Lineare Algebra/Fakt/Name]] [[Dachprodukt/Endlichdimensional/Dimensionsangabe/Fakt/Name]] [[Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition/Begriff]] [[Komplexe Zahlen/Real und Imaginärteil/Definition/Begriff/Inhalt]] = = [[Nichtmodulare Gruppe/Normalteiler/Lineare Operation/Linearisierbar/Aufgabe]] [[SU2C und SO3R/Gruppenbeziehung/2/Fakt/Beweis]] [[R^3/Ohne Punkt/Einfach zusammenhängend/Aufgabe]] [[Intrat/Aufgabe]] [[Endliche lineare Gruppenoperation/pm S 2/Normalteiler/Linear und nicht/Aufgabe]] [[Chevalley-Shephard-Todd/Polynomring/Spiegelungsgruppe/Mit Jacobi-Determinante/Fakt/Beweis]] [[Algebra/Seminar/Mögliche Themen]] [[Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Modultheorie/Untermodul/Definition]] [[Lexikographische Ordnung/Leitmonom/Multiplikativ/Aufgabe]] [[Lineare Invariantentheorie/Relative Invarianten zu Charakter/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangswertproblems]] [[Differentialgleichung/y^2+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Direkter Summand/Spektrumsabbildung/Einführung/Textabschnitt]] [[Binäre Tetraedergruppe/Realisierung in SL2C/Beispiel]] [[Binäre polyedrische Gruppen/Realisierung in SL2C/Invariantenringe/Textabschnitt]] [[Wegintegral/Ebene/x^2-y^3,xy/t^2,t^3-5t/-3 bis 4/Beispiel]] [[Wegintegral/Stetiges Vektorfeld/Euklidisch/Definition]] [[Totale Differenzierbarkeit/R/Polynomiale Funktion/Aufgabe]] [[Totales Differential/R/Kettenregel/(uv^3w^2,u^2-v^2w) und (xy-y^2,cos(xy),x-y)/Beispiel]] [[Stetigkeit/Wikipediaartikel/Aufgabe]] [[Partielle Ableitung/K/xy^2-z^3, sin xy+x^2 exp z/Berechnung/Beispiel]] [[Polynomfunktionen/R/Sind stetig/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomring/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Primzahlen/Fermatsche Primzahl/Doppelexponent/Definition]] [[Prädikatenlogik/Ableitbar/Definition]] [[R^n/Abgeschlossene Teilmenge/Volumen/Überpflasterung/Fakt]] [[Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpertheorie/Endliche Körpererweiterung/2/Definition]] [[Differentialgleichung/y+t+yt^2/0/Picard-Lindelöf/Bis vierte Iteration/Aufgabe]] [[Ebene Kurve/Bogenparametrisiert/Definition]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (t^3-yt^2,tx^2y-sinh t)/Start (0,1)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (x^2t-xyt+y^3-yt^3,x^3-xy^2+cos t)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Anfangswertproblem/System/(x,y)' ist (xt^2-y^2t,xy)/Start (0,0)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/Berechnung/x^2+3x-4 durch x-1/Von 2 bis 5/Aufgabe]] [[Familie/Alter/Lineares Gleichungssystem/2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/5+2i und 3+7i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Bezout Euklid Faktoriell/Textabschnitt]] [[Hauptidealbereich/Irreduzibel ist prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Prädikatenlogik/Ableitungskalkül/Surjektivität/Verknüpfung/Beispiel]] [[Prädikatenlogik/Erste Stufe/Identität/Syntaktische Tautologien/Sequenzenkalkül ableitbar/Textabschnitt]] [[Reihe/Koch Schneeflocke/Länge und Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Sinus/R/Additionstheorem/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/1 bis unendlich/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] == == [[Kurs:Invariantentheorie/100/Klausur]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/1. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/2. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Diskrete Mathematik/Test/3. Drittel/3/Klausur mit Lösungen]] [[Euklidischer Algorithmus/Arbeitsblatt 1]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primitive Elemente/Arbeitsblatt]] [[Kommutative Ringtheorie/Ringhomomorphismen/Z kanonisch/Aufgabe]] [[Kommutative Ringtheorie/Urbild eines maximalen Ideals/Nicht maximal/Aufgabe]] [[Kommutatives Monoid/Teilbarkeitseigenschaften/Arbeitsblatt]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweis]] [[Gruppentheorie/Index/Definition/2]] [[Kommutative Ringtheorie/Lokaler Ring/Nichteinheiten Ideal/Definition]] [[Konjugierte invertierbare Matrizen/R/Invariante Eigenschaften/Aufgabe]] [[Zahlentheorie/Primzahlen/Kleiner Fermat/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Legendres Identität/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlentheorie/Teilbarkeit/Lemma von Euklid/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-1/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt mit Beweisklappe]] [[Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt mit Beweisklappe]] [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt mit Beweisklappe]] = = [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche Körper/Körper/X^q-X zerfällt/Körper mit q Elementen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt mit Beweisklappe]] [[Carmichael Zahlen/Charakterisierung mit Primteilern/Fakt mit Beweisklappe]] [[Charaktere auf Monoid/Lemma von Dedekind/Textabschnitt]] [[Euklidische Bereiche/Multiplikative euklidische Funktionen/Primkriterium/Fakt mit Beweisklappe]] [[Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt/Beweisverweis]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweisklappe]] [[Hauptidealbereich/Restklassencharakterisierung von prim/Fakt mit Beweisklappe]] [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganzes Element/Charakterisierung/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealbereich/Produkt irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe]] [[Körpererweiterung/Polynom zerfällt in Linearfaktoren/Fakt mit Beweisklappe]] [[MDLUL/kompakten Teilmengen]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Kern ist zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] = = [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Funktion/Definition]] [[Quadratische Lösungsformel/R/Beweise/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Differentialrechnung/Mittelwertsatz/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Funktion/Linksseitiger rechtsseitiger Limes/Definition]] [[Reelle Funktion/Satz von Rolle/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Reelle Zahlen/Gaußklammer/Funktion/Definition]] [[Reelle Zahlen/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe]] [[Integral/Dreieck (0,2), (1,-1), (-2,-1)/x^3y^2dxdy/Stammform/Aufgabe]] [[MDLUL/Offene Innere]] [[MDLUL/Untermannigfaltigkeit mit Rand]] [[MDLUL/diffeomorph (Rand)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (C^k)]] [[MDLUL/Überdeckung untergeordnete Partition der Eins]] [[Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Wegintegral/M und R^n/Einführung/Textabschnitt]] [[Differentialformen und Orientierung/Textabschnitt]] [[Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe/2/Lösung]] [[Angeordneter Körper/Vollständigkeit/Textabschnitt]] [[MDLUL/Lösung für das Anfangswertproblem]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/3/Basislösungen/4 5 9/1 4 7/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Integration/Analysis in mehreren Variablen/Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung]] [[MDLUL/messbaren Funktion]] [[MDLUL/Schnitt]] [[MDLUL/abgeschlossenen Untermannigmannigfaltigkeit]] [[MDLUL/orientierungstreu]] [[MDLUL/regulären Punkt (Kurve)]] [[Kommutative Ringtheorie/Monoidringe/Zusammenstellung/Textabschnitt]] [[MDLUL/wachsenden (Funktionenfolge)]] [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Textabschnitt]] [[MDLUL/kompakten]] [[MDLUL/Endomorphismus]] [[MDLUL/Polygons]] [[MDLUL/Dimension (Mannigfaltigkeit)]] [[MDLUL/Niveaumenge zum Wert 0]] [[Produktraum/Endlich/Produktprämaß auf Produktpräring/Textabschnitt]] [[Produktraum/Endlich/Produktpräring/Textabschnitt]] [[Differentialform/Äußere Ableitung/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Mannigfaltigkeit/Positive Volumenform/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit/Glatter Tensor/Definition]] = = [[Differentialform/Zurückziehen/Vergleichskette/Begründungsfenster]] [[Alternierende Multilinearform/Dachprodukt/Einführung/Textabschnitt]][[Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Linearität des Integrales/Textabschnitt]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt]] [[Existenzsätze für Maße/Fortsetzung/Produktmaß/Textabschnitt]] [[Diskrete Bewertungsringe/Einführung/Textabschnitt]] [[MDLUL/Anfangsbedingung (dgl)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gd)]] [[MDLUL/Anfangswertprobleme (gdg)]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen]] [[MDLUL/Anfangswertproblemen (gdg)]] [[MDLUL/Exponentialfunktionen (allg R)]] [[MDLUL/Funktionenfolgen (mr)]] [[MDLUL/Lineare Abbildung]] [[MDLUL/Linearfaktor (1K)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangswertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung (Anfangwertproblem gdg)]] [[MDLUL/Lösung des Anfangwertproblems (gdg)]] [[MDLUL/Matrixpotenz]] [[MDLUL/Maximum (fkt)]] [[MDLUL/Minimum (fkt)]] [[MDLUL/Neilsche Parabel]] [[MDLUL/Nullfolgen (R)]] [[MDLUL/Nullteiler]] [[MDLUL/Obere Schranke]] [[MDLUL/Obere Schranke (ang)]] [[MDLUL/Ordnung (Gruppe)]] [[MDLUL/Orthonormalbasen]] [[MDLUL/Partialsumme (C)]] [[MDLUL/Polynomring (1)]] [[MDLUL/Potenz (matrix)]] [[MDLUL/Produkt (Matrix)]] [[MDLUL/Rang (Matrix)]] [[MDLUL/Restklassenring (Z)]] [[MDLUL/Skalarprodukte (R)]] [[MDLUL/Skalarprodukten (R)]] [[MDLUL/Teilen]] [[MDLUL/Teilfolgen (mr)]] [[MDLUL/Untere 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[[Stammfunktion/(sqrt(x^2+x+1))^3 +4 sqrt(x^2+x+1) x^3 -3 sqrt(x^2+x+1) x durch x^2 sqrt(x^2+x+1)/Aufgabe]] [[Bestimmtes Integral/f^2/Über 1 durch n+1 bis 1 durch n/Aufgabe]] [[Stammfunktion/1 durch cos/Aufgabe]] [[Uneigentliches Integral/t^x e^(-t)/0 bis -infty/Aufgabe]] [[Die Fakultätsfunktion/Komplex/Textabschnitt]] [[Uneigentliches Integral/0 bis 1/1 durch t^n/n ganzzahlig/Beispiel]] [[Mathematik/Einführender Text/Platon und Würfelsymmetrie/Vortrag/Zusatz]] = = [[Ganze Zahlen/Als Quotientenmenge/NxN/Äquivalenzrelation/Variante 1/Aufgabe]] [[Beschränkte Abbildungen/Euklidischer Raum/Supremumsnorm/Normeigenschaften/Aufgabe]] [[Polynom/Linearfaktor/Definition]] [[Potenzen, Wurzeln/Aufgabe 3/Aufgabe]] [[Sinus und Kosinus]] [[Hintereinanderschaltung/Treppenfunktion/Ist Treppenfunktion/Aufgabe]] [[Stammfunktionen/Rechenregeln/Textabschnitt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt]] [[Komplexe Reihen/Umordnungssatz/Fakt/Beweis]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Beweisprinzipien/Aufgabe]] [[Q nach R/Kleiner sqrt(2)/Keine stetige Fortsetzung/Aufgabe]] [[Seminar Algebra (Osnabrück 2009/2010)/Themen]] [[Abbildung/Metrischer Raum/Beschränkt/Definition]] [[Abbildung/Nach Körper/Nullfunktion/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folge/Wachsend und fallend/Monoton/Definition]] [[Funktion/Metrischer Raum/Isoliertes lokales Maximum und Minimum/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Definition]] [[Komplexe Potenzreihe/Konvergent/In weiterem Punkt/Sprechweise]] [[Matrix/Körper/Potenz/Definition]] [[Komplexe Kosinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Sinusfunktion/Durch Potenzreihe/Definition]] [[Komplexe Zahlen/Reihe/Konvergenz/Definition]][[Abbildung nach Körper/Nullstelle/Definition]][[Obere Dreiecksmatrix/Definition]] [[Körper und reelle Zahlen/Quadratwurzel/Definition]] [[Lineare Algebra/Quadratische Matrix/Definition]] [[Matrix/Zeilenrang einer Matrix/Definition]] [[Basiswechsel/Übergangsmatrix/Definition]] [[Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Charakterisierung/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Multiplikationssatz/Mit Spalten/Fakt/Beweis]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt]] [[Lineare Abbildung/Multilinear und alternierend/Definition]] [[Vektorraum/Nullraum/Definition]] [[Polynom/f(-1)ist2,f(1)ist0,f(3)ist5/Gleichungssystem/Aufgabe]] [[Determinante/Rekursiv/Alternierend und andere Eigenschaften/Fakt/Beweis]] [[Lineare Abbildung und Matrix/Bijektiv und invertierbar/Fakt]] [[Quadratische Matrix/Rang/Invertierbar/Linear unabhängig/Fakt/Beweis]] [[Körper/2 nicht null/Arithmetisches Mittel/Definition]] [[Reelle Zahlen/Folge/Beschränkt monoton/Konvergiert/Fakt/Beweis]] [[Reelle Zahlen/Folgen/Bestimmte Divergenz/Definition]] [[Angeordneter Körper/Folgen/Textabschnitt]] [[Reelle Zahlen/Binomi/Fakt]][[Matrix/44/Abhängig von k/Selbstinvers/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Doppelte Existenz injektiver Abbildungen/Bijektiv/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/In M unendlich/Gibt disjunkte bijektive Menge/Aufgabe]] [[Endliche Mengen/Über Injektion vergleichbar/Aufgabe]] [[Abbildung/Einschränkung auf Teilmenge/Definition]] [[Binomialkoeffizient/Anzahl der Monome vom Grad maximal n/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Bijektion zu 1...kl(T)/Aufgabe]] [[Endliche Menge/In M unendlich/Wohldefinierte Addition über disjunkte Mengen/Aufgabe]] [[Polynomialkoeffizient/Definition]] [[Polynomialkoeffizient/Polynomialsatz/Aufgabe]] [[Lineare Algebra/Variablenmenge/Lineares Gleichungssystem/Isoliertes System/Definition]] [[Vektorraum/Familie von Untervektorräumen/Untervektorraum/Aufgabe]] = = [[Kurs:Studienprojekt:Modultheorie über Hauptidealbereichen (Osnabrück 2011-2012)/Eigentheorie/Textabschnitt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt]] [[Zirkel und Lineal/Regelmäßiges n-Eck konstruierbar/n ist p^e/e ist 1/Fakt/Beweis]] [[Affiner Raum/Reell/Lineare Variablentransformation/Definition]] [[Gruppentheorie/Alternierende Gruppe/Konstruktion/Aufgabe]] [[Semantische Einlesevorlagen/Alphabetische Parameterweitergabe]] [[Endliche Körper/Existenz und Eindeutigkeit/Textabschnitt]] = = [[Seminar Algebraische Kurven (Osnabrück 2009)/Themen]] [[Teilbarkeitstheorie (Z)/Teilen und GgT/Textabschnitt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt]] [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Untergruppe und Element/Fakt/Beweis]] [[Konvexe Geometrie/Gitterpunktsatz/Abschätzungskette]] [[Theorie der Abbildungen/Abbildung/Als Relation/Definition]] [[Quadratische Reste/35 mod 97/Aufgabe]][[Ebene algebraische Kurve/Irreduzibel/Nur endlich viele singuläre Punkte/Aufgabe]] [[Ebene algebraische Kurve/Punkt/Glatt,diskreter Bewertungsring, Multiplizität (ohne Nakayama)/Fakt/Beweis]] [[Monomiale ebene Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/align]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/detail]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/53 mod 311/Lösung/var/display//Grund1]] [[Topologie/Topologische Räume/Simplex/Definition]] [[Topologie (Osnabrück 2008/2009)/Arbeitsblatt 2]] = = [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorwort zum Skript]] [[Logik/Vollständigkeitssatz/Textabschnitt]] [[Lineare Abbildung/Determinante/Textabschnitt]] [[Zahlentheorie/Großer Fermat/Exponent 3/Fakt]] [[Satz von Schwarz/x^4y^5/Beispiel]] [[Restklassenring (Z)/Einheit/Charakterisierung/Teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[R nach R/Funktion/Stetigkeit in einem Punkt/Definition]] [[Quadratzahl/Definition]] [[JohnSinclair/Fortsetzung von äußerem Maß/Vergleichskette/Einzelbegründungen]] [[Restklassenringe (Z)/Restberechnung/36! mod 31/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/78+66i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Affiner Raum/Irreduzibilität/Schnitt von Zylinder und Kugel/2/Aufgabe]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt]] [[Affine Varietäten/Verschwindungsideal zu Teilmenge/Antimonotonie/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietäten/Affin-algebraische Menge ist Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals/Fakt/Beweis]] [[Kommutative Ringtheorie/Theorie der noetherschen kommutativen Ringe/Textabschnitt]] [[Lokale kommutative noethersche Ringe/Minimale Erzeugendenzahl des maximalen Ideals/Einführender Textabschnitt]] [[Monomiale Kurven/Multiplizität/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Euklidischer Bereich/Euklidischer Bereich Definition Alternative]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 2/X^6+X^2+1 und X^3+X/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 3/X^4+2X^2+X+2 und X^2+2X+1/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/F 7/X^3+6X^2+4 und X^2+3X+2/Aufgabe]] [[ Euklidischer Algorithmus (Polynomring)/ggT/Q/2X^4-7X^2+5/2X+3 und X^3+1/Aufgabe]] = = [[Gruppentheorie (Algebra)/Satz von Lagrange/Fakt mit Beweis]] [[Chinesischer Restsatz (Z)/Basislösungen/7 8 9/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/71 mod 89/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/479 mod 1277/Aufgabe]] = = [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Addition und Multiplikation/bildet Ring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Globaler Schnittring ist Koordinatenring/Fakt/Beweis]] [[Affine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition]] [[Affine Varietäten/Irreduzible/Rationale Funktion/Definition]] = = [[Stetige Funktion/Halbgerade/Überabzählbare Nullstellen/Aufgabe]] [[Stetige Funktion/R/Lokales Nullteilerpaar/Aufgabe]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Häufige Fehler/Zweite Woche/Doppelinduktion]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/TeilI I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Ferientutorium]] [[Zahlentheorie/Chinesischer Restsatz (Z)/4 5 11/Basislösungen/Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 6/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 2/Irreduzible Polynome vom Grad 7/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 3/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 5/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 3/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 4/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 7/Irreduzible Polynome vom Grad 5/Aufgabe|Aufgabe]] [[Polynomring/eine Variable/F 11/Irreduzible Polynome vom Grad 2/Aufgabe|Aufgabe]] = = [[Lineare Abbildung/Modul/Situation]] [[Lineare Abbildungen/Bestimme Bild und Kern 3x3/Aufgabe]] [[Lineares Gleichungssystem/Situation]] [[Logik/Terminterpretation/Surjektiv machen/Aufgabe]] [[Logistische Funktion/e^x durch 1+e^x/Eigenschaften/Aufgabe]] [[Numerischer Halbgruppenring/3,4,5/Unitäre Operatoren/Aufgabe]] [[Offene Menge/C/Einfach zusammenhängend/Invertierungsfunktion/Logarithmus/Beispiel]] [[Modultheorie/Antisymmetrisierungsoperator/Definition]] [[Monoidring/Dimension zwei/Idempotenz/Lokale Picardgruppe/Beispiel]] [[Monoidring/Universelle Eigenschaft/Funktorialität/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Monoidring/ZW ist XY/Unitärer Operator/Aufgabe]] [[Monoidring/Z^2 ist XY/Unitärer Operator/Aufgabe]] [[Münzwurf/10/Abwechselnd/Wahrscheinlichkeit/Aufgabe/Lösung2]] [[N/Teilerverband/Untergruppenverband/Antimonoton/Aufgabe]] [[Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Name]] [[Natürliche Zahlen/Eindeutigkeit der Multiplikation/Nachfolger rechts/Fakt/Name/Inhalt]] [[Kubisches Polynom/X^3-3X+1/Nullstelle/Polynomialer Ausdruck/Beispiel]] [[Mannigfaltigkeit/Riemannsches Vektorbündel/Metrischer Zusammenhang/Aufgabe]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Lineare Algebra und Analysis/Aufgabe]] [[Mathematik/Einführung/Reflexion/Zahlensystem/Konstruktionen/Aufgabe]] [[Mathematik/Logik- und Knobelaufgaben/Liste/Zufallsauswahl]] [[Mathematik/Zahlen lügen/Reflexion/Aufgabe]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/22/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/26/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/27/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/30/Aufgabe/Lösung]] [[Mathematische Logik/Gemischte Definitionsabfrage/21/Aufgabe]] [[Matrix/Eigenräume/2/Aufgabe]] [[Maß- und Integrationstheorie/Gemischte Definitionsabfrage/9/Aufgabe]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/Offenes Intervall/Funktion/Situation]] [[Kähler-Differentiale/Projektiver Raum/Einführung/Textabschnitt]] [[Körper/Transzendenzbasis/Transzendenzgrad/Endlich/Einführung/Textabschnitt]] [[Körper/Transzendenzgrad/Transitivität/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Basiswahl/Jacobische