Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 28242 1105398 246339 2026-06-24T14:35:15Z TheRabbit22 38664 Tippfehler korrigiert 1105398 wikitext text/x-wiki Dieser Kurs wurde gemeinsam mit den Teilnehmerinnen und Teilnehmern des Forschungsseminars Computer Supported Collaborative Learning (WS 09/10) an der Universität Tübingen entwickelt, und wird mit den Teilnehmerinnen und Teilnehmern am Seminar im WS 10/11 weiterentwickelt. Es ist offen für Online-Teilnehmer/innen. In diesem Kurs lernen Sie die Forschungsrichtung Computer Supported Collaborative Learning (CSCL) kennen. Die Forschungsrichtung CSCL ist interdisziplinär ausgerichtet, vor allem die Richtungen Pädagogik, Psychologie und Informatik sind beteiligt. Neben den interdisziplinären Grundlagen beschäftigen Sie sich in diesem Seminar mit aktuellen Forschungsfragen und -ergebnissen. Sie lernen Werkzeuge und Methoden kennen, wie kooperatives Lernen mit Hilfe von Computern unterstützt und gefördert werden kann. Zentrales Lernziel ist es, Grundlagenwissen und aktuelle Forschungsergebnisse zu verknüpfen und aus einer Anwendungsperspektive Nutzen und Mehrwert vom computerunterstütztem Lernen zu analysieren und zu beurteilen. ==Ziele des Seminars== Was möchten Sie in diesem Seminar lernen? // Sie können gerne ihre eigenen Erwartungen an das Seminar ergänzen [[Benutzer:Moskaliuk|Moskaliuk]] * Fertiger Kurs in Wikiversity, der für Interessierte selbsterklärend und verständlich ist. Evtl. lassen sich Videos zu den einzelnen Vorträgen machen, wenn die Vortragenden nichts dagegen haben. Finde ich manchmal als Ergänzung ganz gut. [[Benutzer:DerNarr|DerNarr]] 18:31, 14. Okt. 2009 (CEST) ==Erwartungen an den Dozenten== Was sind Ihre Erwartungen an den Dozenten? // Sie könnne gerne ihre eigenen Erwartungen ergänzen. --[[Benutzer:Moskaliuk|Moskaliuk]] *Dozent bietet Orientierung (roten Faden / klares Ziel).<small>[[Benutzer:Lernstratege|Lernstratege]]</small> *Dozent antwortet auf E-Mails zeitnah. *Dozent macht sehr lebendigen interaktiven Unterricht. ==Die Konzeption des Seminars== Das Seminar besteht aus ingesamt 4 Phasen. In der ersten Phase erarbeiten sie selbstständig in Expertengruppen die theoretischen Grundlagen. Dazu verwenden sie die in diesem Kurs-Wiki bereits von Teilnehmerinnen und Teilnehmern anderer Seminare erarbeitete Inhalte als Einstieg, lesen die vorgeschlagenen Grundlagentexte oder suchen weiterführende Literatur. Sie überarbeiten gemeinsam den zusammenfassenden Text im Wiki. [[/Phase1]] In Phase 2 treffen sie sich in Stammgruppen mit jeweils einem Experten zu jedem Thema und diskutieren die Inhalte. Ziel ist, dass alle Mitglieder einer Stammgruppe über die Inhalte aller Texte informiert sind. In Phase 3 diskutieren wir gemeinsam zentrale Publikationen aus dem Bereich CSCL. Dazu sollten sie die Texte lesen und die im Wiki formulierten Aufgaben oder Diskussionsfragen jeweils in der Woche vor dem eigentlichen Seminartermin bearbeiten. [[/Phase3]] In der Phase 4 versuchen wir die gelernten Grundlagen anzuwenden. Anhand von 5 Werkzeugen, die im Bereich CSCL eingesetzt werden erarbeiten wir Probleme, Potentiale und Einsatzmöglichkeiten. [[/Einstieg ins Thema]] ==Formale Vorausetzung Seminar WS2010/2011== Regelmäßige Anwesenheit (max. 2 Fehltermine) Erarbeitung der theoretischen Grundlagen in Phase 1 und Dokumentation im Wiki (in Gruppen mit 3-4 Teilnehmerinnen) Lesen der vier Texte für Phase 3 und Bearbeiten der Aufgaben und Diskussionsfragen im Wiki (bitte bringen sie jeweils einen Ausdruck des Textes mit ins Seminar) Aktive Mitarbeit bei den Gruppenaufgaben in Phase 4 ==Termine== * 11.10.2010: Kein Seminar * 18.10.2010: Einführung, Einteilung Expertengruppen * 25.10.2010: Phase 4: Wikis und Wikipedia * 08.11.2010: Phase 1: Expertengruppen * 15.11.2010: Phase 3: O'Donnell und Kelly, 1994 * 22.11.2010: Phase 1: Expertengruppen * 29.11.2010: Phase 2: Stammgruppen * 06.12.2010: Phase 2: Stammgruppen * 13.12.2010: Phase 3: Stahl, Koschman & Suthers, 2006 * 20.12.2010: Phase 3: Scardamalia und Bereiter, 2006 * 10.01.2011: Phase 3: Kiesler, Siegel, McGuire, 1988 * 17.01.2011: Phase 4: Blogs und Blogsphäre * 24.01.2011: Phase 4: Virtuelle Realitäten * 31.01.2011: Phase 4: Feedbackrunde / Speedlearning 3bj97ibzvxya2srb34li9bv25panx6v 0 118635 1105454 1097434 2026-06-25T11:08:47Z Bocardodarapti 2041 1105454 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |2-cube|svg| 150px {{!}} right {{!}} | |Text= |Autor= |Benutzer= |Domäne= |Lizenz= |Bemerkung= }} Zeige{{n Sie}}, dass im abgebildeten {{ Definitionslink |Graphen| |Kontext=diskret| |SZ= }} jede {{ Definitionslink |minimale Knotenüberdeckung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Definitionslink |optimal| |Kontext=Knotenüberdeckung| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Knotenüberdeckungen von Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} acrsbk4ck4alek598505o0pvigzp8uy 0 118651 1105453 973528 2026-06-25T10:23:51Z Bocardodarapti 2041 1105453 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette |G ||(V,E) || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Graph |Kontext=diskret| |SZ= }} und seien {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} {{ Definitionslink |Paarungen| |Kontext=Graph| |SZ= }} in {{math|term= G |SZ=.}} Es sei {{math|term= H |SZ=}} derjenige Graph auf {{math|term= V |SZ=,}} dessen Kantenmenge die {{ Definitionslink |symmetrische Differenz| |Kontext=| |SZ= }} von {{ mathkor|term1= P |und|term2= Q |SZ= }} ist. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind die {{ Definitionslink |Zusammenhangskomponenten| |Kontext=Graph| |SZ= }} von {{math|term= H |SZ=}} von einer der folgenden Gestalt. {{ Aufzählung3 |Ein isolierter Punkt. |Ein {{ Definitionslink |linearer Graph| |Kontext=| |SZ=, }} wobei die Kanten abwechselnd zu {{ mathkor|term1= P |bzw. zu|term2= Q |SZ= }} gehören. |Ein {{ Definitionslink |Kreis| |Kontext=Graph| |SZ= }} mit gerader {{ Definitionslink |Länge| |Kontext=Graph| |SZ=, }} wobei die Kanten abwechselnd zu {{ mathkor|term1= P |bzw. zu|term2= Q |SZ= }} gehören. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Paarungen in Graphen|Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2mdk4c4531th8bwqs15rl5o42dom1ro 106 135244 1105397 718617 2026-06-24T13:50:45Z TheRabbit22 38664 Tippfehler korrigiert 1105397 wikitext text/x-wiki '''ENTWURF''' = Einleitung = Der digitale Wandel hat die verschiedenen Bereiche des Alltags fest eingenommen und neu geformt. Dabei hat sich unter anderem auch der Handelssektor der stetig fortschreitenden Digitalisierung angepasst und sich mit dieser verändert. Digitale Medien sind zum zentralen Bestandteil von fast allen Produkt- und Dienstleistungsgruppen geworden. Dies verändert das Kauf- und Nutzverhalten von Kunden auf immense Weise wie beispielswiese das bequeme, schnelle Einkaufen in Online-Shops.<ref>Vgl. Zimmermann, S. 3f. </ref> Um ein kundengewinnendes Marketing betreiben zu können, kommen dabei verschiedene Methoden wie unter anderem die Nutzung von sozialen Netzwerken zum Tragen. Diese Methoden ermöglichen es den Unternehmen, direkten Kontakt mit Kunden herzustellen. Darüber hinaus profitieren Kunden von Erfahrungsberichten und Vergleichsoptionen.<ref>Vgl. Zimmermann, S. 4ff.</ref> Um effektives Marketing betreiben zu können, verwenden Unternehmen oftmals Cookies, um den potentiellen Kunden z. B. individuell angepasste Angebote oder Werbung anzuzeigen oder Informationen für sie vorzuhalten.<ref>Vgl. Lackes et al. (2018).</ref> Dabei werden auf digitaler Ebene vom Gesetzgeber strikte Regularien vorgegeben. Dazu zählt die von der Europäischen Union (kurz: EU) erlassene Datenschutz-Grundverordnung (kurz: DS-GVO), dessen gesetzliche Regularien von Unternehmen zu berücksichtigen und einzuhalten sind.<ref>Vgl. Behrens, S. 29f.</ref> Die zunehmende Bedeutung des Einsatzes von Cookies, um effektives, digitales Marketing realisieren zu können, unter Berücksichtigung gesetzlicher Regularien, ist Motivationsfaktor dieser Ausarbeitung. Aus diesem Grund wird im Rahmen dieser Arbeit zum einen detailliert auf die rechtlichen Anforderungen einschlägiger Gesetztestexte in Bezug auf Cookies und digitales Marketing eingegangen. Zum anderen werden Anwendungsgebiete von Cookies im digitalen Marketing vorgestellt. Anschließend werden die rechtlichen Anforderungen für den Einsatz von Cookies spezifiziert und alternative Lösungen zu Cookies im Sinne des digitalen Marketings diskutiert. = Rechtliche Grundlagen = Dieses Kapitel widmet sich der Bildung einer fachlichen Grundlage hinsichtlich der rechtlichen Gegebenheiten. Hierbei wird auf die aktuellen Gesetze und Verordnungen eingegangen, wobei der Fokus auf der DS-GVO liegt. '''Nomenklatur'''<br> Für die Gewährleistung der Verständlichkeit dieser Arbeit, beginnt dieses Kapitel mit der Erklärung der wichtigsten datenschutzrechtlichen Begrifflichkeiten, die für diese Arbeit von Relevanz sind.<br> Personenbezogene Daten sind Daten, die einen Bezug zu einer natürlichen Person aufweisen.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 8.</ref> Dieser Bezug ermöglicht die Identifizierung oder zumindest Identifizierbarkeit dieser Person.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 9.</ref> Unter einer natürlichen Person ist ein Mensch zu verstehen, der in der DS-GVO häufig unter dem Terminus betroffene Person (kurz: Betroffener) adressiert wird.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 15.</ref> Viele Daten lassen zunächst keinen Personenbezug vermuten, doch auf Grund des Kriteriums der Identifizierbarkeit, sind sie dennoch als personenbezogene Daten zu klassifizieren.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 12.</ref> Ein Beispiel für ein solches Datum ist die IP-Adresse, welche zunächst keinen Personenbezug vermuten und einen Schluss auf ein Sachdatum zulässt. Auf Grund der Identifizierbarkeit des Betroffenen über den Internet Provider handelt es sich jedoch bei der IP-Adresse um ein personenbezogenes Datum.<br> Bei einer Verarbeitung handelt es sich um einen Prozess, bei dem personenbezogene Daten mit oder auch ohne Zuhilfenahme automatisierter Verfahren verarbeitet werden.<ref>Vgl. Art. 4 Nr. 2 DS-GVO (2016).</ref> Damit eine Verarbeitung vorliegt, müssen somit drei Kriterien erfüllt sein.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 61.</ref> Die verarbeiteten Daten müssen personenbezogene Daten sein, die Ausführung des Prozesses muss mit oder ohne Hilfe von Automatisierung erfolgen<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 61.</ref> und bei dem Prozess muss mit den Daten etwas passieren (z. B. speichern, löschen).<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 62.</ref><br> Der Verantwortliche nimmt die Position ein, welche die Verantwortung für die Einhaltung der rechtlichen Anforderung an eine Verarbeitung trägt<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 160.</ref> und über die Mittel und Zwecke selbiger entscheidet.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 168.</ref> Die Besetzung der Position des Verantwortlichen kann durch eine natürliche sowie juristische Person, eine Behörde, Einrichtung oder anderweitige Stelle erfolgen.<ref>Vgl. Art. 4 Nr. 7 DS-GVO (2016).</ref> Die Geschäftsführung eines Unternehmens könnte somit als Beispiel als Verantwortlicher fungieren, da sie für die Einhaltung der rechtlichen Anforderungen verantwortlich ist und zugleich auch über die Mittel und Zwecke einer Verarbeitung entscheidet.<br> Genauso wie der Verantwortliche, kann auch ein Auftragsverarbeiter sowohl eine natürliche als auch eine juristische Peron, eine Behörde, Einrichtung oder jedwede andere Stelle sein.<ref>Vgl. Art. 4 Nr. 8 DS-GVO (2016).</ref> Der Auftragsverarbeiter kann durch einen Verantwortlichen mit einer Verarbeitung personenbezogener Daten beauftragt werden.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 204.</ref> Bei einer Verarbeitung dieser Art handelt es sich um eine Auftragsverarbeitung. Hierbei nimmt der Auftragsverarbeiter die Position des Auftragnehmers und der Verantwortliche die Position des Auftraggebers ein. Diese Abgrenzung verdeutlicht die alleinige Entscheidungsgewalt des Verantwortlichen über die Mittel und Zwecke der Verarbeitung.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 209.</ref> Ein Dritter ist eine Person oder Stelle, die weder von einer bestimmten Verarbeitung betroffen noch an ihr beteiligt ist.<ref>Vgl. Arning und Rothkegel (2019), Art. 4 Rn. 15.</ref> Der Begriff des Dritten umfasst somit jeden, der weder Betroffener, Verantwortlicher oder Auftragsverarbeiter ist.<ref>Vgl. Art. 4 Nr. 10 DS-GVO (2016).</ref><br> '''Grundsätze einer Verarbeitung'''<br> In Artikel 5 der DS-GVO wurden verschiedene Grundsätze definiert, die als obligatorische Prinzipien bei jedweder Verarbeitung personenbezogener Daten zu beachten sind.<ref>Vgl. Voigt (2019), Art. 5 Rn. 1.</ref> In dieser Arbeit wird auf Grund der fachlichen Relevanz nur auf einen Ausschnitt dieser Grundsätze näher eingegangen. Der erste Grundsatz der DS-GVO fordert eine Verarbeitung nach Treu und Glauben, auf rechtmäßige und in einer für den Betroffenen nachvollziehbaren Weise.<ref>Vgl. Art. 5 Abs. 1 lit. a DS-GVO (2016).</ref> Der Wortlaut "Treu und Glauben" führt jedoch häufig zu einer Fehlinterpretation, da dieser auch im §242 Bürgerliches Gesetzbuch (kurz: BGB) verwendet wird. Eine Übertragung der Bedeutung des Wortlauts vom BGB auf die DS-GVO wäre jedoch auf Grund der unterschiedlichen Kontexte beider Rechtsvorschriften unpassend.<ref>Vgl. Herbst (2017), Art. 5 Rn. 13.</ref> Eine verständlichere Formulierung bringt die englische Fassung der DS-GVO mit dem Wort "fairly" mit sich, welches bereits durch den Anglizismus "fair" in der deutschen Sprache integriert ist und zu einem besseren Verständnis beigetragen hätte.<ref>Vgl. Herbst (2017), Art. 5 Rn. 14.</ref> Zumal das Wort "fair" auch in der deutschen Fassung von Artikel 13 Abs. 2 und 14 Abs. 2 DS-GVO verwendet wird und somit der inhaltliche Bezug besser deutlich geworden wäre.<ref>Vgl. Voigt (2019), Art. 5 Rn. 15.</ref> Hinter den Worten "in einer für den Betroffenen nachvollziehbaren Weise" versteckt sich der Begriff der Transparenz.<ref>Vgl. Art. 5 Abs. 1 lit. a DS-GVO (2016).</ref> Hinter diesem Terminus verbirgt sich die Anforderung, dass der Betroffene eindeutig über vergangene, aktuelle sowie zukünftige Verarbeitungen seiner personenbezogenen Daten informiert wird und somit eine Kontrolle über diese Verarbeitungen erhält.<ref>Vgl. Voigt (2019), Art. 5 Rn. 16.</ref> Zudem fordert die Transparenz die Einhaltung bestimmter Eigenschaften bei einer Information des Betroffenen. So hat diese in einer leicht verständlichen sowie zugänglichen Form und einer klaren sowie einfachen Sprache zu erfolgen. Weitere Anforderungen an die Mindestinhalte einer Information des Betroffenen lassen sich in den Artikel 13 und 14 DS-GVO wiederfinden, auf die auf Grund fehlender Relevanz für diese Arbeit jedoch nicht weiter eingegangen wird.<ref>Vgl. Art. 12 Abs. 1 DS-GVO (2016).</ref> Die Forderung nach Rechtmäßigkeit ist das letzte Bruchstück des ersten Grundsatzes, welches mit dem Verbot mit Erlaubnisvorbehalt korreliert. Entsprechend dieses Verbots ist eine Verarbeitung personenbezogener Daten grundsätzlich untersagt und nur bei Vorliegen eines Erlaubnistatbestandes zulässig.<ref>Vgl. Voigt (2019), Art. 5 Rn. 10.</ref> Die Zweckbindung stellt den zweiten Grundsatz der DS-GVO dar und fordert, dass eine Verarbeitung immer an einen Zweck gebunden ist. Diese Bindung setzt die Erfüllung von vier Kriterien voraus. Somit muss sie festgelegt, eindeutig sowie legitim sein<ref>Vgl. Art. 5 Abs. 1 lit. b DS-GVO (2016).</ref> und bereits zur Erhebung der personenbezogenen Daten erfolgen.<ref>Vgl. ErwG. 39 Satz 6 DS-GVO (2016).</ref> Besonders die Bedeutung des Worts "eindeutig" ist in diesem Kontext schwierig zu verstehen. Gemeint ist hiermit, dass der Zweck nicht vage umschrieben werden darf und nur eine präzise Formulierung als eindeutige Festlegung und somit als legitim verstanden wird.<ref>Vgl. Pötters (2018), Art. 5 Rn. 14.</ref> Die Präzision ergibt sich indirekt auch bereits aus der Forderung nach Transparenz, welche präzise Formulierungen voraussetzt, um die Verständlichkeit des Kontextes für den Betroffenen zu ermöglichen.<ref>Vgl. Kramer (2018), Art. 5 Rn. 20.</ref> Die Pflicht zum Nachweis der Einhaltung der anderen Grundsätze erklärt die Anforderung des Grundsatzes der Rechenschaftspflicht.<ref>Vgl. Art. 5 Abs. 2 DS-GVO (2016).</ref> In Artikel 24 DS-GVO werden die Anforderungen spezifiziert. So hat der Verantwortliche technische und organisatorische Maßnahmen zu treffen und stetig auf ihre Aktualität zu prüfen sowie ggf. zu aktualisieren, um nachweisen zu können, dass eine Verarbeitung entsprechend dieser Verordnung erfolgt.<ref>Vgl. Pötters (2018), Art. 5 Rn. 31.</ref> Hinsichtlich der Dokumentation stellt die DS-GVO grundsätzlich keine Formforderung, eine Nachweisbarkeit der Erfüllung der rechtlichen Anforderungen auf Nachfrage einer zuständigen Aufsichtsbehörde zeigt jedoch, dass eine rein mündliche Dokumentation nicht zielführend ist.<ref>Vgl. Art. 58 Abs. 1 lit. a DS-GVO (2016).</ref><br> '''Erlaubnistatbestände für die Verarbeitung personenbezogener Daten'''<br> In Artikel 6 DS-GVO ist eine Auflistung möglicher Erlaubnistatbestände, für die Verarbeitung personenbezogener Daten zu finden. Diese Auflistung ist keines Falls vollumfänglich und im Folgenden wird nur auf einen Ausschnitt dieser Erlaubnistatbestände, auf Grund ihrer Relevanz für diese Arbeit, näher eingegangen. So können auch andere Rechtsvorschriften wie der §23 Kunsturhebergesetz als Erlaubnistatbestand bei bestimmten Verarbeitungen herangezogen werden.<ref>Vgl. Taeger (2019), Art. 6 Rn. 2.</ref> Zudem definiert der Verordnungsgeber in Artikel 9 DS-GVO noch weitere mögliche Erlaubnistatbestände für sogenannte besondere Kategorien personenbezogener Daten (z. B. Gesundheitsdaten)<ref>Vgl. Art. 9 Abs. 1 DS-GVO (2016).</ref>, auf die ebenfalls auf Grund fehlender Relevanz für diese Arbeit jedoch nicht näher eingegangen wird. Die Einwilligung des Betroffenen kann als Erlaubnistatbestand für eine Verarbeitung fungieren.<ref>Vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. a DS-GVO (2016).</ref> Bei der Einholung einer Einwilligung ist besonders auf dessen Charakter zu achten. Es sollte für den Betroffenen unmissverständlich klar werden, dass er die Einwilligung jederzeit widerrufen kann.<ref>Vgl. Taeger (2019), Art. 6 Rn. 29.</ref> Zudem lassen sich auch bei einer Einwilligung die Transparenzanforderungen wiederfinden und stellen die Voraussetzung für eine wirksame sowie rechtmäßige Einwilligung dar.<ref>Vgl. Taeger (2019), Art. 6 Rn. 32.</ref> Die Rechtmäßigkeit einer Verarbeitung kann sich auch aus der Erfüllung, Abwicklung bzw. Beendigung eines Vertrags oder der Durchführung einer vorvertraglichen Maßnahme ergeben, wenn die Verarbeitung hierfür erforderlich ist.<ref>Vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. b DS-GVO (2016).</ref> Das Stichwort hier ist das Kriterium der Erforderlichkeit, welches immer in Verbindung zum Zweck steht. Kann der Zweck eines Vertrags ohne die betrachtete Verarbeitung nur unter Hinnahme eines wirtschaftlichen Nachteils erreicht werden, ist die Verarbeitung als erforderlich zu betrachten.<ref>Vgl. Taeger (2019), Art. 6 Rn. 49.</ref> In manchen Situationen kann sich die Rechtmäßigkeit einer Verarbeitung auch aus einer rechtlichen Verpflichtung ergeben.<ref>Vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. c DS-GVO (2016).</ref> Eine solche rechtliche Verpflichtung ergibt sich aus dem Unionsrecht oder dem Recht eines Mitgliedstaats, dem der Verantwortliche unterliegt.<ref>Vgl. Art. 6 Abs. 3 DS-GVO (2016).</ref> Ein gängiges Beispiel für eine solche rechtliche Verpflichtung für einen Verantwortlichen geht aus §14 Umsatzsteuergesetz hervor. Dieser Paragraph verpflichtet den Verantwortlichen zur Aufbewahrung von Rechnungen für zehn Jahre. Diese Aufbewahrung stellt eine Verarbeitung dar, da die Rechnungen personenbezogene Daten (z. B. Adresse und Namen) enthalten. Der letzte Erlaubnistatbestand, den der Verordnungsgeber in Artikel 6 definiert hat, ist das berechtigte Interesse des Verantwortlichen. Bei diesem Erlaubnistatbestand gilt es die Interessen des Betroffenen gegenüber denen des Verantwortlichen abzuwägen, um festzustellen, ob das berechtigte Interesse des Verantwortlichen überwiegt und somit als Erlaubnistatbestand herangezogen werden kann.<ref>Vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. f DS-GVO (2016).</ref> Eine derartige Interessenabwägung muss im Einzelfall für jede Verarbeitung erfolgen, die auf das berechtigte Interesse gestützt werden soll.<ref>Vgl. Kremer (2019), § 2 Rn. 38.</ref> Im Rahmen dieser Abwägung werden die Interessen des Verantwortlichen, welche sowohl ideeller als auch wirtschaftlicher Natur sein dürfen,<ref>Vgl. Kremer (2019), § 2 Rn. 39.</ref> den schutzwürdigen Interessen des Betroffenen, also dessen Erwartungen und Grundrechten sowie Grundfreiheiten gegenübergestellt.<ref>Vgl. ErwG. 47 Satz 1 DS-GVO (2016).</ref> Eine Interessenabwägung fällt dann zugunsten des Verantwortlichen aus, wenn die Interessen beider Parteien zumindest als gleichwertig eingestuft worden sind.<ref>Vgl. Kremer (2019), § 2 Rn. 40.</ref> '''Auftragsverarbeitungen'''<br> Bei der Auftragsverarbeitung handelt es sich um eine Art der Verarbeitung zwischen dem Verantwortlichen und ein oder mehreren Auftragsverarbeitern.<ref>Vgl. Art. 28 Abs. 1 DS-GVO (2016).</ref> Für die Reglementierung einer solchen Verarbeitung sieht der Verordnungsgeber ein Rechtsinstrument vor, bei welchem es sich in der Regel um einen Vertrag - Auftragsverarbeitungsvertrag - handelt. Dieser Vertrag legt unter anderem auch die Abgrenzung der Verantwortlichkeiten und Befugnisse fest, so wird unter anderem definiert, dass der Auftragsverarbeiter die übermittelten personenbezogenen Daten ausschließlich gemäß der Weisungen des Verantwortlichen verarbeiten darf.<ref>Vgl. Art. 28 Abs. 3 DS-GVO (2016).</ref> Ein gängiges Beispiel für eine Auftragsverarbeitung ist die Wartung von Informationstechnik. Beauftragt ein Unternehmen (hier: Verantwortlicher) einen IT-Dienstleister (hier: Auftragsverarbeiter) mit der Bereitstellung und Wartung eines IT-Systems, so erhält der Auftragsverarbeiter beispielsweise beim Einspielen von Updates rein theoretisch die Möglichkeit auf den Zugriff der personenbezogenen Daten des Verantwortlichen. Diese auch wenn nur theoretische vorliegende Möglichkeit des Zugriffs ist ausreichend, um diese Art der Verarbeitung als Auftragsverarbeitung zu klassifizieren.<ref>Vgl. Seiter (2019), S. 130.</ref> '''Drittlandübermittlung'''<br> Bei einer Drittlandübermittlung geht es um die Übermittlung personenbezogener Daten von einer Stelle (z. B. ein Unternehmen) mit Sitz innerhalb der Europäischen Union (kurz: EU) bzw. dem Europäischen Wirtschaftsraum (kurz: EWR) an eine andere Stelle außerhalb der EU bzw. dem EWR.<ref>Vgl. Schulte und Schmale (2021), S. 47.</ref> Liegt eine Drittlandübermittlung vor, so müssen sowohl vom Verantwortlichen als auch vom Auftragsverarbeiter entsprechende Anforderungen eingehalten werden, damit diese Art der Verarbeitung zulässig ist.<ref>Vgl. Art. 44 Satz 1 DS-GVO (2016).