Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.11 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 10599 1107340 1082932 2026-07-15T14:38:56Z Arbota 36910 Ersetzung 1107340 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme in {{mathl|term= {\Z}[{{imaginäre Einheit}}] |SZ=}} mithilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 35+18{{imaginäre Einheit}} |SZ=}} und {{mathl|term= 8+11{{imaginäre Einheit}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort=Euklidischer Algorithmus |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b2olznje7fe6v3eddyp9res03tnkac0 0 10601 1107341 1041868 2026-07-15T14:39:05Z Arbota 36910 Ersetzung 1107341 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{math|term= \Z[{{imaginäre Einheit}}] |SZ=}} mithilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 5+2{{imaginäre Einheit}} |SZ=}} und {{mathl|term= 3+7{{imaginäre Einheit}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gaußschen Zahlen |Kategorie2=Euklidischer Algorithmus |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} foffwk98t7601puaxhrxlqzkmob5xg2 0 10603 1107342 1041869 2026-07-15T14:39:15Z Arbota 36910 Ersetzung 1107342 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme in {{mathl|term= {\Z}[{{imaginäre Einheit}}] |SZ=}} mithilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 7+4{{imaginäre Einheit}} |SZ=}} und {{mathl|term= 5+3{{imaginäre Einheit}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gaußschen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Stichwort=Euklidischer Algorithmus |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bmct080s4lilt7ztugo10t0m5tml5se 0 11096 1107316 781502 2026-07-15T14:34:36Z Arbota 36910 Ersetzung 1107316 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe der Division mit Rest, dass jede {{ Zusatz/Klammer |text=additive| |ISZ=|ESZ= }} Untergruppe von {{math|term= \Z|SZ=}} die Form {{math|term= \Z a|SZ=}} besitzt, also aus allen Vielfachen einer gewissen Zahl besteht. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie_der_Untergruppen_von_Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Untergruppen |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bdr8w3qy3sf6w3f41roluklbn61w59t 0 13117 1107358 1042398 2026-07-15T14:42:16Z Arbota 36910 Ersetzung 1107358 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein {{ Definitionslink |kommutativer Ring| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | f | \in | R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass die Multiplikation mit {{math|term= f|SZ=,}} also die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\mu_f | R | R | x |fx |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |SZ= }} von {{mathl|term= (R,+,0)|SZ=}} ist. Charakterisiere mithilfe der Multiplikationsabbildung, wann {{math|term= f|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Nichtnullteiler| |Kontext=| |SZ= }} und wann {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplikation |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bapfezvxfarctxuucnf7poh612y1wec 0 13871 1107399 1084052 2026-07-15T14:51:22Z Arbota 36910 Ersetzung 1107399 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne für {{ Relationskette | p || 17 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | k || 5 || || || |SZ= }} den Ausdruck {{ Relationskette/display | S(k,p) || \sum_{i {{=|}} 1}^ \frac{p-1}{2} {{op:Gaußklammer| \frac{ki}{p} |}} || || || |SZ=. }} Berechne{{n Sie}} damit {{mathl|term= {{op:Legendre-Symbol| k |p}} |SZ=}} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Beschreibung des Legendre Symbols mit Summe/Fakt |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Summe |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bxzvt8esy6xa53jknlb8e6n6nifgdli 0 14016 1107393 1027552 2026-07-15T14:49:47Z Arbota 36910 Ersetzung 1107393 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Primzahlverteilung/Häufigkeit gegen null/Fakt |SZ=, }} also die Aussage, dass {{ Relationskette/display | \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x} || 0 || || || |SZ= }} ist, mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Zetafunktion/Divergenz der Produktdarstellung für s ist 1/Fakt |Nr= |SZ= }} über die Riemannsche {{math|term= \zeta |SZ=-}}Funktion. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Häufigkeit von Primzahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 99e6e25i3cru8zp19dhd0zs0th8r15e 0 16809 1107339 1041866 2026-07-15T14:38:45Z Arbota 36910 Ersetzung 1107339 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{mathl|term= \Z[ {{Imaginäre Einheit}} ] |SZ=}} mithilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von {{mathl|term= 23+2 {{Imaginäre Einheit}} |SZ=}} und {{mathl|term= 1+23 {{Imaginäre Einheit}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gaußschen Zahlen |Kategorie2=Euklidischer Algorithmus |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring der Gaußschen Zahlen |Punkte=4 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eqy8dakjsqkmeh04dfmxxobenamv61z 0 17186 1107397 1073930 2026-07-15T14:51:02Z Arbota 36910 Ersetzung 1107397 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} mithilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Er{{drucktrenn}}gänzungssätze das Legendre-Symbol {{ Math/display|term= {{op:Legendre-Symbol| 563 | 1231 }} |SZ=. }} Bemerkung: {{math|term= 563 }} und {{math|term= 1231 }} sind Primzahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Punkte=4 |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ic39tvehehpib43exmy6xq5qq8t40gb 0 18709 1107398 1099039 2026-07-15T14:51:12Z Arbota 36910 Ersetzung 1107398 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} mithilfe des quadratischen Reziprozitätsgesetzes und seiner Ergänzungssätze das {{ Math/display|term= {{op:Legendre-Symbol| 947| 2267}} |SZ=. }} Bemerkung: {{math|term= 947}} und {{math|term= 2267}} sind Primzahlen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pq6s2dc301lt4cmukuvcc4tohopaw4o 0 18853 1107417 787006 2026-07-15T14:56:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107417 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweisen Sie den Zwischenwertsatz für reellwertige stetige Funktionen {{math|term= f\colon [0,1] \to \mathbb R}}, etwa mithilfe von Aufgabe 2 dieses Arbeitsblattes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der stetigen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e74kmhc0q64m2ezte761ux48obgi9qf 0 18873 1107337 782441 2026-07-15T14:38:35Z Arbota 36910 Ersetzung 1107337 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Charakterisiere in {{math|term= \Z|SZ=}} die [[Idealtheorie (kommutative Algebra)/Radikal/Definition|Radikale]] mithilfe der Primfaktorzerlegung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Primfaktorzerlegung (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qp7lgwuarqeqgncyvl3je6swzbat3qe 0 19032 1107418 1050297 2026-07-15T14:56:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1107418 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Das {{ Definitionslink |Prämath= |Möbiusband| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= M}} entsteht aus einem Rechteck durch Verkleben zweier gegenüberliegender Seiten, wobei eine Seite vor dem Verkleben um {{math|term= \pi}} gedreht wird. Der Nullschnitt {{ Relationskette | L | \subseteq | M || || || |SZ= }} ist die Mittellinie. Zeige{{n Sie}} mithilfe einer Schere, dass das Komplement des Nullschnittes {{math|term= M \setminus L}} zusammenhängend ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Grundbegriffe der Topologie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Möbiusband |Stichwort=Möbiusband |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lhjpdf16p4tg657n1dq5j516r23h8vo 0 19115 1107400 987751 2026-07-15T14:51:32Z Arbota 36910 Ersetzung 1107400 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Parametrisiere{{n Sie}} die durch {{ Relationskette/display |F || 2x^2-xy+3y^2+x-5y || || || |SZ= }} definierte Quadrik mithilfe des Nullpunktes und der Geraden {{mathl|term= V(y-1)|SZ=}}. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom 2x^2-xy+3y^2+x-5y |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jn66xvv5ygphtrveptxe3606ed1mz3o 0 19117 1107401 1048102 2026-07-15T14:51:42Z Arbota 36910 Ersetzung 1107401 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Parametrisiere{{n Sie}} die durch {{ Relationskette/display |F || x^2+2xy-y^2+x-3y+4 || || || |SZ= }} definierte Quadrik {{ Relationskette | {{{C|C}}} || V(F) || || || |SZ= }} mithilfe des Punktes {{ Relationskette | (1,2) | \in | {{{C|C}}} || || || |SZ= }} und der {{math|term= y|SZ=-}}Achse. Führe{{n Sie}} keine Variablentransformation durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadriken in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom x^2+2xy-y^2+x-3y+4 |Stichwort= |Punkte=4 |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9mjr3cgcjoosoyvl1pqysdt0wytiyzo 0 20084 1107455 1104692 2026-07-15T16:22:46Z Bocardodarapti 2041 1107455 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Eine {{ Definitionslink |Relation| |SZ= }} {{math|term= \preccurlyeq |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= I |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Ordnungsrelation}} oder {{Definitionswort|Ordnung|SZ=,}} wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Relationskette |i | \preccurlyeq |i || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette |i | \in | I || || || |SZ=. }} |Aus {{ Relationskette |i | \preccurlyeq |j || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |j | \preccurlyeq |k || || || |SZ= }} folgt stets {{ Relationskette |i | \preccurlyeq |k || || || |SZ=. }} |Aus {{ Relationskette |i | \preccurlyeq |j || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |j | \preccurlyeq |i || || || |SZ= }} folgt {{ Relationskette |i || j || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Ordnungsrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Ordnungsrelation |Definitionswort2=Ordnung |Definitionswort/englisch=Order relation |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ra3342oyjfymkq30brt5onqrv5cx3qh 0 20433 1107357 1098285 2026-07-15T14:42:06Z Arbota 36910 Ersetzung 1107357 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} ein kommutativer Ring. Beweise{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath=R |Algebraiso{{drucktrenn}}mor{{drucktrenn}}phie| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | R[\Z^n] | \cong| R[X_1 {{kommadots|}} X_n]_{X_1 \cdots X_n } || || || |SZ= }} mithilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der normalen torischen Monoidringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e57xfgutiaayd24qbhiktdk0rjcpepa 10 21142 1107434 604156 2026-07-15T15:12:45Z Bocardodarapti 2041 1107434 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\betrag { {{{1}}} } |#default = \lvert { {{{1}}} } \rvert }}</includeonly><noinclude>{{Operatorvorlage|Topologie|Betrag}}</noinclude> j696ks4dnrsw3msblbyyc6t643yso47 1107435 1107434 2026-07-15T15:13:19Z Bocardodarapti 2041 1107435 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex=\betrag { {{{1}}} } |#default = \vert { {{{1}}} } \vert }}</includeonly><noinclude>{{Operatorvorlage|Topologie|Betrag}}</noinclude> owd41lza2retgzayroxl3bd8q3uvamv 0 22982 1107347 998969 2026-07-15T14:40:26Z Arbota 36910 Ersetzung 1107347 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe der Homomorphiesätze, dass {{ Definitionslink |zyklische Gruppen| |SZ= }} mit der gleichen {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppe |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Homomorphiesatz (Gruppen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6szp5qsf0gliogj6v79v4hsgm3w59be 0 23764 1107359 1042409 2026-07-15T14:42:26Z Arbota 36910 Ersetzung 1107359 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Kommutativer Ring/Situation|SZ=}} und {{ Relationskette | f | \in | R || || || |SZ=. }} Charakterisiere{{n Sie}} mithilfe der Multiplikationsabbildung {{ Abbildung/display |name=\mu_f | R | R | g |fg |SZ=, }} wann {{math|term= f|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Nichtnullteiler| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Nichtnullteiler/Definition |SZ= }} und wann {{math|term= f|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Einheit| |Definitionsseitenname= Kommutative Ringtheorie/Einheit/Definition |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Einheiten (kommutative Ringe) |Kategorie2=Theorie der Nullteiler (kommutative Ringe) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Multiplikation |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8ow0sn75xphvrzd0z1f86xb41a26ibu 0 25105 1107392 785314 2026-07-15T14:49:37Z Arbota 36910 Ersetzung 1107392 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} mithilfe der eindeutigen Primfaktorzerlegung in {{math|term= \Z|SZ=,}} dass {{math|term= 9^{1/3}|SZ=}} irrational ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraischen irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fp18y9jow26ardnagdetx7dr3qzcthk 0 25288 1107426 787695 2026-07-15T14:58:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1107426 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die Konstruktion einer reellen Zahl {{math|term= x|SZ=}} mithilfe von Zirkel und Lineal, deren Abweichung von {{math|term= \sqrt{\pi}|SZ=}} kleiner als {{mathl|term= 0{,}00001|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Quadratur des Kreises |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sttsttrk3dfba2jsnkfxh94thcnx2h5 0 25354 1107326 1041316 2026-07-15T14:36:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1107326 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe des verschobenen {{ Faktlink |Präwort=|Eisensteinkriteriums|Faktseitenname= Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Faktorieller Bereich/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass das Polynom {{mathl|term= X^3-3X-1|SZ=}} irreduzibel in {{math|term= \Q[X] |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Eisensteinkriterium |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X-1 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i2p9qwcqrjwyfah3q2wzcd2s1itt1jt 0 25967 1107366 783439 2026-07-15T14:43:26Z Arbota 36910 Ersetzung 1107366 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Charakterisiere{{n Sie}} mithilfe von Fermatschen Primzahlen {{ Zusatz/Klammer |text=ohne Beweis| |SZ= }} diejenigen natürlichen Zahlen {{math|term= n|SZ=,}} für die das reguläre {{math|term= n|SZ=-}}Eck konstruierbar ist. Wende diese Charakterisierung für {{math|term= n|SZ=}} zwischen {{math|term= 30|SZ=}} und {{math|term= 40|SZ=}} an. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konstruierbaren Einheitswurzeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d43iy0anwpa23cxl2w97vqx852l0ox3 0 26750 1107433 1047099 2026-07-15T15:09:02Z Bocardodarapti 2041 1107433 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} durch Induktion die folgenden Formeln. {{ Aufzählung3 |{{ Relationskette/display | \sum_{i {{=|}} 1}^n i || \frac{n(n+1)}{2} || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | \sum_{i {{=|}} 1}^n i^2 || \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} || || || |SZ=. }} |{{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1}^n i^3 || {{makl| \frac{n(n+1)}{2} |}}^2 || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gzd9uag8zcs50hatg4hmsl9cqm7msqd 0 27616 1107303 435191 2026-07-15T14:32:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107303 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Modelliere{{n Sie}}{{{ref1|}}} eine Bundestagswahl mithilfe von geeigneten Abbildungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Wahl |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hg17pn3x5k7ecbs0i4yqvgpfdm8267s 0 28520 1107427 849096 2026-07-15T14:59:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107427 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten eine digitale Uhr, die {{math|term= 24|SZ=}} Stunden, {{math|term= 60|SZ=}} Minuten und {{math|term= 60|SZ=}} Sekunden anzeigt. Beschreibe{{n Sie}} die möglichen Zustände {{ Zusatz/Klammer |text=also die möglichen Zeitangaben| |ESZ= }} mithilfe einer geeigneten {{ Definitionslink |Produktmenge| |Kontext=m| |SZ=. }} Definiere{{n Sie}} {{ Zusatz/Klammer |text=mithilfe von geeigneten Hilfsabbildungen| |ESZ= }} die Nachfolgerabbildung, die zu jeder Zeitangabe die Zeitangabe der nächsten Sekunde berechnet. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modulare Arithmetik |Kategorie2=Theorie der Zählsysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Digitale Uhr |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r5y5ew90wcvbicxh8cwbkag6d9ypda6 0 31639 1107334 1041746 2026-07-15T14:38:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1107334 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R | x |f(x) {{=|}} x^2+x-1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |SZ= }} im {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |SZ= }} {{math|term= [0,1] |SZ=}} mithilfe der {{ Faktlink |Intervallhalbierungsmethode|Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 1/100|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Intervallhalbierung |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} b79dy4d8zcnn70x03h071hxn4qs14cc 0 31640 1107335 1041747 2026-07-15T14:38:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1107335 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R | x |f(x) {{=|}} x^3 -3x+1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |SZ= }} im {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |SZ= }} {{math|term= [0,1] |SZ=}} mithilfe der {{ Faktlink |Intervallhalbierungsmethode|Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 1/200|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort=Intervallhalbierung |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ctde9440imu1h9r6b82l0uog3dcfehj 0 33248 1107295 1097611 2026-07-15T14:30:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1107295 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=der|Bernoulli-Ungleichung|Faktseitenname= Angeordneter Körper/Bernoulli Ungleichung/Fakt |Nr= |SZ= }} den Grenzwert der Folge {{ Relationskette/display | x_n | {{defeq}} | {{makl| 1- {{op:Bruch| 1 |n^2|}} |}}^n || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Bernoullische Ungleichung |Kategorie2=Theorie der Folgen in angeordneten Körpern |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h4iikfnv5p3q4ajiljssg3eobhe72cd 0 33256 1107305 1019840 2026-07-15T14:32:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1107305 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige mithilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die durch {{ Math/display|term= x_1:=1, \, x_{n+1}:=\frac{2+x_n }{1+x_n }, |SZ= }} rekursiv definierte Folge konvergiert. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9xebvm5v7h7aii0povodmsrj758strt 0 35562 1107420 1099428 2026-07-15T14:56:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107420 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir wollen die {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/{{{K|K}}}/Kettenregel/Fakt |SZ= }} anhand der beiden Abbildungen {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{KRC/{{{K|K}}} |}} ^2 | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3 |(u,v)|(uv,u-v,v^2) |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name=\psi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3| {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 |(x,y,z)|(xyz^2,y \exp(xz)) |SZ=, }} und ihrer Komposition {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} veranschaulichen. {{ Aufzählung5 |Berechne für einen beliebigen Punkt {{ Relationskette |P | \in | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || || || |SZ= }} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext= {{{K|K}}} | |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} }} mithilfe von {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext= {{{K|K}}} | |SZ=. }} |Berechne für einen beliebigen Punkt {{ Relationskette |Q | \in | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3 || || || |SZ= }} das totale Differential {{mathl|term= {{op:Totales Differential| \psi|Q}} |SZ=}} mithilfe von partiellen Ableitungen. |Berechne{{n Sie}} explizit die Komposition {{ Abbildung |name=\psi \circ \varphi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2| {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || |SZ=. }} |Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt {{ Relationskette |P | \in | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || || || |SZ= }} das totale Differential von {{ Abbildung |name=\psi \circ \varphi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2| {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || |SZ=. }} |Berechne das totale Differential von {{ Abbildung |name=\psi \circ \varphi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2| {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || |SZ= }} in einem Punkt {{ Relationskette |P | \in | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || || || |SZ= }} mithilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor=Brenner |Bearbeitungsstand= }} 4fghfgue1rla0ghvwlyb6bvbcxw9eai 0 35687 1107314 1097831 2026-07-15T14:34:16Z Arbota 36910 Ersetzung 1107314 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die {{ Definitionslink |Kurve| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R^3 | x | {{op:Zeilenvektor| x^2-x| x^3+ {{op:sinh| x |}} | {{op:sin|(x^2)|}} }} |SZ=. }} a) Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=Kurve| |SZ= }} von {{math|term= f|SZ=}} in jedem Punkt {{math|term= x|SZ=.}} b) Bestimme{{n Sie}} die Komponentenfunktionen von {{math|term= f|SZ=}} bezüglich der neuen Basis {{ Math/display|term= (1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0) |SZ= }} von {{math|term= \R^3|SZ=.}} c) Berechne{{n Sie}} die Ableitung in der neuen Basis direkt und mithilfe von {{ Faktlink ||Faktseitenname= Differenzierbare Kurven/Euklidisch/Lineare Abbildung/Fakt |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Kurven (R) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Basiswechsel |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pekk0wahqan63eoneaty0hhoc9loskj 0 36567 1107310 1097751 2026-07-15T14:33:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1107310 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Betrachte die Matrix {{ Relationskette/display | A || {{op:Matrix33| 1 | 0 | 2 | 2| 1 | 3 | 1 | 0 | 1}} | \in | {{op:Matq| 3 |K=\R}} || || || |SZ=. }} Löse{{n Sie}} das lineare Gleichungssystem {{ Relationskette | Ax || (1,0,2)^t || || || |SZ= }} mithilfe der Cramerschen Regel {{ Zusatz/Klammer |text=man überlege sich natürlich vorher, ob man diese Regel überhaupt anwenden darf| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Cramersche Regel (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 399qrvlpnxo5g8we0rgg6ih44g4vmgo 0 38506 1107421 1099429 2026-07-15T14:56:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107421 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestätige{{n Sie}} die {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Totale Differenzierbarkeit/{{{K|K}}}/Kettenregel/Fakt |SZ= }} anhand der beiden Abbildungen {{ Abbildung/display |name=\varphi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3 |(u,v)|(u^2v^2,u+ {{op:sin| v |}},v^3) |SZ=, }} und {{ Abbildung/display |name=\psi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3| {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 |(x,y,z)|(x^2y-z^2,xy^2 +yz {{op:exp| x |}} ) |SZ=, }} und ihrer Komposition {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} in folgenden Schritten. {{ Aufzählung5 |Berechne für einen beliebigen Punkt {{mathl|term= P \in {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2|SZ=}} das {{ Definitionslink |totale Differential| |Kontext= {{{K|K}}} | |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Totales Differential|\varphi|P}} }} mithilfe von {{ Definitionslink |partiellen Ableitungen| |Kontext= {{{K|K}}} | |SZ=. }} |Berechne für einen beliebigen Punkt {{mathl|term= Q \in {{KRC/{{{K|K}}} |}}^3|SZ=}} das totale Differential {{mathl|term= {{op:Totales Differential| \psi|Q}} |SZ=}} mithilfe von partiellen Ableitungen. |Berechne explizit die Komposition {{ Abbildung |name=\psi \circ \varphi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2| {{KRC/{{{K|K}}} |}} ^2 || |SZ=. }} |Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt {{mathl|term= P \in {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2|SZ=}} das totale Differential von {{ Abbildung |name=\psi \circ \varphi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2| {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || |SZ=. }} |Berechne das totale Differential von {{ Abbildung |name=\psi \circ \varphi | {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2| {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2 || |SZ= }} in einem Punkt {{mathl|term= P \in {{KRC/{{{K|K}}} |}}^2|SZ=}} mithilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Kettenregel (totale Differenzierbarkeit) (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kettenregel |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4wbgsvl33gdz76pcpc4gdfablmnd0iv 0 39345 1107325 841535 2026-07-15T14:35:59Z Arbota 36910 Ersetzung 1107325 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} eine beliebige {{ Definitionslink |einfache Funktion| |Kontext=| |SZ= }} mithilfe von {{ Definitionslink |Indikatorfunktionen| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der einfachen Funktionen auf Messräumen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Indikatorfunktion |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vxr8svxqyna6ebi2cbs8tfjc70qlx0 0 41941 1107351 863801 2026-07-15T14:40:56Z Arbota 36910 Ersetzung 1107351 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die folgenden Sätze. {{ Aufzählung4 |Der {{Stichwort/Abfrage|Mittelwertsatz der Integralrechnung|SZ=.}} |Der {{Stichwort/Abfrage|Hauptsatz der Infinitesimalrechnung|SZ=.}} |Der {{Stichwort/Abfrage|Satz von Schwarz|SZ=.}} |Die {{Stichwort/Abfrage|Charakterisierung der Trigonalisierbarkeit|SZ=}} einer linearen Abbildung mithilfe des charakteristischen Polynoms. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mehrdimensionale Analysis |Kategorie2=Lineare Algebra (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8sxqh6ro97pm3lppskmd8960a02dda2 0 43663 1107371 904982 2026-07-15T14:44:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107371 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Körper/Nullstellen von X^q-X/bilden Körper/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von Fixkörpern. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Körper in positiver Charakteristik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aqohc1g545t9tq50hiag65alukg1rqp 0 44104 1107291 1082171 2026-07-15T14:29:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107291 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Körper/Situation|SZ=}} der {{ Definitionslink |Charakteristik| |Kontext=Körper| |SZ= }} {{math|term= 0|SZ=}} und sei {{mathl|term= K \subseteq K(\zeta)|SZ=}} die {{ Definitionslink |Adjunktion| |Kontext=Körper| |SZ= }} einer {{math|term= n|SZ=-}}ten {{ Definitionslink |primitiven Einheitswurzel| |Kontext=| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Übertragung auf Kompositum/Fakt |Nr= |SZ= }} und der Theorie der Kreisteilungskörper {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= \Q|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=, }} dass {{mathl|term= K \subseteq K(\zeta) |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Galoiserweiterung| |Kontext=| |SZ= }} ist, deren Galoisgruppe {{ Definitionslink |abelsch| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kreisteilungskörper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} srt86jiywuthat5gg4vp0zr3uyc8ytj 0 44725 1107304 1040863 2026-07-15T14:32:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1107304 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde die Lösungen der kubischen Gleichung {{ Math/display|term= x^3+px=0 |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{mathlk|term=p \in {{CC}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} direkt und mithilfe der {{ Faktlink |Präwort=|Formel von Cardano|Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Cardanoschen Formeln (Grad 3) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} oq0a4dsi8aeeq4wauknsrcrqapid064 0 45760 1107328 1013845 2026-07-15T14:36:42Z Arbota 36910 Ersetzung 1107328 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text=Es sei {{math|term= p|SZ=}} eine {{ Definitionslink |Primzahl| |Kontext=| |SZ= }} und {{ mathbed|term= q=p^e ||bedterm1= e \geq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} eine Primzahlpotenz. Beweise{{n Sie}} mithilfe der verschiedenen äquivalenten Eigenschaften aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass die {{ Definitionslink |Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= {\mathbb F}_p \subseteq {\mathbb F}_q|SZ=}} {{ Definitionslink |galoissch| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Galoistheorie endlicher Körper |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dn5un08sso1y91o3wevqontm0gqgks9 0 45853 1107324 1082674 2026-07-15T14:35:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1107324 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= K \subseteq L=K[x] |SZ=}} eine {{ Definitionslink |endliche| |Kontext=Körpererweiterung| |SZ= }} {{ Definitionslink |einfache Körpererweiterung| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Abbildung |name=\mu_x | L | L || |SZ= }} die Multiplikation mit {{math|term= x|SZ=.}} a) Schreibe die Matrix der linearen Abbildung {{math|term= \mu_x|SZ=}} bezüglich der {{ Definitionslink |Basis| |Kontext=vr| |SZ= }} {{mathl|term= 1, x, x^2 {{kommadots|}} x^{n-1} |SZ=}} von {{math|term= L|SZ=}} mithilfe des {{ Definitionslink |Minimalpolynoms| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= x|SZ=.}} b) Zeige{{n Sie}} ausgehend von der Matrix aus a), dass das {{ Definitionslink |charakteristische Polynom| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= \mu_x|SZ=}} mit dem Minimalpolynom zu {{math|term= x|SZ=}} übereinstimmt. c) Begründe{{n Sie}} {{Anführung|theoretisch|SZ=,}} dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Eigenräume von Körperautomorphismen |Kategorie2=Theorie des Minimalpolynoms für algebraische Elemente |Kategorie3=Theorie der Multiplikationsabbildung bei endlichen Körpererweiterungen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mqo7kzlhln43ic6f777vjeq62j6pabf 0 47795 1107352 1098278 2026-07-15T14:41:26Z Arbota 36910 Ersetzung 1107352 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |f(x) || {{op:Bruch| x^2+5x-2| x+1}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | g(y) || {{op:Bruch| y-2| y^2+3}} || || || |SZ= }} und es sei {{ Relationskette | h(x) | {{defeq|}} | g(f(x)) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{math|term= h|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen| |ISZ=|ESZ=. }} |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= h|SZ=}} mithilfe von Teil 1. |Berechne{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= h|SZ=}} mithilfe der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkfahhdh2u1b4pllhl08g7nif6eobkr 10 47944 1107363 897349 2026-07-15T14:42:59Z Bocardodarapti 2041 1107363 wikitext text/x-wiki <includeonly>{{#switch: {{#titleparts:{{FULLPAGENAME}}|1|-1}} |latex |#default= \left( {{{1|}}} \right) }}</includeonly><noinclude>{{Operatorvorlage|Materialien zur Mathematik|Klammer}}</noinclude> jfvambnewekcnzzdp5eswnpf0d7i6h0 0 48711 1107364 1027345 2026-07-15T14:43:06Z Arbota 36910 Ersetzung 1107364 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} zu einer {{ Definitionslink |komplexen Zahl| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | z || a+b {{Imaginäre Einheit|}} | \neq| 0 || || || |SZ= }} die inverse komplexe Zahl mithilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Gleichungssysteme |Kategorie2=Theorie der komplexen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fs1jytklemtb7g6ppskpj8m3ml97t5m 0 51105 1107413 1099323 2026-07-15T14:55:25Z Arbota 36910 Ersetzung 1107413 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gegeben sei die {{ Definitionslink |Abbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung |name=f |\R\setminus{ \{0,1\} }|\R || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display |f(x) ||\frac{1}{x^3}+\frac{1}{(x-1)^3} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mithilfe des Zwischenwertsatzes, dass {{math|term= f|SZ=}} jeden Wert {{ Relationskette |c |\neq| 0 || || || |SZ= }} an mindestens zwei Stellen annimmt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5uweyzlbbxyu22j8zhuhmywm335m1ir 0 53028 1107376 1098490 2026-07-15T14:45:25Z Arbota 36910 Ersetzung 1107376 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} eine nichttriviale Lösung {{ Zusatz/Klammer |text=für {{mathlk|term=t>1|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zum {{ Definitionslink |linearen Differentialgleichungssystem| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| x | y}}' || {{op:Matrix22| {{op:Bruch| 4t^4 -1 |t^5-t }} | {{op:Bruch| -3t |t^4 - 1 }} | {{op:Bruch| -t | t^4 - 1 }} | {{op:Bruch| 3t^4-2 |t^5-t }} | }} {{op:Spaltenvektor| x | y}} || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Vorgegebene Fundamentalmatrix/2/Lineares Gleichungssystem/Lösung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 061czaju6vjskx7oduze0sbq1rmxrl9 0 53607 1107389 830370 2026-07-15T14:49:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1107389 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien die beiden Polynome {{ Mathkor/display|term1= P=X^2+3X-5 |und|term2= Q= X^2-4X+7 |SZ= }} gegeben. a) Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= P(Q)|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=es soll also {{math|term= Q|SZ=}} in {{math|term= P|SZ=}} eingesetzt werden| |ISZ=|ESZ=. }} b) Berechne{{n Sie}} die Ableitung von {{mathl|term= P(Q)|SZ=}} direkt und mithilfe der Kettenregel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Polynomfunktionen in einer Variablen über R |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} geloc1xi7euxf7s9a79cwirbjf2hdim 0 55937 1107365 1083206 2026-07-15T14:43:16Z Arbota 36910 Ersetzung 1107365 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= a) Schreibe{{n Sie}} die komplexe Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | {{CC}} | {{CC}} | z |z^3 |SZ=, }} in reellen Koordinaten {{ Zusatz/Klammer |text=mithilfe der Identifizierung {{mathlk|term= {{CC}}=\R + \R {{imaginäre Einheit|}} \cong \R^2|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} b) Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Komponentenfunktionen aus Teil a) {{ Zusatz/Klammer |text=also der Realteil und der Imaginärteil von {{math|term= f|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |harmonische Funktionen| |Kontext=| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der harmonischen Funktionen |Kategorie2=Theorie der komplexen Potenzierung |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |p1=1 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eupgvkxlont3f2yry7umd707omxudji 0 55954 1107345 1082966 2026-07-15T14:39:44Z Arbota 36910 Ersetzung 1107345 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=G |\R^2 \times \R_{>0} |\R^3 |(x,y,z)| {{op:Zeilenvektor| ye^{xy} + {{op:ln| z |}} | xe^{xy} - 2yz| {{op:Bruch| x |z}} -y^2 }} |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} mithilfe der Integrabilitätsbedingung, dass {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |Kontext=| |SZ= }} ist. b) Bestimme{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Potential| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= G|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7seyq5vr1fmvb5bh5fo6glf6vghno6p 0 58092 1107327 1097937 2026-07-15T14:36:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1107327 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= {{{H|H}}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |endlich erzeugte| |Kontext=Gruppe| |SZ= }} {{ Definitionslink |kommutative Gruppe| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette/display | {{{H|H}}} | \cong|\Z^r \times {{op:Zmod|n_1 |}} {{timesdots|}} {{op:Zmod|n_s|}} || || || |SZ= }} eine direkte Zerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{mathlk|term=n_j \in \N_+|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}} mithilfe des {{ Definitionslink |Tensorproduktes| |Kontext=| |SZ=, }} dass die Zahl {{math|term= r|SZ=}} in jeder direkten Zerlegung von {{math|term= {{{H|H}}} |SZ=}} gleich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlich erzeugten kommutativen Gruppen |Kategorie2=Theorie der Tensorprodukte von Moduln |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1ghkj3ndmssi6mnw5tatyf1d1bt18y8 0 61338 1107301 495645 2026-07-15T14:31:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107301 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die {{Stichwort/Abfrage|binomischen Formeln|msw=Binomische Formeln|SZ=}} für zwei reelle Zahlen und beweise{{n Sie}} die Formeln mithilfe des Distributivgesetzes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 54fesvc58g1ckwqxoaaopd5crs6mbuh 0 65113 1107428 849117 2026-07-15T14:59:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107428 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe des Auswahlaxioms, dass es zu jeder {{ Definitionslink |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \sim |SZ=}} auf einer Menge {{math|term= M|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Repräsentantensystem| |Kontext=| |SZ= }} für die {{ Definitionslink |Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2=Mengentheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0n3qope6dig46i4qdj62bdwdte4s5hu 0 65163 1107292 839095 2026-07-15T14:30:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1107292 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Definiere{{n Sie}} über der Symbolmenge {{mathl|term= \{0,1,+,\cdot\}|SZ=}} einen {{ Definitionslink |algebraisch abgeschlossenen Körper| |Kontext=| |SZ= }} mithilfe eines Axiomenschemas. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper |Kategorie2=Prädikatenlogik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lxj3b5n0txi6udn3q5m7jc6eao9cdph 0 65431 1107395 1098938 2026-07-15T14:50:07Z Arbota 36910 Ersetzung 1107395 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel {{ Relationskette/display | {{makl| f^2 |}}' || 2 f \cdot f' || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Relationskette/display |fg || {{op:Bruch| 1 | 4}} {{makl| (f+g)^2- (f-g)^2 |}} || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} brnyvzqeghyxl8wix779qm2obx3nir7 0 65612 1107289 1040215 2026-07-15T14:29:26Z Arbota 36910 Ersetzung 1107289 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Injektivität| |Kontext=| |SZ= }} für eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | D | Z || |SZ= }} prädikatenlogisch mithilfe der Verwendung von Sorten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Sortenprädikate |Kategorie2=Theorie der injektiven Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nk1s3c1j0tl86lnspz0gc012kz7jyo1 0 66467 1107379 845686 2026-07-15T14:46:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1107379 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} ein prädikatenlogisches Axiomensystem für einen {{ Definitionslink |metrischen Raum| |Kontext=| |SZ= }} über einem {{ Definitionslink |angeordneten Körper| |Kontext=| |SZ= }} mithilfe von Sortenprädikaten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Sortenprädikate |Kategorie2=Theorie der metrischen Räume |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1kffzp9cztn0urqy1s0zj8zt778crlp 0 67650 1107318 495646 2026-07-15T14:34:59Z Arbota 36910 Ersetzung 1107318 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Formuliere{{n Sie}} die {{Stichwort/Abfrage|dritte binomische Formel|msw=Binomische Formeln|SZ=}} für zwei reelle Zahlen und beweise{{n Sie}} die Formel mithilfe des Distributivgesetzes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Zahlen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bz884c6bys1wneppc44nr5vu5fffyv2 0 68963 1107350 904950 2026-07-15T14:40:46Z Arbota 36910 Ersetzung 1107350 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe die {{ Faktlink |Präwort=|Additivität des Integrals|Faktseitenname= Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Integrationstheorie auf Maßräumen |Kategorie2=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5ltzzk5mz3ngh46fijenzwh81dln5be 0 68964 1107414 1049944 2026-07-15T14:55:35Z Arbota 36910 Ersetzung 1107414 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ mathkor|term1= [a,b] |und|term2= [c,d] |SZ= }} {{ Definitionslink |kompakte Intervalle| |Kontext=| |SZ= }} und es sei {{ Abbildung/display |name=f | [a,b] \times [c,d] |\R |(x,y)|f(x,y) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=mr| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Parameterabhängiges Integral/Maßraum und metrischer Raum/Stetigkeit/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass auch die Funktion {{ Abbildung/display |name= | [a,b] |\R | x | {{op:Integral| c | d | Integrand= f(x,y)|| y}} |SZ=, }} stetig ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der parameterabhängigen Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5uiwq5kynjjg34i2tassr91nwshlo38 0 69003 1107396 847346 2026-07-15T14:50:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1107396 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bei einer Fernsehaufzeichnung sitzen {{math|term= n|SZ=}} Zuschauer im Studio, die über ein elektronisches Gerät auf verschiedene Fragen mit Ja oder Nein antworten und wobei das Ergebnis {{ Zusatz/Klammer |text=die Ja-Antworten| |ISZ=|ESZ= }} in vollen Prozent auf einem Bildschirm erscheint und wobei ab {{mathl|term= ,5|SZ=}} nach oben gerundet wird. a) Erstelle{{n Sie}} eine Formel mithilfe der {{ Definitionslink |Gaußklammer| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \lfloor \, \, \rfloor|SZ=,}} die bei gegebenem {{math|term= n|SZ=}} aus {{math|term= i|SZ=}} die Prozentzahl {{mathl|term= p(i)|SZ=}} berechnet. b) Für welche {{math|term= n|SZ=}} ist die Prozentabbildung aus a) injektiv und für welche surjektiv? c) Es sei {{mathl|term= n=99|SZ=.}} Welche Prozentzahl tritt nie auf dem Bildschirm auf? d) Es sei {{mathl|term= n=101|SZ=.}} Hinter welcher Prozentzahl können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen? e) Es sei {{mathl|term= n=102|SZ=.}} Hinter welchen Prozentzahlen können sich unterschiedlich viele Ja-Stimmen verbergen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prozentrechnung |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=1 |p4=1 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8uomssl5enj2w0s38k7nfaxujdi3gp 0 69301 1107344 1098146 2026-07-15T14:39:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1107344 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das {{ Definitionslink |Vektorfeld| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name=G |\R^3 |\R^3 |(x,y,z)| {{op:Zeilenvektor| y - {{op:cos(| x+z}} | x | 2z - {{op:cos(| x+z}} }} |SZ=. }} a) Zeige{{n Sie}} mithilfe der Integrabilitätsbedingung, dass {{math|term= G|SZ=}} ein {{ Definitionslink |Gradientenfeld| |Kontext=| |SZ= }} ist. b) Bestimme{{n Sie}} ein {{ Definitionslink |Potential| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= G|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Gradientenfelder |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ihwnkuijtrdin0d6rafjih948g6tnez 0 69327 1107353 1098279 2026-07-15T14:41:36Z Arbota 36910 Ersetzung 1107353 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |f(x) || {{op:Bruch| x^2-1| x}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |g(y) || {{op:Bruch| y^2| y-1}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung4/a |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=K| |SZ= }} von {{ mathkor|term1= f |und von|term2= g |SZ=. }} |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette |h(x) || g(f(x)) || || || |SZ=. }} |Bestimme{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= h|SZ=}} mithilfe von Teil b). |Bestimme{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= h |SZ=}} mittels der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D offen K/Kettenregel/Fakt |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (K) |Kategorie2=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bv4u5fh91v53rghfsiw2t1nlkqxfg0c 0 69569 1107332 904918 2026-07-15T14:37:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1107332 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bringe{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Graph/Gradient und Volumenform/Beispiel |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Faser/Reguläre Funktion/Volumenform/Gradient und Skalarprodukt/Aufgabe |Nr= |SZ= }} miteinander in Verbindung. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Volumenformen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1i1rwqnfoporw0bi2udhpfithjvg7yl 0 69580 1107383 905041 2026-07-15T14:47:55Z Arbota 36910 Ersetzung 1107383 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} den Flächeninhalt der Sphäre mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Graph einer Funktion/Riemannsche Untermannigfaltigkeit des R^n/Volumenform/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitssphäre |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3fauvwrpq9se0yrbm9sil47wkp4s0g6 0 69691 1107346 1098160 2026-07-15T14:39:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1107346 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} alle {{ Definitionslink |Lösungen| |Kontext=| |SZ= }} der in {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Gravitation/Luftwiderstand/Stokes/Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung/Beispiel |Nr= |SZ= }} betrachteten {{ Definitionslink |Differentialgleichung zweiter Ordnung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | y^{\prime \prime} || - {{op:Bruch|\beta|m}} y' +g || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen eindimensionalen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 19are5sbz5w5unt3012qqy0pj51fi3c 0 70296 1107394 1083881 2026-07-15T14:49:57Z Arbota 36910 Ersetzung 1107394 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} den oder die Fehler im folgenden {{Anführung|Beweis|SZ=}} für die Aussage, dass man zu zwei stetigen Funktionen {{ Abbildung/display |name=f,g |\R_{\geq 0} |\R_{+} || |SZ= }} eine Stammfunktion zu {{math|term= fg|SZ=}} finden kann, indem man {{ Zusatz/Klammer |text=geeignete| |ISZ=|ESZ= }} Stammfunktionen zu {{math|term= f|SZ=}} und zu {{math|term= g|SZ=}} miteinander multipliziert. {{Anführung|Es sei {{math|term= F|SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= f|SZ=}} und {{math|term= G|SZ=}} eine Stammfunktion zu {{math|term= g|SZ=,}} die wir beide positiv wählen, was wegen der Positivität von {{ mathkor|term1= f |und|term2= g |SZ= }} möglich ist. Für positive Zahlen ist der natürliche Logarithmus definiert, sodass man diese Funktionen mit dem Logarithmus verknüpfen kann. Dann ist {{mathl|term= {{op:ln|F}} |SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:ln|f}} |SZ=}} und {{mathl|term= {{op:ln|G}} |SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:ln|g}} |SZ=.}} Nach der Additionsregel für Stammfunktionen ist somit {{mathl|term= {{op:ln|F}} +{{op:ln|G}} |SZ=}} eine Stammfunktion von {{mathl|term= {{op:ln|f}} +{{op:ln|g}} |SZ=.}} Wir wenden auf diese Situation die Umkehrfunktion des Logarithmus, also die Exponentialfunktion an, und erhalten mithilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion, dass {{ Relationskette/display | {{op:exp(| {{op:ln|F}} +{{op:ln|G}} }} || {{op:exp(| {{op:ln|F}} }} \cdot {{op:exp(| {{op:ln|G}} }} || F \cdot G || || |SZ= }} eine Stammfunktion von {{ Relationskette/display | {{op:exp(| {{op:ln|f}} +{{op:ln|g}} }} || {{op:exp(| {{op:ln|f}} }} \cdot {{op:exp(| {{op:ln|g}} }} || f \cdot g || || |SZ= }} ist.|SZ=}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Stammfunktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7ykvyf95znqtjv0lwz7k3b6l4tarjs7 10 74073 1107460 1107131 2026-07-15T18:08:11Z Bocardodarapti 2041 1107460 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{Diese Vorlage|wird für die Einbindung einer Aufgabe mit einer Lösung dazu. Sie hat einen unbenannten Paramter. # die Seite mit dem Inhalt der Aussage (die Seite mit der Lösung wird dann als Lösung eingebunden). }} </noinclude><includeonly>__NOEDITSECTION__</includeonly> {{#switch: {{SUBPAGENAME}} |latex=<br/><br/><br/>\inputaufgabeklausurloesung<br/>{{klaauf}}{{#if: {{{2|}}}|{{#switch:{{{2|}}}|p= {{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p2}}||{{#ifeq:{{:{{{1}}}|opt=Punkte}}|1|{{:{{{1}}}|opt=Punkte}}|{{:{{{1}}}|opt=Punkte}}|}}|{{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p3}}||{{ #expr: {{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}|}} ({{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}})|{{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p4}}||{{ #expr: {{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}+{{:{{{1}}}|opt=p3}}|}} ({{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}+{{:{{{1}}}|opt=p3}})| {{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p5}}||{{ #expr: {{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}+ {{:{{{1}}}|opt=p3}} + {{:{{{1}}}|opt=p4}}|}} ({{:{{{1}}}|opt=p1}}+{{:{{{1}}}|opt=p2}}+{{:{{{1}}}|opt=p3}}+{{:{{{1}}}|opt=p4}})| {{#ifeq: {{:{{{1}}}|opt=p6}}||{{ #expr: {{:{{{1}}}|opt=p1}} 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Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Dimensionsformel für lineare Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8zsqp1dftrj5snsuh288d05yw5la68i 0 77209 1107298 904852 2026-07-15T14:31:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1107298 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Basiswechsel/Drei Basen/Hintereinanderschaltung/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Identität/Matrix zu Basis/Übergangsmatrix/Beispiel |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Basiswechsel von endlichdimensionalen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6pghhtu702h7u23hr6dz5ezll7yn985 0 77357 1107422 905170 2026-07-15T14:57:31Z Arbota 36910 Ersetzung 1107422 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Dimension n und n Vektoren/Begriffsgleichheit/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Vektorraum/Endliche Familie/Eigenschaften der Einsetzungsabbildung/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichdimensionalen Vektorräume |Kategorie2=Theorie der Isomorphismen zwischen Vektorräumen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rs4uqg54o3j6j4h95qtbtpdvsx5r8nz 0 77473 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sei {{ Abbildung/display |name=\varphi | G | {{{H|H}}} || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath=C^1 |Diffeomorphismus| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name=f | {{{H|H}}} |\R_+ || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |stetige Funktion| |Kontext=mr| |SZ=. }} a) Definiere{{n Sie}} einen Diffeomorphismus zwischen den offenen Subgraphen zu {{math|term= f|SZ=}} bzw. zu {{math|term= f \circ \varphi|SZ=.}} b) Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=die|Transformationsformel für Integrale|Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Fakt |Nr= |SZ= }} in diesem Fall direkt aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Diffeomorphismus/Transformationsformel für Maße/Fakt |Nr= |SZ=, }} angewendet auf den Subgraphen, mithilfe von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Sigmaendlicher Maßraum/Nichtnegative Funktionen/Produkt/Über Subgraph/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Transformationsformel für Integrale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kewdtavshhnidno6x7mi9zjssngb2jy 0 77550 1107378 1083505 2026-07-15T14:46:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1107378 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=. }} {{ Aufzählung2/a |Es sei {{math|term= L |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= \ell \times m |Matrix| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= N |SZ=}} eine {{math|term= n \times p |SZ=-}}Matrix. Zeige{{n Sie}}, dass {{ Math/display|term= {{Mengebed| M | M \in {{op:Mat| m | n | K}} | L \circ M \circ N {{=}} 0}} |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Untervektorraum| |Kontext=| |SZ= }} von {{mathl|term= {{op:Mat| m | n | K}} |SZ=}} ist. |Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath=n |dimensionaler| |Kontext=vr| |SZ= }} und {{math|term= W |SZ=}} ein {{math|term= m |SZ=-}}dimensionaler {{ Definitionslink |Prämath= K |Vektorraum| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Relationskette | U | \subseteq | V || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | T | \subseteq | W || || || |SZ= }} Untervektorräume. Beschreibe{{n Sie}} den Untervektorraum {{ Math/display|term= {{Mengebed| \varphi \in {{op:Homomorphismen|Ring = K | V | W }} | \varphi(U) \subseteq T}} |SZ= }} mithilfe von geeigneten Basen und Teil a). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizenräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 1l5410ywqlomu1zridp1lne8fre9nf7 0 77630 1107308 1097749 2026-07-15T14:33:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107308 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse das {{ Definitionslink |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 6 | 4 | 5 | 2}} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 }} || {{op:Spaltenvektor| 8 | 3}} || || || |SZ= }} mithilfe der {{ Faktlink |Präwort=|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Cramersche Regel (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d404q47eshw3koi75h27brs80zamwis 0 77635 1107307 1097748 2026-07-15T14:32:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107307 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse das {{ Definitionslink |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 4 | 3 | -1| 5}} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 }} || {{op:Spaltenvektor| 2 | 7}} || || || |SZ= }} mithilfe der {{ Faktlink |Präwort=|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Cramersche Regel (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} flcpqgj0lcw6y3x69lwcnny43c62fcc 0 78508 1107367 1098336 2026-07-15T14:43:36Z Arbota 36910 Ersetzung 1107367 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette/display |M || {{Mengebed|(x,y) \in \R^2| x^2+y^2 {{=}} 1| y \geq 0}} || || || |SZ= }} der obere Einheitshalbkreis und {{ Abbildung/display |name=p | M | [-1,1] |(x,y)| x |SZ=, }} die Projektion auf die {{math|term= x|SZ=-}}Achse. Zu {{ Relationskette | n | \in | \N || || || |SZ= }} seien {{mathl|term= n+1|SZ=}} Punkte auf {{math|term= M|SZ=}} gleichverteilt in dem Sinne, dass {{ mathkor|term1= (1,0) |und|term2= (-1,0) |SZ= }} dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist. a) Skizziere die Situation für {{ Relationskette |n || 7 || || || |SZ= }} einschließlich der Bildpunkte unter {{math|term= p|SZ=.}} b) Es sei {{math|term= \mu_n |SZ=}} das {{ Definitionslink |Zählmaß| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M|SZ=,}} bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert {{math|term= 1|SZ=}} erhält und es sei {{ Relationskette/display |\nu_n || p_* \mu_n || || || |SZ= }} das zugehörige {{ Definitionslink |Bildmaß| |Kontext=| |SZ= }} auf {{mathl|term= [-1,1] |SZ=.}} {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} eine Formel für {{ Math/display|term= \nu_n([ t ,1]) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text= {{ Relationskette/k | t | \in | [-1,1] || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} mithilfe des {{ Definitionslink |Arkuskosinus| |Kontext=| |SZ= }} an. c) Bestimme{{n Sie}} {{ Math/display|term= {{op:Folgenlimes|Glied= \nu_n([1- {{op:Bruch| 2 |n}} ,1]) }} |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Bildmaße |Kategorie2=Diskrete Maßtheorie |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=9 |p1=1 |p2=4 |p3=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} nykui3h16xmizvc5fxmrdnl3g0ybusd 0 78751 1107382 1083653 2026-07-15T14:47:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1107382 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= K |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Körper| |Kontext=| |SZ=. }} {{ Aufzählung2/a |Charakterisiere{{n Sie}} die {{ Definitionslink |nilpotenten| |Kontext=Matrix| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath=2\times 2 |Matrizen| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Matrix22| x | y | z |w}} |SZ= }} über {{math|term= K |SZ=}} mithilfe von zwei Gleichungen in den Variablen {{mathl|term= x,y,z,w |SZ=.}} |Sind die Gleichungen linear? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der nilpotenten Endomorphismen |Kategorie2=Theorie der quadratischen Formen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 78yoo19d2hiab391vpv3kyaumjkpw6i 0 78771 1107372 1043273 2026-07-15T14:44:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1107372 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^3|\R | {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} | 4x-6y+9z |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für die Menge {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed|Q\in \R^3| \varphi(Q) {{=}} 5 }} || || || |SZ= }} eine Beschreibung mithilfe eines {{ Definitionslink |Aufpunktes| |Kontext=| |SZ= }} und eines {{ Definitionslink |Verschiebungsraumes| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3tj50njlbs939rpv7gfn5ntvfup35e1 0 78772 1107373 1098437 2026-07-15T14:44:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1107373 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^3|\R^2 | {{op:Spaltenvektor| x | y |z}} | {{op:Spaltenvektor| 7x+y-3z| 4x+5y|}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für die Menge {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed|Q\in \R^3| \varphi(Q) {{=}} {{op:Spaltenvektor| 4 | -2}} }} || || || |SZ= }} eine Beschreibung mithilfe eines {{ Definitionslink |Aufpunktes| |Kontext=| |SZ= }} und eines {{ Definitionslink |Verschiebungsraumes| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kpc1stkrcqfjr6wrksfk3kivbhs7gmd 0 78773 1107374 1098438 2026-07-15T14:45:03Z Arbota 36910 Ersetzung 1107374 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung/display |name=\varphi |\R^4|\R^2 | {{op:Spaltenvektor| x | y | z |w}} | {{op:Spaltenvektor| 6x-5y-3z+8w| x+5y+4z-2w|}} |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} für die Menge {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed|Q\in \R^4| \varphi(Q) {{=}} {{op:Spaltenvektor| -3| -7}} }} || || || |SZ= }} eine Beschreibung mithilfe eines {{ Definitionslink |Aufpunktes| |Kontext=| |SZ= }} und eines {{ Definitionslink |Verschiebungsraumes| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der affinen Unterräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i77tc6jbeldp658i2ectswl96addrox 0 80545 1107423 905171 2026-07-15T14:57:41Z Arbota 36910 Ersetzung 1107423 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Vektorraum/K/Skalarprodukt/Endlichdimensional/Orthogonales Komplement/Strukturelle Eigenschaften/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Vektorraum/R/Endlichdimensional/Skalarprodukt/Isomorphie zu Dualraum/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2=Theorie der orthogonalen Komplemente |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lrf8ohju4pgqp9qkvyo6f49kx10qn78 0 80905 1107296 1040596 2026-07-15T14:30:53Z Arbota 36910 Ersetzung 1107296 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssymbol und {{mathl|term= x,y,z|SZ=}} Variablen. Formuliere{{n Sie}} das Assoziativgesetz {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= f|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} als eine Allaussage mithilfe der Identität von zwei Termen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i0lyyc9ba2wx6tkjq8sdlh5x5rd5mg6 0 80908 1107361 1042463 2026-07-15T14:42:46Z Arbota 36910 Ersetzung 1107361 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= f|SZ=}} ein zweistelliges Funktionssymbol und {{mathl|term= x,y|SZ=}} Variablen. Formuliere{{n Sie}} das Kommutativgesetz {{ Zusatz/Klammer |text=für {{math|term= f|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} als eine Allaussage mithilfe der Identität von zwei Termen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Sprache der Prädikatenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f38uh99fpmde5whur9fwmzf5og9ss5c 0 81473 1107354 1082326 2026-07-15T14:41:40Z Bocardodarapti 2041 1107354 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}}, dass der aussagenlogische Ausdruck {{ Math/display|term= {{makl| r \rightarrow {{makl| p {{logund|}} \neg q |}} |}} \rightarrow {{makl| \neg p \rightarrow {{makl| \neg r {{logoder|}} q |}} |}} |SZ= }} {{ Definitionslink |allgemeingültig| |Kontext=Aussagenlogik| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Modelltheorie der Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2fz3f65vaiv06f3ygi6dekor3s8uss7 0 82381 1107311 857604 2026-07-15T14:33:42Z Arbota 36910 Ersetzung 1107311 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=den|Determinantenmultiplikationssatz|Faktseitenname= Determinante/Multiplikationssatz/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe des {{ Definitionslink |Dachproduktes| |Kontext=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der äußeren Potenzen (Vektorräume) |Kategorie2=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ej1dxmezf9k849mrnt8544klor4dita 0 82605 1107250 1106502 2026-07-15T14:17:27Z Bocardodarapti 2041 1107250 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= An welcher Stelle bricht der Eindeutigkeitsbeweis zu {{ Faktlink |Faktseitenname= Eurozahlen/Eindeutige Darstellung/Charakterisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} zusammen, wenn man mit den Zahlen {{mathl|term= 1,3,5,10 |SZ=,}} usw. statt mit den Eurozahlen rechnet? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} igy1fyg36mun5ntlhcoxnykx69n8rs3 0 83126 1107205 1106617 2026-07-15T13:19:15Z Bocardodarapti 2041 1107205 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Betrachten wir nochmal die beiden Beispielaussagen {{Beispielsatz|Marsmenschen sind grün}} und {{Beispielsatz|Ich fresse einen Besen|SZ=,}} und schauen uns die innere Struktur genauer an. In der ersten Aussage wird einer gewissen Art von Lebewesen eine Eigenschaft zugesprochen, so wie wenn man sagt, dass Geparden schnell sind oder dass Faultiere faul sind. Damit kann man meinen, dass Marsmenschen {{Anführung|im Normalfall|SZ=}} oder {{Anführung|fast immer}} grün sind, oder aber im strengeren Sinn, dass wirklich alle Marsmenschen grün sind. In der Mathematik interessiert man sich für Aussagen, die ohne Ausnahmen gelten {{ Zusatz/Klammer |text=wobei man allerdings in einer mathematischen Aussage die Ausnahmen auch explizit machen kann| |SZ=, }} sodass wir die Aussage im strengen Sinn verstehen wollen. Es handelt sich um eine sogenannte {{Stichwort|Allaussage|SZ=.}} In ihr kommen zwei {{Stichwort|Prädikate|msw=Prädikat|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Eigenschaften, Attribute| |SZ= }} vor, nämlich einerseits, ein Marsmensch zu sein, andererseits, grün zu sein. Ein Prädikat {{math|term= P |SZ=}} ist etwas, das einem Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=grammatisch spricht man von einem Subjekt| |SZ=, }} einem Gegenstand, einem Element zukommen oder nicht zukommen kann. Ein Prädikat ist für sich genommen keine Aussage; aus einem Prädikat kann man aber grundsätzlich auf zwei verschiedene Arten eine Aussage machen, indem man nämlich einerseits {{ Zusatz/Klammer |text=durch {{Stichwort|Einsetzen|SZ=}}| |SZ= }} für ein konkretes Objekt {{math|term= a |SZ=}} die Aussage {{ Math/display|term= P(a) |SZ= }} bildet, die bedeutet, dass das Objekt {{math|term= a |SZ=}} die Eigenschaft {{math|term= P |SZ=}} besitzt, was wahr sein kann oder eben auch nicht. Andererseits kann man daraus durch {{Stichwort|Quantifizierung|SZ=}} eine Aussage gewinnen. So kann man die Aussage bilden, dass alle{{Zusatz/Fußnote|text=Andere Formulierungen sind: jedes, ein beliebiges, irgendein Objekt/Element aus der Grundmenge. Wenn die Grundmenge räumlich ist, so spricht man auch von überall, wenn sie zeitlich ist, so spricht man von immer, stets, ...|ESZ=|ISZ=.}} Objekte {{ Zusatz/Klammer |text=typischerweise aus einer bestimmten Grundmenge| |SZ= }} die Eigenschaft {{math|term= P |SZ=}} haben, was wiederum wahr oder falsch sein kann. Das drückt man formallogisch durch {{ Math/display|term= \forall x P(x) |SZ= }} aus. Das Symbol {{Math/display|term=\forall|SZ=}} ist eine abkürzende Schreibweise für {{Stichwort/anf|für alle|SZ={{Zusatz/Fußnote|text=Man kann mit einiger Berechtigung sagen, dass die Vokabeln {{Stichwort/anf|für alle}} und {{Stichwort/anf|es gibt}} die wichtigsten Formulierungen der Mathematik sind|ESZ=|ISZ=.}},|}} und besitzt ansonsten keine tiefere Bedeutung. Es wird {{Stichwort|Allquantor|SZ=}} genannt. Die obige Marsmenschenaussage kann man als {{ Math/display|term= \forall x (M(x) \rightarrow G(x)) |SZ= }} schreiben. Das bedeutet, dass für alle Objekte ohne weitere Einschränkung gilt: wenn es sich um einen Marsmenschen handelt {{ Zusatz/Klammer |text=wenn also {{math|term= M |SZ=}} zutrifft| |SZ=, }} dann ist er auch grün. Für jedes {{math|term= x |SZ=}} steht in der großen Klammer eine Aussage in der Form einer Implikation, die eben besagt, dass wenn der Vordersatz wahr ist, dann auch der Nachsatz wahr sein muss. Die zweite Beispielaussage kann bedeuten, dass ich genau einen Besen fresse oder aber mindestens einen Besen. Die Wortbedeutung des unbestimmten Artikels ist nicht eindeutig, in einer Aussage wie {{Anführung|eine Pflanze braucht Wasser}} bedeutet {{Stichwort/anf|eine|SZ=}} sogar {{Stichwort/anf|alle|SZ=.}} In der Mathematik bedeutet es fast immer {{Stichwort/anf|mindestens einen|SZ=.}} Die Besenaussage kann man also paraphrasieren als {{Beispielsatz|Es gibt einen Besen, den ich fresse|SZ=.}} Dies ist eine {{Stichwort|Existenzaussage|SZ={{ Zusatz/Fußnote |text=Neben {{Anführung|es gibt}} trifft man auf Formulierungen wie {{Anführung|es existiert|SZ=,}} {{Anführung|man findet|SZ=,}} {{Anführung|man kann finden|SZ=.}} Wenn die Existenz eines Objektes bekannt ist, so wird in einer mathematischen Argumentation häufig ein solches Element {{Anführung|hergenommen|SZ=,}} irgendwie bezeichnet und dann weiterverarbeitet| |ISZ=.