Varietät/Einführung/Textabschnitt]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Basiwahl/Jacobische Varietät/Abbildung/Definition]] [[Kompakte riemannsche Fläche/Jacobische Varietät/Basis/Globale Differentialformen/Bemerkung]] [[Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Existenz/Fakt]] [[Kompaktes Intervall/Reelle Funktion/Riemann integrierbar auf Unterteilung/Existenz/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Kompaktes Intervall/Stetig differenzierbare Funktion/Situation]] [[Komplexe Mannigfaltigkeit/Tangentialraum über holomorphe Kurven/Derivationen/Textabschnitt]] [[Komplexe Zahlen/Konjugation Betrag/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Komplexe Zahlen/Offene Teilmenge/Definition]] [[Komutative Algebra/Freier Modul/Beispiel]] [[Konstruierbare Zahl/In keinem Kreisteilungskörper/Aufgabe]] [[Kreisbogen/Umgehung/Zurückweichung/Textabschnitt]] [[Kommutative Algebra/Alternierend/Beispiel]] [[Kommutative Algebra/Alternierende Abbildung/Erzeugendensystem/Fakt]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Epimorphimus zwischen Freien Modul und Modul/Fakt]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie R^n und M/Bemerkung]] [[Kommutative Algebra/Modultheorie/Wohldefiniertheit des Ranges/Bemerkung]] [[Kommutative Algebra/Multilineare Abbildung über Moduln/Definition]] [[Kommutative Algebra/Ringtheorie/Ring modulo maximalem Ideal/Fakt]] [[Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Spektrumsabbildung/Normal/Textabschnitt]] [[Kommutativer Ring/Z mod k-graduiert/Twists mit verträglicher Gruppenoperation/Beispiel]] [[Kommutatives Binoid/FC(x,y)/(2x+2y=4x+4y)/Idempotenz/Beispiel]] [[Vorkurs/Mathematik/2/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/3/Klausur]] [[Gerichtete Graphen/Einführung/Textabschnitt]] [[Gerichtete Menge/Vorgängermenge/Definition/Begriff/Inhalt]] [[Gitter/Komplexe Zahlen/Weierstraßfunktion/Ableitung/Fakt]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/11/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/12/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/13/Aufgabe]] [[Gleichungssystem/Inhomogen/14/Aufgabe]] [[K-Spektrum/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Schnittring/Definition/Begriff]] [[K^4 nach K^3/Urbild von Untervektorraum/4/Aufgabe]] [[Kegel/Linearform/Teilerfremdheit/Aufgabe]] [[Kegel/Zweidimensional/Kantengleichung/Signatur/Aufgabe]] [[Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Motivation für Cech-Kohomologie/Beispiel]] [[Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Untervektorraum/Projektion/Textabschnitt]] [[Hintereinanderschaltung/Polynomiales Beispiel/4/Aufgabe]] [[Holomorphe Funktion/Entfaltung/z^2+y^2/Beispiel]] [[Homogene Polynome/S T ST/Homogene Gleichung/Aufgabe/Lösung]] [[Hyperbelfunktion/R/Kotangens hyperbolicus/Definition/Begriff]] [[Hyperbolische Halbebene/Kurve/Tangentiale Beschleunigung/1/Aufgabe]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorwort zum Skript]] [[Restklassenringe (Z)/Z/12/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Z/48/nilpotent idempotent Einheit/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] = = [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Test 1/Statistik]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/23+2i und 11+23i/Aufgabe]] [[Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1+ sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Berechnung/14! mod 187/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/35x ist 5 mod 100/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 2 mod 6/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/4x ist 6 mod 9/Aufgabe]] = = [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/19/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/20/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/21/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/14/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T1/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T2/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T3/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T5/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil II/T7/Klausur]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I/Definitionsfrageliste]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur]] [[Körpertheorie (Algebra)/Charakteristik/ist Primzahl/Aufgabe]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Z(sqrt(5))/Zerlegung von 2/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/-1+10i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/350+70i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/7-4i/Aufgabe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/93-55i/Aufgabe]] = = [[Monoidring/Q geq 0/Erläutert/Keine irreduzible Zerlegung von X/Aufgabe]] [[Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Aktuelles]] = = [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2011-2012)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Elementare Algebra/6/Klausur mit Lösungen]] [[Quadratische Reste/19 mod 97/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/53 mod 83/Aufgabe]] [[Quadratische Reste/44 mod 73/Aufgabe]] = = [[Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Komplexes Polynom/Surjektiv/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Länge des Graphen/x^2 durch 2 - x + 13/Von 4 nach 8/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wegintegral/Vektorfeld/Archimedische Spirale/Senkrechtes Feld/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Wärmeleitungsgleichung/Standardlösung mit Sinus/Aufgabe/Pseudolösung]] [[Peano-Axiome/Multiplikation/Rechengesetze/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt]] [[Proportionalität/Summe und Produkt/Interpretation/Bemerkung]] [[Quadratisches Polynom/R/Äquivalenzklasse zu Verschiebung/Aufgabe]] [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz/1117 mod 1861/Aufgabe/Lösung/Einzelgründe]] [[Rationale Zahl/Primzahlexponentdarstellung/Rechnung/2/Aufgabe]] [[Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Einführung/2/Textabschnitt]] [[Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/55/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/65/Quadratische Gleichung/1/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/2/Aufgabe]] [[Schriftliches Addieren/Zehnersystem/3/Aufgabe]] [[Schriftliches Multiplizieren/Zehnersystem/1/Aufgabe]] [[Stanley-Reisner-Ring/Ideal/Starke Zugehörigkeit auf Komponenten/Beispiel]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Gemeinsamer Teiler/Gt Ggt teilerfremd/Definition]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/Verschiedene Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe]] [[Teilbarkeitstheorie (N)/gV und kgV/Definition]] [[Verknüpfung/Produktmenge/Natürliche Zahlen/Elementare Einführung/Textabschnitt]] [[Wurzel/Definition]] [[Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zehnersystem/Schriftliches Addieren/Korrektheit/Zwei Beweise/Textabschnitt]] [[Zählen/Zweiersystem/Bis 10000/Aufgabe]] [[Äquivalenzrelation/N mal N/Sprünge (2,0) und (3,3)/Beispiele/Aufgabe]] [[Restklassenring (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenzreduktion/Surjektiv/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahlpotenz/Zyklisch/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt mit Beweisklappe]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endlicher Körper/16/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/4/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/8/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/8/Multiplikationstafel]] [[Endlicher Körper/9/Additionstafel]] [[Endlicher Körper/9/Multiplikationstafel]] [[Idealoperationen/Idealprodukt/Definition]] [[Quadratische Erweiterungen von Z/Element nicht in Z/Norm ist nicht Erzeuger von Schnitt mit Z/Aufgabe]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 13/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 14/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 15/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 16/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 17/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 18/Multiplikationstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Additionstafel]] [[Restklassenringe (Z)/mod 20/Multiplikationstafel]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/71894 und 45327/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösungsklappe]] [[Gaußsche Zahlen/Primfaktorzerlegung/8-i/Aufgabe mit Lösung]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT(zwei Elemente)/Fakt]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/12x ist 3 mod 18/Aufgabe]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/ggT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung]] [[Restklassenringe (Z)/Lineare Kongruenzen/7x ist 0 mod 91/Aufgabe]] = = [[Magisches Quadrat/Erste n^2 Zahlen/Definition]] [[Normierter Vektorraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt mit Beweislink]] [[Kommutative Ringtheorie/Hauptidealringe/Darstellung ggT (zwei Elemente)/Fakt/Beweis]] [[Gaußsche Zahlen/Euklidischer Algorithmus/7+4i und 5+3i/Aufgabe mit Lösungslink]] [[Hauptidealbereich/Teilbarkeit/Charakterisierung mit Primexponenten/Fakt/Beweis2]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 1]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 2]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 3]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 4]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Endliche Produktdarstellung/Fakt/Beweis/Detaillinks/Grund 5]] # [[Riemannsche Zetafunktion/Produktdarstellung/Berechnung/s ist 3/p ist 3 5 7/Aufgabe]] # [[Sophie Germain Primzahlen/Elementare Übersicht/Textabschnitt]] = = [[Cardanosche Formel/x^3-3x+1/Beispiel]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T2/Klausur mit Lösungen]] [[Reelle Exponentialfunktion/Einführung/Ohne stetig/Textabschnitt]] [[MDLUL/Norm (Zahlbereich)]] [[MDLUL/Ordnung (Z)]] [[MDLUL/Quadrate]] [[MDLUL/Tensorierung]] [[MDLUL/beschränkt (Folge R)]] [[MDLUL/freie Gruppe vom Rang]] [[Matrix/Diagonalgestalt/1/Beispiel]] [[Matrix/Diagonalgestalt/2/Beispiel]] [[Mengentheorie/Partition/Definition]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Definition/Begriff/Inhalt]] [[Ganze Zahlen/Negative Zahlen/Direkt/Ordnung/Textabschnitt]] [[Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kombinatorik/Elementar/Einführung/Textabschnitt]] [[Kommutative Ringtheorie/Faktoriell/Normal/Fakt mit Beweisklappe]] [[Endliche geometrische Reihe/Term/Natürliche Zahlen/Aufgabe]] [[Euklidischer Bereich/Hauptidealbereich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Primfaktorzerlegung/1573/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/2047/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/539/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/717/Aufgabe]] [[Primfaktorzerlegung/827/Aufgabe]] == == [[Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt/Beweis/Variante]] [[Prädikatenlogik/Substitution/Ohne Beweis/Einführung/Textabschnitt]] [[Strukturen/Automorphismus/Definition]] [[Strukturen/Isomorphismus (direkt)/Isomorph/Definition]] [[MDLUL/Alleinführung im Sukzedens]] [[MDLUL/Automorphismusgruppe (Struktur)]] [[MDLUL/Bijektive Abbildung]] [[MDLUL/Disjunktive Normalform]] [[MDLUL/Drehung (2)]] [[MDLUL/Extrema (mr)]] [[MDLUL/Grenzfunktion (mr)]] [[MDLUL/Konjugation (Untergruppe)]] [[MDLUL/Peano-Modelle]] [[MDLUL/Polynomfunktion (n R)]] [[MDLUL/Polynomringen (n)]] [[MDLUL/Randpunkt (R)]] [[MDLUL/Randpunkten (mr)]] [[MDLUL/Register-Programmen]] [[MDLUL/beschränkten (mr)]] [[MDLUL/differenzierbar (n)]] [[MDLUL/differenzierbare Funktionen (n)]] [[MDLUL/divergiert (mr)]] [[MDLUL/erststufigen Peanoaxiome]] [[MDLUL/gleichmäßig konvergiert]] [[MDLUL/gleichmäßig stetigen (mr)]] [[MDLUL/kompakten (Rn)]] [[MDLUL/konvergiert]] [[MDLUL/offenes (R)]] [[MDLUL/punktweise konvergent (funktfolge mr)]] [[MDLUL/reelles Intervall (ang)]] [[MDLUL/stetig differenzierbare Funktionen (1 K)]] [[MDLUL/summierbaren (C)]] [[MDLUL/(komplex-)differenzierbare (total)]] [[MDLUL/Ball (mr)]] [[MDLUL/Erzeugendensystem (VR)]] [[MDLUL/Homotopieklassen]] [[MDLUL/Laurent-Entwicklungen]] [[MDLUL/Obersumme]] [[MDLUL/Obersummen]] [[MDLUL/Polynomfunktionen (R)]] [[MDLUL/Untersumme]] [[MDLUL/Untersummen]] [[MDLUL/holomorphe (Funktion)]] [[MDLUL/holomorphe Funktionen]] [[MDLUL/holomorphen Funktion]] [[MDLUL/inversen gebrochenes Ideale (Dedekindbereich)]] [[MDLUL/inzident (Graph)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbar (1)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbare (C)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbare (Funktion)]] [[MDLUL/komplex-differenzierbaren]] [[MDLUL/reell-differenzierbar]] [[MDLUL/unverzweigte Überlagerung (riemannsche Fläche)]] [[MDLUL/vertauschbaren (Matrix)]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/14/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/15/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/6/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/7/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/9/Klausur mit Lösungen]] [[Befreundete Zahlen/Regel von Thabit/2/Tabelle]] [[Dezimalentwicklung/5 durch 7/Aufgabe]] [[Term/Variablenmenge/Funktionssymbole/Grundmenge/Phantasie/Stammbaum/Beispiel]] [[Vorkurs/Mathematik/4/Klausur]] [[Vorkurs/Mathematik/5/Klausur]] [[Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Beispiel]] [[Spaltenstochastisch/2x2/Beispiel/Zweiter Eigenvektor/Aufgabe]] [[Strahlensatz/Zwei Strahlen/Nur Strahlen/Fakt]] [[Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Radius in Abhängigkeit von Winkel/Pseudoformel für Flächeninhalt/Aufgabe]] [[Rechnen mit Skalarprodukt/2/Aufgabe]] [[Reell-projektive Räume/Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt mit Beweisklappe]] [[Polynomring/Körper/1/Teilbarkeitsbegriffe/Textabschnitt [[Produktmenge/Direktes Produkt/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt]] [[Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/1/Aufgabe]] [[Punkt in Ebene/Gerade/Abstand/2/Aufgabe]] [[MDLUL/fatalistischen (Modallogik)]] [[MDLUL/repräsentierbar (schwach)]] [[KXY/Modulo X^2 Y^2/Kein zyklischer Restklassentest/Beispiel]] [[Kugel/Lineare Abbildung/Beschreibung durch Quadrik/Aufgabe]] [[Aussagenlogik/Ausdrucksmenge/Widersprüchlich/Definition]] [[Fermat-Zahlen/Paarweise teilerfremd/Fakt mit Beweisklappe]] [[Quadratische_Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Endlich viele Mengen/Erzeugte Algebra/Indikatorfunktionen/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/1/Fakt/Beweis]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Lineare Abbildung/Zwei Haupträume/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Invarianter Unterraum/Polynom/Wirkungsweise/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Polynom/Eigenvektor/Fakt/Name/Inhalt]] [[Endomorphismus/Trigonalisierbar/Direkte Summe für Endomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Euklidische Vektorräume/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Zuerst Streckung/Aufgabe]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name]] [[Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Gleiche Nullstellen/Fakt/Name/Inhalt]] [[Minkowski-Raum/4/Diagonale/Möglichkeiten/Aufgabe]] [[Determinante/Transponierte einer Matrix/Aufgrund universeller Eigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Multilineare Abbildung/Alternierend/K/Definition]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Charakterisierung auf Basis/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Minimalpolynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Name/Inhalt]] [[Nilpotenter Endomorphismus/Trigonalisierbar/Fakt/Name/Inhalt]] [[Permutation/Signum ist Gruppenhomomorphismus/Fakt/Name/Inhalt]] [[Halbräume/Differenzierbare Abbildung/Über Ausdehnung/Definition]] [[Hauptachsentransformation/Einführung/Textabschnitt]] [[Konstruktionen Zirkel Lineal/Regelmäßiges n-Eck/Charakterisierung mit Fermatschen Primzahlen/Notwendige Bedingung/Fakt/Beweis]] [[KursEinführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Vorlesungsgestaltung]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Endlich dimensional/Eigenwerte durch Dimension beschränkt/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name]] [[Lineare Abbildung/Matrix zu Basen/Korrespondenz/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Abbildung/Nilpotenter Kern und Bild/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineare Algebra/Linear unabhängig/Fast alle/Definition]] [[MDLUL/Kerne]] [[MDLUL/Peano-Axiome]] [[MDLUL/Unterraum]] [[MDLUL/Unterraum (vr)]] [[MDLUL/aufgespannten Parallelotops]] [[MDLUL/hermitesche (sesquilinear)]] [[MDLUL/isoliertes Minimum (R)]] [[MDLUL/nichtausgeartet]] [[MDLUL/translationsinvariant (Maß)]] [[MDLUL/translationsinvariante]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Raum/Punktmenge/Erzeugter affiner Unterraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Affiner Unterraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Cayley-Hamilton/Fakt/Name/Inhalt]] [[Cayley-Hamilton/Minimalpolynom und charakteristisches Polynom/Fakt/Name/Inhalt]] [[Charakteristisches Polynom/Begleitmatrix/Spalte/Aufgabe]] [[Endlichdimensionaler Vektorraum/Untervektorraum/Kern/Lösungsraum/Fakt/Name/Inhalt]] [[Lineares Gleichungssystem/Über Z mod 7/2/Aufgabe]] [[MDLUL/linear-magischer Quadrate]] [[Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/36/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/10/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/11/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/12/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/13/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/14/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/15/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/16/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/17/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/18/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/4/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/5/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/6/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/7/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/8/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis 3/9/Klausur mit Lösungen]]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Fehler TK/aufg12]] [[Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Fehler TK/aufg13]] [[Elementare und algebraische Zahlentheorie/T1/Klausur mit Lösungen]] == == [[Permutation/Stirling-Zahl erster Art/Einführung/Textabschnitt]] [[Permutationen/Zyklendarstellung/Einführung/Textabschnitt]] [[Projektive Ebene/Endlicher Körper/Inzidenzstruktur/Textabschnitt]] [[Projektive Ebene/Konzentrische Kreise/Schnittpunkte/Bezout/Aufgabe]] [[Punktierte affine Gerade/Potenzieren/C und R^2/Etale/Beispiel]] [[Rationale Funktion/Ordnung/1/Aufgabe]] [[Satz vom Igel/Eine Nullstelle/Aufgabe]] [[Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Name]] [[Satz von Gauss/Ebene/Fakt/Name/Inhalt]] [[Satz über implizite Abbildungen/R/Stetige Beschreibung des Tangentialbündels der Faser/Fakt]] [[Satz über implizite Abbildungen/R/Textabschnitt]] [[Satz über implizite Abbildungen/Rekapituliere/Aufgabe]] [[Schema/R/Invertierbare Garbe/Sehr ampel/Affine Invertierbarkeitsorte und surjektiv/Fakt]] [[Schema/Topologische Eigenschaften/Einführung/Textabschnitt]] [[Schneckenparadoxon/Reihe/Aufgabe]] [[Reihe/-1^n durch Wurzel(n^2+1)/(absolute) Konvergenz/Aufgabe]] [[Riemannsche Fläche/Divisor/Invertierbare Garbe/Effektiv/Aufgabe]] [[Riemannsche Fläche/Kanonischer Divisor/Definition]] [[Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Dolbeault/Textabschnitt]] [[Riemannsche Flächen/Divisoren/Invertierbare Garben/Textabschnitt]] [[Ring/Modul/Gruppenoperation/Verträglich/Textabschnitt]] [[Quasiprojektive