</ref> Einerseits muss die Verarbeitung die grundsätzlichen Rechtsanforderungen wie das Vorliegen eines Erlaubnistatbestands (z. B. eine Einwilligung) erfüllen und andererseits muss für die Übermittlung in ein Drittland sichergestellt werden, dass das Schutzniveau der DS-GVO auch in dem Drittland gewahrt wird. <ref>Vgl. Schulte und Schmale (2021), S. 48.</ref> Für die Wahrung des Schutznievaus gibt es verschiedene Optionen. Zum einen kann für das Drittland ein Angemessenheitsbeschluss der EU-Komission vorliegen, welcher festlegt, dass das Schutznievau in dem Land angemessen ist.<ref>Vgl. Art. 45 Satz 1 DS-GVO (2016).</ref> Falls dieser Angemessenheitsbeschluss nicht vorliegt, können geeignete Garantien für die Drittlandübermittlung bestimmt werden. In der Praxis handelt es sich hierbei in der Regel entweder um sogenannte Standardvertragsklauseln oder verbindliche interne Datenschutzvorschriften.<ref>Vgl. Schulte und Schmale (2021), S. 48.</ref> Für den Fall, dass weder ein Angemessenheitsbeschluss vorliegt noch geeignete Garantien bestimmt werden können, ist eine Übermittlung unter entsprechenden Bedingungen, wie beispielsweise nach Erhalt einer ausdrücklichen Einwilligung des Betroffenen, zulässig und möglich.<ref>Vgl. Art. 49 Abs. 1 lit. a DS-GVO (2016).</ref> '''Das Telekommunikation-Telemedien-Datenschutz-Gesetz'''<br> Zur Beseitigung von Rechtsunsicherheiten, die seit Geltungsbeginn der DS-GVO in Bezug zu dem Telekommunikations- und dem Telemediengesetz bestehen, wurde das Telekommunikation-Telemedien-Datenschutz-Gesetz (kurz: TTDSG) verabschiedet.<ref>Vgl. Schnebbe (2021), S. 404.</ref> In Zusammenhang mit dieser Arbeit sind insbesondere die Paragraphen 25 und 26 des TTDSG von Bedeutung, die als bislang fehlende Umsetzung des Art. 5 Abs. 3 ePrivacy-Richtlinie verstanden werden können.<ref>Vgl. Schwartmann und Benedikt (2021), S. 811.</ref> Der Aufgriff des Paragraphen 26 erfolgt auf Grund der thematischen Zuordnung in Kapitel 4.1. Im Folgenden wird jedoch kurz auf den Paragraphen 25 eingegangen. Entsprechend dieses Paragraphen sind die Speicherung von Daten auf einem Endgerät wie beispielsweise einem Smartphone sowie der Zugriff auf diese Daten nur erlaubt, wenn der Endnutzer seine Einwilligung im Sinne der DS-GVO hierfür erteilt hat.<ref>Vgl. § 25 Abs. 1 TTDSG.</ref> Ausgenommen hiervon sind Speicherungen und Zugriffe, die ausschließlich für die Zustellung einer Nachricht oder die Bereistellung eines Telemediendienstes dienen und hierfür zwingend erforderlich sind.<ref>Vgl. § 25 Abs. 2 TTDSG.</ref> = Digitales Marketing und Cookies = == Digitales Marketing == Bevor im weiteren Verlauf auf digitales Marketing eingegangen wird, soll zunächst ein kurzer Einblick in den Begriff Marketing allgemein gegeben werden. Hierunter versteht sich die marktorientierte Auslegung des gesamten Unternehmens. Dafür muss das Unternehmen die Kundenbedürfnisse in den Mittelpunkt stellen und Markt- sowie Bedürfnisänderungen rechtzeitig erkennen und auf diese reagieren, um sich so gegenüber Wettbewerbern Vorteile sichern zu können.<ref>Vgl. Kirchgeorg (2018).</ref> Gemäß Griese und Bröring handelt es sich bei Marketing um den Austauschprozess zwischen Anbietern und Nachfragern. In diesem Sinne existieren fünf Orientierungspunkte, die jeweils im Fokus des Marketings stehen können. Diese definieren sie als Wertorientierung, hier steht die Feststellung, inwieweit der Markt einen Wert für die Konsumenten bildet. Daneben kann die Unternehmensorientierung im Schwerpunkt in der Auslegung des Marketings liegen. Dabei wird vom Unternehmen analysiert, wie die vorhandenen Ressourcen und Qualifikationen den Markt befriedigen und an welchen Stellen im Unternehmen an Ressourcen und Qualifikationen gearbeitet bzw. verbessert werden muss. Eine weitere Perspektive stellt die Kundenorientierung dar. Unter dieser wird die Orientierung des Marketings und des gesamten Unternehmens, samt ihrer Prozesse an den Bedürfnissen, Interessen und Wünschen der Nachfrager verstanden. Dieser Punkt steht im starken Kontext zur Wertorientierung, denn der Wert des Marktes für Kunden impliziert die nutzbringende Leistung des Unternehmens. Des Weiteren kann die Wettbewerbsorientierung im Mittelpunkt stehen. Hier bildet der Vergleich des Unternehmens zu den Wettbewerbern die Grundlage für die Marktauslegung des Unternehmens. Den letzten Orientierungspunkt bildet die Stakeholderorientierung bei welcher der Schwerpunkt bei den Einflussfaktoren liegt, die das Unternehmen direkt oder indirekt beeinflussen, wie z. B. Verbrauchsverbände oder Politiker.<ref>Vgl. Griese (2011), S.6ff.</ref> Griese und Bröring beschreiben außerdem, dass sich die weiteren Eigenschaften des Marketings an der Definition der American Marketing Association (AMA) orientieren. Diese lautet „Marketing is the activity, set of institutions, and processes for creating, communicating, delivering, and exchanging offerings that have value for customers, clients, partners, and society at large. (Approved October 2007)“.<ref>Vgl. Griese (2011), S.9.</ref> Marketing ist damit ein Instrument bzw. Prozess des Unternehmens zur Kommunikation, Erstellung und Verbreitung von nützlichen Angeboten an Nachfrager, Konsumenten, Partner und der Gesellschaft als Ganzes. <ref>Vgl. Griese (2011), S.9f.</ref> Durch die Digitalisierung hat sich eben dieser Marketingprozess bzw. -gedanke ebenfalls gewandelt und hat neue Formen angenommen. Darunter wie bspw. schon beschrieben durch soziale Medien. In diesem Zusammenhang impliziert digitales Marketing jegliche Marketingaktivitäten, die digital bzw. mithilfe elektronischer Geräte, meist über das Internet, durchgeführt werden.<ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> Online Marketing ist dabei eine Unterart des digitalen Marketings, dieses bezieht sich rein auf das Marketing im Internet. Während beim digitalen Marketing auch z. B. digitale Werbetafeln unter diese Kategorie fallen.<ref>Vgl. Digitalmarketing: Definition und Maßnahmen. (2021).</ref> Einen Großteil ihrer Zeit verbringen die Nutzer mittlerweile online. Daher ist es nur schlüssig, dass sich der vorher erläuterte Austausch zwischen Anbietern und Nachfragern auf diese Ebene ausweitet, um sie auch dort anzutreffen, wo sie ihre Zeit verbringen.<ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> Das digitale Marketing muss dabei alle Kontaktpunkte zwischen diesen umfassen. Alle drei Phasen der Customer Journey bzw. der Kundenerfahrung (Pre-Purchase, Purchase, Post-Purchase) müssen entsprechend erfasst und angesprochen werden.<ref>Vgl. Zimmermann (2020), S. 5ff.</ref> Dabei gibt es verschiedene Methoden und Materialien, die für diesen Zweck genutzt werden können. Neben sozialen Medien sind dies z. B. E-Mails, eigene oder auch fremde Webseiten und Online-Suchmaschinen.<ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> Auf diese Methoden und Materialien soll im Folgenden kurz eingegangen werden. '''Inbound- vs. Outbound-Marketing''' Zunächst kann an dieser Stelle zwischen Inbound- und Outbound-Marketing differenziert werden. Beim Inbound-Marketing werden relevante und nützliche Inhalte verwendet, um den Nutzer zu begeistern und diesen auf diesem Wege anzuziehen und mit ihm weiter zu interagieren und ihn so zur Geschäftsabwicklung zu bringen. Dahingegen stellt das Outbound-Marketing eine Methode dar, um von einer möglichst hohen Anzahl an Personen gesehen zu werden, ungeachtet von ihrer Relevanz oder ob dies gewünscht ist.<ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> '''Suchmaschinenoptimierung (kurz: SEO)''' Eine Methode ist SEO. Online-Suchmaschinen wie Google, Bing und Yahoo sind wichtiger Bestandteil des Internets und der Konsumenten. Durch Optimierung der eigenen Webseite mit dem Ziel in solchen Suchmaschinen einen höheren Rang zu erhalten und damit eine höhere Besucher- bzw. Aufruferanzahl zu generieren.<ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> Ansätze um dies zu erreichen, werden von den Anbietern teilweise selbst gestellt (siehe [https://developers.google.com/search/docs/beginner/seo-starter-guide?hl=de Google: SEO Guide]). Darunter fallen bspw. die Nutzung von Keywords oder das Verfassen von Beschreibungen für jede einzelne Seite. '''Content-Marketing''' Durch Content-Marketing sollen ebenfalls die Aufruferanzahl und die Bekanntheit der Marke gesteigert und damit eine Steigerung der Kundenanzahl erzielt werden. Hierzu werden für eine bestimmte Zielgruppe relevante Inhalte entwickelt und eingesetzt. Dies können bspw. nützliche Tutorials oder Ratgeber sein.<ref>Vgl. Definition: Content Marketing (o.J.).</ref><ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> '''Social-Media-Marketing ''' Eine weitere Methode stellt das bereits vorgestellte Social-Media-Marketing dar. Soziale Medien wie Instagram, Facebook und TikTok werden von den Unternehmen genutzt, um mehr Bekanntheit und mehr Aufrufe zu erlangen. <ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> '''Partner-Marketing''' Beim Partner-Marketing wirbt ein Dritter für ein Produkt oder eine Dienstleistung eines Unternehmens und erhält je nach erzielter Leistung eine Vergütung. Diese Form findet sich ebenfalls im Social-Media-Marketing wieder und spiegelt die Abrechnungsmethode der nachfolgend beschriebenen Pay-per-Click Methode wieder. <ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> '''Pay-per-Click (kurz: PPC)''' PPC ist eine Abrechnungsmethode für bezahlte Online-Anzeigen. Hier wird von Dritten nicht die Bereitstellung von digitaler Werbung auf ihren Webseiten abgerechnet, sondern die Reaktion auf eine solche Anzeige durch den Besucher. Google bietet mit Google AdWords eine solche Methode an. <ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> '''Native Advertising''' Die Methode des Native Advertisings charakterisiert Anzeigen bzw. Werbung, die nicht direkt als solche zu identifizieren ist. Das sind z. B. angepasste und interessant dargestellte Inhalte in Nachrichtenseiten oder sozialen Netzwerken, die der Unterhaltung dienen.<ref>Vgl. Definition: Native Advertising (o.J.).</ref> '''Marketing-Automatisierung''' Auch im Marketingbereich werden mittels Automatisierungssoftware wiederkehrende Prozesse und Aufgaben automatisiert. Dies nennt sich Marketing-Automatisierung und beinhaltet zum Beispiel E-Mails, Beiträge in sozialen Medien oder auch sonstige Aktionen. '''E-Mail-Marketing''' Das E-Mail-Marketing ist zeitgleich eine weitere Methode, die gezielte Kontaktaufnahme mit Konsumenten mit bspw. Rabatten, anderen Aktionen oder verschiedenen Neuigkeiten zu realisieren. '''Online-PR''' Mittels Online-PR, welches klassische PR auf digitaler Ebene um Online-Aktivitäten ergänzt, die das eigene Unternehmen nutzt, wird versucht, dass Unternehmensimage in den digitalen Medien, Blogs etc. zu fördern und auszuweiten. '''Werkzeuge''' In diesen verschiedenen und teilweise zusammenhängenden bzw. sich ähnelnden Methoden bedienen sich die Anbieter verschiedener Materialien bzw. Werkzeuge. Das sind Branding-Materialien wie Logos und eine ansprechende Schriftart, interaktive Tools, Grafiken und E-Books, Beiträge in Blogs oder den sozialen Medien, ihre eigene Webseite oder Online-Broschüren. <ref>Vgl. Stoll (2021).</ref> '''Digital vs. Analog''' Die Unterschiede zwischen dem analogen Marketing und dem digitalen Marketing liegen in der höheren Transparenz für die Konsumenten im digitalen Bereich. Digitales Marketing eröffnet die Möglichkeit, an Unternehmensaktivitäten teilzunehmen und sofortigen Kontakt aufnehmen zu können. Zusammenfassen lassen sich die Nutzungsunterschiede des Internets für das digitale Marketing ebenfalls in drei Kategorien. Zum einen zur Selbstdarstellung und Meinungsäußerung, daneben als Such- und Entscheidungshilfe und als Informationsquelle.<ref>Vgl. Bergemann (2019), S. 302, 312.</ref> '''Cookies und Digital Marketing''' Die zuvor vorgestellten Methoden, zielen oft ein interessenbasiertes und relevantes Interagieren mit den Konsumenten ab. Damit dies möglich ist, muss das Unternehmen wissen, wofür sich der Kunde interessiert und wo die individuellen Bedürfnisse des Kunden liegen. Ein Mittel hierfür sind z. B. Cookies. Auf die genaue Funktionsweise und die verschiedenen Arten von Cookies wird im weiteren Verlauf dieser Ausarbeitung eingegangen. An dieser Stelle sollen Cookies als Werkzeug des digitalen Marketings betrachtet werden. Cookies dienen den Unternehmen als Tracking-Werkzeug zur systematischen Sammlung von Nutzerdaten und damit der Erstellung von Nutzerprofilen.<ref>Vgl. Faber (2019), S.22.</ref> Das gesammelte Verhalten der Nutzer im Internet wird anschließend ausgewertet. Durch dies wird Aufschluss über die Bewegungen der Nutzer auf jeweiligen Webseiten gegeben. Dadurch werden den Betreibern Informationen wie der Standort, die Aufenthaltszeit auf einer Webseite und Aktionen der Besucher, wie das Klicken auf einen anderen Link oder die Anmeldung für Newsletter, bekannt. Aus diesen Informationen lässt sich schließen, wo die Interessen und die Aufmerksamkeit des Besuchers liegt.<ref>Vgl. Tracking (o.J.).</ref> Diese gesammelten Informationen befinden sich im Webbrowser des Besuchers und ermöglichen den Unternehmen das gezielte und für den Besucher relevante digitale Marketing. Dies lässt sich im Internet häufig und auf verschiedener Weise in den bereits vorgestellten Methoden wiederfinden. Die Unternehmen blenden bspw. bereits ehemals angesehene Produkte oder auch Produkte, die damit in direkter Verbindung stehen, ein. Werbeanzeigen, die dem Nutzer angezeigt werden, die eine Dienstleistung oder ein Produkt enthalten, nach dem vor kurzem in einer Online-Suchmaschine wie Google gesucht wurde, sind eine weitere gängige Einsatzmöglichkeit für Cookies. Auch das Übersenden von E-Mails mit Produktwerbung, basierend auf der vom Besucher ermittelten IP-Adresse, ist möglich. Die Sammlung und Erstellung der Nutzerdaten und -aktivitäten dient den Betreibern als Möglichkeit neue Potenziale zu erkennen und diese gezielt anzugehen.<ref>Vgl. The digital marketing guide to web cookies (2016).</ref> Dabei spielen auch die Cookies in sozialen Medien wie Instagram eine wichtige Rolle. Aus diesen Cookies gehen genauere Interessen hervor, durch z. B. Beiträge die geliked und gespeichert werden oder Beiträge, die mit anderen (Freunde und Familie) geteilt werden.<ref>Vgl. Holl (2018).</ref> == Cookies und rechtliche Anforderungen == Im Rahmen dieses Kapitels wird vertiefend auf Cookies, die verschiedenen Funktionen dieser und die damit verbunden rechtlichen Anforderungen eingegangen. Ein Cookie ist eine auf einem Endgerät lokal gespeicherte Datei einer Webseite, in welcher Informationen über das Verhalten des Webseitenbesuchers gespeichert werden können. Dies ermöglicht es Webseitenbetreibenden, Inhalte und Informationen für die jeweiligen Besucher zwischen zu speichern.<ref>Vgl. Lackes et al. (2018).</ref> Anwendung finden Cookies dabei auf Webseiten unter anderem zur Speicherung von Formulardaten und Suchbegriffen, aber auch vermehrt zur Erstellung von umfangreichen Nutzungs- bzw. Nutzerprofilen.<ref>Vgl. Bundesamt für Sicherheit in der Informationstechnik.</ref> Daraus lässt sich schließen, dass Cookies auf Webseiten zu verschiedenen Zwecken bzw. Absichten eingesetzt werden. Diese Zwecke sind ausschlaggebend dafür, inwieweit die rechtlichen Anforderungen an den Webseitenbetreibenden hinsichtlich der Nutzung von Cookies divergieren. Für die Einteilung der Cookies in verschiedene Kategorien wird sich nicht nur an den Zwecken, sondern ebenfalls an den in Kapitel 2 definierten Erlaubnistatbeständen für die Verarbeitung personenbezogener Daten orientiert. '''Technisch-notwendige Cookies''' Unter technisch-notwendigen Cookies werden Cookies verstanden, welche für die Bereitstellung der notwendigen Funktionen einer Webseite verwendet werden. Diese Cookies werden meist direkt vom Webseitenbetreibenden eingebunden und somit als sogenannte First-Party-Cookies bezeichnet.<ref>Vgl. Lindner (2021).</ref> Als Beispiele können hier Cookies genannt werden, welche eindeutige Identifikationsnummern (hier: Session-IDs) speichern, damit der Besucher sich in einem definierten Zeitintervall nicht erneut anmelden muss. Für technisch-notwendige Cookies ist der Zweck somit klar definiert. Sie dienen zur Bereitstellung der Webseite bzw. einer grundlegend notwendigen Funktion dieser. Als Erlaubnistatbestand gemäß der DS-GVO fungiert hierbei das berechtigte Interesse des Webseitenbetreibenden.<ref>Vgl. Art. 6 Abs. 1 lit. f DS-GVO (2016).</ref> '''Optionale Cookies''' Optionale Cookies können auf einer Webseite zu vielerlei Zwecken eingesetzt werden, weshalb diese Kategorie im weiteren Verlauf dieser Arbeit zusammengefasst betrachtet wird. Allgemein finden sich in dieser Kategorie oft sogenannte Third-Party-Cookies wieder, welche von extern eingebundenen Diensten auf der Webseite des Betreibenden eingebunden werden.<ref>Vgl. Lindner (2021).</ref> Hierbei werden die in den Cookies gespeicherten Daten somit an die Anbieter der externen Dienste übermittelt. Ein gängiges Beispiel hierfür sind diverse Google-Dienste wie Google Analytics. Werden Third-Party-Cookies von Anbietern außerhalb des EWR bereitgestellt bzw. verarbeitet, handelt es sich gemäß der DS-GVO um eine Übermittlung personenbezogener Daten in ein Drittland.<ref>Vgl. Art 44 Abs. 1 DS-GVO (2016).</ref> Wie bereits in Kapitel 2 thematisiert, offenbart die Übermittlung personenbezogener Daten in ein Drittland weiterreichende Anforderungen an den Webseitenbetreibenden, um die personenbezogenen Daten der Nutzer zu schützen. Eine Unterscheidung von technisch-notwendigen und optionalen Cookies aus datenschutzrechtlicher Sicht resultiert hierbei somit aus zweierlei Faktoren: Zum einen verfolgen optionale Cookies einen Zweck, der nicht zwangsweise notwendig für die Funktion der Webseite des Betreibenden ist. Beispiele hierfür sind Auswertungen des Nutzerverhaltens oder das Anzeigen von personalisierter Werbung sowie die Personalisierung der Inhalte der Webseite (z. B. Zoom-Einstellungen, Sprachen, etc.). Zum anderen wurde durch ein Urteil des Europäischen Gerichtshofes (kurz: EuGH) im Jahre 2019 entschieden, dass eine aktive Einwilligung für die Nutzung von optionalen Cookies durch die Webseitenbesuchenden notwendig ist.<ref>Vgl. Europäischer Gerichtshof (2019).</ref> Dieses Urteil des EuGHs wurde nun durch den §25 TTDSG bestärkt und dort gesetzlich verankert.<ref>Vgl. §25 Abs. 1 TTDSG.</ref> Es ist dabei ebenfalls zu beachten, dass eine Einwilligung stets freiwillig ist und jederzeit durch den Einwilligenden ohne Angabe von spezifischen Gründen widerrufen werden kann.<ref>Vgl. Art. 7 Abs. 3 DS-GVO (2016).</ref> Sowohl bei technisch-notwendigen als auch optionalen Cookies können personenbezogene Daten erhoben werden, welches zur Folge hat, dass der Verantwortliche (hier: Webseitenbetreibender) den Betroffenen über diese Erhebung zu informieren hat. So muss der Webseitenbetreibende beispielsweise die Zwecke und Erlaubnistatbestände der Verarbeitung, die Empfänger der personenbezogenen Daten und ggf. über eine Übermittlung in ein Drittland informieren.<ref>Vgl. Art. 13 Abs. 1 DS-GVO (2016).</ref> Ein weiterer, wichtiger Aspekt bei der Kategorisierung von Cookies ist, dass die Einteilung von spezifischen Cookies und die damit verbundene Bestimmung des Erlaubnistatbestandes gemäß der DS-GVO und des Zweckes den Webseitenbetreibenden obliegt. Zusammenfassend resultieren somit folgende Pflichten für Webseitenbetreibende beim Einsatz von Cookies: Der Webseitenbetreibende ist in der Pflicht, eingesetzte Cookies selbst zu kategorisieren und muss die Betroffenen im Sinne der Transparenz über die obenstehenden Absichten der Verarbeitung (z. B. Zweck, Erlaubnistatbestand, etc.) informieren. Für optionale Cookies ist darüber hinaus eine aktive Einwilligung der Nutzer einzuholen, bevor eine Verarbeitung ihrer personenbezogenen Daten stattfinden darf. Der Nutzer muss ebenfalls die Option haben, seine Einwilligung nachträglich zu widerrufen. Darüber hinaus muss geprüft werden, ob eine Übermittlung der personenbezogenen Daten in ein Drittland vorliegt. Sollte dies der Fall sein, müssen dementsprechend in Form von Einzelfallentscheidungen Maßnahmen getroffen werden, um die personenbezogenen Daten zu schützen. Im Rahmen des nächsten Kapitels werden die oben beschriebenen Pflichten aufgegriffen und Optionen für eine rechtskonforme Lösung aufgezeigt. = Cookies im Kontext des Datenschutzrechtes = == Möglichkeiten zur rechtskonformen Umsetzung == In diesem Kapitel wird vertieft darauf eingegangen, wie die rechtlichen Anforderungen an Cookies in der Praxis gehandhabt werden können und welche Möglichkeiten es hierfür zukünftig geben könnte. In Kapitel 3.2 wurden bereits Cookies selbst sowie die rechtlichen Anforderungen, die es bei dem Einsatz von Cookies zu beachten gilt, näher erläutert. Somit gibt es verschiedene Arten von Cookies, die entweder auf Grundlage eines berechtigten Interesses des Verantwortlichen, weil sie für den reinen technischen Betrieb der Webseite erforderlich sind, gesetzt werden dürfen oder Cookies, die eine Einwilligung erfordern, weil sie anderen Zwecken (z. B. Tracking) dienen. '''Cookie Banner und Consent-Management-Tools/Consent-Layer''' In der Vergangenheit, vor der DS-GVO, waren Cookie-Banner auf Webseiten stark verteten. Diese Banner dienten jedoch in der Regel lediglich dazu, den Besucher der Webseite über den Einsatz von Cookies zu informieren. Eine rechtskonforme Einwilligung wurde hier jedoch grundsätzlich nicht eingeholt.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 1.</ref> Seit Geltungsbeginn der DS-GVO lässt sich auf viele Webseiten hingegen ein sogenannter Consent-Layer wiederfinden, also eine Art Fenster, welches den Besucher der Webseite zum einen über den Einsatz von Cookies informiert, um Transparenz zu schaffen und andererseits ihm die Möglichkeit offeriert, seine Zustimmung für den Einsatz von Cookies zu verwalten.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 1.</ref> Die Implementierung dieser Consent Layer erfolgt vermehrt über Consent-Management-Tools, die von Unternehmen vermarktet werden.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 1.</ref> Die simple Implementierung eines solchen Tools genügt jedoch in der Regel nicht, um den rechtlichen Anforderungen gerecht zu werden. Hierfür sind häufig Konfigurationen an dem entsprechenden Tool vorzunehmen.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 1.</ref> Die Anforderungen für diese Konfigurationen ergeben sich grundsätzlich aus dem Artikel 4 Nr. 11 DS-GVO, in welchem die Begriffsbestimmung für eine Einwilligung und zugleich auch ihre geforderten Eigenschaften definiert werden.<ref>Vgl. Art. 4 Nr. 11 DS-GVO (2016).</ref> Im weiteren Verlauf dieses Kapitels wird näher auf diese geforderten Eigenschaften eingegangen und beschrieben was diese Eigenschaften für die Konfiguration eines Consent-Management-Tools in der Praxis bedeuten. '''Anforderungen an die Konfiguration eines Consent-Management-Tools''' Zum einen ist der Zeitpunkt, zu dem die Einwilligung eingeholt wird relevant. Somit sollte dies in jedem Fall vor dem Setzen der Cookies erfolgen. Dafür ist es erforderlich, dass der Consent-Layer direkt beim erstmaligen Aufruf einer Webseite geladen wird und die Setzung von Cookies, die eine Einwilligung erfordern, bis zu dessen vorliegen, unterbunden wird.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 2.