|ESZ=. }}|}} Eine formallogische Repräsentierung ist {{ Math/display|term= \exists x (B(x) \wedge F(x)) |SZ=, }} wobei {{mathl|term= B(x) |SZ=}} bedeutet, dass das Objekt {{math|term= x |SZ=}} ein Besen ist und wobei {{mathl|term= F(x) |SZ=}} bedeutet, dass ich dieses {{math|term= x |SZ=}} fresse. Man könnte genauso gut {{ Math/display|term= \exists x (F(x) \wedge B(x)) |SZ= }} schreiben. Das Zeichen {{Math/display|term=\exists|SZ=}} wird {{Anführung|es gibt|}} oder {{Anführung|es existiert}} gesprochen und wird der {{Stichwort|Existenzquantor|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Existenzoperator|SZ=}}| |SZ= }} genannt. Eine Allaussage behauptet, dass ein gewisses Prädikat allen Objekten {{ Zusatz/Klammer |text=aus einer gewissen Grundmenge| |SZ= }} zukommt. Wie alle Aussagen kann dies wahr oder falsch sein. Eine Allaussage ist genau dann falsch, wenn es mindestens ein Objekt {{ Zusatz/Klammer |text=aus der Grundmenge| |SZ= }} gibt, dem das Prädikat nicht zukommt. Daher sind die beiden Quantoren, also der Allquantor und der Existenzquantor, über die Negation eng miteinander verknüpft und lassen sich gegenseitig ersetzen, und zwar gelten die Regeln {{ Math/display|term= \neg ( \forall x P(x)) \text{ ist gleichbedeutend mit } \exists x ( \neg P(x)) |SZ=, }} {{ Math/display|term= \neg ( \exists x P(x)) \text{ ist gleichbedeutend mit } \forall x ( \neg P(x)) |SZ=, }} {{ Math/display|term= \forall x P(x) \text{ ist gleichbedeutend mit } \neg ( \exists x ( \neg P(x))) |SZ= }} und {{ Math/display|term= \exists x P(x) \text{ ist gleichbedeutend mit } \neg ( \forall x ( \neg P(x))) |SZ=. }} Neben einstelligen Prädikaten wie {{mathl|term= P(x) |SZ=}} gibt es auch mehrstellige Prädikate der Form {{ Math/display|term= P(x,y) \text{ oder } Q(x,y,z) \text{ etc. } |SZ=, }} die eine Beziehung zwischen mehreren Objekten ausdrücken, wie z.B. {{Anführung|ist verwandt mit|SZ=,}} {{Anführung|ist größer als|SZ=,}} {{Anführung|sind Eltern von|SZ=}} usw. Entsprechend kann dann über die verschiedenen Variablen quantifiziert werden, d.h. man hat mit Ausdrücken der Form {{ Math/display|term= \forall x (\exists y P(x,y)),\, \exists x (\forall y P(x,y)) ,\, \forall x (\exists y (\forall z Q(x,y,z))) \text{ usw. } |SZ= }} zu tun. Die Variablenbezeichnung in einer quantifizierten Aussage ist grundsätzlich unwichtig, d.h. es ist egal, ob man {{mathl|term= \forall a P(a) |SZ=}} oder {{mathl|term= \forall t P(t) |SZ=}} schreibt. Man darf dabei aber nur Variablennamen {{ Zusatz/Klammer |text=also Buchstaben| |SZ= }} verwenden, die im gegenwärtigen Kontext nicht schon anderweitig verwendet sind. Die Logik, die sich mit quantifizierten Aussagen auseinandersetzt, heißt {{Stichwort|Prädikatenlogik|SZ=}} oder {{Stichwort|Quantorenlogik|SZ=.}} Wir werden sie nicht systematisch entwickeln, da sie in der Mathematik als Mengentheorie auftritt. Statt {{mathl|term= P(x) |SZ=,}} dass also ein Prädikat einem Objekt zukommt, schreiben wir {{mathl|term= x \in P |SZ=,}} wobei dann {{math|term= P |SZ=}} die Menge aller Objekte bezeichnet, die diese Eigenschaft haben. Mehrstellige Prädikate treten in der Mathematik als Relationen auf. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Logik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fgrv75copvw4elexaikocw17uhx5pxm 0 83133 1107208 1106625 2026-07-15T13:30:04Z Bocardodarapti 2041 1107208 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Unter Zählen verstehen wir die geordnete, systematische, prinzipiell unendliche Abfolge von wohlbestimmten, wohlunterschiedenen {{ Zusatz/Klammer |text=insbesondere wiederholungsfreien| |ISZ=|ESZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=sprachlichen oder schriftlichen| |ISZ=|ESZ= }} Symbolen. Wir erwähnen einige Möglichkeiten von solchen Abfolgen. {{ Aufzählung9 |{{ Math/display|term= {{|}} , {{|}} {{|}} ,{{|}} {{|}} {{|}} ,{{|}}{{|}}{{|}} {{|}} , ... |SZ=. }} Dies ist die Strichabfolge. Es wird einfach bei jedem Schritt ein zusätzlicher Strich hinzugefügt. Die Symbole sind die einzelnen Strichfolgen. Der Übergang zum nächsten Symbol ist besonders einfach, die einzelnen Symbole werden aber sehr schnell unhandlich. |{{ Math/display|term= N0,NN0,NNN0,NNNN0,NNNNN0, ... |SZ=. }} Hier hat man den Nachfolger der {{math|term= 0 |SZ=,}} den Nachfolger des Nachfolgers der {{math|term= 0 |SZ=,}} den Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers der {{math|term= 0 |SZ=,}} usw. |Die Lautfolge {{ Math/display|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, \text{elf}, \text{zwölf}, \text{dreizehn}, \text{vierzehn}, ... |SZ=. }} Dies ist zwar sehr vertraut und man weiß, wie es weitergeht, das sprachliche Bildungsgesetz ist aber keineswegs trivial, und bei sehr großen Zahlen kommt man doch ins Schwitzen. Was kommt beispielsweise nach {{ Math/display|term= \text{neunhundertneunundneunzig Trilliarden neunhundertneunundneunzig Trillionen } {{Mathbruch}} \text{ neunhundertneunundneunzig Billiarden neunhundertneunundneunzig Billionen } |SZ= }} {{ Math/display|term= \text{ neunhundertneunundneunzig Milliarden neunhundertneunundneunzig Millionen } {{Mathbruch}} \text{ neunhundertneunundneunzig Tausend neunhundertneunundneunzig} |SZ=? }} Es gibt keine allgemein anerkannte sprachliche Festlegung für beliebig weites Zählen. Jede sprachliche Festlegung, die jede beliebig große natürliche Zahl ausdrücken möchte, muss früher oder später auf eine Vervielfachung von Wörtern zurückgreifen, wie das im Fall der Strichfolge von Anfang an geschieht. Die Wörter werden jedenfalls auch beliebig lang, siehe [[w:Zahlennamen]]. |{{ Math/display|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, \text{elf}, \text{zwölf}, \text{dreizehn}, ..., {{Mathbruch}} \text{neunundneunzig}, \text{zehnmalzehn}, \text{zehnmalzehn und eins}, \text{zehnmalzehn und zwei}, ..., \text{zehnmalzehnmalzehn}, \text{zehnmalzehnmalzehn und eins}, ... |SZ=. }} Hier weiß man, wie die Folge ins Unendliche weitergeht. Statt bei zehn kann man mit der systematischen Vervielfachung auch deutlich später anfangen. |{{ Math/display|term= \text{eins}, \text{zwei}, \text{drei}, \text{vier}, \text{fünf}, \text{sechs}, \text{sieben}, \text{acht}, \text{neun}, \text{zehn}, {{Mathbruch}} \text{zehnundeins}, \text{zehnundzwei}, \text{zehnunddrei}, \text{zehnundvier}, ..., \text{zwanzig}, \text{zwanzigundeins}, \text{zwanzigundzwei}, ... |SZ=. }} Diese Art zu zählen {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. ohne das {{Anführung|und}}| |ISZ=|ESZ= }} wird von einigen Leuten vorgeschlagen, um die verkehrte Aussprache von Einer- und Zehnerstellen und damit Zahlendreher zu vermeiden. Siehe den Verein [[w:Zwanzigeins]] {{ Zusatz/Klammer |text=an der Namensgebung und auch auf der Seite des Vereins fällt auf, dass das Verhältnis zu den Zahlen von {{math|term= 11 |SZ=}} bis {{math|term= 19 |SZ=}} unklar ist| |ISZ=|ESZ=. }} |{{ Math/display|term= \text{yksi}, \text{kaksi}, \text{kolme}, \text{neljä}, \text{viisi}, \text{kuusi}, \text{seitsemän}, \text{kahdeksan},\text{yhdeksän}, {{Mathbruch}} \text{kymmenen}, \text{yksitoista}, \text{kaksitoista}, \text{kolmetoista},...,\text{ kaksikymmentä},\text{kaksikymmentäyksi}, ... |SZ=. }} Was steht dazwischen und wie geht das weiter? |{{ Math/display|term= a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,aa,bb,cc, ... |SZ=. }} Man kann das Alphabet natürlich auch auf andere Weisen zu einer unendlichen Folge fortsetzen. |{{ Math/display|term= 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14, ... |SZ=. }} Hier ist das Bildungsgesetz bekannt und ziemlich einfach. Wenn die letzte Ziffer nicht {{math|term= 9 |SZ=}} ist, so wird sie um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöht, für die nachfolgende Zahl muss man also in diesem System nur die letzte Ziffer durch den Nachfolger ersetzen. Wenn die letzte Ziffer eine {{math|term= 9 |SZ=}} ist, muss man sämtliche hinten aneinander liegende {{math|term= 9 |SZ=}}en durch {{math|term= 0 |SZ=}}en ersetzen und die unmittelbar davor liegende Ziffer durch ihren Nachfolger ersetzen {{ Zusatz/Klammer |text=wie ist das zu verstehen, wenn die Zahl ausschließlich aus {{math|term= 9 |SZ=}}en besteht| |ISZ=?|ESZ=. }} |{{ Math/display|term= 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010, ... |SZ=. }} }} Entscheidend ist, dass jeweils festgelegt ist, welches Symbol/Objekt als Nächstes kommt. Dies wird in der Regel durch eine mehr oder weniger komplexe Bildungsvorschrift beschrieben, die sagt, wie man aus einem Symbol das Nachfolgersymbol erhält. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kgqpgg6afs19sczyeclo3azwkq6tms2 0 83254 1107456 1103194 2026-07-15T16:23:26Z Bocardodarapti 2041 1107456 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Definition|| }} {{ inputbild |Natural numbers|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Text=Auf dem nach rechts verlaufenden Zahlenstrahl bedeutet {{mathl|term= n \geq k |SZ=,}} dass sich {{math|term= n |SZ=}} weiter rechts als {{math|term= k |SZ=}} befindet. Diese Interpretation gilt für alle reellen Zahlen. |Autor= |Benutzer=Junaidpv |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Statt {{ Relationskette |n | \geq| k || || || |SZ= }} schreibt man auch {{ Relationskette |k | \leq|n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=gesprochen kleinergleich| |ISZ=|ESZ=. }} Die Schreibweise {{ Relationskette |n |>|k || || || |SZ= }} bedeutet {{ Relationskette |n | \geq|k || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |n |\neq|k || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Addition/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Total/Fakt|Satz|| || }} Wir begründen nun, dass die Ordnungsrelation mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist. {{ inputfaktbeweis |Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 91xsv34x9ja2rlfjcmnm2uhfkhr0cb8 0 83288 1107206 1102804 2026-07-15T13:22:05Z Bocardodarapti 2041 1107206 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies}}, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Relationskette | x | \in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Relationskette | x |\notin|M || || || |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Die wichtigste mathematische Menge ist im Moment für uns die Menge der natürlichen Zahlen {{ Relationskette/display |\N || \{0, 1,2,3, \ldots\} || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. {{ inputdefinition |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N | \subset| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Beispielsweise ist die Menge aller durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbaren natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge aller geraden Zahlen. Bei einer Teilmengenbeziehung sagt man auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Im Nachweis, dass {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Relationskette | x | \in| M |SZ= }} gilt{{ Zusatz/Fußnote |text=In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage {{math|term= \forall x(x \in N \rightarrow x \in M) |SZ=.}}| |ESZ=. }} Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} verwenden. Im Beispiel würde man so argumentieren: {{math|term= x |SZ=}} ist eine durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbare Zahl. Daher kann man {{ Relationskette/display | x || 6 y || || || |SZ= }} mit einer gewissen natürlichen Zahl {{math|term= y |SZ=}} schreiben. Dies kann man als {{ Relationskette/display | x || 6y || 2 (3y) || || || |SZ= }} schreiben, was eben bedeutet, dass {{math|term= x |SZ=}} gerade ist. Aufgrund des Extensionalitätsprinzips hat man das folgende wichtige {{Stichwort|Gleichheitsprinzip für Mengen|SZ=,}} dass {{ Math/display|term= M=N \text{ genau dann, wenn } N \subseteq M \text{ und } M \subseteq N |SZ= }} gilt. In der mathematischen Praxis bedeutet dies, dass man die Gleichheit von zwei Mengen dadurch nachweist, dass man {{ Zusatz/Klammer |text=in zwei voneinander unabhängigen Teilargumentationen| |SZ= }} die beiden Inklusionen zeigt. Dies hat auch den kognitiven Vorteil, dass das Denken eine Zielrichtung bekommt, dass die Voraussetzung, die man verwenden darf, von der gewünschten Schlussfolgerung, die man aufzeigen muss, klar getrennt wird. Hier wiederholt sich das Prinzip, dass die Äquivalenz von zwei Aussagen die wechselseitige Implikation bedeutet, und durch den Beweis der beiden einzelnen Implikationen bewiesen wird. {{Zwischenüberschrift|Beschreibungsmöglichkeiten für Mengen}} Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. In der Abgabegruppe {{math|term= H |SZ=}} sind die Personen {{mathl|term= \{ F,Jo,Je, V, Z\} |SZ=.}} Dies sind genau die Personen, die Sonntags im Schwimmbad morgens um {{math|term= 7 |SZ=}} Uhr am Tisch unter der Ulme sitzen. Es handelt sich dann um zwei verschiedene Beschreibungen für die gleiche Menge. Die wichtigste Beschreibung einer Menge ist die durch eine Eigenschaft. Es sei eine Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Menge der natürlichen Zahlen, die Leute im Kurs| |ISZ=|ESZ= }} und ferner eine gewisse Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikat| |SZ=, }} die man auf alle Elemente der Grundmenge sinnvoll anwenden kann und die auf manche Elemente zutrifft, auf manche nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wie gerade zu sein oder sich auf die Weihnachtsferien zu freuen| |ISZ=|ESZ=. }} Zu der Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft, diese Bedingung, erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Relationskette/display | {{Mengebed| x \in M|E(x)}} || {{Mengebed| x \in M| x \text{ besitzt die Eigenschaft } E}} || {{Mengebed| x \in M| E \text{ trifft auf } x \text{ zu} }} || || |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Relationskette/display |G || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist gerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |U || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist ungerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |Q || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Quadratzahl} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {\mathbb P} || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Primzahl} }} || || || |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Relationskette/display |O || {{Mengebed| x \in K| x \text{ kommt aus Osnabr}\ddot {\rm u}\text{ck} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |E || {{Mengebed| x \in K| x \text{ studiert im Nebenfach evangelische Theologie} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |D || {{Mengebed| x \in K| x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Relationskette/display |K || {{Mengebed| x| x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man beachte, dass sich die ähnlich geformten Symbole {{mathl|term= \cap|SZ=}} und {{math|term= {{logund|}} }} und {{mathl|term= \cup|SZ=}} und {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} entsprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Relationskette |T | \subseteq|G || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Mengenlehre/Komplement/Definition||M=G }} Dafür schreibt man auch {{mathl|term= {{op:Mengenkomplement|T|}} |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display |G || M \cup (M \setminus T) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |M \cap (M \setminus T) || \emptyset || || || |SZ=. }} Beispielsweise ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen. Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt von zwei Mengen leer ist, bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} Wenn Teilmengen durch geeignete Prädikate definiert sind, so stehen die Mengenoperationen unmittelbar in Zusammenhang mit den logischen Operationen für die Prädikate. Wenn {{ Zusatz/Klammer |text=in einer gewissen Grundmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display |M || {{Mengebed| x| \alpha (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display |L || {{Mengebed| x| \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display |M \cap L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ und } \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |M \cup L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ oder }\beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display |M \setminus L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ gilt aber }\beta (x) \text{ gilt nicht} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild | 4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} fykxyymuxyntcy4dagp9bq3za2vr5id 1107207 1107206 2026-07-15T13:26:24Z Bocardodarapti 2041 1107207 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Georg Cantor 1894|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=Georg_Cantor |Text= [[w:Georg Cantor|Georg Cantor (1845-1918)]] ist der Schöpfer der Mengentheorie. |Autor=unbekannt |Benutzer=Geometry guy |Domäne=en wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |David Hilbert 1886|jpg| 200px {{!}} thumb {{!}} | | | |Zusname=David_Hilbert_1886 |Text= [[w:David Hilbert|David Hilbert (1862-1943)]] nannte sie ein {{Betonung|Paradies}}, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen. |Autor=unbekannt (1886) |Benutzer=Magnus Manske |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Eine {{Stichwort|Menge|SZ=}} ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die {{Stichwort|Elemente|msw=Element|SZ=}} der Menge heißen. Mit {{Stichwort/anf|wohlunterschieden|SZ=}} meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die {{Stichwort|Zugehörigkeit|SZ=}} eines Elementes {{math|term= x |SZ=}} zu einer Menge {{math|term= M |SZ=}} wird durch {{ Relationskette | x | \in|M || || || |SZ= }} ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch {{ Relationskette | x |\notin|M || || || |SZ=. }} Für jedes Element{{ Zusatz/Klammer |text=symbol| |ISZ=|ESZ= }} gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten. Die wichtigste mathematische Menge ist im Moment für uns die Menge der natürlichen Zahlen {{ Relationskette/display |\N || \{0, 1,2,3, \ldots\} || || || |SZ=. }} Für Mengen gilt das {{Stichwort|Extensionalitätsprinzip|SZ=,}} d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten. {{ inputdefinition |Mengenlehre/Leere Menge/Definition|| }} Eine Menge {{math|term= N |SZ=}} heißt {{Stichwort|Teilmenge|SZ=}} einer Menge {{math|term= M |SZ=,}} wenn jedes Element aus {{math|term= N |SZ=}} auch zu {{math|term= M |SZ=}} gehört. Man schreibt dafür {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=manche schreiben dafür {{ Relationskette/k | N | \subset| M || || || |SZ= }}| |SZ=. }} Beispielsweise ist die Menge aller durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbaren natürlichen Zahlen eine Teilmenge der Menge aller geraden Zahlen. Bei einer Teilmengenbeziehung sagt man auch, dass eine {{Stichwort|Inklusion|SZ=}} {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} vorliegt. Im Nachweis, dass {{ Relationskette |N | \subseteq|M || || || |SZ= }} ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} ebenfalls die Beziehung {{ Relationskette | x | \in| M |SZ= }} gilt{{ Zusatz/Fußnote |text=In der Sprache der Quantorenlogik kann man eine Inklusion verstehen als die Aussage {{math|term= \forall x(x \in N \rightarrow x \in M) |SZ=.}}| |ESZ=. }} Dabei darf man lediglich die Eigenschaft {{ Relationskette | x | \in| N || || || |SZ= }} verwenden. Im Beispiel würde man so argumentieren: {{math|term= x |SZ=}} ist eine durch {{math|term= 6 |SZ=}} teilbare Zahl. Daher kann man {{ Relationskette/display | x || 6 y || || || |SZ= }} mit einer gewissen natürlichen Zahl {{math|term= y |SZ=}} schreiben. Dies kann man als {{ Relationskette/display | x || 6y || 2 (3y) || || || |SZ= }} schreiben, was eben bedeutet, dass {{math|term= x |SZ=}} gerade ist. 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Die einfachste ist wohl, die zu der Menge gehörenden Elemente aufzulisten, wobei es auf die Reihenfolge der Elemente nicht ankommt. In der Abgabegruppe {{math|term= H |SZ=}} sind die Personen {{mathl|term= \{ F,Jo,Je, V, Z\} |SZ=.}} Dies sind genau die Personen, die Sonntags im Schwimmbad morgens um {{math|term= 7 |SZ=}} Uhr am Tisch unter der Ulme sitzen. Es handelt sich dann um zwei verschiedene Beschreibungen für die gleiche Menge. Die wichtigste Beschreibung einer Menge ist die durch eine Eigenschaft. Es sei eine Grundmenge {{math|term= M |SZ=}} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=wie die Menge der natürlichen Zahlen, die Leute im Kurs| |ISZ=|ESZ= }} und ferner eine gewisse Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=Prädikat| |SZ=, }} die man auf alle Elemente der Grundmenge sinnvoll anwenden kann und die auf manche Elemente zutrifft, auf manche nicht {{ Zusatz/Klammer |text=wie gerade zu sein oder sich auf die Weihnachtsferien zu freuen| |ISZ=|ESZ=. }} Zu der Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} gehört innerhalb von {{math|term= M |SZ=}} die Teilmenge bestehend aus allen Elementen aus {{math|term= M |SZ=,}} die diese Eigenschaft, diese Bedingung, erfüllen. Man beschreibt eine durch eine Eigenschaft definierte Teilmenge meist als {{ Relationskette/display | {{Mengebed| x \in M|E(x)}} || {{Mengebed| x \in M| x \text{ besitzt die Eigenschaft } E}} || {{Mengebed| x \in M| E \text{ trifft auf } x \text{ zu} }} || || |SZ=. }} Dies geht natürlich nur mit solchen Eigenschaften, für die die Aussage {{math|term= E(x) |SZ=}} eine wohldefinierte Bedeutung hat. Wenn man eine solche Teilmenge einführt, so gibt man ihr häufig sofort einen Namen {{ Zusatz/Klammer |text=in dem auf die Eigenschaft {{math|term= E |SZ=}} Bezug genommen werden kann, aber nicht muss| |SZ=. }} Z.B. kann man einführen {{ Relationskette/display | G || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist gerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | U || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist ungerade} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | Q || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Quadratzahl} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {\mathbb P} || {{Mengebed| x \in \N| x \text{ ist eine Primzahl} }} || || || |SZ=. }} Für die Mengen in der Mathematik sind meist eine Vielzahl an mathematischen Eigenschaften relevant und daher gibt es meist auch eine Vielzahl an relevanten Teilmengen. Aber auch bei alltäglichen Mengen, wie etwa die Menge {{math|term= K |SZ=}} der Studierenden in einem Kurs, gibt es viele wichtige Eigenschaften, die gewisse Teilmengen festlegen, wie etwa {{ Relationskette/display | O || {{Mengebed| x \in K| x \text{ kommt aus Osnabrück} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | E || {{Mengebed| x \in K| x \text{ studiert im Nebenfach evangelische Theologie} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | D || {{Mengebed| x \in K| x \text{ hat im Dezember Geburtstag} }} || || || |SZ=. }} Die Menge {{math|term= K |SZ=}} ist dabei selbst durch eine Eigenschaft festgelegt, es ist ja {{ Relationskette/display | K || {{Mengebed| x| x \text{ ist Studierender in diesem Kurs} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengenoperationen}} So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen{{ Zusatz/{{{zusatz1|}}} |text=Man beachte, dass sich die ähnlich geformten Symbole {{mathl|term= \cap|SZ=}} und {{math|term= {{logund|}} }} und {{mathl|term= \cup|SZ=}} und {{math|term= {{logoder|}} |SZ=}} entsprechen| |ISZ=.|ESZ=. }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Durchschnitt/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Vereinigung/Definition|| }} {{ inputdefinition |Mengentheorie/Zwei Mengen/Differenzmenge/Definition|| }} Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das {{Stichwort|Komplement|SZ=}} einer Teilmenge {{ Relationskette | T | \subseteq| G || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Mengenlehre/Komplement/Definition||M=G }} Dafür schreibt man auch {{mathl|term= {{op:Mengenkomplement|T|}} |SZ=.}} Es gilt {{ Relationskette/display | G || G \cup (G \setminus T) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | G \cap (G \setminus T) || \emptyset || || || |SZ=. }} Beispielsweise ist das Komplement der Menge der geraden Zahlen die Menge der ungeraden Zahlen. Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt von zwei Mengen leer ist, bekommt einen eigenen Namen. {{ inputdefinition |Mengentheorie/Disjunkt/Definition|| }} Wenn Teilmengen durch geeignete Prädikate definiert sind, so stehen die Mengenoperationen unmittelbar in Zusammenhang mit den logischen Operationen für die Prädikate. Wenn {{ Zusatz/Klammer |text=in einer gewissen Grundmenge| |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette/display | M || {{Mengebed| x| \alpha (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | L || {{Mengebed| x| \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ= }} vorliegt, so ist {{ Relationskette/display | M \cap L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ und } \beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \cup L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ oder }\beta (x) \text{ gilt} }} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | M \setminus L || {{Mengebed| x| \alpha(x) \text{ gilt aber }\beta (x) \text{ gilt nicht} }} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|Mengendiagramme}} Eine Möglichkeit, Mengen oder vielmehr die zwischen verschiedenen Mengen möglichen oder existierenden Verhältnisse zueinander abzubilden, liefern {{Stichwort|Mengendiagramme|msw=Mengendiagramm|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=oder {{Stichwort|Venn-Diagramme|msw=Venn-Diagramm|SZ=}} | |SZ=. }} In ihnen werden Mengen durch gewisse Flächenstücke in der Ebene repräsentiert. Die Flächenstücke sollten eine möglichst einfache Form besitzen. Sie sind zumeist {{Stichwort/anf|zusammenhängend|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=d.h. je zwei Punkte des Stückes sind durch einen {{Stichwort/anf|stetigen Weg|SZ=}} miteinander verbindbar| |SZ=. }} Die Flächenstücke können sich überlappen, und der Überlappungsbereich repräsentiert die Schnittmenge. Idealerweise sind die auftretenden Überlappungsbereiche selbst wieder zusammenhängend. Die verschiedenen Flächenstücke werden häufig in unterschiedlichen Farben oder Schraffuren gezeichnet, wobei dann die Überlappungsbereiche durch die zugehörigen Farbmischungen bzw. Mischschraffuren wiedergegeben werden. Einige Beispiele für abstrakte Mengendiagramme {{ inputbild |Absolute complement|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Absolute_complement |Autor= |Benutzer=BMF81 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Set intersection|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Set_intersection |Autor= |Benutzer=Marcelo Reis |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Diagrama1|gif| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Dante |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |4sets|png| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Stumps |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn Diagram ABCD|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_Diagram_ABCD |Autor= |Benutzer=Johannes Rössel |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-five|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Edwards-Venn-six|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Interiot |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn6|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Kopophex |Domäne=en Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Diese Diagramme sind vollständig in dem Sinne, dass sie alle möglichen Schnitteigenschaften der beteiligten Mengen repräsentieren. In den folgenden Diagrammen wird nicht jede mögliche Schnitteigenschaft repräsentiert. {{ inputbild |Disyunción de clases2|JPG| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Disyuncion_de_clases |Autor= |Benutzer=Monimino |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |Subset|svg| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Petr K |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Venn diagram of three sets|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Venn_diagram_of_three_sets |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4xa|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |CirclesN4a|GIF| 250px {{!}} {{!}} |Autor= |Benutzer=Thisisbossi |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Standardsemantik klein|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Standardsemantik_klein |Autor= |Benutzer=Dhanyavaada |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einige Beispiele für konkrete Mengen-Diagramme In diesem Fall repräsentieren die beteiligten Mengen einen bestimmten Begriff, das Schnittverhalten hängt dann von inhaltlichen Überlegungen ab. Solche Diagramme spielen in der Mathematik keine große Rolle. Wenn man allerdings z. B. verschiedene algebraische Begriffe wie Gruppe, Ring, kommutativer Ring, Divisionsbereich, Körper in ihrer Hierarchie veranschaulichen möchte, so ist ein solches Diagramm durchaus sinnvoll. {{ inputbild |Amino Acids Venn Diagram (de)|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Amino_Acids_Venn_Diagram_(de) |Autor= |Benutzer=Hoffmeier |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} {{ inputbild |British Isles Venn Diagram en|svg| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=British_Isles_Venn_Diagram en |Autor= |Benutzer=Sony-youth |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Geistiges Eigentum und Wettbewerbsrecht|png| 250px {{!}} {{!}} |Zusname=Geistiges_Eigentum_und_Wettbewerbsrecht |Autor= |Benutzer=3247 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= |Fußnoten=x }} 6b4lbglwdov4lv45tdjh25p2krvk08m 0 83601 1107384 474995 2026-07-15T14:48:02Z Bocardodarapti 2041 1107384 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Skizziere{{n Sie}} ein Mengendiagramm zum Thema Stoff in der {{ Zusatz/Klammer |text=Grund| |ISZ=|ESZ=- }}Schule, das die folgenden {{ Zusatz/Klammer |text=oder ähnliche| |ISZ=|ESZ= }} Mengen und ihre Beziehungen abbildet. {{ Auflistung9 |Was habe ich in der Schule gelernt. |Was kam in meiner Schule dran. |Was wird an manchen Schulen gelehrt. |Was könnte an einer Schule gelehrt werden. |Was steht in den Schulbüchern. |Woran kann ich mich erinnern. |Woran können sich andere erinnern. |Was stand im Lehrplan. |Was haben die Lehrer verstanden. }} Welche Inklusionen gelten, wie sehen Durchschnitte, Vereinigungen, Restmengen aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7c1arqi56fyswpc9tec2nlo8sn5iwzn 0 83620 1107450 1103426 2026-07-15T16:07:08Z Bocardodarapti 2041 1107450 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir führen nun die Addition und die Multiplikation von natürlichen Zahlen ein. Dabei müssen wir uns kurz klar machen, um was für ein Objekt es sich überhaupt handelt. Bei der Addition {{ Zusatz/Klammer |text=der Multiplikation| |ISZ=|ESZ= }} wird zwei{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist hier auch erlaubt, dass die beiden Zahlen gleich sind. Dann könnte man sich an dem Wort zwei stören, da ja dann nur eine Zahl vorliegt. In einem solchen Zusammenhang sind die Zahlangaben so zu verstehen, dass sie zählen, wie oft eine Zahl aufgerufen wird| |ISZ=.|ESZ= }} natürlichen Zahlen {{ mathkor|term1= a |und|term2= b |SZ= }} eine neue Zahl, ihre Summe {{mathl|term= a+b|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=ihr Produkt {{mathlk|term=a\cdot b |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} zugeordnet. Weiter ober haben wir schon aus zwei Mengen ihre Vereinigung bzw. ihren Durchschnitt gebildet. Für diese Situationen gibt es das Konzept der Verknüpfung. Um dies angemessen formulieren zu können, benötigen wir die Produktmenge. {{ inputdefinition |Produktmenge/Zwei Mengen/Definition|| }} Die Elemente der Produktmenge nennt man {{Stichwort|Paare|msw=Paar|SZ=}} und schreibt {{mathl|term= (x,y) |SZ=.}} Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten {{Stichwort|Komponenten|msw=Komponente|SZ=}} ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind. Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun. Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. {{ inputbeispiel |Produktmenge/Vornamen und Nachnamen/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Produktmenge/Reelle Intervalle und Rechtecke/Beispiel|| }} Man kann auch mehrfache Produktmengen bilden, wie etwa {{ Relationskette |\R^3 ||\R \times \R \times \R || || || |SZ=. }} Für eine Abbildung {{ Abbildung/display |name=f | \R | \R || |SZ= }} ist der Graph diejenige Teilmenge von {{ Relationskette | \R \times \R | \cong| \R^2 || || || |SZ=, }} die durch alle Paare der Form {{mathl|term= (x,f(x)) |SZ=}} gegeben sind. Diese Definition überträgt sich auf beliebige Abbildungen. Es existiert also stets ein Graph unabhängig von seiner zeichnerischen Realisierbarkeit. {{ inputdefinition |Abbildung/Graph (Menge)/Definition|| }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Definition|| }} Statt Verknüpfung sagt man auch {{Stichwort|Operation|SZ=.}} Das Verknüpfungszeichen {{math|term= \circ|SZ=}} ist hier einigermaßen willkürlich gewählt, um vorschnelle Assoziationen zu vermeiden. In vielen konkreten Situation steht hier {{ mathkor|term1= + |oder|term2= \cdot |SZ=. }} Das {{Anführung|neue}} Element {{mathl|term= x \circ y |SZ=}} heißt dann auch das {{Stichwort|Ergebnis|SZ=}} der Operation. Da das Ergebnis wieder zur Ausgangsmenge {{math|term= M |SZ=}} gehört, kann man es weiter verknüpfen mit weiteren Elementen. Dies erfordert im Allgemeinen Klammerungen, um zu wissen, in welcher Reihenfolge welche Elemente miteinander verknüpft werden sollen. Im Allgemeinen ist {{ Relationskette/display | a \circ (b \circ c) | \neq | (a \circ b) \circ c || || || |SZ=. }} {{ inputdefinition |Verknüpfung/Assoziativ/Definition|| }} Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das {{Stichwort|Assoziativgesetz|SZ=}} oder die {{Stichwort|Klammerregel|SZ=}} gilt. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Kommutativ/Definition|| }} Man sagt auch, dass für die Verknüpfung das {{Stichwort|Kommutativgesetz|SZ=}} oder das {{Stichwort|Vertauschungsgesetz|SZ=}} gilt. Die Addition und die Multiplikation auf den natürlichen Zahlen sind beide assoziativ und kommutativ. {{ inputdefinition |Verknüpfung/Neutrales Element/Definition|| }} Bei der Addition auf den natürlichen Zahlen ist {{math|term= 0 |SZ=}} das neutrale Element und bei der Multiplikation auf den natürlichen Zahlen ist {{math|term= 1 |SZ=}} das neutrale Element. Deshalb ist es in der abstrakten Formulierung sinnvoll, eine unbelastete Bezeichnung zu wählen. Wenn die Verknüpfung kommutativ ist, so muss man die Eigenschaft des neutralen Elementes nur von einer Seite überprüfen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Verknüpfungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kmtq19j2zt6vcnvfml8w8o45gwrc1ok 0 83685 1107449 1106394 2026-07-15T15:53:31Z Bocardodarapti 2041 1107449 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In den natürlichen Zahlen {{math|term= \N |SZ=}} kann man addieren, multiplizieren, potenzieren, teilweise abziehen, es gibt die Größergleich-Relation, die Teilbarkeit, usw. Man kann sich nun fragen, welche Abhängigkeiten {{ Zusatz/Klammer |text=logische Hierarchien| |ISZ=|ESZ= }} zwischen diesen mathematischen Strukturen bestehen und ob man manche davon auf andere, grundlegendere Strukturen zurückführen kann. Dies führt zum axiomatischen Aufbau der natürlichen Zahlen. Dies ist lediglich eine weitere Präzisierung des Zählvorgangs in der Sprache der Mengen und Abbildungen. {{ inputbild |Dedekind|jpg| 230px {{!}} left {{!}} | |Text=[[w:Richard Dedekind|Richard Dedekind (1831 -1916)]] |Autor=unbekannt |Benutzer=Yerpo |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} {{ inputbild |Giuseppe Peano|jpg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Giuseppe_Peano |Text=[[w:Giuseppe Peano|Giuseppe Peano (1858 -1932)]] |Autor=unbekannt |Benutzer=Kalki |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Zahlentheorie/Peano-Axiome/Definition|| }} {{{zusatz1|}}} Das heißt, dass die natürlichen Zahlen durch das natürliche Zählen bestimmt sind. Zählen heißt, von einem Startwert ausgehend, nach und nach einen Schritt {{ Zusatz/Klammer |text=einen Strich machen, einen Stab dazulegen, einen Punkt dazumalen, oder ein komplexeres Bildungsgesetz| |SZ= }} weiterzuzählen. Das {{Anführung|Weiter|SZ=-}}Zählen ist also fundamentaler als eine bestimmte Benennung von Zahlen. Eine natürliche Zahl repräsentiert, wie oft bis zu ihr gezählt werden musste. Die erste Eigenschaft legt den Start fest. Die zweite Eigenschaft besagt, dass wenn zwei Zahlen verschieden sind, dann auch die beiden jeweiligen Nachfolger verschieden sind. Die dritte Eigenschaft, die man auch das {{Stichwort|Induktionsprinzip für Mengen|SZ=}} nennt, besagt, dass, wenn man bei {{math|term= 0 |SZ=}} anfängt und keinen einzelnen Zählvorgang auslässt, man dann vollständig alle natürlichen Zahlen abzählt. Es sei erwähnt, dass solche Überlegungen, die natürlichen Zahlen grundlegend zu begründen, manchmal eher verwirrend als hilfreich sein können. Statt des intuitiven Zählens arbeiten wir mit den abstrakten Konzepten Mengen, Abbildungen, Injektivität. Bei den natürlichen Zahlen ist es erfahrungsgemäß nicht gefährlich, der Zähl-Intuition{{{zusatz2|}}}{{{zusatz3|}}} zu vertrauen und mit einer naiven Vorstellung davon zu arbeiten {{ Zusatz/Klammer |text=dies gilt für die reellen Zahlen nicht in dieser Deutlichkeit{{{zusatz4|}}}| |SZ=. }} Wir benennen explizit die intellektuellen Leistungen, die durch die axiomatische Fixierung der natürlichen Zahlen erbracht werden. {{:Dedekind-Peano-Axiome/Axiomatische Leistung/Bemerkung}} In einem Dedekind-Peano-Modell gibt es die untereinander verschiedenen Elemente {{ Math/display|term= 0, 0^\prime, 0^{\prime \prime }, 0^{\prime \prime \prime}, ... |SZ=. }} Hier stehen also alle Elemente, die von {{math|term= 0 |SZ=}} aus in endlich vielen Schritten {{ Zusatz/Klammer |text=man denke an die Abzählung endlicher Prozesse| |ISZ=|ESZ= }} erreicht werden können {{ Zusatz/Klammer |text=formal-mengentheoretisch ist diese Definition problematisch, da sie Bezug auf eine endliche Ausführung nimmt| |ISZ=|ESZ=. }} Das Induktionsaxiom sichert, dass dies bereits alle Elemente des Modells sind. Die angegebene Teilmenge enthält ja die {{math|term= 0 |SZ=}} und mit jedem Element auch deren Nachfolger, also ist es die Gesamtmenge. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} nqc1lvx3559kpomt323duk80ck5ab20 0 83774 1107446 957290 2026-07-15T15:47:42Z Bocardodarapti 2041 1107446 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Mit natürlichen Zahlen kann man nicht nur endliche Mengen zählen, sondern auch Prozesse. Wenn ein Einzelprozess wohldefiniert ist, wie beispielsweise das Nachfolgernehmen in einem Modell der natürlichen Zahlen, oder das Umlegen eines Apfels von einem Haufen auf einen anderen Haufen, oder auf einer Leiter eine Sprosse nach oben steigen, so kann man mit den natürlichen Zahlen angeben, wie oft der Prozess durchgeführt wird oder werden soll. Dies eröffnet eine Vielzahl von Möglichkeiten, komplexere mathematische Konzepte dadurch festzulegen, dass gesagt wird, wie oft ein gewisser grundlegenderer Prozess durchgeführt werden soll. In diesem Sinne kann die Addition von zwei natürlichen Zahlen dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft von der anderen{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist bei diesen wichtigen Operationen nicht einheitlich festgelegt, welche der beiden beteiligten Zahlen die Anzahl der Prozesse angibt und welche angibt, dass mit ihr der Prozess durchgeführt werden soll. Ferner kommt beispielsweise bei {{mathl|term= 5 \cdot 3=3+3+3+3+3=0+3+3+3+3+3 |SZ=}} der Summand {{math|term= 3 |SZ=}} fünfmal vor, in der ersten Darstellung kommt aber nur viermal das Pluszeichen vor, sodass hier Präzisierungen nötig sind. Auch Formulierungen wie {{Anführung|mit sich selbst addieren}} sind problematisch, es wird ja jeweils zu dem Teilergebnis hinzuaddiert| |ISZ=.|ESZ= }} Zahl ausgehend der Nachfolger genommen werden soll, die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen kann dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft die andere Zahl zur {{math|term= 0 |SZ=}} addiert werden soll {{ Zusatz/Klammer |text=die Anzahl der Summanden ist durch die erste Zahl festgelegt| |ISZ=|ESZ=, }} die Potenzierung von zwei natürlichen Zahlen kann dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft die andere Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll {{ Zusatz/Klammer |text=Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn eine Strecke {{math|term= s |SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} gegeben ist, so kann man die Strecke {{math|term= n |SZ=-}}fach Hintereinanderlegen. Dabei entsteht eine Strecke, die {{math|term= n |SZ=-}}mal so lang wie die Ausgangsstrecke ist. Geometrisch kann man dies dadurch durchführen, dass man die Stecke zu einer Geraden verlängert und dann mit Hilfe eines Zirkels die Strecke {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}mal umschlägt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 18zlwcsgmfizxggi60aqmcx38oij7bb 1107447 1107446 2026-07-15T15:48:51Z Bocardodarapti 2041 1107447 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Mit natürlichen Zahlen kann man nicht nur endliche Mengen zählen, sondern auch Prozesse. Wenn ein Einzelprozess wohldefiniert ist, wie beispielsweise das Nachfolgernehmen in einem Modell der natürlichen Zahlen, oder das Umlegen eines Apfels von einem Haufen auf einen anderen Haufen, oder auf einer Leiter eine Sprosse nach oben steigen, so kann man mit den natürlichen Zahlen angeben, wie oft der Prozess durchgeführt wird oder werden soll. Dies eröffnet eine Vielzahl von Möglichkeiten, komplexere mathematische Konzepte dadurch festzulegen, dass gesagt wird, wie oft ein gewisser grundlegenderer Prozess durchgeführt werden soll. In diesem Sinne kann die Addition von zwei natürlichen Zahlen dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft von der anderen{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist bei diesen wichtigen Operationen nicht einheitlich festgelegt, welche der beiden beteiligten Zahlen die Anzahl der Prozesse angibt und welche angibt, dass mit ihr der Prozess durchgeführt werden soll. Ferner kommt beispielsweise bei {{mathl|term= 5 \cdot 3=3+3+3+3+3=0+3+3+3+3+3 |SZ=}} der Summand {{math|term= 3 |SZ=}} fünfmal vor, in der ersten Darstellung kommt aber nur viermal das Pluszeichen vor, sodass hier Präzisierungen nötig sind. Auch Formulierungen wie {{Anführung|mit sich selbst addieren}} sind problematisch, es wird ja jeweils zu dem Teilergebnis hinzuaddiert| |ISZ=.|ESZ= }} Zahl ausgehend der Nachfolger genommen werden soll, die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen kann dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft die andere Zahl zur {{math|term= 0 |SZ=}} addiert werden soll {{ Zusatz/Klammer |text=die Anzahl der Summanden ist durch die erste Zahl festgelegt| |ISZ=|ESZ=, }} die Potenzierung von zwei natürlichen Zahlen kann dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft die andere Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll {{ Zusatz/Klammer |text=Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn eine Strecke {{math|term= s |SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} gegeben ist, so kann man die Strecke {{math|term= n |SZ=-}}fach hintereinanderlegen. Dabei entsteht eine Strecke, die {{math|term= n |SZ=-}}mal so lang wie die Ausgangsstrecke ist. Geometrisch kann man dies dadurch durchführen, dass man die Stecke zu einer Geraden verlängert und dann mit Hilfe eines Zirkels die Strecke {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}mal umschlägt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} mnrqbym0ezbinlpvtznvixm326wktyc 1107448 1107447 2026-07-15T15:49:27Z Bocardodarapti 2041 1107448 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Mit natürlichen Zahlen kann man nicht nur endliche Mengen zählen, sondern auch Prozesse. Wenn ein Einzelprozess wohldefiniert ist, wie beispielsweise das Nachfolgernehmen in einem Modell der natürlichen Zahlen, oder das Umlegen eines Apfels von einem Haufen auf einen anderen Haufen, oder auf einer Leiter eine Sprosse nach oben steigen, so kann man mit den natürlichen Zahlen angeben, wie oft der Prozess durchgeführt wird oder werden soll. Dies eröffnet eine Vielzahl von Möglichkeiten, komplexere mathematische Konzepte dadurch festzulegen, dass gesagt wird, wie oft ein gewisser grundlegenderer Prozess durchgeführt werden soll. In diesem Sinne kann die Addition von zwei natürlichen Zahlen dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft von der anderen{{ Zusatz/Fußnote |text=Es ist bei diesen wichtigen Operationen nicht einheitlich festgelegt, welche der beiden beteiligten Zahlen die Anzahl der Prozesse angibt und welche angibt, dass mit ihr der Prozess durchgeführt werden soll. Ferner kommt beispielsweise bei {{mathl|term= 5 \cdot 3=3+3+3+3+3=0+3+3+3+3+3 |SZ=}} der Summand {{math|term= 3 |SZ=}} fünfmal vor, in der ersten Darstellung kommt aber nur viermal das Pluszeichen vor, sodass hier Präzisierungen nötig sind. Auch Formulierungen wie {{Anführung|mit sich selbst addieren}} sind problematisch, es wird ja jeweils zu dem Teilergebnis hinzuaddiert| |ISZ=.|ESZ= }} Zahl ausgehend der Nachfolger genommen werden soll, die Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen kann dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft die andere Zahl zur {{math|term= 0 |SZ=}} addiert werden soll {{ Zusatz/Klammer |text=die Anzahl der Summanden ist durch die erste Zahl festgelegt| |ISZ=|ESZ=, }} die Potenzierung von zwei natürlichen Zahlen kann dadurch eingeführt werden, dass die eine Zahl angibt, wie oft die andere Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll {{ Zusatz/Klammer |text=Anzahl der Faktoren| |ISZ=|ESZ=. }} Wenn eine Strecke {{math|term= s |SZ=}} und eine natürliche Zahl {{math|term= n |SZ=}} gegeben ist, so kann man die Strecke {{math|term= n |SZ=-}}fach hintereinanderlegen. Dabei entsteht eine Strecke, die {{math|term= n |SZ=-}}mal so lang wie die Ausgangsstrecke ist. Geometrisch kann man dies dadurch durchführen, dass man die Strecke zu einer Geraden verlängert und dann mit Hilfe eines Zirkels die Strecke {{mathl|term= (n-1) |SZ=-}}mal umschlägt. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} fkgp04qzx6cp1eycg6ifinlkwx7vsiw 0 83795 1107439 1084398 2026-07-15T15:33:43Z Bocardodarapti 2041 1107439 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ Math/display|term= {{|}} {{|}} {{|}}^{ {{|}} {{|}} {{|}} } |SZ=, }} ohne auf andere Darstellungsformen der natürlichen Zahlen Bezug zu nehmen. Insbesondere soll das Ergebnis als Strichfolge vorliegen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a89u2pk6th6zlgwdy0gj3yb5nbdqi2m 0 83826 1107199 1106382 2026-07-15T12:39:40Z Bocardodarapti 2041 1107199 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= In diesem Kurs stehen die Fragen von Typ (5) und (6) an erster Stelle, das Warum{{{zusatz1|}}}. Die Frage nach der logischen Abhängigkeit ist eine Frage nach dem Warum, da man versucht, Gesetzmäßigkeiten auf grundlegendere Gesetzmäßigkeiten zurückzuführen. Das Zurückführen auf fundamentalere Sachverhalte nennt man argumentieren, begründen, zeigen, ableiten, beweisen. Da man irgendwo anfangen muss, spielen in der Mathematik die Logik, Axiome und Definitionen eine fundamentale Rolle. Die Frage nach dem Warum soll zu einem vertieften Verständnis der Mathematik führen. (2) ist auch ein wichtiger Punkt, die inhaltliche Bedeutung der Zahlen und die damit ermöglichten Anwendungen sind letztlich der Grund, sich mit Mathematik zu beschäftigen, Rechengesetze vereinfachen Rechnungen, Anwendungen der elementaren Mathematik sind allgegenwärtig{{{zusatz2|.}}} Die logische Abhängigkeit ist zwar in den Einzelschritten unmittelbar einleuchtend, da aber häufig eine Vielzahl an solchen Einzelschritten aufgetürmt werden muss, um zu einer prägnanten Aussage zu kommen, sieht man manchmal den Wald vor lauter Bäumen nicht. In Interpretationen, Veranschaulichungen, Visualisierungen tritt die inhaltliche Bedeutung einer Formel deutlich hervor, zugleich ist es nicht die Formel selbst. In diesem Zusammenhang ist es wichtig, die Argumentationsebenen auseinander zu halten. Diese reflexive Fähigkeit zu entwickeln ist ein wesentliches Lernziel. Beispielsweise sind manche Visualisierungen auf den ersten Blick sehr einsichtig, bei genauerem Hinsehen muss man sich aber eingestehen, wie viel an Vorwissen und Vorannahmen eingeht{{{zusatz3|.}}} Die Fragestellungen (1) und (4) sind auch wichtig, sie stellen aber kein ernstes Problem dar, da die Rechengesetze und sonstige Formeln aus der Schule bekannt sind {{ Zusatz/Klammer |text=sein sollten| |ISZ=|ESZ= }} und da es letztlich auch nicht so viele gibt. Auch die Formulierungen sind eher einfach, zumindest, wenn man sich auf algebraische Eigenschaften konzentriert, wie sie im ersten Semester im Mittelpunkt stehen {{ Zusatz/Klammer |text=bei der Einführung der reellen Zahlen sieht dies etwas anders aus| |ISZ=|ESZ=. }} Zur Kenntnis der Gesetzmäßigkeiten gehört das korrekte algorithmische Anwenden {{ Zusatz/Klammer |text=rechnen| |ISZ=|ESZ= }} in passenden Situationen (3). Die Fragestellungen in (7) sind auch sehr wichtig, insbesondere in Hinblick auf den angestrebten Beruf. Für die didaktischen Aspekte gibt es einen eigenen einjährigen Kurs {{ Zusatz/Klammer |text=Grundkurs Mathematikdidaktik (BEU)| |ISZ=|ESZ=. }} Mit etwas Wohlwollen {{ Zusatz/Gs |text=insbesondere, wenn man Begrifflichkeiten, Formulierungen nicht überbewertet und sich auf das Verständnis konzentriert| |ISZ=|ESZ= }} erkennt man große Parallelen zwischen der Lern- und Lehrreihenfolge und dem logischen Aufbau der Mathematik{{ Zusatz/Fußnote |text=Konkret: Das Wort Halbgruppe hat in der Schule nichts verloren. Dennoch erfasst es sehr genau ein Bündel an Rechenkompetenzen, das in einem bestimmten mathematischen Entwicklungsstadium vorliegt| |ISZ=.|ESZ=. }} In den Aufgaben werden gelegentlich gewisse didaktische Szenarien angesprochen. Eine gewisse Gefahr liegt darin, die Didaktik bzw. die angebliche berufliche Situation gegen eine fundierte mathematische Ausbildung vorzubringen. Ein Ziel der angestrebten Reflexionsstufe ist es, dies als ein oberflächliches Ausweichmanöver zu durchschauen. Die Herausstellung der beiden Punkte (5) und (6) gilt für diesen Kurs, ist aber keine Gesamtbewertung über verschiedene Aspekte der Mathematik. Die Mitberücksichtigung der anderen Aspekte schlägt sich an vielen Stellen nieder, ist aber auch eine Aufgabe für die Studierenden. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} aare8dsp8v4q67ph7g87rratsf9bijb 0 83848 1107349 472906 2026-07-15T14:40:46Z Bocardodarapti 2041 1107349 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Lehrerin fragt Gabi Hochster, {{Anführung|Stimmt das oder stimmt das nicht|SZ=?}} Darauf antwortet Gabi mit den Worten {{Anführung|Ja, das stimmt oder das stimmt nicht|SZ=.}} Wie beurteilen Sie die Antwort von Gabi? Gelten aussagenlogische Gesetze im Fragekontext? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 83mque9gb6zsyuhy2lvxyz5th3ow1ob 0 83852 1107443 829570 2026-07-15T15:40:11Z Bocardodarapti 2041 1107443 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir zählen {{ Math/display|term= \text{ heute},\, \text{ morgen},\, \text{ übermorgen}, \, \text{überübermorgen}, \, \text{überüberübermorgen}, \ldots |SZ=. }} Wir kennen zwar nur die Tage ab heute, wir kennen aber die Wörter {{ Math/display|term= \ldots \text{ vorvorvorgestern},\, \text{ vorvorgestern},\, \text{ vorgestern},\, \text{ gestern} |SZ=, }} {{ Zusatz/Klammer |text=wenn sie sich letztlich auf einen Tag ab heute beziehen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung4 |Bestimme{{n Sie}} gestern von morgen. |Bestimme{{n Sie}} vorvorgestern von überüberübermorgen. |Bestimme{{n Sie}} gestern von vorgestern von überüberüberübermorgen. |Ist vorgestern von morgen in diesem System benennbar? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwtby1tls0tsvteiw6d5phltt5utw75 0 84076 1107251 1082940 2026-07-15T14:19:14Z Bocardodarapti 2041 1107251 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Auf Riggatong gibt es {{math|term= k|SZ=}} Münzen mit den Werten {{mathl|term= 1,2,3 {{kommadots|}} k-1,k |SZ=.}} Ist die minimale Darstellung eines jeden Geldbetrages eindeutig? Ist die Darstellung, die so viele {{math|term= k |SZ=-}}Münzen wie möglich verwendet und den Rest mit einer der anderen Münzen auffüllt, minimal? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bg7cnh084m7muvs6wzlpejqkge02oqm 0 84079 1107218 1098709 2026-07-15T14:10:28Z Bocardodarapti 2041 1107218 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir erlauben, dass Geldbeträge auch mithilfe von Rückgeld {{ Zusatz/Klammer |text=mit den üblichen Eurozahlen| |ISZ=|ESZ= }} beglichen werden. Eine Darstellung eines Betrages heißt minimal, wenn die Gesamtzahl der bewegten Münzen bzw. Scheine minimal ist. {{ Aufzählung2 |Für welche Geldbeträge {{ Relationskette |w | \leq | 20 || || || |SZ= }} verringert sich die minimale Anzahl an Bargeldmitteln, die bewegt werden müssen {{ Zusatz/Klammer |text=im Vergleich zur Situation, in der kein Rückgeld erlaubt ist| |ISZ=|ESZ=? }} |Für welche Geldbeträge {{ Relationskette |w | \leq | 20 || || || |SZ= }} ist die minimale Darstellung eindeutig? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der ganzen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 58lb6hvnadprze7s9lpsyrum9e94pl9 0 84086 1107211 829773 2026-07-15T14:03:51Z Bocardodarapti 2041 1107211 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ Math/display|term= (a+b+c)^2 |SZ= }} mithilfe der ersten binomischen Formel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e49jcljo6olcp2sujupuea0rfvwlmu3 0 84090 1107213 828430 2026-07-15T14:05:29Z Bocardodarapti 2041 1107213 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{Math/display|term= 100000000000001000000000^2 |SZ=}} mithilfe der ersten binomischen Formel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l14x9gp71bbkv17fttzc7x5a66wi0ye 0 84098 1107212 829774 2026-07-15T14:05:05Z Bocardodarapti 2041 1107212 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ Math/display|term= (a+b)^3 |SZ= }} mithilfe der ersten binomischen Formel und des Distributivgesetzes. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} noy8vg7icub36whkexqvzwbptmakcax 0 84149 1107235 1106499 2026-07-15T14:13:12Z Bocardodarapti 2041 1107235 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster hat Mathematikunterricht (vierte Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) gehalten wird. Gummibärchen hin oder her, Gabi Hochster möchte sich nicht damit abfinden, dass man anscheinend nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen darf. Die Zahlen {{mathl|term= 1/0, 2/0|SZ=}} usw. würde es geben, ihr Gehalt sei nur etwas mysteriös, und sie möchte sich damit weiter beschäftigen. Man könne für diese Zahlen die Bruchrechenregeln nicht naiv anwenden, beispielsweise gelte nicht die Kürzungsregel {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 0}} \cdot 0 || 1 || || || |SZ=. }} Ansonsten könne man aber mit diesen neuen Zahlen ziemlich gut rechnen, es gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz, und es gelte nach wie vor {{ Relationskette | 0 \cdot a || 0 || || || |SZ= }} für alle Zahlen {{math|term= a|SZ=,}} auch für die neuen. {{ Aufzählung3 |Frau Maier-Sengupta weiß nicht so recht, wie sie darauf reagieren soll und wendet sich an Sie, da Sie die Fachleiter/in Mathematik an der Schule sind. Wie beurteilen Sie die Situation? Hat Gabi recht? Was ist Ihr Rat an die Kollegin? |Gabi hat mittlerweile Spaß an ihren neuen Zahlen gefunden und bringt die ganze Klasse durcheinander, weil sie ständig sagt {{Anführung|man darf doch durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen|SZ=.}} Frau Maier-Sengupta befürchtet, dass dies die anderen Schüler zu Fehlschlüssen verleitet und ermahnt Gabi, nicht mehr davon zu sprechen, das sei halt so, dass man nicht durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen darf. Daraufhin sagt Gabi: {{Anführung|Frau Maier-Sengupta versteht gar nix von Mathe, noch nicht einmal, dass man durch {{math|term= 0|SZ=}} teilen darf|SZ=.}} Dies vermerkt Frau Maier-Sengupta im Klassenbuch als eine Beleidigung. Wie hätten Sie reagiert? |Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, und der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/In teilnehmen sollen. Die Eltern beschweren sich, dass Frau Maier-Sengupta die kreativen Ansätze ihrer Tochter nicht positiv aufnehmen würde, sondern abblocke. Sie befürchten, dass ihre Tochter in der Schule geistig verarme. Was ist Ihre Position? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tnckik0wla11tk3oggbalpbyvujfccb 1107241 1107235 2026-07-15T14:14:05Z Bocardodarapti 2041 1107241 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster hat Mathematikunterricht (vierte Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) gehalten wird. Gummibärchen hin oder her, Gabi Hochster möchte sich nicht damit abfinden, dass man anscheinend nicht durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen darf. Die Zahlen {{mathl|term= 1/0, 2/0 |SZ=}} usw. würde es geben, ihr Gehalt sei nur etwas mysteriös, und sie möchte sich damit weiter beschäftigen. Man könne für diese Zahlen die Bruchrechenregeln nicht naiv anwenden, beispielsweise gelte nicht die Kürzungsregel {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 0}} \cdot 0 || 1 || || || |SZ=. }} Ansonsten könne man aber mit diesen neuen Zahlen ziemlich gut rechnen, es gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz, und es gelte nach wie vor {{ Relationskette | 0 \cdot a || 0 || || || |SZ= }} für alle Zahlen {{math|term= a |SZ=,}} auch für die neuen. {{ Aufzählung3 |Frau Maier-Sengupta weiß nicht so recht, wie sie darauf reagieren soll und wendet sich an Sie, da Sie die Fachleiter/in Mathematik an der Schule sind. Wie beurteilen Sie die Situation? Hat Gabi recht? Was ist Ihr Rat an die Kollegin? |Gabi hat mittlerweile Spaß an ihren neuen Zahlen gefunden und bringt die ganze Klasse durcheinander, weil sie ständig sagt {{Anführung|man darf doch durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen|SZ=.}} Frau Maier-Sengupta befürchtet, dass dies die anderen Schüler zu Fehlschlüssen verleitet und ermahnt Gabi, nicht mehr davon zu sprechen, das sei halt so, dass man nicht durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen darf. Daraufhin sagt Gabi: {{Anführung|Frau Maier-Sengupta versteht gar nix von Mathe, noch nicht einmal, dass man durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen darf|SZ=.}} Dies vermerkt Frau Maier-Sengupta im Klassenbuch als eine Beleidigung. Wie hätten Sie reagiert? |Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, und der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/in teilnehmen sollen. Die Eltern beschweren sich, dass Frau Maier-Sengupta die kreativen Ansätze ihrer Tochter nicht positiv aufnehmen würde, sondern abblocke. Sie befürchten, dass ihre Tochter in der Schule geistig verarme. Was ist Ihre Position? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fvuw9mow3etdkzmebsw62so6dz3rnvy 1107248 1107241 2026-07-15T14:15:28Z Bocardodarapti 2041 1107248 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Gabi Hochster hat Mathematikunterricht (vierte Klasse), der von Frau Doris Maier-Sengupta (mit den Fächern Deutsch und buddhistische Philosophie) gehalten wird. Gummibärchen hin oder her, Gabi Hochster möchte sich nicht damit abfinden, dass man anscheinend nicht durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen darf. Die Zahlen {{mathl|term= 1/0, 2/0 |SZ=}} usw. würde es geben, ihr Gehalt sei nur etwas mysteriös, und sie möchte sich damit weiter beschäftigen. Man könne für diese Zahlen die Bruchrechenregeln nicht naiv anwenden, beispielsweise gelte nicht die Kürzungsregel {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 0}} \cdot 0 || 1 || || || |SZ=. }} Ansonsten könne man aber mit diesen neuen Zahlen ziemlich gut rechnen, es gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz, und es gelte nach wie vor {{ Relationskette | 0 \cdot a || 0 || || || |SZ= }} für alle Zahlen {{math|term= a |SZ=,}} auch für die neuen. {{ Aufzählung3 |Frau Maier-Sengupta weiß nicht so recht, wie sie darauf reagieren soll und wendet sich an Sie, da Sie die Fachleiter/in Mathematik an der Schule sind. Wie beurteilen Sie die Situation? Hat Gabi recht? Was ist Ihr Rat an die Kollegin? |Gabi hat mittlerweile Spaß an ihren neuen Zahlen gefunden und bringt die ganze Klasse durcheinander, weil sie ständig sagt, {{Anführung|man darf doch durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen|SZ=.}} Frau Maier-Sengupta befürchtet, dass dies die anderen Schüler zu Fehlschlüssen verleitet und ermahnt Gabi, nicht mehr davon zu sprechen, das sei halt so, dass man nicht durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen darf. Daraufhin sagt Gabi: {{Anführung|Frau Maier-Sengupta versteht gar nix von Mathe, noch nicht einmal, dass man durch {{math|term= 0 |SZ=}} teilen darf|SZ=.}} Dies vermerkt Frau Maier-Sengupta im Klassenbuch als eine Beleidigung. Wie hätten Sie reagiert? |Da es der dritte Vermerk war, kommt es zu einem Elterngespräch, zu dem neben Frau Maier-Sengupta, den Eltern, Melissa und Melvin Hochster, und der Schulleitung auch Sie als Fachleiter/in teilnehmen sollen. Die Eltern beschweren sich, dass Frau Maier-Sengupta die kreativen Ansätze ihrer Tochter nicht positiv aufnehmen würde, sondern abblocke. Sie befürchten, dass ihre Tochter in der Schule geistig verarme. Was ist Ihre Position? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Prinzipien der Mathematik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4dsc935bhf6d4d0pcquja750nv3fidm 0 84343 1107300 781101 2026-07-15T14:31:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107300 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{mathl|term= 999^2|SZ=}} mithilfe einer binomischen Formel. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kb4py6bvepihrglqy6boan037jb2oms 0 84394 1107333 1083070 2026-07-15T14:37:54Z Bocardodarapti 2041 1107333 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Paraphrasiere{{n Sie}} die folgenden Aussagen als Wenn-dann-Aussagen. {{ Aufzählung10 |Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr. |Was der Bauer nicht kennt, frisst er nicht. |Sobald die Sonne scheint geht Lucy nach draußen. |Ab {{math|term= 32 |SZ=}} Punkten bekommt man eine {{math|term= 1 |SZ=.}} |Mit dieser Einstellung sollten Sie nicht Lehrer werden. |Was uns nicht umbringt macht uns härter. |Früh übt sich, wer ein Meister werden will. |Wer {{math|term= A |SZ=}} sagt muss auch {{math|term= B |SZ=}} sagen. |Wer nicht kommt zur rechten Zeit, der muss sehn, was übrig bleibt. |Wer selber ohne Sünde ist werfe den ersten Stein. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c5shnn79nnnjt3km2ndr3see7sf33fy 1107338 1107333 2026-07-15T14:38:37Z Bocardodarapti 2041 1107338 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Paraphrasiere{{n Sie}} die folgenden Aussagen als Wenn-dann-Aussagen. {{ Aufzählung10 |Was Hänschen nicht lernt, lernt Hans nimmermehr. |Was der Bauer nicht kennt, frisst er nicht. |Sobald die Sonne scheint, geht Lucy nach draußen. |Ab {{math|term= 32 |SZ=}} Punkten bekommt man eine {{math|term= 1 |SZ=.}} |Mit dieser Einstellung sollten Sie nicht Lehrer werden. |Was uns nicht umbringt macht uns härter. |Früh übt sich, wer ein Meister werden will. |Wer {{math|term= A |SZ=}} sagt, muss auch {{math|term= B |SZ=}} sagen. |Wer nicht kommt zur rechten Zeit, der muss sehn, was übrig bleibt. |Wer selber ohne Sünde ist, werfe den ersten Stein. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ef8ku7a3k0krzxdwgbu1592pteawke7 0 84395 1107343 474704 2026-07-15T14:39:27Z Bocardodarapti 2041 1107343 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die folgenden Implikationen stehen fest. {{ Aufzählung2 |Genau dann freuen sich die Regenwürmer, wenn es regnet oder schneit. |Genau dann freuen sich die Kinder, wenn die Sonne scheint oder es schneit. }} Welche Schlussfolgerung kann man in den folgenden Fällen ziehen? {{ Aufzählung3/a |Die Kinder und die Regenwürmer freuen sich. |Die Kinder freuen sich und die Regenwürmer freuen sich nicht. |Die Kinder freuen sich nicht und die Regenwürmer freuen sich. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Aussagenlogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cxfdzltrq50n8y401gzm1td1nyuhn49 0 84426 1107375 784872 2026-07-15T14:45:08Z Bocardodarapti 2041 1107375 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der Pause isst Mustafa Müller einen Apfel und einen Schokoriegel, Heinz Ngolo isst einen Apfel und ein Butterbrot, Lucy Sonnenschein isst einen Apfel, Gabi Hochster isst ein Butterbrot und einen Schokoriegel und Frau Doris Maier-Sengupta isst einen Apfel, ein Butterbrot und einen Schokoriegel. Die Mengen der Apfel-, Butterbrot- und Schokoriegelesser seien mit {{mathl|term= A,B,S |SZ=}} bezeichnet. Erstelle{{n Sie}} mengentheoretische Ausdrücke für die folgenden Beschreibungen und liste die Elemente der Mengen auf {{ Zusatz/Klammer |text=die Grundmenge bestehe aus den fünf Personen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung7 |Isst einen Apfel. |Isst keinen Apfel. |Isst ein Butterbrot oder einen Schokoriegel. |Isst einen Apfel, aber keinen Schokoriegel. |Isst einen Apfel und einen Schokoriegel, aber kein Butterbrot. |Isst ein Butterbrot, aber weder einen Apfel noch einen Schokoriegel. |Isst nichts. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} supirecn36tih7lypy0j362ua5kz7f0 1107377 1107375 2026-07-15T14:45:28Z Bocardodarapti 2041 1107377 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= In der Pause isst Mustafa Müller einen Apfel und einen Schokoriegel, Heinz Ngolo isst einen Apfel und ein Butterbrot, Lucy Sonnenschein isst einen Apfel, Gabi Hochster isst ein Butterbrot und einen Schokoriegel und Frau Doris Maier-Sengupta isst einen Apfel, ein Butterbrot und einen Schokoriegel. 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Erstelle{{n Sie}} mengentheoretische Ausdrücke für die folgenden Beschreibungen und liste die Elemente der Mengen auf {{ Zusatz/Klammer |text=die Grundmenge bestehe aus den fünf Personen| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung7 |Isst einen Apfel. |Isst keinen Apfel. |Isst ein Butterbrot oder einen Schokoriegel. |Isst einen Apfel, aber keinen Schokoriegel. |Isst einen Apfel und einen Schokoriegel, aber kein Butterbrot. |Isst ein Butterbrot, aber weder einen Apfel noch einen Schokoriegel. |Isst nichts. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Mengentheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} supirecn36tih7lypy0j362ua5kz7f0 0 84442 1107485 1053677 2026-07-16T11:23:02Z ~2026-40049-17 41722 1107485 wikitext text/x-wiki == Diagonalmatrix == Als '''Diagonalmatrix''' bezeichnet man im [https://de.wikipedia.org/wiki/Teilgebiete_der_Mathemati mathematischen Teilgebiet] der [https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Algebra linearen Algebra] eine quadratische [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik Matrix], bei der alle Elemente außerhalb der [https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptdiagonale Hauptdiagonale] Null sind. Diagonalmatrizen sind deshalb allein durch die Angabe ihrer Hauptdiagonale bestimmt. == Skalarmatrizen == Stimmen dabei sämtliche Zahlen auf der Hauptdiagonalen überein, spricht man auch von '''Skalarmatrizen'''.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Uwe_Storch Uwe Storch], Hartmut Wiebe: ''Lehrbuch der Mathematik,'' Band 2: ''Lineare Algebra.'' BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990.