Varietäten/Irreduzibel/Funktionenkörper/Definition]] [[R/Konvergente Folge/Gemittelte Folge/Aufgabe]] [[R^n/Standardbasis/Dualbasis/Beispiel]] [[Rationale Funktion/Exponentialfunktion/Stammfunktion/Aufgabe]] [[Rationale Parametrisierung/Gleichung/1/Aufgabe]] [[Reelle Exponentialfunktion/Basis/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung2]] [[Reelle Funktion/Ableitung null/Konstant/2/Fakt]] [[Reelle Quadrik/3/Normierte Standardgestalt/4/Aufgabe[[ [[Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Abgeschlossen/Definition]] [[Reelle Zahlen/Beschränktes Intervall/Offen/Definition]] Reelle Zahlen/Konvergente Folgen/Rechenregeln/Fakt/Name/Inhalt Reeller Vektorraum/Gitter/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomiale Abbildung/Standardaufblasung/Affine Koordinaten/Bemerkung]] [[Polynomring/Differentialoperatoren/Nicht kommutativ/Aufgabe]] [[Polynomring/Einsetzung/Matrix/X^2+(1+4i)X+3-i/2-i 1+3i 5 -3+4i/Aufgabe]] [[Polynomring/Formales partielles Ableiten/Einführung/Textabschnitt]] [[Polynomring/Gruppenoperation/Klein/F-Signatur/Fakt/en]] [[Polynomring/Polynom/Endliche Erweiterung/Phänomene/Beispiel]] [[Potenzreihe/(Un)gerade Potenzen/(Un)gerade Funktion/Aufgabe]] [[Potenzreihe/Koeffizient ist 1 durch n^2/Randverhalten/Aufgabe]] [[Potenzreihenring/Endlich viele Variablen/Definition/Begriff]] [[Primitive Einheitswurzeln/Galoiserzeuger/Aufgabe]] [[Produktraum/Endlich/Produktpräring/Produktprämaß/Textabschnitt]] [[Projektiver Raum/R/Topologie/Kegelabbildung/Definition]] [[Prägarben/Gruppe/Homomorphismus/Kern/Definition]] [[Elementare und algebraische Zahlentheorie/T3/Klausur]] [[Euklidischer Algorithmus (Z)/GgT/1071 und 1029/Aufgabe mit Lösung]] [[1-Form/K/Vektorräume/Textabschnitt]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/100/Klausur]] [[Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Information/Übungsbetrieb/Tutoren]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 1/Klausur]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 2/Klausur]] [[Kurs:Maß- und Integrationstheorie/Test 3/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Information/Testklausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Repetitorium]] [[Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Lizenzerklärung]] == == [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Teiltest/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Teiltest/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/31/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/32/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/33/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/34/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/35/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Einführung in die mathematische Logik/1a/Klausur]] [[Kurs:Analysis/Teil II/100/Klausur]] [[Kurs:Analysis/Teil I/61/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/62/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/63/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Analysis/Teil I/64/Klausur mit Lösungen [[Kurs:Analysis/Teil I/65/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/100/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/21/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/22/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/23/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/24/Klausur]] [[Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/25/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/4/Teiltest/Klausur]] [[Kurs:Lineare Algebra/Teil II/100/Klausur]] [[Kurs:Körper- und Galoistheorie/100/Klausur]] [[Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Elliptische Kurven/1/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Elliptische Kurven/2/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Elliptische Kurven/3/Klausur mit Lösungen]] [[Kurs:Elementare und algebraische Zahlentheorie/100/Klausur]] [[Kurs:Elementare Algebra/100/Klausur]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/1/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/3/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/5/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/1/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/5/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe]] [[Singularitätentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe]] [[Umkehrfunktion/Potenzreihenansatz/cos x/1/Ordnung 4/Aufgabe]] [[Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt/Name/Inhalt]] [[Vektorraum/Dualbasis/Basiswechsel/Fakt/Name/Inhalt]] [[Vektorraum/K/Skalarprodukt/Normgleichheit/2/Aufgabe]] [[Zyklische Gruppe/Produkt/Eigentliche Symmetriegruppe/Aufgabe]] [[XY Z^3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel]] [[X^2+Y^2+Z^3/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel]] [[X^2+Y^2+Z^k/Matrix zu Hauptteilen/Beispiel]] [[Zahlbereich/3te Wurzel aus q/pm 1 mod 9/Kähler-Differential/Differente/Beispiel]] [[Zahlbereich/Ideal/Restklassenring/Endlich/Fakt mit Beweisklappe]] [[Zahlbereich/Ideal/Zerlegung im Restklassenring/Aufgabe]] [[Zahlbereich/Nenneraufnahme/Element/Endlich erzeugt/Aufgabe]] [[Zahlbereich/Restklassenring/Endlich/Fakt]] [[Zahlbereich/X^3-3X+1/Einheiten/Beispiel]] [[Zahlbereich/pte Wurzel aus q/Kähler-Differential/Differente/Beispiel]] [[Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt mit Beweisklappe]] [[Kurs:Analysis/Teil I/100/Klausur]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Lizenzerklärung]] [[Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorwort zum Skript]] [[Kurs:Algebraische Kurven/100/Klausur]] [[Topologische Mannigfaltigkeit/Fundamentalgruppe/Nach Dualraum/Lokal konstante Funktionen/Erste Kohomologiegruppe/Fakt]] [[Topologische Räume/Lokal konstante Funktionen/Kohomologie/Produktstruktur/Textabschnitt]] [[Topologischer Raum/Kontrahierbar auf Punkt/Deformationsintervall links/Definition]] [[Topologischer Raum/Offene Überdeckung/Untergeordnete (stetige) Partition der Eins/Direkt/Definition]] [[Topologischer Raum/Produktraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Topologischer Raum/Stetige Funktionen/Lokal beringter Raum/2/Beispiel]] [[Standardkegel/Derivationen/Nicht unitär/Aufgabe]] [[Summenzeichen/Anwendung/3/Aufgabe/Lösung]] [[Symmetrische Bilinearform/Nicht ausgeartet/Gramsche Determinante/Aufgabe]] [[Teilbarkeitstheorie/Bereich/Prim ist irreduzibel/Fakt mit Beweisklappe]] [[Theorie/Erster Stufe/Ableitbar/Axiomatisierbar/Aufzählbar/Fakt]] [[Sinus/Schwerpunkt/Aufgabe]] [[Sinus und Kosinus/Reell/Eigenschaften/Fakt/Name/Inhalt]] [[Sinusreihe/Kosinusreihe/Cauchyprodukt/Bis fünftes Glied/Aufgabe]] fe4ueoyo3l1kg6xbeixq6i08buszul0 0 15229 1105378 1098088 2026-06-24T07:39:11Z Bocardodarapti 2041 1105378 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= k |SZ=}} eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring {{ Relationskette/display | R || \Z[ k {{imaginäre Einheit|}} ] || {{Mengebed| a+ck {{imaginäre Einheit|}} | a,c \in \Z }} | \subseteq | \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] || |SZ=. }} Zeige die Isomorphie {{ Relationskette |R | \cong| \Z[X]/ {{makl| X^2+k^2 |}} || || || |SZ= }} und dass {{math|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} {{ Definitionslink |ganz| |Kontext=| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Ganzheit/Ganze Algebra/Definition |SZ= }} über {{math|term= R|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ganzheit (kommutative Algebra) |Kategorie2=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Gaußsche Zahlen |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ceevlvryoc4vnu4uvt56fipo3owh6c9 0 16582 1105393 847441 2026-06-24T09:21:50Z Bocardodarapti 2041 1105393 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | D | \neq | 1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette | D || 1 \mod 4 || || || |SZ=, }} und sei {{math|term= A_D |SZ=}} der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für {{mathl|term= \frac{1 - \sqrt{D} }{2} |SZ=}} über {{math|term= \Z |SZ=}} an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe {{ Relationskette | \Z[\sqrt{D}] | \subset | R | \subset | A_D || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |Stichwort=Ganzheitsgleichung und Zwischenring |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1bmliud7n4s88g4bm727fjr6c425mh8 1105394 1105393 2026-06-24T09:22:16Z Bocardodarapti 2041 1105394 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | D | \neq | 1 || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |quadratfreie Zahl| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Relationskette | D || 1 \mod 4 || || || |SZ=, }} und sei {{math|term= A_D |SZ=}} der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für {{mathl|term= \frac{1 - \sqrt{D} }{2} |SZ=}} über {{math|term= \Z |SZ=}} an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe {{ Relationskette | \Z[\sqrt{D}] | \subset | R | \subset | A_D || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |Stichwort=Ganzheitsgleichung und Zwischenring |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4rfcg5d2e52q3t0dcvggfr1h3qxny9d 0 16624 1105366 1047916 2026-06-24T06:38:32Z Bocardodarapti 2041 1105366 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | A_{-10} || \Z[\sqrt{-10}] | \cong | \Z[X]/ {{makl| X^2+10 |}} || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |quadratische Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} zu {{ Relationskette | D || -10 || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Hauptdivisor| |Kontext=Zahlkörper| |SZ= }} zu {{ Relationskette/display | q || \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Hauptdivisoren (Zahlbereich) |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(-10)) |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 69mb6usf3xuvmq3b85o114zdmh0sn78 0 16628 1105367 999313 2026-06-24T06:46:57Z Bocardodarapti 2041 1105367 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || A_{-10} || \Z[X]/ {{makl| X^2+10 |}} || || || |SZ=. }} Wir bringen {{ Relationskette | q || \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10} || || || |SZ= }} auf einen Hauptnenner, also {{ Relationskette/display | q || \frac{10 - 3 \sqrt{-10} }{15} || || || |SZ=. }} Der Nenner ist {{ Relationskette | 15 || 3 \cdot 5 || || || |SZ=. }} Die Zerlegung für diese Primzahlen ist: Modulo {{math|term= 3 |SZ=}}. {{ Relationskette/display | R/(3) || {{op:Zmod|3|}} [X]/ {{makl| X^2+1 |}} || || || |SZ= }} Das Polynom {{math|term= X^2+1 |SZ=}} hat keine Nullstelle über {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=,}} also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist {{math|term= (3) |SZ=}} ein Primideal in {{math|term= R |SZ=.}} Modulo {{math|term= 5 |SZ=.}} {{ Relationskette/display | R/(5) || {{op:Zmod|5|}} [X]/ {{makl| X^2 |}} || || || |SZ=. }} Das Polynom {{math|term= X^2 |SZ=}} ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal {{math|term= (X) |SZ=}} vor. Diesem Primideal entspricht in {{math|term= R |SZ=}} das Primideal {{ Relationskette | {{idealp|}} || {{makl| 5 , \sqrt{-10} |}} || || || |SZ=. }} Es gilt die Idealzerlegung {{ Relationskette/display | (5) || {{idealp}}^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=.}} Für den Zähler betrachten wir die Norm, also {{ Relationskette/display | {{makl| 10 - 3 \sqrt{-10} |}} {{makl| 10 + 3 \sqrt{-10} |}} || 100 -9 (-10) || 190 || 2 \cdot 5 \cdot 19 || || || || |SZ=. }} Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren. Modulo <math>2</math>. :<math>R/(2)= \Z/(2)[X]/(X^2)</math>. Das Polynom <math>X^2</math> ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal <math>(X)</math> vor. Diesem Primideal entspricht in <math>R</math> das Primideal <math>{\mathfrak q} =(2, \sqrt{-10})</math>. Es gilt die Idealzerlegung <math>(2)= {\mathfrak q}^2</math> in <math>R</math>. Modulo <math>19</math>. :<math>R/(19)= \Z/(19)[X]/(X^2+10)</math>. Das Polynom <math>X^2+10</math> ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen <math>3</math> und <math>-3</math>, und die Zerlegung <math>X^2+10=(X+3)(X-3)</math>. Damit gibt es die beiden Primideale <math>(X-3)</math> und <math>(X+3)</math>, die den beiden konjugierten Primidealen <math>{\mathfrak m}=(19, -3 + \sqrt{-10})</math> und <math>\overline{\mathfrak m}=(19, 3 + \sqrt{-10})</math> entsprechen. Damit ist :<math>(190) = {\mathfrak q}^2 {\mathfrak p}^2 {\mathfrak m} \overline{\mathfrak m}</math> . Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In <math> {\mathfrak m}</math> kann man <math> 19 + 3(-3 + \sqrt{-10}) = 10 +3 \sqrt{-10}</math> schreiben, sodass <math>10 -3 \sqrt{-10} </math> zu <math>\overline{\mathfrak m}</math> gehört, und man erhält :<math> (10 -3 \sqrt{-10}) = {\mathfrak q} {\mathfrak p} \overline{\mathfrak m}</math>. Damit ist der Hauptdivisor gleich :<math>\operatorname{div}(q)= {\mathfrak q} +{\mathfrak p}+ \overline{\mathfrak m} - (3) -2 {\mathfrak p} = {\mathfrak q} + \overline{\mathfrak m} - (3) - {\mathfrak p}</math> . |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} hhjmpzmzpw4sxp1ujuqlxe2q7zyts3u 1105391 1105367 2026-06-24T09:16:11Z Bocardodarapti 2041 1105391 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | R || A_{-10} || \Z[X]/ {{makl| X^2+10 |}} || || || |SZ=. }} Wir bringen {{ Relationskette | q || \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \sqrt{-10} || || || |SZ= }} auf einen Hauptnenner, also {{ Relationskette/display | q || \frac{10 - 3 \sqrt{-10} }{15} || || || |SZ=. }} Der Nenner ist {{ Relationskette | 15 || 3 \cdot 5 || || || |SZ=. }} Die Zerlegung für diese Primzahlen ist: Modulo {{math|term= 3 |SZ=}}. {{ Relationskette/display | R/(3) || {{op:Zmod|3|}} [X]/ {{makl| X^2+1 |}} || || || |SZ= }} Das Polynom {{math|term= X^2+1 |SZ=}} hat keine Nullstelle über {{math|term= {{op:Zmod|3|}} |SZ=,}} also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist {{math|term= (3) |SZ=}} ein Primideal in {{math|term= R |SZ=.}} Modulo {{math|term= 5 |SZ=.}} {{ Relationskette/display | R/(5) || {{op:Zmod|5|}} [X]/ {{makl| X^2 |}} || || || |SZ=. }} Das Polynom {{math|term= X^2 |SZ=}} ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal {{math|term= (X) |SZ=}} vor. Diesem Primideal entspricht in {{math|term= R |SZ=}} das Primideal {{ Relationskette | {{idealp|}} || {{makl| 5 , \sqrt{-10} |}} || || || |SZ=. }} Es gilt die Idealzerlegung {{ Relationskette/display | (5) || {{idealp}}^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=.}} Für den Zähler betrachten wir die Norm, also {{ Relationskette/display | {{makl| 10 - 3 \sqrt{-10} |}} {{makl| 10 + 3 \sqrt{-10} |}} || 100 -9 (-10) || 190 || 2 \cdot 5 \cdot 19 || || || || |SZ=. }} Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren. Modulo {{math|term= 2 |SZ=.}} {{ Relationskette/display | R/(2) || {{op:Zmod|2|}} [X]/ {{makl| X^2 |}} || || || |SZ=. }} Das Polynom {{math|term= X^2 |SZ=}} ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal {{math|term= (X) |SZ=}} vor. Diesem Primideal entspricht in {{math|term= R |SZ=}} das Primideal {{ Relationskette | {{idealq}} || {{makl| 2, \sqrt{-10} |}} || || || |SZ=. }} Es gilt die Idealzerlegung {{ Relationskette/display | (2) || {{idealq}}^2 || || || |SZ= }} in {{math|term= R |SZ=.}} Modulo {{math|term= 19 |SZ=.}} {{ Relationskette/display | R/(19) || {{op:Zmod|19|}} [X]/ {{makl| X^2+10 |}} || || || |SZ=. }} Das Polynom {{mathl|term= X^2+10 |SZ=}} ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen {{ mathkor|term1= 3 |und|term2= -3 |SZ=, }} und die Zerlegung {{ Relationskette/display | X^2+10 || (X+3)(X-3) || || || |SZ=. }} Damit gibt es die beiden Primideale {{ mathkor|term1= (X-3) |und|term2= (X+3) |SZ=, }} die den beiden konjugierten Primidealen {{ Relationskette | {{idealm}} || {{makl| 19, -3 + \sqrt{-10} |}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | \overline{ {{idealm}} } || {{makl| 19, 3 + \sqrt{-10} |}} || || || |SZ= }} entsprechen. Damit ist {{ Relationskette/display | (190) || {{idealq}}^2 {{idealp}}^2 {{idealm}} \overline{ {{idealm}} } || || || |SZ=. }} Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich {{ Zusatz/Klammer |text=aus Symmetriegründen| |ISZ=|ESZ= }} auf die beiden Faktoren. Es gilt {{ Relationskette/display | 19 + 3 {{makl| -3 + \sqrt{-10} |}} || 10 +3 \sqrt{-10} || || || |SZ=, }} sodass {{mathl|term= 10 -3 \sqrt{-10} |SZ=}} zu {{mathl|term= \overline{ {{idealm|}} } |SZ=}} gehört, und man erhält {{ Relationskette/display | {{makl| 10 -3 \sqrt{-10} |}} || {{idealq}} {{idealp}} \overline{ {{idealm|}} } || || || |SZ=. }} Damit ist der Hauptdivisor gleich {{ Relationskette/display | {{op:Hauptdivisor|q|}} || {{idealq|}} + {{idealp|}} + \overline{ {{idealm}} } - (3) -2 {{idealp|}} || {{idealq|}} + \overline{ {{idealm}} } - (3) - {{idealp|}} || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ozxpw1af5sro4q8ciq0ori370xemt82 0 16835 1105392 1096564 2026-06-24T09:19:52Z Bocardodarapti 2041 1105392 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wir behaupten, dass {{mathl|term= X^2-X- \frac{D-1}{4} |SZ=}} eine Ganzheitsgleichung ist. In der Tat, es ist {{ Relationskette/display | {{makl| \frac{1- \sqrt{D} }{2} |}}^2 -\frac{1- \sqrt{D} }{2}- \frac{D-1}{4} || \frac{1 -2 \sqrt{D} + D -2 + 2 \sqrt{D} - D+1}{4} || 0 || || |SZ=. }} Wir betrachten nun die Ringerweiterung {{ Relationskette | \Z[\sqrt{D}] | \subset | A_D || || || |SZ=. }} Es ist {{ Relationskette | u || 1 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | v || \frac{1+ \sqrt{D} }{2} || || || |SZ= }} eine {{math|term= \Z |SZ=}}-Basis rechts. In dieser Basis drückt sich die {{math|term= \Z |SZ=}}-Basis links, also {{math|term= 1 |SZ=}} und {{math|term= \sqrt{D} |SZ=}} aus als {{math|term= u |SZ=}} und {{mathl|term= 2v - u |SZ=.}} Damit ist die Restklassengruppe {{ Relationskette/display | A_D / \Z[\sqrt{D}] | \cong| \Z^2/ ( (1,0), (-1,2)) | \cong| \Z^2/ ( (1,0), (0,2)) | \cong| \Z/ (2) || |SZ=. }} Daher gilt sogar für eine beliebige Gruppe {{math|term= G |SZ=}} zwischen {{mathl|term= \Z[\sqrt{D}] |SZ=}} und {{math|term= A_{D} |SZ=,}} dass {{mathl|term= G/ \Z[\sqrt{D}] |SZ=}} die Nullgruppe oder {{math|term= \Z/(2) |SZ=}} ist. Damit ist {{ Relationskette | G || \Z[\sqrt{D}] || || || |SZ= }} oder {{ Relationskette | G || A_D || || || |SZ=. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nemamp6s073htxdvw8n45o0li4todr7 0 17199 1105375 1090314 2026-06-24T07:27:19Z Bocardodarapti 2041 1105375 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Die Elemente in {{mathl|term= \Z[\sqrt{-11}] |SZ=}} haben die Form {{ Relationskette/display | z || a+ b \sqrt{-11} || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette | a,b | \in | \Z || || || |SZ=. }} Die Norm davon ist {{ Relationskette/display | N(z) || a^2 + 11 b^2 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | b | \geq | 1 || || || |SZ= }} ergibt sich zumindest {{ Relationskette | N(z) | \geq | 11 || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | b || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a || \pm 2 || || || |SZ= }} ergibt sich die Norm {{math|term= 4 |SZ=.}} Bei {{ Relationskette | b || 0 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | a || \pm 1 || || || |SZ= }} liegt eine Einheit vor, sodass {{mathl|term= (\pm 2, 0) |SZ=}} die Nichteinheiten mit minimaler Norm sind. Ein solches Element {{math|term= z |SZ=}} ist irreduzibel, da aus {{ Relationskette | z || uv || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette | 4 || N(u) N(v) || || || |SZ=. }} Da es aber kein Element mit Norm {{math|term= \pm 2 |SZ=}} gibt, muss {{mathl|term= u |SZ=}} oder {{mathl|term= v |SZ=}} die Norm {{math|term= \pm 1 |SZ=}} haben, also eine Einheit sein. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cnyojmofy5t101dm9pnrv4fixio49xl 0 120876 1105358 1102671 2026-06-24T05:43:07Z Bocardodarapti 2041 1105358 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{ Relationskette | \Q | \subseteq|K || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |endliche Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} vom {{ Definitionslink |Grad| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{math|term= n |SZ=.}} Gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung von Q/Komplexe Einbettungen/Fakt |Nr= |SZ= }} gibt es {{math|term= n |SZ=}} verschiedene Einbettungen von {{math|term= K |SZ=}} in {{math|term= {{CC|}} |SZ=.}} Diese kann man zur komplexen Gesamteinbettung {{ Abbildung/display |name= \tau |K| {{CC|}}^n || |SZ= }} zusammenfassen. Insbesondere ist das Bild des Ganzheitsringes {{math|term= R |SZ=}} unter dieser Abbildung interessant und erlaubt einen Zugang zu {{math|term= R |SZ=,}} bei dem Methoden der diskreten Geometrie, der linearen Algebra, der Maßtheorie eingesetzt werden können. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Zahlbereich/Additive Struktur/Frei/Fakt |Nr= |SZ= }} ist {{ Relationskette/display |R | \cong|\Z^n || || || |SZ=, }} wobei die Standardbasis einer {{ Definitionslink |Ganzheitsbasis| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= b_1 {{kommadots|}} b_n |SZ=}} von {{math|term= R |SZ=}} entspricht. Diese legt die komplexe {{ Definitionslink |Ganzheitsmatrix| |Kontext=komplex| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{makl| \tau_j(b_k) |}}_{1 \leq j,k \leq n} |SZ= }} fest. Sie definiert ein {{Anführung|komplexes Gitter}} im {{math|term= {{CC|}}^n |SZ=,}} das Quadrat ihrer Determinante ist {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Endliche Körpererweiterung/C/Basis/Diskriminante/Einbettungsbeschreibungen/Fakt |Nr= |SZ= }} die {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=Zahlbereich| |SZ=, }} u.s.w. Allerdings entwickeln die angesprochen Methoden ihre Schlagkraft deutlicher, wenn man zu der komplexen Gesamteinbettung eine reelle Version entwickelt. Bei einer Einbettung {{ Abbildung/display |name= \sigma | K | {{CC|}} || |SZ= }} unterscheidet man, ob das Bild innerhalb der reellen Zahlen liegt oder nicht. Im ersten Fall spricht man von einer {{Stichwort|reellen Einbettung|msw=Reelle Einbettung|SZ=.}} Wenn {{math|term= \sigma |SZ=}} keine reelle Einbettung ist, so spricht man von einer komplexen Einbettung, in diesem Sinn ist also eine reelle Einbettung nicht komplex. Zu einer komplexen Einbettung {{math|term= \sigma |SZ=}} ist auch die konjugiert-komplexe Einbettung {{ Math/display|term= {{op:Komplexe Konjugation| \sigma|}} : K \stackrel{\sigma }{ \longrightarrow} {{CC|}} \stackrel{ \text{komplexe Konjugation} }{\longrightarrow } {{CC|}} |SZ= }} eine komplexe Einbettung, und zwar ist {{ Relationskette | \sigma |\neq| {{op:Komplexe Konjugation| \sigma|}} || || || |SZ=, }} denn sonst wäre {{math|term= \sigma |SZ=}} eine reelle Einbettung. Komplexe Einbettungen treten also immer paarweise auf. Es sei {{math|term= r |SZ=}} die Anzahl der reellen Einbettungen und {{math|term= 2s |SZ=}} die Anzahl der komplexen Einbettungen, also {{math|term= s |SZ=}} sei die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen. Dann gilt {{ Relationskette/display | n || r+2s || || || |SZ=. }} Häufig fixiert man zu jedem Paar von komplexen Einbettungen eine Einbettung davon, da sich die andere daraus direkt ablesen lässt. Die Wahl ist dabei willkürlich. Alle numerisch möglichen Kombinationen von {{ mathkor|term1= r |und|term2= s |SZ= }} treten auch auf. Es seien {{ mathbed|term= \rho_i ||bedterm1= i=1 {{kommadots|}} r ||bedterm2= |SZ= }} die reellen Einbettungen und {{ mathbed|term= \sigma_j ||bedterm1= j = 1 {{kommadots|}} s ||bedterm2= |SZ= }} Repräsentanten der Paare von komplexen Einbettungen. Dies definiert eine Gesamteinbettung {{ Abbildung/display |name= | K | \R^r \times {{CC}}^s || |SZ=, }} die wir die {{Stichwort|reelle Gesamteinbettung|SZ=}} nennen. Wenn man einzelne komplexe Einbettungen durch ihre konjugierten Einbettungen ersetzt, so ergibt sich ein natürlicher {{math|term= \R |SZ=-}}linearer Automorphismus von {{mathl|term= \R^r \times {{CC}}^s |SZ=}} in sich. Dabei gilt als reeller Vektorraum {{ Relationskette/display | \R^r \times {{CC}}^s | \cong| \R^r \times \R^{2s} || \R^n || || |SZ=, }} d.h. die reelle Dimension des Einbettungsraumes stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein. Zwischen der reellen Gesamteinbettung und der komplexen Gesamteinbettung besteht der Zusammenhang {{Kommutatives Dreieck/ru| K | \R^r \times {{CC}}^s | {{CC|}}^{r+2s} |abb12= {{op:Reelle Gesamteinbettung||}} |abb13= \tau |abb23= \psi |SZ=,}} wobei {{math|term= \psi |SZ=}} in den ersten {{math|term= r |SZ=}} Komponenten die natürliche Einbettung {{ Relationskette | \R | \subset| {{CC}} || || || |SZ= }} und in den hinteren Komponenten die Abbildung {{ Abbildung |name= | {{CC|}} | {{CC|}} \times {{CC|}} | z | (z, {{op:Komplexe Konjugation|z|}} ) |SZ=, }} ist. Somit ist {{math|term= \psi |SZ=}} eine {{math|term= \R |SZ=-}}lineare Abbildung. Ein Element {{ Relationskette | b | \in| K || || || |SZ= }} wird unter der reellen Gesamteinbettung auf {{ Relationskette/display | {{op:Reelle Gesamteinbettung|}} (b) || {{op:Spaltenvektor| \rho_1(b) | \vdots | \rho_r(b) | {{op:Realteil| \sigma_1(b) |}} | {{op:Imaginärteil| \sigma_1(b) |}} | \vdots | {{op:Realteil| \sigma_s(b) |}} | {{op:Imaginärteil| \sigma_s(b)||}} |}} || || || |SZ= }} und unter der komplexen Gesamteinbettung auf {{ Relationskette/display | \tau (b) || {{op:Spaltenvektor| \rho_1(b) | \vdots | \rho_r(b) | \sigma_1(b) | {{op:Komplexe Konjugation| \sigma}}_1(b) | \vdots | \sigma_s(b) | {{op:Komplexe Konjugation| \sigma}}_s(b) |}} || || || |SZ= }} abgebildet. {{ inputbild |Wurzel5|png| 250px {{!}} right {{!}} | | |Text=Das Gitter zum Zahlbereich {{mathl|term= \Z[\sqrt{-5}] |SZ=}} und zum Ideal {{mathl|term= (2,1+ \sqrt{-5}) |SZ=}} (blau, mit einer Grundmasche). |Autor= |Benutzer=MGausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Die reelle Gesamtabbildung ist trivialerweise injektiv, da sie ja sogar in jeder einzelnen Komponente injektiv ist. Für die Gittertheorie der algebraischen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Minkowski-Theorie| |ISZ=|ESZ= }} ist aber entscheidend, dass das Bild des Rings der ganzen Zahlen ein Gitter in diesem {{math|term= \R^n |SZ=}} ist, also nicht in einem reellen Untervektorraum kleinerer Dimension liegt. Der Zahlbereich wird auf ein Gitter abgebildet, eine Ganzheitsbasis auf eine Gitterbasis. {{ inputdefinition |Zahlbereich/Ganzheitsbasis/Reelle Einbettungen/Reelle Ganzheitsmatrix/Definition|| }} Die reelle Ganzheitsmatrix steht mit der komplexen Ganzheitsmatrix in dem oben durch {{math|term= \psi|SZ=}} beschriebenen Zusammenhang. {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt|Satz|| }} Wir werden dieses Gitter im {{math|term= \R^n |SZ=}} zumeist mit {{math|term= \Gamma|SZ=}} oder {{math|term= \Gamma_R|SZ=}} oder {{math|term= \Gamma_K|SZ=}} bezeichnen. Die reelle Gesamteinbettung liefert einen Gruppenisomorphismus {{ Relationskette | R | \cong| \Gamma | \subseteq| \R^n || || |SZ=. }} {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/Imaginär/Gitter-Einbettung/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Quadratischer Zahlbereich/Reell/Gitter-Einbettung/Beispiel|| }} Wenn {{ Relationskette | \Q | \subseteq| K || || || |SZ= }} eine Galoiserweiterung mit einer fixierten reellen Einbettung {{math|term= \rho|SZ=}} ist, so sind alle Einbettungen reell, und die gesamte Gitterabbildung wird durch {{ Abbildung/display |name= | R | \R^n | f | ( \rho( \sigma(f)) , \sigma \in {{op:Galoisgruppe|\Q|K}} ) |SZ= }} realisiert. {{ inputbeispiel |Zahlbereich/X^3-3X+1/Gitterrealisierung/Beispiel|| }} {{ inputfaktbeweis |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt|Satz|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Imaginär-quadratischer Fall/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Reell-quadratischer Fall/Beispiel||zusatz1=wieder }} {{ inputfaktbeweisverweis |Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt|Satz|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Gittertheorie der Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} r4limiscjuul4ko7sl74fwy77xst0lh 14 121136 1105374 638642 2026-06-24T07:22:37Z Bocardodarapti 2041 1105374 wikitext text/x-wiki {{Fakten-Kategorie unter}} 5ntylwabftrxg0fnzszakdbi1oomvk6 14 121137 1105372 866834 2026-06-24T07:17:38Z Bocardodarapti 2041 1105372 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Galoistheorie für Dedekindbereiche|Zahlbereich |Theorie der Primidealzerlegung in Zahlbereichen|Galois}}{{Wikidatanummern{{{optu|}}}|WDK=Q114722718|WD=Q114722719}} 7fmwefbpyv2eans1cijarv2to21cbs2 0 128043 1105368 1026632 2026-06-24T06:49:28Z Bocardodarapti 2041 1105368 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Zerlegungsverhalten| |SZ= }} im {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |SZ= }} {{math|term= R_7 |SZ=}} für die Primzahlen {{ Relationskette | q || 2,3,5,7,11,13,17,19 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der siebte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ihviks1tpciy06n2nfcz3roppaw4az 0 128074 1105359 1097163 2026-06-24T05:51:20Z Bocardodarapti 2041 1105359 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine ungerade {{ Definitionslink |Primzahl| |SZ= }} und {{ Relationskette/display | g || \sum_{r {{=}} 0}^{p-1} {{op:Legendre-Symbol| r |p}} \zeta^{r} || || || |SZ= }} die {{ Zusatz/Klammer |text=erste| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |quadratische Gaußsumme| |SZ=. }} Es sei {{math|term=\sigma|SZ=}} ein Automorphismus des {{math|term= p |SZ=-}}ten {{ Definitionslink |Kreisteilungsringes| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass {{ Relationskette | \sigma(g) || g || || || |SZ= }} genau dann gilt, wenn unter den Isomorphismen {{ Relationskette/display | {{op:Aut|(R_p)|}} | \cong| {{op:Einheiten(| {{op:Zmod| p |}} ||}} | \cong| {{makl| {{op:Zmod|p-1|}}, +,0 |}} || || |SZ= }} {{math|term= \sigma |SZ=}} durch eine gerade Zahl repräsentiert wird. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der Gaußschen Summen auf endlichen kommutativen Ringen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etys1ij2g9wrwv0ikrv1y4acukepunv 14 128080 1105373 674300 2026-06-24T07:20:38Z Bocardodarapti 2041 1105373 wikitext text/x-wiki {{Aufgaben-Kategorie unter}} rlx6vbjzsocfumyk0vs76mvwpuhptd4 106 152475 1105354 1105353 2026-06-23T12:03:29Z Bert Niehaus 20843 /* Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum */ 1105354 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>n\in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_n := \sqrt{\langle f , f \rangle_n } = \sqrt{\int_{-n}^{+n} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_n </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine Cauchy-Folge in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] jsipveb8d8st4xp6zv28t41gg6o9ipy 1105355 1105354 2026-06-23T12:04:39Z Bert Niehaus 20843 /* Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft */ 1105355 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>n\in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_n := \sqrt{\langle f , f \rangle_n } = \sqrt{\int_{-n}^{+n} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_n </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 145d9uu9a75u9wy9h115bwc9oogkcn8 1105356 1105355 2026-06-23T12:04:51Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1105356 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>n\in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_n := \sqrt{\langle f , f \rangle_n } = \sqrt{\int_{-n}^{+n} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_n </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] j54mgn1smj1bdl6cvqiwxq77p7gbr7n 1105390 1105356 2026-06-24T09:12:54Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - Unitärer Semihilbertraum */ 1105390 wikitext text/x-wiki == Einführung== In [[Mathematik]] gibt es zwei verschiedene Begriffe von ''Semi-Skalarproduktes'' bzw. eines ''Semi-inneren Produktes''. Die erste und häufigere ist die eines inneren Produktes, das nicht unbedingt positiv sein muss. Eine zweite Definition befasst sich mit dem zweiten, sogenannten ''<math>L</math>-semi-inneren Produkt'' oder ''<math>L</math>-Semi-Skalarprodukt'', das ein Skalarprodukt darstellt, das nicht unbedingt symmetrisch bzw. hermitisch sein muss. === L-Semi-Skalarprodukt === Das <math>L</math>-Semi-Skalarprodukt wurde durch [[w:de:Günter Lumer|Günter Lumer]] formuliert, um [[Hilbertraum/Definition|Hilbertraum]]-Argumente auf [[Banachraum/Definition|Banachräume]] in [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] zu erweitern.<ref> Lumer, G. (1961), "Semi-inner-product spaces", Transactions of the American Mathematical Society, 100: 29–43, doi:10.2307/1993352, MR 0133024.</ref> Wichtige Eigenschaften wurden später von Giles untersucht<ref name="Giles"> J. R. Giles (1967), Classes of semi-inner-product spaces, Transactions of the American Mathematical Society 129 , 436–446.</ref>. === Semi-Skalarprodukt === Im weiteren Verlauf werden wir uns mit der in der [[Kurs:Funktionalanalysis|Funktionsanalysis]] häufigeren Form von Semi-Skalarprodukten befassen, die einfach innere Produkte darstellen, die nicht unbedingt positiv sein müssen, d.h. aus <math>\langle x,x \rangle = 0</math> folgt bei Semi-Skalarprodukten nicht unbedingt <math> x= 0_V</math>. === Lokalkonvexe Räume und Systeme von Semi-Skalarprodukten === Lokalkonvexe Räume <math>(V,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> sind topologische Vektorräume, die von einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]] <math> \|\cdot\|_{\alpha})</math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A}</math> topologisiert werden (siehe auch [[Topologisierungslemma für Algebren]]). Wir betrachten nun Systeme von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math>, die wie bei Hilberträumen <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle)</math> durch die induzierte Norm <math> \|x\| := \sqrt{\langle x ,x \rangle}</math> durch die von den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> induzierten Halbnormen <math> \|x\|_\alpha := \sqrt{\langle x ,x \rangle_\alpha } </math> den Vektorraum <math>(V,\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathcal{A}})</math> zu einem lokalkonvexen Vektorraum machen. == Definition: Semi-Skalarprodukt == Sei <math>V</math> ein [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]] über dem [[w:de:Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> der [[w:de:reelle Zahlen|reellen]] oder [[w:de:komplexe Zahlen|komplexen]] Zahlen. Ein ''Semi-Skalarprodukt''<ref name="Giles"/> oder ''semi-inneres Produkt'' ist allgemein eine nicht-negativ [[w:de:hermitesche Sesquilinearform|hermitesche Sesquilinearform]], wobei im reellen Fall <math>\mathbb{R}</math> das Semi-Skalarprodukt eine symmetrische Bilinearform ist. === Semi-Skalarprodukt: Abbildung === Bzgl. des gewählten Körpers <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> heißt eine Abbildung : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to {\mathbb K} </math> ''Semi-Skalarprodukt'', wenn diese für alle <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> aus <math>V</math> und für alle <math>\lambda \in {\mathbb K}</math> die folgenden [[w:de:Axiom|Bedingungen]] erfüllt. Die Unterschiede zwischen <math>\mathbb{R}</math>- und <math>\mathbb{C}</math>-Vektoräumen wird in der Nummerierung der Axiome durch (R) (C) angegeben. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 1,2 - Nicht-Negativität === Das Semi-Skalarprodukt mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> ist nicht-negativ , d.h. <math> \langle {x},{x}\rangle_\alpha \geq 0</math> mit <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}, \mathbb{C}</math> für alle <math>x \in V</math>. === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 3 - symmetrisch/hermitesch=== Bei Vertauschung der Argumente ist das Semi-Skalarprodukt im komplexen Fall nicht mehr symmetrisch * (3-R)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \langle{y},{x}\rangle_\alpha</math> &nbsp; (symmetrisch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> * (3-C)&nbsp; &nbsp; <math>\langle{x},{y}\rangle_\alpha = \overline{\langle{y},{x}\rangle_\alpha}</math> &nbsp; (hermitesch) <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-R - Linearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt im reellen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{R}</math> in der 1. Komponente linear. * (4.1-R)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-R)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> &nbsp; ([[w:de:Lineare Abbildung|linear]] im ''ersten'' Argument). === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 4-C - Semilinearität 1. Komponente=== Das Semi-Skalarprodukt ist im komplexen Fall <math>\mathbb{K}= \mathbb{C}</math> in der 1. Komponente [[w:de:Semilineare Abbildung|semilinear]], d.h. * (4.1-C)&nbsp; <math> \langle \lambda{x},{y} \rangle_\alpha = \overline{\lambda} \langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (4.2-C)&nbsp; <math> \langle {x}+{y},{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{z} \rangle_\alpha + \langle {y},{z} \rangle_\alpha </math> === Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes 5 - Linearität in 2. Komponente === Bezüglich der 2. Komponente ist das Semi-Skalarprodukt [[w:de:Lineare Abbildung|linear]] * (5.1) <math> \langle {x},\lambda{y} \rangle_\alpha = \lambda\langle {x},{y} \rangle_\alpha </math> &nbsp; und * (5.2) <math> \langle {x},{y}+{z} \rangle_\alpha = \langle {x},{y} \rangle_\alpha + \langle {x},{z} \rangle_\alpha </math> ===Bemerkung 1=== Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet [[w:de;Konjugation (Mathematik)|komplexe Konjugation]]. In einem ''reellen'' Vektorraum (also wenn <math>{\mathbb K}=\mathbb{R}</math> ist) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung, da der Imaginärteil von reellen Zahl in <math>\mathbb{C}</math> immer 0 ist. Damit kann man den reellen Fall durch die Beweisführung in <math>\mathbb{C}</math> ebenfalls nachweisen. ===Bemerkung 2: Konvention - Linearität/Semilineartät=== Bei der Definition einer Sesquilinearform wurde hier für das Skalarprodukt die Semilinearität im ersten Argument und die Linearität im zweiten festgelegt. Die Definition herrscht in der theoretischen Physik vor. Dabei spielt es aber keine RolleHäufig wird jedoch Bedingung (4a) für das erste statt für das zweite Argument gewählt: == Prä-Semihilbertraum == Analog zu einem Prähilbertraum als Vektorraum mit Skalarprodukt definiert man einen Prä-Semi-Hilbertraum als Vektorraum <math>V</math> mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, dessen induzierte Topologie aus Halbnormen die Punkte trennt. === Definition - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> ein [[topologischer Vektorraum|Vektorraum]] mit einem System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>. <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> trennt die Punkte von <math>V</math>, wenn folgende Implikation gilt: :<math> \left( \forall_{\alpha \in \mathcal{A}}: \langle v , v \rangle_\alpha = 0 \right) \Longrightarrow v = 0_V </math> === Aufgabe - Semi-Skalarprodukt und Halbnormen === Zeigen Sie, dass die durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Funktionen <math>\|\cdot \|_\alpha : V \to \mathbb{K} </math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> Halbnormen sind! === Aufgabe - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das ein (Prä-)Semi-Hilbertraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> die Hausdorffeigenschaft besitzt, also zu <math>v_1,v_2 \in V</math> gibt es eine Umgebung <math>U_1</math> von <math>v_1</math> und eine eine Umgebung <math>U_2</math> von <math>v_2</math> mit <math> U_1 \cap U_2 = \emptyset </math>. == Definition: Prä-Semihilbertraum == Ein ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>V</math> mit einem [[Hausdorff-Raum|punktetrennenden]] System <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, für die gilt: * '''(euklidisch <math>\mathbb{R}</math>)''' Über dem Körper der reellen Zahlen <math>\mathbb{R}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''symmetrische'' Bilinearformen und * '''(unitär <math>\mathbb{C}</math>)''' Über dem Körper der komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math> sind alle Semi-Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> ''hermitesche'' Sesquilinearformen. === Beispiel - Euklidischer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>\mathbb{R}^\mathbb{N}</math> der reellen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha v_k\cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{R}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum === Der Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. === Beispiel - Euklidischen Semihilbertraum als Funktionenraum === Sei <math>V_\mathcal{F}=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Mengen aller Funktionen von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_\mathcal{F} \times V_\mathcal{F} \to \mathbb{K} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := f(\alpha) \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_\mathcal{F}</math>. === Beispiel - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === Sei <math>X\not = \empty</math> eine beliebige Menge und <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> die Mengen aller Abbildungen von <math>X</math> in die komplexen Zahlen <math>\mathbb{C}</math>. Dann definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V_X \times V_X \to \mathbb{C} \mbox{ mit } \langle f,g \rangle_\alpha := \overline{f(\alpha)} \cdot g(\alpha) </math> ein ''Semi-Skalarprodukt'' auf dem Funktionenraum <math>V_X</math>. Die induzierte [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Topologie liefert eine punktweise Konvergenz für Argumente <math>x \in X</math>. === Aufgabe - Unitärer Semihilbertraum auf einem Funktionenraum === * Weisen Sie in dem obigen Funktionenraum <math>V_X := \mathcal{F}(X,\mathbb{C})</math> nach, dass ein konvergentes Funktionennetz <math>(f_i)_{i\in I}</math> punktweise für alle <math>x \in X</math> konvergiert! * Weisen Sie nach, dass die durch die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|f\|_\alpha := \sqrt{ \langle f,f \rangle_\alpha } </math> eine [[Hausdorff-Raum]] auf <math>V_X</math> erzeugt wird. Wählen Sie dazu beliebige <math> f_1,f_2 \in V_X</math> mit <math>f_1 \not= f_2</math> und geben Sie dann die disjunkten Umgebungen <math>U_1:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_1)</math> von <math>f_1</math> und <math>U_2:=B_\varepsilon^{\alpha}(f_2)</math> von <math>f_2</math> an, für die <math>U_1\cap U_2 = \emptyset</math> gilt. === Aufgabe - Punktetrennung === Zeigen Sie für <math>\left( \mathbb{C}^\mathbb{N}, \langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha \in \mathcal{A}} \right)</math> mit dem zugehörigen System <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_{\!