</ref> Der Inhalt einer Einwilligungserklärung ist ebenfalls von Bedeutung, um dem Anspruch nach Transparenz zu genügen. Demnach sind Angaben wie die Identität des Verantwortlichen, die Verarbeitungszwecke, die zu verarbeitenden personenbezogenen Daten, das Recht auf Widerruf der Einwilligung, ggf. Informationen hinsichtlich einer automatisierten Entscheidungsfindung und Informationen zu möglichen Drittlandübermittlungen sowie damit einhergehenden Risiken und dafür getroffene Vorkehrungen erforderlich, um dem Wortlaut des Verordnungsgebers "in informierter Weise" zu genügen.<ref>Vgl. Der Europäische Datenschutzausschuss (2020), S. 17-18.</ref> Der Verordnungsgeber fordert zudem, dass die Einholung der Einwilligung über eine eindeutig bestätigende Handlung erfolgt. Dies kann z. B. mit einer Checkbox oder auch mit Hilfe eines Buttons realisiert werden.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 3-4.</ref> Es ist jedoch wichtig, dass die Informationen für die Einwilligung grundsätzlich bereits auf der ersten Ebene des Consent-Layers einsehbar sind und der Besucher nicht zunächst ein weiteres Fenster öffnen muss, um diese Informationen zu erhalten.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 4.</ref> Hinzu kommt, dass von sogenanntem Nudging abgesehen werden sollte. Hierbei handelt es sich um die Manipulation des Besuchers hinsichtlich seiner Entscheidung bei der Bekundung seiner Einwilligung durch beispielsweise farbliche Hervorhebung des Buttons, mit dem er seine Einwilligung abgibt. Eine andere Form des Nudgings, die ebenfalls vermieden werden sollte, ist das Fehlen eines Buttons auf der ersten Ebene des Consent-Layers, über den der Besucher direkt alle Cookies, die eine Einwilligung erfordern, ablehnen kann.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 5-6.</ref> Des Weiteren ist das Kriterium der Freiwilligkeit zu beachten. Somit darf der Zugang zu einer Webseite nicht von einer Einwilligung in die Setzung von Cookies abhängig sein.<ref>Vgl. Der Europäische Datenschutzausschuss (2020), S. 13.</ref> Hinzu kommt, dass die Granularität der Einwilligung gewahrt werden sollte. Hierunter ist zu verstehen, dass der Besucher für jeden Verarbeitungsvorgang einzeln einwilligen können muss, damit die Einwilligung als freiwillig gelten kann.<ref>Vgl. Der Europäische Datenschutzausschuss (2020), S. 14.</ref> Werden beispielsweise ein Karten-Dienst wie Google Maps und ein Tracking-Dienst wie LinkedIn Conversion Tracking verwendet, so muss der Besucher der Webseite seine Einwilligung für beide, einen von beiden oder gar keinen Dienst abgeben können. Eine Einwilligung die nur für beide Dienste zusammen möglich ist, würde dem Anspruch der Granularität und somit auch der Freiwilligkeit nicht genügen. Die DS-GVO sieht vor, dass eine gegebene Einwilligung jederzeit ohne die Angabe von Gründen widerrufen werden kann.<ref>Art. 7 Abs. 3 DS-GVO (2016).</ref> Damit dies auch auf einer Webseite, die ein Consent-Management-Tool einsetzt, umgesetzt werden kann, sollte der Besucher der Webseite nach der Abgabe der Einwilligung oder auch der Ablehnung die Möglichkeit haben, seine Entscheidung zu ändern. Hierfür empfiehlt sich im Footer oder Header der Webseite einen Button einzubinden, über den der Besucher den Consent-Layer wieder öffnen und seine Einwilligung verwalten kann.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 8.</ref> Eine Verarbeitung personenbezogener Daten von Kindern sollte mit besonderer Obacht begegnet werden, da hier davon auszugehen ist, dass diesen mögliche Risiken und Folgen einer Verarbeitung weniger bewusst sind.<ref>Vgl. ErwG. 36 Satz 1 DS-GVO (2016).</ref> Daher solle auf Webseiten, die sich an Kinder richtgen grundsätzlich auf Cookies verzichtet werden, die einer Einwilligung bedürfen.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 8.</ref> Andernfalls wird bei Kindern unter 16 Jahren eine Einwilligung des Elternteils benötigt. Hier ist es jedoch nicht ausreichend, wenn die Person vor dem Besuch der Webseite lediglich bestätigen muss, dass sie älter als 16 Jahre ist. Viel mehr sollte ein Verfahren zur Online-Identitätsprüfung herangezogen werden, um die Identität des Besuchers und somit dessen Alter und ggf. dessen Familienzugehörigkeit zu bestimmen.<ref>Vgl. Handreichung: Datenschutzkonforme Einwilligungen auf Webseite - Anforderungen an Consent Layer (2020), S. 9.</ref> '''Ausblick: Zukünftige Lösung für das Einwilligungsmanagement''' Mit dem TTDSG kam die Anforderung nach einer neuen einheitlichen Lösung für das Einwilligungsmanagement im Internet auf. Für die Verwaltung und das Management des Einwilligungsprozesses sieht der Gesetzgeber somit anerkannte Dienste, sogenannte Personal Information Management-Systeme (kurz: PIMS) vor, die es den Nutzern ermöglichen, selbstständig Ihre Einwilligung für Zugriffe und Speicherungen zu verwalten. Eine Einwilligung oder Ablehnung, die über einen solchen anerkannten Dienst abgegeben wird, ist dann für alle Telemedienanbieter (z. B. den Anbieter eines Webbrowsers) zwingend zu berücksichtigen.<ref>Vgl. Schwartmann und Benedikt (2021), S. 813.</ref> Die weitere Gestaltung der Anforderungen an einen anerkannten Dienst ist jedoch zu diesem Zeitpunkt noch offen und wird durch eine zukünftige Rechtsverordnung erfolgen.<ref>Vgl. Schwartmann und Benedikt (2021), S. 815.</ref> == Alternative Lösungen zu Cookies == Wie bereits zuvor beschrieben, ergeben sich aus den einschlägigen Gesetzgebungen umfangreiche Anforderungen für Anbieter, welche insbesondere Third-Party-Cookies einsetzen. Darüber hinaus hat Google bekannt gegeben, bis 2023 keine Third-Party-Cookies in Google Chrome mehr zu akzeptieren.<ref>Vgl. Weiß (2021).</ref> Allgemein zeigen aktuelle Erhebungen aus dem Jahr 2021 der Marketingabteilung von AT&T Xandr in Kooperation mit der IAB Europe, dass ca. 60% der Befragten angeben, besorgt hinsichtlich der Verarbeitung personenbezogener Daten durch Unternehmen zu sein. Des Weiteren zeigt besagte Erhebung ebenfalls, dass zurzeit 80% der Werbetranskationen in Form von Third-Party-Cookies realisiert werden.<ref>Vgl. Lewanczik (2021).</ref> Aus diesem Grund werden im Rahmen dieses Kapitels Alternativen zu dem Einsatz von Cookies (hier: insbesondere Third-Party-Cookies) diskutiert. '''Entfernen von Third-Party-Cookies''' Eine offensichtliche Option für Webseitenbetreibende ist es, die Nutzung von Third-Party-Cookies zu unterlassen. Hierbei würde für die Betreibenden ebenfalls Aufwand hinsichtlich der Einhaltung datenschutzrechtlicher Pflichten entfallen. Jedoch ist diese Lösung oftmals nicht praktikabel, da eine Finanzierung mittels Werbung oder Weiterverkauf von Tracking-Daten für viele Webseiten essentiell ist. '''Contextual Marketing''' Eine Alternative zu Third-Party-Cookies ist der Einsatz von Contextual Marketing. Als Contextual Marketing wird das Anzeigen von Werbeanzeigen auf einer Webseite, basierend auf dem redaktionellen Kontext und Schlagwörtern verstanden.<ref>Vgl. onlinemarketing praxis.</ref> Hierbei möchten, gemäß der Erhebung von Xandr und der IAB Europe, die Unternehmen vor Allem auf Contextual Targeting bzw. Marketing setzen. Sie wollen nicht nur Schlagwörter, sondern ebenfalls Aspekte wie Wetter, Viewability und geographische Position miteinbeziehen.<ref>Vgl. Lewanczik (2021).</ref> Beim Einsatz dieser Methode bleiben die Nutzer anonym, was aus datenschutzrechtlicher Sicht zu begrüßen ist. Jedoch sei dazu gesagt, dass es sich hierbei um ein auf Kategorien basierendes Verfahren handelt, wodurch jedoch Aussagen zur Genauigkeit im Vorfeld schwer zu treffen sind.<ref>Vgl. Lewanczik (2021).</ref> '''First-Party-Daten''' Eine weitere Alternative zu Third-Party-Cookies stellen sogenannte First-Party-Daten dar. Hierbei erheben Unternehmen selbstständig, mit der freiwilligen Einwilligung der Besucher, Daten, um darauf basierend Informationen wie Kaufabsichten und Interessen abzuleiten.<ref>Vgl. Stingl (2021).</ref> Gemäß der Erhebung von Xandr sehen ca. 60% der Befragten die Umstellung auf First-Party-Daten als zukünftige Alternative zu Third-Party-Cookies.<ref>Vgl. Lewanczik (2021).</ref> '''Digitale Fingerprints / Browser-Fingerprints''' Bei den sogenannten Browser-Fingerprints werden beim Aufruf einer Webseite folgende Parameter miteinbezogen, um einen eindeutigen Fingerabdruck des Nutzers zu erzeugen: * IP-Adresse * Browser * Zeitzone * Schriftart * Betriebssystem * Auflösung<ref>Vgl. SEO AG.</ref> Anhand dieses digitalen Fingerprints haben Webseitenbetreibende dann die Möglichkeit, den Besucher zu erkennen.<ref>Vgl. SEO AG.</ref> Basierend auf dieser Option ist es dann für die Webseitenbetreibende machbar, weiterhin Tracking zu realisieren oder personalisierte Werbung anzuzeigen, ohne Cookies einzusetzen. Abseits der vorgestellten Methoden bestehen weitere Ansätze, um den Wegfall von Third-Party-Cookies zukünftig zu kompensieren. Hierzu zählen beispielsweise die Nutzung von ID-Lösungen oder branchenweiten ID-Lösungen.<ref>Vgl. Lewanczik (2021).</ref> Inwiefern die oben vorgestellten Methoden eine vergleichbare, datenschutzkonforme Alternative zu Third-Party-Cookies darstellen, kann zum jetzigen Zeitpunkt nicht abschließend definiert werden. Gegebenenfalls ist sogar eine Kombination aus mehreren Verfahren eine geeignete Vorgehensweise in der Praxis, um weiterhin auf die Nutzer spezifisch eingehen zu können. = Fazit und Ausblick = Im Rahmen dieser Ausarbeitung wurden Cookies, die einschlägigen datenschutzrechtlichen Gesetze und die damit verbundenen Vorgaben an die Nutzung von Cookies thematisiert. Des Weiteren wurde aufgezeigt, welche Anwendungsgebiete Cookies im Bereich des digitalen Marketings haben. Insgesamt zeigt die Ausarbeitung, dass der Einsatz von Cookies auf einer Webseite seit Inkrafttreten der DS-GVO und dem TTDSG mit weitreichenden Verpflichtungen und Aufgaben für Webseitenbetreibende einhergeht. So sind Webseitenbetreibende aller Branchen angehalten, sich selbstständig mit den datenschutzrechtlichen Themen auseinander zu setzen und die rechtlichen Vorgaben umzusetzen. Zudem sind Webseitenbetreibende bei Nutzung von optionalen Third-Party-Cookies in der Pflicht, den Besuchern ihrer Webseite die Möglichkeit zu eröffnen, in die Nutzung von optionalen Cookies einzuwilligen und diese Einwilligung jederzeit zu widerrufen. Hierfür wird in der Regel eine Consent-Management-Lösung benötigt, bei dessen Konfiguration die zuvor beschriebenen rechtlichen Anforderungen zu berücksichtigen sind. Darüber hinaus wurde deutlich, dass Cookies oder alternative Technologien heut zu Tage aus dem digitalen Handel bzw. der Online-Präsenz von Unternehmen kaum mehr wegzudenken sind. Sie werden für diverse technisch-notwendige Funktionen einer Webseite benötigt, aber darüber hinaus noch viel mehr für Aspekte wie Tracking, Personalisierung und Werbezwecke genutzt. Auch basieren einige Finanzierungsmodelle von Unternehmen bzw. deren Webseiten auf solchen personalisierten Werbemaßnahmen. Für die Zukunft lässt die Ausarbeitung darauf schließen, dass die Verwaltung von Einwilligungen für Cookies (insb. optionalen Third-Party-Cookies) bedingt durch die jüngsten rechtlichen Veränderungen durch das TTDSG nicht mehr über gängige Consent-Management-Lösungen, sondern vielmehr über Personal-Information-Management-Systems erfolgen wird, welche eine eine zentrale Einwilligungsmöglichkeit für Nutzer offerieren sollen. Auch das vorantreiben von alternativen Lösungen zu Cookies und das damit verbundene Ende des Supports von Third-Party-Cookies in Browsern zeigt, dass neben den rechtlichen Vorgaben auch Veränderungsimpulse von großen Unternehmen wie Google die zukünftige Nutzung bzw. das Finden neuer Alternativen beeinflussen. Abschließend lässt sich somit sagen, dass die Nutzung bzw. die Einsatzzwecke von Cookies im Bereich des digitalen Marketings zukünftig bedingt durch die rechtlichen Vorgaben und die entwickelten Alternativen einen Wandel erfahren werden. Wie effektiv die vorgestellten Alternativlösungen zu Cookies funktionieren, wird sich erst mit wachsendem Einsatz dieser zeigen. = Nachweise und Anmerkungen = <references/> = Literaturverzeichnis = Arning, M. A., Rothkegel, T. (2019) Art. 4 Begriffsbestimmungen, in: Taeger, J., Gabel, D. (Hrsg.), DSGVO – BDSG Kommentar, 3 Aufl., Deutscher Fachverlag: Frankfurt am Main, S. 88-201. Behrens, J. (2020). 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Springer Fachmedien Wiesbaden. hn1pb80tkp68uwgv1dchcm4ktn45id3 106 153505 1105410 1064306 2026-06-24T20:44:00Z Paul Sutermeister 37610 1105410 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ergänze die Wörter: '''Aufgaben''', '''Effizienz''', '''Entscheidungen''', '''Erfolg''', '''Fehler''', '''Kommunikation''', '''Missverständnisse''', '''Normen''', '''Produkte''', '''reduziert''', '''Wirtschaft'''. | type="{}" } Klare { Kommunikation } ist in der { Wirtschaft } wichtig, weil sie die { Effizienz } steigert und { Missverständnisse } reduziert. Wenn klar kommuniziert wird, passieren weniger { Fehler } und Kosten werden { reduziert }. Kunden kaufen verständlich präsentierte { Produkte } und Dienstleistungen. Mitarbeitende sind motiviert und produktiv, wenn sie klare { Aufgaben } haben. { Normen } werden eingehalten, wenn sie verständlich sind. Verständliche Information führt zu raschen und besseren { Entscheidungen }. Klare Kommunikation ist ein Schlüssel zum { Erfolg }. { Ordne zu: | typ="[]" } | Nomen | Verb | Aktiv | Passiv +--- Anmeldung -+-- anmelden --+- ich melde an ---+ ich werde angemeldet { Welche der beiden Fragen werden durch die sechs Sätze beantwortet: | typ="[]" } | Wer meldet an? | Wer wird angemeldet? +- Ich melde an. -+ Ich werde angemeldet. ++ Ich melde mich an. ++ Ich werde durch mich angemeldet. ++ Sie meldet ihn an. ++ Er wird durch sie angemeldet. { Ordne zu: | typ="[]" } | Aktiv | Passiv +- Ich melde an. -+ Ich werde angemeldet. +- Ich melde mich an. -+ Ich werde durch mich angemeldet. +- Sie meldet ihn an. -+ Er wird durch sie angemeldet. { ''Weniger ist mehr'', wenn } + wenig Wörter viel Information enthalten - viel Wörter wenig Information enthalten + mit wenig Bytes viel Fragen beantwortet werden - mit viel Bytes wenig Fragen beantwortet werden + in kurzer Zeit viele Aufgaben erledigt werden - in langer Zeit wenig Aufgaben erledigt werden + mit wenig Kalorienverbrauch viel geleistet wird - mit viel Kalorienverbrauch wenig geleistet wird { Ersetze die [[wiktionary:de:Verzeichnis:Deutsch/Wortbildungen/-ung|Nomen, die auf '''-ung''' enden]], durch Verben: | type="{}" } Ich sende eine Anmeldung → Ich { melde } mich an Du reichst eine Bestellung ein → Du { bestellst } Sie macht eine Codierung → Sie { codiert } Er nimmt eine Datierung vor → Er { datiert } Wir versenden eine Einladung → Wir { laden } ein Ihr macht eine Führung → Ihr { führt } Sie erteilen die Genehmigung → Sie { genehmigen } Die Firma macht die Herstellung → Die Firma { stellt } her Sie führt die Isolierung durch → Sie { isoliert } { Es wird von den Mitarbeitenden erwartet = } + Die Mitarbeitenden erwarten + Man erwartet von den Mitarbeitenden { Die Maschine wird von Mitarbeitenden bedient. = } + Mitarbeitende bedienen die Maschine. + Die Maschine bedienen Mitarbeitende. + Von Mitarbeitenden wird die Maschine bedient. + Bedient wird die Maschine von Mitarbeitenden. { Was kommt in den Sätzen vor? | typ="[]" } | Modalverb | Konjunktiv | Passiv --- Ich helfe Ihnen +-- Ich will Ihnen helfen +-- Ich kann Ihnen helfen { Füge obige drei Sätze ein: | type="{}" } { Ich helfe Ihnen } morgen beim Aufbau. { Ich will Ihnen helfen }, kann aber nicht. { Ich kann Ihnen helfen }, will aber nicht. { Was kommt in den Sätzen vor? | typ="[]" } | Modalverb | Konjunktiv | Passiv --- Ich helfe Ihnen -+- Ich würde Ihnen helfen ++- Ich möchte Ihnen helfen { Füge obige drei Sätze ein: | type="{}" } { Ich helfe Ihnen } morgen beim Aufbau. { Ich würde Ihnen helfen }, will aber nicht. { Ich möchte Ihnen helfen }, kann aber nicht. { Was kommt in den Sätzen vor? | typ="[]" } | Modalverb | Konjunktiv | Passiv --- Ich helfe Ihnen --+ Ihnen wird geholfen +-+ Ihnen kann geholfen werden +++ Ihnen könnte geholfen werden { Füge obige vier Sätze ein: | type="{}" } { Ich helfe Ihnen } morgen beim Aufbau. { Ihnen wird geholfen }, vielleicht. { Ihnen kann geholfen werden }, vielleicht. { Ihnen könnte geholfen werden }, vielleicht. { Was kommt in den Sätzen vor? | typ="[]" } | Modalverb | Konjunktiv | Passiv --- Bitte entschuldigen Sie ++- Ich möchte mich entschuldigen -+- Ich würde mich entschuldigen { Füge obige drei Sätze ein: | type="{}" } { Bitte entschuldigen Sie } die Verspätung. { Ich möchte mich entschuldigen }, darf aber nicht. { Ich würde mich entschuldigen }, will aber nicht. { Was kommt in den Sätzen vor? | typ="[]" } | Modalverb | Konjunktiv | Passiv --- Sie sind eingeladen ++- Ich möchte Sie einladen -+- Ich würde Sie einladen --+ Sie werden eingeladen -+- Sie wären eingeladen { Füge obige vier Sätze ein: | type="{}" } { Sie sind eingeladen } zum Apéro. { Ich möchte Sie einladen }, darf aber nicht. { Ich würde Sie einladen }, will aber nicht. { Sie werden eingeladen } von mir. { Sie wären eingeladen }, sind es aber nicht. { Was kommt in den Sätzen vor? | typ="[]" } | Modalverb | Konjunktiv | Passiv --- Bitte antworten Sie ++- Könnten Sie bitte antworten -+- Würden Sie bitte antworten { Füge obige drei Sätze ein: | type="{}" } { Bitte antworten Sie } bis morgen. { Könnten Sie bitte antworten }, falls Sie Zeit und Lust dazu haben? { Würden Sie bitte antworten }, falls Sie Zeit und Lust dazu haben? { Welche Prompts lassen AI-Chatbots verständlichere Texte generieren? } - bitte alles im Konjunktiv + bitte kein Konjunktiv - bitte pro Satz mindestens drei Kommas + bitte pro Satz maximal zwei Kommas + bitte pro Satz maximal einen Nebensatz - bitte pro Satz mindestens zwei Nebensätze { Welche Prompts lassen AI-Chatbots kompliziertere Texte generieren? } + bitte alles im Konjunktiv - bitte kein Konjunktiv + bitte pro Satz mindestens drei Kommas - bitte pro Satz maximal zwei Kommas - bitte pro Satz maximal einen Nebensatz + bitte pro Satz mindestens zwei Nebensätze { Welche Prompts lassen AI-Chatbots verständlichere Texte generieren? } - bitte Modalverben in jedem Satz + bitte keine Modalverben + bitte pro Satz maximal ein Modalverb - bitte pro Satz mindestens ein Modalverb - bitte alles im Passiv + bitte kein Passiv { Welche Prompts lassen AI-Chatbots weniger verständliche Texte generieren? } + bitte Modalverben in jedem Satz - bitte keine Modalverben - bitte pro Satz maximal ein Modalverb + bitte pro Satz mindestens ein Modalverb + bitte alles im Passiv - bitte kein Passiv </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] jt1ks5f1hm7pj6norses0swhbk5uivq 106 167013 1105409 1093939 2026-06-24T20:42:16Z Paul Sutermeister 37610 +[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]] 1105409 wikitext text/x-wiki Das Programm des Kurses '''Communication Skills''' (Dozent: [[Benutzer:Paul Sutermeister|Paul Sutermeister]]) zur Erlangung des [[Kurs:Handelsdiplom|Handelsdiploms]] des [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verbandes Schweizerischer Handelsschulen]] (VSH) basiert auf den Leistungszielen des VSH<ref>[https://www.vsh.swiss/assets/Downloads/Reglemente/VSH-Business/VSH-Reglement-HD-kZu-Kauffrau-Kaufmann-2025_rev_Brand_V1.pdf ''Reglement Handelsdiplom VSH Business Kaufmännische Zusatzausbildung.''] [[:w:Verband Schweizerischer Handelsschulen|Verband Schweizerischer Handelsschulen]], 2025, Seite 18</ref> <small>(kleine Änderungen vorbehalten)</small>: {| class="wikitable" ! Datum ! Kursinhalt ! Lehrmittel |- | 14.02.2026 || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortart|Wortarten]]''', [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Wortschatz|Wortschatz]][[Datei:Duden_25Auflage.JPG|frameless|50px]] || Amoroso et al. (2010), Seiten 30-32<ref>Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010.</ref></br>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Duden|Duden]] |- | 21.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Rechtschreibung|Rechtschreibung]]''' || Amoroso et al. (2010), Seiten 93-110 |- | 28.02. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzglied|Satzglieder]]''' || Seiten 10-14 |- | 07.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzbau|Satzbau]]''' || Seiten 15-16 |- | 14.03. || '''[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Satzzeichen|Satzzeichen]]''' || |- | 21.03. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Rechtschreibung und Satzzeichen || |- | 28.03. || <span style="color:red;">'''Zwischenklausur'''</span>: <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:</br>Fünf gleichgewichtete Themen: 1) Wortarten/Wortschatz, 2) Rechtschreibung, 3) Satzglieder, 4) Satzbau, 5) Satzzeichen.</small> || |- | 04.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Feedback|Feedback]] || |- | 25.04. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stil|Stil]] || |- | 02.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Problem|Problem]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Erörterung|Erörterung]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Stellungnahme|Stellungnahme]] || Seiten 81-84 (Stellungnahme); Seiten 85-88 (Erörterung) |- | 09.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Modus|Modus]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Indirekte Rede|Indirekte Rede]] || Seiten 66-69 |- | 16.05. || Indirekte Rede → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Protokoll|Protokoll]] || Seiten 66-69 |- | 23.05. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Geschäftsbrief|Geschäftsbrief]] → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Angebot|Angebot]] || Seiten 51-52 |- | 30.05. || Alte Diplomprüfung als Repetition für Textproduktion || |- | 06.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''Zwischenklausur</span>:''' <small>Papier/Stift/Duden (traditionell), 45 Minuten:<br/>1. Aufgabe '''INDIREKTE REDE''': Lückentext und ev. Multiple-Choice-Fragen.</br><!--2. Thema '''STELLUNGNAHME''': Sie erhalten zur Auswahl fünf Themen und müssen in 90 bis 110 Wörtern zu einem dieser Themen strukturiert Stellung nehmen.<br/>-->2. Aufgabe '''GESCHÄFTSBRIEF:''' Sie bieten in 90 bis 110 Wörtern ein Produkt oder eine Dienstleistung an. Fünf Themen stehen zur Auswahl. Bewertungskriterien gleich wie bei ''Textproduktion'' der Modulprüfung: zwischen 90 und 110 Wörtern, Inhalt: 13 Punkte, Sprache: 7 Punkte.</small> || |- | 13.06. || '''Gesuch'''; <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verb|Verb]]</small> → [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Anleitung|Anleitung]] || Seiten 70-73 |- | 20.06. || [[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeit|Verständlichkeit]], <small>[[Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)/Verständlichkeitsmodell|Verständlichkeitsmodell]]</small>; Textproduktion und Feedback (alte Diplomprüfungen) || |- | 27.06. || colspan="2" | <span style="color:red;">'''MODULPRÜFUNG'''</span> |} = Lehrmittel = * Amoroso G., Graf A., Wegmann I., Bornand J.: ''Grundkompetenzen Deutsch: Theorie, Beispiele und Checklisten.'' Zürich: [[:w:Compendio Bildungsmedien|Compendio]], 2010. <!--= Vorbereitung Zwischenklausur vom 24.11. = == Aufgabe 1: Indirekte Rede (20 Minuten) == 20 Single-Choice-Fragen. 🏋️ '''Üben Sie hier die [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Indirekte_Rede#Übungen|indirekte Rede]]''' == Aufgabe 2: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Stellungnahme#Peer-Feedback-Checkliste|Stellungnahme]] (20 Minuten) == '''Provokative Aussage:''' ''„In der Schweiz sollte die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden.“'' '''Auftrag:''' Nehmen Sie strukturiert Stellung zu dieser Aussage. Gehen Sie dabei auf folgende Punkte ein: * mögliche Vorteile * mögliche Nachteile * eigene Schlussfolgerung Wortzahl: 90–110 (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Soll in der Schweiz die Vier-Tage-Woche ohne Lohnkürzung eingeführt werden? Ich arbeite als Malerin in einer mittelgrossen Firma. Im Folgenden erkläre ich, warum diese Vier-Tage-Woche aus meiner Sicht sinnvoll ist.<br/>In meiner Arbeit gäbe es weniger Stress, unter meinen Kollegen gäbe es tiefere Krankheitsquote und höhere Motivation. Arbeitgeber werden allerdings nicht damit einverstanden sein, weil sie meinen, Lohn für ungeleistete Arbeit zu zahlen. Und nicht alle Branchen können die gleiche Produktivität in weniger Zeit aufrechterhalten, und kleinere Firmen hätten Mühe, Personalengpässe auszugleichen. Entscheidend wäre eine flexible Umsetzung, die branchenspezifische Unterschiede berücksichtigt.<br/>Insgesamt überwiegen für mich als Arbeitnehmerin die Vorteile, wenn die Einführung gut geplant und mit klaren Zielen verbunden ist. }} === Themenvorschläge === Für den Teil Stellungnahme wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann eine Stellungnahme von 90 bis 110 Wörtern zu einem der ausgewählten fünf Themen schreiben. '''Arbeitswelt & Digitalisierung:''' # Sollten Bewerbungen komplett anonymisiert werden? # Ist das Homeoffice langfristig schädlich für die Teamkultur? # Sollten KI-Tools in Prüfungen erlaubt sein? # Braucht es eine Vier-Tage-Woche bei gleichem Lohn? # Sind unbezahlte Praktika ein notwendiges Übel? '''Gesellschaft & Zusammenleben:''' # Sollten Städte SUVs in Innenstädten verbieten? # Muss man Fleisch deutlich höher besteuern? # Sollte Rauchen auf öffentlichen Plätzen komplett verboten werden? # Sollten Social-Media-Accounts erst ab 16 erlaubt sein? # Ist Kinderkriegen in Zeiten der Klimakrise verantwortungslos? '''Wirtschaft & Konsum:''' # Sollten Fast-Fashion-Unternehmen strengere gesetzliche Auflagen bekommen? # Muss Onlinehandel höhere Umweltsteuern zahlen? # Sind Luxusmarken moralisch problematisch? # Sollten Lebensmittel, die noch gut sind, verschenkt werden müssen? '''Migration & Integration:''' # Sollten Einbürgerungsverfahren erleichtert werden? # Sollte die Schweiz mehr Geflüchtete aufnehmen? # Sollten Integrationskurse verpflichtend sein? '''Lebensstil & Werte:''' # Sollte jeder Mensch mindestens ein Jahr verpflichtenden Sozialdienst leisten? # Sollte man Haustiere nur mit einem “Tierführerschein” halten dürfen? # Ist Minimalismus nur ein Trend oder eine notwendige Lebensweise? '''Bildung & Beruf:''' # Sollten Schulen Smartphones komplett verbieten? (klassisch, aber immer wirksam) # Braucht es weniger Schulnoten und mehr Kompetenzen? # Sollten Lehrpersonen besser bezahlt werden? # Sind Hochschulabschlüsse überschätzt? == Aufgabe 3: [[Benutzer:Paul_Sutermeister/Angebot#Peer-Feedback-Checkliste|Angebot]] (20 Minuten) == '''Situation:''' Eine lokale Firma plant ein Firmen-Event mit rund 70 Personen und benötigt kurzfristig Unterstützung. '''Auftrag:''' Verfassen Sie ein Angebot zu einer der folgenden Dienstleistungen: * professionelles Catering * Event-Fotografie * technische Betreuung (Ton/Licht/Präsentation) Ihr Angebot soll enthalten: * kurze Vorstellung der Dienstleistung * wichtigste Leistungen * Preis oder Preisspanne * Bedingungen (z. B. Reservierung, Lieferzeit, Kontakt) Wortzahl: 90–110 ohne Anrede/Grussformel (zu viel/zu wenig gibt Abzug). Bewertung: Inhalt 13 Punkte, Sprache 7 Punkte. {{:SCLO/ Vorlage: Klappbox | Titel= '''Musterlösung Stellungnahme''' | Inhalt= Sehr geehrte Damen und Herren<br/>Gerne unterbreiten wir Ihnen unser Angebot für das Catering Ihres geplanten Firmen-Events mit rund 70 Teilnehmenden.<br/>Wir bieten ein hochwertiges Buffet mit warmen und kalten Speisen, vegetarischen Optionen sowie alkoholfreien Getränken. Zusätzlich übernehmen wir den Auf- und Abbau sowie die vollständige Betreuung während des Anlasses.<br/>Der Preis beträgt CHF 42.– pro Person, inklusive Material, Service und Transport im Raum Nordwestschweiz.<br/>Bei einer verbindlichen Reservation bis zehn Tage vor dem Event gewähren wir einen Rabatt von fünf Prozent.<br/>Für Rückfragen oder individuelle Anpassungen stehen wir Ihnen jederzeit gerne zur Verfügung.<br/>Freundliche Grüsse }} === Themenvorschläge === Für den Teil Angebot wählen wir fünf der folgenden zwanzig Themen per Zufallsgenerator aus. Sie müssen dann ein Angebot von 90 bis 110 Wörtern zu einem der fünf ausgewählten Themen schreiben. Beispiele für Waren- oder Dienstleistungsangebote (Prüfungsteil 2 - Angebot schreiben): '''Warenangebote (Produkte):''' # Bürobedarf: Sie bieten einem Start-up ein Paket aus Drucker, Papier, Ordnern, Toner an. # IT-Ausrüstung: Ein Kunde sucht 12 Laptops für sein Team, inkl. Garantie und Zubehör. # Gastronomiebedarf: Ein Restaurant möchte neue Kaffeemaschinen und Barista-Zubehör kaufen. # Gesundheitsprodukte: Ein Fitnessstudio benötigt Massagegeräte, Matten und Desinfektionsmittel. # Transport & Logistik: Ein Unternehmen braucht robuste Verpackungsmaterialien für Exporte. # Möbel: Eine Praxis möchte ergonomische Stühle und höhenverstellbare Tische. # Lebensmittel / Catering-Ware: Ein Eventunternehmen sucht Snacks, Getränke und Kühlboxen. # Reinigungsprodukte: Eine Schule benötigt Reinigungsmittel, Staubsauger, Bodenpflegemaschinen. # Verkaufsware: Ein kleiner Laden möchte regionale Produkte (Tee, Honig, Snacks). # Werkzeuge: Eine Bauunternehmung möchte Akkuschrauber, Helme, Schutzmaterial. '''Dienstleistungsangebote:''' # IT-Support / Cloud-Service: Sie bieten Wartung, Datensicherung und Helpdesk für ein KMU. # Eventorganisation: Sie organisieren ein Firmenjubiläum inkl. Catering, Technik und Deko. # Sprachkurse: Sie bieten einem Unternehmen interne Deutsch- oder Englischkurse an. # Reinigungsservice: Sie machen einem Bürohaus ein Angebot für tägliche Unterhaltsreinigung. # Marketing / Social Media: Sie erstellen und betreuen die Social-Media-Kanäle eines Start-ups. # Coaching / Weiterbildung: Sie bieten Verkaufsschulungen für das Verkaufsteam einer Firma an. # Gebäudetechnik / Handwerk: Sie offerieren Installation und Wartung einer neuen Alarmanlage. # Transportservice: Sie bieten wöchentliche Lieferungen für einen Blumenladen an. # Grafik- & Designservice: Sie gestalten Logo, Visitenkarten und Corporate Design für Neukunden. # Beratungsdienstleistung: Sie beraten ein KMU zur Optimierung interner Prozesse.--> == Einzelnachweise == <references/> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)| ]] l1e5h9i69btg8ang1i1n2j8q95oegr7 106 168181 1105419 1081260 2026-06-24T21:21:21Z Paul Sutermeister 37610 1105419 wikitext text/x-wiki Der Kurs Künstliche Intelligenz umfasst insgesamt 12 Lektionen: * 4 Lektionen Vorbereitung asynchron * 4 Lektionen Präsenzunterricht synchron vor Ort in Aarau (online möglich) am 29. Juni bzw. am 2. Juli. * 4 Lektionen Nachbereitung asynchron mit abschliessender Rückmeldung durch die Lehrperson. = Begriffe = * [[:w:Maschinelles Lernen|Training]] '''→''' [[:w:Künstliche_Intelligenz#Methoden|Bias]] * [[:w:Halluzination (Künstliche Intelligenz)|Halluzination]] <!--Weil der Kurs mit Arbeitszeiten der Teilnehmenden zusammenfällt, können die Kursinhalte asynchron, das heisst: nicht präsentiell, gelernt werden. Es gibt keinen Test, das Fach ist nicht diplomrelevant. Aber bei Nichtabsolvieren gibt es kein Minerva-Zertifikat "Künstliche Intelligenz". Angeraten wird der Besuch präsenziell am gesamten Kurstag (6 Lektionen). Bei Abwesenheit müssen online gegebene Aufträge erfüllt werden. {| class="wikitable" ! Kurstag ! Lektion à 45 Minuten ! Kursinhalt |- | 29. Juni | 1 | Grundlagen |- | 29. Juni | 2 | Datenqualität |- | 29. Juni | 3 | Prompten |- | 29. Juni | 4 | Kommunikation |- | 29. Juni | 5 | Kreativität |- | 29. Juni | 6 | Visuelles |- | Asynchron | 7 | Marketing |- | Asynchron | 8 | Automatisieren |- | Asynchron | 9 | Kundendienst |- | Asynchron | 10 | Buchhaltung |- | Asynchron | 11 | [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] |- | Asynchron | 12 | Zusammenfassung |} = Grundlagen = === Was ist Künstliche Intelligenz – und warum ist sie relevant im Business? === * Grundverständnis von KI * Chancen, Herausforderungen und Grenzen * Überblick über Text-KI, Bild-KI, Daten-KI und Sprach-KI '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden beurteilen Chancen und Grenzen von KI im beruflichen Alltag. '''Mini-Praxis:''' Plenumsdiskussion: Wo sehen die Teilnehmenden Potenzial für KI im eigenen Arbeitsumfeld? === KI-Zeitalter – eine technologische Evolution === * Meilensteine der KI-Entwicklung: ** [[:w:Maschinelles Lernen|Maschinelles Lernen]] (ML) als Grundlage moderner KI ** [[:w:Large Language Model|Large Language Models]] (LLM) und [[:w:Retrieval Augmented Generation|Retrieval Augmented Generation]] (RAG) ** Narrative KI ** KI-Agenten und autonome Systeme (z. B. AutoGPT) ** Multimodale KI ** Optional: [[:w:Deep Learning|Deep Learning]] '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen zentrale Meilensteine der KI-Entwicklung. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Azure|Azure]], [[:w:Manus AI|Manus AI]], Teachable Machine '''Mini-Praxis:''' Training eines einfachen Modells (z. B. Bildklassifikation) oder Entwurf eines einfachen Lern-KI-Agenten. === Datenanalyse und Entscheidungsfindung mit KI === * Kundenfeedback analysieren * Daten als wirtschaftliche Ressource * Datenarten und Datenqualität * Aufbereitung von Rohdaten '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen die Bedeutung der Datenqualität („[[:w:Garbage In, Garbage Out|Garbage in – Garbage out]]“). '''Tools (Beispiele):''' [[:w:Google Sheets|Google Sheets]], [[:w:GPT for Sheets|GPT for Sheets]], [[:w:Looker Studio|Looker Studio]], [[:w:Microlink|Microlink]] '''Mini-Praxis:''' Analyse einer ungeordneten Liste von Kundenkommentaren mit dem Ziel, Hauptthemen oder Zufriedenheit sichtbar zu machen. === Sprachmodelle verstehen und effektiv nutzen === * Funktionsweise von Sprachmodellen * Einführung in Prompt Engineering * Rollenmodellierung und Fehleranalyse * Einführung in Vibe Coding '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden verstehen das Konzept des Promptings. '''Tools (Beispiele):''' [[:w:ChatGPT|ChatGPT]] (Free), [[:w:Google Gemini|Google Gemini]] (Free), [[:w:Perplexity.ai|Perplexity.ai]], [[:w:en:Replit|Replit Agent]] '''Mini-Praxis:''' Test von drei Prompts für Geschäftsanwendungen (z. B. E-Mail, Zusammenfassung, Meetingnotiz). = Kommunikation & Kreativität = === KI für Kommunikation und Texte === * Effizienzsteigerung bei E-Mails und interner Kommunikation * Textüberarbeitung und Feedback '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden können KI-Tools zur Textverbesserung einsetzen. '''Tools (Beispiele):''' ChatGPT, [[:w:Grammarly|Grammarly]], Notion AI, [[:w:Microsoft Copilot|Copilot]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Textvorschläge für Mails oder Berichte. === KI im Vertrieb und Marketing === * Zielgruppenanalyse und Personas * Content-Erstellung * Einführung in Custom GPTs '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Marketing und Vertrieb. '''Tools (Beispiele):''' Copy.ai, [[:w:Canva|Canva]] AI, ChatGPT, [[:w:Writesonic|Writesonic]], [[:w:Fliki|Fliki]], [[:w:UXPressia|UXPressia]] '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines Werbetexts oder einer Persona für ein Produkt. === Visuelle Inhalte mit KI gestalten === * Präsentationen und Social-Media-Grafiken * Lizenz- und Urheberrechtsfragen bei KI-Bildern '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Potenziale visueller KI-Anwendungen. '''Tools (Beispiele):''' Canva AI, Microsoft Designer, [[:w:DALL-E|DALL-E]] (Azure), Craiyon, SlidesAI, Runway ML '''Mini-Praxis:''' Gestaltung eines Posters zu einem Zukunftsthema mit KI-Unterstützung (Hausaufgabe mit Abstimmung). = Geschäftsprozesse automatisieren = === KI im Wissens- und Projektmanagement === * Wissensstrukturierung * Zusammenfassungen * Einführung in Automatisierung '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-gestützte Projekt- und Wissensmanagement-Tools. '''Tools (Beispiele):''' Notion AI, ClickUp, Asana AI, [[:w:Trello|Trello]] mit Automatisierung, [[:w:Taskade|Taskade]] '''Mini-Praxis:''' Automatisierte Projektübersicht oder Aufgabenplan erstellen. === Automatisieren von Aufgaben mit KI === * Automatisierung wiederkehrender Aufgaben '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Automatisierungspotenziale. '''Tools (Beispiele):''' Zapier, Make.com, Power Automate, n8n, Airtable '''Mini-Praxis:''' Skizzierung eines einfachen Workflows (z. B. Anfrage → E-Mail → Tabelle). = Finanzen und Kundendienst = === KI für Buchhaltung & Finanzmanagement === * Belegerfassung * Reporting * Unterstützung bei Excel-Analysen '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen KI-Tools für Finanzprozesse. '''Tools (Beispiele):''' Expensify, GPT for Sheets, Lucanet, Zoho Invoice '''Mini-Praxis:''' Analyse einer Tabelle mit KI-Funktion. === KI-Chatbots im Kundendienst === * Einsatz von Chatbots im Kundenservice '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden kennen Einsatzbereiche von KI-Chatbots. '''Tools (Beispiele):''' Tidio, Chatbase, Landbot, Gemini '''Mini-Praxis:''' Erstellung eines einfachen Chatbots mit drei Fragen und Antworten. '''Zusatzaufgabe:''' Analyse von Schwächen des Chatbots und Recherche zur Akzeptanz von Roboterkommunikation. = HR & [[Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)/Ethik|Ethik]] = === KI im Personalbereich === * CV-Optimierung * Interviewunterstützung * Transkription '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden analysieren den Einfluss von KI im Recruiting. '''Tools (Beispiele):''' Jobscan, ChatGPT, Teal HQ, Fathom, Descript '''Mini-Praxis:''' Optimierung eines Anschreibens oder Zusammenfassung eines Bewerbungsgesprächs. === KI, Recht und Ethik === * Datenschutz (DSG, DSGVO) * Urheberrecht * Bias und Transparenz '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden erkennen Risiken im KI-Einsatz. '''Mini-Praxis:''' Analyse von Fallbeispielen (Bias, Deepfakes, KI-Fehlentscheidungen). = Zusammenfassung = === Mein persönlicher KI-Tool-Koffer === * Rückblick * Reflexion * Erfahrungsaustausch '''Praxisziel:''' Die Teilnehmenden reflektieren ihren Lernfortschritt. '''Mini-Praxis:''' „Show & Tell“: Vorstellung eines KI-Tools mit persönlichem Nutzen. <!--= Alternativprogramm 1= KI-Tools helfen im Geschäftsalltag bei der täglichen Arbeit. [[:w:Künstliche Intelligenz|Künstliche Intelligenz]] entwickelt sich sehr schnell. Damit der Unterricht aktuell bleibt, muss er flexibel sein. In den einzelnen Lektionen werden deshalb mehrere Tools erwähnt. Diese können später ersetzt oder ergänzt werden. Der Unterrichtsplan gibt eine grobe Struktur vor und kann angepasst werden. == Einstiegs-Übungen == In folgenden vier Aufgaben lernen die Lernenden Künstliche Intelligenz nicht theoretisch, sondern durch eigenes Ausprobieren kennen. Sie erleben, was Künstliche Intelligenz kann, wo sie hilft, wo sie scheitert – und warum menschliches Denken weiterhin zentral bleibt. Die Übungen zeigen insbesondere: * wie zuverlässig Künstliche Intelligenz ist * wie wichtig präzise Fragen (Prompts) sind * wie KI Bilder, Begriffe und Videos erzeugt * wo technische, rechtliche und inhaltliche Grenzen liegen ''Merksatz:'' ''Künstliche Intelligenz ist ein Werkzeug – kein Ersatz für Denken.'' === Übung 1: Zeichnen und von KI erkennen lassen === '''Auftrag:''' Die Lernenden zeichnen ein einfaches Objekt (z. B. einen Elefanten). Eine Künstliche Intelligenz versucht zu erkennen, was gezeichnet wurde. '''Ziel:''' * Verstehen, wie KI Begriffe lernt <small>(Tipp: [[:w:Arte|Arte]]-Reportage ''Madagaskar: Die kleinen Helfer der KI'', 5. September 2025.)</small> * Erkennen, dass KI Muster lernt, nicht Bedeutungen * Erleben, warum ungewöhnliche Darstellungen schwer erkannt werden '''Reflexionsfrage:''' ''KI sieht nicht die Welt – sie vergleicht Beispiele.'' → Hier geht’s zur Übung: [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] === Übung 2: Rätsel lösen mit Künstlicher Intelligenz === '''Auftrag:''' Die Lernenden erhalten eine Excel-Datei mit einem kniffligen Rätselquiz. Sie versuchen, die Rätsel mithilfe von Künstlicher Intelligenz zu lösen. '''Ziel:''' * Überprüfen, wie zuverlässig KI bei komplexen Aufgaben ist * Erkennen, wann KI hilft und wann nicht * Verstehen, wie wichtig klare und präzise Fragestellungen sind '''Reflexionsfrage:''' ''Kann Künstliche Intelligenz ein Rätsel wirklich verstehen – oder nur mögliche Lösungen erraten?'' → Hier geht es zum Rätsel: https://zenodo.org/records/14991428 === Übung 3: Prompten mit einer bekannten Figur (Globi) === '''Auftrag:''' Die Lernenden versuchen, mit Künstlicher Intelligenz die Schweizer Comicfigur ''Globi'' so zu beschreiben, dass sie mit dieser Figur beliebige Szenen, Situationen oder Umgebungen darstellen können. '''Wichtige Regel:''' Der Name ''Globi'' darf im Prompt wahrscheinlich nicht verwendet werden. Ansonsten geht die Übung auch mit anderen ''geschützten'' Figuren wie Barbie oder Spiderman oder mit realen lebenden Personen. Spannend ist, Grenzen (Grauzonen) des Promptens auszuloten. Wenn der Chatbot sich weigert, muss die Figur/Person ausschliesslich über Eigenschaften, Aussehen, Kleidung und Stil beschrieben werden. '''Ziel:''' * Präzises und differenziertes Prompten lernen * Verstehen, dass KI auf Beschreibungen reagiert, nicht auf Namen * Einsicht in die Funktionsweise von KI-Filtern und Schutzmechanismen '''Aufgabe:''' Erstelle ein möglichst globi-ähnliches Bild und vergleiche dein Ergebnis mit den Resultaten der anderen Lernenden. '''Reflexionsfrage:''' ''KI verbietet Namen – aber nicht Beschreibungen.'' Weiterführendes: Google „Globi“ und „Fake“. '''Wettbewerb mit Zertifikat am Ende''': Generieren Sie ein Fake mit einer (urheberrechtlich) "geschützten realen" Person/Figur. Teilen Sie danach Ihr generiertes Bild, das "so krass wie möglich" sein sollte. Danach entscheidet das Plenum, welches das beste Bild ist. Diese Person erhält danach ein (scheinbar) offizielles "Zertifikat für KI". Speichern Sie Ihr Bild auf folgendem Padlet zusammen mit Ihrem Lösungsweg (welche KI, welche Dateien und welche Prompts Sie verwendet haben) für maximale Nachvollziehbarkeit... === Übung 4: KI-Videogeneratoren vergleichen === '''Auftrag:''' Die Lernenden testen verschiedene frei zugängliche KI-Videogeneratoren, mit denen Videos per Text-Prompt erstellt werden können. Sie erstellen mit gleichen oder ähnlichen Prompts kurze Videos und vergleichen die Resultate. '''Ziel:''' * Unterschiede zwischen verschiedenen KI-Videogeneratoren erkennen * Qualität, Stabilität und Realismus vergleichen * Erfahrungen untereinander austauschen '''Diskussionsfrage:''' ''Welcher KI-Videogenerator liefert die besten Resultate – und warum?'' === Abschlussgedanke === Alle vier Übungen zeigen: * KI kann beeindrucken * KI kann täuschen * KI braucht klare menschliche Steuerung ''Ohne gutes Denken gibt es keine gute Künstliche Intelligenz.'' == Präsentationen zu Ethik und KI == [[Benutzer:Paul Sutermeister/Ethik der künstlichen Intelligenz|Sechs Themen werden zur Auswahl stehen.]] = Alternativprogramm 2= == Technisches („Einführung vor der Einführung“) == [[Datei:Gartner Hype Zyklus.svg|thumb]] [[Datei:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?.webm|thumb|File:SRF Wissen - Wie funktioniert ChatGPT-3.0?]] [[Datei:Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung.webm|thumb|Wie unterstützen KI-Tools bei der Ideenfindung?]] [[Künstliche Intelligenz]] (KI) basiert auf [[:w:Künstliches neuronales Netz|künstlichen neuronalen Netzen]]. Solche Netze können durch [[:w:Quick, Draw!|Quick, Draw!]] veranschaulicht werden. * [[:w:Large Language Model|Large Language Model]] * [[:w:Liste von Chatbots|Liste von Chatbots]] * [[:w:Kategorie:Künstliche Intelligenz|Kategorie:Künstliche Intelligenz]] * [[:commons:Category:Artificial intelligence|Medien zum Thema künstliche Intelligenz]] * [[:w:en:Algorithmic bias|Algorithmic bias]] == Themen == Du erstellst eine Präsentation, die jemand anderes halten wird. 3 Phasen: 1) PowerPoint-Erstellung 2) Vorbereitung mit zufällig zugeteilter Präsentation 3) Präsentation im Plenum → [[Benutzer:Paul Sutermeister/Präsentation|Bewertungskriterien für Präsentationen]] * Welches ist die beste künstliche Intelligenz und warum? * Welches ist die nützlichste KI und warum? * Ist [[:w:ELIZA|ELIZA]] die erste künstliche Intelligenz? Wenn ja: Warum? * Welche KI-Autos sind intelligenter: Die von [[:w:Waymo|Google]] oder die von Tesla? Warum? * Ist künstliche Intelligenz, global gesehen, für die Menschen gut oder eher schlecht? Warum? * Welches ist der spannendste [[:w:Humanoider Roboter|humanoide Roboter]] und warum? * Was ist das verrückteste, das man mit Smartphones machen kann, und warum? DeppGPT, Copilot, Alexa, Siri, [[:w:Suno AI|Suno AI]], AI Video generator, [[:w:Sora (Künstliche Intelligenz)|Sora]], Deepfakes… --> [[Kategorie:Kurs:Künstliche Intelligenz (Handelsdiplom)| ]] 2lx0g2xr5kd7r2dl9q2q6ccpr0ejt22 106 168636 1105444 1105226 2026-06-25T06:45:28Z Bocardodarapti 2041 1105444 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Vorlesungsgestaltung|26| {{Zwischenüberschrift|Färbungen}} {{:Graph/Färbungen/Einführung/Textabschnitt|}} {{ inputfaktbeweis |Graph/Maximalgrad/Chromatische Zahl/Fakt|Lemma|| }} {{Zwischenüberschrift|Das chromatische Polynom}} {{:Graph/Färbungen/Chromatisches Polynom/Textabschnitt|}} {{Fußnotenliste}} }} 7vdc1xmuxactnzum2rxj119r0sediow 106 169338 1105448 1074327 2026-06-25T06:55:59Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105448 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|32|Kurs=|}} 37q5vsmrtzpgx0aqjocowy15qdr9jqd 106 169339 1105446 1077102 2026-06-25T06:55:39Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105446 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|29|Kurs=|}} 0oaruo5ebrchus0wxbt8g7focknghv7 106 169460 1105430 1092816 2026-06-25T06:42:25Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105430 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|20|Kurs=|}} 35uch3qwenmbyfd715voz00s5lbypdd 106 169462 1105431 1093852 2026-06-25T06:42:35Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105431 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|21|Kurs=|}} f4th46lqqrfw0mte556nz008fwb7zsv 106 169464 1105429 1079719 2026-06-25T06:42:15Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105429 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|17|Kurs=|}} r2ez3h62sptn79ut3itrc4ao7nd1bt4 106 169465 1105426 1079716 2026-06-25T06:41:45Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105426 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|12|Kurs=|}} i33i991jdzdamnduy94xqpbiapc9euo 106 169466 1105427 1079717 2026-06-25T06:41:55Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105427 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|13|Kurs=|}} 70sajx7wyn3x479h5ygqfiw0rt06x08 106 169467 1105428 1079718 2026-06-25T06:42:05Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105428 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|14|Kurs=|}} 1ca03j5bczfdf4cwd0lijt8hejvbumd 106 169468 1105432 1093853 2026-06-25T06:42:45Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105432 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|23|Kurs=|}} 8jgzqt9t5rqyrj6ueypywjkcdexq7yf 106 169471 1105439 1079747 2026-06-25T06:43:55Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105439 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|21|11|Kurs=|}} 7nxanx5jq6mikybyg4p2ie8xfk9fx8e 106 169477 1105436 1072507 2026-06-25T06:43:25Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105436 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|26|19|Kurs=|}} f3f9f35pgm14pf3p432wbt9t79qmu4v 106 169499 1105440 1079748 2026-06-25T06:44:05Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105440 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|21|12|Kurs=|}} dzzne838te1ws5yfvehik549anj4uns 106 169501 1105434 1079724 2026-06-25T06:43:05Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105434 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|23|2|Kurs=|}} b8fvaitz11szv07d44et6dd1her7ajq 106 169506 1105441 1079758 2026-06-25T06:44:15Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105441 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|24|12|Kurs=|}} spaw5q2kmj6tcxzescy8epgktyz392l 106 169583 1105447 1074328 2026-06-25T06:55:49Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105447 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|9|30|Kurs=|}} 7lzpeb6r5sg5enpcttn86iqwzvclrzd 106 170056 1105395 1100722 2026-06-24T13:08:21Z Bocardodarapti 2041 1105395 wikitext text/x-wiki {{Deckblatt |Blatt1=21 |von1=16 |bis1=20 |Blatt2=22 |von2=16 |bis2=20 |}} [[Kategorie:Kurs:Diskrete Mathematik (Osnabrück 2026)/Hilfsstruktur]] fwl8dzt25xm8giz51crnf9d0g0dr18h 106 170343 1105399 1104523 2026-06-24T19:25:38Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 1 */ 1105399 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die während der Verkehrszählung erhobenen Daten werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Da die Messungen alle zwei Stunden durchgeführt werden, wird die Zeitachse nicht in Stunden, sondern in Viertelstunden dargestellt. Dadurch entspricht der Zeitpunkt 08:00 Uhr dem x-Wert 0. Da zwischen zwei Messungen acht Viertelstunden liegen, entspricht 10:00 Uhr dem x-Wert 8, 12:00 Uhr dem x-Wert 16 usw. Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch Strecken miteinander verbunden. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Diese Annahme stellt eine Vereinfachung der Realität dar, ermöglicht jedoch eine mathematische Modellierung der Daten. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(0|18), (8|11), (16|14), (24|12), (32|16), (40|13), (48|11)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(0|6), (8|2), (16|2), (24|3), (32|5), (40|4), (48|1)</math>. Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein Graph, der den Verlauf des Verkehrsaufkommens im Tagesverlauf beschreibt. Dieser Graph bildet die Grundlage für die anschließende Abschätzung der Fläche unter dem Graphen mithilfe von Trapezflächen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Trapeze Geogebra.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] === Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen === Die in GeoGebra dargestellten Messwerte werden durch Strecken miteinander verbunden. Für die weitere Modellierung wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Durch diese Annahme entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Messwerten. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ein Trapez mit der Breite 8 sowie den Höhen 18 und 11. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum: :<math> A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b </math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ===Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel=== Zur Abschätzung der gesamten Verkehrsbelastung wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 8, da zwischen zwei Messungen jeweils acht Viertelstunden liegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=8</math>. ====Berechnung für Verbrenner==== Die Verkehrsbelastung der Verbrenner wird mit <math>V</math> und die Belastung von E-Autos mit <math>E</math> abgekürzt. Zwischen den Punkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(8|11)</math> und <math>(16|14)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{11+14}{2}\cdot 8 = 100</math> Zwischen den Punkten <math>(16|14)</math> und <math>(24|12)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{14+12}{2}\cdot 8 = 104</math> Zwischen den Punkten <math>(24|12)</math> und <math>(32|16)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{12+16}{2}\cdot 8 = 112</math> Zwischen den Punkten <math>(32|16)</math> und <math>(40|13)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{16+13}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(40|13)</math> und <math>(48|11)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{13+11}{2}\cdot 8 = 96</math> Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math> V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i=116+100+104+112+116+96=644 </math> Die Fläche von 644 Flächeneinheiten beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Je größer die Fläche unter dem Graphen ist, desto höher ist die Verkehrsbelastung. Die Trapezflächen liefern dabei eine Näherung an die tatsächliche Verkehrsmenge zwischen den Messzeitpunkten. Für die E-Autos ergibt sich analog: <math>(0|6),(8|2),(16|2),(24|3),(32|5),(40|4),(48|1)</math> Die einzelnen Trapezflächen wurden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt: :<math> V_{\text{gesamt}}= 156 </math> Die gesamte Verkehrsbelastung der Elektroautos ergibt sich somit zu 156 Flächeneinheiten. Im Vergleich zu den Verbrennerfahrzeugen mit 644 Flächeneinheiten ist die Verkehrsbelastung der Elektroautos in diesem Beispiel deutlich geringer. Die Werte spiegeln dabei das während der Verkehrszählung beobachtete Verhältnis zwischen Verbrennern und Elektroautos wider. Damit ergibt sich: * Verbrenner: 644 Flächeneinheiten * E-Autos: 156 Flächeneinheiten * Gesamtverkehr: <math>644 + 156 = 800</math> also insgesamt :<math> A_{\text{gesamt}} = 800 </math> == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die ermittelte Verkehrsbelastung dient als Grundlage für ein einfaches Modell der Feinstaubbelastung. Dabei wird berücksichtigt, dass verschiedene Fahrzeugtypen unterschiedlich stark zur Schadstoffbelastung beitragen. Verbrennerfahrzeuge erzeugen neben Reifen- und Bremsabrieb zusätzliche Emissionen durch die Verbrennung von Kraftstoffen. Elektroautos verursachen ebenfalls Reifen- und Bremsabrieb, jedoch keine direkten Abgasemissionen. Um diesen Unterschied im Modell abzubilden, werden den Fahrzeugarten Gewichtungsfaktoren zugeordnet. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und diskutieren verschiedene Modelle. Beispielsweise könnten folgende Faktoren verwendet werden: {| class="wikitable" ! Modell !! Faktor Verbrenner !! Faktor E-Auto |- | Modell A || 1,0 || 0,2 |- | Modell B || 1,0 || 0,5 |- | Modell C || 1,0 || 0,8 |} Anschließend diskutiert die Lerngruppe, welches Modell die tatsächliche Belastung am besten beschreibt und begründet ihre Entscheidung mithilfe fachlicher Argumente anderen Fächern, Alltagswissen und Recherchen im Internet. Die Feinstaubbelastung kann anschließend durch :<math>L = a \cdot V + b \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Verkehrsbelastung der Verbrenner, * <math>E</math> die Verkehrsbelastung der Elektroautos, * <math>a</math> den Gewichtungsfaktor der Verbrenner und * <math>b</math> den Gewichtungsfaktor der Elektroautos. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und unterschiedliche Modellansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ihvx3ybryrqkx2bjq1dzrz9vzxzxf6x 1105400 1105399 2026-06-24T19:32:21Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 1 */ 1105400 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. So steht der Wert bei x=8 für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr, der Wert bei x=10 für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr usw. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8|72), (10|44), (12|56), (14|48), (16|64), (18|52), (20|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8|24), (10|8), (12|8), (14|12), (16|20), (18|16), (20|4)</math>. Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Trapeze Geogebra.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] === Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen === Die in GeoGebra dargestellten Messwerte werden durch Strecken miteinander verbunden. Für die weitere Modellierung wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Durch diese Annahme entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Messwerten. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ein Trapez mit der Breite 8 sowie den Höhen 18 und 11. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum: :<math> A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b </math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ===Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel=== Zur Abschätzung der gesamten Verkehrsbelastung wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 8, da zwischen zwei Messungen jeweils acht Viertelstunden liegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=8</math>. ====Berechnung für Verbrenner==== Die Verkehrsbelastung der Verbrenner wird mit <math>V</math> und die Belastung von E-Autos mit <math>E</math> abgekürzt. Zwischen den Punkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(8|11)</math> und <math>(16|14)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{11+14}{2}\cdot 8 = 100</math> Zwischen den Punkten <math>(16|14)</math> und <math>(24|12)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{14+12}{2}\cdot 8 = 104</math> Zwischen den Punkten <math>(24|12)</math> und <math>(32|16)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{12+16}{2}\cdot 8 = 112</math> Zwischen den Punkten <math>(32|16)</math> und <math>(40|13)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{16+13}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(40|13)</math> und <math>(48|11)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{13+11}{2}\cdot 8 = 96</math> Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math> V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i=116+100+104+112+116+96=644 </math> Die Fläche von 644 Flächeneinheiten beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Je größer die Fläche unter dem Graphen ist, desto höher ist die Verkehrsbelastung. Die Trapezflächen liefern dabei eine Näherung an die tatsächliche Verkehrsmenge zwischen den Messzeitpunkten. Für die E-Autos ergibt sich analog: <math>(0|6),(8|2),(16|2),(24|3),(32|5),(40|4),(48|1)</math> Die einzelnen Trapezflächen wurden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt: :<math> V_{\text{gesamt}}= 156 </math> Die gesamte Verkehrsbelastung der Elektroautos ergibt sich somit zu 156 Flächeneinheiten. Im Vergleich zu den Verbrennerfahrzeugen mit 644 Flächeneinheiten ist die Verkehrsbelastung der Elektroautos in diesem Beispiel deutlich geringer. Die Werte spiegeln dabei das während der Verkehrszählung beobachtete Verhältnis zwischen Verbrennern und Elektroautos wider. Damit ergibt sich: * Verbrenner: 644 Flächeneinheiten * E-Autos: 156 Flächeneinheiten * Gesamtverkehr: <math>644 + 156 = 800</math> also insgesamt :<math> A_{\text{gesamt}} = 800 </math> == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die ermittelte Verkehrsbelastung dient als Grundlage für ein einfaches Modell der Feinstaubbelastung. Dabei wird berücksichtigt, dass verschiedene Fahrzeugtypen unterschiedlich stark zur Schadstoffbelastung beitragen. Verbrennerfahrzeuge erzeugen neben Reifen- und Bremsabrieb zusätzliche Emissionen durch die Verbrennung von Kraftstoffen. Elektroautos verursachen ebenfalls Reifen- und Bremsabrieb, jedoch keine direkten Abgasemissionen. Um diesen Unterschied im Modell abzubilden, werden den Fahrzeugarten Gewichtungsfaktoren zugeordnet. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und diskutieren verschiedene Modelle. Beispielsweise könnten folgende Faktoren verwendet werden: {| class="wikitable" ! Modell !! Faktor Verbrenner !! Faktor E-Auto |- | Modell A || 1,0 || 0,2 |- | Modell B || 1,0 || 0,5 |- | Modell C || 1,0 || 0,8 |} Anschließend diskutiert die Lerngruppe, welches Modell die tatsächliche Belastung am besten beschreibt und begründet ihre Entscheidung mithilfe fachlicher Argumente anderen Fächern, Alltagswissen und Recherchen im Internet. Die Feinstaubbelastung kann anschließend durch :<math>L = a \cdot V + b \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Verkehrsbelastung der Verbrenner, * <math>E</math> die Verkehrsbelastung der Elektroautos, * <math>a</math> den Gewichtungsfaktor der Verbrenner und * <math>b</math> den Gewichtungsfaktor der Elektroautos. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und unterschiedliche Modellansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] mavwittpq3p0ljx4i1daqhkc2a5isce 1105401 1105400 2026-06-24T19:45:45Z Patrick Rutz 41567 /* Darstellung der Messwerte in GeoGebra */ 1105401 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Trapeze Geogebra.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] === Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen === Die in GeoGebra dargestellten Messwerte werden durch Strecken miteinander verbunden. Für die weitere Modellierung wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Durch diese Annahme entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Messwerten. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ein Trapez mit der Breite 8 sowie den Höhen 18 und 11. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum: :<math> A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b </math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ===Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel=== Zur Abschätzung der gesamten Verkehrsbelastung wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 8, da zwischen zwei Messungen jeweils acht Viertelstunden liegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=8</math>. ====Berechnung für Verbrenner==== Die Verkehrsbelastung der Verbrenner wird mit <math>V</math> und die Belastung von E-Autos mit <math>E</math> abgekürzt. Zwischen den Punkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(8|11)</math> und <math>(16|14)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{11+14}{2}\cdot 8 = 100</math> Zwischen den Punkten <math>(16|14)</math> und <math>(24|12)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{14+12}{2}\cdot 8 = 104</math> Zwischen den Punkten <math>(24|12)</math> und <math>(32|16)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{12+16}{2}\cdot 8 = 112</math> Zwischen den Punkten <math>(32|16)</math> und <math>(40|13)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{16+13}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(40|13)</math> und <math>(48|11)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{13+11}{2}\cdot 8 = 96</math> Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math> V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i=116+100+104+112+116+96=644 </math> Die Fläche von 644 Flächeneinheiten beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Je größer die Fläche unter dem Graphen ist, desto höher ist die Verkehrsbelastung. Die Trapezflächen liefern dabei eine Näherung an die tatsächliche Verkehrsmenge zwischen den Messzeitpunkten. Für die E-Autos ergibt sich analog: <math>(0|6),(8|2),(16|2),(24|3),(32|5),(40|4),(48|1)</math> Die einzelnen Trapezflächen wurden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt: :<math> V_{\text{gesamt}}= 156 </math> Die gesamte Verkehrsbelastung der Elektroautos ergibt sich somit zu 156 Flächeneinheiten. Im Vergleich zu den Verbrennerfahrzeugen mit 644 Flächeneinheiten ist die Verkehrsbelastung der Elektroautos in diesem Beispiel deutlich geringer. Die Werte spiegeln dabei das während der Verkehrszählung beobachtete Verhältnis zwischen Verbrennern und Elektroautos wider. Damit ergibt sich: * Verbrenner: 644 Flächeneinheiten * E-Autos: 156 Flächeneinheiten * Gesamtverkehr: <math>644 + 156 = 800</math> also insgesamt :<math> A_{\text{gesamt}} = 800 </math> == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die ermittelte Verkehrsbelastung dient als Grundlage für ein einfaches Modell der Feinstaubbelastung. Dabei wird berücksichtigt, dass verschiedene Fahrzeugtypen unterschiedlich stark zur Schadstoffbelastung beitragen. Verbrennerfahrzeuge erzeugen neben Reifen- und Bremsabrieb zusätzliche Emissionen durch die Verbrennung von Kraftstoffen. Elektroautos verursachen ebenfalls Reifen- und Bremsabrieb, jedoch keine direkten Abgasemissionen. Um diesen Unterschied im Modell abzubilden, werden den Fahrzeugarten Gewichtungsfaktoren zugeordnet. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und diskutieren verschiedene Modelle. Beispielsweise könnten folgende Faktoren verwendet werden: {| class="wikitable" ! Modell !! Faktor Verbrenner !! Faktor E-Auto |- | Modell A || 1,0 || 0,2 |- | Modell B || 1,0 || 0,5 |- | Modell C || 1,0 || 0,8 |} Anschließend diskutiert die Lerngruppe, welches Modell die tatsächliche Belastung am besten beschreibt und begründet ihre Entscheidung mithilfe fachlicher Argumente anderen Fächern, Alltagswissen und Recherchen im Internet. Die Feinstaubbelastung kann anschließend durch :<math>L = a \cdot V + b \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Verkehrsbelastung der Verbrenner, * <math>E</math> die Verkehrsbelastung der Elektroautos, * <math>a</math> den Gewichtungsfaktor der Verbrenner und * <math>b</math> den Gewichtungsfaktor der Elektroautos. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und unterschiedliche Modellansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 5lwm2coyfw7ta9uw9msk30u1ifpqjed 1105402 1105401 2026-06-24T19:48:47Z Patrick Rutz 41567 /* Darstellung der Messwerte in GeoGebra */ 1105402 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen === Die in GeoGebra dargestellten Messwerte werden durch Strecken miteinander verbunden. Für die weitere Modellierung wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Durch diese Annahme entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Messwerten. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ein Trapez mit der Breite 8 sowie den Höhen 18 und 11. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum: :<math> A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b </math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ===Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel=== Zur Abschätzung der gesamten Verkehrsbelastung wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 8, da zwischen zwei Messungen jeweils acht Viertelstunden liegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=8</math>. ====Berechnung für Verbrenner==== Die Verkehrsbelastung der Verbrenner wird mit <math>V</math> und die Belastung von E-Autos mit <math>E</math> abgekürzt. Zwischen den Punkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(8|11)</math> und <math>(16|14)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{11+14}{2}\cdot 8 = 100</math> Zwischen den Punkten <math>(16|14)</math> und <math>(24|12)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{14+12}{2}\cdot 8 = 104</math> Zwischen den Punkten <math>(24|12)</math> und <math>(32|16)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{12+16}{2}\cdot 8 = 112</math> Zwischen den Punkten <math>(32|16)</math> und <math>(40|13)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{16+13}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(40|13)</math> und <math>(48|11)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{13+11}{2}\cdot 8 = 96</math> Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math> V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i=116+100+104+112+116+96=644 </math> Die Fläche von 644 Flächeneinheiten beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Je größer die Fläche unter dem Graphen ist, desto höher ist die Verkehrsbelastung. Die Trapezflächen liefern dabei eine Näherung an die tatsächliche Verkehrsmenge zwischen den Messzeitpunkten. Für die E-Autos ergibt sich analog: <math>(0|6),(8|2),(16|2),(24|3),(32|5),(40|4),(48|1)</math> Die einzelnen Trapezflächen wurden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt: :<math> V_{\text{gesamt}}= 156 </math> Die gesamte Verkehrsbelastung der Elektroautos ergibt sich somit zu 156 Flächeneinheiten. Im Vergleich zu den Verbrennerfahrzeugen mit 644 Flächeneinheiten ist die Verkehrsbelastung der Elektroautos in diesem Beispiel deutlich geringer. Die Werte spiegeln dabei das während der Verkehrszählung beobachtete Verhältnis zwischen Verbrennern und Elektroautos wider. Damit ergibt sich: * Verbrenner: 644 Flächeneinheiten * E-Autos: 156 Flächeneinheiten * Gesamtverkehr: <math>644 + 156 = 800</math> also insgesamt :<math> A_{\text{gesamt}} = 800 </math> == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die ermittelte Verkehrsbelastung dient als Grundlage für ein einfaches Modell der Feinstaubbelastung. Dabei wird berücksichtigt, dass verschiedene Fahrzeugtypen unterschiedlich stark zur Schadstoffbelastung beitragen. Verbrennerfahrzeuge erzeugen neben Reifen- und Bremsabrieb zusätzliche Emissionen durch die Verbrennung von Kraftstoffen. Elektroautos verursachen ebenfalls Reifen- und Bremsabrieb, jedoch keine direkten Abgasemissionen. Um diesen Unterschied im Modell abzubilden, werden den Fahrzeugarten Gewichtungsfaktoren zugeordnet. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und diskutieren verschiedene Modelle. Beispielsweise könnten folgende Faktoren verwendet werden: {| class="wikitable" ! Modell !! Faktor Verbrenner !! Faktor E-Auto |- | Modell A || 1,0 || 0,2 |- | Modell B || 1,0 || 0,5 |- | Modell C || 1,0 || 0,8 |} Anschließend diskutiert die Lerngruppe, welches Modell die tatsächliche Belastung am besten beschreibt und begründet ihre Entscheidung mithilfe fachlicher Argumente anderen Fächern, Alltagswissen und Recherchen im Internet. Die Feinstaubbelastung kann anschließend durch :<math>L = a \cdot V + b \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Verkehrsbelastung der Verbrenner, * <math>E</math> die Verkehrsbelastung der Elektroautos, * <math>a</math> den Gewichtungsfaktor der Verbrenner und * <math>b</math> den Gewichtungsfaktor der Elektroautos. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und unterschiedliche Modellansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] l2r1lmlaiykkne0sd6j62eeswxexhko 1105403 1105402 2026-06-24T19:49:23Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 1 */ 1105403 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen === Die in GeoGebra dargestellten Messwerte werden durch Strecken miteinander verbunden. Für die weitere Modellierung wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Durch diese Annahme entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Messwerten. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ein Trapez mit der Breite 8 sowie den Höhen 18 und 11. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum: :<math> A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b </math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ===Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel=== Zur Abschätzung der gesamten Verkehrsbelastung wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 8, da zwischen zwei Messungen jeweils acht Viertelstunden liegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=8</math>. ====Berechnung für Verbrenner==== Die Verkehrsbelastung der Verbrenner wird mit <math>V</math> und die Belastung von E-Autos mit <math>E</math> abgekürzt. Zwischen den Punkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(8|11)</math> und <math>(16|14)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{11+14}{2}\cdot 8 = 100</math> Zwischen den Punkten <math>(16|14)</math> und <math>(24|12)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{14+12}{2}\cdot 8 = 104</math> Zwischen den Punkten <math>(24|12)</math> und <math>(32|16)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{12+16}{2}\cdot 8 = 112</math> Zwischen den Punkten <math>(32|16)</math> und <math>(40|13)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{16+13}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(40|13)</math> und <math>(48|11)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{13+11}{2}\cdot 8 = 96</math> Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math> V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i=116+100+104+112+116+96=644 </math> Die Fläche von 644 Flächeneinheiten beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Je größer die Fläche unter dem Graphen ist, desto höher ist die Verkehrsbelastung. Die Trapezflächen liefern dabei eine Näherung an die tatsächliche Verkehrsmenge zwischen den Messzeitpunkten. Für die E-Autos ergibt sich analog: <math>(0|6),(8|2),(16|2),(24|3),(32|5),(40|4),(48|1)</math> Die einzelnen Trapezflächen wurden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt: :<math> V_{\text{gesamt}}= 156 </math> Die gesamte Verkehrsbelastung der Elektroautos ergibt sich somit zu 156 Flächeneinheiten. Im Vergleich zu den Verbrennerfahrzeugen mit 644 Flächeneinheiten ist die Verkehrsbelastung der Elektroautos in diesem Beispiel deutlich geringer. Die Werte spiegeln dabei das während der Verkehrszählung beobachtete Verhältnis zwischen Verbrennern und Elektroautos wider. Damit ergibt sich: * Verbrenner: 644 Flächeneinheiten * E-Autos: 156 Flächeneinheiten * Gesamtverkehr: <math>644 + 156 = 800</math> also insgesamt :<math> A_{\text{gesamt}} = 800 </math> == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die ermittelte Verkehrsbelastung dient als Grundlage für ein einfaches Modell der Feinstaubbelastung. Dabei wird berücksichtigt, dass verschiedene Fahrzeugtypen unterschiedlich stark zur Schadstoffbelastung beitragen. Verbrennerfahrzeuge erzeugen neben Reifen- und Bremsabrieb zusätzliche Emissionen durch die Verbrennung von Kraftstoffen. Elektroautos verursachen ebenfalls Reifen- und Bremsabrieb, jedoch keine direkten Abgasemissionen. Um diesen Unterschied im Modell abzubilden, werden den Fahrzeugarten Gewichtungsfaktoren zugeordnet. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und diskutieren verschiedene Modelle. Beispielsweise könnten folgende Faktoren verwendet werden: {| class="wikitable" ! Modell !! Faktor Verbrenner !! Faktor E-Auto |- | Modell A || 1,0 || 0,2 |- | Modell B || 1,0 || 0,5 |- | Modell C || 1,0 || 0,8 |} Anschließend diskutiert die Lerngruppe, welches Modell die tatsächliche Belastung am besten beschreibt und begründet ihre Entscheidung mithilfe fachlicher Argumente anderen Fächern, Alltagswissen und Recherchen im Internet. Die Feinstaubbelastung kann anschließend durch :<math>L = a \cdot V + b \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Verkehrsbelastung der Verbrenner, * <math>E</math> die Verkehrsbelastung der Elektroautos, * <math>a</math> den Gewichtungsfaktor der Verbrenner und * <math>b</math> den Gewichtungsfaktor der Elektroautos. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und unterschiedliche Modellansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] tpsle031bvqyqvar6sldwf50k30hv0v 1105404 1105403 2026-06-24T20:17:44Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 1 */ 1105404 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherigen Annahme entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Messwerten. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ein Trapez mit der Breite 8 sowie den Höhen 18 und 11. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum: :<math> A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b </math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ===Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel=== Zur Abschätzung der gesamten Verkehrsbelastung wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 8, da zwischen zwei Messungen jeweils acht Viertelstunden liegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=8</math>. ====Berechnung für Verbrenner==== Die Verkehrsbelastung der Verbrenner wird mit <math>V</math> und die Belastung von E-Autos mit <math>E</math> abgekürzt. Zwischen den Punkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(8|11)</math> und <math>(16|14)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{11+14}{2}\cdot 8 = 100</math> Zwischen den Punkten <math>(16|14)</math> und <math>(24|12)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{14+12}{2}\cdot 8 = 104</math> Zwischen den Punkten <math>(24|12)</math> und <math>(32|16)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{12+16}{2}\cdot 8 = 112</math> Zwischen den Punkten <math>(32|16)</math> und <math>(40|13)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{16+13}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(40|13)</math> und <math>(48|11)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{13+11}{2}\cdot 8 = 96</math> Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math> V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i=116+100+104+112+116+96=644 </math> Die Fläche von 644 Flächeneinheiten beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Je größer die Fläche unter dem Graphen ist, desto höher ist die Verkehrsbelastung. Die Trapezflächen liefern dabei eine Näherung an die tatsächliche Verkehrsmenge zwischen den Messzeitpunkten. Für die E-Autos ergibt sich analog: <math>(0|6),(8|2),(16|2),(24|3),(32|5),(40|4),(48|1)</math> Die einzelnen Trapezflächen wurden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt: :<math> V_{\text{gesamt}}= 156 </math> Die gesamte Verkehrsbelastung der Elektroautos ergibt sich somit zu 156 Flächeneinheiten. Im Vergleich zu den Verbrennerfahrzeugen mit 644 Flächeneinheiten ist die Verkehrsbelastung der Elektroautos in diesem Beispiel deutlich geringer. Die Werte spiegeln dabei das während der Verkehrszählung beobachtete Verhältnis zwischen Verbrennern und Elektroautos wider. Damit ergibt sich: * Verbrenner: 644 Flächeneinheiten * E-Autos: 156 Flächeneinheiten * Gesamtverkehr: <math>644 + 156 = 800</math> also insgesamt :<math> A_{\text{gesamt}} = 800 </math> === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die ermittelte Verkehrsbelastung dient als Grundlage für ein einfaches Modell der Feinstaubbelastung. Dabei wird berücksichtigt, dass verschiedene Fahrzeugtypen unterschiedlich stark zur Schadstoffbelastung beitragen. Verbrennerfahrzeuge erzeugen neben Reifen- und Bremsabrieb zusätzliche Emissionen durch die Verbrennung von Kraftstoffen. Elektroautos verursachen ebenfalls Reifen- und Bremsabrieb, jedoch keine direkten Abgasemissionen. Um diesen Unterschied im Modell abzubilden, werden den Fahrzeugarten Gewichtungsfaktoren zugeordnet. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und diskutieren verschiedene Modelle. Beispielsweise könnten folgende Faktoren verwendet werden: {| class="wikitable" ! Modell !! Faktor Verbrenner !! Faktor E-Auto |- | Modell A || 1,0 || 0,2 |- | Modell B || 1,0 || 0,5 |- | Modell C || 1,0 || 0,8 |} Anschließend diskutiert die Lerngruppe, welches Modell die tatsächliche Belastung am besten beschreibt und begründet ihre Entscheidung mithilfe fachlicher Argumente anderen Fächern, Alltagswissen und Recherchen im Internet. Die Feinstaubbelastung kann anschließend durch :<math>L = a \cdot V + b \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Verkehrsbelastung der Verbrenner, * <math>E</math> die Verkehrsbelastung der Elektroautos, * <math>a</math> den Gewichtungsfaktor der Verbrenner und * <math>b</math> den Gewichtungsfaktor der Elektroautos. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und unterschiedliche Modellansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] equ87zxx8ux3y38vtnijtnxjsho8ig9 1105405 1105404 2026-06-24T20:19:50Z Patrick Rutz 41567 /* Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen */ 1105405 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. ===Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel=== Zur Abschätzung der gesamten Verkehrsbelastung wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 8, da zwischen zwei Messungen jeweils acht Viertelstunden liegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=8</math>. ====Berechnung für Verbrenner==== Die Verkehrsbelastung der Verbrenner wird mit <math>V</math> und die Belastung von E-Autos mit <math>E</math> abgekürzt. Zwischen den Punkten <math>(0|18)</math> und <math>(8|11)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{18+11}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(8|11)</math> und <math>(16|14)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{11+14}{2}\cdot 8 = 100</math> Zwischen den Punkten <math>(16|14)</math> und <math>(24|12)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{14+12}{2}\cdot 8 = 104</math> Zwischen den Punkten <math>(24|12)</math> und <math>(32|16)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{12+16}{2}\cdot 8 = 112</math> Zwischen den Punkten <math>(32|16)</math> und <math>(40|13)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{16+13}{2}\cdot 8 = 116</math> Zwischen den Punkten <math>(40|13)</math> und <math>(48|11)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{13+11}{2}\cdot 8 = 96</math> Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math> V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i=116+100+104+112+116+96=644 </math> Die Fläche von 644 Flächeneinheiten beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Je größer die Fläche unter dem Graphen ist, desto höher ist die Verkehrsbelastung. Die Trapezflächen liefern dabei eine Näherung an die tatsächliche Verkehrsmenge zwischen den Messzeitpunkten. Für die E-Autos ergibt sich analog: <math>(0|6),(8|2),(16|2),(24|3),(32|5),(40|4),(48|1)</math> Die einzelnen Trapezflächen wurden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt: :<math> V_{\text{gesamt}}= 156 </math> Die gesamte Verkehrsbelastung der Elektroautos ergibt sich somit zu 156 Flächeneinheiten. Im Vergleich zu den Verbrennerfahrzeugen mit 644 Flächeneinheiten ist die Verkehrsbelastung der Elektroautos in diesem Beispiel deutlich geringer. Die Werte spiegeln dabei das während der Verkehrszählung beobachtete Verhältnis zwischen Verbrennern und Elektroautos wider. Damit ergibt sich: * Verbrenner: 644 Flächeneinheiten * E-Autos: 156 Flächeneinheiten * Gesamtverkehr: <math>644 + 156 = 800</math> also insgesamt :<math> A_{\text{gesamt}} = 800 </math> === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die ermittelte Verkehrsbelastung dient als Grundlage für ein einfaches Modell der Feinstaubbelastung. Dabei wird berücksichtigt, dass verschiedene Fahrzeugtypen unterschiedlich stark zur Schadstoffbelastung beitragen. Verbrennerfahrzeuge erzeugen neben Reifen- und Bremsabrieb zusätzliche Emissionen durch die Verbrennung von Kraftstoffen. Elektroautos verursachen ebenfalls Reifen- und Bremsabrieb, jedoch keine direkten Abgasemissionen. Um diesen Unterschied im Modell abzubilden, werden den Fahrzeugarten Gewichtungsfaktoren zugeordnet. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und diskutieren verschiedene Modelle. Beispielsweise könnten folgende Faktoren verwendet werden: {| class="wikitable" ! Modell !! Faktor Verbrenner !! Faktor E-Auto |- | Modell A || 1,0 || 0,2 |- | Modell B || 1,0 || 0,5 |- | Modell C || 1,0 || 0,8 |} Anschließend diskutiert die Lerngruppe, welches Modell die tatsächliche Belastung am besten beschreibt und begründet ihre Entscheidung mithilfe fachlicher Argumente anderen Fächern, Alltagswissen und Recherchen im Internet. Die Feinstaubbelastung kann anschließend durch :<math>L = a \cdot V + b \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Verkehrsbelastung der Verbrenner, * <math>E</math> die Verkehrsbelastung der Elektroautos, * <math>a</math> den Gewichtungsfaktor der Verbrenner und * <math>b</math> den Gewichtungsfaktor der Elektroautos. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und unterschiedliche Modellansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 091mgkticd6nsclzeb5n97ylstvqfyt 1105406 1105405 2026-06-24T20:20:10Z Patrick Rutz 41567 /* Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel */ 1105406 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die ermittelte Verkehrsbelastung dient als Grundlage für ein einfaches Modell der Feinstaubbelastung. Dabei wird berücksichtigt, dass verschiedene Fahrzeugtypen unterschiedlich stark zur Schadstoffbelastung beitragen. Verbrennerfahrzeuge erzeugen neben Reifen- und Bremsabrieb zusätzliche Emissionen durch die Verbrennung von Kraftstoffen. Elektroautos verursachen ebenfalls Reifen- und Bremsabrieb, jedoch keine direkten Abgasemissionen. Um diesen Unterschied im Modell abzubilden, werden den Fahrzeugarten Gewichtungsfaktoren zugeordnet. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln und diskutieren verschiedene Modelle. Beispielsweise könnten folgende Faktoren verwendet werden: {| class="wikitable" ! Modell !! Faktor Verbrenner !! Faktor E-Auto |- | Modell A || 1,0 || 0,2 |- | Modell B || 1,0 || 0,5 |- | Modell C || 1,0 || 0,8 |} Anschließend diskutiert die Lerngruppe, welches Modell die tatsächliche Belastung am besten beschreibt und begründet ihre Entscheidung mithilfe fachlicher Argumente anderen Fächern, Alltagswissen und Recherchen im Internet. Die Feinstaubbelastung kann anschließend durch :<math>L = a \cdot V + b \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Verkehrsbelastung der Verbrenner, * <math>E</math> die Verkehrsbelastung der Elektroautos, * <math>a</math> den Gewichtungsfaktor der Verbrenner und * <math>b</math> den Gewichtungsfaktor der Elektroautos. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und unterschiedliche Modellansätze zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] p1d2edwpqqn34z4xpfc4lw2mkmu2cos 1105411 1105406 2026-06-24T20:44:57Z Patrick Rutz 41567 /* Modellierung der Feinstaubbelastung */ 1105411 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Grigoratos, T.; Martini, G. (2015): ‘‘Non-exhaust traffic related emissions. Brake and tyre wear PM’’. European Commission Joint Research Centre</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, können die Ergebnisse mit realen Messwerten von Luftmessstationen verglichen werden. Geeignete Datenquellen sind beispielsweise lokale PM2,5- oder PM10-Messwerte. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen dabei, ob Orte mit hoher modellierter Belastung tatsächlich erhöhte Feinstaubwerte aufweisen. Anschließend kann diskutiert werden, welche Einflussgrößen im Modell noch nicht berücksichtigt wurden. Dazu gehören beispielsweise * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * jahreszeitliche Einflüsse. Dadurch wird deutlich, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und kontinuierlich verbessert werden können. Der Vergleich mit realen Messdaten stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar, da erst dadurch überprüft werden kann, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] igvaowl876cwuzzahxg5k1y5p77ee6y 1105412 1105411 2026-06-24T20:48:08Z Patrick Rutz 41567 /* Modellierung der Feinstaubbelastung */ 1105412 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, können die Ergebnisse mit realen Messwerten von Luftmessstationen verglichen werden. Geeignete Datenquellen sind beispielsweise lokale PM2,5- oder PM10-Messwerte. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen dabei, ob Orte mit hoher modellierter Belastung tatsächlich erhöhte Feinstaubwerte aufweisen. Anschließend kann diskutiert werden, welche Einflussgrößen im Modell noch nicht berücksichtigt wurden. Dazu gehören beispielsweise * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * jahreszeitliche Einflüsse. Dadurch wird deutlich, dass mathematische Modelle von getroffenen Annahmen abhängen und kontinuierlich verbessert werden können. Der Vergleich mit realen Messdaten stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar, da erst dadurch überprüft werden kann, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bnlyjdnmbjrh25zdm9yf4fngatzldmv 1105414 1105412 2026-06-24T21:04:58Z Patrick Rutz 41567 /* Vergleich des Modells mit der Realität */ 1105414 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, werden die Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Die folgende Karte des Umweltbundesamtes zeigt die Anzahl der Tage, an denen der Tagesmittelwert für Feinstaub (PM10) den Grenzwert von <math>50,\mu g/m^3</math> überschritten hat. [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Allerdings werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Temperatur und Wetterlage, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * Ampeln, Kreuzungen und Stoppschilder, * Industrieanlagen, * jahreszeitliche Einflüsse. Der Vergleich mit realen Messdaten verdeutlicht somit sowohl die Stärken als auch die Grenzen des entwickelten Modells. Während grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar werden, kann die tatsächliche Feinstaubbelastung nur durch die Berücksichtigung weiterer Einflussgrößen genauer beschrieben werden. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst durch diesen Vergleich kann überprüft werden, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt und an welchen Stellen es verbessert werden muss. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die Modellierung der Feinstaubbelastung verdeutlicht, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität nur näherungsweise beschreiben können. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen beeinflusst das Ergebnis erheblich. Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele weitere Einflussgrößen wurden nicht einbezogen. Daher ergeben sich Unterschiede zwischen den berechneten Werten und den tatsächlichen Messdaten. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid. Durch den Vergleich mit realen Messdaten wird deutlich, dass Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft und anschließend verbessert. Dieser Modellierungskreislauf stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Anwendungen in Wissenschaft und Technik dar. === Arbeitsaufträge === Vergleiche die Ergebnisse des entwickelten Modells mit der Karte des Umweltbundesamtes. Welche Gemeinsamkeiten erkennst du zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung? Welche Unterschiede fallen dir auf? Welche Einflussgrößen fehlen im bisherigen Modell? Entwickle einen Vorschlag zur Verbesserung des Modells und begründe deine Entscheidung. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] i0zwlcw5x6smid76roxqupx2qwiub4n 1105415 1105414 2026-06-24T21:06:55Z Patrick Rutz 41567 /* Vergleich des Modells mit der Realität */ 1105415 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, werden die Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Die folgende Karte des Umweltbundesamtes zeigt die Anzahl der Tage, an denen der Tagesmittelwert für Feinstaub (PM10) den Grenzwert von <math>50,\mu g/m^3</math> überschritten hat. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Allerdings werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Temperatur und Wetterlage, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * Ampeln, Kreuzungen und Stoppschilder, * Industrieanlagen, * jahreszeitliche Einflüsse. Der Vergleich mit realen Messdaten verdeutlicht somit sowohl die Stärken als auch die Grenzen des entwickelten Modells. Während grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar werden, kann die tatsächliche Feinstaubbelastung nur durch die Berücksichtigung weiterer Einflussgrößen genauer beschrieben werden. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst durch diesen Vergleich kann überprüft werden, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt und an welchen Stellen es verbessert werden muss. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die Modellierung der Feinstaubbelastung verdeutlicht, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität nur näherungsweise beschreiben können. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen beeinflusst das Ergebnis erheblich. Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele weitere Einflussgrößen wurden nicht einbezogen. Daher ergeben sich Unterschiede zwischen den berechneten Werten und den tatsächlichen Messdaten. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid. Durch den Vergleich mit realen Messdaten wird deutlich, dass Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft und anschließend verbessert. Dieser Modellierungskreislauf stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Anwendungen in Wissenschaft und Technik dar. === Arbeitsaufträge === Vergleiche die Ergebnisse des entwickelten Modells mit der Karte des Umweltbundesamtes. Welche Gemeinsamkeiten erkennst du zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung? Welche Unterschiede fallen dir auf? Welche Einflussgrößen fehlen im bisherigen Modell? Entwickle einen Vorschlag zur Verbesserung des Modells und begründe deine Entscheidung. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] k7a9ch6emp24ud8c1yn10xmtsi6chig 1105416 1105415 2026-06-24T21:07:54Z Patrick Rutz 41567 /* Arbeitsaufträge */ 1105416 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, werden die Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Die folgende Karte des Umweltbundesamtes zeigt die Anzahl der Tage, an denen der Tagesmittelwert für Feinstaub (PM10) den Grenzwert von <math>50,\mu g/m^3</math> überschritten hat. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Allerdings werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Temperatur und Wetterlage, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * Ampeln, Kreuzungen und Stoppschilder, * Industrieanlagen, * jahreszeitliche Einflüsse. Der Vergleich mit realen Messdaten verdeutlicht somit sowohl die Stärken als auch die Grenzen des entwickelten Modells. Während grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar werden, kann die tatsächliche Feinstaubbelastung nur durch die Berücksichtigung weiterer Einflussgrößen genauer beschrieben werden. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst durch diesen Vergleich kann überprüft werden, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt und an welchen Stellen es verbessert werden muss. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die Modellierung der Feinstaubbelastung verdeutlicht, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität nur näherungsweise beschreiben können. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen beeinflusst das Ergebnis erheblich. Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele weitere Einflussgrößen wurden nicht einbezogen. Daher ergeben sich Unterschiede zwischen den berechneten Werten und den tatsächlichen Messdaten. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid. Durch den Vergleich mit realen Messdaten wird deutlich, dass Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft und anschließend verbessert. Dieser Modellierungskreislauf stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Anwendungen in Wissenschaft und Technik dar. ==== Arbeitsaufträge ==== Mögliche Arbeitsaufträge können weiterführend sein: *Vergleiche die Ergebnisse des entwickelten Modells mit der Karte des Umweltbundesamtes. *Welche Gemeinsamkeiten erkennst du zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung? *Welche Unterschiede fallen dir auf? *Welche Einflussgrößen fehlen im bisherigen Modell? *Entwickle einen Vorschlag zur Verbesserung des Modells und begründe deine Entscheidung. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. === Didaktik und didaktische Reduktion === Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] faopqar06n3yh8vyeqv8za89va47ohp 1105417 1105416 2026-06-24T21:08:09Z Patrick Rutz 41567 /* Didaktik und didaktische Reduktion */ 1105417 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee *Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen * Modellierung der Feinstaubbelastung * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. ==Mathematische Idee== Mit mathematischen Methoden, die Schülerinnen und Schüler bereits in der Sekundarstufe 1 kennenlernen, kann ein vereinfachtes Modell erstellt werden. Zeit: :t Verkehrsrate: :v(t) Dann beschreibt die Fläche unter dem Graphen näherungsweise :<math>\int_a^b v(t)\,dt</math> und damit die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum [a,b]. Der Integralbegriff wird hierbei noch nicht formal eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler lernen jedoch bereits die Grundidee kennen, dass die Fläche unter einem Graphen zur Beschreibung einer Gesamtmenge genutzt werden kann. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, werden die Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Die folgende Karte des Umweltbundesamtes zeigt die Anzahl der Tage, an denen der Tagesmittelwert für Feinstaub (PM10) den Grenzwert von <math>50,\mu g/m^3</math> überschritten hat. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Allerdings werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Temperatur und Wetterlage, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * Ampeln, Kreuzungen und Stoppschilder, * Industrieanlagen, * jahreszeitliche Einflüsse. Der Vergleich mit realen Messdaten verdeutlicht somit sowohl die Stärken als auch die Grenzen des entwickelten Modells. Während grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar werden, kann die tatsächliche Feinstaubbelastung nur durch die Berücksichtigung weiterer Einflussgrößen genauer beschrieben werden. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst durch diesen Vergleich kann überprüft werden, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt und an welchen Stellen es verbessert werden muss. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die Modellierung der Feinstaubbelastung verdeutlicht, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität nur näherungsweise beschreiben können. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen beeinflusst das Ergebnis erheblich. Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele weitere Einflussgrößen wurden nicht einbezogen. Daher ergeben sich Unterschiede zwischen den berechneten Werten und den tatsächlichen Messdaten. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid. Durch den Vergleich mit realen Messdaten wird deutlich, dass Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft und anschließend verbessert. Dieser Modellierungskreislauf stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Anwendungen in Wissenschaft und Technik dar. ==== Arbeitsaufträge ==== Mögliche Arbeitsaufträge können weiterführend sein: *Vergleiche die Ergebnisse des entwickelten Modells mit der Karte des Umweltbundesamtes. *Welche Gemeinsamkeiten erkennst du zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung? *Welche Unterschiede fallen dir auf? *Welche Einflussgrößen fehlen im bisherigen Modell? *Entwickle einen Vorschlag zur Verbesserung des Modells und begründe deine Entscheidung. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler ... * erheben und dokumentieren reale Daten. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung von Daten. * interpretieren Diagramme und Graphen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * erkennen die Bedeutung mathematischer Modelle für reale Fragestellungen. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an lebensnahen Daten aus dem Straßenverkehr und ermöglicht Schülerinnen und Schülern einen alltagsbezogenen Zugang zur mathematischen Modellbildung. Durch das eigenständige Erfassen von Fahrzeugdaten an einer Kreuzung wird ein Bezug zur Lebenswelt hergestellt und die Bedeutung mathematischer Darstellungen verdeutlicht. Die mathematische Komplexität wird didaktisch reduziert, indem zunächst nur einfache Datensätze betrachtet und die Verkehrsbelastung grafisch dargestellt werden. Die Fläche unter dem Graphen wird zunächst mithilfe geometrischer Formen wie Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch kann ein erster intuitiver Zugang zum Integralbegriff geschaffen werden, ohne auf formale Integralrechnung zurückzugreifen. Die Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektroautos ermöglicht zusätzlich eine fachübergreifende Verbindung mit Fragestellungen wie Emissionen, Feinstaubbelastung und nachhaltiger Mobilität. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] fvx5mlkzoj5pqibgj1rj9jg7p2o50zm 1105418 1105417 2026-06-24T21:20:20Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 1 */ 1105418 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen ** Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel * Modellierung der Feinstaubbelastung ** Vergleich des Modells mit der Realität * Reflexion und Weiterentwicklung des Modells ** Arbeitsaufträge * Kompetenzen und Lernziele * Didaktik und didaktische Reduktion ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. == Mathematische Idee == Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, wie sich die Verkehrsbelastung an einer Straße oder Kreuzung mathematisch beschreiben lässt. Dazu wird die Anzahl der Fahrzeuge in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. Aus den erhobenen Daten entsteht ein Graph, der die Verkehrsdichte im Tagesverlauf darstellt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass nicht nur einzelne Messwerte von Interesse sind, sondern insbesondere die gesamte Anzahl der Fahrzeuge innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Diese Gesamtmenge lässt sich durch die Fläche unter dem Graphen beschreiben. Da die genaue Fläche zunächst nicht bekannt ist, wird sie mithilfe von Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch lernen die Schülerinnen und Schüler eine grundlegende mathematische Methode kennen, mit der Gesamtmengen aus Änderungsraten abgeschätzt werden können. Die so ermittelte Fahrzeuganzahl bildet anschließend die Grundlage für die Entwicklung eines Modells zur Feinstaubbelastung. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss verschiedene Fahrzeugarten auf die Luftqualität haben und wie mathematische Modelle zur Beschreibung realer Umweltprobleme genutzt werden können. Aus Sicht der Mathematik wird die Fläche unter einem Graphen in höheren Klassenstufen durch das bestimmte Integral beschrieben: :<math>\int_a^b v(t),dt</math> Die Unterrichtseinheit ermöglicht somit einen ersten anschaulichen Zugang zu zentralen Ideen der Integralrechnung, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei x=8{,}5 eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei x=10{,}5 usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, werden die Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Die folgende Karte des Umweltbundesamtes zeigt die Anzahl der Tage, an denen der Tagesmittelwert für Feinstaub (PM10) den Grenzwert von <math>50,\mu g/m^3</math> überschritten hat. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Die Schülerinnen und Schüler diskutieren anschließend, ob die im Modell gewählten Gewichtungsfaktoren die tatsächliche Feinstaubbelastung angemessen beschreiben. Hierzu können weitere wissenschaftliche Quellen recherchiert und mit den getroffenen Modellannahmen verglichen werden. Darüber hinaus werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise: * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Temperatur und Wetterlage, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * Ampeln, Kreuzungen und Stoppschilder, * Industrieanlagen, * jahreszeitliche Einflüsse. Der Vergleich mit realen Messdaten verdeutlicht somit sowohl die Stärken als auch die Grenzen des entwickelten Modells. Während grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar werden, kann die tatsächliche Feinstaubbelastung nur durch die Berücksichtigung weiterer Einflussgrößen genauer beschrieben werden. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst durch diesen Vergleich kann überprüft werden, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt und an welchen Stellen es verbessert werden muss. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die Modellierung der Feinstaubbelastung verdeutlicht, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität nur näherungsweise beschreiben können. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen beeinflusst das Ergebnis erheblich. Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele weitere Einflussgrößen wurden nicht einbezogen. Daher ergeben sich Unterschiede zwischen den berechneten Werten und den tatsächlichen Messdaten. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid. * Wie könnten die Gewichtungsfaktoren mithilfe wissenschaftlicher Studien verbessert werden? Durch den Vergleich mit realen Messdaten wird deutlich, dass Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft und anschließend verbessert. Dieser Modellierungskreislauf stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Anwendungen in Wissenschaft und Technik dar. ==== Arbeitsaufträge ==== Mögliche Arbeitsaufträge können weiterführend sein: *Vergleiche die Ergebnisse des entwickelten Modells mit der Karte des Umweltbundesamtes. *Welche Gemeinsamkeiten erkennst du zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung? *Welche Unterschiede fallen dir auf? *Welche Einflussgrößen fehlen im bisherigen Modell? *Entwickle einen Vorschlag zur Verbesserung des Modells und begründe deine Entscheidung. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * erheben, dokumentieren und strukturieren reale Daten aus ihrer Lebenswelt. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung und Visualisierung von Daten. * interpretieren Tabellen, Diagramme und mathematische Graphen. * modellieren reale Situationen mithilfe mathematischer Darstellungen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * approximieren Flächen mithilfe der Trapezregel und interpretieren die Ergebnisse im Sachzusammenhang. * entwickeln und begründen mathematische Modelle zur Beschreibung von Umweltbelastungen. * vergleichen mathematische Modelle mit realen Messdaten und reflektieren deren Aussagekraft. * erkennen Chancen und Grenzen mathematischer Modelle. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. * erwerben Kompetenzen im Umgang mit digitalen Datenquellen und statistischen Informationen. * erfahren Mathematik als Werkzeug zur Untersuchung gesellschaftlich relevanter Fragestellungen. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an einer lebensnahen Fragestellung aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Durch die eigenständige Verkehrszählung wird ein direkter Bezug zur Lebenswelt hergestellt. Die Lernenden erleben dabei, wie reale Daten erhoben, ausgewertet und zur Beschreibung komplexer Zusammenhänge genutzt werden können. Im Mittelpunkt der Unterrichtseinheit steht der mathematische Modellierungskreislauf. Ausgehend von einer realen Situation werden Daten erhoben, mathematisch beschrieben, ausgewertet und anschließend mit realen Messdaten verglichen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dadurch, dass mathematische Modelle nicht die Realität selbst darstellen, sondern vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit sind. Die mathematische Komplexität wird durch mehrere didaktische Reduktionen angepasst. Die Verkehrsdichte wird zunächst anhand weniger Messzeitpunkte erfasst und auf Stundenwerte hochgerechnet. Zwischen den Messpunkten wird eine lineare Entwicklung angenommen. Die Fläche unter dem Graphen wird mithilfe der Trapezregel angenähert, sodass die Grundidee der Integralrechnung bereits eingeführt werden kann, ohne auf formale Integrale oder Grenzwertbetrachtungen zurückgreifen zu müssen. Auch die Modellierung der Feinstaubbelastung erfolgt bewusst vereinfacht. Anstatt reale Emissionsmodelle zu verwenden, werden ausgewählte Einflussgrößen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und Abgasemissionen durch Gewichtungsfaktoren beschrieben. Dadurch bleibt das Modell für die Zielgruppe verständlich und ermöglicht gleichzeitig eine fachlich begründete Diskussion über die getroffenen Annahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen Modell und Realität. Durch die Gegenüberstellung der berechneten Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass mathematische Modelle stets Grenzen besitzen und kontinuierlich überprüft und verbessert werden müssen. Dieser Schritt stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Modellierungsprozesse dar. Die Unterrichtseinheit verbindet mathematische Inhalte mit Fragestellungen aus Umweltbildung, Nachhaltigkeit und gesellschaftlicher Verantwortung. Dadurch wird Mathematik nicht nur als abstrakte Wissenschaft, sondern als Werkzeug zur Analyse und Bewertung realer Probleme erfahrbar. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0a95fvhcbifgpy0iwoenm4uzhdgko6c 1105452 1105418 2026-06-25T08:33:04Z Patrick Rutz 41567 /* Darstellung der Messwerte in GeoGebra */ 1105452 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen ** Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel * Modellierung der Feinstaubbelastung ** Vergleich des Modells mit der Realität * Reflexion und Weiterentwicklung des Modells ** Arbeitsaufträge * Kompetenzen und Lernziele * Didaktik und didaktische Reduktion ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. == Mathematische Idee == Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, wie sich die Verkehrsbelastung an einer Straße oder Kreuzung mathematisch beschreiben lässt. Dazu wird die Anzahl der Fahrzeuge in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. Aus den erhobenen Daten entsteht ein Graph, der die Verkehrsdichte im Tagesverlauf darstellt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass nicht nur einzelne Messwerte von Interesse sind, sondern insbesondere die gesamte Anzahl der Fahrzeuge innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Diese Gesamtmenge lässt sich durch die Fläche unter dem Graphen beschreiben. Da die genaue Fläche zunächst nicht bekannt ist, wird sie mithilfe von Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch lernen die Schülerinnen und Schüler eine grundlegende mathematische Methode kennen, mit der Gesamtmengen aus Änderungsraten abgeschätzt werden können. Die so ermittelte Fahrzeuganzahl bildet anschließend die Grundlage für die Entwicklung eines Modells zur Feinstaubbelastung. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss verschiedene Fahrzeugarten auf die Luftqualität haben und wie mathematische Modelle zur Beschreibung realer Umweltprobleme genutzt werden können. Aus Sicht der Mathematik wird die Fläche unter einem Graphen in höheren Klassenstufen durch das bestimmte Integral beschrieben: :<math>\int_a^b v(t),dt</math> Die Unterrichtseinheit ermöglicht somit einen ersten anschaulichen Zugang zu zentralen Ideen der Integralrechnung, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung wird an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durchgeführt. Die Schülerinnen und Schüler erfassen dabei in regelmäßigen Abständen die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und in LibreOffice Calc grafisch dargestellt. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Daten auf eine Stunde hochgerechnet um die Verkehrsdichte pro Stunde zu modellieren. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Jeder Messwert beschreibt die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird der jeweilige Wert dem Mittelpunkt dieses Intervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei <math>x=8{,}5</math> eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr bei <math>x=10{,}5</math> usw. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Sek1 Trapezflächen.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Punkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den Verlauf der Verkehrsdichte im Tagesverlauf modelliert. Dieser Graph dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Gesamtzahl der Fahrzeuge mithilfe der Trapezregel. Dabei wird die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die vorherige Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entstehen zwischen jeweils zwei benachbarten Messpunkten Trapeze. Die Fläche unter dem Graphen kann somit näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite aller Trapeze b=2. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> wobei <math>h_1</math> und <math>h_2</math> die beiden Höhen und <math>b</math> die Breite des Trapezes darstellen. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116</math> Die Summe aller Trapezflächen liefert eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Schülerinnen und Schüler lernen dadurch, wie reale Daten mathematisch modelliert werden können und wie sich Gesamtmengen durch Flächen unter einem Graphen beschreiben lassen. Die Trapezmethode stellt dabei einen ersten anschaulichen Zugang zur späteren Integralrechnung dar, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Zur Abschätzung der Gesamtzahl der Fahrzeuge wird die Fläche unter dem Graphen durch Trapeze angenähert. Die Breite aller Trapeze beträgt 2, da die Mittelpunkte der Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> mit den Höhen <math>h_1</math> und <math>h_2</math> sowie der Breite <math>b=2</math>. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Die x-Achse gibt die Zeit in Stunden an. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher: :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Die Einheit der Fläche wird im Folgenden mit F abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst nur das Verkehrsaufkommen. Für die Untersuchung der Luftqualität muss anschließend betrachtet werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Im Rahmen einer Recherche werden zunächst die wichtigsten Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen betrachtet. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Für einen Verbrenner ergibt sich damit eine Belastung von :<math>1+1+1=3</math> Belastungseinheiten. Für ein Elektroauto ergibt sich :<math>1+1=2</math> Belastungseinheiten. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des Modells zu beurteilen, werden die Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Die folgende Karte des Umweltbundesamtes zeigt die Anzahl der Tage, an denen der Tagesmittelwert für Feinstaub (PM10) den Grenzwert von <math>50,\mu g/m^3</math> überschritten hat. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Die Schülerinnen und Schüler diskutieren anschließend, ob die im Modell gewählten Gewichtungsfaktoren die tatsächliche Feinstaubbelastung angemessen beschreiben. Hierzu können weitere wissenschaftliche Quellen recherchiert und mit den getroffenen Modellannahmen verglichen werden. Darüber hinaus werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise: * Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * Niederschlag, * Temperatur und Wetterlage, * Topographie, * unterschiedliche Fahrzeugtypen, * Verkehrsfluss und Stausituationen, * Ampeln, Kreuzungen und Stoppschilder, * Industrieanlagen, * jahreszeitliche Einflüsse. Der Vergleich mit realen Messdaten verdeutlicht somit sowohl die Stärken als auch die Grenzen des entwickelten Modells. Während grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar werden, kann die tatsächliche Feinstaubbelastung nur durch die Berücksichtigung weiterer Einflussgrößen genauer beschrieben werden. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst durch diesen Vergleich kann überprüft werden, wie gut das Modell die Wirklichkeit beschreibt und an welchen Stellen es verbessert werden muss. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die Modellierung der Feinstaubbelastung verdeutlicht, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität nur näherungsweise beschreiben können. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen beeinflusst das Ergebnis erheblich. Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele weitere Einflussgrößen wurden nicht einbezogen. Daher ergeben sich Unterschiede zwischen den berechneten Werten und den tatsächlichen Messdaten. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * die Berücksichtigung unterschiedlicher Fahrzeugarten, * die Einbeziehung von Windrichtung und Windgeschwindigkeit, * die Berücksichtigung der Topographie, * die Einbindung realer Luftqualitätsdaten, * die Untersuchung weiterer Schadstoffe wie Stickstoffdioxid oder Kohlendioxid. * Wie könnten die Gewichtungsfaktoren mithilfe wissenschaftlicher Studien verbessert werden? Durch den Vergleich mit realen Messdaten wird deutlich, dass Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft und anschließend verbessert. Dieser Modellierungskreislauf stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Anwendungen in Wissenschaft und Technik dar. ==== Arbeitsaufträge ==== Mögliche Arbeitsaufträge können weiterführend sein: *Vergleiche die Ergebnisse des entwickelten Modells mit der Karte des Umweltbundesamtes. *Welche Gemeinsamkeiten erkennst du zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung? *Welche Unterschiede fallen dir auf? *Welche Einflussgrößen fehlen im bisherigen Modell? *Entwickle einen Vorschlag zur Verbesserung des Modells und begründe deine Entscheidung. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * erheben, dokumentieren und strukturieren reale Daten aus ihrer Lebenswelt. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung und Visualisierung von Daten. * interpretieren Tabellen, Diagramme und mathematische Graphen. * modellieren reale Situationen mithilfe mathematischer Darstellungen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * approximieren Flächen mithilfe der Trapezregel und interpretieren die Ergebnisse im Sachzusammenhang. * entwickeln und begründen mathematische Modelle zur Beschreibung von Umweltbelastungen. * vergleichen mathematische Modelle mit realen Messdaten und reflektieren deren Aussagekraft. * erkennen Chancen und Grenzen mathematischer Modelle. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. * erwerben Kompetenzen im Umgang mit digitalen Datenquellen und statistischen Informationen. * erfahren Mathematik als Werkzeug zur Untersuchung gesellschaftlich relevanter Fragestellungen. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an einer lebensnahen Fragestellung aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Durch die eigenständige Verkehrszählung wird ein direkter Bezug zur Lebenswelt hergestellt. Die Lernenden erleben dabei, wie reale Daten erhoben, ausgewertet und zur Beschreibung komplexer Zusammenhänge genutzt werden können. Im Mittelpunkt der Unterrichtseinheit steht der mathematische Modellierungskreislauf. Ausgehend von einer realen Situation werden Daten erhoben, mathematisch beschrieben, ausgewertet und anschließend mit realen Messdaten verglichen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dadurch, dass mathematische Modelle nicht die Realität selbst darstellen, sondern vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit sind. Die mathematische Komplexität wird durch mehrere didaktische Reduktionen angepasst. Die Verkehrsdichte wird zunächst anhand weniger Messzeitpunkte erfasst und auf Stundenwerte hochgerechnet. Zwischen den Messpunkten wird eine lineare Entwicklung angenommen. Die Fläche unter dem Graphen wird mithilfe der Trapezregel angenähert, sodass die Grundidee der Integralrechnung bereits eingeführt werden kann, ohne auf formale Integrale oder Grenzwertbetrachtungen zurückgreifen zu müssen. Auch die Modellierung der Feinstaubbelastung erfolgt bewusst vereinfacht. Anstatt reale Emissionsmodelle zu verwenden, werden ausgewählte Einflussgrößen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und Abgasemissionen durch Gewichtungsfaktoren beschrieben. Dadurch bleibt das Modell für die Zielgruppe verständlich und ermöglicht gleichzeitig eine fachlich begründete Diskussion über die getroffenen Annahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen Modell und Realität. Durch die Gegenüberstellung der berechneten Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass mathematische Modelle stets Grenzen besitzen und kontinuierlich überprüft und verbessert werden müssen. Dieser Schritt stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Modellierungsprozesse dar. Die Unterrichtseinheit verbindet mathematische Inhalte mit Fragestellungen aus Umweltbildung, Nachhaltigkeit und gesellschaftlicher Verantwortung. Dadurch wird Mathematik nicht nur als abstrakte Wissenschaft, sondern als Werkzeug zur Analyse und Bewertung realer Probleme erfahrbar. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] q7cqvh6o3ja83kd8gor5mar2qvdaith 106 170344 1105420 1104937 2026-06-24T22:01:05Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1105420 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. ==== Vergleich von linearem Graphen und Spline ==== Datei =Sekundarstufe 2= ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> 2sihifri2jiy14dsyujjav0wuy6ltl3 1105421 1105420 2026-06-24T22:01:41Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1105421 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. ==== Vergleich von linearem Graphen und Spline ==== Datei =Sekundarstufe 2= ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> 7nkdzmy5w59w3cwxl5vmp4eux5vr04r 1105422 1105421 2026-06-24T22:02:01Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1105422 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. ==== Vergleich von linearem Graphen und Spline ==== Datei ==Sekundarstufe 2== ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> bfje0f3gzqreyaqxqufr1h1zjwyfwrl 1105423 1105422 2026-06-24T22:20:54Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1105423 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. === Vergleich von linearem Graphen und Spline === Die Messpunkte können auf unterschiedliche Weise miteinander verbunden werden. In GeoGebra werden im Folgenden zwei verschiedene Modellierungen betrachtet: ein stückweise linearer Graph (Polygonzug) sowie ein Spline. Beim linearen Graphen werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dabei wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Diese Annahme entspricht dem Vorgehen in der Sekundarstufe 1 und bildet gleichzeitig die Grundlage der Trapezregel. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Stückweise linearer Graph </div> Datei Alternativ können die Messpunkte durch einen Spline verbunden werden. Dabei handelt es sich um eine glatte Kurve, die ebenfalls durch alle Messpunkte verläuft. Zwischen den Messpunkten entstehen jedoch Verläufe, die nicht direkt durch die Messdaten vorgegeben sind. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Spline-Interpolation </div> Datei Beide Darstellungen beschreiben dieselben Messdaten, beruhen jedoch auf unterschiedlichen Annahmen. Während der lineare Graph ausschließlich die gemessenen Werte miteinander verbindet, erzeugt der Spline einen glatten Verlauf zwischen den Messpunkten. Dadurch können Bereiche entstehen, in denen die Kurve zwischen zwei Messpunkten deutlich von einem linearen Verlauf abweicht. Die Schülerinnen und Schüler vergleichen beide Modellierungen und diskutieren deren Vor- und Nachteile. Dabei erkennen sie, dass unterschiedliche mathematische Modelle dieselben Messdaten verschieden beschreiben können und dass die Wahl des Modells einen Einfluss auf die weitere Auswertung besitzt. Für die folgenden Berechnungen wird der lineare Graph verwendet. Diese Modellierung entspricht den getroffenen Annahmen zwischen den Messzeitpunkten und bildet zugleich die Grundlage für die anschließende Approximation der Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel. ==Sekundarstufe 2== ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> 6aw0b5j292fc1h4y2u4uwrnmktyvkuv 1105449 1105423 2026-06-25T08:21:28Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1105449 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. === Vergleich von linearem Graphen und Spline === Die Messpunkte können auf unterschiedliche Weise miteinander verbunden werden. In GeoGebra werden im Folgenden zwei verschiedene Modellierungen betrachtet: ein stückweise linearer Graph (Polygonzug) sowie ein Spline. Beim linearen Graphen werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dabei wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Diese Annahme entspricht dem Vorgehen in der Sekundarstufe 1 und bildet gleichzeitig die Grundlage der Trapezregel. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Stückweise linearer Graph </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.08.06.png|500px|zentriert|linearer Interpolation]] Alternativ können die Messpunkte durch einen Spline verbunden werden. Dabei handelt es sich um eine glatte Kurve, die ebenfalls durch alle Messpunkte verläuft. Zwischen den Messpunkten entstehen jedoch Verläufe, die nicht direkt durch die Messdaten vorgegeben sind. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Spline-Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.09.44.png|500px|zentriert|Spline-Interpolation]] Beide Darstellungen beschreiben dieselben Messdaten, beruhen jedoch auf unterschiedlichen Annahmen. Während der lineare Graph ausschließlich die gemessenen Werte miteinander verbindet, erzeugt der Spline einen glatten Verlauf zwischen den Messpunkten. Dadurch können Bereiche entstehen, in denen die Kurve zwischen zwei Messpunkten deutlich von einem linearen Verlauf abweicht. Die Schülerinnen und Schüler vergleichen beide Modellierungen und diskutieren deren Vor- und Nachteile. Dabei erkennen sie, dass unterschiedliche mathematische Modelle dieselben Messdaten verschieden beschreiben können und dass die Wahl des Modells einen Einfluss auf die weitere Auswertung besitzt. Für die folgenden Berechnungen wird der lineare Graph verwendet. Diese Modellierung entspricht den getroffenen Annahmen zwischen den Messzeitpunkten und bildet zugleich die Grundlage für die anschließende Approximation der Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel. ==Sekundarstufe 2== ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> lbc3utve7bzz7peso7unab3yzl93jwp 1105450 1105449 2026-06-25T08:27:33Z Patrick Rutz 41567 /* Vergleich von linearem Graphen und Spline */ 1105450 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. === Vergleich von linearem Graphen und Spline === Die Messpunkte können auf unterschiedliche Weise miteinander verbunden werden. In GeoGebra werden im Folgenden zwei verschiedene Modellierungen betrachtet: ein stückweise linearer Graph (Polygonzug) sowie ein Spline. Beim linearen Graphen werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dabei wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Diese Annahme entspricht dem Vorgehen in der Sekundarstufe 1 und bildet gleichzeitig die Grundlage der Trapezregel. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Stückweise lineare Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.08.06.png|500px|zentriert|linearer Interpolation]] Alternativ können die Messpunkte durch einen Spline verbunden werden. Dabei handelt es sich um eine glatte Interpolationskurve, die durch alle Messpunkte verläuft. Zwischen den Messpunkten entstehen jedoch Verläufe, die nicht direkt durch die Messdaten vorgegeben sind. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Spline-Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.09.44.png|500px|zentriert|Spline-Interpolation]] Beide Darstellungen beschreiben dieselben Messdaten, beruhen jedoch auf unterschiedlichen Annahmen. Während der lineare Graph ausschließlich die gemessenen Werte miteinander verbindet, erzeugt der Spline einen glatten Verlauf zwischen den Messpunkten. Dadurch können Bereiche entstehen, in denen die Kurve zwischen zwei Messpunkten deutlich von einem linearen Verlauf abweicht. Die Schülerinnen und Schüler vergleichen beide Modellierungen und diskutieren deren Vor- und Nachteile. Dabei erkennen sie, dass unterschiedliche mathematische Modelle dieselben Messdaten verschieden beschreiben können und dass die Wahl des Modells einen Einfluss auf die weitere Auswertung besitzt. Für die folgenden Berechnungen wird die stückweise lineare Interpolation verwendet. Sie beruht ausschließlich auf den gemessenen Daten und setzt zwischen zwei Messpunkten lediglich eine lineare Veränderung voraus. Außerdem bildet sie die mathematische Grundlage der Trapezregel, die im weiteren Verlauf zur näherungsweisen Berechnung der Fläche unter dem Graphen verwendet wird. ==Sekundarstufe 2== ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> dy1gfykrovgmlj2sxxujbxbmwpyby16 1105451 1105450 2026-06-25T08:31:32Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1105451 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. === Vergleich von linearem Graphen und Spline === Die Messpunkte können auf unterschiedliche Weise miteinander verbunden werden. In GeoGebra werden im Folgenden zwei verschiedene Modellierungen betrachtet: ein stückweise linearer Graph (Polygonzug) sowie ein Spline. Beim linearen Graphen werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dabei wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Diese Annahme entspricht dem Vorgehen in der Sekundarstufe 1 und bildet gleichzeitig die Grundlage der Trapezregel. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Stückweise lineare Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.08.06.png|500px|zentriert|linearer Interpolation]] Alternativ können die Messpunkte durch einen Spline verbunden werden. Dabei handelt es sich um eine glatte Interpolationskurve, die durch alle Messpunkte verläuft. Zwischen den Messpunkten entstehen jedoch Verläufe, die nicht direkt durch die Messdaten vorgegeben sind. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Spline-Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.09.44.png|500px|zentriert|Spline-Interpolation]] Beide Darstellungen beschreiben dieselben Messdaten, beruhen jedoch auf unterschiedlichen Annahmen. Während der lineare Graph ausschließlich die gemessenen Werte miteinander verbindet, erzeugt der Spline einen glatten Verlauf zwischen den Messpunkten. Dadurch können Bereiche entstehen, in denen die Kurve zwischen zwei Messpunkten deutlich von einem linearen Verlauf abweicht. Die Schülerinnen und Schüler vergleichen beide Modellierungen und diskutieren deren Vor- und Nachteile. Dabei erkennen sie, dass unterschiedliche mathematische Modelle dieselben Messdaten verschieden beschreiben können und dass die Wahl des Modells einen Einfluss auf die weitere Auswertung besitzt. Für die folgenden Berechnungen wird die stückweise lineare Interpolation verwendet. Sie beruht ausschließlich auf den gemessenen Daten und setzt zwischen zwei Messpunkten lediglich eine lineare Veränderung voraus. Außerdem bildet sie die mathematische Grundlage der Trapezregel, die im weiteren Verlauf zur näherungsweisen Berechnung der Fläche unter dem Graphen verwendet wird. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === In der Sekundarstufe 1 wurde die Gesamtzahl der Fahrzeuge näherungsweise mithilfe der Trapezregel bestimmt. Dabei wurde die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. In der Sekundarstufe 2 wird diese Idee weiterentwickelt. Anstelle einer Näherung wird nun das bestimmte Integral als mathematische Beschreibung der Fläche unter dem Graphen verwendet. Ist <math>V(t)</math> das Verkehrsaufkommen in Fahrzeugen pro Stunde zum Zeitpunkt t, so beschreibt :<math>\int_a^b V(t),\mathrm dt</math> die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum <math>[a,b]</math>. Analog beschreibt :<math>\int_a^b L(t),\mathrm dt</math> die gesamte PM₂,₅-Belastung innerhalb desselben Zeitraums. Wie bereits in der Sekundarstufe 1 ergibt sich die Einheit aus dem Produkt der Einheiten auf den beiden Achsen. Für das Verkehrsaufkommen gilt :<math>\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm{h}}\cdot\mathrm h=\mathrm{Fahrzeuge}</math>. Das Integral liefert somit die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die PM₂,₅-Konzentration ergibt sich entsprechend :<math>\frac{\mu\mathrm g}{\mathrm m^3}\cdot\mathrm h =\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}</math>. Diese Größe beschreibt die über den betrachteten Zeitraum aufsummierte Feinstaubbelastung und wird häufig als zeitintegrierte Konzentration bezeichnet. Das bestimmte Integral stellt somit eine Verallgemeinerung der Flächenberechnung aus der Sekundarstufe 1 dar und ermöglicht eine mathematisch exakte Beschreibung von Gesamtgrößen. ==Sekundarstufe 2== ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> 84qlwhcyqeyretf76fkciogn7vytc1m 106 171235 1105396 1105263 2026-06-24T13:14:33Z Jeb 26942 /* Vorabtreffen online */ +2 SLUB 1105396 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. Juni <br> Workshop am 25./26. Juni 2026 |'''Ort'''| [https://www.dfi.de/ Deutsch-Französisches Institut in Ludwigsburg] | '''Referentinnen''' | Ulrike Blumenthal (DHI Paris), [[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]] (SLUB Dresden) }} == Vorabtreffen online == * Begrüßung und Vorstellungsrunde : Kurzvorstellung Ulrike: [[Projekt:Deutsches Historisches Institut Paris 2025]] : Jens: [[s:Tafellieder|Tafellieder]] * Erstellen eines Benutzerkontos * Erste Edits in [https://de.wikisource.org/wiki/Hauptseite Wikisource] : [[s:Ostereier für Buchhändler (1864)]] : [[s:Kesselsdorf und Maxen – Zwei Winterschlachten bei Dresden]] : [[s:Mitteilungen des Vereins für Chemnitzer Geschichte Dritter und Vierter Band]] : [[s:Index:Die Gartenlaube (1899)]] : [[s:Die Krankenpflege]] : [[s:Dresdner Geschichtsblätter Band 6 (1913 bis 1916)]] : [[s:Index:Besucherbuch Kurfürstlich-Königlichen Bibliothek Dresden 1753-1813.djvu]] ... * Austausch über mögliche Bestände zur Bereitstellung im Wikiversum * Gemeinsame Projekte suchen & finden ... :: ''[https://nbn-resolv ing.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046922 Tafel-Lied zum 1. Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? == Literatur == * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] rsj3p4k47imav4t3gtk24zp2zynn4sk 1105424 1105396 2026-06-25T04:24:24Z Jeb 26942 /* Literatur */ File:OALudwigsburg0000.jpg 1105424 wikitext text/x-wiki {{Kurs Box | '''Workshop''' | [https://aspb.de/angebote/workshops/wikiversum/ Spezialbestände im Wikiversum sichtbar machen – Praxisworkshop für Spezialbibliotheken] |'''Veranstalter'''| [https://aspb.de/ Arbeitsgemeinschaft der Spezialbibliotheken e.V.] | '''Ziel''' | Workflow kennenlernen für die Erschließung von Spezialbeständen im Wikiversum <br> Mehr Edits wagen! | '''Termin'''| Auftakt online: 9. 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Stiftungs-Fest der Freiwilligen Feuerwehr Langebrück am 25. Februar 1895]'' :: ''[https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:bsz:14-qucosa2-1046948 Kneip-Lied zum Abschieds-Kränzchen der abgehenden Rekruten der Freiw. Feuerwehr zu Langebrück]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1841125024 Regulativ, die vom Ausschank von Branntwein und vom Kleinhandel mit Branntwein und Spiritus in der Stadt Meißen zu entrichtende Gewerbesteuer betreffend]'' :: ''[http://digital.slub-dresden.de/id1923498304 Regulativ, den Handel mit Flaschenbier betreffend]'' == Workshop == === Wikisource-Projekte === === Commons === === Wikidata === == Offene Fragen und Herausforderungen == * Langzeitarchivierung über Commons und Internet Archive hinaus? * Aufbewahrung der digitalisierten Dokumente? In welchem Format? == Neue Projektideen == * Comics? == Literatur == [[Datei:OALudwigsburg0000.jpg|mini|Ludwigsburg]] {{Wikisource|Beschreibung des Oberamts Ludwigsburg}} * Ulrike Blumenthal, Jens Bemme: Die Erschließung von Spezialbeständen mit Wikidata, Wikisource & Co. Ein Pilotprojekt der Bibliothek des DHI Paris, Dez 2025, Vortrag auf der #vBIB25, [https://opus4.kobv.de/opus4-bib-info/frontdoor/index/index/docId/20028/ urn:nbn:de:0290-opus4-200284] * Jens Bemme, Daniel Fischer: Poster-[[Projekt:Wikisource links SaxFDM 2026]] == Galerie == <gallery> Jahresbericht des Doppelheims fuer deutsche Erzieherinnen und deutsche Maedchen 1888-1889.pdf|[[s:Vierter Jahresbericht des Doppelheims für deutsche Erzieherinnen und deutsche Mädchen 1888-1889]] Wikisource-Broschüre.pdf|Wikisource-Broschüre, 2019 Wikidata-Broschüre.pdf|Wikidata-Broschüre, 2019 Wikimedia Commons web.pdf|Infobroschüre Wikimedia Commons, 2016 Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|''[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]]'' Wikimedia_logo_family_complete-2023.svg|Wikimedia logo family 2023 Die_Datenlaube_green_edition.jpg </gallery> [[Kategorie:Bibliothek]] ak4bxb1zb97w88iwaa7ag8z5500r7z2 106 171525 1105433 1093844 2026-06-25T06:42:55Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105433 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|19|25|Kurs=|}} 08kdnmpuxlpvxp51s09mlzzw43nlma3 106 171765 1105438 1105003 2026-06-25T06:43:45Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105438 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|19|5|Kurs=|}} c950twsoryc284t54awet9bo6ahz6q4 106 171768 1105443 1105006 2026-06-25T06:44:35Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105443 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Lemma|8|11|Kurs=|}} b1zmpog5muwb8oh17enub8jda3b38m2 106 171776 1105437 1105015 2026-06-25T06:43:35Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105437 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|17|8|Kurs=|}} pb1csyyj70o2op04kngdrpsfszz8dyi 106 171782 1105425 1105023 2026-06-25T06:41:35Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105425 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|15|13|Kurs=|}} mvr25lkoxqxhm1nqr9pup7rsf8pa7jd 106 171837 1105435 1105290 2026-06-25T06:43:15Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105435 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|26|11|Kurs=|}} ok4hcj19lp6cqtytrg4lij8v10mkvkc 106 171838 1105442 1105291 2026-06-25T06:44:25Z Arbota 36910 Bot: Referenznummer aktualisiert. 1105442 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Beispiel|26|8|Kurs=|}} eauy7zp6v4tn2a7qg43aus916og7z3a 106 171862 1105408 2026-06-24T20:40:26Z Paul Sutermeister 37610 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1105408 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Ergänze die Wörter: '''Aufgaben''', '''Effizienz''', '''Entscheidungen''', '''Erfolg''', '''Fehler''', '''Kommunikation''', '''Missverständnisse''', '''Normen''', '''Produkte''', '''reduziert''', '''Wirtschaft'''. | type="{}" } Klare { Kommunikation } ist in der { Wirtschaft } wichtig, weil sie die { Effizienz } steigert und { Missverständnisse } reduziert. Wenn klar kommuniziert wird, passieren weniger { Fehler } und Kosten werden { reduziert }. Kunden kaufen verständlich präsentierte { Produkte } und Dienstleistungen. Mitarbeitende sind motiviert und produktiv, wenn sie klare { Aufgaben } haben. { Normen } werden eingehalten, wenn sie verständlich sind. Verständliche Information führt zu raschen und besseren { Entscheidungen }. Klare Kommunikation ist ein Schlüssel zum { Erfolg }. { Wer schuf das [[:w:Hamburger Verständlichkeitskonzept|Hamburger Verständlichkeitsmodell]]? } - Claude E. Shannon - Warren Weaver - Paul Watzlawick + Friedemann Schulz von Thun - Thomas A. Harris + Reinhard Tausch { Wie ist ein Text? Wähle das Gegenteil: | typ="[]" } | geordnet | kompliziert | prägnant | nüchtern --+- ausführlich +--- unübersichtlich -+-- einfach ---+ anregend { Wie soll ein Text sein? Wähle, was zusammengehört: | typ="[]" } | geordnet | einfach | prägnant | anregend -+-- kurze Sätze ---+ interessant --+- auf den Punkt gebracht +--- in Abschnitte gegliedert { Ergänze die Wörter: Berichten, Beziehungen, Hintergrundinformationen, ineffizient, Kommunikationsziel, Kundengesprächen, langweilt, Mass, Präsentationen, Schreiben, schlecht, Verständnis. | type="{}" } Weitschweifigkeit ist nicht immer { schlecht }. Es hängt von der Situation und dem { Kommunikationsziel } ab. Weitschweifiges Sprechen oder { Schreiben } kann in einigen Fällen angemessen sein, während es in anderen als störend oder { ineffizient } empfunden wird. Bei { Präsentationen } können Details und { Hintergrundinformationen } wichtig sein, um ein besseres { Verständnis } des Themas zu vermitteln. In { Kundengesprächen } können Weitschweifigkeiten in Ordnung sein, da es darum geht, { Beziehungen } zu vertiefen und Gedanken auszutauschen. In geschäftlichen oder wissenschaftlichen { Berichten } gilt Weitschweifigkeit als negativ. Hier ist eine klare und präzise Kommunikation wichtig, und Weitschweifigkeit verwirrt oder { langweilt }Lesende oder Zuhörende. Gut kommuniziert man, wenn man den richtigen Kontext und das angemessene { Maß|Mass } an Weitschweifigkeit für die jeweilige Situation beachtet. { Ordne zu: | typ="[]" } | Prägnanz | Weitschweifigkeit +- für Experten in Fachsprache erklären -+ für Laien ausführlich erklären +- viel Information in wenig Text -+ wenig Information in viel Text { Ordne zu: | typ="[]" } | nüchtern | anregend +- formell -+ lustig -+ provokativ +- sachlich +- verlockend { Welcher Stil passt? | typ="[]" } | nüchtern | anregend -+ Angebot +- Anleitung +- Bestellung -+ Einladung +- Vorladung +- Protokoll +- Reklamation -+ Werbung { Was ist in geschäftlicher Kommunikation immer gut? } + Ordnung - Prägnanz + Gliederung - Kürze + Einfachheit - Stimulanz { Was ist in geschäftlicher Kommunikation nicht immer schlecht? } - Kompliziertheit + Stimulanz + Keine Stimulanz + Kürze + Weitschweifigkeit - Unübersichtlichkeit </quiz> [[Kategorie:Kurs:Communication Skills (Handelsdiplom VSH)]] lfuiedor3s82zyywt3n74mqfw5czb5k 1105413 1105408 2026-06-24T20:52:31Z Paul Sutermeister 37610 1105413 wikitext text/x-wiki <quiz display="simple"> { Wer schuf das [[:w:Hamburger Verständlichkeitskonzept|Hamburger Verständlichkeitsmodell]]? } - Claude E. 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