</ref> Skalarmatrizen sind also skalare Vielfache der [https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitsmatrix Einheitsmatrix] :<math> E_n = \mbox{diag} \left(1, 1, \dotsc, 1\right) : = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>. == Inversenbildung == Betrachtet man quadratische Matrizen und damit insbesondere Diagonalmatrixen als [https://de.wikipedia.org/wiki/lineare_Abbildung lineare Abbildung] auf einem endlichdimensionalen [[w:de:Vektorraum|Vektorraum]], so lässt sich die Matrixmultiplikation und die Inversenbildung einfacher als bei einer voll besetzten Matrix berechnen und die Eigenwerte der Abbildung können aufgrund des [[w:de:Spektralsatz|Spektralsatzes]] direkt abgelesen werden. == Definition == Eine quadratische Matrix <math>D</math> über einem Körper <math>K</math> mit :<math> D = \begin{pmatrix} d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{22} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_{nn} \end{pmatrix} </math>, deren Elemente <math>d_{ij} \in K</math> mit <math>i \neq j</math> alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. == Schreibweise Diagonalmatrix == Häufig schreibt man dafür :<math>D = \operatorname{diag} (d_1, d_2, \dotsc, d_n) : = \begin{pmatrix} d_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_{n} \end{pmatrix}</math>. == Beispiele == === Zahlenbeispiel === Die <math>3 \times 3</math>-Matrix :<math>\operatorname{diag} \left(1,3,5\right)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} </math> ist eine Diagonalmatrix. === Besondere Diagonalmatrizen === * Die [[w:de:Einheitsmatrix|Einheitsmatrix]] ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert <math>1</math> haben. * Die quadratische [[w:de:Nullmatrix|Nullmatrix]] ist ein Spezialfall einer Diagonalmatrix, bei der alle Elemente der Hauptdiagonale den Wert <math>0</math> haben. == Eigenschaften von Diagonalmatrizen == === Unterring === Die jeweiligen Diagonalmatrizen bilden einen kommutativen [[w:de:Ringtheorie|Unterring]] des [[w:de:Ringtheorie|Rings]] der quadratischen <math>n \times n</math>-Matrizen, der nicht kommutativ ist. === Determinante === Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen: : <math>\det\left( \operatorname{diag} \left(d_1, d_2,\dotsc,d_n\right)\right) = d_1\cdot d_2\dotsm d_n = \prod_{i=1}^n d_i</math> === Transponierte Matrix === Die [https://de.wikipedia.org/wiki/Transponierte_Matrix Transponierte] <math>D^T</math> einer Diagonalmatrix ist ebenfalls wieder die Diagonalmatrix <math>D</math>. :<math>D^T = D</math> === Matrizenaddition === :<math>\operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) + \operatorname{diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) </math> :<math> \ = \operatorname{diag} (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots, a_n + b_n)</math> === Skalarmultiplikation === :<math>\lambda \cdot \operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) </math> :<math> \ = \operatorname{diag} (\lambda \cdot a_1, \lambda \cdot a_2, \dots, \lambda \cdot a_n)</math> === Matrizenmultiplikation === :<math>\operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot \operatorname{diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) </math> :<math> \ = \operatorname{diag} (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n)</math> Multiplikation einer Matrix <math>A</math> von links mit einer Diagonalmatrix entspricht der Multiplikation der Zeilen von <math>A</math> mit den Diagonaleinträgen. Die entsprechende Multiplikation von rechts entspricht der Multiplikation der Spalten von <math>A</math> mit den Diagonaleinträgen. === Berechnung der Inversen === Eine Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn keiner der Einträge auf der Hauptdiagonale <math>0</math> ist. Die [https://de.wikipedia.org/wiki/inverse_Matrix inverse Matrix] berechnet sich dann wie folgt: :<math>\operatorname{diag} \left(d_1, d_2, \dots, d_n\right)^{-1} </math> :<math> \ = \operatorname{diag} \left(d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1}\right)</math> === Transposition === :<math>\operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n)^\top = \operatorname{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n)</math> === Symmetrie === Für jede Diagonalmatrix <math>D</math> gilt, dass sie [https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Matri symmetrisch] ist, folglich gilt: <math>D = D^T</math>.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Horst_Stöcker Horst Stöcker] (Hrsg.): ''Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren.'' 4., korrigierte Auflage, Nachdruck. Deutsch, Frankfurt am Main 2008, [http://books.google.de/books?id=CnfrIB6IDFQC&pg=PA363&lpg=PA363&dq=diagonalmatrix+transponierte&source=bl&ots=39hjhMN5dT&sig=z4nFG4mqVhlcWJAOrUpgzeZaHYk&hl=de&ei=-d9LTYPvAse3hQe7vZHUDg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CCEQ6AEwAQ#v=onepage&q=diagonalmatrix%20transponierte&f=false S. 363].</ref> === Definition: Diagonalisierbarkeit === Eine quadratische <math>n</math>-dimensionale Matrix <math>A</math> heißt ''diagonalisierbar'' oder ''diagonalähnlich'', wenn es eine Diagonalmatrix <math>D_A</math> gibt, zu der sie [https://de.wikipedia.org/wiki/Ähnlichkeit_(Matrix ähnlich] ist, das heißt, es existiert eine [https://de.wikipedia.org/wiki/reguläre_Matrix reguläre Matrix] <math>S</math>, so dass gilt <math>D_A = S^{-1}AS</math>, bzw. <math>SD_A = AS</math>. === Äquivalente Definition === Äquivalent dazu: Eine <math>n</math>-dimensionale Matrix <math>A</math> mit Einträgen aus einem Körper <math>K</math> ist genau dann diagonalisierbar, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: * Das [[w:de:Charakteristisches_Polynom|Charakteristische Polynom]] <math>\chi_A(\lambda)</math> zerfällt vollständig in Linearfaktoren: <math>\chi_A(t) = \pm (t - \lambda_1) \cdot \dots \cdot (t - \lambda_n)</math> mit <math>\lambda_i \in K</math> * Die [[w:de:geometrische_Vielfachheit|geometrische Vielfachheit]] entspricht der [[w:de:algebraische_Vielfachheit|algebraischen Vielfachheit]] für jeden Eigenwert <math>\lambda_i</math>. === Lineare Abbildung === Für eine [https://de.wikipedia.org/wiki/lineare_Abbildung lineare Abbildung] <math>f\colon V \to V</math> ([https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum Vektorraum]-[https://de.wikipedia.org/wiki/Endomorphismus Endomorphismus]) bedeutet dies, dass eine [https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum Basis] <math>B</math> existiert, bei der die [https://de.wikipedia.org/wiki/Abbildungsmatri Darstellungsmatrix] <math>M_B^B(f)</math> eine Diagonalmatrix ist. === Eigenwerte === Seien <math>S</math> und <math>D_A</math> mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von <math>D_A</math>, nämlich <math>\lambda_i</math>, Eigenwerte von <math>D_A</math> zu den Einheitsvektoren <math>e_i</math> sind. Weiterhin ist <math>ASe_i = SD_Ae_i = S\lambda_ie_i = \lambda_iSe_i</math>. Die <math>Se_i</math> sind also auch Eigenvektoren von <math>A</math>, und zwar jeweils zum Eigenwert <math>\lambda_i</math>. Da <math>S</math> invertierbar sein soll, ist <math>(Se_1,\ldots,Se_n)</math> zudem linear unabhängig. == Zusammenfassung == * Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass die Matrix <math>A</math> <math>n</math> linear unabhängige Eigenvektoren <math>b_1,b_2,\ldots b_n \in V</math> zu den Eigenwerte <math>\lambda_1 ,\lambda_2 ,\ldots \lambda_n </math> hat, * der Raum <math>V</math>, auf dem sie operiert, also eine Basis aus Eigenvektoren von <math>A</math> besitzt. * Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus <math>n</math> gefundenen Eigenvektoren von <math>A</math> mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete <math>D_A</math> und <math>S</math> ganz direkt konstruieren. == Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix == Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die [https://de.wikipedia.org/wiki/geometrische_Vielfachheit geometrische Vielfachheit] ihrer [https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwert Eigenwert]e gleich der jeweiligen [https://de.wikipedia.org/wiki/Algebraische_Vielfachhei algebraischen Vielfachheit]. Das bedeutet, die [https://de.wikipedia.org/wiki/Dimension_(Mathematik) Dimension] der einzelnen [https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenraum Eigenräume] stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im [https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteristisches_Polynom charakteristischen Polynom] der Matrix überein. == Diagonalisierung == Ist eine Matrix <math>A</math> diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix <math>D_A</math>, für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist: :<math>D_A = S^{-1}AS</math> == Berechnung Diagonalmatrix == Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix <math>D_A</math> und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten: === Schritt 1 - Eigenwerte bestimmen === * Es werden die [https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenwertproblem Eigenwerte] <math>\lambda_i</math> der Matrix <math>A</math> bestimmt. === Schritt 2 - Eigenräume bestimmen === * Es werden die [https://de.wikipedia.org/wiki/Eigenraum Eigenräume] <math>E\left(\lambda_i\right)</math> zu allen Eigenwerten <math>\lambda_i</math> berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst: :<math> ( A - \lambda_i E_n ) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = 0_V \in V </math>. === Schritt 3 - Diagonalform und Basis === Nun ist die Diagonalform <math>D_A</math> der Matrix <math>A</math> bezüglich der Basis <math>B</math>: * <math>D_A = \operatorname{diag} (\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)</math> * <math>S = \{v(\lambda_1), \dots, v(\lambda_n)\}</math> mit <math>v(\lambda) \in V</math> als Eigenvektor zum Eigenwert <math>\lambda\in \mathbb{K}</math> === Simultane Diagonalisierung === Gelegentlich will man auch zwei Matrizen <math>A, B</math> mit derselben Transformation <math>S</math> diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt :<math> S^{-1}AS=D_1</math> und <math>S^{-1}BS=D_2 </math> und da <math>D_1</math> und <math>D_2</math> Diagonalmatrizen sind, :<math> D_1\cdot D_2 = D_2\cdot D_1 : \ \Rightarrow B\cdot A= SD_2S^{-1}\cdot SD_1S^{-1}= SD_1D_2S^{-1}= A\cdot B </math>. Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. == Umkehrung: Simultane Diagonalisierung == In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der [https://de.wikipedia.org/wiki/Quantenmechanik Quantenmechanik] gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen. == Banachalgebren == Der Matrizenraum ist als Vektorraum und einer Norm nicht nur ein vollständiger normierter Vektorraum, sondern mit der Matrixmultiplikation auch eine [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]] über <math>\mathbb{R}</math> bzw. <math>\mathbb{C}</math>. Das Konzept der Eigenwerte wird mit der Definition eines Spektrum von Elementen aus dem Grundraum auf Banachalgebren verallgemeinert. == Aufgabe == Betrachten Sie die folgenden Normen <math>\| \cdot \|_k </math> Banachalgebra der quadratischen <math>n\times n</math>-Matrizen mit der Matrixmultiplikation: :<math> \| A \|_1 := \sqrt{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{(i,j)}^2 } </math> :<math> \| A \|_2 := \max_{ i,j\in\{1,\ldots , n\} }| a_{(i,j)} | </math> :<math> \| A \|_3 := \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n | a_{(i,j)} | </math> mit <math>A := \left( a_{(i,j)} \right)_{i,j\in \{1,\ldots , n\} }</math>. * Welche dieser Normen ist submultiplikativ d.h. <math>\| A \cdot B\|_k \leq \| A \|_k \cdot \| B \|_k</math> für alle <math>n\times n</math>-Matrizen <math> A,B </math>? * Falls die Norm nicht submultiplativ ist, ersetzen Sie die Norm durch eine [[Normen, Metriken, Topologie#Äquivalenz:_Normen|äquivalente Norm]] die submultiplikativ ist. == Siehe auch == * [[Übung:Diagonalisierung]] * [[Äquivalenz (Matrix)]] * [[w:de:Ähnlichkeit (Matrix)|Ähnlichkeit (Matrix)]] * [[w:de:Antidiagonalmatrix|Antidiagonalmatrix]] * [[w:de:Blockdiagonalmatrix|Blockdiagonalmatrix]] * [[Trigonalisierung|Trigonalisierung]] * [[w:de:Matrix (Ähnlichkeit)|Matrix (Ähnlichkeit)]] * [[w:de:Banachalgebra|Banachalgebra]] - vollständig normierte Räume mit einer Multiplation auf dem Vektorraum. * [[w:de:Banachalgebra#Das_Spektrum|Spektrum eine Elementes]] * [[w:de:Spektralsatz|Spektralsatz]] == Wiki2Reveal == * '''[[Diagonalisierung|Diagonalisierung (Lineare Algebra)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diagonalisierung&author=Lineare%20Algebra&language=de&audioslide=no&shorttitle=Diagonalisierung&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] == Weblinks == * [http://www.rokip.net/index.php?option=com_content&view=article&id=128:diagonalisieren-einer-matrix&catid=50:lineare-algebra&Itemid=54 Diagonalisieren einer Matrix (Beispiel)] == Einzelnachweise == <references /> == Seiten-Information == * Der '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diagonalisierung&author=Lineare+Algebra&language=de Foliensatz]''' wurde für den '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionalanalysis Kurs:Funktionalanalysis]''' erstellt. * Inhalte der Seite basieren auf: [https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix https://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix] * Diese Seite ist ein [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] Dokumententyp * OER-Quelle: Wikiversity DE https://de.wikiversity.org/wiki/Diagonalisierung * Nächste Inhalte des Kurses [[Trigonalisierbarkeit]] Matrizen als Beispiel für Operatoren auf dem <math>\mathbb{R}^n</math> * Dynamische Erzeugung der [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Diagonalisierung&author=Wikiversity+Authors&language=de Reveal-Präsentation] von dieser Seite. * siehe [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] zur Funktionsweise von [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal]. [[Category:Wiki2Reveal]] jjsreg99vldwx89vnu2iebqgy49ifbo 0 84464 1107402 1097516 2026-07-15T14:52:10Z Bocardodarapti 2041 1107402 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Ein Teil der Schüler und Schülerinnen der Klasse 4c sind auf einer Wattwanderung, und zwar {{ Math/display|term= \{G,L,H,M,A,B,C ,R,S,T \} |SZ=. }} Sie werden von Wattführer Heino und Frau Maier-Sengupta begleitet. Nach einer scharfen Wende um eine unübersichtliche Düne herum zählen die beiden Aufsichtspersonen die Gruppe durch. Heino zählt {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \varphi(n)|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| M | T | A | L | S | B | G | R | H | C}} und Frau Maier-Sengupta zählt {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n|SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(n)|SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| L | A | B | R | T | C | M | G | H | S |}} Es sind also alle Kinder da. {{ Aufzählung5 |Welche Nummer gibt Heino demjenigen Kind, das von Frau Maier-Sengupta die Nummer {{math|term= 8|SZ=}} bekommt? |Welche(s) Kind(er) bekommen von beiden die gleiche Nummer? |Welche(s) Kind(er) bekommen von Heino eine höhere Nummer als von Frau Maier-Sengupta? |Gabi {{ Zusatz/Klammer |text=G| |ISZ=|ESZ= }} denkt sich das folgende Spiel aus: Jedes Kind muss demjenigen Kind, dessen Heino-Nummer gleich seiner {{ Zusatz/Klammer |text=des ersten Kindes| |ISZ=|ESZ= }} Maier-Sengupta-Nummer ist, eine Muschel schenken. Welche Schenkzyklen{{{zusatz1|}}} entstehen dabei? |Ist die durch {{ Relationskette/display | F(n) || \begin{cases} \varphi(n), \text{ falls } n \text{ ungerade} \, , \\ \psi(n), \text{ falls } n \text{ gerade} \, ,\end{cases} || || || |SZ= }} gegebene Abbildung {{math|term= F |SZ=}} eine Nummerierung der Schülermenge? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (endliche Mengen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Personenkategorie2=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte=5 |p1=0.5 |p2=0.5 |p3=1 |p4=2 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} da5jv2cgiivacxgrhv0ggf8jfw97nnq 0 84483 1107444 1099697 2026-07-15T15:45:38Z Bocardodarapti 2041 1107444 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Wertetabelle {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \varphi(n) |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| A | A | B | C | C | B | E | D | D | B}} beschreibt, welche Person der Bearbeitungsgruppe {{ Relationskette |G ||\{A,B,C,D,E\} || || || |SZ= }} welche Aufgabe federführend bearbeitet und die Wertetabelle {{Wertetabelle5|text1= {{math|term= P |SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(P) |SZ=}} | A | B | C | D | E | S | L | M | M | W |}} mit den möglichen Werten {{mathl|term= \{M,S,L,W,U\} |SZ=}} beschreibt, wie viel Lust die Personen in dieser Woche haben {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= M |SZ=:}} hat Megalust, {{math|term= S |SZ=:}} hat Superlust, {{math|term= L |SZ=}} hat Lust, {{math|term= W |SZ=}} hat wenig Lust, {{math|term= U |SZ=}} hat Unlust |ISZ=|ESZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} beschreibt dann, mit wie viel Lust die verschiedenen Aufgaben bearbeitet werden, die zugehörige Wertetabelle ist {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(\varphi(n)) |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| S | S | L | M | M | L | W | M | M | L}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r74fifjjyxga8lgk66jemdjo5v9emy6 1107445 1107444 2026-07-15T15:46:26Z Bocardodarapti 2041 1107445 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Die Wertetabelle {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \varphi(n) |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| A | A | B | C | C | B | E | D | D | B}} beschreibt, welche Person der Bearbeitungsgruppe {{ Relationskette |G ||\{A,B,C,D,E\} || || || |SZ= }} welche Aufgabe federführend bearbeitet und die Wertetabelle {{Wertetabelle5|text1= {{math|term= P |SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(P) |SZ=}} | A | B | C | D | E | S | L | M | M | W |}} mit den möglichen Werten {{mathl|term= \{M,S,L,W,U\} |SZ=}} beschreibt, wie viel Lust die Personen in dieser Woche haben {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term= M |SZ=:}} hat Megalust, {{math|term= S |SZ=:}} hat Superlust, {{math|term= L |SZ=:}} hat Lust, {{math|term= W |SZ=:}} hat wenig Lust, {{math|term= U |SZ=:}} hat Unlust |ISZ=|ESZ=. }} Die zusammengesetzte Abbildung {{mathl|term= \psi \circ \varphi|SZ=}} beschreibt dann, mit wie viel Lust die verschiedenen Aufgaben bearbeitet werden, die zugehörige Wertetabelle ist {{Wertetabelle10|text1= {{math|term= n |SZ=}} |text2= {{math|term= \psi(\varphi(n)) |SZ=}} | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10| S | S | L | M | M | L | W | M | M | L}} |Textart=Beispiel |Kategorie=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Abbildungen zwischen endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mb0yebjucglwnmmnea3ik2gj244aodb 0 84865 1107440 783023 2026-07-15T15:35:19Z Bocardodarapti 2041 1107440 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die modische Winterjacke {{Anführung|Nungiduluxe}} wird in den Größen {{mathl|term= XS,S,M,L,XL,XXL|SZ=}} und in den Farben pink, türkis, lavendel, anthrazit, weinrot, ochsenblut, luisenblau und tschitscheringrün angeboten. Ferner gibt es die Ausführung mit Reißverschluss, mit einfachen Knöpfen und mit einer Doppelknopfreihe, sowie mit und ohne Kapuze. {{ Aufzählung5 |Beschreibe{{n Sie}} die Menge der möglichen Nungiduluxe-Jacken als eine Produktmenge. |Wie viele Nungiduluxe-Jacken gibt es? |Der Grundpreis der Jacke beträgt {{mathl|term= 200|SZ=}} Euro, für die Größen {{ mathkor|term1= XL |und|term2= XXL |SZ= }} wird ein Aufschlag von {{math|term= 10|SZ=}} Euro, für die Doppelknopfreihe wird ein Aufschlag von {{math|term= 8|SZ=}} Euro und für die Kapuze wird ein Aufschlag von {{math|term= 12|SZ=}} Euro verlangt. Wie viele Jacken gibt es, die mindestens {{math|term= 220|SZ=}} Euro kosten? |Lucy Sonnenschein möchte sich eine Nungiduluxe-Jacke kaufen. Sie hat Größe {{math|term= M|SZ=}} und möchte maximal {{math|term= 215|SZ=}} Euro ausgeben. Anthrazit und weinrot kommt für sie nicht in Frage, und sie findet, dass Reißverschlüsse meistens klemmen. Da sie zufällig schon eine luisenblaue und eine tschitscheringrüne Mütze hat, wäre bei diesen Farben die Kapuze unsinnig. Alle verbleibenden Möglichkeiten möchte sie gerne anprobieren. Wie viele Jacken bestellt sie? |Die Bestellung von Lucy trifft auf folgende Schwierigkeiten: In der Größe {{math|term= M|SZ=}} sind die Farben pink und lavendel in jeder Ausführung ausverkauft und ochsenblut gibt es nur noch mit Reißverschluss. Türkis gibt es nur gleichzeitig mit Doppelknopfreihe und Kapuze und luisenblau nur mit der einfachen Knopfreihe. Wie viele Jacken werden geliefert? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Produktmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Lucy Sonnenschein |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |p4=2 |p5=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lwaglj7qrwex45hvv0cu0f0spdfg5tf 0 84872 1107415 1099354 2026-07-15T14:55:45Z Arbota 36910 Ersetzung 1107415 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} mithilfe von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Summe von zwei Quadraten/Daraus Wurzel aus -1/Bemerkung |Nr= |SZ= }} eine Quadratwurzel von {{math|term= -1|SZ=}} in {{mathl|term= {{op:Zmod| 41|}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quadratsummen in zwei Variablen |Kategorie2=Theorie der Quadratreste |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Restklassenkörper Z mod 41 |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 74o0xbxz3snugrrexncfrra4dpygh7x 0 85007 1107386 1073353 2026-07-15T14:48:31Z Arbota 36910 Ersetzung 1107386 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Modelliere{{n Sie}} Aussagen wie {{Anführung|diese Person ist größer {{ Zusatz/Klammer |text=schwerer, intelligenter| |ISZ=|ESZ= }} als jene Person}} mithilfe von Abbildungen und der Größer{{drucktrenn}}gleich-Relation auf den natürlichen Zahlen. Besteht eine Ordnungsrelation auf der Personenmenge? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Ordnung auf den natürlichen Zahlen |Kategorie2=Prinzipien der Mathematik |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bwdohkt51vdhfq4fdztgzaq2aaiw9gk 0 85258 1107288 1097485 2026-07-15T14:29:15Z Arbota 36910 Ersetzung 1107288 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Bertrandschen Postulats|Faktseitenname= Primzahlverteilung/Primzahl zwischen n+1 und 2n/Bertrandsches Postulat/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass für jedes {{ Relationskette |n | \geq | 2 || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Binomialkoeffizient| |Kontext=| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Binomialkoeffizient| 2n|n}} |SZ= }} einen Primfaktor größer als {{math|term= n|SZ=}} besitzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das Bertrandsche Postulat |Kategorie2=Theorie der Primfaktorzerlegung von Binomialkoeffizienten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 84t6zafz5llyxwphr159ba4wj55a609 0 85421 1107356 984710 2026-07-15T14:41:56Z Arbota 36910 Ersetzung 1107356 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Identität {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 0}^n 2^k || 2^{n+1} -1 || || || |SZ= }} mithilfe des Zweiersystems. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ct9u8sa5k8u55trwgg9ivb4ntux5433 0 85422 1107355 984707 2026-07-15T14:41:46Z Arbota 36910 Ersetzung 1107355 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die Identität {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 0}^n 2^k || 2^{n+1} -1 || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Natürliche Zahlen/Endliche geometrische Reihe/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Potenzierung der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cf8dhada9e4us92044c47qny47c2rmf 0 85451 1107425 479984 2026-07-15T14:58:43Z Arbota 36910 Ersetzung 1107425 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} die Eindeutigkeit der Ziffernentwicklung im Zehnersystem mithilfe der Eindeutigkeit bei der Division mit Rest. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zifferndarstellung für natürliche Zahlen |Kategorie2=Division mit Rest (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fd2ke68bijwtszvs71nedomuo32ozyw 0 86244 1107329 1082796 2026-07-15T14:37:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107329 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} in {{math|term= \Z|SZ=}} mithilfe des {{ Faktlink |Präwort=|euklidischen Algorithmus|Faktseitenname= Euklidischer Algorithmus/Z/ggT/Textabschnitt |Nr= |SZ= }} den {{ Definitionslink |größten gemeinsamen Teiler| |Kontext=Z| |SZ= }} von {{math|term= 1085|SZ=}} und {{math|term= 806|SZ=}} und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Euklidischer Algorithmus (Z) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} sm949793rkrme1m157vd9ugnizdxe76 0 86902 1107403 1099108 2026-07-15T14:52:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1107403 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe der Aussage, dass {{ Relationskette | x^4 -y^4 || z^2 || || || |SZ= }} keine ganzzahlige nichttriviale Lösung besitzt, dass es kein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich {{math|term= 1|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5db5gnd6udtxu3nmn5pyczolvngdls6 0 86921 1107424 1010407 2026-07-15T14:58:25Z Arbota 36910 Ersetzung 1107424 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mithilfe der Divisorenklassengruppe. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7b3nm27wdbf64mnt7r5t13elem7scpx 0 86926 1107404 847641 2026-07-15T14:52:23Z Arbota 36910 Ersetzung 1107404 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe des {{ Definitionslink |pythagoreischen Tripels| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= (9,40,41)|SZ=,}} dass es ein rechtwinkliges Dreieck gibt, dessen Seitenlängen alle rational sind und dessen Flächeninhalt gleich {{math|term= 5|SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des rationalen Einheitskreises |Kategorie2=Theorie der pythagoreischen Tripel |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f04vds4iw6rv5ejl97b3hcvv602f1ya 0 86963 1107302 840359 2026-07-15T14:32:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107302 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= aX^2 +bXY +cY^2|SZ=}} eine {{ Definitionslink |binäre quadratische Form| |Kontext=| |SZ= }} mit {{mathl|term= a,b,c \in \Z|SZ=.}} Charakterisiere{{n Sie}} mithilfe der {{ Definitionslink |Diskriminante| |Kontext=binäre quadratische Form| |SZ=, }} ob diese Form über {{math|term= \R|SZ=}} in {{ Zusatz/Klammer |text=homogene| |ISZ=|ESZ= }} Linearfaktoren zerfällt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Formen in zwei Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4yk4xdau3liheuuod2db25rr7u863a5 0 87054 1107438 489190 2026-07-15T15:16:17Z Bocardodarapti 2041 1107438 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wie oft sagt man {{Anführung|bitte|SZ=,|}} wenn man dreimal {{Anführung|bitte, bitte, bitte|SZ=|}} sagt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8vhoppay7efsxlyd9ifkz80w6fnvq5u 0 87057 1107317 1097857 2026-07-15T14:34:46Z Arbota 36910 Ersetzung 1107317 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Führe{{n Sie}} sämtliche Divisionen mit Rest {{ Relationskette/display | 10 \cdot k || q \cdot 17 + r || || || |SZ= }} für {{ Relationskette/display |k || 1 {{kommadots|}} 16 || || || |SZ= }} aus. |Bestimme{{n Sie}} mithilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von {{mathl|term= {{op:Bruch| 3 | 17}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} mithilfe von Teil (1) die Dezimalentwicklung von {{mathl|term= {{op:Bruch| 11| 17}} |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der schriftlichen Division |Kategorie2=Division mit Rest (N) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=1 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hg4i7zoq37vj3dj3kxhabmxkmjp5h2s 0 87089 1107465 1082611 2026-07-16T06:26:15Z Bocardodarapti 2041 1107465 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise die folgende Form des allgemeinen Distributivgesetzes für einen kommutativen Halbring {{math|term= R|SZ=}} durch Induktion über {{math|term= k|SZ=,}} wobei der Fall {{ Relationskette |k || 2 || || || |SZ= }} verwendet werden darf {{ Zusatz/Klammer |text=dabei sind {{mathl|term= n_1 {{kommadots|}} n_k |SZ=}} natürliche Zahlen und {{mathl|term= a_{j,i} \in R|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ Relationskette/align/drucklinks | {{makl| \sum_{i_1 {{=}} 1}^{n_1 } a_{1, i_1 } |}} \cdot {{makl| \sum_{i_2 {{=}} 1}^{n_2 } a_{2, i_2 } |}} \cdots {{makl| \sum_{i_k {{=}} 1}^{n_k 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1107294 1040541 2026-07-15T14:30:33Z Arbota 36910 Ersetzung 1107294 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} und es seien {{math|term= r,s|SZ=}} nichtnegative reelle Zahlen mit {{ Relationskette/display |r^n | < | s || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|binomischen Lehrsatzes|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass es ein {{ Relationskette | k | \in | \N_+ || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{makl| r+ {{op:Bruch| 1 |k}} |}}^n | < | s || || || |SZ= }} gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen Wurzeln |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ru7fg7v8r00pauj5dchk6e26as1aos5 0 88929 1107369 904974 2026-07-15T14:43:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107369 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Mustafa Müller hat seinen neunten Geburtstag. Für die Feier backt seine Oma drei Himbeerkuchen, zwei Käsekuchen und vier Apfelkuchen. Berechne{{n Sie}} die insgesamt benötigten Zutaten mithilfe von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kuchen backen/Rezept und Zutaten/Beispiel |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Matrizen von linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Mustafa Müller |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j4uau4kun5ww0l4tpqgk80ydse31qhs 0 88931 1107385 905042 2026-07-15T14:48:05Z Arbota 36910 Ersetzung 1107385 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die Situation aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Obststand/Lucy/Preis und Vitamine/Beispiel |Nr= |SZ= }} mithilfe einer {{ Definitionslink |linearen Abbildung| |Kontext=Zahlenraum| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Abbildungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} defjz4cm76sktz6vry04b4wc5rbwir3 0 89181 1107331 904916 2026-07-15T14:37:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1107331 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Familie {{math|term= A|SZ=}} und {{math|term= B|SZ=}} notieren ihre Einnahmen und Ausgaben pro Monat in der Form {{mathl|term= (x,y) \in \N^2|SZ=,}} wobei der erste Eintrag für die Einnahmen und der zweite Eintrag für die Ausgaben steht. Familie {{math|term= A|SZ=}} notiert für die erste Jahreshälfte die Paare {{Math/display|term=(2500,2800) ,\, (3500,3200) ,\, (3300,2900), \, (2800,2800) ,\, (2400,4200) ,\, (4000,2700) |SZ=.}} Familie {{math|term= B|SZ=}} notiert für die erste Jahreshälfte die Paare {{Math/display|term=(3300,3600) ,\, (3900,3800) ,\, (4300,4300), \, (4000,3800) ,\, (3900,4100) ,\, (4000,3700) |SZ=.}} {{ Aufzählung4 |Notiere{{n Sie}} für jede Familie und jeden Monat den Gewinn bzw. das Defizit in Paarschreibweise mithilfe der Standardrepräsentanten. |Berechne{{n Sie}} für jede Familie die Gesamteinnahmen und die Gesamtausgaben im angegebenen Zeitraum. |Bestimme{{n Sie}} auf zwei verschiedene Arten für jede Familie den Gesamtgewinn bzw. das Gesamtdefizit {{ Zusatz/Klammer |text=Standardrepräsentant| |ISZ=|ESZ=. }} |Vergleiche{{n Sie}} für jeden Monat den Haushalt der beiden Familien mithilfe der Festlegung aus {{ Faktlink |Faktseitenname= Ganze Zahlen/Konstruktion aus natürlichen Zahlen/Äquivalenzrelation/Anordnung/Fakt |Nr= |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Produktmenge |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pgsijbnfhqapr2ze208vequkl9q8pia 0 89683 1107306 1073368 2026-07-15T14:32:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107306 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die beiden Zwillingsschwestern Carmen und Conchita Cau{{drucktrenn}}chy waren gestern auf einer tollen Party. Beide haben jeweils genau eine Erinnerungslücke, einen Moment, an den sie sich nicht errinnern können. Sie möchten wissen, ob es sich um die gleiche Lücke handelt. Da es sich um eine Lücke handelt, können sie diese nicht direkt adressieren und untereinander vergleichen. Welche Möglichkeiten haben sie, ihre Erinnerungslücken allein mithilfe ihrer Erinnerungen zu vergleichen? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Konstruktion der reellen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8b2xyt1qtgf4f7mxbq5r1x05373smt8 0 90095 1107407 988082 2026-07-15T14:53:59Z Arbota 36910 Ersetzung 1107407 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung {{ Relationskette/display | x^2 -7x+10 || 0 || || || |SZ= }} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Vieta|Faktseitenname= Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} epdsflzk4dqxwxivxsnyio9n68vkbvg 0 90096 1107408 988083 2026-07-15T14:54:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1107408 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung {{ Relationskette/display | x^2 -12 x+27 || 0 || || || |SZ= }} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Vieta|Faktseitenname= Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t61gwcc4c3p7yhyfsjze8jqwaehooef 0 90097 1107409 988084 2026-07-15T14:54:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1107409 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung {{ Relationskette/display | x^2 -101 x+100 || 0 || || || |SZ= }} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Vieta|Faktseitenname= Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 2757q9cmkxtczx3b1g263x75yox7e0x 0 90098 1107410 988085 2026-07-15T14:54:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1107410 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{mathl|term= d \in \R|SZ=.}} Finde{{n Sie}} ganzzahlige Lösungen der quadratischen Gleichung {{ Relationskette/display | x^2 - (d+1)x+ d || 0 || || || |SZ= }} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Vieta|Faktseitenname= Quadratische Gleichung/Satz von Vieta/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen quadratischen Gleichungen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} eqn31owe5kw5xhxqw4ummfunt056tpg 0 90607 1107330 1097993 2026-07-15T14:37:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107330 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{math|term= e^3|SZ=}} mithilfe der {{ Definitionslink |Exponentialreihe| |Kontext=R| |SZ= }} bis auf einen Fehler von {{mathl|term= {{op:Bruch| 1 | 1000}} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Exponentialreihe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5j51rr7emq2nl5aq56oej9g17jfyhfe 0 91164 1107290 1082151 2026-07-15T14:29:36Z Arbota 36910 Ersetzung 1107290 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name=f | I |\R_+ || |SZ= }} eine auf einem offenen Intervall definierte Funktion. Wir interessieren uns für den {{ Definitionslink |Limes| |Kontext=Funktion R| |SZ= }} {{ Math/display|term= {{op:Funktionslimes| h | 0 | {{makl| {{op:Bruch|f(x+h)|f(x)}} |}}^{{op:Bruch| 1 |h}} }} |SZ= }} zu einem Punkt {{mathl|term= x \in I|SZ=.}} {{ Aufzählung3 |Bestimme{{n Sie}} diesen Limes für die Funktion {{ Relationskette/display |f(x) || a^x || || || |SZ= }} mit einem {{mathl|term= a \in \R_+|SZ=.}} |Es sei {{math|term= f|SZ=}} in {{mathl|term= x \in I|SZ=}} {{ Definitionslink |differenzierbar| |Kontext=R| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | {{op:Funktionslimes| h | 0 | {{makl| {{op:Bruch|f(x+h)|f(x)}} |}}^{{op:Bruch| 1 |h}} }} || {{op:exp(| {{op:Bruch|f'(x)|f(x)}} |}} || || || |SZ= }} |Überprüfe{{n Sie}} das Ergebnis aus (1) mithilfe der Formel aus (2). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R)‎ |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=2 |p2=5 |p3=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d3njdf6k9gul8l6w37idtnlv8iiplqb 0 93540 1107429 1084629 2026-07-15T15:01:00Z Bocardodarapti 2041 1107429 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Abbildung {{ Abbildung/display |name=\Psi | \N^4 | \N^4 || |SZ=, }} die einem Vierertupel {{mathl|term= (a,b,c,d) |SZ=}} das Vierertupel {{ Math/display|term= ( {{op:Betrag|b-a|}} , {{op:Betrag|c-b|}} , {{op:Betrag|d-c|}} , {{op:Betrag|a-d|}} ) |SZ= }} zuordnet. {{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel für ein Vierertupel {{mathl|term= (a,b,c,d)|SZ=}} mit der Eigenschaft an, dass sämtliche Iterationen {{mathl|term= \Psi^n (a,b,c,d) |SZ=}} für {{ Relationskette | n | \leq | 25 || || || |SZ= }} nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe{{n Sie}} das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php . |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2=Theorie der Verknüpfung von Abbildungen |Kategorie3= |Objektkategorie=Vier-Zahlen-Problem |Stichwort= |Punkte=8 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ljhqs15fbiq8aoanhey5340cvytcyoo 0 94675 1107319 904880 2026-07-15T14:35:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1107319 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Untervektorraum/Dualraum/Orthogonaler Raum/Entsprechung/Fakt |Nr=4 |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Homomorphismenraum/Unterräume/Fakt |Nr=1 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dualräume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hyj4vy8e8v90g2b92szsjlnc0z4b0r4 0 94889 1107312 979946 2026-07-15T14:33:52Z Arbota 36910 Ersetzung 1107312 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Beweise{{n Sie}} den Determinantenmultiplikationssatz {{ Relationskette/display | {{op:Determinante(|A \circ B|}} || {{op:Determinante(|A |}} {{op:Determinante(| B|}} || || || |SZ= }} für den Fall, dass {{math|term= A|SZ=}} eine Elementarmatrix ist. |Beweise{{n Sie}} den Determinantenmultiplikationssatz {{ Relationskette/display | {{op:Determinante(|A \circ B|}} || {{op:Determinante(|A |}} {{op:Determinante(| B|}} || || || |SZ= }} für den Fall, dass {{math|term= A|SZ=}} ein Produkt aus Elementarmatrizen ist. |Beweise{{n Sie}} den Determinantenmultiplikationssatz mithilfe von (2). }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Determinantenmultiplikationssatz (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=3 |p2=3 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gyy5zvlwsxgaiappjigp9z41rfsu0z0 0 95272 1107309 1097750 2026-07-15T14:33:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107309 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das {{ Definitionslink |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 3 | 7 | 2 | 3}} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 }} || {{op:Spaltenvektor| 5 | 2}} || || || |SZ= }} mithilfe der {{ Faktlink |Präwort=|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Cramersche Regel (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d5yqujb3qxbib8a4052yu55v6qnz6zj 0 96921 1107406 1106527 2026-07-15T14:53:49Z Arbota 36910 Ersetzung 1107406 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Schnittmultiplizitäten| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= {{CC}} |SZ=}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Bézout|Faktseitenname= Schnitttheorie von Kurven/Satz von Bézout/Fakt |Nr= |SZ= }} für die beiden {{ Definitionslink |ebenen projektiven Kurven| |Kontext=| |SZ=, }} die affin durch {{ Relationskette |C || V {{makl| Y^2-X^3 |}} || || || |SZ= }} und den Kreis mit Mittelpunkt {{mathl|term= (-1,0)|SZ=}} und Radius {{math|term= 1|SZ=}} gegeben sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Satz von Bézout (ebene Kurven) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t8gct6uj5zj982loucfdr5xxn4633yx 0 98184 1107419 1084494 2026-07-15T14:56:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1107419 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X|SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Raum| |Kontext=| |SZ= }} und {{math|term= F|SZ=}} ein {{ Definitionslink |topologischer Filter| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= X|SZ=,}} {{ Relationskette |T | \subseteq | X || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |offene Teilmenge| |Kontext=| |SZ= }} und {{mathl|term= T \notin F|SZ=.}} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass das Mengensystem {{ Math/display|term= {{Mengebed| U | U \subseteq X \text{ offen} | \text{es gibt } V \in F \text{ mit }V \cap {{makl| X \setminus T |}} \subseteq U}} |SZ= }} ein Filter auf {{math|term= X|SZ=}} ist, der {{mathl|term= X \setminus T|SZ=}} enthält und {{math|term= T|SZ=}} nicht enthält. |Zeige{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Lemmas von Zorn|Faktseitenname= Lemma von Zorn/Obere Schranke/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass es einen {{ Definitionslink |Ultrafilter| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= G|SZ=}} mit {{ Relationskette | F | \subseteq | G || || || |SZ= }} und mit {{mathl|term= T \notin G|SZ=}} gibt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der topologischen Filter |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=4 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a98qmnvvs6o5aqzzncnfn8w8jdiku9c 0 98352 1107348 857991 2026-07-15T14:40:36Z Arbota 36910 Ersetzung 1107348 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink 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Der Betrag <math>|f|</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage. ==Satz - Maximumprinzip== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. * '''(MAX1)''' Hat <math>|f|</math> in <math>G</math> ein lokales Maximum, so ist <math>f</math> konstant.<br /> * '''(MAX2)''' Ist <math>G</math> beschränkt und <math>f</math> auf <math>\overline{G}</math> stetig fortsetzbar, so nimmt <math>|f|</math> sein Maximum auf dem Rand <math>\partial G</math> von <math>G</math> an. == Beweis == Zum Beweis von (MAX1) benötigen man ein Lemma vorab, bei dem die Folgerung lokal für eine Umgebung von <math> z_o</math> zutrifft und nicht auf ganz <math>G</math>, so wie es in der obigen Formulierung des Maximumprinzip genannt ist. Dabei liefert der Beweis des Lemmas "lokal konstant" auch, dass <math> f</math> auch auf ganz <math>G</math> konstant ist, denn nach dem Identitätssatz reicht die Übereinstimmung von Funktionen auf einer nicht diskreten Teilmenge eines Gebietes aus, damit die Funktion auf ganz <math>G</math> übereinstimmen. ===Lemma - lokal konstant === Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math>. Dann ist <math>f</math> auf einer Umgebung von <math>z_0</math> konstant. ===Beweis des Lemmas 1 === Es sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>|f(z)| \le |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> gilt. Die [[Integralformel von Cauchy#Für Kreissscheiben|Cauchy-Integralformel]] liefert für alle <math>\varepsilon \le r</math> mit <math>\varepsilon > 0 </math>, dass :<math> f(z_0) = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac {f(z)}{z-z_0} \, dz </math> === Bemerkung zu Beweisschritt 1 === Man verlangt, dass <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> erfüllt ist, damit auch für <math>\varepsilon < r</math> bei dem Integral über den Kreisrand <math> \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Spur des Weges in <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> liegt. === Beweis des Lemmas 2 === Man erhält die folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| &= \frac 1{2\pi} \left| \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz \right| \\ &= \frac 1{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} \frac {f(z_0 + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}} \varepsilon \cdot i \cdot e^{it}\, dt\right|\\ &\le \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\, dt\\ &\le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\\ &\le |f(z_0)| \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 === In dem letzten Schritt der Ungleichung wurde die Eigenschaft verwendet, dass <math>|f(z_o)|</math> ein lokales Maximum ist und damit betragsmäßig ist <math>|f|</math> sogar größer als alle Punkte in <math> \overline{D_\varepsilon(z_o)} </math> wird. Damit gilt die Aussage also insbesondere für den Kreisrand. === Beweis des Lemmas 3 === Daraus folgt, dass es sich bei der <math>\leq</math>-Abschätzung um Gleichungskette handelt, da die Ungleichung mit <math> |f(z_0)| </math> beginnt und endet. :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| = & \int_0 ^{2 \pi}|f(z_0)| \cdot \frac 1 {2 \pi} dt = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| \, dt\\ \Rightarrow & 0 = \int_0 ^{2 \pi} (| f(z)| - |f(z_0)|)dt \\ \Rightarrow & |f(z)| = |f(z_0)| \end{array} </math> Da man das <math>\varepsilon </math> beliebig mit der Bedingung <math>0 < \varepsilon \leq r </math> wählen. === Beweis des Lemmas 4 === Damit erhalten wir die Konstanz von <math>|f|</math> über die Eigenschaft: :<math>|f(z)| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \bar D_r(z_0)</math>, d.h. <math>|f|</math> ist auf <math>D_r(z_0)</math> konstant. === Beweis des Lemmas 5 === Wenn <math>|f|=\sqrt{\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2}</math> auf <math>D_r(z_0)</math> konstant ist, dann muss auch <math>\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2 = c</math> konstant sein mit einer Konstante <math>c \in \mathbb{R}</math>. === Beweis des Lemmas 6 === Wegen <math>f</math> holomorph auf <math>D_r(z_0)</math> ist gelten die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] für :<math> u:=\mathfrak{Re}(f), \ v:= \mathfrak{Im}(f) \ \mbox { und } \ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math> und es gilt :<math>\frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial x} = 0 \mbox{ und } \frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial y} = 0</math> === Beweis des Lemmas 7 === Ist <math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math> und <math>u_y=\frac{\partial u}{\partial y}</math> und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen :<math>0=2 u u_x + 2vv_x</math> und <math>0=2 u u_y + 2v v_y</math> Mit [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|CR-DGL]] <math>u_x = v_y</math> und <math>u_y = -v_x</math> ersetzen wird die partiellen Ableitung von <math>v</math> durch partielle Ableitungen von <math>u</math> und erhalten (Faktor 2 kann entfallen): :<math>0=2 \cdot (u u_x - vu_y) </math> und <math>0=2\cdot (u u_y + v u_x) </math> === Beweis des Lemmas 8 === Wir quadrieren die beiden Gleichungen :<math>0=(u u_x - vu_y)^2 = u^2 u_x^2 - 2u u_x \cdot vu_y + v^2u_y^2</math> :<math>0=(u u_y + v u_x)^2 = u^2 u_y^2 + 2u u_y \cdot vu_x + v^2u_x^2</math> und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu: :<math>0= u^2 u_x^2 + v^2u_y^2 + u^2 u_y^2 + v^2u_x^2</math> === Beweis des Lemmas 9 === Durch Ausklammern von <math>u^2</math> und <math>v^2</math> erhält man: :<math>0= u^2 (u_x^2 + u_y^2) + v^2(u_x^2 + u_y^2) = (u^2+v^2) \cdot (u_x^2 + u_y^2)</math> Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt: :<math>0= u^2+v^2 \vee 0= u_x^2 + u_y^2</math> === Beweis des Lemmas 10 === * Mit <math>u^2=-v^2</math> folgt <math>u=v=0</math> da <math>u(x,y)</math> und <math>v(x,y)</math> reellwertig sind und damit gilt <math>f=u+iv=0</math>. * <math> u_x^2 = -u_y^2</math> folgt <math> u_x^2 = u_y^2 = 0</math> und <math> u_x = u_y = 0</math> und damit ist nach den [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] auch <math>f' = 0</math> Insgesamt ist also <math>f</math> konstant auf <math>D_r(z_0)</math>. == Beweis MAX2 - Maximumprinzip == Es sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math> in dem Gebiet <math>G</math>. <math>V := \{z \in G: f(z) = f(z_0)\}</math> sei die Menge alle <math>z \in G</math> die auf <math>w:=f(z_0) \in \mathbb{C}</math> abbilden (Niveaumenge). === Beweis 1: V abgeschlossen === Da <math>f</math> stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in <math>G</math>). Da die Menge <math>\{w\}\subset \mathbb{C}</math> abgeschlossen ist, ist <math>V=f^{-1}(\{w\})</math> abgeschlossen in <math>G</math>. === Beweis 2: V offen=== Nach dem Lemma lässt sich die <math>V</math> auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen. === Beweis 3: Zusammenhang=== Also ist <math>V = G</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>, d.&thinsp;h. <math>f</math> ist konstant.<br /> === Beweis 4: G beschränkt === Ist <math>G</math> beschränkt, so ist <math>\bar G</math> kompakt, also nimmt die stetige Funktion <math>f</math> auf <math>\bar G</math> ihr Maximum an, etwa an der Stelle <math>z_0 \in \bar G</math>. Ist <math>z_0 \in G</math>, so ist <math>f</math> nach obigem Lemma auf <math>G</math> konstant und damit auf <math>\bar G</math> konstant, also nimmt <math>f</math> sein Maximum auch auf <math>\partial G</math> an. Anderenfalls ist <math>z_0 \in \partial G</math> und wir sind fertig. === Bemerkung - Maximum im Inneren === Nach dem vorherigen Überlegungen führt eine lokales Maximum in Inneren zu der Eigenschaft, dass <math>f</math> konstant auf <math>G </math> und damit auch konstant auf dem Abschluss. Damit nimmt <math>f</math> natürlich auch auf dem Rand das lokale Maximum an. Im andere Fall trifft die in der Aussage genannte Eigenschaft zu, dass <math>f</math> durch Beschränktheit auf <math>\overline{G}</math> auf dem Rand das lokale Maximum annehmen muss. == Siehe auch == * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG|Anwendungen der CR-DG]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]] verwendet das Maximumprinzip == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysics/Maximum Principle]]</noinclude> lgdgd9nuk42nib5yadlh4sj3vct0prl 1107200 1107198 2026-07-15T12:42:46Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 */ 1107200 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem [[Kurs:Funktionentheorie]]. Der Betrag <math>|f|</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage. ==Satz - Maximumprinzip== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. * '''(MAX1)''' Hat <math>|f|</math> in <math>G</math> ein lokales Maximum, so ist <math>f</math> konstant.<br /> * '''(MAX2)''' Ist <math>G</math> beschränkt und <math>f</math> auf <math>\overline{G}</math> stetig fortsetzbar, so nimmt <math>|f|</math> sein Maximum auf dem Rand <math>\partial G</math> von <math>G</math> an. == Beweis == Zum Beweis von (MAX1) benötigen man ein Lemma vorab, bei dem die Folgerung lokal für eine Umgebung von <math> z_o</math> zutrifft und nicht auf ganz <math>G</math>, so wie es in der obigen Formulierung des Maximumprinzip genannt ist. Dabei liefert der Beweis des Lemmas "lokal konstant" auch, dass <math> f</math> auch auf ganz <math>G</math> konstant ist, denn nach dem Identitätssatz reicht die Übereinstimmung von Funktionen auf einer nicht diskreten Teilmenge eines Gebietes aus, damit die Funktion auf ganz <math>G</math> übereinstimmen. ===Lemma - lokal konstant === Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math>. Dann ist <math>f</math> auf einer Umgebung von <math>z_0</math> konstant. ===Beweis des Lemmas 1 === Es sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>|f(z)| \le |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> gilt. Die [[Integralformel von Cauchy#Für Kreissscheiben|Cauchy-Integralformel]] liefert für alle <math>\varepsilon \le r</math> mit <math>\varepsilon > 0 </math>, dass :<math> f(z_0) = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac {f(z)}{z-z_0} \, dz </math> === Bemerkung zu Beweisschritt 1 === Man verlangt, dass <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> erfüllt ist, damit auch für <math>\varepsilon < r</math> bei dem Integral über den Kreisrand <math> \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Spur des Weges in <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> liegt. === Beweis des Lemmas 2 === Man erhält die folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| &= \frac 1{2\pi} \left| \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz \right| \\ &= \frac 1{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} \frac {f(z_0 + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}} \varepsilon \cdot i \cdot e^{it}\, dt\right|\\ &\le \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\, dt\\ &\le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\\ &\le |f(z_0)| \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 === In dem letzten Schritt der Ungleichung wurde die Eigenschaft verwendet, dass <math>|f(z_o)|</math> ein lokales Maximum ist und damit <math>f</math> betragsmäßig sogar größer als alle Punkte <math> z\in \overline{D_\varepsilon(z_o)} </math> ist - d.h. <math>|f(z)| \leq |f(z_o)|</math>. Damit gilt die Aussage also insbesondere <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> auf dem Kreisrand mit <math>|z_{_\partial}-z_0| = \varepsilon </math>: :<math> |f(z_0)| = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}} )|\, dt \le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}})| \le |f(z_0)| </math> === Beweis des Lemmas 3 === Daraus folgt, dass es sich bei der <math>\leq</math>-Abschätzung um Gleichungskette handelt, da die Ungleichung mit <math> |f(z_0)| </math> beginnt und endet. :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| = & \int_0 ^{2 \pi}|f(z_0)| \cdot \frac 1 {2 \pi} dt = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| \, dt\\ \Rightarrow & 0 = \int_0 ^{2 \pi} (| f(z)| - |f(z_0)|)dt \\ \Rightarrow & |f(z)| = |f(z_0)| \end{array} </math> Da man das <math>\varepsilon </math> beliebig mit der Bedingung <math>0 < \varepsilon \leq r </math> wählen. === Beweis des Lemmas 4 === Damit erhalten wir die Konstanz von <math>|f|</math> über die Eigenschaft: :<math>|f(z)| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \bar D_r(z_0)</math>, d.h. <math>|f|</math> ist auf <math>D_r(z_0)</math> konstant. === Beweis des Lemmas 5 === Wenn <math>|f|=\sqrt{\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2}</math> auf <math>D_r(z_0)</math> konstant ist, dann muss auch <math>\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2 = c</math> konstant sein mit einer Konstante <math>c \in \mathbb{R}</math>. === Beweis des Lemmas 6 === Wegen <math>f</math> holomorph auf <math>D_r(z_0)</math> ist gelten die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] für :<math> u:=\mathfrak{Re}(f), \ v:= \mathfrak{Im}(f) \ \mbox { und } \ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math> und es gilt :<math>\frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial x} = 0 \mbox{ und } \frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial y} = 0</math> === Beweis des Lemmas 7 === Ist <math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math> und <math>u_y=\frac{\partial u}{\partial y}</math> und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen :<math>0=2 u u_x + 2vv_x</math> und <math>0=2 u u_y + 2v v_y</math> Mit [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|CR-DGL]] <math>u_x = v_y</math> und <math>u_y = -v_x</math> ersetzen wird die partiellen Ableitung von <math>v</math> durch partielle Ableitungen von <math>u</math> und erhalten (Faktor 2 kann entfallen): :<math>0=2 \cdot (u u_x - vu_y) </math> und <math>0=2\cdot (u u_y + v u_x) </math> === Beweis des Lemmas 8 === Wir quadrieren die beiden Gleichungen :<math>0=(u u_x - vu_y)^2 = u^2 u_x^2 - 2u u_x \cdot vu_y + v^2u_y^2</math> :<math>0=(u u_y + v u_x)^2 = u^2 u_y^2 + 2u u_y \cdot vu_x + v^2u_x^2</math> und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu: :<math>0= u^2 u_x^2 + v^2u_y^2 + u^2 u_y^2 + v^2u_x^2</math> === Beweis des Lemmas 9 === Durch Ausklammern von <math>u^2</math> und <math>v^2</math> erhält man: :<math>0= u^2 (u_x^2 + u_y^2) + v^2(u_x^2 + u_y^2) = (u^2+v^2) \cdot (u_x^2 + u_y^2)</math> Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt: :<math>0= u^2+v^2 \vee 0= u_x^2 + u_y^2</math> === Beweis des Lemmas 10 === * Mit <math>u^2=-v^2</math> folgt <math>u=v=0</math> da <math>u(x,y)</math> und <math>v(x,y)</math> reellwertig sind und damit gilt <math>f=u+iv=0</math>. * <math> u_x^2 = -u_y^2</math> folgt <math> u_x^2 = u_y^2 = 0</math> und <math> u_x = u_y = 0</math> und damit ist nach den [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] auch <math>f' = 0</math> Insgesamt ist also <math>f</math> konstant auf <math>D_r(z_0)</math>. == Beweis MAX2 - Maximumprinzip == Es sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math> in dem Gebiet <math>G</math>. <math>V := \{z \in G: f(z) = f(z_0)\}</math> sei die Menge alle <math>z \in G</math> die auf <math>w:=f(z_0) \in \mathbb{C}</math> abbilden (Niveaumenge). === Beweis 1: V abgeschlossen === Da <math>f</math> stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in <math>G</math>). Da die Menge <math>\{w\}\subset \mathbb{C}</math> abgeschlossen ist, ist <math>V=f^{-1}(\{w\})</math> abgeschlossen in <math>G</math>. === Beweis 2: V offen=== Nach dem Lemma lässt sich die <math>V</math> auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen. === Beweis 3: Zusammenhang=== Also ist <math>V = G</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>, d.&thinsp;h. <math>f</math> ist konstant.<br /> === Beweis 4: G beschränkt === Ist <math>G</math> beschränkt, so ist <math>\bar G</math> kompakt, also nimmt die stetige Funktion <math>f</math> auf <math>\bar G</math> ihr Maximum an, etwa an der Stelle <math>z_0 \in \bar G</math>. Ist <math>z_0 \in G</math>, so ist <math>f</math> nach obigem Lemma auf <math>G</math> konstant und damit auf <math>\bar G</math> konstant, also nimmt <math>f</math> sein Maximum auch auf <math>\partial G</math> an. Anderenfalls ist <math>z_0 \in \partial G</math> und wir sind fertig. === Bemerkung - Maximum im Inneren === Nach dem vorherigen Überlegungen führt eine lokales Maximum in Inneren zu der Eigenschaft, dass <math>f</math> konstant auf <math>G </math> und damit auch konstant auf dem Abschluss. Damit nimmt <math>f</math> natürlich auch auf dem Rand das lokale Maximum an. Im andere Fall trifft die in der Aussage genannte Eigenschaft zu, dass <math>f</math> durch Beschränktheit auf <math>\overline{G}</math> auf dem Rand das lokale Maximum annehmen muss. == Siehe auch == * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG|Anwendungen der CR-DG]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]] verwendet das Maximumprinzip == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysics/Maximum Principle]]</noinclude> flzeynrzxdve16nwah6m43ue535yubi 1107201 1107200 2026-07-15T12:43:41Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 */ 1107201 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem [[Kurs:Funktionentheorie]]. Der Betrag <math>|f|</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage. ==Satz - Maximumprinzip== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. * '''(MAX1)''' Hat <math>|f|</math> in <math>G</math> ein lokales Maximum, so ist <math>f</math> konstant.<br /> * '''(MAX2)''' Ist <math>G</math> beschränkt und <math>f</math> auf <math>\overline{G}</math> stetig fortsetzbar, so nimmt <math>|f|</math> sein Maximum auf dem Rand <math>\partial G</math> von <math>G</math> an. == Beweis == Zum Beweis von (MAX1) benötigen man ein Lemma vorab, bei dem die Folgerung lokal für eine Umgebung von <math> z_o</math> zutrifft und nicht auf ganz <math>G</math>, so wie es in der obigen Formulierung des Maximumprinzip genannt ist. Dabei liefert der Beweis des Lemmas "lokal konstant" auch, dass <math> f</math> auch auf ganz <math>G</math> konstant ist, denn nach dem Identitätssatz reicht die Übereinstimmung von Funktionen auf einer nicht diskreten Teilmenge eines Gebietes aus, damit die Funktion auf ganz <math>G</math> übereinstimmen. ===Lemma - lokal konstant === Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math>. Dann ist <math>f</math> auf einer Umgebung von <math>z_0</math> konstant. ===Beweis des Lemmas 1 === Es sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>|f(z)| \le |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> gilt. Die [[Integralformel von Cauchy#Für Kreissscheiben|Cauchy-Integralformel]] liefert für alle <math>\varepsilon \le r</math> mit <math>\varepsilon > 0 </math>, dass :<math> f(z_0) = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac {f(z)}{z-z_0} \, dz </math> === Bemerkung zu Beweisschritt 1 === Man verlangt, dass <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> erfüllt ist, damit auch für <math>\varepsilon < r</math> bei dem Integral über den Kreisrand <math> \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Spur des Weges in <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> liegt. === Beweis des Lemmas 2 === Man erhält die folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| &= \frac 1{2\pi} \left| \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz \right| \\ &= \frac 1{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} \frac {f(z_0 + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}} \varepsilon \cdot i \cdot e^{it}\, dt\right|\\ &\le \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\, dt\\ &\le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\\ &\le |f(z_0)| \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 === In dem letzten Schritt der Ungleichung wurde die Eigenschaft verwendet, dass <math>|f(z_o)|</math> ein lokales Maximum ist und damit <math>f</math> betragsmäßig sogar größer als alle Punkte <math> z\in \overline{D_\varepsilon(z_o)} </math> ist - d.h. <math>|f(z)| \leq |f(z_o)|</math>. Damit gilt die Aussage also insbesondere <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> auf dem Kreisrand mit <math>|z_{_\partial}-z_0| = \varepsilon </math>: :<math> |f(z_0)| = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\! |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}} )|\, dt \le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}})| \le |f(z_0)| </math> === Beweis des Lemmas 3 === Daraus folgt, dass es sich bei der <math>\leq</math>-Abschätzung um Gleichungskette handelt, da die Ungleichung mit <math> |f(z_0)| </math> beginnt und endet. :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| = & \int_0 ^{2 \pi}|f(z_0)| \cdot \frac 1 {2 \pi} dt = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| \, dt\\ \Rightarrow & 0 = \int_0 ^{2 \pi} (| f(z)| - |f(z_0)|)dt \\ \Rightarrow & |f(z)| = |f(z_0)| \end{array} </math> Da man das <math>\varepsilon </math> beliebig mit der Bedingung <math>0 < \varepsilon \leq r </math> wählen. === Beweis des Lemmas 4 === Damit erhalten wir die Konstanz von <math>|f|</math> über die Eigenschaft: :<math>|f(z)| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \bar D_r(z_0)</math>, d.h. <math>|f|</math> ist auf <math>D_r(z_0)</math> konstant. === Beweis des Lemmas 5 === Wenn <math>|f|=\sqrt{\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2}</math> auf <math>D_r(z_0)</math> konstant ist, dann muss auch <math>\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2 = c</math> konstant sein mit einer Konstante <math>c \in \mathbb{R}</math>. === Beweis des Lemmas 6 === Wegen <math>f</math> holomorph auf <math>D_r(z_0)</math> ist gelten die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] für :<math> u:=\mathfrak{Re}(f), \ v:= \mathfrak{Im}(f) \ \mbox { und } \ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math> und es gilt :<math>\frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial x} = 0 \mbox{ und } \frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial y} = 0</math> === Beweis des Lemmas 7 === Ist <math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math> und <math>u_y=\frac{\partial u}{\partial y}</math> und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen :<math>0=2 u u_x + 2vv_x</math> und <math>0=2 u u_y + 2v v_y</math> Mit [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|CR-DGL]] <math>u_x = v_y</math> und <math>u_y = -v_x</math> ersetzen wird die partiellen Ableitung von <math>v</math> durch partielle Ableitungen von <math>u</math> und erhalten (Faktor 2 kann entfallen): :<math>0=2 \cdot (u u_x - vu_y) </math> und <math>0=2\cdot (u u_y + v u_x) </math> === Beweis des Lemmas 8 === Wir quadrieren die beiden Gleichungen :<math>0=(u u_x - vu_y)^2 = u^2 u_x^2 - 2u u_x \cdot vu_y + v^2u_y^2</math> :<math>0=(u u_y + v u_x)^2 = u^2 u_y^2 + 2u u_y \cdot vu_x + v^2u_x^2</math> und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu: :<math>0= u^2 u_x^2 + v^2u_y^2 + u^2 u_y^2 + v^2u_x^2</math> === Beweis des Lemmas 9 === Durch Ausklammern von <math>u^2</math> und <math>v^2</math> erhält man: :<math>0= u^2 (u_x^2 + u_y^2) + v^2(u_x^2 + u_y^2) = (u^2+v^2) \cdot (u_x^2 + u_y^2)</math> Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt: :<math>0= u^2+v^2 \vee 0= u_x^2 + u_y^2</math> === Beweis des Lemmas 10 === * Mit <math>u^2=-v^2</math> folgt <math>u=v=0</math> da <math>u(x,y)</math> und <math>v(x,y)</math> reellwertig sind und damit gilt <math>f=u+iv=0</math>. * <math> u_x^2 = -u_y^2</math> folgt <math> u_x^2 = u_y^2 = 0</math> und <math> u_x = u_y = 0</math> und damit ist nach den [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] auch <math>f' = 0</math> Insgesamt ist also <math>f</math> konstant auf <math>D_r(z_0)</math>. == Beweis MAX2 - Maximumprinzip == Es sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math> in dem Gebiet <math>G</math>. <math>V := \{z \in G: f(z) = f(z_0)\}</math> sei die Menge alle <math>z \in G</math> die auf <math>w:=f(z_0) \in \mathbb{C}</math> abbilden (Niveaumenge). === Beweis 1: V abgeschlossen === Da <math>f</math> stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in <math>G</math>). Da die Menge <math>\{w\}\subset \mathbb{C}</math> abgeschlossen ist, ist <math>V=f^{-1}(\{w\})</math> abgeschlossen in <math>G</math>. === Beweis 2: V offen=== Nach dem Lemma lässt sich die <math>V</math> auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen. === Beweis 3: Zusammenhang=== Also ist <math>V = G</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>, d.&thinsp;h. <math>f</math> ist konstant.<br /> === Beweis 4: G beschränkt === Ist <math>G</math> beschränkt, so ist <math>\bar G</math> kompakt, also nimmt die stetige Funktion <math>f</math> auf <math>\bar G</math> ihr Maximum an, etwa an der Stelle <math>z_0 \in \bar G</math>. Ist <math>z_0 \in G</math>, so ist <math>f</math> nach obigem Lemma auf <math>G</math> konstant und damit auf <math>\bar G</math> konstant, also nimmt <math>f</math> sein Maximum auch auf <math>\partial G</math> an. Anderenfalls ist <math>z_0 \in \partial G</math> und wir sind fertig. === Bemerkung - Maximum im Inneren === Nach dem vorherigen Überlegungen führt eine lokales Maximum in Inneren zu der Eigenschaft, dass <math>f</math> konstant auf <math>G </math> und damit auch konstant auf dem Abschluss. Damit nimmt <math>f</math> natürlich auch auf dem Rand das lokale Maximum an. Im andere Fall trifft die in der Aussage genannte Eigenschaft zu, dass <math>f</math> durch Beschränktheit auf <math>\overline{G}</math> auf dem Rand das lokale Maximum annehmen muss. == Siehe auch == * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG|Anwendungen der CR-DG]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]] verwendet das Maximumprinzip == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysics/Maximum Principle]]</noinclude> iu2y7vdhfrb57ke7jprqk0j4oey4zp9 1107202 1107201 2026-07-15T12:51:01Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis des Lemmas 4 */ 1107202 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem [[Kurs:Funktionentheorie]]. Der Betrag <math>|f|</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage. ==Satz - Maximumprinzip== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. * '''(MAX1)''' Hat <math>|f|</math> in <math>G</math> ein lokales Maximum, so ist <math>f</math> konstant.