_\mathcal{A}} := (\langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> von Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot,\cdot \rangle_{\alpha}</math> die Punkte von <math> \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> trennt! ==== Semiskalarprodukt im unitärer Folgenraum ==== Das Semiskalarprodukt im Vektorraum <math>V=\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> der komplexen Zahlenfolgen wird wie folgt definiert : <math> \langle \cdot,\cdot \rangle_\alpha \colon V \times V \to \mathbb{R} \mbox{ mit } \langle v,w \rangle_\alpha := \sum_{k=0}^\alpha \overline{v_k} \cdot w_k </math> Das ''Semi-Skalarprodukt'' ist für alle Folgen <math>v, w \in \mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und alle <math>\alpha \in \mathbb{N}</math> definiert. ==== Hinweis zur Aufgabe - Folgenraum==== Erzeugen Sie <math>\varepsilon</math>-Umgebungen von <math>a \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> und <math>b \in\mathbb{C}^\mathbb{N}</math> bzgl. einer Halbnorm mit dem Index <math>\alpha</math>, bei der <math>\varepsilon := \frac{1}{3}\cdot \|a-b\|_\alpha > 0 </math> ist. Dabei sind <math>a=(a_k)_{\in\mathbb{N}}</math> und <math>b=(b_k)_{\in\mathbb{N}}</math> zwei beliebige komplexe Zahlenfolgen. == Definition: Semihilbertraum == Ein ''Semihilbertraum'' ist ein euklischer oder unitärer ''Prä-Semihilbertraum'' ist ein reeller oder komplexer Vektorraum <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> mit Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math>, wenn <math>V</math> bzgl. der durch <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_\alpha </math> definierten Halbnormen <math>\|\cdot \|_\alpha</math> mit <math>\|x \|_\alpha:= \sqrt{\langle x , x \rangle_\alpha}</math> vollständig ist. == Beispiel für einen Prä-Semihilbertraum == Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> === Aufgabe - Eigenschaften des Semi-Skalarproduktes === Weisen Sie die Gültigkeit der geforderten Eigenschaften für ein Semiskalarprodukt nach! === Aufgabe - Punktetrennung - Hausdorffeigenschaft === Zeigen Sie, dass das System von Semiskalarprodukten <math>\langle \cdot ,\cdot \rangle_{\mathbb{N}}</math> die Punkte von <math>V_1</math> trennt. === Halbnormen auf dem Prä-Semihilbertraum === Die Halbnorm für den Index <math>n\in \mathbb{N}</math> ergibt sich unmittelbar aus der Definition des Semiskalarproduktes :<math>\|f\|_n := \sqrt{\langle f , f \rangle_n } = \sqrt{\int_{-n}^{+n} f(x)^2 \, dx} </math> === Aufgabe - Halbnorm einer Funktion === Berechnen Sie allgemein für <math>n \in \mathbb{N}</math> und <math>f\in V</math> mit <math>f(x):=x^2</math> die Halbnorm <math>\|f\|_n </math> der Funktion <math>f</math>! === Beispiel - Cauchy-Folge im Funktionenraum === Betrachten Sie zunächst die Konvexkombination von zwei Funktionen Als erste Funktion <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> wird ein Polynom definiert. :<math> f(x):= \frac{3}{10} \cdot x^2 - 2 </math> Als zweite Funktion wird eine trigonometrische Funktion <math>g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> gewählt. :<math> g(x):= 2 \cdot cos(x) + 1 </math> Die folgende Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1^{\mathbb{N}}</math> entsteht als [[Konvexkombination]] <math>f_n:= (1-\frac{1}{n})\cdot f + \frac{1}{n} \cdot g </math> von <math>f</math> und <math>g</math>. ==== Fragen zu Cauchyfolge ==== * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>[a,b]</math> gegen <math>f</math>? * konvergiert <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gleichmäßig auf <math>\mathbb{R}</math> gegen <math>f</math>? ==== Aufgaben - Cauchy-Folgeneigenschaft ==== * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] ist! * Weisen Sie nach, dass <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> gegen <math> in der durch die Semi-Skalarprodukte definierten Topologie! === Visualisierung der Cauchy-Folge im Funktionenraum === Definieren Sie eine [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] in <math>V_1:= \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> definiert, die nicht in <math>V_1</math> konvergiert. Die folgende Animation zeigt zunächst die konstruierte Funktionenfolge für die ersten Folgenglieder <math>f_1,...,f_{20}</math> [[Datei:Funktionenfolge Cauchy nicht vollstaendig.gif|450px|Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum]] === Definition einer Cauchy-Folge im Funktionenraum === Die Punkte <math>P_k \in \mathbb{R}^2</math> werden über die folgende Koordinaten in Abhängigkeit von <math>n\in \mathbb{N}</math> festgelegt: :<math> \begin{array}{l} P_1=(-1,4), \, P_2=(4,4), \, P_3=\bigg(-1-\frac{3}{n},0\bigg), \\ P_4=\bigg(4+\frac{3}{n},0\bigg), \, P_5=(-4,0), \, P_6=(7,0) \end{array} </math> Die stetigen Funktionen <math>f_n</math> werden durch die Interpolation der Punkte generiert. ===Aufgabe - Bestimmung der Funktionsterme === Bestimmen Sie die beiden fehlenden Funktionsterme für die Fragezeichen "?" in der folgenden abschnittsweise definierte Funktion <math>f_n</math>! :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ für } & x \in \left[-4,-1-\frac{3}{n}\right] \cup \left[4+\frac{3}{n},7\right]\\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]-1-\frac{3}{n}, -1 \right[ \\ ? & \mbox{ für } & x \in \left]4+\frac{3}{n}, -1 \right[ \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Aufgabe - Cauchy-Folgeneigenschaft === Zeigen Sie, dass die oben definierte Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Cauchy-Folge in <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> ist! === Grenzfunktion nicht im Funktionenraum === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist nicht stetig und daher <math>f_0 \notin V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> mit <math>[a,b]:= [-4,7]</math>. :<math> \begin{array}{rcl} f_n: [a,b] & \to & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{lcl} 4 & \mbox{ für } & x \in [-1,4] \\ 0 & \mbox{ sonst } & \end{array}\right. \\ \end{array} </math> === Vervollständigung des Funktionenraumen === Die folgende Funktion <math>f_o:[a,b] \to \mathbb{R} </math> ist ein Element der Vervollständigung <math>\overline{V_1}</math> von <math>V_1 := \mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})</math> bzgl. der durch das Skalarprodukt definierten Norm auf <math>V_1</math>. Zeigen Sie, dass die oben definierte Cauchy-Folge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> in der Norm <math> \|f\|:= \sqrt{ \int_{a}^b f(x)^2\, dx } </math> gegen <math>f_0 \in \overline{V_1}</math> konvergiert! === Aufgabe - Halbnorm auf der Vervollständigung === Sei <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}} </math> eine Folge in <math>V_1</math>, die gegen <math>f_o \in \overline{V_1} </math> konvergiert. Man definiert nun <math>\|f_o\|_\ast := \displaystyle \lim_{n\to \infty } \|f_n\|</math>. * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> eine Halbnorm auf <math>\overline{V_1} </math> ist! * Zeigen Sie, dass <math>\|\cdot \|_\ast</math> allerdings keine Norm auf <math>\overline{V_1}</math> ist. '''Hinweis:''' Approximieren Sie eine Treppenfunktion <math>f_o</math> durch stetige Funktionen und definieren Sie eine weitere von <math>f_o</math> verschiedene Funktion <math>\widetilde{f_o}</math> mit <math>\|f_o - \widetilde{f_o}\| = 0</math>. === Prä-Semihilbertraum über den komplexen Zahlen === Analog kann mit <math>\mathbb{R}</math> dieses obige Beispiel auf einen einen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum von komplexwertigen Funktionen übertragen. Dann erhält man Prähilbertraum für einen gegebenen <math>\mathbb{C}</math>-Vektorraum <math>V_2:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> über die Definition des Skalarproduktes: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} \overline{f(x)}\cdot g(x) \,{\rm d}x</math> ==== Aufgabe 1 - Halbnorm einer Funktion ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> mit <math>f\in V_2</math> allgemein den Wert der Halbnorm <math>\| f \|_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math> ==== Aufgabe 2 - Semiskalarprodukt von zwei Funktionen ==== Berechnen Sie von <math>f(x) = x + i\cdot x^2 </math> und <math>g(x)=i\cdot x +1</math> mit <math>f,g\in V_2</math> den Wert der Semiskalarproduktes <math>\langle f,g \rangle_n </math> für alle <math> n \in \mathbb{N}</math>. == Semiorthogonalität in Semihilberträumen == Sei <math>(V,\langle \cdot , \cdot \rangle_{\mathcal{A}} ) </math> (Prä-)Semihilbertraum mit den Semi-Skalarprodukten <math>\langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> mit <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>. Zwei Vektoren <math>x,y \in V</math> heißen * <math>\alpha</math>-orthogonal in <math>V</math> (<math>x \stackrel{{}_{{}_\alpha }}{\bot} y</math>), wenn <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> und heißen * semiorthogonal (<math>x \stackrel{{}_{{}_\mathcal{A}}}{\bot} y</math>), wenn die Bedingung <math>\langle x,y \rangle_\alpha = 0 </math> für alle für <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> gilt. === Beispiel === Sei <math>V_1:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> der Vektorraum der stetigen Funktionen von <math>v</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Man definiert zunächst für alle <math>n\in \mathbb{N}</math> Abbildungen von <math>V_1 \times V_1</math> nach <math>\mathbb{R}</math> wie folgt: :<math>\displaystyle \langle f,g \rangle_n = \int_{-n}^{+n} f(x)\cdot g(x) \,{\rm d}x</math>. Seien <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math> als Beispielfunktion aus <math>V_1</math> gegeben. ==== Aufgabe 3 ==== Zeigen Sie, dass die Funktionen <math>f(x)=x^2+1</math> und <math>g(x):=x^3</math>, dass bzgl. des Systems mit <math>\displaystyle \langle \cdot,\cdot \rangle_\mathbb{N}</math> semiorthogonal zueinander sind. == Semihilbert-Stetigkeitssatz für Maße auf Funktionenräumen == Seien <math>V_1</math> ein topologischer Vektorraum und <math>V_2</math> ein Semihilberträume gegeben. Sei ferner <math>V:=\mathcal{C}(V_1,V_2)</math> die Menge der stetigen Funktionen von <math>V_1</math> nach <math>V_2</math>, dann ist für <math>g\in V</math> die Abbildung <math>\mu_{g,\alpha} : V \to \mathbb{K}</math> mit :<math> \mu_{g,\alpha} (f) := \langle g,f \rangle_\alpha</math> ein Maß auf <math>V</math>. == Beweis - Semihilbert-Stetigkeitssatz == Die [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] benötigt im Beweis die Eigenschaft der Positivität nicht. Daher kann man die Aussage analog für Semi-Skalarprodukte und die induzierten Halbnormen <math>\|f \|_\alpha := \sqrt{\langle f,f\rangle_\alpha}</math> übertragen werden. :<math> | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \| g \|_\alpha \cdot \| f \|_\alpha </math> === Beweisschritt 1 - Abschätzung === Man nutzt die Definition des Maßes und schätzt dann diese dann mit der [[Cauchy-Schwarz-Ungleichung]] nach oben ab. :<math> | \mu_{g,\alpha} (f) | = | \langle g,f \rangle_\alpha | \leq \underbrace{\| g \|_\alpha}_{=: M_\alpha} \cdot \| f \|_\alpha </math> Die Stetigkeitskonstante aus dem [[Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildungen#Stetigkeitssatz_für_lineare_Abbildung_auf_topologischen_Vektorräumen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] wird nun unmittelbar über die Halbnorm <math> M_\alpha :=\|g \|_\alpha </math> geliefert. === Beweisschritt 2 - Linearität === Da das Semi-Skalarprodukt positiv-semidefinite hermitesche Sequilinearform ist, ist diese in der zweiten Komponente linear und es gilt die Homogenität :<math> \mu_{g,\alpha} (\lambda \cdot f) = \langle g,\lambda \cdot f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \langle g,f \rangle_\alpha = \lambda \cdot \mu_{g,\alpha} (f) </math> und die Additivität :<math> \begin{array}{rcl} \mu_{g,\alpha} (f_1 + f_2) & = & \langle g,f_1 + f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \langle g,f_1 \rangle_\alpha + \langle g,f_2 \rangle_\alpha \\ & = & \mu_{g,\alpha} (f_1) + \mu_{g,\alpha} (f_2) \end{array} </math> q.e.d. === Aufgabe 4 === Begründen Sie, warum die Abbildung :<math> \widetilde{\mu}_{g,\alpha} (f) := \langle f,g \rangle_\alpha</math> im Allgemeinen kein Maß auf <math>V</math> für Vektorräume über <math>\mathbb{C}</math> ist! === Aufgabe 5 === Experimentieren Sie mit Skalarprodukten zur Buchstabenerkennung. Dafür wurde für Sie eine LibreOffice-Datei vorbereitet, die Skalarprodukte nutzt um die Übereinstimmung mit Buchstabenmuster zu überprüfen. [[Datei:Handschrifterkennung semiskalarprodukt.png|450px|Handschrifterkennung mit Skalarprodukten]] '''LibreOffice-Datei:''' [https://niebert.github.io/wikiversity_files/de/Tabellenkalkulation/handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods handschrifterkennung_semiskalarprodukt.ods] == Träger von Semi-Skalarprodukten == Für Skalarprodukte <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> ist gibt es nur einen Vektoren aus <math>V</math> der die Bedingung <math>\langle x , x \rangle = 0</math> erfüllt - nämlich nur den Nullvektor <math>0_V \in V</math>. Im Allgemeinen ist die Menge <math>N_\alpha := \{ x \in V \, : \, \langle x , x \rangle_\alpha = 0 \} </math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Die abgeschlossene Menge <math> T_\alpha := \overline{V\setminus N_\alpha} </math> nennt man Trägermenge des Semiskalarprodukte <math> \langle \cdot , \cdot \rangle_\alpha </math> === Beispiel - Überweisungsformular === [[Datei:Überweisungsträger-einzeln.png|mini|Überweisungsträger mit Buchstabenfeldern]] Ein Überweisungsträger ist ein Formular, in das auf vordefinierten Buchstabenfeldern einzelne Zeichen handschriftlich eingetragen werden können. Die Schrifterkennung für ein Zeichen kann durch ein Semi-Skalarprodukt umgesetzt werden, das nur auf einem Buchstabenfeld operiert. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen|Cauchy-Folge]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren|Gram-Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren]] * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Kurs:Maschinelles Lernen]] * [[Hausdorff-Raum]] * [[Skalarprodukt]] == Quellennachweise == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen/Semi-Skalarprodukt&author=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Semi-Skalarprodukt&coursetitle=Kurs:Ma%C3%9Ftheorie%20auf%20topologischen%20R%C3%A4umen Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] je7wyf5jymaihoc9r3tji66enw9elhm 106 162290 1105381 1079770 2026-06-24T08:24:20Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ 1105381 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Dabei werden [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] mit einer Singularität <math>z_o</math> behandelt, * (1) die in einer punktierten Umgebung um <math>z_o</math> beschränkt ist und * (2) sich mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in <math>z_o</math> holomorph fortsetzen lässt. === Beispiel für hebbare holomorphe Funktion === Ein Bespiel für eine hebbare holomorphe Funktion auf <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{-i\}</math> mit: :<math> f(z) := \frac{z^2+1}{z+i} </math> == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * [[Laurent-Reihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe|Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe]] Der Riemannsche Hebbarkeitssatz ist ein grundlegender Satz in der Funktionentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen eine isolierte Singularität von einer [[Holomorphie|holomorphen Funktion]] in dem Punkt holomoph fortsetzbar ("hebbar") ist. == Riemannscher Hebbarkeitssatz == Sei <math>G \subset \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math> z_0 \in G </math> und <math> f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]]. Ist <math>U\subset G</math> eine Umgebung von <math>z_0</math> ist <math> |f| </math> auf einer punktierten Umgebung <math> U_0:=U \setminus \{z_0\} </math> von <math> z_0 </math> beschränkt, dann existiert eine holomorphe Funktion <math> f^\ast : G \to \mathbb{C} </math> auf <math> U </math>, die auf <math> U \setminus \{z_0\} </math> mit <math> f </math> übereinstimmt. == Beweis == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Beschränktheit auf der punktierten Umgebung * [[Laurent-Reihe]] * Abschätzung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]] * Verschwinden der negativen Potenzen der [[Laurent-Reihe]] * Holomorphe Fortsetzung als [[Taylorreihe]] === Beweisschritt 1 - Beschränktheit auf der punktierten Umgebung=== Da <math>|f| :G\setminus \{z_0\} \to \mathbb{R}_0^+</math> auf der punktierten Umgebung <math> U_0 </math> von <math> z_0 \in G</math> beschränkt ist, gibt es eine Konstante <math> M </math> und eine Umgebung <math> U </math> von <math> z_0 </math>, sodass <math> |f(z)| \leq M </math> für alle <math> z \in U \setminus \{z_0\} </math>. === Beweisschritt 2 - Laurent-Reihe=== Betrachte die Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math>: :<math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>. === Beweisschritt 3 - Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe === Die Koeffizienten <math> a_n </math> der Laurent-Reihe sind gegeben durch: :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> wobei <math> \gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma_r(t):= z_o+ r\cdot e^{it}</math> ein Kreis um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r > 0</math> ist. Da <math> U_0</math> eine punktierte Umgebung um <math>z_o\in G</math> ist, kann <math> r > 0</math> so klein gewählt werden, dass die <math> Spur(\gamma_r)\subset \overline{D_r(z_0)} \subset U</math> gilt. === Bemerkung zu Schritt 3 - Kreisschreibe === Der Kreisradius <math>r > 0 </math> wird so gewählt, das die abgeschlossene Kreischeibe <math>\overline{D_r(z_0)}:= \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0| \leq r \} </math> ganz in <math>U</math> liegt. Dies ist für weitere Beweisschritte wesentlich, damit auch für kleinere Radien <math> 0 < \widehat{r} < r</math> die Spur von <math>\gamma_\widehat{r} </math> noch in <math>U_0</math> liegt. ===Beweisschritt 4 - Beschränktheit der Koeffizienten=== Da <math> f </math> auf <math>U_0</math> mit <math>|f(\zeta)|\leq M</math> für alle <math> \zeta \in U_0</math> beschränkt ist, gilt: :<math> |a_n| \leq \frac{1}{2\pi} \underbrace{\bigg| \int_{\gamma_r} \frac{|f(\zeta)|}{{\underbrace{|\zeta - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, d\zeta \bigg|}_{\leq \frac{2\pi r M}{r^{n+1}}} \leq \frac{M}{r^{n}} </math> Dabei ist <math> r </math> der Radius des Kreises um <math>z_0</math> mit Umfang <math>2 \pi r</math>, der durch die Kurve <math> \gamma </math> definiert ist. === Beweisschritt 5 - Verschwinden der negativen Potenzen === Für <math> n < 0 </math> wird <math> |a_n| </math> beliebig klein, da die Darstellung der Koeffizienten :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_{ \widehat{r}} } \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> auch für beliebige <math> \widehat{r} < r </math> gilt und damit kann <math>|a_n|</math> wie folgt für <math> n < 0 </math> abgeschätzt werden: :<math> |a_n| \leq \frac{M}{\widehat{r}^{n}} \, \, \stackrel{\widehat{r}\to 0}{\longrightarrow} \, \, 0 </math>. Damit folgt aber <math> a_n=0 </math> für <math> n<0</math>. === Beweisschritt 6 - Laurent-Reihe=== Damit reduzieren sich die Summanden der darstellenden Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math> wie folgt: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>, der Nebenteil der Laurentreihe ist also als [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] darstellbar. === Beweisschritt 7 - Holomorphe Fortsetzung als Taylorreihe=== Die Laurent-Reihe reduziert sich auf der punktierten Umgebung <math>U_0</math> somit zu einer Taylor-Reihe: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> Diese [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] definiert aber auch eine holomorphe Funktion <math> f^\ast </math> auf <math> U </math>, die für alle <math> z\in U_o = U \setminus \{z_0\} </math> dann <math> f^\ast(z) = f(z) </math> erfüllt und für <math>z=z_0</math> die Funktion <math>f</math> mit <math>f^\ast(z_0)=a_0</math> holomorph fortsetzt. === Beweisschritt 8 - Hebbarkeit der Singularität === Damit ist gezeigt, dass sich die isolierte Singularität bei <math> z_0 </math> hebbar ist und <math> f </math> sich zu einer holomorphen Funktion auf <math> U </math> fortsetzen lässt. <math>\Box</math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] nno6r96czvlioore7aeranep04cvwrt 1105382 1105381 2026-06-24T08:27:25Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel für hebbare holomorphe Funktion */ 1105382 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] mit einer Singularität <math>z_o</math> behandelt, * (1) die in einer punktierten Umgebung um <math>z_o</math> beschränkt ist und * (2) sich mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in <math>z_o</math> holomorph fortsetzen lässt. === Beispiel für hebbare holomorphe Funktion === Ein Bespiel für eine hebbare holomorphe Funktion auf <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{-i\}</math> mit: :<math> f(z) := \frac{z^2+1}{z+i} = \frac{(z+1)\cdot (z-1)}{z+i} </math> Die Funktion <math>f</math> ist in <math>-i</math> undefiniert, weil der Nenner 0 ist. Aber die Funktion <math>f</math> kann in <math> -i</math> holomorph fortgesetzt werden mit <math>\widehat{f\,}(-i)=-i-1</math>. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * [[Laurent-Reihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe|Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe]] Der Riemannsche Hebbarkeitssatz ist ein grundlegender Satz in der Funktionentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen eine isolierte Singularität von einer [[Holomorphie|holomorphen Funktion]] in dem Punkt holomoph fortsetzbar ("hebbar") ist. == Riemannscher Hebbarkeitssatz == Sei <math>G \subset \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math> z_0 \in G </math> und <math> f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]]. Ist <math>U\subset G</math> eine Umgebung von <math>z_0</math> ist <math> |f| </math> auf einer punktierten Umgebung <math> U_0:=U \setminus \{z_0\} </math> von <math> z_0 </math> beschränkt, dann existiert eine holomorphe Funktion <math> f^\ast : G \to \mathbb{C} </math> auf <math> U </math>, die auf <math> U \setminus \{z_0\} </math> mit <math> f </math> übereinstimmt. == Beweis == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Beschränktheit auf der punktierten Umgebung * [[Laurent-Reihe]] * Abschätzung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]] * Verschwinden der negativen Potenzen der [[Laurent-Reihe]] * Holomorphe Fortsetzung als [[Taylorreihe]] === Beweisschritt 1 - Beschränktheit auf der punktierten Umgebung=== Da <math>|f| :G\setminus \{z_0\} \to \mathbb{R}_0^+</math> auf der punktierten Umgebung <math> U_0 </math> von <math> z_0 \in G</math> beschränkt ist, gibt es eine Konstante <math> M </math> und eine Umgebung <math> U </math> von <math> z_0 </math>, sodass <math> |f(z)| \leq M </math> für alle <math> z \in U \setminus \{z_0\} </math>. === Beweisschritt 2 - Laurent-Reihe=== Betrachte die Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math>: :<math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>. === Beweisschritt 3 - Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe === Die Koeffizienten <math> a_n </math> der Laurent-Reihe sind gegeben durch: :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> wobei <math> \gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma_r(t):= z_o+ r\cdot e^{it}</math> ein Kreis um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r > 0</math> ist. Da <math> U_0</math> eine punktierte Umgebung um <math>z_o\in G</math> ist, kann <math> r > 0</math> so klein gewählt werden, dass die <math> Spur(\gamma_r)\subset \overline{D_r(z_0)} \subset U</math> gilt. === Bemerkung zu Schritt 3 - Kreisschreibe === Der Kreisradius <math>r > 0 </math> wird so gewählt, das die abgeschlossene Kreischeibe <math>\overline{D_r(z_0)}:= \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0| \leq r \} </math> ganz in <math>U</math> liegt. Dies ist für weitere Beweisschritte wesentlich, damit auch für kleinere Radien <math> 0 < \widehat{r} < r</math> die Spur von <math>\gamma_\widehat{r} </math> noch in <math>U_0</math> liegt. ===Beweisschritt 4 - Beschränktheit der Koeffizienten=== Da <math> f </math> auf <math>U_0</math> mit <math>|f(\zeta)|\leq M</math> für alle <math> \zeta \in U_0</math> beschränkt ist, gilt: :<math> |a_n| \leq \frac{1}{2\pi} \underbrace{\bigg| \int_{\gamma_r} \frac{|f(\zeta)|}{{\underbrace{|\zeta - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, d\zeta \bigg|}_{\leq \frac{2\pi r M}{r^{n+1}}} \leq \frac{M}{r^{n}} </math> Dabei ist <math> r </math> der Radius des Kreises um <math>z_0</math> mit Umfang <math>2 \pi r</math>, der durch die Kurve <math> \gamma </math> definiert ist. === Beweisschritt 5 - Verschwinden der negativen Potenzen === Für <math> n < 0 </math> wird <math> |a_n| </math> beliebig klein, da die Darstellung der Koeffizienten :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_{ \widehat{r}} } \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> auch für beliebige <math> \widehat{r} < r </math> gilt und damit kann <math>|a_n|</math> wie folgt für <math> n < 0 </math> abgeschätzt werden: :<math> |a_n| \leq \frac{M}{\widehat{r}^{n}} \, \, \stackrel{\widehat{r}\to 0}{\longrightarrow} \, \, 0 </math>. Damit folgt aber <math> a_n=0 </math> für <math> n<0</math>. === Beweisschritt 6 - Laurent-Reihe=== Damit reduzieren sich die Summanden der darstellenden Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math> wie folgt: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>, der Nebenteil der Laurentreihe ist also als [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] darstellbar. === Beweisschritt 7 - Holomorphe Fortsetzung als Taylorreihe=== Die Laurent-Reihe reduziert sich auf der punktierten Umgebung <math>U_0</math> somit zu einer Taylor-Reihe: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> Diese [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] definiert aber auch eine holomorphe Funktion <math> f^\ast </math> auf <math> U </math>, die für alle <math> z\in U_o = U \setminus \{z_0\} </math> dann <math> f^\ast(z) = f(z) </math> erfüllt und für <math>z=z_0</math> die Funktion <math>f</math> mit <math>f^\ast(z_0)=a_0</math> holomorph fortsetzt. === Beweisschritt 8 - Hebbarkeit der Singularität === Damit ist gezeigt, dass sich die isolierte Singularität bei <math> z_0 </math> hebbar ist und <math> f </math> sich zu einer holomorphen Funktion auf <math> U </math> fortsetzen lässt. <math>\Box</math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 7mr9o091vg6ufd96psu3jtov8edq6m1 1105383 1105382 2026-06-24T08:28:30Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel für hebbare holomorphe Funktion */ 1105383 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] mit einer Singularität <math>z_o</math> behandelt, * (1) die in einer punktierten Umgebung um <math>z_o</math> beschränkt ist und * (2) sich mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in <math>z_o</math> holomorph fortsetzen lässt. === Beispiel für hebbare holomorphe Funktion === Ein Bespiel für eine hebbare holomorphe Funktion auf <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{-i\}</math> mit: :<math> f(z) := \frac{z^2+1}{z+i} = \frac{(z+i)\cdot (z-i)}{z+i} </math> Die Funktion <math>f</math> ist in <math>-i</math> undefiniert, weil der Nenner 0 ist. Aber die Funktion <math>f</math> kann in <math> -i</math> holomorph fortgesetzt werden mit <math>\widehat{f\,}(-i)=-i-1</math>. Auf ganz <math>\mathbb{C}</math> gilt <math>\widehat{f\,}(z)=z-i</math> == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * [[Laurent-Reihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe|Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe]] Der Riemannsche Hebbarkeitssatz ist ein grundlegender Satz in der Funktionentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen eine isolierte Singularität von einer [[Holomorphie|holomorphen Funktion]] in dem Punkt holomoph fortsetzbar ("hebbar") ist. == Riemannscher Hebbarkeitssatz == Sei <math>G \subset \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math> z_0 \in G </math> und <math> f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]]. Ist <math>U\subset G</math> eine Umgebung von <math>z_0</math> ist <math> |f| </math> auf einer punktierten Umgebung <math> U_0:=U \setminus \{z_0\} </math> von <math> z_0 </math> beschränkt, dann existiert eine holomorphe Funktion <math> f^\ast : G \to \mathbb{C} </math> auf <math> U </math>, die auf <math> U \setminus \{z_0\} </math> mit <math> f </math> übereinstimmt. == Beweis == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Beschränktheit auf der punktierten Umgebung * [[Laurent-Reihe]] * Abschätzung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]] * Verschwinden der negativen Potenzen der [[Laurent-Reihe]] * Holomorphe Fortsetzung als [[Taylorreihe]] === Beweisschritt 1 - Beschränktheit auf der punktierten Umgebung=== Da <math>|f| :G\setminus \{z_0\} \to \mathbb{R}_0^+</math> auf der punktierten Umgebung <math> U_0 </math> von <math> z_0 \in G</math> beschränkt ist, gibt es eine Konstante <math> M </math> und eine Umgebung <math> U </math> von <math> z_0 </math>, sodass <math> |f(z)| \leq M </math> für alle <math> z \in U \setminus \{z_0\} </math>. === Beweisschritt 2 - Laurent-Reihe=== Betrachte die Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math>: :<math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>. === Beweisschritt 3 - Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe === Die Koeffizienten <math> a_n </math> der Laurent-Reihe sind gegeben durch: :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> wobei <math> \gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma_r(t):= z_o+ r\cdot e^{it}</math> ein Kreis um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r > 0</math> ist. Da <math> U_0</math> eine punktierte Umgebung um <math>z_o\in G</math> ist, kann <math> r > 0</math> so klein gewählt werden, dass die <math> Spur(\gamma_r)\subset \overline{D_r(z_0)} \subset U</math> gilt. === Bemerkung zu Schritt 3 - Kreisschreibe === Der Kreisradius <math>r > 0 </math> wird so gewählt, das die abgeschlossene Kreischeibe <math>\overline{D_r(z_0)}:= \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0| \leq r \} </math> ganz in <math>U</math> liegt. Dies ist für weitere Beweisschritte wesentlich, damit auch für kleinere Radien <math> 0 < \widehat{r} < r</math> die Spur von <math>\gamma_\widehat{r} </math> noch in <math>U_0</math> liegt. ===Beweisschritt 4 - Beschränktheit der Koeffizienten=== Da <math> f </math> auf <math>U_0</math> mit <math>|f(\zeta)|\leq M</math> für alle <math> \zeta \in U_0</math> beschränkt ist, gilt: :<math> |a_n| \leq \frac{1}{2\pi} \underbrace{\bigg| \int_{\gamma_r} \frac{|f(\zeta)|}{{\underbrace{|\zeta - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, d\zeta \bigg|}_{\leq \frac{2\pi r M}{r^{n+1}}} \leq \frac{M}{r^{n}} </math> Dabei ist <math> r </math> der Radius des Kreises um <math>z_0</math> mit Umfang <math>2 \pi r</math>, der durch die Kurve <math> \gamma </math> definiert ist. === Beweisschritt 5 - Verschwinden der negativen Potenzen === Für <math> n < 0 </math> wird <math> |a_n| </math> beliebig klein, da die Darstellung der Koeffizienten :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_{ \widehat{r}} } \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> auch für beliebige <math> \widehat{r} < r </math> gilt und damit kann <math>|a_n|</math> wie folgt für <math> n < 0 </math> abgeschätzt werden: :<math> |a_n| \leq \frac{M}{\widehat{r}^{n}} \, \, \stackrel{\widehat{r}\to 0}{\longrightarrow} \, \, 0 </math>. Damit folgt aber <math> a_n=0 </math> für <math> n<0</math>. === Beweisschritt 6 - Laurent-Reihe=== Damit reduzieren sich die Summanden der darstellenden Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math> wie folgt: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>, der Nebenteil der Laurentreihe ist also als [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] darstellbar. === Beweisschritt 7 - Holomorphe Fortsetzung als Taylorreihe=== Die Laurent-Reihe reduziert sich auf der punktierten Umgebung <math>U_0</math> somit zu einer Taylor-Reihe: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> Diese [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] definiert aber auch eine holomorphe Funktion <math> f^\ast </math> auf <math> U </math>, die für alle <math> z\in U_o = U \setminus \{z_0\} </math> dann <math> f^\ast(z) = f(z) </math> erfüllt und für <math>z=z_0</math> die Funktion <math>f</math> mit <math>f^\ast(z_0)=a_0</math> holomorph fortsetzt. === Beweisschritt 8 - Hebbarkeit der Singularität === Damit ist gezeigt, dass sich die isolierte Singularität bei <math> z_0 </math> hebbar ist und <math> f </math> sich zu einer holomorphen Funktion auf <math> U </math> fortsetzen lässt. <math>\Box</math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] sht9j6psiv4dd90p7nao9tmv78o3dtu 1105384 1105383 2026-06-24T08:29:48Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel für hebbare holomorphe Funktion */ 1105384 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] mit einer Singularität <math>z_o</math> behandelt, * (1) die in einer punktierten Umgebung um <math>z_o</math> beschränkt ist und * (2) sich mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in <math>z_o</math> holomorph fortsetzen lässt. === Beispiel für hebbare holomorphe Funktion === Ein Bespiel für eine hebbare holomorphe Funktion auf <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{-i\}</math> mit: :<math> f(z) := \frac{z^2+1}{z+i} = \frac{(z+i)\cdot (z-i)}{z+i} </math> Die Funktion <math>f</math> ist in <math>-i</math> undefiniert, weil der Nenner 0 ist. Aber die Funktion <math>f</math> kann in <math> -i</math> holomorph fortgesetzt werden mit <math>\widehat{f\,}(-i)=-i-1</math>. Auf ganz <math>\mathbb{C}</math> gilt <math>\widehat{f\,}(z)=z-i</math>. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * [[Laurent-Reihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe|Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe]] Der Riemannsche Hebbarkeitssatz ist ein grundlegender Satz in der Funktionentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen eine isolierte Singularität von einer [[Holomorphie|holomorphen Funktion]] in dem Punkt holomoph fortsetzbar ("hebbar") ist. == Riemannscher Hebbarkeitssatz == Sei <math>G \subset \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math> z_0 \in G </math> und <math> f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]]. Ist <math>U\subset G</math> eine Umgebung von <math>z_0</math> ist <math> |f| </math> auf einer punktierten Umgebung <math> U_0:=U \setminus \{z_0\} </math> von <math> z_0 </math> beschränkt, dann existiert eine holomorphe Funktion <math> f^\ast : G \to \mathbb{C} </math> auf <math> U </math>, die auf <math> U \setminus \{z_0\} </math> mit <math> f </math> übereinstimmt. == Beweis == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Beschränktheit auf der punktierten Umgebung * [[Laurent-Reihe]] * Abschätzung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]] * Verschwinden der negativen Potenzen der [[Laurent-Reihe]] * Holomorphe Fortsetzung als [[Taylorreihe]] === Beweisschritt 1 - Beschränktheit auf der punktierten Umgebung=== Da <math>|f| :G\setminus \{z_0\} \to \mathbb{R}_0^+</math> auf der punktierten Umgebung <math> U_0 </math> von <math> z_0 \in G</math> beschränkt ist, gibt es eine Konstante <math> M </math> und eine Umgebung <math> U </math> von <math> z_0 </math>, sodass <math> |f(z)| \leq M </math> für alle <math> z \in U \setminus \{z_0\} </math>. === Beweisschritt 2 - Laurent-Reihe=== Betrachte die Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math>: :<math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>. === Beweisschritt 3 - Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe === Die Koeffizienten <math> a_n </math> der Laurent-Reihe sind gegeben durch: :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> wobei <math> \gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma_r(t):= z_o+ r\cdot e^{it}</math> ein Kreis um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r > 0</math> ist. Da <math> U_0</math> eine punktierte Umgebung um <math>z_o\in G</math> ist, kann <math> r > 0</math> so klein gewählt werden, dass die <math> Spur(\gamma_r)\subset \overline{D_r(z_0)} \subset U</math> gilt. === Bemerkung zu Schritt 3 - Kreisschreibe === Der Kreisradius <math>r > 0 </math> wird so gewählt, das die abgeschlossene Kreischeibe <math>\overline{D_r(z_0)}:= \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0| \leq r \} </math> ganz in <math>U</math> liegt. Dies ist für weitere Beweisschritte wesentlich, damit auch für kleinere Radien <math> 0 < \widehat{r} < r</math> die Spur von <math>\gamma_\widehat{r} </math> noch in <math>U_0</math> liegt. ===Beweisschritt 4 - Beschränktheit der Koeffizienten=== Da <math> f </math> auf <math>U_0</math> mit <math>|f(\zeta)|\leq M</math> für alle <math> \zeta \in U_0</math> beschränkt ist, gilt: :<math> |a_n| \leq \frac{1}{2\pi} \underbrace{\bigg| \int_{\gamma_r} \frac{|f(\zeta)|}{{\underbrace{|\zeta - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, d\zeta \bigg|}_{\leq \frac{2\pi r M}{r^{n+1}}} \leq \frac{M}{r^{n}} </math> Dabei ist <math> r </math> der Radius des Kreises um <math>z_0</math> mit Umfang <math>2 \pi r</math>, der durch die Kurve <math> \gamma </math> definiert ist. === Beweisschritt 5 - Verschwinden der negativen Potenzen === Für <math> n < 0 </math> wird <math> |a_n| </math> beliebig klein, da die Darstellung der Koeffizienten :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_{ \widehat{r}} } \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> auch für beliebige <math> \widehat{r} < r </math> gilt und damit kann <math>|a_n|</math> wie folgt für <math> n < 0 </math> abgeschätzt werden: :<math> |a_n| \leq \frac{M}{\widehat{r}^{n}} \, \, \stackrel{\widehat{r}\to 0}{\longrightarrow} \, \, 0 </math>. Damit folgt aber <math> a_n=0 </math> für <math> n<0</math>. === Beweisschritt 6 - Laurent-Reihe=== Damit reduzieren sich die Summanden der darstellenden Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math> wie folgt: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>, der Nebenteil der Laurentreihe ist also als [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] darstellbar. === Beweisschritt 7 - Holomorphe Fortsetzung als Taylorreihe=== Die Laurent-Reihe reduziert sich auf der punktierten Umgebung <math>U_0</math> somit zu einer Taylor-Reihe: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> Diese [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] definiert aber auch eine holomorphe Funktion <math> f^\ast </math> auf <math> U </math>, die für alle <math> z\in U_o = U \setminus \{z_0\} </math> dann <math> f^\ast(z) = f(z) </math> erfüllt und für <math>z=z_0</math> die Funktion <math>f</math> mit <math>f^\ast(z_0)=a_0</math> holomorph fortsetzt. === Beweisschritt 8 - Hebbarkeit der Singularität === Damit ist gezeigt, dass sich die isolierte Singularität bei <math> z_0 </math> hebbar ist und <math> f </math> sich zu einer holomorphen Funktion auf <math> U </math> fortsetzen lässt. <math>\Box</math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] kpndb4nwyvg7ydv9dpnbi2fvqyuuy8h 1105385 1105384 2026-06-24T08:30:28Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel für hebbare holomorphe Funktion */ 1105385 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. 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Auf ganz <math>\mathbb{C}</math> gilt <math>\widehat{f\,}(z)=z-i</math>. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * [[Laurent-Reihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe|Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe]] Der Riemannsche Hebbarkeitssatz ist ein grundlegender Satz in der Funktionentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen eine isolierte Singularität von einer [[Holomorphie|holomorphen Funktion]] in dem Punkt holomoph fortsetzbar ("hebbar") ist. == Riemannscher Hebbarkeitssatz == Sei <math>G \subset \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math> z_0 \in G </math> und <math> f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]]. Ist <math>U\subset G</math> eine Umgebung von <math>z_0</math> ist <math> |f| </math> auf einer punktierten Umgebung <math> U_0:=U \setminus \{z_0\} </math> von <math> z_0 </math> beschränkt, dann existiert eine holomorphe Funktion <math> f^\ast : G \to \mathbb{C} </math> auf <math> U </math>, die auf <math> U \setminus \{z_0\} </math> mit <math> f </math> übereinstimmt. == Beweis == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Beschränktheit auf der punktierten Umgebung * [[Laurent-Reihe]] * Abschätzung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]] * Verschwinden der negativen Potenzen der [[Laurent-Reihe]] * Holomorphe Fortsetzung als [[Taylorreihe]] === Beweisschritt 1 - Beschränktheit auf der punktierten Umgebung=== Da <math>|f| :G\setminus \{z_0\} \to \mathbb{R}_0^+</math> auf der punktierten Umgebung <math> U_0 </math> von <math> z_0 \in G</math> beschränkt ist, gibt es eine Konstante <math> M </math> und eine Umgebung <math> U </math> von <math> z_0 </math>, sodass <math> |f(z)| \leq M </math> für alle <math> z \in U \setminus \{z_0\} </math>. === Beweisschritt 2 - Laurent-Reihe=== Betrachte die Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math>: :<math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>. === Beweisschritt 3 - Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe === Die Koeffizienten <math> a_n </math> der Laurent-Reihe sind gegeben durch: :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> wobei <math> \gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma_r(t):= z_o+ r\cdot e^{it}</math> ein Kreis um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r > 0</math> ist. Da <math> U_0</math> eine punktierte Umgebung um <math>z_o\in G</math> ist, kann <math> r > 0</math> so klein gewählt werden, dass die <math> Spur(\gamma_r)\subset \overline{D_r(z_0)} \subset U</math> gilt. === Bemerkung zu Schritt 3 - Kreisschreibe === Der Kreisradius <math>r > 0 </math> wird so gewählt, das die abgeschlossene Kreischeibe <math>\overline{D_r(z_0)}:= \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0| \leq r \} </math> ganz in <math>U</math> liegt. Dies ist für weitere Beweisschritte wesentlich, damit auch für kleinere Radien <math> 0 < \widehat{r} < r</math> die Spur von <math>\gamma_\widehat{r} </math> noch in <math>U_0</math> liegt. ===Beweisschritt 4 - Beschränktheit der Koeffizienten=== Da <math> f </math> auf <math>U_0</math> mit <math>|f(\zeta)|\leq M</math> für alle <math> \zeta \in U_0</math> beschränkt ist, gilt: :<math> |a_n| \leq \frac{1}{2\pi} \underbrace{\bigg| \int_{\gamma_r} \frac{|f(\zeta)|}{{\underbrace{|\zeta - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, d\zeta \bigg|}_{\leq \frac{2\pi r M}{r^{n+1}}} \leq \frac{M}{r^{n}} </math> Dabei ist <math> r </math> der Radius des Kreises um <math>z_0</math> mit Umfang <math>2 \pi r</math>, der durch die Kurve <math> \gamma </math> definiert ist. === Beweisschritt 5 - Verschwinden der negativen Potenzen === Für <math> n < 0 </math> wird <math> |a_n| </math> beliebig klein, da die Darstellung der Koeffizienten :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_{ \widehat{r}} } \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> auch für beliebige <math> \widehat{r} < r </math> gilt und damit kann <math>|a_n|</math> wie folgt für <math> n < 0 </math> abgeschätzt werden: :<math> |a_n| \leq \frac{M}{\widehat{r}^{n}} \, \, \stackrel{\widehat{r}\to 0}{\longrightarrow} \, \, 0 </math>. Damit folgt aber <math> a_n=0 </math> für <math> n<0</math>. === Beweisschritt 6 - Laurent-Reihe=== Damit reduzieren sich die Summanden der darstellenden Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math> wie folgt: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>, der Nebenteil der Laurentreihe ist also als [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] darstellbar. === Beweisschritt 7 - Holomorphe Fortsetzung als Taylorreihe=== Die Laurent-Reihe reduziert sich auf der punktierten Umgebung <math>U_0</math> somit zu einer Taylor-Reihe: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> Diese [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] definiert aber auch eine holomorphe Funktion <math> f^\ast </math> auf <math> U </math>, die für alle <math> z\in U_o = U \setminus \{z_0\} </math> dann <math> f^\ast(z) = f(z) </math> erfüllt und für <math>z=z_0</math> die Funktion <math>f</math> mit <math>f^\ast(z_0)=a_0</math> holomorph fortsetzt. === Beweisschritt 8 - Hebbarkeit der Singularität === Damit ist gezeigt, dass sich die isolierte Singularität bei <math> z_0 </math> hebbar ist und <math> f </math> sich zu einer holomorphen Funktion auf <math> U </math> fortsetzen lässt. <math>\Box</math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 1r886aelcp2wgjsq03ssvg0g0w0la3d 1105386 1105385 2026-06-24T08:35:18Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel für hebbare holomorphe Funktion */ 1105386 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] mit einer Singularität <math>z_o</math> behandelt, * (1) die in einer punktierten Umgebung um <math>z_o</math> beschränkt ist und * (2) sich mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in <math>z_o</math> holomorph fortsetzen lässt. === Beispiel für hebbare holomorphe Funktion === Ein Bespiel für eine hebbare holomorphe Funktion auf <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{-i\}</math> mit: :<math> f(z) := \frac{z^2+1}{z+i} = \frac{(z+i)\cdot (z-i)}{z+i} </math> Die Funktion <math>f</math> ist in <math>-i</math> undefiniert, weil der Nenner 0 ist. Aber die Funktion <math>f</math> kann in <math> -i</math> holomorph fortgesetzt werden mit <math>f^\ast(-i)=-2i</math>. Auf ganz <math>\mathbb{C}</math> gilt <math>f^\ast(z)=z-i</math>. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * [[Laurent-Reihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe|Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe]] Der Riemannsche Hebbarkeitssatz ist ein grundlegender Satz in der Funktionentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen eine isolierte Singularität von einer [[Holomorphie|holomorphen Funktion]] in dem Punkt holomoph fortsetzbar ("hebbar") ist. == Riemannscher Hebbarkeitssatz == Sei <math>G \subset \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math> z_0 \in G </math> und <math> f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]]. Ist <math>U\subset G</math> eine Umgebung von <math>z_0</math> ist <math> |f| </math> auf einer punktierten Umgebung <math> U_0:=U \setminus \{z_0\} </math> von <math> z_0 </math> beschränkt, dann existiert eine holomorphe Funktion <math> f^\ast : G \to \mathbb{C} </math> auf <math> U </math>, die auf <math> U \setminus \{z_0\} </math> mit <math> f </math> übereinstimmt. == Beweis == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Beschränktheit auf der punktierten Umgebung * [[Laurent-Reihe]] * Abschätzung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]] * Verschwinden der negativen Potenzen der [[Laurent-Reihe]] * Holomorphe Fortsetzung als [[Taylorreihe]] === Beweisschritt 1 - Beschränktheit auf der punktierten Umgebung=== Da <math>|f| :G\setminus \{z_0\} \to \mathbb{R}_0^+</math> auf der punktierten Umgebung <math> U_0 </math> von <math> z_0 \in G</math> beschränkt ist, gibt es eine Konstante <math> M </math> und eine Umgebung <math> U </math> von <math> z_0 </math>, sodass <math> |f(z)| \leq M </math> für alle <math> z \in U \setminus \{z_0\} </math>. === Beweisschritt 2 - Laurent-Reihe=== Betrachte die Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math>: :<math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>. === Beweisschritt 3 - Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe === Die Koeffizienten <math> a_n </math> der Laurent-Reihe sind gegeben durch: :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> wobei <math> \gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma_r(t):= z_o+ r\cdot e^{it}</math> ein Kreis um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r > 0</math> ist. Da <math> U_0</math> eine punktierte Umgebung um <math>z_o\in G</math> ist, kann <math> r > 0</math> so klein gewählt werden, dass die <math> Spur(\gamma_r)\subset \overline{D_r(z_0)} \subset U</math> gilt. === Bemerkung zu Schritt 3 - Kreisschreibe === Der Kreisradius <math>r > 0 </math> wird so gewählt, das die abgeschlossene Kreischeibe <math>\overline{D_r(z_0)}:= \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0| \leq r \} </math> ganz in <math>U</math> liegt. Dies ist für weitere Beweisschritte wesentlich, damit auch für kleinere Radien <math> 0 < \widehat{r} < r</math> die Spur von <math>\gamma_\widehat{r} </math> noch in <math>U_0</math> liegt. ===Beweisschritt 4 - Beschränktheit der Koeffizienten=== Da <math> f </math> auf <math>U_0</math> mit <math>|f(\zeta)|\leq M</math> für alle <math> \zeta \in U_0</math> beschränkt ist, gilt: :<math> |a_n| \leq \frac{1}{2\pi} \underbrace{\bigg| \int_{\gamma_r} \frac{|f(\zeta)|}{{\underbrace{|\zeta - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, d\zeta \bigg|}_{\leq \frac{2\pi r M}{r^{n+1}}} \leq \frac{M}{r^{n}} </math> Dabei ist <math> r </math> der Radius des Kreises um <math>z_0</math> mit Umfang <math>2 \pi r</math>, der durch die Kurve <math> \gamma </math> definiert ist. === Beweisschritt 5 - Verschwinden der negativen Potenzen === Für <math> n < 0 </math> wird <math> |a_n| </math> beliebig klein, da die Darstellung der Koeffizienten :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_{ \widehat{r}} } \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> auch für beliebige <math> \widehat{r} < r </math> gilt und damit kann <math>|a_n|</math> wie folgt für <math> n < 0 </math> abgeschätzt werden: :<math> |a_n| \leq \frac{M}{\widehat{r}^{n}} \, \, \stackrel{\widehat{r}\to 0}{\longrightarrow} \, \, 0 </math>. Damit folgt aber <math> a_n=0 </math> für <math> n<0</math>. === Beweisschritt 6 - Laurent-Reihe=== Damit reduzieren sich die Summanden der darstellenden Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math> wie folgt: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>, der Nebenteil der Laurentreihe ist also als [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] darstellbar. === Beweisschritt 7 - Holomorphe Fortsetzung als Taylorreihe=== Die Laurent-Reihe reduziert sich auf der punktierten Umgebung <math>U_0</math> somit zu einer Taylor-Reihe: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> Diese [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] definiert aber auch eine holomorphe Funktion <math> f^\ast </math> auf <math> U </math>, die für alle <math> z\in U_o = U \setminus \{z_0\} </math> dann <math> f^\ast(z) = f(z) </math> erfüllt und für <math>z=z_0</math> die Funktion <math>f</math> mit <math>f^\ast(z_0)=a_0</math> holomorph fortsetzt. === Beweisschritt 8 - Hebbarkeit der Singularität === Damit ist gezeigt, dass sich die isolierte Singularität bei <math> z_0 </math> hebbar ist und <math> f </math> sich zu einer holomorphen Funktion auf <math> U </math> fortsetzen lässt. <math>\Box</math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 36lmivpbh4l64sbn1sbu4rubj993usb 1105387 1105386 2026-06-24T08:50:42Z Bert Niehaus 20843 /* Beweisschritt 4 - Beschränktheit der Koeffizienten */ 1105387 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Seite zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' kann als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Folien]''' angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden [[Holomorphie|holomorphe Funktionen]] mit einer Singularität <math>z_o</math> behandelt, * (1) die in einer punktierten Umgebung um <math>z_o</math> beschränkt ist und * (2) sich mit dem Riemannschen Hebbarkeitssatz in <math>z_o</math> holomorph fortsetzen lässt. === Beispiel für hebbare holomorphe Funktion === Ein Bespiel für eine hebbare holomorphe Funktion auf <math>G:= \mathbb{C} \setminus \{-i\}</math> mit: :<math> f(z) := \frac{z^2+1}{z+i} = \frac{(z+i)\cdot (z-i)}{z+i} </math> Die Funktion <math>f</math> ist in <math>-i</math> undefiniert, weil der Nenner 0 ist. Aber die Funktion <math>f</math> kann in <math> -i</math> holomorph fortgesetzt werden mit <math>f^\ast(-i)=-2i</math>. Auf ganz <math>\mathbb{C}</math> gilt <math>f^\ast(z)=z-i</math>. == Lernvoraussetzungen == Die Lernressource zum Thema ''Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche Hebbarkeitssatz'' hat die folgenden Lernvoraussetzungen, die zum Verständnis der nachfolgenden Ausführungen hilfreich bzw. notwendig sind. * [[Laurent-Reihe]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe|Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe]] Der Riemannsche Hebbarkeitssatz ist ein grundlegender Satz in der Funktionentheorie, der Bedingungen angibt, unter denen eine isolierte Singularität von einer [[Holomorphie|holomorphen Funktion]] in dem Punkt holomoph fortsetzbar ("hebbar") ist. == Riemannscher Hebbarkeitssatz == Sei <math>G \subset \mathbb{C} </math> eine offene Menge, <math> z_0 \in G </math> und <math> f: G \setminus \{z_0\} \to \mathbb{C} </math> eine [[Holomorphie|holomorphe Funktion]]. Ist <math>U\subset G</math> eine Umgebung von <math>z_0</math> ist <math> |f| </math> auf einer punktierten Umgebung <math> U_0:=U \setminus \{z_0\} </math> von <math> z_0 </math> beschränkt, dann existiert eine holomorphe Funktion <math> f^\ast : G \to \mathbb{C} </math> auf <math> U </math>, die auf <math> U \setminus \{z_0\} </math> mit <math> f </math> übereinstimmt. == Beweis == Der Beweis gliedert sich in die folgenden Schritte: * Beschränktheit auf der punktierten Umgebung * [[Laurent-Reihe]] * Abschätzung der Koeffizienten der [[Laurent-Reihe]] * Verschwinden der negativen Potenzen der [[Laurent-Reihe]] * Holomorphe Fortsetzung als [[Taylorreihe]] === Beweisschritt 1 - Beschränktheit auf der punktierten Umgebung=== Da <math>|f| :G\setminus \{z_0\} \to \mathbb{R}_0^+</math> auf der punktierten Umgebung <math> U_0 </math> von <math> z_0 \in G</math> beschränkt ist, gibt es eine Konstante <math> M </math> und eine Umgebung <math> U </math> von <math> z_0 </math>, sodass <math> |f(z)| \leq M </math> für alle <math> z \in U \setminus \{z_0\} </math>. === Beweisschritt 2 - Laurent-Reihe=== Betrachte die Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math>: :<math> f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>. === Beweisschritt 3 - Abschätzung der Koeffizienten der Laurent-Reihe === Die Koeffizienten <math> a_n </math> der Laurent-Reihe sind gegeben durch: :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_r} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> wobei <math> \gamma_r:[0,2\pi] \to \mathbb{C} </math> mit <math>\gamma_r(t):= z_o+ r\cdot e^{it}</math> ein Kreis um <math> z_0 </math> mit Radius <math> r > 0</math> ist. Da <math> U_0</math> eine punktierte Umgebung um <math>z_o\in G</math> ist, kann <math> r > 0</math> so klein gewählt werden, dass die <math> Spur(\gamma_r)\subset \overline{D_r(z_0)} \subset U</math> gilt. === Bemerkung zu Schritt 3 - Kreisschreibe === Der Kreisradius <math>r > 0 </math> wird so gewählt, das die abgeschlossene Kreischeibe <math>\overline{D_r(z_0)}:= \{ z \in \mathbb{C} \, : \, |z-z_0| \leq r \} </math> ganz in <math>U</math> liegt. Dies ist für weitere Beweisschritte wesentlich, damit auch für kleinere Radien <math> 0 < \widehat{r} < r</math> die Spur von <math>\gamma_\widehat{r} </math> noch in <math>U_0</math> liegt. ===Beweisschritt 4 - Beschränktheit der Koeffizienten=== Da <math> f </math> auf <math>U_0</math> mit <math>|f(\zeta)|\leq M</math> für alle <math> \zeta \in U_0</math> beschränkt ist, gilt mit <math>\mathcal{L}(\gamma_r)=2\pi r</math> als Länge des Integrationsweges: :<math> |a_n| \leq \frac{1}{2\pi} \underbrace{\bigg| \int_{\gamma_r} \frac{|f(\zeta)|}{{\underbrace{|\zeta - z_0|}_{=r}}^{n+1}} \, d\zeta \bigg|}_{\leq \frac{2\pi r M}{r^{n+1}}} \leq \frac{M}{r^{n}} </math> Dabei ist <math> r </math> der Radius des Kreises um <math>z_0</math> mit Umfang <math>2 \pi r</math>, der durch die Kurve <math> \gamma </math> definiert ist. === Beweisschritt 5 - Verschwinden der negativen Potenzen === Für <math> n < 0 </math> wird <math> |a_n| </math> beliebig klein, da die Darstellung der Koeffizienten :<math> a_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma_{ \widehat{r}} } \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta </math> auch für beliebige <math> \widehat{r} < r </math> gilt und damit kann <math>|a_n|</math> wie folgt für <math> n < 0 </math> abgeschätzt werden: :<math> |a_n| \leq \frac{M}{\widehat{r}^{n}} \, \, \stackrel{\widehat{r}\to 0}{\longrightarrow} \, \, 0 </math>. Damit folgt aber <math> a_n=0 </math> für <math> n<0</math>. === Beweisschritt 6 - Laurent-Reihe=== Damit reduzieren sich die Summanden der darstellenden Laurent-Reihe von <math> f </math> um <math> z_0 </math> wie folgt: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> für <math> z </math> in einer punktierten Umgebung von <math> z_0 </math>, der Nebenteil der Laurentreihe ist also als [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] darstellbar. === Beweisschritt 7 - Holomorphe Fortsetzung als Taylorreihe=== Die Laurent-Reihe reduziert sich auf der punktierten Umgebung <math>U_0</math> somit zu einer Taylor-Reihe: :<math> f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n </math> Diese [[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]] definiert aber auch eine holomorphe Funktion <math> f^\ast </math> auf <math> U </math>, die für alle <math> z\in U_o = U \setminus \{z_0\} </math> dann <math> f^\ast(z) = f(z) </math> erfüllt und für <math>z=z_0</math> die Funktion <math>f</math> mit <math>f^\ast(z_0)=a_0</math> holomorph fortsetzt. === Beweisschritt 8 - Hebbarkeit der Singularität === Damit ist gezeigt, dass sich die isolierte Singularität bei <math> z_0 </math> hebbar ist und <math> f </math> sich zu einer holomorphen Funktion auf <math> U </math> fortsetzen lässt. <math>\Box</math> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter 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die Anzahl der Quadratreste. {{:Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt}} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Damit kann man leicht die folgende Aussage lösen. {{ inputaufgabe |Restklassenkörper (Z)/Summe von zwei Quadraten/Lösung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Homomorphismus/Invarianten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Ganzheitsbasis/1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Fälle/Konjugation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Fälle/Spur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Fälle/Norm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/D ist -7/Berechne Diskriminante/3/2 + 5/2 sqrt(-7)/Multiplikationsmatrix Norm Spur/ganz?