<br /> * '''(MAX2)''' Ist <math>G</math> beschränkt und <math>f</math> auf <math>\overline{G}</math> stetig fortsetzbar, so nimmt <math>|f|</math> sein Maximum auf dem Rand <math>\partial G</math> von <math>G</math> an. == Beweis == Zum Beweis von (MAX1) benötigen man ein Lemma vorab, bei dem die Folgerung lokal für eine Umgebung von <math> z_o</math> zutrifft und nicht auf ganz <math>G</math>, so wie es in der obigen Formulierung des Maximumprinzip genannt ist. Dabei liefert der Beweis des Lemmas "lokal konstant" auch, dass <math> f</math> auch auf ganz <math>G</math> konstant ist, denn nach dem Identitätssatz reicht die Übereinstimmung von Funktionen auf einer nicht diskreten Teilmenge eines Gebietes aus, damit die Funktion auf ganz <math>G</math> übereinstimmen. ===Lemma - lokal konstant === Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math>. Dann ist <math>f</math> auf einer Umgebung von <math>z_0</math> konstant. ===Beweis des Lemmas 1 === Es sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>|f(z)| \le |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> gilt. Die [[Integralformel von Cauchy#Für Kreissscheiben|Cauchy-Integralformel]] liefert für alle <math>\varepsilon \le r</math> mit <math>\varepsilon > 0 </math>, dass :<math> f(z_0) = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac {f(z)}{z-z_0} \, dz </math> === Bemerkung zu Beweisschritt 1 === Man verlangt, dass <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> erfüllt ist, damit auch für <math>\varepsilon < r</math> bei dem Integral über den Kreisrand <math> \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Spur des Weges in <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> liegt. === Beweis des Lemmas 2 === Man erhält die folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| &= \frac 1{2\pi} \left| \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz \right| \\ &= \frac 1{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} \frac {f(z_0 + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}} \varepsilon \cdot i \cdot e^{it}\, dt\right|\\ &\le \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\, dt\\ &\le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\\ &\le |f(z_0)| \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 === In dem letzten Schritt der Ungleichung wurde die Eigenschaft verwendet, dass <math>|f(z_o)|</math> ein lokales Maximum ist und damit <math>f</math> betragsmäßig sogar größer als alle Punkte <math> z\in \overline{D_\varepsilon(z_o)} </math> ist - d.h. <math>|f(z)| \leq |f(z_o)|</math>. Damit gilt die Aussage also insbesondere <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> auf dem Kreisrand mit <math>|z_{_\partial}-z_0| = \varepsilon </math>: :<math> |f(z_0)| = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\! |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}} )|\, dt \le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}})| \le |f(z_0)| </math> === Beweis des Lemmas 3 === Daraus folgt, dass es sich bei der <math>\leq</math>-Abschätzung um Gleichungskette handelt, da die Ungleichung mit <math> |f(z_0)| </math> beginnt und endet. :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| = & \int_0 ^{2 \pi}|f(z_0)| \cdot \frac 1 {2 \pi} dt = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| \, dt\\ \Rightarrow & 0 = \int_0 ^{2 \pi} (| f(z)| - |f(z_0)|)dt \\ \Rightarrow & |f(z)| = |f(z_0)| \end{array} </math> Da man das <math>\varepsilon </math> beliebig mit der Bedingung <math>0 < \varepsilon \leq r </math> wählen. === Beweis des Lemmas 4 === Da man die Radien <math>\varepsilon \leq r</math> beliebig wählen kann, erhalten wir mit :<math>|f(z_{_\partial})| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Konstanz von <math>|f|</math> über die Eigenschaft: :<math>|f(z)| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{ D_r(z_0)}</math>, d.h. <math>|f|</math> ist auf <math>D_r(z_0)</math> konstant. === Beweis des Lemmas 5 === Wenn <math>|f|=\sqrt{\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2}</math> auf <math>D_r(z_0)</math> konstant ist, dann muss auch <math>\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2 = c</math> konstant sein mit einer Konstante <math>c \in \mathbb{R}</math>. === Beweis des Lemmas 6 === Wegen <math>f</math> holomorph auf <math>D_r(z_0)</math> ist gelten die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] für :<math> u:=\mathfrak{Re}(f), \ v:= \mathfrak{Im}(f) \ \mbox { und } \ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math> und es gilt :<math>\frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial x} = 0 \mbox{ und } \frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial y} = 0</math> === Beweis des Lemmas 7 === Ist <math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math> und <math>u_y=\frac{\partial u}{\partial y}</math> und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen :<math>0=2 u u_x + 2vv_x</math> und <math>0=2 u u_y + 2v v_y</math> Mit [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|CR-DGL]] <math>u_x = v_y</math> und <math>u_y = -v_x</math> ersetzen wird die partiellen Ableitung von <math>v</math> durch partielle Ableitungen von <math>u</math> und erhalten (Faktor 2 kann entfallen): :<math>0=2 \cdot (u u_x - vu_y) </math> und <math>0=2\cdot (u u_y + v u_x) </math> === Beweis des Lemmas 8 === Wir quadrieren die beiden Gleichungen :<math>0=(u u_x - vu_y)^2 = u^2 u_x^2 - 2u u_x \cdot vu_y + v^2u_y^2</math> :<math>0=(u u_y + v u_x)^2 = u^2 u_y^2 + 2u u_y \cdot vu_x + v^2u_x^2</math> und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu: :<math>0= u^2 u_x^2 + v^2u_y^2 + u^2 u_y^2 + v^2u_x^2</math> === Beweis des Lemmas 9 === Durch Ausklammern von <math>u^2</math> und <math>v^2</math> erhält man: :<math>0= u^2 (u_x^2 + u_y^2) + v^2(u_x^2 + u_y^2) = (u^2+v^2) \cdot (u_x^2 + u_y^2)</math> Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt: :<math>0= u^2+v^2 \vee 0= u_x^2 + u_y^2</math> === Beweis des Lemmas 10 === * Mit <math>u^2=-v^2</math> folgt <math>u=v=0</math> da <math>u(x,y)</math> und <math>v(x,y)</math> reellwertig sind und damit gilt <math>f=u+iv=0</math>. * <math> u_x^2 = -u_y^2</math> folgt <math> u_x^2 = u_y^2 = 0</math> und <math> u_x = u_y = 0</math> und damit ist nach den [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] auch <math>f' = 0</math> Insgesamt ist also <math>f</math> konstant auf <math>D_r(z_0)</math>. == Beweis MAX2 - Maximumprinzip == Es sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math> in dem Gebiet <math>G</math>. <math>V := \{z \in G: f(z) = f(z_0)\}</math> sei die Menge alle <math>z \in G</math> die auf <math>w:=f(z_0) \in \mathbb{C}</math> abbilden (Niveaumenge). === Beweis 1: V abgeschlossen === Da <math>f</math> stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in <math>G</math>). Da die Menge <math>\{w\}\subset \mathbb{C}</math> abgeschlossen ist, ist <math>V=f^{-1}(\{w\})</math> abgeschlossen in <math>G</math>. === Beweis 2: V offen=== Nach dem Lemma lässt sich die <math>V</math> auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen. === Beweis 3: Zusammenhang=== Also ist <math>V = G</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>, d.&thinsp;h. <math>f</math> ist konstant.<br /> === Beweis 4: G beschränkt === Ist <math>G</math> beschränkt, so ist <math>\bar G</math> kompakt, also nimmt die stetige Funktion <math>f</math> auf <math>\bar G</math> ihr Maximum an, etwa an der Stelle <math>z_0 \in \bar G</math>. Ist <math>z_0 \in G</math>, so ist <math>f</math> nach obigem Lemma auf <math>G</math> konstant und damit auf <math>\bar G</math> konstant, also nimmt <math>f</math> sein Maximum auch auf <math>\partial G</math> an. Anderenfalls ist <math>z_0 \in \partial G</math> und wir sind fertig. === Bemerkung - Maximum im Inneren === Nach dem vorherigen Überlegungen führt eine lokales Maximum in Inneren zu der Eigenschaft, dass <math>f</math> konstant auf <math>G </math> und damit auch konstant auf dem Abschluss. Damit nimmt <math>f</math> natürlich auch auf dem Rand das lokale Maximum an. Im andere Fall trifft die in der Aussage genannte Eigenschaft zu, dass <math>f</math> durch Beschränktheit auf <math>\overline{G}</math> auf dem Rand das lokale Maximum annehmen muss. == Siehe auch == * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG|Anwendungen der CR-DG]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]] verwendet das Maximumprinzip == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysics/Maximum Principle]]</noinclude> 8doi9zugbf5ode4vfyra8bl4iee8scz 1107203 1107202 2026-07-15T12:56:00Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis des Lemmas 3 */ 1107203 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem [[Kurs:Funktionentheorie]]. Der Betrag <math>|f|</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage. ==Satz - Maximumprinzip== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. * '''(MAX1)''' Hat <math>|f|</math> in <math>G</math> ein lokales Maximum, so ist <math>f</math> konstant.<br /> * '''(MAX2)''' Ist <math>G</math> beschränkt und <math>f</math> auf <math>\overline{G}</math> stetig fortsetzbar, so nimmt <math>|f|</math> sein Maximum auf dem Rand <math>\partial G</math> von <math>G</math> an. == Beweis == Zum Beweis von (MAX1) benötigen man ein Lemma vorab, bei dem die Folgerung lokal für eine Umgebung von <math> z_o</math> zutrifft und nicht auf ganz <math>G</math>, so wie es in der obigen Formulierung des Maximumprinzip genannt ist. Dabei liefert der Beweis des Lemmas "lokal konstant" auch, dass <math> f</math> auch auf ganz <math>G</math> konstant ist, denn nach dem Identitätssatz reicht die Übereinstimmung von Funktionen auf einer nicht diskreten Teilmenge eines Gebietes aus, damit die Funktion auf ganz <math>G</math> übereinstimmen. ===Lemma - lokal konstant === Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math>. Dann ist <math>f</math> auf einer Umgebung von <math>z_0</math> konstant. ===Beweis des Lemmas 1 === Es sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>|f(z)| \le |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> gilt. Die [[Integralformel von Cauchy#Für Kreissscheiben|Cauchy-Integralformel]] liefert für alle <math>\varepsilon \le r</math> mit <math>\varepsilon > 0 </math>, dass :<math> f(z_0) = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac {f(z)}{z-z_0} \, dz </math> === Bemerkung zu Beweisschritt 1 === Man verlangt, dass <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> erfüllt ist, damit auch für <math>\varepsilon < r</math> bei dem Integral über den Kreisrand <math> \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Spur des Weges in <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> liegt. === Beweis des Lemmas 2 === Man erhält die folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| &= \frac 1{2\pi} \left| \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz \right| \\ &= \frac 1{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} \frac {f(z_0 + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}} \varepsilon \cdot i \cdot e^{it}\, dt\right|\\ &\le \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\, dt\\ &\le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\\ &\le |f(z_0)| \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 === In dem letzten Schritt der Ungleichung wurde die Eigenschaft verwendet, dass <math>|f(z_o)|</math> ein lokales Maximum ist und damit <math>f</math> betragsmäßig sogar größer als alle Punkte <math> z\in \overline{D_\varepsilon(z_o)} </math> ist - d.h. <math>|f(z)| \leq |f(z_o)|</math>. Damit gilt die Aussage also insbesondere <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> auf dem Kreisrand mit <math>|z_{_\partial}-z_0| = \varepsilon </math>: :<math> |f(z_0)| = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\! |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}} )|\, dt \le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}})| \le |f(z_0)| </math> === Beweis des Lemmas 3 === Daraus folgt, dass es sich bei der <math>\leq</math>-Abschätzung um Gleichungskette handelt, da die Ungleichung mit <math> |f(z_0)| </math> beginnt und endet und <math>z_{_\partial}:= z_0+\varepsilon\cdot e^{it}\in \partial D_\varepsilon(z_0)</math>. :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| = & \int_0 ^{2 \pi}|f(z_0)| \cdot \frac 1 {2 \pi} dt = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| \, dt\\ \Rightarrow & 0 = \int_0 ^{2 \pi} (| f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| - |f(z_0)|)dt \\ \Rightarrow & |f(z_{_\partial})| = |f(z_0)| \mbox{ für alle } z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0) \end{array} </math> Da man das <math>\varepsilon </math> beliebig mit der Bedingung <math>0 < \varepsilon \leq r </math> wählen. === Beweis des Lemmas 4 === Da man die Radien <math>\varepsilon \leq r</math> beliebig wählen kann, erhalten wir mit :<math>|f(z_{_\partial})| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Konstanz von <math>|f|</math> über die Eigenschaft: :<math>|f(z)| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{ D_r(z_0)}</math>, d.h. <math>|f|</math> ist auf <math>D_r(z_0)</math> konstant. === Beweis des Lemmas 5 === Wenn <math>|f|=\sqrt{\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2}</math> auf <math>D_r(z_0)</math> konstant ist, dann muss auch <math>\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2 = c</math> konstant sein mit einer Konstante <math>c \in \mathbb{R}</math>. === Beweis des Lemmas 6 === Wegen <math>f</math> holomorph auf <math>D_r(z_0)</math> ist gelten die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] für :<math> u:=\mathfrak{Re}(f), \ v:= \mathfrak{Im}(f) \ \mbox { und } \ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math> und es gilt :<math>\frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial x} = 0 \mbox{ und } \frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial y} = 0</math> === Beweis des Lemmas 7 === Ist <math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math> und <math>u_y=\frac{\partial u}{\partial y}</math> und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen :<math>0=2 u u_x + 2vv_x</math> und <math>0=2 u u_y + 2v v_y</math> Mit [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|CR-DGL]] <math>u_x = v_y</math> und <math>u_y = -v_x</math> ersetzen wird die partiellen Ableitung von <math>v</math> durch partielle Ableitungen von <math>u</math> und erhalten (Faktor 2 kann entfallen): :<math>0=2 \cdot (u u_x - vu_y) </math> und <math>0=2\cdot (u u_y + v u_x) </math> === Beweis des Lemmas 8 === Wir quadrieren die beiden Gleichungen :<math>0=(u u_x - vu_y)^2 = u^2 u_x^2 - 2u u_x \cdot vu_y + v^2u_y^2</math> :<math>0=(u u_y + v u_x)^2 = u^2 u_y^2 + 2u u_y \cdot vu_x + v^2u_x^2</math> und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu: :<math>0= u^2 u_x^2 + v^2u_y^2 + u^2 u_y^2 + v^2u_x^2</math> === Beweis des Lemmas 9 === Durch Ausklammern von <math>u^2</math> und <math>v^2</math> erhält man: :<math>0= u^2 (u_x^2 + u_y^2) + v^2(u_x^2 + u_y^2) = (u^2+v^2) \cdot (u_x^2 + u_y^2)</math> Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt: :<math>0= u^2+v^2 \vee 0= u_x^2 + u_y^2</math> === Beweis des Lemmas 10 === * Mit <math>u^2=-v^2</math> folgt <math>u=v=0</math> da <math>u(x,y)</math> und <math>v(x,y)</math> reellwertig sind und damit gilt <math>f=u+iv=0</math>. * <math> u_x^2 = -u_y^2</math> folgt <math> u_x^2 = u_y^2 = 0</math> und <math> u_x = u_y = 0</math> und damit ist nach den [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] auch <math>f' = 0</math> Insgesamt ist also <math>f</math> konstant auf <math>D_r(z_0)</math>. == Beweis MAX2 - Maximumprinzip == Es sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math> in dem Gebiet <math>G</math>. <math>V := \{z \in G: f(z) = f(z_0)\}</math> sei die Menge alle <math>z \in G</math> die auf <math>w:=f(z_0) \in \mathbb{C}</math> abbilden (Niveaumenge). === Beweis 1: V abgeschlossen === Da <math>f</math> stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in <math>G</math>). Da die Menge <math>\{w\}\subset \mathbb{C}</math> abgeschlossen ist, ist <math>V=f^{-1}(\{w\})</math> abgeschlossen in <math>G</math>. === Beweis 2: V offen=== Nach dem Lemma lässt sich die <math>V</math> auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen. === Beweis 3: Zusammenhang=== Also ist <math>V = G</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>, d.&thinsp;h. <math>f</math> ist konstant.<br /> === Beweis 4: G beschränkt === Ist <math>G</math> beschränkt, so ist <math>\bar G</math> kompakt, also nimmt die stetige Funktion <math>f</math> auf <math>\bar G</math> ihr Maximum an, etwa an der Stelle <math>z_0 \in \bar G</math>. Ist <math>z_0 \in G</math>, so ist <math>f</math> nach obigem Lemma auf <math>G</math> konstant und damit auf <math>\bar G</math> konstant, also nimmt <math>f</math> sein Maximum auch auf <math>\partial G</math> an. Anderenfalls ist <math>z_0 \in \partial G</math> und wir sind fertig. === Bemerkung - Maximum im Inneren === Nach dem vorherigen Überlegungen führt eine lokales Maximum in Inneren zu der Eigenschaft, dass <math>f</math> konstant auf <math>G </math> und damit auch konstant auf dem Abschluss. Damit nimmt <math>f</math> natürlich auch auf dem Rand das lokale Maximum an. Im andere Fall trifft die in der Aussage genannte Eigenschaft zu, dass <math>f</math> durch Beschränktheit auf <math>\overline{G}</math> auf dem Rand das lokale Maximum annehmen muss. == Siehe auch == * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG|Anwendungen der CR-DG]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]] verwendet das Maximumprinzip == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysics/Maximum Principle]]</noinclude> cjtvmkb9njb03qz3ebfuh2ozteabmd6 1107204 1107203 2026-07-15T12:57:41Z Bert Niehaus 20843 /* Beweis des Lemmas 3 */ 1107204 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Das Maximumprinzip ist eine Aussage über holomorphe Funktionen aus dem [[Kurs:Funktionentheorie]]. Der Betrag <math>|f|</math> einer holomorphen Funktion <math>f:G \to \mathbb{C}</math> kann im Inneren des Definitionsbereiches keine echten lokalen Maxima annehmen. Genauer besagt es die folgende Aussage. ==Satz - Maximumprinzip== Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> ein Gebiet, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. * '''(MAX1)''' Hat <math>|f|</math> in <math>G</math> ein lokales Maximum, so ist <math>f</math> konstant.<br /> * '''(MAX2)''' Ist <math>G</math> beschränkt und <math>f</math> auf <math>\overline{G}</math> stetig fortsetzbar, so nimmt <math>|f|</math> sein Maximum auf dem Rand <math>\partial G</math> von <math>G</math> an. == Beweis == Zum Beweis von (MAX1) benötigen man ein Lemma vorab, bei dem die Folgerung lokal für eine Umgebung von <math> z_o</math> zutrifft und nicht auf ganz <math>G</math>, so wie es in der obigen Formulierung des Maximumprinzip genannt ist. Dabei liefert der Beweis des Lemmas "lokal konstant" auch, dass <math> f</math> auch auf ganz <math>G</math> konstant ist, denn nach dem Identitätssatz reicht die Übereinstimmung von Funktionen auf einer nicht diskreten Teilmenge eines Gebietes aus, damit die Funktion auf ganz <math>G</math> übereinstimmen. ===Lemma - lokal konstant === Es sei <math>G \subseteq \mathbb C</math> offen, <math>f\colon G \to \mathbb C</math> [[Holomorphie|holomorph]]. Sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math>. Dann ist <math>f</math> auf einer Umgebung von <math>z_0</math> konstant. ===Beweis des Lemmas 1 === Es sei <math>r > 0</math> so gewählt, dass <math>|f(z)| \le |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> gilt. Die [[Integralformel von Cauchy#Für Kreissscheiben|Cauchy-Integralformel]] liefert für alle <math>\varepsilon \le r</math> mit <math>\varepsilon > 0 </math>, dass :<math> f(z_0) = \frac 1{2\pi i} \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac {f(z)}{z-z_0} \, dz </math> === Bemerkung zu Beweisschritt 1 === Man verlangt, dass <math>z \in \overline{D_r(z_0)} \subseteq G</math> erfüllt ist, damit auch für <math>\varepsilon < r</math> bei dem Integral über den Kreisrand <math> \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Spur des Weges in <math>\overline{D_r(z_0)} \subset G</math> liegt. === Beweis des Lemmas 2 === Man erhält die folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| &= \frac 1{2\pi} \left| \int_{\partial D_\varepsilon(z_0)} \frac{f(z)}{z-z_0}\, dz \right| \\ &= \frac 1{2\pi} \left| \int_0^{2\pi} \frac {f(z_0 + \varepsilon e^{it})}{\varepsilon \cdot e^{it}} \varepsilon \cdot i \cdot e^{it}\, dt\right|\\ &\le \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\, dt\\ &\le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})|\\ &\le |f(z_0)| \end{array} </math> === Bemerkung zu Schritt Lemmas 2 === In dem letzten Schritt der Ungleichung wurde die Eigenschaft verwendet, dass <math>|f(z_o)|</math> ein lokales Maximum ist und damit <math>f</math> betragsmäßig sogar größer als alle Punkte <math> z\in \overline{D_\varepsilon(z_o)} </math> ist - d.h. <math>|f(z)| \leq |f(z_o)|</math>. Damit gilt die Aussage also insbesondere <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> auf dem Kreisrand mit <math>|z_{_\partial}-z_0| = \varepsilon </math>: :<math> |f(z_0)| = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}\!\!\!\!\!\! |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}} )|\, dt \le \sup_{t \in[0,2\pi]} |f(\underbrace{z_0 + \varepsilon \cdot e^{it}}_{=z_{_\partial}})| \le |f(z_0)| </math> === Beweis des Lemmas 3 === Daraus folgt, dass es sich bei der <math>\leq</math>-Abschätzung um Gleichungskette handelt, da die Ungleichung mit <math> |f(z_0)| </math> beginnt und endet und <math>z_{_\partial}:= z_0+\varepsilon\cdot e^{it}\in \partial D_\varepsilon(z_0)</math>. :<math> \begin{array}{rl} |f(z_0)| = & \int_0 ^{2 \pi}|f(z_0)| \cdot \frac 1 {2 \pi} dt = \frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi} |f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| \, dt\\ \Rightarrow & 0 = \int_0 ^{2 \pi} (| f(z_0 + \varepsilon \cdot e^{it})| - |f(z_0)|)dt \\ \Rightarrow & |f(z_{_\partial})| = |f(z_0)| \mbox{ für alle } z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0) \end{array} </math> Dabei kann das <math>\varepsilon </math> beliebig mit der Bedingung <math>0 < \varepsilon \leq r </math> gewählt werden. === Beweis des Lemmas 4 === Da man die Radien <math>\varepsilon \leq r</math> beliebig wählen kann, erhalten wir mit :<math>|f(z_{_\partial})| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z_{_\partial} \in \partial D_\varepsilon(z_0)</math> die Konstanz von <math>|f|</math> über die Eigenschaft: :<math>|f(z)| = |f(z_0)|</math> für alle <math>z \in \overline{ D_r(z_0)}</math>, d.h. <math>|f|</math> ist auf <math>D_r(z_0)</math> konstant. === Beweis des Lemmas 5 === Wenn <math>|f|=\sqrt{\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2}</math> auf <math>D_r(z_0)</math> konstant ist, dann muss auch <math>\mathfrak{Re}(f)^2+\mathfrak{Im}(f)^2 = c</math> konstant sein mit einer Konstante <math>c \in \mathbb{R}</math>. === Beweis des Lemmas 6 === Wegen <math>f</math> holomorph auf <math>D_r(z_0)</math> ist gelten die [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] für :<math> u:=\mathfrak{Re}(f), \ v:= \mathfrak{Im}(f) \ \mbox { und } \ f(z):=u(x,y)+i\cdot v(x,y)</math> und es gilt :<math>\frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial x} = 0 \mbox{ und } \frac{\partial u(x,y)^2 + v(x,y)^2}{\partial y} = 0</math> === Beweis des Lemmas 7 === Ist <math>u_x=\frac{\partial u}{\partial x}</math> und <math>u_y=\frac{\partial u}{\partial y}</math> und Anwendung der Kettenregel auf die partiellen Ableitungen erhält man die beiden Gleichungen :<math>0=2 u u_x + 2vv_x</math> und <math>0=2 u u_y + 2v v_y</math> Mit [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|CR-DGL]] <math>u_x = v_y</math> und <math>u_y = -v_x</math> ersetzen wird die partiellen Ableitung von <math>v</math> durch partielle Ableitungen von <math>u</math> und erhalten (Faktor 2 kann entfallen): :<math>0=2 \cdot (u u_x - vu_y) </math> und <math>0=2\cdot (u u_y + v u_x) </math> === Beweis des Lemmas 8 === Wir quadrieren die beiden Gleichungen :<math>0=(u u_x - vu_y)^2 = u^2 u_x^2 - 2u u_x \cdot vu_y + v^2u_y^2</math> :<math>0=(u u_y + v u_x)^2 = u^2 u_y^2 + 2u u_y \cdot vu_x + v^2u_x^2</math> und addieren diese beiden quadrierten Gleichungen danach zu: :<math>0= u^2 u_x^2 + v^2u_y^2 + u^2 u_y^2 + v^2u_x^2</math> === Beweis des Lemmas 9 === Durch Ausklammern von <math>u^2</math> und <math>v^2</math> erhält man: :<math>0= u^2 (u_x^2 + u_y^2) + v^2(u_x^2 + u_y^2) = (u^2+v^2) \cdot (u_x^2 + u_y^2)</math> Damit folgt mit den reellwertigen Realteil- bzw. Imaginärteilfunktionen im Produkt: :<math>0= u^2+v^2 \vee 0= u_x^2 + u_y^2</math> === Beweis des Lemmas 10 === * Mit <math>u^2=-v^2</math> folgt <math>u=v=0</math> da <math>u(x,y)</math> und <math>v(x,y)</math> reellwertig sind und damit gilt <math>f=u+iv=0</math>. * <math> u_x^2 = -u_y^2</math> folgt <math> u_x^2 = u_y^2 = 0</math> und <math> u_x = u_y = 0</math> und damit ist nach den [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] auch <math>f' = 0</math> Insgesamt ist also <math>f</math> konstant auf <math>D_r(z_0)</math>. == Beweis MAX2 - Maximumprinzip == Es sei <math>z_0 \in G</math> eine lokale Maximalstelle von <math>|f|</math> in dem Gebiet <math>G</math>. <math>V := \{z \in G: f(z) = f(z_0)\}</math> sei die Menge alle <math>z \in G</math> die auf <math>w:=f(z_0) \in \mathbb{C}</math> abbilden (Niveaumenge). === Beweis 1: V abgeschlossen === Da <math>f</math> stetig ist, sind Urbilder von offenen Mengen offen und Urbilder von abgeschlossenen Menge abgeschlossen (in der Relativtopologie in <math>G</math>). Da die Menge <math>\{w\}\subset \mathbb{C}</math> abgeschlossen ist, ist <math>V=f^{-1}(\{w\})</math> abgeschlossen in <math>G</math>. === Beweis 2: V offen=== Nach dem Lemma lässt sich die <math>V</math> auch als Vereinigung von offen Kreischreiben darstellen und Vereinigungen von beliebigen offenen Mengen wieder offen. === Beweis 3: Zusammenhang=== Also ist <math>V = G</math> wegen des Zusammenhangs von <math>U</math>, d.&thinsp;h. <math>f</math> ist konstant.<br /> === Beweis 4: G beschränkt === Ist <math>G</math> beschränkt, so ist <math>\bar G</math> kompakt, also nimmt die stetige Funktion <math>f</math> auf <math>\bar G</math> ihr Maximum an, etwa an der Stelle <math>z_0 \in \bar G</math>. Ist <math>z_0 \in G</math>, so ist <math>f</math> nach obigem Lemma auf <math>G</math> konstant und damit auf <math>\bar G</math> konstant, also nimmt <math>f</math> sein Maximum auch auf <math>\partial G</math> an. Anderenfalls ist <math>z_0 \in \partial G</math> und wir sind fertig. === Bemerkung - Maximum im Inneren === Nach dem vorherigen Überlegungen führt eine lokales Maximum in Inneren zu der Eigenschaft, dass <math>f</math> konstant auf <math>G </math> und damit auch konstant auf dem Abschluss. Damit nimmt <math>f</math> natürlich auch auf dem Rand das lokale Maximum an. Im andere Fall trifft die in der Aussage genannte Eigenschaft zu, dass <math>f</math> durch Beschränktheit auf <math>\overline{G}</math> auf dem Rand das lokale Maximum annehmen muss. == Siehe auch == * [[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG|Anwendungen der CR-DG]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Satz von der Gebietstreue]] verwendet das Maximumprinzip == Seiteninformation == Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysics/Maximum Principle]]</noinclude> ica555193ttnjp2yprulpnc5x23cbr9 0 99924 1107436 1097524 2026-07-15T15:14:10Z Bocardodarapti 2041 1107436 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die natürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl {{math|term= n|SZ=,}} also {{Verknüpfungstabelle6|Symbol=+| 1 | 2 | 3 | \ldots|n-1| n | |a1,1=1+1|a1,2=1+2|a1,3=1+3|a1,4=\ldots|a1,5=1+n-1|a1,6=1+n |a2,1=2+1|a2,2=2+2|a2,3=2+3|a2,4=\ldots|a2,5=2+n-1|a2,6=2+n |a3,1=3+1|a3,2=3+2|a3,3=3+3|a3,4=\ldots|a3,5=3+n-1|a3,6=3+n |a4,1=\vdots|a4,2=\vdots|a4,3=\vdots|a4,4=\vdots |a4,5=\vdots|a4,6= \vdots |a5,1=n-1+1|a5,2=n-1+2|a5,3=n-1+3|a5,4= \ldots |a5,5=n-1+n-1|a5,6=n-1+n |a6,1=n+1|a6,2=n+2|a6,3=n+3|a6,4= \ldots |a6,5=n+n-1|a6,6= n+n ||||||}} Zeige{{n Sie}} durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich {{mathl|term= (n+1)n^2|SZ=}} ist, also {{ Relationskette/display | \sum_{ 1 \leq i \leq n,\,1\leq j \leq n} (i+j) || (n+1)n^2 || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Summenformeln für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qnim8rp5qojm34mrn64m10rkixz7pml 0 101288 1107416 562189 2026-07-15T14:55:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107416 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ManSie|Man finde|Finden Sie}} eine äquivalente Formulierung für die Aussage {{Anführung|Frau Maier-Sengupta hat nicht alle Tassen im Schrank}} mithilfe einer Existenzaussage. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Alltagslogik |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Doris Maier-Sengupta |Stichwort= |Punkte=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkchodp54pp1ysl488kt36k63fj22tj 0 101684 1107249 1013792 2026-07-15T14:16:35Z Bocardodarapti 2041 1107249 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Mit den Eurozahlen kann man zählen, indem man für jede natürliche Zahl die minimale Darstellung angibt, also: Ein Einer, ein Zweier, ein Einer und ein Zweier, zwei Zweier, ein Fünfer, ein Einer und ein Fünfer, ein Zweier und ein Fünfer, ein Einer und ein Zweier und ein Fünfer, etc. Zähle in dieser Weise bis {{math|term= 50|SZ=,}} ohne auf die übliche Zählweise im Dezimalsystem Bezug zu nehmen. |Die Koeffizienten in der minimalen Darstellung einer Zahl mit den Eurozahlen schreiben wir als Tupel, also in der Form {{ Math/display|term= (a_1,a_2,a_3 {{kommadots}} a_9) |SZ=, }} wobei sich die {{math|term= a_i |SZ=}} auf die {{math|term= i|SZ=-}}te Münze {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. Geldschein| |ISZ=|ESZ= }} in aufsteigender Reihenfolge bezieht. Das Tupel {{ Math/display|term= (1,1,1,0,2,0,1,0,0) |SZ= }} bedeutet also {{mathl|term= 1\cdot 1 + 1 \cdot 2 +1 \cdot 5 + 2 \cdot 20+1 \cdot 100= 148|SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ Math/display|term= (1,0,1,1,1,0,0,2,0) + (1,1,0,1,1,0,1,0,0) |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis soll wieder in minimaler Darstellung sein| |ISZ=|ESZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Münzsysteme |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pedujso75rogi0vqpywa949xryveo3o 0 102111 1107430 1098725 2026-07-15T15:05:39Z Bocardodarapti 2041 1107430 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Um Frau Maier-Sengupta und die gesamte Klasse verrückt zu machen, und um ihren persönlichen Charakter zu unterstreichen, entscheiden sich Gabi, Heinz, Lucy und Mustafa, in jeweils eigenen Zählsystemen zu zählen und Mengenangaben grundsätzlich in ihren individuellen Systemen anzugeben. Alle belassen es bei der {{math|term= 0|SZ=}} als Startsymbol, ansonsten zählen sie folgendermaßen: Gabi zählt mit den Primzahlen, also {{mathl|term= 0,2,3,5,7,11, \ldots|SZ=.}} Heinz zählt ohne Schnappszahlen, überspringt also alle mehrstelligen Zahlen, in denen nur eine Ziffer vorkommt. Lucy zählt einfach negativ, also {{mathl|term= 0,-1,-2,-3, -4,-5 ,\ldots|SZ=.}} Mustafa zählt mit den Zehnerpotenzen, also {{mathl|term= 0,1,10,100,1000,10000, \ldots|SZ=.}} Frau Maier-Sengupta fragt die Kinder, wie viele Muscheln sie jeweils vom Schullandheim auf Juist mitgebracht haben. Die Kinder antworten wahrheitsgemäß, allerdings in ihren jeweiligen Systemen, {{Wertetabelle4|text1= {{math|term= P|SZ=}} |text2= {{math|term= n(P) |SZ=}} | G | H | L | M | 29| 63| -17| 1000000000}} Ist die Abbildung {{mathl|term= P \mapsto n(P) |SZ=}} injektiv? Wie sieht diese Wertetabelle aus, wenn sie vollständig in den jeweiligen Systemen (einschließlich des Systems der Lehrerin) ausgedrückt wird? Welche Umrechnungsstrategie ist dabei geschickt? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Personenkategorie=Gabi Hochster |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4pj8mbkv1xge2wliod557hu1ed2ff10 0 102117 1107432 1097767 2026-07-15T15:07:32Z Bocardodarapti 2041 1107432 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}} aus den {{ Definitionslink |Dedekind-Peano-Axiomen| |Kontext=| |SZ= }} die folgenden Eigenschaften. {{ Aufzählung2 |Für die Nachfolgerabbildung gilt {{ Relationskette/display | x^\prime |\neq| x || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | \N || || || |SZ=. }} |Es sei {{ Relationskette | n | \in | \N_+ || || || |SZ= }} fixiert und sei {{ Abbildung/display |name= \varphi_n | \N | \N || |SZ= }} die {{math|term= n|SZ=-}}fache {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} der Nachfolgerabbildung. Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | \varphi_n(x) |\neq| x || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | x | \in | \N || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |p1=3 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5dknld3rhi7dux5wysstnu7tt2m4pu7 0 102488 1107380 905031 2026-07-15T14:47:17Z Arbota 36910 Ersetzung 1107380 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Integrität/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/01/Alternative/Fakt |Nr= |SZ= }} und {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gkh39ykyj3myjzg7217njuwrfisl0gt 0 102490 1107381 905032 2026-07-15T14:47:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1107381 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Multiplikation/Selbstaddition/Kürzungsregel/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Natürliche Zahlen/Ordnungsrelation/Verträglichkeit/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Multiplikation der natürlichen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qpcmksi3so64cb1mf5g8ahk1v2dda25 0 102496 1107441 1045464 2026-07-15T15:37:25Z Bocardodarapti 2041 1107441 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= m|SZ=}} eine natürliche Zahl. Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette | m' -1 || m || || || |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} smw91w3imtoeasv69a4d088hjrqtx5z 0 102837 1107368 985316 2026-07-15T14:43:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107368 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Lösungen der Gleichung {{ Relationskette/display | x^3-3x+1 || 0 || || || |SZ= }} mit {{ Faktlink |Präwort=der|Cardanoschen Formel|Faktseitenname= Kubische reduzierte Gleichung/Formel von Cardano/Fakt |Nr= |SZ= }} und drücke{{n Sie}} diese Lösungen mithilfe der neunten primitiven komplexen Einheitswurzel aus. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Cardanoschen Formeln (Grad 3) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c1b1frj0nelkxwf0jkovr8p3gb2kv9g 0 103366 1107336 1098085 2026-07-15T14:38:25Z Arbota 36910 Ersetzung 1107336 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Begründe{{n Sie}}, dass man allein mithilfe der Umlegungsregel {{ Relationskette/display | x+y || N(x) + V(y) || || || |SZ= }} jede Addition innerhalb der ganzen Zahlen ausrechnen kann. Führe{{n Sie}} dies für {{mathl|term= 3+ -(5)|SZ=}} durch. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Addition der ganzen Zahlen |Kategorie2=Theorie der Nachfolgerabbildung auf den ganzen Zahlen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bhntcljl6kh4g2dpdprsjmo80jg0uvx 0 106788 1107411 905137 2026-07-15T14:54:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1107411 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Die Schüler und Schülerinnen der Klasse 3b werden für den Schwimmunterricht in die vier Leistungsklassen {{mathl|term= A,B,C,D|SZ=}} eingeteilt. Wenn der Schwimmunterricht im Freibad stattfindet, so schwimmen die Leistungsklassen {{ mathkor|term1= A |und|term2= B |SZ= }} im großen Becken und die Leistungsklassen {{ mathkor|term1= C |und|term2= D |SZ= }} im kleinen Becken. Wenn der Schwimmunterricht im Hallenbad stattfindet, so schwimmt die Leistungsklasse {{math|term= A|SZ=}} auf den Bahnen {{ mathkor|term1= 1 |und|term2= 2 |SZ=, }} die Leistungsklassen {{ mathkor|term1= B|und|term2= C |SZ= }} auf den Bahnen {{math|term= 3|SZ=}} bis {{math|term= 6|SZ=}} und die Leistungsklasse {{math|term= D|SZ=}} macht Trockenübungen. Erläutere diese Situation mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Äquivalenzrelation/Quotientenmenge/Universelle Eigenschaft/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Quotientenmenge |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Haseigelschule |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r77k697dbhxkoabu8pg0ub8qq1nh1n0 0 107087 1107370 1083271 2026-07-15T14:44:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107370 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} {{mathl|term= {{op:Kählermodul| {{CC|}} |\R}} |SZ=}} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Kähler-Differentiale/Von endlichem Typ/Restklassendarstellung/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4e11ke98ksaairczp2o9nc8ilqvc5az 0 107120 1107293 1082202 2026-07-15T14:30:13Z Arbota 36910 Ersetzung 1107293 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |F | \in | \R[X_1 {{kommadots|}} X_n] || || || |SZ= }} ein reelles Polynom und {{ Relationskette |P | \in |\R^n || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |kritischer Punkt| |Kontext=Funktion| |SZ=. }} Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Algebraische Hyperfläche/Isolierte Singularität/Hesse-Matrix/Nichtausgeartet/Milnorzahl 1/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Typ/Trägheitssatz/Fakt |Nr= |SZ=, }} angewendet auf die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= F|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Milnorzahl für Hyperflächen |Kategorie2=Theorie der symmetrischen Matrizen (Körper) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4qo7aqt3aiqotwrh7r6usfy6bjtkyck 0 107794 1107390 1046697 2026-07-15T14:49:14Z Arbota 36910 Ersetzung 1107390 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Sei {{ Relationskette |R || K[X,Y,Z]_{(X,Y,Z)} || || || |SZ=. }} Bestimme{{n Sie}} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Lokaler regulärer Ring/Parameter/Regularität/Fakt |Nr= |SZ=, }} ob die folgenden Restklassenringe {{mathl|term= R/(f_1 {{kommadots|}} f_n) |SZ=}} {{ Definitionslink |regulär| |Kontext=lokal| |SZ= }} sind {{ Zusatz/Klammer |text=und von welcher Dimension| |ISZ=|ESZ=. }} {{ Aufzählung6 | {{ Relationskette |f_1 || 0 || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette |f_1 || X+3Y+Z^7-XYZ^2 || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette |f_1 || XY+X^2 -Y^3 || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette |f_1 || X+Y^3 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |f_2 || X+Z^5 || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette |f_1 || 2X-3Y+Y^2Z-XYZ || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |f_2 || X+Z^4-Y^{17} || || || |SZ=. }} | {{ Relationskette |f_1 || 2X-5Y+Z+XY-Z^3 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette |f_2 || X-3Y+Z+X^2Y^2Z^2 || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |f_3 || -3X+Z- Z^2-XYZ^{2} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der lokalen regulären Ringe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rbu61tgpib7rncg6azx2jzy0ydly18w 0 107801 1107360 904970 2026-07-15T14:42:36Z Arbota 36910 Ersetzung 1107360 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R|SZ=}} der lokale Ring zu einer affinen Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Beweise {{ Faktlink |Faktseitenname= Kommutativer noetherscher Ring/Primideal/Höhe/Parameterrealisierung/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Dimensionstheorie/Affiner Raum/Schnitt mit linearen Unterräumen/Fakt |Nr= |SZ=. }} Welche Verschärfung gilt dabei für die Parameter? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dimensionstheorie für affine Varietäten über Schnitte mit linearen Räumen |Kategorie2=Der Krullsche Hauptidealsatz |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3wx3tke1vk1wrbhgmvab50a8y06063l 0 108567 1107323 1041241 2026-07-15T14:35:39Z Arbota 36910 Ersetzung 1107323 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten {{ Relationskette |f || X^4+Y^7 || || || |SZ=. }} Für welche der folgenden {{math|term= h|SZ=}} kann man mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Dritte Potenz/Summe/Zweite Jacobiidealpotenz/Rechtsäquivalenz/Fakt |Nr= |SZ= }} darauf schließen, dass {{math|term= f|SZ=}} und {{math|term= f+h|SZ=}} {{ Definitionslink |rechtsäquivalent| |Kontext=| |SZ= }} sind? {{ Aufzählung4 | {{ Relationskette/display |h || X^4Y^7 || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette/display |h || X^2Y^8 || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette/display |h || 5X^6-X^4Y^5-Y^{17} || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette/display |h || X^{5} + Y^{8} || || || |SZ=. }} Ist {{math|term= f|SZ=}} rechtsäquivalent zu {{mathl|term= X^4+Y^7+X^5+Y^8|SZ=?}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Rechtsäquivalenz von analytischen Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqhzv49aidmdagfp8hgbrzf99eu2xi7 0 108569 1107387 1027519 2026-07-15T14:48:41Z Arbota 36910 Ersetzung 1107387 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die minimale {{ Definitionslink |Bestimmtheit| |Kontext=endlich| |SZ= }} von {{ Relationskette/display |f || X^3-XY^2+Y^4 || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lpt83t7xk26haj9lgncb6bqxgapmzpu 0 108571 1107388 1027520 2026-07-15T14:48:51Z Arbota 36910 Ersetzung 1107388 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die minimale {{ Definitionslink |Bestimmtheit| |Kontext=endlich| |SZ= }} von {{ Relationskette/display |f || X^3+X^2Y^2-Y^3 || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} htei45q6b8dzgftfqkejnl3ia86yxge 0 108572 1107321 1027172 2026-07-15T14:35:19Z Arbota 36910 Ersetzung 1107321 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die minimale {{ Definitionslink |Bestimmtheit| |Kontext=endlich| |SZ= }} von {{ Relationskette/display |f || X^2+Y^3+Z^4 || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6n537ktq2ma2cp96bkbyrtniiyepsbu 0 108573 1107322 1027173 2026-07-15T14:35:29Z Arbota 36910 Ersetzung 1107322 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die minimale {{ Definitionslink |Bestimmtheit| |Kontext=endlich| |SZ= }} von {{ Relationskette/display |f || X^2+Y^3+Z^5 || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Holomorphe Funktion/Endliche Bestimmtheit/Jacobiideal/Mather/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der endlichen Bestimmtheit von holomorphen Funktionen |Kategorie2=Theorie der zweidimensionalen E-Singularitäten |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5vg0s8e5mgylih1qi0j0n6qnddl66ci 0 111391 1107297 1097629 2026-07-15T14:31:09Z Arbota 36910 Ersetzung 1107297 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ inputbild |Creative-Tail-Halloween-zombie-1|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=So stellt sich unser Künstler einen gutgelaunten Zombie vor. |Autor=Creative Tail |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=Creativetail licensing |Bemerkung= }} Wir betrachten folgendes Zitat von Sven Walter aus dem Artikel {{Anführung|Zombies, Dualismus und Physikalismus}} {{ Zusatz/Klammer |text=Zeitschrift für philosophische Forschung, Bd. 65, H. 2 (2011), pp. 241-254, https://www.jstor.org/stable/pdf/41346224.pdf| |ISZ=|ESZ=. }} {{Zitat| ({{math|term= P_1 |SZ=}}) Zombies sind vorstellbar. ({{math|term= P_2 |SZ=}}) Wenn Zombies vorstellbar sind, dann sind Zombies möglich. ({{math|term= P_3 |SZ=}}) Wenn Zombies möglich sind, dann ist der Physikalismus falsch. Also: Der Physikalismus ist falsch.|}} Formalisiere{{n Sie}} die hier verwendete aussagenlogische Schlussweise und zeige{{n Sie}} mithilfe von Wahrheitstabellen, dass sie eine Tautologie ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wahrheitstabellen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} d31yega85x5vxvfvz9vo60kqfrf45yy 0 111639 1107405 1048645 2026-07-15T14:52:34Z Arbota 36910 Ersetzung 1107405 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} jeweils eine reelle Gerade, und diese werden entlang der punktierten Geraden {{ Relationskette |\R \setminus \{0\} | \subseteq | U || || || |SZ= }} und {{ Relationskette |\R \setminus \{0\} | \subseteq | V || || || |SZ= }} mithilfe der inversen Abbildung {{mathl|term= t \mapsto t^{-1}|SZ=}} verklebt. Welcher topologische Raum entsteht dabei? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für topologische Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Einheitskreis |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lqlblc4ft7hgo3bma3n070bocnp894v 0 111640 1107362 1083191 2026-07-15T14:42:56Z Arbota 36910 Ersetzung 1107362 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ mathkor|term1= U |und|term2= V |SZ= }} jeweils eine komplexe Gerade {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=also die Gaußsche Zahlenebene| |ISZ=|ESZ= }} und diese werden entlang der gelochten Ebene {{ Relationskette | {{CC|}} \setminus \{0\} | \subseteq | U || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{CC|}} \setminus \{0\} | \subseteq | V || || || |SZ= }} mithilfe der inversen Abbildung {{mathl|term= z \mapsto z^{-1}|SZ=}} verklebt. Welcher topologische Raum entsteht dabei? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Verklebungsdaten für topologische Räume |Kategorie2=Theorie der projektiven Geraden |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0z2avkb0ci9skthswnjysvqrf7ckyjo 0 114122 1107271 1097092 2026-07-15T14:24:11Z Arbota 36910 Ersetzung 1107271 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe der {{ Definitionslink |kurzen exakten Sequenz| |SZ= }} {{Kurze exakte Sequenz/display|\Z|\Z| {{op:Zmod| k |}} |abblm= \cdot k |SZ=,}} dass {{mathl|term= \operatorname{Ext}^1( {{op:Zmod| k |}}, \Z ) |SZ=}} zu {{ Relationskette |k | \geq | 2 || || || |SZ= }} nicht der Nullmodul ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Ext-Funktors |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9u9jtn0u8bsjb4sn0jfsqp6xj0pn68u 0 115785 1107255 1026317 2026-07-15T14:21:20Z Arbota 36910 Ersetzung 1107255 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= M,N|SZ=}} quadratische Matrizen über einem Körper {{math|term= K|SZ=,}} die zueinander in der Beziehung {{ Relationskette/display |N || BMB^{-1} || || || |SZ= }} mit einer invertierbaren Matrix {{math|term= B|SZ=}} stehen. Zeige{{n Sie}}, dass die Eigenwerte von {{math|term= M|SZ=}} mit den Eigenwerten zu {{math|term= N|SZ=}} übereinstimmen, und zwar {{ Aufzählung2 |direkt, |mithilfe des charakteristischen Polynoms. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie_der_Eigenräume_(lineare_Algebra) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=4 |p2=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rma4ex2phwni8jwmiprnzbss98yh8f1 0 115949 1107274 1014522 2026-07-15T14:24:52Z Arbota 36910 Ersetzung 1107274 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Projektion weg von einem Punkt| |SZ= }} mithilfe eines {{ Definitionslink |linearen Systems| |SZ= }} in einer {{ Definitionslink |invertierbaren Garbe| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Die Projektion weg von einem Punkt |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mnaqc982yzhjvr71m58sjh28gblplk3 0 115953 1107284 1081979 2026-07-15T14:27:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1107284 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Kegelabbildung| |kon=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Affiner Raum|d+1|K}} \setminus \{(0,0 {{kommadots|}} 0) \}| {{op:Projektiver Raum| d | K}} || |SZ= }} mithilfe eines {{ Definitionslink |linearen Systems| |kon=| |SZ= }} in einer {{ Definitionslink |invertierbaren Garbe| |kon=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kegelabbildung |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4hbacrbuilqs09kbg07b12p22vxc6zd 0 115955 1107285 1039512 2026-07-15T14:28:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1107285 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} einen projektiv linearen Automorphismus {{ Abbildung/display |name= | {{op:Projektiver Raum| d | K}} | {{op:Projektiver Raum| d | K}} || |SZ= }} mithilfe eines {{ Definitionslink |linearen Systems| |kon=| |SZ= }} in einer {{ Definitionslink |invertierbaren Garbe| |kon=| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven linearen Gruppe |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen in den projektiven Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} r2gwcy0yo2j3ejcws9bmp5ak964n2s7 0 116266 1107272 1036927 2026-07-15T14:24:21Z Arbota 36910 Ersetzung 1107272 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= R |SZ=}} ein {{ Definitionslink |faktorieller Integritätsbereich| |SZ= }} und {{ Relationskette |f,g | \in | R || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}} mithilfe von {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Bemerkung |Nr= |SZ=, }} dass die {{ Definitionslink |Picardgruppe| |SZ= }} von {{ Relationskette/display |D(f,g) | \subseteq | {{op:Spek| R |}} || || || |SZ= }} trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der faktoriellen Integritätsbereiche |Kategorie2=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgrfckrrqce6cglw95rvbenr0ej7b7b 0 116268 1107273 1081659 2026-07-15T14:24:31Z Arbota 36910 Ersetzung 1107273 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Abbildung |name= \varphi | X | Y || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Schemamorphismus| |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Gruppenhomomorphismus| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Picardgruppe| Y |}} | {{op:Picardgruppe| X |}} | {{op:Garbe| L |}} | \varphi^* {{op:Garbe| L |}} |SZ=, }} mithilfe der Kozykelbeschreibung aus {{ Bemerkungslink |Bemerkungsseitenname= Invertierbare Garbe/Übergangsabbildung/Datensatz/Bemerkung |Nr= |SZ= }} folgendermaßen beschrieben werden kann: Dem Kozykel {{ mathbed|term= r_{ij} \in {{op:Einheitenschnitte|V_i \cap V_j | Y}} ||bedterm1= i< j ||bedterm2= |SZ=, }} zu einer offenen Überdeckung {{ Relationskette |Y || \bigcup_{i \in I} V_i || || || |SZ= }} wird der Kozykel {{ mathbed|term= \theta_{ij}(r_{ij}) \in {{op:Einheitenschnitte|\varphi^{-1}(V_i) \cap \varphi^{-1}( V_j)|X}} ||bedterm1= i< j ||bedterm2= |SZ=, }} bezüglich der Überdeckung {{ Relationskette |X || \bigcup_{i \in I} \varphi^{-1} (V_i) || || || |SZ= }} zugeordnet, wobei die {{ Abbildung/display |name= \theta_{ij} | {{op:Schnitte| V_i \cap V_j | {{op:Strukturgarbe| Y |}} }} | {{op:Schnitte| \varphi^{-1}( V_i \cap V_j)| {{op:Strukturgarbe| X |}} }} || |SZ= }} die zugehörigen Ringhomomorphismen bezeichnen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Picardgruppe von Schemata |Kategorie2=Theorie der Schemamorphismen |Kategorie3=Theorie der Einheitengarbe auf beringten Räumen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9uebczmobnspu28af42czpev99lfm16 0 119035 1107277 1106370 2026-07-15T14:25:22Z Arbota 36910 Ersetzung 1107277 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Erstelle{{n Sie}} eine Formel für die Anzahl der {{Anführung|Pseudopartitionen}} einer {{math|term= n |SZ=-}}elementigen Menge in {{math|term= k |SZ=}} Blöcke, wenn die Blöcke auch leer sein dürfen, mithilfe der {{ Definitionslink |Stirlingzahlen zweiter Art| |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Partitionen von endlichen Mengen |Kategorie2=Theorie der Stirling-Zahlen zweiter Art |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} loid4fafom4d2xrkaus8ixi6uv4dmy1 0 119070 1107266 1097073 2026-07-15T14:23:14Z Arbota 36910 Ersetzung 1107266 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Fish graph|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Fish_graph |Text= |Autor= |Benutzer=Koko90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Spannbäume| |SZ= }} des abgebildeten Graphen mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6nfoun8ec3rszn0odrnhbnjhi6fk4v7 0 119072 1107267 1097074 2026-07-15T14:23:24Z Arbota 36910 Ersetzung 1107267 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Identity graph2|svg| 230px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Identity_graph2 |Text= |Autor= |Benutzer=Hikin1987 |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Spannbäume| |SZ= }} des abgebildeten Graphen mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 9d4k548t7ptdanyj5tps0oh3kl8z0xy 0 119073 1107268 1097075 2026-07-15T14:23:34Z Arbota 36910 Ersetzung 1107268 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text={{bildskip}} {{ inputbild |Domino graph|svg| 150px {{!}} right {{!}} | |Zusname=Domino_graph |Text= |Autor= |Benutzer=Koko90 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Spannbäume| |SZ= }} des abgebildeten Graphen mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i1f9mx0gqr1j67xljeeb9d6a5d51tra 0 119331 1107265 1073423 2026-07-15T14:23:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1107265 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne die Anzahl der {{ Definitionslink |fixpunktfreien| |SZ= }} {{ Definitionslink |Permutationen| |SZ= }} auf einer {{math|term= n |SZ=-}}elementi{{drucktrenn}}gen Menge für {{ Relationskette | n | \leq | 5 || || || |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Permutation/Fixpunktfrei/Formel/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=bzw. die Wahrscheinlichkeiten, dass eine zufällige Permutation fixpunktfrei ist| |ISZ=|ESZ= }} und vergleiche mit den direkten Abzählungen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Fixpunkte von endlichen Permutationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hm0j4h9wh7aeyztlzes0pj67u6nxy1a 0 119465 1107257 1096979 2026-07-15T14:21:40Z Arbota 36910 Ersetzung 1107257 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} {{ Relationskette/display | \sum_{k {{=|}} 0}^n (-1)^k {{op:Binomialkoeffizient| n |k}} || 0 || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |n | \geq | 1 || || || |SZ= }} mithilfe des {{ Faktlink |Präwort=|Binomischen Lehrsatzes|Faktseitenname= Kommutativer Halbring/Binomi/Fakt |Nr= |SZ= }} für {{math|term=\Z|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2=Der Binomische Lehrsatz |Kategorie3=Theorie der Summenformeln für ganze Zahlen |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 4tiof9xef5dj3epaamlaefl39rdib8q 0 119489 1107258 1081561 2026-07-15T14:21:50Z Arbota 36910 Ersetzung 1107258 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass die Summen {{ Math/display|term= \sum_{k = 0}^s (-1)^k {{op:Binomialkoeffizient| n |k}} |SZ= }} für {{ Relationskette |s || 0,1,2 {{kommadots|}} n-1 || || || |SZ= }} abwechselnd positiv und negativ sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Binomialkoeffizienten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} n24lc29h0q51bz8w8hhihhegnru6exy 0 122058 1107269 1036735 2026-07-15T14:23:44Z Arbota 36910 Ersetzung 1107269 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die Anzahl der {{ Definitionslink |Spannbäume| |SZ= }} des {{ Definitionslink |vollständigen Graphen| |SZ= }} zu {{math|term= 4|SZ=}} Punkten mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Satzes von Kirchhoff|Faktseitenname= Ungerichteter Graph/Spannbäume/Kirchhoff/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Laplace-Matrix zu ungerichteten Graphen |Kategorie2=Theorie der vollständigen Graphen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ky05q3x6bktna0kd3z72jcdz0kybxc1 0 123989 1107261 1036130 2026-07-15T14:22:21Z Arbota 36910 Ersetzung 1107261 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R | x |f(x) {{=|}} x^3 -3x+1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |SZ= }} im {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |SZ= }} {{math|term=[0,1] |SZ=}} mithilfe der {{ Faktlink |Intervallhalbierungsmethode|Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 1/8|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 94o1mslu4baoro3nig4pqp12pvodsde 0 123990 1107262 1036135 2026-07-15T14:22:31Z Arbota 36910 Ersetzung 1107262 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R | x |f(x) {{=|}} x^3 -3x+1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |SZ= }} im {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |SZ= }} {{math|term=[1,2] |SZ=}} mithilfe der {{ Faktlink |Intervallhalbierungsmethode|Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 1/8|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 17wn99vvfi4u27gpf28ccegrj68y3u4 0 123991 1107260 1036125 2026-07-15T14:22:11Z Arbota 36910 Ersetzung 1107260 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Finde{{n Sie}} für die Funktion {{ Abbildung/display |name=f |\R|\R | x |f(x) {{=|}} x^3 -3x+1 |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Nullstelle| |Kontext=| |SZ= }} im {{ Definitionslink |Intervall| |Kontext=R| |SZ= }} {{math|term=[-2,-1] |SZ=}} mithilfe der {{ Faktlink |Intervallhalbierungsmethode|Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/Verfahren |SZ= }} mit einem Fehler von maximal {{math|term= 1/8|SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Zwischenwertsatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ejyrxssukv7o9lge6qjwg8rl1zvi3pv 0 126785 1107253 1096893 2026-07-15T14:21:00Z Arbota 36910 Ersetzung 1107253 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir möchten {{math|term=\pi/2|SZ=}} möglichst genau als kleinste Nullstelle des Kosinus mithilfe der Kosinusreihe {{ Relationskette/display | {{op:cos| x |}} || {{op:cosinusreihe| x |n=k}} || || || || |SZ= }} und der Intervallhalbierung des Zwischenwertsatzes {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne von {{ Faktlink |Faktseitenname= Zwischenwertsatz/Intervallhalbierungsmethode/3/Verfahren |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} bestimmen. Dabei haben wir das Problem, dass der Kosinus numerisch nicht exakt berechnet werden kann, da er ja unendlich viele Summanden besitzt. Deshalb verwenden wir die Idee, als {{math|term= n|SZ=-}}te Approximation {{math|term= y_n |SZ=}} für {{math|term=\pi/2|SZ=}} die untere Intervallgrenze der {{math|term= n|SZ=-}}ten Intervallhalbierung {{ Zusatz/Klammer |text=des Ausgangsintervalls {{mathl|term=[1,2] |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} für die Nullstelle der abgeschnittenen Kosinusreihe {{math|term= \sum_{k {{=}} 0 }^n (-1)^k {{op:Bruch| x^{2k} |(2k)!}} |SZ=}} zu verwenden {{ Zusatz/Klammer |text=man macht also eine zunehmend feinere Intervallschachtelung einer zunehmend besseren Approximation der Kosinusfunktion| |ISZ=|ESZ= }} {{ManSie|Man entwerfe|Entwerfen Sie}} ein Computer-Programm {{ Zusatz/Klammer |text=Pseudocode| |ISZ=|ESZ=, }} das die Folgenglieder {{math|term= y_n |SZ=}} berechnet und nacheinander ausdruckt, unter den folgenden Bedingungen. {{ Auflistung6 |Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können. |Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit {{ Zusatz/Klammer |text=diese müssen also nicht erzeugt werden| |ISZ=|ESZ=. }} |Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann die rationalen Rechenoperationen {{ Zusatz/Klammer |text=Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl {{math|term= \neq 0|SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben. |Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen. |Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahl pi |Kategorie2=Theorie der Algorithmen |Kategorie3=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Objektkategorie=Die Zahl pi |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ahar3tcyli0uhbg1764esgp20tbh0oh 0 127597 1107283 1097325 2026-07-15T14:26:52Z Arbota 36910 Ersetzung 1107283 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |f(x) || {{op:Bruch| x^2-3| x+2}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | g(y) || {{op:Bruch| y+4| y^2-5}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | h(x) | {{defeq|}} | g(f(x)) || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{math|term= h |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen| |ISZ=|ESZ=. }} |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= h |SZ=}} mithilfe von Teil 1. |Berechne{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= h |SZ=}} mithilfe der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=2 |p2=2 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 96nuho3rxt407epkk0r9slayyyyxta2 0 127849 1107259 1097002 2026-07-15T14:22:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1107259 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe der {{ Definitionslink |harmonischen Reihe| |SZ=, }} dass es für das {{ Definitionslink |bestimmte Integral| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Integral| 1 | m | Integrand= {{op:Bruch| 1 | x}} || x }} |SZ=}} keine von {{math|term= m |SZ=}} unabhängige obere Schranke gibt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der bestimmten Integrale |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitshyperbel |Objektkategorie2=Die harmonische Reihe |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 84gv1uywapdpf5ogprhdpi516mmdqt0 0 127873 1107282 1097324 2026-07-15T14:26:42Z Arbota 36910 Ersetzung 1107282 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | f(x) || {{op:Bruch| x | x+1}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | g(y) || {{op:Bruch| y | y+2}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die {{ Definitionslink |Hintereinanderschaltung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette | h(x) | {{defeq|}} | g(f(x)) || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung3 |Berechne{{n Sie}} {{math|term= h |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen| |ISZ=|ESZ=. }} |Berechne{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= h |SZ=}} mithilfe von Teil 1. |Berechne{{n Sie}} die Ableitung von {{math|term= h |SZ=}} mithilfe der {{ Faktlink |Kettenregel|Faktseitenname= Differenzierbar/D in R/Kettenregel/Fakt |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Funktionen (R) |Kategorie2=Theorie der reellen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=1 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} g1tohas8op3fpjv6yddhhv23bwsj4va 0 128577 1107263 1026433 2026-07-15T14:22:41Z Arbota 36910 Ersetzung 1107263 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=formal| |SZ=, }} dass der {{ Definitionslink |Zahlbereich| |SZ= }} {{ Relationskette/display |S || \Z[Y] / {{makl| Y^4-Y^3-4Y^2+4Y+1 |}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |p || 2 || || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |verzweigt| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} und für {{ Relationskette |p || 3,5 || || || |SZ= }} verzweigt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der fünfzehnte Kreisteilungsring |Stichwort= |Punkte=5 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8hjo9tzkq9vppzn9w8532yxhxe1vrpy 0 128579 1107264 1036363 2026-07-15T14:22:51Z Arbota 36910 Ersetzung 1107264 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe der {{ Definitionslink |Ableitung| |Kontext=formal| |SZ=, }} dass der {{ Definitionslink |Zahlbereich| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display |S || \Z[X]/ {{makl| X^3-3X+1 |}} || || || |SZ= }} für {{ Relationskette |p || 2,5 || || || |SZ= }} nicht {{ Definitionslink |verzweigt| |Kontext=Ordnung| |SZ= }} und für {{ Relationskette |p || 3 || || || |SZ= }} verzweigt ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Verzweigungstheorie (Ordnung) für Zahlbereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Der neunte Kreisteilungsring |Objektkategorie2=Das Polynom X^3-3X+1 |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 0azj9d5xtjs1z0p9d5a9tia67yibm3t 0 128648 1107275 1037698 2026-07-15T14:25:02Z Arbota 36910 Ersetzung 1107275 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |logarithmische Ableitung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| R |}} | {{op:Kählermodul| R |\Z}} | f | {{op:Bruch|df|f}} |SZ=, }} für {{ Relationskette |R || \Z[\sqrt{2}] || || || |SZ= }} mithilfe einer {{ Definitionslink |Fundamentaleinheit| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Was ist die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} des Bildes einer Fundamentaleinheit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(2)) |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} cjj4ekxf6eedxy78893y6k6fegzdbt0 0 128649 1107276 1037701 2026-07-15T14:25:12Z Arbota 36910 Ersetzung 1107276 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die {{ Definitionslink |logarithmische Ableitung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= | {{op:Einheiten| R |}} | {{op:Kählermodul| R |\Z}} | f | {{op:Bruch|df|f}} |SZ=, }} für {{ Relationskette |R || \Z[\sqrt{7}] || || || |SZ= }} mithilfe einer {{ Definitionslink |Fundamentaleinheit| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= R |SZ=.}} Was ist die {{ Definitionslink |Ordnung| |Kontext=Gruppenelement| |SZ= }} des Bildes einer Fundamentaleinheit? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Kähler-Differentiale für quadratische Zahlbereiche |Kategorie2=Theorie der Einheiten in reell-quadratischen Zahlbereichen |Kategorie3= |Objektkategorie=Der Ring Z(sqrt(7)) |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} glg82lg54tenned8xwyxl54ukaie86a 0 130741 1107279 1014908 2026-07-15T14:25:45Z Arbota 36910 Ersetzung 1107279 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Endlichkeitssatzes für die Erfüllbarkeit|Faktseitenname= Prädikatenlogik/Endlichkeitssatz für Erfüllbarkeit/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass es {{ Definitionslink |angeordnete Körper| |SZ= }} gibt, die nicht {{ Definitionslink |archimedisch angeordnet| |SZ= }} sind. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Vollständigkeitssatz |Kategorie2=Theorie der nicht archimedisch angeordneten Körper |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mdrs5rd39586xqzsvetpdbfjp264r0m 0 130769 1107270 960774 2026-07-15T14:24:01Z Arbota 36910 Ersetzung 1107270 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= S |SZ=}} ein Symbolalphabet ohne Funktionssymbole und sei {{math|term= M |SZ=}} eine endliche {{ Definitionslink |Prämath= {{Symbolalphabet|}} |Struktur| |Kontext=Prädikatenlogik| |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Charakterisiere{{n Sie}} die Automorphismengruppe von {{math|term= M |SZ=}} mithilfe der {{ Definitionslink |elementaren Äquivalenzklassen| |Kontext=| |SZ=. }} |Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Faktseitenname= Endliches Modell/Elementar äquivalent und isomorph/Fakt |Nr= |SZ= }} in diesem Fall. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der elementaren Äquivalenz |Kategorie2=Theorie der endlichen Mengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=3 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} qubl5jg7ic0um72udxx8tq4qmixciae 0 131391 1107287 1097407 2026-07-15T14:28:27Z Arbota 36910 Ersetzung 1107287 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die Funktion {{ Abbildung/display |name= \varphi |\R^3| \R | {{op:Zeilenvektor| x | y |z}} | xyz |SZ=. }} {{ Aufzählung5 |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Jacobi-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x | y |z}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |kritischen Punkte| |Kontext=R| |SZ= }} von {{math|term= \varphi|SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Hesse-Matrix| |Kontext=| |SZ= }} zu {{math|term= \varphi|SZ=}} in einem Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| x | y |z}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Eigenräume| |Kontext=| |SZ= }} der Hesse-Matrix zu {{math|term= \varphi|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 1 | 1| 1}} |SZ=.}} |Bestimme{{n Sie}} den {{ Definitionslink |Typ| |Kontext=bilinear| |SZ= }} der Hesse-Form zu {{math|term= \varphi|SZ=}} im Punkt {{mathl|term= {{op:Zeilenvektor| 1 | 1| 1}} |SZ=}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Eigenwertkriteriums|Faktseitenname= Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt |Nr= |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Hesse-Form |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=8 |p1=1 |p2=2 |p3=1 |p4=3 |p5=1 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e491ajac021onskmc9q2zbmejgsmoid 0 132918 1107278 1097221 2026-07-15T14:25:35Z Arbota 36910 Ersetzung 1107278 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette |V_+(F) | \subseteq | {{op:Projektiver Raum| n | K}} || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |glatte| |Kontext=Varietät| |SZ= }} {{ Definitionslink |Hyperfläche| |Kontext=projektiv| |SZ= }} vom Grad {{math|term= 3|SZ=.}} Woran scheitert bei {{ Relationskette |n | \geq | 3 || || || |SZ= }} die Idee, mithilfe des dritten Durchstoßungspunktes zu einer durch zwei Punkte {{ Relationskette |P,Q | \in | V_+(F) || || || |SZ= }} gegebenen Geraden eine Addition auf {{math|term= V_+(F) |SZ=}} zu definieren? Wie sieht es bei {{ Relationskette |n || 1 || || || |SZ= }} aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der projektiven Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rpibkg0b6d8ivn7032k3f4krx7obpp6 0 135941 1107252 1096878 2026-07-15T14:20:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107252 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=der|Jensensschen Ungleichung|Faktseitenname= Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt |Nr= |SZ=, }} angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem arithmetischen und dem geometrischen Mittel, also die Aussage, dass für {{ Relationskette | x_1, x_2 {{kommadots|}} x_n | \in | \R_{\geq 0} || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n } | \leq | {{op:Bruch| x_1 + x_2 {{plusdots|}} x_n |n}} || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} rsl8wwuv07e2cq4r4qqfeydmxn36p7w 0 136193 1107286 1097388 2026-07-15T14:28:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1107286 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Zeige{{n Sie}}, dass man mithilfe von {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kosinus/Taylor-Polynom/Fehlerabschätzung mit Betragsmaximum/Beispiel |Nr= |SZ= }} und drei Summanden {{ Zusatz/Klammer |text=also {{ Relationskette |m || 2 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} auf dem Intervall {{mathl|term=[- {{op:Bruch| 5 | 3}}, {{op:Bruch| 5 | 3}} ] |SZ=}} eine polynomiale Abschätzung für den Kosinus mit einem Fehler {{math|term= \leq {{op:Bruch| 1 | 9}} |SZ=}} enthält. |Zeige{{n Sie}} mit der Abschätzung aus (1), dass {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \pi| 2}} | > | {{op:Bruch| 4 | 3}} || || || |SZ= }} gilt. |Kann man mit der Abschätzung aus (1) auch zeigem, dass {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| \pi| 2}} | < | {{op:Bruch| 5 | 3}} || || || |SZ=. }} ist? }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Zahl pi |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Zahl pi |Stichwort= |Punkte=6 |p1=2 |p2=2 |p3=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} mb7s79uwo2h0xp633p7e7c5nn453ovf 0 136368 1107466 1106375 2026-07-16T06:31:15Z Bocardodarapti 2041 1107466 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es seien {{ Relationskette |a,b | \in | {{CC|}} || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Relationskette/display | \sum_{ \ell {{=}} 0}^\infty (a+bt)^\ell t^\ell || \sum_m c_m t^m || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette |c_m | \in | {{CC|}} || || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass diese Koeffizienten die Anfangsbedingungen {{ Relationskette | c_0 || 1 || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | c_1 || a || || || |SZ= }} und die Rekursionsbedingung {{ Relationskette/display | c_{m+1} || a c_m + b c_{m-1} || || || |SZ= }} erfüllen. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der erzeugenden Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} l2p1cavbjctqam5zoi214znwo3lli9q 0 138107 1107281 1097304 2026-07-15T14:26:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1107281 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Euclid Tetrahedron 4|svg| 230px {{!}} right {{!}} | | | |Text= |Autor= |Benutzer= Aldoaldoz |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Die komplex-projektive Gerade ist als reelle Manniglfaltigkeit eine {{math|term= 2 |SZ=-}}Sphäre und damit homömorph zu einer Pyramide {{ Zusatz/Klammer |text=einem Tetrahedron| |ISZ=|ESZ=. }} Sie setzt sich zusammen aus {{math|term= 4 |SZ=}} Dreiecken, es gibt {{math|term= 6 |SZ=}} Kanten und {{math|term= 4 |SZ=}} Eckpunkte. Die Wechselsumme dieser Zahlen ist {{ Relationskette | 4-6+4 || 2 || || || |SZ=. }} Die Dreieckstruktur kann man auf die Kugeloberfläche oder jede dazu homöomorphe Fläche übertragen. Man spricht von einer {{Stichwort|Triangulierung|msw=Triangulierung (Fläche) |SZ=}} der Fläche. Es gibt natürlich eine Vielzahl von solchen Triangulierungen der Sphäre. Wenn man sie als Würfeloberfläche auffasst und jede Fläche in zwei Dreieckshälften unterteilt, so erhält man {{math|term= 12 |SZ=}} Dreiecksflächen, {{math|term= 18 |SZ=}} Kanten und {{math|term= 8 |SZ=}} Eckpunkte. Für die Wechselsumme gilt wieder {{ Relationskette | 12-18+8 || 2 || || || |SZ=. }} Eine Triangulierung einer Fläche {{ Zusatz/Klammer |text=im Sinne einer reellen zusammenhängenden zweidimensionalen Mannigfaltikeit| |ISZ=|ESZ= }} ist eine Überdeckung der Fläche mit zu Dreiecken homoömorphen Flächenstücken, wobei je zwei Dreiecke disjunkt sind, oder eine Kante oder einen Eckpunkt gemeinsam haben. Die Existenz einer Triangulierung ist nicht trivial. {{ inputdefinition |Kompakte Fläche/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Definition|| }} {{ inputbild |Torus illustration|png| 200px {{!}} right {{!}} | | | |Zusname=Torus_illustration |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Double torus illustration|png| 200px {{!}} right {{!}} | | | |Zusname=Double_torus_illustration |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Sphere with three handles|png| 200px {{!}} right {{!}} | | | |Zusname=Sphere_with_three_handles |Autor=Oleg Alexandrov |Benutzer= |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Torus/Würfelmodell/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Beispiel|| }} {{ inputbeispiel |Kompakte Fläche/Triangulierung/Henkelanheftung/Euler-Poincare-Charakteristik/Beispiel|| }} {{ inputfakt |Kompakte Fläche/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Topologische Invariante/Fakt|Satz|| || }} Wir definieren das topologische Geschlecht über die Euler-Poincaré-Charakteristik. {{ inputdefinition |Kompakte orientierte Fläche/Euler-Poincare-Charakteristik/Geschlecht/Definition|| }} Für die {{math|term= 2 |SZ=-}}Sphäre ist das so definierte Geschlecht gleich {{math|term= 0 |SZ=.}} Mit {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kompakte Fläche/Triangulierung/Henkelanheftung/Euler-Poincare-Charakteristik/Beispiel |Nr= |SZ= }} ergibt sich, dass sich das Geschlecht bei der Anheftung eines Henkels um {{math|term= 1 |SZ=}} erhöht. Das Geschlecht ist also die Anzahl der Henkel. Für eine orientierte zusammenhängende kompakte Fläche ist {{ Relationskette | b_0 || b_2 || 1 || || |SZ=. }} Dabei ergibt sich das erste direkt aus der Zusammenhangseigenschaft, das zweite folgt daraus mithilfe der Poincaré-Dualität. Daher ist mit {{ Faktlink |Faktseitenname= Kompakte Fläche/Triangulierung/Euler-Poincare-Charakteristik/Topologische Invariante/Fakt |Nr= |SZ= }} {{ Relationskette/display | 2(1-g) || \chi(X) || b_0-b_1+b_2 || 2-b_1 || || |SZ=, }} also {{ Relationskette | b_1 || 2g || || || |SZ=, }} der Rang der ersten singulären Homologie ist also das Doppelte des Geschlechtes. Wir zeigen nun die Beziehung zwischen dem über die holomorphe Struktur definierten Geschlecht und dem topologischen Geschlecht. {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Euler-Poincare-Charakteristik/Grad kanonischer Divisor/Fakt|Satz|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakte riemannsche Fläche/Geschlecht und topologisches Geschlecht/Fakt|Korollar|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten riemannschen Flächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} rwcjszmgk42qjp5boocnfocbw20w36i 0 140829 1107254 1096909 2026-07-15T14:21:10Z Arbota 36910 Ersetzung 1107254 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten auf {{math|term= \R_+ |SZ=}} die Funktion {{ Relationskette/display | f(x) || {{op:arctan| x |}} + {{op:arctan(| x^{-1} |}} || || || |SZ=. }} {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}} mithilfe der Ableitung, dass {{math|term= f |SZ=}} konstant ist. |Bestimme{{n Sie}} den konstanten Wert von {{math|term= f |SZ=.}} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der reellen trigonometrischen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=2 |p2=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a4ywre2v4gyjp9v5baxi15vl1kpqd29 0 141047 1107280 1038670 2026-07-15T14:26:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107280 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten die {{ Definitionslink |holomorphe Differentialform| |Kontext=riemannsche Fläche| |SZ= }} {{math|term= {{op:Bruch|dz|z}} |SZ=}} auf {{math|term= {{CC|}} \setminus \{0\} |SZ=.}} Berechne{{n Sie}} {{ Relationskette | \delta {{makl| {{op:Bruch|dz|z}} |}} | \in | H^1( {{CC|}} \setminus \{0\} , {{CC|}} ) || || || |SZ= }} zur kurzen exakten Garbensequenz {{Kurze exakte Sequenz/display| {{CC|}} | {{op:Strukturgarbe| {{CC|}} \setminus \{0\} |}} | \Omega_{ {{CC|}} \setminus \{0\} }|abbmr=d}} {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Faktlink |Faktseitenname= Riemannsche Fläche/Konstante Funktionen/Holomorphe Funktionen/Holomorphe Differentialform/Fakt |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} mithilfe der lokalen Stammformen aus {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Komplexe Zahlen/Punktiert/Holomorphe Standardform/Wegintegral/Stammfunktionen/Aufgabe |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ktwl8vkzfaocpqghnr6p6wcsn0czjpr 0 141537 1107256 1081549 2026-07-15T14:21:30Z Arbota 36910 Ersetzung 1107256 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=der|Jensensschen Ungleichung|Faktseitenname= Konvexe Funktion/Jensensche Ungleichung/Fakt |Nr= |SZ=, }} angewendet auf die konkave Logarithmusfunktion, die allgemeine Abschätzung zwischen dem gewichteten arithmetischen und dem gewichteten geometrischen Mittel: Dies ist die Aussage, dass zu positiven Zahlen {{ Relationskette | t_1 {{kommadots|}} t_n | > | 0 || || || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 1}^n t_i || 1 || || || |SZ= }} und Zahlen {{ Relationskette | x_1, x_2 {{kommadots|}} x_n | \in | \R_{\geq 0} || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Relationskette/display | x_1^{t_1 } \cdot x_2^{t_2 } \cdot \ldots \cdot x_n^{t_n } | \leq | t_1 x_1 + t_2 x_2 {{plusdots|}} t_nx_n || || || |SZ= }} gilt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der konvexen Funktionen |Kategorie2=Theorie des arithmetischen Mittels |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i6axzqmbkbokpt2i3twvou66gzwwyb4 0 142067 1107209 1102704 2026-07-15T13:31:57Z Bocardodarapti 2041 1107209 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputbild |Natural numbers|svg| 500px {{!}} right {{!}} | |Text=Der natürliche Zahlenstrahl, die Gerade hat im Moment noch keine eigenständige Bedeutung. In diesem Zählmodell bedeutet das Zählen, um eine Schrittlänge nach rechts zu gehen. Die Beschriftung mit den Dezimalzahlen gibt die Identifizierung mit einem anderen Zählmodell. |Autor= |Benutzer=Junaidpv |Domäne= |Lizenz=gemeinfrei |Bemerkung= }} Wir halten die folgenden Eigenschaften eines sinnvollen Zählens fest. {{ Aufzählung5 |Es gibt ein Startelement, mit dem man das Zählen anfängt. |Zu jeder Zahl gibt es eine eindeutig bestimmte Nachfolgerzahl. |Das Startelement ist selbst kein Nachfolger. |Jede Zahl, die nicht das Startelement ist, besitzt einen eindeutig bestimmten Vorgänger. |Durch Zählen erhält man ausgehend vom Startelement früher oder später alle Zahlen. }} {{ inputbild |NachfolgermitSchleife|png| 230px {{!}} right {{!}} | |Text=Welche Eigenschaft erfüllt dieses {{Anführung|Zählsystem}} nicht? |Autor= |Benutzer=Mgausmann |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} Damit schließen wir insbesondere aus, dass man im Kreis zählt, wie beispielsweise mit den Wochentagen Montag, Dienstag, ..., Sonntag, Montag. Da hat jeder Tag einen eindeutig bestimmten Vorgängertag und es gibt kein Startelement ohne Vorgänger. Die letzte Eigenschaft stellt sicher, dass man keine unnötigen Zahlen mitschleppt, die für das Zählen nicht gebraucht werden. Eine solche Zählmenge nennen wir ein Modell der natürlichen Zahlen oder schlicht natürliche Zahlen. Unabhängig vom Modell bezeichnen wir zu {{math|term= n |SZ=}} den Nachfolger als {{math|term= n^\prime |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=später auch mit {{math|term= n+1 |SZ=,}} im Moment haben wir aber die Addition noch nicht eingeführt| |ISZ=|ESZ=. }} Wir treffen noch eine wichtige Vereinbarung über das Startelement. In den Beispielen oben hatten wir das Zählen mit einem {{math|term= 1 |SZ=-}}ähnlichen Symbol begonnen. Von den soeben fixierten Eigenschaften ist die Bezeichnung des Startelements unerheblich. Im Folgenden werden wir allerdings die Zahlen dazu verwenden, Anzahlen von endlichen Mengen auszudrücken, also zu zählen in einem weiteren Sinne. Da es auch die leere Menge gibt, werden wir daher das Startelement {{math|term= 0 |SZ=}} nennen und den Nachfolger davon {{ Relationskette/display | 0' || 1 || || || |SZ=. }} Für uns ist also {{math|term= 0 |SZ=}} eine natürliche Zahl. Gründe dafür werden wir schon heute kennen lernen. Die natürlichen Zahlen werden mit {{math|term= \N |SZ=}} bezeichnet, die Menge der positiven natürlichen Zahlen bezeichnen wir mit {{math|term= \N_+ |SZ=,}} da gehört die {{math|term= 0 |SZ=}} nicht dazu. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Dedekind-Peano-Axiome |Kategorie2=Theorie des Zählvorganges (Nachfolgernehmen) |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} gyeoe9s7bpht2mxea1mkhrs5p12w5tm 106 142087 1107197 1107100 2026-07-15T12:23:14Z Bocardodarapti 2041 Änderung [[Special:Diff/1107100|1107100]] von [[Special:Contributions/~2026-39654-78|~2026-39654-78]] ([[User talk:~2026-39654-78|Diskussion]]) rückgängig gemacht. 1107197 wikitext text/x-wiki {{Aktuellbox|Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Aktuelles}} {{:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Navigation}} {{ inputbild |ZahlenAspekte|png|700px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Bocadodarapti |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I/Information/Inhalt}} [[Kategorie:Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil I]] [[Kategorie:Kurs an einer Universität]] 40wsmxcxzrnje111byxztv08ran0ed1 0 147528 1107442 1034457 2026-07-15T15:38:19Z Bocardodarapti 2041 1107442 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} die folgenden Eigenschaften für die Differenz zwischen natürlichen Zahlen. {{ Aufzählung3 |Für {{ Definitionslink |natürliche Zahlen| |Kontext=| |SZ= }} {{mathl|term= a,b,c |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | a | \geq | b || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | b+c + (a-b) || c+a || || || |SZ=. }} Insbesondere ist {{ Relationskette | (a+c) - (b+c) || a-b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | (a+c) - (a-b) || b+c || || || |SZ=. }} |Für natürliche Zahlen {{mathl|term= a,b,c,d |SZ=}} mit {{ Relationskette/display | a | \geq | b || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | c | \geq | d || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette/display | (a+c)- (b+d) || (a-b) + (c-d) || || || |SZ=. }} Insbesondere ist bei {{ Relationskette | a | \geq | b || || || |SZ= }} stets {{ Relationskette | (a+c)- b || (a-b) + c || || || |SZ=. }} |Bei {{ Relationskette/display | b+c | \geq | a | \geq | b || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | c | \geq| a-b || || || |SZ= }} und es ist {{ Relationskette/display | c- (a-b) || (c+b ) -a || || || |SZ=. }} }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Differenz für natürliche Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9hzxgvgk29iudlagmtxuvk7domwhfh1 0 147941 1107222 1033703 2026-07-15T14:11:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107222 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Die Division mit Rest, die wir bisher nur für natürliche Zahlen formuliert haben, überträgt sich unmittelbar auf ganze Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=der Divisor bleibt eine natürliche Zahl| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Division mit Rest/Z/Fakt|Satz|| || }} {{ inputdefinition |Gruppentheorie/Untergruppe/Definition|| }} In einer Untergruppe kann man also die Verknüpfung der Gruppe ausführen, man kann das Inverse nehmen und das neutrale Element gehört dazu. In additiver Schreibweise, die für uns im Mittelpunkt steht, bedeuten die Bedingungen einfach {{ Aufzählung3 | {{ Relationskette | 0 | \in | H || || || |SZ=. }} |Mit {{ Relationskette | g,h | \in | H || || || |SZ= }} ist auch {{ Relationskette | g+h | \in | H || || || |SZ=. }} |Mit {{ Relationskette | g | \in | H || || || |SZ= }} ist auch das Negative {{ Relationskette | -g | \in | H || || || |SZ=. }} }} Beispielsweise bilden alle Vielfachen der {{math|term= 5|SZ=}} innerhalb der ganzen Zahlen eine Untergruppe, die wir mit {{math|term=\Z 5|SZ=}} bezeichnen. Es ist ja {{ Relationskette/display | 0 || 0 \cdot 5 || || || |SZ=, }} wenn {{ Relationskette | g || 5 \cdot a || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | h || 5 \cdot b || || || |SZ= }} sind, so ist {{ Relationskette/display | h+g || 5 \cdot (a+b) || || || |SZ= }} nach dem Distributivgesetz und mit {{ Relationskette | g || 5 \cdot a || || || |SZ= }} ist {{ Relationskette | -g || 5 \cdot (-a) || || || |SZ=. }} Wie im eingangs gegebenen Beispiel kann man sich eine Menge {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} von ganzen Zahlen {{ Zusatz/Klammer |text=Eimergrößen| |ISZ=|ESZ= }} vorgeben und sich fragen, welche Zahlen man daraus mithilfe von ganzzahligen Koeffizienten bilden kann {{ Zusatz/Klammer |text=welche Wassermengen man transportieren kann| |ISZ=|ESZ=. }} Es geht also um die Menge aller Zahlen der Form {{ Math/display|term= n_1a_1 {{plusdots|}} n_ka_k \text{ mit } n_j \in \Z |SZ=. }} Diese Gesamtmenge bildet eine Untergruppe von {{math|term=\Z|SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Z/Erzeuger/Untergruppe/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} man spricht von der von den {{mathl|term= a_1 {{kommadots|}} a_k |SZ=}} {{Stichwort|erzeugten Untergruppe|msw=Erzeugte Untergruppe|SZ=}} von {{math|term=\Z|SZ=.}} Statt Eimern kann man sich auch eine Menge von ganzzahligen Pfeilen, die man hintereinanderlegen und umdrehen kann, vorstellen, oder eine vorgegebene Menge an Sprungmöglichkeiten, oder eine Menge an Gewichten. Der folgende Satz heißt auch {{Anführung|Ein-Eimer-Satz|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt|Satz|| || }} {{inputfaktbeweis |Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt|Lemma||}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Untergruppen von Z |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 8fl56micfi4zz68n8rfevui95ug6ywk 0 148527 1107237 1104065 2026-07-15T14:13:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1107237 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise die Formel für das Fehlerintegral, also {{ Relationskette/display | {{op:Integral| -\infty|+\infty|Integrand= e^{- x^2 } || x}} || \sqrt{ \pi} || || || |SZ=, }} mithilfe von Polarkoordinaten. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} bib391f9fw8df0jqd3lmsw4gvxnstd6 0 149835 1107224 1033914 2026-07-15T14:11:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1107224 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir suchen nach einer differenzierbaren Abbildung {{ Abbildung/display |name= F | I | \R^n || |SZ=, }} das die Bedingungnen {{ Aufzählung3 | {{ Relationskette/display | F(t) | \in | T_{\gamma(t)} Y || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | t | \in | I || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette/display | F'(t) | \in | N_{\gamma(t)} Y || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | t | \in | I || || || |SZ=, }} | {{ Relationskette/display | F (t_0) || v || || || |SZ= }} }} erfüllt. Die erste Bedingung bedeutet, dass {{math|term= F(t) |SZ=}} senkrecht auf dem Normaleneinheitsvektors {{math|term= N (\gamma(t)) |SZ=}} steht, also {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt|F( t)| N( \gamma(t)) |}} || 0 || || || |SZ=. }} Daher ist auch {{ Relationskette/display | 0 || {{op:Skalarprodukt|F(t) | N( \gamma(t)) }}' || {{op:Skalarprodukt|F'(t) | N( \gamma(t)) }} + {{op:Skalarprodukt|F(t) | (N( \gamma(t)))' }} || || || |SZ=. }} Die zweite Bedingung, dass {{math|term= F'(t) |SZ=}} im Normalenraum liegt, bedeutet {{ Relationskette/display | F'(t) - {{op:Skalarprodukt|F'( t)| N( \gamma(t)) |}} N(\gamma(t) ) || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | t | \in | I || || || |SZ=, }} was wir mithilfe der vorstehenden Gleichung zu {{ Relationskette/display | F'(t) + {{op:Skalarprodukt|F( t)| (N( \gamma(t)))' |}} N(\gamma(t) ) || 0 || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | t | \in | I || || || |SZ= }} bzw. zu {{ Relationskette/display | F'(t) || - {{op:Skalarprodukt|F( t)| (N( \gamma(t)))' |}} N(\gamma(t) ) || || || |SZ= }} für alle {{ Relationskette | t | \in | I || || || |SZ= }} umformen können. Hier steht eine gewöhnliche lineare Differentialgleichung erster Ordnung für {{math|term= F |SZ=,}} die zusammen mit der Anfangsbedingung {{ Relationskette | F(t_0) || v || || || |SZ= }} nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Picard Lindelöf/Lokal Lipschitz/Lokale Existenz und Eindeutigkeit/Fakt |Nr= |SZ= }} eine eindeutige Lösung besitzt. Es kann also höchstens eine Lösung der Ausgangsgleichung geben. Wenn {{math|term= F |SZ=}} die eindeutige Lösung der Differentialgleichung ist, so liegt in der Tat eine Lösung der Ausgangsgleichung vor. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nxlikdqggcg6p4uh0trjztgg3pqey2s 0 150116 1107245 1104206 2026-07-15T14:14:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1107245 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Relationskette | U | \subseteq | \R^2 || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |SZ= }} versehen mit einer durch {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Funktionen| |Kontext=n| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= g_{11},g_{12},g_{22} | U |\R || |SZ= }} gegebenen {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Struktur| |Kontext=| |SZ= }} mit der inversen Matrix {{math|term= {{makl| g^{kl} |}} |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind die {{ Definitionslink |Prämath= |Christoffelsymbole| |Kontext=Levi-Civita-Zusammenhang| |SZ= }} für den Levi-Civita-Zusammenhang auf {{math|term= U |SZ=}} gleich {{ Relationskette/display/handlinks | \Gamma_{ij}^k || {{op:Bruch| 1 | 2}} {{makl| g^{k1}(\partial_ig_{j1}+\partial_jg_{i1}-\partial_1 g_{ij}) + g^{k2}(\partial_ig_{j2}+\partial_jg_{i2}-\partial_2 g_{ij}) |}} || || || |SZ=. }} Wenn {{ Relationskette | Y | \subseteq | \R^3 || || || |SZ= }} eine orientierte zweifach stetig differenzierbare Fläche ist und mit der durch den umgebenden Raum {{math|term= \R^3 |SZ=}} induzierten {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Struktur| |Kontext=| |SZ= }} versehen wird, und {{ Abbildung/display |name= \varphi | V | Y || |SZ=, }} {{ Relationskette | V | \subseteq | \R^2 || || || |SZ= }} offen, eine lokale zweifach differenzierbare Parametrisierung von {{math|term= Y |SZ=}} ist, so stimmen diese Christoffelsymbole mit den mithilfe des umgebenden Raumes definierten {{ Definitionslink |Prämath= |Christoffelsymbolen| |Kontext=Fläche| |SZ= }} überein. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie des Levi-Civita-Zusammenhangs auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit |Kategorie2=Theorie der Krümmung von Flächen im Raum |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} cp4cfz34eswjxf5blhh38yau490fnww 0 151005 1107238 893226 2026-07-15T14:13:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1107238 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Zeige{{n Sie}} mithilfe der Potenzgesetze und der irrationalen Zahl {{math|term= \sqrt{2} |SZ=,}} dass es irrationale positive Zahlen {{math|term= x,y |SZ=}} gibt mit der Eigenschaft, dass {{math|term= x^y |SZ=}} rational ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der irrationalen Zahlen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} kln9ro58xbbt6bgj6pda5qqn6p23ruy 0 151089 1107226 1034005 2026-07-15T14:11:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107226 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Differenzierbare Hyperfläche/Offene Menge/Regulär/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= L |\R^n | \R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Isometrie| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette | W' || L^{-1}(W) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Z || L^{-1}(Y) || (h \circ L)^{-1}(c) || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sich die Konzepte geodätische Kurve, Normalenfeld, Einheitsnormalenfeld, Gauß-Abbildung auf {{math|term= Y |SZ=}} und auf {{math|term= Z |SZ=}} entsprechen {{ Zusatz/Klammer |text=also mithilfe von {{math|term= L |SZ=}} ineinander überführt werden können| |ISZ=|ESZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 9ulpjfz656z1xqn2let143qx9sth24r 0 151092 1107230 1034303 2026-07-15T14:12:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1107230 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Differenzierbare Hyperfläche/Offene Menge/Regulär/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= L |\R^n | \R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Isomorphie| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette | W' || L^{-1}(W) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Z || L^{-1}(Y) || (h \circ L)^{-1}(c) || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sich die Konzepte {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialraum| |Kontext=Faser| |SZ=, }} tangentiales Vektorfeld, Lösung zu einer zugehörigen tangentialen Differentialgleichung auf {{math|term= Y |SZ=}} und auf {{math|term= Z |SZ=}} im Allgemeinen entsprechen {{ Zusatz/Klammer |text= also mithilfe von {{math|term= L |SZ=}} ineinander überführt werden können |ISZ=|ESZ=. }} Wie sieht es mit dem Gradienten aus? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der differenzierbaren Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 24kzzu9577erk37baver2wtpyb8lyiv 0 151130 1107216 1033500 2026-07-15T14:10:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107216 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{:Differenzierbare Hyperfläche/Offene Menge/Regulär/Situation|SZ=.}} Es sei {{ Abbildung/display |name= L |\R^n | \R^n || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |lineare Isometrie| |Kontext=| |SZ=, }} {{ Relationskette | W' || L^{-1}(W) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | Z || L^{-1}(Y) || (h \circ L)^{-1}(c) || || |SZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass sich die {{ Definitionslink |Prämath= |Weingartenabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= L_P |SZ=}} zu {{ Relationskette | P | \in | Y || || || |SZ= }} und die Weingartenabbildung zu {{ Relationskette | Q || L^{-1}(P) | \in | Z || || |SZ= }} entsprechen, wenn man mithilfe von {{math|term= L |SZ=}} die Tangentialräume {{math|term= T_PY |SZ=}} und {{math|term= T_QZ |SZ=}} miteinander in Beziehung setzt. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Weingartenabbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} hdb9w7r0jyrodkh3qatl5betnbuhim2 0 151740 1107229 1031816 2026-07-15T14:12:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107229 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} die {{ Definitionslink |Prämath= |Gaußkrümmung| |Kontext=| |SZ= }} der Einheitskugel mithilfe der verschiedenen Parametrisierungen {{math|term= \varphi |SZ=}} aus {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Horizontale Projektion/Flächenberechnung/Beispiel |Nr= |SZ=, }} {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kugeloberfläche/Koordinaten von Zylinder aus/Mittelpunktsprojektion/Flächenberechnung/Beispiel |Nr= |SZ= }} und {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Kugeloberfläche/Geozentrische Koordinaten/Flächenberechnung/Beispiel |Nr= |SZ= }} unter Verwendung von {{ Faktlink |Faktseitenname= Hyperfläche/Raum/Parametrisierung/Weingartenabbildung/Fundamentalformen/Fakt |Nr=4 |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Krümmung von Flächen im Raum |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8nwiv8kia87yqv4fuog67zg52ayxcp8 0 152224 1107234 1034352 2026-07-15T14:13:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107234 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Es sei {{math|term= X|SZ=}} eine reelle {{ Definitionslink |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} und {{ Abbildung/display |name= p | E | X || |SZ= }} ein Vektorbündel über {{math|term= X|SZ=,}} das wir ebenfalls als eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ansetzen. Die {{ Definitionslink |Tangentialabbildung| |Kontext=| |SZ= }} ist eine Abbildung {{ Abbildung |name= T(p) |TE|TX || |SZ=, }} die in dem kommutativen Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru|TE|TX| E | X |abb12=T(p)|abb34=p}} liegt, und wobei für jeden Punkt {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} mit Basispunkt {{ Relationskette | x || p(e) || || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |lineare| |Kontext=Abbildung| |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= T_e(p) |T_e E| T_{x}X || |SZ= }} vorliegt. Diese ist surjektiv, was beispielsweise daraus folgt, dass es bei einem Vektorbündel {{math|term= E |SZ=}} lokal durch jeden Punkt {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} einen Schnitt gibt. Um eine gemeinsame Basis zu haben, fassen wir {{math|term= T(p) |SZ=}} als {{ Definitionslink |Bündelabbildung| |Kontext=| |SZ= }} {{ Abbildung/display |name= Tp |TE| p^* TX || |SZ= }} von Vektorbündeln über {{math|term= E|SZ=}} auf. Dabei ist {{ Relationskette/display | p^*TX || E \oplus TX || E \times_X TX || || |SZ= }} die {{ Definitionslink |Prämath= |direkte Summe| |Kontext=Vektorbündel| |SZ= }} von Vektorbündeln über {{math|term= X |SZ=,}} siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Topologischer Raum/Vektorbündel/Summe/Produktrealisierung/Aufgabe |Nr= |SZ=, }} wobei wir hier {{math|term= p^*TX |SZ=}} als Vektorbündel über {{math|term= E |SZ=}} auffassen. Die Faser von {{math|term= p^*TX |SZ=}} über einem Punkt {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} mit Basispunkt {{ Relationskette | x | \in | p(e) || || || |SZ= }} ist einfach {{math|term= T_{x}X |SZ=}} und die Abbildung in der Faser ist nach wie vor {{ Abbildung/display |name= T_e (p) |T_e E| T_{x} X || |SZ=, }} wobei es in {{math|term= p^*TX |SZ=}} für jedes {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} eine Kopie von {{math|term= T_{x} X |SZ=}} gibt. {{ inputbemerkung |Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialisierung/Tangentialbündel/Bemerkung|| }} {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikalbündel/Definition|| }} Das Vertikalbündel ist ein Vektorbündel über {{math|term= E |SZ=}} nach {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Topologischer Raum/Reelles Vektorbündel/Homomorphismus/Kern/Untervektorbündel/Aufgabe |Nr= |SZ= }} und zwar ein {{ Definitionslink |Prämath= |Untervektorbündel| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= TE |SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Vertikalbündel/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} Häufig ist das Vektorbündel {{math|term= E |SZ=}} gleich dem Tangentialbündel von {{math|term= X |SZ=,}} dann liegt eine kurze exakte Sequenz {{Kurze exakte Sequenz/display|p^* TX|TTX|p^* TX}} vor, und man muss stets sorgfältig unterscheiden, ob man das Tangentialbündel links oder rechts meint. {{{zusatz1|}}} Wenn {{math|term= E|SZ=}} das triviale Bündel ist, also {{ Relationskette | E || X \times \R^r || || || |SZ=, }} so gibt es eine direkte Zerlegung {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= E |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Relationskette | TE || V \oplus p^* TX || || || |SZ=. }} Für jeden Punkt {{ Relationskette | e | \in | E || || || |SZ= }} repräsentieren dann die Tangentialvektoren {{ Relationskette | t | \in | V || || || |SZ= }} die vertikalen Richtungen und {{ Relationskette | t | \in | p^* T_xX || || || |SZ= }} die {{Anführung|horizontalen Richtungen|SZ=.}} Für jedes Vektorbündel kann man lokal mithilfe von Trivialisierungen den Tangentialraum {{mathl|term= T_eE |SZ=}} in die direkte Summe aus vertikalem Raum und horizontalem Raum zerlegen. Allerdings hängen die horizontalen Unterräume wesentlich von der gewählten Trivialisierung ab und lassen sich nicht ohne Weiteres {{ Zusatz/Klammer |text=im Gegensatz zu den vertikalen Unterräumen, die zusammen das Vertikalbündel bilden| |ISZ=|ESZ= }} zu einem Unterbündel zusammenfassen. Die Existenz eines solchen Bündels wird durch den Begriff des Zusammenhangs beschrieben. {{ inputdefinition |Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Zusammenhang/Über komplementäres Bündel/Definition|| }} Ein Zusammenhang wird zumeist kurz als {{math|term= \nabla |SZ=}} bezeichnet, insbesondere, wenn man die durch einen Zusammenhang bestimmten Ableitungsprozesse betonen möchte. Gemäß dieser Definition ist also ein Zusammenhang nichts anderes als ein zum Vertikalbündel komplementäres Unterbündel des Tangentialbündels {{math|term= TE |SZ=.}} Es gibt einige inhaltlich äquivalente Beschreibungen eines Zusammenhangs. Ein Zusammenhang ist äquivalent zu einem Bündelhomomorphismus {{ Zusatz/Klammer |text=der {{Stichwort|Vertikalprojektion|msw=|SZ=}} des Zusammenhangs| |ISZ=|ESZ= }} {{ Abbildung/display |name= {{Vertikalprojektion|}} |TE|V || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | {{Vertikalprojektion|}} \circ \iota || {{op:Identität| V |}} || || || |SZ=, }} wobei {{math|term= \iota |SZ=}} die Einbettung von {{math|term= V|SZ=}} in {{math|term= TE|SZ=}} bezeichne. Das horizontale Bündel ist dann der Kern von {{math|term= {{Vertikalprojektion|}} |SZ=,}} und umgekehrt liefert die Summenzerlegung eine Projektion auf die beiden Summanden. Eine solche Summenzerlegung nennt man auch eine {{Stichwort|Spaltung|msw=|SZ=}} der kurzen exakten Sequenz. Einen Zusammenhang kann man auf jede offene Teilmenge {{ Relationskette | U | \subseteq| X || || || |SZ= }} einschränken. {{ inputbeispiel |Mannigfaltigkeit/Vektorbündel/R/Trivialer Zusammmenhang/Beispiel|| }} {{{zusatz2|}}} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Zusammenhänge auf Vektorbündeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 2dkn1oii91e3iqrb164bap9hc3vjnot 0 152252 1107220 1103735 2026-07-15T14:10:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107220 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= X |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |abzählbarer Basis der Topologie| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{Kurze exakte Sequenz/display| U | V | W}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |kurze exakte Sequenz| |Kontext=Vektorbündel| |SZ= }} von {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbaren Vektorbündeln| |Kontext=| |SZ= }} über {{math|term= X |SZ=.}} Zeige{{n Sie}} mithilfe von {{ Faktlink |Faktseitenname= Mannigfaltigkeit/Abzählbare Basis/Überdeckung/Partition/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass es eine Spaltung der Sequenz gibt, also einen Vektorbündelisomorphismus {{ Relationskette | V | \cong| U \oplus W || || || |SZ=, }} der mit den Bündelhomomorphismen verträglich ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Homomorphismen zwischen reellen Vektorbündeln auf topologischen Räumen |Kategorie2=Theorie der Partitionen der Eins |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ahymvcyov3zx34welc75er32i71igk4 0 152315 1107217 1033501 2026-07-15T14:10:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1107217 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | Y | \subseteq | W | \subseteq | \R^n || || || |SZ=, }} {{math|term= W |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Hyperfläche| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{ Abbildung |name= \gamma | I | Y || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Kurve| |Kontext=| |SZ=. }} Es sei {{ Abbildung/display |name= F | I | TY || |SZ= }} ein differenzierbares Vektorfeld längs {{math|term= \gamma |SZ=,}} d.h. es liegt ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Dreieck/Liftung|TY| I | Y |abb21=F|abb23=\gamma}} vor. Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= F |SZ=}} genau dann {{ Definitionslink |parallel längs| |Kontext=Hyperfläche| |SZ= }} {{math|term= \gamma |SZ=}} ist, wenn {{math|term= F |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= |horizontaler Schnitt| |Kontext=| |SZ= }} bezüglich des {{ Zusatz/Klammer |text=mithilfe der orthogonalen Projektion definierten| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhangs| |Kontext=Hyperfläche| |SZ= }} auf {{math|term= TY |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Vektorfelder auf differenzierbaren Hyperflächen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1ncgvoevo5urvepnuuh5ryq05ofzxcl 0 152325 1107219 1033502 2026-07-15T14:10:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1107219 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{ Relationskette | Y | \subseteq | W | \subseteq | \R^n || || || |SZ=, }} {{math|term= W |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |offen| |Kontext=mr| |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Hyperfläche| |Kontext=| |SZ= }} und sei {{math|term= \nabla |SZ=}} der {{ Zusatz/Klammer |text=mithilfe der orthogonalen Projektion definierte| |ISZ=|ESZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |Zusammenhang| |Kontext=Hyperfläche| |SZ= }} auf {{math|term= TY |SZ=.}} Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \nabla |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |linear| |Kontext=Zusammenhang| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der linearen Zusammenhänge auf Vektorbündeln |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1z55t6wamtqs3eblvj59tucik5hxhkq 0 152861 1107231 1104022 2026-07-15T14:12:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1107231 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} derart, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialbündel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= TM |SZ=}} trivial ist. Zeige{{n Sie}}, dass man über eine differenzierbare Trivialisierung {{ Relationskette | TM | \cong| M \times \R^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mithilfe des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} {{math|term= M |SZ=}} zu einer {{ Definitionslink |Prämath= |riemannschen Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} machen kann. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der riemannschen Mannigfaltigkeiten |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} d04jb9lwc2l8du5ehdvywk14vdty2nk 0 152884 1107233 1104024 2026-07-15T14:12:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107233 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} derart, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialbündel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= TM |SZ=}} trivial ist, und sei auf {{math|term= M |SZ=}} über eine differenzierbare Trivialisierung {{ Relationskette | TM | \cong| M \times \R^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mithilfe des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Struktur| |Kontext=| |SZ= }} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel trivial/Riemannsche Struktur/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Levi-Civita-Zusammenhang| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=}} der {{ Definitionslink |Prämath= |triviale Zusammenhang| |Kontext=| |SZ= }} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Levi-Civita-Zusammenhangs auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} r3knj150o1dn9ovje4x88w43kzkryo7 0 152887 1107232 1104023 2026-07-15T14:12:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107232 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= M |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |differenzierbare Mannigfaltigkeit| |Kontext=| |SZ= }} derart, dass das {{ Definitionslink |Prämath= |Tangentialbündel| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= TM |SZ=}} trivial ist, und sei auf {{math|term= M |SZ=}} über eine differenzierbare Trivialisierung {{ Relationskette | TM | \cong| M \times \R^n || || || |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=mithilfe des {{ Definitionslink |Prämath= |Standardskalarproduktes| |Kontext=| |SZ= }} auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |riemannsche Struktur| |Kontext=| |SZ= }} gegeben {{ Zusatz/Klammer |text=siehe {{ Aufgabelink |Aufgabeseitenname= Mannigfaltigkeit/Tangentialbündel trivial/Riemannsche Struktur/Aufgabe |Nr= |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Zeige{{n Sie}}, dass der {{ Definitionslink |Prämath= |Krümmungsoperator| |Kontext=| |SZ= }} auf {{math|term= M |SZ=}} trivial ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie des Levi-Civita-Zusammenhangs auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit |Kategorie2=Theorie der Krümmung auf einem Vektorbündel mit Zusammenhang |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} oygrh3610m25ps3fzra0y8ahqa8nqaf 0 153033 1107225 1103890 2026-07-15T14:11:38Z Arbota 36910 Ersetzung 1107225 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir möchten zeigen, dass eine komplex differnzierbare Funktion in jedem Punkt durch eine Potenzreihe darstellbar ist. Dazu werden wir {{ Faktlink |Präwort=die|Integralformel von Cauchy|Faktseitenname= Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt |Nr= |SZ= }} dahingehend verallgemeinern, dass nicht nur der Wert von {{math|term= f |SZ=}} in {{math|term= a |SZ=}} durch ein den Punkt umlaufendes Wegintegral zu einer geeigneten Differentialform festgelegt ist, sondern auch die übrigen Koeffizienten in der Potenzreihe. Dies ergibt sich mithilfe der geometrischen Reihe. Für {{ Relationskette | {{op:Betrag| z |}} | < | 1 || || || |SZ= }} besitzt die {{ Definitionslink |Prämath= |geometrische Reihe| |Kontext=| |SZ= }} das Konvergenzverhalten {{ Relationskette/display | \sum_{i {{=}} 0}^\infty z^i || {{op:Bruch| 1 | 1-z}} || || || |SZ=. }} Wir schreiben {{ Faktlink |Präwort=die|Integralformel von Cauchy|Faktseitenname= Integralformel/Cauchy/Kreisscheibe/Fakt |Nr= |SZ= }} als {{ Relationskette/display | f(z) || {{op:Bruch| 1 | 2 \pi {{imaginäre Einheit}} }} \int_\gamma {{op:Bruch|f(w)|w-z}} dw || || || |SZ=, }} um zu betonen, dass wir an der Abhängigkeit von {{math|term= f |SZ=}} von {{math|term= z |SZ=}} interessiert sind. Den Integranden schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{op:Bruch|f(w)|w-z}} || {{op:Bruch|f(w)|w}} \cdot {{op:Bruch| w |w-z}} || {{op:Bruch|f(w)|w}} \cdot {{op:Bruch| 1 | 1- {{op:Bruch| z |w}} }} || || |SZ=. }} Da in der Integralformel vorausgesetzt wird, dass {{math|term= z |SZ=}} im Innern des Kreises liegt und {{math|term= w |SZ=}} auf dem Rand, ist {{ Relationskette | {{op:Betrag| {{op:Bruch| z |w}} |}} | < | 1 || || || |SZ= }} und daher kann man auf den zweiten Faktor des Integranden die Formel der geometrischen Reihe, also {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 | 1- {{op:Bruch| z |w}} }} || \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch(| z |w}}^k || || || |SZ= }} anwenden, bzw. {{ Relationskette/display | {{op:Bruch| 1 |w - z }} || \sum_{k {{=}} 0}^\infty {{op:Bruch|z^k |w^{k+1}}} || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Komplex-differenzierbare Funktion/Potenzreihenentwicklung/Koeffizientenformel/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Der Integralsatz von Cauchy |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} eymifizzi4k8i4zhkkkvm0od5ml4ec9 0 153187 1107247 1037094 2026-07-15T14:14:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107247 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt=Für von {{math|term= 0 |SZ=}} verschiedene Vektoren {{ mathkor|term1= v |und|term2= w |SZ= }} in einem {{ Definitionslink |euklidischen Vektorraum| |SZ= }} {{math|term= V|SZ=}} folgt aus der {{ Faktlink |Präwort=der|Ungleichung von Cauchy-Schwarz|Faktseitenname= Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt |Nr= |SZ=, }} dass {{ Relationskette/display | -1 | \leq | \frac{ {{op:Skalarprodukt| v |w}} }{ {{op:Norm| v |}} \cdot {{op:Norm| w |}} } | \leq | 1 || || |SZ= }} ist. Damit kann man mithilfe der trigonometrischen Funktion {{ Definitionslink |Prämath= |Kosinus| |Kontext=| |SZ= }} {{ Zusatz/Klammer |text=als bijektive Abbildung {{ Abbildung |name= |[0, \pi]| [-1,1] || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch {{ Relationskette/display | \angle (v,w) | {{defeq|}} | {{op:arccos| {{op:Bruch| {{op:Skalarprodukt| v |w}} | {{op:Norm| v |}} \cdot {{op:Norm| w |}} |}} }} || || || |SZ=. }} Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= \pi |SZ=. }} Für {{ Relationskette | V || \Complex || \R^2 || || |SZ= }} mit dem reellen Standardskalarprodukt ist {{ Relationskette/display | {{op:Skalarprodukt|a+b {{imaginäre Einheit|}} |c+d {{imaginäre Einheit|}}}} || ac+bd || || || |SZ= }} und somit ist der Winkel zwischen {{ Relationskette | v || a+b {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | w || c+d {{imaginäre Einheit|}} || || || |SZ= }} gleich {{ Relationskette/display | \angle (v,w) | {{defeq|}} | {{op:arccos| {{op:Bruch| ac+bd | \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2} |}} }} || {{op:arccos| {{op:Bruch| {{op:Realteil|v \cdot {{op:Komplexe Konjugation|w}} }} | {{op:Betrag| v |}} \cdot {{op:Betrag| w |}} |}} }} || || |SZ=. }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Winkeltheorie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} 8ggg7v8lqtqsnrpxudzxvuszslxh46r 0 153397 1107223 1033759 2026-07-15T14:11:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107223 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Gebiet/Komplex-differenzierbar/Betragskonstant/Konstant/Fakt |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Holomorph/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biholomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7iypmjk1dogp06nhcc5dnb9gmnq2z27 0 154256 1107227 1034090 2026-07-15T14:11:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107227 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} eine beschreibende Potenzreihe für die {{ Definitionslink |Prämath= |komplexe Invertierung| |Kontext=| |SZ= }} im Entwicklungspunkt {{math|term= 1 |SZ=}} mithilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Geometrische Reihe/Komplex/Konvergenzbeschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der komplexen Potenzreihen |Kategorie2=Theorie der komplexen rationalen Funktionen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} sm1xtbeft33l40iw93gle2bzgjyyhq2 0 154738 1107246 1037054 2026-07-15T14:14:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107246 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Berechne{{n Sie}} {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Wegintegral/C/z^2dz/Weg/Beispiel |Nr= |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Vektorraum/Offen/Vektorwertige 1-Form/Wegintegral/Exakt/Berechnung/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Wegintegrale zu einer holomorphen Differentialform in C |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qpgu1obaqsq1jvc7iy7m34f2z8jdiag 0 155409 1107228 921962 2026-07-15T14:12:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107228 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beschreibe{{n Sie}} die Gruppenstruktur auf der Gruppe der Automorphismen von {{mathl|term= {{CC|}} \setminus \{0\} |SZ=}} mithilfe der Menge {{mathl|term= {{makl| {{CC|}} \setminus \{0\} |}} \times \{ 1,-1\} |SZ=.}} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der biholomorphen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} kgwqet7txk1631ar7xrwx18lpa8i854 0 155779 1107242 1035593 2026-07-15T14:14:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107242 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| |Kontext=| |SZ= }} {{math|term= \int_\gamma |SZ=}} zur {{ Definitionslink |Prämath= |holomorphen Differentialform| |Kontext=1| |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|dz|z(z-1)(z+1)}} |SZ=}} zum Weg {{ Relationskette | \gamma(t) || 3 e^{2 \pi {{imaginäre Einheit|}} t} || || || |SZ= }} auf {{mathl|term= [0,1] |SZ=}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Residuensatzes|Faktseitenname= Residuum/Mehrfach punktiert/Integralbeschreibung/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Der Residuensatz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 0dmgwg675yvw03owgwegtuaizzmrj14 0 156244 1107243 1104163 2026-07-15T14:14:18Z Arbota 36910 Ersetzung 1107243 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Bestimme{{n Sie}} das {{ Definitionslink |Prämath= |Wegintegral| 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|Gruppenoperation| |Kontext=| |SZ= }} auf der offenen {{ Definitionslink |Prämath= |Einheitskreisscheibe| |Kontext=| |SZ= }} mithilfe von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Modulsubstitution |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} iumc8ayl56xob744lp2ojpgkv32laa1 0 158050 1107244 1052996 2026-07-15T14:14:28Z Arbota 36910 Ersetzung 1107244 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Der Polynomring {{mathl|term= K[X]|SZ=}} ist ein kommutativer Ring, aber kein Körper. Man kann aber mithilfe von formal-rationalen Funktionen einen Körper konstruieren, der den Polynomring enthält, ähnlich wie man aus {{math|term=\Z|SZ=}} die rationalen Zahlen {{math|term=\Q|SZ=}} konstruieren kann. Dazu definiert man {{ Relationskette/display | K(X) | {{defeq|}} | {{Mengebed| {{op:Bruch| P | Q}} | P, Q \in K[X]| Q \neq 0}} || || || |SZ=, }} wobei man wie bei {{math|term=\Q|SZ=}} zwei Brüche {{ mathkor|term1= {{op:Bruch| P | Q}} |und|term2= {{op:Bruch|P'|Q'}} |SZ= }} miteinander identifiziert, wenn {{ Relationskette/display | PQ' || P'Q || || || |SZ= }} ist. Auf diese Weise entsteht der {{Stichwort|Körper der rationalen Funktionen|SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=über {{math|term= K|SZ=}} | |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputbild |Function-1 x|svg| 250px {{!}} thumb {{!}} |Zusname=Function-1_x |Text=Man kann Brüche {{math|term= P/Q|SZ=}} von Polynomen als Funktionen auffassen, die außerhalb der Nullstellen des Nenners definiert sind. Das Beispiel zeigt den Graph der rationalen Funktion {{math|term= 1/X|SZ=.}} |Autor= |Benutzer=Qualc1 |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Einen formalen Ausdruck {{mathl|term= P/Q|SZ=}} kann man in folgender Weise wieder als eine Funktion auffassen. {{ inputdefinition |Rationale Funktion/Körper/Definition|| }} Die nach den Polynomfunktionen einfachsten Funktionen sind die rationalen Funktionen. |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der rationalen Funktionen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd |pdf= }} celbdddso2pxadjxp985barulggdsif 0 161223 1107215 1103705 2026-07-15T14:10:08Z Arbota 36910 Ersetzung 1107215 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Löse{{n Sie}} das {{ Definitionslink |lineare Gleichungssystem| |Kontext=| |SZ= }} {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 5 | 1 | -4| 3}} {{op:Spaltenvektor| x_1 | x_2 }} || {{op:Spaltenvektor| 3 | -22}} || || || |SZ= }} mithilfe der {{ Faktlink |Präwort=|Cramerschen Regel|Faktseitenname= Lineares Gleichungssystem/Cramersche Regel/Fakt |Nr= |SZ=. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Cramersche Regel (Körper) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4lkf7svdv21bfzpdsh5tn9zizaln6pt 0 162325 1107239 1032338 2026-07-15T14:13:48Z Arbota 36910 Ersetzung 1107239 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Gaußschen Vorzeichenlemmas|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Modulobedingung für die ungeraden Primzahlen {{math|term= p |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= 3 |SZ=}} ein Quadrat modulo {{math|term= p |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte= |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} nb85wusyv07livmr7s4b5srentq72w8 0 162326 1107240 1032339 2026-07-15T14:13:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107240 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Beweise{{n Sie}} mithilfe {{ Faktlink |Präwort=des|Gaußschen Vorzeichenlemmas|Faktseitenname= Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Gauß Vorzeichenlemma/Fakt |Nr= |SZ= }} eine Modulobedingung für die ungeraden Primzahlen {{math|term= p |SZ=}} mit der Eigenschaft, dass {{math|term= 5 |SZ=}} ein Quadrat modulo {{math|term= p |SZ=}} ist. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Das quadratische Reziprozitätsgesetz |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} qsgiwca2l3opb5kiq1w5ehptiwb9rch 0 165675 1107221 1093422 2026-07-15T14:10:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107221 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei ein {{ Zusatz/Klammer |text=nichtausgeartetes| |ISZ=|ESZ= }} Dreieck und eine Gerade {{math|term= G |SZ=}} in der Ebene gegeben, wobei die Gerade durch keinen Eckpunkt des Dreiecks verläuft. Zeige{{n Sie}} mithilfe von baryzentrischen Koordinaten, dass die Gerade höchstens zwei Seiten des Dreiecks trifft. |Textart=Aufgabe |Kategorie=Dreiecksgeometrie |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 4r45zeak2qqov71kg4gepih8ndamhiv 106 170179 1107470 1107075 2026-07-16T08:31:25Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte */ 1107470 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] ha3o8okdlsou73xooz2a88v5e8hohgw 1107471 1107470 2026-07-16T08:34:08Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte */ 1107471 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] dw2kmgn9p3pn9h4xzw3tk7ng608v68y 1107472 1107471 2026-07-16T08:36:51Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Randwege 2 */ 1107472 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> über trigonometrische Funktionen abhängt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 80mhknz8fhcy62shqbv3ypx1k2kpmhp 1107473 1107472 2026-07-16T08:55:30Z Bert Niehaus 20843 /* Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 */ 1107473 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> über trigonometrische Funktionen abhängt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_\gamma f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] bkzn1winnb0tyno8uq3fmc0wqvffawy 1107474 1107473 2026-07-16T08:56:46Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich */ 1107474 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> über trigonometrische Funktionen abhängt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] coy9k36vk41q8v3j8lxg1n6qsq7cuqv 1107486 1107474 2026-07-16T11:35:42Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 */ 1107486 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> über trigonometrische Funktionen abhängt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgende Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] oavocis4vsbvem3u1zun239dvoa2i8p 1107487 1107486 2026-07-16T11:35:57Z Bert Niehaus 20843 /* Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 */ 1107487 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> über trigonometrische Funktionen abhängt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 82ukuhk1csr7iq8pk9z83b4euxhy0c1 1107488 1107487 2026-07-16T11:40:52Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 */ 1107488 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> über trigonometrische Funktionen abhängt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Zunächst werden die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 99yrpuhsonydoyhgk7flcknni0suwuv 1107489 1107488 2026-07-16T11:46:22Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 */ 1107489 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> über trigonometrische Funktionen abhängt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 ==== Zunächst werden die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] d8jzdb2cqtox0vc4dtiqvtrnwrx5t33 1107490 1107489 2026-07-16T11:47:07Z Bert Niehaus 20843 /* Definition der orientierten Fläche - Schritt 3 */ 1107490 wikitext text/x-wiki == Einleitung == [[Wegintegral|Wegintegrale]] über einen Kreisrand wurden bei der [[Cauchy-Integralformel]] verwendet, um eine holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> im Inneren eine Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> über ein Integral über den Kreisrand darzustellen, d.h. für alle <math>z\in D_r(z_0)</math> gilt: :<math>f(z)=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\displaystyle \oint_{\partial D_r(z_0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta .</math> In dieser Lerneinheit werden keine Wegintergale über Kreisränder, sondern Flächenintegrale über Kreisscheiben als [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] im Vergleich zu [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegralen über Real- und Imaginärteil]] behandelt. === Aufgabe für Studierende === Analysieren Sie die folgende Flächenintegrale über eine Kreisscheibe <math>\gamma_\circ</math> als [[orientierte Fläche]]. * Was ist der Grund dafür, dass mache Flächenintegrale bzw. Doppelintegral einen von 0 verschiedenen Wert aufweisen? * Kann man ein Doppelintegral über Real- und Imaginärfall über Kreisscheiben als Spezialfall der Integration über orientierte Flächen auffassen? Stellen Sie ausgewählte Teilaspekte dieser Lerneinheit in den Übungen vor! === Extremalpunkte eines Kreise === Man könnte nach den bisherigen Ergebnissen für Dreiecke und Rechtecke annehmen, dass der Wert eines Flächenintegral über den Wert an den [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkten]] der Fläche festgelegt ist. Die [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkte]] eines Kreises sind im Gegensatz zu Polygonen (Vielecken) aber nicht endlich. [[w:de:Satz von Krein-Milman|Extremalpunkte einer Kreisschreibe]] als [[w:de:konvexe Menge|konvexe Menge]] besteht aus dem Kreisrand (also der Spur des Integrationsweges im [[Cauchy-Integralsatz]]). Tatsächlich hängt das Flächenintegral von Kreisscheiben aber nur von den Bildpunkten <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit <math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\}</math> als [[orientierte Fläche]] ab. === Doppelintegral über Kreisscheiben === Mit einem Doppelintegral über den Realteil <math>x\in\mathbb{R}</math> und den Imaginärteil <math>y\in\mathbb{R}</math> mit <math>z=x+iy\in\mathbb{C}</math> für die [[holomorphe Funktion]] <math>f= f_1+if_2</math> auf dem Definitionsbereich <math>G\subseteq\mathbb{C}</math> betrachtet man eigentlich zwei separate Integrale von <math>G_{_\mathbb{R}} \subseteq \mathbb{R}^2</math> für <math>f_1</math> und <math>f_2</math> die dann zusammengefasst eine Wert des Integrals in <math>\mathbb{R}^2</math> liefert. Eine [[orientierte Fläche]] berücksichtigt dagegen die geometrische Struktur, die sich aus dem algebraischen Zusammenhang zwischen Realteil und Imaginärteil ergeben, wie z.B. bei der Multiplikation als Drehstreckung in <math>\mathbb{C}</math>. === Beispiel - Doppelintegral über Kreisscheiben === Bevor allgemein über [[orientierte Fläche|orientierte Kreisscheiben]] integriert wird, berechnet das folgende Beispiel für eine Kreissscheibe das [[Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]] für die [[holomorphe Funktion]] <math>f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}</math> mit <math>f(z)=z^2</math>. Integriert wird über die abgeschlossene Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_0)}:=\{z\in \mathbb{C}\, \colon \, |z-z_0| \leq r\}</math> mit Mittelpunkt <math>z_0</math> und Radius <math>r_0 > 0</math>. Über die Anwendung der [[Transformationsformel]] wird der Wert des Integral mit dem Mittelpunkt der Kreisscheibe <math>z_0= 3+2i \not=0</math> und dem Radius <math>r_0 := 3 > 0</math> berechnet. ==== Berechnung des Doppelintegrals ==== :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\overline{D_{r_o}(z_o)}}{\quad\iint\quad} \!\!\!\!\!\! f(x+iy) \, dx \, dy \!\!\!\! & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} f(z_o+r\cdot e^{it} ) \cdot r \, dr \, dt \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \!\!\! \int_{0}^{r_o} \big( z_{o}^2 + 2\, r\, e^{it}\, z_{o} + (r\, e^{it} )^2 \big) \cdot r \,\, dt \, dr \\ & = & \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \! z_0^2 \, r_o \, dt + \underbrace{ \int_{0}^{2\pi} \! \tfrac{2}{3} \, r_o^3 \, e^{it} \cdot z_0 + \tfrac{1}{3} \,r_o^3 \, e^{i2t} \, dt }_{=0} \\ & = & \displaystyle \underbrace{z_o^2}_{\in \mathbb{C}} \cdot \underbrace{r_o \cdot 2\pi}_{\in \mathbb{R}} = \underbrace{(3+2i)^2}_{=5+12i}\cdot 6 \pi = 30\pi + 72\pi i \not=0 \end{array} </math> === Hinweise zur Berechnung === <math>z_o^2 \in \mathbb{C}</math> ist eine Konstante bezüglich der Integrationsvariable <math>r</math>. Die Stammfunktion von <math>z_o^2</math> ist daher <math>z_o^2\cdot r</math> <math>\int_{0}^{r_o} z_{o}^2 \, dr = \left[ z_{o}^2\cdot r \right]_0^{r_o} = z_{o}^2\cdot r_o </math> ==== Transformationsformel ==== Das obige Integral zeigt mit der Anwendung der [[Transformationsformel]] in Polarkoordinaten, dass das Doppelintegral nicht verschwindet. Der Wert des Integrals hängt quadratisch vom Zentrum <math>z_o</math> der Kreisschreibe und vom Radius <math>r_0</math> ab. == Rechteck und Kreisscheibe == Bei einer orientierten Fläche wird mit :<math>\gamma_\circ : [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \to \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> Ein Rechteck <math> [a_1,b_1] \times [a_1,b_1] \subset \mathbb{R}^2</math> auf die abgeschlossene Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> mit Radius <math> r > 0 </math> und bijektiv <math> z_o \in \mathbb{C}</math> abgebildet. === Animation der orientierten Fläche === Das Argument <math>t_1\in [0,1]</math> ist in der Animation monoton wachsend und das Argument <math>t_2\in [0,1]</math> oszilliert zwischen 0 und 1 über Anwendung einer trigonometrische Funktion. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 4.gif|300px|center|oriented surface for mapping from square to disk - created with OpenSource Geogebra and exported to animated GIF]] ==== Aufgabe zur Animation ==== Wie kann man die obige Animation in Abhängigkeit von dem monoton wachsenden Argument <math>t_1\in [0,1]</math>, sodass der Parameter <math>t_2:=\psi(t_1) \in [0,1]</math> in Abhängigkeit von <math>t_1</math> oszilliert. Verwenden Sie dazu die Abbildung <math>\psi</math>, sodass <math>t_2:=\psi(t_1)</math> dann <math>n</math>-fach zwischen 0 und 1 oszilliert. Bestimmen Sie dazu die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math>. :<math>t_2=\psi(t_1):= a\cdot \cos(b\cdot t_1 ) + c </math> ==== Hilfen zur Aufgabe zur Animation ==== Nutzen Sie die folgenden Hilfen, um die Parameter <math>a,b,c\in \mathbb{R}</math> zu bestimmen: * Die Funktion <math>\psi_1(t_1):= \cos(t_1) + 1 </math> oszilliert zwischen 0 und 2, * Die Funktion <math>\psi_2(t_1):= \cos(2\pi\cdot t_1) + 1 </math> erzeugt eine vollständige Kosinusschwingung, wenn <math>t_1\in [0,1]</math> von 0 bis 1 monoton wächst. === Abbildung der Ecken auf Kreisrand === Die Ecken des Rechtecks <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> mit :<math>(t_1,t_2)\in \big\{ (a_{1},a_{2}),(a_{1},b_{2}),(b_{1},a_{2}), (b_{1},b_{2}) \big\} \subset [a_1,b_1] \times [a_2,b_2] \subset \mathbb{R}^2</math> werden nun auf unterschiedliche Randpunkt der abgeschlossenen Kreisscheibe <math> \overline{D_r(z_o)} \subset \mathbb{C}</math> als [[orientierte Fläche]] abgebildet. === Bezeichnung der Eckpunkte === Die Bildpunkte <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] der Ecken von <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> (Rechteck) werden wie folgt bezeichnet mit <math>t_i \in [0,2\pi] </math>: * <math> \gamma_\circ(a_{1},a_{2}) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(b_{1},a_{2}) = w_{2}= z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (b_{1},b_{2}) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(a_{1},b_{2}) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. ==== Bemerkung - Winkel und Eckpunkte ==== In diesem spezielle Fall wurden die Bildpunkte der Eckpunkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Kreisrand jeweils mit einer Winkeldifferenz von <math>\tfrac{\pi}{2}</math> abgetragen. Damit bilden die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> die Eckpunkte eines Quadrates in <math>\mathbb{C}</math>. Im Allgemeinen können die Bildpunkte auf dem Kreisrand z.B. mit unterschiedlichen positiven oder unterschiedlichen negativen Winkeldifferenzen gewählt werden. Die Festlegung dieser Winkeldifferenz auf dem Kreisrand verändert allerdings den Wert des Flächenintegrals über die orientierte Fläche. ==== Veranschaulichung für die Wahl der Eckpunkte ==== Der Bildpunkt <math>z=\gamma_\circ(t_1,t_2)\in \overline{D_r(z_o)}</math> der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] bewegt sich mit <math>(t_1,t_2)\in [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> wie folgt über die inneren Punkte der abgeschlossenen Kreisscheibe <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. <math>t_1\in [a_1,b_1]</math> ist monton steigend von <math>a_1</math> nach <math>b_1</math> und <math>t_2</math> oszilliert im Intervall <math>[a_2,b_2]</math>. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 0.gif|300px|center|Mapping of rectangle to a disk as oriented surface - Complex Analysis - Geogebra Export as GIF animation]] ==== Vereinfachter Definitionsbereich der orientierten Fläche ==== Im weiteren Verlauf der Lerneinheit vereinfacht man den Definitionsbereich der [[orientierte Fläche| orientierten Fläche]] für die Kreisscheibe. Die orientierte Fläche <math>\gamma_\circ</math> hat dann statt <math>[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]</math> nun das Einheitsquadrat <math>[0,1]\times [0,1]</math> als vereinfachter Parameterraum. === Definition der orientierten Kreisfläche === Die [[orientierte Fläche|orientierte Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> wird dabei wie folgt über Randwege des Kreisrandes definiert: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Randwege auf dem Kreisrand ==== Um die orientierte Fläche zu definieren benötigt man zunächst die folgenden Randwege <math>\gamma_k</math> auf dem Kreisrand von <math> \overline{D_r(z_o)}</math> mit <math>k\in \{1,2,3,4\}</math>: :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_k} : & [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & t & \mapsto & \gamma_k(t) = z_o +r\cdot e^{i\big((1-t)\cdot \alpha_{_k} + t \cdot \beta_{_{k}}\big)} \end{array} </math> Dabei werden die Winkel <math>\alpha_k ,\beta_k \in \big\{ \tfrac{3}{4}\pi + n\cdot \tfrac{\pi}{2} \ \colon \ n \in \mathbb{Z} \big\}</math>, so gewählt, dass <math>|\beta_k - \alpha_k |=\tfrac{\pi}{2}</math> gilt. Die Punkte <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \alpha_k}</math> bzw. <math>z_o + r\cdot e^{i\cdot \beta_k}</math> liegen auf dem Kreisrand von <math>\overline{D_r(z_o)}</math>. ==== Aufgabe 1 - Randwege über Kreissegmente ==== Sind <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-2\pi,2\pi]</math> zwei Winkel, dann bewegt sich <math>\gamma_k(t)</math> auf dem Kreisrand <math>\overline{D_r(z_o)}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\alpha_k}</math> von <math>z_0+r\cdot e^{i\beta_k}</math>. Bestimmen Sie mit der folgenden Animation <math>\alpha_{_{k}}, \beta_{_{k}} \in [-\tfrac{\pi}{4},\tfrac{7\pi}{4}]</math> zeigt die Position der Punkte <math>\gamma_k(t_i)</math> in Abhängigkeit von <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math>. ==== Veranschaulichung der Randwege 1 ==== Der rot markierte Punkt <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> in der Kreisfläche zeigt die Position des Punktes <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> in Abhängigkeit von dem Argument <math>(t_1,t_2) \in [0,1] \times [0,1]</math> an. Unten in der Animation wird die zugehörige Position des Arguments <math>(t_1,t_2)</math> im Einheitsquadrat aus <math>\mathbb{R}^2</math> für <math>z:=\gamma_\circ (t_1,t_2)</math> angegeben. ==== Veranschaulichung der Randwege 2 ==== Im Folgenden wird erläutert, wie der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> von den Randwegen <math>\gamma_1,\, \gamma_2,\, \gamma_3</math> und <math>\gamma_4</math> über trigonometrische Funktionen abhängt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 2.gif|350px|center|oriented surface for a disk - created with OpenSource Geogebra with GIF export]] ==== Flächenstammfunktion und Bildpunkten der Ecken aus dem Definitionsbereich ==== Wie bei dem folgenden [[Wegintegral]] über <math>\gamma:[a,b]\to \mathbb{C}</math> :<math>\int_\gamma f(z)\,dz = \int_{a}^{b} f(\gamma(t)) \cdot \gamma{\,}'(t) \, dt = F(\gamma(b)) -F(\gamma(a))</math> und der Existenz von Stammfunktionen <math>F</math> von <math>f</math>, hängt das Flächenintegral über eine [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_\circ</math> nur von den Bilder der Eckpunkte von <math>[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]</math> ab. :<math>\iint_{\gamma_\circ} f(z)\,d^2\,z = F(\gamma_\circ(b_1,b_2)) - F(\gamma_\circ(b_1,a_2))- F(\gamma_\circ(a_1,b_2)) + F(\gamma_\circ(a_1,a_2))</math> ==== Bildpunkte der Ecken im Einheitsquadrat - Schritt 1 ==== Für die Definition der orientierten Fläche wird der Punkt <math>\gamma_\circ (t_1,t_2) = z</math> additiv darstellt. Dafür benötigt man die folgenden Hilfspunkte. * <math> \gamma_\circ(0 \, , \, 0) = w_{1} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{5}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ(1\, , \, 0) = w_{2} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{7}{4}\pi} </math>, * <math> \gamma_\circ (1 \, , \, 1) = w_{3} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{1}{4}\pi}</math>, * <math> \gamma_\circ(0\, , \, 1) = w_{4} = z_o + r\cdot e^{i \tfrac{3}{4}\pi}</math>. Die Punkte <math>w_1, w_2, w_3, w_4</math> auf dem Rand des Kreises sind auch die Anfangs- bzw. Endpunkte von 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand. ==== Randweg auf dem Kreisrand - Schritt 2 ==== Die 4 Randwegen <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> auf dem Kreisrand sind parametrisierte Auswertungen von <math>\gamma_\circ</math> in der folgenden Form: * <math> \gamma_1(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 0) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_2(t_2):= \gamma_\circ(1 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_3(t_1):= \gamma_\circ(t_1 \, , \, 1) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} </math>, * <math> \gamma_4(t_2):= \gamma_\circ(0 \, , \, t_2) = z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} </math>. ==== Projektionen von Randwegen - Schritt 3 ==== Zunächst werden die beiden Randwege <math>\gamma_2</math> auch durch eine Orthogonalprojektion auf waagerechte und senkrechte Geraden durch den Kreismittelpunkt <math>z_o</math> bestimmt. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 7.gif|350px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 4 ==== Die folgende Animation zeigt, wie rot markierte Punkt <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> durch die beiden grün und blau markierten und orthogonal zueinander stehenden Vektoren <math>v_1,v_2</math> zerlegt wurde. [[File:Kreis orientierte flaeche v4 6b.gif|450px|center|oriented surface as mapping in complex analysis - created with OpenSource Geogebra4]] ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 4 ==== Die Parametrisierung von den gegenüberliegenden Randwegen für die Summanden mit der Exponentialfunktion <math>e^{i\cdot \ldots}</math> sind jeweils Komplexkonjugationen, denn es gilt mit der Periodizität von <math>2\pi</math> von <math>e^{it}</math> und <math>-\tfrac{5}{4}\pi + 2\pi =\tfrac{3}{4}\pi</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} & = & \overline{r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}} = r\cdot e^{-i \big(\overbrace{ \tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi}^{\in \mathbb{R}} } \\ & = & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} = \gamma_3(t_1) - z_0 \\ \end{array} </math> ==== Bemerkung zu Schritt 4 - Verschobener Kreismittelpunkt ==== Durch den Punkt <math>z_0</math> wird der Kreismittelpunkt lediglich verschoben. Für die algebraische Betrachtung wird daher in Schritt 4 allein der Rotationsanteil <math>e^{i\cdot \ldots}</math> der Exponentialfunktion betrachtet und <math>\gamma_3(t_1) - z_0</math> und <math>\gamma_1(t_1) - z_0</math> verwendet. ==== Komplexkonjugation für Randwege - Schritt 5 ==== Addiert man zu einer komplexen Zahl <math>z=z_1+iz_2\in\mathbb{C}</math> die komplex konjugiert Zahl <math>\overline{z}=z_1-iz_2\in\mathbb{C}</math> erhält man <math>z+\overline{z}= 2\cdot \mathfrak{Re}(z)</math>. Wendet man das auf die Summe von <math>\gamma_1(t_1) - z_0 </math> <math>\gamma_3(t_1)-z_0 = \overline{\gamma_1(t_1) - z_0} </math> an, so liefert das mit der [[w:de:Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die Gleichung: :<math> (\gamma_1(t_1) - z_0) + \underbrace{\overline{\gamma_1(t_1) - z_0}}_{=\gamma_3(t_1)-z_0} = 2\cdot r \cdot \cos\left(\big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi\right) </math> ==== Parametrisierung Realteilrichtung - Schritt 6 ==== Um den grün gekennzeichneten Vektor in Realteilrichtung zu erhalten, muss man diesen mit Werten zwischen <math>-1</math> und <math>+1</math> in Abhängigkeit von <math>t_1\in [0,1]</math> parametrisieren. Mit <math>t_1\in [0,1]</math> ist <math>2\cdot t_1 - 1 \in [-1,+1]</math>: ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 4 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: :<math> \begin{array}{lc} \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_1\cdot (1-t_2) }_{= z_0 \cdot (1-t_2) } + & \\ \underbrace{ z_0 \cdot (1-t_1)\cdot t_2 + z_0 \cdot t_1\cdot t_2 }_{= z_0 \cdot t_2 } & = \\ z_0 \cdot (1-t_2) + z_0 \cdot t_2 = z_0 & \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 5 ==== :<math> \begin{array}{rccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(-\tfrac{1}{4}+\tfrac{t_2}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}-\tfrac{t_2}{2}\big)\pi}) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 8 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so summieren sich die skalaren Vielfachen von <math>z_0</math> zu <math>1\cdot z_0</math>, denn es gilt: werden zunächst die gegenüberliegenden Wege zusammengefasst: :<math> \begin{array}{lc} \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \left( z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{5}{4}+\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) + & \\ \left(z_o + r\cdot e^{i \big(\tfrac{3}{4}-\tfrac{t_1}{2}\big)\pi} \right) \cdot t_1\cdot t_2 & = \\ \end{array} </math> ==== Einsetzen der Randwege in orientierte Kreisfläche - Schritt 9 ==== Setzt man die obigen Wege <math>\gamma_1, \ldots , \gamma_4</math> in Definition der [[orientierte Fläche|orientierten Kreisfläche]] <math>\gamma_\circ</math> ein, so erhält man: :<math> \begin{array}{rccccl} \gamma_\circ : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) & = & \gamma_1 (t_1) \cdot (1-t_1)\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_2 (t_2) \cdot t_1\cdot (1-t_2) \\ & & & & + & \gamma_3 (t_1) \cdot t_1\cdot t_2 \\ & & & & + & \gamma_4 (t_2) \cdot (1-t_1)\cdot t_2 \end{array} </math> Dabei sind <math>\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3, \gamma_4</math> Weg über den Rand von [[w:de:Kreissegment|Kreissegmenten]], die im folgenden definiert und veranschaulicht werden. ==== Bemerkung - orientierte Fläche - Schritt 10 ==== In der obigen Animation wurde zugehörige <math>(t_1,t_2)\in [0,1]\times [0,1]</math> aus dem Definitionsbereich für <math>\gamma_\circ(t_1,t_2)=z\in \overline{D_r(z_0)}</math> ebenfalls auf der linken Seite in dem Einheitsquadrat dargestellt. ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 11 ==== Damit lässt sich der Punkt <math>z\in \overline{D_r(z_0)}</math> als Summe der folgenden 3 komplexen Zahlen beschreiben: :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z = z_0 + v_1 + v_2 </math> Da die blau bzw. grün markierten Vektoren <math> v_1, v_2 \in \mathbb{C}</math> von der Wahl von <math>(t_1,t_2)\in[0,1]\times [0,1]</math> abhängen, werden diese als Funktion <math>v_1(t_1,t_2)</math> bzw. <math>v_2(t_1,t_2)</math> notiert. :<math> \gamma_\circ(t_1,t_2)= z_0 + v_1(t_1,t_2) + v_2(t_1,t_2) </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 12 ==== Die grün markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_1(t_1,t_2)</math> dabei wie folgt definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_1 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_2 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_1 - 1) \end{array} </math> ==== Definition der orientierten Fläche - Schritt 13 ==== Die blau markierte Vektor wird als Funktionen <math>v_2(t_1,t_2)</math> analog mit vertauschten Rollen von <math>t_1</math> und <math>t_1</math> definiert. :<math> \begin{array}{rccl} v_2 : & [0,1] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & r\cdot i \cdot \cos\left(\tfrac{\pi}{2} \cdot t_1 - \tfrac{\pi}{4}\right)\cdot (2\cdot t_2 - 1) \end{array} </math> === Bemerkung - Wegintegral über geschlossene Wege === In diesem Zusammenhang ist es wesentlich zu bemerken, dass man das Doppelintegral über den Real- und Imaginärteil bzgl. Kreisscheiben von dem [[Wegintegral]] über den Kreisrand in konvexen bzw. einfach zusammenhängende Gebieten wesentlich verschieden ist, da in das Wegintegral in der Funktionentheorie die Ableitung <math>\gamma{\,}'</math> eingeht und beim Doppelintegral nicht. Das [[Wegintegral]] über den Kreisrand ist nach dem [[Cauchy-Integralsatz]] für holomorphe Funktionen immer 0. Wenn man dann über den Radius integriert bleibt das Integral 0. Dies zeigt auch das [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale|Flächenintegral]] mit der zugehörigen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]]. ==== Geschlossenes Wegintergal und orientierte Fläche ==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_{_D} : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche|Standardkreisscheibe]] mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_{_D} : & [0,r] \times [0,2\pi] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_{_D}(t_1,t_2) = z_0 + t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_{_D})(t_1,t_2)=\big( e^{i\cdot t_2} , i\cdot t_1 \cdot e^{i\cdot t_2} \big)</math>. ==== Animation - orientierte Kreisscheibe ==== [[File:Flaechenintegral Orientierung Kreisscheibe v1.gif|380px|center|Disk and oriented surface with animated gradient - create as GIF export from Geogebra]] ==== Geschlossenes Wegintegral - Integraldarstellung ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left( \int_{0}^{r} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{r} \,\, \bigg]_0^{2\pi} \\ \end{array} </math> ==== Geschlossenes Wegintegral - Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^r \bigg]_0^{2\pi} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,2\pi)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(r,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,2\pi)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0\big) + F_{_\Box}\big(z_0\big) = 0 \\ \end{array} </math> ==== Integraldarstellung der orientierten Fläche - Flächenstammfunktion ==== Das Flächenintegral hat folgende Darstellung: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{\pi} f(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) \, dt_1 \right) \cdot \tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) \,\,\, dt_2 \\ &=& \displaystyle \bigg[ \,\, \bigg[ F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(t_1,t_2)\big) \bigg]_0^{\pi} \,\, \bigg]_0^{1} \\ \end{array} </math> ==== Integralgrenzen der orientierte Fläche ==== Setzt man die Integralgrenzen der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] in die Flächenstammfunktion ein, erhält man: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \underset{\gamma_{\circ}}{\iint} f(z) \, d^2\!z &=& \displaystyle \bigg[ \bigg[ F(\gamma_{\circ}(t_1,t_2)) \bigg]_0^\pi \bigg]_0^{1} \\ &=& F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,1)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(\pi,0)\big) - F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,1)\big) + F_{_\Box}\big(\gamma_\circ(0,0)\big) \\ &=& F_{_\Box}\big(z_0+r)\big) - F_{_\Box}\big(z_0+r\big) - F_{_\Box}\big(z_0-r\big) + F_{_\Box}\big(z_0-r\big) = 0 \\ \end{array} </math> === Kreisscheibe als orientierte Fläche === Behandelt man Kreisscheiben als [[orientierte Fläche]] über ein einzelnes transformiertes Rechteck als Bild von <math>\gamma_{\circ} : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \to \mathbb{C}</math> über <math>\gamma_{_\circ}</math> und nicht über eine Approximation von eingeschriebenen Vielecken (so wie bei der Kreisflächenapproximation durch Vielecke in der der ebenen Geometrie) , so ist auch in diesem Fall das Integral 0. Dies liegt daran, dass sich die Auswertungen der [[Flächenstammfunktion]] bei einem [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechteck]] und der Bildpunkt und <math>\gamma_{_\circ}</math> von oberern und unteren Integralgrenzen identisch sind. Dies wurde in den obigen Berechnungen gezeigt, wobei auch die zugehörige [[orientierte Fläche]] von <math>\gamma_{\circ}</math> durch eine Animation veranschaulicht wurde. ==== Bemerkung zu Übungen ==== Die folgenden Berechnungen dienen als Übungen im Umgang mit <math>z_0 + re^{it}</math> als Integrationsweg. ==== Orientierte Fläche als Rechtecktransformation==== Sei <math>r > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math>. Dann definiert <math>\gamma_\circ : \to \mathbb{C}</math> [[orientierte Fläche]] als Rechtecktransformation mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}\subset G</math> über :<math> \begin{array}{rrcl} \gamma_\circ : & [0,\pi] \times [0,1] & \rightarrow & \mathbb{C} \\ & (t_1,t_2) & \mapsto & \gamma_\circ(t_1,t_2) = z_0 + r \left( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \right) \end{array} </math> mit dem Gradienten <math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( e^{-it_1}\, , \, -2i \sin(t_1) \bigg)</math>. ==== Bemerkung 1 - Wegdefinition ==== Der orientierte Weg ist eine [[Konvexkombination]] <math>(1-t_2)\cdot \gamma_1 + t_2\cdot \gamma_2</math> von zwei Wegen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> auf <math>[0,\pi]</math>: * Der Weg <math>\gamma_1(t_1) = z_0 + r\cdot e^{i t_1}</math> startet bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''obere Hälfte''' des Kreisrandes von <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_1(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem oberen Halbkreis. * Der Weg <math>\gamma_2(t_1) = z_0 + r\cdot e^{-i t_1}</math> startet ebenfalls bei <math>z_0+r</math> und läuft mit <math>t_1\in [0,\pi]</math> über die '''untere Hälfte''' des Kreisrandes <math>\overline{D_r(z_0)}</math> bis <math>z_0-r</math>. <math>\gamma_2(t_1)</math> ist der rote Punkt auf dem unterem Halbkreis. ==== Trigonometrische Funktionen und Gradient ==== Die Berechnung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>Grad(\gamma_\circ)</math> liefert zunächst einmal: :<math>Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2)=r \bigg( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \, , \, e^{-i t_1} - e^{i t_1} \bigg) </math> Für die trigonometrischen Funktionen gilt über die [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] <math>e^{it_1} = \cos(t_1)+ i \sin(t_1)</math>: * <math>\sin (t_2) = \frac{1}{2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>-\sin (t_2)= \sin (-t_2)</math> * <math>\cos(t_2) = \frac{1}{2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t_2} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t_2} \right)</math> mit <math>\cos (t_2)= \cos (-t_2)</math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 1 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) </math> gilt daher mit folgenden trigonometrischen Umformungen: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_1}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r\cdot \big( (1-t_2) e^{i t_1} + t_2 e^{-i t_1} \big) \\ & = & r\cdot \big( e^{i t_1} + t_2 \cdot (e^{-i t_1} - e^{i t_1})\big) \\ &=& r\cdot \big( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1)\big) \\ \end{array} </math> ==== Partielle Ableitungen - Umformungen 2 ==== Für <math>\tfrac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) </math> erhält man analog durch Ersetzung mit der Sinusfunktion: :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{d\gamma_{\circ}}{dt_2}(t_1,t_2) &=& \displaystyle r \cdot \big( e^{-i t_1} - e^{i t_1} \big) = - r\cdot 2i \cdot \sin(t_2) \\ \end{array} </math> ==== Gradient der orientierten Fläche ==== Damit ergibt sich der obige Gradient: :<math>\begin{array}{rcl} \displaystyle Grad(\gamma_\circ)(t_1,t_2) & = & r \bigg( e^{i t_1} - 2i\cdot t_2\cdot \sin(t_1) \, , \, -2i \sin(t_1) \bigg) \\ & = & r \bigg(e^{i t_1}\, , \,0\bigg) - r\cdot 2i \cdot \sin(t_1) \cdot \bigg(t_2 \, , \, 1 \bigg) \\ \end{array} </math>. === Wahl der orientierten Fläche === Die obige Darstellung der Kreisfläche über eine [[orientierte Fläche]] führt analog zu Wegintegralen über [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen|Rechtecke]] dazu, dass der Wert des Integrals über die [[orientierte Fläche]] nur von der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> und den Bilder von <math>\gamma : [a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\to \mathbb{C}</math> in den Eckpunkten abhängt, d.h. das Integral <math>\iint_\gamma f(z) \, d^2\! z </math> ist durch <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},a_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(a_{1},b_{2}))</math>, <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},a_{2}))</math> und <math>F_{_\Box}(\gamma(b_{1},b_{2}))</math> bereits festgelegt. == Approximation durch Polygone == Nach dem [[Lemma für Rechteckintegrale]] kann man das Rechintegral als alternierende Summe der Flächenstammfunktion über die Eckpunkte beschreiben. Mit dem [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]] kann das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] über Polygone auf das [[alternierender Randweg|alternierende Randwegintegral]] über Teilmenge einer geraden Anzahl von Ecken eines Polygons auszudrücken. === Approximation durch Rechtecke === Nach dem [[Approximationssatz für Dreiecke]] wurde das orientierte Flächenintegral im Dreieck über ein immer feiner werden Zerlegung in eine Summe von Rechteckintegralen approximiert. Dies wird nun analog mit einem eingeschriebene Vieleck in einem Kreis analog zur euklischen Geometrie durchgeführt, bei der der Flächeninhalt der Kreises durch ein regelmäßiges n-Eck approximiert wurde. === Translationsinvarianz nicht gegeben === Im Gegensatz zu euklidischen Geometrie, in der kongruente Dreieck den gleichen Flächeninhalt besitzen, gilt die Translationsinvarianz in der komplexen Analysis i.d.R. nicht, da die holomorphe Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> nicht notwendigerweise konstant ist. == Definition - Flächenintegral über Kreisscheibe == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>(R_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> eine Folge von Rechtecken, dessen paarweise Schnitte Nullmengen sind und alle inneren Punkte der offenen Kreisscheibe <math>D_r(z_0)</math> mit <math>r < r_0</math> überdecken. Das Integral über die Kreisscheibe <math>\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}</math> ist dann über Summe der Integrale über <math>\gamma_{_{R_n}}</math> als zugehörige [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] defininert: :<math> \iint_{\gamma_{_\overline{D_r(z_0)}}} \!\!\!\!\!\!\!\! f(z) \, d^2\!z = \sum_{n=1}^{\infty} \iint_{\gamma_{_{R_n}}} \!\!\!\! f(z) \, d^2\!z </math> === Veranschaulichung - Rechteckapproximation === [[File:Flaeche Kreis Rechteck v02.svg|300px|center|Approximation of a disk by rectangles - created with Geogebra with SVG export]] === Bemerkung - Nullmengen-Sigma-Additivität === In der Definition wird verlangt, dass Schnitte der Rechtecke <math>R_i \cap R_j</math> mit <math>i\not= j</math> Nullmengen sind. Diese Voraussetzung ist wesentlich, um die orientierte Fläche der Kreisscheibe über die [[Nullmengen-Sigma-Additivität|Nullmengen]]-<math>\sigma</math>-[[Nullmengen-Sigma-Additivität|Additivität]] als Summe der orientierten Flächenintegrale über die Rechtecke schreiben zu können. Diese Abschächung der <math>\sigma</math>-[[Wahrscheinlichkeitsraum|Additivität]] erlaubt z.B., dass der Schnitt zweier Rechtecke aus eine Rechteckseite besteht. === Aufgabe 1 - alternierende Randwege === Ergänzen Sie in der obigen Abbildung die alternierenden Randwege für das [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] und das [[Darstellungslemma für Rechteckintergrale]] über Wegintegral. Betrachtet Sie dann, die sich annulierenden Teil auf den Randwegen (siehe auch [[alternierender Randweg]]). Erläutern Sie mit der folgenden Abbildung, warum die [[alternierender Randweg|alternierenden Randwegintegrale]] bei der [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] übrig bleiben. ==== Veranschaulichung - alternierende Randweg ==== Die Abbildung zeigt den alternierenden Randweg zur Berechnung des orientierten Flächenintegrals: [[File:Flaeche Kreis Rechteck v03.svg|300px|center|alternating line integral for disk approximation - created with Geogebra and exported as SVG]] === Aufgabe 2 - Flächenergänzung zu einem Randintegral === Ergänzen Sie analog zum [[Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]] nun unregelmäßige Viereck, um die Rechtecke zu einem Polygon zu ergänzen, sodass mehr innere Punkte der Kreisscheibe durch die Vereinigung der Vielecke abgedeckt werden und Integrationswege im Inneren des Polygons sich durch die Ergänzung der Rechteckflächen sollen weitere Eigenschaft erhalten bleiben. ==== Eigenschaften bei der Ergänzung eines Vierecks ==== * entweder einen inneren Punkt in der Kreischeibe auf dem Kreisrand liegt bzw. * wenn beide Seiten bereits auf dem Kreisrand liegen ein unregelmäßiges Viereck ergänzt wird, wobei die zusätzlich eingefügten Ecken beide auf dem Kreisrand liegen und * sich innere Teilwege der hinzugefügten Rechteckfläche sich mit existierende Randwegen annulieren. Insgesamt soll wieder ein [[alternierender Randweg]] entstehen, bei dem alle Randpunkte auf dem Kreisrand liegen. == Approximation der Kreisscheibe über n-Ecke == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]], <math>r_o > 0</math> der Radius des Kreises mit Mittelpunkt <math>z_0\in \mathbb{C}</math> mit <math>D_{r_o}(z_0) \subset G</math>. Dann definiert mit dem Bild <math>\overline{D_r(z_0)}</math> und dem Entwicklungspunkt <math>z_0\in G</math> der Flächenstammfunktion <math>F_{_\Box}: D_{r_o}(z_0) \to \mathbb{C}</math>. Sei <math>V(m)</math> ein regelmäßiges <math>m</math>-Eck mit <math>m:=4\cdot 3^n</math> Ecken, das mit Eckpunkten auf dem Kreisrand als [[alternierender Randweg|alternierender Randweg]] über <math>V(m)</math> beschrieben werden kann. Das Integral über die Kreisscheibe ist dann defininert: :<math> \iint_{\overline{D_r(z_0)}} f(z) \, d^2\!z = \lim_{n\to \infty} \iint_{V(4\cdot 3 ^n)} f(z) \, d^2\!z </math> === Beweisidee === Für <math>n=0</math> erhält man ein Rechteck mit 4 Ecken, wobei die Ecken <math>z_1,z_2,z_3,z_4</math> gegen den Uhrzeigersinn (positive Orientierung) bezeichnet wurden. Dann zerlegt man mit jedem Iterationsschritt von <math>n</math> auf <math>n+1</math> mit zwei weiteren Punkten auf dem Rand ein <math>m</math>-Eck in ein <math>3\cdot m</math>-Eck (also für <math>n=1</math> in eine 12-Eck). Die Ergänzung von zwei Punkten pro Seite ist notwendig, damit die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> von <math>f</math> in den bereits existierenden Eckpunkten im Dreieck erhalten bleiben. Dies ist bei der Verfeinerung von einem <math>m</math>-Eck in ein <math>2m</math>-Eck nicht möglich. ==== Anzahl der Ecken ==== Um die Vorzeichen der Flächenstammfunktionen <math>F_{_\Box}</math> in den Ecken zu erhalten, entsteht die zunächst ungewöhnlich wirkende Eckenzahl <math>m=4\cdot 3^n</math> pro Verfeinung von <math>m</math>-Eck zum <math>3m</math>-Eck der Verfeinerung, da pro Seite immer 2 weitere Eckpunkte ergänzt werden. ==== Additives Flächenintegral ==== Das Flächenintegral ist additiv, wenn sich die andockende Fläche des unregelmäßigen Vierecks mit 3 gleichlangen Seiten für <math>V(m+1)</math> und einer Seiten von dem ergänzten Viereck, das mit umkehrter Orientierung mit einer Seite des regelmäßigen Polygons <math>V(m)</math> zur Deckung gebracht wird. Durch die umgekehrte Orientierung entsteht wieder ein alternierender Randweg über <math>V(m+1)</math>. == Siehe auch == * [[Approximationssatz für Dreiecke]] * [[w:de:Differentialgeometrie|Differentialgeometrie]] * [[Dreiecksintegralsatz über Stammfunktionen]] * [[w:de:Extremalpunkt|Extremalpunkt]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]] * [[Kurvenintegral]] * [[orientierte Fläche]] * [[w:de:Satz von Krein-Milman|Satz von Krein-Milman]] * [[Rechteckintegrallemma über Stammfunktionen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke#FlächenintegralsatzDreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]] * [[w:de:Riemannsche Fläche|Riemannsche Fläche]] * [[w:de:Substitutionsregel|Substitutionsregel]] * [[Transformationsformel]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Kreisscheiben&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 3z7xs320x2vy8oqhm183yhrnid03rll 106 170343 1107210 1107006 2026-07-15T13:36:18Z Patrick Rutz 41567 /* Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen */ 1107210 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen ** Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel * Modellierung der Feinstaubbelastung ** Vergleich des Modells mit der Realität * Reflexion und Weiterentwicklung des Modells ** Arbeitsaufträge * Kompetenzen und Lernziele * Didaktik und didaktische Reduktion ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. == Mathematische Idee == Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, wie sich die Verkehrsbelastung an einer Straße oder Kreuzung mathematisch beschreiben lässt. Dazu wird die Anzahl der Fahrzeuge in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. Aus den erhobenen Daten entsteht ein Graph, der die Verkehrsdichte im Tagesverlauf darstellt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass nicht nur einzelne Messwerte von Interesse sind, sondern insbesondere die gesamte Anzahl der Fahrzeuge innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Diese Gesamtmenge lässt sich durch die Fläche unter dem Graphen beschreiben. Da die genaue Fläche zunächst nicht bekannt ist, wird sie mithilfe von Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch lernen die Schülerinnen und Schüler eine grundlegende mathematische Methode kennen, mit der Gesamtmengen aus Änderungsraten abgeschätzt werden können. Die so ermittelte Fahrzeuganzahl bildet anschließend die Grundlage für die Entwicklung eines Modells zur Feinstaubbelastung. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss verschiedene Fahrzeugarten auf die Luftqualität haben und wie mathematische Modelle zur Beschreibung realer Umweltprobleme genutzt werden können. Aus Sicht der Mathematik wird die Fläche unter einem Graphen in höheren Klassenstufen durch das bestimmte Integral beschrieben: :<math>\int_a^b v(t)\,\mathrm dt</math> Die Unterrichtseinheit ermöglicht somit einen ersten anschaulichen Zugang zu zentralen Ideen der Integralrechnung, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung führen die Schülerinnen und Schüler an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durch. Dabei wird die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst. Um Unterschiede in der Feinstaubbelastung später modellieren zu können, wird zwischen Verbrennerfahrzeugen und Elektrofahrzeugen unterschieden. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und für die weitere Auswertung in LibreOffice Calc übertragen. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Messwerte auf eine Stunde hochgerechnet. Dadurch ergibt sich für jeden Messzeitpunkt eine geschätzte Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde, die als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung dient. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} Die hochgerechneten Verkehrsdaten werden zunächst in einem Balkendiagramm dargestellt. Dadurch lassen sich Unterschiede zwischen den einzelnen Messzeitpunkten unmittelbar erkennen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] Anschließend werden dieselben Daten in einem Liniendiagramm dargestellt. Dieses erleichtert die Betrachtung des zeitlichen Verlaufs und bildet die Grundlage für die weitere Modellierung in GeoGebra. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Dadurch werden die zuvor tabellarisch erfassten Verkehrsdaten in ein mathematisches Modell überführt. Die x-Achse beschreibt die Zeit, die y-Achse die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird er dem Mittelpunkt dieses Zeitintervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei <math>x=8{,}5</math> eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr entsprechend bei <math>x=10{,}5</math>. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Diese Annahme stellt eine Vereinfachung der Realität dar und ermöglicht die Entwicklung eines mathematischen Modells. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. Die folgende Abbildung zeigt den aus den Messdaten entstandenen Graphen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-14 um 14.35.26.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den zeitlichen Verlauf der Verkehrsdichte modelliert. Zwischen zwei Messzeitpunkten wird dabei eine lineare Veränderung angenommen. Dieses Modell dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entsteht unter dem Graphen eine Folge von Trapezen. Die Fläche unter dem Graphen kann dadurch näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte zweier benachbarter Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite jedes Trapezes <math>b=2</math>. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> Dabei entspricht b der Zeitspanne zwischen zwei Messpunkten und <math>h_1</math> sowie <math>h_2</math> den beiden gemessenen Verkehrsdichten. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot2 =\frac{116}{2}\cdot2 =58\cdot2 =116 </math> Die Summe aller Trapezflächen liefert somit eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Trapezregel ermöglicht es, aus einzelnen Messwerten eine Gesamtgröße abzuschätzen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass sich reale Fragestellungen mithilfe mathematischer Modelle untersuchen lassen. Gleichzeitig erhalten sie einen ersten anschaulichen Zugang zur Idee des bestimmten Integrals, das in der Oberstufe als exakte Beschreibung der Fläche unter einem Graphen eingeführt wird. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Im Folgenden wird die Trapezregel auf die zuvor erhobenen Verkehrsdaten angewendet. Dadurch lässt sich die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum näherungsweise bestimmen. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes mit :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> berechnet. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Sie gibt an, wie viele Fahrzeuge durchschnittlich innerhalb einer Stunde einen Messpunkt passieren. Die x-Achse beschreibt die Zeit in Stunden. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Im Folgenden wird die Einheit „Fahrzeuge“ mit <math>\mathrm{F}</math> abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst ausschließlich das Verkehrsaufkommen. Um Aussagen über die Luftqualität treffen zu können, muss zusätzlich berücksichtigt werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Zur Entwicklung eines geeigneten Modells recherchieren die Schülerinnen und Schüler zunächst, welche Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen wissenschaftlich beschrieben werden. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Die Gewichtung stellt eine bewusste Vereinfachung dar. Ziel ist es nicht, die tatsächlichen Emissionen exakt abzubilden, sondern die unterschiedlichen Beiträge der Fahrzeugarten im Modell sichtbar zu machen. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. Die berechnete Größe besitzt keine physikalische Einheit wie beispielsweise <math>\mu g/m^3</math>, sondern dient ausschließlich als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Je höher der berechnete Wert ist, desto größer ist nach den getroffenen Modellannahmen die Feinstaubbelastung. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar und kann reale Zusammenhänge daher nur näherungsweise beschreiben. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des entwickelten Modells zu beurteilen, wird es mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Als Beispiel dient die folgende Übersicht des Umweltbundesamtes, die die räumliche Verteilung der PM10-Belastung in Deutschland zeigt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Gleichzeitig zeigen die Messdaten, dass dieser Zusammenhang allein nicht ausreicht, um die tatsächliche Feinstaubbelastung vollständig zu erklären. Die Schülerinnen und Schüler recherchieren anschließend weitere wissenschaftliche Quellen und diskutieren, ob die im Modell verwendeten Gewichtungsfaktoren die tatsächliche Feinstaubbelastung angemessen beschreiben. Hierzu können weitere wissenschaftliche Quellen recherchiert und mit den getroffenen Modellannahmen verglichen werden. Darüber hinaus werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise: * Wind * Niederschlag * Temperatur * Topographie * Fahrzeugtypen * Verkehrsfluss * Ampeln * Industrie * Jahreszeit Der Vergleich mit realen Messdaten zeigt, dass das entwickelte Modell grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar macht. Gleichzeitig wird deutlich, dass weitere Einflussgrößen berücksichtigt werden müssen, um die Realität genauer zu beschreiben. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst der Vergleich mit realen Messdaten ermöglicht es, die Qualität eines mathematischen Modells zu beurteilen und gezielt weiterzuentwickeln. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die entwickelte Modellierung beschreibt den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung anhand vereinfachter Annahmen. Wie jedes mathematische Modell bildet sie die Realität jedoch nur näherungsweise ab. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen sowie die mathematische Beschreibung der Messdaten beeinflussen die Ergebnisse. Im Folgenden werden daher verschiedene Möglichkeiten vorgestellt, wie das Modell weiterentwickelt und verbessert werden kann. === Fachliche Erweiterungen === Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele Einflussgrößen, die sich auf die tatsächliche Luftqualität auswirken, bleiben zunächst unberücksichtigt. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * unterschiedliche Fahrzeugarten * wissenschaftlich begründete Gewichtungsfaktoren * Windrichtung und Windgeschwindigkeit * Topographie * reale Luftqualitätsdaten * weitere Schadstoffe (NO₂, CO₂ ...) === Mathematische Weiterentwicklung === Auch die mathematische Beschreibung des Verkehrsverlaufs kann weiterentwickelt werden. Dabei bleibt die Datengrundlage unverändert. Lediglich die Interpretation der Messwerte zwischen zwei Messzeitpunkten wird verändert. Im entwickelten Modell (Modell A) werden die innerhalb eines kurzen Messzeitraums erhobenen Verkehrsdaten auf eine Stunde hochgerechnet und als momentane Verkehrsdichte zum jeweiligen Messzeitpunkt interpretiert. Die Messpunkte werden anschließend durch Geraden miteinander verbunden. Dadurch wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Ein alternatives Modell (Modell B) besteht darin, die hochgerechnete Verkehrsdichte während der gesamten folgenden Stunde als konstant anzunehmen. Die Verkehrsdichte wird dabei durch eine Treppenfunktion beschrieben. Beträgt die hochgerechnete Verkehrsdichte beispielsweise :<math>48\,\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm{h}}</math>, so ergibt sich für das Zeitintervall von 08:00 Uhr bis 09:00 Uhr :<math>\int_8^9 48\,\frac{\mathrm F}{\mathrm h}\,\mathrm dt=48\,\mathrm F</math>. Damit entspricht die Fläche unter dem Graphen in jedem Zeitintervall exakt der hochgerechneten Fahrzeuganzahl. Beim linearen Modell entsteht dagegen lediglich eine Näherung, da zwischen zwei Messzeitpunkten eine lineare Veränderung angenommen wird. Beide Modellansätze besitzen Vor- und Nachteile. Welches Modell geeigneter ist, hängt von der Fragestellung sowie von den zugrunde liegenden Annahmen ab. Während Modell A einen kontinuierlichen Verlauf beschreibt und den späteren Funktionsbegriff vorbereitet, liefert Modell B eine exakte Übereinstimmung zwischen den hochgerechneten Messwerten und der berechneten Fläche unter dem Graphen. Die Schülerinnen und Schüler können beide Modellierungen vergleichen und diskutieren, welche Annahmen den jeweiligen Modellen zugrunde liegen und welcher Ansatz die Verkehrssituation geeigneter beschreibt. === Fazit === Der Vergleich der verschiedenen Modellansätze verdeutlicht, dass mathematische Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft, mit realen Daten verglichen und anschließend verbessert. Dabei existiert häufig nicht nur ein einziges richtiges Modell. Unterschiedliche Modellannahmen führen zu unterschiedlichen mathematischen Beschreibungen derselben Realität. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * erheben, dokumentieren und strukturieren reale Daten aus ihrer Lebenswelt. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung und Visualisierung von Daten. * interpretieren Tabellen, Diagramme und mathematische Graphen. * modellieren reale Situationen mithilfe mathematischer Darstellungen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * approximieren Flächen mithilfe der Trapezregel und interpretieren die Ergebnisse im Sachzusammenhang. * entwickeln und begründen mathematische Modelle zur Beschreibung von Umweltbelastungen. * vergleichen mathematische Modelle mit realen Messdaten und reflektieren deren Aussagekraft. * erkennen Chancen und Grenzen mathematischer Modelle. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. * erwerben Kompetenzen im Umgang mit digitalen Datenquellen und statistischen Informationen. * erfahren Mathematik als Werkzeug zur Untersuchung gesellschaftlich relevanter Fragestellungen. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an einer lebensnahen Fragestellung aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Durch die eigenständige Verkehrszählung wird ein direkter Bezug zur Lebenswelt hergestellt. Die Lernenden erleben dabei, wie reale Daten erhoben, ausgewertet und zur Beschreibung komplexer Zusammenhänge genutzt werden können. Im Mittelpunkt der Unterrichtseinheit steht der mathematische Modellierungskreislauf. Ausgehend von einer realen Situation werden Daten erhoben, mathematisch beschrieben, ausgewertet und anschließend mit realen Messdaten verglichen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dadurch, dass mathematische Modelle nicht die Realität selbst darstellen, sondern vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit sind. Die mathematische Komplexität wird durch mehrere didaktische Reduktionen angepasst. Die Verkehrsdichte wird zunächst anhand weniger Messzeitpunkte erfasst und auf Stundenwerte hochgerechnet. Zwischen den Messpunkten wird eine lineare Entwicklung angenommen. Die Fläche unter dem Graphen wird mithilfe der Trapezregel angenähert, sodass die Grundidee der Integralrechnung bereits eingeführt werden kann, ohne auf formale Integrale oder Grenzwertbetrachtungen zurückgreifen zu müssen. Auch die Modellierung der Feinstaubbelastung erfolgt bewusst vereinfacht. Anstatt reale Emissionsmodelle zu verwenden, werden ausgewählte Einflussgrößen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und Abgasemissionen durch Gewichtungsfaktoren beschrieben. Dadurch bleibt das Modell für die Zielgruppe verständlich und ermöglicht gleichzeitig eine fachlich begründete Diskussion über die getroffenen Annahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen Modell und Realität. Durch die Gegenüberstellung der berechneten Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass mathematische Modelle stets Grenzen besitzen und kontinuierlich überprüft und verbessert werden müssen. Dieser Schritt stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Modellierungsprozesse dar. Die Unterrichtseinheit verbindet mathematische Inhalte mit Fragestellungen aus Umweltbildung, Nachhaltigkeit und gesellschaftlicher Verantwortung. Dadurch wird Mathematik nicht nur als abstrakte Wissenschaft, sondern als Werkzeug zur Analyse und Bewertung realer Probleme erfahrbar. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 075xuzp9iyxbsxnegm9bqc226hvunuw 1107320 1107210 2026-07-15T14:35:10Z Felix Bohl 41569 /* Mathematische Weiterentwicklung */ 1107320 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 1= * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen ** Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel * Modellierung der Feinstaubbelastung ** Vergleich des Modells mit der Realität * Reflexion und Weiterentwicklung des Modells ** Arbeitsaufträge * Kompetenzen und Lernziele * Didaktik und didaktische Reduktion ==Projektidee== Schülerinnen und Schüler beobachten an einer Kreuzung den Verkehr und zählen innerhalb fester Zeitintervalle die vorbeifahrenden Fahrzeuge. Dabei wird zwischen Verbrennern und Elektroautos unterschieden. Die Daten werden anschließend tabellarisch erfasst und mithilfe von LibreOffice Calc in Diagrammen dargestellt. Anschließend werden die Messwerte in GeoGebra übertragen und als Punkte in einem Koordinatensystem visualisiert. Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein Graph, der die Verkehrsbelastung im Tagesverlauf beschreibt. Mithilfe von Trapezen wird die Fläche unter dem Graphen näherungsweise bestimmt. Diese Fläche beschreibt die gesamte Verkehrsbelastung im betrachteten Zeitraum und dient als erster anschaulicher Zugang zum Integralbegriff. Aufbauend auf diesen Ergebnissen kann ein einfaches Modell zur Schadstoffbelastung entwickelt werden, bei dem unterschiedliche Fahrzeugarten verschieden stark zur Belastung beitragen. == Mathematische Idee == Ausgangspunkt der Unterrichtseinheit ist die Frage, wie sich die Verkehrsbelastung an einer Straße oder Kreuzung mathematisch beschreiben lässt. Dazu wird die Anzahl der Fahrzeuge in regelmäßigen Zeitabständen erfasst. Aus den erhobenen Daten entsteht ein Graph, der die Verkehrsdichte im Tagesverlauf darstellt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass nicht nur einzelne Messwerte von Interesse sind, sondern insbesondere die gesamte Anzahl der Fahrzeuge innerhalb eines bestimmten Zeitraums. Diese Gesamtmenge lässt sich durch die Fläche unter dem Graphen beschreiben. Da die genaue Fläche zunächst nicht bekannt ist, wird sie mithilfe von Trapezen näherungsweise bestimmt. Dadurch lernen die Schülerinnen und Schüler eine grundlegende mathematische Methode kennen, mit der Gesamtmengen aus Änderungsraten abgeschätzt werden können. Die so ermittelte Fahrzeuganzahl bildet anschließend die Grundlage für die Entwicklung eines Modells zur Feinstaubbelastung. Dabei wird untersucht, welchen Einfluss verschiedene Fahrzeugarten auf die Luftqualität haben und wie mathematische Modelle zur Beschreibung realer Umweltprobleme genutzt werden können. Aus Sicht der Mathematik wird die Fläche unter einem Graphen in höheren Klassenstufen durch das bestimmte Integral beschrieben: :<math>\int_a^b v(t)\,\mathrm dt</math> Die Unterrichtseinheit ermöglicht somit einen ersten anschaulichen Zugang zu zentralen Ideen der Integralrechnung, ohne dass der Integralbegriff bereits formal eingeführt werden muss. ==Durchführung== Zur Untersuchung der Verkehrsbelastung führen die Schülerinnen und Schüler an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung eine Verkehrszählung durch. Dabei wird die Anzahl der vorbeifahrenden Fahrzeuge innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst. Um Unterschiede in der Feinstaubbelastung später modellieren zu können, wird zwischen Verbrennerfahrzeugen und Elektrofahrzeugen unterschieden. Die erhobenen Daten werden anschließend tabellarisch festgehalten und für die weitere Auswertung in LibreOffice Calc übertragen. ===Datenerhebung=== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-08:15 || 18 || 6 |- | 10:00-10:15 || 11 || 2 |- | 12:00-12:15 || 14 || 2 |- | 14:00-14:15 || 12 || 3 |- | 16:00-16:15 || 16 || 5 |- | 18:00-18:15 || 13 || 4 |- | 20:00-20:15 || 11 || 1 |} Anschließend werden die Messwerte auf eine Stunde hochgerechnet. Dadurch ergibt sich für jeden Messzeitpunkt eine geschätzte Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde, die als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung dient. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung Hochrechnung |- ! Zeitspanne !! Anzahl Verbrenner !! Anzahl E-Autos |- | 08:00-09:00 || 72 || 24 |- | 10:00-11:00 || 44 || 8 |- | 12:00-13:00 || 56 || 8 |- | 14:00-15:00 || 48 || 12 |- | 16:00-17:00 || 64 || 20 |- | 18:00-19:00 || 52 || 16 |- | 20:00-21:00 || 44 || 4 |} Die hochgerechneten Verkehrsdaten werden zunächst in einem Balkendiagramm dargestellt. Dadurch lassen sich Unterschiede zwischen den einzelnen Messzeitpunkten unmittelbar erkennen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Balkendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm.png|500px|zentriert|Balkendiagramm Hochrechnung]] Anschließend werden dieselben Daten in einem Liniendiagramm dargestellt. Dieses erleichtert die Betrachtung des zeitlichen Verlaufs und bildet die Grundlage für die weitere Modellierung in GeoGebra. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Liniendiagramm </div> [[Datei:Sek1 Hochrechnung Diagramm Linie.png|500px|zentriert|Liniendiagramm Hochrechnung]] === Darstellung der Messwerte in GeoGebra === Die auf eine Stunde hochgerechneten Messwerte werden anschließend in GeoGebra als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen. Dadurch werden die zuvor tabellarisch erfassten Verkehrsdaten in ein mathematisches Modell überführt. Die x-Achse beschreibt die Zeit, die y-Achse die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Da jeder Messwert die durchschnittliche Verkehrsdichte innerhalb eines einstündigen Zeitintervalls beschreibt, wird er dem Mittelpunkt dieses Zeitintervalls zugeordnet. Der Messwert für den Zeitraum von 08:00 bis 09:00 Uhr wird daher bei <math>x=8{,}5</math> eingetragen, der Messwert für den Zeitraum von 10:00 bis 11:00 Uhr entsprechend bei <math>x=10{,}5</math>. Für die Verbrenner ergeben sich die Punkte <math>(8,5|72), (10,5|44), (12,5|56), (14,5|48), (16,5|64), (18,5|52), (20,5|44)</math>. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte <math>(8,5|24), (10,5|8), (12,5|8), (14,5|12), (16,5|20), (18,5|16), (20,5|4)</math>. Da zwischen den Messungen jeweils zwei Stunden liegen, wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen den erfassten Zeitintervallen näherungsweise linear verändert. Diese Annahme stellt eine Vereinfachung der Realität dar und ermöglicht die Entwicklung eines mathematischen Modells. Die Messpunkte werden daher durch Strecken miteinander verbunden. Die folgende Abbildung zeigt den aus den Messdaten entstandenen Graphen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Trapezflächen </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-14 um 14.35.26.png|500px|zentriert|Trapezflächen]] Durch das Verbinden der Messpunkte entsteht ein stückweise linearer Graph, der den zeitlichen Verlauf der Verkehrsdichte modelliert. Zwischen zwei Messzeitpunkten wird dabei eine lineare Veränderung angenommen. Dieses Modell dient als Grundlage für die anschließende näherungsweise Berechnung der Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel. === Abschätzung der Fahrzeuganzahl mithilfe von Trapezflächen === Durch die Annahme einer linearen Veränderung des Verkehrsaufkommens zwischen zwei Messzeitpunkten entsteht unter dem Graphen eine Folge von Trapezen. Die Fläche unter dem Graphen kann dadurch näherungsweise durch die Summe dieser Trapezflächen bestimmt werden. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes berechnet. Die Breite entspricht dem Abstand der beiden Messzeitpunkte auf der x-Achse. Da die Mittelpunkte zweier benachbarter Messintervalle jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, beträgt die Breite jedes Trapezes <math>b=2</math>. Die beiden Höhen ergeben sich aus den zugehörigen Werten der Verkehrsdichte. Die Fläche eines Trapezes berechnet sich nach :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> Dabei entspricht b der Zeitspanne zwischen zwei Messpunkten und <math>h_1</math> sowie <math>h_2</math> den beiden gemessenen Verkehrsdichten. Beispielsweise ergibt sich zwischen den Messpunkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ein Trapez mit der Breite 2 sowie den Höhen 72 und 44. Die Fläche beträgt :<math>A=\frac{72+44}{2}\cdot2 =\frac{116}{2}\cdot2 =58\cdot2 =116 </math> Die Summe aller Trapezflächen liefert somit eine Näherung für die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum: :<math>A \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{h_i+h_{i+1}}{2}\cdot b</math> Die Trapezregel ermöglicht es, aus einzelnen Messwerten eine Gesamtgröße abzuschätzen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass sich reale Fragestellungen mithilfe mathematischer Modelle untersuchen lassen. Gleichzeitig erhalten sie einen ersten anschaulichen Zugang zur Idee des bestimmten Integrals, das in der Oberstufe als exakte Beschreibung der Fläche unter einem Graphen eingeführt wird. === Berechnung mit den Daten aus dem Beispiel === Im Folgenden wird die Trapezregel auf die zuvor erhobenen Verkehrsdaten angewendet. Dadurch lässt sich die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum näherungsweise bestimmen. Für jedes Zeitintervall wird die Fläche eines Trapezes mit :<math>A=\frac{h_1+h_2}{2}\cdot b</math> berechnet. Die y-Achse beschreibt die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde. Sie gibt an, wie viele Fahrzeuge durchschnittlich innerhalb einer Stunde einen Messpunkt passieren. Die x-Achse beschreibt die Zeit in Stunden. Bei der Berechnung einer Trapezfläche werden beide Größen miteinander multipliziert. Für die Einheit der Fläche ergibt sich daher :<math>\frac{\text{Fahrzeuge}}{\text{Stunde}}\cdot\text{Stunde}=\text{Fahrzeuge}</math> Die Fläche unter dem Graphen beschreibt somit näherungsweise die Anzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Im Folgenden wird die Einheit „Fahrzeuge“ mit <math>\mathrm{F}</math> abgekürzt. ==== Berechnung für Verbrenner ==== Die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge wird mit V und die Anzahl der Elektrofahrzeuge mit E bezeichnet. Zwischen den Punkten <math>(8{,}5|72)</math> und <math>(10{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_1=\frac{72+44}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(10{,}5|44)</math> und <math>(12{,}5|56)</math> ergibt sich :<math>V_2=\frac{44+56}{2}\cdot 2 = 100 F</math> Zwischen den Punkten <math>(12{,}5|56)</math> und <math>(14{,}5|48)</math> ergibt sich :<math>V_3=\frac{56+48}{2}\cdot 2 = 104 F</math> Zwischen den Punkten <math>(14{,}5|48)</math> und <math>(16{,}5|64)</math> ergibt sich :<math>V_4=\frac{48+64}{2}\cdot 2 = 112 F</math> Zwischen den Punkten <math>(16{,}5|64)</math> und <math>(18{,}5|52)</math> ergibt sich :<math>V_5=\frac{64+52}{2}\cdot 2 = 116 F</math> Zwischen den Punkten <math>(18{,}5|52)</math> und <math>(20{,}5|44)</math> ergibt sich :<math>V_6=\frac{52+44}{2}\cdot 2 = 96 F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge ergibt sich aus der Summe aller Trapezflächen: :<math>V_{\text{gesamt}}=\sum_{i=1}^{6} V_i =116F+100F+104F+112F+116F+96F=644F</math> Die Fläche von 644F beschreibt somit die geschätzte Gesamtzahl der Verbrennerfahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die Elektroautos ergeben sich die Punkte :<math>(8{,}5|24), (10{,}5|8), (12{,}5|8), (14{,}5|12), (16{,}5|20), (18{,}5|16), (20{,}5|4)</math> Die einzelnen Trapezflächen werden analog berechnet. Die Summe aller Trapezflächen beträgt :<math>E_{\text{gesamt}} = 156F</math> Die geschätzte Gesamtzahl der Elektrofahrzeuge beträgt somit 156 Fahrzeuge. Damit ergibt sich insgesamt * Verbrenner: <math>644</math> Fahrzeuge * Elektroautos: <math>156</math> Fahrzeuge * Gesamtverkehr: <math>644</math> Fahrzeuge + <math>156</math> Fahrzeuge = <math>800</math> Fahrzeuge also :<math>A_{\text{gesamt}} = 800</math> Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. == Modellierung der Feinstaubbelastung == Die zuvor bestimmte Fahrzeuganzahl beschreibt zunächst ausschließlich das Verkehrsaufkommen. Um Aussagen über die Luftqualität treffen zu können, muss zusätzlich berücksichtigt werden, in welchem Umfang verschiedene Fahrzeugarten zur Feinstaubbelastung beitragen. Zur Entwicklung eines geeigneten Modells recherchieren die Schülerinnen und Schüler zunächst, welche Quellen verkehrsbedingter Feinstaubemissionen wissenschaftlich beschrieben werden. Feinstaub entsteht nicht ausschließlich durch Abgase, sondern auch durch den Abrieb von Reifen und Bremsen. Moderne Studien zeigen, dass insbesondere die sogenannten Nicht-Abgas-Emissionen einen bedeutenden Anteil der verkehrsbedingten Feinstaubbelastung ausmachen.<ref>OECD (2020): ‘‘Non-Exhaust Particulate Emissions from Road Transport’’. OECD Publishing. https://www.oecd.org/en/publications/non-exhaust-particulate-emissions-from-road-transport_4a4dc6ca-en.html</ref> Während sowohl Verbrennerfahrzeuge als auch Elektroautos Reifen- und Bremsabrieb verursachen, entstehen direkte Abgasemissionen nur bei Fahrzeugen mit Verbrennungsmotor. Elektrofahrzeuge besitzen dagegen keine direkten Auspuffemissionen. Allerdings tragen auch sie weiterhin durch Reifen- und Bremsabrieb zur Feinstaubbelastung bei.<ref>Amato et al. (2021): ''Non-exhaust traffic emissions: Sources, characterization and mitigation measures''.Atmospheric Environment. https://www.researchgate.net/publication/348276903_Non-exhaust_traffic_emissions_Sources_characterization_and_mitigation_measures (Zugriff am 24.06.2026).</ref> Zur Modellierung werden die verschiedenen Emissionsquellen zunächst vereinfacht gewichtet. Dabei wird jede Emissionsquelle mit einer Belastungseinheit angesetzt. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vereinfachte Gewichtung der Emissionsquellen |- ! Emissionsquelle !! Verbrenner !! Elektroauto |- | Reifenabrieb || 1 || 1 |- | Bremsabrieb || 1 || 1 |- | Abgasemissionen || 1 || 0 |- ! Summe !! 3 !! 2 |} Die Gewichtung stellt eine bewusste Vereinfachung dar. Ziel ist es nicht, die tatsächlichen Emissionen exakt abzubilden, sondern die unterschiedlichen Beiträge der Fahrzeugarten im Modell sichtbar zu machen. Die modellierte Feinstaubbelastung kann somit durch :<math>L = 3 \cdot V + 2 \cdot E</math> beschrieben werden. Dabei bezeichnet * <math>L</math> die modellierte Feinstaubbelastung, * <math>V</math> die Anzahl der Verbrennerfahrzeuge, * <math>E</math> die Anzahl der Elektrofahrzeuge. Setzt man die zuvor berechneten Fahrzeugzahlen :<math>V = 644F</math> und :<math>E = 156F</math> ein, so erhält man :<math>L = 3 \cdot 644F + 2 \cdot 156F = 1932 + 312 = 2244</math> Belastungseinheiten. Die berechnete Größe besitzt keine physikalische Einheit wie beispielsweise <math>\mu g/m^3</math>, sondern dient ausschließlich als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Je höher der berechnete Wert ist, desto größer ist nach den getroffenen Modellannahmen die Feinstaubbelastung. === Vergleich des Modells mit der Realität === Ein mathematisches Modell stellt stets eine Vereinfachung der Realität dar und kann reale Zusammenhänge daher nur näherungsweise beschreiben. Die berechneten 2244 Belastungseinheiten entsprechen daher keinem direkt messbaren Feinstaubwert, sondern dienen als Vergleichsgröße innerhalb des entwickelten Modells. Um die Aussagekraft des entwickelten Modells zu beurteilen, wird es mit realen Luftqualitätsdaten verglichen. Als Beispiel dient die folgende Übersicht des Umweltbundesamtes, die die räumliche Verteilung der PM10-Belastung in Deutschland zeigt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Feinstaub PM10 Deutschland: 2000 bis 2008 <ref> Umweltbundesamt (2024): ''Feinstaub-Belastung in Deutschland''. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/feinstaub-belastung (Zugriff am 24.06.2026). </ref> </div> [[Datei:3 karte pm10 tmw 2000 2008.png|zentriert|Anzahl der Überschreitungen des PM10-Tagesgrenzwertes in Deutschland von 2000 bis 2008. Quelle: Umweltbundesamt]] Auf der Karte ist zu erkennen, dass die Feinstaubbelastung regional unterschiedlich ausgeprägt ist. Besonders Ballungsräume und dicht besiedelte Regionen weisen häufig höhere Belastungen auf als ländliche Gebiete. Gleichzeitig wird deutlich, dass die Feinstaubbelastung von zahlreichen Einflussgrößen abhängt und nicht allein durch das Verkehrsaufkommen erklärt werden kann. Der Vergleich mit den Ergebnissen des entwickelten Modells zeigt, dass ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung grundsätzlich plausibel erscheint. Regionen mit hohem Verkehrsaufkommen weisen häufig auch erhöhte Feinstaubwerte auf. Gleichzeitig zeigen die Messdaten, dass dieser Zusammenhang allein nicht ausreicht, um die tatsächliche Feinstaubbelastung vollständig zu erklären. Die Schülerinnen und Schüler recherchieren anschließend weitere wissenschaftliche Quellen und diskutieren, ob die im Modell verwendeten Gewichtungsfaktoren die tatsächliche Feinstaubbelastung angemessen beschreiben. Hierzu können weitere wissenschaftliche Quellen recherchiert und mit den getroffenen Modellannahmen verglichen werden. Darüber hinaus werden bei der Betrachtung realer Messdaten weitere Einflussgrößen sichtbar, die im bisherigen Modell nicht berücksichtigt wurden. Dazu zählen beispielsweise: * Wind * Niederschlag * Temperatur * Topographie * Fahrzeugtypen * Verkehrsfluss * Ampeln * Industrie * Jahreszeit Der Vergleich mit realen Messdaten zeigt, dass das entwickelte Modell grundlegende Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar macht. Gleichzeitig wird deutlich, dass weitere Einflussgrößen berücksichtigt werden müssen, um die Realität genauer zu beschreiben. Die Gegenüberstellung von Modell und Realität stellt einen wichtigen Schritt im Modellierungsprozess dar. Erst der Vergleich mit realen Messdaten ermöglicht es, die Qualität eines mathematischen Modells zu beurteilen und gezielt weiterzuentwickeln. == Reflexion und Weiterentwicklung des Modells == Die entwickelte Modellierung beschreibt den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Feinstaubbelastung anhand vereinfachter Annahmen. Wie jedes mathematische Modell bildet sie die Realität jedoch nur näherungsweise ab. Bereits die Auswahl der berücksichtigten Einflussgrößen sowie die mathematische Beschreibung der Messdaten beeinflussen die Ergebnisse. Im Folgenden werden daher verschiedene Möglichkeiten vorgestellt, wie das Modell weiterentwickelt und verbessert werden kann. === Fachliche Erweiterungen === Im entwickelten Modell wurden lediglich die Fahrzeuganzahl sowie vereinfachte Gewichtungsfaktoren für verschiedene Emissionsquellen berücksichtigt. Viele Einflussgrößen, die sich auf die tatsächliche Luftqualität auswirken, bleiben zunächst unberücksichtigt. Mögliche Erweiterungen des Modells sind beispielsweise: * unterschiedliche Fahrzeugarten * wissenschaftlich begründete Gewichtungsfaktoren * Windrichtung und Windgeschwindigkeit * Topographie * reale Luftqualitätsdaten * weitere Schadstoffe (NO₂, CO₂ ...) === Mathematische Weiterentwicklung === Auch die mathematische Beschreibung des Verkehrsverlaufs kann weiterentwickelt werden. Dabei bleibt die Datengrundlage unverändert. Lediglich die Interpretation der Messwerte zwischen zwei Messzeitpunkten wird verändert. Im entwickelten Modell (Modell A) werden die innerhalb eines kurzen Messzeitraums erhobenen Verkehrsdaten auf eine Stunde hochgerechnet und als momentane Verkehrsdichte zum jeweiligen Messzeitpunkt interpretiert. Die Messpunkte werden anschließend durch Geraden miteinander verbunden. Dadurch wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Ein alternatives Modell (Modell B) besteht darin, die hochgerechnete Verkehrsdichte während der gesamten folgenden Stunde als konstant anzunehmen. Die Verkehrsdichte wird dabei durch eine Treppenfunktion beschrieben. Beträgt die hochgerechnete Verkehrsdichte beispielsweise :<math>48\,\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm{h}}</math>, so ergibt sich für das Zeitintervall von 08:00 Uhr bis 09:00 Uhr :<math>\int_8^9 48\,\frac{\mathrm F}{\mathrm h}\,\mathrm dt=48\,\mathrm F</math>. Damit entspricht die Fläche unter dem Graphen in jedem Zeitintervall exakt der hochgerechneten Fahrzeuganzahl. Beim linearen Modell entsteht dagegen lediglich eine Näherung, da zwischen zwei Messzeitpunkten eine lineare Veränderung angenommen wird. In einem dritten Modell (Modell C) wird berücksichtigt, dass die tatsächlichen Verkehrszählungen jeweils in einem Zeitintervall von 15 Minuten durchgeführt wurden. Während dieser Messintervalle wird die hochgerechnete Verkehrsrate als konstant angenommen. Nach dem Ende des ersten Messintervalls wird eine lineare Veränderung bis zum Beginn des nächsten Messintervalls angenommen. Für die Messungen von 8:00 bis 8:15 Uhr und von 10:00 bis 10:15 Uhr bleibt der Wert daher zunächst von 8:00 bis 8:15 Uhr konstant. Zwischen 8:15 und 10:00 Uhr werden die beiden hochgerechneten Werte linear miteinander verbunden. Von 10:00 bis 10:15 Uhr wird der zweite Messwert wiederum als konstant angenommen. Dieses Modell verbindet die Annahme eines konstanten Verkehrsaufkommens während der tatsächlichen Messintervalle mit einer linearen Veränderung zwischen den Messungen. Alle drei Modellansätze besitzen Vor- und Nachteile. Welches Modell geeigneter ist, hängt von der Fragestellung und den zugrunde liegenden Annahmen ab. Modell A ordnet die hochgerechneten Messwerte den Mittelpunkten der betrachteten Zeitintervalle, beispielsweise 8:15 Uhr, zu und verbindet diese linear. Dadurch entsteht ein kontinuierlicher Verlauf, der den späteren Funktionsbegriff vorbereitet. Modell B nimmt an, dass der hochgerechnete Messwert zunächst während eines vollständigen Stundenintervalls, beispielsweise von 8:00 bis 9:00 Uhr, konstant bleibt und anschließend linear zum nächsten Messwert übergeht. Modell C orientiert sich stärker am tatsächlichen Ablauf der Datenerhebung: Der Messwert bleibt nur während des 15-minütigen Messintervalls konstant; zwischen dem Ende der ersten und dem Beginn der nächsten Messung wird ein linearer Verlauf angenommen. Modell C stellt damit eine Verfeinerung von Modell B dar, da die tatsächlichen Messzeiträume genauer berücksichtigt werden. Der Verkehrsverlauf zwischen den Messungen bleibt jedoch auch hier eine modellhafte Annahme. Die Schülerinnen und Schüler können die Modellierungen vergleichen und diskutieren, welche Annahmen den jeweiligen Modellen zugrunde liegen und welcher Ansatz die Verkehrssituation geeigneter beschreibt. === Fazit === Der Vergleich der verschiedenen Modellansätze verdeutlicht, dass mathematische Modellierung ein fortlaufender Prozess ist. Modelle werden entwickelt, überprüft, mit realen Daten verglichen und anschließend verbessert. Dabei existiert häufig nicht nur ein einziges richtiges Modell. Unterschiedliche Modellannahmen führen zu unterschiedlichen mathematischen Beschreibungen derselben Realität. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * erheben, dokumentieren und strukturieren reale Daten aus ihrer Lebenswelt. * stellen Daten tabellarisch und grafisch dar. * nutzen digitale Werkzeuge wie LibreOffice Calc und GeoGebra zur Auswertung und Visualisierung von Daten. * interpretieren Tabellen, Diagramme und mathematische Graphen. * modellieren reale Situationen mithilfe mathematischer Darstellungen. * lernen die Grundidee kennen, dass Flächen unter Graphen zur Beschreibung von Gesamtmengen genutzt werden können. * approximieren Flächen mithilfe der Trapezregel und interpretieren die Ergebnisse im Sachzusammenhang. * entwickeln und begründen mathematische Modelle zur Beschreibung von Umweltbelastungen. * vergleichen mathematische Modelle mit realen Messdaten und reflektieren deren Aussagekraft. * erkennen Chancen und Grenzen mathematischer Modelle. * reflektieren Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität, Umweltbelastung und nachhaltiger Mobilität. * erwerben Kompetenzen im Umgang mit digitalen Datenquellen und statistischen Informationen. * erfahren Mathematik als Werkzeug zur Untersuchung gesellschaftlich relevanter Fragestellungen. == Didaktik und didaktische Reduktion == Das Projekt orientiert sich an einer lebensnahen Fragestellung aus dem unmittelbaren Umfeld der Schülerinnen und Schüler. Durch die eigenständige Verkehrszählung wird ein direkter Bezug zur Lebenswelt hergestellt. Die Lernenden erleben dabei, wie reale Daten erhoben, ausgewertet und zur Beschreibung komplexer Zusammenhänge genutzt werden können. Im Mittelpunkt der Unterrichtseinheit steht der mathematische Modellierungskreislauf. Ausgehend von einer realen Situation werden Daten erhoben, mathematisch beschrieben, ausgewertet und anschließend mit realen Messdaten verglichen. Die Schülerinnen und Schüler erfahren dadurch, dass mathematische Modelle nicht die Realität selbst darstellen, sondern vereinfachte Abbilder der Wirklichkeit sind. Die mathematische Komplexität wird durch mehrere didaktische Reduktionen angepasst. Die Verkehrsdichte wird zunächst anhand weniger Messzeitpunkte erfasst und auf Stundenwerte hochgerechnet. Zwischen den Messpunkten wird eine lineare Entwicklung angenommen. Die Fläche unter dem Graphen wird mithilfe der Trapezregel angenähert, sodass die Grundidee der Integralrechnung bereits eingeführt werden kann, ohne auf formale Integrale oder Grenzwertbetrachtungen zurückgreifen zu müssen. Auch die Modellierung der Feinstaubbelastung erfolgt bewusst vereinfacht. Anstatt reale Emissionsmodelle zu verwenden, werden ausgewählte Einflussgrößen wie Reifenabrieb, Bremsabrieb und Abgasemissionen durch Gewichtungsfaktoren beschrieben. Dadurch bleibt das Modell für die Zielgruppe verständlich und ermöglicht gleichzeitig eine fachlich begründete Diskussion über die getroffenen Annahmen. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen Modell und Realität. Durch die Gegenüberstellung der berechneten Ergebnisse mit realen Luftqualitätsdaten erkennen die Schülerinnen und Schüler, dass mathematische Modelle stets Grenzen besitzen und kontinuierlich überprüft und verbessert werden müssen. Dieser Schritt stellt einen zentralen Bestandteil mathematischer Modellierungsprozesse dar. Die Unterrichtseinheit verbindet mathematische Inhalte mit Fragestellungen aus Umweltbildung, Nachhaltigkeit und gesellschaftlicher Verantwortung. Dadurch wird Mathematik nicht nur als abstrakte Wissenschaft, sondern als Werkzeug zur Analyse und Bewertung realer Probleme erfahrbar. ==Quellennachweis== <references/> === Seiteninformation === Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung Kurs:Mathematische Modellbildung]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201 * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/Schadstoffbelastung%20Stadt/Sekundarstufe%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Sekundarstufe%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] 0nyogodtxe5u8zodcil1f8hmi97x0re 106 170344 1107431 1105451 2026-07-15T15:06:27Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1107431 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. === Bestimmung einer Interpolationsfunktion mithilfe eines linearen Gleichungssystems === Um die erhobenen Messwerte durch eine zusammenhängende Funktion zu beschreiben, wird zunächst eine Polynomfunktion bestimmt, die durch alle ausgewählten Messpunkte verläuft. Sind <math>n</math> Messpunkte :<math>P_1(x_1\mid y_1),\ P_2(x_2\mid y_2),\ldots,\ P_n(x_n\mid y_n)</math> gegeben, so kann ein Polynom vom Grad höchstens <math>n-1</math> angesetzt werden: :<math>p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}</math>. Da das Polynom durch alle Messpunkte verlaufen soll, müssen die Bedingungen :<math>p(x_i)=y_i</math> für alle <math>i=1,\ldots,n</math> erfüllt sein. Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten <math>a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}</math>: :<math> \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}. </math> Die Matrix auf der linken Seite wird als Vandermonde-Matrix bezeichnet. Sind die Zeitpunkte <math>x_1,\ldots,x_n</math> paarweise verschieden, besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Damit existiert genau ein Polynom vom Grad höchstens <math>n-1</math>, das durch alle vorgegebenen Messpunkte verläuft. Für die vorliegenden PM₂,₅-Messwerte werden die folgenden elf Punkte verwendet: :<math> \begin{aligned} P_1&=(2\mid4),& P_2&=(4\mid4),& P_3&=(6\mid7),\\ P_4&=(8\mid4),& P_5&=(10\mid3),& P_6&=(12\mid0),\\ P_7&=(14\mid1),& P_8&=(16\mid1),& P_9&=(18\mid1),\\ P_{10}&=(20\mid1),& P_{11}&=(22\mid4). \end{aligned} </math> Da elf Messpunkte vorliegen, wird ein Polynom vom Grad höchstens zehn angesetzt: :<math> p(t)=a_{10}t^{10}+a_9t^9+\ldots+a_1t+a_0. </math> Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem mit elf Gleichungen und elf unbekannten Koeffizienten. In Matrixschreibweise lautet dieses: :<math> \begin{pmatrix} 1&2&2^2&2^3&\cdots&2^{10}\\ 1&4&4^2&4^3&\cdots&4^{10}\\ 1&6&6^2&6^3&\cdots&6^{10}\\ 1&8&8^2&8^3&\cdots&8^{10}\\ 1&10&10^2&10^3&\cdots&10^{10}\\ 1&12&12^2&12^3&\cdots&12^{10}\\ 1&14&14^2&14^3&\cdots&14^{10}\\ 1&16&16^2&16^3&\cdots&16^{10}\\ 1&18&18^2&18^3&\cdots&18^{10}\\ 1&20&20^2&20^3&\cdots&20^{10}\\ 1&22&22^2&22^3&\cdots&22^{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ \vdots\\ a_{10} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 7\\ 4\\ 3\\ 0\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Aufgrund der Größe des Gleichungssystems wird dieses mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst. Dabei steht nicht die manuelle Durchführung des Gauß-Verfahrens im Vordergrund, sondern die mathematische Modellbildung: Aus den Messpunkten wird ein lineares Gleichungssystem aufgestellt, dessen Lösung die Koeffizienten der gesuchten Funktion liefert. Als Lösung ergibt sich das Interpolationspolynom :<math> \begin{aligned} p(t)=\;& \frac{31}{206438400}t^{10} -\frac{1129}{61931520}t^9 +\frac{9949}{10321920}t^8\\ &-\frac{75161}{2580480}t^7 +\frac{1022539}{1843200}t^6 -\frac{425431}{61440}t^5\\ &+\frac{4086459}{71680}t^4 -\frac{36692773}{120960}t^3\\ &+\frac{199135049}{201600}t^2 -\frac{2940767}{1680}t +1258. \end{aligned} </math> In Dezimalschreibweise lautet das Polynom näherungsweise :<math> \begin{aligned} p(t)\approx\;& 0{,}0000001502t^{10} -0{,}0000182298t^9 +0{,}000963868t^8\\ &-0{,}0291262t^7 +0{,}554872t^6 -6{,}92433t^5\\ &+57{,}0078t^4 -303{,}345t^3 +987{,}773t^2\\ &-1750{,}4565t +1258. \end{aligned} </math> Das Polynom erfüllt die Bedingungen :<math> \begin{aligned} p(2)&=4,& p(4)&=4,& p(6)&=7,\\ p(8)&=4,& p(10)&=3,& p(12)&=0,\\ p(14)&=1,& p(16)&=1,& p(18)&=1,\\ p(20)&=1,& p(22)&=4. \end{aligned} </math> Es verläuft damit exakt durch alle elf vorgegebenen Messpunkte. Die exakte Übereinstimmung mit den Messwerten bedeutet jedoch nicht automatisch, dass das Polynom die tatsächliche Entwicklung der PM₂,₅-Konzentration zwischen den Messzeitpunkten realistisch beschreibt. Gerade Polynome hohen Grades können zwischen den Stützstellen starke Schwankungen aufweisen. Dieses Verhalten wird im anschließenden Vergleich mit weiteren Interpolationsmodellen untersucht. === Vergleich verschiedener Interpolationsmodelle === Dieselben Messdaten können durch unterschiedliche mathematische Modelle beschrieben werden. Im Folgenden werden drei Möglichkeiten miteinander verglichen: * die stückweise lineare Interpolation, * das Interpolationspolynom zehnten Grades, * ein kubischer Spline. ==== Stückweise lineare Interpolation ==== Bei der stückweise linearen Interpolation werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dadurch entsteht ein Polygonzug, der alle Messpunkte durchläuft. Innerhalb jedes Zeitintervalls wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe linear verändert. Die lineare Interpolation beruht damit ausschließlich auf den benachbarten Messwerten und erzeugt zwischen ihnen keine zusätzlichen Extremstellen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Stückweise lineare Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.08.06.png|500px|zentriert|Stückweise lineare Interpolation der Messwerte.]] Ein Vorteil dieser Modellierung besteht in ihrer einfachen Nachvollziehbarkeit. Zudem entspricht die Fläche unter jedem linearen Abschnitt genau einer Trapezfläche. Damit bildet die stückweise lineare Interpolation die mathematische Grundlage der Trapezregel. Ein Nachteil besteht darin, dass sich die Steigung an den Messpunkten sprunghaft ändern kann. Der entstandene Graph ist zwar stetig, besitzt an den Übergangsstellen jedoch im Allgemeinen keine eindeutige Ableitung. ==== Interpolationspolynom ==== Bei der Polynominterpolation wird ein einziges Polynom bestimmt, das durch alle Messpunkte verläuft. Für die elf PM₂,₅-Messpunkte entsteht das zuvor bestimmte Polynom zehnten Grades. Der Vorteil dieses Modells besteht darin, dass eine einzige zusammenhängende und beliebig oft differenzierbare Funktionsgleichung vorliegt. Mit dieser können Funktionswerte, Ableitungen und Integrale direkt berechnet werden. Bei einer großen Anzahl von Messpunkten besitzt das Interpolationspolynom jedoch einen hohen Grad. Dadurch können zwischen den Messpunkten starke Schwankungen und zusätzliche Extremstellen auftreten, obwohl diese nicht durch Messwerte belegt sind. Das Polynom kann somit zwar alle Messpunkte exakt treffen, zwischen den Messpunkten aber einen für die reale Feinstaubentwicklung unplausiblen Verlauf annehmen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Interpolationspolynom zehnten Grades </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 17.04.56.png|500px|zentriert|Interpolationspolynom zehnten Grades durch alle PM₂,₅-Messpunkte.]] ==== Kubischer Spline ==== Ein kubischer Spline besteht nicht aus einem einzigen Polynom hohen Grades, sondern aus mehreren Polynomen dritten Grades. Für jedes Intervall zwischen zwei benachbarten Messzeitpunkten wird ein eigenes Teilpolynom bestimmt. Ein Spline besitzt damit die Form :<math> S(t)= \begin{cases} S_1(t),&t_1\leq t\leq t_2,\\ S_2(t),&t_2\leq t\leq t_3,\\ \vdots\\ S_{n-1}(t),&t_{n-1}\leq t\leq t_n. \end{cases} </math> Dabei sind die Teilfunktionen <math>S_i(t)</math> Polynome dritten Grades. Damit an den Übergangsstellen ein glatter Verlauf entsteht, werden Bedingungen an die Teilpolynome gestellt. An jeder inneren Stützstelle müssen * die Funktionswerte, * die ersten Ableitungen, * die zweiten Ableitungen der benachbarten Teilfunktionen übereinstimmen. Für eine innere Stützstelle <math>t_i</math> gilt daher: :<math>S_{i-1}(t_i)=S_i(t_i)</math>, :<math>S'_{i-1}(t_i)=S'_i(t_i)</math> und :<math>S''_{i-1}(t_i)=S''_i(t_i)</math>. Zusätzlich werden Randbedingungen benötigt. Bei einem natürlichen kubischen Spline wird beispielsweise angenommen, dass die zweiten Ableitungen an den Randpunkten verschwinden: :<math>S''(t_1)=0</math> und :<math>S''(t_n)=0</math>. Die Koeffizienten der einzelnen Teilpolynome können ebenfalls mithilfe eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Aufgrund der großen Anzahl unbekannter Koeffizienten wird auch dieses Gleichungssystem mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Kubische Spline-Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.09.44.png|500px|zentriert|Kubische Spline-Interpolation der Messwerte.]] Der Spline verläuft durch alle Messpunkte und besitzt gleichzeitig einen glatten Verlauf. Da sich eine Änderung eines Messwertes hauptsächlich auf die benachbarten Teilintervalle auswirkt, reagiert der Spline lokaler als ein einziges Interpolationspolynom hohen Grades. Allerdings beruht auch der Verlauf des Splines zwischen den Messpunkten auf Modellannahmen. Die glatte Kurve darf daher nicht als tatsächlich gemessener Verlauf interpretiert werden. ==== Gegenüberstellung der Modelle ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich der Interpolationsmodelle |- ! Modell !! Vorteile !! Nachteile |- | Stückweise lineare Interpolation | einfache Berechnung; gut nachvollziehbar; keine zusätzlichen Schwingungen; Grundlage der Trapezregel | nicht glatt; sprunghafte Änderung der Steigung an den Stützstellen |- | Interpolationspolynom zehnten Grades | eine einzige Funktionsgleichung; verläuft exakt durch alle Messpunkte; beliebig oft differenzierbar | hoher Polynomgrad; mögliche starke Schwankungen und zusätzliche Extremstellen zwischen den Messpunkten |- | Kubischer Spline | glatter Verlauf; lokale Anpassung; meist geringere Schwankungen als ein Polynom hohen Grades | abschnittsweise definierte Funktion; aufwendigere Bestimmung; zusätzliche Randbedingungen erforderlich |} Alle drei Modelle verlaufen durch die vorgegebenen Messpunkte, beruhen zwischen den Messzeitpunkten jedoch auf unterschiedlichen Annahmen. Die stückweise lineare Interpolation nimmt eine konstante Änderungsrate zwischen zwei benachbarten Messpunkten an. Das Interpolationspolynom beschreibt alle Messpunkte durch eine einzige Funktion hohen Grades. Der kubische Spline setzt dagegen mehrere Polynome dritten Grades abschnittsweise zusammen. Die Wahl der Interpolationsmethode beeinflusst nicht nur den Verlauf des Graphen, sondern auch die Fläche unter dem Graphen und damit die berechnete zeitintegrierte Feinstaubbelastung. Für die weiteren Untersuchungen werden daher * die stückweise lineare Interpolation, * das Interpolationspolynom zehnten Grades und * der kubische Spline hinsichtlich ihres Verlaufs und ihrer Integrale miteinander verglichen. Dadurch wird sichtbar, welchen Einfluss die Wahl des mathematischen Modells auf das Ergebnis der Modellierung besitzt. === Bestimmung einer Interpolationsfunktion mithilfe eines linearen Gleichungssystems === Um die erhobenen Messwerte durch eine zusammenhängende Funktion zu beschreiben, wird zunächst eine Polynomfunktion bestimmt, die durch alle ausgewählten Messpunkte verläuft. Sind n Messpunkte :<math>P_1(x_1\mid y_1),\ P_2(x_2\mid y_2),\ldots,\ P_n(x_n\mid y_n)</math> gegeben, so kann ein Polynom vom Grad höchstens <math>n-1</math> angesetzt werden: :<math>p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}</math>. Da das Polynom durch alle Messpunkte verlaufen soll, müssen die Bedingungen :<math>p(x_i)=y_i</math> für alle <math>i=1,\ldots,n</math> erfüllt sein. Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten <math>a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}</math>: :<math> \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}. </math> Die Matrix auf der linken Seite wird als Vandermonde-Matrix bezeichnet. Sind die Zeitpunkte <math>x_1,\ldots,x_n</math> paarweise verschieden, besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Damit existiert genau ein Polynom vom Grad höchstens <math>n-1</math>, das durch alle vorgegebenen Messpunkte verläuft. Das lineare Gleichungssystem kann aufgrund seiner Größe mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst werden. Dabei steht nicht die manuelle Durchführung des Gauß-Verfahrens im Vordergrund, sondern die mathematische Modellbildung: Aus den Messpunkten wird ein geeignetes Gleichungssystem aufgestellt, dessen Lösung die Koeffizienten der gesuchten Funktion liefert. === Vergleich von linearem Graphen und Spline === Die Messpunkte können auf unterschiedliche Weise miteinander verbunden werden. In GeoGebra werden im Folgenden zwei verschiedene Modellierungen betrachtet: ein stückweise linearer Graph (Polygonzug) sowie ein Spline. Beim linearen Graphen werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dabei wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe zwischen zwei Messzeitpunkten näherungsweise linear verändert. Diese Annahme entspricht dem Vorgehen in der Sekundarstufe 1 und bildet gleichzeitig die Grundlage der Trapezregel. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Stückweise lineare Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.08.06.png|500px|zentriert|linearer Interpolation]] Alternativ können die Messpunkte durch einen Spline verbunden werden. Dabei handelt es sich um eine glatte Interpolationskurve, die durch alle Messpunkte verläuft. Zwischen den Messpunkten entstehen jedoch Verläufe, die nicht direkt durch die Messdaten vorgegeben sind. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Spline-Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.09.44.png|500px|zentriert|Spline-Interpolation]] Beide Darstellungen beschreiben dieselben Messdaten, beruhen jedoch auf unterschiedlichen Annahmen. Während der lineare Graph ausschließlich die gemessenen Werte miteinander verbindet, erzeugt der Spline einen glatten Verlauf zwischen den Messpunkten. Dadurch können Bereiche entstehen, in denen die Kurve zwischen zwei Messpunkten deutlich von einem linearen Verlauf abweicht. Die Schülerinnen und Schüler vergleichen beide Modellierungen und diskutieren deren Vor- und Nachteile. Dabei erkennen sie, dass unterschiedliche mathematische Modelle dieselben Messdaten verschieden beschreiben können und dass die Wahl des Modells einen Einfluss auf die weitere Auswertung besitzt. Für die folgenden Berechnungen wird die stückweise lineare Interpolation verwendet. Sie beruht ausschließlich auf den gemessenen Daten und setzt zwischen zwei Messpunkten lediglich eine lineare Veränderung voraus. Außerdem bildet sie die mathematische Grundlage der Trapezregel, die im weiteren Verlauf zur näherungsweisen Berechnung der Fläche unter dem Graphen verwendet wird. === Vergleich verschiedener Interpolationsmodelle === Dieselben Messdaten können durch unterschiedliche mathematische Modelle beschrieben werden. Im Folgenden werden eine stückweise lineare Interpolation, ein Interpolationspolynom und ein kubischer Spline miteinander verglichen. Bei der stückweise linearen Interpolation werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dadurch entsteht ein Polygonzug, der alle Messpunkte durchläuft. Innerhalb jedes Zeitintervalls wird eine lineare Veränderung angenommen. An den Messpunkten kann sich jedoch die Steigung sprunghaft ändern. Bei der Polynominterpolation wird ein einziges Polynom bestimmt, das durch alle ausgewählten Messpunkte verläuft. Für n Messpunkte wird dazu ein Polynom vom Grad höchstens n-1 angesetzt. Die Koeffizienten werden mithilfe eines linearen Gleichungssystems bestimmt. Das Modell liefert eine zusammenhängende und differenzierbare Funktion. Bei einer großen Anzahl von Messpunkten können jedoch starke Schwankungen zwischen den Messpunkten auftreten. Ein Spline besteht dagegen aus mehreren Polynomen, die abschnittsweise definiert werden. Häufig werden Polynome dritten Grades verwendet. An den Übergangsstellen stimmen nicht nur die Funktionswerte, sondern auch die ersten und zweiten Ableitungen überein. Dadurch entsteht ein glatter Verlauf, ohne dass ein einziges Polynom sehr hohen Grades verwendet werden muss. Alle drei Modelle verlaufen durch die vorgegebenen Messpunkte, beruhen zwischen den Messzeitpunkten jedoch auf unterschiedlichen Annahmen. Die Wahl der Interpolationsmethode beeinflusst daher sowohl den Verlauf der Funktion als auch den Wert des anschließend berechneten Integrals. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich der Interpolationsmodelle |- ! Modell !! Vorteile !! Nachteile |- | Stückweise lineare Interpolation | einfach, gut nachvollziehbar, Grundlage der Trapezregel | nicht glatt, sprunghafte Änderung der Steigung |- | Interpolationspolynom | eine einzige Funktionsgleichung, Bestimmung durch ein LGS | bei vielen Punkten hoher Grad und mögliche starke Schwankungen |- | Kubischer Spline | glatter Verlauf, lokale Anpassung, meist geringere Schwankungen | mathematisch und rechnerisch aufwendiger |} Für die weiteren Untersuchungen werden sowohl das Interpolationspolynom als auch der kubische Spline betrachtet. Die Funktionen werden mithilfe eines digitalen Werkzeugs bestimmt und anschließend hinsichtlich ihres Verlaufs und ihrer Integrale verglichen. Dadurch wird untersucht, welchen Einfluss die Wahl des mathematischen Modells auf die berechnete Gesamtbelastung besitzt. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === In der Sekundarstufe 1 wurde die Gesamtzahl der Fahrzeuge näherungsweise mithilfe der Trapezregel bestimmt. Dabei wurde die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe von Trapezflächen angenähert. In der Sekundarstufe 2 wird diese Idee weiterentwickelt. Anstelle einer Näherung wird nun das bestimmte Integral als mathematische Beschreibung der Fläche unter dem Graphen verwendet. Ist <math>V(t)</math> das Verkehrsaufkommen in Fahrzeugen pro Stunde zum Zeitpunkt t, so beschreibt :<math>\int_a^b V(t),\mathrm dt</math> die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum <math>[a,b]</math>. Analog beschreibt :<math>\int_a^b L(t),\mathrm dt</math> die gesamte PM₂,₅-Belastung innerhalb desselben Zeitraums. Wie bereits in der Sekundarstufe 1 ergibt sich die Einheit aus dem Produkt der Einheiten auf den beiden Achsen. Für das Verkehrsaufkommen gilt :<math>\frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm{h}}\cdot\mathrm h=\mathrm{Fahrzeuge}</math>. Das Integral liefert somit die Gesamtzahl der Fahrzeuge im betrachteten Zeitraum. Für die PM₂,₅-Konzentration ergibt sich entsprechend :<math>\frac{\mu\mathrm g}{\mathrm m^3}\cdot\mathrm h =\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}</math>. Diese Größe beschreibt die über den betrachteten Zeitraum aufsummierte Feinstaubbelastung und wird häufig als zeitintegrierte Konzentration bezeichnet. Das bestimmte Integral stellt somit eine Verallgemeinerung der Flächenberechnung aus der Sekundarstufe 1 dar und ermöglicht eine mathematisch exakte Beschreibung von Gesamtgrößen. ==Sekundarstufe 2== ==Übersicht== * Überblick * Projektidee * Mathematische Idee * Durchführung ** Datenerhebung ** Auswertung mit LibreOffice Calc ** Darstellung der Messwerte in GeoGebra ** Modellierung von Verkehrs- und Luftbelastung ** Integral als Maß für die Gesamtbelastung ** Vergleich von Trapezregel und Integral * Modellkritik * Didaktische Reduktion * Kompetenzen und Lernziele == Projektidee == Im zweiten Modellierungszyklus wird die Fragestellung aus der Sekundarstufe 1 erweitert. Neben dem Verkehrsaufkommen wird nun auch die tatsächliche Luftbelastung betrachtet. Ziel ist es zu untersuchen, inwieweit ein Zusammenhang zwischen Verkehr und Luftqualität besteht. Hierzu werden Verkehrsdaten und Luftqualitätsdaten (z. B. PM2.5, PM10 oder AQI) über einen längeren Zeitraum erhoben oder aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen. Die Daten werden grafisch dargestellt und anschließend mathematisch modelliert. Während in der Sekundarstufe 1 die Verkehrsbelastung mithilfe von Trapezflächen abgeschätzt wurde, wird nun der Integralbegriff eingeführt. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass das Integral als Grenzwert immer feinerer Flächenzerlegungen verstanden werden kann. == Mathematische Idee == Es werden zwei zeitabhängige Größen betrachtet: Verkehrsaufkommen: <math>V(t)</math> Luftbelastung: <math>L(t)</math> Dabei beschreibt t die Zeit. Die gesamte Verkehrsbelastung ergibt sich näherungsweise aus der Fläche unter dem Graphen von V(t). Analog beschreibt die Fläche unter dem Graphen von L(t) die gesamte Luftbelastung im betrachteten Zeitraum. Die Integrale :<math>\int_a^b V(t) dt</math> und :<math>\int_a^b L(t) dt</math> beschreiben somit die gesamte Verkehrs- bzw. Luftbelastung im Zeitraum <math>[a,b]</math>. == Durchführung == Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit realen Verkehrsdaten sowie Luftqualitätsdaten aus öffentlich zugänglichen Quellen. Die Daten werden zunächst in LibreOffice Calc aufbereitet und grafisch dargestellt. Anschließend werden die Daten in GeoGebra importiert und als Funktionen modelliert. === Datenerhebung === * Verkehrsdaten * PM2.5-Werte * PM10-Werte * Air Quality Index (AQI) Es wurden hier im Beispiel die Werte ''Feinstaub (PM₂,₅) Ein-Stunden-Mittelwert in µg/m³'' der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet <ref name="UBA">Umweltbundesamt: Luftdaten. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref>. Zusätzlich wurden fiktive Verkehrsdaten erhoben. Dabei wird angenommen, dass jeweils 15 Minuten lang der Verkehr gezählt wurde. Um die Daten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die Verkehrsdaten anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Hochrechnung auf Stundenwerte ==== Um die Verkehrsdaten mit den stündlichen PM₂,₅-Mittelwerten vergleichen zu können, werden die gezählten Fahrzeuge auf eine Stunde hochgerechnet. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} ==== Darstellung in LibreOffice Calc ==== Die hochgerechneten Verkehrsdaten und die PM₂,₅-Werte werden anschließend gemeinsam in einem Liniendiagramm dargestellt. Da die beiden Größen unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Diagramm Verkehr und PM2,5 </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Dadurch können Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar gemacht werden. Insbesondere können Spitzenwerte (Peaks) identifiziert und mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehr und Luftqualität untersucht werden. === Darstellung in GeoGebra === Die Messwerte werden als Punkte dargestellt und anschließend durch geeignete Funktionen angenähert. Dadurch entstehen die Funktionen :<math>V(t)</math> und :<math>L(t)</math>. Die Graphen können gemeinsam dargestellt werden, um mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung sichtbar zu machen. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> s22zrgqzzfxes3b0y0ychpfigdytri3 1107437 1107431 2026-07-15T15:14:29Z Patrick Rutz 41567 /* Sekundarstufe 2 */ 1107437 wikitext text/x-wiki =Sekundarstufe 2= ==Gliederung== == Analyse der Verkehrssituation == Ausgangspunkt der Modellierung ist die Betrachtung einer beispielhaften Kreuzung. Diese stellt eine reale Verkehrssituation dar, wie sie in vielen Städten vorkommt. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung </div> [[Datei:Modell Straße.jpg|800px|zentriert|Beispiel einer innerstädtischen Kreuzung mit verschiedenen Einflussfaktoren auf die Luftqualität.]] Bei der Betrachtung der Kreuzung wird deutlich, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Einige dieser Faktoren sind direkt mit dem Verkehr verbunden, andere wirken sich nur indirekt auf die Schadstoffbelastung aus. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Mögliche Einflussgrößen auf die Luftqualität |- ! Beobachtung !! Möglicher Einfluss |- | Hauptstraße || hohes Verkehrsaufkommen |- | Ampel || häufiges Anfahren und Bremsen |- | Bushaltestelle || haltende Busse |- | LKW || höherer Kraftstoffverbrauch und stärkerer Reifenabrieb |- | Baustelle || Staubentwicklung und Baustellenfahrzeuge |- | Supermarkt || zusätzlicher Verkehr |- | Wohngebiet || schutzbedürftiger Bereich |- | Bäume || mögliche Filterung von Feinstaub |- |} Bereits diese Übersicht zeigt, dass die Luftqualität von einer Vielzahl unterschiedlicher Einflussgrößen abhängt. Ein mathematisches Modell kann jedoch nicht alle Faktoren gleichzeitig berücksichtigen. Daher müssen zunächst diejenigen Einflussgrößen ausgewählt werden, die für die Fragestellung besonders relevant erscheinen und eine hohe Gewichtung bzw. hohen Einfluss haben. Im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit entwickeln die Schülerinnen und Schüler schrittweise ein mathematisches Modell. Dabei diskutieren sie, welche Einflussgrößen berücksichtigt werden sollten, welche zunächst vernachlässigt werden können und wie sich diese Entscheidungen auf die Aussagekraft des Modells auswirken. == Modellvereinfachung == Die Analyse der Kreuzung hat gezeigt, dass zahlreiche Faktoren die Luftqualität beeinflussen können. Ein mathematisches Modell sollte die Realität möglichst gut beschreiben, gleichzeitig aber auch überschaubar und berechenbar bleiben. Daher ist es notwendig, die reale Situation zu vereinfachen. Im Rahmen der mathematischen Modellierung werden deshalb zunächst nur diejenigen Einflussgrößen betrachtet, die einen direkten Zusammenhang mit der Fragestellung besitzen. Andere Faktoren werden bewusst ausgeblendet und können später zur Verbesserung des Modells ergänzt werden. Im Gegensatz zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird dabei zunächst nicht zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen unterschieden. Stattdessen werden alle vorbeifahrenden Fahrzeuge gemeinsam erfasst. Ziel des ersten Modells ist es, einen möglichen Zusammenhang zwischen dem gesamten Verkehrsaufkommen und der gemessenen PM₂,₅-Konzentration zu untersuchen. Die Unterscheidung verschiedener Fahrzeugarten könnte in einem erweiterten Modell als zusätzlicher Einflussfaktor berücksichtigt werden. Für das erste Modell werden daher folgende Annahmen getroffen: * Das gesamte Verkehrsaufkommen wird als wichtigste Einflussgröße betrachtet. * Die Luftbelastung wird durch die gemessene PM₂,₅-Konzentration beschrieben. * Alle Fahrzeugarten werden gemeinsam erfasst. * Alle übrigen Einflussgrößen bleiben zunächst unberücksichtigt. Die folgende Tabelle fasst zusammen, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Berücksichtigung der Einflussgrößen im ersten Modell |- ! Einflussgröße !! Berücksichtigung |- | Verkehrsaufkommen || Ja |- | PM₂,₅-Konzentration || Ja |- |- ! colspan="2" | Zunächst nicht berücksichtigt |- | Unterscheidung zwischen Verbrennern und Elektrofahrzeugen || Nein |- | Fahrzeugarten (PKW, LKW, Busse usw.) || Nein |- | Windrichtung und Windgeschwindigkeit || Nein |- | Niederschlag || Nein |- | Temperatur || Nein |- | Topographie || Nein |- | Industrie || Nein |- | Baustellen || Nein |- | Bäume und Vegetation || Nein |} Durch diese Vereinfachung entsteht ein erstes mathematisches Modell, das den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung untersucht. Die nicht berücksichtigten Einflussgrößen werden im weiteren Verlauf der Unterrichtseinheit erneut aufgegriffen und im Rahmen der Modellkritik diskutiert. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle immer auf Annahmen beruhen und die Realität bewusst vereinfachen. Erst durch den Vergleich mit realen Messdaten kann beurteilt werden, ob die getroffenen Annahmen sinnvoll sind oder das Modell erweitert werden muss. == Datenerhebung == Nachdem festgelegt wurde, welche Einflussgrößen im ersten Modell berücksichtigt werden, müssen geeignete Daten erhoben werden. Zur Untersuchung eines möglichen Zusammenhangs zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung werden zwei Datensätze benötigt: * Verkehrsdaten * Luftqualitätsdaten (PM₂,₅) Die Verkehrsdaten werden durch eine Verkehrszählung an einer ausgewählten Straße oder Kreuzung erhoben. Analog zur Unterrichtseinheit der Sekundarstufe 1 wird der Verkehr innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten gezählt und anschließend auf Stundenwerte hochgerechnet. Die Luftqualitätsdaten stammen aus öffentlich zugänglichen Messdaten des Umweltbundesamtes. Verwendet werden die einstündigen Mittelwerte der PM₂,₅-Konzentration einer Messstation. Durch die Verwendung offizieller Messdaten können die Schülerinnen und Schüler ihr mathematisches Modell später mit realen Umweltmessungen vergleichen. Für das folgende Beispiel wurden die PM₂,₅-Ein-Stunden-Mittelwerte der Messstation Speyer-Nord (DERP053) vom 11.06.2026 verwendet.<ref>Umweltbundesamt: ‘‘Luftdaten’’. Verfügbar unter: https://www.umweltbundesamt.de/daten/luft/luftdaten (abgerufen am 18.06.2026).</ref> Die erhobenen Verkehrsdaten sowie die PM₂,₅-Messwerte werden anschließend tabellarisch gegenübergestellt und dienen als Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. ==== PM₂,₅-Daten der Messstation ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Feinstaubbelastung (PM₂,₅) |- ! Uhrzeit !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 |- | 06:00–07:00 || 7 |- | 08:00–09:00 || 4 |- | 10:00–11:00 || 3 |- | 12:00–13:00 || 0 |- | 14:00–15:00 || 1 |- | 16:00–17:00 || 1 |- | 18:00–19:00 || 1 |- | 20:00–21:00 || 1 |- | 22:00–23:00 || 4 |- | 00:00–01:00 || 5 |} ==== Verkehrszählung (15 Minuten) ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Verkehrszählung |- ! Uhrzeit !! Fahrzeuge in 15 Minuten |- | 02:00–02:15 || 2 |- | 04:00–04:15 || 1 |- | 06:00–06:15 || 12 |- | 08:00–08:15 || 25 |- | 10:00–10:15 || 14 |- | 12:00–12:15 || 10 |- | 14:00–14:15 || 12 |- | 16:00–16:15 || 22 |- | 18:00–18:15 || 18 |- | 20:00–20:15 || 8 |- | 22:00–22:15 || 4 |} ==== Zusammenführung der Daten ==== Damit die Verkehrsdaten mit den PM₂,₅-Messwerten verglichen werden können, müssen beide Datensätze dieselbe zeitliche Auflösung besitzen. Während die PM₂,₅-Werte bereits als stündliche Mittelwerte vorliegen, wird das Verkehrsaufkommen zunächst innerhalb eines Zeitraums von 15 Minuten erfasst und anschließend auf eine Stunde hochgerechnet. Dabei wird angenommen, dass sich das Verkehrsaufkommen innerhalb der jeweiligen Stunde näherungsweise gleichmäßig verhält. Da eine Stunde aus vier Zeitintervallen zu je 15 Minuten besteht, wird jeder Messwert mit dem Faktor 4 multipliziert. Die folgende Tabelle stellt anschließend die hochgerechneten Verkehrsdaten und die zugehörigen PM₂,₅-Messwerte gegenüber und bildet die Grundlage für die weitere mathematische Modellierung. {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich von Verkehrsaufkommen und Luftbelastung |- ! Uhrzeit !! Verkehr pro Stunde !! PM₂,₅ [µg/m³] |- | 02:00–03:00 || 8 || 4 |- | 04:00–05:00 || 4 || 4 |- | 06:00–07:00 || 48 || 7 |- | 08:00–09:00 || 100 || 4 |- | 10:00–11:00 || 56 || 3 |- | 12:00–13:00 || 40 || 0 |- | 14:00–15:00 || 48 || 1 |- | 16:00–17:00 || 88 || 1 |- | 18:00–19:00 || 72 || 1 |- | 20:00–21:00 || 32 || 1 |- | 22:00–23:00 || 16 || 4 |} Die Schülerinnen und Schüler vergleichen zunächst die beiden Datensätze und untersuchen, ob sich bereits anhand der Tabellen mögliche Zusammenhänge zwischen Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration erkennen lassen. Dabei können beispielsweise folgende Fragestellungen bearbeitet werden: * Gibt es Zeitpunkte, an denen ein hohes Verkehrsaufkommen mit einer hohen PM₂,₅-Konzentration zusammenfällt? * Fallen Zeitpunkte auf, an denen trotz hohen Verkehrsaufkommens nur geringe PM₂,₅-Werte gemessen wurden? * Welche Ursachen könnten mögliche Abweichungen erklären? * Welche weiteren Einflussgrößen könnten neben dem Verkehrsaufkommen die Luftqualität beeinflussen? Die Ergebnisse dieser ersten Analyse dienen als Grundlage für die anschließende grafische Darstellung und die mathematische Modellierung. ==Grafische Darstellung der Messdaten== === Auswertung mit LibreOffice Calc === Im nächsten Schritt werden die zusammengeführten Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte in LibreOffice Calc übertragen. Mithilfe eines Liniendiagramms werden beide Datensätze gemeinsam dargestellt. Da das Verkehrsaufkommen und die PM₂,₅-Konzentration unterschiedliche Größenordnungen besitzen, wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet. Dadurch können beide Datensätze in einem gemeinsamen Diagramm dargestellt und miteinander verglichen werden. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Vergleich von Verkehrsaufkommen und PM₂,₅-Konzentration </div> [[Datei:Sek2 Tabelle.png|500px|zentriert|Diagramm Verkehr und PM2,5]] Durch die grafische Darstellung lassen sich zeitliche Verläufe leichter erkennen als anhand einer Tabelle. Die Schülerinnen und Schüler untersuchen insbesondere, * ob hohe Verkehrswerte mit hohen PM₂,₅-Werten zusammenfallen, * ob zeitliche Verzögerungen zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung auftreten, * ob einzelne Messwerte deutlich vom allgemeinen Verlauf abweichen. Die Ergebnisse werden anschließend diskutiert. Dabei zeigt sich häufig, dass das Verkehrsaufkommen zwar einen Einfluss auf die Luftqualität besitzt, die gemessenen PM₂,₅-Werte jedoch nicht ausschließlich durch den Verkehr erklärt werden können. Diese Beobachtung bildet die Grundlage für die anschließende mathematische Modellierung. === Darstellung der Messdaten in GeoGebra === Nachdem die Verkehrsdaten und PM₂,₅-Messwerte grafisch dargestellt wurden, werden sie in GeoGebra übertragen. Dort werden beide Datensätze zunächst als Punktwolken in ein gemeinsames Koordinatensystem eingetragen. Die x-Achse beschreibt die Uhrzeit, während auf den y-Achsen das Verkehrsaufkommen beziehungsweise die PM₂,₅-Konzentration dargestellt werden. Analog zur Darstellung in LibreOffice Calc wird für die PM₂,₅-Werte eine zweite y-Achse verwendet, sodass beide Datensätze gemeinsam betrachtet werden können. Durch die Darstellung in GeoGebra können die zeitlichen Verläufe genauer untersucht und verschiedene mathematische Modellierungen miteinander verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dabei, dass dieselben Messdaten durch unterschiedliche Funktionen beschrieben werden können. Im nächsten Schritt werden daher verschiedene Möglichkeiten betrachtet, die Messpunkte miteinander zu verbinden. === Bestimmung einer Interpolationsfunktion mithilfe eines linearen Gleichungssystems === Um die erhobenen Messwerte durch eine zusammenhängende Funktion zu beschreiben, wird zunächst eine Polynomfunktion bestimmt, die durch alle ausgewählten Messpunkte verläuft. Sind <math>n</math> Messpunkte :<math>P_1(x_1\mid y_1),\ P_2(x_2\mid y_2),\ldots,\ P_n(x_n\mid y_n)</math> gegeben, so kann ein Polynom vom Grad höchstens <math>n-1</math> angesetzt werden: :<math>p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_{n-1}x^{n-1}</math>. Da das Polynom durch alle Messpunkte verlaufen soll, müssen die Bedingungen :<math>p(x_i)=y_i</math> für alle <math>i=1,\ldots,n</math> erfüllt sein. Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Koeffizienten <math>a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}</math>: :<math> \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ \vdots\\ a_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{pmatrix}. </math> Die Matrix auf der linken Seite wird als Vandermonde-Matrix bezeichnet. Sind die Zeitpunkte <math>x_1,\ldots,x_n</math> paarweise verschieden, besitzt das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung. Damit existiert genau ein Polynom vom Grad höchstens <math>n-1</math>, das durch alle vorgegebenen Messpunkte verläuft. Für die vorliegenden PM₂,₅-Messwerte werden die folgenden elf Punkte verwendet: :<math> \begin{aligned} P_1&=(2\mid4),& P_2&=(4\mid4),& P_3&=(6\mid7),\\ P_4&=(8\mid4),& P_5&=(10\mid3),& P_6&=(12\mid0),\\ P_7&=(14\mid1),& P_8&=(16\mid1),& P_9&=(18\mid1),\\ P_{10}&=(20\mid1),& P_{11}&=(22\mid4). \end{aligned} </math> Da elf Messpunkte vorliegen, wird ein Polynom vom Grad höchstens zehn angesetzt: :<math> p(t)=a_{10}t^{10}+a_9t^9+\ldots+a_1t+a_0. </math> Durch das Einsetzen der Messpunkte entsteht ein lineares Gleichungssystem mit elf Gleichungen und elf unbekannten Koeffizienten. In Matrixschreibweise lautet dieses: :<math> \begin{pmatrix} 1&2&2^2&2^3&\cdots&2^{10}\\ 1&4&4^2&4^3&\cdots&4^{10}\\ 1&6&6^2&6^3&\cdots&6^{10}\\ 1&8&8^2&8^3&\cdots&8^{10}\\ 1&10&10^2&10^3&\cdots&10^{10}\\ 1&12&12^2&12^3&\cdots&12^{10}\\ 1&14&14^2&14^3&\cdots&14^{10}\\ 1&16&16^2&16^3&\cdots&16^{10}\\ 1&18&18^2&18^3&\cdots&18^{10}\\ 1&20&20^2&20^3&\cdots&20^{10}\\ 1&22&22^2&22^3&\cdots&22^{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\\ \vdots\\ a_{10} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 7\\ 4\\ 3\\ 0\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Aufgrund der Größe des Gleichungssystems wird dieses mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst. Dabei steht nicht die manuelle Durchführung des Gauß-Verfahrens im Vordergrund, sondern die mathematische Modellbildung: Aus den Messpunkten wird ein lineares Gleichungssystem aufgestellt, dessen Lösung die Koeffizienten der gesuchten Funktion liefert. Als Lösung ergibt sich das Interpolationspolynom :<math> \begin{aligned} p(t)=\;& \frac{31}{206438400}t^{10} -\frac{1129}{61931520}t^9 +\frac{9949}{10321920}t^8\\ &-\frac{75161}{2580480}t^7 +\frac{1022539}{1843200}t^6 -\frac{425431}{61440}t^5\\ &+\frac{4086459}{71680}t^4 -\frac{36692773}{120960}t^3\\ &+\frac{199135049}{201600}t^2 -\frac{2940767}{1680}t +1258. \end{aligned} </math> In Dezimalschreibweise lautet das Polynom näherungsweise :<math> \begin{aligned} p(t)\approx\;& 0{,}0000001502t^{10} -0{,}0000182298t^9 +0{,}000963868t^8\\ &-0{,}0291262t^7 +0{,}554872t^6 -6{,}92433t^5\\ &+57{,}0078t^4 -303{,}345t^3 +987{,}773t^2\\ &-1750{,}4565t +1258. \end{aligned} </math> Das Polynom erfüllt die Bedingungen :<math> \begin{aligned} p(2)&=4,& p(4)&=4,& p(6)&=7,\\ p(8)&=4,& p(10)&=3,& p(12)&=0,\\ p(14)&=1,& p(16)&=1,& p(18)&=1,\\ p(20)&=1,& p(22)&=4. \end{aligned} </math> Es verläuft damit exakt durch alle elf vorgegebenen Messpunkte. Die exakte Übereinstimmung mit den Messwerten bedeutet jedoch nicht automatisch, dass das Polynom die tatsächliche Entwicklung der PM₂,₅-Konzentration zwischen den Messzeitpunkten realistisch beschreibt. Gerade Polynome hohen Grades können zwischen den Stützstellen starke Schwankungen aufweisen. Dieses Verhalten wird im anschließenden Vergleich mit weiteren Interpolationsmodellen untersucht. === Vergleich verschiedener Interpolationsmodelle === Dieselben Messdaten können durch unterschiedliche mathematische Modelle beschrieben werden. Im Folgenden werden drei Möglichkeiten miteinander verglichen: * die stückweise lineare Interpolation, * das Interpolationspolynom zehnten Grades, * ein kubischer Spline. ==== Stückweise lineare Interpolation ==== Bei der stückweise linearen Interpolation werden jeweils zwei benachbarte Messpunkte durch eine Gerade verbunden. Dadurch entsteht ein Polygonzug, der alle Messpunkte durchläuft. Innerhalb jedes Zeitintervalls wird angenommen, dass sich die betrachtete Größe linear verändert. Die lineare Interpolation beruht damit ausschließlich auf den benachbarten Messwerten und erzeugt zwischen ihnen keine zusätzlichen Extremstellen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Stückweise lineare Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.08.06.png|500px|zentriert|Stückweise lineare Interpolation der Messwerte.]] Ein Vorteil dieser Modellierung besteht in ihrer einfachen Nachvollziehbarkeit. Zudem entspricht die Fläche unter jedem linearen Abschnitt genau einer Trapezfläche. Damit bildet die stückweise lineare Interpolation die mathematische Grundlage der Trapezregel. Ein Nachteil besteht darin, dass sich die Steigung an den Messpunkten sprunghaft ändern kann. Der entstandene Graph ist zwar stetig, besitzt an den Übergangsstellen jedoch im Allgemeinen keine eindeutige Ableitung. ==== Interpolationspolynom ==== Bei der Polynominterpolation wird ein einziges Polynom bestimmt, das durch alle Messpunkte verläuft. Für die elf PM₂,₅-Messpunkte entsteht das zuvor bestimmte Polynom zehnten Grades. Der Vorteil dieses Modells besteht darin, dass eine einzige zusammenhängende und beliebig oft differenzierbare Funktionsgleichung vorliegt. Mit dieser können Funktionswerte, Ableitungen und Integrale direkt berechnet werden. Bei einer großen Anzahl von Messpunkten besitzt das Interpolationspolynom jedoch einen hohen Grad. Dadurch können zwischen den Messpunkten starke Schwankungen und zusätzliche Extremstellen auftreten, obwohl diese nicht durch Messwerte belegt sind. Das Polynom kann somit zwar alle Messpunkte exakt treffen, zwischen den Messpunkten aber einen für die reale Feinstaubentwicklung unplausiblen Verlauf annehmen. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Interpolationspolynom zehnten Grades </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 17.04.56.png|500px|zentriert|Interpolationspolynom zehnten Grades durch alle PM₂,₅-Messpunkte.]] ==== Kubischer Spline ==== Ein kubischer Spline besteht nicht aus einem einzigen Polynom hohen Grades, sondern aus mehreren Polynomen dritten Grades. Für jedes Intervall zwischen zwei benachbarten Messzeitpunkten wird ein eigenes Teilpolynom bestimmt. Ein Spline besitzt damit die Form :<math> S(t)= \begin{cases} S_1(t),&t_1\leq t\leq t_2,\\ S_2(t),&t_2\leq t\leq t_3,\\ \vdots\\ S_{n-1}(t),&t_{n-1}\leq t\leq t_n. \end{cases} </math> Dabei sind die Teilfunktionen <math>S_i(t)</math> Polynome dritten Grades. Damit an den Übergangsstellen ein glatter Verlauf entsteht, werden Bedingungen an die Teilpolynome gestellt. An jeder inneren Stützstelle müssen * die Funktionswerte, * die ersten Ableitungen, * die zweiten Ableitungen der benachbarten Teilfunktionen übereinstimmen. Für eine innere Stützstelle <math>t_i</math> gilt daher: :<math>S_{i-1}(t_i)=S_i(t_i)</math>, :<math>S'_{i-1}(t_i)=S'_i(t_i)</math> und :<math>S''_{i-1}(t_i)=S''_i(t_i)</math>. Zusätzlich werden Randbedingungen benötigt. Bei einem natürlichen kubischen Spline wird beispielsweise angenommen, dass die zweiten Ableitungen an den Randpunkten verschwinden: :<math>S''(t_1)=0</math> und :<math>S''(t_n)=0</math>. Die Koeffizienten der einzelnen Teilpolynome können ebenfalls mithilfe eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Aufgrund der großen Anzahl unbekannter Koeffizienten wird auch dieses Gleichungssystem mithilfe eines digitalen Werkzeugs gelöst. <div style="text-align:center; font-size:100%; font-weight:bold;"> Kubische Spline-Interpolation </div> [[Datei:Bildschirmfoto 2026-06-25 um 00.09.44.png|500px|zentriert|Kubische Spline-Interpolation der Messwerte.]] Der Spline verläuft durch alle Messpunkte und besitzt gleichzeitig einen glatten Verlauf. Da sich eine Änderung eines Messwertes hauptsächlich auf die benachbarten Teilintervalle auswirkt, reagiert der Spline lokaler als ein einziges Interpolationspolynom hohen Grades. Allerdings beruht auch der Verlauf des Splines zwischen den Messpunkten auf Modellannahmen. Die glatte Kurve darf daher nicht als tatsächlich gemessener Verlauf interpretiert werden. ==== Gegenüberstellung der Modelle ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich der Interpolationsmodelle |- ! Modell !! Vorteile !! Nachteile |- | Stückweise lineare Interpolation | einfache Berechnung; gut nachvollziehbar; keine zusätzlichen Schwingungen; Grundlage der Trapezregel | nicht glatt; sprunghafte Änderung der Steigung an den Stützstellen |- | Interpolationspolynom zehnten Grades | eine einzige Funktionsgleichung; verläuft exakt durch alle Messpunkte; beliebig oft differenzierbar | hoher Polynomgrad; mögliche starke Schwankungen und zusätzliche Extremstellen zwischen den Messpunkten |- | Kubischer Spline | glatter Verlauf; lokale Anpassung; meist geringere Schwankungen als ein Polynom hohen Grades | abschnittsweise definierte Funktion; aufwendigere Bestimmung; zusätzliche Randbedingungen erforderlich |} Alle drei Modelle verlaufen durch die vorgegebenen Messpunkte, beruhen zwischen den Messzeitpunkten jedoch auf unterschiedlichen Annahmen. Die stückweise lineare Interpolation nimmt eine konstante Änderungsrate zwischen zwei benachbarten Messpunkten an. Das Interpolationspolynom beschreibt alle Messpunkte durch eine einzige Funktion hohen Grades. Der kubische Spline setzt dagegen mehrere Polynome dritten Grades abschnittsweise zusammen. Die Wahl der Interpolationsmethode beeinflusst nicht nur den Verlauf des Graphen, sondern auch die Fläche unter dem Graphen und damit die berechnete zeitintegrierte Feinstaubbelastung. Für die weiteren Untersuchungen werden daher * die stückweise lineare Interpolation, * das Interpolationspolynom zehnten Grades und * der kubische Spline hinsichtlich ihres Verlaufs und ihrer Integrale miteinander verglichen. Dadurch wird sichtbar, welchen Einfluss die Wahl des mathematischen Modells auf das Ergebnis der Modellierung besitzt. === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === In der Sekundarstufe 1 wurde die Gesamtzahl der Fahrzeuge näherungsweise mithilfe der Trapezregel bestimmt. Dabei wurde die Fläche unter dem Graphen durch eine Summe einzelner Trapezflächen berechnet. In der Sekundarstufe 2 wird diese Grundidee auf den Integralbegriff übertragen. Das bestimmte Integral beschreibt die orientierte Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Zeitachse. Ist <math>V(t)</math> das Verkehrsaufkommen in Fahrzeugen pro Stunde zum Zeitpunkt <math>t</math>, so beschreibt :<math>\int_a^b V(t)\,\mathrm dt</math> die Gesamtzahl der Fahrzeuge im Zeitraum <math>[a,b]</math>, sofern die Funktion im betrachteten Intervall nicht negativ ist. Für die Einheit ergibt sich :<math> \frac{\mathrm{Fahrzeuge}}{\mathrm h}\cdot\mathrm h = \mathrm{Fahrzeuge}. </math> Analog sei <math>L(t)</math> die modellierte PM₂,₅-Konzentration zum Zeitpunkt <math>t</math>. Dann beschreibt :<math>\int_a^b L(t)\,\mathrm dt</math> die zeitintegrierte PM₂,₅-Konzentration im Zeitraum <math>[a,b]</math>. Die Einheit lautet :<math> \frac{\mu\mathrm g}{\mathrm m^3}\cdot\mathrm h = \frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}. </math> Die zeitintegrierte Konzentration gibt an, wie stark und wie lange eine Belastung innerhalb des betrachteten Zeitraums vorliegt. Sie ist nicht mit der tatsächlich eingeatmeten Feinstaubmasse gleichzusetzen, da hierfür zusätzlich unter anderem das Atemvolumen und die Aufenthaltsdauer einer Person berücksichtigt werden müssten. ==== Abhängigkeit des Integrals vom gewählten Modell ==== Die Messwerte liegen nur zu einzelnen Zeitpunkten vor. Der Verlauf zwischen den Messpunkten ist nicht bekannt und muss daher mathematisch modelliert werden. Für dieselben Messwerte wurden zuvor drei unterschiedliche Modelle betrachtet: * die stückweise lineare Interpolation, * das Interpolationspolynom zehnten Grades, * der kubische Spline. Für jedes Modell kann ein Integral über den Zeitraum von 02:00 Uhr bis 22:00 Uhr berechnet werden. Dabei entstehen jedoch unterschiedliche Ergebnisse, da die Funktionen zwischen den Messpunkten verschieden verlaufen. Das Integral berechnet die Fläche unter der jeweils gewählten Modellfunktion exakt. Die Aussage über die reale Feinstaubbelastung bleibt dennoch modellabhängig. ==== Integral der stückweise linearen Interpolation ==== Bei der stückweise linearen Interpolation entspricht die Fläche unter jedem linearen Abschnitt einer Trapezfläche. Da die Messzeitpunkte jeweils zwei Stunden auseinanderliegen, ergibt sich :<math> \begin{aligned} I_{\mathrm{linear}} ={}& 2\cdot\frac{4+4}{2} + 2\cdot\frac{4+7}{2} + 2\cdot\frac{7+4}{2}\\ &+ 2\cdot\frac{4+3}{2} + 2\cdot\frac{3+0}{2} + 2\cdot\frac{0+1}{2}\\ &+ 2\cdot\frac{1+1}{2} + 2\cdot\frac{1+1}{2} + 2\cdot\frac{1+1}{2} + 2\cdot\frac{1+4}{2}. \end{aligned} </math> Daraus folgt :<math> I_{\mathrm{linear}} = 52\, \frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}. </math> Dieses Ergebnis stimmt mit der Summe der Trapezflächen überein. Für eine stückweise lineare Funktion ist die Trapezregel daher in jedem Teilintervall exakt. ==== Integral des Interpolationspolynoms ==== Für das zuvor bestimmte Interpolationspolynom zehnten Grades wird das bestimmte Integral :<math> I_{\mathrm{Polynom}} = \int_2^{22}p(t)\,\mathrm dt </math> berechnet. Mithilfe eines digitalen Werkzeugs ergibt sich näherungsweise :<math> I_{\mathrm{Polynom}} \approx 19{,}76\, \frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}. </math> Dieses Ergebnis ist deutlich kleiner als das Integral der stückweise linearen Interpolation. Der Grund dafür ist, dass das Interpolationspolynom zwischen mehreren Messpunkten negative Werte annimmt. Das bestimmte Integral berechnet eine orientierte Fläche. Bereiche unterhalb der Zeitachse gehen daher mit negativem Vorzeichen in das Ergebnis ein. Eine negative PM₂,₅-Konzentration ist physikalisch jedoch nicht möglich. Das vergleichsweise kleine Integral zeigt deshalb nicht eine tatsächlich geringere Belastung, sondern eine Schwäche des gewählten Polynommodells. Das Beispiel verdeutlicht, dass ein mathematisch exakt berechnetes Integral nur dann sinnvoll interpretiert werden kann, wenn auch die zugrunde liegende Funktion ein plausibles Modell darstellt. ==== Integral des kubischen Splines ==== Auch für den kubischen Spline kann das Integral :<math> I_{\mathrm{Spline}} = \int_2^{22}S(t)\,\mathrm dt </math> mithilfe eines digitalen Werkzeugs bestimmt werden. Der Spline verläuft ebenfalls durch alle Messpunkte, zeigt zwischen ihnen jedoch in der Regel geringere Schwankungen als das Interpolationspolynom zehnten Grades. Sein Integral ist deshalb voraussichtlich näher am Ergebnis der stückweise linearen Interpolation. Der konkrete Wert wird anschließend mit GeoGebra berechnet und mit den beiden anderen Ergebnissen verglichen. ==== Vergleich der Ergebnisse ==== {| class="wikitable" style="margin: auto;" |+ Vergleich der zeitintegrierten PM₂,₅-Konzentration |- ! Modell !! Integral !! Interpretation |- | Stückweise lineare Interpolation | <math>52\,\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}</math> | Trapezregel ist für die linearen Teilstücke exakt |- | Interpolationspolynom zehnten Grades | <math>\approx 19{,}76\,\frac{\mu\mathrm g\cdot\mathrm h}{\mathrm m^3}</math> | stark durch negative und stark schwankende Funktionswerte beeinflusst |- | Kubischer Spline | wird digital bestimmt | glatter und lokaler Verlauf; Ergebnis bleibt modellabhängig |} Die unterschiedlichen Werte entstehen nicht durch unterschiedliche Integrationsverfahren, sondern durch die verschiedenen Funktionsmodelle. Damit wird ein zentraler Aspekt der mathematischen Modellierung sichtbar: * Das Integral kann für eine gegebene Funktion exakt berechnet werden. * Die Funktion selbst beruht jedoch auf Annahmen über den unbekannten Verlauf zwischen den Messpunkten. * Ein rechnerisch korrektes Ergebnis kann fachlich unbrauchbar sein, wenn das zugrunde liegende Modell unrealistische Werte liefert. Für die Bewertung eines Modells reicht es daher nicht aus, nur die Messpunkte exakt zu treffen. Zusätzlich muss geprüft werden, ob der Funktionsverlauf zwischen den Messpunkten plausibel ist. ==Altes Modell== === Integral als Maß für die Gesamtbelastung === Die Fläche unter dem Graphen beschreibt die gesamte Belastung im betrachteten Zeitraum. Während in der Sekundarstufe 1 Trapeze verwendet wurden, wird nun das bestimmte Integral als mathematisch exaktere Beschreibung eingeführt. Die Gesamtbelastung ergibt sich durch :<math>\int_a^b L(t) dt</math> für die Luftbelastung bzw. :<math>\int_a^b V(t) dt</math> für die Verkehrsbelastung. === Vergleich von Trapezregel und Integral === Zunächst wird die Fläche unter dem Graphen mithilfe der Trapezregel näherungsweise berechnet. Anschließend wird dieselbe Fläche mit den Integralfunktionen von GeoGebra bestimmt. Die Ergebnisse werden verglichen und diskutiert. Leitfragen: * Wie genau ist die Trapezregel? * Wann unterscheiden sich die Ergebnisse? * Welche Vorteile bietet das Integral? === Modellierung des Zusammenhangs zwischen Verkehr und Luftbelastung === Im nächsten Schritt wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung besteht. Ein einfaches Modell lautet :<math>L(t)=a\cdot V(t)+b</math> mit * <math>V(t)</math>: Verkehrsaufkommen, * <math>L(t)</math>: Luftbelastung, * <math>a,b</math>: Modellparameter. Die Parameter <math>a</math> und <math>b</math> beschreiben den Zusammenhang zwischen Verkehrsaufkommen und Luftbelastung. Der Parameter <math>a</math> gibt an, wie stark sich die Luftbelastung bei einer Veränderung des Verkehrsaufkommens verändert. Je größer der Wert von <math>a</math> ist, desto stärker wirkt sich zusätzlicher Verkehr auf die Luftqualität aus. Der Parameter <math>b</math> beschreibt die Grundbelastung der Luft, die auch ohne Verkehr vorhanden wäre. Diese kann beispielsweise durch Industrie, Heizungen, Landwirtschaft, Baustellen oder den Ferntransport von Schadstoffen verursacht werden. Die Werte von <math>a</math> und <math>b</math> werden nicht vorgegeben, sondern aus den vorliegenden Messdaten geschätzt und diskutiert. Hierzu kann eine lineare Regression verwendet werden, bei der eine möglichst gut passende Gerade durch die Messpunkte gelegt wird. Anschließend wird untersucht, wie gut das Modell die tatsächlichen Messwerte beschreibt. Dabei zeigt sich häufig, dass die Luftbelastung nicht ausschließlich vom Verkehr abhängt. Abweichungen zwischen Modell und Messwerten weisen darauf hin, dass weitere Einflussfaktoren berücksichtigt werden müssen. Die Schülerinnen und Schüler erkennen dadurch, dass mathematische Modelle auf Annahmen beruhen und die Realität häufig nur näherungsweise beschreiben können. === Modellkritik === Abweichungen zwischen Modell und Realität werden analysiert. Mögliche Einflussfaktoren sind: * Windgeschwindigkeit * Niederschlag * Temperatur * Industrie * Heizungen * Baustellen * Landwirtschaft Dadurch erkennen die Schülerinnen und Schüler die Grenzen mathematischer Modelle. == Didaktische Reduktion == Die reale Luftqualität wird von zahlreichen Einflussgrößen bestimmt. Für die Modellierung werden zunächst nur Verkehr und Luftbelastung betrachtet. Komplexe meteorologische und chemische Prozesse werden bewusst ausgeblendet, um den Fokus auf die mathematische Modellierung und den Integralbegriff zu legen. == Kompetenzen und Lernziele == Die Schülerinnen und Schüler … * analysieren reale Umwelt- und Verkehrsdaten. * modellieren Zusammenhänge durch Funktionen. * interpretieren Integrale als Gesamtgrößen. * vergleichen numerische Näherungsverfahren mit exakten Verfahren. * bewerten mathematische Modelle kritisch. * nutzen digitale Werkzeuge zur Datenanalyse. * erkennen Zusammenhänge zwischen Verkehr, Luftqualität und Umweltpolitik. == Quellennachweis == <references/> rdsbe2uole9ig1299hw7w4kn4be5ciz 0 170387 1107214 1107159 2026-07-15T14:09:58Z Arbota 36910 Ersetzung 1107214 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es seien zunächst die beiden Abbildungen zueinander isomorph. Das bedeutet, dass ein kommutatives Diagramm {{Kommutatives Quadrat/ru| L_1 | M_1 | L_2 | M_2 |abb12=f_1|abb34=f_2|abb13=\varphi {{netzziehziehzieh|}} |abb24=\psi}} mit bijektiven Abbildungen {{mathl|term= \varphi, \psi |SZ=}} vorliegt. Wegen {{ Relationskette | \psi \circ f_1 || f_2 \circ \varphi || || || |SZ= }} ist zu {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} {{ Relationskette/display | f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} || {{makl| \psi \circ f_1 |}}^{-1} (w) || {{makl| f_2 \circ \varphi |}}^{-1} (w) || \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} || |SZ= }} und insbesondere {{ Relationskette/display | {{op:Anzahl| f_1^{-1} {{makl| \psi^{-1} (w) |}} |}} || {{op:Anzahl| \varphi^{-1} {{makl| f_2^{-1} (w) |}} }} || || || |SZ=. }} Wegen der Bijektivität von {{math|term= \psi |SZ=}} ist {{mathl|term= \psi^{-1}(w) |SZ=}} einelementig. Wegen der Bijektivität von {{math|term= \varphi |SZ=}} bedeutet dies, dass die Faser zu {{math|term= f_1 |SZ=}} über {{mathl|term= \psi^{-1} (w) |SZ=}} die gleiche Anzahl besitzt wie die Faser zu {{math|term= f_2 |SZ=}} über {{math|term= w |SZ=.}} Da dies für jedes {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} gilt und jedes {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} gleich dem Urbild zu einem {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} ist, folgt, dass die Faseranzahltupel übereinstimmen. {{parskip}} Es sei nun vorausgesetzt, dass die beiden Faseranzahltupel zu {{math|term= f_1 |SZ=}} und zu {{math|term= f_2 |SZ=}} übereinstimmen. Dies bedeutet insbesondere, dass ihre Längen und ihre Gesamtsummen übereinstimmen. Daher ist {{ Relationskette | {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | {{op:Anzahl|L_1|}} || {{op:Anzahl|L_2|}} || || || |SZ=. }} Wir führen Induktion über {{ Relationskette/display | m || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | m || 1 || || || |SZ= }} sind beide Abbildungen konstant und surjektiv, und man kann für {{math|term= \varphi |SZ=}} eine beliebige Bijektion zwischen {{ mathkor|term1= L_1 |und|term2= L_2 |SZ= }} und für {{math|term= \psi |SZ=}} die einzige Abbildung zwischen den einelementigen Mengen {{ mathkor|term1= M_1 |und|term2= M_2 |SZ= }} nehmen. Es sei nun die Aussage für {{math|term= m |SZ=}} bewiesen und es sei {{ Relationskette | m +1 || {{op:Anzahl|M_1|}} || {{op:Anzahl|M_2|}} || || || || |SZ=, }} das gemeinsame Faseranzahltupel sei {{mathl|term= {{op:Zeilentupel|r_1 | \ldots | r_m| r_{m+1} |}} |SZ=.}} Wir fixieren ein {{ Relationskette | y | \in | M_1 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_1^{-1}(y) |SZ=}} aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht und ein {{ Relationskette | w | \in | M_2 || || || |SZ= }} derart, dass {{mathl|term= f_2^{-1}(w) |SZ=}} ebenfalls aus {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} Elementen besteht. Wir betrachten {{ Relationskette | M_1' || M_1 \setminus \{y\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | M_2' || M_2 \setminus \{w\} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette | L_1' || L_1 \setminus f_1^{-1} (y) || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | L_2' || L_2 \setminus f_2^{-1} (w) || || || |SZ=. }} Die Abbildungen {{mathl|term= f_1,f_2 |SZ=}} kann man zu Abbildungen {{ Abbildung |name= f_1' | L_1' | M_1' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name=f_2' | L_2' | M_2' || |SZ= }} einschränken. Dabei entstehen die Faseranzahltupel zu {{ mathkor|term1= f_1' |bzw.|term2= f_2' |SZ= }} aus denen zu {{ mathkor|term1= f_1 |bzw.|term2= f_2 |SZ=, }} indem der letzte Eintrag {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} weggelassen wird. Insbesondere stimmen die Faseranzahltupel zu {{mathl|term= f_1',f_2' |SZ=}} wieder überein und man kann auf diese Situation die Induktionsvoraussetzung anwenden, da {{math|term= M_1' |SZ=}} und {{math|term= M_2' |SZ=}} genau {{math|term= m |SZ=}} Elemente besitzen. Es gibt also nach Induktionsvoraussetzung bijektive Abbildungen {{ Abbildung |name= \varphi' | L_1' | L_2' || |SZ= }} und {{ Abbildung |name= \psi' | M_1' | M_2' || |SZ= }} mit {{ Relationskette/display | \psi' \circ f_1' || f_2' \circ \varphi' || || || |SZ=. }} Es sei {{math|term= \theta |SZ=}} eine bijektive Abbildung von {{mathl|term= f_1^{-1} (y) |SZ=}} nach {{mathl|term= f_2^{-1} (w) |SZ=,}} die es gibt, da beide Mengen die Anzahl {{mathl|term= r_{m+1} |SZ=}} besitzen. Wir setzen {{math|term= \varphi' |SZ=}} mithilfe von {{math|term= \theta |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \varphi | L_1 | L_2 || |SZ= }} fort, und wir setzen {{math|term= \psi' |SZ=}} zu einer bijektiven Abbildung {{ Abbildung |name= \psi | M_1 | M_2 || |SZ= }} über {{ Relationskette | \psi(y) || w || || || |SZ= }} fort. Dann zeigen {{ mathkor|term1= \varphi |und|term2= \psi |SZ=, }} dass {{ mathkor|term1= f_1 |und|term2= f_2 |SZ= }} isomorph sind. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} k3uh9bhy430i1kpv6l84kvxyvmu7zvl 0 170759 1107191 1080616 2026-07-15T12:07:59Z Bocardodarapti 2041 1107191 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Es ist {{mathl|term= (R,+,0) |SZ=}} eine endliche Gruppe, die Faser zu {{math|term= y |SZ=}} unter der Additionsabbildung besteht aus den {{math|term= n |SZ=}} Elementen {{mathl|term= {{Mengebed| (x,z-x) | x \in R }} |SZ=.}} Das {{ Definitionslink |Prämath= |Faseranzahltupel| |Kontext=| |SZ= }} der Addition ist also {{mathl|term= (n,n {{kommadots|}} n) |SZ=.}} Die Faser der Multiplikationsabbildung zu {{math|term= 0 |SZ=}} umfasst jedenfalls gemäß {{ Faktlink |Faktseitenname= Ring/Elementare Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |SZ= }} die Elemente {{mathl|term= \{ (x,0),\, x \in R \} |SZ=}} und {{mathl|term= \{ (0,y),\, y \in R \} |SZ=,}} also zumindest {{math|term= 2n-1 |SZ=}} Elemente. Da {{ Relationskette | n | \geq | 2 || || || |SZ= }} vorausgesetzt wird, ist {{ Relationskette | 2n-1 |>| n || || || |SZ= }} und das Faseranzahltupel der Multiplikation ist vom Faseranzahltupel der Addition verschieden. Nach {{ Faktlink |Faktseitenname= Abbildung/Endliche Mengen/Isomorph und Faseranzahltupel/Fakt |Nr= |SZ= }} können die beiden Verknüpfungen nicht isomorph sein. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} f2trl5vtk1fr8uq1abp8wu27g6laamm 0 171226 1107464 1081131 2026-07-16T06:25:50Z Bocardodarapti 2041 1107464 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= \sim_1 |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzrelation| |Kontext=| |SZ= }} auf einer Menge {{math|term= M |SZ=}} und {{math|term= \sim_2 |SZ=}} eine Äquivalenzrelation auf einer Menge {{math|term= N |SZ=,}} die zueinander mittels der beiden {{ Definitionslink |Prämath= |bijektiven| |Kontext=| |SZ= }} Abbildungen {{ Abbildung/display |name= \varphi,\psi | M | N || |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} seien. Es gilt also {{mathl|term= x \sim_1 y |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= M |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} genau dann, wenn {{mathl|term= \varphi(x) \sim_2 \psi(y) |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=in {{math|term= N |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} gilt. {{ Aufzählung4 |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} {{ Zusatz/Klammer |text=und ebenso {{math|term= \psi |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} eine {{ Definitionslink |Prämath= |Äquivalenzklasse| |Kontext=| |SZ= }} von {{math|term= \sim_1 |SZ=}} in eine Äquivalenzklasse von {{math|term= \sim_2 |SZ=}} abbildet {{ Zusatz/Klammer |text=es gilt also {{ Relationskette/k | \varphi([x]) || [ \varphi(x) ] || || || |SZ= }}| |ISZ=|ESZ=. }} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= \varphi |SZ=}} und {{math|term= \psi |SZ=}} jede Äquivalenzklasse von {{math|term= \sim_1 |SZ=}} in die gleiche Äquivalenzklasse von {{math|term= \sim_2 |SZ=}} abbildet. |{{ManSie|Man gebe|Geben Sie}} ein Beispiel, wo {{ Relationskette | \varphi | \neq | \psi || || || |SZ= }} ist. |Es seien {{math|term= M,N |SZ=}} endlich. Zeige{{n Sie}}, dass die beiden Äquivalenzrelationen sogar {{ Definitionslink |Prämath= |konjugiert-isomorph| |Kontext=Relation| |SZ= }} zueinander sind. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der Äquivalenzrelationen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=7 |p1=3 |p2=1 |p3=1 |p4=2 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 8pkgcylzytehfoltnzi7zp52g4z4mxx 0 171319 1107467 1093406 2026-07-16T07:38:11Z Mrchristian 31317 1107467 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Zurück zum Hauptmenü: [[BIM-126-02-Informationsmanagement-Linked-Open-Exhibition]] EN-Version – siehe Sprachauswahl oben rechts. ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|thumb]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|thumb]] # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> emag9vbzut4adbub0how152nnbi3doi 1107468 1107467 2026-07-16T07:43:30Z Mrchristian 31317 1107468 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Zurück zum Hauptmenü: [[BIM-126-02-Informationsmanagement-Linked-Open-Exhibition]] EN-Version – siehe Sprachauswahl oben rechts. ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Exhibition: Das Bild ist, was es tut|none|frame|Abbildung 1: Ausstellung - Das Bild ist, was es tut https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 hier im Prototyp verwendet https://mrchristian.github.io/prototype/wikidata-item.html]] [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|frame|Abbildung 2: Timeline: https://w.wiki/J8NJ]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|frame|Abbildung 3: Graph https://w.wiki/J8aS]]This exercise covers: # Erfassen Sie die Mindestangaben zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data: Titel, Museum, Datum usw. Z. B.: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468 – Siehe: Tabelle 1: „Mindestangaben für eine Ausstellung“ # Den Ausstellungsdatensatz in den Ergebnissen des Wikidata-Abfragedienstes anzeigen Link ## Zeitleiste https://w.wiki/J8NJ ## Grafik https://w.wiki/J8aS # Überprüfen Sie die Ausstellungsdatensätze. # Behandeln Sie Themen, die beim Erstellen eines LOD-Datensatzes aufkommen: Wikidata-Grundlagen, bewährte Praktiken bei Wikidata, Konsultation von Schemata, Bedeutung der Überprüfung und Nutzung von GitHub Issues, Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher. Die Übung: Erstellen Sie einen Linked-Open-Data-Eintrag für eine Ausstellung mithilfe von Wikidata (Mindestangaben). A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata.''' # Anmeldung bei Wikidata: https://www.wikidata.org/ # Halten Sie eine Quelle bereit, um Daten einzugeben, z. B. #* https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv #* https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised #* https://portal.dnb.de/opac/showFullRecord?currentResultId=sprengel+and+museum+and+ausstellung%26any&currentPosition=1 # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> 5m2qa2xch7esokdz5wqfv6eym5ra29y 1107469 1107468 2026-07-16T07:46:09Z Mrchristian 31317 1107469 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Zurück zum Hauptmenü: [[BIM-126-02-Informationsmanagement-Linked-Open-Exhibition]] EN-Version – siehe Sprachauswahl oben rechts. ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Exhibition: Das Bild ist, was es tut|none|frame|Abbildung 1: Ausstellung - Das Bild ist, was es tut https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 hier im Prototyp verwendet https://mrchristian.github.io/prototype/wikidata-item.html]] [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|frame|Abbildung 2: Timeline: https://w.wiki/J8NJ]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|frame|Abbildung 3: Graph https://w.wiki/J8aS]] This exercise covers: * How to record minimal information for an exhibition in Wikidata as Linked Open Data. Title, museum/venue, date, etc. For example: '''''Figure 1: Exhibition - Das Bild ist, was es tut''''' - https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 and see '''''Table 1: Minimal data entries for an exhibition (Add all 9 items)''''' for a list of the nine minimal data entries for an exhibition. * View the results collected for the exhibition record: ** In the Query Service results link that shows all of your entries - example Figure 1, ** as a timeline: https://w.wiki/J8NJ - example Figure 2. and ** as a graph: https://w.wiki/J8aS - example Figure 3. * Review exhibition information entries covering topics raised by creating a Linked Open Data entry and Wikidata basics: # Wikidata good practice # Consulting schemas # Importance of review # Using GitHub Issues # Comparing available data – before and after '''Step-by-step guide:''' A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikida''' ## Login to Wikidata: https://www.wikidata.org/ If you missed how to add items or edit Wikidata see: https://de.wikiversity.org/wiki/Handbuch_Wikidata use this example as a reference for what you need to create https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 ## Have the source information for an exhibition at hand to make a data entry, here you can find a list of exhibitions. Students we assigned exibitions and you can find your allocation [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq here] (password needed - if you need an allocation or have a question contact: Simon Worthington simon.worthington@tib.eu), e.g., ##* '''NOTE:''' Sprengel Museum website is offline - if you need more info about your exhibition use the DNB site to search your exhibition name, use keywords like Sprengel Museum Ausellung. If you have not made an exhibition entry in Wikidata use any of the exhibitions you find listed in the DNB records. ##** https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true ##** https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv (offline July 2026) ##** https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised (offline July 2026) # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> sfaazu7xpaswwe0l1yfph0kjkn5lisb 1107482 1107469 2026-07-16T09:48:59Z Mrchristian 31317 1107482 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Zurück zum Hauptmenü: [[BIM-126-02-Informationsmanagement-Linked-Open-Exhibition]] EN-Version – siehe Sprachauswahl oben rechts. ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Exhibition: Das Bild ist, was es tut|none|frame|Abbildung 1: Ausstellung - Das Bild ist, was es tut https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 hier im Prototyp verwendet https://mrchristian.github.io/prototype/wikidata-item.html]] [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|frame|Abbildung 2: Timeline: https://w.wiki/J8NJ]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|frame|Abbildung 3: Graph https://w.wiki/J8aS]] Diese Übung behandelt folgende Themen: * Wie man grundlegende Informationen zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data erfasst. Titel, Museum/Veranstaltungsort, Datum usw. Beispiel: '''''Abbildung 1: Ausstellung – „Das Bild ist, was es tut“''''' – https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 sowie '''''Tabelle 1: Mindestangaben für eine Ausstellung (alle 9 Punkte hinzufügen)''''' für eine Auflistung der neun Mindestangaben für eine Ausstellung. * Sehen Sie sich die für den Ausstellungsdatensatz erfassten Ergebnisse an: ** Über den Link „Ergebnisse des Abfragedienstes“, der alle Ihre Einträge anzeigt – Beispiel: Abbildung 1, ** als Zeitleiste: https://w.wiki/J8NJ – Beispiel: Abbildung 2. und ** als Diagramm: https://w.wiki/J8aS – Beispiel: Abbildung 3. * Sehen Sie sich die Einträge zu Ausstellungsinformationen an, die sich mit Themen befassen, die durch die Erstellung eines Linked-Open-Data-Eintrags aufgeworfen werden, sowie mit den Grundlagen von Wikidata: ** Bewährte Vorgehensweisen bei Wikidata ** Schemas einsehen ** Die Bedeutung der Überprüfung ** Verwendung von GitHub-Issues ** Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher '''Step-by-step guide:''' A. '''Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikida''' ## Login to Wikidata: https://www.wikidata.org/ If you missed how to add items or edit Wikidata see: https://de.wikiversity.org/wiki/Handbuch_Wikidata use this example as a reference for what you need to create https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 ## Have the source information for an exhibition at hand to make a data entry, here you can find a list of exhibitions. Students we assigned exibitions and you can find your allocation [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq here] (password needed - if you need an allocation or have a question contact: Simon Worthington simon.worthington@tib.eu), e.g., ##* '''NOTE:''' Sprengel Museum website is offline - if you need more info about your exhibition use the DNB site to search your exhibition name, use keywords like Sprengel Museum Ausellung. If you have not made an exhibition entry in Wikidata use any of the exhibitions you find listed in the DNB records. ##** https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true ##** https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv (offline July 2026) ##** https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised (offline July 2026) # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. #* Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. #* Alle Einträge vorhanden [ ] #* Alle Einträge sind korrekt [ ] #* Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> 46u51p15cerghcxtj7u37cpior72co8 1107483 1107482 2026-07-16T09:54:43Z Mrchristian 31317 1107483 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Zurück zum Hauptmenü: [[BIM-126-02-Informationsmanagement-Linked-Open-Exhibition]] EN-Version – siehe Sprachauswahl oben rechts. ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Exhibition: Das Bild ist, was es tut|none|frame|Abbildung 1: Ausstellung - Das Bild ist, was es tut https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 hier im Prototyp verwendet https://mrchristian.github.io/prototype/wikidata-item.html]] [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|frame|Abbildung 2: Timeline: https://w.wiki/J8NJ]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|frame|Abbildung 3: Graph https://w.wiki/J8aS]] Diese Übung behandelt folgende Themen: * Wie man grundlegende Informationen zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data erfasst. Titel, Museum/Veranstaltungsort, Datum usw. Beispiel: '''''Abbildung 1: Ausstellung – „Das Bild ist, was es tut“''''' – https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 sowie '''''Tabelle 1: Mindestangaben für eine Ausstellung (alle 9 Punkte hinzufügen)''''' für eine Auflistung der neun Mindestangaben für eine Ausstellung. * Sehen Sie sich die für den Ausstellungsdatensatz erfassten Ergebnisse an: ** Über den Link „Ergebnisse des Abfragedienstes“, der alle Ihre Einträge anzeigt – Beispiel: Abbildung 1, ** als Zeitleiste: https://w.wiki/J8NJ – Beispiel: Abbildung 2. und ** als Diagramm: https://w.wiki/J8aS – Beispiel: Abbildung 3. * Sehen Sie sich die Einträge zu Ausstellungsinformationen an, die sich mit Themen befassen, die durch die Erstellung eines Linked-Open-Data-Eintrags aufgeworfen werden, sowie mit den Grundlagen von Wikidata: ** Bewährte Vorgehensweisen bei Wikidata ** Schemas einsehen ** Die Bedeutung der Überprüfung ** Verwendung von GitHub-Issues ** Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher '''Schritt-für-Schritt-Anleitung:''' '''A. Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata''' # Melden Sie sich bei Wikidata an: https://www.wikidata.org/ Falls Sie nicht wissen, wie man Einträge hinzufügt oder Wikidata bearbeitet, lesen Sie bitte: https://de.wikiversity.org/wiki/Handbuch_Wikidata. Nutzen Sie dieses Beispiel als Vorlage für die Erstellung von https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 # Have the source information for an exhibition at hand to make a data entry, here you can find a list of exhibitions. Students we assigned exibitions and you can find your allocation [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq here] (password needed - if you need an allocation or have a question contact: Simon Worthington simon.worthington@tib.eu), e.g., # '''NOTE:''' Sprengel Museum website is offline - if you need more info about your exhibition use the DNB site to search your exhibition name, use keywords like Sprengel Museum Ausellung. If you have not made an exhibition entry in Wikidata use any of the exhibitions you find listed in the DNB records. # https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true # https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv (offline July 2026) # https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised (offline July 2026) # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. # Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. # Alle Einträge vorhanden [ ] # Alle Einträge sind korrekt [ ] # Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> jhv6fdxkfw8fp4pi0xhzcj20vev59c5 1107484 1107483 2026-07-16T09:59:36Z Mrchristian 31317 1107484 wikitext text/x-wiki Linked Open Exhibitions (Prototyp): https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Zurück zum Hauptmenü: [[BIM-126-02-Informationsmanagement-Linked-Open-Exhibition]] EN-Version – siehe Sprachauswahl oben rechts. ==Aufgaben == # Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum # Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags unter https://github.com/mrchristian/prototype # Hinzufügen der Datenmodell-Zuordnung zu Standards zum geforkten Repository # Hinzufügen des SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum geforkten Repository # Hinzufügen der ORCID-ID zum geforkten Repository # KI-LLMs: ## Agentesche Programmierung: VSCode-Copilot-Übung ## Dokumentation der Nutzung von KI-LLMs mit einer Liste der Anwendungsfälle, Vor- und Nachteile sowie Quellenangaben # Fertigstellung des Projektabschnitts zu „Linked Open Exhibitions“ ## Die drei Abschnitte: ### Wikidata-Ausstellungseinträge ### Sortierung der DNB-Einträge (Bibliotheksmetadaten) ### Scan des Ausstellungskatalogs – Text- und Data-Mining == 1: Vervollständigung des Wikidata-Eintrags für eine Ausstellung im Sprengel Museum == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Exhibition: Das Bild ist, was es tut|none|frame|Abbildung 1: Ausstellung - Das Bild ist, was es tut https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 hier im Prototyp verwendet https://mrchristian.github.io/prototype/wikidata-item.html]] [[File:Timeline 2026 06 02.jpg|alt=Timeline|left|frame|Abbildung 2: Timeline: https://w.wiki/J8NJ]] [[File:Network 2026 06 02.jpg|alt=Graph|left|frame|Abbildung 3: Graph https://w.wiki/J8aS]] Diese Übung behandelt folgende Themen: * Wie man grundlegende Informationen zu einer Ausstellung in Wikidata als Linked Open Data erfasst. Titel, Museum/Veranstaltungsort, Datum usw. Beispiel: '''''Abbildung 1: Ausstellung – „Das Bild ist, was es tut“''''' – https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 sowie '''''Tabelle 1: Mindestangaben für eine Ausstellung (alle 9 Punkte hinzufügen)''''' für eine Auflistung der neun Mindestangaben für eine Ausstellung. * Sehen Sie sich die für den Ausstellungsdatensatz erfassten Ergebnisse an: ** Über den Link „Ergebnisse des Abfragedienstes“, der alle Ihre Einträge anzeigt – Beispiel: Abbildung 1, ** als Zeitleiste: https://w.wiki/J8NJ – Beispiel: Abbildung 2. und ** als Diagramm: https://w.wiki/J8aS – Beispiel: Abbildung 3. * Sehen Sie sich die Einträge zu Ausstellungsinformationen an, die sich mit Themen befassen, die durch die Erstellung eines Linked-Open-Data-Eintrags aufgeworfen werden, sowie mit den Grundlagen von Wikidata: ** Bewährte Vorgehensweisen bei Wikidata ** Schemas einsehen ** Die Bedeutung der Überprüfung ** Verwendung von GitHub-Issues ** Vergleich der verfügbaren Daten – vorher und nachher '''Schritt-für-Schritt-Anleitung:''' '''A. Erstellen des Ausstellungseintrags in Wikidata''' # Melden Sie sich bei Wikidata an: https://www.wikidata.org/ Falls Sie nicht wissen, wie man Einträge hinzufügt oder Wikidata bearbeitet, lesen Sie bitte: https://de.wikiversity.org/wiki/Handbuch_Wikidata. Nutzen Sie dieses Beispiel als Vorlage für die Erstellung von https://www.wikidata.org/wiki/Q138572982 # Halten Sie die Quellenangaben zu einer Ausstellung bereit, um die Daten einzugeben; hier finden Sie eine Liste der Ausstellungen. Studierende: Wir haben Ihnen Ausstellungen zugewiesen; Ihre Zuweisung finden Sie [https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq hie]r (Passwort erforderlich – falls Sie eine Zuweisung benötigen oder Fragen haben, wenden Sie sich bitte an: Simon Worthington, simon.worthington@tib.eu), z. B. ## '''HINWEIS:''' Die Website des Sprengel-Museums ist derzeit nicht erreichbar – sollten Sie weitere Informationen zu Ihrer Ausstellung benötigen, suchen Sie bitte auf der Website der DNB nach dem Namen Ihrer Ausstellung und verwenden Sie dabei Stichwörter wie „Sprengel-Museum Ausstellung“. Falls Sie noch keinen Eintrag zur Ausstellung in Wikidata vorgenommen haben, verwenden Sie bitte einen der Einträge, die Sie in den DNB-Datensätzen finden. ### https://portal.dnb.de/opac/simpleSearch?query=sprengel+and+museum+and+ausstellung&cqlMode=true ### https://www.sprengel-museum.de/ausstellungen/archiv (offline July 2026) ### https://www.sprengel-museum.de/besuch?view=article&id=65:publikationen&catid=2:uncategorised (offline July 2026) # Überprüfen Sie, ob es bereits einen Eintrag für die Ausstellung auf Wikidata gibt. Verwenden Sie dazu die Suchfunktion. # Erstellen Sie einen Eintrag oder bearbeiten Sie einen bestehenden Eintrag. ## Hinweis: Überprüfen Sie, welche Sprache Sie verwenden. Wir werden Einträge in Deutsch und Englisch hinzufügen (beginnend mit Deutsch). # Erstellen Sie die folgenden Dateneinträge in Wikidata, siehe: Tabelle 1: ''Minimale Dateneinträge für eine Ausstellung.'' # Überprüfen Sie die Wikidata-Einträge zur Ausstellung. Die Überprüfung erfolgt anhand von drei Fragen. Fügen Sie bei Bedarf Kommentare hinzu, Korrekturen können vorgenommen werden. Ergebnisse und Anmerkungen können auf der Diskussionsseite des Eintrags hinzugefügt werden, z. B. ## Alle Einträge vorhanden [ ] ## Alle Einträge sind korrekt [ ] ## Einträge sind in Deutsch und Englisch – im Rahmen des Zumutbaren [ ] # Es können Quellenangaben hinzugefügt werden: Quell-URLs, Zugriffsdatum ''Tabelle2 : Mindestdaten für einen Ausstellungseintrag'' {| class="wikitable" | colspan="7" |'''Felder, die zur Erstellung eines Ausstellungseintrags verwendet werden. Siehe Beispiel: https://www.wikidata.org/wiki/Q138547468''' |- |A |Beschriftung | colspan="5" |Hinweis: Kurz halten. Titel der Ausstellung verwenden |- |B |Beschreibung | colspan="5" |Hinweis: Zur Unterscheidung von anderen Einträgen verwenden. Folgen Sie diesem Beispiel: Gabriela Jolowicz Holzschnitte Ausstellung im Sprengel Museum, Hannover, 2026 |- | |'''Eigentum (P) und Objekt (Q)''' |'''URI''' |'''DE''' | |'''Hinzufügen''' |'''Anmerkung''' |- |1 |P31 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P31 |ist ein(e) |Instanz von |Q464980 |Element hinzufügen |- |2 |Q464980 |https://www.wikidata.org/wiki/Q464980 |Ausstellung |Ausstellung | |(oben verwendet) |- |3 |P1476 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1476 |Titel |Titel |Titel |Klartext |- |4 |P276 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P276 |Ort |Standort |Sprengel Museum Hannover Q510144 |Artikel hinzufügen |- |5 |P580 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P580 |Startzeitpunkt |Startzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |6 |P582 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P582 |Endzeitpunkt |Endzeit |Datum |JJJJ-MM-TT |- |7 |P1640 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P1640 |Kurator |Kurator |Person |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |8 |P710 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P710 |Teilnehmer |Teilnehmer |Person (der Künstler) |Element hinzufügen (falls nicht vorhanden, muss erstellt werden/kann derzeit weggelassen werden) |- |9 |P856 |https://www.wikidata.org/wiki/Property:P856 |Offizielle Website |Offizielle Website |URL |URL |} == 2.Erledigung der GitHub-Aufgabe zum Forken des Repositorys und Veröffentlichen des Wikidata-Eintrags == [[File:Wikidata 2026 06 02.jpg|left|thumb]] https://github.com/mrchristian/prototype oder https://github.com/NFDI4Culture/prototype-linkedOE Tools: Quarto, GitHub, VS Code, Jupyter Notebooks, Codespace, Copilot: Agentic Coding) '''Voraussetzungen''' # Ein Laptop oder Computer, auf dem Sie VScode installieren können # Sie benötigen 2FA auf Ihrem Mobilgerät # Erstellen Sie ein GitHub-Konto # Installiere VScode # Verbinden Sie Ihr GitHub-Konto mit VScode # Erstellen Sie ein GitHub-Repository '''Klonen:''' https://github.com/mrchristian/prototype Alle Einträge: https://tib.cloud/s/fncf8W6pXs8qgiq (needs password) ===== Aufgaben ===== * Ausstellung ändern * Notebook ausführen * Quarto ausführen und Vorschau anzeigen * Auf Ihren GitHub Pages veröffentlichen ===== Schritt für Schritt ===== '''Teil 1: Arbeitsumgebung''' '''''HINWEIS: Sollten bei der lokalen Ausführung Probleme auftreten, nutzen Sie bitte die Online-Option von Codespace.''''' # Erstelle ein GitHub-Konto – https://github.com/ # Richte die Zwei-Faktor-Authentifizierung (2FA) ein – in der Regel auf dem Handy (Google Authenticator) # Installiere VSCode – https://code.visualstudio.com/download # Installiere GitHub Desktop – https://desktop.github.com/download/ # Füge dein GitHub-Konto hinzu, wenn du dazu aufgefordert wirst, und verwende die 2FA Schritt 2: Der Prototyp # Forken Sie das Repository: https://github.com/mrchristian/prototype # Wenn Sie lokal arbeiten, fahren Sie fort – wenn Sie Codespace verwenden, starten Sie Codespace (siehe unten und fahren Sie dann fort) # Testen Sie Quarto im Terminal: ## quarto check ## quarto render ## quarto preview (Strg+C – zum Beenden) # Falls es nicht funktioniert, führen Sie Quarto über den Agent aus # Ändern Sie die Wikidata-Ausstellung im Notebook # Notebook ausführen # quarto render und quarto preview ausführen # Alles speichern # Git: Nachricht, Commit und Push # Auf GitHub.com dein Repository ## Seiten aktivieren: GitHub Actions ## Code: Über das Zahnrad – Klicke auf „Meine GitHub Pages verwenden“ ## Registerkarte „Actions“: Quarto-Projekt veröffentlichen # ENDE – Wiederholen :-) ===== Codespace-Option: ===== Videolink: https://tib.cloud/s/LDtkN6QsdFkGGR6 (10 Minuten Zeit) Codespace ist eine virtuelle Maschine, die über GitHub gestartet werden kann. Das Repository enthält eine Dev-Container-Konfiguration, sodass du vollständig im Browser arbeiten kannst, ohne etwas lokal installieren zu müssen. 1.    Klicke auf der Repository-Seite auf GitHub auf „Code“ → „Codespaces“ → „Codespace erstellen“ auf der Hauptseite. 2.    Warte, bis der Container erstellt ist – Python-Pakete aus der Datei „requirements.txt“ werden automatisch installiert – dies dauert etwa 5 Minuten. 3.    Sobald alles installiert ist, kann der Codespace jederzeit genutzt werden. Er fährt automatisch herunter, wenn er nicht genutzt wird, und kann jederzeit neu gestartet werden. 4.    In Codespace geleistete Arbeit muss zurück ins Repository gepusht werden. 5.    Wenn Codespace 28 Tage lang nicht genutzt wird, wird der Codespace gelöscht. == 3. Zuordnung von Datenmodellen zu Standards in einem Fork des Repositorys == Für das Projekt wurden vier Datenmodelle erstellt. Die Datenmodelle wurden den Datenschemata der jeweiligen Bereiche zugeordnet: Wikidata, CIDOC CRM und Wikibase4Research. Siehe: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ Wählen Sie die Datenmodelle aus, die zu Ihrem Wikidata-Eintrag passen. Die Datenmodelle sind: * Künstler-Datenmodell * Ausstellungs-Datenmodell * DNB-Katalog-Datenmodell * Objekt im Ausstellungs-Datenmodell Kopieren Sie die verwendeten .qmd-Dateien in Ihr Repository und fügen Sie sie wie folgt in Ihre Quarto-YAML-Datei _quarto.yml ein: website: <code>title: „BIM Prototype 02“</code> <code> navbar:</code> <code> left:</code> <code> - href: artist-datamodel.qmd</code> <code> text: Künstler-Datenmodell</code> <code> - href: exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Ausstellungs-Datenmodell</code> <code> - href: dnb-catalogue-datamodel.qmd</code> <code> text: DNB-Katalog-Datenmodell</code> <code> - href: item-in-exhibition-datamodel.qmd</code> <code> text: Objekt im Ausstellungs-Datenmodell</code> == 4. Hinzufügen eines SPARQL-Abfrage-Netzwerkdiagramms zum Fork des Repositorys == [[File:Graph of exhibition 2026 06 02.png|alt=Graph of exhibition 2026 06 02|left|frame]] ‚Visualisierung des Wikidata-Objekts als Graph‘ https://github.com/mrchristian/prototype Die folgende Zelle rendert eine grafische Darstellung der Beziehungen für das ausgewählte Wikidata-Objekt. Dies hilft zu erkennen, wie das Objekt über seine Eigenschaften mit anderen Entitäten verbunden ist. In Ihrem Quarto-Projekt rendert das Jupyter Lab Notebook den Graphen automatisch<blockquote>wikidata-item.ipynb</blockquote> # Geben Sie in Zelle 2 Ihre Wikidata-QID ein, z. B. item_id = „Q138572982“ # Klicken Sie oben im Jupyter Lab Notebook auf „Run All“. Der Graph wird dann gerendert. # Nach der Darstellung können Sie eine Vorschau Ihrer Quarto-Publikation anzeigen. Rendern Sie anschließend Quarto und übertragen Sie es auf GitHub. == 5. ORCID-ID zu einem geforkten Repository hinzufügen == ‚‘'ORCID'‚‘ (Open Researcher and Contributor ID) ist eine kostenlose, eindeutige und dauerhafte digitale Kennung, die Sie von anderen Forschern unterscheidet. Es handelt sich um eine 16-stellige Kennung im Format: <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> Alle Details findest du hier: https://nfdi4culture.github.io/linked-open-exhibition/ ==== So erhältst du eine ORCID ==== # ‚‘'Besuche'‚‘: orcid.org # ‚‘'Klicke'‚‘: „Anmelden“ → „Für eine ORCID iD registrieren“ # ‚‘'Gib Folgendes ein'‚‘: #* Vorname und Nachname #* E-Mail-Adresse #* Passwort #* Zugehörigkeit (optional, aber empfohlen) # ‚‘'Bestätigen'‚‘: Bestätigen Sie Ihre E-Mail-Adresse # ‚‘'Fertigstellen'‚‘: Ihre 16-stellige ORCID wird sofort generiert ==== Zu Quarto hinzufügen ==== _quarto.yml <code>project'‚‘:'‚‘</code> <code>type'‚‘:'‚‘ website</code> <code>title'‚‘:'‚‘ „Mein Projekt“</code> <code>metadata'‚‘:'‚‘</code> <code>author'‚‘:'‚‘</code> <code>‚‘'-‚‘' name'‚‘:'‚‘ Jane Researcher</code> <code>- orcid'‚‘:'‚‘ 0000-0002-1234-5678</code> ==== Zu CFF (Citation File Format) hinzufügen ==== Dadurch wird Ihr Repository auf GitHub zitierfähig. Bitten Sie Copilot, eine CFF-Datei im obersten Verzeichnis Ihres Repositorys zu erstellen und fügen Sie Ihre ORCID hinzu. == 6. KI-LLM: Agentes Programmieren == Für das Projekt wird Copilot in VSCode für begrenztes agentenbasiertes Programmieren verwendet. Für die Nutzung von Copilot ist ein GitHub-Konto erforderlich, und der Nutzer muss den Nutzungsbedingungen zustimmen. Es wird ein kostenloses Konto verwendet. Sobald Sie in VSCode angemeldet sind, wählen Sie den Menüpunkt: Ansicht > Chat, um rechts auf die KI zuzugreifen. Verwenden Sie den Agentenmodus. ==== Übungen: ==== # Bitten Sie den Agenten, eine CFF-Datei zu erstellen und Ihre ORCID-ID hinzuzufügen. Eingabeaufforderung: Erstelle eine CFF-Datei und füge meine ORCID-ID <code>XXXX-XXXX-XXXX-XXXX</code> hinzu # Bitten Sie den Agenten, eine .QMD-Datei zu erstellen, die Ihre Ausstellung beschreibt, geben Sie ihm die Wikidata-QID und bitten Sie ihn, die Seite zu Ihrem Quarto-Projekt hinzuzufügen. # Bitten Sie den Agenten, Ihr Quarto-Projekt zu rendern und auf Git zu pushen. ==== Beantragen Sie ein Konto bei KISSKI; dieses kann später für Code und Fragen verwendet werden. ==== Das „KI-Servicezentrum für Sensible und Kritische Infrastrukturen“ (KISSKI) kann für unbegrenztes ChatGPT5 genutzt werden <nowiki>https://kisski.gwdg.de/leistungen/2-02-llm-service/</nowiki> | <nowiki>https://chat-ai.academiccloud.de/chat</nowiki> 0vblbbifrsc8hnili4yt73vnw3f4kar 0 171448 1107195 1093631 2026-07-15T12:17:27Z Bocardodarapti 2041 1107195 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung6 |Es gibt {{ Relationskette/display | 12 \cdot 6 + 16+8+4+2+1 || 103 || || || |SZ= }} Spiele, also höchstens so viele Kanten. |Das sind die Mannschaften, die sich für das Sechzehntelfinale qualifizieren und dort ausscheiden, also {{math|term= 16 |SZ=}} Mannschaften. |Der Minimalgrad ist {{math|term= 3 |SZ=,}} das ist der Grad der Mannschaften, die nur die Gruppenspiele austragen und danach ausscheiden. Der Maximalgrad ist {{ Relationskette | 3+5 || 8 || || || |SZ=, }} das ist die Anzahl der Spiele des Gewinners und auch des Finalisten. |Der Minimalgrad {{math|term= 3 |SZ=}} wird {{ Relationskette | 48-32 || 16 || || || |SZ= }} mal angenommen, der Maximalgrad wird zweifach angenommen {{ Zusatz/Klammer |text=Gewinner und Finalist| |ISZ=|ESZ=. }} |Der Durchmesser ist {{math|term= 11 |SZ=.}} Um dies zu begründen, schauen wir zunächst die Länge des längsten Weges auf dem vollen Untergraphen an, der durch die KO-Phase gegeben ist. Die maximale Länge ist hier {{math|term= 9 |SZ=,}} und zwar besteht diese zwischen den beiden Sechzehntelfinalverlierern, die so indirekt wie möglich gegen den Gewinner bzw. den Finalverlierer gespielt haben. Diesen Weg kann man beidseitig um jeweils eine Kante zu einer Mannschaft verlängern, die die zugehörigen Gruppen nicht überstanden haben. |Der Radius ist {{math|term= 6 |SZ=}} und dies ist auch die Exzentrizität des Gewinners. Von ihm aus führt der längste Weg über den Finalverlierer, über dessen Halbfinalverlierer, über dessen Viertelfinalverlierer, über dessen Achtelfinalverlierer zu dessen Sechzehntelfinalverlierer und letztlich zu einer Mannschaft dessen Gruppe, die sich nicht für die KO-Runde qualifiziert hat. }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 7adp9quwbrorprd22m6qkk9iyrchezw 0 171549 1107192 1093998 2026-07-15T12:14:59Z Bocardodarapti 2041 1107192 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei {{ Relationskette | \ell || {{op:Anzahl|S|}} || || || |SZ= }} und {{ Relationskette | m || {{op:Anzahl|M|}} || || || |SZ=. }} Wir betrachten die Inzidenzmenge {{ Relationskette/display | I || {{Mengebed| (s,K) | \text{ Das Symbol } s \text{ liegt auf der Karte } K }} | \subseteq | S \times M || || || |SZ=, }} deren Anzahl sei {{math|term= z |SZ=.}} Da auf jeder Karte {{math|term= n |SZ=}} Symbole sind, gibt es {{ Relationskette/display | z || m n || || || |SZ= }} viele Inzidenzen. Nach {{ Faktlink{{{opt1|}}} |Präwort=||Faktseitenname= Karten und Symbole/Symbol/Kartenbeschränkung/Fakt |Nr= |SZ= }}{{{opt2|}}} liegt jedes Symbol auf höchstens {{math|term= n |SZ=}} Karten, deshalb ist {{ Relationskette | \ell \cdot n | \leq | z || || || |SZ=. }} Insgesamt ist also {{ Relationskette/display | \ell \cdot n | \leq | z || m \cdot n || || |SZ=, }} woraus {{ Relationskette | \ell | \leq | m || || || |SZ= }} folgt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} mnkzvsyenk4r3xgh13khblb2ofak69y 0 171815 1107193 1105166 2026-07-15T12:15:49Z Bocardodarapti 2041 1107193 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wenn {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ= }} nicht zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Graph| |SZ= }} sind, so ist auch die disjunkte Vereinigung starr, da ein Automorphismus Zusammenhangskomponenten in Zusammenhangskomponenten überführen muss, und daher ein Automorphismus {{math|term= G_1, G_2 |SZ=}} in sich selbst überführen muss, wofür es nach Voraussetzung nur die Identität gibt. Wenn {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ= }} zueinander isomorph sind, so gibt es neben der Identität den Automorphismus, der {{math|term= G_1 |SZ=}} isomorph in {{math|term= G_2 |SZ=}} überführt und umgekehrt. Aufgrund der Starrheit kann es nur einen Isomorphismus von {{math|term= G_1 |SZ=}} nach {{math|term= G_2 |SZ=}} geben. DIe Automorphismengruppe ist in diesem Fall gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 1mli0sh77x6hd75f03hcapkx8blzg65 1107194 1107193 2026-07-15T12:16:36Z Bocardodarapti 2041 1107194 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Wenn {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ= }} nicht zueinander {{ Definitionslink |Prämath= |isomorph| |Kontext=Graph| |SZ= }} sind, so ist auch die disjunkte Vereinigung starr, da ein Automorphismus Zusammenhangskomponenten in Zusammenhangskomponenten überführen muss, und daher ein Automorphismus {{math|term= G_1, G_2 |SZ=}} in sich selbst überführen muss, wofür es nach Voraussetzung nur die Identität gibt. Wenn {{ mathkor|term1= G_1 |und|term2= G_2 |SZ= }} zueinander isomorph sind, so gibt es neben der Identität den Automorphismus, der {{math|term= G_1 |SZ=}} isomorph in {{math|term= G_2 |SZ=}} überführt und umgekehrt. Aufgrund der Starrheit kann es nur einen Isomorphismus von {{math|term= G_1 |SZ=}} nach {{math|term= G_2 |SZ=}} geben. Die Automorphismengruppe ist in diesem Fall gleich {{mathl|term= {{op:Zmod|2|}} |SZ=.}} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} 11fcr28fnyrv8htwhwrb6ljeep90m2f 0 171853 1107196 1105347 2026-07-15T12:22:29Z Bocardodarapti 2041 1107196 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= Da der Graph nicht vollständig ist, gibt es ein Knotenpaar {{mathl|term= u,v |SZ=,}} das durch keine Kante verbunden ist. Diesen beiden Punkte geben wir die gleiche Farbe. Den anderen {{mathl|term= n-2 |SZ=}} Punkten kann man jeweils eine eigene Farbe geben, sodass man mit {{ Relationskette/display | 1+n-2 || n-1 || || || |SZ= }} Farben zulässig färben kann. |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Autor= |Bearbeitungsstand=wd }} ta30lp05m4ag717fr9abfpt46y09pel 106 171867 1107451 1107186 2026-07-15T16:11:07Z Jonas Dächert 41519 /* Realer Modellierungszyklus */ 1107451 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kummulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> od9uii5rwbvtj3wr6ogcwb9uqrgtvdi 1107452 1107451 2026-07-15T16:14:39Z Jonas Dächert 41519 /* Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren */ 1107452 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kummulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== ij8mi4cnvvu7of67bcj1qy7tmg224fi 1107453 1107452 2026-07-15T16:19:39Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1107453 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kummulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== im realen Zyklus diskrete Werteverteilungen; also keine Stetigkeit, deshalb nicht differenzierbar, also kein Gradientenverfamren aber ähnliche Methode mit diskreten Werten möglich -> octave code Einpflegen und erklären bietet sich natürlich besonders bei größeren Matrizen an wie könnte man jetzt noch weitermachen? weitere Faktoren berücksichtigen (wie Eingriff in die Natur, Nähe zu Siedlungen; mögliche zusätzliche Kosten auf Grund von besonders anspruchsvollem Gelände etc.) wichtig dabei: alles auf einen gemeinsamen Referenziert bündeln, das sind halt meistens Kosten/Geld dann kann man eine ähnliche Funktion entwickeln, die vom R2 in den R1 geht, aber im R1 sind eben alle Faktoren schon kumuliert sozusagen hier und vor allem bei mehr Daten würde sich dann der entwickelte Octave-Code anbieten phi862zr8fwq9bp908bk0jtu576urb6 1107454 1107453 2026-07-15T16:20:41Z Jonas Dächert 41519 /* Realer Modellierungszyklus */ 1107454 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== im realen Zyklus diskrete Werteverteilungen; also keine Stetigkeit, deshalb nicht differenzierbar, also kein Gradientenverfamren aber ähnliche Methode mit diskreten Werten möglich -> octave code Einpflegen und erklären bietet sich natürlich besonders bei größeren Matrizen an wie könnte man jetzt noch weitermachen? weitere Faktoren berücksichtigen (wie Eingriff in die Natur, Nähe zu Siedlungen; mögliche zusätzliche Kosten auf Grund von besonders anspruchsvollem Gelände etc.) wichtig dabei: alles auf einen gemeinsamen Referenziert bündeln, das sind halt meistens Kosten/Geld dann kann man eine ähnliche Funktion entwickeln, die vom R2 in den R1 geht, aber im R1 sind eben alle Faktoren schon kumuliert sozusagen hier und vor allem bei mehr Daten würde sich dann der entwickelte Octave-Code anbieten 727aggbrlzrz2xghkg275jucjlekqtn 1107457 1107454 2026-07-15T16:41:04Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1107457 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== im realen Zyklus diskrete Werteverteilungen; also keine Stetigkeit, deshalb nicht differenzierbar, also kein Gradientenverfamren aber ähnliche Methode mit diskreten Werten möglich -> octave code Einpflegen und erklären bietet sich natürlich besonders bei größeren Matrizen an wie könnte man jetzt noch weitermachen? weitere Faktoren berücksichtigen (wie Eingriff in die Natur, Nähe zu Siedlungen; mögliche zusätzliche Kosten auf Grund von besonders anspruchsvollem Gelände etc.) wichtig dabei: alles auf einen gemeinsamen Referenziert bündeln, das sind halt meistens Kosten/Geld dann kann man eine ähnliche Funktion entwickeln, die vom R2 in den R1 geht, aber im R1 sind eben alle Faktoren schon kumuliert sozusagen hier und vor allem bei mehr Daten würde sich dann der entwickelte Octave-Code anbieten [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Grad.verf. Teil 1]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Grad.verf. Teil 1]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums]] 6loerv6968h9rhsdtkltaupr27pmse4 1107458 1107457 2026-07-15T16:46:11Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1107458 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== im realen Zyklus diskrete Werteverteilungen; also keine Stetigkeit, deshalb nicht differenzierbar, also kein Gradientenverfamren aber ähnliche Methode mit diskreten Werten möglich -> octave code Einpflegen und erklären bietet sich natürlich besonders bei größeren Matrizen an wie könnte man jetzt noch weitermachen? weitere Faktoren berücksichtigen (wie Eingriff in die Natur, Nähe zu Siedlungen; mögliche zusätzliche Kosten auf Grund von besonders anspruchsvollem Gelände etc.) wichtig dabei: alles auf einen gemeinsamen Referenziert bündeln, das sind halt meistens Kosten/Geld dann kann man eine ähnliche Funktion entwickeln, die vom R2 in den R1 geht, aber im R1 sind eben alle Faktoren schon kumuliert sozusagen hier und vor allem bei mehr Daten würde sich dann der entwickelte Octave-Code anbieten [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|800px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|800px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|center]] qpiq7kbha1v6uwg2ae95rb3ny3a0ayp 1107459 1107458 2026-07-15T16:46:53Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1107459 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== im realen Zyklus diskrete Werteverteilungen; also keine Stetigkeit, deshalb nicht differenzierbar, also kein Gradientenverfamren aber ähnliche Methode mit diskreten Werten möglich -> octave code Einpflegen und erklären bietet sich natürlich besonders bei größeren Matrizen an wie könnte man jetzt noch weitermachen? weitere Faktoren berücksichtigen (wie Eingriff in die Natur, Nähe zu Siedlungen; mögliche zusätzliche Kosten auf Grund von besonders anspruchsvollem Gelände etc.) wichtig dabei: alles auf einen gemeinsamen Referenziert bündeln, das sind halt meistens Kosten/Geld dann kann man eine ähnliche Funktion entwickeln, die vom R2 in den R1 geht, aber im R1 sind eben alle Faktoren schon kumuliert sozusagen hier und vor allem bei mehr Daten würde sich dann der entwickelte Octave-Code anbieten [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] ti4no96zmfwy1a6hkegc7krb2juuhs1 1107461 1107459 2026-07-15T20:07:32Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1107461 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix ist die Matrix, die sich nach 20 Jahren für die -> octave code Einpflegen und erklären bietet sich natürlich besonders bei größeren Matrizen an wie könnte man jetzt noch weitermachen? weitere Faktoren berücksichtigen (wie Eingriff in die Natur, Nähe zu Siedlungen; mögliche zusätzliche Kosten auf Grund von besonders anspruchsvollem Gelände etc.) wichtig dabei: alles auf einen gemeinsamen Referenziert bündeln, das sind halt meistens Kosten/Geld dann kann man eine ähnliche Funktion entwickeln, die vom R2 in den R1 geht, aber im R1 sind eben alle Faktoren schon kumuliert sozusagen hier und vor allem bei mehr Daten würde sich dann der entwickelte Octave-Code anbieten [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] 4rvdlat1u0q0opmz2rvlj2nwgtldcon 1107462 1107461 2026-07-15T20:14:39Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1107462 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt werden und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] kann natürlich in dem Fall auch recht schnell per Hand gemacht werden, aber bietet sich natürlich besonders bei größeren Matrizen an wie könnte man jetzt noch weitermachen? weitere Faktoren berücksichtigen (wie Eingriff in die Natur, Nähe zu Siedlungen; mögliche zusätzliche Kosten auf Grund von besonders anspruchsvollem Gelände etc.) wichtig dabei: alles auf einen gemeinsamen Referenziert bündeln, das sind halt meistens Kosten/Geld dann kann man eine ähnliche Funktion entwickeln, die vom R2 in den R1 geht, aber im R1 sind eben alle Faktoren schon kumuliert sozusagen hier und vor allem bei mehr Daten würde sich dann der entwickelte Octave-Code anbieten ixjdo8c86jzq3wb2kp1nwf1iuasaniq 1107463 1107462 2026-07-15T20:16:42Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1107463 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt werden und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] kann natürlich in dem Fall auch recht schnell per Hand gemacht werden, aber bietet sich natürlich besonders bei größeren Matrizen an wie könnte man jetzt noch weitermachen? weitere Faktoren berücksichtigen (wie Eingriff in die Natur, Nähe zu Siedlungen; mögliche zusätzliche Kosten auf Grund von besonders anspruchsvollem Gelände etc.) wichtig dabei: alles auf einen gemeinsamen Referenziert bündeln, das sind halt meistens Kosten/Geld dann kann man eine ähnliche Funktion entwickeln, die vom R2 in den R1 geht, aber im R1 sind eben alle Faktoren schon kumuliert sozusagen hier und vor allem bei mehr Daten würde sich dann der entwickelte Octave-Code anbieten 1sleefjm9m1llztd0zmyupsr92so69b 1107475 1107463 2026-07-16T09:15:11Z Jonas Dächert 41519 /* Ausblick */ 1107475 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>x</math> und <math>y</math> die Koordinaten des Standorts, * <math>K(x,y)</math> die standortabhängigen Kosten. Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. j7ft1ebkc3lrf67p1sy1d9a55b7o63j 1107476 1107475 2026-07-16T09:16:14Z Björn Henrich 41518 /* Mathematisches Modell */ 1107476 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>E(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. dxn4ei0wb49mylpwxduc4s25t1qbkzi 1107477 1107476 2026-07-16T09:25:01Z Björn Henrich 41518 /* Mathematisches Modell */ 1107477 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Funktion <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2. </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. 6kljgkmaaifo4bbimlgygt0aggg9qf4 1107478 1107477 2026-07-16T09:26:38Z Björn Henrich 41518 /* Gradientenaufstiegsverfahren */ 1107478 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K(x,y)=0,5x^2+0,5y^2. </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. 7pyli26ib0th8vohgpqu1n8jrwaa3l2 1107479 1107478 2026-07-16T09:28:23Z Björn Henrich 41518 /* Gradientenabstiegsverfahren */ 1107479 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. iya59y7iefzv7z41691fmxkljrw4ekn 1107480 1107479 2026-07-16T09:28:45Z Björn Henrich 41518 /* Gradientenaufstiegsverfahren */ 1107480 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. dpr047we3bjmrwyanpfudkpiulaow02 1107481 1107480 2026-07-16T09:30:37Z Björn Henrich 41518 /* Zielfunktion */ 1107481 wikitext text/x-wiki = Modellierungszyklus (Universitätsniveau): Optimierung eines Windenergieanlagen-Standorts durch ein Gradientenverfahren = == Grundidee == Die Wahl eines geeigneten Standortes für eine Windenergieanlage ist ein komplexes Entscheidungsproblem. Ein Standort mit möglichst hoher Windgeschwindigkeit ist nicht automatisch optimal, da zusätzlich wirtschaftliche Faktoren berücksichtigt werden müssen. Neben dem Energieertrag spielen beispielsweise Kosten für Infrastruktur, Erschließung und Entfernung zu vorhandenen Anschlüssen eine Rolle. Ziel des Modellierungsprozesses ist es, einen Standort <math>(x,y)</math> zu bestimmen, an dem der wirtschaftliche Gesamtnutzen einer Windenergieanlage maximal ist. Dazu wird ein mathematisches Modell entwickelt und mithilfe eines Gradientenverfahrens optimiert. == Ziele des Modellierungsprozesses == Die Studierenden sollen: * eine reale Standortentscheidung mathematisch beschreiben, * geeignete Funktionen zur Modellierung entwickeln, * eine Zielfunktion mit mehreren Einflussfaktoren aufstellen, * den Gradienten einer Funktion bestimmen, * ein numerisches Optimierungsverfahren anwenden, * die Ergebnisse interpretieren und die Grenzen des Modells reflektieren. == Vereinfachung der Realität (Annahmen) == Da reale Standortentscheidungen von vielen Faktoren abhängen, wird das Problem vereinfacht. Folgende Annahmen werden getroffen: * Die betrachtete Fläche wird durch ein zweidimensionales Koordinatensystem beschrieben. * Jeder Punkt <math>(x,y)</math> entspricht einem möglichen Standort. * Der Energieertrag hängt von der Windqualität am Standort ab. * Die Kosten hängen von der Entfernung zur Infrastruktur ab. * Umweltrechtliche und technische Faktoren werden zunächst nicht berücksichtigt. Die Funktionen stellen somit ein vereinfachtes Modell einer realen Standortentscheidung dar. == Mathematisches Modell == === Modellierung des Energieertrags === Der Energieertrag wird durch eine Funktion beschrieben, die einen optimalen Bereich für die Windbedingungen darstellt. Die Funktion lautet: <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Dabei beschreibt: * <math>E(x,y)</math>: erwarteter Energieertrag in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Da diese Funktion nur ein einziges Maximum und allgemein zu vereinfachend für eine reale Situation ist, wird anhand dieser Funktion nun zuerst das Gradientenverfahren erläutert. Später in diesem Zyklus wird dann eine Möglichkeit vorgestellt, wie möglichst reale Daten in das Modell eingearbeitet werden können und das Modell so die Suche für den idealen Standort der Windenergieanlage erleichtern kann. Zum Plotten und zur Eingabe der Funktion kann Octave verwendet werden. Auf den folgenden Screenshots von Octave erkennt man, wie die Energieertragsfunktion im Befehlsfenster erst definiert und dann geplottet wird. Außerdem wird das Gradientenaufstiegsverfahren mit dem Startpunkt <math>(0,0)</math> mithilfe einer for-Schleife durchgeführt. [[File:Befehlsfenster in Octave.png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] Auf dieser Abbildung ist der Plot erkennbar, den Octave von der Energieertragsfunktion erstellt. [[File:Energieertragsfunktion in Octave.png|thumb|Energieertragsfunktion in Octave|800px|center]] [[File:Optimaler Standort.png|thumb|Optimaler Standort|left|800px]] Als optimaler Standort wird durch das Gradientenaufstiegsverfahren der Punkt <math> (3,4) </math> bestimmt. === Modellierung der Kosten === Zusätzlich zum Energieertrag entstehen Kosten, die beispielsweise durch Erschließung und Infrastruktur entstehen. Die Kosten für die Errichtung und den Betrieb der Windkraftanlage werden durch folgende Funktion modelliert: <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Dabei beschreiben * <math>K(x,y)</math>: erwartete Kosten in € * <math>(x,y)</math>: Standort der Windenergieanlage Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y </math> Auch diese Funktion wurde mithilfe von Octave geplottet. [[File:Befehlsfenster in Octave (2).png|thumb|Befehlsfenster in Octave|800px|center]] [[File:Kostenfunktion in Octave.png|thumb|Kostenfunktion in Octave|800px|center]] == Gradientenverfahren == Im Folgenden werden das '''Gradientenaufstiegsverfahren''' und das '''Gradientenabstiegsverfahren''' anhand der Energiefunktion und der Kostenfunktion erläutert. Beide Verfahren gehören zu den wichtigsten numerischen Optimierungsverfahren und werden eingesetzt, wenn eine Funktion nicht oder nur schwer analytisch optimiert werden kann. == Gradientenaufstiegsverfahren == Zur Veranschaulichung betrachten wir die Energieertragsfunktion <math> E \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> E(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2 </math> Diese Funktion besitzt (wie in Octave gezeigt) ein eindeutiges Maximum bei <math> (3,4). </math> Dieser Punkt entspricht dem Standort mit den besten modellierten Windbedingungen. Anschaulich kann man sich die Funktion als einen Berg vorstellen. Ziel des Gradientenaufstiegsverfahrens ist es, den höchsten Punkt dieses Berges zu finden. === Schritt 1: Gradient berechnen === Zunächst werden die partiellen Ableitungen berechnet. Die Ableitung nach <math>x</math> lautet <math> \frac{\partial E}{\partial x} = -10(x-3) </math> und die Ableitung nach <math>y</math> <math> \frac{\partial E}{\partial y} = -4(y-4). </math> Der Gradient ergibt sich somit zu <math> \nabla E(x,y) = \begin{pmatrix} -10(x-3)\\ -4(y-4) \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt an jedem Punkt die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion an. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Da das Maximum zunächst unbekannt ist, wird ein beliebiger Startpunkt gewählt. Beispielsweise <math> (x_0,y_0)=(-2,3). </math> === Schritt 3: Gradient am Startpunkt berechnen === Nun wird der Gradient im Startpunkt bestimmt. <math> \nabla E(-2,3) = \begin{pmatrix} 50\\ 4 \end{pmatrix}. </math> Dies bedeutet: * Die x-Koordinate sollte vergrößert werden. * Die y-Koordinate sollte ebenfalls vergrößert werden. Der Gradient zeigt somit genau in Richtung des Maximums. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Nun wird eine Schrittweite <math> \alpha=0{,}05 </math> gewählt. Die Schrittweite <math>\alpha</math> bestimmt, wie weit sich der Algorithmus in jeder Iteration entlang des Gradienten bewegt. Sie hat einen entscheidenden Einfluss auf die Geschwindigkeit und Stabilität des Verfahrens. * '''Kleine Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Der Algorithmus nähert sich dem Optimum in vielen kleinen Schritten. ** Die Berechnung ist meist sehr stabil. ** Allerdings werden häufig viele Iterationen benötigt, bis das Optimum erreicht wird. * '''Große Schrittweite (<math>\alpha</math>):''' ** Das Verfahren bewegt sich schneller in Richtung des Optimums. ** Ist die Schrittweite jedoch zu groß, kann das Optimum übersprungen werden. ** Im ungünstigsten Fall springt der Algorithmus zwischen verschiedenen Punkten hin und her oder divergiert, sodass keine Lösung gefunden wird. Die Wahl einer geeigneten Schrittweite stellt daher einen wichtigen Bestandteil numerischer Optimierungsverfahren dar. In der Praxis werden häufig adaptive Verfahren eingesetzt, bei denen die Schrittweite während der Berechnung automatisch angepasst wird. Die Schrittweite α ist in der Regel nicht konstant, da sie an die lokale Struktur der Zielfunktion angepasst werden muss, um eine effiziente und stabile Konvergenz des Optimierungsverfahrens zu gewährleisten. Eine feste, konstante Schrittweite führt in der Regel zu ineffizienten oder sogar divergierenden Verläufen, je nachdem, wie die Funktion lokal beschaffen ist. Bei großen Gradienten kann eine große Schrittweite sinnvoll sein, um schnell voranzukommen. An flachen Stellen oder in der Nähe von Minima hingegen kann eine zu große Schrittweite dazu führen, dass der Algorithmus „über das Minimum hinwegspringt“ und die Konvergenz verliert. Für das hier betrachtete Beispiel wird eine konstante Schrittweite verwendet, um das Verfahren möglichst anschaulich darzustellen. Der neue Punkt ergibt sich durch <math> \begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} + \alpha \nabla E(x_0,y_0). </math> Einsetzen liefert <math> x_1=-2+0,05\cdot50=0,5 </math> und <math> y_1=3+0,05\cdot4=3,2. </math> Der neue Punkt lautet also <math> (0.5,3.2). </math> === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(0.5,3.2)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla E(0.5,3.2)= \begin{pmatrix} -10(0,5-3)\\ -4(3,2-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 25\\ 3,2 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}05</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=0,5+0,05\cdot25=1,75 </math> und <math> y_2=3,2+0,05\cdot3,2=3,36. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (1.75,3.36). </math> Der Algorithmus hat sich dem Maximum bereits weiter angenähert. Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut bestimmt: <math> \nabla E(1.75,3.36)= \begin{pmatrix} -10(1,75-3)\\ -4(3,36-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12,5\\ 2,56 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=1,75+0,05\cdot12,5=2,375 </math> und <math> y_3=3,36+0,05\cdot2,56=3,488. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2.375,3.488). </math> Die Punkte nähern sich mit jeder Iteration dem Maximum bei <math> (3,4) </math> an. == Gradientenabstiegsverfahren == Das Gradientenabstiegsverfahren funktioniert nach demselben Prinzip, verfolgt jedoch das entgegengesetzte Ziel. Hier soll nicht das Maximum, sondern das Minimum einer Funktion bestimmt werden. Als Beispiel betrachten wir die Kostenfunktion <math> K \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> K(x,y)=0{,}5x^2+0{,}5y^2 </math> Diese Funktion besitzt ihr globales Minimum im Ursprung <math> (0,0). </math> Anschaulich entspricht diese Funktion einer nach oben geöffneten Schüssel. === Schritt 1: Gradient berechnen === Die partiellen Ableitungen lauten <math> \frac{\partial K}{\partial x}=x </math> und <math> \frac{\partial K}{\partial y}=y. </math> Damit ergibt sich der Gradient zu <math> \nabla K(x,y) = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}. </math> Der Gradient zeigt wieder die Richtung des stärksten Anstiegs an. Da jedoch das Minimum gesucht wird, wird nun in die entgegengesetzte Richtung gelaufen. === Schritt 2: Startpunkt wählen === Als Startpunkt wählen wir <math> (x_0,y_0)=(4,3). </math> === Schritt 3: Gradient berechnen === Am Startpunkt ergibt sich <math> \nabla K(4,3) = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}. </math> Da das Minimum gesucht wird, bewegt sich das Verfahren entgegen dieser Richtung. === Schritt 4: Ersten Iterationsschritt durchführen === Mit derselben Schrittweite <math> \alpha=0,1 </math> lautet die Iterationsvorschrift <math> \begin{pmatrix} x_{n+1}\\ y_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_n\\ y_n \end{pmatrix} - \alpha \nabla K(x_n,y_n). </math> Einsetzen ergibt <math> x_1=4-0,1\cdot4=3,6 </math> und <math> y_1=3-0,1\cdot3=2,7. </math> Der neue Punkt liegt also näher am Ursprung. === Schritt 5: Iteration wiederholen === Am neuen Punkt <math>(3{.}6,2{.}7)</math> wird erneut der Gradient berechnet. Es ergibt sich <math> \nabla K(3{.}6,2{.}7)= \begin{pmatrix} 3{,}6\\ 2{,}7 \end{pmatrix}. </math> Mit der Schrittweite <math>\alpha=0{,}1</math> erhält man den nächsten Punkt <math> x_2=3{,}6-0{,}1\cdot3{,}6=3{,}24 </math> und <math> y_2=2{,}7-0{,}1\cdot2{,}7=2{,}43. </math> Der zweite Iterationspunkt lautet somit <math> (3{.}24,2{.}43). </math> Im nächsten Schritt wird der Gradient erneut berechnet: <math> \nabla K(3{.}24,2{.}43)= \begin{pmatrix} 3{,}24\\ 2{,}43 \end{pmatrix}. </math> Daraus folgt <math> x_3=3{,}24-0{,}1\cdot3{,}24=2{,}916 </math> und <math> y_3=2{,}43-0{,}1\cdot2{,}43=2{,}187. </math> Der dritte Iterationspunkt lautet daher <math> (2{.}916,2{.}187). </math> Man erkennt, dass sich die Punkte mit jeder Iteration dem Minimum bei <math> (0,0) </math> annähern. Da der Gradient in jeder Iteration neu berechnet wird, wird die Bewegungsrichtung kontinuierlich angepasst. Gleichzeitig nimmt der Betrag des Gradienten mit zunehmender Nähe zum Minimum ab, sodass die Schrittgrößen immer kleiner werden. Das Verfahren konvergiert somit schrittweise gegen den Tiefpunkt der Funktion. == Unterschied zwischen Gradientenaufstieg und Gradientenabstieg == In unserer Modellierung der Windkraftanlagen-Optimierung wird der Standort als Punkt im zweidimensionalen Raum beschrieben. Hierbei steht: :X: x-Koordinate (z. B. Ost-West-Richtung), :Y: y-Koordinate (z. B. Nord-Süd-Richtung), im lokalen Koordinatensystem des Geländes. Der Zustandsvektor ist dann: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ² und beschreibt die Position des Standorts in der n-ten Iteration. Die Optimierung zielt darauf ab, die erwartete jährliche Energieerzeugung E(z) zu maximieren, wobei E(z) von der Windverteilung, der Topografie und der Anordnung der Anlagen abhängt. {| class="wikitable" ! Verfahren ! Ziel ! Iterationsvorschrift |- | Gradientenaufstieg | Maximum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n+\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |- | Gradientenabstieg | Minimum bestimmen | <math>\mathbf{z}_{n+1}=\mathbf{z}_n-\alpha_{n}\nabla f(\mathbf{z}_n)</math> |} Dabei gilt: :zₙ = (xₙ, yₙ)ᵀ ∈ ℝ²: Standortvektor in der n-ten Iteration, :f(zₙ): Zielfunktion, :<math>\nabla f(\mathbf{z}_n) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)^{\top}</math>: Gradient der Funktion, :αₙ > 0: adaptive Schrittweite in Iteration n. Während beim Gradientenaufstieg der Gradient addiert wird und somit der Richtung des stärksten Anstiegs gefolgt wird, wird beim Gradientenabstieg der Gradient subtrahiert. Dadurch bewegt sich das Verfahren entlang der Richtung des stärksten Gefälles und nähert sich einem Minimum. Der grundlegende Ablauf beider Verfahren ist identisch: # Startpunkt wählen. # Gradient berechnen. # Schrittweite festlegen. # Neue Position berechnen. # Wiederholen, bis sich die Position kaum noch verändert. Numerische Gradientenverfahren bilden die Grundlage zahlreicher Optimierungsverfahren und werden unter anderem in der Mathematik, Informatik, den Ingenieurwissenschaften sowie im maschinellen Lernen eingesetzt. == Zielfunktion == Zur Bestimmung des optimalen Standorts wird die Zielfunktion als Differenz aus Energieertrag und Kosten definiert: <math> G \colon \mathbb{ R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad </math> <math> G(x,y)=E(x,y)-K(x,y) </math> Sowohl die Energieertragsfunktion als auch die Kostenfunktion werden in € definiert. Dementsprechend stellt auch die Differenz von Energieertrags- und Kostenfunktion ein Ergebnis in € dar. Durch Einsetzen der Energieertrags- und Kostenfunktion ergibt sich: <math> G(x,y)=50-5(x-3)^2-2(y-4)^2-0{,}5x^2-0{,}5y^2 </math> Die partiellen Ableitungen lauten: <math> \frac{\partial G}{\partial x}=-10(x-3)-x </math> <math> \frac{\partial G}{\partial y}=-4(y-4)-y </math> Der Gradient der Zielfunktion ist somit <math> \nabla G(x,y)= \begin{pmatrix} -10(x-3)-x\\ -4(y-4)-y \end{pmatrix}. </math> Die Zielfunktion wird verwendet, um den Standort zu bestimmen, bei dem der wirtschaftliche Nutzen – also der Energieertrag abzüglich der Kosten – maximal ist. == Interpretation und Modellkritik == Der berechnete Punkt stellt den optimalen Standort innerhalb des mathematischen Modells dar. Optimal bedeutet: * möglichst hoher Energieertrag * gleichzeitig möglichst geringe Kosten Das Modell ist jedoch eine Vereinfachung der Realität. Nicht berücksichtigt werden beispielsweise: * wechselnde Windgeschwindigkeiten * Naturschutzgebiete * Abstandsregelungen * Bodenbeschaffenheit * reale Baukosten * Netzanbindung Eine Erweiterung wäre die Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen: <math> (x,y)\in D </math> wobei <math>D</math> die tatsächlich nutzbare Fläche beschreibt. == Realer Modellierungszyklus == Die zuvor beschriebenen Gradientenverfahren bieten ein exzellentes mathematisches Fundament, um Maxima und Minima in einer idealisierten Umgebung zu finden. In der Realität ist die Standortwahl für eine Windenergieanlage jedoch kein statischer Punkt auf einer glatten Funktion, sondern ein dynamischer Prozess, der von räumlichen Daten und zeitlichen Faktoren abhängt. Um diese Komplexität abzubilden, wird das Modell nun von einer einfachen Gleichung auf ein diskretisiertes Gitter (Meshgrid) übertragen. Anstatt einer theoretischen Kurve werden reale Datenpunkte in einem Koordinatensystem analysiert, was die Grundlage für die folgenden Visualisierungen bildet. [[File:Gitterpunkte in Octave erstellen.png|thumb|Gitterpunkte in Octave erstellen|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 1.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 1|800px|center]] [[File:Höhenprofil Ansicht 2.png|thumb|Höhenprofil Ansicht 2|800px|center]] Ein weiterer entscheidender Schritt ist die Zeitdimension: Die Kosten und der Energieertrag werden nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern über mehrere Jahre, beispielsweise 10 oder 20 Jahre, betrachtet. Damit danach der endgültige Ertrag bestimmt werden kann, nutzen wir die oben beschriebene Ertragsfunktion. Diese Bildet die Differenz zwischen Energie und Kosten. Dabei stellen negative Zahlen einen höheren Kostenaufwand als erwirtschafteten Energiegewinn und positive Zahlen einen höheren erwirtschafteten Energiegewinn als Kostenaufwand jeweils in der betrachteten Zeitspanne an den 36 Standorten dar. Kurzfristige Betrachtung (1 Jahr): In der ersten Abbildung ist erkennbar, dass die Kosten (rot) den Energieertrag (grün) überlagern. In diesem Stadium ist die Anlage wirtschaftlich noch nicht rentabel, da die initialen Investitionskosten dominieren. [[File:Kosten 1 jahr.png|thumb|Ertrag pro Jahr und Kosten auf ein Jahr gerechnet|800px|center]] In dieser Abbildung ist erkennbar, dass die Differenzfläche unterhalb der blauen Nullebene liegt und daher rot dargestellt wird. Die zugehörige Matrix Differenz1J bestätigt dies mit durchgehend stark negativen Werten (z. B. bis zu -3190). Der "Nutzen" ist hier an allen Punkten des Gitters negativ. [[File:Differenz1J.png|thumb|Differenz1J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{1J}= \begin{pmatrix} -1900 & -1530 & -1890 & -1800 & -1440 & -1980 \\ -1820 & -2080 & -2260 & -2530 & -1360 & -2080 \\ -1630 & -1620 & -2250 & -2870 & -1170 & -2070 \\ -1370 & -1380 & -1360 & -1540 & -1270 & -1720 \\ -1180 & -2340 & -2610 & -3190 & -1260 & -1800 \\ -1000 & -1980 & -1980 & -2790 & -1440 & -1980 \end{pmatrix} </math> Mittelfristige Betrachtung (10 Jahre): Die Fläche des Energieertrags (grün) beginnt, die Kostenfläche (rot) an mehreren Stellen zu durchbrechen. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten übersteigt. [[File:Kosten nach 20 Jahren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 10 Jahre gerechnet|800px|center]] Im vergleich zur Differenz nach einem Jahr zeigt sich nach zehn Jahren ein deutlicher Wandel. Die Differenzfläche nähert sich der blauen Nullebene an. Wie in der Matrix Differenz10J ersichtlich, bewegen sich die Werte nun in einem Bereich um den Nullpunkt (zwischen -30 und +10). In der Visualisierung durchbrechen erste grüne Bereiche die Nullebene. Es entstehen erste "Gewinnzonen", in denen der Ertrag die Kosten gerade eben übersteigt. Das Modell zeigt hier bereits erste Ansätze für potenziell rentable Standorte. [[File:Differenz10J.png|thumb|Differenz10J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{10J}= \begin{pmatrix} -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -20 & -10 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 10 & 0 & 0 \\ -20 & -30 & -10 & -10 & -10 & -10 \\ -10 & 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ -10 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} </math> Langfristige Betrachtung (20 Jahre): In der langfristigen Perspektive kehrt sich das Bild vollständig um. Der kumulierte Energieertrag (grün) liegt nun flächendeckend über den Kosten (rot). [[File:Kosten nach 20 JAhren.png|thumb||Ertrag pro Jahr und Kosten auf 20 Jahre gerechnet|800px|center]] Die Differenzfläche liegt nun flächendeckend über der blauen Nullebene und ist somit komplett grün gefärbt. Die Matrix Differenz20J belegt dies mit durchgehend positiven Werten (z. B. Spitzenwerte von bis zu 182,5). Die Differenz zwischen der grünen Fläche und der Nullebene stellt den tatsächlichen wirtschaftlichen Gewinn dar. Erst in dieser Ansicht wird deutlich, welcher Standort über die gesamte Lebensdauer die maximale Rendite verspricht. [[File:Differenz20J.png|thumb|Differenz20J|800px|center]] <math> \mathrm{Differenz}_{20J}= \begin{pmatrix} 95 & 85 & 105 & 100 & 80 & 110 \\ 80 & 105 & 115 & 130 & 65 & 105 \\ 80 & 90 & 125 & 170 & 65 & 115 \\ 55 & 45 & 65 & 75 & 60 & 85 \\ 55 & 130 & 145 & 182.5 & 70 & 100 \\ 45 & 110 & 110 & 155 & 80 & 110 \end{pmatrix} </math> ==Ausblick== Das von uns gewählte Vorgehen im realen Modellierungszyklus hat den Nachteil, dass die im idealisierten Teil vorgestellten Gradientenverfahren nicht anwendbar sind. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es sich bei den gewählten Daten um diskrete Werte und keine stetigen Verteilungen handelt. Um die genannten Verfahren anwenden zu können, ist jedoch der Gradient, also eine mehrdimensionale Ableitung und damit die Stetigkeit nötig, die diskrete Datenpunkte nicht mitbringen. Jedoch lässt sich die Grundidee dieses Verfahrens auch in ähnlicher Weise auf unseren realen Modellierungszyklus übertragen. Beim Gradientenaufstiegsverfahren geht es anschaulich darum, die unmittelbare Umgebung eines Standpunktes zu betrachten und dann in die Richtung vorzurücken, in der der Anstieg am größten ist. Genau dieses Prinzip lässt sich auf die diskreten Werte übertragen: von einem beliebigen Startpunkt aus werden alle acht Nachbarpunkte (bei einem Randpunkt entsprechend weniger Nachbarn) betrachtet und dann zu dem Nachbarn vorgerückt, der größer als der Startpunkt und der größte aller Nachbarpunkte ist. Ist kein Nachbarpunkt größer als der aktuelle Ausgangspunkt, ist ein lokales Maximum in der diskreten Werteverteilung gefunden. Dieses Prinzip wird durch den hier aufgeführten Octave-Code verfolgt: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.32.33.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 1|600px|center]] [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.26.34.png|thumb|diskretes Gradientenverfahren Teil 2|600px|center]] Die hier gezeigte Matrix <math>A</math> ist die Matrix, die sich im vorigen Kapitel nach 20 Jahren als Differenz des Energieertrags und der anfänglichen Kosten ergibt. Für diese Matrix kann bspw. vom Startpunkt <math>(1,1)</math> aus das Verfahren angewandt und so ein lokales Maximum ermittelt werden. Der Code liefert beispielhaft für diese Ausgangslage das folgende Ergebnis: [[File:Bildschirmfoto 2026-07-15 um 18.33.22.png|thumb|Ausgabe des lokalen Maximums|300px|center]] Im Falle der vorliegenden 6x6-Matrix können die lokalen Maxima natürlich auch recht einfach graphisch oder durch Ablesen der Werte in der Matrix ermittelt werden. Das Verfahren zeigt seinen Nutzen jedoch insbesondere bei größeren Matrizen und bietet bei weiterer Modifizierung zudem die Möglichkeit, schnell von allen möglichen Ausgangspunkten die Matrix auszuwerten und alle lokalen Maxima zu identifizieren. In unserem Modellierungszyklus haben wir uns zunächst auf die initialen Kosten und den Energieertrag nach bestimmten Zeitintervallen beschränkt. Das Modell könnte nun noch weiter ausgebaut werden, indem, ähnlich wie im Sek1-Zyklus, weitere Faktoren berücksichtigt werden, wie die Nähe zu Siedlungen, Eingriffe in die Natur (optische Aspekte, aber auch Vogelzugrouten etc.) oder mögliche Zusatzkosten durch besonders anspruchsvolles Gelände (bspw. ganzjährig feuchter Untergrund oder ähnliches). Wichtig hierbei ist, die gewählten Parameter auf einen gemeinsamen Vergleichswert zu bringen. In der Anwendung bietet sich hierzu häufig das Geld an, nicht nur weil viele Parameter tatsächlich direkt oder indirekt mit Kosten oder Gewinnen verbunden sind, sondern auch, weil sich mögliche Baufirmen oder Betreiber der Windkraftanlagen letztendlich in der Praxis eben genau diese Frage stellen, an welchen Standorten der meiste Profit für ihr Vorhaben erwirtschaftet werden kann. Unter diesen Voraussetzungen könnte man eine neue Zielfunktion nach ähnlichem Prinzip entwickeln, die jedem Punkt in der Fläche einen kumulierten Wert aus den verschiedenen betrachteten Parametern zuordnet. Die Anwendung des "diskreten Gradientenaufstiegverfahrens" wäre entsprechend ganz analog zu unserer Vorgehensweise. Gerade in diesem Fall, wenn mögliche Maxima unter Umständen nicht mehr ganz so deutlich hervortreten und vor allem bei größeren Datenmengen, würde sich die Anwendung des in Ocatve beschriebenen Codes als besonders nützlich erweisen. r23316oq9xl36l0ruar0nigc07jhlz0 106 171953 1107190 2026-07-15T12:00:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1107190 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Satz|||Kurs= {{Diskrete Mathematik/Standardkurs|}} |}} 4kad2zn6l2n3u6dtx2y0t1w2u6rdmnw