/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Q/x^2 + 3/2 x - 5/7 /Ganzheitsring/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/D und E verschieden/Durchschnitt ist Z/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Z/D ist -11/Nichteinheit mit minimaler Norm/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterung/Z/Ordnung/Hauptordnung/Gruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/D ist 1 mod 4/(1+ sqrt(D))/2 erfüllt Ganzheitsgleichung/Kein Zwischenring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Körpererweiterung von Q/Reine Gleichung und Ganzheitsring/Isomorphie nach Nenneraufnahme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Q/Negatives D/Bestimme Einheiten/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Q/D ist 1 mod 4/Einheit/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Z/Zwei Primideale in A_D über einem in Z (sqrt(D))/Beispiel/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/D/Faser über Primideal/Quadrat im Restekörper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Endlich viele verzweigte Primzahlen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratischer Zahlbereich/Konjugation/Faserring/Explizite Beschreibung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Z/p prim teilt D einfach/p und -p kein Quadrat in D durch p/irreduzibel, nicht prim/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Z/Wurzel aus 7/Primideale über 29/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Z/Wurzel aus 15/Primideale über 17/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterungen von Z/Z(sqrt(5))/Zerlegung von 2/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Quadratische Erweiterung von Z/Wurzel aus -25/Zerlegung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gaußsche Zahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Zahlentheorie/Summe von Quadraten/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Restklassenringe (Z)/Quadratreste/-3/Kongruenzbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eisensteinzahlen/Primelement/Charakterisierungen/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Ganzzahlige Matrizen/Charakteristisches Polynom/Quadratischer Zahlbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Biquadratisch/Z i/D ist 3 mod 4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis/Aufgabe|}} {{inputaufgabe |Noethersche Ringe/Charakterisierung mit aufsteigenden Idealketten/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Noethersche Ringe/Produkt/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/2 Variablen/Erzeugendensysteme/Aufgabe|| |zusatz= |tipp=Tipp: Betrachte{{n Sie}} die Potenzen {{mathl|term=(X,Y)^m|SZ=.}} }} {{inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Noetherscher Bereich/Zerlegung in irreduzible Elemente/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Kommutative Ringtheorie/Nenneraufnahme R f ist noethersch für Überdeckung/Dann noethersch/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring in unendlich vielen Variablen/Nicht noethersch/Kette und Erzeugung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{inputaufgabe |Nicht-noethersche Ringe/Beispiel/Reduktion ist Körper/Aufgabe|}} {{ inputaufgabe |Noetherscher Ring/Unterring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Faktorieller Zahlbereich/Primideale oberhalb von Primzahlen/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Dedekindbereich/Zwei Primideale/Chinesischer Restsatz/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Dedekindbereich/Produkt und Durchschnitt von zwei verschiedenen Primidealen/Aufgabe| }} {{ inputaufgabe |Dedekindbereich/Beispiele mit (un)endlichen Restklassenringen/Aufgabe| }} }} t51f710s3zuwki860ta6z9yksre8y47 106 168883 1105360 1094027 2026-06-24T05:52:43Z Bocardodarapti 2041 1105360 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eisensteinzahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gaußsche Zahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/7/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/8/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/9/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Primzahl/Zerlegungsgruppe/Trägheitsgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Norm/Primzahlpotenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/Verzweigungsbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zur folgenden Aufgabe vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Basis/Bilder/Untergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/p/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/5/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/11/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Artinsymbol/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine natürliche Erklärung für das in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/Aufgabe |Nr= |SZ= }} beobachtete Verhalten. {{ inputaufgabe |Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. Kreisteilungsring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sechster Kreisteilungsring/Wurzel +-6/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Gaußsumme/Kreisteilungsring/Gerader Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Quadratwurzel/Modulo 4/Verzweigungstheorie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} d2rl0zgrp6l9mvtabqswgos1wekhahd 1105364 1105360 2026-06-24T06:23:17Z Bocardodarapti 2041 1105364 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eisensteinzahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gaußsche Zahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/7/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/8/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/9/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Primzahl/Zerlegungsgruppe/Trägheitsgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Norm/Primzahlpotenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/Verzweigungsbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zur folgenden Aufgabe vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Basis/Bilder/Untergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/p/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/5/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/11/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Artinsymbol/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine natürliche Erklärung für das in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/Aufgabe |Nr= |SZ= }} beobachtete Verhalten. {{ inputaufgabe |Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. Kreisteilungsring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sechster Kreisteilungsring/Wurzel +-6/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Gaußsumme/Kreisteilungsring/Gerader Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Quadratwurzel/Modulo 4/Verzweigungstheorie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/4p/Quadratwurzeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} 2yizz2ahcuv6qe4bic3zekjzzxntlju 1105370 1105364 2026-06-24T06:52:42Z Bocardodarapti 2041 1105370 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2026)/Arbeitsblattgestaltung|23| {{Zwischenüberschrift|Aufgaben}} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Eisensteinzahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Gaußsche Zahlen/Kreisteilungsring/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/7/Zerlegungsverhalten/Numerische Möglichkeiten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/8/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/9/Zerlegungsverhalten/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Primzahl/Zerlegungsgruppe/Trägheitsgruppe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Norm/Primzahlpotenz/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/n/Primzahl/Zerfällt/Fakt/Verzweigungsbedingung/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Zur folgenden Aufgabe vergleiche {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Galoiserweiterung/Basis/Bilder/Untergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/p/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/5/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/7/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/11/Primitive Einheitswurzeln/Untergruppen/Invariantenringe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Fünfter Kreisteilungsring/Unterring/2 Einheitswurzel/Gruppenoperation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} Die folgende Aufgabe gibt in Verbindung mit {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Artinsymbol/Aufgabe |Nr= |SZ= }} eine natürliche Erklärung für das in {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/Aufgabe |Nr= |SZ= }} beobachtete Verhalten. {{ inputaufgabe |Zahlbereich/X^3-3X+1/Modulo p/p-te Potenz/Möglichkeiten/9. Kreisteilungsring/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Sechster Kreisteilungsring/Wurzel +-6/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratische Gaußsumme/Kreisteilungsring/Gerader Automorphismus/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/Quadratwurzel/Modulo 4/Verzweigungstheorie/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kreisteilungsring/4p/Quadratwurzeln/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} }} ds01pg464a8q4hv2h8homap6kssvi6z 0 171855 1105361 2026-06-24T06:05:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105361 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R_p |SZ=}} der {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |SZ= }} zu einer ungeraden Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass das Quadrat {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| -1 | p }} p |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= R_p |SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} den Rest {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt. |Bestimme{{n Sie}} den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | S | \subseteq | R_p || || || |SZ= }} zu {{mathl|term= \sqrt{ {{op:Legendre-Symbol| -1 | p }} p } |SZ=.}} |Begründe (1) und (2) über das Verzweigungsverhalten der {{math|term= 2 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mtq9k43au8od5vxifhu88gxnfh7b7b6 1105362 1105361 2026-06-24T06:06:07Z Bocardodarapti 2041 1105362 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R_p |SZ=}} der {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |SZ= }} zu einer ungeraden Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass das Quadrat {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| -1 | p }} p |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= R_p |SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gaußsche Summe/Quadratisch/Legendre-Symbol/Quadratformel/Fakt |Nr= |SZ= }} |ISZ=|ESZ= }} modulo {{math|term= 4 |SZ=}} den Rest {{math|term= 1 |SZ=}} besitzt. |Bestimme{{n Sie}} den zugehörigen {{ Definitionslink |Prämath= |quadratischen Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | S | \subseteq | R_p || || || |SZ= }} zu {{mathl|term= \sqrt{ {{op:Legendre-Symbol| -1 | p }} p } |SZ=.}} |Begründe (1) und (2) über das Verzweigungsverhalten der {{math|term= 2 |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jucje9t964hxwsujague4c8oqvkw4cz 0 171856 1105363 2026-06-24T06:18:39Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105363 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Bei {{ Relationskette | p || 1 \mod 4 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| -1| p }} p || (-1)^{ {{op:Bruch| p-1 | 2 }} } p || p || 1 \mod 4 || |SZ= }} und bei {{ Relationskette | p || 3 \mod 4 || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | {{op:Legendre-Symbol| -1| p }} p || (-1)^{ {{op:Bruch| p-1 | 2 }} } p || - p || -3 \mod 4 || 1 \mod 4 || |SZ=. }} |Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Beschreibung/Fakt |Nr= |SZ= }} und (1) ist der quadratische Zahlbereich gleich {{ Relationskette/display | S || \Z [ {{op:Bruch| 1 + \sqrt{ {{op:Legendre-Symbol| -1| p }} p } |2}} ] || || || |SZ=. }} |Nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Zahlbereich/pte Wurzel aus p/Faserringe/Beschreibung/Beispiel |Nr= |SZ= }} verzweigt der {{math|term= p |SZ=-}}te Kreisteilungsring nur über {{math|term= p |SZ=.}} Dies überträgt sich nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Dedekindbereich/Endliche Erweiterungen/Verzweigung/Aufgabe |Nr= |SZ= }} auf den quadratischen Zahlbereich {{math|term= S |SZ=.}} Gemäß {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Quadratischer Zahlbereich/Verzweigung/Ordnung/Ableitung/Beispiel |Nr= |SZ= }} findet im Fall, dass der Zahlbereich durch eine reine Gleichung beschrieben wird, Verzweigung über {{math|term= 2 |SZ=}} statt, so dass dieser Fall ausgeschlossen ist. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0n4kn80nmlmyxjirmuh6ua3khmb2p26 0 171857 1105365 2026-06-24T06:26:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105365 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= p |SZ=}} eine ungerade Primzahl {{math|term= p |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Kreisteilungsring| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= R_{4p} |SZ=}} Quadratwurzeln zu {{math|term= p |SZ=}} und zu {{math|term= -p |SZ=}} enthält. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungsringe |Kategorie2=Theorie der quadratischen Zahlbereiche |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s3l2jtyxrs6y3slnmofo9l3gt1i5r3s 0 171858 1105369 2026-06-24T06:52:02Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105369 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den siebten {{ Definitionslink |Kreisteilungsring| |SZ= }} {{math|term= R_7 |SZ=.}} {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} für jedes numerische mögliche Zerlegungsverhalten in {{math|term= R_7 |SZ=}} eine Primzahl {{ Relationskette | q | \neq | 7 || || || |SZ=, }} die dieses Zerlegungsverhalten besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie für Kreisteilungsringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der siebte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ipqy4pcc5txz6tr6ypk7x3oukivhhp7 0 171859 1105371 2026-06-24T07:09:14Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105371 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wegen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Primzahl/Verzweigt/Fakt |Nr= |SZ= }} sind wir im unverzweigten Fall. Da wir im Galoisfall sind {{ Faktlink |Faktseitenname= Dedekindbereich/Ganzer Abschluss/Zerlegung/Galoisfall/Fakt |Nr= |SZ=, }} wird die fundamentale Gleichung zu {{ Relationskette/display | \varphi (7) || 6 || f \cdot k || || |SZ=, }} wobei {{math|term= k |SZ=}} die Anzahl der Primideale über {{math|term= (q) |SZ=}} und {{math|term= f |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |Trägheitsgrad| |Kontext=| |SZ= }} ist. Diesen kann man wegen {{ Faktlink |Faktseitenname= Kreisteilungsring/n/Unverzweigte Primzahl/Zerlegungsverhalten/Fakt |Nr= |SZ= }} über die multiplikative Ordnung von {{math|term= q |SZ=}} in der Einheitengruppe von {{math|term= {{op:Zmod|7|}} |SZ=}} berechnen. Dies ergibt die folgende Tabelle. {{Vorlage:Tabelleleitvierxvier| |lz0= {{math|term= q |SZ=}} |lz1= {{math|term= q \mod 7 |SZ=}} |lz2= Mult. Ordnung ({{math|term= f |SZ=}}) |lz3= Anzahl Primideale ({{math|term= k |SZ=}}) |lz4= |ls1= {{math|term= 3 |SZ=}} |ls2= {{math|term= 11 |SZ=}} |ls3= {{math|term= 13 |SZ=}} |ls4= {{math|term=29 |SZ=}} |a1,1=3 |a1,2= 6 |a1,3= 1 |a1,4= \text{unzerlegt} |a2,1=4 |a2,2= 3 |a2,3= 2 |a2,4= |a3,1= 6 {{=}} -1 |a3,2= 2 |a3,3= 3 |a3,4= |a4,1= 1 |a4,2= 1 |a4,3= 6 |a4,4= \text{voll zerlegt} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cmpnuhiv0ueiwsft7tbkrqydic3alf7 0 171860 1105379 2026-06-24T07:45:45Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105379 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten den kommutativen Ring {{ Relationskette/display | R || \Z[X] / {{makl| X^2 +25 |}} || || || |SZ= }} und die Ringerweiterungen {{ Relationskette | \Z | \subseteq | R | \subseteq | \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] || || |SZ=, }} wobei die hintere Abbildung durch {{mathl|term= X \mapsto 5 {{imaginäre Einheit|}} |SZ=}} gegeben ist. Zeige{{n Sie}}, dass über dem Primideal {{mathl|term= (5) |SZ=}} in {{math|term= R |SZ=}} ein Primideal liegt, und dass in {{mathl|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} zwei Primideale über {{mathl|term= (5) |SZ=}} liegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Erweiterungen von Z |Kategorie2=Theorie der Gaußschen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nk8iq574quwevv8nzp8vtyfhrz0o5qy 0 171861 1105380 2026-06-24T07:50:22Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105380 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Der Faserring über {{mathl|term= (5) |SZ=}} zu {{math|term= R |SZ=}} ist {{ Relationskette/display | R/(5) || {{op:Zmod|5|}} / {{makl| X^2 +25 |}} || {{op:Zmod|5|}} / {{makl| X^2 |}} || || |SZ=. }} Die Reduktion davon ist {{mathl|term= {{op:Zmod|5|}} |SZ=,}} sodass in der Faser nur ein Primideal liegt. Dagegen ist in {{mathl|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=}} {{ Relationskette/display | 5 || {{makl| 2+ {{imaginäre Einheit}} |}} {{makl| 2- {{imaginäre Einheit}} |}} || || || |SZ= }} und daher liegen über {{math|term= (5) |SZ=}} zwei Primhauptideale in {{mathl|term= \Z[ {{imaginäre Einheit|}} ] |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 6wsqeme48tykhxnfx3giru4g3pktipj